MATEMATIKA EKONOMI PENERAPAN FUNGSI LINEAR DALAM ILMU EKONOMI
Oleh : 1. 2. 3. 4. 5.
RATNA AYU DEWANI PUTRI DEWI LESTARI ERRY HARIYANTO ACHMAD NUR HIDAYAT FENDI AGUSTIN
1211508621 1211508589 1211508551 1211508578 1211508594
UNIVERSITAS 17 AGUSTUS 1945 SURABAYA FAKULTAS EKONOMI JURUSAN MANAJEMEN TAHUN 2015
APLIKASI FUNGSI LINEAR DALAM ILMU EKONOMI 1.
Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan Keseimbangan Keseimbangan Pasar
a. Fungsi Permintaan Fungsi permintaan menghubungkan antara variabel harga dan variabel jumlah barang/jasa yang diminta. Bentuk umum umum fungsi permintaan antara lain : P
Q = a – bP
Atau
P = – Q Q
a
Dalam persamaan diatas terlihat bahwa variabel P (price/harga) mempunyai tanda yang berlawanan dengan variabel Q (quantity/jumlah). Gerakan harga berlawanan
arah dengan gerakan jumlah menyebabkan kurva permintaan berlereng negatif . Hukum Permintaan : Apabila harga naik maka maka jumlah yang diminta akan berkurang . Apabila harga turun maka turun maka jumlah yang diminta akan bertambah. bertambah. Contoh Soal 1 : 10 buah barang A terjual jika harganya Rp. 80,-/buah. Sedangkan jika harga barang A Rp. 60,-/buah, terjual 20 buah. Tentukan persamaan dan kurva permintaannya! Penyeleseian : Q1 = 10
P1 = 80
Q2 = 20
P2 = 60
Menggunakan rumus persamaan garis melalui dua titik : P P 1 P 80
P 2 Q2
P 1 Q1
60 80 20 10
P
Q Q 1
(0,100)
Q 10
P 80 2Q 20 P 2Q 100 2Q
100
(50,0)
P
Jika P = 0
2Q = 100 – 100 – 0 0
Jika Q = 0
2(0) = 100 – 100 – P P
Q = 50 P = 100
0 A (50,0) B (0,100)
Q
b. Fungsi Penawaran Fungsi penawaran menghubungkan antara variabel harga dan variabel jumlah barang/jasa yang ditawarkan. Bentuk umum fungsi fungsi penawaran antara lain : P
Q = - a + bP Atau
P = +
Q
Q
-a Dalam persamaan diatas terlihat bahwa variabel P (price/harga) mempunyai tanda yang sama dengan variabel Q (quantity/jumlah), yaitu sama-sama positif. Gerakan
harga searah dengan gerakan jumlah menyebabkan kurva penawaran berlereng positif.
Hukum Penawaran : Apabila harga naik jumlah jumlah yang ditawarkan akan bertambah. bertambah. Apabila harga turun jumlah turun jumlah yang ditawarkan akan berkurang . Contoh Soal 2 : Apabila harga barang A Rp. 75,- barang yang tersedia di pasar 100 buah. Apabila harga barang A Rp. 50,- maka barang yang tersedia di pasar hanya 50 buah. Penyeleseian : Q1 = 100
P1 = 75
Q2 = 50
P2 = 50 P
Menggunakan rumus persamaan garis melalui dua titik : P P 1 P 75 P 75 P
1 2
P 2 P 1
Q Q
Q2 Q1
1
50 75 50 100 1 2
(0,25)
Q 100
Q 50
Q 25 P
1 2
(-50,0)
Q 25 x 2 2 P Q 50
Q 50 2 P
Jika P = 0
Q = - 50 + 2(0)
Jika Q = 0
0 = - 50 + 2P
Q = - 50 2P = 50
A (- 50,0) P = 25
B (0,25)
0
Q
c. Keseimbangan Pasar Keseimbangan pasar (equilibrium (equilibrium)) terjadi jika jumlah barang yang diminta di pasar sama dengan jumlah barang yang ditawarkan. Persamaan kesimbangan pasar secara matematik :
Q d = Q s Qd
: jumlah permintaan
Q s
: jumlah penawaran
E
: titik keseimbangan
P e
: harga keseimbangan
Qe
: jumlah keseimbangan
P
E xcess xcess Supply Supply P e
E
E xcess cess De D emand 0
Q s
Qe
Qd
Q
Berdasarkan grafik diatas keseimbangan ditunjukkan pada perpotongan kurva permintaan dengan kurva penawaran sehingga tercipta harga keseimbangan (equilibrium price) price) dan jumlah keseimbangan (equilibrium ( equilibrium quantity). quantity). Pada umumnya, agar titik keseimbangan mempunyai arti, nilai dari Q dan P harus positif atau nol , artinya kurva permintaan dan kurva penawaran harus berpotongan di kuadran pertama.
