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APOSTILA DE VIBRAÇÕES MECÂNICAS
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1. INTRODUÇÃO
Vibração Mecânica é o estudo dos movimentos oscilatórios. Trata-se de um tem lógico, explicável através de princípios básicos da mecânica. Seus conceitos matemático são todos eles associados à fenômenos físicos que podem ser experimentados e medidos, é um assunto em constante progresso tecnológico. Se o centro de massa de um corpo oscila ou inverte o seu sentido de movimen periodicamente, dizemos que este corpo está vibrando. Todo sistema mecânico dotado d massa e elasticidade é capaz de vibrar. O objetivo de um projetista é controlar a vibração quando esta é desagradável aumentar a vibração quando esta é útil, entretanto as vibrações, na sua maioria, s indesejáveis. Exemplo: Projeto de máquinas ⇔ diagnose de máquinas
• • •
•
• •
Algumas definições importantes são: Vibração Livre: ocorre quando o sistema vibra com a ação de forças internas, se a existência de forças externas, apenas sujeito a uma condição inicial. Vibração Forçada: ocorre quando o sistema vibra com a ação de forças externas. Vibração Linear: os coeficientes da equação diferencial do movimento s invariantes ou a sua variação é relativamente pequenas para a maioria dos casos. princípio da superposição é válido. Vibração Não-Linear: os coeficientes da equação diferencial do movimento s variáveis com algum parâmetro do sistema em estudo. O princípio de superposiçã não é válido. Vibração Aleatória: é aquela na qual o valor instantâneo de um dado parâmetro e Sign up to vote on this title qualquer tempo futuro não é determinístico e sim probabilístico. Useful Not useful Freqüência Natural: é a freqüência na qual um dado sistema responde livremente uma dada condição inicial, sem a ação de forças externas.
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1. INTRODUÇÃO
Vibração Mecânica é o estudo dos movimentos oscilatórios. Trata-se de um tem lógico, explicável através de princípios básicos da mecânica. Seus conceitos matemático são todos eles associados à fenômenos físicos que podem ser experimentados e medidos, é um assunto em constante progresso tecnológico. Se o centro de massa de um corpo oscila ou inverte o seu sentido de movimen periodicamente, dizemos que este corpo está vibrando. Todo sistema mecânico dotado d massa e elasticidade é capaz de vibrar. O objetivo de um projetista é controlar a vibração quando esta é desagradável aumentar a vibração quando esta é útil, entretanto as vibrações, na sua maioria, s indesejáveis. Exemplo: Projeto de máquinas ⇔ diagnose de máquinas
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Algumas definições importantes são: Vibração Livre: ocorre quando o sistema vibra com a ação de forças internas, se a existência de forças externas, apenas sujeito a uma condição inicial. Vibração Forçada: ocorre quando o sistema vibra com a ação de forças externas. Vibração Linear: os coeficientes da equação diferencial do movimento s invariantes ou a sua variação é relativamente pequenas para a maioria dos casos. princípio da superposição é válido. Vibração Não-Linear: os coeficientes da equação diferencial do movimento s variáveis com algum parâmetro do sistema em estudo. O princípio de superposiçã não é válido. Vibração Aleatória: é aquela na qual o valor instantâneo de um dado parâmetro e Sign up to vote on this title qualquer tempo futuro não é determinístico e sim probabilístico. Useful Not useful Freqüência Natural: é a freqüência na qual um dado sistema responde livremente uma dada condição inicial, sem a ação de forças externas.
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As soluções de uma grande quantidade de problemas de vibrações na engenhar podem ser resolvidos com uma precisão satisfatória, equacionando-se os sistemas co apenas um grau de liberdade. Na elaboração de um modelo teórico de um dado sistema mecânico, existe semp uma aproximação do real com o teórico, nem todos os efeitos são levados em consideraçã pois assim teríamos um modelo perfeito. O que se faz é um modelamento visando atingir objetivos da análise de algum fenômeno especial.
Exemplo: modelamento simplificado da suspensão de um automóvel. 1.1. Elementos de um Sistema Vibratório
Todo sistema pode ser idealizado e composto de massa, mola e amortecedor . A massa é assumida ser um corpo rígido. Ela pode vibrar, assim armazena o dissipa energia cinética de acordo com a variação da posição e velocidade da massa. força produzida pelo deslocamento da massa é a força de inércia, a qual manifestaobedecendo a 2ª lei de Newton. A mola possui elasticidade e sua massa normalmente é desprezada. A força da mo só existe se a mola for estendida ou comprimida e o trabalho realizado por ela transformado em energia potencial ou cinética e a qual obedece a lei de Hooke, segund uma proporcionalidade dada pela constante de mola. O amortecedor não possui nem massa e nem elasticidade. O amortecimento existe se existir movimento relativo entre duas partes do sistema que se atritam. A energ dissipada pelo amortecedor é transformada em calor e o amortecimento é dito visco quando a força aplicada é proporcional a velocidade.
