MAT302 MAT302 - Cálculo Cálculo 2 Bibliografia: Bibliografia: Cálculo volume I, I, 5 a edição. edição. James Stewart Valdecir Bottega
INTEGRAIS Integral Indefinida pág. pág . 403 Até aqui, nosso problema básico era: encontrar a derivada de uma função dada. A partir de agora, estudaremos o problema inverso: encontrar uma função cuja derivada é dada.
Exemplo: Qual é a função função cuja cuja derivada derivada é a função função F x 2 x ? f x x 2 , pois d x 2 2 x. A funçã unçãoo F é é chamada uma antiderivada de F . dx
Definição: Uma antiderivada da função f é é uma função F tal tal que F x
f x
em todo ponto onde f x é definida. x 3 é uma antiderivada de F x 3 x 2 , assim como: G x x 3 1 e H x x 3 5. Na verdade, qualquer função do tipo J x x 3 C é é antiderivada de F x.
Observação: Sabemos que F x
Teorema: Se F x f x em todo ponto do intervalo aberto I, então toda antiderivada G , de f em em I, tem a forma G x
F x C
onde C é é uma constante. Assim, uma única função tem muitas antiderivadas. O conjunto de todas as antiderivadas da função F x é chamada integral indefinida indefinida (ou antidiferencial) de f com com relação a x e denotada por f xdx.
f xdx F x C A operação de antidiferenciação, assim como a diferenciação, é linear:
cf xdx c f xdx (onde c é uma constante) e
f x g x dx f xdx g xdx 1
A integração e a diferenciação são operações inversas uma da outra. Este fato nos permite obter fórmulas de integração diretamente das fórmulas de diferenciação.
FÓRMULAS:
x n dx n11 x n 1 C (se (se n 1) dx x C e x dx e x C x1 dx ln x C cos xdx sin s in x C
sin xdx cos x C sec 2 xdx tan x C csc 2 xdx cot x C sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: sin2 x cos2 x 1 1 tan2 x sec s ec2 x 1 sec x cos 1 cot2 x csc 2 x x sin x csc x 1 tan x cos x sin x cot x cos x sin x LISTA DE EXERCÍCIOS 1: Calcule a integral de: 1 13 dx 2 5u 3/2 du
tan udu ln| ln|sec u | C cot udu ln| ln|sin u | C sec udu ln| ln|sec u tan u | C csc udu ln| cot u | C ln|csc u cot
3 32 dx
x
x
4 6t 2 3 t dt
5 4 x 3 x 2 dx
t 2 dt 2t 7 3 2
8 8 x 4 4 x 3 6 x 2 4 x 5 dx 9 x x 1 dx 2 4 dx 11 2 3 5 dx 12 x 4 x 4
10 x 3/2 x dx 13
1
x 3
6 y 3 2 y 2 3 dy
x 2
x
2co 14 3sin t 2 coss t dt
4 sin 15 5cos x 4 sin x dx
dx 16 sin x cos 2 x
17 cos2 x dx sin x
18 4csc x cot x 2se 2 secc 2 x dx
5se 19 3csc 2 t 5 secc t tan t dt
3 tan 20 2cot 2 3 tan 2 d
21
3 x
3 x
dx
Respostas: 1) 1) 2 x12 C 4 95 t 10/3 C t 2 31 t 3 C 73t 10 25 x 5/2 21 x 2 C
22u 5/2 C
4 cos 3tg 4 cos 2 d cos
33 x 2/3 C
5 x 4 31 x 3 C 6 13 y 6 43 y 4 C 8 85 x 5 x 4 2 x 3 2 x 2 5 x C 9 25 x 5/2 32 x 3/2 C 11 x12 x3 5 x C 12 25 x 5/2 38 x 3/2 8 x 1/2 C
C 3cos t 2 2 sin 13 34 x 4/3 23 x 2/3 C 14 3cos sin t csc x C 16 sec x C 17 csc C 3cot t 5 5se 2cot 3 3 tan 19 3cot secc t 20 2cot tan C
155sin x 4co 4 coss x C 4cs 18 4 cscc x 2 tan tan x C 4 sin 213sec 4 sin C
Integração por Substituição: Substituição : Trabalharemos algumas técnicas para integrar funções compostas. Essas técnicas envolvem uma substituição. O uso da substituição na integração pode ser comparado ao uso da Regra da Cadeia na diferenciação. Iniciaremos recordando a Regra da Cadeia da diferenciação. 2
Seja a função y f g x com y Cadeia e obteremos: y
d f g x dx
f g x. g x
f u e u
g x funções diferenciáveis. Para calcular y
devemos utilizar a Regra da
f u. u
Exemplo: Derive Derive a função função composta composta y x 2 3 3 : Seja u Cadeia, obtemos: y 3 u 2 . u 3 u 2 . x 2 3 3. x 2 3 2 . 2 x
x2
3
. Então y
u3.
Utili Uti lizand zandoo a Regra da
Teorema: g e g são contínuas em um intervalo I. Sejam f e e g duas funções tais que f Se F é é uma antiderivada de f em em I, então:
f g xg xdx F g x
Ex. 1: Calcule e cos x sin xdx. Ex. 2: Calcule cos3 x 1 dx . 1 dx. Ex. 3: Calcule 2 x2 1 x x Ex. 4: Calcule 23 x dx. x 5 Ex. 5: Calcule e 2 x1 dx. 2 Ex. 6: Calcule xe x dx. Ex. 7: Calcule tdt 3 t
C
Resp.: e cos x C Resp.: 31 sin s in3 x 1 C |x 2 x|C Resp.: ln x x 2 5|C Resp.: 23 ln| x Resp.: 21 e 2 x1 C 2 Resp.: 21 e x C 3 3 3 C 6 t Resp.: 32 t
3
LISTA DE EXERCÍCIOS 2: Calcule a integral de: 1) 3 3 x 4 dx
13) csc 2 2d
2) 5r 1 dr
14) r 2 sec 2 r 3 dr 15) 4sin xdx 2 1 cos x
3) 3 x 4 x 2 dx 4) x2 x 2 1 6 dx 5)
16)
t
t
sds
18) sin3 cos d 1 cos 1 x 2 4 sin 14 x
27)
dx
3 2 x 28) 23 x dx x 4 2 29) 33 x dx 5 x 1 30) cos t dt 1 2 sin t
1 dt 2
17) sin2 x 2 cos 2 x dx
3s 2 1
x 3 dx
1 2 x 2 26) sec x tan x cossec xdx
xdx
3 x 2 1
6)
1
25)
7) x 4 3 x 5 5 dx
19)
8) x 2 1 4 xdx .
11) sin 31 xdx
32) 2 3 sin2 x dx cos2 x t 3 21) x x 2 1 4 2 x 2 x 4 dx 33) 22 x dx x 4 22) 3 s s 1 2 ds 34) dx x ln x 2 23) 2t 2 1 1/3 t 3 dt 35) ln 3 x dx
12) 21 t cos4t 2 dt
24) t 1t
20)
9) x 3 2 x 2 12 dx 10) x 3 3 1/4 x 5 dx
31) cot5 x csc 5 x dx
dx
sec 2 3 t
dt
x
3/2
t 2
36) 2t 3 dt t 1
1 dt 2
t
Respostas 1 4
1)
3
3 x 4
2)
2 15
5r 1
3)
4 x 2
4)
1 4 x 2 1
6)
1 3
7)
2 45
9)
3
C
14)
C
15)
2 C
3s 2 1
3
C
5 1 2 10 x 1 C 13 14 2 x 2 2 x 2 C
21 cot2 C 1 3
1 25) 12 1 2 x 2
tan r 3 C
26)
3/2
41 1 2 x 2 1/2
sinsec x C
4 C 1 cos x 3/2 C 16) 32 1 1 t
27) - 12 28)
3 2
ln x 2 4 C
17) 31 2 cos 2 x 3/2 C
29)
1 5
ln|5 x 3 1| C
30)
1 2
ln|1 2 sin t | C
31)
1 5
ln1 cos 5 x C
18)
C
3 x 5 5
13)
C
7 1 2 28 2 x 1 C
5)
8)
3
4
1 4 4 sin C 1
19) 4sin 2 41 x C 20) 21)
2 3 tan3
1 6
11)
3cos 31 x C
23)
12)
1 2 16 sin4t C
24)
32) ln1 sin2 x
t C
4 2 x 2 x 4
13 28 7 9/4 5/4 4 10) 27 x 3 3 54 x 3 3 C 22) 27 3 s
8 5
3
3 s
33) x 2
C
5
7/3 3 2 323 2t 2 1 56 2t 1 2 1 5/2 C 5 t
t
ln|3 2 x | C
8 3 4/3
3 s C
3
4 ln| x 2
1 2
ln|cos2 x |
4| C
34) ln|ln x | C 35)
3 1 3 ln 3 x C
36) 2t ln|t 1| C
4
Somatório: Trabalhamos no capítulo anterior com o conceito de integral indefinida ou antidiferencial. A partir deste momento trabalharemos com um novo problema: Como encontrar a área de uma região no plano. Essas duas noções estão relacionadas pelo Teorema Fundamental do Cálculo. O cálculo da área de uma região envolve a notação de somatório, que é uma forma abreviada de escrever somas de muitos termos. Esta notação utiliza a letra grega maiúscula sigma .
