Apuntes Señales y Sistemas (UAB)

Fundamentos de Se˜ nales nales y Sistemas Notas de Clase

Antoni Morell y Rosana Rodr´ Rodr´ıguez

Universitat Aut` onoma de Barcelona (UAB) onoma Escola d’Enginyeria

i

Índice general 1.

Introd Introducc ucci´ i´ on o n a Se˜ nales y Sistemas

1

2. La Transformada de Laplace

18

3. Funci´ unci´ on de Transferencia de un Sistema

41

4. La Transformada de Fourier

57

5. Correlaci Correlaci´ ´ on y Espectro de Se˜ on nales Deterministas

85

ii

Tema 1: Introducci´ on a Se˜ nales y Sistemas Antoni Morell y Rosana Rodr´ıguez 24 de febrero de 2014

1.

Se˜ nales

Definici´ o n de señal: Imagen o representaci´ a casi siempre la repreon de algo. Para nosotros ser´ sentaci´ on de una magnitud f´ısica (tensi´ on, voltaje, etc.) y normalmente llevará un mensaje asociado (entendiendo mensaje como la manifestación f´ısica de la información tal y como la produce la fuente). En un sistema de comunicaciones esto está claro. 1.1.

Clasificaci´ o n de se˜ nales

Encontramos diferentes clasificaciones. Las más relevantes son: Determinista/aleatoria Determinista: conocida para ∀ t. P. ej.: x(t) = A cos(w0 t). Aleatoria: No es posible determinar su valor para un instante t = t 0 . No obstante, s´ı sabemos algo sobre dicho valor, aunque se trata de un conocimiento probabil´ıstico. P. ej.: A cos(w0 t+φ), φ[0, π4 ]. En la figura vemos una realizació n de la se˜ nal para φ = 0 (trazo continuo) y otra para φ = π4 (trazo discontinuo). Nuestra se˜ nal puede ser cualquiera de entre estas dos con igual probabilidad, pero nunca con otro desfase φ ∈ ( π4 , 2π). A

0

−A 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Figura 1: Ejemplo de se˜ nal aleatoria.

1

20

Peri´ odica/No peri´ odica Peri´ odica: x(t) = x(t+mT 0 ) para m = 0, ±1, ±2, . . .. T 0 es el menor periodo de repetición posible. P.ej., en la figura anterior T 0 = 2π y no 4π aunque este último también cumpla la condici´ on. No periódica: no se repite periódicamente. Cont´ınua/Discreta Cont´ınua: definida para ∀ t. Discreta: definida s´ olo para los instantes de tiempo nT con n entero. Ej.: el ´ındice de la bolsa. Anal´ ogica/Digital Anal´ ogica: la amplitud de la se˜ nal puede tomar cualquier valor. P. ej.: música grabada en un disco LP. Digital: la amplitud de la señal no puede ser cualquiera sino un valor dentro de un conjunto de valores posibles. Por lo tanto, conocemos algo de la estructura de la señal antes de recibirla. P. ej.: m´ usica grabada en un disco CD. 1.2.

Transformaciones de la variable independiente

Partiendo de una se˜ nal x(t) conocida, vemos como se modifica ésta cuando se aplica alguna transformaci´ on sobre la variable independiente t. Las más habituales son: Reflexión: x(−t). La se˜ nal sufre un giro respecto al eje de ordenadas. En una cinta de v´ıdeo, ser´ıa reproducirla c´ amara atr´ as. x(t)

x(−t)

!

!

Escalado: x(at). Siempre con a > 0, la se˜ nal se contrae respecto al eje de ordenadas en un factor a si se cumple a > 1 y se expande por un factor b > 1 si a = 1b . En el primer caso, reproducir´ıamos a veces más rápido y en el segundo b veces más lento. x t

x(2t)

( t2 )

x

!

!

!

Traslación: x(t − t0 ) o bien x(t + t0 ). En el primer caso, la señal se retasa t 0 segundos mientras que en el segundo se adelanta t 0 segundos. 2

x(t

x(t)

!

− 1)

x(t +

!

"

1)

!

#"

Muy importante. A menudo nos encontraremos con una combinación de transformaciones, como por ejemplo en x(− 2t − 2). Para no equivocarse, es aconsejable seguir siempre los siguientes pasos: Expresar la transformaci´ on como x(k(t − t0 )). En el caso de ejemplo ser´ıa x( −1 2 (t + 4)). Hacer primero reflexi´ on y escalado. En el ejemplo, girar y ensanchar por un factor 2. (t)

x(

−t 2

)

!

!

Finalmente, hacer la traslaci´ on. En el ejemplo, avanzar la se˜ nal 4 unidades . ( −2 )

x

x

!

( −2t )

"#

!

Si queremos asegurarnos que la transformación es correcta, cogemos 2 puntos fáciles de reconocer y los comprobamos. Por ejemplo, en el caso anterior, sustituimos t = − 4 en x(− 2t − 2), lo que nos da x(0). Es decir, el valor correspondiente al punto t = − 4 en la se˜ nal transformada tiene que coincidir con el valor en el origen de la señal sin transformar. En este caso es cierto, pero faltar´ıa mirar otro punto para estar del todo seguros. Relacionado con esto, vemos la definición de la se˜ nal par e impar: Señal par: si cumple x(t) = x(−t). Señal impar: si cumple x(t) = − x(−t). Toda se˜ n al se puede descomponer en parte par e impar de tal forma que x(t) = par{x(t)} + impar{x(t)}. Parte par e impar se hallan según:

3

1 (x(t) + x(−t)) 2 1 impar{x(t)} = (x(t) − x(−t)) 2 par{x(t)} =

(1) (2)

Ejemplo: ar{x(t)}

x(t)

!

$# $"

1.3.

"

impar{x(t)}

!

#

$# $"

"

!

#

$"

"

#

Se˜ nales continuas b´ asicas

Tenemos: Funci´ on exponencial: x(t) = C eat En el caso que tanto a como C sean reales, tenemos:

"%$ "#$ !

Si ambos son complejos, es decir C = |C |e jθ y a = r + jw0 , entonces x(t) = |C |ert e j(w t+θ) = |C |ert [cos(w0 t + θ) + j sin(w0 t + θ)]. Se trata pues, de una señal compleja. Para representarla gráficamente, debemos dibujar parte real e imaginaria por separado (en funció n de t) o bien módulo y fase. A continuación vemos sólo una parte de la señal, Re{x(t)} = |C |ert [cos(w0 t + θ)]: 0

!"#

Pulso rectangular: x(t) = Π

!$#

  t T

=

1 |t| < T 2 0 resto

4

!%#

Π

t T

!

T 2

− T 2

Pulso triangular: x(t) = ∆

  t T

=

1 − 0

|t| T

|t| < T resto t

∆( T ) !

#"

Funci´ on signo: sgn(t) =



"

1 t > 0 −1 t < 0 sgn(t) !

Funci´ on escalón: u(t) =



1 t > 0 0 t < 0



= 21 (1 + sgn(t)) u(t)

!

5

Funci´ on sinc: sinc(t) =

sin πt πt 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −6

−4

−2

0

2

4

6

Importante recordar: sinc(0) = 1 y sinc(T t) = 0 para los múltiplos de 1/T , es decir, t = ± k/T con k ∈ N+ . Funci´ on delta: δ (t) =



0 t  =0 ∞ t = 0

Podemos entender la función delta (de Dirac), que no es propiamente un función ya que δ (0) tiene varias imágenes, como la caracterización matem´ atica de un impulso. Por ejemplo, esto es lo que sucede cuando se de un golpe con un martillo: se produce una fuerza elevada durante un intervalo de tiempo muy pequeño. Bajo ese punto de vista, lo que realmente nos interesa es la suma (integral) de dicha fuerza y de ah´ı sale la definición formal de la función delta. En la siguiente figura vemos un impulso de duración 1/A y amplitud A, que por tanto tiene área 1. Si reducimos progresivamente su duración y aumentamos la amplitud con el objetivo de mantener el área a la unidad, obtendremos la función delta.

A

−→ ∞

A

1/A

Dicha interpretaci´ on justifica la definición formal de la delta, que toma forma integral. Pero más que la propia definició n, consideraremos una propiedad que se deriva de ella y que es ∞ a 1 siempre y −∞ δ (t)dt = 1. Hay que interpretarla como que la integral de una delta valdr´ cuando la delta esté dentro de los l´ımites de integración.

 1.3.1.

Propiedades de δ (t)

Son las siguientes: 1 1. δ (at) = |a| δ (t). Intuitivamente, está claro que ensanchar o estrechar la delta no tiene ningún efecto ya que ésta tiene“ancho 0” y seguirá con el mismo ancho después de cualquier escalado. Si hacemos la integral de δ (at) (hacer cambio de variable para ponerla en función de la integral ∞ de δ (t)) veremos que se debe cumplir esta propiedad para conseguir que −∞ δ (t)dt = 1.



6

2. δ (t) = δ (−t). Se trata, por tanto, de una función par. 3. x(t)(δt) = x(0)δ (t). Si una función se multiplica por δ (t), sólo nos importa el valor de la función en el origen ya que el resto vale 0. Lo mismo sucede si desplazamos la delta, es decir: x(t)δ (t−t0 ) = x(t0 )δ (t − t0 ). ∞



4. x(t) = −∞ x(τ )δ (τ − t)dτ . Multiplicamos primero x(τ ) por una delta centrada en t e integramos ∞ para todo τ , o sea −∞ x(t)δ (τ − t)dτ . Como la integral de la delta debe ser 1 y x(t) no depende de τ , el resultado final es x(t).



∞



De la misma manera, x(t) = −∞ x(τ )δ (t − τ )dτ . Sólo hay que fijarse que δ (t − τ ) (τ es la variable independiente) se puede expresar como δ (−1(τ − t)). Seg´ un hemos visto, esto es girar la delta y desplazarla t unidades a la derecha. Dado que la delta es par, δ (t − τ ) = δ (τ − t), y por lo tanto estamos en la misma situación que antes. También podemos interpretar la integral como una suma infinita de deltas, algo como “x(t) = ∞ ımite, k=−∞ xk δ (t − t k )” (ver figura). En el l´ cuando la distancia entre dos deltas sea 0, tendr´ıamos la señal x(t).



x1 x2

t−1

1 t2

!

0

5. u(t) =

t −∞ δ (τ )dτ =



∞ 0 δ (τ − t)dτ .



6. δ (τ ) = du(t) on escalón es plana para todo t (derivada 0) excepto para t = 0, donde hay dt . La funci´ un salto abrupto de 0 a 1 con pendiente ∞ . Esto se corresponde con la función δ (t).

7

2.

Sistemas

Un sistema es una combinación de objetos o componentes que actúan conjuntamente para cumplir un determinado objetivo. Existen sistemas de distinta naturaleza: mecánicos, f´ısicos, biológicos, sociales, pol´ıticos, etc. Por ejemplo, los frenos de un coche constituyen un sistema mecánico cuyo objetivo es detener el veh´ıculo. Un sistema puede ser, a su vez, subsistema de otro mayor, as´ı como los frenos son un subsistema del sistema coche. A nosotros nos interesará modelar matem´ aticamente el sistema y desde este punto de vista, lo veremos como el proceso que transforma la señal de entrada para obtener una señal de salida, o lo que es lo mismo: y (t) = T [x(t)].

!"#$%&' )* +

,-$.

2.1.

/-$.

Propiedades de los sistemas

2.1.1.

Linealidad

Un sistema es lineal si cumple las propiedades de superposici´ on y homogeneidad : Superposición: supongamos que y1 (t) es la salida del sistema cuando la entrada es x1 (t), es decir, y1 (t) = T [x1 (t)]. Del mismo modo, y2 (t) = T [x2 (t)]. Entonces, en el caso que exista superposición, la salida del sistema a la suma de entradas, x 1 (t) + x2 (t), es también la suma de salidas y 1 (t) + y2 (t). En otras palabras: T [x1 (t) + x2 (t)] = y 1 (t) + y2 (t). Homogeneidad: cuando un escalado a la entrada se traduce en el mismo escalado a la salida. Es decir, si y 1 (t) = T [x1 (t)], entonces T [αx1 (t)] = αy 1 (t). Ambas propiedades se puede resumir diciendo que un sistema es lineal si y sólo si: T [α1 x1 (t) + α2 x2 (t)] = α1 y1 (t) + α2 y2 (t) Ejemplos: 1. Un derivador, T [ ] = Comprobaci´ on:

d( ) dt ,

T [α1 x1 (t) + α2 x2 (t)] =

es un sistema lineal. d dx1 (t) dx2 (t) (α1 x1 (t) + α2 x2 (t)) = α1 + α2 = α 1 y1 (t) + α2 y2 (t) dt dt dt

2. Un sistema que saque el cuadrado de la salida, T [ ] = ( ) 2 , no es lineal. Comprobaci´ on: (T [x1 (t)] = y 1 (t) = x 21 (t)) T [α1 x1 (t) + α2 x2 (t)] = (α1 x1 (t) + α2 x2 (t))2 = α12 x21 (t) + α22 x22 (t) + α1 α2 x1 (t)x2 (t) = α21 y1 (t) + α22 y2 (t) + α1 α2 x1 (t)x2 (t)  = α1 y1 (t) + α2 y2 (t) 8

(3)

No cumple ni superposición ni homogeneidad. 3. El sistema T [ ] = a( ) + b no es lineal. Comprobaci´ on: (T [x1 (t)] = y 1 (t) = ax 1 (t) + b) T [α1 x1 (t)+α2 x2 (t)] = α 1 a x1 (t)+α2 a x2 (t)+b = α 1 y1 (t)+α2 y2 (t)+(1−α1 −α2 )b  = α1 y1 (t)+α2 y2 (t) No cumple superposición ni homogeneidad. 2.1.2.

Invarianza

Un sistema es invariante cuando un retraso en la señal de entrada se traduce en el mismo retraso en la señal de salida. Es decir, si T [x(t)] = y(t), entonces T [x(t − t0 )] = y(t − t0 ). Ejemplos: 1. T [ ] = cos( ), es un sistema invariante. Compobación: (y(t) = cos(x(t))) y(t − t0 ) = cos(x1 (t − t0 )) = T [x(t − t0 )] 2. T [ ] = ( ) cos(w0 t), es un sistema variante. Comprobaci´ on: (T [x(t)] = y(t) = x(t) cos(w0 t)) En primer lugar, transformamos x(t − t0 ): T [x(t − t0 )] = x(t − t0 )cos(w0 t). Vemos que el resultado depende por un lado de t y por otro de t − t0 . Ahora desplazamos y(t) sustituyendo t por t − t0 , es decir, y(t − t0 ) = x(t − t0 )cos(w0 (t − t0 )). Ahora el resultado sólo depende de t − t0 . No coinciden y por lo tanto es variante. 2.1.3.

Causalidad

Un sistema es causal cuando la salida no se anticipa a la entrada, lo que significa que en un sistema causal, la salida en un determinado instante no depende de instantes futuros de la entrada. Matemáticamente, si x(t) = 0 para t < t0 , entonces se debe cumplir y (t) = 0 para t < t0 . Ejemplos: 1. y(t) = x(t − 1) es causal ya que produce un retardo. 2. y(t) = x(t + 1) no es causal ya que la salida se anticipa a la entrada. Por ejemplo, en el instante t = 0, para obtener la salida y(0) necesitamos conocer x(1), o sea, un valor futuro de la entrada.

9

2.1.4.

Estabilidad

Un sistema es estable cuando, para cualquier entrada acotada, la salida también lo es, es decir, si |x(t)| < ∞ , entonces | y(t)| < ∞ . Ejemplo: Consideremos el sistema integrador T [x(t)] =

"

t −∞ x(τ )dτ .



Si x(t) = Π

"

!

  t−T /2 T

, tenemos:

!

Por lo tanto, la salida es acotada y podr´ıamos pensar que es estable. No obstante, hay que comprobarlo para cualquier entrada. Si ahora cogemos x(t) = u(t), tenemos:

!

!

Entonces vemos que la salida crece indefinidamente, con lo cual el sistema es inestable. 2.2.

Caracterizaci´ on matem´ atica de los sistemas

Ahora buscamos una forma simple y gen´ erica de obtener y(t) a partir de x(t) para cualquier sistema. Usaremos dos caracterizaciones distintas: A través de ecuaciones diferenciales:

 i

dxi (t) ai = dti

 j

dy j (t) b j dt j

(4)

Es la que usaremos por ejemplo en circuitos y la respuesta del sistema dependerá de las condiciones en que éste se encuentre al aplicar la entrada, lo que denominamos condiciones iniciales. Por ejemplo, la respuesta de un circuito donde haya un condensador no será la misma si, en aplicar la entrada, éste tiene cierta carga o está totalmente descargado. Para obtener esta caracterizaci´ on hace falta conocer el sistema componente a componente y por lo tanto, puede ser compleja si el sistema es grande. A través de la respuesta impulsional, que se define como la salida del sistema a una delta. La denominamos h(t) = T [δ (t)]. Esta aproximación toma el sistema como una caja negra y “sólo” necesitamos conocer cuál es la salida a una determinada entrada, o sea, hacer un “experimento” sin necesidad de abrir la caja. A partir de h(t) se puede encontrar la salida a cualquier entrada seg´ un:

10

 

∞

y(t) = T [ T [x(t)] = T



x(τ ) τ )δ (t − τ ) τ )dτ =

−∞

si el sistema es lineal

 

∞

=

x(τ ) τ )T [ T [δ (t − τ )] τ )]dτ dτ

(5)

−∞

En el mejor de los casos, cuando el sistema es invariante, tendremos T [ T [δ (t − τ )] τ )] = h( h (t − τ ), τ ), es decir, simplemente h simplemente h((t) (que ya conocemos) desplazada. En cambio, si el sistema es variante, la salida a una delta desplazada dependerá de cuánto anto vale el desplazamiento τ τ p pero ero tambi´ tamb ién en de cuál al es el instante instante t en t en que la delta entra en el sistema. En este último caso, decimos que tenemos una respuesta impulsional variante en tiempo y escribimos h(t, τ ). τ ). El sistema es más as dif´ıcil ıci l de caracterizar ya que habr´ habr´ıa que hacer un experimento para cada instante de tiempo tiemp o t. t . De aqu´ı sacamo sac amos: s:

• Sistema variante: y (t) =

∞ τ )h(t, τ ) τ )dτ . dτ . −∞ x(τ ) ∞ = −∞ x(τ ) τ )h(t − τ ) τ )dτ . dτ .

 

Esta ecuación o n es la ecuaci´ la ecuaci´ on on o integral • Sistema invariante: y (t) de convoluci´ on on de sistemas LTI (Linear and Time Invariant), que escribiremos: ∞

y(t) = x( x (t) ∗ h( h(t) =



x(τ ) τ )h(t − τ ) τ )dτ

(6)

−∞

Ejemplo 1: Amplificador.

x t)

y t) = K x t)

!

En este caso h(t) = K δ (t) independientemente de cuando hagamos el experimento. Por tanto, es invariante. Ejemplo 2: Retardador.

x(t)

y (t) = x (t − T )

!

En este caso h caso h((t) = δ (t − T ), T ), tambi´ en en independientemente de cuando hagamos el experimento. Por tanto, también en es un u n sistema invariante.

11

Ejemplo 3: Integrador.

 t

x t

−∞

y (t)

t



En este caso h(t) = −∞ δ (τ ) τ )dτ = u( u (t), tambi´ en en independientemente de cuando hagamos el experimento. Por tanto, tambi´ en en es un sistema invariante. invariante. Ejemplo 4: Modulador. x t

y t = x t cos w0 t

!

cos

w0 t

En este caso, si entramos una delta al sistema tenemos T [ T [δ (t)] = δ (t)cos w0 t = δ = δ (t). Está claro que esto no n o caracteri car acteriza za bien bie n el sistema s istema ya que en realidad reali dad no nos devuelve de vuelve la entrada. entrada . Aqu´ı s´ s´ı que la respuesres puesta del sistema depende del momento en que se hace el experimento, ya que el coseno va evolucionando con el tiempo. En este caso el sistema es variante y tenemos que usar T [ T [δ (t − τ )] τ )] = δ (t − τ )cos τ )cos w0 t. ∞ ∞ ∞ Entonces y (t) = −∞ x(τ ) τ )h(t, τ ) τ )dτ = −∞ x(τ ) τ )δ (t − τ )cos τ )cos w0 tdτ tdτ = cos w0 t −∞ x(τ ) τ )δ (t − τ ) τ )dτ = x(t)cos w0 t, lo cual es correcto (mirar el siguiente apartado para ver cómo funciona la integral de convolución). on).







A partir de ahora, nos centraremos en el estudio de sistemas LTI.

3.

Sistem Sistemas as lineal lineales es inv invarian ariantes tes

3.1. 3.1.

Obte Obtenc nci´ i´ on on semi-gr´ afica afica de y (t) = x (t) ∗ h(t)

Consideremos el siguiente sistema:

(t)

x(t)

y (t) !

!

Para calcular la integral, que es respecto a τ , τ , vemos que necesita n ecesitamos mos los términos ermino s x( x (τ ) τ ) y h( h (t − τ ). τ ). El primero ya está claro, y el segundo lo reescribimos como h(−1(τ 1(τ − t)). t)). O sea, que para encontrar 12

la salida en el instante t debemos primero multiplicar x(τ ) τ ) con h(τ ) τ ) girada y desplazada t y luego integrar para todo τ todo τ ,, tal y como vemos en la siguiente figura para t = 5: t x(τ )h(5

!

− τ )



!

!"#

∞

−∞

x(τ )h(5

!"#

− τ )

As´ As´ı hemos obtenido obteni do y (5). La se˜ nal entera se obtiene con este mismo procedimiento barriendo desnal de t de t = −∞ . on on de x de x 1 (t) = Π Ejemplo 1: calcular la convoluci´

   t−T B /2 T B

y x 2 (t) = Π

∞

  t−T A /2 T A

con T A > T B .

En este caso vamos a calcular x 2 (t) ∗ x1 (t) como −∞ x2 (τ ) τ )x1 (t − τ ) τ )dτ , dτ , aunque aun que tambi´ tamb ién en lo podr´ po dr´ıamos ıam os haber hab er hecho al revés. es. Gráficamente, aficamente, queremos hacer: T B

x 1 (t

A

− τ )

x2

τ

τ

− T B

En primer lugar, vemos que las señales nales no se solapan hasta t = 0, con lo que y (t) = 0 para t < 0. Si seguimos avanzando en t, los dos pulsos se solapan. Entre t = 0 y t = T B el producto de funciones será un pulso que va de τ = 0 a τ = t. La integral de convolución on en este intervalo ∞ t será y (t) = −∞ x2 (t)x1 (t − τ ) τ )dτ = 0 1dτ 1 dτ = t. Luego, x1 (t − τ ) τ ) se solapa por completo hasta que ∞ t t = tA . La integral será y (t) = −∞ x1 (t − τ ) τ )dτ = t−T 1dτ = T B . Finalmente, el pulso x1 (t − τ ) τ ) sale de x2 (τ ), τ ), desde t = T A hasta t = T A + T + T B . En este ultimo u ´ ltimo intervalo, el solape entre pulsos, y por lo tanto el valor de la integral, es cada vez menor. El producto de funciones es un pulso que va ∞ T T de τ de τ = t − T B hasta τ hasta τ = T A . Matem´ aticamente aticamente tenemos: y tenemos: y (t) = −∞ x2 (τ ) τ )x1 (t − τ ) τ )dτ = t−T 1dτ = T A − t + t + T T B = (T A + T + T B ) − t. t. A partir de este punto ya no existe solape y la salida se mantiene a 0. Si agrupamos los resultados de las distintas partes obtenemos la siguiente salida y (t):



 



B



13



A

B

y (t)

T B

T A

T A + T B

De este ejemplo, podemos sacar dos observaciones importantes: La duraci´ on de la salida es la suma de las duraciones de las señales. Esto es as´ı en general. Si T A = T B la salida pasa a ser un triángulo. Por lo tanto, la convolució n de dos pulsos de duraci´ on T , Π( tT ), da lugar a un triángulo de duraci´ on 2T que expresamos como ∆( tT ). nal y(t) que oyen los espectadores de un auditorio cuando los Ejemplo 2: queremos obtener la se˜ músicos tocan una melod´ıa x(t). x t

!"#$%&'$&

t

Supondremos que el auditorio es un sistema LTI, lo cual parece razonable, ya que se espera que se comporte de la misma manera independientemente del momento en que es usado. El paso siguiente es ver cuál es la respuesta a una delta para obtener la respuesta impulsional del auditorio. Para ello, generamos un impulso de sonido en el escenario y medimos en el patio de butacas. En particular vemos que recibimos el mismo impulso generado con un retardo despreciable más un eco del impulso, que llega 200ms más tarde y con un nivel per debajo del primero. Determinamos entonces que la respuesta impulsional de la sala es: h

τ

ms

Si hacemos la convolución para cualquier x(t) como antes, tenemos:

14

!

h(t

− τ )

( )

x τ

τ

Como h(t) son dos deltas y sabemos que la convolución cumple la propiedad distributiva, vamos a convolucionar cada delta por separado y luego sumar. Fij´ emonos en la delta de mayor nivel. Cuando se solape con la señal, el producto x(τ )h(t − τ ) será x(t)δ (τ − t), con lo que despu´ es de integrar en todo τ , nos quedamos con x(t). Comprobamos, pues, la propiedad x(t) ∗ δ (t) = x(t). Para la segunda delta tendremos más o menos lo mismo, pero con un retardo adicional y una reducción de nivel. A continuaci´ on vemos la señal de salida como suma de las dos convoluciones:

y (t !"#$"%&!'(# +#,+/-

t !"#$"%&!'(# *+%,-

!"#$"%&!'(# *+%,-

.'# /+,-/*"

*+% +!"

