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ANÁLISIS MATEMÁTICO I

ANALISIS MATEMATICO 1 http://campus.utelesup.com

Página 1 e-mail: [email protected]

ÍNDICE DE CONTENIDO I. PREFACIO II. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS UNIDAD DE APRENDIZAJE 1: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Funciones Reales .Dominio, Rango, Gráficas. Operaciones con Funciones. b. Tema 02: Funciones Crecientes y Decrecientes. c. Tema 03: Funciones Exponenciales y Logarítmicas. d. Tema 04: Funciones Trigonométricas y sus Inversas. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Límite de una Función, Propiedades, Cálculo de Límites. Límites laterales b. Tema 02: Límites al Infinito. Límites infinitos. Asíntotas. c. Tema 03: Límites Trigonométricos. Límites exponenciales d. Tema 04: Continuidad de funciones. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: LA DERIVADA 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia (logro) c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: La derivada de una función real. b. Tema 02: Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. c. Tema 03: Derivadas trigonométricas y sus inversas. d. Tema 04: Derivada de una función implícita. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 4: APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Máximos y Mínimos de una función b. Tema 02: Funciones crecientes y decrecientes. c. Tema 03: Concavidad de una función d. Tema 04: Puntos de Inflexión. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen III. GLOSARIO IV. FUENTES DE INFORMACIÓN V. SOLUCIONARIO

ANALISIS MATEMATICO I

03 04 -121 04 -39 05 05 05 05 05 05 06-35 07 19 24 29 36 36 37 39 40-69 41 41 41 41 41 41 42-65 43 52 58 62 66 66 67 69 70-97 71 71 71 71 71 71 72-91 73 78 82 89 92 93 95 97 98-121 99 99 99 99 99 99 100-116 101 105 109 113 117 117 119 121 122 123 124

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PREFACIO La asignatura es de naturaleza

práctico–teórico, orientada a desarrollar en el

estudiante habilidades superiores del pensamiento para el razonamiento lógico y creativo, solución de problemas y la toma de decisiones. Se tratara de no descuidar el marco histórico bajo el cual se han desarrollado los principales conceptos y las aplicaciones. También se insistirá en reflexionar sobre cómo abordarlos y/o aprovecharlos para mejorar el aprendizaje de los alumnos. El Curso desarrolla las Unidades de Aprendizaje siguientes:

ESTRUCTURA DE LOS CONTENIDOS UNIDAD DE APRENDIZAJE I: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Funciones Reales .Dominio, Rango, Gráficas. Operaciones con Funciones.

Funciones Crecientes y Decrecientes.

Funciones Exponenciales y Logarítmicas.

Funciones Trigonométricas y sus Inversas.

UNIDAD DE APRENDIZAJE II: LÍMITE Y CONTINUIDAD Límite de una Función, Propiedades, Cálculo de Límites.

Límites al Infinito.

Límites Trigonométricos.

Continuidad de funciones.

UNIDAD DE APRENDIZAJE III: LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES La derivada de una función real. Derivadas laterales.

Derivadas de funciones exponenciales , logarítmicas

Derivadas trigonométricas y sus inversas.

Derivación implícita.

UNIDAD DE APRENDIZAJE IV: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Máximos y Mínimos

Funciones crecientes y decrecientes.

Concavidad

Puntos de Inflexión.

La competencia que como estudiante debes lograr al finalizar esta asignatura es: “Reconocer, determinar, relacionar, evaluar, analizar y aplicar los conocimientos matemáticos correspondientes al cálculo diferencial, con destreza y seguridad”.


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UNIDAD DE APRENDIZAJE

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

COMPETENCIA: Al

finalizar

esta

asignatura

usted

será

capaz

de

“Identificar y comprender las estructuras de las funciones reales de variable real y reconocer el dominio, rango y grafica de las funciones, así como la relación de funciones y aplicación de propiedades”. ANALISIS MATEMATICO I

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INTRODUCCIÓN

a) Presentación y contextualización Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tienen por finalidad que el estudiante comprenda las Funciones Reales de Variable Real, así como formular apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados.

b) Competencia Identifica y comprende las estructuras de las funciones reales de variable real y reconoce el dominio, rango y grafica de las funciones, así como la relación de funciones y aplicación de propiedades.

c) Capacidades 1. Identifica y comprende el dominio, el rango y gráfica de las funciones reales. 2. Reconoce las funciones creciente y decreciente de una función. 3. Analiza, reconoce y aplica la función exponencial y logarítmica. 4. Relaciona y compara las Funciones Trigonométricas y sus Inversas.

d) Actitudes  Valora la utilidad de las funciones para explicar y predecir ciertos hechos de la vida cotidiana.  Reconoce y valora críticamente la utilidad de las funciones reales para realizar representaciones gráficas y la interpretación de los resultados.

e) Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: La Unidad de Aprendizaje 1: “Funciones Reales De Variable Real”, comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 1: Funciones Reales. Dominio, Rango, Gráficas. Operaciones con Funciones. TEMA 2: Funciones Crecientes y Decrecientes. TEMA 3: Funciones Exponencial y Logarítmica. TEMA 4: Funciones Trigonométricas y sus Inversas. ANALISIS MATEMATICO I

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TEMA Funciones Reales, Dominio, Rango, Gráficas, Operaciones con Funciones


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DESARROLLO DE LOS TEMAS

Tema 1: Funciones Reales. Dominio. Rango. Gráficas. Operaciones con Funciones DEFINICIÓN.Dado dos conjuntos no vacíos “A” y “B” y una relación f  A x B, se define: “f es una función de A en B si y solamente si para cada x  A existe a lo más un elemento y  B, tal que el par ordenado (x, y)  f “.

Observación: Dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente; para la función f.

(x; y)  f  (x; z)  f  y = z Siendo: A = Conjunto de partida y

B = Conjunto de llegada

Ejemplo.Dados los A  a, b, c, d  y B  1, 2, 3, 4 Determinar cuáles de las siguientes relaciones de A en B son funciones: f  (a;1), (b; 2), (c; 3), (d ; 2) 

g  (a; 4) , (b; 4) , (c; 4) , (d ; 4)  h  (c;1), (b; 2), (c; 4), (d ; 3)  i  (b;1), (c; 3)  j    

Nótese que f, g, i y j son funciones de A en B; mientras que h no es una función de A en B por tener dos elementos con primeras componentes iguales (c; 1) y (c; 4) .


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DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN: Dominio de f: Dom (f) Se llama también pre-imagen y es el conjunto de los primeros elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de partida A. (Dom (f)  A) Rango de f = Rang (f)

Llamado también imagen, recorrido o contra dominio, es el conjunto de los segundos elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de llegada B. (Rang. (f)  B) Si f : A  B es una función, definimos:

i) Dominio de f

(Df )

. Como el conjunto

D f  x  A/  y  B  y  f ( x) f B

A

Df f(x) yy == f(x)

x

Es decir, el dominio de f ( D f ), es el

conjunto

formado

por

los

elementos de A que están en correspondencia

con

los

elementos de B mediante f.


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ii)

Rango de f

(Rf )

. Como el conjunto

R f  y  B / x  A  y  f ( x) f

A

B Rf

x

y=f(x)

Es decir, el rango de f ( R f ), es el conjunto formado por los elementos de B que están en correspondencia con los elementos de A mediante f. Al rango de f también se le llama imagen o contradominio.

Del ejemplo anterior tenemos:

D f  a, b, c, d 

;

R f  1, 2, 3

Dg  a, b, c, d 

;

Rg  4

Di  b, c 

;

Ri  1, 3

Dj  

;

Rj  

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Se llama función real de variable real a una función donde el conjunto de partida y de llegada es el conjunto de los números reales  o subconjuntos de  .


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Ejemplos:

1. f :    / f ( x)  2 x  1 2. g :    / g ( x)  x2  2 x  2 3. h :    / h( x)  x  2  1 4. i :    / i( x)  1  x 2

Representación gráfica Si f :    , es una función; la gráfica de f se define como:



G( f )  ( x; y)   2 / y  f ( x)



Ejemplos:

Y

1.

Si

f :    / f ( x)  2 x  1

y=2x-1

-1

2.

X

1 2

Y

g : [1; 2    / g ( x)  x 2 4

y=g(x) 1

-1


1

2

X

Página 10

Propiedad geométrica de las funciones reales de variable real Una relación f     es una función real de variable real, si y solo si, 2

toda recta vertical corta a la gráfica de f a lo más en un punto. Decir cuáles de las gráficas que se muestran a continuación corresponden a funciones reales de variable real.

(b)

(a) Y

(c)

Y

X

(d)

Y

X

X

(e) Y

(f) Y

Y

X

X

X

Nótese que en las figuras (a) y (e) las gráficas son cortadas en un único punto, cualquiera que sea la recta

vertical;

en

consecuencia

dichas

gráficas

corresponden a funciones reales de variable real. Mientras que en las figuras (b), (c) (d) y (f) las gráficas son cortadas en más de un punto; luego dichas graficas no corresponden a funciones reales de variable real. ANALISIS MATEMATICO I

Página 11

FUNCIONES ESPECIALES

1.

Función constante

f :    / f ( x)  c

; donde “c” es una

Y

constante. y=c

c

Df  

2.

;

R f  c

X

0

Función Identidad Y

f :    / f ( x)  x

y=x

Df    Rf

3.

X

0

Función Raíz Cuadrada f :    / f ( x)  x

Y y= x 2

D f  [ 0 ;   R f  [ 0 ;  


1 0

1

4

X

Página 12

Funciones Definidas por Secciones (Dominio Partido) Son de la forma:

 f1 ( x) ; x  A  D f1 f ( x)    f 2 ( x) ; x  B  D f 2 D f  D f1  D f 2

4.

donde: A  B   y

R f  R f1  R f 2

Función Valor Absoluto

 x , si x  0 f :    / f ( x)  x    x , si x  0

Y

y x

D f  [ 0 ;   R f  [ 0 ;  

5.

X

0

Función Signo  1 ,  f :    / f ( x)  Sgn( x)   0 ,  1 , 

si si si

x0 x0 x0

Y

y=Sgn(x) 1

D f   y R f   1,0,1

0

X -1

Nota.- El valor absoluto en términos de la función signo se puede escribir de la siguiente manera:


x  x Sgn(x)

Página 13

6.

Función polinomial f :    / f ( x)  a0 xn  a1xn 1    an 1x  an Donde:

an   ; a0  0 . f (x) es un polinomio de grado n  N .

a0 , a1 ,  ,

D f   ; el R f depende del polinomio.

Casos particulares: a) Si n  0 ,

f ( x)  a0 es una función constante.

b) Si

n 1 ,

a0  1 , a1  0 ; f ( x)  x es la función identidad.

c) Si

n 1 ,

a0  0 ; f ( x)  a0 x  a1 es una función lineal.

d) Si n  2 , a0  0 ; f ( x)  a0 x 2  a1x  a2 es una función cuadrática. e) Si n  3 , a0  0 ; f ( x)  a0 x3  a1x 2  a2 x  a3 es una función cúbica.

7.

Función racional fraccionaria

f :    / f ( x) 

p ( x) q ( x)

Donde p (x) y q (x) son polinomios con grado q (x)   grado  p (x)  .

D f   x   / q ( x)  0 

Ejemplos: Y a)

f ( x) 

1 x

b)

D f    0  R f


y -1

1

1

0

1 x

X

-1

Página 14

c)

g ( x) 

Y

1 1 x2

Dg  

y  11x2

1 0 0

Rg   0 ;1]

X

OPERACIONES CON FUNCIONES f : 

Si

y

g : 

son

funciones

con

dominios

y

Df

Dg

respectivamente, se definen:

D f  g  D f  Dg

i)

( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) ;

ii)

( f  g )( x)  f ( x) g ( x)

iii)

f f ( x)   ( x)  g ( x) g

;

D f / g  ( D f  Dg )  x  Dg / g ( x)  0 

iv)

( c f )( x)  c f ( x)

;

Dc f  D f donde c es una constante.

;

D f g  D f  Dg

Ejemplo:

1.

Si f :    / f ( x  2)  x  1 , calcular: 2

b) M  2 f (0)  10 f (1) f (2)

a) f (3x  1)

Solución Primero calculamos f (x) . Para ello hacemos la sustitución: o

z  x2  x  z2

Entonces, f ( z )  ( z  2)  1  ( z  4 z  4)  1  z  4 z  3 2

2

2

Luego: f ( x)  x  4 x  3 2


Página 15

Ahora: a) f (3x  1)  (3x  1)  4(3x  1)  3  9 x  6 x  1  12 x  4  3 2

2

f (3x  1)  9 x 2  18x  8

2 f (0)  10 f (1) 2[(0) 2  4(0)  3]  10[(1) 2  4(1)  3] M  f (2) (2) 2  4(2)  3

b)



2(3)  10(0) 6  0   6 1 1

M  6

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sean f : A  B y g : B  C dos funciones tales que R f  Dg   . La función compuesta de f con g, denotada por “ g  f ” se define por g  f : A  C tal que ( g  f )( x )  g  f ( x ) 



Donde Dg  f  x  A / x  D f  f ( x)  Dg

f

A

 g

B

C

Rf f (x)

x

g ( f ( x))

Dg

g f g o f ANALISIS MATEMATICO I

 g

Página 16

Ejemplo

1.

Dadas las funciones: f  (2; 0), (0; 3), (1; 4) , (3; 5), (4; 5)  g  (1; 2), (0; 1), (3;  2) , (5; 0) 

Hallar g  f

Solución Dg  f   x / x  D f  f ( x)  Dg     2 ; 0 ; 3; 4  g  f  (2; 1), (0;  2), (3; 0) , (4; 0) 

Propiedades de la composición de las funciones i)

Sean f : A  B , g : B  C y h : C  D funciones. Entonces se cumple:

(h  g )  f  h  ( g  f ) La composición de funciones es asociativa.

Nota.- En general g  f  f  g ; es decir no se cumple la conmutatividad para la composición de funciones.


