APUNTES DE ESTADISTICA
Jorge Sudy Olea
INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Definiciones Previas
Población: La entenderemos como el conjunto total de individuos, elementos
u objetos, que cuentan con la o las características comunes de interés para la realización del estudio o investigación. Muestra:
Es todo subconjunto representativo de la Población.
Ejemplo: a) Supongamos que que se desea estudiar estudiar el costo de alimentar alimentar caballos de un año de edad del ejercito, entonces la Población a considerar para este estudio serán todos los caballos de un año de edad del ejército. b) Por otro lado, si el interés es evaluar el rendimiento de alumnos de primer año en las carreras de Psicología, impartidas por Universidades Privadas Chilenas, nuestra Población serán todos los alumnos de primer año que estudian Psicología en todas las Universidades Privadas Chilenas, que imparten dicha carrera. En ambos casos, las muestras representativas serán:
a) Seleccionar un grupo grupo
de caballos que tienen un año, año, pero pero
representativo de todas los establos que tiene el ejercito de Chile. b) Seleccionar un grupo , que sea representativo de los alumnos de primer año de la carrera de Psicología, de todas las Universidades Privadas de Chile.
INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Definiciones Previas
Población: La entenderemos como el conjunto total de individuos, elementos
u objetos, que cuentan con la o las características comunes de interés para la realización del estudio o investigación. Muestra:
Es todo subconjunto representativo de la Población.
Ejemplo: a) Supongamos que que se desea estudiar estudiar el costo de alimentar alimentar caballos de un año de edad del ejercito, entonces la Población a considerar para este estudio serán todos los caballos de un año de edad del ejército. b) Por otro lado, si el interés es evaluar el rendimiento de alumnos de primer año en las carreras de Psicología, impartidas por Universidades Privadas Chilenas, nuestra Población serán todos los alumnos de primer año que estudian Psicología en todas las Universidades Privadas Chilenas, que imparten dicha carrera. En ambos casos, las muestras representativas serán:
a) Seleccionar un grupo grupo
de caballos que tienen un año, año, pero pero
representativo de todas los establos que tiene el ejercito de Chile. b) Seleccionar un grupo , que sea representativo de los alumnos de primer año de la carrera de Psicología, de todas las Universidades Privadas de Chile.
Parámetros:
Son las medidas con las que representamos y describimos la información poblacional, permitiendo la caracterización de tal población.
Estadígrafos : Son las medidas con las que representamos y describimos la
información en la muestra, permitiendo la caracterización de dicha muestra.
Variables: Son las características propias de la población o muestra en estudio.
Estas se denotan usualmente con las últimas letras del abecedario y en mayúsculas: X, Y, Z,… Los datos o elementos que componen las variables, se denotan con letras minúsculas.
Ejemplo. X = { x1 , x2 , x3 , ……….., xn } , donde variable y x1, x2, …… xn elementos de la variable. X : es la variable
Los datos u observaciones se toman de las Unidades observadas o Unidades de observación.
Llamamos Recorrido de la variable, a todos los posibles
valores o datos que puede tomar la variable. Ejemplo: En un grupo donde donde la población población son personas, personas, se pueden pueden medir varias variables, como por ejemplo: X = Edad,
Y = Peso,
V =Nivel =Nivel de estudio,
Z = Estatura,
H= Raza,
etc.
W = Color de ojos,
T = Color de Pelo,
Clasificación de Variables
Las variables estadísticas se clasifican de acuerdo a los siguientes criterios, su Tipo y su Escala de Medición , según lo podemos observar a continuación:
VARIABLES
⎧ ⎪Cualitativas → → ⎪⎨ ⎪Cuantitativas → ⎪ ⎩
⎧ Nominales ⎨ ⎩Ordinales ⎧ Discretas ⎨ ⎩Continuas
Diremos que una variable es Cualitativa si mide cualidades, estas a su vez se subdividen en las que son de escala Nominal y las que son de escala Ordinal (escala de medición).
a)
Una variable será Nominal si corresponde a la medición de cualidades cuyos atributos u observaciones no presentan un orden jerárquico. Estas observaciones se pueden denotar con símbolos o letras.
Las siguientes variables corresponden a escala Nominal: Color de Cabello, Color de Ojos, Raza, Religión, Equipo de Fútbol, Profesión, Sexo, Estado Civil, etc. En estos casos tenemos: b)
Una variable será Ordinal, si corresponde a la medición de cualidades cuyas observaciones o categorías presentan un orden jerárquico, ascendente o descendente. Las observaciones se pueden denotar con letras o números, los que presentan una relación de orden y no de magnitud.
Las siguientes son ejemplos de variables Ordinales: Nivel Socioeconómico, Niveles de Estudio, Jerarquías en el Trabajo, Rangos en las FFAA. etc. En estos casos tenemos:
Diremos que una variable es Cuantitativa si mide cantidades. Estas a su vez se subdividen en las que son de escala Discreto y las que son de escala Continuo (escala de medición) . Siendo cantidades, se representan en forma numérica.
c)
Una variable será Discreta si toma sus valores en los números enteros. Esto es, entre dos valores consecutivos no existen otros valores, estos pueden ser numerables finitos o infinitos (muy grandes).
Generalmente
representan variables de conteo, como por ejemplo: Número de hijos en una familia; Número de pacientes atendidos en una consulta médica, Número de llamadas telefónicas realizadas desde cierto teléfono; entre otras.
d)
Una variable será Continua , si toma sus valores en un rango de los números reales, esto implica que existen infinitos valores para ella. Por esto se dirá que, los posibles valores a tomar son no numerables o infinitos. Variables continuas serán por ejemplo: la estatura de una persona, medida en metros o cm, la temperatura, el tiempo en horas, distancia entre dos lugares en kilómetros, peso de un animal en kilos, renta de una persona en $, etc.
