APOSTILA_HIDRÁULICA_SERGIPE

Hidráulica Básica – Guia de Estudos

Ricardo de Aragão

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE - UFS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA - CCET

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL – DEC ÁREA DE RECURSOS HÍDRICOS DISCIPLINHA – HIDRÁULICA PROFESSOR – RICARDO DE ARAGÃO

HIDRÁULICA BASICA - GUIA DE ESTUDOS CONDUTOS FORÇADOS e CONDUTOS LIVRES

São Cristóvão/2009

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SUMÁRIO 1. MECÂNICA DOS FLUÍDOS ______________________ __________________________________ _______________________ __________________ _______ 5 1.1 CONCEITOS ______________________ __________________________________ ________________________ _______________________ ________________ _____ 5 1.2 EXPERIMENTO EXPERIMENTO DE NEWTON SOBRE FLUIDOS_______________________________ FLUIDOS_______________________________ 6 1.3 UNIDADES _______________________ ___________________________________ ________________________ _______________________ ________________ _____ 8 1.4 PROPRIEDADES PROPRIEDADES DOS FLUIDOS FLUIDOS _______________________ __________________________________ ______________________ ___________ 9 1.4.1 Viscosidade Viscosidade ______________________ __________________________________ _______________________ _______________________ _______________ ___ 9 1.4.2 Viscosidade Dinâmica________________ Dinâmica____________________________ _______________________ _______________________ ____________ 10 1.4.3 Viscosidade Viscosidade Cinemática ______________________ __________________________________ _______________________ _______________ ____ 10 1.4.4 Massa Massa Específica Específica (densidade) (densidade) ______________________ _________________________________ _______________________ ____________ 10 1.4.5 Peso Específico Específico _______________________ ___________________________________ _______________________ _____________________ __________ 11 1.4.6 Pressão De Vapor _______________________ ___________________________________ _______________________ ___________________ ________ 11 1.4.7 Cavitação________________________ Cavitação____________________________________ _______________________ _______________________ ______________ __ 11 1.4.8 Tensão Superficial_________________ Superficial_____________________________ _______________________ _______________________ ______________ __ 11 1.4.9 Capilaridade Capilaridade _______________________ ___________________________________ _______________________ _______________________ ____________ 12 1.5 PROPRIEDADES FÍSICAS DA DA ÁGUA EM UNIDADES UNIDADES SI _______________________ _______________________ 13 1.6 ESTÁTICA DOS FLUIDOS ______________________ __________________________________ _______________________ _______________ ____ 14 1.7 EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS____________________ FLUIDOS____________________ 15 1.7.1 Princípios básicos:_________________ básicos:_____________________________ _______________________ _______________________ ______________ __ 17 1.8 PRESSÃO ABSOLUTA ABSOLUTA E PRESSÃO MANOMÉTRICA_________ MANOMÉTRICA____________________ _________________ ______ 18 1.8.1 Unidades Unidades e Escalas Para Medir Medir a Pressão___________ Pressão _______________________ _______________________ _______________ ____ 19 1.8.2 Unidade De Pressão _______________________ ___________________________________ _______________________ ___________________ ________ 20 1.8.3 Instrumentos De Medida De Pressão ______________________ _________________________________ ___________________ ________ 20 1.8.4 Pressão Pressão Relativa Relativa (com relação relação à atmosfera) ______________________ __________________________________ ______________ __ 20 1.9 CONCEITOS LIGADOS AO ESCOAMENTO DOS FLUIDOS E EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS ______________________ __________________________________ _______________________ _______________________ ______________ __ 22 1.9.1 Características Características do Escoamento Escoamento _______________________ __________________________________ _____________________ __________ 22 1.9.2 Equação Da Continuidade___________ Continuidade_______________________ _______________________ _______________________ ______________ __ 23 1.9.2 Equação Equação de Euler ao Longo de Uma Linha Linha de Corrente___________________ Corrente_________________________ ______ 26 1.9.3 - Equação Equação de Bernoulli Bernoulli _______________________ ___________________________________ _______________________ _______________ ____ 30 1.9.4 - Interpretação Interpretação geométrica geométrica da Equação Equação de Bernoulli Bernoulli _______________________ ___________________________ ____ 31 1.9.5 - Potência Corrente Fluida ______________________ _________________________________ _______________________ ______________ __ 31 1.9.6 - Aplicação da Equação Equação de Bernoulli ________________________ ___________________________________ _______________ ____ 32 2 - ORIGEM ORIGEM DA PERDA DE CARGA ________ ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ 34 3 - RESISTÊNCIA AO ESCOAMENTO ESCOAMENTO EM CONDUTOS CONDUTOS FORÇADOS __________________ __________________ 38 3.1 - PERDA DE CARGA CONTÍNUA CONTÍNUA ______________________ _________________________________ _____________________ __________ 38 4 - ESCOAMENTO ESCOAMENTO UNIFORME EM TUBULAÇÕES___________________ TUBULAÇÕES_______________________________ ______________ __ 40 4.1 - DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE PARA O FLUXO LAMINAR E A PERDA DE CARGA ASSOCIADA ASSOCIADA A ESTE REGIME REGIME ______________________ _________________________________ ___________________ ________ 40 4.2 - VELOCIDADE VELOCIDADE CRÍTICA NO ESCOAMENTO ESCOAMENTO LAMINAR LAMINAR ________ ____________ ________ ________ ______ __ 42 4.3 - PERDA DE CARGA NO REGIME REGIME TURBULEN TURBULENTO TO ________ ____________ ________ ________ ________ ________ ____ 42 4.3.1 - Conduto Liso _______________________ ___________________________________ _______________________ _____________________ __________ 43 4.3.2 - Conduto Conduto Rugoso Rugoso _______________________ ___________________________________ _______________________ ___________________ ________ 44 4.4 - FÓRMULAS ESPECÍFICAS PARA CONDUTOS LISOS (NO REGIME TURBULENTO) _______________________ ___________________________________ _______________________ _______________________ _______________________ _________________ ______ 44 5 - FÓRMULAS FÓRMULAS EMPÍRICAS PARA O ESCOAMENTO TURBULENTO_________ TURBULENTO_________________ ________ 48 5.1 - FÓRMULA DE HAZEM-WILLIAMS_____________________ HAZEM-WILLIAMS________________________________ ___________________ ________ 48 6 - PERDA DE CARGA LOCALIZADA LOCALIZADAS S OU SINGULARES SINGULARES ________ ____________ ________ ________ ________ ______ __ 50 6.1 - MÉTODO DOS COMPRIMENTOS VIRTUAIS OU EQUIVALENTES_____________ 52


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7 - CONDUTOS CONDUTOS EQUIVALENTES _______________________ __________________________________ _______________________ ______________ __ 53 7.1 CONDUTOS EM EM SÉRIE_______________________________ SÉRIE__________________________________________ _____________________ __________ 54 7.2 CONDUTOS CONDUTOS EM PARALELO__________ PARALELO ______________________ _______________________ _______________________ ______________ __ 56 9 - INFLUÊNCIA DE UMA TOMADA D´ÁGUA EM UMA TUBULAÇÃO TUBULAÇÃO _______________ _______________ 58 9.1 CONDUTOS CONDUTOS COM COM DISTRIBUIÇÃO DISTRIBUIÇÃO EM MARCHA____________ MARCHA _______________________ _________________ ______ 59 9.2 CASO ESPECIAL ______________________ __________________________________ _______________________ _______________________ ____________ 60 10 - CONSTRUÇÃO DA LINHA LINHA DE CARGA ________________________ ___________________________________ _______________ ____ 61 10.1 PERFIS PERFIS DOS ENCANAMENTOS ENCANAMENTOS COM RELAÇÃO RELAÇÃO À LINHA DE CARGA_________ 62 10.2 - TOMADA DE ÁGUA ENTRE DOIS RESERVATÓRIOS RESERVATÓRIOS___________ _______________________ ____________ 66 10.3 O PROBLEMA PROBLEMA DOS DOS TRÊS RESERV RESERVATÓR ATÓRIOS IOS (PROBLE (PROBLEMA MA DE BELANGER BELANGER)) ____ 68 10.3.1 - ASPECTOS ASPECTOS DO PROBLEMA_________________ PROBLEMA____________________________ _______________________ ______________ __ 69 11 - SIFÃO_______________________________ SIFÃO___________________________________________ _______________________ _______________________ ______________ __ 70 11.1 - CONDIÇÕES CONDIÇÕES DE FUNCIONAME FUNCIONAMENTO NTO ________ ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ 71 11.2 - CÁLCULO DOS DOS SIFÕES ______________________ __________________________________ _______________________ _______________ ____ 71 12 - REDES DE CONDUTOS________________ CONDUTOS____________________________ _______________________ _______________________ ______________ __ 73 12.1 - REDES RAMIFICADAS ______________________ __________________________________ _______________________ _______________ ____ 73 12.3 - DIMENSIONAMENTO _______________________ ___________________________________ _______________________ _______________ ____ 74 12.4 - DIÂMETRO MÍNIMO ______________________ __________________________________ _______________________ _________________ ______ 75 12.5 - LIMITES DE VELOCIDADE VELOCIDADE DA TUBULAÇÃO TUBULAÇÃO ________ ____________ ________ ________ ________ ________ ______ 76 12.6 – PRESSÕES NOMINAIS NOMINAIS DOS DOS TUBOS _______________________ __________________________________ _______________ ____ 76 12.7 - SELEÇÃO SELEÇÃO DO MATERIAL____________________________ MATERIAL_______________________________________ ___________________ ________ 77 12.4 Redes Malhadas _______________________ ___________________________________ _______________________ _______________________ ____________ 79 13 - SISTEMAS ELEVATÓRIOS (Unidade II) ________________________ ___________________________________ _______________ ____ 82 13.1 - PARTES COMPONENTES ______________________ _________________________________ _______________________ ______________ __ 83 13.2 - ALTURA GEOMÉTRICA _______________________ __________________________________ _______________________ ______________ __ 83 13.4 - POTÊNCIA DOS CONJUNTOS ELEVATÓRIOS _______________________ _____________________________ ______ 84 13.5 - DIMENSIONAMENTO DAS TUBULAÇÕES ______________________ ________________________________ __________ 85 13.6 - DIMENSIONAMENTO DIMENSIONAMENTO ECONÔMICO_____________ ECONÔMICO________________________ _______________________ ______________ __ 85 13.7 - DETERMINAÇÃO ANALÍTICA DO DIÂMETRO D IÂMETRO ECONÔMICO PARA TUBULAÇÃO DE RECALQUE ______________________ __________________________________ ________________________ _______________________ _______________ ____ 85 13.8 - FÓRMULA EMPÍRICA _______________________ ___________________________________ _______________________ _______________ ____ 86 13.9 - MÁQUINAS HIDRÁULICAS ______________________ _________________________________ _______________________ ____________ 87 13.10 - VELOCIDADE VELOCIDADE ESPECÍFICA ESPECÍFICA (NS) _______________________ __________________________________ _________________ ______ 87 13.11 - CURVAS CURVAS CARACTERÍSTICAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS BOMBAS ______________________ ______________________________ ________ 88 13.14 13.14 CURVAS CURVAS DAS BOMBAS BOMBAS VERSUS VERSUS CURVAS CURVAS DO SISTEMA SISTEMA DE TUBUL TUBULAÇÃO AÇÃO ___ 91 13.14.1 Curva do sistema de tubulação tubulação _______________________ __________________________________ ___________________ ________ 91 13.14.2 Associação Associação de bombas centrífugas centrífugas ________________________ ___________________________________ _______________ ____ 94 13.15 CAVITAÇÃO _______________________ ___________________________________ _______________________ _______________________ ____________ 97 13.15.1 Condições Condições de cavitação cavitação___________ _______________________ _______________________ _______________________ ______________ __ 97 14 GOLPE DE ARIETE ______________________ __________________________________ _______________________ ______________________ ___________ 100 14.1 EQUAÇÃO DE JOUKOWSKY ______________________ _________________________________ ______________________ ___________ 100 14.2 PROPAGAÇÃO DAS ONDAS DE PRESSÃO _______________________ ________________________________ _________ 101 14.3 PERÍODO DA TUBULAÇÃO _______________________ __________________________________ ______________________ ___________ 102 14.3 EQUAÇÕES EQUAÇÕES INTEGRAI INTEGRAIS S DO GOLPE GOLPE DE ARÍETE ARÍETE ________ ____________ ________ ________ ________ _______ ___ 102 14.4 DISPOSITIVOS DISPOSITIVOS PARA ATENUAÇÃO DO GOLPE DE ARÍETE__________ ARÍETE _________________ _______ 103 15 CONDUTOS LIVRES (CANAIS) ______________________ _________________________________ _______________________ ______________ 104 15.1 TIPOS DE ESCOAMENTO _______________________ __________________________________ _______________________ ______________ 105 15.2 ELEMENTO ELEMENTOSS GEOMÉTRIC GEOMÉTRICOS OS ________ ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ _______ ___ 106 15.3 DISTRIBUIÇÃO DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDAD VELOCIDADE E ________ ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ _______ ___ 108 15.4 DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÃO____________ PRESSÃO________________________ _______________________ ____________________ _________ 110


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15.5 ENERGIA ESPECÍFICA__________________________________________________ 110 15.6 O NÚMERO DE FROUDE ________________________________________________ 112 15.7 ESCOAMENTO PERMANENTE E UNIFORME______________________________ 113 15.8 PERDA DE CARGA _____________________________________________________ 113 15.9 CÁLCULO DO ESCOAMENTO UNIFORME ________________________________ 116 15.9.1 Verificação do Funcionamento Hidráulico_________________________________ 116 15.9.2 Dimensionamento Hidráulico ___________________________________________ 116 15.10 ESTIMATIVA DO COEFICIENTE DE RUGOSIDADE _______________________ 116 16 SEÇÃO DE MÁXIMA EFICIÊNCIA ___________________________________________ 117 17 MÉTODOS DE DIMENSIONAMENTO DE CANAIS _____________________________ 120 17.1 - Método da velocidade permissível _________________________________________ 120 17.2 - Método das Tensões de Arraste____________________________________________ 121 18 RESSALTO HIDRÁULICO___________________________________________________ 123 19 MEDIÇÃO DE VAZÃO (3º Unidade) ___________________________________________ 127 19.1 - ORIFÍCIOS ___________________________________________________________ 127 19.1.1 Classificação ________________________________________________________ 128 19.2 - BOCAL ______________________________________________________________ 131 19.3 - ESVAZIAMENTO DE RESERVATÓRIO ATRAVÉS DE ORIFÍCIO OU BOCAL__ 132 19.4 - MEDIDOR VENTURI __________________________________________________ 133 19.5 - VERTEDORES ________________________________________________________ 134 19.5.1 Vertedor Retangular __________________________________________________ 135 19.5.2 - Vertedor triangular __________________________________________________ 137 19.5.3 - Vertedor de Soleira Espessa ___________________________________________ 138 19.5.4 - Vertedores/extravasor________________________________________________ 138 19.5.5 - Calha Parshall ______________________________________________________ 141 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS______________________________________________ 143


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1. MECÂNICA DOS FLUÍDOS 1.1 CONCEITOS a) MECÂNICA - Ciência que tem por objetivo o estudo do movimento e das causas que o produzem; b) MECÂNICA RACIONAL – ESTÁTICA – estuda as forças em equilíbrio CINEMÁTICA – estuda o movimento sem considerar a ação das forças; DINÂMICA – estuda o movimento e ação das forças.

c) MECÂNICA DOS FLUIDOS – - Ocupa-se do movimento e do equilíbrio dos fluidos - Aplicação das leis da mecânica para o estudo dos fluidos; d) MECÂNICA DOS FLUIDOS + TERMODINÂMICA Aspectos teóricos – Hidrodinâmica Aspectos práticos – Hidráulica Hidrologia Dinâmica dos gases e) FLUIDO – Compreende as fases líquidas e gasosas que a matéria existe Conceito de Fluido – é uma substância que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de cisalhamento não importando o quanto pequena possa ser essa tensão QUAL A DIFERENÇA ENTRE UM SÓLIDO E UM FLUIDO? Os sólidos quando submetidos à ação de uma tensão de cisalhamento, sofre uma deformação reversível até que o seu limite de elasticidade seja alcançado. A partir deste limite, o sólido não mais retorna ao formato anterior. IMPORTÂNCIA DO ESTUDO DA MECÂNICA DOS FLUIDOS O conhecimento e a compreensão dos princípios básicos da mecânica dos fluidos são essenciais para qualquer sistema no qual um fluido é o meio operante. COMPORTAMENTO DOS FLUIDOS


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HIDRÁULICA – Parte da hidrodinâmica aplicada que investiga, de forma simplificada, o escoamento de fluidos e as aplicações tecnológicas de alguns tipos de escoamento De acordo com o dicionário, o termo hidráulica tem origem nas palavras gregas hydros e aulos que significam, água e condução, respectivamente, ou seja, conjunto de técnicas ligadas ao transporte de líquidos, em geral, e da água, em particular Atualmente o termo toma uma visão mais ampla e significa o estudo de fluidos incompressíveis em repouso ou em movimento (em especial a água), visando particularmente a sua aplicação em engenharia Os conhecimentos da hidráulica são aplicados nas mais variadas áreas tais como mecânica (freios hidráulicos, elevadores hidráulicos, direção hidráulica), pela engenharia química (condução de fluidos newtonianos), até a Engenharia Civil, através do projeto de obras hidráulicas como adutoras, de sistemas de drenagem urbana, canais, sistemas de esgotamento sanitários e instalações hidráulicas. Para tanto, os conhecimentos da mecânica dos fluidos são aplicados a problemas do dia-a-dia. Na disciplina são vistos o Teorema da Energia ou de Bernoulli, dimensionamento de condutos pressurizados a partir da gravidade e também a partir de sistemas de recalques.

1.2 EXPERIMENTO DE NEWTON SOBRE FLUIDOS Y Fx

M

δl

M’

P

P´

Fx

δαyx Y

Elemento de fluido no instante t X

δyY

T

Elemento de fluido no T + instante t+δt

δx

Figura 1.1 – Experimento de Newton sobre fluido Para Fx=Cte  Ux=Cte ∴τyx=lim δFx/ δS = dFx/dS τ=F/A - F∝A δS – área do elemento fluido em contato com a placa δFx – força exercida sobre o elemento pela placa

(1.1)


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αyx – (taxa de deformação) = lim δαyx/ δt = dαyx/dt

Visto que αyx é difícil de ser medido δx = (entre MM´) = δuδt ou Para αyx <<<  δl = δyδαyx δuδt = δyδαyx  δu/ δy = δαyx/ δt

Então para um dado Fx  τyx O elemento fluido experimenta uma deformação δu/ δy  τyx ∝du/dy

(1.2)

Então: Para fluidos onde τyx é proporcional a du/dy são chamados FLUIDOS NEWTONIANOS; Para os fluidos onde τyx não é proporcional a du/dy chamamos de FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS; Para os fluidos onde τyx ∝du/dy, a igualdade é alcançada através de uma constante de proporcionalidade, que neste caso é chamada de VISCOSIDADE ABSOLUTA OU DINÂMICA, µ. Daí, τ YX =

µ du

(1.3)

dy

onde τyx – tensão de cisalhamento perpendicular a Y na direção X; µ - viscosidade absouluta ou dinâmica; du – variação da velocidade ou diferencial de velocidade (m/s);dy – variação da profundidade ou diferencial de profundidade (m); du/dy – gradiente de velocidade (s-1) Para τyx [F/L2] e du/dy [1/T]  µ[F.T/L2] ou [m/LT] No sistema SI - µ [kg/m.s] ou Pa.s No sistema inglês  lbf.s/ft2 ou slug/ft.s Reologia É a ciência que estuda os fluidos não newtonianos O que é um fluido newtonianos? du/dy

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e d e o d ã a a d i m c r o f o l e e V d

2

3 4

τ

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Figura 1.2 – Diagrama Reológico Fluido 1) Não apresenta viscosidade; 2) Relação linear entre tensão e deformação 3) Relação não-linear entre a tensão e deformação; 4) Tensão de escoamento definida em uma relação linear constante de τ sobre du/dy; 5) O fluido tende a endurecer quando em repouso (tinta de impressão); 6) Fluido newtoniano com viscosidade menor que 2.

1.3 UNIDADES Tabela 1.1 - Unidades utilizadas e seus respectivos simbolos


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Notar que o símbolo representativo da grandeza é escrito em letra minúscula, exceto quando a origem é um nome próprio como Watt, Joule, Pascal, conforme o SI, assim o símbolo de hora é h e não H, HR, hs. Outro detalhe importante é que o símbolo representativo da grandeza, a unidade, não possui plural.

CGS Dina

3ft go(SI) = 9,81 m/s2 go(Inglesas) = 32,2 ft/s2

Tabela 1.2 - Unidades de Força MKS FtLbs Newton, N Lbflbm 2 N=1kgx1m/s Lb=lbmxgo(Inglesas) Kgf=1kgxg(m/s) Lb=lbm.32,2 ft/s2 Kgf=9,8N Lb=slug.1ft/s2 1kgf=UTM 1slug=32,2 lbm 1UTM=9,81kg 1ft=30,48 cm 1ft=12 polegadas=12in 1pol=2,54 cm 3ft=1 jarda

1.4 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 1.4.1 Viscosidade Propriedade pela qual um fluido oferece resistência ao cisalhamento.


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Ocorre devido a coesão e a transferência de movimento entre as moléculas ou entre camadas do fluido. Coesão – força que une entre si as moléculas das substâncias.

1.4.2 Viscosidade Dinâmica τ ∝du/dy  ∝ = µ

(1.4)

µ = coeficiente de viscosidade absoluta ou dinâmica (movimento dos fluidos e as causas dos movimentos);

CGS  g/cm.s = 1 poise; MKS  kg/m.s; N.s/m2; Inglês  Lb.s/ft2  Mais indicado ou Lbm/ft.s; Slug/ft.s

1.4.3 Viscosidade Cinemática Surge com freqüência em muitas aplicações, por exemplo, no número de Reynolds..... O QUE É O NÚMERO DE REYNOLDS? ν = µ / ρ = [L2 ν [m2 /s] ou [ft2 /s] = Stokes [cm2 /s] Propriedades da Viscosidade

/T]

1) µ=f(1/temperatura)  a viscosidade para os líquidos diminui com o aumento da temperatura, devido a diminuição da coesão que é a causa predominante da viscosidade; 2) µ=f(temperatura)  a viscosidade para os gases aumenta com a temperatura, devido ao aumento da transferência da quantidade de movimento; 3) o µ de uma mistura não é dado pela regra da aditividade, ou seja, µ3=µ1+µ2+µ3; 4) o µ dos fluidos é praticamente independente; 5) A lei de Newton da viscosidade se aplica a casos de fluxo lamina. 6) A velocidade na fronteira sólida é zero e, portanto, não ocorre deslizamento entre fluido e sólido.

1.4.4 Massa Específica (densidade) Quantidade de matéria contida em uma unidade de volume ρ = M/L3  ρ=lim δM/ δV δv0 ρ = g/cm3 ou ρ = kg/m3 ou lbm/ft3 ou Slug/ft3

(1.6)


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ρ = d x ρ H2O d = densidade relativa ou gravidade específica d = ρSubst./ ρ H2O ρH2O = 1000 kg/m3; 1,94 Slug/ft3;

1.4.5 Peso Específico Peso – força de atração gravitacional agindo sobre a matéria na unidade de volume. P = m x g  P = ρ x g x Vol.  γ = P/Vol.  ρ x g x Vol/Vol.  γ = ρ x g γ = [N/m3] ou [lb/ft3] ou γ = d x γ H2O 2O  Densidade relativa d = γ Sub/ γH

1.4.6 Pressão De Vapor Pressão na qual o liquido, e o seu vapor, podem existir em equilíbrio a uma dada temperatura, também chamada de pressão de saturação; Quando o ar esta saturado, a pressão parcial de vapor iguala-se a pressão de saturação; Os líquidos evaporam por causa de moléculas que escapam pela superfície livre. As moléculas de vapor exercem uma pressão parcial no espaço, conhecida como pressão de vapor.

1.4.7 Cavitação Vaporização de um liquido quando a pressão exercida sobre ele se torna, ainda que ligeiramente, inferior a pressão de vapor a temperatura em que ele se encontra.

1.4.8 Tensão Superficial Força de coesão necessária para forma uma película sobre a superfície. A película se forma através do conceito de energia da superfície ou trabalho por unidade de área necessária para trazer a molécula à superfície *Coesão – força de atração entre as moléculas semelhantes; *Adesão – força de atração entre as moléculas diferentes; **A tensão superficial é afetada pelo grau de pureza do material!!!!


