Apostila_Antenas

ANTENAS

CURSO: Antenas e Propagação PROF.: Roberto da Costa e Silva Edição: 05/02/2007

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1)Principio da Propagação das Ondas Para se entender como as ondas se propagam vamos considerar o caso de uma linha de transmissão. Nesta linha circulam as correntes de sentidos opostos que alimentam as cargas, sendo assim, o vetor campo magnético que produzem em um ponto do espaço é praticamente nulo, devido ao cancelamento dos efeitos motivados pela direção oposta das correntes. Vamos agora dobrar as extremidades da linha. Note-se agora que a corrente nas extremidades dobradas tem o mesmo sentido e desta maneira o vetor campo magnético não mais se anulará dando origem aos campos eletromagnéticos que se propagam. A figura 1 mostra as linhas de força do campo elétrico numa linha de transmissão e como elas se comportam quando entortamos a linha dando origem a uma antena dipolo. Note que as linhas se fecham no infinito quando a linha é cortada. A figura fi gura 2 mostra as linhas de campo se formando e se afastando da antena. Veja que num período T/2(estamos supondo linha de cima positiva e linha de baixo negativa), os campos se formam e se afastam af astam no espaço até  /2. No próximo período T/2( a linha de cima fica negativa e a de baixo positiva), as linhas se formam com sentido contrario e se afastam  /2, as que já haviam se formado se afastam mais outro  /2, totalizando  . Para a formação de um u m novo período as linhas de força do período anterior se fecham no “infinito” e temos assim a propagação das mesmas o que pode ser visto na figura 3. Nestas figuras as linha de campo estando próximas indicam valores de campo altos. As linhas estando mais afastadas indicam valores de campo baixos. Na figura 3 as linhas cheias indicam valores de campo crescentes e as linhas tracejadas indicam valores de campo decrescentes. A figura 2 mostra como em um espaço  /2 estas linhas se formam. Num espaço  temos a formação de dois conjuntos fechados onde cada conjunto representa uma direção do campo.





















Figura 1





















Figura 2





















1)

Processo de Radiação

1.1) Irradiação por fios Vamos considerar a seguinte figura

Figura 4 Nesta figura os pontos sobre a antena serão escritos com linhas e os pontos p ontos fora da antena serão escritos sem s em linhas. Do mesmo modo o tempo “ t’ ” será contado sobre a antena antena e o tempo “t” será o tempo tempo contado no espaço. Estes tempos são diferentes pois existe uma velocidade finita de propagação da onda, sendo no vácuo de 3*10 8 m/s. A função J(r’) representa repr esenta a densidade 2 superficial de corrente em A/m na antena, esta função pode ser s er constante ou variável com a distancia “ r’ ” sobre a antena.





















Vamos considerar que neste fio circule uma corrente dada por I(t ' ) = I 0e jwt ' . Vamos calcular a densidade de corrente no fio e para isto vamos considerar a função J(r' ) como sendo a função que permite ter - se uma distribuição não uniforme da corrente ao longo do fio. Para uma distribuição uniforme deve - se considerar J(r' ) como sendo 1. Quando a corrente não variar com a distancia ao longo do fio, teremos J(r Normalmente considera - se distribuição continua, triangular ou senoidal longo do fio, assim J(r' ) não e unitario. Deste modo a densidade de corrente sera dada por : jwt I (t ′) J ( r ′) I 0 J ( r ′)e J ( r ′t ′) = = 2 2 ′

π r 0

π r 0

O potencial vetor no ponto P sera dado por : µ J ( r ′t ′) dV *  onde dv = π r 02 dz A( rt ) = 4π V R A integral deve ser calculada no volume que contem a corrente I(t′). Os campos eletrico e magnetico no instante t no ponto P produzidos pela corrente I(t′) no instante t′ podem ser calculados pelas formulas ∇ xA( rt ) H (rt ) = µ

 ∇. A(rt )  E ( rt ) = ∇  − jwA(rt )  jw µε 























Note - se que o tempo t′ esta atrazado em relação ao tempo t devido a velocidade de propagação da onda não ser instantanea 1 R w e vale : t ′ = t − onde v = = onde esta ultima igualdade β

v

µε

vale somente para meios dieletricos. Usando - se este fato pode - se por : J (r ′t ′) =

I 0 J (r ′)e

jwt ′

=

π r 02

I 0 J (r ′)e

R jw ( t − ) v

π r 02

I 0e J ( r ′)

