APUNTES-DEL-CURSO.docx

Ing. Vladimir ORDOÑEZ CAMPOSANO

APUNTES DE LA CATEDRA: ANALISIS ESTRUCTURAL

BIBLIOGRAFÍA 1. Analisis Matricial De Estructuras – Aslam Kassimali (2° Edición-Ingles). 2. Fundamentos del Analisis Estructural – Leet Uang (3° Edición). 

https://mega.nz/#!3JchDKBI!w59ABJ19iXu5bnX55NRt1N1FvOTaSqtdfgrf5eqFm TA

3. Analisis de Estructuras – Harry West. 

http://www.elibros.cl/detalle/analisis-estructural-2/

4. Analisis de Estructuras – Mc. Cormac. 

https://mega.nz/#!OMhlBAgA!wYTafQqkswfmJRgRAXFT2oDSTTZ2B2k-4cLrP5XBdI

5. Analisis de Estructuras con Métodos Matriciales – Arturo Tena Colunga. 

https://mega.nz/#!3B4XkTiD!ea4TkN4qdP5guzTdnCp4RwNmggzj9PhEnNOSYlgPKM

6. Calculo de Estructuras, Tomo I y II – Ramón Arguelles Alvares. 

http://www.elibros.cl/detalle/calculo-de-estructuras-tomo-1/

7. Analisis Estructural Método Matricial – Genaro Delgado Contreras. 8. Analisis Matricial de Estructuras – Alder Joshué Quispe Panca. 9. Analisis y Diseño Sismo resistente de Estructuras – Roberto Rochel Awad. 

https://mega.nz/#!TZQ3AQaI!kZLt3EGSPQASIdT4AkxeM7OjMAnw2BAKagb21n PEPS8

10. ¡Alto a los desastres! – Julio Kiwowa Horiuchi, Edgardo Pando Pacheco, Edgardo pando Merno. 11. Analisis Estructural, Analisis Matricial en 2D/3D, Método de la Rigidez (Teoría,

problemas resueltos y propuestos) – Ing. Ronald Santana Tapia. 12. Analisis Matricial de Estructuras – Ph. D. Mohamed Medi Hadi Mohamed. 

http://www.4shared.com/get/v86pKeYcce/analisis_matricial_de_estructu.htm l

13. Analisis Matricial de Estructuras – Roberto Aguiar Falconí. 

https://www.dropbox.com/s/z0y8sr9f41tiyyf/An%C3%A1lisis%20Matricial%20 de%20Estructuras%20%20Roberto%20Aguilar%20Falconi%20%283era%20Edici%C3%B3n%29.rar

14. Dinámica de Estructuras – Anil K. Chopra. 

http://depositfiles.org/files/xnlt0j6d7

15. Teoría Elemental de las Estructuras – Yian-Yu Hsien.

Ing. VLADIMIR ORDOÑEZ CAMPOSANO

1




https://mega.nz/#!QI53Wa5A!KYNiyWW9YOigg7P0CFBlZiOV8In1vg85JF1A6TBE30

16. Apuntes del curso Analisis Estructural I – Gianfranco Ottazzi Paseño. 17. Mecánica de Materiales II – Beer Jhonson, Hibbeler, Timoshenko. 18. Analisis Estructural – Genner Villareal Castro. 

http://civilgeeks.com/2011/04/03/libro-de-analisis-estructural-dr-gennervillarreal/

19. Analisis Estructural – Ing. Biaggio Arbulú 

https://mega.nz/#!5FI2UaDY!bfgdsaQ5pw3nbFPnHWQpmOkgvN2NTZVpXS_R HvO7qeM

20. Otros. 

http://civilgeeks.com/2010/01/02/analisis-estructural/



http://blog.pucp.edu.pe/blog/wp-content/uploads/sites/109/2009/09/ZLibroAnalisis-Estructural-GV.pdf



http://switch2011.upa.edu.mx/biblioteca/Ingenier%C3%ADa/%5Bebook%5D% 20Edicions%20UPC%20%20Mec%C3%A1nica%20de%20Estructuras%20Libro%202%20Resistencia%20 de%20Materiales%20-%20Spanish%20Espa%C3%B1o.pdf



http://www.ptolomeo.unam.mx:8080/xmlui/bitstream/handle/132.248.52.10 0/814/An%C3%A1lisis%20Estructural_CAMBA_ocr.pdf?sequence=1



http://depositfiles.org/files/1d9sioiqv



http://www.upct.es/~deyc/publicaciones/AE_TGP.pdf



https://www.academia.edu/9177404/AN%C3%81LISIS_DE_ESTRUCTURAS_Pro blemas_resueltos

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2


CONTENIDO: 1. HIPERESTATICIDAD Y ESTABILIDAD a. Estructuras del tipo barras/continuas. b. GTOTAL/GEXTERIOR/GINTERIOR.

2. PATOLOGIAS DE LAS ESTRUCTURAS a. Columna Esbelta, Columna Corta, Piso Blando, Falla por Cortante. b. RNE: E020 – E030 – E060.

3. METODO DE LAS FUERZAS: GRADOS DE INDETERMINACION a. Vigas, Barras y Pórticos.

4. METODO DE LAS FUERZAS “MATRIZ DE FLEXIBILIDAD” DMF/DFC. a. Ecuaciones Canónicas. b. Estructuras Hiperestáticas.

5. METODO MATRICIAL. a. Grados de Libertad. b. Deformadas. c.

Matriz de Rigidez.

d. Matriz de Rigidez Lateral. e.

Ecuación de Maney.

f.

Armaduras – Tabla de conectividad, KTOTAL.

6. LINEA DE INFLUENCIA. a. Tren de Cargas (Puentes). b. Reacción. c.

CortanteMAX.

d. Momento MAX. e.

Teoría de Barret.


3


CAPITULO I: HIPERESTACIDAD En las estructuras hiperestáticas las ecuaciones de la estática son insuficientes para determinar sus reacciones, por lo que se requiere obtener un número de ecuaciones adicionales igual al grado de hipertaticidad de la estructura. La principal ventaja de las estructuras hiperestáticas es que a mayor grado de hiperestática es mayor la economía de materiales, pero con la contrapartida de un mayor consumo de mano de obra y exigencias en el control de la calidad.

ESTABILIDAD Se dice que una estructura es estable cuando soporta cualquier sistema de cargar de forma elástica e inmediata a la aplicación de estas considerando que los apoyos tienen rigidez infinita.

GRADO DE HIPERESTACIDAD GTOTAL = GEXTERIOR + GINTERIOR Se denomina grado de hiperestacidad de un sistema a la diferencia entre el número de incógnitas (Reacciones, esfuerzos, tenciones) y el número de ecuaciones de equilibrio estático que se puedan plantear. Además: GEXTERIOR = r – (E + e) r

= Número de Reacciones.

E = Número de Ecuaciones de Equilibrio de la Estática. → PLANO

=3

→ ESPACIO

=6

e = Numero de Ecuaciones Especiales ( Rotulas, Articulaciones, Gozne, Bisagras, Pasadores).


4


TIPOS DE ESTRUCTURA ARMADURAS

CORDON SUPERIOR

PARALELAS MONTANTE

CORDON INFERIOR

CARACTERISTICAS: -

Está compuesta por elementos articulados en sus extremos, los nudos carecen de fricción y al realizar un corte siempre se encuentra deformación axial en sus elementos.

-

Baja rigidez.

-

Longitud elevada con respecto a su sección.

-

Tiene sección pequeña.

GRADO DE HIPERESTACIDAD TOTAL

GTOTAL = (b + r) – 2n b r

= Número de Barras/ Elementos. = Número de Reacciones.

n

= Número de Nudos.

CONDICION: #b < 2n – r (No Estable).

GTOTAL > 0 →

Hiperestésica → ESTABLE.

GTOTAL = 0 →

Isostática

→ ESTABLE/INESTABLE.

GTOTAL < 0 →

Hipostática

→ INESTABLE.

GRADO DE HIPERESTATICIDAD INTERIOR

GINTERIOR = GTOTAL - GEXTERIOR


5


PORTICOS V1

1 0 A C A L P

C1 V1

V1 2 0 A C A L P

C1

Está compuesta por elementos que tienen una sección apreciables y los nudos son rigidez e indeformables. CARACTERISTICAS: -

Sección Apreciable.

