Fundac¸˜ ¸ao a ˜o Cent ro de Ciˆ encias e Educac¸˜ encias ¸ao a ˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro ancia Centro de Educac ¸ao a Distancia ancia do Estado do Rio de Janeiro ˜o Superior a Distˆ ˆ
Gabarito da AP2 – Geometria Anal´ Anal´ıtica I – 2018.1 Considere a cˆonica onica
C:
x = 2 + sec t ;t y = 3 + 3 tan tan t
∈ R,
dada por suas equa¸c˜ coes o˜es param´ para m´etrica etr icas, s, para respo res ponder nder `as as quest˜ ques t˜ oes o es 1, 2 e 3.
Quest˜ Que st˜ao ao 1 (1,0 ponto) po nto):: Encontre a equa¸c˜ c˜ao ao cartesi cart esiana ana da cˆ onica onica e identifique-a.
C Quest˜ao ao 2 (1,0 ponto): pon to): Encontre todos os elementos da cˆ onica onica C em coordenadas cartesianas
(centro, (cent ro, focos, foc os, v´ertices ertic es focais, foc ais, v´ertices ertic es imagin´ imagi n´arios, arios, v´ertices ertic es n˜ao ao focais, foc ais, diretriz, diretr iz, ass´ ass´ıntotas, ıntota s, retas focal e n˜ao ao focal, dependendo de sua classifica¸c˜ao). ca um esbo¸co c o da cˆonica onica contendo todos os seus elementos em um Quest˜ao ao 3 (1,0 ponto): pont o): Fa¸ca sistema de eixos coordenados OXY OX Y . .
C
Solu¸c˜ao: (1) Como a parametriza¸c˜ c˜ao da conica oˆnica foi feita usando as fun¸c˜ c˜oes oes trigono t rigonom´ m´etricas etric as tangente ta ngente e secante sec ante de t, vamos utilizar a identidade trigonom´etrica etrica abaixo para encontrar sua equa¸ c˜ao ao car carte tesi sian ana: a:
C
tan2 t + 1 = sec2 t
(1)
Pelas equa¸c˜ c˜oes oes para param´ m´etrica etr icass de , temos:
C
x = 2 + sec t
⇐⇒ sec t = = x x − 2, y−3 y = 3 + 3 ta tan n t ⇐⇒ tan t = .
(2) (3)
3
Substituindo as equa¸c˜ coes o˜es 2 e 3 na equa¸c˜ c˜ao ao 1, tem temos os que que:: (x
2
(y
− −9 3)
2
− 2) =1 ´e a eq equa ua¸c˜ c¸˜ao ao cart cartesi esiana ana da cˆ onica C . Logo, C ´e um onica umaa hi hip´ p´erb rbol ole. e. (2) Pela equa¸c˜ c˜ao ao encontrada e ncontrada no item anterior, temos que os elementos da cˆ onica s s˜˜ao: •
a = 1, b = 3 e c2 = a 2 + b2 = 10
•
centro: C = (2 (2,, 3) 3);;
•
reta focal: y = 3;
•
•
•
C
⇐⇒ c = √ 10 10;;
retaa n˜ao ret ao fo focal cal:: x = 2; v´erti er tice ces: s: (2
± 1, 3) 3),, ent (1,, 3) e A = (3 (3,, 3) 3);; nt˜˜ao A = (1 v´erti er tice cess ima i magi gin´ n´ario ar ios: s: (2 (2,, 3 ± 3) 3),, ent nt˜˜ao B = (2 (2,, 0) e B = (2 (2,, 6) 6);; 1
2
1
2
Geometria Anal´ıtica I
•
•
AP2
2
± √ 10, 3), ent˜ao F = (2 − √ 10, 3) e F = (2 + √ 10, 3); ass´ıntotas: 3x − y = 3 e 3x + y = 9. focos: (2
1
2
(3) Veja o esbo¸co da cˆ onica contendo todos os seus elementos na figura abaixo.