I 0 J ( r ′)e e − jwt

=

j β R

π r 02

jwt

vamos chamar J (r ′t ) = J(r′t′) = J (r ′t )e A( rt ) =

µ 4π

e assim pode - se por :

e deste modo pode - se por :

− j β R

J ( r ′t )e −



π r 02

R

j β R

dV

onde a integral deve ser feita no volume

que contem a função J(r′) sendo R a distancia de cada ponto do volume ao ponto onde quer - se determinar o potencial. Projetar-se uma antena consiste na pratica em se determinar a função J(r’). Uma vez que a mesma seja conhecida consegue-se mediante o uso de formulas matemáticas determinar-se os campos iradiados.





















um vetor potencial elétrico F e um potencial escalar magnético m, a partir dos quais os campos elétrico e magnético podem ser determinados por:

E =

−1

ε

e

∇ × F

H = −∇φ m − jwF

Onde “F” é o vetor potencial elétrico e m o potencial escalar magnético. Este vetor potencial elétrico seria calculado por: jkR ε e− F = M dV 4π V R O campo magnético “H” pode ainda ser calculado por:



 ∇ ⋅ F    jw µε 

H = − jwF + ∇

A corrente elétrica “J” ira produzir o vetor potencial magnético “A” e o potencial escalar elétrico , a partir dos quais os campos elétrico e magnético podem ser calculados por:

H =

1 µ

∇ × A

 ∇ ⋅ A  e E = −∇φ − jwA = ∇  − jwA  jw µε + µσ 

Assim um campo elétrico ou magnético pode ser formado por duas parcelas,uma devido ao vetor potencial magnético “A” e outra devida ao vetor potencial elétrico “F”, sendo o campo total dado por:

E = E A + E F H = H + H





















e M s = −n × E 1 − E como não estamos interessados na região V1 pode - se por

J s = n × H 1 − H

E = H = 0 resultando em : J s = n × H 1

e M s

= − n × E 1

Onde Js e Ms são densidades lineares de corrente eletrica(A/m) e densidade linear de corrente magnética(V/m). Utilizando agora a figura 5-B, onde a origem do sistema de coordenadas está próxima da superfície S1 que é a mesma da figura 5-A, vamos supor que existam fontes de correntes Js e Ms, nesta superfície. Estas fontes produzem na região de campo distante vetores A e F que podem ser calculados fazendo-se:

R = r − r ′ cos ϕ

nas variações de fase e R = r nas variações de amplitude. Os vetores são dados por :

A =

e − j β R µ µ e − j β r J s d s′ = N onde :  R 4π 4π r

N =  J s e j β r cos ϕ d s′ ′

F =

ε

4

 M

s

e−

j β R

R

d s′ =

ε e − j β r

4

L





















e das expressões dos vetores A e F vistos acima acima chega-se as seguintes seguintes equações para os campos eletromagnéticos na região de campo distante, ou seja na região onde a dependência com r é do tipo 1/r. E r = H r ≅ 0

E θ = − E φ =

j β e −

j β r

4π r

j β e −

j β r

4π r

( Lφ + η N θ )

µ ε

η =

( Lθ − η N φ )

Lθ   H θ =  N φ −  η  4π r  β Lφ  j β e j r  H φ = −  N θ +  η 4π r  j β e −

j β r

−

Onde os vetores N e L podem ser calculados por:

 J e L =  M e N =

j β r ′ cos ϕ

 J x + J y + J z e d s′ d s′ =  ( M x + M y + M z )e d s′

d s′ =

s

j β r ′ cos ϕ

x

y

z

j β r ′ cos ϕ

j β r ′ cos ϕ

s

x

y

z

Em coordenadas esféricas teremos:

N θ =

β ( ) θ φ θ φ θ cos cos cos sin sin J + J − J e 

N

 (

j r ′ cos ϕ

x

J

y

sin φ + J

z

φ )

j β r ′ cos ϕ

d ′

d s′











































Figura 5 Considerando-se agora a figura 5-C pode-se supor a superfície S1 como sendo um plano e assim a depender da orientação deste plano teríamos: r ′ cos ϕ = y′ sin θ sin φ + z′ cosθ para : d s′ = d y′d z′

r ′ cos ϕ = x′ sin θ sin φ + z′ cosθ

para : d s′ = d x′d z′ r ′ cos ϕ = x′ sin θ sin φ + y′ sin θ sin φ para : d s′ = d x′d y′ Deste modo as integrais podem ser calculadas usando-se:  α c  c / 2



sin 

e

− c / 2

jα z

dz = c

  2 

α c

2

E os campos irradiados por superfícies superf ícies planas podem enfim serem determinados.

