UNIVERSIDA UNIVERS IDAD D DE CONCE CONCEPCI PCI N DEPARTAMENTO DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA I NGENIERÍA MECÁ M ECÁNICA NICA
Mecánica de Sólidos I Apuntes del curso
Original: Sergio Lavanchy Merino
Contenido CAPÍTULO 1 ESTADO DE ESFU E SFUERZO ERZOSS Y DEFORMACIONES EN UN PUNTO ............................. 4 1.1
Introducción Introducción ....................................................................... ...................................... 4
1.2
Definición Definici ón de esfuerzos esfuerzos en un punto ....................................................................... 4
1.3
Estado de esfuerz es fuerzos os plano ................................................................................. ...... 8
1.4
Esfuerzos principales y esfuerzo esfuerzo de Corte máximo. ................................ .............. 11 11
1.5
Representación gráfica por medio medio del círculo de Mohr ............................... ......... 15
1.6
Casos especiales especiales de estados de esfuerzos esfuerzos ........................................ ..................... 18
1.7
Concepto Concepto de deformación def ormación en un punto................................................................ punto................. ............................................... . 23
1.8
Deformaciones producidas por estados estados de esfuerzos esfuerzos planos ............................... 25
1.9
Medici Medición ón de deformaciones ................................................ .................................. 28
CAPÍTULO 2 RELACIONES RELAC IONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN ESFUERZO-DE FORMACIÓN PARA MATERIALES MATERIALES DE COMPORTAMIENTO ELÁSTICO E LÁSTICO LINEAL ............................................... .................................. 34 2.1
Introducción Introducción .......................................... ............................................... .................. 34
2.2
Curvas Esfuerzo-Deform Esfuerzo-Deformación ación.............................................. .............................................. .................................. 34
2.3
Constantes Constantes elásticas , G, E. Ley L ey de Hooke ........................................................... 37 37
2.4
Ley generalizada de Hooke Hooke .......................................... .......................................... 40
2.5
Energía de Deformación Deformación Elástica. Elás tica. ............................................... ........................... 42
CAPÍTULO 3 ESFUERZOS ESFUERZOS UNIFORMES................................................................ ................... 49 49 3.1
Introducción Introducción .......................................... ............................................... .................. 49
3.2
Esfuerzos axiales uniform uniformes es ....................................... ............................................ 49
3.3
Efecto de la temper temperatura atura sobre las deformaciones. deformaciones. Dilatación térmica. térmica. .............. 55
3.4
Problemas Problemas hiperestáticos hiperestáticos o estáticamente estáticamente indeterminados. indeterminados................................. ................................ 57
3.5
Esfuerzos de corte corte uniforme uniforme ................................................ .................................. 62
3.6
Estanques de pared delgada con simetría axial........................................ ............. 64
CAPÍTULO 4 TORSIÓN ........................................................................................................... 78 4.1
Introducción Introducción .......................................... ............................................... .................. 78
4.2
Torsión de barras barras de sección sec ción circular ........................................ ............................ 78
4.3
Torsión de barras barras de de sección sec ción no circular circula r ............................................ ................... 91
4.4
Torsión de secciones secc iones compuestas compuestas por por rectángulos rectángulos delgados................................ 94
4.5
Torsión de secciones secc iones tubulares tubulares de pared delgada. ......................................... ...... 98
CAPÍTULO 5 FLEXIÓN .......................................................................................................... 104 5.1
Introducción Introducción .......................................... ............................................... ................ 104 Apuntes Apuntes Mecánica de Sólidos 1
Contenido CAPÍTULO 1 ESTADO DE ESFU E SFUERZO ERZOSS Y DEFORMACIONES EN UN PUNTO ............................. 4 1.1
Introducción Introducción ....................................................................... ...................................... 4
1.2
Definición Definici ón de esfuerzos esfuerzos en un punto ....................................................................... 4
1.3
Estado de esfuerz es fuerzos os plano ................................................................................. ...... 8
1.4
Esfuerzos principales y esfuerzo esfuerzo de Corte máximo. ................................ .............. 11 11
1.5
Representación gráfica por medio medio del círculo de Mohr ............................... ......... 15
1.6
Casos especiales especiales de estados de esfuerzos esfuerzos ........................................ ..................... 18
1.7
Concepto Concepto de deformación def ormación en un punto................................................................ punto................. ............................................... . 23
1.8
Deformaciones producidas por estados estados de esfuerzos esfuerzos planos ............................... 25