As´ı pues, comprobamos que el operador convoluci´ on da como resultado lo que esperar´ıamos de este sistema. Podemos usar este ejemplo para interpretar la convolución seg´ u n (5) como sigue: si descomponemos h(τ ) como una suma (quizá infinita) de deltas con su valor correspondiente, entonces la salida del sistema será la suma de réplicas (quizá infinitas) de x(t) adecuadamente escaladas y retardadas. 3.2.

Propiedades de la convoluci´ on

Son las siguientes: 1. Conmuntativa: x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t) −→

∞ −∞ x(τ )h(t − τ )dτ =



∞ −∞ h(τ )x(t − τ )dτ



En el ejemplo 1 anterior, podemos comprobar que si giramos y desplazamos x(τ ) en vez de h(τ ) para obtener y (5), el área resultante es exactamente la misma. 2. Asociativa: x(t) ∗ (y(t) ∗ z(t)) = (x(t) ∗ y(t)) ∗ z(t) = x(t) ∗ y(t) ∗ z(t) En sistemas en cascada, no importa el orden en que se encuentren. Los siguientes sistemas son todos equivalentes:

15

x t

h1 t

h2 t

y t

x t

h2 (t)

h1 (t)

y t

x t

h1 (t) ∗ h 2 (t)

y t

x t

h2 t

y t

∗

h 1 t

3. Distributiva: x(t) ∗ (h1 (t) + h2 (t)) = (x(t) ∗ h1 (t)) + (x(t) ∗ h2 (t)) Esto equivale a decir que dos sistemas en paralelo equivalen a uno cuya respuesta impulsional es suma de la respuestas. h1 t

x t)

x t)

y t)

h1 (t) + h 2 (t)

y t)

h2 t

4. Identidad con δ (t): x(t) ∗ δ (t) = x(t), δ (t) ∗ δ (t) = δ (t) Ejemplo: Calcular la respuesta impulsional del siguiente sistema: h1 t x t

"

 t

"

−∞

#

y t

h3 (t)

!

h2 t

Simplemente hay que expresar h(t) en función de las respuestas de los subsistemas individuales, es decir, h(t) = (h1 (t) − h2 (t)) ∗ h3 (t) = (δ (t) − δ (t − T )) ∗ u(t) = u(t) − u(t − T ) = Π t−T/2 . T

 

3.3.

Propiedades de los sistemas LTI a partir de h(t)

Conociendo h(t) es posible determinar si un sistema LTI es causal y/o estable de la siguiente forma: Causalidad: el sistema será causal si h(t) = 0 para t < 0. Recordemos la definici´ o n de un sistema causal, es decir, si x(t) = 0 para t < t0 entonces ∞ y(t) = 0 para t < t0 . Calculemos ahora la salida del sistema como y(t) = −∞ x(τ )h(t − τ )dτ .



16

Si la respuesta impulsional debe ser 0 para t < 0, entonces h(t − τ ) = 0 para t − τ < 0, o lo que es lo mismo, para τ > t. En la integral de convolución, esto se traduce en que sólo hace falta integrar hasta t, ya que h(t − τ ) es 0 para valores mayores. Por lo tanto, en este caso, t y(t) = −∞ x(τ )h(t − τ )dτ . En la integral sólo intervienen valores de x(τ ) anteriores a t y por lo tanto, se comprueba que el sistema es causal.



Estabilidad: se requiere que

∞ −∞ |h(τ )|dτ



< ∞ .

Miremos si ante estas condiciones y para una entrada acotada | x(t)| < B, la salida se mantiene acotada: ∞

|y(t)| =

 

∞

   

x(t − τ )h(τ )dτ ≤

−∞ ∞

≤

|x(t − τ )h(τ )|dτ

−∞

∞

|x(t − τ )||h(τ )|dτ ≤ B

−∞

|h(τ )|dτ ≤ ∞

(7)

−∞

N´ otese que en la primera desigualdad se interpreta la integral como una suma y luego se hace uso de la desigualdad triangular, que dice que dados dos complejos a y b, entonces | a + b| ≤ |a| + |b|. En la segunda desigualdad se tiene en cuenta tambi´ en que para dos complejos a y b, se cumple |a · b| = | a| · | b|.

17

Tema 2: La Transformada de Laplace Antoni Morell y Rosana Rodr´ıguez 3 de marzo de 2014

1.

La transformada de Laplace. Definici´ on y propiedades.

Antes de empezar con la definición formal de la transformada, comencemos viendo cuá l es su utilidad. Desde ese punto de vista, la transformada de Laplace es una operación o transformaci´ on matem´ atica muy u ´til para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias (en particular, las lineales y de coeficientes constantes). Pero... ¿qué es una ecuación diferencial? Es una ecuación donde aparecen funciones de una o varias variables y también sus derivadas. Si nos centramos en las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n con coeficientes reales, éstas tomaran la siguiente forma: dn dn−1 d y(t) + an−1 n−1 y(t) + . . . + a1 y(t) + a0 y(t) = f (t) n dt dt dt

(1)

donde a i son los coeficientes constantes, y(t) es la variable dependiente y f (t) se conoce como función excitadora. Consideremos un ejemplo práctico. Supongamos que, en el circuito de la Figura 1, se quiere ver cuál es la tensión del condensador en todo momento v c (t). R !

!

"

!

i t

V

vC t

C "

Figura 1: Circuito RC. Aplicando la ley de Kircho ff de tensiones, vemos que: V = R i(t) + vC (t)

(2)

donde ya se ha considerado que la tens´ıón en la resistencia vale v R (t) = R i(t). Finalmente, si tenemos d en cuenta la ley tensión-corriente del condensador, es decir, i C (t) = C dt vC (t), llegamos a la ecuación V = RC

d vC (t) + vC (t) dt 18

(3)

Comprobamos que se trata de una ecuación en la que intervienen tanto la función incógnita vC (t) como su derivada. Pues bien, la transformada de Laplace es una herramienta que, entre otras cosas, nos permitirá resolver ecuaciones diferenciales de forma sencilla. ¿Cómo es eso posible? Como veremos, gracias a la transformada de Laplace podremos pasar de una ecuaci´ on diferencial en el dominio del tiempo a una ecuaci´ on algebraica en el dominio s o dominio transformado (se llama dominio s porque ésta es la variable que usaremos en el otro dominio al igual que en tiempo usamos la variable t y que, dicho sea de paso, se trata de una variable compleja que descompondremos seg´ un s = σ + j ω ). Trabajar con la ecuación algebraica va a ser en general mucho más sencillo que hacerlo con la ecuación en el dominio temporal (hemos resuelto muchas veces este tipo de ecuaciones) y una vez encontrada la solución en el dominio s, la clave será poder antitransformar para volver al dominio temporal que es el que nos interesa. 1.1.

Definici´ on de la Transformada de Laplace Unilateral

La trasformada de Laplace unilateral de una función temporal f (t) es una función de variable compleja s que se define según ∞

F (s) = L {f (t)} =

Z

f (t) e−st dt

(4)

0

donde f (t) es una función que depende del tiempo t y que está definida para t > 0 (supondremos siempre que f (t) = 0 para t < 0), F (s) es la versión transformada en el dominio s de f (t) y L es el s´ımbolo que distingue al operador de Laplace, lo cual indica que lo que haya dentro de dicho operador será transformado. Cuando tratamos con la transformada unilateral de Laplace (véanse los l´ımites de integraci´ on, que tienen en cuenta sólo el lado positivo del eje real) nos importan los valores que toma la función para t > 0. A menudo trataremos con funciones f (t) definidas para todo t pero a la luz de la transformada unilateral de Laplace, estamos suponiendo que multiplicamos impl´ıcitamente dicha función por u(t) (esto ser´ıa lo más correcto aunque no siempre lo explicitemos). Veamos a continuación algunos ejemplos: f (t) = 1. Como hemos comentado, en la transformada unilateral de Laplace consideraremos indistintamente f (t) = 1 y f (t) = u(t) puesto que para t ≥ 0 son “la misma” función, aunque lo correcto es siempre a˜ nadir el término u(t). En el caso que estamos tratando tenemos: ∞

F (s) =

Z 0

1 1 e−st dt = − s

 

∞

= 0

1 s

(5)

f (t) = t (o bien f (t) = t u(t)). En este caso calculamos la transformada de Laplace como: ∞

F (s) =

Z 0

te

st

−

dt =



integraci´ on por partes

!

t e−st = − s

∞

 Z

∞

+

0

0

e−st 1 dt = − 2 e−st s s



∞

= 0

1 s2

(6)

f (t) = eλt . Este caso es algo más especial que los anteriores ya que dependiendo del valor que tome s existe o no transformada. Nótese que cuando Re {s} > λ, entonces la exponencial 19

eλt e−st = e(λ−s)t tiene parte real negativa o, lo que es lo mismo, el complejo resultante tiene un módulo que decae exponencialmente con el tiempo. En esta situación la integral converge y podemos calcular su transformada de Laplace como ∞

Z 0

∞

λt

e e

st

−

dt =

Z

∞

e

(λ−s)t

0

dt =

Z

e

(s−λ)t

−

dt =

0

1 s−λ

∞

(s−λ)t

−

e



0

=

1 s−λ

(7)

As´ı pues, asociada a la transformada de Laplace est´ a la regi´ on de convergencia o ROC, que nos dice para qu´ e valores de s existe transformada. El concepto de ROC es muy importante aunque no lo veamos de forma expl´ıcita a la largo de esta asignatura per el hecho de tratar con la transformada unilateral de Laplace, pero para mostrar su importancia diremos que, en caso de considerar la transformada bilateral, entonces una misma transformada puede corresponder a dos se˜ nales temporales distintas y sólo la ROC nos delimitará cuál es la buena. La transformada bilateral se puede ver como una extensión de la unilateral en la que los l´ımites de integraci´ on van de −∞ a +∞ y por lo tanto, elimina la condición f (t) = 0 para t < 0. A nivel de sistema, la transformada unilateral tiene sentido ya que todos los sistemas implementables serán causales y por lo tanto su respuesta impulsional estará definida u ´ nicamente para t ≥ 0. Volviendo al ejemplo anterior y considerando ahora la transformada bilateral, la función transformada F (s) = s−1 λ tendr´ıa como transformada:

• f (t) = e λt u(t) si la ROC fuese Re {s} > λ • f (t) = e −λt u(−t) si la ROC fuese Re {s} < λ Por lo tanto, vemos en este ejemplo que la ROC para un sistema causal es siempre el semiplano a la derecha de un cierto umbral como indica la siguiente figura: j ω

!"!#$%&

!"!#$%&

&(#")*&+!&,

*&+!&,

σ

1.2.

Existencia de la Transformada de Laplace

Con el objetivo de determinar la existencia de la Transformada de Laplace debemos asegurarnos básicamente que la integral de la definición exista y resulte en algo finito. As´ı pues, podemos decir que: 1. Si una función no es integrable, entonces seguro que no tiene transformada. 2. Si una función es integrable pero su integral no converge (se va a infinto), entonces tampoco puede tener transformada.

20

Si consideramos una función f (t) definida en [0, ∞) y además continua a trozos, conseguimos solucionar el primer problema, pues será integrable aunque no necesariamente va a converger (es decir, podremos hacer la suma pero ésta puede ser infinita). Para solucionar tambi´ en el segundo problema requeriremos que adem´ as la función sea de orden exponencial . Una función es de orden exponencial si en valor absoluto está acotada por una exponencial del tipo M ect con M , c ∈ R, es decir (8) |f (t)| ≤ M ect como muestra la figura. En este caso, podemos asegurar que la integral converge para todo s con ct

Me

|f (t | M

Re{s} > c ya que el producto M ect e−st será una exponencial con módulo decreciente en el tiempo. N´ otese que si este producto es decreciente, aún con más raz´ on lo será el producto f (t)e−st . Teorema de exixtencia de la Transformada de Laplace

Dada f (t) para 0 ≤ t < ∞, si se cumple: i) f (t) es continua a trozos y ii) f (t) es de orden exponencial, entonces su transformada de Laplace F (s) existe para Re {s} > c. Nota: Las condiciones son suficientes pero no necesarias, con lo que una función f (t) no cont´ınua a

trozos y que no sea de orden exponencial puede tener tambi´ en (o no) transformada de Laplace. Comprobaci´ on A

l´ım

A→∞

 Z  0

f (t)e

st

−

dt

 

A

≤ l´ım

Z  Z

A→∞ 0

f (t)e A

≤ M l´ım

A→∞ 0

st

−



A

dt = l´ım

e(c−σ)t dt =

Z  

A→∞ 0

M σ−c

|f (t)| e−st dt

(9)

(si σ > c)

Aqu´ı vemos claramente que la transformación (de Laplace) resulta en algo finito bajo las condiciones expuestas. 1.3.

Propiedades de la Transformada de Laplace

Son las siguientes: 21

1. Correspondencia biun´ıvoca: f (t) ←→ F (s). en definir la ROC corresponNota: En la transformada de Laplace bilateral es necesario tambi´ diente. En la unilateral (la que usaremos nosotros) no hace falta. 2. Linealidad: L{ c1 f 1 (t) + c2 f 2 (t)} = c 1 L{f 1 (t)} + c2 L{f 2 (t)} es de la linealidad del operador integraci´ on Comprobaci´ on: a trav´ ∞

Z

∞

st

−

[c1 f 1 (t) + c2 f 2 (t)]e

0

dt = c1

Z

∞

f 1 (t)e

0

st

−

dt + c2

Z 0

f 2 (t)e−st dt

(10)

= c1 L{f 1 (t)} + c2 L{f 2 (t)}

Ejemplo de aplicaci´ on: encontrar las transformadas del seno y del coseno. Si consideramos f (t) = cos(ωt) y g (t) = sin(ωt) y aplicamos la fórmula de Euler, vemos que e j ωt = f (t) + jg(t). Desde

el punto de vista transformado y aplicando la propiedad de linealidad tenemos:

L{e j ωt } = L{ f (t)} + j L{g(t)} = F (s) + jG(s)

(11)

Por suerte, ya sabemos calcular la transformada de e j ωt , que vale L{e j ωt } = s−1 j ω = Ahora ya simplemente identificando partes llegamos a la conclusión deseada, es decir F (s) = L{cos(ω t)} = G(s) = L{sin(ω t)} =

s2

s + ω2 ω

s2 + ω 2

s+ j ω . s2 +ω2

(12)

(13)

3. Derivaci´ on: L{ f 0 (t)} = L{ df (t) dt } = sF (s) − f (0). Comprobaci´ on: ∞

Z

f 0 (t)e−st dt =

0



u = e −st f 0 (t)dt = dv du = −se−st dt f (t) = v ∞

= e

st

−

 Z 

f (t)

(14)

∞

+ s

0

Generalizaci´ on:

!

f (t)e−st dt = −f (0) + sF (s)

(15)

0

Esta propiedad se puede generalizar siempre que la derivada n-´ esima tenga transformada de Laplace, que se relacionará con F (s) seg´ un

L{

dn f (t) } = s n F (s) − sn−1 f (0) − sn−2 f 0 (0) − sn−3 f 00 (0) − . . . − sf (n−2) (0) − f (n−1) (0) (16) n dt

Ejemplo de aplicaci´ on:

Gracias a la propiedad de derivación obtenemos una de las aplicaciones más importantes de la transformada de Laplace, pues es lo que nos permite transformar una ecuación diferencial ordinaria en algebraica. Por ejemplo, supongamos un sistema cuya respuesta y(t) evoluciona a lo largo del tiempo seg´ un la ecuación y00 (t) + 4y 0 (t) + 3y(t) = t 22

(17)

con condiciones iniciales y(0) = 2 y y 0 (0) = −3. Nó tese que, al fin y al cabo, una ecuación diferencial nos da información sobre variaciones del sistema pero en ningú n caso nos da una medida absoluta de su estado. Por eso son necesarias las condiciones iniciales si se pretende dar una caracterizaci´ on completa del sistema. Usando la propiedad de derivación, vemos que

L{y(t)} = Y (s) L{y 0 (t)} = sY (s) − 2 L{y00 (t)} = s2 Y (s) − sy(0) − y 0 (0) = s 2 Y (s) − sy(0) − y0 (0) Además, sabemos que L{t} = s1 , por lo que sustituyendo t´ erminos, la ecuación temporal se transforma en 1 (18) s2 Y (s) − 2s + 3 + 4sY (s) − 8 + 3Y (s) = 2 s que es una ecuación algebraica. Ahora es posible aislar Y (s), con lo que llegamos a la solución 2

Y (s) =

1 + s2 (2s + 5) (s2 + 4s + 3)s2

(19)

y u ´ nicamente nos faltar´ıa anti-transformar para encontrar y(t), que es lo que realmente nos interesa. t

R

4. Integraci´ on: L{ 0 f (τ )dτ } = Comprobaci´ on:

F (s) s

Para verificar esta propiedad, emplearemos el primer teorema fundamental del cálculo, que nos dice d b(x) f (t)dt = f (b(x))b0 (x) − f (a(x))a0 (x) (20) dx a(x)

Z

Aplicado a nuestro caso tenemos t

g(t) =

Z

f (u)du −→

0

d g(t) = f (t) dt

(21)

Ahora, aplicando la anterior propiedad de derivación obtenemos t

F (s) = L{ g 0 (t)} = s L{g(t)} − g(0) = s L

Z 0

ya que g(0) =

0 0 f (u)du =

R



f (u)du

(22)

0. As´ı pues concluimos que t

L

Z



f (u)du =

0

d 5. Multiplicaci´ on por t: L{ t f (t)} = − ds F (s)

Comprobaci´ on:

23

F (s) s

(23)

d d F (s) = ds ds

∞

Z

∞

st

−

e

f (t)dt =

0

Z 0

d −st e f (t)dt = ds

∞

Z

−t e−st f (t)dt = −L{t f (t)} (24)

0

Generalizaci´ on:

L{tn f (t)} = (−1)n 6. División por t: L{ f (t) t } = Comprobaci´ on:

∞

+∞ F (u)du s

∞

∞

∞

R 0

f (t)e−st dt, vemos que

Z Z Z Z   Z 

f (t)e−ut dtdu =

F (u)du =

s

(25)

R

Partiendo de la definición de F (s) =

Z

dn F (s) dsn

s

0

∞

=

∞

cambio del orden de integración ∞

 Z

e−ut du dt =

f (t)

0



s

0

!

e−st f (t) dt = L t

(26)

  f (t) t

7. Multiplicaci´ on por e αt : L eαt f (t) = F (s − α) Comprobaci´ on:

∞

αt

αt

L{e f (t)} =

e f (t) e

∞

st

−

dt =

0

Z 

f (t) e−(s−α)t dt = F (s − α)

(27)

0

An´ alogamente, podemos afirmar que L e−αt f (t) = F (s + α). Pongamos un ejemplo: si sabemos que L{ cos(ω t)} =

L{e−αt cos(ωt)} =

s , s2 +ω2

entonces

s + α (s + α)2 + ω2

(28)

8. Traslaci´ on en el tiempo: si F (s) = L{f (t)} y desplazamos f (t) un cierto tiempo a obteniendo f (t − a) t ≥ a ˜ = as´ı f (t) (ver figura), entonces L{ ˜ f (t)} = e −as F (s). 0 t
(

Comprobaci´ on:

∞

˜ } = L{f (t)

Z Z 0

∞

=

∞

e−st ˜ f (t)dt =

Z

e−st f (t − a)dt =

a



t − a = u dt = du

!

(29)

e−su e−sa f (u)du = e −as F (s)

0

Ejemplo de aplicaci´ on: encontrar la transformada de Laplace del pulso rectangular f (t) = Π

  t−t0 /2 t0

.

24

f (t

˜(t) f

Sabemos que podemos expresar el pulso rectangular como: Π

  t−t0 /2 t0

= u(t) −u(t −t0 ). Teniendo

esto en cuenta y conociendo la transformada del pulso unitario L{u(t)} = 1s , encontramos

L

 Π

t − t0 /2 t0



1 e −st 1 − e−st = L{ u(t)} − L{u(t − t0 )} = − = s s s 0

9. Cambio de escala: L{ f (at)} = a1 F Comprobaci´ on:



∞

Z

e

st

−

f (at)dt =

0

t = dt =

λ

a dλ a

0

(30)

s a



! Z

∞

=

sλ a

−

e

0

dλ 1 f (λ) = a a

∞

Z

e

sλ a

−

0

1 s f (λ)dλ = F a a



(31)

10. Funciones peri´ odicas: si f (t) es una funci´ on periódica, es decir, f (t+rt) = f (t), r ∈ N+ , entonces podemos encontrar su transformada de Laplace como T −st f (t)dt 0 e 1 − e−sT

R

L{f (t)} =

(32)

Comprobaci´ on: T

∞

F (s) = L{ f (t)} =

Z

st

−

e

f (t)dt =

0

Z

∞

st

−

e

f (t)dt +

0

Z

e−st f (t)dt

(33)

T

Hacemos el cambio de variable t = T + u en la segunda de las integrales y nos queda T

F (s) =

Z Z

∞

e−st f (t)dt +

0

0

e−s(T +u) f (T + u)du =

0

T

=

Z

T

∞

e

st

−

f (t)dt + e

sT

−

Z

su

−

e

f (u)du =

0

Finalmente, aislando F (s) llegamos al resultado deseado.

25



Z 0

f (u) = f (T + u) por ser periódica

!

e−st f (t)dt + e−sT F (s)

(34)

11. Teorema del valor inicial: nos permite encontrar f (t) para t → 0 a partir de F (s) sin necesidad de calcular la transformada inversa para obtener f (t) y luego calcular el l´ımite correspondiente. Gracias al teorema del valor inicial podremos, por ejemplo, verificar las condiciones iniciales del sistema. Sean f (t) y

df (t) dt

transformables, entonces l´ımt→0 f (t) = l´ıms→∞ s F (s).

Comprobaci´ on:

Empezamos usando la propiedad de derivación para establecer la siguiente relación ∞

Z 0

d f (t) −st e dt = s F (s) − f (0) dt

(35)

y tomamos el l´ımite s −→ ∞ en la parte izquierda de la igualdad, lo que resulta en ∞

l´ım

Z

s→∞ 0

d f (t) −st e dt = dt

∞

Z 0

d f (t) l´ım e−st dt = dt s→∞

∞

Z 0

d f (t) 0 dt = 0 dt

(36)

Por lo tanto, teniendo en cuenta la relación inicial llegamos a ∞

l´ım

Z

s→∞ 0

d f (t) −st e dt = l´ım s F (s) − f (0) = 0 s→∞ dt

(37)

Finalmente, identificando f (0) = l´ım t→0 f (t) llegamos al resultado deseado. 2s+5 on I 1 (s) = (s+1)(s+2) en el domino transformado y nos Ejemplo de aplicaci´ on: Nos dan la funci´

piden i 1 (0). Aplicando el teorema del valor inicial, podemos encontrarlo sin necesidad de anti-transformar haciendo 2s2 + 5s i1 (0) = l´ım 2 =2 (38) s→∞ s + 3s + 2 Si hubiéramos anti-transformado (veremos c´ omo m´ as adelante), obtendr´ıamos i1 (t) = 3e−t − e−2t y tomando el l´ımite t → 0, hubi´ eramos llegado al mismo resultado. 12. Teorema del valor final: an´ alogamente al teorema del valor inicial, nos permiten encontrar f (t) para t → ∞ a partir de F (s) sin necesidad de calcular la transformada inversa para obtener f (t) y luego calcular el l´ımite correspondiente. Gracias al teorema del valor final po dremos saber, por ejemplo, hacia dónde tiende el sistema (a muy largo plazo). Sean f (t) y

df (t) dt

ttransformables tal que exista f (∞), entonces l´ım t→∞ f (t) = l´ıms→0 s F (s).