Dalam grafik di atas juga terdapat Excess Demand dan Excess Supply dari suatu pasar. a) Excess Demand adalah kelebihan jumlah permintaan akibat penurunan harga (demand>supply). Hal ini terjadi manakala pemerintah menetapkan kebijakan harga maksimum. Kebijakan ini bertujuan untuk melindungi konsumen berdaya beli rendah.
b) Excess Supply adalah kelebihan jumlah penawaran akibat kenaikan harga (supply>demand). Kondisi ini terjadi jika pemerintah menetapkan harga minimum, tujuannya adalah melindungi produsen dari kerugian.
Misal : Diketahui jumlah permintaan dan penawaran terhadap barang C pada berbagai tingkat harga sebagai berikut :
Harga (P) 400 500 600
Jumlah Permintaan (Qd) 60 50 30
Jumlah Penawaran (Qs) 20 50 60
Harga barang C di pasar terjadi pada harga Rp 500,00 dengan jumlah penawaran dan permintaan masing-masing 50 unit dan membentuk membentuk keseimbangan pasar.
Ketika kebijakan harga maksimum diberlakukan, harga turun menjadi Rp 400,00 sehingga menyebabkan naiknya permintaan menjadi 60 unit. Di sisi lain mengakibatkan turunnya jumlah penawaran menjadi 20 unit. Sehingga jumlah permintaan lebih besar daripada penawaran sebesar :
60 – 20 20 unit = 40 unit ( cess dem demand ). (E xcess ). Ketika kebijakan harga minimum diberlakukan, harga naik menjadi Rp 600,00 sehingga menyebabkan turunnya permintaan menjadi 30 unit. Hal ini meningkatkan jumlah penawaran menjadi 60 unit. Maka terjadilah kelebihan penawaran atas permintaan sebesar :
60 – 30 30 unit uni t = 30 30 unit ( xcess supply supply ). (E xcess ). Grafik :
Contoh Soal 3 : Tentukan titik keseimbangan dari persamaan permintaan P = 12 – 2Q 2Q dan persamaan penawaran P = 3/2Q + 2!
Penyeleseian : Permintaan
: P : P = = 12 – 12 – 2Q 2Q
Qd = = 6 – 6 – 1/2 1/2 P
Penawaran
: P : P = = 3/2Q 3/2Q + 2
Q s = 2/3 P – – 4/3 4/3
Qd
6
1 2
6
P P Q
(0,12)
QS
P 23 P
43
P
22 3
6
P = 3/2Q + 2
3
18 4 3
6
2
7
7
E (2 , 6 )
6
7
44 7
4
6
(0,2)
7
1 2
2
44
7
42 22 7
20
7
2
P = 12 – 12 – 2Q 2Q
6 7
6
2
7
7
Jadi, titik keseimbangannya ( 2 , 6 )
2.
