Apuntes de Campos Camp os Electromagn´ Electro magn´eticos eticos Curso 09-10 Jos´ Jo s´e Luis Lu is V´azquez azquez Roy Eva Rajo Iglesias Dpto. Teor´ eor´ıa de la Se˜ nal nal y Comunicaciones Universidad Carlos III de Madrid 26 de enero de 2010
2
´Indice general
0. Introducci´ Introducci´ on on y Revisi´ on o n de Elec Electr tric icid idad ad y Magne agneti tism smo o
0.1. 0.1.2. 2. Vecto ectore ress unit unitar ario ioss y cose coseno noss dire direct ctor ores es . . . . . . . . .
7
0.1.3. L´ıneas de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a trav´es 0.1.4. 0.1 .4. Flujo Flujo de A es de una superficie super ficie S . . . . . . . .
8 8
0.1.5. 0.1 .5. Radi´ Radi´ an an y estereorradi´an . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.2. Campo radiado en funci´ o n de las corrientes . . . . . . . . . . 113 4.2.1. Campo radiado por un dipolo infinitesimal . . . . . . 117 4.3. Par´ ametros caracter´ısticos de una antena . . . . . . . . . . . 119 4.3.1. Centro de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3.2. Intensidad de radiaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3.3. Directividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.3.4. Ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.3.5. Eficiencia de radiaci´ on de una antena . . . . . . . . . 121 4.3.6. Polarizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.3.7. Teorema de reciprocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.3.8. Apertura efectiva (´o Area equivalente de absorci´on) . 123 4.3.9. Relaci´on entre directividad y apertura efectiva m´axima123 4.3.10. Ecuaci´o n d e F r i i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4 4.4. Aproximaci´ o n de campo lejano para dipolos finitos . . . . . . 125 4.4.1. Aplicaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.5. Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.5.1. Arrays lineales uniforme equiespaciado . . . . . . . . . 128 4.5.2. Arrays planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 A. Deducci´ on de las condiciones de contorno del campo EM 133 B. Promedio de valores complejos
139
B.1. Valor medio de un producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 C. Corrientes magn´ eticas equivalentes
141
D. Principio de equivalencia
143
D.1. Campo a partir de la distribuci´ o n en una apertura . . . . . . 143
CAP´ITULO 0
Introducci´ on y Revisi´ on de Electricidad y Magnetismo
´ n de elementos matema ´ticos I. Revisio En este apartado se introducen los elementos b´asicos del c´alculo vectorial que ser´an u ´tiles en el desarrollo de los contenidos de los apuntes. Tambi´en se hace un repaso breve del problema de las magnitudes y unidades en las leyes f´ısicas.
´ 0.1 DEFINICIONES B ASICAS 0.1.1
Definiciones de campo Definimos un campo escalar ψ como: ψ : D
⊂ R3 −→ R
funci´ on escalar y de punto que asocia a cada punto x en su dominio D un escalar ψ. Definimos un campo vectorial A como: A : D
⊂ R3 −→ R3
funci´ on vectorial y de punto que asocia a cada punto x en su dominio D un vector A. Las versiones complejas de los campos escalares y vectoriales se definen de manera an´aloga. 0.1.2
Vectores unitarios y cosenos directores a ˆ= Vector unitario en la direcci´on de a: a ˆ = a/ a
||
8
´ Y REVISION ´ DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO INTRODUCCION
Si los vectores est´an definidos en el cuerpo complejo se debe emplear:
√
a ˆ = a/ a a∗
·
Cuando empleemos el sistema de coordenadas cartesiano, podemos expresar cualquier vector unitario rˆ en funci´on de los cosenos de los ´angulos (α,β,γ ) que forma con los ejes x, y , z : rˆ = cos αˆ x + cos β ˆ y + cos γ ˆ z conocidos como cosenos directores . 0.1.3
L´ıneas de campo Las l´ıneas de campo son l´ıneas tangentes al campo vectorial en cada punto. Indican direcci´on y sentido e intensidad, para lo cual se dibujan de forma que hay mayor densidad de l´ıneas en las zonas donde la intensidad de campo es mayor. En din´ amica de fluidos, una l´ınea de campo es precisamente una trayectoria recorrida por una part´ıcula de fluido. 0.1.4
a trav´es de una superficie S Flujo de A Dado un campo vectorial A decimos que su flujo a trav´es de una superficie S viene dado por: ds A
¨
S
·
representa un campo de velocidades, el En din´ amica de fluidos, donde A diferencial de flujo mide la cantidad de fluido que pasa por el paralelogramo tangente por unidad de tiempo. 0.1.5
Radi´ an y estereorradi´an El radi´ an es la medida de un ´angulo plano y se define como el ´angulo plano cuyo v´ertice, en el centro de una circunferencia de radio r, subtiende un arco cuya longitud es r. La medida del a´ngulo s´ olido es el estereorradi´ an , que corresponde al ´angulo s´olido cuyo v´ ertice, en el centro de una esfera de radio r, subtiende una superficie esf´erica cuyo ´area tiene como valor r 2 . Dado que la superficie de una esfera es S = 4πr 2 , hay 4π estereorradianes en una esfera cerrada. El elemento infinitesimal de ´area ds sobre la superficie de la esfera de radio r viene dado por: ds = r 2 sin θdθdφ (m2 ) por lo que el elemento diferencial de ´angulo s´ olido ser´a: dΩ =
