Raciocínio Lógico Profº Thiago Thiago Magalhães A l ógi c a éc on si der ad a a ciênc ia d o rac io cíni o , pois a sua ideia está ligada
ao processo de raciocínio correto e incorreto que depende da estrutura dos argumentos envolvidos nele. A lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das relações formais entre as proposições. A matemática necessita da lógica para suas definições, postulados e teoremas.
1. ÁLGEBRA PROPOSICIONAL 1.1 - Proposição: Uma proposição, ou um enunciado, é uma declaração (afirmativa ou negativa). Também podemos dizer que é toda expressão que encerra um pensamento de sentindo completo. Uma proposição assume um dos dois valores-verdade: verdadeira ou falsa; ou seja, uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser verdadeira ou falsa. Quando ela é verdadeira, atribuímos-lhe o valor lógico V; quando é falsa, o valor lógico F. Sendo assim, vejamos os exemplos: a) Brasília não é a capital do Brasil – é uma declaração (negativa); portanto, uma proposição. Sabemos ser falsa (valor lógico F). b) Sete mais dois é igual a nove – é uma declaração (positiva); portanto, uma proposição. Sabemos ser verdadeira (valor lógico V). c) O dobro de cinco é dez? – é uma pergunta, e não uma declaração. Portanto, não é uma proposição . Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). d) João. Vá estudar sua lição - é uma sentença imperativa, e não uma declaração. Portanto, não é uma proposição .
1.2 - Princípios: Princípio da Identidade: Toda proposição é idêntica a si mesma. Princípio da Não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo ter outro valor.
1.3 - Sentença aberta e sentença fechada: Sentença fechada: É aquela que podemos garantir como sendo verdadeira ou falsa. Portanto sentença fechada é uma proposição. Sentença aberta: É aquela que contém uma variável, um elemento desconhecido, e, portanto, não podemos garantir que seja verdadeira ou falsa. Ex.: “x + 8 = 9” “A cidade x é a capital de Sergipe .”
Essas proposições serão verdadeiras ou falsas, dependendo do valor que atribuirmos à variável x.
1.4 - Proposição simples e proposição composta: Proposição simples: como o próprio nome indica, é uma proposição única, isolada. Proposição composta: quando formada por duas ou mais proposições, ligadas entre si por conectivos operacionais. operacionais. Ex.: “ Aracaju Aracaju é a capital capital de Sergipe Sergipe e Fortaleza é a capital do Ceará.” “Se 4 + 5 = 9, então 9 – 5 = 4” Página 1
Raciocínio Lógico Profº Thiago Magalhães Exercícios:
1- (CESPE – MRE) Considere a seguinte lista de sentenças: I Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores? II O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX. III As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y. IV O barão do Rio Branco foi um diplomata notável. Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma proposição. 2- (CESPE – BB) Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não, como ambas. Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições porque a primeira é
pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. (...) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. - “A frase dentro destas aspas é uma mentira.” - A expressão X + Y é positiva. - O valor de 4 3 7 - Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. - O que é isto?
3- (CESPE / MPE-TO – ANALISTA) Uma proposição é uma afirmativa que pode ser interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não de ambas as formas. (...) Na lista abaixo, há exatamente três proposições. - Faça suas tarefas. - Ele é um procurador de justiça muito competente. - Celina não terminou seu trabalho. - Esta proposição é falsa. - O número 1024 é uma potência de 2. 1.5 - Símbolos da linguagem da Álgebra Proposicional: As proposições serão representadas por letras do alfabeto (fórmulas atômicas): a, b, c, . . . , p, q, . . . As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns operadores (conectivos), gerando novas sentenças (moléculas). Na linguagem comum, usam-se palavras explícitas ou não para interligar frases dotadas de algum sentido. Tais palavras são substituídas, na Lógica Matemática, por símbolos denominados conectivos lógicos. Em nosso estudo, restringiremo-nos inicialmente ao chamado cálculo proposicional; por essa razão, os conectivos utilizados são conhecidos por sentenciais ou proposicionais. Os conectivos proposicionais serão representados da seguinte forma: ~ ou ¬ corresponde a “n ão ” ⋀ corresponde a “e” corresponde a “ou” → corresponde a “então” ↔ corresponde a “se somente se” Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir outra proposição correspondente com a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar: Página 2
Raciocínio Lógico Profº Thiago Magalhães • Conjunção: a
∧ b
(lê-se: a e b) • Disjunção: a ∨ b (lê-se: a ou b) • Condicional: a → b (lê-se: se a então b) • Bicondicional: a ↔ b (lê-se: a se somente se b) • Disjunção exclusiva: a ⊻ b (lê-se: ou a ou b) Ex1.: Seja a sentença: “Se Alyne é estudiosa, então ela passará na Fundação Hospitalar de Saúde ”
Sejam as proposições: p = “ Alyne é estudiosa” q = “Ela passar á na Fundação Hospitalar de Saúde” Daí, nós poderemos representar a sentença da seguinte forma: Se p então q (ou p → q )
Obs.: É comum o uso do MAS com o objetivo de criar uma CONJUNÇÃO de proposições. Ex2.: Sejam as proposições: p = “Beber demasiadamente faz mal à saúde” q = “Carlos bebe”
p ∧ ~q: Beber demasiadamente faz mal à saúde, mas Carlos bebe.