P
0
(- 4/3,0)
(6,0)
Pengaruh Pajak Spesifik terhadap Keseimbangan Pasar
Pengaruh pajak yang dikenakan atas penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut naik. Sebab setelah dikenakan pajak (t ), ), produsen akan berusaha mengalihkan sebagian beban pajak tersebut kepada konsumen, yaitu dengan jalan menawarkan harga jual yang lebih tinggi daripada harga keseimbangan sebelum pajak . pajak . Jika sebelum pajak persamaan penawarannya P = a + bQ bQ maka sesudah pajak akan
bQ + t = ( a + t ) + bQ atau Q = – menjadi P = a + bQ
+
(P – t) .
Contoh Soal 4 : Fungsi permintaan akan suatu barang Q + P = 5 sedangkan penawarannya 2Q – P P = 5,5. Terhadap barang tersebut dikenakan pajak 3 per unit. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan sebelum pajak, dan berapa pula harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan sesudah pajak? Penyeleseian :
Sebelum Pajak : Permintaan
: Q + P + P = = 5
Q = 5 – 5 – P P
Penawaran
: 2Q – P P = = 5,5
Q = 2,75 + 0,5 P
Q
Keseimbangan Pasar : Qd = = Q s
Q = 5 = 5 – – P P
5 – P P = = 2,75 + 0,5 P
Q = 5 – 1,5 1,5
1,5 P = = 2,25
Q = 3,5
P = 1,5
Jadi, sebelum pajak : Pe = 1,5 dan Qe = 3,5
E ( 3 , 1 )
Sesudah Pajak : Permintaan
: Q + P + P = = 5
Q = 5 – 5 – P P
Penawaran
: 2Q – P P = = 5,5
P = 2Q – 5,5 – 5,5
pe samaan per mintaa intaannya nnya tetap) ( per sam
P = 2 = 2Q Q – 5,5 5,5 + 3 P = 2Q – 2,5 2,5
Q = 0,5 P + 1,25
Keseimbangan Pasar : Qd = = Q s
Q = 5 = 5 – – P P
5 – P P = = 0,5 P + 1,25
Q = 5 – 2,5 2,5
1,5 P = = 3,75
Q = 2,5
P = 2,5
Titik keseimbangan E’ ( ( 2 , 2 )
Q’s
Qs
2
2
3 4
0
3
(2 , 0)
(5,0)
Q
4
(0,- 2 ) 2
Qd
(0,- 5 ) 2
Pengenaan pajak sebesar t atas setiap unit barang yang dijual menyebabkan kurva penawaran bergeser ke atas dengan penggal yang lebih besar/lebih tinggi pada sumbu harga.
-
Dengan kurva penawaran yang lebih tinggi, dan ceteris paribus, titik keseimbangan pun akan bergeser menjadi lebih tinggi
E (3 2 , 1 2)
(2 , 0)
-
E’ (2 (2 , 2 )
Catatan :
(0,5)
E ’ ( ( 2 , 2 )
Jadi, sesudah pajak : P’e = 2,5 dan Q’e = 2,5
P
Karena produsen mengalihkan sebagian beban pajak kepada konsumen melalui harga jual yang lebih tinggi, akhirnya beban pajak ditanggung bersama oleh produsen maupun konsumen. Adapun besarnya bagian beban pajak untuk konsumen dan produsen, serta jumlah pajak yang diterima pemerintah dapat diketahui melalui persamaan berikut ini :
Pajak Konsumen
:
tk = P’e – Pe
Pajak Produsen
:
tp = t – tk
Pajak Diterima Pemerintah :
Ket :
tk = pajak konsumen P’e = harga keseimbangan sesudah pajak Pe = harga keseimbangan sebelum pajak tp = pajak produsen t = pajak per unit barang T = pajak yang diterima pemerintah
T = Q’e x t
Contoh Soal 5 : Berdasarkan contoh soal 4, tentukan masing-masing nilai pajak konsumen, pajak produsen, dan jumlah pajak yang yang diterima oleh pemerintah! Penyeleseian :
3.