Definição; A soma de n temos a 1 , a 2 , . . . , a n é denotada por n
ai i1
a 1 a 2
. . . a n
onde i é o índice do somatório, a i é o i-ésimo termo da soma e n e 1 são, respectivamente, os limites superior e inferior do somatório. Exemplos: 4
1) i 1 2 3 4 i1
5
2) j 2 2 2 3 2 4 2 5 2 j2 n
3) f x i x
i1
f x 1 x f x 2 x . . . f x n x
Observações: 1) Os limites superior e inferior do somatório tem que ser constantes. 2) O limite inferior não precisa ser 1. Pode ser qualquer valor inteiro menor ou igual ao limite superior. 3) Qualquer variável ( i, j ou k ) pode ser usada como índice do somatório.
Área de uma região plana: Definição: Seja uma função contínua, não-negativa y f x. Estudaremos a região A limitada inferiormente pelo eixo x, à esquerda pela reta x a, à direita pela reta x b e superiormente pela curva y f x. Podemos tentar a aproximação da área A tomando retângulos inscritos ou circunscritos. A somatória das áreas de cada retângulo pode ser usada como uma aproximação para a área desejada. A altura de cada retângulo é o valor da função f x para algum ponto t ao longo da base do retângulo. Escolhemos x para a base de cada retângulo. A área será aproximadamente igual à somatória: S n
S n
f t 1 x f t 2 x . . . f t n x n
f t i x i1
quando usamos n retângulos com base x e t i como um ponto ao longo da base do i-ésimo retângulo. Observação: Quanto menor escolhermos a largura x , melhor será a aproximação da área sob a curva. Quando x 0, o número de termos n da somatória de aproximação S n aumenta. De fato, quando x 0 , n e a somatória S n se aproxima da área exata A sob a curva. Este processo pode ser simbolizado por: S n A. lim n
5
A Integral Definida: A área definida acima é chamada a integral de f no intervalo a, b, a qual é indicada com o símbolo
ba f xdx
Por definição:
n
b
a f xdx nlim f t i x.
i1
Quando este limite existe, dizemos que a função f é integrável no intervalo a, b. Nota: Toda função contínua num intervalo fechado é integrável nesse intervalo. A integral no intervalo a, b é lida como ” integral de a até b” e esses números a e b são chamados os limites de integração (inferior e superior, respectivamente), a função f é chamada integrando. O símbolo de integral é devido a Leibniz, uma antiga grafia da letra S de soma, usado para lembrar que estamos trabalhando com o limite de uma seqüência de somas (soma de Riemann).
Observação: Dada uma função f :
y
1.0 0.5 0.0
1
2
3
-0.5
4
5
x
-1.0
Observe que quando f x 0 o retângulo está ”acima” do eixo x e quando f x 0 o retângulo está ”abaixo” do eixo x. A soma de Riemann é a soma das áreas, considerando os sinais dos retângulos, isto é, se o retângulo está para cima do eixo x a soma das áreas é ”positiva” e se o retângulo está para baixo do eixo x, a soma das áreas é ”negativa”. Isto sugere b que a a f xdx será a soma das áreas dos retângulos acima do eixo x , mais a soma das áreas dos retângulos abaixo do eixo x ( A acima A abaixo ). 1
Por exemplo, f x 2 x. 2 f xdx 3 , pois a soma das áreas dos retângulos que estão abaixo do eixo x é 4 e a soma das áreas dos retângulos que estão acima do eixo x é 1. Portanto, A acima A abaixo 4 1 3. Note que 12 f xdx não representa a área da região limitada pela curva, pelo eixo x e pelas retas x 2 e x 1. Para que a integral represente a área, a função f deverá verificar as seguintes condições: 1) f é contínua no intervalo fechado a, b; 2) f é não-negativa no intervalo fechado a, b. Aí sim, a área da região limitada pelo gráfico da função f , o eixo dos x e as retas verticais x
a e x
b é dada por
b
Área a f xdx
Atenção: b 1) Quando f x 0, a Área a f xdx. 2) É importante notar que, a integral definida é um número e a integral indefinida é uma família de funções.
6
Exercícios : Calcule as seguintes integrais definidas, encarando-as como áreas e construa os gráficos das funções envolvidas: 5 1) 1 6dx 2 2) 1 2 x 3dx 3 3) 1 |x |dx 2 4) 0 4 x 2 dx Integrais Particulares:
aa f xdx 0 , para f definida em x a. ba f xdx ab f xdx , para f integrável em a, b. Propriedades da Integral Definida: b
c
b
1) a f xdx a f xdx c f xdx, para f integrável nos três intervalos fechados determinados por a , b e c. b b 2) a kf xdx k a f xdx , para f integrável em a, b e k . b b b 3) a f x g xdx a f xdx a g xdx , para f e g integráveis em a, b. b 4) a f xdx 0 , para f integrável e não-negativa no intervalo fechado a, b. b b 5) a f xdx a g xdx, para f e g integráveis no intervalo fechado a, b e f x g x para todo x em a, b.
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO: Parte 1: Seja f contínua no intervalo fechado a, b e F uma função tal que F x para todo x a, b . Então, F x
f x
f x
xa f t dt x
Exemplo 1: Ache a derivada da função F x 0 t 3 dt . x
Exemplo 2: Ache a derivada da função F x 0 t 2 2t dt . Parte 2: Seja f contínua no intervalo fechado a, b e F uma função tal que F x para todo x a, b . Então,
ba f xdx F x ba 2
Ex. 1: Calcule 1 x 3 dx.
Resposta:
F b F a
15 4
6
Ex. 2: Calcule 3 x 2 2 xdx. Resposta:36 Ex. 3: Calcule as áreas da região limitada pela reta y 2 x 1 , pelo eixo x e pelas retas x 1 e x 5, usando o Teorema Fundamental do Cálculo. R.: 20
7
LISTA DE EXERCÍCIOS 3: Calcule as integrais abaixo: 3 8 1 4 1) 1 x 5 dx R.: 364/3 2 2 4 x 3dx R.: 138 3 0 x 5 dx R.: 5/9 2 5 2 4 1 34 dt R.: 7/8 5 5 23 dx R.: 6 0 x2 x 5 dx R.: 156/7 t
2
7) 1 x 1
10) 0 10
13) 1 0
x
2 1 2 x
R.: 3/2
dx
z
z 2 1
3
dz
5 x 1 dx
16) 2 3w 4 w 2 dw
/2
8) 0 sin2 xdx 2
R.: 3/16 11) 1 t 2 t 3 1 dt y 2 2 y
1
R.: 134/3 14) 0 15
R.: -8 17) 0
3 y 3
5
9) 2 |x 3 |dx
R.: 1
3 y 2 4
R.: 29/2
3
R.: 2/927 2 2 12) 0 x 2 x 1 dx dy
wdw 1 w 3/4
1
3 1 x 1
15) 0 x
R.: 2 3 2
R.: 256/15 R.: 5/6
dx
1
18) 0 sin x cos xdx
R.: 104/5
R.: 0
ÁREAS DE REGIÕES PLANAS: CÁLCULO DE ÁREAS POR INTEGRAÇÃO EM x : Seja uma região num plano xy , limitada em cima pela função y f x , embaixo pela curva y g x e que se estenda desde x a até x b . Se as integrais de f x e g x de x a até x b existem então a área da região é b A f x g xdx a Ex. 1: Calcule a área limitada pelas parábolas y Resposta: 163 u.a.
x 2 e y
x 2 e pela reta vertical x 2 :
Ex. 2: Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções y Resposta: 31 u.a.
x 2 e y
x
de x 0 até x
Ex. 3: Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções y x 2 6 e y 2 x 3 0 de x Resposta: 323 u.a.