2) Características das Antenas





















c) Diagrama de irradiação d) Impedância e) Polarização Vamos definir primeiramente o que sejam ganho e diagrama de irradiação. Para isto vamos definir: W = potencia irradiada ou recebida por uma antena de teste Wr = potencia irradiada ou recebida por uma antena de referencia S = densidade de potencia irradiada por uma antena de teste Sr = densidade de potencia irradiada por uma antena de referencia r eferencia ’ W = potencia recebida por uma antena de teste Wr ‘= potencia recebida por uma antena de referencia

define - se Diretividade de uma antena como sendo : D =

S S r

=

W ′ W r ′

Sabe - se que o vetor de Poynting é uma função da posição e deste modo pode - se escrever : S = f (r ,θ ,φ ). Vamos considerar que a antena de teste seja uma antena omnidirecional, ou seja uma antena que irradia





















D =

S

=

S0

4π r 2 S W o

como a potencia radiada pode ser expressa por







S

S

S

W 0 = Sds = Sr 2 sin θ d θ d φ = Sr 2 d Ω d Ω =

ds 2

r

= sin θ d θ d φ

dW 0 = Sr 2dΩ

pois :

Fazendo - se :

e fazendo - se

dW 0 d Ω

=

r 2S

Define - se U = r 2 S = Intensidad e de radiação de uma antena Pode - se escrever : 4π S D = considerando S = SM f (θ ,φ ) para r constante, onde :

 Sd Ω S





















Dmax =

4π 4π Ω

≅

θφ

(valores em radianos) =

41253 0 0

θ φ

(valores em graus)





















potencia devido ao descasamento. A polarização da antena esta relacionada ao tipo de polarização da onda que a mesma produz ou recebe. Existem antenas de polarização simples e dupla. A figura 6B a seguir mostra a largura de banda de uma antena.

Figura 6B

3) Dipolo Infinitesimal Vamos iniciar nosso estudo de antenas analisando a antena denominada de dipolo infinitesimal ou dipolo elementar. Vamos considerar a figura 7 a seguir.











































J ( r ′t ) =

I 0e

jwt

π r 02

pois J(r′) = 1. Pela figura 7A ve - se que :

R = r − z cosθ . Assim, supondo - se que a corrente I(t′) tenha o sentido

do eixo z, o valor do vetor potencial magnetico valera : µ J ( r ′t )e j β R µ I 0e j β R e jwt dV = dV A z =  2  4π V R 4π V π r 0 R onde dV = π r 02 dz , assim teremos : −

−





















H =

∇ × A

µ

e

 ∇ ⋅ A   − jwA, obtendo - se :  jw µε 

E = ∇

H r = H θ = 0 j β I 0l sin θ 1 j ( wt β R ) H φ = (1 + )e 4π r j β r η I l cosθ 1 j ( wt β R ) E r = 0 2 (1 + )e 2π r j β r −

−









































e isto se deve ao fator “j” da equação. Deste modo este defasamento faz com que o vetor médio de Poyting seja nulo, conforme se pode ver pela formula:

S=

1 1 Re( E × H * ) = 0 = E m H m cos(ψ E − ψ M ) 2 2

Na região que nos interessa a região de campo distante (r>10 ) os campos valem: E φ = E r = H θ = H r = 0

H φ =

E

j β I 0l sin θ

4π r

E θ =

jw µ I 0l sin θ

4π r

veja que :













































2 2 2 2 ηβ θ sin I l 2 0 U r = r S r = 32π 2 4π r 2 S 4π U























I ( z ) = I AD cos β z ±

I AD cos( β l / 2)

sin( β l / 2)

A qual pode ser posta na forma:

sin β z























E θ =

l / 2



− l / 2

dE θ =

l / 2



jw µ sin θ e −

jw µ I ( r ′)e −

4π r

− l / 2

j β r

j β ( r − z cos θ )

l / 2

sin θ

dz























Estamos aptos agora para calcularmos o ganho e o diagrama de radiação dos dipolos elementar e longo, porem vamos primeiramente entender o que é diagrama de irradiação de uma antena.











































































































































































































































































































































































































































































































































































































Tabela 2 As antenas yagi possuem largura de banda inferior a 10% da sua freqüência de operação.