Una vez identificadas las variables con que contamos, podemos pasar a la siguiente etapa que corresponde a la ordenación y agrupación de los datos en tablas, que llamamos Tablas de Distribución de Frecuencias. Las Tablas de Distribución de Frecuencias , nos permiten organizar los datos y a partir de estas, extraer información interpretable para nuestros propósitos. Como las variables Cualitativas no son numéricas y las variables Cuantitativas son numéricas, entonces se deben tratar en forma diferenciada.
Ejercicios Propuestos:
1.
Identifique en cada caso siguiente, la variable y clasifíquela de acuerdo a su Tipo:
a. En un estudio se recoge información respecto a si el nivel de apoyo que brindan los vecinos a un nuevo proyecto es Alto, Mediano, Poco o simplemente No lo apoyan.
b. En un bosque se quiere clasificar y resumir las diversas especies de árboles, plantas y animales que se observen.
c. Se desea conocer y luego clasificar en rangos, el ingreso familiar en sectores rurales, con niños en edad escolar básica.
d. Se desea medir el nivel de desgaste de los neumáticos en vehículos que transportan hasta 800 kgs. de peso; entre 800 y 1600 Kgs y sobre 1600 kgs.
ORGANIZACIÓN DE DATOS CON VARIABLES CUALITATIVAS Tablas de Distribución de Frecuencias
CONCEPTOS BÁSICOS Toda tabla consta de filas y columnas, utilizándose la primera columna para la identificación de la variable y las siguientes para resumir la información de la variable, como veremos en lo que sigue: Atributos o Categorías de la variable (1)
n i (2)
Identificación de la Variable
h i (3)
h i% (4)
Información de la Variable
Donde: (1):
Es la columna donde se colocan los atributos o categorías de la variable.
(2), (3) y (4): Son las columnas que contendrán el resumen de los datos, con lo que se denominan las frecuencias de ocurrencias en tres formas: n i , h i
y
h i %.
- n i denota la frecuencia absoluta de datos en el i-ésimo atributo o categoría.
Corresponde al número de casos observados o cuantificados en dicho atri buto o categoría. La suma de las frecuencias en las k categorías o atributos deberá siempre dar el total de casos u observaciones N : N = n1 + n2
+ n3 + K + nK =
K
∑n
i
(*)
i =1
n i resume el total de unidades observadas en la i-esima categoría o atributo de la variable. - h i denota la frecuencia de observaciones respecto al total. Esto corresponde
a lo que se conoce como Frecuencia Relativa , y se obtiene dividiendo cada frecuencia absoluta ni, por el número total de casos en estudio, el que denotamos como N. Esto es:
hi
=
ni N
con i
= 1,
2, 3 ... k
H = h1 + h2
y
+ h3 + K + hK =
K
∑ h = 1.0 i
i =1
- k es el número total de atributos o categorías de la variable medida, y la
suma de las k frecuencias relativas, H , siempre deberá dar 1.0 (uno). Así mismo se pueden definir: - h i % denota la frecuencia relativa expresada en porcentajes. Nos referimos a
ella, como la frecuencia porcentual, y la obtenemos multiplicando cada frecuencia relativa h i , por 100%. Esto es: hi %
= hi ⋅ 100%
H %
hi %
=
ni N
⋅ 100%
= h1 % + h2 % + h3 % + K + hK % =
con i
= 1, 2, ..., k ; y
K
∑ h % = 100% i
i =1
Observación: La suma de las k frecuencias porcentuales, H% , siempre deberán dar el 100%. N i = es la frecuencia absoluta acumulada hasta la i-ésima clase o intervalo. H i = es la frecuencia relativa acumulada hasta la i-ésima clase o intervalo. H i % = es la frecuencia porcentual acumulada hasta la i-ésima clase o intervalo.
Estas frecuencias recién mencionadas, reflejarán los casos acumulados hasta la clase o el intervalo i- ésimo. Recordemos que tenemos i= 1, 2, 3, …, k clases o intervalos.
Debido a esto, siempre se cumplirá lo siguiente:
N 0
=0
N 1
= n1
N i
= N i −1 + ni
k
N k
= ∑ ni =
N
i =1
H 0
=0
H 1
= h1
H i
= H i−1 +
hi
H k
=
k
∑h = i
1
i =1
H 0 % = 0 H 1 % = h1 % H i % = H i−1 % + hi %
H k % =
k
∑ h % = 100% i
i =1
Ejemplo.
Supongamos que se ha encuestado a un grupo de personas que
han sido atendidas en una consulta médica, sobre qué institución de salud previsional (Isapres) es la que costea tales consulta médicas. obteniéndose la siguiente información proporcionada individualmente por cada paciente: Banmédica, Banmédica, Consalud, Cruz Blanca, Banmédica, Cruz Blanca, Consalud , Vida tres, Vida tres, Vida tres, Banmédica, Banmédica, Vida tres, Vida tres, Vida tres, Banmédica, Consalud, Banmédica, Consalud, Banmédica. Interesa entonces, hacer un resumen de estos datos, tal que se pueda interpretar y concluir respecto a la preferencia de Isapres por las personas que se atienden en este lugar.
Primero identificamos cuál es la Variable, luego, qué tipo de variable es, para saber como debemos proceder: Variable:
Isapres a las que pertenecen las personas atendidas en la consulta.
Tipo de Variable:
Cualitativa de Escala Nominal. No hay un orden de importancia entre las Isapres.
