ANÁLISE E E DE CISÃO DE INVESTIMENTOS DE INVESTIMENTOS DE CISÃO INVESTIMENTOS
JACKSON CIRO SANDRINI JACKSON
ANÁLISE E DECISÃO DE INVESTIMENTOS Jackson Ciro Sandrini
SUMÁRIO
TAXAS - RUDIMENTOS Classificação: Quanto ao regime de capitalização: simples e composto Quanto ao capital inicial como base de cálculo: nominal, efetiva e real Quanto à forma de apresentação: nominal e efetiva Equivalência e proporcionalidade de taxas Considerações adicionais
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Montante Juros efetivos e reais Desconto racional. Equivalência de capitais diferidos
SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS – RENDAS CERTAS Série postecipada, antecipada e diferida. Valor futuro e valor presente. Número de parcelas: carência e período singular Série de pagamentos variáveis: fluxos não uniformes Equivalência de Fluxos de Caixa e de Pagamentos Cálculo e análise de taxas: fórmula prática, interpolação linear e funções financeiras.
MÉTODOS DETERMINÍSTICOS PARA ANÁLISE E DECISÀO DE INVESTIMENTOS Exatos Tempo de Recuperação do Investimento I nvestimento Valor Presente Líquido Valor Anual Uniforme Equivalente Taxa interna de retorno Índice Benefício/Custo Consistência dos Resultados Ajuste do IBC: homogeneização dos investimentos Ajuste da TIR: Projeto combinado e Ponto de Fisher ALTERNATIVAS COM VIDAS DIFERENTES •
Com ou Sem Repetição
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IMPACTOS DA DEPRECIAÇÃO E DO IMPOSTO DE RENDA •
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Depreciação Contábil e Real Imposto de Renda Recursos próprios Alternativas Financiadas
ANÁLISE DE MÚLTIPLAS ALTERNATIVAS •
Projetos Combinados Análise Incremental Restrição Orçamentária
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RISCO E INCERTEZA Sob Condição de Incerteza Análise de Sensibilidade •
Sob Condições de Risco Modelo algébrico Modelos Probabilísticos: Probabilísticos: variável aleatória – Excel
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BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. Atlas, 1997. FARO, Clóvis de. Matemática Financeira. Atlas, 1997. MATHIAS e GOMES, Washington Franco e José Maria. Matemática Financeira. Atlas, 1997. PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Matemática Financeira Objetiva e aplicada. aplicada. LTC Editora,1995. VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Financeira. Atlas, 1997. VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. Atlas, 1997. 1997 . BIBLIOGRAFIA OBRIGATÓRIA CASAROTTO FILHO e KOPITTKE, Nelson e Bruno Harmut. Análise de investimentos. Atlas, 1996. SOUZA e CLEMENTE, Alceu e Ademir. Decisões Financeiras e Análise de Investimentos. Atlas, 1997.
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TAXAS - CLASSIFICAÇÃO
QUANTO AO REGIME DE CAPITALIZAÇÃO
a) SIMPLES Quando o total de juros é resultante da incidência da taxa somente sobre o capital inicial (data zero), ou seja, a taxa incide sempre sobre a mesma base. Portanto, a capitalização simples exige um único período de capitalização, ou seja, a taxa incide sobre o capital na data zero, única data em que um valor não contém juro. b)
COMPOSTA Quando o total dos juros é resultante da incidência da taxa não somente sobre o capital inicial, mas também sobre os juros formados nos períodos anteriores, ou seja, os juros, ao incorporarem-se ao capital, fazem as vezes do capital no período seguinte. Portanto, a capitalização composta exige mais de um período de capitalização: a taxa incide sobre o capital remanescente [montante]. A caracterização de juros sobre juros se dá pelo surgimento do fator (1+i) n ou in, c/ n>1.
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QUANTO AO CAPITAL INICIAL COMO BASE DE CÁLCULO
a) NOMINAL Quando o valor do capital inicial, utilizado como base de cálculo, não representa o valor efetivame efetivamente nte ou recebido recebido pelo cliente ou desencaix desencaixado ado pela instituição instituição financeir financeira. a. Não considera o fluxo de caixa. b) EFETIVA Quando utilizamos, para efeito de cálculo da taxa, o valor efetivamente desencaixado ou recebido. Considera o fluxo efetivo de caixa. 01. Se uma pessoa solicita um empréstimo de 100.000, por 03 meses, em um banco que cobra juros simples antecipados de 10% ao mês, determinar a taxa nominal e efetiva, no período, para o tomador.
02. Uma pessoa solicita um empréstimo de 100.000, para liquidar no final de 03 meses, com pagamento pagamento único de 125.000. Sabendo-se Sabendo-se que o Banco vincula vincula 10% do empréstim empréstimo, o, como reciprocidade, determinar a taxa efetiva no período, para o tomador.
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03. Um agiota empresta 100.000, para receber 125.000, no final de 03 meses. Sabendo-se que paga, no ato, comissão de 5% do empréstimo, a um intermediário, determinar a taxa efetiva, no período, para o agiota.
04. Um cliente aplicou 100.000, em prazo fixo, e obteve, no final do período, um rendimento de 20.000. Sabendo-se que pagou - por fora e no ato - um IR de 4.000, pergunta-se: •
Qual a taxa efetiva para o banco?
•
Qual a taxa efetiva para o cliente?
•
Qual a taxa efetiva para o cliente, se o IR fosse no resgate?
c) REAL Quando há inflação, temos que distinguir - na taxa efetiva - duas componentes: uma em razão da inflação e outra à parcela de juros realmente paga/recebida. Portanto, taxa real é a taxa realmente paga/recebida, depois de eliminados os efeitos inflacionários. inflacionários. 05. Uma pessoa aplicou 1,00 e resgatou 1,50, três meses após. Admitindo-se uma inflação de 40% no período, determinar as taxas efetiva e real nesse período.
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•
Há uma tendência generalizada de se obter a taxa real simplesmente subtraindo a taxa de inflação da taxa efetiva, o que é um lamentável e significativo equívoco.
06. Uma pessoa aplicou 10.000 e resgatou 16.500, após 06 meses. Sabendo-se que a inflação, nesse período, comportou-se conforme a variação das UFIRs abaixo, determinar a taxa real no período. UFIR (0) UFIR (6)
0,5432 0,9611
07. Certo banco cobra em seus empréstimos em conta corrente (conta garantida ou conta devedora) taxa idêntica à variação da TR, mais juros de 3% ao mês. Determinar a taxa efetiva mensal paga por um cliente, considerando que a variação da TR tem se mantido em torno de 0,7% ao mês.
08. Qual das alternativas seguintes é a mais atraente para um investidor, considerando-se o prazo de aplicação de 01 ano: Aplicar a taxa efetiva de 20% ao ano (prefixada)? • • Aplicar a taxa real de 12% ao ano (pós-fixada)?
PROPORCIONALIDADE E EQUIVALÊNCIA DE TAXAS •
TAXAS PROPORCIONAIS
Taxas utilizadas somente para capitalização simples e são assim chamadas por formarem proporção com os tempos a que elas se referem. 09. Determinar a taxa proporcional: 5% ao mês 21% 21% ao trim trimes estr tree 120% ao ano 36% 36% ao seme semest stre re
% ao semestre % ao mês mês % ao quadrimestre % ao bime bimest stre re 6
12% ao mês •
% em 5 dias
TAXAS EQUIVALENTES Taxas definidas em períodos de capitalização diferentes que, após um determinado tempo comum, proporcionam o mesmo juro, conseqüentemente, o mesmo montante.
OBS: Pela definição, concluímos que o conceito é válido para os dois regimes de capitalização. Como a grand grandee maior maioria ia dos aut autore oress e o mercad mercadoo em geral, geral, ao menci menciona onarem rem taxas taxas equiva equivalen lentes tes refere referem-s m-se, e, implicitamente, implicitamente, à capitalização composta, adotaremos procedimento idêntico.
