Analiza_functionala

Analiz˘ a funct¸ional˘ a - note de curs ˘ ˘ Daniel STANIC A Bucure¸sti, 2011

2

1. Spat ¸ ii liniare

Capitolul 1 Spat¸ii liniare. Prelungirea funct¸ionalelor liniare Not˘am cu K mult¸imea numerelor reale sau mult¸imea numerelor complexe (K = R sau K = C). Definit¸ia 1.1 Fie X o mult¸ime de obiecte numite vectori ¸si dou˘a operat¸ii: X × X ∋ (x, y) −→ x + y ∈ X, K × X ∋ (α, x) −→ αx ∈ X numite adunare ¸si, respectiv, ˆınmult¸ire cu scalari, care verific˘a urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: 1) x + y = y + x, ∀ x, y ∈ X; 2) (x + y) + z = x + (y + z), ∀ x, y, z ∈ X; 3) Exist˘a un element 0 ∈ X astfel ˆıncˆ at 0 + x = x, ∀ x ∈ X; 4) Pentru orice element x ∈ X, exist˘a un element −x ∈ X astfel ˆıncˆ at x + (−x) = 0; 5) 1x = x, ∀ x ∈ X; 6) α(βx) = (αβ)x, ∀ α, β ∈ K, ∀ x ∈ X; 7) α(x + y) = αx + αy, ∀ α ∈ K, ∀ x, y ∈ X; 8) (α + β)x = αx + βx, ∀ α, β ∈ K, ∀ x ∈ X. Atunci X se nume¸ste spat¸iu liniar. Observat¸ie. Dac˘a K = R, atunci X din definit¸ia anterioar˘a se nume¸ste spat¸iu liniar real, iar dac˘a K = C, atunci X se nume¸ste spat¸iu liniar complex. Definit¸ia 1.2 O submult¸ime V a unui spat¸iu liniar X se nume¸ste subspat¸iu liniar dac˘a ¸si numai dac˘a x + y ∈ V, ∀ x, y ∈ V ¸si αx ∈ V, ∀ α ∈ K, ∀ x ∈ V . 3

4


Fie X un spat¸iu liniar ¸si n ∈ N, n ≥ 2. Fiind dat¸i vectorii x1 , x2 , . . . , xn ∈ X ¸si scalarii α1 , α2 , . . . , αn ∈ K atunci expresia n ∑

αi xi = α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn

i=1

se nume¸ste combinat¸ie liniar˘a a vectorilor x1 , x2 , . . . , xn . Definit¸ia 1.3 Vectorii x1 , x2 , . . . , xn se numesc liniari dependent¸i dac˘a exist˘a scalarii α1 , α2 , . . . , αn cu cel put¸in unul diferit de 0 astfel ˆıncˆ at n ∑

αi xi = 0.

(1.1)

i=1

Vectorii x1 , x2 , . . . , xn se numesc liniari independent¸i dac˘a nu sunt liniar dependent¸i, adic˘a singura alegere a scalarilor α1 , α2 , . . . , αn pentru care se verific˘a egalitatea (1.1) este αi = 0, ∀ i = 1, n. Observ˘am c˘a vectorii x1 , x2 , . . . , xn sunt liniar dependent¸i dac˘a ¸si numai dac˘a cel put¸in unul dintre ei se poate scrie ca o combinat¸ie liniar˘a a celorlalt¸i. Definit¸ia 1.4 Un spat¸iu liniar X se nume¸ste finit dimensional dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a o mult¸ime finit˘a maximal˘a de vectori liniari independent¸i {x1 , x2 , . . . , xn }, adic˘a, pentru orice alt element x ∈ X, vectorii x1 , x2 , . . . , xn , x sunt liniar dependent¸i. Mult¸imea {x1 , x2 , . . . , xn } se nume¸ste baz˘ a (finit˘a) a spat¸iului liniar X. Un spat¸iu liniar care nu admite o baz˘ a finit˘a se nume¸ste spat¸iu liniar infinit dimensional. Fie X un spat¸iu liniar finit dimensional. Atunci orice baz˘a a lui X cont¸ine acela¸si num˘ar de elemente. Acest num˘ar se nume¸ste dimensiunea spat¸iului liniar X. Definit¸ia 1.5 a) Fie n ∈ N ¸si x1 , x2 , . . . , xn elemente liniar independente din spat¸iul liniar X. Mult¸imea sp(x1 , x2 , . . . , xn ) := {α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn | α1 , α2 , . . . αn ∈ K} se nume¸ste subspat¸iul liniar generat de elementele x1 , x2 , . . . , xn . Acest subsubspat¸iu are dimensiunea n. b) Fie M o mult¸ime de elemente din spat¸iul liniar X. Atunci mult¸imea sp(M ) := {α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn | αi ∈ K, xi ∈ M, n ∈ N} se nume¸ste subspat¸iul liniar generat de mult¸imea M .

1. Prelungirea funct ¸ ionalelor liniare

5

Observat¸ie Dac˘a V este un subspat¸iu al spat¸iului liniar X ¸si a ∈ X \ V atunci sp(V ∪ {a}) = {x + λa | x ∈ V, λ ∈ K}. Definit¸ia 1.6 Fie X un spat¸iu liniar. O funct¸ie f : X → K se nume¸ste funct¸ional˘a. O funct¸ional˘a f este liniar˘a dac˘a ¸si numai dac˘a f (αx + βy) = αf (x) + βf (y), ∀ x, y ∈ X ¸si α, β ∈ K. Definit¸ia 1.7 Fie X un spat¸iu liniar real. O funct¸ional˘a p : X → R se nume¸ste subaditiv˘ a dac˘a p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀ x, y ∈ X. O funct¸ional˘a p : X → R se nume¸ste pozitiv omogen˘ a dac˘a p(αx) = αp(x), ∀ α ≥ 0, ∀ x ∈ X. O funct¸ional˘a subaditiv˘a ¸si pozitiv omogen˘ a se nume¸ste subliniar˘a. Teorema 1.1 (Teorema Hahn-Banach de prelungire a funct¸ionallor liniare) Fie X un spat¸iu liniar real, V un subspat¸iu liniar al lui X, p : X → R o funct¸ional˘a subliniar˘a ¸si f0 : V → R o funct¸ional˘ a liniar˘a astfel ˆıncˆ at f0 (x) ≤ p(x), ∀ x ∈ V. Atunci exist˘a o funct¸ional˘a liniar˘a f : X → R astfel ˆıncˆ at f (x) = f0 (x), ∀ x ∈ V ¸si f (x) ≤ p(x), ∀ x ∈ X. Corolarul 1.1 Fie X un spat¸iu liniar real, p : X → R o funct¸ional˘ a subliniar˘a ¸si x0 ∈ X. Atunci exist˘a o funct¸ional˘ a liniar˘a f : X → R astfel ˆıncˆ at f (x0 ) = p(x0 ) ¸si f (x) ≤ p(x), ∀ x ∈ X. Definit¸ia 1.8 Fie X un spat¸iu liniar. O funct¸ional˘ a p : X → R se nume¸ste seminorm˘a dac˘a este subaditiv˘ a ¸si p(αx) = |α|p(x), ∀ α ∈ K, ∀ x ∈ X.

