Fiabilidad de componentes estructurales Jos´ Jo s´e F. Rodr´ Ro dr´ıgue ıg uezz Departamento Departam ento de Ingenier Ingeni er´ ´ıa Mec´ anica anica Universidad de Zaragoza
1
Falla alla de compon componen entes tes estr estruct uctur urale aless
Un componente se define como aquel elemento estructural que posee un solo modo de falla. En este sentido, la falla de un determinado componente estructural se especifica de acuerdo a un determina determinado do criterio. criterio. Por ejemplo, ejemplo, sean la resistencia, R, y la carga, S , dos variables aleatorias y positivas, entonces la funci´ on on
− s,
g (r, s) = r
(1)
define una superficie a la que denominaremos superfic supe rficie ie l´ ımite ımi te que determina la falla o no de un determinado componente estructural. De esta manera se tiene: g (r, s) > 0 g (r, s) < 0 g (r, s) = 0
no falla, falla, estado estado l´ımite ımite..
(2)
La probabilidad de falla de un componente estructural viene dada por todos aquellos eventos para los cuales R < S . S . En t´ erminos erminos matem´aticos aticos se tiene
| s
∞
pf =
f R,S R,S (r, s)drds,
0
o como pf = =
s
∞
0
∞
0
(3)
0
0
|
f R|S (r s)f S (s)drds,
F R|S (s s)f S (s)ds.
(4) (5)
La Figura 1 muestra el significado de la integral (3) de manera gr´afica. La probabilidad de falla, pf , tambi´en en puede escribirse escribi rse como pf =
∞
0
∞
r
1
f R,S R,S (r, s)dsdr,
(6)
2
Fiabilidad de Componentes Estructurales
Figure 1: El volumen volumen bajo la superficie represen representa ta la probabilida probabilidad d de falla del componente estructural, pf
o como pf =
− ∞
0
=
∞
∞
r
f S |R (s r)f R (r)dsdr,
(1. (1.0
0
2
|
|
F S |R (r r))f ))f R (r)dr.
(7)
Indice de Fiabilidad y M´ M´ argenes argenes de Seguridad
Consideremos la siguiente variable aleatoria Z = R
− S.
(8)
La probabilidad de falla puede ahora escribirse como pf = P ( P (R < S ) = P ( P (Z < 0) = F Z (0). (0). Sea U una variable aleatoria con media nula y varianza unitaria definida como
− µZ ,
(9)
= µR µS , 2 = σR + σS2 2ρR,S σR σS .
(10) (11)
u=
z
σZ
donde µZ 2 σZ
−
−
3
Fiabilidad de Componentes Estructurales
De esta manera, la probabilidad de falla viene dada como µZ pf = F Z (0) = F U ) = F U (12) U ( U ( β ). σZ β es conocida como ´ındice ındice mide la distancia desde ındi ce de fiabilida fiabi lidad d . Este ´ındice el dise˜ no no nominal nominal a la superficie superficie de falla en t´ erminos erminos de σZ . As´ As´ı, un mayor valor de β implica un sistema m´as as confiable confiable y vicev vicevers ersa. a. En este sentido sentido,, β se incrementa, bien si µZ crece, o si σZ decrece (menor incertidumbre sobre el valor de Z ). ). El ´ındice de fiabilidad suele confundirse con el factor de seguridad, F S , definido como µR F S = . µS En realidad, realidad, el factor factor de seguridad, seguridad, F S , no nos dice nada acerca de la fiabilidad de un determinado componente. Por ejemplo, los aviones suelen dise˜narse con factores de seguridad cercanos a 1. 1 .0, pero son tanto o m´as as fiables que un ascensor que se dise˜na na con un F S = 6.0. La Figura Figura 2 muest muestra ra un ejempl ejemploo de ´esto. esto. Ambos componentes componentes tienen tienen el mismo mismo factor factor de seguridad seguridad pero diferente diferente fiabilidad.
−
−
Figure 2: Los dos component componentes, es, cuya distribuci´ distribuci´on on se muestra, tienen el mismo factor factor de seguridad seguridad pero distinta distinta fiabilidad. fiabilidad. El omoponente omoponente 2 es menos fiable que el componente 1 Vamos ahora a establecer diferentes expresiones para el ´ındice de fiabilidad, β , de acuerdo a el tipo de variable aleatoria que sean R y S . Caso 1. R y S variables normales no independientes, Z = R S En este caso consideraremos como conocidos: µR , µS , σR , σS , ρRS . De esta manera tenemos Z = R S = N ( N (µZ , σZ ).
−
−
Empleando las expresiones (9)-(12), el ´ındice ındice de fiabilidad se escribe como: β C C =
α 2 + δ2 α2 δR S
−1 − 2αρRS δRδS ,
(13)
4
Fiabilidad de Componentes Estructurales
donde α = µR /µS , δR = σR /µR , δS = σS /µS . Esta expresi´on fue propuesta por Cornell en 1968. Caso 2. R y S variables normales no independientes, Z = ln(R/S ) Esta nueva formulaci´on de Z es equivalente a (8). Sin embargo µZ y σZ no pueden ser determinadas directamente ya que Z es una funci´on no-lineal de R y S . Escribiendo la aproximaci´ on de primer orden tenemos
≈ ln(R/S ), 2 ≈ δR2 + δS2 − 2ρRS δRδS . σZ µz
De esta manera, el ´ındice de fiabilidad queda β R =
ln α , 2ρRS δR δS
+ δS2
α 1.5 2.0 3.0 3.5 4.0 4.5
β C 0.92 1.49 2.11 2.43 2.61 2.74
2 δR
−
(14)
Esta expresi´on para el ´ındice de fiabilidad fue propuesta por Rosenblueth en 1972. La Tabla 1 muestra valores de los ´ındice de fiabilidad β C y β R para δR = δS = 0.3 y ρRS = 0. β R 0.96 1.63 2.59 3.27 3.79 4.22
Table 1: Indices de fiabiliadad β C y β R para δR = δS = 0.3, ρRS = 0 Estos resultados son un tanto extra˜nos ya que para formulaciones equivalentes de la superficie l´ımite, se obtiene diferentes valores del ´ındice de fiabilidad, siendo R y S variables aleatorias con las mismas caracter´ısticas. A este hecho volveremos m´as adelante.
3
Fiabilidad de Componentes Estructurales General
A partir de este momento consideraremos un vector de variables aleatorias x que pueden corresponder a propiedades de material, variables geom´ etricas, cargas, etc. Tambi´ en consideraremos el caso general en que la superficie l´ımite viene definida como Z (x) = g(x), es decir, no es posible separar S de R en el problema. Supondremos, sin embargo, lo siguiente: 1. x es independiente del tiempo
5
Fiabilidad de Componentes Estructurales
2. Nuestro componente tiene ´unicamente dos estados, “Falla” y “No falla” En este caso, g(x) representa el l´ımite entre los estados “falla” y “no falla” del componente tal y como lo muestra la Figura 3.
Figure 3: Superficie l´ımite para el caso general La probabilidad de falla pf viene ahora dada como pf =
f X (x)dx,
(15)
g(x) 0
≤
donde f X (x) representa la funci´on de probabilidad conjunta de X. La integral (15) presenta dos inconvenientes: i) f X (x) es generalmente desconocido, ii) El c´alculo de la integral es dif´ıcil para n = dim(x) > 3. La resoluci´ on del problema de fiabilidad general se plante´o por dos v´ıas de manera pr´acticamente simultanea. La primera alternativa, propuesta por Ang y Cornell (1974), consisti´o en aproximar la media y la varianza de la funci´on g(x) en t´erminos de los estad´ısticos de x. La segunda alternativa, propuesta por Hasofer y Lind (1974), consiti´o en la transformaci´on del espacio de variables aleatorias a un espacio normal est´andar (media nula y desviaci´on est´andar unidad) sin modificar la funci´on g(x). Como se ver´a m´as adelante, la alternativa propuesta por Ang y Cornell goza de sencillez y practicidad pero es inconsistente a la hora de establecer un ´ındice de fiabilidad ya que no es invariante respecto a formulaciones equivalentes de la funci´on de estado l´ımite . Por otro lado, la alternativa de Hasofer y Lind es invariante respecto a formulaciones equivalentes de g(x), permitiendo establecer una verdadera medida de la fiabilidad de un componente. Sin embargo, a costa de una mayor complejidad.
