Apostila_2_MAT236

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA

NOTAS DE AULA MAT236 – MÉTODOS ESTATÍSTICOS 2ª UNIDADE

Elaborada pelas professoras: Giovana Silva, Lia Moraes, Rosana Castro e Rosemeire Fiaccone Revisada em 2010.2 Monitora: Tatiana Felix da Matta Revisada em 2013.1 pelas professoras: Gecynalda e Silvia Regina

5. INTRODUÇÃO A Estatística constitui-se num conjunto de técnicas e métodos científicos que tratam da coleta, análise e interpretação

de informações numéricas, cujo objetivo principal é auxiliar na

tomada de decisões ou tirar conclusões em situações de incerteza, a partir de informações numéricas. A Teoria Estatística moderna se divide em dois grandes campos:

• Estatística Descritiva - consiste num conjunto de métodos que ensinam a reduzir uma quantidade de dados bastante numerosa por um número pequeno de medidas, substitutas e representantes daquela massa de dados.

• Estatística Indutiva ou Inferência Estatística - consiste em inferir (deduzir ou tirar conclusões a respeito das) propriedades de um universo a partir de uma amostra. O processo de generalização, que é característico do método indutivo, está associado a uma margem de incerteza. A medida da incerteza é tratada mediante técnicas e métodos que se fundamentam na Teoria das Probabilidades. Na maioria das vezes não podemos investigar o fenômeno que estamos interessados em estudar em todos os elementos da população por diversos fatores. Para resolver o problema devemos trabalhar com um subconjunto da população, chamado de AMOSTRA. A inferência estatística procura com base nos dados amostrais tirar conclusões sobre a população. Considere o exemplo abaixo para ilustrar as definições dadas. O esquema a seguir resume as etapas de um trabalho estatístico: Técnicas de Amostragem Amostra

População Análise

Descritiva Conclusões sobre as características da população

Inferência Estatística

Informações contidas nos dados

5.1. População e amostra 1

População - Conjunto de indivíduos, objetos ou informações que apresentam pelo menos uma característica comum, cujo comportamento interessa-nos analisar. Ou, em outras palavras, conjunto de todas as medidas, observações relativas ao estudo de determinado fenômeno. i) Deseja-se conhecer o consumo total de energia elétrica em MWH nas residências da cidade de Salvador no ano de 1998.

População ou universo: todas as residências que estavam ligadas a rede elétrica em Salvador, em 1998.

Características: X = consumo anual de energia elétrica em MWH. ii) Deseja-se saber se nas indústrias situadas no Estado da Bahia, em 1997, existia algum tipo de controle ambiental.

População ou universo: indústrias situadas no Estado da Bahia em1997. Característica: X = existência ou não de algum tipo de controle ambiental na indústria. iii) Estudo sobre a precipitação pluviométrica na Região Nordeste no ano 1997.

População ou universo: área referente à Região Nordeste. Característica: X = precipitação pluviométrica. Populações finitas e infinitas: Quanto ao número de elementos, as populações podem ser classificadas em finita ou infinita, dependendo do número de elementos que a compõe.

Exemplos : i) População finita: empresas do Pólo Petroquímico de Camaçari. ii) População infinita: as pressões atmosféricas ocorridas nos diversos pontos do Continente em determinado momento. Em geral, como os universos são grandes, investigar todos os elementos populacionais para determinarmos a característica necessita muito tempo, e/ou o custo é elevado, e/ou o processo de investigação leva a destruição do elemento observado, ou, como no caso de populações infinitas, é impossível observar a totalidade da população. Assim, estudar parte da população constitui-se um aspecto fundamental da Estatística.

Amostra: É qualquer subconjunto da população.

5.2. Tipos de variáveis 2

As características da população que nos interessa analisar recebem o nome de variáveis. As características ou variáveis podem ser divididas em dois tipos: qualitativas e quantitativas.

Variáveis qualitativas - quando o resultado da observação é apresentado na forma de qualidade ou atributo. Exemplos: sexo; estado civil; grau de escolaridade; etc.

Variáveis quantitativas - quando o resultado da observação é um número, decorrente de um processo de mensuração ou contagem. Exemplos: número de filhos; salário mensal; altura; peso; idade; tamanho da família; etc. As variáveis qualitativas são divididas em dois tipos: nominal, para a qual não existe nenhuma ordenação nas possíveis respostas da referida variável, e ordinal, para a qual existe uma ordenação. Por exemplo, Qualitativa

Nominal (sexo, cor dos olhos, tipos de defeitos...) Ordinal (classe social, grau de instrução, porte de empresa...)

As variáveis quantitativas são divididas em: discretas, que assumem valores em um conjunto finito ou enumerável de números, contínuas, que assumem valores em um intervalo int ervalo números reais. Quantitativa

Contínua (peso, altura, vida útil de bateria...) Discreta (número de filhos, número de carros, número de defeitos...)

Para resumir as informações levantadas durante uma pesquisa usaremos a técnica e a representação mais apropriada, a depender do tipo de variável que estamos analisando.

6. APRESENTAÇÃO DOS DADOS Esta seção apresenta alguns procedimentos que podem ser utilizados para organizar e descrever um conjunto de dados, tanto em uma população como em uma amostra. O conjunto de informações disponíveis, após a tabulação do questionário ou pesquisa de campo, é denominado de tabela de dados brutos. Apesar de conter muita informação, a tabela de dados brutos pode não ser prática para respondermos às questões de interesse. Exemplo: Banco de dados (dados brutos) Foi realizada uma pesquisa por amostragem junto às indústrias de matérias plásticas nas principais regiões metropolitanas do Brasil e investigou-se as seguintes variáveis: constituição 3

jurídica; porte; número total de empregados em 1999; faturamento anual em 1998 e 1999; tempo de existência; região metropolitana; e setor de atividade. As observações referentes às 106 empresas amostradas encontram-se no arquivo Empresa.xls. Dado um conjunto de dados o modo de condensação ou apresentação das informações pode ser na forma de tabelas de frequências ou de gráficos que facilitam a visualização do fenômeno, permitem a comparação com outros elementos ou, ainda, fazer previsões.

6.1. Tabela ou Distribuição de Frequências O fenômeno considerado é uma variável qualitativa ou quantitativa (discreta ou contínua) e seus valores observados são descritos considerando o número de vezes que ocorreram na tabela de dados brutos (frequência). Algumas definições:

Frequência simples absoluta( f i ): é o número de ocorrências ou repetições de um valor individual ou um intervalo de valores.

Frequência simples relativa( fr i): é a razão entre a frequência simples absoluta e o número total de dados (soma de todas as frequências simples absolutas). Agora vamos exemplificar distribuições de frequência para cada tipo de variável.

a) Variável qualitativa Nominal ou Ordinal As variáveis qualitativas obtidas em uma pesquisa podem ser organizadas em formas de tabelas para facilitar a visualização e análise dos dados.

Exemplo 6.1: Considere a planilha de dados empresa.xls. Para a variável “porte de empresa” construa uma tabela: Tabela 6.1: Porte das indústrias de matérias plásticas nas principais regiões metropolitanas do Brasil – 1999

Porte da Indústria Grande Média Pequena Total geral

Números de indústrias 23 70 13 106

% (100x fr i ) 21,7 66,0 12,3 100,0 4

Fonte: Dados fictícios

b) Variável Quantitativa Discreta Exemplo 6.2: Foi observado o número de defeitos apresentados por uma máquina industrial durante o período de 30 dias. Os resultados foram os seguintes: 1 0 1 1 2

1 2 1 1 2

1 1 1 4 1

0 3 2 1 1

1 1 0 0 0

1 0 1 3 1

Tabela 6.2: Número de defeitos em uma máquina industrial durante o período de 30 dias. Número de defeitos 0 1 2 3 4 Total

Quantidade (fi) 6 17 4 2 1 30

% (100x fr i) 20,0 56,7 13,3 6,67 3,33 100,0


c) Variável Quantitativa Contínua Para certo conjunto de dados, vamos adotar a seguinte nomenclatura: 1. Máximo (max): maior valor do conjunto. 2. Mínimo (min): menor valor do conjunto. 3. Amplitude total (AT): é a diferença entre o valor máximo e mínimo.

AT = MAX – MIN 4. Classe: é cada um dos intervalos em que se subdivide a amplitude total. Representação: k = número de classes 5. Limite superior ( lsup): é a cota superior para os valores da classe. 6. Limite inferior ( linf ): é a cota inferior para os valores da classe. 7. Amplitude do intervalo de classe (hi): é o comprimento da classe, definida como a diferença entre o limite superior e inferior. 8. Ponto médio ( X i): é a média entre os limites superior e inferior da classe i.

Determinação do número de classes e amplitude do intervalo de classes: Não existem regras gerais, universalmente aceitas, para a determinação do número de classes. Existem, no entanto, algumas regras propostas por diferentes autores, que dão ideia aproximada do número de classes em função do número de dados. 5

Um dos métodos utilizado é chamado de regra de Sturges ou regra do logaritmo. Ele estabelece que k ≅ 1 + 3,3 log 10 n,

em que k é o número de classes e n é o número de dados. Outra maneira para obter o número de classes é k ≅

n.

Mesmo conhecendo alguns métodos para a determinação do k , deve-se saber que a escolha dependerá antes da natureza dos dados, da unidade de medida e da experiência e do bom senso de quem fará a organização dos dados da pesquisa. Uma vez encontrado o número de classes, determina-se a amplitude do intervalo de classes através da fórmula: h=

AT k

.

Exemplo 6.3: (Werkema, vol.2) Os dados abaixo representam o rendimento em porcentagem de uma reação para fabricação de uma substância química, em 80 bateladas produzidas por uma indústria. A empresa decidiu construir uma tabela de frequência para obter um resumo do conjunto de dados. 70,7

71,8

73,9

74,4

75,9

76,0

76,6

76,7

77,4

78,0

78,1

78,1

78,2

78,4

78,4

78,4

78,5

78,5

78,5

78,9

79,0

79,1

79,3

79,3

79,5

79,5

79,7

79,8

79,9

79,9

80,1

80,2

80,4

80,4

80,5

80,7

80,7

80,7

80,9

81,3

81,4

81,6

81,8

81,9

82,0

82,0

82,1

82,3

82,5

82,7

82,9

83,0

83,0

83,2

83,4

83,5

83,6

83,6

83,7

83,8

84,3

84,5

84,5

84,5

84,6

85,2

85,5

85,5

85,7

86,4

86,5

86,8

86,8

86,8

87,1

87,1

87,1

87,3

88,5

90,0

Procedimento para construir uma tabela de distribuição de frequências com intervalos de classes. Solução: Neste caso, n = 80 ⇒ k = (80)1/2 ≅ 9 A amplitude total será dada por AT = 90 – 70,7 = 19,3. Assim, a amplitude de cada intervalo de classe será: h ≅ 2,2 6

Dessa forma, a tabela de distribuição de frequências para dados agrupados em classes fica da seguinte maneira: Dessa forma, a tabela de distribuição de frequências para dados agrupados em classes fica da seguinte maneira:

Tabela 6.3: Rendimento, em porcentagem, de uma reação para fabricação de uma substância química. Rendimento 70,5 |— 72,7 72,7 |— 74,9 74,9 |— 77,1 77,1 |— 79,3 79,3 |— 81,5 81,5 |— 83,7 83,7 |— 85,9 85,9 |— 88,1 88,1 |— 90,3 Total

Número de substância ( fi fi) 2 2 4 14 19 17 11 9 2 80

% (100x fr i) 2,50 2,50 5,00 17,50 23,75 21,25 13,75 11,25 2,50 100,00


6.1.1. Tabela de Múltipla Entrada Em alguns casos é necessário apresentar mais de uma variável em uma única tabela. Quando são utilizadas apenas duas variáveis tem-se uma tabela de dupla entrada.

Tabela 6.4: Porte das indústrias de matérias plásticas por região metropolitana do Brasil – 1999. Porte da empresa

Região Metropolitana Belo Horizonte Curitiba Porto Alegre Rio de Janeiro Salvador São Paulo Total

Total Grande

Média

Pequena

2 1 0 3 8 9 23

9 4 7 13 18 19 70

3 0 1 2 4 3 13

14 5 8 18 30 31 106

Fonte: Dados fictícios.

6.2. Representação Gráfica Serão apresentados alguns tipos de gráfico: setor ou pizza, barra, colunas, Pareto e histograma. 7

1) Gráfico em barras Utilizado para representação de variáveis qualitativas e quantitativas discretas

Exemplo 6.4: Tabela 6.5: Tipo de fraude nos cartões de crédito da Mastercard Internacional no Brasil – 2000. Tipo de fraude

Quantidade

Cartão roubado

243

Cartão falsificado

85

Pedido por correio/telefone

52

Outros

46

Fonte: Triola, Mario F.

Figura 6.1: Tipo de fraude nos cartões de crédito da Mastercard Internacional no Brasil – 2000.

Fonte: Triola, Mario F.

2) Gráfico em colunas Utilizado para representação de variáveis qualitativas e quantitativas discretas.

8

Exemplo 6.5: Tabela 6.6: Número de crianças c rianças de baixa renda, segundo o bairro b airro de residência, que participaram do ensino de música na Escola XYZ, em Salvador – 1998. Bairro Paripe Periperi Plataforma Praia Grande Total

Número de crianças 11 39 45 25 120

Fonte: Escola de Música XYZ, Salvador.

Figura 6.2: Número de crianças de baixa renda, segundo o bairro de residência, que participaram do ensino de música na Escola XYZ, em Salvador – 2008.

Fonte: Escola de Música XYZ, Salvador

Exemplo 6.6: Tabela 2.7: Estudantes da Universidade XYZ Segundo área de estudo e ano de ingresso. Área

Exatas Humanas Biológicas

1998

Ano 1999

2000

120 72 169

156 85 145

68 112 73

Total 344 269 387

Fonte: Dados Fictícios

9

Figura 6.3: Estudantes da Universidade XYZ Segundo área de estudo e ano de ingresso.

Fonte: Dados Fictícios

Exemplo 6.7: Gráfico para o exemplo 6.2 Figura 6.4: Número de defeitos em uma máquina industrial durante o período de 30 dias.

3) Gráfico de Pareto O gráfico de Pareto é composto por colunas e por uma curva representando a percentagem acumulada. As barras estão disponíveis em ordem decrescente, tornando evidente a priorização de temas. Este gráfico é muito utilizado na área de Controle de Qualidade.

10

Exemplo 6.8: (Werkema, vol. 2): Uma indústria fabricante de lentes tem como objetivo resolver o seguinte problema: aumento do número de lentes defeituosas produzidas pela empresa a partir de fevereiro de 1995. A empresa classificou uma amostra de lentes fabricadas durante uma semana de produção de acordo com os tipos de defeitos detectados. O resultado está na tabela a seguir:

Tabela 6.8: Defeitos encontrados em uma amostra de lentes fabricadas durante uma semana de produção de uma indústria em 1200 lentes inspecionada. Tipo de Defeito Arranhão Trinca Revestimento Inadequado Muito Fina ou Muito Grossa Não Acabada Outros Total

Quantidade 12 41 55 11 05 03 127


Uma maneira de representarmos graficamente estes dados é através do gráfico de Pareto, para que seja possível identificar com mais facilidade o defeito que apareceu com maior frequência. Para construirmos o gráfico de Pareto é necessário obtermos a planilha de dados mostrada na tabela a seguir.

Tabela 6.9: Planilha de dados para construção de gráfico de Pareto. Tipo de defeito Revest. Inadeq. Trinca Arranhão Fina ou Grosa Não- Acabada Outros Total

Quantidade de defeito 55 41 12 11 5 3 127

Total acumulado 55 96 108 119 124 127 /

Percentagem do total geral (%) 43,3 32,3 9,4 8,7 3,9 2,4 100

Percentagem acumulada 43,3 75,6 85,0 93,7 97,6 100,0 /


Na Tabela 6.9 os tipos de defeitos foram listados em ordem decrescente de quantidade na coluna 1, a quantidade de defeitos aparece na coluna 2 e o total acumulado está na coluna 3. Nas colunas 4 e 5 estão as percentagens totais e as percentagens acumuladas respectivamente. As barras do gráfico de Pareto foram construídas a partir dos dados da coluna 2 e a curva acumulada conhecida como curva de Pareto, foi traçada a partir dos números da coluna 5.

11

Figura 6.5: Gráfico de Pareto para os defeitos de lentes 100

e l o r t n o C

m e a g d a l a t u 60 n e m c r u e c 40 P A 80

100

50

20 0

Defeitos

o u a d q e d n a t o I e n m i t v e s R e

Quantidade 55 Percentagem 43.3 Perc. Acumulada 43.3

a r n c T i

41 32.3 75.6

s s a G r o a o i t u b a d h o c a ra n u M r o A A i n a N o F i t o u M

12 9.4 85.0

11 8.7 93.7

5 3.9 97.6

0 r s t o O u

3 2.4 100.0

Observando a Figura 6.5, foi imediato para indústria perceber que os dois tipos de defeitos mais frequentes, “Revestimento inadequado” e “trinca”, representavam 75,6% dos defeitos detectados nas lentes produzidas pela empresa. Portanto, “Revestimento inadequado” e “trinca” foram considerados os defeitos mais importantes, que devem ser eliminados em primeiro lugar esse tipo de defeito é chamado de poucos defeitos vitais, enquanto que os outros representam apenas os muitos defeitos triviais, pois representam a minoria das observações.

