Antología Álgebra lineal.pdf

SEP

SEV DGEST INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TANTOYUCA

DITD

ANTOLOGÍA ÁLGEBRA LINEAL

Presenta PABLO IVÁN ROMERO DE LA ROSA

Tantoyuca, Ver., Agosto de 2014.

Presentación.

PRESENTACIÓN.

Querido lector/a: Es satisfactorio expresar el agradecimiento al Instituto Tecnológico Superior de Tantoyuca, porque haya considerado interesante para sus objetivos la publicación de la presente antología. La única finalidad que me ha motivado a preparar esta edición, ha sido la de facilitar la tarea al estudiante y la mía como profesor. Siendo esta antología una útil herramienta de consulta para resolver las dudas de los conceptos que se abordan en clase; en esta obra se profundizan algunos temas clave y practicar las destrezas matemáticas. El contenido de esta edición Álgebra lineal fue seleccionado de grandes autores que han aportado avances a las ciencias de la Matemáticas y también de los programas educativos que se llevan en el campo de la ingeniería. He escrito todo lo que un estudiante debe saber después de un buen aprovechamiento del curso, tentado en algunas ocasiones a profundizar más en algunos conceptos. La redacción y selección del contenido, esta en un lenguaje sencillo y fácil de comprenderse para todos aquellos que comienzan la aventura del mundo de las Matemáticas y con ejemplos de aplicación para la solución de problemas que se presentan en la vida cotidiana. Estoy convencido de que en la medida en que sepa comunicarte mi pasión por lo que hago y mi creencia no dogmatica en lo que enseño, en la misma medida, lograre que encuentres satisfacción e ilusión por lo que estudias. Suscribo las palabras de otro insigne matemático: "No es muy difícil hacer y escribir programas para la enseñanza de las matemáticas, lo es mucho más llevarlos a la práctica. Puede enseñarse bien de muchas maneras, hacerse mal de muchísimas, pero lo peor es hacerlo de un modo aburrido." Rolf Nevanlinna. Deseo que la presente edición, que fue diseñada con gran esmero y dedicación; sea una herramienta invaluable para tu preparación como futuro profesionista. Pablo Iván Romero de la Rosa.

Álgebra lineal

4

Unidad I: Números Complejos.

Objetivo Educacional: Conocerá el concepto de número complejo así como sus principales propiedades y diferentes representaciones y los aplicará a la resolución de problemas.

Unidad I: Números Complejos

1.1 DEFINICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS. Un número complejo es un número de la clase son reales e 1, o √ 1.

, en donde a y b

La letra a se llama parte real de y bi se llama parte imaginaria. Si a es cero el número complejo se reduce a un número imaginario puro. Si b es cero se reduce a un número real. Por consiguiente, los números reales y los números imaginarios puros son casos especiales de los números complejos. Si b es diferente a cero, el número complejo se denomina número imaginario puro. y

Dos números complejos . Por ejemplo, si Por tanto

2

2 3y4

4

y 3

son iguales si, y solamente si,

12 .

12, entonces

5y

3.

1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS. En general, la suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números complejos y , se expresan en las fórmulas siguientes: (1.1) (1.2)

(1.3)

(1.4)

Para obtener el cociente expresado en la ecuación (1.4) se multiplicaron el dividendo y el divisor , por . Este factor se llama conjugado de se define de la siguiente manera. Álgebra lineal

y la relación establecida

6


Se dice que dos números complejos son conjugados uno de otro si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias difieren solo en signo. El conjugado de un número complejo, se escribe colocando sobre el número una línea horizontal llamada vínculo. Del modo siguiente . EJEMPLO 1

Realizar las operaciones indicadas. 3

4

2

7 .

2

7 .

Solución. 3 EJEMPLO 2

4

2

7

3

2

4

7


5

3

4


4

2

7

3

2

4

7


1 4

11 2

7 .


4

2

7

6

8

21

28

34

13

Realizar las operaciones indicadas. Solución.

EJEMPLO 5


4

2

7 .

Solución. 3

Álgebra lineal

4

2

7

3

2

4

7

5

11

7


1.3 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS. La representación geométrica de los números complejos es igualmente útil. Con objeto de asociar un número complejo con un punto, se usa un par de ejes coordenados rectangulares. Entonces el punto que representa es el punto cuyas coordenadas son , . Cuando se usan para los números complejos los ejes X e Y como sistema de referencia se les designa, respectivamente, como eje real y eje imaginario y el plano se llama plano complejo.

Fig. 1.1 Representación geométrica. Si en la Fig. 1.1 se une el punto z con el origen se obtienen el segmento r y el ángulo Ө. Se designa a r como valor absoluto o módulo de z y a Ө como amplitud o argumento. La magnitud del segmento que va del origen al punto que representa un número complejo se llama módulo o valor absoluto de ese número. El ángulo formado por este segmento y el eje real positivo se llama argumento o amplitud del número. Álgebra lineal

8


Si se emplea el teorema de Pitágoras, se tiene (1.5) Y debe observarse que r siempre es positivo. Además puesto que tanθ

se

concluye que

tan

.

(1.6) 3

Por ejemplo, el número complejo Por tanto

√3

Y el argumento

tan

4

√9

16

4. √25

5.

53.13°

1.4 REPRESENTACIÓN POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO. En la Fig. 1.1 se observa que cosθ

y sinθ

. En consecuencia; el número complejo .

. Por tanto,

y

, se puede escribir

Sacando a r como factor común en el miembro de la derecha se tiene (1.7) El miembro de la derecha de la ecuación 1.7 se llama forma polar o trigonométrica de z. EJEMPLO 1

Expresar 1

√3 en forma polar.