6
Fiabilidad de Componentes Estructurales
3.1
Fiabilidad del Segundo Momento
Los primeros intentos para resolver este problema se deben a Ang y Cornell quienes introducen lo que se conoce como Fiabilidad del Segundo Momento. En esta metodolog´ıa se parte del hecho que se conocen la matriz de medios, MX , y de convarianzas, ΣXX , de x, y la superficie l´ımite z = g(x). Haciendo un desarrollo en series de Taylor hasta el primer orden de Z = g(x), obtenemos el primero y segundo momento de Z µZ = g(MX ), 2 σZ = ( g
|=
|
x MX )ΣXX (g x=MX )
T
.
De esta manera, el ´ındice de fiabilidad viene dado como β M V F O S M =
g(MX ) . (g ΣXX g T )1/2
(16)
Tal y como se dijo anteriormente β M V F O S M (MVFOSM son las iniciales en ingl´es de Mean Value First Order Second Moment) es muy simple de calcular e invariante con respecto a transformaciones lineales de x (importante a la hora de reducir a el espacio de variables normales est´andar), presenta serias desventajas como lo son: i) No resulta invariante ante formulaciones equivalentes de g(x), ii) No representa una medida de fiabilidad. Para reforzar este punto, tomemos por ejemplo el caso de una sola variable aleatoria x1 con valor medio x ¯1 = 1.0 y desviaci´ on est´andar unidad (σx1 = 1.0). La superficie l´ımite podemos escribirla de manera equivalente como: g1 (x1 ) = 4.0
− x1,
g2 (x1 ) = ln
4 . x1
Note que ambas expresiones son cero en x1 = 4.0. Calculando β M V F O S M para ambas expresiones obtenemos (1)
β M V F O SM = 4
− x¯1,
(2)
β M V F O S M =
ln(4/¯ x1 ) . 1/¯ x1
La Figura 4 muestra ambos valores del ´ındice de fiabilidad. Note como para el caso lineal, g1 , el ´ındice de fiabilidad es exacto, pero para el caso no-lineal se subestima el valor de β (el sistema tiene una mayor probabilidad de falla).
3.2
M´ etodo de Hasofer-Lind. Fiabilidad de Primer Orden
La falta de invarianza de β M V F O SM respecto a la formulaci´on de la superficie l´ımite fue resuelta por Hasofer y Lind (1974). En el m´etodo por ellos propuesto, en lugar de aproximar las estad´ısticas de g(x), se propone una transformaci´on de las variables aleatorias, x, a un espacio normal est´andar de variables nocorreladas, y. En este espacio transformado, el ´ındice de fiabilidad se define como la distancia m´as corta desde el origen a la superficie l´ımite.
Fiabilidad de Componentes Estructurales
7
Figure 4: β M V F O S M calculado para dos definiciones equivalentes de la superficie l´ımite
Esta aproximaci´on del problema tiene la ventaja que, si la transformaci´on entre las variables x e y es u ´ nica e invertible, el ´ındice de fiabilidad es u ´nico para formulaciones equivalentes de la funci´on g(x). Esto ocurre en el caso de variables normales donde la transformaci´on es l´ıneal (esto se ver´a m´as adelante), o para variables no-normales no-correladas, en cuyo caso el ´ındice de fiabilidad relacionado a definiciones equivalentes de g(x) es el mismo. Para el caso de variables no-normales correladas, la transformaci´ on entre x e y depende del orden escogido a la hora de aplicar la transformaci´on, por lo que el ´ındice de fiabilidad ser´ a diferente en cada caso. Sin embargo, la experiencia demuestra que los ´ındices var´ıan poco y pueden considerarse el mismo en todos los casos. 3.2.1
Caso de Variables Normales
Vamos a establecer el algoritmo de Hasofer y Lind para el caso de variables normales para luego extenderlo al caso de variables aleatorias general. Sea X el vector de variables aleatorias gausianas con media MX , y matriz de covarianzas, on que define la superficie de estado l´ımite. El ΣXX , y sea g(x) = 0, la ecuaci´ primer paso al aplicar el m´ etodo de Hasofer y Lind consiste en transformar el espacio de variables aleatorias a uno normal est´andar. Considere la matriz de correlaci´ on definida como R = D−1 ΣXX D−1 ,
donde D = diag[σ ],
es una matriz diagonal con las desviaciones est´andar de X. Haciendo una descomposici´on de Chollesky de la matriz R = LLT y definiendo Γ = L−1 ,
8
Fiabilidad de Componentes Estructurales
podemos establecer el siguiente cambio de variable Y = ΓD−1 (X
Note que
MY = ΓD−1 (MX
− MX ).
(17)
− MX ) = 0
ΣY Y = ΓD−1 ΣXX D−1 ΓT = 1.
Hemos transformado el espacio de variables aleatorias X a uno normal est´ andar. La superficie l´ımite queda ahora como: g(x) = g(DLy + MX ) = G(y), y su gradiente G(y) = x g(x)DL.
Figure 5: Representaci´on geom´etrica del ´ındice de fiabilidad de Hasofer-Lind. De esta manera, el ´ındice de fiabilidad se obtiene de la soluci´on del siguiente problema de optimizaci´on min s.a.
β (y) = y G(y) = 0.0
(18)
La Figura 5 muestra la soluci´on del problema de optimizaci´on (18), de donde resulta sencillo establecer β HL =
∗
G(y ) − · y∗ , G(y∗ )
donde y∗ y x∗ son los puntos con mayor probabilidad de falla del componente. El punto y∗ se encuentra de manera iterativa tras sucesivas linearizaciones de la superficie G(y). Sea yn la aproximaci´o n al ´optimo en la iteraci´on n, para obtener una nueva aproximaci´on, yn+1 , linearicemos G(y) alrrededor de yn G(yn+1 ) = G(yn ) + G(yn )(yn+1
− yn) = 0.
9
Fiabilidad de Componentes Estructurales
Sabiendo que yn+1 = λG(yn ), encontramos y
n+1
=
.
G(y
n
) n y n G(y )
|| − ||
||
G(yn ) G(yn )
G(y
|| ||
n T
)
G(yn )
||
La Tabla 2 detalla el algoritmo de Hasofer-Lind para encontrar el punto de dise˜ no con mayor probabilidad de falla para variables aleatorias normales. Dado: Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
MX , ΣXX , α , β , x
Calcular la descomposici´ on de Cholesky de la matriz de correlaci´on − − 1 1 ρXX = D ΣXX D ρXX = LLT Inicializaci´ on: i := 1, E α := 1, E β := 1, E a := 1, Γ := L−1 , x(1) := MX , y(0) := 0, α(0) := 0, β (0) = 0 While (E β > β and E α > α and E x > x ) G(y(i) ) = g(x(i) ) (i) (i) G(y ) = g(x )DL (i) G(y ) α(i) = G(y(i) ) β (i) = (α(i) )y(i)
−
y
(i+1)
x(i+1)
(i)
= α
G(y(i) ) G(y(i) )
(i)
+ (i+1) = DLy + MX
·y
α(i)
If i > 1 E β = β (i) E α = α(i) E x = x(i) EndIf i := i + 1 End While pf = Φ( β )
− β (i−1) − α(i−1) − x(i−1)
Paso 4:
−
Table 2: Algoritmo de Hasofer-Lind Una vez obtenido el punto de dise˜no de acuerdo al algoritmo anterior, la probabilidad de falla del elemento se determina mediante
−
pf = Φ( β ) lo cual corresponde a la probabilidad de primer orden. Para establecer el origen de esta expresi´on, consid´ erese nuevamente la Figura 5. La aproximaci´o n de primer orden de G(y) en y∗ viene dada por ¯ y) = G(
G(y
∗ )(y − y∗ ) = 0,
por lo que la probabilidad de falla de primer orden es pf =
¯ y) 0 G(
≤
φY (y)dy,
(19)
10
Fiabilidad de Componentes Estructurales
donde φY (y) = φ(y1 )φ(y2 )
· ·· φ(yn),
es la funci´on de distribuci´on conjunta en el espacio normal est´andar. Sea T la matriz de rotaci´on que transforma las bases y en las bases y (y = Ty), en las cuales, sin p´erdida de generalidad, el eje y1 coincide con la normal G(y∗ ). En este nuevo sistema, la integral (19) viene dada como pf = =
√ √ ∞
−∞ ∞ 1
2
2π
β
=
φ(y )dy · ·· 2
∞
φ(y )dy n
−∞
√
∞ 1
n
2π
β
2
ey1 dy1
2
ey1 dy1
−β 1 2 ey1 dy1 −∞ 2π
−
= Φ( β ).