1.9
Medici Medición ón de deformaciones ................................................ .................................. 28
CAPÍTULO 2 RELACIONES RELAC IONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN ESFUERZO-DE FORMACIÓN PARA MATERIALES MATERIALES DE COMPORTAMIENTO ELÁSTICO E LÁSTICO LINEAL ............................................... .................................. 34 2.1
Introducción Introducción .......................................... ............................................... .................. 34
2.2
Curvas Esfuerzo-Deform Esfuerzo-Deformación ación.............................................. .............................................. .................................. 34
2.3
Constantes Constantes elásticas , G, E. Ley L ey de Hooke ........................................................... 37 37
2.4
Ley generalizada de Hooke Hooke .......................................... .......................................... 40
2.5
Energía de Deformación Deformación Elástica. Elás tica. ............................................... ........................... 42
CAPÍTULO 3 ESFUERZOS ESFUERZOS UNIFORMES................................................................ ................... 49 49 3.1
Introducción Introducción .......................................... ............................................... .................. 49
3.2
Esfuerzos axiales uniform uniformes es ....................................... ............................................ 49
3.3
Efecto de la temper temperatura atura sobre las deformaciones. deformaciones. Dilatación térmica. térmica. .............. 55
3.4
Problemas Problemas hiperestáticos hiperestáticos o estáticamente estáticamente indeterminados. indeterminados................................. ................................ 57
3.5
Esfuerzos de corte corte uniforme uniforme ................................................ .................................. 62
3.6
Estanques de pared delgada con simetría axial........................................ ............. 64
CAPÍTULO 4 TORSIÓN ........................................................................................................... 78 4.1
Introducción Introducción .......................................... ............................................... .................. 78
4.2
Torsión de barras barras de sección sec ción circular ........................................ ............................ 78
4.3
Torsión de barras barras de de sección sec ción no circular circula r ............................................ ................... 91
4.4
Torsión de secciones secc iones compuestas compuestas por por rectángulos rectángulos delgados................................ 94
4.5
Torsión de secciones secc iones tubulares tubulares de pared delgada. ......................................... ...... 98
CAPÍTULO 5 FLEXIÓN .......................................................................................................... 104 5.1
Introducción Introducción .......................................... ............................................... ................ 104 Apuntes Apuntes Mecánica de Sólidos 1
5.2
Flexión pura pura de barra recta..................... ........................................... .................. 104
5.3
Condición de ejes principales principales de inercia...................................................... ........ 112
5.4
Flexión Compuesta................................................. .............................................. 113
5.5
Fuerza de corte corte y momento de flexión en vigas ....................................... ........... 119
5.6
Relaciones entr entree carga, fuerza fuerza de corte corte y momento momento de flexión. ......................... 122
CAPÍTULO 6 ESFUERZO DE CORTE TRANSVERSAL T RANSVERSAL ............................................. ................. 135 135 6.1
Teoría de Jourawsky................. Jourawsky................. ............................................... ............................. 135
6.2
Interpre Interpre tación de la Integral Integral Q ............................................ ................................ 136
6.3
Esfuerzo de Corte Corte en Sección de Perfiles Estructu Estructurales rales ...................................... 137
6.4
Centro de Corte............................................. Corte ............................................. ................................................ ....... 139
CAPÍTULO 7 BARRA CURVA SOMETIDA A FLEXIÓN ......................................... ................... 145 7.1
Flexión en viga curva curva ............................................. ............................................... 145
CAPÍTULO 8 TEORÍAS DE FALLA ........................................... ............................................... 150 8.1
Falla ........................................ ................................................ .............................. 150
8.2
Teoría de fallas .............................................. ................................................ ....... 150
8.2.1
Teoría del esfuerzo normal normal máximo máximo ............................................ ................. 150
8.2.2
Teoría del esfuerzo de corte corte máximo ........................................ ................... 151
8.2.3
Teoría de la deformación deformación normal máxima ........................................ ........... 152
8.2.4
Teoría de la energía energía de distorsión distorsión máxima máxima ....................................... ........... 153
8.2.5
Comparación Comparación de las Teorías................................................. ......................... 157 157