Solución: Para expresar en forma polar el número complejo 1 √3, primero tenemos que calcular el valor absoluto r (mediante la ecuación 1.5) y el argumento Ө del mismo (mediante la ecuación 1.6). 1 tan Álgebra lineal

√3 √

2

60° 9


1 EJEMPLO 2

√3

2

60°

Expresar 4

60°

5 en forma polar.

Solución: Para expresar en forma polar el número complejo 4 5 , primero tenemos que calcular el valor absoluto r (mediante la ecuación 1.5) y el argumento Ө del mismo (mediante la ecuación 1.6). 4

5

tan 4

√41

308.4°

5

308.4°

√41

308.4°

1.5 PRODUCTO DE DOS NÚMEROS COMPLEJOS. ´

El producto de dos números complejos z ´ ´ es

´

´

´

por z´

´

´

´

´

´

´

´

´

´ ´

´

Haciendo uso de las fórmulas para el seno y el coseno en el caso de la suma de dos ángulos se tiene ´

´ cos

´

´

(1.8)

De ahí, el teorema siguiente: el valor absoluto del producto de dos números complejos es el producto de sus valores absolutos. El argumento del producto de dos números complejos es la suma de sus argumentos. EJEMPLO

Obtener el producto de 1

por 1

√3.

Solución: Para obtener el producto de 1 y 1 √3, se expresan primero los números en su forma polar, y se obtiene 1

Álgebra lineal

√2

45°

45°

10


1

√3

2

60°

60°

Por tanto, su producto es 45°

√2

45° 2

2√2 cos 45°

60°

60°

45°

2√2 cos 105°

60° 60°

105°

1.6 COCIENTE DE DOS NÚMEROS COMPLEJOS. El cociente de dos números complejos se obtiene multiplicando cada uno por el conjugado del divisor. Por tanto, el cociente de z entre z´ ´ ´ ´ es

´

´

´

´ ´

´

´

´

´ ´

´

´

´ ´

En consecuencia, la fórmula para el cociente de dos números complejos ´ es ´

´

´

´

(1.9)

De ahí, el teorema siguiente: el valor absoluto del cociente de dos números complejos es el valor absoluto del dividendo entre el valor absoluto del divisor. La amplitud del cociente de dos números complejos es la amplitud del dividendo menos la amplitud del divisor. EJEMPLO

Calcular el cociente de 1

entre 1

√3.

Solución: Para obtener el cociente de 1 y 1 √3, se expresa cada número en su forma polar, y se obtiene 1 1 Álgebra lineal

√3

√2

45°

45°

2

60°

60° 11


Por tanto, su cociente es √

°

°

°

°

√

cos 45°

√

cos 15 °

60°

45°

60°

15°

1.7 TEOREMA DE MOIVRE. Si se eleva al cuadrado el número complejo

se

obtiene

2

2

De igual manera 2

3

2

3

La aplicación sucesiva de este proceso conduce al teorema siguiente: Si entonces cos EJEMPLO

(1.10) Elevar 1

a la quinta potencia.

Solución: Para elevar 1 a la quinta potencia, se expresa el número en su forma polar, y se obtiene 1

√2

45°

45°

Por tanto, aplicando el teorema de Moivre resulta

Álgebra lineal

√2

cos 5 45 °

√2

cos 235 °

5 45° 235°

12


1.8 RAICES DE NÚMEROS COMPLEJOS. En el campo de los números reales no existe √ 9, ni √ 16. En realidad, no existe raíz par de ningún número negativo y solamente existe una raíz impar de un número negativo en el campo de los números reales. Sin embargo, empleando números complejos se pueden obtener n raíces enésimas de cualquier número mediante la aplicación del teorema de Moivre. Ilustraremos este procedimiento resolviendo los ejemplos siguientes: EJEMPLO 1

Encontrar las tres raíces cúbicas de 64. Solución: Expresando en forma trigonométrica. 64

64

0°

64

64 cos 0°

0° 360°

0°

360°

Para cualquier valor entero de n ya que periódicos con 360° como período.

y

son

64 Tendremos 64 Elevando ambos términos al cubo. 64

3

3

Por aplicación del teorema de Moivre igualando los segundos miembros. 3

3

64 cos 0°

360°

0°

360°

Para todos los valores enteros de n. De los valores absolutos de ambas expresiones obtendremos 64; de aquí √64 4. Además 3 0° 360° son iguales para todos los valores de n ya que cada uno es una expresión del argumento; de aquí, 3 Álgebra lineal

360° 13


120° 0°

Para

0

120°

Para

1

240°

Para

2

Refiriéndonos a la ecuación (1.7) vemos que los valores de la √64 que corresponden a estos valores de

EJEMPLO 2

4

0°

4

120°

4

240°

0°

Para

0

120°

Para

1

240°

Para

2

Encontrar las cuatro raíces cuartas de 1 Solución: Si se expresa 1 1

√3

2

1

√3

2 cos 60°

60°

√3.

√3 en forma polar, se tiene 60°

360°

60°

Para cualquier valor entero de n ya que periódicos con 360° como período. 1

son

360° y

son

√3

Tendremos 1

√3

Elevando ambos términos al cubo. 1

√3

4

4

Por aplicación del teorema de Moivre igualando los segundos miembros. 4

4

2 cos 60°

360°

60°

360°

Para todos los valores enteros de n.

Álgebra lineal

14


De los valores absolutos de ambas expresiones obtendremos 2; de aquí √2. Además 4 60° 360° son iguales para todos los valores de n ya que cada uno es una expresión del argumento; de aquí, 15°

90°

15°

Para

0

105°

Para

1

195°

Para

2

285°

Para

3

En consecuencia, los valores de las raíces cuartas de 1 son √2

15°

√2

105°

√2 √2

15°

Para

0

105°

Para

1

195°

195°

Para

2

285°

285°

Para

3

√3

1.9 EJERCICIOS DE AFIRMACIÓN. I. Efectúense las operaciones indicadas en los siguientes ejercicios: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

3 4 2 3 4 2 4 7 1 3

2 3 3 5 3 3 5 2 2

Álgebra lineal

5 2 1 5 1 3 5

2 2

3 5 2 3 3

1 1 15


11. 12. 13. 14. 2 15. 3

3

3 2

4 5

II. Mediante el uso de las condiciones que determinan que dos números complejos son iguales, encuéntrense los valores de “x” y “y” en las ecuaciones siguientes: 3 2

1. 2. 3. 4. 5. 4

3 3 2

5 3 3

2

2

4

3

III. Represente gráficamente los siguientes números complejos: 1. 2. 3. 4. 5.

3 4 5 5

2 3 12 7 24

IV. Exprésense en forma polar los siguientes números complejos: 1. 2. 3. 4. 5.

3 1 5 8 3

4 12 15

V. Conteste las siguientes cuestiones. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

¿Qué es un número complejo? ¿Cuándo se dice que un número complejo es imaginario puro? ¿Cuándo se dice que un número complejo es real? ¿Cuándo se dice que dos números complejos son iguales? Exprese la fórmula de la suma de números complejos. Exprese la fórmula de la diferencia de números complejos. Exprese la fórmula del producto de números complejos. Exprese la fórmula del cociente de números complejos.

Álgebra lineal

16


9) ¿Cuándo se dice que dos números complejos son conjugados? 10) ¿A qué se le llama módulo o valor absoluto? 11) ¿A qué se le llama argumento o amplitud? 12) ¿Cómo se obtiene el valor absoluto? 13) ¿Cómo se obtiene el argumento? 14) ¿A qué se le llama forma polar o trigonométrica? 15) ¿Para qué se utiliza la forma polar?

Álgebra lineal

17

Unidad II: Matrices y determinantes.

Objetivo Educacional: Utilizará las matrices y los determinantes; así como sus propiedades en la solución de problemas.

Unidad I : Matrices y determinantes.

2.1 DEFINICIÓN DE MATRICES. Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de orden "m" " " a un conjunto rectangular de elementos dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales. Las matrices se denotan con las letras mayúsculas: A, B, C, … y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado; a, b, c, … Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz: …

…

…

… EJEMPLO

…

Determinar las filas y columnas de la siguiente matriz:

7

3

5

√2

4

.

Solución: Las filas de la matriz son

3

Las columnas de la matriz son

5 y 7 √2 ,

4

3 5 y 4 √2

7 Una lista numérica es un conjunto de números dispuestos uno a continuación del otro. Dos matrices y son iguales, sí y solo si, tienen en los mismos lugares elementos iguales, es decir: , ; . EJEMPLO Demostrar que las siguientes matrices son iguales: 1

5 0

1 1

5

Solución: La matriz A y B son iguales sí y solo sí a=1 y b=0.

Álgebra lineal

19


2.2 TIPOS DE MATRICES.

Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus elementos, … reciben nombres diferentes:

Tipo de matriz

Definición

Ejemplo

Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su 7 2 5 orden 1 7 Aquella matriz que tiene 1 una sola columna, siendo 6 su orden 1 Aquella matriz que tiene 1 3 2 9 distinto número de filas 5 7 1 8 que de columnas, siendo 0 3 5 1 su orden , Dada una matriz A, se Si es , su llama traspuesta de A, a traspuesta es la matriz que se obtiene . cambiando 1 2 5 ; ordenadamente las filas 3 4 7 por las columnas. Se 1 3 ó representa por 2 4 5 7 1 3 La matriz opuesta de una 5 7 ; dada es la que resulta de 6 4 sustituir cada elemento 1 3 por su opuesto. La 5 7 opuesta de A es –A. 6 4 Si todos sus elementos 0 0 0 0 son cero. También se 0 0 0 0 0 denomina matriz cero y 0 0 0 0 se denota por 0 . Aquella matriz que tiene 1 9 6 igual número de filas que 0 2 1 de columnas, , 2 4 5 diciéndose que la matriz es de orden n. Es una matriz cuadrada 1 9 6 que es igual a su 9 2 1 traspuesta. , 6 1 5

FILA COLUMNA RECTANGULAR

TRASPUESTA

OPUESTA

NULA

CUADRADA

SIMÉTRICA

Álgebra lineal Ϯ

20


ANTISIMÉTRICA

DIAGONAL

ESCALAR

IDENTIDAD

TRIANGULAR

NORMAL

INVERSA

Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. , . Necesariamente 0 Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad. Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal. Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas y anti simétricas son necesariamente normales. Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, , si se verifica que: . . 1

0 -9 6

9 0 -1

7 0 0 5 0 0

6 1 0 0 0 2

7 0 0 0 7 0 0 0 7

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 5 0 4 1 ; 0 0 9 1 0 0 5 4 0 2 8 7

.

5 4 ; 4 5 . 2 1

3 ; 1 1 3 1 2

Para establecer las reglas que rigen el cálculo con matrices se desarrolla un álgebra semejante al álgebra ordinaria, pero en lugar de operar con números lo hacemos con matrices.

Álgebra lineal

21

Unidad I: Matrices y determinantes.

2.3 OPERACIONES CON MATRICES.

2.31 SUMA DE MATRICES Y MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR. La suma, A+B, dos matrices A y B del mismo tamaño se obtiene sumando los elementos de ambas matrices. Para la diferencia, A-B, se restan los elementos correspondientes. Las matrices de distintos tamaños no se pueden sumar ni restar. EJEMPLO 1 Realizar la suma de las siguientes matrices: 1 1 1

2 1 ; 1

1 1 4

0 2 1

Solución: Primero se tiene que verificar que ambas matrices sean del mismo tamaño. Posteriormente si son de igual magnitud se procede a realizar la operación solicitada. 2 2 1 2 1 0 1 1 1 2 2 3 5 2 1 1 4 1 EJEMPLO 2

Realizar la resta de las siguientes matrices: 1 1 2 0

2 ; 3

1 1

1 2

0 3

Solución: Primero se tiene que verificar que ambas matrices sean del mismo tamaño. Posteriormente si son de igual magnitud se procede a realizar la operación solicitada. 1 1 2 1 1 0 0 2 2 2 0 3 1 2 3 3 2 0 Sean A cualquier matriz y c cualquier escalar. El producto por escalar, cA, es la matriz que se obtiene al multiplicar cada elemento de A por c. Si c=-1, a (-1)A se le llama opuesta de A y se representa por –A. EJEMPLO Calcule 2A y (-1)A=-A, si 1 0 2

3 1 2

Solución: Se tiene que multiplicar ambos escalares por los elementos de la matriz A. 1 3 2 6 1 3 1 3 2 0 1 0 1 0 2 1 0 1 2 2 4 4 2 2 2 2 Álgebra lineal

22


La suma, resta y multiplicación por escalar de matrices se apegan a unas cuantas reglas básicas, que se resumen en el siguiente teorema. TEOREMA 1. Leyes para suma de matrices y multiplicación por escalar. Sean A, B y C matrices de m x n cualesquiera, y sean a, b, y c escalares cualesquiera. Es válido lo siguiente: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1 9. 0

0

0 0

0

OBSERVACIÓN: La propiedad 1 se denomina ley asociativa para la suma, mientras que la propiedad 2 es la ley conmutativa. Las propiedades 5 y 6 se conocen como leyes distributivas. EJEMPLO

Determine la matriz X tal que 2X-4B=3A. Sean 1 2 0 0

0 y 1

0 1 1 0

3 1

Solución: Se suma 4B en ambos lados de la ecuación para obtener 2 4 4 3 4 2

4

4 2

0 2

3

4 de acuerdo con 1, teorema 1

3

4 según la propiedad 4, teorema 1

3

4 según la propiedad 3, teorema 1

Ambos lados de la última ecuación se multiplican por : 2

3

4

es decir

2 según las

propiedades 8,5 y 7, del teorema 1.

Álgebra lineal

23

Unidad II: Matrices y determinantes. Por consiguiente,

1 2 0 0

0 1

2

0 1 1 0

3 1

5

6

2 0

2.32 MULTIPLICACIÓN MATRICIAL. Si A es una matriz de m x k y B una matriz de k x n. El producto AB es la matriz de m x n cuyas columnas Ab1, …, Abn, en la que b1, …, bn son las columnas de B. EJEMPLO

Obtener el producto de AB. Sean 3 2 0

2 0 1 y 2 1 2

2 4 3

4 5 2

Solución: Obtenemos los siguientes resultados: 3 2 0 1 6 2 2 1 2 4 0 2 2 0 1 4 2 1 2 3 2 0 1 2 1 2

4 5 2

7 14 6 9

Por consiguiente, 6 7 6 4 14 9 PRECAUCIÓN: La multiplicación matricial solo es posible si la cantidad de columnas de la primera matriz es igual a la cantidad de renglones de la segunda.

TEOREMA 2. Multiplicación matricial. Sean A, es una matriz de m x n, y B y C tienen tamaños tales que las operaciones siguientes puedan llevarse a cabo. Y a es un escalar cualesquiera. Es válido lo siguiente: Álgebra lineal

24


1. 2. 3. 4. 5. 6. 0

Ley asociativa. Ley distributiva izquierda. Ley distributiva derecha. Identidad multiplicativa. 0y 0

0

OBSERVACIÓN: Al igual que en la suma, esta ley asociativa permite eliminar paréntesis de productos múltiples. Por ejemplo:

2.33 POTENCIAS DE UNA MATRIZ CUADRADA.

Sea A una matriz cuadrada. El producto AA también se representa por A2. Igualmente, AAA es igual A3. … EJEMPLO

Dadas las siguientes matrices, elevarlas al cuadrado y a la tercer potencia. 1 2

1 , 3

1 0

2 y 0

0 0

1 0

Solución: Obtenemos los siguientes resultados: 1 1 3 4 11 , y 2 3 8 11 30 1 0

2 , 0

1 2 y 0 0

1 2 0 0

0 0

1 , 0

0 0

0 0

0 y 0

15 41

0 0

TEOREMA 3. Potencias de matrices. Las relaciones que se muestran a continuación son válidas para cualesquiera enteros positivos n y m. 1. 2. 3.

Álgebra lineal

25


2.4 MATRIZ INVERSA.

Se dice que la matriz A de n x n es invertible, o no singular, si existe una matriz B, llamada la inversa de A tal que y Obsérvese que la definición obliga a que B tenga el tamaño n x n. Una matriz invertible solo tiene una inversa, es decir, la inversa es única. Si C fuera otra inversa, entonces Por consiguiente, B=C. La inversa única de una matriz invertible A se y . representa por A-1. Así, Una matriz cuadrada que no tiene inversa se llama no invertible o singular. EJEMPLO

Demuestre que

2 7 es la inversa de 1 4

4 1

7 2

Solución: Tenemos que multiplicar la primera matriz por la segunda; también se realiza la multiplicación de la segunda por la primera, y se comprueba que ambos resultados nos den como resultado una matriz identidad: 1 0 2 7 4 7 1 2 0 1 1 4 4 1

7 2 2 1

7 4

1 0

0 1

TEOREMA 4. Inversa de una matriz. 0, en cuyo caso,

es invertible sí y solo sí . EJEMPLO 1

Demuestre que inversa.

1 2 es invertible y determine su 3 4

Solución: Lo primero que tenemos que verificar según el teorema 4 es 0: 1 4 2 3 2 Por consiguiente, según el teorema 4, la matriz A es invertible. Además 4 3 Álgebra lineal

2 1 26


4 3 2

EJEMPLO 2

2 1 1

1 0 es no invertible. 0 0

Demuestre que

Solución: Lo primero que tenemos que verificar según el teorema 4 es 0: 1 0 0 0 0 Por consiguiente, según el teorema 4, la matriz A es no invertible. TEOREMA 5. Si la matriz A, n x n, puede invertirse, el sistema Ax=b tiene exactamente una solución para cada vector n b. Esta solución única es: EJEMPLO

Aplique la inversión matricial para resolver el sistema 4

2

3

1

Solución: Como la forma matricial del sistema es 1 4 2 1 3 1 Entonces 1 1

4 3 3 1

2 1

4 2 1 1

2 1

Por consiguiente, x=-2 y y=-1

Álgebra lineal

27


2.5 MÉTODO DE DETERMINANTES (REGLA DE CRAMER).

Los determinantes se emplean para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas. DETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN: Son cuatro números colocados en forma de un cuadrado con rectas verticales a cada lado. La posición de los cuatro números dan lugar a dos filas y dos columnas. Las FILAS o RENGLONES están establecidos por los números que se encuentran en su misma línea horizontal; las COLUMNAS están compuestas por los números que se encuentran en una misma línea vertical. El orden de un determinante depende del número de elementos de fila o columna.

En el determinante de segundo orden la línea que une “a” con “d” se llama DIAGONAL PRINCIPAL; la línea que une a “c” con “b” se llama DIAGONAL SECUNDARIA. Los números a, b, c, d, se denominan ELEMENTOS del determinante, cuyo valor es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. EJEMPLO 1

a c

EJEMPLO 2

p r

q s

ps

qr

EJEMPLO 3

8 3

9 5

8

5

EJEMPLO 4

11 4

EJEMPLO 5

Álgebra lineal

b d

ad

7 6

cd

11

3 9 6

Resolver el sistema

4

40 7

27 66

67 28

38

2

7

17

(1)

4

5

25

(2)

28


Solución: Utilizando determinantes, se obtiene:

5

1 Su comprobación es: 2 5

7 10

4 5

5 20

1 7

17

(1)

5

17

17

1

25

5

25

25

25

(2)

Por lo tanto los valores que satisfacen al sistema son:

5

1

2.6 EJERCICIOS DE AFIRMACIÓN. I. Calcule, si es posible, lo siguiente. Si las operaciones no pueden efectuarse, explique por qué. 1.

1 0

2. 3

1 1 1 1

1 1

3.

2 2

2 2

4.

2 4 6

3 5 7

0 1 1 2 1 1

Álgebra lineal

0 0 7 5 3

6 4 2 29


5.

1 0 4

6. 3 7.

0 6

1 4 4

2 3 3 7

5 0

3 1 2 4

8. 1 9.

2

3 2 7

2

3 4 0 1 0 1 5 0 1 1 4

II. Conteste las siguientes cuestiones. 1. ¿Qué es una matriz? 2. Mencione y explique un tipo de matriz. 3. Mencione a qué hace referencia el teorema 1.

Álgebra lineal

30

Unidad III: Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Objetivo Educacional: Comprenderá que al resolver un sistema lineal puede haber una solución única, una solución infinita o ninguna solución.

Unidad III: Sistema de ecuaciones lineales.

3.1 DEFINICIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Se llama sistema de ecuaciones a un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen idénticas soluciones, es decir, que las soluciones satisfacen a cada una de las ecuaciones dadas; también se le llama sistema de ecuaciones simultáneas. Un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, constará de dos ecuaciones independientes; así el sistema de ecuaciones de primer grado con tres incógnitas, constará de tres ecuaciones independientes; etc. Si un sistema de ecuaciones tiene solución, se dice que el sistema es posible o compatible. Si la solución es única diremos que el sistema es compatible y determinado. Si tiene infinitas soluciones diremos que el sistema es compatible e indeterminado. Cuando el sistema no tiene solución, diremos que las ecuaciones del sistema son incompatibles.

3.2 METODOS DE SOLUCIÓN PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Significa determinar los valores de las incógnitas que generalmente son “x” e “y” que satisfacen a cada ecuación del sistema. El proceso consiste en eliminar una de las dos incógnitas, dando lugar a una ecuación con una incógnita; una vez determinado el valor de una de las incógnitas, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del sistema, obteniéndose el valor de la otra incógnita. Los principales métodos de solución para éste sistema de ecuaciones lineales son:

Álgebra lineal

32


3.21 MÉTODO DE ADICIÓN O SUSTRACCIÓN (REDUCCIÓN). El método de suma o resta consiste en modificar las ecuaciones del sistema dado, de tal manera que se igualen en valor absoluto los coeficientes de una de las incógnitas y tenga signos contrarios, por lo que al sumarse algebraicamente las ecuaciones se elimina una de las incógnitas dando lugar a una ecuación lineal con una incógnita que es fácil de resolver. Los siguientes pasos nos facilitan la aplicación del método: 1. Se multiplican los miembros de una o de las dos ecuaciones por una cantidad constante apropiada para obtener ecuaciones equivalentes que tengan igual coeficiente para una de las incógnitas. 2. Por suma o resta se elimina una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación lineal resultante. 4. Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita. EJEMPLO

Resolver el sistema

4

6

3

(1)

5

7

2

(2)

Solución: Multipliquemos los miembros de la ecuación (1) por 5 y los de la ecuación (2) por (-4); resultando que los coeficientes de “x” se igualan y son de signo contrario. 5 4

6

3

20

30

4 5

7

2

20

28

15 8

Sumando algebraicamente ambas ecuaciones, resulta: 20

30

20

28 2

15 8 7

Resolviendo la ecuación, tenemos:

Sustituyendo el valor en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene:

Álgebra lineal

33


4

6

7

2

3

21

3

4

3

4

18

4

21

Su comprobación es: 4 92

6

7

18

5 92

7 45

2

7

2

3

21

3

3

3 2

2

49

2

2

2

2

(1)

(2)


3.22 MÉTODO DE IGUALACIÓN. Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de igualación, se aplican los pasos siguientes: 1. Se despeja la incógnita en cada una de las ecuaciones del sistema dado. 2. Se igualan entre sí las expresiones obtenidas, consiguiendo eliminar una de las incógnitas y dando lugar a una ecuación con una incógnita. 3. Se resuelve la ecuación de primer grado resultante. 4. Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita. EJEMPLO

Álgebra lineal

Resolver el sistema

6

2

10

(1)

9

4

24

(2) 34


Solución: Despejando “y en ambas ecuaciones, tenemos: 6

2

10

9

2

10

6

4

24

4

24

9

Igualando entre si ambas expresiones, resulta:

4

10

6

40

24

48

18

24

48

40

18

2

6

24

9

8

Resolviendo la ecuación, tenemos: 4 3

Sustituyendo el valor en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene: 9 43 12

4

24

4

24

4

24

4

36

12


9 43 Álgebra lineal

2

9

10

8

18

10

-10

10

9

24

4

(1)

(2) 35


12

36

24

24

24


9

3.23 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución, se aplican los pasos siguientes: 1. Despejar en cualquiera de las ecuaciones del sistema una de las incógnitas en términos de la otra. 2. Se sustituye la expresión para la incógnita despejada en la otra ecuación que no se ha utilizado; se obtiene una ecuación con una incógnita. 3. Se resuelve la ecuación de primer grado resultante. 4. Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita. EJEMPLO

Resolver el sistema

7

4

5

(1)

9

8

13

(2)

Solución: De la ecuación (1) se despeja “y” en términos de “x”. 7

4

5

4

5

7

Se sustituye éste valor en la ecuación (2), dando lugar a una ecuación de una incógnita.

9 9

Álgebra lineal

8 10

13 14

13

23

13

23

23

10

36


1

Sustituyendo el valor en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene: 7 1

4

5

4

5

7

Su comprobación es: 7 1

4 12 7

9 1

2

5

5

5

8 12 9

5

13

4

13

13

13

(1)

(2)


1

3.24 MÉTODO DE DETERMINANTES (REGLA DE CRAMER). Los determinantes se emplean para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas. DETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN: Son cuatro números colocados en forma de un cuadrado con rectas verticales a cada lado. La posición de los cuatro números dan lugar a dos filas y dos columnas. Las FILAS o RENGLONES están establecidos por los números que se encuentran en su misma línea horizontal; las COLUMNAS están compuestas por los números que se encuentran en una misma línea vertical.

Álgebra lineal

37


El orden de un determinante depende del número de elementos de fila o columna.

En el determinante de segundo orden la línea que une “a” con “d” se llama DIAGONAL PRINCIPAL; la línea que une a “c” con “b” se llama DIAGONAL SECUNDARIA. Los números a, b, c, d, se denominan ELEMENTOS del determinante, cuyo valor es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria. EJEMPLO 1

a c

EJEMPLO 2

p r

q s

ps

qr

EJEMPLO 3

8 3

9 5

8

5

EJEMPLO 4

11 4

EJEMPLO 5

b d

ad

7 6

cd

11

3 9 6

4

Resolver el sistema

40 7

27 66

67 28

38

2

7

17

(1)

4

5

25

(2)

Solución: Utilizando determinantes, se obtiene:

5


7 10

1 7 17

Álgebra lineal

17

(1)

5 17

38


4 5

5 20

1

25

5

25

25

25

(2)


5

1

3.25 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN. Es el método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que consiste en llegar a un sistema "escalonado" transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas. El siguiente ejemplo explica detalladamente el proceso a seguir: EJEMPLO

Resolver el sistema 2

3

5

2

1

(1)

3

(2)

2

(3)

Solución: Consideramos la matriz ampliada asociada al sistema, separando un poco la columna de los términos independientes: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 3 0 1 3 1 0 1 3 1 5 1 2 2 0 6 7 3 0 0 25 3 Luego, el sistema ha quedado de la siguiente forma: 1

(1)

3

1

(2)

25

3

(3)

Resolver el sistema

Resolviendo las ecuaciones; comenzando por la última, resulta:

12

Álgebra lineal

25

16

25

3

25

39


Su comprobación es: 12

25

16

25

3

25

1

25

1

1

1

25

3

25

3

3

3

2 3 25

2

50

25

2

2

2

25

2 12 25

3 16 25

3 75

5 12 25

16

25

(1)

(2)

(3)


12

25

16

25

3

25

3.3 EJERCICIOS DE AFIRMACIÓN. I. El procedimiento a seguir para la solución de los sistemas de ecuaciones, es: a) La elección de las incógnitas (x, y, z). b) En base a las condiciones del problema, se establece un planteamiento de ecuaciones que constituyen el sistema. c) Se resuelve el sistema de ecuaciones. d) Se comprueban los valores determinados para las incógnitas. 1. La suma de dos números es 9 y su diferencia es 5; hallar dichos números. 2. Hace 5 años, la edad de una persona era el triple de otra; y dentro de 5 años solo será el doble, ¿Cuál es la edad de cada persona? 3. Una planta de producción tiene 110 herramientas; entre neumáticas, hidráulicas y eléctricas; 1/8 del número de herramientas neumáticas más 1/9 del número de herramientas hidráulicas más 1/5 del número de herramientas eléctricas es igual a 15; y la suma de herramientas eléctricas y neumáticas es igual a 65. ¿Cuántas herramientas de cada clase tiene? Álgebra lineal

40


II. Conteste las siguientes cuestiones. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

¿A qué se le llama sistema de ecuaciones? ¿Cuándo se dice que el sistema es incompatible? ¿Cuándo se dice que el sistema es compatible? ¿Cuándo se dice que el sistema es compatible e indeterminado? ¿Cuándo se dice que el sistema es compatible y determinado? Mencione los métodos para la solución de sistemas de ecuaciones.