6


Propozit¸ia 1.1 Fie X un spat¸iu liniar, V un subspat¸iu liniar al lui X, p : X → R o seminorm˘a ¸si f0 : V → K o funct¸ional˘ a liniar˘a astfel ˆıncˆ at |f0 (x)| ≤ p(x), ∀ x ∈ V. Atunci exist˘a o funct¸ional˘a liniar˘a f : X → K astfel ˆıncˆ at f (x) = f0 (x), ∀ x ∈ V ¸si |f (x)| ≤ p(x), ∀ x ∈ X. Corolarul 1.2 Fie X un spat¸iu liniar, p : X → R o seminorm˘a ¸si x0 ∈ X. Atunci exist˘a o funct¸ional˘a liniar˘a f : X → K astfel ˆıncˆ at f (x0 ) = p(x0 ) ¸si |f (x)| ≤ p(x), ∀ x ∈ X. Definit¸ia 1.9 Fie X ¸si Y dou˘ a spat¸ii liniare. O funct¸ie T : X → Y se va numi operator. Un operator T este liniar dac˘a ¸si numai dac˘a T (αx + βy) = αT (x) + βT (y), ∀ x, y ∈ X ¸si α, β ∈ K. Fie un operator liniar T : X → Y . T este injectiv dac˘a ¸si numai dac˘a din T (x) = 0 rezult˘a c˘a x = 0, iar T este surjectiv dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice y ∈ Y exist˘a x ∈ X astfel ˆıncât T x = y. Un operator liniar T este bijectiv dac˘a ¸si numai dac˘a T este injectiv ¸si surjectiv. Propozit¸ia 1.2 Fie T : X → Y un operator liniar ¸si bijectiv. Atunci exist˘a un operator liniar T −1 : Y → X (numit inversul lui T ) astfel ˆıncˆ at T ◦ T −1 = 1Y ¸si T −1 ◦ T = 1X , unde 1X , 1Y sunt operatorii identitate ai spat¸iilor X, respectiv Y (1X (x) = x, ∀ x ∈ X, respectiv 1Y (y) = y, ∀ y ∈ Y ). Definit¸ia 1.10 Dou˘a spat¸ii liniare X ¸si Y se numesc izomorfe dac˘a ¸si numai dac˘ a exist˘a un operator T : X → Y care este liniar ¸si bijectiv.

Capitolul 2 Spat¸ii liniare normate. Operatori liniari ¸si continui pe spat¸ii liniare normate Definit¸ia 2.1 Fie X un spat¸iu liniar. O norm˘a pe X (notat˘ a ∥ · ∥) este o funct¸ie definit˘a pe X cu valori reale ¸si cu propriet˘ a¸tile: 1) ∥x∥ ≥ 0, ∀ x ∈ X ¸si ∥x∥ = 0 dac˘ a ¸si numai dac˘a x = 0; 2) ∥αx∥ = |α|∥x∥, ∀ α ∈ K, ∀ x ∈ X; 3) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥, ∀ x, y ∈ X. Un spat¸iu liniar X ˆınzestrat cu o norm˘a ∥ · ∥ (cu notat¸ia (X, ∥ · ∥)) se nume¸ste spat¸iu liniar normat. Exemplul 2.1 Fie n ∈ N∗ . Spat¸iul Kn este spat¸iu liniar normat cu fiecare din normele: m ∥x∥1 :=

∑

|xi |, ∀ x = (xi )i=1,n ∈ Kn ,

i=1

v um u∑ ∥x∥2 := t |xi |2 , ∀ x = (xi )i=1,n ∈ Kn , i=1 m

∥x∥∞ := max |xi |, ∀ x = (xi )i=1,n ∈ Kn , i=1

sau, mai general, pentru p ∈ R, p ≥ 1: (

∥x∥p :=

m ∑

)1/p

|xi |p

, ∀ x = (xi )i=1,n ∈ Kn .

i=1

7

8CAPITOLUL 2. SPAT ¸ II LINIARE NORMATE. OPERATORI LINIARI S¸I CONTINUI PE SPA Exemplul 2.2 Spat¸iul m al ¸sirurilor de scalari m˘arginite m := {(xn )n∈N | (xn )n∈N m˘arginit , xn ∈ K, ∀ n ∈ N} este spat¸iu liniar normat cu norma ∥(xn )n∈N ∥ := sup |xk |. k∈N

Exemplul 2.3 Spat¸iul c al ¸sirurilor de scalari convergente c := {(xn )n∈N | (xn )n∈N convergent , xn ∈ K, ∀ n ∈ N} ¸si spat¸iul c0 al ¸sirurilor de scalari convergente la 0 c0 := {(xn )n∈N | (xn )n∈N convergent la 0, xn ∈ K, ∀ n ∈ N} sunt spat¸ii liniare normate cu norma ∥(xn )n∈N ∥ := sup |xk |. k∈N

Exemplul 2.4 Spat¸iul lp al ¸sirurilor de scalari absolut p-sumabile lp := {(xn )n∈N |

∑

|xn |p < ∞, xn ∈ K, ∀ n ∈ N}

n∈N

este spat¸iu liniar normat cu norma 

∥(xn )n∈N ∥p := 

∑

1/p

|xk |p 

.

k∈N

Exemplul 2.5 Fie A o mult¸ime nevid˘a ¸si M (A) := {f : A → K | f m˘arginit˘a} (mult¸imea funct¸iilor m˘arginite definite pe A ¸si cu valori scalare) este spat¸iu liniar normat cu norma ∥f ∥ = sup |f (t)|. t∈A

9 Exemplul 2.6 Fie A un spat¸iu topologic compact ¸si C(A) := {f : A → K | f continu˘a} (mult¸imea funct¸iilor continue definite pe A ¸si cu valori scalare) este spat¸iu liniar normat cu norma ∥f ∥ = sup |f (t)|. t∈A

Exemplul 2.7 Fie k ∈ N∗ , a < b ∈ R ¸si C k ([a, b]) := {f : [a, b] → R | f derivabil˘a de k ori pe(a, b) cu f (k) continu˘a} (mult¸imea funct¸iilor definite pe [a, b] de clas˘a C k ) este spat¸iu liniar normat cu norma ∥f ∥k = max sup |f (i) (t)|. 0≤i≤k t∈A

Exemplul 2.8 Fie n ∈ N p ∈ R, p ≥ 1, Ω o mult¸ime deschis˘a din Rn ¸si Lp (Ω) = {f : Ω → R | f m˘asurabil˘a, |f |p integrabil˘a, ˆın care am identificat dou˘a funct¸ii egale aproape peste tot} este spat¸iu liniar norma 

∫

1/p

∥f ∥p =  |f (t)|p dt

.