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1.4.9 Capilaridade A altura capilar que o líquido atinge acima da superfície é devido ao efeito da tensão superficial e depende da magnitude relativa da coesão do liquido e da aderência do líquido as paredes. *Ocorrem para tubos menores do que D=10 mm Fr = W σπDcosθ= (πd2 /4 x hc)γ ΣFy = W  γπDcosθ - ρg∆Vol. ∆Vol = πD2 /4 x ∆h  σπDcosθ - ρgπD2 /4 x ∆h = 0 4σ cos θ 4σ cos θ ∆h = − − > ou − − > ∆h = D ρ g

Dγ

∆h = 4σcosθ /Dγ σH2O = 72,8 mN/m  θ ≈ 0o σHg = 375 mN/m  θ ≈ 140o

Figura 1.3 - Capilaridade

Figura 1.4 – Mudança da superfície com a capilaridade

**Ângulo de contato – depende da limpeza da superfície e da pureza do liquido Para θ < 90o – O líquido tende a molhar a superfície do sólido. A tensão de tração devido à tensão superficial tende a puxar para cima a superfície livre do liquido próximo do sólido; Para θ > 90 o – O líquido não molha a superfície. A tensão superficial tende a puxar para baixo a superfície livre do líquido ao longo do sólido. Observações:

D

1 lbf = 1 slug x 1ft/s2  aceleração da gravidade no sistema inglês (sistema coerente de unidades) 1 lbf = 1 lbm x 32,2 ft/s2  (sistema incoerente) 1 Slug = 32,2 lbm


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1.5 PROPRIEDADES FÍSICAS DA ÁGUA EM UNIDADES SI (Streeter e Wylie, 1982 – Mecânica dos Fluidos) Para 25 ºC γ = 9.779 N/m3 (peso específico) ρ = 997,1 kg/m3 (massa específica) µ = 0,894 x 10-3 N.s/m2 (viscosidade dinâmica) ν = 0,897 x 10-6 m2 /s (viscosidade cinemática) σ = 7,26 x 10-2 N/m(tensão superficial) Para 77 ºF γ = 62,22 lb/ft3 (peso específico) ρ = 1,934 slug/ft3 (massa específica) µ = 1,799 x 10-5 lb.s/ft2 (viscosidade dinâmica) ν = 0,930 x 10-5 ft2 /s (viscosidade cinemática) σ = 0,492 x 10-2 lb/ft (tensão superficial) CONVERTER a) 25ft em cm  1ft = 30,48 cm = 762 cm b) 1 ton em slug  1 slug = 14,6 kg 1000 kg = 68,49 slug c) 20 lbf/ft2 em psi  20 lbf/ft2 em psi= lbf/in2 1 ft = 12 in  1ft2 = 144 in2 20 lbf/ft2 = 20 lbf/144 in2 = 0,139 lbf/in2 d) 13 psi em lb/ft3  13 lbf/in2 x 144 in2 /1 ft2 =1.872,0 lbf/ft2 e) 50 m3 /h em l/min  2) Uma placa infinita é movimentada sobre uma segunda placa numa camada de liquido. Para um espaçamento h, pequeno entre as placas, supõe-se uma distribuição linear de velocidade no líquido. Dados µ = 0,65 cp (centésima parte do poise – centipoise) d = 0,88; Calcular a)

µ em lbf.s/ft2 b) ν em m2 /s  = µ / ρ c) τ na placa superior em lbf/ft2

a) 1 cp = 0,01p 0,65 cp  x µ = 0,0065 poise 1lbf.s/ft2 = 478,7 poise


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daí µ = 0,0065 poise == 1,356 x 10 -5 lbf.s/ft2 b) ν = µ / ρ d = ρ / ρH2O  ρH2O = 1g/cm2  ρ = d x ρH2O =0.88 x 1 = 0,88 g/cm 3 ν = µ / ρ = 0,0065 g/cm.s x (1/0,88 g/cm 3) x 1 m2 /104 cm2 = 7,386 x 10-7 ν = 7,386 x 10-7 m2 /s

c) τ = µdu/dy = u/h.µ τ = 1,35 x 10-5 lbf.s/ft2 x 0,3 m/s x 1/0,3 x 10 -3 m τ = 1,356 x 10-2 lbf.s/ft2

Exercício Um corpo pesando 50 lbf, com uma superfície plana de 200 in 2, desliza sobre um plano inclinado, lubrificado, que faz um ângulo de 30 o com a horizontal. Para uma velocidade de 5 ft/s e uma espessura da película lubrificante de 0,02in, determinar a viscosidade do lubrificante em cp. Dado θ = 30o, P=50 lbf; A=200 in2; V=5ft/s; h ou y = 0,02 in

A = 200 in2 1,389 ft2 H = 0,02 in = 1,667 x 10 -3 ft τ = P/A = Psin30o /A µ = τ.h/u = Psin30o /A x h/u µ= (50xsin30o lbf/ft2) x 1,389 x 10 -1 x 1,66 x 10-3 x 5 x 10-1 = 6,01 x 10-3 lbf.s/ft2

1.6 ESTÁTICA DOS FLUIDOS Forças a serem aplicadas a um fluido a) forças de corpo ou de campo (gravidade) b) forças de superfície (Peso) Para um elemento de volume ∆V= δxδyδz dFb= = g x dm = g ρδxδyδz *Para um fluido estático – força de superfície = pressão  P = p(x,y,z);


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Para um elemento prismático

Pδs Pδy Pδ x W elemento infinitesimal em cunha Figura 1.5 - Pressão agindo sobre um Forças normais a superfície ∑Fx = 0  Pxδy - PsδsSinθ = 0  Pxδy = PsδsSinθ ∑Fy = 0  Pyδx - Psδscosθ - (γδyδx/2) = 0  Pyδx = Psδscosθ Infinitesimal

Pxδy = PsδsSinθ Pyδx = Psδscosθ Para δxδy = 0; δsSinθ = δy ; δscosθ = δx Dai temos que: Pyδx = Psδx; Pxδy = Psδy Então  Py = Ps ; Px = Ps, do que pode-se concluir que 

Py = Px = Os 1.7 EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS Z

PdYdZ

 ∂P  dZ dXdY P+  ∂ Z 

 ∂P  dY dZdX P+  ∂Y 

∂P   dX dYdZ P+  ∂ X 

Y

PdXdY

X

W=mg

15


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16

Figura 1.6 - Pressão agindo sobre um elemento infinitesimal Para repouso ou velocidade constante  ∑F = 0    ∂P  ∂P  ∂P      P −  P + ∂ X dX  dYdZex +  P −  P + ∂Y dY  dXdZey +  P −  P + ∂ Z dZ  dXdYez − mg = 0          onde ex, ey, ez  vetores unitários   ∂P     ∂P     ∂P   − + − + dX dYdZex dY dXdZey      ∂ X   ∂Y  −  ∂ Z dZ  dXdYez − mg = 0            

Para m = massa = ρdZdYdX Então, dividindo por dZdYdX  ∂P   ∂P   ∂P   ex −  ey −  ez − ρ gez = 0  ∂ X   ∂Y   ∂ Z 



Equação geral da estática!!

Para o equilíbrio ∑Fx = 0; ∑Fy = 0; ∑Fz = 0  ∂P   ∂P   ∂P   ex = 0;−− > − ey = 0 − − > − ez − ρ gez = 0  ∂ X   ∂Y   ∂ Z 

Pela lei de Pascal, no plano horizontal as pressões são iguais, logo P=P(X,Y,Z) P(z) só depende de Z ∂P  ∂P  ∂P  = γ  Como P(z) só depende de Z −   ez − ρ g = 0  −  ez − γ = 0  − ∂ Z  ∂ Z   ∂ Z  −

dP dZ

= γ  Integrando



P = γ γZ + C – Equação diferencial da variação da pressão

RestrinçõesFluido estático; A gravidade é uma força de campo A partir da equação −

dP dZ

= γ ou

dP

= −γ dZ , conclui-se que a pressão não varia com a

distância horizontal. Sendo assim, P é função apenas de Z, permitindo passar de derivada parcial para derivada ordinária. Para fluidos incompressíveis (γ e ρ = cte) a integração da equação acima fornece a seguinte solução: C Z D

C B

A

B


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X B

∫

dP

C

B

= −γ ∫ dZ ou, PC = −γ Z C B

B



PB – PC =-γ (ZB – ZC), logo



PB – PC =γ (ZC – ZB),

C

contudo ZB – ZC =h  Logo, PB – PC =γ h  PB = PC + γ h

1.7.1 Princípios básicos: Lei de Stevin (Eq. Fundamental da fluidoestática) – A diferença de pressão entre dois pontos, no interior da massa fluida (em equilíbrio estático e sujeita a gravidade) é igual ao peso da coluna de fluido tendo por base a unidade de área e por altura a distância vertical entre os dois pontos. Lei de Pascal – No interior de um fluido em repouso, a pressão é constante em cada ponto, ou seja, em dada profundidade, a pressão é a mesma que o elemento da superfície seja vertical, horizontal ou inclinado. Como conseqüência: a pressão sobre a superfície da massa fluida é transmitida ao seu interior, integralmente e em todas as direções. Aplicação: freio de automóveis, prensas hidráulicas, macacos hidráulicos. Exercícios a) Sabendo que, na superfície livre, a pressão efetiva é nula (Pc=0), obter a pressão em B, a 11 m de profundidade, em um óleo com d=0,85; b) Em uma prensa hidráulica, o raio do embolo maior é o sêxtuplo do raio do embolo menor. Aplicando a força de 50 kgf ao êmbolo menor, determinar a força transmitida ao êmbolo maior. c) Um tanque fechado contém mercúrio, água, e óleo nas condições mostradas abaixo. O peso do ar acima do óleo é desprezível. Sabendo-se que a pressão no fundo do tanque é de 20000 kgf/m2, determinar a pressão no ponto A. d) São dados dois tubos cilíndricos verticais A e B, de seções iguais a 0,5 m 2 e 0,1 m2, respectivamente. As extremidades inferiore desses tubos estão em um plano horizontal de referência e comunicam-se por um tubo estreito (de seção e comprimento desprezível), dotado de torneira inicialmente fechada. Os tubos contém líquidos não miscíveis de pesos específicos γ A=800 kgf/m3 e γ B=1200 kgf/m3 os líquidos elevam-se às alturas hA=25 cm e hB=100 cm. Após a abertura da torneira, determinar os níveis h1 e h2 dos dois líquidos. Os valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um nível de referência


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1.8 PRESSÃO ABSOLUTA E PRESSÃO MANOMÉTRICA Existem dois métodos usados para expressar a pressão: um é baseado no vácuo perfeito e o outro na pressão atmosférica. O primeiro é chamado de pressão absoluta e o segundo de pressão manométrica. Assim,

Pressão manométrica = Pressão absoluta – pressão atmosférica

Definições: Pressão absoluta: Pressão cujo nível de referência é o vácuo *as pressões absolutas devem ser empregadas em cálculos com gases ideais ou com outras equações de estado Pressão manométrica: neste método a pressão abaixo de 1 atm é expressa como pressão negativa. Assim muito manômetros ou medidores de pressão são construídos para indicar a pressão manométrica.

Figura 1.7 – Pressão absoluta e pressão manométrica


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PMANOMÉTRICA PABS

PATMOSFERICA

Pressão atmosférica ao nível do mar 101,3 KPa = 14,696 Psi = 14,69 lbf/in2 = 1,03 Bar = 2116 lbf/ft2 = 29,92 pol.Hg; 33,91 ft H2O = 1 atm = 760 mmHg = 10,34 mH2O Exemplo: Para Y=1500 m  P=0,847 Barabs Para Y=300 m  P=0,975 Barabs

Figura 1.8 - Experiência de Torricelli para determinação da pressão atmosférica 1. A experiência foi realizada ao nível do mar 2. Um tubo de vidro de aproximadamente 1m foi preenchido com mercúrio (Hg); 3. Mantendo fechado o tubo, inverteu-o e mergulhou-o num recipiente que também continha mercúrio; 4. Uma vez aberta a extremidade do tubo, a coluna de mercúrio desceu até 76 cm acima da superfície livre do mercúrio; 5. Na parte superior, que ficou vazia, foi gerada uma ausência de ar (vácuo), que na verdade não é um vácuo perfeito visto que um pouco de mercúrio se evaporou; 6. Conclusão: o que mantinha a coluna nessa altura era a pressão atmosférica 7.

1.8.1 Unidades e Escalas Para Medir a Pressão Pressão absoluta = P – vácuo absoluto; Pressão efetiva = P – Patmosférica local; Pressão atmosférica normal ou padrão = pressão média ao nível do mar


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= 759,96 mmHg ou 29,92 Pol Hg =101,3 kPa = 10,34 mH 2O Pressão atmosférica local: medida por um barômetro de mercúrio Pressão em metros: força por unidade de área na base da coluna

1.8.2 Unidade De Pressão P= lb/ft2; kgf/m2 N/m2 Ppsi=62,4/144 x d x h, onde 1 ft2 = 144 in2 γ H2O = 62,4 lbf/ft3 = 9.806 N/m3 d = densidade relativa; h = altura da coluna de líquido

1.8.3 Instrumentos De Medida De Pressão A pressão atmosférica é medida por um barômetro de mercúrio ou um barômetro aneróide. hvp

h 1

2

PvpHg≈0; P2 = Pv + hγ Hg P2 = P1 = Patm = hγ Hg dHg = 13,6 T = 20oC P2 = 760 mmHg = 29,92 pol.Hg Obs: a) correções de temperatura e altitude devem ser aplicadas ao nível medido; b) tensão superficial deve ser levada em conta;

1.8.4 Pressão Relativa (com relação à atmosfera) Manômetro: dispositivo formado por uma coluna de líquido e usados para determinar a diferença de pressão. São utilizados para medidas de precisão.


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Figura 1.9 – Manômetros γ =h  hA = -h x drel PA=γ h  PA / γ *Utilizado para medir pressões sempre acima do zero efetivo; **Não serve para medir pressões elevadas em A; *Utilizado para pressões elevadas, positivas ou negativas **O γ do líquido não deve ser missível m issível

Figura 1.10 - Manômetro Diferencial Manômetro de Bourdon: dispositivo composto de um tubo metálico curvado, fechado em um local e que tende a alongar quando a pressão interna aumenta. A referência é a pressão atmosférica.

Figura 1.11 - Manômetros


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1.9 CONCEITOS LIGADOS AO ESCOAMENTO DOS FLUIDOS E EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS Diferenças entre estática dos fluidos e a natureza do escoamento?! Diferente da estática dos fluidos, onde não temos movimento e os efeitos devido à viscosidade poderão ser desprezados, o escoamento de um fluido real é complexo e de difícil formulação.

1.9.1 Características do Escoamento QUANTO À TRAJETÓRIA: TRAJETÓRIA: Laminar: as partículas de fluido (pequenas massas) movem-se ao longo de trajetórias suaves, em lâminas ou camadas. * acontece a baixas velocidades!! - Cada uma destas deslizando suavemente sobre a outra adjacente; - É governado pela lei de Newton da viscosidade τ = µ

du dy

- As perdas são diretamente proporcionais a velocidade média  Re≤2000 - A ação da viscosidade é amortecer a tendência de aparecimento de turbulência Turbulento: *A viscosidade da água é baixa – são as mais freqüentes na natureza. - Ocorrem em altas velocidades - As partículas movem-se em trajetórias irregulares causando uma transferência de quantidade de movimento de uma porção de fluido para outra Re>4000 - Geram maiores tensões de cisalhamento - As perdas são proporcionais a uma potência da velocidade ∆h ∝ uk - A tensão de cisalhamento não é uma propriedade do fluido somente τ = η - Na prática τ = η + µ

du dy

du dy

QUANTO AO TEMPO Permanente: o tempo é o fator determinante. Neste tipo de escoamento, as condições em qualquer ponto do fluido não variam no ∂u ∂ρ ∂P ∂T tempo  = 0; = 0; = 0; = 0; ∂t ∂t ∂t ∂t ∂u ≠0 Variado: as condições variam em qualquer ponto com o tempo ∂t Exemplo: - a água bombeada por um sistema onde Q=cte, o escoamento é permanente; - a água bombeada por um sistema onde Q é crescente o escoamento é variado.


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QUANTO AO ESPAÇO ∂u = 0 , significando que o vetor velocidade é ∂s idêntico em todos os pontos (módulo, direção e sentido). Daí, quando o conduto for prismático (seção constante) e a velocidade média em todas as seções, num certo instante for a mesma, o escoamento é dito Uniforme.

Uniforme: O espaço é o fator determinante

Não uniforme: o vetor velocidade varia de um local para outro em um instante qualquer, ∂u ≠0 ∂s QUANTO AO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO Rotacional ou vórtices: se as partículas do fluido possuírem rotação em relação a qualquer eixo. Unidimensional: despreza as variações de velocidade, pressão, etc. transversalmente a direção do escoamento. Valores médios de velocidade, massa específica, etc. Linha de corrente: corrente: é uma linha contínua, traçada no fluido, tangente em todos os pontos aos vetores da velocidade. *Não há escoamento através de uma linha de corrente; * No escoamento permanente, a trajetória de uma partícula é uma linha de corrente que passam por uma pequena curva fechada. Tubo de corrente: tubo formado por todas as linhas de corrente que passam por uma pequena curva fechada. Sistema: uma massa definida de matéria distinta de todo o restante da mesma. Lei de conservação da massa: a massa de um sistema permanece constante com o tempo 

dm dt

=0

Volume de controle: refere-se a uma região do espaço cuja fronteira é a superfície de controle.

1.9.2 Equação Da Continuidade Fluido Idea l Incompressível Sem atrito Sem viscosidade Sem resistência Fluido real

Simplificação para a análise matemática


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Compressível; viscoso O número de REYNOLDS: Re – é a relação entre forças de inércia e forças viscosas. Este número diferencia os regimes de escoamento laminar e turbulento Re =

VD

ν

,

onde ν - viscosidade cinemática (m 2 /s); V – velocidade média (m/s); D – diâmetro.

Figura 1.12 – Experimento de Reynolds

Figura 1.13 – Diferentes regimes de fluxo Vazão – Em volume  volume do fluido que atravessa uma seção de escoamento Em massa  quantidade de massa fluida que atravessa uma seção A2 dA2

v1

A1 dA1

v2


Para

dm dt

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=0

Seção 1: ρ1v1dA1 Seção 2: ρ2v2dA2 Como não há escoamento através das paredes de um tubo de corrente

ρ1V1dA1 = ρ2V2dA2 (Equação da continuidade para escoamento permanente) Para velocidade média V Vazão em massa m = ρ1v1dA1 = ρ2v2dA2 Para vazão = Q = A x V  ρ1Q1 = ρ2Q2 Para o escoamento permanente de fluido incompressível ρ1 = ρ2 1 Daí: Q1 = Q2  V1A1 = V2A2 onde V = ∫ vdA A

Demonstração

Figura 1.14 – Vazão constante através de diferentes seções Em fluidos incompressíveis e em regime permanente, a vazão em volume, que passa através de um tubo de corrente é constante. ∆m = é a diferença entre a vazão que entra no volume de controle e a que sai ∆m = ρ ∆V = ∫ ρ 1v1dA − ∫ ρ 2 v 2 dA A1

A 2

Como para um fluxo permanente a massa não pode mudar com relação ao tempo, e o fluxo não pode passar através das fronteiras do tubo de corrente, a massa fluindo através do tubo de corrente é constante Para ∆m = 0  conservação de massa 0 = ∫ ρ 1v1dA − ∫ ρ 2 v 2 dA − − > ∫ ρ 1v1 dA = ∫ ρ 2 v 2 dA A1

A 2

A1

A 2

Para fluidos não compressíveis ρ1 = ρ2 = ρ


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∫ 1v1dA = ∫ 2v2 dA = Q

A

(Equação da continuidade)

A

Velocidade média no tubo de corrente V 1

=

A1( V 1 =

1

1

v1 dA ; V 2 = v2 dA A 1 ∫ A 2 ∫

1

1

v1 dA )=A2( V 2 = v 2 dA ) A 1 ∫ A 2 ∫

Velocidade média

Velocidade média

A1V1=A2V2=Q Q=AV 1.9.2 Equação de Euler ao Longo de Uma Linha de Corrente s dl PdA

P+dP)dA dz

θ

dz

W

Figura 1.15 – Forças agindo sobre um elemento de fluido sobre uma linha de corrente Considerando: - Cosθ=dz/ds u é tangente a linha de corrente ¨s¨; - o volume de controle sofre ação da pressão P e de seu peso W. - um volume de controle prismático, muito pequeno; - Escoamento ideal, sem viscosidade - Ao longo de uma linha de corrente (unidimensional); - Em regime permanente. Massa= dm Forças agindo sobre os corpos são: - Pressão P nos extremos - O peso W

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- Forças cisalhantes (dFs) devido às partículas adjacentes Para a equação de movimento: ΣFx = M .ax  γ dAdl  dv    g   dt 

Daí: (+ PdA − ( P + dP)dA − γ dAdl sin θ − dFx ) = 

(1)

Dividindo por γ dA e substituindo dl/dt por v  P P dP dFs  vdv  − −  = − dl sin θ x − γ γ γ γ dA   g dFs

γ dA

(2)

é a resistência ao fluxo ao longo de dl

dFs=τdPdl

dFs

γ dA

=

τ dPdl τ dl = γ dA γ R

onde R= raio hidráulico=A/P

A soma de todas as forças cisalhantes é igual a perda de energia devido ao fluxo dhl

=

τ dl dhl ∴τ = γ R( ) γ R dl

(3)

Visto que dlsinθx = dz 0   dP vdv  + + dz + dhl  = 0  γ

(4)



g

Equação de Euler quando aplicada a um fluido ideal dhl=0 Para fluidos de densidade constante, ou seja, fluidos incompressíveis P2

dP

v2

vdv

z2

dz

∫ 1 γ + ∫ 1 g + ∫ 1

P

v

2

+ ∫ 1

z

2

Os métodos para avaliar

dhl

dhl

∫ 1 γ

γ

=0

(5)

= 0 serão discutidos posteriormente e aqui será chamado

de Hl  P2 P1   V 22 V 12   −  +  −  + ( Z 2 − Z 1 ) + Hl = 0 γ γ    2 g 2 g 

(6)

 P1   V 12  P2 V 22   +   + ( Z 1 ) − Hl = + + Z 2 γ γ 2 2 g g    

(7)

Os termos podem ser interpretados como energia por unidade de peso em metro Newton por Newton Onde:  P1    = energia de pressão  γ 


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28

 V 12    energia cinética  2 g 

( Z 1 ) =energia de posição

Um Fluido em movimento possui energia e, para analisar os problemas de fluido em movimento, três formas de energia devem ser consideradas: energia potencial, energia cinética e energia de pressão. d V Z

W

Datum

Energia potencial: refere-se a energia que o elemento de fluido possui devido a sua elevação acima do nível de referência. Em termos quantitativos energia potencial (Ep) é igual ao produto do peso do elemento (W) pela distância do elemento ao nível de referência (Ep=W.z)

(8)

Energia cinética é a energia que o elemento de fluido possui devido a sua velocidade. Em termos quantitativos (Ec) é igual ao produto da massa (m) do elemento pelo quadrado da velocidade x ½ Ec = m x v2

/2

m=W/g  W = peso; g= aceleração da gravidade

(10)

Energia de pressão ou energia de fluxo: é a quantidade de trabalho necessário para movimentar um elemento de fluido a uma certa distância contra a pressão. Daí segue que a energia de pressão (EPr) é igual ao resultado do trabalho efetuado pelo elemento de fluido quando deslocado de d. A força é o produto da pressão P e a seção A Epr = P x A x d

(11)

Ad é o volume do elemento = P/ γ, onde γ é o peso específico do fluido t Epr = W x P/ γ

(12)

A energia total é a soma das energias E = Wz + m x (V2 E = Wz + W

V 2

2g

+ W

/2g) + P x A x d P

γ

(13) (14)

Cada termo pode ser expresso em termos de N.m Em mecânica dos fluidos é comum se trabalhar com a energia em termos de carga, ou seja, a quantidade de energia por unidade de peso do fluido, suja unidade seria N.m/N. Daí, dividindo 14 por W, o peso do fuido,

Hidráulica Básica – Guia de Estudos H = z +

V 2

2g

+

P

γ

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29

, onde z – carga ou potencial de elevação V2 /2g – carga ou potencial de velocidade P/ γ - carga de pressão

Casos particulares: 1) quando todas as linhas de corrente têm origem num reservatório no qual a energia é a mesma em todos os pontos, os pontos de referência 1 e 2 podem ser escolhidos arbitrariamente (não necessariamente na mesma linha de corrente); 2) No escoamento de um sistema de ventilação de gás, onde a variação na pressão é apenas uma pequena variação da pressão observada, o gás pode ser considerado incompressível e 7 pode ser aplicado; 3) Para o escoamento variado, onde as grandezas variam gradativamente, a Equação 7 pode ser aplicado 4) Para fluidos reais, onde as tensões viscosas podem ser desprezadas, resultados teóricos podem ser obtidos sem problemas. A equação resultante pode ser corrigido por um coeficiente determinado experimentalmente. Exercícios: a) Determinar a velocidade de saída do bocal instalado na parede do reservatório da figura abaixo. b) determinar a vazão no bocal.

Um medidor Venturi consiste de um conduto convergente, seguido de um conduto de diâmetro constante chamado gargante e, posteriormente, de uma porção gradualmente divergente. É utilizado para determinar a vazão num conduto. Sendo o diâmetro da seção 1 igual a 6 in (15,2 cm) e o da seção 2 igual a 4 in (10,2 cm), determinar a vazão no conduto quando P1-P2 = 3 psi (0,211 kgf/cm 2) e o fluido que escoa é óleo com d=0,90

Para o medidor Venturi mostrado na figura abaixo, a deflexão do mercúrio no manômetro diferencial é 14,3 in. Determine a vazão através do medidor se nenhuma energia é perdida entre A e B.


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Para o sifão de 50 mm de diâmetro que conduz óleo (d=0,82) do reservatório mostrado na figura abaixo, a perda de carga do ponto 1 ao ponto 2 é de 1,5 m e do ponto 2 para o ponto 3 é 2,4 m. Determine a vazão do óleo através do sifão e a pressão no ponto 2.

1.9.3 - Equação de Bernoulli Fluidos ideais P

V 2

(Equação de Bernoulli para os fluidos ideais) 2g Onde z = energia de posição; P/ γ = energia de pressão; V2 /2g = energia cinética; H = He = energia total Para uma linha de corrente H (cte) = z +

γ

+

Z2 Z1


z1

+

P1

γ

+

V 1

2

2g

= z2 +

P2

γ

+

V 2

2

2g

∴ z +

P

γ

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(é chamada de energia potencial)

1.9.4 - Interpretação geométrica da Equação de Bernoulli No interior da massa fluida, em escoamento permanente, tomemos os pontos A,B,C, pertencentes ao mesmo filamento de corrente. Nos prolongamentos das cotas (z1,z2,z3), tomemos segmentos de reta, cada um deles igual à respectiva altura piezométrica (P1/ γ, P2/ γ, P3/ γ ). A curva MNO é chamada de linha piezométrica ou linha das pressões. Em seguida, acrescentamos no gráfico os segmentos de reta representativos da energia cinética em cada ponto (v 12 /2g, v22 /2g, v32 /2g ). Cada cota z é chamada de carga de posição; a respectiva altura de pressão é a carga piezométrica; a correspondente energia cinética é a carga cinética. Então, a altura H é a carga total. O plano cujo traçado indicamos na figura abaixo recebe o nome de plano de carga dinâmico (PCD) ou, simplesmente, plano de carga.

,

1.9.5 - Potência Corrente Fluida Os fluidos em movimento possuem uma energia que poderá ser transformada em outra forma. A potência da corrente fluida é por definição o trabalho realizado por uma carga d´água na unidade do tempo ou N = γ Q( z +

P

+

V 2

γ 2 g

) onde o termo entre parênteses é a energia total ou H=He,

Q é a vazão em volume Sendo assim, N = γ QH = (peso/volume) x (volume/tempo) x distância = potência Observa-se que esta equação resulta em trabalho na unidade do tempo ou potência.