Pajak Konsumen
: tk = = 2,5 – 2,5 – 1,5 1,5 = 1/ unit
Pajak Produsen
: tp = 3 – 3 – 1 1 = 2/ unit
Pajak Diterima Pemerintah : T = = 2,5 x 3 = 7,5
Pengaruh Pajak Proporsional terhadap Keseimbangan Pasar
Pajak proporsional ialah pajak yang besarnya ditetapkan berdasarkan persentase tertentu dari harga jual, bukan ditetapkan secara spesifik per unit barang. Meskipun pengaruhnya serupa dengan pengaruh pajak spesifik, menaikkan harga keseimbangan dan mengurangi jumlah keseimbangan, namun analisisnya sedikit sedikit berbeda. Berikut persamaan penawaran yang baru jika dikenakan pajak proporsional : P = a + bQ + tP
4.
=
(1−)
+
(1−)
Atau
= −
+
(1−)
Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar
Subsidi merupakan bantuan yang diberikan pemerintah kepada produsen dan konsumen, sehingga subsidi selalu mengurangi harga barang yang ditawarkan ( P d d) atau hanya mempengaruhi fungsi penawaran, sedang fungsi permintaannya tetap.
Bila fungsi harga penawaran P s = f(Q) f(Q) dengan adanya subsidi (s) membuat harga penawaran baru yaitu:
P s’ = a + bQ – s Sedangkan bila fungsi jumlah penawaran ialah Q s = f(P), f(P), dengan adanya subsidi (s), maka jumlah penawaran yang baru adalah:
Q s’ = a + b (P + s) Sehingga keseimbangan pasar yang baru terjadi ketika:
P d = P s’ atau Qd = Q s’ dimana: Ps’ : harga penawaran setelah subsidi Qs’: jumlah penawaran setelah subsidi s
: subsidi dari pemerintah
Besarnya subsidi yang diberikan pemerintah serta subsidi diterima oleh konsumen dan produsen dapat dihitung melalui rumus berikut berikut ini:
Subsidi untuk Konsumen
:
Per unit
:
sk = Pe – P’e P’e
Secara Keseluruhan
:
Pe) x Qe’ sk = (Pe’ – Pe) sp = s – sk
Subsidi untuk Produsen:
Subsidi yang diberikan Pemerintah : S = Qe’ x s
Ket :
sk = pajak konsumen Pe’ = harga keseimbangan sesudah pajak Pe = harga keseimbangan sebelum pajak sp = pajak produsen s = pajak per unit barang S = pajak yang diterima pemerintah = jumlah keseimbangan setelah Qe’ =
Contoh Soal 6 : Berdasarkan persamaan pada Contoh Soal 4, pemerintah memberikan subsidi sebesar 1,5 per unit. Hitunglah : 1)
Keseimbangan pasar setelah subsidi.
3)
Subsidi yang diberikan pemerintah.
4)
Subsidi untuk konsumen.
5)
Subsidi untuk produsen.
Penyelesaian : 1)
Diketahui keseimbangan pasar sebelum subsidi =
Pe = 1,5 dan Qe = 3,5
E ( 3 , 1 )
Keseimbangan pasar setelah subsidi Fungsi penawaran baru setelah subsidi adalah : Permintaan : Q + P + P = = 5
Q = 5 – 5 – P P
Penawaran
P = 2Q – 5,5 – 5,5
: 2Q – P P = = 5,5
pe samaan per mintaa intaannya nnya tetap) ( per sam
P = 2 = 2Q Q – 5,5 – 5,5 – 1,5 1,5 P = 2Q – 7 7
Q = 0,5 P + 3,5
Keseimbangan Pasar Pas ar : Qd = = Q s
Q = 5 = 5 – – P P
5 – P P = = 0,5 P + 3,5
Q = 5 – 1 1
1,5 P = = 1,5
Q=4
P = 1
Titik keseimbangan E’ ( ( 4 , 1 )
Jadi, sesudah subsidi : Pe’ = = 1 dan Qe’ = = 4
P
Qs
E ’ ( ( 4 , 1 ) Catatan : Pemberian subsidi spesifik sebesar s sebesar s,, kurva penawaran bergeser sejajar ke bawah dengan penggal yang lebih kecil (lebih rendah) pada sumbu harga.