Unidad Observada: Las personas atendidas en la consulta. Procedemos a identificar el número de diferentes Isapres observadas: Banmédica, Consalud, Cruz Blanca, Vida tres. En total son 4. Estas corresponden a los atributos de la variable.
Construimos la tabla de distribución de frecuencias, registrando en la primera columna los nombres de las Isapres (o atributos de la variable), luego contamos el número de Isapres que se observa en cada atributo, esto es, la frecuencia absoluta y ponemos estos valores en la columna siguiente:
Tabla ISAPRES
Banmédica
Nº de pacientes
Frec. Relativa de pacientes
Porcentaje de pacientes
n i
h i
h i%
h 1 = 8/20 = 0.4
h 1 %= 0.4*100% =
n 1 =
8
40%
Consalud
n 2 = 4
h 2 %= 0.2*100% =
h 2 = 4/20 = 0.2
20%
Cruz Blanca
n 3 = 2
h 3 %= 0.1*100% =
h 3 = 2/20 = 0.1
10% h 4 %= 0.3*100% =
Vida tres
n 4 = 6
h 4 = 6/20 = 0.3
30%
Totales
N= 20
H = 1.0
H% = 100%
Donde, N
= n1 +
n2
+
n3
4
∑n =
+ n4 =
i
8
+
4
+
2
+
6
=
20
i =1
H = h1 + h2
+ h3 + h4 =
4
∑h
i
=
0.4 + 0.2 + 0.1 + 0.3
= 1.0
i =1
H %
= h1 % + h2 % + h3 % + h4 % =
4
∑ h % = 40% + 20% + 10% + 30% = 100% i
i =1
Una vez generada la tabla podemos interpretar sus valores para concluir respecto al problema de interés, por ejemplo:
n 1 = 8,
: Indica que 8 personas que asisten a la consulta están afiliados a Banmédica.
h 2 %= 20%
: Indica que del total de personas observadas, (100%), el 20% de ellas están afiliadas a Consalud.
Dado que estamos frente a una variable cualitativa, nuestra tabla de frecuencias sólo podrá contener la información registrada en las columnas definidas, y se concluirá para la variable, en base a las frecuencias por clase o atributo. Representaciones Gráficas
En esta parte trataremos los temas de gráficos de la información, lo cual nos permitirá a su vez, representar de otra manera los análisis.
• CONCEPTOS BÁSICOS
Dentro de los gráficos más usados, para representar variables cualitativas se encuentran: 1. Gráficos de Barras. 2. Gráfico de Torta o Circular (Pie). 3. Otros.
Gráficos de Barras En ellos se representan las frecuencias absolutas, relativas y/o porcentuales. Se construyen en torno a los ejes de las coordenadas X e Y, siendo X el eje de la abscisa e Y el eje de la ordenada. Preferencia de Isapres
10 8
s a n o s r 6 e P e d4 . m ú N
2 0 BANMEDICA
CONSALUD Isapres
CRUZ BLANCA
VIDA TRES
Gráficos Circulares Se representan las frecuencias porcentuales. En ellos se traduce cada porcentaje a su parte equivalente en la circunferencia, a través de la siguiente relación. 100%
hi %
− −
En cada atributo o categoría, se tendrán: 360°
°
de donde
°
xi
=
xi
En nuestro ejemplo quedará:
360° ⋅ hi % 100%
para cada
i
= 1, 2, ... k
X 1°= 144°, X2°= 72°, X3°=36° y X4° = 108°.
El gráfico quedará: Preferencia de Isapres 30% 40%
10% 20% BANMEDICA
CONSALUD
CRUZ BLANCA
VIDA TRES
FORMULAS MAS UTILIZADAS En este capítulo hemos utilizado las siguientes fórmulas: ni con i =1, 2, ..., k
Frecuencia Absoluta N = n1 + n2
Número Total de Casos
+ n3 + K + nK =
K
∑n
i
i =1
Frecuencia Relativa
hi
=
ni N
con i
= 1,
H =
Frecuencia Relativa Total
2, 3 ... k K
∑h
i
=1
i =1
Frecuencia Porcentual Frecuencia Porcentual Total
hi %
= hi ⋅ 100% ,
hi % =
ni N
⋅ 100%
con i
H % =
= 1, 2, ..., k
K
∑ h % = 100% i
i =1
ORGANIZACIÓN DE DATOS CO N VA RIABL ES CU ANTITATIVAS Cuando las variables son Cuantitativas, ya sean estas discretas o co ntinuas, se está frente a variables numéricas que permiten realizar mayor cantidad de análisis y obtener otras conclusiones.
Esta será la situación que veremos en
lo que sigue:
Tablas de Distribución de Frecuencias Al igual que en el caso anterior, esta t abla también consta de columnas, utilizándose las primeras para la identificación de la variable y las siguientes para resumir la información de la variable. La diferencia estará en que podremos agregar columnas para realizar mayores análisis, como veremos en lo que sigue: Clases o Intervalos de x i Clase s de la variable (1)
(2)
n i
h i
h i % N i
H i
H i %
(3)
(4)
(5)
(7)
(8)
(6)
Veamos ahora como construimos una tabla de distribución de frecuencias, cuando estamos frente a un conjunto de datos, que corresponden a variables cuantitativas:
Ejemplo. Se tienen las edades de 50 pacientes que han sido atendidos en la consulta médica, referentes a problemas de stress, las que una vez ordenadas en forma ascendente, se detallan a continuación:
20, 22, 23, 23, 24, 24, 25, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 30, 30, 30, 30, 30, 31, 32, 34, 34, 34, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 38, 38, 40, 40, 41, 42, 42, 42, 43, 44, 45, 45, 48.