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1.9.6 - Aplicação da Equação de Bernoulli Teorema de Torricelli Bernoulli entre 1 e 2 H + P1 / γ +0 = 0+ P2 / γ +V2 /2g H = V22 /2g V 2 = 2 gh

Tubo Venturi

No caso de água

No caso de ar

Tubo de Pitot

Fluxo através de um orifício

32


Conservação da energia de um fluido

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33


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34

2 - ORIGEM DA PERDA DE CARGA

Figura 2.1a – Reservatório cheio e registro fechado

Figura 2.1b – Reservatório esvaziando e registro aberto A perda de carga é o resultante da perda de energia (carga piezométrica) devido ao atrito viscoso entre as camadas que compõe o fluido e entre o fluido e a fronteira sólida. Sendo assim, o agente contribuinte para este processo é a viscosidade do fluido. Considere as seguintes condições: fluido real, incompressível, em regime permanente, tubulação circular de diâmetro constante, forças de pressão, gravidade e cisalhamento atuantes sobre um dado elemento.

Figuras 2.2 – elemento de um fluido sujeito aos efeitos de atrito e gravidade Pelo diagrama de corpo livre, mostrado nas Figuras 1b, e considerando a condição de equilíbrio dinâmico, temos (Eq. 2.1):

∑ Fx = P1 A − P2 A − τ PL − W sin θ = 0 o

(2.1)


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onde τo= tensão média de cisalhamento (tensão trativa média ou tensão tangencial média). z − z Para sin θ = 2 1 e W = γ AL (2.2) L

Substituindo 2.2 em 2.1 A( z 2 − z1 ) = 0 − − > ( ( P1 − P2 ) A − τ o PL − γ

P1

γ

+ z1 ) − (

P2

γ

+ z2 ) =

τ o P L γ A

(2.3)

Mas, a diferença entre os dois termos é a perda de energia entre as seções em questão, ou seja: (

P1

γ

+ z1 ) − (

P2

γ

+ z2 ) = ∆ H

(2.4)

Dentre as denominações que esta diferença recebe, as mais conhecidas são PERDA DE PRESSÃO, PERDA DE CARGA ou PERDA DE ENERGIA denotando que, ao circular, o fluido perde carga ou energia chegando a um ponde de completa perda, quer seja por dissipação devido ao atrito. Considerando área molhada como sendo aquela onde a água toca as paredes internas do conduto (sistema pressurizado ou livre), a razão entre esta área e o perímetro molhado é conhecida como raio hidráulico. Assim, Rh = ÁREA MOLHADA / PERÍMETRO MOLHADO  Rh= A/P

(2.5)

Substituindo as Eqs. 2.4 e 2.5 na Eq. 2.3, temos ∆ H =

τ o L γ Rh

(2.6)

O termo ∆H é a perda de carga que acontece ao longo do conduto. Desta forma, a razão entre esta perda e o comprimento do conduto leva-nos ao conceito de perda de carga unitária, ou seja, a perda por unidade de comprimento do tubo, J =

∆ H L

(m/m)

(2.7)

Substituindo Eq. 2.7 na Eq. 2.6, temos τ o = γ Rh J

(2.8)

Esta equação é válida para condutos livres (canais, rios, calhas) e para condutos forçados (adutoras, redes de abastecimento, etc). Para canais a tensão é não-uniforme e τo representa o seu valor médio no perímetro molhado. Em termos gerais a perda de carga ou perda de pressão ao longo de um conduto de comprimento L é função dos seguintes elementos: ∆P = f(ρ, V, D, µ, L, ε) (9). Onde: ρ - massa específica (kg/m 3), V - velocidade (m/s), D – diâmetro (m), µ viscosidade dinâmica (kg/m.s - Pa.s), L – comprimento (m), ε - rugosidade absoluta (m)


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36

Pela teoria da análise dimensional, aplicada ao escoamento forçado, temos que ∆P Ne = (2.10) 2 Número de Euler ρ V ρ VD Re = µ ε

Rr =



D



Número de Reynolds

(2.11)

Rugosidade Relativa

(2.12)

Sendo assim: ∆P ρ V 2

ρ VD L ε , , ) µ D D

(2.13)

= f (

Entretanto, experimentos mostram que a perda de carga é uma relação direta da razão L/D como pode ser visto na figura seguinte. Desta forma,

Figura 2.3 – Dependência da perda de carga com a forma e o comprimento do conduto ∆P ρ V 2

=

L D

ρ VD ε , ) µ D

(2.14)

f (

O termo entre os parênteses representa o fator de atrito da tubulação e é determinado através de experimentos ou através de equações empíricas ou mesmo com base em algumas considerações. Desta forma, a Eq. 2.14 transforma-se em (Eq. 2.15): ∆P =

L D

f ρ V

2

Considerando que

(2.15) ∆P = γ ∆ H , temos, γ = ρ g

L V 2

(2.16) 2g A Equação 2.16 é conhecida como a Equação Universal de Perda de Carga ou equação de Darcy-Weisbach: ∆ H = f

D

Para tubos circulares R h=D/4. Assim, na Eq. 2.6 temos:


∆ H =

4τ o L

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(2.17)

γ D

Igualando a Eq. 2.17 a Eq. 2.16, temos: 2 τ o ρ V 2 V = f − − > = f − − > τ o = f D D 2 g 8 8 ρ

(2.18)

τ o f = V 8 ρ

(2.19)

4τ o L

L V

,

2

Onde o primeiro termo é também conhecido como velocidade de atrito, escrito como: τ o = µ * ρ

(2.20)

37


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38

3 - RESISTÊNCIA AO ESCOAMENTO EM CONDUTOS CON DUTOS FORÇADOS Para efeito de estudo, a perda de carga, denotada por ∆H é classificada em perda de carga contínua, contínua, ∆hC e perda de carga localizada ou ∆hL ∆H = ∆hC + ∆hL

(3.1)

3.1 - PERDA DE CARGA CONTÍNUA Esta perda deve-se, principalmente, ao atrito interno entre partículas escoando em diferentes velocidades. As causas dessas variações de velocidade são a viscosidade do líquido (µ ou ν) e a rugosidade da tubulação (ε).

Figura 3.1 - Representação esquemática da perda de carga

Figura 3.2 - Representação da perda de carga contínua e localizada num tubo de seção constante


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39

Figura 3.3 - Condição da tubulação ao longo do tempo A razão entre a perda de carga total e o comprimento da tubulação dar-se o nome de perda de carga contínua, J, que pode expressa pela Eq. 3.2. ∆ H J = (3.2) L

A Equação 3.2 da idéia de inclinação e representa o gradiente ou inclinação da linha de carga. Assim, o abaixamento da linha piezométrica representa também a perda de carga continua, como pode ser visto através da equação de Bernoulli entre duas seções. Considerando U1 = U3 na Figura 3.1, ∆h12=(z2+P2 / γ γ ) – (z3+P3 / γ γ )

(3.3)

Considerando a equação universal de perda de carga (Eq. 2.16), e a equação da continuidade (Eq. 3.4) Q= AV 8 f Q 2 J = 2 5 π D

(3.4) (3.5)

g

onde J= perda de carga unitária (m/m), V=velocidade média (m/s), D=diâmetro do conduto (m), L=comprimento do conduto (m),Q=vazão (m3 /s), g=aceleração da gravidade (m/s2), f =coeficiente =coeficiente de atrito ou de perda. A Equação 3.5 também poderá ser escrita da seguinte maneira: 2

h f

= 0,0829

Q Lf D 5

(3.6)


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40

4 - ESCOAMENTO UNIFORME EM TUBULAÇÕES 4.1 - DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE PARA O FLUXO LAMINAR E A PERDA DE CARGA ASSOCIADA A ESTE REGIME Considerando a Figura abaixo e lembrando que para o fluxo laminar a tensão de cisalhamento é dada pela lei de Newton para fluidos viscosos τ = µ

dv dy

, podemos igualar

esta tensão à Equação 17, desenvolvida anteriormente, para um r qualquer como segue: Perda de carga

Linha de energia

Tensão de cisalhamento

Velocidade

Figura 4.1 – Distribuição da tensão de cisalhamento em conduto circular A tensão de cisalhamento pode ser expressa como segue (Eqs. 4.1 e 4.2): τ = − µ

∆ H =

dv

(4.1)

dr

4τ o L γ D



τ =

γ ∆ H D

4 L

= τ =

γ ∆ H r

2 L

(4.2)

Esta equação mostra que a tensão de cisalhamento varia com a distância r da linha central ao ponto de interesse, independente do escoamento ser laminar ou turbulento. Igualando 4.1 e 4.2 e lembrando que ∆H = (P 1-P 2 )/ γ, temos, τ = − µ

dv dr

=τ =  − µ

( P1 − P2 ) r 2 L dr

dv

=

(4.3)

Visto que (P 1-P 2 )/L, não é função de r, r (P − P ) − ∫ dv = 1 2 ∫ rd r 2 µ L 0 vc Onde v c é a velocidade no centro.

(4.4)

Então, integrando Eq. 4.4 temos Eq. 4.5: (P − P ) − (v − vc) = 1 2 r 2 4 µ L ou

(4.5)

v

Hidráulica Básica – Guia de Estudos v = vc −

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( P1 − P2 ) 2 r 4 µ L

41

(4.6)

Novamente, lembrar que ∆H = h L = (P 1-P 2 )/ γ , Daí γ hL r 2 v = vc − 4 µ L

,

(4.7)

Quando r = r o, v = 0, ou seja, a velocidade na fronteira sólida é zero quando r= r o . Assim, na Eq. 4.7 temos (ver Figura 4.1): ( P − P2 ) 2 vc = 1 r , na linha central (4.8) 4 µ L 0 Assim, em termos gerais, temos, γ h ( P − P2 ) 2 2 γ ∆ H 2 2 v= 1 (r 0 − r ) = (r 0 − r ) = L (r 0 2 − r 2 ) 4 µ L 4 µ L 4 µ L ou seja, γ hL (r 0 2 − r 2 ) 4 µ L

v=

(4.9)

(4.10)

Onde v é a velocidade instantânea em função do raio. Visto que a perda de carga é dependente da velocidade, a partir deste resultado podemos determinar a equação que fornece a perda de carga em um conduto com fluxo laminar, permanente e incompressível, como segue: ro

vdA ∫ ∫ = = 0 V = 2 A π r 0 ∫ dA

v( 2π rdr )

2π ( P1 − P2 ) r 0 2 2 = (r 0 − r )rdr (4.11) 2 ∫ π r 0 (4 µ L) 0 Onde P1 e P2 são pressões antes e depois de uma dada seção, respectivamente. Q

Integrando a Equação 4.11 chegaremos a Equação 4.12 que fornece a velocidade média na seção: V =

( P1 − P2 ) 2 r (8 µ L) 0

(4.12)

Lembrando da Eq. 4.8, e considerando que γ =ρg e µ=ρν, temos que, desta forma, para fluxo laminar, a velocidade média é metade da velocidade no centro ou velocidade máxima v c . Reorganizando 4.12 ( P1 − P2 ) γ

= perda de carga =

lembrando que ν =

µ ρ

8 µ LV γ r 02

=

32 µ LV 2 γ D

(4.13)

Hidráulica Básica – Guia de Estudos h L

=

128 π g

ν L

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Q D

42

(4.14)

4

Esta equação, também conhecida como a fórmula de Hagem-Poiseulle, poderá ser aplicada para fluxo laminar de todos os fluidos em todos os condutos. Igualando a equação universal de perda de carga (2.16) à Equação 4.13, Temos ∆ H = f f

=

64 µ ρ VD

=

L V 2 D

2g

=

32 µ LV γ D 2



64 Re

(4.14)

ou seja, na condição de fluxo laminar o coeficiente de atrito, ou coeficiente de resistência ou coeficiente de perda de carga, ou coeficiente de Darcy-Weibach, f, é inversamente proporcional ao número de Reynolds.

4.2 - VELOCIDADE CRÍTICA NO ESCOAMENTO LAMINAR O aumento da velocidade do escoamento laminar, dentre outros fatores, faz com que o fluxo entre no regime turbulento. Entre os dois tipos de regime, existe uma zona de transição, onde a velocidade média que provoca esta mudança é a velocidade crítica de escoamento, que é função das características do fluido e do número de Reynolds. V =

µ ) D ρ

(4.15)

Re(

Assim, existe um limite de velocidade V além do qual temos Re>2000, de modo que o escoamento deixa de ser laminar, ou seja: V critico

µ ) D ρ

= 2000(

V critico

ν

= 2000( )

D ou (4.16) Onde se conclui que, para determinado tubo (D constante), Vcrítico é diretamente proporcional a ν (viscosidade cinemática).

4.3 - PERDA DE CARGA NO REGIME TURBULENTO Ao contrário do regime laminar, onde o coeficiente de atrito é função do número de Reynolds, no escoamento turbulento, o coeficiente depende de inúmeras variáveis (número de Reynolds, rugosidade relativa, tipo de fluido, temperatura, dentre outros), dificultando sua determinação. Desta forma, as irregularidades na parede interna de um conduto provocam a sua aspereza. Assim, de acordo com a aspereza da parede, surgiram várias fórmulas para a determinação do coeficiente de atrito no escoamento turbulento. Isto deu origem à classificação de condutos em LISOS E RUGOSOS .


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43

Camada lamina

Parede do conduto Figura 4.2 - Rugosidades ou asperezas na parede do conduto Região do escoamento livre

Turbulento Borda de ataque turbulento laminar Camada limite laminar

Filme laminar

laminar Zona de transição

Camada limite turbulenta

Figura 4.3 - Camada limite laminar e subcamada limite Pelo princípio da aderência, uma partícula fluida em contato com a parede do tubo tem velocidade nula e existe uma camada delgada de fluido, adjacente à parede, na qual a flutuação da velocidade não atinge os mesmo valores que nas regiões distantes da parede. A região onde isto ocorre é chamada de SUBCAMADA LIMITE LAMINAR e caracteriza-se por uma variação praticamente linear da velocidade na direção principal do escoamento. A teoria da camada limite mostra que a espessura δ da subcamada limite pode ser calculada por: 11,6ν 32,5 D δ = ou (4.17) u* Re f

4.3.1 - Conduto Liso É aquele cujas irregularidades ficam totalmente cobertas pela camada laminar. No conduto liso, a altura ε das irregularidades é menor que 1/3 da espessura δ, ou seja, ε<(δ /3), também que ε<(100 ν /V). Do exposto, pode-se concluir que um mesmo conduto pode ser liso para um fluido e rugoso para outro. Também que o conduto pode ser liso para baixas velocidades ou ser rugoso nas maiores (qualquer que seja o regime). Nesta condição,

u*ε

ν

<5



escoamento turbulento hidraulicamente liso.


O termo

u*ε

ν

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44

é conhecido como número de Reynolds de rugosidade

4.3.2 - Conduto Rugoso Neste tipo, ε (rugosidade absoluta) tem influência direta sobre a turbulência e, portanto, sobre a perda de cara. Nos condutos rugosos, distinguem-se dois tipos de regime: turbulento de transição e turbulência plena. a) Regime Turbulento de Transição Onde ocorre (δ /3)<ε<8δ. Neste tipo, apenas uma parte da aspereza atravessa a camada laminar, contribuindo para turbulência. Nesta condição 5 < transição

u*ε

ν

≤ 70  Escoamento turbulento hidraulicamente misto ou de

b) Regime de Turbulência Plena Ocorre quando ε>(8δ) Neste tipo, ε é muito maior que a espessura δ da camada laminar. Então, as irregularidades da parede perfuram, totalmente, a camada e concorrem para o aumento e a manutenção da turbulência. Neste regime, f, depende da rugosidade relativa do tubo (ε /D) e também do número de Reynolds (Re). Em se tratando do número de Reynolds da rugosidade, escoamento é dito turbulento hidraulicamente rugoso

u*ε

ν

> 70  Ou seja, o

4.4 - FÓRMULAS ESPECÍFICAS PARA CONDUTOS LISOS (NO REGIME TURBULENTO) Para a condição de escoamento onde o conduto é dito liso, a altura média das saliências (rugosidade absoluta), ε, não interfere com a turbulência do escoamento. Portanto, o coeficiente f independe de ε. Predomina a ação da viscosidade, de modo que f depende de Re. a) Fórmula de Blasius (1913) f = 0,316(Re) −0, 25 que é válida para 3000 ≤Re≤ 100000 em escoamento turbulento.


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45

b) Fórmula de Von Kárman-Prandtl 1

2,51) ) (4.18) f f Re f que é válida para 104 ≤Re≤ 3,4 x 106 e Re f > 800 . Em ambas as equações o coeficiente f aparece nos dois membros. Assim, uma das maneiras de obter-se o valor de f é através de métodos iterativos. Esta fórmula adapta-se melhor a resultados experimentais que a fórmula de Blasius.

= 2 log(Re

f − 0,8

ou

1

= −2 log(

c) Fórmula de Nikuradse Nikuradse efetuou experimentos com tubos rugosos, sendo a rugosidade obtida artificialmente através de grãos de areia colados na parede de um conduto circular. f

= 0,0032 + 0,221(Re)−0, 237

(4.19)

4.5 - Fórmulas Específicas para Condutos Rugosos (no regime turbulento de transição) a) Fórmula de Prandtl-Colebrook 1 f

= 1,74 − 2 log(

2ε D

+

18,7 ) Re f

(4.20)

b) Fórmula de Colebrook-White (1937) 1 f

= −2 log(

ε / D

3,71

+

2,51 ) Re f

Fórmula válida para 14 ≤

Re f D / ε

(4.21)

≤

200

c) Fórmula de Moody 106 1 / 3 f = 0,0055[1 + ( 20000 + ) ] D Re ε

(4.22)

É válida para 4000 < Re <10 7. Esta fórmula difere em ±5% em relação as fórmula de Colebrook-White. d) Segunda Fórmula de Nikuradse 1 f

= 1,74 − 2 log(

2ε D

) ou

(4.23)

Hidráulica Básica – Guia de Estudos 1

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46

ε / D

) ou 3,71 2ε 2 f = 1,74 − 2 log( ) − ou f

= −2 log(

D D

= 1,138 + 2 log( )− 2

f

ε

e) Fórmula de Swamee-Jain 0,25 f = ε 5,74 [log( + 0,9 )]2 3,7 D Re Que se aplica para 10-6≤ ε ≤10-2 e 5 x 103 ≤ Re ≤108

(4.24)

De acordo com Porto (1998), Swamee-Jain apresentaram expressões explicitas para o cálculo da perda de carga unitária J (m/m), da vazão Q (m 3 /s) e do diâmetro da tubulação: 0,203Q 2 / gD5 J = 5,74 ε [log( + 0,9 )]2 3,7 D Re Q D

2

gDJ

 gJ   2  Q  

D

0 ,2

=−

π

2

 ε

log

(4.25)

+

1,78ν 

(4.26)

  3,7 D D gDJ 

0 ,2 1, 25 0 ,2        gJ 1    = 0,66ε  2   +ν  3   Q    gJQ     

0 , 04

(4.27)

E por último, uma equação geral para a determinação do fator de atrito que é válida para escoamento laminar, turbulento liso, de transição e turbulento rugoso e pode ser escrito como (Porto, 1998). −16  64 8 ε 5,74 2500 6    f = ( ) + 9,5ln( + 0 ,9 ) − ( )  Re    Re  3,7 D Re

0 ,125

(4.28)

Esta equação deu origem ao diagrama de Moody mostrado na figura abaixo (Porto, 1998). O diagrama de Moody foi originado da equação de Swamee-Jain, permite a determinação do fator de atrito f , em função do número de Reynolds (Re) e da rugosidade relativa para tubulações comerciais que transportam qualquer líquido. Obs: a) A reta referente ao regime lamina corresponde ao fator de atrito f=64/Re, e a curva envoltória inferior corresponde aos tubos lisos, e para 3000

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47

b) Para diâmetros comerciais a rugosidade absoluta das tubulações não são altas e os regimes são turbulentos de transição. As faixas usualmente encontradas são: 0,5
Figura 4.4 – Diagrama de Moody para obtenção do fator de atrito f RESUMINDO: Escoamento Laminar: a perda de carga unitária é proporcional à primeira potência da velocidade 2 32 µ LV L V 64 µ 64 Temos ∆ H = f =  ; (4.14) f = = γ D 2 g ρ VD Re D 2 Escoamento turbulento liso: a perda de carga é proporcional a potência 1,75 d a velocidade média f

= 0,316(Re)

−0, 25

V D2 g

0 , 25

= 0,0161ν

Escoamento turbulento rugoso: 2 1 V 2 fQ J = f = 0,0827 5 D 2 g D

V 1, 75 D1, 25

= 0,00051

V 1, 75

D1, 25

= 0,00078

Q 1, 75 D 4, 75

=

(4.29) (4.30)

Exercício: Do reservatório R1, com o nível d´água constante (NA1) na cota Z1, parte uma tubulação de comprimento L até o reservatório R 2, cujo nível dagua constante (NA 2) se acha na cota Z2. Obter as perdas de carga contínua e unitária.


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48

Dois reservatórios, um açude A e um reservatório elevado B, estão interligados por uma adutora (conduto fechado) por gravidade, cujo conduto tem comprimento L=22 km e diâmetro D=150 mm. Os reservatórios estão com níveis de água constante e cotas da superfície A= 250 m e B = 232 m. A tubulação é de ferro fundido novo. Determine a vazão e a população que este conjunto poderá alimentar, considerando um consumo de 80 l/hab.dia.

5 - FÓRMULAS EMPÍRICAS PARA O ESCOAMENTO TURBULENTO De maneira geral, as fórmulas que fornecem a perda de carga unitária assumem o seguinte formato:

Qn

J = K m D

, em que K, n e m são inerentes a cada fórmula e faixa de

aplicação. Em geral K depende só do tipo de material da parede do conduto.

5.1 - FÓRMULA DE HAZEM-WILLIAMS J = 10,65

Ou h f

Q1,85 C 1,85 D 4 ,87

= 10,65

Q1,85 L C 1,85 D 4,87

,

(5.1a) (5.1b)

onde J – perda de carga unitária - (m/m), Q – vazão (m 3 /s), D – diâmetro (m) e C (m0,367 /s). C é função da rugosidade ou asperezas e estas dependem do estado e da natureza das paredes do conduto. a) b) c) d) e) f)

Restrição: escoamento turbulento de transição; Não leva em conta a viscosidade. Portanto, a água deverá estar próxima a 20oC; Diâmetro maior ou igual a 50 mm; Equação desenvolvida a partir de experimentos e tratamento estatístico; Pode ser aplicada no cálculo de adutoras, redes de distribuição de água, sistemas de recalque; Para valores de C inferiores a 120 e elevados números de Reynolds, escoamento turbulento rugoso, a fórmula é inadequada.


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49

Fórmula de Flamant J = 0,000824

Q 1, 75 D

(5.2)

4 , 75

Aplica-se a tubos de paredes lisas e também a tubos de plástico de pequenos diâmetros, como os empregados em instalações prediais de água fria Fórmula de Scobey Q 1,9

(Gomes, 1994) (5.3) 245 D 4,9 Aplica-se ao cálculo de perda de carga em redes de irrigação por aspersão e gotejamento que utilizam tubos leves. Onde – tubos de plástico e cimento amianto – Ks=0,32;Alumínio com engates rápidos a cada 6 m – Ks=0,43;Aço galvanizado com engates rápidos a cada 6 m – Ks=0,45. J = Ks

Fórmula de Fair-Whipple-Hsiao Esta fórmula e suas variantes são indicadas pela Norma Brasileira, para projetos de instalações hidráulicas prediais, nos seguintes casos: Tubos de aço galvanizado e ferro fundido conduzindo água fria: Q 1,88

(5.4)

J = 0,002021 4 ,88 D

Tubos de cobre ou plástico, conduzindo água fria: J = 0,000859

Q 1, 75

(5.5)

D 4 , 75

Tubos de cobre ou latão conduzindo água quente: J = 0,000692

Q 1, 75

(5.6)

D 4 , 75

Exercício Uma adutora fornece a vazão de 150 l/s, através de uma tubulação de aço soldado, revestida com esmalte, diâmetro de 400 mm e 2 km de extensão. Determinar a perda de carga na tubulação, por meio da fórmula de Hazen-Williams, e comparar com a fórmula universal de perda de carga.


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50

6 - PERDA DE CARGA LOCALIZADAS OU SINGULARES A perda de carga ou de energia em sistema pressurizado é devida ao somatório das perdas contínuas que acontecem ao longo do conduto e às singularidades, como curvas, junções, válvulas, medidores, dentre outros elementos. H = h f

(6.1)

+ hS

onde H – perda de carga total (m), hf – perda de carga linear ou contínua (m), hS – perda de carga singular ou localizada (m). Para certos casos, as perdas localizadas são mais importantes que as perdas contínuas, como acontecem nas instalações hidráulicas prediais. Por outro lado, para o caso de tubulações muito longas, como nas adutoras, a perda de carga localizada pode ser desprezada (Cirilo et al., 2003). Após vários experimentos concluiu-se que a perda de carga localizada h s para uma determinada peça pode ser calculada pela expressão geral, sendo este conhecido como método do K: hs

= K

V

2

2g Os valores de K são obtidos experimentalmente.

(6.2)

Para o caso de alargamento brusco, Borda determinou teoricamente o coeficiente K como segue (Cirilo, 2003):

Figura 6.1 - Alargamento brusco de tubulação Aplicando Bernoulli ente 1 e 2 P1

γ

+

V 12

2g

=

P2

γ

+

V 22

2g

+ ∆h

(6.3)

Pela equação da quantidade de movimento

∑ Fx = ρ Q(V 2 − V 1 )

(6.4) Onde ΣFx é o somatório de todas as forças que atuam sobre o líquido contido no volume de controle, na direção x, ρQ é a vazão em massa através das seções 1 e 2 e V 1 e V2 as velocidades médias do escoamento.