Álgebra lineal

41

Unidad IV: Espacios Vectoriales.

Objetivo Educacional: Conocerá y aplicará las definiciones de espacio y subespacio vectorial en la solución de problemas.


4.1 DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL. Sea V un conjunto equipado con dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por escalar. La suma es una regla que asocia dos elementos cualesquiera, u y v, de V con un tercero, la suma de u y v, representada por . La multiplicación por escalar es una regla que asocia cualquier escalar (real) c y cualquier elemento de u de V con otro de V, el múltiplo escalar de u por c, el cual esta representado por . Ese conjunto V se denomina espacio vectorial (real) si las dos operaciones cumplen las propiedades siguientes, llamadas axiomas, de un espacio vectorial. Suma: pertenece a V para todas ,

(A1)

para todas ,

(A2) (A3) (A4)

para todas

Para todas u en V existe un elemento único 0 V, tal que para toda u en V, 0

(A5)

, , , llamado cero de

0

Para cada existe un elemento único u opuesto de u, tal que

, llamado negativo

0 Multiplicación por escalar: (M1)

pertenece a V para toda

(M2)

para toda ,

(M3)

para toda

(M4) (M5)

para toda 1

Álgebra lineal

y toda

para toda

.

y toda y todas

y todas

,

. ,

.

.

.

43


Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores. Los axiomas (A1) y (M1) también se expresan diciendo que V es cerrado bajo la suma y la multiplicación por escalar. (A2) y (A3) son la ley conmutativa y la ley asociativa, respectivamente, y (M2) y (M3) son las leyes distributivas. Observe que un espacio vectorial es un conjunto no vacio, porque contiene un cero, de acuerdo con (A4).

4.2 DEFINICIÓN DE SUBESPACIO. Un subconjunto W de un espacio vectorial V se llama subespacio de V si W por sí mismo es un espacio vectorial bajo la suma y multiplicación por escalar tal como se definen en V. TEOREMA 1. Criterio para un subespacio. Para un subconjunto no vacío W de un espacio vectorial V sea un subespacio, debe cumplirse lo siguiente: 1. Si u y v están en W, entonces esta en W. 2. Si c es cualquier escalar y u esta en W, entonces

esta en W.

4.3 INDEPENDENCIA LINEAL. Se dice que un conjunto de vectores v1, …, vn de un espacio vectorial V es linealmente dependiente si hay escalares c1, …, cn, no todos cero, tales que 0

(4.1)

Se dice que v1, …, vn es linealmente independiente si no es linealmente dependiente. En otras palabras, la ecuación (4.1) implica que .. 0. Si S es cualquier subconjunto de V (posiblemente infinito), solo lo llamaremos linealmente dependiente cuando contenga un subconjunto finito linealmente dependiente. En cualquier otro caso, S es linealmente independiente.

Álgebra lineal

44


TEOREMA 2. Pruebas para la dependencia lineal. Sea S un subconjunto de un espacio vectorial V. 1. Si S contiene un vector v, se dice que es linealmente dependiente sí y solo sí 0. 2. Si S consiste en dos o mas vectores v1, …, vk entonces S es linealmente dependiente, sí y solo sí cuando menos un vector sea una combinación lineal de los vectores restantes. 3. Si S contiene dos o más vectores v1, …, vk con 0, entonces S es linealmente dependiente sí y solo sí al menos un vector, por ejemplo 2 , es una combinación lineal de los vectores que le preceden, es decir, de v1, …, vi-1 4. Cualquier conjunto de vectores que contiene a 0 es linealmente dependiente. 5. Dos vectores son linealmente dependientes sí y solo sí uno es múltiplo escalar del otro. 6. Cualquier conjunto de vectores que contiene a un conjunto linealmente dependiente es a su vez linealmente dependiente. 7. Cualquier subconjunto de un conjunto linealmente independiente también es linealmente independiente.

4.4 BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL. Un subconjunto B no vacio de un espacio vectorial V distinto de cero es una base de V si 1. B es linealmente independiente, y si 2. B genera a V. El conjunto vacío es, por convención, la única base del espacio vectorial cero 0 . TEOREMA 3. Existencia de la base. Todo espacio vectorial tiene al menos una base.

Álgebra lineal

45


4.5 DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL.

Si un espacio vectorial V tiene una base con n elementos, entonces se dice que V es dimensionalmente finito, y n es la dimensión de V. Se expresa dim TEOREMA 3. Sea V un espacio vectorial de n dimensiones, y S un conjunto con m elementos. 1. Si S es linealmente independiente, entonces 2. Si S genera a V, entonces TEOREMA 4. Sea S un subconjunto de un espacio vectorial V. 1. Si S es linealmente independiente, entonces S base. 2. Si S genera a V, entonces S es

Álgebra lineal

una

base.

46

Unidad V: Transformaciones lineales.

Objetivo Educacional: Conocerá el concepto de transformación lineal.


5.1 DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL.

Sean V, W dos espacios vectoriales. Una transformación lineal (o mapeo lineal) de V a W es una transformación : tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c, ;

1. 2.

