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UNIVERSITÁ DEGLI STUDIDI ROMA TRE Laboratorio diCostruzioni dell’Architettura 2

APPUNTI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI

a.a. 1999/2000

Indice 1Introduzione

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1.1 Progetto e veri…ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Classi…cazione delle azioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Modellazione delle azioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Prestazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 I materiali e la struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Trattamento delle incertezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 I materiali delle costruzioni in cemento armato

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2.1 Le costruzioni in cemento armato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Il calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.1 Composizione del calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.2 Fattori che in‡uenzano le caratteristiche meccaniche del calcestruzzo 12 2.2.3 Caratteristiche meccaniche del calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.4 Comportamento del calcestruzzo con…nato . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.5 Deformazioni lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 L’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 L’aderenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Classi…cazione dei materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5.1 Frattili e valori caratteristici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5.2 Controllo di accettazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.3 Classi…cazione degli acciai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.4 Valori di progetto, diagrammi di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 Elementi sollecitati da tensioni normali. La ‡essione

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3.1 Ipotesi di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Calcolo elastico. Il metodo delle tensioni ammissibili . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.1 La sezione omogenizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.2 Flessione La ‡essione retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.3 deviata 50 3.2.4 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Calcolo allo stato limite ultimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3.1 Sezione rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.2 Sezioni a T ed I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3.3 Flessione retta di sezioni di forma qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . 70 3.3.4 Flessione deviata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.3.5 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 I

II

INDICE

4 Sforzonormalee‡essione

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4.1 Sforzo normale centrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.1.1 Calcolo elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.1.2 Calcolo allo stato limite ultimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.1.3 Pilastri cerchiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.4 Trazione semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2 Sforzo normale eccentrico. Calcolo elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2.1 Pressione eccentrica, piccola eccentricità . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2.2 Grande eccentricità. Presso‡essione retta . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2.3 Trazione eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2.4 Sezioni di forma arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.2.5 Presso‡essione deviata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3 Sforzo normale eccentrico. Calcolo allo stato limite ultimo . . . . . . . . . . 95 4.3.1 Sezione rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3.2 Veri…ca della sezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3.3 Sezioni di forma generica. Presso‡essione deviata . . . . . . . . . . . 108 4.4 Pilastri snelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.4.1 Il metodo “esatto” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.4.2 Il metodo della colonna modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.4.3 Il metodo del momento ampli…cato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.4.4 Momento variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.4.5 In‡uenza dei vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5 Elementi sollecitati da tensioni tangenziali: il taglio

123

5.1 5.2 5.3 5.4

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Il comportamento delle travi sollecitate a taglio . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Il comportamento delle travi prive di armatura di taglio . . . . . . . . . . . 127 Travi con armatura a taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.4.1 Determinazione delle sollecitazioni nell’armatura di taglio . . . . . . 130 5.5 Interazione tra ‡essione e taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.6 Progetto secondo le normative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.6.1 Metodo delle tensioni ammissibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.6.2 Calcolo allo stato limite ultimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.6.3 Armatura longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.6.4 Quantitativi minimi di armatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6 E lementi sollecitati da tensioni tangenziali: la torsione

6.1 6.2 6.3 6.4

143

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Comportamento in fase elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 La torsione nelle travi fessurate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Veri…che secondo le norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.4.1 Norme italiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.4.2 Norme europee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 52 6.4.3 Combinazione con ‡essione e taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.4.4 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

III

INDICE

7 Statilimitediesercizio

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7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.2 La fessurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 7.2.1 Il meccanismo di formazione delle fessure . . . . . . . . . . . . . . . 158 7.2.2 Veri…ca secondo le norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.3 Stato limite di compressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.4 Stato limite di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.4.1 Calcolo analitico delle deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

IV

INDICE

Capitolo 1

Introduzione 1.1

Progetto e veri…ca

La progettazione delle strutture, come ogni altra attività progettuale, è un’operazione di tipo sintetico in cui intervengono, in modo di¢cilmente sistematizzabile, fantasia, intuizione, esperienza; così probabilmente il modo migliore per apprendere l’arte del progettare è il farlo, imparando a risolvere i problemi via via che questi si presentano. Il prodotto della progettazione però deve sottostare al vaglio della veri…ca che, al contrario, è una procedura di tipo analitico e pertanto può essere molto più facilmente sistematizzata e regolamentata. Queste considerazioni sono valide per ogni genere di progetto; nel caso del progetto strutturale inoltre la veri…ca è spesso di tipo quantitativo e richiede l’impiego di algoritmi numerici. Nellaseguito questi appunti civili; saranno illustrate alcune le dato molteplici procedure richieste per veri…cadidelle strutture un particolare rilievotra sarà alle strutture in cemento armato, poiché questa tecnica costruttiva è la più di¤usa, ma saranno trattate, seppure più brevemente, anche le strutture in acciaio ed in muratura. Immaginando di dover veri…care una struttura già progettata, si pone il problema di de…nire a quali requisiti la struttura deve soddisfare, in modo da poter poi concludere se essa li soddisfa o no. Un primo problema che si incontra nella de…nizione delle prestazioni richieste alla struttura è di de…nire cosa essa sia, cioè quali parti di un edi…cio debbano considerarsi strutturali e quali no. Negli edi…ci in muratura, ad esempio, i muri svolgono sia compiti strutturali sia compiti funzionali; nei moderni edi…ci a telaio (in cemento armato od in acciaio) vi è una più chiara separazione dei compiti e la struttura viene individuata nella gabbia di travi e pilastri, mentre tutti gli altri elementi sono considerati sovrastrutturali. Però in certi casi (per e¤etto delle azioni sismiche, ad esempio) le tamponature, normalmente considerate elementi non strutturali, interagiscono con la struttura modi…candone il comportamento in modo sostanziale. Inoltre per gli edi…ci con setti portanti si possono fare le stesse considerazioni svolte per le strutture in muratura. Poiché le nostre analisi vengono svolteècon riferimento apreliminare modelli chestabilire rappresentano modo più o meno sempli…cato la realtà, evidentemente cosa si in deve considerare struttura, e quindi inserire nel modello, e cosa invece deve restarne fuori. Individuata la struttura si devono stabilire le prestazioni che da essa si pretendono.Per una struttura la prestazione fondamentale sta nel sopportare, senza danni per se e per le cose sostenute, le azioni determinate dall’ambiente esterno. Pertanto per poter procedere oltre occorre classi…care e quanti…care le azioni che prevedibilmente agiranno sulla struttura nell’arco della sua vita utile. Questo tra l’altro pone un problema preliminare: quale è la durata della vita utile delle costruzioni civilià Le opere del passato hanno superato, 1

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Capitolo 1 Introduzion e

spesso indenni e senza speciali manutenzioni, molti secoli, ma le tecnologie costruttive attuali (cemento armato, acciaio) non sembrano garantire, a meno di importanti e frequnti manutenzioni, una analoga durabilità; in alcuni paesi, meno abituati di noi a conservare il passato, si …ssa convenzionalmente il periodo di rinnovo degli edi…ci in cinquanta anni. Questa durata è probabilmente troppo breve per l’Italia, dove, almeno negli ultimi decenni, una politica di demolizioni e ricostruzioni non è mai stata adottata; attualmente non si ha un riferimento certo su come …ssare questo dato; la durata di un secolo potrebbe essere una scelta convenzionale ragionevole per un paese conservatore come il nostro, ma è una scelta sicuramente opinabile.

1.2

Classi…cazione delle azioni

Le azioni che si prevede potranno agire su di una costruzione possono essere classi…cate da diversi punti di vista. Prima di tutto secondo la loro natura, potremo distinguere tra: 1. Azioni che si manifestano come forze agenti sulla struttura : la più importante è il peso, e¤etto della forza di gravità della Terra; la maggior parte delle strutture civili sono progettate per sopportare il loro peso e quello degli oggetti sostenuti. Un’altra azione che si manifesta mediante forze è la pressione esercitata dal vento. 2. Azioni che si esplicano imprimendo un moto alla struttura ; esempi sono i cedimenti delle fondazioni1 e, particolarmente importanti, le azioni sismiche. 3. Azioni di tipo termico , comprendono le variazioni di temperatura dovute ai cicli diurni e stagionali e l’azione di eventi accidentali, quali il fuoco. Nel primo caso gli e¤etti sono di tipo indiretto, legati alla variazione di volume dei materiali indotta dalla variazione di temperatura,nel secondo si hanno importanti fenomeni di degrado delle resistenze dei materiali che riducono gravemente la prestazione della struttura. 4. Azioni di tipo chimico, quali la corrosione dei metalli, la carbonatazione delle pietre e delle malte, anch’esse possono ridurre notevolmente la resistenza delle strutture o di loro parti. Un altro criterio di classi…cazione riguarda il modo con cui la struttura reagisce all’azione; con riferimento alle azioni di tipo meccanico ed in particolare a quelle che si esplicano come forze o spostamenti impressi, si è soliti distinguere tra: 1. Azioni statiche, cioè che variano nel tempo così lentamente da indurre nella struttura accelerazioni trascurabili; l’applicazione dei pesi normalmente può essere considerata un’azione di questo genere. 2. Azioni dinamiche , per le quali gli e¤etti delle accelerazioni non sono trascurabili; appartengono a questa categoria l’azione sismica, la forza del vento (per la componente turbolenta), gli e¤etti di macchinari contenenti parti mobili di un impianto industriale, gli e¤etti del moto dei veicoli su di un ponte, ecc. 1 Se il terreno sottostante la costruzione viene inglobato nel modello e considerato parte della “struttura” il cedimento è una deformazione interna al sistema, prodotta dalle forze esterne; ma se l’interazione terreno– struttura è trascurata e la fondazione è vista come esterna al modello i cedimenti devono essere classi…cati come azioni esterne.

1.2 Classi…cazione delle azioni

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Inoltre le azioni posso no essere classi…cate in base alla loro evoluzione nel tempo e distribuzione nello spazio; si può quindi distinguere tra: 1. Azioni permanenti, costituite da quelle azioni che sono presenti e costanti durante tutta la vita (od una parte rilevante di essa) della struttura. Il peso proprio ed i sovraccarichi …ssi: pavimentazioni, muri divisori, impianti …ssi, sono esempi delle azioni di questo tipo. variabili 2. Azioni azioni chesono variano nel tempo e cheuna quindi possono anche del essere assenti, ma, ilsono tempo in cui presenti costituisce parte signi…cativa totale. Queste azioni sono spesso modellate come processi di rinnovo: l’azione rimane costante per un certo tempo, poi cambia improvvisamente valore; tali processi sono caratterizzati dalla frequenza media di rinnovo (numero dei rinnovi nell’unità di tempo), per cui si distinguono in genere due categorie di azioni:

(a) Azioni quasi permanenti, la cui frequenza di rinnovo è piccola e pertanto si prevedono pochi rinnovi nell’arco della vita utile dell’opera (i carichi degli arredi in un edi…cio di abitazione o per u¢ci) (b) Azioni che variano con frequenza, come i sovraccarichi dovuti al peso delle persone in un edi…cio o al peso delle auto su di un ponte 3. Azioni accidentali. Sono azioni raramente presenti (spesso assenti in tutta la vita dell’opera) ma il cui veri…carsi può avere conseguenze gravi per la sicurezza della struttura. Esempi tipici sono l’azione sismica, gli scoppi, gli urti di veicoli pesanti, la caduta di aerei, gli incendi.

1.2.1

Modellazione delle azioni

La veri…ca di una struttura richiede che si possa prevedere a quali sollecitazioni sarà sottoposta nel periodo di funzionamento; questo, salvo rari casi, non può essere noto deterministicamente, poiché ogni previsione su eventi futuri è a¤etta da un margine, più o meno grande, di incertezza. Le azioni debbono, almeno in linea di princip io, essere modellate come grandezze aleatorie. Le grandezze che non variano nel tempo, come il peso proprio della struttura, possono pertanto essere descritte come variabili aleatorie , caratterizzate dalla loro distribuzione di probabilità o almeno dal valore medio e dalla deviazione standard. La descrizione delle grandezze che variano nel tempo è molto più complessa, perché richiede l’impiego di processi stocastici. Spesso per descrivere l’evoluzione dei carichi variabili si impiegano modelli ad onda quadra: a degli istanti selezionati a caso il valore del carico cambia in modo indipendente dal valore precedente, in accordo con una …ssata distribuzione, e rimane costante due frquenza successivimedia istanti. processo caratterizzato, che dallaildistribuzione del carico,tradalla cheècontrolla quantooltre di frequente carico varia. di Il rinnovo Un altro schema, più complicato ed utile per descrivere fenomeni soggetti ad accumulo, come la neve, impiega i processi di rinnovo (in inglese ”renewal”), caratterizzati anche questi dalla frequenza di arrivi, dalla legge di distribuzione e dalla legge di variazione nel tempo delle intensità. Le azioni accidentali spesso vengono descritte come processi di Poisson composti, caratterizzati anch’essi dalla frequenza degli eventi e da una legge di intensità. Spesso però la descrizione del fenomeno richiede ulteriori informazioni; per esempio nel caso di un

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o c i r a c l e d à t i s n e t n I

Tempo (a)

Te m p o (b)

Te mp o (c)

Figura~1.1: Rappresentazione dei processi dei carichi variabili, (a) rapidamente, (b) lentamente, (c) accidentali evento sismico, oltre all’accadimento ed alla intensità occorre descrivere dettagliatamente l’azione sismica, ad esempio attraverso una storia temporale delle accelerazioni del moto del terreno, la cui previsione è, ovviamente, altrettanto incerta. Una rappresentazione schematica dei processi rappresentativi delle azioni variabili ed accidentali è mostrata nella Figura 1.1

1.3

Prestazioni

Si possono individuare diverse esigenze prestazionali di una struttura; le soglie che, spesso convenzionalmente, statilimite; in cui questi le prestazioni sono ordinati garantitegerarchicamente, da quelli in cui non lo sono, vengonoseparano chiamatiglistati stati limite, vengono usualmente raggruppati in due categorie: gli stati limite di esercizio e gli stati limite ultimi. Il superamento di uno stato limite di esercizio porta ad una riduzione della funzionalità dell’opera ma di solito non ne compromette, almeno direttamente, la resistenza; viceversa se si supera la soglia di uno stato limite ultimo non è più possibile garantire la capacità della struttura (o di una sua parte) di svolgere la sua funzione principale, che è quella di sostenere i carichi. In Figura 1.2 le condizioni di stato limite sono rappresentate come super…ci nello spazio delle azioni , cioè in uno spazio in cui un punto rappresenta uno stato di sollecitazione della struttura. La super…cie rappresentativa dello stato limite di esercizio è interamente contenuta nel dominio racchiuso nella super…cie di stato limite ultimo, come è ragionevole attendersi. Se il punto rappresentatitivo delle azioni è interno al dominio racchiuso dalla super…cie il corrispondente stato limite è soddisfatto; risulta invece violato quando il pun to attraversa la super…cie uscendo dal dominio. Nella Fig. 1.2 è mostrato come l’azione varia nel tempo, restando all’interno del dominio di esercizio …no ad un istante in cui la soglia di stato limite viene unaultimo. prima volta superata; successivamente vienesono superata anche la super…cie di stato limite Nel disegno le super…ci di stato limite rappresentate …sse e deterministicamente note, ma in realtà anche le loro forma e dimensione sono incer te per i motivi che si diranno più avanti. Poiché è prevedibile che il dominio di esercizio è contenuto in quello ultimo viene da chiedersi perché non sia su¢ciente veri…care che solo il più stringente degli stati limite sia soddisfatto, ma, al contrario, se ne debbano controllare più di uno. Il motivo è che, a causa dell’aleatorietà delle azioni (e delle resistenze), gli stati limite possono essere soddisfatti solo in senso probabilistico, controllando che la probabilità di superamento

1.4 I materiali e la struttura

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Figura~1.2: Rappresentazione schematica delle azioni e delle super…ci di stato limite dello stato limite sia inferiore ad una soglia …ssata; il livello di questa soglia è il grado di protezione che la collettività, attraverso le norme, vuole ottenere nei confronti di un evento indesiderato. livelli È ovvio che nei confronti eventi le cui conseguenze sonomaggiori meno gravi si adotteranno di sicurezza inferiori, di cioè si accetteranno probabilità che lo stato limite sia superato. Quindi la veri…ca degli stati limite di esercizio non garantisce nei confronti di quelli ultimi, perché per i primi si accetta un rischio maggiore che per i secondi e non è prevedibile a priori quale dei due risulterà maggiormente vincolante per il progetto.

1.4

I materiali e la struttura

Il comportamento di una struttura, ed in particolare la sua resistenza, è prima di tutto condizionato dalle caratteristiche dei materiali con cui essa è realizzata. La natura dei materiali impiegati condiziona in modo determinante le tipologie strutturali e spesso anche quelle architettoniche; nell’ambito di una tipologia le caratteristiche dei materiali in‡uiscono sensibilmente la resistenza della struttura, quindi le incertezze sulle proprietà dei materiali si ri‡ettono ovviamente su quelle dell’intera struttura. Le incertezze proprietà meccaniche dei materiali da moltiadfattori; se si eseguono delle sulle misure di resistenza di campioni di unodipendono stesso materiale, esempio la resistenza delle barre di acciaio provenienti da uno stesso lotto, si ottengono risultati diversi per ogni campione; la dispersione dei risultati può essere piccola, come accade per l’acciaio, o molto più grande, come nel caso dei materiali lapidei naturali od arti…ciali (p.es. calcestruzzo), ma è tuttavia sempre presente. La dispersione dei dati relativi all’acciaio può essere misurata direttamente e ridotta aumentando i controlli; per il calcestruzzo questo è impossibile poiché al momento del progetto il materiale ancora non esiste e le sue proprietà non possono essere misurate; pertanto

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Modello Modello delle delle azioni azioni

Modello Modello dei dei materiali materiali

Modello Modellodidi comportamento comportamento

Interpretazione Interpretazione dei dei risultati risultati

Figura~1.3: Schema a blocchi del processo di previsione del comportamento di una struttura la resistenza del calcestruzzo, oltre che dispersa, è incerta, cioè il suo valore non può essere a priori misurato, ma deve essere previsto sulla base di conoscenze indirette e soggettive, per esempio sull’a¢dabilità del processo di produzione; i controlli saranno possibili solo a posteriori su campioni prelevati dai getti, peraltro non del tutto identici al materiale impiegato nella struttura, a causa delle di¤erenze nelle condizioni di maturazione. Le aleatorietà relative al comportamento della struttura non dipendono però solo dalle dispersioni e dalle incertezze circa il comportamento dei materiali, anzi in certi casi queste non sono la maggior fonte di indeterminazione; un’ulteriore causa di incertezza è costituita dall’imprecisione del modello utilizzato per descrivere il comportamento della struttura. Questi modelli possono essere grossolani o ra¢nati, ma in ogni caso sono in grado di cogliere solo in modo approssimato l’e¤ettivo comportamento della struttura reale, pertanto i risultati delle analisi sono sempre a¤etti da errori la cui entità può solo essere quanti…cata in modo probabilistico. La de…nizione dello stato limite, sia di esercizio sia di collasso, è poi sempre convenzionale in quanto o non esiste una soglia rigida che separa il buon funzionamento quello cattivo o non è realmente attraverso l’analisi un fenomenoda complesso ed incerto come il collassopossibile (di cosa:individuare dell’intera struttura? di una parte? di un elemento?). Nella Figura 1.3 sono rappresentate schematicamente le principali fasi del processo di modellazione richiesto per la previsione delle prestazioni di una struttura, già descritte in precedenza; ciscuna richiede la formulazione di un medello, più o meno accurato, idoneo a descrivere il fenomeno …sico corrispondente. Oltre alle incertezze e le dispersioni proprie al fenomeno in questa fase si introducono errori, a causa dell’imprecisione dei modelli, e quindi ulteriore incertezza; ad esempio l’ipotesi che gli eventi sismici si presentano a caso,

1.5 Trattamento delle incertezze

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secondo un modello poissoniano, è di solito approssimata e non corrisponde esattamente alla realtà, così come la legge di Gutemberg-Richter di distribuzione delle intensità. In…ne i parametri del modello sono spesso determinati in modo approssimato, sulla base di dati insu¢cienti od inesatti. In…ne si deve ricordare un’altra causa che può produrre uno scarto anche molto grande tra le previsioni del modello ed il comportamento reale della struttura: l’errore grossolano. Errori di questo tipo si possono veri…care in tutte le fasi del processo di progettazione (p.es. utilizzo di un modello completamente erroneo del comportamento strutturale, un errore di calcolo che modi…ca di un ordine di grandezza il valore di un parametro importante, errori nella rappresentazione dei disegni esecutivi) o nella fase di esecuzione dell’opera. Questi errori sono particolarmente pericolosi poiché possono dar luogo a scarti molto grandi tra previsione e realtà; mentre per le cause di aleatorietà descritte prima si può ritenere che la probabilità dello scarto diminuisca rapidamente al crescere del valore, per l’errore grossolano c’è da attendersi che la distribuzione di questo scarto sia praticamente uniforme. Nei confronti di errori di questo tipo non ci si può cautelare aumentando i margini tra situazione attesa e quella critica, perché è sempre possibile il veri…carsi di uno scarto così grande da superare ogni ragionevole margine di sicurezza; il solo modo razionale di agire consiste nel ridurre la probabilità che gli errori grossolani si veri…chino, aumentando i controlli sia in fase di progettazione sia in quella di esecuzione.

1.5

Trattamento delle incertezze

Per tutti i motivi indicati in precedenza appare evidente come tutte o quasi le grandezze che intervengono nei modelli modelli di di comportamento, previsione delle prestazioni delle strutture, azioni, essere caratteristiche dei materiali, soglie di stato limite, non possano precisate deterministicamente, ma richiedano quindi una trattazione probabilistica. La risposta, positiva o negativa, circa l’adeguatezza della struttura a svolgere e¢cacemente le proprie funzioni, dipende dal livello di probabilità accettato che la struttura fallisca. Questo livello di probabilità, diverso in funzione della gravità delle conseguenze del superamento dello stato limite, sebbene mai espressamente indicato, è implicito nelle normative che, in forma di leggi o di raccomandazioni, sono emanate da varie autorità nei diversi paesi. In realtà lo scenario delineato nel precedente capoverso è un’astrazione. Una trattazione completamente probabilistica di tutte le grandezze che in‡uenzano il comportamento strutturale è impossibile, per l’eccessiva complicazione, da applicare a casi reali. Lo schema sopra delineato rappresenta quindi una traccia concettuale da cui si derivano delle procedure di tipo deterministico molto più semplici. I modelli probabilistici, per esempio delle azioni, vengono impiegati per calibrare e giusti…care razionalmente, con riferimento a situazioni semplici, le procedure approssimate utilizzate poi nella pratica. Quindi, in realtà, i codici nondisono grado di garantire (intesaIncome probabilità di non superamento una in data soglia) uniforme un’a¢dabilità a diverse strutture. condizioni diverse, per azioni, tipologie ed altro, si ottengono strutture che verosimilmente hanno a¢dabilità diverse; il …ne degli estensori delle norme è che questa dispersione non sia troppo grande e che comunque si raggiunga una sicurezza minima garantita (ma non precisamente quanti…cata). Si deve anche ricordare che non tutti i processi che in‡uenzano la sicurezza sono controllati dalle norme, pertanto anche in condizioni di massima uniformità vi saranno di¤erenze dovute a fattori esterni, p.es. l’accuratezza dell’esecuzione. I procedimenti deterministici indicati nei codici di veri…ca si basano su due concetti:

8


e coe¢cienti di sicurezza. Le grandezze aleatorie, che dovrebbero essere descritte mediante una funzione di distribuzione, vengono invece quanti…cate mediante un solo valore deterministico (nominale) che normalmente è de…nito come un valore frattile della distribuzione2 , solitamente del 5% inferiore per le resistenze e superiore per le azioni. Questi valori nominali sono poi ulteriormente ridotti od ampli…cati mediante l’uso di coe¢cienti di sicurezza, che dipendono dal tipo di stato limite; nel caso di grandezze variabili nel tempo, come i carichi, si introducono inoltre deicoe¢cienti di combinazione, che tengono conto della probabilità che le diverse azioni siano simultaneamente presenti. In sostanza i valori nominali delle azioni, che per de…nizione hanno già scarsa probabilità di veri…carsi, vegono ampli…cati (se agiscono in verso sfavorevole alla sicurezza) o ridotti, quando agiscono nel verso favorevole, in modo da determinare una situazione più o meno rara, secondo il tipo di stato limite esaminato. Le sollecitazioni indotte da queste azioni sono quindi confrontate con le resistenze, funzioni dei dati geometrici della struttura e delle resistenze dei materiali, i cui valori nominali sono già raramente superati verso il basso e quindi ulteriormente ridotti mediante i coe¢cienti di sicurezza. Schematicamente, indicando con S (¢) la funzione che determina una qualche signi…cativa sollecitazione strutturale (p.es. il momento massimo in una trave), dipendente principalmente dai valori delle azioni, e con R(¢) la funzione che esprime la corrispondente resistenza, dipendente dalle resistenze dei materiali, la veri…ca del …ssato stato limite si intende soddisfatta se: valori nominali

2 0 X 13 µ f 4 S ° G + ° @Q + Ã Q A5 R ° g

k

q

ik

ij

jk

·

j6 =i

1k 1

;

f2k ;¢¢¢ °2

¶

In cui ° g ; ° q coe¢cienti di sicurezza dei carichi (permanenti e variabili) Ã ij coe¢cienti di combinazione dei carichi variabili Gk ; Qik valori nominali (caratteristici) dei carichi permanenti e variabili (o accidentali) ° 1 ; ° 2 ;::: f1k ; f2k ;:::

coe¢cienti di sicurezza delle resistenze valori nominali delle resistenze dei materiali

2 Il valore frattile di una variabile aleatoria per una assegnata probabilità, è quel valore cui corrisponde la probabilità data che esso sia (inferiore) o non sia (sup eriore) superato.

Capitolo 2

I materiali delle costruzioni in cemento armato 2.1

Le costruzioni in cemento armato

Con l’introduzione, alla …ne del xix secolo, del ferro nella realizzazione delle strutture, la tecnologia delle costruzioni, …no ad allora basata sulla muratura, subì una profonda rivoluzione. Questa nuova tecnologia cambiò non solo le metodologie costruttive, ma in‡uì anche sullo sviluppo delle scienze applicate alle costruzioni. Per le costruzioni murarie, caratterizzate da un materiale dotato di scarsa resistenza a trazione, il problema che più spesso si pone è quello di realizzare delle con…gurazioni equilibrate, piuttosto che degli elementi su¢cientemente resistenti, come è confermato dalla maggior parte dei contributi teorici del secolo precedente. Al contrario le costruzioni in ferro (e quelle in cemento armato, che nasceranno successivamente) di solito non presentano problemi di equilibrio, garantito da vincoli spesso sovrabbondanti, ma presentano problemi di resistenza in quanto, essendo ora questa a¢data a parti distinte da quelle funzionali, gli elementi resistenti devono essere dimensionati unicamente in vista della loro funzione. Questi fatti, e la semplicità dei legami costitutivi dei materiali ferrosi, diedero impulso allo sviluppo della meccanica dei solidi, in particolare alla teoria dell’elasticità e, più tardi, a quella della plasticità. Il costo elevato e la necessità di utilizzare tecniche esecutive più complesse, fecero si che l’impiego del ferro (acciaio) nelle costruzioni civili rimase limitato alle opere di maggiore impegno (ponti, coperture di grande luce, edi…ci alti, ecc : : : ), mentre nell’edilizia comune la muratura restò, …no all’introduzione del cemento armato, la tecnica costruttiva prevalente. Con ildell’edilizia di¤ondersi minuta. del cemento la muratura è stata soppiantata neglisi impieghi Negliarmato anni il campo di applicazione del cementoanche armato è andato allargando sia a scapito dell’acciaio nelle opere importanti, sia a scapito della muratura, in quelle più comuni. In e¤etti il cemento armato riunisce, almeno in parte, i pregi della muratura e del ferro: della prima ha il basso costo, la semplicità esecutiva, una scarsa sensibilità ad alcuni agenti esterni (corrosione, fuoco), del secondo, sia pure in misura più limitata, ha la resistenza elevata e, soprattutto, la capacità di resistere alle sollecitazioni di trazione, ciò che consente di realizzare quegli elementi, quali travi, sbalzi, ecc : : : , impossibili in muratura. 9

10

Capitolo 2 I materiali delle costruzioni in cemento armato

Il cemento armato si realizza unendo due materiali diversi: il calcestruzzo e l’acciaio. L’acciaio viene impiegato in percentuale (di solito) modesta sotto forma di barre di sezione più o meno circolare di diametro relativamente piccolo ·( 30 mm), poste principalmente nelle zone che si prevede saranno soggette a trazione, seguendo approssimativamente l’andamento delle linee isostatiche. Il calcestruzzo è un materiale arti…ciale di tipo lapideo che si ottiene mescolando in dosi opportune degli inerti naturali (sabbia, ghiaia o pietrisco)1 con acqua e cemento, che ha la funzione di legante dell’impasto. Il termine cemento armato, usato in Italia, è impreciso in quanto il cemento ha solo la funzione di legante, mentre l’impasto viene dettoconglomerato o calcestruzzo. Sarebbe più corretto usare il termine “calcestruzzo armato”, come nella maggior parte delle lingue straniere (reinforced concrete, bèton armè, hormigon armado), ma la dizione cemento armato è ormai parte della lingua u¢ciale. 2.2

Il calcestruzzo

Come accennato le strutture in cemento armato (c.a.) sono realizzate in calcestruzzo opportunamente rinforzato da un’armatura di acciaio, generalmente in barre. Il materiale quantitativamente dominante è quindi il calcestruzzo, materiale arti…ciale che si ottiene impastando degli inerti naturali con un legante, il cemento, le cui reazioni chimiche sono rese possibili dalla presenza di acqua. 2.2.1

Composizione del calcestruzzo

I componenti di un calcestruzzo sono: gli inerti, il cemento e l’acqua. Gli inerti formano lo “scheletro” lapideo del calcestruzzo, tenuto insieme dalcemento. L’acqua serve sia a rendere possibili le reazioni chimiche della presa del cemento, sia a conferire all’impasto la ‡uidità necessaria a consentirne la lavorabilità. Il cemento

Il cemento (di tipo Portland) si ottiene cuocendo ad alta temperatura (1400 – 1500 C) una miscela di calcare ed argilla (nella proporzione di circa 1:3) e quindi macinando …nemente il prodotto di cottura (Klinker). Diversi tipi di cemento si ottengono modi…candone la composizione: aggiungendo pozzolana si ottiene il cemento pozzolanico, con l’aggiunta di loppa d’alto forno si ottiene il cemento d’alto forno, ecc : : : Dal punto di vista chimico il cemento è una miscela di silicati ed alluminati di calcio che, anche in virtù della …nissima macinazione, sono in grado di reagire rapidamente con l’acqua formando una massa dura, simile alla pietra. In un calcestruzzo, generalmente, il legame tra gli inerti fornito dal cementoè l’elemento di minor resistenza. Pertanto la resistenza del calcestruzzo è fortemente dipendente dalla qualità e dalla quantità di cemento impiegato. Oltre certi limiti tuttavia, all’aumentare del quantitativo di cemento i guadagni diresistenza divengono sempre più modesti, mentre si evidenziano degli e¤etti negativi dovuti all’eccesso di cemento. ±

1 Gli inerti “grossi” (ghiaia o pietrisco) si possono sostituire con inerti arti…ciali, generalmente ottenuti per cottura di materiali argillosi . In questo modo si ottengono dei calcestruzzi leggeri , con peso speci…co, ma anche resistenza, inferiori a quelli dei calcestruzzi ordinari.

11

2.2 Il calcestruzzo

100

o s e p

80

n i e t n a s s a p . t n e c r e P

60

40

20

0 0

10

20

30

Diametro dei fori (mm)

Figura~2.1: Fuso di Fuller Gli inerti

Gli inerti formano lo scheletro solido del calcestruzzo e ne costituiscono la percentuale prevalente in peso e volume: la loro qualità è determinante per la buona riuscita del calcestruzzo. Gli inerti devono riempire al massimo i vuoti dell’impasto, onde rendere minimo il volume occupato dal cemento. A questo scopo si usano inerti di diverso diametro:

² Inerti a grana grossa (ghiaia o pietrisco) ² Inerti a grana …ne (sabbia) Generalmente gli inerti …ni sono a loro volta composti da una sabbia grossa ed una …ne. Per ottenere un buon calcestruzzo occorre che la miscela di inerti abbia una corretta granulometria, ottenuta mescolando in proporzioni opportune inerti di tipo diverso. Il controllo della granulometria si fa tracciando la curva granulometrica della miscela, che si ottiene riportando in un diagramma, in funzione del diametro, la percentuale in peso degli inerti passanti in crivelli con fori di diametro crescente. Un criterio valido per giudicare della qualità della curva consiste nel veri…care che essa sia contenuta all’interno di una zona (fuso di Fuller ) ottenuta empiricamente. L’in‡uenza degli inerti sulla qualità dell’impasto è ovviamente legata anche alle loro qualità intrinseche: gli inerti grossi non devono essere costituiti da rocce tenere di bassa resistenza, mentre le sabbie dovrebbero essere di tipo siliceo piuttosto che calcareo. Inoltre gli inerti devono essere ben “puliti”, cioè privi di argilla e materie organiche che, interponendosi, possono ostacolare l’aderenza tra il cemento e l’inerte.

12


Cemento 250 – 350 kg Inerti …ni (sabbia) 0.4 m 3 Inerti grossi (ghiaia) 0.8 m 3 Acqua 100– 200l Tabella 2.1: Composizione media di un metro cubo di calcestruzzo L’acqua

L’acqua, combinandosi con il cemento nel fenomeno dell’idratazione, da luogo alla “presa” che trasforma l’impasto in una massa solida. Tuttavia l’acqua deve svolgere anche la funzione di lubri…cante nell’impasto, rendendolo su¢cientemente ‡uido da essere lavorabile. Per questo motivo l’acqua impiegata nell’impasto deve essere in quantità superiore a quella strettamente necessaria per l’idratazione del cemento. Peraltro si deve tenere presente che all’aumentare dell’eccesso di acqua peggiorano sensibilmente le caratteristiche meccaniche del calcestruzzo. L’acqua da usare nell’impasto deve essere il più possibile pura, quando è possibile si consiglia quindi l’uso di acqua potabile. In particolare devono essere evitate acque contenenti percentuali elevate di solfati e le acque contenenti ri…uti di srcine organica o chimica. La presenza di impuritàinfatti interferisce con la presa, provocando una riduzione della resistenza del conglomerato. Composizione quantitativa del calcestruzzo

La proporzione dei componenti impiegati nella composizione di un calcestruzzo varia sensibilmente da caso a caso, per e¤etto delle caratteristiche degli inerti disponibili e delle prestazioni che si prevede di ottenere dal calcestruzzo. In particolare per calcestruzzi di resistenza elevata, oltre a curare la natura e la composizione degli inerti, si dovranno impiegare quantitativi elevati di cemento. La seguente tabella fornisce dei quantitativi indicativi della composizione di un calcestruzzo medio: 2.2.2

Fattori che in‡uenzano le caratteristiche meccaniche del calcestruzzo

Molti fattori, spesso di¢cili da controllare accuratamente, hanno in‡uenza sulle caratteristiche meccaniche dei calcestruzzi. Di alcuni, legati alla qualità ed alla quantità dei componenti, si è già detto; a questi si possono aggiungere le condizioni ambientali (temperatura e umidità) in cui si svolge la presa, che pure hanno notevole in‡uenza sul risultato. Nel seguito si elencano brevemente i fattori più rilevanti di entrambi i tipi: 1. Quantità di cemento. La resistenza del calcestruzzo aumenta quasi proporzionalmente al quantitativo di cemento impiegato; tuttavia dosi eccessive>( 500 kg/m3) sono inutili o addirittura dannose. 2.

Inerti. Gli inerti devono essere di buona qualità, puliti e dosati accuratamente. Si deve tener presente che la causa più frequente di cattivi risultati ottenuti nella realizzazione dei calcestruzzi è proprio legata all’uso di inerti scadenti o sporchi.

13

2.2 Il calcestruzzo

Figura~2.2: Resistenza del calcestruzzo in funzione del rapporto acqua-cemento 3.

Rapporto acqua-cemento.

La quantità minima di acqua richiesta dalla reazione chimica dell’idratazione del cemento è di circa 0.27 litri di acqua per ogni chilogrammo di cemento (rapporto acqua-cemento a/cal=…ne 0.27). I valori lavorabile del rapporto comunemente usati sono sensibilmente superiori, di rendere l’im-a/c pasto. Tuttavia l’aumento di acqua rispetto al minimo stechiometrico da luogo ad una progressiva riduzione della resistenza del calcestruzzo (vedi …g. 2.2). Il dosaggio dell’acqua non può tuttavia scendere sotto certi livelli, altrimenti il calcestruzzo risulta non lavorabile, a meno di non usare opportuni accorgimenti, quali l’aggiunta nell’impasto di additivi ‡uidi…canti. Una tecnica comunemente usata per migliorare la lavorabilità di getti poco ‡uidi consiste nella vibrazione, applicata alle casseforme o direttamente nei getti mediante opportuni apparati (vibratori). Valori usuali per getti in opera del rapporto acqua-cemento sono compresi tra 0.4 e 0.5. La ‡uidità, e quindi la lavorabilità del getto di calcestruzzo viene misurata mediante il cono di Abrams (…g. 2.3), specie di secchio privo di fondo con forma tronco-conica e dimensioni standard che, dopo essere stato riempito di calcestruzzo e costipato secondo una procedura codi…cata, viene rimosso, scasserando il getto. La misura dell’abbassamento del calcestruzzo fornisce un’indicazione della sua ‡uidità, secondo la seguente scala: 0 ¥ 5 cm Calcestruzzo asciutto 5 ¥ 10 cm Calcestruzzo plastico > 10 cm Calcestruzzo ‡uido

4.

Condizioni ambientali Il fenomeno della presa risulta molto accelerato se avviene in ambiente caldo-umido. Questa proprietà è utilizzata, specialmente negli stabilimenti di prefabbricazione, per accelerare i tempi di presa e di indurimento,

14


Figura~2.3: Cono di Abrams mediante stagionatura in ambienti caldi e saturi di vapore maturazione ( a vapore), il che consente di scasserare i getti dopo poche ore. Al contrario il caldo secco è dannoso in quanto, provocando l’evaporazione dell’acqua dagli strati super…ciali, impedisce lo sviluppo della presa; nelle ore calde dei mesi estivi è opportuno mantenere i getti bagnati, mediante anna¢amento, onde evitare il pericolo dell’evaporazione dell’acqua inclusa nel getto. Il gelo è sicuramente dannoso; oltre a rallentare il tempo di presa, se sussistono le condizioni per la formazione di ghiaccio, l’acqua del getto, gelando, impedisce l’idratazione e rompe i legami già formati tra la pasta cementizia e gli inerti, producendo calcestruzzi di in…ma qualità (calcestruzzo “bruciato”). Il fenomeno dell’indurimento, cioè l’aumento di resistenza del calcestruzzo, si protrae per molto tempo (uno o due anni); tuttavia in un tempo assai minore si raggiunge una percentuale ragionevole della resistenza …nale. La velocità iniziale con cui aumenta la resistenza varia molto con la temperatura: a temperatura ambiente (circa 20 C) l’80% della resistenza …nale si raggiunge in circa 20 giorni, mentre in caso di maturazione a vapore lo stesso valore viene raggiunto in appena due o tre giorni. ±

2.2.3

Caratteristiche meccaniche del calcestruzzo

La resistenza del calcestruzzo si misura mediante prove sperimentali; la prova di uso comune è quella di compressione semplice (monoassiale) diprovini di forma cilindrica o cubica. La forma del provino in‡uenza il valore della resistenza misurata: pertanto i campioni debbono avere caratteristiche standard. I provini cilindrici generalmente hanno l’altezza h = 30 cm ed il dimetro della base D = 15 cm (rapporto h=D = 2); i provini cubici normalmente hanno lo spigolo di lunghezza compresa tra 15 e 20 cm. Il diagramma tensioni-deformazioni del calcestruzzo compresso è illustrato in …g. 2.4 per calcestruzzi di caratteristiche diverse. Osservando queste curve si nota l’assenza di un vero tratto a comportamento lineare; la curvatura aumenta gradualmente …n quando la

15

2.2 Il calcestruzzo

Figura~2.4: Curve Tensione-Deformazione di calcestruzzi di di¤erente qualità curva raggiunge l’ordinata massimafc , il cui valore de…nisce la resistenza a compressione del calcestruzzo. Questo valore si raggiunge per una deformazione ²c1 , oltre la quale la tensione diminuisce al crescere della deformazione, …no alla rottura che si raggiunge per il valore ²cu della deformazione. Mancando un chiaro tratto lineare si è soliti de…nire unmodulo elastico convenzionale Ec , de…nito come il modulo secante in corrispondenza della tensione 0:4fc . Come si vede dalla …g. 2.4 il modulo elastico del calcestruzzo cresce con la resistenza fc ; al contrario la deformazione di rottura ²cu diminuisce mentre cresce la pendenza (negativa) del ramo instabile; in altre parole al crescere della resistenza il calcestruzzo diviene più fragile. Il legame costitutivo in compressione monoassiale del calcestruzzo si può approssimare con diverse espressioni analitiche. La bozza di Norme Europee per il cemento armato (EC2) propone la seguente: ¾ c = fc

(k´ ´ 2 ) [1 + (k 2)´]

¡ ¡

(2.1)

in cui: ´ = ²c =²c1

j j j j

k = 1:1Ec ²c1 =fc

Il valore assoluto della deformazione²c1 a cui corrisponde il raggiungimento della resistenza fc si assume pari a 2:2 £ 10 3 . Come si è già detto il modulo elastico Ec dipende dalla resistenza fc , ma l’esperienza dimostra che vi è una forte dispersione dei risultati. In assenza di altre informazioni la Normativa Italiana suggerisce di assumere: ¡

p

Ec = 5700 Rck

(N=mm2 )

(2.2)

16


Figura~2.5: Schema della prova “Brasiliana” in cui Rck indica resistenza caratteristica cubica, che sarà de…nita in seguito. La bozza di normativa europea (EC2) fornisce invece una relazione discreta, riportata nella seguente tabella: Classe C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 Ec 26 27.5 29 30.5 32 Classe C35/45 C40/50 C45/55 C50/60 35 36 37 Ec 33.5 in cui Ec è espressa in kN/mm2 e la classe del calcestruzzo indica la resistenza caratteristica cilindrica fck e quella cubica Rck , espressa in N=mm2 . Secondo la norma italiana si può passare dalla resistenza cubica a quella cilindrica mediante la relazione: fck = 0:83Rck

(2.3)

Resistenza a trazione

Come tutti i materiali lapidei, il calcestruzzo ha una resistenza a trazione assai minore di quella a compressione. Sebbene in certe analisi il calcestruzzo possa essere modellato come un materiale privo di resistenza a trazione, in realtà questa resistenza condiziona in modo importante il comportamento degli elementi in cemento armato. A causa dei modesti valori che questa grandezza raggiunge, la registrazione sperimentale della legge ¾ ¡ ² del calcestruzzo teso è operazione delicata. Data la di¢coltà ad eseguire prove di trazione pura, la resistenza a trazione si misura di solito mediante prove indirette, come la prova su cilindro sollecitato a taglio (prova brasiliana).In tal caso (vedi …g. 2.5) la resistenza a trazione si calcola con la relazione: fct =

2P ¼lD

(2.4)

17

2.2 Il calcestruzzo

Figura~2.6: Curve tensione-deformazione del calcestruzzo compresso

in cui è il caricoladiresistenza rottura, Daètrazione il diametro di base ed l l’altezza deluna provino In Palternativa si può misurare mediante provacilindrico. a ‡essione su di una barretta di calcestruzzo di dimensioni standard. Caricando il provino con due forze simmetriche P distanti a dagli appoggi, se b ed h indicano la base e l’altezza della sezione della trave, ipotizzando un comportamento lineare-fragile si ha: fcf =

6P a bh2

(2.5)

dove fcf è detta resistenza a trazione per ‡essione. Tale resistenza risulta generalmente più alta di quella misurata con la prova di taglio; mediamente si ha: fcf = 1:2fct

(2.6)

Deformazione trasversale

Il rapporto tra la deformazione assiale (nella direzione dell’asse di sollecitazione) e quella trasversale è dato, per i solidi elastici, dal coe¢ciente di Poisson. Per il calcestruzzo, nel campo dei valori delle tensioni piccoli rispetto a quelli di rottura, il coe¢ciente di Poisson risulta normalmente compreso tra 0.15 e 0.20. Al crescere della tensione le deformazioni trasversali aumentano rapidamente in modo tale che la deformazione volumetrica (µ = ²1 + ²2 + ²3 ), dopo aver raggiunto un valore massimo decresce e, in prossimità del collasso del materiale (² » ²cu), prende valori negativi, come mostrato nella …g. 2.6.

18


Stati di tensione pluriassiali

In molti casi il calcestruzzo risulta soggetto a sollecitazioni composte (bi- o tri-assiali): ad esempio nelle sezioni delle travi sollecitate a ‡essione e taglio si ha uno stato di tensioni normali e tangenziali. Per il caso generale del calcestruzzo soggetto a tensioni triassiali non si dispone di modelli teorici del tutto soddisfacenti. Uno dei criteri più antichi, che si accorda qualitativamente con il comportamento dei materiali fragili, è quello di Mohr-Coulomb o della massima tensione tangenziale. Secondo questo criterio, indicando con ¾1

· ¾ 2 · ¾3

le tensioni principali corrispondenti allo stato di sollecitazione considerato, si raggiunge il collasso quando la tensione tangenziale massima¿ max = (¾3 ¡ ¾1 )=2 prende un valore che è funzione della sola tensione media (¾1 + ¾3 )=2, ossia: (¿ max )r = Fr

µ

¾3 + ¾1 2

¶

Le previsioni del modello di Mohr sono veri…cate solo qualitativamente dal calcestruzzo; in particolare per stati di tensione biassiali, per il qual caso si hanno risultati sperimentali attendibili, se entrambe le componenti non nulle sono di compressione, il modello di Mohr, non tenendo conto del valore della tensione intermedia, prevede che la resistenza non vari rispetto a quella di compressione semplice. Il confronto con la curva ricavata da dati sperimentali (Fig. 2.7) mostra che questo si veri…ca solo approssimativamente in quanto la tensione di rottura biassiale cresce di oltre il 20% rispetto a quella di compressione semplice. Un caso particolare di sollecitazione triassiale è quella in cui due delle componenti del tensore principale sono uguali tra loro; sottoponendo il cilindro ad una pressione radiale di tipo idrostatico e facendo crescere la pressione assiale …no a rottura, si osserva che quest’ultima cresce sensibilmente all’aumentare della pressione radiale.Sulla base di prove di questo tipo Richart ed al. hanno proposto la seguente relazione per valutare la tensione di rottura del calcestruzzo soggetto ad una pressione idrostatica di con…namento: fcc = fc + 4:1¾l

(2.7)

in cui fc è la resistenza del calcestruzzo non con…nato e ¾ l è la pressione laterale di con…namento. Le stesse esperienze hanno messo in evidenza che il con…namento non soltanto innalza il valore della resistenza del calcestruzzo ma inoltre ne aumenta la deformazione ultima ²cu e produce una riduzione della pendenza del ramo discendente, ossia migliora il comportamento post-elastico (duttile) del materiale. 2.2.4

Comportamento del calcestruzzo con…nato

Nelle strutture in cemento armato il calcestruzzo, come si è detto, viene opportunamente rinforzato mediante barre di acciaio. Nelle travi queste barre sono disposte longitudinalmente, di solito in prossimità della super…cie. Oltre a questa armatura longitudinale viene anche impiegata un’armatura trasversale (sta¤e), formata da barre sagomate in modo da essere inscritte nel perimetro esterno della sezione e da racchiudere al loro interno le barre longitudinali (vedi Fig. 2.8).

2.2 Il calcestruzzo

19

Figura~2.7: Dominio di resistenza del calcestruzzo per stati di tensione biassiali L’armatura trasversale svolge diversi ruoli, di cui si dirà di¤usamente nel seguito; qui si osserva che le sta¤e, se abbastanza …tte e opportunamente conformate, possono svolgere il ruolo di con…nare il calcestruzzo. Infatti quando la tensione assiale si avvicina a quella di collasso la deformazione trasversale del calcestruzzo diviene molto grande e le sta¤e, ostacolando questa deformazione, provocano l’insorgere di tensioni di coazione simili a quelle idrostatiche: ne deriva un aumento della resistenza a schiacciamento e della duttilità del calcestruzzo. Nelle applicazioni, poichè l’armatura è normalmente presente, è utile disporre di una

Figura~2.8: Schema dell’armatura di un elemento in c.a.

