APLICACIONES REALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Control de Procesos
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¿Qué es un sistema de control ? – En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que necesitan cumplirse. En el ámbito doméstico – Controlar la temperatura y humedad de casas y edificios En transportación – Controlar que un auto o avión se muevan de un lugar a otro en forma segura y exacta En la industria – Controlar un sinnúmero de variables en los procesos de manufactura En años recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez más importante en el desarrollo y avance de la civilización moderna y la tecnología. Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria: – tales como control de calidad de los productos manufacturados, líneas de ensa,ble automático, control de máquinas-herramienta, máquinas-herramienta, tecnología espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia, robótica y muchos otros
Ejemplos de procesos automatizados •
Un moderno avión comercial
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Satélites
¿ Por que es necesario controlar un proceso ? • • • • • • • • •
Incremento de la productividad Alto costo de mano de obra Seguridad Alto costo de materiales Mejorar la calidad Reducción de tiempo de manufactura Reducción de inventario en proceso Certificación (mercados internacionales) Protección del medio ambiente (desarrollo sustentable) Control de Procesos
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El campo de aplicación de los sistemas de control es muy amplia. Y una herramienta que se utiliza uti liza en el diseño de control clásico es precisamente: La transformada de Laplace
De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio. • Una vez que se ha estudiado estudiado el comportamiento de los sistemas sistemas dinámicos, se puede proceder proceder a diseñar y analizar los sistemas sistemas de control de manera simple. •
El proceso de diseño del sistema de control •
Para poder diseñar un sistema de control automático, se requiere – Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la ecuación diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes físicas, químicas y/o eléctricas.
– –
A esta ecuación diferencial se le llama modelo del proceso. Una vez que se tiene el modelo, se puede diseñar el controlador.
Conociendo el proceso … •
MODELACIÓN MATEMÁTICA Suspensión de un automóvil
F ma f (t ) k z (t ) b
El rol de la transformada tr ansformada de Laplace Suspensión de un automóvil
f (t ) k z (t ) b
dz (t )
d 2 z (t )
m 2 dt dt Aplicando la transformada de Laplace a cada término (considerando condiciones iniciales igual a cero) F ( s ) kZ ( s ) bsZ ( s ) ms Z ( s ) 2
F ( s ) Z ( s )ms 2 bs k Z ( s ) F ( s )
1 ms bs k 2
dz (t ) dt
m
d 2 z (t ) dt 2
Diagrama de bloques •
Suspensión de un automóvil
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MODELACIÓN MATEMÁTICA Nivel en un tanque
qi (t ) qo (t ) A R
qi (t )
1
h(t ) A
dh(t )
R dt Aplicando la transformada de Laplace Qi ( s )
1 R
H ( s ) AsH ( s )
Qi ( s ) H ( s )( As H ( s ) Qi ( s )
1 As
1 R
1 R
) R
AR s 1
dt
h(t ) qo (t )
qi (t )
Nivel en un tanque
dh(t )
1 R
h(t ) A
dh(t ) dt
Diagrama de bloques •
Nivel en un tanque
Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor
Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos y coraza. En condiciones estables, este intercambiador calienta 224 gal/min de agua de 80°F a 185°F por dentro de tubos mediante un vapor saturado a 150 psia. En un instante dado, la temperatura del vapor y el flujo de agua cambian, produciéndose una perturbación en el intercambiador. a) Obtenga la función de transferencia del cambio de la temperatura de salida del agua con respecto a un cambio en la temperatura del vapor y un cambio en el flujo de agua, suponiendo que la temperatura de entrada del agua al intercambiador se mantiene constante en 80°F. • b) Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua. • c) Grafique la variación de la temperatura de salida del agua con respecto al tiempo. •
Ecuación diferencial que modela el intercambiador de calor
Ecuación diferencial Donde: • Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor referido al diámetro exterior • (BTU/h °F ft2) • ATC0: Área de transferencia de calor referida al diámetro exterior (ft2) • Cp : Capacidad calorífica (BTU/lb °F) • tv : Temperatura del vapor (°F) • te : Temperatura del agua a la entrada (°F) • ts : Temperatura del agua a la salida (°F) • (te+ ts) / 2 :Temperatura del agua dentro de tubos (°F) • tref : Temperatura de referencia (°F) • w : Flujo de agua (lb/h) • m : Cantidad de agua dentro de tubos (lb) tv, ts, tw: Valores en condiciones estables • • Tv , Ts , W Variables de desviación
Linealizando
..1
..2 •
Evaluando en condiciones iniciales estables
..3 •
Restando (2) de (3)
Utilizando variables de desviación
Aplicando la transformada con Laplace
Simplificando
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Datos físicos – Largo del intercambiador = 9 ft – Diámetro de coraza = 17 ¼’’ – Flujo = 224 gal/min – Temperatura de entrada =80°F – Temperatura de salida = 185°F – Presión de vapor =150psia. – Número de tubos= 112 – Diámetro exterior de tubo = ¾ ’’ de diámetro y BWG 16, disposición cuadrada a 90°, con un claro entre tubos de 0.63’’. – Conductividad térmica de los tubos = 26 BTU/hft°F, – Factor de obstrucción interno = 0.0012 hft2°F/BTU; externo = 0.001
hft2°F/BTU – Coeficiente global de transferencia de calor = 650 BTU/hft2°F Calculando las constantes
Función de transferencia
Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.
