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Compléments gratuits : mémos visuels, exercices corrigés et Brevets blancs pour le
Spécial Brevet Maths 3e e
Maths 3
MAGNARD
Arithmétique Ensembles de nombres : mémo visuel
Algorithme des soustractions successives : mémo visuel
de et ( ; ) avec
Déterminons le
et sont-ils égaux ?
non
Calculer la différence (
Remplacer par (
− )
− )
On cherche alors :
( ; − ) si ≥ − Le ( − ; ) si − ≥ le
e
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ou
Le
( ; )
=
Algorithme d’Euclide : mémo visuel
de et ( ; ) avec
Déterminons le
et sont-ils égaux ?
non
ou
Calculer le reste dans la division euclidienne de par
Le reste vaut-il 0 ?
non
( ; )
=
On veut réduire la fraction
On remplace par et l’on cherche alors : le
ou
Le
Le
( ; )
( ; )
Fractions irréductibles : mémo visuel
Quel est le
( ; ) Alors
=
1
de et ? ( ; )
= 1
× < = = avec < ×
et étant premiers entre eux.
e
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La fraction est irréductible
=
Exercice supplémentaire La somme de deux nombres entiers est 726. Sachant que leur PGCD vaut 33, déterminez ces deux nombres.
Corrigé de l’exercice
Soient et les deux nombres entiers cherchés. Supposons, dans un premier temps, que > . On sait que la somme des deux nombres vaut 726. Cela se traduit mathématiquement par la relation : + = 726 (1) avec > 0 On sait que le PGCD des deux nombres vaut 33. Cela se traduit mathématiquement par la relation : ( ; ) = 33 (2) . Donc il existe deux entiers n et p premiers entre eux tels que : = 33 = 33 .
>
0.
L’équation (1) s’écrit désormais : 33 + 33 = 726 Donc : + = 22 avec ( ; ) = 1. Consignons les valeurs possibles pour n et p dans le tableau ci-dessous.
n
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
p
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
n+p
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
22
PGCD (n ; p)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
11
Les couples solutions sont donc : (21 ; 1) ; (19 ; 3) ; (17 ; 5) et (13 ; 9). Les nombres entiers x et y correspondants sont donc : Pour n = 21 et p = 1 alors x = 693 et y = 33 Pour n = 19 et p = 3 alors x = 627 et y = 99 Pour n = 17 et p = 5 alors x = 561 et y = 165 Pour n = 15 et p = 7 alors x = 495 et y = 231 Pour n = 13 et p = 9 alors x = 429 et y = 297 Conclusion : Il y a donc 8 couples solutions : (693 ; 33) et (33 ; 693) (627 ; 99) et (99 ; 627) (561 ; 165) et (165 ; 561) (495 ; 231) et (231 ; 495) (429 ; 297) et (297 ; 429)
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Identités remarquables Exercice supplémentaire n°1 Développez les expressions suivantes. A 2( x 1)² 3(2 x 1)
B 5 x( x 3)² 2 x( x 1)
D ( x 1)( x 1)( 2 x 3)
E (a b c )²
2 1 C ( x)² 2( x ) 3 3
Exercice supplémentaire n°2 Factorisez les expressions suivantes. A (2 x 1)² (3 x 4)(1 2 x) D (4 x 1)² (2 x 3)² E 16 x ² (4 x 3)( x 1) 9
1 B 2 x( x 2)² (3 2 x)( x 2) C (3 x 1)² 3( x )( x 1) 3 F 9 x ² 24 x 16
Corrigé de l’exercice n°1 Les développements demandés rassemblent toutes les difficultés du programme. L’objectif n’est pas de devenir un « virtuose des calculs », mais d’être capable de mener à bien une suite de calculs parfois compliqués. Pour A 2( x 1)² 3(2 x 1) On a alors A 2( x ² 2 x 1) 3 2 x 3 1 donc A 2 x ² 4 x 2 6 x 3 donc A 2 x ² 2 x 5
(on commence par développer le carré)
Pour B 5 x( x 3)² 2 x( x 1) On a alors B 5 x( x ² 6 x 9) 2 x x 2 x (1) donc B 5 x x ² 5 x 6 x 5 x 9 2 x ² 2 x donc B 5 x 3 30 x² 45 x 2 x ² 2 x donc B 5 x 3 32 x ² 43 x 2 1 Pour C ( x)² 2( x ) 3 3 2 2 1 On a alors C ( )² 2 x x² 2 x 2 3 3 3 4 4 2 donc C x x ² 2 x 3 3 3 2 2 donc C x ² x 3 3 e
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Pour D ( x 1)( x 1)( 2 x 3) Il s’agit d’un produit de 3 facteurs. La stratégie à adopter est d’effectuer le produit des deux premiers facteurs à l’aide de la troisième identité remarquable, puis de multiplier le résultat par le dernier facteur. On a alors D ( x ² 1²)(2 x 3) donc D x ² 2 x x ² 3 1 2 x 1 3 donc D 2 x 3 3 x ² 2 x 3 Pour E (a b c )² Il s’agit de calculer le carré de la somme de trois nombres. Nous allons réaliser ce calcul en deux temps. Tout d’abord, réécrivons notre somme : E (( a b) c)² Utilisons la première identité remarquable pour développer notre expression. Donc E (a b)² 2 (a b) c c ² donc E a ² 2ab b ² 2(ac bc) c ² donc E a ² b² c ² 2 ab 2ac 2bc