C
Figura 1: Hip´erbole (x
2
− 2) −
(y−3)2 9
= 1 e seus principais elementos.
Considere a equa¸c˜ao dada em coordenadas polares
C : ρ
2
+ 4ρ cos θ + 4ρ sen θ = 1
para responder `as quest˜o es 4 e 5.
Quest˜ao 4 (1,0 ponto): Verifique que a equa¸c˜ao coordenadas cartesianas e seu raio.
C ´e de um c´ırculo, encontre seu centro em
Quest˜ao 5 (1,0 ponto): Encontre o centro de em coordenadas polares.
C
Solu¸c˜ao: (4) Sabemos que
Fundac ¸˜ ao CECIERJ
x = ρ cos θ
(4)
y = ρ sen θ,
(5)
Cons´ orcio CEDERJ
Geometria Anal´ıtica I
AP2
3
o que implica que ρ =
x2 + y 2 .
(6)
Substituindo as equa¸co˜es 4, 5 e 6 na equa¸c˜ao de , obtemos:
C
ρ2 + 4ρ cos θ + 4ρ sen θ = 1
2
2
⇐⇒ x + y + 4x + 4y = 1 ⇐⇒ x + 4x + 4 + y + 4y + 4 = 1 + 4 + 4 ⇐⇒ (x + 2) + (y + 2) = 9. Pela equa¸c˜ao encontrada acima, temos que C ´e um c´ırculo de centro (−2, −2) e raio 3. 2
2
2
2
(5) Para encontrar o centro do c´ırculo em coordenadas polares, vamos utilizar novamente a equa¸ c˜ao 6 para calcular primeiramente o valor de ρ:
−
ρ =
(
2)2
+(
2)2
−
=
Agora, utilizando as equa¸c˜o es 4 e 5 obtemos sen θ = 1 2
− √ = −
√
2 , 2
logo θ =
5π 4
√
√
8 = 2 2. 2
1 2
− √ = − √ = − 2 2
√
2 2
e cos θ =
2 2 2
− √
=
+ 2kπ, onde k
∈ R.
√
Assim, o centro de em coordenadas polares ´e (2 2, 54π + 2kπ), onde k
C
∈ R.
Considere as curvas dadas pelas equa¸co˜es 2
E : −x 1
+ 3y 2 + 6x
e
− 12y = −4
2
2
E : x − y − 6x − 2y = −8 2
para responder `as quest˜o es 6, 7 e 8.
Quest˜ao 6 (1,0 ponto): Classifique as curvas
E e E . Quest˜ao 7 (1,0 ponto): Encontre a interse¸c˜ao entre E e E . Quest˜ ao 8 (1,0 ponto): Fa¸ca o esbo¸co da regi˜ao R do plano dada pelo seguinte sistema de 1
2
1
2
inequa¸co˜es:
R:
−
x2 + 3y 2 + 6x 12y 4 2 2 x y 6x 2y > 8 .
− ≥ − − − − −
Observa¸c˜ao: N˜ao se esque¸ca de fazer o esbo¸co em um sistema de eixos coordenados pontos de interse¸c˜ ao entre as curvas que delimitam a regi˜ ao .
Solu¸c˜ao:
− 2) (6) Completando os quadrados da equa¸c˜ao de E , obtemos (x − 3) − 1/3 2
1
(y
OX Y e
de marcar os
2
= 1 que ´e a equa¸c˜ao
de uma hip´erbole centrada em (3, 2) e reta focal paralela ao eixo OX . Completando os quadrados da equa¸c˜ao de 2 , obtemos (x 3)2 (y + 1)2 = 0 que ´e a equa¸c˜ao de uma cˆonica degenerada. Neste caso, desenvolvendo a equa¸c˜ao encontrada, obtemos as equa¸ c˜oes x y = 4 e x + y = 2, que representam duas retas concorrentes em (3, 1).
