Apostila_Teoria2_2012_

Curso: Engenharia Engenharia Civil; Prof: Marcos Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2

TEORIA TEORIA DAS DA S ESTRUTUR ESTRUTURA AS 2

ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS (cálcu cálculo lo dos deslo desloca came mento ntos) s) E

ESTRUTUR ESTRUTURA A S HIPEREST HIPERESTÁ Á TICAS TICA S (cálcul cálc ulo o da d as re r eaçõe çõ es de d e apoio po io)) & (cálcu cálculo lo dos deslo desloca came mento ntos) s)

1

Curso: Engenharia Engenharia Civil; Prof: Marcos Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 1 - Intr Introduç odução. ão. As estruturas em geral estão sob a ação das seguintes solici tações tações reais reais : A - Peso próprio; B - Carregamento exterior (cargas permanentes, cargas acidentais); C - Efeito da temperatura; D - Deslocamento prescrito (conhecido ( conhecido): ): D1 - Movimentos dos apoios da estrutura, ou ou seja, recalques recalques dos apoios; D2 - modificação na posição original da estrutura que ocorre durante a montagem da mesma (um alongamento, um encurtamento);

Estas solicit ações ações reais reais geram esforços internos, ou seja, Forças reais internas (N, Q, M, T) nas estruturas que por sua provocam deslocamentos, ou seja, deformações nas estruturas. No dia a dia as estruturas estão sob o efeito simultâneo destas solicitações reais. Para determinar o deslocamento de uma determinada seção s qualquer de uma estrutura é necessário calcular o deslocamento provocado por cada agente separadamente e em seguida realizar o somatório dos deslocamentos produzidos pelos agentes a fim de determinar o deslocamento final sofrido por esta seção s da estrutura. O cálculo dos deslocamentos em estruturas isostáticas pode ser determinado por meio do Método da Força Virtual Unitária ou Método de Maxwell-Mohr , em homenagem a James Maxwell e Otto Mohr que o desenvolveram em trabalhos independentes, respectivamente, em 1864 e 1874. Este método foi desenvolvido a partir do Teorema ou Princípio das Forças Virtuais. 1.1 - Teorema das Forças Virtuais

Este Teorema estabelece que: Considerando em uma estrutura um sistema de forcas equilibradas quaisquer, denominadas Forças Virtuais , o trabalho virtual das forças externas é igual ao trabalho virtual das forças internas. Wext = Win t Lembrete: trabalho W = F. d ∑(Pi . δi) + ∑ (R j . δij) = ∑ ( x∫ N dδ + x∫ Q dλ + x∫ M dϕ + x∫ T dθ ) i

j

(1)

contribuição de cada barra da estrutura; ∑ - somatório da contribuição x - comprimento da barra; Pi - forças virtuais externas, variando de 1 até i; δi - deslocamentos reais onde são supostas as forças virtuais Pi ; R j - reações de apoio virtuais, variando de 1 até j; δij - deslocamentos prescritos (iniciais  antes da aplicação de uma solicitação qualquer sobre a estrutura) onde são arbitradas as reações de apoio virtuais; N, Q, M, T - forças virtuais internas (Normal, Cortante, Momento fletor e Momento Torçor) ao longo da barra devido à aplicação da externa virtuais; dδ, dλ, dϕ e dθ são os deslocamentos reais relativos associados, respectivamente às forças reais internas ( N, Q, M, T ) que surgem para equilibrar as forças externas reais; 2

Curso: Engenharia Engenharia Civil; Prof: Marcos Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 1 - Intr Introduç odução. ão. As estruturas em geral estão sob a ação das seguintes solici tações tações reais reais : A - Peso próprio; B - Carregamento exterior (cargas permanentes, cargas acidentais); C - Efeito da temperatura; D - Deslocamento prescrito (conhecido ( conhecido): ): D1 - Movimentos dos apoios da estrutura, ou ou seja, recalques recalques dos apoios; D2 - modificação na posição original da estrutura que ocorre durante a montagem da mesma (um alongamento, um encurtamento);

Estas solicit ações ações reais reais geram esforços internos, ou seja, Forças reais internas (N, Q, M, T) nas estruturas que por sua provocam deslocamentos, ou seja, deformações nas estruturas. No dia a dia as estruturas estão sob o efeito simultâneo destas solicitações reais. Para determinar o deslocamento de uma determinada seção s qualquer de uma estrutura é necessário calcular o deslocamento provocado por cada agente separadamente e em seguida realizar o somatório dos deslocamentos produzidos pelos agentes a fim de determinar o deslocamento final sofrido por esta seção s da estrutura. O cálculo dos deslocamentos em estruturas isostáticas pode ser determinado por meio do Método da Força Virtual Unitária ou Método de Maxwell-Mohr , em homenagem a James Maxwell e Otto Mohr que o desenvolveram em trabalhos independentes, respectivamente, em 1864 e 1874. Este método foi desenvolvido a partir do Teorema ou Princípio das Forças Virtuais. 1.1 - Teorema das Forças Virtuais

Este Teorema estabelece que: Considerando em uma estrutura um sistema de forcas equilibradas quaisquer, denominadas Forças Virtuais , o trabalho virtual das forças externas é igual ao trabalho virtual das forças internas. Wext = Win t Lembrete: trabalho W = F. d ∑(Pi . δi) + ∑ (R j . δij) = ∑ ( x∫ N dδ + x∫ Q dλ + x∫ M dϕ + x∫ T dθ ) i

j

(1)

contribuição de cada barra da estrutura; ∑ - somatório da contribuição x - comprimento da barra; Pi - forças virtuais externas, variando de 1 até i; δi - deslocamentos reais onde são supostas as forças virtuais Pi ; R j - reações de apoio virtuais, variando de 1 até j; δij - deslocamentos prescritos (iniciais  antes da aplicação de uma solicitação qualquer sobre a estrutura) onde são arbitradas as reações de apoio virtuais; N, Q, M, T - forças virtuais internas (Normal, Cortante, Momento fletor e Momento Torçor) ao longo da barra devido à aplicação da externa virtuais; dδ, dλ, dϕ e dθ são os deslocamentos reais relativos associados, respectivamente às forças reais internas ( N, Q, M, T ) que surgem para equilibrar as forças externas reais; 2


A resistência dos materiais fornece as seguintes expressões: dδ = N . dx; EA

dλ = Q . dx; GAv

dϕ = M . dx; EI

dθ = T . dx GJ

(2)

Onde: E - Módulo de elasticidade; A - Área da seção transversal; I - Momento de Inércia da seção transversal; G - Módulo de elasticidade transversal; J - Momento de inércia polar, ou seja, momento de inércia associado a torção da seção; Av - Área efetiva de cisalhamento. A v = A/f , sendo f o o fator de cisalhamento relativo ao esforço cortante; A tabela 1 apresenta as propriedades de seção A, transversais mais usuais.

3

Iy, Iz, f y, f z e

J para as seções


Substituindo os termos da equação 2 na equação 1, obtêm-se o teorema das Forças Virtuais sob a forma: Wext = Win t ∑(Pi . δi) + ∑ (R j . δij) = ∑ (x∫ N.N.dx + x∫ Q.Q. dx + x∫ M.M.dx + x∫ T.T.dx) i j EA GAv EI GJ

(3)

N, Q, M, T  forças internas reais (devido à solicitação real) N, Q, M, T  forças internas virtuais (devido à solicitação virtual unitária); 2 - Cálculo dos deslocamentos por meio do Método da Força Virtual Unitária ou Método Método de Maxwell-Mohr Maxwell-Mohr..

Inicialmente será apresentada a formulação para determinar o deslocamento de uma seção s qualquer de uma estrutura devido à ação solicitação real : carregamento exterior, posteriormente, as formulações para determinar os deslocamentos provocados pelas demais solicitações reais serão apresentadas, visto que são análogas ao do carregamento exterior. Seja a estrutura da figura 1, submetida ao carregamento indicado, que por sua vez, gera Forças reais internas (N, Q, M, T). Devido a estas forças reais internas a estrutura se deforma, adquirindo a configuração representada em traço-ponto. Δ Configuração Configuração original Configura Configura ão deformad deformada a Δ Pi Fu= 1 Pn P2 dx P1 m m δ Δ

δ Configuração Configuração original Configuração deformada

Modelo Modelo sob solic itação real: real: carregamento carregamento exterior, onde este carregamento gera: - forças reais internas: (N, Q, M, T); - deslocamentos reais relativos entre duas seções adjacentes distantes dx: d  deslocamento axial devido ao N; d  deslizamento devido ao Q; d  rotação devida ao M; d  rotação devida ao T;

Figura 1: Modelo sob solicitação real: carregamento exterior

4

Δ Modelo Modelo sob solic itação virtual: virt ual: força vitu al unitária, onde esta força virtual gera: - forças virtuais internas: (N, Q, M, T); - deslocamentos virtuais relativos entre duas seções adjacentes distantes dx: d  deslocamento axial devido ao N; d  deslizamento devido ao Q; d  rotação devida ao M; d  rotação devida ao T;

