´n Universidad Universidad de Concepci Concepci on o Facult acultad de Ingenier´ ıa Depar Departam tamento ento de Ingenier´ ıa Industrial Industrial
Apuntes para Modelaci´ on on de Sistemas:
Mode Mo dela lami mient ento o Mate Matem´ m´ atic atico o Rosa Medina D. Este documento do cumento es una s´ıntesis de las clases de modelamiento matem´atico atico para la carrera de Ingenier´ Ingenier´ıa Civil Industrial. Comprende los temas de: Componentes de los modelos Modelos cl´asicos asicos Aplicaciones industriales Se basa en apuntes de clases y libros especificados en referencias. Cualquier observaci´on on enviar a
[email protected]
2015-2 v1
´ Indice 1. Introducci´ Introducci´ on on
2
1.1. Componente Componentess de los modelos modelos de decisi´ decisi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Modelos Cl´ asicos
2 4
2.1. Problema de la Mochila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2. Problema de Bin Packing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3. Problema de Localizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4. Set Covering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.5. Set Partitioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.6. Problema de Loca ocalizaci´on Capacitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.7. Problema Problema de Asignaci´ Asignaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.8. Problema de Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.9. Problema de Flujo de Costo M´ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3. Aplicaciones Industriales
15
3.1. 3.1. Producc Producci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.1.1. Tasas de producci´ producci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.1.2. Mezcla de materias primas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.1.3. Proceso pro ductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.1. 3.1.4. 4. M´ ultiples per period odoos e Inventarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2. Personal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.3. Finanzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1
1.
Introducci´ on Los modelos matem´aticos apoyan la toma de decisiones, entregando un enfoque cuan-
titativo y objetivo a la elecci´on entre alternativas. Comenzaron a utilizarse fuertemente en el contexto de la segunda guerra mundial, para apoyar las decisiones log´ısticas. Concluida la guerra, algunas empresas vieron su utilidad y eficiencia, sin embargo, se pensaba que deb´ıan ser construidos exclusivamente por especialistas matem´aticos debido a su complejidad; provocando que quienes estaban m´as cercanos al contexto de la toma de decisiones no participaran del proceso de modelaci´on, perdiendo eficacia las soluciones encontradas. Una segunda inquietud era respecto al tiempo que se requer´ıa tanto para la modelaci´on como para la resoluci´on de estos modelos, ya que no se contaba con la tecnolog´ıa ni las herramientas para encontrar soluciones efectivas y oportunas. Debido a los avances tecnol´ogicos, los modelos matem´aticos ahora pueden estar a disposici´on de todos los integrantes de las organizaciones para apoyar la toma de decisiones. No es necesario ser un experto matem´atico para poder formularlos y existen softwares amigables para la resoluci´on de grandes modelos en tiempos razonables. No hay que olvidar que, como todos los modelos, son simplificaciones de la realidad , las soluciones obtenidas a trav´es del modelo deben ser validadas con la intuici´ on de los tomadores de decisiones. De esta forma las organizaciones modernas cuentan con una herramienta poderosa a la hora de tomar decisiones, de manera que la intuici´on y la soluci´on cuantitativa se complementan. El objetivo de estos apuntes es conocer algunos prototipos de modelos de Programaci´on Lineal y Programaci´on Lineal Entera utilizados en investigaci´on de operaciones para apoyar la toma de decisiones. De esta forma se espera facilitar y motivar el aprendizaje de los m´etodos de resoluci´on en cursos superiores.
1.1.