1.2. Movimento Harmônico
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Quando o intervalo de tempo das repetições do movimento forem iguais, diz-se d iz-se q
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A forma mais simples de movimento periódico é o movimento harmônico simpl (mhs). O movimento harmônico simples pode ser ilustrado por meio de uma mas suspensa de uma mola.
x A
t
T
As grandezas associadas ao movimento harmônico são dadas pelas seguint relações:
x ( t ) = Asenωt , x& ( t ) = Aω cos ωt , &x&( t ) = − Aω2 senωt ,
onde A é a amplitude de oscilação e ω =
2π é a freqüência angular do movimento, sen T Sign up to vote on this title
T o período de oscilação. Useful Not useful Uma outra forma de se definir um movimento harmônico é através da projeç numa linha reta de um vetor girante com uma velocidade angular constante:
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ω.t = 2π ⇒ ω =
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2π . T
Se adotarmos um eixo imaginário i para descrever o movimento de um ponto P e uma circunferência e admitindo que o raio da circunferência seja representado por um quantidade complexa z, chamada de fasor. Podemos escrevê-la como:
z = Aeiθ = Acosθ + iAsenθ , onde θ = ωt . You're Reading a Preview Definindo os componentes real e imaginário da equação z na forma: Unlock full access with a free trial.
R e (z ) =With Acos ω .tTrial , Download Free I m (z ) = Asenω .t .
Considerando dois movimentos harmônicos com a mesma freqüência, m defasados de um ângulo de fase φ, temos os fasores
z1 = A1 .e iω .t , +φ) z 2 = A 2 .ei (ω.tSign , to vote on this title up
onde A1 e A2 são números reais.
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Análise Harmônica
É comum a existência simultânea de vibrações com várias freqüências diferente “Na prática a maioria das vibrações são compostas de várias freqüências e vári amplitudes”. O matemático francês J. Fourier (1768-1830) mostrou que qualquer movimen periódico complexo pode ser representado por uma série de senos e co-sen harmonicamente relacionados. Se x(t) é uma função periódica no tempo, então ela pode s escrita segundo a série de Fourier:
a0 + a1 cos ωt + a 2 cos 2ωt ... + a n cos nωt + ... 2 + b1senωt + b 2sen 2ωt + ... + b n sennωt, x(t) =
onde
ω
=
2π é chamada de freqüência fundamental. T You're Reading a Preview
Multiplicando ambos os lados da equação (1.4) por cosnωt e sennω Unlock full access with a free trial. integrando cada termo sobre o período T, obtém-se: Download With Free Trial T
a0 =
2 x ( t ).dt , ∫ T0
ω π / 2 an = x ( t ). cos nωt.dt , ∫ π − π / 2 ω1 π / 2 bn = x ( t ).sennωt.dt π − π∫ / 2 Sign up to vote on this title .
Voltando a série de Fourier, obtemos;
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cn
bn
φn an Do triângulo pode-se expressar
senφ n =
cos φ n =
bn a 2n
+ b 2n
an a 2n
+ b 2n
,
,
You're Reading 2a Preview c n = a n + b 2n , Unlock full access with a free trial.
b Download tgWith φ n =Freen Trial . an Substituindo as equações (1.6), (1.7) e (1.8) na equação (1.5) obtemos;
c n (cos φ n . cos nωt + senφ n sennωt ) = c n . cos(nωt − φ n ) . Sign up to vote on this title
A série de Fourier, então, pode ser escrita da seguinte forma;
()
a0
cos(
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φ )
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Propriedades do Movimento Oscilatório
Certas propriedades do movimento oscilatório são de grande interesse na medida d vibração. As mais importantes são:
• Valor de Pico: indica o valor máximo da grandeza em estudo de que es submetido um sistema vibrante.
• Valor Médio: indica o valor estável ou estático do movimento. Pode s determinado pela integração
1T x = lim ∫ x ( t ).dt . T →∞ T 0
• Valor Quadrático Médio: é a média dos valores quadráticos, integrados n limites de algum intervalo de tempo T, o qual é associado a energia de vibração.
1T 2 2 = lima Preview x ( t ).dt . You'rexReading T →∞ T 0
∫
Unlock full access with a free trial.
• Raiz da Média Quadrática: é a raiz quadrada da media quadrática.
With Freeno Trial • Espectro da Freqüência:Download é a representação domínio da freqüência de um sin no tempo, podendo este possuir várias freqüências.
No caso de um movimento periódico, o espectro de freqüência é constituído de um série de retas traçadas a partir dos pontos que marcam os múltiplos inteiros da freqüênc fundamental, conforme definidos pela série de Fourier. Sign up to vote on this title
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cn
ω 2ω 3ω
nω
ω
EXEMPLO 1: Um acelerômetro indica que uma dada estrutura está vibrando a 82 cps sua amplitude máxima de aceleração é de 50 [g]. Determinar a amplitude máxima vibração. Reading a Preview ] f = 82cps ⇒ ω = 515,2[rad / sYou're
a máx = 50g = 490,5[m / s 2 ] x ( t ) = Asenω.t x& ( t ) = Aω cos ω.t
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&x&( t ) = −Aω2 senω.t = 490,5
A=
490,5 −3 [m] ⇒ = × A 1 , 847 10 2 (515,5) Sign up to vote on this title
EXEMPLO 2: Determinar a série de Fourier e o espectro de freqüência de um conjunto Useful Not useful pulsos retangulares como mostrado.