Comprobaci´ on:

De manera semejante al caso anterior pero tomando el l´ımite s → 0 obtenemos ∞

l´ım

Z

s→0 0

d f (t) −st e dt = dt

∞

Z 0

d f (t) l´ım e−st dt = dt s→0

∞

Z 0

d f (t) 1 dt = f (∞) − f (0) dt

(39)

Usando de nuevo la propiedad de derivació n y a˜ nadiendo los l´ımites obtenemos f (∞) − f (0) = l´ım [s F (s) − f (0)] s→0

(40)

Finalmente, cancelando f (0) a ambos lados de la igualdad e identificando f (∞) = l´ımt→∞ f (t) llegamos al resultado descrito. 26

13. Evaluaci´ on de integrales: si F (s) = L{ f (t)}, entonces ∞

l´ım F (s) = l´ım

s→0

Z

∞

st

−

e

s→0 0

f (t)dt =

Z

f (t)dt = F (0)

(41)

0

14. Transformada de la integral de convoluci´ on: L{ f 1 (t) ∗ f 2 (t)} = F 1 (s) · F 2 (s) As´ı pues, una operación más bien compleja a nivel temporal como es la convolución se simplifica enormemente bajo el prisma de la transformada de Laplace. Como en el caso de la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, a menudo nos resultará mucho más interesante transformar las se˜ nales a convolucionar, hacer el producto en el dominio s y luego anti-transformar que intentar abordar la convoluci´ on directamente a nivel temporal. Comprobaci´ on:

∞

∞

Z Z Z Z

L{f 1 (t) ∗ f 2 (t)} =

0

=

f 1 (t − τ )f 2 (τ )dτ e−st dt

0

∞

 

∞

0

(42)

f 1 (t − τ )e−st dt f 2 (τ )dτ

0

N´ otese que en la primera igualdad la integral de convolución empieza en 0 y no en −∞ dado que las se˜ nales a convolucionar valen 0 para t < 0. En la segunda igualdad cambiamos el orden de integraci´ on y nos damos cuenta que la integral interior es justamente la transformada de Laplace de f 1 (t) con un cierto desplazamiento τ . Aplicando la propiedad de desplazamiento temporal podemos ver que dicha integral vale e −τ s F 1 (s). Entonces ∞

∞

Z Z 0

0

f 1 (t − τ )e

st

−

∞



Z

dt f 2 (τ )dτ =

0

e−τ s F 1 (s)f 2 (τ )dτ

(43)

∞

= F 1 (s)

Z

e−τ s f 2 (τ )dτ = F 1 (s) · F 2 (s)

0

Transformada de Laplace de u(t) y δ (t):

Ambas funciones tienen especial relevancia en términos de convolución y transformada de Laplace. En cuanto a la función δ (t), ya sabemos que la salida de un sistema cuando a la entrada hay una delta nos proporciona su respuesta impulsional h(t). En el dominio transformado, definiremos H (s) = L{ h(t)} como la funci´ on de transferencia del sistema y para encontrarla necesitaremos la transformada de Laplace de δ (t). Otras veces, con el mismo fin de encontrar H (s), nos será m´ as pr´ actico considerar como entrada al sistema el pulso unitario u(t) (a la práctica es conectarlo) y medir su respuesta. La transformada de u(t) ya la hemos visto, pero la recordamos, ∞

L{u(t)} =

Z

∞

st

−

u(t)e

0

dt =

Z

e−st dt =

0

1 s

(44)

La transformada de δ (t) es ∞

L{δ (t)} =

Z

δ (t)e−st dt = e −s0 = 1

0

27

(45)

Comprobaci´ on mediante ejemplo:

Consideremos las funciones f 1 (t) = u(t) y f 2 (t) = u(t)e−t . La convolución de ambas funciones resulta ∞

f (t) = f 1 (t) ∗ f 2 (t) =

∞

Z

u(t − τ )u(τ )e

−τ

dτ =

Z

u(t − τ )e

−τ

dτ =

0

−∞

t

Z

e−τ dτ = 1 − e−t (46)

0

Si lo miramos en el dominio transformado tenemos 1 F 1 (s) = L{f 1 (t)} = s 1 F 2 (s) = L{f 2 (t)} = s + 1

F (s) = L{f (t)} = L{ 1 − e−t } = L{ 1} − L{e−t } =

(47)

1 1 1 = − s s + 1 s(s + 1)

donde claramente comprobamos que se cumple F (s) = F 1 (s) · F 2 (s).

2.

La Transformada Inversa de Laplace

Hasta el momento hemos visto cuál es la puerta de entrada al dominio s (la propia transformada de Laplace), una serie de herramientas que nos permiten relacionar ambos dominios de forma más sencilla que a fuerza bruta (las propiedades de la transformada) y nos falta ver cuál es el camino de regreso del dominio s al dominio temporal, es decir, la transformada inversa o anti-transformada de Laplace, que denotaremos como L −1 . Para encontrar la transformada inversa de Lapace tenemos básicamente dos opciones: Aplicar directamente la anti-transformada de Laplace como sigue

L

1

−

1 {F (s)} = f (t) = l´ım T →∞ 2π j

c+ jT

Z

F (s)est ds

(48)

c− jT

donde c se debe escoger con el fin de integrar únicamente puntos dentro de la ROC y t ≥ 0. Se trata de un m´ etodo genérico pero a su vez complicado ya que implica el cálculo de una integral sobre variable compleja y lo evitaremos en la práctica. Por descomposici´ o n de F (s) en términos cuya anti-transformada sea conocida. En ese caso, aplicando la propiedad de linialidad de la transformada, podremos expresar f (t) como suma de anti-transformadas. Anti-transformada de Laplace por descomposici´ on en fracciones simples

Centr´ emonos pues en la segunda opción y busquemos una manera sistemática de hacer la descomposició n de F (s) en términos conocidos. En concreto, este método nos será u ´ til cuando podamos expresar F (s) como fracci´ on de polinomios en s con el grado del numerador menor o igual que el del denominador. As´ı pues, tenemos N (s) F (s) = (49) D(s) 28

donde m = grado{N (s)} y n = grado{D(s)} con m ≤ n. Gracias al teorema fundamental del álgebra, sabemos que es posible descomponer N (s) y D(s) en m y n ra´ıces complejas contando multiplicidades, respectivamente. As´ı pues, podemos expresar F (s) como F (s) = K

(s − z1 )(s − z2 ) . . . (s − zm ) (s − p1 )(s − p2 ) . . . (s − pn )

(50)

donde z k son las ra´ıces de N (s), a las que llamaremos los ceros de F (s), y p k son las ra´ıces de D(s), a las que llamaremos polos de F (s). A continuación veremos cómo obtener la transformada inversa en cuatro casos distintos, que son 1. Polos simples reales y n > m. 2. Polos simples reales y complejos conugados con n > m. 3. Polos reales m´ ultiples y n > m. 4. La función F (s) cumple n = m. Caso 1: Polos reales simples

En este caso es posible hacer la siguiente descomposición F (s) =

N (s) A1 A2 An = + + ... (s − p1 )(s − p2 ) . . . (s − pn ) s − p1 s − p2 s − pn

donde A k son valores constantes. Una vez conseguida la descomposición y sabiendo que L{ eαt } = encontramos la transformada inversa como f (t) = A1 e p t + A2 e p t + . . . + An e p



1

2

n

t



u(t)

(51) 1 s−α ,

(52)

La cuestión ahora es cómo encontrar los valores A k . Fijémonos que, dado que m < n y que disponemos de n valores Ak , tenemos suficientes grados de libertad para poder fijar los m + 1 coeficientes que tendrá a lo sumo el polinomio N (s), por lo que la descomposición es posible. Pongamos un ejemplo sencillo. F (s) =

4s − 3 A1 A2 A2 (s + 1) + A1 (s + 3) (A1 + A2 )s + (3A1 + A2 ) = + = = s2 + 4s + 3 s + 1 s + 3 (s + 1)(s + 3) s2 + 4s + 3

(53)

con lo que debemos cumplir A 1 + A2 = 4 junto con 3A1 + A2 = −3, lo cual es factible. No obstante, este modo de proceder resultar´ıa algo tedioso, por lo que intentaremos encontrar una alternativa m´ as simple. Veamos qu´ e sucede si multiplicamos F (s) en su forma descompuesta por (s − pk ). Tendremos F (s)(s − pk ) =

A1 A2 Ak An (s − pk ) + (s − pk ) + . . . + (s − pk ) + . . . (s − pk ) s − p1 s − p2 s − pk s − pn

29

(54)

y cancelando (s − pk ) en el k -ésimo término tenemos F (s)(s − pk ) =

A1 (s − pk ) A 2 (s − pk ) An (s − pk ) + + . . . + Ak + . . . s − p1 s − p2 s − pn

(55)

Finalmente, si evaluamos F (s)(s − p k ) en s = pk obtenemos directamente Ak ya que el resto de sumandos valen 0. As´ı pues, el método para determinar los coeficientes es multiplicar F (s) por el monomio correspondiente y evaluar todo en el valor del polo. En resumen, Ak = F (s)(s − pk )

 

(56)

s= pk

2

s +2s+2 Ejemplo: anti-transformar F (s) = (s+1)(s+2)(s+3)

En primer lugar expresamos F (s) como F (s) =

s2 + 2s + 2 A1 A2 A3 = + + (s + 1)(s + 2)(s + 3) s + 1 s + 2 s + 3

(57)

Acto seguido calculamos las constantes haciendo A1 = A2 = A3 =

   (s2 + 2s + 2)  (s + 1) 1−2+2 = = 0, 5    (s + 2)(s + 3)  (s + 1) s=−1 1 · 2    (s2 + 2s + 2)  (s + 2) 4−4+2 = = −2    (s + 1)(s + 3)  (s + 2) s=−2 (−1) · 1    (s2 + 2s + 2)  (s + 3) 9−6+2 = = 2, 5    3) s=−3 (s + 1)(s + 2)  (s + (−2) · (−1)

    

(58)

0,5 2,5 2 con lo que nos queda F (s) = s+1 + s+3 . Ahora ya podemos anti-transformar cada una de las − s+2 fracciones para llegar al resultado deseado, que es

f (t) = 0, 5e−t − 2e−2t + 2, 5e−3t u(t) Caso 2: Polos complejos





(59)

En este segundo caso supondremos que además de ra´ıces reales tenemos ra´ıces complejas y hay que tener en cuenta que cuando aparece una ra´ız compleja debe haber tambi´ en su compleja conjugada. A continuación vemos qu´ e sucede cuando hay una ra´ız y su compleja conjugada, pero el siguiente desarrollo sirve para cuantas ra´ıces existan. Supongamos pues que F (s) es de la forma F (s) =

N (s) D0 (s) ((s − α)2 + β 2 )

(60)

En este caso está claro que no existe ningún n´ umero real tal que (s − α)2 + β 2 = 0 y debemos recorrer a los n´ umeros complejos para hallar sus dos raices, que son α ± j β . De esta forma la descomposición en fracciones simples quedar´ıa





N (s) A A∗ F (s) = 0 = + + . . . D (s) [s − (α + j β )] [s − (α − j β )] s − α − j β s − α + j β 30

(61)

donde los puntos suspensivos indican la descomposición en fracciones simples de las ra´ıces reales (caso 1). N´ otese que las constantes A y A∗ que acompa˜ nan a las fracciones complejas y que se calculan del mismo modo que en el caso anterior son tambi´ en complejas conjugadas, por lo que no hace falta calcular ambas. En cuanto a la transformaci´ on inversa, este caso es muy parecido al anterior aunque ahora nos aparecerán exponenciales con argumento complejo con los que podremos elaborar algo más. Tenemos dos posibilidades: 1. Expresar A en módulo y fase como A = | A|e j θ , con lo que A ∗ = | A|e− j θ . En este caso la anti-transformada seria:

 

j θ (α+ j β )t

f (t) = u(t) |A|e e αt

+ |A|e

j(β t+θ)

= u(t) |A|e (e

+ e

j θ (α+ j β )t

−

e

j(β t+θ)

−

+ . . .





(62)

) + . . . = u(t) 2|A|eαt cos(β t + θ) + . . .



2. Expresar A en parte real e imaginaria como A = a + jb, con lo que A ∗ = a − jb.



En este caso la anti-transformada seria:

  

(α+ j β )t

f (t) = u(t) (a + j β )e αt

j β t

= u(t) e (ae

+ (a − jb)e

j β t

+ jbe

(α− j β )t

+ ae

j β t

−

− jbe

= u(t) eαt (2a cos β t + 2b sin β t) + . . .

+ . . .

j β t

−



) + . . .





(63)

Aunque no llegamos a la misma expresión, evidentemente ambas son la misma función. Quizá la primera nos sea más u ´ til para visualizar el resultado final, pues se trata de una senoide de amplitud inicial |A| y fase θ que se aten´ ua (α < 0) o amplifica (α > 0) de forma exponencial seg´ un el término αt e (si α = 0 la amplitud se mantiene constante a | A|). 2s+3 Ejemplo: anti-transformar F (s) = s3 +5s 2 +9s+5

En primer lugar buscamos las ra´ıces del denominador y encontramos F (s) =

2s + 3 (s + 1)[s2 + 4s + 5]

(64)

Si buscamos las ra´ıces de s 2 + 4s + 5 utilizando la f´ ormula para resolver ecuaciones de segundo grado, encontramos que éstas se encuentran en s = −2 ± j. As´ı pues, expresamos F (s) como F (s) =

2s + 3 A1 A2 A3 = + + (s + 1)(s + 2 + j)(s + 2 − j) s + 1 s + 2 + j s + 2 − j

Ahora calculamos A 1 y A 2 igual que en el caso 1, es decir    (2s + 3)  (s + 1) A1 = = 0, 5    (s + 2 + j)(s + 2 − j)  (s + 1) s=−1   (2s + 3)  (s + 2  + j) −1 − 2 j −2 + 6 j   A2 = = = = −0, 25 + 0, 75 j   (2 j − 2) 8 (s + 1)(s + 2 − j)  (s + 2  + j) s=−2− j  

  

31

(65)

(66)

N´ otese que no hace falta calcular A3 ya que A3 = A∗2 = −0, 25 − 0, 75 j. De esta forma podemos expresar F (s) como −0, 25 + 0, 75 j −0, 25 − 0, 75 j 0, 5 F (s) = + + (67) s + 1 s + 2 + j s + 2 − j y anti-transformar seg´ un lo explicado, cuyo resultado será f (t) = u(t) 0, 5e−t + (−0, 25 + 0, 75 j)e−2t e− jt + (−0, 25 − 0, 75 j)e−2t e jt

  

 

= u(t) 0, 5e−t + e−2t −0, 25(e− jt + e jt ) + e−2t −0, 75 j(e jt + e− jt )





= u(t) 0, 5e−t + e−2t (−0, 5cos t + 1, 5sin t) Caso 3: Polos m´ ultiples





(68)

En este tercer caso exploramos la existencia de ra´ıces múltiples. As´ı pues, supongamos que F (s) tiene una ra´ız de multiplicidad l y veamos cómo pasar al dominio temporal. Supongamos primero F (s) =

N (s) (s − p1 )l (s − p2 ) .

. . (s − pn )

(69)

En este caso el polo en p1 debe considerar tantas constantes en la descomposición como su multiplicidad. En nuestro caso, la descomposición deber´ıa ser F (s) =

A11 A12 A1l A2 An + + . . . + + + . . . + −1 l l (s − p1 ) (s − p1 ) s − p1 s − p2 s − pn

(70)

Nos preocupamos primero del cálculo de los coeficientes A1k . Siguiendo la lógica del primer caso encontramos f´ acilmente el coeficiente A 11 como A11 = F (s)(s − p1 )l

 

(71) s= p1

No obstante, no sabemos cómo calcular el resto de los coeficientes. Consideremos ahora la función (s − p1 )l F (s) simplificada l

l−1

F (s)(s − p1 ) = A 11 + A12 (s − p1 ) + . . . + A1l (s − p1 )

A 2 (s − p1 )l A n (s − p1 )l + + . . . + s − p2 s − pn

(72)

y tomemos la derivada respecto a s. Llegamos a d A2 l (s − p1 )l−1 (s − p2 ) − A2 (s − p1 )l l l−2 +. . . (73) {F (s)(s − p1 ) } = A 12 +. . .+A1l (l − 1)(s − p1 ) + ds (s − p2 )2 y nos damos cuenta que evaluando en s = p1 obtendremos el valor de A12 ya que el proceso de derivación ha anulado los términos de orden inferior mientras que el resto de términos valen cero una vez evaluamos en s = p1 . Vemos tambi´ en que este mecanismo se puede repetir tomando derivadas sucesivas para conseguir todos los valores requeridos. De forma genérica, calcularemos el término A 1k como 1 dk−1 A1k = l´ım (74) { (s − p1 )n F (s)} (k − 1)! s→ p dsk−1 1

N´ otese que el l´ımite s → p1 es equivalente a evaluar la función resultante en s = p1 . No obstante, formalmente ponemos el l´ımite ya que si no simplificamos la función cancelando términos como hemos 32

hecho hasta el momento y evaluamos directamente, obtendremos una indeterminación. Con el l´ımite evitamos ese error de d definición y en los casos anteriores hubiera sido más correcto también expresarlo as´ı. Finalmente, para pasar al dominio temporal la expresión de F (s) descompuesta en fracciones simples resultante de (70) y en particular los términos con denominador (s − p1 )k , haremos uso de la propiedad de multiplicación por t (propiedad 5), que de forma genérica nos dec´ıa n

L{t f (t)} =

n n d F (s) (−1) dsn

(75)

Partimos de la relación ya vista en los casos anteriores e p t ←→ 1

1 s − p1

(76)

y aplicamos dicha propiedad. Para n = 1, obtendr´ıamos p1 t

te

d ←→ (−1) ds

 

1 1 = s − p1 (s − p1 )2

(77)

De la misma forma, para n = 2 obtendr´ıamos t2 e p

1

t

d2 ←→ 2 ds

 

1 2 = s − p1 (s − p1 )3

(78)

Vemos que a través de sucesivas multiplicaciones por t vamos consiguiendo los términos (s− p1 ) . Simplemente hay que tener en cuenta los factores adicionales que van apareciendo para finalmente llegar a la relación que nos interesa y que es 1

tn e p t ←→ 1

n! (s − p1 )n+1

=⇒

tn p t 1 e ←→ n! (s − p1 )n+1

1

k

(79)

Con todo esto ya somos capaces de traba jar con ra´ıces múltiples. Veamos a continuación un ejemplo. s+2 Ejemplo: anti-transformar F (s) = (s+1) 2 (s+3)

En primer lugar hacemos la descomposición en fracciones simples según lo que hemos dicho, resultando F (s) =

A11 A12 A2 + + (s + 1)2 s + 1 s + 3

(80)

y calculamos los coeficientes haciendo s + 2  −1 + 2   (s + 1)2 = = 0, 5   2   1) (s + 3) −1 + 3 (s +  d s + 2 1 · (s + 3) − (s + 2) · 1    = l´ım (s + 1) 2 = l´ ı m = 0, 25     s→−1 ds s→−1 (s + 1) 2 (s + 3) (s + 3) 2 

A11 = A12

A2 =



(s + 2)(s + 3) (s + 1) 2 (s + 3)

 



= −0, 25





(81) (82)

s=−3

33

con lo que nos queda F (s) =

0, 5 0, 25 0, 25 + − (s + 1)2 s + 1 s + 3

(83)

Ahora ya podemos anti-transformar y nos queda f (t) = u(t) 0, 5 t e−t + 0, 25 e−t − 0, 25 e−3t



Caso 4: Grados numerador y denominador iguales



(84)

Por u ´ ltimo, supongamos que F (s) tiene la forma pn sn + pn−1 sn−1 + . . . + p0 F (s) = q n sn + q n−1 sn−1 + . . . + q 0

(85)

En este caso, podemos hacer la división de polinomios y nos quedar´ıa: F (s) =

pn + q n







pn−1 − pqnn q n−1 sn−1 + . . . + p0 − pqnn q 0 q n sn + q n−1 sn−1 + . . . + q 0



(86)

La segunda parte ya sabemos solucionarla con los casos 1-3 y la primera parte tendr´ıa como transformada pq δ (t), as´ı que f (t) ser´ıa pn f (t) = u(t) (87) δ (t) + . . . q n n

n





Con esto acabamos la transformación inversa de Laplace y a continuación veremos dos aplicaciones importantes de la transformada de Laplace.

3.

Aplicaciones de la Transformada de Laplace

Dos de las aplicaciones más importantes de la transformada de Laplace para un ingeniero de telecomunicación o electrónico son la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias y el análisis de circuitos con elementos capacitivos y reactivos. A continuación emplearemos las herramientas desarrolladas hasta el momento en estas dos aplicaciones concretas. 3.1.

Resoluci´ on de ecuaciones diferenciales ordinarias

Veremos esta aplicación a trav´ es de un ejemplo y para ello vamos a rescatar el circuito RC del principio del tema dando valores a los elementos como vemos en la figura. Vimos que el circuito deb´ıa responder a la siguiente ecuación diferencial (ya sustituyendo los valores) 6=3

dv c (t) + vc (t) dt

34

(88)

R = 1M Ω !

!

"

(t)

C = 3µF

!

V = 6V

vC (t) "

A partir de la ecuación diferencial, debemos sustituir cada uno de los t´ erminos por su transformada de Laplace. En este caso tendr´ıamos 6 s L{vc (t)} = V c (s) dvc (t) = 3(s V c (s) − vc (0)) = 3 s V c (s) − 3 vc (0) L 3 dt

L{6} =



(89)



Suponiendo que la tensión inicial del circuito es nula (vc (0) = 0), la ecuación diferencial se transformar´ıa en el dominio s en 6 = 3 s V c (s) + V c (s) = (3s + 1)V c (s) (90) s que es una ecuación algebraica fácil de resolver. Aislando V c (s) llegamos a la solución en el dominio de Laplace, que es 6 (91) V c (s) = s(3s + 1) No obstante, nos interesa la solución en el dominio temporal. Como ya sabemos anti-transformar, empezamos por descomponer V c (s) en fracciones simples según 6 6/3 A1 A2 = = + s(3s + 1) s(s + 1/3) s s + 1/3

V c (s) =

(92)

y calculamos los coeficientes como A1 A2

 

6/3 6/3 = = =6 s(s + 1/3)  s s=0 1/3  6/3 6/3 = = = −6     s  (s + 1/3)  (s + 1/3) s=−1/3 −1/3    

As´ı nos queda V c (s) =

(93)

 

6 6 6 = − s(3s + 1) s s + 1/3

(94)

Finalmente ya podemos pasar al dominio temporal y nos queda 1 3

vc (t) = 6(1 − e− t )

35

(95)

donde comprobamos que la tensión en el condensador es 0 inicialmente y éste se va cargando de forma exponencial hasta igualar la tensión de la fuente. Aunque aqu´ı hemos visto la resolución de ecuaciones diferenciales en base a un ejemplo, la forma de proceder sirve para todos los casos. En este ejemplo en particular hemos visto, además, que la resolución de circuitos con condensadores requiere tratar de algún modo con ecuaciones diferenciales. Desde el punto de vista de transformada de Laplace, existe un m´ etodo más sistemático para tratar circuitos que tengan bobinas y condensadores. Es lo que estudiaremos a continuación y con eso cerramos el tema de transformada de Laplace. 3.2.

An´ alisis de circuitos

El análisis de circuitos usando transformada de Laplace se podr´ıa plantear de la siguiente manera. Primero podr´ıamos extraer las ecuaciones diferenciales por las que se rigen las tensiones o corrientes en el circuito, luego las podr´ıamos transformar para resolver en el dominio s y una vez encontrada la solución pasar al dominio temporal. No obstante, esta manera de proceder podr´ıa ser complicada y existe un método más sencillo de llevar a cabo el análisis de circuitos. Lo que haremos es analizar el circuito directamente en el dominio s aprovechándonos de que es posible interpretar bobinas y condensadores como si fueran resistencias especiales (a las que llamaremos impedancias). Como ya sabemos analizar un circuito que tenga únicamente resistencias, lo único que nos quedará será antitransformar la soluci´ on alcanzada, pero tambi´ en es algo que ya sabemos hacer. Transformaci´ on de los elementos

Una resistencia es un elemento o dispositivo que establece una relación proporcional entre la corriente que circula por ella y la tensión que hay en sus bornes. Sabemos que la relación tensión-corriente en bobinas y condensadores es algo más complicada, pues es diferencial. No obstante, esta relació n se puede simplificar en el dominio s y lo que pretendemos es que se parezca lo más posible a algo proporcional. Empecemos viendo qu´ e sucede cuando las condiciones iniciales son nulas y luego veremos el caso general. Condiciones iniciales nulas

Estudiemos primero la relación V-I en el condensador cuando vc (0) = 0 (ver la figura). Sabemos que ic t)

! c

t

36

"

la relación temporal es ic (t) = C d vdt(t) . Si transformamos esta relaci´ on al dominio s obtenemos c

I c (s) = C s V c (s)

(96)

y si lo expresamos en forma de tensión-corriente nos queda 1 V c (s) = I c (s) Cs

(97)

Precisamente esta relación es la impedancia y se puede entender como una generalización del concepto de resistencia. Dicho de otra forma, en el dominio transformado podr´ıamos ver al condensador como una “resistencia” cuyo valor es 1/C s y por lo tanto, los mismos métodos de análisis que usábamos en circuitos con resistencias en el dominio temporal servirán en circuitos con condensadores en el dominio transformado. De forma gr´ afica representaremos al condensador como en la figura. I c (s) 1/Cs

!