CAPÍTULO 9 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA CURVA ELÁSTICA EL ÁSTICA .......................................... 165 9.1
ECUACIÓN ECUACIÓ N DIFERENCIAL .............................................. ........................................ 165
CAPÍTULO 10 MÉTODOS MÉTODOS DE ENERGÍA ..................................................................... ............................ ......................................... ........... 170 10.1
Energía de deformación deformación ................................................................ ...................... 170
10.1.1
En barra barra en carga c arga axial....................................................................... axial.............................. ......................................... ........... 170
10.1.2
En barra barra de sección sec ción circular sometida sometida a torsión torsión .......................................... 171
10.1.3
Corte Corte directo direct o en flexión fl exión ................................................ ................................ 172
10.1.4
Viga som s ometida etida a flexión fl exión....................................... ....................................... .......................................... 173
10.2 Teoremas de energía .............................................................. ............................. 174 10.2.1
Trabajo mutuo o indirecto i ndirecto ............................................ ................................ 174
10.2.2
Teorema de reciprocidad de Maxwell Max well ....................................... ................... 175
10.2.3
Teorema de Clapeyr Cla peyron on ................................................. ................................ 176 Apuntes Apuntes Mecánica de Sólidos 2
10.2.4 10.3
Teorema de Castigliano ................................................ ................................ 176 Aplicación Teorema de Castigliano a deflexión en Vigas ................................. 178
Apuntes Mecánica de Sólidos 3
CAPÍTULO 1 ESTADO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN UN PUNTO 1.1 Introducción Las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo, o más específicamente sobre un elemento mecánico o estructural, producen una distribución de fuerzas internas cuya intensidad en un punto recibe el nombre de tensión o esfuerzo. Bajo la acción de estas fuerzas, el cuerpo experimenta una deformación que se manifiesta como un cambio de forma y/o volumen. El objetivo de este capítulo es estudiar las magnitudes esfuerzo y deformación, comenzando con la definición general en un sistema tridimensional, para enseguida derivar a los casos particulares de esfuerzo plano y deformación plana, ya que la mayoría de los problemas elementales de la Resistencia de Materiales se reducen en estas situaciones.
1.2 Definición de esfuerzos en un punto La Fig. 1- 1 Cuerpo con cargas externas muestra un cuerpo en equilibrio, bajo la acción de las cargas externas .
Fig . 1- 1 Cuerpo con cargas ex ternas
Apuntes Mecánica de Sólidos 4
Consideremos un punto P en el interior del cuerpo y un plano que contenga a P y divida el cuerpo en dos partes. Debido a la acción de las cargas externas, y teniendo presente el hecho de que cada parte del cuerpo debe permanecer en equilibrio, se produce en la superficie de separación una fuerza distribuida que corresponde a la interacción de una parte del cuerpo sobre la otra.
Si se considera un pequeño elemento de área del plano, que contenga a P, actuará sobre él una fuerza elemental . En el punto P se define el esfuerzo ( ), para el elemento de área considerando a:
(1. 1)
El valor del esfuerzo S definido de esta manera en el punto P, dependerá de la orientación del elemento de área utilizado, es decir, dependerá de la dirección de n. Por esto, se hace necesario utilizar en la notación del esfuerzo dos subíndices, el primero indicará la dirección normal al elemento de área donde actúa el esfuerzo, y el segundo su dirección.
Es útil descomponer el vector esfuerzo en dos componentes, una en la dirección normal al área ( y otra tangencial ( , tal como se muestra en la Fig. 1- 2 (a). En ingeniería se acostumbra a denotar las componentes normal y tangencial con las letras griegas y , respectivamente. En el caso de la componente normal bastará utilizar un solo subíndice.
En la Fig. 1- 2 (b), se ha hecho coincidir la dirección n con la dirección z de un sistema cartesiano de coordenadas x, y, z. Las direcciones x e y, se han tomado arbitrariamente en el plano que contiene el elemento de área. De es ta forma, el esfuerzo resultante en un punto da origen a tres componentes cartesianas del esfuerzo; que para el caso de la Fig. 1- 2 (b) son .
Para definir el estado de esfuerzos en un punto respecto a un sistema cartesiano x, y, z, se consideran en él tres elementos de áreas planos, infinitesimales, perpendiculares entre sí, y cuyas normales coinciden con el sistema de referencia, Fig. 1- 3(a). Para cada uno de los planos existe un valor de S de acuerdo a la definici ón de la expresión. Así con la notación ya establecida, actuarán en los planos cuyas normales son las direcciones x, y, z los esfuerzos cuyas direcciones son , respectivamente.
Apuntes Mecánica de Sólidos 5
Fig . 1- 2 Componentes del es fuerzo
Para una mejor representación gráfica, las caras positivas y negativas de los tres planos de referencia se separan a una cierta distancia dando origen al elemento de la Fig. 1- 3(b). Para simplificar la representación, los valores de y se dibujan solamente en las caras positivas, entendiéndose que en las caras negativas estas componentes actúan en la misma dirección pero en sentido contrario.
y
, dan origen a las siguientes componentes cartesianas del esfuerzo.
