apuntes-MM4

Apuntes de C´ alculo alculo Tensor Tensorial ial Manuel Arias Zugasti, Pedro C´ ordoba ordoba Torres, ´ Alvaro Guillermo Perea Covarrubias y Cristina Crist ina Mar M ar´´ıa Santa Sa nta Marta Ma rta Pastrana Pastra na

´ Ultima Ultim a modificaci´ on: on: 7 de octubre de 2013

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´ Indice Prefacio

XI

1. Espacios vectoriales

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1.1. Concepto de espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. 1.1.1. Definic Definici´ i´ on y propiedades . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. 1.1.2. Bases Bases y dime dimensi nsi´ón . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Espacios vectoriales normados . . . . . . . . . . . 1.2.2. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Tensor métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Topologa métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 1.3. Esp Espaci acios Eucl´ıdeos y no Eucl´ıdeos . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Espacios no Eucl´ Eucl´ıdeos: espacio ıdeos: espacio dual y y base dual dual . 1.4. Cambios de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. 1.4.1. Definic Definici´ i´ on de cambio de base . . . . . . . . . . . 1.4.2. Cambios de base sobre vectores . . . . . . . . . . 1.4. 1.4.3. 3. Cam Cambios ios de base base sobr sobree apli aplica caci cion ones es line lineal alees . . . 1.4.4. 1.4.4. Ley de tran transfor sformac maci´ i´ on del tensor métrico . . . . 1.4.5. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Tensores

1 2 3 6 6 7 9 10 11 11 12 15 16 17 18 18 20 21 23 25

2.1. Concepto de tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Tensores en f´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Rango tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. 2.1.3. Ley de tran transfor sformac maci´ i´ on de tensores generales . . . . . . . 2.2. 2.2. Ma Magn gnit itud udees f´ f´ısic ısicas as de rang rango o te tensor nsoria iall sup super erio iorr . . . . . . . . . . 2.2.1 2.2 .1.. Tenso ensore ress de de polar polariz izab abil ilid idad ad y de de con condu duct ctiv ivid idad ad el´ eléctri e ctrica ca 2.2 2.2.2. Tensor de esfuerzos o de tensiones . . . . . . . . . . . . 2.2.3. 2.2.3. Deriv Derivaci aci´ oń de campos tensoriales . . . . . . . . . . . . . 2.3. Definic Definici´ i´ on de tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Espacio produ oducto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Tensores afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ lgebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. A iii

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´ INDICE

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2.4.

2.5. 2.6. 2.7. 2.8.

2.3.4. Producto tensorial . . . Aplicaciones multilineales . . . 2.4.1. Contracci´ on de ´ındices . 2.4.2. Producto de contracci´ on Criterios de tensorialidad . . . Tipos de tensores . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . .

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3. Densidades tensoriales

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3.1. Ley de transformaci´ o n de densidades tensoriales generales 3.1.1. Producto de densidades tensoriales . . . . . . . . . 3.2. Espacios orientables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Bases ordenadas y orientaci´ on . . . . . . . . . . . . 3.2.2. S´ımbolo alternante de Levi-Civita . . . . . . . . . 3.3. Producto vectorial en espacios tridimensionales . . . . . . 3.3.1. Definici´ on de producto vectorial . . . . . . . . . . 3.3.2. C´ alculo de vol´ umenes . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Rotaciones infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Introducci´ on al producto exterior de p-formas . . . . . . . 3.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. Campos tensoriales

48 49 50 51 52 54 54 56 57 58 59 60 61

4.1. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Curvas y superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Geometr´ıa intr´ınseca y extr´ınseca . . . . . . . . . . 4.1.3. Ejemplos de variedades en f´ısica . . . . . . . . . . 4.1.4. Diferenciabilidad y parametrizaciones . . . . . . . 4.1.5. Ejemplos de variedades y parametrizaciones . . . . 4.2. Fibrados tangente y cotangente . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Espacio tangente a un espacio vectorial . . . . . . 4.2.2. Espacio tangente de una variedad diferenciable . . 4.3. El espacio vectorial n en coordenadas curvil´ıneas . . . . 4.3.1. Base natural y métrica del espacio tangente . . . . 4.3.2. Componentes f´ısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. El espacio Eucl´ıdeo 3 en coordenadas cil´ındricas 4.3.4. El espacio Eucl´ıdeo 3 en coordenadas esféricas . 4.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. Derivaci´ on de campos tensoriales

5.1. Transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. S´ımbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2. S´ımbolos de Christoffel en componentes f´ısicas 5.1.3. Transporte paralelo de vectores y tensores . . . 5.1.4. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 38 38 39 40 42 45 46

62 63 65 67 71 74 76 76 77 81 82 83 86 87 88 88 89

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5.2. Derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Comportamiento tensorial de la derivada covariante 5.2.2. Derivada covariante en componentes f´ısicas . . . . . 5.3. Vector aceleraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . 99 . . . . . . . . . . . . . . 101 . . . . . . . . . . . . . . 104 . . . . . . . . . . . . . . 104 . . . . . . . . . . . . . . 105 . . . . . . . . . . . . . . 105

6. Operadores diferenciales habituales

6.1. Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Gradiente covariante . . . . . . . . . . . 6.1.2. Divergencia covariante . . . . . . . . . . 6.1.3. Rotacional covariante . . . . . . . . . . 6.1.4. Laplaciano covariante . . . . . . . . . . 6.2. Coordenadas curvil´ıneas ortogonales habituales 6.2.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . 6.2.2. Coordenadas cil´ındricas . . . . . . . . . 6.2.3. Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . 6.3. Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. F´ ormulas de an´ alisis vectorial

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. 107 . 107 . 108 . 108 . 109 . 109 . 109 . 111 . 112 . 114 115

A.1. Notaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 A.2. Productos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 A.3. Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 A.4. Teoremas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 A.4.1. Teorema del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 A.4.2. Teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 A.4.3. Teorema del rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 A.4.4. Otros teoremas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 A.4.5. Identidades de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Bibliograf´ ıa

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´ Indice alfab´ etico

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´ INDICE

Lista de figuras 1.1. Esquema de inclusiones para espacios vectoriales normados. . . . . . . . . . . . . . .

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2.1. El producto τ n es la fuerza por unidad de superficie ejercida por el medio situado en el lado hacia donde apunta la normal sobre el medio situado al otro lado. . . . . . 31 2.2. Elemento infinitesimal de medio material con forma de tetraedro. . . . . . . . . . . . 32

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3.1. Banda de Moebius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1. Deformaci´ on continua de una esfera en un cubo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Ejemplos de variedades monodimensionales contenidas en el plano. . . . . . . . . . . 4.3. Ejemplos de variedades bidimensionales contenidas en 3 . En la imagen central se ha representado también el plano z = 1 y en la última el plano z = 0. . . . . . . . . 4.4. El péndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Plano de fases de un péndulo simple. La trayectoria marcada en ro jo (E = E s ) es la separatriz entre las trayectorias cerradas (E < E s ) y las abiertas (E > E s ). . . . . . 4.6. Isotermas de un fluido de van der Waals. Las l´ıneas rojas corresponden al fluido supercr´ıtico, las azules a la fase l´ıquida y las verdes a la fase gas. . . . . . . . . . . . 4.7. Parametrizaci´ o n de una variedad diferenciable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Compatibilidad entre coordenadas generalizadas de una variedad diferenciable. . . . 4.9. Part´ıcula móvil en 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Coordenadas cil´ındricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Coordenadas esféricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62 63 65 68 69 70 72 74 77 86 87

5.1. Transporte paralelo de un vector a lo largo de una curva cerrada en un plano y en una esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.1. Coordenadas cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.2. Coordenadas cil´ındricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.3. Coordenadas esféricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

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LISTA DE FIGURAS

Lista de tablas 1.1. Comportamiento de tensores de orden

≤ 2 bajo cambios de base (˜ei = C ji e j , D ≡ C −1). 21

3.1. Paridad del tensor dado por el producto (tensorial o de contracci´ on respecto de cualquier par de ´ındices) de dos tensores A y B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2. Dimensionalidad del producto exterior de dos vectores en funci´ on de la dimensionalidad (n) del espacio vectorial al que pertenecen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

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LISTA DE TABLAS

Prefacio Contexto y objetivos Estos apuntes son el material básico para el estudio de la primera parte de la asignatura Métodos Matem´ aticos IV, correspondiente al primer semestre del tercer curso del Grado en F´ısica, impartido por la Universidad Nacional de Eduación a Distancia (UNED) a partir del curso 2012-2013. El material incluido es el habitual en un primer curso de c´ alculo tensorial para f´ısicos, incluyendo desde las nociones más básicas (componentes co- y contra-variantes de vectores) hasta temas más avanzados (transporte paralelo y derivada covariante). En la exposición se presuponen conocimientos básicos de álgebra lineal, cálculo con funciones de varias variables y tambi´ en algunos conocimientos de f´ısica general (mecánica, electromagnetismo, termodin´ amica) que si bien no son necesarios para esta asignatura se emplean en algunos ejemplos y para mostrar la motivación f´ısica de esta rama de las matemáticas. Estos apuntes están especialmente orientados para estudiantes de f´ısicas. En la exposición hemos realizado un esfuerzo para complementar las definiciones formales habituales en estos temas con ejemplos y explicaciones intuitivas y prácticas, con el fin de poder aplicar esta herramienta para la descripción de campos tensoriales de inter´ es en f´ısica. A grandes rasgos podr´ıamos decir que las principales aplicaciones del cálculo tensorial en f´ısica son la descripción de campos tensoriales (escalares, vectoriales y tambi´ en de rango tensorial superior) en coordenadas generalizadas en espacios de Riemann (en particular en espacios Eucl´ıdeos) por un lado, y la descripció n de la curvatura de variedades diferenciables con vistas al posterior estudio de las ecuaciones de Einstein (que relacionan esta curvatura con la densidad de energ´ıa y momento presentes en dicha variedad) por otro. Los tensores tambi´ en se emplean para describir operaciones de simetr´ıa de muchos sistemas f´ısicos, lo cual es importante ya que normalmente la existencia de cierto grado de simetr´ıa en un sistema f´ısico tiene importantes consecuencias en su dinámica. Las aplicaciones del cálculo tensorial para la teor´ıa general de la relatividad son sobradamente conocidas, pero este campo no es el único en el que esta materia es importante. El estudio de campos tensoriales en coordenadas generalizadas se aplica de manera rutinaria en todas las áreas de la f´ısica basadas en teor´ıas de campos, por ejemplo este es el caso de áreas como la mecánica de fluidos (o en general la mecánica de medios continuos) o el electromagnetismo, y por tanto es de gran interés no solo en f´ısica, sino también en ingenier´ıa. Por u ´ ltimo, el estudio de las relaciones de simetr´ıa de un sistema f´ısico y las consecuencias que esto tiene en su dinámica es importante en diversas áreas de la f´ısica, incluyendo desde la mecánica cuántica (con aplicaciones, p. ej., en f´ısica molecular o en estado sólido) hasta la termodinámica de sistemas alejados del equilibrio (p. ej., dicho análisis explica el desacoplamiento entre fuerzas y flujos generalizados de rango tensorial distinto en medios isótropos). xi

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PREFACIO

Gu´ıa de estudio Los objetivos de esta parte del curso son, por tanto, familiarizarse con los conceptos necesarios para operar con campos tensoriales en coordenadas generalizadas en espacios de Riemann de dimensión arbitraria, comprendiendo el significado geométrico de los objetos y operaciones matem´ aticas empleados. Posiblemente el objetivo más importante de esta parte del curso sea familiarizarse con la derivada covariante , tanto en componentes holónomas como en componentes f´ısicas (que son las empleadas generalmente en las aplicaciones en espacios Eucl´ıdeos). Por supuesto, para entender esta parte es necesario estudiar antes algunos conceptos previos, para ello el material est´ a distribuido de la siguiente forma: Cap´ıtulo 1: Se presenta un repaso general de conceptos relacionados con espacios vectoriales. Se

revisan desde el punto de vista tensorial diversos conceptos ya conocidos sobre álgebra y vectores. Se define la operación de cambio de base, estudiándose su aplicación sobre tensores de hasta segundo orden. Al hacer esto se definen las componentes co- y contravariantes, que emplearemos constantemente durante el resto del curso. En este apartado se introduce tambi´ en el conocido convenio de suma de Einstein, para las expresiones con ´ındices repetidos (y los conceptos de ´ındice mudo o libre), cuyo uso será frecuente durante el resto del curso. El contenido de este cap´ıtulo es totalmente básico, por este motivo es muy importante comprender bien estos conceptos. Para afianzar estas ideas se recomienda realizar la colección de problemas propuestos al final del cap´ıtulo. Cap´ıtulo 2: Se emplean algunos ejemplos f´ısicos para justificar el uso de tensores de rango mayor

que la unidad. Se generalizan los conceptos presentados en el primer cap´ıtulo al caso de tensores de orden arbitrario. En este apartado es muy importante familiarizarse con el concepto de producto tensorial, tensor af´ın y producto de contracci´ o n, que son la base sobre la que trabajaremos el resto del curso. Como aplicación directa de estos conceptos es importante comprender y saber emplear los criterios de tensorialidad, introducidos en este cap´ıtulo. Como ejercicio para esta parte se debe trabajar en la aplicación de cambios de base y subida y bajada de ´ındices (mencionados en el primer cap´ıtulo) sobre tensores generales (en particular deben estudiarse algunos ejemplos de rango superior a 2). Al finalizar este cap´ıtulo tambi´ en debe estar totalmente dominado el uso del convenio de suma de Einstein y la manipulación de expresiones con ´ındices mudos. Cap´ıtulo 3: El concepto de tensor definido en el cap´ıtulo 2 se generaliza aqu´ı para incluir los

pseudotensores, de gran importancia en f´ısica (p. ej. el producto vectorial, el rotacional de un campo vectorial, o el determinante del tensor métrico). En este apartado es especialmente importante comprender la definición tensorial del producto vectorial, que nos permitirá posteriormente calcular productos vectoriales y rotacionales de campos vectoriales en coordenadas generalizadas. Como aplicación de los conceptos introducidos hasta el momento, en este tema tambi´ en es especialmente importante observar que los pseudotensores se transforman como verdaderos tensores bajo cambios de base ortogonales (en particular bajo rotaciones de los ejes). Al final de este apartado se incluye una introducción más o menos intuitiva al cálculo exterior, que queda fuera del temario de esta asignatura. Cap´ıtulo 4: Hasta este momento solo hemos hablado de tensores definidos sobre un espacio vecto-

rial. En este apartado se generaliza este concepto al espacio fibra, definido sobre una variedad diferenciable. El cálculo con campos tensoriales era el objetivo básico de esta parte del curso,

xiii

por tanto son muy importantes los conceptos de fibrado tangente y cotangente y sus bases habituales, en particular las bases definidas p or las tangentes a las l´ıneas coordenadas (que dan lugar a las componentes holónomas) y la correspondiente base de vectores tangentes unitarios (que da lugar a las componentes f´ısicas). Como ejercicio para afianzar estos conceptos en este tema se deben estudiar ejemplos prácticos de cambios de base inducidos en los fibrados tangente y cotangente cuando se realiza un cambio de coordenadas en la variedad de partida. Los cambios de coordenadas más habituales en el espacio tridimensional Eucl´ıdeo son especialmente importantes (es decir, el paso de coordenadas cartesianas a coordenadas cil´ındricas y esféricas), aunque también deberán considerarse otros ejemplos más complicados. Es muy importante saber distinguir entre las componentes holónomas (co- y contra-variantes) y las componentes f´ısicas, y también traba jar con ellas. ´ ltimo llegamos al que era el objetivo principal del curso, la derivada coCap´ ıtulos 5 y 6: Por u variante. Para comprender este concepto se estudia primero el transporte paralelo, ilustrado con diversos ejemplos sobre variedades con y sin curvatura, la conexión de Levi-Civita y los s´ımbolos de Christoffel. A continuaci´ on se define el concepto de derivada covariante, tanto en componentes holónomas como en componentes f´ısicas. Como ejercicio de aplicació n de estos conceptos es importante estudiar la deducción de las expresiones de los operadores diferenciales habituales en f´ısica (gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano) en coordenadas generalizadas, tanto en el caso de coordenadas generalizadas ortogonales como no ortogonales. En particular es importante el caso de las coordenadas de uso más extendido: cartesianas, cil´ındricas y esféricas. Tras esta primera parte del curso estamos en condiciones de poder calcular las expresiones de los operadores diferenciales habituales en f´ısica en cualquier sistema de coordenadas generalizadas, tanto en el espacio tridimensional Eucl´ıdeo habitual como en variedades diferenciables con métrica de Riemann. Esto es interesante, por ejemplo, para analizar problemas de mecánica de fluidos o de electromagnetismo empleando un sistema de coordenadas adaptado a la geometr´ıa del problema (suponiendo que no haya singularidades geométricas, como esquinas o bordes, y siempre y cuando la geometr´ıa no sea demasiado complicada). Como ejercicio de aplicaci´ on de estos conceptos es interesante la programaci´ on del cálculo de las expresiones de los operadores diferenciales habituales en coordenadas generalizadas en un entorno de cálculo simbólico, aunque el escaso tiempo de que disponemos y el carácter algo avanzado de este problema lo desaconsejan, excepto para algunos estudiantes avanzados que tengan suficiente experiencia en programación. Tras esta parte del curso estamos tambi´ en en condiciones óptimas para iniciar el estudio de la segunda parte del curso: geometr´ıa diferencial , donde nos centraremos en el estudio de curvas y superficies (incluyendo temas como geometr´ıa intr´ınseca, primera y segunda forma fundamental, operador de Weingarten, etc.). El material para la segunda parte es el libro de Martin M. Lipschultz mencionado en la gu´ıa del curso (Differential Geometry , editado por McGraw-Hill). Tras esta segunda parte del curso estaremos en condiciones de estudiar la teor´ıa general de la relatividad de Einstein, en la que todas las nociones aprendidas en este curso (y algunas más no incluidas) se emplean de manera rutinaria.

Agradecimientos Nos gustar´ıa dejar constancia de nuestro agradecimiento hacia la Free Software Foundation y el proyecto GNU por poner a nuestra disposición herramientas inform´ aticas gratuitas de verdadera

xiv

PREFACIO

calidad. Este documento ha sido elaborado ´ıntegramente con el procesador de textos LATEX 2ε , los esquemas que aparecen en las figuras se han llevado a cabo o bien en LATEX o bien con el programa de dise˜ no xfig, ambos programas van incluidos en cualquier distribución del sistema operativo gratuito Linux.

Cap´ıtulo 1

Espacios vectoriales Los espacios vectoriales son el punto de partida natural para el estudio de tensores. A continuación revisaremos algunos de los conceptos más importantes relativos a vectores, cuya generalización al caso de tensores será el objeto de esta parte del curso. Concretamente revisaremos los conceptos de vector, espacio vectorial, normas, distancias, productos escalares, bases, aplicaciones lineales y veremos c´ omo cambian las componentes de un vector, o de una aplicación lineal, al realizar un cambio de base en el espacio, esto nos servirá de punto de partida para definir el concepto de tensor en el próximo cap´ıtulo.

1.1.

Concepto de espacio vectorial

En el lenguaje coloquial se denomina con cierta frecuencia “vector” a cualquier lista unidimensional de datos numéricos dispuestos entre paréntesis y separados por comas. Desde el punto de vista matematico esto no siempre es correcto. Por ejemplo, si consideramos el conjunto de datos dados por el a˜ no en curso, la temperatura del sitio donde nos encontremos y la cotización de cualquier moneda frente al euro, es evidente que dicho conjunto de datos dif´ıcilmente podr´ıa considerarse como un vector. Sin embargo, la posició n de un móvil en el espacio o su velocidad s´ı están dados por vectores. ⋆ ¿Qué es lo que distingue a un verdadero vector de un mero conjunto de datos? Un vector es un elemento de un espacio vectorial, es decir, es un miembro de una estructura de elementos sobre los que se han definido ciertas operaciones (suma de vectores y multiplicaci´ on por escalares ) que tienen unas determinadas propiedades (conmutativa, asociativa, elemento neutro, elemento opuesto) las cuales dotan al conjunto de una determinada estructura. Concretamente estas propiedades garantizan que podamos construir cualquiera de los elementos de este espacio como combinaci´ on lineal de unos pocos de ellos. Es decir, cualquier elemento del espacio vectorial puede construirse como combinación lineal de un conjunto de vectores linealmente independientes, que forman una base del espacio vectorial en consideración, y definimos la dimensión del espacio vectorial como el cardinal (el número de elementos) de cualquiera de sus bases. Esto es muy importante, ya que nos permite trabajar con vectores por medio de sus componentes respecto a una base cualquiera del espacio, y tambi´ en nos permite describir cualquier aplicación lineal definida sobre el espacio vectorial por medio de su matriz asociada, dada por la acción de la aplicación lineal sobre cualquier base del espacio. Lo que diferencia a un vector (o a una matriz) de una mera “caja de números” es que los vectores son objetos geométricos pertenecientes a un espacio vectorial, de tal 1

CAP ´ ITULO 1. ESPACIOS VECTORIALES

2

forma que sus componentes son las proyecciones de estos vectores sobre una determinada base del espacio, y las matrices por su parte son las proyecciones de la actuación de una determinada aplicación lineal, aplicada sobre una base del espacio vectorial. Como consecuencia de esto, si aplicamos un cambio de base en el espacio vectorial, las componentes de los vectores y de las aplicaciones lineales definidas sobre estos vectores cambian siguiendo una ley de transformaci´ on que está determinada por el cambio de base aplicado, tal y como veremos en este cap´ıtulo. Es muy importante que estos conceptos queden claros, ya que son la base indispensable para comprender los tensores. Normalmente los vectores que se emplean en f´ısica pertenecen a espacios vectoriales normados, es decir, espacios vectoriales sobre los que se ha definido una operación (norma) que permite medir la “longitud” de los vectores. Se entiende que esta “longitud” está medida en las unidades que tengan los vectores del espacio en consideración (p. ej. velocidad, aceleraci´ on, fuerza, campo el´ ectrico, . . . ), de forma que no tiene por qué ser una longitud en el sentido coloquial del término. La operación norma nos permite medir la distancia que separa dos vectores cualesquiera del espacio (dada por la norma del vector diferencia), lo cual nos permite juzgar si dos vectores de este espacio son próximos o no, y también nos permite juzgar si una sucesión de elementos de este espacio es convergente o no (dependiendo de si la distancia entre dos elementos consecutivos de la sucesión tiende a cero). La operaci´ on distancia dota al conjunto de vectores que forma el espacio vectorial de una topolog´ıa inducida por la métrica, convirtiendo el espacio vectorial en un objeto con significado geométrico, apropiado, por ejemplo, para describir el espacio en el que nos movemos, u otros espacios con una métrica diferente y por extensión nos permite también imaginar espacios similares con un n´ umero de dimensiones diferente a las 3 a las que estamos habituados, En el contexto de la f´ısica es habitual definir como magnitudes escalares a aquellas para cuya especificación completa basta con proporcionar su magnitud, como por ejemplo la temperatura, la masa, la carga eléctrica o el tiempo en la mecánica Newtoniana. Por oposición a las anteriores, se definen como magnitudes vectoriales a aquellas para las que es preciso especificar, ademá s de su magnitud, una dirección y un sentido. De esta forma resulta muy natural describir como vectores a la posición, la velocidad, la aceleración, o las fuerzas. Estas magnitudes f´ısicas, que nos resultan tan conocidas y naturales, hacen que el concepto de vector resulte fácil e intuitivo. También resulta intuitivo el significado de las operaciones básicas definidas sobre los vectores. Por ejemplo, si un móvil está en el punto A y realiza un movimiento dado por el vector B , la posición final del móvil está dada por A + B , si sobre un móvil se aplican simultáneamente las fuerzas f 1 y f 2 el móvil se ve sometido a una fuerza neta dada por la suma f 1 + f 2 , si estamos en el punto A y queremos ir al punto B tendremos que desplazarnos según el vector dado por la diferencia B A.

−

1.1.1.

Definici´ on y propiedades

Un espacio vectorial , sobre el cuerpo de escalares , se define como una estructura dada por un conjunto de elementos llamados vectores (x), sobre los que se han definido las operaciones de suma de vectores y producto por escalares : Suma de vectores : Para cualquier pareja de vectores x y y pertenecientes a vector z perteneciente a dado por la suma x + y .

∀ x, y ∈

,

∃! z = x + y ∈

existe un único

(1.1)

La operaci´ on suma de vectores cumple las siguientes propiedades:

• Propiedad conmutativa

∀ x, y ∈

,

x + y = y + x

(1.2)

3

1.1. CONCEPTO DE ESPACIO VECTORIAL

• Propiedad asociativa ∀ x, y, z ∈

,

(x + y ) + z = x + (y + z )

(1.3)

• Elemento nulo: Existe un único vector nulo (0) en tal que para cualquier x de se cumple ∃!0 ∈ / ∀ x ∈ , 0 + x = x (1.4) • Elemento opuesto: Para cualquier x de existe un único vector −x de tal que su suma con x es el elemeno nulo

∀x ∈

,

∃! − x ∈

/

x + ( x) = 0

Producto por escalares : Para cualquier vector x perteneciente a teneciente al cuerpo existe un único vector perteneciente a

∀ x ∈ , ∀λ ∈

,

−

(1.5)

y cualquier escalar λ perdado por el producto λx

∃! z = λx ∈

(1.6)

La operaci´ on producto por escalares cumple las siguientes propiedades:

• Propiedad asociativa ∀ x ∈ , ∀λ, µ ∈

,

λ (µx) = (λµ) x

• Propiedad distributiva respecto de la suma de escalares ∀ x ∈ , ∀λ, µ ∈ , (λ + µ) x = λx + µx • Propiedad distributiva respecto de la suma de vectores ∀ x, y ∈ , ∀λ ∈ , λ (x + y) = λx + λy • Elemento neutro: ∀ x ∈ , 1x = x

(1.7)

(1.8)

(1.9) (1.10)

Estas propiedades garantizan que la suma de vectores responde a la idea intuitiva de composición de movimientos, o de fuerzas, que a todos nos resulta familiar. Los dos casos de cuerpos de escalares má s frecuentes son el de los números reales y el de los n´ umeros complejos . En f´ısica es especialmente frecuente considerar espacios vectoriales definidos sobre el cuerpo de los números reales, en este curso este será el caso que consideraremos salvo que se diga lo contrario. 1.1.2.

Bases y dimensi´ on

Un conjunto de n vectores e1 , . . . , en se dice linealmente independiente cuando es imposible encontrar n n´ umeros λ1 , . . . , λn no todos nulos, tales que

{

{

}

}

λ1 e1 + λ2 e2 +

··· + λnen = 0

(1.11)

y en caso contrario se dice linealmente dependiente. Es obvio que la Ec. (1.11) siempre tiene la solución trivial λ1 = λ 2 = = λ n = 0, si esta ecuación tiene alguna otra solución diferente de la trivial lo que sucede es que, en ese caso, podemos despejar uno de estos vectores como combinación lineal de los restantes. Si la única solució n de Ec. (1.11) es la solución trivial, entonces resulta imposible despejar ninguno de los vectores e1 , . . . , en como combinación lineal de los restantes, esto es lo que significa que el conjunto e1 , . . . , en sea linealmente independiente.

···

{

{

}

}


4

⋆ ¿Cuá l es el número m´ aximo de vectores linealmente independientes que podemos tomar en un espacio vectorial? Consideremos el caso de un conjunto formado por un único vector e1 (distinto de 0), es evidente que este conjunto siempre es linealmente independiente. La envolvente lineal del conjunto dados por e1 , definida por los vectores x

{ }

{ }

∈

x = λ 1 e1

∀λ1 ∈

(1.12)

nos genera la recta que pasa por el origen 0 y que tiene dirección dada por e 1 . Para cualquier vector x que pertenezca a esta recta el sistema e1 , x es linealmente dependiente, lo que implica que x es sencillamente proporcional a e 1 . Supongamos ahora un vector e 2 que no pertenezca a la envolvente lineal de e1 . En este caso el conjunto e1 , e2 es linealmente independiente, y la envolvente lineal de este conjunto, definida por los vectores x dados por

{

{

} } ∈

x = λ 1 e1 + λ2 e2

∀λ1, λ2 ∈

(1.13)

nos genera el plano que pasa por el origen y contiene a e 1 y e 2 . Para cualquier vector x contenido en este plano el conjunto e1 , e2 , x es linealmente dependiente, lo que indica que x puede escribirse como combinaci´ on lineal de e1 , e2 . Si a˜ nadimos otro vector e3 que no pertenezca a este plano el conjunto resultante vuelve a ser linealmente independiente, y su envolvente lineal nos da el espacio tridimensional engendrado por los vectores e1 , e2 , e3 , de tal forma que cualquier vector de este espacio puede construirse como combinación lineal de e1 , e2 , e3 . En principio podr´ıamos seguir a˜ nadiendo sucesivamente más vectores ei linealmente independientes a todos los anteriores, pero si nuestro espacio vectorial es de dimensión finita (n) llega un momento que la envolvente lineal del conjunto e1 , . . . , en , dada por

{

{

}

}

{

x = λ 1 e1 + λ2 e2 +

··· + λnen

} {

}

∈

{ } ∀λ1, λ2, . . . , λn ∈

(1.14)

coincide con todo el espacio vectorial . En ese caso resulta imposible añadir ning´ un elemento (distinto de 0) que sea linealmente independiente a todos los anteriores. en+1 En consecuencia, dado un espacio vectorial de dimensión finita n se define como base de a cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes e1 , . . . , en , todos ellos pertenecientes a y distintos de 0 . La propiedad importante que define a una base es que para cualquier x el conjunto e1 , . . . , en , x es linealmente dependiente, lo que implica que x puede expresarse como combinaci´ on lineal de e1 , . . . , en

∈

{

{

} {

{

} ∀x ∈

x = x 1 e1 + x2 e2 +

}

··· + xnen

}

∈

(1.15)

y se definen los números x1 , x2 , . . . , xn como las componentes (o coordenadas) del vector x respecto a la base e1 , . . . , en . Por otra parte, el cardinal del mayor conjunto de vectores linealmente independientes que podamos tomar en el espacio vectorial se define como la dimensión del espacio vectorial. En la discusión anterior hemos asumido tácitamente que el espacio vectorial estaba definido sobre el cuerpo de los reales , para simplificar la exposició n. En un caso más general podemos repetir los mismos pasos haciendo que los números λ i tomen valores en el cuerpo correspondiente, y el resultado final es totalmente análogo. En este curso sólo estudiaremos espacios vectoriales de dimensión finita. En algunos casos consideraremos una dimensión finita arbitraria (n) y en otros nos centraremos en el caso especialmente

{

}

5

1.1. CONCEPTO DE ESPACIO VECTORIAL

relevante del espacio tridimensional. De todas formas conviene recordar que tambi´ en existen espacios vectoriales de dimensión infinita , de gran importancia en ciertas áreas de las matemáticas (p. ej. en análisis funcional) y tambi´ en extremadamente relevantes en f´ısica, por sus aplicaciones en el estudio de ecuaciones diferenciales y en mecánica cuántica. Como ejemplo de espacio vectorial de dimensión infinita tenemos los espacios funcionales, es decir, espacios cuyos elementos son funciones. Por ejemplo, es muy fácil ver que el conjunto de polinomios de una variable (x) p(x) = a 0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 +

··· + anxn

(1.16)

cumple todas las propiedades necesarias para ser un espacio vectorial. Tambi´ en es muy fácil ver n m que las funciones x y x son linealmente independientes siempre que n = m, esto parece indicar que podr´ıamos tomar como base de este espacio funcional al conjunto 1, x , x2 , x3 , . . . , xn , . . . . Pero en ese caso ¿cuál es el valor máximo de n que debemos tomar para garantizar que cualquier polinomio de x está incluido en la envolvente lineal de la base? Claramente ningún valor finito de n es suficiente, por tanto la dimensión de este espacio vectorial es infinita. Los espacios funcionales tienen (normalmente) infinitas dimensiones, y esa circunstancia hace que en ellos aparezcan otros problemas que no aparecen en los de dimensión finita. Volviendo a los espacios de dimensión finita, una propiedad interesante de las envolventes lineales de los sucesivos conjuntos de vectores que hemos ido considerando ( e1 , e1 , e2 , e1 , e2 , e3 , . . . , e1 , . . . , en ), es que todas estas envolventes lineales son, a su vez, espacios vectoriales, que además están contenidos en el espacio vectorial y por tanto se denominan subespacios vectoriales. La demostraci´ on de que la envolvente lineal de cualquier conjunto de vectores es un espacio vectorial se deja para los ejercicios. Otra propiedad importante cuya demostración se deja para los ejercicios, es que la descomposición de cualquier vector x como combinación lineal de la base (Ec. (1.15)) es u ´ nica. Por u ´ ltimo, dada cualquier base e1 , . . . , en del espacio , se dice que se descompone en suma directa ( ) de los subespacios vectoriales engendrados por cada uno de los ei (con i = 1, . . . , n)

{̸

{

}

{ }{

}

{

⊕

}{

}

}

n

=

⊕

envolvente lineal de ei

(1.17)

i=1

donde la suma directa de dos subespacios vectoriales independientes 1 y 2 (es decir, cuya intersección se reduzca al elemento nulo 0), se define sencillamente como el conjunto de vectores que pueden definirse como combinación lineal de vectores de 1 y 2 . En general, dado un espacio vectorial con n dimensiones, se llama base can´ onica a la formada por los vectores e1 = 1, 0, 0, . . . , 0

{ } e2 = {0, 1, 0, . . . , 0}

(1.18)

(1.19)

... ... ... ... ... ...

(1.20)

en = 0, 0, 0, . . . , 1

(1.21)

{

}

Esta será la base que emplearemos constantemente. Uno de los temas centrales del estudio de tensores es cómo cambian las componentes de diversos objetos definidos en un espacio vectorial (vectores, aplicaciones lineales, tensor métrico, etc.) al realizar un cambio de base en el espacio, es decir, al pasar de la base canónica a otra base distinta.


6

1.2.

M´ etrica

1.2.1.

Espacios vectoriales normados

El siguiente ingrediente que necesitamos para dotar al espacio vectorial de significado geométrico es definir una operación distancia. Para ello basta con disponer de una función, llamada norma , que nos permita medir la “longitud” de cada vector x de . Una vez definida esta función, la distancia entre cualquier par de vectores x, y (d(x, y )) puede definirse, p. ej., como la norma del vector diferencia , d(x, y ) (1.22) x, y y x

∥·∥

∈

∀ ∈

≡∥ − ∥

Para que la función distancia se corresponda con lo que intuitivamente se entiende por distancia esta función debe cumplir ciertas propiedades, como por ejemplo que la distancia de x a y debe ser igual a la de y a x, que debe ser siempre mayor o igual que cero, que debe cumplir la propiedad triangular y que la distancia de λx a 0 debe ser λ veces la distancia de x a 0 (para cualquier vector x y cualquier escalar λ , siendo λ el valor absoluto de λ). Como consecuencia se define la operación norma como cualquier función definida sobre el espacio vectorial que cumpla las siguientes propiedades

∈

∥ · ∥

| | | |

∈

La operaci´ on norma es definida positiva ,

∀x ∈ El u ´ nico elemento de

∥x∥ ≥ 0

(1.23)

con “longitud” cero es el elemento nulo de

∥x∥ = 0 si y sólo si x = 0

(1.24)

Comportamiento respecto al producto por escalares

∀x ∈ , ∀λ ∈

,

∥λx∥ = |λ|∥x∥

(1.25)

∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥

(1.26)

Desigualdad triangular

∀x, y ∈

,

Una vez definida una operación norma, la distancia entre dos vectores cualesquiera del espacio puede definirse de manera natural como se ha dicho anteriormente (Ec. (1.22)), aunque esta no es la u ´ nica posibilidad. En general puede tomarse como operación distancia a cualquier función que cumpla las siguientes propiedades La operaci´ on distancia es definida positiva

∀x, y ∈

,

d(x, y)

≥0

(1.27)

Dos vectores separados por una distancia nula son el mismo vector d(x, y ) = 0 si y sólo si x = y

(1.28)

Simetr´ıa

∀x, y ∈

,

d(x, y ) = d(y , x)

(1.29)

´ 1.2. M ETRICA

7

Desigualdad triangular

∀x, y, z ∈

,

d(x, z )

≤ d(x, y) + d(y, z)

(1.30)

En el caso particular de definir la distancia como la norma del vector diferencia (Ec. (1.22)), que es la opción más habitual, las propiedades que cumple la operaci´ on norma garantizan que la operación distancia d cumple las propiedades anteriores. Un espacio vectorial sobre el que se ha definido una operación norma se denomina espacio normado, los espacios vectoriales sobre los que se ha definido una operación distancia se denominan espacios métricos . 1.2.2.

Producto escalar

Una vez definida la operación distancia, el último ingrediente que necesitamos para dotar a los elementos de de una estructura geométrica es definir una operación que nos permita medir ángulos, lo cual nos permitirá definir el concepto de ortogonalidad. Para ello se introduce la funci´ on producto escalar (o producto interior), que denotaremos indistintamente por producto escalar de x por y

≡ (x, y) ≡ x · y

(1.31)

Dado el espacio vectorial sobre el cuerpo , se define la operación producto escalar ( , ) como una función definida sobre con imagen en

··

⊗

∀x1, x2 ∈

,

(x1 , x2 )

,

(x1 , x2 ) = (x2 , x1 )

∈

(1.32)

que cumpla las siguientes propiedades Propiedad herm´ıtica

∀x1, x2 ∈

(1.33)

donde z es el complejo conjugado del número complejo z . Si el cuerpo

es el de los números reales esta propiedad se reduce a la relación de simetr´ıa

∀x1, x2 ∈

,

(x1 , x2 ) = (x2 , x1 )

(1.34)

Propiedad distributiva respecto a la suma de vectores en el segundo argumento

∀x1, x2, x3 ∈

,

(x1 , x2 + x3 ) = (x1 , x2 ) + ( x1 , x3 )

(1.35)

∀x1, x2, x3 ∈

,

(x1 + x2 , x3 ) = (x1 , x3 ) + ( x2 , x3 )

(1.36)

de donde se deduce

Linealidad respecto al producto por escalares en el primer argumento

∀x1, x2 ∈ , ∀λ ∈

,

(λx1 , x2 ) = λ (x1 , x2 )

(1.37)

∀x1, x2 ∈ , ∀λ ∈

,

(x1 , λx2 ) = λ (x1 , x2 )

(1.38)

de donde se deduce

En el caso en que

=

esta propiedad se reduce a

∀x1, x2 ∈ , ∀λ ∈

,

(λx1 , x2 ) = (x1 , λx2 ) = λ (x1 , x2 )

(1.39)


8

El producto escalar de un vector por s´ı mismo es definido positivo

∀x ∈

,

(x, x)

≥0

(1.40)

El u ńico vector con producto escalar por s´ı mismo nulo es el vector nulo (x, x) = 0 si y sólo si x = 0

(1.41)

Un espacio vectorial en el que se ha definido un producto escalar se denomina espacio dotado de producto interno. Una vez definido el producto escalar po demos definir el ángulo (α) formado por dos vectores x e y a partir de la relación

· ≡ ∥x∥∥y∥ cos α

x y

(1.42)

de tal forma que en el caso de un espacio vectorial definido sobre el cuerpo de los reales el producto escalar x ei (con ei = 1) corresponde a la proyección ortogonal de x sobre la dirección definida por el vector unitario ei . Si = y la m´ etrica de es eucl´ıdea esta definició n de x y se corresponde con la definición clásica del ángulo formado por estos dos vectores. Definimos tambi´ en que dos vectores son ortogonales si y sólo si su producto escalar es nulo

·

∥ ∥

·

x

⊥ y si y sólo si x · y = 0

(1.43)

Las propiedades que cumple la operación producto escalar permiten definir una operación norma de manera natural por medio de (x, x)1/2 (1.44) x

∥ ∥≡

A partir de las propiedades que cumple la operación producto escalar es muy fácil comprobar que la anterior relaci´ on define una norma. La existencia de una función producto escalar implica que podemos definir una función norma por medio de Ec. (1.44), sin embargo el rec´ıproco no es cierto. Es decir, dada una funci´ on norma no est´ a garantizado que sea posible definir una operaci´ on producto escalar compatible con esta norma. Existen funciones norma que no provienen de (o que no son compatibles con) ningún producto escalar. No obstante los espacios vectoriales que suelen emplearse en f´ısica se caracterizan precisamente por tener funciones norma definidas a partir de un producto escalar. Este tipo de espacios vectoriales se denominan en general pre-Hilbert , y se denominan espacios de Hilbert cuando, adem´ as de tener una norma inducida por el producto escalar, son completos (o de Banach). Donde se entiende por espacio de Banach (o completo) aquel en el que para toda sucesión convergente de vectores enteramente contenida en el espacio (es decir, para toda sucesión de Cauchy), el l´ımite al que tiende la sucesión también está contenido en el espacio. Para darse cuenta del significado de esta propiedad es interesante considerar el ejemplo del espacio funcional dado por los polinomios de una variable a los que hac´ıamos referencia antes. Para ver que este espacio no es completo podemos considerar, p. ej., el desarrollo en serie de Taylor de sin x hasta orden N centrado en x = 0, que definimos como s N (x) N

sN (x) =

∑

n=0

( 1)n 2n+1 x (2n + 1)!

−

Como es bien sabido, en el l´ımite N este desarrollo converge uniformamente a sin x ( x ). N Para cualquier N finito este desarrollo es un polinomio, por tanto la sucesión si (x) i=1 (N = 1, 2, 3, . . . ) es convergente y está enteramente contenida en el espacio, pero el l´ımite al que tiende

→ ∞

{

}

∀ ∈

´ 1.2. M ETRICA

9

Espacios Lineales Normados Espacios de Banach (completos)

Norma inducida por el Producto Escalar Pre−Hilbert

Hilbert

Figura 1.1: Esquema de inclusiones para espacios vectoriales normados.

esta sucesión al hacer N no pertenece al espacio, ya que sin x no es un polinomio. Como consecuencia deducimos que el espacio vectorial definido por los polinomios de una variable no es completo. Los espacios de Hilbert son los espacios con un significado geométrico más intuitivo y sencillo, y son los más empleados en f´ısica. Como ejemplos t´ıpicos de espacios de Hilbert con dimensión finita tenemos n y n , y con dimensión infinita tenemos el espacio de Lebesgue 2 , formado por las funciones de cuadrado integrable.

→∞

1.2.3.

Tensor m´ etrico

A partir de este momento consideramos sólamente el caso de un espacio vectorial de dimensión finita (n) definido sobre el cuerpo de los reales. Consideremos el producto escalar de dos vectores cualesquiera x e y . Dada una base cualquiera del espacio vectorial, x e y están dados por sus correspondientes desarrollos en componentes x = x 1 e1 + x2 e2 +

··· + xnen,

y = y 1 e1 + y 2 e2 +

··· + ynen

(1.45)

Aplicando las propiedades de linealidad del producto escalar, x y puede ponerse como n

x y =

·

·

n

∑∑

gij xi y j

(1.46)

i=1 j=1

donde hemos definido el tensor métrico gij como la tabla de todos los productos escalares de los vectores de la base gij ei e j , i, j, = 1, . . . , n (1.47)

≡ ·

Más adelante veremos por qu´ e denominamos tensor a la matriz gij , lo que debe quedar claro de momento es que g ij contiene toda la información necesaria para calcular el producto escalar de cualquier par de vectores del espacio en consideración. Por otra parte, en el caso de un espacio vectorial sobre los reales es evidente que el tensor métrico debe ser simétrico gij = g ji

(1.48)


10 Convenio de Suma de Einstein

Al manejar tensores aparecen con mucha frecuencia expresiones como Ec. (1.46), donde se realiza la suma de una expresión dependiente de uno o más ´ındices (aqu´ı i y j) para todos los valores posibles de los mismos (es decir, desde 1 hasta la dimensión del espacio n). El convenio de suma de Einstein es un método muy extendido para simplificar la escritura de este tipo de fórmulas, consiste en asumir que: ⋆ cualquier monomio donde aparezca un ´ındice repetido representa la suma del monomio respecto al ´ındice repetido, para todos los valores posibles del ´ındice . Aplicando el convenio de suma de Einstein el desarrollo de un vector en componentes (Ec. (1.15)) se escribe como (1.49) x = x i ei y el producto escalar x y (Ec. (1.46)) puede escribirse sencillamente como

·

x y = g ij xi y j

(1.50)

·

donde los sumatorios respecto de i y j se sobreentienden. En la anterior expresión los ´ındices i y j se denominan ´ındices mudos ya que el resultado no depende de los s´ımbolos empleados para estos ´ındices gij xi y j = g pq x p y q = g αβ xα y β = g 11 x1 y 1 + g12 x1 y 2 +

··· + g21x2y1 + . . .

