apuntes_limites

Universidad Nacional San Luis Gonzaga de Ica

Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas

APUNTES DE NIVEL BÁSICO Unidad 8

LÍMITES DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL

ALBERTO GUTIERREZ BORDA

ICA-PERÚ

Limite de una función de variable real

Básico: Unidad 8

INDICE

8.1. Introducción Introducc ión ……………………………………… ………………………………………………………………………………………. ……………………………………………….

03

8.2. Noción intuitiva de límite ……………………………………………… …………………………………………………………………. …………………...

04

8.3. Definición Definició n formal de límite …………………………………… ………………………………………………………………… ……………………………

06

8.4. Teoremas sobre límites ………………………………………………………………………

10

8.5. Consecuencias importantes ……………………………………………………………….

11

8.6. Limites laterales ………………………………………………………………………………….

15

8.7. Ejercicios resueltos …………………………………………………………………………….

17

8.8. Ejercicios Ejercici os propuestos …………………………………………… ……………………………………………………………………….. …………………………..

30

8.9. Anexo: Mapa conceptual …………………………………………………………………….

33

Alberto Gutiérrez Borda

Facultad de Ciencias-Matemáticas Ciencias-Matemáticas

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Básico: Unidad 8

INDICE

8.1. Introducción Introducc ión ……………………………………… ………………………………………………………………………………………. ……………………………………………….

03

8.2. Noción intuitiva de límite ……………………………………………… …………………………………………………………………. …………………...

04

8.3. Definición Definició n formal de límite …………………………………… ………………………………………………………………… ……………………………

06

8.4. Teoremas sobre límites ………………………………………………………………………

10

8.5. Consecuencias importantes ……………………………………………………………….

11

8.6. Limites laterales ………………………………………………………………………………….

15

8.7. Ejercicios resueltos …………………………………………………………………………….

17

8.8. Ejercicios Ejercici os propuestos …………………………………………… ……………………………………………………………………….. …………………………..

30

8.9. Anexo: Mapa conceptual …………………………………………………………………….

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Básico: Unidad 8

8.1. INTRODUCCIÓN Entre todos los conceptos que se presentan en el cálculo infinitesimal, el de límite, es a no dudarlo, el más importante, y quizás el más difícil. El objetivo de esta unidad es dar la definición de límite, para esto empezamos con una definición provisional, hay hay que tener en cuenta que, no vamos vamos a definir definir la palabra “limite”, sino la noción de función que tiende hacia un límite. lí mite. Señalaba Jean Le Rand D´Alambert “El concepto de limite es la base de la verdadera metafísica del Cálculo Diferencial” ; en efecto, se verá más tarde, que sobre el concepto de límites de una función, es que descansa los dos pilares más importantes del curso de cálculo: La derivada y la Integral de una función f(x). La Escuela Rusa Contemporánea de Matemática, concibe una gran división de esta ciencia, de la siguiente forma:

                    Los calificativos “Superior” y “Elemental” no son sinónimos sinónimos de “fácil” y “difícil”,

respectivamente. De manera que, según lo anotado, Usted estará entrando a explorar el mundo de la Matemática Superior. En las notas, se inicia, con el concepto intuitivo de límite, para entender la idea de cercanía, el comportamiento de valor limite; pero en un primer curso de Cálculo como este, va costar familiarizarse con esta definición, ya que la misma matemática le costó más de un siglo precisarla como presentamos ahora, así el trabajo no riguroso que presentamos permitirá entender su contenido.



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8.2. NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE

Considérese la función definida por: ; x 1 el único punto en el cual f(x) no está definida es en x = 1, pero, en puntos tan cercanos a 1 como se quiera, la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguiente pregunta: ¿Se aproxima f(x) a algún valor específico, cuando x se aproxima a 1? En las tablas siguientes se hace un seguimiento de f(x), cuando x se aproxima a 1 por la izquierda (valores menores que 1) y por la derecha de 1 (valores mayores que 1). X

f(x)

0 0.3 0.5 0.75 0.9 0.95 0.99 0.995 0.999 0.9995 0.9999

1 1.6 2* 2.5 2.8 2.9 2.98 2.99 ** 2.998 2.999 2.9998

.

.

.

.

.

.

1.000

no definido

.

.

.

.

.

.

Tabla 1


X

f(x)

2 1.7 1.5 1.25

5 4.4 4* 3.5 Facultad de Ciencias-Matemáticas

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Básico: Unidad 8

1.1 1.05 1.01 1.005 1.001 1.0005 1.0001

3.2 3.1 3.02 3.01 ** 3.002 3.001 3.0002

.