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Fazendo: β = ω.t ⇒
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dβ dβ = ω ⇒ dβ = ω.dt ⇒ dt = ω dt
Calculando a 0 , a n e b n :
ωT a 0 = ∫ x ( t )dt π0 ω T dβ 1 π 1 a 0 = ∫1. = β = (π − 0 ) ⇒ a 0 = 1 π0 ω π 0 π ω T / 2 an = x ( t ). cos nω.t.dt π − T∫ / 2 1π ω π x(t) an = ∫ . cos nβ.dβ = ∫ x ( t ).cos nβ.dβ π0 ω π0 π
1 sennβ 1 an = . a n Reading = .sennπ ⇒ =0 You're a Preview π n 0 nπ Unlock full access with a free trial.
ω T / 2 bn = x ( t ).sennω.t.dt π − T∫ / 2
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π
1 T / 2 1 cos nβ 1 [cos nπ − 1] β β = − = − bn = x ( t ). senn . d . π − T∫ / 2 π n 0 nπ p / n par ⇒ b n = 0 1 [1 − cos nπ] 2 nπ ⇒ p / n ímpar b = n Sign up to vote on this title nπ
tgφ =
bn
→ ∞ ∴⇒ φ = 90°
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Portanto, a série de Fourier fica;
1 2 x ( t ) = + cos(nω.t − 90°) 2 nπ 1 2 x ( t ) = + .[cos nωt. cos 90° + sennωt.sen90º ] 2 nπ 1 2 x ( t ) = + sennωt 2 nπ O espectro da freqüência
cn 2/π 2/3π 2/5π 2/7π
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
π 3π 5π 7π
ωt
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1.5.
Constantes de Rigidez • Molas Flexionais : são molas resistentes a deslocamentos de translação.
K x0 M
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M x0
L/2 L
PL3 x 0 = 48EI
⇒
K=
P P = 3 x 0 PL 48EI
⇒ K =
48EI . 3 L
• Molas Torcionais: são molas resistentes a deslocamentos de torção. You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Kt Trial L Download With Free O
φ
φ=
Jp
Sign up to voteGon .Jpthis title
Mt.L Mt Mt Kt = Not useful ⇒ Kt = = , Useful ⇒ Mt . L L G.Jp φ G.Jp
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Associação de Molas em PARALELO
K1
K2
K3
Kn
M
P = F1 + F2 + F3 + K + Fn K eq x 0 = K1x 0 + K 2 x 0 + K 3 x 0 + K + K n x 0 ∴⇒ K eq = K1 + K 2 + K 3 + K + K n . You're Reading a Preview
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Associação de Molas em SÉRIE
K1 K2 K3
Kn You're Reading a Preview M Unlock full access with a free trial.
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x 0 = x1 + x 2 + x 3 + K + x n P P P P P = + + +K+ K eq K1 K 2 K 3 Kn 1 1 1 1 1 = + + +K+ ∴⇒ . K eq K1 K 2 K 3 Kn Sign up to vote on this title
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2. SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE
A equação diferencial do movimento (EDM) de um sistema com um grau d liberdade pode ser escrita com apenas uma coordenada. Os elementos que compõem os sistemas mecânicos, aqui apresentados, serã admitidos operando na região linear.
Mola
Amortecedor
F
F
Κ
c
x
x
∆F You're Reading a Preview ∆F K = [N m]full access with a free trial. c = [Ns m = kg / s] Unlock ∆x ∆x& F = Kx Fc = cx& Download With Free Trial
• Sistema Flexional Completo:
K
M F senωt
Kx
c
cx
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F0senωt
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onde:
F0senω.t : Força externa excitadora, Kx : Força de mola (restauradora), cx& : Força de amortecimento (dissipadora), M&x& : Força de inércia. • Sistema Torcional Completo:
Kt T0senωt
O
θ
Jp
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
∑
&θ& Trial DownloadTWith = J pFree && T 0 sen ω .t − ct θ & − K t θ = J pθ && + c θ & + K θ = T sen ω .t . J pθ t t 0
onde:
J p : momento de inércia polar de massa, && : torque de inércia, J pθ
ct θ & :
torque de amortecimento,
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2.1 Vibrações Livres Não-Amortecidas Considerando o movimento do sistema massa-mola
K
posição de mola em repouso
x0 x
M M
posição de eqüilíbrio estático
∑ F = M&x& P Reading − Kx 0 −a Kx = M&x& , You're Preview Unlock full access with a free trial.
sendo P = Kx 0 , então, a equação diferencial do movimento (EDM) será Download With Free Trial
M&x& + Kx = 0 . Adotando a solução da equação (2.1) da forma;
x ( t ) = Asenω.t + B cos ω.t . onde A e B são constantes que dependem da condição inicial de vibração do sistema. Sign up to vote on this title
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Derivando a posição podemos obter a velocidade e aceleração; x& ( t ) = Aω cos ω.t − Bωsenω.t ,
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Mω2 (Asenω.t + B cos ω.t ) = K ( Asenω.t + B cos ω.t ) Mω2 = K Da expressão acima obtém-se a freqüência natural do sistema de um grau de liberdade;
ωn =
K . M
(2.
O sistema livre não amortecido, quando posto em movimento, vib indefinidamente com a freqüência natural. A resposta do sistema no tempo será:
x ( t ) = Asenωn t + B cos ωn t K K You're Reading Preview x ( t ) = Asen t + Bacos t. M M Unlock full access with a free trial. Download WithdeFree Trial Supondo as seguintes condições iniciais vibração:
x (0) = x i e x& (0) = x& i , e substituindo-as nas equações (2.2) e (2.3), respectivamente, definimos:
x (0) = x i = Asen0 + B cos 0 ∴⇒ B = x i ,
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x& (0) = x& i = Aωn cos 0 − Bωn sen 0 ∴⇒ A =
ω
.