2. TABELA-VERDADE 2.1 - Tabela-verdade: O valor-verdade de uma proposição composta é obtido de forma única a partir dos valores-verdade atribuídos às proposições simples que a compõem. A atribuição de um valor-verdade para uma proposição simples depende do seu contexto. Para determinar o valor-verdade (V) ou (F) de uma proposição composta, usase um instrumento denominado tabela-verdade, na qual figuram todas as possíveis combinações dos valores-verdade das proposições simples. OBS.: O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta depende do número de proposições simples que a integram dada pelo teorema: se numa proposição composta há n proposições simples então a tabela-verdade tem 2 n linhas.
a) Valor verdade de ~P P ~P V F F V A negação da proposição P é a proposição ¬P, de maneira que se P é verdade então ~P é falso, e vice-versa. 1.6.1 - Modos de negação de uma proposição : a.1. Antepondo-se a expressão “não” ao seu verbo. Ex.: “Natália gosta de café.” “Natália não gosta de café.”
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Raciocínio Lógico Profº Thiago Magalhães a.2. Retirando-se a negação antes do verbo. Ex.: “Paulo não é primo de João.” “Paulo é primo de João.”
a.3. Substituindo-se um termo da proposição por um de seus antônimos. Ex.: “Maria é bonita.” “Maria é feia.”
b) Valor verdade de P ∧ Q P V V F F
Q P Q V V F F V F F F O valor verdade da molécula P ∧ Q é tal que o valor (P somente se o valor (P) e o valor (Q) são verdades.
∧ Q)
é verdade se
c) Valor verdade de P ∨ Q P V V F F
Q P Q V V F V V V F F O valor verdade da molécula P ∨ Q é tal que o valor (P somente se o valor (P) e o valor (Q) são falsos.
∨ Q)
é falso se
d) Valor verdade de P → Q P V V F F
Q P → Q V V F F V V F V O valor verdade da molécula P → Q é tal que o valor (P → Q) = F se somente se o valor (P) = V e o valor (Q) = F e) Valor verdade de P ↔ Q P V V F F
Q P ↔ Q V V F F V F F V O valor verdade da molécula P ↔ Q é tal que o valor (P ↔ Q) = V se somente se o valor (P) e o valor (Q) têm os mesmos valores verdades.
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Raciocínio Lógico Profº Thiago Magalhães f) Valor verdade de P ⊻ Q P V V F F
Q P Q V F F V V V F F O valor verdade da molécula P ⊻ Q é tal que o valor (P se o valor (P) e o valor (Q) têm os valores verdades diferentes.