10. Determinar o montante de juros compostos de uma aplicação de 200.000, por um ano: • à taxa de 40% ao semestre • à taxa de 96% ao ano
11. Determinar a taxa anual equivalente a 5% ao mês.
12. A Poupança, no passado, rendeu 240% ao ano. Quanto rendeu, em média , ao mês?
13. Determinar a taxa em 187 dias, equivalente a 35% ao ano.
14. Determinar a taxa mensal equivalente a 12% em 72 dias.
•
QUANTO À FORMA DE APRESENTAÇÃO
Existe, também, a classificação de taxa nominal e efetiva, em função da divisão de certo período, em subdivisões de períodos de capitalização. TAXA EFETIVA 7
Quando o período a que se refere a taxa coincide com o período de capitalização dos juros. É essa taxa que devemos utilizar para efeito de cálculo dos juros compostos, ou qualquer outra sua equivalente. Exemplo: 80% ao ano, capitalização anual. 40% ao trimestre, capitalização trimestral.
OBS: Quando o período de capitalização não é mencionado, subentendemos e está implícito que ele é coincidente com o período da taxa, razão da omissão. Portanto, a taxa é efetiva .
TAXA NOMINAL
Quando o período a que se refere a taxa não coincide com o período da capitalização dos juros. Essa não nos interessa para efeito de cálculos, servindo apenas como referência. Sendo assim, prev previam iament ente, e, transf transform ormamoamo-la la em efeti efetiva, va, determ determina inando ndo a sua proporcional, em períod períodoo coincidente com o período da capitalização, para depois utilizá-la no cálculo, ou qualquer outra o utra sua equivalente. Exemplo: 24% ao ano, capitalização mensal. 9% ao trimestre, capitalização mensal.
15. A poupança remunera juros anuais de 6%, capitalizados mensalmente. Qual a taxa efetiva mensal e anual?
16. O que é mais interessante ao tomarmos dinheiro emprestado: a) 36% ao ano, capitalização mensal. b) 40% ao ano.
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO: É o lapso de tempo que se deve aguardar para que haja juro que, juntamente com o capital, passa a render no período seguinte. Por exemplo, o período de capitalização da poupança é mensal. MONTANTE Soma do capital e seus respectivos juros, acumulados periodicamente. É composto, como vimos, quand quandoo a taxa taxa inci incide de não some soment ntee sobr sobree o capi capita tall inic inicia ial, l, mas mas tamb também ém sobr sobree os juro juross acumulados nos períodos anteriores. 8
17. Determinar Determinar o montante montante de uma aplicação aplicação de 50.000, a juros compostos de 10% ao mês, durante 03 meses.
18. Determinar o montante, utilizando as taxas efetivas mensal e anual, no caso de uma aplicação de 200.000, durante 36 meses, a juros de 60% 6 0% ao ano, capitalizados anualmente. anualmente.
19. Determinar o montante, utilizando as taxas efetivas mensal e anual, no caso de uma aplicação de 200.000, durante 03 anos, a juros de 60% ao ano, capitalizados mensalmente. mensalmente.
20. Determinar os montantes de (0 a 12), (1 a 5), (3 a 9) e (4 a 11) , , na hipótese de uma aplicação de 5.000 em Caderneta de Poupança, a juros reais de 6% ao ano, capitalizados mensalmente. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
TR 1.14% 0.98% 0.87% 0.76% 0.87% 0.55% 0.41% 0.38% 0.43% 0.55% 0.40% 0.42% 0,23%
FATOR
JUROS COMPOSTOS É a diferença entre o montante e o capital. É o mesmo que renda ou rendimento. 9
21. Determinar os juros de um empréstimo de 300.000, por 186 dias, à taxa de 24% ao ano, além da correção monetária de 1,6% ao mês.
22. Com base no exercício anterior, determinar apenas os juros reais.
DESCONTO COMPOSTO Diferença entre o valor nominal e o valor atual de um título. É racional quando a taxa incide sobre o valor atual do título, como é o caso do desconto composto. Portanto, o desconto composto = juro composto e, havendo equivalência em uma determinada data, essa equivalência vai prevalecer em qualquer outra data. 23. Sabendo-se que um título de 40.000 será descontado 20 meses do seu vencimento, a juros de 5% 5% ao mês, determinar o valor atual e o desconto.
24.Um título de 50.000 foi liquidado por 46.243,58. Se a taxa foi de 25% ao semestre, determinar quantos dias antes do vencimento ocorreu a operação.
25. Uma letra de 50.000 foi adquirida por 40.000, estando a 145 dias de seu vencimento. Decorridos 80 dias, por quanto deverá ser revendida para que não haja prejuízo?
26. Uma empresa obteve um empréstimo de 200.000, por 60 dias, à taxa de 10% ao mês. Passados 30 dias, decide resgatar a dívida. Sabendo que foi negociada uma taxa de 5% ao mês para a renegociação, determinar o valor do pagamento e a taxa efetiva mensal paga pela empresa.
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SÉRIE UNIFORME Quando depositamos periodicamente determinada quantia, para armazenar um capital em data data futu futura ra,, have haverá rá um proc proces esso so de capi capita tali liza zaçã ção. o. Entr Entret etan anto to,, quan quando do paga pagamo moss periodicamente determinada quantia, para resgatar uma dívida, o processo é de amortização. A essa sucessão de depósitos ou pagamentos, para formar ou amortizar um capital, damos o nome de série, renda ou, ainda, anuidade. São UNIFORMES ou CERTAS aquelas em que o número, prazos e valores dos pagamentos são previamente conhecidos. Considerando-se que na Matemática Financeira as séries têm classificação bastante ampla, visando atender às nossas necessidades necessidades de enfoque apenas financeiro, financeiro, vamos desenvolvê-las com as seguintes características: Os perí períod odos os de ocor ocorrê rênc ncia ia dos dos flux fluxos os de paga pagame ment ntos os/r /rec eceb ebim imen ento toss são são postecipados, antecipados ou diferidos; A diferença de prazo entre cada termo e o seguinte ou o anterior, é constante, ou • seja, os intervalos entre as parcelas do fluxo são periódicos; O nº. de parcelas do fluxo é finito: o prazo do fluxo é conhecido antecipadamente; • • Os valores das parcelas que compõem o fluxo são constantes. •
•
SÉRIE POSTECIPADA Quando o primeiro pagamento/recebimento ocorre no final ( END ) do primeiro período e assim sucessivamente. Se a série possui n termos, o vencimento do último dar-se-á no final de n períodos.
•
SÉRIE ANTECIPADA Quando Quando o primei primeiro ro pagame pagamento nto/re /rece cebim biment entoo ocorre ocorre no início início ( BEGIN ) do prim primei eiro ro período e assim sucessivamente. Se a série possui n termos , o vencimento do último dar se-á no final de n-1 períodos.
•
SÉRIE DIFERIDA Quando o primeiro pagamento/recebimento ocorre após o final do primeiro período. Dependerá da carência ( m ): o 1º pagamento acontecerá acontecerá no período carência carência mais um.
MONTANTE DE POSTECIPADA O montante da série postecipada ocorre na mesma data do último depósito/pagamento. 27. Determinar o montante no final no final do do quinto mês, de uma série de cinco depósitos mensais, iguais e consecutivos, no valor de 5.000 cada, à taxa de 10% 1 0% ao mês.
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28. Quanto Quanto devo depositar, depositar, trimestralme trimestralmente, nte, para poder resgatar resgatar US$ 20.000, após 4 anos, ou seja, logo após o 16º depósito, se a taxa será de 12% ao ano, capitalização trimestral?
29. Ao vendermos um imóvel, receberemos 2.000 por mês, durante 5 anos. Se, paralelamente, aplicarmos à taxa média de 5% ao mês, determinar o saldo acumulado, logo após o sexagésimo depósito. E se dobrarmos a taxa, qual será o montante?
MONTANTE DE ANTECIPADA O montante da série antecipada ocorre um período após o último depósito/pagamento. 30. Determinar o montante no início do 6º mês, resultante de uma série de cinco aplicações mensais, iguais e consecutivas no valor de 5.000 cada, com a primeira sendo depositada hoje, à taxa de 10% ao mês.
31. Determinar o montante, 93 dias após o último depósito, de uma série de 8 depósitos mensais e iguais a 4.000, primeiro no ato, a juros de 3% ao mês.
32. Determinar o valor futuro, logo após o último depósito, resultante de 12 depósitos mensais, à taxa de 3% ao mês, sendo os cinco primeiros de 4.000 e os restantes de 7.000 cada, sabendo-se que o 1º depósito será efetuado hoje.