V c s

"

Analicemos ahora qué sucede con una bobina, cuya ecuación V-I es v L (t) = L d idt(t) . Si transformamos esta ecuaci´ on al dominio s suponiendo i L (0) = 0 obtendremos L

V L (s) = L s I L (s)

V L (s) = L s I L (s)

−→

(98)

Ahora la impedancia en el dominio transformado vale L s y por lo tanto podremos tratar una bobina como si fuera una “resistencia” de valor L s. Gráficamente representaremos la bobina en ambos dominios como en la figura. I L s

iL t

Ls !

"

!

vL (t)

V L s

"

Condiciones iniciales NO nulas

Si consideramos que las condiciones iniciales pueden ser no nulas, entonces no basta con representar el condensador y la bobina como una impedancia. Hace falta hacer algo más. Empezemos viendo qué sucede con el condensador. Si v c (0) 6 = 0, entonces (96) pasa a ser I c (s) = C s V c (s) − Cvc (0) 37

(99)

y la relación de proporcionalidad anterior deja de existir. Reescribimos la relación anterior como V c (s) =

I c (s) v c (0) + Cs s

(100)

e identificamos la parte de proporcionalidad como antes a la que se le suma un “o ff set”. Este u ´ ltimo término lo podemos ver como un generador de las condiciones iniciales y circuitalmente podemos representar al condensador con condiciones iniciales no nulas según se ve en la figura (impedancia + fuente). I c (s)

v (0)/s c

1/Cs

!

"

V (s) c

Otra posibilidad es representar al condensador como una impedancia en paralelo a una fuente de corriente. Para ello empleamos el equivalente Thévenin-Norton y sabemos que la fuente de corriente (0)/s debe valer la tensión de fuente inicial dividida por la impedancia, es decir, v1/C s = C vc (0). De esta forma, conseguimos la representación de la figura. c

!

1

vc (0)

V c (s)

Cs

"

En el caso de la bobina partimos de la relación V L (s) = LsI L (s) − LiL (0) y vemos que ahora el generador de tensi´ o n toma el valor −LiL (0). Aplicando el teorema de Th´ evenin-Norton podemos i (0) pasar a una configuraci´ on compuesta por una fuente de corriente de valor s con la impedancia en paralelo. Vemos ambas posibilidades en la siguiente figura. L

I L (s) LiL (0) !

!

iL (0)

Ls

s

" !

Ls

V L (s)

"

V L (s)

Por u ´ltimo, cabe comentar que las resistencias se mantienen como impedancias de valor R puesto que la relación v R (t) = R iR (t) no cambia en el dominio transformado, donde tenemos V R (s) = R I R (s).

38

Ejemplos de aplicaci´ on Ejemplo1:

Supongamos que queremos analizar el circuito de la siguiente figura y, por ejemplo, nos interesa calcular la evolución de la tensión en el condensador. 10Ω

!

i(t)

1 F 10

(t)

C

"

vc (0)

= 20V

Para poder analizarlo directamente en el dominio s como si se tratase de un circuito con resistencias y generadores, debemos transformar primero los elementos. En este caso sólo hay que transformar el condensador (puesto que la resistencia se mantiene como impedancia de valor 10). Dado que existe una condición inicial no nula, el condensador se convierte en una impedancia más un generador. El circuito transformado resulta ser el de la figura siguiente. 10 ! 1 Cs

V c (s)

10 s

=

I (s)

! vc

(0)

s

=

20 s

"

Dado que el objetivo era encontrar la tensión en el condensador, la identificamos primero en el dominio transformado como vc (0) I (s) V c (s) = (101) − s Cs y una vez hallada la corriente I (s) en el circuito transformado, sólo nos quedará anti-transformar para encontrar el resultado buscado. Ejemplo 2:

Supongamos ahora que queremos analizar el siguiente circuito, donde las condiciones iniciales de la bobina y condensador son no nulas.

39

R1

R2

!

!

vs t

C

C

t

L

L

t

"

Como en el caso anterior, transformamos los elementos para obtener el circuito transformado (ver figura). R1

R2

!

1

Cs

V s (s)

iL (0)

Ls

! vc

s

(0)

s

Una vez transformado, aplicamos las herramientas clásicas de análisis de circuitos (leyes de Kircho ff , equivalente Thévenin-Norton, principio de superposició n, . . . ) para hallar la tensi´ on o corriente que deseemos encontrar. Por ejemplo, podr´ıamos aplicar el equivalente Thévenin-Norton para pasar de 3 a 2 mallas como muestra la figura. R1

R2

!

1

Ls

Cs

V s (s)

! vc

(0)

iL (0)L

s

!

Una vez obtenidas las magnitudes deseadas, sólo nos queda anti-transformar para conocer la evolución temporal de las corrientes y tensiones en el circuito.

40

Tema 3: Funci´ on de Transferencia de un Sistema Antoni Morell y Rosana Rodr´ıguez 18 de marzo de 2014

1.

Definici´ on

La funci´ on de transferencia de un sistema LTI se define como la relación (cociente) entre la transformada de Laplace de la salida o respuesta del sistema Y (s) = y(t) y la transformada de Laplace de la entrada o función excitadora X (s) = x(t) suponiendo condiciones iniciales nulas (sistema en estado cero) y una única excitación. As´ı tenemos

L{ }

L{ }

H (s) =

Y (s) X (s)

(1)

Si convertimos la ecuación anterior a Y (s) = H (s)X (s) y aplicamos la propiedad de convolución para volver al dominio temporal (propiedad 14 del tema 2), obtenemos

L−1{Y (s)} = L−1{H (s)X (s)}

−→

y(t) = h(t) x(t)

(2)

∗

con lo que ya podemos anticipar que, en realidad, la función de transferencia corresponde a la transformada de Laplace de la respuesta impulsional en sistemas lineales e invariantes con condiciones iniciales nulas. En caso de definir el sistema en forma de ecuación diferencial como dn y(t) dn−1 y(t) dy(t) dm x(t) dx(t) bn + bn−1 + . . . + b1 + b0 y(t) = a m + . . . + a1 + a0 x(t), n n m 1 − dt dt dt dt dt

(3)

su transformaci´ on al dominio s (suponiendo condiciones iniciales nulas) nos lleva a

b s n

n

+ bn−1 sn−1 + . . . + b1 s + b0 Y (s) = am sm + am−1 sm−1 + . . . + a1 s + a0 X (s),







(4)

de lo que concluimos que H (s) =

Y (s) am sm + am−1 sm−1 + . . . + a1 s + a0 = X (s) bn sn + bn−1 sn−1 + . . . + b1 s + b0

(5)

Finalmente, llamaremos orden de la funci´ on de transferencia al orden del polinomio que se encuentra en el denominador.

41

Utilidad de la funci´ on de transferencia La función de transferencia nos sirve para caracterizar un determinado sistema de una forma compacta (igual que lo hace su respuesta impulsional) pero, además, nos permite calcular la salida a cualquier entrada de forma habitualmente más simple que haciendo la integral de convolución. En otras palabras, es preferible transformar la señal de entrada, hacer el producto con H (s) y finalmente anti-transformar el resultado obtenido que abordar la convolución directamente. Veámoslo en un ejemplo muy simple. Consideremos el circuito de la figura siguiente y definamos la entrada vi (t) como la tensión de generador y la salida v 0 (t) como la tensión en bornes de la resistencia R 2 . 1

!

! i

(t)

0

2

(t)

"

A priori, como se trata de un circuito muy simple, vemos fácilmente que v0 (t) = R R+R vi (t). No obstante, hagamos un peque˜ no ejercicio académico y abordémoslo como un sistema genérico. Como ya hemos dicho, una opción para caracterizar el sistema es obtener su respuesta impulsional. Para ello fijamos v i (t) = δ (t) y obtenemos v0 (t) = h(t) = R R+R δ (t). Ahora, para calcular la salida a cualquier entrada deber´ıamos hacer ∞ ∞ R2 v0 (t) = h(t) vi (t) = h(t τ )vi (τ )dτ = vi (τ ) δ (t τ )dτ (6) R1 + R2 0 0 ∞ R2 R2 = vi (τ )δ (t τ ) = vi (t) R1 + R2 0 R1 + R2 2

1

2

2

1



∗



2



−

−

−

Intuimos en este caso tan simple que el hecho de tener que calcular una integral para nada facilita el cálculo. Por contra, si calculamos H (s) =

Y (s) obtenemos X (s)

H (s) =

R2 R1 + R2

(7)

Ahora la salida se obtiene haciendo el producto V 0 (s) = H (s)V i (s). Es cierto que hará falta transformar primero v i (t) y luego anti-transformar V 0 (s), pero normalmente resultará menos complejo que integrar directamente. Además, como veremos más adelante, el estudio de H (s) nos permite un análisis más profundo y a la vez simple del sistema.

42

2.

Determinaci´ o n de la Funci´ o n de Transferencia a Partir de las Respuestas al Impulso Unidad y al Escal´ on Unitario

A la práctica, determinaremos la función de transferencia de un sistema inyectándole se˜ nal y midiendo su respuesta, todo ello a nivel temporal. Lo ideal (más práctico) ser´ıa inyectar al sistema el impulso unitario δ (t), puesto que con sólo anti-transformar la salida y(t) = h(t) nos valdr´ıa. No obstante, a veces resulta complicado generar un impulso unitario y es mucho más práctico usar el escalón unidad. Por ejemplo, si nuestro sistema es un circuito y definimos la entrada al sistema como la tensión de generador, entonces aplicar u(t) a la entrada es equivalente a conectar el circuito usando una fuente de tensión constante. En cualquiera de los dos casos, es sumamente importante que el sistema se encuentre en estado cero antes de hacer el experimento. Veamos a continuación los dos casos descritos: 1. Si x(t) = δ (t), entonces y(t) = h(t) δ (t) = h(t). En el dominio transformado X (s) = 1 y por lo tanto Y (s) = H (s), con lo que nos basta transformar la salida del sistema a nivel temporal para obtener su función de transferencia.

∗

2. Si x(t) = u(t), entonces y(t) = h(t) u(t). En el dominio transformado X (s) = 1/s y por lo tanto Y (s) = H (s)/s, con lo que H (s) = s Y (s). En este caso, para hallar H (s) deberemos transformar la salida del sistema al dominio s y luego simplemente la multiplicaremos por s.

∗

Ejemplo de aplicaci´ on: Supongamos que para cierto sistema, la respuesta al escalón unidad en estado 3t

 − e−  u(t). Encontrar H (s).

cero es y (t) = 1

En este caso transformamos primero y (t) al dominio de Laplace, resultando en Y (s) =

1 s

− s +1 3

(8)

y luego multiplicamos por s para finalmente encontrar la funci´ on de transferencia. As´ı resulta H (s) = s Y (s) = 1

− s +s 3

(9)

Ahora ya podemos conocer la respuesta a cualquier entrada del sistema. Simplemente hay que transformar la entrada al dominio de Laplace, multiplicarla por H (s) y anti-transformar el resultado obtenido.

3.

Diagrama de Zeros y Polos

Como ya vimos en el tema 2, todo polinomio de orden n se puede descomponer, por el teorema fundamental del álgebra, en n ra´ıces (contando multiplicidades). Cuando H (s) sea una divisió n de polinomios en s, es decir, H (s) = N (s)/D(s), entonces podremos expresarla como H (s) = K

(s (s

− z1) . . . (s − z ) − p1) . . . (s − p ) m n

43

(10)

y diremos que n es el grado de la función de transferencia, o sea, el grado del polinomio denominador. Como ya vimos en el tema anterior, llamaremos ceros de H (s) a las ra´ıces del polinomio numerador y polos de H (s) a las ra´ıces del polinomio denominador. Como también sabemos, s es una variable compleja que descomponemos según s = σ + jω. Llamaremos plano complejo o plano s al plano de dimensión 2 que forman todos los valores de s con σ ( , + ) y ω ( , + ). En este plano se representan los ceros de H (s) con un c´ırculo ( ) y sus polos con una cruz ( ). La posición de ambos en el plano s, as´ı como el valor de K , es lo que finalmente determina la respuesta del sistema y también algunas de sus propiedades como veremos en el siguiente apartado.

∈ −∞ ∞

∈ −∞ ∞ ×

◦

Ejemplos de representaci´ on: H (s)

= K (s−sj+2 )(s+j )

H (s)

+3 = K [s−(1+js)][ s−(1−j )]

j ω

j ω

!

!

σ

!

4.

!

σ

Estabilidad

Una de las propiedades fundamentales de cualquier sistema es su estabilidad, pues un sistema inestable pocas veces tendrá utilidad práctica. En este caso son los polos de la función de transferencia quienes determinan si un sistema es estable o no para una entrada cualquiera, siempre que ésta esté acotada. Consideremos ahora el sistema de la figura, inicialmente en estado cero, X (s)

H (s)

(s)

donde la salida vale Y (s) = H (s) X (s). Si quisiéramos volver al dominio temporal para encontrar y(t), deber´ıamos descomponer Y (s) en fracciones simples según ya hemos visto en el tema anterior. Supongamos que el producto H (s) X (s) da lugar a n fracciones simples correspondientes a los n polos de H (s) más otras l fracciones simples correspondientes a las l ra´ıces del denomindador de la se˜ nal de

44

entrada X (s). En este caso tenemos Y (s) =

A1 An B1 Bl + ... + + + ...+ s p1 s pn s s1 s sl

−

−

−

−

(11)

Por otro lado, llamaremos componente libre a la respuesta que el sistema genera de manera intr´ınseca pero que no está relacionada con la forma temporal de la se˜ nal de entrada y denominaremos componente forzada a la parte de la respuesta que es debida directamente a la entrada, es decir, que comparte su misma forma temporal. Si nos fijamos de nuevo en (11) veremos que ya se ha separado en dos grupos de fracciones simples: i) las correspondientes a las ra´ıces del denominador de H (s) (los polos del sistema) y ii) las correspondientes a las ra´ıces del denominador de la señal de entrada X (s). Si ahora nos planteásemos pasar al dominio temporal, resulta evidente que el segundo grupo de fracciones simples dar´ıa formas de onda iguales a las de la señal de entrada (modificadas sólo por el coeficiente Bi correspondiente) mientras que el segundo grupo dar´ıa lugar a formas de onda que el sistema genera por s´ı mismo y que, salvo por los coeficientes A k , no dependen de cuál es la entrada. Llegados a este punto, disponemos de herramientas suficientes para plantearnos cu´ ando un sistema es estable y cuándo no. Recordemos del tema 1 que un sistema es estable por definición si la salida a cualquier entrada acotada es también acotada. Teniendo esto en cuenta y volviendo a la expresión de Y (s) en (11), vemos claramente que la componente forzada de la respuesta no influye en la estabilidad del sistema, ya que si la entrada es estable, esa parte de la salida también lo será (los coeficientes son siempre finitos). Por lo tanto, la estabilidad del sistema tiene que venir determinada por la componente libre. Intuitivamente, si un sistema es estable esperaremos que la respuesta libre tienda a desaparecer con el avance del tiempo, es decir, que exista un cierto instante t0 a partir del cual la componente libre sea nula o despreciable y únicamente nos quede la respuesta forzada. Siguiendo esta misma idea podemos definir: Régimen transitorio: intervalo de tiempo en el que la componente libre de la respuesta es ostensible frente a la componente forzada. Régimen permanente: intervalo de tiempo en el que la componente libre se puede considerar nula o despreciable y queda únicamente la parte forzada de la respuesta. Formalmente, diremos que un sistema es estable si la componente libre de la respuesta tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Además, como ya se ha visto, un sistema es estable independientemente de la excitación a la que es sometido. A continuación veremos la relación entre la respuesta libre del sistema y su diagrama de ceros y polos. Relaci´ on entre Respuesta Libre y Diagrama de Polos y Ceros A continuación veremos los distintos tipos de polos que podemos encontrar para analizar a continuación su efecto en la respuesta del sistema. a) Polos reales con parte real negativa. 45

Supongamos que tenemos un polo simple en p = α. Entonces, su anti-transformada tendrá forma de exponencial decreciente, es decir, será del tipo Ae−αt u(t). Vemos que da lugar a una respuesta que se aten´ ua con el tiempo. Incluso si el polo hubiera sido múltiple, una respuesta del k −αt tipo At e u(t) tambi´ en se atenuar´ıa con el tiempo puesto que la exponencial decrece siempre má s rápido que el término tk para un k dado. Vemos tambi´ en que a mayor valor de α (polo más negativo) mayor es la velocidad de decrecimiento. Por lo tanto, polos reales con parte real an a que el sistema sea estable . negativa contribuir´

−

b) Polos reales con parte real positiva. Si el polo es real pero positivo sucede justo lo contrario. Si tenemos un polo simple en p = α, éste dará lugar a una respuesta de tipo Aeαt u(t), es decir, crecerá exponencialmente con el tiempo y como mayor sea el valor de α, también mayor será su velocidad de crecimiento. Por lo tanto, polos reales con parte real positiva har´ an que el sistema sea inestable . Nótese que una sola contribución de este tipo hará que el sistema sea inestable. Dicho de otra forma, aunque un sistema tenga 100 polos reales negativos y uno solo de positivo, el sistema será inestable. c) Polos complejo conjugados. Parte real negativa. Supongamos que tenemos un polo complejo conjugado del tipo p = α jω. Como vimos en el tema 2, estos polos generan una respuesta del tipo Ae −αt cos(ωt + φ)u(t) y se trata, por lo tanto, de una cosnoide a frecuencia angular ω cuya amplitud decrece exponencialmente seg´ un e−αt . Como sucede en el caso a), como más negativa es la parte real del polo más r´ apidamente decrece. Por lo tanto, estos polos contribuirá n a la estabilidad del sistema.

− ±

Parte real positiva. Consideremos ahora p = α jω. En este caso la respuesta es del tipo Ae αt cos(ωt + φ)u(t) y ahora la amplitud de la cosenoide crece exponencialmente con el tiempo. Por lo tanto, un polo de este tipo fuerza la inestabilidad del sistema.

±

Finalmente, si el polo tiene parte real nula, es decir p = jω, la respuesta será A cos(ωt + φ)u(t), o sea, una cosenoide. En este caso el sistema ser´ıa estable según la definición del tema 1 pero la componente libre del sistema no se atenúa con el tiempo. Es por eso que en este caso diremos que el sistema es estable en sentido amplio o bien marginalmente estable . Lo mismo sucede si el polo fuera real con parte real nula.

±

d) Polos m´ ultiples en el eje imaginario. En este caso tendremos el escalón multiplicado por t n o bien un coseno multiplicado por t n . Por lo tanto, el sistema será inestable en este caso ya que la respuesta correspondiente a estas ra´ıces crece a infinto, aunque lo haga de forma más lenta que la exponencial. Una vez hemos analizado todos los casos, podemos anticipar la condición de estabilidad de un sistema mirando u ńicamente su función de transferencia H (s).

46

Estabilidad / Inestabilidad de un Sistema Podemos clasificar los sistemas según: Sistema estable en sentido estricto: si todos sus polos tienen parte real estrictamente negativa (no 0). Sistema estable en sentido amplio: si todos sus polos tienen parte real estrictamente negativa o bien 0 (en este caso con multiplicidad 1). Sistema marginalmente estable: si tiene al menos un polo con parte real nula (pero únicamente con multiplicidad 1). Sistema inestable: si tiene al menos un polo con parte real estrictamente positiva o bien un polo múltiple con parte real nula. La figura siguiente muestra, para los distintos tipos de polo, su forma temporal asociada y su condici´ on de estabilidad / inestabilidad.

j ω

!

!

!

!

!

! σ

!

!

!

$%&'()$ +%, $%&-".&/0

"#$%&'()$

$%&'()$ +%, '13)"/0

5.

1'-2"#')1$#&$ $%&'()$

Diagramas de Bode

Los diagramas de Bode son una representación gr´ afica de la respuesta de un determinado sistema a un tipo de entrada muy particular: la cosenoide. Su utilidad práctica se pone de manifiesto cuando nos damos cuenta de que las señales con las que trabajan los sistema de comunicación se pueden descomponer como suma de senoides (de diferente amplitud y fase) según la transformada de Fourier (que veremos en el siguiente tema). As´ı pues, conocer la respuesta del sistema a una cosenoide de cualquier frecuencia y fase nos lleva a poder predecir la respuesta del sistema a cualquier señal de entrada. De ahora en adelante, diremos que el sistema trabaja en r´ egimen permanente senoidal cuando a la entrada tiene una senoide que está presente desde t = .

−∞

47

5.1.

Respuesta a la cosenoide. La se˜ nal exponencial como autofunci´ o n de los sistemas LTI.

Veamos primero qué queremos decir con que la exponencial es autofunción de un sistema LTI cualquiera. Pues bien, esto significa que si a la entrada de un sistema LTI inyectamos una señal exponencial x(t) = e st , entonces la salida también tendrá la misma forma de exponencial multiplicada por un cierto factor constante al que llamamos autovalor. Esto es válido tanto para la transformada de Laplace unilateral como bilateral. No obstante, ya que hasta ahora nos hemos centrado en la transformada de Laplace uniltateral, vamos a considerar el sistema causal como indica la siguiente figura.

x(t)

h(t)

= est

y (t) =  est

!"# % &'()'*

En este caso, la salida resulta y(t) = x(t) h(t) =

∗

 ∞

h(τ )x(t

−∞

− τ )dτ =

 ∞

h(τ )es(t−τ ) dτ = e st

0

 ∞

h(τ )e−sτ dτ = e st H (s) (12)

0

Este resultado es interesante por su simplicidad pero tiene un problema desde el punto de vista práctico: una se˜ nal exponencial de tipo est con s complejo no es algo demasiado intuitivo ni útil si no es que la parte real de s sea nula (si es positiva la señal no está acotada y si es negativa la señal se desvanece). Por contra, una señal senoidal de tipo cos (ωt + φ), correspondiente a una parte real nula, resulta mucho más manejable o interpretable y la salida del sistema a dicha señal nos permite entenderlo mucho mejor ya que nos dice cómo éste se comporta ante una determinada frecuencia angular ω. Si utilizamos la fórmula de Euler, vemos que podemos expresar el coseno como suma de exponenciales seg´ un 1 jω t+φ cos(ωt + φ) = e + e− jω t−φ (13) 2 Ahora podemos encontrar la salida del sistema aplicando el resultado de (12), obteniendo





1 jωt jφ y(t) = e e H ( jω) + e− jω t e− jφ H ( jω) 2



−



(14)

Centrémonos un momento a ver qué vale H ( jω). Empezando con la definición de transformada de Laplace, esto es ∗ ∞ ∞ jωτ jωτ ∗ − H ( jω) = h(τ )e dτ = h (τ )e dτ (15)

−

−



 0

0



donde hemos conjugado dos veces teniendo en cuenta que en complejos se cumple ( ab + cd)∗ = a ∗ b∗ + c∗ d∗ independientemente del numero de sumandos que haya. Si nos fijamos en la última expresión encontrada y tenemos en cuenta que los sistemas serán reales en la práctica, es decir h∗ (τ ) = h(τ ), entonces llegamos a H ( jω) = H ∗ ( jω) (16)

−

Por lo tanto, H ( jω) y H ( jω) serán iguales en módulo y tendrán fase opuesta, que denotaremos por ψ(ω), por el hecho de ser uno el conjugado del otro. Aplicando esta idea al desarrollo inicial podemos

−

48

ver que 1 jωt jφ y(t) = e e H ( jω) e jψ (ω) + e− jωt e− jφ H ( jω ) e− jψ (ω) = H ( jω ) cos(ωt + φ + ψ(ω)) 2



|

|

|



|

|

(17)

|

Llegamos a la conclusión que la salida a una senoide de frecuencia ω y fase φ es otra senoide a la misma frecuencia pero desfasada una cierta cantidad marcada por la fase de H ( jω ) a dicha frecuencia y escalada por el módulo de H ( jω ). As´ı pues, nos interesaran estas dos magnitudes y esa información es lo que representamos gráficamente con los diagaramas de Bode de amplitud y fase. 5.2.

Diagrama de Bode de Amplitud y Fase.