Figura 2: Modelo sob solicitação virtual: Força virtual unitária

Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2

Supondo, para fins de raciocínio, que o deslocamento na direção de um ponto qualquer m da estrutura ilustrada na figura 1 seja determinado, sendo este deslocamento chamado por . Utilizando o Teorema das forças Virtuais Maxwell-Mohr propuseram o seguinte procedimento. 1- Considerando uma estrutura, conforme ilustrado na figura 2, tal que ao ser submetida à uma força virtual unitária dada por Fu = 1 na direção do deslocamento do ponto m a ser calculado adquira uma configuração deformada igual a configuração original (quando descarregada) da estrutura da figura1. 2 - Dando-se a todos os pontos da estrutura na configuração deformada ilustrada na figura 2, campo de deslocamentos virtuais ( ) exatamente iguais aos deslocamentos reais ( δ ) provocados pela solicitação real, esta assumirá uma configuração virtual deformada igual à configuração deformada da figura 1. δ =δ d d d d

= d = d = d = d

 deslocamento

axial devido ao N;  deslizamento devido ao Q;  rotação devida ao M;  rotação devida ao T;

Assim aplicando o teorema das forças virtuais à estrutura com as forças e deslocamentos indicados na figura 2, ou seja, utilizando a equação 3, para a estrutura em questão, têm-se: Wext = Win t ∑(Pi . δi) + ∑ (R j . δij) = ∑ (x∫ N.N.dx + x∫ Q.Q. dx + x∫ M.M.dx + x∫ T.T.dx) i j EA GAv EI GJ

(3)

Onde para a estrutura da figura 2 devem ser realizadas as considerações a seguir: - Existe apenas uma força virtual unitária (Fu = 1)  Pi = Fu - Esta força virtual unitária, gera forças internas virtuais: N = Nu; Q = Qu; M = Mu; T = Tu Assim a equação 3 pode ser escrita da seguinte forma: Fu . δ + ∑ (R j . δij) = ∑ (x∫ Nu.N.dx + x∫ Qu.Q. dx + x∫ Mu.M.dx + x∫ Tu.T.dx) EA GAv EI GJ

(4)

A equação (4) traduz matematicamente MÉTODO DA FORÇA VIRTUAL UNITÁRIA , O cálculo dos deslocamentos em estruturas isostáticas é determinado por meio do MÉTODO DA FORÇA VIRTUAL UNITÁRIA ou Método de Maxwell-Mohr , em homenagem a James Maxwell e Otto Mohr que o desenvolveram em trabalhos independentes, respectivamente, em 1864 e 1874.

5


No dia a dia as estruturas estão sob o efeito simultâneo de várias solicitações reais: - peso próprio - Carregamento exterior (cargas permanentes, cargas acidentais); - Efeito da temperatura; - Deslocamento prescrito (conhecido): Para determinar o deslocamento de uma determinada seção s qualquer de uma estrutura é necessário calcular o deslocamento provocado por cada solicitação real separadamente e em seguida realizar o somatório dos deslocamentos produzidos a fim de determinar o deslocamento final sofrido por esta seção s da estrutura. Inicialmente será apresentada a formulação pra determinar o deslocamento de uma seção s qualquer de uma estrutura devido à ação do carregamento exterior, posteriormente, as formulações para determinar os deslocamentos provocados pelos demais agentes serão apresentadas, visto que suas formulações são análogas ao do carregamento exterior. 2.1 - Método da força vir tual uni tária: Efeito de carregamento exterior O deslocamento ( ) em uma dada direção, em uma determinada seção s de uma estrutura devido à ação do carregamento exterior é determinado por meio da equação (4), mas fazendo as seguintes considerações: - o objetivo é determinar o deslocamento de uma seção s provocado apenas pela solicitação real carregamento exterior - Desta forma, o termo que considera os deslocamentos prescritos da estrutura podem ser considerado nulo, o que permite escrever: = 0 Fu . δ + ∑ (R j . δij) = ∑ (x∫ Nu.N.dx + x∫ Qu.Q. dx + x∫ Mu.M.dx + x∫ Tu.T.dx) (4) EA GAv EI GJ

Fu . δ = ∑ (x∫ Nu.N.dx + x∫ Qu.Q. dx + x∫ Mu.M.dx + x∫ Tu.T.dx) EA GAv EI GJ Como a força virtual é unitária: δ = ∑ (x∫ Nu.N.dx + x∫ Qu.Q. dx + x∫ Mu.M.dx + x∫ Tu.T.dx) EA GAv EI GJ

(5)

∑ - somatório da contribuição de cada barra da estrutura; x - comprimento da barra; M,N,Q, T - forças internas reais ( Momento fletor, Normal , Cortante, Torçor) ao longo da barra devido à ação da solicitação real  carregamento exterior; Mu,Nu,Qu, Tu - forcas internas virtuais (Momento fletor, Normal , Cortante, Torçor) ao longo da barra devido à ação da força virtual unitária; E - Módulo de elasticidade; A - Área da seção transversal; I - Momento de Inércia da seção transversal; G - Módulo de elasticidade transversal; J - Momento de inércia polar, ou seja, momento de inércia associado a torção da seção; Av - Área efetiva de cisalhamento;

6


O valor de Mu, Nu, Qu, Tu ao longo de cada barra da estrutura devido à ação da força unitária é determinado aplicando-se sobre a seção s uma força virtual unitária na direção do deslocamento a ser calculado, conforme apresentado na tabela 2 a seguir: Tabela 2: Escolha do Modelo de força virtual unitária Deslocamento ( δ ) a calcular da seção s

Força virtual unitária (Fu) Fu=1

1 - translação vertical, ou seja, deslocamento linear vertical de uma seção s

s Fu=1

2 - translação horizontal, ou seja, deslocamento linear horizontal de uma seção s

s Mu=1

3 - rotação, ou seja, deslocamento angular de uma seção s

s

4 - rotação relativa entre duas barras i e j que concorrem para a mesma rótula

Mu

i

Mu j

Mu= 1 5 - rotação relativa entre duas seções s e s’ de uma mesma barra 6 - rotação absoluta de uma corda AB

Mu = 1

Mu = 1

s’

s

Fu= (1/L)

Fu= (1/L) A

7 - rotação relativa de 2 cordas AB e CD

Fu1=(1/L1) Fu1

B

7

Fu=1

(AB = L) Fu2=(1/L2) Fu2 C

D

(AB = L1) (CD = L2) Fu=1

A 8 - variação do comprimento de uma corda que une 2 pontos A e B

B

B A


Para as estruturas usuais (simples), as parcelas devido ao esforço Normal, ao esforço Cortante e ao Momento Torçor podem ser desprezadas, assim a equação (5), que permite calcular o deslocamento de uma seção s qualquer de uma estrutura pode ser simplificada, sendo esta dada por: (estruturas de barras em geral: vigas, pórticos) (6) δ = ∑ (x∫ Mu.M.dx )barra EI Para o caso específico de grelhas, apenas as parcelas devido ao esforço Normal, ao esforço Cortante podem ser desprezadas assim a equação (5), que permite calcular o deslocamento de uma seção s qualquer de uma estrutura pode ser simplificada, sendo esta dada por: (7) δ = ∑ (x∫ Mu.M.dx + x∫ Tu.T.dx)barra EI GJ Exemplo1: Calcule o deslocamento horizontal do ponto B, com e sem a consideração da contribuição do esforço normal e do esforço cortante. 50 kN b 4,0 m

2ª

1ª

c 3ª

3,0 m

d a 6,0 m

Área da seção transversal das barras: A = 134 cm 2 = 134x10-4 m2 Momento de inércia da seção transversal: I = 29213 cm 4 = 29213x10-8 m4 Área efetiva de cisalhamento: A V = 39 cm 2 = 39x10-4m2 Módulo de Elasticidade longitudinal: E = 205 GPa = 205x109 Pa = 205x109 N/m2 Coeficiente de Poisson: υ = 0,3 Módulo de elasticidade transversal: G = E / [2 (1+ υ)] = 78,85 GPa Resolução: 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto B. δB =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária horizontal em b  Caso 2 da tabela 2 2 - Esboçar os diagramas de esforços devido à ação da Força virtual unitária. Fu = 1

b 4,0 m

2ª

1ª

c 3ª

3,0 m

d a

ΣMa= 0 +

Ha = 1 Vd = 0,67

v a = 0,67 6,0 m

8

 Vd .

6,0 - 1,0 . 4,0 = 0 Vd = 4/6 = 0,67

+ Σ Fy = 0  Va + Vd = 0 Va = - 0,67  Va = 0,67


3 - Esboçar os diagramas de esforços devido à ação da solicitação real: carregamento exterior. 50 KN

b

c 3,0 m

4,0 m d a

Ha = 50 KN

v a = 33,33 KN 6,0 m

ΣMa= 0 +

 Vd .