-

Elevada Rigidez.

-

Longitud Corta.

-

Respecto a su Sección.

ANALISIS DE ESTRUCTURAS CONTINUAS Se consideran que todos los nudos son completos si existieran articulaciones o rotulas intermedias se consideraría como ecuaciones especiales, si existen rotulas en los apoyos no son ecuaciones especiales ya que están consideradas en las reacciones.

GTOTAL = (3b + r) – (3n + e) b r n

= Número de Barras/ Elementos. = Número de Reacciones. = Número de Nudos.

3=

2=

1=


6


NUMERO DE ECUACIONES ESPECIALES PARA ESTRUCTURAS CONTINUAS e = Número de barras que llegar a la rótula – 1

e = 1

e = 1

e = 2

e = 1

e = 2

e = 3

Ejercicio N° 01. 

Examine la estabilidad de las siguientes estructuras determine: 

GTOTAL, GEXTERIOR, GINTERIOR.

Fig. (a)

b=3

r=8

E=3

e=0

GTOTAL

=5

GEXTERIOR

=5

GINTERIOR

=0

n=4

→ La estructura es estable (Hiperestática).


7


Fig. (b)

b=1

r=2

E=3

e=0

GTOTAL

n=2

= -1

GEXTERIOR = -1 GINTERIOR

=0

→ La estructura es inestable ( Hipostática).

Fig. (c)

b = 13

r=6

E=3

e=0

GTOTAL

=3

GEXTERIOR

=3

GINTERIOR

=0

n=8



8


EJERCICIOS RESUELTOS 1)

a) b = 3

r=6

E=3

e=0

GTOTAL

=5

GEXTERIOR

=5

GINTERIOR

=0

n=4

→ La estructura es estable ( Hiperestática).

b) b = 4

r=4

E=3

e=2

GTOTAL

= -1

GEXTERIOR GINTERIOR

n=5

= -1 =0


c) b = 5

r=6

E=3

e=3

GTOTAL

=0

GEXTERIOR

=0

GINTERIOR

=0

n=6

→ La estructura es estable ( Isostática).

d) b = 4

r=6

E=3

e=1

GTOTAL

=2

GEXTERIOR

=2

GINTERIOR

=0

n=5


2)

a) b = 27

r=3

E=3

e=0

GTOTAL

=0

n = 15


9


GEXTERIOR

=0

GINTERIOR

=0

→ La estructura es estable (Isostática).

b) b = 15

r=4

E=3

e=0

GTOTAL

=3

GEXTERIOR GINTERIOR

=1 =2

n=8

→ La estructura es inestable ( Isostática).

c) b = 12

r=6

E=3

e=0

GTOTAL

=0

GEXTERIOR

=3

GINTERIOR

= -3

n=9

→ La estructura es inestable (Isostática).

d) b = 14

r=4

E=3 GTOTAL

e=0 =0

GEXTERIOR

=1

GINTERIOR

= -1

n=9

→ La estructura es estable ( Isostática).

e) b = 22

r=4

E=3

e=0

GTOTAL

=0

GEXTERIOR

=1

GINTERIOR

= -1

n = 13


f) b = 12

r=3

E=3

e=0

GTOTAL

=3

GEXTERIOR

=0

GINTERIOR

= -3

n=9


10



g) b = 54

r=8

E=3

e=0

GTOTAL

=0

GEXTERIOR

=1

GINTERIOR

= -1

n = 31


3) a) b = 8

r=9

E=3

e=0

GTOTAL

=9

GEXTERIOR

=6

GINTERIOR

=3

n=8


b) b = 9

r=8

E=3

e=0

GTOTAL

=5

GEXTERIOR

=5

GINTERIOR

=0

n = 10


c) b = 5

r=9

E=3

e=1

GTOTAL

=5

GEXTERIOR

=5

GINTERIOR

=0

n=6


d) b = 9

r=5

E=3

e=0

GTOTAL

=8

GEXTERIOR

=2

GINTERIOR

=6

n=8


11



e) b = 5

r=6

E=3

e=2

GTOTAL

=4

GEXTERIOR

=3

GINTERIOR

=1

n=5


f) b = 2

r=3

E=3

e=0

GTOTAL

=0

GEXTERIOR

=0

GINTERIOR

=0

n=3


g) b = 76

r = 30

E=3

e=0

GTOTAL

= 102

GEXTERIOR GINTERIOR

n = 52

= 27 = 75

→ La estructura es est able (Hiperestática).

ESTRUCTURA Una estructura es una cadena elástica estable, compuesta por un número finito de elementos unidos entre sí mediante un número finito de juntas, uno de cuyos números es arbitral. CADENA: Se dice por la unión que tienen los diferentes elementos estructurales (vigas, columnas, diafragma rígido, loza maciza, loza nervada, loza aligerada, placas, etc.).


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ELASTICA: Porque se consideran pequeñas deformaciones del orden de infinitésimos. ESTABLE: En tal virtud no tiene sentido de hablar de estructuras inestables. DEFORMACIONES

SISMO

x

O

V1

x

V1

x

VIENTO

P1

C1

P2

DEFORMADAS

RESISTENCIA Es la capacidad que tiene una estructura para soportar grandes cargas (Puentes, presas, desarenadores, muros de contención, edificaciones, túneles, etc.). Difícilmente una edificación o sistema estructural se puede mantener en una régimen elástico (Cuando después de una deformación vuelve a su condición inicial sin deformación residual) y lineal (Siguiendo una proporción lineal entre cargas aplicadas y deformaciones alcanzadas por medio de una rigidez constante), durante un movimiento fuerte del suelo, menos aún en el caso de edificaciones hechas de concreto reforzado, donde las propiedades de no linealidad del concreto simple alcanzan a tempranas deformaciones.

RIGIDEZ

 ó  = 

La rigidez es la capacidad que tiene una estructura para oponerse a las deformaciones.


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La rigidez es un concepto relacionado con la fuerza necesaria para lograr una deformación, que puede ser de diferente forma dependiendo del movimiento. La rigidez de una edificación depende del tamaño de los elementos de soporte, como columnas y vigas, depende de la elasticidad del natural; así mismo depende de qué tipo de movimiento se presenta sobre cada elemento. La forma del elemento está dada mediante la longitud (L) así como su base (b) y altura (h).

b h P

x

EcxIViga

x

b h

L. Viga

La rigidez depende normalmente de estas secciones en función del segundo momento de inercia, la sección del área transversal cortante y el módulo de elasticidad del concreto. Módulo de elasticidad del concreto, según RNE E-060:

MASA

 = ′ /

La masa de una edificación depende del peso de todo lo que contiene; de hecho en la tierra, resulta el peso dividido por la aceleración de la gravedad terrestre.

   =  

(Metrado de Cargas – E-020)


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PESO ESPECÍFICO

   = .  /     =  . ∀

Un edificio de uso civil puede tener un peso por unidad de área de unas 1.5 Ton/m2, eso quiere decir que un edificio residencial típico de 12 m de frente por 12 m de fondo y 5 pisos de altura con unos 1000 m2 de construcción puede pesar en el orden de 1000 a 2000 Ton. En dinámica estructural es necesario tener bien claro los significados de peso y masa, ya que son fuente común de malas interpretaciones y de omisiones por expertos de los programas de cálculo de edificaciones. CARGAS ESTATICAS Son aquella que se aplican lentamente sobre la estructura, lo cual hace que se srcinen esfuerzos y deformaciones que alcanzan sus valores máximos en conjunto con la carga máxima. Prácticamente estas solicitaciones no producen vibraciones en la estructura y a su vez se clasifican en: 

Cargas permanentes o muertas.



Cargas vivas o sobrecarga.