4) Gráfico em linhas ou curvas Utilizado para descrever séries temporais que são dados observados em instantes ordenados do tempo. Exemplo 6.9:

Tabela 6.10: Índice de Produto Industrial Brasil – 1979. Meses Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro

IPI 18.633 17.497 19.470 18.884 20.308 20.146 20.258 21.614 19.717 22.133 20.503 18.800

Fonte: FIBGE 12

Figura 6.6: Índice de Produto Industrial Brasil – 1979.

Fonte: FIBGE

5) Gráfico em setores Exemplo 6.10: Tabela 2.11: Percentual de funcionários da Companhia Milsa segundo região de procedência Procedência Interior Capital Outro

Percentual 33,30 30,60 36,10

Fonte: Bussab e Morettin (2002)

Figura 6.7: Percentual de funcionários da Companhia Milsa segundo região de procedência.


13

6) Histograma Quando os dados estão agrupados em intervalos de classes, o gráfico mais apropriado é o histograma. No caso de classes de mesma amplitude, é construído um retângulo para cada classe, com base igual à amplitude do intervalo classe e altura proporcional a frequência da classe. Neste caso, altura ~ frequência (absoluta ou relativa) Quando temos classes com amplitudes diferentes, devemos construir um retângulo para cada classe, com base igual à amplitude do intervalo de classe e altura dada por:

d =

requência amplitude da classe

Note que, neste caso, a área do retângulo é igual a frequência da classe. A altura d definida acima é chamada de densidade de frequência.

Exemplo 6.11: Histograma para a distribuição de frequência do exemplo 6.3. Figura 6.8: Rendimento, em porcentagem, de uma Reação para Produção de uma Substância Química.


Exercício: As especificações estabelecem um limite inferior para o rendimento igual a 78%. A partir de um histograma, você acredita que o processo está satisfazendo a especificação? Justifique.

14

6.2.1. Cuidados na representação gráfica


Há vários problemas com este gráfico. Ele impressiona mais pela tecnologia utilizada do que pela informação que passa para o leitor. Os dados não são tridimensionais. As grades do fundo mais o efeito tridimensional distraem a visão e dificultam comparações entre trimestre e regiões. Uma forma de melhorar o gráfico é dar-lhe a dimensão correta. As linhas de grade. Não utilize faixas horizontais, verticais ou similares, que só atrapalham a visão do leitor. Faça mais de um gráfico até encontrar um que seja informativo, claro, e que não possua objetos desnecessários.

Distribuição das vendas do produto X por trimestre segundo as zonas 100 90 80 70

Leste Oeste Norte

60 50 40 30 20 10 0

primeiro

segundo

terceiro

quarto

15

Não apresente gráficos supérfluos. Se retirarmos a figura abaixo, toda a informação poderá ser transmitida textualmente, com uma simples frase: “20% das respostas foram positivas e 80% negativas”.

Observe que o efeito 3-D dificulta o julgamento das porcentagens relativas de cada categoria da variável. A retirada do efeito 3-D ajudará o leitor a julgar melhor as proporções relativas observadas em cada amostra.

7.

MEDIDAS DE POSIÇÃO CENTRAL As distribuições de frequências e os gráficos fornecem mais informações sobre o comportamento de uma variável do que a própria série original de dados. Mas, queremos resumir ainda mais esses dados. Com esse objetivo usaremos métodos da Estatística Descritiva que ensinam a reduzir a informação contida em uma grande quantidade de dados a um pequeno número de medidas, substitutas e representantes daquela massa de dados. Vamos agora estudar as medidas da Estatística Descritiva, agrupadas em medidas de posição (ou de locação ou de localização) central: média, mediana e moda.

Exemplo de aplicação: (Azulejos) Uma fábrica de azulejos nos últimos meses passou a receber reclamações de seus clientes. A maioria das reclamações era relativa aos seguintes problemas:

• Os azulejos, ao serem manuseados, quebravam-se facilmente.

16

• O assentamento dos azulejos, quando era utilizada argamassa, não produzia um resultado uniforme em relação ao nível da parede. Em vista dessa situação, a indústria decidiu formar um grupo de trabalho para resolver esses problemas. Na etapa de identificação do problema, o grupo de trabalho concluiu que a produção de azulejos com espessura não adequada poderia estar provocando as reclamações dos clientes. Esta conclusão resultou do conhecimento dos seguintes fatos:

• Azulejos com espessura muito fina quebram-se facilmente. • A falta de uniformidade na espessura dos azulejos provoca dificuldades durante o seu assentamento. Para avaliar se estavam ocorrendo problemas com a espessura dos azulejos produzidos, o grupo decidiu retirar uma amostra aleatória dos azulejos fabricados pela empresa, medir a espessura destes azulejos e comparar os resultados obtidos com as especificações. Como a empresa empregava duas turmas de trabalho (turmas A e B) e poderia haver diferença na qualidade dos azulejos produzidos por cada turma, foi utilizada uma estratificação, sendo então retirada uma amostra de 80 azulejos produzidos pela turma A e 80 fabricados pela turma B. Os dados coletados, já ordenados, estão na Tabela 7.1. Ao observarmos o conjunto de dados já fazemos alguma ideia sobre o comportamento das duas turmas de trabalho, em termos da espessura dos azulejos que produzem. Entretanto, claramente necessitamos calcular algumas medidas que resumam a informação contida nos dados. Vamos começar tentando responder: Qual o valor típico da turma A? E da turma B? A primeira ideia para obter um valor típico é a de calcular uma média.

Tabela 7.1: Medidas da Espessura (mm) de 160 Azulejos do Estoque (dados ordenados). 2,3 2,4 2,4 2,4 2,6 2,7 2,7 2,8 2,8 2,8 2,9 2,9 2,9 3,0 3,0 3,0

TURMA A 3,1 3,8 3,1 3,9 3,3 3,9 3,3 3,9 3,4 4,0 3,4 4,0 3,5 4,0 3,5 4,0 3,5 4,0 3,5 4,1 3,5 4,1 3,5 4,1 3,6 4,2 3,6 4,2 3,7 4,2 3,7 4,3

4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,6 4,6 4,7 4,7 4,9 4,9 5,1 5,2 5,4 5,4 5,5

4,9 4,9 5,0 5,1 5,1 5,1 5,3 5,3 5,3 5,3 5,3 5,3 5,3 5,4 5,4 5,4

TURMA B 5,6 5,8 5,6 5,8 5,6 5,8 5,7 5,8 5,7 5,9 5,7 5,9 5,7 5,9 5,7 5,9 5,7 5,9 5,7 5,9 5,7 6,0 5,7 6,0 5,7 6,0 5,7 6,1 5,7 6,1 5,7 6,1

6,2 6,2 6,3 6,3 6,4 6,4 6,4 6,4 6,4 6,5 6,5 6,5 6,5 6,6 6,7 6,7 17

3,1 3,1 3,1 3,1

3,7 3,7 3,8 3,8

4,3 4,3 4,4 4,4

5,6 5,6 5,7 5,9

5,4 5,4 5,5 5,5

5,8 5,8 5,8 5,8

6,1 6,1 6,2 6,2

6,7 6,8 6,9 7,0


7.1. Média aritmética simples A média aritmética simples de n números x 1 , x 2 ,..., x n é um valor x tal que x1 + x2

logo temos que,

+ ... + xn = x + x + ... + x = n x n

x

=

x1 + x2

+ ... + xn n

=

∑=1 x

i

i

n

Podemos pensar na média aritmética como o valor “típico” do conjunto de dados e é considerada a principal medida de posição central. Algumas das razões que fazem com que seja a medida de posição mais recomendada são: • É definida rigorosamente e pode ser interpretada sem ambigüidades; • Leva em consideração todas as observações efetuadas; • Calcula-se com facilidade.

Entretanto, esta medida apresenta alguns inconvenientes como o fato de ser muito sensível a valores extremos, isto é, a valores excessivamente pequenos ou excessivamente grandes, em relação às demais observações do conjunto de dados.

Exemplo 7.1 Estamos interessados em conhecer o salário médio mensal de certa empresa com cinco funcionários. Temos o seguinte conjunto de salários mensais, em reais: 123 - 145 - 210 225 - 2.500. Podemos observar que quatro dos cinco salários apresentam valores entre 123 e 225 reais, porém a média salarial de 640,6 reais é bastante distinta desse conjunto pela influência do salário de 2.500 que puxou o valor médio para cima. Em algumas situações, os números que queremos sintetizar têm graus de importância diferentes. Utiliza-se então uma média ponderada. Vamos ver a seguir a definição da média aritmética ponderada. A média aritmética ponderada dos números x1 , x2 ,..., xn , n com pesos p1 , p2 , ..., p n é definida por

18

n

∑ x .p x p

=

i =1 n

i

∑ p i =1

i

, ou simplesmente por x p =

∑ x.p . ∑ p

i

Obs: Quando os dados estão agrupados por frequências (absolutas ou relativas) os ponderadores serão as frequências.

Exemplo 7.2: Em um grupo de pessoas, 70% são adultos e 30% são crianças. O peso médio dos adultos é 70 kg e o peso médio das crianças é 40 kg. Qual o peso médio do grupo? Solução: É a média aritmética ponderada dos dois subgrupos. A resposta é x p

× + × = 70 0 ,7 40 0 ,3 = 61kg 0 ,7 + 0 ,3

Exemplo de aplicação: (Azulejos) Para responder à questão do valor típico da espessura dos azulejos produzidos pelas Turmas A e B calculamos então as médias aritméticas, pois o desejado é obter a espessura média M tal que se a espessura de cada azulejo fosse sempre igual a M a soma total seria a mesma. Resumindo em uma tabela as médias aritméticas (em mm), temos: Tabela 7.2: Valor da média aritmética por turma para dados da espessura dos azulejos Turma A B

Média aritmética 3,8575 5,8725

Observando as médias aritméticas das amostras observadas, parece existir diferença, em termos médios, entre as espessuras dos azulejos que estão sendo continuamente produzidos pelas turmas A e B.

7.2. Moda A moda é outra medida de locação, mas diferentemente da média, não utiliza em seu cálculo todos os valores do conjunto de dados analisado. A moda é o valor que ocorre com maior frequência no conjunto de dados.

Notação: Mo = moda 19

Exemplo 7.3: a) X = {2, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 7}

⇒ Mo = 5

b) Y = {10, 12, 17, 21, 32}

⇒ Mo = não existe, a distribuição é amodal.

c) Z = {2, 2, 5, 5, 7, 7}

⇒ Mo = não existe

d) W = {10, 12, 12, 12, 13, 13, 15, 18, 18, 18, 21} ⇒ A distribuição apresenta dois valores modais: 12 e 18 (distribuição bimodal). Obs: A moda é a única medida de posição central que pode ser usada em tabelas com variáveis qualitativas. Quando o conjunto de dados apresenta mais de uma moda damos o nome de distribuição plurimodal. A moda é uma medida mais adequada ao caso de dados agrupados. Quando a distribuição de frequências está organizada por classes de valores, devemos identificar a classe modal (classe em que observamos a maior frequência). O ponto médio da classe modal será o valor estimado para a moda que é denominada moda bruta.

Mo = li nf

+

hi

2

em que: linf = limite inferior da classe modal; hi = amplitude da classe modal;

No caso de dados não agrupados, a moda nem sempre tem utilidade com elemento representativo ou sintetizador do conjunto. Consideremos por exemplo o seguinte conjunto de dados: Tabela 7.3: Quantidade de operários das empresas de telemarketing na cidade de Salvador - 2010. Quantidade de operários

Quantidade de empresas

7

1

11

1

15

1

17

2

19

1

21

1

25

3


20

De acordo com a definição a moda é 25, entretanto este valor não é representativo do conjunto de dados e, portanto a moda não é uma boa medida de locação neste caso.

Exemplo de aplicação: (Azulejos) Para obtermos a moda bruta é necessário construir uma distribuição de frequência. (número de classes definido arbitrariamente) Tabela 7.4: Espessura (em mm) dos azulejos fabricados pela Turma A Espessura 2,25  2,75 2,75  3,25 3,25 3,75 3,75  4,25 4,25  4,75 4,75  5,25 5,25  5,75 5,75  6,25

Número de azulejos 7 15 16 17 14 4 6 1


Tabela 7.5: Espessura (em mm) dos azulejos fabricados pela Turma B. Espessura 4,75  5,25 5,25  5,75 5,75  6,25 6,25  6,75 6,75  7,25

Número de azulejos 6 30 26 15 3


Resumindo em uma tabela os valores modais (em mm), temos: Tabela 7.6: Valor da moda por turma para dados da espessura dos azulejos. Turma A B

Moda 4,0 5,5

7.3. Mediana Definição: Chamamos de mediana o elemento do conjunto que ocupa a posição central na distribuição ordenada (crescente ou decrescente). Isto é, divide a distribuição em duas partes iguais de modo que 50% dos valores observados são inferiores ao valor mediano e 50% superiores a esse valor. A notação usada será Md = mediana. 21

Notação: X(i)= elemento que ocupa a i-ésima posição da série ordenada. n =número de elementos da série. X  n  + X  n 1) Md =

  +1  2 

   2 

2

2) Md = X  n +1     2 

, n é par

, n é ímpar

A mediana é uma medida de posição resistente, pois é pouco afetada por mudanças de pequena porção dos dados, ao contrário da média aritmética que é sensível a valores atípicos.

Exemplo 7.4: Comparação entre a média aritmética e a mediana para os conjuntos de salários (em reais) dados. X = { 200, 250, 250, 300, 450, 460, 510}

⇒ X = 345,7; Md X = 300.

Y = { 200, 250, 250, 300, 450, 460, 2.300}

⇒ Y = 601,0; Md Y = 300.

Podemos observar que no caso do conjunto Y a média não sintetiza adequadamente o conjunto de dados, pois apenas um valor é superior a ela.

Exemplo de aplicação: (Azulejos) As mesmas comparações feitas para a média podem ser feitas para a mediana para o nosso conjunto de dados. Resumindo em uma mesma tabela as médias e as medianas (em mm), temos: Tabela 7.7: Medidas- resumo por turma para dados da espessura dos azulejos Turma

Média aritmética

Mediana

A

3,857

3,8

B

5,865

5,8


Para ambas as turmas, a média aritmética e a mediana apresentam valores semelhantes. A mediana indica que 50% dos azulejos produzidos pela turma A estão com espessura inferior a 3,8mm e 50% dos produzidos pela turma B apresentam espessuras superior a 5,8mm.

22

7.4. Indicações para utilização das três principais medidas de posição central Vimos que as três principais medidas de posição - a média aritmética, a mediana e a moda têm o mesmo objetivo: determinar um valor típico do conjunto de dados. Surge, então, a seguinte questão: quando deveremos utilizar cada uma dessas medidas? De maneira geral, a moda é a menos empregada e a mais difícil de calcular satisfatoriamente. No entanto, é adequada para caracterizar situações onde estejam em causa os casos ou valores mais usuais.

Por exemplo, em estudos de mercado, o empresário pode estar interessado nas medidas

que mais se vendem. Correntemente a escolha é feita entre a média e a mediana, dependendo da natureza do problema a estudar e de outros fatores, muitos dos quais não podem abordar-se a nível elementar. A mediana tem vantagem: é mais resistente do que a média, isto é, a alteração drástica de um só valor do conjunto de dados reflete-se substancialmente no valor da média e pode não refletir-se, ou refletir-se muito pouco, no valor da mediana. A média tem vantagens: quando a curva de frequências tem forma de sino, mais ou menos simétrica, com abas decaindo rapidamente (valores erráticos muito improváveis), a média é mais eficiente

do que a mediana; a média é uma função linear das observações, propriedade que

também pode pesar na sua adoção. Por fim, uma vantagem da mediana e da moda em relação à média aritmética é que esta última não pode ser calculada quando ocorrem classes de frequências com limites indefinidos (classes abertas). Entretanto, nesta situação, a moda e a mediana podem ser encontradas sem qualquer dificuldade.

8. SEPARATRIZES As separatrizes são medidas que permitem calcularmos valores da variável que dividem ou separam a distribuição em partes iguais. Temos três tipos de separatrizes, também chamadas de quantis: os quartis; os decis; e os percentis.

23

As medidas de posição denominadas quartis, decis e percentis têm construção análoga a da mediana. Enquanto a mediana separa a distribuição em duas partes iguais, a característica principal de cada uma dessas medidas é:

• Quartis: dividem a distribuição em quatro partes iguais; • Decis: dividem em dez partes iguais; • Percentis: dividem em cem partes iguais. Notações: Qi = quartil de ordem i; Di = decil de ordem i; Pi = percentil de ordem i

Observações: i) Temos a seguinte igualdade: C 50 = D5 = Q2 = Md ii) O cálculo para os decis e os percentis é análogo ao dos quartis. iii) O intervalo interquartil ou interquartílico, definido por (Q1; Q 3), contém 50% do total de observações localizadas mais ao centro da distribuição. As Figuras a seguir ilustram uma distribuição simétrica e distribuições assimétricas, respectivamente. Figura 7.1: Distribuição Simétrica.


Figura 7.2: Distribuições Assimétricas.

24

Fonte: Bussab e Morettin (2002) Cálculo dos percentis

A posição do percentil de ordem i no conjunto de dados ordenado será definida como: Posi

= i.

n

100

, em que Posi = posição do percentil de ordem i; e n = número de elementos da série

1) Se Posi = valor inteiro, então o percentil é definido como a média dos valores que ocupam a posição Posi e Posi + 1. 2) Se Posi = valor não inteiro, então o percentil é definido como o valor que ocupa a posição u + 1 , em que u = inteiro mais próximo que seja menor que Posi .