⊻ Q)
= V se somente
Ex.: (IBFC – EBSERH/2013) Se o valor lógico de uma proposição p é verdadeiro e o valor lógico de uma proposição q é falso, podemos afirmar que: a) A conjunção entre as duas é verdadeira. b) p condicional q é verdadeira. c) p bicondicional q é falsa. d) A disjunção entre as duas é falsa. Nesse caso, devemos fazer a tabela-verdade para todos os casos pedidos ou somente a linha correspondente ao V e F. a) A conjunção é ∧, então V ∧ F = F. b) A condicional é →, então V → F = F. c) A bicondicional é ↔, então V ↔ F = F. d) A disjunção é ∨, então V ∨ F = V. Resposta letra C. Exercícios:
4- (IBFC – EBSERH/2013) Se o valor lógico de uma proposição p é verdadeiro e o valor lógico de uma proposição q é falso então o valor lógico da proposição composta [(p → q) ∨ ~p] ∧ ~q é: a) Falso e verdadeiro. b) Verdadeiro. c) Falso. d) Inconclusivo. 5- (CESPE – STJ) Considerando-se que as proposições A, B e C tenham valorações V, F e V, respectivamente, e considerando-se também as proposições p e q, representadas, respectivamente, por A ∧ (B ∨ C) e [¬(A ∧ B) ∨ (¬C)], é correto afirmar que P e Q têm a mesma valoração. 6- (IBFC – EBSERH/2013) Sejam as proposições P: 10% de 40% é o mesmo que 4% e Q: a metade de um terço de x é menor que
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de x. Pode-se afirmar que:
a) A conjunção entre as duas é verdadeira. b) P condicional Q é falso. c) P bicondicional Q é verdadeiro. d) A disjunção entre as duas é falsa. e) a negação de Q é falsa.
7- (ESAF) Maria tem três carros: um gol, um corsa e um fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que 1) ou o gol é branco, ou o fiesta é branco, 2) ou o gol é preto ou o corsa é azul, 3) ou o fiesta é azul, ou o corsa é azul, Página 5
Raciocínio Lógico Profº Thiago Magalhães 4) ou o corsa é preto, ou o fiesta é preto. Portanto as cores do gol, corsa e do fiesta são, respectivamente: a) Branco, preto e azul b) Preto, azul e branco c) Azul, branco e preto d) Preto, branco e azul e) Branco, azul e preto
2.2 - Tautologia: São moléculas que possuem cada uma delas o seu valor verdade sempre verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições (átomos) que as compõem. P Q P→Q ~P Q (P→Q) ↔ (~P Q) V V V V V V F F F V F V V V V F F V V V Exercício:
8- (CESPE – MRE) A sentença “No Palácio Itamaraty há quadros de Portinari ou no Palácio Itamaraty não há quadros de Portinari” é uma proposição sempre verdadeira.
2.3 - Contradições: São moléculas que são sempre falsas, independentemente do valor lógico das proposições (átomos). P ~P P ↔ ~P V F F F V F
2.4 – Contingência: Chama-se uma proposição composta de contigente , ou uma contigência, quando o seu valor lógico poder ser (V) ou (F), dependendo do valor de suas proposições simples. P ~P P → ~P V F F F V V
2.5 Equivalência Lógica: Duas moléculas são equivalentes se elas possuem as mesmas tabelas verdade. P → Q é equivalente a ~P ∨ Q P Q P → Q ~P Q V V V V V F F F F V V V F F V V
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Raciocínio Lógico Profº Thiago Magalhães 2.6 - Leis de De Morgan: As leis de De Morgan são equivalências lógicas utilizadas para converter operação “ou” em “e” e vice -versa. 1- ~ (P Q) ~P ~R Ex.: Não é o caso de virem ambas Patrícia e Melise para a reunião. Logo, não virá Patrícia ou não virá Melise. Obs: Como a disjunção não é exclusiva, ela não exclui o caso de não virem ambos.
~ (P Q) ~P ~R Ex.: Não é o caso de vir Patrícia ou vir Melise para a reunião. Logo, não virá Patrícia e não virá Melise.
2-
Ex.: (IBFC - EBSERH/2013) De acordo com o raciocínio lógico matemático, pode-se afirmar que a disjunção entre duas proposições compostas (p ∨ q) é equivalente a: a) ~p ∨ ~q b) ~p ∨ q c) p ∧ ~q d) ~p ∧ ~q A pergunta desse tipo de equivalência é um exemplo típico das Leis de De Morgan. E questões desse tipo são as mais cobradas pelo IBFC como veremos abaixo. Quando for negar uma conjunção; negue a 1ª proposição, negue a 2ª, porém troque a conjunção pela disjunção. Agora quando for negar uma disjunção; negue a 1ª proposição, negue a 2ª e troque a disjunção pela conjunção. Sabendo dessas dicas, a resposta é letra D. Exercícios:
9- (IBFC - EBSERH/2013) Seja a proposição p: Maria é estagiária e a proposição q: Marcos é estudante. A negação da frase “Maria é estagiária ou Marcos é estudante” é
equivalente a: a) Maria não é estagiária ou Marcos não é estudante. b) Se Maria não é estagiária, então Marcos não é estudante. c) Maria não é estagiária, se e somente se, Marcos não é estudante. d) Maria não é estagiária e Marcos não é estudante.