Vd = 33,33 KN

6,0 - 50,0 . 4,0 = 0 Vd = 200/6 = 33,33 KN

+ Σ Fy = 0  Va + Vd = 0 Va = - 33,33  Va = 33,33 KN

4 - Cálculo do deslocamento horizontal em b ( δb =?) δ = ∑ ( x∫ Mu.M.dx + x∫ Nu.N.dx + x∫ Qu.Q.dx + x∫ Tu.T.dx)barra E.I E.A G.Av G.J

Parcela do Momento fletor de todas as barras: δΜ = L1∫ Mu1.M1.dx + L2∫ Mu2.M2.dx + L3∫ Mu3.M3.dx = E.I E.I E.I δΜ = 1 . [L1∫ Mu1.M1.dx + L2∫ Mu2.M2.dx + L3∫ Mu3.M3.dx ] E.I

9


δΜ = 1 E.I

4

6

[ + 0∫ (1 . x) (50000. x ).dx + 0∫ (0,67. x) (33330. x ).dx + 0 ]

*** Se os momentos estiverem tracionando lados opostos  negativo 4

2

6

δΜ = 1 [ 0∫ 50000.x .dx + 0∫ 22331,1 . x2.dx ] E.I 4

6

2

δΜ = 1 [ 50000. 0∫.x .dx + 22331,1 . 0∫ x2.dx ] E.I δΜ = 1 [ 50000 . (x3/3)|4 + 22331,1 . (x3/3)|6 ] E.I δΜ =

1 . [ 50000 . 21,33 + 22331,1 . 72 ] = 0,04466 m 59886650

Parcela do Normal de todas as barras: δ Ν = L1∫ Nu1.N1.dx + L2∫ Nu2.N2.dx + L3∫ Nu3.N3.dx = E.A E.A E.A δ Ν = 1 . [L1∫ Nu1.N1.dx + L2∫ Nu2.N2.dx + L3∫ Nu3.N3.dx ] E.A 4

3

δ Ν = 1 [ + 0∫ 0,67 . 33330 . dx + 0 + 0∫ - 0,67 . (- 33330) . dx ] E.A δ Ν =

4

3

1 [ 0∫ 22331,1 . dx + 0∫ 22331,1 . dx ] E.A 4

3

δ Ν = 1 [ 22331,1 . 0∫dx + 22331,1 . 0∫ dx ] E.A δ Ν = 1 [ 22331,1 . (x)|4 + 22331,1 . (x)|3 ] E.A δ Ν =

10

1 . [ 22331,1 . 4 + 22331,1 . 3 ] = 4,67x10-5 m 3,35X109


Parcela do Cortante de todas as barras: δQ =

L1∫ Qu1.Q1.dx E.Av

+ L2∫ Qu2.Q2.dx + L3∫ Qu3.Q3.dx = E.Av E.Av

δQ = 1 . [L1∫ Qu1.Q1.dx + L2∫ Qu2.Q2.dx + L3∫ Qu3.Q3.dx ] E.Av 4

δQ = 1 [ + 0∫ 1 .50000 . dx + E.Av 4

0∫

6

- 0,67 . (-33330) . dx + 0 ]

6

δQ = 1 [ 0∫ 50000 . dx + 0∫ 22331,1 . dx ] E.Av 4

6

δQ = 1 [ 50000 . 0∫dx + 22331,1 . 0∫ dx ] E.Av δQ = 1 [ 50000 . (x)|4 + 22331,1 . (x)|6 ] E. Av δQ =

1 . [ 50000 . 4 - 22331,1 . 6 ] = 4,177x10-4 799,5x106

m

Assim, tem-se o valor do deslocamento horizontal do ponto b: δb = δM + δN + δQ = 0,04466 + 4,67x10 -5 + 4,177x10-4 = 0,0451244 m δb = 0,0451244 m O

valor positivo indica que o sentido arbitrado para a força virtual unitária está correto, ou seja, o ponto b desloca de fato vale 0,0451244 m para a direita.  Analisando

a parcela de contribuição de cada esforço no deslocamento total do ponto b tem-se: % δM = δM / δb = 0,04466 /0,0451244 = 98,97 = 99 % do deslocamento total de b. % δN = δN / δb = 4,67x10-5 /0,0451244 = 0,10 = 0,10 % % δQ = δQ/ δb = 4,177x10-4 /0,0451244 = 0,926 = 0,90 %

Este resultado demonstra que a contribuição do esforço Normal e do esforço cortante pode ser desprezada para as estruturas usuais. Assim, o deslocamento de b considerando apenas a contribuição do momento fletor vale: δb = 0,04466 = 0,045 m

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Quando se trabalha com estruturas compostas por barras de seção transversal constante e de propriedades constantes, pode-se evitar o desenvolvimento analítico da integral que ocorre na equação (5), conforme visto no exemplo1, adotando-se o procedimento de A. N. Vereshchagin . Neste procedimento o valor da integral é obtido por meio da tabela 3 desenvolvida pelo já referido autor. A tabela 3 apresenta apenas o valor da parcela devido ao momento fletor, uma vez que, já foi demonstrado que para estruturas usuais as parcelas devido ao esforço normal e devido ao esforço cortante podem ser desprezadas. Tabela 3: equações que representam o valor da integral do produto entre o diagrama de momento fletor devido ao agente solicitante ( M) e o diagrama de momento fletor devido à força virtual unitária (Mu ) Mub

Mu

par. 2º grau

Mua

Mub

Mum

Mua M L.M.Mu

1/2.L.M.Mub

1/2.L.M.Mua

1/2.L.M.(M ua+ Mub )

2/3.L.M.M um

1/2.L.M b.Mu

1/3.L.Mb.Mub

1/6.L.Mb.Mua

1/6.L.Mb.(Mua+2Mub )

1/3.L.Mb .Mum

1/2.L.M a.Mu

1/6.L.Ma.Mub

1/3.L.Ma.Mua

1/6.L.Ma.(2Mua+ Mub )

1/3.L.Ma.Mum

Mb

Ma

Ma

Mb 1/2.L.(M a+Mb).Mu 1/6.L.(M a+2Mb).Mub

1/6.L.(2M a+Mb).Mua 1/6.L[M a.(2Mua+Mub )+ Mb.(Mua+2Mub )]

1/3.L.(M a+Mb).Mum

1/2.L.(M a+Mb).Mu 1/6.L.(M a+2Mb).Mub

1/6.L.(2M a+Mb).Mua 1/6.L[M a.(2Mua+Mub )+ Mb.(Mua+2Mub )]

1/3.L.(M a+Mb).Mum

2/3.L.M m.Mu

1/3.L.Mm .Mua

8/15.L.M m .Mum

Ma Mb

par. 2º grau Mm

1/3.L.Mm .Mub

1/3.L.Mm .(Mua+ Mub )

OBS: Se M e Mu de uma barra tracio nar lados oposto da barra inserido o sinal de (-) no inicio da equação obti da na tabela 3.

deve ser

Mb  -

Exemplos: Mub Mub

Mb



Mb

Mub 

12

1/3.L.Mb .Mub

1/3.L.Mb .Mub

1/3.L.Mb.Mub Mb

Mub

 -

1/3.L.Mb .Mub


Exemplo2: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos: a) a rotação relativa do ponto b; b) o deslocamento horizontal do ponto c; B q= 10 kN/m b

4,0 m

2ª

3ª

1ª B A

a

c

50 kN

A

A

B

b 3,0 m

A

h

A

b

A

h

b

B

d

h = 40 cm b = 7 cm

a

a 6,0 m

E = 205 GPa; υ = 0,3 Módulo de elasticidade transversal: G = E / [2 (1+ υ)] = 78,85 GPa Resolução: Item a) Área da seção transversal das barras: tabela 1 (A=bh)  A = 280 cm 2 Momento de inércia da seção transversal: tabela 1 (Iz = bh3/12)  Iz = 37333,33 cm 4 Área efetiva de cisalhamento: tabela 1 (f z = 6/5)  A Vz = A/f z = 233,33 cm 2 Iz = 37333,33x10-8 m 4; A = 280x10-4 m 2; A Vz = 233,33x10 -4 m 2

1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa no ponto b. δb =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força momento unitária em b. Caso 3 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu devido à ação da Força momento virtual unitária. Mu = 1 b 4,0 m

2ª

c 3ª

1ª

3,0 m

d a

ΣMa= 0 +

Ha = 0

v a = 0,167

Vd = 0,167

 Vd .

6,0 + 1,0 = 0 Vd = 1/6 = - 0,167 Vd = 0,167

6,0 m

+ Σ Fy = 0  Va + Vd = 0 Va = 0,167

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3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M devido à ação da solicitação real: carregamento exterior. 50 KN

c

b 4,0 m

R = 40 KN

3,0 m d a

Ha = 10 KN

ΣMa= 0 + Vd = 20,0 KN

v a = 20,0 KN 6,0 m

 Vd .