VALOR ATUAL DE POSTECIPADA O valor atual ocorre 01 período antes do 1º pagamento ou a 1ª parcela é paga no final do 1º período. 12
33. Ao financiar um automóvel, pagarei 12 parcelas mensais e iguais a 2.000. Sabendo-se que a financeira cobra juros de 5% ao mês, qual o preço a vista?
34. Que carro poderei comprar, a juros de 4% ao mês, se pretendo pagar no máximo 18 prestações mensais e iguais a 2.000, e a concessionária exige uma entrada de 20%?
VALOR ATUAL DE ANTECIPADA O valor atual ocorre na mesma data do 1º pagamento ou a 1ª parcela é paga no ato, como entrada. 35. Determinar o preço à vista de um celular, financiado em 12 prestações mensais e iguais a 90, se a taxa real de juros é de 2% ao a o mês e a 1ª prestação será dada como entrada.
36. Uma compra de 5.000 será liquidada em 6 prestações mensais e iguais, a juros de 2% ao mês, além da variação do IGPM . Qual o valor das prestações, se a 1ª será paga no ato? IGPM 1 IGPM2 IGPM 3 IGPM4 IGPM 5 IGPM6 IGPM7
0,28%
PGTO1
0,43% 0,61%
PG T O 2 PGTO3
0,49% 0,77%
PG T O 4 PGTO5
0,58% 0,46%
PGTO6
37. Uma dívida de 60.000 será liquidada em parcelas mensais e iguais a 7.000, primeira no ato. Se a taxa for de 6% ao mês, determinar o número de parcelas e o valor do pagamento se for o caso ), um período após a última parcela. residual ( se
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38. Se um investimento de 20.000, a juros de 18% ao ano [365 dias], gerou retornos conforme quadro abaixo, determinar o valor presente líquido. Data Datas s 07/04/08 12/0 12/05/ 5/08 08 09/0 09/06/ 6/08 08 11/0 11/08/ 8/08 08 15/0 15/09/ 9/08 08 13/1 13/10/ 0/08 08
Capi Capita tais is (20.000,00 )
3.50 3.500, 0,00 00 4.00 4.000, 0,00 00 5.50 5.500, 0,00 00 4.50 4.500, 0,00 00 5.00 5.000, 0,00 00
VALOR ATUAL DA DIFERIDA O valor atual ocorre um período de carência mais um período ( m+1 m+1 ) antes da data do 1º pagamento ou a 1ª parcela é paga no período de carência mais um período. 39. Determinar o valor atual de um empréstimo que deverá ser liquidado em 12 prestações mensais mensais e iguais a 5.000, `a taxa de 5% ao mês, sabendo-se sabendo-se que a 1ª prestaçã prestaçãoo será paga somente 4 meses após a efetivação.
40. Certa empresa recebe 80.000 em empréstimo, para resgatar em oito parcelas semestrais, 12,25% ao mês ). Se haverá dois anos de carência , qual o valor a juros de 100% ao semestre ( 12,25% das prestações?
41. Uma dívida de 40.000 será liquidada em 12 prestações mensais e iguais, a 6% ao mês. Sabendo-se que a primeira será paga daqui a 18 dias (período singular), determinar o valor das prestações.
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42. Uma dívida deverá liquidada em 6 prestações mensais de 2.000, 7.000, 4.000, 3.000, 5.000, e 6.000. Sabendo-se que a taxa é de 4% ao mês e a 1ª no ato, substituir esse fluxo não uniforme de pagamentos por uma série uniforme de 06 parcelas mensais, sendo a primeira dada como entrada.
43. Prevendo que certa certa pessoa, pessoa, nos meses meses de julho a dezembro, dezembro, terá dispêndios dispêndios mensais de 2.000, determinar quanto deverá depositar, mensalmente, de janeiro a maio do mesmo ano, a 2% ao mês, para pa ra que sejam possíveis tais retiradas.
44. Um terreno está sendo vendido por 34.000 à vista ou em 18 prestações mensais, sem entrada: 6 iniciais de 1.500, 6 seguintes de 2.000 e 6 finais de 2.500. Sabendo-se que o gerente de uma instituição financeira garantiu a uma pessoa interessada na compra, um rendimento mínimo de 1% ao mês, com retiradas mensais para pagamento das parcelas, compensa comprar a prazo? Justifique.
ANÁLISE/CÁLCULO DE TAXAS As taxas, em séries uniformes, podem ser calculadas através da função financeira do Excel ( TAXA i ou IR ), fórmula prática de KARPIN ou por interpolação TAXA ou TIR ), máquinas financeiras ( i linear. 45. Uma loja indica um produto como tendo seu preço a vista igual a 20.000; podendo, porém, ser pago em 4 prestações mensais/iguais, “sem acréscimos”. No entanto, se o pagamento for a vista, a loja fornece um desconto de 20%. Compensa comprar a prazo e deixar o dinheiro aplicado na poupança, por exemplo?
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46. Uma loja vende suas mercadorias em cinco prestações mensais e iguais, “sem juros”, com a 1ª sendo paga no ato, como entrada. Todavia, se a aquisição for a vista, ela fornece um desconto de 15%. Qual a taxa efetiva anual cobrada anual cobrada pela loja?
47. Sabendo-se que, ao tomar emprestados 10.000, pagarei 12 prestações mensais de 2.300, com a 1ª sendo paga somente 4 meses após a data da efetivação, determinar a taxa real mensal cobrada, mensal cobrada, na hipótese de uma inflação igual a 8,08% 8 ,08% ao ano.
48. Certo Banco financia financia 50% da liqui liquidação dação da guia de ICM, por 30 dias, a juros de 2% ao mês. Sabendo-se que esse Banco repassa os recursos para a Receita somente 08 dias após a quitação da guia, determinar o ganho efetivo mensal para para esse Banco. Banco. 5.000
5.100
10 0
30 dias 10.000
49. Se um investimento de 20.000, gerou retornos conforme quadro abaixo, ab aixo, determinar a taxa efetiva anual.
50. Sabendo-se que o IPVA podia ser pago a vista, até dia 31/01, com desconto de 15%, ou a prazo, em 6 prestações mensais e iguais, “sem juros”, com a primeira prestação vencendo-se somente dia 12/02 , determinar/justificar a melhor alternativa, com base na taxa efetivamente cobrada pelo Governo.
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ANÁLISE E DECISÃO DE INVESTIMENTO Um problema de análise de investimentos surge quando se deseja investir um capital ou adquirir um bem de capital. Hoje em dia, em razão da dinâmica dos negócios, gerados principalmente com o advento do regime inflacionário, as técnicas de análise vêm sendo usadas não só para grandes negócios, de médio e longo prazos, mas também para operações de curto prazo, como por exemplo, nas decisões corriqueiras de compra a vista versus compra a prazo, como vimos anteriormente. A decisão de investir não é uma tarefa simples. Muitos fatores, inclusive imponderáveis, interferem no processo. Ela depende da concretização da expectativa de retorno: quanto maiores forem as expectativas de resultados futuros, mais atrativo será o negócio. O passado serve apenas para auxiliar nas previsões. Interessanos o presente e, principalmente, o futuro, que é incerto. Isso quer dizer que dois investidores poderão ter avaliações diferentes para uma mesma oportunidade de negócios. Quanto melhor o nível de informações, certamente, menor será o risco. Projetos de baixa rentabilidade podem ser tão atrativos quanto aqueles com elevado retorno, desde que apresentem níveis de risco muito baixos. Portanto, a alternativa ideal será aquela que apresentar melhor combinação entre ganhos e riscos. A decisão de investimento deve obedecer a três critérios básicos: • Econômico: rentabilidade disponibilidadee de recursos • Financeiro: disponibilidad • Imponderáveis: fatores não conversíveis em dinheiro Os principais fatores econômicos que influenciam a escolha da melhor alternativa são os seguintes: Taxa mínima de atratividade • • Receitas e despesas Custo inicial e valor residual • • Vida útil • Imposto de renda TAXA ATRATIVA OU TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE (TMA) Devido à escassez de capital, existe um preço para seu uso, mesmo quando utilizado pelo próprio dono; pois, apresenta um custo, da oportunidade perdida, porque, ao usá-lo, estará deixando de obter a rentabilidade proporcionada pelo Mercado, inclusive, de baixo risco. Portanto, a taxa atrativa deve representar o custo de oportunidade do capital. Pode-se concluir, basicamente, que a TMA é a maior taxa de juros que deixa de ser obtida na aplicação dos recursos próprios ou é a menor taxa de juros que deve ser paga sobre a utilização de recursos de terceiros.