20


Figura~2.9: Curva tensione-deformazione del calcestruzzo con…nato, secondo il modello di Kent e Park legge tensioni-deformazioni per il calcestruzzo con…nato mediante armatura trasversale. Kent e Park hanno proposto una legge schematica che corregge quella del calcestruzzo libero in funzione dell’armatura trasversale. I dati sperimentali da cui questa legge è ricavata non hanno evidenziato un sensibile2 aumento della resistenza a compressione del calcestruzzo con…nato con sta¤e rettangolari ma da essi risulta un netto miglioramento della duttilità, sia in termini di allungamento massimo sia in termini di pendenza del ramo instabile. La curva di Kent e Park, mostrata in Fig. 2.9, è formata da tratto ascendente parabolico …no al raggiungimento resistenza fc per la deformazione ²c1 = 2 £ 10 3 , seguito da un tratto lineare decrescente …no al valore di una resistenza residua 0:2fc , che si assume permanga per qualunque deformazione. La parabola del ramo ascendente ha equazione: ¡

¾c = 2fc

"µ ¶ µ ¶ # ¡ ²c ²c1

1 2

²c ²c1

2

· ²c1)

(2.8)

· ²c · ²c20)

(2.9)

(²c

mentre il tratto lineare è: ¾c = fc [1

¡ z(²c ¡ ²c1)]

(²c1

in cui ²c20 è la deformazione corrispondente a ¾ c = 0:20fc ; l’inclinazione z è data dalla relazione: z=

0:5 ²50u + ²50h

in cui: ²50u =

¡ ²c1

0:0207 + ²c1 fc fc 6:89

¡

(2.10)

(2.11)

2 In questo senso l’e¤etto del contenimento si evidenzia solo nel caso di sta¤e circolari, disposte a spirale e con un passo abbastanza …tto

21

2.2 Il calcestruzzo

e 3 ²50h = ½s 4

s

b00 sh

(2.12)

Nell’eq. (2.11) la resistenza del calcestruzzo, f c , è espressa in N=mm2, mentre, nell’eq. (2.12), ½s indica la percentuale in volume dell’armatura trasversale rispetto al nucleo del calcestruzzo con…nato,b è la larghezza della sezione della zona con…nata ed sh è l’interasse tra le sta¤e. 00

Esempio 2.1 Per una sezione 30 30 cm2 con nucleo con…nato 25 25 cm2 e sta¤e di diametro Á = 8 mm (A = 0:5 cm2 ), con interassi di 5 – 10 e 15 cm, assumendo fc = 30 N=mm2 , si ottiene:

£

²50u =

£

0:0207 + 0:002 30 6:89

¡

£ 30 = 0:0035

Indicando con ½s1 la percentuale di armatura corrispondente ad un passo di 1 cm, si ha: ½s1 =

e quindi: passost. ½s ²50h z ²c20

£ £ £

0:5 25 4 = 0:08 25 25

5 0.016 0.0268 17.688 0.0437

10 0.008 0.0095 45. 454 0.0196

15 0.0053 0.0051 75.757 0.0126

A titolo di confronto si osservi che per il calcestruzzo non con…nato si ha ²c20 = 0:0044. 2.2.5

2

Deformazioni lente

Dopo l’applicazione del carico, subita la deformazione elastica istantanea, la maggior parte dei materiali continuano nel tempo a deformarsi; in caso di carico costante la deformazione tende verso un valore asintotico che si raggiunge, idealmente, dopo un tempo in…nito dall’istante di applicazione del carico. Questo tipo di comportamento è detto viscoso. Oltre alla viscosità il calcestruzzo manifesta un altro fenomeno che evolve nel tempo: il ritiro. Il ritiro è una diminuzione di volume della massa di calcestruzzo, dovuta essenzialmente alla lenta evaporazione dell’acqua in eccesso rimasta imprigionata nel getto; diversamente dalle deformazioni viscose, che dipendono dall’intensità del carico, il ritiro è, per un certo calcestruzzo e per assegnate condizioni ambientali, funzione solamente dell’età del materiale. Anche in questo caso la deformazione cresce nel tempo tendendo ad deformazione di ritiro a tempo in…nito . un valore asintotico,lente dettopossono Le deformazioni in‡uenzare sensibilmente il comportamento degli elementi in cemento armato; in particolare il ritiro, quando è ostacolato da vincoli interni od esterni, genera uno stato di coazione per cui le tensioni di trazione possono facilmente superare la (modesta) resistenza del materiale e provocare il formarsi di lesioni. Per questo motivo negli elementi in calcestruzzo è sempre opportuno disporre un certo quantitativo di armatura, anche in quelli in cui i carichi non inducono sollecitazioni di trazione. Di solito gli e¤etti delle deformazioni lente non vengono analizzati accuratamente: di essi si tiene conto in modo forfettario, riducendo opportunamente il modulo elastico

22


U.R. = 75%

t0

(giorni)

U.R. = 55%

® ¸ 60 cm 0:31 £ 10 3 £ 0:30 £ 10 3 £ 0:28 £ 10 3 £ Tabella 2.2: Deformazioni di ritiro a tempo in…nito ²cs (1; t0) secondo la normativa italiana

¥ ¥

1 7 8 60 > 60

·

® 20 cm 0:26 10¡3 0:23 10¡3 0:16 10¡3

£ £ £

¸

® 60 cm 0:21 10¡3 0:21 10¡3 0:20 10¡3

£ £ £

·

® 20 cm 0:43 10¡3 0:32 10¡3 0:19 10¡3

¡ ¡ ¡

U.R. ® · 15 cm3 ® ¸ 60 cm3 50% 0:60 £ 10 0:50 £ 10 80% 0:33 £ 10 3 0:28 £ 10 3 ¡

¡

¡

¡

Tabella 2.3: Deformazioni di ritiro a tempo in…nito ²cs (1) secondo EC2 convenzionale del calcestruzzo. Una analisi accurata degli e¤etti della viscosità e del ritiro è richiesta invece quando si debba tener conto degli e¤etti di stati di coazione, poichè questi sono fortemente in‡uenzati dalla deformabilità dei componenti della struttura. È questo il caso delle strutture in cemento armato precompresso in quanto la precompressione è proprio uno stato di coazione, indotto arti…cialmente tra calcestruzzo ed acciaio, che viene sensibilmente alterato dall’evolvere delle deformazioni lente. Ritiro

Il ritiro del calcestruzzo, come già detto, si manifesta come una riduzione progressiva di volume, prodotta dall’evaporazione dell’acqua in eccesso rispetto al minimo richiesto dall’idratazione del cemento e rimasta intrappolata nei micropori della pasta cementizia. Questo spiega la notevole in‡uenza che sul fenomeno ha l’umidità relativa dell’ambiente circostante ed il rapporto tra la super…cie ed il volume dell’elemento. L’entità del ritiro è inoltre in‡uenzato dalla composizione del calcestruzzo: il rapporto acqua-cemento, la percentuale di inerti …ni, il quantitativo totale di cementosono variabili al cui aumento corrisponde un’ampli…cazione del fenomeno del ritiro. Nel progetto l’entità delle deformazioni di ritiro si possono stimare sulla base di dati non speci…ci, presi dalla normativa. Nella norma italiana la deformazione …nale (²cs (1; t0 )) viene fornita in funzione dell’umidità relativa ambientale e della “dimensione …ttizia” ® = 2Ac =u, in cui Ac è l’area della sezione di conglomerato e u il perimetro a contatto con l’atmosfera, nonché del tempot0 a partire dal quale si considera l’e¤etto del ritiro. Questi valori sono riportati nella tabella 2.2. La bozza di normativa europea EC2 non tiene conto di t0 ; il ritiro a tempo in…nito è ® e dell’umidità ambientale, come riportato nella tabella 2.3. datoLesolo funzione di dueinnormative citate non danno indicazioni circa la legge con cui il fenomeno evolve nel tempo. A questo proposito le norme ACI suggeriscono la relazione: ²cs (t; t0 ) = ²cs1

¡

t t0 35 + t t0

¡

(2.13)

in cui ²cs è la deformazione …nale e t è il tempo in giorni, misurato dalla data del getto, mentre t0 (usualmente 7 giorni) è il tempo per cui si ritiene abbia inizio il ritiro. 1

23

2.2 Il calcestruzzo

Viscosità

Nel calcestruzzo, per livelli di tensione non troppo prossimi alla resistenza del materiale, si può assumere che le deformazioni viscose siano proporzionali alle tensioni; si può parlare pertanto di viscosità lineare. Se la tensione ¾ c , applicata all’istante t0 misurato a partire dalla data del getto, rimane costante …no al tempot, si può porre: ²c (t) =

¾c [1 + Á(t; t0 )] Ec

(t

¸ t0)

(2.14)

in cui la deformazione totale al tempo t, ²c , è espressa come somma della parte elastica (istantanea) ¾c =Ec e di quella viscosa (¾c =Ec )Á(t; t0 ). La funzione Á(t; t0) è detta funzione di viscosità ed esprime il rapporto, al tempo t, tra la parte lenta e quella istantanea della deformazione. Sempre nei limiti di una teoria lineare, le deformazioni viscose sono additive; se si applica un carico al tempo t1 che produce una tensione ¾ c1 ed un altro al tempo t2 cui corrisponde la tensione ¾2 , la deformazione al tempo t è data dalla relazione: ²c (t) =

¾ c1 ¾c2 [1 + Á(t; t1 )] + [1 + Á(t; t2 )] Ec Ec

Per ¾c2 = ¡¾c1 , ciò che corrisponde allo scarico completo, si ha: ²c (t) =

¾ c1 [Á(t; t1 ) Ec

¡ Á(t; t2)]

(t2 > t1 )

Inizialmente, t = t2 , solo la deformazione elastica viene restituita, mentre la deformazione viscosa permane integralmente in quanto Á(t2 ; t2 ) = 0 . Al crescere di t il secondo termine cresce più rapidamente del primo, così che una parte della deformazione viscosa viene recuperata; la deformazione residua tende al valore asintotico che si raggiunge a tempo in…nito:

1

²c ( ) =

¾ c1 [Á( ; t1 ) Ec

1

¡ Á(1; t2)]

L’entità della deformazione residua dipende dalle età di messa in carico t1 e t2 : diminuisce al crescere di t1 (età di prima messa in carico) mentre aumenta con la di¤erenza t2 ¡ t1 (durata del tempo di carico). L’andamento nel tempo delle deformazioni per una prova di questo tipo è illustrato nella …g. 2.10. Nel caso generale la deformazione al tempo t, conseguente ad una storia di tensioni ¾c (¿ ), si calcola con la relazione: ²c (t) =

1 Ec

Z

0

t

[1 + Á(t; ¿ )]d¾c (¿ ) =

1 Ec

Z

t

[1 + Á(t; ¿ )]¾_ c (¿ )d¿

(2.15)

0

¾_ c (¿ ¿. dovePer indica la velocità di variazione al tempo il )calcestruzzo la viscosità, come ildella ritiro,tensione è dovuta principalmente alla perdita dell’acqua racchiusa nel getto; pertanto la deformabilità viscosa del materiale è funzione delle stesse grandezze che in‡uenzano il ritiro. Nelle norme italiane il coe¢ciente di viscosità a tempo in…nito Á(1; t0 ) è tabellato in funzione dell’età di messa in carico t0 , dell’umidità ambientale e della dimensione …ttizia ® della sezione, come riportato nella tabella 2.4 Esaminando la tabella 2.4 si osserva che la deformazione viscose varia tra 1.4 e 3.8 volte quella istantanea, con un valore medio superiore a 2. Da ciò risalta l’importanza

24


Figura~2.10: Evoluzione temporale delle deformazioni del calcestruzzo dovute alla viscosità UR=75% UR=55% t0 giorni ® · 20 cm ® ¸ 60 cm ® · 20 cm ® ¸ 60 cm 3 7 2.7 2.1 3.8 2.9 8¥ ¥60 2.2 1.9 3.0 2.5 1.7 1.7 2.0 > 60 1.4 Tabella 2.4: Coe¢cienti di viscosità a tempo in…nito, secondo la normativa italiana quantitativa del termine viscoso sulla deformazione …nale di un elemento soggetto a carichi di lunga durata, in quanto la parte viscosa della deformazione è in media più che doppia di quella elastica. Le EC2 forniscono una tabella analoga, ma con valori di¤erenti, come mostrato nella tab. 2.5. Per la valutazione della deformazione viscosa la normativa ACI fornisce una relazione analitica della funzione di viscosità, espressa nella forma: (2.16)

Á(t; t0 ) = C'(t; t0 )

UR=80% = 5 cm = 15 cm 1 3.5 3.0 2.6 2.5 2.1 1.9 7 28 1.9 1.7 1.5 90 1.6 1.4 1.2 365 1.2 1.0 1.0 t0

giorni

®

®

®

= 60 cm

5.4 3.9 3.2 2.6 2.0

UR=50% = 5 cm 4.4 3.2 2.5 2.1 1.6

®

®

= 15 cm

®

= 60 cm

3.6 2.5 2.0 1.6 1.2

Tabella 2.5: Coe¢cienti di viscosità a tempo in…nito, secondo EC2

25

2.3 L’acciaio

Figura~2.11: Curve tensione–deformazione di acciai da cemento armato e precompresso in cui C è un parametro da cui dipende la deformazione …nale, funzione degli stessi fattori che in‡uenzano il ritiro, mentre la funzione'() è espressa dalla relazione: 0:118 '(t; t0 ) = 1:25t¡ 0

(t t0 )0:6 10 + (t t0 )0:6

¡

¡

(2.17)

in cui il tempo t, misurato a partire dalla data del getto, è espresso in giorni. A titolo di esempio, prendendo in esame un elemento prismatico con sezione30£50 cm2 (® = 18:8), caricato al 60 giorno dal getto ed esposto in ambiente umido (UR ' 75¥ 80%), le norme italiane forniscono il valore Á = 2:2, dalle EC2, interpolando la tabella 2.5, si ottiene Á = 1:52, mentre per le ACI si ha Á » 1:14. Si deve concludere che non vi è una grande concordanza di opinioni tra gli estensori delle diverse normative. ±

1

1

2.3

1

L’acciaio

L’acciaio nel cemento armato è impiegato sotto forma di barre di sezione circolare, o approssimativamente tale. Infatti per aumentare l’aderenza (vedi sez. 2.4) conil calcestruzzo, l’acciaio di qualità migliore viene prodotto in barre sulla cui super…cie vengono realizzati ad aderenza migliorata. In tutti i casi le barre sono dei risalti: questo di barre è detto(barre caratterizzate dal tipo diametro e¤ettivo tonde lisce) o dal diametro nominale di una barra circolare di uguale lunghezza e peso (barre ad aderenza migliorata). In pratica si possono distinguere due tipi di acciai: l’acciaio ordinario, impiegato nel cemento armato normale e quello ad alta resistenza che si usa nel cemento armato precompresso. Le caratteristiche di quest’ultimo tipo saranno illustrate in uno dei capitoli dedicati alla precompressione. Le caratteristiche meccaniche dell’acciaio si determinano mediante prove di trazione su monconi di barra; tipici diagrammi tensione-deformazione di acciai con diverse carat-

26


teristiche di resistenza, sono rappresentati in …g. 2.11. Come è esempli…cato nella …gura l’andamento tipico della legge ¾ ¡ ² mostra un tratto elastico lineare che si estende …no alla tensione fy , detta di snervamento, seguito da un tratto in cui la deformazione cresce con tensione praticamente costante (tratto plastico). Successivamente la tensione torna a salire, ma con pendenza molto inferiore a quella iniziale elastica, (incrudimento) …no a raggiungere un massimo, per poi diminuire seguendo un ramo instabile con pendenza negativa che termina con la rottura e¤ettiva della barra. La grandezza più importante per de…nire la resistenza del materiale è la tensione di snervamento fy . Come tensione di rottura ft si assume il massimo valore raggiunto nella fase di incrudimento, in quanto il valore e¤ettivo al momento della rottura si può misurar e solamente con prove a spostamento impresso. I digrammi di …g. 2.11 evidenziano alcune proprietà che sono elencate nel seguito:

²

Il modulo elastico dell’acciaio è praticamente costante e pertanto non dipende dalla tensione di snervamento. Con buona approssimazione si può assumere, per tutti i tipi di acciaio: Es = 2:05

²

£ 105 N=mm2

L’estensione del tratto plastico e l’allungamento dirottura ²t diminuiscono al crescere della tensione di snervamento: gli acciai di qualità migliore sono pertanto meno duttili. Tuttavia negli acciai impiegati nel cemento armato gli allungamenti di rottura sono comunque elevati.

Negli acciai di qualitè migliore il tratto plastico può essere del tutto assente per cui non è possibile riconoscere un preciso valore della tensione di snervamento. In questo caso si adotta la convenzione di sostituire alla tensione di snervamento la tensione che corrisponde ad una deformazione residua stabilita, generalmente lo 0.2%. Questo valore viene indicato con il simbolo f(0:2) e si determina nel modo seguente: sul diagramma ¾ ¡ ² si traccia una retta parallela al ramo elastico che taglia le ordinate nel punto ² = 0:002; l’intersezione di questa retta con la curva di carico individua il punto di ordinata f(0:2) . Infatti, se lo scarico fosse esattamente parallelo al ramo elastico, raggiunto questo punto, dopo lo scarico si avrebbe una deformazione residua dello 0.2%. Come materiale l’acciaio ha comportamento simmetrico in trazione e compressione: pertanto la prova di trazione è su¢ciente ad individuarne le caratteristiche meccaniche. Ovviamente, a causa dei fenomeni di instabilità, il comportamento degli elementi può essere molto diverso in trazione e compressione. Il comportamento ciclico dell’acciaio, in prima approssimazione, può essere modellato con una semplice legge elasto-plastica: ramo elastico lineare, deformazione plastica a tensione costante, scarico parallelo al ramo elastico …no alla soglia di snervamento di segno opposto. Questo modello non consente di descrivere fenomeni quali l’e¤etto Bauschinger, per cui la tensione di plasticizzazione si riduce al crescere della precedente escursione plastica. Una legge che descrive in modo soddisfacente il comportamento ciclico dell’acciaio è quella di Menegotto e Pinto, derivata da una precedente di Ramberg-Osgood: ¾¤ = b²¤ +

¡

(1 b)²¤ (1 + ²¤R )1=R

(2.18)

27

2.4 L’aderenza

Figura~2.12: Comportamento ciclico dell’acciaio secondo il modello di Menegotto e Pinto in cui b ed R sono parametri che de…niscono la forma della curva, mentre¾ ed ² sono ¤

¤

rispettivamente la tensione e la deformazione normalizzate: ¾¤ =

¾ fy

¡ ¾r ; ¡ ¾r

²¤ =

² ²y

¡ ²r ¡ ²r

(2.19)

dove (fy ; ²y ) sono le coordinate del punto di snervamento nel diagramma bilineare inviluppo (…g. 2.12) e (¾r ; ²r ) sono le coordinate dell’ultimo punto di inversione del segno della velocità di deformazione. Dalla costante b dipende l’inclinazione del ramo incrudente, mentre R controlla il raggio del ramo di raccordo tra il ramo elastico e quello plastico; elevati valori di R corrispondono ad una transizione brusca, di tipo elasto-plastico. 2.4

L’aderenza

Il corretto funzionamento delle strutture in cemento armato dipende dalla e¤ettiva possibilità che i due materiali costituenti, calcestruzzo ed acciaio, siano realmente solidali, cioè subiscano le stesse deformazioni. Questo comportamento è reso possibile dall’aderenza, il fenomeno attraverso cui 2.13 si trasmettono gli sforziditrauna i due materiali. Il diagramma in …g. illustra il risultato prova di s…lamento: una barra, annegata per una lunghezza …ssata in un blocco di calcestruzzo, viene sollecitata a trazione …no allo s…lamento. Nel diagramma, in cui è riportato il legame tra la forza applicata e lo scorrimento relativo, si distinguono alcuni tratti con diverse caratteristiche. In un prima fase la forza cresce quasi in assenza di scorrimenti; questa è dominata dai legami chimici, che si formano durante la presa, tra il cemento e l’acciaio. Superata la modesta resistenza o¤erta da questi legami, la forza può ancora crescere, ma ora a prezzo di scorrimenti più elevati (secondo ramo della curva).Nelle barre lisce l’incremento di forza chesi sviluppa in

28


Figura~2.13: Curve forza–spostamento di prove di s…lamento. questo tratto à piccolo e dipende dall’“ingranamento” tra il calcestruzzo e le microrugosità della super…cie delle barre. Nel caso di barre ad aderenza migliorata questo incremento è molto più sensibile, in quanto mette in gioco l’ingranamento con le nervature sulla super…cie delle barre; per vincere l’aderenza devono rompersi i denti di calcestruzzo che ostacolano lo scorrimento. Quando questo avviene ha inizio una fase di grandi scorrimenti a forza circa costante che precede lo s…lamento della barra. Il reale andamento delle tensioni di contatto tracalcestruzzo e acciaio lungo la super…cie della barra è di¢cilmente prevedibile. Di solito si assume, convenzionalmente, che la tensione sia costante su tutta la super…cie a contatto; in questo caso il legame tra la forza e la tensione (media) ¿ b di aderenza, per una barra di diametro Á annegata nel calcestruzzo per una lunghezza l, è dato dalla relazione: Fb = ¼Ál¿ b

(2.20)

Normalmente la misura dell’aderenza non si esegue con prove dirette di s…lamento, di¢cili da eseguirsi, ma con una prova indiretta (beam test), sollecitando a ‡essione un travetto armato con barre ancorate per una lunghezza …ssata e la cui sezione centrale è costituita solo dall’armatura tesa e dauna cerniera metallica praticamente puntiforme.La forza di s…lamento risulta pertanto data dalla relazioneFb = Mb =z, dove Mb è il momento che producenella lo s…lamento mentrez è la distanza tra la cerniera metallica e l’armatura sezione di dell’armatura mezzeria. 2.5 2.5.1

Classi…cazione dei materiali Frattili e valori caratteristici

Veri…care una struttura signi…ca controllare che, sotto l’azione di alcune combinazioni dei carichi, lo stato di sollecitazione non esca da opportuni domini di resistenza, che

29

2.5 Classi…cazione dei materiali

Figura~2.14: Istogramma delle frequenze di un campione statistico di una variabile aleatoria gaussiana dipendono ovviamente dalle proprietà meccaniche dei materiali, ma anche dal tipo di carichi considerati. Infatti se si prendono in conto carichi eccezionali, per intensità o per tipo, il dominio sarà quello di non collasso, mentre per azioni frequenti si utilizzerà un dominio di buon funzionamento. Queste assunzioni presuppongono che lecaratteristiche dei materiali (resistenze, moduli elastici, deformazioni ultime, ecc : : : ) siano delle grandezze deterministiche, individuate da valori precisi. Ma così non è. Delle azioni si dirà altrove, per quel che rigu arda le caratteristiche meccaniche dei materiali, se, ad esempio, da uno stesso getto di calcestruzzo si prelevano alcuni campioni che vengono poi posti a maturare per ugual tempo nello stesso ambiente e quindi sottoposti a prova, in genere si otterranno risultati tutti diversi. In questo caso la dispersione è piccola, ma diviene molto più grande quando si analizzano i risultati di prelievi di getti diversi, anche se ottenuti in condizioni analoghe, usando le stesse quantità e gli stessi tipi dei materiali costituenti. Le caratteristiche meccaniche del calcestruzzo sono grandezze particolarmente incerte, data la di¢coltà di controllare il processo di produzione; ma anche per l’acciaio si veri…ca, seppure in misura inferiore, una analoga dispersione dei risultati. Considerazioni di questo tipo valgono in sostanza per tutti i materiali. Immaginando di disporre dei risultati di misure sperimentali di una grandezza meccanica (p.es. la resistenza rottura)un eseguite su numerosi campionidelditipo un materiale calcestruzzo), potremmoacostruire istogramma delle frequenze illustrato (p.es. in …g. 2.14. Come si vede il gra…co mostra un andamento “a campana” in cui i valori massimi delle ordinate sono prossimi alla media aritmetica dei risultati. Per valori non troppo vicini a zero l’istogramma si può approssimare con la curva densità di probabilità di Gauss: Á(x) =

1 exp 2¼¾ x

p

" µ ¡ ¶# ¡ 1 2

x

m

¾x

2

(2.21)

30


in cui m e ¾x indicano la media e la deviazione standard della distribuzione. In sostanza questo signi…ca che la resistenza dei materiali e le altre grandezze meccaniche (ed anche i carichi) dovrebbero essere trattate come variabili aleatorie, ossia grandezze che non sono individuate da un preciso valore, ma da una distribuzione di probabilità estesa ad un intervallo limitato o no. L’analisi probabilistica delle strutture è una disciplina relativamente recente, ma oramai su¢cientemente evoluta; purtroppo la rinuncia allo schema deterministico e quindi la trattazione probabilistica dei problemi dà luogo ad un aumento notevole della loro complessità. Così tutte le norme attualmente in vigore fanno riferimento al più semplice schema deterministico. Rimane tuttavia il problema di assegnare a delle grandezze intrinsecamente aleatorie dei valori deterministici signi…cativi. Una scelta apparentemente ragionevole potrebbe essere il valore medio, ma in questo modo non si terrebbe conto della dispersione: due materiali con resistenze di uguale valor medio ma diverse dispersioni non possono essere trattati allo stesso modo, in quanto quello cui corrispondono risultati più dispersi è ovviamente meno a¢dabile. Nella maggior parte delle normative moderne si è fatto riferimento al concetto di valore frattile di una variabile aleatoria, de…nito nel seguente modo: Data una variabile aleatoria X , con funzione di distribuzione FX (x) : FX (x) = P (X

· x)

(P () è la funzione di probabilità) si de…nisce frattile inferiore di probabilitàp quel valore xp tale che FX (xp ) = p

ossia quel valore tale che vi è una probabilitàp che risulti X · xp. Analogamente si può de…nire un frattile superiorex¹p , tale che 1 ¡ FX (¹xp ) = p; ossia vi è probabilità p che risulti X > x¹p . La maggior parte delle normative moderne assumono come valori di riferimento (nominali) delle resistenze dei materiali il valore frattile inferiore al 5% (p = 0:05). Per i carichi generalmente si fa riferimento ai frattili superiori della stessa probabilità. Questi frattili vengono indicati come valori caratteristici delle grandezze in esame. Pertanto i materiali vengono comunemente classi…cati in base al valore caratteristico della resistenza. Per la normativa italiana il calcestruzzo viene classi…cato mediante il valore caratteristico della resistenza misurata su provini cubici R( ck ), mentre nella maggior parte delle altre normative si fa riferimento alla resistenza cilindrica (fck ' 0:83Rck ). Analogamente gli acciai sono classi…cati in base alla tensione caratteristica di snervamentofyk , ecc : : : Nel caso che una variabile aleatoriaX si possa ritenere gaussiana con media mX e deè

viazione standard¾X , il valore caratteristico (frattile al 5% inferiore) dato semplicemente da: Xk = mX

(2.22)

¡ 1:64¾X

Se si dispone di numerosi campioni la media e la deviazione standard diX si possono stimare mediante la media statisticaX e la radice dello scarto quadratico medio, cioè: X=

1 n

n

X i=1

xi

2 sX =

1

n

n

X

¡ 1 i=1 (xi ¡ X )

2

(2.23)

31


Se si dispone di un numero limitato di campioni il valor medio e la varianza non sono noti con certezza; in questo caso l’eq. (2.22) è ancora applicabile, sostituendo ad 1.64 un coe¢ciente k (>1.64) il cui valore dipende dal numeron dei campioni esaminati. 2.5.2

Controllo di accettazione

Per il calcestruzzo lo schema teorico delineato prima è di¢cilmente applicabile; infatti al momento della messa in opera il materiale è ‡uido e solo dopo diversi giorni (28 giorni è il tempo di l’indagine riferimento) avrà raggiunto resistenza confrontabile cona quella di esercizio. Pertanto statistica non potràuna basarsi su di una valutazione priori della resistenza caratteristica, ma dovrà piuttosto conformarsi ai criteri di accettazione statistica. Il problema sostanzialmente si può porre in questi termini: ipotizzato un valore della resistenza caratteristica si dovrà controllare che, con probabilità assegnata, la reale resistenza caratteristica del materiale non è inferiore a quella utilizzata nei calcoli. Per la normativa italiana un prelievo è formato da due campioni, prelevati da uno stesso getto al momento della posa in opera; la media delle resistenze dei due campioni è detta resistenza di prelievo. Il controllo di accettazione si può eseguire secondo due diverse modalità: 1. Ogni controllo di accettazione è rappresentato da tre prelievi (6 campioni) ciascuno dei quali eseguito su di un massimo di 100 m3 di getto. Si eseguirà pertanto almeno un controllo ogni 300 m3 di getto. Indicando con Rm la media aritmetica delle tre resistenze di prelievo e con Rmin il valore minimo tra i tre, il controllo è superato se: R

R

+ 3:5 (N=mm2 )

¸ ck Rmin ¸ Rck ¡ 3:5 (N=mm2 ) m

2. Nel caso di costruzioni con più di 1500 m3 di calcestruzzo è ammesso un controllo di tipo statistico. Viene eseguito almeno un prelievo ogni giorno di getto e, complessivamente, non meno di 15 prelievi ogni 1500 m3. Il controllo è superato se sono veri…cate le condizioni seguenti:

¸ Rck + 1:4s ¸ ¡ 3:5 (N=mm2)

Rm Rmin

Rck

in cui Rmin è il valore minimo delle resistenze di prelievo ed s2 il loro scarto quadratico medio, de…nito nell’eq. (2.23). 2.5.3

Classi…cazione degli acciai

Gli acciai in barre cemento armato prodotti in Italiadisono raggruppati in 4due classi, contraddistinte dalda valore caratteristico della tensione snervamento classi fyk . Le di minor qualità sono prodotte in barre tonde lisce, le altre due in barre ad aderenza migliorata. Indicando con ftk la resistenza caratteristica a rottura e con A5 l’allungamento a rottura, i valori minimi che queste grandezze devono prendere perché un acciaio possa appartenere ad una certa classe sono riportati nella tabella 2.6. Si possono impiegare barre con diametro compreso tra 5 e 30 mm, ad eccezione del tipo FeB 44k, per cui non si possono impiegare barre con diametro superiore ai 26 mm; solitamente vengono prodotte solo barre con diametro pari (6, 8, ecc: : : ).

32


TIPO Fe B 22 k Fe B 32 k Fe B 38 k Fe B 44 k

fyk N=mm2

ftk N=mm2

215 315 375 430

335 490 450 540

A5

%

24 23 14 12

Tabella 2.6: Principali caratteristiche degli acciai secondo le norme italiane fyk N=mm2

390

ftk N=mm2

440

A5 (%)

8

Tabella 2.7: Caratteristiche dei …li e delle reti elettrosaldate Oltre che in barre, l’acciaio per il cemento armato viene prodotto in …li tra…lati ed in reti e tralicci elettrosaldati, con diametri compresi tra 5 e 12 mm. Le caratteristiche di queste armature sono elencate nella tabella 2.7. Quando manca il tratto plastico la tensione di snervamento viene sostituita daf(0:2)k . 2.5.4

Valori di progetto, diagrammi di calcolo

I valori caratteristici sono le etichette con cui vengono classi…ca te le grandezze meccaniche dei materiali: attraverso essi si cerca di tener conto, sia pure rozzamente, della natura aleatoria di queste grandezze. Dai valori caratteristici si derivano quindi i valori di progetto , ossia i valori deterministici nominali da utilizzare nelle formule di veri…ca. La scelta di questi valori dipende dal livello di rischio che si accetta circa il veri…carsi di un evento sfavorevole, ossia che le sollecitazioni escano dal dominio di resistenza della struttura. Generalmente, …ssato un livello di rischio, cioè una probabilità accettata che la condizione sia violata, non esiste un unico valore di progetto valido per tutte le situazioni; a rigore si dovrebbe utilizzare un valore diverso per ogni caso in quanto esso dipende dal particolare problema strutturale, dalla natura delle azioni considerate, dal tipo di veri…ca, ecc : : : In pratica per ogni grandezza meccanica di un certo materiale si individuano due soli valori di progetto: per le veri…che agli stati limite ultimi (di collasso) e per la veri…che agli stati limite di esercizio. Questi valori di progetto si ottengono dividendo il valore caratteristico della grandezza per dei coe¢cienti di sicurezza, generalmente diversi per i due tipi di veri…ca.3 Oltre che dal tipo di veri…ca, il coe¢ciente di sicurezza dipende dalla dispersione della grandezza a cui si applica: per grandezze con elevata dispersione (come ad esempio la resistenza del calcestruzzo) si adottano coe¢cienti grandi, per grandezze poco disperse si usano coe¢cienti più prossimi all’unità. Nelle veri…che che richiedono l’analisi della struttura oltre il campo elastico, quali quelle agli stati limite ultimi, non è su¢ciente de…nire il valore di una grandezza di resistenza del materiale, come ad esempio la tensione di rottura per compressione del calcestruzzo o di snervamento dell’acciaio, bensì occorre precisare l’intera legge tensioni-deformazioni del materiale. Questi legami, per il calcestruzzo e l’acciaio, sono stati illustrati nelle prece3 Per le azioni si procede in m odo analogo, m a in questo caso i coe¢cienti di sicurezza moltiplic ano il valore caratteristico.

33


denti sezioni; tuttavia, di solito, è possibile utilizzare delle relazioni sempli…cate, chiamate che, pur cogliendo gli aspetti essenziali del funzionamento del materiale, consentono di sempli…care le formule di veri…ca. Questo aspetto è importante nel calcolo manuale, mentre risulta meno signi…cativo quando si ricorre al calcolo automatico. diagrammi di calcolo,

Il metodo delle tensioni ammissibili

Un criterio di veri…ca, che nella maggior parte delle normative è stato più o meno abbandelle tensioni ammissibili donato, ma il cui è ancora molto di¤uso in Italia, è il metodo Esso consiste neluso veri…care che, sotto carichi di esercizio, le tensioni nella struttura non. superino dei valori (ammissibili), sensibilmente inferiori ai limiti di resistenza (rottura, snervamento, ecc : : : ), entro i quali il funzionamento dei materiali è sostanzialmente elastico. Si tratta evidentemente della veri…ca di un particolare stato limite di esercizio; l’ipotesi su cui il metodo si fonda è che, se per valori di esercizio dei carichi le sollecitazioni rimangono nei limiti assegnati, allora sarà veri…cata anche la condizione che, per valori rari, non verrà superata la soglia di resistenza della struttura. In realtà questo non è sempre vero; in particolare rimane il problema di inserire in uno schema di azioni di esercizio quelle eccezionali (come i terremoti, ad esempio): la necessità di ridurre il livello di queste azioni per riportarle nell’ambito di una veri…ca in esercizio produce delle combinazioni di carichi che, in alcuni casi, risultano poco signi…cative. Per le strutture in cemento armato, inoltre, l’utilità di certe soluzioni nella disposizione delle armature risulta evidente solo quando se ne esamina il funzionamento in prossimità delle condizioni di collasso. In genere le relative veri…che sono state inserite anche nel metodo delle tensioni ammissibili, conservandone il meccanismo e riducendo proporzionalmente azioni e resistenze; ma questi arti…ci, pur consentendo al metodo di o¤rire un grado di sicurezza adeguato, lo rendono poco coerente ed insoddisfacente dal punto di vista della formulazione teorica. I valori previsti dalla normativa italiana per le tensioni ammissibili del calcestruzzo e dell’acciaio, sono riportati nel seguito. Calcestruzzo La tensione ammissibile di compressione negli elementi soggetti a ‡essione o presso‡essione, come le travi, le solette o i pilastri, si ottiene, in funzione della resistenza caratteristica cubica a 28 giorni, con la seguente formula:

¾c = 6 +

Rck

¡ 15

4

(N=mm2 )

(2.24)

Il valore così ottenuto viene ulteriormente ridotto nei seguenti casi: 1. Nelle solette di spessore inferiore di 5 cm si applica una riduzione del 30%. 2. Nelle travi a T con soletta collaborante:

² se la soletta ha spessore minore di 5 cm la riduzione è del 30% ² altrimenti la riduzione è del 10%. 3. Per i pilastri calcolati a compressione semplice la tensione ammissibile prende il valore ridotto: ¾ ¹ c = 0:7¾c ¾ ¹ c = 0:7[1

¡ 0:03(25 ¡ s)]¾c

se s ¸ 25 cm se s < 25 cm

(2.25)

34


TIPO ¾ s (N=mm2 )

FeB 22k FeB 32k FeB 38k FeB 44k 115 155 215 255

Tabella 2.8: Tensioni ammissibili dell’acciaio in barre in cui s indica la minima dimensione della sezione. 4. Negli elementi sollecitati a presso‡essione la tensione media relativa all’intera sezione non deve superare ¾¹ c . Negli elementi soggetti alla sollecitazione di ‡essione e taglio o di torsione, se la tensione tangenziale massima non supera il valore: ¿ c0 = 0:4 +

¡

Rck 15 75

(N=mm2 )

(2.26)

non è richiesta la veri…ca delle armature di taglio o di torsione. In ogni caso la tensione tangenziale non deve superare il valore: ¿ c1 = 1:4 +

¡

Rck 15 35

(N=mm2 )

(2.27)

Gli stessi valori sono ammessi nelle sezioni di attacco delle ali all’anima delle travi a T od a cassone. In caso di azione combinata di torsione e taglio il valore di¿ c1 è incrementato del 10%. Acciaio Le tensioni ammissibili degli acciai (¾ s ) sono date, in funzione della loro classe, nella tabella 2.8. Per i …li e le reti elettrosaldate la tensione ammissibile si calcola con la seguente relazione:

¾s = min(0:60f(0:2)k ; 0:55ftk ; 255)

(N=mm2 )

(2.28)

Aderenza La tensione tangenziale media di aderenza, calcolata nell’ipotesi di distribuzione uniforme, non deve superare uno dei seguenti valori:

² Barre tonde lisce: ² Barre ad aderenza migliorata:

¿ b = 1:5¿ c0 ¿ b = 3:0¿ c0

Veri…che degli stati limite. Valori di progetto

Come si è già detto le resistenze di progetto fd si ottengono dai valori caratteristici dividendoli per opportuni coe¢cienti di sicurezza ° : fd =

fk °

Nel seguito vengono riportati i valori dei coe¢cienti adottati dalla normativa italiana per i materiali costituenti le strutture in cemento armato.

35


Calcestruzzo

I coe¢cienti di sicurezza per il calcestruzzo previsti dalla normativa ita-

liana sono:

² Per le veri…che degli stati limite ultimi:° c = 1:6 ² Per le veri…che degli stati limite di esercizio:° c = 1:0 c 25%.Negli elementi con spessori minori di 5 cm il coe¢ciente ° deve essere maggiorato del La resistenza di calcolo4 a compressione fcd si ottiene dividendo la resistenza caratteristica cilindrica per il coe¢ciente °c ; pertanto:

fcd =

fck 0:83Rck = °c °c

(2.29)

Il diagramma di calcolo normalmente adottato per il calcestruzzo è quello parabolaesso è costituito, nell’intervallo[0; ²c1 = :002], da un ramo di parabola passante per l’srcine e di equazione: rettangolo:

¾c = 2f cd

"

²c ²c1

¡ 21

µ ¶# ²c ²c1

2

in cui f¹cd = 0:85fcd, e da un tratto costante, nell’intervallo[²c1 ; ²cu = 0:0035], di ordinata f¹cd . Quindi la massima tensione di compressione del calcestruzzo risulta di fatto l’85% della resistenza di calcolo.5 La deformazione limite ²cu = 0:0035 è, convenzionalmente, la deformazione di rottura del materiale. Resistenza a trazione In assenza di sperimentazione diretta, la resistenza a trazione semplice del calcestruzzo si esprime in funzione della resistenza caratteristica con la relazione: 2=3

(N=mm2 )

fctm = 0:27Rck

(2.30)

in cui f ctm indica il valore medio della resistenza a trazione. Il valore caratteristico si ottiene dal precedente moltiplicandolo per il coe¢ciente 0.7: (2.31)

fctk = 0:7fctm

Il valore della resistenza a trazione per ‡essione si assume: (2.32)

fcfm = 1:2fctm 4 I 5

valori di progetto vengono, in Italia, indicati anche come grandezze di calcolo . Questa riduzione tiene conto che i diagrammi ¡ reali del calcestruzzo hanno un ramo decrescente e pertanto la risultante delle tensioni su di una sezione in‡essa oltre risulta inferiore a quella calcolata con il diagramma schematico parabola-rettangolo. ¾

²

²c1

36


Acciaio

Per l’acciaio il coe¢ciente di sicurezza previsto dalla norma italiana è:

² per le veri…che degli stati limite ultimi:° s = 1:15 ² per le veri…che degli stati limite di esercizio: ° s = 1:0 Il diagramma di calcolo usuale è quello elasto-plastico, con ramo elastico di modulo £ 105 N=mm2 …no alla tensione di snervamento (di calcolo)fyd = fyk =°s e ramo

Es = 2:05

² sl = 0:01 plasticoche a tensione costante …no èall’allungamento . Sidel osservi questa deformazione molto minore dilimite quella(convenzionale) di rottura dell’acciaio, anche tipo meno duttile; essa corrisponde piuttosto al venir meno delle ipotesi di funzionamento del cemento armato (principalmente dell’aderenza tra i due materiali) e non alla reale rottura della barra. Questo limite deve essere rispettato nel valutare la resistenza ultima delle sezioni, ma può essere trascurato se il calcolo è …nalizzato ad altro, ad esempio alla valutazione della deformazione ultima. Altre caratteristiche del calcestruzzo

Alcune grandezze, relative al calcestruzzo, di interesse per l’analisi strutturale, sono le seguenti:

² Coe¢ciente di Poisson: si può assumere un valore compreso tra 0.1 e 0.2. termica: è poco variabile e si assume per tutti i tipi il ² Coe¢ciente5 di dilatazione 1 valore 10

¡

±

C¡ .

² Peso speci…co: convenzionalmente 3il peso speci…co di un calcestruzzo normale non

armato si assume pari a 2400 kg/m . Il peso speci…co del cemento armato si assume 2500 kg/m3 .

Capitolo 3

Elementi sollecitati da tensioni normali. La ‡essione Sintetizzando quanto visto nel precedente capitolo,si può a¤ermare che gli elementi strutturali in cemento armato sono costituiti da due materiali dalle cara tteristiche molto diverse, uno dei quali, il calcestruzzo, ha un comportamento che segue poco il modello elastico, in particolare nei confronti delle sollecitazioni di trazione è fragile ed ha modesta resistenza. Questi fatti implicano che i risultati della teoria dell’elasticità non possono essere estesi, se non con qualche mediazione ed approssimazione, alle strutture in cemento armato, anche per livelli di sollecitazione modesti, quali quelli associati ai carichi in esercizio. Un modello accurato per le strutture in cemento armato deve tener conto di queste caratteristiche, in particolare deve poter prevedere il fenomeno della fessurazione, dovuto al superamento della resistenza a trazione del conglomerato, e la conseguente perdita di continuità. Modelli di questo tipo, con diversi gradi di accuratezza, esistono e sono inseriti in codici agli elementi …niti non lineari, ma il loro impiego è molto oneroso, sia nel calcolo, sia nella preparazione dei dati e nell’interpretazione dei risultati; l’uso di questi programmi è giusti…cato solo per strutture di particolare impegno o per scopi di ricerca. Nella progettazione corrente si cerca di fare riferimento, con qualche aggiustamento, al semplice e collaudato calcolo elastico. In particolare è importante disporre di una teoria della trave di semplicità confrontabile con quella di Navier – De Saint Venant per i materiali omogenei con elasticità lineare. E proprio in questa direzione che si dispone di modelli semplici ma ben collaudati dall’esperienza; questi modelli non sono in grado di cogliere tutte le sfumature del complesso comportamento del cemento armato, né hanno la coerenza della teoria della trave elastica: la loro principale giusti…cazione risiede nel collaudato successo della loro applicazione come strumenti di progetto. In questo capitolo verrà analizzato il comportamento delle travi in‡esse, nel prossimo quello degli elementi soggetti alla sollecitazione composta di ‡essione e pressione, in uno successivo verranno esaminate le sollecitazioni che inducono tensioni tangenziali: il taglio e la torsione. Sebbene la sollecitazione di taglio non sia mai disgiunta dalla ‡essione, una approssimazione accettata e confortata dall’esperienza consente di analizzarle separatamente, il che risulta molto vantaggioso dal punto di vista pratico. 37

38

3.1

Capitolo 3 Elementi sollecitati da tensioni normali. La ‡essione

Ipotesi di calcolo

Si immagini di eseguire un esperimento, applicando ad una trave semplicemente appoggiata due carichi uguali, posti alla stessa distanza dagli appoggi in modo che nella parte centrale la trave sia sollecitata a pura ‡essione, e di far crescere gradualmente il carico. Inizialmente, per valori piccoli dei carichi, le tensioni nel calcestruzzo non supereranno la resistenza a trazione; inoltre il comportamento dei materiali (calcestruzzo e acciaio) si potrà ritenere, con buona approssimazione, lineare. Pertanto la trave seguirà lo schema previsto dal modello di Navier: sulla sezione si avrà un diagramma delle deformazioni (e delle tensioni) lineare “intrecciato”, con la massima compressione nel lembo superiore e la massima trazione in quello inferiore. Poiché l’armatura viene usata per compensare la de…cienza di resistenza a trazione del conglomerato, è ovvio che essa sarà stata disposta il più vicino possibile al lembo inferiore (teso). Lo strato di calcestruzzo al di sotto delle barre d’armatura (usualmente 1:5 ¥ 2:5 cm) è detto copriferro e serve a realizzare, oltre alla protezione delle barre dalla corrosione, l’aderenza tra l’armatura ed il calcestruzzo. Al crescere del carico, in un punto di minor resistenza della …bra più tesa, si innescherà una fessura: poiché il formarsi di una lesione riduce la resistenza della sezione, la fessura tenderà a propagarsi rapidamente, interessando parti sempre maggiori della sezione. In assenza di armatura l’equilibrio diverrebbe impossibile e si avrebbe il collasso della trave. La presenza dell’armatura, invece, consente alle tensioni, che in precedenza erano sopportate dal calcestruzzo teso, di migrare nell’acciaio; la fessura si arresta creando una sezione composta, nella parte superiore, sopra la fessura, dal calcestruzzo compresso, ed in quella inferiore dal solo acciaio teso. Si osservi che il calcestruzzo teso, nelle zone prossime alla fessura, risulta “scaricato” in quanto la forza ora è stata trasferita all’armatura; solo ad una certa distanza dalla fessura, quando l’aderenza avrà consentito il trasferimento della forza dall’acciaio al calcestruzzo, la sollecitazione sarà di nuovo abbastanza grande da superare la resistenza e produrre un’altra fessura. Quindi una trave in‡essa sarà caratterizzata, nella parte tesa, da un certo numero di fessure separate da blocchi di calcestruzzo integro, nei quali le tensioni non hanno superato la resistenza. La formazione delle fessure giusti…ca l’ipotesi, valida nell’analisi delle sezioni in‡esse e presso-in‡esse, di considerare nulla la resistenza a trazione; tuttavia questo non implica che il calcestruzzo possa in ogni caso trattarsi come un materiale privo di resistenza a trazione. I blocchi di calcestruzzo integro tra le fessure svolgono un ruolo essenziale nel trasferire le tensioni dalla parte compressa a quella tesa della sezione, e quindi sono essenziali nel funzionamento a taglio; inoltre consentono che, con buona approssimazione, si possa assumere ancora valida l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane, per cui l’acciaio ha la stessa deformazione del calcestruzzo circostante (in media ovviamente, in quanto in corrispondenza delle fessure il calcestruzzo non è presente). Nonapprossimazione, si deve essere tratti in inganno:lal’analisi dellaasezione fessurata si può condurre, con ottima trascurando resistenza trazione del conglomerato, ma questa resistenza è invece essenziale per garantire il funzionamentodell’insieme dei due materiali; i soli materiali realmente privi di resistenza a trazione sono quelli granulari sciolti, negli altri casi la resistenza a trazione, anche se piccola, è essenziale per spiegarne il comportamento. L’applicazione di modelli che, incondizionatamente, trascurano la capacità dei materiali di sopportare trazioni produce risultati paradossali, scarsamente utili per le applicazioni. Le principali ipotesi su cui si basa l’analisi dello stato di tensione delle sezioni di travi sollecitate da azioni normali (‡essione e pressione), sono le seguenti:

3.2 Calcolo elasti co. Il metodo delle tensioni ammissibili

39

1. Conservazione delle sezioni piane; ne consegue che la deformazione in ogni punto della sezione è proporzionale alla distanza del punto considerato dall’asse neutro. 2. La resistenza del calcestruzzo teso è trascur abile. La parte tesa della sezion e di conglomerato pertanto non contribuisce all’equilibrio: la sezione reagente è costituita solo dall’acciaio e dal calcestruzzo compresso. 3. Vi è perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo, pertanto la deformazione di ogni barra coincide con quella del calcestruzzo nei punti immediatamente circostanti. I legami costitutivi che si adottano per l’acciaio e per il calcestruzzo compresso dipendono dal tipo di analisi: nel calcolo allo stato limite ultimo si usano i diagrammi di calcolo illustrati in precedenza, mentre per l’analisi in campo elastico si assume un legame lineare tra tensioni e deformazioni.

3.2 3.2.1

Calcolo elastico. Il metodo delle tensioni ammissibili La sezione omogenizzata

La veri…ca delle strutture con il metodo delle tensioni ammissibili, come è stato illustrato nel precedente capitolo, consiste nel controllare che in nessun punto della struttura le tensioni superino i relativi valori ammissibili. Le tensioni vengono calcolate, per le azioni di esercizio, nell’ipotesi di comportamento elastico dei materiali; nel caso del calcestruzzo il comportamento elastico riguarda solo la parte compressa, mentre, come già sottoline ato, il contributo del composte materiale da tesomateriali viene trascurato. Nelle sezioni diversi il modulo elastico E varia tra un punto e l’altro; se si assume l’assenza di scorrimenti, per cui le deformazioni in un punto non dipendono dal materiale che lo occupa, le tensioni risulteranno proporzionali al modulo elastico. Per un’areola dA contenente il punto P ove il materiale ha modulo E (P ), si ha allora una forza risultante: dF = ²E (P ) dA

dove ² è la deformazione nel punto P . Introducendo un modulo elastico di riferimentoE0 , moltiplicando e dividendo l’equazione precedente per questa grandezza, si ottiene: dF = ²E0

E (P ) dA E0

Questa relazione si può interpretare nel modo seguente:dF è la risultante delle tensioni, in un materiale di modulo E0, agenti sull’area dA pesata con il fattore E (P )=E0. In questo E0 , purché le aree degli modo ci sipesate può riferire ad un materiale unico, e¤ettivo di modulo vengano con il rapporto tra il modulo e quello di riferimento.1 elementi Questo arti…cio, detto omogeneizzazione della sezione in quanto virtualmente la riconduce ad una omogenea con moduloE0 , risulta particolarmente conveniente nel calcolo elastico delle sezioni in cemento armato, perché le sezioni delle barre di armatura possono 1 Il vantaggio di questa operazione consiste nel fatto che, essendosi ricondotti al caso di un materiale omogeneo, sono ancora validi i teoremi geometrici della teoria della ‡essione, ad esempio le proprietà del baricentro e dell’ellisse di inerzia. Tali grandezze tuttavia dovranno riferirsi, ora, ad una sezione costituita da un materiale con “densità” variabile, pari a E (P )=E0 .

40


ragionevolmente considerarsi come elementi puntiformi di area Asi; dopo l’omogeneizzazione si potrà assumere per ciascuna barra lo stesso modulo del calcestruzzo ed un’area omogenizzata (Es =Ec )Asi . Il rapporto tra i moduli elastici dell’acciaio e del calcestruzzo è detto coe¢ciente di omogeneizzazione, ed abitualmente viene indicato con il simbolon: n=

Es Ec

(3.1)

il suo valore, …ssato dalla normativa italiana, si assume uguale a 15. È interessante osservare che, facendo uso dell’eq. (2.2), si ottengono per il calcestruzzo dei valori del modulo elastico compresi tra 22000 e 40000 N=mm2 , al variare di Rck tra 15 e 50 N=mm2 . Poiché per il modulo elastico dell’acciaio si può assumere il valore di 205000 N=mm2, dall’eq. (3.1) si ottengono valori di n compresi tra 9:5 e 5:25, quindi sensibilmente inferiori al 15 …ssato dalle norme. La spiegazione di questa apparente contraddizione sta nel fatto che il modulo elastico Ec tiene conto solo della deformabilità istantanea del calcestruzzo, mentre per l’azione dei carichi permanenti si sviluppa nel tempo anche la deformazione viscosa, la cui entità, come visto, è mediamente maggiore di quella istantanea. Il valore 15 del coe¢ciente di omogeneizzazione tiene conto, in modo forfettario e convenzionale, del contributo della viscosità alla deformazione del calcestruzzo. Per quanto visto, nel calcolo elastico, le sezioni delle travi in cemento armato sollecitate da tensioni normali, possono considerarsi come composte di un unico materiale: il calcestruzzo. La sezione reagente omogenizzataè pertanto costituita dalla parte compressa della sezione di calcestruzzo e dalle armature, le cui applicare aree sono tutti ampli…cate (omogenizzate) mediante il modulo sezione si possono i risultati della teoria n. A questa elastica delle travi composte di materiale omogeneo. Tuttavia il problema dell’analisi delle sezioni in cemento armato risulta sensibilmente più complesso; infatti, ad eccezione dei casi in cui la sezione è interamente compressa, la parte reagente non è nota a priori, in quanto dipende dallo stato di tensione che, ovviamente, è a sua volta funzione dalla geometria della sezione. Pertanto il problema dà luogo ad un sistema di equazioni la cui soluzione, con l’eccezione di alcuni casi semplici, non può ottenersi analiticamente, ma richiede l’impiego di procedure numeriche iterative. Fortunatamente il caso più semplice da trattare, quello della ‡essio ne retta delle sezioni rettangolari, è anche il più frequente che si incontra in pratica. I casi più complessi poi si presentano oggi molto meno problematici che nel passato, data la grande di¤usione di mezzi di calcolo potenti che consentono di risolverli, quando si disponga delle procedure opportune, in tempi estremamente brevi. 3.2.2

La ‡essione retta

Una sezione si dice che è sollecitata a ‡essione retta quando la risul tante delle sollecitazioni è una coppia che appartiene ad un piano normale alla sezione che passa per uno degli assi principali di inerzia. In questo caso l’asse neutro risulta ortogonale all’asse di sollecitazione (traccia del piano della coppia sul piano della sezione) e quindi parallelo all’altro asse di inerzia. Questa proprietà si applica anche alle sezioni in cemento armato ma, ovviamente, con riferimento alla sezione reagente; poiché questa non è nota a priori, normalmente non è possibile stabilire se una certa sollecitazione corrisponde o no ad una ‡essione retta.

41


Figura~3.1: Sezione rettangolare in cemento armata sollecitata da ‡essione retta Infatti la coincidenza dell’asse di sollecitazione con uno degli assi di inerzia della sezione geometrica non garantisce, in generale, che questa condizione sarà veri…cata anche per la sezione parzializzata. Fa eccezione il caso delle sezioni che hanno un asse di simmetria . L’asse di simmetria è, come noto, anche asse principale d’inerzia; se la sollecitazione agisce secondo quest’asse e l’asse neutro risulta ad esso perpendicolare, la sezione parzializzata sarà ancora simmetrica rispetto allo stesso asse e quindi la sollecitazione rimarrà retta anche con riferimento alla sezione reagente omogenizzata. Si può concludere che una sezione è sollecitata a ‡essione retta 2 se ha un asse di simmetria e questo coincide con l’asse di sollecitazione. La condizione di sollecitazione retta sempli…ca sensibilmente il problema; infatti nell’analisi delle sezioni in cemento armato è fondamentale la determinazione della posizione dell’asse neutro che, separando la sezione compressa da quella tesa, di fatto individua la parte di calcestruzzo reagente. In caso di sollecitazione retta l’asse neutro, essendo ortogonale a quello di sollecitazione, ha giacitura nota; pertanto il problema della sua individuazione presenta una sola incognita anziché due. Formulazione generale

Si consideri una sezione simmetrica sollecitata a ‡essione semplice da una coppia di momento M agente secondo l’asse di simmetria della sezione; per quanto visto la sollecitazione èmostrato retta e pertanto neutrounavrà giacituraortogonale, ortogonalel’asse all’asse di sollecitazione. Come in …g. 3.1,l’asse si assuma riferimento x coincidente con l’asse neutro e l’asse y con quello di simmetria. La condizione che, per la sollecitazione di ‡essione semplice, l’asse neutro passi per il baricentro della sezione omogenizzata, si esprime: ¤

Sn = 2

Z

A

y dA = ¤

Z

m

y dA + n Acc

X

ysi Asi = 0

i=1

analoghe considerazioni possono svolgersi per la sollecitazione di pressione eccentric a.

(3.2)

42


in cui A indica l’area della sezione omogenizzata, Acc l’area della sezione di calcestruzzo reagente (compressa), mentreAsi è l’area della i-esima barra di ordinataysi nel riferimento adottato. La sola incognita nell’eq. (3.2) è yc, che individua la posizione dell’asse neutro e quindi l’e¤ettiva sezione reagente; la sua determinazione fornisce gli elementi necessari per il calcolo delle tensioni. Infatti posto: ¤

m

IG = ¤

Z

Acc

y 2 dA + n

X

2 Asi ysi

(3.3)

i=1

in cui IG è il momento di inerzia baricentrico della sezione omogenizzata, si ha: ¤

¾c (y) =

M y IG

¾si = n

¤

M y IG si

(3.4)

¤

dove ¾c(y) indica la tensione nella …bra di ordinatay del calcestruzzo compresso e ¾si è la tensione nella i-esima barra di armatura. Si osservi che la tensione nell’armatura si ottiene con la stessa relazione impiegata nel calcestruzzo, ma ampli…cata del fattore n . Infatti poiché per l’ipotesi di perfetta aderenza i due materiali hanno la stessa deformazione si ha: ¾s = Es ² =

Es E ² = n¾c Ec c

in cui ¾c = Ec² è la tensione del calcestruzzo per e¤etto della deformazione ².3 Pur essendo la sola incognita, yc non compare esplicitamente nell’eq. (3.2); questa assume una forma più chiara se si esegue un cambiamento del riferimento, traslandolo in direzione y della quantità yc ed orientando le ordinate verso il basso. Indicando con » ed ´ gli assi del nuovo riferimento: x=»

y = yc

¡´

per le armature si ha ysi = yc ¡ di (di = ´ si è la distanza della barra i dal l embo compresso della sezione). Sostituendo queste relazioni nell’eq. (3.2) si ottiene: yc Acc

m

Z ¡

m

ÃX X ! ¡

´ dA + n yc

Acc

Asi

di Asi

i=1

=0

i=1

Raccogliendo i termini in yc questa equazione si scrive: ¤

yc A

¡

ÃZ

Acc

m

´ dA + n

X ! di Asi

=0

(3.5)

i=1

dove A = Acc + n m i=1 Asi è l’area reagente omogenizzata. L’equazione (3.5) non è ancora esplicita in yc in quanto l’area Acc della parte compressa della sezione dipende a sua volta dalla posizione dell’asse neutro; per essere resa esplicita occorre precisare la forma geometrica della sezione. ¤

P

43


Figura~3.2: Schema della sezione rettangolare parzializzata Sezione rettangolare

Per una sezione rettangolare, come quella illustrata in …g. 3.2, l’eq. (3.5) si esplicita facilmente. Infatti in tal caso si ha: A = byc + nAs ¤

Z

´ dA = b

Acc

Z

yc

0

1 ´ d´ = byc2 2

in cui As = m i=1 Asi indica l’area totale delle armature. Sostituendo queste espressioni nell’eq. (3.5) risulta:

P

yc (byc + nAs )

¡ 12 by2 ¡ nd

G As

c

=0

(3.6)

avendo indicato con d G la distanza del baricentro delle armature dal lembo compresso della sezione: m dG =

i=1 di Asi

P

As

Sviluppando l’eq. (3.6) si ottiene un’equazione di secondo grado in yc : yc2 + 2 nAs yc b

¡ 2 nAb d s

G

=0

la cui radice positiva fornisce la posizione dell’asse neutro: yc = 3

nAs b

Ãr

1+2

bdG nAs

!

¡1

(3.7)

Qui in realtà si intende un materiale elastico con modulo E c e quindi reagente anche a trazione.

44


Calcolata la posizione dell’asse neutro è immediato determinare il momento di inerzia baricentrico della sezione omogenizzata; per l’eq. (3.3) si ha: 1 IG = byc3 + n 3 ¤

m

X

(yc

i=1

¡ d )2 A i

(3.8)

si

e quindi i valori massimi delle tensioni di compressione nel calcestruzzo e di trazione nell’acciaio sono dati dalle relazioni (eq. (3.4)): ¾cm =

M y IG c ¤

¾sm = n

M (y IG c ¤

¡d

m)

(3.9)

4 avendo indicato con dm la distanza dell’armatura più lontana dal lembo compresso.