6,0 + 50,0 . 4,0 - R . 2,0 = 0 Vd = -120/6 = -20,0 KN Vd = 20 KN

+ Σ Fy = 0  Va + Vb = 0 Va = 20,0 KN

4 - Cálculo da rotação relativa do ponto b ( δb =?) δb = ∑ ( ∫L Mu.M.dx )barra E.I Parcela do Momento fletor de todas as barras: δb = L1∫ Mu1.M1.dx + L2∫ Mu2.M2.dx + L3∫ Mu3.M3.dx E.I E.I E.I δb = 1 . [ ∑(equações obtidas da tabela 3) ] E.I

Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: Neste caso apenas a barra 2 contribui para a rotação do ponto b Barra 2: Ma = 120 KN Mua =1  1/3.L.Ma.Mua δb =

1 . [ 0 + 1/3.L.Ma.Mua + 0 ] = 1 . [1/3 . 6 . 120000 . 1 ] 9 -8 (205x10 . 37333,33x10 ) E.I

δb = 3,14x10-3 rad O

 lembrete:

2πrad = 3600

valor positivo indica que o sentido arbitrado para a força momento unitária está correto, ou seja, o ponto b sofre uma rotação de 3,14x10-3 rad no sentido anti-horário. 14


Resolução: Item b) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto c. δc =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força momento virtual unitária em b. Caso 2 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor M u devido à ação da Força momento unitária. Fu = 1

b 4,0 m

2ª

c 3ª

1ª

3,0 m

d a

ΣMa= 0 +

Ha = 1 v a = 0,67 6,0 m

Vd = 0,67

 Vd .

6,0 - 1,0 . 4,0 = 0 Vd = 4/6 = 0,67

+ Σ Fy = 0  Va + Vd = 0 Va = - 0,67 = 0,67

3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M devido à ação da solicitação real: carregamento exterior. ** Não será necessário esboçar este diagrama M, uma vez que, este já foi esboçado no item a, desta forma, serão utilizadas as informações deste mesmo diagrama.

15


4 - Cálculo do deslocamento horizontal do ponto c ( δc =?) δc = 1 . [ ∑(equações obtidas da tabela 3) ] E.I Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para o deslocamento do ponto c Barra 1: Mb = 120 KN.m Mub = 4 Mm = 20 KN.m Mub = 4 +  -

1/3.L.Ma.Mua - 1/3. 4. 120000.4

Barra 2:

+ +

1/3.L.Mm .Mb 1/3.4.20000.4 = - 533333,33

Mua = 4

Ma = 120KN.m  -1/3.L.Ma.Mua

-1/3.6.120000.4 = - 960000

δc =

1 . [ - 533333,33 - 960000 + 0 ] = 1 . - 1493333,33 9 E.I (205x10 . 37333,33x10-8)

δc = - 0,0195 m = - 19,2 mm O

valor negativo indica que o sentido arbitrado para a força unitária está errado, ou seja, o ponto c sofre um deslocamento horizontal de 19,2 mm, porém para a esquerda. Exemplo3: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos: a) a rotação relativa entre as barras 1 e 2 que concorrem para a rótula b; b) o deslocamento vertical do ponto e; B

q= 18 kN/m

B

10 kN b 4,0 m A

1ª

2ª B A A

a

c 3ª d

4ª

h

e 3,0 m

A

b

A

b

tb

b h B

A a

5,0 m

t h = 2,5 cm t b = 2,0 cm

15 kN

th

h = 50 cm

a

3,0 m

E = 205 GPa; υ = 0,3

Resolução: Item a) Área da seção transversal das barras: tabela 1 (A=hth + 2btb)  A = 285 cm 2 Momento de inércia da seção transversal: tabela 1 (Iy = b3tb/6)  Iy = 21333,33 cm 4 Área efetiva de cisalhamento: tabela 1 (f y = A/hth)  A Vy = A/f y = 125 cm 2 Iy = 21333,33x10 -8 m 4; A = 285x10-4 m 2; A Vy= 125x10-4 m 2 16

b = 40 cm


Item a) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa entre as barras 1 e 2 que concorrem para a rótula b. δb =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada um par de força momento virtual unitária em torno da rótula b. Caso 4 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu devido à ação do par de Força momento Mu = 1 unitária. Mu = 1

c

b

e

d a

v b’ = 0,2

b

Mu = 1

1ª Q. 2ª ordem a

2ª

Hb = 0

b 4,0 m

v b = 0,2

5,0 m

v a = 0,2

17

c 3ª d

4ª e 3,0 m

Vd = 0,2

Ha = 0

Ma = 1

2ª ordem: ΣMa= 0 +

Q. 1ª ordem

Mu = 1

3,0 m

1ª ordem: ΣMb= 0 +

 Vd .

5,0 + 1,0 = 0 Vd = 1/5 = - 0,2 Vd = 0,2

+ Σ Fy = 0  Vb + Vd = 0 Vb = 0,2  -

Ma - 1,0 = 0 Ma = -1 Ma = 1


3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M devido à ação do carregamento exterior. 15 kN

q= 18 kN/m

10 kN c

b

e

d a 15 kN

R = 90 KN

10 kN

v b’ = 36 KN b Hb’ = 10 KN 4,0 m

1ª Q. 2ª ordem a Ha = 10 KN

b 2ª Hb = 10 KN v b = 36 KN

5,0 m

c 3ª d

Vd = 69 KN 3,0 m

Ma + 10. 4,0 = 0


Vd .5,0

- R.2,5 - 15. 8,0=0 Vd = 345/5 = 69 KN

+ Σ Fy = 0  Vb + Vd = 105 Vb = 36 KN

v a = 36 KN  -

3,0 m

Q. 1ª ordem

Ma = 40 KN.m


e

4ª



Ma = 40 KN.m

4 - Cálculo da rotação relativa entre as barras 1 e 2 no ponto b (δb =?) δb = 1 . [ ∑(equações obtidas da tabela 3) ] E.I Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: Neste caso apenas as barras 1 e 2 contribuem para a rotação relativa entre as barras 1 e 2 no ponto b 18


Barra 1: Ma = 40 KN.m

 -

Barra 2:

Mu = 1

- 1/2. 4. 40000.1 = - 80000,0

1/2.L.Ma.Mu Mua = 1

Mb = 45KN.m

1/6.L.Ma.Mua 1/6. 5. 45000.1

+ +



δb =

Mua = 1

Mm = 56,25 KN.m

-1/3.L.M m .Mua - 1/3.5. 56250.1 = - 56250,0

1 . [ - 80000 - 56250,0 ] = 1 . - 136250,0 = - 3,115x10-3 rad (205x10 9. 21333,33x10-8) E.I

O

valor negativo indica que o sentido arbitrado para o par de força momento unitária está errado, ou seja, as barras 1 e 2 se aproximam, conforme ilustrado no esquema ao lado. Resolução: Item b) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento vertical do ponto e. δe =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária em e  Caso 1 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor Mu devido à ação da Força unitária. Fu = 1 c

b

e

d a v b’ = 0,6 b 4,0 m

1ª Q. 2ª ordem a

Fu = 1 Q. 1ª ordem b c 2ª 4ª e 3ª Hb = 0 d v b = 0,6 Vd = 1,6

Ha = 0

Ma = 0

5,0 m

3,0 m

3,0 m


 Vd .

5,0 - 1. 8,0 = 0 Vd = 8/5 = 1,6

v a = 0,6

2ª ordem: ΣMa= 0 + 19

 -

Ma = 0 Ma = 0

+ Σ Fy = 0  Vb + Vd = 1,0 Vb = - 0,6 Vb = 0,6



4 - Cálculo do deslocamento vertical do ponto e ( δe =?) δe = 1 . [ ∑(equações obtidas da tabela 3) ] E.I Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: Neste caso apenas as barras 2 e 4 contribuem para o deslocamento do ponto e Barra 2:

Mb = 45KN.m 

20

Mm = 56,25 KN.m

Mub = 3

1/3.L.Ma.Mua 1/3. 5. 45000.3

+ +

Mub = 3

-1/3.L.M m .Mub - 1/3.5. 56250.3 = - 56250,0


Barra 4:

Ma = 45 KN.m 

δc =

Mua = 3

1/3.L.Ma.Mua 1/3.3.45000.3 = 135000,0

1 . [ - 56250,0 + 135000 ] E.I

=

1 . 78750,0 9 (205x10 . 21333,33x10-8)

δc = 1,80 x10-3 m = 1,80 mm O

valor negativo indica que o sentido arbitrado para a força unitária está correto, ou seja, o ponto e sofre um deslocamento vertical de 1,80 mm para baixo. Exemplo4: Calcule a para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos: a) a rotação absoluta da corda bc da grelha; b) o deslocamento vertical do ponto c; Z

Y

b

c B

X A a A 2,0 m

6 kN

1ª

q= 8 kN/m B

i

1,0 m

2ª b

B

3 kN.m c

b h

b

4 kN.m

b h

1,5 cm

B

b = 15 cm

h = 20 cm

A 1,5 m

b h

a A

1,5 cm

b = 15 cm

h = 20 cm

E = 205 GPa; υ = 0,3

Resolução: Item a) Área da seção transversal das barras: tabela 1 ( A= 2(hth + btb) )  A = 105 cm 2 Momento de inércia da seção transversal: tabela 1 ( Iy = b2 (btb + 3hth)/6 ) 4  Iy = 4218,75 cm Momento de inércia à torção da seção transversal: 1( J = 2b 2h2(tbth)/(btb + hth) ) 4  J = 7714,29 cm Módulo de elasticidade transversal: G = E / [2 (1+ υ)] = 78,85 GPa Área efetiva de cisalhamento: tabela 1 (f y = A/hth)  A Vy = A/f y = 60 cm 2 A = 105x10-4 m 2; Iy = 4218,75x10-8 m 4; A Vy = 60x10-4 m 2; J = 7714,29x10-8 m 4 G = 78,85 x109 N/m 2 E= 205x109 N/m 2