Ω

Definit¸ia 2.2 Fie (X, ∥ · ∥) un spat¸iu liniar normat, x0 ∈ X ¸si r > 0. Mult¸imea Br (x0 ) := {x ∈ X | ∥x − x0 ∥ < r} se nume¸ste bila deschis˘a de centru x0 ¸si raz˘a r, iar mult¸imea Br (x0 ) := {x ∈ X | ∥x − x0 ∥ ≤ r} se nume¸ste bila ˆınchis˘a de centru x0 ¸si raz˘ a r. O submult¸ime A ⊆ X se nume¸ste deschis˘a dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice a ∈ A exist˘a o raz˘a r > 0 astfel ˆıncˆ at Br (a) ⊆ X. Definit¸ia 2.3 Fie (X, ∥ · ∥) un spat¸iu liniar normat ¸si x ∈ X. O mult¸ime V se nume¸ste vecin˘atate a lui x dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a o mult¸ime deschis˘a D astfel ˆıncât {x} ⊂ D ⊂ V . Definit¸ia 2.4 Fie (X, ∥ · ∥) un spat¸iu liniar normat ¸si M ⊂ X o mult¸ime. x ∈ X este punct interior al mult¸imii M dac˘ a M este o vecin˘ atate a lui X. Mult¸imea punctelor interioare ale unei mult¸imi M se nume¸ste interiorul o mult¸imii M ¸si se noteaz˘a cu M . Interiorul unei mult¸imi este o mult¸ime deschis˘a.

10CAPITOLUL 2. SPAT ¸ II LINIARE NORMATE. OPERATORI LINIARI S¸I CONTINUI PE SP Definit¸ia 2.5 Fie (X, ∥ · ∥) un spat¸iu liniar normat ¸si M o submult¸ime a lui X. Vom spune c˘a un element x ∈ X este aderent mult¸imii M dac˘ a pentru orice vecin˘atate V a lui x avem V ∩ M ̸= ∅. Mult¸imea tuturor punctelor aderente mult¸imii M se nume¸ste aderent¸a mul¸timii M ¸si se noteaz˘a cu M . O mult¸ime M ⊂ X se nume¸ste ˆınchis˘ a dac˘a ¸si numai dac˘a M = M . O mult¸ime M ⊂ X este ˆınchis˘ a dac˘a ¸si numai dac˘a mult¸imea X \ M este deschis˘a. Definit¸ia 2.6 Fie (X, ∥ · ∥) un spat¸iu liniar normat ¸si M o submult¸ime a lui o

X. M se nume¸ste rar˘a dac˘a M = ∅. O submult¸ime a spat¸iului X se nume¸ste de prima categorie Baire dac˘a poate fi scris˘a ca reuniune num˘arabil˘ a de mult¸imi rare. O submult¸ime a spat¸iului X se nume¸ste de a doua categorie Baire dac˘a nu este de prima categorie Baire. Definit¸ia 2.7 Fie (X, ∥ · ∥) un spat¸iu liniar normat. Un ¸sir (xn )n∈N ⊂ X este convergent la x ∈ X dac˘a ¸si numai dac˘a lim ∥xn − x∥ = 0.

n→∞

Vom scrie xn −→ x sau n→∞ lim xn = x. Propozit¸ia 2.1 Fie (X, ∥ · ∥) un spat¸iu liniar normat. O submult¸ime M ⊆ X este ˆınchis˘a dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice ¸sir (xn )n∈N ⊂ M convergent la un element x ∈ X rezult˘a c˘a x ∈ M . Definit¸ia 2.8 Fie (X, ∥ · ∥) un spat¸iu liniar normat. O funct¸ie f : X → R se nume¸ste continu˘a ˆın x ∈ X dac˘ a ¸si numai dac˘a pentru orice ¸sir convergent xn −→ x avem f (xn ) −→ f (x). f se nume¸ste continu˘ a (pe X) dac˘a ¸si numai dac˘ a este continu˘a ˆın orice element x ∈ X. Observat¸ie. Se poate demonstra u¸sor c˘a funct¸ia norm˘a este continu˘a. Definit¸ia 2.9 Fie (X, ∥ · ∥) un spat¸iu liniar normat ¸si ∥ · ∥1 , ∥ · ∥2 dou˘a norme pe X. Normele se numesc echivalente dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a constantele pozitive c1 , c2 astfel ˆıncât c1 ∥x∥1 ≤ ∥x∥2 ≤ c2 ∥x∥1 , ∀ x ∈ X.

11 Observat¸ie. Dac˘a ˆıntru-n spat¸iu liniar normat exist˘a dou˘a norme echivalente ¸si dac˘a un ¸sir (xn )n∈N ⊂ X este convergent ˆıntr-o norm˘a atunci el este convergent ¸si ˆın cealalt˘a norm˘a. Propozit¸ia 2.2 Orice spat¸iu liniar finit dimensional este izomorf cu Kn . Deci, ˆıntr-un spat¸iu liniar normat finit dimensional, oricare dou˘a norme sunt echivalente. Definit¸ia 2.10 Fie X un spat¸iu liniar normat. Un ¸sir (xn )n∈N ⊂ X se nume¸ste ¸sir Cauchy dac˘a ¸si numai dac˘a lim ∥xm − xn ∥ = 0.

n,m→∞

X se nume¸ste spat¸iu Banach (sau spat¸iu liniar complet) dac˘a ¸si numai dac˘a orice ¸sir Cauchy cu elemente din X este convergent la un element din X. Exemplul 2.9 Spat¸iile Kn , m, c, c0 , lp , M (A), C(A), C k ([a, b]), Lp (Ω) definite ˆın exemplele anterioare sunt spat¸ii Banach. Teorema 2.1 (Baire) Orice spat¸iu Banach este de categoria a doua Baire. Definit¸ia 2.11 Fie (xn )n∈N un ¸sir ˆın spat¸iul normat X. Not˘am cu sn = n ∑

xk . Perechea ((xn )n∈N , (sn )n∈N ) se nume¸ste serie de termen general xn ¸si

k=1

se noteaz˘a cu Seria

∑

∑

xn .

n≥1

xn se nume¸ste convergent˘ a dac˘a ¸sirul (sn )n∈N este convergent.

n≥1

Limita acestui ¸sir se nume¸ste suma seriei ¸si se noteaz˘ a cu Seria

∑

∞ ∑ n=1

xn .

xn se nume¸ste absolut convergent˘ a dac˘a seria numeric˘a

n≥1

∑ n≥1

∥xx ∥

este convergent˘a. Propozit¸ia 2.3 Fie X un spat¸iu liniar normat. Atunci X este spat¸iu Banach dac˘ a ¸si numai dac˘a orice serie absolut convergent˘ a (cu elemente din X) este convergent˘a. Lema 2.1 Fie X un spat¸iu liniar normat ¸si Y un subspat¸iu cu Y ̸= X. Atunci, pentru orice ε > 0, exist˘a un element xε ∈ X \ Y astfel ˆıncˆ at ∥xε ∥ = 1 ¸si ∥xε − y∥ > 1 − ε, ∀ y ∈ Y .