10- (IBFC - EBSERH/2013) Do ponto de vista da lógica matemática a negação da frase: Marcos foi ao cinema ou Maria foi fazer compras é a frase: a) Marcos não foi ao cinema ou Maria não foi fazer compras. b) Marcos foi ao cinema e Maria foi fazer compras. c) Marcos não foi ao cinema, então Maria não foi fazer compras. d) Marcos não foi ao cinema e Maria não foi fazer compras. e) Marcos não foi ao cinema e Maria foi fazer compras.
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Raciocínio Lógico Profº Thiago Magalhães 3. ARGUMENTOS. REGRAS DE INFERÊNCIA 3.1 - Definição de argumento: Argumento é um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como consequência outra proposição. A proposição consequência é chamada de conclusão, e as demais, de premissas. As premissas devem servir para provar ou, no mínimo, formar alguma evidência para a conclusão de um argumento. Isto é, o conjunto de proposições p 1, p2, p3, . . . , pn que tem como conseqüência outra proposição q. E é indicado por: p1, p2, p3, . . . , pn ⊢ q e se lê de uma das seguintes maneiras: - “p1, p2, p3, . . . , pn acarretam q” - “q decorre de p1, p2, p3, . . . , pn” - “q se deduz de p1, p2, p3, . . . , pn” - “q se infere de p 1, p2, p3, . . . , pn” As proposições p1, p2, p3, . . . , pn são as premissas do argumento, e a proposição q é a conclusão do argumento. O símbolo ⊢, chamado traço de asserção, afirma que a proposição à sua direita pode ser deduzida utilizando como premissas somente as proposições que estão à sua esquerda. Um argumento que consiste em duas premissas e um conclusão se chama de silogismo.
3.2 - Validade de um argumento: Um argumento p1, p2, p3, . . . , pn ⊢ q diz-se válido se e somente se a conclusão q é verdadeira todas as vezes que as premissas p 1, p2, p3, . . . , pn são verdadeiras. Em outros termos, um argumento p 1, p 2, p 3, . . . , pn ⊢ q é válido se e somente se o valor lógico da conclusão q for V todas as vezes que as premissas p 1, p2, p3, . . . , pn tiverem o valor lógico V. Portanto, todo argumento válido goza da seguinte propriedade característica: A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. Um argumento não válido diz-se um sofisma. Deste modo, todo argumento tem um valor lógico, digamos V se é válido (correto, legítimo) ou F se é um sofisma (incorreto, ilegítimo). As premissas dos argumentos são verdadeiras ou, pelo menos admitidas como tal. Aliás, a Lógica só se preocupa com a validade dos argumentos e não com a verdade ou a falsidade das premissas e das conclusões. A validade de um argumento depende exclusivamente da relação existente entre as premissas e a conclusão. Portanto, afirmar que um dado argumento é válido significa afirmar que as premissas estão de tal modo relacionadas com a conclusão que não é possível ter a conclusão falsa se as premissas são verdadeiras.
3.3 - Critério de validade de um argumento: Um argumento p 1, p2, p3, . . . , pn ⊢ q é válido se e somente se a condicional: (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ . . . ∧ pn) → q é tautológica.