(20)
Ejemplo 1 :
Sean X 1 e X 2 dos variables aleatorias normales con media y matriz de covarianza 100 400 50 MX = , ΣXX = , 20 50 25
y sea la funci´on de estado l´ımite
g(X) =
1 2 X 2 2
− X 1.
Determine el ´ındice de fiabilidad y la probabilidad de falla de primer orden. Para este problema tenemos:
20 0 0 5
D=
R=
1/20 0 0 1/5 L=
400 50 50 25
1.0 0.0 0.5 5
,
1/20 0 0 1/5
, Γ=
=
1.0 0.0 0.58 1.15
−
1.0 0.5 0.5 1.0
,
.
La expresi´on para el gradiente de g(X) en el espacio transformado puede obtenerse de manera anal´ıtica como: G(y) = g(x)DL
=
G(y) =
[
−1
[ 2.5x2
x2 ]
− 20
20 0 0 5
1.0 0.0 0.5 5
4.33x2 ]
Inicializaci´ on: x
(0)
=
100 20
, y(0) = ΓD−1 (x0
− MX ) = 0.
11
Fiabilidad de Componentes Estructurales
Iteraci´on 1: G(y(0) ) = 100 G(y
(0)
) = [ 30.0 86.6 ] ; α(0) =
−
0.32
||G(y(0))|| = 91.65 −0.945
β (0) = 0
y x
(1)
=
(1)
− − −
= (0 + 100/91.65)
20 0 0 5
1 0 0.5 0.87
0.327 0.945 0.357 1.031
−
− − 0.357 1.031
=
100 20
+
=
92.86 14.64
Subsecuentes iteraciones Iteraci´on 2: x
(2)
=
Iteraci´ on 3: x(3) =
Iteraci´ on 4: x(4) =
Iteraci´ on 5: x(5) =
− − − − − − − − − 92.9 14.6
93.4 13.7
93.9 13.7
93.9 13.7
=
0.357 1.031
y(3) =
0.331 1.264
y(4) =
0.307 1.277
y(5) =
0.307 1.277
y∗ =
0.307 1.277
y
(2)
El resultado final x∗ =
93.9 13.7
−
− − − − − − − − − =
0.327 0.945
α(3) =
0.234 0.972
α(4) =
0.234 0.972
α(5) =
0.234 0.972
(2)
α
α∗ =
0.234 0.972
−
β (2) = 1.091
β (3) = 1.307
β (4) = 1.314
β (4) = 1.314
β ∗ = 1.314
La probabilidad de falla de primer orden del problema es pf = Φ( β ∗ ) = Φ( 1.314) = 0.0945.
−
−
3.3
Aplicaci´ on al problema de fiabilidad general
Hasta ahora se han considerado variables gausianas o normales ´unicamente. En este apartado consideraremos el problema general en el que las variables x pueden obedecer a cualquier distribuci´o n. La idea en este caso es la misma,
12
Fiabilidad de Componentes Estructurales
transformar todas las variables al espacio normal est´andar y hacer uso de las aproximaciones disponibles. Para ello asumiremos como conocido: g(x), FX (x) o f X (x). La transformaci´on al espacio est´andar la definimos como Y = T(X).
·
En general, T ( ) puede definirse en forma triangular como: y1 = T 1 (x1 ) y2 = T 2 (x1 , x2 ) y3 = T 3 (x1 , x2 , x3 ) .. . yn
= T n (x1 ,
(21)
·· · , xn)
De esta manera, dado un y, x puede calcularse utilizando un Newton-Rapson en cada ecuaci´on de arriba a abajo. x1 = T 1−1 (y1 ) x2 = T 2−1 (y2 , x1 ) x3 = T 3−1 (x3 , x1 , x2 ) .. . xn
= T n−1 (yn , x1 ,
(22)
·· · , xn−1)
Este procedimiento da como resultado la transformaci´on exacta entre el espacio original al espacio normal est´andar. Una vez definida la transformaci´on (21), la superficie l´ımite y su gradiente se obtienen f´acilmente a trav´es de: G(y) = G(y) = donde Jyx =
∂y 1 ∂x 1
.. .
∂y n ∂x 1
g(x), −1 g(x)Jyx ,
· ·· ..
.
· ··
∂y 1 ∂x n
.. .
∂y n ∂x n
(23)
es el Jacobiano de la transformaci´on y es funci´on u ´ nicamente de x. De esta manera, calcular G y G resulta sencillo, sin embargo calcular x a partir de y puede resultar muy complicado, ya que la resoluci´on de (22) puede no ser trivial. Una manera de sobreponerse a esta dificultad, es trabajar con la linearizaci´on de la transformaci´on (21) en el punto ( x, y), es decir Y = T(X)
≈ Jyx X + a,
(24)
13
Fiabilidad de Componentes Estructurales
X = T−1 (Y )
≈ J−yx1(Y − a),
(25)
− Jyx x.
(26)
donde a=y
Note que este procedimiento es equivalente a reemplazar X por un vector normal cuya media y desviaci´ on est´andar son
MX =
−J−yx1a
1 −T ΣXX = J− yx Jyx .
y
(27)
En t´erminos del algoritmo anterior, esto es equivalente a
MX = MX
y
ΓD−1 = Jyx .