Como acabamos de decir, son la representación de H ( jω) y ψ(ω) = ∠H ( jω) en función de la frecuencia angular ω dada en rad/s, aunque tambi´ en se pueden representar en función de la frecuencia natural f dada en Hz, ambas relacionadas seg´ un ω = 2πf . Habitualmente se representa en escala logar´ıtmica tanto el eje de frecuencias como el de amplitudes para ambos diagramas. Esto es interesante para poder representar as´ı en una misma gráfica un amplio margen de frecuencias (el logaritmo comprime).

|

|

Diagrama de Bode de amplitud En este caso en particular, aplicaremos 10 log10 H ( jω) 2 = 20log10 H ( jω) en el eje de amplitudes para trabajar as´ı en dB (magnitud relativa habitualmente relacionada con medidas de potencia o intensidad). La razón principal es que los distintos t´ erminos de H ( jω) que están multiplicando y dividiendo pasan a sumar y restar dadas las propiedades del logaritmo. Es decir, si representamos ( jω ) H ( jω) como H ( jω) = K N , entonces D ( jω )

|

|H ( jω)|2

dB =

|

|

|

20 log10 H ( jω) = 20 log10 K + 20 log10 N ( jω)

|

|

| |

|

| − 20log10 |D( jω)|

(18)

Diagrama de Bode de fase En este caso representaremos la amplitud en lineal pues la escala irá entre 0 y 2π. En general, el diagrama de Bode es una herramienta para ver el comportamiento de un sistema de verdad con se˜ nales de verdad y de una forma rápida. Además, nos permite incluso reconstruir la función de transferencia del sistema si es necesario. Aunque gracias a las herramientas informáticas existentes en la actualidad resulta relativamente f´ acil dibujar el diagrama de Bode de un sistema, tambi´ en veremos cómo hacer una representaci´ on asintótica (no exacta) de éste (aplicado a circuitos) de forma fácil y sin necesidad de ordenadores. No obstante, antes de eso veremos cómo son los diagramas de Bode de algunos sistemas muy básicos, ya que más tarde los combinaremos para obtener los diagramas de sistemas más complejos. Casos b´ asicos 1. H ( jω) = K (constante). Este caso es muy elemental y tenemos

|H ( jω)|2

dB =

20 log10 K

∠H ( jω)

| | 49

= 0 rad ω

∀

(19)

∠H ( j ω )

20log10 |H ( j ω )|

20log10 |K |

1 −1 0 10 0 10

2

0

10

3

10

log10 ω

4

1 2 −1 10 10 10 0 10

3

10

10

4

log10 ω

que corresponde a 2. H ( jω) = K/jω. En este segundo caso, el diagrama de Bode de amplitud responde a

|H ( jω)|2

dB =

20 log10 H ( jω) = 20 log10

|

|

K = 20log10 K ω

| | − 20log10 ω

(20)

lo que corresponde a una recta con pendiente negativo (ojo, con ω en escala logar´ıtmica). ¿Qué sucede si pasamos de una frecuencia ω0 a una 10 veces mayor, es decir, 10 ω0 ? (Nota: Este salto entre una frecuencia ω0 y otra 10 veces superior es lo que llamamos d´ ecada.) Queda claro que para ω 0 tendr´ıamos el resultado de (20) si sustituimos ω por ω 0 . Para 10ω0 tendr´ıamos

|H ( j10 ω0)|2

dB

K | | (21) 10 ω0 20 l og10 |K | − 20log10 ω0 − 20log10 10 = 20 log10 |K | − 20log10 ω0 − 20

= 20 l og10 H ( j10 ω0 ) = 20 log10 =

Se trata pues de una recta de pendiente -20 dB/década, o sea, entre una frecuencia cualquiera y una frecuencia 10 veces superior a la primera caen 20 dB. El diagrama de Bode de fase se encuentra a partir de ∠H ( jω)

= ∠ numerador

− ∠ denominador = tan−1 K 0 − tan−1 ω0 = 0 − π2 ∀ω

As´ı pues, el diagrama de Bode para este segundo caso resulta ser

50

(22)

∠H ( j ω )

20log10 |H ( j ω )| 20log10 |K |

ω0

0

−1

10

1

0

2

10

3

10 ω0 10

log10 ω

4

−1 10

1

10

2

3

10

0

log10 ω

4

10

π

20 dB

−

2

3. H ( jω) = jKω. En este caso, el diagrama de Bode de amplitud es

|H ( jω)|2

dB =

20 log10 H ( jω) = 20 log10 Kω = 20 log10 K + 20 log10 ω

|

|

| |

(23)

y si multiplicamos la frecuencia por 10 tenemos

|H ( j10 ω)|2

dB =

20 log10 K 10 ω = 20 log10 K + 20log10 ω0 + 20

| |

(24)

| |

Se trata entonces de una recta con pendiente +20 dB/d´ ecada. El diagrama de Bode de fase responde a ∠H ( jω)

= tan−1

K ω π = 0 2

∀ω

(25)

En resumen, tenemos ∠H ( j ω )

20log 10 |H ( j ω)| 20 dB

π

2 20log10 |K | −1 10

1

10

2

10

ω0

10 ω0

−1 10

log10 ω

1

10

2

10

3

10

4

10

log10 ω

4. H ( jω) = K/( jω)n . En este último caso el diagrama de Bode de amplitud es

|H ( jω)|2

dB =

20 log10 H ( jω) = 20 log10

|

|

51

K = 20 log10 K ωn

| | − 20n log10 ω

(26)

que corresponde a una recta de pendiente -20n dB/década. El diagrama de fase responde a ∠H ( jω )

=0

− ∠( j

n

−n π2

ωn ) =

y por lo tanto cada incremento de n corresponde a un incremento de En resumen, tenemos

(27)

π

− 2 en la fase.

∠H ( j ω )

20 log10 |H ( j ω)| 20 log10 |K |

−1 10

ω0 10 ω0

−1 10

3

10

4

10

2

10

3

10

4

og10 ω

10

log10 ω π

20n dB

5.3.

1

10

−n

2

Obtenci´ on del Diagrama de Bode de un Circuito

Veremos cómo obtener el diagrama de Bode de un circuito a través del estudio de un ejemplo sencillo: un circuito RC como el de la figura, donde la tensión de generador se define como la entrada y la tensión del condensador como la salida del sistema. Podemos ver tambi´ en el circuito equivalente según Laplace, que usaremos para encontrar la función de transferencia del sistema.

!

!

vi (t)

C

!

!

1

V i s)

v0 (t)

V 0 s)

s C

"

"

Lo primero que debemos hacer es calcular H ( jω), es decir, H (s) de tensión, encontramos fácilmente



s= jω

. Utilizando la fórmula del divisor

1

V 0 (s) =

V i (s) V i (s) = 1 1 + sRC + R Cs

Cs

y de aqu´ı V 0 (s) H ( jω) = V i (s)

 

s= jω

52

=

1 1 + jωRC

(28)

(29)

Por lo tanto, el diagrama de Bode de este circuito será la representación gr´ afica de

|H ( jω)|2

dB =

20 log10

√ 1+(1

∠H ( jω )

ωRC )2

− tan−1 ωRC

=

(30)

Para dibujar ambas funciones de forma f´ acil y sin necesidad de soporte informático, usaremos la aproximaci´ on asint´ otica del diagrama de Bode. Para ello calcularemos dos as´ıntotas especiales: As´ıntota de baja frecuencia Cuando ω es muy pequeño, el término jωRC del denominador se puede despreciar frente al 1. Es por eso que aproximamos H ( jω) 1 y por lo tanto las funciones a representar (amplitud y fase) son

≈

|H ( jω)|2

dB =

20 log10 1 = 0 dB

∠H ( jω)

= tan−1 10 = 0 rad

(31)

As´ıntota de alta frecuencia En cambio, cuando ω es suficientemente grande el 1 del denominador se puede despreciar frente 1 al término jωRC , por lo que la función se puede aproximar ahora por H ( jω ) y las jω RC funciones a representar en el diagrama de Bode son

≈

1 = 20log10 ωRC dB ωRC −1 0 tan−1 ωRC = π rad ∠H ( jω) = tan 1 0 2

|H ( jω)|2

dB =

20 log10

(32)

−

−

−

Si juntamos ambas aproximaciones en una misma gráfica obtenemos

20log10 |H ( j ω)| ωc

−3

∠H

= 1/RC

ωc

log10 ω

dB

jω = 1/RC

log10 ω

−π/2

−20 dB/década

π

−

2

donde vemos en trazo negro el diagrama de Bode asintótico y en trazo rojo el diagrama real. Vemos en la figura que se ha marcado una frecuencia en particular, la frecuencia de corte o ω c . Esta frecuencia es el punto de corte (en ampitud) entre las as´ıntotas de alta y baja frecuencia, es decir 2

1 =



1 RCωc



2

−→ 53

ωc =

1 RC

(33)

En esa frecuencia, además, sabemos que el diagrama de Bode en amplitud real está 3 dB por debajo del asintótico y que el diagrama de Bode en fase real tiene una fase de π/4 en ese punto. Podemos comprobarlo haciendo 1 H ( jω) ω= = (34) 1 + j RC



y por lo tanto

|H ( jω)|2

dB =

1 20 log10 √ = 2

1

−3 dB

∠H ( jω)

=0

− tan−1 11 = − 4 rad π

(35)

Visto esto, el mensaje es que una vez dibujado el diagrama de Bode asintótico y conociendo la frecuencia de corte ω c , dibujar una buena aproximación del diagrama de Bode real no resulta dif´ıcil. An´ alisis frecuencial de sistemas m´ as completos Consideremos ahora el siguiente circuito con R = 21Ω, L = 1H y C = 1/20C.

!

!

vi (t)

C

v0 (t) "

En este caso, el análisis en el dominio de Laplace nos da la siguiente función de transferencia H (s) =

20/s 20 20 1 = 2 = = s 21 + s + 20/s s + 21s + 20 (s + 1)(s + 20) (s + 1) 20 + 1





(36)

Vemos que hemos expresado dicha función en términos del tipo (1 +a s). En este caso sólo ha sido en el denominador, pero si el numerador tuviera grado mayor que uno, har´ıamos lo mismo. La raz´ on de esto es que intentamos reproducir lo visto en el circuito RC donde H (s) = 1/1+ RCs para poder aprovechar los resultados ya vistos. Calculemos pues la respuesta frecuencial de este circuito considerando dicha descomposición como 1 H ( jω) = (37) ω (1 + jω) 1 + j 20





Ahora podemos calcular el diagrama de Bode de amplitud como

|H ( jω)|2

dB =

y el de fase como

20 log10

  (1 + jω)11 + j ∠H ( jω)

ω

20

=∠

   = 20 log

10

 1   (1 + jω)  + 20 log

1 1 +∠ ω 1 + jω 1 + j 20

54

10

 1  1 + j

ω

20

  

(38)

(39)

de forma que los t´ erminos que aparecen ya los hab´ıamos visto en el circuito RC. Para dibujar el diagrama de Bode lo haremos por partes. Por ejemplo, en amplitud sabemos que a partir de la frecuencia angular 1 rad la respuesta decae a razón de 20 dB/década debidos al primer polo. Como el segundo polo provoca otra pendiente de -20 dB/década a partir de la frecuencia angular 20 rad, en total tendremos -40 dB/década. Además, si los polos están lo suficientemente alejados, los -3 dB en la frecuencia de corte siguen siendo válidos. En fase tendremos un primer polo que provoca un desfase de π/2 rad y un segundo polo que provoca un desfase adicional de otros π/2 rad. Podemos ver todo lo dicho en la siguiente figura.

−

−

∠H ( j ω )

20log 10 |H ( j ω)| 20

1

log10 ω

3 dB

log10 ω

−π /4

20 dB/década −3

20

1

−π /2

dB

-40 dB/década

−π

odulo y fase de la siguiente funció n de Ejemplo de aplicaci´ on: Dibujar el diagrama de Bode de m´ transferencia H (s) = 4

s+2 (s + 1)(s + 3)

(40)

Lo primero que debemos hacer es expresar la respuesta frecuencial de la forma adecuada, haciendo 1 + j ω2 jω + 2 8 H ( jω) = 4 = ( jω + 1)( jω + 3) 3 (1 + jω)(1 + j ω3 )

(41)

Para facilitar m´ as las cosas, podemos descomponer H ( jω) en t´ erminos de los que ya sabemos como hacer el diagrama de Bode, es decir H ( jω) =

8 ω 1 (1 + j ) 3 2 1 + jω

·

·

1 · 1 + j

ω

3

= H 1 ( jω ) H 2 ( jω) H 3 ( jω) H 4 ( jω)

·

·

·

(42)

Analicemos cada uno de los términos: 1. H 1 ( jω) =

8 3

Este término nos dará una amplitud constante de 20 log10

8 3

= 8, 52 dB y una fase de 0 rad.

2. H 2 ( jω) = 1 + j ω2 Este término contribuir´ a en amplitud con una recta de pendiente +20 dB/década a partir de su frecuencia de corte, que en este caso es ωc = 2, y con una fase que pasará de 0 rad a π/2 rad.

55

3. H 3 ( jω) = 1 + jω Este término contribuirá en amplitud con una recta de pendiente -20 dB/década a partir de su frecuencia de corte, que en este caso es ω c = 1, y con una fase que pasará de 0 rad a π/2 rad.

−

4. H 4 ( jω) = 1 + j ω3 De forma semejante al anterior, este término contribuir´ a en amplitud con una recta de pendiente -20 dB/década a partir de su frecuencia de corte, que en este caso es ω c = 3, y con una fase que también pasará de 0 rad a π/2 rad.

−

Una vez hecho este análisis, dibujamos en el siguiente gráfico el diagrama de Bode asintótico de los distintos términos solapando unos con otros. 20 log10 |H ( j ω )|

∠H ( j ω )

+20 dB década

8, 52dB π

2

,

2

1

log10 ω

−6 dB −9

2 3

log10 ω

54dB

−20 dB década

−π/2

Finalmente, dibujamos el diagrama de Bode asint´ otico del conjunto y a partir de este aproximamos el diagrama de Bode del sistema tal y como aparece en la figura siguiente. ∠H ( j ω )

20log10 |H ( j ω)| 8, 52dB

2

,

−20 B

52dB 1

2

3

1

éca a

2

3

log10 ω

log10 ω

−π 2

56

Tema 4: La Transformada de Fourier Antoni Morell y Rosana Ro dr´ıguez 22 de mayo de 2014

1. 1.1.

Definici´ on de la transformada de Fourier Recordatorio: Autofunciones y autovalores de la ecuaci´ on de convoluci´ on

En el Tema 3 vimos que la señal x(t) = e st era autofunci´ on de la ecuación de convolución. Esto es, si la entrada a un sistema caracterizado por h(t) es x(t) = e st , entonces la salida es y(t) = H (s)est , donde H (s) es lo que llamamos autovalor.

x(t)

y (t)

h t /H s

= est

= x(t) ∗ h(t) = H (s)est

Verifiquémoslo de nuevo, ∞

y(t) =



∞

x(t − τ )h(τ )dτ =

−∞



s(t−τ )

e

h(τ )dτ = e

st

−∞

∞



e−sτ h(τ )dτ = H (s)est

(1)

−∞

∞

donde identificamos H (s) = −∞ e−sτ h(τ )dτ , que se corresponde con la transformada (bilateral) de Laplace de h(t). En este caso se llama bilateral porque integramos desde −∞ y no de 0, pero coinciden para sistemas causales (los que nos interesan) ya que h(t) = 0 para t < 0. Recordemos que s es una variable compleja con parte real σ y parte imaginaria ω , es decir, s = σ + jω y que gracias a la transformada de Laplace pod´ıamos traba jar con las se˜ nales y sobretodo con los sistemas en el dominio s de forma m´ as simple que directamente en el dominio temporal. Ahora nos preguntamos si particularizando s de forma que σ = 0, o sea, haciendo s = j ω podr´ıamos hacer algo parecido. La transformaci´ on resultante se llama transformada de Fourier y es lo que estudiaremos en este tema, ya que tiene sus particularidades con respecto la transformada de Laplace. La transformada de Fourier estará asociada a frecuencia, ya sea angular ω medida en rad/s o bien frecuencia f medida en Hz o s −1 , siendo ω = 2πf .



Bajo esa nueva idea tendremos

∞

H (w) =



e− jωτ h(τ )dτ

(2)

−∞

como la transformada de Fourier de h(t) y, de la misma manera que antes, y(t)|x(t)=ejωt = H (w)e jw t. Intuitivamente, dado que e jωt es una se˜ nal de tipo senoidal, la transformada de Fourier nos será u ´til

57

cuando sea posible expresar la señal de entrada como suma (integral) de senoides, es decir, si x(t) = jω i t . Entonces la salida se determinar´ a f´ acilmente como y (t) = ai H (ωi )e jω i t . i ai e A partir de este momento, trabajaremos con frecuencia f (es lo mismo pero quizá un poco más c´ omodo), as´ı que de ahora en adelante escribiremos la transformada de Fourier como





∞

H (f ) =



e− j2πf τ h(τ )dτ

(3)

−∞

1.2.

La transformada de Laplace versus la transformada de Fourier

Si planteamos la transformada de Fourier como una particularización de la transformada de Laplace, inmediatamente nos surge la pregunta: ¿Por qu´ e es necesaria esta nueva transformación? ¿No vale sólo con la de Laplace? En primer lugar, está claro que la transformada de Laplace es más gen´ erica. Desde el punto de vista de se˜ nales y sistemas, esto tiene las siguientes ventajas: Permite transformar un mayor n´ umero de se˜ nales. Por ejemplo, como veremos más adelante, la transformada de Fourier no nos permite transformar se˜ nales que no decaen en el tiempo (las se˜ nales periódicas s´ı, pero como veremos, son un caso especial). Es decir, habrá se˜ nales como por ejemplo x(t) = t u(t) que no se pueden transformar con Fourier ya que la integral no converge. El hecho de trabajar en dos dimensiones nos aporta más informaci´ on. En otras palabras, con la transformada de Fourier no podremos estudiar el sistema desde el punto de vista de polos y ceros como hemos hecho con Laplace. En cambio, cuando la transformada de Fourier aplique, nos beneficiamos de: Mayor simplicidad en la transformaci´ on. Mayor facilidad para trabajar en el dominio transformado, ya que tenemos más propiedades (herramientas) que emplear. Más fácil de interpretar ya que sólo tenemos una dimensión. De hecho, ya lo hemos visto en los diagramas de Bode, donde se particularizaba para s = jω. En general, podemos afirmar que la transformada de Laplace será más u ´ til en el estudio de sistemas y, por contra, la transformada de Fourier será más u ´ til en el análisis de se˜ nales. Fijémonos que la transformada de Laplace trata problemas de valor inicial (se fijan las condiciones iniciales) y esto ya nos va bien des del punto de vista de sistema. En señales esto no es as´ı. Por ejemplo, no podemos fijar un valor inicial a la señal x(t) = A cos ω0 t ya que se extiende en todo t. En Fourier, a cambio de trabajar en régimen p ermanente senoidal, esto es posible.

1.3.

Definici´ on formal

Tal y como hemos anticipado en (3), la transformada de Fourier de una señal, digamos x(t) y que denotaremos X (f ) = F{x(t)}, se define como +∞

X (f ) =



x(t)e− j2πf t dt

−∞

58

(4)

y desde nuestro punto de vista, debemos interpretarla como una transformación que nos dice cuál es el contenido frecuencial de la señal, es decir, cuál es la contribución de una determinada frecuencia f 0 a la se˜ nal x(t). Intuitivamente, fijémonos que para encontrar X (f )|f =f 0 = X (f 0 ), multiplicamos primero x(t) por e− j2πf 0 t y luego integramos para todo t. Lo que estamos haciendo con esto es “comparar” la se˜ nal x(t) con un tono puro a f 0 (coseno en parte real y seno en parte imaginaria). Si se parecen mucho, X (f 0 ) tomar´ a un valor grande y en cambio, si no se parecen, el valor será bajo. A continuación se muestran dos grupos de condiciones que son suficientes (aunque no necesarias) para que exista X (f ) (con un solo grupo hay suficiente): 1. x(t) es de cuadrado integrable, es decir 2. Condiciones de Dirichlet:

+∞ 2 −∞ |x(t)| dt



x(t) es absolutamente integrable, es decir

< ∞.

+∞ −∞ |x(t)|dt



< ∞.

x(t) debe tener un n´ u mero de máximos y m´ınimos finito dentro de un intervalo finito. Contraejemplo: x(t) = sin 2π t en el intervalo t ∈ [−0,5, 0,5]



1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −0.5

0

0.5

x(t) debe tener un número de discontinuidades finitas dentro de un intervalo finito. Contraejemplo: x(t)

!"#

$"%

&"'

!

Esta función está definida para t ∈ [0, 1] y vale x(t) = 1 para t ∈ [0, 1/2] y x(t) = n 1 2 n −1 t ∈ [ 2 2n −1 1 , 2n ] con n ∈ N, n > 1. −

−

59

1 2n

−1

para

1.4.

La transformada inversa de Fourier

Dada la se˜ nal en el dominio frecuencial X (f ), la transformada inversa de Fourier, que denotaremos x(t) = F −1 {X (f )}, se define como +∞



x(t) =

X (f )e j2πf t df

(5)

−∞

y nos permite recuperar la señal temporal. Para comprobarlo, calculemos primero +∞



j2πf t

e

+∞ j2πf t df . −∞ e

     W

df =

l´ım

W →∞

−∞

=

l´ım

W →∞

j2πf t

e

El cálculo es el siguiente

df = l´ım

W →∞

−W

   e j2πf t j2πt

W

(6)

−W

sin2πW t = l´ım [2W sinc(2W t)] = δ (t) W →∞ πt

donde vemos que la suma de todos los tonos posibles (de cualquier frecuencia) da como resultado una delta. A partir de aqu´ı, podemos decir +∞

h(t) = T [δ (t)] = T [



j2πf t

e

df ] =

−∞




 

+∞

=

T [e j2πf t ]df

(7)

−∞

Es decir, de la misma forma que la integral de convolución era una combinación lineal de infinitas respuestas a deltas desplazadas, ahora buscamos la respuesta a una suma (infinita) de señales exponenciales. Pero ya hemos visto antes que la exponencial es una autofunción del sistema, es decir T [e j2πf t ] = H (f )e j2πf t , as´ı que nos queda +∞

h(t) =



H (f )e j2πf t df

(8)

−∞

llegando entonces a la definición de la transformada inversa de Fourier.

2.

Transformada de se˜ nales b´ asicas 1. Transformada de δ (t): +∞

F{δ (t)} =



− j2πf t

δ (t)e

+∞

dt =

−∞



δ (t)dt = 1

(9)

−∞

De forma compacta, escribiremos las transformadas como x(t) ←→ X (f ). As´ı pues, para este caso nos queda: δ (t) ←→ 1 (10) 2. Transformada de δ (t − t0 ): +∞

F{δ (t − t0 )} =



−∞

− j2πf t

δ (t − t0 )e

+∞

dt =



−∞

60

δ (t − t0 )e− j2πf t0 dt = e − j2πf t0

(11)

Si lo expresamos como módulo y fase, vemos que X (f ) = |X (f )|e jϕ X (f ) = 1 e j(−2πt0 f ) . Por lo tanto se trata de una se˜ nal en frecuencia de módulo constante 1 y de fase lineal con pendiente −2πt 0 . De forma compacta escribimos: δ (t − t0 ) ←→ e− j2πf t0

(12)

3. Transformada de la se˜ nal constante x(t) = A: +∞

F{A} =



− j2πf t

Ae

T

dt = A l´ım

T →∞

−∞



− j2πf t

e



dt = Aδ (f ),

−T

(13)

donde la integral se calcula tal y como hemos visto para la transformada inversa. Fijémonos que existe una cierta “dualidad” en la transformada de Fourier: la transformada de la delta es una constante y la de una constante es una delta. De forma compacta escribimos: A ←→ Aδ (f )

(14)

4. Transformada de h(t) = e −αt u(t) con α > 0 (en caso contrario la integral no converge): −αt

F{e

+∞

u(t)} =

 

−αt

e

−∞ +∞

=

u(t)e

− j2πf t

−( j2πf +α)t

e

dt =

0

+∞

dt =



−∞ e−(α+ j2πf )t

−(α + j2πf )

Si descomponemos en módulo y fase obtenemos

|H (f )| =

1



α2 + (2πf )2

,

e−( j2πf +α)t u(t)dt

ϕH (f ) = − arctg

|H (f )|

+∞

 

=

0

(15)

1 α + j2πf

2πf α

(16)

ϕH (f )

α

!"# √ 1

2α

f $!"# α

−2

π

α

2π

f

Como vemos, se trata de un filtro paso-bajo. Fijémonos, adem´ as, que H (f ) es una función herm´ıtica, es decir H (f ) = H ∗ (−f ). Esto quiere decir que la parte real es una función par y la parte imaginaria impar, o bien, como vemos en las gráficas, que el módulo es una función par y la fase una función impar. De forma compacta escribimos: e−αt u(t) ←→

61

1 α + j2πf

(17)

5. Transformada de h(t) = e −α|t| (también con α > 0): −α|t|

F{e

+∞

} =



−α|t| − j2πf t

e

e

0

dt =

−∞

=



(α− j2πf )t

e

+∞

dt +

−∞



e−( j2πf +α)t dt

(18)

0

1 1 2α + = 2 α − j2πf α + j2πf α + (2πf )2

En este caso, el módulo tiene una forma parecida al caso anterior pero con un decaimiento más rápido, ya que para f = α/2π el mó dulo decae a la mitad de su máximo. En cambio, la fase permanece constante a 0 ◦ ya que la transformada es real. Fij´ emonos que hemos pasado de una se˜ nal real y par en el dominio del tiempo a otra también real y par en el dominio frecuencial. De forma compacta escribimos: e−α|t| ←→ t T

    

6. Transformada de x(t) = AΠ

F A Π

t T

2α α2 + (2πf )2

(19)



(20)

:

+∞

=



t e− j2πf t dt = T

A Π

−∞

e− j2πf t = A − j2πf

+T /2

 

−T /2

+T/2



A Π

−T /2

t e− j2πf t dt = T

e− j2πfT/2 − e j2πfT/2 = A = − j2πf

AT sin πf T = AT sinc(f T ) πf T

=

Aqu´ı volvemos a ver como una señal real y par se convierte en otra tambi´ en real y par, por lo que con solo representar la parte real será suficiente. Alternativamente, podemos representar el módulo (valor absoluto de la sinc) y la fase (que tomará valores 1 ó -1). En este caso, además, observamos como a medida que x(t) se ensancha en tiempo, X (f ) se estrecha en frecuencia y viceversa. x(t)

X (f ) !" !

