ANÁ A NÁL L ISIS ESTRUCTURAL ESTRUCTURA L 2
An A n ál álii s i s Seud Seu d o Tri Tr i d i m ens en s i o n al d e Edi Ed i f i c i o s Profesor : Alejandro Muñoz Lima - 2009
RESUMEN METODO DE RIGIDEZ 1. Sistema Global de Coordenadas
⎧∼⎫ ⎪∼⎪ ⎪ ⎪ Q =⎨ ⎬ ⎪∼⎪ ⎪⎩∼⎪⎭
⎧∼⎫ ⎪∼⎪ ⎪ ⎪ D=⎨ ⎬ ⎪∼⎪ ⎪⎩∼⎪⎭
2. Elementos y Sistemas Locales de Coordenadas
/ Pontificia Universidad Católica del Perú. / Ing. Civil. /Análisis Estructural 2/ A. Muñoz/2009/Pág.
1
⎧∼⎫ qe = ⎨ ⎬ ⎩∼⎭ ⎧∼ ⎫ ⎩∼ ⎭
d e = ⎨ ⎬
3. Relaciones de compatibilidad entre Coordenadas Globales y Locales
⎧∼⎫ ⎪∼⎪ ⎪ ⎪ D=⎨ ⎬ ⎪∼⎪ ⎪⎩∼⎪⎭
⎧∼ ⎫ ⎩∼ ⎭
d e = ⎨ ⎬
e = 1,..,5
d e = ae ∗ D
⎡∼ d e = ⎢ ⎣∼
∼ ∼ ∼ ∼
∼⎤ D ⎥ ∼⎦
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4. Matriz de Rigidez de Barras, Sistema Local
k e
⎡4 + α 2 − α ⎤ = ⎢ ⎥ L (1 + α ) ⎣ 2 − α 4 + α ⎦ EI
α
=
12 EI G A′ L
2
5. Matriz de Rigidez de la Estructura
K =
5
∑
T
a e K e ae
i =1
⎡∼ ⎢∼ K = ⎢ ⎢∼ ⎢ ⎣∼
∼ ∼ ∼ ∼
∼ ∼ ∼ ∼
∼⎤ ∼⎥⎥ ∼⎥ ⎥ ∼⎦
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3
6. Problema Primario
•
Desplazamientos nodales nulos DP = 0
•
Deformaciones nulas en los elementos d pe = 0
•
Fuerzas de fijación en barras q pe ≠ 0 en general
•
Fuerzas de fijación en la estructura R.
DP = 0
dp e = 0 q p 1 = q p 2=q p 3=q p 5=0 ⎧ ω ⋅ l 2 ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ q p 4 = ⎨ 12 2 ⎬ ⎪− ω ⋅ l ⎪ ⎪⎩ 12 ⎪⎭
R1 = R4 = 0 R2 = ω l2/12 R3 = -ω l2/12
7. Problema Complementario Q = - R ⎧ 0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪− ω ⋅ l ⎪ ⎪ 12 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Q=⎨ 2⎬ ⎪+ ω ⋅ l ⎪ ⎪ 12 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪⎩ 0 ⎪⎭
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8. Desplazamientos del Problema Complementario Resolviendo:
K D = Q se obtienen los desplazamientos de la estructura D 9. Deformaciones y Fuerzas Internas del Problema Complementario Para cada elemento se determinan las deformaciones y fuerzas internas como: dc e = a e D qce = ke dce 10. Fuerzas Internas Finales Por Superposición
q e= q
p e +
q
ce
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Ejemplo La estructura de concreto armado (E=2.2x10 6 Ton/m 2, ν=0.2), mostrada en la figura se somete a una carga lateral de 10 Ton. Determine los desplazamientos nodales y las fuerzas internas.
Modelo:
(2.5/2 + 5 + 0.6/2)
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Coordenadas:
Matriz de Compatibilidad:
⎧1⎫ ⎪ ⎪ D = ⎨0⎬ ⎪0⎪ ⎩ ⎭
⎧1 / 3.5⎫ ⎪1 / 3.5⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ { A}1 = ⎨ ⎬ 0 ⎪ ⎪ ⎪1 / 3.5⎪ ⎪1 / 3.5⎪ ⎩ ⎭
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⎧0⎫ ⎪ ⎪ D = ⎨1 ⎬ ⎪0⎪ ⎩ ⎭
⎧ 0 ⎫ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 1.25 ⎪ ⎪ 1+ ⎪ { A}2 = ⎪⎨ 5.3 ⎪⎬ ⎪1.25 / 5.3⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 0 ⎪⎭
⎧0⎫ ⎪ ⎪ D = ⎨0⎬ ⎪1⎪ ⎩ ⎭
⎧0⎫ ⎪0⎪ ⎪ ⎪ ⎪0⎪ { A}3 = ⎪⎨ ⎪⎬ ⎪1 ⎪ ⎪0⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩1 ⎪⎭
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Enalisis Estru ctu ral 2
2009-1
Matrices de rigidez de elementos
k e( E , I , L , α ) :=
6
E := 2.2 × 10
⎛ 4 + α L ⋅ ( 1 + α ) ⎝ 2 − α E ⋅I
ν := 0.2
G :=
2 − α ⎞ 4 + α ⎠
E
5
G = 9.167 × 10
2⋅ ( 1 + ν )
Placa
Ip :=
1 12
⋅ 0.25 ⋅ 2.53