Primero, obtenemos el Rango de los datos de la variable, lo que nos permitirá identificar si las edades serán puestas cada una como una categoría o bien, si es necesario generar clases o intervalos para agrupar dichas edades.
Rango
=(
Valor Máximo
− Valor Mínimo
)
En nuestro caso el Rango = 48 – 20 = 28 Esto nos indica que es adecuado realizar agrupación de los datos en intervalos . La determinación de cuántos intervalos se ocupan, se puede realizar de varias maneras, entre ellas las siguientes: Sea k = el número total de intervalos . i)
k
Considerando el número de dato s con que se está trabajando:
=
N Con k =
ii)
los 50
= 7.07 ≈
datos
del
ejemplo
se
tendrían:
8 int ervalos
Considerando una Amplitud o Ancho constante para los intervalos definida con anterioridad:
k =
Rango Amplitud
En ambas modalidades, el valor obtenido se aproxima al entero inmediato superior, de manera que los intervalos definidos contengan todos los datos.
Supongamos que se desea en forma arbitraria, que es una tercera opción para determinar el número de intervalos a usar en una tabla; tabular la información en 6 intervalos de amplitud constante, (dejaremos al lector, que desarrolle este ejemplo considerando 8 intervalos).
Conociéndose el número de intervalos a ocupar, calculamos cuál será la amplitud o el ancho que tendrá cada intervalo, esto es, la distancia que se tendrá entre el valor límite inferior y el valor límite superior que generará cada intervalo. Amplitud =
Rango k
=
28 6
= 4.67 ≈
5
Se tendrán 5 unidades (años) de diferencia entre el valor inferior y el valor superior en cada intervalo. Lim. Supi
= Lim Inf i + Amplitud
i
= 1,2,3....k
Donde: Lim Inf i
= Es el valor límite inferior del intervalo “i-esimo”
Lim Sup i
= Es el valor límite superior del intervalo “i-esimo”
En nuestro ejemplo estos quedarán como sigue: Marca de clase del intervalo : X i =
LimInf i
+ LimSupi
i =1, 2, ..., k
2
En el ejemplo, k = 6 y las marcas de cada clase o intervalo serán: x1
=
LimInf 1 + LimSup1 2
=
20 + 25 2
= 22.5
x2
=
LimInf 2 + LimSup2
Teniendo los intervalos y marcas de clase, se
2
=
25 + 30 2
= 27.5
disponen en la tabla para
comenzar a resumir la frecuencia de personas con edades contenidas en cada intervalo y sus respectivas frecuencias acumaldas.
Distribución de frecuencias de los pacientes atendidos por Estrés, según su edad.
Edades
Marca
LI - LS
clase X i
de Núm.
de Frec.
pacientes n i
Relativa
Frec.
Frec.Acum Frec.Ac Frec.
en %
Absoluta
h i%
h i
N i
um
Acum.
Relativa Porce H i
ntual H i %
20 a 25 22.5
6
0.12
12 %
6
0.12
12 %
25 a 30 27.5
8
0.16
16 %
14
0.28
28 %
30 a 35 32.5
10
0.20
20 %
24
0.48
48 %
35 a 40 37.5
15
0.30
30 %
39
0.78
78 %
40 a 45
42.5
8
0.16
16 %
47
0.94
94 %
47.5
3
0.06
6 %
50
1.00
100 %
1.00
100 %
45 a 50
N=
50
Cada valor de la tabla tiene una interpretación respecto al problema en análisis lo que nos permite realizar ciertas conclusiones. Por ejemplo, si consideramos el segundo intervalo, podemos observar que contiene a las personas con edades entre 25 y 3 0 años, representada por una edad de 27.5 años. En este grupo hay 8 personas (n 1=8); las que representan un 16% (h 2% =16%), del total de personas atendidas por stress en el período considerado. Además, se observa que 14 de estas personas (N 2 =14), tienen como máximo hasta 30 años, las que son el 28% (H 2%=28%), más joven de p ersonas atendidas por este problema.
Representaciones Gráficas
Histograma de Frecuencias Es un gráfico de barras unidas entre si, donde la Abscisa o base contiene los límites de los intervalos, y d onde la altura de cada barra corresponde a la frecuencia graficada, que puede ser: Absoluta, Relativa o Porcentual. La figura que sigue representa el Histograma de frecuencias absolutas para la distribución de la variable resumida en la Tabla de Frecuencias de nuestro ejercicio. Histograma de Frecuencias
Distrib ución de Pacientes con Estrés según Edad 16 14
s 12 e t n 10 e i c a 8 P . 6 m ú N 4 2 0
12.5
17.5
22.5
27.5
32.5
37.5
42.5
47.5
52.5
57.5
Edad de Pacientes
Polígono de Frecuencias Es un gráfico de líneas, donde la Abscisa o base contiene los límites de los intervalos, y donde la frecuencia graficada, se representa en la marca de clase o punto medio de cada intervalo. Se representan las frecuencias Absolutas, Relativas o Porcentuales.
Polígono de Frecuencias Distribución de Pacientes con Estrés según Edad 16 14
s 12 e t n 10 e i c a 8 P . m 6 ú N 4 2 0
12.5
17.5
22.5
27.5
32.5
37.5
42.5
47.5
52.5
57.5
Edad de Pacientes
Ojiva de Frecuencias Acumuladas Se utiliza para representar las frecuencias acumuladas, ya sea Absolutas, Relativas o Porcentuales. Se identifi can en ella los puntos medios o marcas de clase de la variable. Puede realizarse con líneas o con barras, siendo más común la representación de líneas con Frecuencias Porcentuales Acumuladas. La figura representa las frecuencias porcentuales acumuladas de datos de la Tabla de nuestro ejercicio.