%"#$

"#$ 1

2

T

T

f

De forma compacta escribimos: AΠ

 t T

←→ AT sinc(f T )

62

(21)

3.

Propiedades de la transformada de Fourier

Son extremadamente u ´ tiles ya que nos proporcionan una serie de herramientas que nos ayudaran enormemente en el análisis frecuencial de los sistemas. Veremos un total de 11 propiedades, algunas de las cuales ya nos han salido en transformada de Laplace. No obstante, en transformada de Fourier tenemos alguna más, lo que se traduce en más posibilidades para el análisis. 1. Linealidad: Partimos de x1 (t) ←→ X 1 (f ) x2 (t) ←→ X 2 (f ) Entonces se cumple que α1 x1 (t) + α2 x2 (t) ←→ α1 X 1 (f ) + α2 X 2 (f ) lo cual se comprueba fácilmente a través de la definición de la transformada de Fourier y viene dado por el hecho de que la integral es una operación lineal. 2. Simetr´ıas: Vemos dos tipos de simetr´ıa básicos en la transformada de Fourier, que son: a ) La transformada de Fourier conserva la paridad, es decir

x(t) es par ←→ X (f ) es par x(t) es impar ←→ X (f ) es impar Comprobaci´ on: en el caso de x(t) par, partimos de la definición de X (f ) =

y calculamos X (−f ) teniendo en cuenta que se cumple x(t) = x(−t), +∞

X (−f ) =

 

x(t)e− j2π(−f )t dt =

−∞

−∞

= −

+∞



x(−t)e− j2πf (−t) dt =

−∞



+∞ − j2πf t dt −∞ x(t)e

 t′

= −t dt′ = −dt



=

′

x(t′ )e− j2πf t dt′ = X (f )

+∞

b ) Adem´ as, se cumple también

x(t) es real ←→ X (f ) es herm´ıtica x(t) es imaginaria ←→ X (f ) es antiherm´ıtica Aclaraci´ on:

X (f ) es herm´ıtica si se cumple X (f ) = X ∗ (−f ), es decir, que tiene parte real par y parte imaginaria impar. Tambi´ en podemos decir que tiene módulo par, | X (f )| = |X (−f )|, y fase impar, ϕ X (f ) = −ϕX (−f ). X (f ) es antiherm´ıtica si se cumple X (f ) = − X ∗ (−f ), es decir, que tiene parte real impar y parte imaginaria par. Alternativamente, podemos decir que el módulo |X (f )| es par, |X (f )| = |X (−f )|, y la fase cumple ϕ X (f ) = −ϕX (−f ) + π. 63

´ Estas dos son las simetr´ıas básicas que existen, pero también las podemos combinar, por ejemplo: a ) x(t) es real y par −→ X (f ) es real y par Comprobaci´ on: Por ser x(t) par, podemos afirmar que X (f ) = X (−f ). Por ser x(t) real,

podemos afirmar que X (f ) = X ∗ (−f ). Juntando ambas, tenemos que X (f ) debe ser par en parte real e impar en parte imgainaria y además debe ser par (tanto en parte real como en parte imaginaria). La u ńica opción para cumplir ambas condiciones es que Im {X (f )} = 0 y por lo tanto debe ser una señal real (y par, por supuesto). b ) x(t) es real e impar −→ X (f ) es imaginario puro e impar

3. Retardo: Partimos de la relación x(t) ←→ X (f ) y aplicamos un retardo t 0 a la se˜ nal temporal. Entonces obtenemos la siguiente relaci´ on: x(t − t0 ) ←→ e− j2πf t0 X (f )

(22)

Comprobaci´ on: +∞

F{x(t − t0 )} =



= e

−∞

x(t − t0 )e

− j2πf t0

+∞



− j2πf t

dt =



t′

= t − t0 dt′ = dt

 

+∞

=

′

x(t′ )e− j2πf (t +t0 ) dt′

−∞

′

x(t′ )e− j2πf t dt′ = e − j2πf t0 X (f )

−∞

Por lo tanto, un retardo conserva el módulo de la se˜ nal pero a˜ nade una fase linial en f de valor −2πt 0 f . 4. Cambio de escala: Partimos de la relaci´ on x(t) ←→ X (f ) y aplicamos un escalado por a a la señal temporal. Entonces obtenemos la siguiente relación:



1 f x(at) ←→ X a |a|

(23)

Comprobaci´ on: directamente a trav´ es de la definición como en el caso del retardo. Con este resultado se extiende la observació n que hemos hecho para el pulso rectangular a cualquier se˜ nal, es decir, un estrechamiento en tiempo supone un ensanchamiento en frecuencia y viceversa. 5. Teorema de convoluci´ on: Es muy u ´ til (como ya hemos visto en Laplace) y nos dice y(t) = x(t) ∗ h(t) ←→ Y (f ) = X (f ) · H (f ),

(24)

o sea, la convolución de dos se˜ nales en el dominio temporal se traduce en el producto de ambas se˜ nales en el dominio transformado. Nótese que resulta mucho más fácil hacer un producto que una convolución. 64

Comprobaci´ on:

Teniendo en cuenta que x(t) = +∞

y(t) = T [x(t)] = T



+∞ j2πf t df −∞ X (f )e



j2πf t

X (f )e

−∞

=



    

la exponencial es autofunción del sistemal

Por otro lado, tenemos que

df =


+∞

=

 

+∞

=

 

X (f )T e j2πf t df

−∞

X (f )H (f )e j2πf t df

−∞

+∞

y(t) =

Y (f )e j2πf t df,

−∞

con lo que, identificando términos en las dos expresiones anteriores, llegamos a la conclusión que Y (f ) = X (f )H (f ). 6. Dualidad: Partimos de la relación x(t) ←→ X (f ) y nos preguntamos cuál es la transformada de Fourier de una se˜ nal que en tiempo tenga la forma de X (f ). Llegamos entonces al siguiente resultado: x(t) ←→ X (f ) X (t) ←→ x(−f )

(25)

Es decir, si cogemos X (f ) y la reinterpretamos como una se˜ nal temporal X (t), entonces su transformada tiene la misma forma que x(t) pero girada, esto es, x(−f ). Comprobaci´ on:

Hay que ver que transformar x(t) nos da la misma señal que antitransformar x(−f ). Nos fijamos en la forma de la se˜ nal, indpendientemente de si la variable es t o f . La primera transformaci´ on es inmediata, y cambiaremos la variable f por α para no confundirnos, esto es +∞

F{x(t)} =



− j2πf t

x(t)e

+∞

dt −→ {α = f } −→ X (α) =

−∞



x(t)e− j2παt dt

(26)

−∞

Ahora antitransformamos x(−f ), cambiando t por α como antes, esto es +∞

−1

F {x(−f )} =

 

−∞ +∞

=

j2πf t

x(−f )e

+∞

df −→



x(−f )e j2πf α df = {f ′ = −f } (27)

−∞

′

x(f ′ )e− j2πf α df ′ = X (α)

−∞

Vemos, pues, que ambas señales son id´ enticas. Es muy importante, en este caso, no dar sentido f´ısico a las variables f y t, sólo sentido matemático como variables. Ejemplo de aplicaci´ on: calcular la transformada de Fourier de x(t) = sinc(W t).

En este caso p odemos usar dualidad ya que sabemos que la transformada de un pulso rectangular t es una sinc, o sea, Π W ←→ W sinc(f W ). As´ı pues, tenemos



Π

t W



←→ W sinc(f W )

W sinc(tW ) ←→ Π 65

  −f W

(28)

Aplicando la propiedad de linealidad y teniendo en cuenta que la función pulso es par, llegamos finalmente a 1 f sinc(tW ) ←→ Π (29) W W

 

7. Desplazamiento frecuencial (modulaci´ on): Esta propiedad es la dual del desplazamiento en tiempo y nos dice x(t) ←→ X (f )

(30)

x(t)e j2πf 0 t ←→ X (f − f 0 )

(31)

Comprobaci´ on: j2πf 0 t

F{x(t)e

+∞

}=



j2πf 0 t − j2πf t

x(t)e

e

+∞

dt =

−∞



−∞

x(t)e− j2π(f −f 0 )t dt = X (f − f 0 )

Ejemplo de aplicaci´ on 1: Encontrar la transformada de cos (2πf 0 t) y de sin (2πf 0 t)

Sabiendo que la transformada de 1 es δ (f ), entonces tenemos 1 j2πf 0 t 1 1 e + e− j2πf 0 t −→ δ (f − f 0 ) + δ (f + f 0 ) 2 2 2

(32)

1 j2πf 0 t 1 1 e − e− j2πf 0 t −→ δ (f − f 0 ) − δ (f + f 0 ) 2 j 2 j 2 j

(33)

cos (2πf 0 t) = De la misma manera, sin(2πf 0 t) =

 

Ejemplo de aplicaci´ on 2: Circuito modulador x(t)

 

y (t) = x (t) cos(2πf 0 )

!

cos(2πf 0 t)

La se˜ nal de salida en el dominio de la frecuencia es 1 1 1 1 x(t)e j2πf 0 t + x(t)e j2πf 0 t = X (f − f 0 ) + X (f + f 0 ) F {x(t)cos(2πf 0 t)} = F 2 2 2 2





(34)

que gráficamente corresponde a X (f )

Y f ) !

−f 0

f

f 0

f

cos(2π 0 t)

La modulación de se˜ nales es lo que nos permite transmitir varias de ellas en un mismo tiempo si éstas se encuentran separadas en frecuencia. Por ejemplo, esto es lo que se hac´ıa en la televisión anal´ ogica para transmitir la se˜ nal de audio y la de video simultáneamente. 66

8. Integraci´ on: De manera semejante a la transformada de Laplace tenemos: x(t) ←→ X (f ) t X (f ) 1 x(τ )dτ ←→ + X (0)δ (f ) j2πf 2 −∞

(35)

 Comprobaci´ on: t



Basta con ver que −∞ x(τ )dτ = x(t) ∗ u(t). Conociendo la transformada del escalón U (f ) = 1 1 j2πf + 2 δ (f ), podemos hacer la transformada que buscamos como el producto X (f )U (f ). 9. Derivaci´ on: Tambi´ en de manera parecida a la transformada de Laplace tenemos: x(t) ←→ X (f )

(36)

d x(t) ←→ X (f ) j2πf dt Comprobaci´ on: +∞

d x(t) = dt

d dt

=





j2πf t

X (f )e

−∞ +∞

+∞

  

df =

−∞

d X (f )e j2πf t df dt



(37)

X (f ) j2πf e j2πf t df = F −1 {X (f ) j2πf }

−∞

10. Transformada del producto (enventanamiento): Esta propiedad es la rec´ıproca de la de convolución y nos dice: x(t) ←→ X (f )

(38)

y(t) ←→ Y (f ) x(t) · y(t) ←→ X (f ) ∗ Y (f ) Comprobaci´ on: +∞

F{x(t) y(t)} =

   

− j2πf t

x(t)y(t)e

−∞ +∞

=

−∞ +∞

=

dt =

−∞

+∞

Y (υ)

−∞ +∞

=

+∞



 

−∞ +∞

Y (υ)

+∞

  

x(t)

−∞

x(t)e− j2πf t e j2πυt dt dυ x(t)e− j2π(f −υ)t dt dυ

−∞

Y (υ)X (f − υ)dυ = Y (f ) ∗ X (f )

−∞

67

j2πυt

Y (υ)e



dυ e− j2πf t dt (39)

11. Teorema de Parseval: El teorema de Parseval nos dice que si tenemos las siguientes relaciones, x(t) ←→ X (f )

(40)

y(t) ←→ Y (f ) entonces se cumple que +∞



+∞



∗

x(t) y (t) dt =

−∞

X (f ) Y ∗ (f ) df

(41)

−∞

No obstante, habitualmente se emplea el teorema de Parseval para una misma señal. Es decir, si x(t) = y(t), entonces se cumple que +∞



+∞



2

|x(t)| dt =

−∞

|X (f )|2 df,

(42)

−∞

que es equivalente a decir que la energ´ıa de la señal es la misma en ambos dominios. Esto nos será especialmente u ´ til para tratar la energ´ıa y la potencia de las señales en el siguiente tema. Comprobaci´ on:

+∞



x(t)y∗ (t)dt =

−∞

+∞

+∞

    −∞ +∞

=



X (f )e j2πf t df y ∗ (t)dt

−∞

+∞

X (f )

−∞

(43)



y∗ (t)e j2πf t dt df

−∞

Hacemos primero la integral temporal, que es +∞



−∞

∗

j2πf t

y (t)e

+∞

dt =

 

− j2πf t

y(t)e

−∞

+∞

  ∗

dt =

−∞

− j2πf t

y(t)e



dt

∗

= Y ∗ (f )

(44)

y sustituyendo en (43) llegamos al resultado anunciado. Nota: en (44) no estamos haciendo F{y ∗ (t)}. Se puede ver que F{y∗ (t)} = Y ∗ (−f ) (para deducir este u ´ ltimo caso seguir´ıamos la misma argumentaci´ on pero, además, haciendo el cambio de variables f ′ = −f ).

68

4.

Limitaci´ on en frecuencia (fen´ omeno de Gibbs) y limitaci´ o n en tiempo (enventanado)

En esta parte del tema vemos qué sucede cuando se limita el ancho de banda de la señal y qué sucede cuando se limita la duración temporal de la se˜ nal. Aclaraci´ on sobre ancho de banda: Para una se˜ n al en banda base, es decir, que no ha sido modu-

lada (trasladada en frecuencia), consideraremos B x = f x,max − 0 = f x,max , o sea, la máxima frecuencia positiva. En cambio, si una señal en banda base se traslada en frecuencia, entonces consideramos By = f y,max+ − f y,min+ , o sea, la diferencia entre las frecuencias máxima y m´ınima (positivas). Por ejemplo: X (f )

Y (f ) !

−f 0

f

Bx

f 0

f

cos 2πf 0 t By

4.1.

Limitaci´ on en frecuencia - fen´ omeno de Gibbs

La limitación en banda de una señal se aprecia sobretodo en las discontinuidades que ésta pueda presentar y por este motivo ahora nos centramos en el estudio de esta situación. Supongamos que tenemos una se˜ nal x(t) con una sola discontinuidad (de salto finito) en t0 . Dicha se˜ n al se puede descomponer en − x(t) = x c (t) + x(t+ (45) 0 ) − x(t0 ) u(t − t0 )





donde xc (t) es una señal continua a la cual a˜ nadimos un escalón que empieza en t0 y con amplitud correspondiente al salto de la discontinuidad. Gráficamente estamos haciendo: (t

c

−

"

∆x t0

[x(t+ 0 ) − x(t0 )] u( − 0 )

(t !

∆x t

t0

t

t0

t

A partir de ahora, consideraremos por simplicidad y sin pérdida de generalidad que t 0 = 0. Por lo tanto tenemos: x(t) = x c (t) + ∆x u(t) ←→ X (f ) = X c (f ) + ∆x F {u(t)} (46) Ahora limitamos la se˜ nal en banda, es decir, eliminamos las componentes frecuenciales |f | > B usando un filtro paso-bajo ideal, es decir:

69

H (f )

y (t) = x (t) ∗ h(t)

x(t)

Y (f ) =

X (f ) −B

B

X (f ) · Π

  f

2B

f

|Y (f )|

|X (f )|

f

−B

f

B

As´ı pues, obtenemos Y (f ) = X (f ) · Π

 

f = X c (f ) · Π 2B

  f 2B

+ ∆x F{u(t)} Π

  f 2B

(47)

Para simplificar el análisis, supondremos que X c (f ) tiene un ancho de banda inferior a B , con lo que nos queda f f Y (f ) = X (f ) · Π = X c (f ) + ∆x F{u(t)} Π (48) 2B 2B

 

 

y desde el punto de vista temporal tenemos

y(t) = F −1 {Y (f )} = x c (t) + ∆x [u(t) ∗ 2Bsinc(2Bt)]

(49)

Aqu´ı vemos que la se˜ nal x(t), una vez limitada en frecuencia, se puede descomponer en x c (t) y y d (t) = ∆x [u(t) ∗ 2Bsinc(2Bt)], es decir, la parte correspondiente al pulso que ha generado la discontinuidad pero limitado en banda. Veamos lo que vale esta parte de la señal: +∞

yd (t) = ∆x [u(t) ∗ 2Bsinc(2Bt)] = ∆x



t

2Bsinc(2Bτ )u(t − τ )dτ = ∆x

−∞



2Bsinc(2Bτ )dτ (50)

−∞

Dicha integral se puede calcular num´ ericamente, obteniendo el siguiente resultado: yd (t)

∆x 2B sinc(2B τ )



∆x 2B

t

−∞

∆x

()dτ

∆x 2

t

τ

t

1

2

1

2

2B

2B

2B

2B

En otras palabras, la transición abrupta del pulso se suaviza y aparece un rizado adicional. A continuación resumimos las conclusiones que se extraen de este estudio.

70

Efectos de la limitaci´ o n en banda cuando la se˜ nal presenta discontinuidades finitas. Fen´ omeno de Gibbs.

1. Aparece un rizado alrededor de la discontinuidad que se suaviza a medida que nos alejamos de ésta. Los máximos y m´ınimos se alternan en los múltiplos de 1/2B, encontrado el máximo absoluto en 1/2B y el m´ınimo absoluto en −1/2B. 2. El flanco de subida se suaviza, siendo el tiempo de subida t s ≈

1 2B .

3. En el punto de discontinuidad se observa el valor medio del salto, es decir, yd (0) = ∆x/2. 4. Si aumentamos el ancho de banda B observamos: a ) La amplitud m´ axima y m´ınima del rizado no cambian, aunque se den má s cerca de la

discontinuidad. b ) S´ olo en el caso l´ımite con ancho de banda infinito (no se da en la práctica) la sinc degenerar´ıa

en una delta y no habr´ıa distorsión de la se˜ nal. Ya por u ´ltimo, comentar que si la limitación en frecuencia se hiciera con un filtro de forma triangular como el de la figura, un análisis parecido nos llevar´ıa a las siguientes conclusiones: 1. El rizado desaparece. 2. El valor en el punto de la discontinuidad se mantiene a y d (0) = ∆x/2. 3. El tiempo de subida aumenta a t s ≈

1 B.

yd t H (f ) ∆x ∆x 2

−B

B

f

t

4.2.

1

2

2B

2B

Limitaci´ on en tiempo - enventanado

Ahora nos encontramos ante la situación dual a la anterior. Supondremos que tenemos una señal x(t) y la limitamos en tiempo, es decir, cogemos los valores correspondientes a |t| ≤ T /2. Nótese que en la práctica siempre existirá alg´ un tipo de enventanado. Entonces, a partir de la señal x(t) expresaremos la se˜ nal enventanada en tiempo como: xT (t) = x(t) · Π

71

 t T

(51)

Desde el punto de vista frecuencial, esto se traduce en: X T (f ) = F{xT (t)} = X (f ) ∗ T sinc(T f )

(52)

Vemos entonces que el enventanado provoca una distorsión de la se˜ nal original, que será tanto menor como mayor sea T ya que la sinc tiende entonces a convertirse en una delta. Para ver los efectos de la limitación en tiempo, apliquemos el resultado anterior a señales de tipo coseno. Empecemos con x(t) = A0 cos (2πf 0 t) por su sencillez en el dominio frecuencial: se trata de dos deltas, una a f 0 y otra a − f 0 . Su versión enventanada es





1 1 A0 T A 0 T X T (f ) = A0 δ (f − f 0 ) + δ (f + f 0 ) ∗ T sinc(f T ) = sinc(T (f − f 0 )) + sinc(T (f + f 0 )) 2 2 2 2 (53) es decir, dos sincs centradas a f 0 y − f 0 . Consideremos ahora dos cosenos distintos, es decir, x(t) = A 0 cos (2πf 0 t) + A1 cos (2πf 1 t). Esta señal enventanada y vista desde el dominio frecuencial es A0 T A 1 T A 0 T A 1 T sinc(T (f − f 0 )) + sinc(T (f − f 1 )) + sinc(T (f + f 0 )) + sinc(T (f + f 1 )) 2 2 2 2 (54) Gr´ aficamente tenemos: X T (f ) =

A1 T 2

A0 T 2

−f 1 −f 0

f 2

−f 2

f 0 f 1

N´ otese que se han dibujado las 4 sincs sin sumar y que el resultado final ser´ıa la suma de todo. No obstante, esta representación nos es u ´ til para extraer las siguientes conclusiones: 1. Aparece un lóbulo principal y una serie de lóbulos secundarios relacionados con cada una de las deltas, o sea, cada frecuencia singular. Esto es as´ı para la ventana rectangular y también para otras alternativas, aunque la forma será distinta. 2. El ancho del lóbulo principal determinar´ a la resoluci´ on del sistema, es decir, cuál es la capacidad de distinguir el coseno a f 0 del que está a f 1 . Nótese que, dado un ancho de lóbulo principal, existe una separación m´ınima de las frecuencias a partir de la cual es imposible distinguir los dos tonos ya que veremos un solo pico. 3. El nivel de los lóbulos secundarios determinar´ a c´ omo el contenido a una frecuencia enmascara el contenido a otras frecuencias. Por ejemplo, si hubiera un coseno con amplitud mucho menor que A 1 en la frecuencia f 2 (ver figura), se ver´ıa enmascarado por el l´ obulo secundario del coseno a f 1 . 72

Alternativamente, tambi´ en podemos hacer uso de los resultados obtenidos en la parte de limitaci´ on en banda (se trata de la situación dual). En otras palabras, si quisiéramos sintetizar una se˜ nal en el dominio frecuencial con discontinuidades y buscáramos hacerlo a través de un sistema con respuesta impulsional finita en el tiempo, entonces lo dicho anteriormente valdr´ıa aqu´ı tambi´ en. Por ejemplo, supongamos que queremos sintetizar un pulso rectangular en frecuencia y tuviéramos dos opciones: ventana rectangular o triangular en tiempo (la primera tiene el lóbulo principal más estrecho pero un nivel de lóbulos secundarios mayor). Entonces, con ventana rectangular generar´ıamos una respuesta con transiciones má s rápidas pero con rizado. En cambio, con la venta triangular eliminar´ıamos el rizado pero las transiciones ser´ıan más lentas. on de la aplicación nos interesará una u otra ventana ya que siempre hay un comNota: En funci´ promiso en sus parámetros. N´ otese que si mantenemos la energ´ıa de la ventana a nivel temporal, +∞ 2 definida como −∞ |x(t)| dt, ésta debe ser la misma en el dominio frecuencial por Parseval y por lo tanto, si bajamos los lóbulos secundarios (les quitamos energ´ıa) es lógico que aumente el grosor del l´ obulo principal.



Finalmente, la siguiente tabla contiene los parámetros de 3 ventanas de uso habitual: Par´ ametro Ancho lóbulo principal Ancho de banda a -3dB Relaci´ on ló bulo principal a secundarios

5.

Rectangular 2/T 0, 85/T 13dB

Triangular 4/T 1, 25/T 26dB

Hamming 4/T 1, 3/T 43dB

Transformada de Fourier de se˜ nales peri´ odicas

Antes de estudiar la transformada de Fourier de una señal periódica, buscaremos un resultado intermedio necesario para ello, la transformada de Fourier de un tren de deltas.

5.1.

Transformada de un tren de deltas

Consideremos el siguiente tren de deltas en tiempo, P δ (t) = P δ (t)

−3T −2T −T

T

2T

Dado que P δ (t) se puede expresar como P δ (t) = l´ımN →+∞ en calcular la transformada del tren de deltas “finito”.