Componentes de los modelos de decisi´ on
Los modelos matem´aticos presentados en estos apuntes apoyan la toma de decisiones. Por ejemplo, suponga que usted desea distribuir su tiempo entre los estudios, el deporte y su familia, para mejorar su calidad de vida, midiendo su nivel de estr´es. Podr´ıa decidir cu´antas
2
horas dedicar a cada actividad, ya que cada hora que estudia le genera 5 puntos de estr´es, una hora de deporte le disminuye 3 puntos de estr´ es y una hora con su familia le genera 2 puntos de estr´es. No puede cambiar, por ejemplo, el tiempo total del que dispone (ya que cada d´ıa tiene s´olo 24 horas). Tambi´ en puede observar que algunas actividades tienen limitaciones, por ejemplo, est´a obligado a un m´ınimo de 4 horas de estudio para rendir satisfactoriamente en la universidad. Los componentes de los modelos son: variables , las decisiones que debe tomar. Cu´ antas horas dedicar a estudiar, al deporte
y a su familia . objetivo , la finalidad de tomar esas decisiones. Nos permite evaluar cuando una deci-
si´on es mejor que otra. Menos nivel de estr´es . restricciones, los l´ımites que pueden tener las variables o sus combinaciones. Nos
permiten describir el entorno en que las decisiones son v´alidas. No puede dedicar todo el tiempo al deporte y su familia . par´ ametros, los valores (datos) que no podemos cambiar y son determinantes para el
modelo. Los puntos de estr´es que genera cada hora dedicada a una actividad particular . En la formulaci´on del modelo, se suele comenzar por la definici´o n de las variables y funci´ on objetivo, para luego ver las restricciones y par´ametros involucrados. En los modelos de decisi´on, la funci´on objetivo buscar´a optimizar (maximizar o minimizar) las decisiones tomadas. En el ejemplo anterior, podemos especificar que la distribuci´on la quiere realizar en un horizonte de un d´ıa. Por otro lado, en realidad dispone de s´olo 14 hrs. al d´ıa, luego de alimentarse y dormir. Definimos las variables como: x: horas dedicadas a estudiar y : horas dedicadas al deporte z : horas dedicadas a su familia
3
Ninguna de estas variables podr´ıa tomar un valor negativo, e. g., no puede dedicar menos dos horas a estudiar. Este tipo de restricci´on se denomina de no negatividad . Adem´as, se indica que el m´ınimo de horas de dedicaci´on a estudiar es 4 hrs. Esto significa que: x ≥ 4 , y ≥ 0 , z ≥ 0. Obviamente, es deseable minimizar el nivel de estr´es, por lo cual la funci´on objetivo ser´a: Min 5x − 3y + 2z
Las horas dedicadas a las actividades deben desarrollarse dentro de las 14 hrs. diarias que tiene, es decir: x + y + z ≤ 14
El modelo completo lo podemos expresar como:
Min
5x − 3y + 2 z
s.a
x + y + z ≤ 14 x ≥ 4 , y ≥ 0 , z ≥ 0
s.a se lee como sujeto a e indica el inicio de la lista de restricciones. En los cursos de
Optimizaci´ on I y Optimizaci´on II se estudiar´an los m´etodos para resolver estos problemas.
2.
Modelos Cl´ asicos
2.1.
Problema de la Mochila
Un famoso modelo en Investigaci´o n de Operaciones es el Problema de la Mochila , o Knapsack Problem en ingl´es. En este modelo se deben decidir qu´ e objetos incluir en un contenedor (mochila) que tiene una capacidad limitada. Los objetos tienen un peso y un beneficio asociado, el objetivo es maximizar el beneficio de los objetos seleccionados, sin sobrepasar el tama˜no del contenedor. Matem´ aticamente, modelamos los objetos como un conjunto de ´ındices, cada uno re4
presentado a un objeto. Si tenemos n objetos, entonces nuestro conjunto de objetos es J = {1, 2, 3, . . . , n − 1 , n}. Un objeto cualquiera lo representaremos como j ∈ J . El peso
de un objeto j lo podemos representar con p j . El beneficio de un objeto j lo podemos representar como b j . Tanto el peso como el beneficio corresponden a par´ametros del modelo, ya que son datos conocidos para cada objeto. Podemos definir las variables como la decisi´on de llevar o no un objeto j determinado. Esta decisi´on es binaria, y podemos representarla con el valor 1 si el objeto es seleccionado, y 0 si no seleccionamos el objeto.
x j
1 = 0
el objeto j ∈ J es seleccionado. en otro caso (e.o.c.)