1: 1 até x
3:
c embaixo até y
d em
CÁLCULO DE ÁREAS POR INTEGRAÇÃO EM y : Seja uma região limitada à direita pela curva x cima. A área da região é d A M y N ydy c
M y e à esquerda pela curva x
Ex. 1: Trace a região limitada pela parábola x Resposta: 38 u.a.
y2
Ex. 2: Trace a região limitada pela parábola x Resposta: 332 u.a.
y 2 e pelas retas x y
e pelas retas x
y 1 , y
4 , y
N y de y
1 e y 1 , calcule a área:
1 e y 2 , calcule a área:
LISTA DE EXERCÍCIOS 4: 1) Ache a área da região limitada por: a) y x 2 2 x 3, eixo x, x 2 e x 1. R.: 15 b) y 6 x x 2 , eixo x. R.: 125/6 c) y x 2 6 x 5, eixo x. R.: 32/3
8
d) y x 2 , y 18 x 2 . R.: 72 e) x 4 y 2 , x 4 4 y. R.: 32/3 f) x y 2 y, x y y 2 . R.: 1/3 2) A área da região limitada pelos gráficos de y x 3 e y x não pode ser calculada utilizando-se apenas a integral 1 1 x 3 xdx. Explique por quê. Em seguida use um argumento de simetria para escrever uma só integral que represente a área em questão. 3) Utilize integração para calcular a área do triângulo cujos vértices são 0, 0, 4, 0 e 4, 4. R.: 8. 4) Ache, por integração, a área do triângulo tendo vértices 3, 4, 2, 0 e 0, 1. R.:9/2 5) Determine a área da região limitada pelos gráficos das equações y e x e y x , x 0 e x 1. Resposta: 1,05 u.a. 6) Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções y x e x y 4 de x 0 até x 2 : Resposta: 4 u.a. 7) Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções x y 2 e x 2 y de x 0 até x 4 : Resposta: 34 u.a. 8) Trace a região limitada pela parábola x 4Y y 2 e pelas retas x 0 e y 0 , calcule a área: Resposta: 323 u.a. 9) Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções x y 2 e x 2 y de y 0 até y 2 : Resposta: 34 u.a. 10) Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções x y 2 e x y 2 de y 1 até y 2 : Resposta: 29 u.a. 11) Calcule as áreas das regiões abaixo. a) Limitada pela reta y 3 x 2, pelo eixo x e pelas retas x 5 e x 1. R.: 44 b) Limitada pela curva y 4 x 2 , pelo eixo x e pelas retas x 1 e x 2. R.: 5/3 c) Limitada pela curva y 12 x x 2 , pelo eixo x e pelas retas x 3 e x 2. R.: 305/6 d) Limitada pela curva y x 3 4, pelo eixo x e pelas retas x 2 e x 1. R.: 31/4 VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO: MÉTODO DOS DISCOS (CILINDROS): Suponhamos que a parte superior de uma região R seja uma função y f x e a parte inferior, a reta y x b. Então, o sólido gerado pela rotação da região R em torno da reta y L tem volume: b b V A xdx f x L 2 dx a a
L, de x
a até
Ex. 1: Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela função y x 3 , girando em torno da reta y 1 para x 1 até x 1 : Resposta: 167 u.v. Ex. 2: A região delimitada pelo eixo x, pelo gráfico da função y x 2 1 e pelas retas x 1 e x 1 gira em torno do eixo x. Determine o volume do sólido resultante: 56 Resposta: 15 u.v. Ex. 3: A região delimitada pelo eixo y e pelos gráficos de y x 3 , y 1 e y 8 gira em torno do eixo y. Determine o volume do sólido resultante: Resposta: 935 u.v. MÉTODO DOS ANÉIS: Suponhamos que a parte de cima de uma região R seja y f x e a parte de baixo seja y o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno da reta horizontal y L é b b V A xdx R x 2 r x 2 dx a a
g x de x
a até x
b, então
9
onde R x é o raio exterior da seção em x e r x é o raio interior da seção em x. Ex. 4: Dado o triângulo delimitado pelas retas y 41 x 3 e y 14 x 3 de x 0 até x 4. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno do eixo horizontal y 1. Resposta: 16 u.v. Ex. 5: A região delimitada pelos gráficos de x 2 y 2 e 2 y x 2 0 e pelas retas verticais x torno do eixo x. Determine o volume do sólido resultante: 79 Resposta: 20 u.v.
0 e x 1, gira em
LISTA DE EXERCÍCIOS 5: 1) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região descrita no exemplo anterior em torno da reta y 3 : 51 Resposta: 20 u.v 2) A região do primeiro quadrante delimitada pelos gráficos de y 81 x 3 e y 2 x, gira em torno do eixo y. Determine o volume do sólido resultante: Resposta: 512 15 u.v. 3) A região delimitada pelos gráficos de x y 2 e 2 y x 0 , gira em torno do eixo y. Determine o volume do sólido resultante: 64 Resposta: 15 u.v. 4) A região delimitada pelos gráficos de y 2 x e y x 2 , gira em torno do eixo y. Determine o volume do sólido resultante: Resposta: 725 u.v. 5) A região delimitada pelos gráficos de x y e y x 4 , gira em torno do eixo x. Determine o volume do sólido resultante: Resposta: 16 u.v. 6) Estabeleça uma integral que permita achar o volume do sólido gerado pela revolução da função x 2 y 4 girando em torno da reta: a) y 2 Resp.: 643 u.v. b) y 5 Resp.: 248 c) x 7 Resp.: 136 3 u.v. 3 u.v. 128 d) x 4 Resp.: 3 u.v.
Integração por partes (Seção 7.1 pág. 471) Nesta seção aprenderemos como integrar funções complexas por partes. Cada regra de derivação tem outra correspondente de integração Por exemplo, a Regra de Substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia para a derivação. Aquela que corresponde à Regra do Produto para a derivação é chamada integração por partes. A Regrado Produto afirma que se f x e g x são funções deriváveis, então d dx
[ f ( x ) g ( x ) ] = f ( x ) g '( x ) + g ( x) f '( x)
∫ f ( x) g '(x) dx ∫ g (x ) f '(x ) dx +
=
f (x )g (x )
∫ [ f ( x)g '( x)
+
g ( x ) f '(x )] dx = f (x )g (x )
∫ f ( x) g '( x) dx
=
∫
f ( x ) g ( x ) − g (x ) f
'(x ) dx
Seja u f x e v g x. Então, as diferenciais são du f xdx e dv g xdx Assim, pela Regra da substituição, a fórmula da integração por partes torna-se
∫ u dv
=
∫
uv − v du
Exemplo 1. Encontre xsen xdx
10
dv u 6 4 74 8
v u 6 4 74 8
}
v
6 4 74 8
}
∫ x sin x dx ∫ x sin x dx x ( cos x) ∫ ( x cos x ∫ cos x dx =
=
= −
−
−
−
du
}
cos x) dx
+
x cos x + sin x + C
= −
É interessante verificar a resposta, derivando-a. Se fizermos isso, obteremos xsenx, como esperado. Se tivéssemos escolhido u sinx e dv
∫
x sin x dx = (sin x)
x
2
2
−
xdx , então du
cosxdx e v
x2/2, teríamos
1 2 x cos dx 2∫
Embora isso seja verdadeiro, x 2 cos xdx é uma integral mais difícil que a anterior. OBSERVAÇÃO Em geral, ao decidir sobre uma escolha para u e dv, geralmente tentamos escolher u como uma função que se torna mais simples quando derivada. ou ao menos não mais complicada. Contanto que dv possa ser prontamente integrada para fornecer v . Exemplo 2. Calcule lnxdx Não temos muitas escolhas para u e dv. Seja u ln x, dv temos:
∫ ln x dx
=
dx.
Então, du
1 x dx ,
v
x.
Integrando por partes,
dx
∫ x ∫ dx
x ln x − x
= x
ln x −
= x
ln x − x + C
A integração por partes é eficaz nesse exemplo porque a derivada da função f x
lnx é mais simples que f .
