UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS CENTRO DE ENGENHARIAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
HIDRÁULICA
Prof. Hugo Alexandre Soares Guedes - UFPel Prof. Demetrius David da Silva – UFV
PELOTAS - RS AGOSTO - 2014
Índice
UNIDADE 1 – ENGENHARIA HIDRÁULICA ........................................................................ HIDRÁULICA ........................................................................ 5 1.1. Introdução ........................................................................................................ 5 1.2. Evolução da Hidráulica .................................................................................... 7 1.3. Panorama e escopo atual na área de Engenharia Civil .......................... ............. ...................... ......... 8 1.4. O curso de Hidráulica na UFPel ....................................................................... 9 UNIDADE 2 – ESCOAMENTO EM CANAIS SOB REGIME PERMANENTE E UNIFORME UNIFORME ......................................................................................................................... 11 2.1. Conceito ......................................................................................................... 11 2.2. Elementos geométricos da seção do canal......................... ............. ......................... .......................... ............... 11 2.2.1. Seção transversal .................................................................................... 11 2.2.2. Seção longitudinal ................................................................................... 12 2.3. Classificação dos escoamentos ..................................................................... 12 2.3.1. Em relação ao tempo (t) .......................................................................... 12 2.3.2. Em relação ao espaço (L), para um mesmo tempo (t): ........................... 13 2.3.3. Em relação ao número de Froude (F r) ..................................................... 13 2.3.4. Exemplos de regime de escoamento ...................................................... 15 2.4. Escoamento em regime fluvial permanente e uniforme .......................... ............. .................... ....... 16 2.5. Equações utilizadas no dimensionamento de canais operando em regime permanente e uniforme ......................................................................................... 18 2.5.1. Equações para o cálculo das seções transversais usuais ....................... ........... ............ 19 2.5.2. Seções de máxima eficiência .................................................................. 20 2.6. Velocidades médias (V) aconselháveis e inclinações admissíveis para os taludes dos canais ................................................................................................ 21 2.7. Folga dos canais ............................................................................................ 23 2.8. Velocidade máxima e vazão máxima em canais circulares .......................... ............. ............... 24 2.9. Diagrama para canais circulares funcionando parcialmente cheios .............. 27 2.9.1. Relação entre uma área molhada qualquer (A) e a área molhada a seção plena ou a seção cheia (A0) .............................................................................. 27 2.9.2. Relação entre um raio hidráulico qualquer (R) e o raio hidráulico a seção plena (R0) .......................................................................................................... 28 2.9.3. Relação entre uma velocidade qualquer (V) e a velocidade a seção plena (V0) .................................................................................................................... 28 2.9.4. Relação entre uma vazão qualquer (Q) e a vazão a seção plena (Q 0) ... 28 2.9.5. Relação entre um perímetro molhado qualquer (P) e o perímetro molhado a seção plena (P 0) .... ...... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. 28 2.10. Dimensionamento das seções dos canais ........................ ............ ......................... .......................... ............... 29 2
2.10.1. Seções circulares .................................................................................. 29 2.10.2. Seções trapezoidais e retangulares ...................................................... 31 2.10.3. Seções triangulares ............................................................................... 32 2.11. Exercícios de aplicação ............................................................................... 33 2.11.1. Quando se conhece as dimensões do canal ......................... ............ .......................... ................ ... 33 2.11.2. Quando se deseja conhecer as dimensões do canal ......................... ............ ................ ... 37 2.12. Exercícios de fixação ................................................................................... 43 UNIDADE 3 – VERTEDORES ............................................................................................. VERTEDORES ............................................................................................. 46 3.1. Conceito ......................................................................................................... 46 3.2. Partes constituintes ........................................................................................ 46 3.3. Classificação .................................................................................................. 46 3.3.1. Quanto à forma:....................................................................................... 46 3.3.2. Quanto à espessura (natureza) da parede (e): ....................................... 46 3.3.3. Quanto ao comprimento da soleira (L): ................................................... 47 3.3.4. Quanto à inclinação da face de montante: .............................................. 48 3.3.5. Quanto à relação entre o nível da água a jusante (P’) e a altura do vertedor (P): ...................................................................................................... 48 3.4. Equação geral da vazão para vertedores de parede delgada, descarga livre, independentemente da forma geométrica............................................................. 49 3.4.1 Vertedor retangular de parede delgada em condições de descarga livre . 51 3.4.2 Vertedor triangular t riangular de parede delgada em condições de descarga livre .. 54 3.4.3 Vertedor trapezoidal t rapezoidal de parede delgada em condições de descarga livre 56 3.4.4 Vertedor retangular de parede espessa ................................................... 57 3.5. Instalação do vertedor e medida da carga hidráulica (H) .......................... ............. .................. ..... 59 3.6. Exercícios de Fixação .................................................................................... 60 UNIDADE 4 – ORIFÍCIOS E BOCAIS EM PAREDES DE RESERVATÓRIOS .................. RESERVATÓRIOS .................. 63 4.1. Orifícios .......................................................................................................... 63 4.1.1 Conceito ................................................................................................... 63 4.1.2 Finalidade ................................................................................................. 63 4.1.3 Classificação ............................................................................................ 63 4.1.4 Fórmula para cálculo da vazão ................................................................ 67 4.2. Bocais ou Tubos Curtos ................................................................................. 74 4.2.1 Conceito ................................................................................................... 74 4.2.2 Finalidade ................................................................................................. 74 4.2.3 Classificação ............................................................................................ 74 4.2.4 Fórmula para cálculo da vazão ................................................................ 76 4.2.5 Escoamento com nível variável (esvaziamento de reservatórios de seção constante) .......................................................................................................... 78 4.2.6 Perda de carga em orifícios e bocais ....................................................... 81 4.2.7 Determinação da velocidade real (V) usando o processo das coordenadas cartesianas ........................................................................................................ 82 4.3. Exercícios de Fixação .................................................................................... 87
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UNIDADE 5 – ESCOAMENTO EM CONDUTOS FORÇADOS SOB REGIME PERMANENTE ................................................................................................................... 91 5.1. Conceitos ....................................................................................................... 91 5.1.1 Condutos forçados ................................................................................... 91 5.1.2 Número de Reynolds ................................................................................ 91 5.1.3 Viscosidade .............................................................................................. 92 5.1.4 Rugosidade interna das paredes dos condutos ....................................... 93 5.2. Regimes de escoamento de acordo com o número de Reynolds (Rey) ........ 93 5.3. Perda de Carga .............................................................................................. 95 5.3.1 Conceito ................................................................................................... 95 5.3.2 Classificação ............................................................................................ 95 5.3.3 Perda de carga contínua em condutos de seção constante em regime permanente e uniforme e escoamento incompressível ..................................... 96 5.3.4 Perda de carga acidental ........................................................................ 104 5.4. Conduto com uma tomada intermediária ..................................................... 113 5.5. Conduto com distribuição em marcha ou condutos com distribuição em percurso ou condutos com serviço em trânsito ................................................... 115 5.6. Condutos em equivalentes ........................................................................... 121 5.6.1. Condutos em série ................................................................................ 121 5.6.2. Condutos em paralelo ........................................................................... 123 5.7. Exercícios de Fixação .................................................................................. 128 Apêndice 1. Deduções das equações para o cálculo das grandezas geométricas das seções dos canais ................................................................................................................. 1 Apêndice 2. Condutos Livres: tabelas e figuras................................................................... 14 Apêndice 3. Vertedores, Orifícios e Bocais ......................................................................... 22 Apêndice 4. Condutos Forçados ......................................................................................... 27
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UNIDADE 1 – ENGENHARIA HIDRÁULICA 1.1. Introdução Teoricamente, o termo “hidráulica” advém do grego hydor (água) e aulos (tubo, condução) significando condução de água. Entretanto, nos dias atuais, o termo possui um significado muito mais amplo: é o estudo do equilíbrio e comportamento da água e de outros líquidos, quer em repouso, quer em movimento. Dessa forma, a Hidráulica se divide em Hidrostática, que estuda as condições de equilíbrio dos líquidos em repouso, e Hidrodinâmica, que trata dos líquidos em movimento. Quanto à aplicação dos conceitos, a hidráulica pode ser dividida em: •
Hidráulica Geral ou Teórica: estuda as leis teóricas da Mecânica aplicadas ao repouso e ao movimento dos fluidos ideais, ou seja, líquidos sem coesão, viscosidade e elasticidade.
•
Hidráulica Aplicada ou Hidrotécnica: aplica os princípios e leis estudadas na Hidráulica Teórica nos diferentes ramos da técnica.
De acordo com Azevedo Netto et al. (1998), as áreas de atuação da Hidráulica Aplicada ou Hidrotécnica são: I) Urbana: a. Sistemas de abastecimento de água; b. Sistema de esgotamento sanitário; c. Sistemas de drenagem pluvial; d. Canais; II) Agrícola: a. Sistemas de drenagem; b. Sistema de irrigação; c. Sistemas de água potável e esgotos; III) Instalações prediais: a. Industriais; b. Comerciais; c. Residenciais; d. Públicas; 5
IV) Lazer e paisagismo V) Estradas (drenagem) VI) Controle de Enchentes e Inundações; VII)Geração de energia VIII) Navegação e obras marítimas e fluviais Durante a prática profissional, o engenheiro hidráulico deverá utilizar os seguintes instrumentos: •
Analogias: utilizar da experiência adquirida em outras ocasiões para solucionar problemas atuais;
•
Cálculos teóricos e empíricos;
•
Modelos físicos reduzidos: utilizar de modelos reduzidos para resolver problemas maiores;
•
Modelos matemáticos de simulação: dependendo do problema será necessário utilizar ferramentas avançadas de cálculos, com o uso de computadores capazes de resolver equações de grande complexidade;
•
Hidrologia: o dimensionamento de estruturas hidráulicas deve ser acompanhado de um minucioso estudo hidrológico visando determinar a vazão de projeto para um determinado período de retorno.
Os conhecimentos de hidráulica podem ser aplicados em diversos empreendimentos como, por exemplo: • Aterros
• Dragagens
• Poços
• Barragens
• Drenos
• Reservatórios
• Bombas
• Eclusas
•
• Enrocamentos
• Turbinas
• Canais
• Flutuantes
• Válvulas
• Comportas
• Medidores
• Vertedores
• Diques
• Orifícios
• Etc.
•
Cais de porto
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Tubos e canos
1.2. Evolução da Hidráulica A Hidráulica esteve presente ao longo de praticamente toda a história da humanidade, em função da necessidade essencial da água para a vida humana. De fato, tendo em vista que a água distribui-se de forma irregular, no tempo e no espaço, torna-se necessário o seu transporte dos locais onde está disponível até os locais onde é necessária (BAPTISTA & LARA, 2003). Assim, tendo em vista a necessidade absoluta da água, a história da Hidráulica remonta ao início das primeiras sociedades urbanas organizadas, quando tornou-se necessário efetuar-se a compatibilização da sua oferta e demanda. Na Mesopotâmia, por exemplo, existiam canais de irrigação construídos na planície situada entre os rios Tigre e Eufrates e, em Nipur (Babilônia), existiam coletores de esgoto desde 3750 a.C. Importantes empreendimentos de irrigação também foram executados no Egito, 25 séculos a.C., sob a orientação de Uni. Durante a XII dinastia, realizaram-se importantes obras hidráulicas, inclusive o lago artificial Méris, destinado a regularizar as águas do baixo Nilo. O primeiro sistema público de abastecimento de água de que se tem notícia, o arqueduto de Jerwan, foi construído na Assíria, 691 a.C. Alguns princípios de Hidrostática foram enunciados por Arquimedes (287 – 212 a.C), no seu “Tratado Sobre Corpos Flutuantes”, 250 a.C. No século XVI, a atenção dos filósofos voltou-se para os problemas encontrados nos projetos de chafarizes e fontes monumentais, tão em moda na Itália. Assim foi que Leonardo da Vinci (1452 – 1519) apercebeu-se da importância das observações nesse setor. Um novo tratado publicado em 1586 por Simon Stevin (1548 – 1620), e as contribuições de Galileu Galilei (1564 – 1642), Evangelista Torricelli (1608 – 1647) e Daniel Bernoulli (1700 – 1783) constituíram a base para o novo ramo científico. Apenas do século XIX, com o desenvolvimento da produção de tubos de ferro fundido, capazes de resistir a pressões internas relativamente elevadas, com o crescimento das cidades e a importância cada vez maior dos serviços de abastecimento de água e, ainda, em consequência do emprego de novas máquinas hidráulicas, é que a Hidráulica teve um progresso rápido e acentuado (AZEVEDO et al., 1998). O processamento de dados com o auxílio de computadores, além de abreviar cálculos, tem contribuído na solução de problemas técnico-econômicos para o projeto e implantação de obras hidráulicas e propiciado a montagem de modelos de simulação que permitem prever e analisar fenômenos dinâmicos até então impraticáveis de se proceder, ou 7
feitos com tão significativas simplificações, que comprometiam a confiabilidade (AZEVEDO et al., 1998).
1.3. Panorama e escopo atual na área de Engenharia Civil Atualmente, pode-se definir a Hidráulica como sendo a área da engenharia correspondente à aplicação dos conceitos de Mecânica dos Fluidos na solução de problemas ligados à captação, armazenamento, controle, adução e uso da água. Desta forma, percebe-se que a Hidráulica desempenha um papel fundamental em diversas modalidades de engenharia, integrando-se também em diversos outros campos profissionais. Dentro do campo de trabalho do engenheiro civil, a Hidráulica encontra-se presente em praticamente todos os tipos de empreendimentos que possuem a água como agente principal, como, por exemplo, sistemas hidráulicos de geração de energia, obras de infraestrutura, entre outros. Como exemplo de grande empreendimento de geração de energia elétrica, a Usina Hidrelétrica de Itaipu, localizada no Rio Paraná, no trecho de fronteira entre o Brasil e o Paraguai, com vazão média diária de cerca de 12.000 m3s-1, é equipada com 18 turbinas com capacidade nominal de 12.870 MW, gerou 98.287 GWh no ano 2012.
Figura 1. Usina hidrelétrica de Itaipu – Fonte: Itaipu Binacional.
A análise dos problemas ligados ao projeto e gestão de reservatórios, a propagação de cheias e a delimitação de áreas inundáveis, entre outros, utilizam a Hidráulica como importante ferramenta de trabalho. 8
Em Saneamento Básico, a área de Hidráulica desempenha também um papel importante em muitos empreendimentos. Com efeito, encontra-se presente desde a captação, adução e distribuição de águas de abastecimento urbano e industrial, até os sistemas de controle e esgotamento sanitário e de drenagem pluvial. Nas estações de tratamento de água e esgoto é fundamental nos processos físicos inerentes ao processo. Dentro da área de Engenharia Ambiental a hidráulica ganha importância principalmente nos estudos envolvendo cursos d’água, como à preservação dos ecossistemas aquáticos, dispersão de poluentes, problemas relacionados com erosão e assoreamento, entre outros. As obras de infraestruturas, tais como bueiros e pontes, além de portos, hidrovias e eclusas, são empreendimentos importantes na área de Transportes, que necessitam dos conhecimentos de Hidráulica.
1.4. O curso de Hidráulica na UFPel Em termos gerais, o curso de Hidráulica disponibilizado pelo departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal de Pelotas – UFPel é dividido em escoamentos livres e forçados. O escoamento livre, ou escoamento em canais abertos, é caracterizado pela presença de uma superfície em contato com a atmosfera, submetido, portanto, à pressão atmosférica. O escoamento forçado, ou escoamento em condutos fechados, é caracterizado por apresentar pressão diferente da pressão atmosférica, seja maior (pressão positiva) ou menor (pressão negativa). Ao passo que nos escoamentos em condutos forçados as condições de contorno são sempre bem definidas, nos escoamentos livres estas condições podem ser variáveis no tempo e no espaço. Essa variação faz com que haja três diferentes regimes: crítico, subcrítico e supercrítico. O regime crítico, de forma geral, acontece quando a declividade do fundo do canal se iguala com a declividade da superfície da água, sendo caracterizada por uma velocidade crítica e uma profundidade crítica. Quando essas declividades são diferentes o regime de escoamento ora é subcrítico ora é supercrítico. Em geral, o regime subcrítico ou fluvial acontece quando o escoamento é dito tranquilo, ou seja, a velocidade de escoamento é menor que a velocidade crítica e a profundidade de escoamento é maior que a profundidade crítica. O regime supercrítico ou
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torrencial é o contrário, ou seja, a velocidade de escoamento é maior que a velocidade crítica e a profundidade de escoamento é menor que a profundidade crítica. A passagem do regime supercrítico a subcrítico é verificada em mudanças de declividades e em saídas de comportas, por exemplo. Em geral essa passagem não é feita de modo gradual. Com efeito, observa-se uma situação de ocorrência de fenômeno bastante importante em Hidráulica, o Ressalto Hidráulico, que corresponde a um escoamento bruscamente variado, caracterizado por uma grande turbulência e uma acentuada dissipação de energia. Entretanto, o dimensionamento dos canais apresentado no curso é feito considerando o regime crítico permanente e uniforme. Este tipo de escoamento só ocorre em canais prismáticos de grande comprimento, ou seja, para aqueles canais que apresentam a mesma seção transversal (com as mesmas dimensões), a mesma declividade de fundo ao longo de seu comprimento, além da mesma rugosidade das paredes. O dimensionamento dos condutos forçados é feito por meio do estudo das equações de energia adicionado com a dissipação de energia (perda de carga) dentro dos condutos. Essa perda de carga é analisada por meio de equações teóricas (Fórmula Universal) e empíricas (Equação de Hazen-Williams, por exemplo). Algumas abordagens dentro de condutos forçados, como tubulações de múltiplas saídas, sifões, associação de condutos, também é feita no curso de Hidráulica. É abordado também o assunto Hidrometria em Condutos Livres e Forçados, onde é estudado o escoamento em vertedores, orifícios e bocais, além de apresentar os medidores Venturi e Diafragma. Posteriormente é feita a análise dos sistemas de recalque. Define-se instalação de recalque o conjunto de tubulações e peças especiais que transporta o fluido de uma cota inferior para uma cota superior, sendo o escoamento submetido à presença de uma bomba hidráulica, a qual é um dispositivo responsável por fornecer energia ao fluido. De inúmeras aplicações na Engenharia Civil, as instalações de recalque estão presentes em praticamente todos os empreendimentos que necessitam da utilização de bombas, como projetos de estações de tratamento de água e esgoto, sistemas urbanos de abastecimento doméstico, captação de águas subterrâneas, drenagem, entre outros.
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UNIDADE 2 – ESCOAMENTO EM CANAIS SOB REGIME PERMANENTE E UNIFORME 2.1. Conceito Canais são condutos no qual a água escoa apresentando superfície sujeita à pressão atmosférica.
2.2. Elementos geométricos da seção do canal 2.2.1. Seção transversal 2.2.1.1. Profundidade de escoamento (y): é a distância vertical entre o ponto mais baixo da seção e a superfície livre. No regime de escoamento uniforme, y = yn (profundidade normal) e no regime de escoamento crítico, y = yc (profundidade crítica). 2.2.1.2. Seção molhada (A): é toda seção perpendicular molhada pela água. 2.2.1.3. Perímetro molhado (P): é o comprimento da linha de contorno molhada pela água. 2.2.1.4 Raio hidráulico (R): é a relação entre a área molhada e o perímetro molhado. 2.2.1.5. Profundidade média ou profundidade hidráulica (ym): é a relação entre a área molhada (A) e a largura da superfície líquida (B). 2.2.1.6. Talude (z): é a tangente do ângulo (α) de inclinação das paredes do canal. Na Figura 2 são apresentados os elementos geométricos da seção transversal dos canais.
Figura 2. Elementos geométricos da seção transversal dos canais. 11
2.2.2. Seção longitudinal 2.2.2.1. Declividade de fundo (I): é a tangente do ângulo de inclinação do fundo do canal (I = tg θ ). 2.2.2.2. Declividade de superfície (J): é a tangente do ângulo de inclinação da superfície livre da água (J = tgλ). Na Figura 3 são apresentados os elementos geométricos da seção longitudinal dos canais.
Figura 3. Elementos geométricos da seção longitudinal dos canais.
2.3. Classificação dos escoamentos 2.3.1. Em relação ao tempo (t) a. Permanente ou estacionário: quando grandezas físicas de interesse como velocidade (V), pressão (p) e massa específica (ρ) permanecem constantes com decorrer do tempo (t) num determinado ponto do escoamento, ou seja: ∂V =0 ∂t
;
∂ p =0 ∂t
;
∂ρ =0 ∂t
b. Não Permanente ou transitório: quando grandezas físicas de interesse (V, p e ρ), variarem com decorrer do tempo (t) num determinado ponto do escoamento, ou seja:
∂V ≠0 ∂t
;
∂ p ≠0 ∂t 12
;
∂ρ ≠0 ∂t
2.3.2. Em relação ao espaço (L), para um mesmo tempo (t): a. Uniforme: quando a velocidade média for constante em qualquer ponto ao longo do escoamento, para um determinado tempo, ou seja: ∂V =0 ∂L
b. Não Uniforme ou variado: quando a velocidade média variar em qualquer ponto ao longo do escoamento, para um determinado tempo, ou seja: dV d L
≠0
A Figura 3 é um exemplo de escoamento não uniforme.
2.3.3. Em relação ao número de Froude (Fr) O número de Froude (Fr) expressa à raiz quadrada da relação existente entre as forças de inércia e de gravidade, podendo ser escrito como:
F r =
V
(adimensional)
gy m
sendo: V - a velocidade média de escoamento.
a. Regime de escoamento crítico: ocorre para Fr = 1. Nesse caso a profundidade de escoamento (y) é igual à profundidade crítica (yc), ou seja y = yc, podendo-se dizer que o escoamento ocorre em regime uniforme crítico. Pode-se afirmar também que V = Vc e I = Ic, sendo Vc a velocidade crítica e yc a profundidade crítica. b. Regime de escoamento supercrítico ou torrencial ou rápido (T): ocorre para Fr > 1 e a profundidade do escoamento (y) é menor que a profundidade crítica (yc), ou seja: y < yc, sendo V > Vc e I > Ic. c. Regime de escoamento fluvial ou subcrítico ou lento ou tranquilo (F): ocorre para Fr < 1 e y > yc, sendo V < Vc e I < Ic. 13
Na Figura 4 estão apresentados os regimes de escoamento em relação ao número de Froude, sendo SC a Seção de Controle.
Figura 4. Seções de controle em um perfil de linha d’água. Fonte: Baptista e Lara (2003)
A passagem do regime supercrítico a subcrítico é verificada em mudanças de declividades e em saídas de comportas, por exemplo. Em geral essa passagem não é feita de modo gradual. Com efeito, observa-se uma situação de ocorrência de fenômeno bastante importante em Engenharia Hidráulica, o Ressalto Hidráulico, que corresponde a um escoamento bruscamente variado, caracterizado por uma grande turbulência e uma acentuada dissipação de energia. A condição de profundidade crítica implica em uma relação unívoca entre os níveis energéticos, a profundidade, a velocidade e a vazão, criando assim uma Seção de Controle, na qual são válidas as equações vistas no item anterior. Em termos gerais, o nome Seção de Controle é aplicado a toda seção para a qual se conhece a profundidade de escoamento, condicionada pela ocorrência do regime crítico ou por uma estrutura hidráulica, ou uma determinada condição natural ou artificial qualquer, que de alguma forma controla o escoamento. Assim, as seções de controle podem ser divididas em três tipos distintos: “controle crítico”, “controle artificial” e “controle de canal”. O controle crítico é aquele associado à ocorrência da profundidade crítica, separando, portanto, um trecho de escoamento supercrítico de outro de escoamento subcrítico. Em geral ocorre na passagem do escoamento subcrítico a supercrítico, como na crista de vertedor de barragem, por exemplo. A passagem do escoamento supercrítico para o escoamento subcrítico ocorre através do ressalto, não sendo possível definir-se a seção de ocorrência do regime crítico, ou seja, a seção de controle. O controle artificial ocorre sempre associado a uma situação na qual a profundidade do fluxo é condicionada por uma situação distinta da ocorrência do regime crítico, seja através de um dispositivo artificial de controle de vazão ou através do nível 14
d’água de um corpo de água. Assim, a ocorrência de um controle artificial pode ser associada ao nível de um reservatório, um curso d’água, ou uma estrutura hidráulica, como uma comporta, por exemplo. O controle de canal ocorre quando a profundidade de escoamento é determinada pelas características de atrito ao longo do canal, ou seja, quando houver a ocorrência do escoamento uniforme. As seções de controle desempenham papel extremamente importante na análise e nos cálculos hidráulicos para determinação do perfil do nível d’água. Esta importância é devida tanto ao fato de conhecermos a profundidade de escoamento na seção como também pela sua implicação com o regime de escoamento, condicionando as características do fluxo. De fato, as seções de controle constituem-se nos pontos de início para o cálculo e o traçado dos perfis de linha d’água. De um ponto de vista prático pode ser citado que os conceitos relativos às seções de controle permitem a adequada definição da relação “nível d’água (cota)/vazão”. Assim, para efetuar medidas de vazões em cursos d’água, busca-se identificar seções de controle e, a partir das equações do regime crítico, pode-se avaliar a vazão diretamente a partir da geometria, prescindindo da determinação da velocidade de escoamento.