MÉTODOS DETERMINÍSTICOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS É fundamental na análise e decisão de investimentos conhecer com profundidade os métodos que levam em consideração o valor do dinheiro no tempo, ou seja, o critério do fluxo de caixa descontado, atendendo ao rigor conceitual. Nesse sentido, vamos desenvolver as técnicas de análise, que podem ser divididas em dois grandes grupos: aqueles que servem para selecionar projetos - Valor Presente Líquido (VPL) e Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE), e aqueles que servem para gerar indicadores adicionais para os projetos já selecionados - Taxa Interna de Retorno (TIR), Índice Benefício/Custo (IBC) e Tempo de Recuperação do Investimento (TRI), entre outros , outros , não exatos. exatos. 17
51. Determinar a melhor alternativa entre os projetos abaixo, mutuamente excludentes , sabendo-se que a TMA é de 10% ao ano. ANO
PROJETO A
PROJETO B
PROJETO C
PROJETO D
0 1 2 3 4 5
(70.000) 30.000 20.000 20.000 15.000 15.000
(120.000) 33.000 33.000 33.000 33.000 33.000
(150.000) 30.000 35.000 40.000 50.000 60.000
(180.000) 75.000 35.000 35.000 55.000 55.000
1. TEMPO TEMPO DE RECUPERAÇÃO RECUPERAÇÃO DO INVESTIMEN INVESTIMENTO TO (PAY (PAY BACK) O TRI nada mais é do que o número de períodos necessários para que o valor presente do fluxo de benefícios se iguale ao capital investido. Certamente, quanto maior o indicador, mais incerta a recuperação do capital investido. Em contextos dinâmicos, como o de economias globalizadas, por exemplo, esse indicador de risco assume importância relevante. O risco do projeto aumenta à medida que o TRI se aproxima do final do horizonte de planejamento. Como restrição ao método está o fato de não considerar a vida do investimento, não ponderando aquilo que acontece após o tempo de recuperação, penalizando, desse forma, projetos que tenham receitas iniciais pequenas, mas crescentes ao longo da vida do projeto. ANO
0 1 2 3 4 5 4 4 + x 5 TRI
PROJETO A
PROJETO B
PROJETO C
PROJETO D
(70.000) 30.000 20.000 20.000 15.000 15.000
(120.000) 33.000 33.000 33.000 33.000 33.000
(150.000) 30.000 35.000 40.000 50.000 60.000
(180.000) 75.000 35.000 35.000 55.000 55.000 DECISÃO
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2. VALO VALOR R PRES PRESEN ENTE TE LÍQ LÍQUI UIDO DO - VPL VPL O método do VPL é uma das técnicas mais conhecidas e utilizadas na análise de investimento. O VPL nada mais é do que a concentração de todos os valores esperados de um fluxo de caixa (entradas e saídas), na data zero, utilizando-se a TMA como taxa de desconto . Genericamente, é a diferença entre o valor atual do fluxo das receitas esperadas e o investimento inicial. ANO
PROJETO A
PROJETO B
PROJETO C
PROJETO D
0 1 2 3 4 5 VPL
(70.000) 30.000 20.000 20.000 15.000 15.000
(120.000) 33.000 33.000 33.000 33.000 33.000
(150.000) 30.000 35.000 40.000 50.000 60.000
(180.000) 75.000 35.000 35.000 55.000 55.000
DECISÃO
3. VALOR VALOR ANUAL ANUAL UNIF UNIFORM ORME E EQUIVA EQUIVALEN LENTE TE – VAUE VAUE Esse Esse método método,, conhec conhecido ido também também como como Valor Valor Presen Presente te Líq Líquid uidoo Anuali Anualizad zadoo (VPLa (VPLa), ), é mais mais uma variação do VPL, e consiste em determinar a série uniforme anual equivalente ao fluxo de caixa, utilizando-se, como taxa de desconto, a TMA, ou seja, calcula-se o valor presente líquido do fluxo (entradas e saídas) e o transforma em uma série uniforme anual equivalente, através do cálculo da parcela constante(PMT). ANO
PROJETO A
PROJETO B
PROJETO C
PROJETO D
0 1 2 3 4 5 TIR
(70.000) 30.000 20.000 20.000 15.000 15.000
(120.000) 33.000 33.000 33.000 33.000 33.000
(150.000) 30.000 35.000 40.000 50.000 60.000
(180.000) 75.000 35.000 35.000 55.000 55.000
DECISÃO
19
4. TAXA TAXA INT INTER ERNA NA DE DE RETO RETORN RNO O - TIR TIR O método da TIR, juntamente com o do VPL, é uma das técnicas mais conhecidas e usuais na análise de investimentos, e consiste no cálculo da taxa que zera, em determinado momento de tempo, o valor dos fluxos esperados (entradas e saídas). Adota-se, geralmente, a data focal zero para proceder-se a equivalência. ANO
PROJETO A
PROJETO B
PROJETO C
PROJETO D
0 1 2 3 4 5 TIR
(70.000) 30.000 20.000 20.000 15.000 15.000
(120.000) 33.000 33.000 33.000 33.000 33.000
(150.000) 30.000 35.000 40.000 50.000 60.000
(180.000) 75.000 35.000 35.000 55.000 55.000
DECISÃO
5. ÍNDI ÍNDICE CE BENE BENEFÍ FÍCI CIO/ O/CU CUSTO STO - IBC IBC Esse método, conhecido também como Índice como Índice de Lucratividade - IL , IL , é uma medida do quanto se espera ganhar por unidade do capital investido. É, na verdade, uma variante do método do VPL. Genericamente, é o quociente entre o valor atual do fluxo das receitas esperadas e o investimento inicial. ANO
PROJETO A
PROJETO B
PROJETO C
PROJETO D
0 1 2 3 4 5 IBC
(70.000) 30.000 20.000 20.000 15.000 15.000
(120.000) 33.000 33.000 33.000 33.000 33.000
(150.000) 30.000 35.000 40.000 50.000 60.000
(180.000) 75.000 35.000 35.000 55.000 55.000
DECISÃO
4.1. TAXA DE RETORNO ADICIONAL DO INVESTIMENTO - TRAI 20
Se o IBC de um projeto, por exemplo, for igual a 1,084, significa que, para cada 1,00 imobilizado no projeto, espera-se obter, após o horizonte de planejamento do projeto, 1,084. Quando expurgamos 1,00, relativo relativo ao ganho que teríamos teríamos caso esse 1,00 ficasse ficasse aplicado aplicado à TMA, obteremos obteremos 0,084 = 8,40%, 8,40%, que representa o ganho esperado em 5 anos, além da TMA. Como a TMA está relacionada a ano, determinamos a equivalente anual de 8,40% e obteremos uma TRAI = 1,63% ao ano, que representa, em termos percentuais, a riqueza gerada pelo projeto. Sendo assim, a TRAI é o análogo percentual do conceito de Valor Econômico Agregado – EVA. ANO
PROJETO A
PROJETO B
PROJETO C
PROJETO D
0 1 2 3 4 5
(70.000) 30.000 20.000 20.000 15.000 15.000 126.243 12,52% 2,29%
(120.000) 33.000 33.000 33.000 33.000 33.000 201.468 10,92% 0,84%
(150.000) 30.000 35.000 40.000 50.000 60.000 253.908 11,10% 1,00%
(180.000) 75.000 35.000 35.000 55.000 55.000 314.243 11,79% 1,63%
VF (TMA) NOVA TIR
TRAI
Como vimos, o método da TIR considera que os retornos estão sendo reaplicados à própria TIR. Entretanto, se considerarmos que os retornos são reaplicados à TMA, que somente não ocorrerá se houver informação em contrário, obteremos um novo valor futuro, que acarretará uma taxa de retorno, obviamente, diferente da TIR. Ao eliminarmos o efeito da TMA, obteremos a TRAI, que se caracteriza na melhor estimativa de rentabilidade de um projeto. Portanto, embora comum, é equivocado referir-se à TIR como a rentabilidade do projeto. A TIR, na melhor das hipóteses, pode ser entendida como um limite superior para a estimativa de rentabilidade de um projeto. Resumindo, através das conclusões sobre os cálculos do VPL, VAUE, IBC e TIR , TIR , evidencia-se o fato de que são indicadores diferentes de uma mesma informação. VPL = 0 VAUE = IBC = 1 TIR = TMA Indiferente 0 VPL > 0 VAUE > IBC IBC > 1 TIR TIR > TMA Proj Projet etoo Viáv Viável el 0 VPL < 0 VAUE < IB IBC < 1 TIR < TMA TMA Proj rojeto eto Inv Inviáve iável l 0 QUADRO RESUMO DOS RESULTADOS ANO
PROJETO A
PROJETO B
PROJETO C
PROJETO D
0 1 2 3 4 5
(70.000) 30.000 20.000 20.000 15.000 15.000
(120.000) 33.000 33.000 33.000 33.000 33.000
(150.000) 30.000 35.000 40.000 50.000 60.000
(180.000) 75.000 35.000 35.000 55.000 55.000
DECISÂO
IBC VPL VAUE 21
TIR Nota-se que todos os projetos são viáveis. Porém, como são mutuamente excludentes, há que se definir por apenas um deles.