Corrigé de l’exercice n°2 Pour A (2 x 1)² (3 x 4)(1 2 x) Mettons en évidence le facteur commun : A (2 x 1) (2 x 1) - (2 x 1) (3 x 4) donc A (2 x 1)[ 2 x 1 (3 x 4)] (attention au signe (-) devant la parenthèse) donc A (2 x 1)( 2 x 1 3 x 4) donc A (2 x 1)( x 3) donc A (2 x 1)( x 3) (cette dernière étape n’est pas indispensable !) Pour B 2 x( x 2)² (3 2 x )( x 2) Mettons en évidence le facteur commun : B 2 x( x 2) ( x 2) (3 2 x ) ( x 2) donc B ( x 2)[2 x( x 2) (3 2 x )] donc B ( x 2)(2 x² 4 x 3 2 x) donc B ( x 2)(2 x² 6 x 3) 1 Pour C (3 x 1)² 3( x )( x 1) 3 Cette expression ne semble pas comporter de facteur commun 1 Il nous suffit de remarquer que 3( x ) 3 x 1 3 Nous pouvons alors réécrire notre expression : C (3 x 1) (3 x 1) ( x 1) (3 x 1) donc C (3 x 1)[3 x 1 ( x 1)] donc C (3 x 1)(3 x 1 x 1) donc C (3 x 1)( 2 x) donc C 2 x(3 x 1) Pour D (4 x 1)² (2 x 3)² Remarquons que cette expression est une différence de deux carrés. Cette constatation nous indique le chemin à suivre. Posons par exemple A 4 x 1 et B 2 x 3 Alors on a D A² B ² Or nous savons (troisième identité remarquable) que A² B² ( A B )( A B) Donc on peut écrire : D (4 x 1 (2 x 3))(4 x 1 (2 x 3)) e
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donc D (4 x 1 2 x 3)( 4 x 1 2 x 3) donc D (2 x 2)(6 x 4) donc D 2( x 1) 2(3x 2) donc D 4( x 1)(3 x 2) Pour E 16 x² (4 x 3)( x 1) 9 L’astuce consiste à réécrire l’expression pour faire apparaître une identité remarquable. Ainsi, peut-on écrire : E 16 x ² 9 (4 x 3)( x 1) donc E (4 x)² 3² (4 x 3)( x 1) On reconnaît effectivement la troisième identité remarquable : E (4 x 3)( 4 x 3) (4 x 3)( x 1) Sous cette forme, le facteur commun apparaît clairement : E (4 x 3) (4 x 3) ( x 1) (4 x 3) donc E (4 x 3)(4 x 3 x 1) donc E (4 x 3)(5 x 4) Pour F 9 x ² 24 x 16 Dans ce cas, on peut observer deux éléments : 9 x ² (3 x)² et 16 4² Ainsi, peut-on écrire : F (3 x)² 24 x 4² À ce niveau, nous pouvons raisonnablement penser qu’il s’agit de la seconde identité remarquable et nous allons le prouver ! En effet, F (3 x)² 2 3x 4 4² Il s’agit bien du développement de (3 x 4)² donc F (3 x 4)² .
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Équations et inéquations Brevet blanc supplémentaire Sujet Amérique du Nord, 2013
Corrigé du Brevet blanc
↦ 2² −
1) La colonne A représente les antécédents alors que la colonne B représente les images par la fonction : 3 9 . Ainsi si l’on place dans la cellule A17 le nombre 6, la cellule B17 nous donnera son image: (6) = 2 × 6² 3 × 6 9 = 2 × 36 18 9 = 45
−
−
−
− − 2) Les solutions de l’équation 2² − 3 − 9 = 0 représentent les antécédents de 0 par la fonction . D’après le tableau, cette équation admet pour solution −1,5 et 3. 3) L’aire d’un rectange est égal au produit de sa longueur et de sa largeur donc × . Or × = (2 + 3)( − 3) = 2² − 3 − 9 = ( ) On cherche donc à déterminer les antécédents de 5 par . D’après le tableau, on peut affirmer que 5 admet deux antécédents : −2 3,5. Cependant, nous pouvons exclure la solution = −2 qui n’a aucun sens puisqu’une distance ne peut pas être négative ! Donc l’aire du rectangle sera égale à 5 cm² pour lorsque sera égal à 3,5 cm. e
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Racines carrées Méthode pour résoudre les équations du type ( ax + b)2 = (cx + d )2
− − −
Pour tous nombres a, b, c et d on considère l’équation : ( + )² = ( + )² On peut réécrire cette équation sous la forme : ( + )² ( + )² = 0 Il suffit alors de remarquer qu’il s’agit d’une identité remarquable : ² ² = ( + )( – ) Donc l’équation peut désormais s’écrire : ( + + + )( + – – ) = 0 En réduisant, nous obtenons l’équation : [( + ) + + ][( ) + – ] = 0 Il s’agit d’une équation-produit. Ce produit n’est nul que si l’un, au moins, des facteurs est nul. Soit ( + ) + + = 0 ou ( ) + – = 0 b d b d Soit x ou x si a c et a c ac ac b d b d Les solutions de l’équation sont : et . ac ac Exemple : Résoudre l’équation : (2 + 3)² = 25 On réécrit l’équation : (2 + 3)² 25 = 0 Donc (2 + 3)² 5² = 0 Donc (2 + 3 + 5)(2 + 3 – 5) = 0 Donc (2 + 8)(2 – 2) = 0 Donc 2( + 4)2( – 1) = 0 Finalement ( + 4)( – 1) = 0 Il s’agit d’une équation-produit. Ce produit n’est nul que si l’un, au moins, des facteurs est nul. Soit + 4 = 0 ou – 1 = 0 Soit = 4 ou = 1 Les solutions de l’équation sont : 4 et 1.
− −
−
−
−
Brevet blanc supplémentaire n°1 Une démonstration de l’irrationalité de 2 La méthode utilisée s’appuie sur le raisonnement par l’absurde. Le raisonnement par l’absurde consiste à émettre une hypothèse, volontairement fausse, qui va conduire à un résultat faux voire absurde (d’où le nom). Utilisons ce type de raisonnement pour démontrer que
2 est irrationnel.