25) Antena log-periodica As antenas log-periodicas são antenas caracterizadas por terem uma largura de banda bastante ampla, sendo conhecidas como antenas independentes da freqüência. Nestas antenas a impedância e o diagrama de radiação variam periodicamente com o logaritmo da freqüência.





















Figura 26 O principio de funcionamento destas antenas baseia-se no fato de que se todas as dimensões de uma antena forem reduzidas de um fator K, a performance da antena (diagrama de radiação, impedância) permanece inalterada se a freqüência de operação for aumentada do mesmo fator K. Isto se chama escalonamento de uma antena. Este escalonamento é conseguido com estrutura como as mostradas na figura 26 onde se deve ter:

  r  θ = θ 0 sin b ln    r 0  w′ = we

2π / b

ln w′ = ln w + 2π / b b ln(r / r 0 ) = 2π ln r = ln r 0 + 2π / b Assim, os valores de w e r são repetidos na razão do logaritmo da freqüência





















a) A impedância de entrada e o diagrama de radiação devem variar periodicamente com o logaritmo da freqüência, isto é não devem portanto se alterar com o logaritmo da freqüência permanecendo constantes. b) Para que isto seja possível deve-se ter em coordenadas esféricas que a estrutura da antena deve ter:  = f ( ln(r)), ou seja a coordenada  da antena deve ser uma função logarítmica da coordenada r. A antena log-periodica é formada por dois braços, br aços, tendo cada um deles uma estrutura deste tipo conforme mostra a figura 26. 2 6. A realização disto na pratica é feito com estruturas com as mostradas na figura 27 abaixo. θ , r são coordenadas, bem como x e y

θ = f(ln(r))

z = ln(w) = x + jy w = re jθ = u + jv desde mod o teremos : x = ln(r ) y = θ Nesta geometria deve-se ter:

1 l2 R2

d 2

=

=

=

τ =

=

= ...... =

τ

=

s2

=

ln +1

=

Rn +1

l1 R1 d 1 s1 ln Rn Deve-se ter em mente que a relação: f n f 1 f 2

= ...

para : f 2 ≥ f 1

define a gama de

f n +1 f 2 f 3 funcionamento da antena em termos da freqüência. Define-se também nesta estrutura um parâmetro de espaçamento dado por: Rn +1 − Rn σ =

2ln

+1





















Figura 27





















Figura 28























Com o ganho desejado escolhe - se os fatores τ e σ com o uso da figura 28, calculando - se então : f max 1  1 − τ  α = tan  B =  f min  4σ  −

2

Bar = 1.1 + 7.7(1 − τ )

cot α 2 Bs = BBar = B[1.1 + 7.7(1 − τ ) cot α ] λ max L =

=

2lmax

=

v f min

λ max 

1  1 −  cot α 4  Bs 

ln Bs N = 1 + ln(1 / τ )   ln   Z a = 120 ln  − 2.25   d n   s = D cosh( Z 0 / 120)

σ ′ =

σ τ





















s = espaçamento entre os condutores da linha de transmissão f max max = freqüência máxima desejada. f min min = freqüência mínima de operação 0 Valores típicos de projeto são: 10 <  <450 e 0,7 <  < 0,95. A terminação da linha de alimentação normalmente é feita por um curto a uma distancia menor ou igual a  max dipolo da da estrutura. max /8 do maior dipolo

26) Antenas de abertura Vejamos agora com base na teoria de irradiação por superfícies já vista como pode ser calculado o campo irradiado por uma superfície plana que contem uma onda plana. 26.1) Irradiação por uma superfície plana

Figura 29 Considere uma onda como mostra a figura 29 com campo elétrico Ex e























N =

J x e

j β ( x sin θ sin φ + y sin θ sin φ )

dxdy

a,b

L =



M y e


dxdy

a ,b



J x cosθ cos φ e

N θ =


dxdy

a ,b



− J x sin φ e

N φ =


dxdy

a ,b

Lθ =



M y cosθ sin φ e


a ,b



Lφ = M y cos φ e


dxdy

a,b

Fazendo-se uso destas equações chega-se a: sin X sin Y c E θ = sin φ (1 + cosθ ) 2 X Y sin X sin Y c E φ = cos φ (1 + cosθ ) 2 X Y E φ E Hφ = θ H θ = −