(1.51)

Por el contrario, se denominan ´ındices libres a aquellos respecto de los que no se realiza la suma. En los dos ejemplos anteriores todos los ´ındices eran mudos. En la expresión A ji x j = y i

(1.52)

no hay ning´ un monomio en el que el ´ındice i esté repetido, esto nos indica que no se realiza la suma respecto del ´ındice i, y por tanto el resultado de esta operación depende del valor que asignemos a este ´ındice. De hecho, A ji x j representa la componente i del vector y, resultante de aplicar la aplicación lineal A (con matriz A ji ) sobre el vector x (con componentes x j ). El uso de sub´ındices y super´ındices no es arbitrario, responde a los dos tipos de comportamiento tensorial frente a cambios de base que existen (covariante y contravariante), tal y como veremos al final de este cap´ıtulo. A partir de este momento supondremos que se aplica el convenio de suma de Einstein para cualquier expresión en la que aparezca un monomio con ´ındices repetidos, a menos que se diga expl´ıcitamente lo contrario. 1.2.4.

Topologa m´ etrica

La operaci´ on distancia induce en el espacio vectorial una topolog´ıa, dada por la topolog´ıa m´ etrica. Es decir, una vez definida la operaci´ on distancia d sobre el espacio vectorial, podemos definir el conjunto de bolas abiertas (con radio r) en torno a cualquier punto x de , como el conjunto de puntos y tales que d(x, y) < r. Existen muchos ejemplos de normas y de distancias diferentes, cada uno de estos ejemplos genera una topolog´ıa diferente en el espacio. El ejemplo más habitual es el de la métrica eucl´ıdea, en el que definimos como distancia entre x e y a la longitud de la l´ınea recta que une estos puntos.

∈

1.3. ESPACIOS EUCL´ IDEOS Y NO EUCL´ IDEOS

1.3.

11

Espacios Eucl´ıdeos y no Eucl´ıdeos

En general se llama métrica Riemanniana a cualquier métrica definida a trav´ es de la norma inducida por un producto escalar dado por un tensor métrico gij que cumpla las dos propiedades siguientes: simetr´ıa: gij = g ji invertibilidad: det gij = 0

̸

Los espacios dotados de una métrica Riemanniana se llaman espacios de Riemann o Riemannianos. Un caso particular de estos espacios son los espacios Eucl´ıdeos, definidos por la métrica Eucl´ıdea habitual. En un espacio Eucl´ıdeo la distancia entre los puntos x e y está dada por la longitud de la l´ınea recta que une estos puntos, cuyo valor en un sistema de coordenadas cartesianas puede calcularse por medio del teorema de Pitágoras d(x, y ) =

� − − (  (  x1 )2 + (y2

(y1

x2 )2 +

··· + (yn − xn)2

(1.53)

o lo que es lo mismo, el elemento diferencial de longitud ( ds) está dado por (ds)2 = dx1

2

+ dx2

2

+

··· + (dxn)2

(1.54)

donde x i , y i son las proyecciones de x e y sobre n direcciones mutuamente perpendiculares. El producto escalar que induce esta métrica es el producto escalar habitual x y = x 1 y 1 + x2 y 2 +

·

··· + xnyn

(1.55)

que corresponde al caso en que el tensor métrico es la identidad gij = δ ij (i,j, = 1, . . . , n), donde se define la delta de Kronecker como δ ij = δ ij = δ ji =

�

1 si i = j 0 si i = j

̸

(1.56)

En general se define como espacio Eucl´ıdeo a cualquier espacio Riemanniano en el que existe al menos una base tal que el tensor m´ etrico en esa base está dado por la delta de Kronecker. Los espacios Riemannianos en los que no existe ninguna base en la que g ij sea la identidad se dicen no Eucl´ıdeos. En general, dependiendo de la base que tomemos el tensor métrico puede dejar de ser la identidad incluso si el espacio es Eucl´ıdeo (esto es lo que sucede si tomamos como base un conjunto de vectores que no sean mutuamente ortogonales). 1.3.1.

Bases ortonormales

En los espacios Eucl´ıdeos se definen las bases ortonormales como aquellas en las que el tensor m´ etrico es la identidad. Como puede verse, la propiedad que caracteriza a las bases ortonormales es que todos los vectores de la base tienen longitud unidad (están normalizados) y son mutuamente perpendiculares (1.57) ei e j = δ ij ; i, j = 1, . . . , n

·

Multiplicando escalarmente el desarrollo en componentes de un vector cualquiera (Ec. (1.15)) por e j y recordando las relaciones de ortogonalidad Ec. (1.57), encontramos que la componente x j del vector x respecto de una base ortonormal está dada por x j = (e j , x) ;

j = 1, . . . , n

(1.58)


12

por tanto x j = x cos α (siendo α el ángulo formado por x y e j ), es decir, x j es la proyección ortogonal de x sobre la dirección definida por e j . En el caso de una base ortornormal las componentes de un vector están, por tanto, dadas por las correspondientes proyecciones ortogonales del vector sobre cada uno de los elementos de la base.

∥ ∥

M´ etodo de ortonormalizaci´ on de Gram-Schmidt

Dada una base cualquiera de un espacio Eucl´ıdeo, el método de ortonormalización de GramSchmidt es un procedimiento muy sencillo que permite construir una base ortonormal a partir de la base de partida. Supongamos que tenemos una base cualquiera dada por los vectores t1 , t2 , . . . , tn , siguiendo el método de ortonormalización de Gram-Schmidt definimos:

{

e1 = t′2 = t 2 t′3 = t 3

− (e1, t2) e1,

e2 =

− (e1, t3) e1 − (e2, t3) e2,

e3 =

...

...

... n 1

t′ = t n − n

−

∑

(ei , tn ) ei , en =

i=1

}

t1 , t1 t′2 , t′2

∥ ∥ ∥ ∥

t′3 , t′3

∥ ∥

...

t′n t′n

∥ ∥

(1.59)

De esta forma vamos construyendo una base ortonormal de forma sucesiva, restando a cada uno de los t j su proyección sobre el subespacio generado por todos los ei anteriores (i = 1, . . . , j 1) y posteriormente normalizando. Dejamos para los ejercicios la demostración de que este procedimiento genera una base ortonormal. Dado que los ei generados por este mecanismo son ortonormales, tambi´ en son linealmente independientes, y como son combinaci´ on lineal de los ti de partida y el cardinal de la base es el mismo, deducimos que la envolvente lineal de los ei coincide con la de la base de partida.

−

1.3.2.

Espacios no Eucl´ıdeos: espacio dual y base dual

Seg´ un hemos visto previamente, siempre es posible escribir un vector como combinación lineal de los vectores de una base cualquiera, independientemente de si el espacio es Eucl´ıdeo o no. Si el espacio es Eucl´ıdeo y se emplea una base ortonormal las componentes de un vector están dadas por las correspondientes proyecciones ortogonales del vector sobre cada uno de los elementos de la base. En el caso general de un espacio vectorial no necesariamente Eucl´ıdeo ¿c´ omo se definen las componentes de un vector? Para responder esta pregunta es necesario introducir los conceptos de espacio dual y base dual. Dado el espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales, el conjunto de aplicaciones lineales ⋆ (a ) definidas sobre con imagen en a⋆ : x

→ a⋆(x) ∈

(1.60)

tiene a su vez estructura de espacio vectorial y recibe el nombre de espacio dual ⋆ . En espacios de dimensi´ on finita (y en general en espacios de Hilbert) el espacio dual es isomorfo al espacio vectorial de partida. En este caso se deduce el teorema de Riesz-Fréchet, según el cual

1.3. ESPACIOS EUCL´ IDEOS Y NO EUCL´ IDEOS

⋆ dada la aplicaci´ on lineal a⋆ producto escalar a x

·

∈

∀a⋆ ∈

⋆,

⋆

13

existe un ´ unico a

∈

, !a

∃ ∈

tal que a⋆ (x) es sencillamente el

/ a ⋆ (x) = (a, x) = a x

·

(1.61)

El teorema de Riesz-Fr´ echet permite identificar, por medio de un isomorfismo, cada elemento de un espacio vectorial con un elemento del espacio dual, de la manera que acabamos de indicar (a⋆ (x) = (a, x)). Por su propia definición está claro que el isomorfismo que asocia la aplicación lineal a⋆ de ⋆ con el vector a de (y viceversa) depende del producto escalar que estemos considerando en , de modo que distintos productos escalares nos llevar´ıan a asociar elementos distintos. Una vez definido el espacio dual ⋆ podemos considerar el espacio de las aplicaciones lineales definidas sobre ⋆ , es decir, el dual del dual de . En este caso se puede comprobar que el dual del dual ⋆⋆ es isomorfo al espacio de partida , y que el isomorfismo que relaciona cada elemento de ⋆⋆ con uno de es independiente de cuál sea el producto escalar que estemos considerando en , motivo por el cual este isomorfismo se denomina isomorfismo can´ onico. Como resultado tenemos que el espacio ⋆⋆ coincide con el espacio de partida , independientemente del producto escalar considerado. Dado un vector x de y una base cualquiera ei ni=1 , la aplicación que genera la componente xi de x respecto de esta base es una aplicación lineal (que llamaremos ei )

{ }

ei (x) = x i

(1.62)

Como ei es una aplicación lineal, ei pertenece al espacio dual

⋆.

⋆ ¿Cómo sabemos que la aplicación que define cada componente i de un vector respecto a una base arbitraria es una aplicación lineal? A primera vista esta afirmación podr´ıa parecer arbitraria, sin embargo es totalmente natural. La aplicación que genera las componentes de un vector respecto de una base cualquiera debe ser una aplicaci´ on continua y diferenciable. Esto es necesario si queremos que las componentes de cualquier vector var´ıen de forma continua y diferenciable al variar el vector de forma continua y diferenciable. También parece lógico exigir que el vector nulo tenga todas sus componentes nulas, independientemente de la base considerada. Por otra parte, también exigimos que las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalares puedan calcularse componente a componente en cualquier base. El resultado de estas condiciones es que la aplicación que produce la componente del vector x respecto del elemento e i de cualquier base tiene que ser necesariamente una aplicación lineal, que denotamos por ei . Aplicando ahora el teorema de Riesz-Fréchet, para cada aplicación ⋆ existe un ´ lineal bfei unico vector ei tal que xi = ei (x) está dado sencillamente por el producto escalar xi = e i x. El conjunto de aplicaciones lineales que nos dan las componentes xi respecto de una base cualquiera ei ni=1 son linealmente independientes y forman una base del espacio dual, llamada base dual . Claramente la base dual cumple

∈

·

∈

{ }

ei (e j ) = (ei , e j ) = δ ji ,

i, j = 1, . . . , n

(1.63)

independientemente de si la métrica de este espacio es Eucl´ıdea o no, e independientemente de si la base ei ni=1 es ortogonal o no. Dado que el espacio dual es isomorfo al espacio de partida, la base ei ni=1 del espacio dual tambi´ en es base del espacio de partida.

{ } { }


14

Como consecuencia, en un espacio vectorial (no necesariamente Eucl´ıdeo), dada una base n cualquiera ( ei i=1 ) existe otra base, llamada base dual ( ei ni=1 ), tal que e i e j = δ ji . Proyectando entonces el desarrollo en componentes de x (Ec. (1.15)) sobre la dirección e j de la base dual y aplicando las relaciones Ec. (1.63), encontramos que la componente xi de x respecto de ei ni=1 está dada por la proyecci´ on ortogonal de x sobre el vector e i de la base dual. En general la base dual de una base dada cualquiera será otra base distinta. En el caso particular de un espacio vectorial Eucl´ıdeo, cuando se usa una base ortonormal se da la circunstancia excepcional de que la base dual coincide con la base de partida. Normalmente esto no se cumplirá, en el caso general la base dual a una base dada será diferente de la base dada. Más adelante veremos cómo calcular cada una de estas bases cuando se conoce la otra. Dejamos para los ejercicios la demostración de las siguientes propiedades importantes: la base dual siempre existe y es única; si ei ni=1 es la base dual de ei ni=1 , entonces ei ni=1 es la base dual de ei ni=1 (es decir, el dual del dual nos devuelve a la base de partida). Normalmente emplearemos sub´ındices para numerar los vectores de la base de partida, y super´ındices para numerar los vectores de la base dual. Como ya se ha mencionado, el uso de suby super-´ındices no es arbitrario, sino que corresponde a los comportamientos co- y contra-variante de estos objetos al aplicar un cambio de base, tal y como veremos a continuación.

{ }

{ }

·

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

Tensor m´ etrico: relaci´ on entre una base y su dual

Aplicando que el espacio dual es isomorfo al espacio de partida hemos identificado los vectores de la base dual con vectores del espacio de partida, en el sentido del teorema de Riesz-Fréchet (Ec (1.61)). Dado que son vectores del mismo espacio, entonces podemos escribir los vectores de la base dual como combinaci´ on lineal de los vectores de la base, escribimos esta combinación lineal como ei = g ij e j

(1.64)

Nos queda por determinar cuáles son las componentes de este objeto g ij . Para ello basta con sustituir en la propiedad que define a la base dual (Ec. (1.63)), de donde deducimos g ik gkj = δ ji

(1.65)

por tanto la matriz g ij es sencillamente la inversa del tensor métrico g ij (recordar que en espacios Riemannianos el tensor métrico siempre es invertible det gij = 0). Por tanto, la inversa del tensor métrico aplicada sobre la base de partida nos genera la base dual. Esta relación nos indica de forma trivial que en el caso de un espacio Eucl´ıdeo, la base dual de una base ortonormal coincide con ella misma. Por otra parte, sustituyendo este desarrollo (Ec. (1.64)) en ei e j es inmediato demostrar que (1.66) ei e j = g ij , i, j = 1, . . . , n

̸

·

·

por tanto la inversa del tensor m´ etrico nos proporciona la tabla de productos escalares de los vectores de la base dual. En otras palabras, el objeto g ij es el tensor m´ etrico de la base dual, o tensor métrico dual. Por u ´ ltimo, dado que son vectores del mismo espacio también podemos escribir los vectores de la base de partida como combinación lineal de la base dual. En este sentido dejamos para los ejercicios demostrar que el tensor métrico aplicado sobre la base dual nos genera la base de partida ei = g ij e j

(1.67)

15

1.4. CAMBIOS DE BASE

Matriz correspondiente a una aplicaci´ on lineal

Una vez hemos visto cómo se calculan las componentes de un vector en el caso general (respecto de una base cualquiera en un espacio no necesariamente Eucl´ıdeo)

( 

x = ei , x ei = x i ei

(1.68)

veamos ahora c´ omo se calculan las componentes de una aplicación lineal A, que transforma vectores de en vectores de : A : x

→ A(x) = y ∈

(1.69)

Escribiendo los vectores x e y en componentes encontramos

( 

A x j e j = y k ek

(1.70)

multiplicando escalarmente por ei por la izquierda y recordando que la aplicación A es lineal encontramos

(· 

ei A(e j ) x j = y i

(1.71)

donde identificamos e i A(e j ) como la componente i del vector que resulta de aplicar A sobre e j . Si definimos esto como la componente A ji de la aplicación A respecto de la base ei ni=1 , encontramos que la aplicación de A sobre x puede ponerse en componentes como

·

{ }

A ji x j = y i

(1.72)

es decir, como el producto de la matriz A ji por el vector columna x j . Por tanto, dada una aplicaci´ on lineal A y una base cualquiera ei ni=1 (no necesariamente ortonormal), la matriz A ji correspondiente a esta aplicación está dada por

{ }

A ji

≡

(

ei , A(e j )



(1.73)

donde el super-´ındice i recorre las filas y el sub-´ındice j las columnas de la matriz A ji . En el caso en que el espacio sea Eucl´ıdeo y la base ei ni=1 sea ortonormal (y sólo en ese caso) tendremos que ei = e i , en un caso general ei estar´ a dado por el correspondiente vector de la base dual.

{ }

1.4.

Cambios de base

El método de ortonormalización de Gram-Schmidt nos proporciona el primer ejemplo de cambio de base. En general, cuando se aplica un cambio de base sobre un espacio vectorial está claro que los vectores y las aplicaciones lineales definidas sobre estos vectores no cambian, es decir, permanecen invariantes bajo el cambio de base. Por el contrario, las componentes de estos vectores y aplicaciones lineales respecto a una base concreta s´ı cambian al cambiar los vectores de la base. Precisamente, la ley de transformación que siguen las componentes de un vector se deduce al imponer que el vector es el mismo independientemente de cuál sea la base a la que estén referidas sus componentes ˜i ˜i e x = x i ei = x

(1.74)


16 1.4.1.

Definici´ on de cambio de base

Dado un espacio vectorial y dos bases, la base “antigua” e1 , . . . , en y la base “nueva” ˜1 , . . . , e ñ , se define como cambio de base a la aplicación invertible C tal que al aplicarla sobre e la base antigua genera la base nueva y viceversa.

{

{

}

C : C −1 :

}

{e1, . . . , en} → {e˜1, . . . , eñ} {e˜1, . . . , eñ} → {e1, . . . , en}

(1.75)

Para ver de qu´ e tipo de aplicación estamos hablando recordamos que cada uno de los vectores de la base nueva pertenecen a , por tanto pueden ponerse como combinación lineal de los vectores de la base antigua. Escribimos esta relación en la forma siguiente j

˜ i = C i e j , e

i = 1, . . . , n

(1.76)

(donde se aplica el convenio de suma de Einstein para el ´ındice mudo j). Esto nos indica que la aplicación cambio de base es una aplicación lineal, descrita por una matriz con componentes C ji , dadas por la coordenada j del vector i de la base nueva referido a la base antigua. Es decir, la matriz del cambio de base está formada por las componentes de los vectores de la base nueva respecto a la base antigua, escritos como vectores columna

(

˜1 e ˜2 . . . e ñ C = e



(1.77)

Para que la base nueva sea una base válida es necesario que sus vectores sean linealmente independientes, lo cual queda garantizado si el determinante de la matriz del cambio de base es distinto de cero (en caso contrario el cambio de base no es válido). Suponiendo entonces que det C = 0 tenemos que la matriz del cambio C es invertible. Para simplificar las expresiones definimos la matriz D como la inversa de C

̸

D

≡ C −1,

Dki C jk = C ki D jk = δ ji

(1.78)

Aplicando el cambio inverso D sobre la relación Ec. (1.76) encontramos directamente j

˜ j , ei = D i e

i = 1, . . . , n

(1.79)

que nos proporciona la expresión de los vectores de la base antigua como combinación lineal de la base nueva. Ley de transformaci´ on de la base dual

{ }ni=1, cuya base dual

˜i Por medio del cambio de base C (Ec. 1.75) pasamos a la nueva base e i n ˜ i=1 cumple por definición e ˜i e ˜ j = δ ji e

{ }

·

(1.80)

de donde se deduce directamente que la base dual se transforma con la matriz inversa a la matriz del cambio de base ˜i = D ji e j (1.81) e ˜i como combinaci´ Para verlo basta con escribir e on lineal de la base dual antigua, sustituir en Ec. (1.80) y aplicar la propiedades de linealidad del producto escalar (los detalles se dejan para los ejercicios). A partir de esta relación (Ec. (1.81)) es trivial verificar ˜ j ei = C ji e

(1.82)

que nos proporciona los vectores de la base dual antigua como combinación lineal de los vectores de la base dual nueva.

17


Comportamiento covariante y contravariante

Seg´ un hemos visto, al aplicar un cambio de base los vectores de la base se transforman con la matriz del cambio de base (C ) y los vectores de la base dual se transforman con la matriz inversa del cambio de base (D). Estos dos tipos de comportamiento se denominan respectivamente como covariante y contravariante j

vectores de la base

ei :

comportamiento covariante

˜i = C i e j e

vectores de la base dual

ei :

comportamiento contravariante

˜i = D ji e j e

En general emplearemos super´ındices para denotar objetos con comportamiento contravariante y sub´ındices para los objetos con comportamiento covariante 1.4.2.

Cambios de base sobre vectores

Un vector cualquiera puede expresarse indistintamente en t´ erminos de cualquier base (Ec. (1.74)) ¿Qué relación existe entre las componentes de x en ambas bases? Sustituyendo la expresión de los vectores de la base antigua en términos de la nueva (Ec. (1.79)) en Ec. (1.74), e identificando componente a componente, deducimos x ˜i = D ji x j (1.83) Por tanto, las componentes de un vector respecto de una base cualquiera tienen comportamiento contravariante. A partir de esta relación es inmediato demostrar la relación inversa xi = C ji x ˜ j , lo cual se deja para los ejercicios. Por otra parte, dado que la base dual tambi´ en es una base v´ alida del espacio vectorial, podemos expresar cualquier vector del espacio por medio de sus componentes respecto a la base dual (antigua o nueva) ˜i ˜i e (1.84) x = x i ei = x Por medio de la ley de transformación de los vectores de la base dual (Ecs. (1.81) y (1.82)) es muy fácil comprobar que las componentes de x respecto a la base dual se transforman según x ˜i = C ji x j ,

xi = D ji ˜ x j

(1.85)

Las componentes de un vector respecto de una base cualquiera tienen compontamiento contravariante y se denominan componentes contravariantes , mientras que las componentes respecto a la base dual de una base dada tienen comportamiento covariante, y se denominan componentes covariantes . En general las componentes co- y contra-variantes son distintas. En el caso particular de un espacio Eucl´ıdeo, cuando se emplea una base ortonormal las componentes co- y contra-variantes de cualquier vector coinciden, y en ese caso no es necesario establecer ninguna distinci´ on entre ellas. En el contexto del cálculo tensorial tendremos siempre en mente el caso general de un espacio vectorial no necesariamente Eucl´ıdeo, por tanto es fundamental no confundir las componentes de uno y otro tipo. La relación existente entre los vectores de la base de partida y la base dual y viceversa (Ecs. (1.64) y (1.67)) nos permiten calcular las componentes co-variantes de un vector a partir de sus componentes contravariantes relativas a cualquier base (y viceversa). El resultado es xi = g ij x j ,

xi = g ij x j

(1.86)


18

(dejamos la demostraci´ on para los ejercicios) que ilustra la conocida propiedad de subida y bajada de ´ındices por medio del tensor métrico y su inversa, que emplearemos con mucha frecuencia a lo largo del curso. Una de las propiedades interesantes que tiene conocer ambos tipos de componentes es la siguiente: una vez conocemos las componentes co- y contra-variantes de dos vectores x e y, su producto escalar x y puede calcularse indistintamente según cualquiera de las expresiones siguientes

·

x y = g ij xi y j = g ij xi y j = x i yi = x i y i

(1.87)

·

Obsérvese que las dos últimas expresiones son análogas a la que encontrar´ıamos al usar una base ortonormal en el caso de una espacio vectorial Eucl´ıdeo, sin embargo x y = x i yi = x i yi es correcto independientemente de cuál sea la base y de si el espacio es o no Eucl´ıdeo.

·

1.4.3.

Cambios de base sobre aplicaciones lineales

An´ alogamente a como hemos hecho con el caso de los vectores, imponiendo que las aplicaciones lineales permanecen invariantes al aplicar un cambio de base podemos deducir cómo se transforman las componentes de estas aplicaciones lineales respecto de una base cualquiera bajo un cambio de base. Si la imagen de un vector x al aplicar la aplicación lineal A es Ax = y, la expresió n en componentes de esta igualdad debe cumplirse independientemente de cuál sea la base empleada A ji x j = y i ,

A˜ ji x ˜ j = y˜i

(1.88)

donde A ji , x j e y i son las componentes de A, x e y respecto a la base antigua e i y A˜ ji , x ˜ j e y˜i son las componentes respecto a la base nueva ˜ei , definida por medio del cambio Ec. (1.76). Sustituyendo la ley de transformación de las componentes de un vector (Ec. (1.83)) es inmediato deducir la relación que todos conocemos A˜ ji = D ki Akl C jl , A ji = C ki ˜ Akl D jl (1.89) Tambi´ en podemos llegar al mismo resultado sustituyendo la ley de transformación de los vectores de la base (de partida y dual) en la expresió n an´ aloga a Ec. (1.73) pero en términos de la base nueva, es decir ˜ i , A(˜ A˜ ji (1.90) e e j )

≡

(



Por tanto, vemos que la matriz correspondiente a una aplicación lineal es un objeto 1-covariante 1-contravariante, ya que tiene un ´ındice de cada tipo. 1.4.4.

Ley de transformaci´ on del tensor m´ etrico

Dada una base cualquiera y su dual se define el tensor métrico gij y su inverso de acuerdo a las relaciones Ec. (1.47) y Ec. (1.66) respectivamente. Por tanto, en términos de la base nueva y su dual tenemos las relaciones ˜ j , ˜ j g˜ij = ˜ei e g˜ij = ˜ei e (1.91)

·

·

˜i y e ˜ i deducimos que el tensor métrico en términos de Aplicando las leyes de transformación de e la nueva base está dado por g˜ij = C ik C jl gkl ,

gij = D ik D jl g˜kl

(1.92)

mientras que para el tensor métrico de la base dual encontramos g˜ij = D ki D jl g kl ,

g ij = C ki C jl ˜gkl

(1.93)

19


Este resultado indica que g ij es un objeto 2-covariante, ya que se transforma aplicando 2 veces la matriz del cambio, y g ij 2-contravariante, ya que se transforma aplicando 2 veces la inversa de la matriz del cambio. Expresi´ on matricial de operaciones tensoriales

Similarmente a como sucede para la ley de transformación de vectores (p. ej., para las componentes contravariantes [˜ x] = [D][x]), la ley de transformación que hemos encontrado para aplicaciones lii i k ˜ = D A C l ) puede escribirse directamente como un producto matricial ([ A] ˜ = [D][A][C ]). neales (A j k l j Sin embargo el producto C ik C jl gkl no coincide con el producto matricial [C ][C ][g], ni tampoco con [C ][g][C ]. Recordando que en C ik el ´ındice k recorre las filas e i las columnas, si asignamos el primer ´ındice de gkl a las filas y el segundo a las columnas vemos que la expresión matricial de g˜ij = C ik C jl gkl estar´ıa dada por [˜ g ] = [C ]T [g][C ] , donde [C ]T es la traspuesta de la matriz [C ]. Por tanto la ley de transformación de gij es distinta de la ley de transformación que cumplen las matrices, a pesar de que ambos son objetos tensoriales de orden 2. Como veremos en este curso, el álgebra tensorial generaliza al álgebra matricial, de forma que hay expresiones tensoriales cuya transcripción en términos de matrices es dif´ıcil, o incluso imposible. Por este motivo, al trabajar con tensores lo normal es escribir todos los productos en componentes, y no se insiste en la transcripción en términos de matrices de estos productos, ni siquiera en aquellos casos en los que la transcripción matricial es posible. Ley de transformaci´ on de productos escalares

Por u ´ltimo, es muy fácil comprobar que el producto escalar de dos vectores es, efectivamente, un escalar, es decir, un invariante bajo cambios de base. Independientemente de la base que estemos empleando el producto escalar x y se define como g ij xi y j . Sustituyendo la ley de transformación de gij , xi e y j es muy fácil comprobar que el comportamiento 2-covariante de gij cancela los comportamientos 1-contravariante de xi e y j , de forma que el resultado final es invariante bajo cambios de base, es decir, el producto escalar de dos vectores es un escalar. Tambi´ en es un escalar la traza de las aplicaciones lineales, definida como la suma de los elementos de la diagonal, trA Aii , en cualquier base. Aplicando la ley de transformación de las aplicaciones lineales (Ec. (1.89)) se comprueba que, al tomar la traza, el comportamiento contravariante del super´ındice se cancela con el comportamiento covariante del sub´ındice, de forma que el resultado final es el mismo independientemente de qu´ e base estemos empleando.

·

≡

Transformaciones ortogonales

A lo largo de este curso veremos con mucha frecuencia cómo se comportan las componentes de diversos objetos al aplicar un cambio de base. Normalmente consideraremos cambios de base totalmente generales, descritos por la matriz del cambio C (Ec. (1.77)) y su correspondiente inversa D C −1 (Ec. (1.78)). En un cambio de base general la matriz inversa D no coincide con la traspuesta C −1 = C T , la excepción a esta regla está dada por las conocidas transformaciones ortogonales en espacios Eucl´ıdeos. Para evitar confusiones en este sentido, vamos a ver a continuación qué tipo de transformaciones cumplen la relación excepcional C −1 = C T . Se denomina transformaci´ on unitaria (U ) a cualquier aplicación que preserva los productos escalares para todo par de vectores x e y pertenecientes a un espacio vectorial

≡

̸

∀ x, y ∈

,

(U (x), U (y)) = (x, y )

(1.94)


20

Como caso particular de las anteriores, se denominan transformaciones ortogonales a las transformaciones unitarias definidas en un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales. Aplicando la relación que define las transformaciones unitarias (Ec. (1.94)) puede demostrarse f´ acilmente que en un espacio vectorial Eucl´ıdeo la matriz de una transformación unitaria respecto de una base ortonormal es una matriz unitaria, es decir, una matriz que cumple: T

U −1 = U ,

en componentes

T

(  U −1

i j

j

= U i

(1.95)

donde U se denomina matriz adjunta de U y está dada por la traspuesta del complejo conjugado de U . Si el espacio está definido sobre el cuerpo de los reales, entonces la anterior relación se simplifica a i U −1 = U T , en componentes U −1 j = U ji (1.96)

( 

Este es el único caso en que la inversa coincide con la traspuesta. Las matrices que verifican la relación Ec. (1.96) se denominan matrices ortogonales . Por su propia definición, está claro que en un espacio vectorial Eucl´ıdeo las aplicaciones unitarias transforman bases ortonormales en bases ortonormales, lo que hace que este tipo particular de transformaciones sea especialmente importante. En un cambio de base la inversa de la matriz C coincide con C T sólo si la base nueva es el resultado de aplicar una transformación ortogonal sobre la base antigua. Como casos particulares de cambios de base ortogonales tenemos las siguientes operaciones: rotaciones (rotaci´ on de los vectores de la base un cierto ángulo respecto a un eje dado que pase por el origen), inversiones (reflexión de los vectores de la base según un determinado plano que pase por el origen), permutaciones (intercambio de dos vectores de la base antigua), cualquier combinación de las anteriores. Si el cambio de base C es ortogonal entonces det(C ) = 1. Los cambios de base con det(C ) = +1 corresponden a rotaciones, o a permutaciones con paridad positiva de los vectores de la base, mientras que los cambios con det(C ) = 1 corresponden a inversiones o a permutaciones con paridad negativa. En la práctica los cambios de base ortogonales se emplean con much´ısima frecuencia, pero no son los u ´ nicos posibles. Por ejemplo, el cambio de la base canónica de 3 , i, j , k , a la base dada por 2i, 2 j , 2k (que sigue siendo una base ortogonal pero no ortonormal ), no es un cambio de base ortogonal. En este curso veremos diversos cambios de base concretos tanto ortogonales como no ortogonales.

±

−

{

1.4.5.

}

{

}

Resumen

En este apartado hemos visto las leyes de transformación de los 3 tipos de tensores más habituales: tensores de orden 0 (escalares), tensores de orden 1 (vectores) y tensores de orden 2 (aplicaciones lineales y tensor métrico); y los 2 tipos de comportamiento posibles bajo cambios de base: covariante y contravariante. Los resultados obtenidos son v´ alidos para un espacio vectorial de dimensión finita arbitraria n, dotado de una métrica de Riemann no necesariamente Eucl´ıdea. La siguiente

21

1.5. PROBLEMAS

Tensores de orden orden

tipo

ley de transformaci´ on

0

escalares

invariantes

vector contravariante

x˜i = D ji x j

vector covariante

x ˜i = C ji x j

aplicaciones lineales

˜i = D i C l Ak A j k j l

tensor métrico

g˜ij = C ik C jl gkl

tensor m´ etrico dual

g˜ij = D ki D jl g kl

1

2

Cuadro 1.1: Comportamiento de tensores de orden

D

≤ 2

1

≡ C − ).

≤ 2 bajo cambios de base (˜e

i

= C ij ej ,

tabla (C. 1.1) resume los tipos de tensores que hemos visto hasta ahora y su comportamiento bajo cambios de base: En los cap´ıtulos siguientes generalizaremos estos conceptos al caso general, de tensores de orden r + s (r-covariante s-contravariante), posteriormente describiremos campos tensoriales y operaciones de cálculo (derivación e integración) con campos tensoriales de orden arbitrario. Por tanto es fundamental comprender bien todos los conceptos introducidos en este cap´ıtulo.

1.5.

Problemas

1. Demostrar que para cualquier pareja de vectores x, y

existe un único z

∈

∈

tal que

x = y + z

2. Dado un vector cualquiera x

∈

, demostrar la relaci´ on 0x = 0

3. Dado un vector cualquiera x

∈

, demostrar la relaci´ on ( 1) x = ( x)

−

−

4. Demostrar que la envolvente lineal de cualquier conjunto de vectores e1 , . . . , e p p n, siendo n la dimensión de ) es un espacio vectorial.

{

≤

}∈

(con

5. Demostrar que si e1 y e2 son linealmente independientes, entonces la intersecció n de las envolventes lineales de estos vectores se reduce a 0. 6. Dado un vector cualquiera x y una base e1 , . . . , en de , demostrar que la descomposici´ on de x como combinación lineal de la base (Ec. (1.15)) es única.

∈

{

}

7. Dados los subespacios vectoriales independientes 1 y de un vector x 1 2 como x = x 1 + x2 , donde x1

∈ ⊕

2,

∈

demostrar que la descomposición ´ nica. 1 y x2 2 , es u

∈


22

8. Dados los subespacios vectoriales independientes que la dimensión del espacio suma directa 1

⊕

1 y 2

2 con

dimensiones n 1 y n 2 , demostrar es n 1 + n2 .

9. Demostrar que Eq. (1.35) implica que

∀x1, x2, x3 ∈

,

(x1 + x2 , x3 ) = (x1 , x3 ) + ( x2 , x3 )

10. Dado el espacio vectorial definido sobre el cuerpo de los n´ umeros complejos que x el producto escalar x x es real (para cualquier producto escalar).

∀ ∈

, demostrar

·

11. Demostrar que si en un espacio vectorial dotado de producto escalar tenemos que x y = 0 y = 0 , entonces x = 0 .

·

∀ ̸

12. Demostrar que dos vectores no nulos que sean ortogonales son, necesariamente, linealmente independientes. 13. Demostrar que dos vectores no nulos que sean linealmente independientes pueden no ser ortogonales. 14. Demostrar que el método de ortonormalizaci´ on de Gram-Schmidt genera una base ortonormal. 15. Demostrar que la base dual siempre existe y es única. 16. Demostrar que la base dual del dual de una base cualquiera est´ a dado por la base de partida. 17. Demostrar las ecuaciones Ecs. (1.64, 1.65 y 1.67) que relacionan la base dual con la base de partida. 18. Demostrar que la inversa del tensor métrico está dada por Ec. (1.66). 19. Demostrar que la base dual se transforma con la matriz inversa del cambio de base (Ec. (1.81)). 20. Deducir la ley de transformaci´ on que cumplen las componentes de un vector bajo el cambio de base C : x ˜i = D ji x j , xi = C ji x ˜ j donde D

≡ C −1.

21. Deducir la ley de transformaci´ on que cumplen las componentes de un vector respecto a la base dual bajo el cambio de base C , dada por Ec. (1.85). 22. Deducir la relaci´ on entre las componentes co- y contra-variantes de un vector, dada por Ec. (1.86). 23. Demostrar la relaci´ on Ec. (1.87). 24. Demostrar la relaci´ on Ec. (1.89). 25. Demostrar las relaciones Ec. (1.92) y Ec. (1.93). 26. Demostrar que el producto escalar de 2 vectores define un escalar (es decir, un objeto invariante bajo cambios de base).

1.6. BIBLIOGRAF ´ IA

23

27. Demostrar que la traza de cualquier aplicaci´ on lineal es un escalar. 28. Demostrar que la matriz correspondiente a una transformaci´ on unitaria, respecto de una base T 1 − ortonormal, cumple U = U . 29. Demostrar que la matriz correspondiente a una transformaci´ on ortogonal, respecto de una 1 T − base ortonormal, cumple U = U . 30. Dado el cambio de base no ortogonal (pero extremadamente sencillo) que pasa de la base i, j , k de 3 (con métrica Eucl´ıdea) a 2i, 2 j , 2k , calcule la matriz del cambio de base y su inversa, calcule cómo cambia la base dual y cómo cambian las componentes de un vector contravariante y uno covariante.

{

}

{

}

31. Repita el ejercicio anterior considerando un tensor métrico arbitrario. Calcule tambi´ en c´ omo cambian las componentes del tensor métrico y del tensor métrico dual.

1.6.

Bibliograf´ıa

Para los apuntes de este cap´ıtulo se ha consultado el texto de Burgos [3], junto con [8] y los textos clásicos de Synge y Schild [13], Lichnerowicz [10] y Bowen y Wang [2]. Cualquiera de ellos es muy recomendable para profundizar en este tema. Especialmente el libro de Lichnerowicz [10] (lamentablemente descatalogado) y el de Burgos [3].

24


Cap´ıtulo 2

Tensores En el apartado anterior hemos visto los tres tipos b´ asicos de tensores: escalares, vectores y aplicaciones lineales, y sus correspondientes reglas de transformación bajo cambios de base. En este apartado estudiaremos el concepto de tensor general de rango arbitrario y veremos algunos ejemplos concretos de tensores empleados en f´ısica. Por u ´ ltimo veremos una introducción al álgebra tensorial, incluyendo productos tensoriales y productos de contracción, algunos criterios prácticos de tensorialidad y ciertos tipos especiales de tensores.

2.1.

Concepto de tensor

El estudio de los tensores aparece de manera natural al aplicar cambios de base en espacios vectoriales. De todos los objetos matemáticos que pueden definirse sobre un espacio vectorial se denominan tensores a aquellos que son invariantes bajo cambios de base. Normalmente describimos los objetos tensoriales mediante sus coordenadas (o componentes) respecto de una determinada base, e imponiendo la condición de invariancia del tensor frente a cambios de base deducimos la ley de transformaci´ on que cumplen las componentes del tensor cuando se realiza un cambio de base en el espacio. Esta es la regla que hemos aplicado en el cap´ıtulo anterior para deducir las leyes de transformación de las componentes de tensores de orden bajo, y su generalización a tensores de orden arbitrario es inmediata. Dado que la elección de una base en particular es totalmente arbitraria, desde el punto de vista tensorial sólo están bien definidos aquellos objetos que son invariantes bajo cambios de base. No obstante, en el cap´ıtulo pr´ oximo generalizaremos ligeramente este concepto al estudiar las densidades tensoriales . Los tensores son, por tanto, objetos geométricos definidos en un espacio vectorial, de tal forma que su definición y propiedades no dependen de la base empleada, aunque s´ı los valores de sus componentes, que pueden interpretarse como el “aspecto” del tensor desde el sistema de referencia definido por la base que estemos empleando. Aclaraci´ on

Cuando uno habla de vectores es frecuente denominar “vector” tanto al propio vector (p. ej. 3 ) como al conjunto de coordenadas que lo describen respecto a una v = v 1 i + v 2 j + v 3 k base concreta (p. ej. v 1 , v 2 , v 3 ). Por tanto, es normal referirse a v 1 , v 2 , v 3 como un “vector contravariante” o simplemente un “vector”. La diferencia entre el (verdadero) vector v y el conjunto de componentes que lo describe respecto de una base dada es que v es invariante bajo cambios de

{∈ }

{

25

}

CAP ´ ITULO 2. TENSORES

26

base (el vector sigue siendo el mismo, independientemente de la base del espacio que decidamos emplear para describirlo), mientras que sus componentes dependen de la base empleada, y cambian bajo un cambio de base según las leyes que hemos visto en el cap´ıtulo anterior. Aunque posiblemente este abuso del lenguaje incurra en cierta incorrección, se admite ya que simplifica enormemente la comunicaci´ on. Con tensores de rango general sucede exactamente lo mismo: en el lenguaje coloquial se denomina con frecuencia tensor tanto al verdadero objeto tensorial (objeto geométrico invariante bajo cambios de base), como al conjunto de coordenadas que lo describen en una base concreta, que se transforma bajo cambios de base de acuerdo a la correspondiente ley de transformación tensorial. Normalmente por el contexto quedar´ a claro si nos estamos refiriendo al verdadero tensor o al correspondiente conjunto de coordenadas que lo describen respecto a una determinada base.

2.1.1.

Tensores en f´ısica

Los tensores se emplean en f´ısica teórica con much´ısima frecuencia, especialmente en relatividad, electromagnetismo y en general en cualquier teor´ıa de campos, pero tambi´ en se emplean mucho en diversas áreas de la f´ısica de interés en ingenier´ıa, como mecánica de medios continuos (resistencia de materiales, elasticidad) y mec´ anica de fluidos. El motivo es muy sencillo. Las magnitudes que se emplean en f´ısica describen propiedades reales (objetivas) del mundo f´ısico, como por ejemplo la masa de un objeto, su posición, su velocidad, las fuerzas a que está sometido, etc. Para describir muchas de estas propiedades es necesario emplear algún sistema de referencia, cuya elecció n es totalmente arbitraria. Sea cual sea el sistema de referencia que decidamos emplear, las propiedades f´ısicas que pretendemos describir son las mismas, no dependen del sistema de referencia escogido. Supongamos por ejemplo una situación en la que muchos observadores están estudiando el mismo sistema f´ısico, empleando para ello varios sistemas de referencia distintos. Aunque cada uno de ellos emplee un sistema de referencia diferente, todos ellos están describiendo la misma realidad f´ısica, de modo que todas estas descripciones deben ser coherentes entre s´ı. Además debe ser posible traducir los resultados de un observador de forma que los otros puedan verificarlos, lo cual implica que existen reglas objetivas bien definidas que permiten transformar las observaciones realizadas desde un sistema de referencia a otros sistemas. El cálculo tensorial es un método sistemático para traba jar con objetos geométricos de manera independiente al sistema de referencia que se esté empleando, de tal forma que si una relación tensorial es correcta en un determinado sistema de coordenadas, entonces tambi´ en lo es en cualquiera otro. Esto hace que los tensores sean ob jetos matemáticos adecuados para la descripci´ on de propiedades y leyes f´ısicas. De hecho, las magnitudes f´ısicas se caracterizan por tener comportamiento tensorial bien definido, y las leyes f´ısicas pueden expresarse como ecuaciones tensoriales. Muchas magnitudes f´ısicas son tensores como los que veremos en este cap´ıtulo; otras, denominadas densidades tensoriales (a veces pseudotensores o tensores relativos ), son objetos geométricos que cumplen leyes de transformación iguales a las tensoriales, pero con un factor de escala adicional (dado por una determinada potencia del determinante de la matriz de cambio de base), tal y como tendremos ocasi´ on de ver en el cap´ıtulo siguiente. Previamente ya hemos mencionado varios ejemplos de propiedades f´ısicas escalares y vectoriales, a continuaci´ on veremos algunos ejemplos de magnitudes f´ısicas de rango tensorial superior.

27

2.1. CONCEPTO DE TENSOR

2.1.2.