Dimensionamento della sezione

La progettazione strutturale si svolge mediante un procedimento di prova e correzione: assegnate le dimensioni degli elementi strutturali e valutati i carichi se ne determinano le sollecitazioni e quindi si veri…ca che queste non superino i limiti stabiliti; se qualche condizione non è soddisfatta si modi…cano le dimensioni degli elementi interessati e si esegue una nuova veri…ca. Questo avviene non soltanto perché il procedimento diretto del calcolo delle dimensioni degli elementi è troppo complesso per essere perseguito, ma anche perché il problema è largamente indeterminato ed inoltre spesso esistono vincoli di altro genere, architettonici, costruttivi, ecc : : : , che impongono delle ulteriori condizioni alle dimensioni delle strutture. Ciò premesso, è tuttavia utile disporre di semplici relazioni per il dimensionamento delle sezioni, da impiegarsi ad esempio nell’analisi preliminare. Si deve tener conto inoltre che usualmente l’analisi strutturale delle opere in cemento armato viene condotta con riferimento alle sezioni geometriche in calcestruzzo,considerate elastiche e reagenti a trazione, senza tener conto dell’armatura: l’armatura quindi si può calcolare in modo diretto, in quanto le sollecitazioni, nei limiti di questa approssimazione, non dipendono da essa. Formule di progetto si ottengono facilmente per le sezioni rettangolari con un solo livello di armatura. Benché formule più complesse si possano ottenere per le sezioni con armatura posta anche al lembo compresso, non vale la pena so¤ermarsi su esse, poiché ai …ni pratici sono su¢cienti quelle relative alla sezione semplicemente armata, i cui risultati si possono estendere, con qualche approssimazione, anche ai casi più generali. Si consideri una sezione rettangolare, come quella illustrata in …g. 3.3, con un solo livello di armatura e sollecitata a ‡essione retta da una coppia di momento M . Si vogliono determinare le dimensioni della sezione e l’armatura necessaria perché le tensioni massime nei materiali siano esattamente quelle ammissibili. Come si vede dal digramma delle tensioni riportato in …g 3.3, questa condizione implica che il rapporto K = yc=d risulta de…nito dai valori ammissibili delle tensioni nei materiali: K=

yc ¾¹ c = d ¾¹ c + ¾¹ s =n

(3.10)

4 Normalmente si indicano con segno positivo le tensioni di trazione. Nel cemento armato tuttavia è conveniente rovesciare questa convenzione, assumendo positive le compressioni. Poiché usualmente la veri…ca riguarda il m assimo (in valore assoluto) della compressione del calcestruzz o e della trazione dell’acciaio, quando questo non induce ambiguità, si farà riferimento al valore assoluto delle tensioni.

45


Figura~3.3: Sezione rettangolare con semplice armatrura: condizioni di progetto. Per l’equilibrio della sezione, la risultante C delle tensioni di compressione del calcestruzzo e quella T delle trazioni nell’armatura formano una coppia di momento M . Il braccio della coppia, z, è la distanza tra queste risultanti. Poiché la sezione è rettangolare ed il diagramma delle compressioni è un triangolo di altezzayc , tale risultante passa per il punto, sull’asse di simmetria, distanteyc =3 dal lembo compresso della sezione; pertanto: z=d

¡ y3

c

K 3

µ¡ ¶

=d 1

= d³

dove ³ = 1 ¡ K=3 è il rapporto tra il braccio z e l’altezza utile d.5 Sostituendo nell’equazione precedente l’espressione diK (eq. (3.10)), si ha: ³=

2n¹ ¾c + 3¹ ¾s 3(n¹ ¾c + ¾¹ s )

(3.11)

Per l’equilibrio della sezione, il momento esternoM dovrà uguagliare quello della coppia interna: (3.12)

M = Cz = T z

dove C e T valgono rispettivamente: C=

Z

Acc

1 ¾c dA = 2 byc ¾¹ c

T = As¾¹ s

(3.13)

Sostituendo l’espressione diC nell’eq. (3.12) e tenendo conto delle de…nizioni diz e K si ha: 1 M = K³ ¾¹ c bd2 2

5 L’altezza utile delle sezioni in cemento armato è la distanza tra il lembo compresso e l’armatura maggiormente tesa. Normalmente di¤erisce dall’altezza e¤ettiva h della sezione in calcestruzzo per l’altezza del copriferro.

46


¹ s=115 ¾ ¾¹ c

6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0

®³

0.0298 0.0281 0.0267 0.0254 0.0243 0.0233 0.0224 0.0216 0.0209 0.0202 0.0196

®³

0.854 0.847 0.841 0.835 0.830 0.825 0.820 0.815 0.811 0.807 0.803

¹ ¾s=155 ®³

0.0321 0.0302 0.0286 0.0271 0.0259 0.0248 0.0238 0.0229 0.0220 0.0213 0.0206

¹ ¾s=215 ®³

0.877 0.871 0.865 0.860 0.854 0.849 0.845 0.840 0.836 0.832 0.828

0.0354 0.0332 0.0313 0.0296 0.0281 0.0269 0.0257 0.0247 0.0237 0.0229 0.0221

0.902 0.896 0.891 0.885 0.881 0.876 0.871 0.867 0.863 0.859 0.855

¹ ¾s = 255

0.0374 0.0350 0.0329 0.0311 0.0296 0.0282 0.0269 0.0258 0.0248 0.0239 0.0231

0.913 0.908 0.903 0.898 0.893 0.889 0.885 0.880 0.876 0.873 0.869

Tabella 3.1: Valori dei coe¢cienti® e ³ . Tensioni in N/mm2 ; M in kN£m, b e d in m. Questa equazione si può risolvere rispetto a d o b, ottenendo:

r

d=®

M b

b = ®2

M d2

(3.14)

in cui ® è un coe¢ciente, funzione di n e dei valori delle tensioni ammissibili dei materiali: ®=

r

2 K³ ¾¹ c

(3.15)

Per le relazioni (3.14), …ssata una delle dimensioni della sezione (b o d), se ne puù determinare l’altra in modo che la tensione nel calcestruzzo sia quella …ssata. Dalla seconda delle equazioni (3.12), noto d, si calcola facilmente l’area di armatura occorrente: T = As ¾¹ s =

M M = z ³d

da cui: As =

M ³d ¾¹ s

(3.16)

I valori dei coe¢cienti ® e ³ che compaiono nelle formule di progetto (3.14) e (3.16) dipendono, oltre che dal coe¢ciente n , dalle tensioni ammissibili del calcestruzzo e dell’acciaio e sono riportati, per i valori più frequenti di ¾¹ c e ¾¹ s, nella tabella 3.1. L’equazione (3.16) è particolarmente importante; in essa l’unico parametro che dipende da ¾¹ c e da n è il coe¢ciente del braccio delle forze interne ³ . Un esame della tabella 3.1 dimostra che ³ è poco sensibile alle variazioni delle tensioni ammissibili: nel campo dei valori riportati in tabella la variazione è circa compresa tra 0.8 e 0.9. 6 Questo fatto è importante per diversi motivi: 1) giusti…ca in parte l’adozione di un coe¢ciente di omogeneizzazione forfettario e convenzionale, indipendente dal reale modulo elastico del calcestruzzo, in quanto l’area di armatura richiesta per resistere ad un momento M è praticamente indipendente dal valore di n; 2) consente di dimensionare l’armatura tesa occorrente, quando sia …ssata l’altezza della sezione, senza necessità di determinare la tensione del calcestruzzo. 6

Anche se qui non è analizzata, vi è una analoga scarsa sensibilità anche nei confronti di n .


47

Quest’ultima osservazione sempli…ca notevolmente il dimensionamento delle armature: si tenga presente che generalmente in una trave la sollecitazione massima viene raggiunta in una sezione; tuttavia, per ragioni costruttive, la sezione di calcestruzzo comunemente è mantenuta costante in tutta la campata, spesso anche in più campate di uno stesso allineamento. Non però l’armatura, che viene fatta variare di sezione in sezione (ovviamente in modo discreto), seguendo la legge di variazione del momento. Le veri…che delle sezioni possono limitarsi a quelle critiche più sollecitate, mentre la determinazione dell’armatura occorrente nelle sezioni intermedie si calcola facilmente con l’eq. (3.16). Comunemente si assume ³ » 0:9. Questo è un poco maggiore della media dei valori riportati nella tabella 3.1, ma si deve tener presente che se, come accade sovente, vi è un certo quantitativo di armatura nella zona compressa, il braccio delle risultanti delle tensioni aumenta; inoltre gli acciai di qualità inferiore, a cui corrispondono i valori minori di ³ , sono oggi raramente usati. Sezioni a T ed I

La forma rettangolare è praticamente la sola per cui l’integrale nell’eq. (3.5) si esplicita facilmente in modo tale che se ne possa dare una soluzione in forma chiusa.Generalmente questa equazione deve essere risolta numericamente con un procedimento iterativo; un metodo di facile applicazione sarà illustrato nel successivo paragrafo. Come è già stato notato, la sezione rettangolare è quella che in pratica si incontra più di frequente; tuttavia è anche abbastanza comune l’impiego delle sezioni a T; questo avviene non soltanto perché questa forma è la più razionale nelle sezioni in‡esse, poiché concentra l’area dove il materiale è maggiormente sollecitato, ma anche in quanto l’intersezione delle travi con le solette da esse portate genera, anche involontariamente, una sezione resistente che assume la forma a T. A questo proposito la normativa italiana prescrive quanto segue: Nel calcolo di nervature solidali con solette, salvo più accurata determinazione, si può ammettere, nell’ipotesi di conservazione delle sezioni piane, come collaborante con la nervatura, da ciascun lato, una striscia di soletta di larghezza pari alla maggiore fra le dimensioni seguenti:

² un decimo della luce della nervatura; ² cinque volte lo spessore della soletta più una volta la larghezza dell’eventuale raccordo della soletta.

In nessun caso la larghezza di soletta collaborante da ciascun lato può superare la distanza fra la sezione in esame e quella in cui ha termine la soletta, né la metà della luce fra le nervature. Per luci di qualche importanza e comunque superiori a 5 m, o in presenza di rilevanti carichi concentrati, sono da prevedersi adeguati dispositivi di ripartizione. Il calcolo delle sezioni a T si riconduce facilmente al caso delle sezioni rettangolari. Infatti si possono veri…care due situazioni, illustrate nella …g. 3.4: 1. L’asse neutro taglia la sezione in corrispondenza delle ali (yc · s).

48


Figura~3.4: Sezione a T: (a sinistra) l’asse neutro attraversa la soletta e (a destra) l’asse neutro è al di sotto della soletta 2. L’asse neutro attraversa la sezione al di sotto delle ali (yc > s). Nel primo caso la situazione è del tutto identica, ai …ni della resistenza a ‡essione, a quella di una sezione rettangolare di basebs (larghezza in corrispondenza delle ali). Infatti il calcestruzzo al di sotto dell’asse neutro viene trascurato e pertanto, ai …ni del calcolo delle tensioni normali, la sua presenza è inutile. Quindi, se si veri…ca la situazione (1), il calcolo delle sollecitazioni si svolge usando le eq. (3.7) – (3.9), ponendo bs in luogo di b. Nel secondo caso tutto il calcestruzzo delle ali risulta compresso ed è pertanto reagente; pur non essendo indispensabile, anche questo caso si può ricondurre a quello della sezione rettangolare con base uguale alla larghezza dell’anima b, trasformando l’area delle ali in quella di una barra di acciaio equivalente: Ase =

(bs

¡ b)s n

concentrata nel baricentro alla distanzade = s=2 dal lembo compresso. Le formule (3.7) – (3.9) si applicano ancora, ove si sostituisca all’area totale delle armature, A s, l’area equivalente At = As + Ase posta nel baricentro dt = (dG As + de Ase)=At . Determinata la posizione dell’asse neutro, nel calcolo del momento di inerzia della sezione omogenizzata si deve tener conto che l’area delle ali è di¤usa su di un’altezza s e non concentrata nel baricentro; pertanto il calcolo si svolge con riferimento alla sezione e¤ettiva e non a quella rettangolare equivalente: m

IG = 31 bs yc3 ¤

£

¡ (b ¡ b)(y ¡ s)3 s

c

+n

¤ X i=1

Asi (yc

¡ d )2 i

(3.17)

Ovviamente a priori non è nota quale delle due situazioni si veri…chi. Pertanto è necessario procedere per tentativi: supponendo valida l’ipotesi (1) si calcola la posizione dell’asse neutro per una sezione rettangolare di base bs ; se risulta yc · s l’ipotesi è veri…cata e pertanto si può continuare il calcolo come indicato nel primo caso; se invece y c > s l’ipotesi (1) risulta falsa ed il calcolo deve essere ripetuto assumendo valida l’ipotesi (2) che, per esclusione, deve essere necessariamente vera.

49


Si deve peraltro osservare che se l’asse neutro cade poco al di sotto della soletta lo scarto tra le due soluzioni risulta minimo, in quanto il contributo della zona di calcestruzzo al di sotto delle ali, che non esiste ma viene messa in conto dalla prima soluzione, è piccolo poiché, essendo prossima all’asse neutro, su essa agirebbero tensioni molto piccole. Questo è utile non tanto ai …ni della veri…ca, per cui non è di¢cile utilizzare la soluzione esatta, ma per il dimensionamento, che si può fare, nella maggior parte dei casi, usando le formule valide per la sezione rettangolare, assumendo perb il valore della larghezza delle ali compresse. Nel caso in cui il verso del momento esterno è tale da comprimere le …bre inferiori, assumendo che, come avviene di solito, l’asse neutro cada al di fuori della soletta, questa risulta tesa e non svolge alcun ruolo. Pertanto la sezione si comporta in questa situazione come se fosse rettangolare con base uguale alla larghezza b dell’anima. Le sezioni ad I (o doppio T), sono di impiego meno frequente nel cemento armato ordinario, mentre sono spesso usate in quello precompresso. Se si assume, come è lecito attendersi, che l’asse neutro cada al di sopra delle ali inferiori della trave, queste sezioni si comportano esattamente come delle analoghe a semplice T, e la presenza della soletta inferiore può essere ignorata. Sezioni di forma arbitraria. Il metodo delle strisce

Nel caso di sezioni di forma qualsiasi (ma simmetriche) come quella di …g. 3.1, l’equazione (3.5) si può risolvere mediante un semplice procedimento iterativo. Dividendo la sezione in strisce sottili di altezza ¢í , indicando con í l’ordinata del baricentro della striscia, si avrà: yc Acc = yc

Z

Z

0

b(´) d´

´b(´) d´

0

'

'

X

X

b(í )¢í

i

´ i b(í )¢í

i

dove la sommatoria è estesa a tutte le strisce compresse, cioè che giacciono al di sopra dell’asse neutro, e b(´) indica la larghezza della sezione in corrispondenza della …bra posta a distanza ´ dal lembo compresso. Sostituendo le due espressioni precedenti nell’eq. (3.5) risolta rispetto ad yc, si ha: yc

'

i ´ i b(´ i )¢´ i

m j =1 dsj Asj m j =1 Asj

+n i b(´ i )¢´ i + n

PP

PP

(3.18)

Il procedimento consiste nell’aggiungere termini alle sommatorie relative alle strisce della sezione di calcestruzzo …no a che non risulta: yc

»´

k

+

¢´k 2

in cui k è l’indice dell’ultima striscia sommata; questo implica che nelle sommatorie che approssimano gli integrali è stata presa in conto tutta e sola la parte di sezione compressa. Trovata la posizione dell’asse neutro, il momento di inerzia della sezione reagente si calcola agevolmente con unaanaloga approssimazione. Se le strisce sono abbastanza sottili da poterne trascurare il momento di inerzia proprio si ha: k ¤

IG

'

X i=1

m

yi2 b(yi )¢í + n

X

(yc

j =1

¡ d )2A i

si

50


Figura~3.5: Sezione soggetta a ‡essione deviata in cui yi = yc ¡ í sono le distanze dall’asse neutro dei baricentri delle strisce. Le tensioni massime nel calcestruzzo e nell’acciaio si calcolano quindi mediante le eq. (3.9). 3.2.3

Flessione deviata

Quando la sezione non ha un asse di simmetria o, pur avendolo, l’asse di sollecitazione non coincide con esso, la giacitura dell’asse neutro non risulta più perpendicolare alla direzione della sollecitazione e pertanto non è più nota a priori. Il problema presenta dunque due incognite, i due parametri necessari a de…nire la posizione dell’asse neutro, e quindi richiede la soluzione di un sistema di due equazioni. Le due equazioni sono fornite dalle condizioni che siano nulli il momento statico rispetto all’asse neutro ed il momento centrifugo tra l’asse neutro e quello di sollecitazione della sezione omogenizzata. Questo è ben noto dalla teoria elastica delle sezioni in‡esse, e si può dedurre facilmente in modo diretto. Come illustrato in …gura 3.5, indicando con (x; y) un riferimento ortogonale, l’asse x coincidente con l’asse neutro, e con (t; s) un altro riferimento in cui s è l’asse di sollecitazione, per le ipotesi di conservazione delle sezioni piane e di comportamento lineare dei materiali, si può porre: ¾(y) = µy

in cui µ = ¾ cm=yc è la tangente del diagramma delle sollecitazioni.

(3.19)

51

3.2 Calcolo elastico. Il metodo delle tensioni ammissibili

Per l’equilibrio tra le sollecitazioni e le risultanti delle tensioni si ha:

Z Z

¾(y) dA = 0 A

¤

(3.20)

¾(y)t dA = 0 A

¤

¾(y)s dA = M A

¤

Z

Sostituendo l’eq. (3.19) nelle prime due equazioni (3.20) si ottiene:

Z Z

y dA = 0

A¤

(3.21)

ytdA = 0

A

¤

che esprimono in forma analitica le due condizioni sopra citate. Indicando con ® l’angolo formato dall’asse neutro con la perpendicolare all’asse di sollecitazione (preso positivo se di verso antiorario), il passaggio dal riferimento (x; y) a quello (t; s) è dato dalle relazioni: t = x cos ® y sin ® s = x sin ® + y cos ®

¡

Sostituendo l’espressione di t nella seconda delle eq. (3.21) si ha: cos ®

Z

xy dA A

¤

¡ sin ®

Z

y 2 dA = 0

A

¤

da cui si ottiene: tan ® =

RR

A

¤

A

¤

xy dA y 2 dA

(3.22)

Solo in apparenza l’eq. (3.22) fornisce esplicitamente l’incognita ®: infatti gli integrali a secondo membro dipendono dall’area della sezione reagente e dunque dalla posizione dell’asse neutro. Tuttavia questa relazione può essere utilizzata in uno schema iterativo. Fissata una giacitura di tentativo, individuata dall’angolo®(1) , si può determinare, per esempio con il metodo delle strisce visto nel paragrafo precedente, la posizione di x che soddisfa la prima delle eq. (3.20). De…nita così la sezione reagente, si possono calcolare gli integrali dell’eq. (3.22), da cui si ottiene un valore di ® di seconda approssimazione. Se è

questo coincide, a meno di una tolleranza …ssata, valore con il valore precedente, raggiunta la soluzione, altrimenti si sostituisce ad ®(1) l’ultimo trovato e si ripete siil procedimento …no a convergenza. Determinata la posizione dell’asse neutro, dalla terza delle eq. (3.20) si ricava facilmente: µ=

M Ix cos ® + Ixy sin ® ¤

¤

in cui I x è il momento di inerzia relativo all’asse neutro e I xy è il momento centrifugo relativo ai due assi ortogonali della sezione reagente omogenizzata. Noto µ la tensione in ¤

¤

52


ogni punto del calcestruzzo compresso è data dall’eq. (3.19), mentre per l’acciaio questo valore deve, come sempre, essere moltiplicato per il coe¢ciente n. Per la ‡essione deviata non è utile specializzare il problema a casi particolari: infatti anche nei più semplici, come la sezione rettangolare, la parte reagente ha in genere forma irregolare e la soluzione esplicita delle equazioni (3.21) risulta generalmente impossibile. Pertanto è preferibile in ogni caso fare riferimento alla procedura generale indicata sopra. L’applicazione manuale è piuttosto lunga e tediosa; tuttavia il metodo si può facilmente programmare, rendendolo in tal modo rapido e preciso. In…ne è necessario osservare che la ‡essione deviata si incontra di rado nelle applicazioni.7 Il motivo è che raramente le travi esistono come elementi isolati; normalmente esse sono vincolate dalla continuità con solai e solette che ne condizionano le possibilità di deformarsi. Ad esempio le travi di bordo degli edi…ci hanno spesso sezione a forma di ¡, quindi non sono simmetriche e, per quanto visto, dovrebbero essere soggette a ‡essione deviata; tuttavia la presenza della soletta costringe il piano di in‡essione a restare retto e queste travi praticamente si comportano come se avessero sezione a T simmetrica, ovviamente con uguale larghezza delle ali. 3.2.4

Esempi

Nel seguito si riportano alcuni esempi, relativi alla veri…ca od al dimensionamento, con il metodo delle tensioni ammissibili, di sezioni in cemento armato sollecitate a ‡essione retta. Esempio 3.1 Calcolare i valori massimi della tensione nel calcestruzzo e nell’acciaio in una sezione rettangolare di base b = 30 cm , altezza h = 45 cm , con doppia armatura: As1 = 2Á12 = 2:26 cm2 As2 = 3Á18 = 7:60 cm2

d1 = 3:0 cm 2 d2 = 42:0 cm 2

e sollecitata a ‡essione da un momentoM = 75 kNm. L’armatura risultante è data da: As = As1 + As2 = 2:26 + 7:60 = 9:86 cm2 d As + d2 As2 3: 2:26: + 42: 7:60 dG = 1 1 = = 33:06 cm As 9:86

£

£

La posizione dell’asse neutro si calcola utilizzando l’eq. (3.7): yc =

nAs b

Ãr

1+2

b dG nAs

!

¡1

= 13:79 cm

Quindi, dalla eq. (3.8) si ha il momento di inerzia della sezione omogenizzata: ¤

IG =

1 3 by + n[(yc 3 c

2

¡d ) A 1

s1

+ (yc

2

¡d ) A 2

s2

] = 120892 cm4

In…ne le sollecitazioni si ottengono applicando le eq. (3.9)

M 7500000 yc = 13:79 = 855 N=cm2 = 8:55 N=mm2 IG 1208920 M 7500000 (13:79 42) = ¾sm = n (yc d2 ) = 15 IG 120892 ¾cm =

¤

¤

¡

¡

2

2

= 26260 N=cm = 262:6 N=mm

¡

¡

2

7

Al contrario la sollecitazione di presso‡essione deviata è molto comune nei pilastri degli edi…ci.

53


Esempio 3.2 Dimensionare una sezione rettangolare in cemento armato sollecitata a ‡essione con M = 120 kNm, ipotizzando i seguenti materiali: Calcestruzzo Rck = 30 N=mm2 ¾c = 9:75 N=mm2 Acciaio Fe B 44 k ¾s = 255 N=mm2 Dalle eq. (3.10), (3.11) e (3.15) o dalla tabella 3.1 si ottiene: 9:75 = 0:364 9:75 + 255=15

K=

³ = 0:878

® = 0:0253

Assumendo la base b = 30 cm , dalla prima delle eq. (3.14) si ha:

r

d = 0:0253

120 = 0:509 m 0:30

Si pone quindi h = 55 cm (d = 52 cm ); l’area dell’armatura è data dall’eq. (3.16): As =

M 120000 = = 1030 mm2 = 10:3 cm 2 ³d¾ s 0:878 0:52 255

£

£

Si impiegano 2Á16 + 2Á20 ! As = 10:28 cm2.

2

Esempio 3.3 Veri…care la sezione dimensionata nell’esempio precedente. Altezza della zona compressa: yc =

15

£ 10:28 30

Ãr

1+2

30 52 15 10:28

£

¡1

!

= 18:54 cm

Momento di inerzia della sezione omogenizzata: ¤

IG =

1 30 3

3

£ 18:54

+ 15(18:54

2

¡ 52) 10:28 = 236365 cm

4

Tensioni massime nei materiali: 12000000 18:54 = 942: N=cm2 = 9:42 N=mm2 236365 12000000 ¾sm = 15 (18:54 52) = 25480: N=cm2 = 254:8 N=mm2 236365

¾cm =

¡

¡

¡

2

Esempio 3.4 Veri…care la sezione a T rappresentata nella …g. 3.6, sollecitata a ‡essione con M = 240 kNm.

Armatura:

As1 = 4Á10 = 4:42 cm2 As2 = 6Á22 = 22:8 cm 2

d1 = 3 cm d2 = 47 cm

Supponendo che l’asse neutro cada nella soletta, si pone b = 80 cm ; l’armatura risultante è: As = 4:42 + 22:80 = 27:32 cm2

Dall’eq. (3.7) si ottiene:

yc = 5:122

dG = 39:72 cm

nAs 15 27:32 = = 5:122 cm b 80

£

Ãr

1+

2

!

£ 39:72 ¡ 1 5:122

= 15:69 cm < 20: cm

54


Figura~3.6: Sezione a T da veri…care Essendo yc < s, l’ipotesi è confermata; dunque per le eq. (3.8) il momento di inerzia della sezione reagente è: ¤

1 80 15:693 + 15[(15:69 3 = 449186 cm 4

IG =

£

2

2

¡ 3) 4:52 + (15:69 ¡ 47:) 22:8] =

e le tensioni massime risultano: M yc = 8:38 N=mm2 IG M ¾ sm = n (yc d2 ) = 251:0 N=mm2 IG

¾ cm =

¤

¡

¤

2

Esempio 3.5 Veri…care la sezione in cemento armato illustrata nella …g. 3.7 e sollecitata a ‡essione retta con M = 400 kNm: As = 5Á24 = 22:6 cm 2, d = 77 cm . Si fa l’ipotesi che l’asse neutro tagli la soletta. In tal caso si applica l’eq. (3.7) con b = 60 cm : nAs 15 22:6 = = 5:65 cm b 60

£

yc = 5:65

1+

2

Ãr

£ 77 5:65

1

¡

= 24:38 cm > 15 cm

!

Questo risultato contraddice l’ipotesi fatta: pertanto l’asse neutro è al di sotto della soletta. L’armatura equivalente al calcestruzzo delle ali è: Ase =

(60

¡ 25)15= 35 cm

2

15

de = 7:5 cm

per cui l’armatura risultante: At = 22:6 + 35: = 57:6 cm 2

dt =

22:6

£ 77 + 35 £ 7:5 = 34:77 cm 57:6

55


Figura~3.7: Posto b = 25 cm , dall’eq. (3.7) si ottiene la posizione dell’asse neutro: nAt 15 57:6 = = 34:56 cm b 25

£

yc = 34:56

Ãr

1+ 3

£34:56 34:77 ¡ 1

!

= 25:42 cm

Il momento di inerzia della sezione reagente si calcola mediante l’eq. (3.17): ¤

IG =

1 [60 3

3

3

2

£ 25:42 ¡ 35:(25:42 ¡ 15) ] + 15 £ 22:6(25:42 ¡ 77)

= 1217225 cm4

e quindi le tensioni massime risultano: 40000000 25:42 = 835 N =cm2 = 8:35 N=mm2 1217225 40000000 ¾ sm = 15 (25:42 77) = 25425 N=cm2 = 254:5 N=mm2 1217225

¾ cm =

¡

¡

¡

2

Esempio 3.6 Veri…care la sezione circolare in cemento armato, illustrata in …g. 3.8, sollecitata a ‡essione con M = 118 kNm.

Si applica il metodo delle strisce, suddividendo la sezione in rettan goli di altezza 1.0 cm. Le larghezze delle strisce vengono calcolate con la relazione:

p

b(´ i ) = 2 í (2r

¡´ ) i

in cui r indica il raggio della sezione. Si può pertanto costruire la tab. 3.2. Nella prima riga sono riportati l’area, il momento statico e d’inerzia relativi alle sole armature omogenizzate; quelle successive si ottengono dalle precedenti aggiungendovi il contributo della i -esima striscia. Il calcolo viene interrotto quando yc » ´ k + ¢´k =2, dove k indica l’ultima striscia sommata.

56


Figura~3.8: Sezione circolare veri…cata con il metodo delle strisce

¢í

— 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

b(í )

— 10.909 18.735 23.979 28.125 31.607 34.627 37.296 39.686 41.845 43.806 45.596 47.233

— 2 08.50 8166.0 0.50 219.41 8171.5 1.50 238.14 8199.6 2.50 262.12 8259.5 3.50 290.25 8357.9 4.50 321.85 8500.2 5.50 356.48 8690.6 6.50 393.78 8933.0 7.50 433.46 9230.7 8.50 475.31 9586.4 9.50 519.11 10003. 10.5 564.71 10481. 11.5 611.94 11024.

í

A (í )

— 443260. 37.243 443260. 34.431 443300. 31.510 443450. 28.796 443800. 26.410 444440. 24.379 445480. 22.686 447060. 21.295 449290. 20.169 452310. 19.268 456270. 18.560 461290. 18.015 467540.

1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

48.734 50.110 51.371 52.526 53.582

12.5 13.5 14.5 15.5 16.5

660.68 710.79 762.16 814.69 868.27

17.609 17.319 17.129 17.024 16.992

¤

S (í ) ¤

11634. 12310. 13055. 13869. 14753.

Tabella 3.2:

yc = S =A ¤

¤

I

¤

475160. 484290. 495090. 507710. 522300.

57

3.3 Calcolo allo stato limite ultimo

Il momento di inerzia calcolato nella tab. 3.2 è relativo ad un asse parallelo all’asse neutro, tangente al lembo più compresso della sezione. Il momento baricentrico è pertanto: ¤

IG = I

¤

¤

¡A y

2

c

= 522300:

2

¡ 868:27 £ 16:992

= 271606 cm4

Quindi le tensioni massime di compressione nel calcestruzzo e di trazione nell’acciaio risultano: M yc = 7:4 N=mm2 IG M ¾ = n (y d ) = 254:2 N=mm2 sm m IG c ¾ cm =

¤

¡

¤

3.3

2

Calcolo allo stato limite ultimo

Come è stato già sottolineato in precedenza, la veri…ca delle strutture con il metodo degli stati limite consiste nel controllare che, per opportune combinazioni dei carichi, dette condizioni di progetto, la struttura non superi certe condizioni limiti di funzionamento; in particolare la più importante8 è quella di resistenza (o non collasso),detta anche condizione di stato limite ultimo. Nelle strutture a telaio la veri…ca allo stato limite ultimo si esegue controllando che le sollecitazioni prodotte dai carichi di progetto non superino in alcun punto la resistenza delle sezioni; nel caso di ‡essione semplice questa condizione è veri…cata se: Md

(3.23)

·M

u

dove Md indica il momento prodotto dai carichi di progetto (per la condizione di carico esaminata) e Mu è il momento resistente ultimo della sezione. La veri…ca della sezione pertanto coincide con la determinazione del suo momento ultimoMu . Convenzionalmente il collasso della sezione è determinato dal superamento, nel calcestruzzo o nell’acciaio, della rispettiva deformazione ultima. Precisamente si assume che sia stato raggiunto il limite di resistenza della sezione in‡essa se la deformazione del calcestruzzo compresso prende il valore ²cu = 3:5 £ 10 3 o quella dell’acciaio teso il valore dell’allungamento limite ²sl = 0:01. Questo implica che tutti i diagrammi delle deformazioni relativi ad una situazione di collasso devono passare per uno di questi due punti, come è illustrato in …g. 3.9, con riferimento al caso della ‡essione retta. Come si vede dalla …gura, l’insieme di tutti i possibili diagrammi di collasso per ‡essione può suddividersi in tre regioni, corrispondenti a diversi meccanismi di rottura. ¡

Corrisponde ai diagrammi in cui ²cm = ²cu,9 ²sm < ² sy , dove ²sy = fyd =Es è l’allungamento dell’acciaio in corrispondenza della tensione di plasticizza-

² Regione 1.

²

8 9

j j

zione. La rottura avviene per schiacciamento del calcestruzzo, mentre l’acciaio non ha superato la soglia plastica. Questo meccanismo si veri…ca nelle sezioni fortemente armate e produce collassi improvvisi e con piccole deformazioni (piccola duttilità). Regione 2. È costituita dai digrammi per cui ²cm = ²cu e ²sy · j²smj · ²sl . Il collasso è ancora prodotto dallo schiacciamento del calcestruzzo, ma dopo che l’acciaio ha superato la soglia plastica. Le sezioni che collassano in questo modo sono dette normalmente armate ; il loro comportamento è tanto più duttile quanto maggiore è l’allungamento dell’acciaio nella condizione di rottura.

Ma non necessariamente la più vincolante. ²cm indica la massima deformazione del calcestruz zo compresso.

58


Figura~3.9: Meccanismi di collasso per ‡essione delle sezioni in cemento armato Raccoglie i diagrammi per cui ²cm < ²cu, j²smj = ²sl . Lo stato limite è raggiunto per l’eccessivo allungamento dell’armatura principale, prima che il calcestruzzo arrivi alla deformazione ultima. Questo si veri…ca per sezioni debolmente armate, cui corrispondono meccanismi di collasso duttili, accompagnati da grandi deformazioni plastiche.

² Regione 3.

La maggior parte delle sezioni correttamente progettate collassano con un meccanismo che appartiene ad una fascia a cavallo tra le regioni 2 e 3. Il diagramma di separazione tra queste due regioni (²cm = ²cu, j²smj = ²sl ) è detto di rottura bilanciata e corrisponde alla situazione in cui entrambi i materiali raggiungono simultaneamente la deformazione ultima. Le sezioni che collassano in questo modo si dicono avere armatura bilanciata.10 3.3.1

Sezione rettangolare

Fissato un diagramma delle deformazioni corrispondente allo stato limite della sezione, dalle leggi tensioni-deformazioni dei materiali si deducono i corrispondenti diagrammi delle tensioni. In particolare per il calcestruzzo, adottando la legge parabola-rettangolo prevista dalla normativa italiana, per tutti i diagrammi che appartengono alle regioni 1 e 2 (per cui ²cm = ²cu) il diagramma delle tensioni assume la forma parabola rettangolo, illustrata in …g. 3.10. Indicando ancora con yc l’altezza della zona compressa, il diagramma si può dividere in due parti: una, di altezza ²cu ²c1 (3:5 2:0)10 3 c = ²cu y = 3:5 10 3 yc = 0:429yc con tensione uniforme, di valoref cd = 0:85fcd, e l’altra, di altezza ¡

yc1

¡

yc2 =

¡£

¡

² c1 2 10 3 y = y = 0:571yc ²cu c 3:5 10 3 c

£ £

¡

¡

10 Alcuni autori de…niscono rottura bilanciata quella per cui ² cm = ²cu e j ²smj = ² sy , ossia il diagramma di separazione tra le regioni 1 e 2. Noi preferiamo assegnare questa de…nizione all’altro meccanismo, molto più frequente ed importante, mentre il limite delle sezioni fortemente armate corrisponde ad una rottura fragile il cui veri…carsi andrebbe evitato.

59


Figura~3.10: Diagramma delle tensioni nel calcestruzzo al collasso in cui le tensioni variano con legge parabolica lungo l’altezza. Per una sezione rettangolare la risultante delle tensioni relative a questo diagramma si valuta facilmente: C1 = yc1 bf cd = 0:429yc bf cd 2 C2 = yc2 bf cd = 0:381yc bf cd 3 C = C1 + C2 = 0:810yc bf cd

(3.24)

Il centro di applicazione di C dista dal lembo compresso della quantità: Ć =

C1 yc1 =2 + C2 (yc1 + 3yc2 =8) = C [0:4292 =2 + 0:381(0:429 + 0:214)]yc2 bf cd = = 0:416yc (3.25) 0:81yc bf cd

Dunque la risultante delle compressioni agenti su di una sezione rettangolare è una forza C di intensità 0:81yc bf cd applicata alla distanza0:416yc dal lembo compresso. Con piccola

approssimazione questo sistema risultante coincide con quello dovuto ad un diagramma uniforme, di intensità f cd, che si estende per una altezza pari a» 0:8yc, come illustrato in …g. 3.10. Quest’ultimo è chiamato il diagramma rettangolare equivalente. Per le rotture che avvengono nel campo 3, il diagramma delle tensioni è diverso da quello rappresentato in …g. 3.10. Infatti al diminuire di ²cm si riduce il tratto a tensione costante, che scompare quando ²cm < ²c1 ; pertanto la risultante delle tensioni nel calcestruzzo non è più espressa dall’eq. (3.24).

La risultante ora si deve esprimere in funzione struzzo, ²cm. Si devono quindi distinguere due casi:della deformazione massima del calce1. ²c1 · ²cm · ²cu: 1 y bf 3® c cd 2 6® 4® + 1 Ć = y 4(3®2 ®) c

µ¡ ¶

C= 1

¡

¡

(3.26)

60


Figura~3.11: Coe¢cienti dell’area e della posizione del baricentro dello “stress block” in funzione della deformazione massima del calcestruzzo 2. ²cm · ²c1: ® y bf 3 c cd 1 ®=4 Ć = y 3 ® c

C=® 1

³¡ ¡ ´ ¡

(3.27)

in cui ® = ²cm=²c1 . In …g. 3.11 sono rappresentati i diagrammi del coe¢ciente di forma dello “stress block”: ¯=

C yc bf cd

e del rapporto Ć =yc, in funzione del parametro ® = ²cm=²c1 . Risulta evidente che Ć =yc non varia molto, restando compreso tra 0.416 e 0.33, e che segue una legge praticamente lineare, per cui alle due espressioni nelle eq. (3.26) e (3.27) si pu ò sostituire la semplice relazione: Ć

' (0:333 + 0:0472®)y

c

(3.28)

Questa è rappresentata con linea tratteggiata in …g.3.11 e praticamente coincide con la legge “esatta”. Al contrario ¯ varia notevolmente con ²cm e, come è ovvio, tende a zero per ²cm ! 0; tuttavia, avendo andamento parabolico, per valori di ² cm non troppo piccoli, il suo valore non varia eccessivamente. Poiché, come si chiarirà meglio in seguito, per questo meccanismo di rottura, l’errata valutazione di ¯ ha modesta in‡uenza sulla stima del momento ultimo, generalmente si adottano, anche per la regione 3, i coe¢cienti costanti 0.81 e 0.416 (o, ciò che è equivalente, il diagramma rettangolare).

61


Sezione rettangolare con un solo livello di armatura

Per le sezioni in cui l’armatura è disposta su di un solo strato e quindi non vi è armatura nella zona compressa, il meccanismo di collasso è funzione della sola percentuale di armatura. Per individuare in quale delle tre regioni cade il diagramma delle deformazioni ultime, è utile pertanto determinare le percentuali di armatura che corrispondono ai digrammi di frontiera tra le regioni 1–2 e 2–3. ²cm = ²cu ed j ²s j ¸ ²sy , si avrà che le risultanti delle In entrambi casi, essendo compressioni nel icalcestruzzo e delle trazioni nell’acciaio varranno: C = 0:81yc bf cd

T = As fyd

Per l’equilibrio della sezione C ¡ T = 0; sostituendo le precedenti espressioni di C e T si ha pertanto: 0:81ycbf cd

¡A f

s yd

=0

(3.29)

Se j²s j = ²sy = fyd =Es , la posizione dell’asse neutro è …ssata dalla linearità del diagramma delle deformazioni: yc =

²cu d ²cu + fyd =Es

(3.30)

Risolvendo l’eq. (3.29) rispetto ad As , dopo aver sostituito l’espressione diyc , si ottiene: As(1) = 0:81

²cu bdf cd ²cu + fyd =Es fyd

(1) As è la quantità di armatura occorrente perché lasezione collassi secondo il meccanismo

limite tra le regioni 1 e 2. Nell’analisi delle sezioni allo stato limite ultimo è utile introdurre il concetto di percentuale meccanica dell’armatura, de…nita come il rapporto tra la massima forza di trazione sopportata dall’acciaio e quella massima di compressione portata dalla sezione “utile” di calcestruzzo, di area bd. Indicando con ¹s questa grandezza: ¹s =

Asfyd bdf cd

(3.31)

la percentuale critica, che separa la regione delle sezioni fortemente armate da quelle normalmente armate è: ¹(1) s =

0:81²cu ²cu

(3.32)

+ fyd =Es

Le sezioni con percentuali di armatura maggiori di ¹ s(1) sono fortemente armate e collassano nella regione 1. Le sezioni con percentuale inferiore a ¹(1) s sono normalmente o debolmente armate. L’elemento di separazione tra questi due insiemi si determina ancora dall’equazione di equilibrio (3.29), tenendo conto che, per ²s = ¡²sl , l’altezza della zona compressa è: yc

²cu 3:5 10 3 d= ²cu + ²sl (3:5 + 10) 10

£

¡

£

3

¡

d = 0:259d

62


e quindi ¹s(2) = 0:81

yc = 0:81 d

£ 0:259 = 0:21

(3.33)

Se ¹ (2) · ¹s < ¹(1) s s la sezione è normalmente armata e collassa nel campo 2; se (2) ¹s < ¹s è debolmente armata ed il suo diagramma ultimo è nel campo 3. Dunque, nota la percentuale meccanica di armatura di una sezione, è immediato stabilire secondo quale meccanismo collassa e quindi applicare le relazioni adeguate per calcolarne il momento ultimo. (1)

Sezioni fortemente armate: ( ¹s > ¹s ) Per queste sezioni, nel punto di collasso

l’acciaio è ancora elastico, quindi la tensione nell’acciaio è proporzionale alla deformazione. L’equazione di equilibrio alla traslazione si scrive pertanto: 0:81yc bf cd + Es ²s As = 0

Sostituendo in questa equazione la condizione di congruenza: yc

²s =

¡ d²

cu

yc

con alcune sempli…cazioni si ottiene: 0:81K 2 + ®u ¹s K

¡® ¹

u s

=0

in cui K = y c=d è, come nel caso elastico, l’altezza adimensionale della zona compressa e ® u = ² cu=²sy è il rapporto tra la deformazione ultima del calcestruzzo e quella di plasticizzazione dell’acciaio. La radice positiva dell’equazione precedente determina la posizione dell’asse neutro: K = 0:617®u ¹s

Ãs

3:24 1+ ®u ¹s

¡1

!

(3.34)

Il momento ultimo della sezione si ottiene come risultante delle tensioni nella con…gurazione di collasso: Mu = Cz = T z

dove z indica il braccio delle forze interne. Per l’eq. (3.25) si ha: z= d

¡ 0:416y

c

= (1

¡ 0:416K )d

Inoltre, per l’eq. (3.24): C = 0:81yc bf cd = 0:81Kbdf cd

Quindi, sostituendo queste espressioni in quella del momento si ottiene: Mu = 0:81(1

¡ 0:416K )Kbd 2f

cd

(3.35)

63


(2) · ¹s · ¹ s(1)) Al collasso in queste sezioni il calcestruzzo ha raggiunto la deformazione ultima, mentre l’acciaio ha superato la soglia plastica; pertanto, per la risultante delle compressioni si applicano ancora le eq. (3.24) (3.25), mentre la forza di trazione nell’armatura è T = Asfyd . L’equazione di equilibrio alla traslazione coincide quindi con l’eq. (3.29), da cui si deduce:

Sezioni normalmente armate: ( ¹s

K=

As fyd yc = = 1:235¹s d 0:81bdf cd

(3.36)

Per queste sezioni l’altezza della zona compressa è semplicemente proporzionale alla percentuale meccanica di armatura. Il momento ultimo pertanto si calcola: Mu = T z = As fyd (d

¡ 0:416y ) = c

= (1

¡ 0:416K )dA f

s yd

= (1

¡ 0:514¹ )dA f s

s yd

(3.37)

(2)

Se si accetta l’approssimazione che lo “stress block” del calcestruzzo compresso, valido nelle regioni 1 e 2, si possa adottare anche quando ²cm < ²cu, allora questo caso si tratta in modo identico al precedente, usando le eq. (3.36) e (3.37). Non vi è quindi ragione di fare distinzione tra sezioni normalmente e debolmente armate11 . Volendo far uso delle relazioni “esatte” si devono ulteriormente distinguere due casi, secondo che ²cm è maggiore o minore di ²c1 = 2 £ 10 3 . La condizione di separazione si ha quando ²cm = ²c1 e ad essa corrisponde la posizione dell’asse neutro: Sezioni debolmente armate: (¹s < ¹s )

¡

²c1 K = ²c1 + ²sl = 0:1667

La risultante delle tensioni sul calcestruzzo è data dalla eq. (3.26) con® = 1, quindi: 2 C = Kbdf cd = 0:111bdf cd 3

Poiché per l’equilibrio C = T , a questa con…gurazione corrisponde una percentuale meccanica di armatura: ¹s(3) =

Quindi, per ¹ s scrive:

T = 0:111 bdf cd

(3.38)

¸ ¹ (3) si applica l’eq. (3.26), e pertanto l’equazione di equilibrio si s

²c1 yc bf cd = As fyd 3²cm in funzione di yc fornita dalla condizione di congruenza:

µ¡ ¶ 1

Sostituendo l’espressione di²cm

²cm =

yc

d

¡y ² c

sl

si ottiene un’equazione in yc che, risolta in termini di K , diviene: K=

¹s + ²c1 =(3²sl ) = 0:0625 + 0:9375¹s 1 + ²c1 =(3²sl )

(3.39)

11 Il diagramma delle deformazioni è però diverso, e q uesto richiede di tenere distin ti i due casi quando le armature sono disposte su più livelli, come si vedrà più avanti.

64


avendo tenuto conto che ²c1 = 2 £ 10 3 e ²sl = 10 £ 10 3 Se ¹s < ¹(3) s la risultante C si calcola con la relazione (3.27). Sostituendo ad ® l’espressione in termini di K che si ricava dalla congruenza: ¡

®=

¡

²cm K ²sl = ²c1 1 K ²c1

¡

l’equazione di equilibro diviene: ²sl K ²c1 1 K

¡

µ¡ 1

1 ²sl K 3 ²c1 1 K

¡

¶

yc bf cd = As fyd

da cui, con opportune manipolazioni, segue l’equazione cubica in K :

¡2:667K 3 + (1 ¡ 0:2¹ )K2 + 0:4¹ K ¡ 0:2¹ s

s

s

(3.40)

=0

Nell’intervallo dei valori di ¹s per cui l’eq. (3.40) è valida, una ottima approssimazione della soluzione è data dalla: K

' (0:45 + 0:441¹ )p¹ s

(3.41)

s

ma di fatto, per valori di ¹s non troppo piccoli (¹s > 0:03) anche l’eq. (3.39) fornisce una buona approssimazione della soluzione dell’eq. (3.40); quindi non è in pratica necessario distinguere i due casi. Determinato il valore diK , il momento ultimo si calcola, tenendo conto dell’espressione (3.28) del baricentro delle pressioni e dell’espressione di ®, con la relazione: Mu =

1

¡ 1:333K + 0:097K 2 dA f ' (1 ¡ 0:394K )dA f 1¡K s yd

s yd

(3.42)

L’errore che si commette utilizzando l’eq. (3.37) anche per le sezioni debolmente armate si può valutare confrontando i valori del rapportoMu=dAsfyd ottenuti da questa equazione con quelli “esatti”, forniti dall’eq. (3.42). Si trova che il massimo errore relativo nonsupera l’1.4%. Tale risultato giusti…ca pienamente l’utilizzo della più semplice eq. (3.37). Sezioni con doppia armatura

Si esamina ora il caso, molto frequente, in cui l’armatura è disposta su due livelli: l’armatura principale tesa, di area As, posta alla distanza d dal lembo compresso, e l’armatura compressa A s con posizione d . Per comodità nel segu ito tutte le grandezze relative a quest’ultima armatura saranno contraddistinte con un apice. In una data situazione di collasso, al contrario di quanto avviene per quella tesa, nell’armatura compressa il livello di tensione non è noto a priori, non essendo stabilito se la sua deformazione supera o no la soglia plastica. Pertanto è conveniente indicare simbolicamente con ¾ s (²) il legame tensione–deformazione dell’acciaio che, nello schema elasto-plastico adottato, è: 0

0

0

¾ s(²) =

½

E s² se ² < ²sy fsy sign(²) se ² ²sy

jj j j¸

(3.43)

La presenza dell’armatura nella zona compressa non modi…ca i modi di collasso della sezione illustrati nella …g. 3.9, ma cambia il valore delle percentuali di armatura che

65


separano le regioni 1–2 e 2–3. Infatti in tal caso, per j²s j ¸ ²sy ed ²cm = ²cu, l’equazione di equilibrio si scrive: 0

(3.44)

0

0:81yc bf cd + As ¾s (²s ) = As fyd

che di¤erisce dalla eq. (3.29) per aver tenuto conto del contributo dell’armatura compressa. La deformazione dell’armatura compressa, ²s, si può esprimere in funzione della posizione dell’asse neutro e della massima deformazione del calcestruzzo: 0

K

0

²s =

¡ ±²

(3.45)

cm

K

in cui ± = d =d è il rapporto tra la distanza dell’armatura dal lembo compresso (generalmente 2 – 3 cm) e l’altezza utile della sezione. Per il meccanismo di collasso in cui l’acciaio ha raggiunto il limite di snervamento (j²s j = ²sy ) la posizione dell’asse neutro è data dall’eq. (3.30). Noto il valore di K e tenendo conto che per ipotesi ²cm = ²cu, con l’eq. (3.45) si determina il valore di ²s che, inserito nell’eq. (3.43), fornisce il valore della tensione nell’acciaio compresso. Pertanto nell’eq. (3.44) ¹s è la sola incognita; risolvendo l’equazione si ha: 0

0

¾s (²s ) 0:81²cu ¾ (² ) = + ¹s s s fyd ²cu + fyd =Es fyd 0

¹s(1) = 0:81K + ¹s 0

0

0

(3.46)

Questa equazione generalizza l’eq. (3.32) al caso della doppia armatura; in essa ¹ s = As fyd =bdf cd è la percentuale meccanica di armatura compressa. 0

0

(1)

Il valore di ¹ s che deriva dall’eq. (3.46) è sempre maggiore di quello relativo alla sezione con semplice armatura; dunque la presenza di acciaio nella parte compressa della sezione ne aumenta la duttilità, poiché sposta verso l’alto la soglia delle sezioni fortemente armate (che hanno un comportamento fragile). Peraltro questa proprietà è mitigata da fenomeni più complessi, che sfuggono all’analisi della sezione e che saranno illustrati in seguito, quale ad esempio l’instabilità delle barre compresse. L’utilità dell’armatura compressa si può sviluppare pienamente solo se vengono prese opportune precauzioni per impedire questi fenomeni negativi. Per il meccanismo di rottura bilanciata si ha ancora K = 0:259; quindi calcolato il valore della tensione nelle barre compresse,²s = ²cu(1 ¡ 3:861± ), dall’eq. (3.44) si ottiene il valore della percentuale di armatura: 0

¾s (²s ) fyd 0

¹(2) s = 0:21 + ¹s 0

(3.47)

Quindi anche per le sezioni dotate di due livelli di armatura è facile stabilire, mediante ilcadrà confronto della percentuale di armatura tesa con i valori di soglia, in quale dei tre campi il diagramma delle deformazioni al collasso. Si esaminano ora le espressioni per il calcolo del momento ultimo delle sezioni con armatura doppia, distinguendo, come in precedenza, per i tre possibili campi di rottura. (1)

Sezioni fortemente armate: ( ¹s > ¹s ) L’acciaio teso è ancora elastico, pertanto

l’equazione di equilibrio si può scrivere:

0

0

0:81yc bf cd + As ¾s (²s ) + Es ²s As = 0

66


in cui le deformazioni delle due armature possono esprimersi in funzione dell’altezza della zona compressa: ²s =

K

¡ 1²

K

0

²s =

cu

K

¡ ±²

K

cu

Se risulta, come è frequente in questo caso, ²s ¸ ²sy , dalle due equazioni precedenti si ottiene un’equazione quadratica inK : 0

0:81K 2 + (¹s + ¹s ®u )K 0

la cui soluzione positiva è: 0

K = 0:617(¹s + ¹s ®u)

¡¹ ®

s u

Ãs

=0

3:24¹s ®u 1+ (¹s + ¹s ®u )2 0

¡1

!

(3.48)

(®u = ²cu =²sy ). Determinato K si può calcolare ²s e controllare che la soglia plastica sia stata e¤ettivamente superata. In caso contrario si deve porre: 0

0

0

¾s (²s ) = Es ²s = Es ²cu(K

per cui l’equazione di equilibrio diviene:

µ

0

0:81K + ¹s

cui corrisponde la soluzione:

¡ ±)=K

K ± K 1 + ¹s K K

¡

0

K = 0:617®u (¹s + ¹s )

¡

s Ã

¶

²cu =0 ²sy

3:24(¹s + ¹s ± ) ®u (¹s + ¹s )2 0

1+

0

(3.49)

¡1

!