Qs’
(0,5)
-
Dengan kurva penawaran yang lebih rendah, dan ceteris paribus, titik keseimbangan pun akan bergeser menjadi lebih rendah.
-
Pengaruh subsidi yang diberikan atas produksi / penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih rendah. Dengan subsidi, ongkos produksi menjadi lebih kecil sehingga produsen bersedia menjual lebih murah. Akibatnya harga keseimbangan di pasar lebih rendah daripada harga keseimbangan sebelum subsidi dan jumlah keseimbangannya menjadi lebih banyak.
E (3 2 , 1 2) E’ ( ( 4,1 )
0
3
(2 , 0) 4
Q
(3 , 0) (5,0) 2
Qd
(0,- 5 ) 2
(0,- 7)
2)
Subsidi yg diberikan pemerintah:
3)
Subsidi untuk konsumen :
S = s = s x x Qe’
sk = (Pe – (Pe – Pe’) Pe’) x Qe’
S = = 1,5 x 4
sk = = (1,5 – (1,5 – 1) 1) x 4
S = 6
sk = = 0,5 x 4
sk = = 2 4)
Subsidi untuk produsen : sp = S – S – sk sk
5.
sp = sp = 6 – 6 – 2 2
sp = 4
Fungsi Biaya dan Fungsi Penerimaan Fungsi biaya merupakan hubungan antara biaya dengan jumlah produksi yang
dihasilkan. Fungsi biaya dapat digambarkan ke dalam kurva dan kurva biaya menggambarkan titik-titik kemungkinan besarnya biaya di berbagai tingkat produksi. Terdiri atas tiga jenis, yaitu : 1)
Fixed cost atau fungsi biaya tetap ( FC ) merupakan fungsi yang tidak bergantung
pada jumlah produk yang diproduksi. Jadi fungsi biaya tetap adalah fungsi konstanta.
F C = k den an k : konst konstant anta a ositif ositif 2)
( VC ) adalah fungsi biaya yang berubah-ubah yang Variabel cost atau biaya variabel (VC besarnya bergantung dari jumlah barang yang diproduksi. Jadi : VC = f(Q) merupakan hasil kali antara biaya produksi per unit dengan jumlah barang b arang yang diproduksi.
V C = vQ de = ( Q ) = vQ den an v : : ler leren en ku kurv rva a V C dan dan kurva C 3)
Total Cost, dilambangkan dengan C (Cost) (Cost) atau TC (Total (Total Cost) merupakan
penjumlahan antara biaya tetap dengan biaya variabel.
TC = FC F C + VC = k + vQ vQ Contoh Soal 6 : Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar Rp. 1.000.000,-. Sedangkan biaya variabelnya ditunjukkan oleh persamaan VC = 500Q 500Q. Tunjukkan persamaan dan kurva biaya totalnya! Berapa biaya total yang dikeluarkan jika perusahaan tersebut memproduksi 9.000 unit barang? Penyeleseian : FC = 1.000.000
TC = FC + VC = 1.000.000 + 500Q 500 Q
VC = 500Q 500Q
Jika Q = 9.000, TC = = 1.000.000 + 500 (9.000) = 5.500.000
= 500 (9.000) = 4.500.000
TC TC =1.000.000 =1.000.000 + 500Q 500Q 5.500.000 VC = 500Q 500Q 4.500.000
1.000.000
FC
0
9.000
Q
Catatan : -
Kurva biaya tetap ( FC ) berupa sebuah garis lurus sejajar sumbu jumlah
-
Kurva biaya variabel (VC ( VC ) berupa sebuah garis lurus berlereng positif dan bermula dari titik pangkal
Fungsi Penerimaan disebut juga fungsi pendapatan atau fungsi hasil penjualan,
dilambangkan dengan R (Revenue) atau TR (Total Revenue). Fungsi Penerimaan merupakan fungsi dari output :
TR= TR = R =
Q de den an Q : umla umlah h rodu roduk k an laku laku ter ter ual ual
Fungsi penerimaan merupakan hasil kali antara harga jual per unit dengan jumlah barang yang diproduksi dan laku dijual.