Rango tensorial

Los tensores generalizan los conceptos y leyes de transformación familiares de escalares, vectores y aplicaciones lineales a objetos de orden superior, para cuya descripción es necesario emplear un n´ umero mayor de ´ındices. Según hemos visto, las aplicaciones lineales y el tensor métrico son tensores de orden 2, ya que para su descripción completa es necesario especificar un número de componentes que depende de 2 ´ındices; los vectores son tensores de orden 1, ya que para su descripción completa basta con una familia de componentes que depende sólo de un ´ındice; y los escalares son tensores de orden 0 ya que sus componentes quedan descritas por un único n´ umero (0 ´ındices). En general, dado un tensor se denomina rango tensorial u orden del tensor a la dimensión del conjunto de coordenadas que es necesario especificar para la descripción completa del tensor respecto a una base cualquiera del espacio vectorial. Es decir, el número de ´ındices que necesitamos para describir todas las componentes del tensor. Si la dimensión del espacio vectorial en consideració n es n, entonces el número de grados de libertad de un tensor de rango tensorial t (el número de componentes) es nt . De todas formas, en muchos casos sucede que los tensores tienen cierta simetr´ıa , de modo que no todas las nt componentes son independientes. Por ejemplo, el tensor métrico tiene n2 componentes, pero como es simétrico (gij = g ji ), sólo hay n + n(n 1)/2 independientes (que corresponden, p. ej., a la diagonal principal y la parte triangular superior de gij ). Otro caso muy habitual es el de un tensor antisimétrico ω ij = ω ji , en ese caso sabemos que las n componentes de la diagonal son necesariamente nulas (ωii = 0, sin suma en i), y de las restantes sólo hay n(n 1)/2 independientes.

−

−

2.1.3.

−

Ley de transformaci´ on de tensores generales

En el apartado anterior hemos visto que, bajo un cambio de base, las componentes de vectores y aplicaciones lineales se transforman o bien con la matriz del cambio de base (comportamiento covariante) o bien con su inversa (comportamiento contravariante). Generalizando este concepto a tensores de orden arbitrario, se denomina tensor de orden r-covariante s-contravariante a un objeto ...is tensorial (T ) de orden r + s, con nr+s componentes T ji11 j i22 ... jr , tales que bajo el cambio de base C (con inversa D C −1 ) se transforman seg´ un la ley

≡

˜ i1 i2 ... is = C p1 C p2 . . . C p r Di1 D i2 . . . D is T q1 q2 ...qs T q1 q2 qs p1 p2 ... pr j1 j2 ...jr j1 j2 jr

      r veces

(2.1)

s veces

donde, análogamente a como hemos hecho en el cap´ıtulo anterior, empleamos super-´ındices para los ´ındices contravariantes y sub´ındices para los ´ındices covariantes, y donde se aplica el convenio de suma de Einstein para todos los ´ındices repetidos. En f´ısica es frecuente tomar la anterior ley de transformación como definición de tensor de orden r-covariante s-contravariante. Esta definición tiene la ventaja de ser la generalización directa de las correspondientes leyes de transformación que hemos visto en el apartado anterior para tensores de orden 1 y 2, pero tiene el inconveniente de resultar poco intuitiva. En este cap´ıtulo intentaremos aclarar el significado de la anterior ley de transformación de tensores generales. Desde un punto de vista más formal, los tensores se pueden definir como elementos de un espacio vectorial denominado espacio producto tensorial , tal y como veremos más abajo, lo cual tiene la ventaja de que en ese contexto la ley de transformación anterior resulta totalmente natural, e incluso intuitiva. Tambi´ en es habitual definir formalmente los tensores como aplicaciones multilineales definidas entre ciertos espacios producto tensorial, tal y como veremos también en este cap´ıtulo.


28

Antes de pasar a estas definiciones más formales vamos a justificar el empleo de objetos tensoriales de orden superior con algunos ejemplos de interés en f´ısica.

2.2.

Magnitudes f´ısicas de rango tensorial superior

El uso de escalares y vectores en f´ısica resulta totalmente natural pero ¿cómo aparecen los tensores de orden superior? Con mucha frecuencia los tensores de orden superior aparecen como aplicaciones lineales entre tensores de orden más bajo. Por ejemplo, la relación entre el momento de las fuerzas aplicadas y la aceleración angular en un sólido r´ıgido (o entre el momento angular y la velocidad angular) está dada por una aplicaci´ on lineal, siendo la matriz de inercia la constante de proporcionalidad. En el caso de una esfera con densidad uniforme todas las direcciones son equivalentes, de modo que la resistencia al giro, es decir, la inercia que hay que vencer al aplicar un torque, es la misma sea cual sea la direcci´ on del eje de giro (suponiendo que el eje de giro pasa por el centro de la esfera), y como consecuencia en ese caso la matriz de inercia es proporcional a la matriz identidad. A diferencia de la esfera con densidad uniforme, si consideramos un objeto con una distribución anisótropa de masa la inercia dependerá de la orientación del eje de giro, y como consecuencia el momento angular no tendr´ a la misma dirección que la velocidad angular. En ese caso, para describir la inercia del objeto es necesario emplear una matriz, que ya no será proporcional a la identidad. Rango tensorial y direccionalidad

El ejemplo anterior muestra que la aparició n de tensores de orden superior responde a un comportamiento anis´ otropo, es decir, a que estamos describiendo propiedades f´ısicas que dependen de la dirección considerada. De manera algo informal podr´ıamos decir que el rango tensorial indica el n´ umero de direcciones que entran en juego en la magnitud que estamos estudiando: una magnitud escalar carece de direccionalidad, en el caso de una magnitud vectorial el vector define una dirección y en el caso de un tensor de orden 2 entran en juego 2 direcciones. Por ejemplo, en la relación L = I ω las dos direcciones que entran en juego son las definidas por el momento angular L y la velocidad angular ω , y la matriz de inercia I nos proporciona la relación que existe entre estas 2 direcciones. 2.2.1.

Tensores de polarizabilidad y de conductividad el´ ectrica

El comportamiento de los medios materiales bajo la aplicación de un campo eléctrico permite introducir de manera bastante intuitiva el concepto y utilidad de tensores de orden 2 en f´ısica. Consideremos el caso de la relación entre el vector polarización por unidad de volumen (P ) y el vector campo eléctrico (E ) en un medio material dieléctrico. Como es bien sabido, al aplicar un campo el´ ectrico en un medio material las cargas positivas tienden a desplazarse según el campo, mientras que las cargas negativas tienden a desplazarse en sentido contrario. Estos desplazamientos de carga inducen una cierta polarizaci´ on por unidad de volumen en el material, que normalmente puede describirse como una función lineal del campo eléctrico aplicado. ⋆ ¿Por qué existe una relación lineal entre P y E ? La polarizaci´ on por unidad de volumen es consecuencia de la aplicación del campo externo E , de modo que P debe ser una función creciente de E (P = P (E )). Si el medio en consideración carece de polarización espont´ anea en ausencia de campo el´ ectrico externo, es decir, si no es ferroeléctrico,

2.2. MAGNITUDES F ´ ISICAS DE RANGO TENSORIAL SUPERIOR

29

entonces la polarización correspondiente a campo externo nulo es nula. Teniendo esto en cuenta, aproximando P = P (E ) por su desarrollo en serie de Taylor en torno a E = 0 , a orden más bajo encontramos la mencionada relación lineal P = α E , defini´ endose la constante de proporcionalidad α como la polarizabilidad del medio. En el caso de un medio is´ otropo la respuesta del medio es la misma independientemente de la dirección del campo aplicado. En ese caso P tiene la misma dirección que E , y la polarizabilidad es sencillamente un escalar (o si se prefiere un escalar multiplicado por la matriz identidad). Esto es lo que sucede en el caso de los gases y los l´ıquidos sencillos, en esos casos las moléculas que forman el medio están orientadas de todas las formas posibles con igual probabilidad, de tal forma que, al promediar, a nivel macroscópico no existe ninguna dirección especial en el medio. La situación es diferente en el caso de un medio cristalino. Es evidente que en un cristal no todas las direcciones son equivalentes: en una red cúbica es distinto aplicar un campo en la dirección de la diagonal principal a hacerlo seg´ un la dirección perpendicular a dos caras opuestas. En otro caso podr´ıamos tener como celda fundamental no cubos, sino parelelep´ıpedos con aristas de distintos tama˜ nos seg´ un las 3 direcciones del espacio; en cualquiera de estos casos la respuesta del medio será distinta dependiendo de la orientación del campo aplicado, ya que en ciertas direcciones las cargas pueden moverse má s fácilmente que en otras. En un medio desordenado, como un gas o un l´ıquido, las orientaciones particulares de las moléculas a nivel microscópico no se traducen en una dirección privilegiada a nivel macroscópico, ya que al promediar en todas las orientaciones posibles estos efectos se cancelan. Esto no sucede en un medio cristalino, ya que en estos la celda fundamental que define la red se repite siempre con la misma orientación. Como consecuencia, en un medio cristalino la anisotrop´ıa introducida por la celda fundamental a nivel microsc´ opico se traduce en un comportamiento anis´ otropo a nivel macrosc´ opico. En ese caso la polarizabilidad ya no es la misma en todas las direcciones, pero la relación lineal entre P y E sigue siendo válida (siempre y cuando E no sea demasiado elevado), de modo que estos dos vectores ya no serán sencillamente proporcionales, sino que estarán relacionados por una aplicaci´ on lineal P = αE . En ese caso la polarizabilidad pasa a ser una aplicació n lineal y es muy fá cil ver que si P y E son vectores 1-contravariantes, entonces α necesariamente es un tensor 1-covariante 1-contravariante. Otro ejemplo similar es el de la conductividad eléctrica. Cuando se aplica un campo eléctrico en un medio conductor aparece una cierta densidad de corriente eléctrica j , que es proporcional a endose la constante de proporcionalidad E (al menos para campos no demasiado intensos), defini´ como la conductividad eléctrica del medio. Si la movilidad de las cargas libres no es la misma en todas las direcciones, entonces j y E dejan de ser proporcionales, pero siguen estando relacionados linealmente. En ese caso la conductividad pasa a estar descrita por una aplicación lineal, es decir, un tensor 1-covariante 1-contravariante. En los dos ejemplos precedentes podr´ıa parecer que la validez de la aproximaci´ on lineal es muy limitada, sin embargo en la práctica se observa que esta aproximación se cumple con mucha frecuencia incluso para campos aplicados muy intensos. En principio la aproximación lineal deber´ıa ser válida sólo en el l´ımite de campos externos muy débiles, pero débiles comparados con qué escala . La aproximaci´ on lineal es válida siempre que el campo aplicado sea pequeño en comparaci´ on con la escala de intensidad de campo eléctrico t´ıpica en el material a nivel microsc´ opico, la cual es muchos órdenes de magnitud mayor que la escala t´ıpica de intensidad de campo eléctrico del mundo macrosc´ opico. El motivo de esta diferencia de escala es muy simple. Por un lado a nivel microscópico las distancias t´ıpicas son muchos órdenes de magnitud menores que a nivel macroscópico, por otro a nivel macroscópico todas las cargas suelen estar apantalladas, lo cual no siempre sucede a nivel microscópico. Esta diferencia de escala entre la intensidad t´ıpica de los campos a nivel micro- y


30

macrosc´ opico explica la validez de la aproximación lineal, incluso cuando aplicamos campos que desde el punto de vista macroscópico nos parecen muy intensos, pero que no lo son tanto si los comparamos con las escalas t´ıpicas del mundo microscópico. En f´ısica es muy frecuente encontrar magnitudes relacionadas entre s´ı por aplicaciones lineales. Esto sucede en multitud de leyes fundamentales, como la que relaciona el momento de las fuerzas aplicadas sobre un sólido y su aceleración angular; y tambi´ en en leyes menos fundamentales, deducidas como una primera aproximación de un comportamiento más complejo. En este u ´ ltimo caso, si la propiedad A aparece como consecuencia de aplicar la magnitud B , A será una función creciente de B . Si el valor de A para B = 0 es nulo, entonces por medio de un desarrollo en serie de Taylor encontramos una relación lineal entre estas magnitudes, que será v´ alida siempre y cuando B no sea demasiado elevado. Si la estructura microscópica del medio es anisótropa, es decir, si la respuesta del medio es diferente dependiendo de la dirección considerada, entonces la relación lineal entre A y B no se reduce a una mera relación de proporcionalidad, sino que tendremos una relación del tipo A = T B , donde T es un tensor con el rango tensorial adecuado, determinado por los rangos tensoriales de A y B . Desde el punto de vista f´ısico las leyes f´ısicas lineales implican la validez del conocido principio de superposici´ on . Desde el punto de vista matemático siempre que dos magnitudes f´ısicas estén relacionadas por una aplicación lineal, y queramos aplicar cambios de base, tendremos que emplear tensores.

·

2.2.2.

Tensor de esfuerzos o de tensiones

El estado de tensiones existente en el interior de un material está dado por un tensor de orden 2, denominado tensor de tensiones o tensor de esfuerzos . Estas tensiones a las que nos referimos son las fuerzas aplicadas por unidad de superficie entre elementos contiguos del material, ejercidas a través de la superficie que separa los elementos considerados. Los ejemplos más visuales son las fuerzas elásticas que aparecen en un material elástico al deformarlo, las fuerzas de presión existentes en un fluido, o las fuerzas de rozamiento interno (fuerzas viscosas) que aparecen en los fluidos en movimiento. Desde el punto histórico el estudio de las tensiones internas existentes en cualquier medio material es lo que motivó la aparici´ on de los tensores, por este motivo estudiaremos este ejemplo con cierta profundidad. Consideremos dos elementos diferenciales de volumen contiguos, situados en un punto dado en el interior de cualquier medio material y separados por un determinado elemento diferencial de superficie. Como consecuencia de las interacciones existentes entre las moléculas que forman el material, cada uno de estos 2 elementos diferenciales de volumen ejerce una fuerza por unidad de superficie sobre el otro, a trav´ es de la superficie que los separa. Esta fuerza por unidad de superficie se denomina tensi´ on , y depende del punto considerado y de la orientación de la superficie que separa los elementos considerados. Si llamamos s a la fuerza por unidad de superficie ejercida tenemos entonces s = s (r, n)

(2.2)

donde r es el punto considerado y n la normal a la superficie considerada en el punto r. En principio podr´ıa parecer que para caracterizar totalmente el estado de tensiones en el interior de un material tenemos que conocer la función vectorial s, como función de los vectores de posición on de la superficie considerada n, es decir, una función vectorial de 3 componentes r y de orientaci´ definida como función de 9 variables. En realidad la situación es mucho más sencilla, como veremos a continuaci´ on.


31

Convenio

En lo sucesivo supondremos que s (r, n) representa la fuerza por unidad de superficie ejercida por el medio situado en el lado de la superficie hacia donde apunta la normal n sobre el medio situado al otro lado de la superficie.

n

Figura 2.1: El producto τ n es la fuerza por unidad de superficie ejercida por el medio

·

situado en el lado hacia donde apunta la normal sobre el medio situado al otro lado.

Como consecuencia la fuerza de superficie total aplicada sobre un volumen cualquiera V c está dada por la integral de superficie F =

∫

s(r, n) dS

(2.3)

∂V c

siendo ∂ V c la superficie que limita a V c y n la normal a ∂ V c orientada hacia el exterior. Las fuerzas por unidad de superficie pueden ser tangentes a la superficie considerada, en cuyo caso se denominan tensiones cortantes o de cizalla ; o normales a la superficie considerada. De estas u ´ ltimas, seg´ un el convenio adoptado más arriba, una fuerza con signo positivo corresponde a una tensi´ on y una negativa a una compresi´ on . Por el principio de acci´ on y reacci´ on la fuerza por unidad de superficie ejercida por el medio situado en el lado de la superficie desde donde apunta n, sobre el medio situado al otro lado de la superficie, está dada por s (Fig. 2.1). Esto implica que s es una función impar de n

−

s(r,

−n) = −s(r, n)

(2.4)

Consideremos el elemento infinitesimal de volumen dado por el tetraedro representado en la figura F. 2.2. Las normales orientadas hacia el exterior a las superficies perpendiculares a los ejes x, y y z están dadas por los vectores unitarios i, j y k respectivamente, y llamaremos n a la normal (orientada hacia el exterior) a la superficie AB C . Recordando que la fuerza por unidad de superficie es una función impar de la normal, la fuerza resultante aplicada sobre este elemento de volumen (dV ) situado en r es

− − −

f (r) dV + s(r , n) dσ

− s(r, i) dσx − s(r, j ) dσy − s(r, k) dσz

(2.5)


32

z C

dσy

dσx B

y

dσz A

x Figura 2.2: Elemento infinitesimal de medio material con forma de tetraedro.

donde hemos denominado dσ al área de la superficie ABC , dσx al área de la superficie perpendicular al eje x, y similarmente para las superficies perpendiculares a los ejes y y z, y donde f es la resultante de las fuerzas aplicadas por unidad de volumen sobre este elemento (por ejemplo su peso por unidad de volumen). Dividiendo por dV y tomando el l´ımite dV 0 el término debido a las fuerzas por unidad de volumen tiende al valor de la aceleración del elemento considerado (multiplicado por la masa por unidad de volumen, es decir, por la densidad). Sin embargo, los términos debidos a las tensiones divididos por dV divergen, ya que el elemento de volumen es proporcional al cubo de la dimensión lineal del tetraedro, mientras que los elementos de superficie son proporcionales al cuadrado de la dimensi´ on lineal del tetraedro. La única posibilidad de resolver esta paradoja de manera compatible con el principio de conservación del momento lineal (segunda ley de Newton), es que la resultante de todas las fuerzas de superficie aplicadas sobre el elemento diferencial considerado sea nula en el l´ımite dV 0, es decir, cuando todas las contribuciones se evaluan en el mismo punto. Por tanto, en el l´ımite dV 0 la tensión ejercida en un punto cualquiera ( r), a través de una superficie cualquiera (con normal n), está dada por

→

→

→

s(r , n)dσ = s (r, i)dσx + s(r, j )dσy + s(r, k)dσz

(2.6)

Por otra parte es muy fácil ver que los elementos de superficie dσi están relacionados con dσ por medio de dσx = n 1 dσ, dσy = n 2 dσ, dσz = n 3 dσ (2.7) siendo n i las componentes covariantes de n. Por tanto llegamos finalmente a s(r, n) = s (r , i)n1 + s(r, j )n2 + s(r , k)n3

(2.8)

que expresa la tensión ejercida en el punto r a través de la superficie con normal n como combinaci´ on lineal de las tensiones ejercidas en r a trav´ es de las tres superficies perpendiculares a los ejes.


33

La anterior expresión se puede expresar de una manera más compacta por medio del tensor de tensiones (o tensor de esfuerzos ) τ definido por

τ (r) = (s(r, i)

s(r, j )

s(r, k)) =

 

sx (

r, i)

sx (

r, j )

sx (

r , k)

sy (r, i) sy (r, j ) sy (r, k) sz (r, i) sz (r, j ) sz (r , k)

 

(2.9)

Definido de esta manera, la componente τ ij del tensor de tensiones representa la componente seg´ un el eje i de la tensión ejercida sobre el medio, en el punto r , a través del elemento de superficie perpendicular a la dirección j . Con esto la tensión ejercida a trav´ es de la superficie perpendicular a n (figura 2.1) queda como (2.10) s(r , n) = τ (r) n En componentes cartesianas la anterior expresión queda como si = τ ij n j

(2.11)

donde se ha omitido la dependencia en r y se ha empleado el convenio de suma de Einstein. Esto nos define el tensor de tensiones como un tensor 2-contravariante, ya que (como veremos más adelante) las fuerzas se describen de manera natural por medio de sus componentes contravariantes y la normal a una superficie como un vector covariante. El tensor de tensiones es un objeto con rango tensorial 2, y como puede verse las dos direcciones que entran en juego en este caso son las de la normal a la superficie considerada y la definida por la fuerza por unidad de superficie que se ejerce a través de dicha superficie. El tensor de tensiones caracteriza totalmente el estado de tensiones internas en el interior de un material, ya que, por medio de Ec. (2.11), permite calcular la tensión ejercida en cualquier punto del material a través de una superficie cualquiera. Por otra parte, imponiendo que el momento neto aplicado sobre el tetraedro infinitesimal (Fig. 2.2) debe ser nulo en el l´ımite dV 0, es muy ij ji fácil comprobar que el tensor de tensiones es necesariamente sim´ etrico τ = τ . De modo que para caracterizar totalmente el estado de tensiones en el interior de un material basta conocer 6 funciones (τ 11 , τ 22 , τ 33 , τ 12 , τ 13 , τ 23 ) que dependen exclusivamente del vector de posición r .

→

Medios el´ asticos y fluidos Newtonianos

En un medio elástico las tensiones son proporcionales a las deformaciones, que están a su vez descritas por un tensor de orden 2, de tal forma que en ese caso la constante de proporcionalidad es nada menos que un tensor de orden 4, denominado tensor de elasticidad . El motivo por el que es necesario un tensor de orden 2 para describir el estado de deformaciones existente en un material es el siguiente. Al deformar un material, cada elemento diferencial de volumen se desplaza desde su posición en el material no deformado a su posición en el material deformado, lo cual nos define un vector desplazamiento u que depende del punto. Es evidente que un desplazamiento u constante en todo el material corresponde a que el material se desplaza como un todo, sin deformarse. Las deformaciones aparecen cuando puntos del material inicialmente próximos se desplazan de forma distinta, por tanto para describir las deformaciones necesitamos analizar las derivadas del vector desplazamiento respecto de cada una de las direcciones del espacio, es decir ∂u i /∂x j , lo que nos produce un tensor de segundo orden. Como consecuencia la constante de proporcionalidad entre tensiones y deformaciones es un tensor de orden 4, con 34 = 81 componentes. Esto parece indicar que para describir las propiedades


34

elásticas de cualquier medio tendr´ıamos que suministrar nada menos que 81 constantes elásticas. En realidad, como consecuencia de la simetr´ıa del tensor de elasticidad, el número de constantes diferentes es mucho menor (en la mayor´ıa de los casos sólo 2). Para empezar, tal y como hemos mencionado m´ as arriba puede demostrarse fácilmente que el tensor de tensiones es necesariamente ij simétrico τ = τ ji (de lo contrario no puede cumplirse la conservación del momento angular). Por otra parte el tensor de deformaciones está dado sólo por la componente simétrica de ∂ui /∂x j , es de1 j i cir, por e ij etrica ( 12 ∂u i /∂x j ∂u j /∂x i ) 2 ∂u i /∂x + ∂u j /∂x , ya que la componente antisim´ describe rotaciones tipo s´ olido r´ıgido, que no introducen deformaciones. Como consecuencia de esta simetr´ıa, de las 81 componentes elásticas del tensor de elasticidad sólo puede haber 36 distintas. Por otra parte, en la mayor´ıa de los casos los medios elásticos considerados tienen cierta simetr´ıa, es decir, son invariantes (y todas sus propiedades f´ısicas tambi´ en) bajo ciertas operaciones, como por ejemplo rotaciones o reflexiones. Esta simetr´ıa impone ligaduras entre los posibles valores de las 36 constantes elásticas anteriores, haciendo que disminuya el número de constantes independientes. En u ´ ltima instancia, en un medio elástico isótropo la respuesta el´ astica del medio es la misma independientemente de la dirección considerada, y como consecuencia las propiedades elásticas son invariantes bajo cualquier rotación. En ese caso de las 36 constantes elásticas anteriores, en realidad sólo hay 2 distintas, que se suelen tomar como el m´ odulo de Young y el Coeficiente de Poisson . En el caso de un fluido la situación es similar, pero en ese caso las tensiones viscosas no son proporcionales a la deformació n, sino a la velocidad de deformaci´ on , es decir, a la deformación introducida por unidad de tiempo como consecuencia del movimiento del fluido. Esta velocidad 1 j i de deformación está dada por el tensor eij 2 ∂u i /∂x + ∂u j /∂x , donde ahora el vector u representa el desplazamiento por unidad de tiempo de cada punto del fluido, es decir, el campo de velocidades del fluido. Los fluidos en los que se cumple la aproximación lineal entre tensiones viscosas y velocidad de deformación se denominan Newtonianos . Igual que hay sólidos no elásticos, también hay fluidos no Newtonianos, en ellos la aproximación lineal entre tensiones y deformaciones no es válida. An´ alogamente a como suced´ıa en los medios elásticos, en los fluidos Newtonianos el coeficiente de proporcionalidad entre el tensor de tensiones y el de velocidad de deformación es un tensor de orden 4, en el que por la simetr´ıa del tensor de tensiones y del de velocidad de deformación (ambos simétricos) s´ olo puede haber 36 componentes distintas. La inmensa mayor´ıa de los fluidos son isótropos, de modo que en esos casos de las 36 componentes anteriores sólo hay 2 independientes, que se definen en términos de la viscosidad de cizalla y la viscosidad de volumen .

≡

(



(

≡

2.2.3.

(

−





Derivaci´ on de campos tensoriales

Un campo tensorial es un objeto con comportamiento tensorial bien definido, pero cuyo valor depende del punto en que nos encontremos en el espacio. Los familiares campos escalares (como un campo de temperaturas) o vectoriales (como un campo de velocidades o el vector campo el´ ectrico) son ejemplos de campos tensoriales de orden 0 y 1 respectivamente. El estado de tensiones ejercidas en el interior de un material nos proporciona un ejemplo de campo tensorial de orden 2. En espacios Eucl´ıdeos, cuando se usan coordenadas cartesianas, la derivación parcial respecto de las coordenadas espaciales es una operación que aumenta en 1 el rango tensorial del objeto resultante cada vez que se aplica. Por ejemplo, ya hemos mencionado que un campo de temperaturas T = T (x,y,z) es una magnitud escalar. Sin embargo su gradiente ∇T , con componentes cartesianas ∂T/∂xi es un vector 1-covariante, y su derivada segunda (con componentes cartesianas ∂ 2 T /(∂x i ∂x j )) es un tensor 2-covariante. En general al derivar respecto de las coordenadas cartesianas contravariantes x i aumentamos en 1 el rango tensorial covariante del objeto. En el apartado anterior hemos llegado a considerar tensores de orden 4, en cualquier caso en que entren en juego

´ DE TENSOR 2.3. DEFINICI ON

35

las derivadas direccionales de estos tensores estaremos manejando tensores de orden superior. En el caso de espacios no Eucl´ıdeos, o de espacios Eucl´ıdeos descritos en términos de coordenadas curvil´ıneas, la operación de derivación direccional con comportamiento tensorial bien definido es la derivada covariante , que es la generalización de la derivada parcial al caso en que los vectores de la base no son constantes, sino que var´ıan de un punto a otro. Entender bien el significado y propiedades de la derivada covariante es, posiblemente, el objetivo más importante de este curso. El motivo es el siguiente, ya hemos mencionado que las leyes f´ısicas pueden expresarse de manera independiente al sistema de referencia empleado como ecuaciones tensoriales; en la mayor´ıa de los casos las leyes f´ısicas expresan principios de conservaci´ on que cumplen unas magnitudes (masa, energ´ıa, momento, . . . ) descriptibles como campos tensoriales; estos principios de conservaci´ on se expresan como ecuaciones en las que entran las derivadas direccionales de estos campos, es decir, como ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Pues bien, en la expresión tensorial de estas leyes la derivada direccional que entra en juego es la derivada covariante . Antes de estudiar la definición y propiedades de la derivada covariante es conveniente estudiar a fondo algunas propiedades generales de tensores de rango arbitrario. De todas formas, esperamos que esta sección haya servido para estimular cierta intuición f´ısica sobre el concepto de tensores y su uso en f´ısica, incluyendo algunos tensores de rango elevado.

2.3.

Definici´ on de tensor

Una vez hemos visto la idea intuitiva de tensor y algunos ejemplos de tensores empleados en f´ısica, vamos a ver a continuación la definición formal de tensor. 2.3.1.

Espacio producto tensorial

Dados los espacios vectoriales 1 y 2 sobre el cuerpo , con dimensiones n 1 y n 2 respectivamente, se define el espacio producto tensorial 1 2 como el espacio vectorial de n1 n2 dimensiones cuyos elementos están dados por x y para cualquier par de vectores x 1 e y 2. El elemento x y de 1 2 se denomina producto tensorial de los vectores x e y . En el caso particular en que 1 = 2 , el producto x y se denomina también producto di´ adico, y en ese caso la diada x y se denota a veces sencillamente por xy. El producto tensorial de dos espacios puede entenderse como la tabla de productos cartesianos ordenados de todos los elementos x 1 por los y 2 , dotada de las siguientes propiedades:

⊗

⊗

⊗

⊗

∈

· ∈

⊗

⊗

∈

∈

propiedad distributiva respecto a la suma de vectores en ambos argumentos 1,

∀x ∈

∀ y1, y2 ∈

∀x1, x2 ∈

1,

∀y ∈

2,

x

⊗ (y1 + y2) = x ⊗ y1 + x ⊗ y2

2,

(x1 + x2 )

⊗ y = x1 ⊗ y + x2 ⊗ y

(2.12)

(2.13)

propiedad asociativa respecto al producto por escalares

∀x ∈

1,

∀y ∈

2,

∀λ ∈

,

λ (x

⊗ y) = (λx) ⊗ y = x ⊗ (λy)

(2.14)

n2 1 Base del espacio producto tensorial : si ei ni=1 es una base de 1 y e j j=1 es una base de e j con i = 1, . . . , n1 , y j = 1, . . . , n2 es una base de 1 2 , entonces eij = ei 2 . La base construida de esta manera se denomina base producto tensorial de las bases de partida.

{ } { ⊗ }

{ }

{ }

⊗


36

Como consecuencia de estas propiedades, dados los vectores x = x i ei producto tensorial x y puede ponerse en componentes como

⊗

∈

1

e y = y j e j

2,

∈

el

⊗ y = xiy j eij (2.15) Una vez formado el espacio producto tensorial 1 ⊗ 2 , podemos construir el espacio producto x

tensorial de este por un tercer espacio

3,

de tal forma que se verifica la

propiedad asociativa del producto tensorial, para cualesquiera espacios vectoriales se cumple ( 2 1 2 3 = ( 1 2) 3 = 1 3)

⊗ ⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

1,

2,

3

(2.16)

Por medio de la propiedad anterior podemos construir de manera recursiva el espacio producto tensorial de cualquier conjunto de espacios vectoriales 1 2 p , o de un mismo espacio vectorial por s´ı mismo un n´ umero arbitrario ( p) de veces. Con frecuencia esto se denomina potencia tensorial p de y se denota por ⊗ p . Por completitud, en el caso p = 0 se define el espacio ⊗0 como el cuerpo de escalares ( ) sobre el que est´ a definido el espacio vectorial . En nuestro caso normalmente tendremos ⊗0 = . Una vez construido el espacio producto tensorial 1 2 p , se definen como tensores construidos sobre los espacios base 1 , 2 , . . . , p a todos los elementos de 1 2 p.

⊗ ⊗···⊗

⊗ ⊗···⊗

2.3.2.

⊗ ⊗···⊗

Tensores afines

Dado el espacio vectorial , consideramos el espacio dado por el producto tensorial de s copias de y r copias del espacio dual ⋆ . Si la dimensió n de es n, entonces la dimensión de este r+s espacio es n . Se denominan tensores afines ligados al espacio a todos los elementos del espacio producto tensorial de con s´ı mismo y su dual un número arbitrario de veces. La mayor´ıa de los tensores empleados en f´ısica son tensores afines, de hecho este tipo de tensores son los más empleados en la práctica, de tal forma que con much´ısima frecuencia se les denomina sencillamente tensores. En este curso siempre que hablemos de tensores nos estamos refiriendo a tensores afines, de acuerdo a la definición anterior. n Dadas las bases ei ni=1 de y ei i=1 del espacio dual ⋆ , los elementos T del espacio producto tensorial ⋆ ⊗r ⋆ ⋆ ⊗s = ⋆ ... ... (2.17)

{ }

⊗

{}  ⊗  ⊗  ⊗  ⊗  ⊗  r veces

s veces

pueden ponerse en componentes como ... is T = T ji11 j i22 ... jr e i1

⊗ ei ⊗ . . . ⊗ ei ⊗ e j ⊗ e j ⊗ . . . ⊗ e j 2

1

2

(2.18)

r

s

Si realizamos un cambio de base en , dado por la matriz de cambio de base C , esto induce el correspondiente cambio de base en el espacio dual ⋆ y como consecuencia tambi´ en en el espacio r ⊗ ⋆ s ⊗ producto tensorial . Como resultado del comportamiento covariante de la base de y contravariante de la correspondiente base dual, es muy sencillo comprobar que el conjunto de ... is componentes T ji11 j i22 ...j se transforma de acuerdo a la regla de transformación tensorial r-covariante r s-contravariante definida en Ec. (2.1). Para ello basta con sustituir cada uno de los vectores de las n n ˜i ni=1 y e ˜ i i=1) bases viejas ( ei ni=1 y ei i=1 ) en términos de los vectores de las bases nuevas ( e y aplicar la propiedad asociativa del producto tensorial frente al producto por escalares. ⊗s la ley de transformaVemos por tanto que en el contexto del espacio vectorial ⋆ ⊗r ción bajo cambios de base dada por Ec. (2.1) es totalmente natural, y puede entenderse como la

⊗

{ }

{}

{ }

⊗

{}

´ DE TENSOR 2.3. DEFINICI ON

37

generalizaci´ on al espacio producto tensorial de las conocidas leyes de transformación de las componentes de un vector de bajo cambios de base. Esta ley de transformaci´ on garantiza que el objeto ⋆ ⊗r s definido en Ec. (2.18) es invariante bajo cambios de base. ⊗ T

∈

⊗

2.3.3.

´ Algebra tensorial

Dada la estructura de espacio vectorial que hemos asignado al espacio producto tensorial por medio de las propiedades distributiva respecto a la suma de vectores (Ec. (2.12)) y asociativa respecto al producto por escalares (Ec. (2.14)), sobre los tensores generales tenemos definidas las operaciones de suma de tensores y producto por escalares. Suma de tensores : Dados 2 tensores del mismo tipo, es decir, pertenecientes al mismo espacio producto tensorial , se define la suma de tensores como el tensor que resulta de sumar estos componente a componente (obviamente estamos dando por hecho que estas componentes están referidas a la misma base).

• El tensor que se obtiene al sumar dos tensores dados pertenece al mismo espacio que los anteriores y es u ´ nico

∀A, B ∈

,

∃!C = A + B ∈

is i1 i2 ... is i1 i2 ...is C ji11 j i22 ... ...jr = A j1 j2 ... jr + B j1 j2 ...jr

,

(2.19)

• Dos tensores de distinto tipo, es decir, que no pertenezcan al mismo espacio producto tensorial, no se pueden sumar.

• Dado que la suma de tensores se realiza componente a componente, esta operación cumple las propiedades habituales de la adición (conmutativa, asociativa, elemento neutro, elemento opuesto).

Producto por escalares : Dado un tensor T perteneciente a un determinado espacio producto tensorial , se define el producto del tensor T por el escalar λ como el resultado de multiplicar cada una de las componentes del tensor por el escalar.

• El tensor que se obtiene al multiplicar un tensor dado por un escalar pertenece al mismo espacio que el tensor de partida y es único

∀T ∈ 2.3.4.

,

∃!T ′ = λT ∈

,

i i ...i

...is T ′ j11 j22 ... jsr = λT ji11 j i22 ... jr

(2.20)

Producto tensorial

La operaci´ on producto tensorial de dos vectores definida previamente, se generaliza de manera automática al caso de 2 tensores de rango arbitrario A y B , pertenecientes a dos espacios producto tensorial arbitrarios 1 y 2 . El resultado de este producto es único y pertence al espacio producto tensorial 1 2: !C = A B (2.21) A 1, B 2, 1 2

⊗

∀ ∈

∀ ∈

∃

⊗ ∈

⊗

Dados los desarrollos en componentes de A y B is A = A ji11 ... ... jr e i1

⊗ . . . ⊗ ei ⊗ e j ⊗ . . . ⊗ e j

k ... k

r

(2.22)

⊗ . . . ⊗ ek ⊗ eℓ ⊗ . . . ⊗ eℓ

(2.23)

1

s

B = B ℓ11 ... ℓpq ek1

1

q

p


38 la base producto tensorial de las bases de

1

y

a 2 est´

dada por

⊗ . . . ⊗ ei ⊗ e j ⊗ . . . ⊗ e j ⊗ ek ⊗ . . . ⊗ ek ⊗ eℓ ⊗ . . . ⊗ eℓ

ei1

1

1

r

1

s

p

q

(2.24)

y las componentes del tensor C referidas a esta base están dadas por i ...i k ... k

k ...k

q 1 is C j11 ... jsr ℓ11 ...ℓpq = A ji11 ... ... jr B ℓ1 ... ℓp

(2.25)

Como puede verse, si A es un tensor r-covariante s-contravariante y B es un tensor p-covariante q -contravariante, el objeto definido por el producto tensorial A B es un tensor de rango r + pcovariante s + q -contravariante. En ocasiones el producto tensorial se denomina producto exterior .

⊗

2.4.

Aplicaciones multilineales

Las operaciones definidas hasta ahora permiten sumar tensores del mismo tipo, multiplicarlos por escalares y construir tensores de rango superior por medio del producto tensorial. Si visualizamos los tensores por medio de “matrices multidimensionales”, las operaciones anteriores nos permiten construir combinaciones lineales de estas matrices y también matrices de mayor dimensionalidad por medio del producto tensorial. La propiedad que hace tan útiles las matrices ordinarias es que representan aplicaciones lineales, de tal forma que el producto matricial de una matriz por un vector A x = y (2.26)

·

nos permite calcular la acción de dicha aplicación lineal sobre el vector (A(x) = y ). Análogamente, el producto matricial de dos matrices C = B A nos genera una matriz que representa la aplicación lineal resultante de la composición de las aplicaciones lineales dadas por las matrices de partida

·

C x = y ,

y = B(A(x))

·

(2.27)

La gran utilidad de los tensores es que permiten generalizar el producto matricial a objetos multidimensionales, de rangos co- y contra-variantes arbitrarios, de tal forma que podemos emplearlos como aplicaciones multilineales definidas entre espacios pro ducto tensorial. El término multilineal se refiere a que los tensores definen aplicaciones lineales respecto de cada uno de sus ´ındices. Para emplear los tensores como aplicaciones multilineales es preciso definir primero la conocida operación de contracci´ on de ´ındices . 2.4.1.

Contracci´ on de ´ındices

La operaci´ on de contracción de ´ındices que definimos a continuaci´ on puede considerarse como una generalizaci´ on de la traza de un operador lineal. En el cap´ıtulo anterior hemos definido la traza de un operador lineal A, con matriz A ji , como el escalar dado por tr(A) = Aii . La operación que hemos realizado para calcular tr(A) es la contracci´ on del ´ındice contravariante de A ji con su ´ındice covariante; esta contracción está dada por la suma de Aii para todos los valores posibles de i, de acuerdo con el convenio de suma de Einstein. ... is En general, dado el tensor r-covariante s-contravariante con componentes T ji11 j i22 ... jr , la contracción del super´ındice i s con el sub´ındice j r , dada por n

∑

α=1

i i ... i

T j11 j22 ...jsr

1 α 1 α

−

−

i i ... i

= T j11 j22 ... jsr

1 1

−

−

(2.28)

39

2.4. APLICACIONES MULTILINEALES

genera un tensor de orden r 1-covariante s 1-contravariante, con las componentes que acabamos ... is de indicar. Similarmente a como hemos hecho para contraer los dos últimos ´ındices de T ji11 j i22 ...j , r podr´ıamos haber tomado cualquier otro par de ´ındices co- y contra-variantes, calcul´ andose la correspondiente contracci´ on de manera análoga:

−

−

⋆ se igualan los valores de los ´ındices escogidos a un ´ındice mudo ( α en Ec. (2.28)) y se suma para todos los valores posibles del ´ındice mudo. Al contraer un ´ındice covariante con uno contravariante sus comportamientos co- y contra-variantes se cancelan, resultando en un objeto tensorial cuyos órdenes co- y contra-variantes se han reducido en una unidad. Podemos contraer cualquier pareja de ´ındices, la u ´ nica condición es que siempre se contrae un ´ındice co-variante con otro contra-variante. La contracci´ on de dos ´ındices del mismo tipo no i está definida (p. ej. tr(A) = A i , pero g ii no tiene ning´ un sentido, por el contrario, g ii si está definido y es muy sencillo de calcular). De manera un poco más formal, dado un espacio vectorial y su dual ⋆ , existe una aplicaci´ on ⋆ lineal definida sobre ⋆ con imagen en el cuerpo , tal que a cada elemento x⋆ y le hace corresponder la acción de la aplicación x⋆ sobre el vector y, dada por x⋆ (y ) = x y (siendo x el vector asociado a la aplicación x⋆ por medio del teorema de Riesz-Fréchet). De esta forma, si tenemos la aplicaci´ on lineal A = A ji e j on del super´ındice i con el ei , la contracci´ j i j i i sub´ındice j corresponde a A j e (ei ) = A j δ i = A i (por definición de base dual). En el caso de un tensor de orden superior, la contracción de dos ´ındices cualesquiera (α y β ) se calcula de manera análoga, sustituyendo eβ eα por eβ (eα ) = δ αβ . Esta forma de definir la contracción de ´ındices pone de manifiesto de manera m´ as evidente que sólo se pueden contraer ´ındices covariantes con ´ındices contravariantes (y viceversa) y que el objeto resultante tiene el comportamiento tensorial que hemos mencionado.

⊗

⊗ ∈ ⊗ · ∈

⊗

⊗

2.4.2.

Producto de contracci´ on

Una vez definida la contracción de ´ındices, definimos el producto de contracci´ on de los tensores k1 ... kq y B ℓ1 ...ℓp respecto de sus ´ındices j r y k q como el resultado de contraer dichos ´ındices en el tensor producto tensorial de los dos tensores dados, es decir is A ji11 ... ...jr

i ... i k1 ...kq 1 1 ℓ1 ... ℓp

C j11 ... jsr

−

−

s = A ji11 ...i ...jr

k ... k

1 α

−

Bℓ11 ... ℓpq

1 α

−

(2.29)

donde, por supuesto, hay suma respecto al ´ındice mudo α. Dado que el producto tensorial tiene comportamiento tensorial bien definido, y la contracción de ´ındices también, el producto de contracción genera un objeto con comportamiento tensorial bien definido, con rango tensorial (r + p 1)-covariante (s + q 1)-contravariante en el caso anterior. En este caso hemos realizado el producto de contracción de A por B respecto del último ´ındice covariante de A y el último ´ındice contravariante de B . Análogamente, podr´ıamos haber calculado el producto de contracción respecto de cualquier otra pareja de ´ındices, con la u ´ nica restricción de tener un ´ındice de cada tipo. Cuando se manejan tensores se emplea constantemente el producto de contracción. En este curso lo hemos estado haciendo incluso desde el primer cap´ıtulo, p. ej. con expresiones del tipo x y = g ij xi y j , con las que hemos trabajado desde mucho antes de antes de definir el producto tensorial y la contracción de ´ındices. Otro ejemplo son todas las leyes de transformación de las componentes de cualquier tensor ante un cambio de base, que tambi´ en están

−

·

−


40

dadas por los correspondientes productos de contracción del tensor con la matriz del cambio y su inversa. El producto de contracción generaliza a tensores de orden arbitrario el producto de matrices. De hecho, el producto matricial C ji = A ik B jk está dado por la contracci´ on de A iα B jβ respecto de los ´ındices α y β . El producto escalar (x y = g ij xi y j = x i yi = x i yi ) también está dado por un producto de contracción. Una vez más, es importante darse cuenta de que sólo se pueden contraer ´ındices correspondientes a comportamientos tensoriales opuestos (uno covariante con uno contravariante). ⋆ ⊗r ⊗s, con componentes Por medio de esta operación podemos considerar el tensor T ...is ⊗r T ji11 j i22 ... on multilineal definida sobre el espacio producto tensorial ⋆ ⊗s jr , como una aplicaci´ con imagen en el cuerpo de escalares (en nuestro caso ), de tal forma que para cada elemento j1 j2 ... jr s ⊗ ⋆ r ⊗ (con componentes Ai1 i2 ...is ) la aplicación T le hace corresponder un escalar, A de dado por el correspondiente producto de contracción

·

∈

⊗

⊗

⊗

j j ...j

...is r 1 2 T A = T ji11 j i22 ... jr A i1 i2 ... is

·

∈

(2.30)

donde hay suma respecto de todos los ´ındices. Como puede verse, la aplicación definida por este producto de contracción es lineal respecto de cada uno de los ´ındices, es decir, es multilineal. En algunos casos el elemento A sobre el que aplicamos el tensor T estará dado por el producto tensorial de r vectores de y s vectores del dual ⋆ , de tal forma que la aplicaci´ on T definida sobre v1 v r v ⋆1 v ⋆s es lineal respecto de cada una de sus variables, todo esto hace que los tensores puedan definirse como aplicaciones multilineales . Análogamente a como suced´ıa con el producto matricial, el producto de contracci´ on de dos tensores representa la composición de las aplicaciones lineales definidas por cada uno de ellos.

