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APUNTE TEÓRICO DE ANÁLISIS MATEMÁTICO II Profesora: Lic .Beatriz Fernández Auxiliar docente: Guillermo Raúl Igne Año: 2012

Apunte realizado por la Licenciada Beatriz Fernández y compilado por Guillermo Raúl Igne.

Universidad Tecnológica Nacional Regional Haedo Haedo Análisis Matemático Matemático II

Ecuación Diferencial Es una ecuación que contiene variables y sus derivadas o diferenciales. dy = 2 . ( x + y ) y ′ = 2. ( x + y ) dy = 2 ( x + y ) dx Ej. dx

Ecuación diferencial ordinaria Es aquella en la cual hay una única variable independiente relacionada con las derivadas de la variable dependiente. Ecuación diferencial de 1er orden Expresión general: f ( x ; y ; y ′ ) = 0 Solución general: Es una relación funcional entre las variables, que contienen un parámetro o constante arbitraria y debe satisfacer la ecuación diferencial. ϕ ( x;y;c ) = 0

Solución particular: Se obtiene a partir de la solución general por una determinación del parámetro Ejemplo: Hallar todas las curvas tal que en cada punto (x ;y), la pendiente de la tangente sea igual a la abscisa de x. Determinar la curva que pasa por po r el punto (3 ;2) Tg α α = y ′ ⇒ y ′= x

⇒ ∫ dy = ∫ x dx ⇒ y =

E cuación x 2

2

+ c

diferencia l Solución

⇒

dy dx

= x

general

9 5 x 2 5 En (3;2 ) : 2 = + c ⇒ c = − ⇒ y = − Solución part icular 2 2

En la gráfica vemos la familia de parábolas, donde la que más resalta corresponde a la solución particular. 2


Orden de la ecuación diferencial Es el de la derivada de mayor orden Ecuación diferencial de 2 DO orden  exp resión general f ( x; y; y ′; y ′′ ) = 0 ϕ ( x; y; c 1 ; c 2 ) = 0  solución general ϕ

Ecuación diferencial de orden n

exp resión general f ( x; y; y ′; y ′′; y ′′′;..; y ( n ) ) =  ϕ ( x; y; c 1 ; c 2 ; c 3 ;...; c n ) = 0  solución general ϕ

Formación de ecuaciones diferenciales La ecuación ϕ ( x;y;c ) = 0 corresponde a una familia de curvas y tiene asociada una ecuación diferencial que se obtiene derivando respecto de x, y eliminando el parámetro entre las dos ecuaciones. Si la ecuación es deriva n veces y se eliminan eliminan los n parámetros. parámetros. ϕ ( x;y;c ; c ; . . . . . c ) se deriva 1

2

n

Ecuación diferencial a variables separables Una ecuación diferencial de 1er orden la podemos expresar como f (x ;y ;y’)=0 o f(x ;y) dx + g(x ;y) dy = 0. Pero en el caso especial en que la función f solo depende de x, y la función g solo depende de y es decir: f(x) dx + g(y) dy =0 se denomina a variables separadas. Pero si dichas funciones dependen de 2 variables, pero se pueden expresar como un producto de funciones que solo dependen de una variable, entonces se denomina a variables separables, es decir: f 1 ( x ).f 2 (y ).dx + g 1 ( x ).g 2 (y ).dy = 0 Resolución :

f 1 ( x ) g (y ) .dx = − 2 .dy g 1 ( x ) f 2 (y ) f 1 ( x ) g 2 (y ) dx c + = − . ∫ g 1 ( x ) ∫ f 2 (y ) .dy 3

Universidad Tecnológica Nacional Regional Haedo Análisis Matemático II

Trayectorias ortogonales Una trayectoria se dice ortogonal 1 a una familia de curvas, cuando la curva que la representa es normal a las curvas de la familia. Recordando que la condición de perpendicularidad entre dos curvas es que las respectivas pendientes de la tangentes en el punto de intersección sean reciprocas y opuestas. Dada F ( x ; y ; c ) = 0 Ecuación de la flia de curvas

↓ Derivar y eliminar el parámetro ϕ ϕ ( x; y; y ′ ) = 0 Ecuación diferencial de la flia de curvas ↓ Cambiar y' por -

1 y'

 1   ϕ ϕ  x; y;-  = 0 Ecuación diferencial de tray. ortogonales a la flia de curvas y   

↓ Resolver la ecuación diferencial f ( x; y; c ) = 0 Ecuación de la flia de tray.ortog onales a la flia de curvas

En la gráfica vemos las trayectorias ortogonales a la familia de parábolas que pasan por el origen, estas familias son elipses con centro en el origen (Grafica realizada con Mathematica) 2

1

-4

-2

2

4

-1

-2

1

A los 74 años Isaac Newton resolvió un problema que Leibnitz había propuesto a la comunidad matemática de Europa y comento:”pienso constantemente en el problema y poco a poco se empiezan a aclarar las ideas”.El problema era encontrar las trayectorias ortogonales a la familia uniparamétrica de curvas. Cuando Johann Bernoulli, amigo de Leibnitz, vio la solución exclamo: “reconozco al león por su garra” 4


Ecuaciones diferenciales homogéneas de 1 er orden Son ecuaciones que pueden transformarse en ecuaciones a variables separables mediante un cambio de variables Son de la forma: y ′ = F   y  (1)   x 

Resolución: z =

Se

efectúa

y ⇒ y = z. x ⇒ y ′ = z ′. x + z x

un

cambio

de

variables:

Reemplazando en (1): z ′ . x + z = F ( z )

Se resuelve a variables separables dz dz dx dz ⇒∫ . x = F (z ) − z ⇒ ∫ z ′. x = F (z ) − z ⇒ =∫ + C = Ln x dx F (z ) − z x F (z ) − z 1

∫

⇒ x = e

dz +C 1 F ( z )− z

∫

= e .e C 1

dz F ( z )− z 1 d ( y / x )

∫ y F ( y / x )− y / x = = ⇒ Re emplazando e C ; z = x C .e x

C 1

1

Ecuaciones diferenciales lineales de 1 er orden Una ecuación diferencial de la forma: y ′ ++ y P( x ) = Q( x ) (1 ) en la cual la variable dependiente y su derivada solo figuran con exponente uno se llama lineal. Si Q(x)=0 se denomina lineal homogénea (se resuelve a variables separables) Si Q(x) ≠ 0 se denomina lineal no homogénea. Resolución (Método de variación de los parámetros) Consideramos la ecuación homogénea: y ′ + + y P ( x) = 0 ⇒

dy + y P ( x ) = 0 dx 5


⇒

dy dy = − y P ( x ) ⇒ = − ∫ P ( x ) dx ⇒ Ln y = - ∫ P ( x ) dx + C 1 ⇒ dx y

− ∫ P ( x ) dx + C 1 ⇒ y = e ⇒ y = e − ∫ P ( x ) dx .e C 1 4 24 3

1

Siempre

po sitivo

Llamamos C = e C 1 ⇒

y = C .e − ∫ P ( x ) dx 14 4 244 3

Solucion general de la homogénea

Este método consiste en considerar variable el parámetro C, es decir proponer la solución de la ecuación (1) de la siguiente forma: y = v ( x ).e ∫

− P ( x ) x − ∫ P ( x ) d x

Llamamos u( x ) = e

⇒ y = u (x ).v ( x )

(2 ) Debemos obtener v(x) sabiendo que si (2) es solución de la ecuación diferencial debe satisfacerla. Derivamos y reemplazamos en (1): y’=u’(x).v(x)+u(x).v’(x) entonces en (1) u’(x).v(x)+u(x).v’(x)+P(x).u(x).v(x)=Q(x)

Sacamos v(x) como factor común: v(x).[u’(x)+P(x).u(x)]+u(x).v’(x)=Q(x) Comparando el corchete con la ecuación considerada homogénea, vemos que dicho corchete se hace cero por ser u(x) una solución particular de la homogénea (si c=1) Entonces nos queda: u ( x ).v ′ ( x ) = Q ( x ) ⇒ u ( x ).

⇒

∫ dv = ∫ Q ( x ). e ∫

P ( x ) dx

− P ( x ) dx dv Q ( x ) = Q ( x ) ⇒ dv = .dx pero u ( x ) = e ∫ dx u ( x )

dx ⇒ v ( x ) =

∫ Q ( x ). e ∫

P ( x ) dx

dx + C

Reemplazando en (2) y = e ∫

Q ( x ).e ∫ P ( x ) dx dx + C   

− P ( x ) dx

Solución general 6


Ecuación de Bernoulli Una de las ecuaciones diferenciales fácilmente reducibles a lineal es la llamada ecuación de Jacques Bernoulli 2 . Su diferencia con la lineal es que en el 2 do miembro aparece el factor: y n Es de la forma: y ′ ++ y P( x ) = y Q ( x ) con n ≠ 0; n ≠ 1 Si n=0 es una lineal, si n=1 es a variables separables. Resolución Se divide por y n : y ′ . y − + y − . P( x ) = Q( x ) ( 1) Se utiliza el cambio de variables: z = y − ⇒ z ′ = (1 − n ).y − .y ′ n

n

1 n

1 n

Reemplazo en (1) :

z ′ 1 − n

n

en z + z . P( x ) = Q( x ) lineal

Ecuación diferencial lineal a coeficientes constantes de 2 do orden y homogéneas Responde a la expresión: a y ′ ′ ++ a y ′ ++ a y = 0 (1) con a ≠ 0 Propiedad: Si y 1 e y 2 son soluciones particulares de (1) si satisfacen la condición W ≠ 0 , entonces: y=C 1.y 1+C 2. y 2 es la solución general de la ecuación (1) 0

1

2

W: Wronskiano o determinante de Wrónski 3 W=

0

y1

y 2

y 1′

y 2 ′

Resolución Ensayamos la solución y= er x y vemos si satisface la ecuación, derivamos: y’=r.er x ; y ’’=r 2 er x , reemplazamos en la ecuación

2

La familia Bernoulli, de Basilea, Suiza, produjo 8 matemáticos importantes en tres generaciones. Los dos primeros en dedicarse a la matemática fueron los hermanos Jacob (1654-1705) y Johann(1667-1748). Eran amigos de Leibnitz y fueron promotores entusiastas de su versión del cálculo infinitesimal. Johann fue contratado como docente por el marqués Guillaume Francois Antoine L´Hopital, quien publico sus enseñanzas en un libro que figuraba como autor. El libro contiene una re gla muy conocida como ”Regla de L’Hopital. Al morir el marqués , Johann reivindicó su partenidad de la regla que sigue llevando el nombre del plagiario 3 Józef M. Hoene Wrónski (1776-1853) fue un matemático y filosofo polaco. También se dedico a la física y economía. 7

Universidad Tecnológica Nacional Regional Haedo Análisis Matemático II r x 2 r x r x

a 0 r e + a 1r e + a 2 e = 0 ⇒ e r x (a 0 r 2 + a 1r + a 2 ) = 0

Como er x nunca es cero, entonces debe ser 0 el paréntesis, es decir que r debe satisfacer la ecuación cuadrática: a r + a r + a = 0 que se denomina ecuación característica asociada a a y ′ ′ ++ a y ′ ++ a y = 0 , resolviendo la ecuación característica encontramos dos valores de r que son las raíces de la ecuación y que las expresamos como r 1 y r 2. Tenemos 3 posibilidades. 2

0

1

2

0

1

2

1) Reales y distintas: r 1 ≠ r 2 Las dos soluciones serán y = e solución general de (1) será :

r1 x

1

; y 2 = e r x , como 2

y = C1 e r

1 x

el W ≠ 0 entonces la

+ C 2 e r x 2

2) Reales e iguales : r 1 = r 2 Las dos soluciones serán iguales y = y = e ⇒ W = 0 . Proponemos y = x . e para que W ≠ ,probamos si satisface la ecuación r 1 x

1

2

r 1 x

2

y 2 ′ = e r 1 x + r 1 xe r 1 x y 2 ′ ′ = r 1 e r 1 x + r 1 e r 1 x + x r 1 e r 1 x = 2 r 1 e r 1 x + x r 1 e r 1 x 2

2

Reemplazan do en (1 ) y sacando e 1 como factor común r x

e r 1 x .(2 a 0 r 1 + xa 0 r 1 + a 1 + a 1 x r 1 + a 2 x ) = 0 2

[

]

e r 1 x x (a 0 r 1 + a 1 r 1 + a 2 ) + (2 a 0 r 1 + a 1 ) = 0 2

El primer paréntesis es igual a 0, pues r 1 es raíz de la ecuación característica y el segundo también es 0 por ser la derivada de una ecuación con raíces dobles, entonces y = x e también es solución de (1). La solución general será: r1 x

2

y = C1 e r

1

x

+ C 2 xe r x 1

3) Complejas conjugadas: r = α + βi ; r = α − βi En este caso las soluciones serán y = e ( + ) ; y = e ( − ) El W ≠ 0 , entonces la solución general: y = C . e ( + ) + C e Aplicamos la formula de Euler 1

2

α βi x

1

α βi x

2

α β i x

1

2

( α − β i ) x

(1) 8


β β ix β β ix = Cos β = Cos β e β β β x + i Sen β β β x ; e - β β β x - i Sen β β β x α x β A (1) la expresamos : y = C 1 .e α .e ββ x i + C 2 .e α α x .e − β ββ x i α x y = e α .(C 1 .e β ββ x i + C 2 .e − β ββ x i )

β Reemplazan do : y = e α α x .[C 1 .(Cos β β x + i Sen β β β x ) + C 2 .(Cos β β β x - i Sen β β β x )]

  y = e .Cos β β β x (C 1 + C 2 ) + Sen β β β x .(C 1 − C 2 )i  1 4 24 3 1 4 24 3   A B y = e α x ( A Cos β x + B Sen β x ) α α x

Ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes de 2 do orden, no homogéneas (o inhomogéneas) Son de la forma: a y ′ ′ ++ a y ′ ++ a y = f ( x ) (1) con a ≠ 0 Propiedad: la solución general de la ecuación no homogénea es igual a la suma de la solución general de la ecuación considerada homogénea, mas una solución particular de la no homogénea. 0

1

2

0

y GI = y GH + y PI

Resolución Dada la ecuación (1) hallamos primero la solución general de la considerada homogénea: a y ′ ′ ++ a y ′ ++ a y = 0 Para hallar la solución particular de la inhomogénea observamos la forma de f(x) : 0

1

2

a) Si f(x) es un polinomio de grado n, se propone un polinomio del mismo grado con coeficientes a determinar. Si se produce indeterminación, se propone un polinomio de grado n+1. Ejemplo: Si f(x)= 3 . x − 2 . x + 5 ⇒ y = a. x + b. x + c . x + d 3

3

2

p

b) Si f(x)= m.enx se propone y P= α .e si se produce indeterminación y = α . x.e (observar la solución de la homogénea) nx

n.x

p

9


Ejemplo: si f(x) = 3.e 2x

⇒ y p = α α e 2x

c) Si f(x)= m.Sen (nx) o f(x)= r. Cos (nx) o f(x)=m. Sen(nx)+ r .Cos(nx) (con argumentos iguales) y p = α .Sen(n.x ) + β β β .Cos (n.x )

Si se produce indeterminación se multiplica por x d) Si f(x) es una combinación lineal de las anteriores, la solución particular es la misma combinación lineal de las respectivas soluciones particulares. Ejemplos Si f ( x ) = 2.e −5.x + 3.x y P = α .e - 5.x + a.x + b Si f ( x ) = 2.Sen (3.x ) − 5.Cos (2.x ) y p = α .Sen (3.x ) + β .Cos (3.x ) + γ .Sen (2.x ) + δ .Cos (2.x )

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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Hasta ahora hemos trabajado con el cálculo de funciones de una sola variable. Sin embargo en el mundo real las cantidades físicas suelen depender de dos o tres variables. En estas unidades pondremos atención a las funciones de varias variables. La temperatura T en un punto de la superficie de la tierra depende en todo momento de la altitud y la de la longitud. Podemos en pensar en T como una función de dos variables x(altitud) e y (longitud) o como una función del par (x,y). Indicamos esta dependencia funcional escribiendo como T= f(x,y) Definición: Sea D ⊂ ℜ . Una función de dos variables es una relación que a cada pareja ordenada (x,y) en D(región del plano) le hace corresponder un único numero real denotado por f(x,y). El conjunto D es el dominio de f y el rango es el conjunto de valores que toma f, es decir {f ( x , y ) / ( x , y ) ∈ D} 2

La notación que se puede presentar es la siguiente: z = f(x ;y) z = z (x ;y) z =F(x ;y) Dominio: Se denomina dominio o campo de existencia o campo de definición de una función de dos variables, al conjunto de pares (x ;y) para los cuales la variable z esta definida. Ejemplos 1 Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones: a)f ( x , y ) =

x + y + 1 x − 1

b)f ( x,y ) = x.Ln( y 2 − x )

a) La expresión tiene sentido si el numerador es mayor o igual a cero y el denominador es distinto de cero. Así que el dominio es:

11


D = {( x ; y ) / x + y + 1 ≥ 0 , x ≠ 1}

La desigualdad x + y + 1 ≥ 0 describe que los puntos que están en la recta y=-x-1 o encima de ella. En tanto x ≠ 1 significa que quedan excluidos del dominio los puntos sobre la recta x=1. Su representación gráfica es una porción de plano por el cual la función esta definida. (En el gráfico la zona más oscura es la solución). b) En este ejercicio la restricción esta en que el argumento del logaritmo es mayor que cero. Por lo tanto el dominio es: D = {( x ; y ) / x < y 2 }

Curvas de Nivel Un método para representar geométricamente una función de dos variables consiste en usar las curvas de nivel. Dichas curvas se obtienen al hacer z= cte, es decir que las curvas de nivel son las proyecciones sobre el plano xy de las curvas intersección entre las superficie z = f(x ;y) y los planos z = cte. También se puede obtener las curvas de nivel haciendo x =cte o y= cte Ejemplo: Vamos a utilizar el programa Matlab para graficar no solo la función sino también sus curvas de nivel. La función que graficamos es: f ( x , y ) = x + y 2

2

La figura nos muestra el gráfico de la superficie realizada con Matlab junto con sus curvas de nivel en un mismo grafico. Debajo del grafico se ven las circunferencias que son las curvas de nivel de la superficie 12


Las curvas de nivel se utiliza en para representar mapas topográfico (Figura 1), curvas de igual temperaturas (isotermas), líneas equipotenciales.