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TEMA Funciones Creciente y Decreciente


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Tema 2: Funciones Creciente y Decreciente FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES: Sea f :    una función con dominio D f . Se dice que: i) f es creciente, si para cada par de números reales x1 , x2  D f ,

x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) ii) f es decreciente, si para cada par de números reales x1 , x2  D f ,

x1  x2  f ( x2 )  f ( x1 ) Nota.- A las funciones que son crecientes o decrecientes se les denominan funciones estrictamente monótonas. Toda función que es creciente o decreciente es inyectiva y recíprocamente toda función inyectiva es creciente o decreciente.

Las gráficas siguientes ilustran las definiciones dadas.

Y

y  f (x)

Y

y  f (x)

f ( x1 )

f ( x2 )

f ( x2 )

f ( x1 ) x1

x1

x2

0 Función creciente


X

x2

0

X

Función decreciente Página 19

EJERCICIOS

Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación .

RESOLUCIÓN

Para ello calculemos la primera derivada de Como

.

↔

, o sea si

, entonces f es creciente para

↔

, o sea si

, entonces f es decreciente para

. Como

En la gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con , con x ≠ 1.

ecuación

´


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RESOLUCION

La derivada de f es

.

es mayor que cero para x en los Reales, x ≠ 1, y además

Como

entonces para todo x en los Reales (x ≠ 1), por lo que la función f es decreciente para x en los Reales, x ≠ 1 . La siguiente, es la gráfica de dicha función:

Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con con x ≠ 0.

ecuación

RESOLUCION

La derivada de f está dada por

que puede

escribirse como Como

es positivo para toda x en los Reales entonces: ←→

y

←→


Página 21

Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.

Luego:

€

si

∞ .

intervalo Además:

∞ por lo que la función f crece en el

si

€

∞

de donde la función f decrece

en el intervalo ∞ . La representación gráfica de la función es la siguiente:


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TEMA Funciones Exponencial y Logarítmica


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Tema 3: Funciones Exponencial y Logarítmica FUNCIONES EXPONENCIALES Sea a   ; a  0 y a  1 . Llamaremos función exponencial de base a la función:

f :    / f ( x)  a x

Y E S Y

ya

y  ax

x

0  a 1

a 1 1

1 X

0

0

X

Propiedades de la función exponencial D f   ; R  0 ;   f

La gráfica de la función exponencial f ( x)  a , interseca al eje Y en x

el punto

(0 ; 1) .

Para a  1 , la gráfica de f es creciente y para 0  a  1 la gráfica de f es decreciente. La función exponencial f ( x)  a es inyectiva, en consecuencia tiene x

inversa.

La inversa de la función exponencial es la función

logarítmica de base a.


Página 24

Función Exponencial Natural Si se considera como base para la función exponencial el número irracional “e” llamado número de Euler cuyo valor es e  2,718281828459  se tiene:

f :    / f ( x)  e x La función f así definida es llamada función exponencial natural.

FUNCIONES LOGARÍTMICAS Sea a   ; a  0 y a  1 . Llamaremos función logarítmica de base a la función:

f :    / f ( x)  log a x y  log a x  a y  x Y

Y y = loga x

y = loga x

0

0 1

X

a>1

1

X

0
Propiedades de la función logarítmica: D f  0 ;   ; R f  

La gráfica de la función logarítmica

f ( x)  log a x , interseca al eje X

en el punto (1; 0) .


Página 25

Para a  1 , la gráfica de f es creciente y para 0  a  1 la gráfica de f es decreciente.

La función logarítmica

f ( x)  log a x es inyectiva, en consecuencia

tiene inversa. La inversa de la función exponencial es la función exponencial de base a.

FUNCIÓN LOGARÍTMICA DECIMAL Y NATURAL i) Si a  10 , la función logarítmica de base 10 se denomina función logarítmica decimal y se escribe como :

f ( x)  log x

ii) Si a  e , la función logarítmica de base e se denomina función logarítmica natural y se escribe como : f ( x)  Ln x

Las funciones exponenciales y logarítmicas son inyectivas e inversas entre sí. Dados

f ( x)  a x y g ( x)  log a x entonces ( g  f )( x)  x

y

( f  g )( x)  x ; es decir a loga x  x y log a a x  x .

Las gráficas que se dan a continuación ilustran este hecho.

ya

Y

y  ax

Y

x

1 0 1

0

X

y  log a x 0 1

X

y  log a x a>1

Página 26

EJERCICIO DE APLICACIÓN

Graficar: f ( x )  ( 4)

 1  f ( x)    3

x

x

f(x)=4x

Caso I:

a>1

Localizamos los puntos:

x f (x)  3 1 / 64  2 1 / 16  1 1/ 4 0 1 1 4 2 16 3 64

 Para : x  0 0  f (x)  1  Para : x  0 f (x)  1

y

f( x )  4 x

64 16 4 1 -3 -2 -1

1 2 3

x

Se nota que f(x) > 0 para todo valor de x.

Caso II: Localizamos puntos:

 Para : x  0 f (x)  1  Para : x  0 0  f (x)  1

x 3 2 1 0 1 2 3

f (x) 27 9 3 1 1/ 3 1/ 9 1 / 27

y 27 f( x )  (  3 )

x

9 3 1 -3-2 -1

1 2 3

x

Se nota que f(x) > 0 para todo valor de x.


Página 27

TEMA Funciones Trigonométricas y sus Inversas


Página 28

Tema 4: Funciones Trigonométricas y sus Inversas 1. FUNCIÓN SENO Y SU INVERSA LA FUNCIÓN ARCO SENO f : R  R / f ( x)  sen x

Y 1

y=sen x

 2

 3 2

   2

0

 2



3 2

2

X

-1

Df  R , Rf  R

Propiedades: i) El periodo del seno es 2 , sen( x  2 )  sen x ii) El seno es una función impar, sen( x)  sen x iii)

senx  0  x  n ; n  Z

senx  1  x 

 2

senx  1  x 


 2n ; n  Z

3  2n ; n  Z 2

Página 29

Inversa del seno, es el Arco seno:

f ( x)  arcsen x  sen y  x ; D f  [1, 1] , R f  [

 2

,

 2

]

Y y  arcsen x

 2

-1

0

1

X

 2

2. FUNCIÓN COSENO Y SU INVERSA LA FUNCIÓN ARCO COSENO

f : R  R / f ( x)  Cos x

Y 1

y=cos x

 3 2



 2

0

 2



3 2

X

-1

Df  R ,


Rf  R

Página 30

Propiedades:

i) El periodo del coseno es 2 , cos( x  2 )  cos x ii) El coseno es una función par, cos( x)  cos x iii) cos x  0  x 

 2

 n ; n  Z

cos x  1  x  2n ; n  Z

cos x  1  x    2n ; n  Z

Inversa del coseno, es el Arco coseno: f ( x)  arccos x  cos y  x ; D f  [1, 1] , R f  [0 ,  ] Y



 2

0

-1

y  arccos x

1

X

3. FUNCIÓN TANGENTE Y SU INVERSA LA FUNCIÓN ARCO TANGENTE

f : R  R / f ( x)  tg x 

sen x cos x

D f  { x  R / cos x  0 }  R  { x  R / x 

 2

 n ; n  Z }

Rf  R


Página 31

Asíntotas verticales:

x

 2

 n ; n  Z Y

y  tg x

 3

 2

 

 2

 2

0

3



X

2

Propiedades: i) El periodo de la tangente es  , tg ( x   )  tg x ii) La tangente es una función impar, tg ( x)  tg x

Inversa de la tangente, es el Arco tangente:

f ( x)  arctg x  tg y  x ; D f  R , R f  

 2

,

 2



Y

 2

y  arctg x 0

X

 2 4. FUNCIÓN COTANGENTE Y SU INVERSA LA FUNCIÓN ARCO COTANGENTE


Página 32

f : R  R / f ( x)  ctg x 

cos x sen x

D f  { x  R / sen x  0}  R  { x  R / x  n ; n  Z }

Rf  R Asíntotas verticales:

x  n ; n  Z Y

y  ctg x

 2

 3 2



 2

0

 2



2

3 2

X

Propiedades: i) El periodo de la cotangente es  , ctg ( x   )  ctg x ii) La tangente es una función impar, ctg ( x)  ctg x Inversa de la función cotangente, es el Arco cotangente: f ( x)  arcctg x  ctg y  x ; D f  R , R f  0 ,  

Y

 y  arcctg x  2

0

X

5. FUNCIÓN SECANTE Y SU INVERSA LA FUNCIÓN ARCO SECANTE ANALISIS MATEMATICO I

Página 33

f : R  R / f ( x)  sec x 

1 cos x

D f  { x  R / cos x  0 }  R  { x  R / x 

 2

 n ; n  Z }

R f   ,  1] [1,    Asíntotas verticales: x 

 2

 n ; n  Z Y y  sec x

1

 3 2



 2



 2

0

3 2

X

-1

Propiedades:

i) El periodo de la secante es 2 , sec( x  2 )  sec x ii) La secante es una función par, sec( x)  sec x

Inversa de la función secante, es el Arco secante:

f ( x)  arc sec x  sec y  x ; D f  Y,  1] [1,   , R f  [0 ,



 2

 

 2

, ]

y  arc sec x

 2

-1

0

1

X

6. FUNCIÓN COSECANTE Y SU INVERSA LA FUNCIÓN ARCO COSECANTE


Página 34

f : R  R / f ( x)  csc x 

1 sen x

D f  { x  R / sen x  0}  R  { x  R / x  n ; n  Z } R f   ,  1] [1,   

Asíntotas verticales:

x  n ; n  Z Y

 2

 3 2  

Propiedades:

 2

y  csc x

 2

0



3 2

2

X

i) El periodo de la cosecante es 2 , csc( x  2 )  csc x ii) La cosecante es una función impar, csc( x)   csc x

Inversa de la función cosecante, es el Arco cosecante: f ( x)  arc csc x  csc y  x ; D f  ,  1] [1,   , R f  [

 2

, 0   0 ,

 2

]

Y y  arcc sec x  2

-1

0

1

X

 2 LECTURAS RECOMENDADAS


Página 35

www.uoc.edu/in3/emath/docs/Funcion_Real.pdf http://www.monografias.com/trabajos-pdf/funciones-realesvariables/funciones-reales-variables.pdf

ACTIVIDADES Y EJERCICIOS

Envía tus actividades a través de “Tareas de Funciones Reales”. 1.

Halle “p” para que el conjunto de pares ordenados de: f   2;3 ;  1;3 ; 2;P  6  Sea función: A) -5

2.

B) - 4

D) 2

E) - 1

Halle el rango de la función f definida por: f x  2x  1  x

1 A)  ;   2

3.

C) - 3

 1 B)   ;    2

1 C) ;  2

D) ; 

1  1 1 E)   ;   2  2 2

Si f x   x2  2 ; g x   x  a , determinar el valor de “a” de modo que (f o g) (3) =(g o f)(a-1) A) -8

4.

B) -

8 7

7 8

D)

Señale el valor de “n” en la función f ; si f x dominio es 10;  A) 6 B) 7

5.

C) 

C) 9

1 7

E)

1 8

 x  2  x  3  ... x  n

D) 10

y el

E) 13

Halle la suma de los valores enteros del dominio de la función:

f x   A) 0

x2  3x  4 21  x2  4 B) 1

C) - 1

D) 5

E) - 5

AUTOEVALUACIÓN ANALISIS MATEMATICO I

Página 36

1) Sean f(x) = x2 – 1 y g(x) = 3x + 5.

Encontrar (f o g ) ( x )

a. 9x2 + 30x + 24 b. 9x2 + 30x + 25 c. 9x2 + 30x + 26 d. 9x2 + 30x + 27 e. 9x2 + 30x + 28

2) Halle el dominio de la función:

a.

2;4

b.

2;6

c. d. e.

y  f x 

f  x2  6x ; tal que  x

2;4 2;6 6; 

3) Señale el valor máximo de la función f, si la regla de correspondencia es: 2 2 2 f x    x  1   x  2   x  3

a.

-1

b.

–2

c.

-3

d.

-4

e.

-5

4) Si la función parabólica f= (x,y) R2 / y=ax2 + bx + c  pasa por los puntos A a  b  c (1,2); B (-1;12); C (0;4) Calcule 

a. b. c. d. e.

1 2 3 4 5


Página 37

5) Halle el rango de la función f definida por: 1 a.  ;   2

f x  2x  1  x

 1

b.   ;    2 c.

1 ;  2

d.

1 ;   2  1 1

e.   ;   2 2 6) Dadas las funciones:

; x  1 , 5 ]  3x  5 f ( x)   2 2 x  3x  2 ; x  5 , 7 ]

; x  4 , 0 ]  1 g ( x)   2  3x ; x  0 , 3 ] Calcular:

f  3g .  3x  8 ; x  1 ; 0 ] ( f  3g )( x)   12 x  11 ; x  0 ; 3 ] a.  3x  8 ; x  1 ; 1] ( f  3g )( x)   12 x  11 ; x  0 ; 3 ] b.  3x  8 ; x  1 ; 2 ] ( f  3g )( x)   12 x  11 ; x  0 ; 3 ] c.

 3x  8 ; x  1 ; 3 ] ( f  3g )( x)   12 x  11 ; x  0 ; 3 ] d.  3x  8 ; x  5 ; 3 ] ( f  3g )( x)   12 x  11 ; x  1 ; 3 ] e.

RESUMEN ANALISIS MATEMATICO I

Página 38

UNIDAD DE APRENDIZAJE I UNIDAD DE APRENDIZAJE 1.

Funciones reales. Dominio rango, gráfica. funciones especiales f  A B

( x ; y)  f

 ( x ; z)  f   y  z

Dominio y Rango de una función: Si f : A  B es una función, definimos: Dominio

de

f

(Df ) .

