APUNTES DE SIMULACION Y OPTIMIZACION Dr. Raúl González García CIEP-FCQ-UASLP
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Índice general
1. INTRODUCCION A LA SIMULACION 1.1. Simulación de Procesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Reseña Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Habilidades Necesarias para la Simulación de Procesos 1.1.3. Aplicación de la Simulación de Procesos . . . . . . . . 1.1.4. Simuladores Comerciales de Procesos . . . . . . . . . . 1.1.5. Limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Estrategia General para la Simulación de Procesos . . . . . . . 1.2.1. Definición del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Modelamiento Matemático del Proceso . . . . . . . . . 1.2.3. Organización de las Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Computación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Interpretación de Resultados . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Estructura en el Modelamiento Matemático . . . . . . . . . . 1.4. Grados de Libertad y Variables de Salida y Diseño . . . . . . . 1.5. Estrategias de solución en el modelado de procesos . . . . . . 1.5.1. Método Modular Secuencial (orientado al proceso) . . . 1.5.2. Método Orientado a Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . 1.6. Análisis Estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Breve reseña histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. La Tabla (Matriz) de Incidencias (Ocurrencias) . . . . 1.6.3. La Matriz (Tabla) de Funcionalidad . . . . . . . . . . . 1.6.4. Una estrategia de solución óptima . . . . . . . . . . . . 1.6.5. Ejemplo simple de análisis estructural . . . . . . . . . . 2. MODELADO DE PROCESOS 2.1. MODELOS EN ESTADO ESTACIONARIO 2.1.1. Problema de Simulación . . . . . . . 2.1.2. Problema de Diseño . . . . . . . . . 2.2. MODELOS EN ESTADO TRANSITORIO . 2.2.1. Tanque de Almacenamiento . . . . . 2.2.2. Calentador de Tanque Agitado . . . . ÍNDICE GENERAL
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3. OPTIMIZACION 3.1. Bases Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Optimización Univariable: Problemas Max-Min . . 3.2.1. Métodos Analíticos . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Optimización por medio de Software (Excel) 3.2.3. Métodos Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Métodos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Optimización Multivariable Sin Restricciones . . . . 3.3.1. Solución Analítica . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Solución Numérica . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Optimización Multivariable Con Restricciones . . . A. Modelos de operaciones unitarias en Aspen+
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ÍNDICE GENERAL
1. INTRODUCCION A LA SIMULACION 1.1. Simulación de Procesos El modelamiento y la simulación de procesos por computadora han llegado a ser herramientas ingenieriles extremadamente exitosas para el diseño y optimización de procesos físicos, químicos, y biológicos. El uso de la simulación se ha extendido rápidamente durante las dos décadas pasadas debido a la disponibilidad de las computadoras de alta velocidad. En la industria de procesos químicos, hoy en día, se resuelven ordinariamente problemas no lineales, grandes y realísticos por medio de la simulación por computadora. Esto significa que virtualmente todos los cálculos de ingeniería son procesados rápidamente. La simulación de procesos puede ser definida como una técnica para evaluar en forma rápida un proceso con base en una representación del mismo, mediante modelos matemáticos. La solución de éstos se lleva a cabo por medio de programas de computadora y permiten tener un mejor conocimiento del comportamiento de dicho proceso. El número de variables que aparecen en la descripción matemática de una planta de proceso química puede ser tan grande como 100 mil, y el número de ecuaciones no lineales que deben resolverse pueden ser del orden de miles, por lo tanto la única forma viable de resolver el problema es por medio de una computadora.
1.1.1. Reseña Histórica La crisis del petróleo de los años setenta obligó a la industria en general a enfocar sus esfuerzos en ser enérgicamente más eficientes, iniciándose así una etapa de desarrollo tecnológico encaminado a mejorar los procesos existentes y a diseñar otros nuevos más eficientes. Este fue el caldo de cultivo necesario para motivar el desarrolló en simulación de procesos. El comienzo fue lento y se dio en forma conceptual, experimental y académica en algunas compañías y universidades en Estados Unidos, Canadá y Europa. Para 1975 se había generalizado el desarrollo de simuladores con algunas aplicaciones industriales reducidas. En 1980 empezaron a surgir compañías elaboradoras de software, que desarrollaban paquetes de simulación para su comercialización, pero tenían la desventaja de que la entrada y salida de la información eran muy rígidas y se presentaban en forma de listados de difícil interpretación. A finales de los años 80’s se inició el desarrollo de paquetes de simulación interactivos y su comercialización marcó el comienzo de un uso más intensivo y generalizado en la industria y las universidades. Entre 1991 y 1995 se inicia la comercialización de paquetes INTRODUCCION A LA SIMULACION
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de simulación dinámica y de integración de energía. En los últimos años, la simulación de procesos en estado estacionario ha llegado a ser una herramienta de apoyo para el diseño de procesos químicos y además su uso se está extendiendo en las instituciones de formación de ingenieros químicos. La simulación de procesos está jugando un papel muy importante en la industría química, como una herramienta adecuada y oportuna para el diseño, caracterización, optimización y monitoreo del funcionamiento de procesos industriales. Aun cuando en sus inicios la simulación de procesos estuvo enfocada principalmente a la industria petroquímica y de refinación del petróleo, su aplicación se ha ido extendiendo a otras industrias tales como la de combustibles sintéticos, pulpa y papel, cemento, metales, minerales, alimentos, etc., en donde se involucra la fase sólida. La simulación de procesos químicos ha involucrado ambos comportamientos de procesos estacionarios y dinámicos.
1.1.2. Habilidades Necesarias para la Simulación de Procesos El incremento del uso de técnicas de simulación por computadora ha ampliado la utilidad de la aproximación científica a la ingeniería. El desarrollo de competencia en simulación de procesos requiere que el ingeniero adopte las siguientes habilidades: 1. Entendimiento Claro de los Fundamentos Ingenieriles.- El ingeniero debe estar familiarizado con el sistema físico y sus mecanismos para ser capaz de simular inteligentemente un proceso real y evaluar esa simulación. Los procesos no pueden ser vistos como una caja negra. 2. Habilidades de Modelado.- El ingeniero tiene que ser capaz de desarrollar un conjunto de relaciones matemáticas que describan adecuadamente el comportamiento significativo del proceso. 3. Habilidades Computacionales.- Se deben obtener soluciones rápidas y baratas para la simulación de procesos. El ingeniero debe ser capaz de escoger y usar la herramienta computacional apropiada. Para problemas reales, la herramienta de interés es usualmente la computadora digital.
1.1.3. Aplicación de la Simulación de Procesos Debido a que la simulación recae dentro de una aproximación científica a la ingeniería y no en una aproximación empírica, ha servido para simular procesos en áreas interdisciplinarias 2
INTRODUCCION A LA SIMULACION
tales como ingeniería biológica e ingeniería ambiental. Los ingenieros han encontrado que la simulación ha sido capaz de hacer contribuciones significativas a la sociedad a traves de simulaciones exitosas de sistemas biológicos y ambientales. Los esfuerzos futuros caerán en el modelamiento de sistemas políticos y sociales. La variedad de aplicaciones de los simuladores de procesos es muy grande, anteriormente sólo los usaban ingenieros que diseñaban procesos, ahora manejan simuladores los ingenieros ambientales, ingenieros de proceso y hasta ingenieros de planta en su lugar de trabajo; ingenieros con poca o ninguna instrucción de programación pueden modelar procesos complejos. En principio, la simulación de procesos puede ser útil en todas las etapas del desarrollo de un proyecto industrial. En las diferentes etapas de un proyecto, puede haber necesidad de realizar simulaciones con diferentes niveles de sofisticación. La simulación de procesos puede usarse en las siguientes etapas de desarrollo de un proyecto industrial: 1. Investigación y Desarrollo. Una simulación sencilla puede usarse para probar la factibilidad técnica y económica del proyecto. 2. Etapa Crítica en la Toma de Decisiones. Se prueban diferentes alternativas de proceso y condiciones de operación y se toman decisiones. Cuando un proceso es económicamente atractivo, se deben probar diferentes alternativas de tamaño y localización de la planta industrial y determinar condiciones de operación óptima. 3. Planta Piloto. Simulación con modelos más sofisticados para obtener mejores estimaciones de las condiciones de operación a escala industrial. Las simulaciones son una forma razonable de extrapolar la ejecución y escalamiento de los procesos. Incorporando mecanismos fundamentales en la simulación de procesos, la ejecución de los sistemas puede ser predicha en regiones de operación nuevas y diferentes. 4. Diseño. La simulación proporciona todos los datos de proceso requeridos para el diseño detallado de los diferentes equipos. 5. Simulación de Plantas Existentes. Puede ser muy útil cuando es necesario cambiar las condiciones de operación, o cuando se quiere sustituir materias primas. 6. Deseabilidad Económica. Para propósitos de diseño, es usualmente barato usar técnicas de simulación incorporando datos fundamentales del laboratorio en el modelo matemático que puedan servir para construir plantas piloto de diferentes tamaños. 7. Caracterización del Proceso. Es una forma conveniente de investigar los efectos de los parámetros del sistema y las perturbaciones del proceso en operación. Usualmente es muy fácil desarrollar aproximaciones alternativas de operación y evaluar esas alternativas con un modelo matemático en lugar de hacerlo por métodos experimentales. Para verificar los resultados de la simulación usualmente algunos experimentos son realizados, pero solamente los experimentos realmente críticos son necesarios. SIMULACIÓN DE PROCESOS
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8. Entendimiento del Comportamiento y Mecanismos Significativos del Proceso. Planteando rigorosamente los modelos matemáticos, el ingeniero aprende mucho a cerca del proceso que está siendo simulado. Para obtener una simulación exitosa, se deben describir cualitativamente los mecanismos significativos del proceso. Resolviendo el modelo, relaciones útiles entre el proceso y las variables del equipo son reveladas y pueden observarse fácilmente. La simulación de procesos químicos es una herramienta moderna que se ha hecho indispensable para la solución adecuada de los problemas de proceso. Permite efectuar el análisis de plantas químicas en operación y llevar a cabo las siguientes tareas, las cuales son comunes en las diversas ramas de la industría química: Detección de cuellos de botella en la producción. Predicción de los efectos de cambios en las condiciones de operación y capacidad de la planta. Optimización de las variables de operación. Optimización del proceso cuando cambian las características de los insumos y/o las condiciones económicas del mercado. Análisis de nuevos procesos para nuevos productos. Evaluación de alternativas de proceso para reducir el consumo de energía. Análisis de condiciones críticas de operación. Transformación de un proceso para desarrollar otras materias primas. Análisis de factibilidad y viabilidad de nuevos procesos. Optimización del proceso para minimizar la producción de desechos y contaminantes. Entrenamiento de operadores e ingenieros de proceso. Investigación de la factibilidad de automatización de un proceso, etc.
1.1.4. Simuladores Comerciales de Procesos Existe una gran variedad de simuladores comerciales de procesos, algunos de los cuales son poderosas herramientas de cálculo en procesos industriales, con enormes bases de datos y un fuerte respaldo de bibliotecas para cálculos de equipos y bibliotecas de modelos para cálculos termodinámicos, que le dan al simulador la ventaja de una gran versatilidad. Algunos de estos simuladores de procesos de propósitos generales son: 4
INTRODUCCION A LA SIMULACION
1. Aspen Plus y Speedup (de Aspen Technology, USA) 2. Pro II (de Simulations Sciences, USA) 3. Hysys (de Hyprotech, Canadá) 4. Chemcad (de Chemstations, USA) 5. Design II (de WinSim Inc., USA), etc. La mayoría de ellos son simuladores de procesos en estado estable, que pueden expandirse a la simulación de procesos en estado transitorio (simulación dinámica) con la adición de un modulo (el modulo dinámico) que se obtiene por separado. Un aspecto muy importante en los simuladores de procesos, es la disponibilidad de los diferentes equipos usados en la industría de prosesos, así como la disponibilidad de propiedades termodinámicas y de transporte de las corrientes del proceso. Las propiedades son fundamentales para efectuar los balances de materia y energía al grado de que si se tuvieran buenos datos o buenas correlaciones para las propiedades, entonces los resultados de la simulación serían altamente confiables. Los simuladores modernos deben permitir la selección de los modelos de propiedades termodinámicos adecuados para la naturaleza de los componentes químicos, estado de agregación y condiciones de operación.
1.1.5. Limitaciones Hay algunas limitaciones definidas de la simulación de procesos de las cuales el ingeniero debe estar consciente. Estas incluyen las siguientes: 1. Falta de buenos datos y falta de conocimiento de mecanismos del proceso.- el éxito de la simulación de procesos depende fuertemente de la información básica que el ingeniero tiene disponible. 2. El carácter de las herramientas computacionales.- hay ciertos tipos de conjuntos de ecuaciones que todavía poseen grandes dificultades pra ser resueltos por los métodos numéricos. Estos incluyen algunas ecuaciones algebraicas no lineales y ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales no lineales. 3. El peligro de olvidar la suposiciones hechas en el modelado del proceso.- esto puede conducir a poner mucho (o poco) énfasis en ciertos resultados. SIMULACIÓN DE PROCESOS
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1.2. Estrategia General para la Simulación de Procesos La estrategia general para la simulación de procesos complejos sigue una ruta bien definida que consiste de los pasos de sentido común dados en el diagrama de bloques acompañante. Note que la información viaja en ambas direcciones, indicando la naturaleza adaptativa del desarrollo de alguna simulación exitosa. Definición del Problema
Modelamiento Matemático del Proceso
Organización de Ecuaciones
Cálculos
Interpretación de los Resultados
1.2.1. Definición del Problema Esta es una fase muy importante de una simulación exitosa pero desafortunadamente hay muy pocas reglas generales y precisas que se apliquen. La clave real a la definición del problema es un ingeniero imaginativo. Lo que se requiere es un pensamiento creativo basado en entrenamiento ingenieril. El ingeniero debe gastar suficiente tiempo en este aspecto del problema antes de proceder. Una buena definición del problema viene de responder las siguientes preguntas: 1. ¿Qué quiero encontrar? 2. ¿Cuáles son las consecuencias importantes del estudio? 3. ¿Porqué se hará este trabajo? 4. ¿Qué esfuerzos ingenieriles se requerirán? 5. ¿Cuánto tiempo tomará el trabajo?
1.2.2. Modelamiento Matemático del Proceso Despúes de haber definido el problema, el ingeniero está listo para escribir las ecuaciones de balance y relaciones mecánicas apropiadas para el proceso. Los experimentos críticos de laboratorio (en caso de haberlos) deben ser diseñados y ejecutados para determinar mecanismos desconocidos y parámetros del modelo. Las descisiones deben hacerse sobre los efectos 6
INTRODUCCION A LA SIMULACION
importantes y sobre los que pueden despreciarse. Un análisis de orden de magnitud ayuda a simplificarr estas decisiones críticas. Es imperativo que el ingeniero este consciente y no sobrestime ni olvide las suposiciones hechas en el desarrollo del modelo matemático. El modelamiento matemático de los procesos se obtiene de aplicar las leyes de conservación, ademas de aplicar relaciones adicionales de todas las áreas afines con la ingeniería de procesos (termodinámica, cinética, etc.). Estas relaciones se expresan como: Ecuaciones de balance global de material. Ecuaciones de balance de material para un componente en particular. Ecuación de balance de energía. Ecuaciones de balance de momentum. Relaciones de equilibrio. Otras relaciones.