13


Figura 1 Los mapas topográficos a menudo muestran las curvas de distinta altura. Las curvas nos brindan información, ya que generalmente es posible obtener una buena imagen de la región.

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Límite Doble Límite de una función de una variable

Limite es el valor al cual se acerca tanto como se quiera la función cuando x → x . Llamaremos L al limite de la función, si ∀ entorno de él, podemos obtener o construir un entorno reducido de x 0 / todos los x de este entorno, a través de la función f(x) caen dentro del entorno del limite. 0

Lim x → x f ( x ) = L , si ∀ε > 0, ∃ δε / ∀x ∈ 0 < x − x 0 < δ ⇒ f ( x ) − L < ε 0

15


Entorno de una función de dos variables  x − x 0 < δ 1

Entorno rectangular ( x ; y ) ∈ 

 y − y 0 < δ 2

Entorno cuadrado

 x − x 0 < δ ( x ; y ) ∈   y − y 0 < δ

Entorno circular ( x ; y ) ∈ ( x − x ) + ( y − y ) < δ 2

0

2

0

Límite Doble o Simultáneo Llamamos L al único valor al que converge la función cuando las variables independientes tienden simultáneamente y por cualquier camino al punto (x 0 ;y 0 ) 0 < x − x 0 < δ Limx→x f ( x; y ) = L, si ∀ ε > 0 ∃ δ ε / ∀( x; y ) ∈  ⇒ f ( x; y) − L < ε y →y 0 < y − y 0 < δ 0 0

Limites reiterados o sucesivos Queremos acercarnos al límite de la función mediante 2 pasos sucesivos. a) 1ero ) Dejando fija la variable independiente y, tendiendo al limite la variable x ( x → x 0 )

Es decir para cada y= cte. obtenemos sucesivas curvas de intersección entre los planos y la superficie al acercarse para cada y= cte, la variable ( x → x ) , tenemos: 0

; y ) = f (x 0 ; y ) = ϕ Lím ϕ (y ) x →x 0 f ( x 16


2 ero ) Hacemos tender

y → y 0 ,o

sea nos acercamos a L 1, a lo largo de

ϕ ϕ (y ) Lím y → y 0 ϕ ϕ (y ) = L1

Entonces : Lím y → y Lím x → x f ( x; y ) = L1 0

0

b) 1 ero ) Análogamente, dejando x= cte, tendiendo y → y

0

Limy →y f ( x ; y ) = f ( x ; y 0 ) = ϕ ( x ) 0

Limx → x ϕ ( x ) = L2 0

Entonces

Lim x → x [ Limy → y f ( x ; y ) ] = L2 0

0

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Propiedades o implicaciones de los límites 1) Si los límites reiterados son distintos, el límite doble no existe Si L1 ≠ L2 ⇒ ∃/ L

2) Si existen y son iguales los límites reiterados, esto no implica que exista el límite doble. Pero si existe, deben coincidir los tres. Si L1 = L2 ⇒ / ∃L Pero si ∃ L ⇒ L1 = L2 = L

3) Puede existir límite doble y no existir uno o ninguno de los límites reiterados. Ejemplo

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  1   en el origen   x    1  L1 = Lim y →0 Lim x →0 y.cos   = no existe   x   f ( x; y ) = y.cos 



  1   = 0 x   

L2 = Lim x →0 Lim y →0 y.cos 



  1   = 0 x   

L = Lim x →0 y.cos  y → 0

La función Cos esta acotada entre -1 y 1 , el factor y tiende a cero. Continuidad de una función de dos variables Una función de dos variables f(x ;y) es continua en un punto (x 0 ;y 0 ) si se cumple : 1) Si f ( x 0 ; y 0 ) esta definida 2 ) L = Lim x → x f ( x ; y ) existe y es finito 0

y → y 0

3 ) L = f ( x 0 ; y 0 )

Una función es continua en todo el dominio, si lo es para cada punto del mismo.

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Derivada de una función de una variable Hay dos problemas que conducen al concepto de derivada, uno físico y uno geométrico. El calculo de la velocidad instantánea y el cálculo de la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. Los problemas tienden al límite de un cociente de incrementos cuando el denominador tiende a cero. Si en una función de una variable y=f(x) damos a la variable independiente x, un incremento arbitrario positivo o negativo ∆x , es decir que pasamos del valor x a x+ ∆x , entonces la función pasa de f(x) a f(x+ ∆x ) , y recibe por consiguiente un incremento positivo , nulo o negativo que llamamos ∆y ,es decir ∆y =f(x+ ∆x )-f(x). Este incremento nos da una idea de la rapidez con que la función varia (crece o decrece), pero si queremos compararla con la variación de x, tendremos que dividirla por ∆x , formando la razón incremental variación relativa ∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ∆x ∆x

Como en cada punto la variación será diferente, para determinarla en un punto debemos hallar el límite cuando ∆x → 0 Variación instantánea

f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆y = Lim ∆x ∆x →0 ∆x

Lim ∆x → 0

Este límite se denomina derivada de la función en el punto. Si este límite existe y es finito se dice que la función es derivable en el punto. Geométricamente ∆y : Mide la pe ndiente de cada recta secante que pasa ∆x por el punto para cada ∆x dado ∆y Lim : Mide la pe ndiente de la recta tangente a la curva en el punto ∆x →0 ∆x

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Derivada de una función de dos variables Sea z=f(x :y) ,fijamos un punto (x 0, y 0 ) e incrementamos arbitrariamente las variables independientes x e y ,obtenemos un nuevo punto ( x + ∆x , y + ∆y ) 0

0

Hemos determinado una dirección que es la de la recta que une los dos puntos.. Para otro par de valores ∆x , ∆y otra seria la dirección. Es decir que el haz de rectas que pasa por el punto (x 0,y 0 ) nos determina las infinitas direcciones en que puede incrementarse el punto. ∆z ( x 0 , y 0 ) = f ( x 0 + ∆x : y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 ) Llamando a ρ =

∆x 2 + ∆y 2 ∆z

La variaci on relativa sera :

La variación instantánea:

ρ

∆z Lim este ρ ρ ρ →0 ρ ρ ρ

límite se denomina derivada direccional.

Es decir que podemos definir infinitas derivadas en un punto, una para cada dirección. De las infinitas derivadas direccionales hay dos de mayor importancia, en la dirección del eje x(a 0°) y en la dirección del eje y(a 90°). Dichas derivadas 21


reciben el nombre de derivadas parciales respecto de x o respecto de y respectivamente. Derivada parcial respecto de x Fijamos un punto (x 0 ,y 0 ), lo incrementamos en ∆x ,haciendo ∆y =0 ,como ρ = ∆x + ∆y en este caso ρ = ∆x 2

2

f x + ∆x , y ) − f ( x La variación relativa será ∆z = ( 0

0

∆x

La variación instantánea

Lim ∆x →0

0

, y0 )

∆x

f ( x 0 + ∆x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) ∆z = Lim ∆x →0 ∆x ∆x

Que se denomina derivada parcial de la función respecto de x. Se puede expresar: ∂ f = ∂ z = f = z = f ′ = z ′ ∂ x

∂ x

x

x

x

x

Geométricamente mide la pendiente de la recta tangente a la curva intersección del plano y=y 0 con la superficie en el punto (x 0 ,y 0 ).

22


Derivada Parcial respecto de y Ahora incrementamos respecto de y, haciendo ∆x =0, en este caso ρ = ∆y f ( x 0 ; y 0 + ∆y ) − f ( x 0 ; y 0 ) ∆z Lim ∴ Lim = ∆y → 0 ∆y ∆y → 0 ∆y

Se denomina derivada parcial respecto de y. Se puede expresar: ∂ f ∂ z = = fy′ == fy = z y′ = z y ∂ y ∂ y

Geométricamente mide la pendiente de la recta tangente a la curva intersección del plano x=x 0 con la superficie en el punto (x 0 ;y 0 ).

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Teorema del valor Medio o de los incrementos finitos o de Lagrange Recordemos el teorema del valor medio para una función de una variable

x 0

α

x = x 0 + ∆x

∆y = f ′(α ). ∆ x

o f ( x ) − f ( x 0 ) = f ′(α ). (( x − x 0 ) Siendo α = x 0 + φ. ∆x con 0 < φ < 1

Dada z=f (x ;y), si existen y son finitas las derivadas parciales f’x y f’y en un entorno del punto (x 0 ;y 0 ) entonces el incremento ∆z de la función se puede expresar : ∆z = f x′ (α1 ; β1 ). ∆x + fy ′(α 2 ; β2 ). ∆y Siendo (α1 ; β1 ) = ( x 0 + φ 1 . ∆x ; y 0 )

0 < φ1 < 1 (α2 ; β2 ) = ( x 0 + ∆x ; y 0 + φ2 . ∆y ) con 0 < φ 2 < 1

24


Al incrementar las variables independientes en ∆x y ∆y resulta ∆z = f ( x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) − f ( x 0 ; y0 )

Podemos pasar del punto (x 0 ;y 0 ) al punto incrementado por dos caminos parciales. 1) Dejando fijo y=y 0 e incrementando x en ∆x pasamos del punto (x 0 ;y 0 ) a ( x 0 + ∆x ; y 0 )

El incremento parcial de la función será: ∆ x z = f ( x 0 + ∆x ; y 0 ) − f ( x 0 ; y 0 )

2) Dejando fijo

x = x 0 + ∆x e incrementando y en ∆y pasamos del punto

( x 0 + ∆x ; y 0 ) al ( x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y )

El incremento parcial de la función será: ∆ y z = f ( x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) − f ( x 0 + ∆x ; y0 )

Sumando las dos expresiones anteriores obtenemos ∆ * ∆z = ∆ x z + ∆y z = [f ( x 0 + ∆x ; y 0 ) − f ( x 0 ; y 0 )] + [f ( x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) − f ( x 0 + ∆x ; y 0 )] Aplicamos el teorema del valor medio para una variable en cada corchete

f (x 0 + ∆x ; y 0 ) − f ( x 0 ; y 0 ) = f x ′ ( x 0 + φ φ1 .∆x ; y 0 ).∆x f (x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) − f (x 0 + ∆x ; y 0 ) = f y ′ ( x 0 + ∆x ; y 0 + φ φ 2 .∆y ).∆y Reemplazan do en *

∆z = f x ′ ( x 0 + φ φ1 .∆x ; y 0 ).∆x + f y ′ ( x 0 + ∆x ; y 0 + φ φ 2 .∆y ).∆y o bien

∆z = f x ′ (α α 1 ; β β β 1 ).∆x + f y ′ (α α 2 ; β β β 2 ).∆y

25


Entre las aplicaciones de este teorema, está la de encontrar una cota de error absoluto de z, cuando se comete error al medir los incrementos de ∆x y ∆y (errores absolutos de las variables independientes). El teorema nos asegura la igualdad cuando las derivadas se consideran en algún punto intermedio de los respectivos intervalos. Si consideramos de todos los valores que f‘x toma en el intervalo 1, el máximo valor f ′ , evidentemente f ′ ≥ f ′ (α ; β ). Con idéntico razonamiento para f’ y en el intervalo 2 resulta f ′ ≥ f ′(α ; β ). xMAX

xMAX

X

yMAX

Entonces: ∆z ≤ f

xMAX .

1

y

1

2

2

∆x + fyMAX . ∆y

26


Diferencial de una función de dos variables Una función z=f(x ;y) se dice diferenciable en un punto (x 0 ;y 0 ), si el incremento ∆ de la función se puede expresar como una combinación lineal de los incrementos de las variables independientes mas un infinitésimo de orden superior a ρ 0 ( ρ ρ ρ )

∆z = A.∆x + B .∆y + 0 ( ρ ρ ρ ) siendo → Lím ρ ρ ρ →0 →

ρ ρ ρ

= 0 (1)

Haciendo ∆y = 0 ⇒ ∆z = A.∆ x + 0 ( ρ ρ ρ ) Dividiendo por ∆ x, aplicando Límite cuando ∆ x → 0

0 ( ρ ∆z ρ ρ ) = Lim A + Lim ∆ x → 0 ∆x ∆ x →0 ∆x z ′x = A + 0 ⇒ A = z ′x

Lim ∆ x → 0

Analogamen te si ∆ x = 0, dividiendo por ∆y, aplicando límite cuando ∆y → 0

tendremos B = z ′y Reemplazan do en 1 : ∆z = z ′x .∆x + z ′y .∆y + 0 ( ρ ρ ρ ) Si llamamos dz = z ′x .∆x + z ′y .∆y (2 ) Entonces podemos decir que una función es diferenciable en un punto

cuando su incremento puede expresarse de la siguiente forma : ∆z = dz + 0 ( ρ ρ ρ ) * Expresión analítica de la diferencial Si z = x ⇒ dz = dx   ⇒ dx = ∆x Aplicando (2 ) ⇒ dz = 1.∆x + 0 .∆y = ∆x  Si z = y ⇒ dz = dy   ⇒ dy = ∆y Aplicando (2 ) ⇒ dz = 0 .∆x + 1.∆y = ∆y  Reemplazan do en (2 ) : dz = z x ′ .dx + z ′y .dy 27


Interpretación geométrica Dada z=f(x,y) diferenciable en (x 0, y 0 ), la diferencial representa la ecuación de un plano. dz = z x′ . ∆x + z y ′ . ∆y Es decir

z

{

- z 0 = z x′ . ( x − x 0 ) + z y ′ . ( y − y 0 )

z del plano;z p

Geométricamente se caracteriza por el hecho de que en un entorno de (x 0 ;y 0 ), las ordenadas z p del plano difieren de las z s de la superficie en un infinitésimo de orden superior a ρ . Si al plano lo cortamos con el plano vertical y=y 0 entonces la recta intersección entre ambos será: z-z 0 =z’ x (x-x 0 ) que tiene por pendiente a la derivada parcial, por lo tanto, es la recta tangente en el punto (x 0, y 0, z 0 ) a la curva intersección entre la superficie y el plano vertical. Idéntico razonamiento podemos hacer si cortamos x=x 0. Si consideramos un plano vertical en una dirección cualquiera y cortamos a la superficie, y al plano, las respectivas curvas y rectas intersección difieren por lo visto en un infinitésimo de orden superior a ρ , por lo tanto, la recta es la tangente a la curva en el punto (x 0, y 0 ,z 0 ). Entonces el 28


plano en el cual están incluidas todas las rectas tangentes, se denomina plano tangente a la superficie en el punto (x 0, y 0 ,z 0 ). Propiedad 1 La condición necesaria y suficiente para que una función admita plano tangente en un punto es que la función sea diferenciable en el punto. Propiedad 2 Toda función diferenciable es continua y derivable. El reciproco no es cierto (lo mostraremos con un ejemplo) x . y

z ( x ; y ) =

x + y 2

2

; z (0 ;0 ) = 0 ; en el origen

a) Continuidad z (0 ;0 ) = 0 L = Lim x →0 y → 0

x . y

1 ; Lim = 0 2 2 x → 0 1 1 x + y y →0 + x 2 y 2

L = z (0 ;0 ) ⇒ la funcion es continua en (0 ;0 )

b) Derivabilidad  z x ′ = Lim  ∆x → 0    z y ′ = Lim  ∆y → 0  

 (0 + ∆x ).0  . 1 = Lim 0 = 0 0 − 2 ∆x → 0 (0 + ∆x ) + 0  ∆x  (0 + ∆y ).0  . 1 = Lim 0 = 0 0 − 2 ∆y → 0 (0 + ∆y ) + 0  ∆y

Las derivadas parciales existen y son finitas ⇒ la función es derivable en (0 ;0) c) Diferenciabilidad 29


Debemos probar que ∆z =

∆z − dz = 0 ∆z = dz + 0 ( ρ ρ ρ ) ⇒ ∆z − dz = 0 ( ρ ρ ρ ) ⇒ Lim ρ ρ ρ → 0 ρ ρ ρ

(0 + ∆x ).(0 + ∆y )

(0 + ∆x )2 + (0 + ∆y )2 dz = 0 .dx + 0 .dy = 0

− 0 =

∆x .∆y ∆x 2 + ∆y 2

ρ ρ .Cos ϕ ϕ ∆x = ρ ρ ρ ρ 2 .Cos ϕ ϕ .Sin ϕ ϕ ∆z − dz = ∆z − dz = = ρ ρ ρ Cos ϕ ϕ .Sen ϕ ϕ si  2 2 ∆ ρ ϕ . y Sen = ρ ρ ϕ ρ ρ ρ  ∆x + ∆y ∆z − dz ρ ϕ .Sen ϕ ϕ ρ ρ Cos ϕ = = Cos ϕ Lím ϕ .Sen ϕ ϕ Lim ρ → ρ 0 ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ →0 ∆x .∆y