.

.

.

.

.

1.000

no definido

.

.

.

.

.

.

Tabla 2 La observación atenta de ambas tablas sugiere una respuesta a la pregunta formulada antes. Nótese que a medida que los valores de x , se "acercan" a 1, sin tomar el valor de 1, los valores de f(x) se "acercan" a 3. Dándole a la palabra límite un significado intuitivo, se dice que: El "límite" de la función f(x) es 3 cuando x tiende a 1. La afirmación anterior frecuentemente se expresa simbólicamente por cualquiera de las formas: cuando

(se lee: f(x) tiende a 3 cuando x tiende a 1).

O también, (se lee: límite cuando x tiende a 1 de f(x) es 3). De una manera más general, pero conservando el significado intuitivo de la palabra "límite", se dice que: , si se puede hacer que f(x) este tan "cerca" de L como se quiera, haciendo que x este suficientemente "cerca" de a, pero siendo distinta de a. Volviendo al ejemplo inicial, supóngase que se quiere que f(x) difiera de 3 en valor absoluto en menos de 1. Es decir, se quiere que:

(1)

Pregunta: ¿Cómo elegir los valores de x para que se cumpla (1)? En primer lugar, nótese que la desigualdad (1) puede escribirse en las formas equivalentes: Alberto Gutiérrez Borda

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Básico: Unidad 8

(2) En las tablas se señalaron con * los valores de x para los cuales f(x) = 2 y f(x) = 4. Para que la desigualdad (2) se cumpla, nótese que se pueden elegir los valores de x de tal modo que: ,

(3)

o equivalentemente,

, , ,

, (4) El anterior procedimiento nos indica que para que se satisfaga la desigualdad (2), basta que se satisfaga la desigualdad (4). Esto es, Si

, entonces,

(5)

Supóngase ahora que se quiere que

(6)

La pregunta que surge nuevamente es la siguiente: ¿Cómo elegir los valores de x para que se cumpla (6)?.

8.3. DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Sea a un punto de un intervalo abierto I , sea f(x) una función definida en I excepto posiblemente en el punto a. El límite de f(x) cuando x tiende al punto a, es un real L y se escribe: tal que para todo

, si y solamente si, para cada , si

, existe un

entonces,

,

(1)

Un procedimiento similar al del caso anterior, permite escribir la desigualdad (6) en la forma equivalente:



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Básico: Unidad 8

(7) En las tablas se señalaron con ** los valores de x para los cuales f(x) = 2.99 y f(x) = 3.01. Ahora, para que la desigualdad (7) se cumpla, los valores de x deben elegirse de tal manera que:

(7).

En las tablas se señalaron con ** los valores de x para los cuales f(x) = 2.99 y f(x) = 3.01. Ahora, para que la desigualdad (7) se cumpla, los valores de x deben elegirse de tal manera que: , , , (8) Esto nos indica nuevamente que para que se cumpla la desigualdad (7) es suficiente que se cumpla la desigualdad (8). Esto es, Si

, entonces,

(9)

De manera similar a las dos preguntas anteriores, se podría preguntar cómo elegir los valores de x , de tal forma que la diferencia sea menor que cualquier número positivo, tan pequeño como se quiera. Se usa frecuentemente la letra griega  (Epsilón) para denotar tales números positivos. La pregunta entonces formulada de manera general sería la siguiente: ¿Para cuales valores de x ,

, se cumple que:

?

Un procedimiento similar al desarrollado en los dos casos anteriores, permite verificar que es suficiente elegir los valores de x , de tal manera que la diferencia sea menor que cierto número positivo, corrientemente denotado por la letra griega  (Delta). Resumiendo: Alberto Gutiérrez Borda


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Si

, entonces,

Básico: Unidad 8

.

La cantidad de ensayos que se pueden efectuar con valores pequeños dados de , es innumerable y no se demostraría nada con respecto a la existencia del Límite de f(x), sólo serviría para convencernos intuitivamente que f(x) tiende al valor 3 cuando x tiende a 1. Solamente, cuando se logre demostrar que para cualquier número positivo  dado, existe al menos otro número positivo , tal que: Si , entonces, formulación exenta de ambigüedades.

, se le dará a nuestra intuición una

Observación Muchas veces las cosas no son tan simples como parece en la noción intuitiva del límite de una función. En algunos casos el uso de la calculadora puede desorientarnos, así como también nuestra propia intuición:

Así por ejemplo, si deseamos calcular: , y usamos la calculadora, se puede construir la tabla que aparece a continuación: Observación x

±1 ±0.5 ±0.1 ±0.01

0.99995 0.24991 0.00990 0.000000005

.