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51

Sendo assim, P1A1 + P1(A2 – A1) – P2A2 = ρQ(V2 – V1)

(6.5)

A1V1 = A2V2

(6.6)

(V 1 − V 2 ) 2 (V 1 ) 2 A ∆h = = (1 − 1 ) 2 2g 2g A2

(6.7)

Para

K = (1 −

A1 A2

Sendo assim, (V 1 ) 2 ∆h = K 2g

)2

(6.8)

(6.9)

A expressão anterior é compatível e corrobora com o descrito a respeito da perda de carga localizada. Obs: para A1<
Figura 6.2 – perda de carga singular na saída de reservatório associadas ao valor de K b) perda de carga na saída das canalizações (entrada em reservatórios);

Figura 6.3 – Perda de carga na saída de canalização e entrada de reservatório


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52

c) perda de carga em curvas; d) perda de carga em válvulas de gaveta

Registro Pressão Registro de gaveta Figura 6.4 – Perda de carga nos registros e) perda de carga em válvula-borboleta;

Figura 6.5 – Perda de carga devido a válvula borboleta f) perda de carga devida ao estreitamento de seção; g) perda de carga devida ao alargamento gradual de seção; h) perda de carga em tês e junções.

Figura 6.6 – Perda de carga nos Tes e junções

6.1 - MÉTODO DOS COMPRIMENTOS VIRTUAIS OU EQUIVALENTES O método se baseia na idéia que uma canalização que compreende diversas peças especiais e outras singularidades, sob o ponto de vista de perdas de carga, equivale a um encanamento retilíneo de comprimento maior.


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53

O método consiste em se adicionarem à extensão da canalização, para simples efeito de cálculo, um tubo de diâmetro, comprimento e rugosidade tal que corresponda à mesma perda de carga que causaria as peças especiais existentes nas canalizações. Sendo assim, a soma dos comprimentos equivalentes Le das peças de um determinado trecho de tubulação, acrescida do comprimento real desta é chamado de comprimento virtual, Lv, que multiplicado pela perda de carga unitária proporciona a perda de carga total ∆H na tubulação. Os comprimentos equivalentes são tabelados para as peças mais freqüentes nas instalações hidráulicas. Considerando a equação de Darcy-Weisbach ∆ H = f

L V 2

2g Para um determinado encanamento L e D são constantes e, como o coeficiente de atrito f não tem dimensões, a perda de carga será igual ao produto de um número puro pela

carga de velocidade ∆ H = m

V 2

2g

, ou seja,

V 2

2g No que diz respeito à perda localizada

∆h = K

D

V 2

(6.10) (6.11)

2g

Desta forma, tanto a perda nos trechos retilíneos como para nas singularidades é função da velocidade. Assim, fazendo-se ∆H = ∆h, temos: f

L V 2 D 2 g

= K

V 2

2g

− − > L =

KD f

(6.12)

7 - CONDUTOS EQUIVALENTES Quando os condutos dimensionados em projeto não são encontrados no comércio como muita facilidade, poderão ser substituídos por outro ou outros que, no geral, ofereçam as mesmas condições de perda de carga e vazão aduzida que os condutos do projeto. Vem desta idéia a concepção dos condutos equivalentes. Por definição, um conduto é equivalente a outro ou a outros quando transporta a mesma vazão sob a mesma perda de carga. Para o cálculo dos condutos equivalentes, as fórmulas empíricas de cálculo de perda de carga assumem a forma geral que segue: Q

n

(7.1)

J = K m D

A fórmula de Hazem-Williams fornece a perda de carga como sendo função de: 10,641 LQ1,85 (7.2) ∆h = 1,85 4 ,87 C

D

Por outro lado, a fórmula universal de perda de carga, dada em termos de vazão assume o seguinte formato:


∆h = 0,0827

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fLQ 2

54

(7.3)

D 5

Consideram-se dois casos: a) um conduto é equivalente a outro b) um conduto é equivalente a diversos Conduto em série ou misto; Conduto em paralelo. O estudo pode ser efetuado para qualquer uma das fórmulas citadas. 1) conduto equivalente a outro a) f1 = f2 = f; D1 ≠ D2; L1 ≠ L2 fL1 Q 2

conduto 1: ∆h1 = 0,0827

5

D1

conduto 2: ∆h2 = 0,0827

, (1)

(7.5)

(2)

(7.6)

fL 2 Q 2 D2

(7.4)

5

Igualando 1 a 2: 0,0827

fL1 Q 2 5 D1

= 0,0827

fL 2 Q 2 D2

5



L1 5 D1

=

L 2

L1

D2

L2

5 

D1

=(

D2

)5

(7.7)

Pela equação de Hazem-Williams: 

L1 L2

D1

=(

D2

)4,85

(7.8)

b) f1 ≠ f2; D1 = D2; L1 ≠ L2 Conduto 1: ∆h1 = 0,0827 Conduto 2: ∆h2 = 0,0827 Igualando 3 e 4 

f 1 L1 Q 2 f 2 L 2 Q 2

f 1 L1 Q 2 D

5

(7.9)

D5 D 5

=

f 2 L 2 Q 2 D

(7.10)



5

f L = f 2L 2 

 1 1

Pela equação de Hazem-Williams: 

L1 L2

=(

C 1 C 2

)1,85

L1 L2

=

f 2 f 1

(7.11) (7.12)

7.1 CONDUTOS EM SÉRIE Canalização constituída por diversos trechos de diâmetros diferentes e de características diferentes, colocados na mesma linha e conduzindo a mesma vazão.


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55

Figura 7.1 - Tubulação em Série Os trechos serão substituídos por um conduto único de diâmetro D e comprimento L, tais que a sua vazão e perda de carga sejam iguais as do sistema: Sejam ∆h1, ∆h2, ∆h3 as perdas de carga no trecho 1, 2 e 3, expressas por: ∆h1 = β 1

Q

n

D m

∆h2 = β 2 ∆h3 = β 3

Qn D m Qn D

m

L1

(7.13)

L2

(7.14)

L3

(7.15)

Para a substituição desses três condutos por outro equivalente, com diâmetro D e, coeficiente de perda de carga βe e comprimento Le, é necessário que a perda de carga no conduto equivalente ∆he seja: ∆he = ∆h1 + ∆h2 + ∆h3

sendo ∆he = β e

Qn De

m

(7.16) (7.17)

Le

Substituindo em 7.16 as equações 7.13 a 7.17, temos β e Le De

=

m

β 1 L1 D1

m

+

β 2 L2 D2

m

+

β 3 L3 D3

m

(7.18)

Como são três as variáveis envolvidas ( βe, Le, De), normalmente, adotam-se valores convenientes de βe e De e calcula-se Le de tal forma que a atender à expressão citada. Para a equação de Darcy-Weisbach e usando a regra de Dupuit: Le De

5

=

L1

5 D1

+

L2 D2

5

+

L3 D3

(7.19)

5

Por Hazen-Williams  Le De

4 ,87

=

L1

4 ,87 D1

+

L2 D2

4 ,87

+

L3 D3

4,87

(7.20)

Transformação de conduto único em dois trechos: L, Q, hL Q, L = L1 + L2; hL = hL1 + hL2 Perda de carga unitária JL = J1 L1 + J2L2 JL = J1 L1 + J2(L-L1)

(7.21)


JL = J1L1 + J2L- J2L1 JL – J2L = J1L1 – J2L1 L(J - J2) = L1(J1 – J2); L1 =

J − J 2 J 1 − J 2

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L  L2

=

J − J 1 J 2

− J 1

56

(7.22)

L

7.2 CONDUTOS EM PARALELO Constituído por diversas canalizações, que têm os mesmos pontos iniciais e finais. Desta forma, a vazão é dividida entre as tubulações em paralelo e depois reunidas novamente à jusante.

Figura 7.2 - Tubulação em Paralelo

OBS: a) as cotas de montante (ponto A) e jusante (ponto B) são as mesmas b) os condutos em paralelo estão sujeitos a mesma perda de carga Sendo assim, a) ∆he = ∆h1 = ∆h2 = ∆h3 (7.23) b) Qe = Q1 + Q2 + Q3 (7.24) Sendo: ∆he e Qe a perda de carga e a vazão no conduto equivalente, respectivamente; ∆h1, ∆h2, ∆h3 as perdas de carga nos condutos em paralelo 1, 2, 3, respectivamente; Q1 , Q2 , Q3 as vazões nos condutos em paralelo 1, 2, 3, respectivamente. As equações de perda de carga ( ∆h = β

Qn

D

explicitar os valores das vazões Q = (

De

m

β e Le

1 / n

)

=(

D1

m

β 1 L1

1 / n

)

+(

D2

m

β 2 L2

1 / n

)

+(

D3

Q=(

m

∆hD m β L

L)

obtidas em cada conduto permitem

)1 / n que inserido em 15 resulta em

m

β 3 L3

)1 / n

(7.25)

Exercício De um lago artificial parte uma tubulação com 800 m de comprimento e diâmetro igual a 300 mm para alimentar um reservatório com 60 l/s. Qual a diferença de nível entre o nível de água do lago e do reservatório? Quanto representa as perdas localizadas em percentagem das perdas de carga contínua? Singularidades: 1 crivo (K=0,75), 1 registro de gaveta (K=0,2), 1 joelho (K=0,9), 1 entrada de reservatório (K=1). C=100.


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57

Dada a configuração do ramal que alimenta o chuveiro e para o chuveiro com uma vazão nominal de 0,2 l/s, determine o quanto representam as perdas de carga localizada com relação as perdas de carga contínua? Empregue a fórmula de Fair-Whipple-Hsiao para tubos de aço galvanizados. Singularidades: Tê (K=1,3), joelho de 90 (K=0,9), registro (K=0,9), D=19 mm.


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9 - INFLUÊNCIA DE UMA TOMADA D´ÁGUA EM UMA TUBULAÇÃO

Figura 9.1 – croqui de uma rede de distribuição com vários consumidores Qi = Qv – q ∆ H = β Q=n

Qn D m

D

m

(9.1) (9.2)

L 

∆ H

(9.3)

β L

onde Qv – vazão virgem Qi – vazão influenciada pela derivação; Quando L/D> 1000 m  tubos longos e podemos desprezar as perdas singulares; ∆ H L

= J = β

Q

n

D

m

(9.4)

Como Qi + q é maior que Qi, teremos J maior, e para J maior, ∆H é maior. Considerando que ∆H = ∆H1 + ∆H2 β

Q

n

D

m

L = β

Q

n

D

m

L1 + β

(9.5) Q

n

D

m

L2

(9.6)

QvnL = (q + Qi)nL1 + QinL2

(9.7)

QinL2 = QvnL – (q + Qi)nL1

(9.8)

Para n≈ Qi2L2 = Qv2L – (q + Qi)2L1

(9.9)

Qi2L2 – Qv2L + (q + Qi)2L1 = 0

(9.10)

58


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Qi2L2 – Qv2L + (q2 + 2qQi + Qi2)L1 = 0

(9.11)

(L1 + L2)Qi2 + 2qQiL1 + L1q2 – Qv2L = 0

(9.12)

59

− 2qL1 ± (2qL1 ) 2 − 4( L1 + L2 )( L1q 2 − Qv 2 L) Qi = (9.13) 2( L1 + L2 ) Como q é muito pequena e ainda é esta elevada ao quadrado, q 2 aproxima-se de zero, ficando: 2 − qL1 q 2 L1 q 2 L1 + − + Qv 2 Qi = 2 ( L1 + L2 ) ( L1 + L2 ) L1 + L2

Qi = Qv −

L1 L1 + L2

q

(9.14) (9.15)

Por exemplo: Se D= 400 mm; Qv = 50 l/s; L = 8 km; L1 = 3 km; q = 5 l/s Qi = 50 – 3/8 x 5 = 48,1 l/s Ao fazer a derivação, solicitou-se maior quantidade de água do reservatório. Assim, diminuindo a pressão, a perda é maior, logo, a vazão é maior.

9.1 CONDUTOS COM DISTRIBUIÇÃO EM MARCHA As tubulações do sistema de distribuição de água são dotadas de várias derivações o que nos permite considerar a vazão distribuída uniformemente ao longo do conduto. Neste a vazão vai diminuindo ao longo do espaço, podendo ser classificado como movimento permanente GRADUALMENTE VARIADO. Esta vazão também pode ser denominada de vazão de distribuição em marcha. Assume-se como hipótese básica que a totalidade da vazão consumida no percurso é feita de modo uniforme ao longo da linha, ou seja, a cada metro linear a tubulação distribui uma vazão uniforme q, denominada de vazão unitária de distribuição q (m3 /s/m).

Qm = Qj + qL

(9.16)


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Qx = Qm –qx Jdx = β

Qx

(9.17) L

n

D m

60

dx 

L

Qx

∫ 0 Jdx = ∫ 0 β D

L

n

∫ 0

dx  ∆ H = β

m

(Qm − qx) n D

m

dx

(9.18)

Fazendo n=2 e m=5 L

∆ H = ∫ β

(Qm − qx) n

β L

2

2

2

q L

(9.19) ) 3 0 Por isso que alinha de energia é uma curva em forma de parábola. A equação anterior ainda pode ser aproximada para: ∆ H =

β L D

5

D

m

dx  ∆ H =

D

5

(Qm − QmqL +

(Qm − 0,55qL) 2

(9.20)

onde Qm – 0,55qL = Qf Qf também é conhecida como vazão fictícia. ∆ H =

β L D

5

Qf

2

(9.21)

Admitindo: Qf = Qm – 0,50qL e qL = Q m-Q j

(9.22)

Qf = Qm -1/2(Qm – Q j)

(9.23)

Qf

=

Qm + Qj

(9.24)

2

9.2 CASO ESPECIAL Seja Qj = 0 (também conhecido como ponta cega) Qm = qL ∆ H =

β L D

5

2

(Qm − QmqL +

sendo assim: ∆ H =

2

β L

2

2

q L

(9.25)

)

3

q 2 L2

(Qm − QmQm + ) 5 3 D β L q 2 L2 β L Qm 2 )  ∆ H = 5 ( ) ∆ H = 5 ( 3 3 D D β L Qm ∆ H = 5 ( ) 2 D 3

∆ H = Qf

=

β L Qm D

5

Qm

3

(

3

β (

) 2  ∆ H =

Qm

3 D

5

(9.26) (9.27) (9.28)

) 2 L

(9.29) (9.30)


∆ H =

β (Qf ) 2 L D

5

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61

(9.31)

10 - CONSTRUÇÃO DA LINHA DE CARGA

PCE – plano de carga efetiva Figura 10.1 – representação das linhas de carga devida a um sistema de distribuição Considerando um conduto com a mesma seção transversal de montante a jusante, a velocidade do fluido será a mesma e, desta forma, a parcela devida a energia cinética poderá ser desconsiderada.

Figura 10.2 – representação da linha de carga com indicação de pressão via piezômetro


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62

Figura 10.3 – representação da linha de carga para um sistema com diferentes diâmetros

10.1 PERFIS DOS ENCANAMENTOS COM RELAÇÃO À LINHA DE CARGA A posição do encanamento em relação à linha de carga tem influência decisiva no seu funcionamento. No caso geral do escoamento de líquidos, são considerados dois planos de carga estática: o da carga efetiva (PCE), referente ao nível de montante (coincide com o nível da água do reservatório R 1), e o da carga absoluta (PCA), situado acima do anterior, da altura representativa da pressão atmosférica. Convenção: PCA = traço do plano de carga absoluta PCE = traço do plano de carga efetiva LCA = linha de carga absoluta LCE = linha de carga efetiva Neste sentido, diversos perfis de tubulação poderão ser encontrados na prática como função direta da topografia do terreno. Desta forma, visando ilustrar os casos mais freqüentes de acontecer no dia a dia do engenheiro, seis casos são discutidos a seguir: 1º Caso – Tubulação AB esta inteiramente abaixo da linha de carga efetiva

Figura 10.4 – representação da linha de carga para um sistema na condição ideal


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Observações: Em todos os pontos do conduto, tal como E, P E / γ >0, ou seja, em um piezômetro instalado neste ponto, a água subiria à altura EE 1; Podemos ter garantia da vazão no conduto para o qual foi calculado. 2º Caso - A tubulação AB tem seu desenvolvimento segundo a linha de carga MN, isto é, acompanha alinha de carga efetiva. Observações: A tubulação AB tem seu desenvolvimento segundo a linha de carga MN, isto é, acompanha a linha de carga efetiva; Em qualquer ponto, P0 / γ= 0, ou seja, a água não subirá em piezômetro instalado em qualquer ponto da tubulação; O funcionamento é de conduto livre.

Figura 10.5 – representação da linha de carga para um conduto livre (canal, rio, riacho) 3º Caso - A tubulação AB com trecho EFG situado acima da linha de carga efetiva, porém abaixo da linha de carga absoluta.

Figura 10.6 – representação da linha de carga para um conduto livre (canal, rio, riacho) Observações: A tubulação AB com trecho EFG situado acima da linha de carga efetiva, porém abaixo da linha de carga absoluta; Nesta parte da tubulação, P/ γ =0, ou seja, a pressão é inferior a atmosférica;


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64

A depressão neste trecho torna o ambiente favorável ao desprendimento do ar em dissolução no fluido circulante e à formação de vapor. A mistura do vapor com o ar tende a acumular-se em F, formando uma bolsa gasosa que crescerá até reduzir a vazão a um limite mínimo.

Figura 10.7 – formação de uma bolsa gasosa devida a liberação de vapor de água A partir deste momento, o trecho AEF, de comprimento L1, trabalhará cheio, transportando a vazão Q1 com perda de carga h1 = J1L1, sendo MF a linha de carga correspondente; A partir de F, o fluido circulará a pressão atmosférica, no trecho de comprimento L2, sem encher o conduto, até o ponto G´, que obtemos traçando G´N paralelo a MF. No trecho G´B, de comprimento L3, o conduto funcionará completamente cheio, transportando a mesma vazão Q com a perda total h 3 = J1L3; Poderá ocorrer contaminação em adutoras enterradas quando o trecho EFG for enterrado e a pressão for inferior a atmosférica. Soluçãodividir o encanamento em dois trechos. O primeiro AEF (L 1, h1) e o segundo FGB (L-L1; hf-h1). As perdas são diferentes e, portanto, os diâmetros são diferentes. Outra solução poderia ser a instalação de ventosas em F para a retirada dos gases.

Figura 10.8 – reconfiguração do 3o caso visando ter um fornecimento contínuo de água 4º Caso – A tubulação corta a linha de carga absoluta, mas fica abaixo do plano de carga efetivo.


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65

Figura 10.7 – tubulação corta a linha de carga absoluta Observações: esta situação é a anterior, em condições piores; a vazão além de reduzida é imprevisível. Os dois trechos AEF e FGB, podem ser interligados por uma caixa de passagem localizada em F. 5º Caso – A tubulação tem o trecho EFG acima da linha de carga e do plano de cargas efetivas, mas abaixo da linha de carga absoluta. Observações: O escoamento só será possível se a tubulação for previamente escorvada e funcionará como sifão. No trecho EFG a pressão efetiva é negativa. Caso a ser visto adiante!!!

Figura 10.8 – tubulação corta o plano de carga efetivo e funciona como um sifão 6º Caso – O trecho EFG do conduto esta acima da linha de carga absoluta, mas abaixo do plano de carga absoluta.


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Figura 10.9 – a tubulação funciona como um sifão na sua pior condição Observações: Trata-se de um sifão funcionando nas piores condições possíveis.

10.2 - TOMADA DE ÁGUA ENTRE DOIS RESERVATÓRIOS

Figura 10.10 – variação da linha de carga de acordo com tomada de água e vazão Situação: Considerando J =

fV 2 D2 g

− − > J =

8 fQ 2 π 2 D 5 g

− − > J = β

Q2 D m

(10.1)

Ambos os reservatórios têm nível de água constante de forma que: hf= Z1 – Z2

(10.2)

Supondo, inicialmente, o registro R da derivação em E, fechado, ou seja, q =0 e o conduto funciona como tubulação contínua. Assim, a linha de carga será o segmento de reta MN e a vazão poderá ser calculada como:


Q=

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67

5 D h L

β L

(10.3)

Abrindo o registro R progressivamente, a vazão q vai crescendo e a linha de carga vai abaixando de forma correspondente; Enquanto a cota piezométrica em E for maior do que Z 2 o reservatório alimenta a derivação e o reservatório R2; Para a cota piezométrica igual a Z 2, R1 alimenta somente a derivação; Continuando a abertura do registro R, a solicitação em E cresce, e a cota piezométrica torna-se menor que R2 , ou seja, (Z + EE1)
=

5 D  Z 1 − ( Z + Y )



L1

β 

+

Z 2 − ( Z + Y ) 

 

L 2

(10.4)

A vazão derivada será máxima quando Y = 0 q max =

5 D  Z 1 − ( Z )

 β 

L1

+

Z 2 − ( Z )  L 2

 

(10.5)

Este problema é comum nas redes de distribuição onde ocorre grande variação de demanda durante o dia. O reservatório R2 denomina-se de reservatório de jusante ou reservatório de sobras. Por outro lado, se o conduto AB funcionar com distribuição em marcha, à linha de carga, como mostramos, será uma parábola cúbica tal como ME 3N

Figura 10.11 – linha de carga em forma parabólica e de acordo com o número de usuários Se a demanda no percurso AB aumenta, o reservatório R 2 contribui para alimentar a rede. Escolhendo a seção E para limite das zonas alimentadas por um e outro reservatório, devendo ai prevalecer a altura de pressão Y, podemos escrever:


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1 β 2 Q L 3 D15 1 1 (10.6) 1 β 2 h AE − h f = Q L (10.7) 3 D25 2 2 onde hAE = perda de carga no trecho AE, de comprimento L 1, transportando a vazão fictícia Q1 através do conduto de diâmetro D1; hAE - hf = perda de carga no trecho EB, de comprimento L 2 e diâmetro D2 por onde circula a vazão fictícia Q2. Se o diâmetro de ambos os trechos forem iguais, subtraindo as equações anteriores, temos: 2 2 β Q1 L1 − Q2 L2 ) ( D = 5 (10.8) 3hL Esta expressão permite calcular o diâmetro capaz de fornecer as vazões desejadas nos respectivos trechos. h AE

=

10.3 O PROBLEMA DOS TRÊS RESERVATÓRIOS (PROBLEMA DE BELANGER) Consiste em determinar as condições de escoamento nos condutos que interligam os reservatórios com níveis em cotas conhecidas. As condições procuradas dependem da cota piezométrica Y = EE´ do ponto E. B

D

G

Dependendo do valor da cota piezométrica em E, podemos ter os seguintes casos: 1) ZE + Y > Z2: o reservatório R1 alimenta os dois outros: Q 1 = Q2+Q3 2) ZE + Y = Z2: o reservatório R2 não recebe nem cede água: Q2=0; Q3 = Q1 3) ZE + Y < Z2: nesta situação o reservatório R3 é alimentado pelos dois outros: Q 3 = Q1 + Q2 Como dados dos problemas são sempre fornecidos as cotas dos níveis dos reservatórios e a cota ZE do ponto E.


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10.3.1 - ASPECTOS DO PROBLEMA 1 - Problema direto: além dos dados mencionados, são conhecidos os comprimentos L1, L2 e L3 dos condutos e seus respectivos diâmetros D 1, D2 e D3. São incógnitas as vazões Q1, Q2 e Q3 e a cota piezométrica Y. Como são quatro incógnitas, devemos ter igual número de equações que se determinam por uma fórmula de perda de carga e a equação da continuidade. Por Darcy-Weisbach: Q1

2

(10.9)

Z 1 − ( Z E + Y ) = β 5 L1 D1

( Z E + Y ) + Z 2 = β

Q2

( Z E + Y ) − Z 3 = β

Q3

2

D2

D3

5

L2

(10.10)

L3

(10.11)

2 5

Estas equações permitem resolver o problema sendo o modo mais simples, admitir que (ZE+Y) = Z2, ou seja, fazer Q2 = 0. Através das equações tiramos os valores de Q1 e Q3 como segue: 5

Q1 = Q3 =

D1

β L1 D3

( Z 1 − Z 2 )

(10.12)

( Z 2 − Z 3 )

(10.13)

5

β L3

Se encontrarmos Q1=Q3, o problema estará resolvido. Na eventualidade de ser Q 1>Q3, o problema recairá no caso 1, ou seja, o fluxo ocorre do ponto E para o ponto D. Se Q1
P E

DE  Z 2 − ( Z E +

P E

EG  ( Z E +

P E

γ

γ

)=

γ

)=

) − Z 3 =

β 1Q1n L1 m

D1

β 2Q2n L2 m

D2

β 3Q3n L3 m

D3

(10.14) (10.15)

(10.16)

2 – Problema direto: Os comprimentos dos condutos, as cotas dos níveis dágua dos reservatórios e a do entroncamento são conhecidos. São incógnitos a pressão no entroncamento e os diâmetros. PROBLEMA INDETERMINADO. A equação ligando as vazões torna-se uma identidade. Além disso, na fórmula de Darcy, há inúmeras combinações dos valores de f, D e L que satisfazem o problema. Para levantar a indeterminação, é costume impor a condição de velocidade máxima ou de custo mínimo.


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70

Exercício No encanamento da figura abaixo, os trechos AB e EF são virgens. Os trechos intermediários, BE, distribuem, em marcha, 20 l/s e o EF conduz ao reservatório R2 5l/s. Quais os diâmetros destes trechos se as pressões em B e E são 55 m.c.a. e 57 m.c.a. respectivamente? (usar a fórmula de Hazen-Williams para C=100).

11 - SIFÃO Sifão – denomina-se sifão aos condutos forçados parcialmente, situados acima do plano de carga efetiva

Figura 11.1 – conduto em modo sifão Partes componentes: Boca de entrada e boca de saída – parte inicial e final, respectivamente. Vértice do sifão – também denominado de crista, parte inferior da curva. A parte superior e chamada de coroamento. Ramo ascendente – o trecho AC de comprimento L 1 do sifão Ramo descendente – o trecho CB, e tem comprimento L 2 O comprimento total do sifão é L = L1 + L2


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71

11.1 - CONDIÇÕES DE FUNCIONAMENTO 1º Condição: Aplicando o teorema de Bernoulli entre E e B, com plano de referência em B H +

Pa

γ

+

V 2

(11.1)

+h 2 g AB onde hAB – perda de carga total γ

+0 = 0+

Pa

Daí, resultando em: V = 2 g ( H − hAB )

(11.2)

A partir da Equação 11.2 é possível concluir que: devendo a velocidade média do fluido ser necessariamente positiva, a boca de saída deve situar-se abaixo do plano de carga efetiva e tanto mais abaixo quanto maiores forem as perdas de carga totais. 2º condição: Aplicando o teorema de Bernoulli entre E e C com plano de referência em B H +

Pa

γ

= H + H 1 +

Pc

γ

+

2

V

2g

(11.3)

+ h AC

onde V 2

Pa

Pc

+ h AC ) (11.4) γ 2 g γ hAC - perda de carga totais no ramo ascendente do sifão; H1 é a altura do vértice em relação ao nível d´água do reservatório e P c / γ representa a altura da pressão no vértice. =

− ( H 1 +

Devemos ter: Pa

γ

> H 1 +

Pc

γ

+ h AC

 H 1

<

Pa

γ

−(

Pc

γ

+ hAC )

(11.5)

Conclusão: a elevação do vértice acima do plano de carga efetiva deve ser sempre inferior à altura da pressão atmosférica local. A elevação H 1 será tanto menor do que Pa/ γ quanto maiores forem as perdas de carga no ramo ascendente. Se a pressão no vértice pudesse anular-se, H 1 < 10,33 − h AC , o que denota o valor máximo teórico de H 1 3º condição: Aplicando o teorema de Bernoulli entre C e B V 2

Pc

V

2

Pa

Pa

Pc

− hCB (11.6) γ γ 2 g γ 2 g γ Conclusão: o ramo descendente não pode prolongar-se indefinidamente, de outra forma, as perdas de carga neste trecho poderiam assumir valores que tornariam o segundo membro desta expressão negativo, indicando uma situação impossível. Quando a boca de saída deságua em outro reservatório, é dito que a boca de saída esta afogada. H 2 +

+

=

+

+ h AC



= H 2 +

11.2 - CÁLCULO DOS SIFÕES As perdas de carga da Equação 11.1 são obtidas como segue:


= ∑ K

h AB V =

V 2

+ f

2g 1

1 + ∑ K + f

L V 2 D 2 g L

+

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V 2

72

(11.7)

2g

(11.8)

2 gH

D

Considerando A igual a área do sifão e substituindo

1

R =

1 + ∑ K + f

fica: Q = RA 2 gH Onde R situa-se normalmente entre 0,5 e 0,8

L

. A Equação 11.8

D

(11.9)

Conhecida a vazão o diâmetro pode ser calculado por H = 0,004

Q

2

D

5

(11.10)

A pressão no vértice pode ser considerada igual a Pc = Pv , onde Pv é a pressão de vapor do líquido circulante à temperatura que se realiza o escoamento. h AC =

V

2

L1 V 2

V

2

∑ K 1 2 g + f D 2 g + 2 g

(11.11)

Sendo assim, a Equação 11.5 pode ser reescrito como: H 1

<

Pa

γ

−(

Pv

γ

+

V

2

2g

(∑ K 1 + f

L1 D

+ 1))

(11.12)


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73

12 - REDES DE CONDUTOS As redes de distribuição de água são constituídas de condutos interligados. Estas redes podem ser classificadas como: redes ramificadas, redes malhadas e redes mistas. As redes ramificadas podem ser em espinha de peixe e em grelha . Na modalidade espinha de peixe, os condutos principais derivam de um conduto central e se dispõem de modo que lembra a espinha de peixe. Este tipo é muito usado em pequenas cidades do interior nas quais há uma linha principal para a qual convergem as demais vias públicas. Na modalidade grelha os condutos principais são sensivelmente paralelos, tendo uma de suas extremidades ligadas a outro conduto principal.

12.1 - REDES RAMIFICADAS

Grelha Espinha de peixe Figura 12.1 – configuração de redes de distribuição de água 12.2 - Redes Malhadas

Figura 12.2 – configuração de redes de distribuição de água Nas redes ramificadas, a circulação da água nos condutos tem sentido único e nas redes malhadas, os condutos principais formam circuitos , ou anéis , lembrando a disposição em malha. Este tipo de rede, geralmente, apresenta maior eficiência do que a ramificada, pois a circulação da água pode efetuar-se em ambos os sentidos dos condutos. Condições hidráulicas a serem satisfeitas: pressão (pressão dinâmica mínima de 15 m.c.a; pressão estática máxima 50 m.c.a), velocidade e diâmetro. A topografia é fator determinante no projeto de uma rede. De acordo com Gomes (2004) a norma


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NBR12218/94, que trata de projeto de rede de distribuição de água para abastecimento público, estabelece que a pressão dinâmica mínima em qualquer ponto nas tubulações distribuidoras deve ser de 100 kPa (~10 m.c.a). Estas pressões máximas são limitadas pelos seguintes aspectos: maiores pressões requeridas se traduzem em maiores custos energéticos de bombeamento; maiores pressões na rede levam a tubulações mais caras devido a maiores pressões nominais; maiores pressões (dinâmicas e estáticas) levam a possibilidade de ruptura; as perdas físicas de água crescem com o aumento das pressões de serviço; as vazões nos pontos de consumo crescem com o aumento das pressões disponíveis.

12.3 - DIMENSIONAMENTO O dimensionamento tem por parâmetro de cálculo a vazão de demanda, que é diretamente proporcional à população a ser atendida. O consumo de água por uma comunidade varia de região para região, de cidade para cidade e de setor para setor. Assim, os principais fatores que influenciam o volume a ser distribuídos são os seguintes: clima, padrão de vida, habito da população, sistema de fornecimento, qualidade da água fornecida, pressão na rede, custo da água, extensão do serviço de esgotos e de áreas pavimentadas, tipos de uso, perdas do sistema. A água conduzida para uma comunidade enquadra-se numa das seguintes classes: doméstico, comercial ou industrial, público, perdas. Nas redes ramificadas considera-se a vazão por metro linear de conduto: KQP

(12.1) 86400 L onde qm = vazão de distribuição em marcha em l/s por metro de conduto; P= população de projeto a ser abastecida; K = coeficiente de reforço (depende de vários fatores); L= comprimento total da rede (m); Q cota per capta em litros/dia. qm

=

rede: qd =

Para as redes malhadas, a vazão de distribuição refere-se à área a ser servida pela KQP

86400 A onde qd = vazão de distribuição; A = área abrangida pela rede em Ha.

(12.2)

Neste sentido, a vazão média anual necessária pode ser expressa como: Pqm

(12.3) 3600h onde P é a população a ser abastecida, determinada por métodos estatísticos de previsão populacional; qm é a taxa ou cota de consumo per capta média da comunidade em l/ha/dia; h é o número de horas de operação do sistema ou da unidade considerada. Qm =

As variações da demanda ao longo do ano são consideradas multiplicando a vazão média Qm por um coeficiente de reforço, definido como coeficiente do dia de maior consumo, k1 que varia entre 1,25 e 1,50; Qa

= k 1Qm = Qm =

k 1 Pqm

3600h

(12.4)


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onde Qa é a vazão de adução e é utilizada para o dimensionamento das unidades do sistema que estão a montante dos reservatórios de distribuição, como captação, bombeamento, adução, tratamento e reservação. Os valores dos coeficientes e do consumo per capita variam de acordo com o projeto. O consumo per capita é usualmente adotado em 200 l/ha/dia. Visto que o consumo de água de uma cidade varia ao longo do dia, a rede de distribuição deverá ser dimensionada para uma vazão denominada vazão de distribuição: k 1k 2 Pqm

(12.5) 3600h onde k2 é o coeficiente da hora de maior consumo do dia de maior consumo, e gira em torno de k2 = 1,5. O produto de k1e k2 é chamado de coeficiente de reforço. Qa = k 2Qa =

Exemplo: Determinar a demanda máxima diária e horária, necessária para atender ao sistema de abastecimento de água do condomínio residencial XX, que disporá de 596 casas e 13500 m2 de áreas de parques e jardins. Considerar um número médio de 5 residentes por casa, uma demanda per capita de 175 l/hab/dia, uma demanda unitária de irrigação de parques e jardins de 0,85 l/s/ha e valor de k1 e k2 iguais a 1,2 e 1,5, respectivamente.

12.4 - DIÂMETRO MÍNIMO Recomenda-se adotar um diâmetro mínimo para tubulações a fim de evitar que haja perdas excessivas no sistema. A NBR12218/94 recomenda um diâmetro mínimo de 50 mm para os diâmetros da rede urbana de distribuição. O diâmetro mínimo também é uma função do tamanho da população, como segue: P<1000Dmin=60 mmartéria=100 mm; 10006000Dmin=100 mmartéria=175 mm;

(12.6) (12.7) (12.8)

Nomenclatura utilizada para as redes de distribuição (Gomes, 2004) Trecho: compreende cada um dos percursos da rede de distribuição, onde a vazão permanece constante; Nó: ponto de conexão entre dois trechos. Nos nós se produzem modificações na vazão circulante; Nó de derivação: nó que conecta três ou mais trechos; Ramal: conjunto de trechos conectados em séries sem nenhum nó de derivação; Artéria: percursos principais da rede de distribuição, formados por ramais agrupados em série; Traçado da rede: configuração da distribuição das tubulações, com a definição da situação topográfica de todos os componentes da rede; Alimentação ou cabeceira da rede: origem da rede de distribuição. Normalmente coincide com o ponto inicial do sistema de transporte, onde se localiza o reservatório de distribuição ou o bombeamento direto.


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As redes ramificadas caracterizam-se por apresentarem um único sentido para o escoamento. A principal vantagem desta rede é que o seu custo de implantação é mais barato que o de uma rede malhada de mesmo porte (Gomes, 2004). Estas redes são empregadas, principalmente, no abastecimento de sistemas de irrigação pressurizados em pequenas comunidades e em urbanizações particulares. As redes malhadas apresentam os seus trecho interligados em forma de anéis ou malhas, fazendo com que o sentido das vazões possa mudar dependendo da demanda dos nós. Estas redes são geralmente indicadas em sistemas de abastecimento de água de médio e grande porte.

12.5 - LIMITES DE VELOCIDADE DA TUBULAÇÃO Os limites de velocidade máxima admissíveis, Fo fluxo de água nas tubulações sob pressão, são estabelecidos com o objetivo de compatibilizar o custo dos condutos, com a segurança das redes hidráulicas de distribuição. Assim, considerando as questões relacionadas a golpe de aríete e perda de carga, adotam-se limites para a velocidade máxima do escoamento nas tubulações em função dos seus diâmetros, dos custos dos tubos e também do nível de risco que se queira admitir, com respeito a possíveis avarias nos condutos. A norma NBR12218/94 estabelece que a velocidade máxima nas tubulações deve ser de 3,5 m/s e a mínima de 0,6 m/s. Contudo, em pequenas redes com pequenas vazões nos trechos, nem sempre é possível garantir a velocidade mínima de 0,6 m/s. Como esta norma impõe um diâmetro mínimo de 50 mm para as tubulações, não será possível garantir uma velocidade de 0,6 m/s caso a vazão no trecho seja menor do que 1,18 l/s.

12.6 – PRESSÕES NOMINAIS DOS TUBOS Nas operações das adutoras e redes de abastecimento, as tubulações estarão sujeitas a esforços hidráulicos internos, produzidos pelas pressões estáticas e dinâmicas e por possíveis sobre pressões e depressões originadas de efeitos dinâmicos que ocorrem devido a perturbações na rede. Surge desta forma a necessidade de conhecer os esforços hidráulicos máximos que poderão atuar nas tubulações, para a correta seleção das classes ou pressões nominais dos tubos das adutoras e das redes de abastecimento. Durante o período de consumo mínimo (na madrugada), as vazões transportadas pela maioria dos trechos serão bem menores do que as de projeto e, conseqüentemente, as perdas de carga ao longo de toda rede serão muito pequenas (as perdas variam com o quadrado das cargas). Como resultado, todas as tubulações da rede de distribuição estarão submetidas a carga, cujos valores estarão próximos das pressões estáticas máximas. Outra situação extrema se apresenta quando a rede está à plena carga, durante os horários de pico do consumo. Neste caso as tubulações estarão submetidas às pressões dinâmicas de projeto, que são as pressões mínimas necessárias para o abastecimento dos consumidores. As pressões hidráulicas máximas que podem atuar em cada ponto das tubulações das redes de distribuição (provocadas pelas pressões estáticas, dinâmicas ou pelas sobrepressões decorrentes dos golpes de aríete) são conhecidas de pressões de trabalho ou pressões de serviço.


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A pressão de ruptura é a pressão hidráulica interior, que produz uma tração na circunferência do tubo igual à tensão de ruptura deste. A pressão de ruptura está relacionada com a pressão de trabalho (PT) através do coeficiente de segurança na ruptura (Cr), dado pelo quociente: Cr=PR/PT, onde PR é pressão de ruptura. A pressão normalizada de prova é a pressão hidráulica aplicada nos testes ou provas de resistência dos tubos fabricados em série. Os valores de PN são padronizados, permitindo, portanto, classificar os tubos em diversas categorias ou classes. A pressão normalizada de prova, também denominada pressão nominal, relaciona-se com a pressão de trabalho por meio do coeficiente de segurança Cn, definido como Cn=PN/PT.

12.7 - SELEÇÃO DO MATERIAL Os tipos de material empregados nos sistemas de distribuição de água são, geralmente, de plástico (PVC), polietileno (PRFV) e metálicos (ferro fundido e aço), havendo uma larga predominância dos tubos de PVC e de ferro fundido. PVC Os tubos de PVC (cloreto de polivinil) são os mais empregados em projetos de condução de água sob pressão, como adutoras e rede de abastecimento onde o diâmetro nominal exigido não é superior a DN 500. Para valores maiores, são empregados tubos de ferro fundido. Dentre as vantagens do PVC estão o baixo custo, alta resistência à corrosão, ao ataque químico de águas impuras e baixa rugosidade das paredes (Gomes, 2004). Os tubos de PVC são divididos em dois tipos: PBA (ponta e bolsa com junta elástica-anel de borracha), de cor marrom (NBR 5647/1999), diâmetro externo de 60 a 110 mm e nas classes 12, 15 e 20 para pressões de serviço de 60, 75, 100 m.c.a., respectivamente. Os tubos de DEFoFo (diâmetro equivalentes aos dos tubos de ferro fundido), de cor azul, são fabricados de acordo com NBR 5647/1999, para os diâmetros nominais de 100, 150, 200, 250, 300, 400, 500, para trabalhar com água a 20C e pressões de 1 MPa (101,9 m.c.a).


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Figura 12.3 – Planilha para dimensionamento de redes

12.4 Redes Malhadas Nas redes malhadas o cálculo das vazões é efetuado através do método de Hardy Cross, que é um processo de tentativas diretas em que os valores são arbitrados previamente para as vazões. A convergência dos erros é muito rápida e pode-se reduzir a rede de condutos aos seus valores principais. Fundamentação: A) Em cada nó da rede (convergência de três ou mais tubulações) a soma algébrica das vazões é nula: Q1+Q4-Q2-Q3-Qd=0ΣQ=0; * as vazões que afluem ao nó são afetadas de sinal positivo e as que dele derivam são afetadas de sinal negativo


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B) Em um círculo fechado (anel) qualquer da rede, a soma algébrica das perdas de carga é nula

Figura 12.4 – anel ou circuito em uma rede malhada Anel I: Σh = h1 + h2 - h3 - h4 = 0 Anel II: Σh = h5 - h2 – h6 – h7 = 0

(12.6) (12.7)

Adotamos um sentido positivo para as perdas de carga. As que se verificarem no sentido adotado recebem sinal positivo; as que tiverem sentido contrários recebem sinal negativo. Sendo assim para qualquer rede, as equações ΣQ = 0 (em cada nó); Σh = 0 (em cada anel)

(12.8)

exprimem as condições necessárias e suficientes para que a distribuição das vazões e as perdas de carga que provocam, coincidam com as que se verificaram na rede em pleno funcionamento. Sendo conhecidos os diâmetros e os comprimentos, as perdas de carga podem ser calculadas por hL = rQ1,85 (12.9) onde r = (0,278531C)-1,85D-4,87L (12.10). Aplicação: Supomos conhecidas as posições dos pontos de carregamento (aquele em que a água penetra ou sai da rede) e seus respectivos valores. Se, admitido certo carregamento, forem satisfeitas as equações 12.8, o cálculo estará pronto. Caso seja diferente, deve-se ajustar as vazões, o que é feito adicionando, algebricamente, à vazão de cada trecho, a vazão corretiva ∆Q que é calculada por ∆Q = −

∑ h , em cada anel o valor de ∆Q tende a anular-se sem alterar a condição h 1,85∑ Q

ΣQ = 0 em cada nó.

Exercício: Dimensionar a rede de distribuição de água de uma pequena comunidade, cuja planta e topografia do terreno são mostradas na Figura abaixo. Determinar a cota do nível de água no reservatório para que a mínima carga de pressão dinâmica na rede seja 15 mH2O. Determine a máxima carga de pressão estática e a máxima carga estática e a máxima carga de pressão dinâmica na rede. Dados: P=2900 há; qm= 150 l/ha/dia; k1=1,25; k2=1,50;h=24 h; tubulação de aço galvanizado (f=0,026); sem distribuição em marcha de R a A (Porto, 1998).


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13 - SISTEMAS ELEVATÓRIOS (Unidade II) BOMBAS HIDRÁULICAS – São máquinas destinadas à transformação da energia mecânica recebida dos motores em energia hidráulica sob forma cinética, de pressão ou de posição, afim de possibilitar o transporte e/ou a elevação dos fluidos a outros pontos (Cirilo et al., 2005). Tipos mais significativos: Bombas volumétricas; Turbobomba. Bombas volumétricas – utilizam a variação de volume no interior de uma câmara fechada para provocar a variação de pressão. A variação de volume é realizada pela ação de movimentos rotativos ou alternativos.

Figura 13.1 - Bombas volumétricas (Cirilo et al, 2005) Turbo bombas – são as mais utilizadas atualmente. São dotadas de uma parte móvel, denominada rotor, que se movimenta dentro de uma carcaça, pela ação do motor, produzem o movimento do líquido. Parte da energia cinética é convertida em pressão no interior da bomba, permitindo que o líquido alcance posições mais elevadas, ou mais distantes, através da tubulação de recalque (Silvestre, 1979; Porto, 1998). Podem ser de simples estagio ou múltiplos estágios. Quanto a admissão do líquido elas podem ser de sucção simples ou de sucção dupla (para grandes vazões), o eixo pode vir na posição horizontal ou vertical.

Figura 13.2 - Posicionamento dos eixos das bombas Quanto à trajetória da água no rotor as turbobombas são radiais, radiais, mistas e axiais. axiais.


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Radiais ou centrífuga - devido à trajetória do fluxo dentro do rotor, que faz segundo um plano radial (normal ao eixo) e então é impelida pelo eixo (Azevedo Netto, 1998); Bombas axiais – tem a trajetória do fluxo segundo a direção do eixo da bomba, sendo empregada para grandes vazões e baixas alturas manométricas. Bombas mistas, também conhecidas por diagonais, possuem um tipo de rotor cujo fluxo é diagonal ao eixo, sendo, portanto, um tipo intermediário.

13.1 - PARTES COMPONENTES O conjunto constituído pelas canalizações e pelos meios mecânicos de elevação denomina-se sistema de recalque. Suas partes principais são (Cirilo et al., 2005): 1) tubulação de sucção; 2) conjunto moto-bomba; 3) tubulação de recalque. *hidraulicamente a sucção e o recalque funcionam em escoamento permanente uniforme e, por isto, os problemas a eles concernentes são resolvidos pela aplicação das equações de Bernoulli e da continuidade.

Figura 13.3 - Instalações de Recalque. A) bomba não afogada; B) bomba afogada

13.2 - ALTURA GEOMÉTRICA Para elevar a vazão Q, de um líquido qualquer, do reservatório Ri ao reservatório Rs, é necessário vencer o desnível Hg, denominado de altura geométrica ou estática. Hg = hr + hs Onde: hr – altura estática de recalque; hs – altura estática de sucção.

(13.1)


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hs – distância vertical do NA do reservatório Ri ao eixo da bomba. Ri pode ser positivo ou negativo. Positivo quando o nível de água de Ri esta abaixo do eixo da bomba. Negativo, em caso contrátio. hr – distância vertical do eixo da bomba ao ponto de descarga do recalque (se o recalque for afogado, tomamos como referência o NA do reservatório superior) (Silvestre, 1979). 13.3 - Altura manométrica As perdas no sistema de recalque (tubulação de recalque e tubulação de sucção) são acidentais e contínuas na tubulação. /2g ou ∆hs = JsL´s Tubulação de sucção: sucção: ∆hs = JsLs + ΣKV2s /2g Onde: ∆hs – perda de carga total na sucção; Ls – comprimento virtual da tubulação de sucção; Js – perda de carga unitária na linha de sucção; ΣKV2s /2g – perdas de cargas acidentais verificadas na sucção (13.2)

Daí  Hs = hs + ∆hs altura dinâmica de sucção

Tubulação de recalque: recalque: ∆hr = JrLr + ΣKV2 /2g r/2g ou ∆hr = JrL´r onde - ∆hr – perda de carga total na sucção; L r – comprimento virtual da tubulação de sucção; Jr – perda de carga unitária na linha de sucção; ΣKV2 r /2g – perdas de cargas acidentais verificadas na sucção Daí  Hr = hr + ∆hs altura dinâmica de recalque

(13.3)

∴ Hm = Hr + Hs  altura manométrica de elevação (13.4) Ou seja, a altura manométrica corresponde ao somatório das alturas geométricas com as perdas de carga (contínuas e acidentais).

13.4 - POTÊNCIA DOS CONJUNTOS ELEVATÓRIOS Potência = f(Hm, γ , Q) Pot = Hm x γ x Q

(13.5)

 N m 3   N m   Joule  [Pot ] = m 3  =    s  = [Watt ] m s s     

(13.6)

Pot = energia/tempo, mas na realidade Pot =

γ QHm n B

, nB < 1  rendimento da bomba

Pot em Cv ou HP



Pot =

γ QHm -75η

Pot =

γ QHm n B nm



Pot =

γ QHm η

(13.7)


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13.5 - DIMENSIONAMENTO DAS TUBULAÇÕES - Para Velocidades baixas – grandes diâmetros, custo elevado de tubulação e altura manométricas menores Q=AV; menores gastos com as bombas e energia elétrica; - Velocidades altas – diâmetros menores e custos baixos com a tubulação e maior perda de carga  Hm maiores  maior energia elevatória, maior potência e maior consumo de energia. Conclusão: o custo da maquinaria e o custo da tubulação variam em sentido inverso (Silvestre, 1979).

13.6 - DIMENSIONAMENTO ECONÔMICO Diâmetro econômico: aquele que fornece o custo total mínimo.

Figura 13.4 – relação custo da tubulação vs. Custo do conjunto elevatório Curva I - indica como variam os preços dos conjuntos elevatórios, instalados, em função do diâmetro dos tubos. Neste custo entram todas as parcelas que oneram os equipamentos eletromecânicos; Curva II – mostra a variação das despesas com a tubulação, completamente montada, em função do diâmetro. Neste custo entram os custos anuais de amortização e juros de capital aplicado na aquisição das tubulações. Curva III – soma das duas curvas anteriores, dá o diâmetro de custo mínimo procurado!

13.7 - DETERMINAÇÃO ANALÍTICA DO DIÂMETRO ECONÔMICO PARA TUBULAÇÃO DE RECALQUE O custo da instalação será – Ct = C1 Potenciadabomba + C2DLv Lembrando que Hm = Hg + ∆hs + ∆hr ∆h = ∆hs + ∆hr ∆h = βQ2/D5 x Lv Nesta expressão, Lv = L´s + L´r é o comprimento virtual total da tubulação. Inserindo os dados acima na equação de potência do conjunto motor-bomba

Hidráulica Básica – Guia de Estudos γ QHm Pot = 75η



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γ Q Q2 Pot = ( H + β 5 Lv) D 75η g

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(13.8)

onde C1 – custo médio do conjunto elevatório, inclusive despesas de operação e conservação,por unidade de potência instalada; C2 – custo médio de tubo de diâmetro unitário, inclusive as despesas de transporte, assentamento, conserva, etc., por metro de conduto (Porto, 1998). Assim, γ Q Q2 Ct = C 2 DLv + C 1 ( H + β 5 Lv)  a condição de custo mínimo é que D 75η g

dCt/dD = 0 dCt dD

γ Q Q2 d = C 1 ( ( Hg + β 5 )) + C 2 ( DLv) dD dD 75η D dD

dCt

d

− 5γ Q γβ Lv 3 C 1 Q2 = C 1 ( β Lv 6 ) + C 2 Lv = 0  D 6 = 5 Q D 75η 75η Lv C 2

(13.9) (13.10)

 D

=6

Fórmula de Bresse onde Q(m /s) e D (m) D = K Q 

5γβ C 1 6 Q 75η C 2

(13.11) (13.12)

3

O valor de K varia de 0,7 a 1,6, mas geralmente usa-se K=1,3 Escolher K  Fixar a velocidade 4Q 4 D 2 V = 2 = 2 2 π D

π D K

(13.13)

Vmed nas instalações de recalque situa-se entre 0,6 e 2,4 m/s. As maiores velocidades são empregadas em instalações que funcionam apenas algumas horas por dia. A ABNT (NB92/66) aconselhe para o cálculo de instalações domiciliares (funcionamento apenas em algumas horas do dia) que o diâmetro dos condutos de recalque seja calculado por D = 1,3 X 0, 25 Q

(13.14) onde X = n /24 em que n é o número de horas de trabalho da instalação (Silvestre, 1979; Porto, 1998). Diâmetro da tubulação de sucção  diâmetro comercial imediatamente superior ao adotado para o recalque. Por que? Diminuir as perdas de carga e evitar a cavitação!!!!

13.8 - FÓRMULA EMPÍRICA Dr = 1,579(

β np 0,143 0, 43 ) Q C αη

(13.15)

onde β - material; n – número de horas de funcionamento (h/ano); p – preço do kWh (R$/kWh); C – custo da tubulação por metro de comprimento por metro de diâmetro; α coeficiente de amortização anual de investimento; η - rendimento do conjunto motorbomba


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Todo sistema de elevação deve ter (Cirilo et al., 2005): 1. Conjunto motor-bomba; 2. Válvula de pé (com crivo ou não); 3. Registro antes e depois da bomba; 4. Válvula de retenção

13.9 - MÁQUINAS HIDRÁULICAS Bombas hidráulicas (máquinas receptoras ou movidas) convertem energia mecânica que provem de um motor em energia de posição, de pressão e de velocidade (Porto, 1998). Turbinas (maquina motoras) – recebem energia do fluido e as transforma em energia mecânica (presente nas hidroelétricas). Rotor – é um roda móvel que transmite a energia mecânica ao líquido. É a peça principal da bomba. Bomba centrífuga ou radial

Bomba esc. Misto ou rad.

