UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA
Practica 3. Aplicación de la Transformada de Laplace al modelado de sistemas físicos usando MATLAB.
Teor eoría de C ontr ontrol.
Prof. Carlos Jerez. Br. Juan J. Parra P.
Mérida, octu bre d e 2013 2013
Práctica 3. Aplicación de la Transformada de Laplace al modelado de sistemas físicos usando MatLab
Ma tLab posee una serie de herramientas que permiten la simulación de sistemas físicos y el diseño de sistemas de control usando un computador personal. Para poder usar estas herramientas es importante hacer un repaso de la transformada de Laplace, su inversa, y su aplicación en la solución de ecuaciones diferenciales. A) Transformada de Laplace
La teoría de las transformadas de Laplace constituye una parte esencial de la matemática requerida por los ingenieros, ya que es un instrumento fácil y efectivo para la solución de muchos problemas. Ésta relac iona funciones dependientes del tiempo con funciones dependientes de una variable c ompleja S. Definición de la Transformada
Sea f una función definida Laplac e de f(t) se define como:
pa ra 0 ,
la transformada
de
La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integrac ión se c onsidera c onstante Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
De orden exponencial Continua a trozos
Propiedades de la Transformada
En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace.
Linealidad
La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.
Primer Teorema de Traslación
Dónde:
La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.
Teorema de la transformada de la derivada
La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.
Teorema de la transformada de la integral
Teorema de la integral de la transformada
Siempre y cuando exista
Teorema de la derivada de la transformada
Transformada de la función escalón
Si
representa la función esca lón unitario entonces:
Segundo teorema de Traslación
Transformada de una función periódica
Si f(t) es una función periódica con período T:
1) ¿Qué comando se usa en MatLab para calcular la transformada de Laplace de una función expresada en el tiempo?
2) Calcule las transformadas de Laplace de las siguientes funciones usando MatLab Función
Código MatLab
Resultado
1
sin e sin2 cos e cos5
Los comandos simplify y pretty se utilizan para obtener expresiones más fáciles de leer. MatLab utiliza una fuente de letra que es proporcional, es decir, cualquier carácter ocupa siempre el mismo espacio predefinido en la pa ntalla, contrario a las fuentes usada s normalmente en Word donde el espacio ocupado por el carácter depende. Para poder visualizar una expresión copiada de Ma tLab, y pega da en Word utilice una letra proporcional como Courier:
Fuente: Courier 11
5 3 5 -------- + --- - ------------2 2 s 2 (s + 5) (s + 1) + 25
Fuente: Arial 11
5 3 5 -------- + --- - ------------2 2s 2 (s + 5) (s + 1) + 25
Otros cambios en la apariencia de los resultados desplegados:
Collect(F,s): Reúne los términos con coeficientes comunes de F, si coloc o s le a c laro q ue variable quiero que reúna.
Expand(F): Expa nde los productos de fac tores.
Factor(F): Factores de F.
Simple(F): Determina la forma más sencilla de F con el menor número de términos. Vpa(expression, places): Quiere decir precisión aritmética variable, este comando convierte términos simbólicos fraccionarios en términos dec imales con un número específic o de lugares después de la c oma.
3) Calcule la transformada de Laplace de las siguientes expresiones, use además los comandos simplify y pretty para hacer más fác il la lectura del resultado 1.5 sin5 5e cos5
Código: Resultado: Simplify : Pretty:
f sin 2 cos 2
Código: Resultado: Simplify: Pretty:
B) Transformada inversa de Laplace Si es la transformada de Laplace de una función continua , es decir , entonces la transformada inversa de Laplace de seria
Al ap licarla a una ec uac ión diferencial la convertimos en una ecuac ión algebraica, la cual podemos resolver para , .