.

.

.

.

.

0

?

Si nos guiamos por la tabla, nuestra intuición nos llevará a concluir que

Pero, dicho resultado es incorrecto, ya que cerca de 0 la función coseno, toma el valor 1. Así que:



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Básico: Unidad 8

Observaciones: i.

La implicación (1) puede escribirse en las siguientes formas equivalentes:

La figura 8.1, ilustra gráficamente el significado de



y  en esta última implicación.

Obsérvese que para aquellos x que pertenecen al intervalo:

, los

correspondientes f(x) pertenecen al intervalo:

Figura 8.1: Significado de épsilon y delta ii.

El límite de una función no depende del valor de la función en el punto, aunque algunas veces coincide, sino, del valor de la función en las "cercanías" del punto.

Así por ejemplo, considérese la función f definida por:



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Vimos en la sección 8.1. que,

Básico: Unidad 8

, sin embargo, f (1) = 5.

Nótese que

, si

De esta forma la función f(x) después de simplificarla se puede escribe como,

Su gráfica aparece en la figura 8.2, Nótese que los valores de f(x) están cerca de 3, cuando los valores de x están próximos a 1.

Figura 8.2: Gráfica de la función f(x)

iii.

La definición de límite no establece la manera de determinar el  para un  dado. En las demostraciones sobre límites, el procedimiento está orientado a dejar en claro como se puede determinar dicho . Algunas veces, se puede establecer una relación entre  y  que satisface la definición y esto es suficiente para dar por terminada la demostración.

8.4. TEOREMAS SOBRE LÍMITES Los siguientes teoremas, que se enuncian sin demostración, señalan importantes propiedades de los límites de funciones y son al mismo tiempo útiles herramientas que permiten determinar, en muchos casos, el límite de una función, sin tener que recurrir al empleo directo de la definición. Alberto Gutiérrez Borda


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TEOREMA 1. (Unicidad del Límite) Si

y

, entonces

.

En palabras: Si una función tiene límite en un punto , dicho límite es único. a

TEOREMA 2. (Algebra de Límites) Sea n un entero positivo, k una constante real y f y g funciones tales que y

existen. Entonces:

1.

(El límite de una constante es la constante)

2.

(Límite de la función identidad)

3.

(Toda constante puede salir del límite)

4.

El límite de una suma de funciones es la suma de los límites.

5.

El límite de la diferencia de funciones es la diferencia de los límites.

6.

El límite de un producto es el producto de los límites.

7.

siempre que

El límite de un

cociente es el cociente de los límites. 8. 8.5. CONSECUENCIAS IMPORTANTES C.L.1. Si Alberto Gutiérrez Borda

, existen, entonces: Facultad de Ciencias-Matemáticas

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C.L.2.

C.L.3. Si n es un entero positivo,

C.L.4. Como caso particular del límite de un cociente, se tiene: si .

En general, si n es un entero positivo y

, entonces:

C.L.5. (Límite de la función polinómica).

C.L.6. (Límite de una función racional) Si m y n son enteros positivos,

. Entonces:

siempre que: TEOREMA 3. (Límite de funciones iguales); Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un intervalo I que contiene al punto tales que: 1.

para todo

2.

existe y es L.


a

y

, excepto posiblemente en a.


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Básico: Unidad 8

Entonces, Así, por ejemplo, las funciones:

y del eje real, excepto en el punto

, son iguales en todos los puntos . (Ver fig. 8.3.)

Figura 8.3: Gráfica de las funciones f y g. Pero,

. De manera que de acuerdo al teorema 3, .

Observación: Si en el ejemplo anterior, evaluáramos directamente,

se tendría:

El cociente no es un número real, se conoce en el cálculo como una forma indeterminada (no puede determinarse a primera vista el valor exacto del límite). Sin embargo, usando manipulaciones algebraicas, se puede transformar la función en una función equivalente que tiene límite y que de acuerdo con el teorema 3, coincide con el límite de f (x).



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Efectuar el proceso algebraico y simplificar, se conoce en el lenguaje del cálculo como: "Eliminar la indeterminación".

Así, =

(factorizando) (simplificación)

TEOREMA 4. (Teorema del Sándwich) Sean f(x), g(x) y h(x) tres funciones definidas en un intervalo I , excepto posiblemente en el punto y, tales que: 1.

para todo

2.

.

Entonces, . Este importante teorema, cuya ilustración gráfica aparece en la figura 8.4., será de gran utilidad para demostrar, que: , igualmente, se usa en el cálculo integral para calcular áreas bajo curvas, usando las llamadas: sumas aproximantes.