Vamos a considerar diferentes escenarios posibles dependiendo la naturaleza de las variables aleatorias del problema. Caso 1: Variables normales Este caso corresponde a x = N (MX , ΣXX),
el cual se analiz´o previamente y donde el algoritmo de Hasofer-Lind aplica directamente. Caso 2: Variables no-normales independientes En este caso tenemos FX (x), con xi independientes. De esta manera se tiene yi = Φ−1 (F Xi (xi )), i = 1, . . . , n , Φ(yi ) = F Xi (xi ), d d Φ(yi ) = F X (xi ), dxi dxi i f Xj (xj ) dyi = δij . dxj φ(yi ) As´ı obtenemos que el Jacobiano es una matriz diagonal (J yx )ij =
f Xj (xj ) δij . φ(yi )
Una vez definida la matriz Jacobiana, la media y desviaci´on est´andar linearizadas se calculan a partir de (27), donde a se obtiene de (26). Tras una sencilla operaci´ on algebraica se obtiene:
MX = x
para la media, y
(ΣXX )ij =
− J−yx1y,
φ(yi ) f Xj (xj )
(28) 2
δij ,
(29)
14
Fiabilidad de Componentes Estructurales
Dado: Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
g(x), F X (x), o f X (x), α , β , x Determinar la transformaci´ on T ( ) tal que Y = T (X) = N (0, 1) g(X) = g(T −1 (Y)) = G(Y) Inicializaci´ on: i := 1, E α := 1, E β := 1, E a := 1, x(1) := MX While (E β > β and E α > α and E x > x ) y(i) = T (x(i) ) C = [ Jyx (x(i) , y(i) )]−1 MX = x(i) Cy(i) G(y(i) ) = g(x(i) ) (i) (i) G(y ) = g(x )C
·
α(i) =
−
G(y
−
(i)
)
G(y(i) )
β (i) = α(i) y(i) G(y(i) ) y(i+1) = α(i) y(i) + G(y(i) ) (α(i) )T x(i+1) = Cy(i+1) + MX If i > 1 E β = β (i) β (i−1) E α = α(i) α(i−1) E x = x(i) x(i−1) EndIf i := i + 1 End While pf = Φ( β )
− − −
Paso 4:
−
Table 3: Algoritmo de Hasofer-Lind para el problema de fiabilidad general para la matriz de covarianzas. La Tabla 3 detalla el algoritmo de Hasofer-Lind para el problema de fiabilidad general. Ejemplo 2 : Sean X 1 y X 2 dos variables estad´ısticamente independientes. X 1 sigue una distribuci´ on de M´aximo valor del Tipo I con µ1 = 100 y σ1 = 20, mientras que X 2 es log normal con µ2 = 20 y σ2 = 5. La funci´ on de estado l´ımite viene dada por g(x) =
1 2 x 2 2
− x1
Para X 1 tenemos:
{− − − } {− − − − − µ)]}, √ donde α = π/( 6σ1 ) = 0.0641, µ = µ1 − 0.5772/α = 91. F X1 (x1 ) = exp exp[ α(x1 µ)] , f X1 (x1 ) = α exp α(x1 µ) exp[ α(x1
15
Fiabilidad de Componentes Estructurales
Para X 2 tenemos
−
ln x2 λ F X2 (x2 ) = Φ , ζ 1 ln x2 λ f X2 (x2 ) = φ ζx 2 ζ
−
1/2
donde ζ = ln[1 + (σ2 /µ2 )2 ] = 0.246, λ = ln µ2 el algoritmo mostrado en la Tabla 3 Inicializaci´ on: x(1) = (100, 20)T . Primera iteraci´on: y(1) =
,
− 0.5ζ 2 = 2.965. Aplicando
(1)
Φ−1 (F X1 (x1 )) (1) Φ−1 (F X2 (x2 ))
0.18 0.12
=
G(y(1) ) = g(x(1) ) = 100
1 C = J− yx =
(1)
φ(y1 )
(1)
f X1 (x1 )
0
G(y
(1)
(1)
f X2 (x2 )
α(1) =
y
)=
) y
(1) g(x )C (1)
)
19.12 0 0 4.92
96.61 19.39
19.12 98.4
=
=
0.191 0.982
− || β (1) = −0.216
G(y(1) )
(1) T (1)
= (α
− Cy(1) =
G(y
||
− =
(1)
φ(y2 )
MX = x(1)
(2)
0
−
G(y(1) ) + G(y(1) )
x(2) = Cy(2) + MX =
α(1) =
0.175 0.898
99.92 15.00
Segunda iteraci´on: Repetir los c´alculos anteriores con x(2) El algoritmo requiere un total de 6 iteraciones para encontrar la soluci´on tal y como se muestra en la Tabla 4 La Figura 6 muestra el camino seguido por el algoritmo para encontrar la soluci´ on. Note que la restricci´ on es alcanzada relativamente r´apido,mientras que elmayor n´ umero de iteraciones se dedican a satisfacer la condici´on de optimalidad.
16
Fiabilidad de Componentes Estructurales
Ite 1 2 3 4 5 6
x
y
α
100.0 20.0 99.925 14.996 104.454 14.464 105.897 14.553 106.026 14.562 106.035 14.563
0.177 0.123 0.173 0.893 0.411 1.191 0.470 1.168 0.476 1.166 0.476 1.166
0.191 0.982 0.326 0.945 0.374 0.928 0.378 0.926 0.378 0.926 0.378 0.926
− − − − − −
− − − − − −
β
pf
−0.216
–
0.9097
–
1.2594
–
1.2591
–
1.2589
–
1.2589
0.104
Table 4: Resumen de resultados
3.4
C´ alculo de sensibilidades
Uno de los aspectos m´as importantes que se obtiene a partir de los m´ etodos de fiabilidad de primer orden son las sensibilidades del coeficiente de fiabilidad β HL (y de la probabilidad de falla pf ) a cambios en el ´optimo x∗ y y∗ , a los par´ametros de las distribuciones de las variables aleatorias, as´ı como a los par´ametros de la funci´on de estado l´ımite. En esta secci´on vamos a establecer el c´alculo de las diferentes sensibilidades. 3.4.1
Sensibilidad respecto a x∗ y y∗
En este caso definimos
β (y) = sign(β HL ) yT y. De esta manera tenemos y β HL (y)
= sign(β HL )
y . y
|| ||
(30)
Particularizando en el ´optimo x∗ tenemos y β HL (y
∗ ) = α.
(31)
Por tanto, α representa la sensibilidad de β HL con respecto a las variables en el espacio normal est´andar, en otras palabras, α puede emplearse para categorizar la importancia de cada una de las variables est´andar. La medida de sensibilidad de β HL con respecto a x∗ es f´acilmente calculable mediante el gradiente de la transformaci´on Jyx
x β HL (y
∗ ) = αT Jyx .
(32)
17
Fiabilidad de Componentes Estructurales
Figure 6: Representaci´on geom´etrica del ´ındice de fiabilidad de Hasofer-Lind.
Debido a que las diferentes variables aleatorias pueden presentar escalas bastante diferentes, la sensibilidad definida en (32) usualmente se normaliza por la desviaci´ on est´andar de las diferentes variables D = diag[ΣXX ]1/2 .
De esta manera, el vector sensibilidades normalizado con respecto a x∗ , γ es
|| γ =
T
α Jyx D T
α Jyx D
|| .
(33)
Note que para el caso particular de variables independientes, γ = α. Al igual que para el caso de las variables est´andar, γ provee de una medida relativa de la importancia de cada una de las variables b´asicas del problema. En este sentido, si γi > 0 se dice que xi es una variable de carga, mientras que γi < 0 indica que xi es una variable de resistencia.
3.4.2
Sensibilidad respecto a los par´ ametros de la distribuci´ on
En este caso consideremos que la distribuci´on de X, F X (x, θ) viene especificada en t´erminos de una serie de par´ametros θ . Por lo tanto tenemos y = T(x, θ), g(x) = g(T−1 (y, θ)) = G(y, θ ).
Partiendo de (30) se tiene θ β HL
= sign(β HL ) =
y
− |
∗
y∗
(y∗ )T
∗
||y∗ || y ,
G(y∗ , θ) G(y∗ , θ)
θ
|
θ y
∗.
(34)
18
Fiabilidad de Componentes Estructurales
Para determinar aθ
∗ , consideremos la derivada de G(y∗ , θ) = 0 con respecto ∂G(y∗ , θ) ∂ y∗ ∗ + y G(y , θ) = 0.
θ y
∂ θ
Resolviendo para
∗
∂ y ∂ θ
∗
∂ θ
y∗
y sustituyendo en (34) se obtiene θ β HL
=
|
y∗
1 ∂G(y∗ , θ) . G(y∗ , θ ) ∂ θ
|
Sin embargo, G(y∗ , θ ) = g(x∗ ), por tanto ∂G(y∗ , θ ) ∂g(x∗ ) ∂ x∗ = = x g(x∗ ) . ∂ θ ∂ θ ∂ θ ∗
Para determinar
∗
∂ x ∂ θ
(35)
, consideremos la transformaci´on en el punto soluci´on y∗ = T(x∗ , θ ).