⊗···⊗ ⊗ ⊗···⊗

2.5.

Criterios de tensorialidad

Dado un objeto presuntamente tensorial, es conveniente disponer de una serie de reglas prácticas que nos permitan determinar de una manera rápida si el objeto en cuestió n es o no un tensor. Las operaciones que hemos estudiado hasta ahora nos permiten identificar un comportamiento tensorial en muchos casos. A continuación incluimos un resumen con los criterios de tensorialidad más importantes. Invariancia : Un objeto del tipo ...is T = T ji11 j i22 ... jr e i1

⊗ ei ⊗ . . . ⊗ ei ⊗ e j ⊗ e j ⊗ . . . ⊗ e j 2

1

2

(2.31)

r

s

es un tensor r-covariante s-contravariante si y sólo si es invariante bajo cambios de base. ...is Ley de transformaci´ on tensorial : El conjunto de coordenadas T ji11 j i22 ... jr , ligado a una base determinada, corresponde a un tensor r-covariante s-contravariante si y sólo si bajo el cambio de base C (con inversa D C −1 ) se transforma de acuerdo a

≡

˜ i1 i2 ... is = C p1 C p2 . . . C p r Di1 D i2 . . . D is T q1 q2 ...qs T q1 q2 qs p1 p2 ... pr j1 j2 ...jr j1 j2 jr

      r veces

(2.32)

s veces

Suma y producto por escalares : Dados dos tensores del mismo tipo ( T 1 y T 2 ), cualquier combinaci´ on lineal de ellos (λT 1 + µT 2 , con λ y µ escalares) genera un tensor del mismo tipo que los de partida.

41

2.5. CRITERIOS DE TENSORIALIDAD

Producto tensorial : Dados dos tensores de orden r1 -covariante s1 -contravariante y r2 -covariante s2 -contravariante, su producto tensorial es un tensor de orden r1 + r 2 -covariante s1 + s 2 contravariante. Producto de contracci´ on : Dados dos tensores de orden r1 -covariante s1 -contravariante y r2 covariante s 2 -contravariante, su producto de contracción respecto de cualquier pareja de ´ındices (siempre uno de cada tipo) es un tensor de orden r1 + r 2 1-covariante s1 + s 2 1contravariante.

−

−

Permutaci´ on de ´ındices : Dado un tensor, el objeto que resulta de permutar dos ´ındices del mismo tipo es un tensor del mismo tipo que el tensor de partida. Por ejemplo, dado el tensor 2covariante Aij , el ob jeto con componentes A ji también es un tensor 2-covariante. Sin embargo, en general el ob jeto que resulta de permutar dos ´ındices de distinto tipo no será un tensor. Criterio del cociente : Dada una relación del tipo A = C B

·

(2.33)

donde representa un producto de contracció n de C con B respecto de alguna pareja (o algunas parejas) de ´ındices, si A y B son dos tensores entonces el objeto C es necesariamente un tensor, cuyo orden co- y contra-variante está determinado por los de A y B y por el número de ´ındices de B que se hayan contraido.

·

Por ejemplo, en la relación entre polarizaci´ on y campo eléctrico P = α E el hecho de que P y on lineal entre deformación E son vectores garantiza que α es un tensor; análogamente, la relaci´ y tensión en un material elástico nos garantiza que la constante de proporcionalidad es un tensor, dado que las tensiones y las deformaciones son tensores. El nombre “criterio del cociente” se debe a que el tensor C parece estar definido por la relación anterior como el “cociente” de los tensores A y B, sin embargo no existe una operación “divisi´ on de tensores”. A estas alturas deber´ıa haber quedado clara la gran utilidad de la notaci´ on que hemos empleado desde el principio para escribir componentes covariantes y contravariantes de tensores, no solamente porque indica de manera inmediata el tipo de comportamiento bajo cambios de base, sino porque permite identificar rápidamente expresiones tensoriales correctas e incorrectas. Por ejemplo, en la expresión R = g ij Rij = g ij g ℓmRiℓjm ✓ vemos automáticamente que R representa un escalar (suponiendo que R iℓjm y g ij son tensores), ya que en ella todos los ´ındices están contraidos correctamente (uno covariante con uno contravariante). Por otra parte, la expresi´ on α M βα = M βγ γ

×

no define un tensor de ningún tipo, ya que representa la contracción respecto de dos ´ındices del mismo tipo. La notaci´ on que estamos empleando también facilita enormemente escribir la ley de transformación tensorial que cumplen las componente de un tensor de cualquier tipo. Por ejemplo, supongamos que queremos escribir la ley de transformación de las componentes del tensor de curvatura de Riei bajo el cambio de base C i , para ello podemos aplicar la siguiente regla nemot´ mann R jkℓ ecnica: j


42

1. En términos de la nueva base los valores de las componentes de este tensor habrán cambiado, pero el tensor sigue siendo del mismo tipo. Denotamos las componentes en la nueva base por ˜i R jkℓ

2. Dado que se trata de un objeto 1-contravariante 3-covariante, la ley de transformaci´ o n de i R jkℓ incluye a la matriz del cambio 3 veces y a su inversa 1 vez. La ley de transformación que estamos buscando tiene entonce el siguiente aspecto ˜ i :::: D · C · C · C · R · R jkℓ

· · · · ···

3. Cada una de las matrices C y D da lugar al correspondiente ´ındice co- y contra-variante de ˜ i , por tanto escribimos R jkℓ ˜ i :::: D i C · C · C · R· R · j k ℓ ··· jkℓ 4. Finalmente, para obtener una expresi´ on tensorial válida todos los ´ındices de R···· en el lado · derecho deben estar contraidos correctamente. Lógicamente, el ´ındice contravariante de R··· debe estar contraido con el sub´ındice de la matriz inversa D, mientras que cada uno de los ´ındices covariantes deben estar contraidos con los correspondientes super´ındices de cada una de las matrices del cambio C . Esto nos lleva a ˜ i = D i C α C β C γ Ra R jkℓ

a

j

k

ℓ

αβγ

que es la ley de transformación buscada. Esta regla nemotécnica permite escribir r´ apidamente cualquier ley de transformación tensorial, sin necesidad de memorizar la expresión general Ec. (2.32).

2.6.

Tipos de tensores

Por u ´ltimo vamos a cerrar este cap´ıtulo con una breve clasificación de tensores y algunas definiciones. Los tensores suelen clasificarse de acuerdo al tipo de componentes que los describen o a las reglas de simetr´ıa que cumplen estas componentes. Como veremos en los cap´ıtulos siguientes, es muy relevante saber con qu´ e tipo de tensor estamos trabajando. En lo referente a la simetr´ıa esto es especialmente importante por dos motivos: por un lado la simetr´ıa de las componentes de un tensor responde a la simetr´ıa de la magnitud f´ısica que describe; por otro lado conocer las relaciones de simetr´ıa que cumplen las componentes de un tensor nos permitirá realizar determinadas manipulaciones algebraicas de manera muy rápida. Tensores asociados

La contracci´ on con el tensor métrico gij (o con su inverso g ij ) produce la bajada (o subida si contraemos con el inverso) del ´ındice que hemos contra´ıdo, tal y como ya vimos en el primer cap´ıtulo. Los tensores relacionados entre s´ı por esta operación se denominan tensores asociados . En el primer cap´ıtulo ya vimos un ejemplo de tensores asociados dado por las componentes co- y contra-variantes de un vector (vi = g ij v j , v i = g ij v j ). Esto se generaliza directamente a tensores de cualquier orden, por ejemplo, la versión puramente covariante del tensor de curvatura de Riemann k . está dada por R ijαβ = g ik R jαβ La operaci´ on de subida y bajada de ´ındices es reversible, ya que al ser gij y g ij inversos uno del otro, si volvemos a contraer con g ij (en caso de haber contra´ıdo antes con gij , y viceversa) recuperamos las componentes de partida.

43

2.6. TIPOS DE TENSORES

Tipo de componentes

En referencia al tipo de componentes los tensores pueden clasificarse en: Tensores contravariantes de rango q (o q -contravariantes): objetos tensoriales con q componentes contravariantes (y ninguna covariante). Tensores covariantes de rango q (o q -covariantes): objetos tensoriales con q componentes covariantes (y ninguna contravariante). Tensores mixtos : objetos tensoriales con componentes de ambos tipos. Simetr´ ıa

Dependiendo de la simetr´ıa de las componentes tenemos Tensores simétricos : un tensor es simétrico respecto a dos ´ındices del mismo tipo si sus componentes no cambian al permutar estos ´ındices. Por ejemplo, un tensor 2-covariante A ij es simétrico si ij Aij = A ji . Análogamente, el tensor métrico dual g ij es simétrico dado que ij g ij = g ji .

∀

∀

Tensores antisimétricos : un tensor es antisim´ etrico respecto a dos ´ındices del mismo tipo si sus componentes cambian con un factor 1 al permutar estos ´ındices.

−

Por ejemplo, el tensor ω ij es antisimétrico respecto de sus ´ındices i y j si ij ωij =

∀

−ω ji .

Un tensor que sólo tenga componentes de un tipo (o bien covariantes o bien contravariantes) se dice completamente simétrico (respectivamente completamente antisimétrico) si sus componentes son sim´ etricas (respectivamente antisim´ etricas) respecto a la permutació n de cualquier par de ´ındices. Es muy fácil demostrar que las propiedades de simetr´ıa o antisimetr´ıa anteriores son independientes de la base que estemos empleando, es decir, son propiedades inherentes al tensor en consideración. También es interesante ver que un tensor arbitrario de segundo orden, con componentes sólo de un tipo (p. ej. T ij ), se puede descomponer como suma de un tensor simétrico y uno antisimétrico por medio de 1 1 T ij = (T ij + T ji ) + (T ij T ji ) (2.34) 2 2 esta descomposición tan sencilla tiene aplicaciones muy importantes en f´ısica. Es evidente que dado un tensor de orden superior, podemos hacer una descomposición similar para cualquier pareja de ´ındices del mismo tipo. Las operaciones de permutación de ´ındices sólo están bien definidas desde el punto de vista tensorial (es decir, sólo son independientes de la base) cuando se intercambian ´ındices del mismo tipo. En particular, la matriz A ji correspondiente a una aplicación lineal puede ser simétrica respecto de una determinada base (A ji = A ji ) y no serlo respecto a otra base distinta. También es fácil demostrar que el resultado de contraer 2 ´ındices simétricos con 2 ´ındices antisim´ etricos es necesariamente nulo (es decir, si Aij = A ji y ωij = ω ji , entonces Aij ωij = 0). Como consecuencia, en la contracción de un tensor 2-contravariante cualquiera T ij con un tensor 2-covariante antisimétrico, sólo contribuye la parte antisimétrica de T ij , dada por 21 (T ij T ji ).

−

−

−


44 Definiciones adicionales

Aparte de los tipos de tensores definidos hasta ahora, en la práctica es muy usual emplear la siguiente terminolog´ıa: Tensores Cartesianos : Si nos restringimos a espacios Eucl´ıdeos y al uso de bases ortonormales (en particular las coordenadas Cartesianas habituales), encontramos que el tensor métrico es la identidad (gij = g ij = δ ji ) y por tanto las componentes co- y contra-variantes de cualquier tensor coinciden, de tal forma que no es necesario establecer ninguna distinción entre ellas. Los tensores definidos en este contexto se denominan tensores cartesianos, a este tipo pertenecen los tensores empleados normalmente en ingenier´ıa (elasticidad, mecánica de fluidos). Dado que en estos tensores no hace falta distinguir entre componentes co- y contra-variantes, es habitual denotar todas sus componentes por medio de sub-´ındices indistintamente. Tensores is´ otropos : Dentro de los tensores Cartesianos, se denominan tensores isótropos a aquellos cuyas componentes no var´ıan al rotar los ejes, es decir, al realizar un cambio de base ortogonal con det C = 1. El n´ umero de tensores isótropos que existe depende del rango tensorial que consideremos, de acuerdo a la siguiente tabla:

• Todos los tensores de rango 0 son isótropos. • No existen tensores isótropos de orden 1; • La delta de Kronecker (δ ij , δ ji , δ ij ) es el único tensor isótropo de orden 2. De estos 3

objetos se puede ver que la versión 1-covariante 1-contravariante es isótropa no solo ante cambos de base ortogonales en espacios Eucl´ıdeos, sino ante cualquier cambio de base independientemente de la métrica.

• El s´ımbolo alternante de Levi-Civita es el único “tensor” isótropo de orden 3 (dejamos este objeto para el cap´ıtulo siguiente, dado que en realidad es un pseudotensor).

• Los u´ nicos tensores isótropos de orden 4 son los siguientes δ ij δ kℓ

δ ik δ jℓ

δ iℓ δ jk

• El número de tensores isótropos con rango tensorial q (aq ) va aumentando de acuerdo a la siguiente regla de recurencia

aq =

q 1 (2aq−1 + 3aq−2 ) q + 1

−

con a 0 = 1 y a 1 = 0. Los tensores is´ o tropos de orden 4 se emplean para definir el tensor de elasticidad del que habl´ abamos al comienzo del cap´ıtulo. En el caso de un medio isótropo el tensor de elasticidad debe ser invariante bajo rotaciones. El tensor isótropo de orden 4 m´ as general que se puede formar es cijkℓ = λδ ij δ kℓ + µδ ik δ jℓ + νδ iℓ δ jk Como los tensores de tensiones y deformaciones son sim´ etricos, de la relación de proporcionalidad entre tensión y deformación (τ ij = cijkℓ ekℓ , escribimos todo con sub´ındices dado que estamos manejando tensores Cartesianos) deducimos las relaciones cijkℓ = cijℓk y cijkℓ = c jikℓ , de donde deducimos la condición µ = ν . Por tanto, el tensor de elasticidad de un medio isótropo depende

45

2.7. PROBLEMAS

de sólo 2 parámetros. En términos del módulo de Young E y el cociente de poisson σ, el tensor de elasticidad puede escribirse como

�

E σ 1 cijkℓ = δ ij δ kℓ + (δ ik δ jℓ + δ iℓ δ jk ) 1 + σ 1 2σ 2

−

�

Aparte de los anteriores tensores isótropos es interesante darse cuenta de que el tensor nulo de rango tensorial arbitrario también es is´ otropo. Consideremos el tensor nulo de rango (r)-covariante (s)-contravariante, por definici´ on todas sus componentes respecto de la base canónica son nulas; pero como las leyes de transformación de las componentes de tensores son lineales, si todas las componentes de un tensor son nulas respecto de una base, entonces tambi´ en serán nulas respecto de cualquier otra base. Esto tiene la siguiente consecuencia importante en f´ısica: para cualquier ecuación que est´ e escrita en forma tensorial correctamente, si esta ecuación se cumple en una base dada, entonces también se cumplirá en cualquier otra base. Por tanto los tensores proporcionan el marco adecuado para escribir ecuaciones f´ısicas que sean válidas independientemente del sistema de referencia empleado.

2.7.

Problemas

1. Calcular el valor del escalar g ii en un espacio vectorial con dimensión n y métrica dada por el tensor g ij . 2. Demostrar que si entre 2 vectores 1-contravariantes ( x y y ) existe una relación lineal del tipo y = A x, entonces A es un objeto 1-covariante 1-contravariante. 3. Demostrar que en el caso de 2 vectores 1-covariantes (x y y ), dada la relaci´ on y = Ax también implica que A es un objeto 1-covariante 1-contravariante. 4. Demostrar que la contracci´ on de ´ındices (uno de cada tipo) es una operación con comportamiento tensorial bien definido. 5. Demostrar que dado un tensor arbitrario, el objeto que resulta de la contracci´ on de dos ´ındices del mismo tipo, en general, no es un tensor. k es un tensor 1-contravariante 3-covariante, entonces R k 6. Demostrar que si R jαβ ijαβ = g ik R jαβ es un tensor 4-covariante.

7. Demostrar que el producto de contracci´ on tiene comportamiento tensorial bien definido. 8. Demostrar que si las componentes de un tensor 2-covariante respecto de una determinada base son simétricas, entonces tambi´ en lo son respecto de cualquier otra base. 9. Demostrar que si las componentes de un tensor 2-contravariante respecto de una determinada base son simétricas, entonces tambi´ en lo son respecto de cualquier otra base. 10. Demostrar que si las componentes de un tensor 2-covariante respecto de una determinada base son antisim´ etricas, entonces tambi´ en lo son respecto de cualquier otra base. 11. Demostrar que si las componentes de un tensor 2-contravariante respecto de una determinada base son antisim´ etricas, entonces tambi´ en lo son respecto de cualquier otra base.


46

12. Demostrar que el resultado de contraer 2 ´ındices simétricos con 2 ´ındices antisim´ etricos es necesariamente nulo. 13. Dados los tensores 2-contravariante T ij y 2-covariante A ij , demostrar que si A ij = A ji entonces 1 ij T ij Aij = T + T ji Aij 2

( (

 

14. En el caso anterior, demostrar que si A ij es antisimétrico entonces T ij Aij =

1 ij T 2

− T ji

Aij

15. El tensor 2-covariante T ij define una aplicación de en ⋆ , tal que para un vector v le ⋆ j hace corresponder un vector w , dado en componentes por T ij v = w i . Sabiendo que el 1 ij − tensor inverso (T ) se define como la aplicaci´ on inversa a la anterior, calcule las compontes 1 ij − del tensor inverso (T ) .

∈

∈

16. Demostrar que las versiones co- y contra-variantes de la delta de Kronecker (δ ij y δ ij ) se comportan como tensores isótropos s´ olo bajo cambios de base ortogonales. 17. Demostrar que las componentes de δ ji son invariantes bajo cualquier cambio de base.

2.8.

Bibliograf´ıa

Para profundizar sobre la aparici´ on de tensores de orden superior en f´ısica se recomienda el libro de Feynman [14, 15] (volumen 2 temas 31, 38, 39 y 42), la introducción que hemos presentado aqu´ı se basa en cierta medida en la de Feynman. Para las aplicaciones del cálculo tensorial en mec´ anica de fluidos se recomienda el libro de Aris [17]. Además de los anteriores, para escribir este cap´ıtulo se han consultado principalmente los textos de Synge y Schild [13], Lichnerowicz [10] y Bowen y Wang [2].

Cap´ıtulo 3

Densidades tensoriales Existen magnitudes perfectamente bien definidas desde el punto de vista matemático que, sin embargo, no cumplen la ley general de transformación on bajo cambios de base Ec. (2.1). Un ejemplo muy sencillo es el producto vectorial de dos vectores en 3 (estudiado en este cap´ cap´ıtulo), cuyas componentes se transforman de acuerdo a la ley tensorial de objetos 1-covariantes, pero multiplicada por el signo (+1 o 1) del determinante de la matriz del cambio de base. Los (pseudo-) tensores que siguen este tipo de comportamiento se denominan tensores denominan tensores axiales , y en ocasiones se denomina tensores polares a polares a los verdaderos tensores, para distinguirlos de los axiales. El rotacional de un campo vectorial en 3 es otro ejemplo importante de vector axial. Otro tipo de comportamiento ligeramente distinto del comportamiento tensorial que hemos visto hasta ahora es el que presenta, presenta, p. ej., el determinan determinante te del tensor m´ etrico etrico (det ( gij )), que a partir de ahora denotaremos sencillamente por g det(g det(gij ). De la ley de transformación o n de las componentes del tensor métrico etrico bajo el cambio de base ba se C C

−

≡

g˜ij = C iα C jβ g αβ

(3.1)

y de las propiedades de los determinantes deducimos inmediatamente det(˜ gij ) = C 2 det(g det(gαβ ) ,

| |

es decir

g˜ = C 2 g

| |

(3.2)

donde C denota el determinante de la matriz del cambio C . C . Esto indica que g no es exactamente un escalar, ni tampoco un tensor de ningún un tipo al menos según un las leyes de transformación on que hemos visto hasta ahora, a menos que C = 1, es decir, si el cambio de base es ortogonal, en cuyo caso g caso g se comporta como un escalar. Otro ejemplo de este tipo de comportamiento es el que muestra la densidad de cualquier medio material, descrita por la función ρ on ρ = = ρ ρ((x,y,z). x,y,z). En principio princi pio podr po dr´´ıa parecer parece r que q ue la densidad densida d deber´ d eber´ıa ıa ser un escalar, sin embargo esto no es cierto, al menos en el sentido estricto del término. ermino. Supongamos Supo ngamos un observador que mide la densidad de un medio ρ = ρ = dm/dV dm/dV de acuerdo a un determinado determinado sistema sistema 1 2 3 1 2 3 ′ ′ ′ de coordenadas x coordenadas x , x , x , y otro respecto a otro x , x , x ; las medidas de estos observadores no coincidirán an si los “tamaños” nos” de los correspondientes elementos diferenciales de volumen dV y dV ′ no son iguales, por tanto ρ no es invariante bajo cualquier cambio de coordenadas, es decir, no es un escalar. En lo que necesariamente deberán an coincidir ambos observadores es en la cantidad de masa contenida en cualquier volumen finito, dada por

| |

| | ±

m =

∫∫∫

1

2

3

ρ(x , x , x ) dV =

V

∫∫∫ V

′

47

ρ˜(x′1 , x′2 , x′3 ) dV ′

CAP ´ ITULO 3. 3. DENSIDADES DENSIDADES TENSORIA TENSORIALES LES

48

Sustituyendo en esta relación on la regla para cambios de coordenadas bajo integrales múltiples, ultiples, encontramos que la ley de transformación on de la densidad bajo un cambio de coordenadas es

� � ��

ρ˜(x′1 , x′2 , x′3 ) = abs det

� �

∂x i ∂x ′ j j

ρ(x1 , x2 , x3 )

i

∂x donde det ∂x es el determinante jacobiano del cambio de coordenadas. El valor absoluto del j determinante jacobiano representa precisamente la variación on de tama˜ no del elemento diferencial de no ∂x i dV volumen volumen al pasar de un sistema de coordenadas al otro (abs det ∂x j = dV ). Ante una transformación on ortogonal no hay cambio en el elemento de volumen y en ese caso la densidad se transforma como un escalar, pero ante un cambio de coordenadas no ortogonal la densidad no se comporta exactamente como un escalar, como lo hace la masa total, sino que se multiplica por el valor absoluto del determinante de la matriz del cambio. Las magnitudes que cumplen esta ley de transformación se denominan denominan densidades densidades escalares . A todo esto, en el ejemplo anterior hemos mencionado que bajo un cambio de coordenadas la matriz del cambio de base está dada por la matriz Jacobiana de la transformación on de coordenadas; en el cap´ıtulo ıtu lo próximo oximo veremos con todo detalle el origen y significado de esta afirmación, on, cuando estudiemos el tema de los campos tensoriales. El ejemplo anterior no es en absoluto excepcional, en f´ f´ısica hay multitud de magnitudes que se definen como la integral de la correspondiente densidad en un dominio determinado. En todos esos casos encontrar´ encontrar´ıamos un comportamiento similar bajo transformaciones de coordenadas, de modo que parece conveniente generalizar la anterior ley de transformación on de magnitudes tensoriales tensoriales (Ec. (2.1)) para incluir tambi´ t ambi´ en en estos tipos tip os de comportamiento. De acuerdo a los ejemplos anteriores, en general hay dos factores extra que debemos incluir para generalizar la ley de transformación on Ec. (2.1). En primer lugar hemos visto que en algunos casos aparece un factor extra dado por det C elevado elevado a una cierta potencia w potencia w;; en segundo lugar, en algunas ocasiones aparece un factor extra dado por el signo de det C . Los objetos cuyas componentes se transforman bajo un cambio de base según un una ley tensorial multiplicada por el determinante de la matriz del cambio elevado a una potencia w se denominan pseudotensores denominan pseudotensores o o densidades tensoriales de peso w , de modo que los verdaderos tensores corresponden a densidades tensoriales de peso 0. En algunos textos se denomina tensores absolutos a absolutos a los tensores y tensores relativos de relativos de peso w a los pseudotensores pseudotensores de peso w. Claramente los pseudotensores se transforman bajo rotaciones de los ejes (cambios de base con C = 1) como verdaderos tensores, de modo que si nos restringimos a este este tipo de cam cambios bios de coordena coordenadas das no observ observare aremos mos difere diferenci ncias as entre entre tensor tensores es absolut absolutos os y relativos. Por otra parte, los objetos cuyas componentes se transforman siguiendo una ley tensorial multiplicada por el signo del determinante del cambio de base se denominan pseudo-tensores axiales (con frecuencia sencillamente tensores axiales), mientras que los verdaderos tensores se denominan tensores polares. ′

� � ′

′

| |

3.1. 3.1.

Ley Ley de tran transfo sform rmac aci´ i´ on de densidades tensoriales generales on

Con el objeto de incluir tambi´ en en comportamientos comporta mientos bajo cambios de base como los que acabamos de mencionar, generalizamos la anterior ley de transformación on bajo cambios de base (Ec. (2.1)) por medio de la siguiente definición: on: ⋆ Se denomina denomina densidad densidad tensorial tensorial (ta ( tamb mbi´ ién en tensor relativo relativo o pseudo-tensor ) r-cov r-covariante ariante scontravariante de peso w y paridad ε (ε = 1) a cualquier objeto descrito respecto a una

±

´ DE DENSIDADES TENSORIALES GENERALES 3.1. LEY DE TRANSF TRANSFORM ORMAC ACI I ON

49

... ... is base del espacio producto tensorial por medio de las componentes T ji11 j i22 ...j , tales que bajo el r 1 − cambio de base C base C (con (con inversa D inversa D = C = C ) se transforman seg´ un un la ley pr w p1 p2 ... is i1 i2 is q1 q2 ... ... qs ˜ i1 i2 ... T ... pr j1 j2 ...jr = ε C C j1 C j2 . . . C j r Dq1 D q2 . . . Dqs T p1 p2 ...

| |

      r veces

(3.3)

s veces

donde la paridad ε puede tomar los valores 1 o sign C , siendo C el determinante de la matriz del cambio de base.

| |

| |

⋆ Dependiendo del valor del coeficiente ε, ε , se denominan tensores denominan tensores polares a a aquellos para los que ε = 1 independientemente del cambio realizado, y tensores axiales a a aquellos para los que ε es igual al signo del determinante de C , C , que denotaremos a partir de ahora por s s

≡ sign |C | = abs|C ||C |

(3.4)

Claramente los tensores absolutos son tensores polares (ε ( ε = 1) de peso w = 0. Por otra parte, es fácil acil ver que de acuerdo a esta definición on g es un (pseudo-) tensor axial de peso 1 y rango tensorial nulo, es decir, una densidad escalar. Para hacerse una idea intuitiva del significado de los parámetros ametros de paridad y peso, de manera algo imprecisa podemos decir que dado un pseudo-tensor con peso w = 0, realmente es la integral de este objeto en un cierto dominio lo que define un tensor absoluto, de tal forma que el peso de la densidad tensorial está relacionado con la dimensionalidad del dominio donde debe integrarse esta para obtener un tensor absoluto. En cuanto a la paridad, el valor ε = 1 o s depende de si las componentes componentes del objeto que estamos describiendo describiendo se multiplic multiplican an por 1, o no, bajo un cambio con determinante negativo, es decir, al cambiar la orientación on de la base. Los comportamientos de tipo pseudo-tensorial como los que acabamos de definir son muy frecuentes en la práctica. actica. De hecho, de todas las magnitudes f´ısicas con comportamiento tensorial t ensorial bien definido aproximadamente la mitad son pseudotensores. Normalmente las denominaciones formales de este tipo de objetos (pseudo-tensores, densidades tensoriales, etc.) se emplean cuando se quiere recalcar las diferencias de comportamiento entre tensores absolutos y relativos o entre tensores polares y axiales, pero en el lenguaje coloquial es bastante frecuente omitir este nivel de detalle para simplificar simplificar la nomenclatura, nomenclatura, de modo que suele denominarse denominarse sencillamen sencillamente te como tensor a cualquier cualquier objeto cuyas componentes se transforman de acuerdo a la regla Ec. (3.3), quedando claro por el contexto si nos referimos a un tensor axial, a una densidad tensorial, o a un tensor absoluto. Por ejemplo, en la práctica actica es muy frecuente referirse a la función on densidad como un escalar en lugar de una densidad escalar. En el estudio de campos electromagnéticos eticos es frecuente fr ecuente referirse al camp o eléctrico ectric o como el vector E y y al campo magnético etico como el vector B , omitiendo que en realidad E es un vector polar y B un vector axial. Cuando se estudia cálculo alculo tensorial y geometr´ geometr´ıa diferencial es muy importante impor tante comprender los distintos tipos de comportamiento que pueden presentar estos objetos. No obstante, en la práctica los cambios de base más as frecuentes corresponden a simples rotaciones, con C = +1, en cuyo caso todos estos comportamientos colapsan con el de los tensores absolutos (de hecho, en la práctica es raro emplear cambios con sign C = 1).

√

̸̸

−

| |

| | −

3.1.1. 3.1.1.

Produc Producto to de densi densidad dades es tensor tensorial iales es

Dadas dos densidades tensoriales A y B (rA-covariante sA-contravariante y rB -covariante sB contravariante respectivamente), con paridades ε paridades ε A y ε B y pesos w pesos w A y w B , el comportamiento bajo

CAP ´ ITULO 3. DENSIDADES TENSORIALES

50

cambios de base de su producto tensorial está dado por i1 i2 ... is ˜ i1 i 2 ...isB pr is A˜ j1 j2 ... jrA B = ε A εB C wA +wB C j p11 C j p22 . . . C j r A Dqi11 D qi22 . . . DqsAA j1 j2 ...jr A

B

| |

            A

sA veces

rA veces

pr

is

q1 q2 ...qs

q1 q2 ... qs

C j p11 C j p22 . . . C j r B Dqi11 Dqi22 . . . DqsBB A p1 p2 ... prAA B p1 p2 ... prBB B

(3.5)

sB veces

rB veces

La paridad del producto tensorial es, por tanto, el producto de las paridades, mientras que el peso es la suma de los pesos. También vemos que esta regla de composición no cambia si realizamos la contracci´ on de cualquier par de ´ındices en el producto tensorial de A por B. Como consecuencia, el producto tensorial y/o de contracci´ on de dos tensores de pesos opuestos genera un tensor absoluto, el producto (tensorial y/o de contracción) de dos tensores de paridad opuesta genera un tensor axial, mientras que el producto de dos tensores con la misma paridad genera un tensor polar, independientemente de la paridad de los tensores de partida, tal y como resumimos en la tabla 3.1. Por otra parte el producto vectorial de dos vectores (que estudiaremos a continución en este tema) Tensor B

Tensor A

axial

polar

axial

polar

axial

polar

axial

polar

Cuadro 3.1: Paridad del tensor dado por el producto (tensorial o de contracción respecto de

cualquier par de ´ındices) de dos tensores A y B.

no cumple esta regla.

3.2.

Espacios orientables

La paridad de un tensor (ε = 1, o s) está relacionada con el comportamiento de las componentes del tensor bajo cambios en la orientación de la base del espacio vectorial al que pertenece. En la mayor´ıa de los casos los espacios vectoriales con los que trabajamos son orientables . Esto está relacionado con la topolog´ıa del espacio y significa que en general no es posible transformar cualquier objeto definido en este espacio en su imagen especular mediante rotaciones y traslaciones exclusivamente. Por ejemplo, 3 es un espacio orientable dado que no es posible hacer coincidir la mano derecha con la izquierda por medio de traslaciones y rotaciones, sino que es necesario introducir al menos una reflexión. En el análisis de curvas cerradas planas la orientabilidad de 2 nos permite distinguir los dos sentidos de giro posibles. Por otra parte, en el análisis de superficies en 3 dimensiones la orientabilidad de 3 nos permite distinguir las dos formas posibles de definir la normal a cualquier superficie (“hacia fuera” o “hacia dentro” si la superficie es cerrada), y en general nos permite distinguir un objeto de su imagen especular, en el caso en que esta no pueda superponerse con aquel. Los objetos que cumplen esta propiedad se llaman quirales , un cubo no es quiral porque puede superponerse con su imagen especular, pero la mano derecha y la izquierda s´ı son quirales. La existencia de objetos quirales tiene consecuencias muy importantes en el

51

3.2. ESPACIOS ORIENTABLES

Figura 3.1: Banda de Moebius.

mundo f´ısico. Por ejemplo, en bioqu´ımica es frecuente que las moléculas quirales (denominadas enanti´ omeros) presenten comportamientos biol´ ogicos totalmente distintos. El ejemplo cl´ asico de espacio no orientable es la banda de Moebius, dada por la superficie que se obtiene al pegar los extremos opuestos de una banda después de girar uno de los extremos 180 grados respecto al eje longitudinal de la banda (Fig. 3.1). Si consideramos el vector normal a una banda de Moebius en un punto cualquiera, vemos que al desplazar este vector a lo largo de la superficie recorriendo el bucle una vez encontramos el vector de partida multiplicado por 1 (encontramos este resultado al recorrer el bucle un número impar de veces, y recuperamos el vector de partida al recorrer el bucle un número par de veces). Esto implica que la banda de Moebius tiene una u ´ nica cara (y un único borde), y por tanto no es orientable. En un espacio con estructura similar a la banda de Moebius cualquier objeto es indistinguible de su imagen especular, ya que basta con hacer que dicho objeto recorra un cierto ciclo para hacerlo coincidir con su imagen especular. Esto no es posible en espacios orientables.

−

3.2.1.

Bases ordenadas y orientaci´ on

Hasta ahora nos hemos referido en muchas ocasiones a una base cualquiera ( ei ni=1 ) de un espacio vectorial, sin prestar mayor atención al orden con el que numeramos los vectores de la base. En un espacio vectorial orientable el orden de los vectores de la base es importante, ya que define la orientaci´ on de la base. Dadas dos bases ordenadas de un determinado espacio vectorial orientable, se dice que estas bases tienen la misma orientaci´ on si la matriz que pasa de una base a la otra tiene determinante positivo, y se dice que tienen orientación contraria si el determinante de la matriz del cambio de base es negativo. En el cap´ıtulo primero hemos visto que las rotaciones son transformaciones con determinante +1; el valor absoluto 1 indica que las rotaciones no introducen cambios en el elemento de volumen y el signo + que no introducen cambios en la orientación del espacio. En general cuando una matriz de cambio de base tiene determinante negativo significa que

{ }


52

en el cambio hay una inversi´ on de los ejes, o (equivalentemente) una permutación impar de los vectores de la base (seguida posiblemente de una o varias rotaciones). De las propiedades de los determinantes se deduce que la relación definida por la orientaci´ on es una relació n de equivalencia , de modo que las bases de un espacio vectorial orientable están clasificadas en dos clases de equivalencia, correspondientes a las dos orientaciones posibles. Se define como orientaci´ on positiva la de la base canónica y su clase de equivalencia, y como orientaci´ on negativa la de todas las bases relacionadas con la base canónica por medio de una matriz de cambio con determinante negativo. Es interesante observar que la orientación de una base es una propiedad que no puede definirse de manera geométrica sin hacer referencia a la orientaci´ on contraria. Es el contraste entre ambas orientaciones posibles lo que define esta propiedad. También es interesante observar que todas las bases con orientación positiva están conectadas mediante transformaciones invertibles que se pueden construir como composición de transformaciones infinitesimales a partir de la identidad, mientras que las transformaciones que cambian la orientación de la base no pueden construirse como superposición de transformaciones infinitesimales invertibles a partir de la identidad. El motivo es que construir una matriz de cambio de base por medio de la superposición de transformaciones infinitesimales a partir de la identidad implica que C var´ıa de manera continua desde la identidad a medida que aplicamos estas transformaciones infinitesimales. Por tanto, si partimos de la identidad (C = , C = +1) y queremos llegar a una transformación con C < 0, necesariamente en el camino hemos debido pasar en alg´ un punto por una matriz C con C = 0 (ya que el determinante var´ıa de manera continua con C ), pero esa transformación no es admisible como cambio de base ya que no es invertible. Esto hace que desde el punto de vista topológico las aplicaciones lineales invertibles (es decir, con determinante no nulo) dan lugar a un espacio que tiene dos partes (correspondientes a los dos signos posibles del determinante) que no pueden conectarse por medio de aplicaciones continuas, es decir, dos partes no conexas. De estas dos partes, la parte con determinante positivo es la “componente conexa con la identidad” de este grupo de transformaciones, mientras que la parte con determinante negativo es la “componente no conexa con la identidad”.

| |

3.2.2.

| |

| |

S´ımbolo alternante de Levi-Civita

En espacios tridimensionales, el s´ımbolo alternante de Levi-Civita ϵ ijk se define como el objeto dado en cualquier base por

ϵijk =

 −

+1 si ij k es una permutación par de 123 1 si ij k es una permutación impar de 123 0 si hay alg´ un ´ındice repetido

(3.6)

Para deducir có mo se transforma este objeto bajo el cambio de base dado por la matriz C recordamos que, por definición, el determinante de C está dado por

|C | = C 1i C j2 C 3k ϵijk

(3.7)

Como las componentes de ϵ ijk son las mismas independientemente de la base encontramos ϵ˜ pqr = C −1 C pi C jq C rk ϵijk

| |

(3.8)

Por tanto el s´ımbolo ϵijk ser´ıa un tensor 3-covariante de no ser por el factor C −1 , de modo que ϵijk es un pseudotensor 3-covariante de peso 1. Por otra parte, ϵijk s´ı se transforma como un

−

| |

53

3.2. ESPACIOS ORIENTABLES

tensor 3-covariante bajo transformaciones ortogonales (C −1 = C T ) propias ( C = 1), es decir, bajo rotaciones de los ejes. An´ alogamente se define la versión 3-contravariante del s´ımbolo alternante de Levi-Civita como el objeto definido en cualquier base por

| |

ϵijk =

 −

+1 si ij k es una permutación par de 123 1 si ij k es una permutación impar de 123 0 si hay alg´ un ´ındice repetido

(3.9)

Tal y como puede comprobarse fácilmente ϵ ijk es un pseudotensor 3-contravariante de peso +1. Por otra parte, por su propia definición está claro que los s´ımbolos alternantes de Levi-Civita ϵ ijk y ϵijk son antisim´ etricos bajo permutaciones de cualquier par de ´ındices, y además son isótropos bajo cualquier cambio de base. El s´ımbolo alternante de Levi-Civita puede generalizarse al caso de n dimensiones por medio de la siguiente definición:

ϵi1 ...in = ϵ

i1 ...in

=

 −

+1 si i 1 . . . in es una permutación par de 1 . . . n 1 si i 1 . . . in es una permutación impar de 1 . . . n 0 si hay alg´ un ´ındice repetido

(3.10)

Esta definición se aplica independientemente de la base que estemos empleando, de modo que ϵ i1 ...in y ϵ i1 ...in son antisimétricos ba jo permutaci´ on de cualquier par de ´ındices e isótropos. Por otra parte, por las propiedades de los determinantes tenemos que ϵ i1 ...in es una densidad tensorial n-covariante de peso 1, mientras que ϵ i1 ...in es una densidad tensorial n-contravariante de peso +1.

−

Tensor alternante de Levi-Civita

Al comienzo de este tema hemos visto que el determinante del tensor métrico ( g) es un pseudotensor de peso 2 y rango nulo. Suponiendo que g > 0, esto implica que g es un pseudotensor axial de peso 1, de tal forma que si formamos el producto gϵ ijk los comportamientos pseudotensoriales de peso opuesto se cancelan, resultando un tensor axial. Definimos entonces el objeto ε ijk

√

√

εijk

≡ √ gϵijk

(3.11)

como el tensor alternante de Levi-Civita . Claramente ε ijk es un tensor axial 3-covariante ε˜ pqr = s C pi C jq C rk εijk

(3.12)

An´ alogamente, por medio de la contracción con el tensor métrico dual de los 3 ´ındices de εijk encontramos la versión 3-contravariante de este objeto, dada por ε

ijk

ip jq kr

= g g g ε pqr

ϵijk = g

√

(3.13)

que se comporta bajo cambios de base como un tensor axial 3-contravariante. Estas definiciones pueden generalizarse al caso de n dimensiones de manera análoga. De todas formas nos centramos en el caso de 3 dimensiones por su especial relevancia, en particular para la definición tensorial del conocido producto vectorial de dos vectores, tal y como veremos a continuaci´ on.


54

3.3.

Producto vectorial en espacios tridimensionales

Los espacios tridimensionales son excepcionales, en el sentido en que son el único caso en que el producto diádico antisim´ etrico de dos vectores cualesquiera (dado por xy yx ) tiene el mismo n´ umero de componentes no nulas que los vectores habituales del espacio. A partir de las 3 componentes no nulas de xy yx puede definirse un vector axial del espacio dual ( ωi ), denominado producto vectorial de x por y ( ω = x y), tal que para cualquier vector z se tiene que ω z = ω i z i es el volumen del paralelep´ıpedo formado por los vectores x, y y z. Esto implica que el vector ω está orientado seg´ un la dirección normal al plano definido por los vectores x e y y que su norma es igual al área del paralelogramo definido por x e y. En general el producto diádico antisim´ etrico de dos vectores, y por tanto tambi´ en el producto vectorial, está relacionado con el cálculo de vol´ umenes y con la aplicación de rotaciones infinitesimales. En el caso particular de espacios tridimensionales es mucho más habitual trabajar con el producto vectorial que con el producto diádico antisimétrico. En f´ısica se describen por medio de productos vectoriales muchas magnitudes relacionadas con rotaciones, como por ejemplo el momento de una fuerza, la velocidad angular, o el rotacional de un campo vectorial. Tal y como veremos a continuaci´ on, el producto vectorial de dos vectores se comporta como un verdadero vector sólo bajo cambios de base con determinante positivo, pero es invariante bajo inversiones de los ejes, lo que lo convierte en un vector axial.

−

−

3.3.1.

×

·

Definici´ on de producto vectorial

Dados dos vectores x e y pertenecientes a un espacio vectorial con dimensión 3, el producto vectorial de x por y (denotado por x y ) se define como:

×

el vector perpendicular al plano formado por x e y, con módulo dado por la superficie del paralelogramo definido por los vectores x e y, y con sentido tal que la terna ordenada x, y , x

{

× y} tiene orientación positiva.

Claramente, en dimensión 1 y 2 la anterior definición no es aplicable, mientras que en dimensión 4 (o mayor) el subespacio perpendicular al plano formado por x e y tiene dimensión 2 (o mayor) y por tanto esta definición no determina un vector, de modo que el producto vectorial es una operación exclusiva de espacios vectoriales de 3 dimensiones. El producto exterior de p-formas proporciona la generalizaci´ on al caso n-dimensional, pero de momento consideraremos sólo el producto vectorial habitual. Seg´ un la definición anterior la norma del producto vectorial está dada por



∥x × y∥ = ∥x∥∥y∥ sin xy



(3.14)

siendo xy el ángulo formado por x e y. Por otra parte, la condici´ on que determina el sentido de x y implica la propiedad anticonmutativa del producto vectorial x y = y x, que a su vez 3 . Esta condici´ implica x x = 0 , x on tambi´ en implica que el producto vectorial permance invariante bajo una inversión de los ejes, es decir, bajo el cambio de base definido por la matriz con componentes C ji = δ ji , lo que convierte al producto vectorial en un vector axial.