2.3.4. Exemplos de regime de escoamento a. Água escoando por um canal longo, de seção constante com carga constante: o escoamento é classificado como permanente e uniforme; b. Água escoando por um canal de seção molhada constante, com carga crescente ou decrescente: o escoamento é classificado como não permanente e uniforme; c. Água escoando por um canal de seção crescente com carga constante: o escoamento é classificado como permanente e não uniforme; e d. Água escoando através de um canal de mesma seção reta, com seção molhada constante, mesma declividade de fundo e mesma rugosidade das paredes: o escoamento é classificado como permanente e uniforme. Canais com estas características são chamados de canais prismáticos.
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2.4. Escoamento em regime fluvial permanente e uniforme Do ponto de vista cinemático duas condições devem ser satisfeitas: ∂V =0 ∂t
∂V =0 ∂ L
e
Este tipo de escoamento só ocorre em canais prismáticos de grande comprimento, ou seja, para aqueles canais que apresentam a mesma seção transversal (com as mesmas dimensões), a mesma declividade de fundo ao longo de seu comprimento, além da mesma rugosidade das paredes. Nesse caso a superfície da água, a linha de energia e o fundo do canal apresentam a mesma declividade (I = J). Quando a declividade (I) é forte (I > Ic) o escoamento permanente uniforme supercrítico só é atingido após passar por um trecho denominado zona de transição (onde o escoamento é não uniforme ou variado), cujo comprimento dependerá principalmente das resistências oferecidas ao escoamento (Figura 5).
Figura 5. Perfil longitudinal para um escoamento supercrítico (y n < yc).
Quando a declividade (I) é fraca, o escoamento permanente uniforme subcrítico é atingido logo após a seção A do escoamento (Figura 6). Havendo queda na extremidade final do canal, o escoamento deixa de ser uniforme passando a não uniforme ou variado. Para os casos em que a declividade (I) é crítica, o escoamento se realiza em regime permanente uniforme crítico em toda a sua extensão (Figura 7). Essa situação é instável e dificilmente ocorre em canais prismáticos. Pode ocorrer em trechos ou seções dos canais projetados especificamente para determinados fins como a medição de vazão, por exemplo. Na Figura 6 pode-se observar a ocorrência do regime crítico nas seções (A) e (B) onde y = yc. 16
Figura 6. Perfil longitudinal para um escoamento subcrítico (yn > yc).
Figura 7. Perfil longitudinal para um escoamento crítico (yn = yc).
Pela ação da gravidade, nos canais de declividade fraca (Figura 6), a velocidade cresce a partir da seção (A) para jusante e cresceria indefinidamente na ausência do atrito entre o fundo e as paredes do canal com o líquido. O atrito, entretanto, dá origem à força de atrito ou tangencial que se opõe ao escoamento; essa forca é proporcional ao quadrado da velocidade. É de se esperar, portanto que a velocidade ao atingir certo valor, estabeleça um equilíbrio entre as forças de atrito e a gravitacional; daí para frente, o escoamento é dito uniforme. Havendo uma queda, uma mudança de seção, uma mudança de declividade (o que provoca uma variação na velocidade) o escoamento deixa novamente de ser uniforme, passando a não uniforme. O estudo apresentado daqui pra frente refere-se a casos de canais operando em regime fluvial permanente e uniforme .
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2.5. Equações utilizadas no dimensionamento de canais operando em regime permanente e uniforme a) Equação de Chézy (1)
V = C RI
em que: C – coeficiente de Chézy, e pode ser calculado pelas equações apresentadas em (b) e (c), a seguir:
b) Equação de Bazin
C =
(2)
87 R γ + R
em que: γ - coeficiente de Bazin, pode ser obtido da Tabela 2A (Apêndice 2).
c) Equação de Manning
C =
(3)
R 1 / 6 n
em que: n - coeficiente de Manning, pode ser obtido da Tabela 2B (Apêndice 2). Substituindo-se a equação 3 na equação 1, a velocidade se escreve como:
V =
1 n
R
2 / 3
(4)
1 / 2
I
Para a vazão, a equação de Manning se escreve como:
Q = AV =
A n
(5)
R 2 / 3 I 1 / 2
Os coeficientes C, n e γ são grandezas dimensionais, dependendo os seus valores numéricos do sistema de unidades adotado. As equações apresentadas anteriormente são 18
válidas para o sistema MKgfS, ou SI (MKS) sendo: Q em m3s-1, V em ms-1, R em m; A em m2 e I em mm-1.
2.5.1. Equações para o cálculo das seções transversais usuais Na Tabela 1 estão apresentadas as equações para o cálculo das seções transversais usuais de canais. Ressalta-se que todas as equações estão deduzidas no Apêndice 1. Tabela 1. 1. Equações para canais de seção transversal usual Seção
Área molhada (A)
y n (b + zy n )
zy n
2
by n
D
2
8
Raio hidráulico (R)
Perímetro molhado (P)
A
z2 +1
b + 2 y n
2 y n z + 1
zy n
2 z 2 + 1
A
b + 2 y n
Profundidade média (ym)
A
b + 2 zy n
P
2
Largura da superfície (B)
B
y n
2 zy n
2
b
y n
θ D sen 2
D θ − senθ
2
D senθ 1 − θ 4
θ =rd
θ =rd
θ =rd
θ =rd
π D 2
π D
D
8
2
4
(θ - senθ )
θ D
Ainda para o canal circular:
19
P
=
y n
2
D = 2 y n
8 sen θ
θ =rd
π D 8
2
y n =
D θ 1 − cos 2 2
(6)
y θ = 2 arccos1 − 2 n D
(7)
2.5.2. Seções de máxima eficiência Analisando a equação:
Q =
A n
R
2 / 3 1 / 2 I
Uma maior vazão (Q) poderá ser conseguida: a. Aumentando-se a área (A), o que implica em maiores custos; b. Aumentando-se a declividade de fundo (I), o que implica implica em perigo de erosão além de perda de altura, para terrenos com baixa declividade; e c. Diminuindo-se a rugosidade (n), o que implica em paredes e fundo do canal revestidos, aumentando os custos. A solução viável é o aumento do raio hidráulico (R) mantendo-se as outras grandezas constantes, ou seja: para uma mesma área, uma mesma declividade de fundo e a mesma rugosidade (n), uma maior vazão é conseguida com um aumento do raio hidráulico (R). Como R = A/P, e já que A deverá ser mantida constante, o perímetro molhado deverá ser diminuído. Quando o perímetro molhado for mínimo, R será máximo e Q também. Na Tabela 2 estão apresentadas equações a serem utilizadas no dimensionamento de canais de seções de máxima eficiência. Cabe ressaltar novamente que as equações aqui apresentadas estão deduzidas no Apêndice 1.
20
Tabela 2. Equações para canais de máxima vazão também chamados de: canais de mínimo perímetro molhado, canais de seção econômica, canais de máxima eficiência, canais de mínimo custo
Seção
Área molhada (A)
2
2
y n 2 1 + z − z
2 y n
y n
2
2
Perímetro molhado (P)
2 2 y n 2 1 + z − z
4 y n
2 2 y n
α =45°
21
Raio hidráulico (R)
y n
2
y n
2
y n
2 2
Largura superficial (B)
2 2 y n 1 + z
2 y n
2 y n
Profundidade média (ym)
(
y n 2 1 + z 2 − z
2 1 + z
2
Largura de fundo (b)
)
2 y n
2 y n
y n
y n
2
2 1 + z − z
b=0
2.6. Velocidades médias (V) aconselháveis e inclinações admissíveis para os taludes dos canais No dimensionamento dos canais, devemos levar em consideração certas limitações impostas pela qualidade da água transportada e pela natureza das paredes e do fundo do canal. Assim, a velocidade média V do escoamento deve enquadrar-se em certo intervalo: Vmín < V < Vmáx. Determina-se à velocidade mínima (Vmín) permissível tendo em vista o material sólido em suspensão transportado pela água. É definida como sendo a velocidade abaixo da qual o material sólido contido na água decanta, produzindo assoreamento no leito do canal. A velocidade máxima (Vmáx) permissível é determinada tendo em vista a natureza das paredes do canal. É definida como sendo a velocidade acima da qual ocorre erosão das paredes e do fundo do canal. O controle da velocidade, no dimensionamento das seções dos canais, pode ser feito atuando: a) na declividade de fundo (para evitar grandes velocidades); e b) nas dimensões da seção transversal ou na sua forma (para evitar pequenas velocidades). Assim, por exemplo, podem-se evitar velocidades excessivas, fazendo variar a declividade de fundo com a formação de degraus (Figura 8.a) ou construção de muros de fixação do fundo (Figura 8.b).
(a) (b) Figura 8. Variação da declividade com a formação de degraus (a) e muros de fixação do fundo (b).
A necessidade de evitar pequenas velocidades ocorre, geralmente, em canais com grande descarga sólida (caso dos coletores de esgotos sanitários) ou em canais submetidos a grandes variações de vazões (caso dos canais de retificação dos cursos de água naturais). No caso de canais submetidos a grandes variações de vazão no decorrer do ano, a seção do canal deve ser dimensionada para suportar a vazão de cheia ou vazão de enchente. Nos períodos de seca a velocidade pode se tornar inferior à mínima permitida. Consegue-se contornar 21
este inconveniente adotando formas de seção especiais (seções compostas) como às indicadas na Figura 9.
(a)
(b)
(c)
Figura 9. Seções transversais compostas para canais com grandes variações de vazão.
Na Tabela 3 a seguir são apresentados os limites aconselháveis para a velocidade média nos canais, transportando água limpa. Tabela 3. Velocidades média e máxima recomendada para canais em função a natureza das paredes
Velocidade (ms- ) Média Máxima Areia muito fina 0,23 0,30 Areia solta-média 0,30 0,46 Areia grossa 0,46 0,61 Terreno arenoso comum 0,61 0,76 Terreno silt-argiloso 0,76 0,84 Terreno de aluvião 0,84 0,91 Terreno argiloso compacto 0,91 1,14 Terreno argiloso, duro, solo cascalhento 1,22 1,52 Cascalho grosso, pedregulho, piçarra 1,52 1,83 Rochas sedimentares moles-xistos 1,83 2,44 Alvenaria 2,44 3,05 Rochas compactas 3,05 4,00 Concreto 4,00 6,00 Natureza das paredes do canal
Havendo material sólido em suspensão, recomenda-se: a. Velocidades médias mínimas para evitar depósitos: Águas com suspensões finas 0,30 ms-1 Águas transportando areias finas 0,45 ms-1 Águas residuárias (esgotos) 0,60 ms-1 b. Velocidades práticas: Canais de navegação, sem revestimento até 0,50 ms-1 Aquedutos de água potável 0,60 a 1,30 ms-1 Coletores e emissários de esgoto 0,60 a 1,50 ms-1
22
Outra limitação prática que deve ser levada em consideração, na definição da forma da seção do canal, principalmente no caso das seções trapezoidais, é a inclinação das paredes laterais. Esta inclinação depende, principalmente, da natureza das paredes, estando indicados na Tabela 4, valores máximos aconselháveis para o caso das seções trapezoidais e triangulares. Tabela 4. Valores máximos aconselháveis para inclinação das paredes laterais dos canais trapezoidais e triangulares
Natureza das paredes do canal Canais em terra sem revestimento Canais em saibro, terra porosa Cascalho roliço Terra compacta sem revestimento Terra muito compacta, paredes rochosas Rocha estratificada, alvenaria de pedra bruta Rocha compacta, alvenaria acabada, concreto
θ
68,2°a 78,7° 63,4° 60,2° 56,3° 51,4°. 26,5°. 0°
z = tg θ 2,5 a 5 2 1,75 1,5 1,25 0,5 0
2.7. Folga dos canais Na prática é sempre conveniente reforçar, por medida de segurança, as dimensões do canal. Depois de dimensionado o canal para escoar a vazão de projeto, é usual estabelecer uma folga de 20 a 30% na sua altura (yn). Esta folga além de contrabalancear a diminuição de sua capacidade, causada pela deposição de material transportado pela água e crescimento de vegetação (caso de canais de terra), evita também transbordamento causado por água de chuva, obstrução do canal etc. O procedimento adotado é o seguinte: a. Traça-se o canal conforme o cálculo, isto é, conservam-se os valores de b, z, yn; b. Aumenta-se a altura yn de 20 a 30% e traça uma paralela ao fundo do canal, passando pelo novo valor de yn; e c. Prolonga-se a reta correspondente ao talude do canal até tocar a paralela. Deste modo, somente a largura da superfície do canal (B) é alterada.
23
2.8. Velocidade máxima e vazão máxima em canais circulares De acordo com as equações 4, 5 e Tabela 1, observa-se que:
V = Q = R =
A =
1 n
R
A n
R
2 / 3 1 / 2
(4)
2 / 3 1 / 2
(5)
I
I
D senθ 1 − θ 4
(8)
D 2
(9)
8
(θ − senθ )
Substituindo a equação 8 em 4, vem: 1 D senθ V = 1 − n 4 θ
2 / 3 1 / 2
I
=
I / senθ 1 − θ 4 2 / 3 n
D
2 / 3
1 2
2 / 3
Derivando V em relação à θ para D, n, I constantes e igualando a zero, tem-se:
∂V ∂θ
=
D 2 / 3 I 1 / 2 2
1 − 2/3 4 n 3
senθ
−1 / 3
θ
θ −
θ − senθ θ
2
(: cos θ )
senθ − θ cos θ = 0 tgθ = θ
θ = 4 ,49rd = 257°
(para V máximo)
Pela equação 6, sabe-se que:
yn =
y n =
D θ 1 − cos 2 2
D 257 1 − cos 2 2
y n = 0 ,81 D
24
(para V máximo)
= 0
Substituindo, agora, a equação 8 e 9 em 5, vem: 1 D 2
D senθ Q= (θ − senθ ) 1 − n 8 θ 4 senθ Q= (θ − senθ ) 1 − 13 / 3 θ n 2 D
8 / 3
1 2
I /
2 / 3
I 1 / 2
2 / 3
=
D
8 / 3
1 2
I /
(θ − senθ )5 / 3
213 / 3 n
θ 2 / 3
Derivando Q em relação à θ , para D, n, I constantes, igualando a zero e fazendo as devidas simplificações, chega-se à seguinte expressão: 2θ − 3θ cos θ + senθ = 0
cuja solução é: θ = 5 ,379 rd = 308 ° (para Q máximo)
Usando novamente a equação 6 vem:
y n = y n =
D θ 1 − cos 2 2
308 D 1 − cos 2 2
y n = 0,95 D
(para Q máximo)
Resumindo, tem-se:
a. Para V máximo:
θ = 257°
e
y n = 0 ,81 D
b. Para Q máximo:
θ = 308°
e
y n = 0 ,95 D
Observação : A partir de yn = 0,95D, pequenos acréscimos em yn ocasionam pequenos acréscimos na área molhada e maiores acréscimos no perímetro molhado, o que diminui o raio hidráulico (R), diminuindo consequentemente a vazão (Q), o que pode ser melhor entendido no exemplo apresentado a seguir. Mantendo-se, n, I constantes e D = 1 m, pela equação 5, tem-se: 25
Q=
A n
R
2 / 3
1 / 2
I
1 / 2
Fazendo:
I
n
= K ,
tem-se: Q = KAR 2 / 3 , sendo k uma constante e para yn = 0,95D chega-
se a: yn = 0,95 m 2 y θ = 2 arccos1 − n D θ = 5 ,379rd = 308 o
D 2
A =
(θ − senθ )
8
A = 0 ,771 m2
P=
θ D 2
R =
Q = K 0 ,771(0 ,287 )
A
= 0 ,287 m
P
2 / 3
= 2 ,689 m
= 0 ,335 K (máxima vazão)
Aumentando o valor de yn para 0,98 m: y θ = 2 arccos1 − 2 n = 5 ,71rd = 327 ,5° D
P=
A =
D
2
8
θ D 2
= 2 ,855 m
(θ − senθ ) = 0 ,781 m2 26
R =
D senθ 1 − = 0 ,273 m θ 4
Q = K 0 ,781(0 ,273)
2 / 3
= 0 ,329 K
Nota-se que quando yn aumenta de 0,95 m para 0,98 m, a vazão diminui, passando de 0,355k para 0,329k. Observações: a. Nas condições se máxima vazão, o escoamento é hidraulicamente instável, podendo o canal circular trabalhar como conduto forçado para um acréscimo de yn , o que seria desastroso no caso de uma rede de esgoto. Por medida de segurança, aceita-se como limite prático a relação: y n / D = 0 ,75 (NBR-568).
b. A vazão escoada para a relação yn = 0,82 iguala-se a vazão escoada para o canal a seção plena (ver Figura 2A, Apêndice 2). c. A velocidade média a plena seção é igual à velocidade média a meia seção porque o raio hidráulico é o mesmo; em razão disto a vazão a plena seção é o dobro da vazão a meia seção, já que a área a plena seção é o dobro da área a meia seção (Ver Figura 2A, Apêndice 2).
2.9. Diagrama para canais circulares funcionando parcialmente cheios Este estudo é de grande importância, pois como os canais circulares dificilmente funcionam a plena seção (seção cheia), os cálculos da velocidade, do raio hidráulico, da vazão, entre outros, à seção parcialmente cheia, são facilmente obtidos com o uso desse diagrama. O diagrama é obtido relacionando-se os elementos do canal de seção qualquer com esses mesmo elementos a seção plena, como apresentado a seguir (ver Tabela 1), lembrando que para todas as relações, θ deve ser tomado em radianos ( θ = rd).
2.9.1. Relação entre uma área molhada qualquer (A) e a área molhada a seção plena ou a seção cheia (A0)
A =
D 2
8
(θ − senθ)
e
27
A0 =
π D 2 4
A
1
=
A0
2π
(θ − senθ )
y θ = 2 arccos1 − 2 n D
sendo
2.9.2. Relação entre um raio hidráulico qualquer (R) e o raio hidráulico a seção plena (R 0) π D 2 R =
D senθ 1 − θ 4
R
4 = D π D 4
R0 =
e
=1−
R0
senθ
θ
2.9.3. Relação entre uma velocidade qualquer (V) e a velocidade a seção plena (V 0)
V =
1 n
R
2 / 3
1 / 2
I
1
1 / 2
= I n
D 4
2 / 3
senθ 1 − θ
2 / 3
e
senθ = 1 − θ V 0 V
V 0 =
1 D
n 4
2 / 3
I 1 / 2
2 / 3
2.9.4. Relação entre uma vazão qualquer (Q) e a vazão a seção plena (Q 0)
Q=
A n
1 2
R
2 / 3
1 / 2
I
=
D senθ (θ − senθ ) 1 − θ 8 4
I / D n
2
senθ (θ − senθ ) = 1 − θ Q0 2π
1
Q
2 / 3
2 / 3
I / π D D Q0 = n 4 4 1 2
θ senθ = 1 − θ 2π
2
2 / 3
5 / 3
2.9.5. Relação entre um perímetro molhado qualquer (P) e o perímetro molhado a seção plena (P0)
P=
θ D 2
e
Q R
P0 = π D
P P0
=
θ 2π
De posse dessas relações , ,etc , e variando-se a relação y n / D no intervalo de Q0 R0 0 ≤ y n / D
1, traçam-se gráficos que facilitam grandemente os trabalhos de cálculo dos
≤
elementos hidráulicos dos canais de seção circular (Figura 2A, Apêndice 2).
28
2.10. Dimensionamento das seções dos canais A fórmula de Manning (equação 5) para o cálculo da vazão é dada por:
Q =
Sendo R =
A p
A n
R 2 / 3 I 1 / 2
, a equação acima pode ser escrita como:
Q=
A A
2 / 3
n P
1 / 2
I
=
1 A 5 nP
/ 3
2 / 3
I 1 / 2
Separando-se as variáveis de projeto, supostamente conhecidas (n, Q, I), vem: nQ I
=
A5
/ 3
P2
/ 3
.
Nesta equação válida para qualquer seção, o segundo membro depende somente da geometria da seção do canal. Apresenta-se a seguir, a adequação da referida equação para as seções: circulares, trapezoidais, retangulares e triangulares.
2.10.1. Seções circulares nQ I A =
D 2
8
=
A5
/ 3
P2
/ 3
(10) (11)
(θ − senθ )
P=
(12)
θ D 2
Substituindo as equações 11 e 12 em 10, vem: (13)
29
Supondo conhecido D, além de n, Q, I, a equação (13) pode ser escrita como: D 2 (θ − senθ ) nQ 8 = 2 / 3 I θ D 2
nQ D 8 / 3 I
=
5 / 3 5 / 3
=
D 8 / 3 (θ − senθ ) / / 213 3 θ 2 3
(14)
(θ − senθ )5 / 3 213 / 3 θ 2 / 3
O ângulo θ pode ser calculado por: y θ = 2 arccos1 − 2 n D
(7)
Atribuindo-se valores a y n /D , no intervalo 0 ≤ y n /D ≤ 1 , calcula-se θ pela equação (7) e consequentemente
nQ D
8 / 3
I
, pela equação 14. Assim é possível construir parte da Figura 2B
(curva 1, Apêndice 2). Por outro lado, quando se conhece yn , além de n, Q, I e dividindo-se ambos os membros da equação 13 por y n 8 / 3 , tem-se:
nQ y n
8 / 3
y = n I D
−8 / 3
(θ - senθ )5 / 3
(15)
213 / 3 θ 2 / 3
Novamente, atribuindo-se valores a y n / D calcula-se θ pela equação 7. Com y n / D e θ calcula-se
nQ y n
8 / 3
I
pela equação 15. Assim, é possível construir a outra parte da Figura 2B (curva
2, Apêndice 2).
30
2.10.2. Seções trapezoidais e retangulares 2.10.2.1. Determinação da largura de fundo (b) Neste caso supõem-se conhecidos n, Q, I, z e yn . Tomando-se a equação geral para o cálculo da vazão, tem-se: nQ I
(10)
/ 3
A5
=
P2
/ 3
Para canais trapezoidais (Tabela 1), tem-se: A = y n (b + zy n )
e
2 P = b + 2 y n z + 1
Substituindo-se A e P na equação 10, escreve-se: 5/ 3
nQ I
nQ I
=
[b + 2 y
yn
yn
2/3
8 / 3
I
=
]
2/3
5/3
b + 2 z 2 + 1 yn
nQ y n
n
z 2 + 1
b + z yn
10 / 3
=
[ yn (b + zyn )]5 / 3
b 5/ 3 y n yn + z yn = 2/3 2/3 b yn + 2 z 2 + 1 yn
2/3
b + z y n
= yn
8/3
b + z yn
5/3
b + 2 z 2 + 1 yn
2/3
5 / 3
b + 2 z 2 + 1 y n
(16)
2 / 3
Fixando-se z e atribuindo-se valores a y n / b , pode-se calcular
nQ yn
8 / 3
deste modo construir a curva 2 da Figura 10. Para canais retangulares, basta usar a curva construída para z = 0.