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A freqüência natural pode ser escrita de uma outra forma:
K Mg , se: P = Mg = K.x 0 ⇒ K = , x0 M g Mg ∴⇒ ωn = então: ωn = , x0 Mx 0
ωn =
ou, da seguinte forma:
f n =
1 K 1 g 1 = ωn ∴⇒ f n = 2π M 2π x 0 2π
Assim, podemos escrever a freqüência natural de um sistema em função de deflexã estática do mesmo. No caso de sistemas torcionais, a 2 a Lei de Newton deve ser substituída por: You're Reading a Preview
∑T = J θ
&& Unlock full access with a free 0 trial. Download With Free Trial
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
EXEMPLO 1: Determinar a freqüência natural de um sistema massa-mola não-amortecid pelo método da energia, considerando um sistema conservativo.
d d (E T ) = 0 ⇒ ( E C + E P ) = 0 ∴⇒ E C, máx = E P, máx dt dt Sign up to vote on this title como x = Asenω.t e x& = Aω cos ω.t Useful Not useful 1 1 E C max = Mx& máx = M( Aω) 2 1 1
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EXEMPLO 2: Determinar a freqüência natural de um sistema torcional não-amortecid pelo método da energia, considerando um sistema conservativo.
θ = Θsenω.t e θ& = Θω cos ω.t d d (E T ) = 0 ⇒ ( E C + E P ) = 0 ∴⇒ E C, máx = E P, máx dt dt 1 1 E C, max = J 0 θ& máx = J 0 (Θω) 2 1 2 2 2 Kt 2 2 1 2 ⇒ J 0 Θ ω = K t Θ ∴⇒ ωn = 1 1 2 2 J0 E P max = K t θ máx 2 = K t Θ 2 2 2
EXEMPLO 3: Uma massa M1 suspensa por uma mola de rigidez K está em equilíbr estático. Uma segunda massa M 2 cai de uma altura h e junta-se a M 1 sem ressaltar, com indicado na figura. Determinar o movimento subseqüente do sistema.
K
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M
Unlock full access with a free trial.2
h
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M1
Após a queda da massa M 2, o sistema assume a seguinte configuração:
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A equação diferencial do movimento é,
(M1 + M 2 )&x& + Kx = 0 ⇒ &x& +
K K x = 0 ∴⇒ ωn 2 = (M1 + M 2 ) (M1 + M 2 )
Da figura temos que x(0) = x12 − x1
x (0) = −
( M1 + M 2 )g M1g M g + ∴⇒ x (0) = − 2 K K K
Da conservação da quantidade de movimento, temos:
M 2 x& 2 + M1x& 1 = (M1 + M 2 )x& 12 1 mas: M 2 gh = M 2 x& 22 ∴⇒ x& 2 = 2gh 2 e x& 1 = 0 portanto: M 2 2gh
You're Reading a Preview M 2 2gh & & ⇒ = (M1 + MUnlock ∴ = ) x x 2 12 full access with12a free trial. M1 + M 2
A resposta subseqüente é do tipo:Download With Free Trial
x ( t ) = Asenωn t + B cos ωn t para x (0) = Asen0 + B cos 0 = −
M 2g M g ∴⇒ B = − 2 K K
x& ( t ) = Aωn cos ωn t − Bωn senωn t para x& (0) = Aωn cos 0 − Bωn sen 0 = Por fim:
Sign up to vote on Mthis title 2gh
M 2 2gh ∴⇒ A = Not2useful Useful ωn ( M 2 + M 2 ) M2 + M2
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EXEMPLO 4: Um motor elétrico é suportado por 4 molas, cada constante de mola é K. momento de inércia do motor em relação ao seu centro de rotação é J. Determinar freqüência natural de vibração.
θ
K
K a
a
∑ T = J&θ& ⇒ − 2 K θ.a 2 − 2 K θ.a 2 = J&θ& 4Ka 2 You're Reading a Preview θ=0 J Unlock full access with a free trial. 2 4 Ka K ω2n = ∴⇒ ωn = 2a J J Download With Free Trial J&θ& + 4Ka 2 θ = 0 ⇒ &θ& +
EXEMPLO 5: Um densímetro flutuador, indicado na figura, é utilizado para medir o pe específico dos líquidos. O seu peso é de 0,1 [N] e o diâmetro da parte cilíndrica da has que se estende acima da superfície é de 5 [mm]. Determine o período de vibração quand se deixa o aparelho balançar para cima e para baixo em um fluido de massa específi 1,2 × 10-6 [kg/mm3]. Sign up to vote on this title
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∑ F = M&x& ⇒ −Fempuxo = M&x& π.d 2 M&x& + ρ.g.x = 0 4 π.d 2ρ.g π.d 2ρ.g 2 &x& + x = 0 ∴⇒ ωn = 4M 4M π(5 × 10 −13 ).1,2 × 103 × 9,81 2 ⇒ ωn = 4,76[rad ] ωn = s 0,1 4× 9,81 ω 4,76 ⇒ f n = 0,7579[Hz] f n = n = 2 π 2π 1 1 ⇒ Tn = 1,32[s] Tn = = f n 0,7579
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2.2. Vibração Forçada Não-Amortecida CASO 1: Considerar um sistema massa-mola excitado por uma força harmônica.