×

×

∀ ∈ −

×

− ×

55

3.3. PRODUCTO VECTORIAL EN ESPACIOS TRIDIMENSIONALES

Propiedades del producto vectorial

El producto vectorial cumple las siguientes propiedades propiedad distributiva respecto a la suma de vectores en ambos argumentos x

× (y1 + y2) = x × y1 + x × y2

(x1 + x2 )

× y = x1 × y + x2 × y

(3.15)

(3.16)

propiedad asociativa respecto al producto por escalares

∀λ ∈

,

λ (x

× y) = (λx) × y = x × (λy)

(3.17)

propiedad anticonmutativa x

× y = −y × x

(3.18)

identidad de Jacobi : El producto vectorial no es asociativo, pero cumple la identidad de Jacobi

× (y × z) + y × (z × x) + z × (x × y) = 0 (3.19) Obsérvese que si x, y y z son vectores polares, entonces x × (y × z ) también es un vector x

polar, ya que es el producto vectorial de un vector polar por un vector axial. El producto vectorial de dos vectores cambia el carácter axial/polar de manera contraria a como lo hace el producto tensorial. Es decir, el producto vectorial de dos vectores polares (o de dos vectores axiales) genera un vector axial, mientras que el producto vectorial de dos vectores de paridades opuestas genera un vector polar.

De las propiedades anteriores se deduce que el producto vectorial también cumple las siguientes propiedades interesantes (3.20) a (b c) = b (c a) = c (a b)

· × · × · × a × (b × c) = b (a · c) − c (a · b) (a × b) × c = b (a · c) − a (b · c)

(3.21) (3.22)

(a

× b) · (c × d) = (a · c) (b · d) − (a · d) (b · c) (a × b) × (c × d) = c (a · (b × d)) − d (a · (b × c)) = b (a · (c × d)) − a (b · (c × d))

(3.23) (3.24)

Definici´ on tensorial de producto vectorial

Dado que el producto vectorial es lineal, para calcular el producto vectorial de 2 vectores cualesquiera basta con conocer la tabla de productos vectoriales de los vectores de la base. En el caso habitual de 3 con métrica Eucl´ıdea y coordenadas cartesianas, aplicando directamente la definición de producto vectorial encontramos las conocidas relaciones i

× j = k ,

k

× i = j ,

j

× k = i

(3.25)

En ese caso, esta información junto con la propiedad anticonmutativa es suficiente para calcular el producto vectorial de cualquier par de vectores. Pero


56

⋆ ¿c´ omo podemos calcular el producto vectorial en coordenadas arbitrarias y con m´ etrica no necesariamente Eucl´ıdea? En algunos textos se cita sin mayor justificació n la fórmula que permite calcular productos vectoriales en coordenadas arbitrarias (Ec. (3.27), equivalentemente Ec. (3.28)), sin embargo resulta instructivo deducir esta fórmula a partir de la definición, tal y como se muestra a continuación. Como ya hemos dicho más arriba, dado que este producto es lineal basta conocer la tabla de productos vectoriales de los vectores de la base, independientemente de la m´ etrica y de la base que estemos empleando. Consideremos entonces el producto vectorial de los vectores ei por e j , pertenecientes a una base arbitraria e1 , e2 , e3 . Suponiendo que i = j (en caso contrario el producto es nulo), aplicando la definici´ on vemos que el producto e i e j será proporcional a e k , con k = i y k = j, de esta forma garantizamos las relaciones de ortogonalidad ( ei e j ) ei = (ei e j ) on debe cumplir ei e j . Suponiendo que ij k forman una permutación con e j = 0, que por definici´ paridad positiva de 123, podemos escribir ei e j = ω ek , donde ω es un número positivo. Para calcular ω imponemos ωek = ei e j sin α, siendo α el ángulo formado por ei y e j . Elevando esta relación al cuadrado y aplicando cos2 α + sin2 α = 1 encontramos

{

̸

̸

}

×

∥ ∥ ∥ ∥∥ ∥

×

̸

× ·

× ·

×

 

g g ω = g ii g ij /g kk ji jj 2

donde hemos aplicado las definiciones de tensor métrico y tensor métrico inverso. Pero el elemento g kk de la inversa del tensor métrico está dado precisamente por el menor que resulta de suprimir la fila y la columna con ´ındice k en dicha matriz, dividido por el determinante ( g) g

kk

 

g g = g ii g ij /g ji jj

√

ya que estamos suponiendo que ijk son una permutación par de 123. Entonces ei e j = gek para cualquier combinación de ´ındices ijk dada por una permutación par de 123. Como el producto vectorial es antisimétrico esta relación puede escribirse como ei

× e j = √ gϵijk ek = εijk ek

×

(3.26)

que es válida para cualquier valor de i, j y k. A partir de esta relación el producto vectorial de 2 vectores cualesquiera x e y puede calcularse por medio de x

× y = (x j e j ) × (yk ek ) = εijk x j yk ei

(3.27)

independientemente de la base y métrica consideradas. A la vista de este resultado es evidente que las coordenadas del producto vectorial de dos vectores definen un vector axial 1-covariante, ya que están dadas por la contracción del tensor axial 3-covariante ε ijk con el tensor absoluto 2-contravariante x j yk x

3.3.2.

× y = ωiei,

ωi = ε ijk x j yk

(3.28)

C´ alculo de vol´ umenes

Como consecuencia directa de la definición del producto vectorial, está claro que (x y ) z es igual al volumen del paralelep´ıpedo definido por estos 3 vectores en 3 . Por tanto, como aplicaci´ on

× ·

57

3.3. PRODUCTO VECTORIAL EN ESPACIOS TRIDIMENSIONALES

directa de Ec. (3.27) vemos que el volumen del paralelep´ıpedo definido por los vectores x, y y z puede escribirse como V = (x

× y) · z = √ gϵijk zix j yk =

independientemente del sistema de coordenadas empleado.

√  

x1 x2 x3 g y 1 y2 y3 z1 z2 z3

 

(3.29)

Vector normal a una superficie

En particular, si t1 y t2 representan dos vectores ortonormales tangentes a una superficie definida en 3 , su producto vectorial n = t 1 t2 es un vector unitario normal a dicha superficie. Claramente, las dos orientaciones posibles del vector normal a una superficie dada corresponden a definir esta como n = t 1 t2 o como n = t 2 t1 .

×

×

3.3.3.

×

Rotaciones infinitesimales

Como es bien sabido, el producto vectorial está relacionado con rotaciones infinitesimales en 3 dimensiones. En general cualquier rotación en un espacio n-dimensional está dada por un elemento del grupo especial ortogonal SO(n), definido como la componente con determinante +1 del grupo de aplicaciones ortogonales en n dimensiones O(n) (es decir, la componente conexa con la identidad de O(n)). Consideremos una rotació n de ángulo infinitesimal dα en 3 dimensiones, claramente esta aplicación estar´ a dada por una cierta matriz ortogonal R(dα). Dado que rotamos un ángulo infinitesimal, el resultado de aplicar esta rotación sobre cualquier vector x será igual al vector de partida mas una peque˜ na variaci´ on R(dα)x = x + dx

(3.30)

por tanto la aplicaci´ on R(dα) es igual a la identidad mas una pequeña perturbaci´ on proporcional al ángulo dα, que definimos como Adα R(dα) =

+ Adα

Por definición esta aplicación es ortogonal, de modo que ( + Adα)−1 = cuencia, despreciando términos del orden de (dα)2 encontramos

(3.31) + AT dα. Como conse-

A + AT = 0

(3.32)

(por simplicidad en este apartado consideramos sólo espacios con métrica Eucl´ıdea) de modo que A es una aplicación antisimétrica. En un espacio tridimensional A s´ olo tendr´ a 3 componentes no nulas. Si suponemos que la rotación R(dα) corresponde a una rotació n de ángulo dα = ωdt, donde t representa el tiempo y ω la velocidad angular, y definimos las 3 componentes no nulas de A como dα A = dt

�

� −

0 ω3 ω2 ω3 0 ω1 ω2 ω1 0

−

−

(3.33)

vemos que la velocidad con la que var´ıa x está dada por dx = (Adα) x = (ω

× x) dt,

es decir

≡ ddtx = ω × x

v

(3.34)

donde el vector axial ω, dado por las componentes ω 1 , ω 2 , ω 3 , está orientado seg´ un el eje de giro y su norma es igual a la velocidad angular ω = dα/dt.


58

3.4.

Introducci´ on al producto exterior de p-formas

A continuaci´ on presentamos algunos comentarios referentes al importante tema del c´ alculo exterior en variedades diferenciables. Este apartado queda fuera del principal hilo de discusión, y puede omitirse sin pérdida de continuidad en la exposición. El producto vectorial sólo está definido para el caso de espacios tridimensionales, pero ⋆ ¿existe alg´ un producto que generalice esta operación al caso de n dimensiones? La respuesta es afirmativa, pero para definir esta generalización, dada por el producto exterior de p-formas, debemos considerar objetos distintos de los familiares vectores. La expresión del producto vectorial Ec. (3.27) contiene la contracción del tensor x j yk con el tensor antisimétrico en todos sus ´ındices εijk . Si descomponemos el tensor x j y k en sus partes simétrica y antisimétrica

�

� �

1 j k 1 j k x y = x y + xk y j + x y 2 2 j k

k j

−x y

�

(3.35)

es evidente que sólo la parte antisimétrica produce una contribución no nula en Ec. (3.27), de forma que las componentes ω i del producto vectorial pueden escribirse como ωi =

1 gϵ ijk ω jk 2

√

(3.36)

donde hemos definido el tensor absoluto 2-contravariante totalmente antisimétrico ω jk como ω jk

≡ x j yk − xk y j

(3.37)

Como consecuencia vemos que, esencialmente, el producto vectorial de dos vectores x e y está relacionado con el producto tensorial antisimetrizado de dichos vectores, dado por x y y x, con componentes x j y k xk y j . Este producto se denomina producto exterior , y se suele denotar por el s´ımbolo (en la literatura en inglés suele denominarse exterior product o wedge product ). En espacios n-dimensionales los tensores totalmente antisimétricos (es decir, antisimétricos en todos sus ´ındices, como ω jk ), junto con la operación de producto exterior (dado por el producto tensorial antisimetrizado en todos los ´ındices) definen un álgebra, llamada ´ algebra exterior o ´ algebra de Grassmann . Las relaciones de simetr´ıa que cumplen los tensores totalmente antisimétricos hacen que un tensor antisimétrico de rango p, que en principio tiene n p componentes respecto de la base ei1 eip , pueda describirse por medio de un número reducido de componentes respecto de la base ei1 eip , donde los ´ındices i1 . . . i p cumplen la relación i1 < i2 < . . . < in−1 < i p . Esto se debe a que (debido a la anti-simetr´ıa del tensor) todas las componentes no incluidas en este conjunto o bien son nulas, o bien pueden escribirse en función dicho conjunto. Las componentes de los tensores antisim´ etricos respecto de la base ei1 eip (con i 1 < .. . < i p ) forman el conjunto de componentes m´ınimo necesario para manejar este tipo de objetos, y se denominan componentes estrictas . Por ejemplo, en 3 dimensiones las componentes estrictas de w jk son ω 12 ω 13 y ω 23 , ya que todas las restantes son, o bien nulas, o bien iguales a estas multiplicadas por 1. Las densidades tensoriales de rango p totalmente antisimétricas descritas por medio de sus componentes estrictas, cumplen todas las propiedades necesarias para formar un espacio vectorial. Los elementos de este espacio vectorial se denominan p-formas. El n´ umero de componentes estrictas que tiene un tensor totalmente antisimétrico de rango p en un espacio de n dimensiones está dado por el n´ umero de

∧

⊗ − ⊗

−

∧

⊗···⊗ ∧ · · · ∧

∧···∧

−

59

3.5. PROBLEMAS

formas en que podemos escoger p objetos sin repetición, de un conjunto de n objetos, es decir, por el coeficiente binomial n n! = p p!(n p)!

��

−

por tanto las p-formas definidas sobre un espacio n-dimensional pertenecen a un espacio vectorial de pn dimensiones (obsérvese que no puede haber tensores antisimétricos no nulos de rango mayor que n). En vista de la simetr´ıa de los coeficientes binomiales

(

�� n p

=

n

n

− p

el espacio de p-formas es isomorfo al de (n p)-formas. El isomorfismo “ ” que relaciona ambos espacios (y que cumple que A x = ( A)x) se conoce como operación de Hodge, de manera que dos formas relacionadas por esta operaci´ on son Hodge-duales. En espacios tridimensionales la relación Ec. (3.36) entre la 1-forma ω i y la 2-forma ω jk es un ejemplo de este tipo de dualidad, de manera que el producto vectorial de dos vectores x e y es el Hodge-dual de su producto exterior, y viceversa

∗

x

−

× y = ∗ (x ∧ y) ,

∗

x

∗

∧ y = ∗ (x × y)

(3.38)

La gran diferencia es que el producto vectorial sólo est´ a definido para el caso de espacios de 3 dimensiones, mientras que el producto exterior es aplicable en cualquier dimensionalidad. El producto exterior de 2 vectores generaliza al caso n-dimensional el producto vectorial y, análogamente a como sucede con el producto vectorial, está relacionado con el cálculo de vol´ umenes y con rotaciones infinitesimales. En un espacio de n dimensiones el producto exterior de 2 vectores tiene una dimensionalidad igual a n2 = n(n2−1) , que coincide con la dimensionalidad n del espacio sólo para el caso n = 3, que resulta por tanto excepcional. En espacios de dimensionalidad distinta a 3 no puede definirse el producto vectorial, ya que en esos casos la dimensionalidad de x y no se corresponde con la de un vector. De acuerdo a la dimensionalidad de x y tenemos que (ver tabla 3.2) en 1 dimensi´ on no puede haber rotaciones, mientras que en 2 dimensiones basta con un escalar para describir cualquier rotación (dado por el ángulo que rotamos) y en 3 dimensiones es necesario emplear un vector, cuyas componentes describen la orientación del eje de rotació n y el ángulo que rotamos. Finalmente, el número de grados de libertad de las rotaciones en espacios de dimensionalidad n > 3 aumenta de manera cuadrática con n. De la misma forma que ( x y ) z nos da el volumen del paralelep´ıpedo definido por estos 3 vectores en 3 , el producto exterior también está relacionado con el cálculo de vol´ umenes en variedades diferenciables de dimensión arbitraria. El estudio de aplicaciones relacionadas con rotaciones infinitesinales o con integración en variedades diferenciables de dimensión arbitraria suele hacerse en el contexto de álgebras de Grassmann, por medio del cálculo exterior. El cálculo exterior resulta más potente que el cálculo tensorial para todo lo relacionado con manipulación de tensores antisimétricos, ya que aprovecha al máximo las relaciones de (anti-) simetr´ıa caracter´ısticas de estos objetos. Por supuesto que para poder hacer un uso ventajoso del cálculo exterior es necesario estar familiarizado previamente con el cálculo tensorial.

(

∧

∧

× ·

3.5.

Problemas

1. Calcule la matriz del cambio de base correspondiente a intercambiar dos vectores cualesquiera de la base canónica en n dimensiones ¿qué determinante tiene esta matriz de cambio de base?


60 n

( n 2

1

2

3

4

5

...

0

1

3 6

10

...

Cuadro 3.2: Dimensionalidad del producto exterior de dos vectores en función de la dimen-

sionalidad (n) del espacio vectorial al que pertenecen.

2. Repita el ejercicio anterior para el caso de una permutaci´ on con paridad positiva de los vectores de la base. 3. Repita el ejercicio anterior para el caso de una permutaci´ on con paridad negativa.

√ g es un pseudo-tensor axial de peso 1. √ 5. Demostrar que 1/ g es un pseudo-tensor axial de peso −1. 4. Demostrar que

6. Demostrar que ϵ ijk es un pseudotensor 3-contravariante de peso 1.

√ gϵijk es un tensor axial 3-covariante. √ 8. Demostrar que ε ijk = g ip g jq g kr ε pqr está dado por ϵ ijk / g. √ 9. Demostrar que ε ijk = ϵ ijk / g es un tensor axial 3-contravariante. 7. Demostrar que ε ijk =

10. Demostrar que el producto vectorial de un vector axial por un vector polar produce un vector polar. 11. Verifique que se cumplen todas las propiedades generales del producto vectorial (Ec. (3.15)– Ec. (3.24)) usando un sistema de coordenadas arbitrarias.

3.6.

Bibliograf´ıa

Este cap´ıtulo se basa principalmente en el texto de Bowen y Wang [2], junto con los de Lichnerowicz [10] y Bishop y Goldberg [1]. Para mayor profundidad sobre p-formas y cálculo exterior se recomienda el texto de Frankel [7].

Cap´ıtulo 4

Campos tensoriales El cálculo tensorial es relevante en f´ısica por sus aplicaciones en teor´ıas de campos , es decir, teor´ıas donde las variables f´ısicas pueden representarse por medio de funciones del espacio y el tiempo. Este tipo de descripción de la realidad apareció con la teor´ıa de la gravitaci´ on de Newton (1643–1727) y se extendi´ o considerablemente a lo largo del s:xix con el electromagnetismo de Maxwell (1831–1879) y las ecuaciones de Navier-Stokes para la mecánica de fluidos (Euler (1707– 1783), Lagrange (1736–1813), Navier (1785–1836), Stokes (1819–1903), etc.). Desde inicios del s:xx este tipo de descripción del mundo f´ısico tambi´ en se ha aplicado en relatividad (Einstein (1879– 1955)) y en mecánica cuántica (Schr¨ odinger (1887–1961), Heisenberg (1901–1976), etc.). Generalmente los campos tensoriales se definen sobre conjuntos de puntos que no cumplen todas las propiedades necesarias como para formar un espacio vectorial, pero que localmente s´ı tienen una estructura similar a un espacio vectorial. Este tipo de conjuntos se denominan variedades (manifolds en la literatura en inglés). Normalmente trabajaremos con variedades diferenciables , es decir, variedades lo suficientemente regulares como para que en ellas sea posible definir operaciones de cálculo, como derivadas e integrales. Cuando se habla de un campo tensorial definido sobre una variedad diferenciable, , se da por hecho que cada punto r es el origen de un espacio vectorial denominado espacio tangente , definido como la envolvente lineal de las tangentes en r a todas las curvas contenidas en que pasen por r . El espacio tangente a en r es, por tanto, el espacio definido por todas las direcciones posibles que podemos tomar para pasar por dicho punto sin salirnos de la variedad. El conjunto de los espacios tangentes definidos sobre todos los puntos de la variedad forma el fibrado tangente . Cada espacio tangente tiene su correspondiente espacio dual, denominado espacio co-tangente, y la colección de espacios cotangentes que obtenemos al recorrer toda la variedad forma el fibrado cotangente . El producto tensorial de s copias de cada espacio tangente por r copias de su dual genera una familia de espacios producto tensorial definidos sobre la variedad de partida como función del punto. A este espacio producto tensorial es al que pertenecen los tensores r-covariantes s-contravariantes definidos sobre la variedad como campos tensoriales.

∈

En este cap´ıtulo comenzaremos con una breve introducción a las variedades diferenciables y los espacios tangente y cotangente. Veremos las parametrizaciones que se emplean para describir las variedades y las bases a que estas dan lugar en los fibrados tangente y cotangente. Finalmente extenderemos los conceptos definidos en los cap´ıtulos precedentes al caso de campos tensoriales en variedades diferenciables. 61

CAP ´ ITULO 4. CAMPOS TENSORIALES

62

4.1.

Variedades diferenciables

Con mucha frecuencia los espacios sobre los que se definen los campos tensoriales de inter´ es en f´ısica no cumplen todas las propiedades necesarias para ser espacios vectoriales, sino que son espacios con una estructura más general, conocidos como variedades diferenciables . ⋆ ¿Qué es una variedad diferenciable? Una variedad n-dimensional es cualquier colección de puntos localmente similar a un espacio vectorial de n dimensiones. En esta definición “localmente” significa en un cierto entorno alrededor de cualquier punto de la variedad y “similar” quiere decir topol´ ogicamente equivalente . Para entender esta definición es necesario entender qué significa ser “topológicamente equivalente”. Dos conjuntos de puntos son topológicamente equivalentes cuando se puede definir entre ellos una función continua con inversa continua que transforme un conjunto en el otro. Por ejemplo, una esfera es topológicamente equivalente a un cubo porque podemos deformar una esfera para hacerla coincidir con un cubo (y viceversa) de manera continua (ver, p. ej., Fig. 4.1). Por el contrario, una esfera no es equivalente a un toro, ya que para convertir la esfera en un toro es necesario introducir un corte en la esfera, lo cual no cumple la condición de continuidad. Un toro, por su parte, es topol´ ogicamente equivalente a una rosquilla (con un único agujero), o a cualquier objeto con una sola asa, como por ejemplo una taza.

on continua de una esfera en un cubo. Figura 4.1: Deformaci´

Dos conjuntos son topológicamente equivalentes cuando podemos convertir uno en otro y viceversa de manera continua, es decir, mediante deformaciones pero sin introducir “cortes” ni “pegar” regiones que no estuviesen inicialmente en contacto, ya que esto último implica introducir un corte en la función inversa. La condición de continuidad impone que dos puntos próximos en el conjunto de partida (es decir, que pertenezcan a un cierto entorno en el conjunto de partida), est´ en tambi´ en pr´ oximos en el conjunto de llegada, lo cual no se cumple si la función de transformaci´ o n (o su inversa) introduce cortes. La condición de continuidad también presupone que los dos conjuntos de puntos considerados son espacios topol´ ogicos , es decir, espacios en los que se pueden definir nociones como proximidad y continuidad. Las transformaciones continuas con inversa continua entre espacios topol´ ogicos se denominan homeomorfismos . Una variedad n-dimensional puede definirse, por tanto, como un espacio topológico que admite un sistema de coordenadas n-dimensional en un cierto entorno abierto de cada punto. Desde el punto de vista topológico una variedad n-dimensional es localmente idéntica al correspondiente espacio vectorial de n dimensiones ( n en la mayor´ıa de los casos). Es decir, cada entorno de la variedad puede deformarse de manera continua hasta hacerlo coincidir con el correspondiente

63

4.1. VARIEDADES DIFERENCIABLES

Figura 4.2: Ejemplos de variedades monodimensionales contenidas en el plano.

entorno del espacio vectorial y viceversa. La gran diferencia es que, en general, esta correspondencia (homeomorfismo) entre la variedad y el espacio vectorial sólo puede definirse localmente, pero no globalmente, de forma que globalmente considerada la variedad puede no ser topol´ ogicamente equivalente a ning´ un espacio vectorial. Otra diferencia importante es la métrica: en general la distancia entre dos puntos de la variedad medida a lo largo de la variedad será diferente de la distancia entre estos dos puntos medida a lo largo del espacio vectorial al que esta variedad es localmente equivalente, ya que en general los homeomorfismos introducen deformaciones que no conservan las distancias. En particular esto suceder´ a siempre que consideremos variedades dotadas de cierta curvatura localmente homeomorfas al espacio Eucl´ıdeo n , que es plano. Esto es lo que sucede p. ej. en los mapas terrestres. Al hacer corresponder una superficie esférica con una región del plano, el mapa no solo introduce un factor de escala, sino también una distorsión en las distancias, y por tanto tambi´ en en las áreas. Muchos mapas terrestres se basan en la proyección Mercator, que introduce una distorsión creciente a medida que nos alejamos del ecuador, que finalmente se traduce en que las regiones próximas a los polos tengan sobre el mapa un tama˜ no aparente muy superior al real. Dependiendo de la función de proyección empleada las regiones distorsionadas serán distintas y también el tipo de distorsión introducida, pero sea cual sea el tipo de proyección, siempre que representemos una superficie con curvatura en un mapa plano habrá regiones distorsionadas. 4.1.1.

Curvas y superficies

Las variedades n-dimensionales aparecen de manera natural al generalizar a n dimensiones los conceptos de curva y superficie (variedad uni- y bi-dimensional respectivamente). Una curva contenida en cualquier espacio proporciona el ejemplo no trivial más sencillo de variedad. Por ejemplo la recta real, o la gráfica de cualquier función y = y(x) son variedades unidimensionales. Con frecuencia el conjunto de puntos ( x, y) que cumple una ecuación tipo f (x, y) = 0 para una cierta funci´ on de dos variables f forma una variedad unidimensional (Fig. 4.2). Esto incluye tanto los casos en que podemos despejar una variable en función de la otra de manera expl´ıcita y univaluada (p. ej. ax + by + c = 0 implica que y = (ax + c) /b) como aquellos casos en los que esto no es posible, bien porque la forma funcional de f no lo permite o bien porque al despejar una variable en función de la otra obtenemos una funci´ on multivaluada . Por ejemplo, la solución 2 2 2 de x + y R = 0 es una circunferencia de radio R centrada en el origen, pero si despejamos y 1/2 en función de x encontramos la función bi-valuada y = R2 x2 . Muchas variedades unidi-

−

−

±

(−


64

mensionales se definen como las curvas de nivel de funciones de dos variables f (x, y), dadas por los puntos del plano que cumplen f (x, y) = k, lo cual puede visualizarse como la intersección entre la superficie z = f (x, y) y el plano z = k. Aunque cualquier variedad unidimensional contenida en el plano puede definirse como el con junto de puntos que cumple una relación tipo f (x, y) = 0, el rec´ıproco no es cierto. Dependiendo de la función f considerada hay casos en los que la ecuación anterior no define una variedad unidimensional, p. ej., dada la función “plana” f (x, y) = a (que a cualquier punto (x, y) le hace corresponder el n´ umero constante a, siendo a un n´ umero real arbitrario), el conjunto de puntos que cumple f (x, y) = 0 es el conjunto vac´ıo para cualquier valor de a, excepto para a = 0 en cuyo caso obtenemos todo el plano. En los ejemplos anteriores nos hemos centrado en curvas planas, pero tambi´ en existen curvas que no están contenidas en un plano, sino que recorren espacios de dimensionalidad superior. Por ejemplo, las ecuaciones paramétricas x = R cos θ,

y = R sin θ,

definen una espiral infinita de radio R contenida en

z = θ,

θ

∈

3.

⋆ En general una variedad unidimensional es cualquier conjunto de puntos tal que que en un entorno de cada punto pueda parametrizarse por medio de un único par´ ametro. Las superficies proporcionan el siguiente ejemplo interesante de variedad. De manera análoga al caso unidimensional, la grá fica de una función de 2 variables, z = f (x, y), es una variedad bidimensional. Con mucha frecuencia las superficies de nivel de las funciones de 3 variables, dadas por la solución de f (x,y,z) = k, o el conjunto de puntos de 3 definido por una relación del tipo f (x,y,z) = 0, forman variedades bidimensionales (véase Fig. 4.3). Por ejemplo, dada la funci´ on 2 2 2 f (x,y,z) = x + y + z , las superficies de nivel de esta función son superficies esf´ ericas de radio 1/2 k centradas en el origen. Este ejemplo tambi´ en es interesante para observar que, en general, una superficie cualquiera considerada globalmente no será topológicamente equivalente a 2 , pero localmente s´ı, ya que si nos fijamos en un entorno suficientemente pequeño alrededor de cualquier punto de la superficie tenemos un conjunto de puntos bastante similar (es decir, topológicamente equivalente) al correspondiente entorno en 2 . En los ejemplos anteriores hemos mencionado variedades bidimensionales contenidas en un espacio tridimensional, pero análogamente a como suced´ıa con las curvas, una variedad bidimensional no tiene porqué estar contenida en 3 , sino que puede ocupar un espacio de dimensionalidad superior. ⋆ Una variedad bidimensional se define como cualquier conjunto de puntos que pueda parametrizarse (al menos localmente) por medio de dos parámetros. Con mucha frecuencia el conjunto de puntos que forma una variedad se define como el conjunto de puntos de un cierto espacio de variables que cumple una determinada condición, dada por una ecuaci´ on o sistema de ecuaciones. Por ejemplo, la s-esfera de radio unidad es la hipersuperficie s-dimensional dada por el conjunto de puntos de s+1 que cumple

( x1

2

+

··· +

(  xs+1

2

= 1.

El concepto de variedad es muy general: una variedad no tiene por qu´ e ser necesariamente conexa, tampoco tiene por qué ser cerrada o finita. Por ejemplo, el conjunto de puntos de 2 que cumple la ecuación xy = 1 es una hip´ erbola, con dos ramas no conexas cada una de ellas con extensi´ on infinita; el conjunto de puntos de 2 que cumple la ecuación y x2 (y + 1) = 0 está formado por dos curvas, la par´ abola y = x 2 y la recta y = 1.

−

( − ·

65


Figura 4.3: Ejemplos de variedades bidimensionales contenidas en

3

. En la imagen central se ha representado también el plano z = 1 y en la u ´ ltima el plano z = 0.

4.1.2.

Geometr´ıa intr´ınseca y extr´ınseca

En el estudio de variedades diferenciables existen dos puntos de vista opuestos: o bien podemos considerar la variedad de manera abstracta, sin hacer referencia a ningún espacio de dimensionalidad superior donde pueda estar contenida, o bien podemos considerar que la variedad es un subconjunto de un cierto espacio ambiente que la contiene. Las propiedades que pueden estudiarse sin hacer referencia a ningún espacio ambiente dependen exclusivamente de la variedad y se denominan propiedades intr´ınsecas y su estudio geometr´ıa intr´ınseca de la variedad. Por el contrario, las propiedades para cuyo estudio es necesario considerar a la variedad como parte de un espacio ambiente se denominan propiedades extr´ınsecas , ya que no sólo dependen de la variedad sino tambi´ en del espacio ambiente. Desde el punto de vista matemático la geometr´ıa intr´ınseca es especialmente relevante. En general la dimensionalidad de una variedad es una propiedad intr´ınseca; en el caso de una curva su longitud es una propiedad intr´ınseca, pero no lo son su curvatura o torsi´ on; en cuanto a las variedades bidimensionales, en la segunda parte del curso veremos que la primera forma fundamental (que determina medidas de longitudes, ángulos y áreas sobre una superficie) es una propiedad intr´ınseca, as´ı como la curvatura de Gauss (que determina localmente la forma de una superficie). El punto de vista intr´ınseco es el que se adopta en relatividad general para estudiar la geometr´ıa del espaciotiempo (su curvatura etc.), sin hacer referencia a un hipotético espacio de dimensionalidad superior que lo contenga, lo cual resultar´ıa muy artificial. De todas formas tambi´ en existen multitud de problemas en f´ısica en los que es relevante el punto de vista extr´ınseco, que resulta más sencillo e intuitivo. De hecho, en el desarrollo de la geometr´ıa diferencial el punto de vista extr´ınseco fue el primero que se consideró. Desde el punto de vista extr´ınseco una variedad diferenciable n-dimensional puede definirse como el conjunto de puntos de un cierto espacio vectorial de n + r dimensiones (p. ej. n+r ) que


66 cumple un cierto sistema de r ecuaciones impl´ıcitas

(( (

 

f 1 x1 , x2 , . . . , xn+r = 0 f 2 x1 , x2 , . . . , xn+r = 0 ...

...

...

f r x1 , x2 , . . . , xn+r = 0

(4.1)

donde las r funciones f i anteriores son independientes entre s´ı y cumplen ciertas propiedades adicionales. Por ejemplo, dos condiciones f (x,y,z) = 0 y g (x,y,z) = 0 en 3 determinan una curva, dada por la intersección de las superficies definidas por cada una de estas condiciones. Es evidente que el conjunto de puntos definido por un sistema como el anterior (Eq. (4.1)) no siempre define una variedad. Por ejemplo, el conjunto de puntos de 2 que cumplen la condición xy = 0 está dado por los ejes x e y, este conjunto no es una variedad 1-dimensional, ya que cualquier entorno abierto que contenga el origen no es topológicamente equivalente a un entorno de la recta o a ning´ un espacio vectorial. ⋆ ¿Qué condiciones debe cumplir el sistema Ec. (4.1) para definir una variedad?

{

}

Supongamos que el punto x0 = x10 , x20 , . . . , xn+r cumple el sistema Ec. (4.1) y que las r 0 funciones f i son (1) continuas y (2) diferenciables en un entorno de x0 . Entonces, seg´ u n el teorema de la función impl´ıcita el sistema Ec. (4.1) define una variedad n-dimensional, al menos en un cierto entorno de x0 , si y sólo si (3) el rango de la matriz jacobiana del sistema (J )

J =

 

∂f 1 ∂x 1

...

∂f 1 ∂x n

∂f 1 ∂x n+1

...

∂f 1 ∂x n+r

...

...

. ..

...

...

...

∂f r ∂x 1

...

∂f r ∂x n

∂f r ∂x n+1

...

∂f r ∂x n+r

 

(4.2)

en el punto x0 es r. Si se cumple esta condición el teorema de la función impl´ıcita garantiza que, al menos en un cierto entorno de x0 , podemos despejar r variables en función de las restantes n

(( (

xn+1 = x n+1 x1 , . . . , xn xn+2 = x n+2 x1 , . . . , xn ...

...

...

 

...

xn+r = x n+r x1 , . . . , xn

(4.3)

donde hemos tomado las r variables que podemos despejar como las r u ´ ltimas. De esta forma en un entorno de x0 los puntos de n+r que cumplen el sistema Ec. (4.1) pueden parametrizarse en términos de las coordenadas x1 , . . . , xn , y por tanto en dicho entorno constituyen una variedad n-dimensional. Si estas 3 condiciones se cumplen en un cierto entorno de todos los puntos x0 que verifican el sistema Ec. (4.1), entonces esta colección de condiciones define una variedad diferenciable ndimensional contenida en n+r . De hecho, aproximando en Ec. (4.1) cada f i por su desarrollo en serie de Taylor hasta orden 1 en torno a x0 , es muy sencillo demostrar que la condición necesaria para poder despejar

{

}

67


{

}

{

}  

xn+1 , . . . , xn+r como función de las restantes x1 , . . . , xn en un entorno del punto x0 es precisamente que la matriz

 

∂f 1 ∂x n+1

...

∂f 1 ∂x n+r

...

...

...

∂f r ∂x n+1

...

∂f r ∂x n+r

(4.4)

sea invertible. El mismo razonamiento que acabamos de emplear puede repetirse suponiendo que el espacio en el que está definido el sistema Ec. (4.1) no es un espacio vectorial, sino una variedad n + rdimensional parametrizada (localmente) por unas coordenadas x i . En ese caso, cuando se cumplen las condiciones (1), (2) y (3) el sistema Ec. (4.1) define una sub-variedad . Codimensi´ on e hipersuperficies

Dada una variedad n-dimensional contenida en un espacio vectorial N -dimensional, se define la co-dimensi´ on de la variedad como la diferencia N n. En el caso de una variedad definida por un sistema de ecuaciones como el anterior (Eq. (4.1)) la co-dimensión está dada por el n´ umero de restricciones que define la variedad dentro del espacio ambiente. De manera an´ aloga al caso de una superficie contenida en 3 , que es una variedad de codimensi´ on 1, se denomina hipersuperficie a cualquier variedad n-dimensional contenida en un espacio de n + 1 dimensiones, es decir, cualquier variedad de codimensi´ on 1, y se denomina hiperplano a cualquier hipersuperficie con curvatura nula.

−

4.1.3.

Ejemplos de variedades en f´ısica

En f´ısica constantemente manejamos ecuaciones que dan lugar a variedades definidas en el espacio de variables del sistema. En algunos casos estas variedades pueden tener una estructura sencilla, en otros puede ser muy complicada y en cualquier caso serán dif´ıciles de visualizar si la dimensionalidad es alta. Todas las ramas de la f´ısica proporcionan ejemplos interesantes de variedades. Por ejemplo, en mecánica de fluidos tenemos las l´ıneas de corriente de un campo de velocidades v = vx , vy , vz , dadas por la solución de

{

}

dx dy dz = = vx vy vz Cada l´ınea de corriente es una variedad uni-dimensional contenida en 3 ; en electromagnetismo tenemos las superficies equipotenciales de un campo eléctrico (dadas por V (x,y,z) = k), que definen una familia de variedades bi-dimensionales. A nada que pensemos en ello está claro que surgen multitud de ejemplos. Veamos algunos ejemplos de variedades en mecánica clásica y termodin´ amica. Mec´ anica cl´ asica

Para visualizar de manera global el comportamiento de sistemas mecánicos suele emplearse el plano de fases , definido como el conjunto de todas las trayectorias posibles en el espacio de posiciones r y momentos lineales p = m dr /dt del sistema. En el caso de sistemas conservativos las trayectorias en el plano de fases están dadas por los puntos (r, p) que cumplen la ecuación de conservación de la energ´ıa K + U = E (siendo K = p2 /(2m) la energ´ıa cinética, U = U (r) la


68

energ´ıa potencial y E la energ´ıa total del sistema), es decir, las curvas de nivel de la función energ´ıa total . Haciendo que var´ıen las condiciones iniciales ( r (0) y p(0)) podemos ir calculando todas las trayectorias posibles, y su representación en el plano de fases proporciona mucha información sobre los posibles comportamientos del sistema. Un ejemplo interesante y muy sencillo es el oscilador armónico unidimensional. En ese caso el potencial es V (x) = kx2 /2 y la ecuación de conservación de la energ´ıa ( p2 /(2m) + V (x) = E ) da lugar a la familia de elipses con semiejes x max y p max x2 p2 + =1 x2max p2max

√

en el plano de fases, donde la elongació n máxima es xmax = 2E/k y el momento máximo es pmax = 2mE . Conceptualmente el mapa de fases es muy útil, pero la visualización de las trayectorias puede ser complicada en algunos casos, ya que la dimensionalidad de la variedad K + U = E depende del sistema considerado, pudiendo llegar a ser muy elevada. Para el movimiento unidimensional de una part´ıcula puntual el plano de fases es bi-dimensional y la condición de conservació n de la energ´ıa define una variedad uni-dimensional; para una part´ıcula puntual en 2 (respectivamente 3) dimensiones el “plano” de fases tiene 4 (respectivamente 6) dimensiones y la variedad K + U = E es una hipersuperficie de 3 (respectivamente 5) dimensiones. En general, si tenemos n grados de libertad en lo que respecta a la posición, la dimensionalidad del plano de fases será 2n y la condición de conservación de la energ´ıa define una variedad (2n 1)-dimensional (o de co-dimensión 1), en algunos casos esta dimensionalidad puede ser alta. Por ejemplo, un sólido r´ıgido en 3 dimensiones tiene 6 grados de libertad en lo que respecta a su posición (3 coordenadas para la posici´ on del centro de masas y otras 3 para la orientación del cuerpo en el espacio); otros ejemplos con dimensionalidad elevada son un sólido articulado con muchos grados de libertad, o, por supuesto, un sistema de muchas part´ıculas puntuales. Otro caso interesante y f´ a cil de visualizar es el péndulo simple bajo la acción de la gravedad (figura ˙ la energ´ıa 4.4). El momento lineal en este caso es mLθ y potencial (mgh) queda como mgL (1 cos θ), de modo θ L que la trayectoria en el plano de fases correspondiente a una energ´ıa total E está dada por la curva

√

−

−

− cos θ + p2 = 1 1 − cos θmax p2max 1

donde el momento m´ aximo pmax vuelve a estar dado por 2mE y 1 cos θmax es igual a 2E/E s , sienh do E s = 2mgL la energ´ıa m´ınima necesaria para que mg el p´ endulo llegue a dar una vuelta completa. Para energ´ıas por debajo de E s las curvas que obtenemos en el plano de fases son cerradas, lo que significa que el péndulo oscila siendo θmax el ángulo m´ aximo alcanzaFigura 4.4: El péndulo simple. do. Por el contrario, para E > E s estas curvas ya no son cerradas, el péndulo no oscila sino que da vueltas completas, de forma que no existe ángulo m´ aximo. En el l´ımite E/E s 1 las oscilaciones tienen amplitud muy pequeña, y la anterior variedad se aproxima a la familia de elipses

√

−

≪

θ2 2 θmax

+

p2 p2max

=1

69


endulo simple. La trayectoria marcada en rojo (E = E s ) Figura 4.5: Plano de fases de un p´ es la separatriz entre las trayectorias cerradas ( E < E s ) y las abiertas (E > E s ).

(tal y como puede comprobarse por medio del desarrollo en serie de Taylor de cos θ) que corresponde a un oscilador armónico de constante recuperadora k = mg/L. En la figura 4.5 se ha representado el plano de fases de un péndulo simple, mostrando el tipo de comportamiento que observaremos en función del parámetro adimensional E /E s . Aparte de la dimensionalidad, otra dificultad que existe en mecánica clásica para visualizar las hipersuperficies de nivel E (r, p) = E en el plano de fases es la propia estructura de estas variedades. En particular, si la dimensionalidad del plano de fases es superior a 2 existe la posibilidad de encontrar comportamiento ca´ otico (teorema de Poincaré-Bendixson), en cuyo caso la estructura de las hipersuperficies correspondientes a un determinado nivel de energ´ıa será extraordinariamente complicada. Como ya hemos mencionado antes una condición como K + U = E no siempre generará una variedad diferenciable, sino que en algunos casos puede dar lugar a estructuras más complicadas, no equivalentes a ningún espacio vectorial ni siquiera localmente. En el caso de un sistema con dinámica ca´ otica las hipersuperficies K + U = E se retuercen sobre s´ı mismas de manera extraordinariamente complicada, generando estructuras que llenan densamente el espacio de fases, con una topolog´ıa diferente a la de un espacio vectorial, incluso localmente. En algunos casos estas estructuras son auto-similares bajo cambios de escala, lo que las convierte en estructuras fractales. Termodin´ amica

Las variables de presión p, temperatura absoluta T y densidad ρ de una sustancia pura en equilibrio termodinámico están relacionadas entre s´ı por una ecuaci´ on de estado del tipo f ( p, T, ρ) = 0, donde la forma de la función f depende de la naturaleza del sistema considerado. Por ejemplo, para un gas ideal con masa molar m tenemos f ( p, T, ρ) = pm ρ T . La condición de equilibrio termodinámico da lugar por tanto a una superficie en el espacio de variables ( p, T, ρ). Por ejemplo, la ecuación de estado de van der Waals para una sustancia pura es

− R

p 8T /T c = pc 3v/v c 1

− − 3

�� vc v

2

CAP ´ ITULO ITULO 4. CAMPOS CAMPOS TENSOR TENSORIALE IALES S

70

ro jas corresponden al fluido Figura 4.6: Isotermas de un fluido de van der Waals. Las l´ıneas rojas supercr´ supercr´ıtico, las azules a la fase l´ıquida y las verdes a la fase gas.

donde v donde v es es el volumen vol umen molar y el sub´ sub´ındice c se c se refiere al pu al punt nto o cr´ıtico ıt ico de de la l a tra t rans nsic ici´ ión on l´ıqui ıq uido do-vap -vapor or.. La figura 4.6 muestra la superficie a que da lugar esta ecuación de estado. Como puede apreciarse, para v/v c suficientemente elevado recuperamos el comportamiento de un gas ideal, mientras que para temperaturas subcr´ subcr´ıticas existe un corte correspondiente al cambio de fase l´ıquido-vapor. ıquido-vapor. Si en lugar de una sustancia pura tenemos tenemos una mezcla mezcla bi-componen bi-componente te la ecuaci´ ecuación on de estado dependerá tambi´ en en de una variable adicional, que describa la composición on de la mezcla. En ese caso los estados de equilibrio forman una variedad tri-dimensional en el espacio de presión, on, temperatura, densidad y composición. on. Si consideramos mezclas de más as de dos sustancias, cada sustancia adicional incrementa en una unidad el número umero de variables termodinámicas amicas del sistema, de forma que para una mezcla multi-componente el conjunto de puntos correspondientes a estados de equilibrio forma una variedad de dimensionalidad elevada, cuya forma puede ser muy complicada. Aparte de la variedad correspondiente a estados de equilibrio, en termodinámica se manejan constantem constantemente ente variedades variedades definidas definidas por multitud multitud de restriccione restriccioness aplicadas aplicadas sobre las variables ariables termodinámicas. amicas. Los casos de transformacio transformaciones nes isobaras isobaras (presión on constante) constante),, isocoras isocoras (volumen constante) e isotermas e isotermas (temperatura (temperatura constante) son especialmente frecuentes. Es interesante observar que fue precisamente Josiah Willard Gibbs, una de las principales figuras en la historia de la termodinámica amica y la mecánica anica estad´ıstica, ıstica , quien desarroll´ desarr olló gran parte del cálculo alculo vectorial moderno al formular el aparato matemático atico necesario en termodinámica. amica. Relatividad

La teor´ teor´ıa de la relatividad relatividad emplea emplea tambi´ tambi´ en en el concepto concepto de variedad variedad diferenciabl diferenciable, e, siendo siendo el espacio-tiempo que habitamos una de las variedades de mayor interés es en f´ısica teórica. orica. Las obser-

71

4.1. VARIEDADES ARIEDADES DIFERENCIABLES DIFERENCIABLES

vaciones de que disponemos en la actualidad parecen indicar que el espacio-tiempo es una variedad diferenciable pseudo-Riemanniana de 4 dimensiones. El anterior prefijo “pseudo-” refleja que seg´ un un la teor´ teor´ıa de la relatividad relatividad la m´ etrica etrica del espacio-tie espacio-tiempo mpo no cumple cumple todas las propiedades propiedades que normalmente se exigen a una función on distancia. La gran diferencia está en que la métrica etrica del espacio-tiempo relativista no es definida positiva, sino que existen ciertos vectores (llamados de género en ero luz lu z ) que a pesar de no ser nulos nulos tienen “norma” nula; por otra parte existen existen tambi´ en en vectores llamados de género ene ro tiem ti empo po con con “norma” negativa y vectores llamados de género en ero espaci es pacio o con norma positiva, de tal forma que la distancia espacio-temporal entre dos sucesos separados por un vector de género enero (respectivamente) (resp ectivamente) tiempo, tiempo, luz o espacio es espacio es (respectivamente) negativa, nula o positiva positiva (todo esto empleando la convenci´ convenci´ on tipo on tipo espacio, espacio, con signatura signat ura métrica etrica +++, los signos se invierten si empleamos la convención tipo on tipo tiempo). tiempo). Como consecuencia consecuencia la geometr geometr´ıa del espacio-tie espacio-tiempo mpo relativista relativista es distinta distinta de la habitual habitual geon metr´ me tr´ıa de , incluso en el caso del espacio-tiempo “plano” de la relatividad especial (el espacio de Minkowski). En última ultima instancia esto hace que en el l´ımite no relativista relativista (a velocidades velocidades bajas ba jas comparadas con la de la luz y lejos de singularidades espacio-temporales, como agujeros negros) la coordenada temporal aparezca como una variable cualitativamente distinta de las espaciales, que por su parte forman un espacio vectorial que en la práctica es indistinguible del espacio Eucl´ Eucl´ıdeo de 3 dimensiones.