Exemplo 3. Calcule t 2 e t dt . Note que t 2 se torna mais simples quando derivada. Enquanto, e t permanece inalterada. u = t2
dv = et dt
du
=
2t dt
v = et
∫ t e dt 2 t
=
t 2 et
−
2 ∫ tet dt
A integral que obtivemos , te dt , É mais simples que a integral original, mas ainda não é óbvia. Portanto, usamos integração por partes mais uma vez. Escolhendo u t , dv e t dt e du dt , v e t . t
∫ te dt t
=
te t
−
∫ e dt t
−
te t
−
et
+
C
Substituindo na equação original, temos
∫ t e dt 2 t
=
2 t
t e
−
t 2et
−
2∫ tet dt
2(tet − et + C ) t t 2 t = t e − 2te − 2e + C1 =
onde C 1
2C .
Exemplo 4: Calcule e senxdx. Tentamos escolher u e x e dv sinx. Então du x
∫e
x
e x dx e v
cos x.
sin x dx = −e x cos x + ∫ e x cos x dx
Mas e x cos xdx não é mais simples que a integral original. Tentamos integrar novamente. Desta vez usaremos u
e x
e
11
dv
cos xdx,
então, du
e x dx e v
senx, e
∫e
x
∫e
x
sin x dx = −e x cos x + e x sin x
cos x dx = e x sin x − ∫ e x sin x dx
Substituindo na equação original temos x Somando e senxdx, nos dois lados da equação obtemos:
2 ∫ e x sin x dx = −e x cos x + e x sin x
∫e
x
Dividindo toda equação por dois:
−
∫e
x
sin x dx
sin x dx = 12 ex (sin x − cos x) + C
INTEGRAIS DEFINIDAS ba udv uv|ba ba vdu
LISTA DE EXERCÍCIOS 6: Calcule a integral de: 1) xe x dx . Resp.: xe x e x C 2) xe2 x dx 2
3) xe x dx 4)
xe2 x dx
5) x 3 e x dx
2 x R.: e 2 x 1 C 4 2 R.: 21 e x C
7) x 3 ln xdx 8) t lnt dt 9) ln x 2 dx
4 R.: x 4 ln x 1 C 16 R.: 21 t 2 ln t 41 t 2 C
R.: xln x 2 2 x ln x 2 x C
ln x 2 ln x 3 1 R.: 2 x 2 x 1 C 10) x dx R.: C 3 4e R.: e x x 3 3 x 2 6 x 6 C 11) e x cos2 xdx . Resp.: 15 e x cos2 x 52 e x sin2 x C
3 3 6) x 2 ln xdx . Resp.: x ln x x C 3 9 12 Resolva os exercícios numero 3 ao 30 da seção 7.1 página 476 do livro texto. Calcule as integrais Respostas dos exercícios ímpares
12
Integral Trigonométrica 7.2 (pág. 478) Exemplo1: Calcule cos 3 xdx (potência ímpar) A simples substituição u cos x não ajuda, porque assim temos du senxdx? Logo, para integrar potências de cosseno, necessitamos de um fator extra senx. Analogamente, uma potência de seno precisa de um fator extra cosx. Dessa forma, podemos separar um fator cosseno e converter o fator cos 2 x restante em uma expressão envolvendo o seno usando a identidade sen 2 x cos2 x 1: cos 3 x cos 2 x.cos x 1 sen 2 x cos x. Podemos então calcular a integral substituindo u senx, de modo que, du cos xdx e
∫ cos x dx ∫ cos x cos x dx 2 ∫ (1 sin x)cos x dx 2 3 ∫ (1 u )du u 13 u 3
2
=
=
−
=
−
=
⋅
=
−
+
C
sin x − 13 sin 3 x + C
Exemplo 2: Calcule sen 5 x cos2 xdx Poderíamos converter cos2 x para 1 sen 2 x. Mas ficaríamos com uma expressão em termos de senx sem um fator extra cos x. Em vez disso, separamos um único fator de seno e reescrevemos o fator sin 4 x restante em termos de cos x. Então, temos:
13
Substituindo u cosx,nos temos du sinxdx.Assim
∫ sin x cos x dx ∫ (sin x) cos x sin x dx 2 2 2 2 2 2 ∫ (1 cos x ) cos x sin x dx ∫ (1 u ) u (
sin 5 x cos 2 x = (sin 2 x) 2 cos 2 x sin x 2 2 2 = (1 − cos x ) cos x sin x
5
=
2
2
=
2
−
2
=
−
u3 u5 = − (u − 2u + u )du = − −2 ∫ 5 3 2
1
= −3
4
6
+
du )
−
u7
+C 7
cos3 x + 25 cos5 x − 17 cos7 x + C
Nos exemplos anteriores, uma potência ímpar de seno ou cosseno nos permitiu separar um único fator e converter a potência par remanescente. Se um integrando contém potências pares tanto para seno como para cosseno, essa estratégia falha.Nesse caso, podemos aproveitar as identidades dos ângulos-metade. sen 2 x 21 1 cos 2 x e cos2 x 21 1 cos 2 x.
Exemplo 3: Calcule 0 sen2 xdx. (potência par) Se escrevermos sin 2 x 1 cos2 x, a integral não é mais simples de calcular. Usando a fórmula do ângulo-metade para sin 2 x, temos:
∫0
π
sin 2 x dx = 12 ∫0 (1 − cos 2 x) dx π
π
=
[ 12 ( x − 12 sin 2 x)]0 (
1 1 2 π −2 1 = π 2 =
sin 2π ) − 12 (0 − 12 sin 0)
Observe que mentalmente fizemos a substituição u
2 x quando integramos cos2 x .
Exemplo 4. Calcule sen 4 xdx usando:
∫ sin x dx ∫ (sin 4
=
2
x )2 dx 2
=
1 − cos2 x ∫ 2 dx
=
1 4
∫ (1
−
2 cos 2 x + cos2 2x ) dx
∫ sin
4
cos 2 2 x = 12 (1 + cos 4 x ) x dx = =
∫ [1 1 3 4 ∫(2 1 4
1
= 4
−
2cos 2 x + 12 (1 + cos 4 x)] dx
−
2 cos 2 x + 12 cos 4 x ) dx
( 32 x − sin 2 x + 18 sin 4 x ) + C
14
LISTA DE EXERCÍCIOS 7: Resolva as integrais número 1 ao 18 da página 484.
Respostas ímpares
7.4 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Nesta seção mostraremos como integrar qualquer função racional (um quocientede polinômios) expressando-a como uma soma de frações mais simples, chama das frações parciais, que já sabemos como integrar. Para ilustrar o método, observe que, levando as frações 2/ x 1 e 1/ x 2 a um denominador comum, obtemos:
2 x − 1
=
1
2( x + 2) − ( x −1) x+2 ( x − 1)( x + 2) x + 5 = x 2 + x − 2 =
Se revertermos o procedimento, veremos como integrar a função no lado direito dessa equação:
15
x + 5
∫ x 2
x−2
+
1 2 − ∫ x − 1 x + 2 dx
dx = =
2 ln | x − 1| − ln | x + 2 | + C
Para ver como esse método de frações parciais funciona em geral, consideramos a função racional f ( x ) =
P ( x) Q( x)
onde P e Q são polinômios.
É possível expressar f como uma soma de frações mais simples, desde que o grau de P seja menor que o graude Q. Essa função racional é denominada própria. Se f e impropria, isto e, grauP grauQ, entao devemos fazer uma etapa preliminar dividindo P por Q (pordivisaode polinomios). Até o resto R x ser obtido, com grau R grauQ. O resultado da divisão é P( x)
f ( x ) =
Q ( x)
=
S ( x) +
R( x ) Q( x )
onde S e R são polinômios também.