No dió 0 ⇒ la función no es diferenciable en el origen Derivada Direccional Vimos que la derivada direccional es: ∆z D r z = Lim ρ ρ ρ →0 ρ ρ ρ f ( x + ∆x ; y 0 + ∆y ) − f ( x 0 ; y 0 ) D r z = Lim 0 ρ ρ ρ →0 ρ ρ ρ f ( x + ρ ρ ρ .Cosα α ; y 0 + ρ ρ ρ .Cos β β β ) − f (x 0 ; y 0 ) D r z = Lim 0 ρ ρ ρ →0 ρ ρ ρ f ( x + ρ ρ ρ .Cos α α ; y 0 + ρ ρ ρ .Sin α α ) − f ( x 0 , y 0 ) D r z = Lím 0 ρ ρ ρ →0 ρ ρ ρ

Expresión de la derivada direccional cuando la función es diferenciable Por ser z=f(x ;y) diferenciable en ( x ; y ) ⇒ ∆z = dz + 0 ( ρ ) 0

0

30


Reemplazamos en la derivada direccional: dz − 0 ( ρ ∆z ρ ρ ) = Lim D r z = Lim ρ ρ ρ →0 ρ ρ ρ →0 ρ ρ ρ ρ ρ ρ z ′x .∆x + z ′y .∆y + 0 ( ρ ρ ρ ) D r z = Lim ρ ρ ρ →0 ρ ρ ρ z ′x . ρ ρ ρ .Cosα α + z ′y . ρ ρ ρ Cos β β β + 0 ( ρ ρ ρ ) D r z = Lim ρ ρ ρ →0 ρ ρ ρ D r z = z ′x .Cosα α + z ′y .Cos β β β D r z = z ′x .Cosα α + z ′y .Senα α

Gradiente Dada una función z=f(x ;y), si existen las derivadas parciales z x y z y ,definimos gradiente de z al vector cuyas componentes son dichas derivadas. r

(

(

Gra d z = ∇z = z ′x i + z ′y j

Relación entre el vector gradiente y la derivada direccional Recordemos que: Pr oy b a = a .Cos ϕ ϕ (1 ) v

v

r

r

r

a . b

Cos ϕ ϕ =

r

a . b r

r

r

a . b

∴ Pr oy b a = v

r

r

b

(2 )

La derivada direccional es igual a la proyección del vector gradiente sobre la semirrecta dirección Dada una función u=u(x ;y ;z) ∇u = ( u ′ , u ′ , u ′ ) x

y

z

Dr u = u x′ . Cosα + u y′ . Cosβ + u z′ . Cosγ

31


Sea r = Cosα α i + Cos β β β j + Cosγ γ k el versor que caracteriza la dirección de la semirrecta r. Aplicamos la expresión (2): (

)

(

∇ u . r

(

)

Pr oy r ∇u = )

)

r

= u ′x .Cos α α + u y ′.Cos β β β + u ′z .Cos γ γ

{

1

∴ Pr oy r ∇u = D r u )

Queda demostrada la propiedad Aplicando la expresión (1) D r u = ∇u .Cos ω ω Siendo ω ω el ángulo entre el gradiente y la semirrecta

dirección

Propiedad 1 La dirección según la cual la derivada direccional es máxima es la del vector gradiente (ω = 0 ⇒ Cos = 1) .Siendo nula en la dirección normal al vector gradiente. Propiedad 2 El valor de la derivada direccional máxima es la del modulo del vector gradiente 32


Vector Posición y vector derivado Fijado un sistema de coordenadas de origen o; a cada punto del espacio P(x ;y ;z) le corresponde un vector cuyo origen es o y cuyo extremo es el punto P y tiene por componentes las coordenadas del Punto. Ese vector se denomina vector Posición: v

(

(

(

O P = x i + y j + z k

Si dicho vector es de la forma r ( u ) = x ( u )i + y ( u ) j + z ( u )k dando valores a u se obtienen distintos valores de r(u) y su extremo determina una curva cuyas ecuaciones paramétricas son : (

v

(

(

 x = x (u )  C y = y (u )  z = z (u )

Si consideramos ∆ r = r (u + ∆ u ) − r (u ) r (u + ∆ u ) − r (u ) ∆ r = ∆ u ∆ u Vector de la misma dirección

y sentido

que

∆ r

v

d r ∆ r Vector tangente a la curva = ∆ u → 0 ∆ u du Dicho vector tangente se expresa :

Si ∃ Lim

en el punto

P

v

dx ( dy ( dz ( d r l + i + k = du du du du vector derivado Se denomina

1) Recta tangente y plano normal a una curva 33


Dada una curva C por sus ecuaciones paramétricas y un punto P 0 de la misma  x = x ( t )  x 0 = x (t 0 )   C  y = y ( t ) P0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) siendo  y 0 = y ( t 0 )   z z t = ( )   z 0 = z(t 0 )

El vector posición en P 0 es r ( t ) = x ( t )i + y ( t ) j + z ( t )k (

v

0

(

0

0

(

0

El vector derivado en P 0 es ( ( ( dr r ′ (t 0 ) = = x ′ (t 0 ) i + y ′ (t 0 ) l + z ′ (t 0 ) k dt P 0

Este vector es tangente a la curva en P 0 ⇒ tiene la dirección de la recta tangente y es perpendicular al plano normal. Entonces: x − x 0 y − y 0 z − z 0 = = x ′ ( t 0 ) y ′ ( t 0 ) z ′ (t 0 )

Ecuación de la recta tangente

( x−x0).x′(t0) +( y−y0).y′( t0) +( z−z0).z′( t0) =

Ecuación del plano normal 2) Plano tangente y recta normal a una superficie a) Superficie dada en forma paramétrica

34


 x = x (u ; v )  S y = y (u ; v ) P0 ( x 0 ; y0 ; z 0 ) Siendo  z = z (u , v )  x 0 = x (u 0 ; v 0 )  y 0 = y (u0 ; v0 )  z 0 = z (u 0 ; v0 )

Vector posición en P 0 : (

(

(

r(u0 ; v0 ) = x( u0 ;v0 ) i + y( u0 ;v0 ) l + z(u0 ; v0 ) k

Los vectores derivados respecto de u y v son tangentes a la superficie en P 0 . Si los multiplicamos vectorialmente obtenemos un vector normal a la superficie en el punto y cuya dirección es la misma de la recta normal. ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ r ∂ x ( ∂ ∂ y ( ∂ ∂ z ( ∂ r ∂ x ( ∂ ∂ y ( ∂ ∂ z ( i + l + k ; i + l + k = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ u P ∂∂ u P ∂ u P ∂ u P ∂ v P ∂∂ v P ∂ v P ∂ v P 0

0

0

0

(

r

n =

∂ ∂ ∂ r ∂ r x ∂ ∂ u P ∂ ∂ v P 0 0

i ∂ ∂ x = ∂ ∂ u P ∂ ∂ x ∂ ∂ v P

0

0

Entonces:

0

(

l ∂ ∂ y ∂ ∂ u P ∂ ∂ y ∂ ∂ v P

0

0

0

0

0

(

k ( ( ( ∂ ∂ z = n 1i + n 2 l + n 3 k ∂ ∂ u P ∂ ∂ z ∂ ∂ v P

x − x 0 y − y 0 z − z 0 = = n 1 n 2 n 3

0

0

Ecuación recta normal

n1 . ( x − x 0 ) + n2 . ( y − y 0 ) + n3 . ( z − z 0 ) = 0

Ecuación Plano Tangente b)Superficie dada en forma implícita S → F ( x ; y ; z ) = 0 ; P0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) Sabemos que el vector gradiente es normal a

la superficie en dicho punto, entonces tiene la misma dirección de la recta normal 35

Universidad Tecnológica Nacional Regional Haedo Análisis Matemático II (

(

(

∇F P = Fx ′ P i + Fy ′ P l + Fz ′ P k 0

0

x − x 0 y − y 0 z − z 0 = = F x ′ P F z ′ P F y ′ P 0

0

0

Ecuación Recta Normal

0

0

Fx ′ P . ( x − x 0 ) + Fy ′ P . ( y − y 0 ) + Fz ′ P . ( z − z0 ) = 0 Ecuación del plano tangente 0

0

0

3) Curva dada como intersección entre dos superficies F ( x ; y ; z ) C  G ( x; y ; z )

P 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 )

El vector gradiente de la superficie F en el punto P 0 es normal a la superficie en dicho punto y también es normal a la curva C por pertenecer dicha curva a la superficie. Lo mismo ocurre con el vector gradiente de G. Si multiplicamos vectorialmente los dos gradientes obtendremos un vector tangente a la curva en el punto, cuya dirección coincide con la recta tangente. (

(

(

∇F P = Fx ′ P i + Fy ′ P l + Fz ′ P k 0

0

0

0

(

(

∇G P = G x P i + Gy P l + Gz P k 0

0

r

t = ∇F

(

P0

0

0

(

(

∧ ∇ G P = t 1 i + t 2 l + t 3 k

0

36


x − x 0 y − y 0 z − z 0 = = t 1 t 2 t 3

Ecuación recta Tangente

t 1 . ( x − x 0 ) + t 2 . ( y − y 0 ) + t 3 . ( z − z0 ) = 0 Ecuación Plano Normal

37


FUNCIONES COMPUESTAS Son funciones que dependen de ciertas variables independientes a través de otras variables. 1) Sea

z = f ( x; y )

 x = x(t ) si  y = y (t )

En este caso z

t (variable independiente)

x y

Si z es diferenciable en un punto (x 0 ;y 0 ) y las variables x e y son derivables respecto de t ∆z = z x′ . ∆x + z y ′ . ∆y + o( ρ ) Dividimos por ∆t y aplicamos limite cuando ∆t → 0 (Cuando ∆t → 0 ⇒ ∆x → 0 ∆y → 0 ) 0 ( ρ ) ∆z ∆x ∆y z x ′ . Lim z y ′ . Lim = Lim + + ∆t ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t

Lim ∆t → 0

dz dx dy ∂ z dx ∂ z dy . . = z x′ . + z y ′ . = + dt dt dt ∂ x dt ∂ y dt

2)Sea

 x = x(t )  y = y (t ) z = f ( x ; y ; u ; v ) con  u = u (t ) v = v t () 

En este caso z

x y u v

t

38


dz ∂ z dx ∂ z dy ∂ z du ∂ z dv . . . . = + + + dt ∂ x dt ∂ y dt ∂ u dt ∂ v dt

 x = x (u ; v ) con 

3) Sea z=f(x ;y) En este caso

∂ z = ∂ u ∂ z = ∂ v

z

y = y (u ; v ) u x v y u v

∂ z ∂ x ∂ z ∂ y . . + ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y . . + ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v

Funciones implícitas En general hemos trabajado con funciones donde la variable dependiente aparecía en forma explícita, es decir z=f(x ;y). Hay ejemplos de funciones cuyo planteo en forma implícita es único o el más conveniente. Diremos que una ecuación F(x ;y ;z)=0 define implícitamente a la función z=z(x ;y) cuando dicha función satisface a la ecuación para todo punto (x ;y) del dominio. Es decir F(x ;y ;z(x ;y))=0. No toda ecuación F(x ;y ;z)=0 define una función Ejemplos x 2 + y 2 + z 2 + 1 = 0 No hay ningun punto que la satisfaga Sen( x.y.z ) − 5 = 0 "

''

''

'' ''

''

''

x 2 + y 2 + z 2 = 0 Solo hay un punto que la satisface

39


Veremos que condiciones se deben cumplir para que una ecuación defina implícitamente una función, y además calcular las derivadas de dicha función sin llevarla a la forma explícita.

Teorema de existencia de funciones implícitas Dada la ecuación F(x ;y ;z)=0 si se cumplen las siguientes condiciones : 1) Existe un punto que satisface la ecuación ∃ P 0 ( x 0 ; y0 ; z 0 ) / F ( x 0 ; y0 ; z 0 ) = 0

2) La función F(x ;y ;z) es continua y derivable en P 0 . 3) Existe la derivada en el punto y es distinta de 0 ∃ F z′ P ≠ 0 0

Entonces la ecuación F(x ;y ;z)=0 define implícitamente la función z=z(x ;y) continua y derivable en un entorno del punto P 0 . Cálculo de las derivadas Dada F(x ;y ;z)=0 que define implícitamente a z=z(x ;y), queremos obtener las derivadas z’ x y z’ y . Derivamos F(x ;y ;z) respecto de x como función compuesta : F x ′ .x ′x + F y ′ .y ′x + F z ′ .z ′x = 0

↑1

↑ 0

F x ′ + F z ′ .z ′x = 0 ⇒ z ′x = −

F ′x F ′

Derivamos respecto a y

Fx′ . x y′ + Fy′. y y′ + Fy′. z y′ = 0

↑ 0

↑1

F y ′ + Fz′. z y′ = 0 ⇒ z y ′ = −

F y ′ F z ′

40


Teorema de existencia de sistemas de funciones implícitas F ( x ; y ; u ; v ; w ) = 0  Dado un sistema de ecuaciones G( x; y ; u ; v ; w ) = 0  H ( x ; y ; u ; v ; w ) = 0

Si se cumplen las siguientes condiciones: el sistema 1) ∃ P ( x ; y ; u ; v ; w ) / Satisface 2) Las funciones F,G,H son diferenciables en P 0. 0

0

0

0

0

3) ∃ el Jacobiano4 j

0

= P 0

∂ ( F;G;H ) ∂ (u;v;w )

≠ 0 P 0

Entonces el sistema de ecuaciones define implícitamente el sistema de funciones

u = u ( x ; y )  v = v ( x ; y ) que son diferenciables en P 0 .  w = w ( x ; y ) F ′u

Jacobiano j= G ′u H ′u

F ′v

F ′w

G ′v G ′ w H ′v

H ′w

Cálculo de las derivadas F ( x; y; u; v ) = 0 Sea el sis tema  que define implicitamente a G ( x; y ; u ; v ) = 0 u = u ( x; y ) queremos obtener las derivadas : u x ′ ; u y′ ; v x′ ; v y ′  v = v ( x ; y ) 4 El

nombre del determinante se debe al matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) quien fue profesor en Berlín y en Konigsberg (Hoy Kaliningrado, lugar donde nació prácticamente la teoría de grafos a raíz del problemas de los siete puentes de la ciudad, problema que resolvió Leonha rd Euler).Hizo importantes aportes a las funciones elípticas, las ecuaciones diferenciales parciales, la mecánica, incluyendo la mecánica celeste. 41


Derivamos respecto a x, como funciones compuestas Fx′ . x x′ + Fy′. y x′ + Fu′. u x′ + Fv′. v x′ = 0 



G x′ . x x′ + Gy′ . y x′ + Gu′ . u x′ + Gv′ . v x′ = 0  Fx′ + + Fu′. u x′ + Fv′. v x′ = 0 



G x′ + Gu′ . u x′ + Gv′ . v x′ = 0  Fu′. u x′ + Fv′. v x′ = − Fx′ 



Gu′ . u x′ + Gv′ . v x′ = − G x ′ 

Aplicando la regla de Cramer − F x ′ − G ′x u ′x = F u ′ G u ′

F v ′

F u ′ F x ′

F x ′ F v ′

G v ′ G ′ G ′ = − x v F v ′ F u ′ F v ′ G v ′

v x ′ = −

G u ′ G ′x

G u ′ G v ′

F u ′ F v ′ G u ′ G v ′

1 4 24 3

1 4 24 3

J

J

=

En forma análoga, derivando respecto a y, obtenemos las otras derivadas. Las escribimos directamente F y ′ u ′y = −

F v ′

G y ′ G v ′ F u ′

F v ′

F u ′

v ′y = −

F y ′

G u ′ G y ′ F u ′

F v ′

G u ′ G v ′

G u ′ G v ′

1 4 24 3

1 4 24 3

J

J

42


Derivadas Sucesivas Las derivadas parciales de una función z = f (x ;y) son también en general funciones de x e y en consecuencia co nsecuencia derivables en forma parcial. z xxx z xx z xxy z x z xy z=(x ;y) z y y z yx yx z yy yy Nomenclatura ∂ z z x ′ = ∂ x

∂ 2 z z xx ′′ = ∂ x 2

∂ 2 z z yx ′′ = ∂ y ∂ x

∂ 3 z ∂ 3 z z yyy ′′′ = z xxy ′′′ = ∂ y 3 ∂ x 2 ∂ y

Invertibilidad del orden de la derivada (Enunciado del teorema de Schwarz) Dada una función z = f(x ;y) con derivadas parciales primeras z’ x ;z’ y y , , si existe y x ;z’ es continua z’’ xy entonces existe z’’ yx y coincide con la anterior. yx y Diferenciales sucesivas Sabiendo que dz = z’ x .dx+z’ .dx+z’ y y.dy . dy (1) d 2 z = d (dz ) = d ( z x′ . dx + z y′ . dy ) = d ( z x′ . dx ) + d ( z y′ . dy ) = d ( z x′ ). dx + z x′ . d (dx ) + d ( z y′ ). dy + z y′ . d (dy ) =

↑ se aplica 1 ↑ se aplica 1 = ( z x′x′ . dx + z ′xy′ . dy ) . dx + z x′ .d . d 2 x + ( z yx . d 2 y ′ ′ . dx + z yy ′ ′ . dy ). dy + z y ′ .d = z xx ′ ′ . dx 2 + z xy ′ ′ . dy. dx + z x ′ . d 2 x + zyx ′ ′ . dx . dy + z yy ′ ′ . dy 2 + z y ′ . d 2 y = z xx ′ ′ . dx 2 + 2. z xy ′ ′ . dy. dx + z yy ′ ′ . dy 2 + z x ′ . d 2 x + z y ′ . d 2 y 43


1er caso : Si

z=

f(x ;y)

siendo

x

dy = cte ⇒ d 2 x = d 2 ⇒ dx = cte ; dy

e y variables y = 0 . Entonces

independientes

d 2 z = z x′x′ . dx 2 + 2 . z x′y′ . dx . dy + z y′y′ . dy 2 ( 2 )

Se puede expresar

∂    ∂ d z= . dx + . dy  z   ∂ x ∂ y  2

Además: ( 3 )

∂    ∂ d 3 z =  . dx + . dy  z   ∂ x ∂ y 

d 3 z = z x′x′x′ . dx 3 + 3 . z x′x′y′ . dx 2 . dy dy + 3 . z x′y′y′ . dx . dy 2 + z y′y′y′. dy 3

En general : ( n )

∂    ∂ d n z =  . dx + . dy  z   ∂ x ∂ y 

2 do caso: Si z=f(x ;y), siendo y=y(x) ; x es la variable independiente ⇒ dx = cte ⇒ d d 2 z = z x′x′ . dx 2 + 2 . z x′y′ . dx . dy + z y′y′ . dy 2 + z y′ . d 2 y

2

x = 0

3er caso: Si

z=f(x ;y),

siendo

x=x(y) ;

y

es

la

variable

independiente

⇒ dy = cte ⇒ d 2 y = 0 d 2 z = z x′x′ . dx 2 + 2 . z x′y′ . dx . dy + z y′y′ . dy 2 + z x′ . d 2 x

44


Fórmula de Taylor 5 En muchas ocasiones resulta conveniente aproximar una función derivable no polinómica en un entorno del punto mediante un polinomio particularmente elegido y precisar el error que se comete con esa aproximación. Recordemos en una variable x = x 0 + ∆x

x 0

( x − x 0 )

f ( x ) = f ( x 0 + ∆x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ). ( x − x0 ) + f ′ ′ ( x0 ). . . . . . .+ f

( n )

( x 0 ).