1.2.3. Organización de las Ecuaciones Una vez que las relaciones matemáticas se han obtenido, tienen que ser arregladas en una estrategia de solución, eso es, se tienen que tomar decisiones sobre cuál variable debe ser resuelta con cuál relación. Para problemas pequeños, comúnmente llevamos este trabajo rutinariamente sin mucho esfuerza mental. Sin embargo, para problemas grandes se debe tener precaución. Se recomienda arreglar las ecuaciones en una tabla de ocurrencias o en un diagrama de bloques de flujo de información. Estas herramientas son útiles para propósitos de organización e ilustran las interrelaciones entre ecuaciones-variables. También las ecuaciones serán arregladas tal que la estrategia de solución sea paralela a la relación lógica de causa y efecto del sistema físico. Este ordenamiento natural de las ecuaciones usualmente tiende a estrategias de solución estables y eficientes.
1.2.4. Computación Para obtener soluciones a problemas de simulación de procesos, el ingeniero tiene disponibles varios niveles de cálculos - que van desde soluciones por inspección hasta soluciones analíticas y soluciones por computadora de alta velocidad. Debido a la complejidad y la no-linealidad de problemas de simulación de procesos, la mayoría de soluciones requieren la solución por computadora digital de alta velocidad. Las computadoras digitales son particularmente útiles ESTRATEGIA GENERAL PARA LA SIMULACIÓN DE PROCESOS
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para resolver problemas que involucran manipulaciones numéricas. Para ello es necesario saber programar y conocer los métodos numéricos de solución matemática de ecuaciones. Métodos numéricos Los métodos numéricos para la solución de conjuntos de ecuaciones algebraicas, diferenciales ordinarias, diferenciales parciales y métodos de optimización son necesarios. De esta manera, el esfuerzo debe enfocarse en usar el mejor método de solución disponible para el conjunto de ecuaciones obtenidas en el modelamiento. Dentro de los métodos se tienen: Solución analítica.- Problemas sencillos (problemas lineales) Solución numérica.- Problemas de alta dificultad (problemas no-lineales) • Solución de Ecuacines (bisección, falsa posición, secante,Newton, etc.) • Algebra lineal (eliminación Gaussiana, Gauss-Seidel, Jacobi, etc.) • Metodos de regresión • Integración numérica (trapecio, Simpson, Romberg, cuadratura Gaussiana, etc.) • Solución numérica de EDO (Euler, Runge-Kutta, Heun, etc.) • Solución numérica de EDP (separación de variables, métodos espectrales, diferencias finitas, etc.) • Optimización (simplex, sección dorada, gradiente, Newton, etc.) Programación Algunos lenguajes de programación son diseñados para uso científico y también tienen excelentes capacidades lógicas; esto es, son usados fuertemente por ingenieros de proceso experimentados. Para facilitar el esfuerzo de la programación, al usar métodos numéricos, se han escrito subrutinas científicas generalizadas. Muchas de estas subrutinas científicas se pueden encontrar publicadas en paginas web de internet, en forma libre o bien en venta. Un conjunto (libre) particularmente útil y bien documentado es la librería IMSL, la cual está disponible para computadoras personales y estaciones de trabajo. Un conjunto de subrutinas en venta son las del "Numerical Recipes", las cuales se encuentran disponibles para diferentes lenguajes de programación (Fortran, C, Matlab, etc.). Cuando no se tienen disponibles estas rutinas, es necesario programarlas. Para ello se pueden usar los lenguajes de programación, tales como: Fortran, C (ó C++), Matlab, MathCad, etc. 8
INTRODUCCION A LA SIMULACION
1.2.5. Interpretación de Resultados El beneficio real de la simulación de procesos recae en la interpretación inteligente de los resultados por parte del ingeniero. En este punto, el ingeniero debe acertar cuando el modelo es una representación válida del proceso actual o cuando éste necesita revisión y actualización. El ingeniero debe asegurarse que los resultados sean razonables. Se deben tomar desiciones sobre el proceso simulado, se obtengan o no los objetivos establecidos en la definición del problema. También, se investigarán alternativas razonables en un esfuerzo para mejorar la ejecución del proceso.
1.3. Estructura en el Modelamiento Matemático Se recomienda que los balances se hagan en forma natural, es decir, se tome todo como incógnitas y se comience desde las ecuaciones de los principios básicos, dejando las sustituciones de valores conocidos hasta el final. Se recomienda que solo cuando una variable tenga valor conocido de cero, mejor no se meta en la ecuación. En un proceso (un sólo equipo) en el que se involucran componentes y corrientes de flujo (entradas y salidas), se tendrán las siguientes ecuaciones: 1. de Balance Global: 1 2. de Balance de las Especies: 3. de Restricción: 4. de Balance de Energía: 1 5. Relaciones de Equilibrio: (si se tienen 2 fases) 6. Relaciones Auxiliares. De acuerdo a lo estudiado, los balance de material son + 1, pero solamente son independientes. Entonces, de los +1 balances se deben escoger solamente para resolverlos simultaneamente. Al hacer esto, existen posibilidades de escoger ecuaciones de las + 1 disponibles. De aquí surgen las siguientes preguntas: ¿Cuáles son los balances más convenientes? ¿Se pueden usar los + 1 balances y eliminar una de las restricciones? ESTRUCTURA EN EL MODELAMIENTO MATEMÁTICO
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Ejemplo 1.1 Modelos con un solo equipo. Se tiene un tanque en el que se mezclan dos corrientes, cada una de las cuales contienen los componentes 1 y 2 en diferentes composiciones. De las corrientes de entrada se conoce la cantidad de cada especie.
A
B
C
Cuando un proceso se compone de varios equipos interconectados entre si, la dificultad del problema crece. Lo más sencillo y natural es hacer los balances en cada equipo (real y virtual). En caso de que se hagan balances en equipos virtuales, se debe tener cuidado de incluir todas las corrientes de flujo de interés. El número de equipos (virtuales y reales) a balancear debe ser igual al número de equipos reales del proceso. Ejemplo 1.2 Un proceso con multiples equipos
A 1
B C
D
2 E
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F
Comentarios sobre el modelamiento: 1. Más de una fase: usar relaciones de equilibrio. 2. Si una variable tiene valor de cero, es conveniente que al plantear los balances, se elimine de las ecuaciones. En caso de que esa variable sea suceptible a estudios más avanzados, no debe eliminarse. 10
INTRODUCCION A LA SIMULACION
3. En caso de que los valores conocidos pertenezcan, todos, a una misma ecuación, corroborar que esa ecuación se convierta en una IDENTIDAD. Cuando la ecuación no se hace identidad, se tiene un problema mal especificado. 4. La mayoría de las preguntas que se han abierto, se pueden contestar con un buen reacomodo de ecuaciones-variables. Este asunto se tratará más adelante con la llamada Tabla de Incidencias (Ocurrencias o Funcionalidad). 5. Cuando un proceso NO contiene corrientes de reciclo, el sistema de ecuaciones generado es un sistema "Triangular Superior".
1.4. Grados de Libertad y Variables de Salida y Diseño Despúes del modelamiento se tiene un sistema con ecuaciones y variables. Los grados de libertad del sistema son el número de las variables que sobrepasan a las ecuciones, esto es: = − Este número es conveniente para tomar desiciones sobre que hacer con el sistema. Si el problema tiene un número infinito de soluciones Si = el problema puede tener solución Si el problema es inconsistente y no tiene solución Cuando los grados de libertad son positivos ( ) significa que tenemos la libertad de asignar o dar valores a un número de variables, ¿cuáles?. Este puede ser un trabajo tedioso y cansado cuando se escogen las variables por inspección, aunque la experiencia en el proceso puede ser de gran ayuda. Las variables escogidas para darles valores se conocen como variables de diseño (o entrada). El número de posibilidades de escoger variables de diseño se torna en un problema combinatorial. Por ejemplo, para un problema en el que se tienen 5 ecuaciones que involucran 7 incógnitas, existen 7 − 5 = 2 grados de libertad, lo que significa que debemos escoger 2 de las 7 variables para asignarles valores. De aquí que existen 27 = 21 posibilidades de escoger las dos variables Para los componentes ¶ µ A A A A A A B B B B B C C C C D D D E E F B C D E F G C D E F G D E F G E F G F G G La pregunta es: ¿cuál de esas posibilidades es la más adecuada?. GRADOS DE LIBERTAD Y VARIABLES DE SALIDA Y DISEÑO
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Al escoger las variables de diseño, queda un sistema con cuaciones y incógnitas (variables), las cuales deben resolverse con las ecuaciones. Estas variables son conocidas como variables de salida. A las variables de diseño se les pueden asignar valores de forma directa, por optimización o por control. Una manera de escoger las variables de diseño es con el uso de una tabla de incidencias.
1.5. Estrategias de solución en el modelado de procesos Los modelos matemáticos son el elemento esencial en un simulador de procesos. Los modelos de un proceso son todas las relaciones matemáticas derivadas de las leyes de conservación, las leyes de la termodinámica y las restricciones de control y de diseño. Estos modelos matemáticos constituyen para cada equipo en el proceso, un sistema de ecuaciones algebraicas y/o diferenciales que describen ese equipo. Los modelos matemáticos de los equipos de un proceso, en conjunto dan forma al modelo matemático del proceso completo. Este debe ser resuelto por algún algorítmo de solución para producir los resultados requeridos. En el caso de simulación de procesos en estado estacionario, el modelo matemático del proceso está constituido, en general, por un enorme sistema de ecuaciones algebraicas nolineales para cuya solución existen tres estrategias: el método modular secuencial, el método orientado a ecuaciones y el método modular simultaneo. Por una solución de un conjunto de ecuaciones simultáneas en incógnitas se dice de aquellos valores de las incógnitas, 1 2 · · · que satisfacen 1 (1 2 · · · ) = 0 2 (1 2 · · · ) = 0 .. .
ó () = 0
(1 2 · · · ) = 0 En general puede no existir solución, algún número de soluciones, o un número infinito de soluciones. Nosotros estaremos interesados en el caso donde = y buscaremos una solución simple, real y físicamente manejable.
1.5.1. Método Modular Secuencial (orientado al proceso) La estructura modular secuencial implica la interpretación del diagrama de flujo del proceso como un grupo de unidades de proceso (equipos), para cada una de las cuales existen subrutinas de cáculo o modulos. Dentro de este concepto, en un simulador se cuenta con una 12
INTRODUCCION A LA SIMULACION
biblioteca de modulos que puede ser usada para simular una gran diversidad de diagramas de flujo de proceso en una estructura flexible. En este método, una subrutina de cálculo para una unidad de proceso dada, calcula las variables de las corrientes de salida de esa unidad de proceso con base en el modelo matemático correspondiente a ese equipo, conocidas las variables de las corrientes de entrada y los parámetros de equipo de esa unidad de proceso. Las corrientes de reciclo en el proceso son resueltas, en este método, mediante un procedimiento iterativo. Se suponen valores iniciales de las variables de una o varias corrientes involucradas en el reciclo y se busca la convergencia de los valores de esas variables en el proceso iterativo. A las corrientes a suponer se les conoce como corrientes de corte o rompimiento y en la literatura de simulación existen técnicas tanto para detectar reciclos en el diagrama de flujo de un proceso (Sargent y Westerberg, 1964; Crowe et al., 1971), como para determinar las corrientes de corte (el número mínimo de ellas) necesarias en la solución de esos reciclos (Kahat y Shachman, 1973; Pho y Lapidus, 1973; Upadhye y Grens, 1975; Murthy y Husain, 1983). Este procedimiento se puede ilustrar con base en el conocido diagrama de flujo de Lee y Rudd (1966).