El objetivo en este problema lo podemos modelar como la suma de la multiplicaci´on del beneficio de un objeto por la variable de decisi´on asociada a ese objeto, de esta forma, si el objeto j NO es seleccionado (la variable es cero), no se agrega ese beneficio b j a la funci´on objetivo. Luego, la funci´on objetivo sera: n
M ax
b j x j
j =1
Equivalentemente, tambi´en podr´ıamos escribir la funci´on objetivo como:
M ax
b j x j
j∈J
on que es no exceder la capacidad m´axima En este problema tenemos s´olo una restricci´
del contenedor. Podemos representar esta capacidad como C , para escribir nuestra restricci´on como que la suma de los pesos de los objetos multiplicados por la variable que representa a ese objeto debe ser a lo m´as igual que la capacidad. n
p j x j ≤ C
j =1
El modelo completo se ver´ıa as´ı:
5
n
b x
Max
j j
j =1 n
s.a
p x
j j
≤ C
j =1
x j ∈ {0, 1}
∀ j = 1,...,n
Ejercicio
Modifique el modelo del Problema de la Mochila para modelar el siguiente problema. Una persona desea invertir $ 5.000 durante el pr´ oximo a˜ no en dos tipos de inversi´ on. La inversi´ on A redit´ ua 5 % y la inversi´ on B 8 %. La investigaci´ on de mercado recomienda una asignaci´ on de por lo menos 25% en A y cuanto mucho 50% en B. Adem´ as, la inversi´ on A debe ser por lo menos de la mitad de la inversi´ on B. ¿C´ omo deben asignarse los fondos a las dos inversiones?
2.2.
Problema de Bin Packing
En este modelo se deben agrupar los objetos que se desean llevar en el menor n´umero de contenedores. Los objetos tienen un peso asociado y los contenedores tienen una capacidad m´axima. El peso de los objetos seleccionados para un contenedor no puede superar su capacidad. Supongamos que tenemos un conjunto de n objetos O, cada uno con peso wi . Tambi´en, tenemos m contenedores C de capacidad C . Para que el problema sea factible, la suma de todos los pesos de los objetos debe ser menor que la suma de las capacidades de los contenedores disponibles. variables
xij
1 = 0
si el ob jeto i ∈ O se lleva en el contenedor j ∈ C . e.o.c.
6
1 y = 0
si se usa el contenedor j ∈ C
i
e.o.c.
objetivo
minimizar el n´ umero de contenedores utilizados. par´ ametros
wi : peso de un objeto i C : capacidad de cada contenedor. modelo
n
y
M in
j
j =1 m
s.a
x ≤ C y x =1 ij
∀ j = 1,...,n
j
i=1 n
∀i = 1,...,m
ij
j =1
xij , y j ∈ {0, 1} ∀i = 1,...,m; j = 1,...,n
Podemos observar que las variables xij no est´an presentes en la funci´on objetivo. La primera de las restricciones permite relacionar las variables, de manera que si un contenedor a no es utilizado ( ya = 0), no podemos asignar objetos a ´ el (xia = 0). Tambi´en indica que
si se asignan objetos a un contenedor, no se puede sobrepasar la capacidad m´axima del contenedor. La segunda restricci´on indica que todos los objetos deben asignarse una ´unica vez a un u ´ nico contenedor. Ejercicio
Modele el siguiente problema utilizando el modelo del Problema de Bin Packing. En un paseo de fin de a˜ no de un colegio, se desea contratar el menor n´ umero de buses, manteniendo unidos los alumnos de un mismo curso. Cada bus tiene una capacidad de 45 pasajeros y los tama˜ nos de los cursos se muestran en la siguiente tabla: 7
Curso no alumnos 1o A 23 o 2 A 25 o 3 A 20 o 4 A 19
2.3.
Curso no alumnos 1o B 18 o 2 B 27 o 3 B 22 o 4 B 24
Problema de Localizaci´ on
El modelo busca localizar el m´ınimo n´umero de centros de servicio, dadas algunas ubicaciones preliminares, con el objetivo de servir a todos los clientes al menor costo total: activaci´on del centro y servicio a cada cliente. Se poseen m clientes y existen n posibles ubicaciones para los centros de servicio. Cada centro de servicio tiene un costo de activaci´on f j . Por cada cliente i y centro de servicio j , se conoce el costo de servicio cij asociado. Debemos decidir cuales centros de servicio se activar´an y a cuales clientes servir´a cada uno. variables
y j
xij
1 = 0
1 = 0
si se activa el centro de servicio j ∈ J . e.o.c.
si el cliente i ∈ C es servido por el centro de servicio j ∈ J . e.o.c.
objetivo
minimizar los costos de instalaci´on de un centro de servicio y los costos de servir a cada cliente. par´ ametros
f j costo de instalar el centro de servicio j cij costo de servir al cliente i desde el centro j modelo
8
M in
n j =1 f j y j
+
m i=1
n j =1 xij
s.a
n j =1 cij xij
=1
∀i = 1,...,m
xij ≤ y j
∀i = 1,...,m; j = 1,...,n
xij , y j ∈ {0, 1}
∀i = 1,...,m; j = 1,...,n
Set Covering
2.4.