Exemplo 8.1: Calcule Q1 para o seguinte conjunto de dados: 21 23 18 25 24 28 Resolução: Lembrar que Q1 corresponde ao percentil de ordem 25. 1. Ordenar os valores: 18

21

23

24

25

28

2. Pos 25 = 25 (6/100) = 1,5 (valor não inteiro) ⇒ u = 1 e portanto o Q1 é o valor que ocupa a 2ª posição na série ordenada. Portanto, Q1 = 21

Exemplo de aplicação: (Azulejos) Verificar por meio dos quartis o tipo de assimetria para os dados de espessura de azulejos. Medidas Q1 Md Q3 Md – Q1 Q3 – Md Assimetria

Turma A 3,10 3,80 4,45 0,70 0,65 Negativa

Turma B 5,55 5,80 6,20 0,25 0,40 Positiva

9. MEDIDAS DE DISPERSÃO Exemplo 9.1: Duas máquinas foram reguladas para encher cada pacote de café com 500g. Com o objetivo de verificar a regulagem dessas máquinas, um fiscal de área anotou o peso dos 5 primeiros pacotes produzidos por cada máquina e calculou o peso médio dos pacotes. Os resultados encontram-se abaixo: Máquinas A B

1° 500 490

Peso dos pacotes 2° 3° 4° 497 498 500 500 505 510

Peso médio 5° 495 495

498 500

25

Observando apenas o peso médio dos pacotes, poderíamos concluir que a máquina B apresentou melhor desempenho do que A. Porém, quando observamos cada informação separadamente, verificamos que o peso dos pacotes vindos da máquina A variou entre 495 e 500g, enquanto que o da B variou entre 490 e 510g. Isto quer dizer que a máquina A enche os pacotes mais uniformemente que a máquina B. As medidas de dispersão servem para avaliar o grau de variabilidade dos valores de um conjunto de dados. Estas medidas permitem estabelecer comparações entre fenômenos de mesma natureza ou de natureza distinta e, em geral, essa variabilidade é observada em torno de uma medida de posição central. Essas medidas podem ser absolutas ou relativas.

9.1. Amplitude total ( medida de dispersão absoluta) Definição: A amplitude total de um conjunto de números é a diferença entre os valores extremos do conjunto. Notação: AT = Amplitude Total Exemplo 9.2: Calcular as amplitudes totais do exemplo anterior e identificar qual a máquina que apresentou a menor dispersão no peso dos pacotes de café. Resolução:

A : AT = 500 - 495 = 5 gramas; B: AT = 510 - 490 = 20 gramas;

A máquina A apresentou uma menor variabilidade nos pesos dos pacotes de café.

Observações: 1º) A amplitude total é a medida mais simples de dispersão. 2º) A desvantagem desta medida de dispersão é que leva em conta apenas os valores mínimo e máximo do conjunto. Se ocorrer qualquer variação no interior do conjunto de dados, a amplitude total não nos dá qualquer indicação dessa mudança. 3º) A amplitude total também sofre a influência de um valor "atípico" na distribuição (um valor muito elevado ou muito baixo em relação ao conjunto).

Exemplo de aplicação: (Azulejos) Vamos observar no nosso conjunto de dados as médias aritméticas e as amplitudes totais ( ranges) para termos uma primeira ideia sobre a variabilidade das espessuras dos azulejos para as diferentes turmas. Tabela 9.1: Medidas-resumo para dados da espessura dos azulejos. Turma A B

Média aritmética 3,8575 5,8725

Amplitude total 3,6 2,1 26

Podemos observar que a amplitude total para a turma B é menor que a da turma A.

9.2. Desvio-padrão amostral (medida de dispersão absoluta) Vejamos a seguinte ilustração: Cinco pessoas são levadas a um laboratório para medir suas respectivas taxas de colesterol. O laboratório sugere utilizar dois métodos diferentes de medição para efeitos de controle. Os resultados são dados abaixo: X =200

* 177

* * 193 195 * 192

* 209

Método A

* 226

Método B

* * * * 196 201204 207

Pode-se observar que em média os métodos de medição do colesterol são iguais porém, se analisarmos melhor os dados percebemos que no método A os valores estão mais afastados da média do que no método B. Este fato, nos leva a pensar numa medida que possa avaliar a dispersão dos dados em torno de sua média. Tal medida é conhecida como desvio padrão e veremos sua definição a seguir.

Notação: s = desvio-padrão Definição: Sejam x1 , x2 ,..., xn ,

n

valores que a variável X assume. O desvio padrão amostral é

definido como: n

S =

2 ( ) − x x ∑ i

i =1

n −1

Exercício: Calcule o desvio padrão para as taxas de colesterol: método A e método B. SA = 18,43909

SB= 6,041523

Exemplo de aplicação: (Azulejos) Da mesma maneira que trabalhamos com a amplitude total, vamos observar no nosso conjunto de dados as médias aritméticas e os desvios padrões (S ) para termos uma primeira idéia sobre a variabilidade nas espessuras dos azulejos produzidos pelas turmas A e B. Tabela 9.2: Medidas-Resumo para dados da espessura dos azulejos. Turma

Média Aritmética Desvio Padrão

A

3,8575

0,8706

B

5,8725

0,4802

27

Podemos observar que a Turma B apresenta maior média que a da turma A e além disso a sua variabilidade é menor. Parece que esta turma atinge mais os objetivos, ou seja, uniformidade na espessura (menor dispersão) e azulejos com espessura mais grossa.

9.3. Variância (medida de dispersão absoluta) Definição: A variância é o quadrado do desvio padrão. Notação: s2 Observações: i)

O desvio padrão tem a unidade de medida igual a unidade de medida original da variável, enquanto que a variância apresentará a unidade de medida elevada ao quadrado.

ii) Ao trabalharmos com os dados de toda a população calculamos a variância e o desvio padrão populacional dividindo por N (tamanho da população) e não por N-1.

9.4. Coeficiente de variação de pearson (medida de dispersão relativa) Quando se deseja comparar a variabilidade de duas ou mais distribuições, mesmo quando essas se referem a diferentes fenômenos e sejam expressas em unidades de medida distintas, podemos utilizar o coeficiente de variação de Pearson (medida de dispersão relativa).

Notação: CV = coeficiente de variação de Pearson ou apenas coeficiente de variação. Definição: O coeficiente de variação para um conjunto de

n

observações é definido como o

quociente entre o desvio padrão e a média aritmética da distribuição. CV =

S X

,

em que S = desvio padrão amostral. Observe que esta é uma medida adimensional. Normalmente é expressa em porcentagem.

Exemplo de aplicação:(Azulejos) Considerando o exemplo anterior para calcularmos o coeficiente de variação: Tabela 9.3: Medidas-Resumo para dados da espessura dos azulejos. Turma A B

Média Aritmética Desvio Padrão 3,8575 0,8706 5,8650 0,4855

Coeficiente de Variação (%) 22,57 08,28

Os azulejos produzidos pela turma B são mais homogêneos quanto a espessura.

28

10. Box-plot O Box-plot é um método alternativo para representar os dados e está ilustrado na Figura 10.1. O Box-plot fornece informações sobre as seguintes características de um conjunto de dados: locação, dispersão, assimetria e outliers (observações discrepantes). Figura 10.1 Box Plot

Máximo

Quartil 3 Mediana Quartil 1

Mínimo

Ponto exterior

O centro da distribuição é indicado pela linha da mediana. A dispersão é representada pela altura do retângulo (Q3-Q1), o qual contém 50% dos valores do conjunto de dados. A posição da linha mediana no retângulo informa sobre a assimetria da distribuição. Uma distribuição simétrica teria mediana no centro do retângulo. Se a mediana é próxima de Q1 então os dados são positivamente assimétricos. Se a mediana é próxima de Q3 os dados são negativamente assimétricos. Os valores fora de Q1–1,5(Q3-Q1), denotado por limite inferior, e Q3+1,5(Q3-Q1), denotado por limite superior, geralmente são chamados de pontos exteriores e devem ser investigados como possíveis outliers ou valores atípicos. Pontos exteriores não são necessariamente outliers, mas um outlier usualmente aparece no gráfico como um ponto exterior .

Exercício de aplicação: (Azulejos) Observemos os Box plots para as turmas A e B. Temos que para turma A, o limite inferior é Q1–1,5(Q3-Q1)= 3,1-1,5(4,45-3,1)= 1,075 e o limite superior é Q3+1,5(Q3-Q1)= 4,45+1,5(4,45-3,1)=6,475. E para a turma B, o limite inferior é 5,55-1,5(6,229

5,55)=4,575 e o superior é 6,2+1,5(6,2-5,55)=7,175. Então, não há pontos exteriores. Os Boxplots correspondentes as turmas A e B estão na Figura 6.2. Podemos perceber que a distribuição da espessura dos azulejos fabricados pela turma A aparentemente apresenta assimetria negativa. Enquanto que para a turma B observa-se assimetria positiva. Figura 10.2: Box-plot para as espessuras (mm) dos azulejos por turma

Observações sobre a construção e interpretação de Box-plots: 1. Quando a distribuição dos dados é simétrica, a linha que representa a mediana estará localizada mais ou menos no centro do retângulo e as duas linhas que partem das extremidades do retângulo terão aproximadamente os mesmos comprimentos. 2. De modo geral, quando a distribuição dos dados é assimétrica à direita, a linha que representa a mediana estará mais próxima de Q1 do que de Q3. Isto acontece porque a metade inferior dos dados está dispersa em uma faixa de comprimento menor que o comprimento da região ocupada pela metade superior do conjunto de dados. 3. Quando a distribuição dos dados é assimétrica à esquerda, a linha que representa a mediana estará mais próxima de Q3 do que de Q1. Isto acontece porque a metade superior dos dados está dispersa em uma faixa de comprimento menor que o comprimento da região ocupada pela metade inferior do conjunto de dados. 30

4. O Box-plot também pode ser desenhado na posição vertical. 5. Os Box-plots são muito úteis para a comparação de dois ou mais conjuntos de dados.

Exercício de aplicação: (Azulejos). Utilizando agora todos os novos conhecimentos que você adquiriu, responda: a) Sabendo que os limites de especificação para a espessura dos azulejos são (5,0 ± 1,5) mm, você considera que a espessura não adequada dos azulejos pode estar provocando as reclamações dos clientes? Por que? b) forma do histograma construído para todos os dados considerados em conjunto está indicando que pode haver diferença na qualidade dos azulejos produzidos em diferentes níveis dos fatores de manufatura do processo de fabricação dos azulejos? Por quê? c) Você considera que as duas turmas trabalham do mesmo modo ou existe diferença entre a qualidade dos azulejos produzidos pelas duas turmas? Justifique sua resposta. d) O problema de quebra dos azulejos parece ser comum aos azulejos produzidos por ambas as turmas de trabalho da empresa ou parece estar associado a uma turma específica? Por que? e) O problema de falta de uniformidade no assentamento dos azulejos parece ser comum aos azulejos fabricados por ambas as turmas de trabalho da empresa ou parece estar associado a uma turma específica? Por que?

31

5ª LISTA DE EXERCÍCIOS Elaborada pelos professores: Giovana Silva, Maurício Lordelo, Rosana Castro. Revisada: Giovana Silva. 1) Classifique cada uma das variáveis abaixo em qualitativa (nominal/ordinal) ou quantitativa (discreta/contínua): a) Ocorrência de hipertensão arterial em grávidas com mais de 35 anos (sim ou não são possíveis respostas para esta variável). b) Intenção de voto para presidente (possíveis respostas são os nomes dos candidatos, além de “indeciso”). c) Perda de peso de maratonistas na Corrida de São Silvestre, em quilos. d) Intensidade da perda de peso de maratonistas na Corrida de São Silvestre (leve, moderada, forte). e) Grau de satisfação da população brasileira com relação ao trabalho de seu presidente (valores de 0 a 5, com 0 indicando totalmente insatisfeito e 5 totalmente satisfeito). R.: a)Qualitativa Nominal b) Qualitativa Nominal c)Quantitativa Contínua d)Qualitativa Ordinal e) Qualitativa Ordinal

2) Um questionário foi aplicado aos dez funcionários do setor de contabilidade de uma empresa fornecendo os dados apresentados na tabela: Curso (completo) 1 masculino superior 2 feminino superior 3 feminino médio 4 masculino médio 5 masculino médio 6 feminino médio 7 masculino médio 8 feminino médio 9 masculino fundamental 10 feminino fundamental a) Classifique cada uma das variáveis; Funcionário

Sexo

Idade

Salário (R$)

34 43 31 37 24 25 27 22 21 26

1100,00 1450,00 960,00 960,00 600,00 600,00 600,00 450,00 450,00 450,00

Anos de empresa 5 8 6 8 3 2 5 2 3 3

b) Faça uma representação gráfica para a variável curso; c) Faça uma tabela para a variável curso por sexo. R.:a)sexo- qualitativa nominal curso- qualitativa ordinal idade- quantitativa continua de empresa- quantitativa continua

salario- quantitativa continua

anos

b)grafico colunas , barras , setor c) Tabela: Funcionários do setor de contabilidade de uma empresa por sexo e grau de instrução. Grau de Instrução

Fundamental

Medio

Superior

Total

Sexo Feminino

1

3

1

5

Masculino Total

1 2

3 6

1 2

5 10

Fonte: exercicio

32

3) Uma empresa do ramo automobilístico apresentou nos últimos anos os seguintes dados: Ano

Veículos Vendidos

Gastos com propaganda (R$)

1990 116002 1991 154972 1992 178179 1993 233011 1994 295725 1995 343533 1996 379370 Fonte: Dados fictícios a) represente graficamente cada série separadamente;

1713 2835 3585 5566 7251 8146 9148

Renda per capita (US$) 429 455 482 514 556 596 632

b) analisando essas tabelas e gráficos pode-se concluir que os gastos com propaganda foram compensados com o aumento da quantidade de veículos vendidos? Justifique. R.: a) Gráfico em colunas ou barras ou linhas. b) sim. Quanto mais gasto com propaganda, maior foi o número de carros vendindos e teve aumento na renda.

4) Uma indústria automobilística verificou que, nos últimos meses, ocorreu um aumento no número de reclamações sobre a ocorrência de defeitos no suporte da lanterna traseira de um modelo de automóvel por ela fabricado. A empresa desejava eliminar esta situação indesejável e para isto iniciou estudos para melhorar resultados. Na etapa de identificação do problema, os técnicos da indústria classificaram o número total de peças defeituosas encontradas em uma amostra de peças produzidas durante uma semana de trabalho, segundo os tipos de defeitos que foram detectados. Os dados obtidos são apresentados na tabela abaixo. Defeitos encontrados em uma amostra de suportes da lanterna traseira de um modelo de automóvel durante uma semana de produção de uma indústria.

Tipo de defeito Moldagem solta Solda quebrada Centro da moldagem deslocado Lateral da moldagem deslocada Moldagem arranhada Moldagem dentada Plástico arranhado Limpeza incompleta Orifício deslocado Pino deslocado Total a) Construa um gráfico adequado para esta série.

Quantidade de defeitos 14 01 04 24 01 44 07 79 01 05 180

b) Identifique os tipos de defeitos que os técnicos da empresa deveriam “atacar” em primeiro lugar, com o objetivo de melhorar os resultados que vinham sendo obtidos pela indústria. Justifique sua resposta. R.:a)grafico em colunas ou barras ou pareto (preferência). b)limpeza incompleta, moldagem dentada. Prioridade para os que apresentam maior ocorrência.

33

5) De acordo com uma pesquisa, vê-se que dos 36 empregados da seção de orçamentos da Cia. Milsa, 12 têm o primeiro grau de educação, 18 o segundo e 6 possuem título universitário. Apresente esta distribuição em uma tabela (com as proporções) e em um gráfico. R.:Tabela: Grau de instrução empregados da seção de orçamentos da cia. Milsa. Grau de instrução Frequência simples Frequência simples absoluta relativa 1 grau 12 0,33 2 grau

18

0,50

3 grau Total Fonte: exercicio b) grafico barra ou coluna

6 36

0,17 1,00

6) Uma empresa procurou estudar a ocorrência de acidentes com seus empregados, tendo, para isso, realizado um levantamento abrangendo um período de 36 meses, onde foi observado o número de operários acidentados para cada mês. Os dados correspondentes são: 1 5 6

2 5 7

2 5 7

3 5 7

3 5 7

3 5 7

3 5 8

4 6 8

4 6 8

4 6 9

4 6 9

4 6 10

a) Construa uma distribuição de freqüência adequada; b) Represente graficamente a distribuição do item a; c) Em qual porcentagem de meses houve, exatamente, seis acidentes? d) Em qual porcentagem de meses houve até quatro acidentes? R.:Tabela: Nº de acidentes ocorridos, por mês, com empregados da empresa no periodo de trinta e seis meses. Nº de acidentes Números de meses ( fi) fr i 1 1 0,028 2 2 0,055 3 4 0,111 4 5 0,139 5 7 0,195 6 6 0,167 7 5 0,139 8 3 0,083 9 2 0,055 10 1 0,028 Total 36 1,00 Fonte: exercicio b) colunas c)1/6 d)1/3

7) Contou-se o número de erros de impressão da primeira página de um jornal durante 50 dias, obtendose os resultados abaixo: 08 14 12 09 07

11 13 08 12 15

08 06 11 11

12 12 06 09

14 07 07 14

13 05 12 08

11 08 07 14

14 08 10 08

14 10 14 12

05 16 05 10

06 10 12 12

10 12 07 13

a) Construa uma distribuição de freqüência adequada; 34

b) Represente a distribuição graficamente; c) Calcule o número médio de erros de impressão por primeira página; d) Calcule a mediana; e) Determine a moda. R.:Tabela: Número de erros de impressão da primeira página do jornal. Nº de erros Números de páginas( fi) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Total

% (100x fr i) 6 6 10 14 4 10 8 18 6 14 2 2 100

3 3 5 7 2 5 4 9 3 7 1 1 50

Fonte: exercicio b) grafico barras ou colunas.

c)10,24

d)10,5

e)12

8) A distribuição de freqüências do salário anual dos moradores do bairro A que têm alguma forma de rendimento é apresentada na tabela abaixo: Faixa Salarial (x10 S.M.) 0 − 2 2 −4 4 − 6 6 −8 8 − 10 10 − 12 12 − 14

fi

10.000 3.900 2.000 1.100 800 700 2.000

a) Construa um histograma da distribuição e identifique o tipo de assimetria; b) A média é uma boa medida para representar estes dados? Justifique sua resposta. R.:a) positiva ou à direita

b) não. Devido a assimetria.