Porcentaje Acumulado de Pacientes con Estrés según Edad 100 s e t n e i c a P e d e j a t n e c r o P
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
12.5
17.5
22.5
27.5
32.5
37.5
Edad de Pacientes
42.5
47.5
52.5
57.5
Ejercicio Propuesto: Se cuenta con pesos en gramos, de niños al nacer en un período determinado, los que se muestran e n lo que sigue: 2500 3000 1800 2010 2700 4700 3500 3001 2090 2400 2000 4550 3980 4000 3480 2890 2500 3610 3800 3000 2320 3600 2890 3009 3090 4120 4230 2790
2800 3600 2950 2050 2800
1890 2100 3000 4800 3900 2950 3600 2500 1950 1500 2030 2490 3200 3270 4200 3100 2000 3100 3200 a.- Defina la variable en estudio. b.- Construya una tabla de distribución de frecuencias que resuma los pesos de los niños recién nacidos en este período. Considere: b1: 6 intervalos; 1. En cada caso realice el histograma de frecuencias absolutas y la Ojiva de frecuencias porcentuales. 2. Interprete el peso de los recién nacidos en función de los histogramas. 3. ¿Qué porcentaje de niños se encuentran hasta el tercer intervalo? 4. ¿Cuántos niños quedan al menos desde el tercer intervalo?
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE POSICION
En este capítulo trataremos algunos indicadores estadísticos d e mucha importancia, como son los llamados de Tendencia Central y de Posición Son aquellas medidas indicadoras que llamamos Estadígrafos y con las cuales se caracterizan las distribuciones de datos. Las medidas de Tendencia C entral son mediciones alrededor de las cuales tienden a concentrarse los valores de la variable en estudio, mientras que las Medidas de Posición, indican la ubicación de cada elemento o individuo en la distribución en forma absoluta o relativa Los estadígrafos que veremos son: La Media, La Moda, La Mediana y Los Percenti les.
Con estos estadígrafos se pueden responder entre muchas otras, preguntas de interés como por ejemplo: ¿Cuál es el sueldo medio de cierto grupo de profesionales?, ¿En qué mes se producen con mayor frecuencia alzas en los precios de la bencina?, ¿Qué porcentaje de personas sufren de cierto mal?, etc.
• CONCEPTOS BÁSICOS
La Media Aritmética ( ) La Media Aritmética , usualmente llamada promedio o promedio aritmético: es la razón entre la suma de valores de la variable y el número total de datos con que se está trabajando. Se denota usando la letra griega
. Esta se calcula:
N
μ
=
x1 + x2
+ x3 + K + x N N
∑ x
i
=
i =1
N
Donde las letras x 1 , x 2,, x 3 , ... , x N, denotan los valores o datos de la variable usada.
Ejemplo. Sean los datos
9, 3, 5, 7, 1.
Entonces decimos por ejemplo que
x 1 = 9, x 2 = 3, x 3 = 5, x 4 = 7 y x 5 = 1. Tenemos un total de N = 5 datos u
observaciones. El valor medio de estos datos será:
5
∑ x
1+ 3 + 5 + 7 + 9
i
μ
=
i =1
5
=
5
=
25 5
=5
Cuando los datos están agrupados en una tabla de distribución de frecuencias, entonces, su valor medio será calculado con la siguiente fórmula: k
∑ x n
i i
μ
=
i =1
N
=
x1n1 + x2 n2 + K + xk nk N
Donde, x 1 , x 2 , ..., x k son las marcas de clases respectivas de la variable en cada intervalo. K es el número de intervalos ( i= 1, 2, 3, ..., k ). Las n 1, n 2, ..., n k son las
frecuencias absolutas correspondientes también a cada intervalo y N es el número total de observaciones o datos, el que corresponderá a: N =
k
∑n = n + n i
1
2
+ ... + nk
i =1
En el ejemplo de las edades de personas con stress atendidas en la consulta, calculamos la edad media de estas personas, usando la tabla:
Edades
en Marca
de Número
de
Intervalos
clase
pacientes
LI - LS
X i
n i
20 a 25
22.5
6
X1n 1 = 22.5*6 = 135
25 a 30
27.5
8
X 2 n2 = 27.5*8
30 a 35
32.5
10
X 3 n3 = 32.5*10 = 325
35 a 40
37.5
15
X 4 n4 = 37.5*15 = 562.5
40 a 45
42.5
8
X 5 n5 = 42.5*8 = 340
45 a 50
47.5
3
X 6 n6 = 47.5*3 = 142.5
Totales
N=
X i n i
50
= 220
1725
6
∑ x n
i i
La edad media de estos pacientes es:
μ
=
i =1
50
=
1725 50
= 34.5 años.
Propiedades del Valor Medio Si se tienen N observaciones para las variable X e Y, siendo a, b , valores fijos o constantes. Denotaremos para may or comodidad, la media de la variable X, μ x
, por M ( x) , y la media de la variable Y,
y
, por M ( y) .
Se cumplen las siguientes cuatro propiedades:
i)
M( a ) = a
La media de un valor constante es siempre la constante.
ii) M( x ± a ) = M(x ) ± a
La media de una variable más o menos un valor constante, es: La media de la variable más o menos la constante.
iii) M(ax ± b ) = aM(x) ± b
La media del producto de una constante por una variable más o menos una constante es: La constante por la media de la variable más o menos la constante.
iv) M(ax ± by ) = aM(x) ± bM(y) La media de sumas o restas de constantes
por variables, es: La suma o resta de las constantes por las medias de las variables respectivas.