1. CONS CONSIS ISTÊ TÊNC NCIA IA DOS DOS RESUL RESULTA TADO DOS S
Analisando os resultados, no conjunto, esperava-se que todos os métodos indicassem a mesma decisão. Entretanto, os métodos que utilizaram o conceito de valor monetário, por serem de seleção, apontaram a decisão correta, enquanto aqueles que utilizaram o conceito de valor relativo (taxa e índice), conflitaram com essa decisão. A inconsistência ocorreu em razão de analisarmos projetos com investimentos iniciais diferentes, com o maior IBC e TIR recaindo sobre o projeto de menor investimento. Para eliminarmos essa distorção é necessário tomarmos como base o projeto que demanda menor investimento e levarmos em consideração o que será feito com o capital flutuante (diferença entre os investimentos iniciais dos projetos conflitantes). Invest. Ma Maior
Invest. Menor
Capital Flutuante
1.1 AJUSTE AJUSTE DO IBC IBC O Cálculo do IBC Ajustado é feito através da simples adição do capital flutuante no numerador e no denominador da fórmula de cálculo do IBC do projeto de menor investimento ou, através da simples subtração do capital flutuante no numerador e no denominador da fórmula de cálculo do IBC do projeto de maior investimento, harmonizando os investimentos iniciais dos dois projetos. IBC AJUSTADO
Numerador
Denominado Resultado r
Projeto menor Projeto maior
1.2
AJUSTE DA TIR – PROJETO COMBINADO
O cálculo da TIR Ajustada é feito através da consideração de que o capital flutuante permanecerá aplicado à TMA, salvo informações em contrário. Para isso, basta combinar o projeto de menor investimento inicial com a aplicação do capital flutuante à TMA, e calcular a TIR dessa combinação (Projeto Combinado). ANO 0 1 2 3 4 5 TIR
PROJETO:
PROJETO TMA COMBINADO
10%
22
1.3
AJUSTE DA TIR – PONTO DE FISHER
Outra maneira de se resolver essa contradição, que ocorre sempre que a maior TIR recair sobre o projeto de menor investimento inicial, é imaginar a existência de outra opção de investimento (Projeto Incremental), que nada mais é do que o fluxo de caixa da diferença entre as duas alternativas conflitantes, e determinar sua TIR, que se constituirá na taxa de aplicação do capital flutuante para igualar à alternativa de maior investimento inicial. ANO 0 1 2 3 4 5 TIR
PROJETO:
PROJETO:
INCREMENTAL
SIMULAÇÕES DA TIR PARA CÁLCULO CÁLCULO DOS VPLS TAXA PROJETO:
PROJETO:
0% 3% 6% 9% 12% 15% 18%
GRAFICAMENTE VPL 75.000 60.000 45.000 30.000 10.000 0
3
6
9
12
15
TIR 18
23
7. PROJETOS COM VIDAS DIFERENTES Existem duas situações a considerar: projetos isolados, isolados, quando não se sabe o que fazer ao final da vida útil, ou seja, SEM REPETIÇÕES. REPETIÇÕES. Para decisão, por uma questão de praticidade, utilizamos o método do VPL; pois, se considera que, na diferença entre as vidas, os recursos fiquem aplicados à TMA. Entretanto, se os projetos puderem ser renovados nas mesmas condições, quando se pretende manter o ramo de atividade, ou seja, COM REPETIÇÕES , devemos considerar, como horizonte de planejamento, o mínimo múltiplo comum da duração dos projetos. Isso significa dizer que devemos supor que os projetos sejam repetidos, até que cheguemos a um horizonte de planejamento comum. Se o objetivo for o de simplificar a formatação, aconselha-se a utilização do método do VAUE, pois o horizonte de planejamento já está implícito no método, não havendo necessidade de que os fluxos sejam repetidos até um horizonte comum. 52. Determina Determinarr a melhor alternativa alternativa entre os projetos projetos abaixo, abaixo, mutuamen mutuamente te excludente excludentes, s, para aquisição aquisição de equipamentos similares, similares, sabendo-se que a TMA é de 10% ao ano. DADOS Investimento Inicial Receita Anual Valor Residual Vida Útil
PROJETO (50.000)
PROJETO (65.000)
13.500 12.000 4 anos
13.500 13.000 6 anos
7.1 COM REPETIÇÃO n
PROJETO A
PROJETO B
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 VPL VAU E TIR 24
7.2 SEM REPETIÇÃO n
PROJETO A
PROJETO B
0 1 2 3 4 5 6 VPL VAU E TIR
OBS : Se houver repetição, para utilizarmos o método do VPL, preliminar e obrigatoriamente, teremos de determinar o MMC das vidas. E, no caso da TIR, algumas situações de difícil solução poderão aparecer, como por exemplo, TIRs múltiplas ou não no campo real. Portanto, esses dois métodos não são os mais apropriados para esse tipo de análise. 8. IMPACTOS DA DEPRECIAÇÃO E DO IMPOSTO DE RENDA 8.1 DEPRECIAÇÃO A depreciação é contabilmente definida como a despesa equivalente à perda do valor de determinado bem, seja por desgaste físico ou obsolescência. Esse valor, embora represente um custo, não se materializa em desembolso; porém, é uma despesa e, como tal, pode ser deduzida das receitas, diminuindo o lucro e, conseqüentemente, o imposto de renda; este sim, um desembolso, com efeitos sobre o fluxo de caixa. A legislação define certos limites; pois, caso contrário, todos iriam depreciar seus bens de imediato, para usufruir dos benefícios fiscais. Como por exemplo, lembramos que a legislação estabelece que prédios sejam depreciados em 25, equipamentos em 10 e veículos em 5 anos. O único método de depreciação contábil permitido pela legislação brasileira é o LINEAR: LINEAR: proporcional ao tempo legal de depreciação. 53. Determinar o valor da depreciação e o valor residual contábil de um veículo de 20.000, após 3 anos de uso.
É importante destacar que, além da depreciação contábil exigida pela legislação, existe a depreciação que realmente houve no bem, ou seja, a perda efetiva de valor com o passar do tempo. É possível admitir, por exemplo, que um veículo tenha vida útil de 8 anos, com um valor residual estimado, estimado, a preço de sucata de 5% do VC = valor de compra. c ompra.
54. Determinar o valor da depreciação real e o valor residual real de um veículo de 20.000, acima exemplificado, após 3 anos de uso. 25
* Caso haja a venda do bem, após 3 anos, deveremos lançar essa diferença entre os valores residuais como lucro tributável, impactando, certamente, no cálculo do IR.