De acuerdo a esto, el estado de esfuerzos en un punto queda definido respecto a un sistema cartesiano de referencia por nueve componentes. Estas nueve componentes quedan representadas por un tensor de segundo orden (matriz) y se escriben:
Con
En la Fig. 1- 3 (c) se muestran las componentes del esfuerzo, en las direcciones positivas convencionales. Consideremos un elemento rectangular infinitesimal, de manera que contenga al punto P en su centro, Fig. 1- 4.
Apuntes Mecánica de Sólidos 6
Fig. 1- 3 Estado de esfuerzos en un punto.
Apuntes Mecánica de Sólidos 7
Fig. 1- 4 Equilibrio de momentos.
La condición de equilibrio de momentos alrededor de la dirección m-m que pasa por P y es paralela al eje x, queda expresada por:
( )( )
De donde se obtiene:
(1. 2)
Para claridad de la Fig. 1- 4, no se han dibujado las componentes tangenciales del esfuerzo paralelas a la dirección m-m, y que por lo tanto, no originan momentos respecto a ella. En forma análoga se determina que , y , con lo que se concluye que el esfuerzo en un punto queda definido por seis componentes independientes.
1.3 Estado de esfuerzos plano El estado de esfuerzos plano se caracteriza porque todas las componentes del esfuerzo en una dirección determinada son nulas, por ejemplo en la dirección z.
En este caso, la matriz que representa el estado de esfuerzos queda como:
Apuntes Mecánica de Sólidos 8
El estado de esfuerzos en un punto queda definido entonces por sólo tres componentes que son y La representación gráfica es la que se muestra en la Fig. 1- 5. Las componentes y son esfuerzos normales y de corte en un punto, que actúan en elementos de área cuyas normales son las direcciones x e y, sin embargo, la elección del sistema de referencia para, definir el estado de esfuerzos es arbitraria.
Fig. 1- 5 Estado de esfuerzos plano
En la Fig. 1- 6 se muestra el estado de esfuerzos referido a un sistema n,t que está rotando respecto al sistema original x, y en un ángulo , de manera que las componentes y corresponden ahora a los esfuerzos normales y de corte en los planos cuyas normales son las direcciones n y t, respectivamente.
Apuntes Mecánica de Sólidos 9
Fig. 1- 6 Componentes del es fuerzo en el sistema n,t.
Las expresiones que relacionan las componentes y en el elemento rotado, con las componentes y del elemento orientado según las direcciones x, y, se obtiene estableciendo la condición de equilibrio de fuerzas en las direcciones n y t para el elemento que se muestra en la Fig. 1- 7.
Fig. 1- 7 Equilibrio de fuerzas.
De la condición de equilibrio de fuerzas en la dirección n, se tiene:
Apuntes Mecánica de Sólidos 10
Pasando el ángulo doble se llega a la expresión:
(1. 3)
La expresión para tiene la misma forma que la expresión (1. 3), hay que considerar que en el lugar del ángulo , habría que utilizar el ángulo .
De la condición de equilibrio de fuerzas en la dirección t, se tiene:
( ) Pasando el ángulo doble se llega a la expresión:
(1. 4)
Las expresiones (1. 3) y (1. 4) permiten conocer las componentes normal y tangencial del esfuerzo en un punto, para un plano con cualquier orientación definida por el ángulo .
1.4 Esfuerzos principales y esfuerzo de Corte máximo.
La expresión (1. 3) muestra la variación del esfuerzo normal con el ángulo . Los esfuerzos normales máximo y mínimo, reciben el nombre de esfuerzos principales, los planos donde ellos actúan se llaman planos principales y las direcciones normales a estos planos son las direcciones principales.
Las direcciones principales se denotarán con los número 1 y 2 y los esfuerzos principales serán y . Si llamamos al ángulo que forma la dirección principal 1 con la dirección x, se deberá cumplir para valores máximos o mínimos de que:
( ) Apuntes Mecánica de Sólidos 11
De donde:
(1. 5)
Como:
Se tiene los ángulos que definen las direcciones principales 1 y 2 como:
Si suponemos que y se reemplazan los valores de y derivada del esfuerzo normal respecto del ángulo , se comprobará que:
en la segunda
Valor máximo para
Valor mínimo para
Para obtener los valores de los esfuerzos principales los valores de los ángulos y en la expresión(1. 3).
y
bastará con reemplazar
Así se obtienen los esfuerzos principales como:
(1. 6)
De las expresiones (1. 3) y (1. 4) se obtiene la relación:
Apuntes Mecánica de Sólidos 12
Y como en los planos principales se cumple que:
Se deduce entonces que el esfuerzo de corte en los planos principales es nulo. El estado de esfuerzo en un punto para un elemento orientado, según las direcciones principales, se puede ver en la Fig. 1- 8.