21


Item a) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação absoluta da corda bc da grelha. δbc =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicado um par de forças virtuais unitárias no ponto b e no ponto c. Caso 6 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor M u e o diagrama de momento torçor T u devido à ação do par de forças unitárias. Y

Z

X Ta = 1

a

Ma = 0

+

 -

∑ Tbc = 0

+

 Ma =

Fu = 1/1,5 1ª

Va = 0

∑ Tab = 0

Fu = 1/1,5

d

1,0 m

2ª

Fu . 1,5 + Ta = 0 Ta = 1 0

c 1,5 m

b

2,0 m

3 - Esboçar o diagrama de momento fletor M e o diagrama de momento torçor T devido à ação do carregamento exterior. Z

Y Ma = 33 KN.m

X Ta = 13KN.m

3 kN.m 6 kN

a Va = 18 KN

1ª

R = 12 KN

d

1,0 m

2ª

4 kN.m 1,5 m

b

2,0 m

22

c

+ ∑ Fz = 0

 Va =

6+R

∑ Tab = 0

+



Ta - 4 - R . 0,75 = 0

∑ Tab = 0

+



Ma + Va . 2,0 - 6 . 1,0 + 3 = 0

 Ta =

 Va =

18 KN

13 KN.m  Ma

= - 33 KN.m Ma = 33 KN.m


4 - Cálculo da rotação absoluta da corda bc da grelha ( δbc =?) δbc = ∑ (x∫ Mu.M.dx + x∫ Tu .T.dx)barra EI GJ ***Obs: Tu e T  são constantes ao longo da barra, isto permite obter:

(7)

x= Lbarra

x∫ Tu

.T . dx = Tu . T . x∫ dx = T0u . T. x|

= Tu . T. Lbarra

x= Lbarra

EX: L∫ 5 . 6 . dx = 5 . 6 . L∫ dx = 50 . 6 . x|

= Tu . T. Lbarra

A contribuição de cada barra em termos de Momento torçor vale: Tu . T. Lbarra GJ A contribuição de cada barra em termos de Momento fletor, conforme apresentado anteriormente é dada a partir  equações obtidas da tabela 3 Então, a equação (7) pode ser escrita da seguinte forma: δbc = 1 . [ ∑(equações obtidas da tabela 3) + 1 ∑( Tu. T . Lbarra) ] E.I GJ

Utilizando a tabela 3 para obter o valor das integrais: Em termo de momento fletor apenas a barra 2 contribui com a rotação. Já em termo de momento torçor apenas a barra 1 contribui para a rotação. Contribuição em termo de Momento fletor: Barra 2: Mua = 1 Ma = 13KN.m

Mua = 1

Mb = 4KN.m

1/6.L.(2Ma+Mb ).Mua

1/6. 1,5.(2.13000 + 4000).1

23

Mm = 2,25 KN.m

+ +

-1/3.L.Mm.Mua -1/3.1,5. 2250.1 = 6375,0


Contribuição em termo de Momento torçor: Barra1: Tu1 . T1 . L1.= (-13000) . (-1) . 2,0 = 26000 δbc = δbc =

1 . [ 6375 ] + E.I

1 . [ 26000 ] = GJ

[ 6375 ] + 9 -8 (205x10 . 4218,75x10 )

[ 26000 ] = 9 (78,85x10 . 7714,29x10-8)

δbc = 5,0x10-3 rad a

O

valor positivo indica que o sentido arbitrado para o par de força unitária está correto, ou seja, a corda bc da grelha rotaciona o sentido horário.

c d b

Resolução: Item b) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento vertical do ponto c. δc =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária em c  Caso 1 da tabela 2 2 - Esboçar o diagrama de momento fletor M u e o diagrama de momento torçor T u devido à ação da força unitária. + ∑ Fz = 0  Va = 1 Z Y +  - Fu . 1,5 + Ta = 0 ∑ Tab = 0 Ma = 2 Ta = 1,5 X Fu = 1

Ta = 1

a

Va = 1 2,0 m

24

∑ Tbc = 0 1ª

d

1,0 m

2ª b

c 1,5 m

+

 Ma +

1. 2,0 = 0 Ma = - 2,0 Ma = 2,0



4 - Cálculo do deslocamento vertical do ponto c ( δc =?) δc = 1 . [ ∑(equações obtidas da tabela 3) + 1 ∑( Tu. T . Lbarra) ] E.I GJ Contribuição em termo de Momento fletor: Barra 1: trecho(ad): Ma = 33 KN.m

Mb = 15 KN.m

Mua = 2

Mub = 1

1/6.L.

[ Ma .(2Mua + Mub ) + Mb .(Mua + 2Mub ) ] 1/6. 1,0.[ 33000 .(2.2 + 1) + 15000 .(2 +2.1) ] = 37500

trecho(db): Ma = 15 KN.m

Mb = 3 KN.m

Mua = 1


1/6. 1,0.(2.15000 + 3000). 1 = 5500

Total da barra 1 : 43000

25


Barra 2: Ma = 13KN.m

Mm = 2,25 KN.m

Mua = 1,5

Mua = 1,5

Mb = 4KN.m


1/6. 1,5.(2.13000 + 4000).1,5

+ -

- 1/3.L.Mm.Mua 1/3.1,5. 2250.1,5 = 9562,5

Contribuição em termo de Momento torçor: Barra1: Tu1 . T1 . L1.= (-13000) . (-1,5) . 2,0 = 39000 Rotação absoluta da barra bc: δbc = 1 . [ 43000 + 9562,5 ] + E.I δbc =

[52562,5 ] (205x109. 4218,75x10-8)

1 . [ 39000 ] = GJ +

[ 39000 ] = (78,85x109. 7714,29x10-8)

δbc = 0,0125 m = 12,5 mm O

valor positivo indica que o sentido arbitrado para a força unitária está correto, ou seja, o ponto c da grelha desloca verticalmente para baixo 5,8 mm.

26

c

a b

Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 1 Lista de exercícios: 1) Calcule para a estrutura apresentada abaixo a rotação do ponto d. Considerar concreto de módulo de elasticidade igual a 21GPa. 50 KN q = 30 KN/ m A q = 20 KN/ m 20 KN. m a

1ª

b

A

5,0 m

2ª

c

2,0 m

A

d

3ª

h = 30 cm

b h

3,0 m

b = 40 cm

A

2) Determine o deslocamento vertical do ponto c da estrutura esquematizado na figura abaixo. Considerar módulo de elasticidade igual a 205 GPa. A

a

b

1ª

2ª

q = 30 KN/ m c

A

3,0 m

3,0 m

t b = 1,5 cm

3ª

10 KN.m

d

e

4ª

2,0 m

A

t h = 1,5 cm tb h b

5,0 m

h = 40 cm

b = 15 cm

A

3) Determine o deslocamento vertical do ponto c do pórtico esquematizado na figura abaixo, sendo E= 25 GPa. a 1ª b

A

q = 10 KN/ m

2ª c

1,5 m

2,0 m

1,5 m

A

d

3ª A

h = 100 cm

h b

1,5 m

b = 15 cm

A

4) Calcule para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos: a) a rotação do ponto a; b) o deslocamento horizontal do ponto b; q= 9 kN/m

A

b B

1ª

4,0 m a

B

A

B 2ª

2 kN

c

A

3ª A

d

h

A

E = 205 GPa; υ = 0,3

27

4,0 m

A

h

b

B a

a 3,0 m

b

b

1,5 cm h = 60 cm b = 15 cm


5) Determine o deslocamento horizontal do ponto d da estrutura apresentada abaixo. Considerar concreto de módulo de elasticidade igual a 27 GPa e υ = 0,2. B

q= 10 kN/m B

h c

1,0 m b

d

B

1ª

4,0 m A

15 kN

3ª

2ª

A

A

h

4ª

A

h = 70 cm

A

A

a

e

a

B

b

b = 15 cm

a 5,0 m

5,0 m

6) Calcule para a estrutura apresentada abaixo os seguintes deslocamentos: a) a rotação relativa entre as barras 2 e 4 que concorrem para a rótula c; b) o deslocamento horizontal do ponto f; B q= 15 kN/m b

c

2ª

1ª B

4,0 m

a

B

q= 10 kN/m 4ª

3ª

A

d

b

e A

d

A

d B

5ª A f

t = 2,0 cm

a 3,0 m

4,0 m

3,0 m

E = 205 GPa; υ = 0,3

d = 50 cm

7) Calcule para a estrutura apresentada abaixo o deslocamento vertical do ponto a. 30 KN 18 KN. m Z

A q = 30KN/m

Y

d

30 KN

b 1ª

29KN. m

3,0 m

3ª

X 2ª A

c 3,0 m

a A 4,0 m

h b A

E = 26 GPa; υ = 0,2

28

h = 100 cm b = 20 cm


8) Calcule para a estrutura apresentada abaixo o deslocamento vertical do ponto c. 2 KN Z