9) Os dados abaixo se referem ao diâmetro, em polegadas, de uma amostra de 40 rolamentos de esferas produzidas por uma companhia: 0,738 0,736 0,728 0,738

0,729 0,735 0,738 0,739

0,743 0,724 0,725 0,727

0,740 0,733 0,733 0,735

0,736 0,742 0,734

0,741 0,736 0,732

0,735 0,739 0,733

0,731 0,735 0,730

0,726 0,745 0,732

0,737 0,736 0,730

0,728 0,742 0,739

0,737 0,740 0,734

a) construa uma tabela de distribuição de frequência por intervalos de classe; b) represente graficamente a distribuição do item a. R.:a) n= 40 k= 6,32 AT = 0,021 h=0,004

35

Tabela: Diâmetro (mm) de rolamentos de esferas produzidas por uma companhia. Diametro rolamentos Números de rolamentos( fi) % (100x fr i) 4 10 0,724− 0,728 6 15 0,728 − 0,732 11 27,5 0,732 − 0,736 12 30 0,736 − 0,740 6 15 0,740 − 0,744 1 2,5 0,744 − 0,748 Total 40 100,0 Fonte: exercicio a) histograma

10) Coloque V(verdadeiro) e F(falso) e justifique: a) ( ) 50% dos dados de qualquer amostra situam-se acima da média; b) ( ) Numa turma de 50 alunos onde todos tiraram a nota máxima, o desvio padrão é zero; c) (

) Quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou maior número de erros,

utilizamos a média; d) (

) Somando-se (ou subtraindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um

conjunto de dados, a média aritmética fica adicionada (ou subtraída) dessa constante. e) (

) Multiplicando-se (ou dividindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de

um conjunto de dados, a média aritmética fica multiplicada (ou dividida) por essa constante. f)

(

) Somando-se (ou subtraindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um

conjunto de dados, o desvio padrão fica adicionado (ou subtraído) dessa constante. g) (

) Multiplicando-se (ou dividindo-se) um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de

um conjunto de dados, o desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa constante. R.: F,V,F,V,V,F,V

11) Na companhia A, a média dos salários é 10.000 unidades e o 75 0 percentil é 5.000. Justifique. a) Se você se apresentasse como candidato a essa firma e se o seu salário fosse escolhido ao acaso entre todos os possíveis salários, o que seria mais provável: ganhar mais ou menos que 5.000 unidades? b) Suponha que na companhia B a média dos salários é 7.000 unidades e a variância é praticamente zero, e lá o seu salário também seria escolhido ao acaso. Em qual companhia você se apresentaria para procurar emprego? R.: a) ganhar menos. b) B

12) Uma indústria de alimentos estava interessada em analisar seu processo de produção de determinado alimento. Existem nesta indústria duas máquinas responsáveis pelo controle do processo de desidratação do alimento. Um importante item de controle do processo é a umidade do produto final, que segundo as especificações, deve estar na faixa de 8,0% a 12%. Foi detectado incapacidade do processo em atender às especificações. A equipe técnica suspeitava de que podia haver diferenças na forma de funcionamento das duas máquinas de desidratação. Com o objetivo de observar o funcionamento das máquinas foram feitas medidas do teor de umidade do produto final, estratificadas por máquina de desidratação. Os resultados estão apresentados a seguir: Máquina 1 36

11,7 11,2 11,9 10,9

11,8 11,2 11,1 11,7

12,1 11,8 11,4 11,3

10,7 11,2 10,7 11,5

11,7 11,0 11,2

10,9 11,7 11,6

10,7 11,1 11,0

11,6 11,3 10,9

12,5 11,0 11,2

10,7 12,2 11,2

11,5 10,7 11,3

11,1 12,2 12,1

11,5 10,2 11,8 10,6

10,4 11,2 11,1

11,0 11,9 10,4

9,9 10,8 11,8

10,5 11,2 11,9

10,8 11,0 10,7

11,4 10,2 10,8

11,5 11,5 10,8

10,9 10,9 10,4

10,2 10,1 10,8

Máquina 2

11,4 11,1 11,2 11,2

11,5 11,0 10,7 10,8

Para cada máquina, calcule a média, a mediana, o desvio padrão, o coeficiente de variação e o intervalo interquartil da variável teor de umidade e construa o histograma e box plot . A partir das medidas descritivas e dos histogramas e box plots, compare o desempenho das duas máquinas comentando os aspectos de posição e variabilidade dos dados.

R.: Maquina 1 Média=11,365 Mediana=11,25 Desvio Padrão=0,4715 CV=0,0415 Quartil 1: 11,0 Quartil 3: 11,7

Maquina 2 Média=10,95 Mediana=10,9 Desvio Padrão=0,5109 CV=0,0467 Quartil 1: 10,7 Quartil 3: 11,3

13) Construa a planilha e em seguida o gráfico de Pareto para a tabela abaixo: Tipo de Defeito Moldagem Solta Solda Quebrada Centro de Moldagem Deslocado Lateral de moldagem deslocado Moldagem Arranhada Plástico Arranhado Limpeza Imcompleta Total

Quantidade de Defeito 14 01 04 24 01 08 28 80

37

11.Noções de Inferência Estatística 11.1. Introdução O objetivo principal da inferência estatística é fazer afirmações sobre características de uma população, baseando-se em resultados de uma amostra. Na inferência estatística a incerteza está sempre presente. No entanto, se o experimento foi feito de acordo com certos princípios, essa incerteza pode ser medida. Uma função da estatística é fornecer um conjunto de técnicas para fazer inferências e medir o grau de incerteza destas inferências. Esta incerteza é medida em termos de probabilidades. Exemplo 1: Flores brancas

Sementes

(10.000.000) (POPULAÇÃO)

Flores vermelhas

Suponha que em um celeiro existam 10 milhões de sementes de flores que podem produzir flores brancas ou flores vermelhas. Deseja-se a seguinte informação: que proporção,

dessas 10 milhões de sementes, produzirá flores brancas? Não é de interesse plantar todas as sementes para verificar a cor das flores produzidas. Vamos plantar algumas poucas e com base nas cores dessas poucas, fazer alguma afirmação sobre a proporção (das 10 milhões) que produzirá flores brancas. Não podemos fazer esta generalização com certeza, mas podemos fazer uma afirmação probabilística, se selecionarmos as sementes que pertencerão à amostra de forma adequada. Suponha que foi retirada uma amostra aleatória (ao acaso) composta de 200 sementes da população acima. Observou-se que dessas sementes 120 eram de flores brancas e 80 de flores vermelhas. A proporção de flores brancas encontrada na amostra foi então de 60% .

Como poderíamos utilizar o resultado de uma amostra para estimar a verdadeira proporção de sementes de flores brancas? Analisando o problema em questão com auxílio da teoria das probabilidades, pode-se encontrar um intervalo em torno da proporção observada na amostra (60%) e afirmar com bastante segurança que a proporção populacional de sementes de flores brancas estará contida neste intervalo. Por exemplo, no problema acima, se admitíssemos uma chance de erro de 5%, com o tamanho de amostra utilizado (n=200), a teoria estatística permite afirmar que a proporção populacional de flores brancas está entre 53% e 67%. Se os métodos estatísticos forem corretamente utilizados podemos garantir que é de apenas 5% a probabilidade de estarmos 38

fornecendo um intervalo que não contenha a verdadeira proporção populacional. Mais tarde veremos como calcular este tipo de intervalo.

11.2. Estatísticas, Parâmetros e Estimadores Alguns conceitos básicos são necessários para o desenvolvimento da Inferência Estatística:

Parâmetro: qualquer valor calculado com base em todos os elementos da população. Estatística: qualquer valor calculado com base (apenas) nos elementos da amostra. Estimador: uma estatística destinada a estimar um parâmetro populacional. Estimativa: é o valor numérico do estimador com base nas observações amostrais. Alguns exemplos de estatísticas que são também estimadores:

X =

X 1 + X 2

+ ... + X n n

(média amostral) (variância amostral) Símbolos mais comuns

Estimador

Parâmetro

Média Variância

X

µ

S 2

σ

Proporções

pˆ

p ou π

2

11.3. Introdução à Amostragem Usualmente é impraticável observar toda uma população, seja pelo alto custo, seja por dificuldades diversas. Examina-se então uma amostra da população. Se essa amostra for bastante representativa, os resultados obtidos poderão ser generalizados para toda a população. Uma amostra muito grande pode implicar em custos desnecessários enquanto que uma amostra pequena pode tornar a pesquisa inconclusiva. Assim, deve-se procurar dentro das restrições impostas pelo orçamento, desenhar uma amostra que atinja os objetivos, produzindo estimativas com menor imprecisão possível.

A experiência com amostragem é fato corrente no cotidiano. Basta lembrar como um cozinheiro verifica o tempero de um prato que está preparando, como alguém testa a 39

temperatura de um prato de sopa, ou ainda como um médico detecta as condições de um paciente através de exames de sangue. Porém, o uso inadequado de um procedimento amostral pode levar a um viés de interpretação do resultado. Por exemplo, não mexer bem a sopa antes de retirar uma colher para experimentar, pode levar a sub-avaliação da temperatura do prato todo, com consequências desagradáveis para o experimentador. O uso de amostras que produzam resultados confiáveis e livres de vieses é o ideal. Assim, a maneira de se obter a amostra é tão importante que constitui uma especialidade dentro da Estatística, conhecida como Amostragem. Os vários procedimentos de se escolher uma amostra podem ser agrupados em dois grandes grupos: os chamados planos probabilísticos e planos

não-probabilísticos. O primeiro grupo reúne todas as técnicas que usam mecanismos aleatórios de seleção dos elementos da amostra, atribuindo a cada um deles uma probabilidade, conhecida a priori,

de pertencer à amostra. No segundo grupo estão os demais procedimentos, tais como:

amostras intencionais, onde os elementos são selecionados com auxílio de especialistas, e amostras de voluntários, como ocorre em alguns testes sobre novos remédios. Ambos os procedimentos têm suas vantagens e desvantagens. Os estatísticos preferem trabalhar com as amostras probabilísticas pois, têm toda teoria de probabilidade e de inferência estatística para dar suporte às conclusões. Dessa forma, é possível medir a precisão dos resultados, baseando-se na informação contida da própria amostra. Planos de amostragem probabilísticos podem ser exemplificados pela amostragem aleatória simples e pela amostragem estratificada. Amostragem Aleatória Simples

Quando o sistema de referência (lista ou descrição das unidades da população) é “perfeito”, isto é, quando ele lista uma a uma todas as unidades da população, é possível então usar um procedimento onde cada unidade é sorteada diretamente, com igual probabilidade de pertencer a amostra. A melhor maneira para definir este plano é descrevendo o processo de sorteio, que seria o seguinte: - “da relação de unidades do sistema de referência sorteie, com igual probabilidade o primeiro elemento da amostra, repita o processo para o segundo, e assim sucessivamente até sortear o último elemento programado para a amostra”. As amostras assim obtidas definem o plano de Amostragem Aleatória Simples que pode ser concebido com ou sem reposição.

40

Amostragem Estratificada

Informações adicionais podem aprimorar um desenho amostral. Por exemplo, em uma pesquisa sobre renda familiar média, conhece-se de antemão as regiões da cidade onde predominam moradias de diferentes classes de renda. Este conhecimento pode ser usado para definir sub-populações homogêneas segundo a renda, e aí então sortear amostras dentro de cada uma dessas regiões. Este procedimento é conhecido como a divisão da população em estratos, e consequentemente, definem os planos de Amostragem Estratificada.

11.4. Erros amostrais e Não-amostrais O uso de um levantamento amostral introduz um tipo de erro, que pode ser resumido na diferença entre o valor de certa característica na amostra e o parâmetro de interesse na população. Esta diferença pode ocorrer apenas devido à particular amostra selecionada, ou então devido a fatores externos ao plano amostral. Quando o erro é devido à amostra selecionada é chamado de

erro amostral e quando é devido à fatores independentes do plano amostral (erros de medida, digitação, etc) é chamado de erro não-amostral. Considera-se um erro amostral aquele desvio que aparece porque o pesquisador não levantou a população toda. Cada amostra possível de um plano acarreta em um desvio. Vejamos o esquema que se segue que considera a média como a característica de interesse. Vamos denotar por µ e X a média populacional e a média amostral da variável, respectivamente. População ou Universo

1 2 3 . . .

Amostras possíveis de tamanho n

A1

=> X1

A2

=> X 2 | X - µ | = E = erro

………………… Ai

=> X i

N ………………… Ak

=> X k

No caso da média, o estudo do erro amostral consiste basicamente em estudar o comportamento da diferença ( X - µ ) quando X percorre todas as possíveis amostras que

41

poderiam ser formadas através do plano amostral escolhido. Conhecendo-se a distribuição amostral de

X

pode-se avaliar sua média e seu desvio padrão. Neste caso particular o desvio

padrão recebe o nome de erro padrão de

X.

11.5. Distribuições Amostrais Diferentes amostras extraídas da população irão originar valores distintos para a estatística considerada. Por este motivo, dizemos que as estatísticas são variáveis aleatórias, já que seu valor não pode ser predito com certeza antes da amostra ter sido extraída. Além disso, as estatísticas, como funções de variáveis aleatórias, são também variáveis aleatórias, e, portanto, têm uma distribuição de probabilidade, esperança e variância. A distribuição de probabilidade de uma estatística quando consideramos todas as amostras possíveis de tamanho n é denominada de distribuição amostral.

11.5.1.

Distribuição Amostral da Média

A distribuição amostral da média X , de amostras aleatórias simples de tamanho n, extraída de uma população que tem média µ e desvio padrão σ, tem as seguintes características:

E( X ) = µ V( X ) = σ2/n Caso a população tenha distribuição normal com média µ e desvio padrão σ, a distribuição amostral da média X , é normal com média µ e desvio padrão σ/ n . A distribuição amostral da média X , de amostras aleatórias simples de tamanho n extraída de uma população não-normal, com média µ e desvio padrão σ, é aproximadamente

normal com média µ e desvio padrão σ/ n , quando n é suficientemente grande. Este resultado é uma aplicação de um importante teorema de probabilidade, chamado Teorema Central do

Limite. Para a utilização deste resultado, é usual considerar que o tamanho n da amostra é suficientemente grande quando n é pelo menos 30.

Exercícios: 1) A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição normal, com média µ e desvio padrão de 10g. 42

a) Em quanto deve ser regulado o peso médio µ para que apenas 10% dos pacotes tenham menos do que 500g. R.:512,8 g b) Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 2 Kg? R.:0,0052 2) No exemplo anterior, e após a máquina estar regulada, programou-se uma carta de controle. De hora em hora, será retirada uma amostra de 4 pacotes, e estes serão pesados. Se a média da amostra for inferior a 495g ou superior a 520g para-se a produção para reajustar a máquina, isto é reajustar o peso médio. a) Qual a probabilidade de ser feita uma parada desnecessária?

R.: 0,0749

b) Se o peso médio da máquina desregulou-se para 500g, qual a probabilidade de continuar-se a produção fora dos padrões desejados?

R.: 0,8413

3) Para uma população com desvio padrão igual a 10, qual deve se o tamanho da amostra para que a diferença da média amostral para a média populacional, em valor absoluto, seja menor que 1, com probabilidade igual a 0.99 ? R.: 666

11.5.2.

Distribuição Amostral da Proporção

Considere que a proporção de elementos numa população com determinada característica é p. Assim, para cada elemento da população podemos definir uma variável X , tal que 1, se o elemento é portador da característica

X = 

0, se o elemento não é portador da característica

Isto é, X ~Bernoulli(p) = Binomial (1; p) , e portanto E( X ) = p e V( X ) = p(1-p). Seja X1 , X2 , ... , X n uma amostra aleatória simples retirada dessa população, e seja n

S n = ∑ X i o total de elementos portadores da característica na amostra. Tem-se que 1

Sn ~ Binomial (n,p). Defina como ˆp a proporção de elementos portadores da característica na amostra, isto é, n

pˆ =

Sn = n

∑ X i 1

n

= X .

Utilizando o Teorema Central do Limite, tem-se que a distribuição amostral de ˆp é p(1 − p)  aproximadamente N  p,  , quando n é suficientemente grande (np ≥ 5 e n(1-p) ≥ 5 ). n  

43

Exercícios 1) Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de 10% de itens defeituosos na produção. A cada 60 minutos sorteia-se uma amostra de 50 peças, e, havendo mais de 15% de defeituosos, pára-se a produção para verificações. Qual a probabilidade de uma parada desnecessária? Resp.: 0,119 2) Suponha que uma indústria farmacêutica deseja saber quantos voluntários se deva aplicar uma vacina, de modo que a proporção de indivíduos imunizados na amostra difira de menos de 2% da proporção verdadeira de imunizados na população, com probabilidade de 90%. Qual tamanho da amostra a escolher? Resp: 1702

11.5.3.