Fig. 1- 8 Direcciones y esfuerzos principales.
Al sumar las expresiones (1. 6), se obtiene:
En forma más general se demuestra que al sumar las expresiones de obtiene:
y
se
(1. 7)
Esto significa que la suma de los esfuerzos normales es independiente de la orientación del elemento (cantidad invariante). La expresión (1. 4) muestra la variación del esfuerzo de corte
con el ángulo .
Con un razonamiento similar al que se hizo para el esfuerzo normal , se puede obtener el valor y la ubicación de los planos donde actúa el esfuerzo de corte máximo. En los planos donde el esfuerzo de corte es máximo se debe cumplir entonces que: Apuntes Mecánica de Sólidos 13
Donde ahora se obtiene así:
es el ángulo que define la posición de los planos con corte máximo,
(1. 8)
Como se cumple que:
Se deduce que los ángulos y difieren en 90º y, por lo tanto, los ángulos y en 45º, esto significa que las direcciones y los planos de esfuerzo de corte máximo son perpendiculares con los que se tienen para las direcciones principales.
Si se reemplaza ahora el valor del ángulo obtiene para estos planos , donde:
en la expresión para
y
, se
La Fig. 1- 9 Direcciones principales y direcciones de esfuerzo de corte máximo. muestra los planos de esfuerzo de corte máximo.
Apuntes Mecánica de Sólidos 14
Fig . 1- 9 D irecciones principales y direcciones de esfuerzo de corte máxim o.
Reemplazando el valor de este ángulo en la expresión corte máximo como:
se obtiene el esfuerzo de
(1. 9)
1.5 Representación gráfica por medio del círculo de Mohr El ingeniero alemán Otto Mohr (1835-1918), ideó un sistema gráfico para representar el estado de esfuerzos en un punto. Para efectos de graficar el círculo de Mohr, se adopta la siguiente convención de signos para el esfuerzo de corte . Positivo si la tendencia de giro del elemento es en el sentido horario y negativo si la tendencia es en el sentido antihorario, como se ilustra en la Fig. 1- 10.
Fig. 1- 10 Convención de signos para el esfuerzo de corte.
Apuntes Mecánica de Sólidos 15
El procedimiento para la representación gráfica es el siguiente. Supongamos en primer lugar, que y dibujemos un sistema de ejes cartesiano de como se muestra en la Fig. 1- 11 Círculo de Mohr.
Fig. 1- 11 Círculo de Mohr.
Cada punto en este s istema , representa un posible plano con sus respectivas componentes de esfuerzo normal y esfuerzo de corte. Así por ejemplo, el punto A, sobre el círculo, Fig. 1- 11, tiene coordenadas y, por lo tanto, representa el plano cuya normal es la dirección x. El punto B de coordenadas representa el plano que tiene como normal la dirección y.
( ) ( )
Los puntos A y B se unen por medio de una línea que corta al eje horizontal en el punto C. El punto C es el centro del círculo de Mohr, s e procede a dibujarlo. Los infinitos puntos que componen el círculo de Mohr, corresponderán a los infinitos planos que pueden pasar por el punto en cuestión. Demostraremos, que el punto N sobre el círculo, representa el plano cuya normal es n y que está rotado un ángulo respecto a la dirección x, que es la normal al plano que en el círculo de Mohr está representado por el punto A.
Apuntes Mecánica de Sólidos 16
De la Fig. 1- 11 se tiene:
̅̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
Como:
Luego:
Que corresponde a la expresión para el esfuerzo normal normal estaba en un ángulo respecto de la dirección x.
en un plano cuya
Análogamente se muestra que:
Que corresponde a la expresión del esfuerzo de corte
para este plano.
Dos puntos del círculo de Mohr desfasados en un ángulo planos físicos desfasados en un ángulo .
