CALCULUL UNEI SUPRAFE ŢE DE PLUTIRE
Utilizând datele din tabelul de mai jos, s ă se reprezinte grafic suprafa ţa de plutire şi să se calculeze suprafaţ suprafa ţa plutirii utilizând metoda trapezelor şi respectiv regula de integrare a lui Simpson. Comparaţ Comparaţi rezultatele. rezultatele. Cupla Semilăţimea y(x) [m]
0
1
2
3
4
3.82
6.6
6.37
3.93
0.12
Lungimea de calcul este L WL = 99 m Reprezentarea grafică grafic ă
LWL
AWL
=
∫ y( x) ⋅ dx 0
unde dx este este distanţ distan ţa între doua cuple consecutive, deci, în acest caz, pasul de integrare este (n c este numă num ărul de cuple): ∆ x =
dx
=
LWL nc
−1
=
99 4
=
24.75m
Utiliând metoda trapezelor suprafa ţa de plutire este: S T
=
y 0 2
2 ⋅ ∆ x
+ y1 + y 2 + y 3 +
y 4
0.12 3.82 2 + 6.6 + 6.37 + 3.93 + = 2 ⋅ 24.75 ⋅ = 49.5 ⋅ 18.87 = 934.065m 2 2 2
Utilizând regula lui Simpson se ob ţine: SS
=
2⋅
∆ x
3
( y 0
+
4 y1
+
2 y 2
+
4 y 3
)
+ y 4 =
2 3
⋅ 24.75 ⋅
(3.28 + 4 ⋅ 6.6 + 2 ⋅ 6.37 + 4 ⋅ 3.93 + 0.12 ) = 16.5 ⋅ 58.8 = 970.2m 2
Deoarece metoda Simpson este mai precis ă, eroarea metodei trapezelor este: ε =
S T 934.065 1 − ∗ 100 = 1 − ∗ 100 = 0.037 ∗ 100 = 3.7% S 970 . 2 S 1
CALCULUL SUPRAFE ŢEI UNEI CUPLE
Utilizând datele din tabelul de mai jos, s ă se reprezinte grafic geometria cuplei şi să se calculeze suprafaţa transversală imersă utilizând metoda trapezelor şi respectiv regula de integrare a lui Simpson. Comparaţi rezultatele. Pescajul de calcul este T = 4.8 m Plutirea Semilăţimea y(z) [m]
0
1
2
3
4
0.58
14.48
19.91
21.88
22.59
Reprezentarea grafică:
T
AT
=
∫ y( z ) ⋅ dz 0
unde dz este este distanţa între doua plutiri consecutive, deci, în acest caz, pasul de integrare este (n p este numărul plutirilor): ∆ z =
dz
=
T n p
−1
=
4.8 4
= 1.2m
Utiliând metoda trapezelor suprafa ţa cuplei este: y y 0.58 2 + 14.48 + 19.91 + 21.88 + 22.59 = 2.4 ⋅ 77.855 = 162.852m ATT = 2 ⋅ ∆ z ⋅ 0 + y1 + y 2 + y 3 + 4 = 2 ⋅ 1.2 ⋅ 2 2 2 Utilizând regula lui Simpson se ob ţine: ATS
=2⋅
∆ z
3
( y 0
+
4 y1
+
2 y 2
+
4 y 3
)
+ y 4 =
2 3
⋅ 1.2 ⋅
(0.58 + 4 ⋅ 14.48 + 2 ⋅ 19.91 + 4 ⋅ 21.88 + 22.59 ) = 166.742m 2
Deoarece metoda Simpson este mai precis ă, eroarea metodei trapezelor este: ε =
ATT 162.852 1 − ∗ 100 = 1 − ∗ 100 = 0.023 ∗ 100 = 2.3% 166 . 742 A TS
2
CALCULUL VOLUMULUI CARENEI
Observaţie Se poate realiza fie prin integrarea suprafe ţelor transversale imerse, A Ti după direcţia axei x, pe lungimea navei, fie prin integrarea suprafe ţelor de plutire, A WLi , după direcţia axei z, până la pescajul T.