La Moda (Mo): Es el valor que más se repite en un conjunto de datos o el valor de mayor frecuencia de ocurrencia. Este es un valor de la variable y no una frecuencia. Denotaremos la moda o valor modal como: Mo
Ejemplo. En el siguiente conjunto de observaciones: 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6 , la moda es el valor que más se repite: Mo = 3 . Estos datos son Uni-modales, pues existe un solo valor Modal. Si en un conjunto de datos todos los valores tienen igual frecuencia, esto es, todos se repiten igual número de veces, entonces diremos que no existe Moda. A la vez, puede ocurrir que un con junto de datos presente 2 o más Modas, en estos casos se dirá que el conjunto es Bimodal, Trimodal, o Multimodal según sea el caso. Ejemplo: a)
2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5
Valor modal: Mo = no existe (Amodal)
b)
2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6
Valor modal: Mo = 2 y 5
( Bimodal )
Si se tienen datos agrupad os en una tabla de distribución de frecuencias, un posible valor modal se puede determinar siguiendo los siguientes dos pasos: Primero se determinará la posición o intervalo en que se encuentra el valor modal. Para esto se observa en la columna de las frecuencias absolutas ni . El intervalo que contenga la mayor frecuencia absoluta, será el que contenga e l valor Modal. En segundo lugar, se calculará el valor Modal aplicando la fórmula que sigue:
Mo
⎛ ⎞ ni − ni −1 ⎟⎟ ⋅ ci = LI i + ⎜⎜ n n n n − + − ( ) ( ) i i +1 ⎠ ⎝ i i−1
Donde: i
= es el número del intervalo que contiene al valor Modal
LI
= es el Límite Inferior de la clase o intervalo Modal
n i
= es la frecuencia absoluta de la clase o intervalo Modal
n i- 1
= es la frecuencia absoluta del intervalo anterior al que co ntiene la Moda
n i+1
=es la frecuencia absoluta del intervalo siguiente al que contiene la Moda
c i
= es la amplitud, ancho o longitud del intervalo que contiene a la Moda.
Obs.: En el caso de existir más de una moda, se procede en forma similar, pero realizando los cálculos de cada moda en sus intervalos correspondientes. Adicionalmente se puede decir, que este método apunta a determinar “un valor modal posible”, ya que puede ocurrir que en la realidad no se encuentre. Desde este punto de vista, lo correcto es entonces hablar de que se puede determinar un “intervalo” en donde se encuentra la moda. En este texto se utiliza la determinación de un valor modal según la metodología que se indica a continuación. En nuestro ejemplo de las edades de las personas atendidas por Stress en la consulta, el valor modal lo obtendremos como sigue: Identificación del intervalo que contiene el valor Modal: Observamos en la columna de frecuencias absolutas, cuál es la clase que tiene la mayor frecuencia de ocurrencia o que contien e al mayor número de personas: Número
del Edad en Intervalos
Intervalo
LI - LS
Marca
de Número
clase X i
pacientes n i
1
20 - 25
22.5
6
2
25 - 30
27.5
8
3
30 - 35
32.5
10
4
35 - 40
37.5
15
5
40 - 45
42.5
8
6
45 - 50
47.5
3 N=
de
50
Como se observa en la tabla, el valor Modal se encuentra en el i = 4to. Intervalo, donde se observa n 4 = 15 , el mayor número de pacientes. Cálculo del valor Modal: Aplicamos la fórmula:
Mo
⎛ ⎞ ni − ni −1 ⎟⎟ ⋅ ci = LI i + ⎜⎜ ( n n ) ( n n ) − + − i i +1 ⎠ ⎝ i i−1
Donde: i = 4; LI = 35; n 4 = 15; n 3 = 10;
n 5 = 8; c 4 = 40-35 = 5
Reemplazamos: Mo
⎛ ⎞ (15 − 10 ) ⎟⎟ ⋅ 5 = = 35 + ⎜⎜ − + − ( 15 10 ) ( 15 8 ) ⎝ ⎠
35 +
⎛ 5 ⎞ ⋅ 5 = ⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠
35
+
2.083 = 37.083
La edad más común o usual de los pacientes atendidos por Stress en esa consulta, es de 37.08 años (aproximadamente 37 años).
La Mediana (Med) Esta medida es el valor de la variable que divide a l conjunto de datos ordenados en forma ascendente o descendente en dos conjuntos, tal que la mitad de los valores (50% inferior), quedan por debajo de ella y la otra mitad (50% superior), queda por sobr e ella. La denotamos por Med . Si tenemos un número de datos impar: el valor de la mediana es el dato central: 11, 13, 18, 19, 20
⇒
Med = 18
Si tenemos un número de datos par: el valor de la mediana será el valor medio entre los dos valores centrales:
4, 9, 13, 14
⇒
Med =
9 + 13 2
= 11
Si los datos están agrupados en una tabla de distribución de frecuencias, se procederá en dos pasos: Primero se determinará la posición o intervalo que contiene al valor Mediano o de la Mediana. Para esto se puede proce der de dos formas alternativas:
i)
Calcular el valor
N ,
y observar en la columna de Frecuencias Absolutas
2
Acumuladas, N i , el intervalo o clase que contiene dicho valor. Ese será el intervalo Mediano o clase de la Mediana. O bien, ii)
Como la Mediana deja bajo ella al 50% de los casos, se busca, en la
columna de las Frecuencias Porcentuales Acumuladas, H i % , el intervalo que contiene al valor 50%. Ese será el intervalo de la Mediana. En segundo lugar, identificado el intervalo que contiene el v alor de la Mediana, se calculará el valor de la Med , utilizando la siguiente fórmula: Med = LI i
N ⎞ c + ⎛ ⎜ − N i −1 ⎟ ⋅ i ⎝ 2 ⎠ ni
Donde: i LI i N
= es el intervalo que contiene a la Mediana = es el Límite Inferior de la clase Mediana = es el número total de observaciones ( N =
k
∑n ) i
i =1
N i −1
= es la frecuencia absoluta acumulada hasta la clase o intervalo anterior al de la Mediana
ni
= es la frecuencia absoluta del intervalo de la Mediana
ci
= es la amplitud o ancho del intervalo Mediano.