CARGAS PERMAMENTES O MUERTAS Son cargas gravitacionales que actúan durante la vida útil de la estructura, como por ejemplo: Peso propio de la estructura y el peso de los elementos añadidos a la estructura (Acabados, tabiques, maquinaria para ascensores y cualquier otro dispositivo que quede fijo en la estructura). CARGAS VIVAS O SOBRECARGA Son cargas gravitacionales de carácter movible, que podrán actuar en forma esporádica, sobre los ambientes del edificio. Entre estas solicitaciones se tiene el peso de los ocupantes, muebles, nieve, agua, equipos removibles, puente,


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grúa, etc. Las magnitudes de estas cargas dependen del uso al cual se despiden los ambientes. CARGAS ESTATICAS Son aquellas cuya magnitud, dirección y sentido varían rápidamente con el tiempo, por lo que los esfuerzos y desplazamientos que srcinan sobre la estructura, también cambian con el tiempo cabe indicar que el instante en que ocurre la máxima respuesta estructural, no necesariamente coincide con el de la máxima situación estas cargas se clasifican en: 

Vibraciones causadas por maquinarias.



Viento.



Sismos.



Cargas impulsivas.

VIBRACIONES CAUSADAS POR MAQUINARIAS Cuando las maquinas vibratorias no han sido aisladas de la estructura principal, sus vibraciones pueden afectar tanta a la estructura que la soporta como a las estructuras vecinas. VIENTO El viento es un fluido en movimiento, sin embargo para simplificar el diseño se supone que actúa como una carga estática sobre las estructuras convencionales, pero para estructuras muy flexibles (Puentes colgantes, chimeneas, etc.) es necesario verificar que su periodo natural de vibrar no coincide con el de las ráfagas de viento de lo contrario podría ocurrir la resonancia de la estructura. SISMOS Las ondas sísmicas generan aceleraciones en las masas de la estructura y por lo tanto, las fuerzas de inercia que varían a lo


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largo del tiempo, sin embargo, las estructuras convencionales pueden ser avallasadas empleando cargas estáticas equivalentes a las producidas por el sismo. CARGAS IMPULSIVAS Son aquellas que tienen corta duración, por ejemplo las explosiones después que esta solicitación culmina se produce el movimiento en vibración libre de la estructura. FRANJA DE LOSA ARMADA EN UN SENTIDO VIGA

A N M U

IG V

L

A O C

ZAPATA VIGA

A N M U L O C

ZAPATA

ZAPATA

CAPITULO II: COLUMNAS Son elementos estructurales que soportan tanto cargas verticales (Peso propio) como fuerzas horizontales (Sismos y vientos) y trabajan generalmente a flexo compresión; como también en algunos casos a fracción (Columnas atirantadas). La unión de vigas y columnas forman un tipo de sistema estructural denominado aporticado. COLUMNAS DE MADERA Son estructuras ligeras que soportan cargas limitadas, pudiendo utilizarse también como puntales y entramados.


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COLUMAS DE ACERO Son estructuras esbeltas debiendo tenerse cuidado con el efecto de pandeo. El costo para este tipo de estructuras dependerá del peso de toda la edificación y el factor tiempo en la construcción es muy favorable por la rapidez del ensamblado. Los tipos de sección transversal son diversos. COLUMAS DE CONCRETO Son las más usadas y son elementos robustos en su sección, pero más económicas. Tiene en su interior refuerzos en base a varillas de acero.

CONCRETO PRETENSADO Se utiliza concreto pretensado cuando deseamos que todo el elemento estructural trabaje solo a compresión. Se utiliza para cubrir grandes luces y grandes cargas (Puentes Atirantados).

DIAFRAGMA RIGIDO Las losas son diafragmas rígidos porque pueden considerarse prácticamente indeformables en su plan, además su función de transmitir hacia los muros y/o vigas las cargas verticales u obtener la unidad de la estructura, es decir lograr que los muros y columnas se deformen en una misma cantidad en cada nivel frente a un movimiento sísmico.

FLUENCIA DEL ACERO De acuerdo a la curva (Deformación del acero) existe una zona en el cual el material puede seguir deformándose sin necesidad de que haya aumentado la carga (Punto de Fluencia). Existen varios tipos de acero que se caracterizan por el esfuerzo de fluencia, entre ellos tenemos: 

Grado 40

: 2800 Kg/cm2


18






Grado 50

: 3500 Kg/cm2



Grado 60

: 4200 Kg/cm2



Peso Específico : 7.8 Ton/m2

Nota: En una columna se deben colocar los estribos menos espaciados en la parte superior e inferior, debido a que producto de un sismo, se generan grandes esfuerzos en dichas zonas; caso contrario se presenta la falla cortante.

MUROS PORTANTES Su función básica es soportar cargan, en consecuencia se puede decir que es un elemento sujeto a compresión, pero frente a un sismo debe resistir esfuerzos cortantes, tracciones y compresiones por flexiones, y permite el cierre de los espacios.

PLACAS Son aquellos elementos estructurales que transmiten las cargas a los cimientos, soportan las losas y techos, además de su propio peso resisten las fuerzas horizontales causadas por un sismo o viento, la resistencia depende de las condiciones geométricas en cuanto a altura de las placas es resistir las cargas laterales del sismo.

FALLA POR PISO BLANDO Esta falla se da en edificios conformados por pórticos que tienen espacios libres en el primer piso y en los pisos superiores, tienen abundancia de muros de relleno o división de ambientes.


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GARAJES

FALLA POR COLUMNA CORTA Se da por aplastamiento del propio material.

Columna Esbelta

LADERAS Ocasiona en las varillas de acero el pandeo. La columna esbelta sufre inestablidad lateral.

R

R

S


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CAPITULO III: METODO DE LAS FUERZAS Este método es muy utilizado para el cálculo de las estructuras hiperestáticas, como vigas continuas pórticos, armaduras, y arcos, para ello se debe inicialmente determinan el grado de indeterminación del sistema estructural, a través de las ecuaciones siguientes.

GRADO DE INTERMINACION (G.I.) VIGAS HIPERESTATICAS

. .= 

R = Numero de reacciones en los apoyos.

A = Numero de Articulaciones (Rotula, gozne, hidge). ARMADURAS HIPERESTATICAS

B = Numero de barras.

..=  

N = Numero de nudos.

BARRAS 2

BARRA 1

PORTICOS ESTATICOS

. .= 

C = Numero de contornos cerrados (Disco de Tierra). A = Numero de Articulaciones (Rotula, gozne, hidge).

0

1


2

21


GRADO DE INDETERMINACION (G.I. = “n”) Nos indica del número de conexiones a eliminar eligiendo el denominado sistema principal el cual es isostático, luego se plantea el sistema de ecuaciones canónicas, que para una estructura con grado de indeterminación igual a n (G.I. = n) y sometido a cargas externas tendrá la siguiente forma. SISTEMA DE ECUACIONES CANONICAS

S11X1 + S12X2 + S13X3 + … + S1nXn + Δ1p = 0 S21X1 + S22X2 + S23X3 + … + S2nXn + Δ2p = 0 S31X1 + S32X2 + S33X3 + … + S3nXn + Δ3p = 0 . . . Sn1X1 + Sn2X2 + Sn3X3 + … + SnnXn + Δnp = 0 Xn

→Incógnitas Redundantes.

Sik

→Desplazamiento del punto de aplicación de la incógnita “Xi” en la

dirección “Xi”; debido a la acción de la carga “ Xk = 1” (Trabajo virtual o carga unitaria).

Δ1p

→Desplazamiento del punto de aplicación de la incógnita “ Xi” debido a la

 = ∫ ∗   = ∫  ∗  

acción de la carga externa.


22


EJEMPLO N° 01: Resolver la siguiente estructura:

w A

B

L

Primer Paso : Determinar el grado de indeterminación. 

Viga Hiperestática.

=  ...= . . . = 

*R = 6 por que posee dos apoyos empotrados *G.I. = 3 se eliminan “3” conexiones. Reacciones en los apoyos.

Segundo Paso : Planteamiento del sistema principal.

x w

A

B

2

MA = wL 2

Ay=wL

TRAMO AB: 0 ≤ X ≤ L

MAB

2

MA = wL 2

x Ay=wL


23


   =    +  =   =       ANALISIS VIRTUAL: (X1 = 1)

A

B L

MA=1 Ay = 1


1

   =    + =   = 

ANALISIS VIRTUAL: (X2 = 1)

A Ax = 1

B L

1


 =  Ing. VLADIMIR ORDOÑEZ CAMPOSANO

24


ANALISIS VIRUTAL: (X3 = 1)

L

MA=1


1

 = = 

CALCULO DE LOS DESPLAZAMIENTOS Propiedad: Simetría Sik = Ski

 = ∫   = ∫=>=>∫ + ∫=>   +  ∫    +         =>   ∫ =>    =>   = ∫   =>   =  = ∫  =>   =  = ∫=  =>   =  =   = ∫   =>  Ing. VLADIMIR ORDOÑEZ CAMPOSANO

25


               = ∫   =>  =    = ∫      =>  RESOLVIENDO EL SISTEMA DE ECUACIONES CANONICAS

 ++   =  ++ =   +  +   =  =   =  w 2 wL 12

2 wL wL

wL

2

2

12

L


26


EJEMPLO N° 02: Determine las reacciones de la siguiente estructura, dibuje los diagramas de momento flector y fuerza cortante. Considere EI como constante.