Noto K e quindi ²s, il momento ultimo della sezione si ottiene aggiungendo al risultante delle tensioni nel calcestruzzo, espresso nell’eq. (3.35), il contributo fornito dall’acciaio compresso: Mu = 0:81(1 ¡ 0:416K )Kbd 2 f cd + ¾s (²s )As (d ¡ d ) (3.50) 0

0

0

0

(2) · ¹s · ¹s(1) ) Anche in questo caso è necessario distinguere se l’armatura compressa ha superato o meno la soglia di plasticizzazione. Assumendo che ²s ¸ ²sy , dall’equazione di equilibrio si deduce immediatamente l’altezza della zona compressa: K = 1:235(¹s ¡ ¹s ) (3.51) Quindi, determinato ²s = ²cu(K ¡ ± )=K , se questo risulta inferiore alla deformazione di plasticizzazione, per cui l’acciaio compresso è in campo elastico, l’equazione di equilibrio si scrive:

Sezioni normalmente armate: (¹s 0

0

0

0:81Kbdf

che risolta rispetto a K fornisce:

³

K = 0:617 ¹s

K

0

cd

+A E ² 0

¡® ¹

u s

s

s cu

+

p

(¹s

±

Af

K

=0

¡ ¡ ¡ ® ¹ )2 + 3:24® ¹ ± s yd

0

0

u s

u s

´

(3.52)

Determinato il corretto valore di K e quindi la deformazione e la tensione nell’armatura compressa, il momento ultimo della sezione si valuta calcolando il momento risultante rispetto al baricentro delle tensioni nel calcestruzzo: Mu = [(1 ¡ 0:416K )As fyd + (0:416K ¡ ± )As ¾s (²s )]d (3.53) 0

0

67

3.3 Calcolo allo stato limite ultimo (2)

Sezioni debolmente armate: ( ¹s < ¹ s ) Nel caso di più di un livello di armatura,

anche continuando ad utilizzare il diagramma rettangolare equivalente, le relazioni valide per la sezione normalmente armata non possono utilizzarsi senza qualche modi…ca. Infatti nella regione 3 il punto …sso del diagramma non è più la deformazione massima del calcestruzzo compresso, bensì quella dell’acciaio teso, quindi la deformazione delle barre compresse deve essere espressa in funzione di ² sl e non di ² cu come è stato fatto in precedenza. Si preferisce pertanto trattare il caso separatamente, esplicitando però solo le relazioni relative al primo sottocampo (²cm ¸ ²c1 ), in quanto, come si è visto per le sezioni con un solo livello di armatura, questa soluzione si può estendere, con buona approssimazione, anche al campo successivo. Tenendo conto dell’eq. (3.26), l’equazione di equilibrio della sezione si scrive: ²c1 ¾ (² ) K + ¹s s s 3²cm fyd

µ¡ ¶ 1

0

0

¡¹

s

=0

in cui le deformazioni del calcestruzzo e dell’acciaio compresso si possono esprimere in funzione del coe¢ciente K : ²cm =

K

1

0

¡K²

²s =

sl

K ± ² 1 K sl

¡ ¡

Supponendo che l’armatura compressa abbia superato il limite di snervamento, l’equazione di equilibrio diviene:

µ¡ 1

1

¡K² 1 c

3K ²sl

¶

0

K + ¹s

¡¹

s

=0

da cui si ricava: K = 0:9375(¹s

(3.54)

0

¡ ¹ ) + 0:0625 s

Da K si deriva ²s; se questo è inferiore al limite di snervamento l’acciaio compresso è in fase elastica e quindi l’equazione di equilibrio deve essere modi…cata nella: 0

µ¡ 1

1

¡K ² 1 c

3K ²sl

¶

0

K + ¹s

K ± ²sl 1 K ²sy

¡ ¡

¡¹

s

=0

da cui si ricava: K = 0:5313[1 + 0:8824(¹s + ¹ s ®l )] 0:2822[1 + 0:8824(¹s + ¹s ®l )]2

¡

p

0

¡

0

¡ 0:9375(¹

s

+ ¹s ®l ± ) 0

¡ 0:0625

(3.55)

in cui ®l = ²sl =²sy . Quindi, determinato K , il momento ultimo si calcola con l’eq. (3.42) opportunamente corretta per tener conto dell’armatura compressa: Mu = [(1

¡ 0:394K )A f

s yd

+ (0:394K

0

0

¡ ±)A ¾ (² )]d s s

s

(3.56)

68



Le dimensioni di una sezione non sono mai determinate in modo univoco dalla sollecitazione; questo è particolarmente vero quando il progetto è svolto con riferimento allo stato limite ultimo della sezione: al variare del meccanismo di collasso imposto tra i campi 1, 2 e 3, la stessa sollecitazione determina sezioni molto diverse, con un campo di variazione assai più esteso di quello consentito dal calcolo alle tensioni ammissibili. Si deve tuttavia tener presente che quest’ampia libertà deve essere utilizzata con cautela; infatti lo stato limiti ultimo è l’unico chedeve esseregli veri…cato: sezioni eccessivamente troppo debolmente armate non possono poi non soddisfare stati limite di esercizio. Bisognao poi ricordare che le norme impongono dei limiti alle dimensioni delle sezioni ed alle percentuali di armatura, oltre a tener presenti quelle regole empiriche con cui si cerca di tener conto dei fenomeni non considerati dagli schematici modelli di calcolo. Se non si hanno particolari vincoli e limiti che condizionano le dimensioni della sezione in calcestruzzo, un criterio di progetto ragionevole consiste nell’assumere come meccanismo di collasso quello della rottura bilanciata. Come si è visto, per le sezioni con un solo livello di armatura, in condizioni di rottura bilanciata si ha K = 0:259, quindi, calcolando il momento risultante rispetto al punto deve è posta l’armatura, si ha: Mu = 0:81yc bf cd(d

¡ 0:416y ) = 0:187bd2f c

cd

Posta la condizione di progettoMd = Mu , l’equazione precedente consente di determinare una delle dimensioni della sezione; ad esempio, …ssata la base b, si ottiene:

r

d=® ¹

Md b

(3.57)

q

in cui ®¹ = 2:311= f cd. L’eq. (3.57) ha forma analoga all’eq. (3.14), ottenuta nell’ambito del calcolo alle tensioni ammissibili. Ovviamente i valori di ® ¹ sono diversi da quelli di ®, ma, se si tiene conto che, mediamente, le sollecitazioni di calcolo sono ampli…cate, rispetto a quelle di esercizio, del fattore 1.5 (coe¢ciente di sicurezza dei carichi), dall’applicazione delle due equazioni si ottengono risultati molto simili. Come si è già fatto notare il risultato dell’eq. (3.57) non è vincolan te: sezioni con dimensioni (entro certi limiti) diverse da quelle così ottenute non soltanto sono possibili, ma o¤rono lo stesso grado di sicurezza nei confronti del collasso. Se l’altezza utile della sezione è ottenuta applicando l’eq. (3.57) il braccio delle forze interne della sezione è z= d

¡ 0:416y

c

= 0:89d

Pertanto l’area dell’armatura occorrente per l’equilibrio risulta: As =

Md Md = zf yd 0:89dfyd

(3.58)

È interessante osservare come, anche in questo caso, il coe¢ciente del braccio delle forze interne sia prossimo a 0.9, valore utilizzato nel calcolo elastico. Questo valore è stato ottenuto per l’armatura bilanciata, ma non è di¢cile veri…care che varia poco, almeno …nché la sezione non risulta eccessivamente armata. Quindi l’eq. (3.58) si può con buona

69


approssimazione applicare a tutte le sezioni che collassano nei campi 2 e 3, cioè con la sola eccezione delle sezioni fortemente armate, per le quali la tensione nell’acciaio, al momento del collasso, è inferiore al limite di plasticizzazione. Tuttavia per sezioni molto armate (rottura nel campo 2 ma in prossimità di 1) è opportuno adottare un coe¢ciente³ = z=d minore di 0.9; valori compresi tra0:80 ¥ 0:85 sono più appropriati in simili casi. 3.3.2

Sezioni a T ed I

L’ipotesi di considerare trascurabile il contributo del calcestruzzo teso, adottata sia nel calcolo a rottura sia in quello elastico, fa si che, quando l’asse neutro attraversa la soletta, la sezione a T si comporti nello stesso modo di una rettangolare con base uguale alla larghezza bs della soletta compressa; a queste sezioni, pertanto, si applicano tutte le considerazioni svolte nel punto precedente a proposito della sezione rettangolare. Quando l’asse neutro cade al di sotto del lembo inferiore della soletta, invece, il comportamento cambia: in particolare il prisma delle pressioni (“stress block”) non ha più base rettangolare e quindi non sono più validi i coe¢cienti 0.81 e 0.416 determinati per la sezione rettangolare. Tuttavia, così come si è visto per le sezioni debolmente armate, anche in questo caso l’uso di un diagramma di pressioni approssimato ha modesta in‡uenza sul calcolo del momento ultimo della sezione: pertanto, almeno per tutti i casi in cui l’asse neutro non cade molto al di sotto della soletta, si ritiene ancora valido l’impiego del diagramma rettangolare equivalente, calibrato sulla sezione rettangolare. L’uso di questo diagramma sempli…ca notevolmente il calcolo della risultante delle compressioni. Indicando con yc > s l’altezza della zona compressa, per l’approssimazione adottata, …ntanto che risulta0:8yc s, ovvero yc 1:25s, si possono continuare ad adot· in quanto · il prisma delle compressioni interessa tare le formule della sezione rettangolare, ancora solo la soletta. Quando invece yc > 1:25s, allora la risultante delle tensioni nel calcestruzzo sarà: C = (bs

¡ b)sf

cd + 0:8yc bf cd

in cui il primo termine è la risultante delle tensioni sulle ali, il secondo quella sull’anima. Il centro di pressione ha distanza dal lembo compresso: Ć =

(bs

¡ b)s2f

2 cd =2 + 0:32yc bf cd

C

=

(bs =b 1)s2 + 0:64yc2 2[(bs =b 1)s + 0:8yc ]

¡ ¡

(3.59)

Nella condizione di collasso al limite tra la forte e la normale armatura la posizione dell’asse neutro è ancora espressa dall’eq. (3.30). Considerando anche la presenza di un’armatura compressa As , che si suppone plasticizzata, l’equazione di equilibrio si scrive: 0

(bs

¡ b)sf

cd + 0:8bdf cd

²cu + As fyd = As fyd ²cu + fyd =Es 0

da cui si ottiene la percentuale meccanica limite per l’armatura tesa: ¹s(1) = ¹s + 0

0:8²cu (b b)s + s ²cu + fyd =Es bd

¡

(3.60)

Questa relazione si può ricondurre a quella di una sezione rettangolare con armatura compressa aggiungendo a quella e¤ettiva una percentuale equivalente all’area delle ali: (bs ¡ b)s=bd.

70


Analogamente per l’armatura bilanciata, sempre assumendo che siayc > 1:25s, l’eq. (3.47) ora diviene: ¹(2) s = 0:21 +

(bs

¡ b)s + ¹ ¾ (² ) 0

s

bd

0

s

s

(3.61)

fyd

La similitudine tra le ali e l’armatura compressa in parte evita di sviluppare di nuovo esplicitamente le equazioni per la determinazione della posizione dell’asse neutro. Queste infatti,alla quando compressa è plasticizzata assente),armate coincidono quelle lative sezionel’armatura rettangolare (eq. (3.48) per le sezioni (o fortemente e eq. con (3.51) neglirealtri casi), avendo solo cura di aggiungere alla reale percentuale di armatura compressa quella equivalente alle ali: (bs ¡ b)s=bd. Se l’armatura compressa non è plasticizzata l’armatura equivalente deve essere tenuta distinta da quella e¤ettiva, quindi le equazioni (3.49) e (3.52) devono essere opportunamente modi…cate: 1. Sezioni fortemente armate: 0

K = 0:617[®u (¹s + ¹s ) + ¹]

Ãs

3:24(¹s + ¹s ± )®u [®u (¹s + ¹s) + ¹]2 0

1+

0

¡1

!

(3.62)

2. Sezioni normalmente armate: K = 0:625 ¹s

0

¡® ¹ ¡¹+

(¹s

u s

³

¡ ® ¹ ¡ ¹)2 + 3:2® ¹ ± 0

0

u s

u s

p

3. Sezioni debolmente armate: K = 0:625(0 :8 + ¹s + ®l ¹ s

(3.63)

´

¹

p0 ¡ ¡

(0:8 + ¹s + ®l ¹s 0

¡ ¹)2 ¡ 3:2(¹

s

+ ®l ¹s ±

¡ ¹)

´

(3.64)

dove ¹ = (bs ¡ b)s=bd è la percentuale meccanica di armatura equivalente alle ali della sezione a T. Determinata la posizione dell’asse neutro il momento ultimo si calcola generalizzando adeguatamente le eq. (3.50) e (3.53). Per le sezioni fortemente armate si ha: Mu = [0:8(1

¡ 0:4K )bd2 + (b ¡ b)s(d ¡ s=2)]f s

cd +

0

0

¾s (²s )As (d

0

¡d)

(3.65)

Mentre per le altre si può porre: Mu = [(1

3.3.3

¡ 0:4K )A f

s yd

+ (0:4K

0

0

¡ ±)A ¾ (² )]d + (0:4Kd ¡ s=2)(b ¡ b)sf s s

s

s

cd

(3.66)

Flessione retta di sezioni di forma qualsiasi

Nelle sezioni in cemento armato la direzione dell’asse neutro puè essere prevista a priori solo se sono simmetriche e sollecitate lungo quest’asse oppure vincolate ad in‡ettersi senza ruotare; in questo caso, come per il problema elastico, si tratta di ‡essione retta.

71


Pur con queste limitazioni, per le sezioni di geometria più complessa della rettangolare non è possibile sviluppare formule semplici di utilizzo pratico. In questo caso, e più in generale nella ‡essione deviata, è preferibile fare riferimento ad unaprocedura generale che può essere impiegata per sezioni di ogni forma. Questa procedura richiede calcoli piuttosto lunghi e quindi risulta e¢cace solo se inserita in un programma di calcolo. L’idea del metodo è molto semplice: consiste nell’esplorare, ovviamente con un opportuno passo discreto, tutti i possibili diagrammi di collasso …no a determinare quello per cui è soddisfatta la condizione N = 0 e quindi calcolare il momento risultante corrispondente.12 Poiché la direzione dell’asse neutro è nota, è facile stabilire quali sono il punto della sezione di calcestruzzo e l’armatura maggiormente sollecitati. Posto ²cm = ²cu si fa crescere (in valore assoluto) la deformazione dell’acciaio più teso …no a che o si raggiunge l’equilibrio o ²s · ²sl . Se si raggiunge questo punto senza che sia stato soddisfatto l’equilibrio, si riduce la deformazione del calcestruzzo muovendo il diagramma nel campo 3. Per valutare la sollecitazione risultante che corrisponde ad un …ssato diagramma delle deformazioni è necessario ricorrere ad un procedimento approssimato, dividendo la parte compressa della sezione in strisce sottili, tali che su ciascuna si possa assumere una tensione uniforme. Quindi se yi indica la distanza del baricentro della …brai-esima dall’asse neutro, la sua deformazione media sarà: ²ci =

²cm y yc i

e la corrispondente tensione si determina poi facilmente utilizzando la legge parabolarettangolo o anche, quando opportuno, una relazione più accurata. Analogamente si può calcolare la deformazione e poi la tensione in ogni barra di armatura. Indicando con ¾ ci ¾ sj le semplicemente ecalcola tensioni nelle strisce calcestruzzo e nelle barre, la risultante delle tensioni si con le di sommatorie: nstr

N=

X

m

¾cibi ¢yi +

i=1

X

¾sj Asj

(3.67)

j =1

in cui bi e ¢yi sono la larghezza e lo spessore della striscia i. Determinata la posizione dell’asse neutro che soddisfa l’equilibrio, il momento ultimo della sezione si valuta poi in modo analogo: nstr

Mu =

X i=1

m

¾ cibi ¢yi yi +

X

¾ sj Asj ysj

(3.68)

j =1

(ysj indica la distanza delle barre dall’asse neutro). Il metodo, oltre a permetter di trattare sezioni di ogni forma, consente senza di¢coltà di adottare legami costitutivi dei materiali piùdicomplessi di ra¢nati, quelli schematici in precedenza; quindi rende possibile lo sviluppo modelli più in gradoutilizzati ad esempio di seguire il comportamento della sezione per grandi deformazioni. Inoltre, come è facile intuire, si applica quasi senza modi…che anche alla sezioni soggette alla sollecitazione composta di pressione e ‡essione. 12 Poiché N è funzione monotona di yc è possibile esplorare il campo dei meccanismi di rottura con passo ampio; quando due valori consecutivi di N scavalcano lo zero si può applicare una procedura di interpolazione per determinare una soluzione più accurata. Generalmente il procedimento converg e con rapidità.

72 3.3.4


Flessione deviata

Come nel caso elastico il problema della ‡essione deviata risulta notevolmente più oneroso da trattare, sia perché presenta due incognite, sia perché l’inclinazione dell’asse neutro esclude la possibilità di selezionare casi semplici, come quello della sezione rettangolare. Pertanto, come per la ‡essione retta di sezioni di forma complessa, conviene esporre una procedura numerica piuttosto che cercare di sviluppare formule che risulterebbero, anche nei casi semplici, notevolmente complesse. Come per il caso elastico (§ 3.2.3) conviene utilizzare due riferimenti ortogonali; uno (x; y) con l’asse x coincidente con quello neutro e l’altro (t; s) con t parallelo all’asse di sollecitazione, come mostrato in …g. 3.5. Le equazioni di equilibrio (3.20) sono ovviamente ancora valide, ma da esse non possono trarsi le condizioni geometriche delle eq. (3.21), che derivano dalla linearità del legame elastico. Sostituendo nella seconda delle eq. (3.20) l’espressione di t in funzione di x ed y fornita dalla trasformazione delle coordinate si ottiene: cos ®

Z

¾(y)x dA

A

¡ sin ®

Z

¾(y)y dA = 0

(3.69)

A

dove ora l’integrale può intendersi esteso a tutta la sezione geometrica, con la condizione di utilizzare per ¾ l’e¤ettivo valore della tensione in quel punto. La procedura non è molto diversa da quella illustrata nel § 3.2.3 per il caso elastico. Fissata una direzione di tentativo dell’asse neutro, individuata dall’angolo ® si può cercarne la posizione per cui è veri…cata la condizione di equilibrio alla traslazione espressa dalla prima delle eq. (3.20). Questo si può fare usando il metodo illustrato nel punto precedente per la ‡essione retta delle sezioni arbitrarie. L’asse x è e¤ettivamente neutro per la condizione esaminata se soddisfa anche l’eq. (3.69). Gli integrali che vi compaiono si possono ancora calcolare, per la parte relativa al calcestruzzo, con il metodo delle strisce. Esplicitamente si avrà:

Z Z

nstr

¾(²)x dA A

¾(²)y dA A

X X ' '

x22i

i=1 nstr

(x2i

i=1

m

¡ x21 ¢y ¾ i

i ci +

2

X X

Asj ¾sj xsj

j =1

m

¡ x1 )y ¢y ¾ i

i

i ci +

Asj ¾sj ysj

j =1

dove x2i; x1i sono le ascisse degli estremi della striscia i e xsj ; ysj sono le coordinate della j -esima barra. Se l’eq. (3.69) non è soddisfatta si deve modi…care ® e riprovare. Un modo semplice consiste nel calcolare il nuovo valore di® proprio mediante questa equazione, assumendo tan ® uguale al rapporto tra il primo ed il secondo integrale; altrimenti si useranno metodi classici dell’analisi numerica, quali il metodo di Newton. Raggiunta la convergenza il valore del momento ultimo è dato dalla terza delle equazioni (3.20): Mu = sin ®

Z

¾(y)x dA + cos ® A

Z

A

¾(y)y dA

(3.70)

73


3.3.5

Esempi

Si riprendono alcuni degli esempi riportati nel § 3.2.4, relativi alla veri…ca di sezioni in‡esse con il metodo delle tensioni ammissibili, ripetendone il calcolo allo stato limite ultimo per rendere possibile il confronto tra i risultati ottenuti con i due metodi. Esempio 3.7 Si calcoli il momento ultimo sopportato dalla sezione rettangolare descritta nell’esempio 3.1, assumendo che i materiali impiegati abbiano le seguenti caratteristiche: Calcestruzzo: Rck = 30 N(mm2 f cd = 13:23 N=mm2 fyd = 374 N=mm2 Acciaio: Fe B 44k Per le eq. (3.31) e (3.33) le percentuali limite di armatura delle sezioni semplicemente armate risultano: 0:81²cu ¹(1) = 0:588 ¹(2) (3.71) s = s = 0:21 ²cu + fyd =Es

Le percentuali meccaniche di armatura della sezione in esame sono: ¹s =

7:6 37400 = 0:1705 30 42 1323

£ £ £

3

0

¹s =

30

£ 37400 £ 42 £ 1323 = 0:051

quindi ¹s < ¹(2) e pertanto la sezione risulta debolmente armata. s Supponendo che l’armatura compressa abbia superato lo snervamento, per l’eq. (3.54) si ha: K = 0:9375(0:1705

da cui segue: 0

²s =

¡ 0:051) + 0:0625 = 0:1745

K ± ²sl = 1:25 1 K

¡ ¡

3

¡

£ 10

3

¡

< ²sy = 1:78

£ 10

0 :0714. dell’asse in cui ± = 3=42 Poiché laneutro deformazione dell’acciaio snervamento, la = posizione è data dall’eq. (3.55):compresso è inferiore alla soglia di K = 0:7455

¡

p

0:74552

¡ 0:1790 ¡ 0:0625 = 0:1848

e pertanto la deformazione e la tensione nell’acciaio compresso valgono: 0

²s = 1:39

3

¡

£ 10

¾s = ²s Es = 292:4 N=mm2 0

0

In…ne il momento ultimo della sezione si calcola facendo uso dell’eq. (3.56) e risulta: Mu = 110:7 kNm

Si osservi che nell’esempio 3.1 la sezione risultava veri…cata per una sollecitazione di esercizio M = 75 kNm: quindi tra la sollecitazione ultima e quella di esercizio si ha il rapporto 110:6=75 = 1:47, molto vicino al valore 1.5 del coe¢ciente di sicurezza dei carichi. 2 Esempio 3.8 Dimensionare una sezione in cemento armato per una sollecitazione di progetto Md = 1:5 120 = 180 kNm, utilizzando gli stessi materiali previsti nell’esempio precedente. Si assume, come nell’esempio 3.2, b = 30 cm ; essendo ®¹ = 2:311= 13230 = 0 :0201, …ssato il

£

p

meccanismo di rottura bilanciata, l’altezza utile della sezione risulta:

r

d= ® ¹

r

Md = 0:0201 b

180 = 0:49 m 0:30

Quindi l’area dell’armatura occorrente si calcola con l’eq. (3.58): As =

180000

0:91

2

£ 0:49 £ 374 = 1079 mm

Questi risultati sono poco diversi da quelli ottenuti progettando la sezione alle tensioni ammissibili; ciò conferma che le sezioni progettate con questo criterio collassano in prevalenza nella zona di transizione tra la normale e la debole armatura. 2

74


Esempio 3.9 Determinare l’armatura occorrente perché una sezione rettangolare, di dimensioni b = 30 cm , d = 37 cm abbia un momento ultimo di 180 kNm (stessi materiali dell’esempio precedente). Assumendo che il braccio delle forze interne siaz = 0:9d e supponendo che il meccanismo di collasso cada nelle regioni 2 o 3, il quantitativo di armatura occorrente risulta: As =

Mu 180000 = = 1445 mm2 zfyd 0:9 0:37 374

£

£

cui corrisponde la percentuale meccanica: ¹s =

14:45 37400 = 0:368 30 37 1323

£ £ £

Quindi, confrontando ¹s con i valori limiti forniti dall’eq. (3.71), si deduce che il collasso avviene nel campo 2. La posizione dell’asse neutro pertanto è data dall’eq. (3.36): K = 1:235¹s = 0:4545

a cui corrispondono i valori del braccio delle forze interne z = (1 ¡ 0:416K )d = 0:811d e del momento ultimo Mu = 162:6 kNm. Si ricalcola pertanto l’armatura assumendo z = 0:8d. Con calcoli analoghi ai precedenti si ottiene: As = 16:26 cm2

¹s = 0:414

La sezione è ancora normalmente armata. L’altezza della zona compressa risulta K = 0:511 ed il braccio delle forze interne z = 0:787d; a questi valori corrisponde il momento ultimo Mu = 179 kNm, su¢cientemente prossimo a quello richiesto dal progetto. 2 Esempio 3.10 Determinare il momento ultimo della sezione a T dell’esempio 3.4, illustrata in …g. 3.6, ove si impieghino i seguenti materiali: calcestruzzo Rck = 30 N =mm2 , acciaio Fe B 44k, già usati nell’es. 3.7. Se l’asse neutro attraversa la soletta la sezione si comporta come se fosse rettangolare con b = 80 cm ; di conseguenza le percentuali meccaniche delle armature risultano: 0

¹s = 0:171

¹s = 0:033

Dunque la sezione è debolmente armata. Se ²s l’eq. (3.54): 0

K = 0:9375(0:171

¸²

sy

la posizione dell’asse neutro si calcola con

¡ 0:033) + 0:0625 = 0:192

Quindi, essendo ± = d =d = 0:0638, la deformazione dell’acciaio compresso prende il valore: 0

0

²s =

K ± = 1:585 1 K

¡ ¡

3

¡

£ 10

minore della soglia plastica . Pertanto l’acciaio compr esso rimane elastico e di conseguenza la posizione dell’asse neutro deve essere valutata mediante l’eq. (3.55), da cui si ottiene: K = 0:1947

yc = Kd = 9:15 cm < s

Il risultato è coerente con l’ipotesi iniziale e quindi è corretto; il momento ultimo è dato dall’eq. (3.56): Mu = 371 kNm

Se si confronta questo valore con quello (240 kNm) con cui la sezione era stata veri…cata alle tensioni ammissibili, si osserva che il loro rapporto è 1.54, molto simile al coe¢ciente di sicurezza che deve essere applicato ai carichi. 2

75


Figura~3.12: Sezione a T Esempio 3.11 Determinare il momento ultimo della sezione a T illustrata in …g. 3.12, supponendo di utilizzare gli stessi materiali descritti nell’esempio L’area delle barre di armatura è: As = 10Á24 = 45:2 cm2

Se l’asse neutro è all’interno della soletta si assume b = 80 cm ; ne deriva una percentuale meccanica dell’armatura ¹s = 0:29, da cui segue che la sezione collassa nel campo 2 e la posizione dell’asse neutro, data dall’eq. (3.36), è: K = 1:235¹s = 0:358

yc = Kd = 19:7 cm > s

Questo risultato contrasta con l’ipotesi iniziale, quindi l’asse neutro si trova sotto le ali. Prendendo come larghezza della sezione quella dell’anima b = 40 cm , la percentuale di armatura equivalente alle ali è: ¹=

(80 40)10 = 0:182 40 55

mentre quella dell’armatura tesa ora risulta:

¡ £

¹s = 0:581 s ¡ ¹ = 0:399 di¤erenza tra (2) quest’ultima compressa è ancora compresa tra iLavalori di ¹(1) (eq. (3.71))e equella pertanto l’altezzaequivalente della zona¹compressa si calcola con l’eq. (3.51): s e ¹s

K = 1:25(¹s

¡ ¹) = 0:499

yc = 27:4 cm

In…ne il momento ultimo della sezione si ottiene applicando l’eq. (3.66): Mu = (55

¡ 0:4 £ 27:4)45:2 £ 37400+ + (0:4 £ 27:4 ¡ 5)(80 ¡ 40)10 £ 1323 =

= 77:6

6

£ 10

Ncm = 776 kNm

76


È interessante osservare che le tensioni massime in fase elastica di questa sezione, sollecitata dal momento M = Mu =1:5 = 517 kNm, risultano: ¾c = 13:1 N=mm2

¾ s = 237:5 N=mm2

che non rispettano, per il calcestruzzo, il limite posto dalle tensioni ammissibili.

2

Capitolo 4

Sforzo normale e flessione La condizione di sollecitazione più generale che produce tensioni normali è la combinazione di sforzo normale e fl essione. La fl essione semplice, esaminata nel capitolo precedente, ne è un caso particolare, ma, sia per la sua importanza, sia perché alcune relazioni degenerano per N → 0 e quindi devono essere trattate in modo diverso, si è preferito esaminare separatamente e per primo il più semplice caso della flessione pura. Le ipotesi elencate nella sez. 3.1 a proposito degli elementi in flessi si possono ovviamente estendere anche al caso della presso flessione: continuano ad essere quindi valide la conservazione delle sezioni piane, la non resistenza del calcestruzzo teso e la perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo. Così, in caso di calcolo elastico, si può ancora far uso del concetto di sezione omogenizzata, composta dal calcestruzzo compresso e dalle barre ficate del modulo n , come chiarito nel § 3.2.1. di acciaio le la cuisollecitazione aree sono ampli Quando è dovuta alla sola flessione una parte della sezione risulta sempre tesa: pertanto la sezione di calcestruzzo reagente non coincide mai con l’intera. Al contrario, quando è presente uno sforzo assiale la sezione può risultare totalmente compressa o tesa; quando ciò avviene il problema si sempli fica sensibilmente perché la sezione di calcestruzzo risulta interamente reagente od assente e quindi la geometria della sezione e fficace è nota a priori, come avviene per gli elementi realizzati con materiali isotropi.

4.1

Sforzo normale centrato

Un caso particolarmente semplice da analizzare è quello in cui la sollecitazione è tale da produrre un diagramma delle deformazioni uniforme. Il caso più frequente ed importante è quello in cui la sezione è compressa; quello in cui è tesa (trazione pura) si incontra assai meno di frequente e presenta degli aspetti peculiari soprattutto legati alla distribuzione dellefifessure. Dal punto di vista resistenza il problema è assai semplice sarà trattato alla ne di questa sezione: quidella si esamina il caso delle sollecitazioni che eprovocano la compressione uniforme dell’elemento. La condizione che deve essere soddisfatta perché si abbia pressione centrata dipende dal tipo di analisi. Tenendo conto che tutta la sezione di calcestruzzo è reagente, in caso di comportamento elastico la risultante delle sollecitazioni deve passare per il baricentro della intera sezione omogenizzata, mentre in condizioni ultime deve coincidere con la risultante delle tensioni resistenti. Queste due condizioni sono generalmente diverse, salvo quando il baricentro delle armature coincide con quello della sezione di calcestruzzo. Poiché questa 77

78

Capitolo 4 Sforzo normale e

flessione

situazione é abbastanza frequente e comunque non vi é di solito troppa di fferenza tra le due condizioni precedenti, nel seguito non si avrà cura di distinguerle tra loro. In pratica è ben di fficile che la compressione centrata possa esattamente realizzarsi: gli errori di centratura, la continuità tra gli elementi, i difetti di verticalità, sono fattori che introducono in ogni caso una sollecitazione di flessione che si aggiunge allo sforzo assiale. Tuttavia, quando l’eccentricità è piccola rispetto alle dimensioni della sezione, gli effetti della flessione si possono trascurare consentendo di studiare la sezione come se fosse soggetta a pressione centrata. 4.1.1

Calcolo elastico

La sezione, essendo uniformemente compressa, è interamente reagente, quindi l’area della sezione omogenizzata è: A = Ac + nAs ∗

in cui Ac è l’area della sezione di calcestruzzo ed As è l’area totale delle armature. La tensione nel calcestruzzo si ottiene quindi immediatamente dall’equilibrio alla traslazione: σc =

N N = A Ac + nAs

(4.1)

∗

mentre la tensione nelle armature, ovviamente compresse, è semplicemente n volte quella del calcestruzzo, calcolata con l’eq. (4.1). La veri fica con il metodo delle tensioni ammissibili consiste nel controllare che la tensione nel calcestruzzo σ c non superi il valore ammissibile ridotto ¯σc dato dall’eq. (2.25). fi

dimensionamento della sezione spesso ciò che viene ssato è la percentuale geometricaNel dell’armatura: ρs =

per cui dall’eq. (4.1), posto

σc = σ ¯c,

As Ac

(4.2)

si ottiene:

Ac =

N σ ¯ c (1 + nρs )

(4.3)

Le norme impongono dei limiti al valore di ρs . Per i pilastri la normativa italiana prescrive che non deve superare 0.06 (6%) e non essere inferiore al maggiore dei seguenti due: 0.003

0 .008

Ac(min) Ac

in cui A c(min) è l’area di calcestruzzo strettamente necessaria; pertanto: As ≥

4.1.2

0.8 N 100 σ¯ c

(4.4)


Essendo la sezione uniformemente compressa e l’acciaio deformato oltre il limite elastico, al collasso entrambi i materiali raggiungono la tensione resistente e quindi lo sforzo normale ultimo risulta: Ac fc + As fy

79

4.1 Sforzo normale centrato

Nelle verifiche si dovranno adottare i valori di calcolo delle resistenze; inoltre, in ottemperanza alle norme italiane, il coe fficiente di sicurezza del calcestruzzo γ c deve essere maggiorato del 25%, ciò che è equivalente a ridurre la tensione di calcolo di un fattore 0.8. Quindi lo sforzo normale ultimo (di progetto) si ottiene con la relazione: Nu = 0.8f cd Ac + fyd As

(4.5)

e la sezione è veri ficata se N u ≥ Nd . Fissata la percentuale di armatura, ottiene dall’eq. (4.5) ponendo N u = Nd : il dimensionamento dell’area di calcestruzzo si Ac =

Nd 0.8f cd + ρs fyd

(4.6)

Anche per le sezioni calcolate a rottura devono essere soddisfatte le stesse limitazioni dei valori di ρs elencate prima nel paragrafo dedicato al calcolo elastico; tuttavia l’area strettamente necessaria ora è data dall’eq. (4.6) e quindi l’eq. (4.4) viene sostituita da: As

4.1.3

≥

0.8 Nd Nd = 100 0.8f cd 100fcd

(4.7)

Pilastri cerchiati

Per gli elementi in cui la sollecitazione prevalente è la compressione la maggior parte della forza è sopportata dal calcestruzzo, mentre l’armatura ha il ruolo complementare di conferire duttilità e resistenza a trazione all’elemento. Tuttavia in prossimità del collasso le barre, se non sono e fficacemente trattenute da un’armatura trasversale (sta ffe), svergolando per carico di punta, possono distruggere la parte esterna della sezione, con e ffetti negativi sulla resistenza. Il modo più efficace per aumentare la capacità portante delle sezioni compresse consiste quindi nel migliorare la resistenza del calcestruzzo: questo, come si è già visto, si può ottenere mediante il con finamento della sezione. Se in un pilastro di sezione circolare o poligonale si dispone un’armatura trasversale, generalmente realizzata mediante una spirale, con un passo su fficientemente fitto, grazie al meccanismo ad “arco” illustrato in fig. 4.1 l’effetto del contenimento esercitato dalle spire si estende anche alle zone intermedie, così che questa armatura svolge un’azione analoga a quella di un tubo che avvolgesse l’intero pilastro. Quando il pilastro è compresso si manifesta una espansione trasversale, proporzionale alla contrazione assiale tramite il coefficiente di Poisson; questa deformazione, contrastata dall’armatura cerchiante, provoca nel pilastro una pressione radiale di confinamento σl . A sua volta sull’armatura agisce una sollecitazione opposta, che induce nella spirale una forza di trazione facilmente determinabile dalle condizioni di equilibrio: 1 F = σ l Ds 2

in cui D è il diametro del nucleo cerchiato della sezione ed s è il passo della spirale. La massima pressione di contenimento dipende dalla resistenza della spirale: uguagliando F alla forza che ne provoca lo snervamento si ottiene che la tensione di confinamento ultima è data da: σl =

2Asp fy Ds

(4.8)

80


flessione

Figura~4.1: Schema del funzionamento di un pilastro cerchiato. in cui A sp è l’area della sezione dell’armatura a spirale. Ricordando l’eq. (2.7), che dà la resistenza del calcestruzzo con finato in funzione della pressione di contenimento, e sostituendo a σl l’espressione (4.8), si ottiene: fcc = fc + 8.2

Asp fy Ds

Il valore di calcolo della resistenza del calcestruzzo con finato si ottiene dall’espressione precedente, interpretata come valore caratteristico, dividendola per il coefficiente γ c (maggiorato del 25% poiché si tratta di pressione centrata) e moltiplicandola per 0.85. Poiché fyk = fyd γ s , si ottiene: fccd =

Asp fyd γ s Asp fyd 0.85fcc 0.85 = 0.8f cd + 8.2 = 0.8f cd + 4 1.25γ c 1.25γ c Ds Ds

in cui si è tenuto conto che, nelle norme italiane, γ c = 1.6 e γ s = 1.15. Nei pilastri cerchiati si trascura il contributo del calcestruzzo esterno al nucleo confinato; infatti questo materiale è più fragile e meno resistente di quello interno, pertanto quando si giunge al collasso del nucleo è andato già distrutto e non può contribuire alla 2

cc = π D /4, indicando con As l’area totale delle resistenza. Poiché l’area del ultimo nucleo del è Apilastro barre longitudinali, il carico risulta:

Nu = Acc fccd + As fyd = 0.8f cd

π D2

4

+

µ

πD

s

¶

Asp + As fyd

(4.9)

Introducendo l’area equivalente: As = Asp ∗

πD

s

(4.10)

81

4.1 Sforzo normale centrato

definita come l’area di una barra longitudinale equipesante alla spirale, l’eq. (4.9) si scrive: Nu = 0.8f cd

πD

4

(4.11)

+ (As + As ) fyd ∗

L’equazione precedente è quella adottata dalle norme italiane per la veri fica allo stato limite ultimo dei pilastri cerchiati. Per i pilastri cerchiati devono essere inoltre rispettate le seguenti limitazioni: 2

s ≤ D; 5

Nu

≤

2 0.8f cd π D 4

µ

¶

;

As

∗

≤

2As

(4.12)

che, a parole, possono così indicarsi: il passo della spirale non deve superare un quinto del diametro del nucleo; il carico ultimo della sola sezione di calcestruzzo deve essere almeno la metà del carico ultimo totale, l’area dell’armatura longitudinale non può essere meno della metà di quella dell’armatura equivalente alla spirale. Calcolo alle tensioni ammissibili

L’importanza dell’armatura cerchiante si evidenzia solo quando l’elemento è sollecitato fino al collasso, in fase elastica invece questa armatura non svolge alcun ruolo signi ficativo. È questo uno dei casi in cui il calcolo alle tensio ni ammissibili non può dedurs i da un’analisi elastica dell’elemento, ma deve utilizzare, mediante opportuni aggiustamenti, delle relazioni derivate dal calcolo allo stato limite ultimo. Per i pilastri cerchiati la verifica si esegue controllando che la tensione nel calcestruzzo non superi il valore ammissibile ridotto σ¯ c . La tensione si calcola ancora mediante l’eq. (4.1), assumendo come area della sezione omogenizzata: (4.13) A = Ac + n(As + 3As ) ∗

∗

in cui A s è l’area dell’armatura longitudinale equivalente alla spirale data dall’eq. (4.10). Anche in questo caso si applicano le limitazioni espresse nelle eq. (4.12), ma la seconda di queste è sostituita dalla seguente: ∗

A

∗

≤

2Ac

ossia l’area omogenizzata equivalente non può superare il doppio di quella del nucleo cerchiato. Se si confrontano l’equazione per la verifica alle tensioni ammissibili (4.13) con quella a rottura (4.11) si osserva che mentre in quest’ultimo caso l’area dell’armatura equivalente alla spirale ( As ) è semplicemente sommata a quella longitudinale, nella veri fica alle tensioni ammissibili è pesata con un fattore triplo. Per spiegare questa anomalia si deve tenere presente che l’armatura, rispetto al calce∗

struzzo, ha iun peso che, nel calcolo elastico, è datoèdal coedalffirapporto ciente n tra (rapporto convenzionale tra moduli), mentre nel calcolo a rottura dato le resistenze di calcolo dei materiali ( fyd /0.8f cd). Mentre n viene assunto costante e pari a 15, quest’ultimo dipende dalle caratteristiche dei materiali impiegati. Se, ad esempio, si fissa: Rck = 25 N /mm2 , fyk = 430 N /mm2 ), si ottiene fyd /0.8f cd = 42.4, valore prossimo a 3n = 45. Dunque il valore con cui, nel calcolo alle tension i ammissibili della normativa italiana, viene pesata l’armatura a spirale, deriva dall’intento di conferire a questa armatura, approssimativamente, lo stesso peso che, rispetto al calcestruzzo, ha nel calcolo allo stato limite ultimo.

82 4.1.4


flessione

Trazione semplice

Sebbene gli elementi in cemento armato siano poco adatti all’impiego come tiranti, in certi casi può accadere che in alcuni elementi la sollecitazione prevalente sia uno sforzo normale di trazione. Dal punto di vista della resistenza il problema è molto semplice in quanto la sezione di calcestruzzo, interamente tesa, non fornisce alcun contributo. La sezione resistente pertanto è costituita dalle sole armature e la sollecitazione produrrà una distribuzione uniforme se la sua rettaind’azione il baricentro delle armature. In questo delle caso deformazioni la tensione risulta uguale tutte le passa barre per e, per l’equilibrio, risulta: N = As σ s

(4.14)

in cui A s e σs sono l’area totale e la tensione delle armature. Se l’armatura è in campo elastico ( |σs | ≤ fyd ), dall’eq. (4.14) si calcola il valore di σ s : σs =

N As

(4.15)

e quindi, se la sezione viene veri ficata con il metodo delle tensioni ammissibili, si dovrà controllare che | σ s | ≤ σs . Nel calcolo allo stato limite ultimo si deve determinare il carico di rottura della sezione; questo corrisponde alla condizione in cui l’acciaio raggiunge la tensione di plasticizzazione, pertanto nell’eq. (4.14) la tensione σs deve porsi uguale a quella di snervamento: −

As fyd (4.16) dove il segno meno tiene conto della convenzione scelta di considerare negative le forze di trazione. Anche se ovviamente deve essere verificata, la condizione di resistenza di solito non è quella vincolante. Infatti generalmente più critica è la condizione che limita l’ampiezza delle fessure nel calcestruzzo; ciò richiede di ridurre la tensione di esercizio dell’acciaio ovvero di progettare a rottura con coefficienti di sicurezza più elevati. Nu =

4.2

Sforzo normale eccentrico. Calcolo elastico

Si esamina ora la condizione di sollecitazione composta di sforzo normale e flessione, trattando separatamente i casi della compressione e della trazione. Lo stato di sollecitazione viene individuato dalla forza normale N e dal punto P di coordinate xP , yP , detto centro di sollecitazione, intersezione della retta di azione di N con il piano della sezione. In alternativa la stessa sollecitazione può descriversi mediante N x , My relativi agli assi principali di inerzia della sezione. ed i due momenti baricentrici Tuttavia quest’ultima forma diMrappresentazione può risultare ambigua in quanto non sempre il baricentro e gli assi principali della sezione omogenizzata coincidono con quelli della sezione di calcestruzzo e comunque certamente ne differiscono quando questa risulta parzializzata. Nel seguito, nella parte dedicata al calcolo elastico, si farà di solito riferimento agli assi principali dell’intera sezione omogenizzata, che sono, quando la sezione è interamente compressa, gli assi principali della sezione reagente. Generalmente questi assi coincidono, o differiscono di poco, dagli assi della sezione geometrica.

83

4.2 Sforzo normale eccentrico. Calcolo elastico

4.2.1

Pressione eccentrica, piccola eccentricità

Si considera il caso che lo sforzo normale sia di compressione; se, con riferimento alla sezione omogenizzata, il centro di sollecitazione è interno al nocciolo centrale di inerzia, l’asse neutro è esterno alla sezione che pertanto risulta interamente compressa e dunque reagente. In questo caso le caratteristiche geometriche della sezione sono note a priori e per calcolare lo stato di tensione si possono utilizzare le relazioni che si ottengono applicando la sovrapposizione degli effetti, ben note dallo studio delle travi realizzate con materiali reagenti a trazione. Sempre con diriferimento principali di inerzia, la tensione in un generico punto della sezione, coordinateagli x, yassi è data dall’equazione: σc =

N xp N yp N + x+ y A Iy Ix ∗

∗

(4.17)

∗

in cui xp , yp sono le coordinate del centro di sollecitazione e Ix , Iy i momenti d’inerzia della sezione omogenizzata. La condizione perché la sezione risulti effettivamente tutta compressa è che le tensioni, calcolate con l’eq. (4.17), risultino positive in tutti i punti della sezione A . Introducendo i giratori di inerzia della sezione rx2 = Iy /A e ry2 = Ix /A , dall’eq. (4.17) si ottiene la condizione: ∗

∗

∗

∗

xxp yyp + 2 +1 ≥0 rx2 ry

∗

∗

(4.18)

(∀x, y ∈ A)

Uguagliando a zero questa espressione si stabilisce una corrispondenza di antipolaritàrispetto all’ellisse centrale di inerzia tra il centro di sollecitazione e l’asse neutro. Il luogo degli antipoli delle tangenti alla frontiera di A è la frontiera del nocciolo di inerzia. Ad esempio per una sezione rettangolare con armatura simmetrica dall’eq. (4.18) si ottiene che i punti del nocciolo sono individuati dalla disequazione:

¯¯

in cui

¯¯

¯¯

xp yp + x0 y0

x0 = 2

rx2 b

¯¯

≤

(4.19)

1

y0 = 2

ry2 h

sono, in valore assoluto, le coordinate dei vertici del nocciolo e sezione.

b, h le dimensioni della

Esempio 4.1 Verificare la sezione rettangolare b = 30 cm , h = 40 cm , armata simmetricamente con 4 φ22, posti in prossimità dei vertici, alla distanza c = 3.5 cm dai bordi e sollecitata dalla forza assiale N = 700 kN , con centro di sollecitazione di coordinate x p = 3 cm , y p = 2.5 cm. Caratteristiche geometriche della sezione: A = 30 × 40 + 15 × 4 × 3.8 = 1428 cm 2 ∗

1 30 × 403 + 15 × 4 × 3.8(20 − 3.5)2 = 222073 cm 4 12 1 Iy = 40 × 303 + 15 × 4 × 3.8(15 − 3.5)2 = 120153 cm 4 12

Ix = ∗

∗

Raggi di inerzia:

Iy = 84.14 cm 2 A ∗

rx2 =

∗

Ix = 155.5 cm2 A ∗

ry2 =

∗

84


Vertici del nocciolo: x0 = 2

rx2 = 5.61 cm b

y0 = 2

flessione

ry2 = 7.77 cm h

per cui applicando l’eq. (4.19) risulta:

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

xp y + p = 0.856 < 1 x0 y0

e quindi la sezione è interamente compressa.

Le tensioni (b/2, si calcolano concuil’eq. (4.17); il punto dove la sollecitazione è massima è lo spigolo di h/2), per coordinate si ha: σ c(mx) = 700000

µ

1 2.5 × 20 3 × 15 + + 1428 222073 120153

¶

= 910 N /cm2 = 9.1 N/mm2

La tensione minima si ha nello spigolo opposto, dove risulta

4.2.2

σ c = 0.70 N/mm

2

.

2

Grande eccentricità. Pressoflessione retta

Quando il centro di sollecitazione è esterno al nocciolo (per le sezioni rettangolari le sue coordinate non veri ficano la disuguaglianza (4.19)), l’asse neutro taglia la sezione che risulta parzializzata e, come nel caso della flessione, la sezione reagente non è a priori determinata. Se la sezione ha un asse di simmetria ed il centro di sollecitazione è uno dei suoi punti l’asse neutro è ortogonale a questo asse, e la sua giacitura dunque è nota; questo, come già fu visto per la flessione, semplifica il problema che tuttavia si può trattare in forma analitica solo per sezioni dalla geometria semplice. Anche qui il caso più elementare e di maggior interesse pratico è quello delle sezioni rettangolari. Se y è l’asse di simmetria su cui giace il centro di sollecitazione P , si indichi con u la distanza di P dal bordo compresso della sezione, considerata positiva quando P è esterno alla sezione, con yp la distanza di P dall’asse neutro e con yc l’altezza della zona compressa, come illustrato in fig. (4.2), in modo tale che si ha: (4.20)

yp = y c + u

Con riferimento all’asse x perpendicolare ad y e passante per P , la condizione di equilibrio alla rotazione della sezione richiede che: 0

Z

σ y 0 dA = 0 A

∗

dove y indica la distanza di un punto generico della sezione dall’asse x . Se y è la distanza dello stesso punto dall’asse neutro, si avrà ovviamente y = yp − y . Tenendo presente che, per la linearità del diagramma delle tensioni, si può porre σ = θy, dall’equazione precedente si ottiene: 0

0

0

yp

Z

0

y dA − A

∗

che, sinteticamente, si può scrivere: yp Sx

∗ 0

Z

0

2

y dA = 0 A

∗

− Ix

∗ 0

=0

(4.21)

in cui S x e I x sono il momento statico e quello d’inerzia della sezione reagente omogenizzata, riferiti all’asse x . ∗

0

∗

0

0

85


Figura~4.2: Sezione rettangolare soggetta a pressoflessione retta Sezione rettangolare

Per una sezione rettangolare l’espressione esplicita di S x e I x è semplice: ∗

∗

0

0

m

1 Sx = b(yp2 − u2 ) + n Asi (di + u) 2 i=1

X X

∗

0

m

1 Ix = b(yp3 − u3 ) + n Asi (di + u)2 3 i=1 ∗

0

Sostituendo queste espressioni nell’eq. (4.21) e riordinando i termini in funzione dell’unica incognita (yp ) che vi compare, si ottiene l’equazione cubica: yp3 +

m

" X 6n b

m

# " X

Asi (di + u) − 3u2 yp −

i=1

6n b

#

Asi (di + u)2 − 2u3 = 0

i=1

che si può scrivere in modo compatto: yp3 + pyp − q = 0

(4.22)

dove i coe fficienti p e q dipendono dalla geometria della sezione, dalle armature e dalla posizione del centro di sollecitazione: p= q=

6n b 6n b

m

X X

Asi (di + u) − 3u2

i=1 m

i=1

Asi (di + u)2 − 2u3

(4.23)

86


flessione

La soluzione dell’equazione cubica (4.22) è nota in forma esplicita: −p

yp = 3

µ q q 2

+

p3 27

+

q2 4

¶

1/3

+

Ã r q + 2

p3 q 2 + 27 4

1/3

!