Si consideramos los clientes en el problema de localizaci´on pueden ser servidos (a un costo cero) o no por algunos de los centros, el modelo se transforma a decidir el m´ınimo n´umero de centros de servicios que instalar a un costo f j . variables
x j
1 0
si el centro de servicio j se instala e.o.c.
objetivo
minimizar los costos de instalaci´on de los centros de servicio. par´ ametros
f j costo de instalar el centro de servicio j . J i los centros de servicio que pueden atender al cliente i. modelo
M in
n j =1 f j x j
j∈J i
x j ≥ 1
x j ∈ {0, 1}∀ j = 1,...,n
9
i = 1, . . . , m
Ejercicio
Modifique el modelo de Set Covering para modelar el siguiente problema. Se desea conocer nombre, tel´efono, puntaje PSU ponderado, promedio curricular y cantidad de libros pedidos en la biblioteca de los alumnos en una base de datos que contiene cuatro tablas. La primera tabla tiene los datos anagr´ aficos: nombre, fecha de nacimiento, nacionalidad, direcci´ on, telefono y estado civil. La segunda tabla tiene los datos de ingreso a la universidad: n´ umero de matr´ıcula, nombre, tel´efono, direcci´ on, plan de estudios, a˜ no de ingreso. La tercera tabla tiene los datos de la PSU: n´ umero de matr´ıcula, nombre, NEM, puntaje en LyC, puntaje en Matem´ atica, puntaje en Ciencias y puntaje PSU ponderado. La cuarta tabla tiene los datos de la biblioteca: n´ umero de matr´ıcula, nombre, tel´efono, libros en pr´estamo, libros pedidos, libros devueltos. Cu´ anto es el m´ınimo de tablas que se deben consultar y cu´ ales son.
2.5.
Set P artitioning
Se obtiene al sustituir en la restricci´on del modelo anterior las desigualdades por igualdades, es decir, no se permite un sobrecubrimiento de los clientes.
variables x j
1 0
si el centro de servicio j se instala e.o.c.
objetivo
minimizar los costos de instalaci´on de los centros de servicio. par´ ametros
f j costo de instalar el centro de servicio j . J i los centros de servicio que pueden atender al cliente i. modelo
10
M in
n j =1 f j x j
j∈J i
x j = 1 i = 1, . . . , m
x j ∈ {0, 1}
∀ j = 1,...,n
Notar que la diferencia con el modelo anterior es el tipo de restricciones.
2.6.
Problema de Localizaci´ on Capacitado
A diferencia del Problema de Localizaci´on, en el modelo capacitado se considera adem´as que los clientes tienen una demanda di que se debe satisfacer y que los centros de servicio tienen una oferta o j correspondiente a su capacidad m´axima de satisfacer la demanda. variables
y j
xij
1 0 1 0
si se activa el centro de servicio j ∈ J . e.o.c. si el cliente i ∈ C es servido por el centro de servicio j ∈ J . e.o.c.
objetivo
minimizar los costos de instalaci´on de los centros de servicio y los costos de servir a cada cliente. par´ ametros
f j costo de instalar el centro de servicio j . cij costo de servir al cliente i desde el centro j . di demanda del cliente i. o j oferta del centro de servicio j .
11
modelo
Min
n j =1 f j x j
+
m i=1
n j =1 cij xij
n j =1 x ij
= 1,
xij ≤ y j , m i=1 di xij
i = 1, . . . , m i = 1, . . . , m; j = 1,...,n
≤ o j y j ,
j = 1,...,m
y j , xij ∈ {0, 1}∀i = 1, . . . , m; j = 1,...,n
2.7.
Problema de Asignaci´ on
El modelo contempla un n´umero de tareas y un n´umero igual de m´aquinas que trabajan en forma secuencial. El tiempo que tarda cada m´aquina en realizar cada tarea se conoce y es distinto para cada una. El objetivo es asignar cada tarea a una m´aquina, de manera que el tiempo total de realizar todas las tareas sea m´ınimo. variables
xij
1 0
si la tarea i se asigna a la m´aquina j . e.o.c.
objetivo
minimizar la suma de los tiempos de las asignaciones de tareas a m´aquinas. par´ ametros
tij tiempo de proceso de la tarea i en la m´ aquina j . modelo
12
M in s.a.
n i=1
n j =1 cij xij
x x n i=1
ij
= 1,
j = 1,...,n
n j =1
ij
= 1,
i = 1,...,n
xij ∈ {0, 1},
2.8.
i = 1,...,n; j = 1,...,n
Problema de Transporte
El modelo considera la distribuci´on en una cadena de abastecimiento, en donde existen m plantas productivas y n salas de venta. Cada planta productiva tiene una capacidad instalada que genera la oferta o i de la planta. Cada sala de venta tiene clientes que generan la demanda d j .