1.5Klb/pie

A

B s ei p 0 2

C 20pies

15pies

PRIMER PASO: Determinar el grado de indeterminación del pórtico.

1.5Klb/pie

A

B

DI

SC O

DE

TI E

RR A

(I) C

....=. =. = 

*C = 1 por que posee un disco de tierra. *G.I. = 1 se eliminan “1” conexiones. Reacciones en los apoyos.


27


SEGUNDO PASO: Planteamiento del sistema principal.

M 1.5Klb/pie A

B M

0.8X

C C M = 750 KlbPie

53° 0.6X

C

Cy=30 Klb

CALCULO DE LAS FUERZAS TRAMO AB: 0 ≤ X ≤ 20

TRAMO CB: 0 ≤ X ≤ 25

   =    = .   = 

ANALISIS VIRTUAL (X1=1) TRAMO AB: 0 ≤ X ≤ 15

 = 

TRAMO CB: 0 ≤ X ≤ 10

 = .   = ∫   +∫.   => .  = ∫ ∗ .   +∫ . ∗   

DESPLAZAMIENTO:


28


=>   REEMPLAZANDO EN LA ECUACION CANONICA

22041.667X1 = 405000 X1= 18.374 Klb↑ CUARTO PASO: Diagrama de Momento Flector

 =∗= ... +.   =  →   .    ==→→ .. ..  ==→.. .      .     =  → . .  = →→ ∗. = .∗    =  =→.. ..  ==→→..  .   = .  =   . .   =  = . 

QUINTO PASO: Diagrama de Fuerza Cortante

Constante

MOMENTO MAXIMO


29


CUESTIONARIO RESUELTO I)

¿La carga muerta depende del peso específico del material y del volumen del elemento estructural? Verdadero. 

Como se sabe la carga muerta es el peso propio del elemento

 = ∗ ∀  = Peso especifico del material. ∀ = Volumen del elemento estructural.  =   ó estructural, es decir:





II)

¿La rigidez “k” es la capacidad que tiene una estructura para oponerse a la

deformación ante la acción de una fuerza o sistema de fuerzas; y se mide como la relación 

III)

? Falso.

La fórmula expresada al final de la proposición es la de la flexibilidad.

¿Según la norma de cargas E – 020, la carga viva para viviendas es de 220 kg/m2? Falso. 

IV)

La carga viva para viviendas es de 200 kg/m2

¿La función principal de las placas es resistir las cargas verticales de gravedad? Falso. 

Su función principal es resistir las cargas laterales por sismos y/o vientos.

V)

VI)

¿El peso específico del acero estructural es 2,4 TON/m3? Falso. 

Concreto = 2,4 TON/m3.



El peso específico del acero estructural es de 7,8 TON/m3.

¿En una columna, se colocan los estribos menos espaciados en la parte superior e inferior, debido a que producto de un sismo, se generan grandes esfuerzos en dichas zonas? Verdadero.

VII)

¿Una estructura es un armazón que soporta únicamente cargas verticales de gravedad, es decir muertas y vivas? Falso. 

VIII)

Soporta también cargas horizontales (Sismos/Vientos).

¿En todo proyecto estructural en zona sísmica se exige el control del desplazamiento horizontal? Verdadero. 

Está estipulado en la norma de diseño sismo resistente E– 030 / Art 15.1.


30


IX)

¿Las zapatas aisladas se deben utilizar en zonas sísmicas con suelos blandos, debido a que distribuye los esfuerzos por una gran área? Falso. 

X)

Porque las zapatas aisladas se deben utilizar en suelos rígidos.

¿La evolución de los apoyos se ha caracterizado por el empleo de nuevos materiales como los elastómeros (NEOPRENO) y el poli tetrafluoretileno (TEFLON), metales de alta resistencia, asi como la combinación entre los

anteriores? Verdadero. Todos los anteriores, se emplean en la construcción de puentes. 

TIPOS DE FALLA: FALLA DUCTIL: La fractura dúctil de un metal tiene lugar después de una intensa deformación plástica. Si consideramos una probeta redonda y se aplica un esfuerzo a la probeta tal que exceda su resistencia máxima a la tensión, y se mantiene suficiente tiempo, la probeta se fracturará. En la práctica, las fracturas dúctiles son menos frecuentes que las frágiles, y su principal causa es el exceso de carga aplicado a la pieza, que puede ocurrir como resultado de un diseño erróneo, una fabricación inadecuada o un abuso (someter la pieza a niveles de carga por encima del soportado). Llegado a un punto del ensayo, las deformaciones se concentran en la parte central de la probeta apreciándose una acusada reducción de la sección diametral, momento a partir del cual las deformaciones continuarán acumulándose hasta la rotura de la probeta por esa zona. Esta zona de sección reducida es la que se conoce con el nombre de estricción. El alargamiento de rotura, εu(%), es el incremento de longitud producido en una probeta de acero una vez finalizado el ensayo de tracción. Se determina juntando los dos trozos de material ensayado generados tras la rotura y midiendo, sobre una longitud previamente establecida, múltiplo del diámetro de la sección inicial, el aumento de longitud que se ha producido, expresado en porcentaje. El valor de dicho múltiplo varía de unos países a otros. En España se toma igual a 5 diámetros.


31


La ductilidad del acero aumenta con el incremento del alargamiento. La reducción en área también se determina a partir de las mitades rotas de la muestra bajo tensión, midiendo para ellos el área transversal mínima y con la fórmula:

A0=área transversal srcinal A1=área transversal final El índice de tenacidad, Id, es un índice adimensional para cuantificar la ductilidad del acero. Relaciona la energía total absorbida por el acero durante el ensayo de tracción hasta la rotura, suma de la energía elástica y plástica, con la energía elástica, es decir:

Siendo:

EE la energía elástica, en N/mm2 EP la energía plástica, en N/mm 2


32


La ductilidad del acero aumenta con el incremento del índice de tenacidad. La curva de tracción que se obtiene para una rotura dúctil es del tipo de la siguiente:

La estricción es la responsable del descenso de la curva tensión-deformación. Realmente, las tensiones no disminuyen hasta la rotura, que es lo que aparece representado en la última parte de la curva, en el tramo descendiente, sino que lo que se representa es el cociente de la fuerza aplicada (que siempre va creciendo) entre la sección inicial, y cuando se produce la estricción la sección disminuye, con lo cual la curva ya no tiene los mismos valores de referencia, efecto que no se tiene en cuenta en la representación gráfica. Los materiales frágiles no sufren estricción ni deformaciones plásticas significativas, rompiéndose la probeta de forma brusca. En un ensayo de tracción puede observarse que la fractura dúctil empieza con nucleación, crecimiento y coalescencia de microvacíos en el centro del espécimen. Se forman microvacíos cuando una tensión elevada causa la separación del material en los bordes de grano o en las interfases entre metal e inclusiones. Conforme aumenta la tensión local, los microvacíos crecen y se agrupan formando cavidades


33


mayores. Finalmente el área de contacto metal-metal es demasiado pequeña para soportar la carga y se produce la fractura. La deformación por deslizamiento contribuye a la fractura dúctil de un metal. Se sabe que el deslizamiento se produce cuando el esfuerzo cortante resultante alcanza un valor crítico. Estos esfuerzos son más elevados según planos que forman un ángulo de 45º en relación con la tracción aplicada. Estos dos aspectos de la fractura dúctil le dan a la superficie de rotura unas características especiales. En secciones gruesas de metal, son de esperar evidencias de estricción, una porción importante de la superficie de fractura aplanada, ya que ahí primero empezaron los microvacíos a nuclearse y a agruparse, y un pequeño labio de corte, donde la superficie de fractura forma un ángulo de 45º con el esfuerzo aplicado. El labio de corte, indicando que se produjo deslizamiento, le da a la fractura una apariencia de copa y cono. La simple observación macroscópica de esta fractura puede ser suficiente para identificar el modo de fractura dúctil.