Ahora, c omo si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución que buscamos. Para lo que necesitamos de la transformada inversa , para hallar la función
B.1) Descomposición en fracciones parciales
Un método conveniente para obtener las transformadas de Laplace es utilizar una tabla de transformadas. En este caso, la transformada debe tener una forma que se reconozca de inmediato en tal tab la. C on mucha frecuencia, es posible que la función cuestión no aparezca, en las tablas de transformadas de Laplace que posee el ingeniero, si una transformada especifica F(s) no se encuentra en la tabla, puede expandirse en frac ciones simples y escribirse en termino de func iones simples de s para las cuales ya se conoce las transformadas inversas de Laplac e. Para calcular la transformada inversa de Laplace de una función expresada en el dominio de usando MatLab no se necesita primero expandir la fracción en sus fracciones parciales, ya que éste cálculo es realizado internamente por MatLab. Sin embargo saber manejar polinomios en MatLab y poder expa ndir una fracción en sus fracciones pa rciales es muy útil para cualquier estudiante de ingeniería. B.2) Polinomios Un polinomio es una clase de expresión algebraica entera, en la cual existe una o más variables o indeterminadas, que no actúan como divisor, ni están afec tada s por operaciones de radica ción. Basta tener en cuenta que un polinomio no es más que un vector. El orden de los coeficientes es de mayor a menor grado
4)
¿Cómo se representa un polinomio en MatLab?
B.3) Comando roots Este comando es bastante usado, sirve para obtener las raíces de un polinomio. r =roots(p) devuelve un vector columna cuyos elementos son las raíces del polinomio p. 5) Calcule las raíces de los siguientes polinomios usando MatLab usando el comando roots Polinomio s 2 1 s 2 2 2s 4 2
Código MatLab
Factorización
6) ¿Qué comando se usa en MatLab para expandir una fracción en sus fracciones parciales?
7) Descomponga las siguientes frac ciones parciales usando MatLab
f
s5 10
Código:
Resultado (Matlab):
Resultado (escriba las fracciones parciales obtenidas con MatLab):
f
s1
1
Código:
Resultado (Matlab):
Resultado (escriba las fracciones parciales obtenidas con MatLab):
f
5 ∗ s 1 2 1
Código:
Resultado (Matlab):
Resultado (escriba las fracciones parciales obtenidas con MatLab):
B.4) Aplicación de la transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales Existen muchos métodos para resolver ecuaciones diferenciales, el método de las transformadas de Laplace tiene ventajas evidentes por lo que es uno de los más utilizados, alguna de estas ventajas son las siguientes: -Operaciones más sencillas -Proporciona solución natural como forzada -Se basa en la serie de Fourier Método de Solución de ED ba sado en Laplac e Pasos:
Aplicar la transformada de Laplace en ambos miembros de la ED Usar las propiedades de la transformada para tener una expresión en L{y(t)}. Esta expresión se conoc e como la ec uac ión c aracterística Aplicar la transformada inversa de Laplac e pa ra despejar y(t)
8) ¿Qué comando se usa en MatLab para c alcular la transformada inversa de Laplace de una función expresada en el dominio de la frecuencia?
9) Use MatLab para calcular la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones
f
5s 5 10
Comando: Resultado: Simplificación y lectura:
f Comando: Resultado: Simplificación y lectura:
25 6 25
10)Considere el sistema masa-amortiguador resorte que está montado sobre el carrito de la figura, asuma la posición de la masa como la salida del sistema, y a , la posición del carrito como la entrada
a) Obtenga el modelo matemático del sistema (ED), asumiendo que el carrito y la masa están detenidos para t<0
Respuesta:
b) Obtenga la función de transferencia del sistema (TF)
Respuesta:
c) Represente la TF en MatLab para m=10 kg, b=20 N-s/m, y k = 100 N/m, verifique que las unidades sean correc tas, de lo contrario aplique la corrección necesaria Correc ción de unida des necesario (Si/No):
Corrección en caso de ser necesaria:
C omando Ma tLab:
B.5) El comando step: Calcula la respuesta de escalón de un sistema dinámico. Para el caso de espa cio de estado, el estado inicial se supone cero. Cuando no se invoca con argumentos de salida, esta función de la respuesta de escalón en la pantalla. d) Sea un escalón unitario, encuentre la respuesta escalón del sistema (use el comando step de MatLab) adjuntando el gráfico obtenido
Gráfico:
Tabla A-1 Apéndice Ingeniería de Control Moderna Ogata 5ta Edición.