( x − x 0 ) n !

2 !

2

+ ....

( n +1 )

n

+f

( n +1 )

( x − x 0 ) x . x x . + φ ( ( 0 0 )) ( n + 1) !

Para x 0 0=0 = 0 obtenemos la formula de Maclaurin ( x )2 ( x )n (n +1) ( x )(n +1) ( n ) + .... + f (0 ). + f (φ φ .x ). f ( x ) = f (0 ) + f ′(0 ).( x ) + f ′′(0 ). (n + 1)! 2 ! n !

Formula de Taylor para una función de dos variables Si (x 0 ;y 0 0 ) es un punto del dominio de la función z=f(x ;y), considerando otro pertenezca al entorno de (x 0 ;y 0 punto ( x + ∆x ; y + ∆y ) que 0 ) , la formula de Taylor permite hallar un valor aproximado de f ( x + ∆x ; y + ∆y ) conocidos los valores de la función y sus derivadas en el punto (x 0 ;y 0 0 ). Podemos pasar del punto (x 0 ;y 0 0 ) al punto ( x + ∆x ; y + ∆y ) a lo largo de la recta determinada por dichos puntos cuya ecuación paramétrica es : 0

0

0

0

 x = x0 + t . ∆x  y = y 0 + t . ∆y

(1) 

5 Brook

0

0

Taylor, matemático ingles (1685-1731) sus trabajos también eran ya conocidos por Johann Bernoulli en 1690 y James Gregory desde 1668 .Sus trabajos fueron publicados en su libro “Methods incrementorum directa et inversa”. Taylor no estaba enterado de los trabajos anteriores de Gregory y Bernoulli. 45


Entonces los puntos de la superficie que pertenezcan a la curva intersección entre la superficie y el plano vertical que pasa por la recta (1), se puede expresar; f ( x ; y ) = f (x 0 + t .∆x ; y 0 + t .∆y ) = ϕ ϕ (t ) (2 )

Observamos que ϕ (1) es la expresión que queremos hallar, pues cuando t=1 ⇒ ϕ ϕ (1) = f ( x + ∆x ; y + ∆y ) , desarrollamos ϕ (t ) por Maclaurin6 : 0

0

t 2 t n t n +1 (n ) (n+1 ) ϕ ϕ (t ) = ϕ ϕ (0 ) + ϕ ϕ ′(0 ).t + ϕ ϕ ′′(0 ). + ..... + ϕ ϕ (0 ). + ϕ ϕ (θ θ .t ). (n + 1)! 2 n ! Haciendo

ϕ ϕ ϕ ′′(0 ) ϕ (n ) (0 ) ϕ ϕ (n +1) (θ θ ) ϕ + ...... + ϕ (1) = f (x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) = ϕ ϕ (0 ) + ϕ ϕ ′(0 ) + + (n + 1)! 2 n !

Calculamos cada término ϕ (0 ) lo obtenemos reemplazando t=0 en (2) ϕ (0 ) =f (x 0 ;y 0 ) ϕ ′ (0 ) lo obtenemos derivando ϕ (t ) y luego haciendo t=0 ϕ ′ (t ) = f x′( x 0 + t . ∆x ; y 0 + t . ∆y ). x t′ + + fy′( x0 + t . ∆x ; y0 + t . ∆y ). yt′ x t ′ = ∆x 6 Colin

;

y t ′ = ∆y

Maclaurin, matemático escoses (1698-1746). Maclaurin difundió su serie en su libro “Treatise of fluxions “ en 1742 46


Entonces ϕ ′ (0 ) = f x′( x 0 ; y 0 ). ∆x + fy ′( x 0 ; y 0 ). ∆y

ϕ ′ (0 ) = df ( x 0 ; y 0 )

Derivando sucesivamente obtenemos ϕ ′ ′ ( 0 ) = d 2 f ( x 0 ; y 0 ) ϕ ′ ′ ′ ( 0 ) = d 3 f ( x 0 ; y 0 ) . . . ( n )

( 0 ) = d n f ( x 0 ; y 0 ) ϕ ( n+1) (θ ) = d n +1f ( x 0 + θ . ∆x; y 0 + θ . ∆y ) ϕ

Reemplazando en (3): f ( x ; y ) = f ( x 0 ; y 0 ) + df ( x0 ; y0 ) + ........+

d n f ( x 0 ; y 0 ) n !

+

d 2 f ( x 0 ; y 0 )

+

d 3 f ( x 0 ; y 0 )

2 ! 3 ! d n +1f ( x 0 + θ . ∆x ; y 0 + θ . ∆y )

+ .........+

(n + 1) !

Para (x 0 ;y 0 )=(0 ;0) obtenemos la fórmula de Maclaurin d 2 f (0 ;0 ) d 3 f (0 ;0 ) f ( x ; y ) = f (0 ;0 ) + df (0 ;0 )+ + + .......... 2 ! 3 ! d nf (0 ;0 ) d n +1f (θ . x; θ .y ) .........+ + n ! (n + 1) !

47


Extremos de una función de dos variables independientes (Extremos Libres) Una función de 2 variables independientes en un punto (x 0 ;y 0 ) toma valor : a) Máximo si: b) Mínimo si :

f ( x ; y ) − f ( x 0 ; y 0 ) < 0

∀( x; y ) ∈ ξ ( x0 ; y0 )

f ( x ; y ) − f ( x 0 ; y 0 ) > 0

∀( x; y ) ∈ ξ ( x0 ; y0 )

Recordemos que f ( x ; y ) − f ( x

0

; y 0 ) = ∆f ( x 0 ; y 0 )

Condición Necesaria Si la superficie es diferenciable observamos que en el caso de extremos, el plano tangente es horizontal y deja a la superficie por arriba o por debajo para todo entorno del punto. Además si en (x 0 ;y 0 ) hay un máximo o un mínimo, las derivadas parciales son nulas, pues las respectivas curvas de intersección de la superficie con los planos x=x 0 ;y=y 0 , presentan un máximo o un mínimo en el punto. Sin embargo la condición f‘x=0, f ‘y=0, es necesaria pero no suficiente y lo vemos en el ejemplo del dibujo 3, donde el plano tangente atraviesa la superficie para cualquier entorno del punto (x 0 ;y 0 ). (1)Punto Mínimo

(2) Punto Máximo

48


( 3 )Ni Máximo ni Mínimo

Condición Suficiente Desarrollamos por Taylor la función en un entorno del punto (x 0 ;y 0 ), con la condición necesaria de la derivadas primeras nulas y supuestas las segundas derivadas no simultáneamente nulas: d 2 f ( x 0 ; y 0 ) f (x 0 + ∆x ; y 0 + ∆y ) = f ( x 0 ; y 0 ) + df ( x 0 ; y 0 ) + + R 14 24 3 2 ! 0

Si nos limitamos a considerar puntos muy cercanos a (x 0 ;y 0 ), R es despreciable con respecto al termino anterior. 1 2 . d f ( x0 ; y0 ) + R 2 1 ∆f ( x 0 ; y 0 ) = . d 2 f ( x0 ; y 0 ) + R

f ( x 0 + ∆x ; y 0 + ∆ y ) − f ( x 0 ; y 0 ) =

Debemos estudiar el signo de la diferencial segunda pues si es > 0 ⇒ ∆f > 0 ⇒ ∃ minimo en ( x 0 ; y 0 ). < 0 ⇒ ∆f < 0 ⇒ ∃∃ Maximo en ( x 0 ; y 0 ).

Consideramos coordenadas polares: ∆x = ρ .Cosϕ ∆y = ρ .Sen ϕ

49


d 2 f ( x 0 ; y 0 ) = f xx′ ′( x 0 ; y 0 ). ∆ x 2 + fyy′ ′( x0 ; y 0 ). ∆ y 2 + 2 . fxy′ ′( x0 ; y0 ). ∆ x . ∆ y

d 2 f ( x 0 ; y 0 ) = f xx ′ ′. ρ 2 . Cos 2ϕ + fyy ′ ′. ρ 2 . Sen 2 ϕ + 2.f xy ′ ′. ρ 2 . Senϕ . Cosϕ Entonces ∆f ( x 0 ; y 0 ) =

1 . ρ . (f xx ′ ′. Cos 2ϕ + fyy′ ′. Sen2 ϕ + 2.f xy′ ′ . Sen ϕ . Cos ϕ ) 2 2

Debemos estudiar la variación de la expresión del paréntesis que llamamos F (ϕ ) ϕ . Senϕ (1) F (ϕ ) = f xx ′ ′.Cos 2ϕ + fyy′ ′. Sen 2 ϕ + 2.f xy′ ′. Cos

Supongamos f ′ ′ ≠≠ 0 , entonces multiplicamos y dividimos por f xx ’’ xx

F (ϕ ϕ ) =

1 ′′ 2 .Cos 2 ϕ ′′ .f xx ′′ .Sen 2 ϕ ′′ .f xx ′′ .Cos ϕ .[f xx ϕ + f yy ϕ + 2 .f xy ϕ .Sen ϕ ϕ ] ′′ f xx

Sumamos y restamos f ′′ .Sen2 ϕ , y sacando factor común 2

xy

F ( ϕ ) =

Sen 2 ϕ ϕ

2 1 2 . (f xx′ ′.Cosϕ + f xy′ ′. Senϕ ) + Sen 2 ϕ . (fyy′ ′. f xx′ ′ − f xy′ ′ ) f xx ′′

[

]

Llámanos determinante Hessiano7 de f(x ,y) ′′ f xy ′′ f xx ′′ .f yy ′′ −f xy ′′ 2 H = = f xx ′′ f yy ′′ f yx Entonces: ( 2 ) F (ϕ ) =

2 1 . (f xx ′ ′. Cosϕ + f xy ′ ′. Senϕ ) + Sen 2 ϕ .H f xx ′′

[

]

Primer Caso :H>0 (caso Elíptico) Siendo H>0 y f xy ‘’ 2 ≥ 0 ⇒ f ′ ′ ≠≠ 0 ⇒ analizamos ( 2 ) :El corchete nunca se hace cero, pues si el Sen ϕ es 0, no lo es el Cos ϕ ,además por estar al cuadrado el paréntesis y el Sen ϕ , el corchete es siempre positivo , entonces F ( ϕ ) tiene el mismo signo de f ‘’ xx ,entonces : xx

7

Se llama así por el matemático alemán Otto Hesse, que la introdujo en 1844 50


Si f xx ′ ′ > 0 ⇒ F (ϕ ϕ ) > 0 ⇒ ∆f ( x 0 ; y 0 ) > 0 ⇒ ∃ Mínimo en ( x 0 ; y 0 ) Si f xx ′ ′ < 0 ⇒ F (ϕ ϕ ) < 0 ⇒ ∆f ( x 0 ; y 0 ) < 0 ⇒ ∃ Máximo en ( x 0 ; y 0 )

Segundo Caso :H<0 (Caso Hiperbólico) 1) Si f xx ≠ 0 ⇒ analizamos (2 ) ′ ′ ≠

a ) Para ϕ = 0 → Sen ϕ = 0

ϕ = 0 → Cosϕ = 1

1 2 . f xx′ ′ ⇒ F (ϕ ) = f xx′ ′ ⇒ f xx ′′

F (ϕ ) =

signo F (ϕ ) = signo f xx ′′

(a)

b) En la dirección en que se anula el binomio al cuadrado: 1 .H . Sen 2 ϕ F (ϕ ϕ ) = ϕ ⇒ ′′ f xx ↓ Signo F (ϕ ) ≠ Signo f ′ ′ (b) ↓ {

> 0

< 0

xx

De ( a ) y (b ) vemos que F( ϕ ) no mantiene el signo para un entorno del punto, pues lo varia según la dirección que consideremos ⇒ No existen extremos. 2) Si f ′ ′ == 0 y f ′ ′ ≠ 0 se podría hacer el mismo razonamiento dividiendo a partir de (1) por f ′′ . xx

yy

yy

′ ′ = 0 ; f yy ′ ′ = 0 ⇒ f xy ′ ′ ≠ 0 pues H ≠ 0 ⇒ Analizamos (1) : 3 )Si f xx ′ ′ .Cos ϕ F (ϕ ϕ ) = 2 .f xy ϕ .Sen ϕ ϕ = f xy ′ ′.Sen (2 ϕ ϕ ) , el signo cambia según el

ángulo ϕ ϕ que consideremos ⇒ No existen extremos.

Tercer Caso: H = 0 (Caso Parabólico) 1) Si f xx ′ ′ ≠ 0 ⇒ Analizamos ( 2 ) F (ϕ ) =

2 1 . (f xx ′ ′. Cos ϕ + f xy ′ ′. Sen ϕ ) f xx ′′

51


Por estar el paréntesis a cuadrado es siempre positivo, entonces el signo F( ϕ )=signo f ‘’ xx . Pero hay una dirección en que se anula el paréntesis, nada se puede asegurar, decimos que hay casi - extremo. ′ ′ = 0 por ser H = 0 ⇒ f yy ′ ′ ≠ 0 2 ) Si f xx ′ ′ = 0 ⇒ f xy

(supusimos no nulas todas las derivadas ) ⇒ Analizamos (1) : ′ ′ .Sen 2 ϕ F (ϕ ϕ ) = f yy ϕ .

El Sen 2 ϕ será siempre positivo ⇒ signo F (ϕ ) = signo f ′ ′. , donde se hace cero y nada se puede Pero hay direcciones: ϕ = 0; ϕ = π asegurar ⇒ ∃ casi-extremo. yy

Síntesis f xx ′ ′ > 0 ⇒ ∃ Mínimo H > 0 ⇒ ∃ extremo  f xx ′ ′ < 0 ⇒ ∃ Máximo H < 0 ⇒ ∃/ extremo f xx ′ ′ > 0 (o f yy ′ ′> 0 ) ⇒ ∃ casi - Mínimo H = 0 ⇒ ∃ casi - extremo  f xx ′ ′ < 0 (o f yy ′ ′< 0 ) ⇒ ∃ casi - Máximo

Extremos de una función con variables ligadas (Extremos ligados o condicionados ) Nos interesa encontrar los extremos de una función cuyas variables no son independientes. Es decir que queremos determinar los extremos de una función z =f( x :y), cuando las variables x e y están ligadas por alguna ecuación ϕ (x ;y)=0. Geométricamente significa encontrar los extremos de la curva intersección entre la superficie z=f (x ;y) con el cilindro ϕ (x ;y)=0.