Figura 8.4: Gráfica de las funciones h, g y f.



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8.6. LÍMITES LATERALES Considere la función f , definida por:

y cuya gráfica aparece en la figura 8.5.

Figura 8.5: Gráfica de f. Se desea conocer el valor de los siguientes límites:

a. b. c. d. e.

El problema ahora se reduce a "sustituir" apropiadamente f(x) en cada uno de los literales anteriores. a. Nótese que en las "cercanías" de

la función f(x) es:

b. Igualmente, en las "cercanías" de forma:




. Así que:

. De esta

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c. También en las "cercanías" de

Básico: Unidad 8


. Por lo tanto,

Ahora, nótese en la fig. 8.5, que para los valores de x anteriores al viene dada por: posteriores

. Mientras que para los valores de x próximos a 1 pero viene dado por: .

¿Cuál es entonces la f(x) apropiada para sustituir en la parte d? En situaciones como esta, es útil y natural introducir los llamados Límites laterales. El símbolo: menores que 1).

significa que: x se aproxima a 1 por la izquierda (por valores

El símbolo: mayores que 1).

significa que: x se aproxima a 1 por la derecha (por valores

En el caso particular que interesa, se tiene: (1) (2) Igualmente, en el caso e. ocurre algo similar en las cercanías del punto x = 3. Es decir,

si

y

si

.

Luego: (3) (4) En general, denotamos por: para expresar que: x se aproxima al valor por la derecha. a

Esto es por valores de x > . a



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Básico: Unidad 8

para expresar que: x se aproxima al valor por la izquierda. a

Esto es por valores de x < . a

Lo anterior, nos permite dar una definición informal de los límites laterales. Definiciones. i. Límite por la derecha. Decir que , significa que cuando x está cerca, pero a la derecha de , entonces f(x) está cerca de L. a

ii. Límite por la izquierda. Decir que , significa que cuando x está cerca, pero a la izquierda de , entonces f(x) está cerca de L. a

Observación: Decir que

es diferente a decir que

.

El siguiente teorema establece la relación que existe entre el límite de una función en un punto y los límites laterales. TEOREMA 5: Observaciones: i. Otra forma equivalente de enunciar el teorema es la siguiente: no existe, si y solo si, no existe alguno de los límites laterales, o, si existen, son diferentes. ii. Las dos formas del teorema se utilizan para determinar la existencia o no del límite de una función, en particular para la función inicial de estudio en esta sección, se deduce de (1) y (2) que: que que:

existe y

, puesto

. De igual forma, de (3) y (4) se deduce no existe, ya que

8.7. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Usando la definición rigurosa del límite de una función, pruebe que:



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Básico: Unidad 8

SOLUCIÓN Sea

un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un

tal que: (1)

Para ello considere la desigualdad de la derecha de (1).

(V.A.5) (factorizando)

(2) Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede escoger Dado

. (Por supuesto, cualquier valor menor funcionará para.) Prueba formal. , existe , tal que,

En particular, si A escoge un .


, en este ejemplo, entonces B responderá con un


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Si A propone satisface).

Básico: Unidad 8

, B escogerá

(cualquier valor menor también

Al graficar la recta (fig. 8.6), se nota que para obligar a (9 – 3 x ) estar cerca de –6, se debe obligar a x que este cerca de 5.

Figura 8.6: Gráfica de f.

2. Usando la definición del límite de una función, demostrar que:

SOLUCIÓN Análisis preliminar, sea tal que:

Si

un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un

, entonces

(1)

Para ello, considere inicialmente la desigualdad de la derecha de (1),

(factorizando) (simplificando, puesto que x – 1  0)



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Básico: Unidad 8

(2) Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede escoger Dado existe

(cualquier valor menor funciona). Prueba formal. , ,

tal que,

En particular, si en este ejemplo, A escoge un . Si A propone , B escogerá también cumple). La gráfica de la función corresponde a la recta de ecuación

, entonces B responderá con un (cualquier valor menor es la misma que

, con x  1. En la fig. 8.7, aparece la gráfica de la función dada. Nótese que si el ancho de la banda alrededor del punto y = 3 es , entonces, el ancho de la banda alrededor del punto x = 1 es .



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Básico: Unidad 8

Figura 8.7: Gráfica de y.