Manteniedo y∗ fijo tenemos ∂ T(x∗ , θ) ∂ x∗ ∂ T(x∗ , θ) + ∂ x∗ ∂ θ ∂ θ ∗ ∗ ∂ x ∂ T(x , θ ) = Jy x + ∂ θ ∂ θ
0 =
∗
Resolviendo para
∗
∂ x ∂ θ
∗
y sustituyendo en (35) obtenemos finalmente:
θ β HL
1 ∗ g(x∗ )J− y x ∂ T(x , θ ) = y G(y∗ , θ ) ∂ θ ∗ ∂ T(x , θ ) = αT . ∂ θ
x
−|
∗
∗
∗
|
∗
(36)
La sensibilidad de la probabilidad de falla del sistema, pf a los par´ametros de la distribuci´on puede encontrarse f´acilmente como θ pf
3.4.3
=
−φ(−β HL ) β HL .
(37)
θ
Sensibilidad respecto a los par´ ametros de la funci´ on de estado l´ ımite
Supongamos que la funci´on de estado l´ımite viene dada en t´erminos de unos par´ametros η g(x, η ) = g(T−1 (y), η ) = G(y, η). La derivada de β HL con respecto a η en el punto soluci´on (x∗ , y∗ ) viene dada como η β HL
= sign(β HL ) =
y
− |
∗
y∗
(y∗ )T
ηy
||y∗ ||
G(y∗ , η ) G(y∗ , η )
|
∗,
η y
∗.
(38)
19
Fiabilidad de Componentes Estructurales
Procediendo de manera similar que en el apartado anterior, tomemos la derivada de G(y∗ , η) con respecto a η ∂G(y∗ , η) ∂ η
+ y G(y∗ , η) ∗
y∗
∗
∂ y ∂ η
De esta manera, resolviendo para mente: η β HL
=
|
y∗
∂ y∗ = 0. ∂ η
y sustituyendo en (38) obtenemos final-
1 ∂G(y∗ , η ) = G(y∗ , η ) ∂ η
|
|
y∗
1 ∂g(x∗ , η ) . G(y∗ , η) ∂ η
(39)
|
La sensibilidad de la probabilidad de falla es η pf
−φ(−β HL )
=
η β HL .
(40)
Ejemplo 3 :
Consideremos el ejemplo del apartado para el cual se tiene: X 1 y X 2 independientes. X 1 F Val.ExtremoTipoI (x1 ; µ, α) = F 1 (x1 , 91, 0.0641) y X 2 F logNormal (x2 ; λ, ζ ) = F 2 (x2 , 2.965, 0.246), y la funci´on de estado l´ımite viene dada por
∼
∼
g(x) = ηx22
− x1,
con η = 1/2. La transformaci´on queda entonces definida como:
Y = T(X) =
(1)
Φ−1 (F X1 (x1 )) (1) Φ−1 (F X2 (x2 ))
=
Φ−1 (exp
{− exp[−α(x1 − µ)]}) (ln x2 − λ)/ζ
.
En el punto soluci´on (x∗ , y∗ ), obtenemos x∗ =
106.035 14.563
, y∗ =
0.476 1.166
−
− 0.378 0.926
, α = γ =
.
De esta manera obtenemos las sensibilidades de β HL con respecto a ( x∗ y ∗ y ) respectivamente. Consideremos ahora las sensibilidades con respecto a los par´ametros de la distribuci´ on. Sea
θ=
Entonces, el gradiente Jy
∗
θ
=
θ y
−
∗ = Jy ∗
f X1 (x1 ) φ(y1 ) ∗
0
∗
θ
µ α λ ζ
.
viene dado como ∗
x1 µ f X1 (x1 ) α φ(y1 )
−
∗
0
0
0 ∗
− 1ζ − ln xζ −λ 2 2
,
20
Fiabilidad de Componentes Estructurales
con lo que finalmente obtenemos θ β HL
=
−0.0179
4.18 3.78
−4.41 .
Para la probabilidad de falla pf se tiene θ pf
=
0.00323 −0.755 −0.683
0.751 .
Estos resultados indican que si el valor de α se incrementa en 0.1, β HL incrementa en 0.418 y la probabilidad de falla se reduce en 0.0755. Para calcular la sensibilidad con respecto al par´ametro η en la superficie de estado l´ımite, primero determinamos el gradiente de la superficie l´ımite en (x∗ , y∗ ). En la soluci´on tenemos 1 J− y x = ∗
∗
21.3 0 0 3.59
y x
por lo tanto y
∗
∗
g(x∗ , η ) =
G(x∗ , η ) =
−1
−21.3
14.56 ,
52.27 .
As´ı, la sensibilidad de β HL con respecto a η nos queda η β HL
=
|
y∗
1 ∂g(x∗ , η ) 14.562 = = 3.756, G(y∗ , η ) ∂ η 56.44
|
y la de la probabilidad de falla pf η pf
4
=
−φ(−β HL )
η β HL
=
−0.1806 · 3.756 = −0.6783.
Fiabilidad de Sistemas
Hasta ahora se ha discutido la fiabilidad de un elemento estructural con una u ´ nica funci´ on de estado l´ımite, g(x). Sin embargo, un mismo elemento estructural puede estar sujeto a m´as de una funci´on de estado l´ımite (i.e., resistencia a la flexi´on, al pandeo, m´aximo desplazamiento, etc) y todas han de ser consideradas en el an´alisis. Adicionalmente, la mayor´ıa de las estructuras est´an formadas por muchos elementos dando lugar a lo que se denomina un sistema estructural. A su vez, el sistema estar´ a sujeto a la acci´on de diferentes cargas actuando de manera individual o combinada que pueden tener diferente efecto sobre los miembros de la estructura, o puede existir correlaci´on entre cargas y resistencias debido a efectos de tama˜no o de memoria del material. Por estas razones, la fiabilidad de un sistema estructural ser´a funci´ on de la fiabilidad de sus componentes. En todo caso, el problema de fiabilidad de un sistema estructural implica la consideraci´o n de m´ultiples funciones de estado l´ımite que pueden incluso estar correladas. Una falla estructural puede definirse de varias formas, por ejemplo
21
Fiabilidad de Componentes Estructurales
1. M´axima tensi´on permisible alcanzada en cualquier punto de la estructura 2. Colapso de la estructura (se alcanza un condici´on de rigidez nula de la estructura) 3. Se alcanza un valor de rigidez l´ımite 4. Se alcanza la m´axima flecha permitida 5. El da˜ no acumulado alcanza un l´ımite En la formulaci´on del problema de fiabilidad de sistemas, es importante identificar los diferentes modos de falla asociados con la estructura. Estos modos pueden consistir en la combinaci´on de dos o m´as situaciones de falla afectando a diferentes elementos del sistema. Por ejemplo, en el caso de una viga hiperest´ atica sujeta a la acci´on de dos cargas, los tres posibles modos de colapso (suponiendo un comportamiento elastopl´astico del material) se muestran en la Figura 7
Figure 7: Modos de falla en una viga con comportamiento elasto-pl´astico. En el caso mostrado, las ecuaciones que describen los tes modos de colapso son:
− −
− − −
4M A + 8M C 2P 1 L P 2 L = 0 4M A + 16M D 2P 1 L 3P 2 L = 0 4M C + 8M D P 2 L = 0
22
Fiabilidad de Componentes Estructurales
A esta manera de representar el problema de fiabilidad se le denomina “aproximaci´ on por modos de falla”. En general existen dos formas generales de plantear el problema de fiabilidad de sistemas: i) aproximaci´ on por modos de falla , y ii) aproximaci´ on por modos de supervivencia . La aproximaci´on por modos de falla consiste en identificar todos los posibles modos de falla de la estructura. Tal y como se ha descrito anteriormente, los modos de falla suelen consistir en un secuencia de fallas de elementos de la estructura suficiente como para dar lugar al colapso de la estructura. La representaci´ on de los modos de falla puede hacerse a trav´ es de un ´arbol de eventos o de un grafo de fallas tal y como se muestra en la Figura 8.