(4.24)

In alternativa l’eq. (4.22) si può risolvere abbastanza rapidamente mediante un procedimento Dalnumerico valore di iterativo. yp si determina quindi l’altezza della zona compressa yc = yp − u. Individuata la posizione dell’asse neutro la sezione reagente risulta definita e quindi si può procedere al calcolo delle sollecitazioni. L’uso dell’eq. (4.17) è tuttavia poco pratico, in quanto richiede di trasferire il riferimento nel baricentro della sezione reagente. Risulta più comodo utilizzare l’equazione monomia che si ricava dall’equilibrio alla traslazione:

Z

σ dA = θ A

∗

Z

y dA = θ Sn = N ∗

A

∗

in cui si è fatto uso della relazione lineare σ = θ y e si è indicato con Sn il momento statico della sezione omogenizzata relativamente all’asse neutro. Risolvendo l’equazione rispetto a θ e sostituendo la soluzione nell’espressione di σ si ha: ∗

N y Sn

σc =

(4.25)

∗

fi

I valorindelle fattore : tensioni nell’acciaio si ottengono con una relazione analoga ampli cata del σ si = n

N (yc − di ) Sn ∗

Per le sezioni rettangolari il momento statico relativo all’asse neutro è dato da: m

1 Sn = byc2 + n Asi (yc − di ) 2 i=1 ∗

X


Il problema di determinare le dimensioni ed il quantitativo di armatura di una sezione in cemento armato a partire dalle sollecitazioni presenta, nel caso della presso flessione, un grado di indeterminazione maggiore di quello relativo alla fl essione semplice. Infatti, quando non esistono vincoli di altra natura, le dimensioni “ottimali” di una sezione in flessa sono ovviamente quelle per cui entrambi i materiali lavorano alla massima tensione consentita; pertanto si dispone due equazioni che permettono calcolare l’area dell’armatura e una dimensione delladisezione in calcestruzzo. Nel casodidella sollecitazione di presso flessione la tensione nell’armatura dipende anche dall’eccentricità del carico. Tenendo ferme le altre condizioni, al diminuire dell’eccentricità la tensione nell’acciaio diminuisce finché, se il centro di sollecitazione è interno al nocciolo, l’armatura risulta compressa; è evidente che per eccentricità che portano il centro di sollecitazione di poco fuori il nocciolo la tensione nell’acciaio teso sarà piccola. Da queste considerazioni segue che il valore di progetto della tensione nell’armatura non sempre potrà coincidere con la tensione ammissibile dell’acciaio; se l’eccentricità non

87


è molto grande, relativamente alle dimensioni della sezione, sarà conveniente assumere un valore minore, tanto più piccolo quanto più è piccola l’eccentricità. In generale al crescere del valore di progetto della tensione dell’acciaio si ottengono soluzioni, se esistono, con sezioni più grandi e meno armate. L’inverso avviene se la tensione viene ridotta. Pertanto spesso è necessario procedere per tentativi, fi ssando diversi valori di σ s (ovviamente non superiori a σ s ), fi no a trovare una soluzione ragionevole, ossia una sezione non troppo grande e non troppo armata. Fissate le tensioni di esercizio del calcestruzzo e dell’acciaio è possibile sviluppare delle formule di progetto analoghe a quelle valide per la sollecitazione di sola flessione. La tensione nel calcestruzzo si assumerà ovviamente uguale al suo valore ammissibile mentre per quella dell’acciaio si dovrà tener conto delle considerazioni precedenti. Indicando con σcm la tensione massima nel calcestruzzo e con σs e σ s i valori assoluti delle tensioni nell’acciaio teso e compresso e supponendo la sezione armata simmetricamente ( As = As ), il fattore K = yc /d e la tensione nell’armatura compressa sono noti: 0

0

K=

nσ cm nσ cm + σ s

σ 0s = n

K−δ σ cm K

(4.26)

dove δ = d /d. A rigore questa quantità, dipendendo dall’altezza utile della sezione, che è incognita, a sua volta non è nota; ma non avendo eccessiva influenza sulla soluzione può fissarsi, in modo approssimato, a priori. Indicando con h l’altezza della sezione, per la sua simmetria si ha h = d + d ; quindi le equazioni di equilibrio si scrivono: 0

0

1 N = bdK σ cm + As (σ s − σ s ) 2 1 2 1+δ K 1−δ N e = bd K σ cm − + As d (σ s + σ s ) 2 2 3 2 In queste equazioni le incognite sono l’altezza utile d e l’area delle due armature As , in quanto la larghezza b si intende fissata e le altre grandezze sono dei dati o si calcolano 0

µ

¶

0

mediante le eq. (4.26). Eliminando A s tra le equazioni precedenti si ottiene un’equazione in d : d2 α

−2

N N d − eβ = 0 b b

dove: σ s0 − σ s

β = −4

(1 − δ )(σ s + σ s ) 1+δ α = K σ cm 1 + 2 0

½ · µ

da cui si ottiene l’espressione di d : 

N d=α + b



sµ ¶ N b

2

−

K 3

N β + e b α

1

−

¶ ¸¾ β

2

 

(4.27)

(4.28)

Determinato d il quantitativo necessario di armatura si ottiene risolvendo rispetto ad As una delle due equazioni di equilibrio. Per esempio dalla seconda si ottiene: As =

2Ne/d − bdK σ cm 1+2 δ (1 − δ )(σ s + σ s ) 0

¡

−K 3

¢

(4.29)

88


flessione

δ = 0.05 σs

σc 2

2

= 7.25 N/mm

β

α

σc β

2

= 8.5 N/mm

α

β

σc α

2

= 9.75 N/mm

σc

2

= 11 N /mm

N/mm

α

β

15 35 55 75 95 115

2.4675 2.5321 2.5553 2.5811 2.6195 2.6705

-3.1361 -2.0523 -1.2332 -0.5925 -0.0775 0.3454

2.0924 2.1517 2.1723 2.1883 2.2102 2.2403

-3.2774 -2.3013 -1.5391 -0.9275 -0.4258 -0.0069

1.8151 1.8690 1.8888 1.9007 1.9144 1.9330

-3.3859 -2.4988 -1.7880 -1.2057 -0.7199 -0.3086

1.6020 1.6506 1.6701 1.6803 1.6899 1.7020

135 155 175 195 215 235 255

2.7323 2.8028 2.8801 2.9630 3.0503 3.1412 3.2351

0.6989 0.9988 1.2564 1.4801 1.6762 1.8494 2.0036

2.2781 2.3226 2.3727 2.4273 2.4857 2.5472 2.6113

0.3482 0.6531 0.9176 1.1493 1.3539 1.5360 1.6990

1.9571 1.9863 2.0198 2.0572 2.0977 2.1409 2.1863

0.0443 0.3503 0.6183 0.8548 1.0651 1.2533 1.4228

1.7179 1.7376 -0.2216 0.0831 1.7607 0.3520 1.7869 0.5910 1.8158 0.8048 1.8470 0.9972 1.8801 1.1713

σs

σc

-3.4718 -2.6593 -1.9945 -1.4404 -0.9717 -0.5698

δ = 0.10 2

2

= 7.25 N/mm

β

α

σc β

2

= 8.5 N/mm

α

β

σc α

2

= 9.75 N/mm

σc

2

= 11 N /mm

N/mm

α

β

15 35 55 75 95 115 135 155

2.6940 2.6186 2.5490 2.5137 2.5093 2.5281 2.5639 2.6124

-3.2473 -2.0397 -1.1271 -0.4132 0.1606 0.6318 1.0256 1.3598

2.3011 2.2521 2.1948 2.1570 2.1405 2.1416 2.1565 2.1819

-3.4048 2.0072 -2.3172 1.9754 -1.4680 1.9296 -0.7865 1.8939 -0.2275 1.8728 0.2393 1.8650 0.6349 1.8681 0.9745 1.8801

-3.5257 -2.5372 -1.7453 -1.0965 -0.5552 -0.0969 0.2963 0.6373

1.7793 1.7587 1.7225 1.6906 1.6685 1.6563 1.6529 1.6567

-3.6214 -2.7160 -1.9753 -1.3580 -0.8357 -0.3880 0.0000 0.3395

175 195 215 235 255

2.6704 2.7357 2.8065 2.8818 2.9607

1.6468 1.8961 2.1145 2.3075 2.4793

2.2155 2.2554 2.3004 2.3494 2.4016

1.2693 1.5274 1.7554 1.9583 2.1399

0.9358 1.1993 1.4336 1.6434 1.8322

1.6665 1.6812 1.6998 1.7216 1.7462

0.6391 0.9053 1.1436 1.3580 1.5520

1.8990 1.9235 1.9525 1.9851 2.0207

Tabella 4.1: Coe fficienti per il progetto delle sezioni pressoin flesse con armatura simmetrica. Unità di misura: kN — cm. I coe fficienti α e β dipendono dalle tensioni di esercizio dei materiali e dal coe fficiente valori, per certi intervalli frequenti dei parametri, sono riportati nelle tabelle 4.1. Verificare la sezione rettangolare con dimensioni b = 30 cm , h = 50 cm , d = 3 cm , con armatura simmetrica As = As = 2φ20 + 2 φ22 = 13 .9 cmq , sollecitata a pressione eccentrica: δ ; i loro

0

0

N = 350 kN

e = 34 cm

prevedendo l’impiego dei seguenti materiali:

Esempio 4.2

Calcestruzzo Rck = 25 N /mm2 Acciaio FeB 38 k

2

σ c = 8.5 N/mm 2 σ s = 215 N /mm

Poiché si ha: u = e − h/2 = 34 − 25 = 9 cm

89


per le equazioni (4.23) i coe

cienti p e q valgono:

ffi

6 × 15 13.9(12 + 56) − 3 × 92 = 2592.6 30 6 × 15 q= 13.9(122 + 562 ) − 2 × 93 = 135318 30

p=

quindi applicando l’eq. (4.24) si ottiene: −2592.6 yp = 3 × 51.916 + 51.916 = 35 .27 cm

L’altezza della zona compressa risulta: yc = y p − u = 35.27 − 9 = 26 .27 cm

Il momento statico rispetto all’asse neutro della sezione omogenizzata è: Sn = ∗

1 30 × 26.272 + 15 × 13.9(23.27 − 20.73) = 10882 cm 3 2

e quindi le tensioni massime nel calcestruzzo e nell’acciaio risultano: 350 26.27 = 0 .845 kN/cm2 = 8.45 N/mm2 10882 350 (26.27 − 47) = −10.00 kN/cm2 = −100.0 N/mm2 σ s = 15 10882 σc =

2

Esempio 4.3 Determinare le dimensioni di una sezione rettangolare idonea a sopportare la seguente sollecitazione: N = 500 kN

e = 40 cm

supponendo l’impiego dei seguenti materiali: Calcestruzzo Rck = 30 N /mm2 σc = 9.75 N/mm2 2 Acciaio FeB 38 k σ s = 215 N /mm 2 Si assume b = 30 cm e σcm = σ¯ c = 9.75 N/mm . Per tabelle 4.1 si ottiene: α = 2.1193

2

¯ s = 225 N /mm σs = σ

e

δ = 0.05,

dalle

β = 1.1592

che, sostituiti nell’eq. (4.28), forniscono d = 89.04 cm . A questo valore dell’altezza utile corrisponde δ = d /d = 3/89 = 0.034; applicando le eq. (4.26) e (4.29) si ottiene quindi: 0

K = 0.3939

0

σ s = 134, 1 N/mm

2

As = 1.6 cm2

La sezione così otten uta ha una percentuale di armatura molto piccola. È preferibile ridurre la tensione di esercizio dell’acciaio: ponendo σs = 155 N /mm2 , dalle tabelle 4.1 ( δ = 0.05) si ottengono i coefficienti: α = 1.9863

β = 0.3503

da cui segue: d = 72.6 cm ∼ 73 cm K = 0.4855

0

δ = 3/73 = 0 .041

As = 6.35 cm

σ c = 133.9 N/mm 2

Per σ s = 115 N/mm2 e δ = 0.05 risulta: α = 1.933

β = −0.3086

2

90


flessione

da cui segue: d = 57.5 cm ∼ 57 cm K = 0.5598

δ = 3/57 = 0 .053

0

σs = 132.5 N/mm

2

As = 16.4 cm2 2

Esempio 4.4 Verificare l’ultima soluzione dell’esercizio precedente (b = 30 cm h = 60 cm ). u = e − h/2 = 10 cm p = 3636 yp =

−3636

3 × 61.689

q = 227173

+ 61.689 = 42.04 cm

yc = 32.04 cm

Sn = 16405 cm 3 ∗

2

σ c = 9.76 N/mm

σ s = −114 N/mm

2 2

4.2.3

Trazione eccentrica

Anche quando lo sforzo normale esercita trazione è opportuno distinguere il caso in cui l’asse neutro è esterno (piccola eccentricità) da quello in cui attraversa la sezione (grande eccentricità). Piccola eccentricità

Quando il centro di sollecitazione della forza di trazione coincide con il baricentro delle armature la sezione risulta uniformemente tesa e quindi la sezione reagente è formata dalla sola parte in acciaio. Se il centro di sollecitazione si allontana dal baricentro la sezione resta interamente tesa fin quando P rimane all’interno del nocciolo della sezione reagente, cioè delle sole armature. L’equazione del nocciolo è ancora l’eq. (4.18), ma i raggi di inerzia rx ed r y si riferiscono solo all’armatura: rx2 =

m 2 i=1 Asi xi m A si i=1

PP

ry2 =

m 2 i=1 Asi yi m A si i=1

PP

in cui x i , yi sono le coordinate, relative al baricentro, della barra di area A si . Per le sezioni rettangolari con armatura simmetrica il nocciolo ha la forma romboidale espressa dall’eq.(4.19). Se l’armatura è disposta nei vertici della figura si ha: rx = b 2

− cx

ry = h 2

− cy

dove c x , c y sono le distanze delle armature dai bordi della sezione. Se c x ¿ b e cy ¿ h si può porre: rx2 b ' − 2cx 2 b ry2 h y0 = 2 ' − 2cy h 2 x0 = 2


91

Figura~4.3: Sezione rettangolare sollecitata da tensoflessione retta Dunque i vertici del nocciolo distano dal perimetro delle armature delle quantità c x e cy . Come nel caso della compressione, finché il centro di sollecitazione non è esterno al nocciolo la sezione reagente è nota a priori, pertanto le tensioni (nelle barre di acciaio) si calcolano con l’eq. (4.17), in cui A , I x e I y sono l’area ed i momenti di inerzia della sola armatura. ∗

∗

∗

Grande eccentricità

Nel caso di pressione eccentrica, per e → ∞ ed N → 0 in modo tale che M = N e resti costante, la sollecitazione tende alla fl essione pura. Cambiando il segno di N ed e si ottiene una sollecitazione di trazione che produce lo stesso momento; perciò, per N molto piccolo, le tensioni nella sezione praticamente non cambiano. Avvicinando il centro di pressione al baricentro e facendo crescere (in valore assoluto)N , si ottiene una sollecitazione di trazione e flessione per la quale lo stato di tensione nella sezione rimane dello stesso tipo. Quindi, per la trazione di grande eccentricità, il bordo della sezione maggiormente compresso è fig. 4.3. quello più distante dal centro di sollecitazione, comenel illustrato Pertanto, adottando le stesse convenzioni usate § 4.2.2, in risulta u < 0 e yp < 0, ove u ed yp indicano, come in precedenza, la distanza del centro di sollecitazione dal lembo compresso e dall’asse neutro, rispettivamente. Con queste precisazioni l’eq. (4.21), derivata dall’equilibrio intorno al centro di sollecitazione P , è ancora valida e altrettanto lo sono le equazioni (4.22) e (4.23) ottenute per le sezioni rettangolari. Quindi le tensioni si possono calcolare applicando l’eq. (4.25), tenendo conto ovviamente che ora N < 0. Si deve invece osservare che in questo caso l’eq. (4.24) non è più utilizzabile, in quanto non fornisce la radice utile (negativa) dell’equazione cubica (4.22). Le altre due radici di

92


flessione

questa equazione hanno forma generale complessa; anche se la parte immaginaria delle soluzioni alla fine scompare, il loro uso è poco pratico. Risulta più semplice utilizzare un procedimento numerico iterativo. Esempio 4.5 Determinare le tensioni massime prodotte nella sezione rettangolare di base b = 25 cm e altezza h = 60 cm , armata con 4 φ20 poste alla distanza c = 3 cm dai bordi, dalla forza di trazione N = −100 kN con eccentricità e = −60 cm dal centro della sezione.

La distanza del centro di sollecitazione dal lembo della sezione è: u=e−

h = −60 − 30 = −90 cm 2

Dall’eq. (4.23) si ottengono i valori di p e q : 6 × 15 [6.28(3 − 90) + 6.28(57 − 90)] − 3(−90)2 = −27013 25 6 × 15 q= 6.28(872 + 332 ) − 2(−90)3 = 1653740 25 p=

y = −80.36 cm ; La soluzione dell’eq.(4.22), ottenuta con un procedimento numerico iterativo, è quindi di conseguenza: yc = y p − u = −80.36 + 90 = 9 .64 cm

quindi il momento statico della sezione reagente risulta: Sn = −2674.2 cm3 ∗

e le tensioni massime di compressione e trazione: σc =

−100

× 9.64 = 0 .36 kn/cm2 = 3.6 N/mm2

−2674.2 −100

σ s = 15

−2674.2

(9.64 − 57) = −26.56 kn/cm2 = −265.6 N/mm2 2

4.2.4

Sezioni di forma arbitraria

Per le sezioni di forma più complessa della rettangolare non casi è utile sviluppareutilizzare relazioniun analitiche in forma chiusa, del tipo dell’eq. (4.22). In questi è preferibile algoritmo numerico con cui trattare sezioni di ogni forma, purché simmetrica, sollecitate a pressoflessione retta. Il calcolo dei momenti statico e d’inerzia che compaiono nell’eq. (4.21) si può svolgere agevolmente dividendo la sezione in strisce sottili, parallele all’asse neutro, approssimando gli integrali con sommatorie. In modo analogo a quant o fatto nel caso della flessione, indicando con η i la distanza di una striscia dal lembo compresso della sezione, le espressioni del momento statico e del momento d’inerzia relativamente al centro di sollecitazione sono

93


espresse dalle relazioni: Sx

∗ 0

=

Z X Z X

0

y dA =

A

∗

'

Z

m

yc

b(η )(u + η ) dη + n 0

∗ 0

= '

A

∗

Asi (u + di ) '

i=1

m

b(η j )(u + η j )∆η j + n

j

Ix

X

X

Asi (u + di )

i=1

0

yc

2

y dA =

Z

m 2

2

b(η )(u + η ) dη + n

0

m

b(η j )(u + η j )

2

∆η j

+n

j

X

X i=1

Asi (u + di ) '

Asi (u + di )2

i=1

in cui le somme si estendono a tutte le strisce compresse, ossia fin quanto non risulta: Ix Sx ∗

yc =

0

− u ' ηk +

∗

∆η k

0

2

k essendo l’indice dell’ultima striscia inclusa nella somma.

Il procedimento è illustrato nell’esempio seguente. Esempio 4.6 Determinare le tensioni massime indotte da una forza di compressione normale di intensità N = 100 kN ed un momento M = 6 kNm su di una sezione ellittica con assi 25 × 40 cm con armatura simmetrica A s = A s = 3φ20 = 9 .42 cm 2 disposta in corrispondenza dell’asse maggiore a 17 cm dal baricentro, quando il centro di sollecitazione appartiene all’asse maggiore della sezione. Rispetto al baricentro la forza assiale agisce con un’eccentricità e = M/N = 60 cm . Quindi: 0

u = 60 − 40/2 = 40 cm

L’area, il momento statico ed il momento d’inerzia dell’armatura, relativamente al centro di sollecitazione, sono: As = 2 × 9.42 = 18 .84 cm 2 Ss = 9.42(43 + 77) = 1130.4 cm3 Is = 9.42(432 + 772 ) = 73268 .7 cm4

Dividendo la sezione in strisce di altezza ∆η = 1 cm si può quindi costruire la tabella 4.2 In questa tabella i termini della prima riga si riferiscono alla sola armatura omogenizzata e quelli delle righe successive si ottengono aggiungendo ai corrispondenti della riga precedente i contributi della striscia in esame. Più precisamente: Ai = A i 1 + b(η i )∆ηi Si = S i 1 + b(ηi )∆ηi yi ∗

∗

−

∗

0

∗

−

Ii = I i ∗

∗

1

−

+ b(η i )∆ηi y

0

2 i

Il calcolo viene arrestato quando il termine della prima colonna aumentato della metà dello spessore della striscia supera il corrispondente dell’ultima colonna. Determinata la posizione dell’asse neutro y c = 57.76 − 40 = 17 .76 cm il corrispondente valore del momento statico è: Sn = −34257 + 625.86 × 57.76 = 1895 .1 cm3 ∗

quindi applicando l’eq. (4.25) e la successiva si ottiene: 2

σ c = 9.37 N/mm

σ s = 152.2 N/mm

2 2

94


yi 0

40.00 40.50 41.50 42.50 43.50 44.50 45.50 46.50 47.50 48.50 49.50 50.50 51.50 52.50 53.50 54.50 55.50 56.50 57.50

∆η i

0.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

b(η i )

0.00 5.56 9.50 12.10 14.13 15.80 17.22 18.45 19.52 20.45 21.28 22.00 22.63 23.18 23.64 24.04 24.36 24.61 24.80

Ai

∗

Si

∗

282.60 288.16 297.65 309.76 323.89 339.68 356.90 375.35 394.86 415.32 436.60 458.60 481.23 504.40 528.04 552.08 576.44 601.05 625.86

16956. 17181. 17575. 18090. 18704. 19407. 20191. 21048. 21975. 22967. 24021. 25132. 26297. 27514. 28779. 30089. 31441. 32831. 34257.

Ii

∗

1099031. 1108143. 1124503. 1146364. 1173099. 1204385. 1240032. 1279915. 1323948. 1372060. 1424195. 1480300. 1540320. 1604198. 1671870. 1743263. 1818294. 1896869. 1978877.

flessione

yp = Ii /Si ∗

∗

64.82 64.50 63.98 63.37 62.72 62.06 61.42 60.81 60.25 59.74 59.29 58.90 58.57 58.31 58.09 57.94 57.83 57.78 57.76

Tabella 4.2: 4.2.5

Pressoflessione deviata

Quando il centro di sollecitazione non appartiene ad un asse principale di inerzia della sezione reagente l’asse neutro non è ortogonale a quello di sollecitazione. In caso di piccola eccentricità, essendo tutta la sezione reagente, si applica l’eq. (4.17) ed il caso non presenta particolari difficoltà. Per la grande eccentricità (centro di sollecitazione esterno al nocciolo) la pressoflessione è retta solo se la sezione ha almeno un asse di simmetria ed il centro di sollecitazione appartiene ad esso; in caso contrario la giacitura dell’asse neutro è incognita e quindi il problema di determinare la sezione resistente, come nel caso della sola fl essione, presenta due incognite. Con riferimento alla fig. 4.4, si indichi con s una retta passante per il centro di sollecitazione P e per il baricentro della sezione geometrica, con x l’asse neutro. Indicando con t ed y due rette ortogonali ad s ed x rispettivamente e passanti per l’intersezione di queste due, si ottengono due riferimenti ortogonali (s, t) e (x, y), ruotati tra loro dell’angolo α. Con riferimento agli assi (t, s) le equazioni di equilibrio della sezione sono:

ZZ Z

A

∗

A

σ dA = N σ s dA = N sp

(4.30)

∗

σ t dA = 0 A

∗

in cui sp è l’ordinata del centro di pressione nel riferimento (s, t). Per la conservazione delle sezioni piane e la linearità dei legami costitutivi dei materiali si può porre, relativamente

95


Figura~4.4: Sezione sollecitata da pressoflessione deviata alla sezione omogenizzata, σ = θ y; tenendo conto che: s = y cos α + x sin α

dalle prime due delle eq. (4.30) si ottiene: cos α

Z

y 2 dA + sin α A

Z

A

∗

Analogamente, tenendo conto che:

xy dA = sp ∗

Z

y dA

(4.31)

A

∗

t = x cos α − y sin α

dalla terza delle eq. (4.30) si ha: cos α

Z

xy dA − sin α A

∗

Z

y 2 dA = 0 A

∗

da cui, dividendo tutti i termini per cos α, si ottiene:

Z

xy dA = tan α A

∗

Z

y2 dA A

(4.32)

∗

Le eq. (4.31) e (4.32) formano un sistema le cui incognite sono sp ed α , che individuano la posizione e la giacitura dell’asse neutro. In caso di sollecitazione retta i due riferimenti coincidono (α = 0) e l’eq. (4.31) è equivalente all’eq. (4.21). La soluzione di questo sistema generalmente richiede un procedimento iterativo; una via possibile, ma non l’unica nè la più e fficiente, consiste nel fissare un valore di tentativo di α, quindi, risolvendo l’eq. (4.31) rispetto ad s p , per esempio con il metodo delle strisce

96


flessione

visto nel paragrafo precedente, si determina la posizione dell’asse neutro. Si può quindi utilizzare l’eq. (4.32) per veri ficare se la giacitura fissata è corretta; in caso contrario, risolvendo l’equazione rispetto ad α, si ottiene un valore di seconda approssimazione che può essere utilizzato per iterare il procedimento, e così via.

4.3

Sforzo normale eccentrico. Calcolo allo stato limite ultimo

Il calcolo allo stato limite ultimo delle sezioni sollecitate dall’azione combinata dello sforzo assiale e della flessione non differisce in modo rilevante dalle procedure illustrate a proposito della sola flessione. Tuttavia ai meccanismi di collasso descritti nella sezione 3.3 ed illustrati in fig. 3.9 si devono aggiungere quelli relativi alle sollecitazioni di piccola eccentricità, sia di compressione sia di trazione, che corrispondono a stati di deformazione in cui l’asse neutro è esterno alla sezione. Un’altro aspetto che differenzia questo caso dalla flessione semplice è che, essendo ora la sollecitazione individuata da due parametri, esistono in finite coppie di valori (N, M ) che corrispondono a condizioni di stato limite della sezione. Nel piano N, M resta quindi individuata una regione, detta dominio di resistenza , i cui punti corrispondono ai valori della sollecitazione sopportati dalla sezione; la sua frontiera, detta curva di stato limite, o di interazione, individua le coppie (N, M ) per cui si raggiunge lo stato limite ultimo. I punti esterni al dominio corrispondono a sollecitazioni di collasso, che non possono essere equilibrate dalle tensioni interne alla sezione. Un esempio di curva di questo tipo, relativa ad una sezione rettangolare con armatura simmetrica, è mostrata nella fig. 4.5. Questa figura mette in evidenza che, per sezioni simmetriche e fissato il segno di M , le curve di stato limite espresse in forma esplicita come M u = Mu (N ) sono ad un sol valore, al contrario della forma inversa N u = Nu (M ). Tuttavia si deve osservare che, per sezioni non simmetriche, questa proprietà non si conserva per i valori estremi di N . Quando la condizione che M u (N ) sia ad un sol valore è valida, la veri fica della sezione nei confronti della sollecitazione (Nd , Md) si può eseguire controllando che: (4.33)

|Mu (Nd )| ≥ |Md |

ammesso che Nd non superi i valori del massimo sforzo normale per trazione e compressione ed M u sia dello stesso segno di M d . Per la sollecitazione di flessione semplice, nel caso si debbano considerare diverse condizioni di sollecitazione dello stesso segno, è su fficiente verificare che |Mu | ≥ maxi |Mdi |. Nel caso di forza assiale e flessione invece l’eq. (4.33) deve essere controllata per tutte le coppie dei valori (Ndi , Mdi ); infatti spesso la condizione più gravosa non è quella a cui fi

corrisponde il valoredimaggiore di N , in quanto, come è evidenziatodella dallaforza g. 4.5, per valori non troppo grandi N il momento ultimo cresce all’aumentare normale. Nel caso di flessione semplice lo sviluppo del meccanismo di collasso è funzione delle sole percentuali di armatura. La presenza di una forza assiale condiziona a sua volta, spesso in modo decisivo, il tipo di meccanismo; valori elevati di N provocano il collasso della sezione per schiacciamento del calcestruzzo prima che l’acciaio possa plasticizzarsi, o addirittura quando è ancora compresso (piccola eccentricità), mentre un’elevata trazione fa collassare la sezione per cedimento delle armature mentre il calcestruzzo è interamente teso. Dunque ai meccanismi di collasso illustrati nella fig. 3.9 si devono aggiungere quelli

4.3 Sforzo normale eccentrico. Calcolo allo stato limite ultimo

97

Figura~4.5: Domini di resistenza per sforzo normale e flessione di sezioni rettangolari simmetricamente armate corrispondenti ai casi di piccola eccentricità dello sforzo normale, sia di compressione sia di trazione. In caso di compressione centrata si assume che il collasso avvenga quando la deformazione del calcestruzzo raggiunge ²c1 ; infatti questo è il valore per cui si raggiunge la resistenza massima; per deformazioni maggiori la resistenza diminuisce e pertanto, nel caso di deformazione uniforme della sezione, oltre questo punto l’equilibrio non è possibile a meno di una riduzione di N . Per pressione di piccola eccentricità, cui corrisponde un diagramma delle deformazioni variabile ma di un solo segno, si assume che il passaggio dal meccanismo di collasso per pressione centrata (² = ² ) a quello flessionale ( ² = ² ) avvenga gradualmente cmxdue schemi cu ruotando i diagrammicmx intornoc1al punto di intersezione dei limite, rettangolare e triangolare, che si torva alla distanza 3 y0 = h 7

dal bordo più compresso, come mostrato in fig. 4.6.

98


flessione

Figura~4.6: Meccanismi di rottura delle sezioni sollecitate a sforzo normale e flessione 4.3.1

Sezione rettangolare

Campi di rottura

Nelle sezioni sollecitate a pressione e flessione il meccanismo di collasso dipende, oltre che dalle quantità di armatura, della forza normapiù le. fragili, Al crescere il collasso passa dai meccanismi duttilidall’entità (grandi rotazioni) a quelli finodial N collasso per schiacciamento uniforme del calcestruzzo. Per le sezioni simmetricamente armate questo corrisponde al caso di collasso per sforzo normale centrato. Come nel caso della flessione è utile saper riconoscere a priori quale è il meccanismo di collasso della sezione che corrisponde ad un fissato valore dello sforzo normale. A questo scopo è su fficiente determinare i valori di N relativi a situazioni limite, corrispondenti alla transizione tra un meccanismo e l’altro, quindi confrontare il valore e ffettivo di N con i valori così determinati ed individuare l’intervallo tra cui questo si colloca. Piccola eccentricità Se la sezione è interamente compressa, tenedo conto dell’ulteriore coefficiente di sicurezza imposto allo sforzo normale centrato, si ha:

Nmax = 0.8bhf¯cd + As fyd + As fyd 0

e quindi, in termini adimensionali: N nmax = bdmax f¯cd = 0.8 (1 + δ ) + µ + µ

0

(4.34)

dove si è posto h = d + d e δ = d /d. Ovviamente dovrà risultare nd ≤ n max, altrimenti l’equilibrio sarà impossibile per qualsiasi valore di M . La sezione rimane interamente compressa (campo 0) fino a che nmax ≥ nd ≥ n0 , dove n 0 è il valore dello sforzo normale che corrisponde alla transizione tra i campi 0 ed 1. In questo caso l’asse neutro è al lembo inferiore della sezione: pertanto y c = h. La risultante delle compressioni è: 0

0

N0 = 0.8bhf¯cd + As σ s + As fyd 0

99


in cui σs = min[ fyd , Es ²s ], è la tensione nell’acciaio inferiore, normalmente ancora in campo elastico, in quanto ²s = ²cu

δ

(4.35)

1+δ

mentre si è ipotizzato, come è verosimile, che l’acciaio superiore, più compresso, sia in campo plastico. In termini adimensionali si ha quindi: δ

0

(4.36) con αu = ²cu /²y . Vi è un’altra sottile zona da considerare, non indicata nella figura 4.6, corrispondente al campo in cui l’asse neutro cade nel copriferro e pertanto la sezione è parzializzata ma l’acciaio inferiore risulta ancora compresso. Il collasso avviene in questa zona per n0 ≥ n ≥ n0 , dove (σ s = 0) n0 = 0.8 (1 + δ) + µαu 1 + δ + µ

0

0.8bdf¯cd + As fyd = 0.8 + µ bdf¯cd 0

n0 = 0

(4.37)

0

Grande eccentricità: rottura con acciaio in campo elastico Per valori di n minori di n 0 la sezione al collasso risulta parzializzata e l’acciaio inferiore è teso. Questo risulta tuttavia in campo elastico (campo 1) fino a che n > n1 , dove n1 è il valore dello sforzo normale che porta al collasso la sezione con l’acciaio teso al limite dello snervamento; in tal caso y c = d²cu/(²cu + ²y ), e pertanto: 0

N1 = 0.8byc f¯cd + As fyd − As fyd 0

In questo caso per ipotesi la tensione nell’acciaio teso è quella di snervamento, mentre quella dell’acciaio compresso potrebbe, in situazioni limite di sezioni particolarmente sottili (< 10 cm), risultare in campo elastico. Nell’equazione precedente si è escluso questo caso, pertanto: n1 = 0.8

²cu +µ ²cu + ²y

0

(4.38)

−µ

Rottura simultanea del calcestruzzo e dell’acciaio Per n ≤ n1 l’acciaio teso risulta, al collasso, in campo plastico. La rottura avviene per schiacciamento del calcestruzzo (campo 2) fino ad un valore di n tale che al collasso si ha simultaneamente ²s = ²sl e ²c = ²cu . In questa situazione l’altezza della zona compressa è

yc = d

²cu = 0.2593d ²cu + ²sl

Il valore (adimensionale) n 2 dello sforzo normale che corrisponde a questo meccanismo è: ¯ n2 = 0.8byc fcd + A¯s σ s − As fyd = 0.207 + µ σ s fyd bdfcd 0

0

0

0

(4.39)

−µ

La tensione nell’acciaio compresso si deriva dalla legge elasto-plastica dell’acciaio min {fyd , Es ²s } in funzione della deformazione

σ 0s =

0

0

²s = ²cu

K −δ = 3.5 · 10 K

3

−

(1 − 3.857δ )

Negli elementi con h > 30 cm risulta in pratica ²s > ²y e pertanto σs = fyd . Nelle travi di piccolo spessore e nelle solette l’acciaio compresso può invece risultare elastico. 0

0

100


flessione

Sezione interamente tesa Per n < n2 il collasso della sezione avviene nel campo 3, cioè per eccessivo allungamento dell’acciaio mentre ² c < ²cu. La sezione è tuttavia ancora parzializzata (parte tesa e parte compressa) fino a quando l’asse neutro raggiunge il lembo superiore. In questo caso la sezione risulta interamente tesa e la resistenza è a ffidata alle sole armature. Il valore di n ( < 0) per cui questa condizione si verifica è:

n3 =

−As0 Es ²sl δ − As fyd

(4.40)

0

= −µ αl δ − µ

bdf¯cd

dove αl = ²sl /²y e si è tenuto conto che ²s = −²sl δ e si è ipotizzato che |²s | > ²y , il che generalmente avviene se h > 20 cm. 0

0

Determinazione del momento ultimo Compressione eccentrica, piccola eccentricità ( n0 ≤ n ≤ nmax) Quando l’asse

neutro è esterno alla sezione, per le ipotesi adottate, la parte di sezione prossima al lembo maggiormente compresso ha, per l’altezza y0 , deformazioni maggiori di ²c1 . Pertanto, se si utilizza la legge parabola-rettangolo, la tensione in questa parte di sezione ha il valore uniforme f cd. Nella parte restante, di altezza h − y0 = 47 h, la tensione segue una legge parabolica il cui punto di nullo è esterno alla sezione. Indicando come in precedenza con yc la distanza dell’asse neutro dal lembo più compresso, per una sezione rettangolare la risultante delle tensioni nel calcestruzzo si calcola con la relazione:

Z

C = by0 f cd + b

yc −y0

(4.41)

σ c (²) dy

yc −h

in cui la tensione σc (²) segue la legge parabolica: σ c (²) = 2f cd

"

² ²c1

1 − 2

µ ¶# ² ²c1

2

(0 ≤ ² ≤ ²c1 )

mentre la deformazione è proporzionale alla distanza y dall’asse neutro: ² = ² c1

y yc − y0

Sostituendo queste due ultime espressioni nell’eq. (4.41) e svolgendo l’integrale si ottiene:

·

C = bhf cd 1 −

64 21(7K − 3)2 0

¸

(4.42)

in cui K = yc /h ≥ 1 è il coe fficiente adimensionale della posizione dell’asse neutro. La quantità tra parentesi quadrata varia tra 0.81, per K = 1, ed 1, per K = ∞ (pressione centrata). Tuttavia si deve tenere presente che, per la normativa italiana, il valore di C non può superare quello relativo alla pressione centrata, che deve essere valutato adottando un coe fficiente di sicurezza maggiorato del 25%. Questo fa si che Cmax = 0.8f cdbh sia praticamente pari al limite inferiore del campo di variazione di C in questa situazione. Pertanto in pratica si dovrà assumere C = cost = 0 .8bhf cd. In modo del tutto analogo si valuta il momento delle tensioni nel calcestruzzo; relativamente all’asse neutro si ha: 0

0

³

Mcn = by0 f cd yc −

y0 +b 2

´ Z

0

yc −y0

yc −h

σ c (²)y dy

101


per cui, sostituendo le espressioni di Mcn = bh2 f cd

49K

σc

03

e di ² e svolgendo i calcoli risulta:

− 66.5K 0

2

+ (566/21)K (7K − 3)2

0

− 185/98

0

Il momento relativo al centro della sezione si calcola utilizzando la formula del trasporto; tenendo conto dell’eq. (4.42) si ottiene: Mc = Mcn − C yc − h 2

µ ¶

= bh2 f cd

(4.43)

160 147(7K − 3)2 0

Prendendo in esame una sezione con doppia armatura ed indicando con As l’area dell’acciaio più prossimo al lembo maggiormente compresso, lo sforzo normale ultimo della sezione è: 0

0

(4.44)

0

Nu = 0.8bhf cd + As σ s (²s ) + As σ s (²s )

Poiché generalmente ²s > ²c1 > ²sy , risulta σs (²s ) = fyd ; quindi la sezione raggiunge il massimo dello sforzo normale portato quando anche σs (²s ) = fyd : 0

0

(4.45)

0

Nu(mx) = 0.8bhf cd + (As + As )fyd

Valori superiori a questo non possono essere equilibrati dalla sezione; per valori inferiori si ha necessariamente σs (²s ) < fyd e quindi ² s < ²sy . L’equazione di equilibrio diviene: 0

Nd = Nu = 0.8bhf cd + As fyd + As σ s (²s )

da cui si ottiene: Nd − 0.8bhf cd − As fyd As 0

σ s (²s ) =

(4.46)

quindi, essendo l’acciaio in campo elastico, si deduce ²s = σ s (²s )/Es . Tenendo conto che per la conservazione delle sezioni piane si ha: ²s = ² c1

yc − d K = ² c1 yc − y0 K

0

− d/h

0

− 3/7

si ottiene il valore di K : 0

0

K =

²c1 (d/h) − (3/7)²s

(4.47)

−

²c1

²s

La soluzione trovata è coerente se K ≥ 1. Determinata, attraverso K , la posizione dell’asse neutro, il momento ultimo della sezione soggetta allo sforzo assiale Nd si valuta facilmente. Facendo uso dell’eq. (4.43) si ha: 0

0

Mu = bh2 f cd

160 + As fyd 147(7K − 3)2 0

0

h 2

µ ¶ − d0

+ As σ s (²s )

h 2

µ ¶ −d

(4.48)

102


flessione

Grande eccentricità: collasso nel campo 1 ( n1 ≤ n ≤ n 0 ) Per ipotesi si ha |²s | ≤ ²sy , al contrario l’armatura complessa generalmente è plasticizzata (²s ≥ ²sy ). L’equazione 0

di equilibrio della sezione si scrive:

(4.49)

0

Nd = 0.81byc f cd + As fyd + As σ s (²s )

dove N d è il valore di progetto della forza normale e la tensione nell’acciaio teso è data in funzione della posizione dell’asse neutro da: σ s (²s ) = E s ²s = E s ²cu

Sostituendo l’espressione di si ottiene:

σs

yc − d yc

nell’eq. (4.49), dopo aver diviso tutti i termini per bdf cd, 0

nd = 0.81K + µs + µs αu

in cui nd =

K −1 K

(4.50)

Nd bdf cd

è il valore adimensionale della forza normale e αu = ²cu/²sy . Risolvendo l’eq. (4.50) si ottiene il valore di K :

h

(4.51)

(nd − µs − αu µs )2 + 3.2αu µs

0

K = 0.617 nd − µs − αu µs +

0

p

i

Questa espressione, per n d = 0, coincide con l’eq. (3.48) relativa alla sollecitazione di sola flessione. Determinato K si valutano facilmente i valori di ² s ed ² s : ²s = ²cu

0

K −1 K

0

²s = ² cu

K −δ K

(4.52)

Il valore di K così trovato è coerente con le ipotesi se ²s ≥ ²sy e |²s | ≤ ²sy . Se queste condizioni sono soddisfatte il momento ultimo della sezione, relativamente al suo baricentro geometrico, è: 0

Mu = 0.81byc f cd

µ

h 2

− 0.416yc

¶

0

+ As fyd

h 2

µ ¶ − d0

+ As Es ²s

h 2

µ ¶ −d

(4.53)

in cui y c = Kd ed ² s è dato dalla prima delle eq. (4.52). 0

Collasso nel campo 2 ( n2 ≤ n ≤ n1 ) In questo caso ² l ≥ |²s | ≥ ²sy ; se inoltre ² s ≥ ²sy entrambe le armature sono in campo plastico e pertanto l’equazione di equilibrio si scrive: 0

Nd = 0.81byc f cd + As fyd − As fyd

da cui si ottiene immediatamente il valore dell’altezza della zona compressa; in forma adimensionale: nd + µs − µs 0.81 0

K=

(4.54)

103


Ponendo nd = 0 questa equazione coincide con l’eq. (3.51). Noto K , mediante le eq. (4.52) si determinano le deformazioni delle armature; se entrambe superano la soglia di plasticizzazione la soluzione è coerente, altrimenti se ²s < ²sy l’acciaio compresso è in campo elastico e l’equazione di equilibrio si modifica nella seguente: 0

0

Nd = 0.81byc f cd + As Es ²cu

K −δ K

− As fyd

da cui si ottiene l’equazione di secondo grado in K : 0.81K 2 − (nd + µs − µs αu )K − µs αu δ = 0 0

0

la cui soluzione

³

0

K = 0.617 nd + µs − µs αu +

p

(nd + µs − µs αu )2 + 3.2µs αu δ 0

0

´

(4.55)

fornisce il valore di K . Da questa equazione si deriva come caso particolare l’eq. (3.52). Il momento ultimo della sezione si calcola con un’espressione analoga all’eq. (4.53): Mu = 0.81byc f cd

µ

h 2

− 0.416yc

¶

0

0

+ As σ s (²s )

h 2

µ ¶ − d0

− As fyd

h 2

µ ¶ −d

(4.56)

in cui σs (²s ) = Es ²s se ² s ≤ ²sy , altrimenti σ s (²s ) = fyd . 0

0

0

0

Collasso nel campo 3 ( n3 ≤ n ≤ n2 ) Come si è visto per la fl essione, la risultante delle tensioni nel calcestruzzo si può ancora calcolare, senza commettere un errore eccessivo, sulla base del diagramma rettangolare equivalente; con questa approssimazione l’equazione di equilibrio è: 0

0

Nd = 0.8yc f cd + As σ s (²s ) − As fyd

Se ²s ≥ ² sy questa equazione coincide con quella relativa al campo 2 e la sua soluzione è ancora l’eq. (4.54); in caso contrario la deformazione dell’acciaio compresso si esprime in funzione della posizione dell’asse neutro con la relazione: 0

0

²s = ²sl

K −δ 1−K

(4.57)

a cui corrisponde l’equazione di equilibrio (adimensionale): 0

nd = 0.8K + µs αl

K−δ 1−K

− µs

dove αl = ²sl /²sy . Risolvendo l’equazione si trova: K = 0.617[0 .8 + nd + µ0s αl + µs −

p

i

(0.8 + nd + µs αl + µs )2 − 3.2(nd + µs αl δ + µs ) 0

0

(4.58)

Il momento ultimo è dato ancora dall’eq. (4.56), ma la deformazione dell’acciaio compresso si calcola con l’eq. (4.57).

104


flessione

Trazione, piccola eccentricità (n < n3 ) Quando la forza assiale ha il verso della trazione, se l’asse neutro risulta interno alla sezione, le relazioni sviluppate nei paragrafi precedenti sono ancora valide, con la sola condizione di porre il segno di nd negativo. Quando l’asse neutro è esterno (piccola eccentricità) la sezione è interamente tesa e quindi solo l’acciaio contribuisce alla resistenza. La forza assiale massima di trazione è pertanto: Nu(mx) = (As + As )fyd (4.59) 0

−

Forze maggiori non possono essere equilibrate; per valori inferiori si ha | σ s (²s )| < fyd , per cui l’acciaio meno teso è in campo elastico e l’equazione di equilibrio è: 0

Nd =

−As fyd + As0 σ s0

(Nd < 0)

da cui si ottiene: σ 0s =

Nd + As fyd As

(4.60)

0

È evidente che questa soluzione è coerente solo se risulta −fyd ≤ σs < 0 . In questo caso il momento ultimo, relativamente al baricentro geometrico della sezione, è dato da: 0

Mu =

4.3.2

−As fyd

h 2

h 2

µ ¶ µ ¶ 0

−d

+ σs

− d0

(4.61)

Verifica della sezione

Come è stato già sottolineato più volte, quando la sollecitazione è composta dalla forza normale e dalla flessione il meccanismo di collasso non dipende solo dalla percentuale fi

delle Il meccanismo ssateper le di armature, dipende dalforza valore di n. Ilè modoarmature. di procedere nella verificadidirottura, una sezione, fferenti valori della normale, illustrato nel seguente esempio. Esempio 4.7 Determinare i valori del momento ultimo di una sezione rettangolare di dimensioni

b = 30 cm , h = 50 cm , con doppia armatura simmetrica As = A s = 3φ20 = 9 .42 cm 2 e realizzata 0

con i seguenti materiali: Calcestruzzo Rck = 30 N /mm2 f cd = 13.23 N/mm2 = 1.323 kN/cm2 fyd = 374 N/mm2 = 37.4 kN/cm2 Acciaio Fe b 44 K considerando cinque valori della forza normale: Nd = 2200; 1500; 800; 100 ; −500 kN Le percentuali meccaniche di armatura sono:

9.42 × 37.4 = 0. 18886 30 × 47 × 1.323 ed inoltre δ = 3/47 = 0 .0 6383 ² y = 374/205000 = 1 . 824 × 10 3 αu = ²cu /²y = 1.919 α l = ² sl /²y = 5.482 0

µ=µ =

−

I valori caratteristici dello sforzon normale adimensionale, risultano: = 0.8 (1 + ) + µ + µ = 1.229 0

δ

max

n0 = 0.8 (1 + δ) + µαu n1 = 0.8

δ

1+δ

+ µ = 1.155 0

²cu + µ − µ = 0.526 ²cu + ²y 0

σ

0

s − µ = 0.207 fyd n3 = −µ αl δ − µ = −0.255

n2 = 0.207 + µ 0

0

105


1) N d = 2200 kN . Il corrispondente valore adimensionale è: Nd 2200 = = 1.179 30 × 47 × 1.323 bdf cd

nd =

Poiché nmax > nd > n0 il collasso avviene per piccola eccentricità. La forza assegnata è inferiore al valore massimo portato dalla sezione [eq. (4.45)]: Nu(mx) = 0.8 × 30 × 50 × 1.323 + (9.42 + 9.42)37.4 = 2292 kN

e dunque la soluzione esiste e si ha [eq (4.46)]: σs =

2200 − 0.8 × 30 × 50 × 1.323 − 9.42 × 37.4 = 27.61 kN/cm2 9.42

Quindi risulta ² s = σ s /Es = 27.61/21000 = 1 .3 × 10 3 ; applicando l’eq. (4.47) si ottiene: −

0

K =

2(47/50) − (3/7)1.3 = 1.89 2 − 1.3

Il momento ultimo si determina applicando l’eq. (4.48): 160 + 147(7 × 1.89 − 3)2 +9.42 × 37.4(25 − 3) + 9.42 × 27.61(25 − 47) = 3060 kNcm = 30 .6 kNm

Mu = 30 × 502 × 1.323

2) Nd = 1500 kN . Il corrispondente valore adimensionale è nd = 0.804; perciò n0 > nd > n1 e dunque il collasso avviene in campo 1. Applicando l’eq. (4.51) si ottiene: K = 0.85. I corrispondenti valori delle deformazioni delle armature sono dati dall’eq. (4.52): 3 0.85 − 1

= −0.618 × 10 3 0.85 0.85 − 0.0638 ²s = 3.5 × 10 3 = 3.237 × 10 0.85 ²s = 3.5 × 10 0

−

−

−

3

−

Poiché risulta che| ²s | < ²sy ed ² s > ²sy la soluzione è congruente con le ipotesi iniziali. Il momento ultimo si calcola quindi con l’eq. (4.53), e si ottiene: 0

Mu = 210.1 kNm

3) N d = 800 kN . Poiché il corrispondente valore adimensionale è nd = 0.434 si verifica facilmente che il collasso avviene nel campo 2. Ipotizzando anche che l’armatura compressa sia plasticizzata si applica l’eq. (4.54), per cui si ha: K=

0.434 + 0.189 − 0.189 = 0. 5358 0.81

Applicando le eq. (4.52) si determinano i valori corrispondenti delle deformazioni: ²s = −3.03 × 10

3

−

²s = 3.083 × 10 0

3

−

Poiché entrambe risultano, in valore assoluto, maggiori della deformazione di snervamento il risultato è coerente con le ipotesi. Applicando l’eq. (4.56) si ottiene quindi il valore del momen to ultimo: Mu = 271.1 kNm

4) Nd = 100 kN . Si ha nd = 0.0536 e perciò il collasso avviene nel campo 3. Ritenendo che l’armatura compressa sia elastica si applica l’eq. (4.58) e si ottiene K = 0.169, cui corrisponde,

106


flessione

tramite l’eq. (4.57), la deformazione ²s = 1.261 × 10 3 . Ora la soluzione è coerente, pertanto il momento si calcola mediante l’eq. (4.58), applicando la quale risulta: Mu = 177 kNm . 0

−

5) N d = −500 kN . nd = −0.271 < n3 , pertanto si può assumere che il meccanismo di collasso sia per trazione con piccola eccentricità. Per l’eq. (4.60): σs = 0

−500 + 9.42 × 37.4

9.42

= −15. 679 kN/cm2

che, in valore assoluto, non supera la tensione di plasticizzazione. Il momento ultimo è quindi dato 2 dall’eq. (4.61): Mu = 45 kNm Uso dei domini di resistenza

Fissata la forma della sezione, ad esempio rettangolare, e per un dato rapporto tra le armature di estremità, ad esempio per il caso di armatura simmetrica ( As /As = 1), i valori adimensionali della forza normale e del momento ultimi: 0

nu =

Nu bdf cd

mu =

Mu bd2 f cd

dipendono solo dalla percentuale meccanica di armatura µ s e dal rapporto δ = d /d.1 Pertanto si possono tracciare dei diagrammi del tipo di quelli riportati nella fig. 4.5, rappresentando nella stessa carta diverse curve in funzione di µs per un fissato valore di δ . Dato che quest’ultima grandezza non ha eccessiva in fluenza, pochi diagrammi coprono, per il tipo di sezione considerato, tutto lo spettro delle situazioni di interesse. 0

fi

Queste da curve si possono sia per care sia dimensionare le sezioni sollecitate presso flessione utilizzare retta. Fissate le veri dimensioni b, dperdella sezione e selezionata la famiglia di curve corrispondenti al valore di δ più vicino a quello e ffettivo, si riportano sulla carta i punti di coordinate (ndi , mdi ) relativi a tutte le condizioni di carico esaminate. Quando si vuole verificare una sezione la cui armatura è già fissata si deve controllare che nessun punto cada all’esterno del dominio delimitato dalla curva che corrisponde alla percentuale di armatura assegnata. In fase di progetto la quantità di armatura necessaria si determina cercando la curva più bassa che racchiude tutti i punti-sollecitazione. L’area di acciaio si determina in base al valore di µs che corrisponde alla curva prescelta, invertendo l’eq. (3.31) che definisce la percentuale meccanica di armatura: As = µs

bdf cd fyd

L’armatura compressa quindi si ottiene in base al fissato rapporto α = As /As : As = α As . Se la soluzione trovata risulta insoddisfacente, ad esempio perché comporta quantitativi 0

0

eccessivi sezione. di armatura, si procede ad un altro tentativo cambiando le dimensioni della La forma delle curve di interazione mette in evidenza la necessità di esaminare tutte le possibili condizioni di carico. Se ad esempio N ed M sono indipendenti tra loro, in quanto prodotti da carichi diversi, si dovranno esaminare anche le condizioni in cui N anziché crescere diminuisce, ponendo uguale ad uno il coefficiente di sicurezza dei carichi 1 Questo non è del tutto esatto in quanto anche il valore della deformazione di snervamen to ² sy = fyd /Es ha in fluenza sui risultati. Tuttavia, se l’interv allo di variazione della tensione di snervamento dell’acciai o non è troppo grande, si può trascurare l’in fluenza di questo parametro.

107


permanenti e zero quello dei carichi variabili, in quanto questa situazione in certi casi risulta più pericolosa di quella in cui N prende il valore massimo. Quando non si dispone di tavole pre-calcolate la curva di interazione di una sezione può essere calcolata per punti. In genere è su fficiente esaminare pochi casi, raccordando i punti con segmenti rettilinei. Ad esempio si possono analizzare le seguenti condizioni: Pressione centrata. ²c(mx) = ²c1 ²s = ² c1 Diagramma triangolare ²c(mx) = ²cu ²s = 0 Acciaio al limite di snerv. ²c(mx) = ²cu ²s = −²sy Diagramma intermedio zona 2 ²c(mx) = ²cu ²s = −²sl /2 Rottura bilanciata ²c(mx) = ²cu ²s = −²sl Diagramma intermedio zona 3 ²c(mx) = ²c1 ²s = −²sl Trazione centrata ²c(mx) = −²sl ²s = −²sl Si deve far notare che fissando il diagramma delle deformazioni la posizione dell’asse neutro risulta nota a priori. Pertanto, almeno per la sezione rettangolare, il calcolo delle risultanti N u , Mu si esegue facilmente, anche in presenza di più di due livelli di armatura, senza dover risolvere alcuna equazione. Questo procedimento costituisce una valida alternativa al calcolo diretto di Mu (Nd ), in particolare se devono essere verificate numerose condizioni di carico, in quanto, una volta tracciata la curva, la verifica per ogni condizione di sollecitazione risulta immediata. Esempio 4.8 Costruire il dominio di resistenza della sezione rettangolare di base b = 25 cm e altezza h = 60 cm (d = 57 cm ), con armatura doppia simmetrica As = As = 4φ16 = 8 .0 cm2 . Resistenza caratteristica del calcestruzzo Rck = 30 N /mm2 (f¯cd = 1.323 kN/cm2 ), acciaio tipo Feb 44 k ( fyd = 37.4 kN/cm2 ). 0

1. ²c(mx) = ²s = ²c1 ; K = ∞ [(eq. (4.45) (4.48)]. 0

Nu = 0.8 × 25 × 60 × 1.323 + 2 × 8.0 × 34.7 = 2186 kN Mu = 0

2. ²c(mx) = ²cu , ² s = 0; K = 1 [eq. (4.49) (4.53)]. Nu = 0.81 × 25 × 57 × 1.323 + 8.0 × 37.4 = 1527 + 299 .2 = 1826 kN Mu = 1527(30 − 0.416 × 57) − 299.2(30 − 3) = 17680 kNcm

3. ²c(mx) = ²cu , ² s = −²sy /2 [eq. (4.49) (4.52)]. fyd 37.4 = = 1.78 × 10 3 ²s = −0.89 × 10 Es 21000 ²cu 2 K= = 0.797 σ s = E s ²s = 18.7 kN/cm ²cu + |²s | yc = Kd = 45.44 cm

²sy =

−

−

3

Nu = 0.81 × 25 × 45.44 × 1.323 + 8.0 × 37.4 − 8.0 × 18.7 = 1366.9 kN Mu = 1217(30 − 0.416 × 45.44) + 8.0 × 37.4 × 27 + 8 × 18.7 × 27 = 25627 kNcm

4. ²c(mx) = ²cu , ² s = −²sy [eq. (4.49) (4.52)]. K=

²cu = 0.663 ²cu + ²sy

yc = Kd = 37.78 cm

Nu = 0.81 × 25 × 37.78 × 1.323 + 8.0 × 37.4 − 8.0 × 37.4 = 1012 kN Mu = 1012(30 − 0.416 × 37.78) + 2 × 8.0 × 37.4 × 27 = 30614 kNcm

108


5. ²c(mx) = ²cu , ² s = −3 × 10

−

(Campo 2).

3

K = 0.3585 d 3 = = 0.0526 d 57

yc = 30.69 cm

0

δ=

flessione

0

²s = ²cu

K −δ = 3.16 × 10 K

3

−

> ²sy

Nu = 0.81 × 25 × 30.69 × 1.323 = 822 .3 kN Mu = 822.3(30 − 0.416 × 30.69) + 2 × 8.0 × 37.4 × 27 = 30326 kNcm

6. ²c(mx) = ²cu , ² s = −5 × 10

−

(Campo 2).

3

K = 0.4118 0

²s = ² cu

yc = 23.47 cm

K −δ = 3.05 × 10 K

3

−

> ² sy

Nu = 0.81 × 25 × 23.47 × 1.323 = 628 .8 kN Mu = 628.8(30 − 0.416 × 23.47) + 2 × 8.0 × 37.4 × 27 = 28881 kNcm

7. ²c(mx) = ²cu , ² s = −7.5 × 10

3

−

(Campo 2).

K = 0.318 ²s = ² cu 0

yc = 18.14 cm

K −δ = 2.92 × 10 K

3

−

> ² sy

Nu = 0.81 × 25 × 18.14 × 1.323 = 485 .9 kN Mu = 485.9(30 − 0.416 × 18.14) + 2 × 8.0 × 37.4 × 27 = 27067 kNcm

8. ²c(mx) = ²cu , ² s = −²sl (Rottura bilanciata). K = 0.259 0

²s = ² cu

yc = 14.78 cm

K −δ = 2.79 × 10 K

3

−

> ² sy

Nu = 0.81 × 25 × 14.78 × 1.323 = 395 .9 kN Mu = 395.9(30 − 0.416 × 14.78) + 2 × 8.0 × 37.4 × 27 = 25600 kNcm

9. ²c(mx) = ²c1, ² s = −²sl (Campo 3). K= 0

²s = ² c1

²c1 = 0.1667 ²c1 + ²sl

K −δ = 1.368 × 10 K

3

−

< ²sy

yc = 9.5 cm 0

0

2

σ s = E s ²s = 28.74 kN/cm

Per le eq. (3.26) si ha: Nu = = Mu = =

0.667 × 25 × 9.5 × 1.323 + 8.0 × 28.74 − 8.0 × 37.4 = 209 .5 − 69.3 = 140.2 kN 209 .5(30 − 0.375 × 9.5) + 8.0 × 28.74 × 27 + 8.0 × 37.4 × 27 = 19823 kNcm

109


Figura~4.7: Dominio di resistenza di una sezione rettangolare ad armatura simmetrica. 10. ²c(mx) = ²c1/2, ² s = −²sl (Campo 3) K=

²c(mx) = 0.091 ²c(mx) + ²sl

²s = ² c(mx) K − δ = 0.421 × 10 K Per le eq. (3.27) si ha ( α = 0.5): 0

−

β = 0.417

3

< ²sy

yc = 5.18 cm σ s = E s ²s = 8.84 kN/cm2 0

0

η c = 0.35yc

pertanto Nu = = Mu = =

0.417 × 25 × 5.18 × 1.323 + 8.0 × 8.84 − 8.0 × 37.4 = 71.4 − 228.5 = −157.0 kN 71.4(30 − 0.35 × 5.18) + 8.0 × 8.84 × 27 + 8.0 × 37.4 × 27 = 12000 kNcm

11. ²c(mx) = ²s = −²sl (Trazione pura). Nu = −2 × 8.0 × 37.4 = −598.4 kN Mu = 0

I risultati sono riportati nella fig. 4.7.