Ip = 0.326
1.2
Acp = 0.521
12E⋅ Ip
αp :=
0.25 ⋅ 2.5
Acp :=
Lp := 3.5
αp = 1.469
2
G ⋅ Acp⋅ Lp
k1 := ke ( E , Ip , Lp , αp)
k1 =
⎛ 4.532 × 105
4.397 × 10
4
4.532 × 10
⎝ 4.397 × 10
4 ⎞ 5
⎠
Viga
Iv :=
1 12
⋅ 0.25 ⋅ 0.53
−3
Iv = 2.604 × 10
k2 := ke ( E , Iv , Lv , αv)
k2 =
Lv := 5.3
αv := 0
⎛ 4.324 × 103
2.162 × 10
3 ⎞
⎝ 2.162 × 103
4.324 × 10
3
⎠
Columna Ic :=
1 12
⋅ 0.25 ⋅ 0.63
−3
Ic = 4.5 × 10
k3 := ke ( E , Ic , Lc , αc)
k3 =
Lc := 3.5
αc := 0
⎛ 1.131 × 104
5.657 × 10
3 ⎞
⎝ 5.657 × 103
1.131 × 10
4
⎠
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Matrices de compatibilidad
⎛
⎞
1 3.5
⎜ ⎜ 1 ⎝ 3.5
a1 :=
⎛ 0
0 0
1
⎟ 0⎟ ⎠
a2 :=
1.25 5.3
⎜ ⎜0 ⎝
+ 1 0 ⎞
⎛
⎟ 1⎟ ⎠
1.25 5.3
a3 :=
1 3.5
⎜ ⎜ 1 ⎝ 3.5
⎞
0 0
0
⎟ 1⎟ ⎠
Matriz de Rigidez de la Estructura T
T
T
KE := a1 ⋅ k1 ⋅ a1 + a2 ⋅ k2 ⋅ a2 + a3 ⋅ k3 ⋅ a3
⎛ 8.394 × 104 ⎜ KE = 1.42 × 105 ⎜ 3 ⎝ 4.849 × 10
3 ⎞
5
4.849 × 10
5
3.692 × 10
1.42 × 10
4.613 × 10
3
3.692 × 10
3⎟
⎟ 4 1.564 × 10 ⎠
Vector de Cargas
⎛ 10 ⎞ Q :=
0
⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠
Desplazamientos
−1
D := KE
⋅Q
⎛ 2.543 × 10− 4 ⎞ ⎜ ⎟ D = −7.783 × 10− 5 ⎜ ⎟ −5 ⎝ −6.049 × 10 ⎠
Deformaciones en Barras d1 := a1⋅ D
d2 := a2⋅ D
d3 := a3⋅ D
Fuerzas Intenas q1 := k1 ⋅ d1
q1 =
⎛ 32.706 ⎞ ⎝ 0.854 ⎠
q2 := k2 ⋅ d2
q2 =
⎛ −0.586 ⎞ ⎝ −0.549 ⎠
q3 := k3 ⋅ d3
q3 =
⎛ 0.891 ⎞ ⎝ 0.549 ⎠
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Ejemplo
Determine la matriz de rigidez lateral de la estructura de concreto armado (E=2.2x106 Ton/m2, ν=0.2), mostrada en la figura.
Columna H2=3.0
: 25 x 45 cm
Vigas : 25 x 60 cm Placa : 25 x 260 cm
H1=4.0
Modelo: lv = 4.225
bri = 1.3
3.0
4.0
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Coordenadas:
Matrices de Compatibilidad: D
= {1 0 0 0 0 0}
T
⎧ + 1 / H 1 ⎫ ⎪ + 1 / H ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪− 1 / H 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− 1 / H 2 ⎪ ⎪ + 1 / H 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + 1 / H 1 ⎪ { A}1 = ⎨ ⎬ ⎪− 1 / H 2 ⎪ ⎪− 1 / H 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎩ ⎭
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D
= {0 1 0 0 0 0}
T
⎧ 0 ⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ 1 / H 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ 1 / H 2 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ { A}2 = ⎨ ⎬ ⎪ 1 / H 2 ⎪ ⎪ 1 / H 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎭ ⎩
D
= {0 0 1 0 0 0}
T
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ { A}3 = ⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
0 ⎫ 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
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D
= {0 0 0 1 0 0}
T
⎧ 0 ⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ { A}4 = ⎪⎨ 1 ⎪⎬ ⎪ 0 ⎪ ⎪ br 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Lv ⎪ ⎪ br 1 ⎪ + 1⎪ ⎪ ⎪ Lv ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎩ ⎭
D
= {0 0 0 0 1 0}
T
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ { A}5 = ⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
0 ⎫ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
/ Pontificia Universidad Católica del Perú. / Ing. Civil. /Análisis Estructural 2/ A. Muñoz/2009/Pag.