Distribuição Amostral de S2

Considere uma amostra aleatória de tamanho n que é retirada de uma população normal com média µ e variância σ2, e seja S2 a variância amostral. Então a estatística

tem

distribuição qui-quadrado com ν=n-1 graus de liberdade. A variável aleatória Z tem função de densidade dada por: 1    -z 2 z  ν 2  − 1 e  ν 2 f(z) =  2 Γ(ν 2 ) 0, casocontrá rio 

, z>0

diz-se que Z segue uma distribuição qui-quadrado com ν graus de liberdade, denotada por média e a variância para a distribuição

A

são, respectivamente, ν e 2 ν.

A distribuição qui-quadrado é contínua e assimétrica e como a distribuição normal padronizada, também é tabelada. A tabela fornece os valores de liberdade sendo

para vários graus de

. A seguir, é mostrado como usar a tabela da distribuição qui-

quadrado:

.

Probabilidade de determinado valor

ser maior que

Pontos percentuais da Distribuição Qui-Quadrado (χ 2) Graus de

44

A tabela completa é fornecida no final da apostila. Exercícios

1) Para uma distribuição qui-quadrado, determine: a)

b)

c)

R.: 20,48; 18,48 e 36,42

2) Determine a probabilidade de que uma amostra aleatória de 25 observações, de uma população normal com variância σ2 =6, terá uma variância amostral S2:

a) maior que 9,1; R.: 0,05 b) entre 3,642 e 10,745. R.: 0,94

11.5.4.

Outra distribuição amostral

Em muitas situações, o conhecimento do valor de σ não é razoável Frequentemente, uma estimativa para σ é fornecida pela amostra. Suponha que X1, ..., Xn seja uma amostra aleatória de uma população normal, com média µ e variância σ2, e sejam amostrais, respectivamente. Então

e S2 a média e a variância

) segue uma distribuição t ou t de Student,

com ν=n-1 graus de liberdade A função de densidade de T é dada por:

A média e a variância da distribuição t são 0 e ν/( ν+2) para ν < 2, respectivamente.

45

Figura 1: Gráficos da função densidade da distribuição t de Student para alguns valores de graus de liberdade.

A distrib uição t de Student é contínua e simétrica com média igual a zero. Sua aparência é bastante parecida com a normal padrão, veja Figura 1. Ambas as distribuições tem forma de sino, mas a distribuição t tem mais probabilidade nos extremos. A qualificação “com n-1 graus de liberdade” é necessária, porque para cada valor diferente do tamanho da amostra n existe uma distribuição t de Student específica. O número de graus de liberdade (gl) é o parâmetro da distribuição t de Student. Assim como a distribuição normal padrão a distribuição t de Student também é tabelada. A tabela fornece valores de é

Graus de liberdade

mostrado

como

. A seguir,

para vários graus de liberdade sendo usar

a

tabela

da

distribuição

t

de

Student:

Probabilidade de T ser maior que determinado valor Pontos Percentuais da Distribui ão t

A tabela completa é fornecida no final da apostila 46

Exercícios 1) Para uma distribuição T, determine:

a) P(T<2,365) quando ν= 7 b) P(-1,356
R.: 0,975 e 0,875

2) Um engenheiro químico afirma que a média populacional do rendimento de certo lote do

processo é 500 gramas por mililitro de matéria-prima. Para verificar essa afirmação, ele amostra 25 lotes a cada mês. Se o valor t calculado ficar entre –t0,05;24 e t0,05;24, ele fica satisfeito com sua afirmação. A que conclusão ele deveria chegar em relação a uma amostra que tem média gramas por mililitro e desvio padrão 40 gramas? Assuma que a distribuição dos rendimentos é aproximadamente normal. R.: O valor de t=((518-500)/(40/5))=2,25. Este valor está fora do intervalo [-1,711; 1,711].

12. Estimação Os parâmetros em geral são desconhecidos. A inferência estatística consiste em, através de uma amostra, “estimar” os valores dos parâmetros, ou também testar se algumas hipóteses são válidas sobre determinados parâmetros. Estes são os problemas da inferência paramétrica conhecidos como problemas de estimação e testes de hipóteses, respectivamente.

Exemplos: Problemas de estimação 1) Estimar a proporção de peças defeituosas num lote. 2) Estimar o peso médio de um determinado produto de uma linha de produção. Problemas de testes de hipóteses 1) Testar a afirmação de que o peso médio de um determinado produto de uma linha de produção é 500 g. 2) Testar a afirmação de que a proporção de peças defeituosas é menor que 4% do lote.

Exemplo 12.1: Queremos investigar a duração de vida de um novo tipo de lâmpada, pois acreditamos que ela tenha duração maior do que as fabricadas atualmente. Cem lâmpadas são deixadas acesas até queimarem. A duração em horas de cada lâmpada (T) é registrada. POPULAÇÃO: todas as lâmpadas fabricadas ou que venham a ser fabricadas por esta fábrica. AMOSTRA: cem lâmpadas selecionadas. 47

Em geral, neste tipo de problema é adotada a função de densidade exponencial para duração T ~ exp (α). Objetivo: Fazer inferência sobre α. Vale lembrar que E(T) = 1/ α. Existem dois tipos de estimação de um parâmetro populacional: estimação pontual e a estimação intervalar.

12.1.

Estimação Pontual

Procura encontrar um valor numérico único que esteja bastante próximo do verdadeiro valor do parâmetro. Este procedimento não permite julgar a magnitude do erro que podemos estar cometendo . Estimadores pontuais razoáveis dos principais parâmetros populacionais. Parâmetro

Estimador 1 n X = ∑ Xi n i =1

Média (µ) Variância (σ2) Desvio padrão

X em que n X = número de elementos da amostra que possuem a característica n = tamanho da amostra pˆ =

Proporção (p)

Podem existir outros estimadores pontuais para esses parâmetros. Assim, é necessário definir propriedades desejáveis para os estimadores de maneira que se possa escolher qual estimador pontual de um determinado parâmetro é o melhor a ser usado. Este assunto não será abordado nesta apostila. Muito provavelmente uma estimativa pontual não coincide exatamente com o valor verdadeiro do parâmetro populacional que está sendo estimado e, além disto, esta estimativa não traz associada a ela uma medida de sua precisão. A estimação intervalar que será apresentada a seguir ajuda a resolver este tipo de dúvida.

12.2.

Estimação Intervalar

Procura determinar um intervalo que abranja o valor do parâmetro, com certa margem de segurança. Este procedimento permite julgar a magnitude do erro que podemos estar cometendo. 48

Como mencionado anteriormente, os estimadores pontuais especificam um único valor para o estimador e este procedimento não permite julgar qual a possível magnitude do erro. Daí surge à idéia de construirmos os intervalos de confiança. De um modo geral, nos basearemos na amostra para construir um intervalo que com alto grau (ou nível) de confiança contenha o verdadeiro valor do parâmetro. Grau de confiança é a probabilidade do intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do parâmetro. É também chamado de nível de confiança e geralmente expresso em porcentagem. Formalizando um pouco, se denotarmos o parâmetro de interesse por θ, desejamos obter um intervalo com limite inferior I e limite superior S tal que

P(I < θ < S) = 1 - α, em que α é um valor pequeno, ou seja 1-α é próximo de 1. Os limites deste intervalo são variáveis aleatórias pois dependem da amostra selecionada. Um intervalo deste tipo é denominado intervalo de 1-α(×100)% confiança para o parâmetro θ. Valores de α mais comumente usados são:

α = 0,10

1 – α = 0,90 ou 90%

α = 0,05

1 – α = 0,95 ou 95%

α = 0,01

1 – α = 0,99 ou 99%

A precisão com que se conhece θ depende da amplitude deste intervalo dada por S – I. Quanto menor esta amplitude melhor determinado estará o valor do parâmetro. Para esclarecer o conceito de intervalo de confiança, suponha que retiremos um grande número de amostras de tamanho n (fixo) da população em estudo e para cada amostra, construamos um intervalo. Os limites dos intervalos resultantes variarão de amostra para amostra. Por exemplo, ao desejar um intervalo de confiança de 90% para estimar a média de uma população, uma pessoa pode retirar uma amostra que dê um intervalo entre 48,5 e 51,5. Por outro lado, uma segunda pessoa, baseada em outra amostra retirada da mesma população, calculou o intervalo entre 47,9 e 52,9, aparentemente gerando uma dúvida sobre qual dos intervalos contém o verdadeiro valor da média. Ocorre que se 100 desses intervalos fossem calculados a partir de 100 amostras diferentes, deve-se esperar que em torno de 90 desses intervalos contenham o valor da verdadeira média, embora não se saiba quais são estes intervalos, uma vez que a média é desconhecida. Na prática trabalhamos em geral com apenas uma amostra e obtemos um único intervalo. 49

A figura a seguir ilustra bem o conceito de intervalo de confiança.

O verdadeiro valor do parâmetro estará contido em 1-α(×100)% desses intervalos. Observe que algumas estimativas intervalares incluem e outras não incluem o verdadeiro valor do parâmetro da população. Quando se retira uma amostra e se calcula um intervalo de confiança, não se sabe na verdade, se o parâmetro da população se encontra naquele intervalo calculado. O importante é saber que se está utilizando um método com 1-α(×100)% de probabilidade de sucesso. Os intervalos de confiança são construídos a partir da distribuição amostral de uma estatística. A seguir são descritos alguns intervalos.

12.2.1.

Intervalo de Confiança para a Média de uma População

A média é uma importante característica da população. Vejamos como obter intervalos de confiança para este parâmetro populacional. Temos que distinguir algumas situações que podem surgir na prática: 1. Amostras pequenas (n < 30) 

População Normal



População não Normal 2. Amostras grandes (n ≥ 30)

 

População Normal População não Normal Para pequenas amostras os procedimentos estatísticos de inferência paramétrica exigem que se verifique a normalidade da população e outras distribuições de probabilidade (por exemplo a distribuição t de Student) devem ser estudadas a fim de utilizar os procedimentos

50

adequados. Além disso, se a normalidade não for aceitável, no caso de amostras pequenas, devemos utilizar procedimentos alternativos, por exemplo, inferência não-paramétrica. Para amostras suficientemente grandes os procedimentos simplificam bastante e mesmo sem conhecermos a distribuição da população, as inferências podem ser feitas com base na distribuição normal mesmo que a população não seja normal.

• Amostras pequenas 1) Distribuição normal,

σ σ

2

=

σ σ o

2

(conhecido)

Esta situação é um tanto quanto rara na prática, pois embora a hipótese de normalidade seja razoável em muitos casos, dificilmente se conhece a variância de uma população quando sua média é desconhecida. Algumas vezes o conhecimento de  pode provir de dados históricos sobre a população de interesse ou de resultados obtidos em estudos similares ao que está sendo realizado.

Sabemos que

segue uma distribuição normal padrão. Assim,

 





< Z < zα  = P − zα 2 2  2 

P − zα

<

X − µ σ /

n

 2 

< zα  = 1 − α

Neste caso o Intervalo de Confiança de 1- α(×100)% para µ é dado por: σ o σ o   − + , X z X z α α   2 2 n n 

Ilustração do nível de confiança de 95%.

Distribuição Normal (0,1)

0,95

0,025

0,025 -1,96

0

1,96

51

Exemplo 12.2: Um pesquisador está estudando a resistência média de um determinado material.

Ele sabe que esta variável é normalmente distribuída com desvio padrão de 2 unidades. Utilizando os valores 4,9; 7,0; 8,1; 4,5; 5,6; 6,8; 7,2; 5,7; 6,2 unidades obtidos de uma amostra de tamanho 9, determine o intervalo de confiança para a resistência média com um nível de confiança de 95%. Temos que

X = 6,2 ,

n=9, σ0=2 e para obtermos um intervalo de 95% de confiança

zα/2= 1,96. Substituindo estes valores na fórmula acima, obtemos [6,222 – 1,96

2 2 ; 6,222 + 1,96 ] = [4,915 , 7,529] 9 9

Então podemos afirmar com 95% de confiança que a resistência média (µ) do material está entre 4,915 e 7,529 unidades. 2 2) Distribuição normal, σ σ desconhecido

Neste caso, utilizamos que a distribuição amostral da estatística

) é a

distribuição t com n-1 graus de liberdade. O intervalo de confiança para a média µ é obtido de     X − µ     = 1 − α P − t α < T < t α = P − t α < < t α   , n −1 , n −1  , n −1 S n , n −1   2   2  2 2

Neste caso o Intervalo de Confiança de 1-α(×100)% para µ é dado por:  s s   X − t α  ; X + t α ,n −1 n , n −1 n   2 2  

Exemplo 12.3: O consumo diário de alimentos observado em certa amostra da população é, em

calorias (x100), igual a: 10; 11; 11; 12; 13; 13; 13; 13; 13; 14; 14; 14; 15; 15; 16; 16. Construir um intervalo de confiança para a média com um nível de confiança de 90%.

Solução:  s s   X − t α = ; X + t α , n −1 n ,n −1 n   2 2  

[13,3125 − 1,753

1,7404 1,7404 ; 13,3125 + 1,753 ] 4 4

= [ 12,543 ; 14,073 ]

52

Com 90% podemos afirmar que o consumo médio de calorias, na população da qual essa amostra foi retirada, está entre 12,543 e 14,073.

• Amostras Grandes - População normal ou não-normal Se n é suficientemente grande (em geral, n > 30), mesmo sem conhecermos a distribuição da população, os limites do Intervalo de Confiança para a média (µ) poderão ser calculados com base na distribuição Normal padrão. Da mesma forma podemos utilizar o desvio padrão amostral s no lugar de σ (desvio-padrão populacional). Neste caso o Intervalo de Confiança para a média µ é dado por:

 s s  ; X + zα   X − zα n   2 2 n Exemplo 12.4: Resistência à tração de 31 corpos de prova (ordenados). 131; 132; 134; 135; 136; 135; 138; 139; 140; 142; 143; 144; 144; 145; 146; 146; 147; 147; 148; 149; 150; 150; 151; 151; 152; 152; 153; 153; 154; 160; 160. Estabelecer um intervalo de confiança de 95% para a média populacional.

Solução: Temos que, X = 145,39 e s = 7,75 Como o tamanho da amostra já pode ser considerado suficientemente grande para uma aproximação normal, o intervalo de confiança para a média populacional é:

 s s  7,75 7,75 X z X z ; − + ; 145,39 + 1,96 ]=   = [145,39 − 1,96 α α 31 31   2 n 2 n

= [ 142,66 ; 148,12 ] Podemos então afirmar que com nível de confiança de aproximadamente de 95% a resistência média do concreto está entre 142,66 e 148,12 kg/cm2.

Exemplo 12.5 (Werkema, 1996): Um dos principais produtos de uma empresa siderúrgica é a folha-de-flandes com têmpera T4 RC, que é uma folha de aço de baixo teor de carbono, revestida em ambas as faces com uma camada de estanho, empregada principalmente na fabricação de recipientes utilizados para o acondicionamento de alimentos. Os limites de especificação para a dureza final das folhas-de-flandres são: 53

LIE = 58,0 HR

e LSE = 64,0 HR,

em que LIE e LSE representam os limites inferior e superior de especificação, respectivamente, e HR representa a unidade de dureza definida como índice de dureza Rockwell. Nos últimos meses ocorreu um aumento da produção de folhas-de-flandres com dureza final fora da faixa de especificação. A empresa concentrou sua atenção no processo de RECOZIMENTO CONTÍNUO (RC), por ser este o principal processo responsável pela dureza das folhas-deflandres. Como foi verificado que o processo estava sob controle estatístico, a indústria decidiu estimar a dureza média das folhas-de-flandres (µ), a variabilidade das medidas de dureza (σ), a proporção de folhas-de-flandres com dureza fora da faixa de especificação. Com este objetivo, foram coletados 50 observações da dureza das folhas-de-flandres produzidas pela empresa, que estão listadas abaixo: Medidas de dureza (HR) das folhas-de-flandres fabricadas pela indústria siderúrgica 61,0 61,0 60,0 59,3 60,5 60,1 60,0 61,1 60,2 60,8

60,3 60,2 59,8 60,1 60,7 60,3 59,8 60,1 61,6 59,8

58,7 58,6 60,8 60,8 60,4

60,0 60,0 59,6 60,5 59,9 60,1 60,7 60,0 60,2 59,7

60,9 60,5 60,2 59,8 60,3

61,2 60,2 60,6 59,0 60,4

59,1 60,5 61,0 60,0 60,2



1 n Dureza média das folhas-de-flandres: x = ∑ x i = 60,212 HR n i =1



Desvio padrão:



Proporção amostral de folhas-de-flandres com dureza fora da faixa de especificação

= 0,6107 HR

(58,0 – 64,0 HR): pˆ = 0,00 A equipe de trabalho da empresa suspeita que a dureza média da folha-de-flandres (µ), resultante do processo de recozimento contínuo, é diferente do valor nominal da especificação (61,0 HR). A equipe técnica da indústria passou a ter a seguinte dúvida: a obtenção do resultado x = 60,2 < 61,0 já era suficiente para que se pudesse concluir, com bastante segurança, que o

processo de recozimento contínuo estava centrado abaixo do valor nominal da especificação ? Essa dúvida pode ser solucionada por meio da construção de um intervalo de confiança para a dureza média (µ) das folhas-de-flandres produzidas pelo processo: 60,21 ± 1,96 x

0,61 ⇒ [60,04 ; 60,38] HR 50 54

O intervalo de confiança não contém o valor nominal da especificação (61,0 HR). Portanto, a equipe técnica da indústria pode concluir, com 95% de confiança, que o processo estava centrado abaixo do valor nominal e então, deve-se passar a estudar o processo de recozimento contínuo para descobrir as causas deste deslocamento.