−

4.1.4. 4.1.4.

Diferenc Diferenciabi iabilida lidad d y parametr parametrizac izaciones iones

Hasta ahora hemos hablado de variedades sin prestar demasiada atención o n a la condición o n de diferenciabilidad. Desde el punto de vista de las aplicaciones en f´ısica estamos interesados principalmente en variedades sobre las que es posible definir operaciones como derivadas e integrales, de manera análoga aloga a como se definen definen estas operaciones en el familiar familiar espacio espacio Eucl´ Eucl´ıdeo n . Estas operaciones operaciones son necesarias necesarias para calcular calcular multitud multitud de magnitudes magnitudes habituales habituales en f´ısica, ısica, como por ejemplo velocidades y gradientes (definidos en función on de derivadas direccionales), o longitudes y areas áreas (definidas en términos erminos de integrales). Las variedades en las que es posible definir este tipo de operaciones operaciones se denominan denominan variedades variedades diferenciables . Para definir operaciones como derivaci´ on on e integración on en variedades diferenciables es necesario definir antes un sistema de coordenadas generalizadas generalizadas que parametrice la variedad (al menos localmente), y que nos permita describir desplazamientos a lo largo de la variedad. Por ejemplo, en n podemos calcular derivadas direccionales en t´ erminos erminos de derivadas respecto de las coordenadas espaciales que describen la posición on de cada punto del espacio. En un espacio vectorial cualquier punto del espacio queda descrito por sus coordenadas respecto de una base cualquiera, en el caso de una variedad diferenciable este concepto no es aplicable. ⋆ ¿Cómo omo asignamos coordenadas a los puntos de una variedad diferenciable? En un entorno alrededor de cada punto de una variedad n-dimensional sabemos que esta es similar (topol´ ogicamente equivalente) al correspondiente entorno de un espacio vectorial de n diogicamente mensiones (en la mayor´ mayor´ıa de los casos n ). Por tanto, en un entorno de cualquier punto podemos definir una colección on de n funciones reales continuas con inversa continua (homeomorfismos) tales que a cada punto de dicho entorno le hagan corresponder un punto del espacio vectorial n, cuyas coordenadas en n (o cualquier función on continua y diferenciable con inversa continua y diferenciable de las mismas) pueden emplearse como coordenadas del punto de la variedad. En una variedad diferenciable n-dimensional esta colección o n de n homeomorfismos define por tanto unas coordenadas coordenadas generalizadas generalizadas que parametrizan parametrizan una determinada determinada regi´ on on finita de la varie-

CAP ´ ITULO ITULO 4. CAMPOS CAMPOS TENSOR TENSORIALE IALES S

72

y x

on de una variedad diferenciable. on Figura 4.7: Parametrizaci´

dad. Un conjunto de funciones como el mencionado se denomina mapa , por p or analog´ a nalog´ıa ıa con co n los lo s mapas map as geogr´ aficos, que hacen corresponder cada punto de una zona de la superficie terrestre con un punto aficos, de una representa representaci´ ci´ on bidimensional plana. En general para describir una variedad no bastará con on un unico u ´ nico mapa, válido alido a lo largo de toda la variedad, sino que será necesario emplear una colección on de cierto número umero de mapas, cada uno de ellos válido alido sólo olo en una determinada región, on, de tal forma que el conjunto completo de todos estos mapas llegue a cubrir la totalidad de la variedad. Dicho conjunto completo de mapas se denomina lógicamente atlas ogicamente atlas . La condici´ condici´ on que distingue a una variedad diferenciable es que todos los mapas que relacionan on cada regi´ on de la variedad con la correspondiente región on on de n deben ser diferenciables (adem´ diferenciables (además as de continuos con inversa continua). De esta forma, al mover un punto a lo largo de la variedad de manera continua y diferenciable, sus coordenadas en el mapa que representa esta variedad en n var´ ar´ıan de forma continu continuaa y diferenciabl diferenciable, e, lo cual nos permite calcular derivadas derivadas e integrales integrales a lo largo de la variedad en términos erminos de derivadas e integrales respecto de las coordenadas generalizadas que estemos empleando. Los mapas empleados para definir las coordenadas generalizadas en una variedad diferenciable son por p or tanto tanto homeomorfismos homeomorfismos diferenciabl diferenciables, es, este tipo de funciones funciones se denominan denominan difeomorfismos difeomorfismos . Para garantizar que sobre la variedad podemos realizar derivadas espaciales de orden arbitrariamente alto, los difeomorfismos que mapean la variedad en n deben tener infinitas derivadas continuas, es decir, deben ser funciones de clase ∞ . En este curso denominaremos funciones suaves a a las funciones de clase ∞ . Por otra parte, si sobre una determinada región on en una variedad diferenciable es posible definir dos parametrizaciones diferentes, la condición de diferenciabilidad impone que estas deben deb en ser compatibles entre s´ s´ı, es decir, debe existir una función on invertible de clase ∞ que transforme un mapa en el otro, al menos en la región donde ambos son simultáneamente aneamente v´ alidos, alidos, dicha función on se denomina cambio denomina cambio de coordenadas . Esto ultimo u ´ ltimo es especialmente importante en aquellos casos en los que resulta imposible describir la variedad completa por medio de una sola parametrización. on. En esos casos será necesario emplear distintas parametrizaciones válidas alidas en distintas regiones de la variedad, y la condición on de diferenciabilidad de la variedad impone que dichos mapas deben ser compatibles en la intersección entre los dominios de definición on correspondientes.

C

C

C

⋆ Las condiciones anteriores pueden resumirse de la siguiente forma. Dada la variedad diferenciable n ciable n-dimensional -dimensional , localmen localmente te homeomor homeomorfa fa a n :

• Coordenadas generalizadas :

73


La variedad está parametrizada por un atlas , dado por un cierto número de homeomorfismos definidos sobre determinadas regiones Ω i de la variedad en n f i : Ωi

→

n

(4.5)

de forma que cada uno de estos mapas f i define un sistema de coordenadas generalizadas v´ alido en una cierta región Ωi

⊂

}nk=1 ∀v ∈ Ωi

f i (v ) = xk (v )

{

(4.6)

donde la superposición de los dominios de definición de todos estos mapas recubre la variedad en su conjunto = Ωi . (4.7)

⊕ i

• Condici´ on de diferenciabilidad de las coordenadas generalizadas :

•

Si la variedad es diferenciable todos estos mapas deben ser homeomorfismos diferenciables, es decir, difeomorfismos . En general en este curso supondremos que las funciones que definen las coordenadas generalizadas sobre una variedad diferenciable son funciones invertibles de clase ∞ . Condici´ on de compatibilidad entre coordenadas generalizadas : Dados los mapas f y g v´ alidos en las regiones Ωf y Ωg , que definen respectivamente las coordenadas generalizadas

C

{xk (v)}nk=1 = f (v) y {yk(v)}nk=1 = g(v), (4.8) si la intersección Ω f ∩ Ωg no es nula entonces la condición de diferenciabilidad impone que existen dos funciones invertibles de clase C ∞ (φ y φ −1 ) que transforman las coordenadas generalizadas {yk (v )}nk=1 en las {xk (v )}nk=1 y viceversa {xk (v)}nk=1 = φ ({yk (v)}nk=1) , {yk (v)}nk=1 = φ−1 ({xk(v)}nk=1) . (4.9) Es muy fácil ver que φ y su inversa están dadas respectivamente por

(( ◦  ◦

φ = f g −1 , φ−1 = g f −1 ,

��

��

}nk=1) = f g−1 ({yk (v)}nk=1) φ−1 ({xk (v )}nk=1) = g f −1 ({xk (v )}nk=1 ) φ ( yk (v )

{

.

(4.10)

(4.11)

Las variedades diferenciables son los dominios más generales sobre los que es posible definir operaciones de cálculo. Cuando se cumplen todas las condiciones anteriores podemos emplear las coordenadas generalizadas para calcular derivadas o integrales sobre la variedad por medio de las correspondientes derivadas o integrales respecto de las coordenadas generalizadas. Al hacer esto debemos tener en cuenta que si la variedad considerada tiene cierta curvatura, su m´ etrica n no coincidirá con la del espacio Eucl´ıdeo . Esto tiene importantes consecuencias a la hora de medir distancias, ángulos o áreas sobre una variedad y tambi´ en a la hora de calcular derivadas direccionales. En general el cálculo de derivadas direccionales a lo largo de variedades diferenciables n-dimensionales y el análisis de su métrica (incluyendo medidas de curvaturas, distancias, ángulos, áreas, vol´ umenes, etc.) son los ob jetos de estudio de la geometr´ıa diferencial. En el próximo cap´ıtulo veremos cómo se calculan derivadas direccionales en variedades diferenciables y en la segunda parte del curso veremos cómo se calculan curvaturas, distancias, ángulos y áreas en el caso de variedades de una y dos dimensiones, es decir, curvas y superficies.


74

g y2

φ

y1 x2 x1

f Figura 4.8: Compatibilidad entre coordenadas generalizadas de una variedad diferenciable.

Variedades Riemannianas

El concepto de variedad generaliza el concepto de espacio vectorial a conjuntos de puntos con estructuras más complicadas. Con mucha frecuencia consideraremos variedades diferenciables localmente homeomorfas al espacio n con métrica no Eucl´ıdea en el plano tangente. En general se define una variedad Riemanniana como cualquier variedad diferenciable n dimensional con métrica de Riemann en el espacio tangente, de tal forma que la métrica está descrita por un tensor métrico gij que var´ıa de forma continua y diferenciable a lo largo de la variedad. 4.1.5.

Ejemplos de variedades y parametrizaciones

El espacio

n

Es evidente que el propio espacio vectorial n constituye una variedad diferenciable n-dimensional. Como parametrizaci´ on trivial de esta variedad podemos considerar las propias coordenadas cartei sianas x , y como coordenadas generalizadas cualquier función (invertible y ∞ ) de las anteriores. Veamos algunos ejemplos:

C

En dos dimensiones por ejemplo podemos definir las coordenadas polares ( r, θ) dadas por x = r cos θ; y = r sin θ;

√

x2 + y 2 , r [0, ]; y θ = arctan , θ [0, 2π] x r =

∈ ∞ ∈

(4.12)

En tres dimensiones son muy habituales las coordenadas cil´ındricas (ρ,θ,z) x = ρ cos θ; y = ρ sin θ;

√

x2 + y 2 , ρ [0, ]; y θ = arctan , θ [0, 2π] x

ρ =

∈ ∞ ∈

(4.13)

y las coordenadas esféricas (r,θ,ϕ) x = r sin θ cos ϕ; y = r sin θ sin ϕ; z = r cos θ;

√

x2 + y 2 + z 2 , r [0, z θ = arc cos , θ [0, π] r y ϕ = arctan , ϕ [0, 2π] x r =

∈ ∞];

∈ ∈

(4.14)

75


Parametrizaci´ on de curvas

En general una curva en n puede definirse mediante las n ecuaciones paramétricas que definen las coordenadas de un punto sobre la curva en función de un parámetro λ, x1 = x 1 (λ) x2 = x 2 (λ) ... ... ... xn = x n (λ)

(4.15)

de tal forma que cuando λ recorre un cierto intervalo de la recta real (p. ej. λ [0, 1]) el punto x(λ) recorre la curva completa, desde el punto inicial ( x(λ = 0)) hasta el final (x(λ = 1)). De esta manera el par´ ametro λ es la coordenada generalizada que define la posición de cualquier punto sobre la curva. En algunos casos se pueden tomar parámetros que tengan un significado geométrico evidente. Por ejemplo, las relaciones

∈

x = cos θ,

y = sin θ,

θ

∈ [0, 2π]

(4.16)

definen una circunferencia de radio unidad en la que la coordenada generalizada θ es el ángulo formado por el punto considerado con el eje x. Otro ejemplo, la relación y = y(x) define la curva dada por la gráfica de la función y(x) en términos del parámetro x, lo que equivale a las ecuaciones paramétricas x = λ, y = y(λ). Otro ejemplo muy importante es el par´ ametro longitud de arco, definido como la longitud recorrida a lo largo de la curva a partir de un cierto punto que tomamos como origen. Como veremos en geometr´ıa diferencial, en el estudio de curvas el parámetro longitud de arco es el que genera la descripción más sencilla posible de la curva. Parametrizaci´ on de superficies

Las superficies se caracterizan por tener 2 grados de libertad, lo que implica que para recorrer una superficie debemos emplear 2 coordenadas generalizadas. Las ecuaciones paramétricas de una superficie contenida en n tendr´ an por tanto la forma general siguiente x1 = x 1 (λ, µ) x2 = x 2 (λ, µ) ... ... ... xn = x n (λ, µ)

(4.17)

de manera que cuando los parámetros λ y µ recorren sus correspondientes dominios de definición el punto x(λ, µ) recorre la superficie. Los parámetros λ y µ definen de esta forma unas coordenadas generalizadas que nos permiten describir la superficie. Por ejemplo, la definición de las coordenadas esféricas en 3 con r = const. proporciona una parametrizaci´ on de la superficie esférica de radio r centrada en el origen en términos de las coordenadas generalizadas θ y ϕ (aunque este mapa no es válido cerca de los “polos” θ = 0 y θ = π). Otro ejemplo, en la gráfica de una función de dos variables z = f (x, y) las propias variables x e y proporcionan las coordenadas generalizadas necesarias para la parametrizaci´ on de la superficie.


76

La parametrización global de la superficie por medio de un u ´ nico mapa no será posible en aquellos casos en los que tengamos una superficie definida de manera impl´ıcita por una condición del tipo f (x,y,z) = 0 en la que resulte imposible despejar ninguna de las variables en función de las restantes de manera suave y univaluada. En esos casos no será posible parametrizar la superficie con un ú nico mapa, tal y como se ha asumido en Eq. (4.17) sino que será necesario emplear varios mapas para describir distintas regiones de la superficie. Esto es lo que sucede por ejemplo si queremos describir una superficie esf´ erica (con r = 1, centrada en el origen) empleando las coordenadas x e y como coordenadas generalizadas, en ese caso es necesario emplear al menos 2 mapas: z = + x2 + y 2 1 para la mitad superior y z = x2 + y 2 1 para la mitad inferior.

√

4.2.

−

√

−

−

Fibrados tangente y cotangente

El espacio tangente a una variedad diferenciable n-dimensional en el punto r se define como la envolvente lineal de las tangentes en r a todas las curvas contenidas en la variedad que pasen por dicho punto. Por supuesto, estamos dando por hecho que las curvas a las que nos referimos son continuas y diferenciables. El ejemplo más visual en f´ısica consiste en identificar la curva paramétrica r(λ) con la trayectoria de un punto y el parámetro λ con el tiempo; en ese caso la derivada de ametro λ es el vector velocidad, de modo que el espacio tangente es el definido r respecto del par´ por los vectores velocidad de todas las trayectorias, continuas, diferenciables y contenidas en la variedad, que pasen por el punto en consideración. Intuitivamente el espacio tangente a una variedad en un punto representa todas las direcciones posibles que podemos tomar en para pasar por dicho punto sin salirnos de la variedad. Por ejemplo, si la variedad de partida es la superficie de una esfera, el espacio tangente en un punto es el plano tangente a la esfera en dicho punto; si la variedad de partida es una superficie en 3 , el espacio tangente en cualquier punto es el plano tangente a la superficie en dicho punto. Esto implica que la dimensionalidad del espacio tangente coincide con la de la variedad considerada. Una vez definido el espacio tangente en un punto, se define el fibrado tangente como el conjunto de todos los espacios tangentes que se obtiene al recorrer la variedad completa ( r ). Por otra parte, el dual al espacio tangente en cada punto se define como el espacio co-tangente en dicho punto, y el conjunto de todos los espacios cotangentes definidos sobre toda la variedad se define como el fibrado cotangente . El producto tensorial de s copias de cada espacio tangente por r copias de su dual genera un espacio producto tensorial definido como función del punto en . A este espacio pertenecen los tensores (o, en general, las densidades tensoriales) definidas como función del punto sobre la variedad. Todos los conceptos definidos en los cap´ıtulos precedentes sobre comportamiento tensorial son aplicables, sin ninguna modificación, al caso de tensores definidos como función del punto sobre una variedad diferenciable. La u ´ nica diferencia es que ahora, en lugar de un único espacio vectorial, tenemos una colección de espacios vectoriales definidos como función del punto sobre la variedad diferenciable.

∈

∀ ∈

4.2.1.

Espacio tangente a un espacio vectorial

Para familiarizarnos m´ as con el concepto de espacio tangente veamos primero el caso en que la variedad diferenciable considerada es, ella misma, un espacio vectorial. Dado un espacio vectorial de n dimensiones y la base ei ni=1 , cualquier punto del espacio queda descrito por sus coordenadas xi respecto de dicha base. Una curva paramétrica contenida en está dada por la colección de n funciones x i (λ) (continuas y diferenciables), con λ definido en un cierto intervalo (p. ej. λ [0, 1]).

{ }

∈

77

4.2. FIBRADOS TANGENTE Y COTANGENTE

v(t)

z

r (t)

y x

ıcula móvil en Figura 4.9: Part´

3

.

El vector dado por la diferencia entre los valores de x sobre esta curva correspondientes a dos valores de λ infinitamente próximos v dλ = x (λ + dλ)

− x(λ)

(4.18)

es un vector que pertenece a un espacio vectorial idéntico a , ya que es combinación lineal de vectores de . Dicho vector diferencia, situado con origen en el punto x(λ), es tangente a la curva considerada y por tanto pertenece al espacio tangente a en el punto x(λ). Por otra parte, está claro que considerando distintas curvas x(λ) podemos generar cualquier vector de como vector velocidad. Como consecuencia: ⋆ El espacio tangente a un espacio vectorial en el punto r dicho espacio pero con origen en el punto r .

∈

está dado por una copia de

Con esto recuperamos la imagen intuitiva habitual, segú n la cual para pasar de un espacio vectorial al espacio tangente en un determinado punto basta con desplazar el origen del espacio a dicho punto. El espacio dual al espacio tangente en un punto se define como espacio co-tangente en ese punto. Por tanto el espacio co-tangente a un espacio vectorial en un punto determinado es un espacio id´ entico al dual del espacio vectorial de partida, pero con origen en el punto considerado. Una vez definidos los espacios tangente y cotangente como función del punto, el conjunto de estos espacios que obtenemos al recorrer el espacio de partida completo define (respectivamente) los fibrados tangente y el cotangente. El fibrado tangente de un espacio vectorial es algo muy familiar, ya que es lo que se ha estado manejando tácitamente al estudiar, p. ej., trayectorias de part´ıculas puntuales en 3 , donde el vector velocidad es un vector perteneciente al fibrado tangente a 3 en el punto en donde se encuentre la part´ıcula (Fig. 4.9). 4.2.2.

Espacio tangente de una variedad diferenciable

El espacio tangente a un espacio vectorial es un espacio vectorial, según acabamos de ver. Veamos que el espacio tangente tambi´ en es un espacio vectorial si el espacio de partida es solamente una variedad diferenciable: Consideramos una curva paramétrica r(λ) definida sobre la variedad . El vector velocidad de esta curva es v = dr (λ)/dλ, que es tangente a la curva. Supongamos que en un entorno del


78

punto de inter´ es hemos definido un sistema de coordenadas generalizadas xi , por medio de un difeomorfismo (U ) entre la variedad y un espacio vectorial de n dimensiones. En este sistema de coordenadas r = U (x), donde x está dado por las coordenadas cartesianas xi . La curva paramétrica r (λ) está dada por la imagen resultado de aplicar U sobre la correspondiente curva paramétrica x(λ) (4.19) r(λ) = U (x(λ))

⊂

∈

⊂

El vector tangente v puede calcularse, entonces, por medio de la regla de la cadena ∂U (x) dxi v (λ) = ∂x i dλ

(4.20)

Considerar diferentes curvas r(λ) implica, claramente, considerar diferentes valores para dxi /dλ, pero la expresión genérica anterior es v´ alida para cualquier curva, es decir, el vector tangente v a cualquier curva contenida en se puede expresar como combinaci´ on lineal de la base ∂ U (x)/∂x i . Como consecuencia, dada la parametrizaci´ on U (válida al menos en un entorno del punto considerado), el espacio tangente a en r está dado por la envolvente lineal de la base ti =

∂U (x) , ∂x i

i = 1, . . . , n

(4.21)

Como puede verse, esta base está dada por los vectores tangentes a las l´ıneas coordenadas U (xi ), dadas por la intersección de las hipersuperficies definidas por U (x j ) = const. j = i. Es muy sencillo verificar que esta base define, efectivamente, un espacio vectorial. Para ello basta comprobar que cualquier combinación lineal de la base pertenece tambi´ en al espacio tangente, es decir, que existe una curva (continua, diferenciable y contenida en ) cuyo vector velocidad coincide con dicha combinación lineal. Por otra parte tambi´ en existe el elemento nulo, el elemento opuesto, y, en resumen, se puede comprobar fácilmente que se verifican todas las propiedades mencionadas en el primer cap´ıtulo.

∀̸

Cambios de coordenadas

Aunque es trivial verificar que la envolvente lineal de la base Ec. (4.21) cumple todas las propiedades necesarias para ser un espacio vectorial, todav´ıa no es del todo evidente que un objeto definido como v = v i ti sea, realmente, un vector. Esto no es del todo evidente ya que los ti se han definido a partir de una parametrizaci´ on concreta U que es totalmente arbitraria. Para convencernos de que v i ti es, efectivamente, un vector, debemos verificar que este objeto es invariante sea cual sea el sistema de coordenadas generalizadas empleado para describir la variedad. Consideremos entonces una parametrización arbitraria V , tal que a cada r le asigna las i n coordenadas generalizadas y (es decir, r = U (x) = V (y )). De manera análoga a como hemos definido la base Ec. (4.21), los vectores tangentes a las l´ıneas coordenadas de este nuevo sistema definen la base “nueva” ˜ti = ∂V (y ) , i = 1, . . . , n (4.22) ∂y i

∈

Por definición, este cambio de coordenadas es invertible, es decir, existen n funciones suaves que relacionan las coordenadas “nuevas” con las “viejas” y viceversa xi = x i (y1 , . . . , yn ),

y i = y i (x1 , . . . , xn ),

i = 1, . . . , n

al menos en la intersección de los dominios de definición de ambos mapas.

(4.23)

79

4.2. FIBRADOS TANGENTE Y COTANGENTE

Teniendo esto en cuenta y aplicando la regla de la cadena encontramos j ˜ti = ∂V (y ) ∂x = C j t j , i ∂x j ∂y i

i = 1, . . . , n

(4.24)

donde hemos definido la matriz C del cambio de base como la matriz jacobiana del cambio de coordenadas, evaluada en el punto considerado ∂x i i C j = j , ∂y

C =

 

∂x 1 ∂y 1

...

∂x 1 ∂y n

...

...

...

∂x n ∂y 1

...

∂x n ∂y n

 

(4.25)

Vemos por tanto que los vectores base Ec. (4.21), dados por las tangentes a las l´ıneas coordenadas, se comportan como objetos 1-covariante bajo el cambio de base inducido en el espacio tangente como consecuencia de realizar un cambio de coordenadas en la variedad. Para terminar de convencernos de que los elementos del espacio tangente son realmente vectores, debemos comprobar que, dada la curva paramétrica arbitraria r(λ) , la “velocidad” de esta curva es realmente un vector, es decir, un objeto independiente de las coordenadas generalizadas empleadas para describir la variedad. Veamos que efectivamente es as´ı. En la parametrización U el vector velocidad de esta curva ( v ) es

⊂

dr(λ) dxi = v = ti = v i ti dλ dλ

(4.26)

y por tanto tiene componentes v i = dx i /dλ. En la parametrizaci´ on V el vector velocidad es v =

dr(λ) dy i ˜ = ti = v˜i˜ti dλ dλ

(4.27)

Identificando ambos resultados vemos que las coordenadas de v respecto de la base “vieja” (v i ) y respecto de la base “nueva” (˜v i ) están relacionados por v˜i = D ji v j

(4.28)

donde la matriz D es la matriz jacobiana de la transformación inversa

D ji =

∂y i ∂x j

D = C −1 =

,

 

∂y 1 ∂x 1

...

∂y 1 ∂x n

...

...

...

∂y n ∂x 1

...

∂y n ∂x n

 

(4.29)

Este mismo resultado (Ec. (4.28)) puede obtenerse directamente aplicando la regla de la cadena dy i ∂y i ∂x j v˜ = = j = D ji v j dλ ∂x dλ i

(4.30)

Por tanto vemos que las componentes dxi /dλ de la velocidad de cualquier curva paramétrica se comportan bajo un cambio de coordenadas como un objeto 1-contravariante, tal y como corresponde a las componentes de un vector. Con esto queda comprobado que el espacio tangente a una variedad diferenciable tiene estructura de espacio vectorial. Como corolario tambi´ en resulta evidente que la dimensionalidad del espacio tangente coincide con el número de coordenadas generalizadas necesarias para describir la variedad, es decir, con la dimensionalidad de la variedad.


80 M´ etrica del espacio tangente

Dados dos vectores del espacio tangente u = u i ti y v = v i ti , su producto escalar está dado por u v = g ij ui v j

(4.31)

·

donde el tensor métrico g ij se define como la tabla de productos escalares de los vectores de la base gij = t i t j ,

·

i, j = 1, . . . , n

(4.32)

El tensor métrico nos permite medir distancias a lo largo de la variedad. Por ejemplo, dada la curva paramétrica r(λ) la “longitud” al cuadrado (dr)2 recorrida en el intervalo de “tiempo” dλ es (dr )2 = g ij v i v j (dλ)2 .

(4.33)

A partir de las leyes de transformación de los vectores ti es inmediato verificar que las componentes del tensor métrico se transforman bajo un cambio de base como un objeto 2-covariante g˜ij = C pi C jq g pq

(4.34)

En este curso sólo consideraremos variedades diferenciables con m´ etrica Riemanniana en el fibrado tangente (con mucha frecuencia Eucl´ıdea, como caso particular de Riemanniana), por tanto suponemos que gij es simétrico e invertible y que var´ıa de forma suave a lo largo del fibrado tangente. Una vez definida la métrica del espacio tangente quedan definidas las correspondientes relaciones entre el espacio tangente y su dual, en particular la base del fibrado co-tangente está dada por los vectores i = 1, . . . , n (4.35) ti = g ij t j , donde las componentes 2-contravariantes g ij forman el tensor métrico inverso. Esto permite aplicar en los fibrados tangente y cotangente las relaciones estudiadas en los cap´ıtulos precedentes sobre tensores y densidades tensoriales de cualquier rango tensorial. En particular quedan extendidas a los fibrados tangente y contangente las operaciones de “subida y bajada de ´ındices”, mediante el correspondiente producto de contracci´ on con el tensor métrico o su dual. Base natural y componentes hol´ onomas

Dada una variedad diferenciable n-dimensional , parametrizada en un entorno determinado n por medio de un difeomorfismo cualquiera U en términos de las co ordenadas generalizadas xi i=1 , el conjunto de vectores tangentes a las l´ıneas coordenadas

{}

ti =

∂ r , ∂x i

i = 1, . . . , n

(4.36)

se define como la base natural del fibrado tangente a . Para cualquier vector v del espacio tangente, las componentes de v respecto de la base natural correspondiente a cualquier sistema de coordenadas generalizadas se denominan componentes hol´ onomas . La base dual a la base Ec. (4.36), dada por ti = g ij t j , es la base natural del fibrado cotangente, y en general, se denominan componentes holónomas a las componentes de cualquier tensor af´ın relativas a la base definida como cualquier potencia tensorial de la base natural y su dual.

4.3. EL ESPACIO VECTORIAL

N EN COORDENADAS CURVIL´ INEAS

{}

n

81

Como las coordenadas generalizadas xi i=1 var´ıan de forma suave (es decir, ∞ ) a medida que recorremos la variedad, también lo hacen sus vectores tangentes, de modo que la base natural var´ıa de forma suave a medida que recorremos el fibrado tangente. Desde el punto de vista tensorial la base natural tiene muchas ventajas, paro hay ocasiones en que es preferible emplear otras bases distintas, como veremos más adelante. Por el contrario, se denominan componentes no hol´ onomas a las componentes de los vectores del espacio tangente respecto de cualquier base distinta de la base natural. Esta definición se hace extensiva a las componentes de cualquier campo tensorial definido sobre la variedad relativas a cualquier base distinta de la correspondiente potencia tensorial de la base natural y su dual. Un ejemplo de componentes no holónomas de gran inter´ es en f´ısica son las llamadas componentes f´ısicas , dadas por las componentes respecto a la base natural normalizada , tal y como veremos posteriormente.

4.3.

n

El espacio vectorial

C

en coordenadas curvil´ıneas

Como aplicación directa de los resultados anteriores vamos a estudiar el espacio vectorial n en un sistema arbitrario de coordenadas. Finalmente aplicaremos estos resultados al caso habitual del espacio 3 Eucl´ıdeo en coordenadas cartesianas, cil´ındricas y esféricas. Consideremos el espacio vectorial n con métrica de Riemann dada por Gij = ei e j , siendo ei los vectores de la base cartesiana (o canónica). El espacio tangente a esta variedad en un punto arbitrario es una copia del espacio de partida (con la misma métrica) con centro en dicho punto. Sea x un punto perteneciente a n , descrito por sus componentes x i = x1 , . . . , xn respecto de la base cartesiana habitual. En general, un sistema de coordenadas curvil´ıneas (y j = y 1 , . . . , yn ) es una colección de n funciones suaves

·

{

( ( ( (

y1 = y 1 x1 , . . . , xn ...

...

...

   

yn = y n x1 , . . . , xn invertibles

x1 = x 1 y1 , . . . , yn ...

...

...

xn = x n y1 , . . . , yn

} {

}

(4.37)

(4.38)

de tal manera que la posición de cualquier punto del espacio vectorial queda un´ıvocamente definida tanto por xi como por y i . La condición que garantiza que podamos invertir el cambio de coordenadas es que el jacobiano de la transformación

∂x i i J j = j , ∂y

J =

 

∂x 1 ∂y 1

...

∂x 1 ∂y n

...

...

...

∂x n ∂y 1

...

∂x n ∂y n

 

(4.39)

sea invertible, lo cual queda garantizado si el determinante de J es distinto de cero en todo el dominio de definición de las coordenadas generalizadas y i .


82

Normalmente las coordenadas y i serán funciones complicadas (no lineales) de las xi y el jacobiano no será constante, sino que será una función del punto. Por tanto el cambio de coordenadas definido por Ec. (4.37) y Ec. (4.38) es una operació n más complicada que un simple cambio de base en el espacio. En particular, las coordenadas generalizadas y i ni siquiera tendr´ an (en general) i las mismas dimensiones que las x . Por ejemplo, al pasar a coordenadas cil´ındricas o esféricas en 3 la coordenada radial tiene las mismas dimensiones que las coordenadas cartesianas de partida, pero las coordenadas angulares no, ya que son adimensionales. Más adelante volveremos sobre esta cuesti´ on, que motiva la definición de las componentes f´ısicas. 4.3.1.

Base natural y m´ etrica del espacio tangente

La base cartesiana habitual es la base natural de las coordenadas cartesianas ei =

∂ x ∂x i

(4.40)

La base natural del sistema de coordenadas generalizadas y i está dada por ti =

∂ x = J ji e j i ∂y

(4.41)

donde la matriz jacobiana est´ a dada por Ec. (4.39), tal y como puede comprobarse aplicando la regla de la cadena para calcular ∂ x/∂y i en términos de ∂ x/∂x j . El tensor métrico en términos de la base nueva está dado por gij = t i t j = J pi J jq G pq

·

(4.42)

Para verificar que gij define una métrica de Riemann es necesario comprobar que es sim´ etrico, invertible, y que var´ıa de forma suave a medida que recorremos el fibrado tangente. Lo cual es inmediato suponiendo que Gij cumple to das las propiedades necesarias para definir una métrica Riemanniana y que J es invertible y suave. Caso de

n

Eucl´ıdeo

En el caso más habitual la métrica de n ser´ a Eucl´ıdea Gij = δ ij (al menos en alguna base). En ese caso el tensor m´ etrico del espacio tangente en la base natural definida por el sistema de j coordenadas y es n

gij =

∑

J ik J jk

(4.43)

k=1

que matricialmente puede ponerse como [g] = [J ]T [J ]. Incluso si el espacio de partida es Eucl´ıdeo vemos que, dependiendo del sistema de coordenadas empleado, el tensor m´ etrico del espacio tangente en t´ erminos de la base natural puede no ser la identidad. En general, en un espacio Eucl´ıdeo el tensor métrico sólo es la identidad si empleamos una base ortonormal, pero no lo será en caso contrario. Esto no significa que el espacio deje de ser Eucl´ıdeo, una métrica es no Eucl´ıdea solamente en el caso en que no exista ninguna base tal que en ella el tensor métrico sea la identidad. En el caso de n Eucl´ıdeo el espacio tangente es, obviamente, Eucl´ıdeo.



83

Coordenadas ortogonales

En general se denominan sistemas de coordenadas ortogonales a aquellos en que las l´ıneas coordenadas son mutuamente perpendiculares, de forma que el tensor métrico en el espacio tangente es diagonal: 0 si i = j gij = t i t j = (4.44) h2i si i = j

�

·

̸

donde los factores de escala h i están dados por la norma de los correspondientes vectores tangentes a las l´ıneas coordenadas (4.45) hi = (ti ti )1/2 = ti

·

∥ ∥

que en general no serán unitarios (hi = 1). En el caso de un espacio Eucl´ıdeo descrito en términos de un sistema de coordenadas ortogonales los factores de escala están dados por

̸

∑� � n

2

(hi ) =

k=1

∂x k ∂y i

2

(4.46)

En general el uso de coordenadas curvil´ıneas ortogonales simplifica enormemente las expresiones. Por ejemplo, el tensor m´ etrico inverso en coordenadas ortogonales est´ a sencillamente dado por ij 2 ij − g = (hi ) δ (sin suma en i). 4.3.2.

Componentes f´ısicas

Un móvil en el espacio n , descrito por las coordenadas cartesianas habituales xi , está dado por la curva paramétrica con componentes xi (t). El vector velocidad de esta part´ıcula puntual es un vector del espacio tangente dado por v =

dxi ei dt

(4.47)

⋆ ¿Cúal es la expresión del vector velocidad en coordenadas generalizadas? Seg´ un hemos visto previamente, en t´ erminos de la base natural correspondiente a las coordei nadas y , este vector se expresa sencillamente como dy i v = ti dt

(4.48)

Desde el punto de vista tensorial el vector Ec. (4.48) está perfectamente bien definido, pero desde el punto de vista f´ısico puede ser poco conveniente. Supongamos que las coordenadas xi tienen dimensiones de longitud, de tal forma que las componentes de v en la base cartesiana tienen dimensiones de longitud/tiempo. Parece razonable pensar que las componentes de un vector velocidad siempre deben tener dimensiones de velocidad, sin embargo, esto no tiene porqué cumplirse con las componentes dy i /dt. De hecho es inmediato comprobar que dy i /dt sólo tendrá dimensiones de velocidad si la correspondiente coordenada generalizada y i tiene dimensiones de longitud, lo cual no tiene por qu´ e cumplirse, y de hecho no se cumple en numerosos sistemas de coordenadas empleados habitualmente (como las variables angulares de las coordenadas cil´ındricas y esféricas). El problema está en la definición de la base natural. En principio en f´ısica parece preferible que los vectores de la base sean adimensionales , de forma que las dimensiones del tensor en consideraci´ on recaigan sobre sus componentes, tal y como sucede cuando se emplea la base cartesiana.


84

Sin embargo, la base natural de un sistema de coordenadas generalizadas no es adimensional, sino que el vector ti = ∂ r/∂y i tiene dimensiones de [ r ]/[yi ], y por tanto sólo será adimensional si la coordenada generalizada y i tiene las mismas dimensiones que r. Este problema suele resolverse empleando la base natural normalizada correspondiente a las coordenadas y i , definida por

ˆti =



∂ r ∂y i ∂ r ∂y i



=

1 ti , hi

i = 1, . . . , n

(4.49)

(sin suma en i). Por construcción está claro que cada uno de estos vectores es unitario, y por tanto tambi´ en adimensional. Las componentes de vectores y tensores respecto de esta base se denominan componentes f´ısicas , y se caracterizan por tener las mismas dimensiones que el objeto tensorial que representan. Las leyes de transformaci´ on de tensores en componentes f´ısicas son algo más complicadas que en componentes holónomas, ya que incluyen contracciones con el tensor métrico y con su inversa. Por este motivo es usual usar las coordenadas respecto de la base natural para todo lo que son transformaciones de coordenadas y emplear las componentes f´ısicas, calculadas en función de las anteriores, sólo cuando ya no se van a realizar más cambios de coordenadas. Las componentes f´ısicas son las que se usan en la práctica en todos los casos en que la métrica en el espacio tangente sea Eucl´ıdea. En particular, si la métrica es Eucl´ıdea y se emplean coordenadas ortogonales, la base natural normalizada tiene la gran ventaja de ser una base ortonormal (cosa que en general no sucede con la base natural), lo cual simplifica enormemente todas las expresiones. Esto hace que las componentes f´ısicas sean las empleadas en las aplicaciones del cálculo tensorial en ingenier´ıa. De hecho, las componentes f´ısicas son las que se emplean cuando se suministran expresiones para el cálculo de divergencias, gradientes, etc. en sistemas de coordenadas curvil´ıneas ortogonales, como cil´ındricas o esféricas. Vector velocidad en componentes f´ ısicas

A partir de Ec. (4.49) es muy sencillo comprobar que la relación entre la base cartesiana de partida (vectores ei , coordenadas xi ) y la base formada por los vectores tangentes unitarios (que en lo sucesivo denotaremos por ˆti ) está dada por i ˆt j = 1 ∂x ei , h j ∂y j ∂y i ˆ e j = h i j ti , ∂x

sin suma en j con suma en i

(4.50)

Como puede verse la matriz del cambio de base en este caso está dada por [J ][h−1 ], donde [J ] es la matriz jacobiana y [h−1 ] es una matriz diagonal cuyos elementos son los los inversos de los factores de escala. Consecuentemente las componentes f´ısicas de un vector del espacio tangente están dadas por u = u i ei = u i h j

∂y j ˆ ˆ j ˆt j ; t j = u ∂x i

u ˆ j = h j

∂y j i u, ∂x i

tal y como corresponde a un comportamiento 1-contravariante.

sin suma en j

(4.51)



85

i La base dual a ˆti ni=1 está dada por los vectores ˆt comprobarse f´ acilmente que esta base está dada por

{ }ni=1 que cumplen (ˆti, ˆt j ) = δ ji . Puede

{ }

i

ˆti = h i ∂y e j , sin suma en i (4.52) ∂x j Consecuentemente las componentes f´ısicas de un vector del espacio cotangente están dadas por 1 ∂x i ˆ j 1 ∂x i j ˆ ˆ j t ; u ˆ j = ui , u = u i e = u i t =u h j ∂y j h j ∂y j tal y como corresponde a una una ley tensorial 1-covariante. i

sin suma en j

(4.53)

Producto escalar y tensor m´ etrico en componentes f´ısicas

Dados dos vectores u y v del espacio tangente, su producto escalar estará dado por î vˆ j u v = G ij ui v j = gîj u

(4.54)

·

donde el tensor métrico en componentes f´ısicas está dado por la ley 2-covariante 1 ∂x k 1 ∂x l ˆ ˆ gîj = ti t j = Gkl , hi ∂y i h j ∂y j

·

sin suma en ij

(4.55)

An´ alogamente, el producto escalar en términos de las coordenadas covariantes está dado por î vˆ j u v = G ij ui v j = gîj u

·

(4.56)

donde gîj est´ a dado por la ley de transformación 2-contravariante ∂y i ∂y j i j gîj = ˆt ˆt = h i k h j l Gkl , sin suma en ij (4.57) ∂x ∂x y por supuesto se verifica que ˆg ik gˆkj = δ ji . Tambi´ en se puede comprobar que el tensor métrico relaciona las componentes co- y contra-variantes en esta nueva base

·

u î = gîj u ˆ j ,

u î = gîj uˆ j

(4.58)

ˆti = gîj ˆt j

(4.59)

y los vectores de la base con los de su dual ˆti = gîj ˆt j , Componentes f´ ısicas en espacios Eucl´ ıdeos

Las componentes f´ısicas se emplean, como regla general, siempre que estemos trabajando en espacios Eucl´ıdeos. El motivo es que si el espacio vectorial de partida es Eucl´ıdeo (Gij = δ ij , Gij = δ ij ) y empleamos un sistema de coordenadas ortogonales , entonces el tensor métrico en la base de los vectores tangentes unitarios vuelve a ser, lógicamente, la identidad (ˆgij = δ ij , ˆg ij = δ ij ) lo que simplifica enormemente el cálculo. Para comprobarlo basta recordar la definici´ on de los factores de escala h i (Ec. (4.45)). Como consecuencia las componentes f´ısicas co- y contra-variantes respecto de un sistema de coordenadas ortogonales en un espacio Eucl´ıdeo coinciden, y por este motivo es muy frecuente no hacer distición alguna entre unas y otras. Esto es lo que sucede generalmente cuando se suministran tablas con expresiones para los operadores diferenciales habituales (gradiente, divergencia, rotacional, . . . ) en coordenadas cil´ındricas o esféricas (o en cualquier otro sistema de coordenadas curvil´ıneas ortogonales). Siempre que se suministran estas expresiones sin hacer referencia al carácter co- o contra-variante de las componentes empleadas se sobre-entiende que estamos manejando componentes f´ısicas en un espacio Eucl´ıdeo.