8.2 IMPOSTO DE RENDA O imposto de renda é uma modalidade de imposto incidente sobre o lucro das empresas, apurado ao final de cada exercício. O lucro, basicamente, é a diferença entre as receitas e despesas. Todavia, para efeito de análise de investimento, o que interessa – efetivamente - é o fluxo de caixa real. Portanto, lembrem-se: a depreciação é uma despesa, mas não há saída de caixa; já a amortização há saída de caixa, mas não é despesa; portanto, não dedutível. 55. Suponhamos um projeto que demande investimento inicial de 20.000, para aquisição de um equipamento que gerará superávit anual de caixa de 5.000, durante 5 anos, e será revendido por 10.000. A vida útil é de 10 anos, a TMA e a taxa de depreciação serão de 10% ao ano e a alíquota de IR de 35%. Analisar a viabilidade do projeto, antes e depois do IR. ANO
FLUXO ANTES IR
DEPRECIAÇÃO
0 1 2 3 4 5 VPL TIR Comentários:
RENDA TRIBUTAVEL
IR
FLUXO APÓS IR
VPL TIR
8.3 INVESTIMENTO FINANCIADO A obtenção de um financiamento pode tornar um investimento mais atrativo. Entretanto, a necessidade de utilizar recursos de terceiros, em épocas de escassez, poderá tornar um investimento menos atraente ou até inviável. 56. Analisar a viabilidade do projeto anteriormente descrito, considerando que 50% do investimento serão financiados, através do SAC, em cinco parcelas anuais, ao custo de 15% ao ano. Comentários: ANO FAFIR AMORT JUROS FDFAIR DEPREC RTRIB 6=4-5+2 1 2 3 4=1-2-3 5 0 1 2 3 4 5 VPL TIR
IR 7
VPL TIR
FDFIR 8=4-7
26
RESUMO:
Dep Depoois do IR IR 100% 100% Pró Próprio prioss 50% 50% Pró Própr prio ioss VPL TIR
NOTAÇÕES FAFIR: Fluxo de caixa antes do financiamento e do IR. FDFAIR: Fluxo de caixa depois do financiamento e antes do IR. RTRIB: Renda tributável. FDFIR: Fluxo de caixa depois do financiamento e do IR
9. ANÁLISE DE MÚLTIPLAS ALTERNATIVAS Quando temos um grande número de alternativas, envolvendo projetos tecnicamente independentes, independentes, e a disponibilidade de recursos permitir, devemos escolher não apenas um projeto, mas o conjunto de projetos que melhor atender aos objetivos da empresa. 57. Se uma empresa possui sete diferentes alternativas de investimento, todas com vida útil de 10 anos e tecnicamente excludentes , definir o melhor projeto, considerando uma TMA de 10% ao ano e os dados abaixo: PROJETOS Invest. Inicial Result. Anual Valor Residual
A 20.000 2.000
B 25.000 3.150
C 30.000 4.320
D 35.000 5.000
E 45.000 5.970
F 50.000 5.000
G 60.000 7.000
20.000
25.000
30.000
35.000
45.000
45.000
40.000
VPL TIR Comentários:
ANÁLISE INCREMENTAL COMBINAÇÕES Invest. Incremental Aumento de Resultado Valor Residual TIR Ajustada Melhor Alternativa Comentários:
D-C
E-C
E-D
27
58. Considerando o exercício anterior, com as alternativas de investimento tecnicamente independentes , e uma disponibilidade disponibilidade orçamentária de 75.000, determinar o melhor conjunto de alternativas. Alt Alter erna nati tiva vass Inve Invest stim imen ento to s
VPL
C + C C+D C + E D + D D + E E + E
Conclusão:
10. RISCO E INCERTEZA Até agora, vimos modelos determinísticos, onde considerávamos que os elementos do fluxo de caixa eram perfeitamente eram perfeitamente conhecidos. Entretanto, na prática, podem ocorrer casos em que não se tenha certeza dos dados, mas aceitamos um mínimo, um máximo ou um intervalo. Por exemplo, podemos não ter certeza sobre que taxa de desconto adotar, mas aceitamos o fato de que ela fique num intervalo entre 8% e 10%. Outro exemplo é não sabermos o crescimento das vendas futuras ao lançarmos um novo produto, mas sabemos que a taxa de crescimento não deve ultrapassar os 30%. Quando conhecermos distribuição da probabilidade probabilidade dos dados é possível uma análise sob condições de risco, utilizando-se modelos probabilísticos. Agora, quando nada ou muito pouco se conhece, a análise se dará sob condições da incerteza. 10.1 SOB CONDIÇÕES DE INCERTEZA a. b. c.
Sob condições de incerteza existem basicamente três alternativas para a solução dos problemas: matrizes de decisão análise de sensibilidade simulação •
MATRIZES DE DECISÃO
REGRAS DE DECISÃO
As matrizes de decisão ou de receitas e custos são tabelas que relacionam as alternativas com as diferentes eventualidades futuras. Por exemplo, as matrizes podem conter as receitas ou custos das diversas alternativas para cada cenário possível. 59. Um agricultor está em dúvida na escolha entre as culturas A, B e C; pois, as receitas dependem das condições climáticas, que poderão ser boas, médias ou ruins. A matriz de decisão mostra as receitas das combinações entre as alternativas de receitas e as condições climáticas. ALTERNATIVAS
CONDIÇÕES CLIMÁTICAS BOA MÉDIA RUIM 28
100. 100.00 000 0 72. 72.000 90. 90.000
A B C
70.0 70.000 00 60.000 90.000
30.0 30.000 00 50.000 25.000
Para ilustrar as diversas regras de decisão, vamos supor que o agricultor não tenha como prever e nem possa estipular uma probabilidade de ocorrência das referidas condições climáticas, decidindo, então, sob condições de incerteza: 1ª Regra: Maximin (receitas) ou Minimax (custos)
Regra do pessimista: tenderá a escolher a máxima receita dos piores resultados.
2ª Regra: Maximax (receitas) ou Minimin (custos)
Regra do otimista: tenderá a escolher a máxima receita dos melhores resultados.
3ª Regra: Hurwicz
Pondera as regras anteriores, ao considerar que cada pessoa tem um certo grau de otimismo ou pessimismo e a decisão será em função desse grau. Supondo que o agricultor seja 40% otimista e 60% pessimista, determine o valor esperado de cada receita: ALTERNATIVAS A B C
CONDIÇÕES CLIMÁTICAS BOA PESO RUIM 100.000 72.000 90.000
40% 40% 40%
30.000 50.000 25.000
RECEITA PESO MÉDIA 60% 60% 60%
Decisão:
4ª Regra: La Place ou da razão insuficiente Se não se consegue prever o estado da natureza, porque não supor que todos sejam igualmente prováveis. Então, o valor esperado de cada alternativa será a média aritmética de cada alternativa: ALTERNATIVAS A B C
COND CONDIÇ IÇÕE ÕES S CLIM CLIMÁT ÁTIC ICAS AS RECE RECEIT ITA A BOA MÉDIA RUIM MÉDIA 100.000 72.000 90.000
70.00 0.000 0 60.00 0.000 0 90.00 0.000 0
30.000 50.000 25.000
Decisão:
5ª Regra: Savage ou do mínimo arrependimento Considera Considerando ndo uma perspectiva perspectiva pessimist pessimista, a, a matriz matriz do arrepend arrependiment imentoo para o agriculto agricultorr ficaria ficaria assim assim construída: ALTERNATIVAS A B C
BOA 100.000 72.000 90.000
CONDIÇÕES CLIMÁTICAS MÉDIA RUIM ARREP ARREP 70.000 60.000 90.000
ARREP
30.000 50.000 25.000
Decisão: 29
CONCLUSÃO: •
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Utilizamos essa técnica para avaliar o efeito que a variação de um dado pode ocasionar nos resultados. Quando uma pequena variação de um parâmetro alterar significativamente a rentabilidade de um projeto, dizemos que o projeto é muito sensível a esse parâmetro e devemos buscar outras alternativas para obter dados menos incertos, ou seja, devemos melhorar a estimativa através de investigações e estudos adicionais. 60. Objeti Objetivan vando do aprov aproveit eitar ar o verão verão,, certa certa empres empresaa invest investirá irá 40.000 40.000,, na aquisi aquisição ção de equipa equipamen mentos tos e treinamento de seus empregados, para lançar um novo e exclusivo tipo de sandálias. Considerando que a empresa deseja um retorno mínimo de 3% ao mês, ou seja, uma TMA = 3%, analisar o VPL e a TIR, sob previsão normal de vendas, e com variações v ariações negativas de 10%, 20% e 30%. SOB PREVISÃO NORMAL MÊS NOVEMBRO
Investimento Vendas Custos Fixos Custos Variáveis Valor Residual Fluxo
(40.000) (40.000) TIR =
DEZEMBRO
JANEIRO
FEVEREIRO
30.000 (10.000) (14.000) 6.000
50.000 (10.000) (24.000) 16.000 VPL =
40.000 (10.000) (18.000) 20.000 32.000
VARIAÇÃO NEGATIVA DE 10% NA EXPECTATIVA DE VENDAS MÊS NOVEMBRO DEZEMBRO JANEIRO FEVEREIRO
Investimento Vendas Custos Fixos Custos Variáveis Valor Residual Fluxo
(40.000) (40.000) TIR =
27.000 (10.000) (12.600) 4.400
45.000 (10.000) (21.600) 13.400 VPL =
36.000 (10.000) (16.200) 20.000 29.800
VARIAÇÃO NEGATIVA DE 10% NA EXPECTATIVA DE VENDAS MÊS NOVEMBRO DEZEMBRO JANEIRO FEVEREIRO
Investimento Vendas Custos Fixos Custos Variáveis Valor Residual Fluxo
(40.000) (40.000) TIR =
24.000 (10.000) (11.200) 2.800
40.000 (10.000) (19.200) 10.800 VPL =
32.000 (10.000) (16.200) 20.000 27.600
VARIAÇÃO NEGATIVA DE 10% NA EXPECTATIVA DE VENDAS MÊS NOVEMBRO DEZEMBRO JANEIRO FEVEREIRO
Investimento Vendas Custos Fixos Custos Variáveis
(40.000) -
21.000 (10.000) (9.800)
35.000 (10.000) (16.800)
28.000 (10.000) (12.600) 30
Valor Residual Fluxo
(40.000) TIR =
1.200
8.200 VPL =
20.000 25.400
Ponto de equilíbrio das vendas Σ VENDAS 120.000 108.000 96.000 84.000
TIR
Através do gráfico, podemos determinar o ponto de equilíbrio, ou seja, o volume mínimo de vendas para atingir a TMA. TIR (%)
15 12 9 6 TMA
3 Vendas (em mil) 0 80
90
100
110
120
61. Uma empresa pretende participar de uma concorrência, com um projeto para 5 anos, com investimento inicial de 40.000 e benefícios líquidos anuais de 10.000, podendo obter adicionais de até 8% a cada período – dependendo da expansão da economia e entrega antecipada da obra – e, por limite de capacidade de produção, não deve ultrapassar a 12.000. Sabendo-se que a TMA também contém uma componente de incerteza, oscilando entre 10% e 12%, analisar a viabilidade do projeto. n
FLUXO
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
0 1 2 3 4 5 10% 11% 12% Conclusão:
10.2 SOB CONDIÇÕES DE RISCO PROBABILIDADE É a possibilidade de ocorrer certo evento. Ao assumir, por exemplo, uma probabilidade de 70% de que aconteça uma certa receita em determinado período do projeto, está se admitindo um risco de 30% de que tal receita não ocorra. 31
Nas decisões de investimento, porém, a distribuição de probabilidade não se resume, normalmente, a um único resultado. O quadro a seguir, por exemplo, apresenta cinco intervalos de valores nos quais poderão situar-se os benefícios de caixa esperados e as respectivas possibilidades de ocorrência e risco.
FLUXO
200.000 - 2 A probabilidade atribuída a um ou a conjuntos de eventos dispostos em intervalos de natureza incerta pode ser definida em termos objetivos: objetivos: experiência passada em que há uma expectativa de que se repetirá no futuro, ou subjetivos: subjetivos: eventos novos, em que não se tem experiência relevante: intuição ou experiência do administrador, administrador, projeções, pesquisas, etc. A primeira medida importante para o estudo do risco a ser mensurado é o valor esperado de cada distribuição de probabilidade e representa a média ponderada entre os resultados esperados e a respectiva probabilidade.
600.000 - 699.000 TOTAL
5%
62. Considerando Considerando a distribuição de probabilidades probabilidades dos retornos retornos previstos previstos de dois investimentos mutuamente excludentes, calcule os retornos esperados de cada investimento, a média, desvio padrão e o coeficiente de variação, para a escolha da da melhor alternativa.
100%
PROJETO A P k R k PROJETO B P k R k 10%
8.000
R m = 32
G RA RAF F IC AME N
RETORNOS
Conclusão:
Quando conhecemos as distribuições de probabilidade do fluxo de benefícios (parcelas de retorno) ou, na falta, o valor médio e a variância de cada um dos componentes aleatórios do projeto, é possível analisar de forma segura. Se as parcelas seguirem uma distribuição normal, o somatório dessas parcelas conduzirá, também, a uma distribuição normal. De acordo com o Teorema de Limite Central, demonstra-se que essa nova distribuição normal terá como média o somatório das parcelas e como variância, o somatório das variâncias das parcelas. Na prática, porém, é muito difícil que as parcelas estejam sujeitas exatamente a uma distribuição normal ou que tenham elementos suficientes para identificá-la. Em razão disso, é comum recorrer-se à Distribuição Beta, pois a soma dessas distribuições também conduz a uma distribuição normal, além de ter uma configuração bastante genérica e poder ser caracterizada por três parâmetros: um valor mínimo, um máximo e um mais provável.Os resultados não serão tão precisos precisos , porém se constituirão em importante fonte de informações para uma tomada de decisão.
8.000
10%
11.000
Agora, quando se dispõe de um computador, pode-se propor uma distribuição mais adequada a cada uma das variáveis e, através de um gerador de números aleatórios, elaborar quantos experimentos se queira para obter a distribuição do VPL, TIR, IBC ou VAUE . É o artifício da transformação da incerteza em risco. •
SIMULAÇÃO
63. Uma empresa pretende participar de uma concorrência, com um projeto para 10 anos, com investimento inicial de 200.000 e benefícios líquidos anuais de 30.000. Dependendo da expansão da economia e do sucesso do empreendimento, poderão ocorrer benefícios adicionais de até 20%. Sabendo-se que a TMA é de 10% ao ano, analisar a viabilidade do projeto. Interpretação
Limite inf. a
Média VPL
Limite Sup. Afastamento Probabilidade b da média P(a
33
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS: dependem de fatores incertos, sujeitos ao acaso. Discreta: Discreta: Quando os valores se referem a contagens: dados, moedas, baralho... Contínua: Contínua: Quando os valores podem assumir qualquer valor pertencente ao conjunto dos números reais: salários, preços de carros... Interessa-nos a contínua. Como existe um número muito grande de possíveis valores de uma variável aleatória contínua - VAC, não é possível registrá-los numa lista, tabela ou desenho. A distribuição de uma VAC é dada por uma curva contínua e não por pontos discretos de uma uma tabe tabela la.. Essa Essa curv curva, a, ou funç função ão mate matemá máti tica ca,, é chama chamada da de funçã funçãoo densid densidade ade de probabilidade (fdp). A área sob a curva entre dois pontos do eixo x, a e b com b > a , dá o valor da probabilidade da VA ter um valor entre esses dois pontos. Portanto, a probabilidade de uma VA deve ser calculada dentro de um intervalo de valores.