,representan dos
Los puntos donde el círculo de Mohr corta el eje horizontal representan los planos principales (planos con esfuerzo de corte nulos), y los puntos P y Q representan a los planos de esfuerzo de corte máximo. El radio del círculo de Mohr está dado por:
̅ Y que corresponde al esfuerzo de corte máximo en el punto. También del círculo de Mohr se obtiene:
Apuntes Mecánica de Sólidos 17
1.6 Casos especiales de estados de esfuerzos Estado de esfuerzo uniaxial: Se caracteriza porque existe sólo una de las componentes normales, puede ser de tracción , ó de compresión .
Así:
La Fig. 1- 12 muestra la representación gráfica y el círculo de Mohr correspondiente para el caso en que:
En este caso, las direcciones principales de esfuerzo corresponden a las direcciones x e y.
Fig. 1- 12 Estado uniaxial de esfuerzos.
Estado de corte puro: Se caracteriza porque existe sólo la componente de corte en el plano donde máximo. Así
es
En la Fig. 1- 13 se puede ver la representación gráfica correspondiente, que muestra los planos de esfuerzo de corte y esfuerzos normales máximos.
Apuntes Mecánica de Sólidos 18
Fig. 1- 13 Estado de corte puro.
El elemento orientado, según las direcciones xe y, tiene actuando en los planos correspondientes sólo la componente de corte , de aquí que reciba el nombre de estado de corte puro. Sin embargo, para cualquier otra orientación del elemento existen componentes normales del esfuerzo. Así, por ejemplo, el elemento orientado según las direcciones principales, Fig. 1- 13, tiene, de acuerdo al círculo de Mohr, una tracción y una compresión con valor , es decir:
De acuerdo a esto, se podría formular una definición más general del estado de esfuerzo de corte puro, diciendo que es aquel en que la suma de los esfuerzos normales es nula, vale decir, para una orientación (n,t) cualquiera se debe cumplir que:
Como esta es una cantidad invariante, resulta entonces que para cualquier otra orientación del elemento se cumplirá que la suma de los esfuerzos normales es nula. El círculo de Mohr en este caso particular resulta centrado respecto del origen.
Apuntes Mecánica de Sólidos 19
Ejemplo:
El estado de esfuerzo en un punto de la superficie de un elemento mecánico se muestra en la figura. Determine: - Los esfuerzos principales y el esfuerzo de corte máximo en el punto, indicando la correcta orientación de los planos donde ellos actúan. - El esfuerzo normal y el esfuerzo de corte en el plano A-A. Solución: Para el estado de esfuerzo dado, el círculo de Mohr se muestra en la figura siguiente, donde:
Los puntos Ay B representan, respectivamente los planos cuyas normales son las direcciones x e y: Los esfuerzos principales corresponden a los puntos donde el círculo de Mohr corta el eje horizontal. Los valores pueden obtenerse directamente del círculo, o bien con las expresiones:
De donde:
Apuntes Mecánica de Sólidos 20
El esfuerzo de corte máximo está dado por la expresión:
Y corresponde al radio del círculo de Mohr. De acuerdo a los valores se obtiene:
El ángulo que define la posición del plano principal 1, está dado por:
De donde:
La correcta orientación del elemento, según las direcciones principales, y las direcciones del máximo esfuerzo de corte, se muestra a continuación.
Apuntes Mecánica de Sólidos 21
de
El plano A-A, está representado en el círculo de Mohr por el punto D. Los valores y se pueden obtener a partir del círculo de Mohr o bien con las expresiones:
De donde:
Y
De donde:
Es interesante hacer notar que el signo negativo de indica que su dirección está en sentido contrario a la dirección del eje t, esto no se contrapone con la convención de signos para efectos de la representación gráfica en el círculo de Mohr, donde a le correspondería signo positivo para el plano considerado.
Apuntes Mecánica de Sólidos 22
1.7 Concepto de deformación en un punto La acción de cargas externas produce en los cuerpos una distribución de esfuerzos y además una deformación. La deformación es una magnitud física que requiere de una definición formal. En primer lugar se definirá el concepto de deformación normal en un punto. La Fig. 1- 14 Deformación normal en un punto., muestra un punto A(x 0 ) y un punto vecino B(x0+dx0) de un elemento unidimensional orientado en la dirección X. Si este elemento se deforma por alargamiento los puntos A y B se desplazan a los punto A’ y B’ de
̅ ̅ ̅ ̅ ̅
coordenadas (x,x+dx) respectivamente. En el punto A se define la deformación normal convencional en la dirección X se denota por a:
El alargamiento del trazo
es
con lo que:
Si la deformación es uniforme para el trazo de longitud finita deformación, o alargamiento unitario se puede expresar como
, entonces la
Fig. 1- 14 Deformación normal en un punto.