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Raciocínio Lógico Profº Thiago Magalhães 3.4 - Silogismo categórico de forma típica: Chamaremos de silogismo categórico de forma típica (ou silogismo) ao argumento formado por duas premissas e uma conclusão, de modo que todas as premissas envolvidas são categóricas de forma típica (A, E, I, O). Teremos também três termos: • Termo menor – sujeito da conclusão. • Termo maior – predicado da conclusão. • Termo médio – é o termo que aparece uma vez em cada premissa e não aparece na conclusão. Chamaremos de premissa maior a que contém o termo maior, e premissa menor a que contém o termo menor. Exemplo: Todas as mulheres são bonitas. Todas as princesas são mulheres. ∴ Todas as princesas são bonitas. Termo menor: as princesas Termo maior: bonitas Termo médio: mulheres Premissa menor: todas as princesas são mulheres. Premissa maior: todas as mulheres são bonitas.
a) Alguns regras para a validade de um silogismo: 1. Todo silogismo deve conter somente três termos; 2. O termo médio deve ser universal pelo menos uma vez; 3. O termo médio não pode constar na conclusão; 4. Nenhum silogismo categórico de forma típica que tenha duas premissas negativas é válido; 5. De duas premissas particulares não poderá haver conclusão; 6. Se há uma premissa particular, a conclusão será particular; 7. Se há uma premissa particular negativa a conclusão será particular negativa. Exercícios:
(CESPE) Considere que P, Q, R e S sejam proposições lógicas e que os símbolos “∨”, “∧”, “→” e “¬” representem, respectivamente, os conectivos “ou”, “e”, “implica” e “negação”. As proposições são julgadas como verdadeiras — V — ou como falsas —
F. Considere, ainda, que P, Q, R e S representem as sentenças listadas abaixo. P: O homem precisa de limites. Q: A justiça deve ser severa. R: A repressão ao crime é importante. S: A liberdade é fundamental. Com base nessas informações, julgue os itens.
11- A sentença “A liberdade é fundamental, mas o homem precisa de limites”, pode ser corretamente representada por P ∧ ¬S. 12- A sentença “A repressão ao crime é importante, se a justiça deve ser severa”. Pode ser representada por R → Q. 13- A sentença “Se a justiça não deve ser severa nem a liberdade fundamental, então a repressão ao crime não é importante”, pode ser corretamente representada por (¬Q) ∧ (¬S) → ¬R.
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Raciocínio Lógico Profº Thiago Magalhães 14- A sentença “Ou o homem não precisa de limites e a repressão ao crime não é importante, ou a justiça deve ser severa ”, pode ser corretamente representada por [(¬P) ∧ (¬R)] ∨ Q. 15- A sentença “Se a justiça deve ser severa, então o homem precisa de limites” pode ser corretamente representada por Q → P. (CESPE – PF) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, ∧, ∨, → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Considere as sentenças abaixo. I- Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.
II- Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. III- Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. IV- Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. V- Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam. Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir. P: Fumar deve ser proibido. Q: Fumar de ser encorajado. R: Fumar não faz bem à saúde. T: Muitos europeus fumam. Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes. 15- A sentença I pode ser corretamente representada por P ∨ (¬ T) 16- A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∨ (¬ R) 17- A sentença III pode ser corretamente representada por R → P 18- A sentença IV pode ser corretamente representada por [R ∧ (¬ T)] → P 19- A sentença V pode ser corretamente representada por T → [(¬ R) ∧ (¬ P)]
4. FUNÇÕES PROPOSICIONAIS E QUANTIFICADORES 4.1 – Termo e predicado Dada uma proposição simples qualquer, pode-se destacar dela dois entes: o termo e o predicado. O termo pode ser entendido como o sujeito da sentença declarativa e o predicado, o que se declara a respeito do termo. Ex.: Naylla é a responsável pelo destaque. Termo: Naylla. Predicado: é a responsável pelo destaque.
4.2 – Função proposicional Seja um conjunto de termos. Uma função proposicional em é um predicado P associado a um termo x, em , que não pode ser qualificada como verdadeira ou falsa. Página 10
Raciocínio Lógico Profº Thiago Magalhães Tal qualificação só será possível quando, em Px, o x representar pelo menos um ou todos os elementos de . Nas funções proposicionais, os termos são variáveis, enquanto nas proposições, são constantes. Ex1.: No conjunto dos números inteiros ℤ, são funções proposicionais as seguintes sentenças: a) x – 7 > 3 b) x2 – 5x + 6 = 0 Observe que a função proposicional em a é verdadeira para valores maiores que 10, ou seja, existem números inteiros para os quais tal função proposicional é verdadeira (V) e é falsa(F) para todo o conjunto ℤ. Já a função proposicional b é (F) para valores diferentes de 2 e de 3 e (V) para os valores x 1 = 2 e x2 = 3. Ex2.: A sentença: Prestaram concurso e foram contratados. É uma função proposicional, visto ser impossível qualificar as duas afirmações: prestaram concurso e foram contratados; com um dos valores-verdade (V) ou (F). Mas, se acrescentarmos a proposição: todos ou alguns, teremos: a) Todos que prestaram concurso foram contratados; b) Alguns dos que prestaram concurso foram contratados. Nesse caso, dependendo do contexto, podemos atribuir um dos valores-verdade às proposições acima.