x 3 + x
Exemplo 1. Encontre
∫ x
−
1
dx
Como o grau do numerador é maior que o grau do denominador, primeiro devemos fazer a divisão. Isso nos permite escrever: x3 + x
∫ x
−
1
∫
dx = x 2 =
x
3
3
+
+
x
x+2+
2 dx x −1
2
2
+
2 x + 2ln | x − 1| + C
A próxima etapa é fatorar o denominador Q x o máximo possível. É possível demonstrar que qualquer polinômio Q pode ser fatorado como um produtode fatores lineares (da forma ax b) e fatores quadráticos irredutíveis (da forma ax 2 bx c , onde b 2 4ac 0). Por exemplo, se Q x x 4 16, poderíamosfatorá-lo como: Q ( x) = ( x 2 − 4)( x 2 + 4) =
( x − 2)( x + 2)( x 2 + 4)
A terceira etapa é expressar a função racional própria R x / Q x como uma soma de frações parciais da forma: ou
A
ax b i
Ax B . 2 ax bx c j
Um teorema na álgebra garante que é sempre possível fazer isso. Explicamos os detalhes para os quatro casos que ocorrem. CASO 1 O denominador Q(x) é um produto de fatores lineares distintos. Isso significa que podemos escrever. Q x a 1 x b 1 a 2 x b 2 . . . . a k x b k onde nenhum fator é repetido (e nenhum fator é múltiplo constante do outro). Nesse caso o teorema das frações parciais afirma que existem constantes A1, A2, . . . , Ak talque: R ( x ) A1 A2 Ak = + + ⋅⋅⋅ + Q ( x) a1 x + b1 a2 x + b2 ak x + bk
Essas constantes podem ser determinadas como no exemplo seguinte. Exemplo 2. Calcule
16
2
2 x −1 ∫ 2 x3 + 3x 2 − 2 x dx x
+
Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador, não precisamos dividir. Fatoramos o denominador como: 2 x 3 3 x 2 2 x x2 x 2 3 x 2 x2 x 1 x 2 Como o denominador tem três fatores lineares distintos. A decomposição em frações parciais do integrando tem a forma: 2
2x −1 x (2 x − 1)( x + 2) x
+
=
A
+
x
B
2 x −1
+
C x+2
Para determinar os valores de A, B e C multiplicamos ambos os lados dessa equação pelo produto dos denominadores, x2 x1 x 2, obtendo: x 2 2 x 1 A2 x 1 x 2 Bx x 2 Cx2 x 1 Expandindo o lado direito da Equação e escrevendo-a na forma-padrão para os polinômios, temos: x 2 2 x 1 2 A B 2C x 2 3 A 2 BC 2 A Isso resulta no seguinte sistema de equações para A, B e C: 2 A B 2C 1 A 21 3 A 2 BC 2 B 1/5 3 A 2 BC 2 C 1/10 E assim, 2
2 x −1 ∫ 2 x3 + 3x 2 − 2 x dx 1 1 1 1 1 1 = ∫ 2 x + 5 2 x − 1 − 10 x + 2 dx 1 1 1 = 2 ln | x | + 10 ln | 2 x − 1| − 10 | x + 2 | + K x
+
CASO 2 Q x é um produtode fatores lineares, e alguns dos fatores são repetidos. Suponha que o primeiro fator linear a 1 x b 1 seja repetido r vezes. Isto é, a 1 x b 1 r ocorre na fatoração de Q x. Então, em vez de um único termo A 1 / a 1 x b 1 , usaríamos. A1
+
a1 x + b1
A2
(a1x + b1 ) 2
+ ⋅⋅⋅ +
Ar
(a1x + b1 ) r
Para ilustrar, poderíamos escrever. x
3
−
x +1
x 2 ( x − 1)3
=
A x
+
B x2
+
C x −1
+
D
( x − 1)2
+
E
( x − 1)3
Exemplo 4. Encontre
∫
x 4
2x 2 + 4 x + 1 dx x 3 − x 2 − x + 1 −
A primeira etapa é dividir. O resultado da divisão de polinômios é:
17
x 4
2x2 + 4x + 1 3 2 x − x − x + 1 4 x = x + 1 + 3 2 −
x
−
x
−
x +1
A segunda etapa é fatorar o denominador Q x x 3 x 2 x 1. Como Q1 0, sabemos que x 1 é um fator e obtemos: x 3 − x 2 − x + 1 = ( x − 1)( x 2 − 1)
( x − 1)( x − 1)( x + 1) 2 = ( x − 1) ( x + 1) =
Como o fatorl inear x 1 ocorre duas vezes, a decomposição em frações parciais é:
4 x ( x − 1) 2 ( x + 1)
=
A x−1
+
B
( x −1)
2
+
C x +1
Multiplicando pelo mínimo denominador comum, x 1 2 x 1, temos:
4 x = A( x − 1)( x + 1) + B( x + 1) + C( x − 1) 2 2 = ( A + C ) x + ( B − 2C ) x + ( − A + B + C ) Agora igualamos os coeficientes: A + C = 0 B − 2C = 4 − A + B + C = 0 Resolvendo, obtemos: A 1, B 2, C -1. Assim
2 x2 + 4x + 1 ∫ x3 − x 2 − x + 1 dx 1 2 = + 1+ + x ∫ x − 1 ( x − 1)2 x
=
=
4
x 2
2 x
−
+
x + ln | x − 1| −
+
x −
2
2
2 x − 1
+
ln
−
1 dx x + 1
−
ln | x + 1| + K
2 x − 1
x −1 x +1
+
K
CASO 3 Q x contém fatores quadráticos irredutíveis, nenhum dos quais se repete. Se Q x tem o fator ax 2 bx c , onde b 2 4ac 0, então, além das frações parciais, a expressão para R x / Q x terá um termo daforma Ax + B ax 2
+
bx + c
em que A e B são as constantes a serem determinadas.
18
Exemplo 5. Calcule
2 x 2 − x + 4 ∫ x3 + 4 x dx Como x 3 4 x
x x 2
4 não pode ser
mais fatorado, escrevemos:
2 x 2 − x + 4 A Bx + C = + x ( x 2 + 4) x x2 + 4 Multiplicando por x x 2 4, temos:
2 x 2 − x + 4 = A( x 2 + 4) + ( Bx + C ) x 2 = ( A + B ) x + Cx + 4 A Igualando os coeficientes, obtemos: A B 2, C 1, 4A 4. Então, A 1, B 1, e C 1. Logo
2 x 2 − x + 4 1 x −1 dx = ∫ x3 + 4 x ∫ x + x2 + 4 dx Para integrar o segundo termo, o dividimos em duas partes:
x − 1
∫ x 2
+
4
dx =
∫ x2
2 x 2 − x + 4 ∫ x( x 2 + 4) dx x 1
=
∫ x
dx +
∫ x2
+
4
dx −
∫ x2
dx −
∫ x2
1
1 +
4
dx
dx
4 2 1 1 1 = ln | x | + ln( x + 4) − tan ( x / 2) + K 2 2 +
4
x
+ −
Exemplo 6. Calcule
1 − x + 2 x 2 − x3 ∫ x( x 2 + 1) 2 dx A forma da decomposição em frações parciais é:
1 − x + 2 x 2 − x3 x ( x 2 + 1) 2
=
A x
+
Bx + C x2
+
1
+
Dx + E
( x2 + 1)2
Multiplicando por x x 2 1 2 , temos:
19
2 x2 − x + 1 2 2 2 = A( x + 1) + ( Bx + C ) x( x + 1) + ( Dx + E) x 4 2 4 2 3 2 = A( x + 2 x + 1) + B ( x + x ) + C ( x + x) + Dx + Ex 4 3 2 = ( A + B ) x + Cx + (2 A + B + D ) x + (C + E ) x + A x
−
3
+
Se igualarmos os coeficientes, obteremos o sistema A + B = 0 C = −1
2 A + B + D = 2 C + E = −1 A = 1
Que tem a solução A 1, B 1, C 1, D 1, E 0.Então,
1 − x + 2 x 2 − x 3 ∫ x( x2 + 1)2 dx =
=
=
1
∫ x dx
−
dx x + 1 ( x + 1) x + 1 2
∫ x ∫ x2 −
+
x +
1
x
2
dx −
2
dx
∫ x2
+
1
+
x dx
∫ ( x2
ln | x | − 12 ln( x 2 + 1) − tan 1 x −
+
1) 2
1
−
2( x
2
+
1) 2
+
K
20
Lista de Exercícios 8 Exercícios 7 ao 30 da página 500 seção 7.4 Resolva as seguintes integrais usando frações parciais
Respostas
Integrais Impróprias A existência da integral definida b
∫ f ( x)dx a
com a função f x sendo Contínua no intervalo fechado [a, b], nos foi garantida pelo Teorema fundamental do Cálculo.
Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam à formulações de integrais em que a) o intervalo de integração não é limitado (infinito) ou b) o integrando tem uma descontinuidade infinita em algum ponto do intervalo [a, b];
21
Nosso objetivo é definir o conceito de integrais deste tipo, chamadas de Integrais Impróprias.
Integrais Impróprias Tipo 1: intervalos infinitos A área da região S, abaixo da curva f(x) no intervalo [a,8) , é calculada pela integral ∞
S = ∫ f ( x ) dx a
Esta área será finita ou infinita? Exemplo 1: Vejamos um exemplo ilustrativo: Considere a integral.