Apuntes Mecánica de Sólidos 23
En la Fig. 1- 14 (b), el segmento OA está orientado según una dirección n cualquiera, definida por el ángulo . Después de la deformación el punto A pasa al punto A’, para pequeñas variaciones del ángulo , se puede considerar que:
y corresponderían en este caso a las proyecciones sobre las direcciones x e y, respectivamente, del alargamiento unitario . La deformación por esfuerzo de corte o deformación angular, se ilustra en la Fig. 115 para un estado de esfuerzos de corte puro.
Fig. 1- 15 Deformación por esfuerzo de corte.
Para el caso de pequeñas deformaciones angulares, se tiene:
Los subíndices x e y indican que la deformación angular se produce en el plano xy. La componente es entonces, de acuerdo a esta definición, la variación que experimenta durante la deformación un ángulo inicialmente recto formado por las direcciones x e y. La deformación angular que se muestra en la Fig. 1- 15, tiene además de la deformación propiamente tal, una parte de rotación como elemento rígido. En la Fig. 1- 16 se muestra la parte que corresponde a deformación angular pura y la parte de rotación.
Apuntes Mecánica de Sólidos 24
Fig. 1- 16 Componente de rotación en la deformación angular.
1.8 Deformaciones producidas por estados de esfuerzos planos Cuando un elemento rectangular infinitesimal, como el que se muestra en la Fig. 117, está sometido a un estado de esfuerzos planos, se deforma de manera que hay componentes normales y de corte al mismo tiempo.
En la Fig. 1- 17, y corresponden a los alargamientos unitarios en las direcciones x e y respectivamente. La componente es igual a la variación angular , la rotación como elemento rígido corresponde a .
El concepto se puede generalizar al caso tridimensional, donde el elemento infinitesimal volumétrico, orientado según las direcciones de referencia x, y, z, se deforma dando origen a tres deformaciones normales , , y a tres deformaciones angulares , , que forman la matriz deformación.
Fig . 1- 17 Estado de deformaciones.
Apuntes Mecánica de Sólidos 25
[
]
En la Fig. 1- 17, n es una dirección cualquiera que forma un ángulo con la dirección x, la dirección t es normal a n, y por lo tanto, el sistema n, t puede ser considerado un nuevo sistema de referencia, rotado respecto al sistema inicial x, y. Si en el mismo punto, el elemento de referencia estuviera orientado según las direcciones n, t estarían las componentes de deformación , y , cuya interpretación física ya se ha visto.
Para relacionar las componentes referidas al sistema x, y, y las componentes referidas al sistema n, t hacemos uso de la Fig. 1- 17, donde se cumple que:
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ () ̅ ̅ ()
Por tratarse de deformaciones pequeñas, se puede despreciar la variación que hay entre la dirección de y y, por lo tanto, considerar como alargamiento sufrido por en la dirección n, así:
Además en el triángulo OPA’ se cumple que:
Como:
y
que
Expresando las funciones de en términos del ángulo doble y teniendo presente , se llega a:
Apuntes Mecánica de Sólidos 26
(1. 10)
La expresión (1. 10) tiene la misma forma que la expresión (1. 3) que da el esfuerzo normal para un plano cualquiera. Por analogía, al esfuerzo normal , le corresponde la deformación , y al esfuerzo de corte la deformación angular .
⁄
Todos los conceptos y expresiones estudiadas para el caso de los esfuerzos, se pueden aplicar para el caso de deformaciones, así, la deformación angular se puede escribir en forma análoga a la expresión (1. 4) para como:
(1. 11)
La Fig. 1- 18, muestra el estado deformado de un elemento rectangular infinitesimal que está orientado según las direcciones n, t.
Fig . 1- 18 Elemento deformado según las direcciones n,t.
En el caso de las deformaciones, las direcciones principales de deformación, corresponderán a las direcciones en que se producen las deformaciones normales máxima y mínima y respectivamente, y deformación angular nula. A su vez, las direcciones de deformación angular máxima, se encuentran desfasadas en 45º de las direcciones principales de deformación. Las expresiones correspondientes se pueden escribir por analogía con la de los esfuerzos.
Apuntes Mecánica de Sólidos 27
(1. 12)
(1. 13)
Para las deformaciones se comprueba también que la suma de las componentes normales de la deformación es invariante respecto al sistema de referencia.