4.3.3

2

Sezioni di forma generica. Presso flessione deviata

Quando la sezione ha forma meno semplice di quella rettangolare, ma è tuttavia sollecitata da presso flessione retta, si applica il metodo generale esposto nel § (3.3.3) a proposito della flessione. Il metodo consiste nel determinare, avendo fissato il diagramma delle deformazioni ultime, la sollecitazione risultante mediante la somma dei contributi delle

110


flessione

sottili strisce in cui è stata idealmente suddivisa la sezione; quindi nel cercare per tentativi la posizione dell’asse neutro che uguaglia questa risultante alla forza normale agente sulla sezione. Le sole di fferenze rispetto a quanto esposto per la flessione sono le seguenti: i) l’eq. (3.67), che determina la posizione dell’asse neutro, ora è verificata quando N = Nd ; ii) il momento ultimo, espresso dall’eq. (3.68), deve essere valutato relativamente ad un punto stabilito (ad esempio il baricentro della sezione in calcestruzzo) in quanto ora il valore del momento dipende dal polo di riduzione. Se la sezione non è simmetrica o l’asse di sollecitazione non coincide con uno di simmetria, la direzione dell’asse neutro non è nota a priori. In questo caso il problem a ha due incognite, come già si è visto a proposito della flessione. Le equazioni disponibili sono quelle di equilibrio [eq. (4.30)], già utilizzate per l’analogo problema in campo elastico. Il procedimento da seguire è simile a quello illustrato per la flessione nel § (3.3.4). Indicando con x l’asse neutro e con y un’altro ad esso ortogonale, con s, t gli assi di un riferimento la cui srcine coincide con quella del precedente e tale che ad s appartiene il centro di sollecitazione, si ha (fig. 4.4): t = x cos α − y sin α

per cui la terza delle eq. (4.3) diviene:

Z

σ (²)t dA = cos α A

Z

σ (²)x dA − sin α A

Z

σ (²)y dA = 0

(4.62)

A

Fissata una direzione di tentativo x si cerca, mediante il procedimento visto in precedenza per la sollecitazione retta, la posizione dell’asse neutro che veri fica la prima delle eq. (4.3) per N = Nd, quindi si verifica che l’eq. (4.62) sia soddisfatta, calcolando gli integrali con le relazioni riportate nel § 3.3.4. In caso positivo la posizione dell’asse neutro è quella corretta: quindi si può determinare il valore del momento ultimo facendo uso della seconda delle eq. (4.30). In caso contrario si fissa per x una nuova direzione e si ripete il procedimento fino a che tutte le equazioni sono verificate. Domini di resistenza

Nel caso generale la sollecitazione agente in una sezione è individuata da un vettore con 3 componenti. Indicando con x, y un sistema di assi ortogonali nel piano della sezione, il vettore avrà le componenti: {N, Mx , My }, in cui N è la forza normale, Mx = N ex , My = Ney sono le componenti del momento flettente agenti nelle direzioni degli assi. Ogni stato di sollecitazione individua quindi un punto in uno spazio a 3 dimensioni; i punti rappresentativi delle azioni che portano la sezione a raggiungere lo stato limite ultimo descrivono, in questo spazio, una super ficie detta di stato limite . Un esempio è rappresentato in fig. (4.8). ficie con piani che contengono LeNcurve si ottengono intersecando questa super alle l’asse sonoche le curve di interazione della sezione relative sollecitazioni agenti secondo direzioni assegnate. In particolare quando il piano passa per un asse di simmetria (se esiste) della sezione, si ottiene la corrispondente curva di interazione per pressoflessione retta. Le super fici di stato limite si possono rappresentare sotto forma di curve di livello, per esempio sul piano Mx , My relativamente a valori costanti di N . Tuttavia il numero dei parametri necessari per individuare ciascuna curva diviene ora eccessivo perché sia conveniente l’utilizzo di abachi precalcolati; inoltre anche il calcolo diretto di ciascuna


111

Figura~4.8: Dominio di resistenza di una sezione in cemento armato sollecitata da pressoflessione deviata superficie risulta piuttosto oneroso. Pertanto, a di fferenza delle curve di interazione del caso monoassiale, le superfici di stato limite non trovano un utilizzo pratico per la verifica ed il progetto delle sezioni sollecitate da presso flessione deviata. In questo caso l’approccio diretto, descritto in precedenza, è il più conveniente; sebbene anch’esso sia oneroso, quando la procedura è trasferita in un programma per il calcolatore, diviene possibile applicarlo agevolmente al pari delle verifiche relative alla sollecitazione retta. Metodi approssimati

Quando non è disponibile un programma per la veri fica “esatta” per presso flessione deviata, almeno per le sezioni rettangolari è possibile usare uno dei metodi approssimati che riconducono il calcolo a due veri fiche per sollecitazione retta; qui se ne espongono succintamente due. Il primo è adottato dal Codice Russo, seguendo i risultati di un lavoro di Bresler: il carico ultimo Nu , di una sezione sollecitata da forza normale eccentrica con componenti flessionali, relative agli assi principali, M dx , Mdy , si ottiene con la relazione: 1 1 1 1 ' + + Nu Nux Nuy Nu0

(4.63)

in cui Nux ed Nuy sono le forze assiali ultime corrispondenti all’azione separata dei momenti dy rispettivamente, mentre Nu0 è la forza ultima per press ione centrata. I Mdx ed Mfatti confronti con le soluzioni “esatte” hanno dimostrato che l’eq. (4.63) da risultati abbastanza accurati. Una via alternativa consiste nel cercare un’espressione approssimata delle curve di livello, per N = cost , della super ficie di stato limite. Tuttavia la forma di queste curve è funzione di molti parametri: la geometria della sezione, la quantità e la disposizione delle armature, l’entità della forza assiale. Una semplice relazione approssimante è:

Mux Mux0

n

M ux Mux0

µ ¶ µ ¶ +

m

=1

(4.64)

112


flessione

in cui Mux0 e Muy0 sono i momenti ultimi per pressoflessione retta agente nelle due direzioni principali. Per m = n = 1 l’eq. (4.64) corrisponde ad una retta passante per i due punti di stato limite ultimo per presso flessione retta. Questa ipotesi è certamente prudenziale, in quanto le curve di livello reali presentano sempre una certa convessità verso l’srcine, in particolare per valori elevati di N d . Un criterio ragionevole è quello di assumere il valore di n = m linearmente variabile tra 1 e 2 in funzione del rapporto Nd/Nu0 , dove Nu0 è il carico ultimo per pressione centrata.

4.4

Pilastri snelli

Nei paragrafi precedenti di questo capitolo è stato analizzato il comportamento delle sezioni sollecitate da una forza assiale eccentrica. Nel caso di elementi tozzi, cioè per i quali il rapporto tra la lunghezza e la minore delle dimensioni della sezione è su fficientemente piccolo, il problema di valutare la capacità portante dell’elemento è equivalente a quello dell’analisi della sua sezione più sollecitata (ammesso che tutte abbiano la medesima resistenza). Quando un elemento (pilastro) è sollecitato da una forza di compressione, più o meno eccentrica, se è snello, ossia il rapporto tra la dimensione longitudinale e quella trasversale è abbastanza elevato, insorgono altri e ffetti che ne modi ficano il comportamento rispetto a quello della sezione considerata isolatamente. In generale la variazione di configurazione dei corpi prodotta dalla deformazione modifica le sollecitazioni che pertanto vengono a dipendere dalle deformazioni in modo tale che le equazioni di equilibrio divengono non lineari. Tuttavia, poiché normalmente gli spostamenti prodotti dai carichi sono piccoli, si ritiene che l’influenza di questi sulle sollecitazioni sia trascurabile e si assume che lo statoTale di sollecitazione coincida convalida, quelloè relativo alla con figurazione iniziale non deformata. approssimazione, spesso detta teoria del primo ordine e le sollecitazioni relative alla con figurazione indeformata sollecitazioni del primo ordine . In alcuni casi però questa sempli ficazione non è accettabile in quanto gli e ffetti delle deformazioni sulle sollecitazioni non sono trascurabili; le variazioni delle sollecitazioni prodotte da questi fenomeni sono dette termini del secondo ordine . Un esempio celebre è costituito dall’asta di Eulero; una mensola sollecitata da una forza di compressione N con eccentricità e. La deformazione prodotta dalla flessione aumenta l’eccentricità del carico e pertanto accresce l’entità della flessione: quando il carico approssima il valore critico: Ncr =

π

2

³´ 2l

EI

(4.65)

l’equilibrio diviene impossibile, per quanto piccola sia l’eccentricità iniziale e . Al carico critico corrisponde una tensione critica: σ cr

Ncr π2 E = A = λ2

dove λ = 2l/ρ è il rapporto tra la lunghezza libera di in flessione, che per la mensola è il doppio della lunghezza l , ed il raggio di inerzia ρ = I/A; λ viene detta la snellezza della trave. Per elementi con piccola snellezza σ cr risulta molto più grande della resistenza del materiale; per questi elementi (tozzi) il collasso avviene prima che gli e ffetti del secondo ordine possano divenire significativi e pertanto la teoria del primo ordine risulta soddisfacente. Al contrario, quando λ è molto elevato, la tensione critica è molto inferiore alla resistenza; per questi elementi il collasso sopraggiunge a causa dei fenomeni del secondo

p

113

4.4 Pilastri snelli

ordine mentre in loro assenza il materiale sarebbe ancora in campo elastico. In tal caso la teoria di Eulero, basata sull’ipotesi di comportamento elastico della trave, è adeguata ed il valore di riferimento è e ffettivamente il carico critico fornito dall’eq. (4.65). 2 Infine per i valori intermedi di λ vi è una forte interazione tra gli e ffetti del secondo ordine (non linearità geometrica) e la non linearità del materiale, per cui il carico critico non coincide con quello previsto dalla teoria di Eulero, ma deve essere corretto per tener conto della reale legge tensione-deformazione del materiale. Per gli elementi in cemento armato che, a causa della trascurabile resistenza a trazione del calcestruzzo, dimostrano una rapida deviazione dalla linearità, la teoria di Eulero non è in pratica mai utilizzabile, se non con opportuni aggiustamenti e correzioni. Poiché, come si è detto, i fenomeni del secondo ordine sono trascurabili quando σcr è molto maggiore della resistenza, è evidente che questi fenomeni sono generalmente tanto più importanti quanto più la struttura è realizzata con materiali di elevata resistenza; ciò spiega perché i fenomeni del secondo ordine sono particolarmente importanti nello studio delle stru tture in acciaio. Per il cemento armato, data la resistenza assai più modesta del calcestruzzo, essi sono generalmente meno importanti; solitamente gli elementi strutturali in cemento armato sono sufficientemente tozzi da consentirne lo studio mediante l’approssimazione del primo ordine. Tuttavia non sono nemmeno rari i casi in cui questo non è vero; ad esempio se si devono realizzare pilastri alti il pericolo delle sollecitazioni del secondo ordine non può essere trascurato. Tenere conto correttamente dei fenomeni del secondo ordine nelle strutture in cemento armato è un problema complesso: infatti occorre determinare in modo preciso le deformazioni della struttura, compito difficile a causa della fessurazione del materiale. L’analisi della sezione, condotta in precedenza, riguarda il comportamento delleriguarda sezioni tutte fessurate. Come verrà chiarito meglio in un successivo capitolo questo stato non le sezioni dell’elemento; la fessurazione è un fenomeno discreto: tra le fessure rimangono blocchi di calcestruzzo integro e pertanto la reale rigidezza della trave, oltre a variare con la sollecitazione, varia rapidamente da un punto all’altro, assumendo il minimo in corrispondenza delle fessure. La rigidezza “media” dell’el emento risulta compresa tra quella della sezione integra e quella fessurata, avvicinandosi a quest’ultima nelle zone di elevata sollecitazione flessionale. La valutazione accurata della deformabilità di una trave in cemento armato richiede pertanto l’analisi di fenomeni complessi, come l’aderenza tra acciaio e calcestruzzo, ed è di fficile da ottenere, anche con modelli numerici raffinati. In fine si deve tenere presente che le leggi semplificate usate per il calcolo della resistenza ultima della sezione, come la legge parabola-rettangolo del calcestruzzo o quella elasto-plastica senza incrudimento dell’acciaio, sono state fissate con l’ottica di valutare la resistenza, non la deformabilità della sezione; per una valutazione accurata di quest’ultima grandezza si dovrebbero utilizzare relazioni più realistiche, come ad esempio, per il calcestruzzo, l’eq. (2.1). fi che seguono si analizzeranno alcuni metodi relativi alla valutazione della Nei paragra sicurezza dei pilastri “snelli”, soggetti alla sollecitazione di presso flessione; si esaminerà prima il caso “canonico” della trave vincolata con carrello e cerniera, sollecitata da uno sforzo normale eccentrico con eccentricità costante (asta di Eulero), quindi si tratterà dell’influenza della variazione del momento lungo l’asse ed in fine si esaminerà il caso del pilastro inserito in una struttura intelaiata. 2 In realtà questa a ffermazione è vera solo per e 0 (asta caricata di punta), altrimenti vi è comunque una certa in fluenza del comportamento non lineare del materiale. →

114


flessione

Figura~4.9: Schema dell’asta di Eulero 4.4.1

Il metodo “esatto”

Supponendo di saper determinare, in modo più o meno accurato, la legge momento— curvatura di ciascuna sezione, opportunamente corretta per tener conto del contributo delle parti non fessurate, l’equazione di equilibrio dell’asta di Eulero, vincolata alle estremità con cerniera e carrello e sollecitata da una forza normale con eccentricità costante ( fig. 4.9) si scrive facilmente: M (θ) = N [e + v(x)]

(4.66)

in cui v(x) indica lo spostamento della linea elastica della trave, θ ' − è la curvatura, N la forza di compressione di eccentricità iniziale e ed M (θ) indica la legge momento-curvatura della sezione. In condizioni di funzionamento elastico M = EI θ e la soluzione dell’eq. (4.66) si ottiene con semplici procedimenti analitici. Nel caso generale in cui M (θ) è non lineare la soluzione di questa equazione si può ottenere con un procedimento numerico. Divisa l’asta in n conci di lunghezza ∆x l’eq. (4.66) si può scrivere in ciascuna delle n − 1 sezioni di estremità dei conci, ottenendo così le n − 1 equazioni seguenti: d2 v/dx2

Mi (θi ) = N (e + vi )

i = 1, 2, · · · , n − 1

Il legame tra gli spostamenti vi e le curvature (fig. 4.9): θi = −

vi

θi

(4.67)

è dato in termini di di fferenze finite

1 − 2vi + vi+1 ∆x2

−

(4.68)

Se ora {vi(k) } è una soluzione approssimata dell’eq. (4.67) e {θ (i k)} è il corrispondente vettore delle curvature, esprimendo il termine non lineare dell’eq. (4.67) con una serie di Taylor troncata al primo ordine nell’intorno di { θ(i k) }, si ha: Mi (θi(k) ) + DMi (θi(k) )(θi − θi(k) ) = N (e + vi )

115

4.4 Pilastri snelli

dove DM indica la derivata della funzione M (θ) ed è pertanto la rigidezza tangente Ki(k) della sezione i nel punto θi(k). Tenendo conto dell’eq. (4.68) si ottiene quindi il sistema lineare: (k)

−Ki

vi

1

−

(k)

+ (2Ki

(k)

− N ∆x2 )vi − Ki

vi+1 =

2 ∆x

³

(k) (k) (k) Ne − Mi (θi ) + Ki θi

´

risolvendo il quale si ottiene il vettore { vi(k+1)} di successiva approssimazione. Da questo, (k+1)

tramite le (4.68), ottengono i corrispondenti valori di θi ed il procedimento può essere iterato fino si a convergenza. Questo metodo, illustrato per il caso di sollecitazione costante, si può generalizzare senza difficoltà anche per casi in cui la sollecitazione varia lungo l’asse della trave e si può facilmente inserire in un programma di calcolo. La maggiore difficoltà, come si è detto in precedenza, consiste nel determinare in modo corretto la legge momento—curvatura delle sezioni. Quando interessa una stima della capacità massima della resistenza del pilastro, considerando che in prossimità del collasso la fessurazione è molto estesa ed operando a favore di sicurezza, si può assumere che la deformabilità della trave coincida con quella della sezione. In tal caso, con discreta approssimazione, la legge momento—curvatura può essere assimilata ad una spezzata composta con tre tratti rettilinei che congiungono i punti di coordinate (0, 0) - (θf , Mf ) - (θ y , My ) - (θu , Mu ), dove (θf , Mf ) è il punto di inizio fessurazione, caratterizzato dal raggiungimento della resistenza a trazione del calcestruzzo, e si ha θf = Mf /Ec I (I è il momento di inerzia dell’intera sezione omogenizzata); (θy , My ) e (θu , Mu ) sono i punti relativi al raggiungimento della tensione di snervamento dell’acciaio teso e della resistenza ultima della sezione e si calcolano facilmente mediante ∗

∗

i procedimenti nella prima parte mediante di questolacapitolo. dell’asse neutroindicati y c , la curvatura si ottiene relazione:Determinata la posizione θ=

|²s | d − yc

essendo ² s la deformazione dell’acciaio e d l’altezza utile della sezione. Il procedimento che è stato illustrato in questo paragrafo, anche se certamente abbordabile se si dispone di un calcolatore e di un idoneo programma, rimane comunque abbastanza impegnativo ed in molti casi sproporzionato agli scopi della progettazione corrente. Per tale motivo sono stati svilupp ati dei metodi alternativi, certamente meno accurati e generali, ma verificati essere su fficientemente sicuri, che richiedono uno sforzo di calcolo molto più limitato. I due metodi più di ffusi sono descritti nei paragrafi seguenti. 4.4.2

Il metodo della colonna modello

Il metodo della “colonna modello” consiste nell’assumere che la linea d’asse deformata fi

dellaConsiderando trave sia nota menotrave di unvincolata parametro ne de con niscecarrello l’ampiezza. la asolita alleche estremità e cerniera e sollecitata da due forze opposte di eccentricità e ( fig. 4.9), si assume che l’equazione della deformata della trave sia una sinusoide: x l0

µ ¶

v(x) = f sin π

(4.69)

dove l0 è la lunghezza della trave e f indica la deformata massima (freccia). Derivando due volte l’eq. (4.69) si ottiene che anche la curvatura è espressa da una legge analoga il

116


flessione

Figura~4.10: Soluzione del problema dell’asta snella con il metodo della colonna modello cui massimo, raggiunto nella sezione di mezzo, vale: θm =

1 π2 f 10f = | v (l0 /2)| = 2 ' 2 r l0 l0 00

(4.70)

La verifica del pilastro si esegue controllando che, nella sezione di momento massimo, sia possibile soddisfare l’equazione di equilibrio: M (θ) = N (e + f )

(4.71)

tenendo conto dell’eq. (4.70) e della legge momento—curvatura della sezione. La soluzione di questa equazione si può ottenere gra ficamente (fig. 4.10), riportando sul piano M , θ la legge momento-curvatura della sezione ed una retta di equazione: M = N (e + l02 θ/10)

Il punto di intersezione, se esiste, tra questa retta e la curva individua il punto di equilibrio. Se la retta non interseca la curva l’equilibrio è impossibile in quanto la sollecitazione supera la resistenza per ogni valore di θ. Il carico ultimo del pilastro è il massimo valore di N per cui l’eq. (4.71) ha una soluzione, cioè il valore di N per cui la retta di carico diviene tangente a quella della resistenza della sezione. Come si è già detto, la legge M (θ) può essere approssimata con una spezzata di due o tre lati; in questo caso il punto di tangenza con la retta di carico deve coincidere o con il punto di collasso della sezione (θu , Mu ) o con quello di snervamento dell’acciaio (θ y , My ). L’inclinazione dell’ultimo tratto della curva M (θ ) è generalmente piccola, pertanto, poiché il primo caso si veri fica solo quando la pendenza della curva di carico è inferiore a quella dell’ultimo ramo della spezzata, esso può aversi solo se la quantità N l02 /10 è piccola. In termini adimensionali, dividendo le forze per bdfcd e le lunghezze per d , questa condizione implica che la trave abbia una piccola snellezza. In tal caso il carico ultimo così ottenuto è di poco inferiore a quello della sezione. Nei casi di maggiore interesse, quando la snellezza è abbastanza elevata, il punto di tangenza coincide con quello di snervamento, come mostrato nella fi g. 4.10; quindi l’equazione di equilibrio in condizioni critiche si scrive: My = Nu (e + l02 θy /10)

117

4.4 Pilastri snelli

da cui si ottiene: My e + l02 θy /10

Nu =

(4.72)

Questa equazione non fornisce tuttavia una soluzione esplicita del problema poiché M y e θy sono a loro volta funzioni di N . Pertanto la determinazione della soluzione richiede un certo numero di iterazioni, come illustrato nell’esempio che segue. Esempio 4.9 Per un pilastro di sezione30 ×30 cm 2 e con lunghezza libera di in flessione l0 = 7 m,

armato simmetricamente con 3φ22 (A = A = 11.4 cm2 ), sollecitato da un carico eccentrico (e = 30 cm ), determinare il carico ultimo con il metodo della colonna modello. Si prevede l’impiego dei seguenti materiali: Calcestruzzo R ck = 30 N /mm2 , Acciaio Fe b 44k. Fissato N si calcolano My e θy che da esso dipendono; quindi mediante l’eq. (4.72) si calcola N u . Utilizzando N u come nuovo valore di N , si itera il procedimento fino a quando N u ' N . 0

N (kN) 0 288.3 356.6 370.7 373.5 374.1

My (kN cm) 10258 13127 13763 13890 13920 13924

θ y (cm 1 ) .1139 × 10 3 .1390 × 10 3 .1454 × 10 3 .1467 × 10 3 .1470 × 10 3 .1471 × 10 3 −

−

−

−

−

−

−

Nu (kN) 288.3 356.6 370.7 373.5 374.1 374.2

Il carico ultimo del pilastro risulta Nu = 374 kN mentre quello della sezione è 482 kN ; gli e ffetti del secondo ordine pertanto producono una riduzione della capacità portante di circa il 22%. Applicando il “metodo esatto” descritto nel paragrafo precedente, discretizzando il pilastro con 11u conci leggi momento-curvatura bilineari, si 8.5 ottiene il carico ultimo(il7.2 valore N = 357edkNutilizzando f = cm, per cm) corrispondente allo spostamento massimo maggiore di quello previsto dalla colonna modello.

2

Il confronto dei risultati del metodo della colonna modello con quelli del “metodo esatto” condotto nel precedente esempio mostra come l’approssimazione del metodo non sia dalla parte della sicurezza. Questo non deve sorprendere in quanto la forma sinusoidale, adottata per la linea elastica, dà luogo a curvatura nulla agli estremi, quindi è in equilibrio con una legge dei momenti meno severa di quella e ffettiva. Peraltro si deve sottolineare che al contrario la legge momento-curvatura della sezione fessurata, usata nel metodo “esatto”, è invece troppo onerosa perché, come si è già fatto notare, non tiene conto del contributo delle zone non fessura te. Si può ritenere quindi che l’errore per difetto commesso con il metodo della colonna modello sia almeno in parte compensato da quello per eccesso dovuto all’aver sottostimato la rigidezza reale della trave. La bozza delle Norme Europee per il cemento armato (EC2), suggerisce, per la veri fica delle colonne snelle, il metodo della colonna modello . L’uso è limitato ai casi di snellezze λ inferiori a 140 e per eccentricità del carico non inferiori ad un decimo dell’altezza della sezione (e ≥ 0.1h). La legge curvatura-freccia proposta dalle stesse norme differisce da quella ottenuta in precedenza per un coefficiente k 1: f = k1

l02 θ 10

che dipende dalla snellezza della trave nel modo seguente: (λ − 15)/20 se 15 ≤ λ ≤ 35 K1 = 1 se λ > 35

½

118 4.4.3


flessione

Il metodo del momento ampli ficato

Il metodo del momento amplificato (moment magnifier method ) è indicato, come procedimento approssimato, dalla normativa statunitense ACI. Sempre ipotizzando che la deformata sia rappresentabile con una sinusoide di ampiezza f , in condizioni elastiche, nella sezione di momento massimo si ha: Mmx =

−EI u00 (l0 /2) =

EI

π2

πx

f sin

l02

l0

= EI

µ ¶

π2

f = Ncr f

l02

x=l0 /2

dove si è tenuto conto che E I π2 /l02 = Ncr è il valore del carico critico euleriano di un’asta con lunghezza libera l 0 . Dall’equilibrio tra i momenti interni e quelli esterni di questa sezione si ottiene quindi: Mmx = N (e + f ) = Ncr f

da cui segue: f=

Ne Ncr − N

e quindi il momento massimo agente sulla trave risulta: N (e + f ) = N e

1 = M0 δ 1 − N/Ncr

dove M0 = N e è il momento del primo ordine e δ è il fattore di ampli ficazione, che tiene conto degli effetti del secondo ordine, ed è de finito dalla relazione: δ=

1 1 − N/Ncr

(4.73)

Partendo da questa relazione la normativa ACI suggerisce di usare, come sollecitazioni di calcolo nella sezione critica del pilastro, il carico assiale Nd ed il momento Md δ , dove Nd ed M d sono le sollecitazioni che derivano dall’analisi usuale della struttura (trascurando i fenomeni del secondo ordine) e δ è il fattore di ampli ficazione fornito dall’eq. (4.73). Il valore di δ dipende in modo essenziale da Ncr , che a sua volta è funzione della rigidezza EI della sezione. Questa rigidezza, rispetto a quella della sezione intera, deve essere ridotta per tener conto degli e ffetti della fessurazione; le norme ACI suggeriscono due formule alternative: EI =

Ec Ig

1

2.5 1 +

o

Ec Ig

EI =

µ

5

1

+ Es Is

(4.74)

1 + βd dove Ec ed E s sono i moduli elastici del calcestruzzo e dell’acciaio, I g è il momento d’inerzia dell’intera sezione di calcestruzzo, Is quello dell’armatura rispetto al baricentro della βd

¶

sezione ed il coe fficiente β d tiene conto delle deformazioni viscose che di fatto riducono la rigidezza secante dell’elemento. Nelle predette norme questo coefficiente viene preso pari al rapporto tra la quota di N d dovuta ai carichi permanenti ed il totale: β d = (Nd )perm/Nd

119

4.4 Pilastri snelli

Figura~4.11: Determinazione del carico ultimo di un pilastro snello con il metodo del momento amplificato Esempio 4.10 Verificare il pilastro dell’esempio 4.9 con il metodo dell’ampli ficazione del momento. Per β d = 0.5 ed E c = 31220 N /mm2, essendo I g = 67500 cm 4 , dalla prima delle eq. (4.74) si ha: EI = 5.62 × 107 kNcm2

da cui, segue: Ncr = 1131 kN . Analogamente, valutando E I mediante la seconda delle eq. (4.74), si ottiene Ncr = 1490 kN . La determinazione di Nu , ossia della massima forza di eccentricità e sopportata dal pilastro, si calcola nel modo seguente: sul piano N, M si riporta il dominio di resistenza della sezione e la curva di equazione M = N e/(1 − N/Ncr ); il punto di intersezione di questa con la frontiera del dominio di resistenza individua il punto di collasso della sezione, e quindi dell’intero pilastro. Nella fi g. 4.11 il procedimento è illustrato per l’esempio in esame; la curva (1) si riferisce al caso con Ncr = 1131 kN , da cui si ottiene Nu ' 330 kN , mentre ad Ncr = 1490 kN (curva 2) corrisponde Nu ' 360 kN ; quest’ultimo valore è molto prossimo a quello ottenuto con il “metodo esatto”. 2

Quest’ultima osservazione non deve essere interpretata come un signi ficativo test di validità; si tenga presente che nel metodo del momento amplificato un ruolo importante spetta al coe fficiente di viscosità β d , di cui non si tiene conto negli altri metodi; una scelta diversa del valore di β d , conseguente ad una diversa ipotesi di ripartizione tra i carichi permanenti e variabili, avrebbe condot to a diversi risultati. Inoltre, giova ripeterlo, il “metodo esatto” esatto lo è solo concettualmente, in quanto le leggi momento-curvatura adottate negli esempi sono largamente approssimate. 4.4.4

Momento variabile

La variazione del momento lungo l’altezza del pilastro ha spesso notevole in fluenza sull’entità degli e ffetti del secondo ordine. Poiché di solito sui pilastri non agiscono forze significative lungo il loro asse, il momento ha andamento lineare, e quindi i valori massimi sono raggiunti nelle sezioni di estremità. Se gli spostamenti laterali delle estremità

120


flessione

del pilastro sono impediti, gli e ffetti del secondo ordine in queste sezioni sono nulli ed il momento agente coincide con quello del primo ordine. Gli spostamenti massimi si raggiungono in qualche sezione intermedia ed è in questa che gli e ffetti del secondo ordine saranno maggiori; la situazione più gravosa si veri fica quando nella stessa sezione sono massimi entrambi i termini, il che si veri fica quando il momento ha valore costante. Gli e ffetti discussi in precedenza divengono particolarmente rilevanti se i due momenti di estremità hanno segno opposto; in tal caso la deformazione della linea d’asse è sensibilmente minore che nel caso di un’asta sollecitata da momenti di uguale segno e lo spostamento massimo si verifica in una sezione dove il momento del primo ordine è sensibilmente minore di quello massimo. Con il metodo “esatto” non vi è difficoltà nel tener conto dell’andamento variabile del momento, anche per effetto di eventuali carichi agenti lungo l’asse della trave, ma i metodi approssimati, colonna modello ed amplificazione del momento, sono calibrati sul caso di un’asta sollecitata da un momento (del primo ordine) costante. Per poter continuare ad usare questi procedimenti anche in situazioni più complesse e di maggiore interesse pratico si deve determinare un “momento equivalente” che tenga conto degli e ffetti del reale andamento. Per il caso di variazione lineare del momento, sia le norme ACI che le EC2 propongono di utilizzare i metodi approssimati illustrati nei paragra fi precedenti, considerando un pilastro sollecitato da un carico con eccentricità costante: |e| = max{|0.6e2 + 0.4e1 |, 0.4|e2 |}

(4.75)

dove e 1 ed e 2 sono le eccentricità del carico nelle sezioni di estremità e si ha | e2 | ≥ |e1 |. Esempio 4.11 Verificare il pilastro dell’esempio 4.9 nel caso che l’eccentricità del carico vari linearmente tra e 1 = 20 cm ed e 2 = 30 cm , utilizzando il metodo della colonna modello. Per l’eq. (4.75) si ha: e = 0.6 × 30 + 0.4 × 20 = 26 cm > 0.4e2

quindi si procede come nell’esempio 4.9; partendo da un valore di tentativo per ottiene: N (kN) 400 422 427

My (kN cm) θ y (cm 1 ) 14048 0 .148 × 10 3 14247 0 .150 × 10 3 14292 0 .151 × 10 3 −

−

−

−

N di 400 kN si

Nu (kN) 422 427 428

Quindi il carico ultimo, calcolato con lo schema della colonna modello, risulta ' 428 kN . Con il metodo “esatto”, sempre rappresentando la legge M (θ) con una bilatera, si ottiene N u = 415 kN . 2

4.4.5

In fluenza dei vincoli

Le analisi precedenti sono state svolte per il semplice schema della trave appoggiata. Per il carico di punta ( e → 0) e nel caso di comportamento elastico della trave, ogni altra condizione di vincolo si riconduce a questo schema scegliendo opportunamente la lunghezza libera di inflessione l0 . Per esempio la mensola ha lunghezza libera pari al doppio di quella effettiva (l0 = 2l); la trave doppiamente incastrata, ma ovviamente libera di accorciarsi, ha l0 = l/2 e la trave vincolata da glifi, in modo che siano impedite le rotazioni e permessi gli spostamenti orizzontali, hal0 = l . In alcuni casi questi risultati derivano solo da condizioni

121

4.4 Pilastri snelli

di simmetria, quindi hanno validità generale, anche se il carico è eccentrico ed i materiali hanno comportamento non lineare. I pilastri di un edificio con struttura a telaio sono vincolati elasticamente alle estremità dalle travi; le sezioni di estremità pertanto possono parzialmente ruotare. Inoltre queste sezioni possono subire uno spostamento relativo in direzione orizzontale, dovuto allo scorrimento relativo tra i piani. Quest’ultimo moto dipende dalla rigidezza di tutti gli elementi verticali della struttura. Se il telaio è dotato di elementi di controvento o di rigide pareti di taglio, gli spostamenti orizzontali risultano molto piccoli e si possono trascurare. In tale caso il telaio viene considerato a nodi fissi ed i pilastri si considerano come elementi isolati dotati di vincoli rigidi nei confronti degli scorrimenti ed elastici per le rotazioni. Quando non esistono elementi di controvento ed i pilastri non sono su fficientemente rigidi, il telaio viene classificato a nodi mobili e nella verifica dei pilastri si deve tener conto della possibilità che si verifichi lo scorrimento interpiano. In entrambi i casi si può tener conto delle condizioni di vincolo scegliendo un valore opportuno per la lunghezza libera di in flessione del pilastro: questo si ottiene tramite il coe fficiente k definito come il rapporto tra la lunghezza libera di in flessione e quella effettiva dell’elemento: l0 = kl

La lunghezza effettiva del pilastro l è definita come la distanza tra gli assi dei vincoli. Il coefficiente k dipende dalla rigidezza relativa delle travi e dei pilastri tramite i parametri: ψ=

dove:

P P

Ec Icol/lcol Ec αIb /leff

(4.76)

Ec Modulo di elasticità del calcestruzzo.

Icol , Ib Momenti di inerzia della sezione di calcestruzzo dei pilastri e delle travi. lcol Lunghezza dei pilastri (distanza tra gli assi dei vincoli). leff Luce e ffettiva della trave. α

Coefficiente funzione del vincolo alle estremità delle travi: trave continua ad entrambi gli estremi α = 1; trave libera di ruotare all’estremità opposta α = 0.5; mensola α = 0.

Le somme si estendono a tutti i pilastri e le travi contenute nel piano di in flessione e convergenti al nodo esaminato. Calcolati i coe fficienti ψ A e ψ B relativi ai nodi di estremità di ogni pilastro, il coeffi

fi

k si determina ciente nomogramma riportato g. 4.12. Il nomogramma (a) si riferisce ai telai a mediante nodi fissi,ilquello (b) ai telai a nodi in mobili. Si osservi che ψ = 0 corrisponde all’incastro, ψ = ∞ alla cerniera. Nel caso di spostamenti impediti k varia tra 0.5 (doppio incastro) ed 1 (doppia cerniera). Per i telai a nodi mobili k varia tra 1 (vincoli di incastro e glifo) ed ∞ per i vincoli di cerniera e carrello; in tal caso infatti il pilastro diviene un pendolo che non è in grado di garantire l’equilibrio alle forze laterali. Le norme europee EC2 sconsigliano di assumere per ψ A e ψ B valori inferiori a 0.4.

122


flessione

Figura~4.12: Nomogrammi per la determinazione della lunghezza libera di in flessione dei pilastri delle strutture intelaiate

Capitolo 5

Elementi sollecitati da tensioni tangenziali: il taglio 5.1

Introduzione

Nei due capitoli precedenti è stato analizzato il comportamento delle travi in cemento armato nei confronti delle azioni che producono solamente tensioni normali. Entro questi limiti è stato possibile sviluppare una teoria analoga a quella di Navier–De Saint Venant per le travi elastiche, opportunamente modi…cata per tener conto del diverso comportamento del calcestruzzo nei confronti delle sollecitazioni di compressione e di trazione. In questo modello il calcestruzzo è stato assimilato ad un materiale privo di resistenza a trazione; tale sempli…cazione consente, per gli elementi sollecitati a sforzo normale e ‡essione, di costruire una teoria coerente e perfettamente adeguata allo scopo di valutare la resistenza delle travi in cemento armato nei confronti di queste azioni. Tuttavia in realtà solo di rado le travi sono sollecitate a sola ‡essione o presso‡essione: normalmente queste azioni sono accompagnate dal taglio, sollecitazione che, nel solido elastico di De Saint Venant, produce tensioni tangenziali. La presenza della sollecitazione di taglio è dovuta al fatto che ogni variazione lungo l’asse della trave del momento ‡ettente richiede la presenza di una forza di taglio, come risulta dalla ben nota equazione di equilibrio:

V =

dM dx

(5.1)

in cui V indica la sollecitazione di taglio, M è il momento ed x l’ascissa misurata lungo l’asse della trave. Dall’eq. (5.1) segue che il taglio è nullo solo quando M è costante. In pratica questa condizione si veri…ca di rado, quindi la sollecitazione di taglio accompagna quasi sempre quella di ‡essione. Inoltre, sempre dalla medesima equazione, risulta che il taglio non può esistere, se non in qualche sezione isolata, senza la contemporanea presenza di M: pertanto sarebbe più corretto parlare della sollecitazione congiunta di ‡essione e taglio. La presenza delle tensioni tangenziali rende incoerente il semplice modello del calcestruzzo privo di resistenza a trazione in quanto il trasferimento di queste tensioni dalla parte tesa della sezione (l’armatura) a quella compressa richiede la partecipazione del calcestruzzo presente nella zona tesa che, nella teoria della ‡essione, era stato trascurato. In e¤etti la resistenza a trazione del calcestruzzo, anche se modesta, svolge un ruolo essenziale nel funzionamento delle travi sollecitate a ‡essione e taglio. 123

124

Capitolo 5 Elementi sollecitati da tensioni tangenziali: il taglio

In molti casi gli e¤etti delle sollecitazioni di taglio risultano critici per la resistenza degli elementi in cemento armato, riducendone sensibilmente la capacità portante rispetto a quella valutata mediante la teoria ‡essionale. Inoltre il collasso dovuto alle forze di taglio, essendo provocato dalla rottura del calcestruzzo teso, è di tipo fragile, cioè improvviso ed accompagnato da piccole deformazioni, quindi estremamente pericoloso: occorre dunque evitare che si veri…chi, ossia occorre rendere la resistenza a taglio degli elementi maggiore di quella a ‡essione. Questo obbiettivo si ottiene disponendo, quando necess ario, delle armature nel senso trasversale della trave (sta¤e e barre inclinate) che, come verrà chiarito poi, collaborano con il calcestruzzo nel sostenere queste sollecitazioni. Come si vedrò, per gli e¤etti delle azioni di taglio e dei corrispondenti meccanismi resistenti non è possibile sviluppare una teoria relativamente semplice e coerente come è avvenuto …n qui nei riguardi delle azioni normali. Il comportamento delle travi in cemento armato fessurate per l’azione della ‡essione e del taglio è piuttosto complesso e la stima dell’entità dei contributi forniti dai diversi meccanismi non sempre si può dedurre sulla base della sola legge tensione–deformazione del materiale; spesso si deve ricorrere a formule empiriche, giusti…cate dai risultati di esperimenti di laboratorio e dal loro utilizzo pratico. Inoltre i modelli di comportamento utilizzati per valutare la resistenza, quali il traliccio di Mörsch , non sono congruenti con l’ipotesi di comportamento elastico dei materiali, ed in e¤etti sono utilizzati solo per ricavare delle equazioni di equilibrio: il loro funzionamento pertanto si attiva solo in una fase di avanzata plasticizzazione, quando le esigenze della congruenza divengono secondarie. Per questi motivi, a di¤erenza di quanto fatto in precedenza per la ‡essione e la presso‡essione, non sarà condotta un’analisi separata del comportamento in campo elastico rispetto a quello allo stato limite ultimo. Le veri…che alle tensioni ammissibili si deducono dagli stessi modelli del calcolo a rottura, semplicemente riducendo contemporaneamente le sollecitazioni e la resistenza dei materiali, in modo da ottenere, con i due metodi, confrontabili livelli di sicurezza.

5.2

Il comportamento delle travi sollecitate a taglio

Se si considera una trave realizzata con un materiale a comportamento elastico lineare e reagente a trazione, quale può considerarsi anche il calcestruzzo, per livelli di sollecitazione su¢cientemente bassi, le tensioni tangenziali agenti sulle sezioni normali si possono calcolare con la nota relazione, derivata mediante la teoria approssimata di Jourawski:

¿ (y) =

V S (y) Ib(y)

(5.2)

in cui I è il momento di inerzia baricentrico della sezione, S (y) è il momento statico, relativamente al baricentro, della parte di sezione al disopra della …bra di ascissa y e b(y) è la larghezza di detta …bra (…g. 5.1a). Per una sezione rettangolare l’eq. (5.2) fornisce una legge parabolica, come illustrato nella stessa …gura. Il valore massimo di ¿ è raggiunto nel baricentro, dove si ha:

¿ mx =

V zb

(5.3)

dove z = I=S (0) indica il braccio delle forze interne. Per le sezioni in cemento armato, fessurate in accordo con il modello adottato per l’analisi della ‡essione, si può pensare di estendere la validità dell’eq. (5.2) alla sezione

125

5.2 Il comportamento delle travi sollecitate a taglio

Figura~5.1: Distribuzione delle tensioni tangenziali nella sezione integra (a) e fessurata (b) reagente omogenizzata, cioè formata dal calcestruzzo compresso e dall’acciaio pesato con il modulo n. Applicando la teoria di Jourawski a questa sezione si ottiene l’andamento riportato in …g. (5.1b). Il valore massimo della ¿ è raggiunto ancora nel baricentro (asse neutro) della sezione reagente ed è ancora fornito dall’eq. (5.3), ove ora z 0:9d. Al disotto dell’asse neutro il valore di ¿ resta costante in quanto S (y) non cambia, dato che il calcestruzzo teso viene trascurato. Solo in corrispondenza della …bra ove è posta l’armatura tesa si chiude l’equilibrio ed S e ¿ si annullano. Da queste considerazioni emerge un’incongruenza: la parte di calcestruzzo sottostante l’asse neutro, “inesistente” ai …ni della ‡essione, deve essere in grado di sopportare la tensione tangenziale ¿ mx che, come risulta usando il cerchio di Mohr, produce una tensione principale di trazione di pari valore. Sebbene, come verrà spiegato più avanti, il trasferimento di tensioni tangenziali attraverso le facce di una fessura sia, entro certi limiti, realmente possibile, le osservazioni precedenti dimostrano che, in presenza della sollecitazione di taglio, non è lecito estendere alle travi in cemento armato la teoria di Navier–De Saint Venant, semplicemente sostituendo la sezione reagente omogenizzata a quella intera. Per comprendere cosa avvenga in una trave in cemento armato sollecitata a ‡essione e taglio si deve rinunciare all’analisi della sola sezione ed esaminare la trave nella sua estensione spaziale. A questo scopo si consideri il comportamento di una trave appoggiata, caricata uniformemente, al crescere dell’intesità del carico. Inizialmente, per piccoli valori

'

delle il comportamento è elastico lineare e la distribuzione delle tensioni segue sollecitazioni, le leggi della teoria delle travi elastiche. In tal caso l’andamento delle linee isostatiche delle tensioni principali è del tipo illustrato in …g. 5.2. Normalmente il valore massimo della tensione principale di trazione viene raggiunto al lembo inferiore (teso): in qualche punto, superata la resistenza a trazione, si innesca una fessura che, essendo perpendicolare alle isostatiche di trazione, inizialmente risulta normale all’asse della trave. Al crescere del carico la fessura si propaga e, per e¤ett o delle tensioni tangenziali, si inclina verso l’asse. Schematicamente si può assumere che le fessure seguano un percorso perpendicolare alle isostatiche di trazione, ossia che seguano

126


Figura~5.2: Linee isostatiche in una trave appoggiata; comportamento elastico ed isotropo del materiale l’andamento delle isostatiche di compressione: nascono ortogonali all’asse della trave e quindi via viacompresso. si inclinanoQuesto …no a comportamento divenirne quasi parallele giungono inconfermato prossimità del corrente è, almenoquando qualitativamente, dalle esperienze sulla rottura delle travi condotte nei laboratori (si veda la …g. 5.3). Da queste considerazioni si deduce un risultato fondamentale: nell’analisi del comportamento delle travi in cemento armato sollecitate a ‡essione e taglio si deve rinunciare al semplice schema della sezione fessurata normalmente all’asse ed esaminare dei conci di lunghezza …nita entro cui, nella parte tesa, si estendono delle fessure inclinate. Si torni ora all’eq. (5.1), che deriva dall’equilibrio di un concio di trave. Per una trave in cemento armato sollecitata a ‡essione e taglio, come è stato dimostrato nella sez. 3.2.2, si può porre M = T z , dove T è la forza di trazione portata dall’armatura e z è il braccio delle forze interne. Sostituendo tale espressione di M nell’eq. (5.1) si ottiene:

V =z

dT dz + T dx dx

da cui risulta evidente che all’equilibrio della forza di taglio

(5.4)

V possono concorrere due

termini: il primodel dipendente dallaforze variazione dalla variazione braccio delle internedella z . forza di trazione nell’acciaio, il secondo In una trave snella, cioè con un rapporto tra luce e altezza elevato, di sezione costante e nelle zone distanti dagli appoggi, come risulta dallo studio del comportamento a ‡essione, il braccio z è praticamente costante, per cui si può assumere che dz=dx 0 . In tal caso il secondo termine dell’eq. (5.4) risulta trascurabile ed il solo meccanismo di equilibrio possibile è legato alla variazione di T . Perché questo avvenga occor re che l’aderenza tra acciaio e calcestruzzo sia in grado di trasferire la quantità necessaria di forza tra l’acciaio ed il calcestruzzo, ed il calcestruzzo nella parte tesa della sezione sia quindi in

¼

5.3 Il comportamento delle travi prive di armatura di taglio

127

Figura~5.3: Meccanismi di rottura in travi in cemento armato prive di armatura di taglio al variare del rapporto M=V grado sopportarla e trasmetterla al corrente compresso, in modo da soddisfare l’equilibrio globale del concio. Questo meccanismo resistente viene detto comportamento a trave. Il caso opposto si veri…ca quando, per qualche ragione, viene a mancare l’aderenza tra acciaio e calcestruzzo, in modo che T non può variare; in tal caso dT=dx = 0 e nell’eq. (5.1) viene a mancare il primo termine quindi la sola possibilità di soddisfare l’equilibrio è a¢data alla variazione di z . Perché questo possa realizz arsi occorre che la linea d’asse del corrente compresso risulti inclinata in modo tale che z vari con x secondo la stessa legge del momento M ; ciò è possibile solo nelle zone prossime agli appoggi dove, come è mostrato dalla …g. (5.2), le isostatiche di compressione convergono verso la base dell’appoggio, disegnando all’interno della trave un arco per il quale l’armatura funge da catena. Il meccanismo resistente che viene così a formarsi viene detto appunto e¤etto arco: esso può divenire signi…cativo, dopo che il “comportamento a trave” ha perso e¢cacia, solo nelle travi tozze, ossia con un rapporto luce–altezza relativamente piccolo, o comunque nelle zone prossime agli appoggi . La presenza del “meccanismo ad arco” spiega il fatto che nelle travi che collassano per taglio la crisi solitamente non avviene in prossimità degli appoggi, dove il taglio è massimo, ma in zone più vicine al centro della trave, dove l’e¤etto arco non può essere e¢cace. Il collasso può avvenire però in prossimità dell’appoggio se l’armatura è insu¢ciente o male ancorata, ovvero se l’anima è così sottile da schiacciarsi per e¤etto dell’elevata forza di compressione che si sviluppa nell’arco.

5.3

Il comportamento delle travi prive di armatura di taglio

Quando all’interno di un elemento di calcestruzzo si apre una fessura le due facce contigue non sono super…ci lisce. Infatti la fessura non attraversa gli inerti grossi, che forman o lo scheletro più resistente dell’impasto, ma ne segue i contorni, dove la resistenza è dovuta all’azione legante del cemento; così, dopo l’apertura della fessura, le protuberanze di queste super…ci scabre rimangono ingranate con le corrispondenti cavità rendendo ancora

128


Figura~5.4: Forze agenti su di un “dente” di calcestruzzo compreso tra due fessure possibile la trasmissione di forze tangenziali, almeno …n quando l’ampiezza della fessura non diviene tanto grand e da separare completamente le facce. Questo meccanismo, detto di ingranamento degli inerti (aggregate interlock), è il più importante tra quelli che permettono il trasferimento delle forze di taglio nelle travi fessurate prive dell’armatura d’anima. Le fessure che attraversano la zona tesa della trave la separano in tanti blocchi di calcestruzzo che si comportano come mensole incastrate nella parte superiore compressa dell’elemento. Esaminando una di queste (…g. 5.4) si nota che, quando agisce il meccanismo resistente del comportamento a trave, la mensola è sollecitata dalla forza ¢T = T 1 T2 , prodotta dalla variazione della forza di trazione dell’armatura. A questa sollecitazione si oppongono le seguenti azioni resistenti:

¡

1. Le tensioni tangenziali ¿ a che agiscono sulle super…ci delle fessure, dovute all’ingranamento degli inerti. 2. Le forze di taglio Vd , prodotte dall’ e¤etto spinotto (dowel action) delle armature longitudinali. 3. Il momento Mc agente nella sezione di incastro della mensola di calcestruzzo nel corrente compresso. Dell’ingranamento degli inerti si è già parlato in precedenza. L’e¤etto spinotto si sviluppa grazie all’elevata rigidezza delle barre longitudinali, considerate come travi incastrate nei due blocchi contigui separati dalla fessura e quindi di piccolissima luce. Perché questo meccanismo sia e¢cace occorre che il calcestruzzo vincoli e¤ettivamente le barre: in assenza di sta¤e questo è a¢dato alla sola resistenza del calcestruzzo di copriferro, generalmente modesta. Quando essa viene superata la barra si deforma distaccando il calcestruzzo che la ricopre. Per questo motivo il contributo dell’e¤etto spinotto, specialmente nelle travi prive di sta¤e, è modesto.

5.3 Il comportamento delle travi prive di armatura di taglio

129

Figura~5.5: Momento ultimo sperimentale di travi prive di armatura di taglio, in funzione del rapporto a=d .

Il momento M c è dovuto alla resistenza a ‡essione dei denti di calcestruzzo e pertanto dipende principalmente dall’altezza sc delle sezioni di incastro delle mensole che, al crescere della sollecitazione, si riduce notevolmente a causa dell’estendersi delle fessure verso la zona compressa: ne consegue una proporzionale riduzione del contributo di questo termine all’equilibrio dei “denti” di calcestruzzo. In certi casi la riduzione della sezione di incastro delle mensole permette a due blocchi contigui di subire una forte rotazione relativa: l’incremento nell’apertura della fessura porta alla perdita dell’ingranamento degli inerti con conseguente impossibilità di ripristinare l’equilibrio e quindi al collasso della trave. Lo schema sperimentale generalmente adottato nei laboratori consiste in travi semplicemente appoggiate, caricate simmetricamente con due forze di intensità P , poste alla distanza a dagli appoggi. Così, nei tratti compr esi tra gli appoggi ed i carichi, la trave risulta sollecitata a taglio costante e momento linearmente variabile, mentre nella parte centrale il momento, costante, prende il valore massimo M = P a, mentre il taglio è ovviamente nullo. Il meccanismo di collasso per queste travi (senza armatura per il taglio) dipende essenzialmente dal rapporto d che, per lodel schema carico precedentemente descritto, coincide con adimensionale il rapporto a=dM= traVla distanza caricodi dall’appoggio e l’altezza utile della sezione. In …g. 5.5 sono riportati i risultati di prove di laboratorio su travi, tutte di uguale sezione ed armatura, al variare della distanza a tra il carico e l’appoggio. Nel gra…co è riportato il valore del momento ultimo raggiunto in funzione del rapporto a=d; la linea orizzontale corrisponde al valore della resistenza ‡essionale della sezione, derivata dalla teoria della ‡essione. Per valori di a=d maggiori di 7 il momento ultimo sperimentale praticamente coincide con quello teorico, segno che la trave ha potuto raggiungere la sua resistenza ‡es-

130


sionale perché la resistenza a taglio è in tal caso maggiore; come previsto questo si veri…ca nelle travi molto snelle per le quali è possibile omettere l’utilizzo dell’armatura di taglio. Quando a=d prende valori inferiori la resistenza della trave si riduce rispetto a quanto previsto dalla sola ‡essione. I risultati sperimentali seguono da vicino la retta tratteggiata passante per l’srcine, che corrisponde alla previsione teorica di un sistema che collassa al raggiungimento di una …ssata soglia di taglio. Per 7 > a=d > 3 la rottura è prodotta dal cedimento dei denti di calcestruzzo e la conseguente perdita di e¢cacia del “meccanismo a trave”. Per valori di a=d inferiori a 3 i risultati sperimentali si discostano da questo andamento e la resistenza cresce al diminuire di a=d …no a che, per a=d 1:5, viene nuovamente raggiunta la piena resistenza ‡essionale della sezione, segno che il collasso torna ad essere determinato dalla ‡essione e non dal taglio. Questo è dovuto all’insorgere del meccanismo ad arco; nella zona di transizione, per 1:5 < a=d < 3, dopo il cedimento del “meccanismo a trave” si innesca il “meccanismo ad arco” che permette di portare un’ulteriore quota di carico. Quando l’angolo formato dalla biella con l’asse della trave è piccolo, il contributo è modesto; man mano che il carico si avvicina all’appoggio quest’angolo aumenta ed il meccanismo ad arco diviene più e¢cace, …no a permettere il raggiungimento della resistenza ‡essionale dell’elemento.

·

5.4

Travi con armatura a taglio

La resistenza al taglio delle travi prive di armatura d’anima è generalmente modesta e, come si è visto, in molti casi è tale da ridurne la capacità portante rispetto a quella prevista dalla teoria ‡essionale. La necessità di garantire che le travi raggiungano la loro piena capacità portante richiede che la resistenza al taglio deve essere aumentata …no a raggiungere, e possibilmente superare, quella ‡essionale; ciò anche in considerazione della natura fragile, e quindi particolarmente pericolosa, del collasso per taglio. Per aumentare la resistenza a taglio, nelle travi in cemento armato si dispone un’armatura d’anima, cioè un’armatura disposta trasversalmente all’asse della trave e che congiunge la parte compressa (il corrente in calcestruzzo) a quella tesa (l’armatura longitudinale). Le armature utilizzate a questo scopo sono di due tipi: le sta¤e e le barre piegate . Le sta¤e sono armature chiuse, e generalmente seguono il perimetro della sezione circondando le armature longitudinali (…g. 5.6a e b); di solito sono disposte ortogonalmente all’asse della trave ma, in linea di principio, potrebbero anche essere inclinate di un’angolo minore. Le barre piegate invece sono normalmente realizzate mediante le stesse armature longitudinali che vengono piegate in modo da attraversare l’anima …no a raggiungere il lembo opposto, dove proseguono per un certo tratto (…g. 5.6c). L’angolo ¯ formato dalle barre con l’asse della trave è normalmente compreso tra i 45 ed i 60 ; il valore usato più di frequente è ¯ = 45 . Per diversi motivi che saranno chiariti nel seguito le sta¤e risultano più e¢caci delle barre piegate nel prevenire i meccanismi di rottura per taglio: ±

±

±

pertanto il loro uso è generalmente consigliato; in ogni caso è necessario che almeno una parte dell’armatura d’anima sia realizzata mediante sta¤e.