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D
= {0 0 0 0 0 1}
T
⎧ 0 ⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ { A}6 = ⎨ 0 ⎬ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ br i ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Lv ⎪ ⎪ br i ⎪ + 1⎪ ⎪ ⎩ L v ⎭
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Ejemplo Rigidez Lateral Pórtic o 2 pisos con placa Matri ces de Rigid ez de Barras .
ke ( E , I ,
, L ) := E ⋅
E := 2 × 10
6
:=
⎛ 4 + L ⋅ ( 1 + ) ⎝ 2 −
⎞ 4 + ⎠ 2−
I
G :=
0.15
E
(
2⋅ 1 +
)
Columna Primer y Segundo Piso 25x45
Ic :=
1 12
H1 :=
⋅ 0.45 3 ⋅ 0.25
H2 :=
4
c :=
0
3
k 1 := ke ( E , Ic , c , H1) k 2 := ke ( E , Ic , c , H2)
k1 =
⎛ 3796.9 ⎝ 1898.4
1898.4
⎞ 3796.9 ⎠
k2 =
⎛ 5062.5 ⎝ 2531.3
2531.3
⎞ 5062.5 ⎠
Placa Primer y Segundo Piso 0.25 x 2.60
Ip :=
3 :=
1 12
⋅ .25 ⋅ 2.6 3
12 ⋅ E ⋅
Ac p :=
Ip G ⋅ Acp ⋅ H1
2
k 3 := ke ( E , Ip , 3 , H1)
k 4 := ke ( E , Ip ,
4 , H2)
2.6
0.25 ⋅
1.2
4 :=
Ip
12 ⋅ E ⋅
G ⋅ Acp ⋅ H2
k3 =
⎛ 436649.7 ⎝ 70483
2
⎞ 436649.7 ⎠ 70483
482418.1 −5804.1 ⎞ ⎛ k4 = ⎝ −5804.1 482418.1 ⎠
Vigas primer y segundo piso de 0.25 x 0.60 1
Iv :=
⋅ 0.25 ⋅ 0.6 3
v :=
k 5 := ke ( E , Iv , v , Lv )
k 6 := k 5
12
0
Lv :=
4.225
k6 =
⎛ 8520.7 ⎝ 4260.4
4260.4
⎞ 8520.7 ⎠
1
0
Matrices de Transformación
⎛ a1 :=
⎜
1
0
H1
0
⎝ H1
a3 :=
⎜
1
H1 1
⎝ H1 br i :=
⎛ 0 a5 := ⎜ ⎜ 0 ⎝
0
⎛ −1
⎞
0
0
⎟
1
⎛
0
1
0
0
0
0
0
a2 :=
0
⎠
0
1.3
0
1
0
0
0
1
0
Lv =
br i Lv br i Lv
+1
H2
H2
⎜ −1 ⎝ H2
1
H2
⎛ −1
⎞
0
⎟ 0
1
a4 :=
0
⎠
H2
⎞
0
⎟ 0
1
0
0
H2
⎜ −1 ⎝ H2
0
1
1
0
⎠
0
⎞
0
⎟
1
0
H2
0
0
1
⎠
4.225
0
0
⎞ ⎟ ⎟ 0 ⎠ 0
⎛ 0 a6 := ⎜ ⎜ 0 ⎝
0
0
0
1
0
0
0
0
⎞ Lv ⎟ ⎟ br i +1 Lv ⎠ br i
Matri z de Rigi dez de la Estruct ura i := 1 ..
6
K :=
T ( ai ⋅ k i ⋅ ai ) ∑ i
K
⎛ 171705.2 −107601.7 −1107.4 −32088.2 −2531.3 −158871.3 ⎞ −107601.7 107601.7 2531.3 158871.3 2531.3 158871.3 ⎜ ⎟ 1107.4 2531.3 17380.1 8193 2531.3 0 − ⎟ =⎜ 0 −5804.1 ⎟ ⎜ −32088.2 158871.3 8193 937873.8 ⎜ −2531.3 ⎟ 2531.3 2531.3 0 13583.2 8193 0 8193 501224.2 ⎠ −5804.1 ⎝ −158871.3 158871.3
Vecto res de Cargas para generar matri z de flexibi lid ad lateral
⎛ 1 0 ⎞ 0 1 ⎜ ⎟ 0 0 ⎟ Q := ⎜ ⎜0 0 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎝ 0 0 ⎠ Desplazamientos −1 D := K ⋅ Q
D
⎛ 3.23 × 10 − 5 5.60 × 10 − 5 ⎞ ⎜ 5.60 × 10 − 5 1.31 × 10 − 4 ⎟ ⎜ − 6 −6.14 × 10 − 6 ⎟ 2.22 10 − × ⎟ =⎜ ⎜ −8.40 × 10 − 6 −2.03 × 10 − 5 ⎟ ⎜ ⎟ − − 7 6 1.66 × 10 ⎜ 5.92 × 10 ⎟ ⎝ −7.61 × 10 − 6 −2.40 × 10 − 5 ⎠
Matri z de Flexibi lid ad Lateral nula ( a , b ) :=
0
FL := matrix ( 2 , 2 , nula) i := 1 ..
j := 1 ..
2
FL =
⎛ 0.0 ⎝ 0.0
⎞ 0.0 ⎠ 0.0
2
FL i , j := Di , j
FL =
⎛ 3.2 × 10 − 5
5.6 × 10
⎝ 5.6 × 10 − 5
1.3 × 10 − 4
Matriz de Rigidez Lateral
KL := FL
−1
KL =
⎛ 120080.2 −51374.3 ⎞ ⎝ −51374.3 29625.8 ⎠
− 5 ⎞
⎠
ANALISIS DE EDIFICIOS CON DIAFRAGMAS RÍGIDOS SOMETIDO A FUERZAS HORIZONTALES MODELO PSEUDO TRIDIMENSIONAL. El Problema
Desplazamientos? Fuerzas Internas?
Edificio de n pisos
El Modelo Pseudo Tridimension al, Hipótesis. - Comportamiento elástico lineal - El conjunto estructural se considera constituido por estructuras planas unidas en cada piso por diafragmas rígidos. - Cada estructura plana se considera con rigidez lateral efectiva solo en su plano respectivo.