TR = Q x P =
Q
Fungsi penerimaan bukan saja melambangkan jumlah barang yang dihasilkan, tetapi juga melambangkan jumlah barang yang terjual dengan asumsi bahwa perusahaan selalu berhasil menjual setiap barang yang dihasilkan.
Contoh Soal 7 : Berdasarkan Contoh Soal 6, tunjukkan persamaan dan kurva penerimaan total perusahaan, serta besarnya penerimaan peneri maan jika harga jual barang dari perusahaan Rp. 1000, per unit! Penyeleseian : TR = Q x Q x P P TR = Q x 1000 TR = 1000Q 1000Q
Jika Q = 9.000, TR = TR = 1.000 x 9.000 = 9.000.000
TR TR = 1000Q 1000 Q 9.000.000
4.500.000
0
4.500
9.000
Q
Catatan : -
Kurva fungsi penerimaan berupa garis lurus berlereng positif dan bermula dari titik pangkal
6.
Analisis Pulang Pokok/Break Event Point (Titik Impas)
Setelah diketahui nilai TR
dan TC dapat dianalisa
apakah perusahaan mendapat
keuntungan ataukah mengalami kerugian. BEP (Break Even Point) atau titik impas adalah suatu titik atau keadaan dimana suatu perusahaan tidak memperoleh keuntungan dan juga tidak mengalami kerugian. Dengan kata lain, keuntungan atau kerugiannya bernilai nol. Jumlah unit yang dihasilkan dalam keadaan BEP dapat ditentukan melalui rumus :
BEP BEP Q
Biaya Tetap
Harga Jual Per Unit - Biaya Variabel Per Unit
Persamaan BEP ditentukan dengan rumus :
= 0 , TR = TC
Contoh Soal 8 : Berdasarkan Contoh Soal 6 dan 7, pada tingkat produksi berapa unit perusahaan tersebut berada dalam posisi pulang-pokok (BEP)? Apa yang terjadi terj adi jika perusahaan berproduksi sebanyak 9000 unit?
Penyeleseian :
Jika Q = 9.000, maka :
= TR – TR – TC TC
BEP :
= 0, TR – TR – TC TC = 0
TR = TC
TR
= 1000 (9000) = 9.000.000
TC
= 1.000.000 + 500 (9000) = 5.500.000
1000Q 1000 Q = 1.000.000 + 500Q 500 Q
Keuntungan :
500Q 500Q = 1.000.000 Q
= TR – TR – TC TC = = 3.500.000
= 2.000 TC, TR,
TR = 1000Q 1000 Q
9.000.000 TC =1.000.000 =1.000.000 + 500Q 500Q >
0
5.500.000
VC = 500Q 500Q
4.500.000 2.000.000 1.000.000
BEP <
0
0
FC = 1.000.000 2.000
Q
9.000
Posisi BEP pada grafik di atas ditunjukkan pada tingkat produksi 2.000 unit dengan TR dan TC sama-sama sebesar Rp. 2.000.000,-. Pada tingkat produksi 9.000 unit perusahaan memperoleh keuntungan sebesar Rp. 3.500.000,-.
Catatan : -
Keuntungan (profit positif,
>
0) jika TR > TC dan dan secara grafik kurva TR di TR di atas
kurva TC (terlihat (terlihat pada grafik di atas). -
Kerugian (profit negatif,
<
0) jika TR < TC dan dan secara grafik kurva TR di TR di bawah
kurva TC (terlihat pada grafik di atas). -
Keadaan tidak untung maupun tidak rugi (keadaan pulang pokok,
=
0) jika TR =
TC dan dan secara grafik ditunjukkan oleh perpotongan kurva TR dan TR dan kurva TC (terlihat pada grafik di atas).