1. On suppose que 2 est un nombre rationnel, donc qu’il existe deux entiers p et q premiers entre eux tels que : p 2 . q Démontrez que ² = 2 ². 2. Déduisez-en la parité de . 3. Posez = 2 avec un entier naturel. Déduisez-en la parité de . 4. Établissez une contradiction qui démontre que notre hypothèse de départ était fausse. 5. Concluez.
e
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Brevet blanc supplémentaire n°2 Sujet Amérique du Nord, 2013
Écrivez plus simplement les expressions suivantes : I
2 3
J 3 2 2
2 3
K
34 24 2 43 2
Corrigé du Brevet blanc n°1 Il s’agit d’un exercice dont le but est de démontrer qu’un nombre est irrationnel. La méthode employée est le raisonnement par l’absurde. Ce type de raisonnement est très souvent utilisé en mathématiques. C’est donc un instrument puissant qui s’offre dorénavant à vous. p 1. Comme 2 q p ² donc, par élévation des deux membres au carré, on a : 2 q² Donc : p ² 2q ² (1) 2. Donc p² est pair, ce qui entraîne que p est pair. (Ce résultat que l’on admet se démontre aisément.) 3. Comme p est pair, on pose p = 2n avec n un nombre entier. L’égalité (1) s’écrit alors : (2n)² = 2q² Donc : 4n² = 2q² Donc : q² = 2n² Cela montre donc que q est aussi pair. 4. Notre hypothèse de travail était que les entiers p et q étaient premiers entre eux. Or nous venons de démontrer que p et q sont tous deux pairs… On aboutit donc à une contradiction. 5. Cette contradiction prouve que notre hypothèse de travail est fausse. Conclusion : Il n’existe pas deux entiers premiers entre eux tels que que
2
p q
donc cela prouve de manière définitive
2 est un nombre irrationnel.
Corrigé du Brevet blanc n°2 Cet exercice est particulièrement difficile. C’est un véritable exercice de synthèse et d’approfondissement. I
2 3
2 3 Pour simplifier cette expression, il faut supprimer le radical figurant au dénominateur. e
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Il faut donc multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par 2 3 . On obtient alors : I Donc : I Donc : I
(2 3 )( 2 3 ) (2 3 )(2 3 )
( 2 3 )² 2² 3 44 33 43
Donc : I 7 4 3
J 3 2 2
Remarquons d’abord que 3 2 2 1 2 2 2 Donc : 3 2 2 (1 2 )² Donc : J (1 2 )² Donc : J 1 2
K
34 24 2 43 2
Remarquons d’abord que 34 24 2 16 2 4 3 2 18 Donc : 34 24 2 4² 2 4 3 2 (3 2 )² Donc : 34 24 2 ( 4 3 2 )² Donc : K
(4 3 2 )² 43 2
Attention : 4 3 2 0 donc
(4 3 2 )² ( 4 3 2 ) qui est positif !
Finalement, on peut écrire : K
e
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(4 3 2 ) 1 4 3 2
Systèmes de deux équations à deux inconnues Brevet blanc supplémentaire Sujet métropole, 2011
Corrigé du Brevet blanc Il s’agit de mettre en équations le problème. Choix des inconnues Appelons le prix d’un triangle en verre et le prix d’un triangle en métal.
Mise en équations Les deux équations sont fournies à l’aide des dessins qui sont proposés : Bijou 1 : 4 + 4 = 11. Bijou 2 : 6 + 9 = 9,10 4 x 4 y 11 Le système à résoudre s’écrit donc : 6 x 9 y 9,1
Résolution du système Le couple solution est (0,9;1,85). Interprétation du résultat Le prix d’un triangle en verre est de 0,90 € et celui d’un triangle en métal est de 1,85 €. Le bijou 1 coûtera, en effet, 4 × 0,9 + 4 × 1,85 = 11 €. Le bijou 2 coûtera, quant à lui, effectivement, 6 × 0,9 + 9 × 1,85 = 9,10 €. Le prix du bijou 3 sera, quant à lui, de 6 × 0,9 + 3 × 1,85 = 10,05 €.
e
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Probabilités Exercice supplémentaire n°1 Une urne contient 12 boules identiques et indiscernables au toucher ; sept sont vertes et cinq sont bleues. On tire, au hasard, une boule de cette urne. 1. Comment peut-on traduire l’information « indiscernables au toucher » ?
3. Déterminer la probabilité () d’obtenir une boule bleue. 2. Déterminez la probabilité ( ) d’obtenir une boule verte.
Exercice supplémentaire n°2 On dispose de deux boîtes B 1 et B2 contenant chacune 5 boules. La boîte B1 contient 3 boules rouges identiques et 2 boules vertes identiques ; La boîte B2 contient 1 boule rouge et 4 boules vertes identiques. Le jeu consiste à tirer au hasard une boule dans la boite B 1 puis une boule dans la boite B 2. 1. Complétez les branches de l’arbre proposé en indiquant les probabilités sur chacune des branches ainsi que les résultats de l’expérience.
2. a. Calculez la probabilité de tirer 2 boules vertes. b. A-t-on plus de chances de tirer 2 boules vertes ou a-t-on plus de chances de tirer 2 boules rouges quand on joue à ce jeu ? Justifiez. 3. Calculer la probabilité de tirer 2 boules de la même couleur. 4. Calculer la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes.
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Corrigé de l’exercice n°1 1. L’information « identiques et indiscernables au toucher » signifie que chaque événement élémentaire a la même probabilité d’être réalisé. Autrement dit chaque boule a la même chance d’être tirée et par conséquent nous sommes dans une situation d’équiprobabilité. 2. Par définition : P(V) =
Donc : P(V) =
La probabilité d’obtenir une boule verte est
, c’est-à-dire à peu près 58 %.
3. L’événement contraire de « la boule tirée est verte » est « la boule tirée est bleue ». Donc P(B) = 1 – P(V) Donc P(B) = 1 - = La probabilité d’obtenir une boule bleue est
, c’est-à-dire à peu près 42 %.