V =
∫ A
T
( x ) ⋅ dx
LWL
z
AWL AWL(z) G dz
T z
AWL1
z AWL
AWL0 0 T
∫
V = AWL ( z ) ⋅ dz 0
Cunoscând datele din tabelul de mai jos s ă se calculeze volumul carenei ştiind că lungimea navei la plutire este de 140m. Cupla 2 AT (x) [m ]
0 92.0
1 280.5
2 332.0
3
3 242.7
4 12.6
Pasul de integrare este ∆ x =
140 4
=
35 m
Utilizând metoda trapezelor V T
A0 2
= ∆ x ⋅
+ A1 + A2 + A3 +
A4
12.6 92 = 35 ⋅ + 280.5 + 332.0 + 242.7 + = 31762.5m 3 2 2 2
Utilizând metoda de integrare Simpson V S
=
∆ x
3
( A0 + 4 A1 + 2 A2 + 4 A3 + A4 ) =
1 3
⋅ 35 ⋅
(92.0 + 4 ⋅ 280.5 + 2 ⋅ 332.0 + 4 ⋅ 242.7 + 12.6) = 33383.2m 3
Eroarea metodei trapezelor fa ţă de metoda Simpson este V T 31762.5 1 − ∗ 100 = 1 − ∗ 100 = 0.049 ∗ 100 = 4.9% 33383 V S Care este echivalentul unui volum de 1620.5 m 3 sau a unui deplasament de 1661 t. ε =
CALCULUL ABSCISEI CENTRULUI DE PLUTIRE Centrul geometric (centroidul) al suprafe ţei plutirii este centrul de plutire F. Trebuie subliniat că, în ipoteza înclinărilor mici atât transversale cât şi longitudinale, noile suprafeţe de plutire trec prin acest punct. Poziţia centrului de plutire se poate calcula fa ţă de perpendiculara pupa P pp, faţă de perpendiculara prova P pv sau, mai frecvent, faţa de cuplul maestru. x F
=
∫ AWL
x
dA AWL
L pp
=
2
∫
x ⋅
0
y ( x ) AWL
dx
=
2
AWL
∫ x ⋅ y( x )dx
Utilizând metoda de integrare Simpson, rela ţia de calcul pentru abscisa centrului de plutire are forma xF
=
2
⋅
1
AWL 3
⋅ ∆ x ⋅
(1 ⋅ x0 y0 + 4 ⋅ x1 y1 + 2 ⋅ x2 y2 + 4 ⋅ x3 y3 + 1 ⋅ x4 ⋅ y4 ) 4
Aplicaţie Să se calculeze cu relaţia de integrare Simpson poziţia centrului de plutire fa ţă de cuplul maestru ştiind lungimea între perpendiculare L pp = 99 m şi datele din tabelul următor Cupla
0
1
2
3
4
Semilăţimea y(x) [m]
3.82
6.6
6.37
3.93
0.12
Primul pas constă în calculul suprafeţei de plutire cu relaţia Simpson pasul de integrare fiind ∆ x =
dx
SS
2⋅
=
=
∆ x
3
LWL nc
−1
( y 0
+
=
99 4
=
24.75m
4 y1 + 2 y 2 + 4 y 3 + y 4 ) =
2 3
⋅ 24.75 ⋅
(3.28 + 4 ⋅ 6.6 + 2 ⋅ 6.37 + 4 ⋅ 3.93 + 0.12 ) = 16.5 ⋅ 58.8 = 970.2m 2
Calculul se poate face şi tabelar ca în exemplul de mai jos Cupla
Semilăţimea y(x) [m]
Distanţa de la P pp x [m]
Momentul xy(x) (1)x(2)
Multiplicatorul Simpson
Produsul (3)x(4)
(0)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
0 1 2 3 4
3.82 6.60 6.37 3.93 0.12
0 1 x 24.75 = 24.75 2 x 24.75 = 49.50 3 x 24.75 = 74.25 4 x 24.75 = 99.00
0 163.35 315.315 291.803 11.88
1 4 2 4 1
0 653.4 630.63 1167.212 11.88
SUMA (5)
2463.12
Valoarea abscisei centrului de plutire fa ţă de perpendiculara pupa este x F
=
2
⋅
1
970.2 3
⋅ 24.75 ⋅ 2463.12 =
41.9 m
Faţă de cuplul maestru valoarea este
( x F )CM
=
LPP 2
−
( x F ) pp
=
99 2
−
41.9 = 7.6m (spre pupa)
5
CALCULUL ORDONATEI CENTRULUI DE CARENĂ Se defineşte ca fiind raportul dintre momentul de ordinul 1 al volumului imers fa ţă de linia chilei şi volumul carenei. z B
z A ∫ =
WL
( z ) dz
V
Utilizând relaţia lui Simpson se poate calcula integrala de la num ărător cunoscând datele din tabelul de mai jos şi volumul calculat pentru o aplicaţie anterioară, V = 33383 m 3 2
Pescajul, z [m] 0 4 8 12 16
∫
z AWL ( z ) dz
=
1 3
z B
⋅4
=
AWL (z) [ m ] 415.3 1423.0 2310.0 2877.0 2988.0
1 3
⋅ ∆ z ⋅
3
z AWL(z) [ m ] 0 5692 18480 34525 47808
(1 ⋅ z 0 AWL 0 + 4 ⋅ z1 AWL1 + 2 ⋅ z 2 AWL 2
+
4 ⋅ z 3 AWL 3
)
+ 1 ⋅ z 4 AWL 4 =
(0 + 4 ⋅ 5692.0 + 2 ⋅ 18480.0 + 4 ⋅ 34525 + 1 ⋅ 47808) = 327510 m 4
z A ∫ =
WL
( z ) dz
V
=
327510 33383
=
9.81 m
CALCULUL ABSCISEI CENTRULUI DE CAREN Ă
x B
∫ x A =
T
( x ) dx
V
Considerând acelaşi volum din aplicaţia precedentă V = 33383 m 3 , Lpp = 140 m şi datele din tabelul de mai jos 2
Cupla 0 1 2 3 4
AT [m ] 12.6 242.7 332.0 280.5 92.0
3
x [m] 0 35 70 105 140
x A T [m ] 0 8494.5 23240.0 29452.5 12880.0
Aplicând regula lui Simpson pentru momentul de ordinul 1 al volumului fa ţă de perpendiculara pupa, se ob ţine 1
∫ x A ( x ) dx = 3 ⋅ ∆ x ⋅ (1 ⋅ x A 0
T
=
1 3
x B
⋅ 35
T 0
+
4 ⋅ x1 AT 1
+
2 ⋅ x 2 AT 2
+
4 ⋅ x3 AT 3
(0 + 4 ⋅ 8494.5 + 2 ⋅ 23240 + 4 ⋅ 29452.5 + 1 ⋅ 12880) = 2463400 m 4
x A ∫ =
T
( x ) dz
V
=
2463400 33383
=
73.8 m faţă de perpendiculara pupa.
6
)
+ 1 ⋅ x 4 AT 4 =