1 ∫0 2 dx
∞
x
Observe na figura que a área da integra é menor que a soma das áreas dos retangulos
onde em (*) usamos a soma de uma P.G. S =
a1
1 − r
,
a1
=
1,
r =
1 . 2
Logo a área obtida pela integral está limita por uma área finita, portanto, também será finita.
22
Exemplo 2: A área sombreada da figura abaixo é dada por: A(t ) =
∫
t
1
1
t
dx = − 1 x 2 x 1
=
1−
1 t
Observe que a área A(t) 1 por maior que seja t.
Também observamos que a área se aproxima de 1 quando t . 1 lim A(t ) = lim 1 − = 1 t t t →∞
→∞
Assim, dizemos que a área da região infinita S é iguala 1 e escrevemos: ∞
1
∫1 x 2
dx = lim t →∞
t
1
∫1 x2 dx
=
1
logo, definimos a integral de f(x) (não necessariamente uma função positiva) sobre um intervalo infinito como o limite das integrais sobre os intervalos finitos.
Definição 1: Integrais impróprias do tipo 1 t
a) Se existe a f xdx para todo número t a, então:
∫
∞
a
f ( x ) dx
t
=
lim ∫a f ( x ) dx t →∞
b
b) Se existe t f xdx para todo número t b, então:
23
∫
b
f ( x) dx
b
=
lim ∫t f ( x) dx t →∞
−∞
c) a partir de a) e b), para um número real qualquer a, temos
∫
∞
f ( x ) dx
=
−∞
∫
a
f ( x ) dx +
−∞
∫
∞
a
f ( x ) dx
Convergência e divergência As integrais improprias:
∫
b
f ( x) dx
e Figure São ditas convergentes se o limite correspondente existe (como um número finito), caso contrário, são ditas divergentes. −∞
Exemplo 3: Verifique se a integral 1 x1 dx é convergente ou divergente. ∞
1
∫1 x dx
=
lim ∫
t
1
t →∞
1
t
dx = lim ln x t 1 x →∞
=
lim(ln t − ln1) t →∞
=
limln t = ∞ t →∞
Observe que este limite não existe como número, portanto esta integral diverge. 1
Observe que 1
x 2
dx converge como vimos no exemplo 2,
mas 1 x1 dx diverge apesar da semelhança das funções.
0
Exemplo 4: calcule xe x dx Solução: Usando a definição 1 b) v e x .
∫
0
xe x dx
−∞
0
=
lim ∫t xe x dx
t →−∞
Integrando por partes com u
lim te t = lim
t → −∞
0
∫ xe t
x
0
dx = xe t x
te
= −
t
−
−
∫
0
t
1+ e
∫
0
−∞
x
e dx
xe x dx =
lim (−tet − 1 + et )
=
t →−∞
0 −1 + 0 = −1
então
lim
=
1, dv
e x
e
t e
t → −∞ −
= −
t
t → −∞
x, du
−
t
1 e
−
t
lim ( − e t )
t → −∞
onde
=
0
24
∞
1
∫ 1 + x 2 Exemplo 5: calcule Solução: Usando a definição 1 c) escolhendo a 0 dx
−∞
1
∞
∫
1 + x
dx =
2
∫
1
0
∞
1+ x
2
dx +
∫0 1
1
dx
2
x Como a integral acima pode ser interpretada como a área representada na figura: −∞
−∞
+
Resolvendo separadamante cada integral, usando substituição Triginométrica ∞
∫0 1
1 +
x
2
lim ∫0 t →∞
=
−∞
1 + x 2 0
=
1 + x 2
limtan x 1
t
=
0
1
=
1
lim(tan t − tan 0) −
−
dx
1 + x 2
lim tan 1 x
0
−
t
lim(tan 1 0 − tan 1 t ) −
−
t →−∞
limtan 1 t −
=
t →∞
π
=
dx
t →−∞
t →∞
=
lim ∫t
t →−∞
−
t →∞
=
1
∫
dx dx
t
=
0
π 0 − − 2 π
=
2
2
Resultando
∫
1
∞
−∞
1 + x
2
dx =
π
2
π
+
2
= π
, portanto convergente.
Integrais Impróprias do tipo 2: Integrando descontínuo Definicão 2 Suponha que seja uma função positiva contínua definida no intervalo finito a) [a, b) com uma assíntota vertical em b b) (a,b] com uma assíntota vertical em b
∫
b
a
f ( x) dx =
t
lim ∫a f ( x) dx
t →b−
∫
b
a
f ( x ) dx
b
=
lim ∫ f ( x ) dx t
t → a+
25
se estes limites existirem (como um número), a integral imprópria é dita convergente, caso contrário, a integral é divergente. Definicão 2 c): Se f tiver uma descontinuida de em c, onde a c b, e as integrais
∫
c
∫
b
∫
f ( x) dx
b
f ( x ) dx
e forem ambas convergentes, então definimos: a
a
f ( x ) dx
c
=
∫
c
f ( x ) dx +
a
1
5
∫2
Exemplo 6: calcule
∫
x − 2
b
c
f ( x ) dx
dx
Observamos que essa integral é imprópria, porque f ( x ) = 1/ x − 2 tem uma assíntota vertical em x 2. Como a descontinuidade infinita ocorre no extremo esquerdo de [2, 5], usamos a Definição 2 b): 5
∫2
dx x − 2
=
t → 2
=
5
dx
t
x−2
lim ∫ +
lim 2 x − 2
t → 2+
=
5 t
lim 2( 3 − t − 2)
t → 2+
=
2 3
Portanto, a integral imprópria é convergente. 3
dx
∫0 x
Exemplo 7: calcule
−
1
Observamos que essa integral é imprópria, porque f(x) tem uma assíntota vertical x 1. Como a descontinuidade infinita ocorre no interior de [0, 3], usamos a Definição 2 c) com c 1: 1
dx
t
dx
x −1 ∫0 x − 1 = lim ∫0 x − 1 = lim 0 t 1 t 1 t
→
3
∫0
dx −
1
1
=
dx
∫0 x
−
1
3
+
dx
∫1 x
−
1 onde
−
→
=
−
lim(ln t − 1 − ln −1 ) t →1
−
=
limln(1 − t ) = −∞ t →1−
26
1
∫0 dx /( x
Observamos então que 3
Portanto
∫0
dx /( x − 1)
−
1) é divergente. 3
é divergente, sendo desnecessário o calculo de
∫1 dx /( x
−
1).
Observação: Se não considerarmos as descontínuidades de f(x) calculando a integral diretamente pelo teorema fundamental do cálculo, teremos um resultado errôneo, por exemplo no exemplo anterior teríamos o seguinte resultado: dx
3
∫0 x
−
1
3 =
ln x − 1
0
ln 2 − ln1 = ln 2 =
Isto é errado, porque a integral é imprópria e deve ser calculada em termos de limite. Portanto, devemos sempre nos certificar se a integral é imprópria ou não antes de resolve-la. . Exemplo 8: calcule 1
∫0 ln x dx Observamos que essa integral é imprópria, porque f x tem uma assíntota vertical em x 0, pois
lim ln x = −∞
x →0 +
Como a descontinuidade infinita ocorre na extremidade esquerda de [0, 1], usamos a Definição 2 a) 1
1
∫0 ln x dx = lim ∫t ln x dx t → 0 +
Integrando por partes, com u 1
∫ ln x dx
=
t
1
x ln x ]t −
∫
1
t
lnx, dv
dx, du
1
dx
1ln1 − t ln t − (1 − t ) = −t ln t − 1 + t =
∫0 ln x dx
=
dx / x, e v
x:
lim( −t ln t −1 + t )
t →0+
0 −1 + 0 = −1 = −
Para calcular o limite do primeiro termo, usamos a regra de LHospital da seguinte forma ln t lim t ln t = lim t 0 t 0 1/ t 1/ t = lim 2 t 0 −1/ t = lim(−t ) →
+
→
→
+
+
t →0+
=
0
27
Lista de Exercícios 9 Exercícios 5 ao 38 da página 532 seção 7.8 Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes.