Corrigé de l’exercice n°2 1. Schéma
b. La probabilité de tirer 2 boules rouges est : × = Or < donc la probabilité de tirer une boule verte est supérieure à celle de tirer une boule rouge. 3. La probabilité de tirer 2 boules de la même couleur est : + = 2. a. La probabilité de tirer 2 boules vertes est : × =
4. L’événement « tirer 2 boules de couleurs différentes » est l’événement contraire de l’événement « tir er 2 boules de la même couleur ». = . Donc la probabilité de tirer 2 boules de couleurs différentes est :
−
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Brevet blanc supplémentaire Sujet Amérique du Nord, 2010
M. Dubois fait construire une maison et aujourd’hui il visite le chantier. Il observe un électricien. Il constate que celui-ci a, à côté de lui, 2 boîtes. Dans la première, il y a 40 vis à bout rond et 60 vis à bout plat. Dans la deuxième, il y a 38 vis à bout rond et 12 vis à b out plat. 1. L’électricien prend au hasard une vis dans la première boîte. Quelle est la probabilité que cette vis soit à bout rond ? 2. L’électricien a remis cette vis dans la première boîte. Les deux boîtes sont donc inchangées. Il prend maintenant, toujours au hasard, une vis dans la première boîte puis une vis dans la deuxième boîte. a. Quels sont les différents tirages possibles ? b. Montrez qu’il a plus d’une chance sur deux d’obtenir deux vis différentes.
Corrigé du Brevet blanc Si l’on suppose que chaque vis à la même probabilité d’être choisie, alors il s’agit d’une situation d’équiprobabilité. 1. Dans ce cas, la probabilité de tirer une vis à bout rond est : = 0,4. 2. Dressons l’arbre de probabilité de cette expérience aléatoire à 2 épreuves.
R
,
R
,
, P
,
,
R
P
, P
a. Il y a donc 4 tirages possibles : (R-R), (R-P), (P-R) et (P-P). b. La probabilité de tirer deux vis ayant des bouts différents est : 0,4 × 0,24 + 0,6 × 0,76 = 0,552 . Autrement l’électricien a 55,2 % de chance d’obtenir deux vis à bouts différents, c’est-à-dire plus d’une chance sur deux.
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Statistiques Exercice supplémentaire On considère la série statistique suivante : 3 ; 4 ; 5 ; 7 ; 15 ; 17 ; 19 ; 24 ; 30 ; 31 ; 35 ; 40 ; 42 ; 45 ; 49 ; 51 ; 55 ; 64 ; 71 ; 74 ; 81 ; 84 ; 85 ; 86 ; 90 1. Combien cette série comporte-t-elle de valeurs ? 2. Cette série est-elle ordonnée ? 3. Quelle sera alors la position du 1 er quartile ? Déduisez-en la valeur Q 1 de ce 1er quartile. 4. Quelle sera la position du 3 e quartile ? Déduisez-en la valeur Q 3 de ce 3e quartile. 5. Déduisez-en la distance interquartile.
Brevet blanc supplémentaire Sujet métropole, 2004
Un professeur de SVT demande aux 29 élèves d’une classe de 6 e de faire germer des graines de blé chez eux. Le professeur donne un protocole expérimental à suivre : – mettre en culture sur du coton dans une boîte placée dans une pièce éclairée, de température entre 20° et 25°C ; – arroser une fois par jour ; – il est possible de couvrir les graines avec un film transparent pour éviter l’évaporation de l’eau. Le tableau ci-dessous donne les tailles des plantules (petites plantes) des 29 élèves à 10 jours après la mise en germination.
Taille en cm
0
8
12
14
16
17
18
19
20
21
22
Effectif
1
2
2
4
2
2
3
3
4
4
2
1. Combien de plantules ont une taille qui mesure au plus 12 cm? 2. Donnez l’étendue de cette série. 3. Calculez la moyenne de cette série. Arrondissez au dixième près. 4. Déterminez la médiane de cette série et interprétez le résultat. 5. On considère qu’un élève a bien respecté le protocole si la taille de la plantule à 10 jours est supérieure ou égale à 14 cm. 6. Le professeur a fait lui-même la même expérience en suivant le protocole. Il a relevé la taille obtenue à 10 jours de germination. Prouvez que, si l’on ajoute la donnée du professeur à cette série, la médiane ne changera pas.
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Corrigé de l’exercice 1. La série est composée de 25 valeurs. 2. En effet, les valeurs sont rangées dans l’ordre croissant, donc cette série est bien ordonnée. 3. 25 % de 25 valeurs correspond à 6,25 donc le 1er quartile correspond à la 7 e note, c’est-à-dire : 19 donc Q 1 = 19. 4. 75 % de 25 valeurs correspond à 18,75 donc le 3e quartile correspond à la 19 e valeur, c’est-à-dire : 71 donc Q 3 =71. 5. La distance interquartile est : Q 3 - Q 1 = 71 – 19 = 52.
Corrigé du Brevet blanc 1. Il y a 1 + 2 + 2 = 5 plantules qui mesurent au plus 12 cm. 2. L’étendue de la série est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur. Cette étendue vaut donc 22 0 = 22 cm.
−
3. Il s’agit, ici, de calculer une moyenne pondérée. 0 1 8 2 12 2 14 4 16 2 17 2 18 3 19 3 20 4 21 4 22 2 481 On aura x 16,6 1 2 2 4 2 2 3 3 4 4 2 29 Donc la taille moyenne d’une plantule est de 16,6 cm. 4. L’effectif total est de 29 donc la médiane sera la 15 e valeur de la rangée dans l’ordre croissant. Taille en cm Effectif Effectifs cumulés
0
8
12
14
16
17
18
19
20
21
22
1
2
2
4
2
2
3
3
4
4
2
1
3
5
9
11
13
16
19
23
27
29
D’après le tableau ci-dessus, la médiane de la série est 18 cm.
−
5. Il y a exactement 29 5 = 24 plantules qui ont atteint une taille supérieure ou égale à 14 cm. En terme de pourcentage, cela représente alors : × 100 83 %. Autrement dit, 83 % des élèves ont bien respecté le protocole.