31
I
pela equação 16 e
2.10.2.2. Determinação da profundidade normal ( yn ) Supõem-se conhecidos agora: n, Q, I, z e b. Retornando-se a equação 10, e procedendo-se analogamente ao que foi feito para obtenção da equação 16, tem-se: nQ I
nQ I
=
[ yn (b + zyn )]5 / 3
[b + 2 y
2
n
z + 1
=
=
]
2/3
A5
/ 3
P2
/ 3
yn 1 + by z n b
(10) 5/3
yn 2 b z 1 + 2 + 1 b
2/3
5 / 3
5 / 3
2 y n y y n y b10 / 3 n 1 + z n b b 1 + z b b nQ b = = 2 / 3 2 / 3 I y y n / 2 b 2 3 1 + 2 n z 2 + 1 b1 + 2 b z + 1 b
5 / 3
y n y n + z 1 b b nQ = 2 / 3 8 / 3 b I y n 2 1 + 2 b z + 1
Fixando-se z e atribuindo-se valores a y n / b , pode-se calcular
(17)
nQ b
8 / 3
I
pela equação 17,
obtêm-se assim a Figura 11. Para casos de canais retangulares basta usar a curva construída para z = 0.
2.10.3. Seções triangulares Supõem-se conhecidos n, Q, I e z, onde a incógnita do problema é a profundidade normal ( yn ). Procedendo-se analogamente ao que foi feito para obtenção das equações 16 e 17, tem-se:
32
nQ
=
I A = zy n nQ I
( zy )
2
=
(2 y
2
n
z + 1 nQ
y n
8 / 3
I
)
=
2 / 3
(2
z
(2
2
/ 3
P = 2 yn z 2 + 1
z 5
=
(10)
/ 3
P2
e
2 5 / 3
n
A5
/ 3
y n
2
z + 1
)
2 / 3
10 / 3
y n
2 / 3
= y n
z 5
8 / 3
(2
2
/ 3
z + 1
)
2 / 3
5 / 3
z +1
)
(18)
2 / 3
Atribuindo-se valores a z, pode-se calcular
nQ y n
8 / 3
I
pela equação 18, construindo-se assim
a Figura 12.
2.11. Exercícios de aplicação 2.11.1. Quando se conhece as dimensões do canal É o caso do canal já construído, onde se utilizam as equações:
V =
1 n
R 2 / 3 I 1 / 2
e
Q = AV
R e A são tirados das Tabelas 1 (canais de seção qualquer) ou Tabela 2 (canais de seção de máxima eficiência). Pode-se também utilizar as Figuras 8 a 12, para a obtenção de resultados aproximados, e de modo mais rápido.
a. Tem-se um canal de seção trapezoidal com talude 1:1, executado em concreto não muito liso, com declividade de 0,4%. Determinar qual a vazão capaz de escoar em regime uniforme, com uma profundidade da água de 0,40 m e uma largura de fundo de 0,30 m. n = 0,014 z=1 b = 0, 30 m yn = 0,40 m
(Tabela 6)
33
I = 0,4% = 0,004 mm-1
Solução: a.1. Uso das equações (Tabela 1): P = b + 2 y n z 2 + 1 = 1 ,43 m A = y n (b + zy n ) = 0 ,28 m2 R = V =
1 n
A P
= 0 ,196 m
R 2 / 3 I 1 / 2 = 1 ,51 ms-1
Q = AV = 0 ,28.1 ,51 = 0,423 m3s-1 = 423 Ls-1 (resultado mais preciso)
a.2. Uso da Figura 10: y n b
=
0 ,40 0 ,30
= 1 ,33
Para z = 1, tem-se pela Figura 10: nQ b 8 / 3 I
= 1 ,1
1,1× 0,40 8 / 3 0,004 0,5 = 0,431 m3s-1= 431 Ls-1 Q= 0,014
a.3. Uso da Figura 11: Para y n / b = 1,33 e z = 1, tem-se: nQ b 8 / 3 I
= 2 ,4
2,4.0,38 / 3.0,004 0,5 = 0,437 m3s-1= 437 Ls-1 Q= 0,014
34
b. Calcular a vazão de uma calha de seção triangular de estrada de rodagem para: z = 2, n = 0,017, yn = 0,07 m e I = 0,03 mm-1. Qual é a perda de carga no canal (hf) para um comprimento (L) de 500 m? Solução: b.1. Uso das equações (Tabela 1): A = zy n = 0 ,0098 m2 2
P = 2 y n z 2 + 1 = 0 ,313 m R = V =
1 n
A
R
P
= 0 ,03131 m
2 / 3
1 / 2
I
= 1 ,01 ms-1
Q = A.V = 0,0098 × 1,01 = 0,010 m3s-1 = 10 Ls-1 h f = IL = 0,03 × 500 = 15 m
b.2. Uso da Figura 12 Para z = 2, tem-se pela Figura 12: nQ b 8 / 3 I
= 1 ,2
1,2.0,078 / 3.0,030,5 = 0,010 m3s-1 = 10 Ls-1 Q= 0,017
c. Um canal de seção trapezoidal, de taludes inclinados de α = 45°e de declividade de fundo de 40 cmkm-1, foi dimensionado para uma determinada vazão Q0, tendo-se chegado às dimensões da figura apresentada a seguir. Nestas condições pede-se para n = 0,02, o valor da vazão de projeto Q0.
35
Solução: c.1. Uso das equações (Tabela 1) n = 0,02 tg α = tg 45º = 1 I = 40 cmkm-1 = 0,0004 mm-1 yn = 1,50 m b = 1,66 m P = b + 2 y n z 2 + 1 = 1 ,66 + 2.1 ,5. 1 + 1 = 5 ,903 m A = y n (b + zy n ) = 1 ,5.( 1 ,66 + 1.1 ,5 ) = 4 ,74 m2 R = V =
1 n
R 2 / 3 I 1 / 2 =
1 0 ,02
A P
= 0 ,803 m
2 / 3 1 / 2 = 0 ,864 ms-1 0 ,803 .0 ,0004
Q = AV = 4,74 × 0,864 = 4,095 m3s-1= 4095 Ls-1 (resultado mais preciso)
c.2. Uso da Figura 10: y n / b = 1,5 / 1,66 = 0,903
Para z = 1, tem-se, pela Figura 10: nQ b 8 / 3 I
36
= 1 ,4
1,4.1,58 / 3.0,0004 0,5 = 4,1 m3s-1 = 4100 Ls-1 Q= 0,02
c.3. Uso da Figura 11: Para y n / b = 0,90 e z = 1, tem-se: nQ b
8/3
I
= 1,06
1,06 × 1,66 8 / 3 × 0,0004 0,5 = 4,095 m3s-1= 4095 Ls-1 Q= 0,02
d. Verificar se o canal do exercício anterior será de mínimo perímetro molhado, caso o nível da água atinja o nível de transbordamento. Solução: yn = 1,50 + 0,5 = 2,0 m n = 0,02 z=1 I = 0,0004 mm-1 b = 1,66 m Se o calculo do perímetro molhado (P1) feito com a equação da Tabela 1, coincidir com o perímetro (P2) feito com a equação da Tabela 2, o canal será de mínimo custo. P1 = b + 2 y n z 2 + 1 = 1,66 + 2.2 1 + 1 = 7,31 m P2 = 2 y n 2 1 + z 2 − z = 2.2 2 1 + 1 − 1 = 7 ,31 m
O canal será, portanto de mínimo custo para yn = 2,0 m.
2.11.2. Quando se deseja conhecer as dimensões do canal Neste caso se conhece a vazão de projeto (Q), a declividade de fundo (I), a rugosidade das paredes (n) e o talude das paredes do canal (z). 37
A solução desse tipo de problema é bastante simplificada com o uso das Figuras 2A a 2E do Apêndice 2. Pode-se também utilizar com um grau de dificuldade maior as equações 4 e 5, associadas as equações das Tabelas 1 e 2.
a. Supondo que o projeto do exercício c do item 4.7.1 venha a ser refeito com a vazão Q1 = 8 m3s-1 e que a seção deva ser retangular, qual a sua profundidade a fim de que o canal seja de mínimo perímetro molhado? Solução: Trata-se do dimensionamento de um canal retangular de máxima vazão. Para z = 0, y n / b = 0,5
(Tabela 2)
a.1. Uso da Figura 10: Para z = 0 e y n / b = 0,5, tem-se: nQ y n
8 / 3
I
= 1,3
0,02 × 8 y n = 0, 5 1 , 3 × 0 , 0004
3/8
= 1,98 m
a.2. Uso da Figura 11: Levando o valor de y n / b = 0,5 à Figura 11, tem-se: nQ b 8 / 3 I
= 0,2
0,02 × 8 b = 1/ 2 0,2(0,0004 ) y n = 0 ,5 b
3/ 8
=4m y n = 2 m
a.3. Uso da equação 4 e Tabela 2:
Q =
A n
38
R 2 / 3 I 1 / 2
2
8=
2 y n y n
0 ,0004 0 ,5
0 ,02 2
3
y n = 8 y n = 2 m
b. Um canal de seção triangular de mínimo perímetro molhado, revestido de tijolos rejuntados com argamassa de cimento, tem uma descarga de 4 m3s-1. Supondo que a declividade seja de 0,0016, calcular a altura do nível da água no canal. Solução: z=1 n = 0,013 Q = 4 m3s-1 I = 0,0016 mm-1 yn = ?
(mínimo perímetro molhado) (Tabela 6)
b.1. Uso da Figura 12: Para z = 1: nQ y n
nQ y n = 1/ 2 0,5 I
3/ 8
8 / 3
= 0,5 I
0,013 × 4 = 1/ 2 0,5 × 0,0016
3/ 8
= 1,43 m
b.2. Uso das equações da Tabela 2:
Q =
A n
R 2 / 3 I 1 / 2
2
yn 4= 0,013 2 2 yn
y n
8 / 3
2
onde:
= 2 ,6
∴
A = y n e R =
y n 2 2
2/3
0,0016 0,5 y n = 1,43 m
c. Uma manilha de concreto é assentada em um declive de 0,0002 e deve transportar uma vazão de 2,365 Ls-1 quando estiver 75% cheia. Que diâmetro deverá ser usado? 39
Solução: n = 0,016 I = 0,0002 mm-1 Q = 2,365 m3s-1 yn /D = 0,75
(Tabela 6)
c.1. Usando a curva 1 da Figura 9: Para y n / D = 0,75, obtém-se: nQ D 8 / 3 I
nQ D = 1/ 2 I 0 , 28
0, 375
= 0 ,28
0,016 × 2,365 = 0, 5 0 , 28 × 0 , 0002
0, 375
= 2,33 m
c.2. Usando a curva 2 da Figura 9: nQ y n
8 / 3
I
= 0,6
0,016 × 2,365 y n = 0, 5 0 , 6 × 0 , 0002
0, 375
y n = 1,75 m y n / D = 0,75 ∴ D = 2 ,33 m
c.3. Usando a curva de vazão da Figura 8: Para y n / D = 0,75 , tem-se: Q Q0
= 0 ,93 , sendo Q0 =
Q = 0,93
A0 n
R0
2,365 =
2/3
1/ 2
I
A0 n
R0
2/3
I 1/2
0,93 π D 2 D = n 4 4
2/3
0,93 3,14 8 / 3 D × 0,0002 0, 5 5/3 0,016 4 D = 2,30 m
40
I 1 / 2
d. Para abastecer Belo Horizonte, a adutora do Rio das Velhas tem um trecho em canal com seção circular, construído em concreto moldado no local, por meio de formas metálicas. Os dados deste trecho são: I = 1 mkm-1
D = 2,40 m
n = 0,012
O abastecimento foi previsto para três etapas: 1ª etapa: Q1 = 3 m3s-1; 2ª etapa: Q2 = 6 m3s-1; 3ª etapa: Q3 = 9 m3s-1.
Pede-se: a. A velocidade máxima e a vazão máxima; b. Os valores das alturas de lâmina de água em cada etapa. Solução: a. Velocidade máxima e a vazão máxima: a.1. Uso da Figura 2A, Apêndice 2: Para y n / D = 0,95 , onde ocorre a vazão máxima, tem-se: Qmáx Q0
= 1 ,075
Para y n / D = 0,81 , onde ocorre a velocidade máxima, tem-se: V máx V 0 A0 =
π D 2 4
R0 =
Q0 =
A0 n
R0
2 / 3
1 / 2
I
= 1 ,139
D
4
= 4,52 m2 = 0,60 m
4 ,52 0 ,60 = 0 ,012 4
41
2 / 3
(0 ,001)0 ,5 = 8,473 m3s-1
Q0
V 0 =
Qmáx = 1,075 Q0 Vmáx= 1,139 V0
A0
=
4 × 8,473
π × 2,4
2
= 1,87 ms-1
Qmáx = 9,092 m3s-1 Vmáx = 2,13 ms-1
∴ ∴
a.2. Uso da Figura 2B, Apêndice 2: Para yn / D = 0,95. Usando a curva 1 da Figura 9 para y n /D = 0,95 tem-se: nQmáx
= 0 ,33
D 8 / 3 I
Qmáx
0,33 × 2,4 8 / 3 × 0,0011 / 2 = 0,012 Qmáx = 8,98 m3s-1
θ = 5 ,379 rd (para Qmáx) A =
D
2
8
V máx =
(θ − senθ ) = 4,43 m2
Qmáx A
=
8,98 = 2,03 ms-1 4,43
b. Valores das alturas de lâmina de água em cada etapa: b.1. Usando a Figura 2A, Apêndice 2: Q1 Q0 Q2 Q0 Q3 Q0
=
=
=
3 8 ,473 6 8 ,473 9 8 ,473
;
= 0 ,354
y n1 D y n2
= 0 ,708 ;
= 1 ,06
;
D y n3 D
42
= 0 ,409
; ;
= 0 ,61
= 0 ,86
y n1 = 0 ,98 m
;
y n2 = 1 ,46 m y n3 = 2 ,06 m
b.2. Usando a Figura 9: nQ1 D 8 / 3 I 1/ 2 nQ2 8 / 3 1/ 2
D I
nQ3 D 8 / 3 I 1/ 2
=
0,012 × 3 = 0,11 2,4 8 / 30,0011 / 2
=
0,012 × 6 = 0,22 2,4 8 / 30,0011 / 2
=
0,012 × 9 = 0,33 2,4 8 / 30,0011 / 2
Pela curva 1 da Figura 9, tem-se: y n1 D y n2 D y n3 D
= 0,4
∴
yn1 = 0,4 × 2,40 = 0,96 m
= 0,6 m
∴
yn2 = 0,6 × 2,40 = 1,44 m
= 0,86
∴
yn3 = 0,86 × 2,40 = 2,06 m
2.12. Exercícios de fixação 1) Um canal de drenagem, em terra com vegetação rasteira nos taludes e fundo, com taludes 2,5:1, declividade de fundo Io = 30 cm/km, foi dimensionado para uma determinada vazão de projeto Qo, tendo-se chegado a uma seção com largura de fundo b = 1,75 m e altura de água yo = 1,40 m. a) Qual a vazão de projeto? b) A seção encontrada é de mínimo perímetro molhado? c) Se o projeto deve ser refeito para uma vazão Q1 = 6,0 m3 /s e a seção é retangular, em concreto, qual será a altura de água para uma largura de fundo igual ao dobro da anterior? 2) Uma galeria de águas pluviais de 1,0 m de diâmetro, coeficiente de rugosidade de Manning n = 0,013 e declividade de fundo Io = 2,5 x 10-3 m/m transporta, em condições de regime permanente e uniforme, uma vazão de 1,20 m3 /s. a) Dimensione a altura d’água. b) Qual seria a capacidade de vazão da galeria, se ela funcionasse na condição de máxima vazão?
43
3) Um canal trapezoidal, em reboco de cimento não completamente liso, com inclinação dos taludes 2:1, está sendo projetado para transportar uma vazão de 17 m3 /s a uma velocidade média de 1,20 m/s. Determine a largura de fundo, a profundidade em regime uniforme e a declividade de fundo para a seção hidráulica de máxima eficiência. 4) Um canal trapezoidal deve transportar, em regime uniforme, uma vazão de 3,25 m3 /s, com uma declividade de fundo Io = 0,0005 m/m trabalhando na seção de mínimo perímetro molhado. A inclinação dos taludes é de 0,5:1 e o revestimento será em alvenaria de pedra argamassada em condições regulares. Determine a altura d’água e a largura de fundo. 5) Qual o acréscimo percentual na vazão de uma galeria circular quando a área molhada passa da meia seção para a seção de máxima velocidade? 6) Um trecho de um sistema de drenagem de esgotos sanitários é constituído por duas canalizações em série, com as seguintes características: Trecho 1 – Diâmetro: D1 = 150 mm; Declividade: I1 = 0,060 m/m. Trecho 2 – Diâmetro: D2 = 200 mm; Declividade: I2 = 0,007 m/m. Determine as vazões máxima e mínima no trecho para que se verifiquem as seguintes condições de norma: a) Máxima lâmina d’água: y = 0,75D. b) Mínima lâmina d’água: y = 0,20D. c) Máxima velocidade: V = 4,0 m/s. d) Mínima velocidade: V = 0,50 m/s. Coeficiente de rugosidade de Manning, n = 0,013.
7) Determine a mínima declividade necessária para que um canal trapezoidal, taludes 4:1, transporte 6 m3 /s, com uma velocidade média igual a 0,60 m/s. Coeficiente de rugosidade, n = 0,025. 8) Determine a relação de vazões entre um canal trapezoidal em taludes 1:1, largura de fundo igual a três vezes a altura d’água e um canal trapezoidal de mesmo ângulo de talude, mesma área molhada, mesma rugosidade e declividade de fundo, trabalhando na seção de mínimo perímetro molhado.
44
9) Demonstre que o raio hidráulico de um canal trapezoidal na seção de mínimo perímetro molhado, para qualquer ângulo de talude, é igual à metade da altura d’água. 10) Uma galeria de águas pluviais de diâmetro D transporta uma determinada vazão com uma área molhada tal que Rh = D/6. Nestas condições, calcule as relações V/Vp e Q/Qp. 11) Compare as declividades de um canal semicircular escoando cheio e de um canal retangular de mesma largura, mesma área molhada, mesmo revestimento e transportando a mesma vazão em regime permanente e uniforme. Gabarito: 1) a) Q = 4,35 m3 /s; b) Não; c) yo = 1,57 m 2) yo = 0,82 m; b) Q = 1,29 m3 /s 3) b = 1,13 m; yo = 2,39 m; Io = 0,00022 m/m 4) yo = 1,56 m; b = 1,95 m 5) ∆Q = 97,6% 6) Qmáx = 0,025 m3 /s; Qmín = 0,0033 m3 /s 7) Imín = 3,2 x 10-4 m/m 8) Q1 /Q2 = 0,95 9) 10) V/Vp = 0,762; Q/Qp = 0,183 11) Ic /Ir = 0,84
45
UNIDADE 3 – VERTEDORES 3.1. Conceito Vertedores são estruturas hidráulicas utilizadas para medir indiretamente a vazão em condutos livres por meio de uma abertura (entalhe) feita no alto de uma parede por onde a água escoa livremente, apresentando, portanto a superfície sujeita à pressão atmosférica. São utilizados na medição de vazão de pequenos cursos d’água, canais ou nascentes, geralmente inferiores a 300 L/s.
3.2. Partes constituintes Na Figura 10 tem-se a representação esquemática das partes componentes de um vertedor. H = carga hidráulica; P = altura do vertedor; B= largura da seção transversal do curso d`água; L = largura da crista da soleira do vertedor.
Figura 10. Vista transversal de um vertedor.
3.3. Classificação 3.3.1. Quanto à forma: Os vertedores mais usuais possuem as seguintes formas de seção transversal: retangular, triangular, trapezoidal e circular. Ressalta-se que na Figura 10 está apresentado um vertedor retangular.
3.3.2. Quanto à espessura (natureza) da parede (e): •
Parede delgada (e < 2/3 H): a espessura (e) da parede do vertedor não é suficiente para que sobre ela se estabeleça o paralelismo entre as linhas de corrente.
46
•
Parede espessa (e > 2/3 H): a espessura (e) da parede do vertedor é suficiente para que sobre ela se estabeleça o paralelismo entre as linhas de corrente.
Figura 11. Vista longitudinal do escoamento da água sobre a soleira do vertedor.
3.3.3. Quanto ao comprimento da soleira (L): •
Vertedor sem contração lateral (L = B): o escoamento não apresenta contração ao passar pela soleira do vertedor, se mantendo constantes antes e depois de passar pela estrutura hidráulica (Figuras 12a, 12b).
•
Vertedor com contração lateral (L < B): nesse caso a linha de corrente se deprime ao passar pela soleira do vertedor, podendo-se ter uma (Figuras 12c, 12d) ou duas contrações laterais (Figuras 12e, 12f)
(b)
(a)
47
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura 12. 12. Vertedor: (a) sem contração lateral; (b) vista de cima sem contração lateral; (c) com uma contração lateral; d) vista de cima com uma contração lateral – linha de corrente deprimida (lado direito); (e) duas contrações laterais; e (f) vista de cima com duas contrações laterais – linha de corrente deprimida (lado direito e esquerdo).
3.3.4. Quanto à inclinação da face de montante: Denomina-se face de montante o lado da estrutura do vertedor que está em contato com a água, conforme apresentada na Figura 13.
(a)
(b)
(c)
Figura 13. Face 13. Face de montante: (a) na vertical; (b) inclinado a montante; e (c) inclinado a jusante.
3.3.5. Quanto à relação entre o nível da água a jusante (P’) e a altura do vertedor (P): O vertedor pode funcionar de duas diferentes formas. Quando operado em condições de descarga livre, o escoamento acontece livremente a jusante da parede do vertedor, onde atua a pressão atmosférica (Figura 14a). Esta é a situação que mais tem sido estudada e a mais prática para a medição da vazão, devendo por isso ser observada quando na instalação do vertedor. 48
A situação do vertedor afogado (Figura 14b) deve ser evitada na prática, pois existem poucos estudos sobre ela e é difícil medir a carga hidráulica H para o cálculo da vazão. Além disso, o escoamento não cai livremente a jusante do vertedor.
(a)
(b)
Figura 14. (a) 14. (a) vertedor operado em condições de descarga livre (P > P’); e (b) vertedor afogado (P < P’).
3.4. Equação geral da vazão para vertedores de parede delgada, descarga livre, independentemente da forma geométrica Para obtenção da equação geral da vazão será considerado um vertedor de parede delgada e de seção geométrica qualquer (retangular, triangular, circular etc), desde que seja regular, ou seja, que possa ser dividida em duas partes iguais. Na Figura 15 está apresentada uma vista longitudinal e frontal do escoamento, destacando a seção de vertedor. As seguintes hipóteses são feitas na dedução da equação geral: •
Escoamento permanente;
•
A pressão na cauda é nula (abaixo e acima da cauda tem-se Patm);
•
O valor de P é suficientemente suficientemente grande para se desprezar a velocidade de aproximação (V0);
•
Distribuição hidrostática das pressões nas seções (0) e (1);
•
Escoamento ideal entre as seções (0) e (1), isto é, ausência de atrito entre as referidas seções e incompressibilidade do fluido (densidade constante);
•
Par de eixos coordenados (x, y) passando pelo centro da soleira do vertedor, de modo a dividi-la em duas partes iguais; e
•
Seção (1) ligeiramente a jusante da crista do vertedor.
49
Figura 15. Vista 15. Vista longitudinal e frontal do escoamento, destacando a seção do vertedor.
Sendo o escoamento permanente, considerando a seção (1) localizada ligeiramente à jusante da crista do d o vertedor (onde a pressão é nula) e empregando a equação de Bernoulli entre ent re as seções (0) e (1), para a linha de corrente genérica AB, com referência em A, tem-se: P0
γ
+
V0
2
2g
+ Z0 =
P1
+
γ
V1
2
2g
(19)
+ Z1
Considerando o plano de referencia passando pelo ponto A, tem-se: H0 + 0 + 0 = 0 +
Vth
2
2g
(20)
+ ( H 0 - H + y)
Para todas as situações em que o escoamento for tratado como ideal, a velocidade será sempre ideal ou teórica (Vth), como aparece na equação (20). Pela mesma razão quando se trata da vazão, ela também será ideal ou teórica (Qth). Da equação (20) chega-se a: Vth =
2g (H - y)
(distribuição parabólica)
(21)
A vazão teórica que escoa através da área elementar dA mostrada na Figura 15, é dada por: dQ th 2
(22)
= Vth dA 50
sendo: (23)
dA = x dy
Dessa forma, a vazão teórica elementar é dada por: (24)
dQ th = 2Vth dA = 2Vth x dy
Subtituindo a equacao (21) na (24), chega-se a: (25)
dQ th = 2 2g (H - y) x dy
que integrada nos limites de zero a H, permite calcular a vazão teórica para todo vertedor, ou seja: H
1
∫
(26)
Q th = 2 2g x (H − y) 2 dy 0
em que x é função de y. Na equação (26) deve ser introduzido um coeficiente (CQ), determinado experimentalmente, o qual inclui o efeito dos fenômenos desprezados nas hipóteses feitas na dedução da equação geral. Desta forma, para condições de escoamento real sobre um vertedor de parede delgada, a expressão geral para a vazão (Q) é dada por: H
∫
1
Q = 2 2g C Q x (H − y) 2 dy
(27)
0
O coeficiente CQ, denominado de coeficiente de vazão ou de descarga, corrige todas as hipóteses feitas na dedução da equação (27). Vale a pena salientar que esta equação só se aplica aos casos em que o eixo y divide o vertedor em duas partes iguais, que são os casos mais comuns na prática. Será apresentada na sequência a obtenção da equação 27 para os casos particulares de vertedor retangular e triangular em condições de descarga livre.