Por otra parte, existen costos unitarios c ij asociados al transporte de la producci´on desde cada planta a las salas de venta. Se desea determinar la cantidad de productos que se enviar´an desde cada planta a cada sala de venta considerando no exceder las ofertas y satisfacer las demandas. Para que el problema sea factible el total de la oferta debe igualar a la demanda. variables
xij : unidades producidas en la planta i que son destinadas a la sala de venta j . objetivo
minimizar los costos de transporte de los productos desde las plantas a las salas de venta. par´ ametros
oi oferta de las plantas productivas. d j demanda de las salas de venta. cij costo unitario de transportar los productos desde la planta i a la sala de venta j . modelo
13
M in s.a.
m i=1
n j1
cij xij
n j =1
ij
= o i ,
i = 1,...,m
m i=1
ij
= d j ,
j = 1,...,m
x x
xij ≥ 0 ,
2.9.
i = 1,...,m; j = 1,...,n
Problema de Flujo de Costo M´ınimo
El modelo supone un caso m´as general que el modelo del Problema de Transporte, en donde se incluyen p centros de distribuci´on que no tienen demanda, adem´as de las plantas productivas con oferta oi y las salas de venta con demanda d j . Cada una de las conexiones (i, j ) entre las plantas y los centros de distribuci´on o salas de venta, tienen un costo de transporte unitario asociado cij al transporte de cada unidad de producto que va desde i hasta j . Se debe decidir cuantas unidades se deben enviar por cada conexi´ on, sin sobrepasar la oferta de las plantas productivas, para satisfacer la demanda al menor costo posible la demanda de las salas de ventas. variables
xij : unidades de productos enviadas por la conexi´on (i, j ). objetivo
minimizar los costos de transporte de las unidades. par´ ametros
oi : oferta de las plantas productivas. d j : demanda de centros de distribuci´o n o salas de venta (cero para los centros de
distribuci´ on). cij : costo por unidad transportada por la conexi´on (i, j ). modelo
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Min s.a
m i=1
n j =1 cij xij
x x = n j =1
m i=1
ij
ij
(1)
= o i ,
n x = j,k=1 jk k
i = 1,...,m
(2)
+ d j , j = 1,...,n
(3)
xij ≥ 0
i = 1,...,m; j = 1,...,n
(4)
La restricci´on 2, nos indica que la suma de todos los productos que salen desde una planta productiva equivale a la oferta de la planta. La restricci´on 3, nos indica que en un centro de distribuci´ on o sala de venta, los productos que llegan son iguales a los que salen hacia otra sala de venta m´as los que son demandados (vendidos) en ese punto. Este tipo de restricciones se denominan conservaci´ on de flujo.
3.
Aplicaciones Industriales
3.1.
Producci´ on
El contexto de esta aplicaci´on suele darse en las empresas u organizaciones que deben decidir qu´e productos fabricar y en cu´anta cantidad, mediante una eficiente asignaci´o n de los recursos disponibles. Podemos considerar como recursos la materia prima, el trabajo de los empleados, el tiempo de las m´aquinas, etc. El modelo general considera que existen n tipos de productos i y m tipos de recursos j , cada recurso con una disponibilidad, T j . Por cada producto i y cada recurso j , se conoce la cantidad necesaria tij del recurso para obtener una unidad. Tambi´ en se conoce la utilidad ci por cada tipo de producto i, de manera que maximize la utilidad total de todos los productos, bajo el supuesto que todas las unidades producidas ser´an vendidas. Ejercicio
Identifique los componentes para el modelo descrito.