A q = 3 KN/m

Y

2ª

1ª

d

4 KN

2,0 m

3ª

X b

4 KN. m

c

A

2,0 m

a A 1,5 m

b = 35 cm

b h

E = 205 GPa; υ = 0,3

h = 45 cm

A

9) Calcule para a estrutura apresentada abaixo a rotação da corda cd. 7 KN A

Z

8 KN. m

c

Y X

2ª

3ª

d

A

5,0 m

q = 6KN/m

5 KN. m

a 2,0 m

b

1ª

A

2,0 m

d d

E = 26 GPa; υ = 0,2

d = 60 cm

A

10) Calcule para a estrutura apresentada abaixo a rotação relativa entre as cordas ab e cd. Z

Y X

3,5 KN

6 KN

8 KN. m

a 1ª b q = 7 KN/m 2ª A 4ª c 4,0 m

t h = 2,5 cm t b = 2,0 cm

A

tb b h

E = 205 GPa; υ = 0,3 A

29

4,0 m

3,0 m

d

3ª A

2,0 m

e

th

b = 30 cm

h = 35 cm

Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 2.2 - Método da força vir tual unitária: Efeito de temperatura Seja a estrutura composta por elementos de barra reta de altura h representada na figura 3 em que se impõe a variação de temperatura t e na “face” ou “fibra” externa ou superior da barra e a variação de temperatura t i na “face” ou “fibra” interna ou inferior da barra. Ao longo da altura h da seção das barras da estrutura, a variação de temperatura possui uma lei de comportamento linear. te

e

t = temperatura na fibra externa ou superior t i = temperatura na fibra interna ou inferior

te > ti

t ie t

t > te ti h

h

te s s

t

dx

C. G. = centro geométrico da seção, ou seja, o centróide da seção t g = temperatura no centróide da seção

h

C. G.

dx

.t g.dx .t e.dx d

.t i .dx

Figura 3: estrutura sob o efeito de temperatura Considerando a barra livre sem vínculos externos e acréscimos de temperatura, a barra se expande longitudinalmente e flete com uma curvatura que pode ser voltada para cima ou para baixo, conforme ilustrado na figura 3. Sendo o coeficiente de dilatação térmica do material e dx a distância entre duas seções adjacentes, estas por sua vez, adquirem um deslocamento relativo composto de duas partes: a) deslocamento relativo axial (longitudinal): dδ = α.tg.dx b) rotação relativa entre essas seções: dϕ = [ α(ti - te)/h ].dx

(8) (9)

O deslocamento ( ) em uma dada direção, em uma determinada seção s de uma estrutura devido à ação da temperatura é determinado por meio da equação (1), mas fazendo as seguintes considerações: ∑(Pi . δi) + ∑ (R j . δij) = ∑ ( x∫ N dδ + x∫ Q dλ + x∫ M dϕ + x∫ T dθ ) i

j

(1)

- o objetivo é determinar o deslocamento de uma seção s provocado apenas pela solicitação real efeito da temperatura - Desta forma, o termo que considera os deslocamentos prescritos da estrutura podem ser considerado nulo, o que permite escrever: =0 ∑(Pi . δi) + ∑ (R j . δij) = ∑ ( x∫ N dδ + x∫ Q dλ + x∫ M dϕ + x∫ T dθ ) i

j

∑(Pi . δi) = ∑ ( x∫ N dδ + x∫ Q dλ + x∫ M dϕ + x∫ T dθ ) i

30

(10)


Onde de forma semelhante ao estabelecido no item 2.1, devem ser adotadas as seguintes considerações: - Existe apenas uma força virtual unitária (Fu = 1)  Pi = Fu - Esta força virtual unitária, gera forças internas virtuais: N = Nu; Q = Qu; M = Mu; T = Tu Assim a equação (10) pode ser escrita da seguinte forma: Fu . δ = ∑ ( x∫ Nu dδ + x∫ Qu dλ + x∫ Mu dϕ + x∫ Tu dθ )

(11)

Como a força virtual é unitária: δ = ∑ ( x∫ Nu dδ + x∫ Qu dλ + x∫ Mu dϕ + x∫ Tu dθ )

(12)

Para determinar o deslocamento de qualquer seção de uma estrutura usual (simples) sob o efeito de carregamento exterior foi apresentado e demonstrado no item 2.1 que; - As parcelas devido ao esforço Normal, ao esforço Cortante e ao Momento Torçor podem ser desprezadas, o que permitiu estabelecer a equação (6), apresentada novamente a seguir: (estruturas de barras em geral: vigas, pórticos) (6) δ = ∑ (x∫ Mu.M.dx )barra EI Entretanto, no caso de estrutura usual sob o efeito de temperatura, além da contribuição do Momento fletor tem-se também a contribuição significativa do esforço normal, o que permite escrever a equação (12) da seguinte forma: (13) δ = ∑ ( x∫ Nu dδ + x∫Mu dϕ ) E finalmente substituindo as equações (8) e (9) na equação (13) obtém-se a equação que permite calcular o deslocamento de qualquer seção de uma estrutura usual sob o efeito de temperatura, a qual é dada por; d = .t g.dx (8) i e d = [ (t - t )/h ].dx (9) δ = ∑ ( x∫ Nu . α.tg.dx + x∫Mu . [ α(ti - te)/h ].dx )

Como, α, tg, te, ti são constantes ao longo das barras, e para barras com h constante este termos podem sair da integral: δ = ∑ (α.tg . x∫ Nu .dx + [ α(ti - te)/h ]. x∫Mu . dx ) Na equação acima as integrais N u .dx e Mu . dx se identificam como o valor das áreas dos diagramas de esforço normal e de momento fletor das barras da estrutura sob a ação da força virtual unitária, assim a equação anterior pode ser escrita da seguinte forma: x

δ = ∑ (α.tg . ANu + [ α(ti - te)/h ] . AMu )

x

(14)

Se as barras não tiverem seção constante, o deslocamento de uma seção qualquer da estrutura é dado por: (15) δ = ∑ (α. x∫ tg. Nu .dx + [ α(ti - te)]. x∫Mu/h . dx )

31


Para o emprego das equações (14) e (16), as seguintes convenções de sinais serão adotadas: M Nu  (+ ), barra tracionada; Fibras M + externas Nu  ( - ), barra comprimida; M

- +

M Fibras internas

M

Mu  (+ ), fibras internas e inferiores tracionadas; Mu  ( - ), fibras externas e superiores tracionadas;

+

-

M

Fibras superiores M + M Fibras inferiores

Fibras superiores M + M Fibras inferiores

Exemplo5: Calcule para a estrutura devido aos acréscimos de temperatura apresentados abaixo os seguintes deslocamentos a) a rotação do ponto a. b) o deslocamento horizontal do ponto c. t e = - 5 0C

4,0 m

B

q= 10 kN/m 50 kN c 2ª b B 3ª 1ª i t =+15 0C A A d A A a

B

b 3,0 m

A

A

h

b

h

b

B

h = 40 cm b = 7 cm

a

a 6,0 m

E = 205 GPa; υ = 0,3;

Resolução: Item a) s

-5 C s’ s

C.G.

h

= 1,2x105/0C;

s

h/2

tg = ?

x= 5+tg

s 150C s’

h/20 = (h/2)/x x = (h/2) . (20/h) x = 20/2 = 10 x = 5 + tg  tg = x - 5 = 10 - 5 = 5 tg = 50C

5+15 = 20

1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa no ponto a. δa =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força momento unitária em a. Caso 3 da tabela 2 2 - Esboçar os diagramas de esforço normal N u e de momento fletor Mu devido à ação da Força momento virtual unitária. b 4,0 m

2ª

1ª Mu = 1

a

c 3ª

3,0 m

d

ΣMa= 0 +

Ha = 0 Vb = 0,167

v a = 0,167 6,0 m

32

 Vb .

6,0 + 1,0 = 0 Vb = 1/6 = - 0,167 Vb = 0,167

+ Σ Fy = 0  Va + Vb = 0



Va = 0,167


3 - Cálculo da rotação relativa do ponto a ( δa =?) δa = ∑ (α.tg . ANu + [ α(ti - te)/h ] . AMu )

i

 t -

te = 15 - (-5) = 20

δa = {1,2x10-5.5 . [(-0,167 . 4) + (0,167 . 3)]} + {1,2x10-5. 20/0,40 . [ (-1.4) + (-1.6/2) ]} δa = { -1,002x10-5 } + {- 420,0X10-5} = - 421x10-5 = - 0,0042 rad δb = -0,0042 rad

 lembrete:

2πrad = 3600

O

valor negativo indica que o sentido arbitrado para a força momento unitária está errado, ou seja, o ponto a sofre uma rotação de 0,0042 rad no sentido horário.

Resolução: Item b) 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto c. δc =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força momento virtual unitária em b. Caso 2 da tabela 2 2 - Esboçar os diagramas de esforço normal N u e de momento fletor Mu devido à ação da Força momento unitária. Fu = 1

b 4,0 m

2ª

1ª a

3,0 m

d

ΣMa= 0 +

Ha = 1

v a = 0,67 6,0 m

33

c 3ª

Vb = 0,67

 Vb .