3.4.1 Vertedor retangular de parede delgada em condições de descarga livre De acordo com a Figura 16 pode-se observar que x (metade da soleira L) é constante para qualquer valor de y, podendo-se escrever:
51
x = f ( y) =
L
(28)
2
Figura 16. Vertedor retangular sem contrações laterais.
Substituindo a equação (28) na equação (27), tem-se: H
Q = 2 2g C Q
1
∫
H
1
∫
L / 2(H − y) dy = 2 2g C Q L (H − y) 2 dy 2
0
(29)
0
Fazendo: H – y = u, diferenciando-se e mudando os limites da integral para variável (u), tem-se: -dy = du (30) u = H (para y=0) (31) u = 0 (para y = H) (32) Substituindo as equações (30), (31), (32) na parte que se refere a integral da equação (29), tem-se: H
0
∫(H - y)
1 / 2
∫
dy = u H
0
H 1 / 2
∫
(-du ) = u
1 / 2
du =
0
2 3
H
3 / 2
(33)
Substituindo a equação (33) na equação (29), chega-se a:
Q =
2 3
2g C Q L H 3 / 2
(34)
que é a equação válida para vertedor retangular de parede delgada, sem contrações laterais. 52
O valor de CQ (coeficiente de descarga) foi estudado por vários pesquisadores como: Bazin, Rehbock, Francis , sendo encontrado em função de H e de P na Tabela 3A do Apêndice 3. Francis obteve, por meio de estudos experimentais, o valor de CQ para vertedor retangular sem contração lateral igual a 0,6224. Substituindo na equação (34) o valor do CQ obtido por Francis e g igual a 9,81 m.s-2, tem-se: Q = 1,838 L H3/2
(35)
em que: Q = vazão (m3s-1); L = comprimento da soleira (m); e H = altura de lamina (m). Deve-se salientar que na equação (34), o valor da aceleração da gravidade (g) já esta implícito no coeficiente numérico apresentado, devendo-se respeitar as unidades apresentadas para L, H e Q.
Com contração lateral (correção de Francis)
Quando o vertedor possui contrações laterais pode-se deduzir a equação como feita para o caso anterior. Por razões de simplicidade, Francis propôs usar a equação (35) trocando-se L por L’, conforme apresentado na Figura 17a e b:
(a)
(b)
Figura 17. Vertedor com uma (a) e duas contrações laterais (b).
53
Segundo Francis, para cada contração, o comprimento da soleira (L) deve ser reduzido em 10% da altura da lâmina vertente (H), para fins de obtenção do comprimento da soleira (L’) e cálculo da vazão O valor de L’ é usado na equação (35) no lugar de L, sendo o CQ o mesmo para os casos de vertedores sem contração lateral. Logo, as equações (36) e (37), já incorporando a correção proposta por Francis, devem ser usadas para obtenção da vazão em vertedores retangulares com 1 e 2 contrações laterais, respectivamente. Q = 1,838 (L - 0,1H)H3/2 Q = 1,838 (L - 0,2H)H3/2
(36) (37)
No caso de vertedor retangular de parede delgada com duas contrações laterais, pode-se utilizar diretamente a equação proposta por Poncelet para a obtenção da vazão, não sendo necessária a correção de Francis em função do número de contrações laterais. Na falta de informações pode-se tomar CQ = 0,60, valor este dado por Poncelet, ficando a fórmula para vertedores com duas contrações laterais escrita como: Q = 1,77 L H3/2
(38)
3.4.2 Vertedor triangular de parede delgada em condições de descarga livre Na prática, o vertedor triangular de parede delgada normalmente apresenta um entalhe em forma de um triângulo isósceles, o que permite utilizar a equação (27) para a dedução da equação utilizada na medição de vazão, uma vez que o eixo das ordenadas (y) divide a seção em duas partes iguais (Figura 18).
Figura 18. Vertedor triangular. 54
Nesse caso, a função x = f(y) pode ser escrita como:
x = y.tg
θ 2
(39)
Substituindo a equação (39) na equação (27), tem-se:
Q = 2 2g C Q tg
H
θ
y ( H − y) 2 ∫
1 / 2
dy
(40)
0
Fazendo: (H - y)1/2 = u
(41)
H – y = u 2 ∴ H – u2 = y dy = -2udu
(42) (43)
Trocando os limites de integração, tem-se: u = H1/2 (para y = 0) u = 0 (para y = H)
(44) (45)
Substituindo-se as equações (43), (44) e (45) na integral da equação (40), tem-se: H
∫ y (H − y)
0
1 / 2
dy =
2
) u ( −2u du )
(46)
( Hu 2 − u 4 ) du
(47)
1 / 2
0
H
H
2
∫ (H − u
1 / 2
∫
H1 / 2
( H − u 2 ) u 2 du = 2
0
∫ 0
u3 u5 = 2 H − 3 5
H1 / 2
H 3 / 2 H 5 / 2 =2 H − 3 5
5 H 5 / 2 3 H 5 / 2 4 =2 − H 5 / 2 = 15 15 15
(48) (49)
Substituindo a equação (49) na equação (40), tem-se:
Q=
8 15
θ 5 / 2 H 2
(50)
2g C Q tg
55
que é válida para o cálculo da vazão em vertedores triangulares isósceles. O valor de CQ poderá ser encontrado em tabelas, em função de θ, H e P. Na falta de informações pode-se adotar como valor médio CQ = 0,60. Se θ = 90o, tg
θ 2
= 1, e a fórmula anterior se simplifica para:
Q = 1,40 H5
(51)
em que: Q = vazão (m3s-1); e H = altura da lâmina vertente (m).
OBS.: Para pequenas vazões o vertedor triangular é mais preciso que o retangular (aumenta o valor de H a ser lido quando comparado com o retangular), entretanto, para maiores vazões ele passa a ser menos preciso, pois qualquer erro de leitura da altura de lâmina vertente (H) é afetado pelo expoente 5/2. 3.4.3 Vertedor trapezoidal de parede delgada em condições de descarga livre Menos utilizado do que os vertedores retangular e triangular. Pode ser usado para medição de vazão em canais, sendo o vertedor CIPOLLETTI o mais empregado. Esse vertedor apresenta taludes de 1:4 (1 na horizontal para 4 na vertical) para compensar o efeito da contração lateral da lâmina ao escoar por sobre a crista (Figura 19).
Figura 19. Vertedor trapezoidal de CIPOLLETTI.
Neste caso, a equação geral (27) também pode ser usada para a dedução da equação particular do vertedor trapezoidal. Por razões de simplicidade, a vazão pode ser calculada como a soma das vazões que passam pelo vertedor retangular e pelos vertedores triangulares, ou seja:
56
Q=
Q=
2 3
2g C Q1 L H 3 / 2 +
8 15
2g C Q2 tg
θ 2
H 5 / 2
θ 4H 2g C Q1 + C Q 2 tg L H 3 / 2 3 5 L 2 2
(52)
(53)
Fazendo: θ 4H C Q = C Q1 + C Q 2 tg 5 L 2
(54)
a equação (53) pode ser escrita como:
Q =
2 3
2g C Q L H 3 / 2
(55)
A experiência mostra que CQ = 0,63. Usando a recomendação de Cipolletti, a fórmula anterior é simplificada para: Q = 1,86 L H3/2
(56)
3.4.4 Vertedor retangular de parede espessa A espessura da parede (e) é suficiente para garantir o paralelismo entre os filetes, ou seja, as linhas de corrente são paralelas, o que confere uma distribuição hidrostática de pressões sobre a soleira do vertedor (Figura 20).
Figura 20. Vertedor de parede espessa (vista longitudinal).
57
Aplicando a Equação de Bernoulli entre (0) e (1), para a linha de corrente AB, com referência em AB, tem-se: P0
γ
+
V0
2
2g
+ z0 =
H+0+0=h+
P1
+
γ
Vth
V1
2
2g
+ z1
(57)
2
2g
+0
(58)
Vth = ( H − h ) 2g
(59)
Q th = A.Vth = L.h.Vth = L.h 2g ( H − h )
(60)
Q th = L 2g (Hh 2 − h 3 )
(61)
1 / 2
Bélanger observou que quando o escoamento se estabelecia sobre a soleira:
h =
2 3
H
(62)
Substituindo a equação (62) na equação (61), tem-se: 2 2 2 3 Q th = L 2g H H − H 3 3 8 3 4 Q th = L 2g H 3 − H 9 27
12 H 3 8H 3 − Q th = L 2g 27 27 4 Q th = L 2g 27
1 / 2
(63)
1 / 2
(64)
1 / 2
(65)
1 / 2
H 3 / 2
(66)
Levando-se em conta o coeficiente corretivo da vazão (CQ), tem-se: Q = 0,385.C Q
2g L H
3 / 2
(67)
que é a equação válida para vertedor retangular de parede espessa. 58
Experiências realizadas levam à conclusão de que CQ = 0,91, podendo a expressão (67) ser escrita como: Q = 1,55 L H3/2
(68)
em que: Q = vazão (m3s-1); L = comprimento da soleira (m); e H = altura da lâmina vertente (m).
OBS: a) O ideal é calibrar o vertedor no local (quando sua instalação é definitiva) para obtenção do coeficiente de vazão (CQ). b) O vertedor de parede delgada é empregado exclusivamente como medidor de vazão e o de parede espessa faz parte, geralmente, de uma estrutura hidráulica (vertedor de barragem, por exemplo) podendo também ser usado como medidor de vazão.
3.5. Instalação do vertedor e medida da carga hidráulica (H) Vale ressaltar que a determinação da altura da lâmina vertente (H) não é feita sobre a crista do vertedor e sim a uma distância à montante suficiente para evitar a curvatura da superfície líquida. Os seguintes cuidados devem ser tomados na instalação e na medida de H: •
Escolher um trecho de canal retilíneo a montante e com pelo menos 20H de comprimento (na prática, considerar no mínimo 3 metros);
•
A distância da soleira ao fundo (P) deverá ser superior a 3H (≅ 0,50 m) e da face à margem, superior a 2H (≅ 0,30 m). Quando P ≅ 3H pode-se assumir
V0
2
2g
≅ 0;
•
O vertedor deve ser instalado na posição vertical, devendo estar a soleira na posição horizontal;
•
Não permitir que haja qualquer escoamento lateral ou por baixo do vertedor;
•
A ventilação sob a cauda deve ser mantida para assegurar o escoamento livre; e
•
O valor de H deve ser medido a uma distância da soleira de 10H. Na prática, adotar a distância de aproximadamente 1,5 m.
59
O procedimento a ser utilizado na medição de H é ilustrado nas figuras a seguir. Destacamse duas situações: vertedor móvel (Fig. 21a.), utilizado para medições esporádicas da vazão, em que o topo da estaca tangencia o nível da água; e vertedor fixo (Fig. 21b), utilizado para medições frequentes da vazão, em que o topo da estaca fica em nível com a crista do vertedor.
(a)
(b) Figura 21. Vertedores 21. Vertedores móvel (a) e fixo (b).
3.6. Exercícios de Fixação 1) Durante um teste de aferição de um vertedor retangular de parede delgada, sem contrações laterais, a carga foi mantida constante e igual a 30 cm. Sabendo que o vertedor tem 2,40 m de largura e que o volume de água coletado em 38 s foi de 28,3 m3, determinar o coeficiente de vazão do vertedor. 2) Você foi encarregado de construir um vertedor triangular de 90º, de paredes delgadas, para medição de vazão do laboratório de pesquisas na sua faculdade. Sabendo que a vazão máxima a ser medida é de 14 L/s, determine a altura mínima do vertedor, contada a partir do seu vértice, para medir a vazão máxima necessária. 3) Um vertedor retangular, sem contração lateral, tem 1,25 m de soleira, localizada a 70 cm do fundo do curso d’água. Sendo 45 cm a carga do vertedor, calcular sua vazão.
60
4) Deseja-se construir um vertedor trapezoidal (Cipolletti) para medir uma vazão de 500 L/s. Determine a largura da soleira desse vertedor, para que a altura d’água não ultrapasse a 60 cm. 5) Um vertedor retangular de parede fina com 1,0 m de largura, sem contrações laterais, é colocado juntamente com um vertedor triangular de 90º em uma mesma seção, de modo que o vértice do vertedor triangular esteja 0,15 m abaixo da soleira do vertedor retangular. Determinar: a) a carga no vertedor triangular quando as vazões em ambos os vertedores forem iguais; b) a carga no vertedor triangular quando a diferença de vazão entre o vertedor retangular e triangular for máxima; Utilizar as equações de Thompson e Francis. 6) Um vertedor retangular de parede fina, sem contrações laterais, é colocado em um canal retangular de 0,50 m de largura. No tempo t = 0, a carga H sobre a soleira é zero e, com o passar do tempo, varia conforme a equação H = 0,20 t, com H (m) e t (min). Determinar o volume de água que passou pelo vertedor após 2 minutos. 7) Calcule a vazão teórica pelo vertedor de parede fina mostrado na figura abaixo. A carga sobre a soleira é de 0,15 m.
61
8) As seguintes observações foram feitas em laboratório, durante um ensaio em um vertedor retangular de largura L = 1,50 m. h (m)
0,061
0,122
0,183
0,244
0,305
0,366
0,457
Q (m3/s)
0,0240
0,0664
0,1203
0,1838
0,2554
0,3342
0,4639
Se a relação de descarga é dada por Q = K L hn, determine os parâmetros K e n.
9) Se a equação básica para um vertedor retangular, de soleira fina, sem contrações laterais, for usada para determinar a vazão por um vertedor de soleira espessa, de igual largura, qual deve ser o coeficiente de vazão Cq naquela equação? Despreze a carga cinética de aproximação. 10) Na tentativa de evitar o efeito da contração e a depleção da veia líquida, comum nos vertedores retangulares, pretende-se utilizar vertedores triangulares e trapezoidais. Para tornar mais comparáveis os resultados obtidos nas várias opções disponíveis de vertedores, a carga de cálculo será fixada em 0,5 m, a área molhada em 2 m2 e a velocidade de aproximação considerada nula. Mantendo estes referenciais, determine as vazões dos seguintes vertedores: OBS: Compare as vazões obtidas com a vazão do vertedor retangular. a ) Vertedor triangular b ) Vertedor trapezoidal com ângulo θ /2 = 45° c ) Vertedor Cipoletti
Gabarito: 1) CQ = 0,427 2) H = 15,9 cm 3) Q = 0,698 m3 /s 4) L = 0,58 m 5) a) H = 1,31 m; b) H = 0,70 m 6) Volume = 11,16 m3 7) Q = 40,23 L/s 8) K = 0,976; n = 1,47 9) Cq = 1/ 10) a) Q = 2,00 m3 /s; b) Q = 2,443 m3 /s; c) Q = 2,489 m3 /s; Vertedor Retangular: Q = 2,60 2,6 0 m3 /s
62
UNIDADE 4 – ORIFÍCIOS E BOCAIS EM PAREDES DE RESERVATÓRIOS 4.1. Orifícios 4.1.1 Conceito Orifícios são aberturas de perímetro fechado (geralmente de forma geométrica conhecida) localizadas nas paredes ou no fundo de reservatórios, tanques, canais ou canalizações, sendo posicionadas abaixo da superfície livre do líquido.
4.1.2 Finalidade Os orifícios possuem a finalidade de medição de vazão, sendo utilizados, também, para a determinação do tempo de esvaziamento de reservatórios e o cálculo do alcance de jatos.
4.1.3 Classificação I) Quanto à forma geométrica: podem ser retangulares, circulares, triangulares etc. II) Quanto às dimensões relativas:
Analisando a Figura 22, os orifícios podem ser considerados: a) Pequeno: quando suas dimensões forem muito menores que a profundidade (h) em que se encontram. Na prática, d ≤ h/3. b) Grande: d > h/3 em que; d = altura do orifício; e h = altura relativa ao centro de gravidade do orifício. Figura 22. Esquema de orifício instalado em reservatório de parede vertical.
63
III) Quanto à natureza das paredes: Os orifícios podem ser considerados de: a) Parede delgada (e < d): a veia líquida toca apenas a face interna da parede do reservatório, ou seja, o líquido toca o perímetro da abertura segundo uma linha (Figura 23a). b) Parede espessa (e ≥ d): a veia líquida toca quase toda a parede do reservatório (Figura 23b). Esse caso será enquadrado no estudo dos bocais (os orifícios de parede espessa funcionam como bocais).
(a)
(b)
Figura 23. Orifícios de parede delgada (a) e espessa (b).
IV) Quanto à posição da parede:
(a)
(b)
Figura 24. Orifícios de parede vertical (a) e parede inclinada para montante (b).
64
(c)
(d)
Figura 25. Orifícios de parede inclinada para jusante (a) e parede horizontal (b).
Quando a parede é horizontal e h < 3.d ocorre o chamado vórtice ou vórtes, o qual afeta o coeficiente de descarga (CQ). V) Quanto ao escoamento: O escoamento em um orifício pode ser classificado como livre ou afogado conforme apresentado na Figura 26.
(a)
(b)
Figura 26. Orifícios com escoamento livre (a) e afogado (b).
VI) Quanto à contração da veia: O jato que sai do orifício sofre uma gradual contração, ficando a sua seção menor que a da abertura, pois pela inércia das partículas, a direção do movimento não se altera bruscamente (Figura 27).
65
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 27. Orifícios com contração do tipo completa [(a) e (e)] e incompleta [(b), (c) e (d)].
Seção contraída (Vena Contracta)
Seção contraída é aquela seção do orifício na qual observa-se uma mudança nas linhas de corrente do jato d’ água ao passar pelo orifício. Diz-se que a contração é incompleta quando a água não se aproxima livremente do orifício de todas as direções, o que ocorre quando o mesmo não está suficientemente afastado das paredes e do fundo. A experiência mostra que, para haver contração completa, o orifício deve estar afastado das paredes laterais e do fundo de, ao menos, 3 vezes a sua menor dimensão. Como a contração da veia líquida diminui a seção útil de escoamento, a descarga aumenta quando a contração é incompleta. As partículas fluidas escoam para o orifício vindas de todas as direções em trajetórias curvilíneas. Ao atravessarem a seção do orifício continuam a se moverem em trajetórias curvilíneas (as partículas não podem mudar bruscamente de direção, devido à inércia das partículas, obrigando o jato a contrair-se um pouco além do orifício, onde as linhas de corrente são paralelas e retilíneas) (Figura 28). L = distância entre o lado interno da parede do reservatório até o ponto onde as linhas de corrente do jato contraído são paralelas. L = 0,5 a 1 d L = 0,5 d AC A
⇒
= CC
para orifício circular
⇒
coeficiente de contração
AC = área da seção contraída A = área do orifício.
Figura 28. Seção contraída do jato de água que escoa pelo orifício. 66
4.1.4 Fórmula para cálculo da vazão 4.1.4.1 Orifícios afogados de pequenas dimensões em paredes delgadas (contração completa) Neste caso admite-se que todas as partículas que atravessam o orifício têm a mesma velocidade e que os níveis da água são constantes nos dois reservatórios. Considerando a Figura 29, aplica-se a equação de Bernoulli entre os pontos (0) e (1) situados na linha de corrente 0-1, com plano de referência passando pelo ponto (1).
Figura 29. Esquema de dois reservatórios interligados por um orifício.
P0
γ
sendo:
P0
γ
+
=
V0
2
2g Patm
γ
+ Z0 =
γ
+
V1
2
2g
(69)
+ Z1
; V0 ≈ desprezível e V1 = Vth , tem-se:
0 + 0 + h 0 = h1 + Vth
P1
Vth
2
2g
(70)
+0
2
2g
= h 0 − h1
⇒
Vth =
(71)
2g ( h 0 − h 1 )
(velocidade teórica na seção contraída) Na prática a velocidade real (V) na seção contraída é menor que Vth, devido às perdas existentes (atrito externo e viscosidade - atrito interno). Chamando de Cv (coeficiente de velocidade) a relação entre V e Vth, tem-se: 67
Cv =
V
⇒
Vth
V = C v Vth
(72)
Substituindo (71) em (72), tem-se: V = C V 2g ( h 0 − h 1 )
(73)
(velocidade real na seção contraída)
OBS: O valor de Cv é determinado experimentalmente e pode ser encontrado em tabelas, sendo que o valor de Cv varia em funcão do diâmetro e forma do orifício e altura de lâmina d’ água h0 - h1. Na prática pode-se adotar Cv = 0,985. A vazão (Q) que atravessa a seção contraída (e também o orifício), é dada por: Q = A C V = C V A C 2g ( h 0 − h 1 )
(74)
Q th = AVth
(75)
em que; Ac = área da seção contraída, L2. Chamando de CC (coeficiente de contração) a relação entre AC e A (área do orifício), vem:
CC =
AC A
⇒
A C = CCA
(76)
Substituindo (76) em (74), tem-se: Q = C V C C A 2g (h 0 − h 1 )
(77)
Definindo como coeficiente de descarga (CQ) o produto CV.Cc, vem: CQ = CV . CC (78) OBS: o valor de CQ é função da forma e diâmetro do orifício e da lâmina de água h0-h1. Na prática pode-se adotar Cc = 0,62. Substituindo (78) em (77), tem-se: 68
Q = CQ A 2g (h 0 − h1 )
(79)
que é a vazão volumétrica para orifícios afogados de pequenas dimensões localizados em reservatórios de parede delgada. Na prática pode-se tomar o valor de CQ como: CQ = CV . CC = 0,985 x 0,62 = 0,61. 4.1.4.2 Orifícios com escoamento livre de pequenas dimensões em paredes delgadas (contração completa) Nesse caso h1 = 0 e h0 = h, então a equação (79) passa a ser escrita como:
Q = CQ A 2g h
(80)
Em iguais condições de altura de lâmina d’água acima do orifício (h ou h 0 - h1), CQ é um pouco maior para escoamento livre. Em casos práticos, podem-se adotar os mesmos valores para CQ. 4.1.4.3 Orifícios livres de grandes dimensões em paredes delgadas (contração completa) Nesse caso não se pode mais admitir que todas as partículas possuem a mesma velocidade, devido ao grande valor d. O estudo é feito considerando-se o grande orifício dividido em um grande número de pequenas faixas horizontais de alturas infinitamente pequenas, onde pode ser aplicada a equação deduzida para orifícios pequenos (Figura 30).
Figura 30. Orifícios livres de grandes dimensões em paredes delgadas. 69
Considerando-se, portanto, um orifício de formato qualquer, a faixa elementar terá área de: dA = x dh
(81)
A velocidade teórica na área elementar será: Vth =
2gh
(82)
A descarga elementar será: Q = CQ . A . Vth
(83)
Derivando em relação a área, tem-se: dQ = CQ Vth dA
(84)
Substituindo (81) e (82) em (84), tem-se: dQ = CQ x dh 2gh
(85)
Sendo, x = f(h), logo: h1
Q=
∫ C
Q
x
2g h 1 / 2 dh
h0 h1
∫
Q = C Q 2g x h 1 / 2 dh
(para qualquer seção)
(86)
h0
Para o caso de orifícios com seção retangular (x = L): h1
∫
h1
xh
1 / 2
h0
Q=
dh =
∫
Lh
h1 1 / 2
dh = L
h0
2 3
LC Q 2g ( h 1
∫
h0
3
2
- h0
3
2
h 1 / 2 dh =
2 3
)
L (h 1
3 / 2
- h0
3 / 2
)
(87)
(orifício retangular de grandes dimensões) 70
OBS: Se h0 = 0, o orifício deixa de funcionar como tal e passa a ser um vertedor. Para o caso de orifícios com seção triangular (Figura 31):
Figura 31. Seção transversal de um orifício triangular.