12CAPITOLUL 2. SPAT ¸ II LINIARE NORMATE. OPERATORI LINIARI S¸I CONTINUI PE SP Teorema 2.2 (Riesz) Fie X un spat¸iu liniar normat. Atunci X este finit dimensional dac˘a ¸si numai dac˘a orice submult¸ime m˘arginit˘ a ¸si ˆınchis˘ a a lui X este compact˘a. Definit¸ia 2.12 Fie X, Y spat¸ii liniare normate, x0 ∈ X ¸si T : X → Y un operator. T este continuu ˆın x0 dac˘a ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 astfel ˆıncât din x ∈ X, ∥x − x0 ∥ < δ ⇒ ∥T (x) − T (x0 )∥ < ε. De asemenea continuitatea ˆın x0 poate fi descris˘a ¸si cu ajutorul ¸sirurilor astfel ∀ (xn )n∈N ⊂ X cu n→∞ lim xn = x0 ⇒ n→∞ lim T (xn ) = T (x0 ). Propozit¸ia 2.4 Fie X, Y spat¸ii liniare normate ¸si T : X → Y un operator liniar. Atunci T este continuu ˆıntr-un punct x0 ∈ X dac˘ a ¸si numai dac˘a T este continuu ˆın 0. Deci un operator liniar ˆıntre dou˘a spat¸ii liniare normate esete ori continuu peste tot ori discontinuu peste tot. Un operator liniar continuu ˆın orice punct se nume¸ste continuu. Teorema 2.3 Fie X, Y spat¸ii liniare normate ¸si T : X → Y un operator liniar. Atunci T este continuu dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a M > 0 astfel ˆıncˆ at ∥T (x)∥ ≤ M ∥x∥, ∀ x ∈ X. Fie X, Y spat¸ii liniare normate. Vom nota cu L(X, Y ) := {T : X → Y | T liniar ¸si continuu}. Propozit¸ia 2.5 Fie T ∈ L(X, Y ). Definim ∥T ∥ := sup ∥T (x)∥. ∥x∥≤1

Atunci funct¸ia ∥ · ∥ : L(X, Y ) → R este o norm˘a. Observ˘am c˘a din definit¸ia anterioar˘a rezult˘a c˘a T ∈ L(X, Y ) ⇒ ∥T (x)∥ ≤ ∥T ∥∥x∥, ∀ x ∈ X

13 Propozit¸ia 2.6 Fie T ∈ L(X, Y ). Atunci ∥T ∥ = inf{M > 0 | ∥T (x)∥ ≤ M ∥x∥, ∀ x ∈ X} = = sup ∥T (x)∥ = sup ∥T (x)∥ = sup ∥x∥=1

∥x∥<1

x̸=0

∥T (x)∥ . ∥x∥

Teorema 2.4 Fie X un spat¸iu liniar normat ¸si Y un spat¸iu Banach. Atunci L(X, Y ) este spat¸iu Banach. Teorema 2.5 (Teorema Hahn-Banach ˆın spat¸ii liniare normate) Fie X un spat¸iu liniar normat, V un subspat¸iu liniar al lui X, f0 : V → R o funct¸ional˘ a liniar˘a ¸si continu˘a. Atunci exist˘a o funct¸ional˘ a liniar˘a ¸si continu˘ af :X→R astfel ˆıncât f (x) = f0 (x), ∀ x ∈ V ¸si ∥f ∥ = ∥f0 ∥. Corolarul 2.1 Fie X un spat¸iu liniar normat ¸si x0 ∈ X. Atunci exist˘a o funct¸ional˘a liniar˘a ¸si continu˘a f : X → R astfel ˆıncˆ at f (x0 ) = ∥x0 ∥ ¸si ∥f ∥ = 1. Definit¸ia 2.13 Fie X un spat¸iu liniar normat. Numim dualul lui X spat¸iul liniar normat notat X ∗ cu X ∗ := {f : X → R | f liniar˘ a ¸si continu˘ a}. Corolarul 2.2 Fie X un spat¸iu liniar normat ¸si x0 ∈ X cu f (x0 ) = 0, ∀ f ∈ X ∗ . Atunci x0 = 0. Definit¸ia 2.14 Fie X un spat¸iu liniar normat ¸si M ⊂ X o mult¸ime. Un operator T : M → X se nume¸ste contract¸ie a mult¸imii M dac˘a exist˘a un num˘ar q ∈ (0, 1) astfel ˆıncât a) ∥T (x) − T (y)∥ ≤ q∥x − y∥, ∀ x, y ∈ M ; b) T (M ) ⊂ M . Observ˘am c˘a dac˘a T este o contract¸ie atunci T este operator continuu. Teorema 2.6 (Principiul contract¸iei) Fie X un spat¸iu Banach, M o mult¸ime ˆınchis˘a din X ¸si T : M → X o contract¸ie a mult¸imii M . Atunci, pentru orice x0 ∈ M ¸sirul (xn )n∈N ⊂ M definit prin xn+1 = T (xn ) converge la unica solut¸ie ˆ plus, avem evalu˘arile z ∈ M a ecuat¸iei T (x) = x. In ∥xn − z∥ ≤

qn q ∥xn − xn−1 ∥ ≤ ∥x1 − x0 ∥, ∀ n ∈ N∗ . 1−q 1−q

14CAPITOLUL 2. SPAT ¸ II LINIARE NORMATE. OPERATORI LINIARI S¸I CONTINUI PE SP Teorema 2.7 (Principiul m˘arginirii unifome) Fie X un spat¸iu Banach, Y un spat¸iu liniar normat ¸si (Ti )i∈I ⊂ L(X, Y ) astfel ˆıncˆ at pentru orice x ∈ X, mult¸imea {Ti (x) | i ∈ I} este m˘arginit˘ a. Atunci familia (Ti )i∈I este m˘arginit˘ a ˆın L(X, Y ). Corolarul 2.3 Fie X un spat¸iu Banach, Y un spat¸iu liniar normat ¸si (Un )n∈N ∈ L(X, Y ) astfel ˆıncât lim Un (x) = U (x), ∀ x ∈ X. Atunci U ∈ n→∞ L(X, Y ). Definit¸ia 2.15 Fie X, Y spat¸ii liniare normate. Un operator T : X → Y se nume¸ste aplicat¸ie deschis˘a dac˘a pentru orice mult¸ime descis˘a A ⊂ X rezult˘ a c˘ a T (A) este o mult¸ime deschis˘a ˆın Y . Lema 2.2 Fie X spat¸iu liniar normat, Y spat¸iu Banach ¸si T ∈ L(X, Y ) un operator surjectiv. Atunci pentru orice ε > 0 rezult˘ a c˘a exist˘a δε > 0 astfel ˆıncˆ at Bδε (0) ⊂ T (Bε (0)). Teorema 2.8 (Teorema aplicat¸iei deschise) Fie X, Y spat¸ii Banach ¸si T ∈ L(X, Y ) un operator surjectiv. Atunci T este o aplicat¸ie deschis˘a. Corolarul 2.4 Fie X, Y spat¸ii Banach ¸si T ∈ L(X, Y ) un operator bijectiv. Atunci T −1 este continuu. Propozit¸ia 2.7 Fie X, Y spat¸ii Liniare normate cu normele ∥ · ∥1 , respectiv ∥ · ∥2 ¸si Z = X × Y . Definim ∥(x, y)∥ := max{∥x∥1 , ∥y∥2 }, ∀ (x, y) ∈ Z. ˆ plus, dac˘a X ¸si Y sunt spat¸ii Banach, Atunci ∥ · ∥ este o norm˘a pe Z. In atunci ¸si Z este spat¸iu Banach. Definit¸ia 2.16 Fie X, Y spat¸ii liniare nornate ¸si T : X → Y un operator. Numim graficul lui T mult¸imea GT := {(x, y) | (x, y) ∈ X × Y ¸si y = T x}. T se nume¸ste operator ˆınchis dac˘a mulˆımea GT este ˆınchis˘ a ˆın X × Y . Teorema 2.9 (Teorema graficului ˆınchis) Fie X, Y spat¸ii Banach ¸si T : X → Y . Atunci T ∈ L(X, Y ) dac˘a ¸si numai dac˘a T este ˆınchis.

15 Teorema 2.10 (Teorema momentelor - Helley) Fie X un spat¸iu liniar normat, A ⊂ X nevid˘a, g : A → K ¸si α > 0. Atunci exist˘a f ∈ X ∗ astfel ˆıncˆ at f |A = g ¸si ∥f ∥ ≤ α dac˘a ¸si numai dac˘a n

n

∑

∑

λi g(xi ) ≤ α λi xi ,

i=1

i=1

oricare ar fi λ1 , . . . , λn ∈ K, x1 , . . . , xn ∈ A, n ∈ N∗ . Fie X un spat¸iu liniar normat ¸si x ∈ X. Definim Fx : X ∗ → K cu Fx (f ) = f (x), oricare ar fi f ∈ X ∗ . Propozit¸ia 2.8 Fx este liniar˘a ¸si continu˘ a (deci Fx ∈ (X ∗ )∗ = X ∗ ∗ - bidualul spat¸iului X). Dac˘a definim ϕX : X → X ∗ ∗ cu ϕX (x) = Fx , atunci ϕX se nume¸ste scufundarea natural˘a a lui X ˆın bidualul s˘au. Teorema 2.11 Orice spat¸iu liniar este izomorf cu un subspat¸iu liniar al bidualului. Definit¸ia 2.17 Un spat¸iu liniar normat se nume¸ste reflexiv dac˘a prin scufundarea natural˘a coincide cu bidualul s˘au. Propozit¸ia 2.9 Dualul unui spat¸iu liniar reflexiv este un spat¸iu reflexiv. Dac˘a dualul unui spat¸iu Banach este reflexiv, atunci X este reflexiv. Definit¸ia 2.18 Un ¸sir (xn )n∈N ⊂ X (X spat¸iu liniar normat) se nume¸ste slab convergent dac˘a exist˘a x ∈ X astfel ˆıncˆ at oricare ar fi f ∈ X ∗ ¸sirul (f (xn ))n∈N converge la f (x). Definit¸ia 2.19 Fie X, Y spat¸ii liniare normate. Un operator liniar T : X → Y se nume¸ste compact dac˘a imaginea oric˘arei mult¸imi m˘arginite din X este relativ compact˘a ˆın Y . Vom nota cu K(X, Y ) = {T : X → Y | T liniar ¸si compact}. Observat¸ie. T ¸ inând cont de caracterizarea mult¸imilor relativ compacte putem spune c˘a un operator liniar T : X → Y este compact dac˘a pentru orice ¸sir m˘arginit (xn )n∈N ⊂ X rezult˘a c˘a ¸sirul (T (xn ))n∈N ⊂ Y cont¸ine un sub¸sir convergent.

16CAPITOLUL 2. SPAT ¸ II LINIARE NORMATE. OPERATORI LINIARI S¸I CONTINUI PE SP Definit¸ia 2.20 Fie X, Y spat¸ii liniare normate. Un operator T ∈ L(X, Y ) se nume¸ste de rang finit dac˘a spat¸iul T (X) ⊂ Y este finit dimensional. Propozit¸ia 2.10 Fie X, Y spat¸ii liniare normate ¸si T ∈ L(X, Y ) un opeartor de rang finit. Atunci T este compact. Propozit¸ia 2.11 Fie X, Y spat¸ii liniare normate. Atunci K(X, Y ) este subspat¸iu liniar ˆın L(X, Y ). Teorema 2.12 Fie X spat¸iu liniar normat ¸si Y un spat¸iu Banach. Atunci K(X, Y ) este un subspat¸iu liniar ˆınchis al spat¸iului L(X, Y ). Definit¸ia 2.21 Un spat¸iu liniar normat X se nume¸ste strict convex dac˘a pentru orice elemente x, y ∈ X cu x ̸= y ¸si ∥x∥ = ∥y∥ = 1 rezult˘ a c˘a ∥x + y∥ < 2. Teorema 2.13 Fie X un spat¸iu liniar normat. Urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: a) X este strict convex. b) Dac˘a x, y ∈ X, x ̸= y, ∥x∥ ≤ 1, ∥y∥ ≤ 1 ¸si α ∈ (0, 1), atunci ∥αx + (1 − α)y∥ < 1. c) Dac˘a x, y ∈ X cu ∥x + y∥ = ∥x∥ + ∥y∥, atunci exist˘a λ ≥ 0, µ ≥ 0 cu λ + µ > 0 astfel ˆıncât λx = µy. Definit¸ia 2.22 Fie X un spat¸iu liniar normat, V ⊂ X un subspat¸iu ˆınchis ¸si x ∈ X \ V . Se nume¸ste distant¸˘ a de la x la V num˘ arul d(x, V ) := inf ∥x − v∥. v∈V

Propozit¸ia 2.12 Fie X un spat¸iu liniar normat ¸si V ⊂ X un subspat¸iu liniar finit dimensional. Atunci pentru orice element x ∈ X exist˘ a un element v ∈ V astfel ˆıncât ∥x − v∥ = d(x, V ). Teorema 2.14 Fie X un spat¸iu liniar normat strict convex ¸si V ⊂ X un subspat¸iu liniar finit dimensional. Atunci pentru orice element x ∈ X exist˘ a un singur element element v ∈ V astfel ˆıncˆ at ∥x − v∥ = d(x, V ). Definit¸ia 2.23 Un spat¸iu liniar normat X se nume¸ste uniform convex dac˘a pentru orice ε ∈ (0, 2) exist˘a δε > 0 astfel ˆıncˆ at din x, y ∈ X, ∥x∥ = ∥y∥ = 1 ¸si ∥x − y∥ > ε s˘a rezulte ∥x + y∥ < 2(1 − δε ).