FALLA BALANCEADA: La falla balanceada ocurre cuando simultáneamente el acero llega a su esfuerzo de fluencia y el concreto alcanza su deformación unitaria máxima de 0.003 en compresión. Este criterio es general y se aplica a secciones de cualquier forma sin acero de compresión o con él.

El porcentaje de acero balanceado para vigas rectangulares simplemente armadas se calcula con la siguiente expresión:

Donde: pb : porcentaje de refuerzo balanceado.

FALLA FRÁGIL: La fractura frágil tiene lugar sin una apreciable deformación y debido a una rápida propagación de una grieta. Normalmente ocurre a lo largo de planos cristalográficos específicos denominados planos de fractura que son perpendiculares a la tensión aplicada. La mayoría de las fracturas frágiles son transgranulares o sea que se propagan a través de los granos. Pero si los límites de grano constituyen una zona de debilidad, es posible que la fractura se propague intergranularmente. Las bajas temperaturas y las altas deformaciones favorecen la fractura frágil.


34


Superficies dejadas por diferentes tipos de fractura. a) Fractura dúctil, b) Fractura moderadamente dúctil, c) Fractura frágil sin deformación plástica

RELACION ENTRE FUERZAS Y DESPLAZAMIENTOS Para definir la relación entre fuerzas y desplazamiento de cualquier sistema estructural, es necesario utilizar las propiedades elásticas y geométricas del material dado y los conceptos de equilibrio y compatibilidad.

P K

→ Representa las cargas.

{} = {}∗ {}

→ Representa la rigidez de la estructura, la rigidez tiene unidades de

fuerza por longitud y puede definirse como la fuerza necesaria para mantener el elemento en una unidad de desplazamiento. Esta relación es la base para el método de las rigideces. d

→ Vector de desplazamiento.

{}+ {}∗{} = 0

U

→ Representa los desplazamientos debido a las cargas externas.

f

→ Define la flexibilidad de la estructura, dada en unidades de longitud

por fuerza. Puede considerarse que un coeficiente de flexibilidad es el desplazamiento generado por una carga unitaria. Esta relación es la base para el método de las fuerzas. R

→ Indica las redundantes.


35


MATRIZ DE FLEXIBILIDAD

11 12 12 {} = 1 ⋮222

⋯⋱ 12⋮  ⋯ 

NOTA: Este método consiste en romper la continuidad de las estructuras eliminando de esta las redundantes (Ecuaciones o Incógnitas que exceden las ecuaciones de equilibrio estático para lograr una estructura isostática). La solución particular se obtiene

aplicando las leyes de la estática. La Solución complementaria determina el valor de las redundantes para restablecer la continuidad. EJEMPLO N° 01: Para la estructura que se muestra determine su matriz de flexibilidad y su diagrama de momento flector. 4 KN/m 10 KN

3.00 m

3.50 m

PRIMER PASO: Determinar el grado de indeterminación de la estructura. 4 KN/m 10 KN

DISCO DE TIERRA I

...=. = 

*C = 1 por que posee un disco de tierra.


36


. . = 

*G.I. = 2se eliminan 2“ ” conexiones. Reacciones en los apoyos.

SEGUNDO PASO: Planteamiento de sistema principal. 4 KN/m 10 KN

Ax=10 Kn

M A = 54.5

Ay=14 Kn

TRAMO AB: 0 ≤ X ≤ 3

 = .   =   = 

TRAMO BC: 0 ≤ X ≤ 3.5

TRAMO DC: 0 ≤ X ≤ 3

ANALISIS VIRTUAL (X1=1)

M1 = 54.5

Ay=1 X1=1


 = .  Ing. VLADIMIR ORDOÑEZ CAMPOSANO

37


TRAMO BC: 0 ≤ X ≤ 3.5

 = +.  = 


(X2=1)

Ax=1

X2=1


TRAMO BC: 0 ≤ X ≤ 3.5


TERCER PASO: Ecuación Canónica.

 =   =   = 

S11X1 + S12X2 + Δ1p = 0 S21X1 + S22X2 + Δ2p = 0 DESPLAZAMIENTO:

 = ∫.   +∫.+.  ∫   => . Ing. VLADIMIR ORDOÑEZ CAMPOSANO

38


 =  = ∫ . ∗   +∫. +.∗  ∫ ∗   . =>  = ∫   +∫.   +∫   => .

 .    = ∫ .>  .   +∫.  +. +∫    =   = ∫ .   +∫ +∫    => . REEMPLAZANDO EN LA ECUACION CANONICA

49.5X1 + 34.125X2 = 241 34.125X1 + 51.042X2 = -489.78 X1= -11.76 X2=3.24 CUARTO PASO: Diagrama de Momento Flector

 = ∗ .+= .. . .+.   ==→→ ..    ==  →→ ..    ==  →..  +.  ==.→→→...    = =→.   Ing. VLADIMIR ORDOÑEZ CAMPOSANO

39


 ==  →→ ..    =  → . 

9.72

9.72

-6.947

13.333

0

OTRAS SOLICITACIONES: Aparte de las cargas descritas, existen otras solicitaciones que pueden comprender a la estructura y que por lo tanto deben contemplarse en el diseño, asentamiento de los apoyos, el cambio uniforme o diferencial de temperatura, los empujes de tierra, el deslizamiento del suelo, tenciones residuales, los pre-esfuerzos, el fuego, las supresiones de agua, las contracciones por secado del concreto, etc. ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS Consideraremos a la estructura como un conjunto discreto de elementos en el que las juntas se ubican en la intersección de ejes longitudinales de los miembros, que a su vez están en equilibrio estable bajo la acción de cargas externas. Esta concepción de la estructura es muy ventajosa, pues permite su representación matemática en forma matricial sentando las bases para un proceso sistemático y computarizado. Las fuerzas y parejas de momentos que actúan sobre una estructura se clasifican en dos tipos: Fuerzas Externas y Fuerzas Internas. FUERZAS EXTERNAS: Las fuerzas externas se clasifican a su vez en fuerzas externas aplicadas y en fuerzas de reacción generadas en los apoyos. Las fuerzas aplicadas usualmente denominadas acciones o cargas, tienden a ocasionar desplazamientos en la estructura y son normalmente valores conocidos.


40


Las fuerzas de reacción o reacciones son fuerzas ejercidas por los soportes de la estructura, que tratan de impedir el movimiento del conjunto y de mantener el equilibrio. Las reacciones son normalmente incógnitas y deben determinarse analíticamente. FUERZAS INTERNAS: Las fuerzas internas son fuerzas y momentos que se generan en los miembros bajo la acción de fuerzas externas. Tiene igual magnitud pero de seguro contrario. No aparecen en las ecuaciones de equilibrio de la estructura, ya que se anula entre sí. Las fuerzas internas se determinan aplicando la ecuación de equilibrio estático en cada miembro de la estructura. W - Carga Aplicada Deformada

Dx

Ax

MD

MA Ay

Dy

N.J. = N° de Juntas o N° de Nodos N.M. = N° Miembros o N° Elementos GRADOS DE LIBERTAD Los grados de libertad de una estructura se definen con el número mínimo de parámetros necesarios para describir de manera única la configuración deformada de la estructura. Estos parámetros pueden ser ciertos desplazamiento y rotaciones en diversos puntos pre seleccionados de la estructura denominados juntas o nodos, que tienen lugar alrededor y según la dirección de los ejes cartesianos x, y, z y en los que se discretizado o concretado las mazas del sistema estructural en las juntas. En un sistema estructural espacial cada masa tiene 6 posibles grados de libertad. En el caso de sistemas estructurales planos típicos cada junta posee 3 grados de libertad: Una rotación alrededor del eje “z” normal al plano y dos desplazamientos según las

direcciones cartesianas “x, y”.


41


#. . . . = #....#...