≈
6. Si l’on ajoute à la série la donnée du professeur, alors l’effectif total sera désormais de 30. La médiane sera donc située entre la 15 e et la 16e valeur. Trois cas sont donc à envisager : • La plantule du professeur a atteint une taille inférieure ou égale à 17 cm. Alors la 15e et la 16e valeur sont identiques et correspondent à 18 cm. • La plantule du professeur a atteint une taille de 18 cm. Alors la 15e et la 16e valeur sont identiques et correspondent à 18 cm. • La plantule du professeur a atteint une taille supérieure ou égale à 19 cm. Alors la 15e et la 16e valeur sont identiques et correspondent à 18 cm. Dans ces trois cas la médiane reste inchangée et vaut toujours 18 cm !
e
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Notion de fonction Exercice supplémentaire Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative
de la fonction .
1. a. Placez, sur la courbe représentative de la fonction , le point A d’abscisse 1. b. Complétez la phrase suivante : Le point A appartient à la .......................................................... ........ de la fonction . Graphiquement, l’ordonnée du point A est ……………………………………….... . Donc les coordonnées du point A, relativement au repère choisi, sont : ( ...... ; ....... ). Cela signifie, également, que l’image de 1 par la fonction est : ( … . ) = ....... . On peut donc dire que 2 est ..................................... du point A. 2. a. Placez, sur la courbe représentative de la fonction , les points B, C et D ayant 2 pour ordonnée. b. Complétez la phrase suivante : Les antécédents de 2 par la fonction f sont : .... , ..... et ...... . Ces nombres sont les .................................... des points ......... , ......... et ........... . Cela signifie que : (… . ) = (… . ) = ( … . ) = ... . 3. a. À quoi correspondent les solutions de l’équation ( ) = 0 ? b. À l’aide du graphique, donnez une valeur approchée de chacune des solutions trouvées précédemment.
−
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Corrigé de l’exercice 1. a. 2. a.
b. Le point A appartient à la courbe représentative de la fonction . Graphiquement, l’ordonnée du point A est . Donc les coordonnées du point A, relativement au repère choisi, sont : ( ; ). Cela signifie, également, que l’image de 1 par la fonction est : ( ) = . On peut donc dire que 2 est l’image du point A.
−
− −
−
− − .
2. b. Les antécédents de 2 par la fonction f sont : ; Ces nombres sont les abscisses des points B, C et D. Cela signifie que : ( ) = ( ) = ( ) = .
− − 3. a. Les solutions de l’équation () = 0 sont les abscisses des points d’intersection de avec l’axe des abscisses. b. Graphiquement, cette équation admet 3 solutions (abscisses des points verts) qui sont environ : −, ; −, .
e
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Brevet blanc supplémentaire Voici une capture d’écran d’une feuille de calcul d’un tableur. =5*B1^2+B1-8
1. Quelles sont les formules des fonctions
présentées ?
2. Les formules saisies dans les cellules B2 et B3 ont été recopiées vers la droite. a. Quelle est l’image de 1 par la fonction ? b. Écrivez les calculs montrant que ( 2) = 10.
−
3. Quelle formule a été saisie dans la cellule B3 ?
−
−
4. a. Déduisez-en du tableau une solution de l’équation 5 ² + 8= 3 8. b. Cette équation admet-elle une autre solution que celle identifiée à l’aide du tableur ? Si oui, calculez-la.
Corrigé du Brevet blanc
↦ 5² + − 8 et g: ↦ 3 − 8. 2. a. L’image de 1 par la fonction est (1) = −2. b. ( −2) = 5 × ( −2) + ( −2) − 8 = 5 × 4 − 10 = 10 . 3. La formule saisie dans la cellule B3 est : = 3 ∗ 1 − 8. 1. :
4. a. D’après la feuille extraite du tableur, on remarque que 0 admet la même image par et . Autrement dit, (0) = (0) . Donc 0 est une solution de l’équation.
b. Résolvons l’équation proposée. 5 ²+ 8= 3 8 5 ² + 8 3 + 8 = 0 = 0 5 ² 2 = 0 (5 2) = 0 Cette équation-produit admet deux solutions distinctes : 0
− − ⇔ − − ⇔ − ⇔ −
e
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.
Fonctions linéaires et fonctions affines Brevet blanc supplémentaire n°1 Sujet Canberra, 2013
Certains pays utilisent le degré Fahrenheit comme unité de mesure de la température alors que nous utilisons le degré Celsius. La température Tf en degrés Fahrenheit s’écrit en fonction de la température Tc en degrés Celsius à l’aide de la formule : Tf = 1,8Tc + 32, ce qui correspond à introduire une fonction affine du type : ( ) = 1,8 + 32 où est la température en degrés Celsius et ( ) celle en degrés Fahrenheit.
1. Complétez le tableau suivant :
Tf (en °F) : ()
−50
Tc (en°C) :
−13
−10
35 59
100 161,6
Cette fonction est représentée ci-dessous.
2. Si on dit en France : « ce malade a 40 de fièvre », lisez sur le graphique à quelle température, en degrés Fahrenheit, cela correspond. Vérifiez par le calcul. Lisez sur le graphique à quelle température en degrés Fahrenheit l’eau boue. 3. Lisez sur le graphique à quelle température correspondent 100° F. Vérifiez par le calcul. 4. Lors d’une expédition internationale en Antarctique, deux explorateurs constatent que leurs thermomètres, l’un gradué en degrés Fahrenheit, l’autre en degrés Celsius, affichent le même nombre ! Est-ce possible ? Si oui, quelle température fait-il ce jour-là ? e
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Brevet blanc supplémentaire n°2 Sujet métropole, 2007
Pour emprunter des livres dans une bibliothèque, on a le choix entre trois formules. Formule A : payer une participation de 0,50 € par livre emprunté. Formule B : acheter une carte rose de bibliothèque à 7,50 € (par an) e t ne payer qu’une participation de 0,20 € par livre emprunté. Formule C : acheter une carte verte de bibliothèque à 15,50 € (par an) et emprunter autant de l ivres que l’on veut. Partie I 1. Recopiez et complétez le tableau suivant : Nombre de livres empruntés par an
10
30
Prix à payer avec la formule A en € Prix à payer avec la formule B en € Prix à payer avec la formule C en € 2. On appelle x le nombre de livres empruntés par une personne en un an. Soit PA le prix à payer avec la formule A. Soit PB le prix à payer avec la formule B. Soit PC le prix à payer avec la formule C. Exprimez PA et PB en fonction de .
3. Résolvez l’équation 0,5 = 7,5 + 0,2 . Donnez une interprétation de la solution trouvée. Partie II Les tracés demandés dans cette partie seront réalisés sur une feuille de papier millimétré. 1. a. Tracez un repère orthogonal (O, I, J), O étant plac é en bas à gauche. On prendra les unités suivantes: – 1 cm pour 5 livres sur l’axe des abscisses ; – 1 cm pour 1 € sur l’axe des ordonnées. b. Tracez dans ce repère : – la droite DA qui représente la fonction 0,5 – la droite DB qui représente la fonction 0,2 + 7,5 – la droite DC qui représente la fonction 15,5
↦ ↦ ↦
2. En utilisant le graphique, répondez aux questions suivantes. a. Quelle est la formule la plus intéressante si l’on emprunte 20 livres en un an ? b. À partir de combien de livres empruntés par an la formule C est-elle la plus intéressante ?
e
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45
Corrigé du Brevet blanc n°1 1. Complétons le tableau suivant :
Tf (en °F) : ()
−50 −
Tc (en°C) :
− −13
−10
59
35
72
100
161,6
212
2. On cherche l’image de 40 par la fonction . Graphiquement on trouve environ 105. Par le calcul, on a ( 40) = 1,8 × 40 + 32 = 104 . Autrement dit 40 °C = 104 °F. L’eau (pure) boue à 100 °C ce qui correspond (graphiquement) à environ 210 °F. Remarque : Avec le tableau de valeurs, on s’aperçoit que la réponse exacte est de 212 °F.
3. On cherche l’antécédent de 100 par la fonction . Graphiquement, on trouve environ 38. Par le calcul, on cherche la solution de l’équation ( ) = 100. On doit donc résoudre l’équation 1,8 + 32 = 100 . 340 La solution de cette équation est . 9 Autrement dit, 100 °F 37,8 °C.
≈
4. Si les deux thermomètres affichent la même valeur, c’est que les températures sont égales. Les deux températures seront égales si et seulement si : = 1,8 + 32. Cette équation admet une solution unique 40. Autrement dit : 40 °C = 40 °F ! Cette température, bien qu’extrême, peut se produire, surtout dans l’Antarctique !
−
−
−
Corrigé du Brevet blanc n°2 Partie I 1. Complétons le tableau suivant : Nombre de livres empruntés par an
10
30
45
Prix à payer avec la formule A en €
5
15
22,5
Prix à payer avec la formule B en €
9,5
13,5
16,5
Prix à payer avec la formule C en €
15,5
15,5
15,5
() = 0,5 et et () = 0,2 + 7,5. 3. L’équation 0,5 = 7,5 + 0,2 admet pour solution unique 25. 2. On aura :
Autrement dit, si l’on emprunte 25 livres, les tarifs A et B seront identiques et coûteront 12,50 €. e
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Partie II 1. a. et b.
2. a. Si l’on emprunte 20 livres, le tarif A sera le plus intéressant et ne coûtera que 10 €. b. À partir de 41 livres empruntés, le tarif B sera le plus intéressant.
e
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Théorème de Thalès Brevet blanc supplémentaire Sujet Polynésie, 2013
Document 1 : Extrait de la liste alphabétique des élèves de la 3 e4 et d’informations relevées en E.P.S. pour préparer des épreuves d’athlétisme. Prénoms Lahaina Manuarii Maro-Tea Mehiti Moana Rahina
Date de naissance 26-octobre 20-mai 5-novembre 5- uin 10-décembre 14-mai
Année 1997 1997 1998 1997 1997 1997
Taille en m 1,81 1,62 1,56 1,60 1,80 1,53
Nombre de pas réalisés sur 100 m 110 123 128 125 111 130
Document 2 : Dans le croquis ci-dessous, le tiki représente Moana, élève de 3 e4. Moana a d’abord posé sur le sol, à partir du cocotier, des noix de coco régulièrement espacées à chacun de ses pas, puis il s’est ensuite placé exactement comme indiqué sur le croquis, au niveau de la 7 e noix de coco.
À l’aide d’informations qui proviennent des documents précédents, calculez la hauteur du cocotier en expliquant clairement votre démarche.
e
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Corrigé du Brevet blanc Reprenons le croquis et ajoutons-y les informations nécessaires récoltées dans les documents 1 et 2 et qui nous permettront de déterminer la hauteur du cocotier.
D’après le document 1, Moana mesure 1,80 m donc MN = 1,8 m. D’après le croquis du document 2, on a : AM= 3 pas et AB = 1. Calculer la hauteur du cocotier revient à déterminer la longueur BC. Nous allons utiliser le théorème de Thalès pour résoudre ce petit problème. Nous pouvons raisonnablement supposer que le cocotier pousse perpendiculairement au sol et que Moana se tient également droit, donc perpendiculaire au sol aussi ! Mathématiquement, cela se traduit de la façon suivante : les droites (BC) et (MN) sont perpendiculaires à une même troisième (AB) donc elles sont parallèles entre elles. Nous venons donc de justifier que les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Les triangles AMN et ABC de sommet commun A sont tels que : parallèles. D’après le théorème de Thalès, on a :
AM
AN
MN
.