Sistema de Coordenadas : Tres coordenadas por piso: dos desplazamientos traslacionales y un giro instalados en el centro de masas de cada nivel ordenados como se muestra en la figura:
⎧ D1 ⎫ ⎧ Dx1 ⎫ ⎪ D ⎪ ⎪ Dx 2⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ . ⎪ ⎪ . ⎪ n ⎪ ⎪ Dn ⎪ ⎪ D ....... ...... .....⎫ ⎪⎪ D ⎪⎪ ⎪ Dy1⎪ ⎧⎪ Dx ⎪ + 1 n =⎨ = ⎨ Dy D = ⎨ ⎬ ⎬ ..... ⎬ . . ⎪ D ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ φ ⎪⎭ 2 n ⎪ ⎪ Dyn ⎪ ........ ...... ⎪ ⎪ D2n+1⎪ ⎪ φ ⎪ ⎪ . ⎪ ⎪ .1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ D ⎪⎩ 3n ⎪⎭ ⎩ φ n ⎭
Sistema Local de Coordenadas para Cada Estructura Plana Corresponde a los desplazamientos laterales del pórtico en su plano
q p , d p ,
Ecuaciones de Compatibilidad Para cada estructura plana es necesario definir su ubicación en la planta del edificio y el sentido asumido positivo para su sistema local. Esto se logra indicando un punto P(x,y) sobre la línea de ubicación del pórtico en planta y un vector unitario u sobre ésta, u (ux,uy). La figura muestra la planta de un nivel genérico “i” con centro de masas (x gi , ygi) y un pórtico plano inclinado respecto al eje x un ángulo α.
Vista en planta del piso i
La matriz de transformación de cada pórtico a p tal que
d p = a p D se determina
considerando desplazamientos unitarios en las 3n coordenadas del edificio.
Las n- primeras columnas corresponden a desplazamientos unitarios en la dirección x de los n pisos de la estructura. La figura muestra en planta el nivel genérico “i” y el desplazamiento correspondiente en el plano del pórtico.
Por tanto las n primeras columnas serán:
⎡cosα . ⎢ cosα ⎢ . a p = ⎢ . . ⎢ . ⎢ . ⎢ . . ⎣
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
⎤ ⎥ ⎥ . . ?⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
. . cosα
Haciendo:
. ⎡cos α ⎢ . cos α ⎢ C = ⎢ . . ⎢ . ⎢ . ⎢⎣ . .
⎤ ⎥ . ⎥ . ⎥ = cos α ∗ In ⎥ . ⎥ cos α ⎥⎦
. .
.
. . . . . . . .
Tendremos:
⎡
{a p }1...n = ⎢C ⎣
⎤
?⎥
⎦
Las n+1 columnas hasta 2n Corresponden a desplazamientos unitarios en la dirección Y
senα . ⎡ ⎢ senα . ⎢ a p = ⎢• • • . . ⎢ . . ⎢ ⎢⎣ . .
. . . . . . . . . .
⎤ ⎥ . ⎥ ? ⎥ . ⎥ . ⎥ ⎥⎦ senα .
Haciendo:
. ⎡ senα ⎢ . senα ⎢ S = ⎢ . . ⎢ . ⎢ . ⎢⎣ . .
. . . . . . . . . .
⎤ ⎥ . ⎥ . ⎥ = senα ∗ I n ⎥ . ⎥ senα ⎥⎦ .
Tendremos:
a p = [... S ?] Las 2n+1 columnas hasta 3n corresponden a giros unitarios de cada nivel
El vector posición del punto P respecto al C.G. en el nivel i es :
(+ Sx,+ Sy ) = ( x p − x gi ; y p − y gi ) Y el desplazamiento de P será entonces:
V p = (− Sy (1), Sx (1) ) El desplazamiento del pórtico en su plano puede calcularse proyectando Vp sobre el eje del pórtico, como:
d pi = V p ∗ u = (− Sy , Sx )(cos α , senα )
O en función de las coordenadas del centroide del diafragma y del pórtico:
d pi = − ( y − y cg ) cos α + ( x − x cg ) sen α Esta expresión puede interpretarse como la distancia del C.G. del diafragma al eje del pórtico y se suele representar por R
Si un giro positivo genera un desplazamiento positivo en la dirección de u, entonces R es positivo; en caso contrario, negativo. Entonces tendremos que:
⎡ ⎢ a p = ⎢ ............. ⎢ ⎢ ⎢⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ . ⎥ Rn ⎥⎦
R1 R2
................
Finalmente la matriz de compatibilidad entre el edificio y el pórtico será:
⎡Cosα 0 ⎢ 0 Cosα a p = ⎢ ⎢ . . ⎢ 0 ⎢⎣ 0
a p = [C M S M R ]
.
0
R1
0
.
0⎤
Senα .
.
0
R2
.
.
.
.
.
. ⎥ . ⎥
.
0
. Rn ⎥⎦
.
0
Senα
.
.
0
.
.
.
.
.
0
0
. Senα
. Cosα
0
⎥ ⎥
Matriz de Rigidez Lateral de pórt icos A la matriz que relaciona los vectores q p y d p del sistema de coordenadas local se le denomina matriz de rigidez lateral del pórtico y se representa por k l . Esta matriz se determina por condensación estática a los grados de libertad laterales o mediante la generación previa de la matriz de flexibilidad lateral f l (por aplicación de cargas unitarias laterales) y luego se invierte.
q p = k l ∗ d p d p = f l q p
Matriz de Rigidez del Edifi cio K
K =
# port
∑
T
a pi k li a pi
i =1
⎡ Kxx Kxy ⎢ K = Kyx Kyy ⎢ ⎢⎣ K φ x K φ y K xx =
Kxφ ⎤
⎥ ⎥ K φφ ⎥⎦ Kyφ
# port .
∑
cos
2
α i k li
i =1
∑ cos α sen α K x φ = ∑ cos α k R K yy = ∑ sen α k K y φ = ∑ sen α k R K φφ = ∑ R k R K xy =
i
i
2
i
i
i
i
i
i
k li
Cargas del Edifi cio Q
⎧ F 1 x ⎪ F ⎪ 2 x ⎪ . ⎪ F nx ⎪ F Q = ⎨ 1 y ⎪ . F ny ⎪ ........ ⎪ M ⎪ .1 ⎪ ⎩ M n
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
Desplazamientos del Edifici o D −1
D = K × Q Desplazamientos Laterales en p órticos
d pi = a
pi
∗ D
Fuerzas laterales en p órticos
q pi = k li ∗ d pi Fuerzas internas en cada pórtico Se resuelve el pórtico por fuerzas laterales y se determinan los desplazamientos y los diagramas de momento flector, fuerza cortante y fuerza axial.
Ejemplo 1 – Análisis Seudo Tridimensional de Edificios La figura muestra un edificio de concreto armado (E=2.2x10 6 ton/m2) de 3 pisos, sometido a fuerzas horizontales, que se debe analizar usando un modelo de corte (vigas infinitamente rígidas y columnas indeformables axialmente.
Columnas
PLANTA Columnas tipo: C-1 = 30 x 30; C-2 = 30 x 60; C-3 = 60 x 30 cm
ELEVACION Fuerzas actuantes en el edificio: Nivel
Fx (Ton)
Fy (Ton)
Mz (Ton-m)
1 2 3
10 20 25
2 3 5
13.5 25 18.5
/ Pontificia Universidad Católica del Perú /Análisis Estructural 2/Prof. A. Muñoz./Pag.
29
Edificio 3 pisos, Análisis Pseudo Tridimensional Rigidez Lateral de Pórtico 2-D Tipo Corte
⎛ kent1 + kent2 −kent2 KLPort (kent1 , kent2 , kent3) := ⎜ 0 ⎝
⎞ −kent3 ⎟ kent3 ⎠
−kent2
0
kent2 + kent3
−kent3
Propiedades de Secciones Col 1 : 30 x 30
EI331 :=
Col 2 : 30 x60
EI332 :=
1 12
1 12
(
)
⋅ 0.34 ⋅ 2.2⋅ 106
(
EI22 1 := EI33 1
)
⋅ 0.3⋅ 0.63 ⋅ 2.2⋅ 106
EI332 = 11880
EI222 :=
EI33 1 = 1485
1 12
(
)
⋅ 0.6⋅ 0.33 ⋅ 2.2⋅ 106
EI222 = 2970
Col 3: 60x30 EI333 :=
1 12
(
)
⋅ 0.6 ⋅ 0.33 ⋅ 2.2⋅ 106
EI333 = 2970
EI223 :=
1 12
(
)
⋅ 0.3 ⋅ 0.63 ⋅ 2.2⋅ 106
EI223 = 11880
Alturas de Entrepiso: H1 := 3.5
H2 := 2.9
H3 := H2
Portico 1: pt01kent1 :=
12
(H1) pt01kent3 :=
3
12
(H3)
3
⋅ ( 2 EI33 1 + 2 ⋅ EI332) pt01kent2 :=
12
(H2)
⋅ ( 2 EI331 + 2⋅ EI33 2)
3
⋅ ( 1 EI331 + 2 ⋅ EI332)
, pt01kent3) KL1 = KL1 := KLPort ( pt01kent1 , pt01kent2
⎛ 20633 −13152
0
−13152 25573
−12421
⎜ ⎝
0
⎞ ⎟
−12421 12421 ⎠
Portico 2: pt02kent1 :=
12
(H1) pt02kent3 :=
3
12
(H3)
3
⋅ ( 2 EI333 + 2⋅ EI33 2)
12
pt02kent2 :=
( H2)
3
⋅ ( 2 EI333 + 2⋅ EI33 2)
⋅ ( 1 EI333 + 2⋅ EI33 2)
⎛ 22926 −14613 , pt02kent3) KL2 = KL2 := KLPort (pt02kent1 , pt02kent2
⎞
0
−14613 27765 −13152
⎜ ⎝
⎟
−13152 13152 ⎠
0
Portico 3: KL3 := KL1
Portico 4: pt04kent1 :=
12
(H1) pt04kent3 :=
3
12
(H3)
3
⋅ ( 2 EI221 + 1⋅ EI22 3)
12
pt04kent2 :=
( H2)
3
⋅ 2 EI221 + ( 1 ⋅ EI22) 3
⋅ ( 2 EI221 + 1⋅ EI22 3)
⎛ 11463 −7307 KL4 := KLPort (pt04kent1 , pt04kent2 , pt04kent3)
KL4 =
0
⎞
−7307 14613 −7307
⎜ ⎝
0
⎟
−7307 7307 ⎠
Portico 5: pt05kent1 :=
12
(H1) pt05kent3 :=
3
12
(H3)
3
2) ⋅ ( 3 EI22
pt05kent2 :=
12
(H2)
3
⋅ ( 3 EI222)
⋅ ( 3 EI222)
, pt05kent3) KL5 := KLPort (pt05kent1 , pt05kent2
KL5 =
⎛ 6878 −4384
0
−4384 8768
−4384
⎜ ⎝
0
⎞ ⎟
−4384 4384 ⎠
Portico 6:
KL6 := KL5
Portico 7:
pt07kent1 :=
12
(H1)
KL7 :=
3
12
⋅ ( 2 EI22 1 + 1 ⋅ EI223) pt07kent2 :=
⎛ pt07kent1 + pt07kent2 −pt07kent2 ⎞ −pt07kent2 pt07kent2 ⎠ ⎝
(H2)
3
KL7 =
⋅ ( 2 EI221 + 1⋅ EI22 3)
⎛ 11463 −7307 ⎞ ⎝ −7307 7307 ⎠
Matrices de Compatibilidad
⎛ 1 ap1 :=
ap3 :=
ap5 :=
0 0 0 0 0 −5
0 ⎞
0
⎜ ⎝ 0
0 1 0 0 0 0
0
−5 0
0 1 0 0 0
0
0
⎛ 1
0 0 0 0 0 5 0 0 ⎞
0 1 0 0 0 0 0
⎛ 0
0 0 1 0 0 −3.25
0 0 0 0 1 0
0
0 0 0 0 1
0
⎜ ⎝ 0
ap7 :=
⎛ 0 ⎝ 0
0 0 1 0 0 9.75 0 0 0 1 0
0
ap2 :=
⎟ −5 ⎠
⎛ 0 ap4 :=
0 1 0 0 0 0 0 5 0
⎜ ⎝ 0
⎛ 1
⎟ 5 ⎠
0
0
0
⎟ 0 ⎠
0 ⎞
9.75 0 ⎠
0 1 0 0 0 0 0 0 0
⎜ ⎝ 0
0
0
⎞
0
⎟
0 0 0 0 1 0
0
−9.75
0 0 0 0 1
0
0
⎜ ⎝ 0
⎛ 0 ap6 :=
⎟
0 1 0 0 0 0 0 0 ⎠
0 0 1 0 0 −9.75
0 ⎞
−3.25 0
0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞
0 0 1 0 0 3.25
−6.5 ⎠
0
0
⎞
0
⎟
0 0 0 0 1 0
0
3.25
0 0 0 0 1
0
0
⎜ ⎝ 0
6.5 ⎠
Matriz de Rigidez del Edificio 7
Kedif :=
∑=
i
T
api ⋅ KLi ⋅ api
1
⎛ 64192 −40917
0
0
0
0
0
0
0
⎞
0 0 0 0 0 ⎜ −40917 78911 −37994 0 ⎟ 0 0 0 0 0 0 −37994 37994 ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ 0 0 36681 −23381 0 0 0 0 ⎜ ⎟ 0 −23381 39455 −16074 −71239 Kedif = ⎜ 0 0 0 18997 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 71239 −16074 16074 −18997 ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 0 0 0 0 3356320 2139364 0 − ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 −71239 71239 −2139364 3547615 −1176724 ⎟ 0 0 0 18997 −18997 0 −1176724 1114983 ⎠ ⎝ 0
Fuerzas en el edificio T
Qedif := ( 10 20 25 2 3 5 13.5 25 18.5 ) Desplazamientos
−1
Dedif := Kedif
⎛ 2.363 × 10− 3 ⎞ ⎜ 3.463 × 10− 3 ⎟ ⎜ ⎟ − 3 ⎜ 4.121 × 10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 7.519 × 10− 4 ⎟ ⎜ ⎟ − 3 Dedif = ⎜ 1.094 × 10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1.281 × 10− 3 ⎟ ⎜ ⎟ −5 × 3.349 10 ⎜ ⎟ ⎜ −5⎟ ⎜ 4.622 × 10 ⎟
⋅ Qedif
−5
⎝ 6.856 × 10 ⎠ Fuerzas y Desplazamientos en Pórticos: i := 1 .. 7
⋅ dpi := api Dedif
⋅ i qpi := KLi dp
Cortantes en la base de cada pórtico i := 1 .. 6
3
Vi :=
∑=
j
1
2
(qpi) j
V7 :=
∑=
j
1
( qp7) j
⎛ 2.196 × 10− 3 ⎜ ⎟ dp1 = 3.232 × 10− 3 ⎜ ⎟ −3 ⎝ 3.778 × 10 ⎠ ⎛ 2.363 × 10− 3 ⎞ ⎜ ⎟ dp2 = 3.463 × 10− 3 ⎜ ⎟ −3 ⎝ 4.121 × 10 ⎠ ⎛ 2.53 × 10− 3 ⎞ ⎜ ⎟ dp3 = 3.694 × 10− 3 ⎜ ⎟ −3 ⎝ 4.464 × 10 ⎠ ⎛ 4.254 × 10− 4 ⎞ ⎜ ⎟ dp4 = 6.434 × 10− 4 ⎜ ⎟ −4 ⎝ 8.356 × 10 ⎠ ⎛ 6.43 × 10− 4 ⎞ ⎜ ⎟ dp5 = 9.438 × 10− 4 ⎜ ⎟ −3 ⎝ 1.281 × 10 ⎠
⎛ 2.799 ⎞ qp1 =
V1 = 16.426
⎛ 3.571 ⎞ qp2 =
7.418
⎜ ⎟ 8.654 ⎝ ⎠
V2 = 19.643
⎛ 3.629 ⎞ qp3 =
5.741
⎜ ⎟ ⎝ 9.561 ⎠
V3 = 18.931
⎛ 0.175 ⎞ qp4 =
0.188
⎜ ⎟ 1.405 ⎝ ⎠
V4 = 1.768
⎛ 0.285 ⎞ qp5 =
⎛ 8.607 × 10− 4 ⎞ ⎜ ⎟ dp6 = 1.244 × 10− 3 ⎜ ⎟ −3 ⎝ 1.727 × 10 ⎠ dp7 =
6.841
⎜ ⎟ ⎝ 6.786 ⎠
−0.161
⎜ ⎟ ⎝ 1.479 ⎠
V5 = 1.604
⎛ 0.465 ⎞ qp6 =
⎛ 1.078 × 10− 3 ⎞ qp7 =
−3
⎝ 1.545 × 10 ⎠
−0.435
V6 = 2.146
⎛ 1.075 ⎞ ⎝ 3.407 ⎠
V7 = 4.482
⎜ ⎟ 2.116 ⎝ ⎠
Verificación de cortante en la Base:
Vx := V 1 + V2 + V3
Vy := V 4 + V5 + V6 + V7
Vx = 55
Vy = 10
Ejemplo 2 Análisis Seudo Tridimensional de Edificios La figura muestra la planta de un edificio de 2 pisos en concreto armado (E=2.2 x10 6 ton/m², ν= 0.15), con columnas de .35x.35, placa de 5.70x0.25. Las alturas de los entrepisos 1 y 2 son 3.5 y 2.8 respectivamente. El suelo y la cimentación empleada permiten considerar que todos los elementos están empotrados en su base.
En los centros de gravedad de cada nivel actúan las siguientes fuerzas y momentos torsores Fx
Fy
T
1er Piso
17
8
21
2do Piso
27
13
47
Usando un modelo de corte (vigas infinitamente rígidas y columnas indeformables axialmente) determine:
a) Las matrices de rigidez lateral de los pórticos (“2”, “3”, “4”, “5”, ”6” y “7”) b) La matriz de rigidez lateral de la placa (“1”) generando directamente la matriz de flexibilidad lateral usando un modelo en voladizo con base empotrada y considerando deformaciones por flexión y fuerza cortante. c) Las matrices de compatibilidad de todos los pórticos y luego la matriz de rigidez del edificio. d) Los desplazamientos del centro de gravedad de cada planta. e) Los diagramas de momento flector y fuerza cortante para las estructuras planas de los ejes “1” y “5”. Para el pórtico “5” use el método del Portal, suponga que cada columna tiene sus puntos de inflexión ubicados respecto a su base a 0.6 y 0.35 de la altura de entrepiso.
Ejemplo 2 Análisis Seudo Tridimensional de Edificios 6
Ec := 2.2⋅ 10
Gc :=
Ec
5
Gc = 9.565 × 10
2⋅ ( 1 + 0.15)
Rigidez Lateral de Pórtico 2-D Tipo Corte
KLPort( kent1, kent2) :=
⎛ kent1 + kent2 −kent2 ⎞ kent2 ⎠ ⎝ −kent2
Flexibilidad Lateral Placa Sola en Volado
⎡ FL( H1, H2 , EI, Ac ) :=
3
H1
+
3
H1
H1
+
2
H1
3⋅ EI Ac ⋅Gc 3⋅ EI Ac ⋅Gc ⎢ ⎢ 3 2 3 H1 H1 H1 ( H1 + H2) ⎢ + + ⋅ H2 + 3⋅ EI ⎣ 3⋅ EI Ac ⋅Gc 2⋅ EI
+
H1
2⋅ EI
⎤
⋅ H2
⎥ ⎥ H1 + H2 ⎥ Ac ⋅Gc ⎦
Propiedades de Secciones Col : 35 x 35 EI33C :=
1
3
12
6
⋅ 0.35 × 0.35 ⋅ 2.2⋅ 10
3
EI33C = 2.751 × 10
EI22C :=
1 12
3
⋅ 0.35 × 0.35 ⋅ 2.2⋅ 10
3
EI22C = 2.751 × 10
Pl 01: 570x25 EI33P := 1
1
3
12
(
EI33P = 14108 1
6
H := 3.5 1
H := 2.8 2
1
1
( Gc⋅ Ac22P) = 1.136 × 10
Alturas de Entrepiso:
EI22P :=
EI22P = 8488013
0.25 Ac22P := 5.7⋅ 1 1.2
1
)
6
⋅ 2.85⋅ .3 ⋅ 2.2⋅ 10
1 12
3
(
)
6
⋅ 0.25⋅ 5.7 ⋅ 2.2⋅ 10
Portico 1
(
FL := FL H , H , EI22P , Ac22P 1
1
2
1
⎛ 4.765 × 10− 6
FL = 1
− 6 ⎞
6.786 × 10
−6
−5
⎝ 6.786 × 10
( 1)
KL := FL 1
KL = 1
)
1
⎠
1.537 × 10
−1
⎛ 5.654 × 105 −2.497 × 105 ⎞ 5
5
⎝ −2.497 × 10
1.753 × 10
⎠
Portico 2, 3, 4, 6 y 7 : 12
pt02kent1 :=
(H1)
3
⋅ ( 1EI22C + 2⋅ EI22C)
pt02kent2 :=
12
(H2) 3
pt02kent1 = 2.31 × 10
3
⋅ ( 1EI22C + 2⋅ EI22C)
3
pt02kent2 = 4.512 × 10
KL := KLPort(pt02kent1 , pt02kent2) 2
KL = 2
⎛ 6.822 × 103 −4.512 × 103 ⎞ 3
⎝ −4.512 × 10
3
4.512 × 10
⎠
Portico 3: KL := KL 3
2
Portico 4 KL := KL 4
2
Portico 5: KL := 5
4 3
⋅ KL
2
Portico 6: KL := KL 6
2
Portico 7: KL := KL 7
2
KL = 5
⎛ 9.096 × 103 −6.016 × 103 ⎞ 3
⎝ −6.016 × 10
3
6.016 × 10
⎠
Matrices de Compatibilidad 0
0.93633
0
−9.246
0.351123
0
0.93633
0
ap :=
⎛ 0.351123 ⎝ 0
ap :=
⎛ 0 ⎝ 0
0 1 0 −4.6
⎛ 0 ⎝ 0
0 1 0 7.4
⎛ 1 ⎝ 0
0 0 0 −1.4
1
2
ap := 4
ap := 6
0 0 1
0 0 1
1 0 0
⎞ −4.6 ⎠ 0
0
0
⎛ 0 ⎝ 0
ap := 3
0 ⎞ ap :=
7.4 ⎠
5
⎞ −1.4 ⎠ 0
0
ap := 7
⎛ 1 ⎝ 0
⎞ −9.246 ⎠ 0
0 1 0 1.4 0 0 1
1.4 ⎠
0
0 0 0 4.6 1 0 0
0
⎛ 1 ⎝ 0
0 0 0 −7.4 1 0 0
0 ⎞
0
0 ⎞ 4.6 ⎠
⎞ −7.4 ⎠ 0
Matriz de Rigidez del Edificio
7
Kedif :=
∑
T i
ap ⋅ KL ⋅ ap i
i
i= 1
⎛
92448
−45822
185891
−82089
−1853818
822638
−45822
36656
−82089
57646
822638
−581269
⎞
⎜ ⎟ 185891 82089 516177 232440 4866364 2142672 − − − ⎟ Kedif = ⎜ ⎜ −82089 57646 −232440 167258 2142672 −1499021 ⎟ ⎜ −1853818 822638 −4866364 2142672 49447587 −22079985 ⎟ ⎜ ⎟ 822638 581269 2142672 1499021 22079985 15724107 − − − ⎝ ⎠ Cálculo del CENTRO DE RIGIDEZ por aplicació n de momento t ors or un itario en 2do piso
⎛ 3.699 × 10− 6 ⎞
⎛ 0 ⎞ 0
⎜ ⎟ 0 Qedif := ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠
−1
Dedif := Kedif
⋅ Qedif
⎜ 5.576 × 10− 6 ⎟ ⎜ ⎟ − 6 ⎜ 7.419 × 10 ⎟ Dedif = ⎜ ⎟ −5 ⎜ 1.109 × 10 ⎟ ⎜ ⎟ −7 ⎜ 9.389 × 10 ⎟ ⎜ − 6⎟ ⎝ 1.441 × 10 ⎠
Distancias de los C.R. a los C.G. Sy = Dx / Teta
Sx = -Dy / Teta
i := 1 .. 2
Dedif
i
Sy := i
Sy =
Sx := i
Dedif
4+ i
⎛ 3.939 ⎞ ⎝ 3.87 ⎠
Sx =
−Dedif 2+i Dedif
4+ i
⎛ −7.902 ⎞ ⎝ −7.696 ⎠
Solución a cargas Aplic adas Vectores de carga y Desplazamiento
⎛ 5.741 × 10− 3 ⎞
⎛ 17 ⎞ 27
⎜ ⎟ 8 Qedif := ⎜ ⎟ ⎜ 13 ⎟ ⎜ 21 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 47 ⎠
−1
Dedif := Kedif
Fuerzas y Desplazamientos en en Porticos: i := 1 .. 7 dp := ap ⋅ Dedif i
qp := KL ⋅ dp
i
i
i
i := 1 .. 7 2
V := i
∑ (qp ) i
j = 1
⎛ 6.137 ⎞ ⎜ −0.22 ⎟ ⎜ 5.085 ⎟ V = ⎜ 10.389 ⎟ ⎜ ⎟ 23.104 ⎜ ⎟ ⎜ 12.023 ⎟ ⎝ 6.718 ⎠
j
i
⋅ Qedif
⎜ 7.555 × 10− 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1.665 × 10− 3 ⎟ Dedif = ⎜ ⎟ −3 ⎜ 2.223 × 10 ⎟ ⎜ ⎟ −4 ⎜ 3.827 × 10 ⎟ ⎜ − 4⎟ × 5.044 10 ⎝ ⎠
Para el pórtico 1 y 5:
dp = 1
dp = 5
⎛ 3.604 × 10− 5 ⎞
qp = 1
−5
⎝ 7.049 × 10
⎠
⎛ 7.501 × 10− 3 ⎞
qp = 5
−3
⎝ 9.875 × 10 ⎠
Verificación del Cortante Basal en X : Fuerzas en X :
α := 1.212 7
Vx :=
∑
V + V ⋅ cos( α ) n
1
n=5
Vx = 44
Verificación del Cortante Basal en Y : Fuerzas en Y :
4
Vy :=
∑
n=2
Vy = 21
V + V ⋅ sin( α ) n
1
⎛ 2.775 ⎞ ⎝ 3.362 ⎠
⎛ 8.825 ⎞ ⎝ 14.279 ⎠
V = 6.137 1
V = 23.104 5
PORTICO 1 : Estructura Isostática
PORTICO 5 : Estructura Hiperestática, Método del Portal