D f  x  A/  y  B  y  f ( x) Rango de f ( R f ) . Como el conjunto

R f  y  B / x  A  y  f ( x)

Operaciones con funciones Si f :    y g :    son funciones con dominios D f y D g respectivamente, se definen: ; ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x)

D f  g  D f  Dg

( f  g )( x)  f ( x) g ( x)

;

D f g  D f  Dg

f  f ( x)   ( x)  g ( x) g

;

D f / g  ( D f  Dg )  x  Dg / g ( x)  0 

2. Funciones crecientes y decrecientes. Clasificación de funciones: inyectiva, suryectiva, biyectiva. Inversa de una función f es creciente x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

f es decreciente, x1  x2  f ( x2 )  f ( x1 )

3. Funciones exponencial y logarítmica. Como en

para todo

,la función exponencial es una función de

.

,se llama: función logarítmica de base a, y, el número llama logaritmo de x en la base a.

se

4. Funciones trigonométricas y sus inversas. Funciones como modelo matemático. f : R  R / f ( x)  sen x , D f  R , R f  R f ( x)  arcsen x  sen y  x ; D f  [1, 1] , R f  [




2

,



2

]

Página 39

LÍMITES Y CONTINUIDAD

COMPETENCIA: Al finalizar esta unidad usted será capaz de “Determinar, analizar y relacionar si una función dada es continua o no, el límite de una función, límite al infinito y límite infinito”.


Página 40

INTRODUCCIÓN

a. Presentación y contextualización Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tienen por finalidad que el estudiante comprenda la noción del límite y la continuidad de una función, así como formular apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados.

b. Competencia Determina, analiza y relaciona si una función dada es continua o no, el límite de una función, límite al infinito y límite infinito.

c. Capacidades 1. Identifica y calcula el límite de una función. 2. Determina la diferencia entre límite al infinito y límite infinito. 3. Analiza los límites Trigonométricos y los límites exponenciales 4. Determina si una función dada es continua o no, en un punto.

d. Actitudes  Explica el proceso y los resultados de su trabajo referente a los límites en forma clara y ordenada respecto a los límites y la continuidad de una función.  Valora la precisión y utilidad del “lenguaje matemático” para comunicar y resolver problemas sobre límites.

e. Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: La UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: Límites y Continuidad, comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 1: Límite de una función, propiedades, cálculo de límites. Límites laterales TEMA 2: Límites al infinito. Límites infinitos. Asíntotas. TEMA 3: Límites trigonométricos. Límites exponenciales. TEMA 4: Continuidad de funciones.


Página 41

TEMA Límite de una Función, propiedades, cálculo de límites, Límites laterales


Página 42


Tema 1: Límite de una Función, propiedades, cálculo de límites, Límites laterales LÍMITES Definición de vecindad de un punto

Sea a  R ,

i)

  R con   0 ; llamaremos vecindad abierta de centro a y radio

 al conjunto denotado por B(a;  ) ” que definimos como: B(a;  )  x  R / x  a      a   ; a    Gráficamente podemos visualizar como sigue:

a  a a  

ii)

Con a,



 igual que i) llamaremos vecindad reducida de centro a y radio 

al conjunto denotado por B ' (a;  ) que definimos como:

B ' (a;  )  x  R / 0  x  a      a   ; a   a; a    Es decir es la vecindad abierta a la que se le ha quitado el centro.

B ' (a;  )  B(a;  )   a  Gráficamente podemos visualizar como sigue:

a 


a

a 

Página 43

LÍMITES DE FUNCIONES Noción Intuitiva del límite de una función en un punto

Consideremos la función:

x2  4 f ( x)  x2 D f  R  2

f ( x) 

;

f ( x)  x  2 ;

x 2  4 ( x  2)( x  2)  x2 x2

x2

La gráfica de f es: Y

y

x 2 4 x2

5 4 3 2

0

1

2

3

X

El dominio de f es R  2; vemos que cuando “x se aproxima a 2” ó “x tiende a 2” lo que denotamos por “ x  2 ” los valores de f (x) se aproximan a 4. Si se consideran

xDf

, cercanos a 2 por la izquierda los valores de f (x)

están muy cercanos a 4.

x 1 1,5 1,7 1,8 1,9 f ( x) 3 3,5 3,7 3,8 3,9 ANALISIS MATEMATICO I

Página 44

Si se consideran x  D f , cercanos a 2 por la derecha los valores de f (x) están muy próximos a 4.

x 3 2,5 2,3 2,2 2,1 f ( x) 5 4,5 4,3 4,2 4,1 De las dos tablas anteriores, vemos que cuando x  D f se acerca por la izquierda o por la derecha a 2, los valores de f (x) se acercan a 4. Este comportamiento de la función considerada en el presente ejemplo denotamos por:

lím

x 2

x2  4 4 x2

Lo que leeremos como “el límite de la función f ( x) 

x2  4 cuando x x2

tiende a 2 es igual a 4 ”.

Definición formal del límite de una función en un punto: Sea f : R  R una función real de variable real con dominio D f   . Diremos que el número real L es el límite de la función f cuando x tiende al número a lo que denotamos por:

lím f ( x)  L    0,   0 / x  D f  0  x  a    f ( x)  L   x a


Página 45

Visualizamos la definición mediante la siguiente gráfica: Y

y  f (x)  L

    

L L 

X

a a   a    



PROCEDIMIENTO PARA LA DEMOSTRACIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN USANDO LA DEFINICIÓN

lim f ( x)  b

Para demostrar el límite de una función

x a

Usando la definición, la idea central es encontrar

 en términos de  . El

procedimiento usual que se sigue para encontrar dicho

 se puede resumir en los

siguientes pasos:

1.

Escribir f ( x)  L como una expresión que contenga x  a ; esto es

f ( x)  L  x  a g ( x)

2. Acotar la función

g (x) considerando un  1 de prueba que puede ser 1 o

menor que 1 de acuerdo al dominio de definición de la función f.

3. Una vez acotada la función g, digamos por K esto es f ( x)  L  x  a g ( x)  K x  a   A. se obtiene  2 en términos de

4. Finalmente el 

 , 2 

 K

buscado se define como

  mín{1 ,  2 }


Página 46

EJEMPLO

Usando la definición de límite demostrar que

lim x 4

x 2 x2

RESOLUCIÓN

   0,    0 / 0  x  4   

x 2  x2

Escribiendo,

x x  2( x  2)  x  4 x  4 2    . x2 x2 x2 x2 En este ejemplo particular g ( x) 

(*)

1 . Para acotar g (x) x2

consideremos  1  1 :

x  4  1  1  x  4  1 1 x  2  3



1 1  1 3 x2



1 1 x2

(**)

Luego de (*) y (**) se tiene:

x4 x 2   x4  x2 x2 De donde,  2   . Finalmente, el

 buscado se define como:   min{1,  }


Página 47

Propiedades de los límites:

1.

Unicidad del límite Si el límite de una función existe, éste es único. Es decir (lím f ( x)  L  lím f ( x)  M )  L  M x a

2.

x a

Si existen L  lím f ( x) y M  lím g ( x) ; entonces x a

x a

i)

lím[ f ( x)  g ( x) ]  lím f ( x)  lím g ( x)  L  M

ii)

lím[ f ( x)  g ( x) ]  lím f ( x)  lím g ( x)  L  M

iii)

lím[ f ( x)  g ( x) ]  lím f ( x)  lím g ( x)  LM

iv)

f ( x) L f ( x) lím x a lím   x a g ( x) lím g ( x) M

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

;

si M  0

x a

v)

Si c es una constante, lím c f ( x)  c  lím f ( x)  cL x a

3.

x a

Si f ( x)  c , es una función constante, entonces para cualquier a se cumple:

lím c  c x a

Ejemplo.- Si

f ( x)  2

lím 2  2

,

x  3

,

lím  2 x 5

Y 2

-3


0

y=2

X

Página 48

4.

Límite de una función polinómica lím (b0 x n  b1x n 1    bn 1x  bn )  b0a n  b1a n 1    bn 1a  bn x a

Ejemplo.- Calcular

lím (2 x3  5x 2  7)  2(2)3  5(2)2  7  16  20  7  3 x 2

5.

Límite de una función racional Para todo número a tal que

c0a m  c1a m 1    cma  cm  0 , se cumple que:

b0 x n  b1 x n1    bn1 x  bn b0 a n  b1a n1    bn1a  bn lím  x a c x m  c x m 1    c c0 a m  c1 a m1    cm1a  cm 0 1 m 1 x  c m Ejemplo.- Calcular

3x  5 3(2)  5 11   x 2 x 2  1 (2) 2  1 5

lím

6.

nótese que para      a  2, (2) 2  1  5  0   

Límite de potencias y raíces Si lím f ( x)  L y n    , se cumplen: x a

i)

ii)

lím[ f ( x)]n  [ lím f ( x)]n  Ln x a

lím n xa

x a

n lím f ( x) ; si n es impar  xa si n es par siempre que f ( x)   n lím f ( x ) ;  xa lím f ( x)  L  0  x a

n L ; si n es impar  n  L ; si n es par y L  0


Página 49



Nota.- En general, si p, q   , entonces se cumple:

Lp / q lím[ f ( x)] p / q   p / q x a L

si q es impar si q es par y L  0

Teorema.- Sea a un punto perteneciente a la vecindad B(a;  ) y f una función definida en toda la vecindad, excepto posiblemente en a. Entonces: lím f ( x)  L x a



lím f ( x)  L  lím f ( x)

x a 

x a

El teorema nos dice que el límite de una función existe si y solo si los límites laterales (ambos) existen y son iguales.

Ejemplo: Si f ( x) 

2 x 2  3x  2 , averiguar si lím f ( x) existe. x 2 x2

Solución: D f  R  2;

lím

x 2

f ( x) 

(2 x  1)( x  2)  2x  1; x2

x2

(2 x  1)( x  2)  lím (2 x  1)  2(2)  1  5 x 2 x2

y

Y

2 x 2 3 x  2 x 2

5 1 2

X


Página 50

TEMA Límites al Infinito Limites Infinitos, Asíntotas


Página 51

Tema 2: Límites al Infinito Limites Infinitos, Asíntotas LIMITES AL INFINITO A. Sea f :  a;    R una función y L  R ; diremos que L es el límite de f (x) cuando x   lo que denotamos por

lím f ( x)  L .

x  

Si y solo si,   0 , N  0 tal que

x  N  f ( x)  L   Y y  f (x)

     f ( x)  L



L f (x)

L 0

X

x

N

B. Sea f : ; a  R una función y L  R ; diremos que L es el límite de f (x) Cuando x   lo que denotamos por lím f ( x)  L . x 

Si y solo si,   0 , N  0 tal que:

x   N  f ( x)  L  

Y

y  f (x) L

f (x)

L x


-N

0



  f ( x)  L 

X

Página 52

Nota.- Las propiedades dadas para las operaciones entre límites valen si reemplaza “a” por “   ” ó “   ”.

Proposición.- Si n   , entonces se cumple:

i) ii)

lím

1 0 xn

lím

1 0 xn

x  

x  

Nota.- Se cumplen: a)

1 lím f ( x)  lím f   x   y 0  y

b)

1 lím f ( x)  lím f   x  y 0  y

c)

1 lím f ( x)  lím f   x  y 0  y

Los límites, como otros entes matemáticos, cumplen las siguientes propiedades generales, que son usadas muchas veces para simplificar el cálculo de los mismos.

Límite por un escalar. donde k es un multiplicador escalar.

Límite de una suma


Página 53

Límite de una resta.

Límite de una multiplicación.

Límite de una división.

Indeterminaciones Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:

A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cuál puede ser el límite (si es que existe). Por ejemplo, en la segunda de estas ecuaciones, el límite pudiese valer 0, 1 o infinito. En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales, mediante racionalización

o factorización se puede resolver la

indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser las desigualdades o la regla de L’Hospital.


Página 54

Un ejemplo de indeterminación del tipo

es la que se da en estos tres casos, y

en cada caso (tras simplificar), se obtiene un límite distinto:

Ejemplos.- Calcular los siguientes límites:

1.

2 3x  2 x x lím  lím x   2 x 2  1 x  1 2 2 x 3

2



30 20



aplicando la proposición

efectuando las operaciones indicadas

2 1 2  2  4 2x  x  2 x lím 4  lím x x x   x  3 x  1 x   3 1 1 3  4 x x 3

2.

3 2

2

dividiendo numerador y denominador entre x .

2




000 0 1 0  0

Página 55

3.

x2  4 lim x2 x 2

x  1,9 x  2,1



lim f ( x )  3.9   lim  lim  4  lim f ( x )  4,1  x 2 x 2 x 2,1  x 1,9

x2  4  lim 4 x 2 x  2

4.

1 ? x 0 x lim

1 ? x 0 x 1 lim   x 0 x lim

1   x 0 x

 lim


Página 56

TEMA Límites Trigonométricos, Límites Exponenciales


Página 57

Tema 3: Límites Trigonométricos, Límites Exponenciales LIMITES TRIGONOMETRICOS: Para calcular límites de funciones trigonométricas y sus inversas hay que tener en cuenta los siguientes límites notables que resumimos en el siguiente teorema.

TEOREMA a) lím

x 0

sen x 1 x

b) lím sen x  0 (en general lím sen x  sen a ) x 0

x a

c) lím cos x  1 (en general lím cos x  cos a ) x 0

x a

d) lím

1  cos x 0 x

e) lím

1  cos x 1  2 x2

f) lím

arcsen x 1 x

g) lím

arctg x 1 x

x 0

x 0

x 0

x 0

Ejemplo

Calcular

lím

x 0

sen 3x sen 2 x

Solución

sen 3x sen 3x 3x lím  lím x 0 sen 2 x x 0 sen 2 x 2x 2x 3x

sen 3x 3 x 0 3 x  lím x 0 2 sen 2 x lím x 0 2x

sen 3x 3 3x  lím x 0 2 sen 2 x 2x

lím


usando i) del teorema



3 2

Página 58

En los siguientes ejemplos utilizaremos un procedimiento común en algunos límites trigonométricos y que consiste en multiplicar por el conjugado de una expresión.

1)

Multiplicamos por el conjugado de

que es

como sigue:

2)


Página 59

3)

Como

entonces

cuando

.

Además

Desarrollemos

:

Luego:


Página 60

TEMA Continuidad de Funciones


Página 61

Tema 4: Continuidad de Funciones CONTINUIDAD EN UN PUNTO:

Diremos que una función f es continua en el punto x  a , si cumple las siguientes condiciones: i) f (a) existe. Es decir, a  D f ii) lím f (x) existe y xa

iii) lím f ( x)  f (a) x a

Si f no cumple alguna de las tres condiciones señaladas anteriormente, diremos que f es discontinua en x  a . En las siguientes figuras se ilustran algunas situaciones que se presentan: Y

Y

Y y  f (x)

y  f (x)

y  f (x)

f (a) f (a)

X

a

X

a

f es continua en x  a

a

f es discontinua en x  a

f es

discontinua en x  a Y

Y

y  f (x)

y  f (x)

f (a)

a f es discontinua en x  a ANALISIS MATEMATICO I

X

a

X

f es discontinua en x  a Página 62

X

CLASIFICACIÓN DE LAS DISCONTINUIDADES

A) Discontinuidad evitable.- Diremos que f (x) tiene discontinuidad evitable o removible en el punto x  a , si:

lím f ( x) existe

i)

x a

ii)

f (a)

no existe, o si

f (a)

existe se tiene que

lím f ( x)  f (a) x a

En este caso, redefinimos la función f como:

; si x  a  f ( x) F ( x)   f ( x) ; si x  a lím x a La nueva función F, obtenida a partir de f, es continua en x  a y es llamada extensión o prolongación continua de f (x) en el punto x  a . Las gráficas dadas en las figuras (2) y (3) ilustran casos de continuidad evitable.

B) Discontinuidad esencial.- Diremos que la discontinuidad de f en el punto x  a es esencial o de primera clase en uno de los siguientes casos: 1) Si existen los límites lím f ( x) y lím f ( x) y no son iguales los tres valores: x a

x a

lím f ( x) , lím f ( x) y f (a)

x a 

x a

2) Si lím f ( x)   ó lím f ( x)   x a

x a

Ejemplos

1.

Dada la función

f ( x) 

x2 1 x 1


Página 63

Averiguar si f es continua en x  1 .

D f  R  1 ; es decir 1  D f

RESOLUCION

Luego f no cumple la condición i) de continuidad, y en consecuencia f es discontinua en x  1 .

x2 1 x 1 x  1

Pero como lím f ( x)  lím x 1

( x  1)( x  1) x 1 x 1

 lím

 lím ( x  1) x 1

2

La discontinuidad es evitable, entonces f se puede redefinir como:

 x2 1  F ( x)   x  1 ; x  1  2 ; x 1

F así definida es continua en x  1 . 2.

Para la función

  x 24   g ( x)   x2   6  

;

x2

;

x2

Averiguar si g es continua en x  2 . i)

g (2)  6

x2  4 x 2 x  2

ii) lím g ( x)  lím x 2


Página 64

RESOLUCION

( x  2)( x  2) x 2 x2

 lím

 lím ( x  2) x 2

4

iii)

lím g ( x)  4  6  g (2) x 2

g no cumple con la condición iii) de continuidad. Luego g no es continua en x  2 . La discontinuidad es evitable, g se puede redefinir como:

 x2  4  G ( x)   x  2 ; x  2  4 ; x2

G así definida es continua en x  2 .

Propiedades de continuidad de funciones

1.

Si f y g son funciones continuas en x  a , entonces también son continuas en

x a: i) c f donde c es una constante. ii) f  g


Página 65

iii) f  g iv) f  g

f ; cuando g (a)  0 g

v)

2.

Si g es una función continua en f (a) y f es una función continua en “a”, entonces g  f es continua en x  a .

LECTURAS RECOMENDADAS

 http://www.scribd.com/doc/5365942/LIMITE-DE-FUNCIONESTRIGONOMETRICAS

 http://analisismatematico.wordpress.com

ACTIVIDADES Y EJERCICIOS Envía tus actividades a través de “Tareas de Límite y continuidad”. 1. Calcule el siguiente límite x3  5x2  3x  3 x 1 3x3  6x2  9x lim

a)

lim

2.

x a

5

1 b) 3

5 c) 6

1 d) 6

6 e) 5

b) a

c) -a

d) 1

e) a2

a ax  x2 a  ax

a) 3a


Página 66

3. Halle el

lim x2  4x  x2  x x 

a) 

b)

2 3

c)

2 3

d)

3 2

e)

5 7

4. Calcule el siguiente limite: lim x 

a)

3

6x  sen2x 2x  3 sen 4x

6 c) 5

b) 0

2 d) 7

1 e) 6

AUTOEVALUACIÓN 2 x 2  3x  2 x2 1) Calcular: x2 lím

a)

1

b) 2

lím 2) Calcular:

a)

x 0

b)

lím

a)

√ (

√ √ )

x 0

d) 5

e) 6

ax  a x

√

3) Calcular:

c) 3

√

c)

d)

√

e) 0

√

x  2x 3x  5 x

b)


√ (

√ √ )

c)

√ (

√ √ )

d) 0

e) 1

Página 67

x3 1  4) Calcular : x 1 x  1 lím

a) 1

b) 2

c) 3

d) 5

e) 0

c) 3/5

d) 5/7

e) 1

x3  8  4 5) Calcular : x2 x  16 lím

a) 3/8

b) 2/7

6) Halle el valor de lim x 

a) 2

2x20  3x10  1 4x20  2x5  1

1 b) 2


c) -2

3 d) 4

e) 

Página 68

RESUMEN

UNIDAD DE APRENDIZAJE Ii LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

lím f ( x)  L    0,   0 / x  D f  0  x  a    f ( x)  L   x a

Propiedades de los límites 1. Unicidad del límite

(lím f ( x)  L  lím f ( x)  M )  L  M x a

2.

x a

Límite de una función polinómica

lím (b0 x n  b1x n 1    bn 1x  bn )  b0a n  b1a n 1    bn 1a  bn x a

Límite de una función racional

lím

x a

b0 x n  b1 x n1    bn1 x  bn b0 a n  b1a n1    bn1a  bn  c0 x m  c1 x m1    cm1 x  cm c0 a m  c1 a m1    cm1a  cm

LIMITES AL INFINITO Sea f :  a;    R una función y L  R ; diremos que L es el límite de f (x) cuando x   lo que denotamos por lím f ( x)  L x  

LIMITES TRIGONOMETRICOS: sen x i) lím 1 x 0 x ii) lím sen x  0 (en general x 0

v) vi)

lím sen x  sen a ) x a

lím cos x  1

iii)

x 0

(en

general

vii)

1  cos x 1  x 0 2 x2 arcsen x lím 1 x 0 x arctg x lím 1 x 0 x lím

lím cos x  cos a ) x a

iv)

lím

x 0

1  cos x 0 x

CONTINUIDAD EN UN PUNTO Diremos que una función f es continua en el punto x  a , si cumple las siguientes condiciones: i) f (a) existe. Es decir, a  D f iii) lím f ( x)  f (a) x a

ii) lím f (x) existe y xa

Si f no cumple alguna de las tres condiciones señaladas anteriormente, diremos que f es discontinua en x  a .


Página 69


LA DERIVADA

COMPETENCIA: Al finalizar esta unidad usted será capaz de “Reconocer, relacionar, evaluar, analizar y aplicar la derivada de una función, utilizando adecuadamente las propiedades de la derivación”. ”.


Página 70

INTRODUCCIÓN

A) Presentación y contextualización Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tienen por finalidad que el estudiante comprenda la Derivada, así como formular apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados.

B) Competencia (logro) Reconoce, relaciona, evalúa, analiza y aplica la derivada de una función, utilizando adecuadamente las propiedades de la derivación.

C) Capacidades 1. Deduce y contrasta la derivada de una función real. 2. Determina adecuadamente las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. 3. Identifica las derivadas trigonométricas y sus inversas. 4. Reconoce, analiza y determina la derivación implícita.

D) Actitudes  Muestra interés y persevera en buscar conexiones entre las derivadas, las situaciones de la vida cotidiana y los conocimientos matemáticos.

E) Presentación de ideas básicas y contenidos esenciales de la unidad La UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: “LA DERIVADA” comprende el desarrollo de los siguientes temas: 1. La Derivada de una Función Real. 2. Derivadas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas 3. Derivadas Trigonométricas y sus Inversas. 4. Derivada de una función implícita.


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TEMA La Derivada de una Función Real


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Tema 01: La Derivada de una Función Real DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Dada la función f : R  R , llamaremos derivada de f a la función denotada por f ': R  R que se define por:

f ' ( x)  lím

h 0



f ( x  h)  f ( x ) h

(1)



Cuyo dominio es D f '  x  D f / f ' existe . Si f ' ( x) existe, diremos que f es derivable en x.

NOTACIONES MÁS USADAS

f ' ( x), Df ( x),

df ( x) dx

Si y  f ( x); y' ; Dx y, y x , etc.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Si x  a es in punto particular del dominio de f, diremos que f es derivable en “a” si:

f ' (a)  lím

h 0

f ( a  h)  f ( a ) h

(2)

y el límite existe.

La expresión (2) se puede escribir también equivalentemente como:

f ' (a)  lím

x a


f ( x)  f ( a) xa

Página 73

Ejemplo 1 (derivada de una función constante).- Si f ( x)  c ,  x  R , donde c es una constante hallar f  (x) RESOLUCIÓN

f x   Lim h 0

f x  h   f x  h

cc  Lim 0  0 h 0 h

f x   Lim h 0

Luego podemos concluir que si f ( x)  c ,  x  R (función constante), entonces f  (x)=0.

Ejemplo 2.- Si f ( x)  ax , a  0, probar que f ( x)  a ,  x  R . RESOLUCIÓN

f x   Lim h 0

 Lim h 0

f x  h   f x  h

ax  h   ax a h f x   a

Ejemplo 3.- Hallar la derivada de la función f ( x)  5x  2 x  3 2

Solución:

f ' ( x)  lím

h 0

f ( x  h)  f ( x ) h

[5( x  h) 2  2( x  h)  3]  (5 x 2  2 x  3)  lím h0 h [5( x 2  2hx  h 2 )  2( x  h)  3]  (5 x 2  2 x  3) h0 h

 lím

(5 x 2  10hx  5h 2  2 x  2h  3)  (5 x 2  2 x  3) h 0 h

 lím

10hx  5h 2  2h h 0 h

 lím


Página 74

(10 x  5h  2)h h 0 h

 lím

 lím (10 x  5h  2) h0

 10 x  2

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA (Problema de calcular la recta tangente a una curva en un punto dado) Si f : R  R es una función, f ' (a) es la pendiente de la recta tangente de la curva

y  f (x) , en el punto a, f (a)  . y=f(x) Y

Q

f(a+h)

f(a)

a

a+h

X

a ECUACIONES DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA Si la ecuación de una curva está dada por y  f (x) siendo f derivable en “a”, entonces:

1. La ecuación de la recta tangente a la curva por:

y  f (x) , en el punto a, f (a)  está dada

y  f (a)  f ' (a)( x  a)

2. La ecuación de la recta normal a la curva

y  f (x) , en el punto a, f (a)  está dada por:

1 ( x  a); si f ' (a)  0 f ' (a)

A)

y  f (a)  

B)

x  a, si f ' (a)  0

EJEMPLO.- Hallar las rectas tangente y normal a la gráfica de f ( x)  x en el punto (1; 1) . 2


Página 75

RESOLUCION:

f (1  h)  f (1) (1  h) 2  1 m  f ' (1)  lím  lím h 0 h 0 h h 1  2h  h 2  1  lím  lím (2  h)  2 h 0 h 0 h Luego, la ecuación de la recta tangente es

LT : y  1  2( x  1)

y la ecuación de la recta normal es

LN : y  1   12 ( x  1)

DERIVACIÓN Y CONTINUIDAD Teorema.- Si f (x) tiene derivada en el punto x  a , entonces f es continua en x  a . Es decir; si f ' (a) existe, entonces lím f ( x)  f (a) x a

Nota.- Lo recíproco del teorema no siempre es cierto. Por ejemplo,

f ( x)  x  3 es

continua en x  3 , pero no es derivable en x  3 . PROPIEDADES DE LA DERIVACIÓN

1. Si f , g : R  R son dos funciones derivables en x, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

a)

 f ( x)  g ( x) 

f ' ( x)  g ' ( x)



b) c f ( x)  c f ' ( x) ; donde c es una constante. c)

 f ( x)  g ( x) 

f ( x)  g ' ( x)  f ' ( x)  g ( x )

  f ( x)  g ( x) f ' ( x)  f ( x) g ' ( x) d)   ; si g ( x)  0  g ( x)2  g ( x) 

2. Si f ( x)  c , c es una constante, entonces f ' ( x)  0 . 3. Si f ( x)  x , entonces f ' ( x)  1 4. Si f ( x)  x n , entonces f ' ( x)  nx n1 ;  n  R . 5. 6.

 f ( x)   n f ( x)  f ' ( x) ;  n  R .  f ( x)   f ( x) f ' ( x); si f ( x)  0


n 1

n

'

f ( x)

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TEMA Derivadas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas


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Tema 02: Derivadas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES

La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular,

Es decir, ex es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:  La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese

punto.  La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.  La función es solución de la ecuación diferencial y' = y.

Si la base de la exponencial no es el número e, sino otro número real arbitrario a mayor que 0, entonces la derivada de ésta es:

Donde la función la denota el logaritmo natural.6 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARITMO

Aunque la derivada de una función algebraica es siempre algebraica, la derivada de una función transcendental no tiene por que ser transcendental. REGLAS PARA LA DERIVADA DE FUNCIONES LOGARITMO NATURAL


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Teorema.- Las funciones exponenciales y logarítmicas son derivables en sus dominios respectivos.

1.

2.

Nota.- Si a  e , Dx e u  e u Dx u

Dx a u  a u Ln a Dxu

Dx log a u 

1 Dxu u Ln a

1 Nota.- Si a  e , Dx Ln u  Dx u u

EJEMPLOS 3 2 2 3 2 2 1. Hallar dy si 3x  x y  2 xy  y  3x  y  1

RESOLUCIÓN

3x  x y  2 xy  y  3x 2  y 2  1 3

2

2

3

9 x 2 dx  [2 xydx  x 2 dy]  2[ y 2 dx  2 xydy ]  3 y 2 dy  6 xdx  2 ydy  0 ( x 2  4 xy  3 y 2  2 y)dy  (9 x 2  2 xy  2 y 2  5x)dx

 (9 x 2  2 xy  2 y 2  5 x) dy  dx  x 2  4 xy  3 y 2  2 y

2. Hallar dy si:

y = ln

3

8 x2  3 + log 6 (5  9 x 2 ) x2 + 2

RESOLUCIÓN Aplicando las propiedades de logaritmos y 


16 x 2x 18 x   3(8 x 2  3) 3( x 2  2) (5  9 x 2 ) ln 6

Página 79

3. Hallar dy de: RESOLUCIÓN

4. Hallar dy de:

RESOLUCIÓN

5. Hallar dy de:

RESOLUCIÓN

6. Hallar dy de:

RESOLUCIÓN


Página 80

TEMA Derivadas Trigonométricas y sus inversas


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Tema 3: Derivadas Trigonométricas y sus Inversas

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sin(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sin(x) en cada punto x. DERIVADA DE LA FUNCIÓN SENO

A partir de la definición de la derivada de una función f(x):

Por tanto si f(x) = sin(x)

A partir de la identidad trigonométrica sin(A + B) = (sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B), se puede escribir

Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser


Página 82

Reordenando los términos y el límite se obtiene

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

El valor de los límites

Por tanto, si f(x) = sin(x),

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSENO Si f(x) = cos(x)

A partir de la identidad trigonométrica cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B), se puede escribir


Página 83

Operando se obtiene

Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

El valor de los límites

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

DERIVADA DE LA FUNCION TANGENTE A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, se puede escribir como

y

, entonces la regla dice que la derivada de


es igual a:

Página 84

A partir de la identidad trigonométrica

haciendo:

sustituyendo resulta

Operando

y aplicando las identidades trigonométricas

resulta


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DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y SUS INVERSAS Para calcular las derivadas de las funciones trigonométricas y sus inversas hay que tener en cuenta las siguientes derivadas básicas que se resumen en el siguiente teorema

Teorema:

1.

Dx sen u  cos u Dx u

2.

Dx cos u  sen u Dx u

Dx arcsen u  Dx arccos u  

2 3. Dx tg u  sec u Dx u

5. 6.

Dx arcctg u  

Dx sec u  tg u sec u Dx u

Dx arc sec u 

Dx csc u  ctg u csc u Dx u

1 u2

Dx u 1 u2

Dx arctg u 

2 4. Dx ctg u   csc u Dx u

Dx u

; u 1

; u 1

Dx u 1 u2

Dx u 1 u2

Dx u u

u 2 1

Dx arc csc u  

; u 1 Dx u

u

u 2 1

; u 1

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Sea y  f (x) una función. Llamamos Primera derivada de f en x a la función denotada por: f (x) ó y  ó D x y ó

dy dx Segunda derivada de f en x a la función definida como

f ( x)  [ f ( x)] Otras notaciones: y  , D x2 y ,

d2y dx 2

Tercera derivada de f en x a la función definida como

f ( x)  [ f ( x)]


Página 86

Otras notaciones:

y  , D x3 y ,

d3y dx 3

En general derivada de orden n de f en x a la función definida como

f ( n) ( x)  [ f ( n1) ( x)]

Otras notaciones:


y (n ) , Dxn y ,

dny dx n

Página 87

TEMA Derivada de una Función implícita


Página 88

Tema 04: Derivada de una Función implícita

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

x2  y2  1

Consideremos la ecuación

(1)

de (1) despejando y se tienen las funciones

y  1 x2

(2)

y   1 x2

(3)

derivando (2) se obtiene

y' 

derivando (3) se obtiene

y' 

x

(4)

1 x2 x

(5)

1 x2

Por otro lado poniendo y  f (x) y reemplazando en la relación (1) se tiene

x 2   f ( x)  1 2

(6)

derivando (6)

2 x  2 f ( x). f ' ( x)  0 ´

f ' ( x) , f ' ( x ) 

despejando

 2x x f ' ( x)  2 f ( x) = f ( x)

reemplazando en la relación (7) f (x) por y e f ' ( x) por y ' se tiene donde se verifica (4)

y' 

(5)

y' 


x 1 x

si

2

x  1 x

2



x 1 x

2

si

(7)

y 

x y

y  1 x2

y   1 x2

Página 89

EL MÉTODO DE REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES IMPLÍCITAS Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.

FUNCIONES EXPLÍCITAS Y FUNCIONES IMPLÍCITAS En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación

dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.

Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente:

. El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?

EL MÉTODO DE REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES IMPLÍCITAS Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.

Ejemplo 1:

Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.


Página 90

Ejemplo 2:

Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.

Ejemplo 3:

Hallar

, de la función implícita:

Aplicando la notación

, a cada término y extrayendo las constantes;

En el primer término las variables coinciden, se derivan normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.

La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,


Página 91

Quitando paréntesis y ordenando los términos,

Pasando algunos términos al lado derecho,

Extrayendo el factor común

,

Y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:


www.vitutor.com/fun/4/b_11.html - España. www.angelfire.com/.../derivadas_implicitas.htm portales.educared.net/.../index.php?...Derivadas...implicitas - España


Página 92

ACTIVIDADES Y EJERCICIOS Envía tus actividades a través de “Tareas de Derivadas”. 1. Hallar f ' ( x) , si

f ( x)  3 x  e x  e x

2

x

a)1 b) 0 c) ln3+4x d) ln 3x+6x- e

e)

3x ln 3  e x  (2 x  1)e x

2. Hallar f ' ( x) , si f ( x) 

2

x

x2 1 ln( x 4  1)

a) x b) 3x-1 c) ln 6x d) 4x/5 -5x





 4 x3  (2 x) ln( x 4  1)  ( x 2  1) 4   x  1 e) 2 4 ln ( x  1)

3. Hallar f ' ( x) , si f ( x)  ln (e  7 ) 5

x

x

a) 2-x b) 0 c) 1 d) lnx

 e x  7 x ln 7   x x  e 7 

e) 5 ln 4 (e x  7 x )


Página 93

4. Hallar f ' ( x) , si f(x) = Tanx + Cot(x)

a)Ln secx b)Ln tgx c) tg x d) e) 1

Comprobar, usando las fórmulas de derivación, cada una de las siguientes derivadas.

a) f ( x)  5 x 2 

b) f ( x) 

3 3  x x

1 4  2 2x x

c) f ( x)  2 x 2 2  x

d) f ( x) 

e) f ( x) 

1  cx 1  cx 1 x  1 x 1 x  1 x


;

f ' ( x)  10 x 

;

f ' ( x)  

;

f ' ( x) 

;

f ' ( x) 

;

f ' ( x) 

3 1  2 x 33 x 2

1 2  3/ 2 3 x x

x(8  5 x) 2 x c (1  cx ) 1  c 2 x 2 1 1 x2 x2 1 x2

Página 94

AUTOEVALUACIÓN



1. Si y  f x  4 2



hallar : y

  y   f x  4. 3x b) . y   f x  4. 4 x c) . y   f x  4. 5x d) . y   f x  4. 6 x a)

y  f  x 2  4 . 2x 2

2

2

2

e) .

2. Si f x  

3.

 x 1  dy y f  hallar dx  x  2

a)

dy x4  dx x  22

b)

dy x3  dx x  22

c)

dy x2  dx x  22

d)

dy x 1  dx x  22

e)

dy x  dx x  22



 



Si f x  1  g x  3 , hallar f  2 si se sabe que g  2  3 a) b) c) d) e)

4.

x x 1

3

2

1 2 3 4 0

Hallar g 5 si : f a) 1/3 b) 2/3

 x  1  2





x 2  1  6 16 x 2  1 y f x 2  2  g x 2  1 d) 4/3 e) 5

c) 3


Página 95

5. Hallar la derivada de f x  

x x 1

respecto de

x  1 en x  1

a) 1/2 b) 2/5 c) 4/3 d) 7/2 e) 0

6. Hallar f ' ( x) , si f(x) = 4 Sen(x) . Cos(x) a)

-4

+4

b) Ctg x c) 2Tg x d) e)

0

ANALISIS MATEMATICO 1

Página 96

RESUMEN

UNIDAD DE APRENDIZAJE III:

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

f ' ( x)  lím

h 0

DERIVADA DE FUNCION EXPONENCIAL

f ( x  h)  f ( x ) h

DERIVADA DE FUNCION LOGARITMO

,

DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y SUS INVERSAS

Dx sen u  cos u Dx u

1. Dx cos u  sen u Dx u 2 2. Dx tg u  sec u Dx u 2 3. Dx ctg u   csc u Dx u

4. Dx sec u  tg u sec u Dx u 5. Dx csc u  ctg u csc u Dxu

Dx arcsen u 

Dx u 1 u2

; u 1

Dx arccos u  

Dx u 1 u2

; u 1

Dx u 1 u2 Du Dx arcctg u   x 2 1 u Dx u Dx arc sec u  ; u 1 u u 2 1 Dx arctg u 

Dx arc csc u  

Dxu u u 2 1

; u 1

DERIVADAS IMPLICITAS cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena, en casos como: axn y+ bynx = cxy


Página 97


APLICACIONES DE LA DERIVADA

COMPETENCIA: Al finalizar este tema usted será capaz de “Reconocer, relacionar, evaluar, analizar y aplicar los valores extremos de una función, la Concavidad y los Puntos de Inflexión, con destreza y seguridad”. ANALISIS MATEMATICO I

Página 98

INTRODUCCIÓN

a) Presentación y contextualización Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tienen por finalidad que el estudiante comprenda las aplicaciones de las Derivadas, así como formular apreciaciones críticas sobre los diversos conceptos desarrollados.

b) Competencia (logro) Reconoce, relaciona, evalúa, analiza y aplica los valores extremos de una función, la Concavidad y los Puntos de Inflexión, con destreza y seguridad.

c) Capacidades 1. Deduce y contrasta los máximos y mínimos de una función. 2. Identifica debidamente las funciones creciente y decreciente de una función. 3. Determina la Concavidad de una función. 4. Determina y analiza los puntos de inflexión de una función.

d) Actitudes  Valora con perspectiva creativa el estudio de las funciones, para graficar adecuadamente, identificando la concavidad y puntos de inflexión.

e) Presentación de ideas básicas y contenidos esenciales de la unidad LA UNIDAD DE APRENDIZAJE 4: APLICACIONES DE LA DERIVADA comprende el desarrollo de los siguientes temas: 1. Máximos y mínimos de una función 2. Funciones crecientes y decrecientes 3. Concavidad de una función 4. Puntos de inflexión


Página 99

TEMA Máximos y Mínimos de una Función


Página 100


Tema 01: Máximos y Mínimos de una Función MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS Definiciones:  Diremos que una función f tiene un valor máximo absoluto en el punto “c”, si se cumple que

f ( x)  f (c)

x  D f

Y f (c)

 Diremos que una función f tiene un valor mínimo

0

c

X

absoluto en el punto “c” si se cumple que

f (c)  f ( x)

x  D f

TEOREMA DE EXISTENCIA DE EXTREMOS ABSOLUTOS EN INTERVALOS CERRADOS Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a; b] , entonces f tiene un valor mínimo y un valor máximo absolutos en [a; b] , es decir existen puntos

x0 , x1  [a, b] , tales que f ( x0 )  f ( x)  f ( x1 ) ; x  [a, b]

a) Valores extremos relativos de una función

Y 1. Diremos que una función f , tiene un valor máximo relativo en el punto c, si existe un  >0 tal que

f ( x)  f (c) ; x   c   , c   


0

c1

c2

X Página 101

2. Diremos que una función f , tiene un valor mínimo relativo en el punto c, si existe un  >0, tal que

x   c   ; c   

f (c)  f ( x) ,

3. Diremos que f tiene un extremo relativo en un punto c, si f (c) es un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo.

TEOREMA DEL EXTREMO ESTACIONARIO.

Y

Si f tiene un extremo relativo en

f ' (c4 )  0

f ' (c 2 )  0

el punto c y existe f ' (c) , entonces

f ' (c)  0

extremos relativos las tangentes a la gráfica de la función son horizontales.

f ' (c3 )  0

f ' (c1 )  0

En los puntos c1, c 2 , c3, y c 4

0

c1

c2

c3

c4

X

PUNTOS CRÍTICOS Sea f una función definida en el punto c. Diremos que “c” es un punto crítico (o número crítico) de f, si f ' (c)  0 ó f ' (c) no existe.

Notas:

 Si

f tiene un valor extremo relativo en c, entonces c es un punto crítico.

 Si

c es un punto crítico de f (x), no siempre es cierto que f tenga un extremo

relativo en c. TEOREMA DE ROLLE Si una función f verifica las tres condiciones siguientes: a) es continua en el intervalo cerrado [a; b] . b) es derivable en el intervalo abierto  a; b c) f (a)  f (b)  0 Entonces existe un número c tal que a  c  b y f ' (c)  0 ANALISIS MATEMATICO I

Página 102

f ' (c)  0

Y

T

0

a

c

b

X

f (b)  0

f (a)  0

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA En algún punto C (c; f (c)) de la curva sobre el intervalo abierto  a; b , la recta tangente es paralela al eje X.

Ejemplo 1 Averiguar si la función f ( x)  x 2  4 x satisface las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo x [0 , 4] Solución:

f es continua en [0 , 4] f es derivable en 0, 4  f (0)  f (4)  0

Entonces existe c   0, 4 tal que f ' (c)  0

f ' ( x)  2 x  4

f ' (c)  0

El punto C (2, f (2))  C (2,  4)




2c  4  0

Y

c2

Y

2

0

X

-4

X

Página 103

TEMA Funciones creciente y decreciente


Página 104

Tema 02: Funciones Crecientes y Decrecientes FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES. (Funciones monótonas)

 Una función f es creciente , si x1 , x2  D f : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  Una función f es decreciente, si x1 , x2  D f : x1  x2  f ( x2 )  f ( x1 )  Una función f es no-decreciente, si x1 , x2  D f x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )  Una función f es no-creciente, si x1 , x2  D f x1  x2  f ( x2 )  f ( x1 )

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS TEOREMA.- Sea f una función continua en el intervalo abierto  a; b y c   a; b ; tenemos lo siguiente:

 1) f ' ( x)  0, a) Si   2) f ' ( x)  0,

x   a; c x  c; b

Y

f ' ( x)  0

f ' ( x)  0

y Entonces f (c) es un valor máximo relativo de la función.

1) f ' ( x)  0, 2) f ' ( x)  0,

b) Si 

x   a, c x  c, b

0

a

c

X

b

Y f ' ( x)  0

f ' ( x)  0

Entonces f (c) es un valor mínimo relativo de la función.


0

a

c

b

X

Página 105

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS TEOREMA.- Sea f una función derivable en el intervalo abierto  a; b y c   a; b . Tenemos lo siguiente:

1.

Si f ' (c)  0 y

f ' ' (c)  0, entonces f (c) es un valor máximo relativo.

2.

Si f ' (c)  0 y

f ' ' (c)  0; entonces f (c) es un valor mínimo relativo.

NOTA.- Si f ' (c)  0 y f ' ' (c)  0, no puede concluirse nada acerca de si f (c) es un extremo relativo o no.

Lo mismo ocurre si f ' (c)  0 y f ' ' (c) no existe.

REGLA PARA DETERMINAR LOS EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN

1.

Se hallan f ' ( x) y f ' ' ( x).

2. Se encuentran los puntos críticos de la función o sea aquellos puntos en los cuales f ' ( x)  0 ó f ' ( x) no existe.

3. Se aplica el criterio de la primera derivada en cada punto crítico ó el criterio de la segunda derivada en caso de ser posible.

Ejemplo 1.- Dada la función

f ( x)  x 4  14 x 2  24 x  1

Determinar los intervalos de crecimiento, los extremos relativos y su gráfica. RESOLUCIÓN

1. Se calculan las derivadas 3.Usando el método de f ' ( x)  4 x 3  28x  24

y3

Ruffini calculamos las raíces de la ecuación

x 2  x  6  0  ( x  3)( x  2)  0 x  3, x  2

f ' ' ( x)  12 x 2  28

2.

Se hallan los puntos críticos

f ' ( x)  0  4 x  28x  24  0 x3  7x  6  0

Los puntos críticos son:

1

3


-1 -

0 + -1

1 2

-1

-7 1-6 1

x  2,  1

-6 6 0

+ 3 Página 106

El siguiente cuadro describe el comportamiento de la función

x

f (x)

f(x)

x  2

-

x  2

9

+

+

x  1

12

-

-116

máximo relativo decreciente

0

x3

mínimo relativo creciente

0

1  x  3

Conclusión decreciente

0

 2  x  1

x3

f (x)

+

+

mínimo relativo creciente

La gráfica correspondiente es

Y 12 9 -2

0

3

X

-116

ANALISIS MATEMATICO 1

Página 107

TEMA Concavidad de una Función

campus.utelesup.com ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Página 108

Tema 03: Concavidad de una Función CONCAVIDAD CONCAVIDAD HACIA ARRIBA Diremos que la gráfica de la función f es cóncava hacia arriba en el intervalo  a, b  , si cumple:

1.

f es derivable sobre  a, b  , y

2.  c   a, b  , la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (c, f (c)) , se encuentra debajo de la gráfica en todo  a, b  .

Y

(c, f (c))

0

a

LT

c

b

X

CONCAVIDAD HACIA ABAJO Diremos que la gráfica de la función f es cóncava hacia a sobre el intervalo  a, b  , si cumple:

1.

f es derivable sobre  a, b  , y

2. c   a, b  , la recta tangente a la gráfica de la función en un punto, se encuentra encima de la gráfica en todo  a, b  .


Página 109

(c, f (c))

a

c

b

CRITERIOS DE CONCAVIDAD Sea f derivable en el intervalo  a, b 

a) Si f ' ' ( x)  0, x   a, b  , entonces la gráfica f es cóncava hacia arriba en  a, b  . b) Si f ' ' ( x)  0; x   a, b  , entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en  a, b  .

Y

Y

f ' ' ( x)  0

f ' ' ( x)  0

f ' ' ( x)  0

f ' ' ( x)  0

a

b

X

a

b

X

CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE CONCAVIDAD POSITIVA Si la derivada segunda de una función f(x) es positiva en el punto a, entonces tiene concavidad positiva en dicho punto.

f''(a)>0 f tiene concavidad positiva en x = a


Página 110

DEMOSTRACIÓN: Existe f''(a) => existe f'(a) => (teorema) f es continua en x=a. Sea g(x) = f(x) - f'(a)(x - a) - f(a) g'(x) = f'(x) - f'(a) g''(x) = f''(x) g''(a) = f''(a) > 0 => por Cond. suf. para el crecimiento puntual g'(x) es creciente en x=a => por def. de crecimiento puntual existe δ>0 / para todo x1 perteneciente a (a δ,a) g'(x) < g'(a) = 0 y para todo x2 perteneciente a (a, a + δ) g'(x) > g'(a) = 0 signo de g'(x): - 0 + -------|------a

=> por Cond. suf. para la existencia de mínimo relativo g presenta un mínimo relativo en x=a.

=> por def. de mínimo relativo existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a g(x) > g(a) = 0. f(x) - f'(a)(x - a) - f(a) > 0 f(x) > f'(a)(x - a) + f(a) => por definición f tiene concavidad positiva en x=a.

CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE CONCAVIDAD NEGATIVA Si la derivada segunda de una función f(x) es negativa en el punto a, entonces tiene concavidad negativa en dicho punto

f''(a) < 0 f tiene concavidad negativa en x=a

La demostración es análoga a la anterior.


Página 111

TEMA Puntos de Inflexión


Página 112

Tema 4: Puntos de Inflexión Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasan de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe. En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura. PUNTOS DE REFLECCION

Se dice que (c, f (c)) , es un punto de inflexión d (c, f (c)) e la gráfica de f si y solo si, la gráfica de f cambia el sentido de concavidad en el punto.

Y

Puntos de inflexión (-)

(-) (+) TEOREMA: VÍNCULOS:

0

X

Si (c, f (c)) , es un punto de inflexión de la gráfica de f , entonces

f ' ' (c)  0 ó f ' ' (c) no existe. Nota.- Lo reciproco del teorema no siempre se cumple.

CÁLCULO DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN EN FUNCIONES REALES DERIVABLES DE VARIABLE REAL En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en las derivadas terceras o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero. ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Página 113

Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Más concretamente: 1. Se halla la primera derivada de 2. Se halla la segunda derivada de 3. Se halla la tercera derivada de 4. Se iguala la segunda derivada a 0: 5. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: . 6. Se halla la imagen de cada

sustituyendo la variable dependiente en la

función. 7. Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada

:

1. Si

, se tiene un punto de inflexión en

2. Si

, debemos sustituir

.

en las sucesivas derivadas

hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que no sea nulo, hay que ver qué derivada es:

1. Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión. 2. Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.

Por ejemplo: La ecuación f(x) = x4 + 2x no tiene puntos de inflexión, porque la derivada segunda es siempre igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad. Sin embargo en x0 = 0 la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en x0 = 0 es la derivada cuarta, que es positiva. Obsérvese que f tampoco presenta un extremo en x0.

REGLA PARA CALCULAR LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Se calcula f ' ' ( x) ,

Se determina los puntos en los cuales f ' ' ( x)  0 ó f ' ' ( x) no existe.


Página 114

Para cada uno de los puntos obtenidos según la parte 2), se averigua si la segunda derivada cambia de signo en una vecindad de dicho punto.

Ejemplo 1.- Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la gráfica de la función

f ( x)  x 4  3 x 3  7 x  5 RESOLUCIÓN

Calculando la primera y segunda derivadas de la función f.

f ' ( x)  4 x 3  9 x 2  7 f ' ' ( x)  12 x 2  18 x

f ' ' ( x)  0  12 x 2  18x  0  6 x(2 x  3)  0

 6x  0 x0

 

2x  3  0 3 x 2

x(2 x  3)  0 +

0

+ 3/2

3 2

3 2

los puntos de inflexión son (0, f (0))  (0,5) y ( ; f ( ) ) cóncava hacia arriba en , 0  y 3 / 2,   cóncava hacia abajo en  0, 3 / 2 


Página 115

Graficar: f(x) = x3 + 9x

Ejemplo 2

En la siguiente tabla se resumen los resultados obtenidos:

x

f (x)

f '(x)

f ''(x)

Conclusión la gráfica de f es cóncava hacia abajo

0

9

0

f tiene un punto de inflexión

+

la gráfica de f es cóncava hacia arriba


Página 116


 matematica.50webs.com/concavidad.html  www.wenceslao.com.mx/matematicas/mat4/matcontextual1.doc  www.dervor.com/.../punto_inflexion.html - España  www.analyzemath.com/.../calculus_questions.html

ACTIVIDADES Y EJERCICIOS Envía tus actividades a través de “Tareas de Aplicación de Derivadas”. 1. Supóngase que la distancia (en pies) recorrida por un automóvil que transita por un camino recto t segundos después de partir del reposo, está dada por la función : f(t) = 2 t2 (

. calcular la velocidad promedio del automóvil en el

período [

]

b) 85 c)

90

d) 95 e) 100 f)

105

2. La gerencia de la compañía de llantas Titán ha determinado que la función de demanda semanal de sus llantas súper Titán está dada por: p = f(x) = 144 – x2, donde p se mide en dólares y x en unidades de millar. Hallar la razón de cambio promedio del precio unitario de una llanta, si la cantidad demandada está entre 5000 y 6000 llantas e indicar también ¿Cuál es la razón de cambio instantánea del precio unitario cuando la cantidad demandada es de 5000 unidades?

a) -10 ; -12

d) -18 y -10

b) -11 ; -10

e)

c)

-11 y -12

-15 y -10


Página 117

3. Un grupo de biólogos marinos del Instituto Oceanográfico Neptuno recomendó llevar a cabo una serie de medidas de conservación durante la próxima década para salvar de la extinción a cierta especie de ballena. Después de implantar dichas medidas, se espera que la población de esta especie sea: N(t) = 3

+ 2 t2 – 10 t + 600

(0

. Donde N(t) denota la población al final del año t. Hallar la tasa de crecimiento de la población de ballenas cuando t = 2 y t = 6 . ¿ Qué tamaño tendrá la población 8 años después de implantar las medidas de conservación?. a) 34 y 338 ; 2184 b) 30 y 330 ; 2184 c)

28 y 84 ; 2184

d) 14 y 204 ; 2184 e) 24 y 148 ; 2180

4. La altitud de un cohete (en pies) t segundos después de iniciar el vuelo está dada por : s= f(t) = -

+ 96 t 2 + 195 t + 5 ( t

.

Calcular la velocidad del cohete cuando t = 30. a) 3255 b) 5200 c) 4255 d) 1456 e) 2358

5. Las ventas ( en millones de dólares ) de una grabación en DVD de una película t años después de su presentación están dadas por : S(t) =

.

¿Con qué rapidez cambian las ventas en el momento de la presentación de los DVD ( t = 0 ) y dos años después de su presentación ?. a) Aumentan por año b) Aumentan por año c) Aumentan por año d) Aumentan por año e) Aumentan por año

a razón de 2 millones por año ; disminuye a razón de 600 000 a razón de 3 millones por año ; disminuye a razón de 600 000 a razón de 4 millones por año ; disminuye a razón de 600 000 a razón de 5 millones por año ; disminuye a razón de 600 000 a razón de 6 millones por año ; disminuye a razón de 600 000


Página 118

AUTOEVALUACIÓN 1) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) = x3 − 3x + 2 a. De crecimiento: (−∞, −1)

(1, ∞)

De decrecimiento: (−1,1)

b. De crecimiento: (−∞, −2)

(1, ∞)


c. De crecimiento: (−∞, −3)

(1, ∞)


d. De crecimiento: (−∞, −4)

(1, ∞)


e. De crecimiento: (−∞, −5)

(1, ∞)


2) Calcular los máximos y mínimos en la función siguiente: f (x) = X3 – 6x2 +9x a. 32 b. 34 c. 38,8 d. 40 e. 42

3) La altitud de un cohete (en pies) t segundos después de iniciar el vuelo está dada por: s = f(t) = -

+ 96 t 2 + 195 t + 5 ( t

. Calcular la

velocidad del cohete cuando t = 30. a. 32 b. 34 c. 38,8 d. 40 e. 42 4) Una compañía de teléfonos halla que obtiene una ganancia líquida de

15 nuevos soles

por aparato

y la central tiene 1000 abonados o

menos. Si hay más de 1000 abonados, dicha ganancia por aparato instalado disminuye un céntimo cada abonado que sobrepasa ese número. ¿Cuántos abonados darán la máxima ganancia líquida? a. 200 b. 1000 c. 1200 d. 1250 e. 1500


Página 119

5)

Un punto se mueve sobre una parábola y2= 12x, de manera que la abscisa

aumenta uniformemente 2cm por segundo. ¿En qué punto

aumenta la abscisa y la ordenada a la misma razón? a. (2,2) b. (2,3) c. (3,6) d. (4,6) e. (6,9)

6)

En cierto instante las tres dimensiones de un ortoedro son 6, 8 y 10 y aumentan respectivamente 0,2, 0,3 y 0,1 por segundo. ¿Cuál es la rapidez de variación del volumen? a. 32 b. 34 c. 38,8 d. 40 e. 42


Página 120

RESUMEN

UNIDAD DE APRENDIZAJE Ii

MAXIMOS Y MINIMOS i) Diremos que una función f tiene un valor máximo absoluto en el punto “c”, si se cumple que

f ( x)  f (c)

x  D f

ii) Diremos que una función f tiene un valor mínimo absoluto en el punto “c” si se cumple que

f (c)  f ( x)

x  D f

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Una función f es creciente , si x1 , x2  D f : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Una función f es decreciente, si x1 , x2  D f : x1  x2  f ( x2 )  f ( x1 ) Una función f es no-decreciente, si x1 , x2  D f Una función f es no-creciente, si x1 , x2  D f

x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

x1  x2  f ( x2 )  f ( x1 )

CONCAVIDAD DE UNA FUNCION CONCACIVADAD HACIA ARRIBA f es cóncava hacia arriba en el intervalo  a, b  , si cumple: 1) 2)

f es derivable sobre  a, b  , y  c   a, b  , la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (c, f (c)) , se encuentra debajo de la gráfica en todo  a, b  .