12.2.2.

Intervalo de Confiança para uma Proporção Populacional

Em muitas situações pode ser de interesse construir um intervalo de confiança para a proporção de elementos da população que possuem alguma característica de interesse (p). Seja X o no de elementos de uma amostra de tamanho n que apresenta a característica de interesse. Já vimos que um estimador de p é :

pˆ =

X n

Se o tamanho da amostra for suficientemente grande, é possível construir um intervalo

de (1-α)×100% de confiança para p, baseado em

que segue uma distribuição

normal padrão. Portanto, temos que

)   n p ( − p)   < − P − zα < Z < zα  = P zα / 2 < zα / 2  = 1 − α   p(1 − p ) 2 2     Como o valor de p não é conhecido, uma solução é substituir

por

.

Assim, o intervalo de confiança de 1-α(×100)% para a proporção populacional p é dado por:

 pˆ(1 − pˆ) pˆ(1 − pˆ)  ˆ ˆ ; p + zα p − z α . n n 2 2   Exemplo 12.6: Examinam-se 98 animais, encontrando-se 53 infectados com determinado vírus. Construir um intervalo de 95% de confiança para a proporção p de animai infectados. Solução: n = 98 (pode ser considerada grande) pˆ =

53 = 0,541 98

α =

0,05 e zα = 1,96

(1 − pˆ ) = 0,459

2

55

12.2.3. Intervalo de Confiança para a Variância e o Desvio Padrão de uma População Normal Suponha que a população de interesse tenha distribuição normal com média µ e variância 2

e que desta população foi extraída uma amostra aleatória de tamanho n. A partir do resultado

que a distribuição amostral da estatística

é a distribuição qui-quadrado com n-1

graus de liberdade. Temos que,

. Neste contexto, um intervalo de confiança para

2

de 100(1-α)% de confiança é

O intervalo de confiança para o desvio padrão é obtido extraindo a raiz quadrada dos limites de confiança do intervalo para a variância.

Exemplo 12.7: Voltando ao exemplo 12.5. Construa um intervalo de confiança para o desvio padrão da dureza de folhas-de-flandres. Suponha que a dureza siga uma distribuição normal. (α=5%)

Solução: Intervalo de confiança para a variância

HR2.

Então,

é o intervalo de confiança para o desvio padrão. Assim, podemos

afirmar com 95% de confiança que o desvio padrão da dureza está entre

e

HR.

Observação: No gerenciamento de processos são muito comuns as situações em que desejamos comparar dois grupos de interesse, mantendo o controle dos riscos associados ao

56

estabelecimento de conclusões incorretas. Consideremos por exemplo uma indústria que opera duas linhas de produção. Muito provavelmente os técnicos da empresa terão interesse em comparar as duas linhas, com o objetivo de verificar se estão trabalhando de forma similar. As comparações de dois grupos geralmente podem ser traduzidas, na linguagem estatística, em comparações de duas médias, duas variâncias ou duas proporções.

Este assunto não será

abordado nesta apostila.

13. Noções de Testes de Hipóteses Outro tipo de problema da Inferência Estatística é o de testar se uma conjectura sobre determinada característica de uma ou mais populações é, ou não, apoiada pela evidência obtida de dados amostrais. Conjectura → hipótese estatística Regra de decisão → teste de hipóteses Alguns exemplos: 1. Testar se um novo tipo de fertilizante é melhor que o fertilizante padrão. 2. Testar se um novo método de fabricação de lâmpadas aumentará o tempo médio de vida das lâmpadas. 3. Testar se um método de preservar alimentos é melhor que outro, no que diz respeito à retenção de vitaminas. 4. Determinar qual de dois tratamentos é mais eficiente (problema de duas amostras) Consideremos o exemplo das lâmpadas. Suponha que no processo padrão o tempo de vida médio é conhecido de 1400 horas. Objetivo: testar o novo processo de fabricação. Modelo: Duas populações de lâmpadas: POP1 – lâmpadas fabricadas pelo processo padrão; POP2 – lâmpadas fabricadas pelo novo processo. Informação anterior: Tempo de vida médio das lâmpadas fabricadas pelo processo padrão é de 1400 horas. Pergunta: O tempo de vida médio das lâmpadas fabricadas pelo novo processo é maior que 1400 horas? Procedimento: 1. Estabelecer duas hipóteses: H0) o novo processo não é melhor que o padrão; 57

H1) o novo processo é melhor que o padrão. 2. Selecionar lâmpadas fabricadas pelo procedimento novo, medir seus tempos de vida e calcular o tempo de vida médio, X , observado na amostra. 3. Suponha que a média da amostra selecionada é X = 1550 horas. O resultado parece indicar que o novo procedimento é melhor. Calculando-se o intervalo de confiança de 95% para o tempo de vida médio do processo novo obteve-se: (1300; 1800) Ou seja, não temos evidência de que o novo processo é melhor, uma vez que a média1 400 é um valor possível para a média do novo processo (está contido no intervalo). Logo, tomaríamos a decisão de não rejeitar a hipótese H0. Vamos supor agora, que o intervalo de confiança de 95% tivesse os seguintes limites: (1500; 1600). Neste caso, teríamos forte evidência para rejeitar H0 e afirmar que o novo processo é superior. Obs: Note que os testes de hipóteses são muito relacionados com o problema de estimação por intervalo.

13.1.

Hipótese nula e hipótese alternativa

Em geral devemos decidir entre duas hipóteses. Denominaremos essas hipóteses de H0 → hipótese nula

H1 → hipótese alternativa No exemplo das lâmpadas se µ é a média do tempo de vida das lâmpadas fabricadas pelo novo processo, então: H0) µ ≤1400 H1) µ > 1400

13.2.

Erro tipo I e Erro tipo II

Qualquer que seja a decisão tomada em um teste de hipóteses, estamos sujeitos a cometer erros, devido à presença da incerteza. Conclusão do teste Não rejeitar H0 Rejeitar H0

Situação da população H0 verdadeira H0 falsa Correto Erro tipo II Erro tipo I Correto 58

É fundamental que, em cada caso, se saiba qual são os erros possíveis e que se decida a priori qual é o mais sério. Não é possível controlar ambos os erros ao mesmo tempo. Quando diminuímos muita a probabilidade de erro tipo I, aumentamos a probabilidade do erro tipo II e vice-versa. Assim, a decisão de rejeitar H0 é equivalente à opinião “H0 é falsa” e a decisão de aceitar H0 não é equivalente à opinião “H0 é verdadeira”. Neste caso a opinião adequada é a de que os dados não contêm evidência suficientemente forte contra H0.

Exemplo 13.1: No caso das lâmpadas, o erro tipo I seria aprovar o novo processo de fabricação quando na realidade ele não é superior. O erro tipo II seria rejeitar o novo processo de fabricação quando é, de fato, melhor.

13.3.

Nível de significância e Poder

O valor de α é fixado pelo pesquisador. Esta probabilidade recebe o nome de nível de significância do teste. Usualmente, esses valores são fixados em 5%, 1% ou 0,1%. O valor 1- β é chamado poder do teste. O poder do teste é a capacidade deste de detectar que H0 é falsa quando de fato esta hipótese é falsa. No caso das lâmpadas, o poder do teste seria a probabilidade deste aceitar o novo processo de fabricação (rejeitar H0) quando este for realmente melhor. Como a probabilidade do erro tipo I (α) é fixada em valores pequenos, este deveria ser o tipo de erro mais grave.

13.4.

Estatística de teste e região crítica

A decisão entre as hipóteses é tomada com base nos dados de uma amostra extraída da população. No nosso exemplo, suspeitamos que o tempo de vida médio das lâmpadas é maior que 1400. Colhe-se uma amostra aleatória de 100 lâmpadas e determina-se o valor da média amostral para, através dela, comprovar ou refutar tal hipótese. Suponha que o pesquisador decide adotar a seguinte regra de decisão: Rejeitar Ho se X for maior que 1800

Neste exemplo, X está sendo usada como estatística de teste e a região crítica ou região de rejeição aos valores que forem maiores que 1800.

59

13.5.

Nível Descritivo ou p-valor

O procedimento descrito anteriormente é conhecido como procedimento clássico de testes de hipóteses. Um outro procedimento que vem sendo apresentar

muito

adotado

consiste

em

o p-valor do teste. A diferença básica entre esses dois procedimentos é que,

trabalhando-se com o p-valor não é necessário construir a região crítica. Vejamos o seguinte exemplo: Suponha que no caso das lâmpadas foi obtido X = 1550 para uma amostra de 100 lâmpadas. O pesquisador calcula a seguinte probabilidade: P ( X ≥ 1550 | µ = 1400) .

O valor desta probabilidade é chamado de p-valor e neste exemplo, indica a probabilidade de uma população com média 1400 gerar uma amostra de tamanho 100 que tenha média igual ou maior que o resultado observado. Caso esta probabilidade seja muito pequena devemos suspeitar da veracidade da hipótese e portanto “rejeitar” que µ= 1400. Procedimento para a decisão com o p-valor

1. Escolher o máximo valor de tolerável para o erro do tipo I ( α). 2. Se o p-valor for menor que o α adotado, então deve-se rejeitar a hipótese nula . Regra de decisão p-valor > α ⇒ não rejeitar Η Η0

p-valor ≤ α ⇒ rejeitar Η Η0 A saída dos pacotes estatísticos apresenta o p-valor.

13.6.

Testes de Hipóteses para Média Populacional

A média de uma população é uma de suas características mais importantes e frequentemente temos que tomar decisões a seu respeito. Vamos denotar um valor fixo qualquer por µ0. Consideremos as diversas hipóteses que podem ocorrer num teste de hipóteses para médias:

Hipóteses unilaterais Η 0) µ ≤ µ0 (ou µ = µ0)

versus

H1) µ > µ0

Η 0) µ ≥ µ0 (ou µ = µ0 )

versus

H1) µ < µ0 60

Hipótese Bilateral

Η 0) µ = µ0

H1) µ ≠ µ0

versus

• Distribuição normal,

σ σ

2

desconhecido

Neste caso, como vimos em Intervalo de Confiança precisamos usar o desvio padrão amostral s para estimar σ , e utilizaremos a distribuição t de Student para encontrar a região crítica do teste ou calcular o p-valor. A estatística de teste é: x − µ0 s n Vejamos as regras de decisão para cada tipo de hipótese considerada: 1. Η Η0 ) µ ≤ µ0 (οu µ = µ0) versus

H1) µ > µ0 .

Rejeitar H0 se

2. Η 0) µ ≥ µ0 (ou µ = µ0 ) versus

H1) µ < µ0

Rejeitar H0 se

3. Η 0) µ = µ0 versus

x − µ0 > t α, n -1 s n

x − µ0 < − t α, n -1 s n

H1) µ ≠ µ0

Rejeitar H0 se

x − µ0 > t α ; n −1 s 2 n

Exemplo 13.2: O tempo médio, por operário, para executar uma tarefa, tem sido 100 minutos. Introduziu-se uma modificação para diminuir esse tempo, e, após certo período, sorteou-se uma amostra de 16 operários, medindo-se o tempo de execução de cada um. O tempo médio da amostra foi 85 minutos, e o desvio padrão foi 12 minutos. Estes resultados trazem evidências estatísticas da melhora desejada? Apresente as suposições teóricas usadas para resolver problema.

Solução: As hipóteses a serem testadas são Η 0) µ ≥ 100 versus H1) µ < 100 61

Vejamos as estatísticas descritivas da amostra: média 85 e desvio padrão 12. Temos que α = 0,05 e n = 16. Portanto t

α , n

−1 =

1,753. A região crítica é

Rejeitar H0 se

x − µ0 < −t s n

α , n

−1

Vamos substituir os valores:

Rejeitar H0 se

85 − 100 < -1,753 12 16

Como o valor observado foi -5 e pertence à região crítica, a decisão deve ser de rejeitar H0, e concluímos que existe evidência de que o tempo médio de execução é menor que 100 minutos. Suposição: Variável tempo segue distribuição Normal.

• Tamanho da amostra é suficientemente grande Assim como vimos no caso dos Intervalos de Confiança, podemos utilizar a distribuição normal para encontrar a região crítica do teste ou calcular o p-valor. Vejamos as regras de decisão para cada tipo de hipótese considerada:

1. Η Η0 ) µ ≤ µ0 (οu µ = µ0) versus

H1) µ > µ0

x − µ0 > zα s n

Rejeitar H0 se

2. Η Η0 ) µ ≥ µ0 (ou µ = µ0 ) versus H1) µ < µ0 Rejeitar H0 se

x − µ0 < −z α s n

3. Η Η0 ) µ = µ0 versus H1) µ ≠ µ0

Rejeitar H0 se

x − µ0 >z s n

α

2

62

Exemplo 13.3: Uma rede de pizzarias deseja testar com nível de 5% de significância se o teor médio de gordura em peças de salame produzidas por determinada indústria de alimentos é igual a 15%. De um grande lote retirou uma amostra de 50 peças de salame e os resultados estão a seguir: 19,8

23,4

13,6

6,6

13,7

5,2

14,3

13,3

12,2

14,3

8,5

15,8

16,0

18,3

28,7

11,6

16,4

14,4

26,2

17,0

6,5

10,0

24,5

34,9

19,1

6,9

19,5

11,0

8,9

10,6

9,5

14,0

6,0

18,0

10,8

16,7

18,4

10,1

12,3

6,5

25,4

15,3

12,1

13,1

7,7

17,4

24,1

14,0

21,4

10,7

As hipóteses a serem testadas são

Η 0) µ = 15 versus H1) µ ≠ 15 Vejamos as estatísticas descritivas da amostra: Teor de Gordura Média Desvio padrão

14,894 6,3871

Temos que α = 0,05 e portanto z = 1,96. A região crítica é α

2

Rejeitar H0 se

x − µ0 >z s n

α

2

Vamos substituir os valores: Rejeitar H0 se

Assim, rejeitaremos H0 se

− 0,1174 > z

14,894 − 15 >z 6,3871 50

α

2

α

2

Como o valor observado foi 0,1174, que não pertence à região crítica, a decisão deve ser de não rejeitar H0, e concluímos que não existe evidência de que o teor de gordura nas peças de salame produzidas pela indústria seja diferente de 15%.

63

Usando um pacote estatístico: Variável Teor de Gordura

n 50

Média 14,894

Erro padrão 0,903

t -0,12

p-valor 0,91

Exemplo 13.4: Iremos utilizar teste de hipótese para solucionar a dúvida da equipe técnica da indústria siderúrgica: pode-se concluir, com bastante segurança, que o processo de recozimento contínuo estava centrado abaixo do valor nominal da especificação (61,0 HR)? Essa dúvida pode ser solucionada por meio da realização de teste de hipótese para a dureza média (µ) das folhasde-flandres produzidas pelo processo: As hipóteses a serem testadas são

Η 0) µ ≥ 61 versus H1) µ <61 Temos que α = 0,05 e portanto zα = 1,65. A região crítica é Rejeitar

Vamos substituir os valores:

H0 se

x − µ0 < −z α s n

60,212 − 61 < − zα 0,611 50

Assim, rejeitaremos H0 se − 9,12 < − zα Como o valor observado foi -9,12, que pertence à região crítica, a decisão deve ser de rejeitar H0, e concluímos que existe evidência de que a dureza média nas peças produzidas pela indústria seja inferior a 61.

13.7.

Teste para Proporções

Quando trabalhamos com grandes amostras vimos que a distribuição amostral das proporções se aproxima da distribuição normal. Se p é a proporção populacional e p0 um valor fixo. A estatística de teste é :

pˆ − p 0 p 0q 0 n Vamos considerar os seguintes testes: 1. Η Η0 ) p ≤ p0 ( p =p0) versus

H1) p > p 64

Rejeitar H0 se

2. Η Η0 ) p ≥ p0 (οu p =p0) versus

H1) p < p0

Rejeitar H0 se

3. Η Η0 ) p = p0 versus

pˆ − p0 > zα p 0q 0 n

pˆ − p 0 < −z α p 0q 0 n

H1) p ≠ p0

Rejeitar H0 se

pˆ − p 0 > z α /2 p 0q 0 n

Exemplo 13.5: A fábrica A de automóveis afirma que 60% dos consumidores compram carros produzidos por ela. Uma fábrica concorrente deseja testar a veracidade desta afirmação. Para isso decide realizar uma pesquisa por amostragem com 300 proprietários de veículos.

Solução: Hipóteses a serem testadas H0) p = 0,60 H1) p < 0,60 p = proporção de consumidores que compram carros produzidos pela fábrica A.

A hipótese alternativa foi definida desta forma, pois se espera uma proporção menor, nunca maior. Observe que a hipótese alternativa não foi influenciada pelo resultado da pesquisa. Vamos fixar α= 5% e como a amostra é grande podemos utilizar aproximação normal e o teste 2 dado acima. Suponha agora que os resultados da pesquisa apontaram 165 proprietários de carros da fábrica A, isto equivale a uma proporção amostral ( pˆ ) de 55% pois ˆ = p

Portanto devemos rejeitar H0 se

Como α= 5%, zα = 1,645 e

165 = 0 ,55 300

pˆ − p 0 < −z α . p 0q 0 n pˆ − p0 0,55 − 0,60 = ≅ −1,77 < −1,645 p 0q 0 0,60 × 0,40 n 300 65

logo rejeitamos H0 e concluímos que há evidências de que a proporção de consumidores da fábrica A é inferior a 60% com 95% de confiança.

13.8.