42


Ejemplo: Determinar el #G.D.L.L en la siguiente estructura. 3

2 2

1

3 2

NJ = 3 NM = 2 #G.D.L.T. = 3*(3) = 9

1

#G.D.L.R. = 3*(2) = 6 #G.D.L.L. = 3

1 Vector Desplazamiento (r) o Grado de Libertad.

r1 =

1 0 0

{ }

r2 =

0 1 0

{ }

r=1 r=1

r3 =

0 0 1

{ } ?=1


43


Ejemplo: Para la siguiente armadura determine el #G.D.L.L.

4

8

3

1

3

5

6

1

13

8

12

10

5

4

2

11

11

6

1

2

9

7

2

7

10

7

5

3

12

9

4

6

8

NJ = 8 NM = 13 #G.D.L.T. = 8*(2) = 16 #G.D.L.R. = 2*(2) = 4 #G.D.L.L. = 12 Ejemplo: Para la siguiente viga determine el #G.D.L.L.

2 1

1

3 2

4 3

NJ = 4 NM = 3 #G.D.L.T. = 4*(2) = 8 #G.D.L.R. = 2*(1)+1*(3)+1*(1) = 6 #G.D.L.L. = 2 NOTA: Se restringe el eje axial debido a que esta estructura tiene que ser estable.


44


Ejemplo: Determine el #G.D.L.L. de la siguiente estructura espacial. Considere la Simetría.

NJ = 27 NM = 42 #G.D.L.T. = 142 #G.D.L.R. = 54 #G.D.L.L. = 108

METODO DE LA RIGIDEZ El método de la rigidez considera a la estructura como un ensamblaje de elementos (Vigas, columnas, placas) interconectadas en sus extremos. Si los desplazamientos en los extremos de los miembros son conocidos, es posible entonces determinar las fuerzas y momentos en sus extremos como fuerza-desplazamiento. Se centrara la atención en el análisis de estructuras compuestas por miembros unidireccionales, rectos y prismáticos. En un sistema estructural de este tipo las juntas se consideran ubicadas en los puntos de intersección de los ejes de gravedad o centroide de las secciones de los miembros. Las juntas también pueden estar ubicadas en aquellos puntos en donde se observa un cambio en la dirección de los ejes, un cambio brusco de sección de los mismos. También se consideran como juntas los puntos de apoyo de la estructura e incluso el extremo libre de un miembro en volado o aquellos puntos en donde existan fuertes cargas concentradas. 

En estructuras del tipo barra se considera el análisis debido al efecto axial o normal.


45


(-) Compresión

(+) Tracción

CONVENCION DE SIGNOS FUERZAS

2V Corte

1N Normal

M Momento Flexionante

DESPLAZAMIENTO

2N Desplazamiento Vertical

1M

Desplazamiento Horizontal

3? Pendiente, giro, rotación, desplazamiento angular.


46


RIGIDEZ POR CORTE

L

 =  ∆ L

 = ∆  = ó                = √    = ∗ / . =   . =  . = 

INERCIA – TIPO DE SECCION


47


. =  ∗   SISTEMA COORDENADO GLOBAL En todo sistema estructural existe una relación fuerza-desplazamiento. Esta relación debe estar referida a un sistema coordenado que por conveniencia será el sistema coordenado cartesiano DEXTRAL (X, Y, Z).Las rotaciones se consideran positivas cuando están orientadas en el sentido contrario a las agujas del reloj, este sistema se denotara con el nombre de Sistema Coordenado Global.

y

Altura

O x Largo

Ancho

z


48


SISTEMA COORDENADO LOCAL Usualmente las deformaciones internas de un miembro son calculadas refiriendo sus componentes según los ejes principales de inercia de la sección. Por esta razón, resulta conveniente definir un sistema coordenado tal, que para cada sección del miembro el eje “x” corresponda al eje longitudinal del miembro y los ejes “y” o “z” coincidan con los

ejes principales de inercia de la sección. El sistema coordenado así definido recibe el nombre de Sistema Coordenado Local, la rotación es positiva en el sentido contrario a las agujas del reloj. PARA ARMADURAS: Considerar en cada elemento 4 grados de libertad, 2 por cada junta.

B

A

PARA AB: 4

4

B 3

2

A

j

B 3

2 1

SISTEMA COORDENADO GLOBAL

Ai

1

SISTEMA COORDENADO LOCAL


49


PARA PORTICOS: Considerar en cada elemento 6 grados de libertad, 3 por cada junta.

l2 Barra BC:

C

B 1

2

5

C

B 2

1 4

4 6

l1 Barra BC: ANALISIS DE RIGIDEZ AXIAL

B

A

r2=1

C

K

Si se sabe que:

K

 = ....

Despejando la fuerza “ p”

CALCULO DE DEFLEXIONES: Las deformaciones en las estructuras son causadas por la acción individual o combinada de momentos flectores, fuerzas axiales y fuerzas de corte. En vigas y estructuras aporticadas con marcos rígidos, las deformaciones más importantes se producen por la acción de momentos flectores, miembros que el caso de armaduras las deformaciones dominantes están relacionadas con las cargas axiales. En vigas continuas, las deformaciones axiales son mucho más pequeñas que las ocasionadas por las fuerzas de corte pudiendo por tanto despreciarse en el módulo de efecto de las fuerzas axiales en estos elementos uno de los objetivos fundamentales del análisis estructural es determinar cómo se deforma la estructura bajo la acción de cualquier régimen de cargas externas. Esto puede lograrse mediante métodos convencionales de análisis estructural con el fin de construir un croquis analítico de la deformada de una estructura rígida o de una viga continua, bajo la acción de cargas externas, deben tomarse en cuenta las siguientes reglas: 1. Un miembro se deforma en la dirección de la carga que sobre el actúa, Se desprecian las deformaciones ocasionadas por corte y carga axial. Ing. VLADIMIR ORDOÑEZ CAMPOSANO

50


2. Las juntas de la estructura se consideran rígidas. 3. Pueden desplazarse y rotar como un cuerpo rígido, siendo la orientación relativa de los extremos de los miembros conectados a una junta, la misma antes y después de que la junta se halla desplazado. 4. El desplazamiento de las juntas depende del tipo de apoyo.

W1 Deformada

W2

F(A)

Deformada

Para dibujar la deformada se siguen los siguientes pasos. 1. Comience dibujando un croquis de la deformada de los miembros cargados incidiendo la rotación de las juntas. 2. Dibuje ahora la deformada de los miembros no cargados tomando en cuenta las rotaciones de las juntas de los miembros cargados. 3. Al menos que exista una articulación entre el miembro y la junta el desplazamiento en el extremo del miembro y la junta a la cual está conectado se desplaza de igual manera. 4. Los miembros más flexibles tienden a deformarse más que aquellos que son más



rígidas. La rigidez de los miembros dependen de la relación ( ).


51


5. Junto las vigas como las columnas conservan su longitud srcinal en su posición deformada.

ANALISIS DE LAS ARMADURAS PLANAS Primer Paso: Identificamos las juntas, elementos, G.D.L. y su respectiva dirección. Segundo Paso: Realizamos la tabla de conectividad. ELEMENTO

i j Le l m Inicio Final Long. Elemento CosƟ SenƟ

1 n E: Constante de Elasticidad.



A: Sección Transversal.

Tercer Paso: Calculo de la matriz local de cada elemento.

         =  ∗         ⋯   = [ ⋮  ⋱ ⋮ ]    ⋯  { } =   − ∗ {}

Luego ensamblamos la matriz de rigidez total de la estructura.

Cuarto Paso: Calculo del Vector Desplazamiento {d} 

Considerar en la matriz de rigidez los coeficientes de los G.D.L.L.

{f}: Vector de las fuerzas en los grados de libertad libres. Quinto Paso: Calculo de las reacciones en los apoyos.

= ∗{}{}  =     ∗{′}

Sexto Paso: Calculo de los esfuerzos de cada elemento.

{d’}: Vector desplazamiento de los grados de libertad que intervienen en el elemento.


52


Ejemplo: Calcular los asentamientos, esfuerzos de cada elemento y reacciones de la siguiente estructura.

24 Pies

7 Pies

EA

= Constante

E

= 29000 Klb/Pulg

A

= 5 Pulg

18Pies

7Pies

Primero paso: Identificar las J.M., dirección y G.D.L. 8

2

3

4

1

7

24 Pies

1

2 3 4

1

7 Pies

6

3

18Pies

2

5

7Pies


53


Segundo Paso: Tabla de Conectividad.