52


Aplicando el teorema de existencia de la función implícita en ϕ (x ;y)=0, si se cumple la condición

∂ ϕ ≠ 0 ⇒ la ∂ y

ecuación define la función y=y(x) que

reemplazando en la función tendremos z = f (x ;y(x)), una función que solo depende de x, determinamos los extremos de esta función. Condición Necesaria Derivamos respecto de x, e igualamos a cero: f x′ . x x′ + fy′. y x′ = 0 ⇒ f x′ + + fy′. y x′ = 0

Donde y ‘ x la obtenemos de ⇒ y x ′ = −

ϕ (x ;y)=0,

derivando como función implícita

ϕ x ′ ϕ y ′

  ϕ x ′  Re emplazando: f x′ + x ′ = + fy′.  −  = 0 ⇒ f x′ . ϕ y′ − fy′.ϕ = 0 ϕ ′    y 

Esta ecuación no basta para obtener las coordenadas x e y del punto crítico, pero dichas coordenadas deben satisfacer también la ecuación ϕ (x ;y)=0 por pertenecer el punto critico a la curva, entonces: 53


= 0  f x′ . ϕ y′ − f y ′.ϕ x ′ =  Este sistema determina los puntos críticos ϕ ( x; y ) = 0 

Condición Suficiente Ya vimos que el signo de ∆f estará dado por el signo de d 2 f entonces: d 2 f = f xx′ ′. dx 2 + 2 . f xy′ ′. dx . dy + fyy′ ′. dy 2 + fy′. d 2 y

El último término aparece por no ser las variables independientes y dificulta el análisis del signo de la diferencial segunda, aplicamos el siguiente método. Método de los multiplicadores de Lagrange 2 La primera ecuación del sistema f ′.ϕ ′ − f ′.ϕ ′ == 0 La escribimos de la siguiente manera f x ′ f y ′ = Estos cocientes los podemos igualar a una constante , la llamamos − λ λ ϕ ϕ x ′ ϕ ϕ y ′ x

y

y

x

λ .ϕ ϕ x ′ = 0 f x ′ + λ f x ′ f y ′ = = −λ λ  λ .ϕ ϕ y ′= 0 ϕ ϕ x ′ ϕ ϕ y ′ f y ′ + λ

Si a este sistema le agregamos la condición de vínculo obtenemos un sistema que define los puntos críticos f x ′ + + λ . ϕ x ′ = = 0  (1)f y ′ ++ λ . ϕ y ′ = 0  ϕ ( x; y ) = 0

Este sistema le sugiere a Lagrange la idea de considerar la función: F ( x ; y ; λ ) = f ( x ; y ) + λ . ϕ ( x; y )

2

Los multiplicadores se llaman así en honor al matemático italo francés Joseph- Louis Lagrange (1736-1813) 54


Condición Necesaria Fx′ = f x ′ + + λ . ϕ x ′ == 0  = f y ′ + + λ .ϕ y ′ = = 0 Coincide con (1) ⇒ define los puntos críticos. Fy′ =  = ϕ ( x; y ) = 0 F λ ′ =

Condición Suficiente Analizamos el signo de la diferencial segunda de la función de Lagrange d 2 F = d 2 f + λ λ .d 2 ϕ ϕ pero ϕ ϕ ( x; y ) = 0 ⇒ d ϕ ϕ = 0 ⇒ d 2 ϕ ϕ = 0 Entonces d 2 F = d 2 f 0 (Por la condicion necesaria )

′ ′ .dx + 2 .F xy ′ ′ .dx .dy + F yy ′ ′ .dy + d F = d f = F xx 2

2

2

2

6 474 8

F y ′ .d 2 y

′ ′ .dx 2 + 2 .F xy ′ ′ .dx .dy + F yy ′ ′ .dy 2 Entonces d 2 F = d 2 f = F xx

Expresión que analizada en los puntos críticos dará un Mínimo si es >0 y un Máximo se es <0. La importancia de utilizar la función de Lagrange reside en la d 2 f , cuyo signo dependerá del signo de la derivadas segundas, ya que dx 2 ,dy 2 son positivas y dy se puede expresar en función de dx mediante la ecuación ϕ (x ;y)=0.

55


Integral Doble De igual modo que el cálculo del área de recintos planos condujo al concepto de integral simple, el de volumen conduce a integral doble. Sea f(x ;y) continua y definida sobre un dominio rectangular R ( a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d ) Si consideramos el valor máximo y mínimo de la función continua en el intervalo rectangular cerrado y con sendas alturas determinamos el volumen de los respectivos prismas. V e=f max (b-a).(d-c) V d =f min (b-a).(d-c) El volumen que queremos determinar esta comprendido entre el V e (volumen por exceso) y el V d (volumen por defecto). Aunque esta aproximación no es muy buena, nos permite pensar en construir una sucesión de aproximaciones cada vez mejores. Si particionamos la superficie, considerando la siguiente partición: a=x 0 ;x 1 ;..............x i ;........x n=b Llamando ∆ x=x i i+1-x i c=y 0 ;y 1 ;..............y j ;........y m=d Llamando ∆ J y=y j+1-y j Sobre la superficie tendremos una partición en ∆ iJ S generando los respectivos ∆ iJ V. Ahora aproximamos por exceso y por defecto ∆ iJ Ve =f iJ máx ∆ x i . ∆ J y ; ∆ iJ V d =f iJ mín ∆ x i . ∆ J y Hacemos la sumatoria ; i . ∆ j y i . ∆ j y ∑= ℑ∑= f ij min ∆ x ∑= ℑ∑= f ij max . ∆ x Esto es una partición, si consideramos sucesivas particiones (por lo menos una subdivisión mas que la anterior) las aproximaciones serán cada vez n

i 0

m

0

n

i 0

m

0

56


mejores. De tal forma que ∆ x y ∆ y tienden a cero. Si estos límites existen, por ser las funciones continuas, entonces coinciden. n

m

V= Lim i . ∆ J y = ∑ ∑ f iJ máx ∆ x ∆ → x 0 ∆y → 0 i = 0 ℑ= 0

n

m

Lim ∑ ∑

∆x → 0 ∆y → 0 i = 0 ℑ = 0

f iJ mín ∆ x i . ∆ J y

A esta operación límite doble de una doble sumatoria la denominamos integral doble: V = ∫∫ ∫∫D f ( x ; y) dx dy

Cálculo de la integral doble

Consideramos una partición en el intervalo [a ;b] en x 0 ;x 1 ;..............x n. El área de la cara de adelante del ∆ i V es : d

∫ f ( x ; y ) dy c

Entonces:

 d  ∆i V ≅ ∫ f ( x; y) dy . ∆i x  c 

57


Haciendo una sumatoria nos dará un volumen aproximado para cada partición. En el límite: d  ( ) dy Lim ∑∆i V = Lim f x y ;  ∫∫ .∆i x ∑ ∆x →0 ∆x →0 i =0 i =0 c  n

n

b d

V =

∫ ∫ f ( x ; y ) dy dx a c

b

d

a

c

= ∫ dx ∫ f ( x ; y ) dy

Análogamente para una partición en el intervalo [c ;d]   ∆ V ≅  ∫ f ( x ; y ) dx  . ∆ J y b

i

 a



Haciendo la sumatoria y el límite V =

d b

∫ ∫ f ( x ; y ) dx dy c a

d

b

c

a

= ∫ dy ∫ f ( x ; y ) dx

Para un dominio cualquiera

Para un valor cualquiera de x entre a y b, la variable y, varia entre las curvas :y 1(x) e y 2 (x) b

y 2 ( x )

a

y 1 x

V = ∫

∫( f ) (x ; y ) dy dx

Para un valor cualquiera de y entre c y d, la variable x, varia entre las curvas x 1(y) y x 2( y) d x 2 ( y )

V = ∫

∫( f )( x ; y ) dx dy

c x 1 y

58


Área plana por integral doble

b y 2 ( x )

d x 2 ( y )

a y 1 x

c x 1 y

A= ∫

dx = ∫ ∫ dx d ∫( dy ) ( )

Área de una superficie alabeada Hasta ahora hemos calculado áreas planas, nos proponemos calcular cualquier área del espacio partiendo del conocimiento del cálculo de áreas planas. Sea z= f(x ;y) una superficie definida en un dominio D. Particionamos el dominio en rectángulos de área ∆ i x . ∆ J y . Cada rectángulo se puede considerar como la proyección de una porción de superficie. Para obtener una aproximación del área ∆ iJ S trazamos el plano tangente en cualquier punto de dicha superficie. Tendremos entonces una superficie formada por escamas (Rey Pastor). Entonces ∆ iJ S ≅ ∆ iJ APL TG (1) Sabiendo que: la proyección

59


ortogonal de un polígono cualquiera sobre cualquier plano no perpendicular a el, tiene como área la del polígono proyectado por el coseno del ángulo de la inclinación. Entonces: ˆ k ∆ i x . ∆ J y = ∆ iJ APL TG . Cos n

Reemplazando en (1) : ∆ iJ S n

m

n

m

∆ iJ S = Lim ∑∑ ∆x → 0

Lim ∑ ∑

∆x → 0 ∆y → 0 i = 0 ℑ= 0

S =

≅

∆y → 0 i = 0 ℑ= 0

dx .dy ) ∫∫ D ( x ; y ) Cos n k

∆i x . ∆ℑ y ) Cos n k ∆i x . ∆ℑ y ) Cos n k

(2 )

La ecuación del plano tangente : cualquiera (x 0 ;y 0 ;z 0 ) será :

dz = f x′ . dx + fy ′. dy , luego

para un punto

z − z 0 = f x′ . ( x − x 0 ) + fy ′. ( y − y 0 )

Desarrollando: − f ′ . x − f ′. y + z + f ′ . x + f ′. y − z = 0 Comparando con la ecuación general del plano: a.x+ b.y+c.z+d=0 Tendremos: x

y

x

0

y

0

0

a = − f x ′ b = − f y ′ c = 1

Recordemos de la geometría analítica que los cosenos directores, se expresan: a

)

Cos n i =

)

a2 + b 2 +c 2

Cos n j =

b a2 + b 2 +c 2

)

Cos n k =

c a2 + b 2 +c 2

Entonces: 1

)

Cos n k =

f x ′ + f y ′ + 1 2

2

Reemplazando en (2):

60


S=

∫∫

2

2

f x′ + fy ′ + 1 dx dy =

D ( x ; y )

∫∫

2

2

z x′ + z y ′ + 1 dx dy

D ( x ; y )

Análogamente si proyectamos sobre los otros planos coordenados S=

2

2

∫∫ f ′ + f ′ + 1 dx dz ( ) x

z

=

D ( x ; z )

S=

∫∫ D ( y ; z )

2

2

fy′ + fz ′ + 1 dy dz =

2

2

∫∫ y ′ + y ′ + 1 dx dz ( ) x

z

D ( x ; z )

∫∫

2

2

x y′ + x z ′ + 1 dy dz

D ( y ; z )

Nota: Si la superficie esta dada en forma implícita se usan las mismas fórmulas, calculando las derivadas como se vio en el tema de funciones implícitas.

61


Integrales Triples Otra forma de plantear un volumen lo obtendremos utilizando una triple integración de la siguiente forma: Particionamos el volumen en pequeños prismas de lados ∆ x, ∆ y, ∆ z, donde los ∆ x i son los elementos de la partición del intervalo [a ;b] en n partes con i=0,1,2,......n. Los ∆ J y son del intervalo [c ;d] con j=0,1,2,....m Los ∆ k z corresponde al intervalo [e ;f] con k = 0,1,2,...ñ Entonces ∆ iJk V = ∆ x i . ∆ J y. ∆ k z Sumando todos los ∆ iJk V tendremos : i . ∆ J y . ∑ ∑ ∑ ∆ iJk V = ∑ ∑ ∑ ∆ x n

m

~ n

i = 0 ℑ= 0 k = 0

n

m

~ n

i = 0 ℑ= 0 k = 0

∆ k z = V aproximado

Tomando ahora las sucesivas particiones con m,n,ñ → ∞ y ∆ x, ∆ y y ∆ z → . Resulta: Lim ∑ ∑ ∑ ∆ x i . ∆ J y . ∆ k z = ∆x → 0 ∆y → 0 ∆z → 0

∫∫∫ dx dy dz

= V

V

Expresado en sus integrales reiteradas, considerando el dominio en el plano (x ;y) : b y 2 ( x ) z 2 ( x ;y )

d x 2 ( y ) z 2 ( x ;y )

a y 1 x z 1 x y

c x 1 y z 1 x y

V = ∫

dy dx = ∫ ∫ ∫ dz dx d ∫( ) (∫dz ( ) ( ; ) ; )

Momento estático de un cuerpo respecto a un plano Como ya sabemos, el momento estático de un cuerpo respecto a un plano es igual a la masa de dicho cuerpo por su distancia al plano. Además sabemos que la masa de un cuerpo es igual a la densidad por el volumen. Particionando el volumen, tendremos: 62


∆ iJk m= δ iJk . ∆ iJk V (1) ∆ iJk Mz x ≅ ∆ iJk m . y J (2)

Reemplazando (1) en (2) : ∆ iJk M zx ≅ δ δ iJk . y J . ∆ iJk V Haciendo la triple sumatoria y en el limite M zx =

∫∫∫ y .δ . dx dy dz

V

Análogamente para los otros planos coordenados M xy =

∫∫∫ z .δ . dx dy dz

M yz = ∫∫∫ ∫∫∫ x .δ . dx dy dz

V

V

Momento de inercia de un cuerpo respecto a un plano Con igual razonamiento que en el caso anterior expresamos los momentos de inercia respecto a los tres planos coordenados. Recordando que es masa por distancia al cuadrado. Entonces: I = ∫∫∫ ∫∫∫ z . δ . dx dy dz 2

xy

V

2 I xz = ∫∫∫ ∫∫∫ y . δ . dx dy dz V

2 I yz = ∫∫∫ ∫∫∫ x . δ . dx dy dz V

Nota: Si los momentos los calculamos respecto a los ejes, habrá que variar la distancia. Eje x → d = y + z Eje y → d = x + z Eje z → d = x + y Origen → d = x + y + z 2

2

2

2

2

2

2

2

2

63


Un punto cualquiera → d = ( x − x ) + ( y − y ) + ( z − z ) 2

2

0

0

0

2

Centro de Gravedad El centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto del cual su momento estático es cero. Dicho de otra forma, el centro de gravedad de un cuerpo, es el punto ( x ; y ; z ) que verifica que los momentos estáticos respecto a los tres planos paralelos a los cartesianos que pasan por el, dan cero. Entonces: G

G

G

M x G y G = M x G z G = M y G z G = 0

Si calculamos M yG zG tendremos: My

G zG

dy dz - x G ∫∫∫ δ . dx dy dz = 0 = ∫∫∫ ( x − xG ). δ . dx dy dz = 0 ⇒ ∫∫∫ x . δ . dx 14 24 3 V

V

dV

V

Entonces :

x G

∫∫∫ x .δ δ dx dy dz = ∫∫∫ δ δ dv V

V

Análogamente

y G =

∫∫∫ y .δ δ dv ∫∫∫ δ δ dv V

V

z G =

∫∫∫ z .δ δ dv ∫∫∫ δ δ dv V

V

64


Cambio de coordenadas Las líneas x e y de las coordenadas cartesianas son rectas, sin embargo en otros sistemas no lo son, por ejemplo las polares.

Vamos a determinar como debe ser modificado el calculo de la integral doble para un determinado dominio D, cuando los puntos del plano (x ;y) están definidas por otro sistema de coordenadas.  x = x ( u; v ) Sea   y = y ( u ; v )

El Jacobiano de la transformación será:

ℑ=

∂ ( x; y ) ∂ (u; v )

=

x u′

x v ′

y u′

y v ′

≠ 0

Recordemos el cálculo del área plana en coordenadas cartesianas 65


A=

∫∫ dx dy ( )

D ( x;y )

Considerando las nuevas coordenadas: Si consideramos un punto P de coordenadas (x ;y) o (u ;v) r

r

(

(

O P = r = x i + y i

Si consideramos los versores tangentes ∂ r ∂ r y .Podríamos expresar el área ∂ u

∂ v

en forma aproximada: ∆A ≅

∂ ∂ r ∂∂ r .∆u x .∆v ∂ ∂ ∂ u ∂ v

∆A ≅

∂ ∂ r ∂∂ r x .∆u .∆v (1) ∂ ∂ ∂ u ∂ v

Pero

∂ ∂ r ∂∂ r x u ′ y u ′ x = = ℑ ∂ ∂ ∂ u ∂ v x v ′ y v ′

Reemplazando en (1): ∆A ≅ ≅ ℑ ∆u . ∆v

Haciendo la sumatoria y el límite A=

∫∫ ℑ du dv D ( u ; v )

66


En general

∫∫ f ( x ; y ) dx dy D ( x ; y )

=

∫∫ f ( x (

D ( u;v )

u;v )

; y ( u ; v ) ) ℑ du dv

Coordenadas cilíndricas

0 ≤ ϕ ϕ < 2 π π 0 ≤ r ≤ ∞ - ∞ < z < ∞

r = x 2 + y 2  ϕ  x = r .Cos ϕ y   ϕ ϕ = arcTan  y = r.Sen ϕ ϕ x z = z   z = z  x r ′ x ϕ ϕ′ x ′ Cos ϕ ϕ - r.Sen ϕ ϕ 0 ℑ = y r ′ y ϕ ϕ′ y ′z = Sen ϕ ϕ r.Cos ϕ ϕ 0 = r .Cos 2 ϕ ϕ + r .Sen 2 ϕ ϕ = r ⇒ ℑ = r z r ′ z ϕ ϕ′ z ′z 0 0 1 z

67


Coordenadas esféricas

0 ≤ ϕ ϕ < 2 π π 0 ≤ λ λ ≤ π π 0 ≤ ρ ρ ρ < ∞

Como r = ρ ρ ρ .Sen λ λ

ρ ρ .Sen λ λ .Cos ϕ ϕ  x = ρ  ρ ρ .Sen λ λ .Sen ϕ ϕ  ⇒  y = ρ y = r. Sen ϕ ϕ   z = ρ ρ ρ .Cos λ λ 

x = r.Cos ϕ ϕ 

  ρ = x 2 + y 2 + z 2  y  ϕ = arcTan x  z  λ = arcCos  x 2 + y 2 + z 2 

x ρ′ xϕ′ x λ ′ λ

ℑ = y ρ′ yϕ′ z ρ′ zϕ′

Senλ.Cosλ − ρ.Senλ .Senϕ ρ.Cosλ .Cosϕ

y λ ′ = Senλ.Senϕ z λ ′

Cosλ

ρ.Senλ.Cosϕ 0

ρ.Cosλ.Senϕ =

− ρ.Senλ

= ρ ρ ρ 2 .Sen 3 λ λ .Cos 2 ϕ ϕ − ρ ρ ρ 2 .Cos 2 λ λSen 2 ϕ ϕ .Sen λ λ − ρ ρ ρ 2 .Cos 2 λ λ .sen λ λ .Cos 2 ϕ ϕ − ρ ρ ρ 2 .sen 3 λ λ .Sen 2 ϕ ϕ = = − ρ ρ ρ 2 .Sen λ λ [Cos2 ϕ ϕ (Sen 2 λ λ + Cos 2 λ λ ) + Sen 2 ϕ ϕ (Cos2 λ λ + Sen 2 λ λ )] = − ρ ρ ρ 2 .Sen λ λ