15
Ejemplo
Un carpintero produce mesas y sillas. Por cada mesa obtiene una utilidad de 5.000 y por cada silla 3.000. Tiene disponible para trabajar (mano de obra) 40 horas semanales y se demora en cada mesa 2 hrs. y 1 hr. en cada silla. Adem´ as, tiene disponible 50 paneles de madera, de los cuales requiere 5 para fabricar una mesa y 3 para fabricar una silla. Cuantas mesas y cuantas sillas debe producir en una semana para maximizar su utilidad. variables
xM : unidades de mesas producidas. xS : unidades de sillas producidas. objetivo
Maximizar la utilidad de las mesas y sillas producidas. par´ ametros
U M =5.000 [$/mesa]: utilidad obtenida por cada mesa producida. U S =3.000 [$/silla]: utilidad obtenida por cada silla producida. T MANODEOBRA =40 [Hrs.]: tiempo disponible de mano de obra para producci´on. hM =2 [hrs./mesa]: tiempo utilizado en fabricar una mesa. hS =1 [hr./silla]: tiempo utilizado en fabricar una silla. T P ANELES =50 [Paneles]: paneles disponibles para fabricar mesas y sillas. pM =5 [paneles/mesa]: paneles necesarios para fabricar una mesa. pS =3 [paneles/silla]: paneles necesarios para fabricar una silla. modelo
16
M ax 5.000xM + 3.000xS s.a.
(5)
2xM + xS ≤ 40
(6)
5xM + 3xS ≤ 50
(7)
xM , xS ∈
+
Z
(8)
En este problema, existen dos productos (mesas y sillas) y dos recursos (mano de obra y paneles). La primera ecuaci´on corresponde a la funci´on objetivo que maximiza la suma de las utilidades de las mesas y sillas producidas. La restricci´on 6 indica que el tiempo que nos demoremos en producir las mesas y sillas no puede exceder el tiempo disponible de mano de obra. La restricci´on 7, similar a la anterior, nos indica que no podemos exceder el n´umero de paneles disponibles. Finalmente, la restricci´on 8 indica que no podemos producir cantidades negativas de mesas o sillas y que s´olo podemos producir cantidades enteras de mesas y sillas. 3.1.1.
Tasas de producci´ on
Una variaci´on en las restricciones de este modelo resulta cuando no se conoce la cantidad de recurso por unidad de producto, sino que se conoce la cantidad m´axima que se puede producir en el periodo, por ejemplo, “Si s´ olo se pintaran mesas, entonces en una semana se producir´ıan 30. Si s´ olo se pintaran sillas, entonces en una semana se producir´ıan 20”. En este caso, la restricci´on queda expresada en t´ erminos de las tasas de pintado por cada producto: 1 1 xM + xS ≤ 1 30 20 3.1.2.
(9)
Mezcla de materias primas
Otra variaci´on corresponde a la selecci´on de la mezcla de materias primas utilizadas en la producci´on de los procesos. T´ıpicamente, la materia prima se puede obtener de diferentes proveedores, cada uno aporta con caracter´ısticas especiales que necesitamos en el producto final. 17
En el ejemplo, supongamos que podemos diferenciar el tipo de panel que tenemos. “De los 50 paneles, 20 son de madera de alerce y los restantes son de pino”. Las variables definidas no diferenciaban el tipo de panel utilizado; como esta caracter´ıstica es relevante para el nuevo problema, debemos cambiar las variables del modelo. variables
xij : cantidad de paneles i = {a(alerce), p( pino)} utilizados para el producto j =
{M (mesas), S (sillas)}. Con estas nuevas variables, la cantidad total de mesas fabricadas es: xa,M + x p,M . La cantidad total de sillas fabricadas es: xa,S + x p,S . La cantidad total de paneles de alerce utilizados es: xa,M + xa,S ; y la cantidad total de paneles de pino utilizados es: x p,M + x p,S . El nuevo modelo ser´ıa: modelo
M ax 5.000(xa,M + x p,M ) + 3 .000(xa,S + x p,S ) s.a.
3.1.3.
(10)
2(xa,M + x p,M ) + xa,S + x p,S ≤ 40
(11)
5(xa,M + x p,M ) + 3(xa,S + x p,S ) ≤ 50
(12)
xa,M + xa,S ≤ 20
(13)
x p,M + x p,S ≤ 30
(14)
x p,M , xa,M , x p,S , xa,S ∈ Z+
(15)
Proceso productivo
En esta variaci´on se obtienen diferentes productos en las distintas etapas del proceso productivo, dadas las tasas de rendimiento y los subproductos que se pueden obtener a partir de la materia prima. Por ejemplo: “el carpintero tiene un proceso de acabado que le permite vender las mesas en 7.000 y las sillas en 4.000 utilizando 5 horas m´ as de mano de obra por cada una”. Los productos que puede producir son: mesas, sillas, mesas con acabado y sillas con acabado. 18
Las nuevas variables son: variables
xM : unidades de mesas producidas. xM A : unidades de mesas acabadas producidas. xS : unidades de sillas producidas. xSA : unidades de sillas acabadas producidas.