3. Considere la función definida por

con n  N. Evaluar el siguiente límite:

SOLUCIÓN

(1) Si evaluamos directamente, el último límite se tendría (indeterminado). Se puede eliminar la indeterminación, factorizando el numerador de la fracción (1), Así:



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4. Evaluar el siguiente límite:

SOLUCIÓN Si se aplica directamente el límite de un cociente, se llega a la forma indeterminada . Se puede eliminar la indeterminación, racionalizando el denominador y simplificando. Así:

5. Evaluar el siguiente límite: SOLUCIÓN

Al sustituir directamente x por 4, se llega a la forma indeterminada . Para tratar de eliminar la indeterminación, se multiplica numerador y denominador de la fracción por la expresión conjugada del denominador. Así:

Al sustituir nuevamente x por 4, en la última expresión, continúa la indeterminación . Para eliminarla, se multiplica numerador y denominador de la última fracción por . Alberto Gutiérrez Borda


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Luego,

6. a. Usar el teorema del "Sándwich" para demostrar que si t está expresado en radianes, entonces:

b. Demostrar que: SOLUCIÓN a. Considere el círculo centrado en el origen y radio 1 que aparece en la figura 8.8, y en el cual se han trazado: El sector circular OBC, el triángulo rectángulo OBP y el sector circular OAP.

Figura 8.8: Círculo trigonométrico



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Básico: Unidad 8

Nótese en primer lugar que: (si t < 0, los elementos mencionados inicialmente son los reflejados con respecto al eje x ). Conforme al punto P se mueve hacia el punto A, y por lo tanto,

y

(1)

Claramente, de la gráfica se deduce:

Área sector OBC < Área triángulo OBP < Área sector OAP.

Pero, Área sector OBC

(2)

(ángulo central)

(3) Área triángulo OBP

(4)

Área del sector OAP

(ángulo central)

(5)

Sustituyendo (3), (4) y (5) en (2), se obtiene:

Después de multiplicar por 2 y dividir entre el número positivo además que

y observando

, la última desigualdad puede escribirse así: (6)

Pero

y

concluye que:


, luego por el teorema del Sándwich, se

.


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b. , tiene la forma indeterminada . Para eliminar la indeterminación, multipliquemos numerador y denominador por la cantidad positiva: . Esto es,

7. Use el ejercicio 6, para evaluar los siguientes límites trigonométricos.  a. .  , siendo constantes reales,



 



b. c. d. SOLUCIÓN a. Antes de evaluar el límite, el cociente

 puede transformarse en: 

De esta forma:



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Básico: Unidad 8

(Algebra de límites) Ahora, decir que

también

.

Por tanto,

También,

Luego, b. El límite es indeterminado de la forma

.

Pero, Luego, c. Antes de evaluar el límite, se simplifica la fracción

Esto es,

(factorizando)



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Básico: Unidad 8

Luego,

Pero,

Luego,

d. Nótese que al sustituir directamente x por a, resulta la indeterminación Para eliminar la indeterminación, se hace un cambio de variable y luego se simplifica la fracción resultante. Esto es, sea

También,

(factorizando)

Luego,

8. Encuentre el valor del siguiente límite o establezca que no existe:



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Básico: Unidad 8

SOLUCIÓN De acuerdo a la definición de valor absoluto, se tiene que:

De esta forma:

La función: tramos, como:

, puede escribirse entonces como una función a

Su gráfica aparece en la fig. 8.9.

Figura 8.9: Gráfica de f. Alberto Gutiérrez Borda


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Básico: Unidad 8

Ahora,

NO EXISTE 9. Considere la función a tramos definida por:

Encuentre el valor de las constantes

y SOLUCIÓN

a

y b para que:

, existan.

El siguiente diagrama recoge la información obtenida de f .

existe

y

existen

y además:

Pero,

(1) (2)

De (1) y (2) se sigue que

(3)

Igualmente,

existe

y

existen

y además:

Pero,


(4)


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(5) De (4) y (5) se sigue que

(6)

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (3) y (6) se obtiene:

y

.

Con estos valores obtenidos, la función f se transforma en:

La gráfica de f aparece en la fig. 8.10,

Figura 8.10: Gráfica completa de f.

8.8. EJERCICIOS PROPUESTO 1. Use la definición a.

del límite de una función para probar que:

.

c.


b.

.

d.

.


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e.

Básico: Unidad 8

f.

2. Evaluar los siguientes límites:

a.

b.

c.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l

m.

n.

o.

p.

q.

r.

d.

3. Encuentre el valor de cada uno de los siguientes límites o establezca que no existe.

a.

b.

c.

d.

4. Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones. Encuentre luego los límites dados o establezca que no existen.

a. Alberto Gutiérrez Borda


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Básico: Unidad 8

b.

5. Probar que si

en algún intervalo abierto que contiene al

punto (excepto posiblemente en ) y si a

a

, y,

, entonces,



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