Teste de Hipóteses para a variância de uma População

Considere que uma amostra aleatória de tamanho n tenha sido extraída de uma população com distribuição normal com média µ e variância σ 2. O interesse é testar uma hipótese sobre a variância σ 2, que é estimada por:

Suponha as seguintes hipóteses do tipo bilateral

1. Η Η0 )

versus

H1)

A estatística de teste a ser usada é:

em que tem distribuição Qui-Quadrado com (n-1) graus de liberdade, supondo que a hipótese nula seja verdadeira. Para um nível de significância α, a regra de decisão é dada por: Rejeitar Η Η0 se Para a realização dos testes unilaterais é análogo ao que foi apresentado para o teste bilateral.

2. Η Η0 )

versus

H1)

versus

H1)

Rejeitar H0 se

3. Η Η0 ) Rejeitar H0 se Exemplo 13.8:

Uma linha de montagem produz peças cujos pesos, em gramas, obedecem ao

modelo normal com variância de 30 g2. Os equipamentos foram modernizados e, para verificar se 66

o processo continua sob controle, foi tomada uma amostra de 23 peças, que forneceu uma variância de 40 g2. Existem evidências indicando que a variância mudou, considerando α=5%? As hipóteses a serem testadas são:

Η 0) σ2 = 30 g2

versus

H1) σ2 ≠ 30 g2.

Temos que,

. Usando α = 5% é obtido a partir da tabela da distribuição qui-quadradro os seguintes resultados:

Portanto Η 0 deve ser rejeitada se ou Como o valor observado foi 29,33, que não pertence à região crítica, a decisão deve ser de não rejeitar H0, e concluímos que não existem evidências de que a variância do peso das peças mudou para um valor diferente de 30 g2.

67

6a LISTA DE EXERCICIOS

1) De sua opinião sobre os tipos de problemas que surgirão no seguinte plano de amostragem. Para investigar a proporção de estudantes da UFU, favoráveis à mudança do início das atividades das 7:10 h para as 8:00 h, decidiu-se entrevistar os 30 primeiros estudantes que chegassem no bloco 4K, na segunda – feira. R: Não representa a população. Somente um dia, em um prédio e único horário.

2) Suponha que uma população apresenta grande variabilidade em relação a uma determinada característica de interesse. Esta população é, então, dividida em 4 grupos homogêneos para a característica de interesse, com tamanhos, respectivamente, N1 = 90, N2 =120; N3 = 60 e N4 = 480. a) Determine qual a técnica de amostragem mais adequada a ser utilizada? b) Pretende-se retirar uma amostra aleatória simples com reposição de 100 elementos da população. Quantas amostras devem ser retiradas de cada grupo, supondo que será retirada uma amostra proporcional ao tamanho dos grupos? a)R: Amostragem estratificada b) n1=12, n2=16, n3=8 e n4=64

3) Nos itens apresentados adiante, identifique qual o tipo de amostragem mais adequado a ser utilizado em cada situação. a) Ao escalar um júri um tribunal de justiça decidiu selecionar aleatoriamente 4 pessoas brancas, 3 morenas, e 4 negras. b) Um cabo eleitoral escreve o nome de cada senador do Brasil, em cartões separados, mistura e extraí 10 nomes. c) Um administrador hospitalar faz uma pesquisa com as pessoas que estão na fila de espera para serem atendidas pelo sistema SUS, entrevistando uma a cada 10 pessoas da fila. R: a) : Estratificada ; b) : Aleatória simples sem reposição, c) Amostragem sistemática.

4) Analise as situações descritas abaixo e decida se a pesquisa deve ser feita por amostragem ou por censo, justificando sua resposta. a) Numa linha de produção de empacotamento de café, observar o peso dos pacotes produzidos. b) Em uma sala de aula composta por 40 alunos, analisar suas idades. c) Observar se a água de uma lagoa está contaminada. d) Verificar a carga horária diária de trabalho dos 20 funcionários da cozinha de um restaurante e) Pesquisa de opinião eleitoral para um candidato a governador do estado da Bahia. R.a)Amostragem, b)Censo, c)Amostragem, d)Censo, e)Amostragem

68

5) Para se ajustar uma máquina, a correia deve ter entre 60 e 62 cm de comprimento. Tendo em vista o processo de fabricação, o comprimento destas correias pode ser considerado como uma variável aleatória com distribuição normal, de média 60,7 e desvio padrão 0,8 cm. Um grande revendedor dessas correias estabelece um controle de qualidade nos lotes que compra da fábrica: ele sorteia 4 correias do lote e só aceita o lote se o comprimento médio estiver dentro do tamanho aceito pela máquina. Calcule a probabilidade de aceitação do lote. R: 0,9594 6) Um processo de encher garrafas de vinho fornece 10% de garrafas com volume abaixo do especificado. Extraída uma amostra aleatória de 400 garrafas enchidas por esse processo, qual a probabilidade de a proporção amostral de garrafas com volume abaixo do especificado esteja entre 9% e 11%? R: 0,4971 7) Para uma distribuição qui-quadrado, determine

, de modo que:

)=0,99

a)

)=0,045

b)

R: a) 0,297

b) 46,928

8) Dada uma amostra de tamanho 24 de uma distribuição normal, determine k de modo que: a) P(-2,069
9) Se recolhesse 200 amostras de dimensão 40 a partir da mesma população, de modo que com elas construísse 200 intervalos de confiança a 99%, quantos destes intervalos esperariam que contivessem o verdadeiro valor da proporção de estudantes em análise? R:198 10) Interprete e comente as afirmações abaixo: a) “A média de salário inicial para recém–formados em Engenharia está entre 7 e 9 salários mínimos, com confiança de 95% ” b) “Quanto maior for o tamanho da amostra, maior é a probabilidade de a média amostral está próxima da verdadeira média populacional”. R: a)O intervalo, acompanhado da confiança, é a forma correta de apresentar a informação. A verdadeira média está contida no intervalo com 95% de confiança. Não confundir confiança com probabilidade. b) A afirmação está correta.

11) Num estudo de mercado foi encontrado o seguinte intervalo de confiança a 95% para a proporção de pessoas receptivas a um novo tipo de espuma de banho a lançar em breve no mercado: ]52%; 61%[ . Comente as seguintes afirmações, indicando se estas lhe parecem corretas ou incorretas: a) 95% das pessoas vão passar a usar a nova espuma de banho. 69

b) A probabilidade da nova espuma de banho alcançar uma quota de mercado de 50% é de 0.95. c) A quota de mercado poderá ser, com 95% de confiança, de 56.5% (valor intermédio do intervalo); d) O resultado obtido indica apenas que é oportuno proceder ao lançamento da nova espuma de banho. R: a) incorreta; b) incorreta ; c) incorreta

d) correta

12) Um provedor de acesso à Internet está monitorando a duração do tempo das conexões de seus clientes, com o objetivo de dimensionar seus equipamentos.

Mais especificamente, deseja

estimar a proporção P de usuários que demoram 60 minutos ou mais para realizarem suas operações. Uma amostra aleatória de clientes que utilizam esse provedor foi coletada e o tempo de utilização de cada um foi registrado, fornecendo as seguintes medidas desse tempo (em minutos): 25

28

28

40

52

15

120

34

65

78

42

16

44

27

22

36

50

80

15

45

23

34

14

58

32

90

133

48

19

17

28

39

15

40

33

68

27

37

42

59

62

73

24

28

40

70

19

46

43

31

60

a) Dê uma estimativa pontual para proporção de usuários que demoram 60 minutos ou mais para realizarem suas operações. b) Construa uma estimativa intervalar com 95% de confiança para proporção de usuários que demoram 60 minutos ou mais para realizarem suas operações.

R: a) 0,22; b) [0,106; 0,334]

13) O consumo de combustível é uma variável aleatória com parâmetros dependendo do tipo de veículo. Porém, precisamos de informações sobre o consumo médio. Para tal coletamos uma amostra de 40 automóveis desse modelo e observamos o seu consumo. a) Quem seria um estimador pontual do consumo médio para todos dos automóveis desse modelo? b) Se a amostra forneceu um consumo médio de 9,3 km/l e desvio padrão de 2 km/l. Construa um intervalo de confiança de 94% para a média de consumo desses carros. c) Se a amplitude de um intervalo de confiança, construído a partir dessa amostra, é de 1,5 km/l; qual teria sido o coeficiente de confiança. R: a) Média amostral; b)[8,71; 9,89], c)98,22% 14) Uma empresa fabricante de pastilhas para freios efetua um teste para controle de qualidade de seus produtos. Selecionou-se uma amostra de 600 pastilhas, das quais 18 apresentaram níveis 70

de desgaste acima do tolerado. Verifique, ao nível de 5%, se a proporção de pastilhas com desgaste acima do tolerado, do atual processo industrial. R: [1,64%; 4,36%] 15) Um fabricante sabe que a vida útil das lâmpadas que fabrica tem distribuição aproximadamente normal com desvio padrão de 200 horas. Para estimar a vida média das lâmpadas, tomou uma amostra de 400 delas, obtendo vida média de 1.000 horas. a) Construir um intervalo de confiança para µ ao nível de 1%; b) Qual o valor do erro de estimação cometida em a? c) Qual o tamanho da amostra necessária para se obter um erro de 5 horas, com 99% de probabilidade de acerto? R: a)[974,2 ; 1025,8 ] ;

b) 25,8 hs; c) 10651

16) Uma amostra de 10.000 itens de uma produção foi inspecionada e o número de defeitos por peça foi registrado na tabela abaixo: Número de Defeitos

0

1

2

3

4

Frequência Absoluta

6000

3200

600

150

50

a) Chamando de p a proporção de itens defeituosos nessa produção, determinar os limites de confiança de 98% de p. b) Qual o erro de estimação cometido em a?R: a) [49,34% ; 51,66% ] b) 1,16% 17) De 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia retirou-se uma amostra aleatória de 400 válvulas, obtém-se o tempo de vida útil das válvulas, em horas. Os resultados estão adiante. Tempo de vida útil das válvulas 500 |-- 600 600 |-- 700 700 |-- 800 800 |-- 900 900 |-- 1000 Total

Número de válvulas 27 94 151 97 31 400

a) Qual o intervalo de confiança de 99% para a vida média da população? b) Que tamanho deve ter a amostra para que seja de 95% a confiança na estimativa 752,75 ± 7,84? R: a) [739,5 ; 766,0] , b) 663 18) Uma unidade fabricante da Intel produziu 500.000 chips Pentium IV em certo período. São selecionados, aleatoriamente, 400 chips para teste. a) Supondo que 20 chips não tenham a velocidade de processamento adequada, construir o intervalo de confiança para a proporção de chips adequados. Use um nível de confiança de 95%. 71

b) Verifique se essa amostra é suficiente para obter um intervalo de 99% de confiança, com erro máximo de 0,5%, para proporção de chips adequados. Caso contrário, qual deveria ser o tamanho da amostra? R: a) [92,9%; 97,1%] b)12.648 19) Uma amostra de 28 peças forneceu os seguintes pesos: 250

265

267

269

271

275

277

281

283

287

289

291

293

293

298

301

303

306

307

309

311

315

319

322

324

328

284 307

Considere que a variável peso seja normalmente distribuída. Por meio da construção do Intervalo de Confiança, responder se esta amostra satisfaz a especificação pela qual o peso médio deve ser 300 Kg. Adote α = 5%. R: a)[285,98; 301,51] 20) Suponha uma amostra aleatória de 10 contas correntes em uma grande loja de uma cadeia, com um saldo devedor médio de 27,60 dólares. Admita que o desvio padrão de todos os saldos é de 12,00 dólares. a) Calcule o intervalo de 95% de confiança para a média de todos os saldos. Suponha normalidade. b)

Explicar ao vice-presidente da firma o significado de sua resposta (a), em termos tão simples quanto possíveis.

R: a)[20,16 ; 35,04]

21) Uma empresa de embalagens que presta o serviço de envelopamento de revistas decidiu reduzir a proporção de embalagens defeituosas produzidas. A empresa tomou como meta reduzir para menos de 2% a proporção de embalagens defeituosas até o final do ano. Para alcançar esta meta foram adotadas ações corretivas. Foram coletadas 2000 revistas embaladas, para confirmar a efetividade das ações. Dentre estas revistas 50 foram consideradas defeituosas. A meta de melhoria foi alcançada, ao nível de 1%? R: [ 0,016 ; 0,034] 22) Uma companhia de seguros decidiu avaliar qual era a proporção de formulários de apólices de seguro preenchidos incorretamente (p) pelos operadores responsáveis por esta tarefa. A empresa considerava um resultado indesejável descobrir que p ≥ 5%, o que implicaria na necessidade de ser iniciado um trabalho para melhorar o nível de qualidade que vinha sendo alcançado. De uma amostra de 200 formulários examinados, foram encontrados 9 que apresentavam erros no preenchimento. A partir deste resultado, os técnicos da empresa desejam tomar uma decisão. Qual a decisão da empresa? (α = 5%). R: [ 0,016; 0,0737] 23) Para avaliar a dureza de um material plástico recolheu-se uma amostra aleatória de oito elementos. Os resultados obtidos foram:

72

Supondo normalidade para a variável de estudo, responda os itens adiante. a) Determine uma estimativa pontual para a média e para o desvio padrão da dureza do material plástico. b) Encontre um intervalo a 95% de confiança para a média. c) Encontre um intervalo a 95% de confiança para o desvio padrão. R: a)

= 4,89, s=0,181; b)[4,74;

5,04]; c)[0,12; 0,37]

24) A cadeia de hotéis American Resort dá um teste de aptidão aos candidatos a emprego, e considera fácil uma questão do tipo múltipla escolha se ao menos 80% das respostas são corretas. Uma amostra aleatória de 6503 respostas a determinada questão apresenta 84% de respostas corretas. É admissível que a questão seja realmente fácil? Justifique (Use α= 5%). R: [ 83,1% ; 84,9%] . Sim.

25) Uma lei estadual exige um valor médio superior a cinco ppm de oxigênio dissolvido na água, cujo conteúdo seja suficiente para manter a vida aquática. Oito amostras aleatórias de água foram retiradas de um rio e revelaram os seguintes índices de oxigênio dissolvidos: 4,9 5,1 4,9 5,0 5,0 4,7 5,8 5,2 a) Supondo que a população tenha distribuição normal, verifique se os níveis de oxigênio dissolvidos na água são suficientes para manter a vida aquática. (Use α=5%) b) Supondo que a população tenha distribuição normal, construa o intervalo com 95% de confiança para o desvio padrão do oxigênio dissolvido no rio. R: a)[4,80; 5,35] ;

b)[0,22; 0,67]

26) Os Líderes estudantis de uma faculdade querem conduzir uma pesquisa para determinar a proporção p de estudantes a favor de uma mudança no horário de aulas. Como é impossível entrevistar todos os 2000 estudantes em um tempo razoável, decide-se fazer uma amostragem aleatória simples dos estudantes: a) Determinar o tamanho de amostra (número de estudantes a serem entrevistados) necessário para estimar p com um erro máximo de 0,05 e nível de conﬁança de 95%. Assumir que não há nenhuma informação a priori disponível para estimar p. b) Os líderes estudantis também querem estimar a proporção de p de estudantes que sentem que a representação estudantil atende adequadamente as suas necessidades. Com um erro máximo de 7% e nível de conﬁança de 95%, determinar o tamanho de amostra para estimar p. Utilizar a informação de uma pesquisa similar conduzida há alguns anos, quando 60% dos estudantes acreditavam que estavam bem representados. c) Qual o tamanho de amostra adequado para atingir ambos os objetivos da pesquisa? R: a)385; b)189; c) Para atingir ambos os objetivos da pesquisa deveram considerar a maior amostra, que é a de 385 estudantes.

73

27) Um gerente de uma filial de uma cadeia de livrarias deseja estudar as características dos clientes de sua loja, que se localiza perto do campus de uma Universidade Federal. Ele decidiu concentrar seu estudo em duas variáveis: o valor gasto pelos clientes e se os clientes estão interessados em adquirir vídeos educativos relacionados às áreas de interesses (vídeos sobre economia, estatística, pesquisa operacional, etc.). Foi selecionada uma amostra aleatória de 70 clientes e os resultados foram os seguintes: o valor gasto, em média, por cliente foi de R$28,52 com desvio-padrão de R$11,39 e 28 clientes declararam interesse em adquirir os vídeos. a) Determine o intervalo de confiança de 95% para o verdadeiro valor médio gasto por cliente. b) Determine o intervalo de confiança de 99% para a verdadeira proporção de clientes que declararam interesse em adquirir os vídeos educativos. c) Para o nível de confiança de 95%, qual deve ser o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na estimação da proporção de clientes que declararam interesse em adquirir vídeos educativos seja de, no máximo, 5%? d) Para um nível de confiança de 99%, qual deve ser o tamanho da amostra para que o erro cometido na estimação do valor médio gasto por cliente seja de, no máximo, R$4,00? R: a)[25,85; 31,19]; b)[0,249; 0,551]; c)369; d)54

28) A associação dos proprietários de industrias metalúrgicas está muito preocupada com o tempo perdido com acidentes de trabalho, cuja média, nos últimos tempo, tem sido da ordem de 60 h/homem por ano e desvio padrão de 20 h/homem. Tentou-se um programa de prevenção de acidentes e após o mesmo, tomou-se uma amostra de 9 indústrias e mediu-se o número de horas/homens perdidas por acidentes que foi 50 horas. Você diria, ao nível de 5%, que há evidência de melhoria?