Figure 8: Arbol de eventos y grafo de fallas para la estructura de la Figura 7. Debido a que la falla a trav´es de cada posible camino se˜nalado en el ´arbol de eventos o en el grafo de fallas implica la falla de la estructura, el evento “Falla de la Esturctura”, F S , es la uni´on de todos los m posibles modos de falla pf = P (F S ) = P (F 1
∪ F 2 ∪ . . . ∪ F m),
(41)
donde F i is la falla del modo i. Por su parte, para cada modo F i es necesario la falla de un n´ umero suficiente de elementos de la estructura P (F i ) = P (F 1i
∩ F 2i ∩ . . . ∩ F n i ), i
(42)
23
Fiabilidad de Componentes Estructurales
donde F ji representa la falla del elementos j en el modo i, y ni es el n´ umero de elementos que fallan en el modo i. La aproximaci´on por modos de supervivencia consiste en la identificaci´on de los diferentes estados en los cuales la estructura no colapsa (sobrevive), tambi´ en llamados modos de sobrevivencia. En el caso de la estructura de la Figura7, los estados 1, 2, 3, y 4 en el grafo de falla de la Figura 8 son estados en los que la estructura ha fallado parcialmente p ero es todav´ıa capaz de soportar la carga. Si denotamos S S la sobrevivencia de la estructura, entonces tenemos ps = P (S S ) = P (S 1
∪ S 2 ∪ . . . ∪ S k ),
(43)
donde S j es el modo de sobrevivencia j, y k es el n´ umero total de modos de sobrevivencia. Aplicando el Teorema de de Morgan obtenemos ¯1 pf = P (S
∩ S ¯2 ∩ . . . ∩ S ¯k ),
(44)
¯i es la no-sobrevivencia al modo i. Claramente, la sobrevivencia en donde S cualquiera de los modos de sobrevivencia requiere que todos los elementos de la estructura que contribuyen a dicho modo tambi´en sobrevivan. En el caso de la Figura 8, la sobrevivencia al modo 2 requiere que no se forme r´otula pl´astica ni en C ni en D. De esta manera, resulta evidente que la no sobrevivencia a un determinado modo es equivalente a la falla de un m´ınimo n´umero de elementos de la estructura. ¯i ) = P (F 1i F 2i . . . F li i ), P (S (45)
∪
∪ ∪
donde F ji es la falla del elemento j en el modo de sobrevivencia i, y li representa el n´ umero total de elementos que se requieren para asegurar la sobrevivencia del modo i. Debido a la dificultad en conceptualizar los diferentes modos de sobrevivencia y en la formulaci´on de las funciones de estado l´ımite, la aproximaci´on por modos de supervivencia tiene poca utilidad pr´actica y no ha recibido mucha atenci´on. Cabe destacar, sin embargo, que cualquier estimado de la probabilidad de falla, pf basada en (4.1.1) la subestimar´a al menos que todos los posibles modos de falla sean identificados. Por el contrario, la probabilidad de falla obtenida empleando la aproximaci´on por modos de supervivencia (44) ser´a conservadora (sobreestimaci´ on de pf ) al menos que todos los posibles modos de supervivencia se tomen en cuenta en el an´alisis. Sin embargo, si la falla de un determinado elemento estructural no es tomado en cuenta en el an´alisis (i.e., ni en la definici´on de un modo de fallo ni de un modo de supervivencia), ambas aproximaciones subestimar´an la probabilidad de falla de la estructura.
4.1
Idealizaci´ on de sistemas estructurales
Los sistemas estructurales se corresponden con tres tipos: i) Sistemas en Serie, ii) Sistemas en Paralelo, y Sistemas Combinados.
Fiabilidad de Componentes Estructurales
4.1.1
24
Sistemas en serie
Los sistemas en serie, representados por una cadena, tambi´en denominados como sistemas de eslab´on d´ ebil, se caracterizan porque la falla de la estructura se corresponde con la falla de cualquiera de los elementos que la conforman. Un estructura isost´atica es un ejemplo de un sistema en serie ya que la falla de cualquiera de sus elementos da lugar a la falla de la estructura. As´ı, cada elemento es por consiguiente un modo de falla de la estructura. De esta manera, la probabilidad de falla de un sistema en serie compuesto por m elementos pf = P (F 1
∪ F 2 ∪ . . . ∪ F m)
(46)
Comparando esta ecuaci´on con () vemos que la formulaci´on de sistemas en serie es equivalente a una aproximaci´on del tipo modos de falla. Si cada modo de falla F i representa una superficie de estado l´ımite, gi (x) en el espacio de dise˜no, entonces la probabilidad de falla se obtiene como pf =
f X (x)dx,
(47)
D x
∈
donde X representa el vector de todas las variables de dise˜n o y la regi´o n de integraci´ on D en (47) es el dominio en X que define la falla del sistema (ver Figura 9). Debido a que el problema de fiabilidad de sistemas en serie comprende todos los posibles eventos donde ocurre falla, a este problema tambi´en se lo conoce como el problema de intersecci´on grande.
Figure 9: Problema de fiabilidad para sistemas en serie (intersecci´on grande)
4.1.2
Sistemas en paralelo
Cuando los elementos que conforman una estructura se comportan de modo tal que su falla no necesariamente implica la falla de la estructura, el problema
Fiabilidad de Componentes Estructurales
25
de fiabilidad se convierte en uno de un sistema paralelo o redundante. Una estructura hiperest´atica como la de la Figura 7 es un buen ejemplo de un sistema paralelo. La redundancia en los sistemas puede ser de dos tipos: i) redundancia activa o ii) redundancia pasiva. Redundancia activa ocurre cuando un elemento estructural participa activamente en el comportamiento de la estructura incluso a niveles bajos de carga. La redundancia pasiva ocurre cuando el elemento redundante act´ ua una vez que la estructura ha sufrido un determinado nivel de da˜no o degradaci´on de su elementos. La presencia de redundancia pasiva implica que la estructura dispone de una reserva en la capacidad de carga incrementando por tanto la fiabilidad del sistema. Para un sistema paralelo de n componentes, la probabilidad de falla viene dada como pf = P (F S ) = P (F 1 F 2 . . . F n ), (48)
∩ ∩ ∩
donde F i representa la falla del elemento i. Al igual que para el caso de sistemas en serie, el problema de fiabilidad lo podemos formular como pf =
f X (x)dx,
(49)
D1 x
∈
donde X representa el vector de todas las variables de dise˜n o y la regi´o n de integraci´ on D1 en (49) es el dominio en X que define la falla del sistema (ver Figura 10). Debido a que el problema de fiabilidad de sistemas en paralelo comprende la falla de todos los elementos de la estructura, a este problema tambi´ en se lo conoce como el problema de intersecci´on peque˜ na.
Figure 10: Problema de fiabilidad para sistemas en paralelo (intersecci´ on peque˜ na) En el caso de comportamiento pl´astico de estructuras como el mostrado en
26
Fiabilidad de Componentes Estructurales
la Figura 7, vemos que cada modo de falla viene dado, de manera general como
i
· −
P i ∆i
·
M k θk = 0,
k
(50)
donde P i es una carga externa, ∆ i es el desplazamiento correspondiente al punto donde est´a aplicada Qi , M i es el momento pl´astico resistente del material en la secci´on k y θk el a´ngulo de rotaci´on en la secci´on k. Vemos que la expresi´ on (50) representa un sistema paralelo ya que para que se produzca el fallo debido a ese modo de fallo es necesario que se alcance el momento pl´astico en cada una de las secciones k. Sin embargo, el conjunto de ecuaciones que describe los modos de fallo de una determinada estructura representa un sistema en serie, ya que la ocurrencia de cualquiera de cualquiera de los modos de fallo implica el fallo de la estructura. El hecho que los momentos pl´asticos resistentes, M k pueden aparacer en diferentes modos de falla implica que la capacidad de carga de la estructura asociada con diferentes modos de falla pueden estar correlados (algo bastante diferente al hecho de que pueda existir alguna correlaci´on entre diferentes M k ).