17 Observat¸ie. Orice spat¸iu linar normat uniform convex este strict convex. Propozit¸ia 2.13 Un spat¸iu liniar normat finit dimensional este uniform convex dac˘a ¸si numai dac˘a este strict convex. Lema 2.3 Fie X un spat¸iu Banach uniform convex ¸si (xn )n∈N ⊂ X. Dac˘a lim ∥xn ∥ = 1 ¸si

n→∞

lim ∥xn + xm ∥ = 2,

n,m→∞

atunci ¸sirul (xn )n∈N este convergent. Definit¸ia 2.24 Fie X un spat¸iu liniar. O mult¸ime M ⊂ X se nume¸ste convex˘ a dac˘a pentru orice x, y ∈ M rezult˘ a c˘a {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]} ⊂ M. Teorema 2.15 Fie X un spat¸iu Banach uniform convex ¸si M o sbmult¸ime convex˘a ¸si ˆınchis˘a a lui X. Atunci exist˘a un unic element e ∈ M astfel ˆıncˆ at ∥e∥ = inf ∥x∥. x∈M

18CAPITOLUL 2. SPAT ¸ II LINIARE NORMATE. OPERATORI LINIARI S¸I CONTINUI PE SP

Capitolul 3 Spat¸ii Hilbert. Operatori liniari ¸si continui pe spat¸ii Hilbert Pentru un num˘ar complex z not˘am cu z conjugatul s˘au. Definit¸ia 3.1 Fie X un spat¸iu liniar. Un produs scalar pe X este o funct¸ie definit˘a pe X × X cu valori complexe (notat˘a ⟨·, ·⟩) cu urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: 1) ⟨x, x⟩ ≥ 0, ∀ x ∈ X ¸si ⟨x, x⟩ = 0 dac˘ a ¸si numai dac˘a x = 0; 2) ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩, ∀ x, y ∈ X; 3) ⟨αx + βy, z⟩ = α⟨x, z⟩ + β⟨y, z⟩, ∀ α, β ∈ K, ∀ x, y, z ∈ X. Un spat¸iu liniar X pe care s-a definit un produs scalar se nume¸ste spat¸iu prehilbertian. Propriet˘ a¸ti. Produsul scalar are urm˘atoarele propriet˘a¸ti: ⟨x, 0⟩ = ⟨0, x⟩ = 0, ⟨x, λy + µz⟩ = λ⟨x, y⟩ + µ⟨x, z⟩. Propozit¸ia 3.1 (Inegalitatea Cauchy-Schwartz) Fie X un spat¸iu prehilbertian. Pentru orice x, y ∈ X este verificat˘ a inegalitatea |⟨x, y⟩|2 ≤ ⟨x, x⟩⟨y, y⟩. Teorema 3.1 Fie X un spat¸iu prehilbertian. Atunci funct¸ia ∥ · ∥ : X → R definit˘a prin √ ∥x∥ := ⟨x, x⟩, ∀ x ∈ X este o norm˘a pe X (deci orice spat¸iu hilbertian este spat¸iu liniar normat). 19

20CAPITOLUL 3. SPAT ¸ II HILBERT. OPERATORI LINIARI S¸I CONTINUI PE SPAT ¸ II HILBE Propozit¸ia 3.2 Fie X un spat¸iu prehilbertian. Atunci produsul scalar este o funct¸ie continu˘a pe X × X. Definit¸ia 3.2 Un spat¸iu prehilbertian complet se nume¸ste spat¸iu Hilbert. Deci un spat¸iu Hilbert este un spat¸iu Banach pentru care norma provine dintr-un produs scalar. Exemplul 3.1 Fie n ∈ N∗ . Spat¸iul Kn este spat¸iu Hilbert cu produsul scalar: ⟨x, y⟩ =

n ∑

xi yi , ∀ x = (xi )i=1,n , y = (yi )i=1,n ∈ Rn , dac˘a K = R sau

i=1

⟨x, y⟩ =

n ∑

xi yi , ∀ x = (xi )i=1,n , y = (yi )i=1,n ∈ Cn , dac˘a K = C.

i=1

Exemplul 3.2 Spat¸iul l2 al ¸sirurilor de scalari absolut 2-sumabile ∑

l2 := {(xn )n∈N |

|xn |2 < ∞, xn ∈ K, ∀ n ∈ N}

n∈N

este spat¸iu Hilbert cu produsul scalar ⟨x, y⟩ =

∞ ∑

xn yn , ∀ x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ l2 .

n=1

Exemplul 3.3 Fie n ∈ N, Ω o mult¸ime deschis˘a din Kn ¸si L2 (Ω) = {f : Ω → K | f m˘asurabil˘a, |f |2 integrabil˘a, ˆın care am identificat dou˘a funct¸ii egale aproape peste tot} este spat¸iu Hilbert cu produsul scalar ⟨f, g⟩ =

∫

f (t)g(t)dt ∀ f, g ∈ L2 (Ω).

Ω

Teorema 3.2 (Regula paralelogramului) Un spat¸iu Banach X este spat¸iu Hilbert dac˘a ¸si numai dac˘a ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 ), ∀ x, y ∈ X. Propozit¸ia 3.3 Orice spat¸iu prehilbertian este uniform convex.

21 Definit¸ia 3.3 Fie X un spat¸iu prehilbertian. Dou˘a elemente x, y ∈ X se numesc ortogonale (¸si not˘am aceasta prin x ⊥ y) dac˘a ⟨x, y⟩ = 0. Observat¸ie. Fie X un spat¸iu rehilbertian ¸si x ∈ X. Dac˘a x ⊥ y pentru orice y ∈ X, atunci x = 0. Propozit¸ia 3.4 (Teorema lui Pitagora) Fie X un spat¸iu prehilbertian ¸si x, y ∈ X. Dac˘a x ⊥ y, atunci ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2 . Propozit¸ia 3.5 Fie X un spat¸iu prehilbertian ¸si x, y ∈ X. Atunci x ⊥ y dac˘a ¸si numai dac˘a ∥x∥ ≤ ∥x + λy∥, ∀ λ ∈ K. Definit¸ia 3.4 Fie X un spat¸iu prehilbertian ¸si A ⊂ X o mult¸ime nevid˘a. Spunem c˘a elementul x ∈ X este ortogonal pe mult¸imea A (¸si not˘am x ⊥ A) dac˘ a x ⊥ a, pentru orice a ∈ A. Mult¸imea A⊥ := {x ∈ X | x ⊥ A} se nume¸ste complementul ortogonal al mult¸imii A. Observat¸ie. Fie X un spat¸iu hilbertian ¸si A, B dou˘a mult¸imi nevide din X. Atunci A ⊂ B ⇒ A⊥ ⊃ B ⊥ ¸si A ⊂ (A⊥ )⊥ . Propozit¸ia 3.6 Complementul ortogonal al unei mult¸imi nevide este un subspat¸iu liniar ˆınchis. Propozit¸ia 3.7 Fie X un spat¸iu Hilbert ¸si Y ⊂ X un subspat¸iu ˆınchis. Atunci pentru orice x ∈ X, exist˘a un unic element yx ∈ Y astfel ˆıncˆ at ∥x − yx ∥ = d(x, Y ). (yx se nume¸ste element de cea mai bun˘a aproximare a lui x cu elemente din Y ).

22CAPITOLUL 3. SPAT ¸ II HILBERT. OPERATORI LINIARI S¸I CONTINUI PE SPAT ¸ II HILBE Teorema 3.3 (Teorema proiect¸iei) Fie X un spat¸iu Hilbert ¸si Y ⊂ X un subspat¸iu ˆınchis. Atunci element x ∈ X se descompune unic x = y + z cu y ∈ Y (y se nume¸ste proiect¸ia lui x pe Y ) ¸si z ∈ Y ⊥ . Teorema 3.4 (Teorema lui Riesz de reprezentare a funct¸ionalelor liniare ¸si continue) Fie X un spat¸iu Hilbert ¸si f ∈ X ∗ . Atunci exist˘a ¸si este unic un element xf ∈ X astfel ˆıncât f (x) = ⟨x, xf ⟩, ∀ x ∈ X ¸si ∥xf ∥ = ∥f ∥. Fie X un spat¸iu Hilbert. Not˘am cu L(X) := L(X, X) = {T : X → X | T liniar ¸si continuu}. Teorema 3.5 Fie X un spat¸iu Hilbert ¸si T ∈ L(X). Atunci exist˘a un unic operator T ∗ ∈ L(X) astfel ˆıncât ⟨T (x), y⟩ = ⟨x, T ∗ (y)⟩, ∀ x, y ∈ X. Operatorul T ∗ se nume¸ste adjunctul operatorului T . Propozit¸ia 3.8 Fie X un spat¸iu Hilbert ¸si T, U ∈ L(X). Atunci a) (αT + βU )∗ = αT ∗ + βU ∗ , ∀ α, β ∈ K; b) (T U )∗ = U ∗ T ∗ ; c) (T ∗ )∗ = T ; d) ∥T ∥ = ∥T ∗ ∥; d) ∥T ∗ T ∥ = ∥T ∥2 . Definit¸ia 3.5 Fie X un spat¸iu Hilbert. Spunem c˘a un operator T ∈ L(X) este autoadjunct dac˘a ¸si numai dac˘a T ∗ = T , adic˘a ⟨T (x), y⟩ = ⟨x, T (y)⟩, ∀ x, y ∈ X. Not˘ am cu A(X) mult¸imea operatorilor autoadjunct¸i definit¸i pe X ¸si cu valori ˆın X. Propozit¸ia 3.9 Fie X un spat¸iu Hilbert real. Atunci A(X) este un subspat¸iu liniar ˆınchis ˆın L(X). Teorema 3.6 Fie X un spat¸iu Hilbert ¸si T ∈ A(X). Atunci ∥T ∥ = sup |⟨T (x), x⟩|. ∥x∥=1

23 Propozit¸ia 3.10 Un operator T ∈ L(X) este autoadjunct dac˘a ¸si numai dac˘a ⟨T (x), x⟩ ∈ R pentru orice x ∈ X. Definit¸ia 3.6 (Tipuri de operatori pe spat¸ii Hilbert) Fie X un spat¸iu Hilbert. a) Un operator autoadjunct T ∈ A(X) se nume¸ste pozitiv dac˘a ⟨T (x), x⟩ ≥ 0 pentru orice x ∈ X. b) Un operator T ∈ L(X) se nume¸ste normal dac˘a T T ∗ = T ∗ T . c) Un operator U : X → X surjectiv se nume¸ste unitar dac˘a ⟨U (x), U (y)⟩ = ⟨x, y⟩ pentru orice x, y ∈ X. d) Un operator autoadjunct P ∈ A(X) se nume¸ste proiector (operator de proiect¸ie) dac˘a P 2 = P . Propozit¸ia 3.11 Fie T ∈ L(X). Atunci operatorii T T ∗ ¸si T ∗ T sunt pozitivi. Propozit¸ia 3.12 Un operator T ∈ L(X) este normal dac˘a ¸si numai dac˘a ∥T (x)∥ = ∥T ∗ (x)∥ pentru orice x ∈ X. Propozit¸ia 3.13 Un operator T ∈ L(X). Sunt echivalente a) T este unitar. b) T este surjectiv ¸si ∥T (x)∥ = ∥x∥. c) T T ∗ = T ∗ T = I, unde I este operatorul identitate al spat¸iului X (I(x) = x, ∀ x ∈ X. Fie X un spat¸iu Hilbert ¸si Y un subspat¸iu ˆınchis al lui X. Din teorema proiect¸iei rezult˘a c˘a orice element x ∈ X se descompune ˆın mod unic x = x1 +x2 cu x1 ∈ Y ¸si x2 ∈ Y ⊥ . Fie PY : X → Y operatorul definit prin PY (x) = x1 . Teorema 3.7 Fie X un spat¸iu Hilbert ¸si Y un subspat¸iu ˆınchis al lui X. Atunci PY este un proiector. Reciproc, dac˘a dac˘a P este un proiector definit pe X, atunci exist˘a un subspat¸iu liniar Y al lui X astfel ˆıncˆ at PY = P .