Respuesta del proceso T s ( s )
K 1 s 1
T v ( s )
1
T s ( s )
K 2
s 1
T v ( s )
W ( s )
20
2
W ( s )
s
5007.25 s
K 1 20 K 2 5007.25 s 1 s s 1 s 1 2
0.381883 20 7.573947 x10 4 5007.25 7.63766 3.792464 T s ( s ) 1.712995 s 1 s 1.712995 s 1 s 1.712995 s 1 s 1.712995 s 1 s Expansión en fracciones parc iales T s ( s )
4.458658
2.213928
a1
s 0.583772 s s 0.583772 s s 0.583772
a2 s
b1
s 0.583772
b2 s
Transformada inversa de Laplace
4.458658 7.6376 s 0 . 583772 s 0 . 583772 s 0.583772
a1 s 0.583772
4.458658
4.458658 7.6376 s 0 . 583772 s 0 . 583772 s 0
a2 s
4.458658
2.213928 3.792453 s 0 . 583772 s 0 . 583772 s 0.583772 2.213928
b1 s 0.583772 b2 s
2.213928
2.213928 3.792453 s 0 . 583772 s 0 . 583772 s 0
T s ( s )
7.637670
s 0.583772
T s (t ) 7.637670e
7.637670
0.583772t
T s (t ) 7.637670 1 e
s
3.792453
s 0.583772
3.792453 s
7.637670 3.792453e 0.583772t 3.792453 Tss
0.583772t
3.7924531 e
0.583772 t
Tss
(Tss temperatur a inicial de salida)
APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS Nuestro objetivo fundamental es tomar ésta teoría y aplicarla en la resolución de problemas de ingenieria y mas específicamente en el análisis de circuitos eléctricos. Por tal motivo, en esta sección se presentarán ejemplos que sean claros y lo suficientemente generalizables, para que el estudiante pueda mas tarde llevar a cabo problemas similares ó con algún grado de dificultad superior. El primer paso será aprender la transformada que está asociada a cada uno de los parámetros ó componente de un circuito eléctrico basico: EL PARÁMETRO RESISTIVO EL PARÁMETRO INDUCTIVO EL PARÁMETRO CAPACITIVO FUENTES EL PARAMETRO RESISTIVO La transformada de Laplace en un circuito meramente resistivo, no tiene efecto sino en las funciones de voltaje y corriente:
cuya transformada es:
Este resultado se puede observar en la figura:
EL PARAMETRO INDUCTIVO Observe la figura, y detalle que para una inductancia L en Henrys, que posee una corriente inicial de i (0+) A en la dirección de la corriente i (t), se transforma en el dominio de s como una impedancia sL en ohmios, en serie con una fuente de voltaje cuyo valor en s es Li (t) y que va en la dirección de la corriente I(s).