Bomba esc. axial.

Figura 13.5 – Tipos de rotores de bombas (Porto, 1998).

13.10 - VELOCIDADE ESPECÍFICA (NS) É o número de rotações dado em uma unidade de tempo por uma bomba teórica geometricamente semelhante a bomba em consideração, capaz de elevar 1 m 3 /s de água a uma altura manométrica de 1 m. A expressão de ns é dado por 1 / 2

ns =

nQ

Hm

3 / 4

,

(13.16)

onde n – rotação nominal da bomba(rpm); Q – vazão (m 3 /s); Hm – altura manométrica (m); ns – admensional Usualmente temos: 10

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13.11 - CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS As bombas são projetadas para trabalharem com vazões e alturas manométricas previamente determinadas. Entretanto elas poderão atender a outras vazões e a outras alturas. Dar-se o nome de faixa de operação da bomba ao conjunto de pontos em que a bomba é capaz de operar (Cirilo et al. 2005). As curvas características das bombas permitem relacionar a vazão recalcada com a pressão gerada, com a potência absorvida, com o rendimento e com a altura máxima de sucção. Nos ensaios procuram-se as seguintes informações: - Altura manométrica para cada vazão; - Desenvolvimento da potência necessária ao acionamento da bomba P B com a vazão Q; - Variação do rendimento com a vazão recalcada; - Desenvolvimento do NPSH com a vazão recalcada

Figura 13.6 – Curvas características das bombas centrífugas

Figura 13.7 – Curvas características das bombas axiais Observações: - A potência nas bombas centrífugas cresce com o aumento da vazão Q e nas bombas axiais, diminui; * O acionamento dos motores deve ser feito com o registro fechado nas primeiras e totalmente aberto na segunda (Azevedo Netto, 1998). Com relação a potência, vimos que: Pot = Hm x γ x Q  Pot =

γ QHm

(em CV) (13.17) 75 Estas são denominadas de potência hidráulica ou potência requerida pelo líquido. Contudo, para que o líquido receba esta potência a bomba deve receber uma potência superior à potência hidráulica, visto que geralmente há perdas no seu interior, que são causadas pelos seguintes fatores (Azevedo Netto, 1998):


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-asperezas da superfície interna das paredes da bomba; - recirculação do líquido no interior da bomba; - vazamento através das junções; - energia dissipada no atrito entre as partes da bomba; - energia dissipada no atrito entre o fluido e a bomba. Daí, temos que rendimento da bomba ou eficiência ηB é a razão entre a potência hidráulica (PH) e a potência absorvida pela bomba PB. Os rendimentos variam de 30% e 90%  Pot B =

γ QHm 75η B

Por outro lado, o rendimento do motor ηM é a relação entre a potência que o motor transmite e a que ele recebe da fonte de energia ( ηM = PB /P) 

P

=

P B

η M

=

γ QHm γ QHm =  75η Bη M 75η

(13.18)

onde η-rendimento do conjunto motor-bomba e P – potência absorvida pelo conjunto motor-bomba em cv

Figura 13.8 - Curva característica de uma bomba centrífuga Variação das curvas características a) Com o diâmetro do rotor: considerando que cada carcaça possa trabalhar com rotores de diâmetros diferentes. A cada diâmetro corresponde a uma curva característica. A característica para o novo rotor pode ser relacionada com as características anteriores através das seguintes relações: Q2 Q1

=

D2 D1



H 2 H 1

D2

=(

D1

)2 

P2 P1

D2

=(

D1

)2

(13.19)

onde as grandezas com índice 1 referem-se as características primitivas e as de índice 2, às características com o rotor modificado. b) Com a rotação: considerando que a energia transferida para o fluido circulante varia com a rotação caso seja conservada a forma e o diâmetro do rotor. Ocorre


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modificação da curva característica visto que a altura manométrica cresce com o número de giros do rotor na unidade do tempo Q2 Q1

=

n2 n1



H 2 H 1

=(

n2 n1

)2 

P2 P1

=(

n2 n1

)3

(13.20)

as relações acima são aplicadas a moderadas variações de velocidade.

Figura 13.9 - Curva característica de bomba com Hm x Q e η x Q para diferentes rotações (Porto, 1998) c) Com a forma do rotor: para bombas de maior porte foram desenvolvidos rotores de formas diversas, que fornecem curvas características diferentes (Silvestre, 1979);

Figura 13.10 – Influência na forma do rotor sobre a curva da bomba d) Com o envelhecimento da tubulação:


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Figura 13.11 – Variação da curva do sistema com a tubulação

13.14 CURVAS DAS BOMBAS VERSUS CURVAS DO SISTEMA DE TUBULAÇÃO As bombas embora possam trabalhar em uma larga faixa de operação determinadas pela sua curva características, tem a sua operação definida, em um dado sistema, em função das condições deste sistema em termos de altura geométrica e perda de carga total. Assim, o ponto de operação da bomba é uma interseção entre a curva do sistema de tubulação e a curva da bomba.

Figura 13.12 - Curva característica de um sistema de recalque (bomba + tubulação)

13.14.1 Curva do sistema de tubulação A equação do sistema de tubulação pode ser descrita como segue: Hm = Hg + ∆h12, onde Hm = altura manométrica; Hg = altura geométrica; ∆h12 – perda de carga total na tubulação. Utilizando o método do comprimento equivalente para representar as perdas devido as singularidades, podemos representar as perdas de carga como segue: ∆h = β

Q

n

D

m

Lv

(13.21)


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Sendo assim, a equação característica de uma dada tubulação e função da vazão, como segue: Hm = Hg + β

Q D

n

Lv − > Hm = Hg + rQ m

Para Hazen-Williams  10,641 n = 1,85− > r = 1,85 4 ,87 Lv C D

n

− > r =

β D

m

Lv

(13.22) (13.23)

Para fórmula universal  8 f n = 2− > r = 2 5 Lv π D ; (13.24) Por outro lado, se for utilizado o valor de K no cálculo da expressão da perda de carga (∆h=KV2/2g) n 8 KQ 2 Q Hm = Hg + β m L + 2 4 D gπ D (13.25) A partir dos valores de Q e das características geométricas da tubulação e do sistema podemos desenvolver a curva característica do sistema. O ponto de operação da bomba pode ser determinado de forma gráfica através das coordenadas do ponto de interceptação da curva da bomba com a curva do sistema de tubulação.


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Figura 13.13 - Sistemas de recalque e suas respectivas curvas características (Cirilo et al., 2005)


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Figura 13.14 - Sistemas de recalque e suas respectivas curvas características (Cirilo et al., 2005)

13.14.2 Associação de bombas centrífugas Devido razões diversas existe sempre a necessidade de haver uma associação de bombas centrífuga. Dentre os motivos para associação temos:


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a) inexistência no mercado de máquinas que possam, isoladamente atender a vazão demandada; b) aumento da demanda com o correr do tempo; c) inexistência no mercado de bombas capazes de vencer a altura manométrica do projeto. Para os casos a e b o problema pode ser solucionado através da associação das bombas em paralelo, que consiste em fazer duas ou mais bombas recalcarem em uma linha comum, de modo que cada uma bombeia parte da vazão; Para o segundo o terceiro caso, c, podemos utilizar a associação em série, neste caso as bombas trabalham de modo que a anterior bombeia para a sucção da posterior, fazendo com que o fluido receba maior quantidade de energia de pressão. Bombas em paralelo - Todas as bombas trabalham sob a mesma altura manométrica total e as vazões se somam. Para as bombas de mesmas características, a vazão total distribui-se entre elas, ou seja, as bombas dividem, igualmente, a vazão de entrada.

Figura 13.15 - Bombas centrífugas em paralelo e suas curvas características (Silvestre, 1979) Observando a curva, podemos notar que: - a curva A é característica de uma das bombas e a 2A é a característica de duas máquinas iguais; - Cada bomba trabalhando separadamente, tem seu ponto de trabalho em P, fornecendo a vazão em Q´. Em P´, a vazão total Qt é maior do que Q´,porém menor do que 2Q´. - A vazão total do sistema é menor do que a soma das vazões das bombas, operando isoladamente; - Quando as bombas operam em paralelo, o ponto de trabalho desloca-se para a direita; - Caso alguma das bombas pare, a unidade que opera terá seu ponto de trabalho em P - Se as bombas forem diferentes, a parcela de vazão de uma bomba é diferente da outra; - Se a altura manométrica do sistema superar a da bomba 2, somente a bomba 1 recalcará água. A bomba 2 terá vazão nula e sofrerá sobre-aquecimento. Bombas em série - Para duas ou mais bombas trabalhando em série, a vazão é a mesma para todas elas, e as alturas manométricas se somam.


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Figura 13.16 - Sistemas de bombas em paralelo e em série (Cirilo et al, 2005) Na figura podemos notar que para a vazão Qx, cada bomba trabalha sob altura manométrica Hx. Em série, ambas recalca a altura 2Hx.

Figura 13.17 - Curvas de bombas trabalhado em série Para as bombas de características diferentes trabalhando em série a altura manométrica será diferente de 2Hx.

Figura 13.18 - Mozaico de Bombas


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13.15 CAVITAÇÃO Em um conduto onde a pressão de entrada é superior a pressão que observa-se no seu interior ou no seu extremo ocorre a liberação de bolhas de ar contidas na massa líquida que se desprendem do líquido, quando a pressão é reduzida a pressão de vapor. Ocorre a separação da coluna liquida e a obstrução do escoamento. Quando estas bolhas são carreadas para uma região de alta pressão ocorre à implosão causando choques entre as partículas fluidas e danificam as paredes do conduto através de golpes (golpe de aríete), reduzindo a sua capacidade de escoamento. O fenômeno acima é denominado de cavitação, devida a formação de cavas ou bolhas no liquido (Silvestre, 1979; Porto, 1998; Azevedo Netto, 1998; Cirilo et al., 2005).

Figura 13.19 - Processo da cavitação A cavitação pode ocorrer: 1. Em regiões sujeitas a redemoinhos e turbulências que geram alta velocidade de rotação e queda de pressão (vertedores de barragens); 2. Nas válvulas; 3. Nos orifícios, reduções bruscas, curvas, bombas e turbinas hidráulicas; Se houver na entrada das bombas pressões inferiores à de vapor do líquido circulante, podem originar a cavitação. Caso estas pressões se estendam por toda a entrada poderá forma-se uma bolha capaz de interromper a circulação do fluido. Nas bombas centrífugas o colapso das bolhas, normalmente acontece nos canais do rotor ou logo após o rotor, próximo a carcaça. Assim, se a pressão absoluta do liquido em algum ponto da instalação atinge valor igual ou inferior à pressão de vapor do líquido, na temperatura do líquido em escoamento, parte deste se vaporiza, formando bolhas.

13.15.1 Condições de cavitação A queda de pressão desde a entrada do tubo de sucção até a entrada da bomba depende da altura estática de sucção, do comprimento da tubulação de sucção, da rugosidade das paredes dos tubos e das perdas de carga acidentais devidas às peças intercaladas nesta parte da instalação. Desta secção para diante, haverá ainda queda de pressão, cujo valor dependerá das características da máquina (Porto, 1998; Silvestre, 1979).


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Na figura abaixo, considerando o plano de referência no NA do reservatório inferior, R1, e aplicando o teorema de Bernoulli entre o NA e o eixo da bomba, temos: Zo +

Po

γ

+

Vo

2

2g

= Z 1 +

P1

γ

2

+

V 1

2g

+ ∆ho−1

(13.26)

Figura 13.20 - Sistema de recalque e condições para cavitação (Adaptado de Cirilo et al., 2005) Considerando que: Z1 - Z0 = hs;

(13.27)

O poço de sucção esta sujeito a pressão atmosférica  Pó = Patm; A velocidade na superfície da água do reservatório é desprezível  Vo = 0; A perda de carga entre 0 e 1 ( ∆h0-1) é a soma das perdas de carga na tubulação de sucção (∆hs) e no trecho compreendido entre o fim desta tubulação e a entrada do rotor (∆h*), ou seja ∆h0-1 = ∆hs + ∆h*, A cavitação inicia quando a pressão no ponto 1 é igual a pressão de vapor (P1 = Pv) hs

=

Patm

abs

γ

−(

Pv

abs

γ

+

V 12

2g

+ ∆hs + ∆h*)

(13.28)

Observa-se que somente a pressão atmosférica tem sinal positivo, mostrando que as demais grandezas dificultam a sucção. Se fosse possível desprezar as perdas de carga e a diferença entre as energias cinéticas, a altura estática de sucção valeria: 10330kgf / m 2 = 10,33m hs = , se para P1 = 0, teremos hs max = (13.29) γ 1000kgf / m 3 Ou seja, o valor teórico máximo da altura estática de sucção, ao nível do mar, operando com água fria (4º), mas na prática este valor situa-se em torno de 6 m, pois P1 deverá ser sempre maior que zero, não sendo desprezível as perdas de carga nem, a Po − P1


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diferença de energia cinética. Por outro lado, se tentarmos reduzir a pressão à entrada da bomba, atingirá a pressão de vapor do liquido circulante, podendo dar inicio a cavitação. Separando na equação anterior os termos que dependem da instalação ou do líquido bombeado dos termos que dependem da bomba, constituindo assim, os lados esquerdo e direito da equação anterior (Azevedo Netto, 1998; Porto, 1998; Cirilo et al., 2005): Patm

abs

γ

− (hs +

Pv

abs

+ ∆hs) =

γ

V 1

2

2g

+ ∆h *

(13.30)

O lado esquerdo da equação é denominado de NPSH disponível ou simplesmente NPSHd e representa a carga existente na instalação para permitir a sucção do fluido Patm

abs

− (hs +

γ

Pv

abs

γ

(13.31)

+ ∆hs) = NPSHd

O termo NPSH significa Net positive suction Head, ou seja, carga na sucção liquida positiva. O lado direito da equação recebe a denominação de NPSHr ou requerido e representa a carga energética que a bomba necessita para succionar o liquido sem cavitar, ou seja: NPSHr =

V 12

2g

+ ∆h * ,

(13.32)

A equação mostra a dependência da velocidade e, conseqüentemente, da vazão. Os dados relativos ao NPSH podem ser obtidos experimentalmente ou são fornecidos pelo fabricante da bomba por meio de gráfico em função da vazão. Assim, hs

=

Patm

γ

abs

−(

Pv

abs

γ

+ ∆hsNPSHr )  NPSHd = NPSHr

(13.33)

Ou seja, para avaliar a condição de cavitação, calcula-se a o NPSHd e compara-se com o NPSHr fornecido pelo fabricante da bomba. Caso o valor calculado seja menor do que o requerido, conclui-se que pode haver cavitação na bomba. Quando o fabricante não fornece a curva de NPSHr versus vazão, pode-se calcular através da seguinte expressão: NPSHr ≅ ∆h* ≅ 0,0012n4/3Q2/3, onde n – rotação nominal da bomba (rpm); Q – vazão (m3 /s), no ponto de rendimento máximo; NPSHr (m). Visto que os líquidos bombeados, normalmente não se apresentam em uma forma pura, as impurezas podem alterar a pressão na qual a cavitação se inicia. Por este motivo é importante estabelecer uma margem de segurança para garantir a operação da bomba,mesmo com líquidos impuros. Na prática, utiliza-se a margem de segurança mínima de 0,6 m do líquido bombeado, ou 20% do valor teórico:


hs ≤

Patm

abs

−(

γ

Pv

abs

γ

+ ∆hs + NPSHr + 0,6)ou − > hs ≤ [

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Patm

γ

abs

−(

Pv

100

abs

γ

+ ∆hs + NPSHr + 0,6)] / 1,2

NPSHd – 0,6 ≥ NPSHr

14 GOLPE DE ARIETE Em situações onde as características hidráulicas do escoamento mudam de seção para seção e no tempo (transiente hidráulico) o teorema de Bernoulli não poderá ser aplicado em virtude de um fenômeno chamado GOLPE DE ARIETE (Silvestre, 1979). - Aríete - Antiga máquina de guerra para arrombar muralhas de cidades sitiadas GOLPE DE ARIETE – variação da pressão acima e abaixo do valor de funcionamento dos condutos forçados ocasionando, por qualquer evento que provoque alteração no valor da vazão, portanto, no valor da velocidade dos condutos (manobras de registros e válvulas). - O golpe é provocado por qualquer evento que promova a variação brusca de velocidade. - Ocorre a propagação em forma de ondas desde o ponto, onde as mesmas foram produzidas até a extremidade do conduto, o que faz mudar de sinal e retornar ao local de origem; - O golpe propicia a produção de sons que lembram marteladas; - O efeito da variação brusca de pressão pode romper as tubulações e danificar os aparelhos; - Ocorre com freqüência nas instalações hidroelétricas

14.1 EQUAÇÃO DE JOUKOWSKY Através de estudos, o pesquisador determinou a equação que possibilita o cálculo da pressão máxima provocada pelo fechamento instantâneo da válvula instalada ao final de um conduto fechado. Observando a figura abaixo onde temos a tubulação horizontal AR de comprimento L e diâmetro D constante, pela qual circula água em movimento permanente com velocidade média Vo, sob carga Ho. Caso o registro seja fechado instantaneamente, a coluna líquida de comprimento X terá sua velocidade anulada no tempo t. Pela aplicação da segunda lei de Newton, podemos escrever F = Aγ hmax

=

Aγ X gt

Vo

(14.1)

onde A – área da seção dos tubos; γ - peso específico da água; h max – aumento da pressão em m.c.a (sobrepressão) em virtude do golpe de aríete.  hmax

=

X Vo t g



X/t = a –

(14.2)

velocidade média com que a variação da pressão percorre a linha de tubos e se denomina CELERIDADE.


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Assim podemos escrever hmax

=a

Vo g

(14.3)

Esta equação pode ser aplicada aos casos de fechamento instantâneo do registro R e pode ser assim interpretada: a redução brusca da velocidade em condutos forçados dá origem a uma onda de pressão, junto ao registro R, cuja grandeza é proporcional à variação da velocidade da água e à celeridade.

14.2 PROPAGAÇÃO DAS ONDAS DE PRESSÃO Considerando um conduto AR alimentado pelo reservatório de nível constante Ho funcionando em regime permanente.

Figura 14.1 - Condições para o golpe de aríete (Adaptado de Silvestre, 1979)


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Figura 14.2 - Condições para o golpe de aríete (Adaptado de Silvestre, 1979)

14.3 PERÍODO DA TUBULAÇÃO O tempo necessário para a onda de pressão ir da válvula ao reservatório e a ela voltar, denomina-se período da tubulação, tempo de reflexão, período crítico ou um intervalo de tempo. É dado por: µ = 2L/a, onde L – comprimento da tubulação (m), a – celeridade.

14.3 EQUAÇÕES INTEGRAIS DO GOLPE DE ARÍETE A partir de análise do comportamento do golpe de aríete e da integração das derivadas parciais a ele relativas (Lorenzo Allieve) – equações de Allieve, as seguintes equações foram obtidas e permitem determinar a pressão e a velocidade em qualquer seção da tubulação, durante o regime não permanente, em função de sua abcissa X, e do tempo t, contando a partir da manobra do registro R:   (14.4) ) − − > V − Vo = −  f ((t − ) − f ((t + ) a a a a a  onde Y – pressão na seção de abcissa X, devido ao golpe de aríete; Yo – pressão na mesma seção, em regime permanente; V – velocidade na seção de abcissa X, em regime não-permanente; Vo – velocidade na tubulação durante o movimento permanente; f(t-X/a) e f(t+x/a) – funções arbitrárias determinadas, em cada caso, a partir das condições do problema em estudo. Y = Yo = f (t −

X

) + f (t +

X

g

X

X


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14.4 DISPOSITIVOS PARA ATENUAÇÃO DO GOLPE DE ARÍETE O golpe de aríete nas linhas de recalque pode ser suavizado através dos seguintes dispositivos (Silvestre, 1979; Azevedo Netto, 1998): a) válvula de alívio; b) válvulas supressoras; c) reservatórios de ar (ou gás) comprimido; d) volantes; e) reservatórios unidirecionais (one way) f) chaminés de equilíbrio g) válvula de retenção combinadas com válvulas de seccionamento, motorizadas; h) ligação da linha de recalque ao poço de sucção por meio de um by pass; i) instalação de ventosas de ação dupla. a) São aparelhos ligados em derivação lateral às linhas de recalque e que, quando a pressão no interior desta linha ultrapassa em 10% ou 15% a pressão normal de serviço, abrem-se para a atmosfera, descarregando vazão apreciável; b) Volantes – aumentando a inércia do conjunto motor-bomba, é possível reduzir, substancialmente, a sobrepressão provocada pelo golpe de aríete, através de volantes que prolongam o período de desaceleração da bomba até o repouso, após o desligamento do motor. c) Chaminés de equilíbrio – são reservatórios abertos para atmosfera, ligados em derivação à linha de recalque e com área superior à da seção da linha de tubos. Ao ser desligada a bomba, a chaminé supre a linha com vazão necessária para impedir a rápida desaceleração da coluna dágua e suavizar a depressão conseqüente. Ao ser ligada a bomba, a chaminé absorve maior parte do fluxo inicial, proporcionando aceleração suave da coluna dágua.


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15 CONDUTOS LIVRES (CANAIS) Até o presente, estudamos o escoamento em condutos forçados que tem como característica o fato da pressão interna ser superior ou inferior a pressão atmosférica. Além deste fato, os condutos forçados possuem, em sua maioria, seção circular e paredes internas com rugosidade absoluta bastante reduzida dada a homogeneidade do material (Chow, 1959; Silvestre, 1979, Porto, 1998; Azevedo Netto, 1998; Cirilo et al., 2005). A partir deste momento, estudaremos os condutos livres. Como característica principal dos condutos livres tem-se a presença da pressão atmosférica atuando sobre a superfície do liquido em uma seção aberta. Diferente dos condutos pressurizados, outro aspecto muito importante dos escoamentos livres corresponde a grande variabilidade das paredes dos condutos, quanto a forma e quanto a rugosidade. Esta variação pode ocorrer, também, no tempo e no espaço. Como exemplo de condutos livres podemos citar os seguintes: - Canais naturais: rios, riachos; - Canais artificiais: coletores pluviais, coletores de esgoto, canais de irrigação, canais adutores. Os condutos livres possuem muitas características em comum com os condutos forçados, mas também muitas outras que lhes são peculiares. Dentre estas características podemos citar as seguintes: a) os condutos livres apresentam superfície livre onde reina a pressão atmosférica; b) os problemas apresentados pelos condutos livres ou canais são mais difíceis de serem resolvidos, visto que a superfície pode variar no tempo e no espaço. c) como conseqüência do item anterior, a profundidade do escoamento, a vazão, a declividade do fundo e a do espelho são grandezas independentes; d) dados experimentais a respeito dos condutos livres são, usualmente, difíceis de serem obtidos; e) a seção dos condutos livres pode assumir qualquer forma; f) a rugosidade das paredes internas tem menor variedade do que a do conduto livre, que pode ser lisa ou irregular, como a dos canais naturais; g) a rugosidade das paredes pode varia com a profundidade do escoamento e, conseqüentemente, a seleção do coeficiente de atrito é cercado de maiores incertezas. h) o escoamento é devido a força da gravidade (escoamento gravitacional); Os aspectos acima citados conduzem a uma maior complexidade nas formulações matemáticas relativas aos escoamentos livres. Contudo, os princípios básicos que regem os escoamentos livres são essencialmente os mesmos daqueles referentes aos escoamentos forçados, podendo-se, desta forma utilizar equações fundamentais como a equação da continuidade que traduz a conservação da massa e a equação de Bernoulli, que traduz a conservação da energia.


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Figura 15.1 – Tipos de condutos e de escoamentos

15.1 TIPOS DE ESCOAMENTO a) Quanto ao tempo Permanente uniforme (velocidade média constante; profundidade constante)  Q=cte; Permanente variado (gradualmente ou bruscamente – seção e velocidade média variáveis com o espaço); Não-permanente (Q variável) (seção e velocidade média variáveis com o espaço e com o tempo); b) Quanto à trajetória das partículas Laminar Turbulento c) Quanto às linhas de corrente Paralelo Não-paralelo

Figura 15.2 – Superfície livre e linha de carga


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Figura 15.3 – Escoamento permanente e uniforme

Figura 15.4 – Escoamento permanente e variado O movimento permanente nos condutos livres é estudado através da aplicação das equações da continuidade, de Bernoulli, da quantidade de movimento e de uma fórmula que permita avaliar a resistência oferecida ao fluxo pelas paredes do conduto. Formas de seção transversais a) retangular; b) trapezoidal; c) circular; d) triangular

15.2 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS Os elementos que podem ser definidos pela geometria da seção e pela profundidade do escoamento são denominados de parâmetros geométricos da seção transversal. Para seções definidas os parâmetros podem ser definidos pelas dimensões da seção e pela profundidade. Para seções irregulares, são utilizadas curvas para representar a relação entre as dimensões e as respectivas profundidades (Porto, 1998; Cirilo et al., 2005).


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a) Secção ou área molhada (A): parte da seção transversal que é ocupada pelo líquido; b) Perímetro molhado (P): comprimento relativo ao contato do líquido com o conduto; c) Largura superficial (B): largura da superfície em contato com a atmosfera; d) Profundidade (y): altura do líquido acima do fundo do canal; e) Profundidade hidráulica (yh): razão entre a área molhada e a largura superficial yh=A/B; f) Altura do escoamento da seção (h): é a altura do escoamento medida perpendicularmente ao fundo do canal; g) Declividade de fundo (Io): é a declividade longitudinal do canal. Visto que na pratica as declividades dos canais são baixas, salvo exceções, as declividades podem ser expressas por Io=tgα = sinα h) Raio hidráulico (Rh): razão entre a área molhada e o perímetro molhado Rh=A/P * A profundidade y é muitas vezes relacionada a altura h . Para declividades reduzidas, pode-se freqüentemente tomar as duas grandezas como equivalentes; * Se a seção transversal do conduto livre conserva-se invariável em toda sua extensão, dizemos que o canal é prismático. Os canais artificiais, geralmente, possuem seções de forma geométrica simples.