ELEMENTO 1 2 3



i j Le l m Inicio Final Long. Elemento CosƟ SenƟ 3 4 300 1 0 483.3333 1 4 360 0.6 0.8 402.7778 2 4 300 -0.28 0.96 483.3333

Tercer Paso: La matriz local de cada elemento será:

          = . ∗      .   .   .   .   .   .   .   .   = . ∗.. .. .. ..     = . ∗.... .... .... ....   Ensamble de Matriz de Rigidez Local. K11 = 1*(483.3333)+0.36*(402.7778)+0.0784*(483.3333) = 666.2267 K12 = K21 = 0.48*(402.7778)-0.2688*(483.3333) = 63.41334 K22 = 0.64*(402.77789+0.9216*(483.3333) = 703.2778 …

Cuarto Paso: Vector Desplazamiento

 = 663.66.421336671 703.63.2 42133778  112 ∗7550 12  = 0.06546    340.10075   0.0106546 0075 00 38.28.692667 56 =    ∗ 00  00 = 10.36.36734089 0 31. 6 389 0 [ ] [ ] [78] 0 0 0 [ 0 ] Quinto Paso: Calculo de Reacciones en los apoyos


54


Sexto Paso: Esfuerzos de cada Elemento.

    = .  ∗  =  ∗       ..      = .   =    ∗. . . . ∗..    =   ∗. . . . ∗.   = .  ECUACION DE MANEY A) Para Barra Empotrada – Empotrada L

 =  2Ɵ+Ɵ3+..  =  Ɵ+2Ɵ+3+..

B) Para Barra Empotrada – Articulación A

B

 =  Ɵ +..  =  MATRIZ DE RIGIDEZ METODO DIRECTO

 =  |.⋯ .| ⋮. ⋯⋯⋯⋱⋮.  [⋮ ⋯⋱⋮  ⋮ ⋯⋱⋮ ] Ing. VLADIMIR ORDOÑEZ CAMPOSANO

55


MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL

 = ∗ − ∗

Ejemplo: Determinar la matriz de rigidez lateral de la siguiente estructura. 1

V1

2

3

C2 L1

L3

C1

L2

F’c = 210 Kg/cm2

C1 = 30 * 50 cm * cm C2 = 50 * 50 cm * cm V1 = 30 * 60 cm * cm

Primer Paso: Analisamos los G.D.L. y Vector Desplazamiento. r1 =

1 0 0

{ }

K11 K21

K31

 =  (2 ∗ 0+0 3 11) = 6 6  =  (0 +2 ∗0 3 ) =  Ing. VLADIMIR ORDOÑEZ CAMPOSANO

56


6 6 +    =   = 12  =  2 ∗1+03∗0  = 42  = 1 +2∗03∗0  =   = 6 

MATRIZ DE RIGIDEZ TOTAL DE LA ESTRUCTURA Propiedades:

 = ∗ =     = ∗ =     =  = .    13998 = =√  = .   / 12460. 6 029 636878. 0 797 2717133. 2717133. 636828.017973998112217598, 391267172.1963 391267172.8126 1688245390. MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL

636828.017973998 12217598.8126 1688245390. 391267172.1963 − ∗2717133.  = 12460.6029636828.0797 2717133.13998∗1391267172.

 = 8687.5457 


57


Ejemplo: Determinar todos los desplazamientos, reacciones y los esfuerzos de barras conjuntas para la armadura que se muestra en la figura. E = 200 GPa, EA = Cte., A = 1500 mm2

3m

3m

m

4

m

5

Primer Paso: Identificamos los G.D.L. y su respectiva dirección de c/elemento. 6 4 5

1

2

8 1

1

7 3

2

2 4 3 3

Segundo Paso: Tabla de Conectividad ELEMENTO 1 2 3

i j Le l m Inicio Final Long. Elemento CosƟ SenƟ 1 4 500 -0.8 0.6 3 1 500 0.8 0.6 1 2 500 1 0


 60 60 60

58


Tercer Paso: Determinar la rigidez de c/elemento:

  .  .  .   .   = ∗ .. .. .. ..   . . . .  = ∗ .. ..  .. ..           = ∗        

Cuarto Paso: Ensamblamos la rigidez total de la estructura.

 = 0.64∗ 60+0.64 ∗60+1 ∗60 = 136.8  = 0.36∗=060+0.36 ∗60 = 43.2  = 136.018 243.02  112 ∗ 800  12 = 1.805185 …

Quinto Paso: Cálculo del Vector Desplazamiento.

Sexto Paso: Cálculo de las reacciones en los apoyos R3 R4 R5 R6

1 -38.4 -28.8 -38.4 28.8

R7 R8

-60 0

2 3 4 5 6 -28.8 38.4 28.8 0 0 -21.6 28.8 21.6 0 0 28.8 0 0 38.4 -28.8 -21.6 0 0 -28.8 21.6 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

7 0 0 0 0

8 0 0 0 0

0 1 -1.85185 2 53.33328 3 0 39.99996 4 3 0 -53.33328 5 * 4 - 0 = 0 39.99996 6 5

60 0 7 0 0 8

0 0 0

6 7 8

→ ↑ ← ↑

0 0

Séptimo Paso: Esfuerzos. 0 -1.85185 = R1 200/5000 0.8 -0.6 -0.8 0.6 * 0 0.04444 KN/mm2 0


59


0 0 = R2 200/5000 -0.8 -0.6 0.8 0.6 * 0 -0.04444 KN/mm2 -1.85185 0 -1.85185 R3 200/5000 -1 0 1 0 *

=

0 0

0 KN/mm2

Ejemplo: Determine la fuerza en cada miembro de la armadura mostrada, si el soporte en el nudo D = 25 mm (↓). Considere EA = 8x10 3 KN

8

2 1

7

1

1

3

2

3m

3

6

4 2

5

3

4

4m Primer Paso: Tabla de Conectividad ELEMENTO 1 2 3



i j Le l m Inicio Final Long. Elemento CosƟ SenƟ 1 3 4000 1 0 2 3 4 5000 -0.8 -0.6 1.6 2 3 3000 0 1 2.6667

Segundo Paso: Rigidez local de cada elemento.

K1 =

2

7 1 0 -1 0

8 0 0 0 0

1 -1 0 1 0

2 0 0 0 0

7 8 1 2


60


K2 =

1.6

1 0.64 0.48 -0.64 -0.48

2 0.48 0.36 -0.48 0.36

5 -0.64 -0.48 0.64 0.48

6 -0.48 0.36 0.48 0.36

1 2 5 6

3 0 0

4 0 1

1 0 0

2 0 -1

7 8

0 0

0 -1

0 0

0 1

1 2

K1 = 2.6667

Tercer Paso: Calculo del Vector Desplazamiento. 1 2 3 4 5 6 7 8 0 3.024 0.768 0 0 -1.024 -0.768 -2 0 0 0.765 3.2427 0 -2.667 -0.768 -0.576 0 0 R3 0 0 0 0 0 0 0 0 R4 0 -2.667 0 2.667 0 0 0 0 = R5 -1.024 -0.0768 0 0 1.024 0.768 0 0 R6 -0.768 -0.576 0 0 0.768 0.576 0 0 R7 -2 0 0 0 0 0 2 0 R8 0 0 0 0 0 0 0 0

1 d1 2 d2 3 0 4 -2.5 * 5 0 6 0 7 0 8 0

3.024d1 + 0.768d2 = 0 0.768d1 + 643.2427d2 + 2.667*-2.5 = 0 d1 = 5.5556 mm → d2 = 21.87503 mm ↓

Cuarto Paso: Determinar las Fuerzas.