1 1
3
5 3
2
4 7 5
2 6
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Obsérvese que en este proceso solamente se tienen corrientes de reciclo. Para resolver este proceso por el método modular secuencial, se podría comenzar por cualquiera de los equipos involucrados, sin embargo, debido a los reciclos involucrados, el equipo inicial elegido y la secuencia que se le siga determinaran en gran medida la cantidad de iteraciones (y el tiempo) necesarias para resolver el proceso completo hasta un grado de presición establecido. En este caso, la pregunta a contestar seria ¿cuál es la secuencia de solución para resolver el problema usando un número mínimo de iteraciones para una presición dada?. Se pide al lector que anlice diferentes secuencias de solucion y las compare de acuerdo al número de corrientes de corte obtenidas. A continuación se presenta un método sencillo, aplicado a este proceso, para obtener una secuencia de solución óptima de acurdo al número mínimo de corrientes de corte. ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN EN EL MODELADO DE PROCESOS
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Primeramente se hace un arreglo matricial equipo-corriente de todos los equipos y corrientes involucrados en el proceso, colocando a las entradas y a las salidas dentro de un reciclo y colocando y a las entradas y salidas frescas (externas), respectivamente. \ 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 Observese que todas las columnas tienen dos elementos. Esto es debido a que solamente hay corrientes de reciclo y no hay corrientes frescas. En segundo lugar se sigue un procedimiento de eliminación de renglones y columnas, el cual es como sigue: 1. Se calcula el número total de y de que existen en cada renglon. Solamente contar las y interequipos, no se contabilizran las entradas y salidas externas ( y ) E\C 1 2 3 4 5 6 7 8 GLE GLS 1 S E S 1 2 2 E S E 2 1 3 E S E 2 1 4 S E S 1 2 5 S E E S 2 2
2. Se elimina el renglon (con sus correspondientes columnas) que tenga el menor número de . En caso de que haya dos renglones con el mismo numero de , se eliminará primero el que tenga el mayor número de . En caso de empate, se elimina el que tenga el menor + . Encaso de empate, se elimina el que tenga mayor número + . En caso nuevamente de empate, se elimina el primero que se encuentre de arriba a abajo. E\C 1 2 3 4 5 6 7 8 GLE GLS 1 1 1 1 0 0 2 E S E 2 1 3 X S E 1 1 4 S E S 1 2 5 X X E S 1 1
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INTRODUCCION A LA SIMULACION
3. Se sigue el procedimiento hasta eliminar todos los renglones. E\C 1 2 3 4 5 6 7 8 GLE GLS E\C 1 2 3 4 5 6 7 8 GLE GLS 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 2 E X X 1 0 2 E X X 1 0 3 X S X 0 1 3 X 3 X 0 0 4 2 2 2 0 0 4 2 2 2 0 0 5 X X E S 1 1 5 X X X S 0 1 E\C 1 2 3 4 5 6 7 8 GLE GLS 1 1 1 1 0 0 2 X X X 0 0 3 X 3 X 0 0 4 2 2 2 0 0 5 X X X 4 0 0
En el caso de que al eliminar un renglon (base) tambien se elimine otro adicional (adicional), se debe tomar en cuenta lo siguiente para asignar los números prioritarios a) El renglon base se numera como de costumbre b) El renglón adicional se numera con el número inmediato superior. Si existen entradas y salidas externas ( y ) el número se bede colocar ahí. Si ya no existe ninguna incidencia, el número se debe colocar exactamente en la incidencia () que elimina el renglón adicional. 4. Se reacomodan los renglones y columnas en el orden que fueron eliminados. E\C 1 2 3 1 S E S 4 3 E 5 S E 2 1 1 1
5 7 8 4 6 S E S E S E S S E E 2 2 2 3 4
1 2 3 4 5
La interpretación de la última tabla es la que proporciona la secuencia de solución, la cual es como sigue: a) Se comienza resolviendo las ecuaciones del equipo 1. Para ello es necesario conocer la información de la corriente 2 de entrada. Debido a que esta corriente esta dentro de un reciclo, se debe estimar por lo que es un acorriente de corte. Con la solución del equipo 1 se llega a conocer la información de las corrientes 1 y 3. ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN EN EL MODELADO DE PROCESOS
15
b) Se resuelven las ecuaciones del equipo 4. Para ello se necesita conocer la información de la corriente 7 de entrada, la cual será una corriente de corte. Con la solución de este equipo se conoce la información de las corrientes 5 y 8. c) Se resuelven las ecuaciones del equipo 3. Para ello se requiere la información de las corrientes 1 y 5, la cual fue obtenida con la solución de los equipos 1 y 4, respectivamente. Con este equipo se obtiene la información de la corriente 4. d) Se resuelven las ecuaciones del equipo 5. Para ello se requiere la información de las corrientes 3 y 4, la cual fue obtenida con la solución de los equipos 1 y 3, respectivamente. Con este equipo se obtiene la información de las corrientes 2 y 6. En este punto se calcula la información de una corriente de corte. e) Se resuelven las ecuaciones del equipo 2. Para ello se requiere la información de las corrientes 8 y 6, la cual fue obtenida con la solución de los equipos 4 y 5, respectivamente. Con este equipo se obtiene la información de la corriente 7. En este punto se calcula la información de una corriente de corte. f ) Si los valores de la informacion calculada es diferente de la información estimada en las corrientes de corte, entonces el proceso se vuelve a repetir, usando como valores estimados los valores calculados de las variables de corte. En resumen, conociendo la información de las variables en las corrientes 2 y 7, el reciclo completo quedaría definido con la secuencia de cálculo de unidades de proceso: 1, 4, 3, 5 y 2. En la solución del reciclo, las variables de las corrientes 2 y 7 serían recalculadas, partiendo de valores iniciales, hasta lograr una convergencia en los valores de esas variables. Ejemplo 1.3 Resuelva el siguiente problema haciendo uso de la estrategia Modular Secuencial. El proceso se muestra en la figura
7
1
1
3 2
2
4
5
Corrirnte 1 Etanol: 50 lbmol/h Especificaciones Agua: 150 lbmol/h 75 F 147 psia 16
3
6
Corriente 3 Etanol: 100 lbmol/h Agua: 50 lbmol/h 75 F 147 psia INTRODUCCION A LA SIMULACION
Por la corriente 4 se va el 30 % de la corriente 3 Por la corriente 7 se va el 60 % de lo que entra en la unidad 2 Determinar los valores de las variables de las diversas corrientes.
1.5.2. Método Orientado a Ecuaciones Consiste básicamente en la solución simultanea de las ecuaciones que describen el diagrama de flujo. Es decir, consiste en resolver el enorme sistema de ecuaciones algebraicas no-lineales que constituye el modelo matemático del proceso completo, por algún procedimiento de solución de sistemas de ecuaciones. Cuando se consideran subsistemas pequeños de plantas químicas, el número de relaciones descriptoras son pequeñas y el desarrollo de una estrategia computacional es fácil. Usualmente las relaciones pueden ser resueltas partiendo directamente de las ecuaciones, después, resolviendo cada ecuación del conjunto para una variable desconocida simple de una manera ordenada. Cuando los conjuntos de ecuaciones llegan a ser acoplados, principalmente, cuando cada relación involucra la mayoría de las variables desconocidas, la probabilidad de que un conjunto de ecuaciones pueda ser partido decrece. Cuando un conjunto de ecuaciones no puede ser partido, las ecuaciones deben ser resueltas simultáneamente o un esquema iterativo debe ser desarrollado.
Partición de Ecuaciones Aunque podemos aproximar el problema de resolver ecuaciones en incógnitas directamente, puede ser más fácil romper las ecuaciones en una estrategia de solución donde cada ecuación puede ser usada para resolver una variable simple secuencialmente. Por ejemplo, considere las siguientes tres ecuaciones en tres incógnitas: 1 (1 3 ) = 0 2 (1 ) = 0 3 (2 3 ) = 0 En lugar de resolver todas las tres al mismo tiempo, se puede resolver primero para la variable 1 de la relación 2 ; entonces, usando este valor de 1 , resolver para la variable 3 de la relación 1 ; y, finalmente, resolver para la variable 2 de la relación 3 . Las ecuaciones han sido partidas en una estrategia de solución secuencial. La pregunta es: ¿cómo llevar a cabo este proceso cuando el sistema es grande? ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN EN EL MODELADO DE PROCESOS
17
Rasgado de Ecuaciones (Tearing Equations) Suponga que queremos resolver el siguiente conjunto de cuatro ecuaciones en cuatro incógnitas 1 (2 3 ) = 0 3 (1 2 3 4 ) = 0 2 (2 3 4 ) = 0 4 (1 2 4 ) = 0 Estas ecuaciones no pueden ser partidas en una estrategia de solución secuencial, por lo que deben ser resueltas las cuatro relaciones simultáneamente. De cualquier manera se dispone de una aproximación alternativa al problema: el rasgado de ecuaciones. Suponga que se estima el valor de la variable 3 . Entonces, la variable 2 podrá ser resuelta de la relación 1 . Con 3 estimada y 2 conocida, la variable 4 será resuelta de la relación 2 . Conociendo 2 , 3 , y 4 , la variable 1 entonces será resuelta de la relación 3 . Finalmente, se debe checar el valor estimado de la variable 3 con la relación 4 . Si la relación 4 fuera cero, habríamos finalizado. Sino, un nuevo valor de 3 tendría que ser estimado. Este procedimiento es llamado rasgado de las ecuaciones (tearing equations). El rasgado (escoger la variable iterativa o de reciclo) no es único, y varios criterios para escoger la mejor variable de reciclo son posibles . Generalmente el mejor reciclo es dictado no sólo por la estructura de las ecuaciones sino por la forma en la cual las variables entran en las ecuaciones. No siempre es claro cuando es más eficiente resolver todas las ecuaciones a la vez o usar las técnicas de variable de reciclo. La pregunta es: ¿cómo elegir la mejor variable de reciclo? Solución Simultanea Para conjuntos muy grandes de ecuaciones algebraicas, típicos en problemas de diseño de plantas, es imperativo buscar esquemas computacionales adecaudos. Como sea, para conjuntos pequeños de ecuaciones, la solución simultánea puede ser práctica y ventajosa. Esto es verdad especialmente cuando las ecuaciones son lineales y se pueden aplicar técnicas matriaciales. La pregunta es: ¿qué hacer para simplificar un sistema grande de ecuaciones?
1.6. Análisis Estructural Es increible que con sólo ordenar las ecuaciones y variables de un sistema de ecuaciones, provenientes del modelamiento de un proceso, se llega a resolver simultaneamente sólo un pequeño conjunto de ellas. Este ordenamiento se logra de una manera rápida y eficinete con el uso de una tabla de incidencias (ocurrencias o funcionalidad). Las ecuaciones de modelamiento de procesos son predominantemente algebraicas (aunque tambien las hay diferenciales), a menudo no lineales, y comúnmente dispersas por eso cada 18
INTRODUCCION A LA SIMULACION
ecuación contiene sólo unas pocas de las variables del sistema. La mayor diferencia entre un estudio de simulación y un estudio de diseño está en el tipo de variables que son especificadas. En un estudio de simulación deben ser especificadas todas las variables de las corrientes de entrada y los parámetros del equipo, y las variables de las corrientes de salida deben ser calculadas. Esto permite que los estudios de simulación sean formulados de una manera modular. Por otro lado, en un estudio de diseño las variables especificadas pueden cambiar de un problema a otro, por lo que se pueden conocer variables de las corrientes de entrada, variables de las corrientes de salida, o una combinación de variables de amabas corrientes. En los estudios de diseño, el resultado de los cálculos son los parámetros del equipo y las variables de corrientes de entrada y salida no especificadas. El análisis de las características de los problemas de diseño demuestra que existe la necesidad de una metodología para el análisis de sistemas de ecuaciones. Esta metodología debe ser orientada al nivel de ecuaciones, no modular, puesto que la ruta de los cálculos no está fijada para un problema de diseño. En esta sección se presenta un método de análisis estructural, el cuál es usado para desarrollar estrategias de solución simplificadas para grandes conjuntos de ecuaciones. El análisis estructural es el estudio de las inter-relaciones e interacciones entre las variables que forman un conjunto de ecuaciones. La meta es encontrar la ruta más simple y más eficiente de cálculos para el conjunto de ecuaciones. En lo posible, se evitan las variables iterativas. Los cálculos de diseño a menudo tienen numerosas rutas paralelas, no todas ellas deben tomarse. Las rutas paralelas en problemas de diseño surgen de la existencia de los grados de libertad en las variables de diseño y las ecuaciones redundantes. Cada ruta paralela debe ser analizada para determinar la que posea la mínima dificultad en los cálculos.
1.6.1. Breve reseña histórica La dificultad del problema de ordenamiento surge cuando todas las variables tienen al menos un precursor. Esto indica la presencia de una variable iterativa. El algorítmo inicial desarrollado por Sargent y Westerberg (1964), Lee y Rudd (1966), y Christensen y Rudd (1969 ) pareció minimizar el número de variables iterativas en una estrategia de solución. Este reconoció el hecho que los problemas de convergencia tienden a incrementar con el tamaño del conjunto de variables iterativas. Steward (1965) y Himmelblau (1967) estudiaron la asignación de conjuntos de salida admisibles para sistema de ecuaciones algebraicas que no contenían variables de diseño o ecuaciones redundantes. En el primer intento para desarrollar una base matemática para la selección de variables de diseño fue la estructura gráfica bipartita de Lee, Christensen y Rudd (1966). El algoritmo dado en términos de la matriz de ocurrencias más conveniente es presentado en Rudd y Watson (1968). El algoritmo falla para sistemas de ecuaciones con ANÁLISIS ESTRUCTURAL
19
iteración persistente. Christensen (1970) desarrolló un algoritmo que maneja la iteración persistente. El algoritmo de Stadther y colaboradores (1974) tiende a conversión anidada, lazos iterativos implícitos, ambos de los cuales a ser evitados por los cálculos iterativo usando sustitución directa. Ramírez y Vestal (1972) presenta algorítmos que son construidos en dos fases. La primera fase selecciona las variables de diseño para el sistema y determina el número mínimo de variables iterativas para el sistema. La segunda fase selecciona variables iterativas para obtener lazos iterativos explícitos si es posible. Algoritmos por Westerberg y Edie (1971) y Edie y Westerberg (1971) usan el principio del máximo eigenvalor para seleccionar variables de diseño. Una de las mayores limitaciones de todos estos algoritmos es que ellos producen una combinación simple de variables de diseño y variables iterativas. Book y Ramírez (1976) desarrollaron métodos de expresar todas las secuencias de solución que son acíclicas para sistema de ecuaciones sin iteración persistente y todas las secuencias de solución con un número mínimo de variables iterativas en sistema de ecuaciones con iteración persistente. Friedman y Ramírez (1973 ) mostraron que la convergencia de lazos iterativos explícitos por el método de sustitución directa es dominado por el orden de solución de las ecuaciones en el lazo. La convergencia por sustitución directa ocurrirá en la ruta de reversa si la ruta directa diverge y la ruta de reversa existe.