CONCAVIDAD HACIA ABAJO f es cóncava hacia a sobre el intervalo  a, b  , si cumple:

f es derivable sobre  a, b  , y 2). c   a, b  , la recta tangente a la gráfica de la función en un punto, se encuentra encima de la gráfica en todo  a, b  . 1).

PUNTO DE INFLEXION 1) Se calcula f ' ' ( x) , 2)

Se determina los puntos en los cuales f ' ' ( x)  0 ó f ' ' ( x) no existe.

3) Para cada uno de los puntos obtenidos según la parte 2), se averigua si la segunda derivada cambia de signo en una vecindad de dicho punto.


Página 121

GLOSARIO  ANÁLISIS: Es la parte de las matemáticas que usa los conceptos de sucesión serie y función  CALCULO DIFERENCIAL: Estudia el incremento en las variables; puede ser la distancia recorrida por un objeto en movimiento en un tiempo determinado.

 DERIVADA

: La derivada de una función respecto a una variable es el límite del incremento de la función entre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero.

 FUNCION: Es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). ...

 REGLA DE CADENA : La presente regla se aplica para hallar la derivada de una función compuesta: “Si” “y” es una función diferenciable en u y “u” es diferenciable en x, entonces “y” es diferenciable en x, y se cumple.

 LIMITES : Describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. ...

 CONTINUIDAD: La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.

 DERIVADA : La derivada de una función en un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en la gráfica de la función en dicho punto.


Página 122

FUENTES DE INFORMACIÓN

BIBLIOGRAFÍA: STEWART, James: Cálculo, Conceptos y contextos. Edit. Internacional Thomson Editores, cuarta, 2001 HAASER – LASALLE: Análisis Matemático Vol. I SULLIVAN: Edit. Trillas, séptima MITACC MEZA, Máximo: Tópicos de Cálculo I y II. Editorial Thales 1999. SWOKOWSKI, Earl: Cálculo con geometría analítica. Grupo Editorial Iberoamericana, segunda 1989 LEITHOLD, Louis: El Cálculo, editorial Harla, México 2004. VENERO, Armando: Análisis Matemático I. Editorial Ciencias S.R.L. Lima, 1991. SOO TANG TAN: Matemática Para La Administración Y Economía Tercera , 2005 LEITHOLD LOUIS: Cálculo Para Ciencias Administrativas, Biológicas Y Sociales. Tercera 2005 CLAUDIA NEUHAUSER: Matemática Para Ciencias segunda, 2004 AYRA –LARDNER: Matemática Para Ciencias , cuarta 2004 GEORGE B. THOMAS, JR: Calculo Una Variable , Undécima Edición, 2006 .

ELECTRÓNICAS DERIVADAS http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/default.htm http://www.derivadas.es/ejercicios-primer-nivel.htm http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tabladerivadas.htm

VIDEOS FUNCIONES http://www.youtube.com/watch?v=eIq654T4mcs&feature=related

LIMITES http://www.youtube.com/watch?v=yAB1Z5F0imI&feature=related http://analisismatematico.wordpress.com/ http://www.youtube.com/watch?v=LCjhel91qSU

DERIVADAS http://www.youtube.com/watch?v=ldnKNhU1F0Q&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=i1w_M_PT1kc&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=0cZBxsvkNSI&feature=channel


Página 123

SOLUCIONARIO UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 1 – ACTIVIDADES 1. Halle “p” para que el conjunto de pares ordenados de: f   2;3 ;  1;3 ; 2;P  6  sea función A)

-5

B) - 4

C) - 3

D) 2

E) - 1 RESOLUCIÓN (2; 3) = (2; P + 6) Luego: 3= P + 6 - 3 =P RPTA.: C 2. Halle el rango de la función f definida por: f x  2x  1  x 1 A)  ;   2

1 ;   2

B)  

C)

1 ;  2

1 D) ;   2

1 1 E)   ;   2 2

RESOLUCIÓN 2x-1; x 

1 2

1-2x; x 

1 2

2x  1 =



1-3x; x 

1 2

x- 1; x 

1 2

f x  

Si: x 

1 1 y   2 2

Si: x 

1 1 y   2 2


Página 124



 1 R f    ;   2

RPTA.: B

3. Si f x   x2  2 ; g x   x  a , determinar el valor de “a” de modo que (f o g) (3) =(g o f)(a-1) A) -8

B) -

8 7

7 8

C) 

D)

1 7

E)

1 8

RESOLUCIÓN

 f og3  f  g 3   f 3  a  a2  6a  11

 gof   a  1  g  f  a  1   g  a  1

2

 2 

 gof   a  1  g  f  a  1   a2  a  3 Reemplazando resultados: (fog) (3) = (gof) (a1) a² + 6a + 11 = a²  a+3 

a= 

8 7

RPTA.: B

4. Señale el valor de “n” en la función f ; si f x  x  2  x  3  ... x  n y el dominio es 10;  A) 6

B) 7

C) 9

D) 10

E) 13

RESOLUCIÓN

x2 0 x  2

x3 0 x 3

.

xn 0 x  n Como : n > 2 > 3... Domf  n; 



n = 10

RPTA.: D

5. Halle la suma de los valores enteros del dominio de la función: f x  


x2  3x  4 21 

x2  4

Página 125

A) 0

B) 1

C) - 1

D) 5

E) - 5

RESOLUCIÓN El dominio esta dado por la solución de la inecuación:

x2  3x  4 21  x2  4

0

x2  3x  4  0  x  , 1  4; 



21  x2  4  0  x2  4  21

x2  4  0 x2  25  0

x  ;  2  2;  





x  5,5



Dom f   5; 2  4;5


RPTA.:E

Página 126

UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 1 – AUTOEVALUACION Sean f(x) = x2 – 1 y g(x) = 3x + 5 a) Encontrar (f o g ) ( x ) y el dominio de f o g RESOLUCIÓN ( f o g ) (x) ) = f ( g(x) = f(3x+5) = (3x+5)2 – 1 = 9x2 + 30x + 24 El dominio tanto de f como de g es R, como para cada x en R (el dominio de g) el valor de la función g(x) está en R( el dominio de f), el dominio de f o g también es R b)

Determinar ( g o f ) (x) y el dominio de g o f RESOLUCIÓN

( g o f ) (x) = g ( f(x) = g(x2 – 1 ) = 3 (x2 – 1 ) + 5 = 3x2 + 2 Halle el dominio de la función: A) 2;4

y  f x 

f  x2  6x ; tal que  x

B) 2;6 C) 2;4

D) 2;6

E) 6; 

RESOLUCIÓN x2 0



6x0

x2

x6

x 2;6

RPTA.: B

Señale el valor máximo de la función f, si la regla de correspondencia es:

f x    x  1   x  2   x  3 2

A) - 1

B) - 2

C)- 3

2

D) - 4

2

E) - 5

RESOLUCIÓN Operando:

f x  x2  2x  1 f x  x2  4x  4

f x  x2  6x  9 f x  3 x2  12x  14 a = -3; b = 12; c = - 14


Página 127

fmáx  

 4a

  144  4  3  14

  144  168  24 fmáx   4.

 24 2  3 

 4

RPTA.: D

Si la función parabólica f= (x,y) R / y=ax + bx + c  pasa por los puntos A (1,2); B (-1;12); C (0;4) Calcule  a  b  c  2

A) 1

B) 2

C) 3

2

D) 4

E) 5

RESOLUCIÓN x=0c=4 x = 1  a + b+ 4 = 2 a + b = -2……………….…    x = -1  a-b +4 = 12 a – b = 8……………………   

De    y    a = 3 y b = -5

f x  3x2  5x  4



f1  3  5  4  2

5.

Halle el rango de la función f definida por: f x  2x  1  x

1 A)  ;   2 D) ; 

RPTA.: B

 1 B)   ;    2

1 2 

C)

1 ;  2

 1 1 E)   ;   2 2

RESOLUCIÓN

2x  1 =

2x-1; x 

1 2

1-2x; x 

1 2


Página 128

1-3x; x 



f x   Si: x 



6.

x- 1; x 

1 2

1 2

Si: x 

1 1 y   2 2

1 1 y   2 2

 1 R f    ;   2

RPTA.: B

Dadas las funciones:

; x  1 , 5 ]  3x  5 f ( x)   2 2 x  3x  2 ; x  5 , 7 ] ; x  4 , 0 ]  1 g ( x)   2  3x ; x  0 , 3 ] Calcular: f  3g .

RESOLUCIÓN Para facilitar la comprensión de la operación consideremos: Para f:

f1 ( x)  3x  5 ; D f1  1 , 5]

f 2 ( x)  2 x 2  3x  2 ; D f 2  5 , 7] Para g:

g1 ( x)  1 ; Dg1  4 , 0] g 2 ( x)  2  3x ; D f 2  0 , 3]


Página 129

Ahora:

 ( f1  3g1 )( x)  ( f  3g )( x)  1 2 ( f  3g )( x)    ( f 2  3g1 )( x) ( f 2  3g 2 )( x)

; x  ( D f1  D g1 ) ; x  ( D f1  D g 2 ) ; x  ( D f 2  D g1 ) ; x  ( D f 2  Dg2 )

 f1 ( x)  3g1 ( x)  f ( x)  3g ( x)  2 ( f  3g )( x)   1  f 2 ( x)  3g1 ( x)  f 2 ( x)  3g 2 ( x)

; x  (  1; 5]    4 ; 0] ) ; x  (  1; 5]   0 ; 3] ) ; x  ( 5 ; 7]    4 ; 0] ) ; x  ( 5 ; 7]   0 ; 3] )

 f 1 ( x)  3 g1 ( x)  f ( x)  3 g ( x)  2 ( f  3g )( x)   1  f 2 ( x)  3 g1 ( x)  f 2 ( x)  3g 2 ( x)

; x    1; 0] ; x   0 ; 3] ;  ; 

; x  1 ; 0 ]  (3x  5)  3(1) ( f  3g )( x)   (3x  5)  3(2  3x) ; x  0 ; 3 ]  3x  8 ; x  1 ; 0 ] ( f  3g )( x)   12 x  11 ; x  0 ; 3 ]


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UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 2 – ACTIVIDADES 1.

Calcule el siguiente límite

x3  5x2  3x  3 x 1 3x3  6x2  9x lim

A) 5

B)

1 3

C)

5 6

D)

1 6

E)

6 5

RESOLUCIÓN Factorizando numerador denominador.

 x  1  x2  6x  3 lim x 1 3x  x  1  x  3 x2  6x  3 5  x 1 3x(x  3) 6

RPTA.: C

lim

2.

lim

a ax  x2 a  ax

x a

A) 3a

B) a

C) -a

D) 1

E) a2

RESOLUCIÓN Multiplicando al numerador y denominador por su conjugada se tiene:

lim

a

2

x a

lim



a2  ax   x4  a  ax



 ax a ax  x2



a  a  x  a2  ax  x2

x a







 a 

a  a  x  a ax  x2

ax





= 3a RPTA.: A 3.

Halle el A)

lim x2  4x  x2  x x 



B)

2 3

C)

2 3

D)

3 2

E)

5 7

RESOLUCIÓN lim 2  4     x 


2      

Página 131

Multiplicando la expresión por la conjugada

 x2  4x  x2  x     x2  4x  x2  x   

x lim

2

x 



 

 4x  x2  x

2

2



x  4x  x  x

3x 4 4 x 1 x 1 x x



3 4 1 1  1  



3 2

RPTA.: D

Calcule el siguiente limite:

lim x 

6x  sen2x 2x  3 sen 4x

A) 3

B) 0

C)

6 5

D)

2 7

E)

1 6

RESOLUCIÓN

6x  5 sen2x x lim x 0 2x  3 sen 4x x sen2x x  lim x 0 sen 4x 23 x 6

sen2x x  lim x 0 sen 4x 23 4 4x 62



62 2  2  12 7


RPTA.: D

Página 132

UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 2 – AUTOEVALUACION 2 x 2  3x  2 1. Calcular: lím x 2 x2 RESOLUCION

2 x 2  3x  2 (2 x  1)( x  2) lím  lím  lím (2 x  1)  2(2)  1  5 x 2 x  2 x 2 x2 ( x  2)

2.Calcular: lím x 0

ax  a x

RESOLUCION

lím x 0

a  x  a ( a  x  a) ( a  x)  a 1  lím  x  0 x ( a  x  a) x( a  x  a) 2 a

3. Calcular: lím x 0

x  2x 3x  5 x

RESOLUCION

lím x 0

x  2x x  2 x ( x  2 x )( 3x  5 x )  lím 3x  5 x x0 3x  5 x ( 3x  5 x )( x  2 x ) ( x  2 x)( 3x  5 x ) 1 ( 3  5 ) 3 5   x 0 (3 x  5 x)( x  2 x ) 2 (1  2 ) 2(1  2 )

 lím

4. Calcular : lím

x 1

x3 1  x 1

RESOLUCION

lím x 1

x3 1 ( x  1)( x 2  x  1)  lím  lím ( x 2  x  1)  12  1  1  3 x  1 x 1 x 1 ( x  1) x3  8  x 2 x 4  16

5. Calcular : lím


Página 133

RESOLUCION

6. Halle el valor de lim x 

2x20  3x10  1 4x20  2x5  1

A) 2

B)

1 2

C) -2

D)

3 4

E) 

RESOLUCIÓN

lim x 

Coef de x20 Denominador 

lim  x 

Coef de x20 Númerador 

2 1  4 2 RPTA.: B


Página 134

UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 3 – ACTIVIDADES

ACTIVIDADES Y EJERCICIOS x x x 1. Hallar f ' ( x) , si f ( x)  3  e  e

2

x

RESOLUCION

     '

'

f ' ( x)  3 x  e x  e x

2

x

  3 ln 3  e  x '

x

 f ' ( x)  3 x ln 3  e x  (2 x  1)e x 2. Hallar f ' ( x) , si f ( x) 

x

2

2



'

 x ex

2

x

x

x2 1 ln( x 4  1)

RESOLUCION

f ' ( x) 



( x 2  1) ' ln( x 4  1)  ( x 2  1) ln( x 4  1)

ln( x



4

 1)





'

2



 4 x3  (2 x) ln( x 4  1)  ( x 2  1) 4   x  1 f ' ( x)  2 4 ln ( x  1)

3. Hallar f ' ( x) , si f ( x)  ln (e  7 ) 5

x

x

RESOLUCION  x x '  (e  7 )  f ' ( x)  5 ln 4 (e x  7 x )  x x    e 7 

 e x  7 x ln 7  f ' ( x)  5 ln (e  7 ) x  x  e 7  4

x

x

4. 4.Hallar f ' ( x) , si f(x) = Tanx + Cot(x) RESOLUCION

f(x) = Tanx + Cot(x) f ' ( x)  ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Página 135

5. 5Hallar f ' ( x) , si f(x) = 4 Sen(x) . Cos(x) RESOLUCION

f(x) = 4 Sen(x) . Cos(x) f ' ( x)  4 Sen(x) .

+ 4 Cos(x)

f ' ( x)  4 Sen(x) . f ' ( x)  -4


+ 4 Cos(x) ( Cos(x) ) +4

Página 136

UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 3 – AUTOEVALUACION





1. .Si y  f x  4 hallar y  2

RESOLUCIÓN





donde h x   x  4

y  f x 2  4  y  f hx  y 

2

d  f hx  dx

y   f hx . hx 





y   f  x 2  4 .2 x En la práctica haremos lo siguiente:









Si y  f x  4 , entonces y   f  x 2  4 . x 2  4 2







y  f  x 2  4 . 2x

2. Si f x  

x x 1

 x 1  dy y f  hallar dx  x  2

RESOLUCIÓN Sea z 

x 1 , y  f  z  haciendo x2 dy dy dz  . dx dz dx

dy 3  f z . dx x  22 x 1 dy z 3 dy 3  .   x2 . 2 2 x 1 dx z  1 x  2 dx  1 x  2 x2 dy  x  1   3    dx   3   x  22

   

dy x 1  dx x  22 ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Página 137



 



3 2 3. Si f x  1  g x  3 , hallar f  2 si se sabe que g  2  3

RESOLUCION



 



f x 3  1  g x 2  3 , derivando ambos miembros   f  x3 1 . x3 1  g x2  3 . x2  3















 





f  x 3  1 . 3x 2  g  x 2  3 . 2 x para obtener f  2 , tomamos x  1 luego

f  2.3 1  g  2.2 1 2

2 f  2  g  2.   3   2 f  2   3    2  f (2)  2  3

4. Hallar g 5 si :

f

 x  1  2





x 2  1  6 16 x 2  1 y f x 2  2  g x 2  1

RESOLUCION

f

 x  1  2





x 2  1  6 16 x 2  1

haciendo un cambio de variable

x 2  1  f z   z  6 16 z 2

z

f z   z  6 16 . z









1 3



 f x 2  2  x 2  2  6 16 . x 2  2



 g x 2  1  x 2  2  6 16 x 2  2 ANÁLISIS MATEMÁTICO I



1 3



1 3

Página 138

derivando ambos miembros







1 2 x 2 3 6 16

g  x 2  1 .2 x  2 x  6 16 .





g x2 1  1



3 x2  2



2

 2 x  2

3

3

Para obtener g 5 tomamos x  2

g 5  1 

6

16 4  g 5  3 3 4 3

5. Hallar la derivada de f x  

x x 1

respecto de

x  1 en x  1

RESOLUCION Si z 

x  1 , entonces hallar la derivada de f con respecto a

Es equivalente a hallar

x 1

df dz

Haciendo

df df  dx dz dz dx 1  1 x  2 x      df 2  x 1  x 1   1 dz 2 x 1

df  dz

x 1 x  x  1

2



df dz

 x 1  1        x  12  x    1 x 1

x 1



1 2

UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 4 – ACTIVIDADES ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Página 139

1. Supóngase que la distancia ( en pies ) recorrida por un automóvil que transita por un camino recto t segundos después de partir del reposo, está dada por la función : f(t) = 2 t2 ( [

. calcular la velocidad promedio del automóvil en el período

]

A) 90 Pies

B)

95 Pies

D) 80 Pies

E)

45 Pies

C) 98 Pies

RESOLUCION Para f(t) = 2t2

f (t  h)  f (t ) 2(t  h) 2  2t 2  h h 

2t 2  4th  2h 2  2t 2  4t  2h h

En el período [22,23] , se tiene que t=22 y h=1

VP= 4(22)+2(1) = 90 Pies.

3. La gerencia de la compañía de llantas Titán ha determinado que la función de demanda semanal de sus llantas súper Titán está dada por : p = f(x) = 144 – x2, donde p se mide en dólares y x en unidades de millar. Hallar la razón de cambio promedio del precio unitario de una llanta, si la cantidad demandada está entre 5000 y 6000 llantas e indicar también ¿ Cuál es la razón de cambio instantánea del precio unitario cuando la cantidad demandada es de 5000 unidades ?. A) - 99 000

B) - 12 000

D) - 11 500

E) - 10 000

C) 15 000

RESOLUCION

VP 

f ( x  h)  f ( x) (144  ( x  h) 2 )  (144  x 2 )   2 x  h h h


Página 140

Para hallar la razón de cambio promedio del precio unitario de una llanta cuando la cantidad demandada està entre 5 000

y 6 000 unidades. Se hace x= 5 000 y h

= 1 000 , con lo que se obtiene : -2(5 000) – 1 000 = - 11 000 

La razón de cambio promedio del precio unitario de una llanta si la cantidad demandada es : 5000 La derivada de f , con respecto a x es : f ' ( x)  lím h 0

f ' ( x)  lím h 0

f ( x  h)  f ( x ) h

(144  ( x  h) 2 )  (144  x 2 )  lím  2 x  h  2 x h 0 h

Entonces : -2(5 000) = -10 000

4. Un grupo de biólogos marinos del Instituto Oceanográfico Neptuno recomendó llevar a cabo una serie de medidas de conservación durante la próxima década para salvar de la extinción a cierta especie de ballena. Después de implantar dichas medidas, se espera que la población de esta especie sea : N(t) = 3 600 ( 0

+ 2 t2 – 10 t +

. Donde N(t) denota la población al final del año t. Hallar la tasa

de crecimiento de la población de ballenas cuando t = 2 y t = 6 . ¿ Qué tamaño tendrá la población 8 años después de implantar las medidas de conservación ? . A) 2 164 ballenas B)

2 284 ballenas C) 2 154 ballenas

D) 2 166 ballenas E)

2184 ballenas

RESOLUCION La tasa de crecimiento de la población de ballenas en cualquier instante t , está dada por : Siendo : N(t) = 3

+ 2 t2 – 10 t + 600

En particular , cuando t = 2 y t = 6, tenemos : = 34 = 338 De modo que la tasa de crecimiento de la población de ballenas será de 34 ejemplares por año dentro de dos años y 338 por año después de 6 años. La población de ballenas al final del octavo mes será: = 2 184 ballenas ANÁLISIS MATEMÁTICO I

Página 141

5. Las ventas (en millones de dólares) de una grabación en DVD de una película t años después de su presentación están dadas por S(t) =

. ¿ Con qué rapidez cambian

las ventas en el momento de la presentación de los DVD ( t = 0 ) y dos años después de su presentación ?.

a) Aumentan a razón de 2 millones por año ; disminuye a razón de 600 000 por año b) Aumentan a razón de 3 millones por año ; disminuye a razón de 600 000 por año c) Aumentan a razón de 4 millones por año ; disminuye a razón de 600 000 por año d) Aumentan a razón de 5 millones por año ; disminuye a razón de 600 000 por año e) Aumentan a razón de 6 millones por año ; disminuye a razón de 600 000 por año RESOLUCION La razón con la cual cambian las ventas en el instante t, está dada por Siendo : S(t) =

La razón con que cambian las ventas en el momento del lanzamiento del DVD está dada por : Es decir, aumentan a razón de 5 millones por año.

Es decir disminuyen a razón de 600 000 por año.


Página 142

UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 4 – AUTOEVALUACION 1. Cálcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) = x3 − 3x + 2 a) De crecimiento: (−∞, −1)

(1, ∞)


b) De crecimiento: (−∞, −2)

(1, ∞)


c) De crecimiento: (−∞, −3)

(1, ∞)


d) De crecimiento: (−∞, −4)

(1, ∞)


e) De crecimiento: (−∞, −5)

(1, ∞)


RESOLUCION Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos: PRIMERO. Derivar la función. f '(x) = 3x2 −3 SEGUNDO. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0. 3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1 TERCERO . Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)

CUARTO. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera. Si f'(x) > 0 es creciente. Si f'(x) < 0 es decreciente. Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo. f ' (-2) = 3(-2)2 −3 > 0


Página 143

Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.

f ' (0) = 3(0)2 −3 < 0

Del intervalo ( 1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo.

f ' (2) = 3(2)2 −3 > 0

QUINTO. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento: De crecimiento: (−∞, −1)

(1, ∞)


Rpta.: A

2. Calcular los máximos y mínimos de cada la función siguiente: f (x) = X3 – 6x2 +9x A) 4 - 1

B) 3 - 4

D) 4 - 0

E) 4 - 2

C) 8 - 8

RESOLUCION 1ER PASO: Cólculo de la derivada: f (x) = 3x2 – 12 x + 9 2d0 PASO:

f (x) = 0

3x2 – 12 x + 9 = 0 Efectuando: x= 1 y x = 3 que son los puntos críticos 3ER PASO: A) x 1 entonces f (x) es + 1 x  3 entonces f(x) es B) 1 x  3,

f (x) es - +

X3 Luego: La función tiene un máximo y mínimo Máx. = 4 , para x= 1 Mín. = 0 , para x = 3 Rpta: B


Página 144

3.

La altitud de un cohete (en pies) t segundos después de iniciar el vuelo

dada por : s = f(t) = -

+ 96 t 2 + 195 t + 5 ( t

está

. Calcular la velocidad del cohete

cuando t = 30. A) 3200

B) 3400

D) 400

E) 420

C) 3255

RESOLUCION La velocidad del cohete en cualquier instante t está dada por : -3t2 + 192t + 195

V=

La velocidad del cohete cuando t = 30 -3(30)2 + 192(30) + 195 = 3255 Rpta.: C 4.

Una compañía de teléfonos halla que obtiene una ganancia líquida

de 15 nuevos soles por aparato y la central tiene 1000 abonados o menos. Si hay más de 1000 abonados, dicha ganancia por aparato instalado disminuye un céntimo cada abonado que sobrepasa ese número.¿ Cuántos abonados darán la máxima ganancia líquida? A)200 B) 1000 C) 1200 D) 1250 E) 1500

RESOLUCION Sea “a” número de abonados

A) La ganancia bruta será: 15a B) Número de abonados que sobresa los mil : (a - 100099) C) Entonces al disminución unitaria es (0,01)(a – 1000) La disminución total es (o.o1)(a—1000) Ganancia líquida; 15a - (0.01 a)(a – 1000) Derivando respecto a “a” e igualando a cero: 15 – 0.01a(a-1000) = 0 Entonces : a= 1250


Rpta: D

Página 145

5. Un punto se mueve sobre una parábola y2= 12x, de manera que la abscisa aumenta uniformemente 2cm por segundo. ¿En que punto aumenta la abcisa y la ordenada a la misma razón? A) (2,2)

B) (2,3)

D) (4,6)

E) (6,9)

C) (3,6)

RESOLUCION Derivando y2= 12x, se tiene: 2y = 12 Y=6 Reemplazando en la ecuación se tiene: x = 3 Luego el punto es: (3,6)

6.

En cierto instante las tres dimensiones de un ortoedro son 6, 8 y 10 y

aumentan respectivamente 0,2, 0,3 y 0,1 por segundo. ¿Cual es la rapidez variación del volumen? A) 32

B) 34

D) 40

E) 42

de

C) 38,8

RESOLUCION

VOLUMEN= X. Y. Z

Z

Derivando respecto al tiempo

X

Y

dV xy(0,1) +yz(0,3) + zc(0,2) dt Reemplazando valores: (6)(8)(0.1) + (8)(10)(0,2) + Dv = 38,8

0,2(6)(8) Rpta: C

dt


Página 146

Análisis-Matemático-I.pdf

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