Fosenωt
x
M K
∑ F = M&x& F0senω.t − Kx = M&x& . You're Reading a Preview
A equação diferencia do sistema é dada por:
Unlock full access with a free trial.
&x& + kx = F0 senωt . MDownload With Free Trial
Onde a solução é da forma:
x ( t ) = Asenωn t + B cos ωn t + Xsenωt . Observações: Sign up to vote on this title
1. Os dois primeiros termos são solução da equação homogênea, na qual temos massa vibrando livremente na sua freqüência natural. Esta vibração é transitória Useful
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Então a solução será:
x ( t ) = Xsen ωt ,
(2.1
x& ( t ) = Xω cos ωt ,
(2.1
&x&( t ) = − Xω2
sen ωt .
(2.1
Substituindo as equações (2.10), (2.11) e (2.12) na EDM, equação (2.8), teremos:
− MXω2senω.t + KXsenω.t = F0senω.t F K − Xω2 + X = 0 M M K 2 F X −ω = 0 M M F0 a Preview You're Reading M . X= Unlock full access K with a2free trial. −ω M Download With Free Trial
A resposta subseqüente do sistema será, portanto
F0
x(t) =
onde ωn
2
K = . M
M .senω.t , (ω2n − ω2 )
(2.1
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ANÁLISE E DISCUSSÃO DA AMPLITUDE
F0
X=
Fazendo η =
F0
M = K 2 K 2 ω − ω 1− M ω2
ω , temos: ωn FA =
X 1 = , 2 F0 1− η K
(2.1
onde FA é chamado fator de ampliação. Observações:
You're Reading a Preview
F
0 ; a free trial. X→ 1. Se η → 0 ⇒ FA → 1 e Unlock full access with
K 2. Se η → 1 ⇒ FA → ∞ e X → ∞ ∴⇒ RESSONÂNCIA ( ω → ω n ); Download With Free Trial 3. Se η >> 1 ⇒ FA → 0 e X → 0 .
CASO 2: Considerar um sistema massa-mola excitado verticalmente por uma for provocada pelo deslocamento circular de uma massa m em torno de um centro de rotação.
ωont this title F(t) = mrSignωup² sen to vote
r ωt
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∑ F = M&x& mrω2senω.t − Kx = M&x& A equação diferencia do movimento e da forma:
M&x& + Kx = mrω2senω.t ,
(2.1
cuja solução é idêntica ao caso 1
mrω2 mr 2 F0 .η 2 ω X = K2 = n 2 = M 2 1− η 1− η 1− η
η2 MX = . mr 1 − η2
(2.1
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Observações:
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1. Se η → 0 ⇒ MX
0 e X → 0 ; Download With Free Trial mr → 2. Se η → 1 ⇒ MX mr → ±∞ e X → ∞ ∴⇒ RESSONÂNCIA ( ω → ω n 3. Se η >> 1 ⇒ MX
mr → −1;
4. Para η < 1 as amplitudes são positivas, força excitadora e deslocamento estão e fase. 5. Para η > 1 as amplitudes são negativas, força excitadora e deslocamentoestão e Sign up to vote on this title defasadas de 180 o:
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F( t ) = F0senωt ⇒ x(t) = Xsenωt = Xsen(ωt + 180o )
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EXEMPLO 6: Um veículo pesa 8.900 [N] e na condição estática comprime suas molas 7,62 [cm]. Determine a velocidade crítica do veículo em [km/h], quando o mesmo trafe em uma estrada cujo piso tem uma ondulação de amplitude senoidal de 1,27 [cm] comprimento de onda 15,24 [m].
x 0 = 7,62cm = 7,62 × 10 −2 [m] A est = 1,27 × 10 − 2 [m] , λ est = 15,24[m] g 9,81 ω2n = = ∴⇒ ωn = 11,35 rad s − 2 x 0 7,62 × 10 ω 11,35 f n = n = = 1,806[Hz] 2π 2 π V = λ est f n = 15,24 × 1,806 = 27,5 m s ≅ 100 Km h
EXEMPLO 7: Um motor de 50 [kg] de massa opera a 1.800 [rpm] e está apoiado sob molas, cuja constante equivalente é de 250 [KN/m]. Calcular a deflexão máxima das mol You're Reading a Preview a partir da posição de equilíbrio devido a uma massa excêntrica relativa de 8 [kg] com um excentricidade de 0,122 [mm]. Unlock full access with a free trial. Download With Free Trial
2π 2π ω = N = 1800 = 188,5[rad s] 60 60 K 25000 ω2n = = ⇒ ωn = 22,36[rad s] M 50 2
2
ω 188,5 η = = ∴⇒ η2 = 71,07 ωn 22,36 2
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50X 71,07 Useful Not useful η2 MX ⇒ = = ∴⇒ X = −1,98 × 10 −5 [m] 4 − 2 mr 1 − η 1 − 71,07 8 × 1,22 × 10
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EXEMPLO 8: Uma máquina de médio porte de massa 500 [kg] deve trabalhar a 1.20 [rpm]. Determinou-se experimentalmente a força excitadora que é de F0 = 0,5 ω2 [N]. Pa
realizar a sustentação elástica da máquina dispõe-se de molas com iguais constantes de 70 [KN/m]. Determinar: a) o número de molas que deve ser empregado para que o fator amplificação seja aproximadamente igual a 9 e a 1/9; b) a amplitude X do sistema pa ambos os casos.