6,0 - 1,0 . 4,0 = 0 Vb = 4/6 = 0,67

+ Σ Fy = 0  Va + Vb = 0 Va = - 0,67 = 0,67


3 - Cálculo do deslocamento horizontal do ponto c ( δc =?) δc = ∑ (α.tg . ANu + [ α(ti - te)/h ] . AMu )

t i - t e = 15 - (-5) = 20

δc = {1,2x10-5.5 . [(0,67. 4) + (1x6) + (-0,67. 3)]} + {1,2X10-5. 20/0,40 . [(4.4/2) + (4.6/2)]} δc = { 40,0x10-5 } + {1200x10-5} = 1240x10-5 = 0,0124 m = 12,4 mm δc = 12,4 mm O

valor positivo indica que o sentido arbitrado para a força unitária está correto, ou seja, o ponto a sofre um deslocamento horizontal de 12,4 mm para a direita.

Exemplo6: Calcule para a estrutura devido ao acréscimo uniforme de temperatura no valor de 30 0C a rotação relativa entre as barras 3 e 4 que concorrem para a rótula d; B

q= 15 kN/m 18 kN

c

2,0 m 3,0 m A

2ª

d

a

B

B

b 1ª

4ª A

1,5 m

E = 25 GPa; υ = 0,2;

34

3ª

A

e

5,0 m

A

D D

= 1,0x105/0C;

c

D B

A

3,0 m

A

a

D D = 50 cm


Resolução: Item a)

s

s

h = 50 cm

C.G.

s

300C s’ tg = ?

s 300C

Acréscimo uniforme de temperatura: Todas as fibras estão sob o efeito de uma mesma temperatura, inclusive o centróide da seção. Então: tg = 300C

s’

1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação relativa entre as barras 3 e 4 que concorrem para a rótula d. δd =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada um par de força momento unitária em d. Caso 4 da tabela 2 2 - Esboçar os diagramas de esforço normal N u e de momento fletor Mu devido à ação do par de Força momento virtual unitária. Mu = 1 c

2,0 m 3,0 m

3ª

d

Mu = 1

2ª b 1ª

4ª

a

5,0 m

e

1,5 m

3,0 m

 He .

p/inferior

5,0 + 1,0 = 0

He = -1/5 = - 0,20 He = 0,20

ΣMd

=0 +

 -

p/esquerda

b

1,5 m

3,0 m



 Vb

= -0,6/4,5 = -0,133

 Vb

Hb’ = 0,2 b 1ª a Ma = 0,6 Va = 0,133

35

Ve = 0,133

= 0,133

Ve = 0,133

Vb’ = 0,133

Ha = 0,2

He = 0,2

Vb = 0,133

Hb . 2,0 + Vb . 4,5 + 1,0 = 0

+ Σ Fy = 0  - Vb + Ve = 0

3,0 m

5,0 m

4ª e

4,5 Vb = 0,2 . 2,0 - 1,0

Q. 2ª ordem

Mu = 1

d

3ª

2ª

Hb = 0,2 3,0 m

Σ Fx = 0  Hb - He = 0 Hb = 0,2

+

c

2,0 m

1ª ordem: ΣMd = 0 +

Mu = 1

Q. 1ª ordem


 Hb’ .

3,0 + Ma = 0 Ma = -0,6  Ma = 0,6


3 - Cálculo da rotação relativa do ponto d ( δd =?) δd = ∑ (α.tg . ANu + [ α(ti - te)/h ] . AMu )

i

 t -

te = 15 - 15 = 0

Para acréscimos uniformes de temperatura a contribuição do momento fletor é nula. Então: δd = ∑ (α.tg . ANu + [ α(0)/h ] . AMu ) δd = ∑ (α.tg . ANu ) δd = {1,0x10-5. 30 . [(0,133 . 3) + (-0,014 . 2,5) + (-0,2 .3) + (-0,133 . 5) ] } δd = -27,03x10-5 = - 0,00027 rad δb = -0,00027 rad O

 lembrete:

2πrad = 3600

valor negativo indica que o sentido arbitrado para o par de força momento unitária está errado, ou seja, as barras 3 e 4 se aproximam, conforme ilustrado no esquema ao lado. 36


Exemplo7: Calcule para a estrutura devido a um acréscimo de temperatura no valor de 30 0C nas fibras superiores e nenhum acréscimo de temperatura nas fibras inferiores os seguintes deslocamentos. a) a rotação absoluta da borda bc; b) o deslocamento horizontal do ponto c na direção bc; Y

Z

b

c B

X A a A

6 kN

q= 8 kN/m B 2ª

1ª

b h

b

c

B

b

3,0 m

5 kN.m

b h b = 15 cm

B

h = 20 cm

A

2,0 m

b h

a A

b = 15 cm h = 20 cm

50

E = 23 GPa; υ = 0,2 ; = 1,0x10 / C;

Resolução: Item a)

s 30 C s’

s

h/2 tg

g

C.G. t

h = b = 15 cm s

h/30 = (h/2)/tg 15/30 = (7,5)/tg tg = 15

30

=?

s 300C

1 - O deslocamento solicitado: Determinar a rotação absoluta da corda bc da grelha. δbc =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicado um par de forças virtuais unitárias no ponto b e no ponto c. Caso 6 da tabela 2 2 - Esboçar os diagramas de esforço normal N u e de momento fletor Mu devido à ação do par de Forças unitárias. Z

Y X

Ta = 2

Ma = 0

1ª

Fu = 1/2,0 b

3,0 m

37

+

 -

∑ Tbc = 0

+

 Ma =

Fu = 1/2,0

a

Va = 0

∑ Tab = 0

c 2ª 2,0 m

Fu . 2,0 + Ta = 0 Ta = 1 0


3 - Cálculo da rotação absoluta da corda bc ( δbc =?) δbc = ∑ (α.tg . ANu + [ α(ti - te)/h ] . AMu )

i

 t -

te = 0 - 30 = -30

Como a grelha não apresenta esforço normal, a contribuição do esforço normal é nula. Então: δbc = ∑ (α. tg . 0 + [ α(ti - te 0)/h ] . AMu ) δbc = ∑ ( [ α(ti - te )/h ] . AMu ) δbc = {1,0x10-5.[ (0 - 30)/0,15] . [(-2 . 2/2) ] } δbc = 400,0x10-5 = 4,0x10-3 rad c

a valor positivo indica que o sentido arbitrado para o par de força unitária está correto, ou seja, a corda bc da grelha sofre uma rotação de 4,0x10-3 rad no sentido horário. O

b

item b): 1 - O deslocamento solicitado: Determinar o deslocamento horizontal do ponto c. δc =? De acordo com a tabela 2: deve ser aplicada uma força virtual unitária no ponto no ponto c. Caso 2 da tabela 2 2 - Esboçar os diagramas de esforço normal N u e de momento fletor Mu devido à ação da Força unitária. +  Ta = 0 ∑ Tab = 0 Y Z

Hax = 0

X

Ma = 0

∑ Tbc = 0

Hay = 1 Ta = 2

Fu = 1

a

Va = 0

38

 Ma =

0

+ ∑ Fx = 0  Hax = 0

c 2ª

1ª b

3,0 m

+

2,0 m

+ ∑ Fy = 0  Hay + Fu = 0  Hay = -1,0 Hay = 1,0 + ∑ Fz = 0  Va = 0


3 - Cálculo do deslocamento horizontal do ponto c da grelha ( δc =?) i e  t - t = 0 - 30 = -30 δc = ∑ (α.tg . ANu + [ α(ti - te)/h ] . AMu ) Como a grelha não apresenta momento fletor, a contribuição do momento fletor é nula. Então: δc = ∑ (α. tg . ANu ) δc = {1,0x10-5. 15 . [(1. 2) ] } δc = 3,0x10-4 m δbc = 0,3 mm O

valor positivo indica que o sentido arbitrado para a força unitária está correto, ou seja, o ponto c da grelha sofre um deslocamento horizontal de 0,3 mm para a direita.