El nuevo modelo ser´ıa: modelo
M ax 5.000xM + 3.000xS + 7.000xM A + 4 .000xSA s.a.
(16)
2xM + 7xM A + xS + 6 xSA ≤ 40
(17)
5(xM + xMA ) + 3(xS + xSA ) ≤ 50
(18)
xM , xMA , xS , xSA ∈
+
Z
(19)
En la restricci´on 17 las horas de mano de obra que requieren las mesas y sillas acabadas, incluyen tambi´en el tiempo que requiere una mesa o silla com´u n a la cual se le dar´a el acabado. 3.1.4.
M´ ultiples periodos e Inventarios
Esta u ´ ltima variaci´on, nos permite considerar la producci´on para satisfacer demandas en diferentes periodos. El modelo considera que el inventario del periodo anterior m´as la producci´o n del periodo es igual a la demanda del periodo m´as el inventario del periodo actual. Estos modelos adem´as pueden considerar costos de producci´on con horas extras y costos de inventario. Por ejemplo: “el carpintero sabe que esta semana (semana 1) la demanda es de dos mesas, la pr´ oxima semana (semana 2) la demanda ser´ a de una mesa y la subsiguiente (semana 3) 19
de tres mesas”. Podemos planificar su producci´on de mesas, de manera que pueda adelantar la producci´on de algunas demandadas en periodos posteriores. Las variables deben considerar la producci´on por semanas y la cantidad de producci´on destinada a inventarios, as´ı: variables
xM i : unidades de mesas producidas en la semana i ∈ {1, 2, 3}. xSi : unidades de sillas producidas en la semana i ∈ {1, 2, 3}. yM i : unidades de mesas dejadas en inventario en la semana i ∈ {1, 2, 3}.
El nuevo modelo ser´ıa: modelo
Max s.a.
5.000(xM 1 + xM 2 + xM 3 ) + 3 .000xS
(20)
2xM 1 + xS 1 ≤ 40
(21)
2xM 2 + xS 2 ≤ 40
(22)
2xM 3 + xS 3 ≤ 40
(23)
5xM 1 + 3 xS 1 ≤ 50
(24)
5xM 2 + 3 xS 2 ≤ 50
(25)
5xM 3 + 3 xS 3 ≤ 50
(26)
xM 1 = 2 + yM 1
(27)
yM 1 + xM 2 = 1 + yM 2
(28)
yM 2 + xM 3 = 3 + yM 3
(29)
+
(30)
xM 1 , xM 2 , xM 3 , xS 1 , xS 2 , xS 3 , yM 1 , yM 2 , yM 3 ∈
Z
Observamos que en la funci´on objetivo, se considera la utilidad de las mesas en los tres periodos. Adicionalmente, se podr´ıan considerar costos de mantenci´ on de inventarios, si as´ı lo exigiese el problema o utilidades diferenciadas por periodos. 20
Las restricciones 21 - 23 corresponden a la utilizaci´on de mano de obra por cada semana. Las 24 - 26 corresponden a la utilizaci´on de paneles por cada semana. Las restricciones 27 29 relacionan la producci´on con el inventario para las tres semanas.
3.2.