4.3- Quantificadores Já sabemos que x + 2 = 5 é uma sentença aberta e não podemos classificá-la como V ou F. Para transformarmos uma sentença aberta em uma proposição devemos atribuir valores às variáveis ou utilizar símbolos lógicos chamados de “quantificadores”. Estudaremos o quantificador universal e os existenciais. Quantificador universal: ∀ (lê-se “qualquer que seja”, ou, ainda, “para I. todo”). II.
Quantificadores existenciais:
∃ (lê-se
“existe pelo menos um”) e
(lê-se
“existe um único”).
Nos quatro exemplos seguintes, considere N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}. Exemplos: a) (∀x, x ∈ ) (x + 2 = 5), que se lê “qualquer que seja x, x elemento de , temse x + 2 = 5”, é uma afirmação falsa. b) (∃x, x ∈ ) (x + 2 = 5), que se lê “existe pelo menos um x, x elemento de , tem-se x + 2 = 5”, é uma afirmação verdadeira. c) (∃x, x ∈ ) (x + 2 = 5), que se lê “existe um único x, x elemento de , tem-se x + 2 = 5”, é uma afirmação verdadeira. d) (∃x, x ∈ ) (x + 2 > 5), que se lê “existe um único x, x elemento de , tem-se x + 2 > 5”, é uma afirmação falsa. Exercícios:
Sendo ℤ = {... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} julgue os itens a seguir: 20- (∀x, x ∈ ℤ) (x - x = 0) 21- (∀x, x ∈ ℤ) (x - 5 = 7) 22- (∃x, x ∈ ℤ) (x - 5 = 7) 23- (∃x, x ∈ ℤ) (x - 5 = 7) Página 11
Raciocínio Lógico Profº Thiago Magalhães 24- (∃x, x ∈ ℤ) (x2 = 9) 25- (∃x, x ∈ ℤ) (2x = 7) 4.4 - Negação de uma proposição contendo quantificador: Consideremos as seguintes proposições: p: “Todo brasileiro gosta de futebol” e q: “Existe mulher alta”.
As negações dessas proposições são: ~ p: “Existe brasileiro que não gosta de futebol” e ~q: “Toda mulher é baixa ( não é alta)”.
Observe que: - para negarmos a propo sição p, substituímos o quantificador “todo” pelo quantificador “existe” e negamos a afirmação subseqüente, “brasileiro gosta de futebol”; - para negarmos a proposição q, substituímos o quantificador “existe” pelo quantificador “toda” e negamos a afirmação subseqüente, “mulher alta”.
De modo geral: A negação da proposição p: (∀x) (x satisfaz a condição c) é ~ p: (∃x) (x não satisfaz a condição c) A negação da proposição q: (∃x) (x satisfaz a condição c) é ~ q: ( ∀x) (x não satisfaz a condição c). Exercícios:
26- (PUC-RS) A sentença ( ∃x / x – a = b) é a negação de: a) (∀x , x – a ≠ b) b) (∃x / x – a ≠ b) c) (∃x / x – a > b) d) (∃x / x – a < b) e) (∀x , x – a = b) 27- (Mackenzie-SP) Duas grandezas x e y são tais que, “se x = 3, então y = 7”. Pode se concluir que: a) se x ≠ 3, então y ≠ 7.
b) se y = 7, então x = 3. c) se x = 5, então y = 5. d) se y ≠ 7, então x ≠ 3.
e) nenhuma das conclusões anteriores é válida. (CESPE) Na comunicação, o elemento fundamental é a sentença, ou proposição simples, constituída esquematicamente por um sujeito e um predicado, aqui sempre na forma afirmativa. Toda proposição pode ser julgada como falsa (F), ou verdadeira (V), excluindo-se qualquer outra forma. Novas proposições são formadas a partir de proposições simples, utilizando-se conectivos. Considere a seguinte correspondência.