La ecuación que describe el comportamiento del inductor en el dominio del tiempo es:
cuya respectiva transformada es:
EL PARAMETRO CAPACITIVO La figura que se observa en esta sección muestra una capacitancia de C faradios en el dominio del tiempo; en el dominio de s, ésta se transforma en una impedancia y una fuente de voltaje en serie oponiéndose a la corriente i (t), cuyos cuyos se observan también en dicha figura:
En el dominio del tiempo se tiene:
transformamos esta ecuación, y obtenemos:
FUENTES En cuanto a fuentes, la transformada depende de la función que caracterice a dicha fuente. Otra herramienta que debemos aprender, es el intercambio de fuentes:
En la primera figura, se cumple:
despejamos I(s):
Resultado que nos conduce a la segunda figura. Estas transformaciones son bidireccionales, es decir, si tenemos una fuente de corriente en paralelo con una impedancia se convertirán en una fuente de voltaje en serie con la impedancia, y viceversa.
Como segunda instancia, se aprenderán a resolver circuitos que contengan los anteriores parámetros, e involucren corrientes, voltajes y condiciones iniciales:
CIRCUITO RL SERIE CON FUENTE DC CIRCUITO RC SERIE CON FUENTE DC CIRCUITO RLC SERIE CON CONDICIONES INICIALES CIRCUITO RLC PARALELO CON CONDICIONES INICIALES
CIRCUITO RL SERIE CON FUENTE DC Considere el circuito de la figura:
La ecuación diferencial que resulta de hacer LVK, es:
sometiendo esta ecuación a la transformada de Laplace, obtenemos:
De esta ecuación despejamos I(s):
Ahora, cambiamos la forma del denominador para realizar un procedimiento de fracciones parciales:
hallamos el coeficiente A, igualando s a cero:
hallamos el coeficiente B, igualando s a
, y reemplazamos los valores:
finalmente, aplicamos transformada inversa de Laplace, para que la respuesta esté en el dominio del tiempo:
CIRCUITO RC SERIE CON FUENTE DC Observe la siguiente figura:
La ecuación integral que resulta de hacer LVK, es:
aplicando transformada de Laplace:
despejamos I(s):
Si observamos detenidamente esta última ecuación, nos damos cuenta que podemos aplicar directamente la transformada inversa de Laplace:
Este resultado generaliza la respuesta en el dominio del tiempo para este tipo de circuitos.
CIRCUITO RLC SERIE CON CONDICIONES INICIALES Considere el circuito de la figura, donde la corriente inicial del inductor es amperes, y el voltaje inicial en el condensadores es polaridad indicada:
voltios, con la
Si aplicamos LVK, obtenemos la ecuación integro-diferencial:
le aplicamos transformada de Laplace, y se obtiene:
arreglamos esta ecuación, de tal forma que se pueda ver de forma mas clara:
El primer factor de esta ecuación corresponde a la función del sistema, mientras que el segundo factor corresponde a la función de excitación. De acuerdo a lo anterior, el primer factor puede ser expresado de la siguiente forma:
en Siemens. Y dada la relación entre admitancia e impedancia:
podemos deducir que:
ahora, dejamos todo en una sola fracción:
Si detallamos la última ecuación escrita, y la relacionamos con la ecuación donde está despejada I(s), veremos que los ceros de Z(s) son los que en últimas determinan el comportamiento del circuito. Lo anterior, escrito en una ecuación sería:
Después de tener en cuenta todas estas consideraciones, lo único que resta es encontrar la respuesta en el dominio del tiempo; sin embargo, no se puede generalizar una respuesta debido a que dependiendo de las funciones de excitación
y de las condiciones iniciales, la respuesta en el tiempo cambia. Lo que haremos entonces es plantear la ecuación de transformada inversa de Laplace:
CIRCUITO RLC PARALELO CON CONDICIONES INICIALES La fuente de corriente i (t) de la figura, es la que excita el circuito. El inductor lleva una corriente inicial condensador es
. En la misma dirección de
. El voltaje inicial del
con la polaridad opuesta al sentido de la corriente
.