73

+∞ n=−∞ δ (t



3T

+N n=−N δ (t −nT ),



− nT ).

t

nos concentramos primero

+N

F



+N



δ (t − nT )

n=−N



=

e− j2πfnT =

n=−N T



e− j2πf T (N +1) − e− j2πf T (−N ) e− j2πf T − 1 1



− j2πf T 2

e

1

1

e− j2πf T 2 − e+ j2πf T ( 2 )

etrica que hemos hecho resulta de Nota: La suma de la serie geom´ N

2N

  n

r =

sin 2πf T [N + 21 ] = sin(πf T )



2N

r

n−N

= r

−N

n=0

n=−N

(55)

   1

e− j2πf 2 e− j2πf T (N + 2 ) − e− j2πf T (−N − 2 ) =

1 − r 2N +1 r N +1 − r −N r n = r −N = 1−r r−1 n=0



(56)

Veamos ahora como es la función que hemos obtenido. En concreto, nos damos cuenta de que: Los zeros en el denominador deben cumplir πf T = nπ y por lo tanto, se encuentran a múltiples de 1/T , es decir, para f = n/T con n ∈ Z. 1 2

 

Los zeros en el numerador deben cumplir 2πf T N + k f = T (2N con k ∈ Z. +1)

= kπ y por lo tanto, se encuentran para

Adem´ as, vemos que cuando hay un cero en el denominador, el numerador también vale cero. Si resolvemos esta indeterminación, por ejemplo usando la regla de Hôpital, vemos que el valor en f = n/T es +N

F



n=−N

  

δ (t − nT )

=

1 2

1 2

      

2πT N +

f =n/T

cos 2πf T N + πT cos(πf T )

1 2

 

2πT N + = πT f =n/T

= 2N + 1 (57)

Dibujemos la función (cogemos T = 1 y N = 9): 20

15

10

5

0

−5 −1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

¿Qué sucede cuando N −→ ∞? De entrada, vemos que los máximos de la función crecen hacia infinito y que el rizado a su alrededor se compacta (nótese que los “ceros” se encuentran a múltiplos 74

de 1/(2N + 1)). As´ı pues, llegamos a un tren de deltas en frecuencia que están separadas 1/T . No obstante, para poder caracterizar bien las deltas nos falta un detalle, que es saber cuánto vale su integral. Cojamos pues (55) e integremos en un periodo, sin 2πf T [N + 21 ] df = sin(πf T ) −1/2T 1/2T





N

1/2T



N

    

e− j2πnTf df =

−1/2T n=−N N

=

−1 e− jπ n − e jπ n = j2πnT

N

n=−N

−1 − j2πnTf 1/2T e (58) j2πnT −1/2T

 

n=−N

N

 

n=−N

=



n=−N

sin(πn) πnT

1 1 sinc(n) = T T

y vemos que el resultado es independiente de N . Esto nos lleva al siguiente resultado final, +∞

F



N

  

δ (t − nT ) = F l´ım

N →∞

n=−∞

n=−N

+∞



1 m δ (t − nT ) = δ f − T m=−∞ T

  

(59)

es decir, un tren de deltas separadas T en tiempo se corresponde a un tren de deltas separadas 1/T en frecuencia. Con este resultado ya podemos estudiar la transformada de Fourier de una señal periódica.

5.2.

Transformada de una se˜ nal peri´ odica

Consideremos una se˜ nal periódica cualquiera x(t) con periodo de repetición T como la de la figura:

x(t) xb t

t T

Vemos que x(t) se puede interpretar como la repetición de una se˜ nal básica xb (t), la cual tiene duración T , o sea, el periodo de repetición. Matemáticamente: x(t) =

+∞

+∞





n=−∞

xb (t − nT ) =

xb (t) ∗ δ (t − nT ) =

n=−∞



prop. distrib. convolución

Pasando al dominio transformado obtenemos +∞



+∞

= x b (t) ∗



n=−∞

+∞

1 m 1 m m X (f ) = X b (f ) δ f − = X b δ f − T m=−∞ T T m=−∞ T T

   75

δ (t − nT ) (60)

   

(61)

donde X b (f ) = F{xb (t)}. Aunque nos resultará mucha más u ´ til esta transformaci´ on y es la que emplearemos habitualmente, también es cierto que podr´ıamos haber hecho la transformaci´ on como +∞

X (f ) =



X b (f )e− j2πfnT

(62)

n=−∞

Volviendo al primer caso, observamos que:

1. La transformada de Fourier de una se˜ nal periódica tiene la forma de un tren de deltas. 2. Depende esencialmente de la transformada de la señal básica X b (f ) y del periodo T . Ejemplo: calcular la transformada de Fourier de x(t) =

+∞ n=−∞ Π



  t−nT T/2

.

En primer lugar nos dibujamos la señal: Luego representamos x(t) a partir de la señ al básica, que x(t)

xb (t)

T /2 T

 

en este caso es x b (t) = Π al dominio transformado:

t T/2

, obteniendo x(t) = Π

     t T /2

∗

+∞ n=−∞ δ (t − nT ).

Finalmente, pasamos

+∞

T T 1 m X (f ) = sinc(f ) δ f − 2 2 T m=−∞ T

(63)

Vemos que nos queda una sinc con ceros a múltiples de 2/T multiplicando al tren de deltas, es decir: X (f

f 2/T 4/T

Fij´ emonos que, en este caso en particular, las deltas situadas a las múltiplos pares de 1/T desaparecen ya que son anuladas por la ceros de la sinc. Si hici´ eramos el pulso cuadrado más estrecho, por ejemplo de duración T /4, entonces la sinc se ensanchar´ıa (el primer cero estar´ıa en 4/T ) y el lóbulo principal pasar´ıa de contener 3 deltas a 7, as´ı como cada uno de los lóbulos secundarios pasar´ıan de contener 1 delta a 3. 76

5.3.

Series de Fourier

La series de Fourier nos permiten aproximar señales periódicas en el dominio del tiempo como combinaci´ on lineal de exponenciales complejas o, alternativamente, de senos y cosenos. Los coeficientes que acompa˜ nan a estas funciones “base” son los denominados coeficientes de Fourier y para que una se˜ nal se pueda aproximar con series de Fourier se deben cumplir una serie de condiciones. En particular, son condiciones suficientes pero no necesarias para que exista serie de Fourier las mismas que aplican para la transformada de Fourier sobre la señal básica x b(t) y que ya hemos visto. A continuación se obtiene la serie de Fourier de una señal periódica como antitransformada de X (f ). Esto es: +∞

−1

−1

F { X (f )} = F

+∞

         1 m m X b δ f − T m=−∞ T T

n T

X b

=

T

n=−∞

n j2πt T

e

+∞



=

n

cn e j2πt T (64)

n=−∞

X ( n ) donde identificamos cn = bT T con el n-ésimo coeficiente de Fourier. Como vemos, hemos conseguin do representar la se˜ nal x(t) como suma o serie de exponenciales complejas e j2πt T en el tiempo, de n frecuencia f n = T , y ponderadas por los coeficientes de Fourier. Normalmente llamamos frecuencia fundamental f 0 = 1/T y armónicos a las otras frecuencias f n = nf 0. Resumiendo, la serie de Fourier nos permite aproximar la se˜ nal periodica x(t) seg´ un: +∞



x(t) =

n

cn e j2πt T

(65)

n=−∞

Si desarrollamos un poco vemos que los coeficientes de Fourier se calculan: X b

cn =

n T



T

X (f ) = b T

 

1 = T

f = m T

+∞



− j2πf t

xb (t)e

−∞

dt

 

1 = T

f = m T



n

x(t)e− j2π T t dt

(66)

Cabe destacar que sólo hace falta integrar la se˜ nal en un periodo cualquiera y por eso escribimos < T > (no hace falta que sea de − T /2 a T /2). El motivo es que dada la periodicidad de la señal x b (t) y de e− j2πnf 0 t , la integral es la misma empecemos donde empecemos siempre y cuando abarquemos un periodo entero. En otras palabras, si a ∈ [−T /2, T /2], entonces: 1 cn = T Comprobaci´ on: a+T



− j2π n t T

x(t)e

T/2

dt =

a

 

x(t)e

a+T



n

x(t)e− j2π T t dt

− j2π n t T

a+T

dt +

a

 

− j2π n t T

x(t)e

dt =

T /2

T/2

=

x(t)e

(67)

a

− j2π n t T

a

dt +

a

n



t′

= t − T dt = dt ′



(68)

′

x(t′ + T )e− j2π T (t +T ) dt′

−T /2 n

n

Ahora, dada la periodicidad tanto de x(t) como de e− j2π T t , es decir, x(t) = x(t ± kT ) y e− j2π T t = n e− j2π T (t±kT ) , obtenemos a+T

 a

− j2π n t T

x(t)e

T /2

dt =

 a

− j2π n t T

x(t)e

a

dt +



−T/2

77

′

− j2π n (t ) T

x(t )e

′

′

dt =

T /2



−T/2

n

x(t)e− j2π T t dt (69)

Series de Fourier de se˜ nales reales

Las series de Fourier fueron originalmente concebidas para representar señales periódicas reales como suma de se˜ nales senoidales. Aqu´ı hemos llegado a la serie de Fourier a través de la transformada X b ( n ) y hemos visto que los coeficientes se pueden hallar como cn = T T = X bT (f ) f = m . Por lo tanto, se T deben cumplir las mismas propiedades que hemos visto para la transformada de Fourier y en particular, si x b (t) es real, entonces debe existir simetr´ıa herm´ıtica tanto en X b (f ) como en los coeficientes. Esto es, si definimos c n = an −2 jb n , entonces c−n = an +2 jb n . Apliquemos este resultado a la serie de Fourier:



+∞

+∞



j2πf 0 nt

cn e

= c0 +

n=−∞

 

cn e j2πf 0 nt + c−n e− j2πf 0 nt

n=1 +∞

= c0 +

n=1

+

(70)

an − jb n (cos (2πf 0 nt) + j sin (2πf 0 nt)) 2



an + jb n (cos (2πf 0 nt) − j sin (2πf 0 nt)) 2

Teniendo en cuenta que c 0 = c −0 (tomando l´ımites en X b (f ) para f → 0+ y f → 0− , respectivamente) vemos que necesariamente b0 = 0. Si continuamos operando llegamos a: a0 x(t) = + 2 con a0 =

+∞



an cos (2πf 0 nt) + bn sin (2πf 0 nt)

(71)

n=1

2 a+T 2 a+T 2 a+T x(t)dt, a n = T x(t)cos(2πf 0 nt)dt y b n = T x(t)sin(2πf 0 nt)dt. T a a a





Comprobaci´ on:

cn =

1 T 1 T

a+T

 



− j2π n t T

x(t)e

a

a+T

1 dt = T

a+T



x(t)(cos(2πf 0 nt) − j sin (2πf 0 nt)) dt

a

a+T

1 x(t)cos(2πf 0 nt)dt − j T



Finalmente, identificando (72) con la definición c n =

an 2

=

a

Ejemplo: encontrar la serie de Fourier de x(t) =

x(t)sin(2πf 0 nt)dt

a

(72)

− j b2n llegamos a los resultados deseados.

+∞ n=−∞ Π



  t−nT T /2

.

En el apartado anterior hemos encontrado la transformada de Fourier de x(t), que era: +∞

+∞

     

T T X (f ) = sinc f 2 2

1 m δ f − = T m=−∞ T

1 m m sinc δ f − 2 2 T m=−∞

 

(73)

Antitransformando obtenemos la serie de Fourier, que es: +∞

1 n j2πt n T x(t) = F {X (f )} = sinc e 2 2 n=−∞ −1



78



(74)

Alternativamente, dado que c n = 21 sinc( n2 ) y teniendo en cuenta que c n = an −2 jb n , podemos identificar an = sinc( n2 ) y bn = 0. Nótese que debido a que la señal x(t) es real y par, X (f ) es puramente real (la sinc) y por lo tanto los coeficientes tambi´ en son reales. Esto nos permite escribir la señal también como: +∞ 1 n x(t) = + sinc cos (2πf 0 nt) (75) 2 2

  n=1

Observaciones:

1. El término a0 nos dice cuál es la componente de continua de la señal, es decir, su media. En el ejemplo de la señal cuadrada con amplitud 1 y ciclo de trabajo del 50 %, el término a 0 vale 1/2. Comprobamos, pues, que se corresponde con la media de la señal. 2. Las series de Fourier nos pueden ser útiles a la hora de calcular sumatorios. Si en el caso anterior cogemos t = 0, vemos que +∞ n 1 1 sinc = x(0) − = (76) 2 2 2

 

n=1

Evidentemente, esto nos servirá básicamente para series cuyos elementos tengan la forma de una n transformada conocida. Por ejemplo, si hubi´ esemos querido calcular +∞ n=1 sinc( 2 ) de entrada, el hecho de que la sinc sea la transformada de un pulso nos habr´ıa dado la pista para abordar el sumatorio a trav´ es de la serie de Fourier.



N´ otese que esto es el equivalente de −1

+∞

 

x(0) = F {X (f )} para se˜ nales no periódicas.

6.

t=0

=

j2πf t

X (f )e

−∞

+∞

 

df

=

t=0

X (f )df

(77)

−∞

Muestreo

Entendemos por muestreo el hecho de coger una señal continua en el tiempo y quedarnos únicamente con los valores de la señal a tiempos m´ ultiples de T . Es decir: x t

−T

T 2T

t

El proceso de muestreo está ´ıntimamente relacionado con lo que habitualmente entendemos por digitalizar una se˜ nal, que consiste en: i) hacer discreto en tiempo (muestrear) y ii) hacer discreto en amplitud (cuantificar). Aqu´ı analizaremos qué sucede u ´ nicamente por el hecho de muestrear una señal x(t) e intentarla regenerar luego a partir de la se˜ nal discretizada en tiempo xd (t). De entrada, la intuición nos dice que si muestreamos suficientemente rápido (T suficientemente pequeño) podremos recuperar x(t) a partid de x d (t). Veamos, pues, qu´ e hay de verdad en esta afirmación. 79

6.1.

Espectro de una se˜ nal muestreada. Criterio de Nyquist.

Consideremos el siguiente esquema de muestreo ideal con tren de deltas: x(t)

xd (t)

!

−T

T

2T

T

−T

t +

∞

n=−∞

−T

2T

t

δ (t − nT )

2T

t

A nivel temporal tenemos: xd (t) = x(t)

+∞

+∞





δ (t − nT ) =

n=−∞

x(nT )δ (t − nT )

(78)

n=−∞

Esto se traduce al dominio frecuencial como: +∞

+∞

1 m 1 m X d (f ) = X (f ) ∗ δ f − = X f − T m=−∞ T T m=−∞ T

  

  

(79)

y por lo tanto se trata de una señal periódica en frecuencia. Si asumimos que x(t) tiene un ancho de banda limitado a W , la representación gr´ afica de X d (f ) es: X d (f ) 1

X (f ) T

f

−

− T

− 2T

2T

T

1 Observando la figura vemos que, para que las r´ eplicas de X (f ) no se solapen se debe cumplir W < 2T . 1 Teniendo en cuenta que la frecuencia a la que se ha muestreado la señal es f m = T , reescribimos la condici´ on anterior como f m > 2W (80)

también conocida como criterio de Nyquist. En otras palabras, para evitar el efecto aliasing (el solapamiento o interferencia entre réplicas), es necesario muestrear al doble del ancho de banda de la señal. 80

Equivalentemente, definimos la frecuencia de Nyquist f Nyquist f N on on de f de f m , como el máximo aximo ancho N , que es funci´ de banda que puede tener la señal nal para que no sufra aliasing una vez muestreada. En otras palabras, forzando al m´ aximo aximo (80), tenemos f m 2

f m = 2f N N −→ f N N =

6.2. 6.2.

Recu Recuper perac aci´ i´ on o n de x(t) a partir de

xd (t).

(81)

Interpolaci´ on. on.

En caso de que no haya efecto aliasing, está claro que limitando el espectro de X d (f ) f ) en [−1/2T , 1/2T ] T ] y escalando por T recuperamos T recuperamos el espectro de la señal nal original. Esta idea es la que usamos para reconstruirla. En concreto, vemos que: X (f ) f ) = X d (f ) f ) T Π Π

  f 1/T

Esto se corresponde con el siguiente sistema cuando H ( Π H (f ) f ) = T Π

(82)

  f 1/T

:

H (f ) T

X d (f )

X (f ) = X d (f ) H (f )

xd (t)

− 21T

1 2T

f

x(t)

= x d (t) ∗ h(t)

Antitransformando la relaci´ on on anterior obtenemos: −1

f ) T Π Π F {X d (f )

 



donde hemos usado F −1 {H (f ) f )} = h( h (t) = sinc +∞





f 1 t t = x = xd (t) ∗ sinc } = x d (t) ∗ T sinc 1/T T T T t T



(83)

. Desarrollando un poco m´ as as obtenemos: +∞

  

t x(t) = x(nT ) nT )δ (t − nT ) nT ) ∗ sinc = T n=−∞

n=−∞

x(nT )sinc nT )sinc



t − nT T



(84)

´ Esta es la fórmula ormula de interpolaci interpolaci´ oń con la sinc como función on on de interpolación. on. N´ otese otese que los valores de x(t) en los instantes t = nT son nT son iguales que los de xd (t) en t = nT , nT , lo cual es correcto. Veámoslo amoslo en la siguiente figura:

81

x t x(T )

x(2T )

t

Si nos fijamos, por ejemplo, en t = T , T , vemos que la sinc centrada all´ı, ı, es decir x(T )sinc T )sinc t−T T toma el valor deseado x(T ) T ) mientras que el resto de funciones sinc se anulan en ese punto. Esto mismo sucede para cualquier otro punto t = nT . nT . Además, as, en los valores de t intermedios, la suma de sincs nos devolver devol ver´´ıa la se˜ senal n ˜ al original (en trazo discontinuo en la figura).

 

No obstante, la función on de interpolación o n ideal (la sinc) no se podrá implementar a la práctica actica ya que se trata de un sistema no causal. causal. En todo caso, habr´ habr´ıa que introducirle introducirle un retraso y truncarla truncarla para que h que h((t) = 0 para para t < 0. Otra opción on es usar funciones de interpolación on m´ as as sencillas, como por ejemplo:

   

Interpolaci´ on on de orden cero: h(t) = Π

t−T /2 T

.

t−T /2−nT T



Con esta función on tendremos x(t) ≈ n x(nT )Π nT )Π , es decir, mantenemos el valor de una muestra hasta que llegue la siguiente. La recuperación de la señal nal no es muy buena pero es sencilla. x(t) (T ) T )

Interpolaci´ on on de primer orden: h orden: h((t) = ∆

x(2T )

t T



.

Con esta función on tendremos x tendremos x((t) ≈ n x(nT )∆ nT )∆ t−T nT , es decir, entre dos muestras consecutivas aproximamo aproximamoss la funci´ on on por p or una recta. Resulta tambi´ en en simple de implementar (con un retraso para que sea causal) y funciona mejor que la anterior.



82

 

x(t) x(T ) T )

6.3. 6.3.

(2T )

Implem Implemen entac taci´ i´ on on pr´ pr´ acti ac tica ca

Finalmente, cabe destacar que en la práctica actica se procura evitar el efecto del aliasing a toda costa. Es por ello que en el caso del muestro, si la señal nal de entrada x entrada x((t) no cumple el criterio de Nyquist, se coloca un filtro (llamado antialiasing) que limite el ancho de banda de la señal nal a f m /2. Es preferible distorsionar la se˜ nal nal quitándole andole les componentes frecuenciales más as altas que acarrear luego con el aliasing. As´ As´ı pues, el diagrama de bloques blo ques de un sistema de muestreo debe deb e ser:

x(t)

!"#$%& ()$"(#"(*")+ ,()-.& /0 1()/( 23

450*$%0& f > 2 m

65()$"7-(-"8) ) 1"$*

6&)90%*&% :;<

Si queremos recuperar la señal nal continua a partir de información on digita digitaliz lizada ada,, usarem usaremos os un bloque bloque conversor digital a anal´ ogico. No obstante, la señal ogico. nal de salida de este bloque (suma de deltas) contendr´ a las réplicas eplicas no deseadas en frecuencia, por lo que colocaremos, colo caremos, tal y como hemos visto, un filtro filtr o interpolador interpolador o reconstructo reconstructor. r.

!"#$%&'"& )*+

,-./&" -#/%&0".12"&

Ejemplo: importancia de evitar el aliasing.

Consid Considere eremos mos la se˜ nal nal x(t) = cos(2πf cos(2πf 0 t). Sabemos que si la muestreamos con f m > 2f 0 no vamos a tener problemas. En cambio, supongamos que la muestreamos a una frecuencia menor, es decir, f 0 > f m /2. Si no colocamos el filtro anti-alisaing, la señal nal muestreada en frecuencia será X d (f ) f ) = +∞ 1 m aficamente corresponde corresponde a: − T , que gráficamente m=−∞ X f − T



 

83

X d (f ) 1

T

!"#$%&'(

X (f )

H (f )

f f

−f

f

m

−

m

m

2

2

f

m

Si ahora pretendemos recuperar la señal original con el filtro interpolador ideal (sombreado en la figura), vemos que en realidad estamos recuperando un coseno a frecuencia menor que la original (la simétrica de f 0 respecto a f m /2). Esto es precisamente lo que está sucediendo cuando en televisió n vemos las ruedas de un fórmula 1 girando al revés, también llamado efecto estroboscópico. Supongamos que tenemos un c´ırculo como el de la figura girando a velocidad constante con periodo T 0 . También tenemos una lámpara estrobosc´ opica que ilumina el c´ırculo durante un breve instante de tiempo (se ve el c´ırculo quieto) cada T m segundos. Seg´ un Nyquist, la frecuencia de muestreo de este sistema, que es 1 /T m , debe ser mayor que dos veces la frecuencia de rotación 1/T 0 para capturar el movimiento correctamente, o sea, T m < T 0 /2. 0 ¿Qué sucede si fijamos T m = 3T amoslo en la figura: 4 ? Ve´ t=0

T 0

T

m

}

= 2T m

Nos parecer´ıa que gira a la izquierda con un periodo T 0 = T m /4.

84

t = T m

= 3T m

Tema 5: Correlaci´ o n y Espectro de Se˜ nales Deterministas Antoni Morell y Rosana Rodr´ıguez 13 de mayo de 2013

1.

Energ´ıa y potencia

De electrónica sabemos que la potencia instantánea disipada en una resistencia de valor R es P R (t) = |v(t)| ıda de tensión en sus bornes. A partir de ahora asumiremos una R , donde v(t) indica la ca´ resistencia de valor R = 1Ω y calcularemos la potencia instantánea de una señal cualquiera x(t) como 2

P i (t) = | x(t)|2

(1)

En caso de que la señal x(t) corresponda a una tensión y la resistencia no sea 1Ω, habrá que dividir por el valor que toque para encontrar la potencia tal y como la entendemos en electrónica. Definiremos la energ´ıa de la se˜ nal como la integral (suma) de la potencia instantá nea para todo instante de tiempo, es decir +∞

E x =



|x(t)|2 dt

(2)

−∞

y la potencia media de la señal como el promedio temporal de P i (t) o, lo que es lo mismo, como la energ´ıa de x(t) por unidad de tiempo calculada según 1 P x = l´ım T →∞ T

+T/2



|x(t)|2 dt

(3)

−T/2

Clasificaci´ o n de las se˜ nales en t´ erminos energ´ eticos

En función de los valores que tomen tanto E x como P x , la se˜ nal x(t) será: 1. Se˜ nal de energ´ıa finita: 0 < E x < + ∞. 2. Se˜ nal de potencia media finita: 0 < P x < + ∞. 3. Se˜ nal que no es ni de energ´ıa finita ni de potencia finita. Los tipos 1 y 2 son excluyentes, es decir, si una señal es de energ´ıa finita no puede ser de potencia α media finita y viceversa. Como ejemplo del grupo 3, podemos considerar x(t) = t u(t − 1) con 0 < α < 1. En este caso, E x → + ∞ y P x = 0. −

2

85

1.1.

Se˜ nales de energ´ıa finita

Son todas las se˜ nales finitas de duración finita más algunas se˜ nales de duración infinita. Como ejem+∞ −at plo de este segundo caso tomemos x(t) = e u(t) con a > 0, cuya energ´ıa vale E x = −∞ |x(t)|2 dt = +∞ −at +∞ 1 u(t)|2 dt = 0 e−2at dt = 2a y es, por tanto, finita. −∞ |e







Aprovechemos ahora el teorema de Parseval, que nos iguala la energ´ıa de una se˜ nal en el dominio temporal con su energ´ıa en el dominio frecuencial, para definir la densidad espectral de energ´ıa de la señal, S xx (f ), que nos indica cuál es la distribución de energ´ıa de una señal a lo largo del eje frecuencial. Las unidades de S xx (f ) serán, pues, en forma de energ´ıa partido frecuencia, o sea, J/Hz. Del teorema de Parseval vemos que +∞

E x =



+∞

2

|x(t)| dt =

−∞



|X (f )|2 df

(4)

−∞

y por lo tanto |X (f )|2 marca la distribución de energ´ıa en frecuencia del mismo modo que |x(t)|2 marca la distribución de energ´ıa en tiempo (equivalente a potencia instant´ anea si se considera una duración temporal infinitesimal δt entorno a t). Llegamos pues a: S xx (f ) = | X (f )|2

(5)

Propiedades de S xx (f ) = | X (f )|2

Son las siguientes: 1. Se trata de una magnitud real, pues es módulo al cuadrado de X (f ). 2. Es no negativa (tambi´ en por ser m´ odulo al cuadrado). 3. Si x(t) es real, entonces S xx (f ) es par. Esto es debido a las propiedades de simetr´ıa de la transformada de Fourier que nos dicen que para x(t) real se cumple que X (f ) = X ∗ (−f ). Dado que para un n´ umero complejo a es cierto que |a| = | a∗ |, resulta fácil ver que |X (f )| = |X ∗ (−f )| = |X (−f )|. Energ´ıa en un intervalo frecuencial

Supongamos ahora que queremos medir la energ´ıa contenida entre f 1 y f 2 con f 2 > f 1 . Para ello filtramos la señal con un filtro paso banda ideal h(t), obteniendo as´ı y(t) = x(t) ∗ h(t), y luego medimos la energ´ıa de y(t). Dado que en la práctica nos encontramos con la señal x(t) y el sistema (filtro) h(t) reales, ambos (X (f ) y H (f )) tienen simetr´ıa herm´ıtica. Esta misma propiedad se cumple también para la señal que queremos medir Y (f ) = X (f ) · H (f ) ya que será también real en tiempo (la convolución de dos se˜ nales reales es real). Siguiendo este razonamiento llegamos a +∞

E x (f 1 , f 2 ) = E y =



−∞

2

|y(t)| dt =

+∞



−∞

86

2

|Y (f )| df =

+∞



−∞

|X (f )|2 |H (f )|2 df

(6)

Gráficamente tenemos:

|H (f )|2

|X (f )|2

!