ℑ = ρ 2 .Sen λ

68


Integral Curvilínea Sea C una curva del plano que une los puntos A(a 1 ;b1 ) y B(a2 ;b2 ). Sean P(x ;y) y Q(x ;y) funciones uniformes definidas en todo punto de C. Subdividiendo C en n partes, eligiendo (n-1) puntos de la misma : (x 1 :y 1 ) ;(x 2 ;y 2 ) ;.................(x n-1 ;y n-1 ) Llamando ∆ x = x + − x ; ∆ y = y + − y Siendo (a1 ;b1 )=(x 0 ;y 0 ) y (a2 ;b2 )=(x n;y n ) y considerando puntos de C, (α ; β ) situados entre ( x + ; y + ) y ( x ; y ) ,formamos la siguiente suma. i

i 1

i

i

i 1

i

i

i 1

n

∑= {P(α i 0

i

i 1

i

i

i

; β i ) . ∆ i x + Q(α i ; β i ) . ∆ i y}

Si existe le limite de esta suma para n → ∞ , de modo que todos los ∆ x , ∆ y tienden a cero, tal limite se denomina integral curvilínea a lo largo de C, y se escribe: i

i

(a 2 ;b 2 )

∫→P (x ; y ) dx + Q( x; y ) dy = ∫ P ( x ; y ) dx + Q( x,y )dy = ( ∫; P ) ( x ; y ) dx + Q( x; y ) dy )

c

AB

a1 b 1

En forma análoga se puede definir una integral curvilínea a lo largo de una curva C en el espacio: Lim ∑ P (α ; β ; γ ) . ∆ x + Q(α ; β ; γ ) . ∆ y + R (α ; β ; γ ) . ∆ z = →∞ = n

n

i = 0

i

i

∫→P( x; y ; z ) dx

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

+ Q( x; y; z ) dy + R ( x; y; z ) dz

C

Calculo de la integral curvilínea 1) Si la ecuación de la curva C del plano, viene dado como y=f(x), la integral curvilínea se puede calcular haciendo d y =f’x dx a 2

a 2

∫→ P( x ; y ) dx + Q( x; y ) dy = ∫ P( x; f ( x)) dx + ∫ Q( x ; f ( x )) . f ′ . dx x

C

a 1

a 1

69


2) Si C esta dado por x=g(y), entonces dx=g’ydy b2

b2

b1

b1

∫→ P ( x ; y ) dx + Q ( x; y ) dy = ∫ P (g (y ); y ).g ′y dy + ∫ Q (g (y ); y ) dy

C

3) Si C esta dado por sus ecuaciones paramétricas  x = f (t ) dx = f t ′dt ⇒  y = g (t ) dy = f t ′dt

C 

t 2

t 2

t 1

t 1

∫→ P ( x ; y ) dx + Q( x; y ) dy = ∫ P (f (t ); g (t )).f ′(t ) dt +∫ Q(f (t ); g (t )).g ′(t ) dt

C

Siendo t 1,y t 2 los valores de t que corresponden a los puntos A y B Propiedades de La integral curvilínea 1) El valor de una integral curvilínea depende del arco de curva sobre el cual se calcule, no cambia si este esta expresado por parámetros distintos. 2) La integral curvilínea relativa a un arco AB es de igual valor absoluto pero de distinto signo a la misma integral relativa BA ∫ = − ∫ o ∫→ = - ∫← 3) La integral curvilínea relativa a un arco C entre A y B se puede descomponer en la suma de 2 integrales relativas a los arcos A M y M B de C. ∫ = ∫ + ∫ )

)

A B

B A

C

C

)

)

A B

)

A M

)

)

M B

Cálculo de una área por integral curvilínea Convenimos como sentido positivo para recorrer C el contrario al sentido de las agujas del reloj. C1 → y = y1 ( x ) C  C2 → y = y 2 ( x ) 70


Por análisis 1 sabemos

b

b

a

a

A = ∫∫ y2 ( x ) dx - ∫ y1 ( x ) dx (1)

Calculamos la siguiente integral curvilínea:

∫→ y dx

∫→ y dx

=

C

b

∫→ y dx = ∫ y ( x ) dx + ∫ y ( x ) dx

+

1

C 1

b

a

C 2

2

a

b

b

∫ y ( x ) dx - ∫ y ( x ) dx 1

2

a

( 2)

a

De (1) y ( 2) : A = - ∫ y dx

( I )

C →

Análogamente proyectando en y C1 → x = x1 ( y ) C  C2 → x = x 2 ( y )

Por análisis 1 : d

d

c

c

A = ∫ x 2 ( y ) dy - ∫ x1 ( y ) dy ( 3 )

Calculamos la siguiente integral curvilínea

∫

C →

x dy =

∫

x dy +

C 1 →

De (3) y (4):

∫

C 2 →

A=

c

d

d

d

d

c

c

c

x dy = ∫ x1 ( y ) dy + ∫ x2 ( y ) dy = - ∫ x1 ( y ) dy + ∫ x2 ( y ) dy (4)

∫→x dy (II )

C

Sumando (I) y (II):

2. A =

∫→x dy - y dx

C

Entonces:

A =

1 x d y - y d x ∫ 2 C →

71


Teorema de Green8 en el plano Si P(x ;y) y Q(x ;y) son funciones continuas, lo mismo que P ′ y Q ′ sobre un recinto R, limitado por una curva C rectificable, resulta : ∫ P( x ; y ) dx + Q( x; y ) dy = ∫∫ (Q ′ - P ′) dx dy y

x

C →

x

y

R

Demostración Dividamos a la curva C en dos arcos C 1 y C 2 definidos en [a ;b] C1 → y = y1 ( x ) C  C2 → y = y 2 ( x )

Considerando el 2 do término del 2 do miembro:

∫∫ P ′ dx dy y

R

b

= ∫ dx a

y 2 ( x )

b

y2 ( x )

∫( ) P ′ dy = ∫ P( x; y ) y

y 1 x

a

dx =

y1 ( x )

b

- = ∫ [ P ( x ; y 2 ( x ) ) − P( x ; y1 ( x ) )] dx = - ∫ P( x ; y ) dx a

C 2 →

∫→ P ( x ; y ) dx = - ∫→P( x; y ) dx

C 1

C

Entonces: ∫ P ( x ; y ) dx = -∫∫ P ′ dx dy (1) y

C →

R

Análogamente en el intervalo [c ;d]

8

Este teorema se llama así en honor a George Green (1793-1841). Green fue un autodidacta ya que era panadero y aprendió matemáticas por si mismo yendo a una biblioteca. En 1829 publica una obra titulada “ An easy on the application of mathematical análisis to the theories of electricity and magnetismo” ,de la cual solo se publican 100 copias. En ese libro figuro el teorema y ese libro sirvió de base para muchos hallazgos de Stokes, Maxwell, Thomson y Rayleigh 72


C1 → x = x1 ( y ) C  C2 → x = x 2 ( y )

Considerando el 1er termino del 2 DO miembro: d

x 2 ( y )

c

x 1 ( y )

∫∫ Q x′ dx dy = ∫ dy R

∫

d

x 2 ( y )

Q x ′ dx = ∫ Q( x; y ) x ( y ) dy = 1

c

d

= ∫ [Q( x 2 ( y ) ; y ) − Q( x1 ( y ) ; y )] dy = c

∫→ Q( x ; y ) dy = ∫→Q( x; y ) dy

+

C 1

+ ∫→Q( x ; y ) dy

C 2

C

Entonces: ∫ Q( x ; y ) dy = ∫∫ Q ′ dx dy (2 ) x

C →

R

Sumando (1) y (2):

∫→ P( x ; y ) dx + Q( x; y ) dy

C

=

∫∫ (Q ′ − P ′) dx dy x

y

R

Función Potencial Cuando trabajamos con funciones de una variable independiente y=f(x) continua en un dominio, vimos que siempre ∃ función primitiva F(x) / F(x)= ∫ f ( x ) dx o F’ x =f(x) o dF(x)=f (x) dx. Para el caso de funciones de dos variables independientes nos preguntamos si dadas dos funciones P(x ;y) y Q(x ;y) , ∃ U(x ;y) (función potencial o función primitiva) / U’ x =P y U’ y =Q o bien dU(x ;y)=P(x ;y) dx +Q(x ;y) dy o U ( x , y ) = ∫ P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy C

Propiedades 1) Si dadas dos funciones P(x ;y) y Q(x ;y)

a) Si ∃/ U(x ;y) / U’ x =P y U’ y = Q entonces : 73


P(x ;y) dx + Q(x ;y) dy se denomina expresión diferencial b) Si ∃ U(x ;y) / U’ x =P y U’ y =Q entonces P(x ;y) dx + Q(x ;y) dy =dU(x ;y) se denomina expresión diferencial total o exacta 2) La integral curvilínea de una expresión diferencial depende de la curva C a lo largo de la cual se calcula 3) La integral curvilínea de una expresión diferencial total o exacta es independiente del camino ( x1 ; y 1 )

∫ P( x ; y ) dx + Q( x; y ) dy =

∫ ( x 0 ; y 0 )

C

dU( x; y ) = U ( x ; y )

( x1 ; y 1 ) ( x 0 ; y 0 )

= U( x 1 ; y 1 ) − U ( x 0 ; y 0 )

Vemos que no depende de la curva, solo depende de los extremos. Como consecuencia de esta propiedad podremos asegurar que si la curva es cerrada, la integral curvilínea será igual a cero.

∫ P( x ; y ) dx + Q( x; y ) dy = 0 C

14444244443

Expresion diferencial total o exacta

Teorema de existencia de función potencial Dadas dos funciones P(x ;y) y Q(x ;y) definidas para todos los puntos de un dominio D de contorno C, con derivadas parciales P’ y y Q’ x continuas, la condición necesaria y suficiente par que exista función potencial es que la s derivadas sean iguales : P’ y= Q’ x 1) Condición necesaria: Si ∃ función potencial ⇒ Py′ = Q x ′ 74


2) Condición suficiente: Si P’ y= Q’ x ⇒ ∃ función potencial Demostración 1) ∃ función potencial U(x ;y) / U’ x =P respecto de y, y la 2 da respecto de x : U xy ′ ′ = P y ′ 

 Por Schwarz los 1 U yx Q = ′ ′′ x

eros

y U’ y =Q. Derivamos la 1 era igualdad

miembros son iguales entonces: Py ′ = Qx ′

2) Si P’ y= Q’ x , Aplicamos el Teorema de Green el el plano

∫ P( x ; y ) dx + Q( x; y ) dy

=

∫∫ (Q ′ − P ′) dx dy x

y

4 24 3 D 1

C

0

Significa que la integral a lo largo de una curva cerrada es igual a cero. Consideremos dos puntos del dominio Por ser ∫ = 0 entonces C

∫ + ∫ = 0 

C1

C 2

 0 = ∫ C ∫  C  ∫C + C ∫ = 0  ⇒ C∫ = C∫ = C∫ = ....... = C∫  ..............   0 + =  ∫ C ∫ C  Esto implica que no depende del camino ⇒ ∃ función potencial.

+

1

3

1

4

1

n

2

3

4

n

75


Cálculo de la función potencial Elegimos entre el punto del dominio (a ;b) y otro genérico (x ;y) el camino mas simple es decir paralelo a los ejes C 1 {y = b → dy = 0 C  C 2 {dx = 0 U ( x ; y ) = ∫ P( x ; y ) dx + Q( x; y ) dy = C

x

y

a

b

x

y

a

b

∫ P( x; b) dx + ∫ Q( x; y ) dy + C

U ( x ; y ) = ∫ P( x ; b) dx + ∫ Q( x; y ) dy + C

Si (0 ;0) ∈ al dominio

elegimos : (a ;b)=(0 ;0)

76


Función potencial en tres variables Dadas tres funciones P(x ;y ;z) ,Q(x,y,z) y R(x ;y ;z) definidas en un recinto simplemente conexo, la condición necesaria y suficiente para que exista función potencial es que las derivadas cruzadas sean iguales. = Q x ′ P y ′ = U x ′ = P   ∋ U ( x; y; z ) / U y ′ = Q ⇔ Pz′ = = R x ′ U ′ = R Q ′ = R ′ y  z  z

Cálculo de la función potencial

y = b → dy = 0 z = c → dz = 0

C 1 

dx = 0 C 2  z = c → dz = 0 dx = 0 C 3  dy = 0

U ( x ; y ; z ) = ∫∫ P ( x ; y ; z ) dx + Q( x; y; z ) dy + R ( x; y; z ) dz C

x

y

z

a

b

c

U ( x ; y ; z ) = ∫ P ( x ; b; c ) dx + ∫ Q( x; y; c ) dy + ∫ R ( x; y; z ) dz + C

77


Ecuación diferencial exacta Es de la forma: P(x ;y). dx + Q(x ;y) .dy =0 con P’y=Q’x Resolución: Recordemos función potencial dU(x ;y)= P(x ;y). dx + Q(x ;y) .dy Entonces la solución de la ecuación diferencial exacta será U(x ;y)=C x y Es decir: U (x ; y ) = ∫a P ( x ; b )dx + ∫b Q ( x ; y )dy = C Factor integrante Dada una ecuación diferencial P(x ;y).dx+Q(x ;y).dy=0 con P ′y ≠ Q ′x

Queremos transformarla en exacta, para ello debemos encontrar una función u(x) (factor integrante) tal que: (1) u(x).P(x ;y) dx+u(x).Q(x ;y) dy =0 sea exacta

Si llamamos p(x ;y) = u(x).P(x ;y) ; q(x ;y)= u(x).Q(x ;y) Se debe cumplir que p’y=q’x (2) p ′ y = u . P ′y

 u . P ′y = u ′x . Q + u . Q ′x q ′ x = u ′ x . Q + u . Q ′ x 

esta es una ecuación diferencial

a variables separables, la resolvemos : u . ( P ′y − Q ′ x ) = u ′x . Q P ′y − Q ′x du = Q dx du P ′y − Q ′ x dx ∫ u = ∫ Q P ′y − Q ′x P ′y - Q ′x ∫ Q dx Ln u = ∫ dx → u = e Q

u .

78


Si el integrando que nos queda expresado es una función de x, podemos hallar el factor integrante u(x), luego la reemplazamos en (1) y resolvemos la ecuación diferencial exacta. Si el integrando no es una función de x debemos proponer otro factor integrante u(y) y resolver en forma análoga a la anterior. u(y).P(x ;y)dx+u(y).Q(x ;y)dy=0 (3) Llamamos: p(x ;y)=u(y) . P(x ;y) ; Se debe cumplir p’y=q’x

q(x ;y)=u(y).Q(x ;y)

p ′ y = u ′ y . P + u . P ′y   u ′y . P + u . P ′y = u . Q ′ x q ′x = u . Q ′ x  u ′y . P = u . (Q ′ x − P ′y ) du Q ′ x − P ′y = u . dy P du Q ′ x − P ′y dy = ∫ u ∫ P Q ′ x − P ′y dy ∫ Q ′ x − P ′y Ln x = ∫ dy → u = e P P

Si el integrando es una función de y podemos hallar u(y), la reemplazamos en (3) y resolvemos la ecuación diferencial exacta.

79


Campos escalares y vectoriales Dada una región del espacio, cuyos puntos están determinados por sus coordenadas (x ;y ;z) respecto de un sistema cartesiano ortogonal. Una función ϕ = ( x; y; z) que cada punto le hace corresponde un escalar que es un valor que toma la función en cada punto, se denomina función de punto o función escalar y se dice que define un campo escalar. Ej. : Densidad del aire, presión, temperatura, etc. Si la función es independiente del tiempo, diremos que el campo es estacionario o permanente. Si tomamos un vector: A = A ( x; y; z) i + A ( x;y;z) I + A ( x;y;z) k que aplicada a cada punto de la región, determina un campo vectorial. Ej. : La ley de Newton de la gravitación enuncia que la magnitud de la fuerza gravitacional entre dos objetos, con masa m y M es: r

(

1

F ( x ; y ; z ) = −

2

m . M . G

(

x + y + z 2

2

2

(

)

3

(

3

( x ; y ; z )

El campo gravitacional se muestra en la figura de la derecha

Otros ejemplos: Campo de fuerzas, velocidades, aceleraciones Gradiente ϕ ( x; y; z ) , se denomina gradiente de la función al Dada una función ϕ vector: ∇ ϕ = ϕ ′ i + ϕ ′ I + ϕ ′ k .Este vector gradiente nos indica la variación de la función en una dirección determinada. Propiedades 1) La dirección del vector gradiente de una función ϕ es aquella según la cual dicha función varía más rápidamente (Recordar derivada direccional) 2) El vector gradiente es en cada punto normal a la superficie de nivel que pasa por dicho punto. Si consideramos la función escalar u= ϕ (x ;y ;z) la superficie de nivel estarán dadas por la ecuación ϕ (x ;y ;z)=cte. Consideramos (

x

(

x

(

x

80


un

desplazamiento cualquiera sobre una superficie d P = dx i + dy I + dz k , el diferencial de la función será : v

(

(

de

nivel:

(

ϕ = ϕ d ϕ ϕ x ′ dx + ϕ ϕ y ′ dy + ϕ ϕ z ′ dz = 0 ⇒ d ϕ ϕ = ∇ ϕ ϕ . dP = 0

Por ser el producto escalar cero, estos vectores son perpendiculares. Nota: Si ϕ (x,y,z) es una función potencial, las superficie de nivel se denomina superficie equipotencial. En la figura de la derecha, se graficado los vectores gradientes en un intervalo determinado. Como se puede los vectores gradientes son perpendiculares a las curvas de nivel y a las superficies de nivel apreciar es perpendicular a la superficie de nivel (ver figura inferior).