Figura 15.1 - Seção transversal do canal e elementos característicos (Adaptado de Cirilo et al., 2005) Para algumas seções de forma geométrica definida os elementos geométricos podem ser analiticamente expressos como segue (Silvestre, 1979):


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• As seções trapezoidais são muito empregadas para canais com ou sem revestimento; • A forma retangular é a forma adotada em canais construídos com materiais muito estáveis, como alvenaria, metal ou escavados em rocha; • A forma triangular são empregadas em seções pequenas, como as das valetas que margeiam as estradas; • A seção circular é de uso comum nas redes de esgotos e nos bueiros; • A seção parabólica é usada nos cálculos, com aproximação das seções dos cursos naturais de pequeno porte.

* O raio hidráulico constitui a dimensão hidráulica característica, utilizada para o cálculo do número de Reynolds Re = VD/ ν  Re = VRh / ν. Para os condutos livres o regime laminar acontece para Re<500. Contudo, nas aplicações diárias Re é bem maior do que 500, o que caracteriza um fluxo turbulento. Dessa forma: a) Escoamento laminar Re<500; b) Escoamento de transição 5002000

15.3 DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE Diferente dos condutos forçados, a presença de uma superfície de atrito distinta, correspondentes às interfaces líquido-parede e líquido-ar, acarreta uma distribuição não uniforme da velocidade nos diversos pontos da seção transversal. A determinação das velocidades nos diferentes pontos das seções transversais dos canais, de um modo geral, só é possível por via experimental.


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Figura 15.3 - Distribuição de velocidade em diferentes seções (Adaptado de Cirilo et al., 2005) Dada a não uniformidade na distribuição de velocidade, utilizaremos, a partir do presente, o conceito de velocidade média na seção de interesse. Lembrar também que esta não uniformidade dos perfis de velocidade tem relação direta com a geometria da seção e acontece devido às tensões de cisalhamento no fundo e nas paredes e também devida a superfície livre, interface líquido-ar. A velocidade máxima numa vertical da seção transversal situa-se, geralmente, entre 0,05y e 0,25y. Por outro lado, o valor da velocidade média em uma vertical da seção reta, geralmente, é igual à media das velocidades à profundidades 0,2y e 0,8y, ou seja, V = 0,5(V0,2 + V0,8).

Figura 15.4 - Distribuição longitudinal de velocidade (Adaptado de Cirilo et al., 2005)


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15.4 DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÃO Diferente dos condutos forçados, onde a pressão é igual em todos os pontos, nos condutos livres ocorre à interferência da turbulência, dentre outros fatores, levando a constatação que a pressão em qualquer ponto da massa líquida é proporcional à profundidade, ou seja, distribuição hidrostática de pressão (lei de Stevin) P = γ h. Entretanto dependendo da declividade, a carga cinética deverá ser corrigida de um valor α, que leva em conta a divergência na distribuição de pressão. Considerando que a declividade do fundo do canal é um dos fatores que influenciam o valor da velocidade e da pressão e, por conseqüência, a carga cinética e a carga piezométrica, respectivamente, pode-se introduzir um critério de declividade para distinguir dois tipos de canais e, conseqüentemente, as simplificações passíveis de serem consideradas (Cirillo et al., 2005; Porto, 1998): • Canais com pequenas declividades (I ≤10%), podendo ser considerada a distribuição hidrostática de pressões; • Canais com grandes declividades (I>10%), para os quais é necessário considerarse a distribuição pseudo-hidrostática de pressões. • Observando que nos canais naturais, em sua maioria, a declividade é muito pequena, a distribuição é hidrostática e P = γ h  P/ γ = h = y, portanto a superfície livre coincide com a linha piezométrica e a carga piezométrica é a própria profundidade y. A declividade desta linha é denominada de gradiente hidráulico (Silvestre, 1979). Se a esta carga for somada o respectivo a carga cinética teremos a linha de energia e a sua declividade é dado o nome de gradiente hidráulico.

15.5 ENERGIA ESPECÍFICA Em qualquer seção de um canal damos o nome de carga média à soma: H=Z + Y +αV2 /2g, sendo α um coeficiente de correção para a desigualdade de distribuição de velocidade, mas que será adotado igual a 1. Dar-se o nome de energia específica (Bakhmeteff, 1912) à energia disponível em uma seção, ou a quantidade de energia medida a partir do fundo do canal, cuja expressão corresponde a soma das cargas cinéticas e piezométricas: V

2

(15.1) 2g adotando α=1, substituindo a velocidade média pela vazão através da Equação da continuidade e considerando a área como uma função da profundidade, podemos constatar que a energia específica é função apenas de y. Desta forma, temos: E = y + α

Q

2

Q

2

− − > E = y + (15.1) 2 gA 2 2 gf ( y) 2 ou seja, fixando-se uma vazão, pode-se dizer através de análise gráfica que E é a distância vertical entre o fundo do canal e a linha de energia, correspondendo, portanto, à soma de duas parcelas, ambas função de y: E = E 1 + E2 , onde E1 = y e E2 = Q2 /2gf(y)2. E = y +


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Através do gráfico, observa-se que existe um valor mínimo de energia, para o qual corresponde a uma certa profundidade, denominada de Profundidade Crítica - y c cuja energia a ela associada é denominada de Energia Crítica - E c (Porto, 1998). Para um dado valor de energia, superior a crítica, existem dois valores de profundidade, y f e y t , denominadas profundidades alternadas. O regime que ocorre com y f é denominado de escoamento superior, tranqüilo, fluvial ou subcrítico . O regime que ocorre com y t é denominado de inferior, rápido, torrencial ou supercrítico. O escoamento que ocorre com y=y c é denominado de crítico (Cirilo et al., 2005).

Figura 15.5 - Curva da energia específica de acordo com a profundidade (Adaptado de Silvestre, 1979) Para um dado valor de energia, superior a crítica, existem dois valores de profundidade, y f e y t , denominadas profundidades alternadas. O regime que ocorre com y f é denominado de escoamento superior, tranqüilo, fluvial ou subcrítico . O regime que ocorre com y t é denominado de inferior, rápido, torrencial ou supercrítico. O escoamento que ocorre com y=y c é denominado de crítico (Cirilo et al., 2005). Declividade crítica I c – é aquela que conduz à velocidade crítica. Declividades superiores conduzirão a profundidade de escoamento inferiores a crítica, yy c . Velocidade crítica V c – é aquela associada às condições críticas de escoamento.

Figura 15.6 - Mudança de regime conforme a profundidade e a declividade (Adaptado de Silvestre, 1979) Para cada vazão escoando pelo canal determina-se uma curva de energia específica. Sendo assim, uma determinada profundidade pode ser subcrítica ou


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supercrítica. Desta forma, define-se vazão crítica como aquela que conduz a uma condição crítica em um dado canal.

15.6 O NÚMERO DE FROUDE No que diz respeito à energia, a caracterização do escoamento é efetuada através de um número adimensional que relaciona a força de inércia e a força de gravidade e é obtido derivando-se a equação de energia e considerando um canal retangular de largura B e profundidade y, segue: dE

Q

2

dE

Q

2

dE

2

Q B

) / dy − − > = 1 − 3 dA / dy − − > dA = Bdy − − > = 1 − 3 (15.2) dy dy gA gA 2 gA 2 Aplicando a equação da continuidade: dy

= d ( y +

dE dy

2

=1−

AV B gA

3

− > B = A / y h − >

dE dy

2

= 1−

V B gy h

(15.3)

Considerando que ρ V 2 L2 V = = Fr (número de Froude) ρ L3 g gL dE dy

= 1 − Fr 2

(15.4) (15.5)

Como no escoamento crítico a energia específica é mínima, ou dE/dy = 0, tem-se Para dE/dy = 0  Fr = 1, ou seja: • y 1 – regime supercrítico; • y>yc  dE/dy >0  1 - Fr2 > 0  Fr < 1 – regime subcrítico; • y=yc dE/dy = 0  1 - Fr2 = 0  Fr = 1 – regime crítico

Outra interpretação para os resultados acima, seria que, quando ocorre uma preponderância de energia cinética (V) sobre energia potencial ( √gyh), ou seja, quando houver um escoamento rápido, tem-se Fr>1. Se houver preponderância de energia potencial, Fr<1. Se houver equilíbrio entre as duas energias, Fr=1. Pelo acima exposto, pode-se dizer que no regime crítico Fr=1  V=√gyh. Fazendo-se yh=A/B e substituindo V=Q/A(Q/A)2=gA/BQ2 /g=A3 /B Q2B=gA3 Visto que tanto A como B são funções de y, o valor de y que satisfizer à equação acima, corresponderá a profundidade crítica y c. Para seções conhecidas analiticamente, pode-se obter uma expressão para y c. Para seções mais trabalhosas, a determinação da profundidade crítica a determinação de yc pode ser feito por métodos iterativos ou por tabelamento. Considerando A = By (seção retangular)  2

3

Q B=g(Byc)



y c

=3

Q 2

2

B g

(15.6)

Na prática, costuma-se trabalhar com a vazão por unidade de largura ou vazão específica q . Nestas condições (q=Q/B) (m 3 /s/m;m2 /s)


y c

=3

q2 g

2

 Fr

=

V

2

gy

=

Q

2

2

2

B y gy

=

Ricardo de Aragão q

2

gy

3

113

(15.7)

Destes conceitos, segue que: E c

= y c +

q

2 2

− − > E c = y c + Fr 2

2 gy c como p/Ec  Fr=1, Ec = 3/2yc

y c

2

(15.8) (15.9)

15.7 ESCOAMENTO PERMANENTE E UNIFORME Para ser considerado uniforme, o escoamento permanente em canais deve apresentar as seguintes características: 1. a profundidade, a seção molhada, a velocidade média e a vazão, ao longo do conduto são constantes; 2. a linha de carga (carga piezométrica + carga cinética), a superfície livre e o fundo do canal são paralelos; Estas características implicam que este tipo de escoamento só vai ocorrer em condições de equilíbrio dinâmico, ou seja, quando houver um equilíbrio entre a força cinética ou aceleradora e a força de resistência que tenta reduzir ou mesmo para o movimento. Observa-se, entretanto, que o movimento permanente e uniforme raramente ocorre na natureza. Contudo, esta hipótese é admitida nos cálculos e os resultados são aproximados, mas satisfatórios para fins práticos. Considere a figura abaixo: A profundidade do escoamento no movimento uniforme é a profundidade normal (yn).

Figura 15.7 - Mudança de regime de acordo com a declividade (Adaptado de Silvestre, 1979)

15.8 PERDA DE CARGA Do conceito de energia específica E, vimos que a perda de carga entre duas seções do canal, afastadas da distância L, é expressa por: ∆h = H1 – H2. Pela figura abaixo, temos:


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114

Figura 15.8 - Perda de carga nos condutos livres (Adaptado de Silvestre, 1979) ∆h = ( z1 + y1 +

V 1

) − ( z 2 + y 2 +

V 2

(15.9)

) 2g 2g no movimento uniforme, y1=y2 e V1=V2 ∆h = z1 – z2 A perda de carga unitária é I = ∆h/L = (z1 – z2)/L = sinθ

Para pequenas declividades ( θ<5º), o valor da declividade do fundo do canal confunde-se como o da perda de carga. Considerando a equação universal de perda de carga e a fórmula do raio hidráulico para condutos circulares e de seção plena, respectivamente, ∆h / L = J = f V

f V 1 D

2

2g

2

; Rh = A/P = πD2 /4πD = D/4 8g

(15.10)

8g

− > V = C RI − > Q = CA RI (15.11) f f 4 R 2 g onde C recebe o nome de fator de resistência. Esta equação é indicada para os escoamentos turbulentos rugosos em canais, constituindo-se na equação fundamental para o escoamento permanente uniforme em canais. I =

− > V =

RI − > C =

A Equação 15.11 é também conhecida como Fórmula de Chezy. O fator C é obtido experimentalmente em função do raio hidráulico R h e da natureza das paredes do canal, definida por um coeficiente n (coeficiente de Manning), ou seja, C=f(R h ,n). Nota-se a grande dificuldade em definir o fator C. Exaustivas pesquisas têm sido efetuadas no sentido de determinar o valor de C, tendo sido desenvolvidas formulações empíricas, dentre elas a equações de Manning e a de Bazin. De acordo com Manning C=Rh1/6/n. Por outro lado, Bazin concluiu que C = 87 /(1 +

n R

(15.12)

)

O coeficiente de Manning, n , traduz a resistência ao escoamento associada à parede do conduto. Aplicando o valor de C acima citado na equação de Chezy, temos, nQ 1 1 = ARh 2 / 3 V = C RI − > V = R 2 / 3 I 1 / 2 − − > Q = AR 2 / 3 I 1 / 2 − − > (15.13) n

n

I o


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115

A Equação 15.13 é conhecida como Fórmula de Manning e define a velocidade média no escoamento permanente, uniforme e turbulento rugoso, com grande número de Reynolds. Nesta condição o coeficiente n permanece constante para a rugosidade dada. Na ultima equação acima, os parâmetros do lado esquerdo são variáveis hidráulicas e os do lado direito são variáveis geométricas do canal, que são função da profundidade. Um conceito bastante utilizado é o do diâmetro hidráulico, D h ou diâmetro equivalente de uma seção circular como aquele que tem a mesma perda de carga da seção considerada. Este diâmetro equivalente é igual a quatro vezes o raio hidráulico da seção, ou seja f V

2

− − D = 4 Rh (15.14) 4 Rh 2 g Pela fórmula de Nikuradse para tubos rugosos em regime de completa turbulência, temos: J =

C = 17,7 log

Dh

ε

(15.15)

+ 10,09

onde Dh – diâmetro hidráulico, ε - rugosidade do material (m). 14,48 Rh 1 = 2 log( ) ε

f

C =

8g f

= 8 g 2 log(

14,48 Rh ε

)=

Rh

(15.16)

1 / 6

n

− − > n = 0,039ε 1 / 6

(15.17)

O valor de n é influenciado pelos seguintes fatores: revestimento, crescimento da vegetação, erosão, sedimentação, curvas, perfis de velocidade. Tabela 15.1 – Valores do coeficiente de Manning (Chow, 1954)


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116

15.9 CÁLCULO DO ESCOAMENTO UNIFORME Nos problemas do cotidiano que exigem o conhecimento da hidráulica para a sua solução a abordagem depende do tipo da variável desconhecida. Têm-se, geralmente, duas situações: verificação do funcionamento hidráulico ou dimensionamento hidráulico (Cirilo, et al, 2005; Porto, 1998).

15.9.1 Verificação do Funcionamento Hidráulico 1. Determinação da capacidade de vazão de um dado canal ou curso de água, sendo conhecidas as propriedades geométricas da seção em estudo (A, R h, funções da profundidade normal, yn). Aplica-se a Equação de Manning para determinação das outras variáveis envolvidas (Q, n, I ) – ver quadro. 2. Para seções complexas ou irregulares a determinação analítica das relações entre as variáveis geométricas torna-se inviável.

15.9.2 Dimensionamento Hidráulico 1. Deseja-se determinar as dimensões de um canal, em função das variáveis hidráulicas; 2. A variável desconhecida é a profundidade normal e a resolução do problema consiste em resolver de forma iterativa ou gráfica. Determinação das dimensões de um canal Tomaremos como exemplo o dimensionamento de uma seção transversal de um canal retangular cuja largura de fundo é B e profundidade da água é Y. Seção retangular  By   By + B y 2  

2 / 3

=

Qn 1 / 2

I

− − > y =

Qn  B + 2 y  1 / 2

BI

2 / 3

  By  

(15.18)

O valor da profundidade pode ser obtido por iteração linear, porém o resultado é obtido com oscilação. Para contornar, poderemos utilizar a seguinte alternativa: Qn 3 / 5 2 / 5 A = ( 1 / 2 ) P I

− − > By = (

Qn 1 / 2

I

) 3 / 5

(15.19)

Nesta equação o valor da profundidade normal também pode ser obtido por iteração.

15.10 ESTIMATIVA DO COEFICIENTE DE RUGOSIDADE O coeficiente n pode ser estimado através dos seguintes procedimentos: 1. A partir da granulometria da superfície de contato; 2. Incrementação de um valor básico de n em função de aspectos tais como alinhamento do canal (meandros), presença de vegetação, irregularidades;


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117

3. Utilização de tabelas baseadas nas características da superfície de contato; 4. Utilização de fotos de canais e cursos de água naturais que servirão como referencia, através de analogia, para a determinação do valor de n. Para a determinação do valor de n em canais com seções simples onde a rugosidade varia ao longo do perímetro do canal e conforme o nível de água atingido na seção, a velocidade média pode ser calculada levando-se em conta seção como um todo. Neste caso obtêm-se um coeficiente de rugosidade global dado por Chow (1959). m 3 / 2  P n ( ) ∑ i i  i =1  n= P    

2 / 3

(15.20)

onde n – coeficiente de rugosidade global; P – perímetro molhado total; P i – perímetro molhado associado à superfície “i”; ni – coeficiente de rugosidade associado à superfície “i”. Nesta equação é assumido que em cada uma das subáreas os escoamentos parciais têm a mesma velocidade média, igual a velocidade media da seção total. Por outro lado, caso seja assumida que a força total de resistência ao escoamento, originada pelo efeito de cisalhamento junto ao perímetro P, é igual à soma das forças de resistência em cada subárea de perímetro PI, o cálculo de n é dado como segue:  m 2   ∑ ( Pi ni )   n =  i =1 P    

1 / 3

(15.21)

Para o caso de seções compostas, as equações não dão bons resultados quando aplicadas à seção como um todo. Ao invés disso, para seções composta com uma única rugosidade ou com rugosidades diferentes, elas deverão ser subdivididas por linhas verticais imaginárias e, para cada subseção, deve ser utilizada a fórmula de Manning para o cálculo da vazão parcial. A vazão total da secção será o somatório das vazões das seções parciais. A linha vertical imaginária não devem ser computadas no cálculo do perímetro molhado de cada subseção.

Figura 15.9 – Canal de seção composta

16 SEÇÃO DE MÁXIMA EFICIÊNCIA Para o dimensionamento de canais o projetista precisa definir a forma geométrica da seção e quais serão suas dimensões para escoar uma determinada vazão, conhecida a declividade de fundo e o coeficiente de rugosidade. Entretanto fatores como a natureza


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118

do terreno, a limitação do gabarito do canal pela presença de avenidas construídas, ou a limitação da profundidade por questões de escavação, lençol freático. Dizemos que a seção transversal de um conduto livre é de máxima eficiência quando, para determinada área e declividade, a vazão é máxima. Empregando a fórmula de Manning: 1 2 / 3 1 / 2 1 A5 / 3 1 / 2 (16.1) Q = AR I − − > Q = I 2 / 3 n

nP

Esta expressão mostra que, para área molhada, declividade e n constantes, a vazão será máxima quando o perímetro molhado for mínimo. Seções transversais usuais: Seções trapezoidais A = y(b+zy)  P=b+2y√(1+z2) B = b+2zy  z = tgθ

(16.2)

Entre todas as seções trapezoidais, tendo a mesma inclinação das paredes (z=constante), existe uma de maior eficiência. Sendo b e y variáveis e A e z constante, podemos escrever, tendo em vista as relações geométricas para este tipo de seção: P = A/y – zy + 2y √(1+z2)

(16.3)

Igualando a zero a derivada desta expressão, em relação à y, vem: A = y2(2√(1+z2) – z) que fornece a área de maior eficiência para as condições propostas.

(16.4)

Substituindo nesta equação o valor de A, dada no inicio do desenvolvimento: B = 2y(√(1+z2) – z) (16.5) Tomando-se como base o valor de y/b que é tabelado para esta seção, tem-se condições de dimensionar as seções trapezoidais de máxima eficiência. Através do mesmo procedimento, obtemos as fórmulas que dão o perímetro molhado e o raio hidráulico de máxima eficiência: P = 2y(2√(1+z2) – z) e R = y/2 (16.6) Se, por outro lado, estivermos interessados em determinar o valor de z que leve a seção de máxima eficiência. Precisamos operar com as equações precedentes, o que nos leva a P2 = 4A((2√(1+z2) – z) (16.7) Igualando a zero a derivada desta expressão, em relação a z, obtemos: z = 1/ √3 Como z = tgθ, segue que a seção de máxima eficiência é aquela em que θ=30º, ou seja, um semi-hexágono.


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119

Substituindo este resultado em y=D/2(1-cos θ /2), os valores de A e B, fornecidos acima, temos: Q 2 y 3 (b + zy ) 3 = (16.8) g b + 2 zy daí, dividindo os membros por b5 Q

y

(1 + z ) 3

2

b5

=g

b y

1 + 2 z

y

( )3

(16.9)

b

b

onde o valor de y=y c, que resolve esta equação, é a profundidade crítica. Torna-se então possível organizar uma tabela onde podemos tirar, para cada caso, o valor da profundidade crítica em função de Q, z, b.

Seção retangular Este é um caso particular da seção trapezoidal, fazendo z=0, onde, podemos obter b = 2y; para z = 0  P = 4y Q2 /g = yc3b2 (16.10) yc

=3

Q 1 Q 2 ( ) − − > yc = 0,47( ) 2 / 3 g b

b

Tabela 16.1 – Parâmetros de seções com máxima eficiência

(16.11)


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120

17 MÉTODOS DE DIMENSIONAMENTO DE CANAIS A metodologia utilizada para o dimensionamento de canais é diferenciada de acordo com as condições do canal a ser construído: canais revestidos ou consolidados (são construídos em material não erodível); canais não revestidos ou erodíveis. Estes últimos são os canais naturais, artificiais simplesmente escavados ou canais revestidos com materiais que não resistem a altas tensões de cisalhamento produzidas pela água corrente. Até o presente, estudamos o dimensionamento dos canais erodíveis, entretanto, no dia-a-dia do engenheiro civil podem aparecer casos onde os canais artificiais não revestidos são necessários. Os fatores que influenciam neste projeto são os seguintes: a inter-relação da água com o solo, a estabilidade da seção a ser construída (função da geometria e das características geotécnicas dos materiais). Dois são os processos para o dimensionamento dos canais erodíveis, a saber: método da velocidade permissível e o método das tensões de arraste.

17.1 - Método da velocidade permissível O método da velocidade permissível consiste em dimensionar a seção, considerando o limite máximo de velocidade além do qual ocorrerá a erosão do canal e instabilidade dos taludes. Por outro lado, deve-se fazer a verificação da inclinação máxima dos taludes, de acordo com o material do canal (características geotécnicas do local do canal). Esta comparação poderá ser feita através dos valores da Tabela I. Tabela I - Inclinações admissíveis de taludes em canais erodíveis (Adaptado de Chow, 1959).


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121

De acordo com a geotécnica e da carga de sedimentos que é conduzido no interior da massa liquida, a literatura sugere valores máximos admissíveis de velocidade como as listadas na Tabela II. Deve-se lembrar que velocidades além das máximas podem causar erosão no canal e velocidades além da mínima podem causar sedimentação do material em suspensão. Vale salientar que os valores listados referem-se a canais funcionando com lâmina d´água igual ou inferior a um metro. Para profundidades superiores a esta, o limite de velocidade é majorado através de um coeficiente, que é calculado segundo a seguinte fórmula (Yang, 1 / 6

 Rh   1996): k =  Rh  1 

Tabela II – Velocidades admissíveis em canais (Adaptado de Yang, 1996)

Na fórmula anterior, Rh é o raio hidráulico do canal a ser dimensionado e Rh1 corresponde ao raio hidráulico referente à profundidade de um metro. Além desta observa-se, foi considerado que os valores referem-se a canais aproximadamente retilíneos, sendo que reduções de 5% a 22% devem ser aplicadas aos casos mais sinuosos (Chow, 1959).

17.2 - Método das Tensões de Arraste


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122

O método consiste em dimensionar o canal de forma que as tensões de cisalhamento junto às paredes e ao fundo do canal sejam inferiores a tensão limite antes da desagregação das partículas devido a tensão de cisalhamento. Por natureza, a tensão de arraste consiste na tensão de cisalhamento exercida pela água em escoamento junto ao leito e às paredes do canal. Para escoamento uniforme, a tensão pode ser obtida pela seguinte expressão: RhI (geral), τ o = γ YI (leito); τ t = 0,76γ YI (taludes) τ = γ

Tabela III – Tensões de arraste críticas (Adaptado de Santos, 1984)


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123

18 RESSALTO HIDRÁULICO Ressalto hidráulico – elevação brusca da superfície líquida, quando o escoamento permanente passa do regime supercrítico ao subcrítico. É um fenômeno local, muito útil para dissipar energia hidráulica (Silvestre, 1979). - ressalto hidráulico ou salto hidráulico é o fenômeno que ocorre na transição de um escoamento torrencial ou supercrítico para um escoamento fluvial ou subcrítico (Porto, 1998). Emprego – dissipação de energia cinética de uma lâmina líquida que desce pelo paramento de um vertedor, evitando o aparecimento de um processo erosivo no leito do canal de restituição (Porto, 1998).