39

a

c b

Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 2 Lista de exercícios: 1) Calcule para a estrutura devido aos acréscimos de temperatura apresentados abaixo os seguintes deslocamentos: a) o deslocamento horizontal do ponto c. b) a rotação relativa do ponto do b. B

q= 8 kN/m b

A

a

A

B

5 kN

c

2ª B t =+50 C

1ª

4,0 m

t e = - 5 0C b A

3ª

h

A

h

b

4,0 m B A

A

6,0 m

b = 15 cm

a

a

2,0 m

d

h = 60 cm

b

E = 25 GPa; υ = 0,2; = 1,0x105/0C;

2) Calcule para a estrutura devido ao acréscimo uniforme de temperatura no valor de 30 0C apresentado abaixo os seguintes deslocamentos: a) o deslocamento vertical do ponto b. b) a rotação relativa entre as barras 2 e 3 que concorrem para a rótula c. q = 10 kN/m B

t e = + 30 0C B

7 kN b 1ª B

4,0 m A

a

A

t i =+30 0C

A 3,0 m

c

2ª

t e = + 30 0C

A

h

4,0 m

A

3ª 4ª i 0 d t =+30 C

4,0 m

b A

b

h

b

B e

d

a

h = 50 cm

3,0 m

E = 205 GPa; υ = 0,3; = 1,2x105/0C;

b = 15 cm

3) Calcule para a estrutura devido aos acréscimos de temperatura apresentados abaixo os seguintes deslocamentos: a) a rotação relativa entre as barras 2 e 3 que concorrem para a rótula d. b) o deslocamento vertical do ponto c. q = 13 kN/m

t e = -10 0C 2,0 m

2,0 m A

2ª

i

7 kN.m d 7 kN.m 4ª

0

t =+38 C

5ª i t =+38 0C

b 1ª a

c

B 3ªB

A

e 6ª A

4,0 m

t e = -10 0C

f

3,0 m

E = 23 GPa; υ = 0,2; = 1,0x105/0C;

40

B b A

h

A

c

h

b

B

A a

h = 40 cm b = 15 cm


4) Calcule para a estrutura devido ao decréscimo uniforme de temperatura no valor de - 25 0C apresentado abaixo os seguintes deslocamentos: a) a rotação relativa entre as barras 2 e 3 que concorrem para a rótula c. b) o deslocamento horizontal do ponto b. 7 kN

2,0 m

q = 10 kN/m

e

0

t = - 25 C B b 2ª c B t = - 25 C 3ª 1ª d

2,0 m A

g f 5ª 6ª t i = - 25 0C 7ª t e = - 25 0C 8ª i t = - 25 0C

4ª a A

e

A

h

B b h

3,0 m

b

h

9ª

b

B

i

4,0 m

A

a

1,5 m

h = 30 cm

E = 205 GPa; υ = 0,3; = 1,2x105/0C;

b = 15 cm

5) Calcule para a estrutura devido aos acréscimos de temperatura apresentados abaixo os seguintes deslocamentos: a) a rotação relativa entre as barras 3 e 4 que concorrem para a rótula d. b) o deslocamento vertical do ponto c. t e = + 15 0C

B

q= 15 kN/m

18 kN c

2,0 m

A

d 4ª

i

0

2ª b

3,0 m

3ª

e

B

t = + 30 C

B 5,0 m

A

D D

1ª a

A

A

f

2,0 m

E = 25 GPa; υ = 0,2;

41

3,5 m

= 1,0x105/0C;

d

D B

A a

1,5 m

A

D D = 35 cm

Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Teoria das Estruturas 2 2.3 - Método d a força virtual unitária: Efeito de deslocamento pr escrito Seja a estrutura composta por elementos de barra representada na figura 4a, submetida apenas ao efeito de deslocamento prescrito, no caso, os apoios sofrem os recalques conhecidos (Calculados pela Mecânica dos Solos), nela indicados. Pi P1 Pn s s

P1 s

s

a

a

b

va

vb

va

Pi

Pn b vb

ha

Figura 4a: estrutura apenas sob o efeito de deslocamento prescrito

Figura 4b: estrutura sob o efeito de carregamento exterior e deslocamento prescrito

Na figura 4a, o deslocamento ( ) em uma dada direção, em uma determinada seção s de uma estrutura devido apenas à ação de deslocamento prescrito é determinado por meio da equação (1), mas fazendo as seguintes considerações: ∑(Pi . δi) + ∑ (R j . δij) = ∑ ( x∫ N dδ + x∫ Q dλ + x∫ M dϕ + x∫ T dθ ) i

(1)

j

- o objetivo é determinar o deslocamento de uma seção s provocado apenas pela solicitação real efeito de deslocamento prescrito. - Este caso pode ser entendido como uma estrutura sem a ação de forças externas reais: Forças externas reais = 0

Assim, Forças internas reais que surgiriam para equilibrar a estrutura são nulas ( N = Q = M = T = 0) Como isso, os deslocamentos reais relativos associados, respectivamente às forças reais internas ( N, Q, M, T ) são nulas: d = d = d = d = 0 Adotando as considerações apresentadas acima, a equação (1) pode ser escrita da seguinte forma: =0 =0 =0 =0 ∑(Pi . δi) + ∑ (R j . δij) = ∑ ( x∫ N dδ + x∫ Q dλ + x∫ M dϕ + x∫ T dθ ) i

j

∑(Pi . δi) = - ∑ (R j . δij) i

42

j

(17)


Conforme apresentado no item 2.1, aplica-se apenas uma força virtual unitária, o que permite escrever a equação (17) da seguinte forma: - Existe apenas uma força virtual unitária (Fu = 1)  Pi = Fu Fu . δ = - ∑ (R j . δij) j

(18)

Onde: δ = deslocamento a ser determinado; δij = deslocamento prescrito (conhecido), ou seja, recalque dos apoios; R j = reações de apoio da estrutura devido a ação do carga virtual unitária; A equação (18) permite determinar o deslocamento ( ) em uma dada direção, em uma determinada seção s de uma estrutura devido apenas à ação de deslocamento prescrito. Já na figura 4b, o deslocamento ( ) em uma dada direção, em uma determinada seção s de uma estrutura devido à ação combinada de solicitações reais: carregamento exterior e de deslocamento prescrito é determinado também por meio da equação (1), mas fazendo as seguintes considerações: ∑(Pi . δi) + ∑ (R j . δij) = ∑ ( x∫ N dδ + x∫ Q dλ + x∫ M dϕ + x∫ T dθ ) i

j

(1)

- o objetivo é determinar o deslocamento de uma seção s provocado pela combinação de solicitações reais  Efeito de carregamento exterior Efeito de deslocamento prescrito. - A diferença entre este caso e o apresentado no item 2.1, no qual a estrutura está apenas sob o efeito do carregamento exterior reside no fato que no item 2.1: - Estrutura apenas sob o efeito do carregamento exterior: os deslocamentos prescritos são nulos; - Neste caso combinado: os deslocamentos prescritos são diferentes de zero; Assim sendo, a partir da equação (1) pode ser obtida a equação que permite determinar o deslocamento para este caso combinado, conforme apresentado novamente a seguir: ∑(Pi . δi) + ∑ (R j . δij) = ∑ ( x∫ N dδ + x∫ Q dλ + x∫ M dϕ + x∫ T dθ )

(1)

A resistência dos materiais fornece as seguintes expressões: dδ = N . dx; dλ = Q . dx; dϕ = M . dx; dθ = T . dx EA GAv EI GJ

(2)

i

j

∑(Pi . δi) + ∑ (R j . δij) = ∑ (x∫ N.N.dx + x∫ Q.Q. dx + x∫ M.M.dx + x∫ T.T.dx) i j EA GAv EI GJ

N, Q, M, T  forças internas reais (devido à solicitação real) N, Q, M, T  forças internas virtuais (devido à solicitação virtual unitária); 43

(3)


Conforme apresentado no item 2.1: - Existe apenas uma força virtual unitária (Fu = 1)  Pi =Fu - Esta força virtual unitária, gera forças internas virtuais: N = Nu; Q = Qu; M = Mu; T = Tu Assim a equação 3 pode ser escrita da seguinte forma: Fu . δ + ∑ (R j . δij) = ∑ (x∫ Nu.N.dx + x∫ Qu.Q. dx + x∫ Mu.M.dx + x∫ Tu.T.dx) EA GAv EI GJ

(4)

Conforme apresentado no item 2.1, para as estruturas usuais (simples), as parcelas devido ao esforço Normal, ao esforço Cortante e ao Momento Torçor podem ser desprezadas, assim a equação (4), que permite calcular o deslocamento de uma seção s qualquer de uma estrutura devido a ação combinada pode ser simplificada, sendo esta dada por: Fu . δ + ∑ (R j . δij) = ∑ (x∫ Mu.M.dx) EI Fu . δ = - ∑ (R j . δij) + ∑ (x∫ Mu.M.dx) EI Como a força virtual é unitária: δ = - ∑ (R j . δij) + ∑ (x∫ Mu.M.dx) EI

(estruturas usuais: vigas, pórticos)

(19)

Para o caso específico de grelhas, conforme apresentado no item 2.1, apenas as parcelas devido ao esforço Normal, ao esforço Cortante podem ser desprezadas assim a equação (4), que permite calcular o deslocamento de uma seção s qualquer de uma estrutura devido a ação combinada pode ser simplificada, sendo esta dada por: Fu . δ + ∑ (R j . δij) = ∑ (x∫ Mu.M.dx + x∫ Tu.T.dx) EI GJ Fu . δ = - ∑ (R j . δij) + ∑ (x∫ Mu.M.dx + x∫ Tu.T.dx) EI GJ Como a força virtual é unitária: δ = - ∑ (R j . δij) + ∑ (x∫ Mu.M.dx + x∫ Tu.T.dx) EI GJ

(estruturas usuais: grelhas)

Em resumo: Para a combinação de solicitações reais:

carregamento exterior Deslocamento prescrito

O deslocamento de uma seção s de estrutura usual (viga, pórtico) é dado por: (19) O deslocamento de uma seção s de estrutura usual (grelha) é dado por: (20) 44

(20)

Apostila_Teoria2_2012_

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