Respostas
28
SEQÜÊNCIAS E SÉRIES Seqüências Seqüência é uma função de N em R , em outras palavras, uma seqüência em R associa a cada número natural n 1,2,... , um único e bem determinado elemento de R. Tradicionalmente, usa-se a notação a n ou x n . Exemplos de seqüências: i) 1, 1/2, 1/3,..., 1/n,... ou a n 1/ n com n 1,2,... ii) 1, 3, 1/2, 3, 1/3, 3, 1/4, 3, ... iii) 2, -2, 2, -2,... iv) 1, 2, 3, 4, ... Definição 1: Uma seqüência é dita: i) crescente se a n1 a n . ii) estritamente crescente se a n1 a n . iii) decrescente se a n1 a n . iv) estritamente decrescente se a n1 a n . v) monótona se for de um dos tipos acima. Exemplo 1: Escreva os cinco primeiros termos da seqüência e verifique se é monótona: i) a n 3 1 n ii) b n 2 n 1 n Definição 2: i) Uma seqüência a n é dita limitada se |a n | M R, para todo n N . ii) Uma seqüência pode ser divergente (para infinito), oscilante ou converge para um valor l R. Teorema 1:Toda seqüência monótona e limitada é convergente. Exemplo 2: Mostre que a n 1n é convergente. a n L. Esta seqüência é chamada Definição 3: Uma seqüência a n converge para um número real L se lim n seqüência convergente e podemos denotar por a n L. Propriedades dos Limites: Se lim a n A e lim b n B , então valem as propriedades: i) lima n b n lim a n lim b n A B ii) lima n b n lim a n lim b n AB A iii) lim a n lim a n B lim b n bn Exemplo 3: Calcule o limite de: 3 a n 3 . i) a n 33n 5n . Resp.: lim n 5 5n 2n 6 b n 0. ii) b n n 1 n . Resp.: lim n Teorema 2: (Teste da razão para seqüências) a n1 L 1, então a seqüência a n Se uma seqüência a n de termos positivos satisfaz a condição lim n a n converge para zero. p Exemplo 4: Use o teste da razão para determinar se a seqüência a n n n converge. 2 Teorema 3:Uma seqüência a n converge para L ambas as subseqüência a 2n (par) e a 2n1 (ímpar) convergem para L . 29
Exemplo 5: Use o teorema 3 para mostrar que a seqüência a n
1 n n
converge.
Lista de Exercícios 10 1) Escreva os primeiros cinco termos das seguintes seqüências. n 1 n , a a n 2 n , b a n c a n 3 , 2 n! nn 1 2 1 1 n1 x 2n1 2 n 1 , , . d a n e a f a n n 3n 2 2n 1! n2 2) Determine se as seguintes seqüências são monótonas. Justifique: cosn , a a n 4 1 b a c a n 1 n 1 n n n , n , d a n 2 n , e a n senn, f a n 2n n 1 3 3) Use o teorema 1 para provar que as seguintes seqüências são convergentes. Calcule o seu limite. a a n 5 1 b a n 1 1 1n , n , 3 3 4 1 c a n 3 n , d a n 4 n . 2 4) Determine se as seqüências convergem ou divergem e encontre o seu limite. 1 1 n 1 , 3n 2 n 4 , n 2 1 , a a n n b a c a d a , n n n n n n 1 2n 2 1 1 n 2 n n 1 n , e a n 3 n , f a n 3 5n2 , g a n 2n1 , h a n 4 3 n n n 2 1 n n i a n 6 56 j a n 1 n k a n 1 n1 l a n n Solução da Lista de Exercícios 10 : 1) a a n 2 n 2,4, 8,16, 32 1 n 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 b a n 2 2 2 2 2 2 2 n c a n 3 1, 3,9/2,9/2,27/8, 81/40 n! nn 1 2 1 1, 1/4,1/9,1/16, 1/25 d a n n2 e a n 2n 1 1/5,3/8,5/11,1/2,9/17 3n 2 1 n1 x 2n1 x, 1/6 x 3 ,1/120 x 5 , 1/5040 x 7 ,1/362880 x 9 f a n 2n 1! 2) 1 a a n 4 1 n , a n1 4 n 1 , 1 1n 1 4 1n 4 1 a n a n1 n 1 n 1 a n é monotona estritamente crescente. cosn b a n n , .5403023059, .2080734182, .3299974988, .1634109052,.05673243710 não é monotona (oscila). c a n 1 n 1 1, 21 , 13 , 41 , 15 , . . . oscila também! n , 2 2 2 3 1 3 1 a a n n1 2 d a n , a n1 , n n1 2 3 3 2 3 1 3 n
n
n
30
monótona estritamente decrescente. 0, 0, 0, 0, .. . monótona decrescente ou crescente e a n senn, n f a n 2 , a n1 2 n1 a n1 a n , ou seja, 1 n 2 n n 1,2,3,.. . n 1 n 2n2 3) a 5, b 1/3, c 3, d 4. 4) 3n 2 n 4 3 n 1 1 a lim b lim 2 n n n 2n 2 1 n 1 1 n 2 1 lim 0 c lim d n n n n 1 n 3 0 f lim 3 5n 2 5 e lim n 4 n n n n 2 1 n1 n 2 n 0 0 lim g lim h n 3 n1 n n 2 1 1 n 6 56 n 0 i lim j lim n n n k lim l lim n 1 1 n1 e n n n
Séries Aqui, serão apresentados os teoremas mais importantes da teoria de séries com relação à convergência. Costuma-se definir uma série como uma expressão da forma a 1 a 2 a 3 . . . a n .. . Uma série pode ser: n a Finita: i1 a i a 1 a 2 a 3 .. . a n b Infinita: i1 a i a 1 a 2 a 3 . . . a n . . . Formalmente, define-se uma série como: se a n é uma seqüência, então a série gerada por a n é a seqüência S k , definida por: S 1 S 2 S 3
S n
a1 a 1 a 2 S 1 a 2 a 1 a 2 a 3 S 2 a 3
a 1 a 2
.. . a n
S n1 a n
Se S k converge, chamamos o limite S de soma da série. Os elementos elementos S n são as somas parciais da série. Exemplo 6: Série geométrica: n0 ar n a ar ar 2 ar 3 . .. , |r | 1. S 1 S 2 S 3
a a ar a ar ar 2
a ar . . . ar n1
a1 r n lim S n lim n n 1 r
S n
a1 r n 1 r a , já 1 r
a n são
os termos e os
r n 0 que lim n0
Portanto: n0 ar n é convergente e, ainda, n0 ar n
a
desde que |r | 1. 1 r Observação 1: Se S for infinito ou simplesmente não existir, então S a n é divergente. Exemplo 7: Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes: 1) n1 1 n1 1 1 1 1 1 1 . . .
31
S n
0, se n é par 1, se n é ímpar
lim S n n
2) A série telescópica n1
1
nn 1
logo, é divergente.
:
Usando a decomposição em frações parciais, n1 1 1 2 lim 1 1 S n lim n n
1
nn 1
n 1 1n n 1 1 ,
1 1 . . . . 1 1 1 1 n n 2 3 n 1 n 1 1. n 1 3) A série geométrica n1 6 n : 10 S n 0. 6 0.06 0.006 0.0006 . . . . 0.666666.... 2 . 3
então S n
1
1
n 1
Propriedades das Séries Convergentes Teorema 4 (Teste do enésimo termo): Se a n converge, então lim a n 0. n a n 0 , então a n diverge. Observação 2: A recíproca não é verdadeira, mas se lim n Exemplo 8: Seja a série harmônica n 1 1n . O limite de 1n é zero, mas a série diverge.
Solução:(Jacob Bernoulli 1713) n1 1n 11 12 13 14 . . . então S 1 1 S 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 S 4 1 2 3 4 1 2 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 8 5 6 7 8 1 2 3 4 1 2 4 4 8 8 n1 n1 , portando a série diverge. S 2 2 , então lim S n lim S 2 lim n n n 2 n
1 8
1 8
4 . 2
n
Observação 3: O que há de harmônico sobre a série harmônica? Os termos na série harmônica correspondem aos nós em uma corda vibrando que produzem múltiplos da freqüência fundamental. Por exemplo, 1/2 produz o harmônico que é o dobro da freqüência fundamental, 1/3 produz uma freqüência que é 3 vezes a freqüência fundamental e assim por diante. A freqüência fundamental é a nota ou a altura do som mais baixa que ouvimos quando uma corda é tangida. Teorema 5: Critério de Leibniz (1705) para séries alternadas b n 0 , então n1 1 n1 b n converge . Se b n é uma seqüência monótona decrescente tal que lim n 1 n1 Exemplo 9: n converge? n1
Solução:
an
1
n
a n1
pelo critério de Leibniz n1
1
n n 1 1
1 n
a n1
a n (seqüência
a n 0 , portanto, monótona decrescente) e lim n
converge.