En las curvas de nivel de la figura de la izquierda vemos los “vectorcitos “gradientes perpendiculares a dichas curvas. La figura de la derecha vemos los vectores gradientes perpendiculares a una superficie de nivel. En la figura de abajo los gradientes perpendiculares a la superficie del cráneo (¿ Recordas la propaganda?

81


Circulación Dado un campo vectorial v = v ( x , y , z) i + v ( x , y , z) I + v ( x , y , z) k Consideramos una curva C en dicho campo, tendremos un vector del campo aplicado a cada uno de los puntos de C. Calculamos la integral curvilínea de la expresión diferencial : v dx + v dy + v dz , es decir : ∫ v dx + v dy + v dz (1) (

v

1

1

1

2

2

(

2

(

3

3

3

c

Si consideramos una diferencial de arco : ds = dx i + dy I + dz k , la integral (1) la podemos expresar : ∫ v . d s ,esta integral se denomina circulación del vector r

v

(

(

(

r

C

v a lo largo de la curva C : r

Circul = ∫ v . d s = ∫ v 1dx + v 2 dy + v 3 dz r

r

C

C

Ejemplo: si v es un campo de fuerzas, la circulación es el trabajo que realiza una partícula que se desplaza a lo largo de C. El gráfico de muestra el campo de Fuerzas F ( x , y ) = x i + xy I a lo largo de la curva r(t)= Cos t i + Sen t I entre 0 ≤ t ≤ π / 2 El trabajo es negativo, debido a que el campo obstruye el movimiento a lo largo de la curva. r

2

(

(

(

(

En general el cálculo de la circulación depende del camino, pero si la expresión diferencial es exacta, ∃ función potencial, entonces: U x ′ = v 1 r v  ∫C v 1 dx + v 2 dy + v 3 dz = U ( x , y , z) / U y ′ = v 2 ⇒ v = Grad U U ′ = v  z 3

En este caso el campo se denomina conservativo y la función potencial determina perfectamente el campo. Esto es muy importante pues generalmente 82


no se conoce el camino cuando se quiere hallar la circulación de un campo vectorial entre dos puntos. Divergencia Dado un campo vectorial v = v ( x , y , z ) i + v ( x , y , z ) I + v ( x , y , z ) k Se llama divergencia de v , a la función escalar: (

r

(

1

2

(

3

r

r

div v =

∂ v 1 ( x , y , z ) ∂ x

+

∂ v 2 ( x , y , z ) ∂ y

+

∂ v 3 ( x , y , z )

∂ z

Interpretación física Consideramos un fluido en movimiento y su respectivo campo vectorial determinado por el vector velocidad el fluido en cada punto de la región Campo de velocidades: (

(

(

v = v ( x , y , z ) i + v 2 ( x , y , z ) I + v 3 ( x , y , z ) k r

1

Consideramos un punto P y un paralelepípedo de lados ∆x , ∆y , ∆z paralelos a los ejes, sumergido en el fluido. Calcularemos la cantidad de fluido que entra por cada cara por unidad de tiempo y sale por la opuesta. Según la dirección del eje x, la cantidad que entra es el producto de la componente del campo según esa dirección por el área de la sección. Es decir: v ( x , y , z ) . ∆y . ∆z y la que sale por la cara opuesta es : v ( x + ∆x , y , z) . ∆y . ∆z Su diferencia multiplicada y dividida por ∆x es: ∂ v v ( x + ∆x , y , z ) − v ( x , y , z ) ∆x . ∆y . ∆z ∆x .∆y .∆z .En el límite 1

1

1

1

1

∆x

∂ x

Análogamente según el eje y es: y sobre el eje z’ :

∂ v 2 ∆x . ∆y . ∆z ∂ y

∂ v 3 ∆x . ∆y . ∆z ∂ z 83


Luego el fluido que se ha creado o consumido en el prisma por unidad de tiempo es: v  ∂ v 1 ∂ v 2 ∂ v 3  . x . y . z div v. + ∆ ∆ ∆ = ∆v +      ∂ x ∂ y ∂ z 

Entonces: div v = cantidad de fluido creado o consumido r

∆v

La divergencia del vector v en un punto es el cociente entre la cantidad de fluido que se crea o consume por unidad de tiempo en el volumen elemental y el mismo volumen cuando este tiende a reducirse a un punto. r

Divergencia negativa ⇒ en el prisma se consume fluido, hay un desagüe o sumidero Divergencia positiva ⇒ en el prisma se crea fluido, hay una fuente. Divergencia =0 ⇒ la cantidad que entra es igual a la que sale. Un campo vectorial cuya divergencia es cero en todo punto se denomina solenoidal. Nota: La divergencia de un vector admite diferentes significados físicos según la que represente el vector. Rotor Dado un campo vectorial denomina rotor de v:

(

(

(

v = v1 ( x , y , z ) i + v 2 ( x , y , z ) I + v 3 ( x , y , z ) k v

se

v

v   ∂ v 3 ∂ v 2  (   ∂ v 2 ∂ v 1  (  ∂ v 1 ∂ v 3  (  − − − rot v =  i + I +      k    ∂ z ∂ x     ∂ y ∂ z   ∂ x ∂ y 

Que se puede representar por un determinante simbólico: (

i v ∂ rot v = ∂ x v1

(

I ∂ ∂ y v2

(

k ∂ ∂ z v 3

84


Interpretación física Así como la circulación en un campo de fuerzas resulta ser el trabajo, la circulación en un campo de velocidades de un fluido en movimiento, por ejemplo, se puede interpretar como la cantidad de fluido que circula alrededor del camino elegido ya sea abierto o cerrado.. Si tomamos un camino cerrado y la circulación del campo de velocidades no es nula, ello indica que en una superficie limitada por la curva, el movimiento tiene un carácter rotatorio. Por tal razón cuando la circulación se anula sobre todo una curva cerrada, el movimiento y también el campo se llama irrotacional, pero esa condición equivale a que exista función potencial, es decir que el campo vectorial sea conservativo. Definición En una región R, consideramos una curva C alrededor del punto P, queremos definir la rotación en P. Lo logramos a partir de la circulación alrededor de P. La circulación tendera a cero a medida que C se contraiga hacia P, pues la curva se reducirá a un punto y también tendera a cero el área que dicha curva encierra. Sin embargo si consideramos el cociente relativo de esa circulación y el área que encierra la curva , cuando C tiende a P, este cociente no tiende necesariamente a cero y nos dará una medida de la rotación en P. El limite de este cociente depende de la dirección de la normal a la superficie en el punto, puesto que en el limite la circulación de v a lo largo de C esta en el plano tangente a la superficie en P, plano que esa dirigido por un vector normal n . Luego ese vector llamado circulación en el punto P o rotor del campo en el punto P, la definimos a través de su componente normal: ∫ v . d s v

v

r

r

(rot v )n = rot n v = rot v . n = Lim A→0 C r

v

r

r

C →P

A

85


Operador Nabla : ∇ Se define como

∂ ( ∂ ( ∂ ( i + I + k , ∇= ∂ x ∂ y ∂ z

mediante este operador puede

expresarse : gradiente, divergencia y rotor. Este operador aplicado: 1) A un escalar u = u (x,y,z) resulta el gradiente   ∂ ∂ ∂ ( ∂ ∂ ( ∂ ∂ (  ∂ u ( ∂ ∂ u ( ∂ ∂ u ( i + I + k u = i + I + k ∇u =  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x y z x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   

2) Escalarmente a un vector , resulta la divergencia

 ∂  ∂ ∂ v 3 ∂ v 1 ∂ ∂ v 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  ∇ . v =  + i + I + k . (v 1 i + v 2 I + v 3 k ) = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x ∂ y ∂ z  ∂ x ∂∂ y ∂ z   ∂ (

r

(

(

(

(

(

3) Vectorialmente a un vector, resulta el rotor (

(

(

i I k ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∇x v = ∂ ∂ x ∂∂ y ∂∂ z v 1 v 2 v 3 v

Orientación de superficies Para una curva en el plano fijamos una orientación según las agujas del reloj. Si la curva es cerrada, al área que encierra le asignamos el signo + cuando al recorrer su contorno, el interior queda a la izquierda y - cuando queda a la derecha.

86


Si consideramos superficies en el espacio, la convención anterior no sirve pues varia según se mire desde arriba o desde abajo. Si bien no podemos asignar un signo al área, si podemos distinguir dos caras, una positiva y una negativa.

Estas superficies con dos caras se denominan orientables y se definen como aquellas que para todo punto P de la misma, girando con continuidad e un mismo sentido sobre la superficie, no puede llegarse a ningún punto de la misma(o al mismo punto) con sentido contrario. A cada superficie orientable le corresponde dos superficies o caras orientadas. En cada punto P de estas superficies podemos considerar el vector normal n orientado de modo que desde su extremo se vea recorrer una curva C alrededor de P dejando su interior por ejemplo a la izquierda y a esta cara la llamamos positiva S+ y a la otra S-. Un ejemplo de una superficie no orientable o de una sola cara es la cinta de Moebius9(se obtiene uniendo los extremos de una cinta o banda después de girar uno de los extremos 180°) v

En el año 1996 se realizo una película argentina, realizada por estudiantes de cine (donde uno de los protagonistas es un actor muy conocido, Roberto Carnaghi) que se llamo “Moebius”. La misma trataba sobre la perdida de una formación de subte, en el espacio y el tiempo, en una red donde tenia precisamente un nodo con la forma de la cinta .Se basó en un cuento de A. J. Deutsch, A Subway Named Moebius (1950). 87 9


Integral de una superficie Sea S una superficie orientable, u= u (x,y,z) una función definida para todos los puntos de S. Tomamos una partición de la superficie ; ∆ s ; ∆ s ; ....... ∆ S .Definamos la integral de la función u=u(x,y,z) sobre una cara de la superficie al : 1

2

n

Limδ →0 ∑ u (α k ; β k ; γ k ) ∆ k S = ∫∫ ∫∫ u ( x ; y ; z ) dS S

Donde δ es la norma de la partición; (α α ; β β β ; γ γ ) es un punto cualquiera de ∆ S; con ∆ S > 0 cuando se considera la cara positiva y ∆ S < 0 cuando se considera la cara negativa. k

k

k

k

k

k

∫∫+ u( x ; y ; z ) dS = - ∫∫ u( x ; y ; z ) dS S

S-

Calculo de la integral de superficie10 Si la superficie esta dada como z=f(x ;y) proyectamos sobre el plano xy dx dy pues en área alabeada ya vimos ∫∫ u ( x ; y ; z ) dS = ∫∫ u ( x ; y ; f ( x ; y ) ) cos n k )

D ( x;y )

S

que

dS =

dx dy con ) cos n k

la salvedad para el caso de considerar superficies

orientadas, que el sentido de n variara según se tome la cara positiva o negativa y de ello dependerá el signo del cos n k . r

)

10

Las integrales de superficie se utilizan mucho para calcular en forma numérica los intercambios de calor de tipo radiativos entre superficies que, por ejemplo, están sometidas a un tratamiento térmico como pueden ser templado y revenido de un producto de acero en un horno industrial. Esos valores nos permiten luego calcular los flujos de calor en esos productos de acero como ser barras , planchones etc. 88


Flujo Dado un campo vectorial v , definamos el flujo generado por él, a través de una superficie A. r

• Si consideramos un campo v uniforme y un área plana normal a la dirección del campo. Definimos flujo de v sobre A, al producto del área por el modulo del vector : Φ = v . A • Un campo uniforme y un área no perpendicular a la dirección del campo, definamos al flujo de v sobre A por su componente normal al área. r

r

r

r

Φ Φ = v n .A = A. v . cos n v = A (v .n ) r

r

)

(

• Un campo vectorial variable v = v ( x; y; z) i +v ( x; y; z) I +v ( x, y, z) k y una superficie cualquiera. Definamos el flujo elemental correspondiente a un elemento de superficie ∆S como v n. ∆S , donde v n es la componente normal de v al elemento de área ∆S . La suma en el limite definirá el flujo total de v a través de la superficie S, como : (

r

1

(

2

r

Φ Φ =

3

r

∫∫ v

n

S

(

ds =

∫∫ (v . n ) dS r

r

S

Figura: Flujo del campo vectorial F a través de las superficies

89


Teorema de Gauss- Ostrogradsky 11 La divergencia de v en un recinto en el espacio es igual al flujo total de v a través de la superficie que limita el recinto. r

r

r

∫∫∫div V dV = ∫∫S (v . n) dS r

(

V

D) Sea S una superficie que limita un volumen V, que puede expresarse como 2 superficies uniformes z 1(x ;y) y z 2 (x ;y) definidas en un dominio D. Sea v = v ( x , y , z ) i + v ( x ; y ; z ) I + v ( x ; y ; z ) k un campo vectorial definido en todo V y sobre S / v 1,v 2 ,v 3 tienen derivadas continuas en la región. 1er miembro: (

r

1

(

2

(

3

 ∂ v 1 ∂ v 2 ∂ v 3  ∫∫∫V div v dV = ∫∫∫V   ∂ x + ∂ y + ∂ z  dx dy dz v

Consideramos el 3er término ∂ v 3 ∫∫∫V ∂ x dx dy dz = ∫∫D v3 ( x, y, z)

z2 ( x ,y ) z1 ( x ,y )

dx dy =

∫∫ [ v ( x, y, z ( x, y) ) − v [ x, y, z ( x, y) ]dx dy] ( (1) 3

1

3

2

D

∫∫(v . n) dS = ∫∫(v 1 cos(n i ) +v 2 cos(n j ) +v 3 cos(n k )) dS r

(

(

S

(

(

S

Consideramos el 3ER término

∫∫ v S

11 El

(

3

cos n k dS =

∫∫ v ( x , y , z) cos 3

S 2

n 2 k dS2 + ∫∫ v 3 ( x , y , z) cos n1 k dS1 (

(

S 1

teorema de la divergencia se conoce como el teorema de Gauss, en honor al matemática alemán Carl Friederich Gauss(17771855), quien lo descubrió durante su investigación de la electrostática, En la Europa Oriental, a este teorema se lo conoce como el teorema de Ostrogradsky, en honor al matemático ruso Mikail Ostrogradsky(1801-1862) quien publico este resultado en 1826 90


=

∫∫ v ( x, y, z ) dx dy - ∫∫ v ( x, y, z ) dx dy (2 ) 3

2

3

D

1

D

dx dy  dS = ( 2  cos n 2 k  el signo - aparece pues   dS = − dx dy (  1 cos n 1 k

De (1 ) y (2 ) : ∫∫∫ V

(

n 1 k >

π

2

⇒ cos n 1 k < 0 (

∂ ∂ v 3 ( .dx dy dz = ∫∫ v 3 cos n k dS ∂ ∂ z S

Análogamente proyectando sobre los otros planos ∂ ∂ v 1 ) dx dy dz = ∫∫ v 1 cos n i dS ∫∫∫ ∂ x V ∂ S ∂ ∂ v 2 ) dx dy dz = ∫∫ v 2 cos n j dS ∫∫∫ ∂ ∂ y V S Sumando miembro a miembro, tendremos la tesis.

Teorema de Stokes 12 o del rotor

La circulación de un campo vectorial v a lo largo de una curva C, es igual al flujo del rotor de v a través de cualquiera superficie que la tenga por borde. ∫ v . d s = ∫∫ (rot v . n ) dS r

r

r

C

r

r

(

S

Demostración 12

El teorema se llama asi en honor al matemático irlandés George Stokes(1819-1903). Stokes fue profesor de la Universidad de Cambridge, y fue especialmente famoso por sus estudios sobre flujo de fluidos y de la luz. Aunque en realidad el teorema fue descubierto por William Thomson (1824-1907), Stokes supo de este teorema por una carta de el en 1850 y en 1854 se los dio a los alumnos de la universidad para que lo demostraran. Se desconoce si alguien lo logro 91


Sea un campo vectorial v = v ( x , y , z) i + v ( x ; y ; z) I + v ( x ; y ; z) k , una superficie S, bordeada por una curva C. Particionamos la superficie S en ∆ S y sus respectivos contornos C k , fijando el sentido de la circulación y de la normal n según la terna con que se trabaje. Consideramos un punto P k en cada ∆ S , aplicamos la definición de rotor por su componente normal (ver definición de página 84): (

r

(

1

2

(

3

k

(

k

(rot n v )Pk = r

1 v r v . d s + ∈k ←infinitési mo∈k ←0 si ∆k S →0 ∫ ∆k S C k

Despejando la circulación: ∫ v . d s = (rot v ) .∆ S − ∈ .∆ r

r

r

n

C k

k

k

S

k

P k

Realizando la sumatoria: ∑ ∫ v . d s = ∑ r

r

(rot n v ) .∆ k S − ∑ ∈k .∆ k S r

C k

P k

La suma de las circulaciones sobre las C k nos dará la circulación a lo largo de la curva C, pues las correspondientes a las curvas interiores se anulan al ser recorridas en uno y otro sentido. Entonces: ∫ v . d s = ∑ (rot v ) .∆ S − ∑ ∈ .∆ S r

r

r

n

C k

k

k

k

P k

Aplicando límite cuando ∆ S → 0 ∫ v . d s = ∫∫ rot v dS = ∫∫ (rot v . n ) dS k

r

r

r

r

(

n

C

S

S

La foto nos muestra un cuadro del tornado de Oklahoma, en 1981. El tornado esta en la dirección del campo rotor F, donde F es la velocidad del aire (Comentario obtenido de Oliver Knill, profesor de Universidad de Harvard).