E jemp lo. Obtengamos para nuestro ejemplo de edades de pacientes con Estrés, la edad mediana.
P rimer Paso : Identificación del intervalo que contiene al valor Mediano.
Al calcular, según i),
N 2
=
50 2
= 25 , y observar la columna de Frecu encias
Acumuladas Absolutas, se tiene que el valor 25 se encuentra contenido en el 4to. Intervalo, i = 4 . Por lo tanto la Mediana se encontrará en dicho intervalo, como se observa en la tabla:
Número del Edad Intervalo
en Marca de Núm.
intervalos
clase: X i
LI - LS
de Frec.Acum
p acientes: Absoluta: n i
N i
1
20 a 25
22.5
6
6
2
25 a 30
27.5
8
14
3
30 a 35
32.5
10
24
4
35 a 40
37.5
15
39
5
40 a 45
42.5
8
47
6
45 a 50
47.5
3
50
N=
50
Segundo Paso : Cálculo del valor Mediano:
Una vez identificado el intervalo al que pe rtenece la Mediana, se obtiene el
⎛ N N ⎞ ci − i −1 ⎟ ⋅ ⎝ 2 ⎠ ni
valor de esta aplicando la fórmula: Med = LI i + ⎜
Donde:
i = 4;
LI = 35;
N = 50;
N 3 = 24;
n 4 = 15;
c 4 = 5.
Reemplazando en la fórmula queda:
Med = 35
⎛ 50 +⎜ − ⎝ 2
⎞ ⎠
24 ⎟ ⋅
5 15
=
35
+
( 25 − 24) ⋅
1 3
= 35 + 0.333 = 35.333
Por lo tanto, por bajo y sobre los 35.3 años, se encuentra el 50% de las personas atendidas por Stress en la consulta.
Los Percentiles ( P p % ) Los Percentiles son valores de la variable que dividen al conjunto de datos en 100 partes iguales. Cada percentil divide la distribución o conjunto de datos en dos partes: un cierto porcentaje p% de la distribución queda bajo ese valor y la otra parte queda sobre ese mismo valor. Denotamos los Percentiles por P p%, y son 99: P 1% , … , P 99% . Por comodidad, en adelante los denotaremos por P p, omitiendo el símbolo %.
Ejemplo de interpretación de un percentil: P15 :
Deja bajo al 15% de los datos, y por sobre el se encontrará el 85%
restante de los datos. P65 :
Deja bajo el, al 65% de los datos, quedando por sobre este percentil el
35% de los datos restantes. Existen algunos subgrupos de los percentiles que son comúnmente usados: Los Percentiles que dividen al conjunto de datos en cuatro partes iguales, conteniendo cada uno de ellos un 25% de la información reciben el nombre de Cuartiles . Es usual encontrarlos definidos como: Q 1 , Q 2 , Q 3 .
Se tendrá que:
P25
= Q1 ,
P50
= Q2 = Med ,
P75
= Q3
Los Percentiles que dividen al conjunto de datos en diez partes iguales, cada una conteniendo un 10% de la información, reciben el nombre de Deciles . Es usual encontrarlos definidos como: D1 , D2 , D3 ,K , D9 .
Se tendrá que: P10 = D1 , P20 = D2 , P30 = D3 , P40 = D4 , P50 = D5
= Q2 = Med , etc.
Obtención del valor de un Percentil:
Para calcular los Percentiles, se procede en forma análoga al cálculo de la Mediana. En un primer paso, se determina o identifica la posición del Percentil buscado, y en el segundo paso, se calcula el valor de dicho percentil, aplicando la fórmula correspondiente. a)
Identificación del intervalo que contiene al Percentil. Se procede de una de las dos formas alternativas:
a1)
Calcular el valor:
N ⋅ p 100
, y observar en la columna de Frecuencias
Absolutas Acumuladas, N i , el intervalo o clase que contiene dicho valor. Ese será el intervalo o clase del Percentil p . O bien, a2)
Se busca en la columna de las Frecuencias Porcentuales Acumuladas, H i % , el intervalo que contiene al valor p%. Dicho intervalo, será el
intervalo o clase del percentil. b)
Cálculo del valor del Percentil p%. Una vez identificada la clase del Percentil se procede a calcular el valor de este, usando la siguiente fórmula:
P p
N ⋅ p c = LI i + ⎛ − N i −1 ⎞⎟ ⋅ i ⎜ ⎝ 100 ⎠ ni
Donde: i
= es el intervalo que contiene al Percentil p%
LI i
= es el Límite Inferior de la clase del Percentil p%
N
= es el número total de observaciones ( N =
k
∑n ) i
i =1
p
= es el percentil p%
N i −1
= es la frecuencia absoluta acumulada hasta la clase o intervalo anterior al del Percentil p%
ni
= es la frecuencia absoluta del intervalo que contiene al Percentil
ci
= es la amplitud o ancho del intervalo que contiene al Percentil .
Ejemplo: En nuestro ejemplo de edad de pacientes atendidos por Stress, obtengamos el Valor del Percentil 30: P 30; aquel que deja bajo el, al 30% de los casos y por sobre el, al 70% restante. Cálculo del Percentil 30: Aplicamos la fórmula:
P30 = 30
P30
1500 5 + ⎛ − 14 ⎞⎟ ⋅ = ⎜ ⎝ 100 ⎠ 10
50 ⋅ 30 c = LI 3 + ⎛ − N 2 ⎞⎟ ⋅ 3 ⎜ ⎝ 100 ⎠ n3
30
+ 0.5 =
30.5
años.