∈ [ ] ; ∈ [ ] ; les droites (MN) et (BC) sont
AB AC BC AM MN AB 10 En particulier : donc BC MN 1,8 6 . AB BC AM 3
Conclusion : Le cocotier mesure 6 m.
e
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Trigonométrie dans le triangle rectangle Exercice supplémentaire n°1 Soit DEF un triangle rectangle en D tel que DE = 8 cm et DF = 15 cm. Calculez la mesure de l’angle
arrondie au degré près.
Exercice supplémentaire n°2
On considère la figure ci-dessous où les droites (AB) et (DE) sont parallèles. Déterminez la longueur exacte du segment [CD].
Exercice supplémentaire n°3
1. Démontrez que, pour tout angle aigu de mesure , on a l’égalité : cos²( ) =
2. Soit un angle aigu tel que tan =
1 2
1 1 tan ²( x )
.
Déduisez-en la valeur de cos( ).
3. Prouvez alors que sin =
e
1 5
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et écrivez cette valeur sans radical au dénominateur.
Corrigé de l’exercice n°1 Le triangle DEF est rectangle en D, donc je peux y appliquer les formules de trigonométrie.
Je cherche l’angle . Je connais le côté adjacent à cet angle. Je connais le côté opposé à cet angle .
) = DF DE = tan ( DF ) Donc : DE = tan ( 158 ) = tan Donc : 62 °. Conclusion :
Je vais donc utiliser la formule de la tangente.
Donc : tan(
–1
–1
–1
(1,875)
Corrigé de l’exercice n°2 Remarquons déjà que les triangles ABC et CDE sont respectivement rectangle en C et en E. Nous pouvons donc y appliquer les formules de trigonométrie.
sont alternes-internes compris entre deux droites parallèles (AB) et (DE) : ils ont donc la ) = CA Dans le triangle ABC rectangle en C, on a : tan( CB ) = 53 (1) Donc : tan( ) = EC Dans le triangle CDE rectangle en E, on a : tan( ED ) = CE (2) Donc : tan( Les angles et même mesure. Donc : = .
6
Conclusion : Les égalités (1) et (2) nous permettent de calculer :
5 3
CE
6
Donc : CE = 10 Nous pouvons désormais calculer la longueur du segment [CD], en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle CDE rectangle en E. On a : CD² = ED² + EC² Donc : CD² = 6² + 10² Donc : CD² = 136 Or CD > 0 donc CD = 136 2 34
Corrigé de l’exercice n°3
1. Démontrons que pour tout angle aigu de mesure , on a l’égalité : cos²( ) = On a :
1 1 tan ²( x)
= 1 e
1 sin ²( x) cos ²( x)
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1 1 tan ²( x)
Donc :
1
=
1 tan ²( x )
1 cos ²( x) sin ²( x ) cos ²( x )
Donc :
1
=
1 tan ²( x )
cos ²( x) cos ²( x ) sin ²( x)
Or la relation fondamentale de la trigonométrie nous permet d’écrire : Donc :
1
Donc : cos( ) =
1
= cos²( ).
1 tan ²( x )
2. On a : tan =
²() + ²() =
1
donc cos²( ) =
2
1 1
1 ( )2 2
1 1
1
4 5
4
Or l’angle est aigu donc cos( ) > 0 . 2
5
2 5 5
3. La relation fondamentale de la trigonométrie nous permet d’écrire :
45 donc : sin²() = 1 - 45 = 15 Or l’angle est aigu donc sin( ) > 0. 1 5 5 Donc : sin( ) = 5 5 5 5 Avec cos²( ) =
e
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²() =
1–
²()
Angles et polygones réguliers Brevet blanc supplémentaire n°1 Sujet Polynésie, 2012 1. Tracez
le cercle C de centre O et de diamètre [AB] tel que AB = 8 cm.
2. Placez un point M appartenant à C tel que 3. Calculez la mesure de l’angle inscrit
= 36° .
qui intercepte le petit arc de cercle .
4. À l’aide des données de l’énoncé, laquelle de ces propositions vous permet de montrer que AMB est un triangle rectangle en M ? Proposition 1 : Si dans le triangle AME on a AB² = AM² + BM² alors AME est un triangle rectangle en M. Proposition 2 : Si le triangle AMB est inscrit dans le cercle C dont l’un des diamètres est [AB] alors AMB est un triangle rectangle en M. Proposition 3 : Si O est le milieu de [AB] alors AMB est un triangle rectangle d’hypoténuse [AB]. 5. Calculez la longueur AM et arrondissez le résultat au dixième. 6. Tracez le symétrique N de M par rapport à [AB]. 7. Placez les points R et S de façon à ce que NMRAS soit un pentagone régulier.
Brevet blanc supplémentaire n°2 Sujet Pondichéry, 2012
On veut réaliser un hexagone régulier. Le schéma à main levée ci-contre représente un hexagone régulier ABCDEF de 96 m de périmètre. Il est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 16 m. Le segment [OH] est une hauteur du triangle équilatéral OBA.
1. Calculez la longueur OH, exprimée en m. Déduisez-en l’arrondi au centimètre près. 2. Utilisez ce résultat pour calculer l’aire du triangle OBA, exprimée en m² et arrondi au 1/10. 3. Déduisez-en l’arrondi à l’unité de l’aire d’un hexagone régulier de 96 m de périmètre. e
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Corrigé du Brevet blanc n°1 1., 2., 6. et 7. Constructions
3. Dans le cercle, l’angle inscrit et son angle au centre associé interceptent le même arc de cercle . D’après le théorème de l’angle inscrit, on a l’égalité : = × = 18° . 4. La bonne proposition est la proposition 2 : Si le triangle AMB est inscrit dans le cercle C dont l’un des diamètres est [AB] alors AMB est un triangle rectangle en M. 5. Le triangle AMB est rectangle en M donc on peut y appliquer les formules de trigonométrie. Par exemple, on aura : cos = donc = × cos( ) D’où : = 8 × 18° 7,6 cm.