92


ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES DE MODELADO 13 Con frecuencia se desea describir el comportamiento e algún sistema o fenómeno de la vida real en términos matemáticos, dicho sistema puede se físico, sociológico o hasta económico. La descripción matemática de un sistema o fenómeno se llama modelo matemático y se forma con ciertos objetivos en mente. La formalización de un modelo matemático e un sistema se inicia: 1) Mediante la identificación de las variables causantes del cambio del sistema. Podemos elegir no incorporar todas las variables en el modelo desde el comienzo. En este paso especificamos el nivel de resolución del sistema. 2) Se establece un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema que tratamos describir. Esas hipótesis también incluyen todas las leyes empíricas aplicables al sistema. Aplicaciones Ley de newton del enfriamiento Según la ley empírica de Newton acerca del enfriamiento, la rapidez con que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio que lo rodea, que es la temperatura ambiente. Si T (t ) representa la temperatura del objeto en el momento t, Tm es la temperatura constante del dT medio que lo rodea y es la rapidez con que se enfría el objeto. La ley de dt

Newton del enfriamiento se traduce en el enunciado matemático: dT dT ∝ T - Tm entonces = k . (T − T m ) dt dt

En donde k es una constante de proporcionalidad llamado coeficiente de transferencia de calor por convección. Como supimos que el objeto se enfría, se debe cumplir que T >Tm ; en consecuencia lo lógico es que k < 0. Si la temperatura del objeto es T 0 en el momento t 0 ; entonces el modelo del enfriamiento del objeto puede escribirse de la siguiente forma: 13

Este apunte también los podes bajar de la pagina de la cátedra de dirección www.analisis2.webs.com que figura como “Apunte de modelado” 93


 d T = k . (T − T m )   d t T ( t 0 ) = T 0 

Segunda ley de newton del movimiento Para establecer un modelo matemático del movimiento de un cuerpo dentro de un campo de fuerzas, con frecuencia se comienza con la segunda ley de Newton. Recordemos de física, que la segunda ley de Newton establece que si sobre un cuerpo actúan fuerzas externas, este quedara en reposo o se continuara moviendo con velocidad constante. La segunda ley de Newton indica que la aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza sobre el e inversamente proporcional a su masa. En forma de ecuación podemos enunciar la 2da ley de Newton como: ∑ F = m. a La 2 da ley de Newton puede enunciarse, enu nciarse, rigurosamente, como sigue: La derivada de la cantidad de movimiento de una partícula, con respecto al tiempo es igual a la fuerza que actúa sobre ella. Cabe aclarar que la cantidad de movimiento (p) de una partícula se define como dr p = m . ν (masa por velocidad) y que ν = (la derivada del vector posición r

r

v

r

r

dt

r

respecto del tiempo es igual a la velocidad) y

d ν a = (la dt r

derivada de la

velocidad respecto del tiempo es igual a la aceleración). En consecuencia sean el enunciado tenemos que: r

r r d r v d dm r d ν r p=F ⇒ ( m. ν ) = F ⇒ . ν + m. = F (1) dt dt dt dt

si

la

masa

de

la

partícula

es

constante,

entonces

r

r v dm d ν ) = 0 ∴ m. = m. a = F ( Ley de Newton dt dt

Supongamos que se arroja una piedra hacia arriba desde la terraza de un edificio ¿Cual es la posición en el momento t ?.Como se ve en la figura, consideramos que su posición respecto del suelo es s(t).La aceleración de la piedra es la segunda derivada respecto de la posición , es decir

d 2 s(t ) dt 2 94


Para armar el modelo, introduzcamos las siguientes hipótesis: 1) Prescindimos de trabajar vectorialmente. 2) Consideramos a la piedra como una partícula de masa constante m 3) No hay otra fuerza más que el propio peso actuando sobre la piedra (se desprecia la resistencia del aire) 4) La aceleración de la gravedad es constante Ubiquemos el origen del eje s en el suelo tal como muestra la figura anterior. La altura del edificio es s 0 y la velocidad inicial de la piedra es v 0 0 . El peso de la piedra es P=m.g La aceleración de la piedra es la segunda derivada d s .Si suponemos que la 2

dt 2

dirección hacia arriba es positiva, que la masa de la piedra es m y que no hay otra fuerza, además de la gravedad (g) ,actuando sobre la piedra, la segunda ley de Newton establece que d 2 s m 2 = − m . g o sea dt

d 2 s = − g 2 dt

Por lo tanto, la posición de la piedra queda determinada mediante  d 2 s  dt 2 = − g   s (0 ) = s 0   s ′ (0 ) = ν 0 

Esta ecuación, con condiciones iniciales o de frontera, se pueden resolver integrando dos veces con respecto a t o bien como como una ecuación ecuación diferencial de segundo orden, Las condiciones de frontera determinan las dos constantes de integración.

95


CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento demográfico humano lo hizo en el año 1798 el economista ingles Thomas Malthus (1766-1834). EL modelo de Malthus, en esencia, es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población total, P(t), de ese país en cualquier momento t. En otras palabras, mientras mas personas haya en el momento t, mas habrá en el futuro. En términos matemáticos esta hipótesis se puede expresar como d P (t ) d t

∝ P ⇒

d P (t ) d t

= k . P

Donde k es la constante proporcionalidad que depende del índice de natalidad y mortalidad. A pesar de este modelo sencillo no tiene en cuenta muchos factores (por ej. migración, inmigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, predijo con mucha exactitud la población de los Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. Como puede observarse, de las diferentes aplicaciones una ecuación diferencial sirve para modelar muchos fenómenos distintos Practica 11b) Solución Aplicando el modelo de Newton del enfriamiento, se tiene:  d T = k . (T − 5 )  d t  T (1 ) = 1 2 

Resolviendo la ecuación, se tiene: ∫

dT = dt

∫ k . dt

⇒ L n (T − 5 ) = k .T + C ⇒ T = 5 + C . e k .t co c o m o T (1 ) = 1 2 ,

12 - 5 = 7 = C. e

k

y c o m o T (5 ) = 6 , 6 - 5 = 1 = C . e

5.k

 7 = C . e e , e s d e c ir  5 . k 1 = C . e 96


De la prim era ,C = 7.C. e k ; reemplazando en la s egunda ,1 = 7. e 4.k ⇒ 1 7    1   1  Ln   = 4 . k ⇒ k = . Ln   ≅ − 0 .4865 . L ueg o C = -0.4865 ≅ 11 .39    7   7  4 e Por lo tan to la solucion del problema de ν alor inicial es

T = 5 + 11.39. e -0.4865.t Para saber cual es la temperatura el recinto interior, e ν aluamos en T en t = 0

⇒ T = 5 + 11.39 = 16.39

Esta claro que damos por supuesto que cuando t=0, el termómetro se encuentra en el recinto interior y de inmediato, se lo traslada al ambiente exterior. 11)d) Solución El modelo que vamos a resolver es el modelo Malthusiano de población. Para determinar la constante k, sabemos que P(1800)=5.308 ∫

dP = dt

∫ k .d t

⇒ Ln P = k. t + C ⇒ P = C. e k..t

Si ubicamos el eje t, e manera que t=0 coincide con 1790. Entonces P(0)=3,929 y P(10)=5,308. Entonces nos queda   5 ,308  1 = k ⇒ k ≅ 0 .0301 .   3 ,929   10

C = 3 ,929 ⇒ 5 ,30 8 = 3 ,9 29 .e k.10 ⇒ Ln 

P = 3 ,929 . e k .t 97


Año

t

población(P) Población (PD)

1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

3.929 5.308 7,40 9.638 12,866 17,069 23,192 31,433 38,558 50.136 62,948 75,996 91,972 105,711 122,775 131,669 150,697

3.929 5,308 7,171 9,688 13,088 17,682 23.888 32,272 43,599 58,901 79,574 107,503 145,234 196,208 265,074 358,109 483,798

Predicha Error P-PD 0 0 0,069 -0.050 -0.222 -0.613 -0.696 -0,839 -5,041 -8,745 -16,626 -31,507 -53,262 -90,497 -142,29 -226,44 -333,10

Error relativo (P-PD)/P(en %) 0 0 1 -1 -2 -4 -3 -3 -13 -17 -26 -41 -58 -86 -116 -172 -221

Puede observarse que el modelo se ajusta hasta el año 1860.Probablemente algún hecho histórico haya ocurrió a partir de ese año, ya que la velocidad de crecimiento poblacional (derivada) cae considerablemente. 12) Solución

98


k 1 dA 1 dA . = K1 − A.( k1 + k2 ) ⇒ = −A dt k1 + k 2 dt k1 + k 2

⇒∫

⇒

   k dA = ∫ ( k1 + k2 ).dt ⇒ −Ln 1 − A = (k1 + k2 ).t + C k 1   k1 + k 2  −A k1 + k 2 k 1

k1 + k 2

− A = e−( k +k ) .t .C siendo A( 0) = 0 ⇒ C = 1

2

k 1 k1 + k 2

∴

k − k +k .t A= 1 . (1 − e ( ) ) k1 + k 2 1

Si t → ∞ A =

k 1 k 1 + k 2

2

; para que A=1 (toda la lista memorizada) el individuo no

debe olvidarse de nada, esto equivale a que k 2 =0. Si, por el contrario, suponemos que el individuo a medida que memoriza se va olvidando, k 2 >0; Por lo tanto, nunca memorizaría la lista completa.

99


Actividades pendientes14 10 ) Un ciclista sube la montaña modelizada por la ecuación 2π π ( x 2 + y 2 ) + z = 2π π (la superficie es un paraboloide) a lo

largo de una curva intersección de esa superficie helicoidal, dada por: x = r Cos(t); y = r Sin(t);z = t / 2 ( 0 ≤ r ≤ 1;0 ≤ t ≤ 4 π π ) ¿Que trabajo realza el ciclista al dar vueltas desde A hasta B si la fuerza es F = (k . z ; 3 y 2 ; 2 . x )

1

0. 5

0

-0.5

-1

6

4

r

2

¿Para que valor de k el campo es conservativo? .Es decir la integral depende solo de los limites de integración y no del camino

0

1 0. 5 0 -0.5 -1

Para calcular el trabajo debemos recurrir al cálculo de la integral curvilínea T = ∫ F .dS C T = ∫ (kz ,3 y ,2 x ).(dx , dy , dz ) = 2

AB

    , 3 y , 2 x .(dx , dy , dz ) = ∫ kzdx + 3 y dy + 2 xdz (1 ) T = ∫  kz {  AB AB   F F F  2

{

1

2

2

{ 3

Realizando el reemplazo de cada componente de F por las componentes en forma paramétrica de la superficie helicoidal, nos queda, poniendo las componentes en función del parámetro t de la siguiente forma:

F = kz ; F = k . 1

14 Algunos

1

t 2

; x =

   - 1 t 4 π π 1.Cos(t); dx =  Cos ( t ) −  4 ππ t  2 1 4 π π  

  t 1− Sin ( t )  dt  4π π  

ejercicios de este apunte “Ejercicios pendientes” también los podes descargar de la página de la cátedra 100


t  F = 3 y → F = 3 r Sin ( t ) = 3  1−  Sin ( t ) ; siendo y = 2

2

2

2

2

 

2

   − 1 4 π π dy =  .Sin ( t ) +  t  2 1− 4 π π 

F = 2 x = 2 r Cos(t) = 2 1 3

4 π π 

1-

t 4 π π

Sin(t)

  t 1− .Cos ( t )  dt  π 4π  

t 4 π π

Cos(t) siendo z =

1 t → dz = dt 2 2

La superficie en coordenadas cilíndricas queda expresada como: z = 2π π − 2π π r

2

Como debemos expresar lo todo en función de t y luego reemplazarlo en (1) La expresión queda: t 2

= 2π π − 2π π r 2 → despejando r → r = 1 −

t 4 π π

En (1) la integral queda: r

4 π π

T = ∫ F .d s → T = ∫ F .dx + F .dy + F .dz AB Haciendo los reemplazos en el integrando, la integral a resolver nos queda r

0

    Cos(t ) 4π π  t − T = ∫0 k . − t 2   8π π 1 −   4π π

1

2

3

     Sin(t ) t t    2 + 1 − Sin(t ) + 3.1 − .Sin (t )− t 4π 4 π π  π    8π 1 −   π   4π π

  t 1 − Cos(t ) + 4π π  

  t 1 − Cos(t) dt = 4π π  

T =-0,0685839 .(k-2) No intentes resolverla a pulmón, se resolvió con el Matemática. Si se resuelve en función de r, la integral queda de la siguiente forma: 101


π (1− r )) → dx = (Cos(4π π (1− r )) + 8π π r Sin(4π π (1− r )))dr  x = r Cos(4π  C = y = r Sin( 4π π (1− r )) → dy = Sin(4π π (1− r )) − 8π π r Cos(4π π (1− r ))dr z = 2π π (1− r ) → dz = −4π π r dr  2

2

2

2

2

2

2

2

2

r

F = (kz ,3y ,2 x ) = (2k π π (1− r ),3r Sin (4π π (1− r )),2rCos(4π π (1− r )) T = ∫ {k 2π π (1− r ).[Cos(4π π (1− r ))] + 8π π r Sin(4π π (1− r ))] + 3r Sin (4π π (1− r )) [Sin(4π π (1− r )) − 8π π r Cos(4π π (1− r ))] + 2r Cos[4π π (1− r )).(−4π π r )]}dr 2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

2

2

2

2

Para que la integral solo dependa de los extremos y no del camino, debe cumplirse las condiciones de simetría en las derivadas parciales de las componentes del campo. Como estuvimos trabajando con

F , F , F , recorda que T = (P, Q, R ) P x = Q y P x = 0, Q y = 0 → P x = Q y       Q z = R y T =  kz , 3 y , 2 x  → Q z = 0, R y = 0 → Q z = R y P = R   F F F  P = k , R = 2 → k = 2  z  z x x 1

2

3

2

{ 1

{ 2

{ 3

102


Figura 1: Un camino “por rectas” más sencillo

Para k=2, F es un gradiente, es decir existe función potencial, por lo tanto es conservativo. Si el campo es conservativo, podemos optar por caminos “mas sencillos’’por ejemplo que coincidan con los ejes o bien un camino que una el punto A con el B, por ejemplo una recta (ver figura 1). π − 2π π x  z = 2π C  1 ≥ x ≥ 0 0

0

1

1

T = ∫ kz .dx + 3y .dy + 2 x .dz → ∫ k .zdx + 2 x .dz → −∫ (2π πk − 2π πkx ).dx + 2

AB

2 x .(− 2π π ).dx → (− 2π π .k . x + π π .k . x 2 )1 = −2π π .k + π π .k + 2π π − π π .k + 2π π = π π (2 − k ) 0

103


Ej12 ) La superficie de un montaña responde a la ecuación x 2 + y 2 + z = 4 R 2 (S).Sobre

una de sus laderas se construya un restaurante cilíndrico, de radio R, según se muestra en la figura de la siguiente pagina. La temperatura que irradia la superficie del terreno viene dada por: 2

T ( x , y , z ) = 3 x 2 + ( y − R ) + 16 z 2

Se define V a través de la función densidad de flujo de calor, como V = − k∇T 15 , donde k es una constante. Calcula el flujo de V a través la superficie de contacto entre el restaurante y la montaña. v

v

v

En primer lugar determinamos el gradiente de T(x,y,z) ∇T ( x , y , z ) = (6 x ,2( y − R ) ,32 z )

Luego reemplazamos en V = − k∇T v

v

V = − k (6 x ,2( y − R ) ,32 z )

Calculamos el gradiente de S ∇S = (2 x ,2 y , z )

El modulo de S es: ∇S = 4 x 2 + 4 y 2 + z 2

Por lo tanto el versor es: n = (

(2 x ,2 y ,1) 4 x 2 + 4 y 2 + 1

Ahora nos falta dS, que como el Dominio es sobre el plano xy 15

Si aceptamos que el flujo de calor es una cantidad vectorial, esta ecuación no es otra cosa que la ley de Fourier donde T(x,y,z) es el campo escalar de temperatura . La constante K se denomina conductividad térmica 2 y se mide en Watt/(m K).La unidad del flujo de calor se mide en Watt/m . 104


dS =

dxdy ( cos(n z )

 

 z  . 0 , 0 , 1 =  ( ) 2 2 4x 2 + 4y 2 + 1  4x + 4y + 1  

dS = 

(2x,2y,1) 

4x 2 + 4y 2 + 1 dS = dx dy 1

Ahora   12 x 2 + 4y ( y − R) + 32z   2 x ,2 y , z     = −k  V . n →  − k(6 x ,2( y − R) ,32z ).   2 2 2 2 + + 4 x 4 y 1 4 x 4 y 1          v ( 12 x 2 + 4y ( y − R) + 32z  4 x 2 4y 2 + 1 F = ∫∫ V . n dS → F = ∫∫ − k  dx dy . 2 2 1 + 4 x 4 y 1   12 x 2 + 4y( y − R) + 32z  F = ∫∫ − k  = -k ∫∫ (12 x 2 + 4y( y − R ) + 32z)dx dy  .dx dy → F 14444444 4 244444444 3 1   1 v

(

La ecuación del cilindro es x + ( y − R ) = R . Fíjate entonces que el dominio sobre xy es una circunferencia de desplazada en y. Es conveniente aplicar las coordenadas polares. 2

2

2

La ecuación, al desarrollarla, queda: x 2 + y 2 − 2 Ry − R 2 = R 2 → x 2 + y 2 = −2 Ry

Sabemos po r coordenadas polares que r 2 = x 2 + y 2 ; y = r Sin(ϕ ) , por lo tanto ,la ecuacion queda: r = 2R Sin (ϕ )

0 ≤ r ≤ 2 R Sin(ϕ )

Los límites de integración son 

0 ≤ ϕ ≤ π

La expresión (1) nos queda, expresada en coordenadas polares de la siguiente manera: 105

Apunte2012.pdf

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