E
−
−
−
−
(7) Como
2
E pode ser escrita da forma (x − 3) − (y + 1) 2
Fundac ¸˜ ao CECIERJ
2
= 0, ent˜ao Cons´ orcio CEDERJ
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2
2
− 3) = (y + 1) . Substituindo a equa¸c˜ao 7 na equa¸c˜ao de E temos: (y + 1) − 3(y − 2) = 1 ⇐⇒ y − 7y + 6 = 0. (x
(7)
1
2
2
2
Resolvendo a equa¸c˜ao do segundo grau encontrada acima, obtemos y = 6 ou y = 1. Agora, substituindo os valores de y encontrados acima na equa¸c˜ao 7 obtemos: •
•
y = 6, ent˜ao (x
− 3) y = 1, ent˜ao (x − 3)
2
= (6 + 1)2 , o que implica que x =
2
= (1 + 1)2 , o que implica que x = 1 ou x = 5.
−4 ou x = 10.
Assim, os pontos de interse¸c˜ao entre as curvas s˜ao A = ( 4, 6), B = (10, 6), C = (1, 1) e D = (5, 1).
−
(8) Veja o esbo¸co da regi˜ao contendo os pontos de interse¸c˜ao encontrados no item anterior desenhada da cor azul. Os pontos de interse¸c˜ao encontrados anteriormente n˜ao pertencem `a regi˜ao .
R
R
Figura 2: Regi˜ao
R.
Quest˜ao 9 (2,0 pontos): Encontre a reta sim´etrica `a reta r : x P = (2, 3).
− y = 3 em rela¸c˜ao ao ponto
´ necess´ OBS.: N˜ ao ser˜ ao aceitas justificativas baseadas apenas no desenho. E ario apresentar todos os c´ alculos realizados para se obter a resposta final.
Solu¸c˜ao: Como P / r, temos que o sim´etrico de r em rela¸c˜ao ao ponto P ´e uma reta n˜ao coincidente com r, que chamaremos de a. Vejamos como determin´a-la. Notemos inicialmente que a reta a sim´etrica a r em rela¸c˜ao a P ´e uma reta paralela a r. Assim, sua equa¸c˜ao ´e da forma x y = k, onde k ´e um n´umero real que precisamos descobrir. Para encontrar
∈
−
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Figura 3: Retas sim´etricas em rela¸c˜ao ao ponto P . um ponto pertencente a a e assim determinar k, basta tomar qualquer ponto em r e encontrar seu sim´etrico em rela¸ca˜o a P . Sejam s a reta perpendicular a r que passa pelo ponto P e A o ponto de interse¸c˜ao entre r e s. Note que o ponto B = a s ´e o sim´etrico de A com respeito `a P . Encontrando B, nosso problema estar´a solucionado. Como (1, 1) r, ent˜ao (1, 1) s. Assim, x + y = d ´e a equa¸c˜ao cartesiana de s, onde d ´e um n´umero real. Utilizando o ponto P , podemos determinar o valor de d da seguinte maneira:
∩
− ⊥
⊥
P = (2, 3)
∈ s ⇐⇒ 2 + 3 = d ⇐⇒ d = 5. x = t + 2 Logo, x + y = 5 ´e a equa¸c˜ao cartesiana e , t ∈ R s˜ao equa¸c˜oes param´etricas de s. y = −t + 3 Como A = r ∩ s, resolvendo o sistema x − y = 3 . x + y = 5
encontramos que A = (4, 1). Note que, como A e B s˜ao sim´etricos em rela¸c˜ao a P , temos que d(A, P ) = d(B, P ).
∈ s, ent˜ao B = (t + 2, −t + 3) para algum t real. Assim, (−2) + (−2) = √ t + t ⇐⇒ t = ±2. Se t = −2, ent˜ao encontramos B = (0, 5). Se t = 2, o ponto encontrado coincide com o ponto A. Portanto, se a reta a : x − y = k passa por B = (0, 5),conclu´ımos que k = −5. Logo, o sim´etrico Como B
2
2
2
2
de r em rela¸c˜ao a P
x
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− y = −5.
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