1.6.2. La Tabla (Matriz) de Incidencias (Ocurrencias) Una matriz de ocurrencia es una representación implícita en que sólo se expresa la estructura de ocurrencias de un sistema de ecuaciones. Para ejemplificar el proceso de ordenamiento con una matriz de incidencias, se trabajará con el siguinete sistema de ecuaciones 24 − 129 1 − 32 + 57 + 28 −71 8 133 + 44 9 1 − 22 + 44 − 6 + 77 −55 + 9 −94 − 36 8
= = = = = = =
10 7 15 1 0 6 13
(Ec (Ec (Ec (Ec (Ec (Ec (Ec
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
A partir de estas ecuaciones se puede construir una tabla de incidencias con la relación ecuación-variable que existe en el sistema de ecuaciones. Se forma una tabla en la que en los encabezados de las renglones se tomarán los números de ecuaciones y en los encabezados de las columnas se tomarán los nombres de las variables. La tabla se llena con la letra en cada celda en donde la variable este contenida en la ecuación. Aplicando a nuestro sistema 20
INTRODUCCION A LA SIMULACION
de ecuaciones, resulta en la tabla siguiente. E\V x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 A 1 2 A A A A 3 A A 4 A A 5 A A A A A 6 A 7 A A A
x9 A
A A
1.6.3. La Matriz (Tabla) de Funcionalidad La matriz de funcionalidad fue desarrollada por Book y Ramírez (1984) para expresar la estructura de un sistema de ecuaciones. El requisito primario de un método para expresar la estructura de un sistema de ecuaciones algebraicas es que la estructura sea expresada explícitamente. Para remover esta deficiencia, un nuevo tipo de matriz de ocurrencias fue desarrollado llamado la matriz de funcionalidad. Para expresar la forma funcional de una ecuación, las diferentes formas funcionales en las cuales una variable puede aparecer en las ecuaciones debe ser definida. La siguiente tabla muestra las diferentes formas funcionales que se usarán en este curso (una modificación de la presentada por Book y Ramírez (1984)). Clave Forma Funcional A Lineal B
C D E
Forma de la Ecuacion 1 1 + (x) = 0 1 1 2 3 + (x) = 0 1 21 + (x) = 0 No-lineal soluble, 1 raíz 1 log (1 ) + (x) = 0 1 sin (1 ) + (x) = 0 1 sinh (1 ) + (x) = 0 No-lineal soluble, n raíces 2 1 1 + (x) = 0 2 = 1 2 3 1 Derivadas o Integrales + (x) = 0 2 1 2 6= 1 2 3 1 + (x) = 0 Implícitas, no solubles, complicadas Otras
Las , en la tabla, son constantes y () es la función de todas las otras variables del sistema excepto las variables explícitas. Las formas funcionales de la tabla son aquellas que predominan en ecuaciones de diseño algebraico. Casi cualquier ecuación original puede ser manipulada algebraicamente para ajustar estas formas básicas. La matriz de funcionalidad es, más aún, una matriz de ocurrencias especial que expresa tanto la funcionalidad como la ANÁLISIS ESTRUCTURAL
21
estructura de las ecuaciones. Aplicando a nuestro sistema de ecuaciones, resulta en la tabla siguiente. E\V x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 A A 1 2 A A A A 3 B B A B B 4 A A A A A 5 6 A A 7 A B B
1.6.4. Una estrategia de solución óptima Para la implementación en computadoras digitales, de ecuaciones algebraicas que describen problemas de diseño o simulación, se han establecido métodos generales para la solución de lazos iterativos implícitos, y dentro de estos se prefieren los métodos que emplean manipulación de matrices. De esta manera, las siguientes reglas heurísticas son aplicables como función objetivo para obtener una solución óptima: 1. Resolver una ecuación lineal con una sola variable. Si no es posible, ir al paso 2. 2. Resolver el menor número de ecuaciones lineales simultáneas con sus respectivas incógnitas. Si no es posible, ir al paso 3. 3. Resolver una ecuación no-lineal con una sola variable, la mas simple de todas las posibles. Si no es posible, ir al paso 4. 4. Resolver el menor número de ecuaciones no-lineales simultáneas con sus respectivas incógnitas. El obtener la solución óptima de acuerdo a estos 4 ojetivos, se logra aplicando los 2 algorítmos que se presentan en seguida: el algoritmo de ordenamiento de ecuaciones y el algoritmo de agrupamiento de variables. Algoritmo de ordenamiento de ecuaciones Con este algorítmo se hace un ordenamiento previo de las ecuaciones y de las variables. Se da prioridad a las variables de solución acíclica (una sola ecuación) y de solución simple (lineales). El algorítmo se aplica de la siguiente manera: 22
INTRODUCCION A LA SIMULACION
Se buscan variables con grados de libertad (VGL) de 1. La existencia de un 1 indica que una solución acíclica puede obtenerse. Se localiza la columa que tiene la designación funcional de valor más simple y se elimina el renglón correspondiente a la incidencia, marcando la casilla de la incidencia con un número gerárquico de eliminación. En caso de que no existan variables con grados de libertad 1, entonces se buscarán VGL 2, 3 ó 4, etc., es decir, variables cíclicas. Se localiza la columa que tiene la designación funcional de valor más simple y se eliminan todos los renglones correspondientes a las incidencias, marcando todas las casillas de las incidencias con el siguiente número gerárquico de eliminación. En seguida, se recalculan los grados de libertad de las variables y se repite el procedimiento hasta que se han eliminado todadas las incidencias. Finalmente, los numeros gerárquicos de eliminación serán usados para ordenar los renglones y las columnas en el orden inverso a como se fueron generando dichos números. Esto, proporcionará una tabla ordenada en ecuaciones y variables.
Algoritmo de agrupamiento de variables
Con este algorítmo se pretende clasificar las variables-ecuaciones en grupos (partir las ecuaciones). Se buscan ecuaciones con grados de libertad (EGL) de 1. Se localiza el renglón con EGL de 1 y se elimina la columna correspondiente a la incidencia, marcando la casilla de la incidencia con un número gerárquico de eliminación. En caso de que no existan ecuaciones con grados de libertad 1, entonces se localiza, de arriba hacia abajo, el primer renglón que aún no se haya eliminado. De este renglón, se eliminan todos las columnas correspondientes a las incidencias, marcando todas las casillas de las incidencias con el siguiente número gerárquico de eliminación. Después de cada eliminación se debe verificar que ninguna otra ecuación se haya eliminado (EGL de 0), se recalculan los grados de libertad de las ecuaciones y se repite el procedimiento hasta que se han eliminado todas las incidencias. Después, se usan los números gerárquicos de eliminación para ordenar los renglones y las columnas en el orden en que fueron generados. Esto, proporcionará una tabla ordenada en ecuaciones y variables. Cada grupo se obtiene de esta última tabla cuando al movernos en dirección diagonal, izquierda-superior hacia derecha-inferior, se encuentra un movimiento horizontal en las incidencias más externas. ANÁLISIS ESTRUCTURAL
23
1.6.5. Ejemplo simple de análisis estructural
Se desea resolver el siguinete sistema de ecuaciones y se busca plantear una estrategia de soución sencilla por medio de un reacomodo de las ecuaciones y las variables. 24 − 129 1 − 32 + 57 + 28 −71 8 133 + 44 9 1 − 22 + 44 − 6 + 77 −55 + 9 −94 − 36 8
= = = = = = =
10 7 15 1 0 6 13
(Ec (Ec (Ec (Ec (Ec (Ec (Ec
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
La siguiente figura muestra la tabla de funcionalidad para el sistema de ecuaciones algebraicas. Sobre esta tabla se llevará a cabo un análisis estructural usando los algoritmos de ordenamiento de ecuaciones y de agrupamiento de variables. E\V x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 A A 1 2 A A A A 3 B B A B B 4 A A A A A 5 6 A A 7 A B B
Ordenamiento de Ecuaciones Teniendo la tabla, se aplica un algorítmo de ordenamiento de ecuaciones, el cual tiene como objetivo asignar a cada ecuación una variable y minimizar el esfuerzo computacional para su solución. Iniciando con el algoritmo de ordenamiento de ecuaciones, primero necesitamos determina los grados de libertad de las variables, tal como se muestra en la tabla siguiente 24
INTRODUCCION A LA SIMULACION
E\V 1 2 3 4 5 6 7 AGL BGL VGL
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 A A A A A A B B A B B A A A A A A A A B B 2 2 1 3 1 1 2 1 2 1 0 0 1 0 1 0 2 1 3 2 1 4 1 2 2 3 3
El algoritmo columnas para las cuales los grados de libertad de las variables (VGL) son la unidad. Para este ejemplo, estas son las columnas 3 y 5 . Se elimina la columna que tenga el mayor número de incidencias con funcionalidad tipo . En este caso ambas columnas tienen una sola incidencia del tipo , por lo que cualquiera de las dos puede eliminarse. Como criterio de desempate se usa la primera ocurrencia (de izquierda a derecha), la cual es la columna 3 . De esta manera se elimina el renglón 4 con la columna 3. Entonces los grados de libertad de las variables son recalculados.
E\V 1 2 3 4 5 6 7 AGL BGL VGL
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 A A A A A B B 1 X A A A A A A A B B 2 2 0 3 1 1 2 1 1 0 0 0 0 1 0 2 3 2 0 3 1 2 2 3
x9 A
X A 2 0 2
Siguiendo en algoritmo, una columna con frecuencia de 1 es encontrada en la columna 5 y de ahí el renglón 6 es eliminado. ANÁLISIS ESTRUCTURAL
25
E\V 1 2 3 4 5 6 7 AGL BGL VGL
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 A A A A A B B 1 X A A A A A 2 A B B 2 2 0 3 0 1 2 1 1 0 0 0 0 1 0 2 3 2 0 3 0 2 2 3
x9 A
X X 1 0 1
Ahora un 1 es encontrado en la columna 9 , la cual elimina el renglón 1.
E\V 1 2 3 4 5 6 7 AGL BGL VGL
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 X A A A A B B 1 X A A A A A 2 A B B 2 2 0 2 0 1 2 1 1 0 0 0 0 1 0 2 3 2 0 2 0 2 2 3
x9 3
X X 0 0 0
En este punto, una columna con frecuencia de 1 no existe. De acuerdo al algoritmo, buscamos las columnas con la mínima frecuencia, las cuales son las columnas 2 , 4 , 6 y 7 con 2 grados de libertad. De estas columnas, las que tienen mayor número de incidencias de son 2 , 4 y 7 . Podemos eliminar cualquiera de estas columnas. Como criterio de desempate se usa la primera ocurrencia (de izquierda a derecha), la cual es la columna 2 . Obsérvese que al eliminar la columna 2 tambien se eliminan las ocurrencias de la columna 7 , por lo que las ocurrencias de la columna 7 tambien deben llevar el mismo número de eliminación que las incidencias de la columna 2. 26
INTRODUCCION A LA SIMULACION
E\V x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 X 1 X 4 4 X 2 3 B B 4 1 X 5 X 4 X X 4 6 2 7 A B B AGL 0 0 0 1 0 0 0 0 BGL 1 0 0 0 0 1 0 2 VGL 1 0 0 1 0 1 0 2
x9 3
X X 0 0 0
Ahora podemos proceder con la eliminación de la columna 4 . Con esta eliminación se hacen 0 los grados de libertad de las columnas 6 , lo cual hace que estas columnas tambien tenga prioridad 6. E\V x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 X 1 X 4 4 X 2 3 B B 4 1 X 5 X 4 X X 4 6 2 7 6 6 X AGL 0 0 0 0 0 0 0 0 BGL 1 0 0 0 0 0 0 1 VGL 1 0 0 0 0 0 0 1
x9 3
X X 0 0 0
Finalmente la columnas 1 tine frecuencia 1 con incidencia del tipo . Al eliminar la tabla con sus prioridades queda de la manera siguiente E\V x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 X 1 X 4 4 X 2 3 7 7 4 1 X 5 X 4 X X 4 6 2 7 6 6 X AGL 0 0 0 0 0 0 0 0 BGL 0 0 0 0 0 0 0 0 VGL 0 0 0 0 0 0 0 0
ANÁLISIS ESTRUCTURAL
x9 3
X X 0 0 0
27
Se procede a etiquetar los renglones-columnas de acuerdo con los números gerárquicos de eliminación, para proceder al ordenamiento de ecuaciones/variables, tal como lo muestran las siguientes tablas: E\V x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 1 X 2 X 4 4 X 3 7 7 4 1 X 5 X 4 X X 4 6 2 X 7 6 6 7 4 1 6 2 6 4 7
x9 3 3 4 7 X 1 4 X 2 6 3
E\V x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 1 A A A A A A 2 3 B B A B B 4 5 A A A A A A 6 A 7 A B B 7 4 1 6 2 6 4 7 3
3 4 7 1 4 2 6
Esta tabla se ordena de manera inversa a como fueron eliminados los renglones y columnas, resultando en E\V x1 x8 x6 x4 x7 x2 x9 x5 x3 3 B B 7 B B A 2 A A A A A A A A 5 A 1 A A 6 A A A 4 B B 7 7 6 6 4 4 3 2 1
7 6 4 4 3 2 1
Agrupamiento de Variables Partiendo de la tabla ordenada, se calculan las frecuencias de los renglones. El algorítmo busca un renglón de frecuencia unidad. En este nivel inicial del problema no existe ninguno con frecuencia 1. Puesto que no se encuentra una frecuencia unidad, se eliminan todas las columnas con entradas en el renglón restante más alto. De esta manera, las columnas 1 y 8 son eliminadas del renglón 3 y se etiquetan con 1 (comienza el subgrupo uno). Ahora las nuevas frecuencias de los renglones son calculadas. No existe frecuencias de 1, por lo que se eliminan todas las columnas con entradas en el renglón restante más alto. De esta manera, las columnas 6 y 4 son eliminadas del renglón 7 y se etiquetan con 2 (comienza el subgrupo dos). Luego, la primera frecuencia unidad es encontrada en el renglón 1, el cual resulta en la eliminación de la columna 9 que se etiqueta con 3. El siguiente renglón con frecuencia unidad es el 6, que elimina la columna 5 y se etiqueta con 4. Después el renglón 4 tiene frecuencia unidad y se elimina con la columna 3 , etiquetándose con 5. Finalmente, no se encuentran renglones con frecuencia unidad, por lo que se eliminan todas las columnas con entradas en el renglón restante más alto. De esta manera, las columnas 7 y 2 son 28
INTRODUCCION A LA SIMULACION
eliminadas del renglón 2 y se etiquetan con 6 (comienza el subgrupo tres), pero como al eliminar el renglón 2, tambien se elimina el renglón 5, entonces tambien se etiqueta con 6. En las siguientes tablas se presenta paso a paso el procedimiento de eliminacion del algorítmo de agrupamiento de variables. E\V 3 7 2 5 1 6 4
x1 x8 x6 x4 x7 x2 x9 x5 x3 EGL 2 B B B B A 3 A A A A 4 A A A A A 5 A A 2 A A 2 B B A 3
E\V 3 7 2 5 1 6 4
x1 x8 x6 x4 x7 x2 x9 x5 x3 EGL 0 1 1 X B A 2 X X A A 2 X A A A A 4 A A 2 A A 2 B B A 3
E\V 3 7 2 5 1 6 4
x1 x8 x6 x4 x7 x2 x9 x5 x3 EGL 0 1 1 X 2 2 0 X X A A 2 X X X A A 2 X A 1 A A 2 X B A 2
E\V 3 7 2 5 1 6 4
x1 x8 x6 x4 x7 x2 x9 x5 x3 EGL 0 1 1 X 2 2 0 X X A A 2 X X X A A 2 X 3 0 X A 1 X X A 1
E\V 3 7 2 5 1 6 4
x1 x8 x6 x4 x7 x2 x9 x5 x3 EGL 0 1 1 X 2 2 0 X X A A 2 X X X A A 2 X 3 0 X 4 0 X X A 1
E\V 3 7 2 5 1 6 4
x1 x8 x6 x4 x7 x2 x9 x5 x3 EGL 0 1 1 X 2 2 0 X X A A 2 X X X A A 2 X 3 0 X 4 0 X X 5 0
E\V 3 7 2 5 1 6 4
x1 x8 x6 x4 x7 x2 x9 x5 x3 EGL 0 1 1 X 2 2 0 X X 6 6 0 X X X 6 6 0 X 3 0 X 4 0 X X 5 0
Eliminadas las ecuaciones/variables, se procede a etiquetar los renglones-columnas de acuerdo con los números gerárquicos de eliminación, para proceder al ordenamiento de ecuaANÁLISIS ESTRUCTURAL
29
ciones/variables, tal como lo muestran las siguientes tablas: E\V 3 7 2 5 1 6 4
x1 x8 x6 x4 x7 x2 x9 x5 x3 1 1 X 2 2 X X 6 6 X X X 6 6 X 3 X 4 X X 5 1 1 2 2 6 6 3 4 5
1 2 6 6 3 4 5
E\V 3 7 2 5 1 6 4
x1 x8 x6 x4 x7 x2 x9 x5 x3 B B B B A A A A A A A A A A A A A A B B A 1 1 2 2 6 6 3 4 5
1 2 6 6 3 4 5
Esta tabla se ordena de manera directa a como fueron eliminados los renglones y columnas, resultando en E\V 3 7 1 6 4 2 5
x1 x8 x6 x4 x9 x5 x3 x7 x2 B B B B A A A A A B B A A A A A A A A A A 1 1 2 2 3 4 5 6 6
1 2 3 4 5 6 6
Finalmente, se forman los grupos. Cada movimiento horizontal de las variables más externas determinan el comienzo de un nuevo grupo, tal como se muestra en la siguiente tabla. E\V 3 7 1 6 4 2 5 GR
x1 x8 x6 x4 x9 x5 x3 x7 x2 GR B B 1 B B A 2 A A 2 A A 2 B B A 2 A A A A 3 A A A A A 3 1 1 2 2 2 2 2 3 3
De esta manera, se obtienen 3 grupos. El primer grupo consta de 1 ecuación y 2 variables, por lo que para ser capaz de resolver las ecuaciones de este grupo, una variable de diseño debe venir de este grupo, ya sea 1 ó 8 . El segundo grupo consta de 4 ecuaciones y 5 variables, por lo que este grupo se prodrá resolver si se especifica una variable de diseño, el mejor caso 30
INTRODUCCION A LA SIMULACION
es 6 . Finalmente, el tercer grupo consta de 2 ecuaciones y 2 variables, por lo que se pude resolver simultaneamente para 2 y 7 , o bien se puede tomar una de estas variables como variable cíclica para resolver el conjunto de 2 ecuaciones iterativamente. El método de solución es:
1. Asignar 8 (ó 1 ) como variable de diseño y sustituir en las ecs. 3, 7 y 2. En este caso se tomará 8 = como variable de diseño
2. Resolver 1 (ó 8 ) de la ecuación 3 y sustituir en las ecs. 2 y 5 15 7 13 10 6 1
1 = − −94 − 36 24 − 129 −55 + 9 133 + 44 9 −
−
= = = =
15 − 32 + 57 + 2 = 7 7
15 − 22 + 44 − 6 + 77 = 0 7
(Ec 3) (Ec (Ec (Ec (Ec
7) 1) 6) 4)
(Ec 2) (Ec 5)
3. Asignar 6 = como variable de diseño y sustituir en las ecs. 7 y 5 15 7 13 10 6 1
1 = − −94 − 3 24 − 129 −55 + 9 133 + 44 9 −
− ANÁLISIS ESTRUCTURAL
= = = =
15 − 32 + 57 + 2 = 7 7
15 − 22 + 44 − + 77 = 0 7
(Ec 3) (Ec (Ec (Ec (Ec
7) 1) 6) 4)
(Ec 2) (Ec 5) 31
4. Resolver 4 de la ecuación 7 y sustituir en las ecs. 1, 4 y 5
15 7 13 1 = − − 3 9
1 = −
(Ec 3)
4
(Ec 7)
2 26 − − − 129 3 9 −55 + 9 ¶ µ 52 4 133 − + 9 3 9 15 − − 32 + 57 + 2 7 4 15 52 − − 22 − − − + 77 7 3 9
= 10
(Ec 1)
= 6
(Ec 6)
= 1
(Ec 4)
= 7
(Ec 2)
= 0
(Ec 5)
5. Resolver 9 de la ecuación 1 y sustituir en las ecs. 6 y 4
15 7 1 13 = − − 3 9 29 1 = − − 18 27
1 = −
(Ec 3)
4
(Ec 7)
9
29 1 − = 6 18 27 2 142 1508 + = 1 133 + 2 2 + 27 81 243 15 − − 32 + 57 + 2 = 7 7 15 52 4 − − 22 − − − + 77 = 0 7 3 9 −55 −
(Ec 1) (Ec 6) (Ec 4) (Ec 2) (Ec 5)
6. Resolver 5 de la ecuación 6 32
INTRODUCCION A LA SIMULACION
7. Resolver 3 de la ecuación 4 15 7 13 1 − − 3 9 29 1 − − 18 27 1 191 − − 90 135 2 2 2 142 1265 − − − 351 1053 3159
1 = −
(Ec 3)
4 =
(Ec 7)
9 = 5 = 3 =
15 − 32 + 57 + 2 = 7 7 4 15 52 − + 77 = 0 − − 22 − − 7 3 9 −
(Ec 1) (Ec 6) (Ec 4) (Ec 2) (Ec 5)
8. Resolver 7 y 2 simultaneamente de las ecuaciones 2 y 5 15 7 1 13 − − 3 9 29 1 − − 18 27 191 1 − − 90 135 1265 2 2 2 142 − − − 351 1053 3159 1 45 + 842 + 70 + 842 + 63 231 1 −270 + 8822 − 1267 + 4202 + 315 693
1 = −
(Ec 3)
4 =
(Ec 7)
9 = 5 = 3 = 7 = 2 =
(Ec 1) (Ec 6) (Ec 4) (Ec 2) (Ec 5)
Ejemplo 1.4 Resuelva el siguiente problema haciendo uso de una estrategia orientada a las ecuaciones y compare la solución con la del Ejemplo 1.3. El proceso se muestra en la figura ANÁLISIS ESTRUCTURAL
33
7
1
1
3 2
2
5
4
3
6
Corrirnte 1 Corriente 3 Etanol: 50 lbmol/h Etanol: 100 lbmol/h Especificaciones Agua: 150 lbmol/h Agua: 50 lbmol/h 75 F 75 F 147 psia 147 psia Por la corriente 4 se va el 30 % de la corriente 3 Por la corriente 7 se va el 60 % de lo que entra en la unidad 2 Determinar los valores de las variables de las diversas corrientes.
34
INTRODUCCION A LA SIMULACION
2. MODELADO DE PROCESOS 2.1. MODELOS EN ESTADO ESTACIONARIO 2.1.1. Problema de Simulación Planteamiento del Problema El eter etílico se produce por la deshidratación de alcohol etílico en presencia de 2 4 a 140 ◦ C, de acuerdo a la reacción 22 5 −→ 2 5 2 5 + 2 Mediante el proceso que se describe a continuación: Producción de Eter Etílico R J
D
M-1
G
F
R-2
H
S-3
S-4
K
L
Donde: M-1 es Tanque de Mezclado R-2 es Reactor S-3 es Separador de Eter S-4 es Separador de Alcohol Se dispone de la siguiente información: 1. La corriente D está compuesta por 95 % (peso) de alcohol en agua. MODELADO DE PROCESOS
35
2. La corriente G es 2 4 al 93 % (peso) en solución acuosa. 3. En el reactor, la reacción es simple y con una conversión del 87 % (alfa) respecto del 2 5 4. En el separador de eter, el destilado es, practicamente, eter puro, sabiendo que en el fondo no se arrastra eter. 5. En el separador de alcohol se obtiene un destilado R (92 % en peso de alcohol en agua) que se recircula; mientras que en el fondo se obtiene una solución acuosa de 2 4 Para producir 2000 kg h de eter etílico, calcular las otras corrientes y sus composiciones, sabiendo que se recomienda en la alimentación del proceso, una relación 1 : 1 en peso de 2 4 Alcohol. Modelando el Proceso Definiciones para simplificar el proceso: ≡Alcohol ≡Agua ≡ 2 4 ≡Eter Balances de Material en M-1
R
x y
D
F
x y
M-1
G y z
x y z
Balances () (1) (2) (3) 36
: : : :
++= + = + + = =
A (2.1) (2.2) (2.3)
MODELADO DE PROCESOS
Restricciones (4) (5) (6) (7)
: : : :
+ = 1 + = 1 + = 1 + + = 1
(2.4) (2.5) (2.6) (2.7)
Se tienen: Ecuaciones: 7
⎧ D ⎪ ⎪ ⎨ Incógnitas: 13 ⎪ ⎪ ⎩
G
R
F
Grados de Libesrtad (GL): 13-7=6
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
Se tienen 613 = 1716 posibilidades de escoger ½ D G R Variables de diseño (comunes): ½ Variables de Estado=Ecuacines=7 F
el conjunto de las varibles de diseño ¾
¾
Balances de Material en R-2 F
H x y z
R-2
x y z w
Balances () (8) (9) (10) (11)
MODELOS EN ESTADO ESTACIONARIO
: : : : :
= = + C + C = = C =
(B) (2.8) (2.9) (2.10) (2.11) 37
Restricciones (7∗ ) (12)
: :
Ecuaciones auxiliares: =
+ + = 1 + + + = 1
Moles Consumidos Moles Entrantes
=
(7*) (2.12)
P
P
(2.13)
(13)
=
(14)
=
(2.14)
(15)
(2.15)
(16) (17) (18)
C = P C = P C = P
1 2 1 = 2
(2.16) (2.17) (2.18)
Se tienen: Ecuaciones: 12 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ Incógnitas: 19 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
F H C
C P
C P
P
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
© ª P P P , los cuales tamDe estas incógnitas se tienen 4 parámetros bien pueden considerarse como variables. Los parámetros son propiedades físicas bien definidas y con valor propio. Si descartamos los parámetros, solamente nos quedan 15 incógnitas ⎧ ⎫ F ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ H ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ C C C GL= 15 − 12 = 3
38
Se tienen 315 = 455 posibles combinaciones de escoger las variables de diseño. © ª Variables de diseño (comunes): F ⎫ ⎧ ⎨ H ⎬ Variables de estado: ⎭ ⎩ C C C
MODELADO DE PROCESOS
Balances de Material en S-3
J
w
H S-3
x y z w
K
x y z
Balances () (19) (20) (21) (22)
= + = = = =
(C) (2.19) (2.20) (2.21) (2.22)
+ + + = 1 + + = 1
(12*) (2.23)
: : : : :
Restricciones (12∗ ) (23)
: :
Se tienen: Ecuaciones: 6 Incógnitas: 10
½
H J K
¾
GL= 10 − 6 = 4 Se tienen 410 = 210 posibles combinaciones de escoger las variables de diseño. Variables de diseño (comunes): ½ J Variables de estado: K
©
H
MODELOS EN ESTADO ESTACIONARIO
¾
ª
39
Balances de Material en S-4 R
K
x y
S-4
x y z
L
y z
Balances () (24) (25) (26)
: : : :
=+ = = + =
(D) (2.24) (2.25) (2.26)
+ + = 1 + = 1 + = 1
(23*) (2.27) (6*)
Restricciones (23∗ ) (27) (6∗ )
: : :
Se tienen: Ecuaciones: 6
⎧ ⎨ K L Incógnitas: 10 ⎩ R GL= 10 − 6 = 4
⎫ ⎬ ⎭
Se tienen 410 = 210 posibles combinaciones de escoger las variables de diseño. © ª Variables de diseño (comunes): K Distribución de ¾ ½ L Variables de estado: R Ecuaciones de Diseño Adicionales Relación de alimentación recomendada (28) 40
=1
(2.28) MODELADO DE PROCESOS
Resolviendo el Problema: Solución Simultanea El sistema completo de ecuaciones queda como sigue: (1) : (2) : (3) : (4) : (5) : (6) : (7) : (8) (9) (10) (11) (12)
+ = + + = = + = 1 + = 1 + = 1 + + = 1 : : : : :
(13) : (14) : (15) : (16) : (17) : (18) :
(2.29a) (2.29b) (2.29c) (2.29d) (2.29e) (2.29f) (2.29g)
= + C + C = = C = + + + = 1 = P 1 = 2 1 = 2 C = P C = P C = P
(2.30a) (2.30b) (2.30c) (2.30d) (2.30e) (2.30f) (2.30g) (2.30h) (2.30i) (2.30j) (2.30k)
(19) (20) (21) (22) (23)
: : : : :
= = = = + + = 1
(2.31a) (2.31b) (2.31c) (2.31d) (2.31e)
(24) (25) (26) (27)
: : : :
= = + = + = 1
(2.32a) (2.32b) (2.32c) (2.32d)
MODELOS EN ESTADO ESTACIONARIO
41
(28) :
=
(2.33a)
Recomodando: Balances-Restricciones-Auxiliares (1) : (2) : (3) : (4) : (5) : (6) : (7) : (8) : (9) : (10) : (11) : (12) : (13) : (14) : (15) : (16) : (17) : (18) : (19) : (20) : (21) :
+ = + + = = = + C + C = = C = = = = = = = + =
(2.34a) (2.34b) (2.34c) (2.34d) (2.34e) (2.34f) (2.34g) (2.34h) (2.34i) (2.34j) (2.34k) (2.34l) (2.34m) (2.34n)
+ = 1 + = 1 + = 1 + + = 1 + + + = 1 + + = 1 + = 1
(2.35a) (2.35b) (2.35c) (2.35d) (2.35e) (2.35f) (2.35g)
(22) : (23) : (24) : (25) : (26) : (27) : (28) : 42
=
P
1 = 2 1 = 2 C = P C = P C = P =
(2.36a) (2.36b) (2.36c) (2.36d) (2.36e) (2.36f) (2.36g) MODELADO DE PROCESOS
Se tienen Ecuaciones: 28 Variables: 32 ⎫ ⎧ D ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ G ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ F ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ H ⎪ J K ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ L ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ R ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ C C C ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ © ª Parámetros: 4 P P P GL=32 − 28 = 4 En el enunciado del problema se debe haber dado información de 4 variables de diseño. NOTA: Cuando el número de variables involucradas en una ecuación es menor que los GL, todo el conjunto de variables de la ecuación no debe escogerse como variables de diseño. En caso de que todo el conjunto se escoja como variables de diseño, se deberá: (1) checar que la ecuación sea congruente y (2) eliminar la ecuación y adicionar una nueva variable de diseño. Asiganando los valores proporcionados: P P P
= = = = = = = =
087 46 18 74 095 093 2000 092
Sustituyendo estos valores y reacomodando las ecuaciones de acuerdo a las siguientes reglas (aplicadas a cada ecuación): 1. Eliminar los términos racionales 2. Eliminar los términos que incluyan logarítmos 3. Eliminar los términos con raíces 4. Despejar y sustituir los terminos constantes MODELOS EN ESTADO ESTACIONARIO
43
5. Eliminar cualquier término que pueda causar indeterminaciones matemáticas. El Sistema de Ecuaciones se transforma en: 095 + 092 = + + = 093 = = + C + C = = C = = = = = 2000 = 092 = + =
(2.37a) (2.37b) (2.37c) (2.37d) (2.37e) (2.37f) (2.37g) (2.37h) (2.37i) (2.37j) (2.37k) (2.37l) (2.37m) (2.37n)
(15) : (16) : (17) : (18) : (19) : (20) : (21) :
095 + = 1 + 093 = 1 092 + = 1 + + = 1 + + + = 1 + + = 1 + = 1
(2.38a) (2.38b) (2.38c) (2.38d) (2.38e) (2.38f) (2.38g)
(22) :
= 1891 3 × 10−2 1 = 2 1 = 2 C = 46 C = 18 C = 74 095 = 093
(2.39a)
(1) : (2) : (3) : (4) : (5) : (6) : (7) : (8) : (9) : (10) : (11) : (12) : (13) : (14) :
(23) : (24) : (25) : (26) : (27) : (28) : 44
(2.39b) (2.39c) (2.39d) (2.39e) (2.39f) (2.39g) MODELADO DE PROCESOS
Simplificar el sistema de ecuaciones para resolver simultaneamente el menor número posible de ecuaciones no lineales. Esta tarea se realiza con la ayuda de la TABLA DE INCIDENCIAS
E\V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
H K L R yD yG xF yF zF xH yH zH wH xK yK zK yL zL yR Cx Cy Cw cx cy cw A B B B B B B B B B B A B B B A B B B B B A B B B B B B B B B B B B B B B A B B B B B B B B B B B A A A A A A A A A A A A A A A B B A A A A A A A A A A A
D G F A B B B B A B B B B
A A
Aplicando el algoritmo de Ordenamiento de Ecuaciones se tiene
MODELOS EN ESTADO ESTACIONARIO
45
E\V 11 10 9 20 8 19 14 17 21 12 13 6 3 1 28 18 16 2 15 22 24 7 27 23 5 26 4 25 VGL
wH H zK zH B B B B B B A B A A B
K yK yH xK xH zL L
yR yL R zF F
B B B B A A B B B A A B B B A A B B B
B
B
A A B B B B
B
B B B B A B A B
B
B B
B B
B B
B
B B
B
3 8 3 3 6 3 3 3 3 2 2 3 2 4 3 7 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13
G xF D yF yG yD cx cw Cw cy Cy Cx EGL 2 4 4 3 4 4 4 1 2 3 6 4 A 3 B A 4 A A 2 A A 3 A 1 B B B B B 8 A 1 B A 3 A A 2 A 3 A A 2 A A 2 B A 5 A A 2 B A 5 A A 2 3 4 3 3 2 2 4 2 2 2 2 2 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
27 24 22 21 20 20 18 17 16 15 15 13 12 10 10 9 8 7 7 6 5 4 4 3 2 2 1 1
Aplicando el algoritmo de Agrupamiento de Variables se obtiene la siguiente tabla
46
MODELADO DE PROCESOS
E\V 17 16 15 11 7 27 24 23 26 25 10 9 20 8 19 12 14 21 13 6 3 28 1 22 4 18 2 5 VGL O Gr
yR yG yD H wH Cw cw cx cy Cy Cx K zH zK yH yK A A A B B B B A A A A A A A A A A A B B B B B B B B A A B B A A A B B B B
B B
B B
A B B
B
A
B
B 3 2 2 8 28 27 26 25 1 1 1 2
3 25 2
A B 2 2 4 2 2 2 6 3 3 3 3 24 23 22 21 20 19 18 18 18 17 17 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4
MODELOS EN ESTADO ESTACIONARIO
xK xH R L zL yL F zF G D xF yF EGL 1 1 1 2 3 2 2 2 2 2 4 4 A 3 B B 4 A 4 B A 3 B B 4 A A 2 B B B 6 B B 4 B B A 3 A A 2 A B A B 4 B B 3 B B B 5 A A A 3 B B B B B 8 B B 5 3 3 4 2 2 2 7 3 3 3 4 3 16 15 13 12 12 11 9 9 8 7 6 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6 6
O Gr 28 1 27 1 26 1 25 2 24 2 23 2 22 2 21 2 20 2 19 2 18 3 17 4 16 4 15 4 14 4 13 4 12 5 11 5 10 5 9 6 8 6 7 6 6 6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 6
47
Interpretando la información de la tabla de incidencias: Tomar , , , , , como variables iterativas∗ y resolver las ecuaciones de la manera siguiente 1. De 17−→ V 13, 2 2. De 16−→ V 2 3. De 15−→ V 2 4. De 11−→ ( ) V 7, 10, 9, 8, 6,4, 5 5. De 7−→ C V 27 6. De 27−→ V 24 7. De 24−→ V 23, 25, 22 8. De 23−→ V 26 9. De 26−→ C V 5 10. De 25−→ C V 4 11. De **10−→ ( ) V 9, 8, 12, 14, 13 12. De **9−→ ( ) V 19, 5 13. De 20−→ V 8, 12 14. De 8−→ V 19, 4 15. De 19−→Usar para Solución Simultanea 16. De 12−→ V 13, 1, 2 17. De **14−→ ( ) V 13 18. De 21−→ V 13 19. De 13−→ Usa para Solución Simultanea 20. De **6−→ ( ) V 3, 1, 22, 4, 2, 5 21. De 3−→ V 28, 2 22. De 28−→ V 1, 2 48
MODELADO DE PROCESOS
23. De 1−→ V 22, 4, 18 24. De 22−→ Usa para Solución Simultanea 25. De 4−→ Usa para Solución Simultanea 26. De 18−→ V 2, 5 27. De 2−→ Usa para Solución Simultanea 28. De 5−→ Usa para Solución Simultanea Despues de aplicar las reglas anteriores se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: = 008 = 007 = 005 2000 = C = 2000 1000 = = 27027 37 2000 = 54054 = 37 1000 = = 27027 37 18 000 C = = 48649 37 92 000 C = = 24865 37 = 2000 = = − − + 1 = − ( + − 1) ∗ ∗ 0 = + −
= −21739 ( + − 10)
= − + 1 ∗ ∗ 0 = 2173 9 + 2173 9 − 20000 − 173 91 = 2000
MODELOS EN ESTADO ESTACIONARIO
49
= 21505 = 21052 = 2000
30 + 125 × 105 − 125 × 105 −4 54 054 + 9 078 2 × 10 + 37 826 − 37 826 20000 − 2486 5 1 250 0 × 105 − 1 25 × 105 + 1 25 × 105 − 1 25 × 105 −80 × 10−6 2290 1 − 2391 3 + 2391 3 − 22000 −370 − 370 + 370 + 90
= −80 × 10−6 ∗∗0 = ∗∗0 = = ∗∗0 = ∗∗0 =
Resolviendo simultaneamente solo las 6 ecuaciones algebraicas no-lineales + − 21739 + 21739 − 20000 − 17391 54054 + 9078 2 × 10−4 + 37826 − 37826 20000 − 24865 22901 − 23913 + 23913 − 22000 −370 − 370 + 370 + 90
= = = = = =
0 0 0 0 0 0
Se tiene la siguiente solución múltiple { = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = } { = 0 = 0 = 0 = 0 = 10 = } ª © = 0 = 0 = 0 = 0 = 7 999 9 × 10−2 = { = 0226 48 = 0436 61 = 0755 54 = 0436 62 = 0672 95 = 0351 19} Pudo haberse hecho un nuevo análisis sobre estas 6 ecuaciones, dando como resultado E\V wH zH 19 B B 13 22 B B 4 B B 2 5 B B
zK B B B B B B
yK zL zF B B
B
B
Antes del Análisis 50
B B
E\V wH zH 4 B B 19 B B 5 B B 2 22 B B 13 VGL 4 4
zK B B B B B B 6
zF yK zL EGL 3 3 B 4 B B 3 B 4 B B 3 2 3 1
Despúes del Análisis MODELADO DE PROCESOS
Lo cual indica resolver un sistema simultaneo de 2 ecuaciones en 2 incógnitas. Sustituyendo la solución viable, en cada⎫una de las ecuaciones para las incógnitas se tiene: ⎧ = 26174 = 005 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = 26737 = 007 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = 56949 = 0501 86 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −2 ⎪ ⎪ = 56949 = 6 151 7 × 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = 36949 = 0436 62 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −2 ⎪ = 6 524 2 × 10 ⎪ ⎬ ⎨ = 32910 = 40385 = 0146 94 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ C = 24865 = 0436 62 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ C = 48650 = 0351 19 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ C = 20000 = 0100 56 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = 0244 46 = 0226 48 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = 0755 54 = 0672 96 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ = 008 Finalmente para = 087 se tiene: Producción de Eter Etílico R J
D G
M-1
F
R-2
H
S-3
S-4
K
Corrirnte Flujo Alcohol Agua 2 4 Eter
L
D G F H J K L R kg h 26174 26737 56949 56949 2000 36949 32910 4039 % 950 0 502 65 0 101 0 920 % 50 70 62 147 0 226 244 80 % 0 930 437 437 0 673 756 0 % 0 0 0 351 100 0 0 0
MODELOS EN ESTADO ESTACIONARIO
C
P
24865 46 4865 18 0 0 20000 74
51
Resolviendo el Problema: Solución Modular Secuencial Observese que existe un reciclo en el cual estan involucrados los 4 equipos. Con un análisis de reciclos se podrá determinar la corriente de corte y la secuencia de solución dentro del reciclo. La estrategia de solución modular secuencial supone que se conoce la información de las corrientes de entrada, pero en este problema particular se tiene información de una corriente de salida, lo que hace que se tenga que suponer adicionalmente la información de una corriente de entrada y checar convergencia con la corriente de salida proporcionada. Esto hace que este problema tenga dos ciclos: uno interno sobre el reciclo y uno externo sobre las corrientes de entrada-salida. Primero se tendrá que obtener convergencia sobre el ciclo interno (reciclo) y finalmente sobre el ciclo externo (entradas-salidas). A continuación se marca paso a paso el procedimiento para resolver el problema de manera modular secuencial: 1. Se determinan las corrientes de corte y la secuencia de solución en el reciclo. La tabla original es E\C M-1 R-2 S-3 S-4
D EX
G EX
F S E
H
J
K
L
R E
S E
SX
S E
SE
S
H
J
K
L
S E
SX
S E
SE
y la tabla con la mejor secuencia es E\C M-1 R-2 S-3 S-4
D EX
G EX
R E
S
F S E
Se toma la corriente como corriente de corte y la secuencia de solución en el reciclo será: M1-R2-S3-S4 ½ ¾ D=2000 R=500 2. Especificar para resolver simultaneamente las = 095 = 093 = 092 ¾ ½ G ecuaciones A∼2.7 (en el mezclador) para encontrar F Nota: Los valores de D y G estan relacionados por la relación 1 : 1 de Alcohol/Acido de la ecuación 2.28 (se asignan valores a D y se calcula G con la ecuación). Los valores de , y son especificados en el problema. 52
MODELADO DE PROCESOS
= 0456 16 23600 = 2000 + + 500 = = 6 323 5 × 10−2 93 = = 51736 + + = 1 = 0480 6 , Resolviendo: 19000 = 93 = 20430 95 + = 1 = 005 + 93 = 1 = 007 92 + = 1 = 008 © ª 3. Los valores F= 51736 = 0456 16 = 0063235 obtenidos del mezclador se toman como variables de diseño las ecuaciones B∼2.18 ⎧para resolver simultaneamente ⎫ ⎨ H ⎬ (en el reactor) para encontrar ⎩ ⎭ C C C
= 5930 1 × 10−2 23600 = + C 32715 + C = = 0140 88 (51736) = = 0480 60 C = = 51736 = 0480 61 0519 40 + = 1 + + + = 1 = 0319 22 , Resolviendo: = 44635 = 44635 1 = 2 = 22318 = 22318 = 12 C = 20532 C = 46 C = 40172 C = 18 C = 16515 C = 74 © ª 4. Los valores H= 51736 = 5930 1 × 10−2 = 0140 88 = 0480 60 obtenidos del reactor se toman como variables de diseño para resolver ¾ las ecua½ simultaneamente J ciones C∼12* (en el separador de eter) para encontrar K = 8710 8 × 10−2 306 80 = 728 86 = = 0206 94 2486 4 = = 35221 , Resolviendo: J = 16515 (51736) = = 0319 22 0680 78 + = 1 + + = 1 = 0705 95
Nota: El valor de J calculado es igual al especificado en el problema? Qué hacer? ª © 5. Los valores K= 35221 = 8710 8 × 10−2 = 0206 94 obtenidos del separador S-3 y se toman como variables de diseño para resolver simultaneamente las MODELOS EN ESTADO ESTACIONARIO
53
ecuaciones D∼23* (en el separador de alcohol) para encontrar R = 33348 3068 = 092 = 0220 22 72886 = + (35221) = = 31886 , Resolviendo: = 0705 95 0294 05 + = 1 + = 1 = 0779 78 092 + = 1 = 008
½
L R
¾
6. Si el valor de R obtenido en S-4 es igual al valor de R supuesto en el paso 1, entonces se ha obtenido convergencia en el RECICLO. En caso contrario, tomar el nuevo valor de R y repetir los pasos del 1 al 4 hasta alcanzar convergencia. Despúes de alcanzar convergencia se tiene: Corrirnte Flujo Alcohol Agua 2 4 Eter
D G F H J K L R kg h X 20430 43516 43516 15283 28234 25147 3086 % X 50186 6524 3 10056 X % 5 70 6151 7 146 94 22648 24446 8 % X 43662 43662 67296 75554 % 35119 100
C
P
19000 37174
X X
1528 3 X
7. Despúes de alcanzar convergencia en el reciclo, se procede a checar la convergencia en el flujo de salida J obtenido. Si el valor de J es igual al valor especificado en el problema, entonces se ha obtenido la SOLUCION. En caso contrario, cambiar de una manera apropiada el valor de D y repetir los pasos del 1 al 5 hasta alcanzar la solución. A partir de = 2000 se alcanzó = 15283, por lo que el nuevo valor de para alcanzar el valor deseado de = 2000 es 2000 = (2000) = 26173 15283 A partir de = 2000 se alcanzó = 3086, porlo que el nuevo valor de para alcanzar el nuevo valor de = 26173 (correspondiente a = 2000) es = (26173)
3086 = 40385 2000
Con estos valores de y se llega a la solución, despúes de alcanzar convergencia en el reciclo. NOTA: En un Problema de balances de material, los Flujos son transparentes (escalables), es decir, si un flujo de entrada se multiplica por un factor entonces los flujos de salida quedan multiplicados por ese factor. Obsérvese que en este caso solo será necesario escalar los flujos totales. 54
MODELADO DE PROCESOS
2.1.2. Problema de Diseño La figura muestra un sistema de intercambio de calor que se lleva a cabo en dos equipos en serie y estado estacionario. Las ecuaciones que describen el sistema consisten básicamente en balances de energía y ecuaciones de diseño para cada intercambiador, y son las siguientes:
T1f
mh , c h , Tho
T2f
mh , c h , Thf
Thi
K1 , U 1 , A1
K 2 , U 2, A2
m 1 , c 1 , T 1o
m 2 , c 2 , T2o
1 : 1 = ( − ) 1 : 1 = 1 1 (1 − 1 ) 1 : 1 = 1 1 ∆1 1 = 1 ( 1 1 1 1 ) ( − 1 ) − ( − 1 ) ´ ³ ∆1 = −1 ln −1
(1) (2) (3) (4)
2 : 2 = ( − ) 2 : 2 = 2 2 (2 − 2 ) 2 : 2 = 2 2 ∆2 2 = 2 ( 2 2 2 2 ) ( − 2 ) − ( − 2 ) ´ ³ ∆2 = −2 ln −2
(6) (7) (8) (9)
Para el intercambiador 1:
(5)
Para el intercambiador 2:
MODELOS EN ESTADO ESTACIONARIO
(10)
55
Se tiene: Ecuaciones: 10⎧ 1 ∗ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎨ ∗1 1 Variables: 23 2 ∗ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∗2 ⎪ ⎪ ⎩ 2 ∆ ∗2 ½ 2 1 1 Parámetros: 5 2 2 GL=23 − 5 − 10 = 8 La tabla de incidencias es: E\V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q1 A A A
Q2
A A A
Thi B
E E B
T1f
m1
B
B
E E
E
∗ ∗ ∗1 1 1 ∆1 2 ∗2 2 2 ∗ ¾ 1
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
U1
A1 DT1 m2
B A
B
T2f
U2
A2 DT2 mh Tho T1o Thf T2o B B B
B E A B B
E E
E
E E
E E B
B E E
B B A
B
B E A
E E
E E
Aplicando el algorítmo E\V DT2 T2f T2o Thf Thi m2 mh U2 10 A E E E E 9 E E E E E E A 6 B B B 7 B B B 8 B B 5 E 1 B B 2 4 E E 3 VGL 2 3 3 3 6 2 4 2
Q2 A2 DT1 T1f T1o Tho Q1 m1 U1 A1 EGL 5 7 A 4 A 4 A B 4 A E E E 5 B A 4 B B A B 4 E E E E A 7 B A B B 4 3 1 2 3 3 3 3 2 2 1
Variables de diseño: Fijar los valores de las variables Seguir el procedimiento: 56
½
T2 T2 T T m2 (ó m ) T1 T1 T
¾
MODELADO DE PROCESOS
1. De 10−→ ∆2 V 8 2. Simultaneas 9, 6, 7−→ 2 2 V 8, 1, 4 3. De 8−→ 2 V 4. De 5−→ ∆1 V 3 5. De 1−→ 1 V 2, 3 6. De 2−→ 1 V 4 7. De 4−→ 1 V 3 8. De 3−→ 1 V
2.2. MODELOS EN ESTADO TRANSITORIO 2.2.1. Tanque de Almacenamiento En la figura se muestra el proceso
Balance de material (1) : MODELOS EN ESTADO TRANSITORIO
= − 57
Ecuaciones auxiliares (2) (3) (4) (5)
: : : :
= = = =
Si el fluído sale por gravedad, aplica
√ =
(6) :
Si se tiene la suposición de mezclado perfecto: (7) :
=
Para líquidos a temperatura contante se tiene densidad constante: (8) :
=
De esta manera: Ecuaciones: 8 ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ Variables: 12 ⎩ ⎭ GL= 12 − 8 = 4 La Tabla de Funcionalidad es E\V m 1D 2A 3 4 5 6 7 8
ρi
Mi Mo ρ A A B A A
ρo
V
Fi
Fo h
A
β
B B
B B
B A
B C
A A A
B B
A A
Aplicando el algoritmo de ordenamiento E\V Fo h 1 6 A C 5 B 7 8 4 B 2 3
58
β
A
V
B
A
ρ
ρo
A A
A
ρi Mo m A D
Fi Mi A
B
A B
B
A
B
A B
B
A
MODELADO DE PROCESOS
Observese que de la tabla de funcionalidad ordenada encontramos que las variables de diseño se obtienen de los conjuntos { }, { }, { } y { }. En este caso se escogen, de manera prioritaria, las variables de diseño que tienen la funcionalidad mayor (orden de prioridad: , , y ). De esta manera, las variables de diseño seleccionadas serán { } Aplicando la estrategia de sustitución obtenida de la tabla de funcionalidad. Primero se ordenaran las ecuaciones de acuerdo a como aparecen en la tabla y depúes se harán las sustituciones. Ordenando las ecuaciones (1) : (6) (5) (7) (8) (4) (2) (3)
: : : : : : :
= − √ = = = = = = =
Haciendo las sustituciones:
(1) : (6) (5) (7) (8)
: : : :
(4) : (2) : (3) :
√ () = − √ = = = = √ = = =
Recuérdese que las variables de diseño escogidas fueron { }, sin embargo, de estas variables de diseño se debe asignar una para resolverse con la ecuación diferencial (ecuación 1). Las variables apropiadas para resolverse con la ED son las que aparecen involucradas dentro del diferencial, en este caso { }, y de este grupo, la variable de estado por exelencia es la altura . Ya escogida la variable de estado, se debe hacer un estudio de las otras variables del grupo de la diferencial (en este caso y ) para ver si dependen o no MODELOS EN ESTADO TRANSITORIO
59
del tiempo. En caso de que o dependan del tiempo, se tendrá que buscar una expresión de éstas variables en función del tiempo o en función de la variable de estado . Para este caso en particular y son constantes, por lo que la ecuqación 1 se puede arreglar como: (1) :
√ = −
Una de las 5 variables de diseño queda asignada con la ecuación 1 (en este caso ), por lo que ahora las variables de diseño serán { }, pero como no aparece en la EDO, entonces no es necesaria para resolverla. Así pues, asignando los valores de las variables de diseño { } y resolviendo la ecuación 1, se resuelve por completo el problema.
2.2.2. Calentador de Tanque Agitado El proceso es descrito por la figura
NOTA: Se supone agitación perfecta por lo que las propiedades a la salida son iguales que en el bulto. Balance de material (1) : = − Balance de energía (2) : 60
= − + + MODELADO DE PROCESOS
Otras ecuaciones (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15)
: : : : : : : : : : : : :
= = = = = = = (+ + ) = = − = − = ( − ) = ( − ) = + −
Se tienen: Ecuaciones: 15⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ Variables: 27 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ GL=27 − 15 = 12 La matriz de funcionalidad es: E\V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
m Mi M D A A
e
εi
ε
Q
W
D
A
A
A
A
A
ρ
ρi
B A
V
F
B
E
B
Ui Ws P
Pi
H
Hi
T
Ti
c
ci
Tr
B
B B
B B
A B
U
B
A B
Ei
B B
A
Fi
B A
B A
A A
B
A A
B
B A
A B
A A
B A
A
B
B
A
B
B B
B
Aplicando los algoritmos de ordenamiento
MODELOS EN ESTADO TRANSITORIO
61
E\V ci 1 2 14 B 13 12 10 11 9 15 5 8 4 7 3 6
Hi
Ti
Tr
A
B
B B
c
B
H
A
A
T
Pi Ui
ρi
Ei
P
U
ρ
E
F
Fi
W Ws M A A
ε
Mi A
A
εi
m D
V
A
e
Q
D
A
B B
A A
B A
A
B B
A A
B A
B
B B
B
B
A
A A B
B B
B B B B
A A B
A A B
B A
Observe que de la tabla de funcionalidad ordenada se encuentran las variables de diseño de los conjuntos { }, { }, { }, { }, { }, { }. En este caso se escogerán, de manera prioritaria, las variables de diseño que tienen la funcionalidad mayor (prioridad: , , y ). De esta manera, las variables de diseño seleccionadas serán { }. Aplicando la estrategia de sustitución obtenida de la tabla de funcionalidad. Primero se ordenaran las ecuaciones de acuerdo a como aparecen en la tabla y depúes se harán las sustituciones. Ordenando las ecuaciones (1) : (2) : (14) (13) (12) (10) (11) (9) (15) (5) (8) (4) (7) 62
: : : : : : : : : : :
= − = − + + = ( − ) = ( − ) = − = = − = (+ + ) = + − = = = = MODELADO DE PROCESOS
(3) : (6) :
= =
Haciendo las susutituciones (1) : (2) : (14) (13) (12) (10) (11) (9) (15) (5) (8) (4) (7) (3) (6)
: : : : : : : : : : : : :
( ) = − [ ( − ) − ] = ( − ) − ( − ) + + = ( − ) = ( − ) = ( − ) − = ( − ) − = ( − ) − = ( − ) − = + − = = ( ( − ) − ) = = ( ( − ) − ) = = ( ( − ) − )
En este sistema se deben resolver simultaneamente las ecuaciones (EDO) 1 y 2, las cuales involucran 6 de las 14 variables de siseño { } dentro de la derivada. De estas 6 variables se deben asignar 2 variables de estado para resolverse con las dos EDO. Lo natural es asignar a la ecuación 1 y a la ecuación 2. De esta manera, se deberá investigar que pasa con las otras 4 variables de las derivadas { }. De acuerdo al procedimiento se sabe que y son constantes. Por otro lado, debido a que se tiene un sistema líquido, y se pueden considerar constantes, y en caso de no serlo se deberán buscar expresiones de y en función de y (por ejemplo = ). De esta manera las variables de diseño serían { }. Tomando esto en cuenta y reacomodando las EDO se tiene (1) : (2) : :
= − [ ( − ) − ] + ( ( − ) − ) = ( − ) − ( − ) + +
MODELOS EN ESTADO TRANSITORIO
63
La ecuación 1 se sustituye en la ecuación 2 y resulta = − µ ¶ [ ( − ) − ] + ( ( − ) − ) − = ( − ) − ( − ) + +
(1) : (2) : : Simplificando (1) : (2) :
= − µ ¶ = [ ( − ) − ( − )] + − + +
Es práctica común tomar la temperatura de referencia igual a la temperatura de la entrada , por lo que − = 0, entonces (1) : (2) :
64
= − µ ¶ + =− ( − ) + − +
MODELADO DE PROCESOS
3. OPTIMIZACION 3.1. Bases Matemáticas Un problema de programación matemática u optimización, se puede establecer en forma general como Determinar , el cual minimiza o maximiza () sujeto a () = () ≤
= 1 2 = 1 2
(3.1) (3.2)
donde es un vector de diseño con dimensiones, () es la función objetivo; () son las restricciones de desigualdad; () son las restricciones de igualdad, y y son constantes.
2 -10 -8 -6 -4 -2
2
4x6
8 10
0 -2 -4 y-6 -8 -10
Los problemas de optimización se pueden clasificar con base en la forma de () como 1. Programación lineal.- Si () y las restricciones son lineales. 2. Programación cuadrática.- Si () es cuadrática y las restricciones son lineales. 3. Programación no-lineal.- Si () es no-lineal y/o las restricciones son no-lineales. OPTIMIZACION
65
Ademas cuando las ecuaciones (3.1) y/o (3.2) estan incluidas en el problema, tenemos un problema de optimización restringida; de otra forma es un problema de optimización no-restringida. Otra manera de clasificar los problemas de optimización, depende del tipo de varibles que se tenga. Por ejemplo, un problema de optimización que involucre solamente variables enteras, es decir variables que toman unicamente valores enteros, se denomina programación entera; un problema que involucra solamente variables reales se denomina de programación no-entera, mientras que uno que involucre tanto variables enteras como reales se denomina programación mixta-entera. En este curso trataremos únicamente con problemas de programación no-entera. Una manera más en la cual se clasifican los problemas de optimización es mediante la dimensionalidad, con lo cual se clasifican los problemas en unidimensionales y multidimensionales. Como su nombre lo indica, los primeros involucran funciones que dependen de una sola variable, = 1, mientras que los problemas multidimensionales involucran funciones que dependen de dos o más variables, ≥ 2. Finalmente, el proceso de encontrar un máximo versus encontrar un mínimo es en esencia idéntico, ya que el mísmo valor, ∗ , minimiza () y maximiza − (). Esta equivalencia se ilustra en forma gráfica por una función unidimensional en la figura siguiente
1 0.5
-1
-0.5
0
0.5 x
1
-0.5 -1
3.2. Optimización Univariable: Problemas Max-Min La primera aplicación de la derivada esta dirigida a la maximización o minimización de funciones. Suponga que = () es una función y se desea conocer los valores mayor y menor de para en algún dominio conocido. En la mayoría de los casos los valores máximo o mínimo se encuentran en un "turning point", el cual es un máximo o mínimo local. 66
OPTIMIZACION
6
y4
2
-2
-1
0
1x
2
Existen otros puntos diferentes a los turning poits donde la línea tangente puede ser horizontal. Por ejemplo la gráfica = 5( − 1)3 + 2 6
2
-1
0
1
x
2
3
-2
tiene una tangente horizontal en = 1, el cual es un punto de inflexión (no es máximo ni mínimo local). Los valores de en los cuales estan los turning point como los puntos de inflexión se conocen como puntos críticos, ∗ . En los puntos críticos, la línea tangente es horizontal por lo que la primera derivada debe ser igual a cero (∗ ) = 0 (∗ ) = 0
(3.3)
De esta manera los puntos críticos, se obtienen resolviendo para ∗ la ecuación anterior. Evaluando () en los puntos críticos se puede determinar el valor máximo o mínimo de () sobre los valores preescritos de ∗ . El encontrar los puntos críticos se puede realizar de diferentes maneras, las cuales se explican a continuación. OPTIMIZACIÓN UNIVARIABLE: PROBLEMAS MAX-MIN
67
3.2.1. Métodos Analíticos En este caso se tendrá que disponer de la forma explícita de la función objetivo = (), 2 00 su primera derivada = 0 () y la segunda derivada 2 = (). De esta manera se resolverá para ∗ la ecución no-lineal (3.3) y todos los valores ∗ que cumplan con la identidad serán los puntos críticos. Para determinar el tipo de punto crítico se sustituirá en la expresión de la segunda derivada, de acuerdo al siguiente criterio 00 (∗ ) 0 00 (∗ ) 0 00 (∗ ) = 0
Mínimo Máximo Punto de Inflexión
Cabe mencionar que cuando ∗ no se puede resolver analíticamente de la ecuación (3.3), se hace uso de los métodos numéricos para la solución de ecuaciones no-lineales. Tales métodos son: Bisección, Secante, Newton-Raphson, etc. Ejemplo 3.1 Se desea enfriar un gas ( = 03 ) desde 195 a 90 F, usando agua de enfriamiento a 80 F. El agua cuesta $0021000 lb, y los cargos fijos anuales para el intercambiador son $050ft2 de superficie interna, con un diametro de 00875ft. El coeficiente de transferencia de calor es = 8 · para un flujo de gas de 3000lb/h. Optimice los costos 2 · del intercambiador suponiendo un intercambiador de tubos concéntricos a contracorriente.
Ejemplo 3.2 Minimizar el costo de una caja de un volumen dado: Una caja de base cuadrada en el fondo y domo se mantendrá en 250 in3 . Si el material de los lados tiene un costo de $003 por in2 mientras que el material para el fondo y el domo tiene un costo de $008 por in2 , determine las dimensiones de la caja para las cuales el costo es mínimo. ¿cuál es el mínimo costo en pesos?
h
x 68
x OPTIMIZACION
Ejemplo 3.3 Maximizar el área de un rectángulo inscrito en una elipse: Determine las dimensiones (base y altura) del rectángulo de mayor área inscrito en la elipse 42 + 9 2 = 36. ¿cual es el área del rectángulo más grande?
Ejemplo 3.4 Minimizar la Distancia desde (0,1) al punto en = 2 : Encontrar el (los) punto(s) en la parábola = 2 que sea(n) más cercano(s) al punto (0 1).