R: Não. Região crítica (-∞;-1,645]

29) O rótulo de uma caixa de sementes informa que a taxa de germinação é de 90%. Entretanto, como a data de validade está vencida, acredita-se que a taxa de germinação seja inferior a este número. Foi realizado um experimento e de 400 sementes, tomadas ao acaso, 350 germinaram. Qual a conclusão do teste ao nível de 1% de significância? R: A taxa de germinação não é inferior a 90%. Região crítica (-∞; -2,33]

30) A força de compressão de concreto está sendo testada por um engenheiro civil. Ele testa 12 amostras e obtém os seguintes dados: 2216 2237 2249 2204 2225 2301 2281 2263 2318 2255 2275 2295 Suponha normalidade para a população de estudo, responda os itens a seguir: a) Construir o intervalo de 95% para a força média; 74

b) Construir o intervalo de 99% para a força média; c) Ao nível de 5% de significância, verificar se a verdadeira média da força de compressão difere de 2280. d) Repetir o item c, usando α=1%. e) Repetir o item c, porém verificando se a verdadeira média da força de compressão difere de 2300. f) Compare as conclusões obtidas usando Intervalo de Confiança e teste de hipóteses. R:a) [2237,32 ; 2282,56]

b) [ 2228,02; 2291,81 ]

c) Não. A verdadeira média da força de compressão não difere de 2280, com 95% de

confiança. d) Não. A verdadeira média da força de compressão não difere de 2280, com 99% de confiança

e) com 95% de confiança

difere de 2300.

31) Um jornal afirma que 40% dos seus leitores têm curso superior. Um jornal concorrente afirma que essa proporção é menor. Para verificar sua suspeita, o concorrente sorteou 200 leitores daquele jornal e observou os seguintes resultados: Apresenta nível superior Sim Não Total

Número de leitores 70 130 200

a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses. b) Quais os tipos de erros que podem cometidos ao testar as hipóteses estabelecidas no item a? Explique cada um deles. c) Para um nível de significância de 20%, qual foi a conclusão do concorrente? R: a) P=0,40 vs P<0,40; b) Erro tipo I- Dizer que a proporção de leitores é menor do que 40% quando na verdade proporção é igual a 40%. Erro tipo II- Dizer que a proporção de leitores é igual a 40% quando na verdade a proporção é menor. C)Rejeita a hipótese nula. Região crítica (-∞; -1,28]

32) Numa linha de produção é importante que o tempo gasto numa determinada operação não varie muito de empregado para empregado. Em operários bem treinados a variabilidade fica em 100 segundos2. A empresa colocou 11 novos funcionários para trabalhar na linha de produção, supostamente bem treinados, e observou as seguintes informações, em segundos:

Testar se a tempo despendido por estes funcionários pode ser considerado mais variável do que os demais funcionários. Suponha que a população seja normalmente distribuída e utilize 5% de significância. Qual foi a conclusão? R: Sim. Região crítica [18,3070;

∞)

33) Um representante de um grupo comunitário informa a uma construtora de shoppings que a renda familiar média nessa área é igual a R$ 4500,00. Com base em estudos anteriores, a 75

renda familiar, para o tipo de área envolvida, pode ser assumida como tendo uma distribuição normal. A construtora considera um fator importante para decidir a localização do shopping que a renda familiar média da população da área não esteja abaixo do valor R$ 4500,00 informado pelo representante. Para verificar a informação do representante, uma amostra de 26 residências selecionadas aleatoriamente foi obtida e a renda familiar média encontrada foi igual a R$ 4150,00, com desvio padrão igual a R$ 1200,00. a) Realize o teste e apresente qual a conclusão do construtor de shopping, ao nível de significância de 10%.

. R: a)Não construir o shopping. Região crítica [-∞; -1,316)

34) Um restaurante alega que a variância para a duração do intervalo entre um atendimento e outro é inferior a 8,41 minutos2. Uma amostra aleatória de 23 intervalos de tempo até o serviço tem uma variância de 4,41 minutos2. Sendo α=10%, há evidência suficiente que sustente a alegação do restaurante? Suponha que a população seja normalmente distribuída. R: Rejeita se Ho , pois

35) Avaliou-se em 240 kg o desvio padrão das tensões de ruptura de certos cabos produzidos por uma fábrica. Depois de ter sido introduzida uma mudança no processo de fabricação desses cabos, as tensões de ruptura de uma amostra de 8 cabos apresentaram o desvio padrão de 300 kg. Verifique se houve aumento aparente da variância, ao nível de significância de 5%. Suponha que a população seja normalmente distribuída.

R:

Não

se

Rejeita

Ho,

pois

36) Um estudo foi desenvolvido para avaliar o salário de empregados de nível médio na cidade de Salvador. Foram sorteados e entrevistados 200 trabalhadores. Admita que o desvio padrão do salário recebido pelos trabaladores nessa cidade é de 0,80 salários mínimos. a) Você conhece a distribuição do estimador de ? Se não, é possível fazer alguma suposição? b) Deseja-se testar se a média é igual a 3 salários mínimos ou é menor. Formule as hipóteses adequadas. c) Se a amostra forneceu média de 2,5 salários mínimos, qual seria a conclusão (Use α=10%)? R: a)Não conhecemos e supomos n grande para aplicar o Teorema Central do Limite; b) H0: µ=3 vs H1: µ <3. Rejeita H0, região crítica (-∞; 1,28]

37) Um comprador, ao receber de um fornecedor um grande lote de peças, decidiu inspecionar 200 delas. Decidiu, também, que o lote será rejeitado se ficar convencido, ao nível de 5% de significância, de que a proporção de peças defeituosas no lote é superior a 4%. Na amostra selecionada observou-se 12 peças defeituosas. 76

A partir das informações do texto acima e da saída do programa computacional R defina as hipóteses e tome a decisão (não rejeitar ou rejeitar o lote). z

0,06

Peças defeituosas

p-valor

0,12

1,12

R: Não Rejeita H0

38) Uma máquina de refrigerantes é considerada fora de controle se a variância dos conteúdos exceder 1,15 decilitros2. Se uma amostra aleatória de 25 copos de bebidas dessa máquina apresentou uma variância de 2,03 decilitros2. Assuma que a variável de estudo tenha distribuição aproximadamente normal. Para um nível de significância de 10%, há evidências de que a máquina está fora de controle?R: Rejeita Ho, pois

.

39) A fim de acelerar o tempo que um analgésico leva para penetrar na corrente sanguínea, um químico analista acrescentou certo componente à fórmula original, que acusava um tempo médio de 43 minutos. O pesquisador obteve 36 observações através de um experimento com a nova fórmula. A partir da saída do programa, o que analista pode concluir, ao nível de 5% de significância, sobre a eficiência do novo componente? (Suponha que a população tenha distribuição Normal). Média

Desvio-padrão

Z

p-valor

Tempo

10,53 -0,99 0,16 41,27 40) Para verificar as hipóteses de seu trabalho, um pesquisador fez vários testes estatísticos (um

para cada hipótese de pesquisa), adotando para cada teste o nível de significância de 5%. Responda os seguintes itens adiante: a) Num dado teste, o p-valor=0,0001. Qual deve ser a conclusão (decide-se pela hipótese nula ou pela hipótese alternativa)? Qual o risco de o pesquisador estar tomando a decisão incorreta? b) Em outro teste, o p-valor=0,25. Qual deve ser a conclusão? Nesse caso, você consegue avaliar o risco de o pesquisador estar tomando a decisão incorreta? c) Em outros dois testes, os p-valores forams de 0,0001 e 0,01, respectivamente. Em qual dos testes o pesquisador deve estar mais convicto na decisão de qual hipótese deve ser escolhida? Por quê? R: a) Decide-se por H1, pois o p-valor é menor que o nível de significância adotado. Dada a evidência da amostra, o risco dele estar tomando a decisão incorreta é de 0,0001; b) Decide-se por H 0, pois p-valor é maior do que o nível de significância adotado. Dada a evidência da amostra, quando se não rejeita H 0 o p-valor não oferece qualquer informação sobre o risco de se estar tomando a decisão incorreta; c) Quanto menor o p-valor existe maior evidência para a rejeição de H0.

41) Os seguintes dados vêm de um estudo que examina a eficácia da cotinina na saliva como um indicador para a exposição à fumaça do tabaco. Em uma parte do estudo, sete indivíduos – nenhum dos quais grandes fumantes e todos eles se abstiveram de fumar pelo menos uma 77

semana antes do estudo – foi solicitado fumar um único cigarro. Foram tomadas amostras da saliva de todos os indivíduos 12 e 24 horas depois de terem fumado o cigarro. Os níveis de 42) cotinina obtidos são mostrados adiante*: *DIGIUSTO, E. e ECKHARD, I. Some Properties of Saliva Continine Measurements in Indicating Exposure To Tobacco Smoking, American

Indivíduo 1 2 3 4 5 6 7 Journal of Public Health, v. 76,

Níveis de Cotinina (mmol/l) Depois de 12 horas Depois de 24 horas 73 24 58 27 67 49 93 59 33 0 18 11 147 43 out., 1986, p. 1245-1246.

A partir da saída de um programa computacional a seguir, teste a hipótese nula de que as médias da população sejam idênticas ao nível de significância de 5%. O que você conclui? Paired T-Test N Doze 7 VinteQuatro 7 Difference 7 95% CI for mean

Mean StDev SE Mean 69.8571 42.2154 15.9559 30.4286 21.1176 7.9817 39.4286 31.3946 11.8660 difference: (10.3934, 68.4637) T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = 3.32 P-Value = 0.016

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1) MAGALHÃES, Marcos Nascimento; LIMA, Antonio Carlos Pedroso de. Noções de Probabilidade e Estatística. 6. ed., rev São Paulo, SP: EDUSP, 2005 392 p.

2) MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C.; HUBELE, Norma Faris. Estatística Aplicada à Engenharia. Rio de Janeiro: LTC, 2004. 335 p.

3) MORETTIN, Pedro Alberto; BUSSAB, Wilton de Oliveira. Estatística Básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2006. 526 p.

4) WERKEMA, Maria Cristina Catarino. Como Estabelecer Conclusões com Confiança: entendendo inferência estatística. Belo Horizonte, MG: UFMG. Escola de Engenharia, [1996]. 309 p. (Ferramentas da qualidade 4) .

78

Distribuição t de Student* com os valores de t tais que a probabilidade de a variável aleatória T ser maior do que t c vale α, ou seja, Prob(T ≥ tc) = α

Valores de α

Graus de Liberdade

0,4

0,25

0,10

0,05

0,025

0,010

0,005

0,0010

0,0005

1

0,325

1,000

3,078

6,314

12,706

31,821

63,657

318,309

636,619

2

0,289

0,816

1,886

2,920

4,303

6,965

9,925

22,327

31,599

3

0,277

0,765

1,638

2,353

3,182

4,541

5,841

10,215

12,924

4

0,271

0,741

1,533

2,132

2,776

3,747

4,604

7,173

8,610

5

0,267

0,727

1,476

2,015

2,571

3,365

4,032

5,893

6,869

6

0,265

0,718

1,440

1,943

2,447

3,143

3,707

5,208

5,959

7

0,263

0,711

1,415

1,895

2,365

2,998

3,499

4,785

5,408

8

0,262

0,706

1,397

1,860

2,306

2,896

3,355

4,501

5,041

9

0,261

0,703

1,383

1,833

2,262

2,821

3,250

4,297

4,781

10

0,260

0,700

1,372

1,812

2,228

2,764

3,169

4,144

4,587

11

0,260

0,697

1,363

1,796

2,201

2,718

3,106

4,025

4,437

12

0,259

0,695

1,356

1,782

2,179

2,681

3,055

3,930

4,318

13

0,259

0,694

1,350

1,771

2,160

2,650

3,012

3,852

4,221

14

0,258

0,692

1,345

1,761

2,145

2,624

2,977

3,787

4,140

15

0,258

0,691

1,341

1,753

2,131

2,602

2,947

3,733

4,073

16

0,258

0,690

1,337

1,746

2,120

2,583

2,921

3,686

4,015

17

0,257

0,689

1,333

1,740

2,110

2,567

2,898

3,646

3,965

18

0,257

0,688

1,330

1,734

2,101

2,552

2,878

3,610

3,922

19

0,257

0,688

1,328

1,729

2,093

2,539

2,861

3,579

3,883

20

0,257

0,687

1,325

1,725

2,086

2,528

2,845

3,552

3,850

21

0,257

0,686

1,323

1,721

2,080

2,518

2,831

3,527

3,819

22

0,256

0,686

1,321

1,717

2,074

2,508

2,819

3,505

3,792

23

0,256

0,685

1,319

1,714

2,069

2,500

2,807

3,485

3,768

24

0,256

0,685

1,318

1,711

2,064

2,492

2,797

3,467

3,745

25

0,256

0,684

1,316

1,708

2,060

2,485

2,787

3,450

3,725

26

0,256

0,684

1,315

1,706

2,056

2,479

2,779

3,435

3,707

27

0,256

0,684

1,314

1,703

2,052

2,473

2,771

3,421

3,690

28

0,256

0,683

1,313

1,701

2,048

2,467

2,763

3,408

3,674

29

0,256

0,683

1,311

1,699

2,045

2,462

2,756

3,396

3,659

30

0,256

0,683

1,310

1,697

2,042

2,457

2,750

3,385

3,646

40

0,255

0,681

1,303

1,684

2,021

2,423

2,704

3,307

3,551

60

0,254

0,679

1,296

1,671

2,000

2,390

2,660

3,232

3,460

120

0,254

0,677

1,289

1,658

1,980

2,358

2,617

3,160

3,373

∞

0,253

0,674

1,282

1,645

1,960

2,326

2,576

3,090

3,291

79

Distribuição de Qui-Quadradro* χ 2 com os valores críticos de Qui-Quadradro tais que a probabilidade de a variável aleatória χ 2 ser maior do que χ 2c vale α, ou seja, Prob( χ 2 ≥ χ 2c) = α.

0,995

0,99

0,975

0,95

Valores de α 0,50 0,10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0,00

0,00

0,00

0,00

0,45

2,71

3,84

5,02

6,63

7,88

0,01

0,02

0,05

0,10

1,39

4,61

5,99

7,38

9,21

10,60

0,07

0,11

0,22

0,35

2,37

6,25

7,81

9,35

11,34

12,84

0,21

0,30

0,48

0,71

3,36

7,78

9,49

11,14

13,28

14,86

0,41

0,55

0,83

1,15

4,35

9,24

11,07

12,83

15,09

16,75

0,68

0,87

1,24

1,64

5,35

10,64

12,59

14,45

16,81

18,55

0,99

1,24

1,69

2,17

6,35

12,02

14,07

16,01

18,48

20,28

1,34

1,65

2,18

2,73

7,34

13,36

15,51

17,53

20,09

21,95

1,73

2,09

2,70

3,33

8,34

14,68

16,92

19,02

21,67

23,59

2,16

2,56

3,25

3,94

9,34

15,99

18,31

20,48

23,21

25,19

2,60

3,05

3,82

4,57

10,34

17,28

19,68

21,92

24,72

26,76

3,07

3,57

4,40

5,23

11,34

18,55

21,03

23,34

26,22

28,30

13 14

3,57

4,11

5,01

5,89

12,34

19,81

22,36

24,74

27,69

29,82

4,07

4,66

5,63

6,57

13,34

21,06

23,68

26,12

29,14

31,32

15 16 17 18

4,60

5,23

6,26

7,26

14,34

22,31

25,00

27,49

30,58

32,80

5,14

5,81

6,91

7,96

15,34

23,54

26,30

28,85

32,00

34,27

5,70

6,41

7,56

8,67

16,34

24,77

27,59

30,19

33,41

35,72

6,26

7,01

8,23

9,39

17,34

25,99

28,87

31,53

34,81

37,16

19 20 21

6,84

7,63

8,91

10,12

18,34

27,20

30,14

32,85

36,19

38,58

7,43

8,26

9,59

10,85

19,34

28,41

31,41

34,17

37,57

40,00

8,03

8,90

10,28

11,59

20,34

29,62

32,67

35,48

38,93

41,40

22 23 24

8,64

9,54

10,98

12,34

21,34

30,81

33,92

36,78

40,29

42,80

9,26

10,20

11,69

13,09

22,34

32,01

35,17

38,08

41,64

44,18

9,89

10,86

12,40

13,85

23,34

33,20

36,42

39,36

42,98

45,56

25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90

10,52

11,52

13,12

14,61

24,34

34,38

37,65

40,65

44,31

46,93

11,16

12,20

13,84

15,38

25,34

35,56

38,89

41,92

45,64

48,29

11,81

12,88

14,57

16,15

26,34

36,74

40,11

43,19

46,96

49,64

12,46

13,56

15,31

16,93

27,34

37,92

41,34

44,46

48,28

50,99

13,12

14,26

16,05

17,71

28,34

39,09

42,56

45,72

49,59

52,34

13,79

14,95

16,79

18,49

29,34

40,26

43,77

46,98

50,89

53,67

20,71

22,16

24,43

26,51

39,34

51,81

55,76

59,34

63,69

66,77

27,99

29,71

32,36

34,76

49,33

63,17

67,50

71,42

76,15

79,49

35,53

37,48

40,48

43,19

59,33

74,40

79,08

83,30

88,38

91,95

43,28

45,44

48,76

51,74

69,33

85,53

90,53

95,02

100,43

104,21

51,17

53,54

57,15

60,39

79,33

96,58

101,88

106,63

112,33

116,32

59,20

61,75

65,65

69,13

89,33

107,57

113,15

118,14

124,12

128,30

100

67,33

70,06

74,22

77,93

99,33

118,50

124,34

129,56

135,81

140,17

Graus de Liberdade

0,05

0,025

0,01

0,005

* Tabela Gerada no Excel

80

Apostila_2_MAT236

Recommend Documents