86 4.3.3.

3

El espacio Eucl´ıdeo

en coordenadas cil´ındricas

En el resumen de resultados generales presentado en esta secci´ on y en la siguiente emplearemos ˜ la notaci´ on ( ) para todas las magnitudes referidas a la base natural y (ˆ) para la base natural normalizada.

z uz uθ

r

ur r

y θ

x Figura 4.10: Coordenadas cil´ındricas.

Las coordenadas cil´ındricas están definidas por el cambio de variable y1 y2 y3

= = =

r

=

θ =

√ x

2

+ y 2

x1

=

x

= r cos θ

y x

x2

=

y

= r sen θ

x3

=

z

arctan

z

Matriz jacobiana J i j

 cos(θ)   =  sin(θ)  0

− (r sin(θ)) r cos(θ) 0

  0  1 0

Vectores tangentes

  cos(θ)   ,  ˜ =  sin(θ)   0  t1

  (r sin(θ)) −   ˜ =  r cos(θ)  ,  0  t2

 0   ,  ˜ = 0 1 t3

  cos(θ)    =  sin(θ)  ,  0 

˜t1

− �  = 

˜t2

sin(θ) r

cos(θ) r

0

�  , 

˜t3

 0    = 0 1

Vectores tangentes unitarios

  cos(θ) , ˆ =  sin(θ)  0 t1

  sin(θ) −   ˆ =  cos(θ)  ,  0  t2

 0 , ˆ =  01 t3

ˆt1

  cos(θ)    =  sin(θ)  ,  0 

ˆt2

  sin(θ) −   =  cos(θ)  ,  0 

Tensor m´ etrico g˜ij

 1   = 0 0

0 r2 0

  0 ,  1 0

g˜ij

 1   = 0 0

0 r

2

−

0

  0  1 0

ˆt3

 0    = 0 1



z

θ

r r

ur uφ uθ

y x

φ

Figura 4.11: Coordenadas esféricas.

4.3.4.

3

El espacio Eucl´ıdeo

en coordenadas esf´ ericas

Las coordenadas esféricas están definidas por el cambio de variable y1 y2 y3

=

r

=

=

θ =

=

φ =

√ x

2

+ y 2 + z 2

arctan arctan

√ x +y 2

2

z y x

x1

=

x

= r sen θ cos φ

x2

=

y

= r sen θ sen φ

x3

=

z

= r cos θ

Matriz jacobiana J i

j

Vectores tangentes

 cos(φ) sin(θ)   =  sin(φ) sin(θ)  cos(θ)

r cos(φ) cos(θ) r cos(θ) sin(φ)

− (r sin(θ))

 − (r sin(φ) sin(θ))  r cos(φ) sin(θ)   0

      cos(φ) sin(θ) r cos(φ) cos(θ) (r sin(φ) sin(θ)) −       ˜ =  sin(φ) sin(θ)  , ˜ =  r cos(θ) sin(φ)  , ˜ =  r cos(φ) sin(θ)   cos(θ)   − (r sin(θ))    0     − � � cos(φ) sin(θ)     , ˜ =   ˜ = sin(φ) sin(θ)  , ˜ =   cos(θ)   −� �    t1

t2

t3

cos(φ) cos(θ)

csc(θ) sin(φ)

r

1

2

t

r

cos(θ) sin(φ)

t

r

t

3

cos(φ) csc(θ) r

sin(θ)

0

r


      cos(φ) sin(θ) cos(φ) cos(θ) sin(φ) −       ˆ =  sin(φ) sin(θ)  , ˆ =  cos(θ) sin(φ)  , ˆ =  cos(φ)   cos(θ)   − sin(θ)   0        cos(φ) sin(θ) cos(φ) cos(θ) sin(φ) −       ˆ = sin(φ) sin(θ)  , ˆ =  cos(θ) sin(φ)  , ˆ =  cos(φ)   cos(θ)   − sin(θ)   0      1 0 0 1 0 0   , g˜ =   g˜ = 0 r 0 0 r 0  0 0 r sin(θ)  0 0  t1

t2

1

2

t

Tensor métrico

t3

3

t

ij

t

ij

2

2

2

2

−

csc(θ)2 r2

87


88

4.4.

Problemas

1. Dado el sistema Ec. (4.1), demostrar que la condici´ on necesaria para poder despejar las n+1 n+r coordenadas x ,...,x como función de las restantes x1 , . . . , xn en un entorno del punto x0 es que la matriz Ec. (4.4) sea invertible en un entorno de dicho punto.

{

}

{

}

2. Demostrar que un vector v cualquiera, con origen en un punto r , pertenece al espacio tangente a la variedad en el punto r si y solo si v es el vector “velocidad” de alguna curva γ (s) contenida en que pase por r.

∈

3. Demostrar que el tensor métrico gij definido por Ec. (4.42) define una métrica de Riemann en el fibrado tangente al espacio vectorial n con métrica de Riemann dada por G ij . 4. Demostrar que la métrica g ij definida por Ec. (4.42) es esencialmente idéntica a G ij . 5. Dado el vector v = v i ti del espacio tangente a n , calcular las componentes co-variantes de este vector suponiendo que la base natural ti corresponde a un sistema de coordenadas curvil´ıneas ortogonales. 6. Calcular las componentes del tensor 2-covariante asociado al tensor 2-contravariante T ij respecto de la base natural correspondiente a un sistema de coordenadas ortogonales. 7. Verificar las relaciones Ec. (4.51) y Ec. (4.53) relativas a componentes f´ısicas de vectores. 8. Verificar las relaciones Ec. (4.55 y Ec. (4.57) relativas a las componentes f´ısicas del tensor métrico. 9. Verificar que el tensor métrico de un espacio Eucl´ıdeo en componentes f´ısicas es la identidad. 10. Verificar las relaciones referentes al espacio Eucl´ıdeo mencionadas al final del cap´ıtulo.

4.5.

3

en coordenadas cil´ındricas y esféricas

Bibliograf´ıa

Para escribir este cap´ıtulo se ha consultado [1], [2], [5], [7] y [11].

Cap´ıtulo 5

Derivaci´ on de campos tensoriales En este cap´ıtulo veremos los conceptos de transporte paralelo y derivada covariante. Esto nos permitirá generalizar las operaciones basadas en derivación direccional habituales en cálculo al caso de campos tensoriales definidos sobre variedades diferenciables.

5.1.

Transporte paralelo

Una vez hemos definido los campos tensoriales sobre variedades diferenciables aparece la cuestión de su análisis. En particular nos encontramos con la siguiente cuestión: dado un campo vectorial definido sobre una variedad ⋆ ¿podemos comparar el valor del campo en un punto A con el valor en otro punto B ? La relevancia de esta cuestión es obvia. Por ejemplo, el campo al que nos referimos podr´ıa representar un campo de fuerzas, o de velocidades, de modo que nos preguntamos si la fuerza a la que están sometidos dos puntos distintos sobre la variedad es la misma, o si las velocidades a las que se desplazan dos part´ıculas puntuales sobre una variedad son iguales o no, y en caso de no serlo nos preguntamos en cuánto difieren, es decir, cuál es el vector diferencia. Tambi´ en es evidente que esta misma cuestión que estamos analizando para el caso de un campo vectorial se da de manera análoga para un campo tensorial de cualquier rango. A primera vista la pregunta anterior puede parecer trivial, pero no lo es. La dificultad está en que el valor del campo en el punto A es un vector del espacio tangente a la variedad en el punto A, mientras que el correspondiente valor en el punto B pertenece al espacio tangente en B, es decir, los dos vectores que queremos comparar pertenecen a espacios vectoriales distintos: ⋆ ¿podemos comparar dos vectores que no pertenecen al mismo espacio vectorial? Est´ a claro que la pregunta de si dos vectores son o no iguales sólo está bien planteada cuando ambos vectores pertenecen al mismo espacio vectorial, con lo que podr´ıa parecer que la pregunta que hac´ıamos más arriba no tiene respuesta. Sin embargo, si la variedad en consideración es el espacio Eucl´ıdeo n descrito en términos de la base cartesiana la operación de comparar un v(A) con un v(B) es trivial: basta con trasladar el vector v(A) sin modificarlo desde A hasta B, hecho esto podemos compararlos (en particular calcular su diferencia) sin ninguna dificultad. ⋆ ¿Podemos generalizar esta operación al caso de una variedad diferenciable cualquiera? 89

´ DE CAMPOS TENSORIALES CAP ´ ITULO 5. DERIVACI ON

90

La respuesta a esta pregunta está condicionada por la presencia de curvatura en la variedad. Para entender esta cuestión es necesario estudiar con algo más de profundidad lo que se está haciendo cuando “trasladamos” el origen de un vector a lo largo de una variedad. Los espacios tangentes a una variedad en dos puntos distintos son espacios vectoriales distintos, pero están conectados por el hecho de ser ambos tangentes a la misma variedad diferenciable. Dada una variedad diferenciable y un sistema de coordenadas generalizadas (yi ), el espacio tangente en un punto r puede definirse como la envolvente lineal de los vectores tangentes a las l´ıneas coordenadas en ese punto (es decir, la envolvente lineal de la base natural en ese punto). Si ahora consideramos un desplazamiento infinitesimal en torno a r tenemos que la base natural ti habr´ a variado de forma infinitesimal para convertirse en ti + d ti , si el desplazamiento es infinitesimal esta variación puede describirse en términos de la base natural en r por medio de ∂ ti dti = j dy j = ∂y

� � tk ,

∂ ti ∂y j

tk dy j

(5.1)

donde las derivadas se evalúan en el punto r de partida. Como consecuencia de esto los espacios tangentes en r y r + dr no son independientes, sino que están conectados por ser ambos tangentes a la misma variedad diferenciable. Esta conexión es lo que permite trasladar vectores a lo largo del fibrado tangente. En el caso de n Eucl´ıdeo en términos de la base cartesiana la operación de trasladar vectores es trivial debido a que el tensor métrico y la base del espacio tangente son constantes a lo largo de toda la variedad, de modo que para trasladar vectores sin modificarlos basta con desplazar su origen sin modificar los valores de sus componentes. La operaci´ on de desplazar un vector (o un campo tensorial de cualquier orden) a lo largo de una variedad, de manera paralela a s´ı mismo y a la variedad, se denomina transporte paralelo. Esta operación implica que el vector que trasladamos se desplaza a lo largo de la variedad según una determinada curva paramétrica: de manera paralela a la variedad, es decir, sin salirse del fibrado tangente, de manera paralela a s´ı mismo y sin modificar su norma. El transporte paralelo se generaliza al caso de campos tensoriales de cualquier orden. La idea en todos los casos es la misma, se trata de desplazar un tensor desde el punto A al punto B de forma paralela a la variedad, sin modificarlo (más bien modific´ andolo lo menos posible ), a lo largo de una curva determinada que una dichos puntos. Antes de entrar en los detalles t´ ecnicos sobre c´ omo se hace , está claro que esto estará condicionado por el rango tensorial de la magnitud que queremos transportar, por las propiedades de la variedad diferenciable sobre la que vamos a hacer el transporte (en particular por su curvatura), por el sistema de coordenadas empleado (ya que este determina la base natural del fibrado tangente) y por la curva paramétrica a lo largo de la que realizamos el transporte. En este sentido hay dos casos en los que el transporte paralelo es trivial, el transporte paralelo de escalares y el de tensores de cualquier orden en n Eucl´ıdeo en términos de la base cartesiana: Es evidente que el transporte paralelo de escalares es trivial. Dado un campo escalar f definido sobre una variedad diferenciable, los valores de este campo en dos puntos (f (A) y f (B)) pueden compararse directamente, es decir, el transporte paralelo de la magnitud del campo en A (f (A)) a cualquier otro punto de la variedad está dado por f (A).

5.1. TRANSPORTE PARALELO

91

En el caso de n Eucl´ıdeo en términos de la base cartesiana el transporte paralelo de tensores de cualquier orden es trivial, dado que en este caso la base del espacio tangente no var´ıa al desplazarnos a lo largo de la variedad, de forma que para transportar de manera paralela cualquier tensor basta con desplazar su origen sin modificar los valores de las componentes (Fig. 5.1 izda.). En cualquier otro caso el transporte paralelo es una operación no trivial en la que entra en juego el rango tensorial de la magnitud transportada y la curvatura de la variedad. La presencia de curvatura en una variedad tiene consecuencias importantes en el transporte paralelo, ya que al realizarse este de manera paralela a la variedad, si la variedad tiene curvatura se introduce inevitablemente una cierta rotación en el tensor, dependiente del camino considerado, a medida que se realiza el transporte. Por tanto la presencia de curvatura hace que el transporte paralelo dependa del camino. Esto se pone de manifiesto de manera expl´ıcita si consideramos la variedad desde el punto de vista extr´ınseco, como se muestra p. ej. en la figura 5.1 (dcha.) para el transporte de un vector sobre una superficie esférica (al final de este apartado volveremos sobre esta cuestión).

Figura 5.1: Transporte paralelo de un vector a lo largo de una curva cerrada en un plano y

en una esfera.

5.1.1.

S´ımbolos de Christoffel

Si nos desplazamos de manera continua y diferenciable a lo largo de una variedad diferencible observamos que la base natural va variando tambi´ en de manera continua y diferenciable, lo cual define una conexión entre los espacios tangentes a la variedad en distintos puntos, es decir, en todo el fibrado tangente. Esta conexión en el fibrado tangente induce la correspondiente conexió n en el fibrado co-tangente y por tanto tambi´ en en el espacio producto tensorial de cualquier potencia tensorial del primero por cualquier potencia tensorial del segundo. Esta conexión se denomina conexi´ on de Levi-Civita y está definida localmente por las derivadas de los vectores de la base natural respecto de cada una de las l´ıneas coordenadas.


92 Conexi´ on de Levi-Civita

Si describimos la variedad por medio de un determinado sistema de coordenadas (definido al menos localmente en un cierto entorno), la conexión de Levi-Civita queda descrita en dicho sistema de coordenadas por medio de un conjunto de coeficientes, llamado coeficientes de la conexión, dados por las derivadas direccionales de los vectores de la base natural del espacio tangente en t´ erminos de esa misma base, es decir, por las componentes que aparec´ıan en la ec. (5.1). Estos coeficientes se denominan s´ımbolos de Christoffel de segunda especie , con frecuencia simplemente s´ımbolos de Christoffel , y se denotan habitualmente por Γkij Γkij = t k (a veces se emplea la notaci´ on

∂ ti ∂ ti kℓ · ∂y = g · t ℓ j ∂y j

(5.2)

� � k i j

). Normalmente las componentes que aparecen contra´ıdas con

g kℓ al final de la expresión anterior se definen como s´ımbolos de Christoffel de primera especie , y se denotan como Γijℓ (a veces se emplea la notación [ij,ℓ]) Γijℓ = [ij,ℓ] = t ℓ

∂ ti · ∂y j

(5.3)

de modo que los s´ımbolos de Christoffel de segunda especie están dados por Γkij

� �

=

� � k

i j

= g kℓ Γijℓ

(5.4)

Las notaciones i k j y [ij,ℓ] se emplean a veces para recalcar que estos coeficientes no se transforman ba jo cambios de base como las componentes de un tensor, tal y como veremos más adelante. Los s´ımbolos de Christoffel están totalmente determinados por las derivadas parciales del tensor métrico respecto de las coordenadas generalizadas empleadas. Para convencernos de esto observamos en primer lugar que como consecuencia de la propia definición de la base natural (ec. (4.36)) se cumple ∂ ti ∂ t j ∂ 2 r = i = i j (5.5) ∂y j ∂y ∂y ∂y y por tanto los s´ımbolos de Christoffel de primera y segunda especie cumplen las reglas de simetr´ıa k Γkij = Γ ji ,

Γijk = Γ jik

(5.6)

por este motivo se dice que la conexión de Levi-Civita es simétrica. Para calcular los s´ımbolos de Christoffel en términos de las derivadas del tensor métrico observamos que ∂g ij ∂ ti ∂ t j gij,ℓ = + (5.7) t ti j ∂y ℓ ∂y ℓ ∂y ℓ

≡

·

·

donde hemos introducido la notación “ ,i ” para denotar la derivada parcial respecto de la coordenada generalizada y i . En lo sucesivo emplearemos esta notación constantemente. Permutando de manera c´ıclica los ´ındices ij ℓ en la anterior expresión es inmediato comprobar que 1 Γijℓ = (gℓi,j + gℓj,i 2

− gij,ℓ)

(5.8)

93


Como consecuencia los s´ımbolos de Christoffel de segunda especie pueden calcularse por medio de 1 Γkij = g kℓ (gℓi,j + gℓj,i 2

− gij,ℓ)

(5.9)

en términos (exclusivamente) del tensor métrico y sus primeras derivadas respecto de cada coordenada. Por tanto los s´ımbolos de Christoffel son una propiedad intr´ınseca de la variedad, ya que pueden calcularse sin hacer referencia a nada externo a la propia variedad en consideración. Esto hace que el transporte paralelo y la derivada covariante, ambos definidos a partir de la conexión de Levi-Civita, sean también propiedades intr´ınsecas de la variedad. La propiedad más importante que define los s´ımbolos de Christoffel de segunda especie es que expresan cómo var´ıan los vectores de la base, en términos de esa misma base, al desplazarnos por la variedad. Re-escribiendo la ec. (5.2) esto queda como ∂ ti = Γkij tk j ∂y

(5.10)

que expresa la conexión del fibrado tangente. Estos mismos coeficientes determinan tambi´ en la conexión del fibrado co-tangente. Para verlo j basta con derivar respecto de la coordenada y la expresi´ on tk ti = δ ik

·

(5.11)

que es constante a lo largo del fibrado tangente, de donde se deduce inmediatamente ∂ tk = ∂y j

−Γkij ti

(5.12)

que expresa cómo var´ıa la base dual, en términos de la propia base dual, al desplazarnos por la variedad. Los s´ımbolos de Christoffel describen por tanto la conexión en los fibrados tangente y co-tangente de manera local, es decir, en un cierto entorno alrededor de cada punto de la variedad. Ley de transformaci´ on de los s´ ımbolos de Christoffel

� �

Tal y como ya hemos mencionado la notación [ij,k] y i k j se usa a veces para resaltar el carácter no tensorial de los s´ımbolos de Christoffel. De hecho, si pasamos a un nuevo sistema de coordenadas curvil´ıneas y¯ j se puede ver que los s´ımbolos de Christoffel en las nuevas coordenadas están dados por la ley de transformación p q yn ∂ 2 y p ∂ ¯ yn r ¯ n = ∂y ∂y ∂ ¯ Γ Γ + lm ∂ ¯ y l ∂ ¯ ym ∂y r pq ∂ ¯ yl ∂ ¯ y m ∂y p

(5.13)

Esta ley ser´ıa una ley de transformación tensorial 2-covariante 1-contravariante de no ser por el término af´ın que aparece en el segundo sumando de ec. (5.11). Como puede verse este término aparecerá siempre que la transformación de coordenadas y i = y i (¯ y j ) sea no lineal, siendo nulo sólo en el caso de una transformación de coordenadas lineal. Por tanto los s´ımbolos de Christoffel no son las componentes de un tensor. El car´ acter no tensorial de los s´ımbolos de Christoffel está relacionado con el carácter no tensorial de la derivación parcial respecto de la coordenadas generalizadas, tal y como veremos al final de este cap´ıtulo.

´ DE CAMPOS TENSORIALES CAP ´ ITULO ITULO 5. DERIV DERIVAC ACI I ON

94

S´ımbolos de Christoffel Christoffe l en coordenadas coord enadas curvil´ curvil´ıneas ortogonales ortogonal es

Si empleamos un sistema de coordenadas co ordenadas curvil´ıneas ıneas ortogonales ortog onales los unicos u ´ nicos elementos no nulos 2 del tensor métrico etrico son los de la diagonal, dia gonal, dados dado s por p or g g ii = h = h i , en ese caso los s´ımbolos de Christoffel están an dados dad os por po r

   −    −

1 ∂h i2 , 2 ∂y j 1 ∂h j2 + , 2 ∂y i 1 ∂h i2 δ ij ij , 2 ∂y k +

Γijk =

1 ∂h i , hi ∂y j 1 ∂h j + , h j ∂y i +

k Γij =

hi ∂h i δ ij ij , hk2 ∂y k

si

= i k = i

si

k = j = j

si

k = i y k = j

si

k = i = i

si

k = j = j

si

k = i y k = j

(5.14)

̸

̸

(5.15)

̸

̸

donde, lógicamente, ogicamente, no hay suma ni en i en i ni en j en j . 5.1.2.

S´ımbolos de d e Christoffel Christo ffel en componentes co mponentes f´ısicas

Siempre Siempre que se trabaja en espacios espacios Eucl´ Eucl´ıdeos lo más as habitua habituall es emplea emplearr las com compone ponent ntes es f´ısicas de vectores y tensores, dadas por po r las componentes respecto de la base natural normalizada. La conexión on de Levi-Civita descrita en términos erminos de la base natural normalizada está dada por los s´ımbolos de Christoffel en componentes f´ısicas, o simplemente s´ s´ımbolos ımbol os de Christ Chr istoffe offell f´ısicos ısi cos . A partir de la definición on de la base natural normalizada es fácil acil deducir las relaciones 1 ∂ ˆti ˆ k ˆ = Γij tk h j ∂y j i 1 ∂ ˆt = h j ∂y j

(5.16)

−Γˆ kji ˆtk

(5.17)

donde los s´ımbolos ımbolo s de Christoffel Christo ffel f´ısicos están an dados por ˆk Γ ij

h = k hi h j

�

k Γij

−

∂ ln ln hi δ ik j ∂y

�

(5.18)

donde no hay suma en ning´ un un ´ındice. ındice . La expresi´ expr esión on anterior puede calcularse en términos erminos del tensor métri et rico co como co mo gkk giℓ k k ℓ ˆk = Γ Γ δ Γij (5.19) ij ij i gii g jj gii g jj

√ √ √

−

√

donde sólo olo se aplica el convenio de suma de Einstein al ´ındice ℓ ındice ℓ,, no hay suma respecto de los demás ´ındi ın dice ces. s.

95

5.1. TRANSPOR TRANSPORTE TE PARALELO PARALELO

etricos etricos bajo baj o Observaci´ on: on: Es importante darse cuenta de que los Christoffel f´ısicos no son sim´ intercambio intercambi o de sub-´ sub-´ındices i

↔ j, j , es decir

k k Γij = Γ ji ,

ˆ k = ˆΓk Γ ij ji

pero en general general

̸̸

(5.20)

Por otra parte, derivando respecto de la coordenada generalizada y j en ˆti ˆti = 1 (sin suma en i), i ), que se cumple por definición on de base natural normalizada, encontramos que los Christoffel f´ısicos cumplen la propiedad gik ˆ k Γ = 0, sin suma en i en i (5.21) hk ij donde sólo olo se aplica a plica el convenio de suma de Einstein al ´ındice k .

·

S´ ımbolos ımbo los de Christo Chr istoffel ffel f´ ısicos ısic os en coorden coo rdenadas adas curvil curv il´ ´ ıneas ınea s ortogon ort ogonales ales

En el caso particular particular de un sistema sistema de coordenadas coordenadas curvil´ curvil´ıneas ortogonales los s´ımbol ım bolos os de Christ Chr istoffe offell f´ısicos ısi cos est´ están an dados por

ˆk Γ ij

=

  

0,

si

k = i (5.22)

hk k Γ , hi h j ij

si

k = i

̸̸

que por medio de (5.15) se puede poner como ˆk Γ ij 5.1.3. 5.1.3.

1 = h j

�

δ jk ∂h k hi ∂y i

−

δ ij ij ∂h j hk ∂y k

�

(5.23)

Transpor ransporte te paralel paralelo o de vecto vectores res y tensores tensores

La conexión on de Levi-Civita que acabamos de definir nos permite realizar el transporte paralelo de vectores y tensores a lo largo del fibrado tangente. Supongamos el vector v perteneciente al espacio tangente en el punto A y la curva paramétrica etrica γ (λ) que une dos puntos A y B de la variedad (supondremos que γ que γ (0) (0) = A = A y γ (1) γ (1) = B = B ). Para realizar el transporte paralelo de v desde A hasta B a lo largo de la curva γ (λ) tenemos que calcular la función on v(λ), tal que a cada valor de λ de λ le asigna el vector (del fibrado tangente) resultado del transporte paralelo de v desde A desde A hasta el correspondien correspondiente te punto punto γ (λ). La condición on que define el transporte paralelo según un la curva γ (λ) es que la magnitud transportada se desplaza según un dicha curva sin modificarse , es decir, para el transporte paralelo del vector v esto se traduce en la condición on dv (λ) =0 dλ Por medio de la regla de la cadena esta condición on puede ponerse como ∂ v j V = 0 ∂y j

(5.24)

(5.25)

donde hemos definido V j como la componente j del vector velocidad de la curva γ respecto γ respecto de la i base natural correspondiente al sistema de coordenadas generalizadas y . Expresando el vector en componentes respecto de dicha base ( v = v = v i ti ) la anterior condición on queda como

�

�

∂v i i + v k Γkj ti V j = 0 j ∂y

(5.26)

´ DE CAMPOS TENSORIALES CAP ´ ITULO ITULO 5. DERIV DERIVAC ACI I ON

96

que expresa la condición on de no variación on del vector v a lo largo de la curva γ . Esta condición o n se cumple de manera independiente de la curva considerada, al menos localmente, siempre que se cumpla i v,ji + v + v k Γkj =0 (5.27) por tanto esta condición on define, al menos localmente, cómo omo var´ var´ıan las componentes del vector i = v ti al transportarlo de manera paralela en un entorno del punto A. A . v = v Si en lugar del desarrollo en términos erminos de la base del espacio tangente expresamos v por medio de las componentes co-variantes v = v = v i ti el resultado equivalente a la anterior ec. (5.27) es

− vk Γijk = 0

(5.28)

vi,j

Las condiciones anteriores permiten realizar el transporte paralelo en un entorno infinitesimal alrededor del punto A. Integrando Integrando la relaci´ relación on ec. (5.27) a lo largo de una curva curva γ (λ) que una los puntos A puntos A y B podemos (al menos en principio) calcular el transporte paralelo de cualquier vector v desde A hasta B . En este sentido es importante observar que al integrar ec. (5.27) a lo largo de una curva con longitud finita, el resultado del transporte paralelo sólo ser´ a independiente del camino empleado si la variedad considerada es plana, pero para variedades dotadas de curvatura el resultado dependerá, a, en general, de la curva γ (λ) considerada (ver más as abajo). n El transporte paralelo paralelo en el espacio espacio Eucl´ Eucl´ıdeo , descrito descrito en t´ erminos erminos de la base can´ onica, onica, proporciona un ejemplo interesante especialmente sencillo. En ese caso la base del espacio tangente es constante, todos los Christoffel son nulos, y la condición que define el transporte paralelo se reduce a v,ji = 0, es decir, se traslada el origen del vector v sin modificar los valores de sus componentes, tal y como mencionábamos abamos al inicio del cap´ cap´ıtulo. En este caso particular vemos también en que el transporte paralelo entre dos puntos no depende del camino, lo cual es consecuencia de que el espacio espa cio Eucl Euc l´ıdeo ıde o n es plano. En el caso general la base del espacio tangente no es constante a lo largo de la variedad, sino que var´ ar´ıa de manera suave, suave, estando estando esta variaci´ on on descrita descrita por los s´ımbolos de Christoffel. Christoffel. En ese caso la regla para realizar el transporte paralelo de un vector ya no puede ser “constancia de las componentes”, ya que al variar la base de un punto a otro, los valores de las componentes del vector deben variar de manera que se compense la variación de la base, de tal forma que el resultado resultado neto del transporte paralelo sea transportar el vector sin modificarlo a lo largo del camino γ (λ) considerado. La condición on que define el transporte paralelo de un tensor de rango arbitrario se define de manera an´ aloga a como hemos hecho para el caso, más aloga as intuitivo, de un vector. En el caso de un tensor r tensor r-covariante -covariante s s-contravariante -contravariante ... ... is T = T ji11 j i22 ... ... jr t i1

⊗ ti ⊗ . . . ⊗ ti ⊗ t j ⊗ t j ⊗ . . . ⊗ t j 1

2

2

r

s

(5.29)

imponiendo la condición on dT (λ) =0 dλ

(5.30)

para cualquier curva γ (λ) que una los puntos A y B , al menos localmente, deducimos que la condición on que define el transporte paralelo de este tensor es s

...is T ji11 ji22...j + r ,k

∑

m=1

r

...pm ...is im T ji11 ji22...j Γ pm k r

∑ −

n=1

...is T ji11 ji22...q Γqn = 0 n ...jr jn k

(5.31)


97

tal y como puede deducirse fácilmente siguiendo los mismos pasos que nos han llevado a las relaciones ec. (5.27) y ec. (5.28). Como puede verse, cada componente contravariante introduce un término adicional dado por la derivada de cada ti y cada componente covariante introduce a su vez un término adicional dado por la derivada de cada ti . Por otra parte, por medio de ec. (5.16) y ec. (5.17) podemos obtener las relaciones, totalmente equivalentes a las anteriores, que definen el transporte paralelo en términos de las componentes f´ısicas. Como caso particular, si el tensor T es un escalar (0 componentes covariantes y 0 componentes contravariantes) la relaci´ on anterior se reduce de manera trivial a T ,k = 0, independientemente de la variedad y del sistema de coordenadas empleado, tal y como mencionábamos al inicio del cap´ıtulo para el transporte paralelo de escalares. Esto significa que el transporte paralelo del producto escalar u v es igual al producto escalar de estos dos vectores en el punto de partida.

·

5.1.4.

Curvatura

Estrictamente hablando las anteriores relaciones (ec. (5.27), ec. (5.28), o en general ec. (5.30)) permiten realizar el transporte paralelo de un tensor cualquiera solamente de manera local , es decir, desde un punto A hasta un punto infinitamente próximo A+dA. Para realizar el transporte paralelo desde A hasta un punto B, que diste de A una cierta distancia finita, será necesario integrar la ecuación diferencial ordinaria ec. (5.30) a lo largo de alguna curva γ (λ) que una los dos puntos de interés. En este caso nos preguntamos si el resultado del transporte paralelo depende o no de la curva γ (λ) empleada para calcularlo, en particular si realizamos el transporte paralelo en un circuito cerrado: ⋆ ¿recuperamos el tensor de partida? En general el transporte paralelo sólo es independiente del camino en variedades diferenciables planas , y en ese caso está claro que el transporte paralelo de un tensor en cualquier circuito cerrado es igual al tensor de partida. En el caso de variedades dotadas de curvatura el transporte paralelo de A a B depende del camino empleado para unir A con B (ver fig. 5.1), y en ese caso se dice que la conexión del espacio tangente no es integrable. El motivo es que el transporte paralelo se realiza de manera paralela a la variedad, por tanto, si la variedad está curvada al transportar un tensor se introduce inevitablemente cierta rotación en el tensor. Dado que la rotación introducida por el transporte paralelo depende del camino γ (λ) considerado, el resultado del transporte en un circuito cerrado puede no reproducir el tensor de partida, sino el tensor de partida rotado un cierto ángulo, dependiente del circuito cerrado recorrido (ver p. ej. fig. 5.1 dcha. para el caso de un vector transportado de manera paralela en una esfera). Por tanto, en general el transporte paralelo depende del camino. De todas formas, el transporte paralelo a lo largo de una curva dada siempre está bien definido, y la posibilidad de que el resultado no dependa de la curva considerada, sino sólo de los extremos, depende de la presencia de curvatura en la variedad. Volviendo a la cuestión con la que abr´ıamos este cap´ıtulo, sobre la posibilidad de comparar vectores del fibrado tangente con origen en puntos distintos de una variedad, vemos que, en general, la noció n de paralelismo de vectores depende del camino escogido para unir los dos puntos en consideración. Sólamente en el caso de una variedad plana podemos determinar si dos vectores del fibrado tangente son o no parelelos independientemente del camino que tomemos para unir sus or´ıgenes. Por otra parte, las normas de estos vectores (o en general cualquier escalar) s´ı pueden compararse de manera independiente del camino, sea cual sea la variedad.


98

Tensor de curvatura de Riemann

Veamos con algo más de detalle cuál es la variación que experimenta un vector contravariante v i al transportarlo de manera paralela en un circuito cerrado infinitesimal. Para ello transportamos en primer lugar el vector v i desde el punto r hasta el punto r ′ , resultado de incrementar la coordenada y p en una cantidad infinitesimal dy p . El vector resultado de este desplazamiento infinitesimal tiene componentes i v i + v,p dy p = v i v k Γikp dy p (5.32)

−

donde los coeficientes de la conexión Γikp están evaluados en el punto r , y donde no hay suma en el ´ındice p. A continuación trasladamos este vector de forma paralela seg´ un la coordenada y q , obteniendo como resultado el vector vi

− vkΓikp dy p +

�− vi

v k Γikp dy p

�

,q

dy q = v i

− vk Γikp dy p −

�− vℓ

v k Γℓkp dy p

�(  ��

′

(5.33)

′

el coeficiente

Γiℓq dy q

donde no hay suma ni en p ni en q . En la anterior expresión hemos denotado por Γiℓq

de la conexión Γiℓq evaluado en el punto r′ , por medio de un desarrollo en serie este coeficiente está dado por ′ Γiℓq = Γiℓq + Γ iℓq,pdy p (5.34)

(

donde no hay suma en p. Por tanto, despreciando términos de orden superior a 2 en dy j , el vector resultado de los desplazamientos sucesivos según dy p seguido de dy q est´ a dado por v

i

−

v k Γikp dy p

−

v k Γikq dyq

−v

k

�

Γikq,p

�

Γikp,q

−

Γiℓq Γℓkp

�

dy p dyq

�

dy p dyq

(5.35)

donde no hay suma ni en p ni en q . Intercambiando p con q en la expresión anterior encontramos el resultado correspondiente a realizar estos desplazamientos en orden inverso vi

− vk Γikp dy p − vk Γikq dyq − vk

− ΓiℓpΓℓkq

(5.36)

La diferencia entre estos 2 resultados es igual a la variación que experimenta el vector v i al transportarse de manera paralela a lo largo del circuito cerrado definido por los desplazamientos sucesivos seg´ un dy q , dy p , dy q , dy p . El resultado puede escribirse como

−

−

v i (dyq , dy p )

i − vi(dy p, dyq ) = Rkpq v k dy p dyq

(5.37)

i como donde se define el tensor de curvatura de Riemann R kpq i = ∂ p Γikq Rkpq

− ∂ q Γikp + ΓiℓpΓℓkq − Γiℓq Γℓkp

(5.38)

de forma que el transporte paralelo de un vector en un circuito cerrado infinitesimal deja invariante al vector sólo si el tensor de curvatura de Riemann es nulo. De manera análoga a como hemos hecho para el caso de un vector, se puede calcular cómo var´ıa un tensor de rango arbitrario al recorrer un circuito cerrado infinitesimal, y puede verse fácilmente que el resultado análogo a la ec. (5.38) para el caso de un tensor de rango arbitrario tambi´ en puede escribirse en términos del tensor de curvatura de Riemann. i describe de manera local la curvatura de una variedad de Riemann con conexi´ El tensor R kpq on k dada por Γij y es uno de los ob jetos centrales de estudio en geometr´ıa diferencial. Este objeto tambi´ en se aplica a variedades pseudo-Riemannianas, siendo uno de los ingredientes básicos de la teor´ıa general de la relatividad de Einstein.

99

5.2. DERIVADA COVARIANTE

5.2.

Derivada covariante

La derivada covariante es la generalización de la derivada parcial habitual al caso de campos tensoriales definidos sobre variedades diferenciables, descritas en t´ erminos de un sistema de coordenadas generalizadas. Si aplicamos la definición de derivada df f (x + h) = l´ım dx h→0 h

− f (x)

a una magnitud tensorial definida sobre una variedad diferenciable, vemos que esto implica comparar magnitudes pertenecientes a los espacios tangentes en dos puntos distintos: x + h y x. Por tanto para calcular una derivada direccional sobre una variedad necesitamos transportar de manera paralela la magnitud f (x) al punto x + h, para lo cual debemos tener en cuenta cómo var´ıa la base del espacio tangente, tal y como hemos hecho en el apartado anterior. ⋆ En este curso emplearemos la siguiente notaci´ on: ∂f • f ,i ≡ ∂ if ≡ ∂y derivada parcial de f respecto de la coordenada generalizada y i . i • f ;i ≡ ∂ ;if ≡ derivada covariante de f respecto de la coordenada generalizada y i. Conviene tener presente que en muchos textos se emplea la notación f ,i directamente para la derivada covariante (en ese caso no se define ninguna notación especial para la derivada parcial). Otra notaci´ on habitual en la literatura para la derivada covariante es f |i , o f /i , sobre todo en textos antiguos. Para las derivadas de orden superior emplearemos la notación siguiente: 2

• f ,ij = ∂y∂ i∂yf j • f ;ij = (f ;i); j • f ;i i ...i = . . . (f ;i );i 1 2

n

�

1

2

...

�

;in

La derivada covariante se define como la operación de derivada direccional que tiene en cuenta las variaciones de la base del espacio tangente. Por ejemplo, tomando la derivada respecto de la coordenada curvil´ınea y j del vector a = a i ti encontramos ∂ a ∂a i ∂ ti a; j = j = j ti + ai j = ∂y ∂y ∂y

�

�

∂a i + Γikj ak ti j ∂y

(5.39)

Por tanto, la derivada covariante del vector de componentes contravariantes a i se define como ai; j = a i,j + Γ ikj ak

(5.40)

y tal y como comprobaremos más adelante a i; j es un tensor 1-covariante 1-contravariante. An´ alogamente, la derivada covariante del vector de componentes covariantes a i se define como ∂ a ∂a i i ∂ ti = = + a = a; j t i ∂y j ∂y j ∂y j

�

∂a i ∂y j

−

Γkij ak

�

ti

(5.41)


100 por tanto definimos

ai; j = a i,j

− Γkij ak

(5.42)

y puede comprobarse que a i,j es un tensor 2-covariante. Aplicando esta operación en el caso general de un tensor r-covariante s-contravariante ... is T = T ji11 j i22 ... jr t i1

⊗ ti ⊗ . . . ⊗ ti ⊗ t j ⊗ t j ⊗ . . . ⊗ t j 1

2

2

(5.43)

r

s

su derivada covariante respecto de la coordenada y k está dada ...is T ;k = T ji11 ji22...j ti r ;k 1

⊗ ti ⊗ . . . ⊗ ti ⊗ t j ⊗ t j ⊗ . . . ⊗ t j 1

2

2

(5.44)

r

s

cuyas componentes están dadas por s

...is T ji11 ji22...j r ;k

...is = T ji11 ji22...j + r ,k

∑

r

...pm ...is im T ji11 ji22...j Γ pm k r

m=1

∑ −

...is T ji11 ji22...q Γ qn n ...jr jn k

(5.45)

n=1

De esta forma la condición de constancia del tensor T a lo largo de una curva paramétrica γ (λ) con velocidad V j t j , dada por ec. (5.30), se reduce a ...is dT ji11 ji22...j r

...is = T ji11 ji22...j V k = 0 r ;k

(5.46) dλ Por tanto dada una curva paramétrica, el producto de contracci´ on de la derivada covariante con el vector velocidad de la curva proporciona la derivada del tensor a lo largo de la curva, denominada con frecuencia derivada absoluta a lo largo de la curva. Propiedades de la derivada covariante

La derivada covariante es la generalización al caso de coordenadas curvil´ıneas de la derivada parcial en coordenadas cartesianas, tiene el mismo significado y las mismas propiedades, entre ellas resumimos las siguientes: La derivada covariante conserva el carácter tensorial aumentando en 1 el orden covariante del tensor. La derivada covariante de un tensor constante es nula. La derivada covariante en el espacio Eucl´ıdeo derivada parcial habitual.

n

en coordenadas cartesianas se reduce a la

La derivada covariante cumple las propiedades algebraicas habituales de una operació n de derivación, en particular es una operación lineal (A + B );i = A;i + B ;i

(5.47)

y cumple la regla de Leibnitz para la derivación de productos (A

⊗ B);i = A;i ⊗ B + A ⊗ B;i

(5.48)

La variación de T a lo largo de un desplazamiento infinitesimal dy i est´ a dada por dT = T ;i dy i . La derivada covariante del tensor métrico es nula gij;k = 0,

ij g;k =0

(5.49)

Como consecuencia de esto la operación de derivada covariante conmuta con las operaciones de subida y bajada de ´ındices.

101


Aplicaci´ on al caso de escalares, vectores y tensores de orden 2

Los casos de mayor interés en f´ısica corresponden a los tensores de orden bajo habituales. Como puede verse, la derivada covariante de una función escalar coincide con la derivada parcial habitual f ;i = f ,i

(5.50)

En el caso de un vector contravariante v i , su derivada covariante está dada por v;i j = v ,ji + Γikj v k

(5.51)

y para un vector covariante v i encontramos vi; j = v i,j

− Γkij vk

(5.52)

Para la derivada covariante de un operador lineal (tensor 1-covariante 1-contravariante) encontramos A ji;k = A ji,k + Γ j pk A pi Γqik A jq (5.53)

−

El resultado para tensores 2-contravariante o 2-covariante est´ a dado por ij j i pj ip Aij ;k = A ,k + Γ pk A + Γ pk A

Aij;k = A ij,k

(5.54)

− Γ pik A pj − Γ p jk Aip

(5.55)

respectivamente. Como puede verse, cada ´ındice covariante o contravariante de un tensor introduce un término af´ın en la derivada covariante, dado por la contracci´ on de ese ´ındice con el s´ımbolo de Christoffel correspondiente, +Γ para los ´ındices contravariantes y Γ para los ´ındices covariantes. La ecuación general (5.45) puede parecer complicada, sin embargo para deducirla basta tener en cuenta las ecuaciones (5.51) y (5.52) para el caso de tensores de orden 1. Para calcular la derivada covariante respecto de y j de un tensor de rango arbitrario lo u ´ nico que hay que hacer es calcular la derivada parcial correspondiente y a˜ nadir un término aná logo a Γikj v k por cada ´ındice i contravariante y un t´ ermino an´ alogo a Γkij vk por cada ´ındice i covariante. Las relaciones anteriores para el caso de tensores de orden 2 (ecs. (5.53-5.55)) proporcionan un ejemplo.

−

•

5.2.1.