(1. 14)
El círculo de Mohr para deformaciones, se dibuja en igual forma que para el caso de esfuerzos. Es necesario adoptar una convención de signos para la deformación angular de los trazos orientados según la dirección x y la dirección y. El círculo de Mohr y la convención de signos utilizada, se muestra en la Fig. 1- 19.
1.9 Medición de deformaciones Es importante poder medir las deformaciones, ya que como se verá más adelante, esto permitirá conocer el valor de los esfuerzos en los puntos de interés de una pieza cargada o de un elemento estructural. La herramienta más importante del ingeniero para el análisis experimental de esfuerzos, es tal vez, la resistencia eléctrica denominada “Strain Gauge” o “Banda extensométrica”.
El principio en el cual se basa esta forma de medición fue descubierta por William Thompson y más tarde por Lord Kelvin (1956). Kelvin, encontró que la resistencia eléctricas de alambres de Cobre y Hierro cambiaba cuando eran sometidos a carga, y concluyó que este cambio se debía a una variación de la resistividad eléctrica del conductor, además, determinó que un Puente de Wheatstone permitía medir pequeños cambios de resistencia en el conductor.
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Fig. 1- 19 Círculo de Mohr y convención de signos para deformaciones.
Utilizando el principio enunciado, en 1930 y en forma independiente, Simmons (Instituto Tecnológico de California) y Ruge (Instituto Tecnológico de Massachusetts) desarrollaron el Strain gages , que consistía en un alambre pegado a la superficie del elemento que se iba a deformar, de manera que la deformación fuera tomada también por el conductor y medida con un circuito eléctrico simple. En la Fig. 1- 20, se muestra la configuración de un Strain gauge. Actualmente existe gran variedad de estos elementos, Fig. 1- 21, y sus aplicaciones incluyen medición de deformaciones en estructuras de aviones, barcos, estanques a presión, puentes, etc.
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Fig. 1- 20 Strain gage.
Fig. 1- 21 Strain gauges típicos.
La resistencia de un conductor está dada por la expresión:
Donde: : Resistividad eléctrica L: Longitud del Conductor A: Sección transversal del conductor.
Se define como factor del conductor (gauge factor K) a la razón entre la variación unitaria de la resistencia y la variación unitaria de longitud, es decir:
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Diferenciando la expresión de R y dividiendo por R, se tiene entonces:
Así, el factor K se puede escribir como
Los dos primeros términos reflejan la incidencia que en la resistencia del conductor tiene la variación de dimensiones debido a deformación elástica, mientras que el último corresponde al cambio de la resistencia específica con la deformación. El strain gauge es un elemento que mide sólo deformaciones normales en una dirección dada. Para conocer completamente el estado de deformaciones en un punto, se puede proceder como en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Determinación del estado de deformaciones en un punto utilizando una roseta 0º, 60º, 120º.
Supongamos que en un punto de un elemento tenemos la roseta de la figura que nos da las deformaciones en las direcciones (a), (b) y (c), digamos , , .
Veremos que estas tres deformaciones normales, definen completamente el estado de deformaciones en el punto. Elegimos el sistema de referencia x, y, de manera que, por ejemplo, la dirección x coincida con la dirección (a). La expresión que nos da la deformación normal es una dirección n cualquiera es:
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Ahora, aplicando esta expresión en forma sucesiva para las direcciones (a), (b) y (c), tendremos:
Resolviendo este sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas, se obtiene:
,
y
√ definen el estado de deformaciones en el punto.
Ejemplo:
y
Construir el círculo de Mohr para deformaciones si se conocen los valores de con la roseta de la figura.
,
, y son valores conocidos, es deformación principal mayor, que se supone estará a un cierto ángulo medido en el sentido antihorario respecto a la dirección de .
En primer lugar se traza el eje vertical que corresponde a los valores de , y en seguida se dibuja una horizontal auxiliar que corta a la vertical en el punto 0’. Sobre la horizontal auxiliar se copian los valores , y , y en estos puntos se dibujan líneas verticales. Se selecciona un punto D sobre la vertical trazada en y a partir de esta vertical, se dibujan los ángulos y como se muestra en la figura, cuyos lados libres cortan las otras dos verticales en los puntos B y A. El círculo de Mohr debe pasar por estos tres puntos, de manera que con las medianas de los trazos y se determine el centro del círculo de Mohr C, sobre el cual debe pasar el eje horizontal definitivo.
̅ ̅
Es fácil visualizar que esta forma de construcción satisface las condiciones geométricas del problema.
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