≈
Corrigé du Brevet blanc n°2 1. ABCDEF est un hexagone régulier est inscrit dans le cercle de centre O et de rayon 16 m. Chacun des angles au centre de l’hexagone régulier aura pour mesure Cela montre que chacun des 6 triangles qui composent l’hexagone sont des triangles équilatéraux de 16 m de côtés. C’est donc également le cas pour le triangle OAB. De plus, [OH] est la hauteur du triangle équilatéral OAB issue de O. Or la hauteur d’un triangle équilatéral est également la médiane issue du même sommet. Donc H est le milieu du segment [AB] et par suite AH = 8 m. Le triangle OAH est rectangle en H donc on peut y appliquer le théorème de Pythagore. On a l’égalité ² = ² + ² Donc ² = 16² 8² = 256 64 = 192 et comme OH désigne une longueur (c’est-à-dire un nombre positif) = 192 = 6 4 × 3 = 8 3 13,86 . 2. On aura alors : ( ) = 3. L’hexagone étant composé de six triangles équilatéraux identiques à OBA, son aire sera : ( ) = 6 × 64 3 = 384 3 665 ². Conclusion : L’aire d’un hexagone régulier de périmètre 96 m sera, environ, 665 m².
− − √ √ √ ≈ √ √ ≈
e
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Géométrie dans l’espace Exercice supplémentaire On considère la pyramide régulière SABCD à base carrée ci-contre. On sait que : AB = 10 cm ; SA = 12 cm et
SO’ = 5 cm.
Dessinez en vraie grandeur le polygone A’B’C’D’ obtenu par section de la pyramide SABCD par un plan parallèle à la base (de la pyramide).
Brevet blanc supplémentaire n°1 Sujet Nouvelle-Calédonie, 2012
Pour attirer davantage de visiteurs dans sa ville, un maire décide de faire construire l’Aquarium du Pacifique. Les architectes prévoient de poser un énorme aquarium à l’entrée, dont la vitre a une forme sphérique. La figure ci-dessous représente la situation. Cette figure n’est pas en vraie grandeur.
1. Calculez le volume en m 3 d’une boule de rayon 5 m. Donnez l’arrondi à l’unité près. On rappelle la formule du volume d’une boule de rayon R : = × × .
e
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2. En réalité, l’aquarium est implanté dans le sol. La partie supérieure (visible aux visiteurs) est une « calotte sphérique ». La partie inférieure (enfouie) abrite les machines. a. Quelle est la nature de la section entre le plan horizontal du sol et l’aquarium (la partie grisée sur la figure) ? b. Le point O désigne le centre de la sphère. On donne les dimensions réelles suivantes : sont les points placés sur le sol comme sur la figure. = 3 ; = 5 ; = 4 , ù Le triangle OHR est-il rectangle ? Justifiez.
3. a. T est un point de la sphère tel que les points T, O, H soient alignés comme sur la figure. Calculez la hauteur HT de la partie visible de l’aquarium. b. Le volume d’une calotte sphérique de rayon 5 m est donné par la formule :
= (15 − ℎ)ù ℎ désigne sa hauteur (correspondant à la longueur HT sur la figure). ×
Calculez le volume en litres de cette calotte sphérique. Pour cette question, on prendra comme volume de l’aquarium 469 000 L. Des pompes délivrent à débit constant de l’eau de mer pour remplir l’aquarium vide. En 2 heures de fonctionnement, les pompes réunies y injectent 14 000 L d’eau de mer. Au bout de combien d’heures de fonctionnement les pompes auront-elles rempli l’aquarium ?
Brevet blanc supplémentaire n°2 Sujet métropole, 2012
On considère un cône de révolution de hauteur 5 cm et dont la base a pour rayon 2 cm. Le point A est le sommet du cône et O le centre de sa base. B est le milieu de [AO]. 1. Calculez le volume du cône en cm 3. On arrondira à l’unité. 2. On effectue la section du cône par le plan parallèle à la base qui passe par B. On obtient ainsi un petit cône. Est-il vrai que le volume du petit cône est égal à la moitié du volume du cône initial ?
e
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Corrigé de l’exercice La section de la pyramide régulière à base carrée par un plan parallèle à sa base est un carré réduit. Ce carré est parallèle à la base de la pyramide. O est le centre de la base carrée et comme la pyramide est régulière cela signi fie que la hauteur de la pyramide [SO] est perpendiculaire à cette base. Donc le triangle SOA est rectangle en O. On peut donc y appliquer le théorème de Pythagore. Donc ² = ² + ² Donc ² = ² ² Comme [OA] est la demi-diagonale du carré de côté 10 cm, on aura : OA = 5 2 cm Ainsi : SO² = 12² - 50 = 94 et comme SO désigne une longueur SO = 94 cm. Dans le triangle SOA et SO’A’ sont tels que : ’[ ] Le théorème de Thalès peut alors s’appliquer et nous permet d’écrire : ’[ ] SA' SO' A' O ' ( ’ ’) // ( ) SA SO AO
−
En particulier : Donc A' O'
SO' SO
55 2 94
A' O' AO
donc A' O'
SO' AO SO
25 47 47 Conclusion : La demi-diagonale du carré A’B’C’D’ a pour longueur 25 47 47 Donc la longueur d’un côté du carré est solution de l’équation :
x 2
2
Donc :
25 47
=
47 25 94 47
cm
La section A’B’C’D’ est donc le carré de côté
25 94 47
cm ci-contre.
Corrigé du Brevet blanc n°1 1. Il s’agit de calculer le volume d’une boule de rayon 5 m. 524 . On a : = × × 5 =
≈
2. a. D’après le cours, la section d’une boule par un plan est un disque. ²+ ² = 3² + 4² = 25 b. Dans le triangle OHR, on a : ²+ ² = 5² = 25
² = ²
Dans ces conditions, la réciproque du théorème de Pythagore nous assure que le triangle OHR est rectangle en H. e
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