Figura 17.1 - Regimes de escoamento de acordo com a inclinação do canal e o ressalto hidráulico (Adaptado de Cirilo et al., 2005) Considerando o volume de controle entre as seções 1 e 2 e utilizando a equação da conservação da quantidade de movimento e de equilíbrio das forças e supondo o canal horizontal, temos R= F1 – F2 = ρQ(V2 – V1)

(18.1)

onde R – resultante das forças atuantes no sistema; F1 e F2 são as forças hidrostática nas seções 1 e 2; V1 e V2 são as velocidades nestas seções Para os canais retangulares, A=By  F = ρ gBy

y

2

= ρ gB

y

2

2

(18.2)


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124

Desta forma, F 1 = ρ gB

y1

2

; F 2 = ρ gB

2

y2

2

(18.3)

2

Aplicando a equação da continuidade: ρ gB

y1

2

− ρ gB

2

y2

2

= ρ Q(

2

Q

By 2

−

Q By1

(18.4)

)

( y1 2 − y2 2 ) ( y 1 − y 2 ) = ( − ) 2 = 1 1 B y 2 y1 2 gB ( − )

gB

2

2

Q

2

1

2Q 2

1

y 2

(18.5)

y1

( y1 2 − y 2 2 ) = y1 y2 2 ( y1 − y 2 ) gB portanto 2Q 2 ( y1 − y2 )( y1 + y2 ) 2Q 2 2 = y1 y2 2 = y1 y2 ( y1 + y2 ) gB gB ( y1 − y2 ) 2Q 2 ou  2 = y2 y12 + y2 2 y1 2Q 2

gB

(18.6)

(18.7) (18.8)

Estas expressões intermediárias permitem a obtenção da profundidade de jusante, y 2, conhecida a profundidade conjugada a montante y 1, ou vice-versa. Dividindo todos os termos por y13 2Q 2 2

3

gB y1 Fr = Q2 gB

3 y1

2

=

y2 y1

+

y2 y1

2

2 

(

y2 y1

2

) +

y2 y1

−

2Q 2 2

3

gB y1

=0

V

(18.9) (18.10)

gyh y

y2

y1

y1

= Fr 12  ( 2 )2 +

− Fr 12 = 0

(18.11)

Para haver ressalto é necessário Y2/Y1>1 tem-se: Y 2 Y 1

1 =  1 + 8Fr 12 − 1  2

(18.12)

Caso seja conhecida somente as condições de jusante, seção 2 Y 1 Y 2

1 =  1 + 8Fr 2 2 − 1  2

(18.13)

a perda de carga localizada do ressalto pode ser obtida através da aplicação do teorema de Bernoulli entre as seções 1 e 2: (Y 2 − Y 1 )3 Z1 + E1 = Z2 + E2 + ∆hr  ∆hr = E1 – E2  ∆hr = (18.14) 4Y 1Y 2


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125

No que diz respeito ao comprimento do ressalto, o mesmo não pode ser definido através de expressões teóricas, sendo necessário o desenvolvimento de estudos experimentais. De acordo com o U. S. Bureau of Reclamation (U.S.B.R.), órgão do governo norte-americano que trata de obras civis, a equação mais comum no meio técnico para o valor do comprimento do ressalto seria a seguinte: Lr = 6,9(Y 2

− Y 1 )

(18.15)

Entretanto, o ressalto também pode ser caracterizado pelo valor do número de Froude. Sendo assim, tomando-se por base o valor deste adimensional podemos determinar o valor do comprimento do ressalto:

Figura 17.2 - Comprimento e tipos de ressalto hidráulico de acordo com Froude (Chow, 1959) De acordo com as suas características, sobretudo quanto a eficiência na dissipação de energia, podem-se distinguir diversos tipos de ressaltos, em função do número de Froude a montante, como indicado pela figura abaixo (Cirilo et al., 2005; Silvestre, 1979):

Figura 17.3 - Tipos de ressalto hidráulico de acordo com Froude na seção de montante (Silvestre, 1979) Quanto a localização do ressalto, pode-se distinguir, essencialmente, três situações básicas, correspondentes à relação entre a profundidade conjugada de jusante, Y 2, e a profundidade final do escoamento a jusante, Y 2’ (Cirilo et al., 2005; Silvestre, 1979)


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Figura 17.4 - Localização do ressalto hidráulico (Adaptado de Chow, 1959)

126


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127

19 MEDIÇÃO DE VAZÃO (3º Unidade) Medição de vazão Liquida Vazão ou descarga - é o volume de água que passa através de uma seção transversal na unidade de tempo (em geral um segundo); Medição de vazão – é todo processo empírico utilizado para determinar a vazão de um curso de água. Em hidrometria, a vazão a ser medida é associada a uma cota linimétrica h (cota da superfície livre em relação a um plano de referência arbitrário). Métodos para medição de vazão: a) b) c) d) e)

Medição e integração da distribuição de velocidade; Método acústico; Método volumétrico; Método químico; Uso de dispositivos de geometria regular (vertedores, calhas Parshal, Venturi, orifícios); f) Medição com flutuadores O método convencional de medição de vazão utiliza a medição e a integração da distribuição de velocidades na seção; Com o advento da tecnologia, tem-se utilizado o método acústico para medição de velocidade com bastante freqüência, sem deixar de lado o método convencional; Em rios de montanhas, extremamente turbulentos, o método químico é o mais adequado. A medição de vazão envolve uma série de grandezas características do escoamento na seção e que podem ser agrupadas em duas grandes categorias: a) grandezas geométricas da seção (área, perímetro molhado, raio hidráulico, largura, profundidade, etc.); b) grandezas referentes ao escoamento (velocidade e vazões), juntamente com as coordenadas de posicionamento de cada ponto de medição de velocidade. Tanto as grandezas geométricas quanto as referentes ao escoamento são definidas em função do nível de água e,portanto, variam com ele. O plano de referência para a cota do nível de água, habitualmente escolhido, é o zero da régua linimétrica no local. Excepcionalmente, a altitude do nível de água referido ao nível do mar pode ser adotada. Grandezas geométricas: área molhada (A), perímetro molhado (P), raio hidráulico (Rh), largura superficial (B), profundidade média (Hm=A/B), profundidade máxima (Hmax)

19.1 - ORIFÍCIOS A determinação da vazão em condutos forçados pode ser feita por vários métodos. Dentre estes, estão os medidores diferenciais de carga ou medidores deprimogênos (medem por efeito de uma depressão verificada em um trecho estrangulado). Os fluidos


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128

ao passarem por uma seção contraída de um conduto forçado sofrem uma queda de pressão nessa seção. A queda da altura piezométrica entre uma seção logo a montante da contração e outra logo a jusante é uma função da vazão. Os orifícios fazem parte deste grupo de medidores deprimogênos e, dada a sua simplicidade, são largamente empregados nas indústrias dentre outras atividades. Por outro lado, a informação de vazão advinda do orifício deve ser corrigida para que seja utilizada com segurança. Orifício – consiste em uma abertura de perímetro fechado de forma geométrica definida: Circular, retangular, triangular. Localizado na parede ou no fundo de um reservatório ou na parede de um canal; Descarga livre – o escoamento acontece para um ambiente sob pressão atmosférica; Descarga afogada - o escoamento acontece para um ambiente ocupado pelo mesmo líquido.

19.1.1 Classificação Quanto à forma geométrica – circulares, retangulares, triangulares; Quanto à orientação – verticais, horizontais, ou inclinados; • os orifícios mais usados são os circulares e os retangulares

Carga sobre o orifício – distância vertical entre o plano da superfície livre do líquido

Figura 19.1 - Veia contraída na saída do orifício e a carga que garante o seu funcionamento - (Adaptado de Porto, 1998)

Q=? Q = Aj x Vj (jato)  Aj < Ao (orifício) Cc = coeficiente de contração  Cc = Aj/Ao Caso e < 0,5d  orifício de parede fina Aplicando o teorema de Bernoulli entre s e j h+0+0 = 0+0+

V 2

2g

+ ∆ H ( s − j )  V = 2 g (h − ∆h(s − j )

Desprezando ∆h  V = 2 gh , entretanto, Cv = Vj/Vt Vj = Cv x Vt  V = Cv 2 gh

(19.1)

Hidráulica Básica – Guia de Estudos Q = AVj − − > Q = ACv

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129

(19.2)

2 gh − − > Q = CcAoCv 2 gh

Para Cd = Cc x Cv Q = CdAo

2 gh − − > Cd =

Q Ao

2 gh

, onde Ao 2 gh = Qt − − > Cd =

Q Qt

(19.3)

Na prática, o coeficiente Cd para um orifício circular em parede delgada é igual a Cd=0,61 Para o cálculo da perda de carga em orifícios consideraremos um fluido saindo de um orifício para a pressão atmosférica, sob carga h, levando a uma velocidade real igual a 1 V 2 V = Cv 2 gh  h =  (19.4) Cv 2 2 g A energia remanescente do jato é a carga correspondente à velocidade real V e dada por V2 /2g. A perda de carga é a diferença entre a energia inicial e a remanescente e igual a V 2 1 V 2 V 2 1 ∆h = 2 − = ( 2 − 1) − − > ou − − > ∆h = (1 − Cv 2 )h (19.5) 2g Cv 2 g 2 g Cv

Se considerarmos um Cv = 0,98, teremos ∆h=4%h Orifícios afogados Considerando a figura abaixo e aplicando Bernoulli entre a e b chegaremos a seguinte equação: V = Cv 2 g (h1 − h2 ) − − > Q = CdA 2 g ( h1 − h2 ) (19.6)

a

b

Figura 19.2 - Orifício afogado (Adaptado de Azevedo Netto, 1998) Placas de Orifícios em um tubo


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130

Figura 19.3 - Placas de Orifícios em um tubo Por serem instrumentos simples, robustos, de fácil realização e de custo relativamente baixo, as placas de orifício são empregadas na maioria dos pontos de medição de vazão nas indústrias. Observando a figura acima, a relação entre a área transversal do jato Ac, na seção contraída, e a área do orifício A é denominada coeficiente de contração, C c. Para orifícios circulares de parede fina, o valor médio de C c é da ordem de o,62, variando com as dimensões do orifício e da carga H  Aplicando-se Bernoulli entre as tomadas 1 e 2 P1

γ

+

V 1

2

2g

+ Z 1 =

P2

γ

+

V 2

2

2g

+ Z 2 + ∆h  Z1 = Z2 

P1

γ

+

V 1

2

2g

=

P2

γ

+

V 2

2

2g

(19.7)

A equação de continuidade relaciona V 1 e V2 com Cc = A2 /A0 V 1π D1

4

2

=

V 2 C π D0

2

(19.8)

4

daí, eliminando V1 ,

V 2

2



D0

= 1 − C c 2 (



)4  =

P1

− P2

(19.9) γ 2g  D1  Resolvendo para V2 e multiplicando o resultado por Cv para obter a velocidade real na veia contraída


V 2

=

2 g ( P1 − P2 ) / γ 1 − C c 2 ( D0 / D1 ) 4



V 2

= Cv

Ricardo de Aragão 2( P1 − P2 ) / ρ 1 − C c 2 ( D0 / D1 ) 4

Multiplicando pela área do jato, C cA0, temos a vazão real Q, 2( P1 − P2 ) / ρ Q = C d A0 1 − C c 2 ( D0 / D1 ) 4 onde Cd = CvCc

131

(19.10)

(19.11)

Colocando em função do desnível entre as colunas, ∆H, temos: 2 g∆ H (d 0 / d 1 − 1) 1 − C c 2 ( D0 / D1 ) 4 onde d0 é a densidade do mercúrio e d 1 a da água. Q

= C d A0

(19.12)

Devido à dificuldade em se determinar os dois coeficientes separadamente, usa-se geralmente, uma fórmula simplificada; Q = CA0

2∆P ρ

ou  Q = CA0 2 g∆ H (

d 0 d 1

− 1)  Q = CA0 2 g∆ H (d Hg − 1)

(19.13)

onde A0 = 0,45 AD AD = área relativa ao diâmetro do tubo, d Hg = 13,6, g = 9,81 m/s2

19.2 - BOCAL Os bocais ou tubos adicionais são constituídos por peças tubulares adaptadas aos orifícios. Servem para dirigir o jato. O seu comprimento deve estar compreendido entre 1,5 e 3D. Considera-se como tubos muito curtos (3 a 500D), tubulações curtas (500 a 4000D) e tubulações longas (acima de 4000D). Os bocais são classificados como: Cilíndricos (interiores ou reentrantes); cilíndricos (exteriores); Cônicos (convergentes ou divergentes). O bocal reentrante d borda corresponde à menor vazão, ou seja, coeficiente de descarga Cd=0,51 (na teoria encontra-se Cd=0,5); O bocal cilíndrico externo, com veia aderente, eleva a vazão, visto que Cd=0,82; Os bocais cônicos aumentam a vazão (bocais convergentes Cd=0,94); Os bocais divergentes, combinado com o comprimento do tubo igual a cerca de nove vezes o diâmetro da seção estrangulada permite os mais altos coeficientes de descarga

Figura 19.4 - Bocais em diferentes formas (Adaptado de Azevedo Netto, 1998)


Ricardo de Aragão

132

Figura 19.5 – Diferentes valores de coeficientes de descarga e velocidade para formas de bocais (Adaptado de Azevedo Netto, 1998) A vazão nos bocais é determinada através da fórmula geral, deduzida para os orifícios pequenos: Q = CdA 2 gh

19.3 - ESVAZIAMENTO DE RESERVATÓRIO ATRAVÉS DE ORIFÍCIO OU BOCAL dH

Ar

h2

2 gh  Q1 = CdA 2 gh Q2=? A questão é: se o escoamento é quase permanente como saber qual o tempo necessário para esvaziar o reservatório? Q = CdAo

Se o escoamento fosse permanente: Q= Volume/tempo  Tempo = Volume/Q Para dt∴ Q=Vol/dt - admitindo Q=Cte

Hidráulica Básica – Guia de Estudos Vol = Qdt = CdAodt

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2 gh  Vol = ArdH = CdAodt 2 gh  dt =

ArdH

133

(19.14)

2 gh Integrando a equação anterior e considerando uma seção constante Ar, temos

h2

t

∫ =0

dt =

t

ArdH

∫ 1 CdAo

2 gh

h

 t =

h2

Ar CdAo

2g

dH

∫ 1

h

h



t =

CdAo

2 Ar ( h1 − h2 ) CdAo 2 g

(19.15)

19.4 - MEDIDOR VENTURI O medidor Venturi é utilizado para medir vazão em tubos. È uma peça fundida, constituída de uma seção a montante do mesmo diâmetro que o tubo, com um anel piezométrico para medir a pressão estática, de uma seção cônica convergente, de uma garganta cilíndrica contendo um anel piezométrico e de uma seção cônica gradualmente divergente que leva a uma seção cilíndrica com a medida do tubo. Um manômetro diferencial é ligado aos dois anéis.

Figura 19.6 - Tubo de Venturi retangular e circular (Adaptado de Streeter, 1982) No escoamento do tubo para a garganta, a velocidade aumenta e, em correspondência, a pressão diminui. A vazão de um escoamento incompressível é uma função da leitura do manômetro. As pressões na seção a montante e na garganta são pressões reais e as velocidades obtidas a partir da equação de Bernoulli sem o termo das perdas são as velocidades teóricas. Com a consideração das perdas, a velocidade será o valor real. Aplicando-se Bernoulli entre as duas seções do Venturi circular, obtém-se a velocidade teórica, que multiplicada pelo coeficiente Cv será a velocidade real. Esta, multiplicada pela área real da garganta leva a determinação da vazão real. 2

V 1t

2g V 1

+

P1

=

V 2

2

2g

γ 2

2

+h= D2

(

2 g D1

V 2 t

)4

2g

+

P2

γ



Considerando V1D12 = V2D22



Resolvendo a equação em relação a V 2t

(19.16) (19.17)


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134

2

V 2t 

D  P1 − P 2 +h 1 − ( 2 )4  =  γ 2 g  D1 

(19.18)

O plano de referência passa pelo ponto 2. V 1 e V2 são medidas nas seções 1 e 2. V 2t =

2 g[h + ( P1 − P2 ) / γ ] 1 − ( D2 / D1 ) 4

(19.19)

Introduzindo o coeficiente de velocidade V 2t=CvV2 2 g[h + ( P1 − P2 ) / γ ] , 1 − ( D2 / D1 ) 4 Multiplicando-se por A2, a vazão real Q é V 2 a

(19.20)

= Cv

Q = CvA2

2 g[h + ( P1 − P2 ) / γ ] 1 − ( D2 / D1 ) 4

(19.21)

A diferença de altura entre as colunas, R´, pode ser relacionada agora com a diferença de pressão escrevendo-se a equação manométrica. P1

γ

d 1 + (h + k + R´)d 1 − R´do − kd 1

=

P2

γ

d 1 − −− > h +

P1 − P2

γ

= R´(

d 0 d 1

− 1)

(19.22)

Introduzindo este resultado na equação da vazão, temos Q = CvA2

2 gR´(do / d 1 − 1) 1 − ( D2 / D1 ) 4

(19.23)

A vazão depende da diferença de altura R´qualquer que seja a orientação do medidor Venturi; as equações são válidas quer ele seja horizontal ou vertical ou inclinado; O medidor Venturi tem uma perda global baixa devido à seção cônica que se expande gradualmente, o que ajuda na retransformação da alta energia cinética na garganta em energia de pressão. A perda é da ordem de 10 a 15% da diferença da carga de pressão entre 1 e 2.

19.5 - VERTEDORES O fluxo do vertedor corresponde a um caso de escoamento bruscamente variado. A expressão geral para o cálculo da vazão pode ser deduzida a partir da hipótese de que o escoamento mude de fluvial para torrencial na região do vertedor, com a profundidade crítica hc ocorrendo em um ponte de posição indeterminada


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135

19.5.1 Vertedor Retangular Tomando-se como exemplo o vertedor retangular de soleira delga, observa-se que ele tem uma aresta horizontal. O jorro contrai-se em cima e em baixo como mostrado na figura abaixo. Entretanto, para efeito de equacionamento, vamos considerar que não ocorre contração e, posteriormente, voltar ao caso real

Figura 19.7 – Vertedor retangular sem contração lateral Critérios para classificação:  Localização;  Materiais constituintes;  Condições de operação Tipos: função do:  Objetivo  Concepção da barragem  Das vazões de projeto  Das condições geológicas e topográficas da área de projeto Tipos comuns: :  Triangular  Retangular  Tulipa  Sifão Quanto a natureza da parede:  Soleira delgada  se a espessura da parede e for inferior a 2/3 da carga hidráulica H;  Soleira espessa  se for superior a 2/3 da carga hidráulica H;

Figura 19.8 - Tipos de vertedores (Adaptado de Cirilo et al., 2003)


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136

Figura 19.9 - Vertedor de Soleira Espessa (Adaptado de Porto, 1998) Tomando-se como exemplo o vertedor retangular de parede delgada, podemos obter a equação para a vazão como segue: Aplicando a equação de Bernoulli entre 1 e 2 V 2

+ H − y + 0 (19.26) 2g A carga de velocidade na secção 1 é desprezada. Resolvendo em relação a V H + 0 + 0 =

V =

(19.27)

2 gY

A vazão teórica Qt é

∫

H

∫0

H

Q = VdA = VLdy =

2 g L ∫ Y 1 / 2 dY = 2 / 3 2 g LH 3 / 2

(19.28)

0

Onde L é a largura do vertedor. Por experiência, o expoente de H está correto, mas o coeficiente é muito grande. As contrações e perdas reduzem a vazão real a mais ou menos 60% da vazão teórica Q

= 3,33LH 3 / 2 (Unidades Inglesas)

3 / 2

Q = 1,84LH

(Unidades SI)

(19.29)

Quando o vertedor não ocupa toda a largura do canal, aparecem contrações laterais, como ilustrado na figura abaixo. Uma correção empírica para a redução da vazão é conseguida subtraindo-se 0,1H de L para a contração (vertedor com contrações laterais suprimidas)

Figura 19.10 - Vertedor retangular com contração lateral (Adaptado de Streeter e Wylie, 1982)


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137

A carga H é medida a uma distância suficiente a montante do vertedor (3 a 4Hmax) para evitar a contração da superfície. Esta carga é medida com relação a crista do vertedor. Quando a altura P é pequena, a carga de velocidade na seção 1 não pode ser desprezada. Pode-se acrescentar uma correção na carga V 2

)3 / 2

(19.30) 2g V=velocidade; α é maior do que a unidade, geralmente adotado como sendo 1,4, levando em conta a distribuição de velocidades não uniformes; Visto que Q e V são incógnitas, uma primeira tentativa é desprezar o termo αV2 /2g V=Q/(L(P+H)); Q = CL( H + α

19.5.2 - Vertedor triangular Para pequenas vazões o vertedor triangular é particularmente conveniente. Desprezando as contrações do jorro, calcula-se a vazão teórica como segue A velocidade numa profundidade Y é V=(2gY)1/2 e a vazão teórica é H

∫

∫ 0

(19.31)

Q = VdA = Vxdy

Figura 19.11 - Vertedor triangular de parede delgada (Adaptado de Streeter e Wylie, 1982) Pela semelhança de triângulos, pode-se relacionar x com Y H x L L L 4 =  Qt = 2 g ∫ Y 1 / 2 ( H − Y )dy = 2 g H 5 / 2 H − Y H 15 H 0 H

(19.32)

Colocando L/H em função do ângulo φ do vertedor 8 φ φ L = tg  Qt = 2 g tg H 5 / 2 2 15 2 H

(19.33)

O expoente na equação é aproximadamente correto, mas o coeficiente deve ser reduzido de 42%. Sendo assim, para um vertedor de 90º 5 / 2

Qt = 2,5H

(Unidades Inglesas) -

5 / 2

Qt = 1,38H

(Unidades SI)

(19.34)


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138

O coeficiente é aumentado quando se faz o lado de montante do vertedor mais rugoso, o que provoca o aumento da espessura da camada limite.

19.5.3 - Vertedor de Soleira Espessa O escoamento do jorro é tal que a variação de pressão é hidrostática em 2. Bernoulli aplicado entre 1 e 2 pode ser usada para determinar a velocidade V 2 na altura Z, desprezando a velocidade de aproximação

Figura 19.12 - Vertedor retangular de soleira espessa (Adaptado de Streeter e Wylie, 1982) V 2

+ Z + ( y − Z )  V = 2 g ( H − y ) 2g Para um vertedor de largura L, normal ao plano da figura, a vazão teórica é H + 0 + 0 =

Q = V 2 LY = LY

(19.35)

(19.36)

2 g ( H − y )

Tomando dQ/dy e igualando a zero para H constante dQ / dy

= 0 = L 2 g ( H − y ) + Ly

− 2g 1 2 2 g ( H − y)

(19.37)

Resolvendo em y  y=2/3H H=3/2y  V 2

=

(19.38)

gy

Introduzindo o valor de y na equação da vazão Q = V 2 LY = LY

2 g ( H − y)

(19.39)

Qt = 3,09 LH 3 / 2 − > unidades − inglesas − usuais

Por experiência

3 / 2

Qt = 1,705 LH

− > unidades − SI

Difere 2% do valor teórico. O escoamento se ajusta ao máximo valor da vazão, espontaneamente

19.5.4 - Vertedores/extravasor


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139

Para o cálculo da vazão a expressão pode ser deduzida a partir da hipótese de que o escoamento mude de fluvial para torrencial na região do vertedouro, com a profundidade crítica hc ou yc ocorrendo em um ponto de posição indeterminada. A carga H é medida em um ponto mais a montante, afastado da transição. A forma ideal do perfil corresponde à forma tomada pela face inferior de uma lâmina vertente que sai de um vertedor triangular de parede delgada e bem arejado. Entretanto, dada as dificuldades para execução deste tipo de vertedor, este são construídos com crista arredondada. Os mais comuns dos vertedores e, usualmente, os mais econômicos para grandes vazões são os vertedores-extravasores. Estas estruturas são vertedores retangulares, projetados com uma geometria tal que promova o perfeito assentamento da lâmina vertente sobre a superfície do vertedor.

Figura 19.13 - Vertedor extravasor (Adaptado de Cirilo et al., 2003) H + p +

V o

2

2g

= hc + p +

Vc

2

2g

+ ∆h 

2 1hc 2 2 Vo = − > hc = ( H + − ∆h) = He 2g 2 3 2g 3

Vc

2

(19.40)

Para a largura L, sabe-se que a profundidade critica é dada por: hc = 3

Q2 2

gL

−− >Q =

Q = C d Le Ho Le = L − 2nKH

g Lhc 3 / 2 − − > Q = 0,385

2 g LHe3 / 2 − > Q = CLe 2 g Ho3 / 2

(19.41)

3 / 2

(19.42) (19.43)

Figura 19.14 – Coeficiente de contração para diversos formatos de pilares sobre vertedores (Adaptado de Cirilo et al., 2003)


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140

Onde L – largura util (m); n – numero de pilares; K – coeficiente de contração; H – altura da carga (m); Coeficiente de contração – função das características hidrodinâmicas dos pilares; Coeficiente de descarga – varia significativamente segundo o tipo de obra, ou seja, com a forma da soleira, altura de fundo, a inclinação do paramento a montante, do nível de água e da velocidade da água a jusante. Tabela 19.1 - Fórmula para cálculo de vazão em pequenos vertedores (Adaptado de Cirilo et al., 2003)


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141

19.5.5 - Calha Parshall A medição de vazão em condutos livres, particularmente em canais abertos, é um dos problemas mais importantes no estudo da hidráulica aplicada. Entre os inúmeros dispositivos propostos os mais utilizados são os medidores de regime crítico, entre eles as ditas calhas. Nas calhas de medição de vazão, a água é submetida a uma concentração produzida pelas laterais ou pela elevação do fundo do canal ou por ambas. Uma cacterística comum das calhas medidoras é a formação proposital de uma onda de refluxo próximo a sua saída, o que conduz a ima perda de carga correspondente três a quatro vezes menor que a que seria observada em um vertedor de mesma capacidade. Entre estes dispositivos de medição um dos mais populares é o medidor Parshall ou vertedor parshall, inventado pelo engenheiro americano do Serviço de Irrigação do Departamento de Agricultura dos Estados unidos, Ralph Leroy Parshall (1881-1960), que o criou com base nos estudos de Venturi. Desenvolvido em tamanhos padronizados de 3" até 10', largura nominal "W" de sua garganta, hidraulicamente é um tipo de medidor Venturi. Inicialmente destinado a aplicações em canais de irrigação, este medidor de vazões passou a ser conhecido como Calha Parshall, em honra ao seu criador, e hoje é freqüentemente empregado além da função original, também como um efetivo misturador de soluções químicas nas estações de tratamento de água. A calha Parshall é um dispositivo de medição de vazão na forma de um canal aberto com dimensões padronizados. A água é forçada por uma garganta relativamente estreita, sendo que o nível da água à montante da garganta é o indicativo da vazão a ser medida, independendo do nível da água à jusante de tal garganta. A Tabela 1 mostra os valores padronizados da largura da garganta da calha Parshall bem como de outras dimensões da calha.

Figura 19.15 – Esquema de uma calha Parshall convencional (Adaptado Medeiros Filho, 1998)


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Figura 19.16 – Dimensionamento de uma calha Parshall convencional

142

APOSTILA_HIDRÁULICA_SERGIPE

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