5.4.1

Determinazione delle sollecitazioni nell’armatura di taglio

La presenza delle armature d’anima non altera sensibilmente i meccanismi di formazione delle fessure: pertanto lo schema della trave fessurata per e¤etto della ‡essione e del taglio resta lo stesso descrit to nella sezione precedente. Dopo la fessurazione agiscono ancora gli stessi meccanismi analizzati per le travi non armate: ingranamento degli inerti,

5.4 Travi con armatura a taglio

131

Figura~5.6: Schemi dell’armatura d’anima di travi in c. a. e¤etto spinotto, resistenza ‡essionale delle mensole, nelle zone dove prevale il meccanismo di trave, l’e¤etto arco in prossimità degli appoggi. Anzi l’e¢cacia di questi meccanismi aumenta, specialmente se l’armatura è realizzata con sta¤e, per i seguenti motivi: 1. L’e¤etto spinotto migliora perché le sta¤e, se abbastanza vicine tra loro, possono impedire, o almeno ritardare, la deformazione delle armature longitudinali ed il conseguente distacco del copriferro. 2. L’ingranamento degli inerti migliora perché le armature d’anima, in particolare prima che siano plasticizzate, ostacolano l’aprirsi delle fessure consentendo un ingranamento e¢cace. 3. La resistenza ‡essionale delle mensole di calcestruzzo aumenta perché l’armatura provoca la compressione di queste bielle, con conseguente riduzione delle tensioni di trazione. Inoltre limitando l’estendersi delle fessure impediscono l’eccessiva riduzione delle sezioni di incastro delle mensole al corrente compresso. 4. Il pericolo della perdita di aderenza dovuto alle fessure che si propagano longitudinalmente lungo il percorso dell’armatura tesa e che provoca il distacco del copriferro, viene sensibilmente ridotto. Accanto a questi bene…ci sui meccanismia resistenti presenti anche in sua l’armatura d’anima contribuisce direttamente sopportare una parte delle forzeassenza, di taglio. Secondo un modello dovuto a Mörsch, molto schematico ma che coglie i caratteri essenziali del fenomeno, la trave fessurata viene assimilata ad una trave reticolare in cui il calcestruzzo compresso e l’armatura tesa fungono da correnti, le bielle di calcestruzzo sono le aste di parete compresse, le armature d’anima le aste tese, come illustrato nella …g. 5.7. Per analizzare il comportamento delle travi armate per il taglio si adottano alcune schematizzazioni. Le fessure vengono considerate rettilinee, inclinate di un’angolo ® rispetto

132


Figura~5.7: Rappresentazione schematica del meccanismo resistente al taglio delle travi in c. a. (traliccio di Mörsh) all’asse della trave; indicando con ¯ l’inclinazione dell’armatura d’anima, l’equazione di equilibrio dei momenti di una mensola di calcestruzzo compresa tra due fessure successive distanti s tra loro si scrive quindi (si veda la …g. 5.8): ¢T z = (Vd + Va )s + Mc + Fs sin ¯z cot ® + Fs cos ¯z

(5.5)

in cui ¢T = T2 T1 è la variazione della forza di trazione nell’acciaio dovuta alla variazione del momento ‡ettente, z è il braccio delle forze interne, Vd è il taglio portato dall’armatura longitudinale per e¤etto spinotto, Va è la componente tangenziale della forza trasmessa per ingranamento degli inerti, M c è il momento sopportato dalla sezione di incastro della mensola di calcestruzzo, F s è la forza agente nell’armatura d’anima, ® e ¯ sono gli angoli formati dalle bielle compresse di calcestruzzo e da quelle tese (armatura) con l’asse della trave. Ponendo ¢T (dT=dx)s ed assumendo z cost, si ha:

¡

'

'

¢T

V ' d(M=z) s' s dx z

dove si è tenuto conto che V = dM=dx. Sostituendo l’espressione precedente nell’eq. (5.5) e risolvendo l’equazione così ottenuta rispetto ad F s si ottiene:

Fs V Vc Vs = = s z sin ¯ (cot ® + cot ¯ ) z sin ¯ (cot ® + cot ¯ )

¡

(5.6)

in cui V c = Vd + Va + Mc =s raccoglie il contributo di tutti i termini che prescindono dalla presenza dell’armatura. Se Vc > V l’eq. (5.6) perd e senso: in questo caso la trav e è in grado di sopportare l’azione del taglio senza bisogno dell’a rmatura d’anima. Nel caso contrario V s = V Vc indica il quantitativo eccedente, che non potrebbe essere equilibrato in assenza dell’armatura.

¡

133

5.4 Travi con armatura a taglio

Figura~5.8: Schema del meccanismo resistente al taglio nelle travi con armatura d’anima ed equilibrio delle forze Per l’equilibrio, alla forza di trazione nell’armatura Fs deve corrispondere una compressione C nella biella compressa. Imponendo l’equilibrio nella direzione ortogonale all’asse si ottiene: Fs sin ¯ = C sin ® da cui, tenendo conto dell’eq. (5.6), si ha:

C = Fs

sin ¯ Vs s = sin ® z sin ®(cot ® + cot ¯ )

(5.7)

Se la forza C viene considerata centrata lungo l’asse della biella di calcestruzzo, essa provoca una compressione uniforme il cui valore si calcola dividendo C per l’area della sezione normale della biella: bs sin ®, b essendo la larghezza dell’anima della trave:

¾c =

C Vs ¿s = = bs sin ® bz sin2 ®(cot ® + cot ¯ ) sin2 ®(cot ® + cot ¯ )

(5.8)

in cui con ¿ s = V s =bz si è indicato il massimo della tensione tangenziale che corrisponde alla forza di taglio Vs , calcolata secondo la teoria di Jourawski, con riferimento alla sezione parzializzata. Le equazioni (5.7) e (5.8) forniscono i valori delle sollecitazioni nelle armature d’anima e nelle bielle di calcestruzzo di una trave fessurata in accordo con lo schema di funzionamento del traliccio di Mörsch. Esse sono state deriv ate sulla base di sole considerazioni di equilibrio, senza porre alcuna attenzione alla congruenza: pertanto i risultati che ne derivano saranno attendibili solo in prossimità della condizione di collasso, quando la plasticizzazione dei materiali rende secondaria (in certa misura) la congruenza, mentre la trave è costretta a ricorrere a tutte le sue risorse per equilibrare le forze esterne. Per tale

134


motivo l’analisi del comportamento a taglio, contrariamente a quanto fatto in precedenza per la ‡essione e lo sforzo normale, non è stata condotta separatamente per il caso elastico, da utilizzare nel metodo delle tensioni ammissibili, e quello nello stato limite ultim o. Per le veri…che con il metodo delle tensioni ammissibili si utilizzano le stesse relazioni derivate in precedenza, semplicemente scalando i valori sia delle forze sia delle resistenze in modo opportuno, per rendere confrontabili le azioni di esercizio con delle tensioni ammissibili. In ogni caso perché le equazioni (5.6) e (5.8) siano utilizzabili occorre determinare il termine V c , ossia la quota parte del taglio portata dalla trave prescindendo dal contributo dell’armatura. La valutazione teorica di questa quantità è un’impresa ardua, perché essa dipende da fenomeni complessi, di¢cili da inquadrare in una teoria schematica, fondamentalmente basata sul modello della trave di Navier–De Saint Venant. La via più diretta è quella che passa per la sperimentazione in laboratorio, dai cui risultati si possono desumere delle formule empiriche che forniscono delle valutazioni forfettarie e cautelative di Vc . La maggior parte delle normative adottano qualcuna di queste relazioni, opportunamente tarate con prudenziali coe¢cienti di sicurezza. Determinato V c la sollecitazione nell’armatura e nei denti di calcestruzzo si calcola poi facilmente mediante le precedenti equazioni, basate sullo schema di Mörsch. Le eq. (5.6) e (5.8) sono state ricavate lasciando indeterminati i valori dell’angolo ® formato dalle fessure idealizzate con l’asse della trave e dell’angolo ¯ di inclinazione delle armature. Mentre quest’ultimo è un parametro di progetto il primo dipende dalla …sica del fenomeno della fessurazione. In assenza di rilevanti compressioni assiali si è soliti assumere per ® il valore baricentrico dell’inclinazione delle isostatiche di compressione, per cui si pone ® = ¼=4. Con questa posizione le precedenti equazioni si sempli…cano, per cui si ha:

Fs Vs = s z(sin ¯ + cos ¯ )

¾c =

2¿ s 1 + cot ¯

(5.9)

Quando l’armatura d’anima è realizzata mediante sta¤e poste ortogonalmente all’asse (¯ = ¼=2), l’eq. 5.9 diviene:

Fs V = s s z

¾c = 2¿ s

(5.10)

mentre per le barre piegate, per le quali il valore usuale dell’angolo di inclinazione è corrisponde:

Fs V = s s z 2

p

¾c = ¿ s

¼=4,

(5.11)

Dal confronto delle eq. (5.10) e (5.11) appare che le armature inclinate a 45 funzionano ±

p

meglio di quelle verticali in quanto, a parità di taglio, risultano meno sollecitate (per un fattore 1= 2) e producono nel calcestruzzo una compressione inferiore (la metà). Questo è vero quando il confronto viene fatto tra sta¤e verticali ed inclinate, meno quando le sta¤e vengono confrontate con le barre piegate, perché quest’ultime sono in realtà meno e¢caci nel migliorare il comportamento globale della trav e. Per quanto riguarda poi l’aspetto economico, espresso dal quantitativo di armatura necessario per sopportare una assegnata sollecitazione, il vantaggio o¤erto dalle armature inclinate è solo apparente, poiché se la sezione richiesta è inferiore, la loro lunghezza aumenta e quindi il volume complessivo è praticamente lo stesso.

135

5.5 Interazione tra ‡essione e taglio

5.5

Interazione tra ‡essione e taglio

Se le travi sono adeguatamente armate nei confronti della sollecitazione di taglio la resistenza ‡essionale non è sensibilmente in‡uenzata dalla presenza della sollecitazione tagliante: questo consente di progettare le travi analizzando separatamente la sollecitazione ‡essionale ed il taglio. In realtà, come è stato spiegato descrivendo il funzionamento delle travi sotto l’azione di ‡essione e taglio, vi è una forte interazione tra le due azioni: la presenza del taglio provoca che lo sviluppo delle fessure avviene secondo linee inclinate; pertanto il concetto di sezione retta, fondamentale nella teoria della trave elastica ed utilizzato anche per l’analisi delle travi in‡esse di cemento armato, perde notevolmente di signi…cato. L’inclinazione delle fessure comporta che la forza di sollecitazione T dell’armatura tesa non coincide esattamente con quella prevista dalla teoria della ‡essio ne. La ragione si comprende osservando la …g. 5.8: in assenza di armatura d’anima ( Fs = 0), imponendo l’equilibrio del blocco di trave delimitato da una fessura e prendendo come polo dei momenti il punto di applicazione della risultante delle compressioni, si ha: 0

M2 = T2 z dove M 2 indica il momento risultante agente nella sezione (2’), corrispondente all’ascissa della zona compressa del blocco di calcestruzzo, mentre nella sezione (2), corrispondente alla posizione dell’armatura esaminata, agisce il momento 0

M2

0

' M ¡ V z cot ® 2

2

Secondo la teoria della ‡essione, nella sezione (2) l’armatura dovrebbe essere sollecitata dalla forza: M M T2f = 2 = 2 V cot ® z z da cui segue che la sollecitazione e¤ettiva dell’armatura di¤erisce da quella prevista dalla teoria ‡essionale secondo la relazione: 0

¡

T2 = T2f + V2 cot ®

(5.12)

Pertanto la sollecitazione di taglio produce, nella trave fessurata, un incremento della sollecitazione dell’armatura pari a V cot ®.1 Di questo si può tener conto semplicemente facendo scorrere il diagramma dei momenti con cui si progettano le armature della quantità z cot ® 0:9d cot ®, dalla parte dei momenti decrescenti, in modo tale che in ogni sezione il momento considerato sia maggiore di quello corrispondente all’equilibrio della parte di trave individuata da una sezione retta. Se la trave è dotata di armatura di taglio l’equazione di equilibrio del tronco di trave separato da una fessura diagonale diviene:

'

0

M2 = T2 z + Fs sin ¯

s 2

(5.13)

dove Fs indica la risultante delle forze sopportate dalle armature di taglio, considerate uniformemente distribuite, nel tratto di lunghezza s . La lunghezza s da prendere in conto 1 Si deve osservare tuttavia che la sollecitazione massima non aumenta, in quanto nella sezione di momento massimo si ha V = 0.

136


è la distanza, misurata parallelamente all’asse della trave, tra la prima e l’ultima delle barre che attraversano la fessura; con le solite ipotesi sempli…catrici si ha:

s = z(cot ® + cot ¯ ) Quindi dall’eq. (5.6) si ottiene:

Fs =

Vs sin ¯

Sostituendo queste due espressioni nell’eq. (5.13) risulta: z M2 = T2 z + Vs2 (cot ® + cot ¯ ) 2 0

da cui, esprimendo il momento M 2 in funzione di quello M 2 agente sulla sezione retta ove è applicata la forza T 2 , si ha: 0

z M2 = T2 z + Vs2 (cot ® + cot ¯ ) 2

¡ V z cot ® 2

che, risolta rispetto a T 2 e tenendo conto che V = Vc + Vs , fornisce l’espressione:

1 T2 = T2f + Vc2 cot ® + Vs2 (cot ® 2

¡ cot ¯ )

(5.14)

Ove si trascuri il contributo del taglio portato dal calcestruzzo ( Vc = 0, Vs = V ), l’eq. (5.14) viene soddisfatta calcolando l’armatura con il momento ottenuto traslando il digramma della quantità:

z a1 = (cot ® 2

5.6 5.6.1

¡ cot ¯)

(5.15)

Progetto secondo le normative Metodo delle tensioni ammissibili

Come è stato più volte sottolineato, si ricorda che la veri…ca con il metodo delle tensioni ammissibili non deriva da un’analisi del comportamento in fase elastica, ma dalle stesse relazioni viste in precedenza a proposito del comportamento in fase ultima, opportunamente adattate. Per la vigente normativa italiana, quando le veri…che vengono condotte con riferimento al metodo delle tensioni ammissibili, lo stato di sollecitazione del calcestruzzo è misurato dalla tensione tangenziale massima ¿ cm calcolata in accordo alla teoria della sezione elastica fessurata, mediante l’eq. (5.3). Se risulta ¿ cm ¿¹c0 [dove ¹¿ c0 è un valore ammissibile che dipende dalla resistenza ca-

·

ratteristica del calcestruzzo mediante l’eq. (2.26)], non è richiesta la veri…ca dell’armatura di taglio: questo signi…ca che l’elemento deve considerarsi non armato a taglio anche se, per le prescrizioni di cui si dirà nel seguito, è comunque necessario prevedere un quantitativo minimo di armatura. Se invece risulta ¿¹c0 < ¿ cm ¿¹c1 [eq. (2.27] la trave deve essere provvista di opportuna armatura: secondo la normativa italiana in questo caso tutta la sollecitazione di taglio deve essere sopportata dall’armatura. Il dimensionamento è basato sull’eq. (5.6) assumendo l’inclinazione delle bielle ® = 45 [eq. (5.9)] e con la condizione che la tensione nell’armatura non superi quella ammissibile dell’acciaio.

·

±

137

5.6 Progetto secondo le normative

Se con s si indica l’interasse tra le armature (sta¤e o piegati) F s è la forza sopportata da ciascuna, per cui l’area necessaria risulta:

Asw =

Fs Vs = ¾¹ s z(sin ¯ + cos ¯ )¹¾s

(5.16)

In particolare per ¯ = ¼=2 (sta¤e) e ¯ = ¼=4 (barre piegate) si ha:

Vs Asw = z¹ ¾s

Vs Asw =

(sta¤e)

p2z¹¾

a

(piegati)

(5.17)

dove, poiché si è ipotizzato che V c = 0, V s = V è l’intera sollecitazione di taglio. L’area Asw è quella delle armature che, in una sezione, attraversano il piano medio della trave. Per le sta¤e essa è pari all’area della barra con cui la sta¤a è realizzata moltiplicata per il numero dei suoi bracci ( 2). La normativa italiana prescrive che almeno il 40% della forza totale di scorrimento sia assorbita da sta¤e; questa forza è la risultante delle tensioni tangenziali ¿ cm agenti sul piano neutro della trave: V S = ¿ cmb dx = dx z

¸

Z

Z

V ha segno costante. Se si assume

dove l’integrale deve essere calcolato su tratti in cui z cost dall’equazione precedente risulta:

'

S=

1 z

Z

V dx =

M2

¡M

1

z

dove M 1 ed M 2 sono i momenti che agiscono sulle sezioni di estremità del concio di trave per cui si è calcolato S .

5.6.2


Elementi sprovvisti di armatura d’anima Per gli elementi privi di armatura di taglio (o armati solo con il minimo regolamentare) la veri…ca richiede che la sollecitazione di taglio di calcolo Vd non superi il taglio resistente Vcu portato dal calcestruzzo mediante i meccanismi descritti nei paragra… precedenti. Secondo le norme italiane questo è dato dalla relazione:

Vcu = 0:25fctdr(1 + 50½l )bd±

(5.18)

in cui i simboli hanno il seguente signi…cato:

fctd resistenza a trazione di calcolo del calcestruzzo = fctk=° c ; f ctk è dato dall’eq. (2.31). r = max (1:6 ½l

f ¡ d); 1g, con d , altezza utile della sezione, espressa in metri. = minfA =bd; 0:02g, percentuale geometrica dell’armatura longitudinale tesa. s

b larghezza della membratura resistente al taglio. ± fattore che tiene conto degli e¤etti delle forze norma li. Nel caso di ‡essione semplice (N = 0) si assume ± = 1. Nel caso sia presente una signi…cativa forza di trazione ± = 0 (quindi in questo caso il taglio portato dal calcestruzzo è nullo e la trave deve

138


essere necessariamente armata). Quando è presente una forza di compressione si pone: ± = 1 + M0 =Md in cui M0 è il momento di decompressione, ossia il valore per cui, nella …bra meno compressa, si raggiunge una tensione nulla.

As area dell’armatura longitudinale tesa. Per quanto visto in precedenza l’area da considerare è quella intersecata da una fessura inclinata a 45 o , cioè posta alla distanza 0:9d dalla sezione dove agisce il taglio V d . Per essere presa in conto l’armatura deve essere e¢cacemente ancorata oltre il punto di intersezione con la fessura. La bozza delle norme europee (EC2) propone per il calcolo di V cu un’espressione poco diversa:

Vcu = [0:25fctdr(1:2 + 40½l ) + 0:15¾cm]bd

(5.19)

dove si deve assumere r = 1 per gli elementi in cui più del 50% dell’armatura è interrotta (cioè non è prolungata …no agli appoggi e quindi ancorata), altrimenti si assume r = max (1:6 d); 1 , come nelle norme italiane; ¾cm = Nd =Ac è la tensione media nella sezione di calcestruzzo, positiva se di compressione. Gli altri simboli hanno il signi…cato illustrato prima. Per tener conto dei bene…ci dell’e¤etto arco, le norme europee consentono, per il taglio prodotto da carichi applicati ad una distanza dagli appoggi minore di 2:5d, di ampli…care la resistenza a trazione del calcestruzzo f ctd del fattore ¯ = 2:5d=x 5, dove x è la distanza

f

¡

g

·

del carico dall’ap poggio. Per poter utilizzare questo increm ento di resistenza occorre veri…care che la modalità di applicazione del carico ed il funzionamento dell’appoggio siano tali da consentire lo sviluppo di una biella di calcestruzzo tra carico ed appoggio. Inoltre, in presenza di carichi distribuiti, il taglio massimo da considerare nelle veri…che è quello agente alla distanza d dall’appoggio. Analogamente le norme italiane prevedono che il taglio prodotto dai carichi distanti x < 2d dagli appoggi sia ridotto del fattore x=2d. Elementi provvisti di armatura d’anima Norme italiane Per la veri…ca del calcestruzzo compresso si richiede che la tensione media nelle bielle non superi il valore ²fcd , dove ² è un fattore di riduzione della resistenza che tiene conto della schematicità del modello. Nelle norme italiane ¾ c si calcola a partire dall’intera forza di taglio V e non dalla sola quota portata dall’a rmatura. Dall’eq. (5.9), ponendo V s = V e ricordando l’espressione di ¿ cm , la condizione ¾ c ²fcd implica:

·

Vd

· 21 ²f

cd(1 + cot ¯ )bz

Ponendo z = 0:9d ed ² = 2=3 si ottiene:

Vd

· 0:3f

cd (1 + cot ¯ )bd

(5.20)

L’aumento di resistenza conseguente all’inclinazione dell’armatura (45 ¯ 90 ) è consentito solo nel caso che si impieghino sta¤e inclin ate. Per le barre piegate non se ne deve tener conto; pertanto, come nel caso di sta¤e rette, si deve assumere: ±

Vd

· 0:3f

cd bd

· ·

±

139


L’armatura deve essere progettata in modo da sopportare le forze di taglio eccedenti quelle equilibrate dal calcestruzzo; pertanto:

Vd

·V

cu

+ Vsu

(5.21)

in cui V cu e V su sono i tagli portati rispettivamente dal calcestruzzo e dall’armatura. Per la normativa italiana, in presenza di armatura d’anima, Vcu si calcola con una relazione diversa dall’eq. (5.18), valida per le travi non armate a taglio:

Vcu = 0:60fctdbd±

(5.22)

in cui i simboli hanno lo stesso signi…cato di quelli usati nell’eq. (5.18). L’incremento del taglio resistente dovuto alle armature viene quindi calcolato con l’eq. (5.6) [o meglio, poiché si assume ® = 45 , con la prima delle eq. (5.9)]. Indicando con s l’interasse tra le armature e ponendo F s = Fsu = Asw fyd , si ottiene: ±

0:9d (sin ¯ + cos ¯ ) s

Vsu = Asw fyd

(5.23)

avendo sostituito a z il valore approssimato 0:9d. Nei casi particolari di sta¤e rette ( ¯ = 90 ) e di barre piegate ( ¯ = 45 ), si ha rispettivamente: ±

Vsu = Asw fyd

0:9d (sta¤e) s

Vsu =

±

p2A

sw fyd

0:9d s

(piegati)

Le stesse norme suggeriscono, nel caso di barre piegate, di limitare la tensione di calcolo al valore 0:8fyd . Norme europee (EC2) Le bielle di calcest ruzzo sono veri…cate a compressione se la tensione media, calcolata con l’eq. (5.9) ponendo ® = 45 , non supera la resistenza di calcolo ridotta ²f cd . Da questa condizione, ponendo V s = V , si trae: ±

Vd

· 21 ²f

cd(1 + cot ¯ )zb

(5.24)

dove z può essere approssimato con 0:9d ed ² è un coe¢ciente di riduzione della resistenza dato dalla relazione:

² = max (0:7

f

¡f

ck =200); 0:5

g

(fck in N=mm2 )

In presenza di sforzo normale la resistenza delle bielle compresse deve essere ridotta del fattore: min 1:67(1 ¾ cp=fcd ); 1 0

0

f

¡

g

in cui ¾cp = (Nd fyd As )=Ac ; As essendo l’area dell’armatura compressa ed Ac quella dell’intera sezione di calcestruzzo. La condizione che limita la sollecitazione delle bielle compresse [eq. (5.24)] deve essere sempre veri…cata, anche in assenza di armatura a taglio; tuttavia in quest’ultimo caso la condizione V d Vcu è normalmente la più vincolante. La resistenza a taglio è data come somma dei contributi del solo calcestruzzo e dell’armatura [eq. (5.21)]. Per l’EC2 il termine Vcu è dato dalla stessa espressione (5.19) valida in assenza di armatura d’anima; il secondo si calcola con la stessa equazione (5.23) utilizzata dalla normativa italiana.

¡

·

140


5.6.3

Armatura longitudinale

Per i motivi illustrati nella sezione 5.5 l’armatura longitudinale deve essere calcolata sulla base di una sollecitazione ‡essionale incrementata per tener conto degli e¤etti dell’inclinazione delle fessure. Questo si ottiene progettando l’armatura longitudinale per il momento: 0

Md = Md + Vd a1 ovvero, ciò che è in pratica equivalente, traslando il diagramma dei momenti della quantità a1 . Per le norme italiane si deve assumere:

a1 = max z(1

f ¡ cot ¯); 0:2dg

(5.25)

mentre secondo l’EC2, in accordo con l’eq. (5.15), si ha:

a1 = max z(1

f ¡ cot ¯)=2; 0g

(5.26)

Quest’ultima espressione appare poco cautelativa in quanto dedotta dalla condizione V s = V . In particolare in assenza di armatura si dovrebbe assumere a1 = z , come si ottiene dalle norme italiane, mentre dall’eq. (5.26) si ricava a 1 = z=2.

5.6.4

Quantitativi minimi di armatura

Per le norme italiane se risulta ¿ cm < ¹¿ c0 , ovvero Vd < Vcu, nelle travi si deve porre una quantità minima di armatura che deve rispettare le seguenti limitazioni:

Asw s

¤

¸ 0:1b

(cm2 =m)

(5.27)

dove b (in cm) indica la larghezza della sezione a cui corrisponderebbe la tensione tangenziale massima di ¿¹c0 : Ve b = 0:9d¿ c0 dove V e indica la sollecitazione di taglio in condizioni di esercizio. Inoltre deve essere rispettata la condizione: ¤

¤

s

· minf0:8d; 0:33 m g

(5.28)

Nel caso di calcolo alle tensioni ammissibili, quando la tensione tangenziale supera il valore ¹¿ c0 , l’intera forza di taglio deve essere portata dall’armatura ed almeno il 40% della forza di scorrimento deve essere a¢dato alle sta¤e. Nel caso di calcolo agli stati limite se Vd > Vcu almeno il 50% della forza di taglio deve essere equilibrata dalle armature. Per la bozza delle norme EC2 il minimo quantitativo dell’armatura d’anima richiesto nelle travi è dato dalla percentuale:

½w =

Asw sb sin ¯

I valori minimi richiesti di ½w sono riportati dalle norme stesse in una tabella in funzione delle classi del calcestruzzo e dell’acciaio. Ad esempio, per l’acciaio tipo S400 ed il calcestruzzo tipo C25/30, si ha ½ min = 0:0013. Almeno il 50% dell’armatura a taglio necessaria deve essere realizzata mediante sta¤e.

141


Esempio 5.1 Veri…care nei confronti della sollecitazione di taglio e, se necessario, progettarne l’armatura la sezione rettangolare con base b = 30 cm , altezza h = 60 cm , armatura longitudinale Asl = 5Á20 = 15:7 cm 2 , soggetta alla forza di taglio V e = 75 kN . Si assume che i materiali abbiano le seguenti caratteristiche: Calcestruzzo Rck = 30 N/mm2 Acciaio Fe B 44 k Metodo delle tensioni ammissibili. Per il calcestruzzo le tensioni tangenziali ammissibili si calcolano mediante le eq. (2.26) e (2.27):

R ck 15 30 15 = 0:4 + = 0:6 N=mm2 75 75 15 30 15 R ¿¹c1 = 1:4 + ck = 0:4 + = 1:83 N=mm2 35 35

¡ ¡

¿¹c0 = 0:4 +

¡ ¡

mentre per l’acciaio si ha ¾ ¹ s = 255 N=mm2 . La tensione tangenziale massima nel calcestruzzo risulta [eq. (5.3)]:

¿ cm =

75000

0:9

2

£ 570 £ 300 = 0:49 N=mm

< ¹¿ c0

Pertanto non è necessario prevedere un’armatura d’anima, eccetto quella minima richiesta dalla normativa. Per il calcolo di quest’ultima si ha:

b = ¤

Ve 75000 = = 244 mm = 24:4 cm 0:9d¹¿ c0 0:9 570 0:6

£

£

e dunque, applicando l’eq. (5.27):

Asw = 0:1b = 2:44 cm2 =m s ¤

Calcolo allo stato limite ultimo. La sollecitazione di progetto si ottiene moltiplicando quella di esercizio per il coe¢ciente di sicurezza dei carichi ( ° = 1:5); quindi V d = 1:5 75 = 112:5 kN. Le resistenze di calcolo a compressione e trazione del calcestruzzo sono date dalle eq. (2.29)—(2.31), in base alle quali risulta:

£

fcd = 15:56 N=mm2

fctd = 1:14 N=mm2

mentre la resistenza di calcolo dell’acciaio è: fyd = 374 N=mm2 . In assenza di armatura deve essere veri…cata l’eq. (5.18). Ritenendo che l’armatura longitudinale indicata nei dati dell’esempio sia prolungata per la lunghezza 0:9d dalla parte dei momenti decrescenti, si ha:

r = (1:6 0:57) = 1:03 ½l = 15:7=30 57 = 0:0092 < 0:02 ± = 1 (N = 0)

¡

£

e quindi:

Vcu = 0:25

£ 1:14 £ 1:03(1 + 50 £ 0:0092)300 £ 570 = 73240 N < V

d

Pertanto la trave deve essere armata per il taglio. Resistenza delle bielle compresse [eq. (5.20)]:

0:3fcdbd = 0:3

£ 15:56 £ 570 £ 300 = 798228 N

À V . Pertanto la veri…ca del calcestruzzo compresso è largamente soddisfatta. d

142


Il taglio portato dal calcestruzzo si calcola con l’eq. (5.22):

Vcu = 0:60fctdbd± = 0:60

£ 1:14 £ 300 £ 570 £ 1 = 116974 N

Poiché risulta V cu > Vd si deve assumere Vsu = min = V d =2 = 56:3kN. Quindi per l’eq. (5.23) con ¯ = 90 (sta¤e) si ha: ±

Asw Vsu 56300 = = = 0:293 mm2 =mm = 2:93 cm2 =m s 0:9dfyd 0:9 570 374

£

£

2

Esempio 5.2 Per la stessa sezione dell’esempio precedente si veri…chi il caso in cui Ve = 200 kN. Tensioni ammissibili. La tensione massima nel calcestruzzo è:

¿ cm =

200000

0:9

2

£ 570 £ 300 = 1:3 N=mm

e quindi risulta ¿¹c0 < ¿ cm < ¿¹c1 : quindi la trave deve essere armata per il taglio. Per la prima delle eq. (5.17) si ha:

Asw 200000 = = 1:53 mm 2 =mm = 15:3 cm 2 =m s 0:9 570 255

£

£

Veri…ca allo stato limite ultimo. La sollecitazione di progetto è V d = 1:5 200 = 300 kN. La veri…ca a compressione delle bielle è soddisfatta poiché Vd < 798 kN. Per il calcolo dell’armatura si ha: Vsu = V d Vcu = 300 117 = 183 kN > Vd =2

£

¡

quindi:

¡

Asw Vsu 183000 = = = 0:95 mm2 =mm = 9:5 cm2 =m s 0:9dfyd 0:9 570374

£

2

Capitolo 6

Elementi sollecitati da tensioni tangenziali: la torsione 6.1

Introduzione

Le tensioni tangenziali nelle sezioni rette delle travi, oltre che dalla sollecitazione di taglio, analizzata nel capitolo precedente, sono provocate dalla sollecitazione di torsione. L’azione tercente è presente in molte situazioni: infatti è raro che i carichi siano applicati in modo tale che la loro risultante passi per la linea dei centri di taglio della trave che, di conseguenza, risulta anche sollecitata dall’azione di un momento torcente di entità più o meno grande. Tuttavia nella pratica della progettazione spesso questa sollecitazione viene ignorata: infatti quando, come è frequente, le strutture vengono schematizzate come piane non vi è spazio per mettere in conto l’azione torcente ed anche se si utilizzano più ra¢nati modelli tridimensionali di solito vengono considerati solo carichi che producono sollecitazioni di taglio e ‡essione. L’esperienza ha dimostrato che la sempli…cazione del trascurare le sollecitazioni torsionali di solito non produce e¤etti indesiderati. Per chiarire questa apparente contraddizione è utile introdurre la distinsione tra una torsione “primaria” ed una “secondaria”. La prima è quella prodotta da carichi che, per essere equilibrati, richiedono la presenza di una reazione torsionale nella trave, cioè per i quali la possibilità di soddisfare l’equilibrio è condizionata dalla capacità della trave di resistere all’azione torcente. Un esempio di “torsione primaria” è quella che nasce nelle travi a ginocchio, usate nella realizzazione delle scale, che sostengono i gradini come mensole sporgenti trasversalmente dalla trave. L’equilibrio dei gradini è possibile solo se la trave è in grado di resistere al momento torcente che equilibria i momenti di incastro delle mensol e. La torsione “secondaria” è invece quella che si sviluppa per e¤etto dei vincoli di continuità di un sistema iperstatico; annullando la rigidezza torsionale delle travi i momenti torcenti scompaiono ma l’equilibrio della struttura è ancora possibile. Quest’ultimo tipo di azione è quella che si incontra più di frequente e di fatto è presente in quasi tutte le travi delle strutture in cemento armato, in quanto normalmente queste non sono costituite da elementi isolati ma, al contrario, formano sistemi spaziali continui in cui si sviluppano, tra le altre, anche delle azioni torcen ti. Ad esempio le sezioni delle travi che sostengono i solai con cui sono solidali devono subire rotazioni torcenti uguali alle rotazioni ‡essionali delle estremità dei travetti: a queste rotazioni corrispondono proporzionali sollecitazioni. 143

144

Capitolo 6 Elementi sollecitati da tensioni tangenziali: la torsione

Ovviamente solo la torsione secondaria può essere trascurata senza che questo costituisca un pericolo per la struttura. La fessurazione del calcestruzzo, dovuta alle azioni torcenti, riduce considerevolmente la rigidezza torsionale delle travi, che di conseguenza assorbono delle sollecitazioni sensibilmente inferiori a quelle previste da un modello di funzionamento dei materiali perfettamente elastico. In sostanza le strutture si “adattano” rilasciando, almeno parzialmente, quei vincoli che non sono in grado di realizzare in modo e¢cace. La liceità del trascurare le torsioni secondarie è in realtà limitata alle veri…che nei confronti degli stati limite ultimi, in quanto in questa fase quello che conta è che la struttura sia in grado di garantire l’equilibrio di ogni sua parte, senza riguardo per eventuali danni. Per le condizioni di esercizio occorre tener presente che le rotazioni torsionali possono produrre stati di fessurazione incompatibili con il buon funzionamento; in questi casi si dovrà prevedere un’armatura adeguata atta ad impedire l’eccessiva fessurazione. Un ruolo importante è giocato dalle dimensioni (e¤etto scala): trascurare le sollecitazioni torsionali secondarie è di solito lecito per le travi che sostengono solai di luce relativamente piccola (< 6 m); per le travi che sostengono solai di luce maggiore è opportuno prendere in esame il pericolo dei danni che possono insorgere per e¤etto delle sollecitazioni torsionali iperstatiche. Raramente la sollecitazione torcente è presente da sola: normalmente essa è prodotta da azioni che provocano anche altre sollecitazioni, in particolare la ‡essione ed il taglio e, in certi casi, lo sforzo normale. La veri…ca razionale di un elemento richiede quindi che si sappia tenere conto della interazione mutua di queste diverse sollecitazioni. Per gli elementi realizzati con materiali a comportamento elastico lineare la possibilità di sommare gli e¤etti rende la cosa semplice, ma per il cemento armato le nonlinearità e soprattutto l’apertura delle fessure fa si che vi sia una profonda interazione e quindi, almeno in teoria, non è lecito esaminare le singole azioni separatamente. Di fatto il problema è veramente complesso e governato da molti parametri per cui anche per via sperimentale non non sono stati ancora ottenuti modelli a¢dabili, in grado di tener conto dell’interazione reciproca della torsione con la ‡essione ed il taglio. In pratica gli e¤etti delle diver se sollecitazioni vengono valutati separatamente, sommando i quantitativi di armatura richiesti da ciascuna azione e le rispettive sollecitazioni, ovviamente se dello stesso tipo.

6.2

Comportamento in fase elastica

Prima della fessurazione anche le travi in cemento armato si possono trattare, senza eccessivo errore, mediante il modello elastico di De Saint Venant, per il quale sono note le soluzioni di tutti i casi di interesse pratico. Per le sezioni rettangolari con lati di dimensioni b ed h, con b · h , la massima tensione tangenziale prodotta dal momento torcente Mt è data dalla relazione: ¿ max = Ã

Mt b2 h

(6.1)

in cui Ã è una funzione del rapporto h=b , variabile tra 4:79 per h=b = 1 e 3 (h=b = 1). La rigidezza torsionale della sezione è de…nita dalla relazione: dµ=dx = M t =kt , in cui µ(x) indica la rotazione della sezione di ascissa x . Per le sezioni rettangolari si ha: kt = ¯Gb3 h

(6.2)

145

6.2 Comportamento in fase elastica

Figura~6.1: Decomposizione in rettangoli di …gure complesse dove G = E= 2(1 ¡ º ) è il modulo di taglio del materiale e ¯ è un’altra funzione di h=b, variabile tra 0:41 per le sezioni quadrate ed 1=3 per quelle rettangolari molto allungate. Le sezioni monoconnesse che possono essere decomposte in parti rettangolari, come ad esempio le sezioni a T, ad L, ad I, ecc : : : (…g. 6.1), possono in via approssimata trattarsi assumendo che ogni rettangolo assorba una parte del momento torcente totale proporzionale alla sua rigidezza. Quindi se una sezione viene scomposta in n rettangoli, il momento che sollecita l’j -esima parte è: Mtj = Mt

P

ktj n i=1 kti

e la tensione tangenziale massima nell’elemento si ottiene applicando l’eq. (6.1): ¿ mx;j = Ã j

Mtj bj2 hj

Il modo di decomporre una …gura solitamente non è univoco: il criterio da adottare nella scomposizione consiste nel rendere massima la rigidezza totale della sezione. Questo procedimento a rigore è corretto solo per le sezioni sottili per cui si possa assumere h=b ¼ 1, condizione soddisfatta in pratica dalle sezioni in acciaio; tuttavia può essere utilizzato con tollerabile approssimazione anche per le tozze sezioni in cemento armato. Le relazioni precedenti non si applicano alle sezioni pluriconnesse, come le travi a cassone dei ponti. Per le sezioni tubolari, in cui lo spessore è piccolo rispetto alle dimensioni globali, si può assumere che la tensione tangenziale sia costante attraverso lo spessore; la condizione di continuità del ‡usso delle tensioni porta quindi ad assumere: ¿ h = cost h essendo lo spessore del tubo. Per l’equilibrio della sezione si ha dunque (…g. 6.2): Mt =

I

¿hrds = 2¿ h

(6.3)

in cui indica l’area racchiusa dalla linea mediana della parete del tubo e si è tenuto conto della condizione di continuità. La rigidezza torsionale delle sezioni di questo tipo si valuta facilmente uguagliando l’energia di deformazione elastica con il lavoro delle sollecitazioni. Indicando con µ la rotazione della sezione, il lavoro del momento torcente è 12 Mtµ, mentre l’energia interna

146


Figura~6.2: Sezione tubolare sollecitata a torsione è data dalla relazione: 12 V ¿° dV . Uguagliando queste due espressioni e ponendo, per l’elasticità del materiale, ° = ¿ =G, tenendo conto che dall’eq. (6.3) si deduce:

R

¿ = 2Mth

si ottiene: 1 1 Mt µ = l 2 2

I

¿h

¿ 1 l ds = 2G G

2

µ ¶I Mt 2

ds h

dove l indica la lunghezza del concio di trave considerato. Sempli…cando l’equazione precedente si ottiene: µ=

Mt l 4G 2

ds Mt l = h kt

I

Dal confronto tra il secondo ed il terzo membro di questa uguaglianza si deduce: kt =

4G

H

2

ds h

(6.4)

che nel caso in cui lo spessore sia costante diviene: kt =

4G 2 h p

(6.5)

dove p indica la lunghezza della linea mediana della parete del tubo. È importante osservare che i risultati della teoria sempli…cata dei tubi sottili, per quanto riguarda lo stato tensionale, derivano dalle sole condizioni di equilibrio: pertanto il loro campo di validità si estende oltre il limite della teoria elastica lineare, includendo anche il campo del comportamento plastico dei materiali.

147

6.3 La torsione nelle travi fessurate

Figura~6.3: Linee isostatiche in una trave sollecitata a torsione

6.3

La torsione nelle travi fessurate

Finché il materiale un sezioni comportamento odstato almeno approssimativamente tale, la torsione produce,ha nelle rette delleelastico, travi, uno di tensione puramente tangenziale, di intensità crescente dal baricentro verso il bordo, dove si raggiungono i valori massimi. In presenza della sola torsione le tensioni principali risultano pertanto ovunque inclinate di 45 rispetto al piano della sezione; queste tensioni, una di compressione e l’altra di trazione, sono in modulo uguali alla tensione tangenziale ¿ . Su di un cilindro di sezione circolare le isostatiche disegnano delle eliche inclinate a 45 ; nelle travi di sezione rettangolare le isostatiche formano un reticolo di linee inclinate a 45 , come illustrato nella …g. 6.3. Le prime fessure si sviluppano ortogonalmente alle trazioni principali e quindi seguono l’andamento delle isostatiche di compressione. Poiché le tensioni maggiori si hanno sulla frontiera, le fessure nascono in corrispondenza della super…cie e quindi si propagano, al crescere della sollecitazione, verso l’interno. Quando la fessurazione è ben sviluppata due fessure consecutive individuano una biella di calcestruzzo compresso che interessa per un certo spessore la parte più periferica della trave. Se questa è dotata di un’armatura opportuna la trave può essere assimilata ad un traliccio spaziale, formato da bielle di calcestruzzo compresso ed armature tese: entrambe interessano solo un modesto spessore della parte più esterna del cilindro. Questo grigliato ideale può essere assimilato ad un tubo con struttura a traliccio a cui si è soliti a¢dare l’intera resistenza all’azione torcente. Il nucleo interno o¤re un contributo modesto che può essere trascurato. Ai …ni delle veri…che di resistenza la trave viene dunque assimilata ad una di sezione tubolare, di spessore h¹ ; come linea mediana del tubo si assume la congiungente delle armature longitudinali poste nei vertici (…g. 6.4). Con questa schematizzazione, la ±

±

±

148


Figura~6.4: Schema del traliccio resistente di una trave in c.a. sollecitata a torsione. tensione media nello spessore del “tubo” si ottiene dall’eq. (6.3): ¿=

Mt 2 h

(6.6)

dove è ancora l’area racchiusa dalla linea mediana dello spessore; per una sezione rettangolare = b h , dove b ed h indicano le distanze tra i centri delle barre di armatura poste nei vertici della sezione. La forza risultante delle tensioni agenti su di un tratto di lunghezza unitaria della parete del “tubo” è pertanto: 0

0

0

0

¿1 =

Mt 2

(6.7)

Indicando con ® l’inclinazione delle bielle di calcestruzzo, questa forza induce una compressione C il cui modulo si ottiene scomponendo la forza stessa nelle direzioni della biella ed in quella longitudinale: C=

¹1 ¿h Mt = sin ® 2 sin ®

(6.8)

mentre la corrispondente componente longitudinale è: M t Fl1 = C cos ® = 2 tan ®

(6.9)

In corrispondenza dello spigolo della trave la forza C si decompone in una verticale: Fst = C sin ® =

Mt 2

(6.10)

ed una longitudinaleFh . Quest’ultima è equilibrata dalla corrispondente, di segno opposto, prodotta dalla compressione agente sulla biella della faccia adiacente (…g. 6.5), mentre la componente verticale F st deve essere assorbita da un’idonea armatura.

149

6.3 La torsione nelle travi fessurate

Figura~6.5: Equilibrio delle forze nel traliccio resistente alla torsione Dunque la trave deve essere dotata di un doppio ordito di armature: uno longitudinale, per assorbire le forze Fl1, l’altro trasversale (sta¤e), che sopporta le forze Fst . La forza totale in direzione longitudinale è: Fl = Fl1 p =

Mt p 2 tan ®

(6.11)

dove p indica la lunghezza (perimetro) della linea mediana dello spessore della sezione tubolare equivalente. Al collasso la forza massima portata dall’armatura longitudinale è Al fyd , in cui Al indica l’area totale dell’armatura longitudinale resistente alla torsione; uguagliando questa resistenza alla sollecitazione data dall’eq. (6.11) si ha: Al fyd =

Mtu p 2 tan ®

da cui si deduce il momento torcente ultimo della sezione: Mtu = 2

Al fyd p

tan ®

(6.12)

Indicando con Ast l’area di una sta¤a e con s il passo, l’area dell’armatura trasversale intersecata da una biella di altezza (relativamente alla sezione retta) unitaria è Ast 1=(s tan ®); pertanto la forza ultimaFst equilibrata dall’armatura trasversale èfyd Ast =(s tan ®). Uguagliando la forza resistente a quella agente data dall’eq. (6.10) si ottiene: fyd Ast M = tu s tan ® 2

da cui, sostituendo ad M tu il valore fornito dall’eq. (6.12) in funzione dell’area dell’armatura longitudinale, si ottiene: Ast A = l tan2 ® s p

(6.13)

150


Fissato il valore di ®, che di solito si assume uguale a 45o, questa relazione consente di determinare il quantitativo di sta¤e occorrenti per equilibrare lo stesso momento ultimo sopportato dall’armatura longitudinale. Inversamente, se Al ed Ast sono state …ssate indipendentemente, l’eq. (6.13) permette di calcolare l’angolo di inclinazione delle fessure ® per cui in fase ultima sussiste l’equilibrio tra le forze portate dall’armatura e dalle sta¤e:

r

tan ® =

Ast p s Al

(6.14)

sostituendo il valore di tan ® nell’eq. (6.12) si ottiene il momento torcente ultimo della sezione: Mtu = 2 fyd

s

Al Ast p s

(6.15)

Si osservi che Al esprime anche il volume dell’armatura longitudinale presente in un concio di lunghezza unitaria; nello stesso concio il volume delle sta¤e è Ast p=s, avendo assimilato la lunghezza di una sta¤a con il perimetro p della linea mediana dello spessore della sezione cava …ttizia. L’eq. (6.14) mostra che l’inclinazione delle bielle di calcestruzzo è data dalla radice del rapporto volumetrico delle sta¤e e dell’armatura longitudinale. Fissando il volume totale di armaturaVtot = Al + Ast p=s, si può esprimere il quantitativo di sta¤e in funzione dell’area dell’armatura longitudinale: Ast =s = (Vtot ¡Al )=p. Sostutuendo tale relazione nell’eq. (6.15) si ottiene quindi: Mtu = 2 fyd

p

Al (Vtot ¡ Al )=p2

Annullando la derivata di questa espressione rispetto ad A l si ottiene il quantitativo di armatura longitudinale che rende massimo il momento ultimo, per un assegnato quantitativo di armatura totale: facilmente si ricava: Al = Vtot =2, a cui corrisponde un quantitativo di sta¤e Ast =s = Vtot=2p. Sostituendo queste espressioni nell’eq. (6.14) si ottiene quindi tan ® = 1: si può concludere che il migliore utilizzo dell’armatura si raggiunge distribuendone ciascuna metà tra barre longitudinali e sta¤e, in accordo con l’eq. (6.11) quando si assume tan ® = 1. La forza di compressione C agente sulle bielle di calcestruzzo genera una tensione media ¾c che si ottiene dividendo la forza C per l’area della sezione normale della biella. Per una biella compresa tra due fessure poste a distanza unitaria, nella direzione normale all’asse della trave, quest’area è 1 cos ®h; quindi utilizzando l’eq. (6.8) si ottiene: ¾c =

C Mt ¹ =2 h ¹ sin ® cos ® = 1cos ®h

Mt ¹ sin2 ® h

(6.16)

ed in particolare per ® = 45 : ±

¾c =

Mt ¹ h

(6.17)

Il valore di ¾c dipende dallo spessore ¹h della sezione tubolare equivalente: esso non è ovviamente ben de…nito, in quanto la sezione tubolare è solo una astrazione di calcolo, a meno che la sezione non sia realmente cava. Il valore da adottarsi per h¹ è quindi convenzionale e deve essere scelto in modo tale che, ponendo ¾c uguale alla resistenza a compressione del calcestruzzo (eventalmente ridotta per tener conto delle approssimazioni del calcolo), le eq. (6.16) o (6.17) diano il valore del momento torcente ultimo di quelle travi che, dotate di forte armatura, collassano per schiacciamento del calcestruzzo. Relazioni empiriche di questo tipo sono fornite dalle norme.

151

6.4 Veri…che secondo le norme

6.4 6.4.1

Veri…che secondo le norme Norme italiane

Calcolo alle tensioni ammissibili

Per la normativa italiana, quando la veri…ca degli elementi viene eseguita con il metodo delle tensioni ammissibili, la veri…ca relativa alla massima sollecitazione nel calcestruzzo si svolge con riferimento alla massima tensione tangenziale, ¿ mx, calcolata nell’ipotesi di comportamento elastico del calcestruzzo con le relazioni che derivano dalla teoria di De Saint Venant. Per le sezioni retta ngolari ad esempio si utilizza l’eq. (6.1). Questa tensione deve essere confrontata con i valori ammissibili ¿ c0 e ¿ c1 già utilizzate nella veri…ca alla sollecitazione di taglio. Se ¿ mx · ¿ c0 il calcestruzzo è in grado di resistere all’azione torcente mediante la sua resistenza a trazione, quindi non è necessario prevedere un’armatura speci…ca oltre quella minima regolamentare. Quando ¿ c0 < ¿ mx · ¿ c1 la trave può sopportare l’azione torcente purché si disponga un quantitativo adeguato di armatura. Se ¿ mx supera ¿ c1 il calcestruzzo compresso non è in grado di sopportare la sollecitazione e pertanto le dimensioni della sezione devono essere opportunamente aumentate. Il calcolo delle armature, quando necessarie, si esegue con riferimento al modello a traliccio e sezione ideale cava descritto nella sezione precedente. Per determinare la sollecitazione nelle armature longitudinali e nelle sta¤e si utilizzano quindi le eq. (6.11) e (6.10). Indicando con Al l’area totale dell’armatura longitudinale si dovrà veri…care la condizione: Fl = Al ¾ s , dove ¾¹ s indica la tensione ammissibile dell’acciaio. Per l’eq. (6.11) si ha: Al

¸

Mt 2 ¾¹ s p

avendo posto ® = 45 e quindi tan ® = 1. Analogamente se Ast è l’area della sezione di una sta¤a ed s il passo, sempre per ® = 45 , dalla condizione: Ast ¾¹ s =s ¸ Fst e facendo uso dell’eq. (6.10) si ottiene: ±

±

Ast

¸

Mt s 2 ¾¹ s


Per la veri…ca allo stato limite di collasso degli elementi sottoposti a torsione, la normativa italiana fa riferimento al modello della sezione cava equivalente: pertanto le formule di veri…ca sono basate sulle equazioni stabilite nelle precedenti sezioni. L’elemento risulta veri…cato se il momento agente di calcolo non supera la resistenza delle bielle compresse e delle armature. Per il calcolo del momento resistente delle bielle di calcestruzzo lo spessore h¹ della sezione cava equivalente viene stabilito nel modo seguente: ¹ = de h 6

(6.18)

in cui de indica il diametro del massimo cerchio iscritto nel poligono che ha per vertici i baricentri delle armature longitudinali, come illustrato in …g. (6.6). Per l’eq. (6.17), assumendo per la resistenza del calcestruzzo il valore f cd =2, si ottiene: Mtd

·

1 f h 2 cd

(6.19)

152


Figura~6.6: Determinazione dello spessore della sezione cava equivalente secondo le norme italiane Il calcolo del momento ultimo relativo al cedimento delle armature longitudinali e delle ±

sta¤e si esegue con le eq. (6.12) e (6.10). Ponendo ® = 45 risulta: Al fyd p Ast fyd Mtd · 2 s Mtd

·

2

in cui i simboli hanno il signi…cato illustrato nella sezione precedente. 6.4.2

Norme europee

Come per le altre sollecitazioni, in queste norme sono previste solamente le veri…che agli stati limite. Il modello di riferimento è ancora quello del traliccio tubolare. Per il calcolo della resistenza delle bielle di calcestruzzo lo spessore della sezione cava equivalente si ottiene dalla relazione: ¹ = Ac h p

in cui Ac indica l’area della sezione racchiusa dal perimetro esterno, compresa quella di eventuali cavità, e p è la lunghezza del suddetto perimetro. In ogni caso h¹ non può essere inferiore al doppio del coprife rro delle barre longit udinali. Nel caso di travi a cassone di regola h¹ non deve superare lo spessore e¤ettivo della parete. Applicando l’eq. (6.16) si ha pertanto: Mtd

·

¹ sin2 ® Mtu1 = ºfcd h

(6.20)

153


dove º è un fattore di riduzione della resistenza del calcestruzzo:

µ

º = 0:7 0:7 ¡

fck 200

¶

¸

0:35

con fck in N =mm2 . Nel caso delle sezioni a cassone, quando le sta¤e sono dispo ste su entrambe le facce della parete, si può assumere º = (0:7 ¡ fck =200) ¸ 0:5. Il momento resistente relativo all’armatura longitudinale si deriva dall’eq. (6.12): Mtd

·

Mtu2 = 2 Al fyd tan ® p

e quindi l’area di sta¤e richiesta per equilibrare lo stesso momento è data dall’eq. (6.13): Ast A = l tan2 ® s p

Di regola si assume ® = 45o . Quando le quantità delle armature longitudinali e delle sta¤e sono …ssate indipendentemente, l’angolo ® si deduce dalla condizione di uguaglianza dei momenti ultimi mediante l’eq. (6.14). Il valore di ® deve comunque essere compreso tra: 0:4 · cot ® · 2:5. Se uno di questi limiti è superato si deve adottare quello più vicino. 6.4.3

Combinazione con ‡essione e taglio

Come è ovvio gli elementi sollecitati a torsione sono, nella maggior parte dei casi, simultaneamente soggetti alle azioni della ‡essione e del taglio. Certamente nelle strutture in cemento armato vi è una sensibile interazione tra queste sollecitazioni elementari, ma l’analisi teorica del problema presenta notevoli di¢coltà ed i dati sperimentali non sono su¢cienti a permettere di ricavare a¢dabili formulazioni empiriche. Pertanto le normative consentono a questo proposito delle drastiche sempli…cazioni. Per la combinazione tra torsione e ‡essione generalmente non si tiene conto di alcuna interazione; l’armatura longitudinale richiesta per resistere al momento torcente si aggiunge a quella calcolata a ‡essione. Per le norme europee (EC2), nella parte compressa della sezione, quando la risultante delle forze di compressione dovute alla ‡essione supera la trazione che agisce sulla stessa zona a causa del momento torcente, è possibile omettere l’armatura longitudinale aggiuntiva. Nella combinazione con la sollecitazione di taglio le armature d’anima (sta¤e) si calcolano separatamente per entrambe le sollecitazioni e quindi si sommano i quantitativi richiesti, con la condizione di utilizzare in entrambi i casi lo stesso valore dell’angolo ® di inclinazione delle bielle. Quando la veri…ca viene condotta con il metodo delle tensioni ammissibili, le norme italiane prescrivono che la tensione tangenziale massima agente sulla sezione, ottenuta sommando quelle dovute al taglio con quelle prodotte dalla torsione, non deve superare il valore ammissibile ¿ c1 incrementato del 10%. Nel caso si adotti il calcolo allo stato limite ultimo le stesse norme richiedono che sia veri…cata la condizione: Mtd V + d Mtu1 Vu2

·

1

(6.21)

in cui Mtd e Vd sono il momento torcente ed il taglio di calcolo, Mtu1 è il momento torcente ultimo relativo al collasso del calcestruzzo, dato dall’eq. (6.19), mentre Vu2 è il taglio ultimo della sezione dovuto alla resitenza del calcestruzzo, che si calcola con l’eq. (5.20).

154


Il calcolo delle sta¤e si esegue separatamente ma si deve assumere V cu = 0, ossia tutto lo scorrimento deve essere a¢dato alle armature d’anima. Per le norme europee l’eq. (6.21) è sostituita dalla relazione analoga: 2

2

µ ¶ µ ¶ M td Mtu1

Vd Vu2

+

·

1

in cui i simboli hanno analogo signi…cato, ma i valori ultimi del momento torcente e del taglio si calcolano, in accordo con le stesse norme, mediante le equazioni (6.20) e (5.24), rispettivamente. Sempre secondo queste norme le armature di taglio e torsione si possono omettere (a meno dei minimi regolamentari) se sono veri…cate le due condizioni seguenti: Mtd

·

Vd bw 4:5

µ

Vd 1 + 4:5

Md Vd bw

¶

·

Vu1

dove V u1 è il taglio resistente fornito dal secondo membro dell’eq. (5.24). 6.4.4

Esempio

Esempio 6.1 Progettare le armature della sezione rettangolare di dimensioni 35 £ 50 cm2 solle-

citata a torsione. Momento torcente in esercizio: Mt = 20 N=mm2. Calcestruzzo Rck = 3 0 N=mm2 Acciaio FeB 44 k Norme italiane Veri…ca alle tensioni ammissibili.