Personal
En estos problemas, se busca decidir la cantidad de mano de obra o la distribuci´o n de mano de obra m´as eficiente para aprovechar las fluctuaciones en la demanda o capacitaciones o renovaciones o reestructuraciones de las empresas. Estas variaciones en la mano de obra pueden ser por contrataci´on de mano de obra adicional, modificaci´on de los turnos de trabajo, ajuste de las horas de inicio, etc. Ejemplo1
Una tienda de departamentos opera 7 d´ıas a la semana. El gerente estima que la cantidad m´ınima de vendedores requeridos para proporcionar un servicio ´ agil es de 12 el lunes, 18 el martes, 20 el mi´ercoles, 28 el jueves, 32 el viernes, y 40 el s´ abado y domingo. Cada vendedor trabaja cinco d´ıas a la semana, con dos d´ıas de descanso escalonados a lo largo de la semana. Por ejemplo, si comienzan el lunes, descansan s´ abado y domingo; si comienzan el martes, descansan domingo y lunes; etc. ¿Cu´ antos trabajadores se necesitan y c´ omo se distribuir´ an sus d´ıas de descanso? Uno tender´ıa a definir cuantas personas trabajan cada d´ıa. Esto conduce a un error ya que las variables no quedan relacionadas. El enfoque correcto indica cuantas personas por cada tipo de turno trabajar´an. Los turnos definen los d´ıas de trabajo y los d´ıas de descanso. La tabla 1 indica por cada tipo de turno los d´ıas que trabajan. variables
xi : n´ umero de trabajadores que realizan el turno i = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. objetivo
Minimizar el n´umero de trabajadores. par´ ametros 1
Taha, Conjunto de problemas 2.4C, C
21
Cuadro 1: D´ıas de trabajo por cada turno Turno lunes martes mi´ercoles jueves viernes s´a bado domingo T1 x x x x x T2 x x x x x T3 x x x x x T4 x x x x x T5 x x x x x T6 x x x x x T7 x x x x x
r j : m´ınimo n´ umero de trabajadores el d´ıa j = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} modelo
M in x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 s.a
(31)
x1 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 12
(32)
x1 + x2 + x5 + x6 + x7 ≥ 18
(33)
x1 + x2 + x3 + x6 + x7 ≥ 20
(34)
x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≥ 28
(35)
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 32
(36)
x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 40
(37)
x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 40
(38)
xi ≥ 0
(39)
El lado izquierdo de las restricciones nos indican por cada d´ıa los turnos que les corresponde trabajar. El lado derecho de las restricciones nos indica el n´umero m´ınimo de trabajadores requeridos para cada d´ıa.
22
3.3.
Finanzas
En estos problemas se busca maximizar el rendimiento o utilidad para las empresas, al mismo tiempo que se satisfacen las restricciones de los instrumentos utilizados, requerimientos del inversionista y del mercado. Pueden ser utilizados en la asignaci´on de presupuestos para proyectos, cartera de inversi´on, planificaci´on financiera, etc. Algunos conceptos ser´an profundizados en otras asignaturas, como VAN, Balance, Inventario, etc. Muchos de estos problemas utilizan restricciones referidas a porcentajes en relaci´on al total de las variables. Ejemplo2
Finco debe determinar cu´ anta inversi´ on y deuda comprometer durante el pr´ oximo a˜ no. Cada d´ olar invertido reduce el VAN de la compa˜ n´ıa en 10 centavos, y cada d´ olar de deuda incrementa el VAN en 50 centavos (debido a la deducibilidad de los pagos de intereses). Finco es capaz de invertir cuando mucho un mill´ on de d´ olares durante el pr´ oximo a˜ no. La deuda puede ser cuando mucho 40 % de la inversi´ on. Finco tiene por ahora 800.000 d´ olares disponibles en efectivo. Todas las inversiones se deben pagar del efectivo actual o de dinero tomado a pr´ estamo. Formule un modelo para maximizar el VAN de Finco. variables
x: d´ olares de inversi´on. y : d´ olares de deuda. objetivo
maximizar el VAN. par´ ametros
r = 0.10: reducci´ on del VAN por d´olar invertido. i = 0.50: incremento del VAN por d´olar de deuda. D = 1.000.000: d´ olares disponibles para inversi´on. 2
Winston, 3.6, Problema 5
23
P = 0.4: porcentaje de deuda. E = 800.000: d´ olares en efectivo disponibles. modelo
Max
−0.1x + 0 .5y
(40)
s.a.
x ≤ 1 .000.000
(41)
y ≤ 0 .4(x + y )
(42)
x + y ≤ 800.000
(43)
x ≥ 0 , y ≥ 0
(44)
La restricci´on 42 corresponde a los d´olares invertidos de deuda. El lado derecho indica que este no puede ser mayor al 40 % de la inversi´ on total.
Referencias [Eppen, 2000] Eppen et al. Investigaci´ on de Operaciones en la Ciencia Administrativa Pearson , 2000. [Hillier and Lieberman, 2006] Hillier and Lieberman. Introducci´on a la Investigaci´on de Operaciones Mc Graw Hill Interamericana , 2006. [Williams, 1985] Williams, H. P. Model Building in Mathematical Programming John Wiley & Sons , 1985. [Winston, 2005] Winston, W. L. Investigaci´ on de Operaciones Thomson , 2005.
24