η

jab β E

η

− j β r

dxdy





















Seja um cabo coaxial alimentado por um lado e com o outro aberto conforme mostra a figura 30. O campo irradiado ir radiado por esta estrutura pode ser calculado pela teoria, supondo-se que exista uma tensão V entre a alma al ma e a malha do cabo no lado aberto, pode-se por: V ρ com este valor pode - se determinar M s E ρ = ρ ln(b / a )

Ms

=−

V

φ

ρ ln(b / a)

e com o uso da teoria vista chega - se á : E θ ηβ wε V (b 2 − a 2 ) j β r sin θ e E θ = − H φ = η 8r ln(b / a ) −





















26.4) Cornetas Uma superfície plana conforme a que foi vista e que na pratica, pode ser pensada como uma guia de onda em aberto, apresenta um baixo rendimento devido a súbita mudança do meio de propagação e ao fato f ato de suas dimensões serem pequenas. Para resolver tais problemas surgiram as cornetas cor netas que podem ser vistas na figura 31. A figura mostra por ordem a corneta cor neta H, a corneta E, a corneta piramidal e a corneta cônica. A corneta H pode ser projetada com o uso da figuras 32 e 33. Para entendimento desta figuras deve-se observar a figura 32 que vale tanto para o plano H como para o plano E. Nesta figura teremos:

cos ϕ e 1 y′2 δ ( y′) = fase = βδ (y′) 2 ρ 1 1 (b1 / 2)2 β b12 fase max = β = 2 ρ 1 8 ρ 1

ρ 1

=

e























Figura 32





















As curvas são apresentadas em função do parâmetro par âmetro “t” e do parâmetro “1”( dado em função de  ). ). A figura 33 permite o dimensionamento da corneta em função da Diretividade pretendida D H. A figura 34, permite o calculo dos diagramas de irradiação.





















Figura 35









































no foco de um refletor parabólico e deste modo consegue-se maiores áreas devido as propriedades da parábola. A diretividade de uma abertura pode ser calculada com o uso de: 4π U E 2 onde P = S • ds e S = D = 2η P



2

U = r S Com o auxilo destas formulas, sendo o campo calculado pelas diversas formas das aberturas( guias, cabos), chega-se a seguinte formula para ganho máximo da antena: 4π A D = 2

λ

Onde “A” é a área da d a abertura. Para antenas parabólicas de diâmetro “d” esta formula fica:

π 2 2 D = 2 d λ

Expressando em db com troca de unidades resulta em:























1) Qual o ganho máximo de uma antena supondo-se que seu rendimento seja de 80% e que o vetor de Poyting por ela produzido seja:

S=

1

2 θ φ 10 sin sin 2

r 2) Em uma antena foram lidos os seguintes s eguintes valores: Ângulo(graus) Campo horizontal(mV/m) Campo vertical(mV/m) 90 1.23 7.98 80 1.65 3.59 70 2.07 11.0 60 2.38 6.5 50 3.04 9.0 40 5.82 13.0





















7) Qual a potencia em dbm na entrada de um u m receptor operando em 850 Mhz, submetido a um campo de 50 V/m se sua antena tem: a) 20 db de ganho b) -1 db de ganho 8) Calcule a impedância do dipolo de meia onda operando em 150 Mhz, alimentado a 25 cm de distancia do seu fim. f im. O diâmetro do condutor do dipolo é de 0,25 cm. 9) Calcule a impedância de radiação e a de alimentação de um dipolo de 1,5 m de comprimento, operando em 300 Mhz, alimentado pelo centro, feito com condutor de 0.3 cm de diâmetro. 10) Calcule as impedâncias de radiação e alimentação para dipolos de 0.5 cm de condutor, operando em 200 Mhz com os seguintes comprimentos:





















impedancia para funcionar de 174 á 216 Mhz. 20) Calcule o ganho de dois dipolos de meia onda alimentados com corrente iguais e espaçados de 0,3  . 21) Calcule o ganho de dois dipolos de meia onda alimentados com correntes iguais e de fase opostas espaçadas de 0,4  . 22) Calcule o ganho e impedancia de uma antena Yagi de dois elementos de meio comprimento de onda espaçados de 0,3  .



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