4.2
L´ımites de la Fiabilidad de Sistemas
Como es de esperarse, una evaluaci´on directa de las integrales (47) y (49) puede resultar bastante complicado. Una alternativa a esta opci´on es la de desarrollar cotas inferior y superior de la probabilidad de falla del sistema estructural. Considere un sistema sujeto a una secuencia de cargas y que puede fallar por la ocurrencia de uno, o m´as, modo de falla de entre todos los posibles modos de falla asociados a la estructura. En este caso, la probabilidad de fallo puede determinarse como P (F ) = P (F 1 )
∪ P (F 2 ∩ S 1) ∪ P (F 3 ∩ S 2 ∩ S 1) . . . ,
(51)
donde F i denota la falla del sistema en el modo i bajo la acci´on de todas las cargas, y S i corresponde al evento complementario, sobrevivencia al modo de fallo i. Como P (F 2 S 1 ) = P (F 2 ) P (F 2 F 1 ), la expresi´on (51) podemos escribirla como
∩
P (F ) =
−
∩
∩
P (F 1 ) + P (F 2 ) P (F 1 F 2 ) + P (F 3 ) P (F 3 F 2 ) + P (F 1 F 2 F 3 ) . . .
− 4.3
−
∩
∩ ∩
− P (F 3 ∩ F 1)
(52)
L´ımites de primer orden para sistemas en serie
−
La probabilidad de falla de un sistema puede expresarse como P (F ) = 1 P (S ), donde P (S ) es la probabilidad de sobrevivencia de la estructura. Si los modos de falla son independientes, entonces, la probabilidad de sobrevivencia viene dada como el producto de las probabilidades de sobrevivencia para cada modo de fallo, resultando en la siguiente expresi´on para la probabilidad de fallo del
27
Fiabilidad de Componentes Estructurales
sistema.
n
P (F ) = 1
− − [1
P (F k )]
k=1
(53)
Para el caso en que P (F i ) 1 entonces P (F ) i P (F i ). Por otro lado, si se tiene modos de falla totalmente dependientes, entonces
≈
P (F ) = max[P (F i )]
(54)
i
De esta manera, para el caso de sistemas en serie donde los modos no son ni completamente independientes ni totalmente dependientes tenemos n
n
max[P (F k )] ≤ P (F ) ≤ 1 − k=1
− [1
P (F k )].
(55)
k=1
Estos l´ımites son muy simples pero demasiado amplios y no tienen utilidad pr´actica.
4.4
L´ımites de segundo orden para sistemas en serie
Para determinar los l´ımites de segundo orden, comencemos por escribir la expresi´on (53) como P (F ) = P (F 1 ) +P (F 2 ) +P (F 3 ) n
=
− P (F 1 ∩ F 2) − P (F 3 ∩ F 1) − P (F 3 ∩ F 2) + P (F 1 ∩ F 2 ∩ F 3) + . . . n n P (F i ) − P (F i ∩ F j )
∩ i=1
n
n
i=1 j>i n
+
P (F i
F j
i=1 j>i k>j>i
∩ F k ) − . . . .
(56)
Debido a la alternancia del signo en la expresi´on (56), resulta claro que si u ´ nicamente se consideran los t´ erminos de primer orden da lugar a una cota superior, mientras que si se retienen solo hasta t´ erminos de segundo orden da lugar a una cota inferior. De esta manera, reteniendo t´erminos de orden sucesivos se pueden obtener cotas m´as ajustadas de la probabilidad de fallo. A partir del primer modo de falla, resulta claro que la adici´on de un nuevo modo de falla no puede reducir la probabilidad de falla del sistema. Sabiendo que P (F i F j ) P (F i F j F k ) tenemos que una cota inferior a la probabilidad de falla la obtenemos si los t´erminos del tipo P (F i ) F j ) hacen j>i P (F i una contribuci´on positiva
∩
≥
∩ ∩
−
n
P (F )
≥ P (F 1) +
max
i=2
P (F i )
i 1
−
− j=1
P (F i
∩ F j ), 0
∩
.
(57)
28
Fiabilidad de Componentes Estructurales
El resultado cuan ajustada sea esta cota depende del orden en que los diferentes modos de falla hayan sido considerados. Una regla ´util es la de ordenarlos en orden decreciente de importancia (con un mayor β en t´erminos de FORM). Para obtener una cota superior, notemos primero
∩ F 1) + P (F 3 ∩ F 2) − P (F 1 ∩ F 2 ∩ F 3) = P (F 31 ∪ F 32), donde F ij := P (F i ∩ F j ). Adicionalmente, tambi´en es conocido que P (A ∪ B) ≥ P (F 3
max[P (A), P (B)]. Volviendo a la expresi´on (56) tenemos P (F 3 )
− P (F 31 ∪ F 32 ) ≤ P (F 3) − max[P (F 31 ), P (F 32)].
Generalizando a la expresi´on (56) para todos los posibles eventos de falla obtenemos n n P (F )
≤
i=1
P (F i )
−
i=2
max[P (F ij )]. j
(58)
Al igual que el caso anterior, lo ajustado de esta cota puede depender del orden en el que se hayan numerado los diferentes modos de falla.
4.5
L´ımites de segundo orden y FORM
El c´alculo de los l´ımites en (57) y (58), requiere evaluar la probabilidad con junta F ij se˜nalada por el ´area sombreada en la Figura 11 donde se muestra un problema de fiabilidad en el espacio normal est´andar.
Figure 11: Problema de fiabilidad en el espacio normal est´ andar. Para evaluar los l´ımites establecidos por (57) y (58) es necesario calcular la probabilidad conjunta delimitado por el area sombreada. Para evaluar la probabilidad conjunta es posible emplear m´ etodos de Montecarlo, en cuyo caso resulta m´as conveniente evaluar la probabilidad de fallo de todo el sistema en lugar de simplemente los l´ımites de la misma. Las cotas desarrolladas previamente, resultan muy convenientes en el caso en que se utilizan en conjunto con los m´ etodos de fiabilidad de primer orden (FORM) en los
29
Fiabilidad de Componentes Estructurales
cuales se considera la linelizaci´ on de las superficies de estado l´ımite en el punto beta. En este caso, F ij viene aproximada por la probabilidad conjunta, P ij , definida por la interseci´on de dos planos correspondientes a la linealizaci´on de las superficies de estado l´ımite en el punto beta correspondiente a cada una de ellas. La Figura 12 muestra el problema de fiabilidad en el espacio transformado de variables normal est´andar en donde se han linealizado las funciones de estado l´ımite en los puntos beta correspondientes (i.e., y∗1 y y∗2 ). Vemos que para el caso en que las funciones de estado l´ımite sean suaves y con poca curvatura, P ij F ij .
≈
Figure 12: Aproximaci´on al problema de fiabilidad en el espacio normal est´andar empleando FORM. La probabilidad conjunta viene ahora limitada por dos planos tangentes a las superficie de estado l´ımite en el punto beta. A pesar de haber reducido la complejidad del problema tras linealizar las funciones de estado l´ımite, el c´alculo exacto de la probabilidad conjunta, P ij tambi´en requiere integraci´on num´erica. Sin embargo, al igual que para el problema de fiabilidad, en este caso tambi´ en es posible encontrar cotas inferiores y superiores de P ij . Para definir las cotas, consideraremos dos situaciones: i) los planos forman un ´angulo agudo ( 90◦ ) entre si, ii) los planos forman un ´angulo obtuso (> 90◦ ) entre si , tal y como se muestran en la Figura 13. Antes de establecer las cotas de P ij , observe que la covarianza entre las aproximaciones lineales de las funciones de estado l´ımite GiL (y) y GjL (y) cumple con lo siguiente
≤
Cov[GiL , GjL ] = E[(ni (y
· − y∗i))(nj · (y − y∗j ))] = ni · nj
Por otro lado, es sencillo demostrar Var(GiL ) = ni 2 ,
2 .