5.2 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMACIÓN LINEAL. Sean V, W dos espacios vectoriales. Una transformación lineal (o mapeo lineal) de V a W es una transformación : tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c, TEOREMA 1. y v2

: es una transformación lineal sí y solo sí para todos los vectores v1 , y todos los escalares c1 y c2, se cumple

TEOREMA 2. : 1. 2.

es una transformación lineal. Entonces 0

0;

5.3 DEFINICIÓN DE NUCLEO O KERNEL. Sean : una transformación lineal. El núcleo, todos los vectores en V que se mapean a cero en W. ,

de T contiene

0

Recordemos que el contradominio R(T) de T es el conjunto de todas las imágenes de T en W. Álgebra lineal

48


,

ú

Observe que tanto Ker(T) como R(T) de una transformación lineal T son conjuntos no vacios: T(0)=0 implica que 0 esta en Ker(T) y que 0 esta en R(T). Observe que tanto Ker(T) como R(T) de una transformación lineal T son conjuntos no vacios: T(0)=0 implica que 0 esta en Ker(T) y que 0 esta en R(T). TEOREMA 3. Sea : 1. 2.

una transformación lineal. Entonces es un subespacio de V; es un subespacio de W.

TEOREMA 4. Sea : Entonces

es una transformación matricial cuya matriz estándar es A. ; ;

1. 2. 3. 4.

; .

5.4 MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL. Sea : una transformación lineal entre dos espacios vectoriales V y W de dimensiones finitas. Sea ,…, una base de V y ´ ´ ,…, ´ cuyas columnas son una base de W. La matriz A ´, … ,

´

Es la única matriz que satisface ´ Para todo Álgebra lineal

.

49


5.5 REPRESENTACIÓN DE LA ORIENTACIÓN. MATRICES DE ROTACIÓN 3D.

Fig. 5.1 Localización espacial.

Fig. 5.2 Representación de la posición en coordenadas cartesianas.

Álgebra lineal

50


Fig. 5.3 Rotación sobre el eje “X”.

Fig. 5.4 Rotación sobre los ejes “Y” y “Z”. 1. Girar el sistema OUVW un ángulo ψ con respecto al eje OX. (Yaw). 2. Girar el sistema OUVW un ángulo Ө con respecto al eje OY. (Pitch). 3. Girar el sistema OUVW un ángulo Ф con respecto al eje OZ. (Roll).

Álgebra lineal

51


Fig. 5.5 Rotación del sistema OUVW.

5.6 MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGÉNEA. Es una matriz 4 4 que representa la transformación de un vector en coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro. ó

ó

: Matriz de rotación. : Matriz de traslación. : Transformación de perspectiva. : Escalado global (1).

5.7 APLICACIÓN DE LAS MATRICES DE TRANSFORMACIÓN HOMOGENEA. 0

Álgebra lineal

1

ó 0

ó 1

52


1. Representar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado O'UVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ., que es lo mismo que representar una rotación y traslación realizada sobre un sistema de referencia. 2. Transformar un vector expresado en coordenadas con respecto a un sistema O'UVW, a su expresión en coordenadas del sistema de referencia OXYZ. 3. Rotar y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ.

5.8 TRASLACIÓN CON MATRICES HOMOGENEAS.

Matriz básica de traslación:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Cambio en el sistema de coordenadas: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 EJEMPLO Según la figura el sistema O'UVW está trasladado un vector p(6,-3,8) con respeto del sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (rx , ry ,rz) del vector r cuyas coordenadas con respecto al sistema O'UVW son ruvw(-2,7,3)

Fig. 5.6 Ejemplo de traslación.

Álgebra lineal

53


5.9 ROTACIÓN CON MATRICES HOMOGENEAS.

Matrices de rotación básicas: ,

,Ө

EJEMPLO

1 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 1

Ө 0 Ө 0 0 1 0 0 Ө 0 Ө 0 0 0 0 1

Ф Ф 0 0 0 0 Ф Ф ,Ф 0 0 1 0 0 0 0 1 Según la figura el sistema OUVW se encuentra girado -90º alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas del vector rxyz si ruvw = [4,8,12]T

Fig. 5.7 Ejemplo de rotación.

5.10 COMBINACIÓN DE ROTACIONES Y TRASLACIONES.

1. Es posible combinar rotaciones y traslaciones básicas multiplicando las matrices correspondientes. 2. El producto no es conmutativo:

Álgebra lineal

54


Fig. 5.8 Combinación de rotación y traslación. Rotación seguida de traslación: 1 0 0 0 , , 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0

1

Traslación seguida de rotación: 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 , , 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 EJEMPLO

1

0 0 0 1

Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ y posteriormente girado 90º alrededor del eje OX. Calcular las coordenadas (rx ,ry ,rz) del vector r con coordenadas ruvw (-3,4,-11)

Álgebra lineal

55


Fig. 5.9 Ejemplo de combinación de rotación y traslación.

5.11 EJERCICIOS DE AFIRMACION.

I. Resuelva los siguientes casos prácticos. 1. Calcular el vector r’xyz resultante de trasladar al vector rxyz(4,4,11) según la transformación T(p) con p(6,-3,8). 2. Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ y girado 90º alrededor del eje OX. Calcular las coordenadas (rx, ry , rz) del vector r de coordenadas ruvw (-3,4,-11)

Álgebra lineal

56

Bibliografía.

BIBLIOGRAFÍA.

Álgebra. Paul K. Rees. & Fred w. Sparks. Editorial Reverté.

Álgebra lineal con aplicaciones. George Nakos & David Joyner. Thomson Editores.

Aritmética y Álgebra. Benjamín Garza Olvera. DGETi.

Matemáticas I. Juan Luis Corcobado & Javier Marijuán. C. E. I. de Cáceres.

Álgebra lineal

57

Referencias electrónicas.

REFERENCIAS ELECTRÓNICAS. Archivos y libros de Matemáticas: http://www.oei.es/index.php Álgebra lineal interactiva: http://www.vitutor.com/algebralineal.html

Álgebra lineal

58

Antología Álgebra lineal.pdf

Recommend Documents