Lista de Exercícios 11 1 1) Mostre que a série converge e ache a sua soma. 2n 12n 1 n1
2) Mostre que a série cujo enésimo termo é a n
n 1
n diverge, embora lim a n 0 . n
3 n diverge. 2 n1 4) Use o Critério de Leibniz para verificar a convergência das seguintes séries. 3) Prove que a série
32
a
n0
1 n1 , 2n 1
b
n1
1 n1 , 2n 1!
1
5) Mostre que a série
n 3
n1
c
n2
1
n 4
1 n nln n 2
converge e encontre sua soma.
6) Determine se as séries abaixo convergem ou divergem: n 7 n 2 6 6 a b c 4 n e 2n n 9 4n 3 n0 n1 4n 1 n0 n n d n3 e n41 f 7 2n1 n0 4 n0 9 n 0 5
7) Mostre que a série n1
n2
5n 2 4
diverge.
8) A série 2 n 3 1n é convergente? Se sim, encontre sua soma: n1
Solução 1 1 1) S lim n 2
1 1 2n1 2
2) S lim n
1
n 1
converge
diverge
3) Série geométrica com razão r
3 2 1 ,
diverge
4) 1 1 2n 1 2 n 1 a) a n1 2n11 monótona descrescente 2n1 2n1 1 0 e lim Portanto, converge. n 2n1 b) a n1 2n11 ! , 2n 1 ! 2n 1 ! 2n11 ! 2n11! monótona descrescente 1 0 e lim Portanto, converge. n 2n1 ! 1 n 1 ln2 n 1 n ln2 n pois ln x é crescente c) a n1 2 n 1 ln n 1 1 0 Então, a n1 a n monótona descrescente e lim Portanto, converge. n n ln2 n 1 1 1 5) S lim converge 2 n 2 n4 6) a) converge para
81 14
b) converge para 2
c) converge para
1 d) converge para e) converge para 164 a n 51 0 7) lim portanto, diverge. n 8) Série geométrica com S 6 .
1 2
e2
e2
4 f) converge para
5 18
Testes de Convergência Teorema 6 (Teste da Integral): Seja f uma função contínua, positiva e decrescente, definida para x 1, e seja série e a integral, n1 a n e 1 f xdx convergem ou ambas divergem. Exemplo 10: Mostre que a série 1 diverge e a série 1 converge. n1
Solução:
n
n 1
an
f n. Então
ambas, a
n2
33
1
f x
x
f x
1
b1 x1 dx
x 2
b1 x12 dx
ln b ln1
1b 1
ln b,
lim b ln b
limb
n1 1n diverge .
1 1 lim b
b
b1 b
1
n1 12 converge. n
Observação 4: O valor encontrado na integral NÃO é o valor para o qual a série converge. 2 i) n1 12 (Euler 1736) 6 n 1 problema em aberto ainda hoje. ii) n1
n3
Exemplo 11: Mostre que a série n1
1 converge. 2
1 n
Teorema 7 (Critério da Comparação): Sejam a n , b n 0 n. Se existem c 0 tal que a n cb n n, então: a) b n converge a n converge b) a n diverge b n diverge 1 converge. Exemplo 12: Mostre que a série n0 1 n 2 Exemplo 13: Mostre que a série n1 1 diverge. n
Teorema 8: (Teste da Comparação dos Limites)
n1
n1
Sejam a n e b n duas séries de termos positivos,com b n 0 , n 1,2,... e lim n
n 1
n1
an bn
L, então
a) Se L 0 as séries a n e b n são ambas convergentes ou ambas divergentes
b) Se L 0 e b n converge, então a n também converge n1
c) Se L
n1
e b n é divergente, então a n também é divergente. n1
n1
Exemplo 14: 3n n 5 converge? n2 n1 2 Exemplo 15: 2n3 n diverge? n1 n 1 Corolário (Teste da Razão ou de D’Alembert): a n1 Se a n 0 e se lim n a n
1
, então a n é convergente. n1
n Exemplo 16: Use o teste da razão para determinar se 2 converge: n1 n! Observação 5:
a n1 i) Se lim n a n
1
a n1 ii) Se lim n a n
1
, então a n diverge. n1
, não se pode afirmar nada.
n 1
n1
Exemplo 17: Use o teste da razão para determinar se 1n e 12 convergem ou divergem. n
Exemplo 18: Use o teste da razão para determinar se 1 converge ou diverge. n1 n! Teorema 9 (Teste da Raiz ou de Cauchy): 34
Se a n 0 e se lim n
n
a n
r 1 então a série a n converge
.
n1
Observação 6: Se r 1 , então a n diverge e se r 1 nada se pode afirmar. n1
n1
n1
Exemplo 19: Use o teste da raiz para determinar se 1n e 12 convergem ou divergem:
Exemplo 20: Use o teste da raiz para determinar se n2
1 ln n
n
n
converge:
Lista de Exercícios 12 1) Use o teste da integral para determinar se as seguinte séries convergem ou divergem. 1 n a 1 p b c 2 n ln n n n1 n1 n 1 n2 1 5 2 Use o teste da comparação para determinar se as séries e convergem 3 2 1 2n 4n 3 n1 2n n 1 ou divergem. 3 Use o teste da comparação dos limites para determinar se a série 2 1 converge ou diverge. n1 3n 4n 5 4 Use o teste da razão para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem. n 1 x n a nn b 1 n c nn! d n e n1 3 n1 n2 n1 3 n1 n! n1 2n 1 5 Use o teste da raiz para determinar se as seguintes séries convergem ou divergem n n n n 2 1 x a b c 1 d ln n n1
nn
n1
n3
n1
n
n1
n
Respostas 1) a) converge para p 1 e diverge para p 1 b) diverge c) diverge 2) convergem 3) converge 4) a) converge b) converge c) diverge d) diverge e) nada se pode afirmar 5) a) converge b) nada se pode afirmar c) nada se pode afirmar d) converge
Séries de Potência: Definição 4: Uma série do tipo
a 0 a 1 x a 2 x 2
.. .
a n x n é chamada série de potências com centro em n0
zero. 2 a a x x a x x . . . a n x x 0 n é uma série de potências com Definição 5: Uma série do tipo 0 1 0 2 0 n0
centro em x 0 . n Observação 1: É suficiente considerar séries de potências do tipo a n x , pois séries do tipo a n x x 0 n n0
ficam reduzidas ao caso anterior mediante a uma mudança de variável y Observação 2: A série de potências a n x n sempre converge no ponto
x x 0 . x
0
n0
(no centro). Se
x
0
n0
35
,
a n x n
n 0
a 0 a 1 0 a 2 0 . . . a 0
Teorema 8: A série a n x n n0
a) converge somente se x 0 ou b) converge absolutamente x R ou c) existe r 0 tal que a série converge absolutamente se | x | r e diverge quando | x | r . Exemplo 12: n! x n 1 x 2 x 2 6 x 3 . . . n0
lim n! x n
n
Exemplo 13: x n n1 2
Exercício: x n1
1 1 2 1 3 2 x 4 x 8 x . . .
n
n!
Observação 1: Nada é dito no caso de | x | r . Neste caso, a série pode convergir ou divergir. Observação 2: r é chamado raio de convergência. Por convenção, caso a) r 0 e b) r . Observação 3: O intervalo r , r é chamado intervalo de convergência.
Dada uma série de potências a n x x 0 n podemos usar o teste da razão ou o teste da raiz para determinar o raio de convergência.
n 0
n
Exemplo 14: Determine o raio de convergência da série x 2 n0
n
Teorema 9: (Fórmula de Taylor e de Maclaurin) Se f é diferenciável em todas as ordens num intervalo aberto I , onde x , a I , então n f a x a x a 2 x a n n x a n f a f x f a f a .. . f a . . . . . . 1! 2! n! n! n0
f n a x a n ! n n0
onde
é a série de Taylor de f x em a. Além disso, se
a
0,
essa série é também
conhecida como série de Maclaurin de f . Exemplo 15:Determine a série de Maclaurin de f x e x n 2 n f 0 f x x 0 n f 0 xf 0 x f 0 . . . x f n 0 . . . . . . . . . 2! n! n! n0 1 1 f x e x 1 x x 2 x 3 . . . . . . . . 2 6 1 x 5 1 x 7 . . . . . . . . . Exemplo 16: f x sin x x 61 x 3 120 5040
Lista de Exercícios 13
1) Determine o raio de convergência da série 1 n1 x n . resp: (-1,1) n0
2 Encontre a série de Maclaurin para as funções e determine o raio de convergencia.
36