De acordo com a Figura 31, por semelhança de triângulos, tem-se que: x b
=
h1 - h d
⇒x
=
b d
(h 1 - h )
θ
Como b = 2 d tg , tem-se: 2
θ
x = 2 d tg (h1 - h) 2
(88)
Substituindo (88) em (86), tem-se: h1
∫
Q = C Q 2g 2 tg h0
θ 2
(h 1 − h )h dh = 2C Q 2g tg 1 / 2
θ
h1
1 / 2 ( ) h − h h dh 1 ∫
2 h0
sendo: h1
h1
2
2
3
5
3 / 2 3 / 2 5 / 2 5 / 2 1 / 2 3 / 2 − = − = ( ) ( ) h h h dh h h h dh h ( h h ) ( h h ) 1 1 1 1 0 1 0 ∫ ∫ 1 / 2
h0
h0
tem-se: 71
θ 2 2 3 / 2 3 / 2 − h15 / 2 - h 05 / 2 Q = 2 CQ 2g tg h1 h1 - h0 2 3 5
(
) (
)
(89)
(para orifícios triangulares de grandes dimensões) 4.1.4.4 Relação entre CV, CC e CQ A vazão teórica que atravessa o orifício é dada por: Q th = AVth
(90)
A vazão real que atravessa o orifício é dada por: Q = ACV
(91)
Dividindo (91) por (90): Q Q th
= C
Q
=
A
V
⇒
A c V th
CQ = CCCV
(92)
4.1.4.5 Orifício de contração incompleta Quando o orifício é de contração incompleta, a vazão é calculada pela mesma fórmula que para orifício de contração completa, ou seja: '
Q = CQ A 2gh
(pequenas dimensões)
(93)
sendo o coeficiente CQ’ (coeficiente de vazão para contração incompleta) relacionado com o coeficiente de vazão para contração completa (CQ) pela seguinte expressão obtida experimentalmente por Bidone: C Q ' = (1 + 0 ,15 K ) C Q
(94)
em que: K = relação entre o perímetro da parte não contraída do orifício, para o perímetro total do orifício.
72
Exemplo: Calcular o coeficiente de vazão para os orifícios de contração incompleta, conforme figuras apresentadas a seguir (considere CQ = 0,62), sendo dados b = 20 cm e d = 5 cm.
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 1: K=
b+d 2 (b + d)
=
1
⇒
2
1 C Q ' = (1 + 0,15x ) 0,62 = 0,6665 2
Caso 2: K=
b 2 (b + d)
=
20 2 ( 20 + 5)
= 0,4 ⇒ CQ' = (1 + 0,15x 0,4) 0,62 = 0,6572
Caso 3: K=
2d + b 2 (b + d)
=
2.5 + 20 2 ( 20 + 5)
= 0,6 ⇒ CQ' = (1 + 0,15x 0,6) 0,62 = 0,6758
73
4.2. Bocais ou Tubos Curtos 4.2.1 Conceito Bocais são pequenos tubos adaptados a orifícios de paredes delgadas por onde escoam os líquidos dos reservatórios, canais etc.
4.2.2 Finalidade Os bocais possuem a finalidade de dirigir o jato, regular e medir a vazão, sendo utilizados, também, para a determinação do tempo de esvaziamento de reservatórios e o cálculo do alcance de jatos.
4.2.3 Classificação I) Quanto à forma geométrica: Conforme apresentado na Figura 32, os bocais cilíndricos podem ser classificados como: •
interiores ou reentrantes (interesse teórico); e
•
exteriores (interesse prático).
(a)
(b)
Figura 32. Bocais cilíndricos interior (a) e exterior (b).
As experiências mostram que os coeficientes de descarga para os bocais exteriores são maiores que para os bocais interiores . Os bocais cônicos (Figura 33) podem ser classificados como: • divergente; • convergente.
74
(a)
(b)
Figura 33. Bocais cônicos divergente (a) e convergente (b).
Outras formas de bocais podem ocorrer como, por exemplo, bocais com bordas arredondadas. II) Quanto às dimensões relativas: A Figura 34 ilustra as dimensões do bocal.
De acordo com F. A. Bastos: L < D ⇒ bocal curto L ≥ D ⇒ bocal longo L = 2,5 D ⇒ bocal padrão De acordo com A. Netto: L = 1,5 a 3D ⇒ bocais L = 3 a 500D ⇒ tubos muito curtos L = 500 a 4000D ⇒ tubulações curtas L > 4000D tubulações longas
Figura 34. Esquema das dimensões de um bocal.
Os orifícios de parede espessa (e ≥ D e L ≥ D) serão tratados como bocais, isso porque a seção contraída se forma dentro dos bocais longos.
75
O bocal curto funciona como um orifício de paredes delgadas (e
4.2.4 Fórmula para cálculo da vazão A dedução da fórmula é feita do mesmo modo que para os orifícios, não sendo necessária a sua repetição; obviamente o que muda é o valor do coeficiente de descarga, o qual deve ser levantado experimentalmente ou por meio de tabelas. Dessa forma: Q = CQ A 2g h
(95)
(para bocais com contração completa) sendo que CQ é funcão do comprimento (L), diametro (D) e forma do bocal. Para L = 3D, pode-se tomar, na prática, CQ = 0,82.
OBS: para parede delgada e parede espessa, os valores de CQ são aproximadamente iguais. Exemplo: Na parede vertical do reservatório A existe um orifício de pequenas dimensões afogado, que deságua em um reservatório B (figura abaixo). Este por sua vez possui também um pequeno orifício que deságua livremente na atmosfera. Supondo regime permanente e sabendo que h’ = 5 m, calcular: 1) Os valores de H1 e H2 2) A vazão em regime permanente
76
Dados: CV1 = CV2 = 0,98 CC1 = CC2 = 0,61 A1 = 2 cm2 A2 = 4 cm2
Solução: CQ1 = CQ 2 = C v1 Cc1 = 0,98 x 0,61 = 0,5978 ≈ 0,60
Fórmulas: Q1 = C Q1 A1 2g (h 0 - h 1 ) (orifício afogado) Q 2 = C Q 2 A 2 2g H 2
(orifício livre)
Para escoamento permanente tem-se: Q1 = Q2 1
1 CQ1 A1 2g ( h 0 - h1) 2 = CQ 2 A 2 2g H 2 2
A1 H 2 = A 2 ( h 0 - h1)
1
2
Como: h0 = h`+x h1 = H2+x
77
1
1
2 H 2 A1 H2 2 = = ' ' A2 (h + x ) (H 2 + x ) (h - H 2 ) 1
H 2 2 = 4 (5 - H 2 ) 2
Da figura: H1+H2 = h`= 5 m
H 2 1 ⇒ (5 - H ) = (2) 2
2
H1=4 m
Q1 = 0,60 x 2x10 -4 x 2g ((h `+ x ) - ( H 2 + x )) = 1,06.10-3 m3s-1= 1,06 L.s-1
ou -4
Q1 = 0,60 x 4x10 x 2g x1
= 1,06.10-3 m3s-1= 1,06 L.s-1
4.2.5 Escoamento com nível variável (esvaziamento de reservatórios de seção constante) Até agora considerou-se a carga h invariável. Se o nível da água do reservatório não for mantido constante, h diminuirá com o decorrer do tempo e o escoamento passará a ser encarado como não permanente. Considerando a Figura 35, e ainda:
h0 = carga inicial da água no reservatório, L;. h1 = carga final da água no reservatório, L;. S = área da seção do reservatório, L2; A = área da seção do orifício (ou do bocal), L2; t = tempo necessário para a água atingir o nível (1), T.
Figura 35. Esquema do esvaziamento de um reservatório de seção constante.
Para um dado instante t, o orifício (ou o bocal) possui uma vazão Q sob uma carga h. Decorrido um pequeno intervalo de tempo dt, pode-se considerar que a vazão continuará sendo a mesma, ou seja: 78
Q = CQ A 2g h
(orifícios de pequenas dimensões).
(96)
Para esse mesmo intervalo de tempo dt o volume elementar (dVol) do líquido escoado, mantida a vazão Q, será:
Q=
dvol dt
→ dvol = Q dt
(97)
Substituindo (96) em (97), tem-se: dvol = CQ A 2gh dt
(98)
Ainda no mesmo intervalo de tempo dt pode-se dizer que o nível da água baixará no reservatório de dh, o que corresponde a um volume elementar de:
dvol = −S dh
(99)
onde o sinal negativo significa que h decresce com o aumento de t. Comparando (98) com (99): C Q A 2g h dt = −S dh −S
dt =
dh =
1 CQ
2g A h
2
−1
−S h CQ
2 dh
2g A
(100)
Integrando (100) no intervalo de h0 e h1,
t=
h 1 2 − h 1 2 0 1 2g A
2S CQ
(101)
OBS: esta expressão é apenas aproximada por quê: 79
•
CQ é função dos valores de h e d, varia com a diminuição de h;
•
A partir de um certo valor h, o orifício deixará de ser considerado como “pequeno”, passando a ser considerado como grande, e
•
Considera-se orificio pequeno quando d ≤
h
3
h
e grande quando d > . 3
Exemplo: Em uma estação de tratamento de água (ETA), existem dois decantadores de 5,50 x 16,50 m de base e 3,50 m de profundidade. Para limpeza e reparos, qualquer uma dessas unidades pode ser esvaziada por meio de uma comporta quadrada de 0,30 m de lado, instalada junto ao fundo. Calcular a vazão inicial da comporta e determinar o tempo necessário para o esvaziamento do decantador (CQ’ = 0,62 ⇒ coeficiente de vazão para contração incompleta).
C'Q = (1 + 0,15K )CQ
Solução: a) Vazão inicial: h = 3,50 − 0,15 = 3,35m d≤
3,35 3
∴d ≤
h 3
'
2
Q = CQ A 2g h = 0,62x (0,30) Q = 0,452 m3 s = 452 L s
80
2x9,81x3,35
b) Tempo necessário para o seu esvaziamento: 2S
t=
C Q 2g A
h 1 2 0
1 - h1 2
h 0 = h = 3,35m h1 = 0
2 x 5,50 x16,50
t =
0,62 2 x 9,81 x ( 0,30)
2
3,35
0,5
= 1344s
t = 22,40 min ou 22,0 min e 24 seg (este tempo é apenas aproximado)
4.2.6 Perda de carga em orifícios e bocais Considerando a Figura 36 e as equações (102) e (103), tem-se:
Vth = V =
2gh (velocidade teórica)
(102)
2gh1 (velocidade real)
(103)
em que: h1 = parcela utilizada para produzir a velocidade real.
Figura 36. Esquema do esvaziamento de um reservatório.
OBS: h1 < h porque uma parcela de h foi consumida para vencer as resistências ao escoamento. Essa parcela consumida chama-se “perda de carga”, que será representada por hf.
81
Portanto: h − h1 = h f ou Vth
2
2g
−
V
2
2g
= h f
2 2 V Vth
− 1 = h f 2g V V
Vth
V 2 1 − 1 = h f 2g C v 2
= Cv ⇒
Vth V
=
1 Cv
(perda de carga em orifícios e bocais.)
(104)
4.2.7 Determinação da velocidade real (V) usando o processo das coordenadas cartesianas Esta técnica constitui-se num interessante método para a determinação da velocidade real do escoamento, e consequentemente da vazão, desde que se despreze a resistência do ar. Sabese que a pressão exercida numa superfície por um líquido é normal a essa superfície. Para o equacionamento do problema, considere-se um orifício praticado na parede inclinada de um reservatório conforme a Figura 37 apresentada a seguir:
Figura 37. Orifício em parede inclinada de um reservatório.
As equações da cinemática são descritas abaixo: 82
1
e = e 0 + V0 t −
2
gt 2
(105)
V = V0 − gt
(106)
em que: e = espaço percorrido, L; e0 = espaço inicial, L; V = velocidade num determinado ponto, L.T-1; V0 = velocidade inicial, L.T-1; e t = tempo percorrido, T. Lembrando que a posição ocupada por uma partícula assim como sua velocidade podem ser obtidas pelas equações da cinemática, pode-se escrever para as coordenadas do ponto (1), com o auxílio da equação (105) e considerando o movimento ascendente: x = 0 + V0 x t − 0 ∴ x = V0 x t (direção x ) y = 0 + V0 y t −
1 2
gt 2 ∴ y = V0 y t −
1 2
gt 2 (direção y )
(107) (108)
OBS: na direção y atua a força da gravidade. As componentes das velocidades no ponto (1), com o auxílio da Figura 37 e da equação (106) são: V1x = V0 x − gt V1x = V0 x = V cos θ V = V0 − gt V1y = V0 y − gt = Vsenθ − gt
(109)
Reescrevendo a equação (107), tem-se: t =
x V0 x
(110)
E substituindo (110) em (108) encontra-se: 83
y = V0 y
Como
V0 y V0 x
x V0 x
1
− g
x2
2 V0 x 2
(111)
= tgθ e V0 x = V cos θ , escreve-se a equação como:
y = xtgθ 2
g
x
2
2 V 2 cos 2 θ
2
2
2
2V cos θy - 2V cos θx tgθ = gx
2
2 2 2 2 V (2 cos θy - 2 cos θx tgθ) = gx (-1)
gx
V=
V=
x
g
cos θ
2( x tgθ − y)
2
2 cos 2 θ( x tgθ - y)
(112)
A equação (112) descreve a velocidade real na saída do bocal ou orifício em função das coordenadas x e y: O coeficiente de velocidade (Cv) é calculado por: Cv =
V Vth
=
V 2gh g
Cv =
Cv =
x
1
2 cos θ
h ( x tgθ − y)
V Vth
=
x
2( x tgθ − y)
cos θ
2gh
(113)
Se a parede do reservatório for vertical, θ = 00 e y será sempre negativo, de tal forma que: Cv =
x
1
2
hy
(114)
84
Observações: •
o eixo das ordenadas y foi considerado positivo para cima e o das abscissas x para a direita.
•
as equações anteriores podem ser aplicadas a escoamentos livres em orifícios, bocais, tubulações etc.
•
se V1y for positivo, o movimento é ascendente e se V1y for negativo, o movimento é descendente.
Exemplo Determinar a equação da trajetória do líquido, a vazão escoada e a velocidade na posição (1), para a figura e os dados abaixo: - diâmetro da saída da tubulação (d=50 mm)
Solução: a) Equação da trajetória (usar equação 108):
V= V=
x
g
cos θ
2( x tgθ - y)
3,63
9,81
cos 60 0
2(3,63 tg 60 0 + 0,90)
V = 6m s
85
y = xtgθ -
g
x
2
2 V 2 cos 2 θ
y = xtg 60 2 6 cos 600 0
9,81
y = 1,732 x - 0,545x
x
2
2
b) Vazão escoada (Q):
Q = AV =
πd 2 4
V=
π(0,050) 2
6 = 0,0118 m3s-1
4
c) Velocidade na posição 1: 0 V1x = V0 x = V cos θ = 6 cos 60 = 3 m.s-1
x = V0 x t ∴ t =
x V0 x
=
3,63 3
= 1,21 s
V1y = Vsenθ − gt = 6sen 600 − 9,81.1,21 = −6,67 m.s-1
(indicando que o movimento é descendent e)
Da figura tira-se que:
α
V1x 2
2
V1 = V1x + V1y 2
2
2
V1 = 3 + (−6,67) V1 = 7,31 m s
V1y
V1
86
2
4.3. Exercícios de Fixação 1) Na parede vertical de um reservatório de grandes dimensões (A) existe um orifício afogado (1) que deságua em outro reservatório (B). Este, por sua vez, possui também um orifício que deságua livremente (2). Supondo que o regime é permanente e, sabendo que a altura h vale 5,0 m, calcule: a) as alturas H 1 e H 2; b) a vazão que escoa pelos orifícios Dados: Cc1 = Cc2 = 0,61 Cv1 = Cv2 = 0,98 A1 = 2 cm2 A2 = 4 cm2
2) Num bocal cilíndrico externo de 2,0 cm2 de área e coeficiente de vazão de 0,85, verificou-se que o jato sai com velocidade de 5,0m/s. Nestas condições, determinar a carga no bocal e a vazão que escoa. 3) Um bocal cilíndrico interno, funcionando com veia descolada, tem área de 2,0 cm2, coeficiente de velocidade de 0,98 e coeficiente de contração de 0,52, com carga de 2,0 m. Qual seria a área de um bocal externo de Cv = 0,85 que, com a mesma carga, descarregaria a mesma vazão? 4) Através de uma das extremidades de um tanque retangular de 0,90 m de largura, água é admitida com vazão de 57 L/s. No fundo do tanque existe um pequeno orifício circular de 7,0 cm de diâmetro, escoando para a atmosfera. Na outra extremidade existe um vertedor retangular livre, de
87
parede fina, com altura P = 1,20 m e largura da soleira igual a 0,90 m. Determine a altura d’água Y no tanque e a vazão pelo vertedor, na condição de equilíbrio. Utilize a equação de Francis.
5) Um vertedor triangular com ângulo de abertura de 90º descarrega água com uma carga de 0,15 m em um tanque, que possui no fundo três orifícios circulares de parede delgada, com 40 mm de diâmetro. Na condição de equilíbrio, determine a vazão e a profundidade da água no tanque. 6) Um reservatório de barragem, com nível d’água na cota 545,00 m está em conexão com uma câmara de subida de peixes, através de um orifício circular com diâmetro D 1 = 0,50 m. Essa câmara descarrega na atmosfera, por outro orifício circular de diâmetro D2 = 0,70 m, com centro na cota 530,00 m. Após certo tempo, cria-se um regime permanente (níveis constantes). Sabendo-se que os coeficientes de contração dos dois orifícios são iguais a Cc = 0,61 e os coeficientes de velocidade, iguais a Cv= 0,98, calcular qual é a vazão e o nível d’água na câmara de subida de peixes.
7) Um reservatório de seção quadrada de 1,0 m de lado possui um orifício circular de parede fina de 2 cm2 de área, com coeficiente de velocidade Cv = 0,97 e coeficiente de contração Cc = 0,63, situado 2,0 m acima do piso, conforme a figura abaixo. Inicialmente, com uma vazão de 88
alimentação Qe constante, o nível d’água no reservatório mantém-se estável na cota 4,0 m. Nestas condições, determine: a) a vazão Qe; b) a perda de carga no orifício; c) a distância x da vertical passando na saída do orifício até o ponto onde o jato toca o solo (alcance do jato); d) interrompendo-se bruscamente a alimentação, Qe = 0, no instante t = 0, determinar o tempo necessário para o nível d’água no reservatório baixar até a cota 3,0 m.
8) Um vertedor retangular de parede fina com 1,0 m de largura, sem contrações laterais, é colocado juntamente com um vertedor triangular de 90º em uma mesma seção, de modo que o vértice do vertedor triangular esteja 0,15 m abaixo da soleira do vertedor retangular. Determinar: a) a carga no vertedor triangular quando as vazões em ambos os vertedores forem iguais; b) a carga no vertedor triangular quando a diferença de vazão entre o vertedor retangular e triangular for máxima; Utilizar as equações de Thompson e Francis. 9) Em um recipiente de parede delgada, existe um pequeno orifício de seção retangular junto ao fundo e afastado das paredes verticais. Sabendo-se que a perda de carga no orifício é 5% da carga H, determinar a velocidade real e o coeficiente de velocidade Cv. 10) Um reservatório de forma cônica, cuja área superior é S e a área do orifício no fundo é So, tem coeficiente de descarga, supostamente constante, igual a Cq. Qual é o tempo necessário para seu esvaziamento total?
89
Gabarito: 1) H1 = 4,0m; H2 = 1,0 m; Q1 = Q2 = 1,06 L/s 2) H = 1,77m; Q = 1,0 L/s 3) A = 1,2 cm2 4) Y = 1,29; Q = 0,0447 m3 /s 5) Q = 0,0122 m3 /s; y = 1,44 m 6) Q = 1,80 m3 /s; N.A. = 533,10 m 7) a) Qe = 0,77 L/s; b) ∆h = 0,118 m; c) x = 3,88 m; d) t = 16,50 min 8) a) H = 1,31 m; b) H = 0,70 m 9) Vr = 4,315 10) T =
2
; Cv = 0,975 Sh
5 Cq So 2 g h
90
UNIDADE 5 – ESCOAMENTO EM CONDUTOS FORÇADOS SOB REGIME PERMANENTE 5.1. Conceitos 5.1.1 Condutos forçados São aqueles nos quais o fluido escoa com uma pressão diferente da pressão atmosférica, podendo ser maior, como em instalações de linhas de recalque, ou menor, como em instalações de linhas de sucção, ambas pertencentes a projetos de instalações de bombeamento. Os condutos forçados são geralmente circulares e de seção constante (L ≥ 4000D).
5.1.2 Número de Reynolds É a relação existente entre a força de inércia (ou de aceleração) e a força de viscosidade dinâmica. Fi = m a Fv = Aµ Fv A
(115)
∂ V ∂ y
(116)
=T
(117)
em que: Fi = força de inércia; Fv = força de viscosidade dinâmica, F; T = tensão de cisalhamento ou deformação, F.L-2; µ = viscosidade absoluta, que é função da coesão entre as moléculas de fluido, M.L-1.T-1;
[µ] = ML-1T -1 =
Fv ∂ Z A ∂ V
=
F 2
L
L LT
-1
= FL- 2 T
[Fi ] = MLT-2 = ρL3LT-2 = ρL4T-2 2
[Fv ] = µL Re y = Re y =
Fi Fv
LT
-1
L
=
(119)
= µL2 T -1
ρL4 T -2 2 -1
µL T
(118)
(120)
ρL2 T -1 ρLT -1L ρVL = = = µ µ µ
ρVD VD = = L2 T -1 µ ν
(121) (122)
91
ν =
µ ρ
(123)
em que: = viscosidade cinemática, L-2.T-1; ρ = massa específica, M.L-3; L = comprimento característico, que pode ser o diâmetro (D) da tubulação ou o raio hidráulico (Rh) no caso de outras formas geométricas. ν
5.1.3 Viscosidade É a propriedade que determina o grau de resistência do fluido à força cisalhante (deformação). Assim:
NEWTON ⇒ FV ∝ A FV = µA V Y
=
V Y
V Y
dV dY
FV = µA
V ∂ ∂ Y
Como V é dado em função de outras grandezas além de Y, é mais exato do ponto de vista conceitual usar derivadas parciais.
92
5.1.4 Rugosidade interna das paredes dos condutos
Figura 38. Detalhe da rugosidade interna da parede da tubulação.
Sendo: Rugosidade absoluta (ε): valor médio das alturas das irregularidades. ε : relação entre ε e D. D
Rugosidade relativa
5.2. Regimes de escoamento de acordo com o número de Reynolds (Rey) a) Laminar: as partículas do fluido se movem em camadas ou lâminas segundo trajetórias retas e paralelas (isto é: não se cruzam). A força da viscosidade predomina sobre a força de inércia. Para o caso de seções retas circulares, Rey ≤ 2000.
b) Turbulento: as partículas do fluido se movem de forma desordenada, podendo ocupar diversas posições na seção reta (ao longo do escoamento). Para o caso de seções retas circulares, Rey ≥ 4000. A força de inércia predomina sobre a força de viscosidade.
c) Zona de transição ou zona crítica: região em que a perda de carga não pode ser determinada com segurança. O regime de escoamento não é bem definido (2000< Rey <4000).