Var(GjL ) = nj
As´ı, la correlaci´on entre GiL y GjL queda ρij =
ni ni
j
n i j · | | | nj | = α · α .
(59)
30
Fiabilidad de Componentes Estructurales
De esta manera podemos establecer que la correlaci´on entre dos funciones de estado l´ımite lineales en el espacio normal est´andar viene dada por el producto escalar de las normales unitarias a los hiperplanos definidos por dichas funciones.
Figure 13: Aproximaci´on al problema de fiabilidad en el espacio normal est´andar empleando FORM. En la situaci´on de la izquierda los planos forman un ´angulo agudo ( 90◦ ); en la situaci´on de la derecha los planos forman un ´angulo obtuso (> 90◦ ).
≤
De la Figura 13 se desprende f´acilmente que la probabilidad conjunta definida por la intersecci´on de los dos planos, P ij cumple con los siguiente
P ij =
max[P (A), P (B)] P ij P (A) + P (B) si ρij 0 0 P ij min[P (A), P (B)] si ρij < 0
≤
≤
≤
≤
≥
(60)
Las probabilidades P (A) y P (B) las calculamos como
−
− − − (61) y∗j · y∗j , y a y b vienen dadas por las expresiones β j − ρij β i a= (62) 2 1 − ρij β i − ρij β j b= (63) 1 − ρ2ij
P (A) = Φ( β i )Φ( a), P (A) = Φ( β j )Φ( b), donde β i =
·
y∗i y∗i , β j =
Una vez establecidas las cotas en la probabilidad conjunta, podemos establecer las cotas del problema de fiabilidad de la siguiente manera
n
P (F 1 ) +
max
i=1
P (F i )
− ≤ ≤ i 1
−
j=1
n
P ijU , 0
P f
i=1
n
P (F i )
− i=2
max[P ijL ], (64) j
31
Fiabilidad de Componentes Estructurales
donde P ijU
=
P ijL =
P (A) + P (B) min[P (A), P (B)]
≥
si ρij 0 si ρij < 0
(65)
max[P (A), P (B)] si ρij 0 0 si ρij < 0
(66)
≥
Note que el l´ımite superior en P ij se emplea en el c´alculo del l´ımite inferior de P f y viceversa, para estar en el lado conservador.
32
Fiabilidad de Componentes Estructurales
5 5.1
Algunas Funciones de Probabilidad Uniforme
Funci´ on de distribuci´ on: f X (x) = Funci´ on de probabilidad: F X Par´ametros: a, b. Media:
5.2
a+b 2 .
1
− a , a ≤ x ≤ b. x−a (x) = . b−a b
√a3 . Desviaci´ on est´andar: 2b−
Exponencial
Funci´ on de distribuci´ on: f X (x) = λe−λx, x > 0. Funci´ on de probabilidad: F X (x) = 1 Par´ametros: λ > 0. Media:
5.3
1 λ.
− e−λx.
Desviaci´ on est´andar:
1 λ.
Gamma
Funci´ on de distribuci´ on: f X (x) =
λ(λx)k−1 e−kx , x Γ(k)
≥ 0.
Funci´ on de probabilidad: F X (x) = con
x
Γ(k, x) =
Γ(k,λx) , Γ(k)
e−u ek−1 du, Γ(k) =
0
∞
e−u ek−1 du.
0
Par´ametros: λ > 0, k > 0. Media:
5.4
k λ.
Desviaci´ on est´andar:
√
Normal
Funci´ on de distribuci´ on: f X (x) =
1 √2πσ e−
1 x−µ 2 2( σ )
,
−∞ ≤ x ≤ ∞.
Funci´ on de probabilidad: F X (x) = Φ
− x
µ
σ
,
k λ .
33
Fiabilidad de Componentes Estructurales
con
x 2 1 Φ(x) = e−u /2 du. 2π −∞ Par´ametros: µ, σ > 0. Media: µ. Desviaci´ on est´andar: σ.
√
5.5
Lognormal
Funci´ on de distribuci´ on: 1 √2πζ e− x
f X (x) = Funci´ on de probabilidad:
F X (x) = Φ 1
2
1 ln x−λ 2 ) ζ 2(
, x
− ln x µ σ
≥ 0.
.
√
Par´ametros: λ, ζ > 0. Media: eλ+ 2 ζ . Desviaci´ on est´andar: µX eζ 2
5.6
Chi-Cuadrado,
− 1.
2
χ
Funci´ on de distribuci´ on:
f 1 x ( 2 −1) − x2 f X (x) = e , x > 0. 2 2Γ( f 2)
Funci´ on de probabilidad:
F X (x) =
x Γ( f 2, 2)
. Γ( f 2 ) Par´ametros: f > 0. Media: f . Desviaci´ on est´andar: 2f .
5.7
Beta
Funci´ on de distribuci´ on: (x a)q−1 (b x)r−1 f X (x) = , a B(q, r)(b a)q+r−1
−
−
−
≤ x ≤ b,
B(q, r) =
Γ(q)Γ(r) . Γ(q + r)
Funci´ on de probabilidad: No posee expresi´ on anal´ıtica . q(b−a) −a Par´ametros: a, b, q,r > 0. Media: a+ q+r . Desviaci´ on est´andar: bq+r
5.8
Rayleight
Funci´ on de distribuci´ on: f X (x) =
x − 1 ( αx )2 e 2 , x α2
≥ 0.
Funci´ on de probabilidad: F X (x) = 1
− e−
1 x 2 2(α)
.
−
Par´ametros: α. Media: α π/2. Desviaci´ on est´andar: α 2
π/2.
qr q+r+1 .
34
Fiabilidad de Componentes Estructurales
5.9
Tipo I M´ aximo Valor (Gumbel )
Funci´ on de distribuci´ on: αn (x−un ) ]
−
f X (x) = αn e[−αn (x−un )−e
.
Funci´ on de probabilidad: αn (x−un )
−
F X (x) = e−e
0.5772 αn .
Par´ametros: un , αn > 0. Media: un +
5.10
.
π Desviaci´ on est´andar: √6α . n
Tipo I M´ınimo Valor
Funci´ on de distribuci´ on: α1 (x−u1 )
−
f X (x) = α1 e[α1 (x−u1 )−e
]
.
Funci´ on de probabilidad: α1 (x−u1 )
− e−e
F X (x) = 1 Par´ametros: u1 , α1 > 0. Media: u1
5.11
.
− 0.5772 . Desviaci´ on est´andar: α 1
π √6α . 1
Tipo II M´ aximo Valor
Funci´ on de distribuci´ on: f X (x) =
k un
Funci´ on de probabilidad:
un x
k+1
e−(
un x
)k
, x > 0.
un k F X (x) = e−( x ) .
−
Par´ametros: un , k > 0. Media: un Γ(1
5.12
1 k ).
Desviaci´ on est´andar: un
− Γ(1
2 k)
− Γ2(1 − k1 ).
Tipo II M´ınimo Valor (Weibull )
Funci´ on de distribuci´ on: f X (x) =
k u1
−ε
− x u1
ε ε
k 1
−
−
− e
“
x−ε u1 −ε
k
”
, x
≥ 0.
Funci´ on de probabilidad:
“
− F X (x) = 1 − e Par´ametros: u1 , k > 0. Media: ε + (u1 (u1
−
ε) Γ(1 + k2 )
− Γ2(1 + k1 ).
x−ε u1 −ε
”
k
.
− ε)Γ(1 + k1 ).
Desviaci´ on est´andar:
