ANALISIS-MATEMATICO-2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA ANÁLISIS MATEMÁTICO II Escuela Académico Profesioal de I!eier"a Ci#il %oracio Ur&ea!a 'ecerra

I!$

AREAS DE RE(IONES PLANAS EN COORDENADAS RECTAN(UARES ①. Hallar el área de la región comprendida entre la gráfca de la unción 2 f ( ( x )= Sen ( x ) , el eje x y las rectas x=0 y x= π

Solución 1.!ráfca de la región " f ( ( x )= Sen ( x ) 2

2

¿ . #rea de la región "$ #%"

( x ) } R= { ( x x , y ) ; 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ f (

dA = f ( ( x ) dx→ A ( R R ) = f ( ( x x ) dx

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA ANÁLISIS MATEMÁTICO II Escuela Académico Profesioal de I!eier"a Ci#il %oracio Ur&ea!a 'ecerra π

#%"=

∫ Sen ( x ) dx 2

π

=

0

#%"=

1 2

2

x ∫ ( 1 −cos2 )dx 2 o

π

∫ ( 1−cos2 x ) dx

1

#%"=

1

=

2

0

[

I!$

[− x

Sen 2 x

2 0 ( π − Sen π )−(0 − Sen x ) 2

2

1

#%"=

#%"=

2

π 2

2

]

π

0

]

[ π −0− 0 + 0 ] unid

2

&. Hallar el área de la región comprendida entre la gráfca de la unción f ( x ) =( x + 2 )( x − 3 ) = x 2− x −6

1.!ráfca de la región "

"= { ( x , y ) /− 2 ≤ x ≤ 3 → f ( x ) ≤ y ≤ 0 } f ( x )=( x + 2 )( x −3 ) = x 2− x −6

'.(rea de la región "


I!$

x (¿¿ 2− x −6 )dx 3

∫¿

dA =−f ( x ) d x → A ( R )=−

−2

#%"=

[

x

3

3

x

]

3

2

− −6 x 2

−2

3

¿ ¿ ¿2 ¿ #%"= = (3 ) −¿ 3

[

9

8

2

3

− −18 + −2 + 12

9

]

3

¿ 125

#%"=

6

unid

2

). *na +iga de concreto de sección +ariale, cuyas dimensiones se dan en metros y su sección longitudinal se muestra en la fgura, tiene un anc-o de ' metros. a.Hallar el área de la sección longitudinal .alcular el +olumen de concreto de la +iga c./l peso de la +iga, si el peso especfco del concreto es de

2400 Kg

3

/m


Solución 1.!ráfca de la región " y =

y =

1 3

1 3

( √ 5 − x ) ( √ 5 − x )

x =−5.5 x = 5.5 y =2

'.(rea de la región "

5

∫

d ( A )= ydx → A ( R ) =2 ydx 0

5

#%"=

∫ 13 ( √ 5 − x ) dx

2

0

I!$


−2

#%"=

[ ] 1

2

#%"= − 3

3

( 5− X ) 1 2

2

I!$

5

∫ (5− x ) / dx 1 2

0

5

+1

[

/ −2 ( 5− x ) → #%"= 3 3 /2

+1

3 2

0

0

[ [

/ ( 5− 0 ) / −2 ( 5−5 ) − #%"= 3 3/ 2 3 /2

]

5

−2

#%"=

3

3 2

(5 ) / 0− 3/ 2

3 2

[ ]

3 2

]

]

3

−2 −( 5 )

#%"=

3

2

3

→ A ( R )=

20 9

√ 5 m

2

2

.(rea de la región longitudinal de la +iga #%" 5 2

#%"= %11 %1 m 2%

20 9

√ ¿ ¿ m = 2

−20 √ 5

99

9

2 #%"=3.0 m

4.5olumen del concreto de la +iga$ 5 2

5= #%".'=

9

( 99−20 √ 5 )m

3 5=1.4 m

6.7eso de la +iga$ 7 2

7= γV =

9

( 99−20 √ 5 )m (2400

Kg )¿ 3 m

7='8948.31 :g

3

3

m

2


I!$ 2

;.
2

y = x 3 2x y

ʼ

2

−1

= x −1

yʼ =

3

3

2 1

x 3

−1

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y = ʼ

−3 x

2

3

1

x 3 1

3

y

ʼ

2

( x − ) 3

3

=

1

3 x

3

1

( x − 2 ) 3

3

yʼ =

1

x 3

y =0 ʼ

( )= 1

x 3 − 1

2 3

0

x 3 x =0 ˅ x =

2

¿ . #rea de la región "

8 27

I!$


I!$

"= R1 U R2 → #%"= AR 1− AR2 d ( A1 )¿ = ydx ⋀ d ( A 2) − Ydx 1

3

∫

∫

A R1= ydx ⋀ A R 2=− ydx −1

1

x x

¿ 2 (¿ − x ¿ ) dx 3

¿

# R1 =

3

2

(¿ ¿ − x ) dx ⋀ A R =−∫ ¿ 2

3

1 1

∫¿ −1

# R1 =

#%"=

6 5

2

unid =1.2 unid

1.2 unid

2

2

2

⋀ A

R2=0.85 unid

+ 0.85 unid =2.05 unid

2

2

. /l +olumen del sólido de re+olución cuando la región " rota alrededor de la recta x=$ 5


I!$

V = V 1+ V 2 d V 1=2 π ( 3− x ) ydx ⋀

d V 2=2 π ( 3 − x ) (− y ) dx

1

3

∫ 2 π ( 3 − x ) ydx ⋀

∫ ( 3− x ) ( y ) dx

V 1=

V 2=−2 π

−1

1

1

2

3

V 2=−2 π

−1

[(

V 1=2 π

2

∫ ( 3− x ) ( x

∫ ( 3 − x )( x − x ) dx ⋀

V 1=2 π

3

3

− x )dx

1

2

3 x

2

−3 x − x + x

3

3

[(

V 1=2 π

2

3 x

3

)]

1

5

−1 →

5 2

)(

2

−3 x − x + x − 3 x −3 x − x + x 3

3

)]

1

5 3

2

−1 →

1

(

2

5

(

2

¿ ¿ 2

5 2

( ) −3 (1 )−(¿ +( 1) ¿ )− 3 (−1 ) −3 (−1 )−(−1 ) +(−1)

3 1

3

3

3

3

V 1=2 π ¿ V 1 =

V 2=−2 π

[(

128 π 15

=26.8 unid

2

3 x

[(

V 2=−2 π

3

−3 x − x + x

3 x

3

3

3

)]

3

5

2

)]

2

→

1

5 2

)(

2

−3 x − x + x − 3 x −3 x − x + x 3

3

)]

3

5 3

2

→

1

3

(

¿ ¿ 3

5

2

(

2

5

(¿ −3 ( 3 )−( 3 ) +( 3 ) ¿ )− 3 ( 1 ) −3 ( 1 )−(1 ) +( 1) 3

3

2

V 2=−2 π ¿ V 2 =

3.4 unid

3

3

3

2

)]

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA ANÁLISIS MATEMÁTICO II Escuela Académico Profesioal de I!eier"a Ci#il %oracio Ur&ea!a 'ecerra V =30.2 unid

I!$

3

4.5olumen del sólido de re+olución cuando la región " rota alrededor de la recta x=2'$ +

V = V 1+ V 2

d V 1=2 π ( 2 + x ) ydx ⋀

d V 2=2 π ( 2 + x ) (− y ) dx

1

3

∫ 2 π ( 2 + x ) ydx ⋀

∫ ( 2 + x ) ( y ) dx

V 1=

V 2=−2 π

−1

1

1

2

∫ ( 2 + x ) ( x

V 1=2 π

3

3

∫ ( 2 + x ) ( x

− x ) dx ⋀

V 2=−2 π

−1

[(

V 1=2 π

2 3

− x ) dx

1

2

2 x

3

)]

1

5

−2 x + x − x 3

2

−1 →

[( ( ) − ( )+( ) −( ) )−( (− ) − (− )+(− ) −(− ) )]

V 1=2 π

V 1 =

2 1

52 π 15

[(

V 2=−2 π

V 2=−2 π

2

5

3

3

2 1

=10.9 unid

1

3

1

2

1

5

3

2

1

1

3

1

3

2

2 x

2

2

)] → 3

5

−2 x + x − x 3

2

1

[( ( ) − ( )+( ) −( ) )−( ( ) − ( )+( ) −( ) )] 2 3

2

5

3

3

2 3

3

2

3

2

2 1

3

5

2 1

1

3

1

2

2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA ANÁLISIS MATEMÁTICO II Escuela Académico Profesioal de I!eier"a Ci#il %oracio Ur&ea!a 'ecerra V 2 =

23.5 unid

V =34.4 unid

I!$

3

3

6.5olumen del sólido de re+olución cuando la región " rota alrededor de la recta y=21$ +

V = V 1+ V 2 y + 1

¿ ¿

¿ dx ⋀ d V = π ¿

[

2

]

d V 2= π 1 −( y + 1 ) dx

1

y + 1

¿ ¿

¿ dx ¿ ¿

3

∫ [ ( y +1) − 1 ] dx 2

V 2=−π

1 1

∫¿

V 1= π

−1


+1

2

2

x

I!$

− x ¿ ¿ ¿ dx ¿ ¿

3

1

∫¿

V 1= π

−1

x 3 − x + 1

¿ ¿

¿ dx ¿

3

∫

V 2=−π ¿ 1

+1 2

x 3 − x ¿

¿ ¿ ¿ ¿ = V π ¿ 1

+1 2

(1 ) −(1 )¿ +1 3

2

(−1 ) −(−1)¿ (¿ ¿ 2 −1) (¿¿ 2−1 )−¿ ¿ V = π ¿ 3

1

V 1 =

412 π 105

+1 2

x 3 − x ¿

¿ ¿ ¿ ¿ V =−π ¿ 2

=12.33 unid

3


(3) ¿ +1 +1 2

( 1 ) −(1 )¿ (¿¿ 2−1 ) 3

2

(¿ −(3 )¿¿¿ 2−1 )−¿ 3 ¿ ¿ V =−π ¿ 2

V 2 = V =16.08 unid

3

3.76 unid

3

I!$

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