III ANALISIS DE SENSIBILIDAD EN UN PPL El análisis de sensibilidad son rangos expresados a través de intervalos, los cuales nos permiten observar como cambia el valor óptimo, solución óptima o precios duales de un PPL cuando se modifican uno o mas de uno de sus componentes. Al cambiar uno de sus componentes de un PPL el modelo es diferente al PPL original, sin embargo para hallar la mueva solución óptima no es necesario resolver el nuevo PPL desde el inicio. El Análisis de Sensibilidad nos proporciona nuevos métodos para encontrar la nueva solución óptima a partir del cuadro óptimo del PPL original. También el Análisis de Sensibilidad nos permite encontrar los Rangos de Sensibilidad, que son intervalos que nos indican hasta que punto una solución óptima, un precio Dual o una Base óptima tiene vigencia. LOS CASOS QUE SE DEBEN ANALIZAR: 1. 2. 3. 4. 5.
Cambio en el vector de costos: C Cambios en el vector de términos derechos (RHS) de las restricciones: b Aumento de una nueva variable. Aumento de una nueva restricción. cambios en la matriz de coeficientes tecnológicos: A
RANGOS DE SENSIBILIDAD Los Rangos de Sensibilidad nos indican entre que valores pueden cambiar los coeficientes de la Función Objetivo o los términos del lado derecho (RHS) sin que la base óptima cambien. Esto garantiza la HIPOTESIS FUNDAMENTAL que se utilizó para la interpretación del DUAL. Sea el siguiente PPL: Max Z = 4x1 + 6x2 + 5x3 s.a. x1 + 2x2 + x3 ≤ 35 2x1 - x2 + 3x3 ≤ 28 xi ≥ 0
Profesor: MG. Aldo Madrid L.
Cuadro óptimo del PPL:
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UNIVERSIDAD RICARDO PALMA FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE INGENIERIA INDUSTRIAL
CASO I: Rangos de Sensibilidad para los Coeficientes de la FUNCION OBJETIVO Cuando se cambian los coeficientes de la Función Objetivo se cambian también los COSTOS REDUCIDOS, entonces buscaremos que los nuevos costos reducidos sigan manteniendo la base óptima. Se debe tomar en cuenta si la variable es básica o no es básica. Ejemplo 1.
Para x1 NO BASICA: Hallar los Rangos de Sensibilidad para el coeficiente de x1
Costo Actual: Costo Modificado:
4 4+θ
(θ es la variación)
Nuevos Costo Reducido de x1: 1 7 3 zɶ1 − cɶ1 = CBt Pɶ1 − cɶ1 = (6,5) − (4 + θ ) = − θ 7 5 7 (Solo cambia el costo reducido de x1 por ser no básico)
Para que la BASE OPTIMA no cambie debe cumplirse que:
3 −θ ≥ 0 7
3
θ ∈ −∞ , 7
Luego: el costo de x1 debe estar entre:
−∞ ≤ θ ≤
3 7
entonces
− ∞ ≤ 4 +θ ≤ 4 + − ∞ ≤ 4 +θ ≤
31 Mientras el costos de x1 varíen entre −∞ , 7 valores tampoco.
3 7
31 7
la base optima no cambia y sus
Ejemplo 2. Cuando x2 es Básico: Hallar el Rango de Sensibilidad para x2 Solución Debemos observar que x2 es una Variable Básica, por lo tanto, se modificara los costos reducidos asociados a todas las variables no básicas (x1, s1, s2) Costo Actual: Costo Modificado:
θ ∈ [ − 3, 4 ] Intervalo para el costo de x2 -3 ≤ θ ≤ 4 3 ≤ 6 + θ ≤ 10
[3.10 ]
→
Es el R.S. o intervalo de variación para x 2
CASO II: Rangos de Sensibilidad para Los Términos del lado derecho (RHS). Las modificaciones en el lado derecho de una restricción puede afectar la factibilidad de la Solución Óptima actual de un PPL; entonces, veremos entre que valores (Rango) puede cambiar sin modificar la Base Optima actual. Ejemplo 1.
Hallar los Rangos de Sensibilidad para el RHS de la primera restricción.
Para que siga manteniendose la base debe cumplirse: 3 11+ θ ≥ 0 7
y
13 +
θ 7
≥0 77 , +∞ 3
θ ≥ −77 3 y θ ≥ -91 → θ ∈ −
→ 35 − 77 3 ≤ 35 + θ ≤ ∞ → 28 3 ≤ 35 + θ ≤ ∞
28 Es el Rango de Sensibilidad para b1 entre esos valores puede , +∞ 3 variar b1 sin que la base optima cambie y como consecuencia no cambia el precio DUAL
Profesor: MG. Aldo Madrid L.
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APLICACIONES DE PROGRAMACION LINEAL: • • •
EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE EL PROBLEMA DE TRANSBORDO EL PROBLEMA DE ASIGNACION