−f 2 −f 1

f 1

f

f 2

Recordando que |X (f )|2 y |H (f )|2 son pares si provienen de señales reales en tiempo, obtenemos finalmente −f 1

E x (f 1 , f 2 ) =



2

|X (f )| df +

−f 2

f 2



f 2

2

|X (f )| df = 2

f 1



|X (f )|2 df

f 1

Si f 2 − f 1 = ∆f → 0, entonces E y ≈ |X (f 1 )|2 2∆f , que es lo mismo que decir |X (f 1 )|2 = corroborando de nuevo que | X (f )|2 es densidad espectral de energ´ıa. 1.2.

(7) E y 2∆f ,

Se˜ nales de potencia media finita

Son se˜ nales de potencia media finita: Las se˜ nales periódicas (siempre que sean cuadrado integrables en un periodo). Algunas se˜ nales de duración infinita, como por ejemplo el pulso o la rampa. Las se˜ nales aleatorias, es decir, las correspondientes a procesos estocásticos. En este tema trataremos sólo los dos primeros casos, es decir, las señales periódicas y las no periódicas. Empecemos por el primero. Se˜ nales peri´ odicas

En las señales periódicas, la potencia (P x = l´ımT →∞ maneras distintas: 1 T 0

|x(t)|

2. P x = Fourier.

+∞ 2 n=−∞ |cn | ,

1. P x =

 

2 dt,

1 +T/2 2 T −T/2 |x(t)| dt)



se puede obtener de dos

es decir, como la potencia en un periodo.

es decir, como suma de los módulos al cuadrado de sus coeficientes de

Comprobaci´ on de la primera aproximaci´ on: Definimos T = M T 0 con M ∈ N + e impar y calculamos la potencia a trav´ es de la definición: 1 P x = l´ım T →∞ T

+T /2



−T /2

1 |x(t)| dt = l´ım MT →∞ M T 0 2

0

87

+M T 0 /2



−M T 0 /2

|x(t)|2 dt

(8)

Fijémonos que la u ´ ltima integral calcula la potencia en M periodos (ver la figura) y por lo tanto, valdrá M veces la integral en un periodo. (t) T 0

t M T 0

As´ı pues: 1 P x = l´ım MT →∞ M T 0 0

+M T 0 /2



−M T 0 /2

1 M |x(t)| dt = l´ım M T →∞ M T 0 2

0

+T 0 /2



−T 0 /2

1 |x(t)| dt = T 0 2

+T 0 /2



|x(t)|2 dt (9)

−T 0 /2

Comprobaci´ on de la segunda aproximaci´ on: Partimos del resultado anterior y expresamos x(t) en serie de Fourier como x(t) = Desarrollando obtenemos: P x = =

1 T 0 1 T 0

+

T 0

   −

2

T 0

|x(t)|2 dt =

2

+∞

+

cn

n=−∞

−

1 T 0

+



−

T 0 2

T 0

T 0 2

T 0

j2π T n 0

x∗ (t)e

2

x(t) x∗ (t)dt =

2

1 t dt = T 0

1 T 0

+

−

+∞

cn

−

n=−∞

+∞



2

T 0 2

+

Si recordamos la definición del n-ésimo coeficiente de Fourier, c n = la expresi´ on entre corchetes es justamente c n T 0 . As´ı pues: 1 P x = T 0

T 0

+∞

      

j2π T n t 0

cn e

n=−∞

T 0

− j2π T n t 0

x(t)e

dt

2

1 T 0



x∗ (t)dt (10)

∗

T 0 2

j2π T n t +∞ 0 . c e n=−∞ n

 

− j2π T n t

x(t)e

0

0

dt, vemos que

+∞

cn [c∗n T 0 ]

n=−∞

|cn |2

=

(11)

n=−∞

Densidad espectral de potencia de se˜ nales peri´ odicas: Definimos la densidad espectral de potencia S xx (f ) de x(t) como la distribució n de potencia de la señal a lo largo del eje frecuencial, que debe cumplir, al igual que la densidad espectral de energ´ıa para +∞ señales de energ´ıa finita, P x = −∞ S xx (f )df . En el caso de x(t) periódica, ya sabemos del estudio de la transformada de Fourier de una señal periódica que existen sólo componentes frecuenciales a los múltiplos de 1/T 0 y que el contenido frecuencial en cada una de las componentes viene determinado u ńicamente por c n . Teniendo en cuenta lo dicho junto con (11), vemos que necesariamente:



+∞



m S xx (f ) = |cm |2 δ f − T 0 m=−∞



88



(12)

Se˜ nales no peri´ odicas

En se˜ nales no periódicas deberemos calcular la potencia usando la definición. Por ejemplo, para calcular la potencia de x(t) = u(t) haremos: 1 P x = l´ım T →∞ T

+ T 2



− T 2

+ T 2

1 u (t) dt = l´ım T →∞ T



2

1 T 1 = T →∞ T 2 2

1 dt = l´ım

0

(13)

Densidad espectral de potencia de se˜ nales no peri´ odicas: ¿Y si queremos calcular la potencia desde el dominio frecuencial? Definamos una versión enventanada de x(t) a la que llamaremos x T (t) seg´ un: xT (t) = x(t)Π

 t T

(14)

Podemos ver que xT (t) y x(t) coinciden cuando hacemos la ventana arbitrariamente grande (T → + ∞). Calculemos ahora P x usando esta definición como: 1 P x = l´ım T →∞ T

+ T 2



T

−2

1 |x(t)| dt = l´ım T →∞ T 2

+∞



−∞

|xT (t)|2 dt

(15)

Gracias a la señal enventanada hemos podido llevar los l´ımites de la integral a infinito, lo que nos permite aplicar el teorema de Parseval tal y como hemos hecho para el caso de señales de energ´ıa finita. Entonces tenemos: +∞

1 P x = l´ım T →∞ T



−∞

1 |xT (t)| dt = l´ım T →∞ T 2

+∞



−∞

2

|X T (f )| df =

+∞



−∞

|X T (f )|2 df (16) T →∞ T l´ım

Llegamos, pues, a la conclusión que la densidad espectral de potencia para señales de potencia media finita no periódicas se puede calcular como:

|X T (f )|2 S xx (f ) = l´ım T →∞ T

Apliquemos este resultado al ejemplo anterior, x(t) = u(t). En este caso xT (t) = Π T

tanto X T (f ) = − e j2πf

4

T T 2 sinc 2 f

 

. Calculemos su densidad espectral:

1 T 2 sin2 π2 T f 1 sin2 π T |X T (f )|2 2 f S xx (f ) = l´ım = l´ım = l´ ı m T →∞ T →∞ T 4 π 2 T f 2 T →∞ T π 2 f 2 T 2

(17)

  t−T/4 T /2

y por lo

(18)

4

Considerando el l´ımite vemos que S xx (f ) =

 

0 2 2 T

π 4 f 2 T π 2 f 2

=

f  =0 T 4

= ∞ f = 0

(19)

donde hemos aproximado el seno por su argumento para f = 0. Llegamos pues a S xx (f ) = Aδ (f ), +∞ pero nos falta determinar el valor de A. Como P x = −∞ S xx (f ) df = A y ya sabemos por otro lado que P x = 21 , concluimos que 1 S xx (f ) = δ (f ) (20) 2



89

2.

Correlaci´ on y espectro de energ´ıa

Hasta ahora hemos tratado la energ´ıa y la potencia de las señales tanto desde el punto de vista temporal como frecuencial. En los siguientes dos apartados nos interesará establecer una medida que nos permita comparar dos se˜ nales x(t) e y(t) y veremos que cuando las dos señales a comparar son la misma, existe una clara relación entre la medida de similitud, a la que llamaremos correlación, y los resultados establecidos hasta el momento. Empecemos por encontrar una medida de similitud. Aqu´ı nos serviremos de la idea de distancia de los espacios vectoriales eucl´ıdeos, donde definimos la distancia entre dos vectores x e y como d(x, y ) = ||x − y ||. Como menor sea d más semejantes ser´ an los vectores. An´ alogamente, podemos definir la distancia (al cuadrado en este caso) entre dos funciones o señales x(t) e y(t) como +∞ d2 (x, y) = ||x − y ||2 = −∞ |x(t) − y(t)|2 dt. Y si aún queremos afinar más, podemos comprar las señales para cualquier retraso relativo entre ellas τ , es decir

   

+∞

2

d (x(t + τ ), y(t)) =

|x(t + τ ) − y(t)| dt =

−∞ +∞

=



(x(t + τ ) − y(t)) (x(t + τ ) − y(t))∗ dt (21)

−∞

|x(t + τ )|2 dt +

−∞ +∞

−

+∞

2

+∞

 

|y(t)|2 dt

−∞

+∞

∗

x(t + τ )y (t)dt −

−∞

= E x + E y − Rxy (τ ) − donde

−∞ ∗ Rxy (τ ) = E x +

+∞

Rxy (τ ) =

x∗ (t + τ )y(t)dt



E y − 2Re{Rxy (τ )}

x(t + τ )y ∗ (t)dt

(22)

−∞

se define como la correlaci´ on o correlaci´ on cruzada entre x(t) e y(t). Aqu´ı vemos que si nuestro ob jetivo es medir cuánto se parecen dos señales, la distancia entre ellas no es del todo adecuada ya que contiene términos que no nos aportan informaci´ on como son E x y E y . Es por este motivo que de ahora en adelante usaremos como medida de similitud R xy (t). Vemos que la definició n de Rxy (τ ) nos recuerda a la integral de convolución. De hecho, podemos expresar R xy (τ ) como +∞

Rxy (τ ) =

 

−∞ +∞

=

∗





+∞

 

x(t + τ )y (t)dt = t = t + τ =

−∞

x(t )y ∗ (−(τ − t ))dt = x(τ ) ∗ y ∗ (−τ )

−∞

Propiedades de Rxy (τ )

Son las siguientes: 1. |Rxy (τ )|2 ≤ E x E y

90

x(t )y∗ (t − τ )dt

(23)

Comprobaci´ on: aplicación directa de la desigualdad de Schwarz +∞ +∞ +∞ (| −∞ u(t)v ∗ (t)dt|2 ≤ −∞ |u(t)|2 −∞ |v(t)dt|2 ):



2

|Rxy (τ )| =

  



+∞

2

+∞

 

∗

≤

x(t + τ )y (t)dt

−∞

|x(t + τ )|

−∞

2

+∞



−∞

|y(t)dt|2 = E x E y (24)

(Nota: la igualdad se dar´ıa si u(t) = αv(t)). ∗ (−τ ) 2. Rxy (τ ) = R yx ∗ (−τ ) Comprobaci´ on: R yx

=



+∞ −∞ y(t −

∗

 

τ )x∗ (t)dt

= t = t  + τ =

+∞ ∗   −∞ y (t )x(t

 

+ τ )dt

3. F{Rxy (τ )} = F{x(τ ) ∗ y ∗ (−τ )} = X (f ) · Y ∗ (f ) = S xy (f ), que se conoce como la densidad espectral (de energ´ıa) cruzada entre x e y . De especial interés es el caso x(t) = y(t). Entonces la correlación cruzada se convierte en +∞

Rxx (τ ) =



x(t + τ )x∗ (t)dt

(25)

−∞

y se conoce como función de autocorrelación de la señal x(t). En este caso, medimos cuánto se parece la se˜ nal x(t) a una réplica suya desplazada τ , o sea, x(t + τ ). Mediante la transformada de Fourier encontramos

F{Rxx (τ )} = F {x(τ ) ∗ x∗ (−τ )} = X (f )X ∗ (f ) = |X (f )|2 = S xx (f ),

(26)

es decir, la densidad espectral de energ´ıa de la señal como cab´ıa esperar. Propiedades de Rxx (τ )

Son las siguientes: 1. Rxx (0) =

+∞ −∞ S xx (f )df = E x



2. |Rxx (τ )|2 ≤ E x2 ∗ (−τ ). Por lo tanto se trata de una funci´ 3. Rxx (τ ) = Rxx on herm´ıtica. Si x(t) es real, Rxx (τ ) = x(τ ) ∗ x∗ (−τ ) será real y además par.

4. F{Rxx (τ )} = S xx (f ) ≥ 0

Analicemos ahora el caso de una señal z (t) compuesta de otras dos, es decir, z (t) = x(t) + y(t), desde el punto de vista de la función de autocorrelaci´ on: Rzz (τ ) = z(τ ) ∗ z ∗ (−τ ) = [x(τ ) + y(τ )] ∗ [x∗ (−τ ) + y ∗ (−τ )] = x(τ ) ∗ x∗ (−τ ) + y(τ ) ∗ y ∗ (−τ ) + x(τ ) ∗ y∗ (−τ ) + y(τ ) ∗ x∗ (−τ ) = Rxx (τ ) + Ryy (τ ) + Rxy (τ ) + Ryx (τ )

91

(27)

∗ (−τ ) tambi´ Si tenemos en cuenta que R yx (τ ) = R xy en podemos escribir

Rzz (τ ) = R xx (τ ) + Ryy (τ ) + Rxy (τ ) + R∗xy (−τ )

(28)

y la energ´ıa de z (t) como ∗ E z = R zz (0) = R xx (0) + Ryy (0) + Rxy (0) + Rxy (0) = E x + E y + 2Re{Rxy (0)}

(29)

Son de especial inter´ es los siguientes casos: Si Re{Rxy (0)} = 0 decimos que las señales son incoherentes y se cumple E z = E x + E y . Si Rxy (0) = 0 decimos que las señales son ortogonales (su producto escalar anula).

+∞ ∗ −∞ x(t)y (t)dt



se

Si R xy (τ ) = 0 para todo τ , entonces las señales están incorreladas y R zz (τ ) = R xx (τ ) + Ryy (τ ). Correlaci´ on y espectro de energ´ıa a trav´ es de sistemas LTI

Para terminar la parte correspondiente a señales de energ´ıa finita, nos preguntamos qué sucede con las correlaciones de las señales de entrada x(t) y salida y(t) a un sistema LTI descrito por su respuesta impulsional h(t). t

x t

y t

En este caso tenemos: 1. Rxy (τ ) = x(τ ) ∗ y∗ (−τ ) = x(τ ) ∗ (x∗ (−τ ) ∗ h∗ (−τ )) = R xx (τ ) ∗ h∗ (−τ ) 2. Ryx (τ ) = y(τ ) ∗ x∗ (−τ ) = (x(τ ) ∗ h(τ )) ∗ x∗ (−τ ) = R xx (τ ) ∗ h(τ ) 3. Ryy (τ ) = y(τ ) ∗ y∗ (−τ ) = (x(τ ) ∗ h(τ )) ∗ (x∗ (−τ ) ∗ h∗ (−τ )) = R xx (τ ) ∗ h(τ ) ∗ h∗ (−τ ) = R xx (τ ) ∗ Rhh (τ ) Desde el punto de vista frecuencial esto se traduce en (aplicación directa de la transformada de Fourier): 1. S xy (f ) = S xx (f ) H ∗ (f ) 2. S yx (f ) = S xx (f ) H (f ) 3. S yy (f ) = S xx (f )H (f )H ∗ (f ) = S xx (τ )|H (f )|2

92

3.

Correlaci´ on y espectro de potencia Para el caso de señales de potencia finita, calcularemos la correlació n siguiendo la lógica que

hemos usado para calcular la potencia. Es decir, si dec´ıamos que P x =

T 1 +2 l´ımT →∞ T − T 2

la autocorrelaci´ on de se˜ nales de potencia finita vendrá dada por: 1 Rxx (τ ) = l´ım T →∞ T

+ T 2



T



|x(t)|2 dt, ahora

(30)

x(t + τ )x∗ (t)dt

−2

donde comprobamos fácilmente que R xx (0) = P x . Además, la correlación cruzada se calculará como: 1 Rxy (τ ) = l´ım T →∞ T

+ T 2



− T 2

x(t + τ )y ∗ (t)dt

(31)

Propiedades de Rxx (τ )

Son las mismas (cambiando energ´ıa por potencia) que las de las señales de energ´ıa finita, es decir: 1. Rxx (0) = P x 2. |Rxx (τ )|2 ≤ |Rxx (0)|2 3. Rxx (τ ) = R ∗xx (−τ ) Propiedades de Rxy (τ )

As´ı mismo, las propiedades de R xy (τ ) también se repiten y son: 1. |Rxx (τ )|2 ≤ P x P y ∗ ( τ ) 2. Rxy (τ ) = R yx −

Densidad espectral de potencia

También igual que antes, la densidad espectral de potencia (cruzada o no) se calcula como la transformada de Fourier de la autocorrelación o la correlación cruzada seg´ un sea el caso, es decir:

|X T (f )|2 F{Rxx (τ )} = S xx (f ) = l´ım T →∞ T X T (f )Y T ∗ (f ) F{Rxy (τ )} = S xy (f ) = l´ım T →∞ T

(32)

(33)

Nota: aunque llamemos igual a la densidad espectral de energ´ıa y a la de potencia como S xx (f ), hay que ser conscientes que son distintas y que nos aportan información semejante pero no igual.

93

Comprobaci´ on: Empezaremos desarrollando por S xx (f ) = l´ım T →∞ ponde con F{Rxx (τ )}. Esto es:

|X T (f )|2 T

para ver que se corres-

1 |X T (f )|2 ∗ S xx (f ) = l´ım = l´ım X T (f )X T (f ) T →∞ T →∞ T T +∞ +∞ 1 − j2πf t = l´ım xT (t)e dt xT (t )e− j2πf t dt T →∞ T −∞ −∞ 1 = l´ım T →∞ T

 

+ T 2

− T 2

 

x(t)e− j2πf t dt

+ T 2

− T 2





x∗ (t )e+ j2πf t dt



(34) ∗



donde hemos expresado X T (f ) como F{xT (t)}. Ahora juntamos las integrales y hacemos el cambio de variable t = τ + t (aqu´ı t  es sólo un parámetro que no interviene en la integral respecto t), con lo que dt = dτ : 1 S xx (f ) = l´ım T →∞ T 1 = l´ım T →∞ T

+ T 2

+ T 2

    − T 2

− T 2

+ T 2



x(t)x∗ (t )e− j2πf (t−t ) dtdt

+ T −t 2

− T 2

− T −t 2

(35)



x(τ + t )x∗ (t )e− j2πf τ dτ dt



Ahora aprovechamos el hecho que t es finito (t ∈ [−T /2, T /2]) para aplicar el l´ımite T → ∞ en la primera integral (la de dentro), llegando a 1 S xx (f ) = l´ım T →∞ T

+ T 2

+∞

  T

−2

x(t + τ )x∗ (t )e− j2πf τ dτ dt

(36)

−∞

Finalmente, invertimos el orden de integración para llegar al resultado esperado, esto es: +∞

S xx (f ) =

 

−∞ +∞

=

1 l´ım T →∞ T

+ T 2



T

x(t + τ )x∗ (t )e− j2πf τ dt dτ

(37)

−2

Rxx (τ )e− j2πf τ dτ = F {Rxx (τ )}

−∞ 

Ejemplo: Obtener R xx (τ ) y S xx (f ) para x(t) = u(t). Aplicamos la definici´ on de R xx (τ ) para obtener 1 Rxx (τ ) = l´ım T →∞ T

+ T 2



− T 2

1 u(t + τ )u(t)dt = l´ım T →∞ T

+ T 2



u(t + τ )dt

(38)

0

Si τ > 0, u(t + τ ) es un escalón que empieza en algún t negativo (t = − τ ) y por lo tanto, Rxx (τ ) se reduce a: T 1 + 1 T 1 Rxx (τ ) = l´ım dt = l´ım = (39) T →∞ T 0 T →∞ T 2 2 Finalmente, como Rxx (τ ) debe ser siempre par para x(t) real, no hace falta estudiar el caso τ < 0 y podemos afirmar que 1 1 Rxx (τ ) = −→ S xx (f ) = F {Rxx (τ )} = δ (t) (40) 2 2



2

94

Densidad espectral a la salida de un sistema LTI

Al igual que en el caso de energ´ıa finita se cumple que la densidad espectral de potencia S yy (f ) a la salida de un sistema LTI caracterizado por H (f ) = F {h(t)} vale S yy (f ) = S xx (f )|H (f )|2

(41)

donde S xx (f ) es la densidad espectral de potencia de la señal x(t) a la entrada del sistema. Correlaci´ o n en se˜ nales peri´ odicas

En cuanto a autocorrelación se refiere, vemos que si comparamos una señal periódica con ella misma pero desplazada un número entero de periodos como se ve en la figura, las señales a comparar son idénticas. Es lo mismo que sucede cuando no hay desplazamiento. (t)

t x t

T 0

t

Por lo tanto intuimos que la autocorrelación de una se˜ nal periódica será también periódica, es decir: x(t) = x(t + kT 0 ) −→ R xx (τ ) = R xx (τ + kT 0 ),

k ∈

Z

(42)

Comprobaci´ on: 1 Rxx (τ + kT 0 ) = l´ım T →∞ T 1 = l´ım T →∞ T

+ T 2

 

T

−2

+ T 2

− T 2

x(t + τ + kT 0 )x∗ (t)dt

(43)

x(t + τ )x∗ (t)dt = R xx (τ )

Además, del mismo modo que para obtener la potencia de la señal, basta con hacer la integral en un periodo (incluso sin necesidad que sea [ −T 0 /2, T 0 /2], lo cual tambi´ en es cierto para la potencia ya que Rxx (0) = P x ): 1 Rxx (τ ) = x(t + τ )x∗ (t)dt (44) T 0



0

95

Correlaci´ on entre dos fasores

Estudiemos ahora la correlaci´ on entre x(t) = a 1 e j2πf t y y(t) = a 2 e j2πf t . Aplicando directamente la definición vemos que: 1

1 Rxy (τ ) = l´ım T →∞ T

+ T 2



1 a1 e j2πf (t+τ ) a∗2 e− j2πf t dt = a ∗2 a1 e j2πf τ l´ım T →∞ T 1

T

−2

=

a∗2 a1 e j2πf 1 τ

=

a1 a∗2 e j2πf 1 τ

2

2

1 e j2π(f −f )t l´ım T →∞ T j2π(f 1 − f 2 ) 1

2

T /2

 

1

e j2π(f −f )t dt (45) 1

T

2

−2

1 sin π(f 1 − f 2 )T T →∞ T π(f 1 − f 2 )T

= a 1 a∗2 e j2πf τ l´ım 1

−T /2

+ T 2



l´ım sinc ((f 1 − f 2 )T )

T →∞

Por lo tanto, cuando f 1  = f 2 evaluaremos la sinc en valores muy grandes y el resultado será 0. Sólo cuando f 1 = f 2 la sinc tomará valor 1. Por lo tanto, llegamos al siguiente resultado: Rxy (τ ) =



0 a1 a∗2 e j2πf 1 τ

f 1  = f 2 f 1 = f 2

(46)

Correlaci´ on cruzada entre dos se˜ nales peri´ odicas

El resultado anterior nos sirve para calcular R xy (τ ) con x(t) e y (t) periódicas si las desarrollamos en series de Fourier. Esto es: x(t) =

 

cx,me j2πmf ,x t

(47)

cy,n e j2πnf ,y t

(48)

0

m

y(t) =

0

n

Calculemos, pues, la correlaci´ on cruzada: 1 Rxy (τ ) = l´ım T →∞ T =

 m

n

+ T 2

  T

−2

 

cx,m e j2πmf ,x (t+τ ) · 0

m

c∗y,n e− j2πnf ,y t dt 0

n

cx,mc∗y,n e j2πmf 0,xτ

1 l´ım T →∞ T

(49)

T

+2





e j2π(mf ,x −nf ,y )t dt 0

T

0

−2

Vemos que cada elemento del sumatorio se corresponde con la correlación de dos fasores, de la cual ya tenemos el resultado en (46). Sabemos que sólo cuando mf 0,x = nf 0,y el elemento en cuestión contribuir´ a al sumatorio. En caso contrario dicha contribución será 0. La cuestió n ahora es: ¿con qué periodicidad los fasores de la señal x(t) van a coincidir con los de la señal y (t)? Miremos primero un ejemplo. Supongamos f 0,x = 3 y f 0,y = 4 y dibujemos sus espectros (por comodidad, ya que un fasor en tiempo queda representado en frecuencia por una delta cuya posición nos indica la frecuencia).

96

Apuntes Señales y Sistemas (UAB)

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