3.2.2. Optimización por medio de Software (Excel)
Hoy en día es común el uso de la computadora para resolver problemas por medio de software especializado. En este apartado se explicará la manera en que se puede usar el paquete de software Excel para resolver problemas de Optimización. Excel cuanta con una herramienta de cálculo llamada Solver. El Solver es un add-in a Excel con el cual se pueden resolver sistemas de ecuaciones o bien se pueden resolver problemas de optimización multivariable con restricciones. El punto clave para resolver problemas de optimización con Excel es plantear la función objetivo y las restricciones (sobre todo las de igualdad) adecuadamente sobre la hoja. Para hacer uso de Solver sobre Excel se obtiene desde: Herramientas-Solver..., tal como se muestra en la figura OPTIMIZACIÓN UNIVARIABLE: PROBLEMAS MAX-MIN
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De esta manera se obtiene la ventana del Solver
La ventana se llena de la manera siguiente: La Celda objetivo es llenada con la celda de la hoja que contiene el cálculo de la Función Objetivo En el Valor de la celda objetivo se escoje el tipo de problema que se desee trabajar: Máximo, Mínimo o Solución algebraica de un sistema de ecuaciones. 70
OPTIMIZACION
En Cambiando las celdas se llena con las celdas de la hoja que contienen los cálculos de la Variables de Diseño En Sujetas a las siguientes restricciones se colocan todas las restriccions de igualdad y desiguladad que contiene el problema. Aqui tambien se puede especificar si las variables son enteras y/o binarias. En el botón de Opciones... se puede elegir el método numérico de solución y las estrategias de convergencia. Ahora se presentan algunos ejemplos Ejemplo 3.5 Resolver el problema del Ejemplo 3.1 con Excel. Ejemplo 3.6 Minimizar el costo de una caja de un volumen dado: Resolver el problema del Ejemplo 3.2 con Excel. Ejemplo 3.7 Maximizar el área de un rectángulo inscrito en una elipse: Resolver el problema del Ejemplo 3.3 con Excel. Ejemplo 3.8 Minimizar la Distancia desde (0,1) al punto en = 2 : Resolver el problema del Ejemplo 3.4 con Excel.
3.2.3. Métodos Gráficos En los casos en que se disponga de una función objetivo explícita = (), a menudo, con su representación gráfica, se puede determinar de forma aproximada la posición de los puntos críticos. Además, se puede ver lo que esta pasando en los puntos críticos y determinar cuales son máximos locales y cuales son mínimos locales. 2
Ejemplo 3.9 Encontrar de forma gráfica los puntos críticos de la función () = 2 sin − 10
3.2.4. Métodos Numéricos En caso de disponer solamente de forma explícita de la función objetivo = (), o sólo una aproximación numérica de ella, es conveniente usar metodos numericos para la optimización univariable. Dentro de estos métodos destacan: sección dorada, interpolación cuadrática y newton. OPTIMIZACIÓN UNIVARIABLE: PROBLEMAS MAX-MIN
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Sección Dorada Este es un método de intervalos cerrados. Supondremos que se maximiza una función ().
El método comienza con dos valores iniciales, y , que contienen un extremo local de (). Después, dos puntos interiores 1 y 2 se escogen de acuerdo con la razón dorada, √ 5−1 = ( − ) = 0618 03 ( − ) 2 1 = − 2 = + La función se evalúa en estos dos puntos interiores. Dos resultados pueden ocurrir: 1. Si, como es el caso de la figura (a), (1 ) (2 ), entonces el dominio de a la derecha de 2 (el intervalo entre 2 y ) se puede eliminar, ya que no contendrá el máximo. Para este caso, 2 pasa a ser el nuevo , 1 pasa a ser 2 y seguirá siendo . 2. Si, como es el caso de la figura (b), (2 ) (1 ), entonces el dominio de a la izquierda de 1 (el intervalo entre y 1 ) se puede eliminar, ya que no contendrá el máximo. Para este caso, 1 pasa a ser el nuevo , 2 pasa a ser 1 y seguirá siendo . Ahora, éste es le beneficio real del uso de la razón dorada. Debido a que los 1 y 2 originales se han escogido mediante la razón dorada, no se tiene que recalcular los valores de la función para la siguiente iteración. Como las iteraciones se repiten, el intervalo que contiene el extremo se reduce rápidamente. De hecho en cada vuelta el intérvalo se reduce por un factor de la sección dorada 72
OPTIMIZACION
(aproximadamente el 618 %). Esto significa que después de 10 vueltas el intérvalo se acorta a 061810 = 0008 o 08 % de su longitud inicial. Un criterio útil para probar la convergencia en cada iteración, esta definido en porcentaje como à √ !¯ ¯ 3 − 5 ¯¯ − ¯¯ = 100 ¯ ¯ 2 donde es el mejor valor de 1 y 2 en la iteración actual.
Ejemplo 3.10 Use la búsqueda de la sección dorada para encontrar el máximo de () = 2 2 sin () − 10 dentro del intervalo = 0 y = 4. Método de Interpolación Cuadrática La interpolación cuadrática tiene la ventaja del hecho que un polinomio de segundo orden con frecuencia proporciona una buena aproximación a la forma de () cercana a un óptimo.
así como existe sólo una línea recta para conectar dos puntos, hay únicamente una cuadrática o parábola para conectar tres puntos. De esta forma, si se tienen tres puntos que juntos contienen un óptimo, se puede ajustar una parábola a los puntos. Después se puede diferenciar e igualar el resultado a cero, y resolver para una estimación de la óptima . Se puede demostrar que después de un manejo algebraico es 3 =
(0 ) (21 − 22 ) + (1 ) (22 − 20 ) + (2 ) (20 − 21 ) 2 (0 ) (1 − 2 ) + 2 (1 ) (2 − 0 ) + 2 (2 ) (0 − 1 )
donde 0 , 1 y 2 son los valores que fijan el extremo, y 3 es el valor de que corresponde al máximo valor del ajuste cuadrático a los valores iniciales. Después de esta estimación del óptimo, se puede eliminar cualquiera de los tres puntos iniciales. Sin embargo, la manera más apropiada de reducir el espacio de búsqueda y obtener convergencia rápida, es eliminando el punto que se encuentre más alejado de 3 . Ejemplo 3.11 Use la interpolación cuadrática para aproximar el máximo de () = 2 sin ()− 2 con valores iniciales 0 = 0, 1 = 1 y 2 = 4. 10 OPTIMIZACIÓN UNIVARIABLE: PROBLEMAS MAX-MIN
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Método de Newton Recuerde que el método de Newton-Raphson es un método abierto que encuentra la raiz de como una función tal que () = 0. El método se resume como +1 = −
( ) 0 ( )
Se puede usar un planteamiento similar abierto para encontrar un óptimo de () al definir una nueva función () = 0 ().
Así, como el valor óptimo ∗ satisface ambos 0 (∗ ) = (∗ ) = 0 se puede usar lo siguiente +1 = −
( ) 0 ( ) = − 0 ( ) 00 ( )
como una técnica para encontrar los puntos críticos de (). El método de Newton es abierto y similar al de Newton-Raphson porque no requiere de valores iniciales que encierren el óptimo. Además, también comparte la desventaja de poder ser divergente. Por último, es una buene idea verificar que la segunda derivada tenga usualmente el signo correcto para confirmar que la técnica converge sobre el resultado deseado. 2
Ejemplo 3.12 Use el método de Newton para encontrar el máximo de () = 2 sin () − 10 con un valor inicial 0 = 25. 74
OPTIMIZACION
3.3. Optimización Multivariable Sin Restricciones Aquí se describen las técnicas para encontrar el mínomo o máximo de una función de varias variables. Recuerde que nuestra imagen visual de una búsqueda unidimensional fue como una montaña rusa. Para el caso en dos dimensiones, la imagen es ahora como la de montañas y valles (véase la figura). Para problemas de grandes dimensiones, no son posibles imágenes adecuadas. En el caso de problemas multidimensionales, los puntos críticos se encuentran en los lugares en los que la derivada de la función () con respecto a cualquier dirección ( = 1 2 ) es exactamente igual a cero. Esto implica que en los puntos críticos el gradiente de la función sea igual a cero ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ () 1 1 ⎢ () ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ 2 ⎥ ∇ () = ⎢ . ⎥ () = ⎢ . ⎢ . ⎥=0 ⎣ .. ⎦ ⎣ . ⎦
()
De esta manera, los puntos críticos son los valores de que cumplen con las ecuaciones anteriores.
3.3.1. Solución Analítica Aplicando directamente el gradiente. Ejemplo 3.13 Localizar el máximo de ( ) = 35 + 2 + 2 − 4 − 2 − 2 3.3.2. Solución Numérica Las técnicas para la optimización multidimensional sin restricciones se pueden clasificar de varias formas. Para propósitos del presente análisis, se dividirán dependiendo de si se requiere la evaluación de la derivada. Los procedimientos que no requieren dicha evaluación se llaman métodos no gradientes o directos. Aquellos que requieren las derivadas son llamados métodos gradientes o métodos de descenso (o ascenso). Cuando el método hace uso de la segunda derivada (matriz hessiana) se conoco como métodos de segundo orden. Dentro de los métodos directos se cuentan: OPTIMIZACIÓN MULTIVARIABLE SIN RESTRICCIONES
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1. Búsqueda aleatoria 2. Una variable a la vez 3. Método simplex 4. Método de Powell, etc. Dentro de los métodos gradientes se encuentran: 1. Método del gradiente 2. Método del gradiente conjugado (Fletcher-Reeves) 3. Método cuasi-Newton 4. Método de Marquardt, etc. Dentro de los métodos de segundo orden esta el método de Newton. En este curso, por falta de tiempo, solamente se estudiará el método de Newton. Método de Newton De acuerdo al metodo de newton univariable, (), se tiene +1 = −
0 00
Este resultado se puede extrapolar a una función de variables independientes, (), haciendo uso de la notación matricial ³¡ ´ ¢−1 +1 = − ( ) ∇
Ejemplo 3.14 Realice dos iteraciones del método Newton para localizar el máximo de ( ) = 35 + 2 + 2 − 4 − 2 − 2 mediante los valores iniciales = 0, = 0. 76
OPTIMIZACION
3.4. Optimización Multivariable Con Restricciones El caso más sencillo es el problema de programación lineal que se estudia ampliamente en los cursos de Investigación de Operaciones o Técnicas de Planeación. Casos más complicados se pueden resolver con multiplicadores de Lagrange. Aquí estudiaremos un problema de programación lineal que surge en los procesos de ingeniería química. Ejemplo 3.15 Una planta química fabrica tres productos (, , ) y utiliza tres materias primas (, , ) en cantidad limitada. Cada uno de los productos es producido en diferente proceso (1, 2, 3); un esquema de la planta se muestra en la figura.
A
E
1
2
F
B
3
G
C
Los materiales disponibles A, B y C pueden no ser consumidos totalmente. La información del proceso es como sigue: Proceso 1 2 3
Reaccion + → + → 3 + 2 + →
Producto requerimientos* Costo Proces 2 , 13 15 c/lb E 3 2 1 , 05 c/lb F 3 3 1 1 1 , 6 , 3 10 c/lb G 2
Precio venta prod 40 c/lb E 33 c/lb F 38 c/lb G
* cantidad en lb de reactivo por lb de producto Mat. Prima Disponibilidad A 40000 lb/dia B 30000 lb/dia C 25000 lb/dia
Costo 1.5 c/lb 2.0 c/lb 2.5 c/lb
Formular el problema de optimización para maximizar el beneficio total por dia en $/dia.
OPTIMIZACIÓN MULTIVARIABLE CON RESTRICCIONES
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OPTIMIZACION
A. MODELOS DE OPERACIONES UNITARIAS EN ASPEN+
La siguiente tabla es útil para seleccionar el modelo apropiado para la operación unitaria deseada: Tipo Modelo Descripción Mezcladores/Divisores Mixer Mezclador de corrientes (Mixer/Spliters) FSplit Partidor de corrientes SSplit Partidor de subcorrientes Separadores Flash2 Flash de dos salidas (Separators) Flash3 Flash de tres salidas Decanter Decantador líquido-líquido Sep Separador de componentes en multiples salidas Sep2 Separador de componontes en dos salidas Intercambiadores de calor Heater Calentador/enfriador (Heat Exchangers) HeatX Intercambiador de calor de dos corrientes MheatX Intercambiador de calor multicorriente HxFlux Transferencia de calor entre una fuente y un consumidor de calo Hetran Interface a Aspen Hetran de inter. de calor de concha y tubos Aerotran Interface a Aspen Aerotran de inter. enfriados por aire HTRI-Xist Interface al programa Xist Columnas DSTWU Diseño de CD por métodos cortos (Columns) Distl Simulación de CD por métodos cortos RadFrac Destilación por métodos rigurosos Extract Extracción líquido-líquido por métodos rigurosos MultiFrac Columnas complejas de destilación por métodos rigurosos SCFrac Columnas de destilación de petróleo por métodos cortos PetroFrac Columnas de destilación de petróleo por métodos rigurosos RateFrac Destilación rate-based" BatchFrac Destilación Batch por métodos rigurosos Reactores RStoic Reactor estequiométrico (Reactors) RYield Reactor de conversión REquil Reactor de equilibrio RGibbs Reactor de equilibrio RCSTR Reactor continuo de tanque agitado RPlug Reactor de flujo pistin RBatch Reactor batch MODELOS DE OPERACIONES UNITARIAS EN ASPEN+
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Cambiadores de presión (Pressure Changers)
Manipuladores (Manipulators)
Sólidos (Solids)
Modelos del usuario (User models)
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Pump Compr MCompr Pipeline Pipe Valve Mult Dupl ClChng Analyzer Feedbl Selector Measurement Crystallizer Crusher Screen FabFl Cyclone VScrub ESP HyCyc CFuge Filter SWash CCD User, User2 User3 Excel Spreads ACM CAPE-OPEN Hierarchy
Bomba/Turbina hidráulica Compresor/Turbina Compresor/Turbina de multiefecto Caída de presión en tuberias nultisegmento Caída de presión en tuberias unisegmento Caída de presión rigurosa en válvulas Multiplicador de corriente Duplicador de corriente Cambiador de clase de corriente Calculador de corriente Calculador de corriente Selector de corriente Conector planta a modelo Cristalizador para remover suspensiones en productos mezclados Molino de sólidos Separador de sólidos Filtro de tejido Separador de ciclón Molino de venturi Precipitador electrostático Hidrociclón Filtro centrífugo Filtro rotario de vacio Lavador de sólidos de simple efecto Decantador a contra-corriente Modelos de operaciones unitarias dados por el usuario en Fortra Subrutinas de acceso a aspen EO Hojas de Excel accesadas a traves de User2 Hojas exportadas desde ACL o AD Operaciones unitarias COM desarrolladas en VB o C++ Estructura jerarquica
MODELOS DE OPERACIONES UNITARIAS EN ASPEN+