FAB

=

2

1 0 -1 0

0 0 0 0

-1 0 1 0

0 0 0 0

0.64 0.48 -0.64 -0.48

FBC

FDB

=

1.6

= 2.6667

0 -11.1112 7 0 0 8 * = 5.5556 11.1112 1 -21.87503 0 2 5.5556

-11.1112 1

0.48 0.36 -0.48 -0.36 * -21.87503 = -8.3333 2 -0.64 -0.48 0.64 0.48 0 11.1112 5 -0.48 -0.36 0.48 0.36 0 8.3333 6 0 0 0 0

0 1 0 -1

0 0 0 0

0 -1 0 1

0 0 3 -2.5 -8.3333 4 * = 5.5556 0 1 -21.87503 8.3333 2


61


METODO DE COMPATIBILIDAD Este método analiza la rigidez de estructuras tipo pórtico, placa y cascarones, consiste en aplicar desplazamientos unitarios rotacionales o traslacionales y comprobar su compatibilidad de deformación en la matriz {A}: Matriz de Compatibilidad Global. i j i

e1 e2 {A}

=

}a1 }a2

j i j

e3

}a3

…

i j

en

}an

PARA ARMADURAS: L

2

1 1 -1

Ke = EA/L

-1 1

PARA PORTICOS:

1

2 Ke = 2EI/L

2 1 1 2

Ejemplo: Calcular la rigidez lateral de la estructura con el método de compatibilidad. C1 = 50 x 80 cm x cm

F’c = 210 Kg/cm2

V1 = 30 x 60 cm x cm 2

1

C2 = 50 x 50 cm x cm 2

3 3

2

3 4m

1

1

4

m

6

m

5


62


Primer Paso: Analisamos cada GDL. r1 =

1 0 0

{ } A=1

Yk 1

r2 =

0 1 0

{ } i

j

1

i

r3 =

j

1 0

0 0 1

{ } i

j j 1

0

1

i


63


i j i j i j

e1 {A}

=

e2 e3

1/4 1/4 - 1/5 - 1/5 1/4 1/4

0 1 1 0 0 0

0 0 0 1 0 1

Propiedades: E = 15000

√210

= 21.74 x 10 8 Kg/m2

IC1 = 0.02133 m4 IV1 = 0.0054 m4

IC2 = 0.00521 m4 Tercer Paso: KTotal. K1 =

1/4 1/4 2 1 1/4 0 0 0 1 * 23185710 * 1 2 * 1/4 1 0 0 0

K2 =

- 1/5 - 1/5 2 1 - 1/5 1 0 1 0 * 3913200 * 1 2 * - 1/5 0 1 0 1

K3 =

1/4 1/4 2 1 1/4 0 0 0 0 * 3666834.99 * 1 2 * 1/4 0 1 0 1

KTotal = K1 + K2 + K3 D Ɵ

D 11.0568 14.924 0.188

Ɵ

14.924 54.1978 3.9132

0.183 3.9132 14.902

Cuarto Paso: KLateral KLateral= 6893156,9792 Kg/m


64


ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS APORTICADAS

NUMERO DE GRADOS DE LIBERTAD LIBRES DE C/ELEMENTO = 6 5

2

4

1 3

6

L ANALIZANDO C/GRADO DE LIBERTAD 1 0 0 0 0 0

r1 =

{ }

r2 =

0 1 0 0 0 0

{ }

r3 =

0 0 1 0 0 0

EA/L K11 =

EA/L K41 =

K22 = 12EI/L³

K32 = 6EI/L²

K62 = 6EI/L²

{ }

K52 = 12EI/L³ K23 = 12EI/L³

K63 = 2EI/L K33 = 4EI/L K53 = 12EI/L³

0 0 0 1 0 0

r4 =

{ }

r5 =

0 0 0 0 1 0

{ }

r6 =

0 0 0 0 0 1

EA/L K14 =

EA/L K44 =

K55 = 12EI/L³

K35 = 6EI/L²

{ }

K65 = 6EI/L²

K25 = 12EI/L³ K26 = 12EI/L³

K66 = 4EI/L K36= 4EI/L K56 = 12EI/L³

Matriz de rigidez

[K]

EA/L 0 0 -EA/L 0 0 0 12EI/L3 6EI/L2 0 -12EI/L3 6EI/L2 0 6EI/L2 4EI/L 0 -6EI/L2 2EI/L = EA/L 0 0 EA/L 0 0 0 -12EI/L3 -6EI/L2 0 12EI/L3 -6EI/L2


65


[K]

=

0 A 0 0 -A 0 0

6EI/L2 0 B C 0 -B C

2EI/L 0 C D 0 -C E

0 -A 0 0 A 0 0

-6EI/L2 0 -B -C 0 B -C

4EI/L 0 C E 0 -C D

MATRIZ DE TRANSFORMACION l -m 0 L = 0 0 0

m l 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 l -m 0

0 0 0 m l 0

0 0 0 0 0 1

MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA ELEMENTO Ke = (LT.Ke’.L) ANALISIS DE PLACAS Brazo Longitudinal

Rigidez de la Placa

 =  + ∗+ +   =        = .. 

Factor de Reducción al Corte “ ”

A’ = Área de corte de la sección transversal del elemento. A’ = (A) Para sección rectangular. A’ =



(A) Para sección circular (Sólido).

Módulo de Corte

 = + Ing. VLADIMIR ORDOÑEZ CAMPOSANO

66


LINEA DE INFLUENCIA Las líneas de influencia representan el efecto que una carga móvil tiene sobre la fuerza normal, la fuerza cortante, el momento flector, una reacción o una deformación; en una sección determinada de una estructura. Para determinar la línea de influencia de una reacción, fuerza interna o deformación, se debe desplazar una carga puntual supuesta por facilidad igual a la unidad sobre la estructura y analizar su efecto sobre la fuerza interna (Reacción o deformación). La línea que une desordenadas “y”, bajo las diferentes posiciones de la carga,

representan la línea de influencia de la reacción o de la fuerza interna (Momento) correspondiente. La línea de influencia de una fuerza (Momento) interno o de una reacción de una estructura estáticamente determinada es siempre una línea recta. La línea de influencia de una fuerza (Momento) interna de una estructura estáticamente indeterminada es siempre una línea curva. COLOCACION DE LAS CARGAS PARA MAXIMOS EFECTOS 

La estructura de un punto está sometida a cargas móviles.



Los esfuerzos varían en la estructura con la magnitud de las fuerzas y con las posiciones de las mismas.



El diseño de los elementos de un puente incluye la determinación de la posición de la carga o la seria de cargas que producen el máximo efecto.



Se puede pensar en someter la estructura a una infinidad de posiciones de carga y seleccionar el máximo efecto.



Es posible emplear procedimientos definidos para conocer el máximo efecto.

FIG. (A) RA = 1 – Carga unitaria en el apoyo “A”.


67


1

L

FIG. (B) RA = 1/2 – Carga unitaria en el centro o claro de la viga. 1

L/2

L/2

FIG. (C) RA = 0 – Carga unitaria en el apoyo B. 1

L

LINEA DE INFLUENCIA DE REACCION TREN DE CARGAS

q1 q2

q3

qn

A

B

LUZ DE PUENTE LINEA DE INFLUENCIA RA 1

0

LINEA DE INFLUENCIA RB

1

0


68


LINEA DE INFLUENCIA DE ESFUERZO POR CORTE La línea de influencia del esfuerzo de corte se obtendrá tomando las zonas sombreadas de los 2 diagramas de líneas de influencia de las reacciones en los apoyos. E

A

B E

M

N

L.I. de RA 1

1

L.I. de RB

LINEA DE INFLUENCIA DEL MOMENTO FLECTOR E

A

B

M

E

N

Ordenada

G = M*N G

TEOREMA DE BARRE

M+N

 =  + + +⋯+ 


69


EJEMPLO: Determine el momento máximo por carga viva en el puente debido a la carga del camión mostrado. A la vez determine la cortante máxima absoluta. La luz del puente 80 pies. 15 Klb

20 Klb

20'

8 Klb 6 Klb

8'

4'

B

A L = 80 ies

Primer Paso: Para el cálculo del momento máximo, determine el valor de “n” para ubicar el tren de cargas y obtener el máximo efecto. 6 Klb 8Klb 20Klb

15Klb

nn A

B

FR=49K L/2

L/2 4'

8'

20'

TEOREMA DE BARRE

( +) = (  )+(  )+(  )+  + n = 1.6735 pies


70


6K

K 8

4' 26.3265' 38.3265'

20 K

15 K

20'

8'

21.6735' 41.6785'

c

a b G

. = ... =>  = .  . = .. =>  = . . = . =>  = . . á = ..+. á = .+  ..+.


71

APUNTES-DEL-CURSO.docx

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