−

•

Comportamiento tensorial de la derivada covariante

La derivada covariante es una operación bien definida desde el punto de vista tensorial. Esto significa que, dado un tensor de rango arbitrario T , el objeto dado por T ;k tk (con suma en k) es un tensor, es decir, un objeto geométrico independiente del sistema de referencia empleado para calcularlo. Concretamente, el tensor T ;k tk está dado por ...is T ;k tk = T ji11 ji22...j ti r ;k 1

⊗ ti ⊗ . . . ⊗ ti ⊗ t j ⊗ t j ⊗ . . . ⊗ t j ⊗ tk 2

1

s

2

r

(5.56)

y se define como el gradiente del tensor T (a veces se dice gradiente covariante ), de esta manera generalizamos el concepto de gradiente, familiar para el caso de escalares, al caso de tensores de rango arbitrario. En los primeros cap´ıtulos de este curso hemos estudiado el significado del concepto de tensor, y hemos visto que la invariancia de un tensor bajo cambios de base implica que sus componentes se transforman de una determinada forma al realizar un cambio de base en el espacio. En el caso de la derivada covariante esto implica que si T es un tensor de orden r-covariante ...is s-contravariante, las componentes de su derivada covariante (T ji11 ji22...j ) se transforman seg´ un una r ;k

102


ley tensorial tipo r + 1-covariante s-contravariante bajo reparametrizaciones de la variedad. Por tanto, la derivada covariante incrementa en una unidad el orden covariante del objeto sobre el que se aplica. En particular, las componentes de la derivada covariante de una función escalar forman un vector, las componentes de la derivada covariante de orden 2 de un escalar definen un tensor de orden 2, de igual manera que la derivada covariante de un vector tambi´ en define un tensor de orden 2. Es evidente que una ley f´ısica, para ser válida, debe ser independiente del sistema de coordenadas empleado para formularla. Por tanto, el car´ acter invariante de la derivada covariante bajo cambios de coordenadas hace que esta sea la operación de derivación direccional adecuada para formular leyes f´ısicas que involucren variaciones espaciales de campos tensoriales. Derivada covariante de escalares

En el caso de un escalar (f ) la derivada covariante coincide con la derivada parcial habitual. Como consecuencia de esto el objeto dado por f ,i ti

(5.57)

es invariante bajo cambios de coordenadas, lo que implica que f ,i son las componentes de un vector covariante, que se define como el vector gradiente del escalar f . Dado que la demostración de estas cuestiones no es demasiado complicada, la dejamos para los ejercicios. Sin embargo las segundas derivadas parciales de f no definen un tensor, es decir, el objeto definido por f ,ij ti t j no está bien definido desde el punto de vista tensorial ya que depende del sistema de coordenadas empleado. Esto se debe a que para calcular las segundas derivadas del escalar f , es decir, las derivadas de orden 1 del vector gradiente, debemos tener en cuenta tambi´ en cómo var´ıa la base natural del espacio co-tangente. Si tenemos esto en cuenta es fácil verificar que el objeto dado por las segundas derivadas covariantes del escalar f f ;ij ti t j

(5.58)

s´ı es invariante bajo reparametrizaciones de la variedad, por tanto las componentes f ;ij corresponden a un tensor 2-covariante. Derivada covariante de vectores

En este apartado verificaremos paso a paso la ley de transformación de la derivada covariante de vectores. Para ello recordamos en primer lugar la ley de transformación (no tensorial) de los coeficientes de la conexión de Levi-Civita bajo la reparametrización y i y¯i , dada por

→

∂y p ∂y q ∂ ¯ yn r ∂ 2 y p ∂ ¯ yn n ¯ Γℓm = Γ + ℓ m p ∂ ¯ y ℓ ∂ ¯ ym ∂y r pq ∂ ¯ y ∂ ¯ y ∂y

Multiplicando por la matriz inversa de ∂ ¯ y n /∂y p (es decir, teniendo en cuenta que δ ps ) y despejando deducimos s ∂ 2 ys n ∂y ¯ = Γℓm n ∂ ¯ y ℓ ∂ ¯ ym ∂ ¯ y

relación que emplearemos más abajo.

−

∂ y p ∂y q s Γ ∂ ¯ y ℓ ∂ ¯ y m pq

(5.59) ∂y s ∂ ¯ yn ∂ ¯ y n ∂y p

=

∂y s ∂y p

=

(5.60)

103


Veamos primero el caso de un vector covariante T i . Por definición las componentes de este vector se transforman seg´ un k ¯i = ∂y T k T (5.61) ∂ ¯ yi Derivando esta relación respecto de la coordenada y¯ j (nos referimos a la derivada parcial ordinaria) y aplicando la regla de la cadena encontramos ∂ ¯ T i ∂ 2 yk ∂ y k ∂T k = i j T k + ∂ ¯ y j ∂ ¯ y ∂ ¯ y ∂ ¯ y i ∂ ¯ y j

(5.62)

La derivada parcial de la componente “antigua” T k respecto de las coordenadas “nuevas” y¯ j puede calcularse por medio de la regla de la cadena como ∂T k ∂T k ∂y q = ∂ ¯ y j ∂y q ∂ ¯ y j

(5.63)

Teniedo esto en cuenta y sustituyendo la derivada segunda de y k por medio de ec. (5.60) llegamos a k p q ∂ ¯ T i ∂ y k ∂y q ∂T k k ∂y ∂y ¯ n ∂y = Γ Γ + (5.64) T k ij pq ∂ ¯ y j ∂ ¯ yn ∂ ¯ y i ∂ ¯ y j ∂ ¯ y i ∂ ¯ y j ∂y q

�

de donde despejamos

∂ ¯ T i ∂ ¯ y j

�

−

−

¯ n ¯ Γ ij T n =

es decir

�

∂T p ∂y q

−

n Γ pq T n

�

∂y p ∂y q ∂ ¯ y i ∂ ¯ y j

∂y p ∂y q ¯ T i; j = T p;q i j ∂ ¯ y ∂ ¯ y

(5.65)

(5.66)

Por tanto las componentes T i; j se transforman bajo un cambio de sistema de coordenadas como un objeto tensorial 2-covariante, es decir, la derivada covariante de un vector covariante es un tensor 2-covariante. Veamos ahora el caso de un vector contravariante, para ello partimos de la ley de transformación ∂ ¯ yi k i ¯ T = k T , ∂y

∂y i ¯k T = k T ∂ ¯ y i

(5.67)

Derivando respecto de la coordenada y¯ j y operando como hemos hecho en el caso anterior llegamos a i p q i ¯ k ∂T i ∂y k i ∂y ∂y ¯ n ∂y ¯ k + ∂y ∂ T = Γ Γ T (5.68) pq jk ∂y k ∂ ¯ y j ∂ ¯ yn ∂ ¯ y j ∂ ¯ yk ∂ ¯ y k ∂ ¯ y j

�

� �

−

i

ℓ

∂y y Multiplicando por la matriz inversa de ∂ ¯ (dada por ∂ ¯ ), reordenando y renombrando los ´ındices ∂y i yk encontramos ∂ ¯ T i ¯ i ¯ k ∂T p yi ∂y q p k ∂ ¯ + Γ T = + Γ T (5.69) kj kq ∂ ¯ y j ∂y q ∂y p ∂ ¯ y j

�

es decir

i

q

y ∂y ¯i = T p ∂ ¯ T ; j ;q ∂y p ∂ ¯ y j

(5.70)

tal y como corresponde a un objeto 1-covariante 1-contravariante. Para tensores de rango tensorial superior se pueden deducir relaciones análogas.

104 5.2.2.


Derivada covariante en componentes f´ısicas

En aplicaciones de cálculo tensorial en espacios Eucl´ıdeos es frecuente trabajar con tensores empleando las componentes f´ısicas, por los motivos expuestos en el cap´ıtulo precedente. La derivada covariante del tensor de rango arbitrario T está dada por el tensor T ;k tk (con suma en k), expresando este objeto por medio de sus coordenadas respecto de la base natural normalizada vemos que las componentes f´ısicas de la derivada covariante están dadas por ˆ i1 i2 ...is = 1 T ˆ i1 i2 ...is + T j1 j2 ...jr ;k hk j1 j2 ...jr ,k

s

∑

r

î1 i2 ...pm ...is Γ ˆ im T j1 j2 ...jr pm k

m=1

∑ −

ˆ i1 i2 ...is ˆ qn T j1 j2 ...qn ...jr Γ jn k

(5.71)

n=1

(sin suma en k) donde las componentes f´ısicas de la conexión se han estudiado antes en este cap´ıtulo.

5.3.

Vector aceleraci´ on

Como aplicaci´ on directa de la derivada absoluta a lo largo de una curva veamos la expresi´ on del vector aceleraci´ on de una part´ıcula puntual en coordenadas generalizadas. Supongamos un móvil cuya posición está contenida en una cierta variedad diferenciable n-dimensional descrita por las coordenadas generalizadas y i . La posición de este móvil está descrita por la curva paramétrica r(λ), dada en coordenadas por las funciones y 1 (λ), y 2 (λ), . . . , yn (λ) , donde el parámetro λ juega el papel de “tiempo”. En el cap´ıtulo precedente vimos que el vector velocidad de este móvil está dado por v = y˙ i ti , donde y˙ i representa la derivada respecto del parámetro λ y los ti forman la base natural correspondiente a este sistema de coordenadas. El vector aceleraci´ on est´ a dado por la derivada respecto al tiempo del vector velocidad, estando esta derivada evaluada a lo largo de la trayectoria del móvil. Denotando como a el vector aceleración tenemos que

{

a =

}

dv = v ; j v j dλ

(5.72)

para calcular esta expresión aplicamos la regla de la cadena dv dti ∂ ti = yï ti + y˙ i = yï ti + j y˙ i y˙ j dλ dλ ∂y

(5.73)

Expresando la variaci´ on de los vectores de la base por medio de los s´ımbolos de Christoffel este resultado puede escribirse como (5.74) a = y¨k + Γ kij ˙y i y˙ j tk

�

�

donde yï denota la segunda derivada respecto de λ. En consecuencia vemos que las componentes del vector aceleración a = a k tk están dadas por ak = y¨k + Γkij ˙yi y˙ j = v˙ k + Γkij v i v j

(5.75)

y la expresión en coordenadas generalizadas de la conocida ley de Newton F = m a es

�

f k = m y¨k + Γkij ˙y i y˙ j

�

(5.76)

Esta forma de expresar la ley de Newton es más complicada que la habitual en coordenadas cartesianas, pero tiene la gran ventaja de ser válida independientemente del sistema de coordenadas empleado, lo que hace posible la comparación de resultados entre observadores que empleen sistemas de coordenadas distintos.

105

5.4. PROBLEMAS

5.4.

Problemas

1. Verificar la relaci´ on ec. (5.10). 2. Verificar la relaci´ on ec. (5.11). 3. Verificar la relaci´ on ec. (5.14). 4. Verificar la relaci´ on ec. (5.15). 5. Verificar la relaci´ on ec. (5.17). 6. Verificar la relaci´ on ec. (5.18). 7. Verificar la relaci´ on ec. (5.19). 8. Verificar la relaci´ on ec. (5.21). 9. Verificar la relaci´ on ec. (5.22). 10. Calcular los s´ımbolos de Christoffel de primera y segunda especie y f´ısicos correspondientes al espacio 3 Eucl´ıdeo en coordenadas cartesianas. 11. Calcular los s´ımbolos de Christoffel de primera y segunda especie y f´ısicos correspondientes al espacio 3 Eucl´ıdeo en coordenadas cil´ındricas. 12. Calcular los s´ımbolos de Christoffel de primera y segunda especie y f´ısicos correspondientes al espacio 3 Eucl´ıdeo en coordenadas esféricas. 13. Deducir la ley de transformación del tensor de curvatura de Riemann bajo un cambio de coordenadas. 14. Dado el escalar f , demostrar que f ;i ti define un objeto invariante bajo cambios de coordenadas, es decir, un tensor. 15. Verificar la ley tensorial correspondiente para los casos de un vector covariante y uno contravariante. 16. Las derivadas parciales tradicionales de una funci´ on escalar conmutan f ,ij = f ,ji . ¿Qué puede decirse en este sentido sobre las derivadas covariantes cruzadas? ¿Se cumple la relación f ;ij = f ; ji ? Razone la respuesta. 17. Calcule la expresi´ on del vector aceleración en cas y esféricas.

3

Eucl´ıdeo en coordenadas cartesianas, cil´ındri-

18. Exprese los resultados del ejercicio anterior en componentes f´ısicas.

5.5.

Bibliograf´ıa

Para este cap´ıtulo se ha consultado principalmente [1], [2], [7] , [8] y [13].

106


Cap´ıtulo 6

Operadores diferenciales habituales En este cap´ıtulo presentamos las versiones con comportamiento tensorial bien definido de los operadores diferenciales habituales en f´ısica, basadas en la derivada covariante definida en el cap´ıtulo precedente. Los resultados se presentan de forma general para un caso arbitrario. En el caso de un espacio Eucl´ıdeo se presentan también las expresiones correspondientes a un sistema de coordenadas ortogonales. Al final del cap´ıtulo aplicamos estos resultados para generar las expresiones de los operadores diferenciales habituales en el caso del espacio Eucl´ıdeo 3 en coordenadas cartesianas, cil´ındricas y esf´ ericas. Aunque estos sistemas de coordenadas son, con diferencia, los que más se usan, el material presentado en este cap´ıtulo permite deducir la expresión de los operadores diferenciales habituales en cualquier sistema de coordenadas, no necesariamente ortogonales. De esta forma, el material que presentamos aqu´ı completa el objetivo de esta primera parte del curso.

6.1.

Operadores diferenciales

La generalización a coordenadas curvil´ıneas de los operadores diferenciales habituales se obtiene a partir de su expresión en coordenadas cartesianas sustituyendo las derivadas parciales ∂A/∂xi por las correspondientes derivadas covariantes A ;i . 6.1.1.

Gradiente covariante

El gradiente de un escalar f es el vector definido, en función de sus componentes covariantes, como ∂f i 1 ∂f î ∇f = (6.1) t = t i ∂y hi ∂y i En términos de sus componentes contravariantes este vector queda como ij ∂ f ∇f = g t j ∂y i

gîj ∂f ˆ = t j hi ∂y i

(6.2)

En el caso particular de un sistema de coordenadas curvil´ıneas ortogonales (suponiendo que el espacio es eucl´ıdeo) esto queda como ∇f =

1 ∂f 1 ∂f ˆ = t ti i hi ∂y i h2i ∂y i 107

(6.3)

CAP ´ ITULO 6. OPERADORES DIFERENCIALES HABITUALES

108

En todas las expresiones anteriores se sobre-entiende que la base t i es la base natural del sistema de coordenadas generalizadas empleado, mientras que la base ˆti es la base natural normalizada, siendo los h i los factores de escala correspondientes. Como puede verse las componentes covariantes y contravariantes del vector gradiente son, en general, distintas, incluso si el espacio es eucl´ıdeo y la base es ortogonal. Las componentes co- y contra-variantes s´ olo coinciden si el espacio es eucl´ıdeo y si la base es ortonormal, tal y como sucede con las componentes f´ısicas cuando se usa un sistema de coordenadas curvil´ıneas ortogonales. El gradiente de un vector v es un tensor de orden 2. A partir de las componentes contravariantes de v este tensor está definido por k j ∇v = v ; j tk t

=

�

�

∂v k + Γkij v i tk t j ∂y j

(6.4)

En función de sus componentes f´ısicas este tensor queda como j vˆ;k j ˆtkˆt

∇v =

6.1.2.

=

�

�

1 ∂ vˆk ˆ k i ˆ ˆ j + Γij vˆ tk t h j ∂y j

(6.5)

Divergencia covariante

La divergencia covariante de un vector v se define como el escalar resultante de la contracción del tensor gradiente de v 1 ∂ i ∇ v = v ;i = gv i (6.6) i g ∂y

·

(√ 

√

donde para deducir la última expresión se ha tenido en cuenta la relación Γ jij

√

1 ∂g 1 ∂ g = = 2g ∂y i g ∂y i

√

(6.7)

A partir de las componentes f´ısicas de v esto queda como ∇

·

1 ∂ v = g ∂y i

√

�� g i vˆ gii

(6.8)

En el caso particular de un sistema de coordenadas curvil´ıneas ortogonales tenemos que

√ g = h1h2h3 y por tanto en ese caso ∇

6.1.3.

·

1 ∂ v = h1 h2 h3 ∂y i

�

h1 h2 h3 i vˆ hi

�

(6.9)

(6.10)

Rotacional covariante

A partir de la definición de producto vectorial en coordenadas curvil´ıneas, el rotacional covariante de un vector A se define como el vector dado por ∇

× A = εijk Ak; j ti = √ 1g ϵijk Ak; j ti

(6.11)

6.2. COORDENADAS CURVIL´ INEAS ORTOGONALES HABITUALES

109

En componentes f´ısicas esto está dado por ∇

h j hk ijk ˆ ˆ × A = hi√ ϵ Ak; j ti g

(6.12)

En coordenadas curvil´ıneas ortogonales esto se simplifica finalmente a

∇

ˆ

× A = h1hh2i h3 ϵijk ∂h∂yk A j k ˆti = h1h12h3

  

h1ˆt1

h2ˆt2

h3ˆt3

∂ ∂y 1

∂ ∂y 2

∂ ∂y 3

  

ˆ 2 h3 A ˆ 3 h1 ˆ A1 h2 A

(6.13)

donde la u ´ ltima expresión debe entenderse como una regla nemotécnica, no como una definición. 6.1.4.

Laplaciano covariante

El laplaciano covariante de un escalar f es el escalar definido como la divergencia del gradiente ∇

2

� � √ √ � �

( ( 

1 ∂ f = f ;i = g f ; j ;i = g ∂y i ;i

ij

gg ij

∂f ∂y j

(6.14)

En coordenadas curvil´ıneas ortogonales esto queda como 1 ∂ h1 h2 h3 ∂y i

2 ∇ f =

6.2.

h1 h2 h3 ∂f h2i ∂y i

(6.15)

Coordenadas curvil´ıneas ortogonales habituales

Tomando como punto de partida los resultados precedentes, deducir la expresión (en componentes f´ısicas por ejemplo) de cualquier operación tensorial en cualquier sistema de coordenadas es una tarea puramente mecánica, que puede programarse fácilmente en cualquier entorno de cálculo simbólico, como p. ej. Mathematica. A continuación se presenta un resumen de fórmulas aplicable para las coordenadas curvil´ıneas ortogonales m´ as habituales en el espacio 3 Eucl´ıdeo. Todos los vectores y tensores que aparecen a continuaci´ on están definidos por sus correspondientes componentes f´ısicas . 6.2.1.

Coordenadas cartesianas

Los resultados de este apartado son triviales, pero se presentan tambi´ en por completitud. Matriz jacobiana J i j

 1   = 0 0

0 1 0

  0  1 0

Vectores tangentes

t1

 1    = 0 , 0

t2

 0    = 1 , 0

t3

 0    = 0 , 1

1

t

 1    = 0 , 0

2

t

 0    = 1 , 0

3

t

 0    = 0 1


110

z k j

i r

y x Figura 6.1: Coordenadas cartesianas.


 1 , ˆ =  00

 0 , ˆ =  10

t1

 0 , ˆ =  01

t2

ˆt1

t3

 1    = 0 , 0

 0    = 1 , 0

ˆt2

ˆt3

 0    = 0 1

Tensor m´ etrico

 1   = 0 0

gij

0 1 0

  0 ,  1 0

g ij

 1   = 0 0

  0  1

0

0

1 0

S´ımbolos de Christoffel de primera especie

Γi1k

 0   = 0 0

  0 ,  0

0

0

0 0

Γi2k

 0   = 0 0

  0 ,  0

0

0

0 0

Γi3k

 0   = 0 0

  0  0

0

0

0 0

S´ımbolos de Christoffel de segunda especie

Γi k 1

 0   = 0 0

0 0 0

  0 ,  0 0

Γi k 2

 0   = 0 0

0 0 0

  0 ,  0 0

Γi k 3

 0   = 0 0

  0  0

0

0

0 0

S´ımbolos de Christoffel f´ısicos

ˆ ki1 Γ

 0   = 0 0

  0 ,  0

0

0

0 0

ˆ ki2 Γ

 0   = 0 0

0 0 0

  0 ,  0 0

ˆ ki3 Γ

 0   = 0 0

0 0 0

  0  0 0

Gradiente ∇f =

�

∂f ∂x

∂f ∂y

∂f ∂z

�,

∇v

  =  

∂v 1 ∂x ∂v 2 ∂x ∂v 3 ∂x

∂v 1 ∂y ∂v 2 ∂y ∂v 3 ∂y

∂v 1 ∂z ∂v 2 ∂z ∂v 3 ∂z

  


111

Divergencia ∇

∂ ∂ ∂ (v1 ) + (v2 ) + (v3 ) , · v = ∂x ∂y ∂z

Rotacional ∇

�

× v = − ∂v∂z

2

+

∇

∂v 3 ∂y

  = 

· T

∂v 1 ∂z

∂ (T 11 ) + ∂x ∂ (T 21 ) + ∂x ∂ (T 31 ) + ∂x

− ∂v∂x − ∂v∂y 3

1

∂ (T 12 ) + ∂y ∂ (T 22 ) + ∂y ∂ (T 32 ) + ∂y

+

∂v 2 ∂x

  

∂ (T 13 ) ∂z ∂ (T 23 ) ∂z ∂ (T 33 ) ∂z

�

Laplaciano ∇

6.2.2.

2

∂ f = ∂x

� ∂f � ∂x

∂ + ∂y

� ∂f � ∂y

∂ + ∂z

� ∂f � ∂z

Coordenadas cil´ındricas

z uz uθ

r

ur r

y θ

x Figura 6.2: Coordenadas cil´ındricas.

Las coordenadas cil´ındricas están definidas por el cambio de variable

y1 = r =

√

x1 = x = r cos θ

x2 + y 2

y2 = θ = arctan xy

x2 = y = r sen θ

y3 = z

x3 = z


 cos(θ)   =  sin(θ)  0

− (r sin(θ)) r cos(θ) 0

  0  1 0

Vectores tangentes

t1

  cos(θ)    =  sin(θ)  ,  0 

t2

  (r sin(θ)) −   =  r cos(θ)  ,  0 

t3

 0    = 0 , 1

t

1

  cos(θ)    =  sin(θ)  ,  0 

2

t

− �  = 

sin(θ) r

cos(θ) r

0

�  , 

3

t

 0    = 0 1


  cos(θ)   ,  ˆ =  sin(θ)   0  t1

  sin(θ) −   ˆ =  cos(θ)  ,  0  t2

 0   ,  ˆ = 0 1 t3

ˆt1

  cos(θ)    =  sin(θ)  ,  0 

ˆt2

  sin(θ) −   =  cos(θ)  ,  0 

ˆt3

 0    = 0 1


112 Tensor m´ etrico

 1   = 0 0

gij

  0 ,  1

0

 1   = 0 0

0

r2 0

gij

  0  1

0 r

0

2

−

0


Γi1k

 0   = 0 0

  , 0  0

0

0

r 0

Γi2k

 0   = −r 0

  , 0  0

r

 0   = 0 0

0

0 0

Γi3k

  0  0

0

0

0 0


Γi k 1

 0   = 0 0

  , 0  0

0

0

1 r

0

Γi k 2

 0   = −r 0

  , 0  0

1

0

r

0 0

Γi k 3

 0   = 0 0

  0  0

0

0

0 0

S´ımbolos de Christoffel f´ısicos

ˆ ki1 Γ

 0   = 0 0

  0 ,  0

0

0

0 0

ˆ ki2 Γ

 0  � �  = −  0

0

r

∇

∂f ∂θ

∂f ∂r

∂f ∂z

r

�,

0

r

1

0

Gradiente

� f =

  0 ,  0

1

∇v

  =  

ˆ ki3 Γ

 0   = 0 0

∂v1 ∂θ

∂v 1 ∂r

r

∂v2 ∂θ

∂v 2 ∂r

r

∂v 3 ∂r

  0  0

0

0

0 0

−

v2 r

∂v 1 ∂z

+

v1 r

∂v 2 ∂z

∂v3 ∂θ

∂v 3 ∂z

r

  

Divergencia ∂ (T ) 12 ∂θ

∇

· v =

∂ (v2 ) ∂θ

r

+

∂ (r v1 ) ∂r

r

∂ (r v3 ) ∂z

+

r

,

∇

· T

 +  � �  = +  ∂ ∂θ

r T 22 r

∇

�

× v = −

∂v 2 ∂z

∂v3 ∂θ

+

∂v 1 ∂z

r

−

∂v 3 ∂r

+

∂ (r T ) 13 ∂z

− T r

r r ∂ ∂ (T 21 ) + ∂z (T 23 ) + T r12 ∂r ∂ (T ) ∂ (r T ) ∂ (r T ) 32 31 33 ∂θ ∂r ∂z r

Rotacional

∂ (r T ) 11 ∂r

∂v 2 ∂r

+

∂v1 ∂θ

−

r

+

r

+

v2 r

22

+

r

�

Laplaciano ∇

6.2.3.

2

f =

∂ ∂θ

� � 1 ∂f r ∂θ

r

+

∂ ∂r

�r � ∂f ∂r

r

+

∂ ∂z

�r � ∂f ∂z

r

Coordenadas esf´ ericas

Las coordenadas esf´ ericas están definidas por el cambio de variable

y1 = r = y2

√

x1 = x = r sen θ cos φ

x2 + y 2 + z 2

= θ = arctan

√ x +y 2

2

x2 = y = r sen θ sen φ

z

y 3 = φ = arctan xy

x3 = z = r cos θ


 cos(φ) sin(θ)   =  sin(φ) sin(θ)  cos(θ)

r cos(φ) cos(θ) r cos(θ) sin(φ)

− (r sin(θ))

  

− (r sin(φ) sin(θ)) r cos(φ) sin(θ) 0

T 21 r

  


113

z ur uφ

r r

θ

uθ

y x

φ

Figura 6.3: Coordenadas esféricas.

Vectores tangentes

t1

    cos(φ) sin(θ) r cos(φ) cos(θ)   =   =  sin(φ) sin(θ)  , r cos(θ) sin(φ)  ,  cos(θ)   − (r sin(θ))      cos(φ) sin(θ)   =   ,  =  sin(φ) sin(θ)  ,  cos(θ)   −� �  t2

t3

cos(φ) cos(θ)

csc(θ) sin(φ)

r

1

cos(θ) sin(φ)

2

t

t

r

  (r sin(φ) sin(θ)) −   =  r cos(φ) sin(θ)    0 − � �   =   r

t

sin(θ) r

3

cos(φ) csc(θ) r

0


  cos(φ) sin(θ)   ˆ =  sin(φ) sin(θ)  ,  cos(θ)    cos(φ) sin(θ)   , ˆ = sin(θ) sin(φ)  cos(θ)

  cos(φ) cos(θ)   ˆ =  cos(θ) sin(φ)  ,  − sin(θ)    cos(φ) cos(θ)   , ˆ = sin(φ) cos(θ)  − sin(θ)

t1

t2

1

 1   = 0 0

gij

0

r2

g ij

2

2

0

3

t

  , 0  r sin(θ)

0

t3

2

t

Tensor métrico

  sin(φ) −   ˆ =  cos(φ)   0    sin(φ) −   ˆ =  cos(φ)  0 t

 1   = 0 0

0 r

0 2

−

0

0

csc(θ)2 r2

  


Γi1k

 0   = 0 0

0 r 0

  , 0  r sin(θ) 0

2

Γi2k

 0   = −r 0

r 0 0

  , 0  cos(θ) sin(θ) 0

r2

Γi3k

 0  0 =  − �r sin(θ) � − �r 2

r2

0 2

� cos(θ) sin(θ)


Γi k 1

 0   = 0 0

0 1 r

0

  0 ,  0 1

r

Γi k 2

 0   = −r 0

1 r

0 0

  0 ,  cot(θ) 0

Γi k 3

 0  0 =  − �r sin(θ) � 2

0 0

− (cos(θ) sin(θ))

  cos(θ) sin(θ)  0 r sin(θ)2

0

  cot(θ)  0 1

r


114 S´ımbolos de Christoffel f´ısicos

ˆ ki1 Γ

 0   = 0 0

  0 ,  0

0

0

0 0

ˆ ki2 Γ

 0  � �  = −  0

  0 ,  0

1

0

r

1

0

r

0

ˆ ki3 Γ

Gradiente

∇f =

�

∂f ∂r

∂f ∂θ

∂f csc(θ) ∂φ

r

r

�

,

∇v

  =  

 0 0   =  0 − � � − � 0 � 1

cot(θ )

r

r

− vr

r

+

r

3

� −

v1 r

∂v3 ∂θ

∂v 3 ∂r

v1 r

r

r

0

  

csc(θ) r

∂v2 ∂φ

�+

v3 cot(θ) r

+

cot(θ )

∂v1 ∂φ

− � vr � +

2

∂v2 ∂θ

∂v 2 ∂r

r

∂v1 ∂θ

∂v 1 ∂r

1

v2 cot(θ) r

csc(θ) r

+

∂v3 ∂φ

csc(θ) r

  

Divergencia ∇

· v =

∂ ∂r

· T

 � �  − − =  + −

∇

× v =

T 33 r

+

∂ ∂r

+

∂ (r ∂ θ

v2 sin(θ)) csc(θ) r2

(r2 T 11 sin(θ)) csc(θ ) r2

+

∂ (r ∂φ

+

∂ (r T sin(θ )) 12 ∂θ

v3 ) csc(θ) r2

csc(θ )

r2

+

∂ (r T ) 13 ∂φ

csc(θ)

r2

∂

∂ (T sin(θ )) csc(θ ) ∂ (r T sin(θ )) csc(θ ) (T 23 ) csc(θ) T 33 cot(θ ) 22 21 T 21 ∂φ ∂θ ∂r + + + r r r r r ∂ (T csc(θ )) ∂ (T ) ∂ (r T ) 33 T 23 cot(θ ) T 32 cot(θ ) 32 31 T 13 T 31 ∂φ ∂θ ∂r + + + r + r + + r r r r r

T 12 r

Rotacional

1

r2

T 22 r

∇

2

�r v sin(θ)� csc(θ)

�

∂v3 ∂θ

r

+

v3 cot(θ) r

−

∂v2 ∂φ

csc(θ)

−

r

∂v 3 ∂r

−

v3 r

+

∂v1 ∂φ

csc(θ ) r

∂v 2 ∂r

−

∂v1 ∂θ

r

+

v2 r

  

�

Laplaciano ∇

6.3.

2

f =

∂ ∂φ

�csc(θ) � csc(θ) ∂f ∂φ

r2

+

∂ ∂r

�r

2

sin(θ) ∂f ∂r r2

� csc(θ)

+

∂ ∂θ

�sin(θ) � csc(θ) ∂f ∂θ

r2

Bibliograf´ıa

Para este cap´ıtulo se han consultado los textos generales de c´ alculo tensorial, geometr´ıa diferencial y álgebra [3, 5, 4, 8, 12, 13], as´ı como [17].

Ap´ endice A

F´ ormulas de an´ alisis vectorial En este apartado presentamos una colección de fórmulas de uso muy habitual, válidas para el caso habitual de 3 con métrica Eucl´ıdea.

A.1.

Notaci´ on

La notaci´ on empleada en estos apuntes es la habitual en textos similares: Las cantidades en negrita representan vectores o, en general, magnitudes tensoriales no escalares (es decir, de rango tensorial superior a cero). Si en alg´ un momento es necesario distinguir entre las componentes covariantes y contravariantes de un tensor (por ejemplo A), las componentes covariantes se denotarán por sub´ındices (Ai ) y las contravariantes por super´ındices (Ai ). A menos que se diga lo contrario supondremos que se están empleando coordenadas cartesianas, de tal forma que A i denota la i ésima componente cartesiana del vector A : A i = e i A. Dado que la base dual a la base cartesiana i, j , k coincide con ella misma, las componentes covariantes y contravariantes respecto de esta base coinciden.

−

{

·

}

Convenio de suma de Einstein: A menos que se diga lo contrario se sobreentiende que si

en una expresión aparece un ´ındice repetido la expresión representa la suma respecto de ese ´ındice, que por tanto es un ´ındice mudo. Delta de Kronecker:

δ ij = δ ij = δ ji = S´ımbolo alternante de Levi-Civita:

  −

 

1 si i = j

(A.1)

0 si i = j

̸

+1 si ijk es una permutación par de 123

ϵijk =

1 si ijk es una permutación impar de 123 0 si hay alg´ un ´ındice repetido 115

(A.2)

´ ´ ´ AP ENDICE A. F ORMULAS DE AN ALISIS VECTORIAL

116

A.2.

Productos escalares y vectoriales

= A i Bi

· A×B A B

= ϵijk Ai B j ek

(A.3)

(A.4)

F´ ormulas u ´ tiles A (B

· × C ) = B · (C × A) = C · (A × B) A × (B × C ) = B (A · C ) − C (A · B ) (A × B ) × C = B (A · C ) − A (B · C )

(A

× B) · (C × D) (A × B ) × (C × D) A.3.

(A.5) (A.6) (A.7)

= (A C ) (B D) (A D) (B C ) = C (A (B D)) D (A (B C ))

(A.8)

=

(A.9)

·

· − · · · × − · × B (A · (C × D)) − A (B · (C × D))

Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano ∇

= ∂ i ei =

grad U = div A = rot A =

lap A = ∆A =

�

∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z

�

∂U ei ∂x i ∂A i A = ∂x i ∂A j A = ϵijk ek ∂x i

∇U

=

2 ∇ A = ∇

· (∇A) =

�

∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

(A.11) (A.12)

· ∇× ∇

(A.10)

�

(A.13)

A

(A.14)

F´ ormulas u ´ tiles

× (∇U ) = 0 ∇ · (∇ × A) = 0 ∇ · (∇φ × ∇ϕ) = 0

(A.15)

∇

(A

(

1 2 + (∇ ∇ A 2 2 ∇ A = ∇ (∇ A) ∇

· ∇) A

=

× A) × A · − × (∇ × A)

(A.16) (A.17)

(A.18) (A.19)

117

A.4. TEOREMAS INTEGRALES

· (U A) ∇ × (U A) ∇ · (A × B )

= (∇U ) A + U ( ∇ A)

(A.20)

=

· · (∇U ) × A + U ( ∇ × A) B · (∇ × A) − A · (∇ × B )

(A.21)

= (B

(A.23)

=

· ∇) A − B (∇ · A) − (A · ∇) B + A (∇ · B) (B · ∇) A + (A · ∇) B + B × (∇ × A) + A × (∇ × B )

(A.24)

∇

∇

A.4.

× (A × B) ∇ (A · B )

=

(A.22)

Teoremas integrales

Los teoremas integrales habituales (del gradiente, de la divergencia, del rotacional) son casos particulares del conocido Teorema de Stokes para formas diferenciales sobre variedades

∫ ∫ dω =

M

ω

(A.25)

∂M

donde M es una variedad diferenciable n-dimensional con frontera ∂ M , ω es una forma diferencial y d denota la derivada exterior. A.4.1.

Teorema del gradiente

También conocido como Teorema Fundamental del C´ alculo. La integral del gradiente de una función escalar f a lo largo de una curva γ , con extremos γ 1 y γ 2 está dada por

∫

∇f

· dl =

γ

A.4.2.

∫

df = f (γ 2 )

γ

− f (γ 1),

(A.26)

Teorema de la divergencia

También conocido como Teorema de Gauss-Ostrogradsky o sencillamente Teorema de Gauss . La integral de la divergencia de un vector f en el volumen Ω está dada por

∫

∇

Ω

· f dV =

∫ ·

f n dΣ

(A.27)

∂ Ω

donde ∂ Ω es la superficie que limita a Ω y n la normal a ∂ Ω orientada hacia el exterior. A.4.3.

Teorema del rotacional

También conocido como Teorema de Stokes . La integral del rotacional de un vector f en la superficie S está dada por

∫

(∇

S

donde ∂ S es la l´ınea que limita a S .

× f ) · n dΣ =

∫ ·

f dl

∂S

(A.28)


118 Expresi´ on alternativa

Dado que no es tan estándar como los teoremas integrales anteriores, en este apartado se incluye la deducción de la expresión alternativa del teorema del rotacional empleada para calcular la fuerza de tensión superficial ejercida sobre un elemento de superficie. En primer lugar, dado el campo vectorial f definimos f = F b, donde b es un vector arbitrario constante. Con esto el Teorema de Stokes queda como

×

∫

(∇

S

∫

× (F × b)) · n dΣ =

(F

× b) · dl

∂S

(A.29)

Sustituyendo en la identidad vectorial (Ec. A.23) encontramos ∇

× (F × b) = (b · ∇) F − b (∇ · F )

(A.30)

ya que b es un vector constante. Aplicando la identidad vectorial (Ec. A.5) y sustituyendo (Ec. A.30) en (Ec. A.29) encontramos b

∫ ·

× dl =

F

∂S

∫

[b (∇ F )

· − (b · ∇) F ] · n dΣ

S

(A.31)

Recordando que el vector b es arbitrario, la expresión alternativa del teorema del rotacional queda finalmente como

∫

∂S

A.4.4.

× dl =

F

∫

[(∇ F ) n

S

·

(A.32)

Otros teoremas integrales

∫ × ∫ ∇

A dV =

Ω

∫

n dΣ

∂ Ω

n dΣ

S

A.4.5.

− (∇F ) · n] dΣ

× ∇ϕ =

∫

×A

ϕ dl

(A.33) (A.34)

∂S

Identidades de Green

Dadas dos funciones escalares ϕ y ψ se cumple: Primera identidad de Green

∫ (

ϕ∇2 ψ + ( ∇ϕ)

Ω

 ∫

· (∇ψ) dV =

(ϕ∇ψ) n dΣ

∂ Ω

·

(A.35)

donde ∂ Ω es la superficie que limita a Ω y n la normal a ∂ Ω orientada hacia el exterior. Segunda identidad de Green

∫ ( Ω

ϕ∇2 ψ

2

 ∫

− ψ∇ ϕ dV =

∂ Ω

(ϕ∇ψ

− ψ∇ϕ) · n dΣ

donde ∂ Ω es la superficie que limita a Ω y n la normal a ∂ Ω orientada hacia el exterior.

(A.36)

A.4. TEOREMAS INTEGRALES

119

Bibliograf´ ıa Para elaborar este apéndice se ha consultado [18] y [23] junto con las enciclopedias en internet [25] y [28].

120


Bibliograf´ıa En este apartado se incluye la lista de referencias consultadas para elaborar estos apuntes. Algunas de estas referencias se mencionan en el texto y pueden consultarse como bibliograf´ıa complementaria avanzada de los temas en que se mencionan, las restantes se citan para dar el debido crédito a todas las fuentes consultadas.

C´ alculo tensorial y geometr´ıa diferencial [1] Bishop, R. L. and S. I. Goldberg: Tensor Analysis on Manifolds . Dover, 1980. [2] Bowen, R. M. and C. C. Wang: Introduction to Vectors and Tensors . Dover, 1976. ´ [3] Burgos, J.: Curso de Algebra y Geometr´ıa . Alhambra, 1980. [4] Danielson, D. A.: Vectors and Tensors in Engineering and Physics . Perseus, 2003. [5] do Carmo, M. P.: Geometr´ıa Diferencial de Curvas y Superficies . Alianza Universidad Textos, 1995. [6] Flanders, H.: Differential Forms with Applications to the Physical Sciences . Dover, 1990. [7] Frankel, T.: The Geometry of Physics: An Introduction . Cambridge University Press, 1997. [8] Kay, D. C.: C´ alculo Tensorial . McGraw-Hill, 1989. [9] Lang, S.: Differential and Riemannian Manifolds . Springer-Verlag, 1995. [10] Lichnerowicz, A.: Elementos de C´ alculo Tensorial . Aguilar, 1972. [11] Lipschutz, M. M.: Differential Geometry . McGraw-Hill, 1969. [12] Lovelock, D. and H. Rund: Tensors, Differential Forms, and Variational Principles . Dover, 1989. [13] Synge, J. L. and A. Schild: Tensor Calculus . Dover, 1978.

121

122

BIBLIOGRAF ´ IA

Aplicaciones de tensores en f´ısica F´ısica General

[14] Feynman, R. P., R. B. Leighton, and M. L. Sands: The Feynman Lectures on Physics (3 vols.) . Addison-Wesley, 1989. [15] Feynman, R. P., R. B. Leighton y M. L. Sands: F´ısica (3 vols.). Addison-Wesley, 1999.

Mec´ anica Cl´ asica

[16] Arnold, V. I.: Mathematical Methods of Classical Mechanics . 1990.

Springer-Verlag, second ed.,

Mec´ anica de Fluidos

[17] Aris, R.: Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics . Dover, 1990. [18] Emanuel, G.: Analytical Fluid Dynamics . Lewis Publishers, second ed., 2000.

Relatividad

[19] Misner, C. W., K. S. Thorne, and J. A. Wheeler: Gravitation . W. H. Freeman and Company, 1973. [20] Wald, R. M.: General Relativity . The University of Chicago Press, 1984. [21] Weinberg, S.: Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity . Wiley, 1972.

Libros de tablas y enciclopedias en Internet [22] Abramowitz, M. and I. A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables . Dover, New York, tenth ed., 1974. [23] Spiegel, M. R. y L. Abellanas: F´ ormulas y Tablas de Matem´ atica Aplicada . McGraw-Hill, 1997. [24] Wales, J. y cols. (eds.): Wikipedia, la enciclopedia libre . The Wikimedia Foundation, Inc., since 2001. http://es.wikipedia.org/ . [25] Wales, J. et al. (eds.): Wikipedia, the free encyclopedia . since 2001. http://www.wikipedia.org/ .

The Wikimedia Foundation, Inc.,

[26] Weisstein, E. (ed.): Eric Weisstein’s World of Physics . Wolfram Research Inc., since 1999. http://scienceworld.wolfram.com/physics/ .

123 [27] Weisstein, E. (ed.): Eric Weisstein’s World of Science . Wolfram Research Inc., since 1999. http://scienceworld.wolfram.com/ . [28] Weisstein, E. (ed.): Mathworld: the web’s most extensive mathematics resource . Research Inc., since 1999. http://mathworld.wolfram.com/ .

Wolfram

Otras referencias LATEX [29] http://wikipedia.org/wiki/LaTeX . [30] Cascales Salinas, B. y cols.: LAT E X una imprenta en sus manos . Aula Documental de Investigaci´ on, 2000. [31] Kopka, H. and P. W. Daly: A Guide to LAT E X: Document Preparation for Beginners and Advanced Users . Addison-Wesley, third ed., 1999. [32] Oetiker, T. et al.: The Not So Short Introduction To LAT E X 2 ε . Or LAT E X 2 ε in 157 minutes . Free Software Foundation., 5.01 ed., 2011. http://www.ctan.org/tex-archive/info/ lshort/english/lshort.pdf .

Linux [33] http://www.linux.org . [34] http://www.gnu.org . [35] http://wikipedia.org/wiki/Linux . [36] Siever, E. et al.: Linux in a Nutshell . O’Reilly, sixth ed., 2009.

124

BIBLIOGRAF ´ IA

´ Indice alfab´ etico aplicación lineal, 15, 18, 30 multilineal, 38

dual, 12 Eucl´ıdeo, 11 métrico, 7 no Eucl´ıdeo, 11 normado, 7 orientable, 50 pre-Hilbert, 9 producto tensorial, 35 tangente, 61 topol´ ogico, 62 vectorial, 1

base, 3 cambio de, 15 dual, 12, 16 ortonormal, 11 producto tensorial, 35 componentes contravariantes, 17, 27, 48 covariantes, 17, 27, 48 convenio de suma de Einstein, 10 coordenadas, 4 delta de Kronecker, 11 dependencia lineal, 3 derivada covariante, 34 parcial, 34 desigualdad triangular, 6, 7 diada, 35 dimensi´ on, 3 del conjunto de coordenadas, 27 finita, 4 infinita, 4 distancia, 6 elemento neutro, 3 nulo, 3 opuesto, 3 envolvente lineal, 4 espacio completo, 9 cotangente, 61 de Banach, 9 de Hilbert, 9 de Riemann, 11

fibrado cotangente, 61 tangente, 61 grados de libertad, 27 Gram-Schmidt, 12 homeomorfismo, 62 independencia lineal, 3 ´ındices contracci´ on de, 38 contravariantes, 27 covariantes, 27 libres, 10 mudos, 10 permutaci´ on de, 43 subida y bajada de, 18, 42 inversiones, 20 Levi-Civita, 52, 53 ley de transformación tensorial, 27, 48 métrica Riemanniana, 11 matriz adjunta, 20 ortogonal, 20 125

apuntes-MM4

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