Usa-se também o modificador não, simbolizado por ¬. As proposições são representadas por letras do alfabeto: A, B, C etc. A seguir, são apresentadas as Página 12
Raciocínio Lógico Profº Thiago Magalhães valorações para algumas proposições compostas. Os espaços não-preenchidos podem servir de rascunho para auxiliar os raciocínios lógicos necessários ao julgamento dos itens.
Há expressões que não podem ser julgadas como V nem como F, por exemplo: x + 3 = 7. Nesse caso, a expressão constitui uma sentença aberta e x é a variável. Uma forma de passar de uma sentença aberta a uma proposição é pela quantificação da variável. São dois os quantificadores: “qualquer que seja” ou “para todo”, indicado por “∀”, e “existe”, indicado por “ ∃”. Por exemplo, a proposição “( ∀x)(x ∈ N) (x + 3 = 7)” é valorada como F, enquanto a proposição “( ∃x)(x ∈ N)(x + 3 = 7)” é valorada como V. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem, a respeito de lógica sentencial e de primeira ordem.
28- Se A é a proposição “O soldado Vítor fará a ronda noturna e o soldado Vicente verificará os cadeados das celas” , então a proposição ¬A estará corretamente escrita como: “O soldado Vítor não fará a ronda noturna nem o soldado Vicente verificará os cadeados das celas”.
29- Na tabela incluída no texto acima, considerando as possíveis valorações V ou F das proposições A e B, a coluna ¬(A ∨B) estará corretamente preenchida da seguinte forma.
30- Na tabela incluída no referido texto, considerando as possíveis valorações V ou F das proposições A e B, a coluna ¬A ∨¬B estará corretamente preenchida da seguinte forma.
31- Na tabela incluída no texto, considerando as possíveis valorações V ou F das proposições A e B, a coluna A ↔ B estará corretamente preenchida da seguinte forma.
Página 13
Raciocínio Lógico Profº Thiago Magalhães 32- Se Q é o conjunto dos números racionais, então a proposição ( ∃x)(x ∈ Q)(x2 + x 1 = 0) é julgada como V. 33- Se N é o conjunto dos números naturais, então a proposição (∀x)(x ∈ N)[(x - 1).x.(x + 1) é divisível por 3] é julgada como V. 34- (IBFC – EBSERH/2013) Sejam as afirmações: I. Se o valor lógico de uma proposição p é falso e o valor lógico de uma proposição q é verdadeiro, então o valor lógico da conjunção é verdadeiro. II. Se todo X é Y, então todo Y é X. III. Se uma proposição p implica numa proposição q, então a proposição q implica na proposição p. Pode-se afirmar que são verdadeiras: a) Todas b) Somente duas delas c) Somente uma delas d) Nenhuma
Gabarito:
Obs.: A banca CESPE tem questões do tipo julgue os itens que se seguem e são questões para o candidato assinalar: C – para resposta correta E – para resposta errada N- não S- sim 1 E (N,S,N,S) 2 E (S,N,N,S,N) 3 E (N,S,S,S,S) 4 C 5 C 6 B 7 e 8 C
9 10 11 12 13 14 15 16
D D E E C E C E
17 18 19 20 21 22 23 24
C C C E C E C C
25 26 27 28 29 30 31 32
E E A D E C E C
33 34
E D
Ref erênc ias Bi bl io gr áfic as:
BISPO, Carlos Alberto Ferreira. Introdução à lógica matemática. São Paulo: Cengage Learning, 2014. PAES, Rui Santos. Questões com gabaritos comentados: raciocínio lógico: Esaf, Cespe, Vunesp, NCE, FCC, Esag, Cesgranrio e outros. – 5.ed. – Brasília: Vestcon, 2006. PAIVA, Manoel. Matemática. Volume 1. São Paulo: Moderna, 1999. ROCHA, Enrique. Raciocínio Lógico: teoria e questões. – 2.ed. – Rio de Janeiro: Elsevier, 2006.
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