Podemos concluir que el 30% más joven atendido en la consulta por Stress, tiene como máximo 30.5 años (aproximadamente 31 años).
O bien, el 30% de las personas tienen bajo los 30.5 años, ( ≈ 31 años), y el 70% restante tiene por sobre los 30.5 años, ( ≈ 31 años).
La Varianza ( σ ) 2
Se define la varianza como: La media de las desviaciones o diferencias al cuadrado de la variable, con respecto a su media aritmética. Denotamos la varianza por
2
σ
.
Cálculo de la varianza, con datos no agrupados: En este caso, se calculará la varianza usando la siguiente fórmula: N
∑ ( x − i
σ x
2
=
i =1
N
N
μ x )
2
∑ x
2 i
=
i =1
N
− μ x2
Donde: Los x i son los datos u observaciones; i= 1,2,…, N; N es el número total de datos, y
N
∑ x
i
μ x
=
i =1
es la media de la variable.
N
Ejemplo. Se quiere obtener la varianza para los siguientes datos: 2, 3, 4, 8, 12 i)
se calcula el valor medio:
μ x
=
2 + 3 + 4 + 8 + 12
ii) 2
σ x
2
σ x
=
5
= 5 .8
Se aplica la fórmula: =
(2 − 5.8)
2
+ (3 − 5.8) 2 + (4 − 5.8) 2 + (8 − 5.8) 2 + (12 − 5.8) 2 5
14.44 + 7.84
+ 3.24 + 4.84 + 38.44 5
=
68.8 5
= 13.76
La varianza siempre entrega un resultado al cuadrado, lo que no tiene interpretación en términos de la unidad en que se mide la variable. particular se cumple siempre que
2
σ
En
≥ 0.
Para tener una medida de dispersión, que podamos interpretar en las unidades de la variable, se calcula la Desviación Estándar .
Desviación Estándar ( σ ) Esta medida permite interpretar la variabilidad o dispersión que se presenta entre cada dato u observación, con respecto al valor medio. Es una medida que queda expresada en las unidades de la variable, por lo que tiene interpretación en términos de esta. La denotamos por
σ
Se calcula como la raíz cuadrada de la varianza , teniéndose:
(o
σ x
σ
).
=
2
σ
Para el ejemplo anterior, la desviación estándar de la variable será:
=
σ
2
σ
=
13.76
= 3.709 ⇒
σ
≈ 3.71
Se puede concluir que ese grupo de datos tiene un valor medio de 5.8 unidades, con una desviación de 3.71 unidades.
Cálculo de la varianza, con datos agrupados Cuando la variable se encuentra agrupada en una tabla de distribución de frecuencias, la fórmula queda definida por: k
∑ ( x
i
2 σ x
=
k
− μ x ) ⋅ ni 2
2 i
=
i =1
N
∑ x
⋅ ni − μ x2
i =1
N
Donde: Los x i son las marcas de clase de las i = 1,2,…, k clases o intervalos. Las ni son las frecuencias absolutas de los i= 1, 2, …, k intervalos o clases. N, es el número total de observaciones: N =
k
∑n
i
i =1
k
∑ x n
i i
μ x
es la media de las observaciones de la variable x:
μ x
=
i =1
N
Ejemplo. Veamos la varianza y dispersión relativa que se presenta en nuestro ejemplo de la edad de pacientes atendidos por Stress en la consulta: Usamos la tabla de frecuencias, agregando las columnas que contendrán tanto los valores: xi ni , y xi2 ni , necesarios para hacer el cálculo de la media, varianza, y coeficiente de variación que necesitamos:
Tabla : Número del Intervalo 1
Edad en Intervalos LI LS 20 a 25
Marca de clase X i 22.5
2
25 a 30
3
Número de pacientes n i
2
xi ni
xi ni 2
6
135
22.5 *6 = 3037.5
27.5
8
220
27.5 *8 = 6050.0
30 a 35
32.5
10
325
32.5 *10 = 10562.5
4
35 a 40
37.5
15
562.5
37.5 *15 = 21093.75
5
40 a 45
42.5
8
340
42.5 *8 = 14450.0
6
45 a 50
47.5
3
142.5
47.5 *3 = 6768.75
N=
50
1725
2 2 2 2 2
61962.5
Se tiene: 6
∑ x
i
μ x
6
σ 2x
x i2ni 50
=
50
61962.5 50
μ 2x
i 1
=
i =1
1725 50
34.5 2
= 34.5 años
1239.25
1190.25
2
49 años
La Desviación Estándar es: σ x = 49 = 7 años. Se observa que la edad media de estos pacientes es de 34.5 años, con una desviación de ± 7 años.
Coeficiente de Variación (C.V.) El coeficiente de variación o de variabilidad, es una medida que entrega la dispersión relativa de los datos. Este es la razón entre la Desviación Estándar y la Media de la Variable, la que puede expresarse en forma porcentual, para tener una mejor interpretación de esta. Lo denotamos por CV o CV x , quedando: CV x
=
σ x
⋅ 100%
μ x
Un criterio de interpretación es: Si Si
5%
Si
25%
Si
≤
CV x
<
CV x
5%
CV x
<
CV x
>
⇒ los datos se dirán Muy Homogéneos
≤ ≤
50%
25%
⇒ los datos se dirán Homogéneos
50%
⇒ los datos se dirán Heterogéneos
⇒ los datos se dirán Muy Heterogéneos