ω=
2π 2π N = 1200 = 125,66[rad s] 60 60
X =9 F0 K 1 1 FA − 1 9 − 1 2 ⇒ η = − = = = 0,889 ∴⇒ η = 0,943 FA = 1 2 FA FA 9 1− η ω 125,66 ωn = = = 133,26[rad / s] You're Reading a Preview η 0,943 Unlock access a free = full K eq = ωn 2 M = (133,26) 2 × 500 8879 ,1[with kN / m]trial.
a) FA =
Download With Free Trial
K eq 8879,1 = = 12,7 ∴⇒ n = 13 n° de molas = n = K 700 b) FA =
X 1 =− F0 9 K
1 1 FA − 1 − 19 − 1Sign up to vote on this title 2 ⇒ η =1− 3,16 = = η =useful FA = 10 ∴⇒ =Useful Not 2 1 FA FA 1− η − 9 ω 125 66
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c) Para FA = 9:
nK 13.700 × 103 = = 134,91[rad / s] (ωn ) real = M 500 ω 125,66 η= = = 0,931 ∴⇒ η2 = 0,865 (ωn ) real 134,91 1 1 = = 7, 4 (FA) real = 2 1 − 0,865 1− η X 7,4 × 0,5 × (125,66) 2 −3 = 7, 4 ⇒ X = = × [m] = 6,42[mm] ⇒ X 6 , 42 10 3 F0 13 × (700 × 10 ) K Para FA = -1/9:
nK 1.700 × 10 3 = = 37,42[rad / s] (ωn ) real = M 500 You're Reading a Preview ω 125,66 η= = = 3,36 ∴⇒ η2 = 11,3 (ωn ) real 37,42 Unlock full access with a free trial. 1 1 = = −0,097 (FA) real = 2 1 − 11,3 Download With Free Trial 1− η − 0,097 × 0,5 × (125,66) 2 X = −0,097 ⇒ X = ⇒ 3 F0 1 × (700 × 10 ) K X = −1,09 × 10 −3 [m] = −1,09[mm] Sign up to vote on this title
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2.3 Vibração Livre Amortecida Dado o sistema livre e amortecido, tal que F(t)=0.
c
K M
x
Considerando amortecimento viscoso, a equação do movimento é expressa d seguinte forma:
∑ F = M&x& − Kx − cx& a= Preview M&x& You're Reading
&x& + cx& + Kx = 0 , MUnlock full access with a free trial.
(2.1
onde c é chamado constante de amortecimento linear. Download With Free Trial Admitiremos a solução tradicional para a EDM:
x (t ) = xest , x& ( t ) = csest
2 st e &x&( t ) = cs e ;
onde s é uma constante. Substituindo na EDM, equação (2.17), temos:
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(Ms 2 + cs + K )est = 0 ∴⇒ s 2 +
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c K s + = 0. M M
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A solução geral será, então:
x ( t ) = Aes t + Bes t , 1
2
onde: 2
2
c c K c c K + − e s2 = − s1 = − − − . 2M 2 M M 2 M 2 M M Portanto, c c K − − t 2 M 2 M M e Ae 2
x(t) =
2
+ Be
c K − − 2 M M
.
You're Reading a Preview
Para s1 = s 2 :
Unlock full access with a free trial.
2
Download With Free 2 Trial
2
c K c c K c c K ∴⇒ − + =− − − − = =ω 2M M 2M M M 2M 2M 2M define-se, portanto, o coeficiente de amortecimento crítico c c :
c c = 2 Mω n . Sign up to vote on this title
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(2.1
É conveniente expressar qualquer amortecimento em termos do amortecimen crítico, por meio do fator de amortecimento ξ:
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c c ⇒ ξωn = , 2Mωn 2M
ξ= então, podemos escrever:
2
c c K 2 2 ± s1, 2 = − − = −ξωn ± (ξωn ) − ωn ) 2M M 2M
s1,2 = ωn − ξ ± ξ 2 − 1 . Por fim, a solução geral se transforma em:
x(t) = e
− ξω n t
Ae
ω n (− ξ ± ξ 2 −1 ).t
+ Be
− ω n (− ξ ± ξ 2 −1 ).t
.
(2.2
A situação de amortecimento pode ser discutida em três casos, conforme You're Reading a Preview maior, igual ou menor que 1. Unlock full access with a free trial.
CASO 1 - Movimento Não-Oscilatório ( ξ > 1) ⇒ Super- amortecido Download With Free Trial
O radical será real e positivo. A solução será um movimento amortecid exponencialmente decrescente:
x ( t ) = Ae(− ξ +
ξ 2 −1 )ω n t
+ Be(−ξ −
x
A
ξ 2 −1 )ω n t
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(−ξ+√ξ
Ae
1)ωnt
Useful
(2.2
.