93
Escoamento permanente: constância das características do escoamento no tempo, em uma seção definida. Aquele em que as grandezas físicas de interesse não variam, com o decorrer do tempo, em um ponto previamente escolhido, do fluido. ∂V ∂ρ ∂P = 0; = 0; =0 ∂t ∂t ∂t
(124)
Escoamento uniforme: quando não há mudança na magnitude e direção das grandezas físicas de interesse ao longo do escoamento para um determinado tempo. ∂ V
=0
∂ t
(125)
Escoamento incompressível : escoamento para o qual a variação de densidade (d) é considerada desprezível, caso contrário o escoamento é dito compressível. O critério para definir esse tipo de escoamento é o número de Mach (M) que exprime a relação entre a raiz quadrada das forças de inércia (Fi) e de compressibilidade (FE), ou seja:
[Fi ] = m a = ρL3 LT -2 = ρL4 T -2
(126)
[FE ] = E A = EL2
(127)
E
ρ
F L-2
=
=
-3
ML E
ρ
M=
MLT -2 L-2 -3
= L2 T -2
(128)
ML
= L2 T -2 = LT -1 = C Fi FE
=
ρL4 T - 2 2
ρ
ρL2 T - 2
=
E
EL
V 2 V = M = E E
ρ
=
V C
(129)
(130)
(131)
em que: P = pressão (kgf.m-2); V = a velocidade média de escoamento (m.s-1); e C = velocidade do som no fluido (celeridade), sendo C = 1425 m.s-1, quando o fluido é a água e C = 340 m.s-1, quando o fluido é o ar. 94
Para M ≤ 0,3 (o que significa uma variação de 2% na densidade), o escoamento pode ser considerado incompressível.
5.3. Perda de Carga 5.3.1 Conceito É um termo genérico designativo do consumo de energia desprendido por um fluido para vencer as resistências do escoamento. Essa energia se perde sob a forma de calor. Para exemplificar, seriam necessários 100 m de tubulação para a água ter um aumento de temperatura de 0,234 ºC.
5.3.2 Classificação Na prática as tubulações não são constituídas apenas por tubos retilíneos e de mesmo diâmetro. Há também as pecas especiais como: curvas, joelhos ou cotovelos, registros, válvulas, reduções, ampliações etc, responsáveis por novas perdas. As perdas se classificam em:
a) Perda de carga contínua ou distribuída ou perda por atrito (h f): ocasionada pela resistência oferecida ao escoamento do fluido ao longo da tubulação. A experiência demonstra que ela é diretamente proporcional ao comprimento da tubulação de diâmetro constante. b) Perda de carga acidental ou localizada ou singular (h a): ocorre todas as vezes que houver mudança no valor da velocidade e/ou direção da velocidade (módulo e direção da velocidade). c) Perda de carga total (ht): ht = hf + ha
(132)
A perda de cara acidental é importante em tubulações curtas; em tubulações longas seu valor é frequentemente desprezado na prática.
95
5.3.3 Perda de carga contínua em condutos de seção constante em regime permanente e uniforme e escoamento incompressível Existem muitas fórmulas para o calculo da perda de carga contínua. Neste curso serão abordadas apenas as mais difundidas, ou seja: a) Fórmula racional ou universal; b) Fórmula de Hazan – Willians; c) Fórmula de Flamant; d) Fórmula de Fair – Whipple – Hisiao; e) Fórmula para tubos de PVC; f) Fórmula de Darcy – Weisbach. As fórmulas mencionadas acima, com exceção da formula racional ou universa, são as chamadas fórmulas práticas. 5.3.3.1 Fórmula racional ou universal A fórmula racional ou universal (Equação 133) pode ser utilizada para qualquer tipo de fluido e é valida para qualquer regime de escoamento, sendo laminar ou turbulento.
hf = f
L V2 D 2g
(133)
em que: hf = perda de carga contínua (L); f = fator de atrito; L = comprimento retilíneo de tubulação (L); D = diâmetro da tubulação (L); V = velocidade de escoamento (L.T-1); e g = aceleração da gravidade (L.T-2) A fórmula universal pode ser escrita sob a forma: hf L
= J = f
1 V
2
D 2g
(134)
96
em que: J = perda de carga unitária (L.L-1), ou seja, a perda de carga que ocorre em um metro de tubulação. Por exemplo: para o valor de perda de carga unitária (J) igual a 0,0052 m.m-1 significa que em um metro de tubulação ocorreu uma perda de carga (hf) de 0,0052 m. A perda de carga unitária pode ser definida como a tangente do ângulo de inclinação da linha piezométrica, quando a tubulação for horizontal e de seção constante, como mostra a Figura 39.
Figura 39. Tubulação horizontal e de seção constante com piezômetros instalados.
Como se evidencia na Figura 39, tem-se:
tgθ =
hf L
=J
(135)
A maior dificuldade no uso da fórmula universal para o cálculo da perda de carga consiste no conhecimento do valor do coeficiente de atrito f. 5.3.3.1.1 Resistência das paredes internas do conduto ao escoamento
Para um melhor entendimento da determinação do valor de f é imprescindível o estudo da resistência das paredes internas do conduto ao escoamento. Sabe-se que para Rey ≤ 2000, o regime de escoamento é laminar (no caso de tubos de seção reta circular) e quando Rey ≥ 4000, o escoamento é dito turbulento. Mesmo no escoamento turbulento ainda persiste junto às paredes internas da tubulação uma película laminar que exerce grande influencia sobre o escoamento. A espessura dessa película pode ser calculada pela expressão devida a Prandtl:
97
β=
32,5D Re y f
(136)
em que: β = espessura da película laminar.
Nota-se que quanto maior o valor do número de Reynolds (Rey), menor é a espessura da película laminar. Relacionando-se o valor de β com a rugosidade absoluta (ε) pode-se dizer que: se β for suficiente para cobrir as asperezas ε, o escoamento é dito turbulento de parede lisa (Figura 40); se β for da ordem de grandeza de ε, o escoamento passa a ser chamado de turbulento de
parede intermediária ou turbulento de transição ( Figura 41); e caso β seja menor que ε, o escoamento é dito turbulento de parede rugosa ou francamente turbulento (Figura 42).
Figura 40. Detalhe da parede lisa ( β ≥4ε) de uma tubulação. Sendo f = f1 (Rey).
Figura 41. Detalhe da parede de rugosidade intermediária (ε /6 <β < 4ε) de uma tubulação. Sendo f = f 2 (Rey, ε /D).
98
Figura 42. Detalhe da parede rugosa ( β ≤ 4ε) de uma tubulação. Sendo f = f 3 (ε /D).
É interessante ter em mente que β decresce com o aumento do valor de Rey. Por isso, um tubo pode-se comportar como liso para um fluido e rugoso para outro. Ainda para um mesmo fluido, um tubo pode se comportar como liso nas baixas velocidades e rugoso nas altas velocidades. 5.3.3.1.2 Determinação do coeficiente de atrito (f) da fórmula universal para condutos comerciais
O coeficiente de atrito pode ser representado graficamente conforme a Figura 43 de acordo com a proposta de Nikuradze.
Figura 43. Gráfico de valores do coeficiente de atrito (f) em função do número de Reynolds (Rey) e da rugosidade relativa (Ɛ /D).
99
No gráfico apresentado na Figura 43 pode-se identificar três regiões distintas:
Região I: regiões de escoamento laminar (Rey ≤ 2000); o coeficiente de atrito é calculado de acordo com Poiseuille (Equação 137). Por meio da equação, o valor de f pode ser calculado para qualquer que seja a rugosidade relativa Ɛ /D.
f =
64
(137)
Re y
Região II, III, IV: regiões de escoamento turbulento (Rey ≥ 4000), sendo o valor de f calculado por: ε / D 2,51 = −2 log + f 3,71 Re y f
1
(138)
A equação (138) foi obtida por Colebrook e White através da aplicação da teoria da turbulência e comprovada por experimentação.
Região II: região de escoamento turbulento de parede lisa, em que f = f(Rey) e independente de ε /D. Portanto pode-se usar na expressão de Colebrook e White, desprezando-se o primeiro termo entre parênteses. Desta forma: 1 f 1 f
= -2 log
2,51 Re y f
= −2 log 2,51 + 2 log(Re y f )
(139)
= 2 log(Re y f ) − 0,8
A equação (139) é conhecida como expressão de Prandtl e é válida para 104 ≤ Rey ≤ 3,4.106. ε
Região III: região de escoamento turbulento de parede intermediária, em que f = f (Re y, ) . Para
D
esta situação, a fórmula de Colebrook e White representada na equação (138) deve ser utilizada e é válida para 14<
ε D
Re y f < 200.
100
Região IV: região de escoamento de parede rugosa ou de escoamento francamente turbulento em que f = f(ε /D) e independente de Rey. Portanto pode-se usar a expressão de Colebrook e White (equação 138), desprezando-se o segundo termo entre parênteses. Com efeito: 1 f 1 f
= -2 log(
= - 2log
ε / D 3,71
ε D
) = - 2log
ε D
+ 2 log 3,71
(140)
+ 1,1387
A equação (140) é conhecida como expressão de Nikuradze. Para simplificar a solução das equações anteriores, o Prof. Podalyro elaborou fluxogramas que levam o seu nome (Fluxogramas de Podalyro), cujo uso é bastante simplificado. Esses fluxogramas foram implementados com base nas equações apresentadas anteriormente para o cálculo do fator de atrito f (Figuras 4A, 4B e 4C do Apêndice 4). 5.3.3.2 Fórmula de Hazen-Willians Para aplicação desta fórmula algumas restrições são feitas: a) A água sob escoamento deve estar à temperatura ambiente; b) As tubulações devem ter diâmetro maior ou igual a 2”ou 50 mm, o que indica que o escoamento é turbulento de paredes rugosas o completamente turbulento; c) O escoamento deve ser turbulento. A maioria dos problemas de natureza prática são turbulentos, quando o fluido é a água. A fórmula Hazen-Willians é descrita pela equação (141). 1,825
Q h f = 10,646. 4,87 . D C L
(141)
em que: hf = perda de carga contínua, m; L = comprimento retilíneo de tubulação, m; D = diâmetro, m; Q = vazão, m3 s-1; e
101
C = coeficiente de Hazen-Willians, que depende da natureza (material e estado de conservação) das paredes dos tubos e está intimamente relacionado com ε /D e independente de Rey para D ≥ 50 mm (Tabela 4D do Apêndice 4). 5.3.3.3 Fórmula de Flamant
a) b) c) d)
Para a aplicação desta fórmula existem algumas limitações, que são: Uso para instalações domiciliares (prediais); Aplicável a tubulações com diâmetro entre 12,5 e 100 mm. Aplicável para escoamento de água à temperatura ambiente; e Mais utilizada para tubos de ferro e aço-galvanizado. A fórmula de Flamant é apresentada na equação (142):
h f = 6,11.b.
L D
4, 75
.Q1, 75
(142)
em que: hf = perda de carga contínua, m; L = comprimento retilíneo de tubulação, m; D = diâmetro, m; Q = vazão, m3 s-1; b = coeficiente de Flamant. Na Tabela 5 estão apresentados alguns valores de coeficiente de Flamant em função do material do conduto. Tabela 5. Valores de alguns coeficientes de Flamant
Material do tubo Ferro fundido ou aço em serviço (usado acima de 10 anos) Ferro fundido ou aço ou canalização de concreto (novo) Chumbo Cimento amianto Plástico
102
b 0,00023 0,000185 0,000140 0,00062 0,000135
5.3.3.4 Fórmulas de Fair-Whipple-Hisiao (recomendadas pela ABNT) As limitações à sua aplicação são: a) Usada para encanamentos de diâmetro entre 12,5 e 100 mm, ou seja, para instalações domiciliares (prediais); e b) Aplicável a escoamento de água. As fórmulas indicadas pela ABNT são apresentadas a seguir de acordo com o tipo de material do tubo. 5.3.3.4.1 Para tubos de aço ou ferro galvanizado conduzindo água em condições normais (20°C)
Q = 27,113D 2,6 J 0,53
(143)
em que: Q = vazão, m3s-1; D = diâmetro, m; e J = perda de carga unitária, m.m-1; 5.3.3.4.2 Para tubos de cobre ou latão
Para a situação de condução de água quente, tem-se: Q = 63,281D 2,71J 0,57
(144)
Para a situação de condução de água fria, tem-se: Q = 55,934D 2,71J 0,57
(145)
5.3.3.5 Fórmulas para tubos de PVC 5.3.3.5.1 Para 3 x 10 -3 < Rey < 1,5 x 10 5
J = 5,37.10 -4 D -1,24 V1,76
(146)
103
A equação (146) é usada para água à temperatura ambiente. 5.3.3.5.2 Para 1,5 x 10 5 < Rey < 10 6
J = 5,79.10 -4 D -1,20 V1,80
(147)
A equação (147) também é usada para água à temperatura ambiente. 5.3.3.6 Fórmulas de Darcy-Weisbach
h f = f
LV
2
(148)
D 2g
em que: f = coeficiente de atrito tabelado para tubos de concreto, ferro fundido e aço de diâmetros acima de 13 mm (1/2”), conduzindo água fria. 5.3.3.7 Conclusões a respeito da perda de carga contínua Pode-se concluir com relação a perda de carga contínua: a) b) c) d)
É diretamente proporcional ao comprimento da canalização; É inversamente proporcional a uma potencia do diâmetro; É proporcional a uma potencia da velocidade; É variável com a natureza das paredes (material e estado de conservação), no caso de regime turbulento. No caso de regime laminar depende apenas de Rey; e) Independe da posição do tubo; e f) Independe da pressão interna sob a qual o líquido escoa.
5.3.4 Perda de carga acidental Estas perdas, também conhecidas como localizadas, singulares ou secundárias, ocorrem sempre que haja mudança no módulo e, ou na direção da velocidade. Uma mudança no diâmetro (ou na seção do escoamento) implica uma mudança na grandeza da velocidade. Estas perdas ocorrem sempre na presença das chamadas peças especiais, ou seja, curvas, válvulas, registros, bocais, ampliações, reduções etc.
104
Se a velocidade for menor que 1 m.s-1 e o número de peças for pequeno, as perdas acidentais podem ser desprezadas. Também podem ser desprezadas quando o comprimento for maior ou igual a 4000 vezes o seu diâmetro. No caso de trabalhos de pesquisa, elas devem ser sempre consideradas. 5.3.4.1 Método dos comprimentos virtuais ou equivalentes O método consiste em adicionar à canalização existente, apenas para efeito de cálculo da perda de carga, comprimentos de tubo (de mesmo diâmetro que o da canalização existente) que causaria a mesma perda de carga na peça especial (Figura 44).
Figura 44. Esquema de reservatório e tubulação dotada de peças especiais.
Na Figura 44 o valor de L4 representa o comprimento virtual da canalização responsável pela mesma perda de carga que as peças especiais existentes ao longo da tubulação. Desse modo, o cálculo passa a ser feito com uma das fórmulas já vistas para a perda de carga contínua. O comprimento virtual é dado em tabelas e é função apenas das peças e do diâmetro da mesma (Tabela 4E do Apêndice 4).
105
5.3.4.2 Método dos diâmetros equivalentes Nesse caso, o comprimento virtual (LV) de casa peça especial é calculado a partir da equação (149). LV = n.D
(149)
em que: n = número de diâmetros tabelado em função do tipo de peca especial (Tabela 4F do Apêndice 4), adimensional; e D = diâmetro da peça especial, m. A perda de carga acidental é novamente calculada por uma das fórmulas de perda de carga contínua.
Exercícios 1. A tubulação da figura abaixo é de PVC e tem diâmetro de 200 mm. Determinar a vazão, adotando f = 0,024.
Solução: Aplicando a equação da energia entre os pontos (0) e (4):
106
P0
γ
+
V0
2
2g
P4
+ Z0 =
V4
+
γ
+ Z 4 + h f (0-4) + h a (0-4)
2g
0 + 0 + 30,5 = 0 +
V4
2
2g
V4
9,5 =
2
+ 21,0 + f
2
2g
(1 + f
LV D
L V V4
2
D 2g
)
O cálculo de LV é dado por: LV = L + ∑LF O valor do comprimento fictício, utilizando o Método dos Comprimentos Equivalentes é calculado consultando a Tabela E4 do Apêndice. Ou seja: - Entrada normal: 1 un x 3,5 = 3,5 m - Cotovelo 90°: 2 un x 5,5 = 11,0 m - Saída livre: 1 un x 6,0 = 6,0 m - ∑LF = 20,5 m O comprimento virtual será: LV = L + ∑LF = 120 m + 20,5 = 140,5 m Desta forma:
9,5 =
V4
2
2g
(1 + 0,024
140,5 0,200
)
V4 = 3,23 m.s-1
Como V4 > 1 m.s-1, então as perdas acidentais devem ser consideradas. Q=
πD 2 4
V=
π0,2 2 4
.3,23 = 0,102 m3s-1= 102 L.s-1
OBS: Se considerássemos escoamento ideal teríamos: 30,5 =
Vth
2
2g
+ 21
Vth = 13,65 m.s-1 107
Q th =
πD 2 4
Vth =
π0,2 2 4
.13,65
Q th = 0,428 m3s-1= 428 L.s-1
Isto mostra que a perda de carga é importante e deve ser considerada. 2. O projeto de uma linha adutora ligando dois reservatórios previa uma vazão de 250 L.s-1. A adutora medindo 1300 m de comprimento foi executada em tubos de concreto com acabamento comum e diâmetro de 600 mm. Colocando em funcionamento, verificou-se que a vazão era de 180 L.s-1 devido a alguma obstrução deixada em seu interior, por ocasião da construção. Calcular a perda de carga provocada pela obstrução (usar fórmula de Hazen-Willians), desprezando as demais perdas acidentais.
Equação da energia entre (0) e (1):
P0
γ
+
V0
2
2g
+ Z0 =
P4
γ
+
V1
2
2g
+ Z1 + h f (0-1)
0 + 0 + H = 0 + 0 + 0 + h f ( 0-1) H = h f (0-1)
108
Pela fórmula de Hazen-Willians: V = 0,355.C.D 0, 63 J 0,54 V= 4Q
πD 2
Q A
=
4Q
πD 2
= 0,355C 0,63 J 0,54
J 0,54 =
4Q 0,355.π.C.D 2,63
Não considerando obstrução: 1 / 0,54
4.0,25 J = 0,355.π.120.0,6 2,63
= 1,39.10 -3 m.m-1
H1 = hf1 = J1L = 1,39. 10-3.1300 = 1807 m Considerando obstrução: 4.0,18 J = 0,355.π.120.0,6 2,63
1 / 0,54
= 7,56.10 -4 m.m-1
H2 = hf2 = J2L = 5,56. 10-4.1300 = 0,983 m A perda acidental será, portanto: ha = 1,807 – 0,983 = 0,824 m
OBS: •
o estudante deverá fazer este problema usando as demais fórmulas para avaliar a diferença nos resultados; e
•
a energia disponível (H) passou de 1,807 m para 0,983 m
109
3. Uma canalização de tubos de ferro fundido novo (ε = 0,26 mm) com diâmetro de 250 mm é alimentada por um reservatório cujo nível da água situa-se na cota de 1920 m. Calcular a vazão e a pressão no ponto E de cota 1750 m, distante 1500 m do reservatório, sabendo-se que a descarga se faz livremente na cota 1720 m. Use a fórmula Universal e de Hazen-Willians.
Dados: L1 = 1500 m L2 = 1000 m D = 0,250 m f = 0,03 Q=? PE = ? L = L1 + L2
Solução: Uso da fórmula universal 3.1) Cálculo da Vazão
P0
γ
+
V0
2
2g
+ z0 =
P1
γ
0 + 0 + 1920 = 0 +
+
V 2
2g
V1
2
2g
+ z1 + h f (0−1)
+ 1720 + f
V 2 2500.0,03 200 = 1 + 2g 0,250
200 =
V2 2g
110
(301)
L V 2 D 2 g
V2 =
200.2.9,81
⇒
301
V = 3,61 m / s
Desta forma:
Q=
π D2
V=
4
π x 0,25 2 4
x 3,61
Q = 0,177 m3s-1 = 177 L.s-1 3.2) Cálculo de pE: P0
γ
+
V0
2
2g
+ z0 =
0 + 0 + 1920 =
PE
γ
+
PE
γ
PE
γ
+
3,612 2g
VE
2
2g
+ z E + h f (0−E )
+ 1750 + 0,03
1500 3,612 0,25 2g
= 49,78 m.c.a
Uso da fórmula de Hazen - Willians Neste caso muda apenas a maneira de calcular hf e.3) Cálculo da vazão
200 =
V2 2g
+ h f ( 0 − 1)
(150)
V = 0,355 C D0,63 J0,54 Do Apêndice 4: C = 130 V = 0,355 x 130 x 0,250,63 J0,54
111
1
0,54 V V1,852 ≅ J= 0,355 x 130 x 0,25 0,63 240
hf = J L =
2500 V1,852 240
= 10,43 V1,852
(151)
Substituindo a equação (151) em (150), tem-se:
200 =
V2 2g
+ 10,43 V1,852
(152)
Fazendo a primeira aproximação
V2 2g
= 0 encontra-se V = 4,93 m.s-1, que substituída na
equação (152), fica: 200 = 1,24 + 200,18
(153)
ou seja, ainda não há igualdade entre os termos. Adotando V = 4,92 m.s-1, e substituindo novamente na equação (152), tem-se 200 ≅ 200,80 então a igualdade foi atingida.
Q=
π x 0,25 2 4
x 4,92 = 0,241 m3.s-1 = 441 L.s-1
112
5.4. Conduto com uma tomada intermediária Seja a situação apresentada na Figura 44:
Figura 44. Esquema de reservatório e tubulação com tomada de água intermediária.
Se q = 0, ou seja, para a situação em que não há sangria, a perda de carga total seria (desprezando as perdas acidentais e V2 /2g na saída): L V2
hf = f
D 2g
V=
4Q
π D2
Logo: h f =
L
16 Q 2
D 2g π 2 D 4
=K
Q2 D
5
L=K
Q2 D
5
(L1 + L 2 )
em que: K= No entanto, para q ≠ 0, tem-se:
113
16 f
π 2 . 2g
(154)
h f 1 = K
(Q a + q )2
h f 2 = K
D
5
Qa
2
D
5
L1
(155)
L2
(156)
Substituindo (154), (155) e (156) em hf = hf1+hf2, vem:
K
Q
2
D5
(L1 + L 2 ) = K
(Q a + q )2 D5
2
Q L1 + k a L 2 D5
Q2 (L1 + L2) = (Qa + q)2 L1 + Qa2 L2 Q2 (L1 + L2) = Qa2 L1 + 2 qQa L1 + q2 L1 + Qa2 L2 Q2 (L1 + L2) = (L1 + L2) Qa2 + 2q L1 Qa + q2 L1 2q L1
2 Qa +
− Qa =
2 q L1 L1 + L 2
Qa = −
Q a = −q
L1
L1 + L 2
2 Qa + q
L1 L1 + L 2
4 q 2 L1
+
2
L2
− 4 q2
− Q2 = 0
L1 L
+ 4 Q2
2
2 q L1
2 L1
2L
+
2 2
2 L1
L
+ Q2 − q2 1 L L
q
2
2
L
+ q + Q2 − q2 1 L L L
A equação (157) é válida para condutos com uma tomada intermediária.
114
(157)
5.5. Conduto com distribuição em marcha ou condutos com distribuição em percurso ou condutos com serviço em trânsito
Figura 45. Esquema de reservatório e tubulação com distribuição em marcha.
Seja o conduto indicado na Figura 45, no qual o escoamento se faz com vazão variável e diâmetro da tubulação constante. Consideremos um trecho de comprimento elementar dx, distante x da seção inicial. Nesse comprimento elementar dx, pode-se considerar a vazão constante, de forma que a perda de carga elementar (em dx) pode ser calculada por:
d hf = f
dx V
2
D 2g
= f
dx 16 Q ( x ) 2
2
2
D π D 2g
= K Q ( x ) 2 dx
(158)
É bom salientar que a vazão (Q) é constante no trecho elementar dx, mas é uma função de x, logo, Q = f(x), ao longo do comprimento da tubulação (L). A integral de (158) ao longo de L é: L
2
h f = K ∫ Q ( x ) dx
(159)
0
A solução do problema consiste no conhecimento da função Q2(x). Na prática o que se faz é admitir uma distribuição de vazão linear ao longo do conduto, ou seja: a vazão qm se distribui uniformemente em cada metro linear do tubo. 115
Observando a Figura 45, temos no trecho elementar dx: Q(x) = QM – qm x ou Q(x) = QJ + (L – x) qm
(160) (161)
Comparando (160) com (161), encontra-se: Q M − q m x = Q j + q m L − q m x Q M − Q j = q m L
(162)
Substituindo (160) em (159), encontra-se: L
L
hf = k
∫ (QM – qmX)
2
dx = K
0
∫
(QM2 – 2 QM qmX + qm2x2) dx
0
L
3 x2 2 2 x h f = K Q M x − 2 Q M q m + qm 2 3 0 2 2 2 L 2 h f = K Q M L − Q M q m L + q m 3 2 2 2 L h f = K L Q M − Q M q m L + q m 3
Se substituirmos
qm2
2
L
3
por
e = qm
2
qm2
L2 3
(163)
2
L
4
, o erro relativo (e) será:
− qm
2
L2 3
= qm
2
4L2 − 3L2 12
= qm
2
L2 12
em compensação transformamos a expressão dentro do colchete em um trinômio quadrado perfeito. Então: 2 2 L L 2 2 = K L Q M − q m h f = K L Q M − Q M q m L + q m 4 2
116
(164)
OBS.: 2
q m L2
2
q m L2
•
quando se faz
•
quando se admite qm constante ao longo da tubulação está se introduzindo um acréscimo em hf, ou seja, uma observação “compensa” a outra.