Tensioni ammissibili: 30 ¡ 15 = 0:6 N=mm2 75 30 ¡ 15 = 1:4 + = 1:83 N=mm2 35 ¾ s = 255 N=mm2

¿ c0 = 0:4 + ¿ c1

Tensione tangenziale massima nel calcestruzzo: ¿ max = Ã

Mt 20 £ 106 = 4:4 = 1:44 N=mm2 < ¿ c1 2 b h 3502 £ 500

Calcolo delle armature: = (350

¡ 60)(500 ¡ 60)

= 1:276 £ 105 mm2

p = 2(290 + 440) = 1460 mm Mt 20 £ 106 Al = p= 1460 = 448:7 mm2 (» 4:5 cm2 ) 2 ¾s 2 £ 1:276 £ 105 £ 255 Ast Al 4:5 = = = 3:08cm 2 =m 1:46 s p Calcolo allo stato limite ultimo.

Sollecitazione di calcolo: Mtd = ° f Mt = 1:5 £ 20 = 30 kNm

155


Resistenze di calcolo fcd =

0:83Rck = 15:56 N=mm2 °c fyk fyd = = 374 N=mm2 °s

Spessore equivalente della sezione tubolare: 35 h = 6 = 5:83 cm

Momento torcente ultimo per rottura del calcestruzzo: 1 Mtu = fcd h = 57:87 £ 106 Nmm (» 57:9 kNm) > Mtd 2

Armatura: Al =

Mtd p = 458:9 mm2 (» 4:6 cm2 ) 2 fyd Ast A = l = 3:15 cm2 =m s p

Norme europee.

h= º = 0:7 0:7 ¡

µ

24:9 200

35 £ 50 = 10:3 cm 2(35 + 50)

= 0:403

¶

( fck = 0:83Rck = 24:9 N=mm2 )

Mtu1 = ºfcd h = 82:4 kNm > Mtd

Il calcolo delle armature è analogo a quello svolto per le norme italiane.

2

156


Capitolo 7

Stati limite di esercizio 7.1

Introduzione

Il metodo delle tensioni ammissibili, il cui impiego è ancora molto di¤uso in Italia, è in certa misura un ibrido tra un metodo di veri…ca delle condizioni di collasso e quelle di esercizio. In e¤etti esso richiede di limitare le sollecitazioni prodotte dai carichi di esercizio entro valori sensibilmente inferiori a quelli del limite elastico dei materiali: in tal senso si tratta evidentemente della veri…ca di uno stato limite di esercizio. Tuttavia, come è stato chiarito più volte, molte delle veri…che richieste dalla normativa hanno senso solo se riferite a condizioni di collasso, da cui derivano. Quindi, sebbene questo procedimento di veri…ca presenti delle incongruenze logiche che hanno indotto ad estrometterlo od a relegarlo in posizione marginale svantaggiata dalla maggior parte delle sua applicazione ha emostrato che, almeno nella maggior partenormative, dei casi, èl’esperienza in grado di della garantire una adeguata sicurezza delle opere, sia nei confronti del collasso, sia nei confronti dei danni che possono veri…carsi in condizioni di esercizio. Il metodo della veri…ca dello stato limite ultimo è certamente più razionale, ma da solo non è su¢ciente a garantire che, in condizioni di esercizio, le strutture non manifestino danni ed inconvenienti che, pur non compromettendone direttamente la sicurezza ultima, possono negativamente in‡uire sulla funzionalità delle opere. Per questo il metodo è detto di veri…ca agli stati limite, intendendo che normalmente le strutture devono essere veri…cate nei confronti idpiù di uno stato limite: quello di collasso è ovviamente il più importante, ma anche quelli relativi alle condizioni di esercizio devono essere presi in conto. Per le strutture in cemento armato lo stato limite di esercizio più signi…cativo riguarda la fessurazione, in quanto il manifestarsi di fessure troppo ampie in condizioni di normale uso dell’opera non solo ne compromette l’estetica, ma può anche, a lungo termine, avere conseguenze negative sulla resistenza. Un’altra condizione eccessivamente di stato limite grandi che deve essere presa comportano in conto riguarda la defor-e mabilità. Deformazioni delle strutture danni estetici funzionali e possono indurre danni importanti agli elementi sovrastrutturali (tamponature, in…ssi, tramezzi, ecc.). Le strutture in cemento armato, generalmente tozze, sono meno sensibili di altre (p. es. quelle in acciaio) a questo tipo di problema. Nelle opere ordinarie, con travi di luce contenuta, le condizioni di resistenza e di limitazione delle fessure sono generalmente prevalenti, ma in casi meno ovvi (p. es. travi di grande luce) lo stato limite di deformazione può divenire condizionante. Le veri…che nei riguardi degli stati limite di esercizio si eseguono, come è ovvio, con 157

158

Capitolo 7 Stati limite di esercizio

riferimento alle azioni di esercizio e si può presumere che il funzionamento della struttura resti in campo elastico; pertanto lo stato tensionale degli elementi presso–in‡essi si ottiene mediante l’analisi elastica delle sezioni (con l’ipotesi di non resistenza a trazione del calcestruzzo), che è stata presentata nei capitoli precedenti con riferimento al metodo delle tensioni ammissibili.

7.2

La fessurazione

L’apertura di fessure nelle parti tese delle strutture in cemento armato è inevitabile, data la modesta resistenza a trazione del calcestruzzo. Tuttavia, come è già stato accennato nella sezione precedente, occorre limitare l’ampiezza delle fessure che si possono produrre in condizioni di esercizio, sia per ragioni estetiche sia per la sicurezza dell’opera. Infatti il ricoprimento di calcestruzzo o¤re un’e¢cace protezione delle armature nei confronti della corrosione, che può venir meno se l’apertura di qualche lesione abbastanza grande consente agli agenti corrosivi di raggiungere le armature. La corrosione, riducendo la sezione resistente delle barre, può quindi provocare una drastica diminuzione della sicurezza della struttura; il fenomeno dipende da molteplici fattori, tra cui le condizioni ambientali a cui è esposta l’opera, la sensibilità dell’armatura alla corrosione (che aumenta al diminuire del diametro delle barre), l’ampiezza e la profondità delle fessure, la natura delle azioni (se permanenti o di breve durata). La veri…ca si esegue confrontando l’ampiezza massima prevista delle fessure con dei valori limite che vengono …ssati in funzione dei parametri di cui si è detto (condizioni ambientali, sensibilità, tipo di carico). Tra le cause che possono provocare dei la fessurazione in una struttura in di cemento armato si devono annoverare, oltre all’azione carichi esterni, anche gli stati coazione che possono insorgere per e¤etto di cambiamenti di volume dovuti al ritiro ed alle variazioni termiche. Per ridurre l’entità delle fessure dovute a questi fenomeni si può agire sulle cause, per esempio realizzando calcestruzzi con piccoli valori di ritiro, ovvero controllando l’ampiezza delle fessure mediante la disposizione di armature di¤use nella struttura, le quali, pur non eliminando la fessurazione, ne evitano la concentrazione in poche ampie fessure, favorendo invece lo sviluppo di numerose piccole lesioni. 7.2.1

Il meccanismo di formazione delle fessure

Nell’analisi delle sezioni sollecitate da tensioni normali (pressione e ‡essione) la resistenza a trazione del calcestruzzo è stata interamente trascurata, come è lecito dato il suo modesto valore; ma, come è stato già molte volte ricordato, questa resistenza in realtà svolge un ruolo essenziale nel funzionamento delle strutture in cemento armato, essendo il solo mezzo che consente lo scambio di forze tra le armature tese ed il calcestruzzo compresso. Il fenomeno fessurazione, il fatto nella parte tesa degli elementi si apra un certo numerodella discreto di lesionicioè tra le quali che sussistono dei blocchi integri di calcestruzzo, dipende evidentemente dalla resistenza a trazione di questo materiale. L’analisi quantitativa del fenomeno peraltro è complessa perché dipende da numerosi fattori; di conseguenza le formule che normalmente si usano per prevedere l’ampiezza delle fessure sono di srcine semi-empirica. Tuttavia, schematizzando notevolmenteil problema, è possibile sviluppare una teoria semplice che, almeno dal punto di vista qualitativo, permette di evidenziare le caratteristiche del fenomeno e di spiegare il ruolo svolto dai principali fattori.

159

7.2 La fessurazione

Figura~7.1: Rappresentazione schematica della formazione delle fessure in un prisma in cemento armato sollecitato a trazione Distanza tra le fessure

Si consideri quindi un prisma di calcestruzzo, armato simmetricamente e sollecitato a trazione pura. Tutte le sezioni risultano ugualmente sollecitate a trazione uniforme; al crescere della forza, in qualcuna delle sezioni più deboli verrà superata la resistenza del calcestruzzo, con conseguente formazione di una fessura (si veda …g. 7.1). Esaminando il prisma di calcestruzzo compreso tra due fessure successive si osserva che la tensione di trazione, nulla in corrispondenza delle fessure, cresce verso l’interno del concio via via che l’aderenza consente di trasferire parte della sollecitazione dall’armatura al calcestruzzo circostante. La condizione per cui, al crescere della forza, all’interno del concio si possa formare un’altra fessura, è che, in qualche punto, la tensione superi la resistenza del materiale. Indicando con ¿ b (x) la tensione di aderenza lungo l’asse delle barre, questa condizione è veri…cata se, per qualche a risulta: p

Z

a 0

¿ b (x) dx ¸ Ac fct

(7.1)

dove p indica il perimetro delle barre, Ac è l’area della sezione del prisma ed fct la resistenza a trazione del materiale. a è la distanza a cui si sviluppa la nuova fessura, misurata a partire dalla fessura preesistente. Per ovvie ragioni di simmetria deve essere veri…cata la condizione a · a0 =2, dove a0 indica la distanza tra le due fessure preesistenti, cioè la lunghezza del concio. Ponendo tra i due membri dell’eq. (7.1) il segno di uguaglianza, da essa si ricava il valore minimo amin della distanza a cui si possono sviluppare due fessure. Se a0 ¸ 2amin si svilupperà un’ulteriore fessura tra quelle esistenti, in caso contrario (a0 < 2amin ) questo non potrà avvenire; quindi 2amin è anche la distanza massima che può intercorrere tra due fessure: amax = 2amin

(7.2)

Assumendo per ¿ b (x) un andamento uniforme, dalle equazioni (7.1) e (7.2) si deduce la relazione: amax = 2

Ac fct p¿ b

(7.3)

160


Supponendo che l’armatura sia costituita da n barre di uguale diametro Á, poiché in tal caso, indicando con As = n¼Á2 =4 l’area dell’armatura, si ha: p = n¼Á = n¼

Á2 4 As =4 4 Á Á

dall’eq. (7.3) si ottiene: fct Á amax = 2¿ b ½

(7.4)

in cui ½ = As =Ac indica la percentuale geometrica delle armature. Ampiezza delle fessure

L’ampiezza della fessura si ottiene come di¤erenza tra l’allungamento dell’acciaio e quello del calcestruzzo; trascurando quest’ultimo termine, generalmente piccolo, l’ampiezza massima di una fessura è data dalla semplice relazione: wmax = 2

Z

amax =2

(7.5)

²s (x) dx

0

dove ²s (x) = ¾s(x)=Es è la deformazione dell’acciaio, che si suppone funzionare in campo elastico. La tensione nell’acciaio varia in funzione di x, a causa del trasferimento di forze al calcestruzzo. Per un andamento uniforme della tensione di aderenza si ha: p¿ b x ¾s (x) = ¾s ¡ As

in cui ¾ s è la tensione nell’acciaio calcolato con riferimento alla sezione fessurata. Sostituendo l’equazione precedente nell’eq. (7.5) si ricava: wmax =

¾s p¿ b 1¡ amax amax Es 4As ¾s

µ

¶

da cui, tenendo conto dell’eq. (7.3): wmax =

¾s f 1 ¡ ct 2¾s ½ Es

µ

¶

2Ac fct p¿ b

(7.6)

Nel caso che l’armatura sia costituita da barre di uguale diametro, tenendo conto dell’eq. (7.4), l’eq. (7.6) si scrive1 : wmax =

¾s Es

1¡

fct 2¾s ½

µ

fct Á 2¿ b ½

(7.7)

¶

Questi risultati sono stati ottenuti a partire da ipotesi semplicistiche del fenomeno; inoltre il caso esaminato, un tirante sollecitato da una forza assiale, non è quello di più 1

Volendo tener conto anche della deformazione del calcestruzzo, l’eq. (7.7) deve essere modi…cata nella: wmax

=

¾s Es

·

1¡

fct 2 ¾s

µ ¶¸ 1

½

+

n

fct Á 2¿ b ½

dove n = Es =Ec . Per percentuali di armatur a non troppo grandi si ha equazione di¤erisce poco dall’eq. (7.7).

1=½ À

n, e pertanto questa

161

7.2 La fessurazione

rilevante interesse pratico. Pur con questi limiti la trattazione svolta ha il merito di chiarire la natura dei fenomeni e di mettere in evidenza quali sono i parametri principali che controllano il fenomeno della fessurazione. Dall’eq. (7.7) è evidente che l’ampiezza delle fessure aumenta con il diametro Á delle barre impiegate e diminuisce al crescere della tensione di aderenza¿ b ; pertanto per ridurre l’ampiezza delle fessure si può agire sia sul diametro delle barre, utilizzando barre di minor diametro, sia aumentando ¿ b , utilizzando barre ad aderenza migliorata. L’aumento della percentuale di armatura ½ produce una riduzione della distanza delle fessure ma anche un aumento della deformazione media dell’acciaio (ovviamente supponendo che ¾ s resti costante); di questi due e¤etti contrastantigeneralmente risulta prevalente ilprimo. Come si vede dall’eq. (7.7) la resistenza a trazione fct gioca un ruolo esattamente inverso a ½, così sembrerebbe che l’ampiezza delle fessure dovrebbe aumentare al crescere della resistenza del calcestruzzo; tuttavia, tenendo conto che migliorando la qualità del calcestruzzo anche ¿ b aumenta, questi due e¤etti approssimativamente si compensano: ne segue che la resistenza del calcestruzzo ha scarsa in‡uenza sullo sviluppo della fessurazione. Le eq. (7.6) e (7.7) si possono scrivere nella forma (7.8)

wmax = ²sm amax

in cui viene messo in evidenza che l’ampiezza massima delle fessure si può esprimere come il prodotto della distanza massima tra due lesioni successive e la deformazione media dell’acciaio. Confrontando l’eq. (7.8) con le eq. (7.6) e (7.7) si ottiene che, per il modello studiato, risulta: ²sm = E ¾ s 1 ¡ 2¾ fct½ s s

µ

(7.9)

¶

In questa equazione l’allungamento medio dell’acciaio è espresso come il prodotto tra la deformazione delle barre nella sezione fessurata ed un fattore (< 1) che tiene conto del contributo del calcestruzzo. 7.2.2

Veri…ca secondo le norme

Norme italiane

Relativamente alla fessurazione, la normativa italiana prevede diverse condizioni di stato limite; in ordine di severità decrescente sono: 1. Stato limite di decompressione , per cui la sezione deve risultare interamente compressa. 2. Stato limite di formazione delle fessure : la tensione massima di trazione nella sezione non fessurata non deve superare il frattile inferiore della resistenza a trazione del calcestruzzo. 3. Stato limite di apertura delle fessure : il valore caratteristico dell’ampiezza massima delle fessure non deve superare uno dei seguenti valori nominali: w1 = 0:1 mm

w2 = 0:2 mm

w3 = 0:4 mm

La scelta del particolare stato limite da adottare dipende da vari fattori:

162


cond.amb.

azioni

armatura

sensibile stato lim.

poco aggr. mod. aggr. molto aggr.

frequenti aper. fess. quasi per. dec./aper. fess. frequenti aper. fess. quasi per. decomp. rare aper./form. fess. frequenti decomp.

poco sens. wk stato lim. · w2 aper. fess. · w1 aper. fess. · w1 aper. fess.

— ·

aper. fess.

w1 aper. fess.

—

aper. fess.

wk w3 · w2 · w2 · w2 · w2 · w1 ·

Tabella 7.1: Stati limite di fessurazione. 1. Il tipo di azioni : si distinguono in quasi permanenti, frequenti e rare. 2. Le condizioni ambientali: l’ambiente è classi…cato in poco aggressivo, moderatamente aggressivo, molto aggressivo. 3. La sensibilità delle armature, distinte in sensibili e poco sensibili. Appartengono al primo gruppo le barre di diametro· 4 mm, gli acciai temperati, gli acciai incruditi a freddo e soggetti a tensioni permanenti superiori a 390 N=mm2 . Il tipo di stato limite che deve essere considerato è indicato nella tabella (7.1). Peraltro si deve notare che delle tre condizioni di stato limite previste solo l’ultima (apertura delle fessure) può essere soddis fatta dalle strutture in cemento armato. Le altre riguardano di fatto solo gli elementi in cemento armato precompresso, che verranno studiati separatamente. Il valore caratteristico dell’ampiezza delle fessure si calcola mediante la relazione: wk = 1:7wmax = 1:7²sm amax

in cui il fattore 1.7 è adottato per tener conto della forte dispersione dei risultati sperimentali. L’allungamento medio dell’armatura, ² sm , e la distanza massima tra le fessure amax si possono calcolare mediante espressioni semi-empiriche ottenute modi…cando opportunamente quelle teoriche [eq. (7.4) e (7.7)] per tener conto dei risultati sperimentali e di condizioni di sollecitazione più generali di quella, elementare, studiata teoricamente. La normativa italiana adotta le relazioni:

²sm =

s Á + k2 k3 10 ½

³ ´ " µ ¶#

amax = 2 c +

¾s ¾sr 1 ¡ ¯ 1¯ 2 Es ¾s

(7.10)

2

¸

0:4

¾s Es

(7.11)

in cui i simboli hanno il seguente signi…cato: c Ricoprimento dell’armatura. s Distanza tra le barre, con la condizione s · 14Á. Á Diametro delle barre. k2 Coe¢ciente che dipende dall’aderenza tra acciaio e calcestruzzo: k 2 = 0:4 per barre ad aderenza migliorata, k2 = 0:8 per barre lisce.

163

7.2 La fessurazione

k3 Coe¢ciente che tiene conto della forma del diagramma nella sezione non fessurata. Si assume k3 = 0:25(¾1 + ¾2 )=2¾1, dove ¾1 ¸ ¾2 sono i valori estremi delle tensioni di trazione; k3 varia tra 0:125 per diagrammi triangolari o intrecciati (¾2 = 0) e 0:25 per il caso della trazione uniforme (¾ 2 = ¾1 ). ½ = A s =Ace® è la percentuale di armatura longitudinale riferita all’area di calcestruzzo e¢cace Ace® . Per la de…nizione dell’area e¢cace in varie situazioni si può fare

riferimento alla …gura 7.2.

¾s Tensione, in esercizio, nell’acciaio teso, riferito alla sezione fessurata. ¾sr Tensione nell’armatura longitudinale, calcolata con riferimento alla sezione fessura-

ta, dovuta ai carichi che producono la fessurazione (ossia il raggiungimento della resistenza a trazione nella …bra maggiormente tesa della sezione).

¯ 1 Tiene conto dell’aderenza acciaio–calcestruzzo: ¯ 1 = 1 per le barre ad aderenza migliorata, ¯ 1 = 0:5 per le barre lisce. ¯ 2 Coe¢ciente che tiene conto del tipo di azione: si assume ¯ 2 = 1 nel caso di prima applicazione di carichi di breve durata, ¯ 2 = 0:5 per i carichi di lunga durata e di

azioni ripetute.

Confrontando le formule semi-empiriche (7.10) e (7.11) con quelle dedotte dalla teoria sempli…cata si possono trarre alcune considerazioni. Il secondo termine dell’eq. (7.10) è analogo all’eq. (7.4), quando si sostituisca il termine fct=2¿ b con il prodotto dei coe¢cienti 2 k3 . Nell’eq. (7.10) nessun termine dipende dalla resistenza a trazione del calcestruzzo: kquesto è coerente con quanto osservato precedentemente circa il fatto che entrambe le

grandezze fct e ¿ b sono funzioni crescenti della resistenza del materiale; pertanto k2 tiene conto solo dell’aumento dell’aderenza dovuto all’impiego di barre ad aderenza migliorata. Il coe¢ciente k3 considera gli e¤etti delle condizioni di sollecitazione più generali di quella esaminata nella trattazione teorica. Il primo termine dell’eq. (7.10), che non ha analogo nell’eq. (7.4), tiene conto di fenomeni non considerati nelle ipotesi del modello teorico. Anche l’eq. (7.11) ha notevoli similitudini con l’eq. (7.9). Infatti nel caso di trazione semplice risulta: ¾ sr = fct Ac =As = fct =½

(avendo ipotizzato di poter porre Ace® = Ac ). Quindi, sostituendo nell’eq. (7.11), si ottiene: ²sm =

"

µ ¶#

¾s fct 1 ¡ ¯1¯2 Es ¾s ½

2

che fondamentalmente di¤erisce dall’eq. (7.9) perché il termine in parentesi tonde è qui elevato al quadrato. Poiché questo è sempre inferiore ad 1, ciò implica che ad esso è attribuito un peso inferiore che nell’eq. (7.9), specialmente quando è piccolo, ossia quando la sollecitazione agente è molto maggiore di quella di prima fessurazione (¾ s À ¾sr ). Norme europee

Nell’Eurocodice 2 viene preso in esame anche il problema del controllo della fessurazione che può prodursi, anche in assenza di forze esterne, a causa delle autotensi oni generate dalle deformazioni, impedite dai vincoli, dovute al ritiro ed alle variazioni termiche. La regola

164


Figura~7.2: De…nizione dell’area di calcestruzzo e¢cace

165

7.3 Stato limite di compressione

suggerita consiste nel disporre un’armatura di¤usa, su¢ciente ad assorbire le risultanti delle tensioni di fessurazione. Questo accorgimento consente dicontrollare la propagazione delle fessure in quanto, in caso di apertura di una lesione, la perdita di capacità portante dovuta al cedimento del calcestruzzo teso è compensata dall’acciaio. Per la determinazione dell’ampiezza massima delle fessure si impiegano relazioni simili a quelle riportate nelle norme italiane. Il valore caratteristico di wmax è dato da: wk = ¯²sr amax

dove ¯ è un coe¢ciente, variabile tra 1.3 e 1.7, funzione della minima dimensione dell’elemento, ² sr (deformazione media dell’armatura) si calcola mediante l’eq. (7.11), in cui i simboli hanno lo stesso signi…cato e valore, mentre la distanza massima tra le fessure, amax , si valuta mediante l’equazione: amax = 50 + 0:25k1 k2

Á ½r

in cui le grandezze sono espresse in millimetri ed i coe¢cienti k 1 e k 2 hanno signi…cati analoghi a quelli (k2 e k3) dell’eq. (7.10), a cui sono legati dalle relazioni: k1 = 2k2

7.3

k2 = 4k3

Stato limite di compressione

Il metodo delle tensioni ammissibili prescrive un limite alla massima tensione del calcestruzzo compresso. In condizioni di esercizio questa limitazione impedisce che nel calcestruzzo, per l’eccessiva sollecitazione, possano formarsi delle lesioni lungitudinali; inoltre limita l’entità delle deformazioni viscose entro valori compatibili con quelli previsti. La veri…ca dello stato limite ultimo non garantisce che questa condizione sia, in esercizio, soddisfatta. Le sezioni fortemente armate raggiungono momenti ultimi elevati con dimensioni della sezione di calcestruzzo contenute. In simili casi il calcestruzzo, anche in condizioni di esercizio, può essere sollecitato a livelli prossimi a quelli di rottura. Per evitare che in esercizio il calcestruzzo risulti eccessivamente sollecitato, le norme italiane prescrivono che la tensione massima prodotta dai carichi di esercizio, calcolata nello stato fessurato con l’ipotesi di comportamento elastico dei materiali, ¾c;mx, non superi il valore 0:45fck , per le combinazioni delle azioni frequenti o semipermanenti, e 0:55fck per le combinazioni rare. Le norme europee (EC2) forniscono indicazioni analoghe; inoltre richiedono anche che sia veri…cata una limitazione della massima tensione nell’acciaio che, per le combinazioni di carico rare, non deve superare il valore0:8fyk . Quest’ultima condizione serve ad impedire che in esercizio l’armatura possa plasticizzarsi, perché questo evento comporterebbe l’apertura permanente delle lesioni prodotte dalle azioni rare e di breve durata, di cui normalmente non si tiene conto in quanto, in condizioni di funzionamento elastico dell’ac ciaio, tendono a richiudersi quando cessa l’azione.

7.4

Stato limite di deformazione

Le deformazioni degli elementi strutturali devono essere limitate perché, se troppo grandi, possono seriamente compromettere la funzionalità della struttura. In e¤etti deformazioni eccessive di elementi orizzontali, quali travi, solai e piastre, non soltanto danno luogo

166


ad e¤etti fortemente antiestetici, ma possono anche compromettere funzioni importanti, come lo smaltimento delle acque piovane dai terrazzi, o produrre danni ad elementi sovrastrutturali (tramezzi, tamponature, in…ssi) da essi sostenuti e che dispongono di scarsa capacità adattativa. La deformazione massima accettabile degli elementi in‡essi dipende in larga misura dalla destinazione dell’opera a cui appartengono: pertanto la severità dei vincoli che devono essere rispettati può cambiare da caso a caso. In assenza di esigenze speciali si può fare riferimento alla norma ISO 4356, secondo la quale la funzionalità della struttura non è compromessa se la freccia massima degli elementi in‡essi non supera 1/250 della luce. I danni che possono insorgere negli elementi sovrastrutturali a causa delle eccessive deformazioni della struttura portante dipendono ovviamente dal tipo di elemento, dai materiali in cui è realizzato, dalla presenza o meno di elementi di giunto, ecc. In assenza di speci…che richieste le norme ISO citate suggeriscono che, per le strutture che sostengono tramezzature od altri elementi sovrastrutturali, la deformazione sia limitata ad 1/500 della luce. La parte di deformazione prodotta dai carichi permanenti può essere eliminata prevedendo una controfreccia(ossia costruendo la trave con una forma ad arco) di uguale valore dell’abbassamento previsto. Questo accorgimento è usato spesso nelle strutture in acciaio, sia perché sono normalmente più deformabili, sia perché ne è più facile stimare in modo attendibile la deformazione, mentre è applicato più raramente nelle costruzioni in cemento armato, che sono meno deformabili e per le quali la valutazione della freccia presenta maggiori incertezze. La valutazione analitica della deformazione delle strutture in cemento armato non è semplice, a causa del comportamento fragile del calcestruzzo teso. Limitandosi a considerare i soli e¤etti delle tensioni normali si ha che il comportamento può variare tra quello della sezione interamente reagente (Stato I, non fessurato) e quello della sezione completamente fessurata (Stato II). Nelle situazioni intermedie, poiché come si è visto le fessure interessano solo un numero discreto di sezioni tra cui permangono blocchi di calcestruzzo integro, la rigidezza “media” di un concio di trave di lunghezza …nita varia tra quella della sezione non fessurata, quando la massima tensione di trazione è inferiore di quella di fessurazione, e quella della sezione fessurata, quando la sollecitazione è molto maggiore di quella di fessurazione. Data la di¢coltà e la scarsa precisione con cui è possibile valutare le deformazioni delle strutture in cemento armato, se gli elementi sono su¢cientemente tozzi il calcolo delle deformazioni può essere omesso, ritenendosi che in questi casi le limitazioni indicate in precedenza risulteranno soddisfatte. Le norme italiane e l’Eurocodice 2 forniscono delle tabelle dei limiti di snellezza (l=h) degli elementi, sotto i quali la veri…ca esplicita dello stato limite di deformazione può essere evitata. Questi valori sono riportati nella tabella 7.2. Perrispettate le norme italiane, quando l’elemento è destinato a sostenere divis essere le ulteriori limitazioni: per le travi appoggiate l=h pareti , orie, per ledevono travi · 120=l continue l=h · 150=l (l in metri). I due valori riportati nella colonna relativa all’EC2 si riferiscono il primo al caso di elementi con calcestruzzo molto sollecitato, il secondo al caso di calcestruzzo poco sollecitato.2 2 Senza determinare l’e¤ettiva sollecitazione del calcestruzzo si può assumere che il calcestruzzo è molto sollecitato se la percentuale di armatura necess aria ò maggiore di 1.5%, è p oco sollecitato quando questa percentuale à inferiore a 0.5%.

167

7.4 Stato limite di deformazione

Elementi

snellezza massima Norme italiane

Travi e piastre sempl. app. Camp. terminale travi cont. o piastre cont. monodimens. o piastre bid. cont. lato lungo Campate interm. di travi o piastre cont. Piastre sorrette da pilastri senza travi Mensole

l=h

Eurocodice 2

20

18 ¥ 25

—

23 ¥ 32

26 — 7

25 ¥ 35 21 ¥ 30 7 ¥ 10

Tabella 7.2: Snellezze limite per la veri…ca dello stato limite di deformazione Questi valori si riferiscono a condizioni medie e vanno modi…cati al variare delle situazioni. Secondo l’EC2, nel caso di sezioni a T in cui il rapporto tra la larghezza dell’ala e quella dell’anima è superiore a 3, essi devono essere moltiplicati per il coe¢ciente 0.8; nel caso di travi o piastre che sostengono tramezzi di luce superiore a 7 m, i valori riportati nella tabella 7.2 devono essere moltiplicati per il fattore 7=l (l in metri). Altri fattori di correzione sono previsti dall’Eurocodice in funzione della tensione di esercizio dell’acciaio. 7.4.1

Calcolo analitico delle deformazioni

Per gli elementi in cemento armato la valutazione analitica delle deformazioni, come è già stato sottolineato, presenta sensibili di¢coltà a causa dell’insorgere della fessurazione nelle parti tese. I risultati che si ottengono utilizzando formulazioni approssimate, basate sull’analisi della fessurazione presentata nella sezione 7.2, risultano generalmente a¤etti da sensibili scarti rispetto ai risultati sperimentali, che peraltro sono notevolmente dispersi. Inoltre si deve tener conto degli e¤etti di fenomeni, come il ritiro e la viscosità, che nel tempo modi…cano lo stato deformativo, anche in assenza di variazione dei carichi. Una formulazione relativamente semplice consiste nell’assumere che, ove la massima trazione non supera la resistenza del calcestruzzo, l’elemento non è fessurato e quindi la sezione reagente è data dall’intera sezione di calcestruzzo e dall’acciaio omogenizzato. Indicando con Ig il momento di inerzia di questa sezione, la curvatura è data adlla relazione: µ=

M Ec Ig

(7.12)

dove Ec è il modulo elastico del calcestruzzo, opportunamente ridotto per tener conto dei fenomeni viscosi. Quando la sollecitazione supera la resistenza a trazione e l’elemento si fessura, si deve tener conto che la sua rigidezza diviene variabile lungo la trave, con minimi localizzati in corrispondenza delle sezioni fessurate. Per il calcolo degli abbassamenti delle travi si può utilizzare la deformazione media del concio fessurato, come de…nito nella sezione 7.2. Per la norme italiane e l’EC2 questa deformazione è data dalla relazione [eq. (7.11)]:

"

²sm = ²sII 1 ¡ ¯ 1 ¯ 2

µ ¶# ¾sr ¾s

2

= ²sII ³

(¾s > ¾sr )

(7.13)

dove ²sII è la deformazione dell’acciaio teso relativamente alla sezione fessurata, mentre il signi…cato degli altri simboli è quello illustrato nel § 7.2.2. Nei casi più comuni (acciaio ad aderenza migliorata e carichi frequenti o quasi permanenti) il prodotto¯1 ¯ 2 prende il valore 0.5.

168


Nel caso che la sollecitazione sia di sola ‡essione il rapporto ¾ sr =¾s può essere sostituito da Mfr =M , rapporto tra il momento di fessurazione e quello e¤ettivo. In tal caso indicando con Ifr il momento di inerzia della sezione fessurata, l’eq. (7.13) diviene: ²sm

"

M (d ¡ yc ) = 1 ¡ ¯ 1 ¯2 Ec Ifr

µ ¶# Mf M

2

(M > Mfr )

(7.14)

Al limite di fessurazione (¾ = ¾sr o M = Mfr ) le eq. (7.13) e (7.14) forniscono un valore di ²sm completamente indipendente da quello relativo allo stato I (non fessurato). Questo produce una discontinuità nei valori di²sm in corrispondenza del punto di fessurazione che può divenire paradossale qualora si assuma¯ 1 ¯2 = 1, poiché in questo caso per ¾s = ¾sr si ha ²sm = 0. L’Eurocodice 2 corregge le equazioni (7.13) e (7.14) per superare questa anomalia, ponendo: (7.15)

²sm = ²sI (1 ¡ ³ ) + ²sII ³

in cui ³ è il fattore implicitamente de…nito dall’eq. (7.13), mentre ²sI e ²sII sono le deformazioni dell’acciaio corrispondenti allo stato I (non fessurato) e II (fessurato) della sezione. Per ¾ s · ¾sr ( M · Mfr ) si assume ³ = 0, per cui risulta ²sm = ²sI . Nelle zone fessurate (³ > 0) la deformazione media risulta compresa tra le due e tende a quella della sezione fessurata per ¾ s À ¾ sr (³ » 1 ). Se ¯ 1 ¯ 2 < 1 anche l’eq. (7.15 ) presenta una discontinuità in corrispondenza del punto di fessurazione, tuttavia poiché in questo caso risulta comunque, per ¾ s ¸ ¾sr , ²sm ¸ ²sI , essa non da luogo ai risultati paradossali che si possono ottenere utilizzando direttamente l’eq. (7.13). Nota la deformazione media dell’armatura la curvatura della sezione si determina con la semplice relazione: µm =

²sm d ¡ yc

(7.16)

dove d è l’altezza utile ed yc l’altezza della zona compressa della sezione. Sostituendo ad ²sm l’eq. (7.13) si ottiene quindi: µm =

²sII ³ = µII ³ d ¡ yc

(7.17)

dove µII indica la curvatura della sezione fessurata. Secondo l’Eurocodice 2 si può quindi porre: (7.18)

µ m = µ I (1 ¡ ³ ) + µ II ³

µ I è che dove la curvatura non coerente fess urata,con calcolata con l’eq. (7.12 ). Si deve osservare l’eq. (7.18)della nonsezione è del tutto l’eq. (7.15). Diversamente dalle norme italiane e dall’EC2 le norme statunitensi ACI de…niscono direttamente la rigidezza (inerzia) media della sezione nella trave fessurata mediante la semplice relazione empirica:

<>8 µ ¶ " µ ¶ # :> Ig

Im =

Ig

Mf r M

3

+ Ifr 1 ¡

Mf r M

se M

·

Mfr

3

se M > Mfr

(7.19)

169


Figura~7.3: Dominio di integrazione dell’equazione (20) in cui Ig ed If r sono i momenti di inerzia della sezione negli stati non fessurato e fessurato, rispettivamente. Dalla rigidezza Im si passa quindi alla curvatura mediante l’ovvia relazione: µm =

M Ec Im

L’eq. (7.19) ha il pregio di essere continua per cui Im e µm non subiscono brusche variazioni nel passaggio dallo stato non fessurato a quello fessurato. Quando le sollecitazioni (il momento negli elementi in‡essi) è noto a priori, come avviene nelle strutture isostatiche, la determinazione degli spostamenti è relativamente semplice. In funzione di M e delle caratteristiche geometriche e meccaniche delle sezioni di calcestruzzo e delle armature, tramite le equazioni (7.12) e (7.17) [o (7.18) o (7.19)], si calcola in ogni sezione il valore medio della curvaturaµm (x). L’abbassamento della trave si determina quindi mediante doppia integrazione della funzioneµm (x): x

u(x) = u(0) + '(0)x +

ZZ 0

0

»

µ m (´) d´d»

(7.20)

in cui u(0) e '(0) sono l’abbassamento e la rotazione della sezione di srcine. L’integrale doppio che compare nell’eq. (7.20) si può trasformare in un integrale monodimensionale semplicemente eseguendo uno scambio nell’ordine di integrazione. Il dominio di integrazione nel piano »; ´ è mostrato in …g. (7.3); invertendo l’ordine di integrazione si ha:

x

Z Z

»

d»

0

0

Z

u(x) = u(0) + '(0)x +

Z

per cui l’eq. (7.20) diviene:

Z

x

µm (´) d´

µm (´) d´ =

0

x

d» = ´

0

Z

x 0

(x ¡ ´)µ m (´) d´

x

(x ¡ ´)µ(´) d´

(7.21)

170


Per esempio, nel caso di una trave semplicemente appoggiata, per le condizioni al contorno u(0) = u(l) = 0 si ha: '(0) = ¡

e quindi:3

1 l

Z

l 0

(l ¡ ´)µm (´) d´

x

u(x) = 0

Strutture iperstatiche

(x ¡ ´)µm (´) d´ ¡

Z

l

x l

0

(l ¡ ´)µm (´) d´

Z

Nelle strutture iperstatiche la distribuzione delle sollecitazioni dipende dalle caratteristiche deformative degli elementi costituenti. Per le strutture in cemento armato, a causa del comportamento non lineare del materiale, dovuto principalmente alla fessurazione, il problema è notevolmente complicato e richiede algoritmi di calcolo più complessi di quelli normalmente utilizzati per lo studio delle strutture elastico–lineari. In pratica tuttavia anche le strutture in cemento armato vengono di solito analizzate assumendo l’ipotesi che il loro comportamento sia elastico lineare, valutando la rigidezza degli elementi con riferimento all’intera sezione di calcestruzzo ma trascurando il contributo delle armature. Questa sempli…cazione o¤re il duplice vantaggio di poter utilizzare gli usuali metodi di calcolo validi per le strutture elastiche e di permettere la determinazione delle sollecitazioni prescindendo dalla distribuzione delle armature, che vengono calcolate successivamente sulla base delle sollecitazioni così determinate. L’esperienza ha dimostrato che questa approssimazione, per quanto grossolana, fornisce risultati soddisfacenti ai …ninelle dellazone veri…ca sicurezzadelle delle membrature opere. In e¤etti le riduzioni di rigidezza si veri…cano piùdisollecitate in‡esse modi…cano un pocoche la distribuzione delle sollecitazioni, ma questa ridistribuzione non comporta e¤etti sensibili nei confronti della sicurezza al collasso perché, se la struttura è su¢cientemente duttile, a questo …ne ciò che conta è che sia soddisfatto l’equilibrio globale dell’elemento, in quanto le ridistribuzioni che si veri…cano in fase plastica consentono di utilizzare gli eccessi di resistenza per colmare eventuali lacune. In fase di esercizio invece possono veri…carsi inconvenienti dovuti all’eccessiva sollecitazione di alcune sezioni, ma generalmente questi e¤etti sono evitati dai margini di sicurezza relativi ai materiali ed alle azioni, oltre che dal rispetto dei minimi regolamentari. Anche per la veri…ca dello stato limite di deformazione delle strutture iperstatiche è generalmente ammesso applicare il procedimento, illustrato nel paragrafo precedente con riferimento alle strutture isostatiche, utilizzando le sollecitazioni determinate con l’ipotesi di funzionamento elastico–lineare della struttura. Volendo ottenere una determinazione più accurata delle sollecitazioni e degli spostamenti occorre invece tener conto del comportamento non lineare indotto dalla fessurazione. titolo di esempio nel paragrafo seguente viene illustrato delle in traviA continue in fase fessurata e successivamente è riportataunlametodo lista diper unl’analisi programma FORTRAN che applica il procedimento descritto. Travi continue in fase fessurata

Il modello di comportamento utilizzato è quello descritto nei paragra… precedenti. In fase non fessurata (M < M fr ) la rigidezza della sezione è quella intera del calcestruzzo (ed 3

u

è

positivo verso l’alto.

171


Figura~7.4: Convenzioni e simboli per la trave continua. eventualmente dell’acciaio omogenizzato). In fase fessurata (M ¸ Mf r ) il momento di inerzia medio delle sezioni si può calcolare usando le equazioni (7.17) o (7.18) o (7.19), secondo il modello prescelto. Mentre dall’eq. (7.19) si ottiene direttamente il valore di Im , dalle equazioni (7.17) e (7.18) questa grandezza deve essere derivata ponendo: µm = M=Ec Im . Dall’eq. (7.17) si ottiene quindi: Ifr ³

(7.22)

Ig Ifr Ifr (1 ¡ ³ ) + Ig ³

(7.23)

Im =

e dall’eq. (7.18): Im =

Per la soluzione del problema è conveniente utilizzare il metodo delle forze. Le incognite sono quindi i momenti di continuitàm tra le campate i-esima ed (i + 1)-esima. Indicando con M0i (x) il momento prodotto dai icarichi sulla campatai, considerata come una trave appoggiata, il momento e¤ettivo della trave continua Mi (x), relativamente alla stessa campata, è: x x Mi (x) = M0i (x) ¡ mi 1 (1 ¡ ) ¡ mi li li ¡

(7.24)

dove si è adottata la convenzione di considerare i momenti M (x) positivi se tendono le …bre inferiori della trave, come mostrato in …g. (7.4).

172


Una coppia di momenti opposti, di modulo unitario, agenti in corrispondenza dell’appoggio k producono, sulla trave privata della continuità, il momento […g. (7.4)]: 0

Mk (x) =

8< :

x=lk sulla campata k (1 ¡ x=lk+1) sulla campata k + 1 0 sulle altre campate

(7.25)

Poiché le forze che producono il momento Mk formano un sistema equilibrato, il lavoro virtuale dei momenti Mk per ogni campo di deformazioni congruenti deve essere nullo. Utilizzando come campo di deformazioni virtuali quelle prodotte dal momento e¤ettivo M (x): 0

0

M (x) Ec I (x)

(I (x) è il momento di inerzia della sezione), tenendo conto delle equazioni (7.24) e (7.25) e ponendo » = x=l, si ottiene:

Z

M (x) M 0 (x)x_ = Ec I (x) k = lk

1

Z

0

¡

¡ mk

·Z lk

1

M0;k+1(» )(1 ¡ » ) d» ¡ EcIk+1 (» ) 1 (1 ¡ » )» ¡ mk 1 lk d» ¡ 0 Ec Ik (» ) 1 2 1 » (1 ¡ » )2 d» + lk+1 d» ¡ 0 Ec Ik (» ) 0 Ec Ik+1(» )

M0k (» )» d» + lk+1 Ec Ik (» )

Z

Z

0

Z

¡ mk+1lk+1

¸ Z

1

0

(1 ¡ » )» d» = 0 Ec Ik+1 (» )

Queste equazioni, scritte per ogni appoggio, danno luogo ad un sistema che, in forma compatta, si può scrivere:

³

(2)

(1)

(3)

´

(2)

(1)

(2)

mk 1 ck + mk ck + ck+1 + mk+1ck+1 = bk + bk+1 ¡

(k = 1; 2;::: )

(7.26)

dove i coe¢cienti c ed i termini noti b sono forniti dalle relazioni: (1)

ck = lk

Z

1 0

»2 d» Ec Ik (» )

b(1) k

= lk

Z

1 0

(2)

ck = lk

M0k (» )» d» Ec Ik (» )

Z

1 0

» (1 ¡ » ) d» Ec Ik (» )

b(2) k

= lk

Z

1 0

(3)

ck = lk

Z

1 0

(1 ¡ » )2 d» Ec Ik (» )

M0k (»)(1 ¡ » ) d» Ec Ik (» )

Se Ik (» ) non dipende dalla sollecitazione il sistema di equazioni (7.26) è lineare; in particolare se Ik (» ) = cost si ottiene la ben nota equazione dei 3 momenti. Nel caso in esame invece il momento di inerzia varia con la sollecitazione a causa del progredire della fessurazione, pertanto la soluzione del sistema di equazioni (7.26) richiede un procedimento iterativo. Un semplice schema è il seguente: si inizia assumendo I (» ) = Ig , momento di inerzia della sezione non fessurata; risolvendo il sistema (7.26) si determina una soluzione di primo tentativo. Dalle sollecitazioni conseguenti si ottengono i valori di I (» ) corretti per tener conto della fessurazione. Con questi valori si calcolano i coe¢cienti c (kj) ed i termini noti b(kj) e, con essi, una soluzione di seconda approssimazione. Il procedimento viene quindi iterato …no a quando due successive soluzioni di¤eriscono per meno di una tolleranza …ssata.


173

Nel seguito viene riportata la lista di un programma, in FORTRAN 77, per il calcolo delle sollecitazioni e degli spostamenti di travi continue in regime fessurato. I dati devono essere preparati in un “…le”, secondo lo schema seguente, in cui ogni voc e della lista corrisponde ad una riga (“record”): Lista del programma

1. Numero delle campate, Tolleranza errore convergenza, Opzione: (=0 Norma italiana, = 1 EC2, =2 ACI) 2. Per ogni campata: (a) Luce di calcolo, Numero delle sezioni esaminate (deve essere dispari) (b) Per ogni sezione: ² Rigidezza sez. non fess., Rig. sez. fess. mom. pos., Rig. sez. fess. mom. neg., Momento di fessurazione positivo, Mom. fess. negativo, Momento dei carichi su trave appoggiata. C Programma per il calcolo delle sollecitazioni nelle travi continue in C c.a. nello stato fessurato c Parameter (ncp=20, nszp=21) dimension spn(ncp), ns(ncp), rg(ncp,nszp), rf(ncp,nszp,2), &bmf(ncp ,nszp,2), bm0(ncp,nsz p), cp), reff(nszp) , bme(ncp, nszp), &v(n szp),xsi (nszp), c1(ncp), c2(n c3(ncp), b1(ncp), b2(ncp), &c(2*ncp-3), b(ncp-1), x(ncp-1),xp(ncp-1),curv(ncp,nszp), &rot(nszp),y(ncp,nszp) C data beta/0.5/ , maxit /10/ C C C c c c

Input dei dati iop=0 Norma Ital iop=1 EC2 iop=2 ACI read(5,*) nc,tll,iop Do 20 i=1,nc read(5,*) spn(i),ns(i) do 10 j=1,ns(i)

10 read(5,*) rg(i,j),(rf(i,j,k),k=1,2),(bmf(i,j,k),k=1,2),bm0(i,j) 20 continue C C Inizio ciclo iterazioni C iter=0 30 do 200 i=1,nc do 40 j=1,ns(i) 40 xsi(j)=float(j-1)/float(ns(i)-1)

174


C C Alla prima iterazione assume la rigidezza non fessurata C if(iter.eq.0) then do 50 j=1,ns(i) 50 reff(j)=rg(i,j) goto 80 end if C C Calcolo delle sollecitazioni e rigidezze in tutte le sezioni C do 70 j=1,ns(i) bm=bm0(i,j) if(i.gt.1) bm=bm-x(i-1)*(1-xsi(j)) if(i.lt.nc) bm=bm-x(i)*xsi(j) bme(i,j)=bm if(bm.ge.0) then if(bm.le.bmf(i,j,1)) then reff(j)=rg(i,j) else z=1-beta*(bmf(i,j,1)/bm)**2 if(iop.eq.0) then reff(j)=rf(i,j,1)/z elseif(iop.eq.1) then reff(j)=1/((1-z)/rg(i,j)+z/rf(i,j,1)) else reff(j)=rg(i,j)*(bmf(i,j,1)/bm)**3 + & rf(i,j,1)*(1-(bmf(i,j,1)/bm)**3) endif endif else if(bm.ge.bmf(i,j,2)) then reff(j)=rg(i,j) else z=1-beta*(bmf(i,j,2)/bm)**2 if(iop.eq.0) then reff(j)=rf(i,j,2)/z elseif(iop.eq.1) then reff(j)=1/((1-z)/rg(i,j)+z/rf(i,j,2)) else reff(j)=rg(i,j)*(bmf(i,j,2)/bm)**3 + & rf(i,j,2)*(1-(bmf(i,j,2)/bm)**3) endif endif endif curv(i,j)=bm/reff(j) 70 continue C


C Calcolo dei coefficienti c e dei termini noti b C 80 do 90 j=1,ns(i) 90 v(j)=xsi(j)**2/reff(j) call simpson(v,ns(i),0.,1.,c1(i)) do 100 j=1,ns(i) 100 v(j)=xsi(j)*(1-xsi(j))/reff(j) call simpson(v,ns(i),0.,1.,c2(i)) do 110 j=1,ns(i) 110 v(j)=(1-xsi(j))**2/reff(j) call simpson(v,ns(i),0.,1.,c3(i)) do 120 j=1,ns(i) 120 v(j)=bm0(i,j)*xsi(j)/reff(j) call simpson(v,ns(i),0.,1.,b1(i)) do 130 j=1,ns(i) 130 v(j)=bm0(i,j)*(1-xsi(j))/reff(j) call simpson(v,ns(i),0.,1.,b2(i)) 200 continue c c Assemblaggio dei coefficienti del sistema di equazioni c do 300 i=1,nc-1 c(2*i-1)=c1(i)*spn(i)+c3(i+1)*spn(i+1) if(i+1.lt.nc) c(2*i)=c2(i+1)*spn(i+1) b(i)=b1(i)*spn(i)+b2(i+1)*spn(i+1) 300 continue call solve2(c,b,nc-1,x) c c Controllo convergenza c if(iter.gt.0) then err=0 do 320 i=1,nc-1 320 err=max(err,abs(x(i)-xp(i))) write(6,*) ’Iterazione n.’,iter,’ Errore =’,err if(err.le.tll.or.iter.gt.maxit) goto 400 end if c c Ricorda il risultato in xp c do 350 i=1,nc-1 350 xp(i)=x(i) iter=iter+1 c c Nuova iterazione c goto 30 c

175

176


c Convergenza raggiunta. Calcolo degli abbassamenti c 400 continue do 450 i=1,n c rot(1)=0 dx=spn(i)/(ns(i)-1) do 410 j=2,ns(i) 410 rot(j)=rot(j-1)+(curv(i,j-1)+curv(i,j))*dx/2 y(i,j)=0 do 420 j=2,ns(i) 420 y(i,j)=y(i,j-1)+(rot(j-1)+rot(j))*dx/2 do 430 j=2,ns(i) 430 y(i,j)=y(i,j)-y(i,ns(i))*float(j-1)/float(ns(i)-1) 450 continue c c Stampa dei risultati c write(6,1000) do 500 i=1,n c write(6,1100) i,(bme(i,j),j=1,ns(i)) 500 write(6,1200) (y(i,j),j=1,ns(i)) stop 1000 format(’1’,’SOLUZIONE’,//) 1100 format(1x,/,’CAMPATA N.’,i3,/’ Momenti=’,/(1x,6e12.5)) 1200 format(1x,’Abbassam.=’,/(1x,6e12.5)) end c c subroutine solve2(c,b,n,x) c c Soluzione sistemi lineari con matrice simmetrica e banda 2 c dimension c(*),b(*),x(*) c c Riduzione c do 10 i=2,n c(2*i-1)=c(2*i-1)-c(2*i-2)**2/c(2*i-3) 10 b(i)=b(i)-b(i-1)*c(2*i-2)/c(2*i-3) c c Sostituzione all’indietro c x(n)=b(n)/c(2*n-1) do 20 i=n-1,1,-1 20 x(i)=(b(i)-x(i+1)*c(2*i))/c(2*i-1) return end c


177

c subroutine simpson(v,n,a,b,q) c c Integrale definito con regola di Simpson c dimension v(*) if(mod(n,2).ne.1) then write(6,1000) stop endif q=v(1) do 10 i=2,n-3,2 10 q=q+4*v(i)+2*v(i+1) q=(q+4*v(n-1)+v(n))*(b-a)/3/(n-1) return 1000 format(’ ERRORE IN ROUTI NE SIMPSON’,/ &’Il numero dei punti di integrazione deve essere dispari’) end

Gli integrali che de…niscono i coe¢cienti c e b dell’eq. (7.26) vengono calcolati numericamente con la regola di Simpson. Questo richiede che il numero di sezioni esaminate per ogni campata (punti di integrazione) sia dispari. È ovvio che le sezioni considerate sono distribuite uniformemente alla distanza costantel=(n ¡ 1). Per il calcolo degli abbassamenti si è integrata due volte la funzione delle curvature, applicando direttamente l’eq. (7.20), usando la semplice regola dei trapezi. Questo procedimento, meno accurato, ha il vantaggio di fornire direttamente il valore dello spostamento di ogni punto di integrazione e quindi, per punti, l’intera deformata della trave. Note

Esempio

Come esempio di utilizzazione del calcolo non lineare delle sollecitazioni e degli abbassamenti di una trave in cemento armato viene studiata, mediante il programma presentato in precedenza, una trave continua a due campate. Esempio 7.1 Si considera la trave simmetrica a due campate rappresentata in …g. 7.5 ( ). Si

assume che sia sollecitata da un carico di esercizio uniforme p = 40 kN=m. La trave è stata progettata con il metodo delle tensioni ammissibili per le sollecitazioni ricavate da un calcolo elastico della trave non fessurata. Si ottiene: 2 M = 81 pl2 = 180 kNm Momento sull’appoggio 9 Momento massimo in campata M = 128 pl2 = 101:2kNm Esempio 7.2 Assumendo per i materiali le seguenti caratteristiche: CalcestruzzoRck = 30 N=mm,

Acciaio tipo Fe B 44k, sono state calcolate le armature rappresentate in …gura. Nella trave si riconoscono tre tipi di sezione, diversi per i quantitativi dell’armatura: Sez. 1 Asup = 2Á14 = 3:1 cm2 Ainf = 4Á16 = 8:0 cm2 Sez. 2 Asup = 2Á14 + 2Á16 + 1Á20 = 10:2 cm2 Ainf = 2Á16 = 4:0 cm2 Sez. 3 Asup = 2Á14 + 4Á16 + 1Á20 = 14:2 cm2 Ainf = 2Á16 = 4:0 cm2

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Figura~7.5: Armatura della trave continua dell’esempio. Sez. Ig (cm4 ) If+ (cm4 ) If (cm4 ) ¡

12 3

540000 540000 540000

250134 149913 152922

117884 304706 388258

Mf+r (Ncm)

6

£ 3:285 3:285 £ 10 106 3:285 £ 106

¡

Mf r (Ncm)

6 ¡3:285 £ 106 ¡3:285 £ 10 ¡3:285 £ 106

Tabella 7.3: Dividendo la trave in 10 conci di uguale lunghezza (¢x = 60 cm), la Sez. 1 interessa le sezioni 1 – 8, la Sez. 2 la sezione 9 e la Sez. 3 le sezioni 10 - 11. Le caratteristiche delle sezioni richieste dal programma sono riportate nella tabella (7.3) I risultati ottenuti, adottando il modello di fessurazione della normativa italiana, sono illustrati nella …g. 7.6, a confronto con quelli corrispondenti all’analisi della trave non fessurata. Come si vede il diagramma delle sollecitazioni non si modi…ca sensibilmente, tuttavia il momento sull’appoggio aumenta di circa l’11% (M = 200 kNm). Questo è dovuto al fatto che le sezioni prossime all’appoggio, essendo maggiormente armate, sono, in fase fessurata, più rigide di quelle della parte centrale della trave. Le deformazioni (calcolate con riferimento al modulo elastico del calcestruzzo Ec = 0:4Ec = 12500 N=mm2 , ridotto per tener conto della viscosità) sono ovviamente molto maggiori in fase fessurata di quelle relative alla fase I. Tuttavia il risultato sarebbe stato invece poco ¤

diverso elastica.se il calcolo, in fase fessurata, fosse stato eseguito sulla base del momento relativo alla fase 2


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Figura~7.6: Diagrammi dei momenti edelle deformazioni della trave continua dell’esempio

Appunti_tecnica_delle_costruzioni.pdf

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