Por LCK:
Hallamos el equivalente de cada una de estas corrientes, para el caso del resistor en siemens:
para el inductor:
y para el condensador:
Reemplazamos estas tres expresiones en la primera ecuación:
Aplicamos transformada de Laplace, y el resultado es:
arreglamos esta ecuación, de tal forma que se pueda ver de forma mas clara:
El primer factor de esta ecuación corresponde a la función del sistema, mientras que el segundo factor corresponde a la función de excitación. De acuerdo a lo anterior, el primer factor es una impedancia que puede ser expresada de la siguiente forma:
o una admitancia cuyo valor es:
en Siemens los polos de Z(s) o los ceros de Y(s), determinan el comportamiento transitorio de la función respuesta V(s). La función respuesta en el dominio del tiempo es:
Estudiamos un caso de superposición resuelto con transformada de Laplace: SOLUCION POR SUPERPOSICIÓN La función respuesta para el caso del circuito RLC serie con excitación de voltaje, puede expresada como:
donde:
De forma similar, la respuesta para el circuito RLC paralelo con fuente de voltaje como excitación, puede escribirse:
donde:
con estas ecuaciones, se puede concluir que la función respuesta es la suma de componentes separadas, cada una de ellas obtenida dejando una fuente activa mientras las otras son cero ( Teorema de Superposición ).A
continuacion, se presenta un ejemplo que resume de forma práctica este procedimiento. El siguiente circuito posee tres fuentes, una de voltaje senoidal, otra de voltaje DC, y otra de corriente DC:
Como primer paso, recordamos la transformada de coseno y aplicamos la transformada de Laplace a la fuente de voltaje:
cada una de las tres fuentes se analiza como si las otras dos fuesen cero. Hay que tener en cuenta que cuando una fuente de voltaje se reduce a cero, en su lugar queda un corto-circuito; cuando se trata de una fuente de corriente, queda un circuito-abierto. Las tres situaciones se presentan en los circuitos a continuación:
del primer circuito podemos extraer la primera componente de la función respuesta:
y de los otros dos:
La tercera componente es cero, porque la corriente de la fuente fluye toda por el corto-circuito. De acuerdo a lo expuesto al principio de esta sección, la respuesta es igual a la suma de las componentes:
Ahora aplicamos transformada inversa de Laplace, para encontrar la respuesta en el dominio del tiempo:
Esta expansion de fracciones parciales se hace con el fin de facilitar la transformación inversa y utilizar pares de transformadas. Los valores de los coeficientes A, B y C, son:
reemplazamos estos coeficientes y obtenemos:
vemos que la transformada de coseno puede tener equivalentes en exponenciales de Frecuencia.
Finalmente, dos ejemplos que involucran conceptos de esta sección EJEMPLO 1 Dado el circuito de la figura, con las siguientes condiciones iniciales:
Encuentre i(t), utilizando la transformada de Laplace.
SOLUCION:
Como primer paso, incluimos las condiciones iniciales en el circuito del dominio del tiempo, y luego transformamos todo el circuito al dominio de la frecuencia:
La ecuación principal para resolver el problema, es:
Ahora planteamos dos ecuaciones de malla, teniendo en cuenta que la segunda ecuación corresponde a la malla exterior del circuito:
despejamos estas ecuaciones:
Y reemplazando en la ecuación principal:
separamos el primer sumando en fracciones parciales, ya que el segundo sumando ya posee coeficiente:
hallamos estos coeficientes:
con lo cual la función respuesta en el dominio de la frecuencia, es:
Esta ecuación podemos convertirla directamente al dominio del tiempo:
EJEMPLO 2 Según el circuito de la figura, encuentre:
a) b) h (t)
c) i2(t) si
SOLUCION 2:
a) Transformamos el circuito al dominio de la frecuencia:
Planteamos las siguientes ecuaciones de malla:
Organizando estas ecuaciones:
despejamos de la segunda ecuación el valor de I 1(s), y lo reemplazamos en la primera ecuación:
Esta última ecuación es una función de transferencia del circuito. b) Para saber el equivalente de H(s) en el dominio del tiempo aplicamos fracciones parciales:
En esta ocasión, empleamos el planteamiento de ecuaciones para hallar los coeficientes A y B:
resolvemos este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
con lo cual, la función H(s) queda:
ecuación a la que aplicamos directamente la tabla de transformadas inversas, lo que se traduce en una respuesta en el dominio del tiempo:
c) Tomamos la función de transferencia H(s) y despejamos el valor de I 2(s) en términos de Vs(s):
Aplicamos la transformada de Laplace a la función vs (t), y reemplazamos el resultado en la anterior ecuación:
hallamos estos coeficientes, utilizando la misma técnica que se uso en el ítem anterior:
