9 Anál Anális isis is lími límite te Rótulas plásticas Convenio de signos:
Se debe definir la fibra interior de la viga (línea punteada bajo la viga como muestra la figura 8.18). Consideramos momentos flectores positivos a aquellos que extienden o traccionan la fibra interior. En cuanto a la representación gráfica, se dibujan los momentos flectores positivos del lado de la fibra de referencia.
Figura 9.1
Figura 9.2
Concepto de rótula plástica:
Vamos a suponer que el comportamiento de la sección de máximo momento se puede pued e analizar como si existiese una rótula de rozamiento que permanece rígida siempre que M < M P , y que permite la rotación de los dos tramos a partir del instante en que el momento alcanza su valor plástico M P . M
teoría MP real 1
ρ
Entonces en las zonas de momento máximo se forman rótulas plásticas en las cuales la barra se comporta como si estuviese articulada, aunque la rótula opone a la rotación un momento resistente constante de valor M P . σ
σfl
ε
εfl
Figura 1n
1
σ
ε
εfl
σfl
ε > εfl
σfl
σfl
σfl
ε >> εfl
σfl
σfl
σfl
σfl
Figura 3
Rótula de fricción:
Permite rotación relativa de los tramos una vez que el momento supera el momento de plastificación M P de la sección. Descripción del proceso de ruina plástica de una estructura hiperestática simple con h = n.
Consideremos una estructura hiperestática plana formada por vigas, cargada en su plano y sometida a un sistema de fuerzas. Consideremos que todas las fuerzas están multiplicadas por un factor que llamaremos factor de carga y notaremos con la letra λ . Suponemos que para el factor de carga λ = 1 en ninguna sección de la estructura se ha superado el momento de plastificación de la misma. Si el factor de carga λ crece lo suficiente, se va a alcanzar en alguna sección de la estructura el momento de plastificación M P . En este proceso de carga el diagrama de momentos crece proporcionalmente con el valor de λ . En la sección en la que se alcanzó M P se va a generar una rótula plástica. La generación de la rótula nos transforma la estructura en una estructura hiperestática h = n − 1. Si el factor de carga λ sigue aumentando, la plastificación de una sección produce una redistribución de los momentos flectores en la estructura, creciendo en las partes inicialmente menos solicitadas, mientras que en los lugares donde se produjeron rótulas plásticas seguirá constante y de valor M P . Es así que vemos que en estructuras hiperetáticas existe una capacidad resistente mayor gracias a las propiedades de los materiales elasto-plásticos (dúctiles). Con el aumento del factor de carga se va a ir dando la generación de nuevas rótulas plásticas y sucesivas redistribuciones
2
del momento flector, hasta la generación de la rótula plástica n + 1 . Cuando se genera esta rótula el sistema se transforma en un mecanismo con un grado cinemático de libertad. En ese momento se da la ruina plástica de la estructura y el factor de carga asociado se lo conoce como factor de colapso λ P . EL valor de la carga en ese momento es conocido como carga límite del sistema y es la verdadera carga de rotura de la estructura. Ejemplo: r
P
Figura 4 h = 1 ⇒ 2 rótulas plásticas. Métodos de resolución para hallar la carga límite de colapso:
1) Método paso a paso: 1.1) Resuelvo la estructura hiperestática r
RL −
PL 2
P
∆real
B
A y
L
PTV* ⇒ X.∆real =
r
R
∫ mEI M
dx
0
x
X = 1 ∆real = 0
impongo
L X Figura 5
1 x.R .xdx + EI L/2
∫
0
x (R .x − P(x − L / 2) )dx = L/ 2 L
∫
3 3 3 3 3 2 2 1 R (L / 2) + R L − R (L / 2) − P L + P (L / 2) + PL L − (L / 2) = EI 3 3 3 3 3 2 2 2
3 1 1 1 1 1 1 L3 3 5 R L + PL3 R PL − + − = − 3 EI 3 EI 48 24 3 4 16
⇒
L3 R 5P − = ∆real = 0 ⇒ R = 5P EI 3 48 16
M A = RL −
PL 5P PL 5 1 5−8 3PL = L − = PL =− − = PL 2 16 2 16 16 16 2
L 5PL M B = R = 2 32 MA + Figura 6
3
1.2) Planteo la generación de la primer rótula plástica MA = MP = −
16M P 3PL ⇒ P pl = 16 3L P pl = 5,33
MP L
1.3) Sigo aumentando la carga. Ahora tengo una estructura con h = 0 (isostática o estáticamente determinada). MP
r
P
A
r
R Figura 7 M A = −M P = RL −
PL P M ⇒ R = − P 2 2 L
L P M L PL M P − M B = R = − P = 2 2 L 2 2 2 MP
MB Figura 8
Segunda rótula B ⇒ M B = M P = Pcolapso =
PL M P − 4 2
6M P L
Observación:
Éste es el método paso a paso de resolución. Puede resultar muy inconveniente en estructuras de alto grado de hiperestaticidad. Una configuración deformada del mecanismo queda dada por un grado de libertad cinemático. θ
θ
∆
Figura 9
Tomamos una configuración deformada con deformaciones plásticas lo suficientemente pequeñas como para poder L asumir que tg θ ≅ θ ⇒ ∆ = θ. 2 Ruina parcial:
Puede ocurrir en ciertos sistemas que la estructura quede fuera de servicio por la ruina plástica de una porción del sistema, lo que no se corresponde necesariamente con la formación de h + 1 rótulas plásticas.
4
h = 5 número de rótulas = 4 Figura 10
h = 2 número de rótulas = 2 Figura 11 Ruina más que completa:
En sistemas simétricos para los cuales la ruina se da con la formación de h + 2 rótulas plásticas.
h = 1 número de rótulas = 3 Figura 12 Campo de validez de la teoría
1) Cada sección posee un momento flector máximo llamado momento plástico M P . 2) En las zonas inmediatas a las secciones con momento flector M P , que son zonas de fuerte curvatura, suponemos que ésta se concentra en esa sección. 3) El material no rompe sin antes acompañar las importantes deformaciones que suponen la creación de las rótulas plásticas. 4) El valor del M P no depende de la directa o el cortante en la sección ni de las sobretensiones generadas por una eventual carga concentrada aplicada en la sección. 5) La estructura no presenta ningún fenómeno de inestabilidad antes de formarse la rótula de orden n + 1 . 6) Las cargas aplicadas aumentan todas proporcionalmente. Principio de los trabajos virtuales
Se utiliza el principio de los trabajos virtuales (PTV) para determinar la carga límite de las estructuras planas. Aplicado a estructuras, el principio plantea que si tenemos una estructura deformable, en equilibrio bajo el efecto de un sistema de cargas exteriores, y la sometemos a un campo de desplazamientos virtuales, entonces se cumple que el trabajo virtual interno es igual al trabajo virtual externo, Wint = Wext . Para una estructura plana formada por vigas y cargada en su plano, se tiene que:
5
N c
Wext =
N t
∑ P δ + ∑ ∫ q(x)δ(x)dx i i
i =1
i =1 t
El trabajo interno se puede escribir en función de las resultantes de los esfuerzos internos en la sección de la viga.
∫ N( .∆dx + T.∆dy + M.∆dϕ)
Wint =
sistema
Para ver que campo de desplazamientos consideramos vamos a suponer la estructura plana de grado de hiperestaticidad h transformada en un mecanismo por la generación de h + 1 rótulas plásticas. Como campo de desplazamientos virtuales vamos a considerar la deformación plástica de la estructura, o sea el desplazamiento de magnitud arbitraria que sufre el sistema luego de la generación de la rótula de orden h + 1 . Como la deformación elástica no modifica más que en forma despreciable la configuración indeformada de la estructura, podemos decir que los elementos componentes de la estructura se van a comportar como barras rectilíneas indeformables y articuladas por rótulas plásticas. En este campo de desplazamientos tenemos giros de valor arbitrario concentrados en las secciones en donde se dan las rótulas plásticas. Luego la expresión del trabajo interno queda: m
Wint =
∑M ϕ
j j
j=1
Luego el PTV queda (considerando el campo de fuerzas igual a la carga límite): N t Nc q i ( x)δ( x)dx λ c Pi δi + = i =1 i =1 t
∑
∑ ∫
m
∑M ϕ
j j
j=1
N c es el número de cargas concentradas aplicadas a la estructura. N t es el número de cargas distribuidas aplicadas a la estructura. Ejemplo: r
r
Pc = λ c P0
Como usar el PTV para hallar la carga de colapso de un sistema. L L Wext = P∆ = P θ = λ c P0 θ 2 2
L ∆
Wint = 2M P θ
θ θ
MP
⇒ λc =
4M P 4M ⇒ Pc = P LP0 L
Figura 13 Observación:
Siempre la coordenada cinemática aparece de ambos lados de la igualdad. Teoremas fundamentales del análisis límite
Los métodos generales de investigación de la carga límite están basados en dos teoremas fundamentales. 1) Teorema estático. Da la carga de colapso por defecto. 2) Teorema cinemático. Da la carga de colapso por exceso.
6
Teorema estático (para las estructuras) Definición:
Un factor de carga λ > 0 se llama estáticamente admisible si se puede encontrar un diagrama de momentos flectores en equilibrio con las cargas dadas amplificadas en el factor λ , tal que no se supere en ninguna sección el valor del momento de plastificación, −M P ≤ M( x ) ≤ M P . Enunciado:
El factor de carga de colapso λ P es el mayor de los factores de carga estáticamente admisibles. Ejemplo: r
r
P = λP0 L Figura 14 h = 1 ⇒ conozco la distribución de esfuerzos internos a menos de un parámetro. r
r
P = λP0
RL −
r
PL 2
-
RL
+
R (1) (2)
PL 2
+ Figura 15
(1) + C( 2) = M estáticamente determinado. Si encuentro C tal que M ≤ M P en todo punto ⇒ λ es estáticamente admisible. Demostración:
Para el mecanismo de colapso (con el factor de carga correspondiente λ P ) se verifica el PTV. N t N c m q i δ i dx − M jθ j = 0 M j = M P λ P Pi ∆ i + i =1 j=1 i =1 Ci
∑
∑ ∫
∑
Para un factor de cargas estáticamente admisible, su diagrama de momentos flectores está en equilibrio con λ P , si uso el PTV con este estado de cargas y con el campo de desplazamientos correspondiente a λ P tenemos: N t Nc m q i δ i dx − M ( x j )θ j = 0 M ( x j ) ≤ M P λ Pi ∆ i + i =1 i =1 C i j=1
∑
∑ ∫
∑
Resto: N t Nc m (λ P − λ) Pi ∆ i + q i δ i dx − (M j − M (x j ))θ j = 0 i=1 j=1 i =1 Ci
∑
∑ ∫
144 4 4 244 4 4 3
*
∑
144 4 244 4 3
≥0
7
En el mecanismo de rotura todas las rótulas absorben siempre trabajo positivo y además λ P > 0 ⇒ * ≥ 0 λP − λ ≥ 0 ⇒ λ ≤ λP Corolario:
Si refuerzo una o más secciones de una estructura, la carga de colapso no puede disminuir. Teorema cinemático Definición:
Dado un mecanismo de plastificación de una estructura, el factor λ obtenido aplicando el PTV N t Nc m λ Pi ∆ i + q i ( x )δ i ( x )dx − M jθ j = 0 i=1 i =1 Ci j=1
∑
∑ ∫
∑
es cinemáticamente admisible si Nc
N t
∑ P ∆ + ∑ ∫ q δ dx > 0 i i
i i
i =1
i =1 C i
M jθ j > 0 ∀θ j Enunciado:
El factor de colapso λ P es menor que todo factor de carga cinemáticamente admisible λ . Demostración:
Como λ es cinemáticamente admisible N t N c m λ Pi ∆ i + q i δi dx − M jθ j = 0 M j = M P i=1 i =1 Ci j=1
∑
∑ ∫
∑
Si hago el PTV con el campo de fuerzas correspondiente a la carga de colapso real de la estructura ( λ P ) y con el campo de desplazamientos del mecanismo correspondiente al factor de carga λ , tenemos: N t Nc m λ P Pi ∆ i + q i δi dx − M ( x j )θ j = 0 M j ≤ M P i =1 i =1 C i j=1
∑
∑ ∫
∑
Resto ambas expresiones N t Nc m (λ − λ P ) Pi ∆ i + q i δ i dx − (M j − M( x j ) )θ j = 0 ⇒ λ ≥ λ P i =1 j=1 i =1 Ci
∑
∑ ∫
144 4 4 244 4 4 3
≥0
∑
144 4 244 4 3
≥0
Teorema de unicidad Enunciado:
Todo factor de carga estática y cinemáticamente admisible coincide con el factor de carga de colapso. Demostración:
Factor estáticamente admisible ⇒ λ ≤ λ P λ = λP Factor cinemáticamente admisible ⇒ λ ≥ λ P
8
Método cinemático para la determinación de la carga límite
Consiste en considerar sucesivamente todos los mecanismos de rotura posibles. Usando la ecuación deducida del principio de los trabajos virtuales se determina el factor de carga de formación de cada uno de estos mecanismos. Según el teorema cinemático el factor de colapso es el menor de todos los factores de carga hallados. Para cerciorarse que no se han omitido mecanismos se traza el diagrama de momentos de la estructura correspondiente al mecanismo en cuestión y se comprueba si el diagrama es estáticamente admisible. 2) Método cinemático 2.1) Planteo un mecanismo probable y hallo el λ para ese mecanismo aplicando el PTV. Pc r
MP θ
θ
MP Figura 16
F ⇒ campo de fuerzas real. δ ⇒ campo de desplazamientos virtual que coincide con la deformación plástica del mecanismo considerado. Por el PTV ⇒ Wext = Wint L Wext = P∆ = P θ ⇒ P = 6M P 2 c L Wint = M P θ + 2M P θ = 3M P θ 6M P 6M ⇒ λ= P L PL 2.2) Verifico que λ sea estáticamente admisible y que el signo del momento en las rótulas es coherente con la deformación del mecanismo supuesto. En este caso el factor de carga es Pc = λP =
r
Pc A
B r
Figura 17
R
2M L ⇒ R = P 2 L Momentos en los puntos notables: L L M A = RL − Pc = 2M P − Pc 2 2 M B = M P = R
Pero Pc =
6M P ⇒ M A = 2M P − 3M P = M P que es coherente con el signo del momento supuesto. L
9
MP -
B +
A
MP Figura 18
M( x) ≤ M P ∀ punto ⇒ el λ hallado es el de colapso. Observación:
En este caso el mecanismo supuesto era el único predecible, hay casos en los que debo probar con más mecanismos. Ejemplo: r
P0
L
L
B
D C
r
P0
L A
E Figura 19
Hallaremos los λ cinemáticamente admisibles para todos los mecanismos de rotura que se nos ocurran. Las rótulas se van a generar en las secciones que puedan presentar un máximo relativo del diagrama de momentos flectores. Por ejemplo, en los puntos donde se aplican cargas concentradas, en nudos rígidos, empotramientos y en algún punto bajo una carga distribuida. Las rótulas se pueden generar en A, B, C, D y E. El sistema tiene grado de hiperestaticidad h = 3 ⇒ necesito h + 1 rótulas, o sea 4 rótulas. Pruebo diferentes mecanismos posibles:
• Mecanismo 1:
r
MP B r
P
P
D M P
C
θ
θ
A
MP
E Figura 20 MP
θ θ
MP Figura 21
Trabajo externo P∆ = λP0 ∆ = λP0 Lθ Trabajo interno M P θ + M P θ + M P θ + M P θ = 4M P θ Impongo Wint = Wext y saco el λ para el cual se cumple ésto. 10
MP
λP0 Lθ = 4M P θ ⇒ λ =
4M P P0 L
• Mecanismo 2: r
r
P
P
MP B
θ
∆
C
D α
θ
MP
A
MP
E Figura 22
Cuando supongo la configuración deformada debo tener en cuenta primero que M P θ j tiene que ser > 0 para cada θ j si quiero que λ sea cinemáticamente admisible. C' 2Lα
∆ ∆
B'
O=A'=E' Figura 23
⇒ Wext
2 Lα = ∆ = Lθ ⇒ α = θ 2 = P∆ − P∆ = 0 ⇒ No es cinemáticamente admisible
• Mecanismo 3: r
P B
D C
r
P
MP
θ
A
α
MP
E
MP
Figura 24 Wext = 2P∆ = 2λP0 Lθ Wint = 2M P θ + 2M P θ + 2M P θ = 6M P θ O=A'=E' Lθ 2Lθ
D' Lθ C'
Figura 25
⇒ α=θ 11
3M P LP0 Éste me hace descartar el caso 1. Éste es un candidato a λ c . Por el teorema de unicidad, si veo que este factor de carga es estáticamente admisible y en cada rótula el momento flector posee el signo deseado para generar este mecanismo, entonces el λ 3 es el λ c .
⇒ λ=
r
P B
D
r
P
C
A
r
R 2
E
r
R 4
MP
MP
r
r
R 1
R 3 Figura 26
Momentos en E: R 1 2L − M P + PL − PL − M P = 0 MP L Equilibrio vertical: R 1 =
R 1 + R 3 = P ⇒ R 3 = P −
MP L
Equilibrio horizontal: R 2 + R 4 + P = 0 ⇒ R 2 = −P − R 4 r
V MP r
H
D
E
r
R 3
MP r
R 4 Figura 27
Momentos en D: R 4 L + M P + M P = 0 ⇒ R 4 = −
2M P L
2M P −P L Hallo los momentos en los puntos notables: R 2 =
M C = R 3 L + R 4 L + M P 0 = P −
Pero P = λP0 = 12
M P 2M P L + M P = PL − 2M P L − L L
3M P 3M P 3M P0 = ⇒ M C = P L − 2M P = M P , y tiene el signo que supuse para la formación del LP0 L L
mecanismo. M B = −R 2 L − M P = −2M P + PL − M P = PL − 3M P 3M P 3M ⇒ M B = P L − 3M P = 0 L L ⇒ λ estáticamente admisible.
Pero P =
λ3 = λc =
3M P LP0 MP
C
B
MP
D
MP MP
A
MP
E
Figura 28
13
