Analisis y Diseño

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO - PUNO

Facultad de Ciencias Agrarias Facultad de Ingeniería Estadística e Informática

α2

R.C.

1− α

R.R./Ho:

Aceptar Ho:

α 2

R.R./Ho:

ANÁLISIS Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS PREPARADO POR: VLADIMIRO IBAÑEZ QUISPE, Dr.

Puno, Abril del 2009

- ii -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno

VLADIMIRO IBAÑEZ QUISPE Ingeniero Estadístico, UNA - Puno - Perú. M.Sc. en Informática Dr. en Administración Profesor Principal - Facultad de Ingeniería Estadística e Informática. Derechos Reservados: Ninguna parte de este guía puede ser reproducida sin la autorización del autor. [email protected] © 2009, Editorial Universitaria. Primera Edición: 2009 Impreso en Puno - Perú. Ciudad Universitaria. Apartado 291. Fax (054) 352992. Puno - Perú Diagramación y Composición: Vladimiro Ibañez Quispe

Análisis y Diseño de Experimentos - iii -

PRESENTACIÓN

La presente publicación «Análisis y Diseño de Experimentos» está dirigido a los estudiantes de pre-grado y post-grado, muy especialmente a estudiantes de la Escuela Profesional de Ingeniería Agroindustrial y áreas afines que necesitan de las herramientas estadísticas para poder aplicarlo en el proceso de la investigación científica, y sea una ayuda para generar conocimientos en la ingeniería. En los procesos industriales se trabaja bastante con factores cuantitativos, lo que obliga a desarrollar metodologías orientadas y adecuadas para resolver los problemas de la investigación, tales como el análisis de regresión, los diseños experimentales básicos, experimentos factoriales (dos factores cuantitativos), superficie de respuesta (diseño central compuesto, diseño de Placket-Burman, EVOP, etc.). Estas metodologías necesitan ensayar en un proceso en el cual interviene los diferentes factores en estudio, lo que a veces se convierte muy complejo resolver en forma manual, y necesariamente se recurre a los software estadísticos adecuados para realizar los análisis respectivos. Actualmente existen varios software estadísticos con diferentes bondades, por lo que el investigador, se debe adaptar paulatinamente para el procesamiento de la información entre ellos podemos mencionar: Statistica, Statgraphics, Minitab, Stata, SPSS, SAS, etc., lo importante es que nos permite manipular la información recopilada (crudo) y posteriormente ésta información se convierte en conocimiento. Espero que esta publicación les permita orientar en el uso de las metodologías estadísticas para el proceso de la investigación, despertar a la mente y motivar en la conducción de la investigación acorde a nuestro medio. El autor estará plenamente agradecido y se sentirá mejor para publicar otros textos, si los interesados observan cualquier error, redacción, fórmulas, etc. y las sugerencias se reciben en viq_ibañ[email protected] El autor Abril, 2009

- iv -


Análisis y Diseño de Experimentos - v -

ÍNDICE Pág. CAPÍTULO 1: ANÁLISIS DE REGRESIÓN 1.1. Regresión Lineal Simple (RLS)......................................................... 02 Propiedades del modelo.................................................................... Diagrama de dispersión.................................................................... Estimación de la ecuación de regresión.......................................... Interpretación del coeficiente de regresión β$ 1 ............................... Prueba de hipótesis para ( β 1 )......................................................... Intervalo confidencial (IC) para ( β 1 ).............................................. Intervalo de confianza para la predicción........................................ i) Intervalo de confianza para la respuesta media E ( Yh ) ................... ii) Intervalo de Confianza para la predicción o futura

03 03 04 07 10 11 11 11

Yh ( New ) ......... 12

1.2. Correlación........................................................................................ Coeficiente de correlación de Pearson ............................................. Prueba de hipótesis para la correlación ( ρ )................................... Intervalo confidencial (IC) para ( ρ ).............................................. Coeficiente de Determinación R2, R2ajustado ........................................ Análisis gráfico de residuos ............................................................ Ejercicios .......................................................................................

28 28 29 30 30 31 36

1.3. Regresión Lineal Múltiple (RLM)..................................................... 40 Estimación de los parámetros del modelo........................................ Estimación de los parámetros ( β 0 , β 1 ,L , β k )(Forma matricial)....... Consecuencias de la Estimación....................................................... Prueba de Hipótesis en Regresión Lineal Múltiple............................ Pruebas sobre coeficientes individuales del modelo........................... Intervalos de Confianza y predicción en Regresión Lineal Múltiple... a) Intervalo Confidencial (IC) para β j ..............................................

41 42 46 46 48 49 49

b) IC para la respuesta media de E ( Y0 ) dado el vector X'0 .............. 50

- vi -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno Pág. c) ICpara la predicción de nuevas observaciones Yh ( new ) ................... 52 Correlaciones Parciales .................................................................. 61 Prueba de hipótesis parciales........................................................... 61 Ejercicios ....................................................................................... 80

1.4. Regresión Curvilineal o no lineales.................................................... 83 A) Caso exponencial: Y = abX.......................................................... 83 B) Función potencial o curva geométrica: Y = aXb........................... 87 C) Caso parabólico (Función de Segundo Grado)............................. 91 CAPÍTULO 2: ASPECTOS GENERALES DEL DISEÑO 2.1. ¿Qué es un experimento?.............................................................. 2.2. Objetivos de un experimento......................................................... 2.3. Unidad experimental (UE)............................................................ 2.4. ¿Qué es un tratamiento? .............................................................. 2.5. Error experimental (EE)............................................................... 2.6. Principios básicos del diseño experimental....................................

95 96 96 96 96 97

CAPÍTULO 3: DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA, DIA) 3.1. Diseño completamente al azar (balanceado o equilibrado).............. Características ............................................................................. Arreglo de campo ........................................................................ Modelo estadístico lineal .............................................................. Esquema del diseño ...................................................................... Ventajas ....................................................................................... Desventajas ................................................................................. Descomposición de la suma de cuadrados total ............................. Análisis de Varianza (ANOVA) .................................................... 3.2. Diseño Completamente al azar (desbalanceado)............................. Metodología de la forma matricial.................................................

103 103 104 104 105 105 105 106 107 115 122

Intervalo Confidencial (IC)

µ i • − µ j• ........................................ 124

Ejercicios..................................................................................... 3.3. Diseño completo al azar con igual numero de subunidades por unidad experimental............................................................... Características ............................................................................. Casos ilustrativos .........................................................................

129 131 131 131

Análisis y Diseño de Experimentos - vii Pág. Muestreo aleatorio....................................................................... Análisis estadísticos.................................................................... Análisis de varianza..................................................................... Ejercicio...................................................................................... 3.4. Diseño Completamente al azar con submuestreo (desbalanceado).. Forma matricial ............................................................................

132 132 133 137 137 143

CAPÍTULO 4: DISEÑO BLOQUE COMPLETO AL AZAR (DBCA) 4.1. Diseño bloque completo al azar ................................................... Características ............................................................................. Ventajas ....................................................................................... Desventajas ................................................................................. Esquema del diseño bloque compelto al azar............................... Modelo lineal aditivo ................................................................... Análisis de Varianza (ANOVA) .................................................... 4.2. Diseño bloque completo al azar con submuestreo........................... 4.3. Análisis funcional de la varianza .................................................. 4.4. Curva de respuesta ........................................................................ 4.5. Ajuste de la función de respuesta .................................................. Ejercicios .....................................................................................

151 151 153 154 155 155 157 164 170 180 185 192

CAPÍTULO 5: PRUEBAS DE COMPARACIÓN MÚLTIPLE DE MEDIAS 5.1. Prueba t de Student ....................................................................... 194 5.2. Diferencia Límite Significativa (DLS)........................................... 199 5.3. Prueba de Comparaciones múltiples de Duncan............................. 202 5.4. Prueba de comparación múltiple Tukey......................................... 209 5.5. Prueba de comparación de Dunnett.............................................. 213 5.6. Prueba de comparación múltipl de Studente-Newman-Keuls (SNK). 216 5.7. Prueba de Scheffe........................................................................ 219 5.8. Transformación de datos ............................................................... 220 CAPÍTULO 6: DISEÑO CUADRADO LATINO (DCL) 6.1. Características del diseño.............................................................. Ventajas ........................................................................................ Desventajas ................................................................................. Modelo estadístico lineal............................................................... Hipótesis..................................................................................... Estimación de los parámetros del modelo.....................................

224 225 225 225 226 227

- viii -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno Pág.

Análisis de Varianza (ANOVA).................................................... 228 Ejercicios ..................................................................................... 236 6.2. Diseño Cuadrado Grecolatino (DCGL) .......................................... 238 CAPÍTULO 7: EXPERIMENTOS FACTORIALES Introducción................................................................................. Objetivos..................................................................................... Ventajas..................................................................................... Desventajas................................................................................. Elección de los factores................................................................ Tipos de factores............................................................................ Clasificación de los factores.......................................................... 7.1. Experimento factorial de la serie 2n............................................ 7.1.1. Experimento factorial bajo el DCA................................. Método 1: Ajuste de la función de respuesta................... Método 2: Ajuste de la función de respuesta................... 7.1.2. Experimento factorial bajo del DBCA............................... Ejercicios ...................................................................... 7.2. Experimento factorial de la serie 3n............................................ 7.2.1. Experimento factorial bajo el DCA................................. 7.2.2. Experimento factorial bajo el DBCA................................. 7.2.3. Experimentos con factores cuantitativos (dos factores) ....... Ejercicios ......................................................................

245 246 246 246 247 247 248 238 252 265 267 269 274 276 277 287 298 306

CAPÍTULO 8: MÉTODOS Y DISEÑO DE SUPERFICIE DE RESPUESTA Diseño para ajustar modelos de segundo orden ........................... 310 Diseño Compuesto Central (DCC) ............................................... 311 Diseños rotatorios para mejorar superficie de respuesta................ 315 Determinación de α en el Diseño Central Compuesto (CCD)...... 316 Estimación del modelo para diseño rotables y compuestos............. 320 Análisis de varianza para diseños rotables y compuestos................ 326 Soluciones óptimas ...................................................................... 333 Aplicaciones con software estadístico ........................................... 336 Ejercicios ..................................................................................... 351 CAPÍTULO 9: DISEÑO Y ANÁLISIS DE PARCELAS DIVIDIDAS 9.1. Diseño de parcela dividida (Split plot design) ............................. 355 Características del diseño de parcela dividida ............................... 355

Análisis y Diseño de Experimentos - ix Pág. Ventajas y desventajas .................................................................. Aleatorización ............................................................................ Arreglo de campo ....................................................................... 9.1.1. Diseño de parcela dividida bajo el DCA........................... Ajuste para comparación de medias.................................. 9.1.2. Diseño de parcela dividida bajo el DBCA......................... 9.2. Diseño de parcela subdivididas (Split split plot design) ............... 9.3. Diseño de parcelas en franja ........................................................ Ejercicios .....................................................................................

356 357 357 358 361 363 380 387 395

CAPÍTULO 10: ANÁLISIS DE COVARIANZA (ANCOVA) Usos del análisis de covarianza .................................................... Suposiciones del análisis de covarianza ........................................ Modelos estadísticos para el análisis de covarianza ...................... ANCOVA bajo el diseño completo al azar ..................................... ANCOVA en un arreglo factorial .................................................. Análisis de Covarianza Múltiple.................................................. Ejercicios .....................................................................................

397 398 399 400 415 421 426

Bibliografía consultada ........................................................................ 429 Tablas estadísticas ................................................................................. 433

Análisis y Diseño de Experimentos - 1 -

1 ANÁLISIS DE REGRESIÓN El término regresión viene del Latín regresio: que significa regreso, vuelta, retroceso y fue usado por primera vez como concepto estadístico en 1877 por Sir Francis Galtón, quién efectuó un estudio demostrando que la altura de los hijos de padres altos tendía a retroceder o «regresar», hacia la talla media de la población; regresión fue el nombre que le dió al proceso general de predecir una variable (la talla de los niños) a partir e otra (la talla de los padres). Más tarde, los estadísticos acunaron la expresión regresión múltiple para describir el proceso en virtud del cual se emplean algunas variables para predecir otra. Los métodos de regresión, se utiliza para analizar datos que provienen de experimentos que no fueron diseñados, este es el caso del estudio de fenómenos no controlados o de registros históricos. Los métodos de regresion se usan para determinar la «mejor» relación funcional entre las variables, mientras que los métodos de correlación se utilizan para medir el grado de asociación de las distintas variables. En pocas palabras, regresión es la cantidad de cambio de una variable asociado a un cambio único de otra variable. El principal objetivo del análisis de la regresión es realizar predicciones. La regresión permite determinar si existe relación entre las variables en estudio (X e Y), para lo cual se utiliza el comportamiento de una variable (X = independiente), para predecir el comportamiento de otra variable (Y = dependiente). Las dos características son medibles.

-2-


Usos de la Regresión: - Para hacer predicciones futuras de Y, teniendo como base la X. - Para ver si la variable (Y) depende de otra (X), estimando por consiguiente la medida de dicha relación o asociación. - Para determinar la forma de la curva de la regresión. - Para conocer el error real implicado en un experimento, después que haya sido descontado el efecto de una variable relacionada. - Sirve de base para el análisis estadístico. Como se manifestó el objeto principal de la regresión es realizar predicciones como: - Predecir el tiempo meteorológico basado en los datos del pasado. - Predecir la performance de un toro basado en sus antepasados. - Predecir la producción de lana/año, basado en los años anteriores. - Predecir la calidad genética de una vaca, basado en sus antepasados. - Predecir la producción de semen en carneros basado en el tamaño testicular. - etc.. 1.1. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE (RLS). Consideremos una variable dependiente Y con una sola variable independiente X. Representemos una muestra aleatoria de tamaño “n” de (X,Y) por el conjunto de pares de datos: {(xi,yi)/i = 1,2,...,n}. La relación entre variables es aquel que se considera únicamente dos variables, a estas designamos por «Y» y «X», donde «Y» es la variable dependiente ó variable de respuesta y «X» la variable independiente ó predictor. El modelo de regresión lineal consiste en especificar la forma de la relación lineal, es decir:

Yi = β 0 + β1X i + ε i ,

i = 1,2,..., n

Donde: Yi = Variable dependiente. Xi = Variable independiente.

β 0 = Parámetro desconocido que indica la ordenada donde la línea de regresión lo intersecta.

β 1 = Parámetro desconocido que indica la pendiente de la línea de mejor ajuste, llamada también coeficiente de regresión poblacional.

ε i = Error de perturbación que puede tomar valores positivos o negativos.

Análisis y Diseño de Experimentos - 3 Propiedades del modelo: a) Toda perturbación aleatoria tiene de media cero, es decir: i = 1,2,...,n. Ε( ε i ) = 0 , b) Todas las perturbaciones aleatorias tienen la misma varianza (homoscedasticidad). i = 1,2,...,n. V(ε i ) = σ 2i c) Las perturbaciones son independientes entre sí: cov( ε i , ε j ) = 0, i ≠ j

Yi E(Y) = β0 + β1Xi Yj

UVε W .

UV ε W

j

i

Yi

X1

X2

X3

X4

Xi

Suposiciones en regresión Diagrama de dispersión. Una vez recopilada la serie de «n» observaciones bidimensionales, cada par de valores (X,Y) en el plano cartesiano o rectángular está representado por un punto, y habra tantos puntos como parejas de observaciones que tenga. Esta representación da origen a una nube de puntos que se denomina diagrama de dispersión ó esparcimiento; este diagrama puede tener diferentes formas. Esta es la forma más usual para detectar si la función es lineal, exponencial, potencial, cuadrática, cúbica, etc. al cual el experimentador ajustará su información recopilada, de tal forma que describa adecuadamente la relación entre las variables en estudio.

Eje Y

Eje Y

Eje Y


Eje Y

-4-

Eje X

Eje X

Eje X

Eje X

Lineal positiva

Lineal negativa

No Lineal

Ninguna relación

Estimación de la ecuación de regresión. En el análisis de regresión lineal simple, se busca una línea de tal forma que la sumatoria de los errores de todas las observaciones con respecto a la línea sea mínima, para lograr la estimación de los parámetros desconocidos ( β 0 y β 1 ), se utiliza el método de «Mínimos Cuadrados». Este método consiste en encontrar los valores

β 0 y β 1 de la ecuación de regresión muestral, de manera que la suma de los cuadrados de todos los residuos ε i (suma de cuadrados del error: SCE) alrededor de la línea de regresión sea mínima. Para estimar los parámetros se partirá del modelo original, que está expresada en la siguiente ecuación:

Yi = β 0 + β1X i + ε i ,

i = 1,2,..., n

ε i = Yi − β 0 − β1X i

b

g

ε 2i = Yi − β 0 − β1X i elevando al cuadrado.

∑ ε = ∑ bY − β n

n

2 i

i

i =1

0

2

− β1 X i

i =1

g aplicando sumatoria. 2

Para encontrar las Ecuaciones Normales se usan las derivadas parciales con respecto a los parámetros desconocidos β 0 y β 1 , entonces tenemos: n

∂∑ ε 2i a)

i=1

∂β 0

n

=0

∂ ∑ ε 2i y

b)

i=1

∂β1

=0

Análisis y Diseño de Experimentos - 5 ∂

n

i

0

− β1X i

i =1

De a) n

LM∑ bY − β N

∂ β0

b

g OPQ 2

= 0 , entonces se tiene que:

g

2 ∑ Yi − β 0 − β1X i ( −1) = 0 , haciendo operaciones elementales se tiene la prii =1

mera ecuación normal, pero por la propiedad de la sumatoria de una constantes es: n

∑ β$

0

= nβ$ 0

i =1

n

n

i =1

i =1

nβ$ 0 + β$ 1 ∑ X i = ∑ Yi ∂

De b)

LM∑ bY − β N n

i

0

− β1X i

i =1

∂ β1

g OPQ 2

n

b

L i)

g

= 0 , 2∑ Yi − β 0 − β1X i ( − X i ) = 0 , igual que la i =1

primera ecuación, se encuentra, la segunda ecuación normal. n

n

n

i =1

i =1

i =1

β$ 0 ∑ Xi +β$ 1 ∑ X2i = ∑ Xi Yi

L ii)

En resumen de a) y b) se tiene las Ecuaciones Normales: n

n

i =1

i =1

nβ$ 0 + β$ 1 ∑ X i = ∑ Yi n

n

n

i =1

i =1

i =1

β$ 0 ∑ X i +β$ 1 ∑ X i2 = ∑ X i Yi El objetivo de estas ecuaciones normales es despejar los parámetros β 0 y β 1 , esto se consigue de la siguiente forma: De a) nβ$ 0 + β$ 1

n

n

∑ X = ∑ Y , despejando i

i =1

i

i =1

n

n

i =1

i =1

nβ$ 0 = ∑ Yi − β$ 1 ∑ X i y n

n

dividiendo entre «n» a ambos miembros tenemos: β$ 0 =

∑Y

i

i =1

n

− β$ 1

∑X i =1

n

i

-6-


β$ 0 = Y − β$ 1X β$ 0 = Y − β$ 1X en la segunda Ecuación Normal se tiene:

Reemplazando

e

Y − β$ 1 X

j∑ n

i =1

n

n

X i +β$ 1 ∑ X 2i =

∑XY i

i =1

i

i =1

, y haciendo ope-

raciones elementales de álgebra, se llega a encontrar β$ 1 en dos formas siguientes para facilitar el cálculo. n

n

β$ 1 =

n

∑ X Y − Y∑ X i

i

i =1 n

∑X i =1

∑ cX i =1

i

i =1 n

− X∑ Xi

2 i

n

β$ 1 =

n

i

, ó β$ 1 =

∑X Y − i =1

∑X

hc

∑ cX n

i

−X

i =1

h

2

i

i =1

F I − G∑ X J H K

2 i

i

n

n

,ó

2

n

i

i =1

h

i =1

i

n

i =1

− X Yi − Y

i

n

∑X ∑Y

i =1

n

=

∑ X Y − nXY i

i

i =1 n

∑X

2 i

− nX 2

i =1

Otra forma de encontrar β$ 1 es usando la Regla de Cramer. n

n

U| V| ⇒ = ∑X Y |W

n

i =1 n

β$ 0 ∑ X i +β$ 1 ∑ X i =1

i =1

i =1 n

2 i

i

i

i =1 n

n

n

nβ$ 0 + β$ 1 ∑ X i = ∑ Yi

∑Y

n β$ 1 =

∑X ∑X Y i

i =1

i =1

n

∑ Xi i =1

∑X i =1 n

i

∑ X2i i =1

n

i

i =1 n

n

i

i

=

n∑ X i Yi − i =1

n

n∑ X 2i − i =1

Análisis y Diseño de Experimentos - 7 n

n

β$ 1 =

∑ X iYi − i =1 n

∑ X i2 − i =1

n

∑ X ∑Y i

i =1

i

i =1

n

FG ∑ X IJ H K n

2

i

n

i =1

Algunas veces, se expresa en términos de desviaciones β$ 1 , utilizando letras minúsculas para diferenciar de las observaciones que se denotan con letras mayúsculas, entonces en términos de desviaciones se expresa: n

β$ 1 =

∑x y i

i =1 n

∑x

i

=

2 i

Cov( X, Y) S XY = 2 V ( X) SX

i =1

La recta de regresión estimada es: Donde

$ = β$ + β$ X Y i 0 1 i

$ es el estimador para la media de la observación Yi, la cual corresY i

ponde al valor Xi de la variable de predicción.

$ = ( Y − β$ X) + β$ X = Y + β$ X − β$ X = Y + β$ ( X − X) Y i 1 1 i 1 i 1 1 i $ − Y = β$ (X − X) Y i 1 i Esta es otra forma expresar la recta de regresión. Observar que la recta de regresión contiene al punto ( x , y ) cuyos componentes son las medias X y de Y, respectivamente. Interpretación del coeficiente de regresión β$ 1 El valor constante β$ 0 de la ecuación de regresión muestral, es la ordenada con el origen. El valor de la pendiente β$ 1 es el cambio en una unidad de medición.

$ cuando Xi cambia Y i

-8-


Si β$ 1 >0, entonces, la tendencia lineal es creciente, es decir, a mayores valores de X corresponden mayores valores de Y. También, a menores valores de X corresponden menores valores de Y. Si β$ 1 <0, entonces, la tendencia lineal es decreciente, es decir, a mayores valores de X corresponden menores valores de Y. También, a menores valores de X corresponden mayores valores de Y. Si β$ 1 =0, entonces, Y$ i = β$ 0 , luego, Y permanece estacionario para cualquier valor de X. Es decir, no hay regresión. Esta misma interpretación es válida para la pendiente β$ 1 en la ecuación de regresión poblacional. Gráficamente se puede representar de la siguiente maner

Yi

$ ε i = Yi − Y i

Y

(X,Y)

U

U| |V|ε V|ε W W θ R

i

11

9

8

Y

UVε W

5

Y2

UV ε W

Y1 β$0

UV ε W S cX, Yh

1

RS T

X1

UV ε W

UV ε W

4

UVε W

6

7

2

X2

X3

X4

X

X5

$ = β$ + β$ X E(Y) 0 1 i

tg(θ) =

β$ 1 $ = β1 1

1

UV ε T 14243 W 1 ε 10

U| U| || || |V Y U| V| Y$ || || || || V|| W W |W

U| V|ε W U| $ V| β W

X

$ − Y = β$ X Y i 1 i

i

i

Y

Xi

Esta gráfica es una representación que permite visualizar mejor la interpretación de los parámetros estimados, la variable dependiente (Y) y la variable independiente (X), los errores o perturbación, los valores de los errores se deben compensar con los puntos que están encima de la recta de regresión y los puntos que están debajo de la recta de regresión, el promedio de la variable (X) con el promedio de la variable (Y) coinciden en un punto por donde pasa la línea de regresión estimada.

Análisis y Diseño de Experimentos - 9 Fórmulas de trabajo:. n

n

∑ Xi

=

i =1

FG ∑ X IJ H K n

i

i =1

FG ∑ Y IJ H K n

n =

FG ∑ X IJ FG ∑ Y IJ H KH K

2

n

n =

i

i =1

=

i i

i=1

=

Y

2

∑XY

=

i =1

=

X

n

∑ Yi

n

i

i

i =1

n

=

i =1

FG∑X IJFG∑Y IJ H KH K = ∑x y = ∑XY − n

n

n

n

∑X

2 i

∑Y

2 i

=

i =1

i =1

FG ∑ X IJ H K − n

n

∑x

n

2 i

i =1

= ∑ X 2i

=

i=1

n

FG ∑ Y IJ H K − n

n

i

n

∑y = ∑Y 2 i

=

n

i=1

i=1

2

i =1

i =1

i =1

i i

i i

i

i

n

n

2 i

i =1

2

i

i =1

n

i =1

=

TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA PARA REGRESION LINEAL SIMPLE (en términos de observaciones y desviaciones). F. De V.

G.L.

Suma de Cuadrados (S.C.)

LM FG∑X IJFG∑YIJ OP H KH K P = β$ ∑x y β$ M∑XY − 1 MM PP n N Q LM F Y I OP L FG∑X IJFG∑YIJ OP G ∑ JK M H P−β$ M∑XY − H KH K P = ∑y −β$ ∑x y M n - 2 M∑Y − PP n n P M PP MN MM Q Q N FG∑Y IJ n- 1 H K n

Regresión

1

Error

i=1

2 i

i=1

n

1

n

i

n

1

i=1

n

∑Y − i=1

2 i

Fobs.

i=1

i=1

2

n

i i

i

n

i=1

i

i=1

i=1

SCR 1

CMR CME

n

i

i i

n

Total

i

i=1

2

n

n

i

i=1

i i

i=1

C.M.

n

n

n

= ∑y2i i=1

n

2 i

1

i=1

i i

SCE n−2

- 10 -


Prueba de Hipótesis para ( β 1 ).

H 0 : β1 = 0 H a : β1 ≠ 0

1. Hipótesis Estadística:

2. Elegir el nivel de significación:

α , ( α =0.01, α = 0.05, α = 0.10).

3. Estadígrafo de Contraste, elegida para este caso, la prueba t-Student y cuya función pivotal.

t=

β$ 1 − β1 ~ t ( n−2) s. e(β$ ) 1

4. Establecer la Región de decisión, determinando la región crítica de la prueba.

α2

α2

1- α

− t α 2 ,( n − 2 )

β1

RR/Ho:

t

t α 2 ,( n −2 )

0

RR/Ho:

RA/Ha: Valor crítico

Valor crítico

RA H o : - t α 2 ,( n − 2 ) ≤ t c ≤ t α 2,(n-2)

RR H o : t c < -t α 2,(n-2) ó t c > t α 2,(n-2) 5. Valor experimental. Se obtiene reemplazando valores en la función pivotal.

tc =

β$ 1 − β1 s.e.(β$ ) = , 1 s. e(β$ ) 1

s2

FG∑X IJ H K ∑X −− n

i

n

2 i

i=1

i=1

n

2

Análisis y Diseño de Experimentos - 11 6. Si tc pertenece a RA H 0 : , aceptamos H0: y rechazamos la Ha: Si tc pertenece a RR H 0 : , rechazamos H0: y aceptamos Ha: 7. Conclusión. Realizar la interpretación en base al paso 4) y concluir de acuerdo al tenor del problema.

Intervalo Confidencial (IC) para ( β 1 ).

Pr β$ 1 − t α ,( n −2 ) s. e.(β$ 1 ) ≤ β1 ≤ β$ 1 + t α ,( n−2 ) s. e.(β$ 1 ) = 1 − α 2

2

β1 ∈ β$ 1 ± t α ,( n − 2 ) s. e.(β$ 1 ) 2

Intervalos de Confianza (IC) para la predicción. Una vez que se ha encontrado que existe regresión lineal simple poblacional ó que la línea de regresión muestral es válida para realizar predicciones; entonces podemos realizar las predicciones. i) Intervalo de confianza para la respuesta media E ( Yh ) . Sea de

µY

Xh

el valor de la media cuando X = X h ó X = X 0 y sea Y$h el valor

Y$h = β$ 0 + β$ 1 X , cuando X = X h entonces Y$h = β$ 0 + β$ 1 X h . E ( Y$h ) = E ( β$ 0 + β$ 1 X h ) = β$ 0 + β$ 1 X h = µ Y

LM MN

OP PQ

Xh

1 ( X h − X )2 S 2 ( Y$h ) = MSE + n ∑ X i2 − nX 2 , la distribución muestral es:

LM MN

2 Y$h − Yh $ ) = MSE 1 + ( X h − X ) S ( Y ~ t( n − 2 ) ; tc = h n ∑ X i2 − nX 2 s( Y$h )

OP PQ

- 12 -


Luego el intervalo confidencial del (1- α )x100% para la respuesta media se obtiene de la siguiente forma:

E ( Yh ) ,

Pr Y$h − tα 2 ,n − 2 S ( Y$h ) ≤ E ( Yh ) ≤ Y$h + tα 2 ,n − 2 S ( Y$h ) = 1 − α ii) Intervalo de Confianza para la predicción o futura Para obtener un intervalo confidencial de un sólo valor

Yh ( New ) . Yh ( New ) de la variable

Yh = β 0 + β 1 X h , se considera a la diferencia y$h( New ) − yh( New ) como un valor de la variable aleatoria Y$h( New ) − Yh( New ) . Primeramente se debe calcular: Y$h = β$ 0 + β$ 1 X h

LM MN

S 2 ( Y$h( New ) ) = MSE 1 +

OP PQ

LM MN

OP PQ

1 ( X h − X )2 1 ( X h − X )2 + = S 2 1+ + 2 2 n ∑ X i − nX n ∑ X i2 − nX 2 , la

distribución muestral es:

tc =

Y$h( New ) − Yh( New ) ~ t( n − 2 ) ; S ( Y$ ) h ( New )

LM MN

1 ( X h − X )2 S ( Y$h( New ) ) = S 2 1 + + n ∑ X i2 − nX 2

OP PQ

Luego el intervalo confidencial del (1- α )x100% para una sola respuesta o futura

Yh ( New ) , se obtiene de la siguiente forma: Pr Y$h − tα 2 ,n − 2 S ( Y$h ( New ) ) ≤ Yh ( New ) ≤ Y$h + tα 2 ,n − 2 S ( Y$h( New ) ) = 1 − α

EJEMPLO: En la tabla siguiente se presenta los resultados promedio de la evaluación sensorial de la naranja Valencia «control» a través del tiempo de almacenamiento, para este caso se establece el límite de aceptabilidad del producto, considerando un puntaje de 3.5 en la escala de: 6 (Excelente), 5 (Muy buena), 4 (buena), 3 (regular), 2 (mala) y 1 (inaceptable). Se presentan datos para el análisis sensorial de la naranja Washington Navel «Hipobárico» en s apariencia general externa.

Análisis y Diseño de Experimentos - 13 Tiempo (días) 0 13 25 AGE (Puntaje) 5.50 4.25 4.00 AGE: Apariencia General Externa.

35 3.75

50 3.40

61 2.25

68 1.75

86 1.25

93 1.00

a) Trace el diagrama de dispersión, b) Obtener la ecuación normal, c) Calcule la ecuación de regresión de Y sobre X, d) Grafique en el diagrama de dispersión la ecuación ajustada, e) Realice el ANVA, f) Pruebe la hipótesis para β1 ≠ 0 , g) Encuentre los intervalos confidenciales e intreprete en cada uno de las preguntas. SOLUCIÓN:

∑X

i

= 431, ∑ Yi = 27 .15, ∑ X i Yi = 913.25, ∑ X i2 = 28909 , ∑ Yi 2 = 10

X = 47 .89;

Y = 3.017

a) Diagrama de dispersión.

Apariencia general (puntaje)

6.00 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.00 0

20

40

60

Tiempo (días)

b) Obtener la ecuación normal.

9β$ 0 + 431β$ 1 = 27.15 431β$ + 28909β$ = 913.25 0

1

80

100

- 14 -


c) Encuentre la ecuación de regresión. 9

β$ 1 =

9

9

∑ X Y − ∑ X ∑Y i i

i

i =1

i =1

9

∑X

2 i

−

i =1

i

n =

i =1

FG ∑ X IJ H K 9

2

i

n

913.25 − ( 431 )( 27.15 ) 9 = −0.046793 28909 − ( 431 )2 9

i =1

β$ 0 = Y − β$ 1 X =

27 .15 9

b g = 5.257958559

− 0.046793872

Entonces, el modelo de regresión estimado es:

431 9

$ = β$ + β$ X , reemplazando Y i 0 1 i

se tiene:

Y$i = 5.25796 − 0.04679 X i De acuerdo a la ecuación estimada, se puede interpretar que por cada un día de incremento en el tiempo, deberá esperarse una reducción en la apariencia general externa en puntaje de 0.04679. d) Obtener la gráfica de la ecuación de regresión ajustada.

Apariencia gral (puntaje)

6.00

− 0.04679 Xi Y$i = 525796 .

5.00 4.00 3.00 2.00 1.00 0.00 0

20

40

60

Tiempo (días)

80

100

Análisis y Diseño de Experimentos - 15 e) Procedimiento para efectuar el análisis de varianza (ANOVA). Grados de libertad (G.L.) GLreg. = p - 1 = 2 - 1 = 1 GLerror = n - 2 = 9 - 2 = 7 GLtotal = n - 1 = 9 - 1 = 8 Sumas de Cuadrados (S.C. = S.S).

SSRm =

∑ X Y − d∑ X id∑ Y i ∑ X − d∑ X i n i i

i

i

2

2 i

2

n

=

913.25 − (431)(27.15) 9

b g

28909 − 431

i

2

2

9

= 18.10610911 n=9

n =9

( ∑ Yi )2

i =1

n

SSTm = ∑ Yi 2 −

i =1

= 100.6225 −

( 27.15 )2 = 18.72 14

SSE = SSTm − SSRm = 18.72 − 18.10610911 = 0.613890894 Tabla de Análisis de Varianza. F. de V. G.L. Debido a Regresión 1 Error residual 7 Total 8

S.S. 18.106109 0.613891 18.720000

M.S. 18.10611 0.08770 2.34000000

Fc. 206.46

Signif **

En el ANOVA precedente, podemos afirmar que existe diferencia estadística altamente significativa (P ≤ 0.01), esto implica que la variable independiente X (tiempo) influye sobre la variable dependiente Y (apariencia general), es decir las dos variables en estudio son dependientes, esto afirma que el modelo es bueno y para ratificar ésta aseveración se calcula el coeficiente de determinación (R2).

R2 =

18.10610911 SSRm x100 = x100 = 96.72% 18.72 SSTm

MSE 0.087698699 ~2 Rajust x100 = 1x100 = 96.25% . = 1− MSTm 2.34

- 16 -


El coeficiente de determinación ajustado

~2 Rajust . es alto por lo que existe una bondad

de ajuste bueno, es decir el modelo es confiable para realizar las predicciones hacia el futuro, recomendar que el modelo se puede usar en diferentes lugares para este tipo de evaluación sensorial de la naranja, tal como afirma Gutierrez, H. y De la Vara, R. (2004), para fines de predicción se recomienda el coeficiente de determinación ajustado al menos de 0.7 para que el modelo sea aceptable y confiable. Es importante indicar, si el modelo ajustado es confiable o no, para esto se realiza la validación del modelo ajustado y existen varias formas: i) la primera es realizar el ANOVA en la cual debe ser significativo F(Regresión), ii) Se prueba a través de la prueba de hipótesis, y iii) se calcula el intervalo confidencial (IC). f) Prueba de hipótesis para ( β 1 ). 1. Hipótesis Estadística:

H 0 : β1 = 0 H a : β1 ≠ 0

2. Elegir el nivel de significación: α = 0.05 3. Estadígrafo de Contraste, elegida para este caso, la prueba t-Student y cuya función pivotal.

t=

β$ 1 − β1 ~ t ( n−2) s. e(β$ ) 1

4. Establecer la Región de aceptación y rechazo. Se determina la región crítica de la prueba.

RA Ho : - 2.365 ≤ t c ≤ 2.365

α2

RR Ho : t c < -2.365 ó t c > 2.365

α2

1- α -2.365

0

t0.025,7 = 2.365

β1

RR/Ho:


Valor crítico

5. Valor experimental. Se obtiene reemplazando valores en la función pivotal.

tc =

β$ 1 − β 1 −0.046793872 − 0 = = −14.36865 , 0.003256664 s. e( β$ 1 ) s 2 = CME = MSE = 0.087698699

t

RR/Ho:

Análisis y Diseño de Experimentos - 17 V ( β$ 1 ) =

s2

∑X

2 i

−

d∑ X i

2

i

= n

0.087698699 = 0.000010605 8268.888889

s.e( β$ 1 ) = 0.003256664 6. Estadística de decisión: Si tc =14.37 > t0.025,7 =2.365, entonces cae en la región de rechazo, y se rechaza H0: y se acepta la Ha: 7. Conclusión. Se puede interpretar que β 1 es diferente de cero, es decir el modelo tiene pendiente positiva. g) Intervalo Confidencial (IC) para ( β 1 ).

Pr β$ 1 − t α ,( n −2 ) s. e.(β$ 1 ) ≤ β1 ≤ β$ 1 + t α ,( n − 2 ) s. e.(β$ 1 ) = 1 − α 2

2

Pr −0.046793872 − ( 2.365 )( 0.003256664 ) ≤ β 1 ≤ −0.046793872 + ( 2 .365 )( 0.00325666

Pr −0.054495883 ≤ β 1 ≤ −0.03909186 = 0.95 Se puede interpretar; de 100 muestras que se toma en el 95% el parámetro estimado β$ 1 estará comprendido entre el intervalo (-0.05449, -0.03909) y tan sólo el 5%

de las muestras estará fuera del intervalo o no contendrá en el intervalo. h) Estime la respuesta media E ( Yh ) . Con el ejemplo anterior, encuentre el intervalo confidencial para la respuesta media, cuando X = 35 ó X h = 35, entonces: i) Y$35 = β$ 0 + β$ 1 X h = 5.257958559 − 0.046793872( 35 ) = 3.61978769 .

LM MNn

OP PQ

LM N9

OP Q

2 2 ii) S 2 ( Y$35 ) = MSE 1 + ( X 352− X ) 2 = 0.087698699 1 + ( 35 − 47.89 ) = 0.011506486

∑ Xi − nX

S ( Y$35 ) = 0.10726829

. 8268888889

- 18 -


iii) Encuentre el Intervalo confidencial del 95% para la respuesta media E ( Yh ) , cuando Xh = 35 .

Pr Y$h − tα 2 ,n − 2 S ( Y$h ) ≤ E ( Y35 ) ≤ Y$h + tα 2 ,n − 2 S ( Y$h ) = 1 − α Pr 3.61978769 − ( 2.365 )( 0.10726829 ) ≤ E ( Y35 ) ≤ 3.61978769 + ( 2.365 )( 010726829 .

Pr 3.366098 ≤ E ( Y35 ) ≤ 3.877477 = 0.95

i) Intervalo Confidencial para observaciones futuras o individuales Yh ( New ) . Se desea calcular el intervalo confidencial del 95% cuando X h = 100 . i) Y$35 = β$ 0 + β$ 1 X h = 5.257958559 − 0.046793872( 100 ) = 0.57818597

LM MN

1 n

ii) S 2 ( Y$h( New ) ) = MSE 1 + +

OP PQ

LM N

( X h − X )2 1 (100 − 47.89 )2 = 0.087698699 1 + + 2 2 . 9 8268888889 ∑ Xi − nX

OP Q

= 0.12624271

S ( Y$h( New ) ) = 0.355306502 iii) El intervalo confidencial para la predicción futura

Yh ( New ) es:

Pr Y$h − tα 2 ,n −2 S ( Y$h( New ) ) ≤ Yh( New ) ≤ Y$h + tα 2 ,n− 2 S ( Y$h( New ) ) = 1 − α Pr 0.57818597 − ( 2.365 )( 0.355306502 ) ≤ Y100( New ) ≤ 0.57818597 + ( 2.365 )( 0.355306502

Pr −0.262113906 ≤ Y100( New ) ≤ 1.41848585 = 0.95


PROGRAMA EN SAS.

DATA AGROI; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT X Y; DATALINES; 0 13 25 35 50 61 68 86 93

5.50 4.25 4.00 3.75 3.40 2.25 1.75 1.25 1.00

; PROC PRINT; RUN; PROC REG; MODEL Y = X/XPX I COVB CLB CLI CLM P; RUN; /* CALCULA EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN PROC CORR; VAR X Y; RUN;

*/

- 20 -


SALIDA DEL SAS. The REG Procedure Model: MODEL1 Model Crossproducts X’X X’Y Y’Y Variable Intercept X Intercept 9 431 X 431 28909 Y 27.15 913.25

Variable Intercept X Y

X’X Inverse, Parameter Estimates, and SSE Intercept X Y 0.3884574039 -0.005791454 5.257573233 -0.005791454 0.0001209352 -0.046793873 5.257573233 -0.046793873 0.6138908895

Source Model Error Corrected Total Root MSE Dependent Mean Coeff Var

Variable Intercept X


Y 27.15 913.25 100.6225

DF 1 1

Analysis of Variance Sum of Mean Squares Square 18.10611 18.10611 0.61389 0.08770 18.72000 R-Square 0.9672 Adj R-Sq 0.9625

DF 1 7 8 0.29614 3.01667 9.81678 Parameter Estimate 5.25757 -0.04679

F Value 206.46

Parameter Estimates Standard Error t Value Pr > |t| 0.18457 28.49 <.0001 0.00326 -14.37 <.0001

Pr > F <.0001

95% Confidence Limits 4.82113 5.69402 -0.05449 -0.03909

Covariance of Estimates Intercept X 0.0340672087 -0.000507903 -0.000507903 0.0000106059

Output Statistics Dep Var Predicted Std Error Obs Y Value Mean Predict 95% CL Mean 1 5.5000 5.2576 0.1846 4.8211 5.6940 2 4.2500 4.6493 0.1505 4.2933 5.0052 3 4.0000 4.0877 0.1237 3.7952 4.3802 4 3.7500 3.6198 0.1073 3.3661 3.8734 5 3.4000 2.9179 0.0990 2.6839 3.1519 6 2.2500 2.4031 0.1076 2.1488 2.6575 7 1.7500 2.0756 0.1185 1.7955 2.3557 8 1.2500 1.2333 0.1586 0.8583 1.6083 9 1.0000 0.9057 0.1770 0.4872 1.3243 Sum of Residuals 0 Sum of Squared Residuals 0.61389 Predicted Residual SS (PRESS) 0.97864 The CORR Procedure Pearson Correlation Coefficients, N = 9 Prob > |r| under H0: Rho=0 X Y X 1.00000 -0.98347 <.0001 Y -0.98347 1.00000 <.0001

95% CL Predict 4.4324 6.0827 3.8637 5.4348 3.3288 4.8466 2.8750 4.3646 2.1796 3.6562 1.6581 3.1482 1.3214 2.8298 0.4390 2.0276 0.0899 1.7215

Residual 0.2424 -0.3993 -0.0877 0.1302 0.4821 -0.1531 -0.3256 0.0167 0.0943

Análisis y Diseño de Experimentos - 21 EJEMPLO: En la tabla siguiente se presenta información sobre el número de horas de estudio (X) para preparar un examen de matemáticas, y la calificación obtenida en dicho examen (Y). Nro. 1 X 1.0 Y 4

2 2.0 5

3 2.0 6

4 3.0 6

5 3.0 8

6 3.5 7

7 4.0 8

8 4.0 6

9 4.5 7

10 4.5 8

11 5.0 9

12 5.5 8

13 5.5 9

14 6.0 10

a) Trace el diagrama de dispersión, b) Obtener la ecuación normal, c) Calcule la ecuación de regresión de Y sobre X, d) Grafique en el diagrama de dispersión la ecuación estimada, e) Realice el ANVA, f) Pruebe la hipótesis para β1 ≠ 0 , g) Encuentre los intervalos confidenciales, h) Estime la respuesta media E(Yh), cuando X = 7 horas de estudio y el intervalo confidencial, i) Realice la predicción de una observación Y , para X = 8 hrs, y el encuentre el intervalo confidencial. h(new)

SOLUCIÓN:

∑X

i

= 535 . , ∑ Yi = 101, ∑ X iYi = 414.5, ∑ X i2 = 233.25, ∑ Yi 2 = 765

a) Diagrama de dispersión.

Calificación obtenida (Y)

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

Horas de estudio (X)

b) Obtener la ecuación normal.

14 β$ 0 + 535 . β$ 1 = 101 535 . β$ + 233.25β$ = 414.5 0

1

5

6

7

- 22 -


c) Calcule la ecuación de regresión. 13

β$ 1 =

∑ X Y − nX Y i i

i =1 13

∑X

2 i

=

b gb g = 28.53571429 = 0.990700558 28.80357143 233.25 − 14b g

414.5 − 14

− nX 2

53.5 14

101 14 53.5 2 14

i =1

β$ 0 = Y − β$ 1 X =

101 14

b g = 3.428394296

− 0.990700558

53.5 14

Entonces, el modelo de regresión estimado es:

$ = β$ + β$ X , reemplazando Y i 0 1 i

se tiene: Y$i = 3.428 + 0.9907 X i d) Obtener la gráfica de la ecuación de regresión estimada.

Calificación (Y)

Recta de regresión lineal ajustada Y$i = 3.428 + 0.9907 X i

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

Horas de estudio (X)

e) Análisis de varianza (ANOVA). Grados de libertad (G.L.) GLreg. = p - 1 = 2 - 1 = 1 GLerror = n - 2 = 14 - 2 = 12 GLtotal = n - 1 = 14 - 1 = 13 Sumas de Cuadrados (S.C. = S.S). n

SSRm = β$ 1 ∑ xi yi = β$ 1 i =1

d∑ X Y − ∑ X ∑ Y ni i i

i

i

6

7

Análisis y Diseño de Experimentos - 23 = 0.99070055(414.5-(53.5)(101)/14) = 28.27034806 n =14

SSTm =

n =14

( ∑ Yi )2

i =1

n

∑ Yi 2 −

i =1

= 765 −

1012 = 36.35714286 14

SSE = SSTm − SSRm = 36.35714286 − 28.27034806 = 8.086794798

Tabla de Análisis de Varianza. F. de V. G.L. S.S. Regresión 1 28.270348 Error 12 8.086795 Total 13 36.357143

R2 =

M.S. 28.27035 0.67390 2.79670330

Fc. 41.95

Signif **

28.270348 SSRm x100 = x100 = 77.76% 36.35714286 SSTm

MSE 0.673899566 ~2 Rajust x100 = 1x100 = 75.90% . = 1− MSTm 2.796703297

f) Prueba de hipótesis para ( β 1 ). 1. Hipótesis Estadística:

H 0 : β1 = 0 H a : β1 ≠ 0

2. Elegir el nivel de significación: α = 0.05 3. Estadígrafo de Contraste, elegida para este caso, la prueba t-Student y cuya función pivotal.

t=

β$ 1 − β1 ~ t ( n−2) s. e(β$ ) 1

4. Establecer la Región de decisión, determinando la región crítica de la prueba. RA H o : - 2.179 ≤ t c ≤ 2.179 RR Ho : t c < -2.179 ó t c > 2.179

α2

α2

1 - α

−2.179

0

t0.025,12 = 2179 .

β1

RR/Ho:

RR/Ho:


t

Valor crítico

5. Valor experimental. Se obtiene reemplazando valores en la función pivotal.

- 24 -


tc =

β$ 1 − β 1 0.990700558 − 0 = = 6.4769 , 015295878 . s. e( β$ 1 ) V ( β$ 1 ) =

s2

∑X

2 i

−

d∑ X i

2

i

. s2 = CME = MSE = 0673899566 =

n

0.673899566 = 0.023396 28.80357143

s.e( β$ 1 ) = 0152958 . 6. Estadística de decisión: Si tc = 6.48 > t0.025,12 =2.179, entonces cae en la región de rechazo, y se rechaza H0: y se acepta la Ha: 7. Conclusión. Se puede interpretar que β 1 es diferente de cero, es decir el modelo tiene pendiente positiva. g) INTERVALO CONFIDENCIAL (IC) PARA ( β 1 ).

Pr β$ 1 − t α ,( n −2 ) s. e.(β$ 1 ) ≤ β1 ≤ β$ 1 + t α ,( n −2 ) s. e.(β$ 1 ) = 1 − α 2

2

Pr 0 .9907 − ( 2 .179 )( 0 .152958 ) ≤ β 1 ≤ 0 .9907 + ( 2 .179 )( 0 .152958 ) = 0 .95

Pr 0.6574 ≤ β 1 ≤ 132399 . = 0.95

Se puede interpretar; de 100 muestras que se toma en el 95% el parámetro estimado β$ 1 estará comprendido entre el intervalo (0.657, 1.32) y tan sólo el 5% de las muestras

estará fuera del intervalo o no contendrá en el intervalo. h) Estime la respuesta media E ( Yh ) . Para el ejemplo anterior si el número de horas de estudio es X = 7, entonces:

Y$7 = β$ 0 + β$ 1 X h = 3.428 + 0.9907( 7 ) = 10.3629

LM MN

OP PQ

LM N

OP Q

. )2 1 ( X7 − X )2 1 ( 7 − 382 S2 ( Y$7 ) = MSE + . . = + = 02847293 06738996 n ∑ Xi2 − nX 2 . 14 2880357 S( Y$7 ) = 0.53360037

Para el ejemplo anterior determinar el IC del 95% para la respuesta media

Análisis y Diseño de Experimentos - 25 E ( Yh )

cuando X h = 7 . Pr 10.3629 − ( 2.179 )( 0.5336 ) ≤ E ( Y7 ) ≤ 10.3629 + ( 2.179 )( 0.5336 ) = 0.95

Pr 9.2 ≤ E ( Y7 ) ≤ 1153 . = 0.95

i) Predicción del Intervalo confidencial cuando el parámetro es desconocido

Yh ( New ) . ¿Será posible decir con una confianza del 95% de la calificación obtenida de 11 puntos; si el número de horas de estudio fuese 8?. Entonces X = 8.

Y$8 = β$ 0 + β$ 1 X h = 3.428 + 0.9907( 8 ) = 113536 .

LM MN

OP PQ

LM N

OP Q

. )2 1 ( X 7 − X )2 1 ( 8 − 382 S 2 ( Y$h( New ) ) = MSE 1 + + . = 0.6738996 1 + + = 11308 2 2 n ∑ X i − nX . 14 2880357 S ( Y$8( New ) ) = 1063403 .

Luego el intervalo confidencial del (1- α )x100% para la predicción futura Yh ( New ) es:

Pr Y$h − tα 2 ,n −2 S ( Y$h( New ) ) ≤ E ( Yh ) ≤ Y$h + tα 2 ,n − 2 S ( Y$h( New ) ) = 1 − α Para el ejemplo, determinar el IC del 95% para la observación futura. Pr 113536 . . ) ≤ Y8( New ) ≤ 11.3536 + ( 2.179 )( 10634 . ) = 0.95 − ( 2.179 )( 10634

Pr 9.0364 ≤ Y8( New ) ≤ 13.670755 = 0.95

- 26 -


PROGRAMA EN SAS.

DATA AGRO; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT X Y; DATALINES; 1.0 4 2.0 5 2.0 6 3.0 6 3.0 8 3.5 7 4.0 8 4.0 6 4.5 7 4.5 8 5.0 9 5.5 8 5.5 9 6.0 10 ; PROC PRINT; RUN; PROC REG; MODEL Y = X/XPX I COVB CLB CLI CLM P; RUN; /* CALCULA EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN PROC CORR; VAR X Y; RUN;

*/

Análisis y Diseño de Experimentos - 27 SALIDA DEL SAS. Model Crossproducts X’X X’Y Y’Y Intercept X 14 53.5 53.5 233.25 101 414.5



X’X Inverse, Parameter Estimates, and SSE Intercept X Y 0.5784252945 -0.13267204 3.4283942963 -0.13267204 0.0347179169 0.990700558 3.4283942963 0.990700558 8.0867947923




Obs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Y 101 414.5 765

DF 1 1

Analysis of Variance Sum of Mean DF Squares Square F Value Pr > F 1 28.27035 28.27035 41.95 <.0001 12 8.08679 0.67390 13 36.35714 0.82091 R-Square 0.7776 7.21429 Adj R-Sq 0.7590 11.37900 Parameter Estimates Parameter Standard Estimate Error t Value Pr > |t| 95% Confidence Limits 3.42839 0.62434 5.49 0.0001 2.06807 4.78871 0.99070 0.15296 6.48 <.0001 0.65743 1.32397

Covariance of Estimates Intercept X 0.3898005549 -0.08940763 -0.08940763 0.0233963891 Output Statistics Dep Var Predicted Std Error Y Value Mean Predict 95% CL Mean 4.0000 4.4191 0.4841 3.3643 5.4739 5.0000 5.4098 0.3546 4.6371 6.1824 6.0000 5.4098 0.3546 4.6371 6.1824 6.0000 6.4005 0.2528 5.8496 6.9514 8.0000 6.4005 0.2528 5.8496 6.9514 7.0000 6.8958 0.2248 6.4060 7.3857 8.0000 7.3912 0.2211 6.9095 7.8729 6.0000 7.3912 0.2211 6.9095 7.8729 7.0000 7.8865 0.2427 7.3577 8.4154 8.0000 7.8865 0.2427 7.3577 8.4154 9.0000 8.3819 0.2840 7.7632 9.0006 8.0000 8.8772 0.3377 8.1414 9.6131 9.0000 8.8772 0.3377 8.1414 9.6131 10.0000 9.3726 0.3990 8.5033 10.2419

Sum of Residuals Sum of Squared Residuals Predicted Residual SS (PRESS)

0 8.08679 10.46913

95% CL Predict 2.3426 6.4956 3.4614 7.3582 3.4614 7.3582 4.5290 8.2720 4.5290 8.2720 5.0414 8.7503 5.5388 9.2435 5.5388 9.2435 6.0214 9.7517 6.0214 9.7517 6.4893 10.2745 6.9432 10.8113 6.9432 10.8113 7.3839 11.3613

Residual -0.4191 -0.4098 0.5902 -0.4005 1.5995 0.1042 0.6088 -1.3912 -0.8865 0.1135 0.6181 -0.8772 0.1228 0.6274

- 28 -


1.2. CORRELACIÓN. Coeficiente de correlación de Pearson. La correlación viene del latín cum: con y relatus: relacionado, la correlación lineal permite medir si hay asociación entre dos variables o medir la intensidad de dicha asociación. Para ello es importante que la muestra bivariado sea tomada al azar, tanto para la variable X como para la variable Y. El coeficiente de correlación de Pearson, se ajusta al tipo de información cuantitativa, esto con la finalidad de detectar y medir la asociación entre variables o de razón. Los valores del coeficiente de correlación oscilan entre +1 y -1, y se explica de la siguiente manera: a) El valor de r = +1, indica una correlación positiva perfecta o correlación directa, cuando al aumentar ó disminuir el valor de la variable independiente, aumenta ó disminuye también el valor de la variable dependiente (pendiente positiva). b) El valor de r = -1, expresa una correlación inversa o relación negativa perfecta: cuando al aumentar ó disminuir el valor de la variable independiente, disminuye ó aumenta el valor de la variable dependiente (pendiente negativa). c) El valor de r = 0, indica la ausencia absoluta de correlación, es decir las dos variables no están correlacionadas o relacionadas. El coeficiente de correlación está definido por. n

rxy =

∑ X Y − nXY i i

LM∑ X N

i =1

n

i =1

2 i

− nX 2

OP LM∑ Y QN n

i =1

i

2

− nY 2

OP Q

Los rangos que del coeficiente de correlación, se pueden interpretarse haciendo uso de las siguientes expresiones: r = 0.2 a r = 0.3

coeficiente de correlación muy bajo.

r = 0.4 a r = 0.5

coeficiente de correlación bajo.

r = 0.6 a r = 0.7

coeficiente de correlación alto.

r = 0.8 a r = 1.0

coeficiente de correlación muy alto.

Análisis y Diseño de Experimentos - 29 Prueba de hipótesis para la correlación. 1. Hipótesis Estadística:

H 0: ρ = 0 Ha: ρ ≠ 0

ó H0 : ρ = ρ 0

Ha : ρ ≠ ρ 0

(ausencia de correlación entre las variables) (existencia de correlación entre las variables en forma directa). 2. Elegir el nivel de significación: α , ( α =0.01, α = 0.05, α = 0.10). 3. Estadígrafo de Contraste.

t=

r -ρ r n -2 , = Sr 1- r 2

1- r 2 n-2

Sr =

4. Establecer la Región de decisión, determinando la región crítica de la prueba.

RA H o : - t α 2 ,( n − 2 ) ≤ t c ≤ t α 2,(n-2)

RR H o : t c < -t α 2,(n-2) ó t c > t α 2,(n-2) 5. Si tc pertenece a RA H 0 : , aceptamos H0: y rechazamos la Ha: Si tc pertenece a RR H 0 : , rechazamos H0: y aceptamos Ha: 6. Conclusión. Realizar la interpretación en base al paso 4) y concluir de acuerdo al tenor del problema. Fisher sugiere la transformación de r en z, como sigue: Z r =

1 1+ r , donde ln 2 1− r

ln es el logaritmo natural. Es posible demostrar que Z , sigue una distribución aproxi-

FG H

IJ K

r

1 1+ ρ madamente normal, con: E ( Z r ) = µ = Zρ = ln , 2 1− ρ

V(Z r ) =

1 n−3

Para probar la hipótesis nula (Ho:) que indica que ρ es igual a un valor diferente de cero, la estadística de prueba es: Z c =

Z r − Zρ 1

n−3

que sigue una distribución aproxi-

madamente normal con N(0,1). En algunas situaciones, los datos disponibles para el análisis no cumplen con las suposiciones necesarias para el uso de los procedimientos estudiados. La prueba de hipótesis respecto al coeficiente de correlación de la población. En tales circunstancias es conveniente utilizar la técnica de correlación de rango de Spearman.

- 30 -


INTERVALO DE CONFIANZA PARA ρ Para encontrar el intervalo de confidencial, se utiliza la transformación de Fisher del (1- α )x100, para ρ . Este procedimiento se calcula con la siguiente fórmula para el intervalo de confianza:

Pr tanh( Z r − E 0 ) ≤ ρ ≤ tanh( Z r + E 0 ) = 1 − α Donde:

FG IJ H K

1 1+ r Z r = ln , 2 1− r tanh( x) =

E0 =

eX − e− X , eX + e−X

Zα 2 n−3

tanh: Tangente hiperbólica

COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN: R2 ó r2 El coeficiente de determinación, R2, es el valor cuadrado del coeficiente r de Pearson, y representa la proporción de la varianza explicada por una variable respecto a la varianza total, también se conoce con el nombre de determinación porque se considera como la medida del grado de influencia de una variable frente a la otra variable. El coeficiente de determinación mide la proporción de la variación que se explica por la variable independiente en el modelo de regresión, y está definido por:

R2 = r2 =

Varianza Explicada SSRm x100 = x100 SSTm Varianza Total

El valor complementario del coeficiente de determinación, 1-R2, recibe el nombre de coeficiente de no determinación ó coeficiente de alineación, que indica la varianza de una variable no explicada por otra.

~2 ) COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN AJUSTADO ( R El coeficiente de determinación ajustado, se puede expresar con las siguientes fórmulas:

MSE ~ R2 = 1− MSTm

Análisis y Diseño de Experimentos - 31 EJEMPLO: Calcular el coeficiente de correlación de Pearson «r» y coeficiente de determinación R2 del ejemplo 1, que corresponde a los datos para el análisis sensorial de la naranza Wasgington Navel «hipobárico» en su apariencia general externa. X= Tiempo (días) e Y= Apariencia general externa (puntaje) El coeficiente de correlación queda definido por. rxy =

∑ X Y −( ∑ X )( ∑Y ) n − ( ∑ X ) n ∑Y −( ∑Y ) i i

∑X

2 i

i

=

i

2

i

2

i

2

i

n

91325 . − ( 431)( 2715 . )9 ( 28909 − ( 431)2 9 )(1006225 . . )2 9 ) −( 2715

. = −0983

Se ha encontrado una correlación negativa y alta, es decir existe una directa asociación entre la variable sobre el tiempo en días y la apariencia general externa en forma inversa. Calculamos el Coeficiente de Determinación R2.

R2 =

18.106109 SSRm x100 = 96.72% x100 = 18.72 SSTm

El 96.72% de la variación de la apareiencia general externa (puntajes) está explicado por la variación del tiempo (días), y 3.28% está explicado por otros factores externos o lo que no se puede controlar en el modelo. Calculamos el Coeficiente de Determinación Ajustada: MSE 0.087698699 ~2 Rajust x100 = 1x100 = 96.25% . = 1− MSTm 2.34

El 96.25% indica que el modelo tiene buen ajuste y es confiable para realizar las predicciones futuras, asimismo se puede recomendar el uso de este modelo para los estudios en otros lugares.

Análisis gráfico de Residuos. Como complemento a lo que se ha desarrollado hasta el momento, un análisis adecuado de los residuos da información adicional sobre la calidad del ajuste del modelo de regresión y de esta forma verificar si el modelo es adecuado. Las gráficas que se hacen para completar el diagnóstico del modelo son: graficar los residuos en papel de probabilidad normal, graficar los residuos contra los predichos, los residuos contra cada variable regresora y contra alguna otra variable importante que no haya sido incluido en el modelo. A continuación presentamos la gráfica de residuos con-

- 32 -


tra predicios ( ε i vs Y$i ) . Si el modelo es adecuado, se espera que en esta gráfica los puntos no sigan ningún patrón, y que por tanto estén distribuidos más o menos aleatoriamente a lo largo y ancho de la gráfica. Cuando esto ocurre significa que el modelo se ajusta de igual manera a lo largo de los valores de Y, si esto no ocurre habrá que ver cuál es el tipo de patrón que se observa en la gráfica y diagnosticar cuál es la falla que registra el modelo. La gráfica que se muestra en seguida no muestra ninguna anomalía, por lo que esto es una evidencia más en favor del modelo de regresión lineal simple para nuestro ejemplo.

Probar la hipótesis para 1. Hipótesis Estadística:

ρ≠0 H 0: ρ = 0 H a: ρ ≠ 0

(ausencia de correlación entre las variables) (existencia de correlación entre las variables en forma directa).

Análisis y Diseño de Experimentos - 33 2. Elegir el nivel de significación: 3. Estadígrafo de Contraste: t =

α = 0.05

r n-2 1- r 2

~ t n−2 ,

4. Establecer la Región de rechazo y aceptación.

RA Ho : - 2.365 ≤ t c ≤ 2.365 RR Ho : t c < -2.365 ó t c > 2.365 5. Cálculo del valor experimental.

t=

r n-2 1- r

2

=

−0.98347 7 1- (-0.98347) 2

= −14.36865

6. Decisión: Como tc =14.37 > t0.025,7 =2.365, entonces cae en la región de rechazo, aceptándose la Ha: y se rechaza la H0:. 7. Conclusión: Existe suficiente evidencia para afirmar que ρ ≠ 0 , es decir que la correlación es diferente de cero. Esto corrobora a los resultados de la correlación encontrada. Calcular el intervalo confidencial para ρ . Para encontrar el Intervalo Confidencial, se utiliza la transformación de Fisher del (1- α )x100 para ρ . Cuya fórmula es el siguiente:

Pr tanh( Zr − E0 ) ≤ ρ ≤ tanh( Zr + E0 ) = 1 − α Calcular el Intervalo Confidencial al 95% de confianza para ρ con la información del ejmplo 1.

FG H

IJ K

1 1 + ( −0.98347 ) Zr = ln = −2.3937 , 2 1 − ( −0.98347 )

E0 =

Zα 2 n−3

=

. 196 = 0.80 6

- 34 -


Reemplazando al Intervalo se obtiene el límite inferior del intervalo y límite superior del intervalo:

Pr tanh( −2.3937 − 0.8 ) ≤ ρ ≤ tanh( −2.3937 + 0.8 = 0.95

Pr tanh( −31937 . ) ≤ ρ ≤ tanh( −15937 . ) = 0.95 tanh( −31937 . )=

e −3.1937 − e 3.1937 −24.33744 = = −0.9966 e −3.1937 + e 3.1937 24.41948

tanh( −15937 . )=

e −1.5937 − e1.5937 −4.71875 = = −0.9207 −1.5937 1.5937 e 51250989 . +e

Pr -0.9966 ≤ ρ ≤ −0.9207 = 0.95 Otra forma: Se puede encontrar usando tablas preparadas para la transformación de r a Z; los valores aparecen en el cuerpo de la tabla para valores correspondientes de r, los coeficientes de correlación están en los márgenes. Ubicar en el cuerpo de la tabla el valor 3.1937 para el límite inferior del intervalo, esto es 0.99 que debe ser cambiado con signo menos, es decir -0.99. En forma similar para el límite superior del intervalo ubicar en el cuerpo de la tabla el valor 1.5937 que corresponde a 0.92 que debe ser cambiado de signo a -0.92. EJEMPLO 4. Calcular el coeficiente de correlación de Pearson «r» y coeficiente de determinación R2 para el ejemplo 2 que corresponde a la información sobre el número de horas de estudio (X) para preparar un examen de matemáticas, y la calificación obtenida en dicho examen (Y). El coeficiente de correlación queda definido por. rxy =

∑XY −(∑X )(∑Y ) n ∑X −(∑X ) n ∑Y −(∑Y ) i i

2 i

i

i

=

i

2

2

i

2

i

n

4145 . −(535 . )(101) 14 ( 23325 . −(535 . )2 14)(765−(101)2 14)

= 08818 .

Se ha encontrado una correlación positiva y alta, es decir existe una directa asociación entre la variable sobre el número de horas de estudio para preparar un examen y la calificación obtenida en el examen. Calculamos el Coeficiente de Determinación R2.

R2 =

28.270348 SSRm x100 = x100 = 77.76% 36.35714286 SSTm

Análisis y Diseño de Experimentos - 35 Se puede interpretar que el modelo tiene buen ajuste. El 77.76% de la variación en la calificación obtenida (puntos) está explicado por la variación del número de horas de estudio para preparar un examen de matemáticas, y 22.24% está explicado por otros factores ajenos al modelo. Calculamos el Coeficiente de Determinación Ajustada: MSE 0.673899566 ~2 Rajust x100 = 1x100 = 75.90% . = 1− MSTm 2.796703297

Probar la hipótesis para 1. Hipótesis Estadística:

ρ≠0 H 0: ρ = 0 Ha: ρ ≠ 0

(ausencia de correlación entre las variables) (existencia de correlación entre las variables en forma directa). 2. Elegir el nivel de significación: 3. Estadígrafo de Contraste: t =

α = 0.05

r n-2

,

1- r 2

4. Establecer la Región de rechazo y aceptación.

RA Ho : - 2.179 ≤ t c ≤ 2.179 RR Ho : t c < -2.179 ó t c > 2.179 5. Cálculo del valor experimental.

0.95 -2.179

RR/Ho:

r n-2 1- r

2

=

08818 . 12 1-0.88182

0

ρ

2.179

t RR/Ho:


t=

0.05 2

0.05 2

Valor crítico

. = 647688

6. Decisión: Como tc =6.477 > t0.025,12 =2.179, cae en la región de rechazo, entonces se acepta la Ha: y se rechaza la H0:. 7. Conclusión: Se puede concluir que existe diferencia significativa entre la variable horas de estudio para preparar el examen y la calificación obtenida en el examen.

- 36 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno Calcular el intervalo confidencial para ρ .

Zr =

FG H

IJ K

1 1 + 0.8818 = 13838 ln . , 2 1 − 0.8818

E0 =

Zα 2 n−3

=

196 . = 0.59096 11

Pr tanh( Zr − E0 ) ≤ ρ ≤ tanh( Zr + E0 ) = 1 − α Pr tanh ( 1.3838 − 0 .59096 ) ≤ ρ ≤ tanh ( 1.3838 + 0 .59096 ) = 0 .95

P r tanh ( 0 .79284 ) ≤ ρ ≤ tanh ( 1.97476 ) = 0 .95 e 0.79284 − e −0.79284 1757105 . tanh( 0.79284 ) = 0.79284 = = 0.660 −0 .79284 e +e 2.66222067

tanh( 197476 . )=

e1.97476 − e −1.97476 7.0660956 = = 0.9622 −1.97476 1.97476 e 7.34368489 +e

Pr 0.660 ≤ ρ ≤ 0.9622 = 0.95 EJERCICIOS: Para cada uno de los siguientes ejercicios: a) Fijar el modelo de regresión lineal simple, b) Graficar el diagrama de dispersión, c) Estimar la ecuación de regresión, d) graficar la ecuación estimada, calcule los errores, y grafique e) Realice el ANOVA, ~2 R2, Rajust . f) Probar la hipótesis b1 ≠ 0 , g) Calcule los intervalos confidenciales para

bi , h) Encontrar el intervalo confidencial para la respuesta media E(Y ), i) Calcule h el intervalo confidencial para la predicción u observación futura Y , j) Calcule el h(new)

coeficiente de correlación de Pearson «r», k) Pruebe la hipótesis para

ρ ≠ 0 al nivel

de significación de 0.05, l) Construya el intervalo de confianza del 95% para ρ e interpretar en cada uno de las preguntas anteriores. 1.- Considere los datos de la tabla siguiente, en donde X = Gastos semanales de publicidad, y Y = Ventas semanales. Pronostique las ventas para un gasto de publicidad de $50 dólares. Y ($) 1250 X ($) 41

1380 54

1425 63

1425 54

1450 48

1300 46

1400 62

1510 61

1575 64

1650 71

Análisis y Diseño de Experimentos - 37 2.- En la tabla siguiente se muestran los tiempos requeridos de atención a clientes en las cajas de un supermercado y los valores de las compras. Dé un punto e intervalo de estimación de 99% para Y si X = 3.0. Tiempo requerido de atención (en minutos) Valor de las compras (en $)

3.6 30.6

4.1 30.5

0.8 2.4

5.7 42.2

3.4 21.8

1.8 6.2

4.3 40.1

0.2 2

2.6 15.5

3.- Andrew Vazsony es el gerente de la cadena de supermercado Spendwise. A él le gustaría poder pronosticar las venas de libros en rústica (libros por semana), con base en la cantidad de espacio disponible en los estantes (en pies). Andrew reúne datos para una muestra de 11 semanas. Semana N° de libros vendidos Y Pies de espacio en estante X

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 275 142 168 197 215 188 241 295 125 266 200 6.8 3.3 4.1 4.2 4.8 3.9 4.9 7.7 3.1 5.9 5

4.- En la siguiente tabla se presenta información de una empresa de órdenes por correo, para las 12 ciudades. Pronostique las órdenes por correo recibidas cuando se distribuyen 10000 catálogos. Ciudad N° órdenes recibidas por correo, Y (en miles) N° de catálogos distribuidos, X (miles)

A 24

B 16

C 23

D 15

E 32

F 25

G 18

H 18

I 35

J 34

K 15

L 32

6

2

5

1

10

7

15

3

11

13

2

12

5.- En una regresión de inversiones sobre la tasa de interés, se observaron los resultados que se muetran en la tabla siguiente, para un período de 10 años. ¿Podemos pronosticar la inversión anual si la tasa de interés dentro de 5 años es del 4%? Inversión anual (miles de dólares) Tasa promedio de interés (%)

1060 940 920 1110 1590 2050 2070 2030 1780 142 4.8 5.1 5.9 5.1 4.8 3.8 3.7 4.5 4.9 6.2

6.- Los siguientes datos muestran la densidad óptica de cierta substancia en diferentes niveles de concentraicón. Nivel de concentración (X) 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 480 Densidad óptica (Y) 0.08 0.12 0.18 0.21 0.28 0.28 0.38 0.40 0.42 0.50 0.52

7.- Se recolectaron los siguientes datos a partir de un estudio de la relación entre la inteligencia y el número de hijos por familia. N° de niños en la familia Inteligencia de todos los niños de la familia

1 2 3 4 5 6 7 105 102 104 100 97 101 95

8 93

9 97

- 38 -


8.- Las siguientes mediciones se efectuaron en 20 áreas geográficas. La variable X es la medición combinada de contaminación del aire y agua en la zona, y Y es la medición del estado de salud de los residentes del área. Entre mayor sea el valor de X, hay mayor contaminación y entre mayor sea el valor de Y, la salud es más precaria. X Y X Y

73 90 67 76

52 74 73 82

68 91 71 93

47 62 57 73

60 63 86 82

71 78 76 88

67 60 91 97

80 89 69 80

86 82 87 87

91 105 77 95

9. Los siguientes valores representan 15 lecturas que indican el volumen del tráfico y la concentración de monóxido de carbono tomados en un laboratorio para determinar la calidad del aire de cierta ciudad. Volumen del tráfico (autos/hora) "X" 100 110 125 150 175 190 200 225 250 275 300 325 350 375 400 CO(PPM) (Y) 8.8 9.0 9.5 10.0 10.5 10.5 10.5 10.6 11.0 12.1 12.1 12.5 13.0 13.2 14.5

10. Se espera que, por lo general, el número de horas de estudio (X) en la preparación de un examen tenga una correlación directa (positiva) con la calificación (Y) alcanzada en tal examen. En la tabla siguiente se presentan las horas de estudio así como las calificaciones obtenidas por diez estudiantes seleccionados al azar de un grupo. Estudiante 1 Horas de estudio (X) 10 Calificación en el examen (Y) 51

2 6 36

3 15 67

4 11 63

5 7 44

6 19 89

7 17 80

8 3 26

9 13 50

10 TOTAL 17 118 85 591

11. Los datos muestran el aumento en la rapidez de lectura (Y), y el número de semanas que se asistió a un curso para mejorarla (X), para ocho estudiantes: X Y

3 80

5 110

2 50

8 190

6 160

9 230

3 70

4 110

12. Las calificaciones de un grupo de estudiantes en su reporte de medio años (X) y en los exámenes finales (Y) fueron los siguientes: X Y

77 82.00

50 66.00

71 78.00

72 34.00

81 47.00

94 85.00

96 99.00

99 99.00

67 68.00

13. A un grupo de 20 estudiantes de un curso de computación para principiantes se les aplicó una prueba de aptitud computacional con un puntaje X, y otra de aprovechamiento final con un puntaje Y (medida como un examen de conocimiento).

Análisis y Diseño de Experimentos - 39 Los resultados fueron los siguientes: X Y

4 19

16 19

20 24

13 36

22 27

21 26

15 25

20 28

19 17

16 27

18 21

17 24

8 18

6 18

5 14

20 28

18 21

11 22

19 20

14 21

14. Los datos siguientes hacen referencia al número de horas invertidas para preparar un examen (X) y la calificación recibida en este último (Y) (esta última expresa en decenas). X Y

2 5

3 5

3 7

4 5

4 7

5 7

5 8

6 6

6 9

6 8

7 7

7 7 8 8 9 10 8 9

15. Se preguntó a 10 estudiantes de una muestra la distancia recorrida y el tiempo que utilizaron para llegar a la Universidad el día anterior. Los datos reunidos se tienen en la tabla siguiente: Re c o rrid o (X ) T ie mp o (Y)

1 5

3 10

5 15

5 20

7 15

7 25

8 20

10 25

10 35

12 35

16. Se obtuvieron los siguientes datos para determinar la relación entre cantidad de fertilizante y producción de papa por hectárea. Sacos de fertilizante por hectárea Rendimiento en quintales

3 45

4 48

5 52

6 55

7 60

8 65

9 68

10 70

11 74

12 76

17. Un comerciante minorista encargó un estudio para determinar la relación entre los gastos de publicidad semanal por radio y las ventas de sus productos. En la quinta semana por diversos motivos no se pudo hacer el estudio. En el estudio se obtuvieron los siguientes resultados: Semana Gastos de publicidad ($) Ventas ($)

2 3 4 30 20 40 300 250 400

5 30 --

6 7 8 9 10 11 50 70 60 80 70 80 550 750 630 930 700 840

- 40 -


1.3. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE (RLM) Muchos problemas de regresión involucran más de una variable regresiva. Tales modelos de regresión se denominan regresión múltiple. La regresión múltiple es una de las técnicas estadísticas más ampliamente utilizadas en la actualidad. En esta oportunidad se presenta las técnicas básicas de la estimación de parámetros conocido como el Métodos de los Mínimos Cuadrados, además se realizará la estimación del intervalo de confianza y de la verificación de la suficiencia del modelo para la regresión múltiple. Se presentará también algunos de los problemas encontrados con frecuencia en el uso práctico de la regresión múltiple, incluyendo la construcción del modelo y la selección de variables y la dependencia casi lineal entre los regresores. El modelo de regresión que involucra más de una variable regresora se llama modelo de regresión múltiple; como un ejemplo, supóngase Y la variabledependiente, X1 y X2 son las variables independientes. Un modelo de regresión múltiple que podría describir esta relación es:

Y = β 0 + β1 X 1 + β 2 X 2 + ε Donde: Y = Representa la variable dependiente. X1 y X2 = Son las variables independiente o regresoras.

β 0 ,β1 ,β 2 = Son los parámetros desconocidos que será estimado. ε = Es el error residual o perturbación.

El parámetro β 0 define la ordenada al origen del plano. Algunas veces llamamos a β1 y β 2 coeficientes de regresión parciales, porque β 1 mide el cambio esperado en Y por cambio unitario en X1 cuando X2 se mantiene constante, y β 2 mide el cambio esperado en Y por cambio unitario en X2 cuando X1 se mantiene constante. En general, sea X 1 , X 2 ,L , X k variables independientes o regresoras, ya sea Y una variable de respuesta, entonces el modelo de regresión lineal múltiple con «k» variables independientes es el polinomio de primer orden:

Yi = β 0 + β 1 X i 1 + β 2 X i 2 + L + β k X ik + ε i ; ó Y = X β

Análisis y Diseño de Experimentos - 41 Se denomina modelo de regresión lineal múltiple con k-variables independientes. Los parámetros β j , j = 0,1,K , k , se llaman coeficientes de regresión. Este modelo describe un hiperplano en el espacio k-dimensional de las variables regresoras Xi. El término lineal del modelo de regresión se emplea debido a que la ecuación anterior es función lineal de los parámetros desconocidos β 0 , β 1 ,K , β k . La interpretación de éstos es muy similar a lo ya explicado para el caso de regresión lineal simple: β 0 es la ordenada al origen, y β j mide el cambio esperado en Y por cambio unitario de Xj cuando el resto de las variables regresoras se mantienen fijas o constantes. Estimación de los parámetros del modelo. Para estimar los parámetros de la regresión lineal múltiple se necesita contar con «n» datos (n>k). El método de Mínimos Cuadrados puede utilizarse para estimar los coeficientes de regresión. Supóngase que se dispone n>k observaciones, y déjese que Xij denote la observación iésima o el nivel de la variable Xj. En términos de los datos, el modelo de regresión lineal múltiple puede escribirse de la siguiente manera:

Yi = β 0 + β1 X i1 + β 2 X i 2 + L + β k X ik + ε i k

= β 0 + ∑ β j X ij + ε i

i = 1,2 ,...., N

j =1

Para estimar por el método de mínimos cuadrados, se despeja el error. k

ε i = Yi − β 0 − ∑ β j X ij , elevamos al cuadrado ambos miembros se tiene: j =1

k

ε i2 = (Yi − β 0 − ∑ β j X ij ) 2 aplicamos la sumatoria a ambos miembros: j =1

k

∑i =1 ε i2 = ∑i =1 (Yi − β 0 − ∑ β j X ij ) 2 a partir de esto, se realiza la derivada n

n

j =1

parcial con respecto a los parámetros del modelo para encontrar las ecuaciones normales.

- 42 -


∂

e∑ ε j n

i =1

2 i

∂β 0

k

= 2∑i =1 (Yi − β 0 − ∑ β j X ij )(-1) = 0 n

j =1

β$ 0 ,β$ 1 ,L,β$ k

n

n

n

n

i =1

i =1

i =1

i =1

nβ$ 0 + β$ 1 ∑ X i1 + β$ 2 ∑ X i 2 +L+β$ k ∑ X ik = ∑ Yi

.................. (1)

y

∂

e∑ ε j n 2 i =1 i

∂β j

k

, ,3,..., k .....(2) = 2∑i =1 (Yi − β 0 − ∑ β j Xij )(-Xij ) = 0; j = 12 n

j =1

β$ 0 ,β$ 1 ,L,β$ k

Al simplificar la ecuación (1) y (2), obtenemos las ecuaciones normales de mínimos cuadrados: nβ$ 0

+

n

β$ 0∑Xi1 + i=1

M

M

n

n

+

β$1∑Xi21

+ β$ 2∑Xi1Xi2 + L + β$ k ∑Xi1Xik =

i=1 n

i=1

M

β$ 2∑Xi2

+ L +

i=1 n

M

i=1

M

i=1

i=1

β$ k ∑Xik

=

i=1 n

M M M

M M M M M M M M n n n $β X + β$ X X + β$ X X + L + 0∑ ik 1∑ i1 ik 2 ∑ i2 ik i=1

n

β$1∑Xi1

i=1

M

M

M n $β X2 k ∑ ik

M

i=1

=

n

∑Y i

i=1 n

∑X Y i1 i

i=1

n

M

(3)

M

∑X Y ik i

i=1

Nótese que hay p = k+1 ecuaciones normales, una para cada uno de los coeficientes de regresión desconocidos. La solución para las ecuaciones normales serán los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios de los coeficientes de regresión, β$ 0 , β$ 1 ,K , β$ k .

Ilustar el procedimiento de estimación por mínimos cuadrados es más sencillo si se utiliza la notación matricial. Daremos ahora un desarrollo matricial de las ecuaciones normales que es similar al desarrollo de la ecuación anterior. El modelo en términos de las observaciones, se puede escribir en notación matricial o llamada también forma compacta como: Y = Xβ + ε Si asignamos a X i 0 = 1 , entonces extendiendo en forma general para kvariables X tenemos:


LMY OP Y Y=M P MM M PP NY Q

LM X X X =M MM M NX

10

1

20

1

N Nx1

N0

LMβ OP β β=M P MM M PP Nβ Q

OP PP PQ

0

LM ε OP ε ε=M P MM M PP Nε Q

OP PP PQ

N( k+1)

1

1

k

LM MM MN

X11 X12 L X1k 1 X11 X12 L X1k X21 X22 L X2k 1 X21 X22 L X2k = M M M M M M M XN1 XN2 L XNk 1 XN1 XN2 L XNk

y ( k +1 ) x 1

2

N

, además se sabe que: Y = Xβ + ε Nx 1

Propiedades: a) E( ε ) = 0, E( Y ) = Xβ, Y = E( Y ) + ε , ⇒ ε = Y − E( Y ) b) Var ( ε ) = E ε − E ( ε ) ε − E ( ε ) ' = E ( εε' ) = σ 2 I N c)

Cov( ei , e j ) = 0, ∀i ≠ j

Estimación de los parámetros ( β 0 , β 1 ,L , β k )(Forma matricial). Para estimar el parámetro β , utilizamos el método de los mínimos cuadrados, es decir se debe minimizar el error de la siguiente forma: N

∑ε

2 i

=ε' ε = Y − E ( Y ) ' Y − E ( Y )

i =1

= ( Y − Xβ )' ( Y − Xβ ) = ( Y' −β' X ' )( Y − Xβ ) = ( Y' Y −

Y' Xβ 123

− β' X ' Y + β' X ' Xβ

( Y ' Xβ )' = β' X ' Y

= ( Y' Y − β' X ' Y − β' X ' Y + β' X ' Xβ = Y' Y − 2β' X ' Y + β' X ' Xβ

- 44 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno NOTA: Por propiedad se sabe que: a) ∂( a' X ) = a , ⇒ ∂X

∂( X ' Y )' β = X' Y ∂β

b) ∂( X ' AX ) = 2 AX , ⇒ ∂X

∂( β' X ' X β ) = 2 X ' Xβ ∂β

Simplificando se tiene que X ' Xβ$ = X ' Y , que son las ecuaciones normales de mínimos cuadrados. Para resolver las ecuaciones normales, multiplíquense ambos lados de la ecuación X ' Xβ$ = X ' Y por la inversa de X'X. De tal modo, el estimador de mínimos cuadrados de β es:

( X ' X )−1 X ' Xβ$ = ( X ' X )−1 X ' Y , ⇒ β$ = ( X ' X )−1 X ' Y Es fácil ver que la forma matricial de las ecuaciones normales es idéntica a la forma escalar. Al escribir completa la ecuación X ' Xβ$ = X ' Y obtenemos:

LM n MM MM∑ X MM M MN∑ X

n

∑ X i1 i =1 n

n

i1

i =1

i =1

n

i =1

∑X n

ik

∑ Xi2

2 i1

M

L

i =1

n

∑ Xi1 Xik i =1

n

∑X i =1 n

i1

Xi 2 L

M

∑ Xi 2 Xik L i =1

n

∑X i =1

i =1

i1

X ik

M n

∑ Xik2 i =1

i

0

n

∑X

OP L YO $β O M ∑ P L PP M $ P M PP M β X Y PP MM M PP = M∑ P PP MMNβ$ PPQ MM M PP MM∑ X Y PP PQ Q N n

ik

i =1

n

1

i1 i

i =1 n

k

ik i

i =1

Cuando X ' X es de rango completo, la solución de X ' Xβ$ = X ' Y para β$ puede $ ( X' X )−1 X' Y . Por otro lado si ( X ' X )−1 no existe, entonces la solución ser escrito como β=

de X ' Xβ$ = X ' Y puede ser escrito en términos de una inversa generalizada de X ' X . Este es el caso de modelo de rango no completo. Por la naturaleza de X mostrada anteriormente la matriz X ' X es cuadrada de orden (k+1), con los elementos que son suma de cuadrados y productos, como se presenta a continuación:


LM ∑X MM X X X' X = M∑ MM M MM∑X X N n

2 i0

n

i =1

i0

n

∑X

i0

i =1

i=1

ik

i =1 n

n

∑X

2 i1

i =1

i0

i0

∑X

i1

n

n

∑X

Xi1

i =1

i1

i=1

M

n

∑X

i1

n

i2

i=1

i0

LM∑X Y OP L MM PP MM Y X' Y = M∑ X Y P = M∑ X Y MM M PP MM MM∑X Y PP MMN∑X Y N Q n

Xik

i =1 n

Xi2 L

i1

ik

i =1

M

∑X

Xik

OP PP X X ∑ PP, M P ∑ X PPQ n

∑X

Xi 2 L

i=1 n

y

i1 i

i =1

i =1 n

n

2 ik

i =1

•

n

i1 i

n

Xik L

i0 i

ik i

ik i

i =1

i =1

i =1

Así X ' X es la matriz de suma de cuadrados y productos de los Xs observados y X'Y es el vector de suma de productos de los Xs observados e Ys. Además, se sabe que las expresiones puede tomar la forma siguiente:

X i 0 = 1, ∀i =1,2 ,...., N ,

LM n M∑X X' X = M∑X MM M MN∑X

i1

i2

ik

∑X ∑X

∑X ∑X ∑X ∑X X ∑X X ∑X i1 2 i1

i1 i2

M ∑Xi1Xik

i2

i1 i2 2 i2

2 i0

∑X

= N,

i0

Y = ∑ Yi = Y .

X i1 = ∑ X i1 = X .1

i1 i

L L L

M ∑Xi2 Xik L

X ∑X OP LM n X X X X X X X ∑ ∑ ∑ P M P M X X X X = X X ∑ ∑ P M ∑ .1

ik

i1 ik

i2

M ∑Xik2

ik

.1

.2

PP M M Q MNX

.k

.2

2 i1

i1 i2

M X ∑ i1Xik

i1 i2 2 i2

L L L

M X ∑ i2 Xik L

O

∑X X PP ∑X X PP X.k

i1 ik

i2

M ∑Xik2

ik

PP Q

Los elementos de la diagonal de X ' X son las sumas de cuadrados de los elementos en las columnas de X, y los elementos fuera de la diagonal son las sumas de los productos cruzados de los elementos de las columnas de X. Además, los elementos de X ' Y son las sumas de los productos cruzados de las columnas de X y las observaciones {Yi}. El modelo de regresión ajustado es: k

Y$ = Xβ$ . En notación escalar es:

y$i = β$ 0 + ∑ β$ j xij , i = 1,2 ,.., n j =1

- 46 -


Consecuencias de la Estimación. -1 A continuación presentamos algunas propiedades de β$ = (X' X) X' Y , bajo el

supuesto de que ε ~ N ( 0 ,σ 2 I n ) ,

E( ε ) = 0 , v( ε ) = σ 2 In .

a) Insesgamiento: Desde que β$ es el BLUE de β para V = σ 2 I n , este es insesgado a partir de la definición de valor esperado, se demuestra que efecto:

E( β$ ) = β .

En

E ( β$ ) = E (X' X) -1 X' Y = (X' X) -1 X' E(Y) = (X' X) -1 X' Xβ = β b) Varianza de β$ . La matriz de Varianzas-Covarianzas de β$ está dado por: V( β$ ) = E[ β$ − E (β$ )][ β$ − E ( β$ )]'

m = E m[(X' X)

r

= E [(X' X) -1 X' Y − E ((X' X) -1 X' Y)][(X' X) -1 X' Y − E ((X' X) -1 X'Y)]' -1

m = E m[(X' X)

r

X' (Y − E (Y)][(X' X) -1 X' (Y − E (Y)]'

r ]r

= E [(X' X) -1 X' ε ][(X' X) -1 X' ε ]' -1

X' ε ][ε' X(X' X) -1

= (X' X) -1 X' E (εε' )X(X' X) -1

= (X' X) -1 X' X(X' X) -1 σ 2 I = (X' X) -1σ 2

Prueba de Hipótesis en Regresión Lineal Múltiple. En esta sección veremos la prueba de hipótesis sobre los parámetros del modelo que son equivalentes a las realizadas para la regresión lineal simple, pero que ahora son más necesarias, dado que en regresión lineal múltiple tenemos más parámetros en el modelo, que por lo general es necesario evaluar su verdadera contribución a la explicación de la respueta. En este caso, también requerimos de la suposición adicio-

Análisis y Diseño de Experimentos - 47 nal de que los errores deben distribuirse en forma normal, independientes, con medio cero y varianza constante

σ 2 ( ε i ~ NID( 0,σ 2 ) . Una consecuencia de esta suposi-

e

j

ción es que las observaciones yi son NID β 0 + ∑ j =1 β j X ij ,σ 2 . k

1. Hipótesis Estadística: H0 : β 1 = β 2 =L = β k = 0

Ha : β j ≠ 0 para al menos un j = 1,2,3,.., k 2. Nivel de significación:

α = 0.05

3. Estadístico de prueba.

F (Re g ) =

SSRm r − 1 MSRm = ~ Fnr−−r1,α SSE n − r MSE

4. Región de rechazo ó aceptación.

RA H0 :

F (Re g ) ≤ Fnr−−r1,α entonces se acepta la Ho:

RR H0 :

F (Re g ) > Fnr−−r1,α entonces se acepta la Ha:

5. ANOVA para la significación del modelo de regresión lineal múltiple. Fuentes de Variación G.L.

Suma de Cuadrados

Cuadrados Medios

Regresión

r-1

SSRm = β$' X' Y −nY 2

SSRm = MSRm r −1

Error Residual

n- r

SSE =Y' Y −β$ ' X' Y

SSE = MSE r −n

Total

n- 1

SSTm =Y' Y −nY 2

Fobs.

F(Reg)=

MSRm MSE

MSTm = SSTm n −1

El coeficiente de determinación es: R 2 =

SSRm MSE ~2 x100 , R Ajust )x100 . = (1 − SSTm MSTm

Ambos coeficientes se interpretan de forma similar al caso de regresión lineal simple, como el porcentaje de variabilidad de los datos que es explicada por el mode~

2 2 lo. Se cumple que 0 < R Ajust . ≤ R < 1 ; en general para hablar de un modelo que tiene un ajuste satisfactorio es necesario que ambos coeficientes tengan valores superiores

- 48 -


a 0.7. Cuando en el modelo hay términos que no contribuyen de manera significativa ~

2 2 al modelo, el R Ajust . tiende a ser menor que el R . Por ello es deseable depurar el modelo y para ello las pruebas de hipótesis son de mucha utilidad.

Pruebas sobre coeficientes individuales del modelo. Un aspecto muy importante y clave en un análisis de regresión lineal múltiple es valorar qué tanto contribuyó cada término a la explicación de la variable de respuesta, para de esta forma eliminar los que tienen una contribución poco importante o quizá pensar en agregar otras variables no consideradas. Las hipótesis para probar la significancia de cualquier coeficiente individual de β j , se especifica de la siguiente manera: Hipótesis: H0 : β j = 0 Ha : β j ≠ 0

j = 0,1,2,3,.., k

De acuerdo con la sección anterior, el estimador de mínimos cuadrados β$ es un vector aleatorio, cuya distribución es normal con media β y matriz de varianzascovarianzas

(X' X) -1σ 2 .

Entonces, en resumen:

β$ j ~ N[ β j , σ 2 C j+1, j+1 ] . Donde

C j+1, j+1 es el elemento de la diagonal de la matriz (X' X) -1 correspondiente al parámetro β$ j . Otra forma alternativa es el siguiente: β$ ~ N[ β ,(X' X) -1σ 2 ] . El estimador de σ 2 es el cuadrado medio del error denotado por: MSE=CME (se encuentra en la tabla ANOVA), entonces el estadístico de prueba para probar la hipótesis es el siguiente:

tc =

β$ j − β j MSE ⋅ C j +1, j +1

=

β$ j − β j ~ tn −r $ V(β ) j

Se rechaza la hipótseis H o si tc > tα 2,n− r o en forma equivalente si pvalue= P( T > t c ) ≤ α . A continuación se presenta el resumen del análisis sobre el modelo de regresión basado sobre coeficientes individuales del modelo.


PARÁMETRO ESTIMACIÓN

ERROR ESTÁNDAR

Intercepción

) β0

) MSE×C11 = V (β0 )

β1

) β1

) MSE×C22 = V(β1)

β2

) β2

) MSE×C33 = V (β2 )

. . .

. . .

βk

) βk

ESTADÍSTICO "t"

) ) β0 β0 = ) MSE × C11 V ( β0 ) ) ) β1 β1 = ) MSE × C22 V ( β1 ) ) ) β2 β2 = ) MSE × C33 V ( β2 )

. . .

. . .

) MSE × Ck +1,k +1 = V ( βk )

) ) βk βk = ) MSE ×Ck+1,k+1 V(βk )

VALOR-p

Pr(T > tc ) Pr(T > tc ) Pr(T > tc )

. . . Pr(T > tc )

Intervalos de Confianza y predicción en Regresión Lineal Múltiple. a) Intervalo Confidencial (IC) para β j . 2 Para un β j , su estimador β$ j ~ N[ β j , σ C j+1, j+1 ] donde C j+1, j+1 es el ele-

mento de la diagonal de la matriz

β$ j − β j σ 2 C j+1, j+1

(X' X) -1 . Estandarizando se tiene:

~ N ( 0,1 ), pero se sabe que:

SSE ~ χ n2 −r entonces: σ2

SSE ( n − r )σ$ 2 SSE ( n − r )σ$ 2 σ$ 2 = , ; ~ χ n2 − r = n−r σ2 σ2 σ2 Se realiza el cambio de variable cial para

t=

u=

(n−r )σ$ 2 para obtener un intervalo confidenσ2

2 2 σ 2 , es decir tendremos: Pr[ χ α 2 ≤ u ≤ χ 1−α 2 ] = 1 − α .

β$ j − β j ( n − r )σ$ 2 σ2

σ 2 C j+1, j+1 n−r

β$ j − β j

=

σ C j+1, j+1 σ$ 2 σ2

=

β$ j − β j σ$ C j+1, j+1

~ tn−r

- 50 -


Pr − tα

2 ,n − r

LM MN

≤ t ≤ tα

Pr − tα 2 ,n − r ≤

= 1− α

2 ,n − r

β$ j − β j σ$ C j+1, j+1

OP PQ

≤ tα 2 ,n − r = 1 − α

Pr − tα 2 ,n − r σ$ C j+1, j+1 ≤ β$ j − β j ≤ tα 2 ,n − r σ$ C j+1, j+1 = 1 − α r estar −β$ j se tiene:

Pr −β$ j − tα 2,n−rσ$ C j+1, j+1 ≤ −β$/ j + β$/ j − β j ≤ −β$ j + tα 2,n−rσ$ C j+1, j+1 = Pr β$ j + tα 2 ,n − rσ$ C j+1, j+1 ≥ β j ≥ β$ j − tα 2 ,n − rσ$ C j+1, j+1 = 1 − α

LM $ C Pr β − t ≤β MMN14442σ$444 3 α 2 ,n − r

j

j+1, j+1

j

Límite Inferior del Intervalo

En resumen:

Límite Superior del Intervalo

LM N

β j ∈ β$ j ± tα 2 ,n − rσ$ C j+1, j+1

OP PPQ

≤ β$ j + tα 2 ,n − r σ$ C j+1, j+1 = 144424443

ó β j ∈ β$ j ± tα 2 ,n − r V( β$ j )

OP Q

b) Estimación del Intervalo para la respuesta media de E ( Y0 ) dado el vector

X'0 Sean los valores de X 1 , X 2 , X 3 ,L , X k denotado por X 01 , X 02 , X 03 ,L , X 0 k la respuesta media está denotado por E ( Y0 ) . Para estimar la respuesta media en este punto defínase el vector X 0 como sigue:

X 0' = 1 X 01

X 02 L

X 0k

La respuesta media estimada correspondiente para X 0 es denotado por:

Y$0 = X 0' β$

ó Y$h = X h' β$ , entonces este estimador es insesgado:

Y$0 .