Not useful
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CASO 2 - Movimento Amortecido Criticamente ( ξ = 1 ) ⇒ Amortecimento Crítico A solução terá duas raízes iguais e estas se combinam para formar apenas um assim:
x ( t ) = ( A + B).e − ξω t = C.e − ξω t . n
x
(2.2
n
x(0) > 0 x(0) = 0
ωnt
O
x(0) < 0 You're Reading a Preview
< 1access Sub-amortecido ( ξ full ) ⇒ with CASO 3 - Movimento Oscilatório Unlock a free trial. Como ξ < 1, então
Download With Free Trial
ξ 2 − 1 assumirá valores complexos. Podemos escrever:
ξ 2 − 1 = − 1. 1 − ξ 2 = i 1 − ξ 2 ∴⇒ s1, 2 = ωn − ξ ± i 1 − ξ 2 . A solução será: −ξω nt
x(t ) = e
C 1.sen
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1−ξ 2ω nt +C 2.cos 1−ξ 2ω Useful nt
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x
Xe−ξωnt
X Xsenφ
ωnt
O
O valor ωn 1 − ξ 2 é chamado de freqüência natural amortecida ωd .
ωd =
2π = ωn 1 − ξ 2 Td
2.3.1. Redução da Amplitude ouYou're Decremento ReadingLogarítmico a Preview Unlock full access with a free trial.
A medida da taxa de decréscimo das amplitudes das oscilações livres amortecidas um meio para se determinar o amortecimento presente em um dado sistema. Quanto mai Download With Free Trial o amortecimento, maior a taxa de decréscimo. O decremento logarítmico δ é definido como o logaritmo natural do quociente duas quaisquer amplitudes consecutivas.
x X Xsenφ O
Xe−ξωnt A tn
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B Useful tn+1
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ωnt
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− ξω ( t = x Xe no ponto B : n +1 n
tal que t n +1
n
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Exercícios Resolvidos de
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+ Td )
,
= t n + Td .
Fazendo:
xn Xe − ξω t = −ξω ( t + T ) = Xe ξω T x n +1 Xe n n
n
n
n
d
d
.
Da definição de decremento logarítmico:
δ = ln mas como: Td
=
2π
ωn 1 − ξ 2
xn = ξωn Td , x n +1
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, então:
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Download With Free Trial
δ=
2πξ
(2.2
1 − ξ2
Quando ξ for muito pequeno,
1 − ξ 2 ≈ 1 e, portanto, podemos obter
decremento logarítmico pela aproximação:
δ ≈ 2πξ .
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EXEMPLO 9: Um sistema amortecido possui k = 3,2 × 104 [lbf/in], P = 20 [lb] e c Download Trialé de 1.000 [in/s], determinar 3,2× 103 [lbf.s/in]. Se a velocidade inicialWith do Free sistema deslocamento em função do tempo (movimento subseqüente).
K 3,2 × 10 4 ωn = = = 40[rad / s] M 20 c 3,2 × 103 ξ= = = 2 > 1 ∴⇒ Superamortecido 2Mωn 2 × 20 × 40 Sign up to vote on this title s1, 2 = ωn − ξ ± ξ 2 − 1 ⇒ s1, 2 = −80 ± 40 3
()
st
st
ξ
ξ2
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2ª. C.I.
x& (0) = 1000 , x& (t ) = A (− 80 + 40 3 )e (−80+ 40 3 )t − (− 80 − 40 3 )e (−80−40 1000 25 = 1000 = (− 80 + 40 3 + 80 + 40 3 )A ⇒ A = 3 6 80 3 25 3.e −80 t (e 40 3t − e − 40 3t ) então: x (t ) = 6
EXEMPLO 10: Um sistema massa-mola amortecido, com massa de 20 [lb] e coeficien de mola de 13,73 × 103 [lbf/in], possui um amortecimento viscoso que exerce uma força 188,64 [lbf] sobre a massa, quando esta tem uma velocidade de 1 [in/s]. Determine constante de amortecimento crítico, o decremento logarítmico e a razão entre dois máximo consecutivos.
13,73 × 103 = ⇒ ωn = 26,2[rad s] 20 c c = 2Mωn ⇒ c c = 2 × 20 × 26 ,2 = Reading 1048,0[albf .s in ] You're Preview F 188,64 Unlock full access with a free trial. ⇒ c = 10[lbf .s in ] Fc = cx& ⇒ c = = x& 1,0 c c 188,64 Download With Free Trial ξ= = = ⇒ ξ = 0,18 c c 2Mωn 2 × 20 × 26,2 2πξ 2π(0,18) δ= = ⇒ δ = 1,15 2 2 1− ξ 1 − (0,18) x n +1 x n +1 − δ −1,15 =e =e = 0,32 ⇒ xn xn
ω2n
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2.4. Vibrações Forçadas Amortecidas
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K
c
M
x
F0senωt A equação diferencial do movimento é:
∑ F = M&x& ⇒ −Kx − cx& + F0senω.t M&x& + cx& + kx = F0senω.t ,
(2.2
Como no sistema forçado não-amortecido, a solução é composta da soluç homogênea e da solução particular devido a força excitadora do sistema. Assim: You're Reading a Preview
s t full access t a free trial. + Be s with + Xsen (ω.t − φ) x ( t ) = AeUnlock 1
2
Download With Free Trial
Sabemos que a solução homogênea é uma solução transiente e pode ser desprezad Assim, podemos considerar como solução da equação diferencial apenas a solução d particular.
x ( t ) = Xsen(ω.t − φ) , x& (t ) = Xω cos(ω.t − φ) , Sign up to vote on this title 2 &x&( t ) = −Xω sen (ω φ) . Not useful .t −Useful
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sen (ω.t − φ) = senω.t. cos φ − senφ. cos ω.t , cos(ω.t − φ) = cos ω.t.cos φ + senφ.senω.t temos:
− MXω2 [senω.t. cos φ − senφ cos ω.t ] + cXω[cos ω.t. cos φ + senφ.senω.t ] + KX[senω.t. cos φ − senφ. cos ω.t ] = F0senω.t. Separando em senos e co-senos, temos
[− MXω2 cos φ + cXωsenφ + KX cos φ]senω.t = F0senω.t ,
(2.2
[MXω2senφ + cXω cos φ − KXsenφ] cos ω.t = 0 ,
(2.2
Dividindo a equação (2.28) por cos φ, deduz-se:
Mω 2
You're φ Reading sen cos aφ Preview senφ + cω −K =0 φ φ φ cos cos cos Unlock full access with a free trial. Mω2 tgφ + cω − Ktgφ = 0 Download With Free Trial (K − Mω2 ) tgφ = cω cω tgφ = . 2 K − Mω
(2.2
Da equação (2.27) deduz-se: 2
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− MXω cos φ + cXωsenφ + KX cos φ = F0 Useful Not useful 2 X[(K − Mω ) cos φ + cωsenφ] = F0 F
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√(cω)²+(K-Mω²)²
cω
φ K-Mω²
Tal que:
senφ =
cω 2 2
(K − Mω ) + (cω)
2
e cos φ =
K − Mω 2 (K − Mω2 ) 2 + (cω) 2
Substituindo senφ e cos φ na equação (2.30)
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X=
full access with a free trial. FUnlock F0 0 = (K − Mω2 ) 2 (cω) 2 [(K − Mω2 ) 2 + (c +Download With Free Trial 2 2 2 (K − Mω ) + (cω) ( K − Mω2 ) 2 + (cω) 2 [(K − Mω2 ) 2 + (cω
A equação da amplitude X torna-se
X=
F0
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( K − Mω2 ) 2 + (cω ) 2 Useful
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Portanto:
c ω ω cω M cc 2 M 2 ξ ω ξ ωn ω 2ξ ω n c K cω c K K= K tgφ = = = = = 2 2 2 2 M 2 K − Mω 1 − ω 1− η 1− η 1− η ω 1 − K ω n 2ξη tgφ = (2.3 2 . 1− η
X=
F0 (K − Mω2 ) + (cω) 2
F0
=
K 2
M 2 cω 1 − ω + K K
2
X 1 = . 2 2 2 F0 (1 − η ) + (2ξη) K You're Reading a Preview
(2.3
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Onde
X é o fator de ampliação. Download With Free Trial F0 K
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Quando substituímos a solução na equação diferencial original obtemos a seguinte equação
− MXω2sen (ωt − φ) + cXω cos(ωt − φ) + KX sen (ωt − φ) = F0senωt . You're Reading a Preview
Também podemos representar osaccess termos equação diferencial na forma d Unlock full with adessa free trial. diagramas vetoriais : Download With Free Trial
MXω² F0 φ ωt X ω
t
cωX KXSign up to vote on this title
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X=
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F0 2 2
( K − Mω ) + (cω)
2
.
(2.3
Observações: 1. Quando η << 1 , o ângulo de fase φ e as forças de inércia e amortecimento s pequenos. A força excitadora é então aproximadamente igual à força da mola.
MXω² F0 φ
X
cωX KX
η << ≅ F0 1 ⇒ aKX You're Reading Preview o
2. Quando η = 1, o ângulo Unlock de fase força φ = 90 full access with ,a afree trial. de inércia, que é maior agora
equilíbrada pela força de mola, ao passo que a força excitadora supera a força d Download With Free Trial amortecimento.
MXω² F0
φ = 90°
cωX KX X Useful Not useful
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cωX
MXω² φ≈180° X KX F0 η >> 1 , φ ≈ 180o
Podemos também escrever a equação diferencial na forma adimensional: &x& +
como
F c K x& + x = o senωt , M M M
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial. c c c c 2 ξ M ωn = = = 2 ξ ωn , M Download M c c WithMFree Trial
então,
F 2 &x& + 2 ξ ωn x& + ωn x = 0
M
sen ωt .
(2.3
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2.5 Desbalanceamento Rotativo
As peças rotativas são desbalanceadas em maior ou menor grau, assim a excitaçã nas máquinas é, em sua maioria, provocada pela própria máquina. Considere um sistema massa-mola movendo-se na direção vertical e excitado p uma máquina rotativa que está desbalanceada. O desbalanceamento é representado por um massa excêntrica m, com excentricidade r, que gira com uma velocidade angular ω.
F(t) = mrω² senωt m r ωt x
M
c K/2 K/2 You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
Observações:
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1. M inclui m; 2. A massa vibrante que não gira é ( M − m) ; 3. O deslocamento da posição de eqüilíbrio estático da massa que não gira ( M − é x; 4. O deslocamento da massa m é ( x + rsenω.t ) .
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A equação do movimento é
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M&x& + cx& + Kx = mrω2senωt .
(2.3
Cuja solução é conhecida, devido a semelhante à situação anterior.
X=
mrω2 2 2
( K − Mω ) + (cω) tgφ =
2
,
(2.3
cω . 2 K−ω
(2.3
Na forma adimensional temos:
MX η2 = , 2 2 2 mr (1 − η ) + (2ξ.η)
(2.3
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2ξη φ = tg . Unlock full access 2 with a free trial. 1− η
(2.3
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