24CAPITOLUL 3. SPAT ¸ II HILBERT. OPERATORI LINIARI S¸I CONTINUI PE SPAT ¸ II HILBE

Capitolul 4 Elemente de teorie spectral˘ a Fie X un spat¸iu Banach ¸si T, U ∈ L(X). Vom nota cu T U compunerea T ◦ U . Avem ∥T U ∥ ≤ ∥T ∥∥U ∥. Not˘am cu I ∈ L(X) operatorul identitate (I(x) = x, ∀ x ∈ X). Avem ∥I∥ = 1. Definit¸ia 4.1 Un operator T ∈ L(X) se nume¸ste inversabil dac˘a exist˘a U ∈ L(X) astfel ˆıncât T U = U T = I. Not˘am U cu T −1 . Teorema 4.1 Fie X un spat¸iu Banach, T ∈ L(X) cu ∥T ∥ < 1. Atunci operatorul I − T este inversabil ¸si −1

(I − T )

=

∞ ∑

T n,

n=0

ˆ plus unde T 0 = I. In ∥(I − T )−1 ∥ ≤

1 . 1 − ∥T ∥

Propozit¸ia 4.1 Fie X un spat¸iu Banach, T, U ∈ L(X) cu U inversabil ¸si 1 ∥T − U ∥ < . Atunci operatorul T este inversabil, ∥U −1 ∥ T −1 =

∞ ∑

(U −1 (U − T ))n U −1 ¸si

n=0

∥T −1 − U −1 ∥ ≤

∥U −1 ∥2 ∥T − U ∥ . 1 − ∥U −1 ∥ · ∥T − U ∥ 25

˘ CAPITOLUL 4. ELEMENTE DE TEORIE SPECTRALA

26

Definit¸ia 4.2 Fie X un spat¸iu Banach ¸si T ∈ L(X). Se nume¸ste spectrul lui T mult¸imea σ(T ) = {λ ∈ K | λI − T nu este inversabil}. Mult¸imea ρ(T ) := K\σ(T ) se nume¸ste mult¸imea rezolvant˘ a a lui T , iar funct¸ia −1 RT : ρ(T ) → L(X) cu RT (λ) = (λI − T ) se nume¸ste funct¸ie rezolvant˘ a a lui T. Propozit¸ia 4.2 Mult¸imea rezolvant˘ a ρ(T ) este o mult¸ime deschis˘a ˆın C. Propozit¸ia 4.3 Fie X un spat¸iu Banach complex ¸si T ∈ L(X). Funct¸ia rezolvat˘a a lui T are urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: a) RT este continu˘a pe ρ(T ). b) RT (λ) − RT (µ) = (µ − λ)RT (λ)RT (µ) pentru orice λ, µ ∈ ρ(T ). c) RT este o funct¸ie olomorf˘a pe ρ(T ). d) lim RT (λ) = 0. |λ|→∞

Corolarul 4.1 σ(T ) ⊂ B∥T ∥ (0). Lema 4.1 Fie X un spat¸iu Banach complex ˆı D o mult¸ime deschis˘a din C. a) Pentru orice funct¸ie x : D → L(X) olomorf˘ a ¸si pentru orice f ∈ L(X)∗ rezult˘ a c˘a f ◦ x este olomorf˘a. b) Orice funct¸ie olomorf˘a m˘arginit˘ a x : C → L(X) este constant˘ a. Teorema 4.2 Fie X un spat¸iu Banach complex ¸si T ∈ L(X). Atunci σ(T ) este o mult¸ime compact˘a nevid˘a. Lema 4.2 Fie X un spat¸iu Banach ¸si T ∈ L(X). Atunci exist˘a n→∞ lim ¸si √ √ lim n ∥T n ∥ = inf n ∥T n ∥. n→∞

√ n

∥T n ∥

n≥1

Definit¸ia 4.3 Fie X un spat¸iu Banach complex ¸si T ∈ L(X). Se nume¸ste raz˘ a spectral˘a a lui T num˘arul √

r(T ) := lim

n→∞

n

∥T n ∥.

27 Teorema 4.3 Fie X un spat¸iu Banach complex ¸si T ∈ L(X). Atunci a) Orice λ ∈ C cu |λ| > r(T ) se afl˘a ˆın ρ(T ) ¸si RT (λ) =

∞ ∑

1

n=0

λn+1

T n.

b) r(T ) = sup |λ|. λ∈σ(T )

Propozit¸ia 4.4 Fie X un spat¸iu Hilbert ¸si T ∈ L(X) un operator autoadjunct. Atunci σ(T ) ⊂ R. Definit¸ia 4.4 Fie X un spat¸iu Hilbert ¸si T ∈ L(X). Numim spectru punctual al lui T (mult¸imea valorilor proprii ale lui T ) mult¸imea σp (T ) := {λ ∈ K | λI − T nu este injectiv}. Observat¸ii a) σp (T ) ⊂ σ(T ). b) λ ∈ σp (T ) dac˘a ¸si numai dac˘a ∃ x ̸= 0 astfel ˆıncât (λI − T )(x) = 0. Definit¸ia 4.5 Un num˘ar λ ∈ σp (T ) se nume¸ste valoare proprie a operatorului T , iar x ̸= 0 cu (λI − T )(x) = 0 se nume¸ste vector propriu. Fie X un spat¸iu Hilbert ¸si T ∈ L(X) un operator autoadjunct. Not˘am cu mT := inf ⟨T (x), x⟩ ¸si cu MT := sup ⟨T (x), x⟩. ∥x∥≤1

∥x∥≤1

Propozit¸ia 4.5 Fie X un spat¸iu Hilbert ¸si T ∈ L(X) un operator autoadjunct. Atunci σp (T ) ⊂ [mT , MT ]. Propozit¸ia 4.6 Fie X un spat¸iu Hilbert ¸si T ∈ L(X) un operator autoadjunct. Atunci λ ∈ σp (T ) dac˘a ¸si numai dac˘a (λI − T )(X) ̸= X. Propozit¸ia 4.7 Fie X un spat¸iu Hilbert ¸si T ∈ L(X) un operator autoadjunct. Atunci λ ∈ ρ(T ) dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a µ > 0 astfel ˆıncˆ at ∥(λI − T )(x)∥ ≥ µ∥x∥, ∀ x ∈ X. Teorema 4.4 Fie X un spat¸iu Hilbert ¸si T ∈ L(X) un operator autoadjunct. Atunci σ(T ) ⊂ [mT , MT ] ¸si mT , MT ∈ σ(T ).

28

˘ CAPITOLUL 4. ELEMENTE DE TEORIE SPECTRALA

Teorema 4.5 Fie X un spat¸iu Hilbert ¸si T ∈ L(X) un operator compact. Atunci σp (T ) este o mult¸ime cel mult num˘arabil˘ a, având ca unic posibil punct de acumulare pe 0. Teorema 4.6 Fie X un spat¸iu Hilbert ¸si T ∈ L(X) un operator compact ¸si autoadjunct. Atunci σp (T ) ⊂ σ(T ) ⊂ σp (T ) ∪ {0}. Propozit¸ia 4.8 Fie X un spat¸iu Hilbert ¸si T ∈ L(X) un operator compact. Atunci pentru orice valoare proprie λ ̸= 0, subspat¸iul vectorilor proprii corespunz˘atori are dimensiune finit˘a.

Analiza_functionala

Recommend Documents