3
=
está se introduzindo uma diminuição em hf; e
4
Substituindo (162) em (164), tem-se: 2
Q − Q J 2 Q M − Q M + Q J h f = K L Q M − M =KL 2 2
2
2
Q + Q J h f = K L M 2
Fazendo:
QM + QJ 2
(165)
= Q f
em que: Qf = vazão fictícia, m3s-1. E ainda.
K=
16 f
π 2 2g D 5
=
8 f
π 2 g D5
E substituindo na equação (165), encontra-se: h f =
16
π 2 .2g
f
L D5
Q f 2 =
8 f L
π 2 . g D5
Q f 2
Tudo se passa como se a tubulação transportasse uma vazão constante (Qf), que é a média aritmética das vazões de montante e jusante. Basta, portanto nesse tipo de problema, trabalhar com Qf e qualquer uma das fórmulas de perda de carga contínua já vistas para escoamento permanente.
117
Exercícios: a) No encanamento da figura a seguir os trechos AB e EF são virgens. O trecho intermediário BE distribui em marcha 20 L.s-1 e o EF conduz ao reservatório 5 L.s-1. Quais os diâmetros destes trechos se as pressões em B e E são 55 m.c.a e 5,7 kgfcm -2 respectivamente? (Usar a fórmula de Hazen-Willians para C = 100).
Solução: P1
γ
+
V1
2
2g
PB
+ z1 =
γ
0 + 0 + 320 = 55 + Sendo
VB
+
VB
VB
2
2g
+ z B + h f (1 − B)
2
2g
+ 260 + h f (1 − B)
2
2g
desprezível, tem-se:
h f (1 − B) = 5 m.c.a.
Diâmetro do trecho AB Q1 = Q2 + Q3 = 20 + 5 = 25 L.s-1 = 0,025 m3 s-1 h f (1 − B) = 5 m.c.a
h f (1 B) = J1 L1
h 5 m.m-1 J1 = f = L1 850 118
V1 = 0,355 C D1
Q1 =
π D12 4
V1 =
π
0,025 =
D1
2,63
0,63
J10,54 = π D12 4
0,355 x 100 x
0,355 x 100 x
x 0,355 x 100 x D1
4
= 1,44 x 10
2
D10,63
0,63 D1
5 850
2,63
5 850
(
= 1,44 x 10
∴ D1
5 850
0,54
0,54
0,54
1 2 2,64
)
D1 ≅ 0,200m ≅ 200mm -1
Como V1 = 0,80 L.s , logo,
V B
2
=0,032 m, isto significa que
2g
VB
2
2g
pode ser desprezado.
Diâmetro do trecho EF PE
γ
+
VE
2
2g
+ zE =
P2
γ VE
+
V2
2
2g
=
2
+ z 2 + h f ( E
2g V2
2)
2
=0
2g
57 + 0 + 250 = 0 + 0 + 300 + h f (E − 2) h f ( E − 2) = 7 m
Q3 = 0,005 m3 s-1 J3 =
Q3 =
D 3 2,63 =
π 4
h f ( E −2) L3
0,355 C D 3
=
7
m.m-1
815
2,63
J3
0,54
4 x 0,005
7 π x 0,355 x 100 x 815
119
0,54
= 0,005
= 2,342 x 10 −3
D3 ≅ 0,100 m ≅ 100 mm
Diâmetro do trecho BE PB
γ
+
VB
2
PE
+ zB =
2g
+
γ VB
VE
+ z E + h f ( B − E )
2g
2
=
2g
2
VE
2
2g
=0
55 + 260 = 57 + 250 + h f ( B − E ) h f ( B − E ) = 8 m.c.a.
Q f =
QM + QJ 2
=
Q1 + Q 3 2
J2 =
Q f = 0,015 =
π 4
=
25 + 5 2
h f ( B - E ) L2
=
= 15 l L.s-1 = 0,015 m3 s-1
8 870
m.m-1
x 0,355 x 100 x D 2
2,63
8 x 870
0,54
D2 ≅ 0,150 m ≅ 150 mm b) O trecho de uma tubulação com serviço em trânsito mede 100 m. A vazão fictícia é 4 L.s-1. Sabendo-se que a vazão da extremidade de jusante é de 3 L.s-1, pede-se a vazão distribuída em marcha (qm).
Solução: L = 100 m Qf = 4 L.s-1 QJ = 3 L.s-1 qm = ? Qf =
QM + QJ 2
QM = QJ + qm L 4=
QM + 3
⇒
2 120
QM = 5 L.s-1
5 = 3 + 100 qm qm =
2
qm = 0,02 L.s-1.m-1
100
5.6. Condutos em equivalentes Um conduto é equivalente a outro ou a outros quando transporta a mesma vazão, com a mesma perda de carga total. Devem-se considerar dois casos: •
Condutos em série: as perdas de cargas se somam para uma mesma vazão.
•
Condutos em paralelo: as vazões se somam para uma mesma perda de carga.
5.6.1. Condutos em série
Figura 46. Esquema de condutos em série. Desprezando-se as perdas de carga acidentais, a linha de carga piezométrica pode ser representada como apresentado na Figura 46. Desta forma, quanto menor o diâmetro, maior a perda de carga (para uma mesma Q) e maior também a inclinação da linha piezométrica. O problema consiste em substituir a tubulação na Figura 46 por uma equivalente, de um único diâmetro, ou seja:
121
Figura 47. Esquema de conduto equivalente.
Utilizando-se da fórmula universal de perda de carga, pode-se escrever: a) Para o conduto em série: h f = f 1 1
L1 V1
2
= f 1
D1 2g L2
h f = K f 2 2 h f K f 3 3
D2
L3 D3
5
L1
16 Q 2
D1 π 2 D 4 2g 1
=
16 Q 2 2
π . 2q
f 1
L1 5 D1
= K f 1
L1 5 D1
5
(166)
(167)
(168)
b) Para o conduto equivalente (de diâmetro único): h f = K f
L D
5
(169)
Sendo que: h f = h f + h f + h f 1 2 3
(170)
Substituindo as equações (166) a (169) na equação (170), encontra-se: K f
L D
5
= K f 1
L1 5
D1
+ K f 2
L2 D2
5
+ K f 3
L3 D3
5
ou generalizando:
122
L
f
D
5
= f 1
L1
+ f 2
5 D1
L2 D2
5
+ f 3
L3 D3
5
+ ... + f n
Ln Dn
5
(171)
Se em lugar da fórmula universal, fosse usada a de Hazen-Willians, teríamos: L 1,85
C
D
4,87
=
L1 1,85 C1
D1
4,87
+
L2 1,85 C2
D2
4,87
Ln
+ ... + Cn
1,85
Dn
4,87
(172)
5.6.2. Condutos em paralelo
Figura 48. Esquema de condutos em paralelo.
h f = f
2
Q =
L V2 D 2g
= f
h f D 5
Q1 =
Q2 =
16 Q 2
L
D π 2 D 4 2g
Q=
⇒
L K1f
= K1f
L Q2 D
5
5
h f
D
K1
f L
(173)
5
h f
D1
K1
f 1 D1
h f
D2
K2
f 2 D 2
(174)
5
(175)
Como:
123
Q = Q1 + Q2
(176)
Substituindo as equações (173), (174), (175) em (176), tem-se: D5 f L
5
D1
=
D2
+
f 1 L1
5
f 2 L 2
(177)
Para a fórmula de Hazen-Willians: C
D
2,63
0,54
L
= C1
D1 L1
2,63
+ C2
0,54
D2
2,63
L2
0,54
(178)
Exercícios: a) Na figura a seguir pA = 7,4 kgf.m-2 e para todos os tubos f = 0,03. Qual a pressão em B, desprezando-se as perdas localizadas ou acidentais?
Solução: As tubulações E e F estão em paralelo. Para se saber a pressão em B, tem-se que conhecer a perda de carga que ocorre nessas duas tubulações (no caso, tanto faz percorrer A E B ou A F B, que a perda será a mesma). O problema fica mais simples, se substituirmos as tubulações A E B e A F B por uma única equivalente. O esquema ficaria assim: Q = 500 L.s-
Q = 500 L.s-
D, L, f=0,03
B
A
Tubulação substitutiva das duas anteriores
D5 f L
5
=
D1
f 1 L1 124
+
D2
5
f 2 L 2
f = f1 f2 D
5
L
=
0,300
5
+
600
0,500
5
475
= 8,245 x 10 –3
D5 = 6,8 x 10 –5 L Nesse caso devemos admitir um valor ou para L ou para D; admitindo para D = 400 mm (poderia ser outro valor), vem: L =150 m h f = 0,03
150
2
4 .0,5
2
0,400 π 2 0,400 4 2g
= 9,08 m
Portanto, pB = pA – hf(A – B) = 74 – 9,08 pB = 64,92 m
Se admitíssemos: D = 500 mm L ~ 460 m h f = 0,03
460
2
4 0,500
2
0,500 π 2 0,5 4 x 2g
hf = 9,1 m pB = pA – h f A − B = 64,90 m b) Sendo de 1,20 m.s-1 a velocidade no trecho de comprimento L1 do sistema de tubulações da figura a seguir, determinar a diferença de nível H (C = 120).
125
Os comprimentos L1 e L2 estão em paralelo, assim como os comprimentos L4 e L5. Vamos transformá-los em um comprimento, a ser calculado, de um único diâmetro; o mais simples é transformá-los no diâmetro de 450 mm = D3. Com efeito: Para os trechos L1 e L2: C
0,45
2,63
0,54
L
= C1
0,200 305
2,63
0,54
0,300
+ C2
305
2,63
0,54
Como: C = C1 = C2 0,45 2,63 0,54
=
L
5,67 x 10 305
−2
ou
0,54
L0,54 = 47,41
L0,54 0,45
263
305 0,54
=
5,67 x 10
L = 1270 m para
Para os trechos L4 e L5: 0,452,63 L6
0,54
L6
=
0,32,63 610
0,54
0,45 2,63
=
0,54
+
0,32,63
610 0,54 2 x 0,3 2,63
126
0,54
610
−2
D = 0,450 m
L 610 L 610
=2
0,54
=
1 0,45
2,63
= 1,452
2 0,30
L = 1220 m
para D = 0,450 m
Então, o sistema de tubulações da figura anterior, é equivalente ao:
H = hf = J L V = 0,355 C D0,63 J0,54 Precisamos conhecer a vazão que circula pela tubulação. No esquema fornecido, observe que a perda de carga para L1 e L2 é a mesma (as tubulações estão em paralelo). Então: Para L1: V1 = 0,355 C D10,63 J10,54 1,20 = 0,355 x 120 x 0,2000,63 J10,54 J1 = 8,8 x 10 –3 m.m-1 h f 1 = J1 L1 = 8,8 x 10 –3 x 305 = 2,684 m
Para L2 h f 2 = h f 1 = J2 L2
J2 =
2,684 305
= 8,8 x 10 –3 m.m-1
V2 = 0,355 x 120 x 0,3000,63 (8,8 x 10 –3)0,54 = V2 = 1,549 m.s-1 Portanto a vazão que circula por todo o sistema é: 127
Q=
π x 0,2 2 4
x 1,20 +
π x 0,3 2 4
x 1,549
Q = 0,147 m3 /s
Utilizando o conduto equivalente (D = 0,450 m e L = 2795 m), V=
4Q
πD
2
=
4 x 0,147
π x 0,45
2
= 0,925 m.s-1
0,925 = 0,355 x 120 x 0,450,63 J0,54 J = 2,11 x 10 –3 m.m-1 H = hf = J L = 2,11 x 10 –3 (1270 + 305 + 1220) H ≅ 5,90 m
5.7. Exercícios de Fixação OBS: As respostas são aproximadas! 1) Determine o diâmetro de uma adutora, por gravidade, de 850 m de comprimento, ligando dois reservatórios mantidos em níveis constantes, com diferença de cotas de 17,5 m, para transportar uma vazão de água (Ʋ = 1,01 x 10-6 m2 /s) de 30 L/s. Material da tubulação, aço galvanizado com costura novo, Ɛ = 0,15 mm. 2) Em uma adutora de 150 mm de diâmetro, em aço soldado novo Ɛ = 0,10 mm, enterrada, está ocorrendo um vazamento. Um ensaio de campo para levantamento de vazão e pressão foi feito em dois pontos, A e B, distanciados em 500 m. No ponto A, a cota piezométrica é de 657,58 m e a vazão, de 38,88 L/s, e no ponto B, 643,43 m e 31,81 L/s. A que distância do ponto A deverá estar localizado o vazamento? Repita o cálculo usando a fórmula de Hazen-Willians. 3) A ligação entre dois reservatórios, mantidos em níveis constantes, é feita por duas tubulações em paralelo. A primeira com 1500 m de comprimento, 300 mm de diâmetro, com fator de atrito f = 0,032, transporta uma vazão de 0,056 m3 /s de água. Determine a vazão transportada pela segunda tubulação, com 3000 m de comprimento, 600 mm de diâmetro, e fator de atrito f = 0,024. 4) Dois reservatórios, mantidos em níveis constantes, são interligados em linha reta através de uma tubulação de 10 m de comprimento e diâmetro D = 50 mm, de PVC rígido, como mostra o esquema da figura abaixo. Admitindo que a única perda de carga localizada seja devido à presença de um 128
registro de gaveta parcialmente fechado, cujo comprimento equivalente é Le = 20,0 m, e usando a equação de Hazen-Willians, adotando C = 145, determine a vazão na canalização supondo que o registro esteja colocado no ponto A.
5) Em um ensaio de perda de carga de uma luva de redução de 2” x 1 ½”, o comprimento equivalente da peça, em relação ao tubo de menor diâmetro (1 ½”), foi determinado igual a 0,38 m. Assumindo, por simplificação, que o coeficiente de atrito f para os dois tubos seja o mesmo, determine o comprimento equivalente da luva em relação ao diâmetro de montante (2”). 6) Sabendo-se que as cargas de pressão disponíveis em A e B são iguais e que a diferença entre as cargas de pressão em A e D é igual a 0,9 mca, determine o comprimento equivalente do registro colocado na tubulação de diâmetro único, assentada com uma inclinação de 2°em relação a horizontal, conforme a figura abaixo.
7) Um sistema de distribuição de água é feito por uma adutora com um trecho de 1500 m de comprimento e 150 mm de diâmetro, seguido por outro trecho de 900 m de comprimento e 100 mm de diâmetro, ambos com o mesmo fator de atrito f = 0,028. A vazão total que entra no sistema é 0,025 m3 /s e toda água é distribuída com uma taxa uniforme por unidade de comprimento q (vazão de distribuição unitária) nos dois trechos, de modo que a vazão na extremidade de jusante seja 129
nula. Determine a perda de carga total na adutora, desprezando as perdas localizadas ao longo da adutora.
8) Por uma tubulação de 27” de diâmetro e 1500 m de comprimento, passa uma vazão de 0,28 m3 /s de água. Em uma determinada seção, a tubulação divide-se em dois trechos iguais de 18” de diâmetro, 3000 m de comprimento, descarregando livremente na atmosfera. Em um destes trechos, toda a vazão que entra na extremidade de montante é distribuída ao longo da tubulação, com uma vazão por unidade de comprimento uniforme e, no outro, metade da vazão que entra é distribuída uniformemente ao longo do trecho. Adotando para todas as tubulações um fator de atrito f = 0,024 e supondo que todo o sistema está em um plano horizontal, determine a diferença de carga entre as seções de entrada e a saída. Despreze as perdas singulares. 9) O sistema de distribuição de água mostrado na figura abaixo tem todas as tubulações do mesmo material. A vazão total que sai do reservatório I é de 20 L/s. Entre os pontos B e C, existe uma distribuição em marcha com vazão por metro linear uniforme e igual a q = 0,01 L/(s.m). Assumindo um fator de atrito constante para todas as tubulações f = 0,020 e desprezando as perdas localizadas e a carga cinética, determine: a) a cota piezométrica no ponto B; b) a carga de pressão disponível no ponto C, se a cota geométrica desse ponto é de 576,00 m; c) a vazão na tubulação de 4” de diâmetro.
10) No sistema de abastecimento de água mostrado na figura abaixo, todas as tubulações têm fator de atrito f = 0,021 e, no ponto B, há uma derivação de 5,0 L/s. Desprezando as perdas de carga
130
localizadas e as cargas cinéticas, determine a carga de pressão disponível no ponto A e as vazões nos trechos em paralelo.
11) Um reservatório alimenta uma tubulação de 200 mm de diâmetro e 300 m de comprimento, a qual se divide em duas tubulações de 150 mm de diâmetro e 150 m de comprimento, como apresentado na figura abaixo. Ambos os trechos estão totalmente abertos para a atmosfera nas suas extremidades. O trecho BD possui saídas uniformemente distribuídas ao longo de seu comprimento, de maneira que metade da água que entra é descarregada ao longo de seu comprimento. As extremidades dos dois trechos estão na mesma cota geométrica e 15 m abaixo do nível d’água do reservatório. Calcule a vazão em cada trecho adotando f = 0,024, desprezando as perdas localizadas e a carga cinética nas tubulações.
131
Gabarito: 1) [D = 0,15 mm] 2) a) [x = 355 m] b) [x = 275 m] 3) [Q = 0,258 m3 /s] 4) [Q = 4,37 L/s] 5) [Le = 1,60 m] 6) [Le = 25,79 m] 7) [ht = 19,61 m] 8) ∆H = 4,35 m 9) a) C.PB = 586,42 m; b) PC / γ = 5,52 mca; c) Q4” = 5,2 L/s 10) PA / γ = 21,20 mca; Q6” = 8,12 L/s; Q8” = 16,88 L/s 11) QAB = 0,076 m3 /s; QBC = 0,033 m3 /s; QBD = 0,043 m3 /s
132
Apêndice 1. Deduções das equações para o cálculo das grandezas geométricas das seções dos canais
1
1. Seções usuais 1.1. Seção Trapezoidal
a. Área molhada (A) x A = by n + 2 y n = by n + xyn
2
tgα =
x y n
∴ x = zy n
A = by n + zy n
2
A = y n (b + zy n )
b. Perímetro molhado (P) P = b + 2T 2
2
2
T 2 = x 2 + y n = z 2 y n + y n → T = y n z 2 + 1 P = b + 2 y n z 2 + 1
c. Raio hidráulico (R) R =
A P
y n (b + y n )
=
2
b + 2 y n z + 1
d. Largura da superfície (B) B = b + 2 x B = b + 2 zy n
2
1.2. Seção retangular
Basta fazer z = 0 nas fórmulas deduzidas para canal trapezoidal, obtidas anteriormente. a. Área molhada (A) A = by n
b. Perímetro molhado (P) P = b + 2 y n
c. Raio hidráulico (R)
R =
A P
=
byn b + 2 y n
1.3. Seção triangular
Basta fazer b = 0 nas equações deduzidas para o canal trapezoidal. 3
a. Área molhada (A) A = zy n
2
b. Perímetro molhado (P) 2
2
P = 2 z 2 y n + y n = 2 y n z 2 + 1
c. Raio hidráulico (R)
R =
A P
=
zy n
2 z 2 + 1
1.4. Seção circular
a. Perímetro molhado (P) π D P
=
2πr θD ∴P = θ 2
( θ em radiano)
b. Profundidade normal (yn) Pelo triângulo retângulo OSN:
4
β =
y n -
D
2
=
D
2
sen β =
D
2
θ π - 2 2
sen
sen(a - b ) = sena cos b - senb cos a y n y n -
yn =
1- 2
D
2 D
2
=
D θ π π θ sen cos - sen cos 2 2 2 2 2
=
D θ 0 - cos 2 2
D
θ 1 - cos 2 2
yn D
= cοs
∴
1 - cos
y θ =2 n D 2
θ 2
y θ = 2 arccos1 - 2 n D y n =
D
θ 1 − cos 2 2
c. Largura da superfície (B) Pelo triangulo retângulo OSN:
SN = B/2 (metade da largura da superfície)
5
2π θ π 2π θ θ - π + = - π - = 4 2 2 2 2 2
2
2
D D B = + y n − 2 2 2
2
2 2 D θ D D B = + 1 − cos − 2 2 2 2 2
2
2 2 θ D 2 D B D D = + − cos − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 D B D 2 θ = + cos 2 2 2 2 2
2
B D 2 θ = 1 − cos 2 2 2 2 2 B D 2 θ → B = D sen θ = sen 2 2 2 2 2 2 θ B = Dsen 2
d. Área molhada (A) A1= Área hachureada do canal A1= Área do setor (A2) – área do triângulo (A3) A2 = Área do setor circular OMN A3 = Área do triângulo isósceles OMN A =
Α3
π D 2
=
A3 =
4
ΜΝ
D Β D yn - = yn - 2 2 2 2
1 θ − D θ 1 θ θ cos = - D 2 sen cos Dsen 2 2 2 2 4 2 2
π D 2 /4 A2
- A1
=
2π 2π − θ
θ D 2π - θ D A2 = = π − 4 2 4 2 2
2
θ θ D θ 1 2 A1 = π - + D sen cos 4 2 4 2 2 2
6
A = A =
sen
π D 2 4 D 2
4
+ D 2
θ 8
1
θ
4
2
− D 2 sen
cos
θ 2
θ θ θ − 2sen cos 8 2 2
θ
A =
−
π D 2
2
cos
D 2
8
θ 2
=
senθ
(tabelas trigonométricas)
2
(θ - senθ )
( θ em radiano)
e. Raio hidráulico (R) R = R =
A P
=
D 2
8
(θ - senθ)
2 θ D
D
senθ 1 4 θ
1.5. Canal semicircular
Neste caso basta usar as equações deduzidas para canal de seção circular, fazendo θ=π. a. Perímetro molhado(P) P=
θ D πD = 2 2
b. Profundidade normal (yn)
y n = y n =
D θ D π 1 − cos = 1 − cos 2 2 2 2 D
2
7
c. Largura da superfície (B)
B = Dsen
θ 2
= Dsen
π 2
B = D
d. Área molhada(A)
A = A =
D 2
8
(θ − senθ ) =
D 2
8
(π − senπ )
π D 2 8
e. Raio hidráulico (R)
R = R =
D senθ D senπ 1 = 1 4 2 4 2 D
4
Observa-se que o raio hidráulico do canal semicircular é igual ao raio hidráulico do canal circular funcionando a plena seção.