Análisis y Diseño de Experimentos - 51 1) E ( Y$0 ) = E ( X 0' β$ ) = X 0' E ( β$ ) = X 0' E ( X ' X )−1 X ' Y = X 0' ( X ' X )−1 X ' E Y

= X 0' ( X ' X )−1 X ' Xβ = X 0' β es insesgado. 2) La varianza es: V ( X 0' β$ ) = X 0' V ( β$ ) X 0 = X 0' ( X ' X )−1σ 2 X 0 o su equivalente es: S 2 ( Y$0 ) = MSE X 0' ( X ' X )−1 X 0 , su estimador es:

E ( Y$0 ) = X 0' β$ ~ N X 0' β , X 0' ( X ' X )−1 X 0σ 2 , entonces:

X '0 β$ − X '0 β

σ X '0 ( X ' X )−1 X 0

SSE entonces: n−r

~ N ( 0,1 ), pero: σ$ 2 =

( n − r )σ$ 2 SSE SSE ; entonces ~ χ 2n − r = 2 2 2 σ σ σ 3) Para encontrar el Intervalo Confidencial para E ( Y0 ) , formamos la distribución de «t» de la siguiente manera: t=

X '0 β$ − X '0 β σ X '0 ( X ' X )−1 X 0 $2

( n − r )σ σ2

n−r

Pr − tα

LM MN

2 ,n − r

Pr −tα 2,n−r ≤

X '0 β$ − X '0 β

=

≤ t ≤ tα

σ

X '0 ( X ' X )−1 X 0 $2

σ σ2

2 ,n − r

X'0 β$ − X'0 β

σ$ X'0 ( X' X )−1 X0

=

X '0 β$ − X '0 β

σ$ X '0 ( X ' X )−1 X 0

= 1− α

OP PQ

≤ tα 2,n−r = 1−α

Pr −tα 2,n−rσ$ X'0 ( X' X )−1 X0 ≤ X'0 β$ − X'0 β ≤ tα 2,n−rσ$ X'0 ( X' X )−1 X0 = restar − X'0 β$ se tiene: Pr − X'0 β$ − tα 2,n−rσ$ X'0 ( X' X )−1 X0 ≤ − X'0 β$ + X'0 β$ − X'0 β ≤ − X'0 β$ + tα 2,n−rσ$ X'0 ( X' X )−1 X0 =

Pr X'0 β$ + tα 2,n−rσ$ X'0 ( X' X )−1 X0 ≥ X'0 β ≥ X'0 β$ − tα 2,n−rσ$ X'0 ( X' X )−1 X0 = 1− α

- 52 -


LM MN

Pr X '0 β$ − tα 2 ,n− rσ$ X '0 ( X ' X )−1 X 0 ≤ X '0 β ≤ X '0 β$ + tα 2 ,n− rσ$ X '0 ( X ' X )−1 X 0 144444 42444444 3 144444 42444444 3 Límite Inferior

Límite Superior

OP PQ

Pr X 0' β$ − tα 2 ,n −r S ( Y$0 ) ≤ E ( Y0 ) ≤ X 0' β$ + tα 2 ,n −r S ( Y$0 ) = 1 − α En resumen:

LM MN

X '0 β ∈ X '0 β$ ± tα 2 ,n− rσ$ X '0 ( X ' X )−1 X 0 12 3 123 Y0

Y$0

OP PQ

LM MN

ó Y0 ∈ X '0 β$ ± tα 2 ,n− r S ( Y$ 123 Y$0

c) Intervalo confidencial para la predicción de nuevas observaciones Yh ( new ) . Si X h = 1 '

X h1

X h2 L

X h , p −1 , con Y$h = X h' β$ , entonces :

1) E ( Y$h ) = E ( X h' β$ ) = X h' E ( β$ ) = X h' E ( X ' X )−1 X ' Y = X h' ( X ' X )−1 X ' E Y

= X h' ( X ' X )−1 X ' Xβ = X h' β es insesgado. 2) yh = X h' β + eh

~y = X ' β$ , donde X ' β$ son usados ambos para la predicción futura de h h h las observaciones correspondientes de X h' ' ' −1 −1 E ( ~yh ) = E ( X h' β$ ) = X h' E ( β$ ) = X h E ( X ' X ) X ' Y = X h ( X ' X ) X ' E Y

= X h' ( X ' X )−1 X ' Xβ = X h' β

yh − ~ yh = yh − X h' β$ = X h' β + eh − X h' β$ = X h' ( β − β$ ) + eh , pero cov( β$ ,eh ) = 0 3) La varianza es:

v( yh − ~yh ) = v( yh − X h' β$ )

= v( X h' β + eh − X h' β$ ) = v [ X h' ( β − β$ ) + eh ]


= v [ X h' ( β − β$ )] + v( eh ) = X h' v( β − β$ ) X h ] + σ 2 = X h' v ( β$ ) X h + σ 2 = X h' ( X ' X )−1 σ 2 X h + σ 2

v( yh − ~yh ) = [ X h' ( X ' X )−1 X h + 1]σ 2 Entonces su estimadores es: X h' β$ ~ N [ X h' β ,( X h' ( X ' X )−1 X h + 1)σ 2 ] y se distribuye como: X h' β$ − X h' β X h' ( X ' X )−1 X h + 1 σ 2

~ N ( 0,1 ) estandarizada.

Pero, se sabe que: σ$ 2 = SSE , ( n − r )σ$ 2 = SSE dividiendo entre σ$ 2 a n−r ambos miembros tenemos:

( n − r )σ$ 2 SSE ( n − r )σ$ 2 ; ~ χ 2n − r . Luego formamos la «t», de = 2 2 2 σ σ σ la siguiente manera:

X'h β$ − X'h β t=

σ X'h ( X' X )−1 Xh + 1 $2

( n−r )σ σ2

n−r

X 'h β$ − X 'h β

=

σ X'h ( X ' X )−1 Xh +1 $2

σ σ2

=

X'h β$ − X'h β

σ$ X'h ( X' X )−1 Xh

~

4) Una predicción del intervalo con 1- α de coeficiente confidencial para una nueva observación Yh ( new ) correspondiente a

X h , para el valor espe-

cificado de X variables, se construye en seguida. El intervalo confidencial es:

Pr − tα

LM MN

2 ,n − r

Pr −tα 2 ,n− r ≤

≤ t ≤ tα

2 ,n − r

= 1− α

X 'h β$ − X 'h β

σ$ X 'h ( X ' X )−1 X h + 1

OP PQ

≤ tα 2 ,n − r = 1 − α

Pr −tα 2,n−rσ$ X'h ( X' X )−1 Xh +1 ≤ X'h β$ − X'h β ≤ tα 2,n−rσ$ X'h ( X' X )−1 Xh +1 =

- 54 -


restar − X 'h β$ se tiene: Pr − X'h β$ − tα 2,n−rσ$ X'h ( X' X )−1 Xh +1 ≤ − X'h β$ + X'h β$ − X'h β ≤ − X'h β$ + tα 2,n−rσ$ X'h ( X' X )−1 Xh +1

Pr X'h β$ + tα 2,n−rσ$ X'h ( X' X )−1 X h + 1 ≥ X'h β ≥ X'h β$ − tα 2,n−rσ$ X'h ( X' X )−1 Xh + 1

LM MN

O Q

Pr X'h β$ − tα 2 ,n−rσ$ X'h ( X' X )−1 Xh + 1 ≤ X'h β ≤ X'h β$ + tα 2,n−rσ$ X'h ( X' X )−1 X h + 1 144444424444443 144444424444443 Límite Inferior

Límite Superior

En forma resumida:

Pr Xh' β$ − tα 2,n−r S( Y$h( new ) ) ≤ Yh( new ) ≤ Xh' β$ + tα 2,n−r S( Y$h( new ) ) = 1− α S 2 ( Y$h( New ) ) = MSE 1 + X h' ( X ' X )−1 X h

S ( Y$h( New ) ) =

LM MN

MSE 1 + X h' ( X ' X )−1 X h

OP PQ

X'h β ∈ X'h β$ ± tα 2 ,n−rσ$ X'h ( X' X )−1 X h + 1 12 3 12 3 Yh( new )

Y$h

LM MN

ó Yh( new ) ∈ X'h β$ ± tα 2 ,n−r S( Y$h( 123 Y$h

EJEMPLO: En la provincia de Azángaro se obtuvieron la producción de papa (kg/ha) durante la campaña agrícola (Noviembre-Abril), para lo cual las se incorporó las variables independientes: tierra (ha) y semilla (kg/ha). Los datos se presentan a continuación:


Produc. Q 3250 1675 1450 2450 3608 2350 2250 1800 3580 7345 3880 3880 3220 6860 3608 6450

Nro. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 TOTAL

Tierra (Xi1) 1.00 0.70 0.60 1.00 1.00 0.50 0.50 0.50 1.00 2.00 1.00 1.00 1.00 2.00 1.00 2.00

∑Y = ∑X i

57656

i1

=

16.80

Semilla (Xi2) 1500 780 800 1500 1600 810 820 750 1560 3130 1670 1620 1650 3200 1600 3240

∑X

i2

=

26230

Xi12

Xi22

1.00 0.49 0.36 1.00 1.00 0.25 0.25 0.25 1.00 4.00 1.00 1.00 1.00 4.00 1.00 4.00

2250000 608400 640000 2250000 2560000 656100 672400 562500 2433600 9796900 2788900 2624400 2722500 10240000 2560000 10497600

∑X

2 i1

=

21.60

∑X

2 i2

=

53863300

Xi1Xi2

Xi1Yi

Xi2Yi

3250 1172.5 870 2450 3608 1175 1125 900 3580 14690 3880 3880 3220 13720 3608 12900

4875000 1306500 1160000 3675000 5772800 1903500 1845000 1350000 5584800 22989850 6479600 6285600 5313000 21952000 5772800 20898000

1500 546 480 1500 1600 405 410 375 1560 6260 1670 1620 1650 6400 1600 6480

Yi2 10562500 2805625 2102500 6002500 13017664 5522500 5062500 3240000 12816400 53949025 15054400 15054400 10368400 47059600 13017664 41602500

∑X X = ∑X Y = ∑X Y = ∑Y = 2

i1 i2

34056

i1 i

74028.5

i2 i

i

117163450

257238178

a) Fijar el modelo de Regresión Lineal Múltiple. b) Encontrar las ecuaciones normales. c) Estimar β$ = ( X ' X )−1 X ' Y d) E ( Y$ ) = β$ 0 + β$ 1 X i1 + β$ 2 X i 2 e) Calcular el ANOVA,

~2 R 2 , R Ajust .

f) Calcular V ( β$ ) = ( X ' X )−1σ 2 g) Estimar los errores: e$ = Y − Y$ h) Estimar los intervalos confidenciales para

βi

i) Estimar la respuesta media E ( Yh ) y el intervalo confidencial. j) Realice la predicción de nuevas observaciones SOLUCIÓN: a) Y$ = β$ 0 + β$ 1 X i 1 + β$ 2 X i 2 b) Ecuaciones normales ( X ' X )β$ = X ' Y

Yh( new ) y el intervalo confidencial.

- 56 -


1 1  X = 1  M 1

1.0 1500  0.7 780  1 1 1 L 1 0.6 800  0.7 0.6 L 2.0  X' = 1.0 M M , 1500 780 800 L 3240 2.0 3240

LM MM N

1 1 1 L 1  1  1   X ' X =  1.0 0.7 0.6 L 2.0  × 1  1500 780 800 L 3240 M 1

 n  X ' X = ∑Xi1 ∑Xi2 

OP PP Q

1.0 1500 16.8 26230  0.7 780   16 34056  0.6 800  =  16.8 21.6  M M  26230 34056 53863300 2.0 3240

∑X ∑X ∑X ∑X X ∑X X ∑X

  16 16.8 26230    21.6 34056  i1 i 2  =  16.8 , 2    i 2  26230 34056 53863300

i1 2 i1

i1

i2

i2

 ∑Yi   57656    X ' Y =  ∑ X i1Yi  =  74028.5  , ∑ X i 2Yi  117163450  

16.8 26230  βˆ0   57656   16    16.8 21.6 34056   βˆ1  =  74028.5      26230 34056 53863300 βˆ  117163450  2 

16 βˆ0 + 16.8βˆ1 + 26230 βˆ2 = 57656 16.8βˆ + 21.6 βˆ + 34056βˆ = 74028.5 0

1

2

26230 βˆ0 + 34056 βˆ1 + 53863300 βˆ2 = 117163450 c) Estimar β$ = ( X ' X )−1 X ' Y ,

 A11 Adj ( X ' X ) =  − A12  A13

− A21 A22 − A23

( X ' X )−1 =

Adj( X ' X ) det( X ' X )

A31   a11 a12 − A32  X ' X =  a21 a22 ,  a31 a32 A33 

a13  a23  a33 


A11 = a22 a33 − a23 a32 = 3636144

A22 = a11a33 − a13a31 = 173799900

A12 = a21a33 − a23 a31 = 11614560

A23 = a11a32 − a12 a31 = 104232

A13 = a21a32 − a22 a31 = 5572.8

A33 = a11a22 − a12 a21 = 63.36

 A11 − A21 A31   3636144 −11614560 5572.8  Adj( X ' X ) = − A12 A22 − A32  = −11614560 173799900 −104232  A13 − A23 A33   5572.8 −104232 63.36  16.8 26230   16  16.8  21.6 34056   det( X ' X ) =  26230 34056 53863300  = 9228240 = D   16.8 26230   16  16.8 21.6 34056 

 0.394023562 −1.258588853 0.000603885 Adj( X ' X )  = −1.258588853 18.83348287 −0.011294894 (X ' X ) = det( X ' X )   0.000603885 −0.011294894 0.000006865 −1

)  0.394023562 −1.258588853 0.000603885   57656   β0 = 299.68 ) âˆ = −1.258588853 18.83348287 −0.011294894 ×  74028.5  =  β1 = −1699.     )  0.000603885 −0.011294894 0.000006865  117163450  β2 = 3.1038

Y$ = 299 .68 − 1699 .5543 X i 1 + 3.1038 X i 2 2 ~2 e) Calcular el ANOVA, R , R Ajust . d)

i) Grados de libertad (GL). GLRe g . = r − 1 = 3 - 1 = 2 GLError = n − r = 16 - 3 = 13 GLTotal = n − 1 = 16 - 1 = 15

ii) Sumas de Cuadrados (SC ó SS).

- 58 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno  57656  2 ˆ X 'Y − nY 2 = [ 299.682028 −1699.5543 3.10383528]×  74028.5  −16  57656  SSRm = â'      16  117163450

= 255119061.1 - 207763396 = 47355665.14 2

 57656  SSTm = Y ' Y − nY 2 = 257238178 − 16   = 49474782  16 

SSE = Y ' Y − βˆ ' X ' Y = 257238178 − 255119061.1 = 2119116.86 ó

SSE = SSTm − SSRm = 49474782 − 47355665.14 = 2119116.86 Tabla de Análisis de Varianza para la producción de papa. F. de V. G.L. S.S. M.S. Fc. Signif Debido a Regresión 2 47355665.140 23677832.5700 145.25 ** Error residual 13 2119116.860 163008.9892 Total 15 49474782.000 3298318.8000 Cálculo del Coeficiente de Determinación: R2 =

. SSRm 4735566514 × 100 = × 100 = 95.72% SSTm 49474782

~2 ) Coeficiente de Determinación ajustado ( R MSE 163008.9892 ~ R2 = 1− ) × 100 = 95.06% = (1 − MSTm 3298318.8

f) Calcular V ( β$ ) = ( X ' X )−1σ 2

LM MM N

OP PP Q

LM MM N

OP PP Q

0.394023562 -1.258588853 0.000603885 64229.38257 -205161.2968 98.43868346 V( β$ ) = -1.258588853 18.83348287 -0.011294894 (1630089892 . ) = -205161.2968 3070027.006 -1841.169254 0.000603885 -0.011294894 0.000006865 98.43868346 -1841.169254 1.119056711

g) Estimar los errores: e$ = Y − Y$ , Y$ = Xβ$


LM3250 OP LM1 1675 MM1450 PP MM11 M P M e$ = M 2450 P − M1 MM M PP MMM MM3608 PP MM1 N6450 Q N1

LM − 5.8807 OP OP M 144 .0144 P P 800 P L 299 .682028 O M − 313.0177 P M M PP P 1500 P × M − 1699 .5543 P = M M P PP M P MN 3 .10383528 PQ M M M P 1600 P MM 41.7358 PP 3240 PQ N − 506 .9998 Q

1.0

1500

0 .7

780

0 .6 1.0 M 1.0 2 .0

h) Estimar los intervalos confidenciales para

LM N

βi

OP Q

Pr β$ i − t α ,( n − r ) V ( β$ i ) ≤ β i ≤ β$ i + t α ,( n − r ) V ( β$ i ) = 1 − α 2

2

Intervalo confidencial (IC) para

LM N

β0:

OP Q

Pr β$ 0 − t α ,( n − r ) V ( β$ 0 ) ≤ β 0 ≤ β$ 0 + t α ,( n − r ) V ( β$ 0 ) = 1 − 0.05 2

2

Pr 299.682028 − ( 216 . ) 64229.38257 ≤ β 0 ≤ 299.682028+ ( 216 . ) 64229.38257 = 095 .

Pr -247.7379 ≤ β 0 ≤ 847.10198 = 0.95


LM N

β1:

OP Q

Pr β$ 1 − t α ,( n− r ) V ( β$ 1 ) ≤ β 1 ≤ β$ 1 + t α ,( n − r ) V ( β$ 1 ) = 1 − 0.05 2

2

Pr -1699.5543- ( 2.16 ) 3070027.006 ≤ β 1 ≤ -1699.5543 + ( 2.16 ) 3070027.006 = 0

Pr -5484.196687 ≤ β 1 ≤ 2085.088 = 0.95


LM N

β2 :

OP Q

Pr β$ 2 − t α ,( n − r ) V ( β$ 2 ) ≤ β 2 ≤ β$ 2 + t α ,( n − r ) V ( β$ 2 ) = 1 − 0.05 2

2

Pr 3.103835 − ( 2.16 ) 1.1190567 ≤ β 2 ≤ 3.103835 + ( 2.16 ) 1.1190567 = 0.95

Pr 0.81887 ≤ β 2 ≤ 5.3888 = 0.95

i) Estimar la respuesta media E ( Yh ) y el intervalo confidencial.

X h' = 1 15 . 1640

- 60 -


LM MM N

OP PP Q

299.682028 $ Y$h = X β = 1 15 . 1640 × -1699.5543 = 2840.640437 3.10383528 ' h

V( Xh' β$ ) = Xh' ( X' X )−1σ 2 Xh = Xh' V( β$ ) Xh ó S2 (Y$h ) = MSE[ Xh' ( X' X )−1 Xh ]

LM MM N 98.43868346

OP LM OP P M P -1841.169254 1.119056711 QP MN1640PQ L 1 OP −828.0621915 × MM 15 . = 630447.3382 MN1640PPQ

64229.38257 -205161.2968 98.43868346 1 V ( X h' β$ ) = 1 15 . 1640 × -205161.2968 3070027.006 -1841.169254 × 15 .

= −8207312176 . 1380361636 .

S ( Y$h ) = 794.0071399 El intervalo Confidencial para la respuesta Media es: Pr 2840.64 - (2.16)(794.007) ≤ E ( Yh ) ≤ 2840.64 + (2.16)(794.007) = 0.9

Pr 1125.585 ≤ E ( Yh ) ≤ 4555.6959 = 0.95 j) Predicción de nuevas observaciones X h' = 1 0.25 400

LM MM N


OP PP Q

299.682028 ' $ $ Yh = X h β = 1 0.25 400 × -1699.5543 = 1116.327565 3.10383528 S 2 ( Y$h( New ) ) = MSE [1 + X 'h (X' X) -1 X h ] = MSE + X 'h (X' X) -1 MSE X h = MSE + X 'hV ( β$

LM64229.38257 MM98.43868346 N

OP LM 1 OP PM P 1.119056711 PQ MN400PQ L1O 85.76905 × MM0.25P = 206100.581 MN 400 PPQ

-205161.2968 98.43868346

. . 400]× -205161.2968 3070027.006 -1841.169254 × 025 . S2(Y$h( New) ) =1630089892 +[1 025 -1841.169254

= 163008.9892 + [52314.53175 −174122.2469

S ( Y$h( New ) ) = 453.9830184


Pr Y$h − tα ,( n−r )S(Y$h( new) ) ≤ Yh( new) ≤ Y$h + tα ,( n−r )S(Y$h( new) ) = 1−α 2

2

Pr 1116.3276- (2.16)(453.983018) ≤ Yh( New ) ≤ 1116.3276 + (2.16)(453.983018) = 0.95

Pr 135.724 ≤ Yh ( New ) ≤ 2096.93088 = 0.95

Correlaciones Parciales:

r12•3 = r13•2 =

r12 − r13r23 (1− r )(1 − r ) 2 13

2 23

=

r13 − r12r23 ( 1 − r )( 1 − r ) 2 12

2 23

. . )( 099327 . ) 096375 − ( 097676 2 2 (1− 097676 . )(1 − 099327 . )

=

. = −0259

0.97676 − ( 0.96375 )( 0.99327 ) ( 1 − 0.963752 )( 1 − 0.99327 2 )

= 0.63089

Correlación Múltiple:

R12•23 = 1 −

2119116.86 SSE = 1− = 0.957 ó en forma equivalente. 49474782 SSTm

2 2 1− R12•23 = 1− (1− r122 )(1− r132•2 ) = 1− (1− 096375 . )(1− 0630897 . ) = 1− 004285 . . = 095714

Prueba de hipótesis parciales para el ejemplo anterior. 1) Hipótesis: H0 : β 1•0 ,2 = 0

H0 : β 2•0 ,1 = 0

Ha : β 1•0 ,2 ≠ 0

Ha : β 2•0 ,1 ≠ 0

2) Nivel de significación: α = 0.05 3) Estadígrafo de Contraste: F-Snedecor. 4) Región de Rechazo y Aceptación: Si

numerador Fc ≤ FglglError

Si

numerador Fc > FglglError , entonces se rechaza la Ho: y se acepta la Ha:

, entonces se acepta la Ho:

5) Cálculo de ANOVA. Adj( x' x ) SCRe g . ( β 1 , β 2 β 0 ) = β$ ' x' y , β$ = ( x' x )−1 x' y ; ( x' x )−1 = x' x

- 62 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno x' x =

LM ∑ x MN∑ x x

∑x x ∑x

2 i1

i1 i 2 2 i2

i1 i 2

( ∑ X i1 )2

∑ xi21 = ∑ X i21 − ∑x

2 i2

∑x

= ∑ X i22 −

n

( ∑ X i 2 )2

x = ∑ X i1 X i 2 −

= 216 . −

( 16.8 )2 = 3.96 16

( ∑ X i1 )( ∑ X i 2 ) n

( ∑ Yi )2 n

OP 10862493.75Q 6514.5

= 53863300 −

n

i1 i 2

∑ yi2 = ∑ Yi 2 −

OP = L 3.96 PQ MN6514.5

( 26230 )2 = 10862493.75 16

= 34056 −

= 257238178 −

( 16.8 )( 26230 ) = 6514.5 16

( 57656 )2 = 49474782 16

x' x = 3.96 × 10862493.75 − 6514 .5 × 6514.5 = 576765 ( x' x )−1 =

x' y =

LM MN

1 ∑ xi 2 x' x − ∑ xi1 xi 2

− ∑ xi1 xi 2

2

∑ xi21

OP = L 18.83348287 PQ MN−0.011294894

−0.011294894 0.000006865

LM∑ x y OP = L 13489.7 O MN∑ x y PQ MN22643645PQ

OP Q

i1 i

i2

i

∑x

y = ∑ X i1Yi −

∑x

y = ∑ X i 2Yi −

i1 i

i2 i

( ∑ X i1 )( ∑ Yi ) n

( ∑ X i 2 )( ∑ Yi ) n

= 74028.5 −

= 117163450 −

LM N

( 16.8 )( 57656 ) = 13489.7 16 ( 26230 )( 57656 ) = 22643645 16

OP LM OP Q MN PQ

−1699.55431 β$ β$ = ( x' x )−1 x' y = = 1 . 310383527 β$ 2 k

β$ 0 = Y − ∑ β$ j X • j =Y − β$ 1 X •1 − β$ 2 X •2 j =1

= 3603.5 - (-1699.55431)(1.05) - 3.10383527x1639.375) = 299.6820798

SCRe g ( β 1 ,β 2

β0 )

. = −1699.55431 310383527 ×

LM 13489.7 OP = 473556 N22643645Q


SCR ( β 2

β0 )

=

( ∑ xi 2 yi )2

∑x

2 i2

=

( 22643645 )2 = 47202297.25 10862493.75

SCR( β1 β0 ,β2 ) = SCR( β1 ,β2 β0 ) − SCR( β2 β0 ) = 4735566622 . − 47202297 = 153368.97

=

SCR ( β 1

β0 )

SCR ( β 2

β 0 ,β 1 )

( ∑ xi1 yi )2

=

∑x

2 i1

= SCR ( β 1 ,β 2

β0 )

( 13489.7 )2 = 45952526.79 3.96 − SCR ( β 1

β0 )

= 47355666.22 − 45952526

= 1403139.43 RESUMEN EN ANOVA: F. de V.

GL:

R( β1 ,β 2 β 0 )

2

47355665.14

R( β 2 β 0 )

1

47202297.25

R( β1 β 0 ,β 2 )

1

153368.97

R( β1 β 0 )

R( β 2 β 0 ,β1 )

Error Residual Total

SC.

CM.

Fc

Signif. Tabla-F

153368.97

0.94

ns.

4.67

1

45952526.79

1 13 15

1403139.43 1403139.43 2119116.86 163008.9892 49474782.00

8.61

*

4.67

6) Decisión: Tiene dos partes para la decisión. i) Para es

β 1 , Fc = 0.94 < 4.67, por lo tanto no se rechaza la hipótesis Ho:, esto

β 1•0 ,2 = 0 ,

esto implica que no debe incluirse en el modelo

R( β 1 β 0 , β 2 ) ii) Para

β 2 , Fc = 8.61 ≥ 4.67, por lo tanto se rechaza la Ho:, y se acepta la Ha:

β 2•0 ,1 ≠ 0 , esto implica que aporta al modelo R( β 2 β 0 , β 1 ) . Luego el modelo final debe ser calculado sin incluir lo.

β 1 , ya que no aporta al mode-

- 64 -


Y$ = β$ 0 + β$ 2 X i 2 , β$ 2 =

∑x y ∑x

i2 i 2 i2

=

22643645 = 2.08457 10862493.75

. − 2.08457 × 1639.375 = 18610558 . β$ 0 = Y − β$ 2 X •2 = 36035

Y$ = 186.10558 + 2.08 X i 2 ,

X i 2 corresponde a la variable semilla

Para encontrar la bondad de ajuste, se debe calcular el coeficiente de determinación ( R 2 )

R = 2

( ∑ xi 2 yi )2

∑y

2 i

∑x

2 i2

=

SCR( β 2 / β 0 ) SSTm

=

( 22643645 )2 10862493.75 =9 49474782

Se puede interpretar que el modelo tiene una buena bondad de ajuste y es confiable, es decir el 95.41% de la variación de la producción de papa depende de la variación de semilla, y el 4.59% está explicado por otros factores ajenos al trabajo. RESULTADOS CON EL SAS. The REG Procedure Model: MODEL1 Variable Intercept T S Q

XX Inverse, Intercept 0.3940235625 -1.258588853 0.0006038855 299.68202648

Variable Intercept T S Q

Source Model Error Corrected Total Root MSE Dependent Mean Coeff Var Variable Intercept T S

Model Crossproducts XX XY YY Intercept T S 16 16.8 26230 16.8 21.6 34056 26230 34056 53863300 57656 74028.5 117163450

DF 1 1 1

Parameter Estimates, and SSE T S -1.258588853 0.0006038855 18.833482874 -0.011294895 -0.011294895 6.8658813E-6 -1699.554261 3.1038352709

Analysis of Variance Sum of Mean DF Squares Square 2 47355667 23677833 13 2119115 163009 15 49474782 403.74355 R-Square 0.9572 3603.50000 Adj R-Sq 0.9506 11.20421

Parameter Estimate 299.68203 -1699.55426 3.10384

Parameter Estimates Standard Error t Value Pr > |t| 253.43506 1.18 0.2582 1752.14853 -0.97 0.3498 1.05792 2.93 0.0116

F Value 145.25

Q 57656 74028.5 117163450 257238178 Q 299.68202648 -1699.554261 3.1038352709 2119115.0975

Pr > F <.0001

95% Confidence Limits -247.83113 847.19518 -5484.84102 2085.73249 0.81833 5.38934

Análisis y Diseño de Experimentos - 65 Variable Intercept T S

Covariance of Estimates Intercept T 64229.329229 -205161.1262 -205161.1262 3070024.4537 98.438677327 -1841.167854

S 98.438677327 -1841.167854 1.1191994321

Dependent Variable: Q

Output Statistics Dep Var Predicted Std Error Obs Q Value Mean Predict 95% CL Mean 1 3250 3256 118.0793 3001 3511 2 1675 1531 324.4160 830.1275 2232 3 1450 1763 171.7940 1392 2134 4 2450 3256 118.0793 3001 3511 5 3608 3566 111.1248 3326 3806 6 2350 1964 170.3108 1596 2332 7 2250 1995 175.5158 1616 2374 8 1800 1778 151.3477 1451 2105 9 3580 3442 101.4901 3223 3661 10 7345 6616 230.5909 6117 7114 11 3880 3784 156.6888 3445 4122 12 3880 3628 121.3095 3366 3890 13 3220 3721 141.2293 3416 4027 14 6860 6833 217.5864 6363 7303 15 3608 3566 111.1248 3326 3806 16 6450 6957 221.2190 6479 7435 Sum of Residuals 0 Sum of Squared Residuals 2119115 Predicted Residual SS (PRESS) 3547767

95% CL Predict 2347 4165 412.0594 2650 815.1056 2711 2347 4165 2662 4471 1017 2911 1044 2946 846.2766 2709 2543 4341 5611 7620 2848 4719 2718 4539 2797 4646 5842 7824 2662 4471 5962 7952

Residual -5.8807 144.0144 -313.0177 -805.8807 41.7358 385.9885 254.9502 22.2187 137.8892 729.4221 96.4673 251.6591 -501.4560 27.1536 41.7358 -506.9998

EJEMPLO: Se tiene la información anual de trigo en una región agrícola que se han registrado en los últimos 10 años, a las siguientes variables: Xi1: Area sembrada de trigo en una región agrícola (miles de has); Xi2: Lluvia caída en los meses de setiembre y octubre (mm); Y: Producción de trigo de la región (miles de tn). Nro. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total

Xi1

Yi

X i12

X i22

Xi1 Xi 2

X i 1Yi

X i 2Yi

43.127 16.653 92.322 38.084 61.939 92.376 24.373 74.029 70.772 68.749 582.424

615.5361 246.8041 212.5764 1158.7216 733.8681 2470.0900 414.9369 663.0625 1302.4881 786.8025 8604.8863

2116 1225 18225 121 3249 196 144 9216 1024 2025 37541

1141.26 549.85 1968.30 374.44 1544.13 695.80 244.44 2472.00 1154.88 1262.25 11407.350

1069.98087 261.61863 1346.05476 1296.37936 1677.92751 4591.0872 496.47801 1906.24675 2554.16148 1928.40945 17128.3440

1983.8420 582.8550 12463.4700 418.9240 3530.5230 1293.2640 292.4760 7106.7840 2264.7040 3093.7050 33030.5470

Xi2

24.81 46 15.71 35 14.58 135 34.04 11 27.09 57 49.70 14 20.37 12 25.75 96 36.09 32 28.05 45 276.19 483.00

SOLUCIÓN: a) Y$ = β$ 0 + β$ 1 X i 1 + β$ 2 X i 2

Yi 2 1859.938129 277.322409 8523.351684 1450.391056 3836.439721 8533.325376 594.043129 5480.292841 5008.675984 4726.425001 40290.2053

- 66 -


b) Estimar β$ = ( X ' X )−1 X ' Y ,

 n  X ' X = ∑Xi1 ∑Xi2 

( X ' X )−1 =

Adj( X ' X ) det( X ' X )

∑X ∑X ∑X ∑X X ∑X X ∑X i1 2 i1

i1

  10 276.19 483     i1 i2  = 276.19 8604.886 11407.35 , 2   11407.35 37541  i2   483 i2

i2

 ∑Yi   582.424    X 'Y =  ∑ Xi1Yi  = 17128.34402 , ∑ Xi 2Yi   33030.5470   

 A11 Adj ( X ' X ) =  − A12  A13

− A21 A22 − A23

A31  − A32  , A33 

A11 = a22 a33 − a23a32 = 192908403

A22 = a11 a 33 − a13 a 31 = 142121

A12 = a21a33 − a23a31 = 4858698.7

A23 = a11a32 − a12a31 = −19326.27

A13 = a21a32 − a22a31 = −1005564

A33 = a11a22 − a12a21 = 9767.9469

 A11 −A21 A31   192908402.6 −4858698.74 −1005564.086 Adj( X ' X ) = −A12 A22 −A32  =  −4858698.74 142121 19326.27   A13 −A23 A33  −1005564.086 19326.27 9767.9469 

276.19 483   10  276.19 8604.886 11407.35   det( X ' X ) =  483 11407.35 37541  = 101472566.9262   276.19 483   10  276.19 8604.886 11407.35

( X ' X )−1 =

 1.901089215 −0.047881894 −0.009909714 Adj( X ' X )  = −0.047881894 0.001400585 0.000190458 det( X ' X ) −  0.009909714 0.000190458 0.000096262

)  1.901089215 −0.047881894 −0.009909714  582.424  β0 = −40.22083 ) âˆ = −0.047881894 0.001400585 0.000190458  × 17128.34402 =  β1 = 2.3930792     ) −0.009909714 0.000190458 0.000096262   33030.547  β2 = 0.6701611


Y$ = −40.2208 + 2.393079 X i 1 + 0.67016 X i 2 2 ~2 d) Calcular el ANOVA, R , R Ajust .

c)

i) Grados de libertad (GL). GLRe g . = r − 1 = 3 - 1 = 2 GLError = n − r = 10 - 3 = 7 GLTotal = n − 1 = 10 - 1 = 9

ii) Sumas de Cuadrados (SC ó SS).  582.424  2 ˆ X 'Y − nY 2 = [−40.2208399 2.393079 0.67016116]× 17128.34402 −10 582.424  SSRm = â'      10   33030.547 

= 39699.69193 - 33921.77158 = 5777.920352 2

 582.424  SSTm = Y 'Y − nY 2 = 40290.20533 −10  = 6368.433752  10 

SSE = Y ' Y − βˆ ' X ' Y = 40290.20533 − 39699.69193 = 590.5134002 ó

SSE = SSTm − SSRm = 6368.433752 − 5777.920352 = 590.5134002 Tabla de Análisis de Varianza para la producción de trigo. F. de V. G.L. S.S. M.S. Fc. Signif Debido a Regresión 2 5777.9203520 2888.96017600 34.25 ** Error residual 7 590.5134002 84.35905717 Total 9 6368.4337522 707.60375024 Cálculo del Coeficiente de Determinación: R2 =

SSRm 5777.920352 × 100 = × 100 = 90.73% SSTm 6368.4337522

~2 ) Coeficiente de Determinación ajustado ( R MSE 84 .359057 ~ R2 = 1− ) × 100 = 88.08 % = (1− MSTm 707 .60375

e) Calcular V ( β$ ) = ( X ' X )−1σ 2

- 68 -


V ( β$ ) =

LM160.3740938 MM −4.03927 N −0.8359741

−4.03927 0.118152

OP P 0.00812057 PQ −0.8359741 0.01606686

0.01606686

f) Estimar los errores: e$ = Y − Y$ , Y$ = Xβ$ Y 43.127 16.653 92.322 38.084

e$ = Y −Y$ =

61.939 92.376 24.373 74.029 70.772 68.749

Xβ$

e$

49.9788697 20.83007573 85.14201192 48.61135074

-6.851869704 -4.177075732 7.179988085 -10.52735074

46.94811844 17.44796167 51.5522289 110.8251136

- 62.80686314 = -0.867863143

0.753186434 4.278544621 18.30594407 7.804881551 60.91617602 -11.70742208 137.0637317 3.181452478 10.12163987 11.68671466 136.5792995 0.000000 SSE= 590.51340

88.09745538 16.56811845 85.73642208 67.59054752 57.06228534

g) Estimar los intervalos confidenciales para

LM N

e2

βi

OP Q

Pr β$ i − t α ,( n − r ) V ( β$ i ) ≤ β i ≤ β$ i + t α ,( n − r ) V ( β$ i ) = 1 − α 2

2


β0:

Pr -70.17094 ≤ β 0 ≤ −10.27074 = 0.95


β1:

Pr 1.58015177 ≤ β 1 ≤ 3.2060067 = 0 .95


β2 :

Pr 0.45704 ≤ β 2 ≤ 0.88328 = 0.95

h) Estimar la respuesta media E ( Yh ) y el intervalo confidencial.

X h' = 1 49 .7 14


LM MM N

OP PP Q

−40.2208399 $ Y$h = X β = 1 49 .7 14 × 2 .393079257 = 88.359057 0.670161157 ' h

V ( X h' β$ ) = X h' ( X' X )−1σ 2 X h = X h' V ( β$ ) X h ó S2 (Y$h ) = MSE[ X h' ( X' X )−1 X h ] V ( X h' β$ ) = 1 49.7 14 ×

LM160.3740938 MM −4.03927 N −0.8359741

−4.03927 0118152 . 0.01606686

OP P 0.00812057QP −0.8359741

LM 1 OP MM PP N 14 Q

0.01606686 × 49.7

= 51.25975347 S ( Y$ ) = 7 .1595917 h

El intervalo Confidencial para la respuesta Media es: Pr 88.359057 - (2.365)(7.159591711) ≤ E ( Yh ) ≤ 88.359057 + (2.365)(7.159591711) = 0.9

Pr 71.16502 ≤ E ( Yh ) ≤ 105.029889 = 0.95 i) Predicción de nuevas observaciones


X h' = 1 22.35 64

LM MM N

OP PP Q

−40.2208399 ' $ $ Yh = X h β = 1 22.35 64 × 2.393079257 = 56154796 . 0.670161157 S 2 ( Y$h( New ) ) = MSE [1+ X 'h (X' X) -1 X h ] = MSE + X 'h (X' X) -1 MSE X h = MSE + X 'hV ( β$

LM MM −08359741 N .

OP PP . 000812057 Q

LM OP MM 64 PP N Q

. . . −403927 −08359741 1603740938 1 . . 64 × −403927 . . . . S2(Y$h( New) ) = 8435905718 + 1 2235 × 2235 0118152 001606686 . 001606686

= 95.41857384 S ( Y$ ) = 9 .76824313 h ( New )

Pr Y$h − t α ,( n− r ) S ( Y$h( new ) ) ≤ Yh( new ) ≤ Y$h + t α ,( n −r ) S ( Y$h( new ) ) = 2

2

Pr 56.154796 - (2.365)(9.76824313) ≤ Yh( New ) ≤ 56.154796 + (2.365)(9.76824313) = 0.9

Pr 33.0529 ≤ Yh ( New ) ≤ 79 .25669 = 0.95

- 70 -


Correlaciones Parciales:

r12•3 = r13•2 =

r12 − r13r23 ( 1 − r132 )( 1 − r232 ) r13 − r12 r23 ( 1 − r122 )( 1 − r232 )

= 0.93478 = 0.94215

Prueba de hipótesis parciales para el ejemplo anterior. 1) Hipótesis: H0 : β 1•0 ,2 = 0

H0 : β 2•0 ,1 = 0

Ha : β 1•0 ,2 ≠ 0

Ha : β 2•0 ,1 ≠ 0

2) Nivel de significación: α = 0.05 3) Estadígrafo de Contraste: F-Snedecor. 4) Región de Rechazo y Aceptación: Si

numerador Fc ≤ FglglError

Si

numerador Fc > FglglError , entonces se rechaza la Ho: y se acepta la Ha:

, entonces se acepta la Ho:

5) Cálculo de ANOVA. Adj( x' x ) SCRe g . ( β 1 , β 2 β 0 ) = β$ ' x' y , β$ = ( x' x )−1 x' y ; ( x' x )−1 = x' x

x' x =

LM ∑ x MN∑ x x

∑x x ∑x

2 i1

i1 i 2 2 i2

i1 i 2

∑ xi21 = ∑ X i21 − ∑x

( ∑ X i 1 )2 n

x = ∑ X i1 X i 2 −

i1 i 2

∑ yi2 = ∑ Yi 2 −

OP = L976.79469 PQ MN−1932.627

= 976.79469 ,

( ∑ X i1 )( ∑ X i 2 ) n

( ∑ Yi )2 n

x' x = 10147256.69

−1932.627 14212.100

∑x

2 i2

OP Q

= ∑ X i22 −

( ∑ X i 2 )2 n

= −1932.627

= 40290.2053 −

( 582.424 )2 = 6368.433723 10

= 14212.1

Análisis y Diseño de Experimentos - 71 ( x' x )−1 =

x' y =

LM MN

1 ∑ xi 2 x' x − ∑ xi1 xi 2

− ∑ xi 1 xi 2

2

∑ xi21

OP = L0.001400585 PQ MN0.000190458

0.000190458 0.0000962619

LM∑ x y OP = L1042.375564O MN∑ x y PQ MN 4899.4678 PQ

OP Q

i1 i

i2 i

∑x

y = ∑ X i1Yi −

∑x

y = ∑ X i 2Yi −

( ∑ X i 1 )( ∑ Yi )

i1 i

i2 i

n

( ∑ X i 2 )( ∑ Yi ) n

= 1042.375564 ,

= 4899.4678

LM N

OP Q

LM MN

2.393079257 β$ β$ = ( x' x )−1 x' y = = 1 0.670161157 β$ 2

OP PQ

k

β$ 0 = Y − ∑ β$ j X • j =Y − β$ 1 X •1 − β$ 2 X •2 = −40.2208399 j =1

SCRe g( β1 ,β 2 β 0 ) = 2.393079257 0670161157 . ×

SCR ( β 2

β0 )

=

( ∑ xi 2 yi )2

∑x

2 i2

=

LM1042.375564OP = 5777.9 N 4899.46780 Q

( 4899.4678 )2 = 1689.038546 14212.1

SCR( β1 β0 ,β2 ) = SCR( β1 ,β2 β0 ) − SCR( β2 β0 ) = 5777920352 . . −16890385 = 4088.881806

SCR( β1 β 0 ) =

SCR ( β 2

β 0 ,β 1 )

( ∑ xi1 yi )2

∑x

= SCR ( β 1 ,β 2

2 i1

β0 )

= 4665.56089

=

(1042.375564 )2 = 1112.359463 976.79469

− SCR ( β 1

β0 )

= 5777.920352 − 1112.3594

- 72 -


RESUMEN EN ANOVA: F. de V.

GL:

R( β1 ,β2 β0 )

2

5777.92

R( β 2 β 0 )

1

1689.038546

R( β1 β0 ,β2 )

1

4088.881806 4088.881806

R( β1 β 0 )

1

1112.359463

R( β2 β0 ,β1 )

1 7 9

Error Residua Total

SC.

CM.

4665.56089 4665.56089 590.5134 84.35905717 6368.43

Fc

Signif. Tabla-F

48.47

**

12.2

55.31

**

12.2

6) Decisión: Tiene dos partes para la decisión. i) Para

β 1 , Fc = 48.47 ≥ F71,0.01 = 12.2, por lo tanto se rechaza la hipótesis

Ho:, esto es

β 1•0 ,2 ≠ 0 , esto implica que se debe incluirse en el modelo

R( β 1 β 0 , β 2 ) o aporta al modelo. ii) Para

β 2 , Fc = 55.31 ≥ F71,0.01 = 12.2, por lo tanto se rechaza la Ho:, y se

acepta la Ha:

β 2•0 ,1 ≠ 0 , esto implica que aporta al mode-

lo R( β 2 β 0 , β 1 ) . Luego el modelo final queda con los dos variables independientes en estudio, ya que aportan al modelo.

Y$ = −40.2208 + 2.393079 X i 1 + 0.67016 X i 2 SALIDA DEL SAS Variable Intercept X1 X2 Y

Variable Intercept X1 X2 Y

Model Crossproducts XX XY YY Intercept X1 X2 10 276.19 483 276.19 8604.8863 11407.35 483 11407.35 37541 582.424 17128.34402 33030.547 XX Inverse, Intercept 1.9010892146 -0.047881894 -0.009909714 -40.22083991

Parameter Estimates, and SSE X1 X2 -0.047881894 -0.009909714 0.0014005854 0.0001904581 0.0001904581 0.0000962619 2.3930792572 0.6701611574

Y 582.424 17128.34402 33030.547 40290.20533

Y -40.22083991 2.3930792572 0.6701611574 590.51340023

Análisis y Diseño de Experimentos - 73 Source Model Error Corrected Total Root MSE Dependent Mean Coeff Var

DF 2 7 9 9.18472 58.24240 15.76981

Squares 5777.92035 590.51340 6368.43375 R-Square Adj R-Sq

Square 2888.96018 84.35906

F Value 34.25

Pr > F 0.0002

0.9073 0.8808

Parameter Estimates Parameter

Standard

Variable

DF

Estimate

Error

t Value

Pr > |t|

Intercept

1

-40.22084

12.66389

-3.18

0.0156

-70.16618

-10.27550

X1

1

2.39308

0.34373

6.96

0.0002

1.58028

3.20588

X2

1

0.67016

0.09011

7.44

0.0001

0.45707

0.88325

Variable Intercept X1 X2

Covariance of Estimates Intercept X1 160.37409376 -4.039271472 -4.039271472 0.1181520674 -0.835974104 0.0160668638

95% Confidence Limits

X2 -0.835974104 0.0160668638 0.0081205671

Output Statistics Dep Var Predicted

Std Error

Obs

Y

1

43.1270

49.9789

Value Mean Predict 3.1014

42.6452

57.3125

27.0557

72.9020

-6.8519

2

16.6530

20.8301

5.6319

7.5126

34.1475

-4.6463

46.3064

-4.1771

3

92.3220

85.1420

7.2965

67.8886

102.3954

57.4045

112.8795

7.1800

4

38.0840

48.6114

4.1121

38.8878

58.3349

24.8156

72.4071

-10.5274

5

61.9390

62.8069

2.9893

55.7384

69.8754

39.9671

85.6466

-0.8679

6

92.3760

88.0975

7.1596

71.1677

105.0272

60.5601

115.6348

4.2785

7

24.3730

16.5681

5.8138

2.8206

30.3156

-9.1356

42.2719

7.8049

8

74.0290

85.7364

4.9458

74.0416

97.4313

61.0695

110.4034

-11.7074

9

70.7720

67.5905

3.8256

58.5446

76.6365

44.0636

91.1175

3.1815

10

68.7490

57.0623

2.9156

50.1680

63.9565

34.2759

79.8487

11.6867

Sum of Residuals Sum of Squared Residuals Predicted Residual SS (PRESS)

95% CL Mean

0 590.51340 1401.80989

Pearson Correlation Coefficients, N = 10 Prob > |r| under H0: Rho=0 Y X1 X2 Y 1.00000 0.41793 0.51500 0.2294 0.1277 X1 0.41793 1.00000 -0.51870 0.2294 0.1245 X2 0.51500 -0.51870 1.00000 0.1277 0.1245

95% CL Predict

Residual

- 74 -


EJEMPLO: En un estudio diseñado para descubrir qué factores podrían estar relacionados con el peso al nacer, se obtuvieron los siguientes datos en 10 niños recién nacidos. Peso al nacer Calificación de condición Orden en gramos (Y) socioeconómica (X1) de nacimiento (X2) 1361 8 4 1588 7 3 1815 4 4 2087 5 3 2268 5 2 2404 4 2 3402 3 2 3629 3 1 3765 2 1 4083 1 1

a) Estimar la ecuación de regresión ajustada, b) Construir la Tabla de ANOVA, c) Encontrar los intervalos confidenciales para bi (betas) e interpretar. SOLUCIÓN: a) Estimar la ecuación de regresión múltiple.  N  X ' X =  ∑ X i1 ∑ X i 2 

∑X ∑X ∑X X i1 2 i1

i1

∑X ∑X X ∑X

i2

 ∑ Yi   26402   X ' Y =  ∑ X i1Yi  =  93361 ,  ∑ X i 2Yi  51354     A11 Adj ( X ' X ) =  − A12  A13

− A21 A22 − A23

 10 42 23    218 114 i1 i 2  =  42 2   23 114 65  i2  i2

10 42 23  42 218 114   det( X ' X ) =  23 114 65  = 2006   10 42 23  42 218 114

A31  1174 −108 −226  − A32  =  −108 121 −174  , A33   −226 −174 416 

 a11 a12 X ' X = a21 a22 a31 a32

a13  a23  a33 


A11 = a22 a33 − a32 a23 = 1174

A21 = a12 a 32 − a 32 a13 = 108

A12 = a 21 a33 − a31 a 23 = 108

A22 = a11a33 − a31a13 = 121

A13 = a21a32 − a31a22 = −226

A23 = a11a23 − a21a13 = 174

A31 = a21a32 − a31a22 = −226 A32 = a11 a 32 − a31 a12 = 174 A33 = a11a22 − a21a12 = 416

(X ' X )−1 =

1174 −108 −226  0.58524427 −0.05383848 −0.11266201 Adj(X ' X ) 1  = −108 121 −174 = −0.05383848 0.06031904 −0.08673978 det(X ' X ) 2006  −226 −174 416  −0.11266201 −0.08673978 0.20737787 

 0.58524427 −0.05383848 −0.11266201 26402  4639.55932  âˆ = ( X ' X )−1 X 'Y = −0.05383848 0.06031904 −0.08673978 93361 = −244.432203 −0.11266201 −0.08673978 0.20737787  51354 −422.932203

Yˆ = 4639.55932 − 244.432203 X i1 − 422.932203 X i 2 b) Tabla de ANOVA Grados de libertad (GL.) GLreg = p - 1 = 3 - 1 = 2 GLerror = N - p = 10 - 3 = 7 GLtotal = N - 1 = 10 - 1 = 9 Sumas de Cuadrados (SS): ˆ X ' Y − NY 2 SSR m = â'  26402  2  26402  = [4639.55932 −244.432203 −422.932203]  93361 − 10   = 824738  10  51354  2

 26402  SSTm = Y ' Y − NY 2 = 78536258 − 10  = 8829697.6  10 

SSE = 8829697.6 - 8247389.51 = 582308.09

- 76 -


Tabla de Análisis de Varianza para la Frecuencia Cardíaca F. de V. G.L. S.S. M.S. Fc. Signif Debido a Regresión 2 8247389.510 4123694.7550 49.57 ** Error residual 7 582308.090 83186.8700 Total 9 8829697.600 981077.5111 Cálculo del Coeficiente de Determinación: R2 =

SSRm 8247389.51 x100 = ( 100 ) = 93.41% SSTm 8829697.6

~2 ) Coeficiente de Determinación ajustado ( R V ( β$ ) = ( X ' X )−1 MSE

MSE 83186.87 ~ R 2 = 1− . %, = 1− = 9152 MSTm 981077.51

LM MM N

OP PP Q

LM MM N

OP PP Q

0.585244267 -0.053838485 -0.112662014 48684.63877 -4478.65501 -9372.00031 V( β$ ) = -0.053838485 0.060319043 -0.086739781 (83186.87) = -4478.65501 5017.75238 -7215.61086 -0.112662014 -0.086739781 0.207377866 -9372.00031 -7215.61086 17251.11561

INTERVALO CONFIDENCIAL (IC) PARA ( β i ).

LM N

OP Q

Pr β$ i − t α ,( N − r ) V ( β$ i ) ≤ βi ≤ β$ i + t α ,( N − r ) V ( β$ i ) = 1 − α 2

2


LM N

β0:

OP Q

Pr β$ 0 − t α ,( N − r ) V ( β$ 0 ) ≤ β 0 ≤ β$ 0 + t α ,( N − r ) V ( β$ 0 ) = 1 − 0.05 2

2

Pr 4639.559322−(2.365) 48684.63877 ≤β0 ≤4639.559322+(2.365) 48684.63877 =095 . Pr 4117.731631 ≤ β 0 ≤ 5161.387013 = 0.95


LM N

β1:

OP Q


2

Pr -244.4322034 − ( 2.365 ) 5017.75238 ≤ β 1 ≤ -244.4322034 + ( 2.365 ) 5017.75238 =

Pr -411.9595684 ≤ β 1 ≤ -76.90483833 = 0.95

Análisis y Diseño de Experimentos - 77 Intervalo confidencial (IC) para

LM N

β2 :

OP Q


2

Pr -422.9322034 − ( 2.365 ) 17251.11561 ≤ β 2 ≤ -422.9322034 − ( 2.365 ) 17251.11561 = 095 .

Pr -733.5595865 ≤ β 2 ≤ -112.3048203 = 0.95

Calcule el intervalo confidencial para la respuesta media E ( Yh ) .

X h' = 1 6 5

LM MM N

OP PP Q

4639.559322 ' $ $ Yh = X h β = 1 6 5 -244.4322034 = 1058.305085 -422.9322034

LM MM-0.112662014 N

OPLM OP PM P 0.207377866 QPNM5PQ

0.585244267 -0.053838485 -0.112662014 1 V( Xh' β$ ) = (83186.87 ) 1 6 5 -0.053838485 0.060319043 -0.086739781 6 = 80201.09999 -0.086739781

S ( Y$h ) = 283.1979873 Pr 1058.305085-(2.365)(283.1979873) ≤ E( Yh ) ≤ 1058.305085+(2.365)(283.1979873) =

Pr 388.5418449 ≤ E ( Yh ) ≤ 1728.068325 = 0.95 Con la información anterior calcular Intervalo confidencia al 95%. X h' = 1 7 6

LM MM N

OP PP Q

4639.559322 Y$h = X h' β$ = 1 7 6 -244.4322034 = 390.940678 -422.9322034

R| S| T

LM MM N

OPLM OPU| PPMM PPV| QN QW

0.585244267 -0.053838485 -0.112662014 1 S2(Y$h( New) ) = (83186.87 ) 1+ 1 7 6 -0.053838485 0.060319043 -0.086739781 7 =217505.0 -0.112662014 -0.086739781 0.207377866 6

S( Y$h( New ) ) = 466.3743683 Pr 390.940678 - (2.365)(466.3743683) ≤ Yh ( New ) ≤ 390.940678 + (2.365)(466.3743683) =

Pr -712.0347031 ≤ Yh( New ) ≤ 1493.916059 = 0.95

- 78 -


PROGRAMA EN SAS.

DATA REGG; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT Y X1 X2; DATALINES; 1361 8 4 1588 7 3 1815 4 4 2087 5 3 2268 5 2 2404 4 2 3402 3 2 3629 3 1 3765 2 1 4083 1 1 ; PROC PRINT; RUN; PROC REG; MODEL Y = X1 X2/XPX COVB CLB CLI CLM I P; RUN; PROC CORR; VAR Y X1 X2; RUN; PROC CORR; PARTIAL X2; VAR Y X1; RUN;

Análisis y Diseño de Experimentos - 79 SALIDA DEL SAS. Model: MODEL1 Model Crossproducts X’X X’Y Y’Y Intercept X1 10 42 42 218 23 114 26402 93361


X’X Inverse, Intercept 0.5852442672 -0.053838485 -0.112662014 4639.559322





Obs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

DF 1 1 1

X2 23 114 65 51354

Y 26402 93361 51354 78536258

Parameter Estimates, and SSE X1 X2 -0.053838485 -0.112662014 0.0603190429 -0.086739781 -0.086739781 0.2073778664 -244.4322034 -422.9322034

Y 4639.559322 -244.4322034 -422.9322034 582308.09322

Analysis of Variance Sum of Mean DF Squares Square 2 8247390 4123695 7 582308 83187 9 8829698 288.42134 R-Square 0.9341 2640.20000 Adj R-Sq 0.9152 10.92422 Parameter Estimate 4639.55932 -244.43220 -422.93220

Parameter Estimates Standard Error t Value Pr > |t| 220.64596 21.03 <.0001 70.83610 -3.45 0.0107 131.34350 -3.22 0.0147

Covariance of Estimates Intercept X1 48684.639043 -4478.65504 -4478.65504 5017.7524056 -9372.000361 -7215.610897

F Value 49.57

Pr > F <.0001

95% Confidence Limits 4117.81454 5161.30411 -411.93295 -76.93145 -733.51024 -112.35417

X2 -9372.000361 -7215.610897 17251.115709

Output Statistics Dep Var Predicted Std Error Y Value Mean Predict 95% CL Mean 1361 992.3729 193.4039 535.0454 1450 1588 1660 166.8104 1265 2054 1815 1970 251.5586 1375 2565 2087 2149 109.0945 1891 2407 2268 2572 128.6318 2267 2876 2404 2816 95.9486 2589 3043 3402 3060 109.0945 2802 3318 3629 3483 148.9494 3131 3836 3765 3728 143.1283 3389 4066 4083 3972 169.7674 3571 4374

95% CL Predict Residual 171.2252 1814 368.6271 871.8787 2448 -71.7373 1065 2875 -155.1017 1419 2878 -61.6017 1825 3318 -303.5339 2097 3535 -411.9661 2331 3790 341.6017 2716 4251 145.6695 2966 4489 37.2373 3181 4764 110.8051

- 80 -


EJERCICIOS. Para cada uno de los siguientes ejercicios: a) Fijar el modelo de regresión múltiple, b) Estimar la ecuación de regresión, c) Calcule los errores e = Y − Y$ , d) Realice el ~2 ANVA, R2, Rajust . e) Probar la hipótesis bi ≠ 0 , f) Calcule los intervalos confidenciales para bi , g) Intervalo confidencial del 95% para la respuesta media, h) Intervalo confidencial del 95% para la predicción. 1. A Jennifer Dahl, supervisora de la cadena Circle O, le gustaría pronosticar el tiempo que toma atender a un cliente en caja. Para ello, decide utilizar las siguientes variables independientes: monto de las compras y número de artículos comprados. Jennifer reúne una muestra de datos para 18 clientes. Calcule el punto de estimación del tiempo de atención si el cliente compra 14 artículos por un monto de $70 dólares. Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Tiempo de atención (minutos) Y Monto (en dólares ) X2 Número de artículos X3 3 36 9 1.3 13 5 0.5 3 2 7.4 81 14 5.9 78 13 8.4 103 16 5 64 12 8.1 67 11 1.9 25 7 6.2 55 11 0.7 13 3 1.4 21 8 9.1 121 21 0.9 10 6 5.4 60 13 3.3 32 11 4.5 51 15 2.4 28 10

X' h= [1 40 18]

2. Un investigador reunió los siguientes datos sobre 15 niños. Estime para [1 3 35]


Calificación de Orden de Edad de la madre al inteligencia (Y) nacimiento (X1) nacimiento del producto (X2) 110 1 25 115 1 24 120 1 22 118 1 24 110 2 20 108 2 20 105 2 20 104 3 24 98 3 25 99 4 30 98 4 24 100 5 29 90 5 30 93 5 30 90 6 28

3. En un estudio acerca de los factores que se pensaba estaban relacionados con los patrones de admisión a un hospital general grande, el administrador del hospital obtuvo los siguientes datos de 10 comunidades dentro del área de trabajo del hospital. Estime para [1 6.5 7.5]

Personas por cada 1000 Índice de admitidas durante disponibilidad el periodo de estudio de otros servicios Índice de Comunidad (Y) de salud (X1) indigencia (X2) 1 61.6 6.0 6.3 2 53.2 4.4 5.5 3 65.5 9.1 3.6 4 64.9 8.1 5.8 5 72.7 9.7 6.8 6 52.2 4.8 7.9 7 50.2 7.6 4.2 8 44.0 4.4 6.0 9 53.8 9.1 2.8 10 53.5 6.7 6.7

- 82 -


4. El administrador de un hospital general obtuvo los siguientes datos de 20 pacientes para cirugía durante un estudio para determinar qué factores parecen estar relacionados con la duración de la estancia. Estime la respuesta media [1 5 6] (Y) 6 6 11 9 16 16 4 8 11 13 13 9 17 17 12 6 5 12 8 (X1) 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 1 1 3 2 4 1 1 3 1 (X2) 1 1 2 3 3 5 1 1 2 2 4 2 3 4 1 1 1 2 2 Y (Tiempo de hospitalización postoperatorio); X1 (Número de problemas médicos actuales); X2 ( Tiempo de hospitalización preoperatorio)

9 2 2

5. Utilizar como referencia (correlación). El investigador dispuso de infromación adicional sobre la calificación obtenida por cada enfermera en una prueba de aptitud realizada cuando la enfermera ingresó a la escuela. Los datos completos son los siguientes. Estime la respuesta media y predicción para [1 95 98]: (Y) 440 480 535 460 525 480 510 530 545 600 495 545 575 525 575 600 490 510 575 540 595 525 545 600 625 (X1) 87 87 87 88 88 89 89 89 89 89 90 90 90 91 91 91 92 92 92 93 93 94 94 94 94 (X2) 92 79 99 91 84 71 78 78 71 76 89 90 73 71 81 84 70 85 71 76 90 94 94 93 73 Y (Calificación de la dirección estatal); X1 (Calificación final); X2 (Calificación en el examen de aptitud).

6. Se obtuvieron los siguientes datos a partir de una muestra aleatoria simple de 20 pacientes con hipertensión. Las variables fueron: Y = presión arterial media (mm Hg); X1 = edad (años); X2 = Peso (kg) X3 = Area de superficie del cuerpo (m2); X4 = Duración de la hipertensión (años)

Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Y 105 115 116 117 112 121 121 110 110 114 114 115 114 106 125 114 106 113 110 122

X1 47 49 49 50 51 48 49 47 49 48 47 49 50 45 52 46 46 46 48 56

X2 85.4 94.2 95.3 94.7 89.4 99.5 99.8 90.9 89.2 92.7 94.4 94.1 91.6 87.1 101.3 94.5 87.0 94.5 90.5 95.7

X3 1.75 2.10 1.98 2.01 1.89 2.25 2.25 1.90 1.83 2.07 2.07 1.98 2.05 1.92 2.19 1.98 1.87 1.90 1.88 2.09

X4 5.1 3.8 8.2 5.8 7.0 9.3 2.5 6.2 7.1 5.6 5.3 5.6 10.2 5.6 10.0 7.4 3.6 4.3 9.0 7.0

Análisis y Diseño de Experimentos - 83 Estime para la respuesta media y predicción [1 55 88.5 1.99 8.5], usando software estadístico disponible o adecuado. 7. El Señor Mike Wilde es presidente de una organización de profesores en el distrito escolar de Otsego. Al prepararse para futuras negociaciones. a Mike le gustaría investigar la estructura de sueldos de los profesores del distrito. Considera que existen dos factores que afectan el sueldo de un profesor: años de experiencia, calificación de la efectividad de la enseñanza dada por el director. Una muestra de 20 profesores dió como resultado los datos que siguien: Sueldo (miles de $): Y Años de exp. X1 Calific. Del Director X2

21.1 23.6 19.3 33.0 28.6 35.0 32.0 26.8 38.6 21.7 15.7 20.6 41.8 36.7 28.4 23.6 31.8 20.7 22.8 32.8 8 5 2 15 11 14 9 7 22 3 1 5 23 17 12 14 8 4 2 8 35 43 51 60 73 80 76 54 55 90 30 44 84 76 68 25 90 62 80 72 Xh = [1 24 92]

1.4. REGRESION CURVILINEAL O NO LINEALES. A) CASO EXPONENCIAL: Y = abX Esto es uno de los modelos no lineales que se utiliza sobre todo cuando se desea calcular las tasas de crecimiento, esto implica tomar en cuenta la variable de tiempo como variable independiente «X», sin embargo se puede considerar cualquier otra variable y ajustar la función sin hacer referencia a tasas de crecimiento, el modelo es el siguiente: Y = abX Como es una ecuación no lineal, entonces primeramente se realiza la linealización , para esto se usa los logarítmos, esto es: Log Y = Log a + X Log b .................................................... (a) Aplicando sumatoria a ambos miembros de la ecuación (a) se tiene: n

∑ LogY

i

= nLog a + Log b

i=1 n

i

Primera Ec. Normal.

i=1

n

∑ X LogY = Log a∑ X i

i=1

n

∑X

i=1

n

i

+ Log b ∑ X2i Segunda Ec. Normal. i=1

De la primera ecuación normal, se debe despejar Log a, entonces se tiene:

- 84 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno n

∑ LogY

= nLog a + Log b

i

i=1

n

∑X

i

i=1

n

∑ LogY

i

i=1

Log a =

n

− Log b X

................................................. (b)

reemplazando en la ecuación (b) de la segunda ecuación normal se obtiene:

F ∑ Log Y I G J ∑ X Log Y = G n − X Log bJ ∑ X + Log b ∑ X GGH JJK n

i

n

n

n

i=1

i

i

i =1

i=1

2 i

i =1

Realizando operaciones elementales y ordenando se obtiene: n

n

n

∑ X LogY − X∑ LogY i

Log b =

i

i=1

n

i=1 n

∑ X LogY − i

i

∑ X2i − X ∑ X i i=1

n

ó Log b =

i

i=1

i

i=1

i

i=1

n

FG ∑ X IJ H K − n

2

i

n

∑X

i=1

n

∑ X ∑ LogY

2 i

i=1

i=1

n

Para realizar las predicciones se transforma al modelo original, esto se consigue usando las propiedades de antilogaritmos. Log Y = Log a + X Log b antilog(Log Y) = antilog(Log a) + X antilog(Log b) Llegamos al modelo estimado: Y = abX n = 17

X

=

FG ∑ X IJ H K 12

911.77

Y

= 399.82 n

∑

2

n

i

i=1

L o g Yi

=14132535.29

Log a =

= 49.18

R2 = 0.9359

i=1

n

12

∑ Log X i=1

i

− Log b X

Análisis y Diseño de Experimentos - 85 Aplicando las fórmulas dadas anteriormente se puede encontrar los parámetros estimados: Log b = 0.00031 Log a = 2.29584

Antilog(Log b) = Antilog(Log a) =

Log Y = Log a + X Log b,

1.000714 = b 197.625060 = a

Log Y = 2.29584 + 0.00031X

La siguiente ecuación encontrada permitirá realizar las estimaciones futuras o proyecciones:

$ = 197.625060x1.000714X Y i

Total

Nro. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

i

17

sem. (Y) g. 203 203 266 266 294 336 336 371 406 406 448 490 532 532 560 574 574

Cons. Alim.

17

Log X 2.39 2.48 2.56 2.64 2.71 2.78 2.83 2.89 2.94 2.99 3.03 3.08 3.11 3.15 3.18 3.20 3.23 17

i

i

XLog Y 566.72 698.50 887.02 1056.71 1260.09 1506.20 1711.09 1978.49 2261.33 2527.14 2868.15 3204.56 3549.95 3827.40 4122.83 4401.02 4650.70 17

2 i

2

X 60319.36 91633.34 133809.64 189904.21 260610.25 355454.44 458735.29 592946.20 751515.61 938573.44 1170291.24 1418957.44 1695985.29 1971440.65 2250600.04 2544663.04 2841584.49 17

L

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

∑X = 15500.10 ∑Yi = 6797.00 ∑LogXi =49.18 ∑XLogY =41077.92 ∑X =17727023.97 ∑Lo

17

(X) g. 245.60 302.71 365.80 435.78 510.50 596.20 677.30 770.03 866.90 968.80 1081.80 1191.20 1302.30 1404.08 1500.20 1595.20 1685.70

Peso Vivo

- 86 V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno

Análisis y Diseño de Experimentos - 87 B) FUNCION POTENCIAL O CURVA GEOMETRICA: Y = aXb En una curva geométrica la variable independiente «X» (o predictor) y la variable dependiente «Y» aumentan o disminuyen en progresión geométrica, por esto los valores de «X» e «Y» son expresados en forma logarítmica. Una tendencia geométrica es una curva, es decir los valores «X» e «Y» representado en un gráfica se aproximan a una curva, y a una recta respectivamente, la expresión exponencial de la ecuación es: Y = aXb. Esta ecuación se utiliza cuando se tiene pares de datos en donde las condiciones son las siguientes: (Xi, Yi), i = 1, 2, ...n, además debe cumplir que: a > 0, Xi > 0 e Yi > 0.

Y = aXb Primeramente hay que linealizar aplicando logarítmos, y resulta de la siguiente forma: Log Y = Log a + b Log X

............................................................ a)

Aplicando sumatoria a la ecuación a) a ambos miembros. n

∑ Log Yi = n Log a + b i=1

n

∑ Log X

i

1ra. Ec. Normal.

i=1

Aplicando Log X a la ecuación a) a ambos miembros se tiene: n

n

n

i =1

i =1

i =1

b

∑ Log X i Log Yi =Log a ∑ Log X i + b ∑ Log X i

g

2

2da. Ec. Normal.

De la primera Ecuación Normal despejamos Log a, esto es: n

∑ Log Yi = n Log a + b i=1

n

n Log a = ∑ Log Yi − b i=1

n

∑ Log X

i

i=1 n

∑ Log X i=1

i

- 88 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno n

∑ Log Y

i

Log a =

i=1

n

n

−

b ∑ Log X i

................... 1)

i=1

n

Reemplazando 1) en la Segunda Ecuación Normal obtenemos: n

∑ LogX i LogYi = Log a i =1

n

n

i =1

i =1

b

∑ LogXi + b∑ LogX i

g

2

F ∑ LogY b∑ LogX I J G ∑ LogX LogY = G n − n J ∑ LogX + b∑bLogX g JJ GG K H n

n

i =1

n

i

i =1

i

n

i =1

n

i

n

i

i =1

n

∑ LogX

i

i =1

i

LogYi =

n

∑ LogY ∑ LogX i =1

i

i =1

n n

−

b

i =1

b∑ LogX i i =1

g

n

n

n

∑ LogY ∑ LogX

i =1

n

∑ LogXi LogYi =

n

i

i =1

i

i =1

2

i

2 n

+b∑ Log i =1

n

i

n

+b∑ LogX2i −

b

b∑ LogX i =1

i =1

n

Realizando operaciones elementales se llega a encontar «b».

n

b$ =

∑ LogX LogY − i

n

n

i =1

i =1

∑ LogYi ∑ LogXi

i

i =1

n

∑ bLogX g n

n

∑ LogX i =1

2 i

−

2

i

i =1

n

Para realizar las proyecciones futuras, se debe regresar al modelo original, haciendo uso de antilogarítmos:

Análisis y Diseño de Experimentos - 89 Log Y = Log a + bLog X antilog(Log Y) = antilog(Log a) + b antilog(Log X)

Y = aX b Además se puede calcular el Coeficiente de Determinación (R2) con la siguiente fórmula:

O LM ∑ LogX ∑ LogY P PP MM∑ LogX LogY − n PQ MN = LM FG ∑ LogX IJ OP LM FG ∑ LogY IJ H K K MM∑ LogX − PP MM∑ LogY − H n n MM PP MM N QN n

2

n

i

n

i =1

i

i

i =1

i

i =1

R

2

2

n

i

n

2 i

i =1

i =1

n

i

n

2 i

i =1

i =1

2

OP PP PP Q

Para demostrar los cálculos de este modelo, realizamos usando la información del ejemplo 1), en la siguiente tabla.

Total

Nro. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

i

17

i

Cons. Alim. sem.(Y)g. 203 203 266 266 294 336 336 371 406 406 448 490 532 532 560 574 574 17

i

LogX 2.39 2.48 2.56 2.64 2.71 2.78 2.83 2.89 2.94 2.99 3.03 3.08 3.11 3.15 3.18 3.20 3.23 17

i

LogY 2.31 2.31 2.42 2.42 2.47 2.53 2.53 2.57 2.61 2.61 2.65 2.69 2.73 2.73 2.75 2.76 2.76 17

i

i

LogXxLogY 5.52 5.72 6.22 6.40 6.68 7.01 7.15 7.42 7.66 7.79 8.04 8.28 8.49 8.58 8.73 8.84 8.90 17

2 i

2

LogX 5.713 6.155 6.570 6.966 7.333 7.703 8.013 8.332 8.632 8.918 9.206 9.462 9.701 9.906 10.088 10.258 10.412 17

2 i

2

LogY 5.3245 5.3245 5.8801 5.8801 6.0927 6.3824 6.3824 6.6017 6.8044 6.8044 7.0293 7.2372 7.4306 7.4306 7.5525 7.6116 7.6116

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

∑X =15500.10 ∑Y =6797.00 ∑LogX =49.18 ∑LogY =43.83 ∑LogXLogY= 127.43 ∑LogX =143.37 ∑LogY = 113.38

17

PesoVivo (X)g. 245.60 302.71 365.80 435.78 510.50 596.20 677.30 770.03 866.90 968.80 1081.80 1191.20 1302.30 1404.08 1500.20 1595.20 1685.70


Análisis y Diseño de Experimentos - 91 n=

17,

X = 2.89

Y = 2.58,

n

∑ LogY

i

Log a =

i=1

n

R2 = 0.9873723,

R2x100 = 98.74%

F ∑ LogX I G JJ − bG GG n JJ H K n

i

i=1

Realizando operaciones y sustituyendo en las fórmulas dadas anteriormente encontramos los parámetros estimados, como se muestra a continuación: b = 0.57185, Log a = 0.92411, Antilog(Log a) = 8.396772 = a Log Y = Log a + b Log X LogY= 0.92411 + 0.57185 logX La ecuación encontrada permitirá realizar las estimaciones futuras o proyecciones, que es de la forma: Y = aXb

$ = 8.396772X0.57185 Y C) CASO PARABÓLICO (Función de Segundo Grado). La forma general de una ecuación polinomial es:

Y = a + bX + cX2 + dX3 + .... + nXn Cuando la ecuación polinomial describe movimientos de tendencia no lineal es usualmente necesario escribir en su forma más simple. La cual es llamada ecuación polinomial de segundo grado, también denominada como la curva parabólica. Para encontrar las ecuaciones normales por el método de Mínimos Cuadrados, n

seguimos la metodología descrita anteriormente; es decir

∑ (Y − Y ) debe ser un 2

i =1

i

C

n

mínimo; al sustituir Yc por su valor se tiene, ∑ (Yi − a − bX − cX i =1

2 2

)

, un mínimo; luego

se deriva con respecto a: «a», «b» y «c»; y al igualar las derivadas a cero, después de simplificar, se llegará a las siguientes ecuaciones normales:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Total

Nro.

i

17

i

sem.(Y)g. 203 203 266 266 294 336 336 371 406 406 448 490 532 532 560 574 574

Cons. Alim.

17

i i

XY 49856.80 61450.13 97302.80 115917.48 150087.00 200323.20 227572.80 285681.13 351961.40 393332.80 484646.40 583688.00 692823.60 746970.56 840112.00 915644.80 967591.80 17

2 i

2

X 60319.36 91633.34 133809.64 189904.21 260610.25 355454.44 458735.29 592946.20 751515.61 938573.44 1170291.24 1418957.44 1695985.29 1971440.65 2250600.04 2544663.04 2841584.49 17

2 i i

2

XY 12244830.08 18601568.85 35593364.24 50514519.43 76619413.50 119432691.84 154135057.44 219983040.53 305115337.66 381060816.64 524290475.52 695289145.60 902264174.28 1048806423.88 1260336022.40 1460636584.96 1631069497.26 17

3 i

3

X 14814434.82 27738329.59 48947566.31 82756455.94 133041532.63 211921937.13 310701411.92 456586363.08 651488882.31 909289948.67 1266021063.43 1690262102.53 2208681643.17 2768060382.80 3376350180.01 4059246481.41 4790058974.79 17

4 i

4

X 3638425190.81 8396669750.95 17905019756.93 36063608368.03 67917702405.06 126347858915.71 210438066291.38 351585197161.74 564775712073.67 880920102273.43 1369581586420.74 2013440216531.35 2876366103896.38 3886578222278.05 5065200540048.00 6475309987142.04 8074602413808.56

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

∑X=15500.10 ∑Y=6797.00 ∑XY=7164962.70 ∑X =17727023.97 ∑XY=8895992964.13∑X =23005967690.52 ∑X =32029067432312.90

17

(X)g. 245.60 302.71 365.80 435.78 510.50 596.20 677.30 770.03 866.90 968.80 1081.80 1191.20 1302.30 1404.08 1500.20 1595.20 1685.70

PesoVivo


Análisis y Diseño de Experimentos - 93 En la tabla anterior aparecen los resultados en forma detallada, según las ecuaciones normales, para luego sustituir los valores de las constantes: «a», «b» y «c». n

n

n

i =1

i =1

i =1

∑ Yi = na + b∑ X i + c∑ X 2i .............................. (1) n

n

∑ X Y = a∑ X i

i

i =1

n

i

i =1

n

n

∑ X Y = a∑ X 2 i

i

i =1

i =1

2 i

n

+ b ∑ X + c ∑ X 3i .................. (2) 2 i

i =1

i =1

n

n

i =1

i =1

+ b∑ X 3i + c∑ X 4i .................. (3)

Sustituyendo por los valores de las sumatorias se tiene: 6797 = 17a + 15500.1b + 17727023.9698c 7164962.7 = 15500.1a + 17727023.9698b + 23005967690.52c 8895992964.1254 = 17727023.9698a + 23005967690.52b + 32029067432313c

(1) (2) (3)

Se resuelven 1 y 2 -15500.1 -105354179.7 = -263501.7a 240253100.01b - 274770644234.3c 17 121804365.9 = 263501.7a + 301359407.4866b + 391101450738.85c ======================================================== 16450186.2 = 0 61106307.4766b + 116330806504.55c

(4)

se resuelven 1 y 3 -17727023.9698 -120490581922.73 = -301359407.49a - 274770644234.3 b - 3.1424737882586E+14c 17 151231880390.13 = 301359407.49a+391101450738.85b+5.4449414634932E+14c ============================================================= 30741298467.40 = 0.00 116330806504.55b + 230246767523454.80 c (5)

Se resuelve 4 y 5 -116330806505 61106307.4766

-1.913663428E+18 = -7.108546031268E+18 - 1.3532856541999E+22c 1.8784872364E+18 = 7.1085460312679E+18+1.4069529771781E+22c ====================================================== -3.517619142E+16 0 5.3667322978245E+20c

c = -6.55E-05

- 94 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno Al sustituir este valor en (4) 16450186.2 = 61106307.4766b + 116330806504.55(-6.55E-05) 16450186.2 = 61106307.4766b -7624890.6973888

Despejamos:

b = 0.3939868

Al sustituir los valores de «b» y de «c» en (1) tenemos: 6797 = 17a + 15500.100000b + 17727023.9698 6797 = 17a + 6106.834381379 - 1161.9159552068(4944.9184261721) Despejamos: a = 108.94597

$ = a + bX + cX2 Y Finalmente encontramos el Modelo Estimado:

$ = 108.94597 + 0.393986773X - 6.55448967174E-05X2 Y


2 CONCEPTOS BÁSICOS DEL DISEÑO 2.1. ¿Qué es un experimento? Es el planeamiento que nos lleva a la obtención de resultados sobre una ó más características de una población o también a resultados que nos permitan comparar con otros resultados anteriores. 2.1.1. Experimentos preliminares.- Son los experimentos en los cuales se consideran todos los posibles tratamientos a ser aplicados a una población con el objeto de seleccionar los mejores. Ejemplo: Productor de papa (seleccionar el mejor). 2.1.2. Experimento crítico.- Son los experimentos en los cuales se considera un número reducido de tratamientos que fueron seleccionados previamente a través de un experimento preliminar. Ejemplo: Variedades de papa, quinua, cebada, etc. (comparar con cualquiera de ellos). 2.1.3. Experimento demostrativo.- Son aquellos elementos que se usan para comparar un nuevo lote de tratamientos para compararlos con trata-

- 96 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno mientos o procedimientos rutinarios. Ejemplo: Variedades de papa: 50 variedades comparar todas entre sí. En mejoramiento: 1 nueva Var. - Comparo - Otra Var.: escoger la mejor variedad.

2.2.

Objetivos de un experimento. Fundamentalmente son para alcanzar dos objetivos: a) Para probar hipótesis entre dos o más tratamientos, b) Para obtener resultados. Es la estimación de parámetros sobre los diferentes tratamientos de un experimento.

2.3.

Unidad experimental (U.E.). Es la unidad material a la cual se le aplica un tratamiento. Es la división más pequeña del material experimental. Denominada también parcela o unidad elemental estadística, es la parte del material experimental que es delimitada y en donde se realizan las mediciones estadísticas. La unidad experimental está sujeta al costo, manejo, disponibilidad del material, etc. Ejemplo: U.E. (o parcela). Una planta por maceta, una parcela de 20 m2. un animal, un grupo de personas, una superficie ó área determinada, una máquina ó varias máquinas, un instrumento o varios instrumentos.

2.4. ¿Qué es un tratamiento?. Es una característica cuyo efecto se quiere medir y comparar. Ejemplo: Raciones, fertilizantes, dosis de un pesticida, diferentes métodos educativos, diferentes tipos de estímulos de un tratamiento psicológico, tipos de máquina.

2.5. El Error Experimental (E.E.). El término error experimental, es aquel que describe la diferencia en los resultados producidos por dos o más unidades experimentales que reciben el mismo tratamiento. Es el grado de varianza ó variabilidad o cantidad de variación que existe entre las observaciones o repeticiones de un mismo tratamiento. Ejemplo: dos vacas con la misma dosis alimentaria, dos parcelas con el mismo cultivo tratados o conducidos en idénticas condiciones, dos personas que

Análisis y Diseño de Experimentos - 97 adolecen de la misma enfermedad y son tratadas con la misma terapia para su recuperación. Estas diferencias grandes o pequeñas contribuyen a enmascarar los verdaderos efectos de los tratamientos bajo estudio. Fuentes de errores experimentales. 1. Causas del error experimental.- Entre otras las principales son: a) Variabilidad propia del material experimental. b) Efecto combinado de factores extraños que no fueron controlados por el experimentador. c) Error en la conducción del experimento, falta de uniformidad en la conducción del experimento. d) Error de medición y/u observación. 2. ¿Cómo reducir el Error Experimental?. La magnitud del error experimental se puede reducir utilizando: a) En lo posible, material homogéneo, o estratificado en grupos homogéneos si el material es heterogéneo. b) Información disponible sobre otros factores no incluídos en el estudio. c) Diseño experimental más adecuado. d) Conduciendo cuidadosamente el experimento. El término error experimental no solo se refiere a las equivocaciones involuntarias, sino que incluye todos los tipos de variación extraña.

2.6. Principios básicos de Diseño Experimental. 1.

Repeticiones y sus funciones.- Es el número de observaciones que se tiene por tratamientos. La repetición sirve para medir el grado de variación que existe entre las observaciones de un tratamiento. Debe ser más de tres. a) Medir el grado del error experimental. b) Para incrementar el grado de precisión del experimento. c) El área de inferencia es mayor. d) Controlar la varianza. Ejemplo: Sean dos tipos de alimentos alfalfa (A1) y Concentrado (A2) tratamientos. Se toma como unidad experimental una vaca siendo la variable de estudio: Rendimiento de leche en un determinado período (primer parto).

- 98 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno Si evaluamos el efecto de estos alimentos contando con una unidad experimental por cada uno de ellos, se tendrá:

A1

A2

11

21

U.E

Al ser comparados A1 versus A2 en base a la información de sólo estas dos U.E., apenas nos dará una idea vaga con lo que no nos afirma a tomar decisiones respecto al efecto de uno de los alimentos. Al disponer de una segunda U.E. por cada tratamiento se observa:

U.E.

A1

A2

11 12

21 22

Se dice que se ha repetido el experimento por segunda vez, y si repetimos por ejemplo cuatro veces, esto es; que se dispondrán de 4 U.E. (por cada tratamiento), se tiene entonces:


U.E.

A1

A2

11 12 13 14

21 22 23 24

Donde el primer sub-índice identifica al alimento y el segundo sub-índice a la U.E. En este caso tenemos un experimento con dos tratamientos y cuatro repeticiones por cada uno. A esto es lo que se refiere la repetición o reproducción del experimento: es la aplicación de los tratamientos en tantas U.E. como sea posible. Las conclusiones serán más confiables en ésta última con cuatro repeticiones por cada tratamiento. Se justifica repetir un experimento porque: a) Provee una estimación del error experimental: σ 2 , el cual es una unidad básica de medida de la variabilidad de las observaciones. b) Cualquiera que sea la fuente del error experimental, a mayor número de repeticiones más preciso será el estimado del efecto de los tratamientos debido a que la variabilidad de medias de tratamientos está 2 dada por: , σ y =

σ2 σ2 = donde: σ 2 representa el error experin r

mental verdadero; n ó r: número de repeticiones por tratamiento.

2. Aleatorización. Para que las pruebas de significación (pruebas de hipótesis) sean válidas, es necesario que se cumplan ciertas condiciones, siendo la más importante el obtener observaciones distribuídas independientemente entre sí. Esta condición puede considerarse como un hecho insatisfecho al no to-

- 100 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno mar muestras aleatorias de U.E. que serán destinadas a cada uno de los tratamientos, o viceversa. Es decir, es fundamental en diseños experimentales, lo que implica que la asignación de los tratamientos en las unidades experimentales sea en forma aleatoria de acuerdo al tipo de diseño experimental con que se trabaja. La aleatorización se puede realizar mediante: - Fichas o bolas de sorteo. - Tablas de números aleatorios. - Generando números aleatorios mediante un computador. Recuerde que el muestreo aleatorio, en su forma más simple, significa que cada miembro de la población tiene la misma probabilidad de aparecer en la muestra, independiente de los otros miembros que por suerte cayeron en ella (Snedecor & Cochran). Una independencia absoluta de las observaciones (o de sus errores) es ideal pero en la práctica no ocurre esto; de modo que tanto para el alimento A1 como para el A2, en el último ejemplo con cuatro repeticiones, se considera como muestras aleatorias de n1 = n2 = 4 cada una provenientes de una población de ganado vacuno con solamente el primer parto.

3. ¿Cómo se puede controlar el Error Experimental?. Se realiza el control del error experimental en la medida en que se pueda formar grupos homogéneos (estratos o bloques), cuando se tiene material experimental heterogéneo con el objetivo de conseguir mayor eficiencia en el experimento, esto es; hacer más poderosos los procedimientos de pruebas estadísticas y esto debido a que al efectuar un adecuado bloqueo se reducirá la magnitud del estimado del error experimental. Existe gran variedad de diseños que comprenden diferentes ordenamientos de la U.E. en los estratos. Los más simples son: Diseño bloques Completos Aleatorizados, Cuadrado Latinos, etc. La relación entre los principios básicos de diseño experimental se observa en la siguiente gráfica:


ALEATORIZACION

REPETICION

Estimar el Error Experimental

CONTROL

LOCAL

Disminuir el Error Experimental

Hacer válidas las estimaciones

conseguir eficiencia en el experimento

Otra forma de controlar el error experimental es a través del diseño experimental. a) Diseño Experimental.- Si aplicamos en forma adecuada al diseño experimental, a las unidades experimentales estaremos disminuyendo el error experimental. b) A través de un mayor número de repeticiones, un menor error. c) Variables concomitantes (covarianza: disminuir el error experimental). d) Seleccionando adecuadamente el tamaño y forma de una unidad experimental. Otro concepto de Diseño Experimental (método de muestreo). Se llama diseño experimental a la distribución de los tratamientos en las unidades experimentales o viceversa, teniendo en cuenta ciertas restricciones en el azar, con fines específicos, que tiendan a disminuir el error experimental. Se efectúa esta distribución con el propósito de obtener la información que sea pertinente al problema bajo investigación de modo que una vez hecho el análisis de resultados, se obtenga a conclusiones válidas. Es el conjunto de normas y reglas que nos permite obtener un buen resultado que puede ser inferido a la población, es decir nos permite obtener mejores resultados a través de una muestra, reducir el error experimental. Ejemplo: H 0 : µ A = µ B = µ C Versus Ha : µi ≠ 0

- 102 -



3 DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA, DIA) 3.1. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (Balanceado o equilibrado) El Diseño Completamente al Azar, es aquel en el cual los tratamientos son asigandos en forma aleatoria a las unidades experimentales, o viceversa, sin ninguna restricción; por lo tanto, se considera que es un diseño eficiente cuando las unidades experimentales de los que se dispone son muy homogéneas. Debido a su simplicidad, el Diseño Completamente al Azar es usado frecuentemente. Características: a) Los tratamientos se distribuyen en forma aleatoria en todas las unidades experimentales, y el número de repeticiones o unidades por tratamiento puede ser igual o diferente. b) Este diseño es útil cuando las unidades experimentales tienen una variabilidad uniformemente repartida. c) El diseño completamente al azar proporciona el máximo número de grados de libertad para la estimación del error experimental; además, no requiere esti-

- 104 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno mar datos faltantes, es decir, el diseño puede analizarse con diferente número de repeticiones por tratamiento.

Arreglo de Campo: Supongamos que se desea evaluar cuatro variedades de avena en un campo homogéneo, con cuatro repeticiones. Al sortear aleatoriamente las cuatro variedades (A, B, C y D), cada una tiene la mismas posibilidades de ocupar cualquiera de las unidades experimentales en que se divide el lote. Por ejemplo.

C A D D

B B A C

D C B A

A D C B

Modelo estadístico lineal. En este diseño el valor de cada unidad experimental Yij se aplica según el siguiente modelo estadístico lineal.

Yij = µ + τ i + ε ij donde:

RSi = 1,2 ,....,t T j = 1,2 ,...,r

Yij = Es una observación en la j-ésima unidad experimental, sujeto al i-ésimo tratamiento.

τi

= Es el efecto del i-ésimo tratamiento.

µ = Es el efecto de la media general o constante común.

ε ij = Efecto verdadero de la j-ésima unidad experimental (replica), sujeta al i-ésimo tratamiento (error experimental).

Análisis y Diseño de Experimentos - 105 Esquema del diseño. Repeticiones (j) 1 2 3 . . . r Total (t) Total (r )

1 Y11 Y12 Y13 .... .... .... Y1r Y1. n1.

2 Y21 Y22 Y23 .... .... .... Y2r Y2. n2.

Tratamientos (i) 3 Y31 Y32 Y33 .... .... .... Y3r Y3. n3.

.... .... .... .... .... .... .... .... .... ....

t Yt1 Yt2 Yt3 .... .... .... Ytr Yt. nt.

Total Y.1 Y.2 Y.3 .... .... .... Y.r Y.. n..

VENTAJAS: a) Es simple de planificar. b) El número de repeticiones puede variar de tratamiento a tratamiento. c) Existe más grados de libertad para estimar el error experimental. d) Es flexible en cuanto al número de repeticiones y tratamientos. e) Es útil cuando las unidades experimentales tienen una variablidad uniforme repartida. f) Cuando se pierde alguna parcela experimental se puede considerar que se tenía diferente número de repeticiones por tratamiento. g) El Error Experimental puede obtenerse separadamente para cada tratamiento para comprobar la suposición de Homogeneidad del Error. DESVENTAJAS: a) Es más apropiado para pequeño número de tratamientos y para un material experimental homogéneo y uniformemente distribuido. b) No se puede controlar el Error Experimental, por lo tanto, no es un Diseño muy preciso. c) Cuando se tiene diferente número de repeticiones por tratamiento, es necesario calcular un Error estándar por cada pareja de medias si se quiere comparar sus diferencias.

- 106 -


Descomposición de la suma de cuadrados del total.

Yij = µ + τ i + ε ij ,

i = 1,2,3,..., t; j = 1,2,3,...,r

Población

Muestra

τ i = µ i• − µ

τ$ i = Yi • − Y••

ε ij = Yij − µ i •

ε$ ij = Yij − Yi •

Yij = µ + ( µ i • − µ ) + ( Yij − µ i • )

Yij = Y•• + ( Yi • − Y•• ) + ( Yij − Yi • )

Entonces partimos de la muestra para encontrar las Sumas de Cuadrados:

Yij = Y•• + ( Yi • − Y•• ) + ( Yij − Yi • ) Yij − Y•• = ( Yi• − Y•• ) + ( Yij − Yi • ) elevando al cuadrado ambos miembros.

( Yij − Y•• )2 = [( Yi • − Y•• ) + ( Yij − Yi • )]2 ( Yij − Y•• )2 = ( Yi• − Y•• )2 + 2( Yi• − Y•• )( Yij − Yi • ) + ( Yij − Yi • )2 Aplicando doble sumatorias a ambos miembros, se obtiene: t

r

t

r

t

r

t

r

∑∑(Y −Y ) = ∑∑(Y −Y ) +2∑(Y −Y )∑(Y −Y )+ ∑∑(Y −Y ) ij

i =1 j =1

••

2

i•

i =1 j =1

••

2

t

i•

i =1

t

••

ij

j=1

i•

r

i•

ij

i =1 j =1

t

r

2

= r ∑( Yi• − Y•• )2 + ∑ ∑( Yij − Yi• )2 + 2∑( Yi• − Y•• )∑( Yij − Yi• ) i =1 i =1 j =1 j =1 1 1i =4444 24444 3 0

t

r

t

t

r

( Yij − Y•• )2 = r ∑ ( Yi • − Y•• )2 + ∑ ∑ ( Yij − Yi • )2 ∑ ∑ i =1 j =1 i =1 j =1 1 4244 3 1 1 442443 1i =4 442443 SCTRATAMIENTOS

SCTOTAL

Demostrar que: t

r

t

r

∑ ∑ ( Yij − Y•• )2 = ∑ ∑ Yij2 − i =1 j =1

i =1 j =1

Y••2 tr , en efecto

SC ERROR

Análisis y Diseño de Experimentos - 107 t

r

= ∑ ∑ [Yij2 − 2Yij Y•• + Y••2 )] i =1 j =1 t

r

t

r

t

r

= ∑ ∑ Yij2 − 2∑ ∑ YijY•• + ∑ ∑ Y••2 i =1 j =1

t

i =1 j =1

i =1 j =1

r

= ∑ ∑ Yij2 − 2Y••Y•• + trY••2 i =1 j =1 t

r

= ∑ ∑ Yij2 − 2Y•• i =1 j =1

t

r

SCTOTAL = ∑ ∑ Yij2 − i =1 j =1

FG Y IJ + tr// FG Y IJ H tr K H tr/ K ••

••

2

t

r

= ∑ ∑ Yij2 − 2 i =1 j =1

Y••2 Y••2 + tr tr

Y••2 tr

ANALISIS DE VARIANZA. Es una técnica matemática que nos permite descomponer una Fuente de Variación Total en sus Componentes atribuibles a Fuentes de Variación conocida. TABLA ANVA: Fórmulas: F. de V.

G.L.

Tratamientos

t-1

S.C.

Yi .2 Y2 − .. r tr

t

∑

i=1

t

Error Experimental t(r-1)

Total

CV =

CM error Y..

C.M.

Yi.2 i =1 r

r

t

∑∑Yij2 − ∑ i =1 j =1

t

r

i =1

j =1

t

σ 2 + r∑

S C erro r t ( r − 1)

i =1

σ2

Y..2 tr

tr-1

∑∑Y

2 ij

.100 ,

TC =

Y..2 , tr

−

SC trat . t −1

C.M.E. Modelo I Modelo II

Y.. = Gran Total

τ i2 t −1

σ 2 + rσ τ2 σ2

- 108 -


OBSERVACION: a) MODELO I: Llamado también modelo de análisis de variancia o de efectos fijos. Este modelo supone que los ti de una determinada subpoblación son una cantidad fija que el investigador fija a su criterio ó representa una variable no aleatoria. b) MODELO II:Llamado modelo de componentes de variancia o de efectos al azar. Los tratamientos considerados dentro de un experimento se asumen como una muestra al azar extraída desde una población de tratamientos. Procedimiento para la Prueba Estadística. i) La Hipótesis a probarse es:

H0 : τ i = 0

Ha : τ i ≠ 0 (al menos uno de los tratamientos es diferente de los otros). ii) Nivel de Significancia: iii) Estadística de Prueba:

α = 005 . ó α = 001 . Fc =

CM trat . CM error

iv) Regla de Decisión: a) Si

Fc ≤ Fnn21,α , no se rechaza la Ho:

b) Si

Fc > Fnn21,0.05 , se rechaza la Ho, representándose por un asterisco (*), lo

cual significa que la prueba es significativa. c) Si

Fc > Fnn21,0.01 , se rechaza la Ho, representándose por dos asteriscos

(**); lo cual significa que la prueba es altamente significativa. v) Conclusión: Se concluye en base al problema de estudio.

Análisis y Diseño de Experimentos - 109 EJEMPLO: En un Centro de Investigación se realiza un estudio para comparar varios tratamientos que al aplicarse previamente a los frijoles crudos reduzcan su tiempo de cocción. Estos tratamientos son a base de bicarbonato de sodio (NaHCO3) y cloruro de sodio o sal común (NaCl). El primer tratamiento (T1) es el control, que consiste en no aplicar ningún tratamiento. El tratamiento (T2) es el remojo en agua con bicarbonato de sodio, el T3 es en agua con sal común y el T4 es en agua con una combinación de ambos ingredientes en proporciones iguales. La variable de respuesta es el tiempo de cocción en minutos. Los datos se muestran en la siguiente tabla. T1 213 214 204 208 212 200 207 1458 208.29

1 2 3 4 5 6 7 Yi. Promedio

T2 76 85 74 78 82 75 82 552 78.86

T3 57 67 55 64 61 63 63 430 61.43

T4 84 82 85 92 87 79 90 599 85.57

3039 108.54

SOLUCIÓN: 1. Hipótesis: Respecto a tratamientos: 2. Nivel de significación:

H0 : τ i = 0 versus Ha : τ i ≠ 0

α = 0.05

3. Prueba Estadística de contraste: F ( Tratam. ) =

CM Tratam. CM Error

4. Región de Aceptación y Rechazo: Sí

F ( Tratam . ) ≤ Ft t( −r 1− 1 ),0 .05 entonces se acepta la Ho:

Sí

F ( Tratam . ) > Ft (t −r 1− 1 ),0 .05 , entonces se acepta la Ha:

5. Cálculos: a) Grados de libertad. Tratamientos (muestras) Error experimental Total

:t-1 = 4-1 : t(r - 1) = 4x(7 - 1) : tr - 1 = 4x7 - 1

=3 = 24 = 27

- 110 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno b)

Suma de Cuadrados (SC ó SS). TC =

Y..2 ( 3039 )2 = = 329840.0357 tr 4 x7

i) SC Tratam . = 4

ii)

1458 2 + 552 2 + 430 2 + 599 2 − TC = 95041.25 7 7

SCTotal = ∑ ∑ Yij2 − TC = ( 2132 + 214 2 +L+902 ) − TC = 425369 - TC = 95528.96429 i =1 j =1

iii) SCerror exptal. = SCtotal - SCtrat. = 95528.96429 - 95041.25 = 487.7142857 ANALISIS DE VARIANZA F. de V. G.L. S.C. C.M. Fc. Tratamientos 3 95041.25 31680.416667 1558.97 Error experimental 24 487.71429 20.321429 Total 27 95528.96429 CV =

CM error Y..

× 100 =

Signif. **

20.32143 × 100 = 4.15% 108.54 3

6. Decisión: Como F(tratam.) = 1558.97 > F24,0.01

= 4.72, entonces se acepta la

hipótesis alterna (Ha:), y se rechaza la Ho: 7. Conclusión: Se encontró diferencia estadística altamente significativa (P ≤ 0.01) entre los tratamientos (Control, bicarbonato de sodio, cloruro de sodio, agua con sal con combinación de ambos ingredientes), esto implica que el tiempo de cocción en minutos son diferentes, esto nos obliga a realizar la prueba post ya que el ANVA es significativo, y así obtener conclusiones verdaderas para tomar una decisión adecuada. Prueba de comparación de DUNNETT (Testigo o control) 1. Hipótesis: H0 : µ k = µ j ∀ k ≠ j Versus Ha : µ k ≠ µ j 2. Nivel de significación: α = 0.05 3. Encontrar el valor crítico de Dunnett, con los grados de libertad del Error Experimental, con p = t - 1, el número de tratamientos sin incluir el grupo control o testigo.

GLError = 24 , p = 3, t( DN ) = 2.53 ALS ( DN ) = SY × t( DN ) = 2.40959 × 2.53 = 610 . ,

Análisis y Diseño de Experimentos - 111 SY =

2CM Error 2 × 20.32143 = = 2.409589 r 7

3. Obtener promedios de los tratamientos.

Promedios

T1 208.29

T2 78.86

T3 61.43

T4 85.57

4. Regla de decisión: Sí Yi • − Yj • ≤ ALS ( DN ) = 6.1 , entonces se acepta la Ho:

. , entonces se acepta la Ha: Sí Yi • − Yj • > ALS ( DN ) = 61 5. Realizar las comparaciones: Comparaciones

Diferencia

ALS(DN) Hipótesis

Significación

208.29 − 78.86

=

129.43

>

6.1

µ T1 ≠ µ T 2

*

. 208.29 − 6143

=

146.86

>

6.1

µ T1 ≠ µ T 3

*

. 208.29 − 8557

=

122.72

>

6.1

µ T1 ≠ µ T 4

*

6. Conclusión: Todo los tratamientos son diferentes con respecto al grupo control o testigo. PROGRAMA EN SAS. DATA DCA; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT TRAT $ REP COCCION; DATALINES; T1 1 213 T1 2 214 .. . ... (Completar la información) T4 6 79 T4 7 90 ; PROC PRINT; RUN; PROC ANOVA; CLASS TRAT; MODEL COCCION = TRAT; MEANS TRAT /LSD DUNCAN TUKEY; RUN;

- 112 -


SALIDA DEL SAS (OUTPUT) The ANOVA Procedure Class Levels Values TRAT 4 T1 T2 T3 T4 Dependent Variable: COCCION Source TRATAMIENTOS Error Corrected Total R-Square Coeff Var 0.994895 4.153407

Number of observations

Sum of DF Squares Mean Square 3 95041.25000 31680.41667 24 487.71429 20.32143 27 95528.96429 Root MSE COCCION Mean 4.507930 108.5357

28

F Value 1558.97

Pr > F <.0001

t Tests (LSD) for COCCION This test controls the Type I comparisonwise error rate, not the experimentwise error rate. Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 24 Error Mean Square 20.32143 Critical Value of t 2.06390 Least Significant Difference 4.9731 Means with the same letter are not significantly different. t Mean N TRAT A 208.286 7 T1 B 85.571 7 T4 C 78.857 7 T2 D 61.429 7 T3 Duncan’s Multiple Range Test for COCCION Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 24 Error Mean Square 20.32143 Number of Means 2 3 4 Critical Range 4.973 5.223 5.384 Means with the same letter are not significantly different. Mean N TRAT A 208.286 7 T1 B 85.571 7 T4 C 78.857 7 T2 D 61.429 7 T3 Tukey’s Studentized Range (HSD) Test for COCCION Type II error rate than REGWQ. Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 24 Error Mean Square 20.32143 Critical Value of Studentized Range 3.90126 Minimum Significant Difference 6.6471 Mean N TRAT A 208.286 7 T1 B 85.571 7 T4 C 78.857 7 T2 D 61.429 7 T3 Dunnett’s t Tests for COCCION NOTE: This test controls the Type I experimentwise error for comparisons of all treatments against a control. Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 24 Error Mean Square 20.32143 Critical Value of Dunnett’s t 2.50672 Minimum Significant Difference 6.0402 Comparisons significant at the 0.05 level are indicated by ***.

TRAT Comparison T4 T2 T3

- T1 - T1 - T1

Difference Between Means -122.714 -129.429 -146.857

Simultaneous 95% Confidence Limits -128.754 -135.469 -152.897

-116.674 -123.388 -140.817

*** *** ***

Análisis y Diseño de Experimentos - 113 EJEMPLO Una Empresa Agrícola necesita establecer si le conviene fertilizar sus cultivos de soja y si es así, seleccionar el mejor fertilizante. Para este propósito se realizó un ensayo en un lote de 5 has, dividido en parcels de ¼ ha. Cada una, asignando los tratamientos en forma aleatoria. Los rendimientos obtenidos (qq/ha) fueron los siguientes: Rep 1 2 3 4 5

CONTROL FERT_A 23 30 20 32 22 29 20 35 21 33 106 159 21.20 31.80

Yi. Promedio

FERT_B 28 36 31 32 34 161 32.20

FERT_C 27 25 24 28 26 130 26.00

Y.. = 556 27.80

SOLUCIÓN: 1. Hipótesis:

H0 : τ i = 0 versus Ha : τ i ≠ 0 2. Nivel de significación: α = 0.05 Respecto a tratamientos:

3. Prueba Estadística de contraste: F ( Fertilizantes ) = CM Tratam. CM Error


F ( Fert . ) ≤ Ft t(−r1−1 ),0.05 entonces se acepta la Ho:

Sí

F ( Fert . ) > Ft t( −r1−1 ),0.05 , entonces se acepta la Ha:

5. Cálculos: a) Grados de libertad (GL). Fertilizantes Error experimental Total b)

:t-1 = 4-1=3 : t(r - 1) = 4x(5-1) = 16 : tr - 1 = 4x5 - 1 = 19

Suma de Cuadrados (SC ó SS).

TC =

Y..2 ( 556 )2 = = 15456.800 4x5 tr

- 114 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno i) SCFert . =

1062 +159 2 + 1612 + 1302 − TC = 410.8 5 4

5

=1

=1

Yij2 − TC = ( 232 + 202 +L+262 ) − TC = 15944 - TC = 487.200 ∑ ii) SCTotal = ∑ i j

iii) SCError = SCTotal − SC Fert . = 487.2 - 410.8 = 76.4

ANALISIS DE VARIANZA F. de V. G.L. S.C. Entre Fertilizantes 3 410.8 Error experimental 16 76.4 Total 19 487.2

C.M. 136.933333 4.775000 3

6. Decisión: Como F(Fert.) = 28.68 > F16,0.01

Fc. 28.68

Signif. **

= 5.29, entonces se acepta la hipótesis

alterna (Ha:), y se rechaza la Ho: 7. Conclusión: Se puede afirmar que existe diferencia estadística altamente significativa (P ≤ 0.01) entre los diferentes tipos de fertilizantes en el cultivo de soja, esto amerita realizar la prueba múltiple de comparación de Duncan ó Tukey, para obtener las conclusiones y tomar una decisión adecuada. Como ejercicio se deja al estudiante para que realice la prueba de Duncan. Prueba Múltiple de comparación de DUNCAN 1. Hipótesis: H0 : µ C = µ F _ A = µ F _ B = µ F _ C Vs. Ha : µ i ≠ 0 2. Nivel de significación: α = 0.05 3. Buscar en la Tabla de Duncan los valores de AES(D) con Grados de Libertad del Error (GLerror = 16). p: A ES(D)

SY =

2

3

=

A LS(D)

ALS ( D ) = SY × AES ( D ) , SY = CM Error = r

3. Ordenar los promedios de mayor a menor.

4


Fertilizantes F_B F_A F_C CONTROL

Promedios 32.20 31.80 26.00 21.20

Duncan (P ≤ 0.05)

a a b c

4. Regla de decisión: Sí Yi • − Yj • ≤ ALS ( D ) , entonces se acepta la Ho: Sí Yi • − Yj • > ALS ( D ) , entonces se acepta la Ha: 5. Realizar las comparaciones:

3.2. DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON DIFERENTE NUMERO DE REPETICIONES POR TRATAMIENTO (desbalanceado). En este tipo de diseño es frecuente encontrar en ganadería, agronomía, agrícola, etc. con diferente número de observaciones por cada tratamiento. Las causas de pérdida de una unidad experimental o varias unidades experimentales es debido a factores medio ambientales (fenómenos aleatorios), por ejemplo puede ocurrir variaciones climáticas, manejo inadecuado, sanidad, labores culturales, inundaciones, desborde de ríos, entre otros factores ajenos al experimento, por lo que el diseño se convierte con diferente número de observaciones por tratamiento, es decir, el diseño no es balanceado o no es equilibrado, por lo que el diseño es adecuado para contrastar las hipótesis en estudio. El modelo aditivo lineal es el siguiente:

Yij = µ + τ i + ε ij ,

i = 1,2 ,L , t j = 1,2 ,L , ri

donde: Yij = Es la variable de respuesta de la j-ésima observación sujeto al i-ésimo tratamiento. µ = Media general o poblacional.

τi =

Es el efecto del i-ésimo tratamiento.

ε ij =

Es el error experimental no controlable ( ε ij ~ N I ( 0 , σ e2 )

- 116 -


Las estimaciones de parámetros, es similar al diseño completo al azar balanceado. TABLA ANVA: Fórmulas: F. de V.

G.L.

S.C.

Y i .2 − TC ri

t

Tratamientos

∑

t-1

i=1

ri

t

i =1 j =1

i

∑r

t

i

Y..

i =1

i

r

i =1

S C erro r g l erro r

τ i2 t −1

σ 2e + r0σ τ2

σ 2e

σ 2e

i =1 j =1

F YI GH ∑∑ JK TC = ri

2

i =1 j =1

∑ri i

L ∑r OP 1 M M∑r − PP r = t −1M MN ∑r PQ t

2

ij

.100,

t

σ 2e + ri ∑

− TC

2 ij

t

CV . =

2 i.

∑ ∑Y

−1

i

CMerror

t

2 ij

i

C.M.E. Modelo I Modelo II

SC trat . t −1

∑(r − 1) ∑ ∑ Y − ∑ Yr

Error Experimental

Total

C.M.

i

t

,

0

i =1 t

i

i =1

i

i =1

Fórmulas de Cálculo:

F YI GH ∑ ∑ JK a) Término o Factor de Corrección: TC = t

ri

2

ij

i =1 j =1

∑r

i

i

t

b) Suma de Cuadrados del Total:

ri

SCtotal = ∑ ∑ Yij2 − TC i =1 j =1

Yi .2 =∑ − TC r i =1 i t

c) Suma de Cuadrados de Tratamientos:

SCtrat .

d) Suma de cuadrados Error Experimental: SCError = SCTotal - SCTrat.

Análisis y Diseño de Experimentos - 117 EJEMPLO: Se realiza un experimento para determinar si cuatro temperaturas de cocción específicas afectan la densidad de cierto tipo de mermelada. El experimento conduce a los datos siguientes: (Variable de respuesta: densidad).

Repetic. 1 2 3 4 5 6 7 Yi. Promedio

100 21.8 21.9 21.7 21.6 21.7 21.5 21.8 152.00 21.71

Temperaturas °F 125 150 21.7 21.9 21.4 21.8 21.5 21.8 21.5 21.6 21.5

86.10 21.53

108.60 21.72

175 21.9 21.7 21.8 21.7 21.6 21.8 130.50 21.75

477.20 21.69

SOLUCIÓN: 1. Hipótesis: H0 : τ i = 0 versus Ha :τ i ≠ 0 2. Nivel de significación:

α = 0.05

3. Prueba Estadística de contraste: F ( Tratam. ) =

CM Tratam. CM Error


1 F ( Tratam . ) ≤ Fglt−Error ,0 .05 entonces se acepta la Ho:

Sí

1 F ( Tratam . ) > Fglt−Error ,0 .05 , entonces se acepta la Ha:

5. Cálculos: a) Grados de Libertad: GLtrat. = t -1 = 4 - 1 = 3 t =4

GLError = ∑ ( ri − 1 ) = ( r1 − 1 ) + ( r2 − 1 ) + ( r3 − 1 ) + ( r4 − 1 ) = 6+3+4+5=18 i =1

t =4

GLTotal = ∑ ( ri ) − 1 = ( r1 + r2 + r3 + r4 ) − 1 = (7 + 4 + 5 + 6) - 1 = 21 i =1

- 118 -


b) Suma de Cuadrados (SC ó SS):

TC =

Y••2

∑

t =4

r

=

i =1 i

477.2 2 = 10350.90182 22

Yi•2 . 2 108.62 1305 .2 1522 861 − TC = + + + − TC = 1035104093 . − TC = 013911039 . r 7 4 5 6 i =1 i 4

i)

SCTrat . = ∑ 4

ri

2 . 2 + 219 . 2 +L+218 . 2 − TC = 1035136 . − TC = 0.458182 ii) SCTotal = ∑ ∑Yij − TC = 218 i =1 j =1

iii) SCError Exptal = SCtotal - SCtrat = 0.458182 -0.13911039 = 0.31907143 iv) CM trat =

SCtrat 0.13911039 = = 0.04637013 3 t −1

v) CM Error Exp. = vi) Fc =

SCError Exp. 18

=

0.31907143 = 0.01772619 18

CM Trat . 0.04637013 = = 2.62 CM Error Exp. 0.01772619

TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA (ANOVA) F. de V. Entre temperaturas Error experimental Total CV =

G.L. S.C. C.M. Fc Pr > F 3 0.139110390 0.04637013 2.62 0.08 18 0.319071430 0.01772619 21 0.458181820 0.02181818

CM Error 0.01772619 × 100 = × 100 = 0.613% Y .. 2169 .

Conclusión: La prueba F de la tabla ANOVA nos muestra que la Fc = 2.62 ≤ F 3 =3.16, 18 ,0 .05 entonces se acepta la hipótesis nula (Ho:), es decir no existe diferencia estadística entre las temperaturas, para mejorar hay que aumentar el nivel de espaciamiento o ampliar el intervalo entre las temperaturas.

Análisis y Diseño de Experimentos - 119 PROGRAMA EN SAS. DATA DCA2; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT TEMPER REP DENSIDAD; DATALINES; 100 1 21.8 PROC GLM; 100 2 21.9 CLASS TEMPER; 100 3 21.7 MODEL DENSIDAD = TEMPER; 100 4 21.6 RUN; 100 5 21.7 100 6 21.5 100 7 21.8 125 1 21.7 125 2 21.4 125 3 21.5 125 4 21.5 150 1 21.9 150 2 21.8 150 3 21.8 150 4 21.6 150 5 21.5 175 1 21.9 175 2 21.7 175 3 21.8 175 4 21.7 175 5 21.6 175 6 21.8 ; PROC PRINT; RUN;

SALIDA DEL SAS (OUTPUT). The GLM Procedure Class Level Information Class Levels Values TEMPER 4 100 125 150 175 Number of observations 22 Dependent Variable: DENSIDAD Source TEMPER Error Corrected Total R-Square Coeff Var 0.303614 0.613804

Sum of DF Squares Mean Square 3 0.13911039 0.04637013 18 0.31907143 0.01772619 21 0.45818182 Root MSE DENSIDAD Mean 0.133140 21.69091

F Value 2.62

Pr > F 0.0827

- 120 -


EJEMPLO: Se ensayó un experimento con cuatro raciones alimenticias para el engorde de cerdos (incremento de peso en kg), dos de los tratamientos (B y C) tiene tres animales de ensayo; mientras que el resto de los tratamientos tiene 5 animales por tratamiento. La información se presenta a continuación:

rep. 1 2 3 4 5 Total ni

Raciones alimenticias B C 40 40 45 35 30 25

A 20 30 15 25 35 125 5

115 3

100 3

D 25 15 10 20 30 100 5

440 16

SOLUCIÓN: 1. Hipótesis: H0 : τ i = 0 versus Ha : τ i ≠ 0 2. Nivel de significación:

α = 0.05

3. Prueba Estadística de contraste: F( Raciones ) = CMRaciones CMError


1 F ( Tratam . ) ≤ Fglt−Error ,0 .05 entonces se acepta la Ho:

Sí

1 F ( Tratam . ) > Fglt−Error ,0 .05 , entonces se acepta la Ha:

5. Cálculos: a) Grados de Libertad: GLRACIONES = t -1 = 4 - 1 = 3 t =4

GLError = ∑ ( ri − 1 ) = ( 5 − 1 ) + ( 4 − 1 ) + ( 4 − 1 ) + ( 5 − 1 ) = 4+2+2+4=12 i =1

t =4

GLTotal = ∑ ( ri ) − 1 = ( 5 + 3 + 3 + 5 ) − 1 = 15 i =1

Análisis y Diseño de Experimentos - 121 b) Suma de Cuadrados (SC ó SS):

TC =

Y••2

∑

t =4

=

r

i =1 i

Y••2 440 2 = = 12100 16 N

Yi•2 1252 1152 1002 1002 − TC = + + + − TC = 1286666667 − TC = 766.666666 . r 5 3 3 5 i =1 i 4

i)

SCRaciones = ∑ 4

ri

2 2 2 2 ii) SCTotal = ∑ ∑ Yij − TC = 20 + 30 +L+30 − TC = 13600 − TC = 1500 i =1 j =1

iii) SCError Exptal = SCtotal - SCraciones = 1500 - 766.66666 = 733.33333 TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA (ANOVA) F. de V. Entre raciones Error experimental Total CV =

G.L. S.C. C.M. Fc Signif. 3 766.6666660 255.55555533 4.18 * 12 733.3333330 61.11111108 15 1500.0000000 100.00000000

CM Error × 100 = Y ..

6111111 . × 100 = 28.43% 27 .5

Conclusión: Se ha encontrado que la prueba Fc = 4.18> F 3 =3.49, entonces se rechaza la 12 ,0 .05 hipótesis nula (Ho:), es decir existe diferencia estadística significativa entre las raciones alimenticias en el incremento de peso vivo (kg) en cerdos, esto nos obliga a realizar la prueba post-test (comparaciones múltiples), para encontrar las mejores raciones que han tenido efecto sobre el incremento de peso en cerdos.

- 122 -


Metodología de la forma matricial. El modelo lineal expresado en forma matricial es:

LMY OP LM1OP LM1 MMYY PP MM11PP MM11 MMY PP MM1PP MM1 MMY PP MM1PP MM1 MMY PP MM1PP MM0 MMYY PP MM11PP MM00 MMY PP = MM1PPµ + MM0 MMY PP MM1PP MM0 MMY PP MM1PP MM0 MMYY PP MM11PP MM00 MMY PP MM1PP MM0 MMY PP MM1PP MM0 NY Q N1Q N0

OP LMε 0 P0P MMεε P MMε 0P MMε 0P P0P ε M 0P Lτ O Mε P M 0P Mτ P Mε ×M P+ 0P Mτ P Mε P M P M 0P Nτ Q Mε MMε 0PP MMε 1P P1P MMε P1P ε M 1P MMε P1Q Nε

11

0 0 0

11

12

0 0

12

13

0 0

14

0 0

15

0 0

21

1 0

22

1 0

23

1 0

31

0 1

32

0 1

33

0 1

41

0 0

42

0 0

43

0 0

44

0 0

45

0 0

13 14 15 21

1

22

2

23

3

31

4

32 33 41 42 43 44 45

OP PP PP PP PP PP PP PPP PP PP PP PQ

Las ecuaciones normales generadas a partir del anterior modelo son: ( X ' X )b = X ' Y

LM16 MM 53 MM 3 MN 5

OP LM µ OP LMY OP 0P τ P Y P M M 0P × Mτ P = MY P P M P M P, 0P Mτ P MY P 5PQ MNτ PQ MNY PQ

5 3 3 5 5 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0

••

1

1•

2

2•

3

3•

4

4•

LM16 M5 X' X = M 3 MM 3 NM 5

5 5 0 0 0

3 0 3 0 0

3 0 0 3 0

LY OP LM440OP PP MM125 P = 115P PP MM100PP N PQ MN100PQ

OP MMY PP X ' Y = MY PP , MMY QP MY

5 0 0 0 5

•• 1•

2• 3•

4•

Debemos encontrar la b 0 = GX ' Y , donde G es la inversa generalizada. Por otro lado se debe sacar una sub-matriz de X’X, lo que denotaremos con M.


LM5 0 M =M MM0 N0

0 3 0 0

0 0 3 0

OP PP PQ

LM MM MN

0 15 0 0 −1 0 , encontrar la inversa de M. M = 0 5 0

sa generalizada es:

LM0 M0 G = M0 MM0 MN0

OP PP PP , PQ

0 0 0 0 15 0 0 0 0 13 0 0 0 0 13 0 0 0 0 15

entonces: b 0

LM0 0 M = GX ' Y = M0 MM0 NM0

0 13 0 0

0 0 13 0

0

0

0

15

0

0

0

13

0

0 0

0 0

13 0

i) Suma de Cuadrados de Tratamientos ó de Regresión:

LM N

SSRm = b0' X' Y − NY 2 = 0

LM N

= 0

1252 5

1152 3

125 115 100 5 3 3

1002 3

OP Q

OP PP PQ

0 0 , entonces la inver0 15

OP LM440OP LM 0 OP 125 5 125 P P P M M 0 P × M115P = M115 3P P M P M P 0 P M100P M100 3P 1 5QP NM100QP NM100 5QP 0

0

LM440OP 125 100O M P F 440I × M115P − 16G J P H 16 K 5 Q M P 100 MM PP N100Q

2

1002 − 12100 = 766.666666 5

ii) Suma de Cuadrados de Total:

SSTm = Y' Y − NY 2 = 20 30 L 20

LM20OP 30 M P F 440I 30 × M M P − 16G MM20PP H 16 JK MN30PQ

2

= 13600 − 12100 = 150

iii) Suma de Cuadrados de Error:

SSE = Y' Y − b 0' X ' Y = 13600 − 12866.66667 = 733.33333 F. de V. Entre raciones Error experimental Total

G.L. S.C. C.M. Fc Signif. 3 766.6666660 255.55555533 4.18 * 12 733.3333330 61.11111108 15 1500.0000000 100.00000000

- 124 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno Se llega a los mismos resultados a través de la forma matricial.

iv) Estimar: τ$ A =

τ$ i = Yi • − Y••

125 440 − = 25 − 27.5 = −2 .5 , produce efecto desfavorable. 5 16

115 440 τ$ B = − = 38.33 − 27 .5 = 10.83 , produce efecto favorable. 3 16

τ$ C =

100 440 − = 33.33 − 27 .5 = 5.83 , 3 16

produce efecto favorable.

100 440 τ$ D = − = 20.0 − 27.5 = −7.50 , produce efecto desfavorable. 5 16 4

∑ n τ$ i

i

= n1τ$ 1 + n2τ$ 2 + n3τ$ 3 + n4τ$ 4 = 5(-2.5)+3(10.83)+3(5.83)+5(-7.5)=0

i =1

Intervalo Confidencial (IC)

µ i • − µ j•

Un intervalo de confianza de 100x(1- α ) para la diferencia de los promedios de dos tratamientos cualesquiera es el siguiente:

LM MN

Pr (Yi• −Yj• ) − tα 2,N −t CMError

F 1 + 1 I ≤ µ −µ GH n n JK i•

i

j•

≤ (Yi• − Yj• ) + tα 2,N−t CMError

j

Intervalo Confidencial (IC) para

LM MN

F 1 + 1 I OP = 1−α GH n n JK P Q i

µ1• − µ2•

FG IJ H K

j

FG IJ OP = 095 H K PQ .

1 1 1 1 Pr ( 25 − 38333 . ) − 2179 . 61111 . + ≤ µ1• − µ2• ≤ ( 25 − 38333 . ) + 2179 . 61111 . + 5 3 5 3

Pr( −25.77 ≤ µ 1• − µ 2• ≤ −0.893 ) = 0.95


LM MN

FG 1 + 1IJ ≤ µ H 5 3K

Pr ( 25 − 3333 . ) − 2179 . 61111 .

1•

FG 1 + 1IJ OP = 0.95 H 5 3K PQ

− µ 3• ≤ ( 25 − 3333 . ) + 2179 . 61111 .

Pr( −20.76989 ≤ µ 1• − µ 3• ≤ 4.10989 ) = 0.95


LM N

µ1• − µ3•

Pr ( 25 − 20 ) − 2.179

µ1• − µ4•

OP Q

2 × 61111 . 2 × 61111 . ≤ µ 1• − µ 4• ≤ ( 25 − 20 ) + 2 .179 = 0.95 5 5


Pr( −5.77 ≤ µ 1• − µ 4• ≤ 15.77 ) = 0.95 Intervalo Confidencial (IC) para µ 2• − µ 3• ∈( −8.908, 18.908 ) Intervalo Confidencial (IC) para µ 2• − µ 4• ∈( −5.89 , 30.77 ) Intervalo Confidencial (IC) para µ 3• − µ 4 • ∈ ( 0 .89 , 25.77 ) Forma general para el modelo: Yij = µ + τ i + ε ij ; i = 1,2 ,L ,t ; j = 1,2 ,L ,ni

LM n MMnn X' X = M MMn MNnM

OP PP P 0P , MP P nQ

n1 n2

n3 L nt

2

n1 0 0 n2

0 0

3

0

0

n3 L

t

M 0

M 0

M 0

1

L L O L

0 0

t

LMY OP Y P M X ' Y = MY P MM M PP , MNY PQ ••

1•

2•

t•

LM0 M0 G = M0 MM M MN0

L 0 L 0 L 0 O M L 1 nt

0 0 1 n1 0 0 1 n2 M M 0 0

OP PP PP PQ

Debemos encontrar la b 0 = GX ' Y , donde G es la inversa generalizada.

LMn 0 M =M MM M N0

1

b0

OP PP PQ

LM MM MN

0 L 0 1 n1 0 n2 L 0 0 1 n2 M O M ,encontrar la inversa de M. M −1 = M M 0 L nt 0 0

LM0 M0 = GX ' Y = M0 MM M MN0

0 1 n1 0 M 0

0

L L L

0 1 n2 M O 0 L

OP LMY OP LM 0 OP LM 0 OP 0 P M Y P M Y n P MY P 0 P × MY P = MY n P = MY P P M P M P M P M P MMP M M P MM P 1 n PQ MNY PQ MN Y n PQ MNY PQ 0

••

t

1•

1•

1

1•

2•

2•

2

2•

t•

t•

t

t•

SUMAS DE CUADRADOS (SS ó SC)

LMY OP MY P Y Y Y Y × MY P = + +L+ = ∑ MM M PP n n n n MNY PQ ••

1•

a) SSR = b0' X' Y = 0 Y1• Y2• L Yt•

2•

t•

2 1•

2 2•

2 t•

t

2 i•

1

2

t

i =1

i

OP PP PQ

L 0 L 0 , O M L 1 nt

- 126 -


b) SSR = SSR − nY 2 = m

FG IJ H K

Yi •2 Y − n/ •• ∑ n/ i =1 ni t

ni

t

c)

SSTm = Y' Y − nY 2 = ∑ ∑ Yij2 − i =1 j =1

d) SSE = Y' Y − b 0' X ' Y =

ni

t

Yi •2 Y••2 − n i =1 ni t

=∑

Y••2 n Yi •2 i =1 ni t

∑ ∑ Yij2 −∑ i =1 j =1

F ( Rm ) =

2

SSRm t − 1 SSE n − t

b 0 es un estimador insesgado de Hb más de β . Comprobación: Y$ = Xb 0

LM0 0 M0 1 n H = GX' X = M0 0 MMM M MN0 0

1

R|b = G X' Y |b = G X ' Y ⇒S ||b = G X' Y T M M

0 0 1 n2 M 0

0 1 0 2 0 3

L L L O L

1 2

3

OP PP PP PQ

LM MM MM MM N

n 0 n1 0 n2 0 × n3 M M 1 nt nt

n1 n1 0 0 M 0

n2 0 n2 0 M 0

L L L L O L

n3 0 0 n3 M 0

OP PP PP PP Q

LM MM MM MM N

nt 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 = 0 1 0 0 M M M M nt 1 0 0

0 0 0 1 M 0

L L L L O L

OP PP PP LMN PP Q

0 0 0 0 01×t = 0 0t×1 It×t M 1

OP Q

Intervalo de confianza de 100x(1- α ) para la diferencia de los promedios de dos tratamientos cualesquiera es el siguiente:

LM MN

Pr (Yi• − Yj• ) − tα 2,N−t CMError

F 1 + 1 I ≤ µ −µ GH n n JK i•

i

j

j•

≤ (Yi• −Yj• ) + tα 2,N −t CMError

F 1 + 1 I OP = 1−α GH n n JK P Q i

j

EJEMPLO: En los invernaderos del Programa de Papa, se llevó a cabo un ensayo con tres variedades de papas mejoradas, plántulas in vitro sembradas en macetas de 8’’ de diámetro con la finalidad de evaluar el rendimiento de semilla pre-básica (V1: variedad

Análisis y Diseño de Experimentos - 127 María Huanca, V2: Molinera, y V3: Mariva). Rendimiento de tubérculo (g/planta) de tres variedades de papa, plántulas in vitro, bajo condiciones de invernadero. La información se presenta a continuación:

rep. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Promedio ni

V1 225 225 250 250 200 150 200 150 150 200 2000 200.0 10

Variedades V2 125 150 150 150 150 75 125 100 125 1150 127.8 9

V3 125 125 175 125 175 150 150

1025 146.4 7

4175 160.577 26

SOLUCIÓN: 1. Hipótesis: H0 : τ i = 0 versus Ha :τ i ≠ 0 2. Nivel de significación:

α = 0.05

3. Prueba Estadística de contraste: F ( Varied . ) = CMVarried . CM Error


1 F ( Varied . ) ≤ Fglt−Error ,0 .05 entonces se acepta la Ho:

Sí

1 F ( Varied . ) > Fglt−Error ,0 .05 , entonces se acepta la Ha:

5. TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA (ANOVA) F. de V. Entre Variedades Error experimental Total CV =

G.L. S.C. C.M. Fc Signif. 2 26625.0763100 13312.53815500 13.71 ** 23 22341.2698400 971.35955826 25 48966.3461500 1958.65384600

97135956 . × 100 = 19.41% 160.5769

- 128 -


En base al ANOVA, se ha encontrado que la Fc =13.71> F 2 =5.66, entonces 23,0.05 se rechaza la hipótesis nula (Ho:), y se acepta la hipótesis Ha:, esto nos demuestra que existe diferencia estadística altamente significativa (P ≤ 0.01) entre las variedades de papa en el rendimiento de tubérculo (g/planta), para obtener las conclusiones se realiza la prueba post-test. Prueba Múltiple de Significación de Duncan.

F GH

CM Error 1 1 + 2 ni n j

ALS ( D ) = AES ( D ) × SY = AES ( D ) ×

I JK

µ i = µ j versus Ha: µ i ≠ µ j 2. Nivel de Significación: α = 0.05. 1. Hipótesis: Ho:

3. Buscar en la Tabla de Duncan, los valores de AES(D) con los grados de libertad del error. En nuetro ejemplo: GLerror = 23.

p 2 3 AES(D) 2.92 3.07 4. Ordenar los promedios en forma descendente. Variedades María Huanca (V1) Mariva (V3) Molinera (V2)

n 10 7 9

Promedio 200.00 146.43 127.78

Duncan (P ≤ 0.05) a b b

Realizamos las comparaciones de promedios: 200 - 146.43 = 53.57 > 31.71, entonces existe diferencia entre V1 y V3. LSV 1−V 3 = 2.92 ×

FG H

IJ K

. 97135956 1 1 + = 3171 . 2 10 7

---------------------------------------------------------------------------------------146.43 - 127.78 = 18.65 ≤ 32.43, entonces no hay diferencia entre V3 y V2 LSV 3−V 2 = 2.92 ×

FG H

IJ K

. 97135956 1 1 + = 32.43 2 7 9

Conclusión: Se ha encontrado que el mejor rendimiento de tubérculo (g/planta) es la variedad María Huanca (V1) frente a las variedades V3 y V2; sin embargo se obtuvieron rendimientos similares con las variedades V3 y V2.

Análisis y Diseño de Experimentos - 129 EJERCICIOS: 1. Un fabricante supone que existe diferencia en el contenido de calcio en lotes de materia prima que son suministrados por su proveedor. Actualmente hay una gran cantidad de lotes en la bodega. Cinco de éstos son elegidos aleatoriamente. Un químico realiza cinco pruebas sobre cada lote y obtiene los siguientes datos: Lote 1 23.46 23.48 23.56 23.39 23.40

Lote 2 23.59 23.46 23.42 23.49 23.50

Lote 3 23.51 23.64 23.46 23.52 23.49

Lote 4 23.28 23.40 23.37 23.46 23.39

Lote 5 23.29 23.46 23.37 23.32 23.38

a) ¿Hay variación significativa en el contenido de calcio de un lote a otro?. b) Interprete los resultados obtenidos. 2.- Se pide a cuatro químicos que determinen el porcentaje de alcohol metílico en un compuesto químico. Cada uno realiza 3 determinaciones y los resultados son los siguientes: Químico 1 2 3 4

Porcentaje de alcohol metílico 84.99 84.04 84.38 85.15 85.13 84.88 84.72 84.48 85.16 84.20 84.10 84.55

a) ¿Difieren significativamente los resultados obtenidos por los químicos?. Use α = 0.05 b) Interprete los resultados encontrados en base al problema dado. 3.- En una forja se utilizan varios hornos para calentar muestras de metal. Se supone que todos los hornos operan a la misma temperatura, aunque se sospecha que quizás esto probablemente no es cierto. Se seleccionan aleatoriamente tres hornos y se anotan sus temperaturas en tres calentamientos sucesivos. Los datos se muestran a continuación: Horno 1 2 3

491.50 488.50 490.10

498.30 484.65 484.80

Temperatura 498.10 493.50 479.90 477.35 488.25 473.00

493.60 471.85

478.65

a) ¿Existe variación significativa en la temperatura de los hornos? b) Interprete los resultados obtenidos con criterio técnico. 4.- Un experimento condujo a comparar tres métodos de empaque para cierto alimento. El criterio fue el contenido de ácido ascórbico (mg/100 g) después de un periodo de tiempo. Se obtuvieron los siguientes datos:

- 130 -


A 1 4 .2 9 1 9 .1 0 1 9 .0 9 1 6 .2 5 1 5 .0 9 1 6 .6 1 1 9 .6 3

M é to do de e m pa qu e B 2 0 .0 6 2 0 .6 4 1 8 .0 0 1 9 .5 6 1 9 .4 7 1 9 .0 7 1 8 .3 8

C 2 0 .0 4 2 6 .2 3 2 2 .7 4 2 4 .0 4 2 3 .3 7 2 5 .0 2 2 3 .2 7

¿Proporcionan estos datos la suficiente evidencia para indicar, a un nivel de significación de 0.01, que hay una diferencia entre los métodos de empaque?.

Análisis y Diseño de Experimentos - 131 3.3. Diseño completo al azar con igual numero de subunidades por unidad experimental. Este diseño es usado cuando se demandan unidades experimentales muy grandes debido a ello es posible dividirla en subunidades y ser estudiadas a partir de muestras pequeñas, también cuando se presentan experimentos donde es muy tedioso tomar toda la unidad experimental, siendo por esto necesario sacar subunidades de cada unidad. En estas situaciones es permisible modificar el modelo original, lo cual nos permitirá cuantificar el efecto mediante muestras de cada unidad experimental. Lógicamente, la modificación en la recolección de datos acarreará un error extra al ya mencionado en el modelo; le denominaremos error de muestreo (EM). Características: Se debe tener claro que en este tipo de diseños existen dos tipos de análisis: referente a las unidades y otro referente a las subunidades. Los cuales generan dos fuentes de variabilidades que contribuyen a formar la variancia para las comparaciones entre los promedios de los tratamientos, estas son: - La variabilidad entre las subunidades de una misma unidad experimental. El cuadrado medio de esta variabilidad se denomina Error de Muestreo (EM). - La variabilidad entre las unidades experimentales de un mismo tratamiento. El cuadrado medio de esta variabilidad se denomina Error Experimental (EE). Casos ilustrativos: Caso 1: Sea el experimento donde se evalúan 4 tratamientos de ellos se pudieron registrar varias observaciones por batería mediante la conexión de varios medidores a cada batería. Estas observaciones por batería son llamados "muestras dentro de unidades experimentales". Caso 2: En un experimento de campo, el investigador puede no tener tiempo para cosechar totalmente cada parcela experimental. De esta manera, podrá seleccionar al azar varios cuadros por parcela y cosechar el grano en cada cuadro seleccionado, de nuevo se describirá esas observaciones como muestras dentro de unidades experimentales. Caso 3: Tomemos parcelas de 20 surcos x 40 m de largo, por falta de tiempo para cosechar, se realiza el muestreo para cada parcela (5 secciones de surco de 5 m).

- 132 -


Caso 4: En un experimento de caña de azúcar en que se estudiaron rendimientos, hay interés de conocer el porcentaje de sacarosa de las variedades, para esto se puede sacar 4 muestras de caña por parcela. Caso 5: Otra forma de realizar, es cuando ya está cosechada (forrajes), en el cual se desea determinar el rendimiento en materia verde, porcentaje de humedad, el muestreo se realiza en el montón y llevar al laboratorio para su respectivo análisis. Muestreo aleatorio. Las unidades elementales se asignan al azar a los tratamientos, pero dado que existen unidades elementales más grandes esas se subdividen tomándose al azar de ella como una muestra de la unidad elemental. Análisis estadístico. Teniendo en cuenta t niveles de un factor (tratamientos), r repeticiones y m submuestras por repetición Yijk (i = 1,2,...,t, j = 1,2,..., r, k = 1,2,...,s) se considera como la observación de una unidad experimental perteneciente a una población cuya media es

µ ijk . Entonces se generará tres poblaciones, las cuales se distribuirán nor-

malmente. El modelo estadístico apropiado estará dada por:

Y ijk = µ + τ

i

+ ε

ij

+ δ

ijk

i = 1,2 , L , t

;

j = 1,2 , L , r k = 1,2 , L , s donde: Yijk = Es la variable respuesta de la k-ésima muestra (subunidad) de la j-ésima unidad experimental sujeta al i-ésimo tratamiento.

µ = La media general poblacional o constante común.

τ i = Es el verdadero efecto del i-ésimo tratamiento. ε

ij

= Es el efecto verdadero de la j-ésima unidad experimental sujeta al i-ésimo tratamiento.

δ ijk = Es el verdadero efecto aleatorio del error muestral en la k-ésima subunidad, de la j-ésima unidad experimental sujeta al i-ésimo tratamiento. ε ij ~ D N I ( 0 , σ e2 ),

δ ijk ~ D N I ( 0 , σ e2 )

Análisis y Diseño de Experimentos - 133 TABLA ANOVA: Fórmulas. F. de Variación

G.L.

S.C. t

Entre grupos

∑

t-1

i =1

t

Unid. dentro de grupos t(r-1)

Yij2.

i =1 j =1 r

Yi ..2 j =1 rs r

−∑ t

s

r

tr(s-1) ∑ ∑ ∑Yijk −∑ ∑ 2

i =1 j =1 k =1

t

Total

Yi ..2 Y2 − ... rs trs

∑∑ s t

Error de muestreo

r

C.M.

trs-1

r

i =1 j =1

s

∑∑∑Y

2 ijk

i =1 j =1 k =1

−

Fc.

S C tr a t . t −1

CM t C M ee

S C e .e x p

CM CM

t ( r − 1) Yij2. s

CME.

ee em

SC em tr ( s − 1)

σ 2 + nσ e2 + rs

∑τ

2 i

t −1

σ 2 + sσ 2e

σ2

Y...2 trs

EJEMPLO: Los datos que se muestran a continuación se refieren a producciones parciales de forraje de maíz en verde, tomadas como muestras ante la imposibilidad de medir la producción total de cada unidad experimental. Los tratamientos consisten en cantidades diferentes de estiércol incorporado al suelo como mejorador. D o s is 0 Y ij. 4 to n /h a

Y ij. 6 to n /h a

Y ij. 2 to n /h a

Y ij.

I 24 23 21 68 25 28 30 83 56 65 58 179 24 19 23 66

II 19 21 24 64 31 24 32 87 62 60 59 181 21 22 24 67

III 18 19 22 59 28 32 36 96 61 60 64 185 23 18 22 63

IV 23 22 20 65 34 33 29 96 62 60 61 183 19 21 23 63 Y...

=

Y i. .

256

362

728

259 1 6 05

- 134 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno Ho: τ

Hipótesis:

Ha: τ Suma de cuadrados.

SCt =

= 0

i

i

≠ 0

256 2 + 362 2 + 728 2 + 259 2 16052 − = 12469.895 12 48

SCe.exp. =

68 2 + 64 2 +L+632 + 632 16052 − − 12469.895 = 67.916 3 48

SCtotal = 24 2 + 232 +L+22 2 + 232 −

16052 = 12765.812 48

SCem = 12765.812 − 12469.895 + 67.912 = 228 ANALISIS DE VARIANZA F. de V. G.L. Tratamientos 3 Error exptal (EE) 12 Error de muestreo (EM) 32 Total 47

S.C. 12469.896 67.917 228.000 12765.813

C.M. 4156.632 5.660 7.125

Fc. 734.42** 0.79ns.

Con base en lo anterior, y debido a que Fc = 734.42 > F(3,12,0.01) = 5.95, podemos afirmar que rechazamos la hipótesis de igualdad de tratamientos, pero será necesario aplicar otro tipo de pruebas a fin de establecer conclusiones específicas acerca de este trabajo en particular. Por otra parte, el ANVA sólo indica una diferencia entre tratamientos, pero no especifica entre cuál; así que efectuaremos una partición de la suma de cuadrados de tratamientos, considerando los totales de tratamientos en función de su peso. Yi.

256

259

362

728

SC. = 12/2

C 1 : T1 v s . T 2

1

-1

0

0

1/9

C2 : T1 T2 vs. T3 T4

1

1

-1

-1

330625

C 3 : T3 vs. T4

0

0

1

-1

133956 24 5581.500 SCtratam. = 12469.896

2/24

0.375

48

6888.021


FG ∑ C H t

1

ij

Y i ..2

i =1

IJ K

CM =

SCC j gl

Fc =

CM Ci CM ee

F 112 ,α

t

2 rs ∑ C ij2 i =1

0.375 6888.021 5581.500

0.066ns.

0.05

0.01

1219.12** 987.87**

Lo anterior demuestra que los contrastes ortogonales permiten una mayor explicación acerca del efecto de los tratamientos, ya que en el primer contraste indica la no significancia ( P ≤ 0.05) entre T1 y T2 . Por último, cabe mencionar que la Fc para los errores fue no significativo ( P ≤ 0.05) , lo cual nos indica que el error de muestreo fue grande; así que podemos pensar en un mayor número de muestras o en otro método de muestreo que reduzca ese error. PROGRAMA EN SAS. DATA FORRAJE; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT ESTIER PRODUC REP MAIZ; CARDS; 0 1 1 24 0 1 2 23 0 1 3 21 ....................................... (continuar con los siguientes datos) 2 4 2 21 2 4 3 23 ; PROC PRINT; RUN; PROC GLM; CLASS ESTIER PRODUC REP; MODEL MAIZ = ESTIER PRODUC(ESTIER); TEST H = ESTIER E = PRODUC(ESTIER); LSMEANS ESTIER PRODUC(ESTIER) /PDIFF STDERR; RUN; /* PRESIONE F3 PARA EJECUTAR EL PROGRAMA !!!!!! */

- 136 -


SALIDA DE RESULTADOS CON SAS The GLM Procedure Class Level Information Class Levels Values ESTIER 4 0 2 4 6 PRODUC 4 1 2 3 4 REP 3 1 2 3 Number of observations 48 Dependent Variable: MAIZ Source Model Error Corrected Total R-Square 0.982140

DF 15 32 47

Coeff Var 7.982862

Source ESTIER PRODUC(ESTIER)

Sum of Squares 12537.81250 228.00000 12765.81250

Root MSE 2.669270 DF 3 12

Mean Square 835.85417 7.12500

F Value 117.31

Pr > F <.0001

Mean Square 4156.63194 5.65972

F Value 583.39 0.79

Pr > F <.0001 0.6530

MAIZ Mean 33.43750

Type I SS 12469.89583 67.91667

Tests of Hypotheses Using the Type III MS for PRODUC(ESTIER) as an Error Term Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F ESTIER 3 12469.89583 4156.63194 734.42 <.0001

The GLM Procedure Least Squares Means ESTIER 0 2 4 6

MAIZ LSMEAN 21.3333333 21.5833333 30.1666667 60.6666667

Standard Error 0.7705518 0.7705518 0.7705518 0.7705518

Pr > |t| <.0001 <.0001 <.0001 <.0001

LSMEAN Number 1 2 3 4

Least Squares Means for effect ESTIER Pr > |t| for H0: LSMean(i)=LSMean(j) i/j

1 2 3 4

Dependent Variable: MAIZ 2 3 0.8200 <.0001 0.8200 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 1

4 <.0001 <.0001 <.0001

Análisis y Diseño de Experimentos - 137 Ejercicio: Suponga que se está estudiando la dureza de la superficie de un material de acuerdo a 3 máquinas que se encuentran en 3 plantas de producción diferentes. Estas máquinas son operadas por 3 personas diferentes cada una que se escogieron de manera aleatoria. Cada persona que opera la máquina toma 3 medidas para la dureza del material. Se obtuvieron las siguientes respuestas: Personas 1 2 3

1 78 61 75

Máquina 1 2 96 76 65

3 47 58 55

Máquina 2 2 86 80 90

1 93 100 90

3 74 66 80

1 88 75 67

Máquina 3 2 52 55 50

3 43 54 63

Calcule el ANOVA, e interprete los resultados.

3.4. Diseño Completamente al azar con submuestreo (Diferente N° de repetic.) TABLA ANOVA: Fórmulas. F. de Variación

G.L.

S.C.

F YI GH ∑ ∑ JK ∑ rij

ri

t-1

j =1 k =1

SC trat . gl trat .

− TC

ri

∑r

i =1

ij

j =1

F YI GH ∑ JK ∑∑ rij

t

t

Error experimental ∑ ( ri

− 1)

i =1

F YI GH∑∑ JK −∑

2

rij

ri

∑r

g l e .e xp .

ij

F ∑Y I GH JK −∑ ∑ rij

Error de muestreo

∑∑(r

ij

i =1 j =1

t

Total

ri

t

ri

∑ ∑ ∑Yijk2 i =1 j =1 k =1

t

ri

∑∑r

ij

i =1 j =1

− 1)

rij

−1

ri

ri

t

i =1 j =1

rij

∑∑∑Y

2 ijk

i =1 j =1 k =1

CM t C M ee

S C e .e xp

j =1 k =1

i =1

j =1

t

CME.

σ 2e + k 2σ 2D + k 3σ 2t

2

ijk

t

k =1

i =1 j =1

rij

ri

ijk

ri

Fc.

2

ijk

t

Tratamientos

C.M.

ijk

k =1

rij

− TC

CM CM

ee em

σ2e +k1σ2D

2

S C em g lem

σ 2e

- 138 -


F ∑r I G J ∑∑r − ∑GG JJ ∑∑n r ∑ GH JK n..− n.. = k = ri

F I GH ∑∑∑Y JK TC = t

rij

ri

ijk

i =1 j =1 k =1 t

ri

∑∑r

t

2

ri

ij

i =1 j =1

2 ij

i =1 j =1

1

t

glerror exp tal.

∑(r − 1) i

i =1

F ∑r I ∑∑r G JJ − ∑ GG J GH ∑ r JK ∑ ∑ r = ri

t

ri

2 ij

2 ij

j =1

t

ri

t

ri

F I ∑ GH ∑ r JK − t

ri

i =1

j =1

ij

t

i =1 j =1

t −1

ri

∑∑r

i =1 j =1

ij

j =1

2

ij

ri

∑∑r

i =1 j =1

ij

k2

ri

t

j =1

i =1 j =1

i =1

i =1

j =1 ri

ij

(Y ) 2 = ... , n..

ij

t

2 ij

t

ij

i =1 j =1

k3 =

,

t −1

EJEMPLO: Se ha registrado la información que corresponde a las llamas del CIP - La Raya, para lo cual se ha empadrado 7 hembras con 4 padres, registrándose el peso vivo al nacimiento. La información se presenta a continuación. Padres Madres 1 2 3

P1 M1 8.0 9.3

Yij.

17.30

Yi..

17.30

M1 8.0 9.5 9.0 26.50

P2 M2 11.0 10.7

M3 8.5 9.5

M1 12.5 12.3

P3 M2 12.0 10.0 10.0

P4 M1 10.0 10.7 9.0

21.70

18.00

24.80

32.00

29.70

170

29.70

170

3

17

66.20

56.80

nij = rij

2

ni. = ri.

2

7

5

3

17

ni = ri

r1 = 1

r2 = 3

r3 = 2

r4 = 1

7

3

2

2

2

3

1. Hipótesis: H 0 : α i = 0 Vs. H a : α i ≠ 0 2. Nivel de significación:

α = 0.05

3. Estadígrafo de contraste: F =

CM Padres 1 ~ Fglt−Error CM EE

Análisis y Diseño de Experimentos - 139 4. Procedimiento de Cálculo. a)Grados de Libertad (GL). GLTrat . = t − 1 = 4 − 1 = 3 t =4

GLEE = ∑ ( ri − 1 ) = ( 1 − 1 ) + ( 3 − 1 ) + ( 2 − 1 ) + ( 1 − 1 ) = 3 i =1

t =4 ri

r1 =1

r2 =3

r3 =2

r4 =1

i =1 j =1

j =1

j =1

j =1

j =1

GLEM = ∑ ∑( rij − 1) = ∑( r1 j − 1) + ∑( r2 j − 1) + ∑( r3 j − 1) + ∑( r4 j − 1) = ( r11 − 1) + ( r21 − 1) + ( r22 − 1) + ( r23 − 1) + ( r31 − 1) + ( r32 − 1) + ( r41 − 1) = (2-1)+(3-1)+(2-1)+(2-1)+(2-1)+(3-1)+(3-1) = 10 t =4

ri

GLTotal = ∑ ∑ ( rij ) − 1 = 2 + 3 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 − 1 = 17 − 1 = 16 i =1 j =1

b) Sumas de Cuadrados (SC. ó SS). 2 Y•••

TC =

t =4

ri

∑∑r

=

2 Y••• 1702 = = 1700 r•• 17

ij

i =1 j =1

i)

F YI GH∑∑ JK =∑ ri

t =4

SCTrat .

rij

2

ijk

ri

∑rij

2

r21 =3

11k

k =1

k =1

r11

=

j =1 k =1

j =1 k =1

r1 =1

r2 =3

r3 =2

r22 =2

r23 =2

∑r2 j

k =1

k =1

r21 + r22 + r23

r31=2 k =1

j =1 k =1 r4 =1

∑r

r32 =3

31k + ∑Y32k k =1

r31 + r32

− TC

4j

j =1

IJ FG ∑Y K +H

2

4jk

∑r3 j

j =1

2

r4 =1 r4 j

3jk

j =1 k =1

21k + ∑Y22k + ∑Y23k

2

r3 =2 r3 j

2jk

j =1

FG ∑Y IJ FG ∑Y H K +H =

2

r2 =3 n2 j

∑r1 j

j =1

r11 =1

2

r1 =1 r1 j

1jk

j =1 k =1

i =1

F YI F YI F YI F YI GH∑∑ JK GH ∑∑ JK GH ∑∑ JK GH∑∑ JK − TC = + + + j =1

IJ FG ∑Y IJ K + H K −TC 2

2

r41=3

41k

k =1

r41

( Y111 + Y112 )2 (Y211 + Y212 + Y213 + Y221 + Y222 + Y231 + Y232 )2 (Y311 + Y312 + Y321 + Y322 + Y323 )2 (Y411 + Y412 + Y413 )2 + + + − TC r11 r21 + r22 + r23 r31 + r32 r41

=

(17.3) 2 (66.2) 2 (56.8) 2 (29.7) 2 + + + − TC = 1714.985857 − TC 2 7 5 3

= 14.9858571

- 140 -


F YI GH ∑ JK = ∑∑ rij

t =4

ii) SCEE

F YI GH ∑ ∑ JK −∑

2

ijk

ri

rij

2

ijk

t =4

k =1

i =1 j =1

rij

ri

j =1 k =1 ri

∑r

i =1

ij

j =1

F YI GH∑ JK =∑

2

r1j

1jk

r1 =1

r2j

r1 j

2

2jk

r2 =3

k =1

j =1

F YI GH∑ JK +∑ k =1

r2 j

j =1

F YI GH∑ JK +∑ 43j

2

3jk

r3 =2

r4j

r3 j

2

4jk

r4 =1

k =1

j =1

F YI GH∑ JK +∑ k =1

− 1714.985857

r4 j

j =1

FG∑Y IJ FG∑Y IJ FG ∑Y IJ FG ∑Y IJ FG ∑Y IJ FG ∑Y IJ FG ∑Y IJ H K +H K +H K +H K +H K +H K +H K −1714985857 = . 2

r11=1

11k

k=1

2

r22 =2

21k

k=1

r23

2

r32 =3

31k

k=1

r22

2

r31=2

23k

k=1

r21

2

r23=2

22k

k=1

r11

=

2

r21=3

32k

k=1

r31

r32

2

n41=3

41k

k=1

r41

(Y111 +Y112 )2 (Y211 +Y212 +Y213 )2 (Y221 +Y222 )2 (Y231 +Y232 )2 (Y311 +Y312 )2 (Y321 +Y322 +Y323 )2 (Y411 +Y412 +Y413 )2 + + + + + + −1714985857 . r11 r21 r22 r23 r31 r32 r41

=

(17.3) 2 (26.5) 2 (21.7) 2 (18) 2 (24.8) 2 (32) 2 (29.7) 2 + + + + + + − 1714.985857 2 3 2 2 2 3 3

= 1724.056667 - 1714.985857 = 9.0708096

F YI GH ∑ JK −∑ ∑ rij

t

ri

rij

iii) SCEM = ∑ ∑ ∑ Yijk2 i =1 j =1 k =1

t

ri

i =1 j = 1

2

ijk

k =1

rij

= ( 82 + 9.32 +L+9 2 ) − 1724.05667

= 1730.76 - 1724.056667 = 6.7033334

iv) SCTotal =

t

ri

rij

∑ ∑ ∑Y i =1 j =1 k =1

2 ijk

− TC = 1730.76 − 1700 = 30.76

Análisis y Diseño de Experimentos - 141 RESUMEN EN LA TABLA ANOVA: F. de V. Entre Padres Entre Madres/Padres Crías/M/P = EM Total

GL. 3 3 10 16

SC. 14.985857 9.070810 6.703333 30.760000

CM. 4.9952857 3.0236032 0.67033334

Fc 1.65 4.51

Estimación de los Coeficientes: k1 , k 2 , k 3

F ∑r I G J ∑∑r − ∑GG JJ ∑r GH ∑r JK k = = 2 ij

r1 =1

j =1 ri

ij

i =1 j =1

i =1

1j

j =1

r2 =3

r3 =2

r41 =1

j =1

j =1

j =1

+∑r2 j +∑r3 j + ∑r4 j

ij

j =1 r1 =1 j =1

j =1

1

LMF r I F r G ∑ JJ + GG ∑ − MG MMG ∑r J G ∑r MNGH JK GH r1 =1

ri

t =4

ri

t

r2 =3

2 1j

j =1 r2 =3

1j

j =1

2 2j

2j

I F ∑r I F ∑r JJ + GG JJ + GG J G J G KJ GH ∑r JK GH ∑r r3 =2

r4 =1

2 3j

j =1 r3 =2

j =1 r4 =1

3j

j =1

j =1

( r1 − 1) + ( r2 − 1) + ( r3 − 1) + ( r4 − 1)

t

∑( r − 1)

2 4j

4j

IO JJ JJ KQ

i

i =1

LMr Nr

OP Q

k1 =

2 11

+

OP Q

F ∑r I F ∑∑r I F ∑∑r I GG JJ GG G JJ . JJ − 10 02857143 − G ∑G GG ∑ ∑ r JJ GH ∑ r JJK GGH ∑ ∑ r JJK H K = = ri

ri

t

2 ij

j =1 bi

i =1

i =1 j =1 ri t

ij

ij

ij

i =1 j =1

i =1 j =1

t −1

F ∑r +∑r G 1002857143 . −G GG ∑r +∑r H == r1 =1

r2 =3

2 1j

2 2j

j =1 r1 =1

j =1 r2 =3

1j

2j

j =1

j =1

3

4 −1

I JJ F 2 + 3 +2 +2 + 2 +3 +3 IJ +∑r +∑r JJ 1002857143 −G K= . H 2+ 3+2 +2 + 2 +3+3 K = 249971989 . r3 =2

r41 =1

j =1 r3 =2

j =1 r41 =1

+∑r32j +∑r42j 3j

j =1

ri

i =1

ij

i =1 j =1

2

ij

ri

∑∑rij i =1 j =1

2

2

2

2

2

2

LMF I F I F I F I OP GH∑r JK + GH∑r JK +GH∑r JK +GH∑r JK P M N Q 17 − 2

r1

j =1 t ri

t −1

2

4j

j =1

3

F I ∑GH∑r JK ∑∑r − t

k3 =

2 ij

i =1 j =1 ri t

j =1

t

ri

t

2 ij

t =4

k2

LM N

22 32 + 22 + 22 22 + 32 32 r212 + r222 + r232 r312 + r322 r412 17 − + + + + + 2 3+ 2 + 2 2+3 3 r21 + r22 + r23 r31 + r32 r41 11 = 2.3238095 = 3 (1− 1) + ( 3 − 1) + ( 2 − 1) + (1− 1)

17 −

1j

j =1

=

2

r2i

2j

j =1

2

r4

3j

j =1

17 4 −1

2

r3

4j

j =1

- 142 -

=

17 −

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno r112 + ( r212 + r222 + r232 )2 + ( r312 + r322 )2 + r412 17

=

3

17 −

22 + ( 72 ) + 52 + 32 17 3

= 3960784 .

SALIDA CON SAS. The GLM Procedure Class Level Information Class Levels Values PADRE 4 P1 P2 P3 P4 MADRE 3 M1 M2 M3 CRIA 3 1 2 3 Number of observations 17 Dependent Variable: PENAC Source Model Error Corrected Total R-Square Coeff Var 0.782076 8.187389

Sum of DF Squares Mean Square 6 24.05666667 4.00944444 10 6.70333333 0.67033333 16 30.76000000 Root MSE PENAC Mean 0.818739 10.00000

Source PADRE MADRE(PADRE)

DF 3 3

Source DF PADRE 3 MADRE(PADRE) 3 Tests of Hypotheses Using the Source DF PADRE 3 The GLM Procedure Least Squares Means PADRE P1 P2 P3 P4

PENAC LSMEAN 8.6500000 9.5611111 11.5333333 9.9000000

Type I SS 14.98585714 9.07080952

Mean Square 4.99528571 3.02360317

F Value 5.98

Pr > F 0.0069

F Value 7.45 4.51

Pr > F 0.0066 0.0301

Type III SS Mean Square F Value Pr > F 16.14253525 5.38084508 8.03 0.0051 9.07080952 3.02360317 4.51 0.0301 Type III MS for MADRE(PADRE) as an Error Term Type III SS Mean Square F Value Pr > F 16.14253525 5.38084508 1.78 0.3238

Standard Error 0.5789358 0.3151327 0.3737015 0.4726991

Pr > |t| <.0001 <.0001 <.0001 <.0001

LSMEAN Number 1 2 3 4

Least Squares Means for effect PADRE Pr > |t| for H0: LSMean(i)=LSMean(j) Dependent Variable: PENAC i/j 1 2 3 4 1 0.1970 0.0019 0.1254 2 0.1970 0.0024 0.5641 3 0.0019 0.0024 0.0219 4 0.1254 0.5641 0.0219 NOTE: To ensure overall protection level, only probabilities associated with preplanned comparisons should be used.

Análisis y Diseño de Experimentos - 143 The NESTED Procedure Coefficients of Expected Mean Squares Source PADRE MADRE Error PADRE 3.96078431 2.49971989 1.00000000 MADRE 0.00000000 2.32380952 1.00000000 Error 0.00000000 0.00000000 1.00000000 Variance Source Total Total PADRE MADRE Error

Nested Random Effects Analysis of Variance for Variable PENAC Sum of Error Variance Percent DF Squares F Value Pr > F Term Mean Square Component of 16 3 3 10

30.760000 14.985857 9.070810 6.703333

PENAC Mean Standard Error of PENAC Mean

1.922500 4.995286 3.023603 0.670333

2.135836 100.0000 0.452825 21.2013 1.012678 47.4136 0.670333 31.3851

10.00000000 0.57133540

FORMA MATRICIAL a) Modelo:

Yijk = µ + α i + βij + ε ijk

Yijk : Es la k-ésima observación en el j-ésimo madre, sujeto al i-ésimo padre. µ : La media poblacional o constante común.

α i : Es el efecto debido al i-ésimo padre de llamas.

β ij : Es el efecto debido a la j-ésima madre, sujeto al i-ésimo padre. ε ijk : Es el término de error usual.

α (padres), i = 1,2,3,..,a con a = 4 en la tabla de datos. Para bi niveles del factor β anidado dentro del factor α (madres dentro de Haciendo «a» niveles del factor

padres ó M/P), j = 1,2,3,..., bi con b1 = 1, b2 = 3, b3 = 2, b4 = 1. Y para vaciones en el j-ésimo madre del i-ésimo padre, k = 1,2,3,.., nij .

nij obser-

- 144 -


b) Ecuaciones normales:

LMY MMYY MMY MMY MMY MMYY MMY MMY MMY MMYY MMY MMY MMYY N

111

112 211

212 213 221

222 231

232 311

312 321

322 323 411

412 413

OP LM1 PP MM11 PP MM1 PP MM1 PP MM1 PP MM11 PP = MM1 PP MM1 PP MM1 PP MM11 PP MM1 PP MM1 PP MM11 Q N

OP LMε 0 P0P MMεε P LµO M 0P M P Mε α 0P M P Mε P Mα P M 0P M P Mε α 0P M P Mε P Mα P M 0P M P Mε β 0P × MM PP + Mε P β M 0P M P Mε P Mβ P 0P M P MMε β 0P M P Mε P Mβ P M 0P M P Mε β 0P M P Mε P Mβ P M 1P N Q Mε MMε 1P P1P MNε Q

1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

111

1 0 0 0 1 0 0 0 0 0

112

0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

211 212

1

213

2

221

3

222

4

231

11

232

21

311

22

312

23

321

31

322

32

323

1

411 412 413

OP PP PP PP PP PP PP PP PP PP PP PP PP Q


LM17 MM 27 MM 5 MM 3 MM 2 MM 23 MM 2 MM 2 MM 3 N3

OP LM µ P0P MM α P Mα 0P M α 3P M α P M 0P M β × 0P M β P M 0P M β 0P M β P M 0P M β M 0PP M β 3PQ MN β

2 2

7 0

5 0

3 2 0 2

3 2 0 0

2 0

2 0

3 3 0 0

0 0 0

7 0 0

0 5 0

0 0 0 0 3 0

3 2 0 0 0 0

2 0 0

0 2 0

0 3 0

2 0

0 3

0 0

0 2 0 0

0 0 3 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

2 2 0 0

0 0 0 0 0 0 2 0 0 3 0 0

0 0 0 0

2 0 0 0

0 2 0 0

0 0 2 0

0 0 0 3

0

0

0

0 0

0

0

0

3 0

0

0 1 0 2 0 3 0 4 0 11 0 21 0 22 0 23 0 31 0 32 0 41

OP L 170 O PP MM17.3 PP .2 P PP MM66 P .8 P 56 M PP M29.7 P PP = MM17.3 PP 26.5 P PP MM 21 P .7 P M PP M18.0 P PP MM24 .8 PP PP MM32.0PP Q MN29.7 PQ

Los puntos representan ceros. La forma general de la ecuación está dada por:

LMn MMnn MMn MMn MMn MMnn MMn MMn MMn Nn

32

n1• n1• • • • n11 • • • • •

41

•

••

1•

2• 3•

4• 11 21

22 23 31

OP PP PP PP PP PP PP PP PP Q

LM MM MM MM MM MM MM MM MM N


LM MM MM MM MM MM MM MM MM N

Y••• n2• n3• n4• n11 n21 n22 n23 n31 n32 n41 µ0 0 • • • n11 • • • • • • Y1•• α1 0 Y2•• n2• • • • n21 n22 n23 • • • α2 • n3• • • • • • n31 n32 • Y3•• α 03 0 • • n4• • • • • • • n41 Y4•• α4 0 • • • n11 • • • • • • Y β × 11 = 11• 0 Y21• n21 • • • n21 • • • • • β21 0 Y n22 • • • • n22 • • • • β22 22• Y23• n23 • • • • • n23 • • • β 023 • n31 • • • • • n31 • • Y31• β031 0 • n32 • • • • • • n32 • Y32• β32 0 • • n41 • • • • • • n41 Y41• β41


c) Resolviendo la ecuación normal. r = r( X' X ) =1+a +b• −(1+a) =b• ⇒ b{•

N° de madres

=1+4+7−(1+4) = 7; GLModelo =b• −1= 7−1= 6

- 146 -


p = 1 + a + b• = 1 + 4 + 7 = 12 , ⇒ p − r = 1 + a = 1 + 4 = 5 β ij0 = Yij • ∀ i , j ⇒ b 0' = 0'1×( 1+ a ) Y ' , donde Y ' = Vector de filas de promedio. Y ' = Y11•

Y21• Y22• Y23•

b 0' = 0'1×( 1+ 4 )

Y31• Y32•

Y41• = 8.65 8.83 10.85 9 12.4 10

Y ' = 0 0 0 0 0 8.65 8.83 10.85 9 12.4 10

La inversa generalizada de X’X es:

G=

LM0 N0

OP Q

0 D( 1 nij ) para i = 1,2,...,a; j = 1,2,.., bi Donde D( 1 nij ) .

Para el ejemplo la diagonal principal no son ceros los elementos:

1 1 1 1 1 1 1 , , , , , y 2 3 2 2 2 3 3

d) Análisis de Varianza (ANOVA). R( µ ) = SSM = n••Y•••2 = 17

FG 170IJ H 17 K

2

= 1700, TC =

2 Y••• 1702 = = 1700 n•• 17

a bi Yij2• b1 Y12j• b2 Y22j• b3 Y32j• b4 Y42j• R( µ,α,β:α ) = SSR = b0' X' Y = ∑∑ = ∑ +∑ + ∑ +∑ i=1 j=1 nij j=1 n1j j=1 n3 j j=1 n2 j j=1 n4 j

=

. 2 265 . 2 217 . 2 182 248 . 2 322 297 .2 Y112• Y212• Y222• Y232• Y312• Y322• Y412• 173 + + + + + + = + + + + + + n11 n21 n22 n23 n31 n32 n41 2 3 2 2 2 3 3

= 1724.056667

R( µ , β:α µ ) = R( µ ,α , β:α ) − R( µ ) = 1724.056667 − 1700 = 24.05666 a

bi

nij

SST = ∑ ∑ ∑ Yijk2 =82 + 9.32 +L+9 2 = 1730.76 i =1 j =1 k =1

SSE = SST − R( µ ,α , β : α ) = 1730.76 - 1724.056667 = 6.70333

Análisis y Diseño de Experimentos - 147 ANOVA: Modelo Lineal General. F. de V. Debido a Media

G.L.

SS.

R( µ )=1700

1

R( µ,β:α µ ) =24056666 .

Modelo

GLModelo = b• −1= 6

Error Residual

GLError =N−b• =17−7=10

SSE = 6.70333

N = 17

SST = 1730.76

Total

MS.

Fc

MSM = 1700

F(M)= 2536.05

MSRm =4009444 .

. F( Rm ) =598

MSE = 0.670333

Como F ( M ) = 2536.05 > F101 ,0.01 = 10.04 entonces rechazamos la Ho: E ( Y ) = 0 Como F ( Rm ) = 5.98 > F106 ,0 .01 = 5.39 , entonces rechazamos la Ho: A partir del ANOVA (Modelo Lineal General), se realizará la partición en dos fuentes de variación, lo que llamaremos Modelo Lineal General Completo. a=4 2 Y Y2 Y2 Y2 Y2 173 . 2 662 . 2 568 . 2 297 .2 R( µ,α ) = ∑ i•• = 1•• + 2•• + 3•• + 4•• = + + + = 1714985857 . n1• n2• n3• n4• 2 7 5 3 i=1 ni•

SSPadres = R( α µ ) = R( µ ,α ) − R( µ ) = 1724.056667 − 1700 = 14.98585 SSMadres/ Padres = R( β:α µ ,α ) = R( µ,α ,β:α ) − R( µ,α ) = 1724.056667 − 1714985857 . = 9.0708099

Para comprobar la suma de cuadrados del modelo: SS Modelo = R( α ,β:α µ ) = R( β:α µ ,α ) + R( α µ ) = 9.0708099 + 14.985857 = 24.056

Suma de cuadrados del total corregido por la media. SSTm = SST − R( µ ) = 1730.76 − 1700 = 30.76 F ( Padres ) = F ( α µ ) =

R( α µ ) 14 .9858571 = = 7.45 ( a − 1 ) MSE 3 × 0.670333

F ( Madres: Padres ) = F ( β :α µ ,α ) = F. de V. Padres

G.L. a-1 = 3

R( β :α µ ,α ) 9.0708099 = = 4.51 ( b• − a ) MSE 3 × 0.670333

SS. SSPadres =14.985857

Madres/Padres

. GLM:P =b• −a = 7−4 = 3 SSM:P = 90708099

Error Residual

GLError = N−b• =17−7=10

SSE = 6.70333

Total corregido

N - 1 = 16

SSTm = 30.76

MS.

Fc

MSPadres = 49952857 .

F(Padres) =7.4

MSM:P = 30236033 . MSE = 0.670333

F(M:P) = 4.51

- 148 -


EJEMPLO: En el Centro Experimental Chuquibambilla de la Universidad Nacional del Altiplano, se evaluaron los pesos de destete (kg) en ovinos criollos de la progenie de 8 hembras, las cuales fueron apareados a 3 padres. Cada padre fue apareado al azar con diferente número de madres, de los cuales cada madre tiene diferente número de crías (1984 - 1989). Con la información obtenida se estimaron los componentes de varianza y la heredabilidad para esta característica. Información de peso al destete (kg) en ovinos criollos del Centro Experimental Chuquibambilla - UNA - Puno. Padres Madres 1 2 3 4 5 6 Yijk nij Yi..

M602 15 17 14 13 15 74 5

P1 M270 16 15 13

44 3 196

M694 17 19 18 24

78 4

P2 M268 M278 22 22 15 19 19 18 20 15 17 93 5 167

74 4

M246 15 17 18 22 20 17 109 6

P3 M249 16 17 20 18

71 4 290

M603 25 16 16 20 15 18 110 6

653 37

/* PROGRAMA EN SAS */ DATA CRIOLLO; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; TITLE’DISEÑO ANIDADO O JERARQUICO’; INPUT PADRE MADRE CRIA PEDE; CARDS; 1 1 1 15 1 1 2 17 1 1 3 14 1 1 4 13 ..................(ingrese los datos siguiente....) 3 3 3 16 3 3 4 20 3 3 5 15 3 3 6 18 ; PROC PRINT; RUN; PROC GLM; CLASS PADRE MADRE CRIA; MODEL PEDE = PADRE MADRE(PADRE); TEST H = PADRE E =MADRE(PADRE); RUN; /* PRESIONE UD. F3 PARA EJECUTAR EL PROGRAMA */

Análisis y Diseño de Experimentos - 149 SALIDA DE RESULTADOS CON SAS. The GLM Procedure Class Level Information Class Levels Values PADRE 3 1 2 3 MADRE 3 1 2 3 CRIA 6 1 2 3 4 5 6 Number of observations 37 Dependent Variable: PEDE Source Model Error Corrected Total R-Square Coeff Var 0.311123 15.08633

Sum of DF Squares Mean Square 7 92.8490991 13.2641570 29 205.5833333 7.0890805 36 298.4324324 Root MSE PEDE Mean 2.662533 17.64865

Source PADRE MADRE(PADRE)

DF 2 5

Type I SS 31.79354354 61.05555556

Mean Square 15.89677177 12.21111111

F Value 1.87

Pr > F 0.1113

F Value 2.24 1.72

Pr > F 0.1243 0.1610

Tests of Hypotheses Using the Type III MS for MADRE(PADRE) as an Error Term Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F PADRE 2 30.34375550 15.17187775 1.24 0.3647

Least Squares Means PADRE 1 2 3

PEDE LSMEAN 16.3222222 18.5500000 18.0833333

Standard Error 0.7855015 0.8930406 0.6778477

Pr > |t| <.0001 <.0001 <.0001

Least Squares Means for effect PADRE Pr > |t| for H0: LSMean(i)=LSMean(j) Dependent Variable: PEDE i/j 1 2 3 1 0.0712 0.1003 2 0.0712 0.6803 3 0.1003 0.6803

LSMEAN Number 1 2 3

- 150 -



4 DISEÑO BLOQUE COMPLETO AL AZAR (DBCA) 4.1. DISEÑO BLOQUE COMPLETO AL AZAR (DBCA) Características: Este diseño es uno de los más ampliamente conocidos y difundidos de los diseños experimentales, también se conoce como Diseño Bloque Completamente Aleatorizado, y se caracteriza porque los tratamientos se distribuyen en forma aleatoria, a un grupo de unidades experimentales denominado bloque, la finalidad es que las unidades experimentales dentro de un bloque sean lo más homogéneas posibles, es decir el número de unidades experimentales en cada bloque debe ser igual al número de tratamientos que se quiere estudiar. Los bloques pueden estar formados por áreas homogéneas de un terreno, grupo de animales que puedan manipularse en forma uniforme (misma raza, misma edad, mismo peso, etc.) En resumen, en este diseño de bloques completos al azar los tratamientos son aleatoriamente asignados a las unidades experimentales (homogéneos) dentro de cada

- 152 -


estrato o subgrupo o bloque. De esta forma, el proceso de aleatorización de los tratamientos ha sido restringido a las unidades dentro de cada bloque. Desde el punto de vista de la variabilidad de los datos, se han introducido una variabilidad artificial por estudiar distintos tratamientos. La variabilidad natural existente entre las unidades experimentales puede ser subdividida por el hecho de haber agrupado las unidades experimentales en grupos heterogéneos (bloques) pero conformados por unidades homogéneas. Así, parte de lo que es la variabilidad natural de las unidades puede ser atribuída a algo ahora conocido (bloques) y otra parte seguirá siendo variabilidad natural de las unidades experimentales. Es interesante notar que la restricción impuesta la aleatorización sorteo implica que cada estrato o bloque corresponde con una repetición completa de los tratamientos. Los bloques o repeticiones puede ser días, observadores, animales, corrales, pacientes, colegios, clones, laboratorios, estufas, cámaras de crecimiento, etc. Así este diseño podría ser usado para controlar una fuente de variación en el material experimental y no solamente la variación entre bloques en un campo. En la figura siguiente, se observa que las unidades no son completamente iguales, son heterogéneas, tal como se simboliza mediante formas diferentes.

(a)

(b)

4

3

1

3

1

2

2

4

2

1

3

1

4

3

4

2

(c)

Figura 1: Principio de formación de bloques Primero se ordena las unidades experimentales de acuerdo a sus características, de forma que todas las unidades iguales formen un grupo (bloque) en el ejemplo cada bloque comprende 4 unidades homogéneas Fig 1 (b). Y finalmente los 4 tratamientos (indicados mediante 1, 2, 3, 4), se asignan al azar a las 4 unidades de cada bloque Fig 1(c). La evidente heterogeneidad de las unidades está controlada por el proceso de la

Análisis y Diseño de Experimentos - 153 formación de bloques. Obsérvese el balance que existe en este diseño. Cada observación se clasifica de acuerdo con el bloque que contiene la unidad experimental y al tratamiento aplicado, dando lugar a una clasificación de dos vías. Cada tratamiento aparece un número igual de veces, generalmente una vez, en cada bloque y cada bloque contiene todos los tratamientos. Bloques y tratamientos son ortogonales entre sí. Esta propiedad es la que lleva a los sencillos cálculos aritméticos que entran en el análisis de los datos resultantes. Este diseño se usa con mayor frecuencia que cualquier otro y si da precisión satisfactoria, no hay objeto de usar otro diferente. EJEMPLO. Si se tiene un terreno con diferentes niveles de pendiente, para instalar un experimento se podría distribuir del siguiente modo, en un ensayo de 4 tratamientos. Bloque I

T1

T2

T3

T4

Mayor pendiente del terreno

Bloque II

T3

T1

T4

T2

Pendiente media del terreno

Bloque III

T4

T3

T1

T2

Poca pendiente del terreno

Si se tiene animales de 3 camadas diferentes, pero de la misma raza se podría bloquear en forma similar, así para un experimento con 4 tratamientos. Bloque I

T1

T2

T3

T4

Camada 1 (Animales homogéneos)

Bloque II

T3

T1

T4

T2


Bloque III

T4

T3

T1

T2


VENTAJAS: 1) Precisión: este diseño ha resultado más preciso que el diseño completamente al azar, para la mayoría de los tratamientos experimentales. La eliminación de la suma de cuadrados de bloques desde la suma de cuadrados del error usualmente resulta en un decrecimiento en el cuadro medio del error a pesar de la pérdida de grados libres para estimar este error. Permite ganar mayor precisión en el experimento, principalmente cuando existe diferencias significativas entre bloques. Flexibilidad: no existe una restricción en relación al número de tratamientos y de repeticiones, sin embargo, el aumento en el número de tratamientos conlleva a

- 154 -


la pérdida de la homogeneidad dentro de bloques. 2) Es un diseño bastante usado por su adaptabilidad, recomendándose generalmente más de tres bloques y por lo menos dos tratamientos por bloque. 3) Es factible realizar el análisis experimental, cuando por alguna causa se hubiera perdido algún bloque. Además si el resultado de una unidad experimental no se llegaría a registrar (pérdida de la unidad experimental), existen técnicas estadísticas simples para poder estimar el resultado. DESVENTAJAS: 1) La desventaja de este diseño es que no es adecuado a gran número de tratamientos y para los casos en que el bloque contenga considerable variabilidad. 2) Cuando existe pérdida de muchas unidades experimentales, el análisis estadístico se complica seriamente y muchas veces no es posible analizarlo. 3) No es recomendable utilizar este diseño cuando se verifica que existe interacción entre bloques y tratamientos. Modelo fijo o Modelo I: Este modelo es usado cuando el investigador selecciona los tratamientos que desea estudiar en un experimento, de acuerdo a la disponibilidad del material experimental decide sobre el número de bloques. En este caso las conclusiones serán aplicadas única y exclusivamente a los tratamientos estudiados. Matemáticamente estas suposicones son. t

∑τ i =1

i

= 0,

b

∑β

j

=0

j =1

Modelo al azar o Modelo II: En este modelo el investigador selecciona al azar una muestra de tratamientos que estudiará en un experimento. El número de bloques también es escogido al azar. Las conclusiones del experimento son aplicables a la población de tratamientos de la cual se extrajo al azar los tratamientos considerados en el estudio. Matemáticamentes, estas suposiciones son:

τ i ~ (0,σ τ2 ),

β j ~ (0,σ 2β )

Modelo Mixto o Modelo I y II: Este modelo se supone cuando el investigador selecciona al azar una muestra de tratamientos al azar y el número de bloques es fijo. Las conclusiones son similares a las del modelo al azar.

Análisis y Diseño de Experimentos - 155 Esquema del diseño bloque completo al azar. Tabla de valores de la muestra para DBCA. Tratamientos (i ) 1 2 3 . i . t Y.j

1 Y11 Y12 Y13 .... Yi1 .... Y1r Y.1

2 Y21 Y22 Y23 .... Yi2 .... Y2r Y.2

Repeticiones (j = 1,2,3,..,r) 3 .... j Y31 .... Y1j Y32 .... Y2j Y33 .... Y3j .... .... .... Yi3 .... Yij .... .... .... Y3r .... Ytj Y.3 .... Y.j

.... .... .... .... .... .... .... .... ....

Total Yi. Y1. Y2. Y3. .... Yi. .... Yt. Y..

r Yr1 Yr2 Yr3 .... Yir .... Yrt Y.r

MODELO ADITIVO LINEAL. El modelo estadístico lineal aditivo en el DBCA es el siguiente:

Yij = µ + τ i + β j + ε ij ;

i = 12 , ,L, t (t = tratamientos) j = 12 , ,L, r (r = bloques)

donde : Yij

= Variable de respuesta observada en la unidad experimental ubicada en el jésimo bloque que recibe el tratamiento "i". = Constante común para toda la observación o media de la población.

µ

τ

i

= Es el efecto del tratamiento «i», el cual es igual a ( µ i − µ ), es la diferencia entre el promedio poblacional del tratamiento y la media poblacional

µ.

β j = Es el efecto del bloque «j», que es igual a ( µ j − µ ), es la diferencia entre el promedio poblacional del bloque y la media poblacional µ . ε ij = Término que representa el error de su respectiva Yij que se considera como la variable aleatoria distribuida en forma normal e independiente con media cero y variancia constante, es es: ε

ij

~ D N I (0,σ

2 e

).

- 156 -


HIPOTESIS:

Modelo I

Respecto a tratamientos:

Respecto a bloques:

Modelo II

H 0 :τ i = 0

H0 :σ τ2 = 0

H a :τ i ≠ 0

H a :σ τ2 ≠ 0

H0 : β j = 0

H 0 :σ 2β = 0

Ha : β j ≠ 0

H a :σ 2β ≠ 0

ANALISIS DE VARIANZA De acuerdo al modelo estadístico lineal el análisis de varianza tiene tres fuentes de variación: Tratamientos, bloques y error experimental que juntos constituyen la variabilidad total.

Yij = µ + τ i + β j + ε ij Población:

Yij = µ + ( µ i • − µ ) + ( µ • j − µ ) + ( Yij − µ i • − µ • j + µ )

Muestra: Yij = Y•• + ( Yi • − Y•• ) + ( Y• j − Y•• ) + ( Yij − Yi • − Y• j + Y•• )

Yij − Y•• = ( Yi • − Y•• ) + ( Y• j − Y•• ) + ( Yij − Yi • − Y• j + Y•• ) [Yij − Y•• ]2 = [( Yi • − Y•• ) + ( Y• j − Y•• ) + ( Yij − Yi • − Y• j + Y•• )]2 (Yij − Y•• ) 2 = (Yi • − Y•• ) 2 + (Y• j − Y•• ) 2 + (Yij − Yi • − Y• j + Y•• ) 2 Aplicando sumatorias a ambos miembros, se tiene: t

t

r

t

r

r

∑∑(Y − Y ) = ∑∑(Y −Y ) + ∑∑(Y ij

i=1 j =1

t

••

2

i=1 j =1

r

∑∑(Y −Y ) ij

i=1 j =1

••

2

i•

••

2

i=1 j =1

t

r

i=1

j =1

•j

t

r

− Y•• )2 + ∑∑(Yij − Yi• − Y• j + Y•• )2 i=1 j =1

t

r

= r∑(Yi• − Y•• )2 + t ∑(Y• j − Y•• )2 + ∑∑(Yij − Yi• − Y• j + Y•• )2 i=1 j =1

SCTOTAL = SCTRATAMIENTOS + SCBLOQUES + SCERROR EXPERIMENTAL Diseño completo al azar (DCA) F. De V. G.L: Tratamientos t-1 Error Experimental Total

t(r-1) tr-1

Diseño Bloque Completo al Azar (DBCA) F. De V. G.L: Bloques r -1 Tratamientos t-1 Error Experimental (t-1)(r-1) Total tr-1

FORMULA:TABLADEANÁLISISDEVARIANZAPARAELDISEÑOBLOQUECOMPLETOALAZAR(DBCA). SUMADECUADRADO Gradosde FuentesdeVariación Libertad Definición Operacional r

t∑(Y•j −Y••)

2

Bloques

r-1

j=1

t

Tratamientos

t-1

r∑(Yi•−Y••)2

r 2 •j

CVE(CM) Fc

Mode

ModeloI r

SCBloque =∑ −TC j=1 t

SCBloque CMBloque CMBloque= r−1 CMError

σ2e +

Y2 SCTrat. =∑i• −TC i=1 r

SC CMTrat. CMTrat. = Tratam. t−1 CMError

σ +

Y

t

i=1

Cuadrado Medio

t∑β

2 j

j =1

r −1 t

2 e

r∑τi2 i=1

σ2e+

t r

t r t 2 r 2 (Yij −Yi•−Y•j +Y••)2 SC = Y− Yi• − Y•j +TC CM = SCError ∑ ErrorExperimental (t-1)(r-1) ∑ Error ∑ ij ∑ ∑ ∑ Error i=1 j=1 (t−1)(r−1) i=1 r j=1 t i=1 j=1 t r

Total

tr-1

∑∑(Y−Y) i=1 j=1

ij

••

2

t r

SCTotal =∑∑Yij2 −TC i=1 j=1

σ2e

σ2e


t −1

σ2e+

- 158 -

TC =


Y..2 , SCerror = SCtotal − ( SCtrat . + SCbloque ), CV . = tr

CM

EJEMPLO Un trabajo experimental de elaboración de néctar de carambola es conducido bajo DBCA, con el que se busca comparar diferentes diluciones del jugo de este fruto. Para el análisis sensorial se utilizó un jurado entrenado, compuesto por 10 personas que categorizaron las muestras haciendo uso de una escala de 10 cm., marcando una pequeña línea vertical sobre la escala en el punto que define su calificación según el SABOR. Los resultados fueron los siguientes: Jueces 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yi. Promedio

A 4.2 6.3 5.3 6.1 5.4 5.3 4.8 5.3 5.2 4.8 52.7 5.27

B 4.0 4.2 5.4 7.0 5.6 4.3 5.4 7.2 5.8 5.3 54.2 5.42

C 5.0 5.6 6.3 6.8 4.8 5.7 6.7 6.7 6.3 6.2 60.1 6.01

D 6.3 5.1 7.8 7.3 6.8 5.5 6.9 6.8 7.2 7.6 67.3 6.73

E 7.2 6.2 8.4 7.6 7.4 6.2 6.5 7.8 7.6 8.9 73.8 7.38

Y.j 26.7 27.4 33.2 34.8 30.0 27.0 30.3 33.8 32.1 32.8 308.1

Promedio 5.34 5.48 6.64 6.96 6.00 5.40 6.06 6.76 6.42 6.56 6.162

SOLUCIÓN: 1. Hipótesis: Respecto a tratamientos:


Respecto a bloques:

H0 : β j = 0 versus Ha : β j ≠ 0

2. Nivel de significación:

α = 0.05

3. Prueba Estadística de contraste: F ( bloque ) =

CM Bloque CM Error

, F ( Tratam. ) =

4. Región de Aceptación y Rechazo: Si

F ( bloque ) ≤ F( rt −−11 )( r −1 ),0.05 entonces se acepta la Ho:

Sí

F ( bloque ) > F( rt −−11 )( r −1 ),0.05 entonces se acepta la Ha:

Sí

F ( Tratam. ) ≤ F( tt−−11 )( r −1 ),0.05 entonces se acepta la Ho:

Sí

F ( Tratam. ) > F( tt−−11 )( r −1 ),0.05 , entonces se acepta la Ha:

CM Tratam. CM Error

Análisis y Diseño de Experimentos - 159 5. Cálculos: a)

b)

Grados de libertad. Bloques Tratamientos (muestras) Error experimental Total

:r-1 = 10 - 1 = 9 :t-1 = 5-1=4 : (r-1)(t-1) = 9 x 4 = 36 : tr - 1 = 5x10 - 1 = 49


TC =

Y..2 ( 308.1 )2 = = 1898.5122 5x10 tr

i) SCBloques =

26.7 2 + 27.4 2 +L+32.82 − TC = 16.02980 5

ii) SCTratam. =

52.7 2 + 54.2 2 + 601 . 2 + 67.32 + 738 .2 − TC = 31.7548 10

5

10

2 2 . 2 +L+8.92 ) − TC = 1962.83 − TC = 64.3178 iii) SCTotal = ∑∑Yij − TC = ( 4.2 + 63 i =1 j =1

iv) SCerror exptal. = SCtotal - SCbloque - SCtrat. = 64.3178 - 16.0298-31.7548 = 16.53320

ANALISIS DE VARIANZA F. de V. G.L. S.C. Bloques (Jueces) 9 16.0298 Entre muestras 4 31.7548 Error experimental 36 16.5332 Total 49 64.3178

C.M. 1.781089 7.938700 0.459256

Fc. 3.88 17.29

4


Signif. ** **


hipótesis alterna (Ha:), y se rechaza la Ho: 7. Conclusión: Existe suficiente evidencia para afirmar que se ha encontrado diferencia estadística altamente significativa (P ≤ 0.01) entre los jueces (bloques) y entre las muestras en estudio, esto implica analizar muy detalladamente para obtener conclusiones coherentes, y para esto se debe realizar la prueba múltiple de comparación de Duncan ó Tukey.

- 160 -


Prueba Múltiple de comparación de DUNCAN 1. Hipótesis: H0 : µ A = µ B = µ C = µ D = µ E Vs. Ha : µ i ≠ 0 2. Nivel de significación: α = 0.05 3. Buscar en la Tabla de Duncan los valores de AES(D) con Grados de Libertad del Error (GLerror = 36).

p: AES(D)

SY =

0.45925556 10

2 2.86

=

ALS(D)

3 3.01

4 3.1

0.63

0.65

0.21 0.60

ALS ( D ) = SY × AES ( D ) , SY =

0.45925556 CM Error = = 0.2143 10 r

3. Ordenar los promedios de mayor a menor.

Tratamiento E D C B A

Promedios 7.38 6.73 6.01 5.42 5.27

Duncan (P ≤ 0.0

a b c cd d

4. Regla de decisión: Sí Yi • − Yj • ≤ ALS ( D ) , entonces se acepta la Ho: Sí Yi • − Yj • > ALS ( D ) , entonces se acepta la Ha: 5. Realizar las comparaciones: 7.38 - 6.73 = 0.65 > 0.6, entonces es significativo

µE ≠ µD

6.73 - 6.01 = 0.72 > 0.6, entonces es significativo

µ D ≠ µC

6.01 - 5.42 = 0.59 ≤ 0.6, entonces no es significativo 6.01 - 5.27 = 0.74 > 0.63, entonces es significativo

µC = µ B

µC ≠ µ A

5.42 - 5.27 = 0.15 ≤ 0.6, entonces no es significativo

µB = µA

Análisis y Diseño de Experimentos - 161 Prueba Múltiple de comparación de TUKEY 1. Hipótesis: H 0 : µ A = µ B = µ C = µ D = µ E Vs. H a : µ i ≠ µ j 2. Nivel de significación: α = 0.05 3. Buscar en la Tabla de Tukey (Usa la tabla SNK), los valores de Amplitudes Estudentizadas Significativas de Tukey AES(T) con Grados de Libertad del Error (GLerror = 36), p = 5 tratamientos, AES(T) = 4.04 SY =

0.45925556 CM Error = = 0.2143 , ALS ( T ) = S Y × AES ( T ) , 10 r = 0 .2143 × 4 .04 = 0 .86577

3. Ordenar los promedios de mayor a menor. Tratamiento E D C B A

Promedios 7.38 6.73 6.01 5.42 5.27

Tukey (P ≤ 0.05)

a ab bc c c

4. Regla de decisión: Sí Yi • − Yj • ≤ ALS ( T ) , entonces se acepta la Ho: Sí Yi • − Yj • > ALS ( T ) , entonces se acepta la Ha: 5. Realizar las comparaciones: 7.38 - 6.73 = 0.65 ≤ 0.87, entonces no es significativo 7.38 - 6.01 = 1.37 > 0.87, entonces es significativo

µE ≠ µC

6.73 - 6.01 = 0.72 ≤ 0.87, entonces no es significativo 6.73 - 5.42 = 1.31 > 0.87, entonces es significativo

µE = µD µ D = µC

µD ≠ µB


µC = µ B


µC = µ A

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PROGRAMA EN SAS. DATA AGROIND; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT TRAT $ JUECES SABOR; DATALINES; A 1 4.2 A 2 6.3 A 3 5.3 . . ... B 1 4.0 B 2 4.2 B 3 5.4 . . ... C 1 5.0 C 2 5.6 C 3 6.3 . . ... D 1 6.3 D 2 5.1 D 3 7.8 . . ... E 1 7.2 E 2 6.2 E 3 8.4 . . ... E 9 7.6 E 10 8.9 ; PROC PRINT; RUN; PROC ANOVA; CLASS TRAT JUECES; MODEL SABOR = JUECES TRAT; MEANS JUECES TRAT/DUNCAN TUKEY; RUN;

Análisis y Diseño de Experimentos - 163 SALIDA DEL SAS (OUTPUT) Class Level Information Class Levels Values TRAT 5 A B C D E JUECES 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Number of observations 50 Dependent Variable: SABOR Source Model JUECES TRAT Error Corrected Total

R-Square 0.742945

Coeff Var 10.99779

DF 13 9 4 36 49

Sum of Squares 47.78460000 16.02980000 31.75480000 16.53320000 64.31780000

Root MSE 0.677684

Mean Square 3.67573846 1.78108889 7.93870000 0.45925556

F Value 8.00 3.88 17.29

Pr > F <.0001 0.0016 <.0001

SABOR Mean 6.162000

Duncan’s Multiple Range Test for SABOR Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 36 Error Mean Square 0.459256 Number of Means 2 3 4 5 Critical Range .6147 .6462 .6667 .6815 Means with the same letter are not significantly different. Mean N TRAT A 7.3800 10 E B 6.7300 10 D C 6.0100 10 C D C 5.4200 10 B D 5.2700 10 A Tukey’s Studentized Range (HSD) Test for SABOR Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 36 Error Mean Square 0.459256 Critical Value of Studentized Range 4.05997 Minimum Significant Difference 0.8701 Means with the same letter are not significantly different. Mean N TRAT A 7.3800 10 E B A 6.7300 10 D B C 6.0100 10 C C 5.4200 10 B C 5.2700 10 A

- 164 -


4.2. Diseño Bloque Completo al Azar con submuestreo. Este diseño es similar al diseño completo al azar con muestreo o con subunidades excepto que ahora tendremos una fuente de variabilidad más que es la debida a bloques. Aparece esta fuente de variación cuando el material experimental causa variabilidad que para efectos de controlar el error experimental, el experimentador deberá considerarlo en el análisis estadístico de resultados. Se utilizará entonces cuando el experimentador cuenta con unidades experimentales grandes quedando la posibilidad de poder subdividirlas en observaciones parecidas o subunidades, las mismas que serán muestreadas para efectos de llevar a cabo el experimento. En algunos casos experimentales resulta antieconómico o no es posible cuantificar el efecto de los tratamientos en la totalidad de la unidad experimental. En estas circunstancias es permisible modificar el modelo original, lo cual nos permitirá cuantificar el efecto por medio de muestras de una misma unidad experimental. Lógicamente, lo anterior acarreará un error extra al ya cuantificado en el error experimental, le denominaremos error de muestreo (EM). Modelo estadístico: Yijk = µ + τ i + β j + ε ij + δ ijk ;

i = 1,2,L , t j = 1,2,L , r k = 1,2,L , s

donde: Yijk = Es la variable respuesta de la k-ésima muestra (subunidad) de la j-ésima unidad experimental sujeta al i-ésimo tratamiento. µ = La media general poblacional o constante común. τ i = Es el verdadero efecto del i-ésimo tratamiento. β j = Es el verdadero efecto del j-ésimo bloque. ε ij = Es el efecto verdadero de la j-ésima unidad experimental sujeta al i-ésimo tratamiento. δ ijk = Es el verdadero efecto aleatorio del error muestral en la k-ésima subunidad, de la j-ésima unidad experimental sujeta al i-ésimo tratamiento. ε ij ~ D N I ( 0 , σ e2 ),

δ ijk ~ D N I ( 0 , σ e2 )

Análisis y Diseño de Experimentos - 165 TABLA ANOVA: Fórmulas. F. de Variación

G.L.

S.C. r

Y . 2j .

j =1

ts

Bloques

r-1

∑

Tratamientos

t-1

∑

t

Error Exptal (EE)

trs-1

Fc.

CME.

Y ...2 tr s

SC bloque

CM bloque

r −1

CM ee

σ 2s + sσ e2 + tsσ β2

Yi ..2 Y...2 − rs trs

S C tr a t . t −1

CM t C M ee

σ2s + sσ2e + rsστ2

−

(r-1)(t-1) por diferencia

Error de muestreo(EM) tr(s-1)

Total

i =1

C.M.

F

∑ GH ∑ Y

2 ijk

i, j

k

t

r

I s JK

Yij2.

−

s

∑∑∑Y

2 ijk

i =1 j =1 k =1

−

SCe.exp (t − 1)(r − 1)

SC em tr ( s − 1)

CM CM

ee em

σ2s + sσ 2e σ 2s

Y...2 trs

EJEMPLO: Veamos un caso ilustrativo al respecto con el objeto de investigar la bondad de 5 dosis alimentarias, en el crecimiento de peces ornamentales de cierta especie, se planeó un experimento en el cual se dispone de 20 acuarios conteniendo 15 peces cada uno. El experimentador advierte cierta heterogeneidad en el tamaño de los acuarios, por lo que decide utilizar el D.B.C.A. para el análisis de resultados, surgiendo de pronto el inconveniente de que no se utilizará todos los peces de cada acuario sino a lo sumo 3 peces por razones de costos, recurriéndose entonces a obtener muestras de tamaño 3 de cada pecera y determinar el ellos la(s) característica(s) a ser estudiadas, una de las cuales fue incrementos de peso en gramos y cuyos resultados luego de cierto tiempo de iniciado el experimento se presentan en el cuadro siguiente.

- 166 -


Unidades SubUnidades (acuarios) (peces) 1 1 2 3 2

1 2 3

3

1 2 3

4

1 2 3 Yi..

VITAMINAS T2 T3 T4 2.1 2.3 3.5 2.9 2.5 3.8 3.5 2.6 4.2 8.5 7.4 11.5 2.9 2.6 3.5 2.6 2.6 3.4 2.8 2.4 3.6 8.3 7.6 10.5 2.6 2.3 3.9 2.8 2.8 3.7 2.5 2.7 3.8 7.9 7.8 11.4 3.1 3.1 4.8 3.5 3.0 4.9 3.6 3.2 4.6 10.2 9.3 14.3 34.9 32.1 47.7

T1 3.5 4.2 4.1 11.8 4.1 4.0 4.3 12.4 4.0 4.2 4.1 12.3 4.6 4.5 4.8 13.9 50.4

T5 4.5 4.6 4.5 13.6 3.9 4.3 4.4 12.6 4.5 4.8 4.5 13.8 5.1 5.3 5.4 15.8 55.8

Y.j

52.8

51.4

53.2

63.5 Y...= 220.9

SOLUCIÓN: Ho: τ

1. Hipótesis: Para tratamientos

Ho: β

Para bloques

i j

= 0 versus

Ha: τ

i

= 0 versus

Ha: β

j

≠ 0 ≠ 0

2. Nivel de significación: α = 0.05 3. Estadística de prueba: Entrega el ANOVA - Prueba F. 4. Procedimiento de cálculo: a) Grados de Libertad (GL). GLBloque = r − 1 = 4 − 1 = 3

GLTrat . = t − 1 = 5 − 1 = 4 GLEE = ( r − 1 )( t − 1 ) = 3 × 4 = 12 GLEM = tr ( s − 1 ) = 5 × 4 × 2 = 40 GLTotal = trs − 1 = 5 × 4 × 3 − 1 = 59

b) Sumas de Cuadrados (SC). TC =

2 Y••• ( 220.9 )2 = = 813.2801667 trs 5 × 4 × 3 4

Y•2j •

j =1

ts

SCBloque = ∑

− TC =

. 2 + 53.2 2 + 635 .2 52.82 + 514 − TC = 6.20583334 15

Análisis y Diseño de Experimentos - 167 2 .2 Yi•• 50.4 2 + 34.92 +L+558 − TC = − TC = 34.84566667 4×3 i =1 rs 5

SCTrat . = ∑

5

4

SCTot −Unidad = ∑ ∑

Yij2• s

i =1 j =1

− TC =

. 2 + 8.52 +L+158 .2 118 − TC = 4194983334 . 3

− 34.84566667 − 6.20583334 = 0.8983333 SCEE = SCTotal − SCTrat . − SCbloque = 419498334 .

Otra alternativas de calcular es: 5

4

SCTot −Unidad = ∑ ∑ i =1 j =1

5

Yij2• s

4

2

4 Y Yi ••2 Y2 • j• −∑ + ••• = 855.23 − 848.125833 − 819.486 + 813.2801667 = 0.8983 trs i =1 rs j =1 ts 5

−∑

3

. 2 + 4.2 2 +L+5.4 2 − TC = 857.67 − TC = 44.38983 SCTotal = ∑ ∑ ∑ Yijk2 − TC = 35 i =1 j =1 k =1

SCEM = SCTotal − SCTrat . − SCbloque − SCEE = 44.38983334 − 3484566667 . − 620583334 . − 08983333 . = 244 .

Otra forma: 5

4

3

5

4

SCEM = ∑ ∑ ∑ Yijk2 − ∑ ∑ i =1 j =1 k =1

i =1 j =1

Yij2• s

= 857.67 − 855.23 = 2.44

TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA F. de V. G.L. S.C. Bloques 3 6.205833 Tratamientos 4 34.845667 Error exptal. (EE) 12 0.898333 Error muestreo (EM) 40 2.440000 Total sub-unidad. 59 44.389833

C.M. 2.0686 8.7114 0.0749 0.0610

Fc. Signif. 27.63 ** 116.37 ** 1.23

CONCLUSION: Respecto a bloques, se ha logrado controlar el error experimental al establecer bloques en el presente experimento. Referente a tratamientos, los promedios de incremento de peso de las cinco vitaminas en estudio en peces ornamentales son diferentes en forma altamente significativa, pues se ha rechazado la hipótesis nula (Ho:). Para interpretar mejor se debe realizar la prueba de comparación de medias Duncan, y se deja como ejercicio al estudiante.

- 168 -


/* PROGRAMA EN SAS */ DATA PECES; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT TRAT BLOQ REP PESO; CARDS; /* Estos datos están dados anteriormente en la matriz de datos */ 1 1 1 3.5 1 3 1 4.0 2 1 1 2.1 2 3 1 2.6 3 1 1 2.3 3 3 1 2.3 ............. 1 1 2 4.2 1 3 2 4.2 2 1 2 2.9 2 3 2 2.8 3 1 2 2.5 3 3 2 2.8 5 3 2 4.8 1 1 3 4.1 1 3 3 4.1 2 1 3 3.5 2 3 3 2.5 3 1 3 2.6 3 3 3 2.7 5 3 3 4.5 1 2 1 4.1 1 4 1 4.6 2 2 1 2.9 2 4 1 3.1 3 2 1 2.6 3 4 1 3.1 5 4 1 5.1 1 2 2 4.0 1 4 2 4.5 2 2 2 2.6 2 4 2 3.5 3 2 2 2.6 3 4 2 3.0 5 4 2 5.3 1 2 3 4.3 1 4 3 4.8 2 2 3 2.8 2 4 3 3.6 3 2 3 2.4 3 4 3 3.2 5. 4 3 5.4 ; PROC PRINT; RUN; PROC GLM; CLASS TRAT BLOQ REP; MODEL PESO = BLOQ TRAT BLOQ(TRAT); TEST H = TRAT E=BLOQ(TRAT); TEST H = BLOQUE E=BLOQ(TRAT); LSMEANS TRAT /PDIFF STDERR; RUN; /* Presione F3 para ejecutar el programa */

EJEMPLO. Los datos siguientes expresan las producciones de forraje verde de tritricale, obtenidas de un estudio donde se probaron cuatro dosis diferentes de nitrógeno en una misma variedad. A continuación presentamos la información.

Dosis 100 kg/ha Yij. 200 kg/ha

Yij. 300 kg/ha

Yij. 400 kg/ha

Yij. Y.j.

I 24 23 21 68 25 28 30 83 56 65 58 179 24 19 23 66 396

II 19 21 24 64 31 24 32 87 62 60 59 181 21 22 24 67 399

III 18 19 22 59 28 32 36 96 61 60 64 185 23 18 22 63 403

IV Yi.. 23 22 20 256 65 34 33 29 362 96 62 60 61 183 728 19 21 23 259 63 407 1605

ANALISIS DEVARIANZA F. De V. G.L. S.C. C.M. Fc. Tratamientos 3 12469.890 4156.630 601.5** Bloques 3 5.729 1.910 0.27ns. Error exptal. (EE) 9 62.190 6.910 0.97ns. Error de muestreo (EM) 32 228.001 7.125 Total 47 12765.810

Análisis y Diseño de Experimentos - 169 Como es posible observar en el análisis de varianza, a partir de la Fc = 601.54 > F(3,9,0.01) = 6.99, podemos decir que rechazamos la hipótesis de igualdad de tratamientos, lo que no ocurre así para bloques. Comprobar el ejemplo anterior con el Paquete Estadístico SAS. Hallar la curva de respuesta.

EJERCICIOS: 1. Analice los resultados del siguiente experimento. Horas luz diurna Bajas temperaturas nocturnas Altas temperaturas nocturnas Número 8 12 16 8 12 16 Matera No. Matera No. Matera No. Matera No. Matera No. Matera No. de plantas 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3.5 2.5 3.0 5.0 3.5 4.5 5.0 5.5 5.5 8.5 6.5 7.0 6.0 6.0 6.5 7.0 6.0 11.0 2 4.0 4.5 3.0 5.5 3.5 4.0 4.5 6.0 4.5 6.0 7.0 7.0 5.5 8.5 6.5 9.0 7.0 7.0 3 3.0 5.5 2.5 4.0 3.0 4.0 5.0 5.0 6.5 9.0 8.0 7.0 3.5 4.5 8.5 8.5 7.0 9.0 4 4.5 5.0 3.0 3.5 4.0 5.0 4.5 5.0 5.5 8.5 6.5 7.0 7.0 7.5 7.5 8.5 7.0 8.0

a) Calcule el ANOVA e interprete los esultados. 2. Observaciones sobre la calidad de un producto obtenido en ocho manufactureras en tres zonas. Analice y emita sus conclusiones. Zona Plantas Observaciones

I 6

A II 6, 8

II 6, 7, 8

I 5, 7

B II 6, 7

C III 6

I 7

II 7, 9

3. Un método de muestrear peces en un lago consiste en matarlos todos con rotenona, recogerlos en baldes y luego tomar una muestra al azar de los baldes. En un experimento de estos, se tomó una muestra de 2 baldes de un total de 20 y se midió la longitud de los peces en pulgadas. Los datos fueron: Muestra A: 5 peces de 5 pulgadas, 19 de 6, 19 de 7, 8 de 8 y 3 de 9; n=54 Muestra B. 10 peces de 5 pulgadas, 27 de 6, 15 de 7, 6 de 8 y 3 de 9; n=61 Para cada muestra, calcular la media. ¿Cuál es la clase modal para cada muestra? ¿Se calculó la media utilizando 54 (61) observaciones individuales o como media ponderada? ¿La media ponderada es la misma que la media aritmética de todas las 115 obesrvaciones? Existe diferencia estadística entre el promedio de las dos muestras haciendo uso de la prueba de “t” y luego con el Análisis de variancia.

- 170 -


4.3. ANÁLISIS FUNCIONAL DE LA VARIANZA. El análisis funcional de la varianza se refiere a la prueba de significación de las comparaciones individuales o de grupos de tratamientos. Estas comparaciones se pueden probar dividiendo los grados de libertad para efecto de tratamientos en grados de libertad simples y que nos permita una mejor interpretación de resultados. Realizando una extensión del ANOVA, se pueden subdividir las suma de cuadrados de los tratamientos en un número de componentes que son apropiados para las preguntas individuales y realizar una prueba contraste de F para el cuadrado medio de cada componente. Algebraicamente, un contraste entre las cantidades T , ... ,T 1 k donde T es la suma de r observaciones está definido por: i

i

Q j = c1 j T1 + c2 j T2 + c3 j T3 +L+ ckj Tk con

k

∑ ri cij = 0 ó Q j = ∑ cij Ti k

i =1

i =1

Si r1 = r2 =L = rk , si cada T es la suma del mismo número de observai k

ciones, entonces la condición necesaria para un contraste se reduce a:

∑r c

i ij

=0

i =1

Las Ti puede ser totales o promedios de tratamientos, los totales son más convenientes para las pruebas, y los promedios para la estimación de intervalos de confianza. Un contraste siempre tiene un solo grado de libertad ( GLContraste = 1 ).

FG ∑ c T IJ H K = k

SCContraste Q j = SCQ j =

Q 2j k

∑rc

2 i ij

i =1

2

ij i

i =1 k

∑rc

2 i ij

i =1

REGLAS: 1. Si Q j = c1 jT1 + c2 jT2 +...+c kjTk les de tratamientos, entonces

( Σc i = 0) es una comparación de los tota-

Q 2j k

∑ rc

es parte de la suma de cuadrados de trata-

2 i ij

i =1

mientos, asociados con 1 sólo grado de libertad, donde r es el número de i observaciones en cualquier total de tratamiento.

Análisis y Diseño de Experimentos - 171 La regla implica que

Q 2j

no puede exceder o ser mayor a la suma de cua-

k

∑ rc

2 i ij

i =1

drados de tratamientos.

Q1 = c11T1 + c 21T2 +...+ c k1Tk

2. Las dos comparaciones:

Q2 = c12 T1 + c 22T2 +...+c k 2 Tk son ortogonales si, c11c12 + c21c22 +...+c k1c k 2 = 0, ó

k

∑rc

c =0

i ip iq

i =1

3. Si dos comparaciones son ortogonales, sus contribuciones

(p ≠ q) Q12 k

r ∑ ci21

y

i =1

Q22 k

r ∑ ci22

son

i =1

partes independientes de la suma de cuadrados para tratamientos, cada una con 1 grados de libertad. Esto implica que la SCtratamientos puede dividirse en las contribuciones de la Q y Q , más cualquier remanente con [(t-3) gra1 2 dos de libertad]. 4. En «T» tratamientos, si (t-1) comparaciones son mutuamente ortogonales (es decir, que cada par es ortogonal), entonces:

Q12 k

r∑ c

2 i1

i =1

+

Q22 k

r∑ c

2 i2

i =1

+

Q32 k

r∑ c

2 i3

i =1

+L+

Qt2−1 k

r∑ c i =1

= SCTratamientos

2 i ( t −1 )

EJEMPLO: Se registró observaciones con el objeto de comparar 7 fungicidas para semillas y un control sin tratamiento respecto a la emergencia de plántulas de maíz infectado con Diplodia spp. El experimento se llevó a cabo en un invernadero con 6 bloques en un diseño en bloques completo al azar. Cada unidad experimental consistía en 25 semillas. Los datos y tratamientos codificados se dan a continuación: Densidad de semillas de maíz en invernaderos, infectados con Diplodia spp. en tratamiento con varios fungicidas.

- 172 -


Bloques I II III IV V VI Total

A 8 8 9 7 7 5 44 Símbolo A By C Dy H E, F y G

B 16 19 24 22 19 19 119

Tratamientos* C D E F G 14 10 8 8 7 16 11 7 8 6 14 12 1 3 6 13 8 1 3 6 14 7 3 3 4 13 3 2 7 4 84 51 22 32 33 *Tratamiento Control sin tratamiento. Fungicidas Mercúricos. Fungicidas no mercúricos, Compañía I Fungicidas no mercúricos, Compañía II, donde F y G son formulaciones nuevas de E.

H 12 19 9 11 9 5 65

Total 83 94 78 71 66 58 450

PROCEDIMIENTO: a) Se realiza el ANOVA básico. 1. Hipótesis: Respecto a tratamientos:


Respecto a bloques:



α = 0.05


CM Bloque CM Error

, F ( Tratam. ) =



Sí


5. Cálculos: a) Grados de libertad. Bloques Tratamientos Error experimental Total b)

:r-1 =6-1=5 :t-1 =8-1=7 : (r-1)(t-1) = 5 x 7 = 35 : tr - 1 = 8x6 - 1 = 47


TC =

Y••2 ( 450 )2 = = 4218.75 6×8 tr

CM Tratam. CM Error

Análisis y Diseño de Experimentos - 173 i) SC Bloq ues = ii) SCTratam. =

83 2 + 94 2 + L + 58 2 − T C = 10 2 .50 8

44 2 +119 2 + 84 2 +L+332 + 652 − TC = 1210.583333 6 5

10

iii) SCTotal = ∑ ∑ Yij2 − TC = ( 82 + 82 +L+52 ) − TC = 5734 − TC = 1515.25 i =1 j =1

iv) SCerror exptal. = SCtotal - SCbloque - SCtrat. = 1515.25 - 102.5 - 1210.583333 = 202.166667 ANALISIS DE VARIANZA F. de V. G.L. S.C. C.M. Bloques 5 102.5 20.500000 Tratamientos 7 1210.583333 172.940476 Error experimental 35 202.166667 5.776190 Total 47 1515.25

Fc. 3.55 29.94

7


Signif. ns. **


hipótesis alterna (Ha:), y se rechaza la Ho: 7. Conclusión: Existe suficiente evidencia para afirmar que se ha encontrado diferencia estadística altamente significativa (P ≤ 0.01) entre los tratamientos, esto implica realizar los contrastes para obtener las conclusiones coherentes. b) Se descomponelos grados de libertad y la suma de cuadrados de tratamientos en siete contrastes (formar los posibles contrastes con los tratamientos). C1 : C2 : C3 : C4 : C5 : C6 : C7 :

A (B y C) B (D y H) D E F

versus versus versus versus versus versus versus

(B, C, D, E, F, G, H) (D, E, F, G, H ) (Fungicidas Mercúricos Vs. Fungicidas no me C (Entre fungicidas mercúricos) (E, F y G) (Entre las compañías) H (entre los productos de la compañía I) (F y G) (entre con las nuevas formulaciones) G (entre formulaciones nuevas)

- 174 -


Tratamiento

divisores A

B

C

D

G

32

H

33

Qj

65

FG ∑c IJ SCQ H K k

r

2 i.

j

84

C1 : A vs (B,C,D,E,F,G,H)

7

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-98

56(6)

28.583

C2 : (B y C) vs (D,E,F,G,H)

0

5

5

-2

-2

-2

-2

-2

609

70(6)

883.05 **

C3 : B vs C

0

1

-1

0

0

0

0

0

35

2(6)

102.08 **

C4 : (D y H) vs (E,F,G)

0

0

0

3

-2

-2

-2

3

174

30(6)

168.20 **

C5 : D vs H

0

0

0

1

0

0

0

-1

-14

2(6)

16.333

C6 : E vs (F y G)

0

0

0

0

2

-1

-1

0

-21

6(6)

12.25

C7 : F vs G

0

0

0

0

0

1

-1

0

-1

2(6)

0.08

Yi.

22

F

44 119

Contrastes

51

E

i =1

SCTratamientos =

1210.5833

k =8

Verificando para j = 1 entonces

Q1 = ∑ ci1Ti i =1

Q1 = c11T1 + c21T2 + c31T3 + c41T4 + c51T5 + c61T6 + c71T7 + c81T8 = = 7(44)+(-1)(119)+(-1)(84)+(-1)(51)+(-1)(22)+(-1)(32)+(-1)(33)+(-1)(65)= -98

Q2 = c12 T1 + c22 T2 + c32 T3 + c42 T4 + c52 T5 + c62 T6 + c72 T7 + c82 T8 = = 0(44)+(5)(119)+(5)(84)+(-2)(51)+(-2)(22)+(-2)(32)+(-2)(33)+(-2)(65)= 609

Q3 = c13T1 + c23T2 + c33T3 + c43T4 + c53T5 + c63T6 + c73T7 + c83T8 = 35 Q4 = c14 T1 + c24 T2 + c34 T3 + c44 T4 + c54 T5 + c64 T6 + c74 T7 + c84 T8 = 174 Q5 = c15T1 + c25T2 + c35T3 + c45T4 + c55T5 + c65T6 + c75T7 + c85T8 = -14 Q6 = c16 T1 + c26 T2 + c36T3 + c46T4 + c56T5 + c66 T6 + c76 T7 + c86 T8 = -21

Q7 = c17 T1 + c27 T2 + c37 T3 + c47 T4 + c57 T5 + c67 T6 + c77 T7 + c87 T8 = -1 Un método más fácil para calcular es multiplicar la matriz por un vector.

LM7 MM00 MM0 MM0 MM0 N0

44 O OP LM119 PP LM−98OP M P M 84 P M609 P 0 P M P M 35 P P 51 M P 3 P × M P = M174 P M 22 P −1P M P M −14P 32 P M P 0 P MM PP M −21P 33 0 QP M P MN −1 PQ MN 65 PQ

−1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 5

5

−2 −2 −2 −2 −2

1

−1

0

0

0

0

3

−2 −2 −2

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

2

−1 −1

0

0

0

0

0

1

−1

Análisis y Diseño de Experimentos - 175 Cálculo de los divisores: D j = r

FG ∑ c IJ H K k

2 ij

i =1

2 2 2 2 + c312 + c41 + c512 + c61 + c71 + c812 = 6 72 + ( −1)2 + ( −1)2 + ( −1)2 + ( −1)2 + ( −1)2 D1 = r c112 + c21

= 6x56 = 336 D2 = 6x70 = 420; D3 = 6x2 = 12; D4 = 6x30 = 180; D5 = 6x2 = 12; D6 = 6x6 = 36; D7 = 6x2 = 12. Suma de Cuadrados de los contrastes: SCQ1 =

Q12 k

r ∑ cij2

=

Q12 982 = = 28.583 D1 336

i =1

Q 2 6092 SCQ2 = 2 = = 883.05 D2 420

SCQ5 =

Q52 ( −14 )2 = = 16.333 D5 12

SCQ3 =

Q32 352 = = 102.083 D3 12

SCQ6 =

Q62 ( −21)2 = = 12.25 D6 36

SCQ4 =

Q42 174 2 = = 168.20 D4 180

SCQ7 =

Q72 ( −1 )2 = = 0.083 D7 12

Finalmente con los componentes calculados, se hace la tabla final de ANOVA Fuentes de Variación GL. SC. Bloques 5 102.5000 Tratamientos 7 1210.5833 C1 : A vs (B,C,D,E,F,G,H) 1 28.5830 C2 : (B y C) vs (D,E,F,G,H) 1 883.0500 C3 : B vs C 1 102.0830 C4 : (D y H) vs (E,F,G) 1 168.2000 C5 : D vs H 1 16.3300 C6 : E vs (F y G) 1 12.2500 C7 : F vs G 1 0.0830 Error Experimental 35 202.166667 TOTAL 47 1515.249967 CV = 25.64%

CM. 20.50000 172.94047 28.58300 883.05000 102.08300 168.20000 16.33000 12.25000 0.08300 5.77619

Fc Signific. 3.55 ns. 29.94 ** 4.95 * 152.88 ** 17.67 ** 29.12 ** 2.83 ns. 2.12 ns. 0.01 ns.

- 176 -


/* PROGRAMA EN SAS */ DATA FCUFVA; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; DO TRAT = 1 TO 8; DO BLK = 1 TO 6; INPUT SEMI @; OUTPUT; END; END; CARDS; 8 8 9 7 7 5 16 19 24 22 19 19 14 16 14 13 14 13 10 11 12 8 7 3 8 7 1 1 3 2 8 8 3 3 3 7 7 6 6 6 4 4 12 19 9 11 9 5 ; PROC PRINT; RUN; PROC GLM; CLASS BLK TRAT; MODEL SEMI = BLK TRAT; RUN; CONTRAST’A VERSUS B,C,D,E,F,G,H ‘ TRAT 7 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1; CONTRAST’B y C VERSUS D,E,F,G, H ‘ TRAT 0 5 5 -2 -2 -2 -2 -2; CONTRAST’B VERSUS C ‘ TRAT 0 1 -1 0 0 0 0 0; CONTRAST’D y H VERSUS E,F Y G ‘ TRAT 0 0 0 3 -2 -2 -2 3; CONTRAST’D VERSUS H ‘ TRAT 0 0 0 1 0 0 0 -1; CONTRAST’E VERSUS F y G ‘ TRAT 0 0 0 0 2 -1 -1 0; CONTRAST’F VERSUS G ‘ TRAT 0 0 0 0 0 1 -1 0; RUN;

SALIDA DE RESULTADOS CON SAS The GLM Procedure Class Level Information Class Levels Values BLK 6 1 2 3 4 5 6 TRAT 8 1 2 3 4 5 6 7 8 Number of observations 48 Dependent Variable: SEMI Source Model BLK TRAT Error Corrected Total R-Square Coeff Var 0.866579 25.63595 Contrast A VERSUS B,C,D,E,F,G,H B y C VERSUS D,E,F,G, H B VERSUS C D y H VERSUS E,F Y G D VERSUS H E VERSUS F y G F VERSUS G

Sum of DF Squares Mean Square 12 1313.083333 109.423611 5 102.500000 20.500000 7 1210.583333 172.940476 35 202.166667 5.776190 47 1515.250000 Root MSE SEMI Mean 2.403371 9.375000 DF 1 1 1 1 1 1 1

Contrast SS 28.5833333 883.0500000 102.0833333 168.2000000 16.3333333 12.2500000 0.0833333

Mean Square 28.5833333 883.0500000 102.0833333 168.2000000 16.3333333 12.2500000 0.0833333

F Value 4.95 152.88 17.67 29.12 2.83 2.12 0.01

F Value 18.94 3.55 29.94

Pr > F 0.0327 <.0001 0.0002 <.0001 0.1016 0.1542 0.905

Pr > F <.0001 0.0106 <.0001

Análisis y Diseño de Experimentos - 177 EJEMPLO: Se planeó un experimento en un DBCA con cinco repeticiones y se quiere comparar el efecto de diferentes fuentes de fertilizantes nitrogenados en el aumento del rendimiento de pasto por parcela que están en cultivo. Las fuentes en estudio son: T1: Testigo, T2: (NH4)NO3, T3: (NH4)2SO4, T4: Urea. La Información se presenta en seguida: Bloques I II III IV VI Yi.

T1 3 4 2 3 4 16

Tratamientos* T2 T3 5 6 6 5 8 7 4 6 10 5 33 29

T4 8 9 10 10 12 49

Y.j 22 24 27 23 31 127

Símbolo T1 T2 T3 T4

*Tratamiento Testigo (NH4 )NO3 (NH4 )2 NO4 Urea.

a) Se realiza el ANOVA básico. 1. Hipótesis: Respecto a tratamientos:


Respecto a bloques:



α = 0.05


CM Bloque CM Error

, F ( Tratam. ) =


F ( Tratam. ) ≤ F( tt−−11 )( r −1 ),0.05 , entonces se acepta la Ho:

Sí


5. Cálculos: a) Grados de libertad. Bloques Tratamientos Error experimental Total b)

:r-1 =5-1=4 :t-1 =4-1=3 : (r-1)(t-1) = 4 x 3 = 12 : tr - 1 = 5x4 - 1 = 19


Y••2 ( 127 )2 = = 806.45 tr 4×5

CM Tratam. CM Error

- 178 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno r =5

Y2

•j i) SCBloques = ∑ t − TC = j =1

222 + 242 + 272 + 232 + 312 − TC = 13.3 4

i =1

Yi •2 16 2 + 332 + 29 2 + 49 2 − TC = − TC = 110 .95 r 5

4

5

t =4

ii) SC Fertiliz . = ∑

iii) SCTotal = ∑ ∑ Yij2 − TC = ( 32 + 4 2 +L+12 2 ) − TC = 955 − TC = 148.55 i =1 j =1

iv) SCerror exptal. = SCtotal - SCbloque - SCFertiliz. = 148.55 - 13.3 - 110.95 = 24.30

ANALISIS DE VARIANZA F. de V. G.L. S.C. Bloques 4 13.3 Fertilizantes 3 110.95 Error experimental 12 24.3 Total 19 148.55 CV = 22.41%

C.M. 3.325000 36.983333 2.025000

Fc. 1.64 18.26

3

6. Decisión: Como F(Fertiliz.) = 18.26 > F12,0.01

Signif. ns. **


hipótesis alterna (Ha:), y se rechaza la Ho: 7. Conclusión: Se encontrado diferencia estadística altamente significativa (P ≤ 0.01) entre los Fertilizantes nitrogenados, esto implica realizar los contrastes para obtener las conclusiones coherentes. b) Ahora se descompone los grados de libertad y la suma de cuadrados de tratamientos en tres contrastes, usando las reglas dadas anteriormente. Fertilizantes Contrastes

Yi.

divisores T1

T2

T3

T4

16

33

29

49

Qj

FG ∑ c IJ SCQ H K k

r

2 i.

j

i =1

C1 : T1 vs (T2,T3,T4)

3

-1

-1

-1

-63

5x12

66.15

C2 : T4 vs (T2 y T3)

0

-1

-1

2

36

5x6

43.2

C3 : T2 vs T3

0

1

-1

0

4

5x2

1.6

SCFertilizantes = 110.95


Verificando para j = 1 entonces Q1 =

k =4

∑c T

i1 i

i =1

Q1 = c11T1 + c21T2 + c31T3 + c41T4 = 3 × 16 +(-1) × 33 +(-1) × 29 +(1) × 49 = −63 Q2 = c12T1 + c22T2 + c32T3 + c42T4 = 0 × 16+(-1) × 33 +(-1) × 29 +(2) × 49 = 36

Q3 = c13T1 + c23T2 + c33T3 + c43T4 = 0 × 16+(+1) × 33 +(-1) × 29 +0 × 49 = 4 Un método más fácil para calcular es multiplicar la matriz por un vector.

LM3 MM0 N0

OP PP Q

LM MM MN

OP PP PQ

LM MM N

OP PP Q

=

Q22 ( 36 )2 = = 43.20 30 D2

Y1• = 16 −1 −1 −1 Q1 = −63 Y2• = 33 = Q2 = 36 −1 −1 2 × Y3• = 29 1 −1 0 Q3 = 04 Y4• = 49

Cálculo de los divisores: D j = r

FG ∑ c IJ H K k

2 ij

i =1

D1 = 5 32 + ( −1 )2 + ( −1 )2 + ( −1 )2 = 5 × 12 = 60 D2 = 5 0 2 + ( − 1 )2 + ( − 1 )2 + 2 2 = 5 × 6 = 30 D 3 = 5 0 2 + 12 + ( − 1 )2 + 0 2 = 5 × 2 = 1 0

Suma de Cuadrados de los contrastes: SCQ1 =

2 1 k =4

Q

r ∑ cij2

=

Q12 ( −63 )2 = = 6615 . , SCQ2 = 60 D1

i =1

SCQ3 =

Q32

k =4

r ∑ cij2

2 2 k =4

Q

r ∑ cij2 i =1

=

Q32 ( 4 )2 = = 1.60 10 D3

i =1

Los contrastes son mutuamente ortogonales, porque se cumplen las siguientes condiciones:

- 180 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno Condición 1

Condición 2

k =4

c1 = ∑ cij = 3 + ( −1 ) + ( −1 ) + ( −1 ) = 0

c1 × c2 = 3 × 0 + ( −1 )( −1 ) + ( −1 )( −1 ) + ( −1 )( −2 ) = 0

i =1

c2 =

k =4

∑c

ij

= 0 + ( −1 ) + ( −1 ) + 2 = 0

c1 × c3 = 3 × 0 + ( − 1 )( 1 ) + ( −1 )( − 1 ) + ( −1 )( 0 ) = 0

= 0 + 1 + ( −1 ) + 0 = 0

c2 × c3 = 0 × 0 + ( − 1 )( 1 ) + ( − 1 )( − 1 ) + ( 2 )( 0 ) = 0

i =1

c3 =

k =4

∑c

ij

i =1

Finalmente con los componentes calculados, se hace la tabla final de ANOVA Fuentes de Variación Bloques Fertilizantes C1 : T1 vs (T2,T3,T4) C2 : T4 vs (T2 y T3) C3 : T2 vs T3 Error Experimental TOTAL

GL. 4 3 1 1 1 12 19

SC. 13.3000 110.9500 66.1500 43.2000 1.6000 24.3 148.55

CM. 3.32500 36.98333 66.15000 43.20000 1.60000 2.02500

Fc Signific. 1.64 ns. 18.26 ** 32.67 ** 21.33 ** 0.79 ns.

4.4. CURVAS DE RESPUESTA. Es muy frecuente que el investigador esté interesado en estudiar una variable a varios niveles, tales como niveles de temperaturas, concentración de productos químicos, niveles de alimento en una ración, niveles de un nutrimento aplicado al suelo; en tales casos el investigador estará interesado de las curvas de respuesta, a la variación de niveles. La curva de respuesta (variable dependiente) con el aumento de niveles (variable independiente) puede ser lineal o curvilineal. Debe recordarse que los niveles de las variables independientes deben ser igualmente espaciados o de igual intervalo, para esto hay tablas auxiliares que nos facilitarán el ajuste de estos polinomios. La suma de cuadrados para los efectos principales del factor se puede descomponer, por medio de estos componentes polinomiales en componentes lineales, cuadráticos, cúbicos y así sucesivamente. Cada uno de las sumas de cuadrados se puede encontrar el contraste de F contra el Cuadrado Medio del error.

Análisis y Diseño de Experimentos - 181 EJEMPLO: Se ha conducido un experimento en diseño bloque completo al azar para estudiar la respuesta de la papa a la aplicación de 4 niveles de fertilizante nitrogenado. Los siguientes son los resultados obtenidos (en kg/parcela de 20 m2). Bloques I II III IV Total

0 10 9 11 10 40

50 kg N/Ha 12 11 12 13 48

100 kg N/Ha 150 kg N/Ha 15 11 15 10 16 10 15 11 61 42

Total 48 45 49 49 Y.. = 191

Efectuar una prueba de tendencias por contrastes ortogonales y estimar la función de respuesta. ETAPAS: 1. Efectuar el ANOVA. 1. Hipótesis: Respecto a tratamientos:


Respecto a bloques:



α = 0.05


CM Bloque CM Error

, F ( Tratam. ) =



Sí


5. Cálculos: i) Grados de libertad. Bloques Tratamientos (muestras) Error experimental Total

:r-1 =4-1 = 3 :t-1 =4-1 = 3 : (r-1)(t-1) = 3 x 3 = 9 : tr - 1 = 4x4 - 1 = 15

CM Tratam. CM Error

- 182 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno ii)


Y••2 1912 = = 2280.0625 tr 4 × 4 r =4

Y•2j

i =1

t

SCBloques = ∑

=

482 + 452 + 49 2 + 49 2 − TC = 2.6875 4

Y 402 + 482 + 612 + 42 2 = − TC = 67.1875 4 i =1 r

t =4

2 i•

SCTratam. = ∑ 4

4

SCTotal = ∑ ∑ Yij2 − TC = ( 102 + 9 2 +L+112 ) − TC = 2353 − TC = 72.9375 i =1 j =1

SCError = SCTotal − SCBloque − SCTratam. = 72.9375 − 2.6875 − 67.1875 = 3.0625

ANALISIS DE VARIANZA F. de V. G.L. S.C. Bloques 3 2.6875 Tratamientos 3 67.1875 Error experimental 9 3.0625 Total 15 72.9375

C.M. 0.895833 22.395833 0.340278

Fc. 2.63 65.82

3


Signif. ns. **


hipótesis alterna (Ha:), y se rechaza la Ho: 7. Conclusión: En base a los resultados de ANOVA, podemos afirmar que existe diferencia estadística altamente significativa (P ≤ 0.01) entre los niveles de fertilización nitrogenada, es decir que el fertilizante tiene efecto sobre la producción de papa, además los niveles de tratamientos son tipo cuantitativo por lo que se debe realizar los la prueba de tendencias. 2. Ordenar los totales de los niveles (tratamientos) de fertilizantes nitrogenados con los valores de los polinomios ortogonales para cada tendencia. N0

N50

N100

N150

Totales (Yi.) Componentes o tendencias 1. Lineal

40

48

61

42

-3

-1

1

3

2. Cuadrático 3. Cúbico

1 -1

-1 3

-1 -3

1 1 k

3. Calcular los valores Qj de acuerdo a la siguiente ecuación: Q j = ∑ Yi • cij i =1

Análisis y Diseño de Experimentos - 183 Reemplazando para cada uno de las tendencias, se obtiene: k =4

Q1 = QLineal = ∑Yi•cij = Y1•c11 + Y2•c21 + Y3•c31 + Y4•c41 = 40( −3) + 48( −1) + 61( +1) + 42( +3) = 19 i =1

k =4

Q2 = QCuadrática = ∑Yi•cij = Y1•c12 + Y2•c22 + Y3•c32 + Y4•c42 = 40( +1) + 48( −1) + 61( +1) + 42( +1) = −27 i =1

k =4

Q3 = QCúbica = ∑Yi•cij = Y1•c13 + Y2•c23 + Y3•c33 + Y4•c43 = 40(-1) + 48(+3) + 61(-3) +42(+1) = -37 i =1

k

4. Calcular los divisores mediante la fórmula: r ∑ cij2 i =1

k =4

Lineal1: r∑ci21 = 4 c112 + c212 + c312 + c412 =4[ (-3)2 +(-1)2 +(+1)2 +(+3)2 ] = 4(20) =80 i =1

k =4

Cuadrática2: r∑ci22 = 4 c122 + c222 + c322 + c422 =4[ (+1)2 +(-1)2 +(+1)2 +(+1)2 ]=4(4) =16 i=1

k =4

Cúbica3: r∑ci23 = 4 c132 + c232 + c332 + c432 =4[ (-1)2 +(+3)2 +(-3)2 +(+1)2 ]=4(20) =80 i=1

5. Calcular la suma de cuadrados para cada una de las tendencias, mediante la siguiente fórmula:

SC Q j =

Q 2j k

r ∑ cij2 i =1

SC Q1 = SCLineal =

Q12 ( 19 )2 = = 4.5125 80 80

SC Q 2 = SCCuadrática =

Q22 ( −27 )2 . = = 455625 16 16

SCQ3 = SCCúbica =

Q32 ( −37 )2 = = 17.1125 80 80 SCTratamiento = 67.1875

- 184 -


6. Efectuar la prueba de significancia de las tendencias o respuestas mediante la prueba de F y completar el Análisis de Variancia (ANOVA). Tabla de ANOVA, considerando los componentes. F. de V. G.L. SC. CM. Bloques 2.6875 0.8958 3 Tratamientos 67.1875 22.3958 3 Lineal 1 4.5125 4.5125 Cuadrático 1 45.5625 45.5625 Cúbico 1 17.1125 17.1125 Error 3.0625 0.3403 9 Total 72.9375 15

Fc 2.63 n.s. 65.82 ** 13.26 ** 133.89 ** 50.59 **

/* PROGRAMA EN SAS */ DATA CURVA; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT TRAT REP NIT Y; YH = Y*(10000/20); N2 = NIT*NIT; CARDS; 1 1 0 10 1209 1 3 0 11 1 4 0 10 2 1 50 12 2 2 50 11 2 3 50 12 2 4 50 13 3 1 100 15 3 2 100 15 3 3 100 16 3 4 100 15 4 1 150 11 4 2 150 10 4 3 150 10 4 4 150 11 ; PROC GLM; CLASS TRAT REP NIT; MODEL Y = REP TRAT; CONTRAST’LINEAL ‘ TRAT -3 -1 1 3; CONTRAST’CUADRATICA ‘ TRAT 1 -1 -1 1; CONTRAST’CUBICA ‘ TRAT -1 3 -3 1; RUN; /* Presione F3 para ejecutar el programa */

Análisis y Diseño de Experimentos - 185 SALIDA DE RESULTADOS CON SAS Class Level Information Class Levels Values TRAT 4 1 2 3 4 REP 4 1 2 3 4 NIT 4 0 50 100 150 Number of observations 16 Dependent Variable: Y Source Model REP TRAT Error Corrected Total R-Square Coeff Var 0.958012 4.886562

Sum of DF Squares Mean Square 6 69.87500000 11.64583333 3 2.68750000 0.89583333 3 67.18750000 22.39583333 9 3.06250000 0.34027778 15 72.93750000 Root MSE Y Mean 0.583333 11.93750

Contrast LINEAL CUADRATICA CUBICA

DF 1 1 1

Contrast SS 4.51250000 45.56250000 17.11250000

Mean Square 4.51250000 45.56250000 17.11250000

F Value 34.22 2.63 65.82

Pr > F <.0001 0.1138 <.0001

F Value 13.26 133.90 50.29

Pr > F 0.0054 <.0001 <.0001

4.5. AJUSTE DE LA FUNCION DE RESPUESTA. Para ajustar la función de respuesta, se debe trabajar con los totales de tratamientos. Los tratamientos deben ser igualmente espaciados e igualmente repetidos. Los pasos para determinar las ecuaciones de regresión lineal, cuadrática, cúbica y cuártica son los siguientes: 1. Disponer los valores de Y en una columna, de acuerdo con los valores ascendentes de las X asociadas, empezando con la Y correspondiente al menor valor de X. 2. Multiplicar los valores de Y por los coeficientes para c , c , c y c mostrados 1 2 3 4 en la tabla, obteniéndose cuatro columnas. 3. Encontrar la suma de cada columna, observando los signos más y menos. Estas sumas se denotan por ΣY, P1 , P2 , P3 y P4 Cálculos para el ajuste de una curva de segundo grado.

- 186 -


Rendimiento Y 40 48 61 42

Niveles de N X 0 50 100 150

∑

∑

4

Y = 191

i =1 i

4

i=1

∑C

X i = 300

=

1

c2 1 -1 -1 1

∑C

P1= 19

0

2

c2Y 40 -48 -61 42 =

P2 = -27

X = 75

Y = 47.75

k1 =516

c1Y -120 -48 61 126

c1 -3 -1 1 3

k2 = 1 20

k3 =41240 k4 = 1 16

k5 = 1 48

4. Aplicando los valores obtenidos de Pi y los valores de Ki provenientes de la tabla de coeficientes, divisores para los datos de intervalos iguales, las ecuaciones lineales, cuadráticas, cúbicas y cuárticas se pueden plantear a partir de las siguientes ecuaciones:

b

g

Lineal: Y$ L = Y + K2 P1 X'

c

h b

g b

g

Cuadrática : Y$ Q = Y − K1P2 + K 2 P1 X '+ K 4 P2 X '2

c

h b

g b

g

g

b

b

g

Cúbica: Y$ C = Y − K1P2 + K 2 P1 − K 3P3 X'+ K 4 P2 X'2 + K5P3 X'3 Cuártica:

h b

c

g b

g

b

$ = Y − K P + K P + K P − K P X '+ K P − K P X '2 + K P X '3 + K Y 4 1 2 8 4 2 1 3 3 4 2 7 4 5 3

Estas ecuaciones están expresadas en términos de valores codificados de X.

b

g

$ = Y + K P X' = 47.75 + 1 (19) X' = 47.75 + 0.95X' Y L 2 1 20

c

h b

g b

g

$ = Y − K P + K P X ' + K P X '2 Y Q 1 2 2 1 4 2

LM N

= 47.75 −

OP LM Q N

OP LM Q N

OP Q

5 1 1 ( −27) + (19) X'+ ( −27) X'2 = 561875 . . + 0.95X'−16875 16 20 16

5. Si los valores de Y en el paso 1 fuesen totales de observaciones o repeticiones en cada nivel de X, y si deseamos que las ecuaciones estén dadas en términos de los promedios, debemos dividir cada término de las ecuaciones entre el número de repeticiones. (Esto debe ser igual para todos los niveles de X.).

Análisis y Diseño de Experimentos - 187 Estas ecuaciones, están basadas en el total de 4 repeticiones. Si se desea expresar en función de una parcela, simplemente se divide entre 4 y se obtiene:

$ = 1193 Y . + 0.2375X' L Y$ Q = 14 .046875 + 0.2375 X ' − 0.421875 X ' 2

Para decodificar se aplica:

X−x L

b

( si el número de niveles es impar)

2 X−x L

g

( si el número de niveles es par)

En el presente ejemplo, el número de niveles es 4 (par), luego se sustituye

b

2 X−x L X' =

g

por X’. El valor de L =50 y x = 75 , por lo que

b

g = N − 75

2 N − 75 50

25

Sustituyendo este resultado en la ecuación anterior da:

FG H

IJ K

N − 75 + 0.2375 = 11.225 + 0.0095 N Y$L = 119375 . 25

FG H

FG H

IJ K

$ = 14.046875 + 0.2375 N − 75 − 0.421875 N − 75 Y Q 25 25

b

g

e

IJ K

2

j

$ = 14.046875 + 0.2375 N − 75 − 0.421875 N 2 − 150N + 5625 Y Q 25 625

Y$Q = 14.046875 + 0.0095 N − 0.7125 − 0.000675 N 2 + 010125 . N − 3.796875

$ = 9.5375 + 011075 Y . N − 0.000675N 2 Q

$ : rendimiento estimado promedio por parcela, cuando N = dosis de donde Y Nitrógeno aplicado en Kg/Ha. 6. Expresar la función de respuesta estimada, en rendimientos por hectárea. En el presente ejemplo, la respuesta estimada, se obtuvo de un área experimental de 20 m2, transformando los rendimientos a hectárea, se tiene:

- 188 -


c

10000 9.5375 + 011075 Y$QH = . N − 0.000675 N 2 20

h

Y$Q H = 4768 .75 + 55.375 N − 0 .3375 N 2

$ donde: YQ : Rendimiento estimado en kg/Ha de papa. N : Niveles de Nitrógeno aplicado en kg/Ha. H

7. Optimización física del factor nitrógeno, para determinar la dosis que maximice $

el rendimiento YQ . Para ello, se toma la primera derivada de la función de respuesta estimada. H

e j = d c4768.75 + 55.375N − 0.3375N h dN dN

d Y$QH

2

e j = 55.375 − 0.675N = 0

d Y$QH dN

N=

55.375 = 82.037 0.675

Reemplazando al modelo estimado N = 82.037, se obtiene: Y$Q H = 4768.75 + 55.375( 82 .037 ) − 0.3375( 82 .037 )2 = 7040.15 kg / h

8. Optimización económica del factor Nitrógeno para determinar el máximo rendimiento económico. El nivel óptimo de fertilización se refiere al nivel de cualquier mezcla o razón de nutrientes que produzca los mayores beneficios. Este nivel se obtiene cuando se cumple la siguiente condición:

e j= P

d Y$QH dN

N

PY

donde:

P : precio por unidad de fertilizante N

P : precio por unidad de cultivo en producción Y Asumiendo que P = S/. 0.60 por kg de Nitrógeno y que N P = S/. 0.80 por kilogramo, se tiene: Y

Análisis y Diseño de Experimentos - 189 55.375- 0.675N =

0.6 0.8

N = 80.926 kg/há (dosis a recomendarse) $ Para este N el YQ óptimo es: H

Y$Q H = 4768.75 + 55.375( 80.926 ) − 0.3375( 80.926 )2 = 7039 .73 kg / h

Forma gráfica:

2 Y$Q H = 4768.75 + 55.375 N − 0.3375 N

7500 7000 kilogramo/ha de papa

6500 6000 5500 5000 4500 4000 3500 3000 2500 0

15

30

45

60

75

90

N = 82.04

105 120 135 150 165 180

Niveles de Nitrógeno

- 190 -


DATA CURVA; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT TRAT REP NIT Y; YH = Y*(10000/20); N2 = NIT*NIT; CARDS; 1 1 0 10 1209 1 3 0 11 1 4 0 10 2 1 50 12 2 2 50 11 2 3 50 12 2 4 50 13 3 1 100 15 3 2 100 15 3 3 100 16 3 4 100 15 4 1 150 11 4 2 150 10 4 3 150 10 4 4 150 11 ; PROC ANOVA; CLASS TRAT REP NIT; MODEL Y = REP TRAT; RUN; PROC REG; MODEL Y = NIT N2/SS1; RUN; PROC REG; MODEL YH = NIT N2 /SS1; RUN;

Análisis y Diseño de Experimentos - 191 SALIDA DE RESULTADOS CON SAS The ANOVA Procedure Class Level Information Class Levels Values TRAT 4 1 2 3 4 REP 4 1 2 3 4 NIT 4 0 50 100 150 Number of observations 16 Dependent Variable: Y Source Model REP TRAT Error Corrected Total R-Square Coeff Var 0.958012 4.886562

Sum of DF Squares Mean Square 6 69.87500000 11.64583333 3 2.68750000 0.89583333 3 67.18750000 22.39583333 9 3.06250000 0.34027778 15 72.93750000 Root MSE Y Mean 0.583333 11.93750

The REG Procedure Model: MODEL1 Dependent Variable: Y Source Model Error Corrected Total Root MSE Dependent Mean Coeff Var Variable Intercept NIT N2

DF 1 1 1

DF 2 13 15 1.32614 11.93750 11.10905 Parameter Estimate 9.53750 0.11075 -0.00067500

Sum of Squares 50.07500 22.86250 72.93750 R-Square Adj R-Sq

Mean Square 25.03750 1.75865

F Value 34.22 2.63 65.82

F Value 14.24

Pr > F <.0001 0.1138 <.0001

Pr > F 0.0005

0.6865 0.6383

Parameter Estimates Standard Error t Value 0.64628 14.76 0.02076 5.34 0.00013261 -5.09

Pr > |t| <.0001 0.0001 0.0002

Type I SS 2280.06250 4.51250 45.56250

Dependent Variable: YH Source Model Error Corrected Total Root MSE Dependent Mean Coeff Var Variable Intercept NIT N2

DF 1 1 1

Analysis of Variance Sum of Mean DF Squares Square 2 12518750 6259375 13 5715625 439663 15 18234375 663.07123 R-Square 0.6865 5968.75000 Adj R-Sq 0.6383 11.10905 Parameter Estimates Parameter Standard Estimate Error t Value 4768.75000 323.14095 14.76 55.37500 10.37871 5.34 -0.33750 0.06631 -5.09

F Value 14.24

Pr > |t| <.0001 0.0001 0.0002

Pr > F 0.0005

Type I SS 570015625 1128125 11390625

- 192 -


EJERCICIOS: 1. Una química desea probar el efecto que tienen cuatro agentes químicos sobre la resistencia de un tipo particular de tela. Como puede haber variabilidad entre un rollo de tela y otro, decide utilizar un diseño aleatorizado por bloques, considerando los rollos de tela como bloques. Ella selecciona 5 rollos y les aplica los cuatro agentes químicos en orden aleatorio. A continuación, se proporcionan los resultados de la resistencia a la tensión. Analice estos datos y haga las conclusiones apropiadas. Agente químico 1 2 3 4

Rollo de tela 2 3 4 68 74 71 67 75 72 68 78 73 71 75 75

1 73 73 75 73

5 67 70 68 69

2. Tres diferentes soluciones para lavar están siendo comparadas con objeto de estudiar su efectividad en el retraso del crecimiento de bacterias en envases de leche de 5 galones. El análisis se realiza en un laboratorio y sólo pueden efectuarse tres pruebas en un mismo día. Como los días son una fuente de variabilidad potencial, el experimentador decide usar un diseño aleatorizado por bloques. Las observaciones se recopilaron durante cuatro días y los datos aparecen a continuación. Analice los datos y obtenga las conclusiones apropiadas. Días Solución 1 2 3

1 13 16 5

2 22 24 4

3 18 17 1

4 39 44 22

3. Un ingeniero químico realiza un experimento para estudiar el tiempo que tarda el ojo en enfocar. Está interesado en la relación que existe entre la distancia del objeto al ojo y el tiempo que el ojo tarda en enfocar. Cuatro diferentes distancias resultan de interés. Hay 5 sujetos disponibles para el experimento. Como puede haber diferencias entre los sujetos, él decide efectuar un diseño aleatorizado por bloques. Los datos recopilados se muestran a continuación. Analícelos y obtenga las conclusiones adecuadas. Distancia (pies) 4 6 8 10

1 10 7 5 6

2 6 6 3 4

SUJETO 3 6 6 3 4

4 6 1 2 2

5 6 6 5 3


5 PRUEBAS DE COMPARACIÓN MÚLTIPLE DE MEDIAS INTRODUCCION Cuando se realiza la prueba de F en el Análisis de varianza, las conclusiones que se obtienen respecto a la hipótesis planteada de igualdad de medias de tratamientos, es aceptarla o rechazarla a un nivel de significación dado. El investigador a menudo desea realizar comparaciones específicas entre medias de tratamientos según los objetivos planeados en el experimento. Debe utilizar pruebas estadísticas adecuadas, como son: - Prueba de t de Student - Diferencia Límite Significativa (DLS). - Prueba de Comparaciones Múltiples de Duncan - Prueba de Comparaciones Múltiples de Tukey - Prueba de Dunnett. - Prueba de Scheffé.

- 194 -


5.1. PRUEBA DE t DE STUDENT. Característica. Se usa para comparar dos medias poblacionales, para su análisis se debe tener las siguientes restricciones: - Las comparaciones por estudiar deberán ser seleccionados antes de cualquier análisis de los datos. - La prueba F del Análisis de Variancia debe ser significativa. Análisis Estadístico. 1. Planteamiento de Hipótesis:

H 0: µ i = µ j

H 0: µ i ≤ µ j

H 0: µ i ≥ µ j

Ha: µi ≠ µ j 14243

H : µ >µ 1a42i 43j

H : µ <µ 1a42i 43j

Bilateral

Unilateral Izquierda

Unilateral Derecha

2. Nivel de Significación: α = 0.05, ó α = 0.01 3. Prueba Estadística (t calculado para cada par de tratamientos).

tc =

( X i − X j ) − ( µi − µ j ) 2S r

2

Xi − X j

=

2CM error r

=

d Sd

4. Regla de Decisión. Si

t c ≤ t (tabla) se acepta H 0 . (Caso unilateral derecha).

t c > t (tabla) se rechaza H 0 . Si

t c ≥ t (tabla) se acepta H 0 .

(Caso unilateral izquierda).

t c < t (tabla) se rechaza H 0 .

Análisis y Diseño de Experimentos - 195 Si -t (tabla) ≤ t c ≤ t (tabla) se acepta H 0 . (Caso bilateral).

t c > t (tabla) ó t c < - t (tabla) se rechaza H 0 . 5. Cálculos. 6. Conclusión.

EJEMPLO: Se registró el peso de diez niños (kg) al nacer en los diferentes Hospitales del departamento de Puno, tomados al azar. La información se presenta a continuación:

n JULIACA 1 3.000 2 3.500 3 3.400 4 3.400 5 3.350 6 5.050 7 4.760 8 3.400 9 3.650 10 3.260 Total 36.770 Promedio 3.677

HOSPITALES ILAVE PUNO 3.625 3.800 3.430 3.500 3.000 3.350 3.625 3.250 3.625 4.100 3.150 3.900 3.360 3.900 3.230 4.000 3.950 3.670 3.400 3.600 34.395 37.070 3.440 3.707

Efectuando los cálculos se tiene: a) Grados de Libertad: GLtrat. = t -1 = 4 - 1 = 3 GLerror = t(r-1) = 4(9) = 36 GLtotal = tr-1 = 4(10)-1=39 b) Suma de Cuadrados:

YUNGUYO 3.050 2.800 3.500 3.400 3.350 3.200 3.050 3.400 2.900 3.100 31.750 Y.. = 139.985 3.175

- 196 -


TC =

Y..2 (139.985) 2 = = 489.8950056 4 x10 tr 4

Y2

i. i) SC Trat . = ∑ r − TC = i =1

40

ii)

∑Y

2 ij

36.77 2 +L+3175 . 2 − TC = 4917296325 . − TC = 183462688 . 10

− TC = 3.0 2 + 3.5 2 +L + 3.12 − TC = 7 .79336938

i =1

iii) SCError Exptal = SCtotal - SCtrat = 7.79336938 - 1.83462688 = 5.9587425

iv)

CM trat =

SC trat 183462688 . = = 0.611542293 t −1 3

v) CM Error Exp. = vi) Fc =

SC Error Exp. t ( r − 1)

=

5.9587425 = 0165520625 . 36

C M T rat . 0 .611542293 = = 3.694659 C M E rror E xp. 0.165520625

TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA

F. De V. G.L. S.C. C.M. Fc Pr > F Hospitales 3 1.83462688 0.6115423 3.6946592 0.024 Dentro de Hosp 36 5.9587425 0.1655206 Total 39 7.79336938 1. PLANTEAMIENTO DE HIPOTESIS: Juliaca Vs Ilave; Juliaca Vs Puno; Juliaca Vs Yunguyo; Ilave Vs Puno; Ilave Vs Yunguyo Puno Vs Yunguyo.

H 0 : µ Jul = µ Ila H 0 : µ Jul = µ Pun H 0 : µ Jul = µ Yun H a : µ Jul ≠ µ Ila H a : µ Jul ≠ µ Pun H a : µ Jul ≠ µ Yun


H 0 : µ Ila = µ Pun H 0 : µ Ila = µ Yun H 0 : µ Pun = µ Yun H a : µ Ila ≠ µ Pun H a : µ Ila ≠ µ Yun H a : µ Pun ≠ µ Yun 2. Nivel de Significación: α = 0.05 3. Prueba Estadística (t calculado para cada par de tratamientos).

tc =

Xi − X j 2CM error r

=

d Sd

4. Regla de Decisión.

t c > t α ,(G.Lerror ) se rechaza H 0 . t c > t 0.025,36 = 2.021 se rechaza H 0 . 5. Cálculos. Prueba t para el Hospital: Juliaca Vs. Ilave

tc =

( XJul − XIla ) 3677 . − 344 . 0237 . = = = 130 . ns. . 2( 016552 . ) 2( 016552 . ) 0181945 10 10 t c > t 0.025,36 = 2.021 se rechaza H 0 .

Prueba t para el Hospital: Juliaca Vs. Puno

tc =

( X Jul − X Pun ) 3677 . − 3707 . −003 . = = = −0165 . n. s. . 2( 016552 2( 016552 . ) . ) 0181945 10 10

- 198 -


Prueba t para el Hospital: Juliaca Vs. Yunguyo

tc =

( X Jul − X Yun ) 3.677 − 3175 . 0.502 = = = 2.76 ** . 2( 016552 . ) 2( 016552 . ) 0181945 10 10

Prueba t para el Hospital: Ilave Vs. Puno

tc =

( X Ila − X Pun ) 3.44 − 3.707 −0.267 = = = −147 . n . s. . 2( 016552 . ) 2( 016552 . ) 0181945 10 10

Prueba t para el Hospital: Ilave Vs. Yunguyo

tc =

( X Ila − X Yun ) 3.44 − 3175 . 0.265 = = = 1.46 n. s. . 2( 0.16552 ) 2( 016552 . ) 0181945 10 10

Prueba t para el Hospital: Puno Vs. Yunguyo

tc =

0.532 ( X Pun − X Yun ) 3.707 − 3175 . = = = 2.92 ** . 2( 016552 2( 016552 . ) . ) 0181945 10 10

6. Conclusión.

Comparación Juliaca Vs Ilave Juliaca Vs Puno Juliaca Vs Yunguyo Ilave Vs. Puno Ilave Vs. Yunguyo Puno Vs. Yunguyo

Ho: Acepta Acepta Rechaza Acepta Acepta Rechaza

Ha: t0.025,36 Rechaza 2.021 Rechaza 2.021 Acepta 2.021 Rechaza 2.021 Rechaza 2.021 Acepta 2.021

t0.005,36 2.704 2.704 2.704 2.704 2.704 2.704

Signifc. n.s. n.s. ** n.s. n.s. **


5.2. DIFERENCIA LIMITE SIGNIFICATIVA (DLS). CARACTERÍSTICAS: También llamada Diferencia Media Significativa (DMS), se utiliza en forma estricta cuando: - Fc, presenta significativa en el Cuadro de Análisis de Varianza (ANVA). - Esta prueba es apropiada si la comparación es seleccionada antes de conducir el experimento. - Es comparación de DLS es solamente válido para algunas comparaciones específicas, ya que al incrementarse el número de comparaciones se incrementa el error de Tipo I. - La prueba DLS no controla en forma eficiente el error referido al experimento, su uso no es recomendable para comparaciones múltiples de todo los pares de medias de un experimento. - Esta metodología se emplea para comparaciones no independientes o no ortogonales, sólo se puede efectuar «p-1» comparaciones ortogonales. - La prueba DLS, tiende en general a ser sobresensitivo en declarar un gran número de diferencias como significativas, con el riesgo de cometer el Error Tipo I. ANALISIS ESTADISTICO. 1. HIPOTESIS:

H 0: µ i = µ j Ha: µi ≠ µ j 2. NIVEL DE SIGNIFICACION: 3. PRUEBA ESTADISTICA:

α = 0.05, ó α = 0.01

DLS = S Xi − X j t ( α ,G.Lerror ) = t ( α ,G.Lerror ) 4. REGLA DE DECISION: Si

X i − X j ≤ DLS se acepta H 0 :

2CM error r

- 200 -


X i − X j > DLS se rechaza H 0 : 5. CALCULOS. 6. CONCLUSION.

EJEMPLO ILUSTRATIVO. 1. HIPOTESIS:

H 0 : µ Jul = µ Ila = µ Pun = µ Yun H a : µ i ≠ 0, al menos uno es diferente 2. NIVEL DE SIGNIFICACION: 3. PRUEBA ESTADISTICA:

DLS=t(00. 25,36)

α = 0.05, ó α = 0.01

2(0.16552063) 2(0.16552063) . . =2021 =0368 10 10

4. REGLA DE DECISION: Si

X i − X j ≤ DLS se acepta H 0 : Xi − X j > DLS se rechaza H 0 :

5. CALCULOS. Primeramente ordenamos los promedios de mayor a menor, y luego realizamos la comparación entre dos promedios, de la siguiente forma:

3.707 − 3.677 = 0.03 < DLS = 0.368 no significativo 3.707 − 3.439 = 0.268 < DLS = 0.368 no significativo

3.707 − 3175 . = 0.532 > DLS = 0.368 significativo


3.439 − 3175 . = 0.264 < DLS = 0.368 no significativo HOSPITALES PUNO JULIACA ILAVE YUNGUYO

n 10 10 10 10

PROMEDIO 3.707 3.677 3.439 3.175

T-Grouping a a ab b

HOSPITALES Promedios

PUNO 3.707

JULIACA 3.677

ILAVE 3.439

YUNGUYO 3.175

6. CONCLUSION. Los niños de los Hospitales de Puno, Juliaca e Ilave, muestran superioridad en los pesos de nacimiento frente al Hospital de Yunguyo. Realizando las operaciones de cálculo con el SPSS, se tienen los resultados: LA SALIDA CON PAQUETE ESTADISTICO SAS: Analysis of Variance Procedure Class Level Information Class Levels Values HOSP 4 ILA JUL PUN YUN Number of observations in data set = 40 Dependent Variable: PENAC Source DF Squares Square F Value Pr > F HOSP 3 1.83462688 0.61154229 3.69 0.0204 Error 36 5.95874250 0.16552063 Corrected Total 39 7.79336938 R-Square C.V. Root MSE PENAC Mean 0.235409 11.62531 0.406842 3.49962500 T tests (LSD) for variable: PENAC Alpha= 0.05 df= 36 MSE= 0.165521 Critical Value of T= 2.03 Least Significant Difference= 0.369 Means with the same letter are not significantly different. T Grouping Mean N HOSP A 3.707 10 PUN A 3.677 10 JUL B A 3.439 10 ILA B 3.175 10 YUN

- 202 -


5.3. PRUEBA DE COMPARACIONES MULTIPLES DE DUNCAN CARACTERISTICAS: Se distingue por las siguientes características: - Se utiliza para efectuar comparaciones múltiples entre dos medias de tratamientos del experimento. - El número de comparaciones con «t» tratamientos es t(t -1) 2 - F-calculado en el Análisis de varianza puede ser o no significativa. - Cuando el número de repeticiones es igual en los tratamientos, los cálculos son más precisos que cuando se tiene diferente número de repeticiones por tratamiento. - Tiene el inconveniente cuando se cuenta con un alto número de tratamientos, dado que el nivel de significación α se modifica en función a ellos. - La prueba permite al investigador cometer menos errores de Tipo II y más errores de Tipo I. - Esta prueba se usará si se ha alcanzado una buena precisión en el experimento, es decir el C.V. debe ser bajo. - Es recomendable el uso de esta prueba en experimentos Agronómicos y en Ganadería, debido a que los materiales experimentales son conocidos por los experimentadores. - Es una prueba que permite comparaciones de pares no planeados. - La prueba Duncan permite comparar tratamientos no relacionados, es decir todos los tratamientos contra todos a fin de establecer un orden de méritos. - Es menos exigente en revelar la verdadera situación. ANALISIS ESTADISTICO: 1. Información (promedios de los tratamientos y Cuadro de ANVA). Obs. 1 2 3 4 Total Promedio

TRATAMIENTOS A B C D E 2 1 3 4 4 3 3 5 6 7 4 2 4 5 8 2 1 3 4 5 11 7 15 19 24 2.75 1.75 3.75 4.75 6.00

F. De V. Tratamientos Error exptal. Total

G.L. 4 15 19

S.C. C.M. Fc. 44.20 11.05 7.89 21.00 1.40

Análisis y Diseño de Experimentos - 203 HIPOTESIS:

H 0: µ i = µ j

∀i ≠ j

Ha: µi ≠ µ j ETAPAS: 1. Determinar la desviación estándar de promedios:

S Xi − X j =

14 . S2 = = 0.592 4 r

2. Buscar en la Tabla de Duncan los valores de las Amplitudes Estudentizadas significativas [AES(D)] con los grados de libertad del error experimental, al nivel de probabilidad requerido (0.05 ó 0.01) y correspondientes al número de promedios a compararse (p = 2,3,..., t promedios) Para nuestro ejemplo encontramos 15 grados libertad del error y α = 0.05 los valores de «p» son los siguientes: p: AES(D)

2 3.01

3 3.16

4 3.25

5 3.31

3. Los valores de las AES(D) se multiplican por la desviación estándar de promedios, para obtener las Amplitudes Límites de Significación de Duncan ALS(D) = S Xi − X j AES(D) p: AES(D) S X i − X j = 0.592

2 3.01

3 3.16

4 3.25

5 3.31

ALS(D)

1.78

1.87

1.92

1.96

4. Se clasifican los promedios de tratamientos en orden creciente: t= B A C D

Xi =

1.75

2.75

3.75

4.75

E 6.00

- 204 -


5. Luego, se empieza las comparaciones entre los promedios de tratamientos por pares, es decir de dos en dos tratamientos de la siguiente manera: el promedio más alto, con el más bajo, luego el promedio más alto con el penúltimo y así sucesivamente. Después se continúa la segunda serie de comparaciones, en la misma forma que el anterior pero en base al segundo promedio en orden de mérito. Cada diferencia de promedios se considera significativa, si excede la respectiva amplitud límite de significación, como sigue: 6.00 - 1.75 = 4.25 6.00 - 2.75 = 3.25 6.00 - 3.75 = 2.25 6.00 - 4.75 = 1.25 4.75 - 1.75 = 3.00 4.75 - 2.75 = 2.00 4.75 - 3.75 = 1.00 3.75 - 1.75 = 2.00 3.75 - 2.75 = 1.00 2.75 - 1.75 = 1.00

RESUMEN: a) t=

Xi =

ALS(D)[5] = 1.96 ALS(D)[4] = 1.92 ALS(D)[3] = 1.87 ALS(D)[2] = 1.78 ALS(D)[4] = 1.92 ALS(D)[3] = 1.87 ALS(D)[2] = 1.78 ALS(D)[3] = 1.87 ALS(D)[2] = 1.78 ALS(D)[2] = 1.78

Significativa Significativa Significativa no significativa Significativa Significativa no significativa Significativa no significativa no significativa

B

A

C

D

E

1.75

2.75

3.75

4.75

6.00

b) TRATAMIENTOS E D C A B

N 4 4 4 4 4

Mean 6.000 4.750 3.750 2.750 1.750

DUNCAN a ab bc cd

d

Análisis y Diseño de Experimentos - 205 La salidad con el paquete de Análisis Estadístico es el siguiente: Analysis of Variance Procedure Class Level Information Class Levels Values TRAT 5 A B C D E Number of observations in data set = 20 Dependent Variable: Y

Sum of Squares 44.20000000 44.20000000 21.00000000 65.20000000

Source DF Model 4 TRAT 4 Error 15 Corrected Total 19

R-Square 0.677914

C.V. 31.13726

Mean Square 11.05000000 11.05000000 1.40000000

Root MSE 1.183216

F Value 7.89 7.89

Pr > F 0.0012 0.0012

Y Mean 3.80000000

Duncans Multiple Range Test for variable: Y Alpha= 0.05 df= 15 MSE= 1.4 Number of Means 2 3 4 5 Critical Range 1.780 1.867 1.927 1.960 Means with the same letter are not significantly different. Duncan Grouping B B D D

A A C C

Mean 6.000 4.750 3.750 2.750 1.750

N 4 4 4 4 4

TRAT E D C A B

EJEMPLO: Se desea estudiar 4 tipos de pastizales para engordar ovejas, uno de los cuales es de pastizal standard (testigo ó control). Se emplearon 16 ovejas hembras de la misma raza, edad, estado sanitario. Se distribuyeron al azar cuatro ovejas por tipo de pastizal. Los animales se pesaron al inicio del experimento y a los 100 días para establecer la ganancia de peso.

- 206 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno Aumento de peso (lbs).

Rep. A (Control) 1 47 2 42 3 45 4 42 Total 176 Yi. 44


TRATAMIENTOS B C 50 57 54 53 67 69 57 57 228 236 57 59

G.L. 3 12 15

S.C. 3171.00 542.00

D 74 85 94 79 332 83

Y..= 972

C.M. Fc. 1057.00 23.40 45.17

OTRA FORMA: PRUEBA DE DUNCAN 1. INFORMACION:

A (Control)

Yi. ni

44 4


G.L. 3 12 15

TRATAMIENTOS B C 57 4 S.C. 3171.00 542.00

2. HIPOTESIS:

H 0: µ A = µ B = µ C = µ D = µ Ha: µi ≠ µ j 3. NIVEL DE SIGNIFICACION: α = 0.05

59 4 C.M. 1057.00 45.17

D 83 4 Fc. 23.40

Pr > F 0.001

Análisis y Diseño de Experimentos - 207 4. Buscar en la Tabla de Duncan los valores de AES(D) con los grados de libertad del error: GLerror = 12 p:

2

3

4

AE S (D ) S X i − X j = 3.36

3.082

3.225

3.313

ALS (D )

10.36

10.83

11.13

Los valores AES(D) se multiplican por la desviación estándar ( S Xi − X j ) de los promedios. Es decir:

ALS(D) = S Xi − X j .AES(D) S Xi − X j =

,

CM Error 45.16667 = = 3.36 r 4

5. Ordenamiento de los promedios de tratamientos: Tratamientos Promedios

A 44

B 57

C 59

D 83

6. Regla de Decisión: Si

X i. − X j. ≤ ALS(D) ⇒ se acepta H 0 :

Xi. − Xj. > ALS(D) ⇒ se rechaza H0 : 7. Comparación y significación: t(t-1)/2 = 4(3)/2 = 6 C o mparac io ne s |4 4 - 5 7 | =

d 13

(p) (2 )

>

A LS(D ) 1 0 .3 6

|4 4 - 5 9 |

=

15

(3 )

>

1 0 .8 3

|4 4 |5 7 |5 7 |5 9

= = = =

39 2 26 24

(4 ) (2 ) (3 ) (2 )

> < > >

1 1 .1 3 1 0 .3 6 1 0 .8 3 1 0 .3 6

-

83| 59| 83| 83|

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

A ce ptar H ipo t. µ

A

≠ µ

B

µA ≠ µC µA ≠ µ

D

µB = µC µB ≠ µD µC ≠ µD

- 208 -


8. Presentación de la Prueba de Duncan. Tratamie ntos D C B A

n 4 4 4 4

PRO M EDIO Duncan (P<0.05) 83 a 59 b 57 b 44 c

9. Conclusión. Se distinguen 1 grupo de tratamientos con resultados similares que son los tratamientos C y B, que es diferente a los tratamientos de valor promedio superior (D) y valor inferior (A).

La salida con el Sistema de Análisis Estadístico S.A.S. es el siguiente: Duncans Multiple Range Test for variable: PESO NOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate, not the experimentwise error rate Alpha= 0.05 df= 12 MSE= 45.16667 Number of Means 2 3 4 Critical Range 10.33 10.83 11.15 Means with the same letter are not significantly different. Duncan Grouping Mean N TRAT A 83.000 4 D B 59.000 4 C B 57.000 4 B C 44.000 4 A


5.4.

PRUEBA DE COMPARACION MULTIPLE DE TUKEY

Características: - Es más rigurosa que la prueba de Duncan por tal motivo el nivel de significación debe ser más amplio ya que comparaciones que realmente son significativas ésta prueba las puede «declarar» no significativa. - El nivel de significación α se mantiene constante. - El valor de F-calculado en el cuadro de ANVA puede ser significativo o no. - Es más precisa cuando los tratamientos tienen igual número de repeticiones. - No es necesario ordenar promedios de tratamientos, sin embargo ello es muy usual en la práctica. - Utiliza un solo valor tabular para calcular la ALS(T) (Amplitud Límite Significativa de Tukey). - Esta prueba es más estricta en su clasificación, así 5% de Tukey casi es equivalente a 1% de Duncan. - Es más exigente y más precisa que las pruebas de DLS, Dunnett, Duncan y S-NK se caracteriza por no tener en cuenta el orden de los promedios de los tratamientos. - Chen, reveló que este método fue el que mejor controló el error referido al experimento, pero menos eficiente en el control de error por comparación. - La prueba de Tukey, es útil para poner énfasis primario sobre el experimento como un todo en la determinación de significancias entre pares de medias poblacionales. No es recomendable aplicar la prueba Tukey en experimentos en los cuales: - Los tratamientos consisten en niveles graduados de una variable cuantitativa. - Los tratamientos provienen de una estructura factorial de dos o más factores con dos o más niveles. - Los tratamientos son cualitativos y donde previamente se han formulado combinaciones lineales que conforman comparaciones entre medias de tratamientos.

- 210 -


EJEMPLO: 1. Información: Promedio de tratamientos y el Cuadro ANVA.

A (Control)

Yi. ni

44 4

F. De V. Tratamie ntos Error e xptal. Total

G.L. 3 12 15

TRATAM IENTOS B C 57 4 S.C. 3171.00 542.00

59 4 C.M . 1057.00 45.17

D 83 4 Fc. 23.40

2. HIPOTESIS:

H 0: µ A = µ B = µ C = µ D = µ

Ha: µi ≠ µ j 3. NIVEL DE SIGNIFICACION: α = 0.05 4. Buscar en la Tabla de Tukey (Usa la Tabla de SNK), los valores de Amplitudes Estudentizadas Significativas de Tukey AES(T) con los grados de libertad del error experimental, al nivel de significación α , en nuestro caso p = 4 tratamientos en el experimento. GLerror = 12, α = 0.05 , p = 4, AES(T) = 4.199 Los valores AES(T) se multiplican por la desviación estándar ( S Xi − X j ) de los promedios. Es decir:

ALS(T) = S Xi − X j .AES(T) , S Xi − X j =

CM Error 45.16667 = = 3.36 r 4

= 3.36(4.199) ALS(T) = 14.109

Análisis y Diseño de Experimentos - 211 En este caso existe un solo valor de ALS(T), esto es debido a que el número de repeticiones de cada tratamiento es el mismo. 5. Ordenamiento de los promedios de tratamientos: Tratamientos Promedios

A 44

B 57

C 59

D 83


X i. − X j. ≤ ALS(T) ⇒ se acepta H 0 : Xi. − X j. > ALS(T) ⇒ se rechaza H 0 :

7. Comparación y significación: t(t-1)/2 = 4(3)/2 = 6 Comparacione s |44 - 57| =

d 13

<

ALS(T) 14.109

|44 - 59|

=

15

>

14.109

|44 |57 |57 |59

= = = =

39 2 26 24

> < > >

14.109 14.109 14.109 14.109

-

83| 59| 83| 83|

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Ace ptar Hipot. Signif µA = µB n.s µA ≠ µC µA ≠ µD


* * n.s * *

8. Presentación de la Prueba de TUKEY. Tratamie nto s D C B A

n 4 4 4 4

PR O M ED IO Tuk e y (P< 0 .0 5 ) 83 a 59 b 57 bc 44 c

9. Conclusión. Se distinguen dos grupos de tratamientos con resultados similares que son los tratamientos C y B; A y B, es decir los incrementos de pesos para estos tratamientos son inferiores al tratamiento D.

- 212 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno La salida con el Sistema de Análisis Estadístico, es el siguiente:

Tukeys Studentized Range (HSD) Test for variable: PESO NOTE: This test controls the type I experimentwise error rate, but generally has a higher type II error rate than REGWQ. Alpha= 0.05 df= 12 MSE= 45.16667 Critical Value of Studentized Range= 4.199 Minimum Significant Difference= 14.109 Means with the same letter are not significantly different. Tukey Grouping Mean N TRAT A 83.000 4 D B 59.000 4 C C B 57.000 4 B C 44.000 4 A

PROGRAMA EN S.A.S. DATA ENSA1; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT TRAT REP PESO; CARDS; ...................... ingresar datos en orden ....................... ; PROC PRINT; RUN; PROC ANOVA; CLASS TRAT REP; MODEL PESO = TRAT; MEANS TRAT /TUKEY; RUN; /* Presione F3 para ejecutar el programa en SAS */


5.5.

PRUEBA DE COMPARACION DE DUNNETT

CARACTERISTICAS: - Se utiliza cuando existe tratamientos testigo ó control y se desea comparar este (testigo) con los demás tratamientos. - La prueba de F-calculado del cuadro ANVA debe ser significativa. - Las comparaciones son planeadas antes de realizar el experimento. - La prueba Dunnett, se usa para comparar nuevos tratamientos sobre un tratamiento testigo o control. - Es una prueba modificada de la prueba DLS. - Los investigadores utilizan a menudo un tratamiento de control o estándar como punto de referencia con el cual comparar todos los demás tratamientos. EJEMPLO: 1. Información: Promedio de tratamientos y el Cuadro ANVA.

A (Control)

Yi. ni

44 4


G.L. 3 12 15


59 4 C.M. 1057.00 45.17

2. HIPOTESIS:

H0: µk = µj ; ∀k ≠ j Ha: µk ≠ µ j Donde «k» es la ubicación del tratamiento testigo.

H 0: µ A = µ B = µ C = µ D = µ Ha: µA ≠ µ j

D 83 4 Fc. 23.40

- 214 -


3. NIVEL DE SIGNIFICACION: α = 0.05 4. Buscar en la Tabla de Dunnett, el valor

t (DN)

con los grados de libertad del

error experimental, a un nivel de significación α , para (p = t - 1) el número de tratamientos sin incluir el testigo o control. GLerror = 12, α = 0.05 , p = 3,

ALS(DN) = S Xi − X j .t (DN) , SX −X = i

j

Sd =

= 3.36(2.72)

t (DN) = 2.72 2CMError 2(45.16667) . = = 336 r 4

2CM Error , S Yi − Yj = r

2S2 r

ALS(DN) = 9.14 5. Regla de Decisión: Si

X i. − X j. ≤ 9.14 ⇒ se acepta H 0 : X i. − X j. > 9.14 ⇒ se rechaza H 0 :

6. Comparación y significación. Comparacione s |44 - 57| = |44 - 59| = |44 - 83| =

d 13 15 39

< > >

ALS(DN) 9.14 9.14 9.14

⇒ ⇒ ⇒

Aceptar Hipot. µA ≠ µB

µA ≠ µC µA ≠ µ D

Signifac. * * *

7. Conclusión. Todos los tratamientos actúan mejor en relación al tratamiento Testigo (A).

Análisis y Diseño de Experimentos - 215 La salida con el sistema de análisis estadístico SAS son: Dunnett’s T tests for variable: PESO NOTE: This tests controls the type I experimentwise error for comparisons of all treatments against a control. Alpha= 0.05 Confidence= 0.95 df= 12 MSE= 45.16667 Critical Value of Dunnett’s T= 2.683 Minimum Significant Difference= 12.75 Comparisons significant at the 0.05 level are indicated by ‘***’. Simultaneous Simultaneous Lower Difference Upper TRAT Confidence Between Confidence Comparison Limit Means Limit D -A 26.250 39.000 51.750 *** C -A 2.250 15.000 27.750 *** B -A 0.250 13.000 25.750 ***

- 216 -


5.6. PRUEBA DE COMPARACION MULTIPLE DE StudentNewman-Keuls (SNK). Este método no tiene el carácter aproximado del Duncan. Este procedimiento es más conservativo que el Duncan en el número de diferencias que declara significativas. Por lo tanto, en situaciones en las cuales no es necesario ser tan conservativo se sugiere el uso de esta metodología con probabilidades más relajado, digamos un 10% o aún más alto. - Esta prueba se utiliza, si el contraste de la «F» ha demostrado diferencias estadísticas significativas. - La prueba de Student-Newman-Keuls, es una prueba similar a la prueba de Duncan, que se basa enla comparación múltiple de promedios todos contra todos; y consiste en extraer los valores AES(SNK) obtenido de tablas, los pasos a seguir son los mismos que el de la prueba de Duncan. - Esta prueba compara promedios todos contra todos. - Chen, revela que esta prueba es más conservativo que la prueba Duncan en el número de diferencias que declara significativos. - Es recomendable usar esta metodología con un nivel de significación más relajados, digamos 10% o aún más altos. - La S-N-K, tiene un gran Error Tipo I y un pequeño Error tipo II que la prueba de Tukey.

1. INFORMACION:

A (Control)

Yi. ni

44 4


G.L. 3 12 15


59 4 C.M. 1057.00 45.17

D 83 4 Fc. 23.40

Análisis y Diseño de Experimentos - 217 2. HIPOTESIS:

H 0: µ A = µ B = µ C = µ D = µ

Ha: µi ≠ µ j 3. NIVEL DE SIGNIFICACION: α = 0.05 4. Buscar en la Tabla de de S-N-K, los valores de AES(SNK) con los grados de liberta del error: GLerror = 12 p:

2

3

4

AES (SN K ) S X i − X j = 3.36

3.08

3.77

4.2

ALS(S N K )

10.35

12.67

14.11

Los valores AES(SNK) se multiplican por la desviación estándar ( S Xi − X j ) de los promedios.

ALS(SNK) = S Xi − X j .AES(SNK) ,

S Xi − X j =

CM Error 45.16667 = = 3.36 r 4

5. Ordenamiento de los promedios de tratamientos: Tratamie ntos Prome dios

A 44

B 57

C 59

D 83


X i. − X j. ≤ ALS(SNK) ⇒ se acepta H 0 : X i. − X j. > ALS(SNK) ⇒ se rechaza H 0 :

7. Comparación y significación: t(t-1)/2 = 4(3)/2 = 6 Comparaciones |44 - 57| =

d 13

(p) (2)

>

ALS(SNK) ⇒ 10.35

|44 - 59|

=

15

(3)

>

12.67

|44 - 83| |57 - 59| |57 - 83| |59 - 83|

= = = =

39 2 26 24

(4) (2) (3) (2)

> < > >

14.11 10.35 12.67 10.35

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Aceptar Hipot. Signifac. µA ≠ µB * µA ≠ µC µA ≠ µD


* * n.s. * *

- 218 -


8. Presentación de la Prueba de Student-Newman-Keuls. Tratamientos D C B A

n 4 4 4 4

PROMEDIO 83 59 57 44

SNK (P<0.05) a b b c

9. Conclusión. Existe un grupo de tratamientos similares en el incremento de peso en ovejas, los tratamientos C y B que son inferiores enpromedio al tratamiento D y superiores al tratamiento A (testigo).

La salida con el Sistema de Análisis Estadístico SAS, es el siguiente: Student-Newman-Keuls test for variable: PESO NOTE: This test controls the type I experimentwise error rate under the complete null hypothesis but not under partial null hypotheses. Alpha= 0.05 df= 12 MSE= 45.16667 Number of Means 2 3 4 Critical Range 10.353669 12.678413 14.108632 Means with the same letter are not significantly different. SNK Grouping A B B C

Mean 83.000 59.000 57.000 44.000

N 4 4 4 4

TRAT D C B A


5.7.

PRUEBA DE SCHEFFE

CARACTERÍSTICAS: - El método se Scheffé es efectivo para tomar decisiones sobre contrastes compuestos no ortogonales. - Está íntimamente relacionado con el concepto de una contraste. - Usa estadísticos como parte de su fórmula (Prueba de F). - El método Scheffé no exige que los datos se ajusten a una distribución normal. - Es fácil de usar. EJEMPLO. 1. INFORMACION:

A (Control)

Yi. ni

44 4


G.L. 3 12 15


D

59 4

83 4

C.M. 1057.00 45.17

El constraste planeado es: C 0 = µ 2 + µ 3 − 2µ 4 2. HIPOTESIS: C i = 0

Ci ≠ 0 3. NIVEL DE SIGNIFICACION: α = 0.05

4. Prueba Estadística.

LM∑ C OP N rQ t

GL Trat. ALS(S) = (t -1)CM Error FGL Error

k

LM1 + 1 + ( −2 ) OP = 26.63 N4 4 4 Q 2

ALS(S) = (3)(45.166667)(3.490)

k =1

2 k

2

2

Fc. 23.40

- 220 -


5. Regla de Decisión:

C0 ≤ ALS(S) entonces se acepta H 0 : C0 > ALS(S) entonces se rechaza H 0 :

6. Cálculos.

C0 = X B + XC − 2 X D = 57 + 59 − 2( 83 ) C0 = 50 7. Conclusión: Como

C0 = 50 > ALS(S) = 26.63 , entonces se rechaza la Ho., esto es los

tratamientos B y C en conjunto son superiores a el tratamiento.

5.8. TRANSFORMACION DE DATOS. La transformación de datos se utiliza principalmente cuando las varianzas y la media están relacionadas, y consiste en transformar todos los datos originales antes de realizar los análisis de varianza a otras escalas que permita analizarlos donde existan variancias homogéneas. La escala de transformación usada para todas las observaciones, los valores entre tratamientos no son alterados y la comparación entre ellos resulta válido. 1. Transformación Logarítmica. Esta transformación se utiliza cuando: - Observamos que las desviaciones estándar de las muestras sean aproximadamente proporcionales a las medias. - Otro criterio para la elección de ésta transformación será cuando existan efectos multiplicativos (proporcionales) en vez de ser aditivos. El procedimiento consiste en calcular el logaritmo de la variable de respuesta de cada unidad experimental.

Análisis y Diseño de Experimentos - 221 Y’ = Log Y, Y’ = log10 Y,

Y = valor numérico de cada observación.

2. Transformación de la Raíz Cuadrada. Esta transformación se utiliza principalmente cuando los datos tienden a seguir una distribución especial como la distribución Poisson; en experimentos en los que se evalúan números enteros como número de parásitos externos de los animales, número de semillas atacadas por virus en el lote específico, etc. Ecuaciones: Y’ =

Y , Y’ =

Y +1 ,

Y+

1 2

3. Transformación Angular o ArcoSeno. Esta transformación es utilizada cuando los datos provienen de conteos expresados como porcentajes o proporcionales de la muestra total. Generalmente tales datos tienen una distribución binomial en vez de ser normal. En estos datos se observan que las varianzas tienden a ser pequeñas en los extremos de los rangos de la distribución (cercanos a 0 y 100%), mientras que se presentan variancias mayores alrededor del 50%. Y’ = Arcoseno

Y

Y'= Sen -1 Y DATOS EN PORCENTAJES: Cuando se tienen valores en porcentajes entre 0 y 20 (o entre 80 y 100) se

Y , siendo Y el porcentaje observado emplea la transformación experimentalmente, en caso contrario se usa la transformación a valores angulares.

- 222 -



6 DISEÑO CUADRADO LATINO (DCL) Este diseño es una extensión del Diseño Bloque Completo al Azar y se utiliza cuando las unidades experimentales, a las cuales se van a aplicar los tratamientos pueden agruparse de acuerdo a 2 fuentes de variabilidad llamadas bloques(hileras) y columnas respectivamente, también se le conoce con el nombre de doble bloqueo. En la experimentación agrícola es posible emplear este diseño principalmente cuando se quiere eliminar el efecto de la variabilidad debido a doble pendiente del terreno. En la experimentación pecuaria puede utilizarse cuando se desea eliminar 2 fuentes de variación. En este diseño es necesario que el número de bloques sea igual al número de tratamientos, esto es: r = c = t, y el número total de unidades experimentales en el experimento debe ser igual a r2. Por ejemplo si el número de tratamientos es de 4, el número de bloques y el número de columnas debe ser también de 4 y el número total de unidades igual a 16. Este diseño se recomienda cuando el número de tratamientos varía entre 3 y 10. El Cuadrado Latino se puede emplear siempre que haya homogeneidad dentro de bloques y dentro de columnas, pero alta heterogeneidad entre bloques y entre columnas.

- 224 -


Ejemplo 1: Camadas diferentes (hileras), y sistemas de crianzas diferentes (columnas), también utilizando períodos de producción debido a las estaciones del año (hileras) y edad de los animales (columnas). Ejemplo 2: Si se tiene un terreno con diferentes niveles de pendiente en sentido y gradiente de fertilidad en el otro sentido, para instalar un experimento se podrán distribuir del siguiente modo, en un ensayo de 4 tratamientos. Pendiente C1

C2

C3

C4

H1

A

B

C

D

H2

B

D

A

C

H3

C

A

D

B

H4

D

C

B

A

Gradiente de fertilidad

Características del diseño. 1. Debe existir homogeneidad de las unidades experimentales dentro de las hileras y dentro de columnas, pero entre hileras y columnas debe existir heterogeneidad para que el diseño sea eficiente. 2. El número de las unidades experimentales en cada hilera y en cada columna debe ser igual al número de tratamientos en estudio. 3. Las característica fundamental del diseño cuadrado latino, consiste en que un tratamiento cualquiera aparece representado una sola vez en la misma hilera, ó en la misma columna. Los tratamientos se se representan usualmente por letras del alfabeto latino. 4. El número de tratamientos debe ser igual al número de hileras y al número de columnas. 5. Debe utilizarse este diseño cuando los tratamientos varían de 3 a 10, no es muy recomendable utilizarlo cuando existen muchos tratamientos, principalmente por las características mismas del diseño. 6. Es un diseño más preciso que el de Bloques, debido a que reduce el cuadrado medio del error, debido a la otra fuente de variación que es las de columnas. 7. La aleatorización en las hileras y columnas es muy complicado, sin embargo existen muchas variantes en los textos de diseños experimentales.

Análisis y Diseño de Experimentos - 225 Ventajas. 1) Disminuyen los efectos de dos fuentes de variabilidad de las unidades experimentales en los promedios de los tratamientos y en el error experimental. 2) El análisis de varianza es simple, aún cuando es ligeramente más complicado que el DBCA. 3) En el caso de que se pierde todas las unidades experimentales de un mismo tratamiento, el resto de tratamientos siguen ajustados a las características del cuadrado latino. Si se pierde íntegramente un bloque o columna, el diseño queda ajustado al DBCA. 4) Cuando los bloques y las columnas están relacionados con variaciones definidas de dos criterios de clasificación, entonces ellos pueden ser considerados como tratamientos. Desventajas. 1) Como el número de tratamientos depende del número de bloques y columnas y por consiguiente el número de unidades experimentales, esto le resta flexibilidad al diseño para su uso. Es por esto que no es recomendable para mayor número de tratamientos. 2) A igualdad del número de tratamientos y repeticiones, este diseño tiene menos grados de libertad para el error experimental. 3) Si es que existe interacción entre los efectos de las dos fuentes de clasificación o entre los tres (tratamientos, bloques y columnas), entonces el valor de F no se distribuye de acuerdo al valor tabular de F, y por consiguiente no se puede hacer una prueba válida de significación. Es por esto que en los casos en que el experimentador no está en condiciones de asumir la ausencia de interacciones de este tipo, es preferible no emplear el cuadrado latino. 4) El error experimental tiende a incrementarse al aumentar el ancho de los bloques y el largo de las columnas, como consecuencia principalmente del aumento del número de tratamientos. Modelo estadístico lineal El resultado de una unidad experimental cualesquiera como se puede apreciar, está influenciado por tres fuentes de variabilidad controlables: tratamientos, filas y columnas de modo que el modelo estadístico en la población de unidades experimentales que pudieron intervenir en el experimento; el valor de cada unidad experimental Yijk se aplica según el siguiente Modelo Estadístico Lineal.

- 226 -


Y( i ) jk = µ + τ i + H

j

+ C k + ε ( i ) jk ;

i = 1, 2 , L , t j = 1, 2 , L , t k = 1, 2 , L , t

donde: Yijk = Es la variable respuesta o resultado de la unidad experimental clasificada en el j-ésimo nivel de bloque-fila, k-ésimo nivel de bloque-columna y que ha recibido el tratamiento i-ésimo, el cual por estar comprendido en la combinación "jk" se llama factor "anidado". µ = Constante, media de la población a la cual pertenecen las observaciones. τ i = Es el verdadero efecto del i-ésimo tratamiento. H j = Es el verdadero efecto de la j-ésima fila o nivel del factor que dió lugar a bloque-fila.

C k = Efecto de la k-ésima columna o nivel del factor que dió lugar a bloquecolumna

ε(i) jk = Término de error. Son variables aleatorias con ε ijk

~ D N I ( 0 , σ e2 )

Las restricciones con respecto a filas, columnas y tratamientos si están bajo el t

t

t

j =1

k =1

i =1

criterio del Modelo I son: ∑ H j = ∑ Ck = ∑ τ i

= 0.

En caso de estar en Modelo II,

H j , C k , τ i se considera como variable aleatoria distribuidas normal e independiente

con media cero y varianza: σ 2H , σ 2C y σ τ2 , respectivamente. HIPOTESIS: Respecto a tratamientos: Respecto a fila: Respecto a columnas:

Modelo I

Modelo II

H 0 :τ i = 0

H 0 :σ

H a :τ i ≠ 0

H a : σ τ2 ≠ 0

=0

2 τ

H 0: H

j

= 0

H 0 :σ

2 H

= 0

Ha:H

j

≠ 0

H a :σ

2 H

≠ 0

H 0:C k = 0

H 0 :σ

2 C

= 0

H a:C k ≠ 0

H a :σ

2 C

≠ 0

Análisis y Diseño de Experimentos - 227 Estimación de parámetros del modelo. La aplicación del procedimiento de estimación de los mínimos cuadrados permite lograr estimaciones de los parámetros señalados quedando el modelo en término de estimadores.

Población

Muestra

µ

µ$ = Y•••

β j = µ • j• − µ

β$

j

= Y• j • − Y• • •

δ j = µ •• k − µ

δ$

j

= Y• • k − Y• • •

τ i = µ i •• − µ

τ$ i = Yi •• − Y•••

Modelo poblacional: Yijk = µ + β j + τ i + δ k + ε ijk

Yijk = µ +( µ• j• − µ ) + ( µi•• − µ ) +( µ••k − µ ) +(Yijk − µi•• − µ• j• − µ••k + 2µ ) Modelo muestral: Yijk = Y••• + ( Y• j• − Y••• ) + ( Yi•• − Y••• ) + ( Y••k − Y••• ) + ( Yijk − Yi•• − Y• j• − Y••k + 2Y••• )

Yijk −Y••• = (Y• j• −Y••• ) + (Yi•• −Y••• ) +(Y••k −Y••• ) +(Yijk −Yi•• −Y• j• −Y••k + 2Y••• ) 12 44 3 14243 14243 14243 14444 4244444 3

Desviación total

Desviación debido a tratamientos

Desviación debido a filas

Desviación debido a columnas

Desviación debido al error experimental

Elevamos al cuadrado ambos miembros, luego aplicamos las sumatorias se tiene:

∑dY r

i , j ,k

i

r

r

r

i =1

k =1

= r∑(Y• j• − Y••• )2 + r∑(Yi•• − Y••• )2 + r∑(Y••k − Y••• )2 + ijk − Y••• 2

j =1

r

∑(Y

ijk

− Yi•• − Y• j• − Y••k + 2Y••• )2

i , j ,k

∑dY r

i

r

r

r

r

−Y••• = r∑(Y• j• −Y••• )2 + r∑(Yi•• −Y••• )2 + r∑(Y••k −Y••• )2 + ∑(Yijk −Yi•• −Y• j• −Y••k + 2Y••• )2 , j ,k i , j ,k i=4 k =4 1 1 4 1 4 2443 1 2443 i1 14 4244 3 1j=4 42443 1 44444 42444444 3 ijk

SCTOTAL

2

SCFILAS

SCTRATAMIENTOS

SCCOLUMNAS

SCERROR EXPERIMENTAL

- 228 -


TABLA ANOVA: Fórmulas. F. de Variación

G.L.

S.C. r

Y . 2j .

j =1

r

Hileras

r-1

∑

Columnas

r-1

∑

Tratamientos

r-1

C.M.

−

Y ...2 r2

Y..2k Y2 − ...2 r k =1 r r

r

Error Exptal (EE)

∑

i =1

(r-1)(r-2)

r

Total

2

r -1

Yi ..2 Y...2 − 2 r r

por diferencia

r

r

∑∑∑ i =1

j =1 k =1

Yijk2 −

Fc.

CME.

SC bloque

CM bloque

r −1

CM ee

σ 2 + r σ 2β

SCcolumna r −1

CMcolumna CMee

σ 2 + r σ γ2

S C tr a t . r −1 SCe.exp (r −1)( r −2)

CM t C M ee

σ 2 + rσ τ2 σ

2

Y...2 r2

EJEMPLO: Se quiere estudiar el efecto de cinco diferentes catalizadores (A,B,C,D y E) sobre el tiempo de reacción de un proceso químico. Cada lote de material sólo permite cinco corridas y cada corrida requiere aproximadamente de 1.5 horas, por lo que sólo se pueden realizar cinco corridas diarias. El experimentador decide correr los experimentos con un diseño en cuadro latino, para controlar activamente a los lotes y días. Los datos obtenidos son:


1 2 3 4 5

Lote

Y.j.

Día (bloque) 2 3 B7 D1 E2 A7 A9 C 10 C8 E6 D2 B3 28 27

1 A8 C 11 B4 D6 E4 33

4 C7 D3 E1 B6 A8

E B D A C 25

5 3 8 5 10 8 34

Y..k 26 31 29 36 25 147

TRATAMIENTOS: A B C D E Y... 147 42 28 44 17 16 Prom. 8.40 5.60 8.80 3.40 3.20 5.88

SOLUCIÓN: 1. Hipótesis: Respecto a tratamientos: H0 :τ i = 0 versus Ha : τ i ≠ 0 Respecto a fila: Respecto a columnas: 2. Nivel de significación:

H0 : H j = 0 versus Ha : H j ≠ 0 H0 : Ck = 0 versus Ha : Ck ≠ 0

α = 0.05

3. Estadígrafo de contraste: FTrat . =

CM Trat . ~ F( rr−−11 )( r − 2 ),0.05 CM Error

4. Cálculo de Análisis de Varianza (ANOVA). a)

b)

Grado de libertad. Hileras Columnas Tratamientos (variedades) Error experimental Total

Suma de Cuadrados:

:r-1=5-1=4 :r-1=5-1=4 :r-1=5-1=4 : (r-1)(r-2) = 4x3 = 12 : r2 - 1 = 5x5 - 1 = 24

TC =

2 Y••• ( 147 ) 2 = = 864 .36 2 r 5×5

Suma de Cuadrados para filas ó bloques:

SCFilas =

332 + 282 + 27 2 + 252 + 34 2 − TC = 876.6 − TC = 12.24 5

- 230 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno Suma de Cuadrados para Columnas. 262 + 312 + 29 2 + 362 + 252 − TC = 879.8 − TC = 15.44 5 Suma de Cuadrados para tratamientos (catalizadores) SCcolumnas =

SCCatalizadores =

42 2 + 282 + 44 2 + 17 2 + 162 − TC = 10058 . − TC = 141.44 5

r

SCTotal = ∑ Yijk2 − TC = ( 82 + 112 + L + 102 + 82 ) − TC = 1071 − TC = 206.64 i , j ,k

SCerror exptal. = SCtotal - SCcataliz. - SCFilas. - SCcolum = 206.64-141.44-12.24-15.44=37.52 TABLA DE ANALISIS DE VARIANCIA. F. de V. Filas Columnas Catalizadores Error experimental Total

G.L. 4 4 4 12 24

S.C. 12.24 15.44 141.44 37.52 206.64

C.M. 3.06 3.86 35.36 3.13

Fc. 0.98 1.23 11.31

Signifc. ns. ns. **

5. Decisión: Como Fcatalizadores = 11.31> F124 ,0 .01 = 5.41, entonces se acepta la Ha: y se rechaza la Ho: 6. Conclusión: No existen evidencias estadísticas significativas para los filas ó bloques y columnas, en cambio encontramos diferencia estadística altamente significativa para los catalizadores ( P ≤ 0.01) en el análisis de varianza, lo cual confirma que cada uno de los catalizadores actúan en forma diferente en la variable de respuesta, para una mejor interpretación de estos resultados se realizará la prueba múltiple de significancia de Duncan.

Prueba Múltiple de comparación de DUNCAN 1. Hipótesis: H0 : µ A = µ B = µ C = µ D = µ E Vs. Ha : µ i ≠ 0 2. Nivel de significación: α = 0.05 3. Buscar en la Tabla de Duncan los valores de AES(D) con Grados de Libertad del Error (GLerror = 12).

Análisis y Diseño de Experimentos - 231 p: A ES(D)

SY =

2 3.08 3 .1266667 5

=

A LS(D)

3 3.23

4 3.33

2.55

2.63

0.79 2.43

ALS ( D ) = SY × AES ( D ) , S Y =

3.1266667 = 0.79 5

CM Error = r

3. Ordenar los promedios de mayor a menor. Catalizadores C A B D E

Promedios 8.8 8.4 5.6 3.4 3.2

Duncan (P ≤ 0.05)

a a b b b

4. Regla de decisión: Sí Yi • − Yj • ≤ ALS ( D ) , entonces se acepta la Ho: Sí Yi • − Yj • > ALS ( D ) , entonces se acepta la Ha: 5. Realizar las comparaciones: 8.80 - 8.40 = 0.40 ≤ 2.43, entonces no es significativo

µC = µ A

8.80 - 5.60 = 3.20 > 2.55, entonces es significativo µ C ≠ µ B -------------------------------------------------------------------------------5.60 - 3.40 = 2.20 ≤ 2.43, entonces no es significativo

µB = µD


µB = µE

- 232 -


DATA DCLAT; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT FILA COLUM TRAT $ TIEMPO; DATALINES; 1 1 A 8 1 2 C 11 1 3 B 4 1 4 D 6 1 5 E 4 2 1 B 7 2 2 E 2 2 3 A 9 2 4 C 8 2 5 D 2 3 1 D 1 3 2 A 7 3 3 C 10 3 4 E 6 3 5 B 3 4 1 C 7 4 2 D 3 4 3 E 1 4 4 B 6 4 5 A 8 5 1 E 3 5 2 B 8 5 3 D 5 5 4 A 10 5 5 C 8 ; PROC PRINT; RUN; PROC ANOVA; CLASS FILA COLUM TRAT; MODEL TIEMPO = FILA COLUM TRAT; MEANS FILA COLUM TRAT/LSD DUNCAN TUKEY; RUN;

Análisis y Diseño de Experimentos - 233 RESULTADOS DEL SAS The ANOVA Procedure Class Level Information Class Levels Values FILA 5 1 2 3 4 5 COLUM 5 1 2 3 4 5 TRAT 5 A B C D E Number of observations 25 Dependent Variable: TIEMPO Source Model FILA COLUM TRAT Error Corrected Total R-Square Coeff Var 0.818428 30.07208

Sum of DF Squares Mean Square 12 169.1200000 14.0933333 4 12.2400000 3.0600000 4 15.4400000 3.8600000 4 141.4400000 35.3600000 12 37.5200000 3.1266667 24 206.6400000 Root MSE TIEMPO Mean 1.768238 5.880000

t Tests (LSD) for TIEMPO Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 12 Error Mean Square 3.126667 Critical Value of t 2.17881 Least Significant Difference 2.4366 Mean N TRAT A 8.800 5 C A 8.400 5 A B 5.600 5 B B 3.400 5 D B 3.200 5 E Duncan’s Multiple Range Test for TIEMPO Mean N TRAT A 8.800 5 C A 8.400 5 A B 5.600 5 B B 3.400 5 D B 3.200 5 E Tukey’s Studentized Range Tukey Groupi ng Mean A 8.800 A 8.400 B A 5.600 B 3.400 B 3.200

(HSD) Test for TIEMPO N 5 5 5 5 5

TRAT C A B D E

F Value 4.51 0.98 1.23 11.31

Pr > F 0.0072 0.4550 0.3476 0.0005

- 234 -


EJEMPLO: En un experimento se probaron tres dietas diferentes (A, B y C) para medir su efecto en la producción de leche. Las dietas se aplicaron a tres vacas en tres períodos de lactancia diferentes. Los resultados son los siguientes:

1 Período

I II III

A B C

608 715 884 2207

A B C

608 715 884

Cj

VA CA 2 B 885 C 1087 A 711 2683 711 885 1087

3 C A B

940 766 832 2538 766 832 940 Y... =

Hk 2433 2568 2427 Y... = 7428 2085 2432 2911 7428

Las hipótesis para hileras y columnas, al igual que la de bloques en un diseño completo al azar, en realidad sólo dan una idea acerca de la eficiencia o justificación en el empleo del control local efectuado en estos diseños. SUMA DE CUADRADOS:

SC tratam. =

2085 2 + 2432 2 + 2911 2 7428 2 − = 114680.6 3 9

SC PERIO D O S =

SC VAC AS =

2433 2 + 2568 2 + 2427 2 7428 2 − = 4238 .0 3 9

2207 2 + 2683 2 + 2538 7428 2 − = 39684 .60 4 9

7428 2 = 164664 .0 9 SCerror exptal. = 164664 - (114680.6 + 4238 + 39684.6) = 6060.8

SC To tal = 608 2 + L + 832 2 −

Análisis y Diseño de Experimentos - 235 TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA. F. de V. Períodos Vacas Tratamientos Error exptal. Total

G.L. 2 2 2 2 8

S.C. 4238.00 39684.60 114680.60 6060.80 164664.00

C.M. 2119.00 19842.30 57340.30 3030.40

Fc. 0.70ns. 6.55* 18.92**

0.05 0.01 4.46 8.65

Por lo anterior, no se rechaza la hipótesis nula respecto de los períodos, pero sucede lo contrario para los efectos de vacas y raciones. La partición de las sumas de cuadrados significativas. Existe diferencia significativa entre vacas es fuente de variación para la respuesta. Para las raciones alimenticias, se ha encontrado diferencia estadística altamente significativo ( P ≤ 0.01) , esto implica la fuente de variación para la respuesta, es decir que el consumo de la dieta de cada vaca es diferente a las otras vacas. Se deja como ejercicio al estudiante para que realice la prueba múltiple de comparación de Duncan. PROGRAMA EN SAS. DATA DIETA; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; TITLE’DISEÑO CUADRADO LATINO DE 3x3’; DO FILA = 1 TO 3; DO COLUM = 1 TO 3; INPUT TRAT $ LECHE; OUTPUT; END; END; CARDS; A 608 B 715 C 884 B 885 C 1087 A 711 C 940 A 766 B 832 ; PROC PRINT; RUN; PROC GLM; CLASS FILA COLUM TRAT; MODEL LECHE = FILA COLUM TRAT; MEANS FILA COLUM TRAT /DUNCAN; RUN; /* F3 para ejecutar */

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EJERCICIOS: 1. En un experimento donde se desea probar 4 máquinas con el objeto de ver si difieren significativamente en su capacidad de producción de una cierta pieza manufacturada. Es perfectamente conocido que diferentes trabajadores y diferentes periodos de tiempo en un día de trabajo tendrán un efecto sobre la producción. Las máquinas son asignadas al azar a cada trabajador frente a su respectivo periodo de tiempo, en un día de trabajo. Obteniéndose los siguientes resultados experimentales. Analice y obtenga las conclusiones. Periodo de tiempo 1 2 3 4

1 C 31 D 39 B 57 A 85

OPERADORES 2 3 D 43 A 31 A 96 B 50 C 33 D 40 B 46 C 48

B C A D

4 36 48 84 50

2.- Se realizó un experimento para asegurar las resistencias relativas a la abrasión de 4 tipos de pieles (A, B, C, D). Se usó una máquina en la cual se probaron las muestras en una cualquiera de 4 posiciones. Puesto que se conoce que diferentes ejecuciones del experimento (reproducciones) dan resultados variables, se decidió hacer 4 ejecuciones del mismo. Se utilizó un diseño cuadrado latino y se obtuvieron los siguientes resultados. Analice e interprete los datos. Ejecución 1 2 3 4

1 118(B) 127(D) 174(A) 130(C)

2 136(D) 141(B) 173(C) 170(A)

POSICION 3 168(A) 129(C) 126(B) 125(D)

4 135(C) 151(A) 134(D) 95(B)

3.- Un ingeniero químico está investigando el efecto que tienen 4 métodos de ensamblaje (A, B, C y D) sobre el tiempo de ensamblaje de un componente para televisores a color. Se seleccionan 4 operadores para realizar este estudio. Por otra parte, el ingeniero sabe que cada método de ensamblaje produce fatiga, por lo que el tiempo que se tarda en el último ensamblaje puede ser mayor que en el primero, independientemente del método. En otras palabras se produce un patrón en el tiempo de ensamblaje. Para controlar esta posible fuente de variabilidad el ingeniero utiliza el diseño de cuadrados latinos que aparece a continuación. Analice y obtenga las conclusiones apropiadas. Orden de montaje 1 2 3 4

1 C 10 B 7 A 5 D 10

OPERADOR 2 3 D 14 A 7 C 18 D 11 B 10 C 11 A 10 B 12

4 B A D C

8 8 9 14

Análisis y Diseño de Experimentos - 237 4.-Se prueba seis dietas de concentración y su efecto en la producción de leche, en seis vacas que tienen diferente período de lactación ( 1 a 6 meses), cuya distribución es: Períodos III I VI IV II V

C E F B D A

5 9.40 4.90 6.70 8.90 5.92 7.20

1 E 5.450 A 7.600 B 8.320 D 6.120 F 9.850 C 9.900

A C D F B E

VACAS 3 6 4 6.08 D 3.46 B 8.85 10.87 F 7.15 D 4.12 6.80 A 7.11 E 6.14 12.43 C 11.40 A 5.15 6.15 E 8.10 C 8.16 5.64 B 9.12 F 10.50

F B C E A D

2 8.50 7.15 8.84 7.30 6.13 7.00

a) Habrá diferencia entre dietass. b) Habrá diferencia entre vacas. c) Habrá diferencia entre períodos. d) Contraste promedios entre dietas a través de la prueba de Tukey al 95%.

- 238 -


6.2. Diseño Cuadrado Grecolatino (DCGL). Considere un cuadrado latino pxp al cual se le superpone un segundo cuadrado latino pxp en el que los tratamientos se denotan con letras griegas. Si cuando se hace la superposición los dos cuadrados tienen la propiedad de que cada letra griega aparece una y sólo una vez con cada letra latina, se dice que los cuadrados latinos son ortogonales, y al diseño obtenido se le llama Cuadrado Grecolatino. El diseño de cuadrado Grecolatino puede usarse para controlar sistemáticamente tres fuentes de variabilidad extraña, es decir, para hacer la formación de bloques en tres direcciones. El diseño permite la investigación de cuatro factores (renglones, columnas, letras latinas y letras griegas), cada una con «p» niveles en sólo p2 corridas. Existen cuadrados grecolatinos para toda p ≥ 3, excepto p = 6. En la siguiente tabla, se muestra un ejemplo de un cuadrado grecolatino de 4x4. Ejemplo de Diseño Cuadrado Grecolatino de 4x4. Renglones 1

1 A

Letras Latinas 2 3 B C

4 D

2

B

A

D

C

3

C

D

A

B

4

D

C

B

A

1

Letras Griegas 2 3 4

α β γ + δ γ β β α δ γ δ α

δ α γ β

1

Aα

= Bδ Cβ Dγ

Grecolatino 2 3 Bβ Cγ

Aγ

Dα Cδ

Dβ Aδ

Bα

4 Dδ

Cα

Bγ A

β

El modelo estadístico lineal para el diseño de cuadrado grecolatino es:

Yijkl = µ + θ i + τ j + ω k + ψ l + ε ijkl

R| i = 1,2,K, p |S j = 1,2,K, p ||k = 1,2,K, p T l = 1,2,K , p

donde:

Yijkl : Es la observación del renglón «i» y la columna «l» para la letra latina «j» y la letra griega «k».

θ i : Es el efecto del renglón i-ésimo.

τ j : Es el efecto del tratamiento de la letra latina «j» ω k : Es el efecto del tratamiento de la letra griega «k».


ψ l : Es el efecto de la columna «l».

ε ijkl : Es un componente del error aleatorio

ε ijkl ~ NID( 0,σ 2 ) .

Sólo son necesario dos de los cuatro subíndices para identificar completamente una observación. El análisis de varianza es muy parecido al de un cuadrado latino. Puesto que las letras griegas aparecen exactamente una vez en cada renglón y columna, y exactamente una vez con cada letra latina, el factor representado por las letras griegas es ortogonal a los renglones, las columnas y los tratamientos de letras latinas. Por lo tanto, puede calcularse una suma de cuadrados debida al factor de las letras griegas a partir de los totales de las letras griegas y el error experimental se reduce adicionalmemnte en esta cantidad. En la siguiente tabla se ilustran los detalles de los cálculos de las fórmulas de análisis de varianza. La hipótesis nula de la igualdad de tratamientos de renglones, columnas, letras latinas y letras griegas, se probaría dividiendo el cuadrado medio correspondiente por el cuadrado medio del error. La región de rechazo es la cola superior del punto de la distribución F( pp−−13 )( p −1 ) . TABLA ANOVA: Fórmulas. F. de Variación

G.L.

S.C.

Tratamientos con letras latinas

p-1 SCL = ∑

p

Y•2j ••

j =1

p

−

C.M.

Fc.

2 Y•••• p2

SC Latina p−1

CM Latina CM Error

Tratamientos con letras griegas

p-1 SCG = ∑

2 Y••2k • Y•••• − 2 p k =1 p

SC G rieg a

CM Griega

p −1

CM Error

Renglones ó filas

p Y2 Y2 p-1 SCRengl . = ∑ i••• − •••• p2 i =1 p

S C R e ngl .

CM Re ngl .

p −1

CM Error

Columnas

p Y2 Y2 p-1 SCColum. = ∑ •••l − •••• p2 l =1 p

SC Colum . p −1

CM Colum . CM Error

CM Error =

SCError ( p − 1 )( p − 3 )

p

(p - 1)(p - 3) SCError (por diferencia)

Error Exptal (EE)

Total

2 Y•••• 2 SC Y = − ∑i ∑j ∑k ∑l ijkl p 2 Total p -1 2

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EJEMPLO: El rendimiento de un proceso químico se midió utilizando cinco lotes de materia prima, cinco concentraciones de ácido, cinco tiempos de procesamiento (A,B,C,D y E) y cinco concentraciones del catalizador ( α ,

β , γ , δ y ε ). Se usó el cuadrado

grecolatino siguiente. Analizar los datos de este experimento (utilizar sacar conclusiones. Lote 1 2 3 4 5 Y..k.

Aα Bγ Cε Dβ Eδ

1 26 18 20 15 10 89

Concentración del ácido 2 3 4 B β 16 C γ 19 Dδ 16 Cδ 21 D ε 18 Eα 11 D α 12 E β 16 A γ 25 E γ 15 A δ 22 Bε 14 Aε 24 B α 17 C β 17 88 92 83

Eε A β Bδ Cα Dγ

5 13 21 13 17 14 78

α = 0.05) y

Y...l 90 89 86 83 82 430

SOLUCIÓN: 1. Hipótesis: Respecto al tratamiento de la letra latina: H0 : τ j = 0 versus Ha :τ j ≠ 0 Respecto al tratamiento de la letra griega: H0 : ω k = 0 versus Ha :ω k ≠ 0 Respecto a fila:

H0 :θ i = 0 versus Ha :θ i ≠ 0

Respecto a columnas:

H0 :ψ l = 0 versus Ha :ψ l ≠ 0


α = 0.05

3. Estadígrafo de contraste:

F ( L a tin a ) = F ( G rieg a ) =

C M L a tin a C M E rro r C M G r ie g a

C M E rro r C M C o lu m . F ( C o lu m . ) = C M E rro r C M F ila F ( F ila ) = C M E rro r

U| || |V ~ F || || W

p −1 ( p − 1 )( p − 3 ),0 . 0 5

4. Cálculo de Análisis de Varianza (ANOVA). a)

Grado de libertad (GL). Letras latinas Letras griegas

:p-1=5-1=4 :p-1=5-1=4

Análisis y Diseño de Experimentos - 241 Filas ó Hileras Columnas Error experimental Total

b)

:p-1=5-1=4 :p-1=5-1=4 : (p - 1)(p - 3) = 4x2 = 8 : p2 - 1 = 5x5 - 1 = 24

Suma de Cuadrados:

TC =

Y•2• • ( 4 3 0 )2 = = 7396 2 p 5×5

Suma de Cuadrados para filas ó bloques: 2 Yi ••• 90 2 + 89 2 + 86 2 + 832 + 82 2 − TC = − TC = 10.0 5 5

5

SC Filas = ∑ i =1

Suma de Cuadrados para Columnas. 2 Y••• 89 2 + 882 + 92 2 + 832 + 782 l − TC = − TC = 24.40 5 l =1 5 5

SCcolumnas = ∑

Suma de Cuadrados para letras latinas (tiempos de procesamiento) 5

Y•2j ••

j =1

5

SCLatinas = ∑

− TC =

1182 + 782 + 94 2 + 752 + 652 − TC = 342.80 5

Suma de Cuadrados para letras griegas (concent. del catalizador) Y••2 k • 832 + 852 + 912 + 82 2 + 892 − TC = − TC = 37040 − TC = 12.0 5 k =1 5 5

SCGriegas = ∑

SC T otal =

5

∑Y

2 ijk

− TC = ( 26 2 + 18 2 + L + 17 2 + 14 2 ) − TC = 436 .0

i , j ,k ,l

SCError = SCTotal − SCLatinas − SCGriegas − SCFilas − SCColum. = 46.80 TABLA DE ANALISIS DE VARIANCIA. F. de V. Tratamiento con letras Latinas Tratamiento con letras Griegas Filas o renglones Columnas Error experimental Total

G.L. S.C. 4 342.80 4 12.00 4 10.00 4 24.40 8 46.80 24 436.00

C.M. 85.700 3.000 2.500 6.100 5.850

Fc. Signifc. F-Tabla 14.65 ** 3.84 0.51 ns. 0.43 ns. 1.04 ns.

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5. Decisión: Como FTiempos de proc.= 14.65 > F8 ,0 .05 = 3.84, entonces se acepta la Ha: 4

y se rechaza la Ho: 6. Conclusión: Se ha encontrado diferencias estadísticas significativas para los cinco tiempos de concentración (letras latinas), en cambio no presentaron diferencia estadística significativa para: concentración de catalizadores, lotes de materia prima y concentraciones de ácido. Se deja como ejercicio al estudiante para que realice la prueba adecuada (Tukey o Duncan) para los cinco tiempos de concentración por ser significativo en la fuente de variación.

/* PROGRAMA EN SAS */ DATA DCGL; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT COLUM FILAS LATINA $ GRIEGA $ Y; CARDS; 1 1 A a 26 1 2 B g 18 1 3 C e 20 1 4 D b 15 1 5 E d 10 2 1 B b 16 2 2 C d 21 2 3 D a 12 2 4 E g 15 2 5 A e 24 3 1 C g 19 3 2 D e 18 3 3 E b 16 3 4 A d 22 3 5 B a 17 4 1 D d 16 4 2 E a 11 4 3 A g 25 4 4 B e 14 4 5 C b 17 5 1 E e 13 5 2 A b 21 5 3 B d 13 5 4 C a 17 5 5 D g 14 ; PROC PRINT; RUN; PROC ANOVA; CLASS COLUM FILAS LATINA GRIEGA; MODEL Y = LATINA GRIEGA FILAS COLUM; MEANS LATINA/DUNCAN TUKEY; RUN;

Análisis y Diseño de Experimentos - 243 SALIDA DE RESULTADOS CON SAS The ANOVA Procedure Class Level Information Class Levels Values COLUM 5 1 2 3 4 FILAS 5 1 2 3 4 LATINA 5 A B C D GRIEGA 5 a b d e Number of observations 25 Dependent Variable: Y Source Model LATINA GRIEGA FILAS COLUM Error Corrected Total R-Square Coeff Var 0.892661 14.06208

5 5 E g

Sum of DF Squares Mean Square 16 389.2000000 24.3250000 4 342.8000000 85.7000000 4 12.0000000 3.0000000 4 10.0000000 2.5000000 4 24.4000000 6.1000000 8 46.8000000 5.8500000 24 436.0000000 Root MSE Y Mean 2.418677 17.20000

F Value 4.16 14.65 0.51 0.43 1.04

Pr > F 0.0236 0.0009 0.7289 0.7854 0.4425

Duncans Multiple Range Test for Y Duncan Mean N LATINA A 23.600 5 A B 18.800 5 C C B 15.600 5 B C 15.000 5 D C 13.000 5 E

Ejercicios: 1. El rendimiento de un proceso químico se midió utilizando cinco lotes de materia prima, cinco concentraciones del ácido, cinco tiempos de procesamiento (A, B, C, D y E) y cinco concentraciones del catalizador (á, â, ã, ä, å ). Se usó el cuadrado grecolatino siguiente. Analizar los datos de este experimento (utilizar α = 0 .0 5 ) y sacar conclusiones. Lote 1 2 3 4 5

1 Aá =26 Bã= 18 Cå = 20 Dâ = 15 Eä= 10

Concentración del ácido 2 3 4 Bâ= 16 Cã = 19 Dä = 16 Cä = 2 Då = 18 Eá = 11 Dá = 12 Eâ = 16 Aã = 25 Eã = 15 Aä = 22 Bå = 14 Aå = 24 Bá = 17 Câ = 17

5 Eå = 13 Aâ = 21 Bä = 13 Cá = 17 Dã = 14

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2. Suponga que en el problema 10 el ingeniero sospecha que los sitios de trabajo usados por los cuatro operadores pueden representar una fuente adicional de variación. Es posible introducir un cuarto factor, el sitio de trabajo ( á, â, ã, ä ), y realizar otro experimento, de donde resulta el cuadrado grecolatino siguiente. Analizar los datos de este experimento (utilizar α = 0 .0 5 ) y sacar conclusiones. Orden de Ensamblaje 1 2 3 4

1 Câ = 11 Ba = 8 Aä = 9 Dã = 9

Operador 2 3 Bã=10 Dä = 14 Cä = 12 Aã = 10 Da = 11 Bâ = 1 Aâ = 8 Ca = 18

4 Aá = 8 Dâ = 12 Cã = 15 Bä = 6


7 EXPERIMENTOS FACTORIALES Introducción. Los Experimentos Factoriales son arreglos de tratamientos que permiten aplicar de una sola vez una serie de estímulos o tratamientos que consideramos que intervengan en la respuesta dada por una unidad experimental. Los arreglos factoriales son de importancia práctica, ya que permiten el estudio de un estímulo como tal y su respuesta combinatoria respecto de otras condiciones generadas por la interacción con otros factores, dando así información más completa, aun cuando los efectos interaccionales no sean significativos. En las ciencias agropecuarias normalmente se usan combinaciones hasta de tres factores debido principalmente a la interpretación fisiológica de las interacciones. Los arreglos de tratamientos pueden ser estudiados en el contexto de los diseños básicos, considerando las características de las unidades experimentales con las que se trabaje. Los Experimentos Factoriales no constituyen un diseño en sí, sino que debe arreglarse a cualesquiera de los diseños conocidos como: diseño completamente al azar, diseño bloques completos, cuadrados latino, etc.

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Su utilidad radica en que es posible estudiar simultáneamente más de un factor. Ejemplo estudiar varias razas de los animales y el sexo de los mismos para determinar sus incrementos de pesos; estudiar diversas variedades y su respuesta a las diferentes formas de abonamiento, etc. Además es importante porque nos permite comparar los niveles de cada factor entre sí y además las interacciones que puedan resultar como consecuencia de las combinaciones de los niveles de cada factor. Objetivos: 1. Describir los conceptos básicos de experimentos factoriales y explicar cómo se hace la experimentación factorial. 2. Desarrollar los experimentos factoriales de 2 y 3 factores y la manera en que se estabiliza la varianza. 3. Explicar el experimento general, el modelo de efectos fijos y su diferencia con el modelo de efectos aleatorios. Ventajas de los Experimentos Factoriales. 1. Permite estudiar los efectos principales, efectos simples así como de los efectos de la interacción. 2. Todas las unidades experimentales intervienen en la determinación de los efectos principales, efectos simples y de la interacción. 3. Permite ganar mayor precisión en el experimento. Desventajas de los Experimentos Factoriales. 1. Se requiere mayor número de unidades experimentales que en los experimentos simples en los cuales se estudia únicamente un solo factor; así que en un experimento factorial con 4 niveles del A, y 5 niveles del factor B, repetidos 5 veces para cada combinación de tratamientos, se requerirá 100 unidades experimentales para estudiar solamente 2 factores, mientras si se quisiera estudiar mayor número de factores el número de unidades experimentales sería aún mayor. 2. Como en los experimentos factoriales deben de combinarse todos los niveles de los factores en estudio, algunas de estas combinaciones resulta de poco interés del investigador. 3. El análisis estadístico es mas complicado en comparación con los experimentos simples.

Análisis y Diseño de Experimentos - 247 Experimento factorial. El término experimentación factorial se refiere a la evaluación simultánea de dos ó más factores en un experimento o estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas o características de calidad, lo que se busca es estudiar la relación entre los factores y la respuesta, con la finalidad de conocer mejor cómo es ésta relación y genera conocimiento que permita tomar acciones y decisiones que mejoren el desempeño del proceso. Para diseñar un experimento factorial, se utilizan los diesños básicos como: diseño completamente al azar, diseño bloque completo al azar, diseño cuadrado latino entre otros. Elección de los factores. Factor. Es una clase de tratamiento que interviene en el experimento, es así que en los Experimentos Factoriales, todo factor proporciona varios tratamientos; ejemplo de factores: Razas de animales, variedades de alfalfa, dosis de nitrógeno, profundidad de labranza, raciones alimenticias, dosis de una hormona, etc. A los Factores se les simboliza generalmente por las primeras letras mayúsculas del alfabeto (A, B, C, D, etc). Niveles de un factor. Son los diversos tratamientos que pertenecen a un determinado factor; y se acostumbra a simbolizar un nivel cualquiera por la letra que representa el factor y el valor del respectivo sub índice. Ejemplo: el factor dosis de la hormona estilbestrol simbolizado por A tiene 4 niveles en el experimento: a1 = 2cc, a2 = 3cc, a3 = 4cc, a4 = 5cc. Tipos de factores. Los factores que se estudian en los experimentos se clasifican en: Factor fijo: Los niveles o tratamientos son fijados por el experimentador de acuerdo a su interés. Son muy usuales en la experimentación. Ejemplos: - Factor Nitrógeno: 50, 70, 90 kg de N/ha. - Factor temperatura: 10, 15, 18, 20 grados centígrados. - Alimento: con ingrediente nuevo, sin ingrediente.

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- Tres variedades de trigo: V1, V2, V3, etc. Factor al azar: Los niveles o tratamientos son seleccionados al azar de la población de niveles, constituyendo una muestra los que están en el experimento. Ejemplo: - Los años en los que se cultivan ciertas variedades de papa, trigo, etc. son considerados como una muestra de años antes y años después de lo establecido. Clasificación de los factores: Factores Cualitativos.- Los niveles o tratamientos son cualidades o categorías, cuyos niveles corresponden a procedimientos o cualidades y no tienen un orden natural y cada nivel tiene un valor intrínsico. Ejemplo: métodos de enseñanza de cierta asignatura, variedades o linajes de un cultivo, épocas del año, las estaciones del año, clases de lana, razas de ganado, variedades, zonas ecológicas, tipos de hormona, tipos de alimento, sistema de riego, sistema de labranza, variedades de los cereales, etc. Factores Cuantitativos.- Son aquellos cuyos niveles corresponden a cantidades numéricas de un factor cuantitativo, que de preferencia debe ser igualmente espaciadas o de igual intervalo o no. Ejemplo: distanciamiento entre plantas de algodón a 50 cm., 60 cm., 70 cm., niveles de pH en la elaboración de cierto alimento: 2.0, 2.5, 2.8, 3.0, diferentes dosis de una hormona, diferentes dosis de una ración protéica, diferentes dosis de un abono nitrogenado, diferentes grados de temperatura, dosis de vitamina B12, tiempos, minutos, etc. Factores cruzados.- Factores en los que cada nivel de uno de los factores se combina con todos los niveles de los otros factores. Factores anidados.- Los niveles de cada factor no pueden o no interesa que se combinen con todos los niveles de los otros factores, un factor puede ser fijo o al azar. Simbolización.- Se utiliza letras mayúsculas para los factores: A, B, C, D, R y letras minúsculas con subíndices para indicar niveles: a, b, c, d, r (para indicar el número de niveles de cada factor). i, j, k, l, m (para indicar cualquier nivel del factor). ai, bj, ck, dl, rm (para indicar los niveles).

α , β , γ , δ , ε (para indicar los efectos).

Análisis y Diseño de Experimentos - 249 Ejemplos: Un experimento factorial en el cual se estudia dos factores, y cada factor con dos niveles, se simboliza como 2Ax2B ó 2x2. El número de combinaciones de tratamientos que intervienen en este factorial es el producto de las cantidades de niveles de los factores en estudio, en este experimento existirán 4 tratamientos. En un experimento factorial en el cual intervienen tres factores A, B y C, donde el factor A tiene tres niveles, el factor B tiene 2 niveles y el factor C, tiene dos niveles, se simbolizará como 3Ax2Bx2C ó 3x2x2 o también 3x22; y el número de tratamientos producto de las combinaciones será igual a 12. Tipos de notación en el experimento factorial (croquis de campo). Trat. Combinado

I

II

III

IV

V

1

a1b1c1

111

a0b0c0

000

(1)

2

a1b1c2

112

a0b0c1

001

c 2

3

a1b1c3

113

a0b0c2

002

c

4

a1b2c1

121

a0b1c0

010

b

5

a1b2c2

122

a0b1c1

011

bc

6

a1b2c3

123

a0b1c2

012

bc

7

a2b1c1

211

a1b0c0

100

a

8

a2b1c2

212

a1b0c1

101

ac

9

a2b1c3

213

a1b0c2

102

ac

2

2

10

a2b2c1

221

a1b1c0

110

ab

11

a2b2c2

222

a1b1c1

111

abc

12

a2b2c3

223

a1b1c2

112

abc

2

El cálculo de número de interacciones de cierta cantidad «m» de factores, se hace mediante la operación combinaciones de «f» en «m», tal como se presenta en seguida:

FG f IJ = f ! que cuenta el número de maneras diferentes de seleccionar «m» H mK m!( f − m )!

factores de los f.

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En resumen, con el factorial general, se pueden estudiar los siguientes 2 f − 1efectos:

FG f IJ = f efectos principales (A, B,...,K) H 1K FG f IJ = f ( f − 1 ) interacciones dobles (AB, AC,...(K-1)K) 2 H 2K

FG f IJ = f H f −1K FG f IJ = 1 HfK

M interacciones de f-1 factores (AB...K-1, AB...(K-2)K,....) interacciones de todos los factores (ABC....K)

Ejemplo: 2 2 × 31 = 12 tratamientos o combinaciones. Entonces existen 3 factores en estudio,

se desea saber cuántas interacciones de primer orden existen?.

FG 3IJ = 3! = 3 interacciones de primer orden ó interacciones dobles. H 2K 2 !( 3 − 2 )!

Cuando se tiene 4 factores en estudio, cuántas interacciones de segundo orden existen en el experimento?.

FG 4IJ = 4! = 4 interacciones de segundo orden o a veces lo llaman interacciones H 3K 3!( 4 − 3)!

triples. Observación: a) Cuando todo los factores son cuantitativos, entonces se debe estudiar por el método de superficie de respuesta. b) Cuando existen factores cualitativos y factores cuantitativos, entonces se puede estudiar con efectos simples. d) Se recomienda no estudiar más de tres factores, ya que se complicará la interpretación de la interacción significativa. e) Cuando se complica los factores, entonces se realiza mediante repetición fraccionada (experimentos factoriales grandes).

Análisis y Diseño de Experimentos - 251 7.1. EXPERIMENTO FACTORIAL DE LA SERIE 2n Considere los factores A y B con «a» y «b» (a,b ≥ 2) niveles de prueba, respectivamente. Con ellos se puede construir el arreglo o diseño factorial axb, que consiste axb tratamientos o combinaciones. Algunos casos particualres de uso frecuente son: el experimento factorial 22, el factorial 32 y el factorial 3x2. Los experimentos factoriales que involucran menos de cuatro factores se corren replicados para poder tener la potencia necesaria en las pruebas estadísticas sobre los efectos de interés, de tal forma que si se hacen «n» réplicas, el número total de corridas experimentales es n(axb). Ejemplo: 22= 4 tratamientos o combinaciones. a0

A B

b0

a1 b1

b0

a1 b1

b1

Efecto simple de A en b0: a1b0 - a0b0 Efecto simple de A en b1: a1b1 - a0b1 Efecto simple de B en a0: b1a0 - b0a0 Efecto simple de B en a1: b1a1 - b0a1

a2 b2

b1

b2

Efecto simple de A en b1: a2b1 - a1b1 Efecto simple de A en b2: a2b2 - a1b2 Efecto simple de B en a1: b2a1 - b1a1 Efecto simple de B en a2: b2a2 - b1a2

Ordenando el efecto simple de B en a0, se tiene a0b1 - a0b0 efecto atribuible a b cuando se mantiene a0 fijo. Ordenando el efecto simple de B en a1, se tiene a1b1 - a1b0 efecto atribuible a b cuando se mantiene a1 fijo. Efecto principal A: La variabilidad que existe entre los niveles del factor A, pero en promedio del factor B. Efecto principal A =

( a1b1 − a0b1 ) + ( a1b0 − a0b0 ) ( a1b1 + a1b0 ) − ( a0b1 = 2 2

Efecto principal B =

( a1b1 − a1b0 ) + ( a0b1 − a0b0 ) ( a1b1 + a0b1 ) − ( a1b0 = 2 2

Efecto interacción AB =

( a1b1 − a0b1 ) − ( a1b0 − a0b0 ) 2

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Efecto interacción BA =

( a1b1 − a1b0 ) − ( a0b1 − a0b0 ) 2

7.1.1. Experimento factorial bajo el diseño completo al azar (DCA). El modelo lineal aditivo es el siguiente:

Yijk = µ + α i + β j + ( αβ )ij + ε ijk

R|i = 1,2,L , p ( Niveles de factor A S| j = 1,2,L ,q ( Niveles de factor B T k = 1,2,L ,r ( repeticiones )

donde: Yijk = Es la variable respuesta de la k-ésima observación bajo el j-ésimo nivel de factor B, sujeto al i-ésimo nivel de tratamiento A. µ = Constante, media de la población a la cual pertenecen las observaciones. τ i = Efecto del del i-ésimo nivel del factor A. β j = Efecto del j-ésimo nivel del factor B. (α β)ij = Efecto de la interacción del i-ésimo nivel del factor A, en el j-ésimo nivel del factor B.

ε ijk = Efecto del error experimental, que está distribuído como ε ijk ~ D N I ( 0 , σ e2 )

ANÁLISIS DE VARIANZA(ANOVA)

Fuentes de Variación

G. L.

S.C. Yij2. Y...2 − ∑ ∑ abr i=1 j=1 r a

b

t

Yi 2..

Tratamientos

t-1

Factor A

a- 1

∑br − abr

b- 1

∑ar − abr

i =1 b

Factor B

F Y − Y I − bSC + SC g GH ∑∑ r abr JK 144 42444 3 b

2 ij .

2 ...

A

i =1 j =1

SCcomb( AxB )

Error Experimental

ab(r -1)

Por diferencia a

Total

abr - 1

b

r

∑∑∑Yijk2 − i=1 j=1 k=1

Y...2 abr

B

Fc CMtratam. CMerror

SC( A ) a −1

CMerror

SC( B)

CM( B)

b−1

CMerror

SC( AB )

CM( AB)

gl( AB )

CMerror

SCerror ( ab −1)( r −1)

CM( A)


(a - 1)(b - 1)

Y.j2. Y...2

j=1

a

Interacción AxB

C.M.

Y...2

SCtratam. t −1

- 254 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno EJEMPLO:

En una empresa alimenticia se desean evaluar cuatro antioxidantes, a través de su efecto en un aceite vegetal. El propósito es seleccionar el producto que retrase más la oxidación. Las pruebas se hacen a condiciones de estrés, midiendo como variable de respuesta al índice de peróxidos. Diferentes unidades experimentales se evaluan a diferentes tiempos. El tiempo está dado en horas. Los datos obtenidos se presentan a continuación (en el control no se agrega ningún antioxidante). a) Calcular el ANVA respectivo y realice efectos simples para la interacción. b) Graficar la interacción de los dos factores e interprete los resultados. A: Producto B: Tiempo 1 2 Yij. Yi.. Y.j.

Control = 1 4 8 12 3.84 27.63 39.95 3.72 27.58 39.00 7.56 55.21 78.95 Y1.. = 141.72 Y.1. = 37.01

4 4.00 3.91 7.91 Y2.. =

A=2 8 12 22.00 46.20 21.83 45.60 43.83 91.80 143.54 Y.2. =

4 3.61 3.61 7.22 Y3.. = 224.14

B=3 8 21.94 21.85 43.79 137.57

12 4 43.58 3.57 42.98 3.50 86.56 7.07 Y4.. =

SOLUCIÓN: 1. Hipótesis: Respecto al factor A.

H0 : α i = 0,

C=4 8 20.50 20.32 40.82 137.92

12 4 45.14 3.64 44.89 3.61 90.03 7.25 Y5.. = Y.3. = 435.72

D=5 8 20.30 20.19 40.49 136.12

12 44.36 44.02 88.38 696.87 = Y... 696.87 = Y... 696.87 = Y...

Respecto al factor B.

i = 1,2,..... a

Ha : α i ≠ 0, para cualquier i

H0 : β j = 0 ,

j = 1,2 ,.....b

Ha : β j ≠ 0, para cualquier j

Respecto a la interacción A x B

b g H : bαβ g Ho : αβ a

ij

= 0,

ij

≠0

i = 1,2 ,..... a ; j = 1,2,3,..., b

2. Nivel de Significación:

α = 0.05

3. Prueba de Contraste: F ( A ) =

CM A CM B CM A × B , F( B ) = , F( A × B ) = CM Error CM Error CM Error

4. Región de aceptación y rechazo:

RA Ho: Sí F ( A ) ≤ Faba −( 1r −1 ),α , entonces se acepta la Ho:

RR Ho: Sí F ( A ) > Faba −( 1r −1 ),α , entonces se acepta la Ha:


RA Ho: Sí F ( B ) ≤ Fabb −( 1r −1 ),α , entonces se acepta la Ho:

RR Ho: Sí F ( B ) > Fabb −( 1r −1 ),α , entonces se acepta la Ha: RA Ho: Sí F ( A × B ) ≤ Fab( a( −r 1−)(1 ),bα−1 ) , entonces se acepta la Ho: RR Ho: Sí F ( A × B ) > Fab( a( −r 1−)(1 ),bα−1 ) , entonces se acepta la Ha: 5. Procedimiento de Cálculo de ANOVA a) Grados de libertad (GL) GL A = a − 1 = 5 − 1 = 4 , GLA × B

GLB = b − 1 = 3 − 1 = 2

= ( a − 1 )( b − 1 ) = 4 × 2 = 8 , GLError = ab( r − 1 ) = 5 × 3 × ( 2 − 1 ) = 15

GLTotal = abr − 1 = 5 × 3 × 2 − 1 = 29

b) Suma de Cuadrados (SC ó SS) 2 Y••• (696.87) 2 = = 16187.59323 abr 5× 3× 2

TC =

Y2

5

i i) SCA = ∑ br•• − TC= i=1

3

Y2

(141.72)2 + (14354 . )2 +L+(13612 . )2 − TC = 6469386 . 3× 2

• j• ii) SC B = ∑ ar − TC = j=1

F

I JK 144 42444 3 Yij2•

iii) SCA×B = GH∑∑ r 5

3

(37.01) 2 + (224.14) 2 + ( 435.72 )2 − TC = 7958.4465 5× 2

− TC − SCA − SCB =

i=1 j=1

LM(7.56) +(55.21) +L+(88.38) −TCOP − SC − SC 2 N Q 2

2

2

A

B

SCTratamientos

= 8080.55102 - SCA-SCB = 115.635054 iv)

5

3

2

SC Total = ∑ ∑ ∑ Yijk2 − TC = ( 384 . )2 + ( 3.72 )2 + L + ( 44.36 )2 + ( 44.02 )2 − TC = 24269.1007 − TC = i =1 j =1 k =1

v)

− 6.469388 − 7958.44658 − 115.635054 SC Error = SC Total − SC A − SC B - SCA × B = 808150747 .

SC ErrorExptal = SC TOTAL − SCTratamientos = 808150747 . − 8080.55102 = 0.95645

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RESUMEN EN LA TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA F. de V. Antioxidantes (A) Tiempo (B) AxB Error Experimental Total CV =

G.L. S.C. C.M. Fc. 4 6.4693860 1.6173465 25.36 2 7958.4465800 3979.2232900 62406.14 8 115.6350540 14.4543818 226.69 15 0.9564500 0.0637633 29 8081.5074700

Signif. ** ** **

4 2 8 F15,0.01 = 4.89; F15,0.01 = 6.36; F15,0.01 = 4.0

CM error 0.063763 x100 = × 100 = 1.09% Y••• 696.87 30

INTERPRETACIÓN: De acuerdo al análisis de varianza (ANVA), encontramos que existe diferencia estadística altamente significativa (P ≤ 0.01) para los efectos principales y efectos de interacción; los efectos principales pierden el interés y las conclusiones se deben obtener del efecto de la interacción antioxidante por tiempo, para esto se debe realizar el análisis de varianza de efectos simples para nuestras conclusiones. MÉTODO TABULAR PARA LA INTERACCIÓN (A= Antioxidantes x B = Tiempo) Antioxidantes a1 Tiempo (Hrs)

b1 b2 b3

Yi..

a2

a4

a5

Y.j.

7.07 40.82 90.03

7.25 40.49 88.38

37.01 224.14 435.72

a3

7.56 7.91 7.22 55.21 43.83 43.79 78.95 91.8 86.56

141.72 143.54 137.57 137.92 136.12

696.87 = Y...

MÉTODO GRÁFICO (Se debe obtener los promedios del método tabular)

a1 Tiempo (Hrs)

b1 b2 b3 Promedio

3.78 27.605 39.475 23.62

Antioxidantes a2 a3 3.955 21.915 45.9 23.923

3.61 21.895 43.28 22.928

a4

a5

3.535 3.625 20.41 20.245 45.015 44.19 22.987 22.6867

Promedio

18.505 112.07 217.86 23.229

51 48 45 42 39 36 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0

Promedios

Promedios (Hrs)


a1

a2

a3

a4

51 48 45 42 39 36 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0

a5

b1

Niveles de Antioxidante

b2

b3

Tiempo en horas A dentro de b1

A dentro de b2

A dentro de b3

B dentro de a1

B dentro de a2

B dentro de a4

B dentro de a5

B dentro de a3

Análisis de varianza de efectos simples para la interacción Antioxidantes con el tiempo. a) Suma de cuadrados de efectos simples: A en bj: 5 . 2 + 791 . 2 + 722 . 2 + 707 . 2 + 725 . 2 ( 3701 . )2 Y2 Y2 756 . SC( A dentro b1 ) = ∑ i1• − •1• = − = 022474 ar 2 5× 2 i =1 r 5 Y2 . 2 + 4383 . 2 + 4379 . 2 + 4082 . 2 + 4049 . 2 ( 22414 . )2 Y2 5521 i2 − = 7237084 SC( A dentro b2 ) = ∑ • − •2• = . ar 2 5× 2 i=1 r 5 Y2 . 2 + 918 . 2 + 8656 . 2 + 9003 . 2 + 8838 . 2 ( 43572 . )2 Y2 7895 i3 − = 4950886 SC( A dentro b3 ) = ∑ • − •3• = . ar 2 5× 2 i =1 r

b) Suma de Cuadrados de B en ai: b=3 Y2 Y2 7.562 +5521 . 2 + 7895 . 2 (141.72)2 i1 SC(B en a1) = ∑ • − 1•• = − = 13217737 . br 2 3× 2 j=1 r b=3 Y2 Y2 7.912 + 4383 . 2 + 918 . 2 (143.54)2 i2 − = 1771483233 SC(B en a2 ) = ∑ • − 2•• = . br 2 3× 2 j=1 r b=3

Yi32•

j=1

r

SC(B en a3 ) = ∑

−

Y32•• 7.222 + 4379 . 2 +8656 . 2 (137.57)2 = − = 1576912233 . br 2 3× 2

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b=3 2 Y Y2 7.072 + 4082 . 2 + 9003 . 2 (137.92)2 − =1740508033 SC(B en a4 ) = ∑ i4• − 4•• = . br 2 3×2 j=1 r b=3 2 Y Y2 7.252 +4049 . 2 +8838 . 2 (136.12)2 − = 1663404433 SC(B en a5) = ∑ i5• − 5•• = . br 2 3×2 j=1 r

ANOVA DE EFECTOS SIMPLES PARA LA INTERACCIÓN AxB F. de V. Efecto simple de Antioxidante (A) dentro de 4 Hrs. Efecto simple de Antioxidante (A) dentro de 8 Hrs. Efecto simple de Antioxidante (A) dentro de 12 Hrs. Efecto simple de Tiempo (B) dentro de Control Efecto simple de Tiempo (B) dentro de A Efecto simple de Tiempo (B) dentro de B Efecto simple de Tiempo (B) dentro de C Efecto simple de Tiempo (B) dentro de D Error Experimental 4 F15,0.01 = 4.89;

G.L. 4 4 4 2 2 2 2 2 15

S.C. 0.224740 72.370840 49.508860 1321.773700 1771.483233 1576.912233 1740.508033 1663.404433 0.956450

C.M. 0.05619 18.09271 12.37722 660.88685 885.74162 788.45612 870.25402 831.70222 0.0637633

Fc. Signif. 0.88 ns. 283.75 ** 194.11 ** 10364.68 ** 13891.08 ** 12365.35 ** 13648.19 ** 13043.58 **

2 F15,0.01 = 6.36

Interpretación: A dentro de 4 hrs.: No se encontró diferencia estadística significativa entre los niveles de a1, a2, a3, a4, a5 bajo los niveles de b1, es decir no hay diferencia significativa entre los niveles de antioxidantes con el tiempo, es decir son independientes entre los niveles. A dentro 8 hrs: Existe diferencia significativa entre los niveles de a1, a2, a3, a4, a5 bajo los niveles de b2, es decir hay diferencia significativa entre los antioxidantes con el tiempo. A dentro 12 hrs: Existe diferencia significativa entre los niveles de a1, a2, a3, a4, a5 bajo los niveles de b3, es decir hay diferencia significativa entre los antioxidantes con el tiempo. B dentro ai: Existe diferencia significativa entre los niveles de b1, b2 y b3 bajo los niveles de ai, es decir hay diferencia significativa entre los tiempos con el antioxidante (para todo los niveles).

Análisis y Diseño de Experimentos - 259 Prueba Múltiple de comparación de DUNCAN para los efectos simples. 1. Hipótesis: H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 = µ 5 Vs. H a : µ i ≠ 0 2. Nivel de significación: α = 0.05 3. Buscar en la Tabla de Duncan los valores de AES(D) con Grados de Libertad del Error (GLerror = 15). p: AES(D)

SY =

2 3.01

0.063763 2

=

3 3.16

4 3.25

5 3.31

0.56

0.58

0.59

0.17855

ALS(D)

0.54

3. DUNCAN para A dentro de bi: A dentro b1:Yi1• Antioxidantes A Control D B C

A dentro b2 :Yi2•

Yi1• Duncan(P≤0.05) 3.96 3.78 3.63 3.61 3.54

Antioxidantes

a a a a a

Control A B C D

A dentro b3 :Yi3• Duncan(P≤0.05)

Yi2• 27.61 21.92 21.90 20.41 20.25

Antioxidantes

a

A C D B Control

b b c c

Yi3•

Duncan(P≤0.0

45.90 45.02 44.19 43.28 39.48

a b c d

4. DUNCAN para B dentro de ai: B dentro a1:Y1 j• Tiempo Y1 j• 12 8 4

39.5 27.6 3.78

B dentro a2 :Y2 j•

Duncan(P≤0.05) a b c

Y2 j• 45.90 21.92 3.96

B dentro a3:Y3 j•


Y3 j• 43.28 21.90 3.61

B dentro a4 :Y4 j•


Y4 j• 45.02 20.41 3.54

B dentro a5:Y5 j•


Y5 j• 44.19 20.25 3.63


Nota: El efecto principal del factor tiempo es de tipo cuantitativo por que se debe realizar a través de superficie de respuesta para encontrar el óptimo. En nuestro caso se ilustra solamente para efectos didácticos del ejemplo, más adelante se desarrollará en forma detallada cuando se tienen factores cuantitativos.

- 260 -


PROGRAMA EN SAS. DATA AGROI; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT ANTIOX $ TIEMPO REP INDICE; DATALINES; /* Ingresar los datos */ ; PROC PRINT; RUN; PROC GLM; CLASS ANTIOX TIEMPO; MODEL INDICE = ANTIOX TIEMPO ANTIOX*TIEMPO; LSMEANS ANTIOX*TIEMPO/SLICE=ANTIOX; LSMEANS ANTIOX*TIEMPO/SLICE=TIEMPO; RUN; SALIDA DE RESULTADOS CON SAS Class Level Information Class Levels Values ANTIOX 5 A B C D TES TIEMPO 3 4 8 12 Number of observations 30 Dependent Variable: INDICE Source DF Squares Mean Square Model 14 8080.551020 577.182216 ANTIOX 4 6.469387 1.617347 TIEMPO 2 7958.446580 3979.223290 ANTIOX*TIEMPO 8 115.635053 14.454382 Error 15 0.956450 0.063763 Corrected Total 29 8081.507470 R-Square Coeff Var Root MSE INDICE Mean 0.999882 1.087064 0.252514 23.22900

Least Squares Means ANTIOX A B C D TES

ANTIOX*TIEMPO Effect Sliced by ANTIOX for Sum of DF Squares Mean Square 2 1771.483233 885.741617 2 1576.912233 788.456117 2 1740.508033 870.254017 2 1663.404433 831.702217 2 1321.773700 660.886850

F Value 9051.95 25.36 62406.1 226.69

Pr > F <.0001 <.0001 <.0001 <.0001

INDICE F Value 13891.1 12365.4 13648.2 13043.6 10364.7

Pr > F <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001

Least Squares Means ANTIOX*TIEMPO Effect Sliced by TIEMPO for INDICE Sum of TIEMPO DF Squares Mean Square F Value 4 4 0.224740 0.056185 0.88 8 4 72.370840 18.092710 283.75 12 4 49.508860 12.377215 194.11

Pr > F 0.4985 <.0001 <.0001

EJEMPLO:

Análisis y Diseño de Experimentos - 261 En un estudio sobre el rendimiento de un proceso químico, se cree que los factores más importantes son la presión y la temperatura. Se seleccionaron tres niveles de cada factor y se realiza un experimento factorial con dos réplicas. La información se presenta en seguida. a) Calcular el ANVA respectivo y ajuste la función de respuesta para el factor cuantitativo. A: Temperatura B: Presión 1 2 Yij. Yi.. Y.j.

200 90.40 90.20 180.60 Y1.. = Y.1. =

BAJA 215 90.70 90.60 181.30 542.50 542.20

230 90.20 90.40 180.60

INTERMEDIA 200 215 230 90.10 90.50 89.90 90.30 90.60 90.10 180.40 181.10 180.00 Y2.. = 541.50 Y.2. = 544.10


ALTA 200 215 90.50 90.80 90.70 90.90 181.20 181.70 Y3.. = 543.40 Y.3. = 541.10

230 90.40 90.10 180.50 1627.40 = Y... 1627.40 = Y... 1627.40 = Y...


H0 : α i = 0, i = 1,2,..... a Ha : α i ≠ 0, para cualquier i

H0 : β j = 0 ,

j = 1,2 ,.....b


Respecto a la interacción A x B

b g H : bαβ g Ho : αβ a

ij

= 0,

ij

≠0

i = 1,2 ,..... a ; j = 1,2,3,..., b


α = 0.05

3. Prueba de Contraste: F ( A ) =

CM A CM B CM A× B , F( B ) = , F( A × B ) = CM Error CM Error CM Error

4. Región de aceptación y rechazo:

RA Ho: Sí F ( A ) ≤ Faba −( 1r −1 ),α , entonces se acepta la Ho: RR Ho: Sí F ( A ) > Faba −( 1r −1 ),α , entonces se acepta la Ha: RA Ho: Sí F ( B ) ≤ Fabb−( 1r −1 ),α , entonces se acepta la Ho:

RR Ho: Sí F ( B ) > Fabb−( 1r −1 ),α , entonces se acepta la Ha:

- 262 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno RA Ho: Sí F ( A × B ) ≤ Fab( a( −r1−1)(),bα−1 ) , entonces se acepta la Ho:

RR Ho: Sí F ( A × B ) > Fab( a( −r 1−)(1 ),bα−1 ) , entonces se acepta la Ha: 5. Procedimiento de Cálculo de ANOVA a) Grados de libertad (GL) GL A = a − 1 = 3 − 1 = 2 ,

GLB = b − 1 = 3 − 1 = 2

GL A× B = ( a − 1 )( b − 1 ) = 2 × 2 = 4 , GLError = ab( r − 1 ) = 3 × 3 × ( 2 − 1 ) = 9

GLTotal = abr − 1 = 3 × 3 × 2 − 1 = 17

b) Suma de Cuadrados (SC ó SS)

TC =

2 Y••• (1627.4) 2 = = 147135.0422 abr 3× 3× 2

Yi2•• (542.5) 2 + ( 5415 . )2 + ( 543.4 )2 − TC = − TC = 0.30111 br 3× 2

3

SCA = ∑ i =1 3

Y•2j•

j=1

ar

SC B = ∑ SCA×B =

− TC =

. )2 (542.2) 2 + (544.1) 2 + ( 5411 − TC = 0.76778 3× 2

F Y −TCI − SC − SC = L(180.6) +(181.3) +L+(180.5) − TCO − SC − SC MN PQ GH∑∑ r JK 2 144 42444 3 3

2 ij•

3

2

A

2

2

B

A

B

i =1 j=1

SCTratamientos

= 1.13778 - 0.30111 - 0.76778 = 0.06889 3

3

2

2 − TC = ( 90.4 )2 + ( 90.2 )2 + L + ( 90.1 )2 − TC = 147136.34 − TC = 129778 SC Total = ∑ ∑ ∑ Yijk . i =1 j=1 k =1

SCError = SCTotal − SCA − SCB -SCA × B = 129778 . − 0.30111 − 0.76778 − 0.06889 = 0.

RESUMEN EN LA TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA F. de V. Temperatura (A) Presión (B) AxB Error Experimental Total

G.L. 2 2 4 9 17

S.C. 0.3011100 0.7677800 0.0688900 0.1600000 1.2977800

C.M. Fc. Signif. 0.1505550 8.47 ** 0.3838900 21.59 ** 0.0172225 0.97 ns. 0.0177778

Análisis y Diseño de Experimentos - 263 CV =

CM Error 0.017778 x100 = × 100 = 0.15% Y••• 1627.4 18

2 4 F9,0.01 = 8.02; F9,0.01 = 6.42

Interpretación: El análisis de varianza (ANVA), nos presente que existe diferencia estadística altamente significativa (P ≤ 0.01) para los factores temperatura y presión; sin embargo la interacción no presentó diferencia alguna, esto implica que los dos factores son independientes. Para el factor cualitativo de temperatura se realiza la prueba de Tukey y para el factor cuantitativo de presión se ajusta la función de respuesta. Prueba Múltiple de comparación de TUKEY 1. Hipótesis: H0 : µ B = µ I = µ A Vs. Ha : µ i ≠ µ j 2. Nivel de significación: α = 0.05 3. Buscar en la Tabla de Tukey (Usa la tabla SNK), los valores de Amplitudes Estudentizadas Significativas de Tukey AES(T) con Grados de Libertad del Error (GLerror = 9), p = 3 tratamientos, AES(T) = 3.95 SY =

0.017778 CM Error = = 0.054433 , ALS ( T ) = S Y × AES ( T ) , 6 r = 0 .054433 × 3.95 = 0 .215

3. Ordenar los promedios de mayor a menor. Temperaturas Alta (A) Baja (B) Intermedia (I)

Promedios 90.57 90.42 90.25

Tukey (P ≤ 0.05)

a ab b

4. Regla de decisión: Sí Yi • − Yj • ≤ ALS ( T ) , entonces se acepta la Ho: Sí Yi • − Yj • > ALS ( T ) , entonces se acepta la Ha: 5. Realizar las comparaciones: 90.57 - 90.42 = 0.15 ≤ 0.215, entonces no es significativo µ A = µ B 90.57 - 90.25 = 0.32 > 0.215, entonces es significativo

µA ≠ µI


µB = µI

- 264 -


Para el factor cuantitativo: PRESIÓN, se desarrolla el ajuste de la función de respuesta. Presión (j) Temperatura Baja Intermedia Alta

Y• j•

Lineal

200 90.30 90.20 90.60

215 90.65 90.55 90.85

230 90.30 90.00 90.25

90.37

90.68

90.18

-1 1

0 -2

1 1

Lineal (P1j) Cuadrática (P2j)

Cuadrática

∑P Y ∑P2jYij• 1j ij•

0.00 -0.20 -0.35

-0.70 -0.90 -0.85

-0.19

-0.81

CÁLCULO DE LAS SUMAS DE CUADRADOS:

SCLineal =

e

ra ∑j =1 P1 jY• j• 3

j

2

=

3

∑P

2 1j

2 × 3[(-1)(90.37) +0(90.68) +1(90.18)]2 2 × 3[-0.19]2 = = 01083 . ( −1)2 + 02 + 12 2

j =1

SCCuadrática =

e

ra ∑j=1 P2 jY• j• 3

j = 2 × 3[1(90.37) +(-2)(90.68) +1(90.18)] = 2 × 3[-81] = 06561 . 2

2

1 + ( −2 ) + 1

3

2

∑P

2 2j

2

2

2

6

j =1

r∑i=1 3

SCPresión Lineal × T0 =

e∑

j − SC 2

3

PY

j =1 1 j ij•

Lineal

3

∑P

=

2 1j

. )2 + ( −035 . )2 2( 02 + ( −02 − 01083 = 00542 . . 2

j =1

SCPresiónx Cuadrática ×T =

e

r∑i=1 ∑j=1 P2 jYij• 3

0

3

3

∑P22j j=1

j −SC 2

Cuadrático

=

. )2 +( −09 . )2 +( −085 . )2 2 ( −07 6

−06561 = 00180667 . .

Análisis y Diseño de Experimentos - 265 Resumen en la Tabla ANOVA Fuentes de Variación Presión (P) Presión Lineal Presión Cuadrática Temperatura (T°) Presión x Temperatura Presión Lineal x T° Presión Cuadrática x T° Error Experimental Total

GL 2 1 1 2 4 2 2 9 17

S.C. 0.7677800 0.1083000 0.6561000 0.3011100 0.0688900 0.0542000 0.0180667 0.1600000 1.2977800

C.M. Fc. 0.383890000 21.59 0.108300000 6.09 0.656100000 36.91 0.150555000 8.47 0.017222500 0.97 0.027100000 1.52 0.009033350 0.51 0.017777778

Signif. ** * ** ** ns. ns. ns.

Existe desviaciones cuadráticas significativas para el factor presión (Presión cuadrática), que esto debe ser ajustado a la forma cuadrática. MÉTODO 1: Ajuste de la función de respuesta: Rendimiento Y 542.2 544.1 541.1

∑

3

Niveles de P. X 200 215 230

c1 -1 0 1

Y = 1627.4 ∑i=1 Xi = 645 3

i=1 i

Y = 542.47

k1 =13

∑C = 1

0

c1Y -542.2 0 541.1

c2 1 -2 1

P1= -1.1

∑C = 2

c2Y 542.2 -1088.2 541.1 0

P2 = -4.9

X = 215

k4 =12

k2 =12

b

g

Lineal: Y$ L = Y + K2 P1 X'

b g

1 Y$L = Y + K2 P1 X' = 542.47 + ( −11 . ) X' = 542.47 − 055 . X' 2

c

h b

g b

g

Cuadrática : Y$ Q = Y − K1P2 + K 2 P1 X '+ K 4 P2 X '2

LM N

OP LM Q N

OP LM Q N

OP Q

1 1 1 . ) X ' + ( −4.9 ) X ' 2 = 544.103 − 0.55 X ' −2 .45 X ' = 542.47 − ( −4 .9 ) + ( −11 3 2 2

- 266 -


Dividiendo entre 6 datos, se tiene: Y$Q = 9 0 .6 8 3 8 − 0 .0 9 1 6 7 X ' − 0 .4 0 8 3 X ' 2

En el presente ejemplo, el número de niveles es 3 (impar), luego se sustituye P − 215 X − x por X’. El valor de L =15 y x =215 , por lo que X ' = 15 L

Sustituyendo este resultado en la ecuación se tiene:

FG H

IJ K

FG H

P − 215 P − 215 − 0.4083 Y$Q = 90.6838 − 0.09167 15 15

b

g

IJ K

2

c

0.4083 2 0.09167 Y$Q = 90.6838 − P − 215 − P − 2 × 215 P + 2152 225 15

h

Y$Q = 90 .6838 − 0 .00611 P + 1.3139 − 0 .000181 P 2 + 0 .7803 P − 83.883

Y$Q = 8.1147 + 0.77419 P − 0.00181P 2 Optimización física del factor Presión.

e j = 0 ⇒ d c81147 + 0.77419 P − 0.00181P h = 0 .

d Y$Q dP

2

dP

e j = 0.77419 − 2 × 0.00181P = 0

d Y$Q dP

P=

0.77419 = 213.86 2 × 0.00181

Reemplazando al modelo estimado P = 213.86, se obtiene:

+ 0.77419( 21386 Y$Q = 81147 . . ) − 0.00181( 21386 . )2 = 90.90 Gráficamente, se puede observar como sigue:


Y$Q = 8.1147 + 0.77419 P − 0.00181

100 95 90

Rendimiento

85 80 75 70 65 60 55 50 50 65

80 95 110 125 140 155 170 185 200 215 230 245 260 275 2

P = 21386 . Niveles de Presión

MÉTODO 2: Ajuste de la función de respueta. Mediante los polinomios ortogonales: Las ecuaciones del modelo polinomial ortogonal completo es:

Yij = µ + α 1 P1i + α 2 P2i + α 3 P3i + α 4 P4i + ε ij donde:

µ : Es la gran media. Pci : Polinomio ortogonal de c-ésimo orden, para el i-ésimo nivel del

factor de tratamiento. La transformación de las potencias de «x» en polinomios ortogonales. Media:

P0 = 1

Lineal:

P1 = λ 1

FG X − X IJ H d K

- 268 -


Cuadrática:

LF X − X I − F t − 1I OP P = λ MG MNH d JK GH 12 JK PQ

Cúbica:

P3 = λ 3

2

2

2

2

LMF X − X I − F X − X I F 3t − 7 I OP MNGH d JK GH d JK GH 20 JK PQ 3

2

t : Número de niveles del factor.

X : Promedio de los niveles del factor. X : Valor del factor d . distancia entre los niveles del factor.

X: (X - 215): (X - 215)/15:

200 -15 -1

Yi••

Presión (X) 200 215 230

90.37 90.68 90.18

λc

215 0 0

Coeficientes de los polinomios ortogonales (Pci) Media Lineal Cuadrática 1 -1 1 1 0 -2 1 1 1 --

∑ PY = 3

-0.81

P=

3

2

6

j ∑P

--

0.1083

0.6561

∑P

90.41

-0.095

-0.135

3 2 i=1 ci

SCPc =r ∑i=1PY ci i••

α$ c =∑i=1 PY ci i•• 3

λ2 =3

-0.19

∑

e

λ1 =1

271.23

i=1 ci i••

3

230 15 1

2

3 2 i=1 ci

3

2 i=1 ci

Cálculo de la curva de respuesta:

Y$i = Y••• + α$ 1 P1i + α$ 2 P2i = 90.41 − 0.095 P1i − 0135 . P2i


LMFG X − 215IJ − F 3 − 1I OP MNH 15 K GH 12 JK PQ LF X − 215IJ − 2 OP 0.095 = 90.41 − ( X − 215 ) − 0.405MG 15 NMH 15 K 3 QP FG H

IJ K

X − 215 − 0135 Y$i = 90.41 − 0.095 × 1 . ×3 15

2

2

2

Y$i = 8.83667 + 0.768 X − 0.0018 X 2

d ( Y$i ) = 0 ⇒ 0.768 − 2 × 0.0018 X = 0 , 0.0036X = 0.768, entonces X = 213 dX Se llega al mismo resultado, realizado con el método 1.

7.1.2. EXPERIMENTO FACTORIAL BAJO EL DISEÑO BLOQUE COMPLETO AL AZAR.

EL Modelo estadístico Lineal aditivo en el DBCA es el siguiente:

Yijk = µ + ρ k + α i + β j + (αβ ) ij + ε ijk ;

i = 1,2,L , p ( Niveles de f j = 1,2,L , q ( Niveles de f k = 1,2,L , r ( Bloques)

Donde: Yijk = Es la variable respuesta del k-ésimo bloque bajo el j-ésimo nivel de factor B, sujeto al i-ésimo nivel de tratamiento A. µ = Constante, media de la población a la cual pertenecen las observaciones.

ρ k = Efecto del k-ésimo bloque.

α i = Efecto del del i-ésimo nivel del factor A.

β j = Efecto del j-ésimo nivel del factor B. (α β ) ij = Efecto de la interacción del i-ésimo nivel del factor A, en el j-ésimo

ε ijk

nivel del factor B. = Efecto del error experimental, que está distribuído como ε ijk ~ D N I ( 0 , σ e2 )

- 270 -


Análisis de varianza generalizado del factorial de dos factores en un DBCA:Fórmulas. F. de Variación G.L.

S.C.

C.M.

Y..2k Y...2 − ∑ abr i =1 ab t

Bloques

r-1

Tratamientos

a

b

Yij2.

i =1

j =1

r

∑∑

t-1

∑

a-1

i=1

Y . 2j .

b

B

∑

b-1

F Y GH ∑ ∑ r a

AB

(a-1)(b-1)

b

2 ij •

b lo q .

CM

erro r

S C tr a ta m . t −1

CM tratam . CM error

SC

I JK

por diferencia

Total

∑ ∑ ∑Y

b

r

2 ijk

i =1 j =1 k =1

( A )

( B )

b − 1

− TC − SC A − SCB

i = 1 j =1

a

CM

r − 1

a − 1

Error Exptal. (ab-1)(r-1)

(abr - 1)

S C b lo q u e s

S C

Y ...2 abr

−

ar

j=1

Y ...2 abr

Y i ..2 Y 2 − ... br abr

t

A

−

−

C M error

C M error

SCerror (ab−1)(r −1)

para cualquier k i = 1,2 , ..... a para cualquier i

Respecto al factor B. H o : β

j

= 0,

j = 1, 2 , ..... b

H a: β

j

≠ 0,

p ara cu alq u ier j

Ha: ( αβ )ij ≠ 0

CM (B)

C M ( AB )

Y...2 abr

Respecto a la interacción AxB: Ho: ( αβ )ij = 0

(A) erro r

g l( AB )

k = 1,2 ,..... r

Respecto al factor A. H o: α i = 0 , H a: α i ≠ 0,

CM CM

S C ( AB )

HIPOTESIS: Respecto al bloque: Ho: B k = 0 , Ha : B k ≠ 0 ,

Fc.

CME(I)

σ 2e + abkρ2

σ 2e +brkα2 σ 2e + arkβ2 2 σ 2e + rkαβ

σ 2e

Análisis y Diseño de Experimentos - 271 EJEMPLO: En un experimento llevado a cabo en un diseño de bloques al azar, se estudiaron cuatro variedades de maíz y tres dosis de nitrógeno (kg de N/ha). Los rendimientos de grano seco en Tm/ha fueron los siguientes: Experimento factorial conducido bajo el DBCA (4x3) Trat.

Variedad

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

H-1

H-2

V-1

V-2

Dosis kg/ha 50 100 150 50 100 150 50 100 150 50 100 150

Bloques Y..k

I 3 4 6 5 6 7 2 2 5 4 6 7 57

II 2 4 5 5 5 8 1 2 4 5 6 8 55

BLOQUES III 3 4 6 6 6 8 1 3 5 4 5 7 58

IV 3 5 7 6 7 9 2 3 6 3 5 8 64

V 2 5 6 5 7 8 1 2 6 2 4 8 56

Y ij. 13 22 30 27 31 40 7 12 26 18 26 38 Y... = 290

Procedimiento para el cálculo de la Sumas de Cuadrados. a) GRADOS DE LIBERTAD. GLBLOQUE r - 1 = 5 - 1 = 4 GLVAR. = a - 1 = 4 - 1 = 3 GLDOSIS = b - 1 = 3 - 1 = 2 GLVxD = (a-1)(b-1) = (4-1)(3-1) = 6 GLERROR EXP = (ab-1)(r-1) = 11x4 = 44 GLTOTAL = abr - 1 = 4x3x5 - 1 = 59 b) SUMA DE CUADRADOS: TC =

Y...2 (290) 2 . ; = = 140167 abr 4 x3x5

SC var. =

a

∑

i =1

Y..2k 5732 +L+562 − TC = − 4 x3 k =1 ab r

SCBloques = ∑

65 2 + L + 82 2 Yi ..2 − TC = − TC = 103.53 3x5 br

SC Comb (VxD ) =

a

b

∑∑ i =1 j =1

Yij2. r

− TC =

13 2 + L + 38 2 − TC = 229.53 5

- 272 -


SCint(VxD ) = SCComb.(VxD) − ( SCVar . + SC Dosis ) = 229.53 − 10353 . − 12143 . = 4.5 b

b

k

SCTotal = ∑ ∑ ∑ Yijk2 − TC = 32 + 4 2 + L + 8 2 − TC = 254.33 i =1 j =1 k =1

SCError = SCTotal − SCvar. − SC Dosis − SCVar x Dosis − SCbloq . = 254.33 − 10353 . − 121.43 − 4.57 − 4.16 = 20.64 Tabla de ANOVA para la variedad de maíz.

F. De V. G.L. Bloques 4 Variedad (V) 3 Dosis (D) 2 VxD 6 Error Exptal. 44 Total 59 C.V. = 14.17%

S.C. 4.1600 103.5300 121.4300 4.5700 20.6400 254.3300

C.M. 1.0400 34.5100 60.7150 0.7617 0.4691

Fc. 1.37 73.57 129.43 1.62

Signific. n.s. ** ** n.s.

El análisis de variancia indica diferencia altamente significativa entre las producciones de grano de las variedades (Factor V) y también entre dosis de nitrógeno (Factor D), no así para la interacción VxD. Para saber entre qué niveles del factor V o entre qué niveles del Factor D existen diferencias podemos utilizar las pruebas de DUNCAN o TUKEY. /* PROGRAMA EN SAS. */ DATA MAIZ; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT VARIED $ DOSIS BLOQ RDTO; DATALINES; H1 50 1 3 H1 50 2 2 .. .. . . V2 150 1 7 V2 150 2 8 V2 150 3 7 V2 150 4 8 V2 150 5 8 ; PROC PRINT; RUN; PROC GLM; CLASS VARIED DOSIS BLOQ; MODEL RDTO = BLOQ VARIED DOSIS VARIED*DOSIS; MEANS BLOQ VARIED DOSIS VARIED*DOSIS /DUNCAN; RUN; /* Presione F3 para ejecutar el programa */

Análisis y Diseño de Experimentos - 273 SALIDA DEL SAS. General Linear Models Procedure Class Level Information Class Levels Values VARIED 4 H1 H2 V1 V2 DOSIS 3 50 100 150 BLOQ 5 12345 Number of observations in data set = 60 Dependent Variable: RDTO Source DF Model 15 BLOQ 4 VARIED 3 DOSIS 2 VARIED*DOSIS 6 Error 44 Corrected Total 59 R-Square 0.918873

Sum of Mean Squares Square F Value Pr > F 233.7000000 15.5800000 33.22 0.0001 4.1666667 1.0416667 2.22 0.0821 103.5333333 34.5111111 73.59 0.0001 121.4333333 60.7166667 129.48 0.0001 4.5666667 0.7611111 1.62 0.1635 20.6333333 0.4689394 254.3333333 C.V. Root MSE RDTO Mean 14.16810 0.684791 4.83333333

Duncan’s Multiple Range Test for variable: RDTO Duncan Grouping Mean N BLOQ A 5.333 12 4 B A 4.833 12 3 B A 4.750 12 1 B 4.667 12 5 B 4.583 12 2 Duncan’s Multiple Range Test for variable: RDTO Duncan Grouping Mean N VARIED A 6.533 15 H2 B 5.467 15 V2 C 4.333 15 H1 D 3.000 15 V1 Duncan’s Multiple Range Test for variable: RDTO Duncan Grouping Mean N DOSIS A 6.700 20 150 B 4.550 20 100 C 3.250 20 50

- 274 -


EJERCICIOS: 1.- Se están estudiando los factores que influyen en la resistencia de ruptura de una fibra sintética. Se eligen al azar 4 máquinas y 3 operadores y se realiza un experimento factorial usando fibras de un mismo lote de producción. Los resultados se muestran a continuación. Analice los datos y obtenga las conclusiones apropiadas. Operario 1 2 3

MÁQUINA 2 3 110 109 115 109 110 111 111 109 112 114 115 119

1 109 110 110 112 116 114

4 110 108 114 112 120 117

2.- Se estudió el efecto de diferentes dosis de fertilización fosforado sobre dos tipos de plantas de haba (Vicia faba). Se pensó que los tipos de planta bien podían responder en forma diferente a la fertilización, así que se decidió llevar a cabo un experimento factorial con dos factores: A: tipo de planta (corto, largo), B: Dosis de fósforo: 0 kg/ha P O, 25 kg/ha P O, 50 kg/ha P O. El experimento se llevó a 2 2 2 cabo en un diseño bloque completo al azar en arreglo combinatorio, con cuatro repeticiones. Analice los datos e interprete los resultados. Los resultados del experimento (producción en kg/ha) se presentan a continuación: Tipo de planta Corto

Largo

Dosis de fósforo 0 25 50 0 25 50

Bloques I 11.5 17.1 18.2 11.0 8.3 15.7

II 13.6 17.6 17.6 11.2 10.5 16.7

III 14.3 17.6 18.2 12.1 9.1 16.6

IV 14.5 18.1 18.9 12.6 12.8 17.5

3.- Se realizó un ensayo para evaluar la respuesta del rendimiento del cultivo de haba (Vicia faba) frente a cuatro niveles de Nitrógeno y cuatro niveles de Fósforo, en el área existía una gradiente de variabilidad por lo cual se utilizó el diseño bloque completo al azar, los resultados son los siguientes:


Factor Nitrógeno

Fósforo

Nivel (kg/ha) Código 0 0 50 1 100 2 150 3 0 0 50 1 100 2 150 3

Niveles Niveles de Nitrógeno de Fósforo 0 0 1 0 2 0 3 0 0 1 1 1 2 1 3 1 0 2 1 2 2 2 3 2 0 3 1 3 2 3 3 3

I 833 450 450 1083 1250 1083 1083 917 833 1167 1417 1583 750 1500 1333 1167

Bloques II III 450 450 834 450 833 667 833 917 1083 917 1083 583 1583 1167 1167 1000 583 750 833 1500 1167 1000 1500 583 450 667 1167 667 917 833 833 1083

IV 1083 833 833 833 1250 1083 1000 1250 1333 750 833 1417 417 1083 1167 1250

a) Construya una gráfica para mostrar la posible interacción entre los niveles de los factores de nitrógeno y fósforo, b) Calcule el ANOVA y ser necesario realice el análisis de post-ANOVA. 4. Se realizó la evaluación inicial del efecto de tres intensidade de raleo y tres e poda en el crecimiento de una plantación de Pinas caribaea Morelet Var, hondurensis, en Livingston, Izabal. Los factores que se evaluación son dos: Factor A (raleos), se utilizó el índice Hart (S%), con intensidades: S% = actual, S% = 22 y S% = 28, debido a que el índice de Hart establece que entre 20 y 30% del espaciamiento, una plantación puede crecer adecuadamente sin competencia. Factor B (poda), se hizo con las siguientes intensidades: sin poda (SP), 1/2 y 3/2 de la altura de la copa via. Las variables de respuesta medidas fueron: diámetro, altura, área basal y volumen. A continuación se presentan los datos para la variable volumen (m3) correspondiente a la tercera medición:

Poda S.P.

1/2h

3/2h

Raleos S%A S%22 S%28 S%A S%22 S%28 S%A S%22 S%28

I 0.0803 0.0965 0.1130 0.1020 0.0860 0.1390 0.0739 0.0953 0.1300

Bloques II III 0.0569 0.0548 0.0643 0.0673 0.0833 0.0612 0.0542 0.0594 0.0756 0.0869 0.0857 0.0793 0.0625 0.0577 0.0635 0.0105 0.0668 0.0844

IV 0.0691 0.0589 0.0581 0.0466 0.0488 0.0872 0.0417 0.0708 0.1160

a) Realice el ANOVA y concluya, de ser necesario realice la post-ANOVA.

- 276 -


7.2. Experimento factorial de la serie 3n Existen experimentos con tres factores, se presenta doble interacción y triple interacción; el análisis tiende a complicarse a medida que se detecte significación en las interacciones, por ejemplo, si existe triple interacción, se analiza por efectos simples simples; en caso de no resultar significativa la triple interacción, entonces se considerará las dobles interacciones para analizar por efectos simples. El caso más elemental es de tres factores cada uno con dos niveles 2Ax2Bx2C, los cuales proporcionan 8 combinaciones o tratamientos, y se puede expresar de una de las tres formas más usuales: (i)

(ii)

(iii)

a1b1c1

T1

111

a1b1c2

T2

112

a1b2c1

T3

121

a1b2c2

T4

122

a2b1c1

T5

211

a2b1c2

T6

212

a2b2c1

T7

221

a2b2c2

T8

222

En (i) se observa claramente los niveles de los factores. En (ii) es cierta enumeración de los tratamientos o combinaciones para algún manejo práctico en el campo o laboratorio. En (iii) es adecuado para ser usado con software estadístico. En forma general un factorial que involucra los factores A,B,...,H; donde el factor A tiene «a» niveles, el factor B con «b» niveles y el factor H con «h» niveles, que se simboliza por: aAbBcC...hH ó axbxcx...xh.


7.2.1. MODELO ESTADISTICO LINEAL BAJO EL DISEÑO COMPLETO AL AZAR.

El modelo lineal aditivo es el siguiente:

Yijkl =µ+αi +βj +γ k +(αβ)ij +(αγ )ik +(βγ )jk +(αβγ )ijk +εijkl

R|i =12, ,L,a (Nivelesdefactor A) |Sj =12, ,L,b (Nivelesdefactor B) ||k =12, ,L,c (NivelesdefactorC) Tl =12, ,L,r (repeticiones)

donde: Yijkl = Es la variable respuesta de la l-ésima observación bajo el k-ésimo nivel de factor C, en el j-ésimo nivel del factor B, sujeto al i-ésimo nivel de tratamiento A.

µ

= Constante, media de la población a la cual pertenecen las observaciones.

α i = Efecto del del i-ésimo nivel del factor A. β j = Efecto del j-ésimo nivel del factor B.

γ k = Efecto del k-ésimo nivel el factor C (α β)ij = Efecto de la interacción del i-ésimo nivel del factor A, con el j-ésimo nivel factor B.

(α γ ) ik = Efecto de la interacción del i-ésimo nivel del factor A, en el k-ésimo nivel del factor C.

(βγ ) jk = Efecto de la interacción del j-ésimo nivel del factor B, en el k-ésimo nivel del factor C.

(αβγ)ijk = Efecto de la interacción del i-ésimo nivel del factor A, en el j-ésimo nivel del factor B, sujeto al k-ésimo nivel del factor C. ε ijkl = Efecto del error experimental, que esta distribuído como ε ijkl ~ D N I ( 0 , σ e2 )

- 278 -


ANOVA para un factorial de TRES factores bajo el Diseño Completo al Azar (DCA).

F. de Variación G.L.

S.C. a

Tratamientos

b

c

Yijk2 .

∑∑∑ r

t-1

C.M. −

i=1 j=1 k =1

Y....2 abcr

SC tratam . t −1

A

a-1

Yi ...2 Y....2 − ∑ abcr i =1 bcr

B

b-1

∑ acr − abcr

C

c-1

Y..2k . Y....2 − ∑ abcr k =1 abr

AB

(a-1)(b-1)

∑∑ cr − abcr − SC

AC

(a-1)(c-1)

∑∑br − abcr −SC

BC

(b-1)(c-1)

∑∑ ar − abcr − SC

a

Y. 2j ..

b

a

Y....2

( A)

i=1 k=1

Y. 2jk.

c

Y....2

( B)

j=1 k =1

b

c

r

(abcr - 1)

∑∑∑∑Y

CV =

−SC(C) − SC(C)

− SC( AB) − SC( AC) − SC( BC)

∑ ∑ ∑ ∑Y

Y....2 , abcr

− SC( B)

SCtrat. − SC( A) − SC( B) − SC(C)

abc(r-1)

2 ijkl

− SCtrat .

i =1 j =1 k =1 l =1

b

c

r

2 ijkl

i =1 j =1 k =1 l =1

C M error Y....

( B )

−

Y....2 abcr

x 100

CM (B) C M error C M (C )

(C )

c − 1

Y....2

Yi.2k.

c

a

TC =

SC

( A)

a

Total

C M error

b − 1

i=1 j =1

b

(a-1)(b-1)(c-1)

Yij2..

b

a

Error exper.

a − 1

j =1

c

ABC

CM ( A)

SC

CME(I)

CM tratam. CM error

( A )

SC

Y....2

Fc.

C M error

SC ( AB )

σ 2e + rbckα2

σ2e +rackβ2

σ2e +rabkγ2

C M ( AB )

( a − 1)(b − 1) C M error SC ( AC )

C M ( AC )

( a − 1)( c − 1) C M error SC ( BC )

C M ( BC )

( b − 1)( c − 1) C M error SC(BC)

CM ( ABC )

(a −1)(b −1)(c −1) CM error

SCerror abc(r − 1)

σ2e + rckαβ2 σ2e + rbkαγ2

σ2e + rakβγ2 σ2e + rkαβ2 γ

σ 2e

Análisis y Diseño de Experimentos - 279 EJEMPLO: Se ha realizado un experimento en alpacas de la Raza Huacaya del Instituto de Investigación y Promoción de los Camélidos Sudamericanos (IIPC) y el Centro de Investigación y Producción La Raya (CIP - La Raya), con la finalidad de determinar la diferencia en el diámetro de fibra (micras), para lo cual se han considerado tres factores: Rebaños (IIPC y CIP-La Raya), sexo (Machos y Hembras) y edad (2,3 y 4años). Los resultados fueron los siguientes: REBAÑO (A) SEXO (B) EDAD ( C )

1 2 3 Yijk. Yij.. Yi.k. Y.jk. Yi… Y.j.. Y..k.

IIPC MACHOS HEMBRAS 2 3 4 2 3 4 21.42 25.35 29.14 21.31 25.24 30.63 22.68 23.75 31.28 20.90 25.11 30.59 21.86 24.75 30.38 21.83 26.23 30.54 65.96 73.85 90.80 64.04 76.58 91.76 Y11.. = 230.61 Y12.. = 232.38 Y1.1. = 130.00 Y1.2. = 150.43 Y1.3. = 182.56 Y.11. = 128.30 Y.12. = 145.47 Y.13. = 176.36 Y1… = 462.99 Y.1.. = 450.13 Y..1. = 256.42 Y..2. = 294.13

LA RAYA MACHOS HEMBRAS 2 3 4 2 3 4 20.75 23.76 27.53 20.86 24.40 28.39 19.83 23.74 28.80 21.64 24.25 28.31 21.76 24.12 29.23 21.58 23.43 28.58 Y.... 62.34 71.62 85.56 64.08 72.08 85.28 903.95 Y21.. = 219.52 Y22.. = 221.44 903.95 Y2.1. = 126.42 Y2.2. = 143.70 Y2.3. = 170.84 903.95 Y.21. = 128.12 Y.22. = 148.66 Y.23. = 177.04 903.95 Y2… = 440.96 903.95 Y.2.. = 453.82 903.95 Y..3. = 353.40 903.95


H0 : α i = 0,


i = 1,2,....., a

H0 : β j = 0 ,


j = 1,2 ,....,b


Respecto al factor C.

H0 : γ k = 0 , k = 1,2 ,....., c Ha : γ k ≠ 0, para cualquier k

b g

b g

Respecto a la interacción A x B. Ho : αβ ij = 0 Vs. Ha : αβ ij ≠ 0

b g

Respecto a la interacción A x C. Ho : αγ

ik

Respecto a la interacción B x C. Ho : βγ

jk

b g

= 0 Vs. Ha : αγ

ik

≠0

b g = 0 Vs. H : bβγ g ≠ 0 Respecto a la interacción AxBxC. H : bαβγ g = 0 Vs. H : bαβγ g o


α = 0.05

a

ijk

jk

a

ijk

≠0

- 280 -


3. Prueba de Contraste: F ( A ) = F( A × B ) =

CM A CM B CM C , F( B ) = , F( C ) = CM Error CM Error CM Error

CM A × B CM A ×C CM B ×C CM , F( A × C ) = , F( B × C ) = , F( A × B × C ) = CM Error CM Error CM Error CM

4. Región de aceptación y rechazo: a −1 entonces se acepta la Ho: RA Ho: Sí F ( A ) ≤ Fabc ( r −1 ),α ,

a −1 RR Ho: Sí F ( A ) > Fabc ( r −1 ),α , entonces se acepta la Ha:

b −1 entonces se acepta la Ho: RA Ho: Sí F ( B ) ≤ Fabc ( r −1 ),α ,

b −1 RR Ho: Sí F ( B ) > Fabc ( r −1 ),α , entonces se acepta la Ha: c −1 entonces se acepta la Ho: RA Ho: Sí F ( C ) ≤ Fabc ( r −1 ),α ,

c −1 RR Ho: Sí F ( C ) > Fabc ( r −1 ),α , entonces se acepta la Ha: ( a −1 )( b −1 ) entonces se acepta la Ho: RA Ho: Sí F ( A × B ) ≤ Fabc ( r −1 ),α , ( a −1 )( b −1 ) RR Ho: Sí F ( A × B ) > Fabc ( r −1 ),α , entonces se acepta la Ha:

( a −1 )( c −1 ) entonces se acepta la Ho: RA Ho: Sí F ( A × C ) ≤ Fabc ( r −1 ),α , ( a −1 )( c −1 ) RR Ho: Sí F ( A × C ) > Fabc ( r −1 ),α , entonces se acepta la Ha:

( b −1 )( c −1 ) entonces se acepta la Ho: RA Ho: Sí F ( B × C ) ≤ Fabc ( r −1 ),α , ( b −1 )( c −1 ) RR Ho: Sí F ( B × C ) > Fabc ( r −1 ),α , entonces se acepta la Ha: ( a −1 )( b −1 )( c −1 ) entonces se acepta la Ho: RA Ho: Sí F ( A × B × C ) ≤ Fabc , ( r −1 ),α ( a −1 )( b −1 )( c −1 ) RR Ho: Sí F ( A × B × C ) > Fabc , entonces se acepta la Ha: ( r −1 ),α

5. Procedimiento de Cálculo de ANOVA a) Grados de libertad (GL) GL A = a − 1 = 2 − 1 = 1 ,

GLB = b − 1 = 2 − 1 = 1 ,

GLC = c − 1 = 3 − 1 = 2

Análisis y Diseño de Experimentos - 281 GL A × B = ( a − 1 )( b − 1 ) = 1 × 1 = 1 ,

GL A× C = ( a − 1 )( c − 1 ) = 1 × 2 = 2

GLB × C = ( b − 1 )( c − 1 ) = 1 × 2 = 2 ,

GL A × B ×C = ( a − 1 )( b − 1 )( c − 1 ) = 1 × 1 × 2 = 2

GLError = abc( r − 1 ) = 2 × 2 × 3( 3 − 1 ) = 24

GLTotal = abcr − 1 = 2 × 2 × 3 × 3 − 1 = 35 b) Suma de Cuadrados (SC ó SS) 2 Y•••• (903.95) 2 = = 22697.9334 abcr 2 × 2 × 3 × 3

TC =

Suma de cuadrados para efectos principales: Yi2••• (462.99) 2 + ( 440.96 )2 − TC = − TC = 13.481136 bcr 2 × 3× 3

2

SC A = ∑ i =1 2

Y•2j••

j=1

acr

SC B = ∑

− TC =

(450.13) 2 + (453.82) 2 − TC = 0.378225 2 × 3× 3

Y••2 k • (256.42) 2 + (294.13) 2 + (353.4) 2 − TC = − TC = 398.336039 2×2×3 k =1 abr 3

SC C = ∑

Suma de cuadrado para efectos de interacción:

SCA×B =

F Y −TCI − SC − SC = L(230.61) + (232.38) +(21952 O . ) + (221.44) − TCP − SC − SC MN GH∑∑ cr JK 3× 3 Q 2

2 ij••

2

2

A

FG∑∑ Y H br 2

3

2 i•k •

A

IJ K

− TC − SCA − SCC =

i =1 k =1

= 2.807839

SCB×C =

2

B

i=1 j=1

= 0.000625

SCA×C =

2

2

B

F Y GH ∑∑ ar 2

3

2 • jk •

I JK

− TC − SCB − SCC =

j=1 k =1

LM(130) + (150.43) +L+(17084 O . ) − TCP − SC − SC × 2 3 N Q 2

2

2

A

LM(128.3) + (145.47) +L+(177.04 ) − TCOP − SC − SC 2×3 N Q 2

2

2

B

= 0.511017 SCA×B×C =

F I Y GH∑∑∑ r −TCJK −( SC + SC + SC + SC 144424443 2

2

3

2 ijk•

A

i =1 j=1 k=1

SCTRAT .

C

B

C

A×B

+ SCA×C + SCB×C )

C

- 282 -


=

LM (65.96) + (73.85) +L+( 85.28 ) − TCOP − FG SC 2×2×3 H SC N14444444 244444443Q 2

2

2

A

A× B

+ SCB + SCC + + SC A× C + SCB × C

IJ K

417 .188098

= 1.673217 2

2

3

3

2 SCTotal = ∑ ∑ ∑ ∑ Yijkl . )2 +L + ( 28.58 )2 − TC = 23125.2225 − TC − TC = ( 2142 i =1 j=1 k =1 l=1

SC Error = SC TOTAL − SC TRAT. = 427.289098 − 417.188098 = 10101 .

RESUMEN EN LA TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA

F. de V. G.L. Rebaño (A) 1 Sexo (B) 1 Edad ( C ) 2 AxB 1 AxC 2 BxC 2 AxBxC 2 Error Experimental 24 Total 35 CV =

S.C. C.M. Fc. Signific. 13.481136 13.481136 32.03 ** 0.378225 0.378225 0.90 n.s. 398.336039 199.168020 473.22 ** 0.000625 0.000625 0.00 n.s. 2.807839 1.403920 3.34 n.s. 0.511017 0.255509 0.61 n.s. 1.673217 0.836609 1.99 n.s. 10.101000 0.420875 427.289098

CM error 0.420875 x100 = × 100 = 2.58% Y•••• 903.95 36

1 2 F24,0.01 = 7.82; F24,0.01 = 5.61

INTERPRETACION. Se encontró diferencia estadística altamente significativa (P ≤ 0.01) para el efecto principal del factor rebaño en sus diferentes niveles en estudio y para el efecto principal de factor edad de las alpacas en sus diferentes niveles; mientras que para el factor sexo y las interacciones de primer orden y segundo orden, no presentaron diferencia alguna, esto implica que los factores en estudio son independientes unos del otro. Para los efectos principales significativos se debe realizar la prueba múltiple de compraciones para obtener las conclusiones y tomar la decisión; ya que los factores son de tipo cualitativo, y se recomienda realizar la pureba de Tukey, queda como

Análisis y Diseño de Experimentos - 283 ejercicio para el estudiante y se aconseja verificar la salida de la prueba Tukey con el SAS.

IMPLEMENTACIÓN CON EL PROGRAMA SAS. DATA CENTROS; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT HATO $ SEXO $ EDAD REP MICRA; DATALINES; IIPC M 2 1 21.42 IIPC M 2 2 22.68 ... . . . .... CONTINUAR CON EL INGRESO DE DATOS ... . . . .... RAYA H 3 3 23.43 RAYA H 4 1 28.39 RAYA H 4 2 28.31 RAYA H 4 3 28.58 ; PROC PRINT; RUN; PROC ANOVA; CLASS HATO SEXO EDAD REP; MODEL MICRA = HATO SEXO EDAD HATO*SEXO HATO*EDAD SEXO*EDAD HATO*SEXO*EDAD; MEANS HATO EDAD/DUNCAN TUKEY; RUN;

- 284 -


SALIDA DE RESULTADOS CON EL SAS. The ANOVA Procedure Class Level Information Class Levels Values HATO 2 IIPC RAYA SEXO 2 H M EDAD 3 2 3 4 REP 3 1 2 3 Number of observations 36 Dependent Variable: MICRA

Sum of DF Squares Mean Square 11 417.1880972 37.9261907 1 13.4811361 13.4811361 1 0.3782250 0.3782250 2 398.3360389 199.1680194 1 0.0006250 0.0006250 2 2.8078389 1.4039194 2 0.5110167 0.2555083 2 1.6732167 0.8366083 24 10.1010000 0.4208750 35 427.2890972 Root MSE MICRA Mean 0.648749 25.10972

Source Model HATO SEXO EDAD HATO*SEXO HATO*EDAD SEXO*EDAD HATO*SEXO*EDAD Error Corrected Total R-Square Coeff Var 0.976360 2.583656

Tukeys Studentized Range (HSD) Test for MICRA Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 24 Error Mean Square 0.420875 Critical Value of Studentized Range 2.91880 Minimum Significant Difference 0.4463 Means with the same letter are not significantly different. Mean N HATO A 25.7217 18 IIPC B 24.4978 18 RAYA Tukeys Studentized Range (HSD) Test for MICRA Alpha 0.05 Error Degrees of Freedom 24 Error Mean Square 0.420875 Critical Value of Studentized Range 3.53170 Minimum Significant Difference 0.6614 Means with the same letter are not significantly different. Mean N EDAD A 29.4500 12 4 B 24.5108 12 3 C

21.3683

12

2

F Value 90.11 32.03 0.90 473.22 0.00 3.34 0.61 1.99

Pr > F <.0001 <.0001 0.3526 <.0001 0.9696 0.0527 0.5531 0.1589

Análisis y Diseño de Experimentos - 285 EJEMPLO: A continuación se presenta un ejemplo numérico de un arreglo con tres factores en un diseño completamente al azar, que permitirá la práctica en el análisis de varianza. Los datos siguientes se refieren al consumo diario de alimento de pollos asaderos, distribuidos en grupos homogéneos de 100. Los datos corresponden a la séptima semana, y se consideran como factores las siguientes variables: Saborizantes (SA), Forma física (FF) y fuente proteíca (FP). SA FF Zanahoria Molido

FP Harina de Soya Harina de pescado Rolado Harina de soya Harina de pescado Molido Harina de soya Harina de pescado Rolado Harina de soya Harina de pescado

Melaza

I 6.42 6.60 6.84 7.16 5.94 6.01 6.20 6.40

II 6.35 6.68 6.93 7.21 5.63 6.14 6.24 6.38

(kg/día) III 6.40 6.70 7.02 7.19 5.85 6.00 6.16 6.41

IV 6.38 6.65 6.95 7.22 5.74 6.04 6.29 6.39

Totales de tratamiento 25.55 26.63 27.74 28.78 23.16 24.19 24.89 25.58 Y....= 206.52

Arreglo para sumas de cuadrados de efectos simples. SA

FF 1 2 Total 52.18 56.52 108.70 47.35 50.47 97.82 99.53 106.99

1 2 Total

FP 1 2 Total SA 1 53.29 55.41 108.70 2 48.05 49.77 97.82 Total 101.34 105.18

FP 1 2 Total FF 1 48.71 50.82 99.53 2 52.63 54.36 106.99 Total 101.34 105.18

SUMA DE CUADRADOS SCSA =

108.70 2 + 97.82 2 206.52 2 − = 1336.527 − 1332.828 = 3.699 2 x2 x4 32

SC FF =

99.532 + 106.90 2 206.52 2 − = 1334.567 − 1332.828 = 1739 . 2 x2 x4 32

SCSAxFF = SC FP =

52.18 2 +L+50.47 2 206.52 2 . ) = 1338.313 − (1332.828 + 3.699 − = (3.699 + 1739 2 x4 32

. 2 + 10518 . 2 206.52 2 10134 − = 1333.289 − 1332.828 = 0.461 2 x2 x4 32

SCSAxFP =

53.29 2 +L+49.77 2 206.52 2 − − (3.699 + 0.461) = 1336.993 − (1332.828 + 3.699 2 x4 32

SC FFxFP =

48.712 +L+54.36 2 206.52 2 − − (1739 + 0.461) = 1335.033 − (1332.828 + 1739 . . 2 x4 32

- 286 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno . 2 +L+2558 . 2 206.52 2 2555 . − − ( 3.699 + 1739 + 0.047 + 0.461 + 0.005 + 0.005) 4 32 . = 1338.786 − (1332.828 + 3.699 + 1739 + 0.047 + 0.461 + 0.005 + 0.005) = 0.002

SCSAxFFxFP =

SCtrat . = 3.699 + 1.739 + 0.047 + 0.461 + 0.005 + 0.005 + 0.002 = 5.958 SCtotal = 6.42 2 + 6.352 + 6.40 2 + 6.38 2 + L + 6.412 + 6.39 2 −

(206.52) 2 = 6.061 32

SC Error = 6.061 − 5.958 = 0.103

TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA. F . De V . Tratam ientos S aboriz ante (S A ) F orm a fís ic a (F F ) S A x FF F uente proteíc a (F P ) S A x FP FFxFP S A x FFx FP E rror ex perim ental Total

G .L. 7 1 1 1 1 1 1 1 24 31

S .C. 5.958 3.699 1.739 0.047 0.461 0.005 0.005 0.002 0.103 6.061

C.M . 0.851 3.699 1.739 0.047 0.461 0.005 0.005 0.002 0.004

Fc. 0.05 198.32** 2.43 861.90** 4.26 405.20** 10.95** 107.42** n.s . n.s . n.s .

0.01 3.50 7.82

La significancia de los efectos se refiere a la comparación numeral de éstos contra un valor tabular de Snedecor para los grados de libertad del efecto y del error experimental. Tal significancia implica que debemos efectuar pruebas que permitan definir diferencias y estratificar resultados en función de los objetivos planteados en el trabajo. DATA POLLOS; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; DO SABOR = 1 TO 2; DO FISIC = 1 TO 2; DO PROT = 1 TO 2; DO REP = 1 TO 4; INPUT ALIM @; OUTPUT; END; END; END; END; DATALINES; 6.42 6.35 6.40 6.38 6.60 6.68 6.70 6.65 6.84 6.93 7.02 6.95 7.16 7.21 7.19 7.22 5.94 5.63 5.85 5.74 6.01 6.14 6.00 6.04 6.20 6.24 6.16 6.29 6.40 6.38 6.41 6.39

; PROC ANOVA; CLASS SABOR FISIC PROT; MODEL ALIM = SABOR FISIC PROT SABOR*FISIC SABOR*PROT FISIC*PROT SABOR*FISIC*PROT; MEANS SABOR FISIC PROT SABOR*FISIC SABOR*PROT FISIC*PROT SABOR*FISIC*PROT /DUNCAN;

RUN; /* Presione F3 para ejecutar el programa */

Análisis y Diseño de Experimentos - 287 7.2.2. Experimento factorial bajo el Diseño bloque completo al azar (DBCA) El modelo lineal aditivo para el experimento es el siguiente:

Yijkl = µ + αi + β j + γ k + Bl + (αβ)ij + (αγ )ik + (βγ ) jk + (αβγ )ijk + εijkl i = 12 , ,L,a ( Nivelesde factor A) j = 12 , ,L,b (Nivelesde factor B) k = 12 , ,L,c (Nivelesde factor C) l = 12 , ,L, r (Bloque) Donde: Yijkl = Es la variable respuesta de la l-ésima bloque al que se le aplicó el i-ésimo nivel del factor A, j-ésimo nivel del factor B, y k-ésimo nivel del factor C. µ = Efecto de la media general. B l = Efecto del del l-ésimo bloque. α i = Efecto del del i-ésimo nivel del factor A. β j = Efecto del j-ésimo nivel del factor B.

γ k = Efecto del k-ésimo nivel el factor C (α β) ij = Efecto de la interacción del i-ésimo nivel del factor A y del j-ésimo nivel factor B.

(αγ )ik = Efecto de la interacción del i-ésimo nivel del factor A y del k-ésimo nivel del factor C. (βγ ) jk = Efecto de la interacción del j-ésimo nivel del factor B y del k-ésimo nivel del factor C. (αβγ)ijk = Efecto de la interacción del i-ésimo nivel del factor A y del j-ésimo nivel del factor B y del k-ésimo nivel del factor C.

ε ijkl = Efecto aleatorio o error experimental en la obtención de Yijkl

Análisis de varianza para un factorial de TRES factores en un Diseño Bloque Completo al Azar (DBCA): Fórmulas.

- 288 -

ANÁLISIS DE VARIANZA (ANOVA)


G. L.

S.C.

C.M.

r-1

Bloques

a

Tratamientos

b

i =1 t

i=1 b

Factor B

b-1

∑

Factor C

c-1

∑

j=1

c

k =1

(a - 1)(b - 1)

r

−

Y....2 a b cr

Y

acr

CMerror

S C( A ) a −1

2 ....

Y abcr

−

r −1 SCtratam. abc −1

Yi ...2 Y ....2 − bcr abcr 2 . j ..

CMbloq .

Y..2k . Y2 − .... a b r a b cr

2 ij ..

b

2 ....

a

(a - 1)(c - 1)

c

2 i .k .

c −1

CMerror

( AC)

A

C

i =1 k =1 b

Interacción BxC

(b - 1)(c - 1)

2 . jk .

c

2 ....

( BC)

B

C

j =1 k =1

Interacción AxBxC

F Y −Y I−bSC+SC+SC+SC+SC+SCg GH∑∑∑r abcrJK abc 2 ijk.

(a - 1)(b - 1)(c - 1)

2 ..

A

B

C

AB

AC

i=1j=1k=1

Error Experimental

SCTotal - SCtratamientos - SCbloques

(abc - 1)(r -1)

a

Total

abcr - 1

b

c

r

∑∑∑∑Y

2 ijk l

i =1

j =1 k =1 l =1

−

Y....2 a b cr

BC

σ

CM( B )

B

2 ....

CM( A ) CMerror CM error

i =1 j =1

Interacción AxC

σ

b −1 SC( C )

( AB)

A

σ

CM( C )

CM( AB ) CMerror CM( AC ) CMerror CM( BC ) CMerror

SC(ABC)

CM( ABC )

(a−1)(b−1)(c−1)

CMerror

SCerror ( abc −1)( r −1)

σ

CMtratam. CMerror

SC( B )

F Y − Y I − bSC + SC g SC GH ∑ ∑ cr abcr JK (a−1)(b−1) FG∑∑Y − Y IJ − bSC + SC g SC (a−1)(c−1) H br abcr K F Y − Y I −bSC + SC g SC GH∑∑ ar abcrJK (b−1)(c−1) a

Interacción AxB

Yijk2 .

j =1 k =1

∑

a-1

Factor A

c

∑∑∑

abc - 1

Fc

SCbloques

σ

σ σ

σ


Y...2l Y2 − .... ∑ abcr l =1 br r

Análisis y Diseño de Experimentos - 289 EJEMPLO: En la Estación Experimental Tahuaco (INIA), se ensayó los niveles de fertilización por densidad de siembra en cebada SLO S/SAIDA, en un área de parcela neta 4.8m2, tomándose como variable de respuesta rendimientos (kg/parcela). Los factores en estudio son: N = Nitrógeno (0,60,120), P = Fósforo (0, 40, 80), y D = Densidad de siembra (100, 150 y 200). La información se presenta a continuación:

F A C TO R E S N i t r ó g e n o F ó s fo ro D e n s id a d 0 0 100 150 200 40 100 150 200 80 100 150 200 60 0 100 150 200 40 100 150 200 80 100 150 200 120 0 100 150 200 40 100 150 200 80 100 150 200

1. Hipótesis: Respecto al factor A.

H0 : α i = 0,

i = 1,2,....., a


I 0 .9 3 0 .9 9 0 .8 6 0 .9 2 0 .7 5 0 .9 8 0 .8 2 0 .7 3 0 .7 5 0 .8 4 0 .7 3 0 .8 1 0 .8 4 0 .8 2 0 .8 4 1 .1 7 1 .0 2 1 .0 5 0 .8 7 1 .2 0 0 .8 2 1 .2 2 1 .3 1 1 .0 1 1 .2 0 1 .2 2 1 .4 6

B LO Q U E S II 1 .0 4 1 .0 6 1 .0 1 0 .7 0 1 .0 9 1 .1 6 0 .8 0 0 .9 5 0 .9 1 0 .8 5 0 .9 8 1 .0 7 0 .7 6 0 .8 4 0 .9 4 1 .0 5 0 .9 8 0 .6 5 1 .2 8 1 .0 5 1 .2 0 0 .9 8 1 .1 4 1 .0 4 1 .0 7 1 .0 4 0 .9 5

III 0 .9 4 0 .6 8 0 .6 9 0 .7 3 0 .7 3 0 .6 5 0 .6 7 0 .7 0 0 .7 0 0 .7 5 0 .9 9 1 .0 0 1 .0 5 1 .1 2 1 .1 6 0 .8 1 1 .2 5 1 .2 6 0 .9 5 1 .1 1 1 .1 4 0 .9 9 1 .0 0 1 .0 1 0 .9 0 0 .9 6 1 .0 2

Respecto al factor B. H0 : β j = 0 ,

j = 1,2 ,....,b


- 290 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno Respecto al factor C.

Respecto al bloque.

H0 : γ k = 0 , k = 1,2 ,.....,c Ha : γ k ≠ 0, para cualquier k

H0 : Bl = 0, l = 1,2 ,....., r Ha : Bl ≠ 0 , para cualquier l

Respecto a la interacción A x B.

Ho : αβ

ij

= 0 Vs. Ha : αβ

ij

≠0

Respecto a la interacción A x C.

Ho : αγ

ik

= 0 Vs. Ha : αγ

ik

≠0

Respecto a la interacción B x C.

Ho : βγ

jk

b g

b g

b g

b g

b g = 0 Vs. H : bβγ g ≠ 0 Respecto a la interacción AxBxC. H : bαβγ g = 0 Vs. H : bαβγ g ≠ 0 o

2. Nivel de Significación: 3. Prueba de Contraste: F( A× B) =

α = 0.05

F( Bloq ) =

CMBloq CMError

, F( A) =

ijk

a

jk

a

ijk

CMA CMB CMC , F( B ) = , F( C) = CMError CMError CMError

CMA×B CMA×C CMB×C CMA×B×C , F( A × C) = , F( B × C) = , F( A × B × C) = CMError CMError CMError CMError

4. Región de aceptación y rechazo: −1 entonces se acepta la Ho: RA Ho: Sí F ( Bloq ) ≤ F( rabc −1 )( r −1 ),α ,

−1 RR Ho: Sí F ( Bloq ) > F( rabc −1 )( r −1 ),α , entonces se acepta la Ha:

−1 entonces se acepta la Ho: RA Ho: Sí F ( A ) ≤ F( aabc −1 )( r −1 ),α ,

−1 RR Ho: Sí F ( A ) > F( aabc −1 )( r −1 ),α , entonces se acepta la Ha:

−1 entonces se acepta la Ho: RA Ho: Sí F ( B ) ≤ F(babc −1 )( r −1 ),α , −1 RR Ho: Sí F ( B ) > F(babc −1 )( r −1 ),α , entonces se acepta la Ha:

−1 entonces se acepta la Ho: RA Ho: Sí F ( C ) ≤ F( cabc −1 )( r −1 ),α , −1 RR Ho: Sí F ( C ) > F( cabc −1 )( r −1 ),α , entonces se acepta la Ha: a −1 )( b −1 ) entonces se acepta la Ho: RA Ho: Sí F ( A × B ) ≤ F((abc −1 )( r −1 ),α , a −1 )( b −1 ) RR Ho: Sí F ( A × B ) > F( (abc −1 )( r −1 ),α , entonces se acepta la Ha:

a −1 )( c −1 ) entonces se acepta la Ho: RA Ho: Sí F ( A × C ) ≤ F((abc −1 )( r −1 ),α ,

Análisis y Diseño de Experimentos - 291 a − 1 )( c − 1 ) RR Ho : Sí F ( A × C ) > F( (abc − 1 )( r − 1 ),α , entonces se acepta la Ha:

b − 1 )( c − 1 ) entonces se acepta la Ho: RA Ho : Sí F ( B × C ) ≤ F( (abc − 1 )( r − 1 ),α , b − 1 )( c − 1 ) RR Ho : Sí F ( B × C ) > F( (abc − 1 )( r − 1 ),α , entonces se acepta la Ha: a − 1 )( b − 1 )( c − 1 ) entonces se acepta la Ho: RA Ho : Sí F ( A × B × C ) ≤ F( (abc , − 1 )( r − 1 ),α a − 1 )( b − 1 )( c − 1 ) RR Ho : Sí F ( A × B × C ) > F( (abc , entonces se acepta la Ha: − 1 )( r − 1 ),α

5. Procedimiento de Cálculo de ANOVA a) GRADOS DE LIBERTAD (GL). GLBLOQUE = r - 1 = 3 - 1 = 2 GLtratamientos: abc - 1 = 3x3x3-1 = 26 GLN = a - 1 = 3 - 1 = 2 GLP = b - 1 = 3 - 1 = 2 GLD = b - 1 = 3 - 1 = 2 GLNxP = (a-1)(b-1) = (3-1)(3-1) = 4 GLNxD = (a-1)(b-1) = (3-1)(3-1) = 4 GLPxD = (a-1)(b-1) = (3-1)(3-1) = 4 GLNxPxD = (a-1)(b-1)(c-1) = (3-1)(3-1)(3-1) = 8 GLERROR EXP = (r-1)(abc-1) = (2)(3x3x3-1) = 52 GLTOTAL = abcr - 1 = 3x3x3x3-1 = 80 b) SUMA DE CUADRADOS:

TC =

2 Y•••• ( 77 .71 )2 = = 74 .55363086 abcr 3 × 3 × 3 × 3

2 Y••• . 2 + 26.59 2 + 24.962 2616 l − TC = − TC = 0.052861728 3x3x3 l =1 abc r

SCBloque = ∑ a

b

c

SCtratam. = ∑∑∑ i =1 j =1 k =1

Yijk2 • r

− TC =

2.912 + 2.732 + L+343 . 2 − TC = 1050135802 . 3

- 292 -


SUMA DE CUADRADOS DE TRATAMIENTOS: 2 Yi••• 2.94 2 + 25.632 + 29.14 2 − TC = − TC = 0.716002469 3× 3× 3 i =1 bcr a

SC N = ∑ SC P =

b

Y•2j ••

j =1

acr

∑

− TC =

25.84 2 + 25.78 2 + 26.09 2 − TC = 0.002002469 3x 3x3

Y••2 k • . 2 + 26.44 2 + 2614 . 2 2513 − TC = − TC = 0.034891358 3× 3× 3 k =1 abr c

SCD = ∑

SUMA DE CUADRADOS DE INTERACCIONES. a

b

SCComb .( NxP ) = ∑ ∑ i =1 j =1

Yij2•• cr

− TC =

8.2 + 7.71 + L + 9.7 + 9.82 . − TC = 0882669136 3× 3

− (0716002469 + 0002002469 SCInt( NxP) = SCComb( NxP) − (SCN + SCP ) = 0882669136 . . . ) = 0164664198 . a c Y2 . 2 + 768 . 2 +L+1003 . 2 + 965 . 2 755 SCComb.( NxD) = ∑∑ i•k• − TC = − TC = 0766335802 . 3×3 i=1 k =1 br

− (0716002469 + 0034891358 SCInt( NxD) = SCComb( NxD) − (SCN + SCD ) = 0766335802 . . . ) = 0015441975 . b

r

SCComb.( PxD ) = ∑∑

Y•2jk •

j =1 l =1

ar

− TC =

. 2 + 879 . 2 + L + 885 . 2 + 875 . 2 845 . − TC = 0043246913 3× 3

− (0002002469 + 0034891358 SCInt ( PxD) = SCComb( PxD) − (SCP + SCD ) = 0043246913 . . . ) = 000635308 . a

b

c

SCComb .( N × P × D ) = ∑ ∑ ∑ i =1 j =1 k =1

Yijk2 • r

. − TC = SCtratam. = 1050135802

SCInt ( NxPxD) = SCComb( NxPxD) − (SCN + SCP + SCD + SCNxP + SCNxD + SCPxD ) La suma de cuadrados corregido equivale a

SCtratam.corregido

SCInter( N×P×D) =1050135802 . . . . −(0716002469 +0002002469 +0034891358 + 0164664198 . . . ) +0015441975 +0006353086 . = 0110780247 a

b

c

r

SCtotal = ∑∑∑∑Yijkl2 − TC = 093 . 2 + 104 . 2 +L+ 095 . 2 + 102 . 2 − TC = 2560069136 . i =1 j =1 k =1 l =1

Análisis y Diseño de Experimentos - 293 SC Error = SCtotal − SCbloque − SCTratam. = 2.260069136 − 0.052861728 − 1050135802 .

TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA. F. de V. Bloques Tratamiento Nitrógeno (N) Fósforo (F) Densidad (D) NxP NxD PxD NxPxD Error Exptal. Total

CV. =

CMerror Y....

G.L. 2 26 2 2 2 4 4 4 8 52 80

S.C. 0.052861728 1.050135802 0.716002469 0.002002469 0.034891358 0.164664198 0.015441975 0.006353086 0.110780247 1.457071606 2.560069136

C.M. 0.026430864 0.040389839 0.358001235 0.001001235 0.017445679 0.041166050 0.003860494 0.001588272 0.013847531 0.028020608

Fc. 0.94 1.44 12.78 0.04 0.62 1.47 0.14 0.06 0.49

Signific. n.s. n.s. ** n.s. n.s. n.s. n.s. n.s. n.s.

x100 = 1745% .

INTERPRETACION. No se encontró diferencia estadística significativa (P ≥ 0.05) en las interacciones de primer orden, tampoco existe diferencia en las interacciones de segundo orden, esto quiere decir que los factores actúan en forma independiente o se deben al azar, por consiguiente las conclusiones se sacan de los efectos principales significativos, en este caso se encontró diferencia altamente significativa (P ≤ 0.01) para el efecto Nitrógeno, entonces nos concentramos en analizar en este factor para sacar las conclusiones para nuestro experimento y así recomendar para los posteriores experimentos.

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PROGRAMA EN SAS. data fertil; options nodate nocenter nonumber; DO N = 0 TO 120 BY 60; DO P = 0 TO 80 BY 40; DO D = 100 TO 200 BY 50; DO BLOQUE = 1 TO 3; INPUT RDTO @; OUTPUT; END; END; END; END; CARDS; 0.93 1.04 0.94 0.99 1.06 0.68 0.86 1.01 0.69 0.92 0.70 0.73 0.75 1.09 0.73 0.98 1.16 0.65 0.82 0.80 0.67 0.73 0.95 0.70 0.75 0.91 0.70 0.84 0.85 0.75 0.73 0.98 0.99 0.81 1.07 1.00 0.84 0.76 1.05 0.82 0.84 1.12 0.84 0.94 1.16 1.17 1.05 0.81 1.02 0.98 1.25 1.05 0.65 1.26 0.87 1.28 0.95 1.20 1.05 1.11 0.82 1.20 1.14 1.22 0.98 0.99 1.31 1.14 1.00 1.01 1.04 1.01 1.20 1.07 0.90 1.22 1.04 0.96 1.46 0.95 1.02 ; PROC PRINT; RUN; PROC ANOVA; CLASS N P D BLOQUE; MODEL RDTO = BLOQUE N P D N*P N*D P*D N*P*D; MEANS BLOQUE N P D N*P N*D P*D N*P*D/DUNCAN; RUN;

Análisis y Diseño de Experimentos - 295 RESULTADOS DEL SAS. Analysis of Variance Procedure Class Level Information Class Levels Values N 3 0 60 120 P 3 0 40 80 D 3 100 150 200 BLOQUE 3 123 Number of observations in data set = 81 Dependent Variable: RDTO F. de Variación G.L. Tratamientos 28 BLOQUE 2 N 2 P 2 D 2 N*P 4 N*D 4 P*D 4 N*P*D 8 Error 52 Corrected Total 80 R-Square 0.430847

S.C. 1.10299753 0.05286173 0.71600247 0.00200247 0.03489136 0.16466420 0.01544198 0.00635309 0.11078025 1.45707160 2.56006914

C.M. F Value 0.03939277 1.41 0.02643086 0.94 0.35800123 12.78 0.00100123 0.04 0.01744568 0.62 0.04116605 1.47 0.00386049 0.14 0.00158827 0.06 0.01384753 0.49 0.02802061

C.V. Root MSE 17.44805 0.167394

RDTO Mean 0.95938272

Duncan’s Multiple Range Test for variable: RDTO Alpha= 0.05 df= 52 MSE= 0.028021 Number of Means 2 3 Critical Range .0915 .0962 Means with the same letter are not significantly different. Duncan Grouping Mean N N A B C

1.0793 0.9493 0.8496

27 27 27

120 60 0

Pr > F 0.1424 0.3959 0.0001 0.9649 0.5405 0.2250 0.9675 0.9938 0.8548

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EJEMPLO: Se registró el peso de vellón (lb) de llamas de la comunidades de la Provincia de Ladislao Cabrera, ubicado al Sur del departamento de Oruro (Bolivia), que esa ubicado a 3747 msnm. El objetivo fue determinar la composición del rebaño y otras características del vellón, los factores fueron: Variedad (K=K’ara, C = Ch’acu), Edad (2, 3 y 4 años) y Sexo (M = Machos, H = Hembras), y como bloque Zona (S = Salinas, SM = San Martín y PA = Pampa Aullaga). La Información se presenta a continuación: A B C I =S II = SM III = PA Total

2

3

K M 1.00 0.67 0.60 2.27

H 0.79 0.90 0.65 2.34

C M 1.43 0.88 1.33 3.64

H 1.13 0.90 2.12 4.15

K M 0.95 0.75 0.87 2.57

H 0.88 0.75 0.87 2.50

4 C M 1.87 1.48 1.97 5.32

H 1.70 1.27 1.75 4.72

K M 1.17 0.72 0.96 2.85

H 1.05 0.78 0.88 2.71

C M H 2.07 1.87 1.45 1.63 1.73 1.60 5.25 5.10

Total 15.91 12.18 15.33 43.42

/* PROGRAMA EN SAS */ DATA LLAMA; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT EDAD VARIE $ SEXO $ ZONA $ PEVE; DATALINES; 2 KM I 1.00 2 K M II 0.67 2 K M III 0.60 2 KH I 0.79 2 K H II 0.90 ..........(continuar con el ingreso de datos)... 4 C M II 1.45 4 C M III 1.73 4 CH I 1.87 4 C H II 1.63 4 C H III 1.60 ; PROC PRINT; RUN; PROC ANOVA; CLASS EDAD VARIE SEXO ZONA; MODEL PEVE = ZONA EDAD VARIE SEXO EDAD*VARIE EDAD*SEXO VARIE*SEXO EDAD*VARIE*SEXO; MEANS EDAD VARIE/DUNCAN; RUN;


SALIDA DE RESULTADOS CON SAS. Class Level Information Class Levels EDAD 3 VARIE 2 SEXO 2 ZONA 3 Number of observations

Values 2 3 4 C K H M I II III 36

Dependent Variable: PEVE Source Model ZONA EDAD VARIE SEXO EDAD*VARIE EDAD*SEXO VARIE*SEXO EDAD*VARIE*SEXO Error Corrected Total R-Square Coeff Var 0.843536 18.89585

Sum of DF Squares Mean Square 13 6.16056111 0.47388932 2 0.67143889 0.33571944 2 0.56400556 0.28200278 1 4.65121111 4.65121111 1 0.00401111 0.00401111 2 0.16190556 0.08095278 2 0.06843889 0.03421944 1 0.00027778 0.00027778 2 0.03927222 0.01963611 22 1.14269444 0.05194066 35 7.30325556 Root MSE PEVE Mean 0.227905 1.206111

F Value 9.12 6.46 5.43 89.55 0.08 1.56 0.66 0.01 0.38

Duncans Multiple Range Test for PEVE Means with the same letter are not significantly different. Mean N EDAD A 1.32583 12 4 A 1.25917 12 3 B 1.03333 12 2 Duncans Multiple Range Test for PEVE Mean N VARIE A 1.56556 18 C B 0.84667 18 K

Pr > F <.0001 0.0062 0.0121 <.0001 0.7837 0.2328 0.5274 0.9424 0.6896

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7.2.3. Experimentos con factores cuantitativos (dos factores cuantitativos). Es frecuente encontrar experimentos combinados con factores de tipo cualitativo y cuantitativo, en esta sección mostraremos la metodología de desarrollo para el cálculo de un experimento factorial con dos factores, y lo detallamos a continuación con un ejemplo. EJEMPLO: Para estudiar el efecto del Compost y del Nitrógeno sobre dos variedades de algodón se condujo un experimento con los niveles siguientes: Variedades (V1 y V2), Compost (0 sin compost, 40 tm/ha, 80 tm/ha) y Cantidad de fertilizante nitrogenado 80 kg/ha, 60 kg/ha y 120 kg/ha. El área de las parcelas fue de 50 m2 y los resultados que se dan a continuación expresa kg/parcela. Calcular el ANVA, y las curvas de respuesta. La información se presenta a continuación: Variedad Compost 0 Nitrógeno 0 60 120 0 I 29 30 28 27 II 28 31 27 29 III 28 29 29 30 IV 28 30 29 27 Yijk. 113 120 113 113 Yi... Y1... = Y.j.. Y.1.. = 698 Y..k. Y..1. = 670 Yij.. Y11.. = 346 Yi.k. Y1.1. = 337 Y.jk. Y.11. = 224 Y.31. = 222

V1 40 60 31 30 32 33 126 1068

Y12.. = Y1.2. = Y.12. = Y.32. =

120 29 30 29 28 116

355 383 239 266

0 28 27 28 28 111

80 60 32 34 37 34 137

120 30 29 29 31 119

Y.2.. = Y..2. = Y13.. = Y1.3. = Y.13. = Y.33. =

718 755 367 348 235 245

0 28 30 26 27 111

0 60 28 30 30 31 119

120 30 30 31 31 122

Y21.. = 352 Y2.1. = 333 Y.21. = 224

V2 40 0 60 26 31 29 29 29 31 27 33 111 124 Y2... = Y.3.. = Y..3. = Y22.. = Y2.2. = Y.22. =

120 32 32 31 33 128 1081 733 724 363 372 250

0 27 28 26 30 111

80 60 30 34 32 33 129

120 Y...l 32 528 31 538 30 537 33 546 126 2149 2149 2149 2149 Y23.. = 366 2149 Y2.3. = 376 2149 Y.23. = 244 2149

SOLUCIÓN: Primeramente, se realizará los cálculos respectivos para encontrar las suma de cuadrados (SS) en base a la tabla dada anteriormente, aquí no se dará las fórmulas ya que el estudiante tiene conocimiento para calcular el análisis de varianza de un experimento factorial de dos y tres factores.


a) Grados de libertad: GLb = r - 1 = GLv = a - 1 = GLc = b - 1 = GLn = c - 1 = GLvxc = GLvxn = GLcxn = GLvxcxn= Gleexp.= Gltot =

3 1 2 2 2 2 4 4 51 71

b) Sumas d e Cuad rad os : TC = 64141.680556 SSB = 9.0416667 Ss a = 2.347222222 SSb = 25.69444444 SSc = 154.1944444 SSaxb= 1.861111111 SSaxc= 36.02777778 SSbxc= 28.30555556 SSaxbxc= 3.638888889 SSE = 80.20833333 SSTot = 341.31944444

TABLA DE ANÁLISIS DE VARIANZA GENERAL (ANOVA). F. de V. G.L. Bloques 3 Tratamientos 17 Variedad (V) 1 Compos t 'C' 2 Nitrógeno (N 2 VxC 2 VxN 2 CxN 4 VxCxN 4 Error Exptal 51 Total 71

S.S. 9.041667 252.069444 2.347222 25.694444 154.194444 1.861111 36.027778 28.305556 3.638889 80.208333 341.319444

M .S. 3.0138889 14.8276144 2.3472222 12.8472222 77.0972222 0.9305556 18.0138889 7.0763889 0.9097222 1.5727124

Fc 1.92 9.43 1.49 8.17 49.02 0.59 11.45 4.50 0.58

Como dos factores son de tipo cuantitativo, entonces se realizará mediante el análisis de regresión. A continuación detallamos la metodología de desarrollo. PARA LA VARIEDAD: V1 Primeramente se calculará el análisis de varianza para la variedad 1, en este caso tenemos usar en el procedimiento del SAS, lo que se denominará subconjuntar por separado y encontrar la tabla de análisis de varianza para los factores en estudio, en el cual se debe calcular para cada factor el modelo de regresión lineal y cuadrático y

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para las interacciones combinar en forma conveniente. El cuadro siguiente muestra el procedimiento: PARA LA VARIEDAD (V1) Compost Nitróg. Total C (N) Yij. CL CQ NL NQ CLxNL CLxNQ CQxNL CQxNQ 0 113 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 0 60 120 -1 1 0 -2 0 2 0 -2 120 113 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 0 113 0 -2 -1 1 0 0 2 -2 40 60 126 0 -2 0 -2 0 0 0 4 120 116 0 -2 1 1 0 0 -2 -2 0 111 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 80 60 137 1 1 0 -2 0 -2 0 -2 120 119 1 1 1 1 1 1 1 1 Suma(Yij.Pi) = 21 3 11 -81 8 -30 2 -12 SumaCij^2 = 6 18 6 18 4 12 12 36 rSuma Cij^2 = 24 72 24 72 16 48 48 144 SS = S(Yij.Pi)^2/rCij^2 = 18.37500 0.12500 5.04167 91.12500 4.00000 18.75000 0.08333 1.00000 Fc = MS/MSE = 11.68 0.08 3.21 57.94 2.54 11.92 0.05 0.64 MSE = 1.5727124

RESUMEN EN LA TABLA DE ANOVA: F. De V. Bloques Tratamientos Varied(V) Compost 'C' CL CQ Nitrog (N) NL NQ CxN CLxNL CLxNQ CQxNL CQxNQ Error Exptal Total

G.L. 3 17 1 2 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 51 71

S.S. M.S. Fc Signif. 9.04166667 3.01388889 1.92 n.s. 252.069444 14.8276144 9.43 ** 2.34722222 2.34722222 1.49 n.s. 18.5000 9.25000 5.88 18.3750 18.37500 11.684 ** 0.1250 0.12500 0.08 n.s. 96.1667 48.08333 30.57 5.0417 5.04167 3.21 n.s. 91.1250 91.12500 57.94 ** 23.8333 5.95833 3.79 4.0000 4.00000 2.54 n.s. 18.7500 18.75000 11.92 ** 0.0833 0.08333 0.05 n.s. 1.0000 1.00000 0.64 n.s. 80.2083333 1.57271 341.319444

Análisis y Diseño de Experimentos - 301 El modelo de regresión lineal para la variedad 1 (V1), está representada de la siguiente forma:

Yi = β 0 + β1C + β 2 N + β 3C 2 + β 4 N 2 + β5CN + β 6CN 2 + β 7 C 2 N + β8C 2 N De este modelo general, se debe encontrar el modelo reducido, usando el procedimiento de Stepwise, tal como se presenta a continuación:

Y$i = β$ 0 + β$ 1C 2 + β$ 2 C 2 N + β$ 3C 2 N 2 , expresada en términos numéricos es: Y$i = 28.97756 − 0.00020727C 2 + 0.00003316C 2 N − 0.00000025C 2 N 2

El modelo anterior nos permitirá interpretar y realizar las conclusiones para tomar una decisión correcta. PARA LA VARIEDAD 2 (V2). El procedimiento es similar al anterior. A continuación presentamos el cuadro de operaciones básicas, usando las tablas de coeficientes divisores y valores de K para ajustar las curvas cuárticas a datos de intervalos iguales y para separar la suma de cuadrados. PARA LA VARIEDAD (V2) Compost Nitróg. C (N) 0 0 60 120 0 40 60 120 0 80 60 120 Suma(Yij.Pi) = SumaCij^2 = rSuma Cij^2 = SS = S(Yij.Pi)^2/rCij^2 = Fc = MS/MSE = MSE = 1.5727124

Total Yij. 111 119 122 111 124 128 111 129 126

CL

CQ

NL

NQ

CLxNL

CLxNQ

CQxNL

CQxNQ

-1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 0 -2 0 2 0 -2 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 0 -2 -1 1 0 0 2 -2 0 -2 0 -2 0 0 0 4 0 -2 1 1 0 0 -2 -2 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 0 -2 0 -2 0 -2 1 1 1 1 1 1 1 1 14 -8 43 -35 4 -16 -8 -8 6 18 6 18 4 12 12 36 24 72 24 72 16 48 48 144 8.16667 0.88889 77.04167 17.01389 1.00000 5.33333 1.33333 0.44444 5.19 0.57 48.99 10.82 0.64 3.39 0.85 0.28

- 302 -


En seguida presentamos la tabla resumen de análisis de varianza (ANOVA) para contrastar la F observada, y cuáles de las fuentes de variación son significativos para poder tomar una decisión correcta.

F. de V. Bloques Tratamientos Varied(V) Compost 'C' CL CQ Nitrog (N) NL NQ CxN CLxNL CLxNQ CQxNL CQxNQ Error Exptal Total

G.L. 3 17 1 2

S.S. M.S. Fc Signific. 9.041666667 3.013888889 1.92 252.0694444 14.82761438 9.43 2.347222222 2.347222222 1.49 9.0556 4.52778 2.88 1 8.1667 8.16667 5.193 1 0.8889 0.88889 0.57 2 94.0556 47.02778 29.90 1 77.0417 77.04167 48.99 1 17.0139 17.01389 10.82 4 8.1111 2.02778 1.29 1 1.0000 1.00000 0.64 1 5.3333 5.33333 3.39 1 1.3333 1.33333 0.85 1 0.4444 0.44444 0.28 51 80.20833333 1.57271 71 341.3194444

El modelo general para la variedad 2 (V2), es el siguiente: Y$i = 27.75 + 0.0C − 0.0C 2 + 0.04375 N − 0.0001736 N 2 + 0.000521CN − 0.0CN 2 + 0.0000052C 2 N − 0.000

De este modelo general, debemos encontrar el modelo reducido para lo cual usamos el procedimiento de Stepwise y encontramos el modelo. Y$i = 27.167 + 0.01458C + 0.07847 N − 0.00040509 N 2

El modelo estimado encontrados es más fácil de interpretar que el modelo general que involucra todas las variables en estudio. A continuación, efectuaremos la comprobación de los cálculos realizados para encontrar la tabla de ANOVA, el modelo general y el modelo reducido a través del software estadístico de SAS, para posteriormente interpretar y realizar las conclusiones pertinentes al caso de estudio.

Análisis y Diseño de Experimentos - 303 /* PROGRAMA EN SAS */ DATA COMPOST; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; DO R = 1 TO 4; DO V = ‘V1’,’V2'; DO C = 0 TO 80 BY 40; DO N = 0 TO 120 BY 60; INPUT Y @; C2 = C*C; N2 = N*N; CN = C*N; CN2 = C*N2; C2N = C2*N; C2N2 = C2*N2; OUTPUT; END; END; END; END; CARDS; 29 30 28 27 31 29 28 32 30 28 28 30 26 28 31 27 29 30 30 27 34 29 30 30 30 29 28 29 29 30 32 29 28 37 29 26 30 31 29 28 30 29 27 33 28 28 34 31 27 31 31 27 ; PROC PRINT; RUN; PROC ANOVA; CLASS R V C N; MODEL Y = R V C N V*C V*N C*N V*C*N; RUN;

31 29 31 33

32 32 31 33

27 28 26 30

30 34 32 33

32 31 30 33

/* PARA ENCONTRAR LAS CURVAS DE RESPUESTA PARA CADA VARIEDAD */

DATA VARIE1; SET COMPOST; IF V = ‘V1’; PROC GLM; MODEL Y = RUN; PROC REG; MODEL Y = C C2 N N2 RUN; DATA VARIE2; SET COMPOST; IF V = ‘V2’; PROC GLM; MODEL Y = RUN; PROC REG; MODEL Y = C C2 N N2 RUN;

C C2 N N2 CN CN2 C2N C2N2/SOLUTION; CN CN2 C2N C2N2/METHOD=STEPWISE;

C C2 N N2 CN CN2 C2N C2N2/SOLUTION; CN CN2 C2N C2N2/METHOD=STEPWISE;

- 304 -


SALIDA DEL SAS: The ANOVA Procedure Class Level Information Class Levels Values R 4 1 2 3 4 V 2 V1 V2 C 3 0 40 80 N 3 0 60 120 Number of observations 72 Dependent Variable: Y Source DF Model 20 R 3 V 1 C 2 N 2 V*C 2 V*N 2 C*N 4 V*C*N 4 Error 51 Corrected Total 71 R-Square Coeff Var 0.765005 4.201658 The GLM Procedure Number of observations Dependent Variable: Y Source DF Model 8 C 1 C2 1 N 1 N2 1 CN 1 CN2 1 C2N 1 C2N2 1 Error 27 Corrected Total 35 R-Square Coeff Var 0.795977 3.865125

Parameter Intercept C C2 N N2 CN CN2 C2N C2N2

Sum of Squares 261.1111111 9.0416667 2.3472222 25.6944444 154.1944444 1.8611111 36.0277778 28.3055556 3.6388889 80.2083333 341.3194444 Root MSE 1.254078

Mean Square 13.0555556 3.0138889 2.3472222 12.8472222 77.0972222 0.9305556 18.0138889 7.0763889 0.9097222 1.5727124

F Value 8.30 1.92 1.49 8.17 49.02 0.59 11.45 4.50 0.58

Pr > F <.0001 0.1386 0.2275 0.0008 <.0001 0.5571 <.0001 0.0034 0.6796

Y Mean 29.84722

36 Sum of Squares 138.5000000 18.37500000 0.12500000 5.04166667 91.12500000 4.00000000 18.75000000 0.08333333 1.00000000 35.5000000 174.0000000 Root MSE 1.146654

Estimate 28.25000000 0.00625000 -0.00015625 0.05833333 -0.00048611 0.00041667 -0.00000260 0.00001693 -0.00000013

Mean Square 17.3125000 18.37500000 0.12500000 5.04166667 91.12500000 4.00000000 18.75000000 0.08333333 1.00000000 1.3148148

F Value 13.17 13.98 0.10 3.83 69.31 3.04 14.26 0.06 0.76

Y Mean 29.66667

Standard Error 0.57332687 0.03654256 0.00043886 0.02436171 0.00019505 0.00155276 0.00001243 0.00001865 0.00000015

t Value 49.27 0.17 -0.36 2.39 -2.49 0.27 -0.21 0.91 -0.87

Pr > |t| <.0001 0.8655 0.7246 0.0239 0.0191 0.7905 0.8357 0.3721 0.3908

Pr > F <.0001 0.0009 0.7602 0.0606 <.0001 0.0925 0.0008 0.8031 0.3908

Análisis y Diseño de Experimentos - 305 The REG Procedure (MODELO REDUCIDO) Parameter Standard Variable Estimate Error Intercept 28.97756 0.29223 C2 -0.00020727 0.00010904 C2N 0.00003316 0.00000403 C2N2 -0.00000025 0.00000003

Type II SS 15411 5.66358 106.04581 97.06127

F Value 9833.01 3.61 67.66 61.93

Pr > F <.0001 0.0663 <.0001 <.0001

PARA LA VARIEDAD 2 (V2) Dependent Variable: Y Source DF Model 8 C 1 C2 1 N 1 N2 1 CN 1 CN2 1 C2N 1 C2N2 1 Error 27 Corrected Total 35 R-Square Coeff Var 0.674188 4.698770

Sum of Squares 111.2222222 8.16666667 0.88888889 77.04166667 17.01388889 1.00000000 5.33333333 1.33333333 0.44444444 53.7500000 164.9722222 Root MSE 1.410936

Mean Square 13.9027778 8.16666667 0.88888889 77.04166667 17.01388889 1.00000000 5.33333333 1.33333333 0.44444444 1.9907407

F Value 6.98 4.10 0.45 38.70 8.55 0.50 2.68 0.67 0.22

Y Mean 30.02778

Parameter

Estimate

Standard Error

t Value

Pr > |t|

Intercept C C2 N N2 CN CN2 C2N C2N2

27.75000000 -0.00000000 0.00000000 0.04375000 -0.00017361 0.00052083 -0.00000000 0.00000521 -0.00000009

0.70546806 0.04496494 0.00054001 0.02997663 0.00024001 0.00191064 0.00001530 0.00002295 0.00000018

39.34 -0.00 0.00 1.46 -0.72 0.27 -0.00 0.23 -0.47

<.0001 1.0000 1.0000 0.1560 0.4757 0.7872 1.0000 0.8221 0.6404

The REG Procedure (MODELO REDUCIDO) Parameter Standard Variable Estimate Error Intercept 27.16667 0.49509 C 0.01458 0.00715 N 0.07847 0.01718 N2 -0.00040509 0.00013753

Pr > F <.0001 0.0528 0.5097 <.0001 0.0069 0.4846 0.1133 0.4203 0.6404

Type II SS 5904.22222 8.16667 40.92628 17.01389

F Value 3010.92 4.16 20.87 8.68

Pr > F <.0001 0.0496 <.0001 0.0060

Los resultados obtenidos, se deben interpretar en base a la probabilidad, es decir

p ≤ α entonces encontraremos diferencia estadísticas significativa para un alfa dado. En cambio si p > α en este caso no se encontrará diferencia alguna.

si

- 306 -


EJERCICIOS: 1. En el departamento de control de calidad de una planta de acabado de telas se está estudiando el efecto de diversos factores sobre el teñido de tela de algodón y fibra sintética, la cual se utiliza en la manufactura de camisas para caballero. Se seleccionaron 3 operarios, 3 niveles de tiempo y 2 niveles de temperatura, y se tiñeron 3 pequeñas muestras de tela dentro de cada conjunto de condiciones. La tela teñida fue comparada con un estándar y se le asignó una calificación numérica. Los resultados aparecen a continuación. Analice los datos y realice las conclusiones adecuadas. Comente la idoneidad del modelo. Temperatura Tiempo de cilo 40 50

60

1 23 24 25 36 35 36 28 24 27

300° Operario 2 27 28 26 34 38 39 35 35 34

3 31 32 29 33 34 35 26 27 25

350° Operario 2 38 36 35 34 38 36 36 37 34

1 24 23 28 37 39 35 26 29 25

3 34 36 39 34 36 31 28 26 24

2. Un experimento conducido en el cultivo de maíz, fue establecido para probar dos variedades V1 y V2 de maíz a tres densidades de siembra (d1 = 100, d2 = 130 y d3 = 160 plantas/ acre) y tres niveles de abonamiento nitrogenado (n1 = 50, n2 = 100 y n3 = 150 lb/acre de N). Los rendimientos son estimados en bushels/acre. Analice los datos considerando que existen dos factores cuantitativos. Los datos se presentan a continuación: Variedad Compost 100 Nitrógeno 50 100 150 50 I 90 95 107 98 II 83 80 95 98 III 85 88 88 112 IV 86 78 89 79 V 88 93 105 90 VI 83 88 95 92 Yijk. 515 522 579 569 Yi... Y1... = Y.j.. Y.1.. = 3456 Y..k. Y..1. = 3488 Yij.. Y11.. = 1616 Yi.k. Y1.1. = 1572 Y.jk. Y.11. = 1053 Y.31. = 1220

V1 130 100 89 98 104 86 91 98 566 4861

Y12.. = Y1.2. = Y.12. = Y.32. =

150 92 106 91 87 97 106 579

1714 1598 1191 1190

50 81 74 82 85 88 78 488

160 100 92 81 78 89 85 85 510

150 93 74 94 83 90 99 533

Y.2.. = Y..2. = Y13.. = Y1.3. = Y.13. = Y.33. =

3720 3605 1531 1691 1212 1291

50 80 102 80 93 90 93 538

100 100 117 109 104 114 110 115 669

150 100 105 114 114 95 105 633

Y21.. = 1840 Y2.1. = 1916 Y.21. = 1215

50 121 99 90 109 117 110 646

V2 130 100 110 94 118 131 115 90 658 Y2... = Y.3.. = Y..3. = Y22.. = Y2.2. = Y.22. =

150 119 123 113 126 100 121 702 6016 3701 3784 2006 2007 1224

50 120 136 119 116 105 136 732

160 100 98 133 122 136 93 98 680

150 122 132 136 133 120 115 758

Y...l 1824 1822 1818 1834 1772 1807 10877 10877 10877 10877 Y23.. = 2170 10877 Y2.3. = 2093 10877 Y.23. = 1281 10877

Análisis y Diseño de Experimentos - 307 3. El presente estudio que se presenta a continuación es evaluar la tecnología que conlleve a los máximos rendimientos del cultivo, considerando los factores: Densidad de siembra, control de malezas y cuidados sanitarios. Los factores en estudio que se han considerado con los siguientes: a) Densidad de siembra (factor cualitativo). - D1 : Densidad Baja. - D2 : Densidad Media. - D3 : Densidad Alta. b) Control de Maleza: (Factor Cualitativo). - M0 : Sin control de malezas. - M1 : Con control de malezas. c) Control Sanitario: (Factor Cualitativo). - S0 : Sin control sanitario. - S1 : Con control sanitario. Tratamientos o combinaciones de factores: Clave T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12

Tratamiento D1M0S0 D1M1S0 D1M0S1 D1M1S1 D2M0S0 D2M1S0 D2M0S1 D2M1S1 D3M0S0 D3M1S0 D3M0S1 D3M1S1

- 308 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno CROQUIS EXPERIMENTAL: B LO Q U E I: T3 T5 T1 1

T4

T8

T1 2

T9

T6

T2

T7

T1 0

T1

B LO Q U E II: T5 T1 1 T8

T6

T1 0

T3

T9

T7

T1 2

T2

T1

T4

B LO Q U E III: T9 T1 1 T1 0

T4

T8

T1 2

T2

T5

T6

T3

T7

T1

MATRIZ DE DATOS: Y = Número de vainas por planta.

D e n s id a d D1

S a n id a d S0 S1

D2

S0 S1 S0

D3

S1

M a le z a M0

I 21.90

B LO Q UE S II 19.80

III 20.70

To t a l 62.40

M1

23.40

24.50

21.20

69.10

M0

22.50

21.30

20.70

64.50

M1

21.20

23.40

20.70

65.30

M0

18.60

16.60

18.20

53.40

M1

19.60

19.20

16.50

55.30

M0

22.50

16.80

14.90

54.20

M1

18.20

20.70

18.60

57.50

M0

14.50

17.80

13.90

46.20

M1

15.00

18.30

15.50

48.80

M0

13.60

18.50

12.90

45.00

M1

16.30 227 .30

16.50 233 .40

15.80 209 .60

48.60 Y ....= 670 .30

To t a l

Realice el análisis de varianza e interprete los resultados, usando SAS. 4. La información corresponde al experimento de ensayo de los fertilizantes de Nítrogeno (N), Fósforo (P) y Potasio (K) en el rendimiento de la papa, para esto se usó un diseño bloque completo al azar conducido bajo el experimento factorial de 3x2x3. Los rendimientos de papa están dadas en kg. por parcela de 336 m2. La información se presenta a continuación: N 200 P 200 K 200 400 600 200 I 16.83 18.56 20.48 18.40 II 23.84 16.59 21.88 20.42 III 16.40 18.87 17.45 11.29

400 400 400 20.99 19.85 15.89

200 600 200 400 24.47 16.95 22.35 22.60 18.10 20.78 17.38 16.35 17.16

400 600 200 400 21.84 23.27 23.43 26.80 14.97 21.50 24.00 23.75 21.85

600 200 600 200 400 32.52 23.71 22.11 28.78 16.71 21.90 29.70 24.43 26.73

600 21.77 26.52 27.89

200 20.71 28.02 19.04

400 400 26.51 32.07 19.58

600 27.15 26.89 24.45

a) Calcular el ANVA y realizar la interpretación de los resultados.


8 MÉTODOS Y DISEÑO DE SUPERFICIE DE RESPUESTA La Metodología para superficies de respuesta, es como lo define Myers (1971), un conjunto particular de métodos estadísticos y matemáticos que emplean los investigadores para auxiliarse en la solución de ciertos tipos de problemas relativos a procesos científicos o de ingeniería. Hasta ahora su mayor aplicación ha tenido lugar en las investigaciones industriales, donde un gran número de variables manifiestan su influencia sobre una determinada característica: la respuesta, esta se mide normalmente en una escala continua y probablemente representa la función más importante del proceso, lo cual no descarta la posibilidad de estudiar más de una respuesta. El proceso comprende también variables insumo o variables independientes, las cuales producen un cierto efecto sobre la respuesta y están sujetas al control del investigador. Así mismo Montgomery (1991) define como un conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas útiles para modelar y analizar problemas en los cuales una respuesta de interés es influida por varias variables, y el objetivo es optimizar esta respuesta. En la mayoría de los problemas de superficie de respuesta, la forma de la relación entre la respuesta y las variables independientes se desconoce. Por ello, el primer paso en la superficie de respuesta consiste en determinar una aproximación

- 310 -


apropiada a la relación funcional real entre Y y el conjunto de variables independientes. Por lo general se emplea un polinomio de orden bajo sobre alguna región de las variables independientes. Si la respuesta es descrita adecuadamente por una función lineal de las variables independientes, la función de aproximación es el modelo de primer orden.

Y = β 0 + β 1 X i 1 + β 2 X i 2 + L + β k X ik + ε i ; ó Y = X β + ε La superficie de respuesta permite que el investigador inspeccione, de manera visual, la respuesta para cierta zona de los niveles de los factores de interés y evaluar su sensibilidad a los factores de tratamiento. En ciertas aplicaciones industriales, las superficies de respuesta se exploran para determinar la combinación de niveles de los factores que proporcionan una condición operativa óptima, como la combinación de temperatura y tiempo que maximiza la producción química. En otras aplicaciones, se exploran para encontrar la combinación de niveles de los factores que proporcionan mejoras económicas a las respuestas de las condiciones operativas urgentes, si no es demasiado costoso lograr esas condiciones óptimas. Las superficies de respuestas también se pueden utilizar en estudios analíticos de procesos fundamentales; por ejemplo, suelen usarse en las ciencias biológicas para investigar la influencia mutua de los factores sobre la variable de respuesta, como la interacción entre el nitrógeno y el fósforo en el crecimiento de las plantas (Kuehl, 2001). DISEÑOS PARA AJUSTAR MODELOS DE SEGUNDO ORDEN Aquí supondremos que el investigador desea ajustar a sus datos un modelo de segundo orden, consecuentemente, se requiere un diseño experimental que comprende, por lo menos, tres niveles de cada factor. Una primera alternativa para realizar el ajuste, es el empleo de factoriales 3p; otra alternativa la proporcionan los diseños compuestos centrales, introducidos por Box y Wilson (1951), fue para ajustar superficie de respuesta de segundo orden conocido también como diseño de tratamientos de cinco niveles. Sus primeros diseños llamados diseños compuestos, se construyen por adición de más combinaciones de tratamientos a aquellas que son obtenidas de una factorial de 2p. Este tipo de diseños comenzaron a utilizarse en experimentos de física, química e industrial, posteriormente se extendieron a los experimentos con abonamiento. Los diseños más comunes dentro de esta familia son los compuestos centrales en sus formas rotables y no rotables. Ahora bien, ante la posibilidad de poder elegir entre varias alternativas, el investigador debe comparar los diseños de que dispone desde dos puntos de vista: i) por la precisión en la estimación de los coeficientes de regresión, y ii) en términos

Análisis y Diseño de Experimentos - 311 del costo de la investigación, definido por la magnitud del experimento. Para dos, tres y aún cuatro factores, es posible que el factorial completo 3p sea una buena alternativa; sin embargo, si el número de factores “p” es mayor que 5, tal alternativa es impráctica, puesto que se requiere ensayar 35 =243 (o más combinaciones) de tratamientos. Ante estas situaciones, los diseños compuestos centrales, son la alternativa lógica. DISEÑOS COMPUESTOS CENTRALES (Central Composite Designs, CCD)

Los autores Box y Wilson (1951), han propuesto diseños rotables de dos o más factores o dimensiones, óptimamente pensados para una experimentación secuencial. La racionalidad de la propuesta deriva, en primer término de la posibilidad de hacer los ensayos sin arruinar presumiblemente, materia prima por riesgo de incurrir en combinaciones peligrosas. Esto se entiende si pensamos que el diseño rotable tiene los niveles espaciados entre sí lo suficientemente cerca de las condiciones de operación poco riesgosas como para dar cierta seguridad al diseñador que no incursiona en zonas “tabú”. En segundo término, el diseñador puede hacer crecer su diseño por rotación. La búsqueda de información útil se plantea en dos etapas, esto es, primero un diseño rotable antes de rotar y luego (si los datos del análisis de la primera etapa así lo recomiendan), uno complementario, después de rotar. La lógica incluye una replicación de varias veces del punto central del diseño para conseguir una valiosa estimación de la importancia del ERROR EXPERIMENTAL. Para la primera etapa se investigan suficientes puntos factoriales en torno a un punto central o baricentro del diseño, como para permitir la determinación de la importancia de: los componentes lineales del modelo, las interacciones simples y la curvatura global. La última inferencia, es la curvatura global, es crucial, puede ser ya sea nula o no-nula; el detalle crucial consiste en desplazar el diseño a otra zona si la curvatura global no tiene importancia; siendo en cambio, no-nula, ello es síntoma de la presencia de componentes no-lineales, que permiten decidir que el ensayo continúa pasando por una segunda etapa complementaria, que se omite si la curvatura global fuese descartable. Dicha segunda etapa consiste en rotar el diseño, se puede visualizar así la primera y la segunda etapa, respectivamente antes de rotar y después: antes de rotar, los puntos externos al baricentro no se ubican ortogonales a dicho centro, sino sesgados en diagonal. Para la segunda etapa el diseño previo se rota de manera que los puntos sesgados estén ahora ortogonales con respecto al baricentro con lo cual hay suficien-

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te información como para deducir la importancia de cada una de las curvaturas posibles, tantas curvaturas como dimensiones de búsqueda existan. Utilizando los datos ANTES de rotar en conjunto con los datos DESPUES de rotar, los cálculos pueden estimarse con precisión la importancia de los componentes cuadráticos (la “curvatura de la superficie de respuesta”) de la función que liga a las variables de decisión o factores con la eficiencia buscada. El modelo de segundo grado, es el siguiente: k

k

i =1

i =1

k

k

Y = β 0 + ∑ βi X i + ∑ βii X i2 + ∑∑ βij X i X j + e; i =1 j =1 i< j

Para un sistema de dos factores, la forma del modelo que generalmente se utiliza es:

Y = β0 + β1X1 + β 2 X 2 + β11X12 + β 22 X 22 + β12 X1X 2 Los diseños centrales compuestos son una alternativa a los factoriales 3p Box y Wilson (1951) propusieron diseños centrales compuestos que requieren menos combinaciones de tratamientos que los factoriales 3 p, para estimar las ecuaciones de la superficie de respuesta cuadrática. Los diseños centrales compuestos son diseños de tratamientos factoriales 2p con 2p combinaciones adicionales, llamadas puntos axiales o estrella y C constituye el tratamiento central que se repite un número determinado de veces dependiendo del número de factores. El diseño central compuesto, permite evaluar a la vez cinco niveles de cada factor, tal como se muestra a continuación: Nivel Codificado (Xi) Denominación

−á -1 0 +1

+á

Nivel mínimo Nivel b ajo Nivel medio Nivel alto Nivel máximo

Análisis y Diseño de Experimentos - 313 Entonces los diseños compuestos centrales, comprenden las combinaciones de tratamientos de un factorial 2p, o las de una fracción de factorial, con los niveles de los factores codificados -1, +1, una o más repeticiones del punto central (0,0,...,0) y además, los puntos axiales o estrella, con las siguientes características: a) Las coordenadas de los puntos axiales de los ejes del factor codificados son:

b − α , 0, b + α , 0, b0 , − α b0 , + α b0 , b0 ,

g ,0g ,0g ,0g

0, L ,0 0, L 0, L 0, L M

g ,+α g

0, 0, L ,−α 0 0, L

b ± α , 0, b0, ± α , con α >1

b0,

g ,0g

0, L ,0 0, L M

0, 0, L ,±α

g

b) Se agregan “C” puntos replicados en el centro del diseño en las coordenadas (0, 0, ...,0) necesarios para hallar la varianza del error experimental. El diseño central compuesto tiene tres grupos característicos de tratamientos, que se denominan: Tratamientos factoriales, tratamiento estrella y tratamiento central. El número de tratamientos es igual a:

N = 2p + 2 p + C donde: N = Es el número total de tratamientos u observaciones. 2p = Es el número de tratamientos básicos de la parte factorial o combinaciones de tratamientos. 2p = Corresponde a los tratamientos de la parte axial o estrella o combinación

- 314 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno de tratamientos en los puntos axiales del diseño. C = Constituye el tratamiento central que se repite un número determinado de veces dependiendo del número de factores o réplicas en el centro del diseño. p = número de factores en estudio o variables.

b

g

Los niveles codificados −α ,−1,0,+1,+α , se utilizan en el análisis estadístico para simplificar los cálculos. Los niveles reales: mínimo (generalmente 0) y máximo, los propone el investigador en función a su experiencia en la materia; el nivel central es el promedio entre el nivel mínimo y máximo. Ejemplo: Las coordenadas en los ejes codificados x1 y x2 para el diseño central compuesto con dos factores se muestra a continuación: N = 22+2x2+1 = 9 tratamientos u obs. Coordenadas del CCD: Diseño 22 X1 X2 -1 -1 +1 -1 -1 +1 Puntos factoriales +1 +1 −α 0 0 +α0 Punto estrella −α 0 o axial +α 0 0 0 Punto central

x2

b0,αg (-1,1)

b−α,0g

(1,1)

(0,0)

(-1,-1)

bα,0g

x1

(1,-1)

b0,−αg

Para diseño central compuesto de tres factores, se elabora el cubo espacial, tal como se muestra a continuación: N = 23+2x3+2 = 16 tratamientos u observaciones.


Coordenadas del CCD: Diseño 23 X1 X2 X3 + + + + Puntos factoriales + + + + + + + + 0 0 −α 0 0 +α 0 −α 0 Punto estrella o axial 0 +α 0 −α 0 0

+α

Punto central

0 0

0 0 0

x2

x3 x1

0 0 0

Diseños rotatorios para mejorar las exploraciones de la superficie de respuesta. Una propiedad deseable al establecer cualquier diseño es la misma precisión para todas las estimaciones de las medias. Sin embargo, la precisión de los valores estimados sobre la superficie de respuesta basados en la ecuación de regresión estimada no será constante en toda la región experimental. Una propiedad rotatoria desarrollada para los diseños centrales compuestos requiere que la varianza de los valores estimados sea constante en puntos equidistantes del centro del diseño con coordenadas codificadas como (0,0,....,0). Lo rotatorio de un diseño cobra importancia en la exploración de una superficie de respuesta porque la precisión de la superficie estimada no depende de la orientación del diseño con respecto a la superficie de respuesta real o a la dirección de la búsqueda de las condiciones óptimas. Los factoriales 2p usado como diseño de primer orden para aplicar el método de búsqueda de la mayor pendiente en zonas de respuestas óptimas son diseños rotatorios. Así, la orientación del diseño no dificulta el método de búsqueda de la mayor pendiente porque algunas respuestas se estiman con menor precisión que otras. El diseño central compuesto se puede hacer rotatorio estableciendo los valores de los puntos axiales.

- 316 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno Determinación de

α en el Diseño Central Compuesto (CCD).

El diseño central compuesto se puede hacer rotatorio estableciendo los valores de los puntos axiales como:

α= Número de corridas del factorial

14

ch

1 p 4

=2

Ejemplos: . b g = 2 = 1414 . El valor de α para un diseño de tres factores es: α = c2 h = b8g = 1682

α para un diseño de dos factores es: α = c22 h 4

1

El valor de

= 4

1 4

1 3 4

1 4

En el cuadro siguiente se presentan los diseños centrales compuestos con precisión uniforme: N° de Factores p

Fracción de 2 Factorial Axial o Estrella Pto. Central Total (N)

c ±2 h

p 14

2

3

4

5

5

6

6

1 4 4 5 13

1 8 6 6 20

1 16 8 7 31

1 32 10 10 52

1/2 16 10 6 32

1 64 12 15 91

1/2 32 12 9 53

1.414 1.682 2.000 2.378 2.000 2.828 2.378

Ejemplo: En el siguiente cuadro, se muestra el número de tratamientos, según el número de factores para un diseño compuesto central rotable.


Número de factores 2 Tratamiento 1 -1 -1 2 1 -1 3 -1 1 4 1 1 −α 5 0 +α 6 0 −α 7 0 +α 8 0 9 0 0 10 0 0 11 0 0 12 0 0 13 0 0 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ... ... ... 31 13 Total

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1

−α +α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 0 0

−α +α 0 0 0 0 0 0 0 0

4 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 0 0 0 0

−α +α 0 0 0 0 0 0

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1

−α +α

0 0 0 0 0 0 0 ... ... ... 0

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 0 0

−α +α

20

0 0 0 0 0 ... ... ... 0

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 0 0 0 0

−α +α

0 0 0 ... ... ... 0

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

−α +α

0 ... ... ... 0

31

Ejemplo: Analizaremos el siguiente ejemplo que se refiere al uso de fertilización NPK en la producción de cebada en ton/ha como variable dependient (Y), los límites son: N de 0 a 300, P de 0 a 300 y K de 0 a 200, entonces se puede calcular los valores reales para los niveles bajo y alto, en cada uno de los factores (p = 3).

Variables N : Nitrógeno P : Fós foro K: Potas io Nivel real (kg/ha)

Niveles Inferior Superior 0 300 0 300 0 200

Realizar el Diseño Central Compuesto (CCD).

- 318 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno SOLUCIÓN: 1. Número de tratamientos en el estudio es N = 2 p + 2 p + C entonces: N = 23+2x3+6 = 20 tratamientos u observaciones. 2. Codificación de valores del CCD para tres factores.

X0 X1 X2 X3

1 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 -1.682 1.682 0 0 0 0 1 0 0 -1.682 1.682 0 0 1 0 0 0 0 -1.682 1.682

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

3. Decodificación: Una de las formas más adecuadas para pasar de la escala codificada (matriz de diseño Xj) a la escala natural o real Zj, es utilizando las fórmulas siguientes: Centro del Diseño:

Radio del diseño:

Z 0j =

∆Z j =

Z máx + Z mín j j 2 Z máx − Z mín j j 2

0 La ecuación decodificada es: Z j = Z j +

FG X ∆Z IJ Hα K j

j

Entonces, usando las fórmulas anteriores para nuestro ejemplo tenemos: Para el Factor Nitrógeno (N): Centro del Diseño: Z 0j =

300 + 0 = 150 2

Radio del diseño: ∆Z j =

300 − 0 = 150 2

FG ( −1) 150IJ = 60.8 H 1682 K . F ( +1) 150IJ = 239.2 La ecuación decodificada, tomando para (+1) es: Z = 150 + GH 1682 K . La ecuación decodificada, tomando para (-1) es:

Z1 = 150 +

1

Análisis y Diseño de Experimentos - 319 −α

-1

0

0

60.8

150

+1

+α

239.2

300

Para el Factor Potasio (K): Centro del Diseño: Z 0j =

200 + 0 = 100 2

Radio del diseño: ∆Z j =

200 − 0 = 100 2

FG ( −1) 100IJ = 40.5 H 1682 K . F ( +1) 100IJ = 159.5 La ecuación decodificada, tomando para (+1) es: Z = 100 + GH 1682 K . La ecuación decodificada, tomando para (-1) es:

Z1 = 100 +

1

−α

-1

0

0

40.5

100

+1

+α

159.5

200

Podemos hallar el centro y el radio de las variables, como se muestra en la tabla siguiente: C en tr o R a d io

N 150 150

P 150 150

K 100 100

Para obtener la matriz de diseño a escala natural, asumamos que el radio codificado es igual 1.682. Dividiendo éste valor en la ecuación de decodificación se tiene:

Z j = Z0j +

FG X ∆Z IJ . H1682 K j

j

En resumen se tiene: N iv e l C o d ific a d o (X i) -1 .68 2 -1 0 1 1 .6 82

N 0 6 0.8 1 50 2 39 .2 3 00

N iv e l re a l (K g / h a ) P 0 6 0.8 1 50 2 39 .2 3 00

K 0 4 0.5 1 00 1 59 .5 2 00

- 320 -


El cuadro siguiente muestra la matriz de diseño en estudio, tanto a escala codificado como a escala natural y la variable de respuesta (Y).

X0 X1 X2 X3 Z1 = N Z2 = P Z3 = K 1 -1 -1 -1 60.8 60.8 40.5 1 1 -1 -1 239.2 60.8 40.5 1 -1 1 -1 60.8 239.2 40.5 1 1 1 -1 239.2 239.2 40.5 1 -1 -1 1 60.8 60.8 159.5 1 1 -1 1 239.2 60.8 159.5 1 -1 1 1 60.8 239.2 159.5 1 1 1 1 239.2 239.2 159.5 1 -1.682 0 0 0 150 100 1 1.682 0 0 300 150 100 1 0 -1.682 0 150 0 100 1 0 1.682 0 150 300 100 1 0 0 -1.682 150 150 0 1 0 0 1.682 150 150 200 1 0 0 0 150 150 100 1 0 0 0 150 150 100 1 0 0 0 150 150 100 1 0 0 0 150 150 100 1 0 0 0 150 150 100 1 0 0 0 150 150 100 M atriz de dis eño para un dis eño compues to (p = 3).

Y 1.50 4.10 3.00 2.80 2.20 3.50 5.00 4.80 2.50 4.50 2.00 4.40 3.50 4.60 4.10 4.60 4.40 4.10 4.40 4.30

Estimación del modelo matemático para diseño rotables y compuestos. Los diseños rotables y compuestos son diseños que tienen tres niveles en cada variable, por lo cual podemos estimar modelos matemáticos de segundo orden. p

p

p

p

Yˆ = βˆ0 + ∑ βˆ j X ij + ∑ βˆ jj X + ∑∑ βˆ jk X ij X ik j =1

j =1

2 ij

j =1 k =1 j
Los coeficientes del modelo matemático de segundo orden pueden ser estimados por varios métodos, entre los que podemos mencionar a la técnica de regresión múltiple por Mínimos Cuadrados, tanto en la forma de ecuaciones normales, forma

Análisis y Diseño de Experimentos - 321 matricial y el método de correlación múltiple. En cuanto a otras técnicas podemos mencionar a la técnica de búsqueda directa (por ejempo la técnica de Nelder y Mead) o también a la técnica conocida como los polinomios de Chevyshev, entre otras más. Desde el punto de vista de la facilidad, para poder programar en computadoras, el método matricial es el más recomendable y está definido por la siguiente fórmula matricial.

b g

β$ = X' X

−1

X' Y

donde: X = Matriz de diseño. X’ = Transpuesta de la matriz de diseño. Y = Los datos observados (variable de respuesta o variable dependiente). Veamos numéricamente esta técnica, resolviendo el problema planteado en la sección anterior. La matriz X y el vector Y, están definidos como sigue: X0 X1 X2 X3 X11 X22 X33 X1X2 X1X3 X2X3 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1.682 0 0 2.8291 0 0 0 0 0 X = 1 1.682 0 0 2.8291 0 0 0 0 0 1 0 -1.682 0 0 2.8291 0 0 0 0 1 0 1.682 0 0 2.8291 0 0 0 0 1 0 0 -1.682 0 0 2.8291 0 0 0 1 0 0 1.682 0 0 2.8291 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Y=

Y 1.50 4.10 3.00 2.80 2.20 3.50 5.00 4.80 2.50 4.50 2.00 4.40 3.50 4.60 4.10 4.60 4.40 4.10 4.40 4.30

- 322 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno La transpuesta de X’, está definido de la siguiente forma:

X' =

1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1

1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1

1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1

1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1

1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1

1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1

1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1.68 1.682 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1.68 1.68 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1.68 2 0 0 0 0 0 1 2.829 2.829 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2.83 2.83 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2.83 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

El producto de las matrices X’X es la siguiente matriz:

X'X =

20 0 0 0 13.7 13.7 13.7 0 0 0

0 0 0 13.658248 13.6582 13.6582 14 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 24.007885 8 8 0 0 0 8 24.0079 8 0 0 0 8 8 24.0079 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 8 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 8 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 8

La inversa de la matriz (X’X)-1, denominada también matriz de correlación, es la siguiente matriz:

(X'X)−1 =

0.1663429 0 0 0 -0.056788 -0.05679 -0.05679 0 0 0 0 0.073216 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0732158 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.073216 0 0 0 0 0 0 -0.0567876 0 0 0 0.0693645 0.006895 0.006895 0 0 0 -0.0567876 0 0 0 0.0068953 0.069365 0.006895 0 0 0 -0.0567876 0 0 0 0.0068953 0.006895 0.069365 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.125

El producto de la matriz X’Y, es el vector siguiente:


X'Y =

74.30000 6.86400 8.33680 5.95020 46.70387 45.00639 49.81590 -4.30000 -1.30000 3.90000

LM(0Y) = ∑ X Y = ∑Y = 74.30OP MM (1Y) = ∑ X Y = 6.8640 PP = ∑ X Y = 8.3368 MM (2Y) P (3Y) = ∑ X Y = 5.9502 P M (11Y) = ∑ X Y = 46.70387 PP = M MM (22Y) = ∑ X Y = 45.00639 PP = ∑ X Y = 49.81590 MM (33Y) P (12Y) = ∑ X X Y = -4.300 P MM (13Y) = ∑ X X Y = -1.3000 PP MN (23Y) = ∑ X X Y = 3.9000 PQ 0

1 2

3 2 1 2 2 2 3 1

1

2

2

3

3

$ , están definidas por el producto de (X’X)-1X’Y. Los coeficientes de B

−1 βˆ = (X'X) X'Y =

0.1663429 0 0 0 -0.056788 -0.05679 -0.05679 0 0 0 0 0.073216 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.073216 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.073216 0 0 0 0 0 0 -0.0567876 0 0 0 0.0693645 0.0069 0.006895 0 0 0 -0.0567876 0 0 0 0.0068953 0.06936 0.006895 0 0 0 -0.0567876 0 0 0 0.0068953 0.0069 0.069365 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.125

βˆ =

4.3223441633 0.5025534754 0.6103857537 0.4356488475 -0.3259035827 -0.4319434735 -0.1314971163 -0.5375000000 -0.1625000000 0.4875000000

=

74.30000 6.86400 8.33680 5.95020 46.70387 45.00639 49.81590 -4.30000 -1.30000 3.90000

b0 b1 b2 b3 b11 b22 b33 b12 b13 b23

Así, el modelo matemático para el diseño compuesto central propuesto en escala codificada es la siguiente: Y$ = 4322 . + 050255 . Xi1 + 061038 . Xi 2 + 04356 . Xi3 − 03259 . Xi21 − 04319 . Xi22 − 0131497 . Xi23 − 05375 . Xi1 Xi2 − 01625 . Xi1Xi3 + 04875 . Xi2 Xi3

- 324 -


En muchos casos es preferible expresar el modelo en escala natural, especialmente cuando se desea graficar el modelo, para esto se puede usar cualquier software estadístico o de aplicación, para ello se debe proceder a DECODIFICAR el modelo, según las fórmulas siguientes: Para el término independiente: k

k

i =1

i =1

a 0 = b0 − ∑ bi ε i + ∑ bii ε i2 +

k

∑b

iu

εiε u

i ,u = 1

Donde:

ε i = Es el cociente de dividir el centro del diseño ( Zi0 ) y el radio del diseño ( ∆Zi ) a0 = Es el término independiente del modelo matemático en escala natural. Para los términos lineales:

a i zi =

b ju bi b − 2 ii ε i − ε jεu ∆zi ∆zi ∆zi

j = u = 1.... k -1

ai : Es el coeficiente de los términos lineales del modelo en escala natural. El tercer término de la ecuación anterior, por comodidad asignaremos la siguiente notación para tres variables: cuando i=1, los valores de “ju” son (1,2) y (1,3), cuando i = 2 j,u son (1,2) y (2,3) y cuando i = 3, j,u son (1,3) y (2,3). Se puede extender para más de tres variables, haciendo en análisis correspondiente. Para los términos cuadráticos:

aii X2i =

bii ∆Zi2

aii : Es el coeficiente del término cuadrático del modelo en escala natural. Para los términos de interacción:

a ij Zi Z j =

bij ∆Zi ∆z j

i ≠ j , i = j = 1....k

aij : Son los coeficientes del término de interacción del modelo en escala natural.

Análisis y Diseño de Experimentos - 325 Aplicando las ecuaciones para el modelo, del ejemplo anterior, tenemos las siguiente tabla de datos: N ( - ) ( + ) Z

0

∆Z

ε

Z1 0 300

Z2 0 300

Z3 0 200

150

150

100

150

150

100

1

1

1

Aplicando las fórmulas descritas anteriormente: a) TÉRMINO INDEPENDIENTE: k =3

k =3

k =3

i =1

i =1

i ,u=1

a0 = b0 − ∑bi εi + ∑bii εi2 + ∑biuεi εu = b0 − (b1ε1 + b2ε2 + b3ε3 ) +(b11ε12 + b22ε22 + b33ε23 ) +(b12ε1ε2 + b13ε1ε3 + b23ε2ε3 ) 2 2 a0 =4322 . −(050255 . x1+0.61038x1+0.4356x1)+(-0.3259x12 +(-0.4319x1))+(-0.131497x1)

((-0.5375x1x1+(-0.1625x1x1)+(0.4875x1x1)) a0 = 1.671673 b) TÉRMINOS LINEALES: a1 =

b1 b b 0.50255 2x(-0.3259)x1 (-0.5375)x1x1 − 2 11 ε1 − 12 ε1ε2 = − − = 0011279 . 150 150 150 ∆z1 ∆z1 ∆z1

a2 =

b2 b b 0.610.8 2x(-0.4319)x1 (-0.5375)x1x1 − 2 22 ε2 − 12 ε1ε2 = − − = 00134112 . 150 150 150 ∆z2 ∆z2 ∆z2

a3 =

b3 b b 0.4356 2x(-0.131497)x1 (0.4875)x1x1 − 2 33 ε3 − 23 ε2ε3 = − − = 000211 . 100 100 100 ∆z3 ∆z3 ∆z3

c) TÉRMINOS CUADRÁTICOS:

a 11 =

b11 − 0 .3259 2 X 12 = X 1 = − 0 .00001448 Z 12 2 ∆ Z1 150 2

- 326 -


a 22 =

b22 − 0.4319 2 X 22 = X 2 = − 0.000019195 Z 22 2 ∆Z2 150 2

a 33 =

b33 −0.131497 2 X 32 = X 3 = −0.000013149 Z 32 2 ∆Z 3 1002

c) TÉRMINOS DE INTERACCIÓN:

a12 =

b12 −05375 . X1 X 2 = X1 X 2 = −0.000023888Z1Z2 ∆Z1∆Z2 150x150

a13 =

b13 −01625 . X1 X 3 = X1 X 3 = −0.000010833Z1Z3 ∆Z1∆Z3 150x100

a 23 =

b23 0.4875 X2 X3 = X 2 X 3 = 0.0000325Z2 Z3 ∆Z2 ∆Z3 150x100

Por tanto, el modelo en escala natural es el siguiente:

+ 0011279 Y$ = 167167 . . Z1 + 00134 . Z2 + 000211 . Z3 − 0000014 . Z12 − 0000019 . Z22 . Z32 − 00000239 . Z1Z2 − 00000108 . Z1Z3 + 00000325 . Z2Z3 − 0000013149 El modelo precedente está expresado en escala natural y nos permitirá realizar las predicciones en el futuro. ANÁLISIS DE VARIANZA PARA DISEÑOS ROTABLES Y COMPUESTOS

a) Análisis de significancia de los coeficientes.- Los coeficientes de los modelos son evaluados para analizar la significancia, usando el Test de Student, que esta definido por la siguiente fórmula:

tj =

b$j − b j Sb j

, la varianza asociada a cada coeficiente es:

Sb2j = C jjS2e

Análisis y Diseño de Experimentos - 327 donde:

Sbj : Desviación estándar asociado a los coeficientes. Cjj : Son los elementos de la diagonal principal de la matriz inversa (X'X)-1 En seguida, mostramos la matriz inversa para realizar los cálculos:

(X'X)−1 =

0.1663429 0 0 0 -0.056788 -0.05679 -0.05679 0 0 0 0 0.073216 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0732158 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.073216 0 0 0 0 0 0 -0.0567876 0 0 0 0.0693645 0.006895 0.006895 0 0 0 -0.0567876 0 0 0 0.0068953 0.069365 0.006895 0 0 0 -0.0567876 0 0 0 0.0068953 0.006895 0.069365 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.125

Para realizar los respectivos cálculos, necesitamos de las siguientes fórmulas: N0

Y = 0

Se =

∑Y i =1

0 N0

i

N0

,

SSE = ∑(Yi 0 - Y 0 )2 ,

MSE =

i =1

SSE f 2 = gle

gle = N 0 − 1 = f 2

MSE ,

Las respuestas en el centro del diseño o puntos centrales, para el ejemplo anterior es el siguiente: N 15 16 17 18 19 20

X1 0 0 0 0 0 0

X2 0 0 0 0 0 0

X3 0 0 0 0 0 0

Z1 = N 150 150 150 150 150 150

Z2 = P 150 150 150 150 150 150

Z3 = K 100 100 100 100 100 100

Y 4.10 4.60 4.40 4.10 4.40 4.30

- 328 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno N0 =6

Y = 0

∑Y

0

=

Y10 + Y20 + Y30 + Y40 + Y50 + Y60 41 . + 46 . + 44 . + 41 . + 44 . + 43 . = = 432 . 6 6

∑(Y

- Y 0 )2 = (4.1-4.32)2 +(4.6-4.32)2 +L+(4.3-4.32)2 = 01883 .

i

i =1

SSE =

6 N0 =6

0

i

i =1

SSE = ∑i =1 Yi − No

ó

MSE =

Se =

02

( ∑i Yi 0 ) 2 No

No

= 11199 . −

25.9 2 = 01883 . 6

SSE 0.1883 = = 0.03766 , f 2 = gle 6 − 1 = 5

MSE = 0.03766 = 019406 .

En resumen se tiene la siguiente tabla: Variables

Se

Cjj

X1 X2 X3 X11 X22 X33 X1X2 X1X3 X2X3

0.19406 0.19406 0.19406 0.19406 0.19406 0.19406 0.19406 0.19406 0.19406

0.2705846 0.2705842 0.2705846 0.2633714 0.2633724 0.2633724 0.3535534 0.3535534 0.3535534

Sbj

t j =bj Sbj

bj

0.0525096 0.0525096 0.0525096 0.0511099 0.0511100 0.0511100 0.0686106 0.0686106 0.0686106

0.5025534754 0.6103857537 0.4356488475 -0.3259035827 -0.4319434735 -0.1314971163 -0.5375000000 -0.1625000000 0.4875000000

9.571 11.624 8.297 -6.377 -8.451 -2.573 -7.834 -2.368 7.105

Signif.

t5,alfa

** 0.05 = 2.571 ** 0.01 = 4.032 ** ** ** * ** n.s. **

b) Evaluación del Modelo.- El modelo es evaluado estadísticamente para ver el grado del ajuste a los datos experimentales, y esto se realiza con las siguientes fórmulas: N

d

SSR = ∑ Yi − Y$ i =1

i

2

(Suma de cuadrados residual o error)

f 1 = glR = N − p = N −

(k + 2)(k +1) (5)(4) = 20 − = 20 − 10 = 10 2 2

Análisis y Diseño de Experimentos - 329 N0

SSE = ∑ (Yi 0 - Y 0 ) 2 (observaciones repetidas en el punto central del disei =1

ño)

f 2 = gle = N 0 − 1 = 6 − 1 = 5

SSFA = SSR − SSE (Suma de cuadratos de Falta de Ajuste)

f 3 = glFA = glR − gle = f 1 − f 2 = 10 − 5 = 5

F=

SS FA f 3 SS FA 5 , = . 5 SSE f 2 01883

con

F < F( f3 , f2 ),α

PROCEDIMIENTO: i) Cálculo de los valores estimados o predichos de la regresión:

X0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Y$ = Xβ$ = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

X1 X2 X3 X11 X22 X33 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1.682 0 0 2.829124 0 0 1.682 0 0 2.829124 0 0 0 -1.682 0 0 2.829124 0 0 1.682 0 0 2.829124 0 0 0 -1.682 0 0 2.829124 0 0 1.682 0 0 2.829124 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

ii) Cálculo de los residuales:

X1X2 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

X1X3 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

X2X3 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1.67191191 4.07701886 4.3223441633 2.99268342 0.5025534754 3.24779037 0.6103857537 1.89320961 0.4356488475 3.64831656 -0.3259035827 = 5.16398112 -0.4319434735 4.76908807 -0.1314971163 2.55502757 -0.5375000000 4.24561746 -0.1625000000 2.07365368 0.4875000000 4.12699135 3.21756115 4.68308388 4.32234416 4.32234416 4.32234416 4.32234416 4.32234416 4.32234416

Y$ = Xβ$

- 330 -


Yi 1 .5 0 4 .1 0 3 .0 0 2 .8 0 2 .2 0 3 .5 0 5 .0 0 4 .8 0 2 .5 0 4 .5 0 2 .0 0 4 .4 0 3 .5 0 4 .6 0 4 .1 0 4 .6 0 4 .4 0 4 .1 0 4 .4 0 4 .3 0

Y$ 1 .6 7 1 9 1 1 9 1 4 .0 7 7 0 1 8 8 6 2 .9 9 2 6 8 3 4 2 3 .2 4 7 7 9 0 3 7 1 .8 9 3 2 0 9 6 1 3 .6 4 8 3 1 6 5 6 5 .1 6 3 9 8 1 1 2 4 .7 6 9 0 8 8 0 7 2 .5 5 5 0 2 7 5 7 4 .2 4 5 6 1 7 4 6 2 .0 7 3 6 5 3 6 8 4 .1 2 6 9 9 1 3 5 3 .2 1 7 5 6 1 1 5 4 .6 8 3 0 8 3 8 8 4 .3 2 2 3 4 4 1 6 4 .3 2 2 3 4 4 1 6 4 .3 2 2 3 4 4 1 6 4 .3 2 2 3 4 4 1 6 4 .3 2 2 3 4 4 1 6 4 .3 2 2 3 4 4 1 6 3

20

d i b

-0 .1 7 1 9 1 1 9 0 .0 2 2 9 8 1 1 0 .0 0 7 3 1 6 6 -0 .4 4 7 7 9 0 4 0 .3 0 6 7 9 0 4 -0 .1 4 8 3 1 6 6 -0 .1 6 3 9 8 1 1 0 .0 3 0 9 1 1 9 -0 .0 5 5 0 2 7 6 0 .2 5 4 3 8 2 5 -0 .0 7 3 6 5 3 7 0 .2 7 3 0 0 8 6 0 .2 8 2 4 3 8 8 -0 .0 8 3 0 8 3 9 -0 .2 2 2 3 4 4 2 0 .2 7 7 6 5 5 8 0 .0 7 7 6 5 5 8 -0 .2 2 2 3 4 4 2 0 .0 7 7 6 5 5 8 -0 .0 2 2 3 4 4 2

$0 0 0 0 -0 0Y) ∑0 .0(Y 20

Y • = 7 4 .3 0

i=1

g b

( Y i - Y$ ) 2

Y i - Y$

g

i

b

0 .0 2 9 5 5 3 7 0 6 0 .0 0 0 5 2 8 1 3 3 0 .0 0 0 0 5 3 5 3 2 0 .2 0 0 5 1 6 2 1 8 0 .0 9 4 1 2 0 3 4 4 0 .0 2 1 9 9 7 8 0 2 0 .0 2 6 8 8 9 8 0 7 0 .0 0 0 9 5 5 5 4 8 0 .0 0 3 0 2 8 0 3 3 0 .0 6 4 7 1 0 4 7 6 0 .0 0 5 4 2 4 8 6 4 0 .0 7 4 5 3 3 7 2 1 0 .0 7 9 7 7 1 7 0 2 0 .0 0 6 9 0 2 9 3 1 0 .0 4 9 4 3 6 9 2 7 0 .0 7 7 0 9 2 7 6 4 0 .0 0 6 0 3 0 4 2 9 0 .0 4 9 4 3 6 9 2 7 0 .0 0 6 0 3 0 4 2 9 0 .0 0 0 4 9 9 2 6 2 2

=

0 .7 9 7 5 1 3 5 5

g

2 2 2 2 SSRresid . = ∑ Yi − Y$ = 15 . − 167 . . − 4.077 +L+ 4.3 − 4.322 = 07975135 . + 41 i =1

M S R r esid . =

0 .7 9 7 5 1 3 5 5 S S R r esid . = = 0 .0 7 9 7 5 10 f1

iii) Suma de cuadrados de la Falta de Ajuste: SSFA = SSRresid. - SSE = 0.79751355 - 0.1883 = 0.60921355

MS FA =

SS FA 0.60921355 = = 0.1218427 5 f3

Análisis y Diseño de Experimentos - 331 iv) Suma de cuadrados del total:

( ∑i=1 Yi ) 2 N

N

SSTot = ∑ Yi − 2

i =1

N

=296.29 −

(74.30) 2 = 20.26550 20

RESUMEN EN EL ANÁLISIS DE VARIANZA (ANOVA) F. de V. Residual Falta de Ajuste Error Puro Total F5,5,0.05 = 5.05

G.L. S.S. 10 0.7975135530 5 0.6092135500 5 0.1883000000 19 20.2655000000 F5,5,0.01 = 11

M.S. Fobs. Signif. 0.079751355 0.121842710 3.23533 n.s. 0.037660000 1.066605263

c) Gráfica del diseño.- Para graficar el modelo, se realiza haciendo uso del modelo en escala natural, tal como se presenta a continuación:

+ 0011279 Y$ = 167167 . . Z1 + 00134 . Z2 + 00014 . Z3 − 0000014 . Z12 − 0000019 . Z22 − 00000058 . Z32 − 00000239 . Z1Z2 − 000007 . Z1Z3 + 0000022 . Z2Z3 Se puede graficar el modelo en el espacio ó a manera de contornos ó curvas de nivel. d) Análisis de Máximos y Mínimos.- Es necesario analizar el modelo de segundo orden estimado que presenta un máximo ó un mínimo, o no tiene un valor extremos. i. El modelo de segundo orden con una sola variable tiene un máximo o un mínimo, para se esto se realiza la segunda derivada, cuyas condiciones son:

d2y = (−) dx

La función tiene un máximo relativo y es cóncavo hacia abajo

d2y = (+) dx

La función tiene un mínimo relativo y es cóncavo hacia arriba

d2y =0 dx

La función no tiene un extremo

- 332 -


Si hay más de dos variables independientes la dificultad de analizar la existencia de un extremo relativo es considerable. Para ello hacemos uso de métodos de segundo orden por medio de la matriz hessiana, que está definido por: ∂ 2Y

∂ 2Y ∂X1X 2

∂X12 ∂ 2Y H = ∂X X 2 1 M ∂ 2Y ∂X k X1

L

∂ 2Y

∂ 2Y ∂X1X k

∂ 2Y ∂X 2 X k L M ∂ 2Y L ∂X 2k L

∂X12 M ∂ 2Y ∂X k X 2

Para la existencia de un máximo la determinante Hij debe tener signos alternados. La siguiente tabla muestra las condiciones de segundo orden: Signos

H ij H11

-

+

-

H22

+

+

-

H33 ... Hkk C entro

+ ... ... ... + + M áximo M ínimo Sin extremo

Consideremos ahora el caso de un modelo matemático obtenido de la aplicación de un diseño de segundo orden de la forma:

Y = b0 + b1X1 + b 2 X 2 + b11X12 + b 22 X 22 + b12X1X 2 La ecuación tendrá un máximo, mínimo o no tendrá un extremo, de acuerdo al signo de sus coeficientes cuadráticos (bjj). La siguiente tabla muestra la combinación de signos que puede abarcar estos coeficientes:

Análisis y Diseño de Experimentos - 333 N 1 2 3 4

b 11 + +

b 22 + +

Tipo extremo Tipo curva Máximo Elipse Minimax Silla de montar hacia arriba Minimax Silla de montar hacia abajo Mínimo Elipse invertido

SOLUCIONES ÓPTIMAS a) Sin restricciones En muchos estudios, donde se diseña una sola función objetivo global (p.ej. eficiencia económica) se tendrá solamente un solo modelo matemático, donde los valores óptimos de las variables estudiadas se encuentran por métodos analíticos de optimización, basándose en la anulación en el óptimo de las primeras derivadas. Esto es posible porque los modelos matemáticos de segundo orden son fáciles de derivar. Ello es: ∂Y ∂X1 ∂Y ∂Y = ∂X = 0 2 ∂X i M ∂Y ∂X k

De esto resulta un sistema de ecuaciones que puede ser resuelto por cualquiera de los métodos comúnmente usados: el método matricial, método de Gauss o el método de Gauss Seidel. Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtiene los valores óptimos de las variables Xi. Si los valores óptimos están en la escala codificada entonces podemos transformarlos a la escala natural decodificando los resultados. Reemplazando los valores obtenidos en el modelo matemático decodificado se obtiene la máxima (mínima) respuesta Para determinar los niveles de N,P y K que maximizan la producción de cebada se deriva el modelo en función de cada variable (X1, X2 y X3), de esta forma se obtiene un sistema de ecuaciones con tres variables, la misma que se resuelve por cualquier método (igualación, sustitución, reducción, etc.). El sistema de ecuaciones

- 334 -


para nuestro ejemplo es el siguiente:

∂Y . X3 = 0 = 0.503 − 0.652 X1 − 0.538X 2 − 0163 ∂X1 ∂Y = 0.610 − 0.538X1 − 0.864 X 2 + 0.488X 3 = 0 ∂X 2 ∂Y = 0.436 − 0163 . X1 + 0.488X 2 − 0.264 X 3 = 0 ∂X 3 Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: X1 = 1.652;

X2 = -0.787;

X3 = -0.925

Estos valores corresponden a los niveles codificados que maximizan la producción de cebada. Transformando a Zi (valores reales), los valores codificados de Xi se tiene: Z1 = 89.1795(1.652) + 150 = 297 Z2 = 89.1795(-0.787) + 150 = 80 Z3 = 59.453(-0.925) + 100 = 45 Entonces tenemos para cada uno de los fertilizantes: N = 297 kg/ha P = 80 kg/ha K = 45 kg/ha El rendimiento máximo de cebada (ton/ha), se obtiene remplazando los valores X1 = 1.652; X2 = -0.787; X3 = -0.925, en la ecuación polinomial. Así se tiene: Y = 4.3 ton/ha. Para encontrar los niveles económicamente óptimos se hacen las siguientes relaciones: ∂Y PN = , ∂X1 PY

∂Y PP = , ∂X 2 PY

∂Y PK = ∂X 2 PY

Donde: PN, PP y PK = Precio del insumo (Fertilizante: N, P y K). PY = Precio del producto.

Análisis y Diseño de Experimentos - 335 Nuevamente se obtiene un sistema de ecuaciones con tres incógnitas (X 1, X2 y X3), que luego de resolverlo corresponde a los niveles económicamente óptimos. b) Con restricciones En muchos procesos de investigación en ingeniería, se evalúa con mucha frecuencia varios criterios de optimización simultáneamente. El problema consiste en maximizar un solo criterio de optimización elegido por el investigador y los demás criterios se toman como restricciones del proceso. Existe otro tipo de restricciones que están referidos a las variables controlables que se investigan, por ejemplo, en una circunstancia dada que no puede gastar más de un valor fijado de un reactivo (por consideraciones económicas). En este caso el problema consistirá en maximizar la recuperación, sujeto, o con la restricción de que la ley de concentrado no baje de cierto valor y además que el consumo de reactivo sea menor que una cantidad predefinida económicamente. La solución para el problema planteada pertenece al campo de la optimización matemática, específicamente a las técnicas de optimización numérica. La aplicación de estas técnicas requiere, necesariamente el uso de un computador capaz de efectuar en poco tiempo los numerosos cálculos iterativos hasta alcanzar el óptimo.

- 336 -


APLICACIÓN AUTOMATIZADA CON SAS. EJEMPLO: Un ingrediente para retardar la fermentación de cierta cerveza se agrega en el proceso de elaboración. Para saber hasta que punto influye en el sabor de la cerveza la cantidad del ingrediente agregada a cada hornada y en que medida el cambio de sabor podría deberse al tiempo y temperatura de fermentación de la cerveza , se diseña un experimento en diseño central compuesto. El sabor de la cerveza fue calificado en una escala de 0, 1, 2, ...,5 y 6 (6 es el más deseable) por un equipo de catadores, quienes dieron las siguientes evaluaciones promedio: Ajuste un modelo de segundo orden e indique bajo que condiciones se logra un calificativo alto.

X1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1.682 1.682 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

X2 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 0 0 -1.682 1.682 0 0 0 0 0 0 0 0

X3 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 -1.682 1.682 0 0 0 0 0 0

X 2.61 2.61 2.61 2.61 4.39 4.39 4.39 4.39 2.00 5.00 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50 3.50

Y 2.81 2.81 5.19 5.19 2.81 2.81 5.19 5.19 4.00 4.00 2.00 6.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00

Z 14.05 25.95 14.05 25.95 14.05 25.95 14.05 25.95 20.00 20.00 20.00 20.00 10.00 30.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00

F 3.3 3.5 3.9 3.0 4.0 3.5 5.0 3.8 5.0 4.0 3.4 3.2 3.3 4.1 5.7 5.0 5.9 4.4 5.0 4.3


DATA CERVZ; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT X1 X2 X3 X Y Z F; Z11=Z1*Z1; Z22=Z2*Z2; Z33=Z3*Z3; Z12=Z1*Z2; Z13=Z1*Z3; Z23=Z2*Z3; CARDS; -1 -1 -1 2.61 2.81 14.05 3.30 -1 -1 1 2.61 2.81 25.95 3.50 -1 1 -1 2.61 5.19 14.05 3.90 -1 1 1 2.61 5.19 25.95 3.00 1 -1 -1 4.39 2.81 14.05 4.00 1 -1 1 4.39 2.81 25.95 3.50 1 1 -1 4.39 5.19 14.05 5.00 1 1 1 4.39 5.19 25.95 3.75 -1.682 0 0 2 4 20 5.00 1.682 0 0 5 4 20 4.00 0 -1.682 0 3.5 2 20 3.40 0 1.682 0 3.5 6 20 3.15 0 0 -1.682 3.5 4 10 3.25 0 0 1.682 3.5 4 30 4.10 0 0 0 3.5 4 20 5.65 0 0 0 3.5 4 20 5.00 0 0 0 3.5 4 20 5.90 0 0 0 3.5 4 20 4.40 0 0 0 3.5 4 20 5.00 0 0 0 3.5 4 20 4.25 ; PROC REG; MODEL Y=X Y Z Z11 Z22 Z33 Z12 Z13 Z23; RUN; /*PARA FALTA DE AJUSTE */ PROC MEANS SUM N VAR; VAR F; RUN; /*PARA FALTA DE AJUSTE */ DATA FALTA; SET CERVZ; IF X1=0 AND X2=0 AND X3=0; RUN; PROC MEANS SUM N VAR; VAR F; RUN;

- 338 -


Model: MODEL1 Dependent Variable: Y Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Model 9 9.15470 1.01719 2.186 Error 10 4.65267 0.46527 C Total 19 13.80737 Root MSE 0.68210 Dep Mean 4.15250 C.V. 16.42637

R-square Adj R-sq

Prob>F 0.1195

0.6630 0.3598

Parameter Estimates Parameter Standard T for H0: Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob >|T| INTERCEP 1 -12.998191 6.79026535 -1.914 0.0846 Z1 1 1.680187 2.05090217 0.819 0.4317 Z2 1 3.750211 1.46830150 2.554 0.0287 Z3 1 0.747774 0.29366030 2.546 0.0290 Z11 1 -0.236627 0.22606237 -1.047 0.3199 Z22 1 -0.439351 0.12702501 -3.459 0.0061 Z33 1 -0.013574 0.00508100 -2.672 0.0234 Z12 1 0.135728 0.22770322 0.596 0.5644 Z13 1 -0.024785 0.04554064 -0.544 0.5982 Z23 1 -0.032660 0.03405981 -0.959 0.3602 Analysis Variable : Y Sum N Variance 83.0500000 20 0.7267039 Analysis Variable : Y Sum N Variance 30.2000000 6 0.4296667


Trabajando con MathCad Determinación de las derivadas parciales 2

2

2

F := −12.998191 + 1.680187 X + 3.750211 Y + 0.747774 Z − 0.236627 X − 0.439351 Y − 0.013574 Z + 0.135728 X⋅Y − 0.024785 X⋅Z − 0.0

(

d X + 3.750211 Y + 0.747774 Z − 0.236627 X2 − 0.439351 Y2 − 0.013574 Z2 + 0.135728 X⋅ Y − 0.024785 X⋅Z − 0.0 −12.998191 + 1.680187 dX

∂F ∂X

-2

1.680187− .473254⋅ X + .135728Y ⋅ ⋅Z ⋅ − 2.478510 -2

∂F

3.750211− .878702Y ⋅ + .135728⋅ X − 3.266⋅ 10 ⋅ Z ∂ Y -2

-2

-2

∂F

.747774− 2.714810 ⋅ ⋅ Z − 2.478510 ⋅ ⋅ X − 3.266⋅ 10 ⋅ Y ∂ Z Solución del sistema de ecuaciones simultáneas -2)  .473254  ⋅ −.135728 (2.478510   M :=  −.135728 (3.266⋅ 10-2)  .878702  -2) ( -2 -2)  3.266⋅ 10 ) (2.714810 ⋅ ⋅  (2.478510 

 1.680187 v :=  3.750211    .747774  soln := lsolve ( M , v )

 3.731503  soln =  4.13188     19.166845 Hallando las segundas derivadas parciales

(

d -2 1.680187− .473254⋅ X + .135728Y ⋅ − 2.478510 ⋅ ⋅Z dX

)

−.473254

∂2F ∂X2

- 340 -


(

)

(

∂2F ) −(2.478510 -2) ⋅ ∂X ∂Z

d -2 1.680187− .473254⋅ X + .135728Y ⋅ − 2.478510 ⋅ ⋅Z dY d -2 1.680187− .473254⋅ X + .135728Y ⋅ − 2.478510 ⋅ ⋅Z dZ

.135728

(

)

.135728

(

)

−.878702

(

)

d -2 3.750211− .878702Y ⋅ + .135728⋅ X − 3.266⋅ 10 ⋅ Z dX d -2 3.750211− .878702Y ⋅ + .135728⋅ X − 3.266⋅ 10 ⋅ Z dY d -2 3.750211− .878702Y ⋅ + .135728⋅ X − 3.266⋅ 10 ⋅ Z dZ

∂2F ∂Y ∂X ∂2F ∂Y

-2 −(3.266⋅ 10 )

2

∂2 F ∂Y∂Z

(

) (

(

) (

)

(

) (

)

)

d -2 -2 -2 -2 .747774 − 2.714810 ⋅ ⋅ Z − 2.478510 ⋅ ⋅ X − 3.266⋅ 10 ⋅ Y − 2.478510 ⋅ dX d -2 -2 -2 .747774 − 2.714810 ⋅ ⋅ Z − 2.478510 ⋅ ⋅ X − 3.266⋅ 10 ⋅ Y − 3.266⋅ 10-2 dY

∂2F ∂Z∂X ∂2F ∂ Y ∂Z

d -2 -2 -2 ∂2F -2 .747774− 2.714810 ⋅ ⋅ Z − 2.478510 ⋅ ⋅ X − 3.266⋅ 10 ⋅ Y − 2.714810 ⋅ dZ ∂Z 2 H1= -.473264 H2= -.878702 H3= -2.7148*10^2

 −.473254 .135728    .135728 −.878702

H11 := 

-2)  −.473254 −(2.478510  ⋅ -2) -2)   −(2.478510 ⋅ −(2.714810 ⋅ 

H22 := 

 −.878702 −(3.266⋅ 10-2)  -2)   −(3.266⋅ 10-2) −(2.714810 ⋅ 

H33 := 

H33 = 0.022788 H11 = 0.397427

Análisis y Diseño de Experimentos - 341 H22 = 0.012234 -2)  −.473254  .135728 −(2.478510 ⋅   -2 H123 :=  .135728 −(3.266⋅ 10 )  −.878702  -2) -2 -2)  ⋅ −(3.266⋅ 10 ) −(2.714810 ⋅  −(2.478510 

H123 = −9.525023× 10−

3

X := 3.731503 Y := 4.13188 Z := 19.166845 2

2

2

F := −12.998191+ 1.680187X + 3.750211Y + 0.747774Z − 0.236627X − 0.439351Y − 0.013574Z + 0.135728X⋅ Y − 0.02

F = 5.050565

Cálculo de la tabla de análisis de variancia Sumas de cuadrados

SC Total = Σ Yij2 −

SCE = ΣY02i −

(Σ Yij )2 n

(ΣY0i )2 p

= 358 . 6725 −

= 154 .155 −

83 .05 2 = 13 . 807375 20

30 .2 2 = 2.14833 6

SCTrat = SC Total − SC Err = 13.807375 − 2.14833 = 11.659075 SCModelo (Se obtiene de los resultados que da SAS)

SCFaltadeajuste= SCTrat − SCModelo=11.659075− 9.15470= 2.504375 FV Modelo Falta de ajuste Tratamientos Error Total

Anális de variancia GL SC CM Fc 9 9.1574 1.017 2.365 5 2.504375 0.501 1.165 n.s. 14 11.659075 0.833 5 2.14833 0.43=s 2 19 13.80737

- 342 -


SOFTWARE ESTADÍSTICO STATISTICA v7.0 Para comprobar los resultados encontrados anteriormente, se procederá a usar software estadístico de STATISTICA que nos permitirá resolver los cálculos estadísticos rápidamente referido al Diseño Central Compuesto (DCC), y esto nos ayudará a tomar las decisiones correctas en el modelo matemático de primer orden y segundo orden, asimismo los mencionados software permite graficar la superfice de respuesta y las curvas de nivel llamados también gráfico de contornos, para una mejor interpretación y visualización de los mismos. En seguida vamos ha describir el procedimiento a seguir para efectuar los cálculos con el software estadístico Statistica v7.0 Usando Software Estadístico STATISTICA v7.0 Una vez instalado el software estadístico Statistica v6.0, se incorpora al grupo de programas llamado STATISTICA, encontrado este grupo de programas haga clic en Statistica; y una vez ejecutado el programa aparece la siguiente pantalla:

En esta pantalla, escoja usted la opción: EXPERIMENTAL DESIGN y acontinuación SWITCH To, para ejecutar el programa y en seguida nos presenta la siguiente pantalla:


En la pantalla precedente, usted debe elegir la opción: Central Composite, -non-factorial - surface design y haga clic en esta opción y obtendrá una hoja electrónica de Statistica preparado para el ingreso de datos; la pantalla se muestra a continuación:

- 344 -


En la pantalla anterior, usted puede crear las variables independientes y dependientes, según sea el caso, y luego ingresar la información pertinente a la hoja de trabajo. Para el ingreso de datos usted tiene todas las opciones del menú principal, tales como: File (Archivo), Edit, (Editar), View (Mirar), Analysis (Análisis estadístico), Graphs (Gráficos), Options (Opciones), Window (ventanas) y Help (Ayudas), en cada uno de éstas opciones usted puede escoger las sub-opciones, para realizar diferentes comandos y haga clic en la opción elegida para que pueda ejecutar o analizar el sistema. En nuestro ejemplo, haremos uso de la opción ANALYSIS (Análisis Estadístico) del menú principal, para luego escoger la sub-opción : Central Composite Design y pinchar en ésta opción, tal como podemos observar la pantalla en seguida:


En ésta pantalla podemos observar dos opciones: 1) Generate design y 2) Analyze results, en nuestro caso escogemos la opción 2) Analyze results, ya que nuestro información ya esta ingresada en la hoja de trabajo, y aceptamos que la opción es: Automatically determined factor levels from file, y seguidamente hacemos clic en OK, y se debe seleccionar las variables independientes y la dependiente, tal como se muestra a continuación:

Una vez escogidos las variables, haga clic en la opción OK, y aparecerá la siguiente pantalla:

- 346 -


En la pantalla precedente tenemos varias opciones para escoger, en nuestro ejemplo necesitamos escoger la opción: Include in model: escoger la opción: Lin./ quad. main eff.+2-way; en la opción: ANOVA error term: escoger la opción Pure error, y en seguida haga clic en ANOVA Table (Tabla de Análisis de Varianza), y nos muestra los resultados del Análisis de Varianza (ANOVA), obtenida los resultados realizar el contrastre de la Prueba “F” de Snedecor para aceptar o rechazar la hipótesis en cada uno de las fuentes de variabilidad, tal como se presenta a continuación los resultados procesados.


En la tabla de ANOVA, podemos apreciar para la fuente de variación de Falta de Ajuste en el contraste de “F”, se observa que no es significativo, es decir 0.111978 es mayor a 0.05, por consiguiente buen modelo, por otra parte la interacción N con K resulta no ser significativo, esto es 0.064095 es mayor a 0.05, en el resto de las fuentes de variación todos son significativos. En seguida presentamos la prueba “t”-Student, “p”, y los coeficientes de los parámetros estimados con Statistica, tal como se presenta a continuación:

Y$ = 4.322 + 0.50255 X i1 + 0.61038 X i 2 + 0.4356 X i 3 − 0.3259 X i21 − 0.4319 X i22 − 0131497 . X i23 − 0.5375 X i 1 X i 2 − 01625 . X i1 X i 3 + 0.4875

Finalmente para visualizar mejor, presentamos las gráficas de superfice de respuesta y los contornos, para cada uno de ellos. La siguiente gráfica corresponde a N (eje X) Vs. P (eje Y) Vs. la variable dependiente, tal como se presenta en seguida.

- 348 -


Nitrógeno (N) Vs. Potasio (K)

Fósforo (P) Versus Nitrógeno (N)


Fósforo (P) Versus Potasio (K)

Potasio (K) Versus Nitrógeno (N)

- 350 -


Potasio (K) Versus Fósforo (P)

Análisis y Diseño de Experimentos - 351 EJERCICIOS: 1. Con el objeto de estudiar los efectos sinérgicos de los factores de: grasa, edulcorantes, harina de izaño (Tropaeolum tuberosum R. et. P.) y aire; sobre los atributos sensoriales de: suavidad, dulzor, cremosidad y aroma en helados de cono y palitos, a través de modelos matemáticos, para tal efecto se usó el diseño central compuesto (DCC) para evaluar la influencia de los factores sobre los atributos. Los niveles estudiados en el presenta trabajo fueron: grasa: 7, 9, 11, 13 y 15%, edulcorantes 12, 13, 14, 15 y 16%, harina de izaño 4, 6, 8, 10 y 12% y aire 40, 60, 80, 100 y 120%, respectivamente. Los niveles codificados y sus respectivos valores reales de los cuatro factores en estudio, se presentan en la siguiente tabla (Tesis presentada por: Carlos Alberto Suca Apaza de la Fac. Cs. Agrarias - UNA - Puno).

Factores Nivel Codificado (Xi) Grasa (%) Edulcorantes (%) Harina izaño (%) Aire (%) 7 12 4 40 −á -1 9 13 6 60 0 11 14 8 80 +1 13 15 10 100 +á 15 16 12 120 La harina de izaño para el presente trabajo se obtuvo por un proceso de extrusión, deshidratándose durante 8 a 10 días rodajas de tubérculos de izaño fresco en condiciones ambientales bajo la sombra, una vez secado las rodajas, se sometieron a cocción por extrusión, molienda y tamizado, en forma simultánea se hicieron una evaluación y selección de los miembros de un panel de degustadores que nos permitió evaluar los 31 tratamientos de los dos tipos de helados. Los resultados encontrados en el presente estudio reflejan que los aumentos progresivos de grasa incrementaron la suavidad del helado de izaño, esto implica que la grasa y los edulcorantes actuaron sinérgicamente sobre la suavidad, incrementando el perfil, cuando las proporciones fueron mayores; asimismo la grasa y los edulcorantes influyeron sobre la aroma del helado; altas proporciones de harina de izaño por encima de 8% provocaron desmoronamiento y cristalización de los helados, en cambio los edulcorantes influyeron en forma significativa sobre el dulzor del helado. Combinación de Grasa, Edulcorantes, Harina de izaño Aire, según el Diseño Central compuesto Rotable (DCCR), para el ensayo del efecto sinérgico del contenido de grasa, edulcorantes, aire y harina de izaño (Tropaeolum tuberosum R. et. P.) en la elaboración de helados de cono y palitos.

- 352 -


N° de Factores codificados trat. X1 X2 X3 X4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 0 0 -2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 0 0 0 0 -2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 -2 2 0 0 0 0 0 0 0

Niveles reales de los factores (%) Grasa edulcor. Izaño aire

9 13 9 13 9 13 9 13 9 13 9 13 9 13 9 13 7 15 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11

13 13 15 15 13 13 15 15 13 13 15 15 13 13 15 15 14 14 12 16 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14

6 6 6 6 10 10 10 10 6 6 6 6 10 10 10 10 8 8 8 8 4 12 8 8 8 8 8 8 8 8 8

60 60 60 60 60 60 60 60 100 100 100 100 100 100 100 100 80 80 80 80 80 80 40 120 80 80 80 80 80 80 80

Variables de respuesta suavidad dulzor cremo aroma

3.200 3.525 3.200 3.850 3.200 3.700 1.900 2.925 3.825 2.375 4.125 3.875 2.825 2.450 2.750 3.625 1.775 3.750 2.300 3.425 3.050 3.900 3.900 3.275 2.425 2.375 2.500 2.250 2.000 2.125 2.000

2.100 2.400 3.025 2.925 2.375 2.525 3.875 3.300 2.075 3.050 3.500 3.325 2.125 1.800 2.250 3.375 2.550 3.325 2.175 4.250 3.675 3.300 2.400 3.675 2.375 2.300 2.000 2.125 2.375 2.500 2.250

2.350 4.000 2.025 4.025 2.700 3.725 1.950 3.575 1.950 3.750 3.125 4.275 3.125 3.125 2.000 3.750 2.250 4.125 3.250 4.250 2.125 3.875 4.000 4.125 2.750 3.375 3.625 3.375 3.500 3.125 3.625

2.250 2.375 2.750 2.125 3.500 3.625 2.375 2.750 1.625 1.675 2.500 3.375 2.200 1.625 1.825 3.375 2.125 3.000 2.500 3.375 1.625 4.000 3.000 3.625 1.950 2.200 2.375 1.875 2.075 1.750 1.775

Análisis y Diseño de Experimentos - 353 2. Se ensayó la elaboración y comercialización del queso andino, cuya finalidad es la determinación de los parámetros óptimos de temperatura y tiempo, tanto en la pasteurización y coagulación. La leche utilizada proviene de los sectores del distrito de Chamaca de la Provincia de Chumbivilcas, el análisis físicoquímico se realizó en la Empresa de la comunidad de Añahuichi (ECA), y el análisis microbiológico en el Laboratorio de la Facultad de Química de la UNSAAC. Las variables en estudio de los niveles de temperatura de pasteurización son de (62°C y 68°C), tiempo de pasteurización (20 min y 30 min), niveles de temperatura de la coagulación (33°C y 37°), y tiempo de coagulación (30 min y 40 min). Realizar el Diseño Central Compuesto con SAS, Statistica y Statgraphics con la información de la siguiente tabla:

Variables Independientes T° de pas teurización Tiempo de pas teurización T° de coagulación Tiempo de coagulación

NIVELES Inferior Superior 62 68 20 30 33 37 30 40

Y = 1.12 1.11 1.13 1.18 1.08 1.03 1.08 1.05 1.19 1.20 1.20 1.17 1.08 1.01 Y = 1.00 1.05 1.11 1.11 1.12 1.13 1.22 1.00 1.10 1.12 1.20 1.18 1.20 1.19

3. Con el objetivo de formular, elaborar y evaluar un producto extruido tipo snack a base de carne de alpaca y maíz, se analiza la influencia del porcentaje de intervención de la carne de alpaca en la mezcla, la humedad de acondicionamiento de los gritz, antes de entrar al proceso de extruído y también la temperatura del extrusor. La finalidad es obtener un mayor índice de expansión en el producto extruído. Los niveles en estudio del porcentaje de carne de alpaca son de (5% y 10%), humedad de acondicionamiento de los gritz de maíz (15% y 16%), y temperatura de extrusor son del (150°C y 160°C). La variable de respuesta que se considera es el índice de medida de incremento en volumen del extruído respecto a la materia prima (gritz de maíz y carne) que está dado en volumen del extruído por volumen de la materia prima. Las pruebas de análisis fiísicoquímico, microbiológico y sensorial fue realizado en el Laboratorio de Pastos y Forrajes de la Universidad Nacional del Altiplano-Puno. La materia prima utilizada es el maíz de variedad amarillo duro. La carne utilizada es de alpacas provenicntes de los sectores altoandinos de la Provincia de Canchis para lo cual fueron utilizados las partes anatómicas con mayor masa muscular como son los perniles y el lomo trasero. Realizar el Diseño Central Compuesto, usando SAS, Statistica y Statgraphics, con la siguiente información:

- 354 -


Variables Indpendiente % de Harina de Carne % de Humedad T° del Extrusor Variable dependiente (cm3/cm3)

N° de trat.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

NIVELES Inferior Superior 5 10 15 18 150 160 Indice de expansión

Factores codificados X1 X2 X3

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1.682 1.682 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1 0 0 -1.682 1.682 0 0 0 0 0 0 0 0

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1 0 0 0 0 -1.682 1.682 0 0 0 0 0 0

Variable Dependiente

87.100 83.800 87.300 84.700 88.700 85.800 88.800 85.900 89.600 83.200 86.000 85.900 85.300 86.000 84.900 84.900 84.500 84.500 85.800 85.500


9 DISEÑO Y ANÁLISIS DE PARCELAS DIVIDIDAS 9.1. DISEÑO DE PARCELA DIVIDIDA (Split Plot Design). Caracteristicas de los diseños de parcelas divididas. En la discusión previa de experimentos factoriales, el diseño de tratamientos (combinación de los niveles de los factores son distribuidos a las unidades experimentales de acuerdo al proceso de aleatorización que correspondiera al diseño utilizado, esto es, completamente al azar, bloques completos al azar o cuadrado latino. Sin embargo, hay otros procedimientos en aleatorización que también son posibles. Uno de estos procedimientos de aleatorización alternativa en el que se utiliza en un Diseño de Parcelas Divididas. El diseño de parcelas divididas es frecuentemente usado para experimentos factoriales. La aleatorización es un proceso de dos etapas, para esto se debe considerar dos tipos de parcelas: Principales (asociadas a un factor) y sub-parcelas (asociados al otro factor). De esta forma, primero se aleatorizan los niveles del factor asociado a las parcelas principales y posteriormente se aleatoriza los niveles del otro factor a las

- 356 -


sub-parcelas dentro de cada parcela principal. El hecho de que este diseño considera dos distintos tipos de unidades experimentales implica que este involucra dos errores experimentales, lo que hemos estudiado en los diseños anteriormente y es debido a este hecho que la variación esperada entre sub-parcelas y entre parcelas principales sea distinta a la variación entre sub-parcelas, por tanto el factor de mayor importancia o sobre el que se quiere tener una mayor precisión es asignando a las sub-parcelas. Ventajas. a. Un aumento en la precisión con respecto al Diseño Bloque Completo al Azar es obtenida para los niveles del factor asignado a las sub-parcelas como también para la interacción entre los factores. b. Posibilita que experimentos en que los factores consisten de ciertas prácticas culturales, éstos quedan agrupadas por tipos, permitiendo así un mayor control del experimento. c. Diseño que permite tener cada factor en parcelas de diferente tamaño, parcelas grandes para un factor y parcelas pequeñas para otros. d. La información total del experimento es la misma que se obtendrá de un arreglo factorial común y corriente. La distribución de la información no es equitativa para todo los factores; sería mayor para B y AB y menor para el factor de la parcela grande A. e. Los tratamientos en la sub-parcela se pueden añadir después de haber iniciado el experimento con los tratamientos en la parcela grande, siempre que haya suficiente material experimental disponible en cada parcela grande que permita poner las parcelas pequeñas. Desventajas. a. Las unidades del factor asignado a las parcelas principales son medidos con gran precisón. b. El análisis es muy complicado cuando hay parcelas perdidas. c. Las pruebas para tratamientos de la parcela grande pueden no ser tan parecidas como cuando se usa un diseño bloque completo al azar. Generalmente los grados de libertad de las parcelas grandes son escasos.

Análisis y Diseño de Experimentos - 357 Ejemplos: PARCELAS - Variedades - Clase de herbicida - Tipo de dieta - Especie forestal - Ciudad - Sistema Roce - Acidez del medio - Profundidad de arado

SUB-PARCELA Densidad de siembra Dosis de herbicida Forma de aplicación Tratam. de madera Nivel económico Cultivo después de roce T° del proceso Nº de araduras

SUB-SUB-PARCELA Niveles de Nitrógeno Epoca de aplicación Dosis de vitaminas. Concen. de producto. Sistema publicitario. Aplicación de fertilización. Tiempo de exposición Con y sin fertilización.

Aleatorización. El procedimiento de aleatorización para las parcelas principales está determinado por el diseño particular elegido. Sino existe ninguna restricción en el sorteo los niveles del factor principal, serán distribuidos en una forma aleatoria a las unidades experimentales. Sin embargo, si algún agrupamiento de unidades experimentales es utilizado (bloques) los niveles del factor principal serán aleatoriamente asignado a los bloques. Si este agrupamiento se realiza en dos sentidos (cuadrados latinos) se tendrá que recurrir a las técnicas de aleatorización del diseño cuadrado latino. Por otra parte, cualquiera sea el tipo de diseño elegido para la aleatorización de los niveles del factor principal, siempre se procederá al sorteo de la segunda etapa el cual corresponde con asignar aleatoriamente dentro de cada parcela principal, los niveles del segundo factor asignado a las sub-parcelas. La aleatorización puede ser efectuada de varias formas para controlar la variación entre sub-parcelas dentro de una parcela principal. Arreglo de campo: El arreglo de campo consiste en asignar a las unidades experimentales los niveles del factor que se considere de menor importancia, todo esto dentro de los principios de un diseño básico, que corresponda a las características de las unidades, y posteriormente aleatorizar dentro de las parcelas mayores los niveles del factor que deseamos sea estudiado con mayor precisión. Ejemplo: Si las dosis de nitrógeno fueran de 0, 50, 100, 150 kg de Nitrógeno/ha y las variedades de Cebada A, B, C y D. En la siguiente figura tomamos la dosis de 150 como parcela grande:

- 358 -


Parcela chica 6 47 48

Dosis N kg/ha

150 D

A

C

B

Va rieda d

1

2

3

4

Unidad o parcela experimental

150 Bloque I

0

100

50

D

A

C

B

D

B

A

C

C

D

A

B

B

A

C

D

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Cuando las parcelas son grandes, entonces se necesita maquinarias para realizar las labores de siembra, cosecha entre otras, entonces el diseño adecuado es el diseño de parcela dividida. 9.1.1. Diseño de parcela dividida bajo el diseño completo al azar. El modelo lineal aditivo para la parcela dividida, bajo el diseño completo al azar

Yijk = µ + αi + Ea + β j + (αβ)ij + Eb i = 12 , ,L, a ( Nivelesde factor A) j = 12 , ,L,b ( Nivelesde factor B) k = 12 , ,L, r (Re peticiones). Donde: Yijk = Variable respuesta en la repetición o unidad experimental k, en la parcela "i", subparcela "j". µ = Constante común o media poblacional. α i = Efecto del i-ésimo nivel del factor A. E a = Error de parcelas (error para parcela mayor).


β j = Efecto del j-ésimo nivel del factor B.

(α β) ij = Efecto de la interacción del i-ésimo nivel del factor A con el j-ésimo nivel factor B.

E b = Error de subparcelas (error para parcela menor). TABLA ANOVA: Fórmulas,

bajo el diseño completo al azar.


S.C.

SC ( A )

CM ( A)

a −1

CM Error (a )

Yi .2k Y...2 ∑ ∑ − abr − SCA i =1 k =1 b

SC Error ( a )

∑

a-1

i =1

a

Error(a)

B

a(r-1)

b-1

Fc.

Yi ..2 Y2 − ... br abr

a

A

C.M.

r

b

Y. 2j .

j =1

ar

a

Yij2.

∑

b

∑∑ r

− −

a (r − 1)

Y...2 abr

Y...2 − SC( A) − SC( B) abr

= Ea

SC (B)

CM( B)

b −1

CM Error (b)

SC ( AB )

CM ( AB)

( a − 1)(b − 1)

CM Error (b)

AB

(a-1)(b-1)

Error(b)

a(b-1)(r-1) SCTotal − (SCA + SCError(a) + SCB + SCAxB ) b − r − a = Eb ( 1)( 1)

i =1 j =1

SCError(b)

a

Total

TC =

(abr - 1)

Y...2 , abr

CV(a) =

b

r

∑ ∑ ∑ Yijk2 − i =1 j =1 k =1

CMError (a) Y...

Y...2 abr

x100, CV(b) =

CMError (b) Y...

x100

PRUEBAS DE HIPOTESIS (MODELO I) a) Ho. α = 0 vs Ha: α ≠ 0, si F > F ⇒serechazala H : i i c t o b) Ho. β j = 0 vs Ha: β j ≠ 0, si

Fc > Ft ⇒ se rechaza la H o :

- 360 -


c) Ho. (αβ)ij = 0 vs Ha: (αβ)ij ≠ 0, si Fc > Ft ⇒ serechazala Ho : EJEMPLO. El siguiente ejemplo permitirá la práctica en la mecánica de cálculo, asi como la prueba de hipótesis respectiva. Los datos siguientes se refieren al aumento de peso diario en kilogramos, logrados por novillos criollos, en corral, bajo una misma alimentación, pero en diferentes dosis de desparasitador e implantados con Sinovex y Revalor. En este ejemplo se utilizarán las siguientes notaciones: Dosis de desparasitador (D), Implante (I), Error de parcela mayor (EPM), y error de parcela menor (Epm). La información se presenta a continuación. D (ml/100 kg) Implante 10 Sinovex Revalor Yi.k 12 Sinovex Revalor Yi.k 14 Sinovex Revalor Yi.k

I 1.525 1.721 3.246 1.724 1.925 3.649 1.935 1.616 3.551

II 1.532 1.729 3.261 1.728 1.923 3.651 1.928 1.625 3.553

III 1.549 1.732 3.281 1.732 1.940 3.672 1.926 1.631 3.557

IV 1.562 1.744 3.306 1.740 1.952 3.692 1.941 1.623 3.564

Yij. 6.168 6.926 6.924 7.740 7.730 6.495

Cuadro de concentración para sumas de cuadrados de efectos simples:

Dosis desparasitador

10 12 14 Y.j.

Sinovex 6.168 6.924 7.730 20.822

Revalor 6.926 7.740 6.495 21.161

Yi.. 13.094 14.664 14.225 Y... = 41.983

En función del modelo descrito anteriormente, las sumas de cuadrados del análisis de varianza son las siguientes:

Yi ..2 Y...2 13094 . 2 +L+14.2552 (41983 . )2 . − = − = 01640 2 x4 24 abr i =1 br a

SCD = ∑

Análisis y Diseño de Experimentos - 361 b

Y. 2j .

j =1

ar

SC I = ∑

−

Y...2 20.822 + 21161 . 41.9832 = − = 0.0047 abr 3x 4 24

a r 2 Y Y2 32 . 462+L+35 . 642 419 . 832 . 640=736 . 06−734 . 40−01 . 640=00 . 017 SCEPM =∑∑ik. − ... −SCD = − −01 2 24 i=1 k=1 b abr a b Y2 6168 . +L+6495 . ij. SCDxI = ∑∑ −TC− SC(D) − SC(I ) = −TC−(01640 +00047 . . ) = 03410 . 4 i=1 j=1 r a

b

r

SCtotal = ∑∑∑Yijk2 − i=1 j =1 k =1

Y...2 41983 . 2 = 1525 = 73952 . 2 + L+1623 . 2− . − 73440 . = 05118 . abr 24

. + 0.0017 + 0.0047 + 0 SC Epm = SCTotal − ( SC D + SC EPM + SC I + SC DxI ) = 0.5118 − (01640

TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA. F. De V. D EPM I DxI Epm Total

G.L. 2 9 1 2 9 23

S.C. 0.1640 0.0017 0.0047 0.3410 0.0004 0.5118

C.M. 0.082000 0.000189 0.004700 0.170500 0.000044

Fc. 0.05 0.01 434.12** 4.26 8.02 105.75** 5.12 10.56 3836.25** 4.26 8.02

La prueba de significación de los efectos surge de la comparación numérica entre el estadístico de prueba y un valor tabular de Snedecor., por otra parte, las hipótesis a probar mediante el análisis de varianza son respecto de desparasitador, implantes y desparasitador por implantes. Ajuste para comparación de medias. Como en este caso particular las estadísticas de prueba resultaron significativas (P ≤ 0.01), es importante considerar alguna prueba estadística que nos permita estratificar en función de los objetivos, el comportamiento de los diferentes efectos. Sin embargo, es necesario tomar en cuenta que existe dos cuadrados medios de error, por lo que es indispensable efectuar los siguientes ajustes para la comparación de medias.

- 362 -


Efectos Parcela Mayor

Ai = A j

Totales

Medias

Yi ..

Ajuste

Yi .. br

SX =

Ea rb

Y. j .

SX =

Eb ra

SX =

Eb r

Parcela menor Bi = A j

Y. j .

ar

Parcela menor dentro de parcela mayor. Ai bi = Ai b j

Y ij .

Yij .

r

Entre tratamientos (general) Ai Bi = A j B j

Aij .

Yij . r

SX =

(b − 1) Eb + E a rb

En cuanto a la partición de la suma de cuadrados de los efectos, por medio de contrastes ortogonales, debemos considerar que para el factor en parcela mayor corresponde el error experimental definido para ésta y para el factor en subparcelas e interacción la variación encontrada entre subparcelas. PROGRAMA EN SAS. DATA PDIVID; TITLE'DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR EN PARCELAS DIVIDIDAS';

DO D = 10 TO 14 BY 2; DO I = 1 TO 2; DO REP = 1 TO 4; INPUT PESO @; OUTPUT; END; END; END; CARDS; 1.525 1.532 1.549 1.562 1.721 1.729 1.732 1.744 1.724 1.728 1.732 1.740 1.925 1.923 1.940 1.952 1.935 1.928 1.926 1.941 1.616 1.625 1.631 1.623 ; PROC PRINT; RUN; PROC ANOVA; CLASS REP D I; MODEL PESO = D REP(D) I D*I REP*I(D); TEST H = D E = REP(D) /DUNCAN; TEST H = I E = REP*I(D); TEST H = D*I E = REP*I(D); MEANS REP D I D*I; RUN;

Análisis y Diseño de Experimentos - 363 9.1.2. Diseño de parcela dividida bajo el diseño bloque completo al azar.

Bloques

a0

a2

a3

a1

I

b1 b0 b2

b2 b0 b1

b0 b1 b2

b1 b2 b0

a1 b1 b2 b0

a2 b0 b1 b2

a0 b2 b0 b1

a3 b0 b2 b1

a1 b0 b2 b1

a3 b2 b0 b1

a0 b2 b1 b0

a2 b1 b0 b2

II

III

a3 a1 a2 b1 b2 b0 b0 b0 b1 b2 b1 b2 A = 4, Bloque = 4, 4x4 = 16 Total parcelas. 16x3B = 48 total subparcelas.

IV

a0 b2 b1 b0

NOTA: Las parcelas principales son asignadas al azar dentro de cada bloque. Las sub-parcelas son asignadas al azar dentro de cada parcela principal. El modelo lineal aditivo para la parcela dividida es la siguiente:

Yijk = µ + ρk + α i + Ea + β j + (αβ)ij + Eb i = 12 , ,L, a ( Nivelesde factor A) j = 12 , ,L,b ( Nivelesde factor B) k = 12 , ,L, r (Re p. o bloque)

- 364 -


donde: Yijk = Variable respuesta en la repetición o unidad experimental k, en la parcela "i", subparcela "j".

µ

= Constante común o media poblacional.

ρ k = Efecto del l-ésimo bloque. α i = Efecto del i-ésimo nivel del factor A. E a = Error de parcelas. β j = Efecto del j-ésimo nivel del factor B.

(α β)ij = Efecto de la interacción del i-ésimo nivel del factor A con el j-ésimo nivel factor B.

E b = Error de subparcelas. TABLA DE DESCOMPOSICION. F. De V. Entre parcelas

G.L. ra - 1

Dentro de Parcelas

ra(b - 1)

Diferencia = SCtotal - SCParcelas Total (subparcelas)

rab - 1

F. De V. G.L. Bloque = R r-1 A a- 1 Error(a) = R*A (a - 1)(r - 1) B (b - 1) AxB (a - 1)(b - 1) Error(b) = AxBxR a(b - 1)(r - 1) Total rab - 1

Análisis y Diseño de Experimentos - 365 TABLA ANOVA GENERALIZADO BAJO EL DISEÑO DE BLOQUES ALEATORIZADOS: Fórmulas.


S.C.

C.M.

Y..2k Y...2 − ∑ abr k =1 abr r

Bloques

r-1

Yi ..2 Y2 − ... br abr

a

A

∑

a-1

i =1 a

Error(a)

(r-1)(a-1)

Parcelas

ra - 1

i =1 k =1

k =1

i =1

b

Y. 2j .

CM Error (a )

Y...2

i =1

j =1

ar

∑

b

−

Y...2 abr

−

Y...2 − SC( A) − SC( B) abr

Yij2.

∑∑ r i =1 j =1

r

∑∑∑Y

2 ijk

(b-1)(r-1)a

(abr - 1)

CV(a) =

−

i=1 j=1 k=1

SCError(a) (r−1)(a−1)

σ2e +bσγ2ik +rbkα2

=Ea

σ2e +bσγ2ik +rbkα2

SC (B)

CM( B)

b −1

CM Error (b)

( a − 1)(b − 1) CM Error (b)

Y...2 −SC(B) −SC(AB) −SCParcelas abr

b

r

∑ ∑ ∑Y

2 ijk

i =1 j =1 k =1

CMError(a) Y...

−

σ 2e + rakβ2

CM( AB )

SC ( AB )

= SCDentrodeparcelas −SC(B) −SC(AB)

a

Y...2 , abr

a −1

σ2e +bσγ2ik +abσ2ρ

Yi .2k Y2 − ... abr k =1 b

a b

TC =

Yi ..2

CM Error (a)

r

a

Total

a

r −1

∑∑

(a-1)(b-1)

Error(b)

Y..2k

CM Bloque

CM ( A)

= SCparcelas − SCbloques − SCA

b-1

AB

r

CME(I)

SC Bloques

SC ( A )

∑∑ b −∑ ab − ∑ br + abr

a

B

Yi.2k

r

Fc.

SCError(b) (b −1)(r −1)a

= Eb

Y...2 abr

x100, CV(b) =

CMError (b) Y...

x100

2 σ 2e + rkαβ

σ 2e

- 366 -


PRUEBAS DE HIPOTESIS (MODELO I) a) Ho. α i = 0 vs

Ha: α i ≠ 0, si Fc > Ft ⇒ serechaza la Ho :

b) Ho. β j = 0 vs

Ha: β j ≠ 0, si


c) Ho. (αβ) ij = 0 vs Ha: (αβ)ij ≠ 0, si Fc > Ft ⇒ serechazala Ho : d) Ho. ρ k = 0 vs Ha: ρ k ≠ 0, si

Fc > Ft ⇒serechazala Ho :

PRUEBAS DE COMPARACION DE TRATAMIENTOS. Teniendo en cuenta que el factor A está en Parcelas y B en subparcelas, entonces en el cuadro siguiente se muestran las desviaciones estándar para comparar promedios. Caso

DLS s d

Tipo de comparación

DUNCAN s X

2Ea rb

E a rb

1)

Para niveles principales de A Yi .. − Y j ..

2)

Para efectos principales de B Y.i . − Y. j .

2Eb ra

E b ra

3)

Dos medias en B al mismo nivel de A Ai : Yik. − Yij.

2Eb r

E b r

3)

Dos medias en A al mismo nivel B

d = Yij . − Ykj . ó d = Yii . − Yjj .

2(b − 1) Eb + 2Ea rb

(b−1)Eb +Ea rb

Las comparaciones de dos medias de un factor al mismo nivel de otro factor, sólo se realiza cuando la interacción AB es significativa, caso contrario, las comparaciones se realizan independientemente, es decir como en los dos primeros (1) y (2) las medias del factor A independiente de B y viceversa.

EJEMPLO: Una de las mediciones realizadas en las parcelas con pasto fue el contenido de clorofila en la hierba cortada (mg/g) para las muestras de cada parcela. Los datos se muestran en la siguiente tabla:

Análisis y Diseño de Experimentos - 367 Co ntenid o d e clo ro fila (mg /g ) en la h ierb a co rtad a. A ñ o s d e acumulación de hierb a Fuen te de n itró geno Bloq u e b1 = 2 b2 = 5 b3 = 8 a1 = Urea 1 3.8 5.3 5.9 2 3.9 5.4 4.3 a2 = Sulfato d e amo n io 1 5.2 5.6 5.4 2 6.0 6.1 6.2 a3 = IBDU 1 6.0 5.6 7.8 2 7.0 6.4 7.8 a4 = Urea(SC) 1 6.8 8.6 8.5 2 7.9 8.6 8.4

Realizar el ANOVA, y su interpretación correspondiente. SOLUCIÓN: Primeramente se realizará el ordenamiento de los datos, para los efectos de cálculo. Bloque b1 I 3.8 II 3.9 Yij. 7.7 Yi.. Y1.. = Y.j.

a1 = Urea b2 5.3 5.4 10.7 28.6

b3 5.9 4.3 10.2

total p. Yi.k 15.0 13.6 28.6

Y.1. =

46.6

b1 5.2 6.0 11.2 Y2.. =

a2 = Sulfato de amtotal p. a3 = IBDU total p. a4 = Urea(SC) total p. b2 b3 Yi.k b1 b2 b3 Yi.k b1 b2 b3 Yi.k 5.6 5.4 16.2 6.0 5.6 7.8 19.4 6.8 8.6 8.5 23.9 6.1 6.2 18.3 7.0 6.4 7.8 21.2 7.9 8.6 8.4 24.9 11.7 11.6 34.5 13.0 12.0 15.6 40.6 14.7 17.2 16.9 48.8 34.5 Y3.. = 40.6 Y4.. = 48.8 Y.2. = 51.6 Y.3. = 54.3

A) GRADOS DE LIBERTAD (GL). GLEntre parcelas = ra - 1 = 2x4-1 = 7 GLBloque = r - 1 = 2-1 = 1 GL(A) = a - 1 = 4-1 = 3 GLE(a) = (r-1)(a-1) = 1x3 = 3 GLDentro de parcelas = ra(b-1) = 2x4(3-1)= 16 GL(B) = b - 1 = 3-1 = 2 GL(AxB) = (a-1)(b-1) = 3x2 = 6 GLE(b) = a(b-1)(r-1) = 4x2x1 = 8 GLTotal = rab-1 = 2x4x3 - 1 = 23 B) SUMAS DE CUADRADOS (SS) TC =

2 ( 152.5 )2 Y••• = = 969.0104167 abr 4 x3x2

Y..l 74.5 78.0 152.5 152.5 152.5

- 368 I)


4 2 Y2 . 2 +162 . 2 +L+239 . 2 + 249 .2 152 +136 SCParcelas = ∑∑ i•k − TC = − TC = 1008103333 − TC = 3909291664 . . 3 i =1 k =1 b

4

3

2

II) SCTotal-subparcelas = ∑∑∑Yijkl2 −TC = 38 . 2 + 39 . 2 +L+84 . 2 − TC = 101779 . − TC = 4877958334 . i=1 j=1 k =1

III) SCDentro de parcelas = SCTotal-subparcelas − SCParcelas = 4877958334 . − 3909291664 . = 96866667 . Luego calculamos las fuentes de variación de interés: Y••2l Y2 +Y2 74.52 + 782 − TC = ••1 ••2 − TC = − TC = 0.51041667 4 x3 12 k =1 ab 2

SCBloque = ∑

4 . 2 +345 . 2 +406 . 2 +488 .2 Y2 Y2 +Y2 +Y2 +Y2 286 −TC = 3732458334 . SCA = ∑ i•• −TC = 1•• 2•• 3•• 4•• −TC = 4x2 3x2 i=1 br

SCE(a) =SCParcela −SCA −SCBloque =3909291664 . . . . −3732458334 −051041667 =125791663 3

Y•2j •

j =1

ar

SCB = ∑ SCAxB =

− TC =

Y•21• + Y•22• + Y•23• 46.62 + 51.62 + 54.32 = − TC = 381583334 . 4( 2 ) 8

F Y −TCI −SC −SC =F77. +107. +L+169. −TCI −SC −SC =4529458334 . . −SC −SC =415416666 GH 2 JK GH∑∑ r JK 4

3

2 ij•

2

A

2

2

B

A

B

A

B

i=1 j=1

SCE(b) = SCDentro parcelas − SCB − SCAxB = 96866667 . − 381583334 . − 415416666 . = 1716667 .

RESUMEN EN LA TABLA DE ANOVA: Fuentes de Variación Bloques Tratamientos Nitrógeno (A) Error(a) TOTAL PARCELAS Hierba (B) Ax B Error(b) TOTAL DENTRO DE PARCELAS

TOTAL SUB-PARCELAS

CVA =

G.L. 1 11 3 3 7 2 6 8 16 23

S.S. 0.51041667 45.29458334 37.32458334 1.25791663 39.09291664 3.81583334 4.15416666 1.71666700 9.68666700 48.77958364

0.419305543 x100 = 10.19%; CVB = Y•••

M.S. Fc Signif. 0.51041667 1.22 n.s. 4.11768939 12.44152778 29.67 ** 0.41930554 1.90791667 0.69236111 0.21458338 0.60541669

8.89 3.23

0.214583375 x100 = 7.29% Y•••

** n.s.

Análisis y Diseño de Experimentos - 369 SYA =

CME(a) br

CME(b) 0214583375 . . 0419305543 . =0163777 =0.264356; SYB = = ar 3(2) 4(2)

=

Para graficar, se realiza por el Método tabular: TOTALES DE AxB b1=2 a1 7.7 a2 11.2 a3 13.0 a4 14.7 Y.j. 46.6

b2=5 10.7 11.7 12.0 17.2 51.6

b3=8 10.2 11.6 15.6 16.9 54.3

Yi.. 28.6 34.5 40.6 48.8 152.5

PROMEDIOS DE AxB b1=2 a1 3.85 a2 5.60 a3 6.50 a4 7.35 Promedio(j) 5.83

b2=5 5.35 5.85 6.00 8.60 6.45

b3=8 5.10 5.80 7.80 8.45 6.79

Prom(i) 4.77 5.75 6.77 8.13 6.35

9 8 7

9

cont. de Clorofila(mg/g)

cont. de Clorofila(mg/g)

Con los promedios de la interacción AxB, se realiza la gráfica y se muestra en seguida:

6 5 4 3 2 1 0

2

5

8 7 6 5 4 3 2 1 0

8

a1

Años de acumulación de hierba

a2

a3

a4

Fuente de Nitrógeno B dent ro de Urea

B dent ro Sulfat o

B dent ro IBDU

B dentro urea(SC)

A dent ro de 2 años

B dentro 5 años

B dentro 8 años

Interpretación de los efectos de factores con contrastes de regresión: El factor Hierbas es de tipo cuantitativo: 2 - 5 - 8 años de acumulación, entonces se realizará el cálculo de la partición de las sumas de cuadrados de contraste lineal y cuadrático para la interacción años de acumulación y años de años de acumulación x nitrógeno. Años de acumulación Nitrógeno a1 a2 a3 a4

Y• j• Lineal (P 1j) Cuadrática (P2j)

Lineal

2 3.85 5.60 6.50 7.35

5 5.35 5.85 6.00 8.60

8 5.10 5.80 7.80 8.45

5.83

6.45

6.79

-1 1

0 -2

1 1

∑P Y 1j

ij•

Cuadrática

∑P

2j

Yij•

1.25 0.20 1.30 1.10

-1.75 -0.30 2.30 -1.40

0.9625

-0.2875

- 370 -


CÁLCULO DE LAS SUMAS DE CUADRADOS:

SCLineal =

ra

e∑

4

PY j =1 1 j • j •

j

2

4

∑P

=

2( 4 )( 0.9625 )2 = 3.705625 2

=

2( 4 )( −0.2875 )2 . = 0110208333 6

2 1j

j =1

ra

SCCuadrática =

e∑

4 j =1

P2 j Y• j •

2

4

∑P

2 2j

j =1

r∑i=1 4

SCLineal x Cuadrática =

j

e∑

j − SC 2

3

PY

j =1 1 j ij•

Lineal

3

∑P

2 1j

=

. 2 + 02 . 2 +13 . 2 +11 . 2) 2(125 . − SCLineal = 0796875 2

j =1

e

r∑i=1 ∑j=1 P2 jYij• 4

SCCuadrática x Nitrógeno =

3

3

∑P

j −SC 2

Cuadrático

2 2j

=

2 ( −175 . )2 +( −030 . )2 +( 23 . )2 +( −14 . )2 6

− SCCuadrática = 3357291667 .

j=1

Análisis de varianza para el contenido de Clorofila en recortes de pasto Pencross con particiones de regresión polinomial ortogonal para el factor hierba. Fuentes de Variación Bloques Nitrógeno (A) Error(a) Hierba (B) BLineal BCuadrática Ax B A x Blineal A x BCuadrática Error(b)

GL 1 3 3 2 1 1 6 3 3 8

S.C. C.M. 0.510416670 0.510416670 37.324583340 12.441527780 1.257916630 0.419305543 3.815833340 1.907916670 3.705625000 3.705625000 0.110208333 0.110208333 4.154166660 0.692361110 0.796875000 0.265625000 3.357291667 1.119097222 1.716667000 0.214583375

Fc. 1.22 29.67

Signif. ns. **

8.89 17.27 0.51 3.23 1.24 5.22

** ** ns. ns. ns. *

Existe desviaciones cuadráticas significativas de la respuesta lineal para los años de acumulación de hierba que difieren entre las fuentes de nitrógeno. Se presenta una componente de interacción significativa, y es posible comparar los promedios de nitrógeno para cada año de acumulación de hierba y determinar si la Urea con cubierta

Análisis y Diseño de Experimentos - 371 de sulfuro siempre rindió el mayor contenido de clorofila en el pasto. Estos resultados comprobaremos usando el software estadístico SAS, para una mejor aproximación de los resultados y tomar una buena decisión al respecto, y lo detallamos a continuación.

/**** PROGRAMA EN SAS PARA PARCELA LA DIVIDIDA */ DATA HIERBA; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT NITRO $ ACUMU BLOQUE Y; DATALINES; UREA 2 1 3.8 UREA 2 2 3.9 UREA 5 1 5.3 UREA 5 2 5.4 UREA 8 1 5.9 UREA 8 2 4.3 SULFA 2 1 5.2 SULFA 2 2 6.0 SULFA 5 1 5.6 SULFA 5 2 6.1 SULFA 8 1 5.4 SULFA 8 2 6.2 IBDU 2 1 6.0 IBDU 2 2 7.0 IBDU 5 1 5.6 IBDU 5 2 6.4 IBDU 8 1 7.8 IBDU 8 2 7.8 U_SC 2 1 6.8 U_SC 2 2 7.9 U_SC 5 1 8.6 U_SC 5 2 8.6 U_SC 8 1 8.5 U_SC 8 2 8.4 ; PROC PRINT; RUN; PROC ANOVA; CLASS NITRO ACUMU BLOQUE; MODEL Y = BLOQUE NITRO ACUMU BLOQUE*NITRO NITRO*ACUMU; TEST H = BLOQUE NITRO E = BLOQUE*NITRO; RUN;

- 372 -


RESULTADOS DEL SAS The ANOVA Procedure Class Level Information Class Levels Values NITRO 4 IBDU SULFA UREA U_SC ACUMU 3 2 5 8 BLOQUE 2 1 2 Number of observations 24 Dependent Variable: Y Source Model BLOQUE NITRO NITRO*BLOQUE ACUMU NITRO*ACUMU Error Corrected Total R-Square 0.964808

DF 15 1 3 3 2 6 8 23

Coeff Var 7.290199

Sum of Squares 47.06291667 0.51041667 37.32458333 1.25791667 3.81583333 4.15416667 1.71666667 48.77958333

Root MSE 0.463231

Mean Square 3.13752778 0.51041667 12.44152778 0.41930556 1.90791667 0.69236111 0.21458333

F Value 14.62 1.22 29.67 1.95 8.89 3.23

Pr > F 0.0003 0.3505 0.0099 0.1996 0.0093 0.0646

Y Mean 6.354167

EJEMPLO. En la Estación Experimental INIA (Tahuaco - Yunguyo) en el período de 1995 1996, se ensayó el desarrollo de tecnología en OCA, para esto se experimentó en parcelas divididas con 3 bloques, evaluándose el factor A (parcela principal) con 2 niveles (con estiércol y sin estiércol) y el factor B (sub-parcela) con niveles de: 1 tubérculo/golpe, 2 tubérculos/golpe y 3 tubérculos/golpe. Los rendimientos fueron obtenidos en una parcela de 12.8 m2, 4 surcos/parcela. (a0 = con estiércol 2t/ha., a1 = Sin estiércol, b1 = 1 tubérculo-golpe, b1= 2 Tubérculo/golpe, b2 = 3 tubérculo/golpe). La información se presenta a continuación: I

II a1

a0

a0

III a1

a0

a1

b1

5 b2

6

b0

9 b2

13

b0

8

b2

12

b2

14 b1

6

b2

6 b0

6

b1

7

b1

12

b0

10 b0

7

b1

14 b1

19

b2

10 b0

7

Análisis y Diseño de Experimentos - 373 SOLUCION: Primeramente debemos ordenar el cuadro anterior de la siguiente forma: Total parcelas

a0 Bloque I II III Total Yij.=AB

b0 10 9 8 27

b1 5 14 7 26

Factor A (Yi..)

a0 = 83

Factor B (Y.j.)

b0 = 47

b2 14 6 10 30

Yi.k 29 29 25 83 b1 = 63

a1 b0 7 6 7 20

b1 6 19 12 37

b2 6 13 12 31

Total parcelas

Total Bloques

Yi.k 19 38 31 88

Y..k 48 67 56 Y...= 171

a1 = 88

171

b2 = 61

171

a) GRADOS DE LIBERTAD: Para entre parcelas: ra - 1 = 3(2) - 1 = 5 Descomponiendo en bloques: r - 1 = 3 - 1 = 2 A: a - 1 = 2 - 1 = 1 Error(a): (r-1)(a-1) = 2x1 = 2 Dentro de parcelas: ra(b-1) = 3(2)(2) = 12 Descomponiendo en B: B: (b-1) = 3-1 = 2 Interacción AxB: (a-1)(b-1) = 1x2 = 2 Error(b): a(r-1)(b-1) = 8 Total: rab - 1 = 3(2)(3) = 17 b) SUMA DE CUADRADOS

TC =

Y...2 (171) 2 = = 1624.5 abr 2 ( 3) 3

Yi.k 29 2 + 292 + 252 + 192 + 382 + 312 − TC = − TC = 6650 . 3 i =1 k =1 b a

r

SCparcelas = ∑∑

SCTotal subparcelas = ∑Yijk2 − TC = 102 + 92 + 82 +L+62 + 132 + 122 − TC = 1871− TC = 24650 . i , j ,k

SCDentro de parcelas = SCtotal − subparc. − SC parcelas = 246.50 − 6650 . = 180.0

- 374 -


Luego calculamos las fuentes de variación de interés: Y..2k 48 2 + 67 2 + 56 2 − TC = − TC = 1654.83333 − TC = 30.33 2 x3 k =1 ab r

SCBloques = ∑

a

∑

SC A =

i =1

Y i ..2 832 + 88 2 − TC = − T C = 1 6 2 5 .8 9 − T C = 1.3 9 br 9

SC Error ( a ) = SC Parcela − SC Bloque − SC A = 66.50 − 30.33 − 1.39 = 34.78 b

Y. 2j .

j =1

ar

SC B = ∑

− TC =

47 2 + 632 + 612 − TC = 25.33 6

a b Y 272 + 262 + 302 + 202 + 372 + 312 ij. SCComb( AxB) = ∑∑ − TC = − TC = 5383 . 3 i =1 j =1 r

. − 139 . − 25.33 = 27.11 SCint.( AxB ) = SCcomb ( AxB ) − SC A − SC B = 5383

SCError (b) = SCdentro parcelas − SCB − SC AxB = 180 − 25.33 − 2711 . = 127.56 RESUMEN EN LA TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA.

F. De V. Bloques A Error(a) Total parcelas B AxB Error(b) Total dentro de parcelas Total sub-parcelas

G.L. S.C. 2 30.33 1 1.39 2 34.78 5 66.50 2 25.33 2 27.11 8 127.56 12 180.00 17 246.50

C.M. 15.17 1.39 17.39

Fc. 0.87 0.08

Signif. n.s. n.s.

12.67 13.56 15.95

0.79 0.85

n.s. n.s.

Análisis y Diseño de Experimentos - 375 CONCLUSION: Ninguno de los factores tiene efecto significativo, por consiguiente no influye en el rendimiento de Oca con estiércol y sin estiércol, se puede usar indistintamente en la siembra, esto nos sugiere sembrar la oca con estiércol y sin estiércol no tiene efecto significativo, tampoco influye en número de tubérculos/golpe en el sembrado de oca, es decir es igual sembrar con 1,2,3 tubérculos/golpe. En la interacción de primer orden no se encontró diferencia estadística significativa, esto quiere decir que estos dos factores se comportan en forma independiente.

PROGRAMA EN SAS.

DATA PDIVID; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER;

DO A = 1 TO 2; DO B = 1 TO 3; DO BLOQUE = 1 TO 3; INPUT RDTO @; OUTPUT; END; END; END; CARDS; 10 9 8 5 14 7 14 6 10 7 6 7 6 19 12 6 13 12 ; PROC PRINT; RUN; PROC ANOVA; CLASS BLOQUE A B; MODEL RDTO = BLOQUE A BLOQUE*A B A*B; TEST H = BLOQUE A E = BLOQUE*A; TEST H = BLOQUE A /DUNCAN E = BLOQUE*A; RUN;

- 376 -


EJEMPLO. El siguiente experimento fue diseñado en una parcela dividida en bloque al azar. Consiste en un estudio del rendimiento (materia seca) en kilogramos por parcela para el Rye grass, donde el factor nitrógeno, con sus respectivos niveles, ocupó la parcela mayor -parcela principal- y el factor mejorador de suelo -Polisul- se localizó en las subparcelas. En este ejemplo se utilizarán las siguientes notaciones: niveles de nitrógeno (N), niveles de Polisul (P), bloques (B), error parcela mayor (EPM) y error parcela menor (Epm). Nitrógeno Polisul (kg/ha) (litros/ha) 100 50 60 70 Yi.k 150 50 60 70 Yi.k 200 50 60 70 Yi.k Y..k

BLOQUES III 25.30 27.40 30.60 83.30 28.40 30.20 31.90 90.50 27.90 29.30 32.20 89.40

I 24.30 25.80 31.00 81.10 26.40 29.30 32.80 88.50 26.40 28.30 32.40 87.10

II 23.90 26.70 29.80 80.40 27.30 31.40 33.60 92.30 26.90 30.80 33.20 90.90

256.70

263.60 263.20

IV 24.50 28.30 30.90 83.70 27.80 31.60 32.90 92.30 28.10 31.40 32.50 92.00

V 24.90 27.90 31.20 84.00 26.80 29.90 32.60 89.30 27.10 30.20 31.70 89.00

268.00

262.30

Yij. 122.90 136.10 153.50 136.70 152.40 163.80 136.40 150.00 162.00

Cuadro de concentración para sumas de cuadrados de efectos simples.

Niveles de nitrógeno

100 150 200 Y.j.

Niveles de Polisul 50 60 70 122.90 136.10 153.50 136.70 152.40 163.80 136.40 150.00 162.00 396.00 438.50 479.30

Yi.. 412.50 452.90 448.40 1313.80 = Y...

Análisis y Diseño de Experimentos - 377 En función del modelo descrito, las sumas de cuadrados del análisis de varianza son las siguientes: Y..2k 25670 . 2 +L+26230 . 2 − TC = − TC = 38364375 . − 38357121 . = 7254 . 3x3 k =1 ab r

SCBloques = ∑

Yi ..2 412.50 + L + 448.40 2 − TC = − TC = 38422.481 − TC = 65.360 3x 5 i =1 br a

SC N = ∑

a r Y2 8110 . 2 + L+ 8900 . 2 SCEPM = ∑∑ i.k − TC − SCN − SCP = − (TC + 65360 . + 7254 . ) = 4965 . 3 i=1 k =1 b

b

Y. 2j.

j =1

ar

SCP = ∑

− TC =

396002 +L+479.302 − TC = 38588.449 − 38357121 . = 231328 . 3x5

a b Y2 . 2 + L+ 16200 . 2 Y 2 12209 ij . . − (38357121 . + 65360 . + 231328 . ) = 257 . SCint.( AxB) = ∑∑ − ... = − TC −(SCN + SCP ) = 38656384 5 abr i =1 j =1 r

. 2 + 239 . 2 + 253 . 2 +L+322 . 2 + 325 . 2 + 317 . 2 − TC = 38679820 . − 38357121 . = 32269 . SCTotal = ∑Yijk2 − TC = 243 i , j ,k

SC Epm = SC Total − ( SC N + SC P + SC bloque + SC EPM + SC NxP ) = 322 .699 − ( 65.360 + 231.328 + 7 .254 + 4 .965 + 2 .575) = 11.217

TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA. F. De V. Bloques Nitrógeno (N) Error(EPM) Polisul (P) NxP Error(EPM) Total

G.L. 4 2 8 2 4 24 44

S.C. 7.254 65.360 4.965 231.328 2.575 11.217 322.699

C.M. Fc. Ft.(.05 1.814 2.92 ns. 3.84 32.680 52.66 ** 4.46 0.621 115.664 247.48 ** 3.40 0.644 1.38 ns. 2.78 0.467

.01) 7.01 8.65 5.61 4.22

- 378 -


Como en ocasiones anteriores, la significancia de los efectos está en función del contraste entre las estadísticas de prueba y los valores tabulares de Snedecor. También es necesario considerar los ajustes que para pruebas de medias y contrastes se hacen en función de los diferentes cuadrados medios del error. CONCLUSION. Existe evidencias estadísticas en los efectos principales: Nitrógeno y Polisul, encontrándose una diferencia estadística altamente significativo (P ≤ 0.01), esto nos demuestra que los niveles de nitrógeno influye estadísticamente, así mismo los niveles de Polisul, para interpretar mejor estos efectos se debe realizar la prueba múltiple de significancia de Duncan, Tukey, etc. EJEMPLO. Consideremos el caso de un experimento sobre avena donde se comparó dos niveles de fertilización nitrogenaday 4 variedades de esta especie conducidos en un diseño BCA con 4 réplicas y en un diseño de tratamientos de Parcela Dividida. Se ubió en parcelas las diferentes dosis ensayadas y en subparcelas las distintas variedades. a1 : 100 kg/ha de N, a2: 120 kg /ha de N b1 : variedad W ; b2 : variedad X ; b3 : variedad Y ; a4 : variedad Z. Cuadro de resultados ordenados a1 Bloque I II III IV

b1 2.17 1.88 1.62 2.34

b2 1.58 1.26 1.22 1.59

b3 2.29 1.60 1.67 1.91

a2 b4 2.23 2.01 1.82 2.10

b1 2.33 2.01 1.70 1.78

b2 1.38 1.30 1.85 1.09

b3 1.86 1.70 1.81 1.54

b4 2.27 1.81 2.01 1.40

ANVA : cuadro de resultados F. De V. B lo q u e s N it ró g e n o (A ) E rro r(a ) To t a l p a rc e la s V a rie d a d e s (B ) In t e ra c c ió n (A x B ) E rro r(b ) To t a l d e n t ro d e p a rc e la s To t a l d e s u b p a rc e la s

G .L. 3 1 3 7 3 3 18 24 31

S .C . 0.560 0.070 0.660 1.290 1.670 0.034 0.600 2.304 3.594

C .M . 0.187 0.070 0.220

Fc. 0.85 n.s . 0.32 n.s .

0.557 0.011 0.033

1 6 . 7 0 ** 0.34 n.s .


PROGRAMA EN SAS. DATA PARDIV; TITLE ‘PARCELAS DIVIDIDAS EN BCA’; INPUT A B REP PESO; CARDS; 1 1 1 2.17 2 1 1 2.33 1 1 2 1.88 2 1 2 2.01 1 1 3 1.62 2 1 3 1.70 1 1 4 2.34 2 1 4 1.78 1 2 1 1.58 2 2 1 1.38 1 2 2 1.26 2 2 2 1.30 1 2 3 1.22 2 2 3 1.85 1 2 4 1.59 2 2 4 1.09 1 3 1 2.29 2 3 1 1.86 1 3 2 1.60 2 3 2 1.70 1 3 3 1.67 2 3 3 1.81 1 3 4 1.91 2 3 4 1.54 1 4 1 2.23 2 4 1 2.27 1 4 2 2.01 2 4 2 1.81 1 4 3 1.82 2 4 3 2.01 1 4 4 2.10 2 4 4 1.40 ; PROC ANOVA; CLASSES REP A B; MODEL PESO=REP A REP*A B A*B; TEST H=REP E=REP*A; TEST H=A E=REP*A; MEANS REP A B A*B; RUN;

- 380 -


9.2. DISEÑO DE PARCELA SUBDIVIDIDAS (SPLIT SPLIT PLOT). Características. La adición de un tercer factor mediante la división de las subparcelas de un diseño de parcelas divididas da lugar a un diseño de parcelas sub-divididas. Este diseño suele ser bastante útil en un experimento de tres factores, a fin de facilitar las operaciones de campo o cuando resulta deseable mantener agrupados combinaciones de tratamientos; sin embargo, la restricción adicional a la distribución aleatoria hace necesario el cálculo de un tercer término de error que se utiliza para probar los efectos principales del factor aplicado a la segunda división, así como todas las interacciones que influyen dicho factor. El procedimiento para la distribución aleatoria es el mismo que para el diseño de parcelas divididas, estando las sub-parcelas divididas en sub-parcelas, cuyo número coincide con los niveles de los tres factores, a los cuales el tercer factor es aleatoriamente asignado con una nueva distribución aleatoria para cada conjunto de sub-parcelas. El modelo lineal aditivo es el siguiente: Yijkl = µ + ρk +αi +δil + β j + (αβ)ij +τ ijk +γ k + (αγ )ik + (βγ ) jk + (αβγ )ijk +εijkl i = 12 , ,L,a ( parcelas) j =12 , ,L,b (Sub − parcelas) k = 12 , ,L,c (sub − sub − parcelas) l = 12 , ,L,r (bloques)

donde: Yijkl = Variable respuesta u observación. µ = Constante común o media poblacional.

ρ l = Efecto del del l-ésimo bloque.

α i = Efecto del del i-ésimo nivel del factor A. δ il = Es el efecto del i-ésimo nivel del factor A enla l-ésima repetición. β j = Es el efecto del j-ésimo nivel el factor B que se estudia en la sub-parcela.


τ ijk = Es el efecto del error en términos de sub-parcela.

γ k = Es el efecto del k-ésimo nivel del factor C que se estudia en sub-sub-parcela.

(α β) ij = Efecto de la interacción entre parcela y sub-parcela.

(αγ )ik = Es el efecto de la interacción entre la parcela y sub-sub-parcela. (β γ ) jk = Efecto de la interacción entre sub-parcela y sub-sub-parcela. (αβγ)ijk = Efecto de la interacción entre parcela, sub-parcela y sub-sub-parcela.

ε ijkl = Error expresado en términos de sub-sub-parcelas.

δ il , τ ijk , ε ijkl son las variables de error con media cero y varianza σ 2a , σ b2 y σ 2c , respectivamente. Pruebas de hipótesis: a) Ho. α i = 0 vs Ha: α i ≠ 0, si

Fc > Ft ⇒ serechazala Ho :

b) Ho. β j = 0 vs Ha: β j ≠ 0, si


c) Ho. (αβ)ij = 0 vs Ha: (αβ)ij ≠ 0, si Fc > Ft ⇒serechazala Ho : d) Ho. γ k = 0 vs Ha: γ k ≠ 0, si

Fc > Ft ⇒serechazala Ho :

e) Ho.(αγ )ik = 0 vs Ha:(αγ )ik ≠ 0, si Fc > Ft ⇒serechazalaHo: f) Ho. (βγ ) jk = 0 vs Ha: (βγ ) jk ≠ 0, si Fc > Ft ⇒serechazalaHo: g) Ho.(αβγ )ijk = 0 vs Ha:(αβγ )ijk ≠ 0, si Fc > Ft ⇒serechazalaHo:

- 382 -


TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA.


S.C.

Y...2l

r

Bloques

C.M.

Y....2

∑ abc − abcr

r-1

l =1

Yi ...2 Y....2 − ∑ abcr i =1 bcr a

A

a-1

Error(a)

ra - 1

B

b-1

AB

(a-1)(b-1)

∑ cr − TC −SC

A

SC B − SCint( AxB)

Y..2k .

c

Y....2

∑ abr − abcr Yi.2k. − TC −SCA − SCC ∑ i ,k br

Y. jk2 .

(b-1)(c-1)

Y2 − .... − SCB − SCC ∑ abcr j ,k ar Y ∑ r − TC − ( SC + SC + SC 2 ijk .

ABC Error(c)

(a-1)(b-1)(c-1) (c-1)(r-1)ab

A

TC =

Y....2 , abcr

(abcr - 1)

CV(a) =

CMError(a) Y....

B

C

+

i , j ,k

SC AB + SC AC + SC BC )

SCTotal − SCsup − parcelas − SCC − SC AC − SC BC − SC ABC

a

Total

=Ea

b

c

r

∑ ∑ ∑ ∑Y

2 ijkl

−

i =1 j =1 k =1 j =1

x100, CV(b) =

CM( B)

b −1

CM Error (b) CM ( AB)

( a − 1)(b − 1) SCError(b) = Eb (b −1)(r −1)a SC (B)

b − 1 SC ( AC )

CM Error (b)

CM( AC)

( a − 1)( c − 1) SC(BC)

CM Error (c) CM( BC)

(b−1)(c−1) SC( ABC)

CM Error (c) CM ( ABC )

(a −1)(b −1)(c −1) SCError(c) (c −1)(r −1)ab

= Ec

Y....2 abcr

CMError(b) Y....

SC (B)

CM Error (b)

k =1

(a-1)(c-1)

BC

CM Error (a )

SC ( AB )

− SCB

SC sub− parcela − SC parcelas −

c-1

AC

a −1

r

Yij2..

(b-1)(r-1)a

C

r −1 SC ( A )

∑∑

i, j

Error(b)

CM Bloque CM Error (a ) CM ( A)

(r−1)(a−1)

Yi ..2l Y2 − .... abcr i = 1 k =21 bc b Y Y....2 . j .. − ∑ abcr j =1 acr a

Parcelas

SC Bloques

SCError(a)

SC parcelas − SCbloques − SCA

(r-1)(a-1)

Fc.

x100, CV(c) =

CMError(c) Y....

x1

CM ( B )

CM Error (c)

Análisis y Diseño de Experimentos - 383 EJEMPLO. En la Estación Experimental INIAA (Tahuaco-Yunguyo) en el período (1995-1996), se se ensayó el desarrollo de tecnología en Oca, para esto se experimentó en parcelas sub-divididas con tres bloques, evaluándose el factor A (parcela principal) con dos niveles: con estiércol y sin estiércol, el factor B (sub-parcela) con niveles de: tubérculo semilla con brotes y semilla sin brotes y el factor C (sup-sub-parcelas) con niveles de: 1, 2 y 3 tubérculos/golpe. Los rendimientos fueron obtenidos en una parcela de 12.8m² con 4 surcos/parcela. La información se presenta a continuación. a0 : Con estiércol 2 t/ha, a1 : Sin estiércol, b0 : Tubérculo semilla con brotes, b1 : Tubérculo semilla sin brote, c0 : 1 tubérculo/golpe (15 g), c1 : 2 tubérculo/golpe (10 g), c2 : 3 tubérculo/golpe (8 g). a0

Total

b0 I II III Yijk.

c0 10 9 8 27

c1 5 14 7 26

b1 c2 14 6 10 30

Yij..

a0b0= 83

Yi.k.

a0c0= 62

Y.jk.

b0c0= 47

Yij.l 29 29 25 83

c0 15 7 13 35

a1

Parcela

c1 c2 Yij.l 18 9 42 5 11 23 15 18 46 38 38 111

Yi..l 71 52 71 194

a0b1=111

Total

b0 c0 7 6 7 20

b1

c1 c2 Yij.l 6 6 19 19 13 38 12 12 31 37 31 88

c0 3 9 4 16

a1b0= 88

a0c1=64

a0c2= 68

a1c0= 36

b0c1=63

b0c2= 61

b1c0= 51

c1 13 5 5 23

Parcela Bloque c2 12 10 4 26

Yij.l 28 24 13 65

Yi..l 47 62 44 153

a1b1=65

Y...l 118 114 115 347 347

a1c1= 60

a1c2= 57

347

b1c1= 61

b1c2= 64

347

Yi...

a0= 194

a1= 153

347

Y.j..

b0= 171

b1= 176

347

Y..k.

c0= 98

c2= 125

347

c1= 124

a) GRADOS DE LIBERTAD. 1) GLParcelas = ar - 1 = 2x3 -1 = 5 GLBloques = r - 1 = 3 -1 = 2 GLA = a - 1 = 2 - 1 = 1 GLError(a) = (a-1)(r-1) = 1x2 = 2 2) GLTotal sub-parcelas = ra(b - 1) = 3x2x(2 -1) = 6 GLB = b - 1 = 2 - 1 = 1 GLAB = (a-1)(b - 1) = 1x1 = 1 GLError(b) = a(r-1)(b-1) = 2x2x1 = 4 3) GLC = c - 1 = 3 - 1 = 2 GLAC = (a-1)(c - 1) = 1x2 = 2 GLBC = (b - 1)(c-1) = 1x2 = 2

- 384 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno GLABC = (a-1)(b - 1)(c-1) = 2 GLError(c) = ab(r-1)(c - 1) = 2x2x2x2 = 16 GLDentro de parcelas = abr(c - 1) = 2x2x3x(3-1) = 24 4) GLTotal = abcr - 1 = 2x2x3x3 - 1 = 35

b) SUMAS DE CUADRADOS. r

SCBloques = ∑ l =1

TC =

Y....2 347 2 = = 3344.694444 abcr 2 x 2 x 3x 3

Y...2l Y2 118 2 + 114 2 + 1152 − .... = − TC = 0.7222222 12 abc abcr

Yi ...2 Y2 194 2 + 1532 − .... = − TC = 46.694444 abcr 18 i =1 bcr a

SC A = ∑

Y2 712 + 522 + 712 + 472 + 622 + 442 − TC = 1178055556 SCparcelas = ∑ i..l − TC = . 6 i ,k bc SCError(a) = SCparcelas − SCbloques − SCA = 1178055556 − 07222 − 4669444 = 70388889 . . . . SC B =

b

Y. j2..

∑ acr

−

j =1

SCComb( AxB) = ∑

Yij2.. cr

Y....2 171 2 + 176 2 = − TC = 0.6944444 abcr 18 − TC =

832 + 1112 + 882 + 652 − TC = 1119.6388889 9

− 46694444 − 0694444 = 7225000 SCInt ( AxB) = SCComb( AxB) − SCA − SCB = 119638889 . . . . SC Error ( b ) = SC sub − parcela − SC parcelas − SC B − SC int( AxB ) = 325.638889 − 117 .8055556 − 0.694444 − 72 .25 = 134 .8888889

Yij2.l 292 + 292 + 252 +L+282 + 242 + 132 − TC = 3256388889 SCSub− parcelas = ∑ − TC = . c 3

Y..2k . 98 2 + 124 2 + 1252 −TC = − TC = 39.0555556 12 k =1 abr c

SCC = ∑

Y2 622 + 642 + 682 + 362 + 602 + 572 SCcomb( AxC) = ∑ i.k. −TC = − TC = 1068055556 . 6 i ,k br SCInt .( AxC) = SCComb.( AxC) − SCB − SCC = 1068055556 − 466944444 − 3905555556 = 210555556 . . . .

Análisis y Diseño de Experimentos - 385 SCcomb( BxC) = ∑

Y. 2jk .

j ,k

−TC =

ar

472 + 632 + 612 + 512 + 612 + 642 − TC = 4147222222 . 6

SCInt.( BxC) = SCComb.( BxC) − SCB − SCC = 41472222 − 0694444 − 390555556 = 172222 . . . . SCcomb( AxBxC) = ∑

Yijk2 .

i , j ,k

SCIntc.( AxBxC) = ∑

r

Yijk2 . r

i , j ,k

−TC =

272 + 262 + 302 +L+162 + 232 + 262 − TC = 1916388889 . 3

− TC −(SCA + SCB + SCC + SCAB + SCAC + SCBC )

= 1916388889 − (4669444 + 069444 + 39.0555556 + 72.25 + 21055556 + 172222 . . . . . ) = 101666666 . a

b

c

r

SCTotal = ∑∑∑∑Yijkl2 −TC = 102 + 92 +L+102 + 42 − TC = 3999 − TC = 654305556 . i =1 j =1 k =1 j =1

SCError (c) = SCTotal − SCsup− parcelas − SCC − SCAC − SCBC − SCABC = 6543055556 − 3256388889 − 390555556 − 210555556 − 172222 −101666666 . . . . . . = 2566666667 .

TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA. F. De V. PARCELAS PRINCIPALES Bloques A Error(a) SUB-PARCELAS B AxB Error(b) SUB-SUBPARCELAS C AxC BxC AxBxC Error( c) Total

G.L.

S.C.

C.M.

Fc.

Signific.

2 1 2 5 1 1 4 6 2 2 2 2 16 30

0.7222222 46.6944444 70.3888890 117.8055556 0.6944444 72.2500001 134.8888889 325.6388890 39.0555556 21.0555556 1.7222222 10.1666666 256.6666667 654.3055557

0.3611111 46.6944444 35.1944445

0.01 n.s. 1.33 n.s.

0.6944444 72.2500001 33.7222222

0.02 n.s. 2.14 n.s.

19.5277778 10.5277778 0.8611111 5.0833333 16.0416667

1.22 0.66 0.05 0.32

n.s. n.s. n.s. n.s.

- 386 -


CONCLUSION: En el ANVA encontramos que no existe diferencia significativas para los diferentes factores y de interacción, esto implica que los factores posiblemente se deben al azar.

PROGRAMA EN SAS. DATA PDIVID; TITLE'PARCELA SUB-DIVIDIDA SPLIT-SPLIT-PLOT';

DO A = 1 TO 2; DO B = 1 TO 2; DO C = 1 TO 3; DO BLOQUE = 1 TO 3; INPUT RDTO @; OUTPUT; END; END; END; END; CARDS; 10 9 8 5 14 7 14 6 10 15 7 13 18 5 15 9 11 18 7 6 7 6 19 12 6 13 12 3 9 4 13 5 5 12 10 4 ; PROC PRINT; RUN; PROC ANOVA; CLASS BLOQUE A B C; MODEL RDTO = BLOQUE A BLOQUE*A B A*B B*BLOQUE(A) C A*C B*C A*B*C; TEST H = BLOQUE A E = BLOQUE*A; TEST H = B A*B E=B*BLOQUE(A); MEANS A /DUNCAN E = BLOQUE*A;

Análisis y Diseño de Experimentos - 387 9.3. DISEÑO DE PARCELAS EN FRANJA Introducción. Los experimentos en parcelas divididas son frecuentemente utilizados en la experimentación agronómica cuando, en un experimento de tipo factorial, el material experimental o la propia conducción del experimento no permite una completa aleatorización de todas las combinaciones de los niveles de los factores. Una variación de los experimentos en parcelas divididas es caracterizada cuando, por diversas razones, aunque se estructuren las parcelas pequeñas, no hay posibilidad de una aleatorización total de estas parcelas. En este caso, las parcelas relativas a cada factor se posicionan en franjas (o fajas), tanto en filas como en las columnas. Considerando dos factores A y B, con “a” y “b” niveles, respectivamente, de forma que en cada nivel de A se tienen los niveles de B como subparcelas y viceversa, tanto los niveles de A como los niveles de B son considerado parcelas (factores principales), en tanto que la interacción (AxB) en cada uno de los índices de A y B constituyen las subparcelas (parcelas pequeñas). Para ilustrar este caso de diseño, considere un experimento con dos factores A y B, con 3 y 4 niveles, respectivamente, y cada bloque constituido por fajas horizontales Ai y fajas verticales Bj, resultando para un bloque cualquiera, el siguiente esquema: B1

B4

B2

B3

A3

A3B1

A3B4

A3B2

A3B3

A2

A2B1

A2B4

A2B2

A2B3

A1

A1B1

A1B4

A1B2

A1B3

Y de igual manera para los demás bloques, los cuales difieren entre sí apenas en lo referente a la aleatorización. De acuerdo con Gomes, FP. (2000) el análisis de los experimentos en franjas son más complejos, en comparación con los dispuestos en un arreglo en parcelas dividi-

- 388 -


das; y dan menor precisión a las comparaciones entre los niveles del factor que se ubica en la parcela pequeña. Por ello, los experimentos en franjas deben ser evitados, siempre que sea posible. Sin embargo, existen varias situaciones en que razones de orden práctica nos llevan a adoptarlos. Dentro de estas situaciones, se puede citar: experimentos con épocas de cosecha (cuando la cosecha es mecanizada), tipos de preparación del suelo, aplicación mecanizada de fertilizantes, aplicación de correcciones al suelo, aplicación de madurantes en caña de azúcar, en evaluaciones de distanciamiento de siembra, sistemas de riego, sistemas de labranza, etc. Modelo estadístico lineal aditivo. Según Kempthorne (1952), citado por Nogueira (2000), el modelo adecuado con dos factores y un diseño un diseño de bloques completos al azar es el siguiente:

Yijk = µ + ρk +αi (αρ )ik + β j + ( βρ )jk + (αβ )ij + (αβρ )ijk

R|i = 12, ,L,a S| j = 12, ,L,b Tk = 12, ,L,r

donde:

Yijk = Variable respuesta medida en la ijk-ésima unidad experimental.

µ

= Constante común o media poblacional.

ρ k = Efecto del del k-ésimo bloque. α i = Efecto del del i-ésimo nivel del factor A. ( αρ )ik = Efecto de la interacción entre el i-ésimo nivel del factor A con el késimo bloque, es el error experimental asociado al factor A, tal que ( αρ )ik ~ N ( 0,σ 12 ) e independientes, es utilizado como Error(a).

β j = Es el efecto del j-ésimo nivel el factor B.

( βρ )jk = Efecto de la interacción entre j-ésimo nivel del factor B con el k-ésimo bloque, es el error experimental asociado al factor B, tal que ( βρ )jk ~ N ( 0,σ 22 ) e independientes, es utilizado como Error(b).

(α β) ij = Efecto debido a la interacción del i-ésimo nivel del factor A con el jéimo nivel del factor B. ( αβ ρ )ijk = Error experimental asociado a

Yijk tal que

( αβ ρ )ijk ~ N ( 0,σ 2 ) e inde-

pendientes, es utilizado como término de error(c) o residuo.

Análisis y Diseño de Experimentos - 389 Pruebas de hipótesis: a) Ho. α i = 0 vs Ha: α i ≠ 0, si b) Ho. β j = 0 vs Ha: β j ≠ 0, si c)

Fc > Ft ⇒ serechazala Ho : Fc > Ft ⇒ se rechaza la H o :

Ho. (αβ)ij = 0 vs Ha: (αβ)ij ≠ 0, si Fc > Ft ⇒ serechazala Ho :

Esquema del Análisis de Varianza. F. de V.

G.L.

SC.

Bloques

(r-1)

S C B loques

CMBloques = SCBloque ( r −1)

Factor A

a-1

SC A

CM A = SCA ( a − 1 )

Error (a)

(r - 1)(a - 1)

Factor B

b-1

Error (b)

(r - 1)(b - 1)

S C E r r o r ( b ) CME( b ) = SCE( b ) ( b − 1)( r − 1)

(a - 1)(b - 1)

SC

AxB

abr - 1

Fc

CMA CME( a )

S C E r ro r ( a ) CME( a ) = SCError( a ) ( a −1)( r −1) SC

B

A × B

Residuo (r - 1)(a - 1)(b - 1) S C R e s id u o TOTAL

CM.

CM B = SCB ( b − 1 )

CM B CM E ( b )

CMA×B =SCA×B (a−1)(b−1) CM A× B CM Re siduo CMResiduo = SCResiduo GLResiduo

S C T o ta l

Decisión: Si

F ( A ) > F( ar −−11 )( a −1 ),α , entonces se acepta la Ha: y se rechaza la Ho:

Si

F ( B ) > F(br−−11 )( b −1 ),α , entonces se acepta la Ha: y se rechaza la Ho:

Si

( a −1 )( b −1 ) F ( A × B ) > FGL , entonces se acepta la Ha: y se rechaza la Ho: Re siduo ,α

- 390 -


F. de V.

G.L.

SC.

Bloques

(r-1)

Y Y2 SCBloques = ∑ − ••• abr k=1 ab

Factor A

a- 1

SCA = ∑

A, bloques

ra - 1

a r Y2 Y2 SCA,Bloque = ∑∑ i•k − ••• abr i=1 k=1 b

Error (a)

(r - 1)(a - 1)

Factor B

b- 1

2 ••k

r

2 Yi••2 Y••• − abr i =1 br a

SCError( a ) = SC( A,Bloque ) −SCA − SCBloque SC B =

b

Y•2j •

j =1

ar

∑

b

B, bloques

rb - 1

Error (b)

(r - 1)(b - 1)

−

2 Y••• abr

r

Y•2jk

SCB,Bloque = ∑∑ j =1 k =1

a

b

i =1 j =1

AxB

(a - 1)(b - 1)

Residuo=Error( c )

(r - 1)(a - 1)(b - 1) abr - 1

Yij2• r

−

2 Y••• abr

SCA×B = SCComb( A,B) − SCA −SCB SCError(c) =SCTotal −SCA−SCB−SCAB Bloque −SC Ea ( ) −SC Eb () × −SC a

TOTAL

2 Y••• abr

SCError(b) = SC( B,Bloque) − SCB −SCBloque SCComb( A,B ) = ∑ ∑

A,B

a

−

b

r

SCTotal = ∑ ∑ ∑ Yijk2 − i =1 j =1 k =1

2 Y••• abr

EJEMPLO. Los datos que se presentan a continuación se refieren al Pol% de la caña de azúcar, obtenido de un experimento en franjas en el ingenio Santa Cruz, citado por Nogueira (2000), que involucró dos factores A y B; correspondientes a tipos de surcos, asociado con distanciamientos entre surcos y densidades de siembra, con 4 y 3 niveles respectivamente, siendo:

Análisis y Diseño de Experimentos - 391 A1: Surco simple y distanciamiento de 1.40 m. A2: Surco doble y distanciamiento de 1.40 m x 0.90 m. A3: Surco de base larga y distanciamiento de 1.70 m. A4: Surco de base larga y distanciamiento de 1.90 m. B1: 4 toneladas de semilla/ha. B2: 6 toneladas de semilla/ha. B3: 8 toneladas de semilla/ha. A (Surcos) B (densidad) I II III IV Yij. Yi.. Y.j.

4 17.67 17.23 17.43 17.61 69.94 Y1.. =

A1 6 17.31 17.6 17.05 16.91 68.87 209.55 Y.1. =

8 17.49 17.3 17.68 18.27 70.74 279.24

4 17.19 17.85 17.44 17.56 70.04 Y2.. =

A2 6 17.21 17.26 16.71 17.52 68.7 207.53 Y.2. =

8 18.04 16.38 17.23 17.14 68.79

4 17.39 17.54 16.61 17.51 69.05 Y3.. =

277.42

A3 6 17.39 17.67 16.77 17.61 69.44 208.56 Y.3. =

8 17.69 17.02 17.34 18.02 70.07

4 17.19 17.57 17.72 17.73 70.21 Y4.. =

A4 6 16.78 17.57 17.79 18.27 70.41 211.39

8 17.86 16.85 18.12 17.94 70.77

280.37

Y..k 209.21 207.84 207.89 212.09 837.03 837.03 837.03

SOLUCIÓN: 1. Hipótesis: H 0 : α i = 0 Vs

Ha : α i ≠ 0

H0 : β j = 0 Vs Ha : β j ≠ 0 H0 : ( αβ )ij = 0 Vs Ha : ( αβ )ij ≠ 0 2. Nivel de significación:

α = 0.05

3. Prueba estadística de contraste:

F( A ) =

CM A CM B CM A× B , F( B ) = , F( A × B ) = CM E ( a ) CM E ( b ) CM Re siduo

4. Región de aceptación y rechazo: Si

F ( A ) > F( ar −−11 )( a −1 ),α , entonces se acepta la Ha:

Si

F ( A ) ≤ F( ar −−11 )( a −1 ),α , entonces se acepta la Ho:

Si

F ( B ) > F(br−−11 )( b −1 ),α , entonces se acepta la Ha:

Si

F ( B ) ≤ F(br −−11 )( b −1 ),α , entonces se acepta la Ho:

Si

( a −1 )( b −1 ) F ( A × B ) > FGL , entonces se acepta la Ha: Re siduo ,α

Si

( a −1 )( b −1 ) F ( A × B ) ≤ FGL , entonces se acepta la Ho: Re siduo ,α

- 392 -


5. Cálculo de Análisis de Varianza. a) Grados de Libertad (GL) GLBloque = r − 1 = 4 − 1 = 3

GL A = a − 1 = 4 − 1 = 3

GLE ( a ) = ( r − 1 )( a − 1 ) = 3 × 3 = 9

GLB = b − 1 = 3 − 1 = 2

GLE ( b ) = ( r − 1 )( b − 1 ) = 3 × 2 = 6

GL A × B = ( a − 1 )( b − 1 ) = 3 × 2 = 6 GLRe siduo = ( r − 1 )( a − 1 )( b − 1 ) = 3 × 3 × 2 = 18

GLTOTAL = abr − 1 = 4 × 3 × 4 − 1 = 47

Para facilitar los cálculos, se construyen los siguientes cuadros auxiliares: k

i A1 A2 A3 A4 Y..k

I 52.47 52.44 52.47 51.83 209.21

II 52.13 51.49 52.23 51.99 207.84

III 52.16 51.38 50.72 53.63 207.89

IV 52.79 52.22 53.14 53.94 212.09

Yi.. 209.55 207.53 208.56 211.39 837.03

i A1 A2 A3 A4 Y.j.

j

j B1 B2 B3 Y..k

k

I 69.44 68.69 71.08 209.21

II III IV 70.19 69.2 70.41 70.10 68.32 70.31 67.55 70.37 71.37 207.84 207.89 212.09

B1 B2 B3 69.94 68.87 70.74 70.04 68.7 68.79 69.05 69.44 70.07 70.21 70.41 70.77 279.24 277.42 280.37

Yi.. 279.24 277.42 280.37 837.03

Yi.. 209.55 207.53 208.56 211.39 837.03

b) Suma de cuadrados (SC)

TC =

2 Y••• (837.03) 2 = = 14596.23377 abr 4 × 3× 4

4 Y2 (209.21)2 +(20784 . )2 +( 20789 . )2 +( 21209 . )2 SCbloques = ∑ ••k − TC= − TC = 0992057 . 4 ×3 k=1 ab

Yi2•• (209.55)2 + ( 20753 . )2 +L+( 21139 . )2 − TC = − TC = 0675323 . 3× 4 i=1 br 4

SCA = ∑

4 4 Y2 (52.47)2 + (52.44)2 +L+(5314 . )2 + (53.94)2 − TC = 3284665 SC(A,Bloque) = ∑∑ i•k − TC = . b 3 i=1 k=11

SCError(a) = SC( A,Bloque ) − SCA − SCBloque = 3284665 . . . . − 0675323 − 0992057 = 1617285

----------------------------------------------------------------------------

Análisis y Diseño de Experimentos - 393 2 Y2 (279.24)2 +(277.42)2 + (280.37)2 • j• . . SCB = ∑ − TC = −TC = 1459651068 −TC = 0276913 4×4 j=1 ar 3 4 Y2 (69.44)2 + (70.19)2 +L+( 7137 . )2 − TC = 1459979628 − TC = 3562507 SC(B,Bloque) = ∑∑ • jk − TC = . . 4 j=1 k=11 a

SCError(b) = SC( B,Bloque ) − SCB − SCBloque = 3562507 . . . . − 0276913 − 0992057 = 2293537

---------------------------------------------------------------------------SCA×B =

F Y − TCI − SC − SC = F 69.94 + 6887 I . +L+7077 . − TCJ − SC − SC = 0616471 . GH GH∑∑ r JK 4 K 4

3

2 ij•

2

A

2

A

B

i=1 j=1

4

3

SCComb(A×B ) = ∑∑

Yij2•

i =1 k =1

4

2

B

3

r

− TC =

(69.94)2 + (68.87)2 +L+( 7077 . )2 − TC = 1568707 . 4

4

SCTotal = ∑∑∑Yijk2 −TC = (1767 . 2 +1723 . 2 +L+1794 . 2 ) −TC =146046585 . −TC = 8424732 . i=1 j=1 k=1

SCRe siduo = SCTOTAL − SCA − SCB − SCA×B − SCBloque − SCE( a ) − SCE( b ) = 8.424732-0.675323-0.276913-0.616471-0.992057-1.617285-2.293537 = 1.953146

RESUMEN EN LA TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA F. de V. Bloque Surcos (A) Error (a) Densidades (B) Error(b) AxB R e s idual Total

G.L. 3 3 9 2 6 6 18 47

S.C. 0.992057 0.675323 1.617285 0.276913 2.293537 0.616471 1.953146 8.424732

C.M. 0.330686 0.225108 0.179698 0.138457 0.382256 0.102745 0.108508

Fc.

Signific.

1.253

n.s.

0.362

n.s.

0.947

n.s.

3 2 6 F9,0.05 = 386 . ; F6,0.05 = 514 . ; F18,0.05 = 2.66

Conclusión: No se encontró diferencia estadística alguna contrastados a través de la Prueba de F para los efectos principales y de interacción (Surcos, Densidades y Surcos por Densidades), esto nos demuestra que hay suficiente evidencia para afirmar que los factores en estudio son independientes.

- 394 -


IMPLEMENTACIÓN CON EL PROGRAMA SAS. DATA FRANJA; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT SURCO $ DENSI BLOQUE Y; DATALINES; A1 4 1 17.67 A1 4 2 17.23 A1 4 3 17.43 A1 4 4 17.61 ....CONTINUAR ... A4 8 1 17.86 A4 8 2 16.85 A4 8 3 18.12 A4 8 4 17.94 ; PROC PRINT; RUN; PROC ANOVA; CLASS SURCO DENSI BLOQUE; MODEL Y = BLOQUE SURCO BLOQUE*SURCO DENSI BLOQUE*DENSI SURCO*DENSI; TEST H = SURCO E = BLOQUE*SURCO; TEST H = DENSI E = BLOQUE*DENSI; RUN;

SALIDA DE RESULTADOS The SAS System The ANOVA Procedure Class Level Information Class Levels Values SURCO 4 A1 A2 A3 A4 DENSI 3 4 6 8 BLOQUE 4 1 2 3 4 Number of observations 48 Dependent Variable: Y Source Model BLOQUE SURCO SURCO*BLOQUE DENSI DENSI*BLOQUE SURCO*DENSI Error Corrected Total R-Square Coeff Var 0.768165 1.888997

Sum of DF Squares Mean Square 29 6.47158542 0.22315812 3 0.99205625 0.33068542 3 0.67532292 0.22510764 9 1.61728542 0.17969838 2 0.27691250 0.13845625 6 2.29353750 0.38225625 6 0.61647083 0.10274514 18 1.95314583 0.10850810 47 8.42473125 Root MSE Y Mean 0.329406 17.43813

F Value 2.06 3.05 1.25 1.66 0.36 3.52 0.95

Pr > F 0.0563 0.0554 0.3473 0.1731 0.7104 0.0175 0.4869

Tests of Hypotheses Using the Anova MS for SURCO*BLOQUE as an Error Term Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F SURCO 3 0.67532292 0.22510764 1.25 0.3473 Tests of Hypotheses Using the Anova MS for DENSI*BLOQUE as an Error Term Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F DENSI 2 0.27691250 0.13845625 0.36 0.7104

Análisis y Diseño de Experimentos - 395 EJERCICIO: 1. Se desea analizar el largo de vida (Y) de componentes electrónicos al variar la temperatura (T) y el tiempo de horneado (H). Se analizan cuatro niveles de temperatura y tres niveles de tiempo de horneado. El experimentador decide realizar tres replicas. El siguiente cuadro muestra las respuestas obtenidas para cada uno de los arreglos. Tiempo Réplicas (minutos) I 5 10 15 II 5 10 15 III 5 10 15

580 217 233 175 188 201 195 162 170 213

Temperatura (°C) 600 620 158 229 138 186 152 155 126 160 130 170 147 161 122 167 185 181 180 182

640 223 227 156 201 181 172 182 201 199

a) Fijar el modelo lineal aditivo y explicar sus componentes, b) Plantear la hipótesis, c) calcular el ANOVA e interpretar los resultados en base al tenor del problema. 2. Los siguientes datos se refieren a la producción de trigo obtenido en un experimento, en el cual se utilizó un diseño bloques al azar con arreglo en bloque dividido, con el objetivo de estudiar el efecto de dos sistemas de riego (R1:Inundación y R2:Aspersión) y tres dosis de nitrógeno (N0, N1, N2), distribuidos en cuatro bloques.

- 396 -


Dosis de Sistemas de Nitrógeno Riego 0 R1 0 R2 1 R1 1 R2 2 R1 2 R2

Bloques I 55 71 62 77 69 78

Analice, interprete los resultados.

II 63 77 66 79 77 81

III 63 77 70 78 79 80

IV 65 75 66 76 76 79


10 ANÁLISIS DE COVARIANZA (ANCOVA) Es una técnica que combina los aspectos del análisis de variancia y de regresión, para manejar casos particulares, en los cuales se tiene una o más variables externas al experimento que no están afectas a los tratamientos e influyen en el valor observado. Muy útil en investigación, permite dar una mejor explicación del comportamietno de la variable de respuesta y a la vez, permite reducir el error experimental. Usos del análisis de covariancia. Se puede aplicar a cualquier diseño experimental. Mediante el ANVA se descompone la variación tota de la variable de respuesta en factores controlables y no controlables, en el factor no controlable se considera el error experimental. En el error experimental están todos aquellos factores y variables que no puedieron ser medidos o simplemente no semidieron. Sin embargo, si una variable es factible de medir en cada unidad experimental, esta debe ser considerada en el modelo, a menos que se pruebe estadísticamente que no tiene ningún efecto. El análisis de covariancia (ANCOVA) permiten el estudio de estas variables externas (concomitantes), si deben o no ser consideradas en el modelo y en que forma se las controla. Supongamos que en un experimento la variable de respuesta "Y" esta relacionada linealmente con la variable independiente "X", además el experimentador no

- 398 -


puede controlar la variable "X" pero puede medirla al mismo tiempo que a "Y", esto es a "X" se le conoce como covariable o variable concomitante, con el ANCOVA se busca adaptar el valor observado de la respuesta para tomar en cuenta el efecto de la variable concomitante. Para realizar el ANCOVA. a) Primeramente se realiza el análisis de regresión (prueba sobre el efecto de regresión), si este análisis resulta ser significativo entonces la variable "X" influye sobre la variable "Y" (concomitante), entonces se procede a realizar el ANCOVA. b) En caso de que la prueba sobre el modelo de regresión hubiera resultado ser no significativo, esto nos indica que la variable "X" no influye en la variable "Y", por lo tanto el análisis estadístico se realiza en la variable "Y" sin considerar la variable "X". Dentro de los posibles usos del ANCOVA están . EL ANCOVA se puede aplicar a cualquier diseño experimental. Mediante el ANVA se descompone la variación total de la variable "Y" en factores controlables y no controlables, en el factor no controlable se considera el error experimental. En el error experimental están todos aquellos factores y variables que no pudieron ser medidos o simplemente no se midieron. Sin embargo, si una variable es factible de medir en cada unidad experimental, esta debe ser considerada en el modelo, a menos que se pruebe estadísticamente que no tiene ningún efecto. El ANCOVA permite el estudio de estas variables externas (concomitantes), si deben o no ser consideradas en el modelo y en que forma se las controla. Dentro de los posibles usos del ANCOVA están: a)

Control de variables externas que implica una disminución del error que se traduce en una mayor precisión del análisis. b) Ajuste de las medias de tratamientos de la variable dependiente (Y) por las diferentes variables independientes (concomitantes). c) Ayudar en la interpretación de los datos, específicamente en la naturaleza del efecto de los tratamientos. SUPOSICIONES DEL ANCOVA. Los supuestos requeridos para que sea válido el ANCOVA son: - Independencia de los errores. - Normalidad en las variables aleatorias ε ~ N (0, σ ) - Que exista homogeneidad entre las varianzas. - Aditividad de los efectos involucrados en el modelo.

Análisis y Diseño de Experimentos - 399 - La variable X es fija, y medida sin error. - La variable X no esta influenciada por los tratamientos. - La variable Y esta relacionada con X en forma lineal. Ejemplos: El peso inicial (X) de animales relaciona el peso final (Y), cuando estos animales están sujetos a diferentes raciones. Se estudia el efecto de las raciones a través de los pesos observados. El número de plantas (X) por parcela, se estudia el rendiemiento total (Y) de la parcela. La incidencia de plagas (X) en el rendimiento de algunas variedades, el estudio es comparar las variedades. Porcentaje de germinación (X), esta medido en el rendimiento (Y). El rendimiento de las parcelas en una producción anterior (X), el estudio del rendimiento de las mismos parcelas al finalizar el experimento (Y).

La edad edad de los animales (X), en la determinación del peso corporal (Y). En cada caso se entiende que la variable X tiene un efecto en la variable Y, sin embargo, esta dependencia deberá ser probada estadísticamente mediante el ANALISIS DE REGRESIÓN. En algunos casos puede existir más de una variable externa, caso multivarial, ejemplo X1 X2, X3. Este caso puede resolverse matricialmente y con ayuda del computador porque los procesos manuales son tediosos. Modelos estadísticos para el análisis de covarianza. ANCOVA en el Diseño completamente al azar: Y ij = µ + τ

i

+ β(X

ij

− X .. ) + ε ij ;

i = 1, 2 , L , t ; j = 1 , 2 , L , ri

ANCOVA en el Diseño Bloque Completamente al Azar.

Yij = µ + β j + τ i + β ( X ij − X .. ) + ε ij ;

i = 1,2 , L , t ; j = 1,2 , L , r

- 400 -


ANCOVA en el Diseño Cuadrado Latino.

Yij ( k ) = µ + Fi + C j + γ k + β ( X ij ( k ) − X ) + ε ij ( k ) ;

i = j = k = 1,

Experimento factorial con dos factores con un modelo de Covarianza lineal simple. Diseño completamente al azar.

Yijk = µ + α i + γ j + (αγ ) ij + β ( X ijk − X ) + ε ijk ;

i = 1,2,L , a; j = 1,2,L , b k = 1,2,L , r

Diseño bloque completamente al azar.

Yijk = µ + ρ j + α i + γ k + (αγ ) ik + β ( X ijk − X ) + ε ijk ;

i = 1,2,L , a; j = 1,2,L , b k = 1,2,L , r

En todos los modelos

β es un parámetro que representa el coeficiente de

regresión. Se supone que β es distinto de cero, lo cual debe probarse, caso contrario en el modelo se elimina el término afectado por

β

.

Las hipótesis a formularse en ANCOVA son: Para la regresión: Para tratamientos.

H o: β = 0

v s.

H a: β ≠ 0

Ho:α i = 0 vs. Ha: α i ≠ 0, ∀ i =1,2 ,L,t

ANCOVA BAJO EL DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR.

Para realizar ambas pruebas la hipótesi se realizará: a) Para la regresión Ho: β = 0 vs. Ha: β ≠ 0 y b) Para tratamientos: Ho:τ i = 0 vs. Ha: τ i ≠ 0 , se deben calcular las sumas de cuadrados y sumas de productos de las variables X e Y.


ANALISIS DE REGRESION: Hipótesis: Ho: β = 0 vs. Ha: β ≠ 0 F. de V.

G.L.

Suma de Cuadrados

r-1

bE XY = SSRm = b$ ' X ' Y − NY 2

Error resid. N - r

EYY − bEXY = SSE = Y' Y − b$' X ' Y

Total

SSTm = Y ' Y − NY 2

Regresión

N-1

Cuadrados Medios SSRm = MSRm r −1 SSE = MSE r−N

Fobs. M SRm M SE

Para tratamientos el modelo estadístico lineal es:

Yij = µ + τ i + β ( X ij − X .. ) + ε ij ;

i = 1,2,L, t ; j = 1,2,L , r

donde: Yij = Es la j-ésima observación de la variable de respuesta tomada bajo el i-ésimo tratamiento o nivel del facto único.

µ = La media general o constante común.

τ i = Es el verdadero efecto del i-ésimo tratamiento. β = Es un parámetro que representa el coeficiente de regresión lineal que indica la dependencia entre Yij y Xij .

Xij = Es el valor de la covarianza o variable concomitante correspondiente a Yij, es decir es el ij-ésimo ensayo.

X = Es el promedio de las Xij . ε ij = Es un componente de error aleatorio ε ij ~ NI (0, σ 2e )

- 402 -


Los cálculos para un ANCOVA basado en el modelo de la ecuación se resumen a continuación. ANALISIS DE COVARIANZA GENERAL PARA DISEÑO COMPLETO AL AZAR.

Suma de cuadrados y Productos cruzados F. de V.

G.L.

∑x

∑xy

Tratamientos

t-1

TXX

TXY

Error experimental

∑n − t EXX

Tratam.+ Error

∑n − 1

2

i

i

EXY

S XX = TXX + E XX

∑y

2

Desviaciones respecto a la regresión. ∑y

2

−

(∑ xy) 2

∑x

G.L.

2

C.M.

TYY EYY

SE = EYY −

S XY = TXY + E XY

Diferencias para probar entre

2 E XY E XX

S T + E = S YY − ST+E − SE = TYY −

∑n −t −1 i

2 S XY S XX 2 XY

SE =

∑n − 2 i

2 XY

S E + SXX EXX

t-1

medias ajustadas de tratamientos

SUMA DE CUADRADOS Y PRODUCTOS: PARA TRATAMIENTOS: t

∑

T XX =

i =1

t

TXY = ∑ i =1

TYY =

X i2. X ..2 − ni ∑ n i (suma de cuadrados de tratamientos para X).

Xi.Yi. ( X.. )(Y.. ) − ni ∑ni (suma de productos de tratamientos para X e Y).

t

∑

i =1

Yi .2 Y2 − .. (Suma de cuadrados de tratamientos para Y). ni ∑ ni

ERROR (Por diferencia: Error = Total - Tratamientos).

∑n

SE − t −1

i

Análisis y Diseño de Experimentos - 403 ni

t

t

E XX = ∑ ∑ X ij2 − ∑ i =1 j =1

i =1

ni

t

t

E XY = ∑∑ Xij Yij − ∑ i =1 j =1

E YY =

t

i =1

ni

Xi.Yi. ni (Suma de cuadrados del error experimental para X e Y)

t

∑ ∑ Yij2 − ∑ i =1 j = 1

X i2. ni (Suma de cuadrados del error experimental para X)

i =1

Yi .2 n i (Suma de cuadrados del error experimental para Y).

TRATAMIENTO + ERROR: La suma de estas fuentes de variación es:

S XX = TXX + E XX S XY = TXY + E XY SYY = TYY + EYY

∑ xy = ∑ X 2

∑ x =∑ X 2

Y −

ij ij

2 ij

−

(∑ X ij ) 2

∑n

i

∑ y =∑ Y 2

2 ij

−

(∑ Yij ) 2

∑n

d∑ X id∑ Y i ij

∑n

ij

i

OTRA FORMA DE CALCULAR: PARA LA VARIABLE X:

S XX = T XX =

E

XX

∑∑ ∑

X ..2 X − ∑ n i (suma de cuadrados total de X). 2 ij

X i2. − ni

X ..2 ∑ n i (Suma de cuadrados de tratamientos de X).

= S X X − T X X (Suma de cuadrados del error X).

PARA LA VARIABLE Y:

S YY =

∑∑Y

2 ij

−

Y..2 ∑ n i (suma de cuadrados total de Y).

i

- 404 -


TY Y =

∑

Y i .2 − ni

Y ..2 ∑ ni

(Suma de cuadrados de tratamientos de Y).

E YY = S YY − TYY

(Suma de cuadrados del error X).

PRODUCTO CRUZADO DE XY:

S XY =

∑∑ X

T XY =

∑

ij

Yij −

( X .. )(Y.. ) ∑ ni ( suma de producto total XY).

X i . Yi . ( X .. )( Y.. ) − ni ∑ ni

(Suma de producto para tratamiento XY).

E XY = S XY − T XY

(Suma de Producto del error XY).

Del cuadro se determina el valor de F calculado (Fc) para la prueba estadística: Ho: β = 0 F=

2 2 E XY E XY E XX E2 E = = XY 2 XX con v1 =1 S ( E XX ) S E ∑ni − t − 1 SE

d

2 E

i

y

v2 = ∑ni − t −1 grados de

libertad. PARA TRATAMIENTOS:

F=

bS

T+E

SE

g

− SE (t − 1)

d∑n − t −1i i

=

bS

H o: τ i = 0

T +E

g

− SE (t − 1) S

2 E

vs .

H a: τ i ≠ 0

con v1 = t −1 y v2 = ∑ni − t −1 grados

de libertad. A parte de realizar la prueba F es frecuente e importante presentar una tabla de medias de tratamientos ajustadas, como una ayuda para la interpretación de los resultados experimentales. Las medias de tratamientos ajustadas se pueden encontrar por medio de la siguiente fórmula:


Yi .ajust = Yi − β ( X i − X );

i = 1,2 ,L , t .

Donde β es el coeficiente de regresión calculado a partir del error experimental de cuadrado y productos, esto es:

β =

E XY E XX

La varianza estimada de una media de tratamientos ajustada esta dada por:

c

LM 1 c X − X h OP MNn + E PQ 2

h

V$ ajus.Yi = S E2

i

i

XX

El error estándar de una media de tratamientos ajustada por:

c

h

S Ajust .Yi = V$ ajus. Yi = S E

LM 1 c X − X h MN n + E

2

i

i

XX

OP PQ

La varianza estimada de la diferencia entre dos medias de tratamiento ajustadas, esta dada por:

d

i

V$ ajus. Yi − ajust . Y j = S E2

LM 1 MN n

i

d

Xi − X 1 + + nj E XX

i OP PQ 2

j

EJEMPLO. En un experimento realizados en cerdos de las razas: Yorkshire, Hampshire y Criolla se evaluó el peso final (Y) de estos animales enla Estación Experimental Illpa - INIAA-Puno, para este experimento se pesó a los animales al inicio del experimento, registrándose a este peso inicial de los cerdos (X), estos animales fueron alimentados con residuos de la zona. La información se presenta a continuación.

- 406 -


1 2 3 4 Xi. Yi.

YORKSHIRE X Y 7.4 18.7 10.6 24.4 13.5 30.1 12.0 25.9 43.5 99.1

HAMPSHIRE X Y 8.4 20.2 10.8 22.5 12.4 22.9 10.3 20.1 41.9 85.7

CRIOLLO X Y 12.8 22.0 10.6 20.4 10.8 20.7 11.4 21.0 45.6 84.1

X.. Y.. 131 268.9

PRIMER PASO ES RESOLVER MEDIANTE LA REGRESION. El procedimiento se realiza agrupando en dos columnas X e Y. Los resultados son las siguientes:

∑X

2 i

= 1463.22,

∑Y

2

i

∑XY

= 6134.23,

X'X =

LM 12 N131

( X' X)−1 =

146322 . 1 12(146322 . ) −131*131 −131

β$ = ( X' X)−1 X'Y =

O, 1463.22 PQ

i i

131

LM N

= 2978.64,

∑X

LM 268.9 OP N2978.64 Q . −131O 1 L146322 ,= M P 12 Q 39764 . N −131

i

= 131,

∑

X 'Y =

LM N

OP LM QN

OP Q

LM N

OP LM Q N

OP Q

−131 12

OP Q

. . . . 8193385977 −131 2689 1 146322 1 3258018 = = . . . 51778 1302132585 −131 12 297864 . . 39764 39764

⇒ SSRm = β$ ' X 'Y − NY 2 = 8193385977 1302132585 . .

LM 2689. OP −12FG 2689. IJ H 12 K . Q N297864

2

= 561848405 .

SSE = Y ' Y − β$ ' X ' Y = 6134.23 − 6081785674 . = 52.444326

. = 108.6291669 SSTm = Y' Y − NY 2 = 6134.23 − 6025600833 TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA. F. De V. G.L. Debido a regresión 1 Error 10 Total 11

R2 =

S.C. 56.184841 52.444326 108.629167

C.M. Fobs. 56.184841 10.71** 5.244433

SSRm 561848405 . x100 = 5172 = . , SSTm 108.6291669

r = 0.72

0.05 0.01 4.96 10.04

Análisis y Diseño de Experimentos - 407 CONCLUSION: Como Fc = 10.71 > Ft = 10.04, entonces se rechaza la hipótesis nula, esto implica que β ≠ 0 , es decir que la variable Y esta influenciada por la variable X, por consiguiente se procede a efectuar el análisis de covarianza. Esta afirmación podemos corroborar con el coeficiente de determinación R 2 = 5172 . %, es decir el 51.72% de la variación de peso final depende de la variación del peso inicial, y en un 48.28% debe a otros factores como por ejemplo medio ambiente, condiciones de manejo y otros. Como se comprobó que la Fc es significativo, entonces se procede a efectuar el ANCOVA. PARA TRATAMIENTOS: t

∑

TXX =

i =1

t

TXY = ∑ i =1

X i2. X ..2 43.52 + 41.9 2 + 45.6 2 131 − = − = 1.7216667 ni 4 12 ∑ ni

Xi.Yi. ( X.. )(Y.. ) (435 . )(991 . ) + (419 . )(857 . ) + (456 . )(841 . ) (131)(2689 .) − = − = −13316666 . ni 4 12 ∑ni

Yi .2 Y2 99.12 + 85.7 2 + 84.12 (268.9) 2 − .. = − = 33.9266667 4 12 i =1 ni ∑ ni t

TYY = ∑

ERROR (Por diferencia: Error = Total - Tratamientos). ni

t

t

EXX = ∑∑Xij2 − ∑ i =1 j =1

t

i =1

ni

t

EXY = ∑∑ Xij Yij − ∑ i =1 j =1

IJ K

h FGH

c

Xi2. 435 . 2 + 419 . 2 + 456 .2 = 74 = 31415 . 2 + 106 . 2 +135 . 2 +L+108 . 2 +114 .2 − . ni 4

i =1

Xi.Yi. = (74 . )(187 . ) + (106 . )(244 . )+L+(108 . )(207 . ) + (114 . )(210 .) ni

FG 435. *991. + 419. *857. +L+456. *841. IJ = 4448 H K . 4 c991. +857. +841. h = 747025 = c187 . + 244 . +L+207 . + 210 . h− . −

t ni t Y2 EYY = ∑∑Yij2 − ∑ i. i=1 j=1 i=1 ni

2

2

2

2

2

2

4

2

- 408 -


TRATAMIENTO + ERROR: La suma de estas fuentes de variación es:

. + 31415 . = 331366667 . S XX = TXX + E XX = 17216667 . + 44.48 = 431483334 . S XY = TXY + E XY = −13316666 SYY = TYY + E YY = 33.926667 + 74.7025 = 108.629167 TABLA DE ANALISIS DE COVARIANZA (ANCOVA). Suma de Cuadrados y Productos Correg. Desviación respecto a Regres.

∑x

2

∑ xy

∑y

2

F. De V. G.L. Tratamientos 2 1.7216667 -1.3316666 33.9266700 Error exptal. 9 31.4150000 44.4800000 74.7025000 Trat. + Error 11 33.1366667 43.1483334 108.6291700 Diferencias para probar entre medias ajustadas de tratamientos

∑y

2

−

d ∑ xy i ∑

2

x2

G.L.

11.7239733 8 52.4443132 10 40.7203424 2

C.M. 1.465497 20.36017

2 E XY (44.48) 2 S E = EYY − = 74.7025 − = 1172397382 . E XX 31415 .

S E2 = 1.465496727 , S T + E

= SYY −

2 S XY = 52.44431618 , S − S = 4072034236 . T +E E S XX

F-calculado para TRATAMIENTOS:

F=

(ST+E − SE ) (t −1) 2036017118 . . **, = = 1389 1465496727 . SE2

. con F82(0.01) = 8649

F-calculado para REGRESION: F=

2 EXY E2 E (4448 . )2 = = XY 2 XX = 4297418413 . **, S (EXX ) 1465496727 SE . *31415 . 2 E

con F81(0.01) = 11259 .

Para resumir los datos analizados en un tabla necesitamos efectuar los siguientes cálculos.

SCTOTAL sin corregir = ∑ Yi 2 = SST = 6134.23

SCde la Media = SSM =

Y..2 (268.9) 2 = = 6025.600833 12 ∑ ni


SCError exp tal. = SSE = EYY −

2 E XY 44.482 = 74.7025 − = 1172397382 . E XX 31415 .

SCREGRESION = SSRm = SST − SSM − SSE = SCTotal − SCMedia − SCError = 6134.23 − 6025600833 . − 1172397383 . = 96905193 . SCTrat ./ β = ST + E − S E = 52.44431618 − 1172397382 = 40.72034236 . − 4072034236 = 5618485081 SCDebidoa β = SCregresión − SCTrat./ β = 9690519317 . . . TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA. F. de

V.

G.L.

S.C.

C.M.

∑n

Media

1

SC(µ) = Y..2

Regresión.

t

SC (τ 1 , τ 2 ,...., τ t −1 , β ) / µ )

Debido a

β

Error exptal.

SC ( β µ )

1

Tratamiento/ β

t-1

∑n

Total

i

SC(τ1,τ2 ,....,τt−1 µ,β)

c

2 EYY − EXY EXX

−t −1

∑n

i

∑Y

i

SC Trat β ( t − 1)

h

E YY ( ∑ ni − t − 1)

2

Numéricamente tenemos en la siguiente Tabla: F. De V. Media REGRESION Debido a ß Tratamientos/ß Error Exptal. Total

G.L. 1 3 1 2 8 12

S.C. 6025.6008330 96.9051932 56.1848508 40.7203424 11.7239738 6134.2300000

C.M.

Fc.

20.3601712 13.89** 1.4654967

- 410 -


Ajuste de los promedios de los tratamientos mediante el uso de fórmula:

c

Yi .ajust . = Yi . − β X i . − X ..

h

donde:

Yi. Ajust = Promedio ajustado de cada tratamiento. Yi . = Promedio de cda tratamiento sin ajustar.

β

= Coeficiente de regresión.

X i. = Promedio del número de observaciones en cada tratamiento (o variable X). X .. = Promedio general del número de observaciones por unidad experimental. El ajuste siempre es ventajoso, aún cuando la prueba de F, para la variable X no sea significativa: β = E XY E XX = 44.48 31.415 = 1.415884132

c

h

Y$i = Yi . − 1.415884132 X i . − X .. ,

Tratamientos

X i.

Xi. − X..

X .. =

c

β X

i.

− X

131 = 10.91666667 12

..

h

Yi .

Yi . Ajustado

Yorkshire 43.5/4 = 10.875 -0.04167 -0.05899517 99.1/4 = 24.775 24.833995 Hampshire 41.9/4 = 10.475 -0.44167 -0.62534882 85.7/4 = 21.425 22.05034 Criollo 45.6/4 = 11.40 0.48333 0.684343997 84.1/4 = 21.025 20.340656

c

h

La suma de las desviaciones debe ser cero β X i. − X .. = 0 La suma de promedios observados experimentalmente también debe ser igual a la suma de los promedios ajustados.

C.V . =

S E2 Y..

x100 =

1465496727 . x100 = 5.40% 268.9 12

Análisis y Diseño de Experimentos - 411 La varianza estimada de una media de tratamientos ajustada está dada por:

c

h

V$ ajus.Yi = S

Tratamientos

LM 1 c X − X h OP MN n + E PQ 2

2 E

i.

..

i

X i.

XX

c

Xi. − X..

β X

i.

− X

..

h

Yorkshire 10.875 -0.04167 -0.05899517 Hampshire 10.475 -0.44167 -0.62534882 Criollo 11.40 0.48333 0.684343997

Yi .

Yi . Ajustado

24.775 24.833995 0.605355408 21.425 22.05034 0.612759406 21.025 20.340656 0.614224749

El error estándar de una media de tratamientos ajustada por:

S Ajust .Yi

c

c

h

h

LM 1 c X − X h OP MN n + E PQ 2

= V$ ajus.Yi = S E

i.

i

..

XX

LM b MN

g OP = 036645517 . PQ

. − 1091666667 . 1 10875 V$ ajus.Y1 = 1465496727 . + . 4 31415

S Ajust .Y1 = 0.36645517 = 0.605355408

c

h

LM b MN

2

g OP = 037547409 . PQ

. − 1091666667 . 1 10475 V$ ajus.Y2 = 1465496727 . + . 4 31415

S Ajust .Y2 = 0.37547409 = 0.612759406

c

h

S Ajustado .Yi

LM b MN

g OP = 0377272043 . PQ

. −1091666667 . 1 1040 V$ ajus.Y3 = 1465496727 . + . 4 31415

S Ajust .Y3 = 0.377272043 = 0.614224749

2

2

- 412 -


La varianza estimada de la diferencia entre dos medias de tratamiento ajustadas está dada por:

LM MN

d

Xi − X j 1 1 + + V$ ajus.Yi − ajust.Yj = S E2 ni n j E XX

d

i

i OP PQ 2

PROGRAMA EN SAS. DATA CERDOS; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; INPUT RAZA $ X Y; CARDS; Y 7.4 18.7 Y 10.6 24.4 Y 13.5 30.1 Y 12.0 25.9 H 8.4 20.2 H 10.8 22.5 H 12.4 22.9 H 10.3 20.1 C 12.8 22.0 C 10.6 20.4 C 10.8 20.7 C 11.4 21.0 ; PROC PRINT; RUN; PROC REG; MODEL Y = X /XPX I COVB; RUN; PROC GLM; CLASS RAZA; MODEL Y = RAZA X /SOLUTION SS3; LSMEANS RAZA /STDERR PDIFF; RUN; /* PRESIONE F3 PARA EJECUTAR EL PROGRAMA */

Análisis y Diseño de Experimentos - 413 EJEMPLO. Aplicación. En un experimento en cerdos se evalúo el peso (Y) de estos animales cuando se aplicaron 4 tipos de alimento balanceado “2”, “3”, “4”, “5” y un testigo identificado como “1”, Se peso a los animales al iniciar el experimento, registrándose a este peso inicial como la variable X. 1 1 2 3 Xi.

Yi.

2

3

4

5

X 15 18 21

Y 55 60 63

X 16 22 26

Y 65 62 69

X 14 23 27

Y 80 95 100

X 13 15 12

Y 80 95 79

X 16 19 15

Y 83 94 98

54

178

64

196

64

275

40

254

50

275 272 1178

Y..

X..

Cuadro de ANVA para la regresión Fuentes

g.l.

S.C.

C.M.

Fc

Regresión Residual

1 9

248.64 306.69

248.64 34.08

7.30

Fc>Ft, se rechaza la Ho: b=0. Se afirma estadísticamente que el peso inicial tiene una influencia en el peso final del animal. Prueba de hipótesis : Ho : ti=0 vs ti¹0 Según el resultado de la regresión, el análisis continua con el ANCOVA.

Fuentes

g.l.

∑x

Alimentos Error

4 10

137.1 170.6

2

Al. + error 14 307.7 Alimento ajustado CV=7.43% F =3.63 0.05(4,9)

∑ xy

∑y

-139.0 206.0

2776.4 555.3

66.9

3331.7 3010.45

2

∑y

2

− ( ∑ xy ) 2

∑x

306.69

2

g.l.

CM Fc

9

34.0

4

752.6 22

3317.14

- 414 -


Comparaciones de los promedios Peso (X) Peso (Y) Peso Ajustado Inicial Final Final 1 18.00 59.33 59.33-1.207(18.00-18.13)=59.49 2 21.33 65.33 61.47 3 21.33 91.67 87.81 4 13.33 84.67 90.46 5 16.67 91.67 93.43 Comparación Dif

s

0.05

0.01

Signif

11.99 11.99 10.79 13.48 11.76 11.99

16.22 16.22 15.50 19.37 16.90 16.22

ns ** ** ns ns ns

d

1 vs 2 1 vs 3 2 vs 3 3 vs 4 3 vs 5 4 vs 5

1.98 28.32 26.34 2.65 5.62 2.97

4.99 4.99 4.77 5.96 5.20 4.99

El alimento tstigo y el alimento balanceado “2” responden en forma semejante, los alimentos balanceados “3”, “4” y “5” no muestran diferencias, sin embargo, este grupo difiere muy significativamente del grupo testigo y alimento “2”. PROGRAMA EN SAS. DATA ANCOVAM; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; TITLE ‘Alimento para cerdos EN UN D.B.C.A.’; DO ALIMENTO = 1 TO 5; INPUT INICIAL FINAL @; OUTPUT; END; CARDS; 15 55 16 65 14 80 13 80 16 83 18 60 22 62 23 95 15 95 19 94 21 63 26 69 27 100 12 79 15 98 ; PROC GLM; CLASS ALIMENTO; MODEL FINAL=ALIMENTO INICIAL/SOLUTION SS3; LSMEANS ALIMENTO/STDERR PDIFF; RUN;

Análisis y Diseño de Experimentos - 415 ANALISIS DE COVARIANZA EN UN ARREGLO FACTORIAL En esta parte vamos a describir y aplicar el análisis de covarianza en un arreglo factorial con dos factores, en un diseño completamente al azar. Consideramos ahora la combinación de efectos para definir tratamientos o estímulos, tomando en cuenta que la respuesta de los mismos puede ser afectada por una variable, la cual se pretende controlar a través de covarianza. El modelo estadístico para este análisis es el siguiente:

Yijk = µ + α i + β j + ( αβ )ij + β( X i .. − X ... ) + ε ijk i = 1,2,3,.., a j = 1,2,3,.., b k = 1,2,3,.., r

β = Coeficiente de regresión

EJEMPLO: En la Granja de Animales Menores de la Facultad de Medicina Veterinaria y Zootecnia de la UNA - Puno, se ensayó dos razas de conejos: California y Nueva Zelandia, para este experimento se ha suministrado tres raciones de tratamientos: T1 = Forraje hidropónico, T2 = 25% de concentrado y 75% de forraje hidropónico y T3 = Puro concentrado, el objetivo del presente estudio fue evaluar el incremento de peso vivo durante las 8 semanas. La información se presenta a continuación:

T1 X 1 749.5 2 614.7 3 477.7 4 726.5 5 767.4 Total 3335.8 XY 5449586

Y 1996.5 1503.7 1096.4 1807.9 1552.9 7957.4

Raza California T2 T3 X Y X 423.7 1411.7 757.7 550.8 1558.5 391.1 712.6 1834.7 622.5 685.8 1882.1 738.0 691.5 1923.9 627.3 3064.4 8610.9 3136.6 5385087 6042370.6

Y 2197.3 1410.9 1734.4 2132.4 1868.8 9343.8

T1 X 708.0 574.1 692.1 738.8 618.9 3331.9

Y 1490.0 1030.0 1790.5 2070.5 1570.0 7951.0

Raza Nueva Zelandia T2 T3 X Y X 675.5 1418.5 786.4 496.9 1799.1 807.3 609.3 1685.0 698.6 747.4 1498.7 749.7 778.7 1977.7 749.5 3307.8 8379.0 3791.5 5539003 7203000 X... = 19968.0 Y... = 51746.6

Y 1900. 1820. 1893. 2200. 1691. 9504.

- 416 -


1) Suma de cuadrados para «X».

a) TC = b)

X 2 ... ( 19968 )2 = = 13290700.8 abr 2x3x5

2 SCTotal = ∑ Xijk − TC

2) Suma de cuadrados para «Y»

a) TC =

b) SC Total =

= 749.52 + 614.7 2 +L+749.7 2 + 749.52 − TC

2

br

3x5

∑Y

2 ijk

2 2 2 c) SC = ∑Yi.. − TC = 25912.1 + 25834.5 − TC A

br

3x5

=26665.05 d) SC = B =

∑X

2 . j.

ar

=200.73

− TC

=

= 15471.774

e) SC Int(AB) = SC comb(AB) − SC A − SC B

=

∑X r

2 ij.

∑Y

2 . j.

d) SC B =

.2 6667.7 2 + 6372.2 2 + 69281 − TC 2x5

SCcomb(AB) =

− TC

. 2 − TC = 1996.52 + 1503.7 2 +L+2200.02 + 16912 = 2461716.71

= 345884.08

.2 c) SC = ∑ Xi.. − TC = 9536.82 + 104312 − TC A

Y 2 ... ( 51746.6 )2 = = 89257020.39 abr 30

ar

− TC

15908.4 2 + 16989 .9 2 + 18848.32 − TC 2x5

= 442210.16 e) SCInt(AB) = SCcomb(AB) − SCA −SCB SCcomb(AB) =

− TC

. 2 + 37915 .2 3335.82 + 3064.42 +L+33078 − TC 5

=

= 64287.052

∑Y

2 ij.

r

− TC

7957.42 + 8610.92 +L+83792 + 9504.52 − TC 5

= 450174.47

SC int(AB) = 64287.05 - 26665.05-15471.774 SCint(AB) = 450174.47 - 200.73 -442210.16 = 22150.23

f) SC Error = SCTotal − SC Comb(AB) = 345884.08 - 64287.052 = 281597.028

= 7763.58

f)

SCError = SCTotal − SCComb(AB) = 2461716.71 - 450174.47 = 2011542.25

Análisis y Diseño de Experimentos - 417 3) Suma de Cuadrados para calcular:

a) TC =

(Producto cruzado)

(X...)(Y...) (19968.0)(51746.6) = = 34442536.96 abr 30

∑ xy

b)

∑ xy

Total

∑X

=

ijk

Yijk − TC

= (749.5)(1996.5) + ........ + (749.5)(1691.2) - TC = 563316.89

∑ xy

c)

A

∑X

= =

∑ xy

d)

B

=

e)

=

i..

Yi..

br

− TC =

(X 1.. )(Y1.. ) + (X 2.. )(Y2.. ) − TC br

(9536.8)(25912.1) + (10431.2)(25834.5) − TC = -2313.515 15

∑X Y

.j. .j.

ar

− TC =

(X.1. )(Y.1. ) +(X.2. )(Y.2. ) +(X.3. )(Y.3. ) − TC ar

(6667.7)(15908.4) +(6372.2)(16989.9) +(6928.1)(18848.3) − TC= 49301.709 2x5

SC Int(AB) = SC comb(AB) − SC A − SC B SC comb(AB) = =

∑X

ij.

Yij.

r

− TC

(3335.8)(7957.4) +(3064.4)(8610.9) + L+(3307.8)(8379.0) +(3791.5)(9504.5) −TC 5

SC int(AB) = 54184.002 + 2313.515 - 49301.709 = 7195.808 f)

SC Error = SC Total − SC Comb(AB) = 563316.89 - 54184.002 = 509132.888

- 418 -


La salida con el Sistema de Análisis Estadístico S.A.S. se presenta a continuación: Primeramente se realizará el Análisis de Regresión para detectar, si la variable X influye sobre los tratamientos en estudio.

Model: MODEL1 Dependent Variable: Y Sumof Source DF Squares Model 1 917434.29926 Error 28 1544282.4154 C Total 29 2461716.7147 Root MSE 234.84664 Dep Mean 1724.88667 C.V. 13.61519 Parameter Estimates Variable INTERCEP X

R-square Adj R-sq

Mean Square 917434.29926 55152.94341

F Value 16.634

0.3727 0.3503

Parameter Standard TforH0: DF Estimate Error Parameter=0 1 640.871114 269.22243225 2.380 1 1.628629 0.39931816 4.079

Covariance of Estimates COVB INTERCEP INTERCEP 72480.718025 X -106.1332431

Prob>F 0.0003

Prob > |T| 0.0243 0.0003

X -106.1332431 0.1594549926

Se observa que la Fc = 16.634 es mayor que F-tabla, entonces se procede a realizar el Análisis de Covarianza. Class Level Information Class Levels Values RAZA 2 CALI ZELA ALIM 3 CONC CPURO REP 5 12345 Number of observations in data set = 30

HIDRO

Análisis y Diseño de Experimentos - 419 Dependent Variable: Y Source Model Error Corrected Total

Sumof Squares 6 1370696.602 23 1091020.112 29 2461716.715

Mean Square 228449.434 47435.657

DF

R-Square 0.556805

C.V. 12.62676

Root MSE 217.7973

F Value Pr > F 4.82 0.0026

Y Mean 1724.88667

Dependent Variable: Y Type III SS Source DF Mean Square F Value RAZA 1 87451.7603 87451.7603 1.84 ALIM 2 312978.1754 156489.0877 3.30 RAZA*ALIM 2 50597.7288 25298.8644 0.53 X 1 920522.1358 920522.1358 19.41 TforH0: Estimate Parameter=0 385.3720360 B 1.33 -0.1302551 B -0.00 0.0000000B . . 94.3146535 B 0.68 CPURO 144.5068573 B 1.01 HIDRO 0.0000000B . . 1.8080194 4.41

Parameter INTERCEPT RAZA CALI ZELA ALIM CONC X

Least Squares Means RAZA Y

Std Err LSMEAN CALI 1781.37642 57.55088 ZELA 1668.39692 57.55088

ALIM

Y

CONC 1750.30159 CPURO 1835.63379 HIDRO 1588.72462

LSMEAN 69.85157 69.77310 68.87522

Pr>|T| 0.1974 0.9993 0.5004 0.3222 0.0002

Pr > |T| LSMEAN H0:LSMEAN=0 0.0001 0.0001

Std Err Pr > |T| LSMEAN H0:LSMEAN=0 0.0001 0.0001 0.0001

Least Squares Means for effect ALIM Pr > |T| H0: LSMEAN(i)=LSMEAN(j) Dependent Variable: Y i/j 1 2 3 1 . 0.4025 0.1133 2 0.4025 . 0.0191 3 0.1133 0.0191 .

StdErrorof Estimate 290.32814569 137.74746933 . 137.76130216 142.82004148 . 0.41042937 Pr > |T| H0: LSMEAN1=LSMEAN2 0.1877

LSMEAN Number 1 2 3

Pr > F 0.1877 0.0550 0.5937 0.0002

- 420 -

V. Ibañez Q. - Docente FINESI - UNA - Puno General Linear Models Procedure Least Squares Means RAZA ALIM Y Std Err Pr > |T| LSMEAN LSMEAN H0:LSMEAN=0 CALI CONC 1817.49878 99.77639 0.0001 CALI CPURO 1937.97098 98.66091 0.0001 CALI HIDRO 1588.65949 97.40401 0.0001 ZELA CONC 1683.10440 97.41602 0.0001 ZELA CPURO 1733.29660 104.56907 0.0001 ZELA HIDRO 1588.78974 97.40243 0.0001 Least Squares Means for effect RAZA*ALIM Pr > |T| H0: LSMEAN(i)=LSMEAN(j) Dependent Variable: Y i/j 1 2 3 4 5 1 . 0.3913 0.1146 0.3443 0.5803 2 0.3913 . 0.0192 0.0786 0.1796 3 0.1146 0.0192 . 0.4999 0.3214 4 0.3443 0.0786 0.4999 . 0.7294 5 0.5803 0.1796 0.3214 0.7294 . 6 0.1147 0.0192 0.9993 0.5004 0.3222

6 0.1147 0.0192 0.9993 0.5004 0.3222 .

LSMEAN Number 1 2 3 4 5 6

Análisis y Diseño de Experimentos - 421 A NÁLISIS DE COVARIANZA MÚLTIPLE. En situaciones generales, es posible que sobre cada unidad experimental se observen los valores de p variables concomitantes, simultáneamente con el valor observado de la característica en estudio.

Yij = µ + ρi + τ j + β 1 X1ij + β 2 X 2ij + L + β p X pij + ε ij Con los resultados del experimento se debe preparar, en primer lugar la siguiente tabla: Las sumas de cuadrados:

R x1x1 , Tx1x1 , E x1x1 , R x2 x2 , Tx 2 x 2 ,K , R yy , Tyy y E yy , de la Tabla resumen pueden ser obtenidos como en cualquier diseño de Bloque completo al azar.

Sx1x1 = Tx1x1 + Ex1x1 ; Sx1x2 = Tx1x2 + Ex1x2 ;K; Ux1x1 = Rx1x1 + Ex1x1 ; U x1x 2 = R x1x 2 + E x1x 2 ;L Las sumas de productos pueden ser calculadas a partir de las ecuaciones: r

∑X Y .j

R xiy =

j=1

t t

t

.j

−

Txi y =

∑X Y i.

i=1

t

r

∑∑X Y ij

E xi y =

(X..)(Y..) rt

,

i =1 j =1

t

ij

− Txy − R xy −

(X..)(Y..) rt

i.

−

(X..)(Y..) rt

- 422 -

G.L.

Bloques

r- 1

Rx1x1

Rx1x2

Rx1y

Rx2x2

Rx2y

Tratamientos

t- 1

Tx1x1

Tx1x2

Tx1y

Tx2x2

Tx2y

Ex1x2

Ex1y

Ex2x2

Ex2y

Tox1x2

Tox1y

Tox2x2

Tox2y

Error exptal. Total

(r - 1)(r - 1) Ex1x1 Tox1x1 rt - 1

Tratamiento + Error

r(t-1)

Sx1x1

Sx1x2

Sx1y

Sx2x2

Sx2y

Bloque + Error

t(r - 1)

Ux1x1

Ux1x2

Ux1y

Ux2x2

Ux2y


F. De V.

SUMAS DECUADRADOS YDEPRODUCTOS CORREGID ∑x12 ∑x1x2 ∑x1y ∑x22 ∑x2y

RYY TYY EYY SYY

r- 1 t-1 (r - 1)(t - 1) r(t - 1)

Bloque Tratamientos (T) Error Exptal. (E) i =1

i(T + E)

( b iE E

∑ (b

k

i=1

∑

k

t(r - 1)

UYY i =1

∑ (b

i(B+ E)

Diferencia para probar entre medias de bloques ajustados

B+E

k

)

S x iy )

xiy

S.C. Debido a la regresión ..... .....

U xiy )

Diferencia para probar entre medias de tratamientos ajustados

T+ E

S.C.

G.L.


k

k

i =1

∑ (b

iE

E xiy ) = W

Z- W i=1

X- W

Uyy −∑(bi(B+E)Uxyi )=X

k

i=1

Syy −∑(bi(T+E)Sxiy ) =Z

S yy −

S.C. De las desviaciones respec. A la regr. ..... .....

G.L.

r- 1

t(r - 1)

t-1

r(t - 1) - 2

(r - 1)(t - 1) - 2

ANALISIS ABREVIADO DE COVARIANCIA PARA LOS DATOS DEL EXPERIMENTO


- 424 -


ANALISIS DECOVARIANCIAPARALOS DATOS EXPERIMENTALES. Fuentes de Variación Media Regresión

G.L.

Suma de Cuadrados 2 ..

X rt

1 r+ t

Por diferencia

C.M. ..... .....

k

Debido a β1 ,β2 Bloques/ β 1 ,β 2 Tratamientos/β1 ,β2 Error exptal. Total

k r- 1 t-1 (r - 1)(t - 1) -2 rt

∑

( b iT o T o

i=1

x iy

Por diferencia Z- W** W*

∑∑X

2 ij

)

..... (Z - W) (t - 1) W =E (r -1)(t -1) - 2

.....

EJEMPLO. Se probaron 5 líneas de soya, conducidas en un Diseño Bloque Completo al Azar con 4 repeticiones. Los datos que se registaron fueron : X1 : maduración, medida en días posteriores al de la variedad testigo X2 : acame, medido en una escal de 0 a 5. Y : infección por gangrena del tallo medida como porcentaje de tallos infectados. El objetivo principal es saber cual de los dos, la madurez o el acame, está más intimamente relacionadao con la infección. Determine esto a partir de la regresión múltiple del error. Pruebe la hipótesis de que no existen diferencias entre los promedios de infección ajustados para las variedades. Resultados ordenados del experimento de soya conducido en D.B.C.A.

Análisis y Diseño de Experimentos - 425 Línea Tratamiento A B C D E TOTAL

X1 9 10 10 8 12 49

Bloque I X2 Y 3 19.3 3 10.1 2.5 13.1 2 15.6 2.5 4.3 13 62.4

X1 10 10 9 5 11 45

Bloque II X2 Y 2 29.2 2 34.7 1.5 59.3 2 49 1 48.2 8.5 220.4

X1 12 9 12 8 13 54

Bloque III X2 Y 3 1 2 14 2.5 1.1 2 17.4 3 6.3 12.5 39.8

X1 9 9 10 6 10 44

Bloque IV X2 Y 2.5 6.4 3 5.6 2.5 8.1 2 11.7 2.5 6.7 12.5 38.5

El programa SAS, que nos permite realizar este análisis es el siguiente :

DATA ANCOVAM; OPTIONS NODATE NOCENTER NONUMBER; TITLE ‘ANCOVA MULTIPLE EN UN D.B.C.A.’; DO TRAT =’A’,’B’,’C’,’D’,’E’; DO REP=1 TO 4; INPUT X1 X2 Y @; OUTPUT; END; END; CARDS; 9 3.0 19.3 10 2.0 29.2 12 3.0 1.0 9 2.5 6.4 10 3.0 10.1 10 2.0 34.7 9 2.0 14.0 9 3.0 5.6 10 2.5 13.1 9 1.5 59.3 12 2.5 1.1 10 2.5 8.1 8 2.0 15.6 5 2.0 49.0 8 2.0 17.4 6 2.0 11.7 12 2.5 4.3 11 1.0 48.2 13 3.0 6.3 10 2.5 6.7 ; PROC PRINT; RUN, PROC REG; MODEL Y = X1 X2/ALL; RUN; PROC GLM; CLASS REP TRAT; MODEL Y=REP TRAT X1 X2/SOLUTION; LSMEANS TRAT/STDERR PDIFF; RUN; PROC GLM; CLASS REP TRAT; MODEL Y=REP TRAT X1 X2/SS1; RUN;

- 426 -


EJERCICIOS: 1. El presete trabajo de investigación se realizó en el Centro Experimental Quimsachata de la Estación Experimental ILLPA - INIA Puno, ubicado en el distrito de Santa Rosa, Provincia de Lampa, Dpto. de Puno. El objetivo fue determinar las medidas biometricas de altura a la cabeza, altura a la cruz, largo de cuerpo, perímetro toráxico (cm) respectivamente, desde el primer mes (marzo) hasta el destete (octubre) en llamas. La información corresponde a la primeras pariciones (Enero). Los factores que se han considerado son: Raza de llamas (Ch’acu y K’ara); Sexo ( Machos y Hembras). Y = PEVI = Peso vivo (kg), X1 = A_CAB = altura a la cabeza (cm), X2 = A_CRUZ = Altura a la cruz (cm), X3 = LCUERP = Largo del cuerpo (cm), X4 = PTOR = Perímetro toráxico (cm). Raza Sexo Repet. 1 2 3 4 1ra_Par_Mar

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Raza Sexo Repet. 1 2 3 4 1ra_Par_Oct

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Y

Ch'acu Machos X1 X2 X3 X4 Y

14.0 17.5 17.0 15.5 19.5 22.0 16.5 14.5 15.0 14.5 19.0 12.0 12.0 18.5 17.5

95.0 107.0 106.5 104.0 109.0 112.0 106.5 96.0 107.0 96.5 107.5 98.0 97.0 106.0 112.5

Y


30.0 27.0 38.0 38.0 40.0 48.5 32.0 32.0 42.0 31.0 32.5 26.0 25.0 33.0 30.5

114.5 123.5 130.0 128.0 129.0 133.5 128.5 121.5 127.0 127.0 121.5 111.0 116.5 121.0 127.0

57.5 69.0 68.5 68.0 72.0 71.5 68.5 62.5 67.0 63.0 65.0 65.0 60.0 63.5 64.0

71.5 70.0 82.0 81.5 83.0 84.5 82.0 76.5 76.0 73.0 79.0 74.0 74.5 80.5 78.5

43.5 54.0 52.0 52.0 53.5 54.0 56.0 52.0 52.5 49.5 56.0 49.0 51.0 54.0 52.5

65.0 66.0 72.0 68.0 71.0 78.5 70.0 68.0 69.0 68.5 70.0 66.0 62.5 68.0 63.5

57.0 58.0 61.0 57.0 60.0 64.0 56.0 54.0 58.0 53.0 60.0 56.0 57.0 67.0 57.0

78.0 86.0 95.0 84.0 87.0 89.0 87.0 77.5 83.0 84.0 82.5 79.0 76.5 82.0 78.0

13.0 16.0 16.0 17.5 20.0 12.5 12.5 19.0 19.5 22.5 24.5 20.0 18.5 16.5 20.0

31.0 31.0 35.5 38.0 41.0 26.0 42.5 33.0 42.0 34.0 47.5 33.0 36.0 30.5 27.5

Hembras X1 X2 X3 X4 99.5 105.0 103.0 99.0 112.5 95.5 101.5 107.5 107.0 110.5 116.0 108.0 105.0 107.5 105.0

62.5 68.0 64.0 64.5 72.0 65.0 61.0 70.0 68.5 69.0 76.0 69.0 68.0 69.5 69.0

21.0 15.0 22.0 10.5 20.5 19.5 18.5 18.5 19.0 21.0 19.0 18.0 18.5 20.5 16.5

107.0 101.5 106.5 98.0 114.0 103.0 106.0 106.5 111.0 113.0 112.5 107.5 111.0 113.5 98.5

Hembras X1 X2 X3 X4

Y

K'ara Machos X1 X2 X3 X4 Y

120.5 124.0 119.5 123.5 133.0 117.0 133.5 126.0 135.0 129.5 131.5 122.0 132.0 122.5 124.0

44.0 30.5 49.0 22.0 47.0 38.5 38.0 38.0 39.0 35.0 40.5 43.5 40.5 47.5 33.0

69.5 80.0 77.0 76.5 87.0 73.0 81.0 76.5 83.5 80.5 87.5 76.5 81.5 81.0 78.0

49.0 51.5 52.0 57.0 57.5 46.0 55.0 55.0 54.5 56.0 59.0 56.0 59.0 50.0 52.0

64.0 65.5 72.5 70.5 77.0 61.5 78.0 72.0 78.0 71.5 80.0 70.0 69.0 68.0 65.0

56.0 62.0 62.0 59.0 67.0 53.0 60.0 61.0 60.0 62.0 66.0 57.0 57.0 55.0 58.0

Y


80.0 92.0 84.0 82.0 96.0 91.0 91.0 82.0 94.0 81.0 96.0 82.0 86.5 82.0 80.0

138.5 123.5 130.5 114.0 144.0 123.5 132.0 133.0 138.5 134.0 137.0 134.5 129.5 136.5 133.5

66.5 74.0 69.5 59.0 74.0 65.5 67.5 69.0 71.0 75.5 76.0 70.0 71.0 76.5 57.5

87.0 79.5 84.0 71.0 92.0 84.5 85.5 82.0 86.5 89.0 86.5 86.5 83.5 88.0 82.0

52.5 54.5 52.0 46.0 59.0 55.5 54.0 54.0 57.0 51.5 55.0 58.0 52.5 53.0 53.5

76.5 71.0 77.0 61.0 92.0 70.0 75.0 73.0 75.5 71.5 77.0 80.5 74.0 73.0 75.0

62.0 56.0 52.0 56.0 59.0 57.0 59.0 62.0 59.0 61.0 59.5 59.0 58.0 60.0 56.0

100.0 72.0 91.0 84.0 91.0 94.0 93.0 93.0 93.0 95.0 93.5 89.0 93.0 91.0 88.0

Hembras X1 X2 X3 X4

19.0 17.5 15.0 16.0 17.5 16.0 20.0 13.5 19.0 16.0 17.0 23.5 15.0 18.0 15.5

40.0 37.0 28.5 36.0 35.5 35.5 42.5 33.5 40.5 35.5 38.0 49.0 29.5 37.0 38.5

111.0 110.5 106.0 112.5 108.0 108.5 110.0 101.5 109.0 109.5 109.0 113.0 107.5 109.5 92.0

71.5 70.0 64.0 66.5 67.5 65.5 72.5 65.0 67.5 71.5 68.0 72.0 69.5 69.5 65.0

56.0 56.0 51.0 52.5 56.0 45.0 57.0 53.0 55.0 54.0 54.0 63.0 51.0 52.0 51.0

61.0 63.0 59.0 62.0 61.0 59.0 62.0 58.0 53.0 59.0 62.0 63.0 50.0 63.0 56.0

Hembras X1 X2 X3 X4 134.5 127.5 123.0 126.5 122.5 124.0 136.5 128.5 132.5 130.0 129.5 133.0 119.0 130.5 129.0

82.0 77.0 74.0 79.0 79.0 80.5 86.0 78.5 84.5 83.0 81.5 87.0 78.5 82.5 82.5

69.0 72.0 68.0 72.0 70.5 70.0 77.0 68.0 74.5 72.0 73.0 79.5 64.0 72.0 73.0

90.0 89.0 85.0 84.0 76.0 90.0 94.0 81.0 89.0 87.0 88.0 96.0 74.0 91.0 94.0

Análisis y Diseño de Experimentos - 427 Raza Sexo Repet. 1 2 3 4 Ul_Par_Mar

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Raza Sexo Repet. 1 2 3 4 Ult_Par_Oct

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Y


17.0 19.0 17.5 18.5 13.5 15.5 14.0 19.0 14.5 15.5 18.0 16.0 16.0 20.0 18.0

100.5 102.5 106.0 101.0 101.0 97.0 97.0 105.0 103.5 103.5 107.0 105.5 107.5 115.5 112.0

62.5 66.0 69.5 68.0 63.0 64.0 61.5 70.0 66.0 62.5 66.0 72.0 65.0 74.0 72.0

48.0 51.0 54.0 50.0 51.5 51.0 49.0 52.0 52.0 52.0 50.0 51.5 51.0 61.5 59.0

Y

Machos X1 X2 X3

56.0 60.0 59.0 62.0 52.0 59.0 55.0 62.0 63.0 57.0 61.0 60.0 59.0 67.0 66.0

18.5 15.0 12.0 17.0 16.0 18.0 18.0 14.0 20.0 16.0 20.0 18.0 18.0 17.0 15.0

Hembras X1 X2 X3 X4 106.5 108.0 93.0 106.0 105.5 104.0 103.5 103.0 118.0 104.0 113.0 105.5 111.0 108.0 102.5

68.0 67.0 58.0 68.5 67.5 63.0 65.5 63.0 74.0 66.5 72.5 68.5 69.0 67.5 62.5

55.5 50.5 45.0 50.5 53.0 52.0 52.0 51.0 58.0 51.5 60.0 57.0 55.5 53.0 49.0

61.0 59.0 57.0 55.0 59.0 60.0 65.0 59.0 71.0 59.0 70.0 58.0 61.0 61.0 59.0

Y


15.0 14.5 17.5 18.0 19.0 16.0 23.0 16.0 21.0 17.0 18.0 20.0 18.0 16.0 14.0

101.0 99.5 106.0 106.0 107.0 103.5 111.0 104.0 115.0 114.5 111.5 109.5 114.5 109.5 104.0

66.0 62.0 69.0 67.0 68.0 67.5 74.0 65.0 74.0 74.5 73.0 67.0 76.5 70.0 66.0

49.0 51.0 54.0 52.0 53.5 55.5 61.0 51.5 57.5 60.0 59.0 60.0 57.0 57.5 49.0

X4

Y

Machos X1 X2 X3

94.0 83.0 75.0 85.0 93.0 87.0 86.0 79.0 91.5 80.0 87.0 86.0 87.0 85.0 73.0

34.0 34.0 37.0 38.0 31.0 37.0 45.5 30.0 36.0 40.5 39.0 37.5 42.0 34.0 28.5

Ch'acu

34.5 42.5 39.0 35.5 30.0 35.5 35.0 41.0 35.5 31.0 36.0 40.5 37.0 40.5 34.0

126.0 135.5 135.5 128.5 123.0 125.0 118.5 132.0 122.0 130.5 122.5 129.5 128.0 136.0 128.0

80.0 81.0 87.0 83.0 77.5 80.5 77.0 84.5 76.0 77.0 78.0 84.5 80.5 83.0 83.0

69.0 71.0 74.0 78.0 66.0 67.5 70.0 75.0 70.0 66.5 69.5 76.0 70.5 75.0 70.0

X4

Y

84.0 93.0 90.0 95.0 79.0 82.0 88.0 71.0 87.0 87.0 86.0 90.0 91.0 90.0 90.0

43.5 33.5 23.0 34.0 39.0 26.5 38.5 26.0 44.5 27.5 39.0 29.0 36.0 32.5 24.5

58.0 54.0 60.0 56.0 64.0 62.0 66.0 60.0 67.0 66.0 66.0 74.0 65.0 56.0 50.0

18.5 14.0 18.5 16.5 18.0 20.5 12.5 19.0 19.0 17.0 21.0 17.0 19.0 15.0 18.5

Hembras X1 X2 X3 X4 109.5 106.0 110.0 106.5 111.0 108.0 106.0 118.0 105.0 120.5 114.0 109.5 117.5 112.5 113.0

66.0 66.5 67.5 66.0 71.0 71.0 65.0 76.5 68.0 79.5 75.5 67.5 78.5 74.5 72.5

54.0 55.0 58.0 54.0 55.5 59.0 51.5 61.0 58.0 58.0 55.5 60.5 62.0 57.0 59.0

57.0 66.0 59.0 60.0 59.0 66.0 51.0 69.0 68.0 71.0 65.0 67.0 65.0 69.0 67.0

K'ara Hembras X1 X2 X3 132.0 121.5 116.0 126.5 130.5 117.5 123.0 115.5 136.0 118.0 134.0 122.0 128.5 128.5 113.0

83.0 77.0 73.0 78.0 84.0 71.5 76.0 72.5 85.5 71.0 79.0 78.0 82.5 77.0 75.5

76.5 68.0 60.5 70.0 74.0 65.5 74.5 63.0 74.5 67.5 75.5 67.5 71.0 72.0 62.0

127.5 122.5 129.5 131.5 123.0 129.5 137.0 124.0 134.0 135.0 128.0 131.0 136.0 127.0 119.5

80.5 83.0 83.5 81.0 78.0 82.0 91.0 71.5 85.5 85.5 83.0 81.5 85.0 80.5 77.0

68.5 69.0 72.0 68.0 68.0 71.5 79.5 62.0 74.0 71.0 73.0 69.0 73.0 74.0 63.0

Hembras X2 X3

X4

Y

X1

92.0 87.0 93.0 83.0 89.0 85.5 100.0 78.0 91.0 90.5 95.0 87.0 85.0 85.0 82.0

42.0 34.0 38.0 44.0 38.0 44.0 30.5 39.5 36.0 41.5 31.0 32.5 33.5 38.0 24.5

135.0 134.5 137.0 136.0 132.0 136.0 127.0 135.5 124.0 140.0 123.5 126.5 133.0 129.0 124.0

84.5 85.0 87.0 82.0 88.0 85.0 78.5 88.0 77.5 87.5 80.0 75.0 82.5 83.0 82.5

78.0 79.0 74.0 78.0 76.0 74.0 68.0 73.0 73.0 74.5 68.5 70.0 74.5 71.0 68.0

X4 92.0 100.0 90.0 92.0 85.0 96.0 82.0 94.0 86.0 91.5 83.0 87.5 87.0 91.0 80.0

2. El presete trabajo de investigación se realizó en el Centro Experimental Quimsachata de la Estación Experimental ILLPA - INIA Puno, ubicado en el distrito de Santa Rosa, Provincia de Lampa, Dpto. de Puno. El objetivo fue determinar las medidas biometricas de altura a la cabeza, altura a la cruz, largo de cuerpo, perímetro toráxico (cm) respectivamente, desde el primer mes (marzo) hasta el destete (octubre) en llamas. La información corresponde a la primeras pariciones (Enero). Los factores que se han considerado son: Epocas de pariciones (Primeras y últimas), Raza de llamas (Ch’acu y K’ara); Sexo ( Machos y Hembras). Y = PEVI = Peso vivo (kg), X1 = A_CAB = altura a la cabeza (cm), X2 = A_CRUZ = Altura a la cruz (cm), X3 = LCUERP = Largo del cuerpo (cm), X4 = PTOR = Perímetro toráxico (cm). Calcule el ANCOVA.

Raza Sexo Repet. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Pariciones

Repet. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Sexo

Raza

Pariciones

Y 30.0 27.0 38.0 38.0 40.0 48.5 32.0 32.0 42.0 31.0 32.5 26.0 25.0 33.0 30.5

Y 14.0 17.5 17.0 15.5 19.5 22.0 16.5 14.5 15.0 14.5 19.0 12.0 12.0 18.5 17.5

X2 57.5 69.0 68.5 68.0 72.0 71.5 68.5 62.5 67.0 63.0 65.0 65.0 60.0 63.5 64.0

Machos X1 X2 114.5 71.5 123.5 70.0 130.0 82.0 128.0 81.5 129.0 83.0 133.5 84.5 128.5 82.0 121.5 76.5 127.0 76.0 127.0 73.0 121.5 79.0 111.0 74.0 116.5 74.5 121.0 80.5 127.0 78.5

X1 95.0 107.0 106.5 104.0 109.0 112.0 106.5 96.0 107.0 96.5 107.5 98.0 97.0 106.0 112.5

Machos

X3 65.0 66.0 72.0 68.0 71.0 78.5 70.0 68.0 69.0 68.5 70.0 66.0 62.5 68.0 63.5

X3 43.5 54.0 52.0 52.0 53.5 54.0 56.0 52.0 52.5 49.5 56.0 49.0 51.0 54.0 52.5

Y 13.0 16.0 16.0 17.5 20.0 12.5 12.5 19.0 19.5 22.5 24.5 20.0 18.5 16.5 20.0

X4 78.0 86.0 95.0 84.0 87.0 89.0 87.0 77.5 83.0 84.0 82.5 79.0 76.5 82.0 78.0

Y 31.0 31.0 35.5 38.0 41.0 26.0 42.5 33.0 42.0 34.0 47.5 33.0 36.0 30.5 27.5

Ch'acu

X4 57.0 58.0 61.0 57.0 60.0 64.0 56.0 54.0 58.0 53.0 60.0 56.0 57.0 67.0 57.0

Ch'acu

X2 62.5 68.0 64.0 64.5 72.0 65.0 61.0 70.0 68.5 69.0 76.0 69.0 68.0 69.5 69.0

Hembras X1 X2 120.5 69.5 124.0 80.0 119.5 77.0 123.5 76.5 133.0 87.0 117.0 73.0 133.5 81.0 126.0 76.5 135.0 83.5 129.5 80.5 131.5 87.5 122.0 76.5 132.0 81.5 122.5 81.0 124.0 78.0

X1 99.5 105.0 103.0 99.0 112.5 95.5 101.5 107.5 107.0 110.5 116.0 108.0 105.0 107.5 105.0

Hembras

X4 56.0 62.0 62.0 59.0 67.0 53.0 60.0 61.0 60.0 62.0 66.0 57.0 57.0 55.0 58.0

Y 21.0 15.0 22.0 10.5 20.5 19.5 18.5 18.5 19.0 21.0 19.0 18.0 18.5 20.5 16.5

X3 64.0 65.5 72.5 70.5 77.0 61.5 78.0 72.0 78.0 71.5 80.0 70.0 69.0 68.0 65.0

X4 80.0 92.0 84.0 82.0 96.0 91.0 91.0 82.0 94.0 81.0 96.0 82.0 86.5 82.0 80.0

Y 44.0 30.5 49.0 22.0 47.0 38.5 38.0 38.0 39.0 35.0 40.5 43.5 40.5 47.5 33.0

Machos X1 X2 138.5 87.0 123.5 79.5 130.5 84.0 114.0 71.0 144.0 92.0 123.5 84.5 132.0 85.5 133.0 82.0 138.5 86.5 134.0 89.0 137.0 86.5 134.5 86.5 129.5 83.5 136.5 88.0 133.5 82.0

X2 66.5 74.0 69.5 59.0 74.0 65.5 67.5 69.0 71.0 75.5 76.0 70.0 71.0 76.5 57.5

Machos X1 107.0 101.5 106.5 98.0 114.0 103.0 106.0 106.5 111.0 113.0 112.5 107.5 111.0 113.5 98.5

Primeras Pariciones

X3 49.0 51.5 52.0 57.0 57.5 46.0 55.0 55.0 54.5 56.0 59.0 56.0 59.0 50.0 52.0

Primeras Pariciones

X3 76.5 71.0 77.0 61.0 92.0 70.0 75.0 73.0 75.5 71.5 77.0 80.5 74.0 73.0 75.0

X3 52.5 54.5 52.0 46.0 59.0 55.5 54.0 54.0 57.0 51.5 55.0 58.0 52.5 53.0 53.5

Y 19.0 17.5 15.0 16.0 17.5 16.0 20.0 13.5 19.0 16.0 17.0 23.5 15.0 18.0 15.5

X4 100 72.0 91.0 84.0 91.0 94.0 93.0 93.0 93.0 95.0 93.5 89.0 93.0 91.0 88.0

Y 40.0 37.0 28.5 36.0 35.5 35.5 42.5 33.5 40.5 35.5 38.0 49.0 29.5 37.0 38.5

K'ara

X4 62.0 56.0 52.0 56.0 59.0 57.0 59.0 62.0 59.0 61.0 59.5 59.0 58.0 60.0 56.0

K'ara

X2 71.5 70.0 64.0 66.5 67.5 65.5 72.5 65.0 67.5 71.5 68.0 72.0 69.5 69.5 65.0

Hembras X1 X2 134.5 82.0 127.5 77.0 123.0 74.0 126.5 79.0 122.5 79.0 124.0 80.5 136.5 86.0 128.5 78.5 132.5 84.5 130.0 83.0 129.5 81.5 133.0 87.0 119.0 78.5 130.5 82.5 129.0 82.5

X1 111.0 110.5 106.0 112.5 108.0 108.5 110.0 101.5 109.0 109.5 109.0 113.0 107.5 109.5 92.0

Hembras

X3 69.0 72.0 68.0 72.0 70.5 70.0 77.0 68.0 74.5 72.0 73.0 79.5 64.0 72.0 73.0

X3 56.0 56.0 51.0 52.5 56.0 45.0 57.0 53.0 55.0 54.0 54.0 63.0 51.0 52.0 51.0

X4 90.0 89.0 85.0 84.0 76.0 90.0 94.0 81.0 89.0 87.0 88.0 96.0 74.0 91.0 94.0

X4 61.0 63.0 59.0 62.0 61.0 59.0 62.0 58.0 53.0 59.0 62.0 63.0 50.0 63.0 56.0

Y 34.5 42.5 39.0 35.5 30.0 35.5 35.0 41.0 35.5 31.0 36.0 40.5 37.0 40.5 34.0

Y 17.0 19.0 17.5 18.5 13.5 15.5 14.0 19.0 14.5 15.5 18.0 16.0 16.0 20.0 18.0

X2 62.5 66.0 69.5 68.0 63.0 64.0 61.5 70.0 66.0 62.5 66.0 72.0 65.0 74.0 72.0

Machos X1 X2 126.0 80.0 135.5 81.0 135.5 87.0 128.5 83.0 123.0 77.5 125.0 80.5 118.5 77.0 132.0 84.5 122.0 76.0 130.5 77.0 122.5 78.0 129.5 84.5 128.0 80.5 136.0 83.0 128.0 83.0

X1 100.5 102.5 106.0 101.0 101.0 97.0 97.0 105.0 103.5 103.5 107.0 105.5 107.5 115.5 112.0

Machos

X3 69.0 71.0 74.0 78.0 66.0 67.5 70.0 75.0 70.0 66.5 69.5 76.0 70.5 75.0 70.0

X3 48.0 51.0 54.0 50.0 51.5 51.0 49.0 52.0 52.0 52.0 50.0 51.5 51.0 61.5 59.0

Y 18.5 15.0 12.0 17.0 16.0 18.0 18.0 14.0 20.0 16.0 20.0 18.0 18.0 17.0 15.0

X4 84.0 93.0 90.0 95.0 79.0 82.0 88.0 71.0 87.0 87.0 86.0 90.0 91.0 90.0 90.0

Y 43.5 33.5 23.0 34.0 39.0 26.5 38.5 26.0 44.5 27.5 39.0 29.0 36.0 32.5 24.5

Ch'acu

X4 56.0 60.0 59.0 62.0 52.0 59.0 55.0 62.0 63.0 57.0 61.0 60.0 59.0 67.0 66.0

Ch'acu

Hem X1 X 132.0 8 121.5 7 116.0 7 126.5 7 130.5 8 117.5 7 123.0 7 115.5 7 136.0 8 118.0 7 134.0 7 122.0 7 128.5 8 128.5 7 113.0 7

X 6 6 5 6 6 6 6 6 7 6 7 6 6 6 6

Hem X1 106.5 108.0 93.0 106.0 105.5 104.0 103.5 103.0 118.0 104.0 113.0 105.5 111.0 108.0 102.5



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Tablas Estadísticas

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0.25 gl

0.50 1 1.0005 2 0.816 3 0.765 4 0.741 5 0.727

TABLA A: Valores críticos de t Nivel de significación para una prueba unilateral 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0005 Nivel de significación para una prueba bilate ral 0.40 0.30 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.001 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 636.619 1.061 1.386 1.836 2.920 4.303 6.965 9.925 31.598 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 12.941 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 8.610 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6.859

6 7 8 9 10

0.718 0.711 0.706 0.703 0.700

0.906 0.896 0.889 0.883 0.879

1.134 1.119 1.108 1.100 1.093

1.440 1.415 1.397 1.383 1.372

1.943 1.895 1.860 1.833 1.812

2.447 2.365 2.306 2.262 2.228

3.143 2.998 2.896 2.821 2.764

3.707 3.499 3.355 3.250 3.169

5.959 5.405 5.041 4.781 4.587

11 12 13 14 15

0.697 0.695 0.694 0.692 0.691

0.876 0.873 0.870 0.868 0.866

1.088 1.083 1.079 1.076 1.074

1.363 1.356 1.350 1.345 1.341

1.796 1.782 1.771 1.761 1.753

2.201 2.179 2.160 2.145 2.131

2.718 2.681 2.650 2.624 2.602

3.106 3.055 3.012 2.977 2.947

4.437 4.318 4.221 4.140 4.073

16 17 18 19 20

0.690 0.689 0.688 0.688 0.687

0.866 0.863 0.862 0.861 0.860

1.071 1.069 1.067 1.066 1.064

1.337 1.333 1.330 1.328 1.325

1.746 1.740 1.734 1.729 1.725

2.120 2.110 2.101 2.093 2.086

2.584 2.567 2.552 2.540 2.528

2.921 2.898 2.878 2.861 2.845

4.015 3.965 3.922 3.883 3.850

21 22 23 24 25

0.686 0.686 0.685 0.685 0.684

0.859 0.858 0.858 0.000 0.856

1.063 1.061 1.060 1.059 1.058

1.323 1.321 1.319 1.318 1.316

1.721 1.717 1.714 1.711 1.708

2.080 2.074 2.069 2.064 2.060

2.518 2.508 2.500 2.492 2.485

2.831 2.819 2.807 2.797 2.787

3.819 3.792 3.767 3.745 3.725

26 27 28 29 30

0.684 0.684 0.683 0.683 0.683

0.856 0.855 0.855 0.854 0.854

1.058 1.057 1.056 1.055 1.055

1.315 1.314 1.313 1.311 1.310

1.706 1.703 1.701 1.699 1.697

2.056 2.052 2.048 2.045 2.042

0.000 2.473 2.467 2.460 2.457

2.779 2.771 2.763 2.756 2.750

3.707 3.690 3.674 3.659 3.646

35 40 45 50 55

0.682 0.681 0.680 0.680 0.679

0.853 0.851 0.850 0.849 0.849

1.052 1.050 1.048 1.047 1.047

1.306 1.303 1.301 1.299 1.297

1.690 1.684 1.680 1.676 1.673

2.030 2.021 2.014 2.008 2.004

2.438 2.423 2.412 2.403 2.396

2.724 2.704 2.690 2.678 2.669

3.591 3.551 3.520 3.496 3.476

60 70 80

0.679 0.678 0.678

0.848 0.847 0.847

1.046 1.045 1.044

1.296 1.294 1.293

1.671 1.667 1.665

2.000 1.994 1.990

2.390 2.381 2.374

2.600 2.648 2.638

3.460 3.435 3.416

- 436 -


1 1 162 2 18.50 3 10.10 4 7.71 5 6.61 6 5.99 7 5.59 8 5.32 9 5.12 10 4.96

2 200 19.00 9.55 6.94 5.79 5.14 4.74 4.46 4.26 4.10

TABLAB1: DISTRIBUCIONF, Nivel de significacióndel 5% Grados de libertadparael numerador 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 216 225 230 234 237 239 241 242 243 244 245 19.20 19.20 19.30 19.30 19.40 19.40 19.40 19.40 19.40 19.40 19.40 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.76 8.74 8.73 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.94 5.91 5.89 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.70 4.68 4.66 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.03 4.00 3.98 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.60 3.57 3.55 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.31 3.28 3.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.10 3.07 3.05 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.94 2.91 2.89

11 12 13 14 15

4.84 4.75 4.67 4.60 4.54

3.98 3.89 3.81 3.74 3.68

3.59 3.49 3.41 3.34 3.29

3.36 3.26 3.18 3.11 3.06

3.20 3.11 3.03 2.96 2.90

3.09 3.00 2.92 2.85 2.79

3.01 2.91 2.83 2.76 2.71

2.95 2.85 2.77 2.70 2.64

2.90 2.80 2.71 2.65 2.59

2.85 2.75 2.67 2.60 2.54

2.82 2.72 2.63 2.57 2.51

2.79 2.69 2.60 2.53 2.48

2.76 2.66 2.58 2.51 2.45

2.74 2.64 2.55 2.48 2.42

2.72 2.62 2.53 2.46 2.40

16 17 18 19 20

4.49 4.45 4.41 4.38 4.35

3.63 3.59 3.55 3.52 3.49

3.24 3.20 3.16 3.13 3.10

3.01 2.96 2.93 2.90 2.87

2.85 2.81 2.77 2.74 2.71

2.74 2.70 2.66 2.63 2.60

2.66 2.61 2.58 2.54 2.51

2.59 2.55 2.51 2.48 2.45

2.54 2.49 2.46 2.42 2.39

2.49 2.45 2.41 2.38 2.35

2.46 2.41 2.37 2.34 2.31

2.42 2.38 2.34 2.31 2.28

2.40 2.35 2.31 2.28 2.25

2.37 2.33 2.29 2.26 2.22

2.35 2.31 2.27 2.23 2.20

21 22 23 24 25

4.32 4.30 4.28 4.26 4.24

3.47 3.44 3.42 3.40 3.39

3.07 3.05 3.03 3.01 2.99

2.84 2.82 2.80 2.78 2.76

2.68 2.66 2.64 2.62 2.60

2.57 2.55 2.53 2.51 2.49

2.49 2.46 2.44 2.42 2.40

2.42 2.40 2.37 2.36 2.34

2.37 2.34 2.32 2.30 2.28

2.32 2.30 2.27 2.25 2.24

2.28 2.26 2.24 2.22 2.20

2.25 2.23 2.20 2.18 2.16

2.22 2.20 2.18 2.15 2.14

2.20 2.17 2.15 2.13 2.11

2.18 2.15 2.13 2.11 2.09

26 27 28 29 30

4.23 4.21 4.20 4.18 4.17

3.37 3.35 3.34 3.33 3.32

2.98 2.96 2.95 2.93 2.92

2.74 2.73 2.71 2.70 2.69

2.59 2.57 2.56 2.55 2.53

2.47 2.46 2.45 2.43 2.42

2.39 2.37 2.36 2.35 2.33

2.32 2.31 2.29 2.28 2.27

2.27 2.25 2.24 2.22 2.21

2.22 2.20 2.19 2.18 2.16

2.18 2.17 2.15 2.14 2.13

2.15 2.13 2.12 2.10 2.09

2.12 2.10 2.09 2.08 2.06

2.09 2.08 2.06 2.05 2.04

2.07 2.06 2.04 2.03 2.01

40 50 60 70

4.08 4.03 4.00 3.98

3.23 3.18 3.15 3.13

2.84 2.79 2.76 2.74

2.61 2.56 2.53 2.50

2.45 2.40 2.37 2.35

2.34 2.29 2.25 2.23

2.25 2.20 2.17 2.14

2.18 2.13 2.10 2.07

2.12 2.07 2.04 2.02

2.08 2.03 1.99 1.97

2.04 1.99 1.95 1.93

2.00 1.95 1.92 1.89

1.97 1.92 1.89 1.86

1.95 1.89 1.86 1.84

1.92 1.87 1.84 1.81

14 245 19.40 8.71 5.87 4.64 3.96 3.53 3.24 3.03 2.86

15 246 19.40 8.70 5.86 4.62 3.94 3.51 3.22 3.01 2.85


16 1 246 2 19.40 3 8.69 4 5.84 5 4.60 6 3.92 7 3.49 8 3.20 9 2.99 10 2.83

17 247 19.40 8.68 5.83 4.59 3.91 3.48 3.19 2.97 2.81

TABLAB1: DISTRIBUCIONF, Nivel de significacióndel 5%(Cont.) Grados de libertadparael numerador 18 19 20 30 40 50 60 70 80 100 200 247 248 248 250 251 252 252 252 253 253 254 19.40 19.40 19.40 19.50 19.50 19.50 19.50 19.50 19.50 19.50 19.50 8.67 8.67 8.66 8.62 8.60 8.58 8.57 8.57 8.56 8.55 8.54 5.82 5.81 5.80 5.75 5.72 5.70 5.69 5.68 5.67 5.66 5.65 4.58 4.57 4.56 4.50 4.46 4.44 4.43 4.42 4.41 4.41 4.39 3.90 3.88 3.87 3.81 3.77 3.75 3.74 3.73 3.72 3.71 3.69 3.47 3.46 3.44 3.38 3.34 3.32 3.30 3.29 3.29 3.27 3.25 3.17 3.16 3.15 3.08 3.04 3.02 3.01 2.99 2.99 2.97 2.95 2.96 2.95 2.94 2.86 2.83 2.80 2.79 2.78 2.77 2.76 2.73 2.80 2.79 2.77 2.70 2.66 2.64 2.62 2.61 2.60 2.59 2.56

11 12 13 14 15

2.70 2.60 2.51 2.44 2.38

2.68 2.58 2.50 2.43 2.37

2.67 2.57 2.48 2.41 2.35

2.66 2.56 2.47 2.40 2.34

2.65 2.54 2.46 2.39 2.33

2.57 2.47 2.38 2.31 2.25

2.53 2.43 2.34 2.27 2.20

2.51 2.40 2.31 2.24 2.18

2.49 2.38 2.30 2.22 2.16

2.48 2.37 2.28 2.21 2.15

2.47 2.36 2.27 2.20 2.14

2.46 2.35 2.26 2.19 2.12

2.43 2.32 2.23 2.16 2.10

2.42 2.31 2.22 2.14 2.08

2.40 2.30 2.21 2.13 2.07

16 17 18 19 20

2.33 2.29 2.25 2.21 2.18

2.32 2.27 2.23 2.20 2.17

2.30 2.26 2.22 2.18 2.15

2.29 2.24 2.20 2.17 2.14

2.28 2.23 2.19 2.16 2.12

2.19 2.15 2.11 2.07 2.04

2.15 2.10 2.06 2.03 1.99

2.12 2.08 2.04 2.00 1.97

2.11 2.06 2.02 1.98 1.95

2.09 2.04 2.00 1.97 1.93

2.08 2.03 1.99 1.96 1.92

2.07 2.02 1.98 1.94 1.91

2.04 1.99 1.95 1.91 1.88

2.02 1.97 1.93 1.89 1.86

2.01 1.96 1.92 1.88 1.84

21 22 23 24 25

2.16 2.13 2.11 2.09 2.07

2.14 2.11 2.09 2.07 2.05

2.12 2.10 2.08 2.05 2.04

2.11 2.08 2.06 2.04 2.02

2.10 2.07 2.05 2.03 2.01

2.01 1.98 1.96 1.94 1.92

1.96 1.94 1.91 1.89 1.87

1.94 1.91 1.88 1.86 1.84

1.92 1.89 1.86 1.84 1.82

1.90 1.88 1.85 1.83 1.81

1.89 1.86 1.84 1.82 1.80

1.88 1.85 1.82 1.80 1.78

1.84 1.82 1.79 1.77 1.75

1.82 1.80 1.77 1.75 1.73

1.81 1.78 1.76 1.73 1.71

26 27 28 29 30

2.05 2.04 2.02 2.01 1.99

2.03 2.02 2.00 1.99 1.98

2.02 2.00 1.99 1.97 1.96

2.00 1.99 1.97 1.96 1.95

1.99 1.97 1.96 1.94 1.93

1.90 1.88 1.87 1.85 1.84

1.85 1.84 1.82 1.81 1.79

1.82 1.81 1.79 1.77 1.76

1.80 1.79 1.77 1.75 1.74

1.79 1.77 1.75 1.74 1.72

1.78 1.76 1.74 1.73 1.71

1.76 1.74 1.73 1.71 1.70

1.73 1.71 1.69 1.67 1.66

1.71 1.69 1.67 1.65 1.64

1.69 1.67 1.65 1.64 1.62

40 50 60 70

1.90 1.85 1.82 1.79

1.89 1.83 1.80 1.77

1.87 1.81 1.78 1.75

1.85 1.80 1.76 1.74

1.84 1.78 1.75 1.72

1.74 1.69 1.65 1.62

1.69 1.63 1.59 1.57

1.66 1.60 1.56 1.53

1.64 1.58 1.53 1.50

1.62 1.56 1.52 1.49

1.61 1.54 1.50 1.47

1.59 1.52 1.48 1.45

1.55 1.48 1.44 1.40

1.53 1.46 1.41 1.37

1.51 1.44 1.39 1.35

500 254 19.50 8.53 5.64 4.37 3.68 3.24 2.94 2.72 2.55

Inf 254 19.50 8.53 5.63 4.37 3.67 3.23 2.93 2.71 2.54

- 438 -


1 1 4052 2 98.50 3 34.10 4 21.20 5 16.30 6 13.70 7 12.20 8 11.30 9 10.60 10 10.00

2 4999 99.00 30.80 18.00 13.30 10.90 9.55 8.65 8.02 7.56

3 5403 99.20 29.40 16.70 12.10 9.78 8.45 7.59 6.99 6.55

TABLAC1: DISTRIBUCIONF, Nivel de significacióndel 1% Grados delibertadparaelnumerador 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5625 5764 5859 5928 5981 6023 6056 6083 6106 6126 99.30 99.30 99.30 99.40 99.40 99.40 99.40 99.40 99.40 99.40 28.70 28.20 27.90 27.70 27.50 27.30 27.20 27.10 27.10 27.00 16.00 15.50 15.20 15.00 14.80 14.70 14.50 14.50 14.40 14.30 11.40 11.00 10.70 10.50 10.30 10.20 10.10 9.96 9.89 9.82 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87 7.79 7.72 7.66 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 6.54 6.47 6.41 7.01 6.63 6.37 6.18 6.05 5.91 5.81 5.73 5.67 5.61 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26 5.18 5.11 5.05 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85 4.77 4.71 4.65

11 12 13 14 15

9.64 9.33 9.07 8.86 8.68

7.20 6.93 6.70 6.51 6.36

6.21 5.95 5.74 5.56 5.42

5.67 5.41 5.21 5.04 4.89

5.31 5.06 4.86 4.69 4.56

5.07 4.82 4.62 4.46 4.32

4.88 4.64 4.44 4.28 4.14

4.74 4.50 4.30 4.14 4.00

4.63 4.39 4.19 4.03 3.89

4.54 4.30 4.10 3.94 3.80

4.46 4.22 4.02 3.86 3.73

4.39 4.16 3.96 3.80 3.67

4.34 4.10 3.90 3.75 3.61

4.29 4.05 3.86 3.70 3.56

4.25 4.01 3.82 3.66 3.52

16 17 18 19 20

8.53 8.40 8.29 8.18 8.10

6.23 6.11 6.01 5.93 5.85

5.29 5.18 5.09 5.01 4.94

4.77 4.67 4.58 4.50 4.43

4.44 4.34 4.25 4.17 4.10

4.20 4.10 4.01 3.94 3.87

4.03 3.93 3.84 3.77 3.70

3.89 3.79 3.71 3.63 3.56

3.78 3.68 3.60 3.52 3.46

3.69 3.59 3.51 3.43 3.37

3.62 3.52 3.43 3.36 3.29

3.55 3.46 3.37 3.30 3.23

3.50 3.40 3.32 3.24 3.18

3.45 3.35 3.27 3.19 3.13

3.41 3.31 3.23 3.15 3.09

21 22 23 24 25

8.02 7.95 7.88 7.82 7.77

5.78 5.72 5.66 5.61 5.57

4.87 4.82 4.76 4.72 4.68

4.37 4.31 4.26 4.22 4.18

4.04 3.99 3.94 3.90 3.85

3.81 3.76 3.71 3.67 3.63

3.64 3.59 3.54 3.50 3.46

3.51 3.45 3.41 3.36 3.32

3.40 3.35 3.30 3.26 3.22

3.31 3.26 3.21 3.17 3.13

3.24 3.18 3.14 3.09 3.06

3.17 3.12 3.07 3.03 2.99

3.12 3.07 3.02 2.98 2.94

3.07 3.02 2.97 2.93 2.89

3.03 2.98 2.93 2.89 2.85

26 27 28 29 30

7.72 7.68 7.64 7.60 7.56

5.53 5.49 5.45 5.42 5.39

4.64 4.60 4.57 4.54 4.51

4.14 4.11 4.07 4.04 4.02

3.82 3.78 3.75 3.73 3.70

3.59 3.56 3.53 3.50 3.47

3.42 3.39 3.36 3.33 3.30

3.29 3.26 3.23 3.20 3.17

3.18 3.15 3.12 3.09 3.07

3.09 3.06 3.03 3.00 2.98

3.02 2.99 2.96 2.93 2.91

2.96 2.93 2.90 2.87 2.84

2.90 2.87 2.84 2.81 2.79

2.86 2.82 2.79 2.77 2.74

2.81 2.78 2.75 2.73 2.70

40 50 60 70 80

7.31 7.17 7.07 7.01 6.96

5.18 5.06 4.98 4.92 4.88

4.31 4.20 4.13 4.07 4.04

3.83 3.72 3.65 3.60 3.56

3.51 3.41 3.34 3.29 3.25

3.29 3.19 3.12 3.07 3.04

3.12 3.02 2.95 2.91 2.87

2.99 2.89 2.82 2.78 2.74

2.89 2.78 2.72 2.67 2.64

2.80 2.70 2.63 2.59 2.55

2.73 2.62 2.56 2.51 2.48

2.66 2.56 2.50 2.45 2.42

2.61 2.51 2.44 2.40 2.36

2.56 2.46 2.39 2.35 2.31

2.52 2.42 2.35 2.31 2.27

14 6143 99.40 26.90 14.20 9.77 7.60 6.36 5.56 5.01 4.60

15 6157 99.40 26.90 14.20 9.72 7.56 6.31 5.52 4.96 4.56


16 1 6169 2 99.40 3 26.80 4 14.20 5 9.68 6 7.52 7 6.28 8 5.48 9 4.92 10 4.52

17 6182 99.40 26.80 14.10 9.64 7.48 6.24 5.44 4.89 4.49

TABLAC1: DISTRIBUCIONF, Nivel de significacióndel 1%(Cont.) Grados de libertadparael numerador 18 19 20 30 40 50 60 70 80 100 200 6192 6201 6209 6261 6287 6303 6313 6320 6326 6335 6350 99.40 99.40 99.50 99.50 99.50 99.50 99.50 99.50 99.50 99.50 99.50 26.80 26.70 26.70 26.50 26.40 26.40 26.30 26.30 26.30 26.20 26.20 14.10 14.00 14.00 13.80 13.70 13.70 13.70 13.60 13.60 13.60 13.50 9.61 9.58 9.55 9.38 9.29 9.24 9.20 9.18 9.16 9.13 9.08 7.45 7.42 7.40 7.23 7.14 7.09 7.06 7.03 7.01 6.99 6.93 6.21 6.18 6.16 5.99 5.91 5.86 5.82 5.80 5.78 5.75 5.70 5.41 5.38 5.36 5.20 5.12 5.07 5.03 5.01 4.99 4.96 4.91 4.86 4.83 4.81 4.65 4.57 4.52 4.48 4.46 4.44 4.41 4.36 4.46 4.43 4.41 4.25 4.17 4.12 4.08 4.06 4.04 4.01 3.96

11 12 13 14 15

4.21 3.97 3.78 3.62 3.49

4.18 3.94 3.74 3.59 3.45

4.15 3.91 3.72 3.56 3.42

4.12 3.88 3.69 3.53 3.40

4.10 3.86 3.66 3.51 3.37

3.94 3.70 3.51 3.35 3.21

3.86 3.62 3.42 3.27 3.13

3.81 3.57 3.37 3.22 3.08

3.77 3.54 3.34 3.18 3.05

3.75 3.51 3.32 3.16 3.02

3.73 3.49 3.30 3.14 3.00

3.70 3.47 3.27 3.11 2.98

3.65 3.41 3.22 3.06 2.92

3.62 3.38 3.19 3.03 2.89

3.60 3.36 3.17 3.00 2.87

16 17 18 19 20

3.37 3.27 3.19 3.12 3.05

3.34 3.24 3.16 3.08 3.02

3.31 3.21 3.13 3.05 2.99

3.28 3.19 3.10 3.03 2.96

3.26 3.16 3.08 3.00 2.94

3.10 3.00 2.92 2.84 2.78

3.02 2.92 2.84 2.76 2.69

2.97 2.87 2.78 2.71 2.64

2.93 2.83 2.75 2.67 2.61

2.91 2.81 2.72 2.65 2.58

2.89 2.79 2.70 2.63 2.56

2.86 2.76 2.68 2.60 2.54

2.81 2.71 2.62 2.55 2.48

2.78 2.68 2.59 2.51 2.44

2.75 2.65 2.57 2.49 2.42

21 22 23 24 25

2.99 2.94 2.89 2.85 2.81

2.96 2.91 2.86 2.82 2.78

2.93 2.88 2.83 2.79 2.75

2.90 2.85 2.80 2.76 2.72

2.88 2.83 2.78 2.74 2.70

2.72 2.67 2.62 2.58 2.54

2.64 2.58 2.54 2.49 2.45

2.58 2.53 2.48 2.44 2.40

2.55 2.50 2.45 2.40 2.36

2.52 2.47 2.42 2.38 2.34

2.50 2.45 2.40 2.36 2.32

2.48 2.42 2.37 2.33 2.29

2.42 2.36 2.32 2.27 2.23

2.38 2.33 2.28 2.24 2.19

2.36 2.31 2.26 2.21 2.17

26 27 28 29 30

2.78 2.75 2.72 2.69 2.66

2.75 2.71 2.68 2.66 2.63

2.72 2.68 2.65 2.63 2.60

2.69 2.66 2.63 2.60 2.57

2.66 2.63 2.60 2.57 2.55

2.50 2.47 2.44 2.41 2.39

2.42 2.38 2.35 2.33 2.30

2.36 2.33 2.30 2.27 2.25

2.33 2.29 2.26 2.23 2.21

2.30 2.27 2.24 2.21 2.18

2.28 2.25 2.22 2.19 2.16

2.25 2.22 2.19 2.16 2.13

2.19 2.16 2.13 2.10 2.07

2.16 2.12 2.09 2.06 2.03

2.13 2.10 2.06 2.03 2.01

40 50 60 70 80

2.48 2.38 2.31 2.27 2.23

2.45 2.35 2.28 2.23 2.20

2.42 2.32 2.25 2.20 2.17

2.39 2.29 2.22 2.18 2.14

2.37 2.27 2.20 2.15 2.12

2.20 2.10 2.03 1.98 1.94

2.11 2.01 1.94 1.89 1.85

2.06 1.95 1.88 1.83 1.79

2.02 1.91 1.84 1.78 1.75

1.99 1.88 1.81 1.75 1.71

1.97 1.86 1.78 1.73 1.69

1.94 1.82 1.75 1.70 1.65

1.87 1.76 1.68 1.62 1.58

1.83 1.71 1.63 1.57 1.53

1.80 1.68 1.60 1.54 1.49

500 6361 99.50 26.10 13.50 9.04 6.90 5.67 4.88 4.33 3.93

Inf 6366 99.50 26.10 13.50 9.02 6.88 5.65 4.86 4.31 3.91

- 440 -


1 2 3 4 5

0.995 0.00 0.01 0.072 0.207 0.412

TABLAD: Distribucion de Chi-cuadrada Probabilidadde un valor más alto de chi-cuadrado 0.99 0.975 0.95 0.90 0.75 0.50 0.25 0.10 0.05 0.025 0.00 0.00 0.00 0.016 0.102 0.455 1.32 2.71 3.84 5.02 0.02 0.051 0.103 0.211 0.575 1.39 2.77 4.61 5.99 7.38 0.115 0.216 0.352 0.584 1.21 2.37 4.11 6.25 7.81 9.35 0.297 0.484 0.711 1.06 1.92 3.36 5.39 7.78 9.49 11.10 0.554 0.831 1.15 1.61 2.67 4.35 6.63 9.24 11.10 12.80

6 7 8 9 10

0.676 0.989 1.34 1.73 2.16

0.872 1.24 1.65 2.09 2.56

1.24 1.69 2.18 2.70 3.25

1.64 2.17 2.73 3.33 3.94

2.20 2.83 3.49 4.17 4.87

3.45 4.25 5.07 5.90 6.74

5.35 6.35 7.34 8.34 9.34

7.84 9.04 10.20 11.40 12.50

10.60 12.00 13.40 14.70 16.00

12.60 14.10 15.50 16.90 18.30

14.40 16.00 17.50 19.00 20.50

16.80 18.50 20.10 21.70 23.20

18.50 20.30 22.00 23.60 25.20

11 12 13 14 15

2.60 3.07 3.57 4.07 4.60

3.05 3.57 4.11 4.66 5.23

3.82 4.40 5.01 5.63 6.26

4.57 5.23 5.89 6.57 7.26

5.582 6.30 7.04 7.79 8.55

7.58 8.44 9.30 10.20 11.00

10.30 11.30 12.30 13.30 14.30

13.70 14.80 16.00 17.10 18.20

17.30 18.50 19.80 21.10 22.30

19.70 21.00 22.40 23.70 25.00

21.90 23.30 24.70 26.10 27.50

24.70 26.20 27.70 29.10 30.60

26.80 28.30 29.80 31.30 32.80

16 17 18 19 20

5.14 5.70 6.26 6.84 7.43

5.81 6.41 7.01 7.63 8.26

6.91 7.56 8.23 8.91 9.59

7.96 8.67 9.39 10.10 10.90

9.31 10.10 10.90 11.70 12.40

11.90 12.80 13.70 14.60 15.50

15.30 16.30 17.30 18.30 19.30

19.40 20.50 21.60 22.70 23.80

23.50 24.80 26.00 27.20 28.40

26.30 27.60 28.90 30.10 31.40

28.80 30.20 31.50 32.90 34.20

32.00 33.40 34.80 36.20 37.60

34.30 35.70 37.20 38.60 40.00

21 22 23 24 25

8.03 8.64 9.26 9.89 10.50

8.90 9.54 10.20 10.90 11.50

10.30 11.00 11.70 12.40 13.10

11.60 12.30 13.10 13.80 14.60

13.20 14.00 14.80 15.70 16.50

16.30 17.20 18.10 19.00 19.90

20.30 21.30 22.30 23.30 24.30

24.90 26.00 27.10 28.20 29.30

29.60 30.80 32.00 33.20 34.40

32.70 33.90 35.20 36.40 37.70

35.50 36.80 38.10 39.40 40.60

38.90 40.30 41.50 43.00 44.30

41.40 42.80 44.20 45.60 46.90

gl

0.01 0.005 6.63 7.88 9.21 10.60 11.3 12.80 13.30 14.90 15.10 16.70

26 11.20 12.20 13.80 15.40 17.30 20.80 25.30 30.40 35.60 38.90 41.90 45.60 48.30 27 11.80 12.90 14.60 16.20 18.10 21.70 26.30 31.50 36.70 40.10 43.20 47.00 49.60

Analisis y Diseño

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