8
2. Seções de máxima eficiência 2.1 Seção trapezoidal de máxima eficiência
Da Tabela 1 tira-se que: (1)
P = b + 2 y n z 2 + 1
(2)
A = y n (b + zy n ) b + zy n =
A yn
⇒
b=
A yn
(3)
− zyn
(3) em (1):
P= dP
A y n
− zy n + 2 y n 1 + z 2
A − z + 2 1 + z 2 = 0 dy n y n 2 A 2 1 + z 2 − z = y n 2
=−
(4)
A = y n 2 ( 2 1 + z 2 − z )
(4) em (3):
b = y n 2 1 + z 2 − z − zy n
9
(5)
b = 2 y n 1 + z 2 − z
(5) em (1): P = 2 y n 1 + z 2 − z + 2 y n 1 + z 2
(6)
P = 2 y n 2 1 + z 2 − z
R =
A P
2
=
y n 2 1 + z 2 − z
(
2
2 yn 2 1 + z − z
)
→ R =
(7)
yn
2
Observação: havendo a possibilidade de escolher o valor de z (z é função da natureza das paredes do canal) para a seção de máxima eficiência, este será substituído, yn de (4) em (6): 1/ 2
A yn = 2 2 1 + z − z
1/ 2
A P = 2 2 2 1 + z − z 1/ 2
P = 2 A
(2
2
1 + z − z
P 2 = 4 A 2(1 + z 2 )
0, 5
2P
(2
1 + z 2 − z
)
1/ 2
−z
) elevando ambos os membros ao quadrado derivando, vem:
2 z = 4 A − 1 2 dz 1 + z
dP
2 z 1 = 2 A − 1 = 0 2 dz 1 + z P 2 z −1 = 0 2 1 + z
dP
2 z = 1 + z 2 4 z 2 = 1 + z 2
10
z =
1
3 z = tgα
α = 30°
O canal trapezoidal de máxima eficiência, quando z puder ser fixado, é um semi-hexágono, como mostrado a seguir (n = número de lados; Si = soma dos ângulos internos; i = valor de um ângulo interno):
S i = 180°(n − 2) i=
S i n
=
180°(n − 2)
3(n − 2 ) = 2n 3n − 6 = 2n
Semi-hexágono
n=6
2.2. Seção retangular de máxima eficiência
z = 0, que substituindo nas equações (4), (5), (6) e (7), fornece: A = 2 y n
2
b = 2 y n P = 4 y n R =
y n
2
2.3. Seção triangular de máxima eficiência
11
n
= 120°
Da Tabela 1 tira-se que: (1)
2
A = zyn
(2)
P = 2 y n 1 + z 2
A
y n =
A
P=2 P2 =
que substituindo em (2), fornece:
z
z
4 A z
1 + z 2
(1 + z 2 ) = 4 A 1 + z z
Derivando P em relação à z, vem:
2P
1 = 4 A1 − = 0 dz z 2
dP
z 2 = 1 → z = 1 → α = 45°
θ = 2α → θ = 90°
Levando z às expressões (1) e (2), tem-se: A = y n
2
P = 2 2 y n
Pela definição de raio hidráulico, chega-se a:
R =
yn
2 2
12
2.4. Seção circular de máxima eficiência Da Tabela 1 tira-se que: θD P= 2 D =
P=
dP d θ
e
A =
D 2
8
(θ − senθ)
8 A θ − senθ 8 A 2
θ θ − senθ
=
8Α 2
1 1−
senθ
θ
=0
Efetuando a derivada e simplificando, vem: 2(θ − senθ ) = θ (1 − cosθ )
A solução da equação acima é: θ = π = 180° , que levada às expressões de A e P fornece:
P =
D
2
e
A =
π D 2 8
Deste modo pode-se observar que o canal circular de máxima eficiência trabalha a meia seção (o canal é chamado de semicircular).
13
Apêndice 2. Condutos Livres: tabelas e figuras
14
Tabela 2A. Valores de γ para a fórmula de Bazin
Estado da parede
Natureza da parede
Perfeito
Bom
Regular
Mau
Cimento liso
0,048
0,103
0,157
0,212
Argamassa de cimento
0,103
0,157
0,212
0,321
Aqueduto de madeira aparelhada
0,048
0,157
0,212
0,267
Aqueduto de madeira não aparelhada
0,103
0,212
0,267
0,321
Canais revestidos de concreto
0,157
0,267
0,377
0,485
Pedras brutas rejuntadas com cimento
0,430
0,594
0,870
1,142
Pedras não rejuntadas
0,870
0,142
1,303
1,419
Pedras talhadas
0,212
0,267
0,321
0,430
Paredes metálicas de seção semicircular lisa
0,103
0,157
0,212
0,321
Paredes de chapas corrugadas, em seção semicircular
0,733
0,870
1,007
1,142
Paredes de terra, canais retos e uniformes
0,430
0,594
0,733
0,870
Paredes de pedra, lisas em canais uniformes
0,870
1,142
1,308
1,419
Paredes rugosas de pedras irregulares
1,419
1,169
1,965
-
Canais de terra com grandes meandros
0,733
0,870
1,007
1,142
Canais de terra, dragados
0,870
1,007
1,142
1,308
Canais com leitos de pedras rugosas e com vegetação nas margens de terra
0,870
1,142
1,419
1,690
Canais com fundo de terra e com pedras nas margens
1,025
1,142
1,308
1,419
a) Limpos, margens retilíneas, nível máximo sem zonas mortas profundas
0,870
1,007
1,142
1,308
b) Mesmo que a), porém com alguma vegetação e pedra
1,142
1,308
1,419
1,690
c) Com meandros, zonas mortas e região pouco profunda, limpa
1,419
1,690
1,965
2,240
d) Mesmo que c), durante estiagem, sendo declividade e seção menor
1,60
1,965
2,240
2,515
e) Mesmo que c), com algumas vegetações e pedras nas margens
1,308
1,419
1,690
1,965
f) Mesmo que d) com pedras
1,965
2,24
2,515
2,780
g) Zonas de pequenas velocidades, com vegetação, ou zonas mortas profundas
2,240
2,78
3,340
3,880
h) Zonas com muita vegetação
3,610
4,98
6,360
7,720
Canais naturais
15
Tabela 2B. Valores de n para as equações de Manning
Estado da parede
Natureza da parede
Perfeito
Bom
Regular
Mau
Cimento liso
0,010
0,011
0,012
0,013
Argamassa de cimento
0,011
0,012
0,013
0,015
Aqueduto de madeira aparelhada
0,010
0,012
0,013
0,014
Aqueduto de madeira não aparelhada
0,011
0,013
0,014
0,015
Canais revestidos de concreto
0,012
0,014
0,016
0,018
Pedras brutas rejuntadas com cimento
0,017
0,020
0,025
0,030
Pedras não rejuntadas
0,025
0,030
0,033
0,035
Pedras talhadas
0,013
0,014
0,015
0,017
Paredes metálicas de seção semicircular lisa
0,011
0,012
0,0275
0,030
Paredes de terra, canais retos e uniformes
0,017
0,020
0,0225
0,030
Paredes de pedra, lisas em canais uniformes
0,025
0,030
0,033
0,035
Paredes rugosas de pedras irregulares
0,035
0,040
0,045
-
Canais de terra com grandes meandros
0,0225
0,025
0,0275
0,030
Canais de terra, dragados
0,025
0,0275
0,030
0,033
Canais com leitos de pedras rugosas e com vegetação nas margens de terra
0,025
0,030
0,035
0,040
Canais com fundo de terra e com pedras nas margens
0,028
0,030
0,033
0,035
a) Limpos, margens retilíneas, nível máximo sem zonas mortas profundas
0,025
0,0275
0,030
0,033
b) Mesmo que a), porém com alguma vegetação e pedra
0,030
0,033
0,035
0,040
c) Com meandros, zonas mortas e região pouco profunda, limpa
0,035
0,040
0,045
0,050
d) Mesmo que c), durante estiagem, sendo declividade e seção menor
0,040
0,045
0,050
0,055
e) Mesmo que c), com algumas vegetações e pedras nas margens
0,033
0,035
0,040
0,045
f) Mesmo que d) com pedras
0,045
0,050
0,055
0,060
g) Zonas de pequenas velocidades, com vegetação, ou zonas mortas profundas
0,050
0,060
0,070
0,080
h) Zonas com muita vegetação
0,075
0,100
0,125
0,150
Canais naturais
16
Figura 2A. Elementos Hidráulicos de uma tubulação de seção circular.
Observações: a) O máximo de Q ocorre quando yn /D = 0,95; b) O máximo de V ocorre quando yn /D = 0,81; c) Q a plena seção é igual a Q quando yn /D = 0,82; d) R a meia seção (yn /D = 0,5) é igual a R a plena seção (yn /D=1); e) Q a plena seção (yn /D = 1,0) é o dobro de Q a meia seção (yn /D=0,5); f) V a meia seção (yn /D = 0,5) é igual a V a plena seção (yn /D = 1,0); g) Onde R é máximo, V é máximo; h) Onde Q é máximo, R/R0 = 1,15; i) Onde V é máximo, R/R0 = 1,22.
17
Figura 2B. Dimensionamento de canais circulares.
Observações: a. Relação para vazão máxima: yn /D = 0,95 b. Curva (1): relaciona yn /D com nQ/D8/3I1/2 c. Curva (2): relaciona yn /D com nQ/yn8/3I1/2 18
Figura 2C. Determinação da largura de fundo (b) para canais trapezoidais e retangulares (z = 0)
19
Figura 2D. Determinação da profundidade (yn) para canais trapezoidais e retangulares (z=0)
Relações para vazão máxima: m=z
0
0,5
1
2
3
4
yn /b
0,5
0,809
1,207
2,118
3,081
4,061
20
Figura 2E. Determinação da profundidade (yn) para canais triangulares.
21
Apêndice 3. Vertedores, Orifícios e Bocais
22
Tabela 3A. Valores de C da fórmula Q = CLH3/s de vertedores retangulares em 2 2g C Q paredes delgadas sem contrações laterais C = 3
Altura Fórmula vertedor p (m) Bazin 0,20 Rehbock 0,20 Francis 0,20 Soc. Suiça 0,20
Carga H (m) 0,05
0,10
0,15
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
2,03 1,86 1,81 1,85
2,03 1,89 1,84 1,90
2,07 1,98 1,90 1,99
2,17 2,13 1,95 2,10
2,28 2,44 2,02 2,23
2,42 2,88 2,13 2,36
2,46 3,23 2,16 2,40
2,50 3,55 2,18 2,45
2,54 4,02 2,22 2,48
Bazin Rehbock Francis Soc. Suiça
0,50 0,50 0,50 0,50
1,99 1,83 1,82 1,82
1,95 1,82 1,81 1,81
1,94 1,88 1,87 1,88
1,97 1,93 1,91 1,94
2,08 2,04 1,99 2,06
2,14 2,12 2,02 2,12
2,22 2,21 2,05 2,20
2,27 2,28 2,06 2,24
2,32 2,39 2,10 2,30
Bazin Rehbock Francis Soc. Suiça
1,00 1,00 1,00 1,00
1,99 1,83 1,82 1,82
1,92 1,79 1,79 1,79
1,90 1,84 1,85 1,85
1,90 1,86 1,86 1,87
1,94 1,91 1,89 1,93
2,03 2,00 1,95 2,02
2,10 2,08 1,99 2,09
2,15 2,13 2,02 2,14
2,21 2,20 2,04 2,18
Bazin Rehbock Francis Soc. Suiça
1,50 1,50 1,50 1,50
1,99 1,82 1,81 1,82
1,92 1,78 1,78 1,78
1,90 1,84 1,86 1,84
1,88 1,85 1,86 1,88
1,89 1,86 1,87 1,89
1,90 1,88 1,87 1,90
1,96 1,94 1,91 1,96
2,01 1,99 1,94 2,01
2,06 2,03 1,97 2,05
Bazin Rehbock Francis Soc. Suiça
∞ ∞ ∞ ∞
2,06 1,88 1,84 1,89
1,93 1,88 1,86 1,82 1,81 1,81 1,80 1,80 1,80 1,79 1,79 1,79 1,84 1,84 1,84 1,84 1,84 1,84 –1,82 1,82 1,82 1,82 1,81 1,81
1,80 1,78 1,84 1,81
1,79 1,78 1,84 1,81
Correção de Francis.
Se o vertedor retangular tem largura L, menor que a largura do canal B, em virtude da contração da veia, há uma diminuição de vazão. Como resultado de suas experiências, Francis concluiu que, relativamente à descarga, tudo se passa como se o vertedor tivesse uma largura fictícia L` = L – 0,2 H (contração nas duas faces) ou L’ = L – 0,1 H (contração em uma das faces).
23
Tabela 3B. Valores de CQ no caso de orifício retangular em parede delgada vertical Carga na borda Altura dos orifícios superior do 0,10 m 0,05 m 0,03 m 0,02 m 0,01 m > 0,20 m orifício 0,005 m – – – – – 0,705 0,010 – – – – – 0,701 0,015 – 0,593 0,612 0,632 0,660 0,697 0,020 0,572 0,596 0,615 0,634 0,659 0,694 0,030 0,578 0,600 0,620 0,638 0,659 0,688 0,040 0,582 0,603 0,623 0,640 0,658 0,683 0,050 0,585 0,605 0,625 0,640 0,658 0,679 0,060 0,587 0,607 0,627 0,640 0,657 0,676 0,070 0,588 0,609 0,628 0,639 0,656 0,673 0,080 0,589 0,610 0,629 0,638 0,656 0,670 0,090 0,591 0,610 0,629 0,637 0,655 0,668 0,100 0,592 0,611 0,630 0,637 0,654 0,666 0,120 0,593 0,612 0,630 0,636 0,653 0,663 0,140 0,595 0,613 0,630 0,635 0,651 0,660 0,160 0,596 0,613 0,631 0,634 0,650 0,658 0,180 0,597 0,615 0,630 0,634 0,649 0,657 0,200 0,598 0,615 0,630 0,633 0,648 0,655 0,250 0,599 0,616 0,630 0,632 0,646 0,653 0,300 0,600 0,616 0,629 0,632 0,644 0,650 0,400 0,602 0,617 0,628 0,631 0,642 0,647 0,500 0,603 0,617 0,628 0,630 0,640 0,644 0,600 0,604 0,617 0,627 0,630 0,638 0,642 0,700 0,605 0,616 0,627 0,629 0,637 0,640 0,800 0,605 0,616 0,627 0,629 0,636 0,637 0,900 0,605 0,615 0,626 0,628 0,634 0,635 1,00 0,605 0,615 0,626 0,628 0,633 0,632 1,10 0,604 0,614 0,625 0,627 0,631 0,629 1,20 0,604 0,614 0,624 0,626 0,628 0,626 1,30 0,603 0,613 0,622 0,624 0,625 0,622 1,40 0,603 0,612 0,621 0,622 0,622 0,618 1,50 0,602 0,611 0,620 0,620 0,619 0,615 1,60 0,602 0,611 0,618 0,618 0,617 0,613 1,70 0,602 0,610 0,616 0,616 0,615 0,612 1,80 0,601 0,609 0,615 0,615 0,614 0,612 1,90 0,601 0,608 0,614 0,613 0,612 0,612 2,00 0,601 0,607 0,613 0,612 0,612 0,611 0,601 0,603 0,606 0,608 0,610 0,609 > 3,00
24
Tabela 3C. Valores de CQ no caso de orifício circular em parede delgada vertical Altura dos orifícios Carga no centro dos orifícios 0,30 m 0,18 m 0,06 m 0,03 m 0,015 m 0,006 m 0,12 m – – – 0,618 0,631 – 0,15 – 0,592 0,600 0,615 0,627 – 0,18 – 0,593 0,601 0,613 0,624 0,655 0,21 0,590 0,594 0,601 0,611 0,622 0,651 0,24 0,591 0,594 0,601 0,610 0,620 0,648 0,27 0,591 0,595 0,601 0,609 0,618 0,646 0,30 0,591 0,595 0,600 0,608 0,617 0,644 0,40 0,593 0,596 0,600 0,605 0,613 0,638 0,60 0,595 0,597 0,599 0,604 0,610 0,632 0,90 0,595 0,598 0,599 0,603 0,606 0,627 1,20 0,596 0,597 0,599 0,602 0,605 0,623 1,80 0,596 0,597 0,598 0,600 0,604 0,618 2,40 0,596 0,596 0,598 0,600 0,603 0,614 3,00 0,595 0,596 0,597 0,598 0,601 0,611 6,00 0,594 0,596 0,596 0,596 0,598 0,601 30,00 0,592 0,592 0,592 0,592 0,592 0,592
25
Tabela 3D. Valores dos coeficientes médios de bocais Casos Cc Cv Ca
Observações
0,62
0,985
0,61
Valores médios para orifícios comuns em parede delgada
0,52
0,98
0,51
Veia livre
1,00
0,75
0,75
Veia colada
0,62
0,985
0,61
Veia livre (valores médios)
1,00
0,82
0,82
Veia colada
0,98
Bordos arredondados acompanhando os filetes líquidos
1,00
0,98
26
Apêndice 4. Condutos Forçados
27
Tabela 4A. Valores de viscosidade cinemática da água Temperatura, Viscosidade, cinemática Temperatura, o o C v, m-2s-1 C 0 0,000 001 792 20 2 0,000 001 763 22 4 0,000 001 567 24 6 0,000 001 473 26 8 0,000 001 386 27 10 0,000 001 308 30 12 0,000 001 237 32 14 0,000 001 172 34 16 0,000 001 112 36 18 0,000 001 059 38
Viscosidade, cinemática v, m-2s-1 0,000 001 007 0,000 001 960 0,000 001 917 0,000 001 876 0,000 001 839 0,000 001 804 0,000 001 772 0,000 001 741 0,000 001 713 0,000 001 687
Tabela 4B. Valores de viscosidade cinemática de alguns fluídos Temperatura, Peso Viscosidade cinemática o Fluído C específico, v, m-2s-1 kg.m-3 5 737 0,000 000 757 10 733 0,000 000 710 15 728 0,000 000 681 Gasolina 20 725 0,000 000 648 25 720 0,000 000 621 30 716 0,000 000 596 5 865 0,000 005 98 10 861 0,000 005 16 15 588 0,000 004 48 Óleo combustível 20 855 0,000 003 94 25 852 0,000 003 52 30 849 0,000 003 13 5 1,266 0,000 013 7 10 1,244 0,000 014 1 15 1,222 0,000 014 6 Ar (pressão atmosférica) 20 1,201 0,000 015 1 25 1,181 0,000 015 5 30 1,162 0,000 016 0
28
Tabela 4C. Valores adotados na PNB 591 da rugosidade uniforme equivalente ε (em mm) para tubos usuais I. TUBO DE AÇO: JUNTAS SOLDADAS E INTERERIOR CONTÍNUO ε 1.1. Grandes incrustações ou tuberculizações 2,4 a 12,0 1.2. Tuberculização geral de 1 a 3 mm 0,9 a 2,4 1.3. Pintura à brocha, com asfalto, esmalte ou betume em camada espessa 0,6 1.4. Leve enferrujamento 0,25 1.5. Revestimento obtido por imersão em asfalto quente 0,1 1.6. Revestimento com argamassa de cimento obtido por centrifugação 0,1 1.7. Tubo novo previamente alisado internamente e posterior revestimento de esmalte, vinyl ou epoxi obtido por centrifugação 0,06 II. TUBO DE CONCRETO 2.1. Acabamento bastante rugoso: executado com formas de madeira muito rugosas: concreto pobre com desgastes por erosão; juntas mal alinhadas 2,0 2.2. Acabamento rugoso: marcas visíveis de formas 0,5 2.3. Superfície interna alisada a desempenadeira; juntas bem feitas 0,3 2.4. Superfície obtida por centrifugação 0,33 2.5. Tubo de superfície lisa, executado com formas metálicas, acabamento acabamento médio com juntas bem cuidadas. 0,12 2.6. Tubo de superfície interna bastante lisa, executado com formas metálicas, acabamento esmerado, e juntas cuidadas 0,06 III. TUBO DE CIMENTO AMIANTO 0,10 I.V. TUBO DE FERRO FUNDIDO 4.1. Revestimento interno com argamassa de cimento e areia obtida por centrifugação com ou sem proteção de tinta a base de betume 0,1 4.2. Não revestido 0,15 a 0,6 4.3. Leve enferrujado 0,30 V. TUBO DE PLÁSTICO 0,06 VI. TUBOS USADOS 6.1. Com camada de lodo inferior a 5,0 mm 6.2. Com incrustações de lodo ou de gorduras inferiores a 25 mm 6,0 a 30,0 6.3. Com material sólido arenoso depositado de forma irregular 60,0 a 30,0 NOTA: – Valores mínimos a adotar com tubos novos (ef. item 5.8.1.9. 5.8.1.9 . da PNB 591): – Para adutoras medindo mais de 1.000 m de comprimento: 2,0 vezes o valor encontrado na tabela acima para o tubo e acabamento escolhidos. – Para adutoras medindo menos de 1.000 m de comprimento: 1,4 vezes o valor encontrado na tabela para o tubo e acabamento escolhidos.
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Tabela 4D. Valores de C (fórmula de Hazen-Willians) Material Aço corrugado (Chapa ondulada) Aço com juntas “Lock-Bar” novas Aço galvanizado (novo e em uso) Aço rebitado novo Aço rebitado em uso Aço soldado novo Aço soldado em uso Aço salgado com reve. esp. novo e em uso Chumbo Cimento amianto Cobre Concreto bem acabado Concreto acabamento comum Ferro fundido novo Ferro fundido em uso Ferro fundido revestido de cimento Grés cerâmico vidrado (manilha) Latão Madeira em aduelas Tijolos condutos bem executados Vidro Plástico
30
C 60 130 125 110 85 120 90 130 130 140 130 130 120 130 90 130 110 130 120 100 140 140
Tabela 4E. Equivalência
Diâmetro D
das perdas de cargas localizadas em metros de canalização de PVC rígido ou cobre
Joelho 90o
Joelho 45o
Curva 90o
Curva 45o
Tes 90o Tes 90o Tes 90o Entrada Entrada Passagem Saída Saída de Normal Direta de Lado Bilateral Borda
Saída de Canalização
Válvula de pé e crivo
Válvula de Retenção Tipo Leve
Tipo Pessado
Registro de Globo Aberto
Registro de Gaveta Aberto
Registro Ângulo Aberto
mm pol. 20
(1/2)
1,1
0,4
0,4
0,2
0,7
2,3
2,3
0,3
0,9
0,8
8,1
2,5
3,6
11,1
0,1
5,9
25
(3/4)
1,2
0,5
0,5
0,3
0,8
2,4
2,4
0,4
1,0
0,9
9,5
2,7
4,1
11,4
0,2
6,1
32
(1)
1,5
0,7
0,6
0,4
0,9
3,1
3,1
0,5
1,2
1,3
13,3
3,8
3,8
15,0
0,3
8,4
40
(1 ¼)
2,0
1,0
0,7
0,5
4,5
4,6
4,6
0,6
1,8
1,4
15,5
4,9
7,4
22,0
0,4
10,5
50
(1 ½)
3,2
1,3
1,2
0,6
2,2
7,3
7,3
1,0
2,3
3,2
18,3
6,8
9,1
35,8
0,7
17,0
60
(2)
3,4
1,5
1,3
0,7
2,3
7,6
7,6
1,5
2,8
3,3
23,7
7,1
10,8
37,9
0,8
18,5
75
(2 ½)
3,7
1,7
1,4
0,8
2,4
7,8
7,8
1,6
3,3
3,3
25,0
8,2
12,5
38,0
0,9
18,0
85
(3)
3,9
1,8
1,5
0,9
2,5
8,0
8,0
2,0
3,7
3,7
26,8
9,3
14,2
40,0
0,9
20,0
110
(4)
4,3
1,9
1,6
1,0
2,6
8,7
8,3
2,2
4,0
3,9
28,6
10,4
15,0
42,3
1,0
22,1
140
(5)
4,9
2,4
1,9
1,1
3,3
10,0
10,0
2,5
5,0
4,9
37,4
12,5
19,2
50,9
1,1
26,2
160
(6)
5,4
2,6
2,1
1,2
3,6
11,1
11,1
3,6
5,6
5,5
43,4
13,9
21,4
56,7
1,2
28,9
31
Tabela 4F. Perdas localizadas expressas em diâmetros de canalização retilínea (comprimentos equivalentes) Comprimentos expressos em Peça diâmetros (números de diâmetros) Ampliação gradual 12 o Cotovelo de 90 45 o Cotovelo de 45 20 o Curva de 90 30 o Curva de 45 15 Entrada normal 17 Entrada de borda 35 Junção 30 Redução gradual e excêntrica 6 3/4 aberto = 35D Registro de gaveta, aberto 8 1/2 aberto = 170D Registro de globo, aberto 350 1/4 aberto = 900D Registro de ângulo, aberto 170 Saída de canalização 35 Tê, passagem direta 20 Tê, saída de lado 50 Tê, saída bilateral 65 Válvula-de-pé e crivo 250 Válvula de retenção 100 Curvas de aço em segmentos 30o – 2 segmentos 7 o 45 – 2 segmentos 15 o 45 – 3 segmentos 10 o 60 – 2 segmentos 25 o 60 – 3 segmentos 15 o 90 – 2 segmentos 65 o 90 – 3 segmentos 25 o 90 – 4 segmentos 15
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Figura 4A. Fluxograma de Podalyro para determinação da perda de carga (hf).
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Figura 4B. Fluxograma de Podalyro para determinação da vazão (Q).
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