P (a < x < b) DISTRIBUIÇÃO UNIFORME Uma distribuição da VAC é a distribuição uniforme da probabilidade, que apresenta uma função densidade de probabilidade constante. F (x)
1
b
−a
Base x h = 1
a
b
x
Portanto, a probabilidade de que certo valor da VA seja igual ou maior que a e, ao mesmo tempo, igual ou menor que b , é 100%. A probabilidade de que a variável x seja igual ou maior que c e, ao mesmo tempo, igual ou menor que d , dentro do intervalo (a,b), será: F (x) 34
a c d b x * O Excel não tem função Estatística para a distribuição uniforme. P ( c ≤ x ≤ d ) =
d − c b−a
DISTRIBUIÇÃO NORMAL Uma das mais, mais, senão, senão, a mais mais import important antee distri distribui buição ção de freqüê freqüênci ncia. a. Para Para melhor melhor compreensão, consideremos:
Observemos que a curva é simétrica ao redor da média. A área total sob a curva é definida como 100 % e cada metade, obviamente, 50 %. A grande vantagem da distribuição normal é que, conhecendo a Média a Média e o Desvio o Desvio Padrão Padrão , podemos determinar qualquer valor de probabilidade. A probabilidade de que a variável aleatória x aleatória x esteja dentro do intervalo ( a , b ), P ), P ( a ( a < x < b ), é dada pela área sob a curva entre esses dois valores. valores. Por exemplo: a probabilidade de que a variável aleatória x se encontre entre a=20 e b= 60 é definida como P(a < x < b ) = P(20 < x < 60 ), e corresponde à área definida entre os valores 20 e 60. Como existe uma curva de distribuição normal diferente para cada par de valores, com o objetivo de simplificar a complexidade dos cálculos, foi desenvolvido um padrão de procedimento considerando uma única curva de distribuição: distribuição normal padronizada, sendo aplicado o desvio padrão normalizado Z, como mecanismo de transformação. A vari variáv ável el alea aleató tóri riaa desv desvio io padrã padrãoo norm normal aliz izad adoo Z, de uma dist distri ribui buiçã çãoo norm normal al padronizada, é dada pela seguinte equação:
Z=
x-µ σ 35
Após essa transformação, a curva de distribuição normal passa a ter uma forma única, padronizada, igual à distribuição normal com µ = 0 e σ = 1. Para calcularmos, por exemplo, a probabilidade de que a variável x se encontre entre 20 e 60, deve-se obter o valor de P (a < x < b) = P (20 < x < 60). Z = 1
2 0− 4 0 10
= −2
Z = 2
6 0− 4 0 10
= +2
O valo valorr da proba probabi bili lida dade de será será dada dada por P (20 (20 < x < 60) 60) = P (-2 (-2 < x < 2), 2), que que corresponde à área sob a curva de distribuição padronizada, definida entre valores Z 1 = -2,0 e Z 2 = +2,0, que tem a mesma configuração do desenho anterior, ou seja, a mesma curva de distribuição com os dois eixos
-4 –3
–2 -1
0
1
2
3
4
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA – DISTRIBUIÇÃO Z U TILIZAÇÃO TILIZAÇÃO DA TABELA 1)
P ( -1 < Z < 1 ) P ( Z < 1) = 0,8413
P ( Z ≥ -1 ) = 1 – 0,8413
P ( -1 < Z < 1) = 0,8413 - 0,1587 2)
P ( Z ≥ -2 ) = 1 – 0,9772
P ( -1 < Z < 1) = 0,9772 - 0,0228
68,26 %
⇒ 0,9544
⇒
P ( Z ≥ -1 ) = 0,0228
95,44 %
P ( -3 < Z < 3 ) P ( Z < 1) = 0,9987
P ( Z ≥ -2 ) = 1 – 0,9987
P ( -1 < Z < 1) = 0,9987 - 0,0013 4)
⇒ 0,6826 ⇒
P ( Z ≥ -1 ) = 0,1587
P ( -2 < Z < 2 ) P ( Z < 1) = 0,9772
3)
⇒
P ( -
⇒ 0,9974
⇒
P ( Z ≥ -1 ) = 0,0013
99,74 %
< Z < 1,23 )
36
P ( Z < Z < 1,23 ) = 0,8907 ⇒ 89.07 % 5)
P ( - 1,5 < Z < 2 ) P P ( Z ≥ - 1,5 ) = 0,9332 P ( Z < Z < 2 ) = 0,9772 P (Z < (Z < 2 ) = 0,9772
⇒
1 - 0,9332 = 0,0668
⇒ P ( - 1,5 < Z < 2 ) ⇒
= 0,9772 - 0,0668 = 0,9104
0
Ou
1 – 0,9772 = 0,0228
P ( Z ≥ - 1,5 ) = 0,9332 ⇒ P ( - 1,5 < Z < 2 ) = 0,9332 - 0,0228 = 0,9104 Distribuição Normal Padronizada – Distribuição Z Z
91,04 %
91,04 %
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,00
0,5000
0,5040
0,5080
0,5120
0,5160
0,5199
0,5239
0,5279
0,5319
0,5359
0,10
0,5398
0,5438
0,5478
0,5517
0,5557
0,5596
0,5636
0,5675
0,7514
0,5753
0,20
0,5793
0,5832
0,5871
0,5910
0,5948
0,5987
0,6026
0,6064
0,6103
0,6141
0,30
0,6179
0,6217
0,6255
0,6293
0,6331
0,6368
0,64,06
0,6443
0,6480
0,6517
0,40
0,6554
0,6591
0,6628
0,6664
0,6700
0,6736
0,6772
0,6808
0,6844
0,6879
0,50
0,6915
0,6950
0,6985
0,7019
0,7054
0,7088
0,7123
0,7157
0,7190
0,7224
0,60
0,7257
0,7291
0,7324
0,7357
0,7389
0,7422
0,7454
0,7486
0,7517
0,7549
0,70
0,7580
0,7611
0,7642
0,7673
0,7704
0,7734
0,7764
0,7794
0,7823
0,7852
0,80
0,7881
0,7910
0,7939
0,7967
0,7995
0,8023
0,8051
0,8078
0,8106
0,8133
0,90
0,8159
0,8186
0,8212
0,8238
0,8264
0,8289
0,8315
0,8340
0,8365
0,8389
1,00
0,8413
0,8438
0,8461
0,8485
0,8508
0,8531
0,8554
0,8577
0,8599
0,8621
1,10
0,8643
0,8665
0,8686
0,8708
0,8729
0,8749
0,8770
0,8790
0,8810
0,8830
1,20
0,8849
0,8869
0,8888
0,8907
0,8925
0,8944
0,8962
0,8980
0,8997
0,9015
1,30
0,9032
0,9049
0,9066
0,9082
0,9099
0,9115
0,9131
0,9147
0,9162
0,9177
1,40
0,9192
0,9207
0,9222
0,9236
0,9251
0,9265
0,9279
0,9292
0,9306
0,9319
1,50
0,9332
0,9345
0,9357
0,9370
0,9382
0,9394
0,9406
0,9418
0,9429
0,9441
1,60
0,9452
0,9463
0,9474
0,9484
0,9495
0,9505
0,9515
0,9525
0,9535
0,9545
1,70
0,9554
0,9564
0,9573
0,9582
0,9591
0,9599
0,9508
0,9616
0,9625
0,9633
1,80
0,9641
0,9649
0,9656
0,9664
0,9671
0,9678
0,9686
0,9693
0,9699
0,9706
1,90
0,9713
0,9719
0,9726
0,9732
0,9738
0,9744
0,9750
0,9756
0,9761
0,9767
2,00
0,9772
0,9778
0,9783
0,9788
0,9793
0,9798
0,9803
0,9808
0,9812
0,9817
2,10
0,9821
0,9826
0,9830
0,9834
0,9838
0,9842
0,9846
0,9850
0,9854
0,9857
2,20
0,9861
0,9864
0,9868
0,9871
0,9875
0,9878
0,6881
0,9884
0,9887
0,9890
2,30
0,9893
0,9896
0,9898
0,9901
0,9904
0,9906
0,9909
0,9911
0,9913
0,9916
2,40
0,9918
0,9920
0,9922
0,9925
0,9927
0,9929
0,9931
0,9932
0,9934
0,9936
2,50
0,9938
0,9940
0,9941
0,9943
0,9945
0,9946
0,9948
0,9949
0,9951
0,9952
2,60
0,9953
0,9955
0,9956
0,9957
0,9959
0,9960
0,9961
0,9962
0,9963
0,9964
2,70
0,9965
0,9966
0,9967
0,9968
0,9969
0,9970
0,9971
0,9972
0,9973
0,9974
2,80
0,9974
0,9975
0,9976
0,9977
0,9977
0,9978
0,9979
0,9979
0,9980
0,9981
2,90
0,9981
0,9982
0,9982
0,9983
0,9984
0,9984
0,9985
0,9985
0,9986
0,9986
3,00
0,9987
0,9987
0,9987
0,9988
0,9988
0,9989
0,9989
0,9989
0,9990
0,9990
3,10
0,9990
0,9991
0,9991
0,9991
0,9992
0,9992
0,9992
0,9992
0,9993
0,9993
37
3,20
0,9993
0,9993
0,9994
0,9994
0,9994
0,9994
0,9994
0,9995
0,9995
0,9995
3,30
0,9995
0,9995
0,9995
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9997
3,40
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9998
3,50
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
3,60
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
3,70
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
3,80
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
3,90
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
ANEXO 1 – GLOSSÁRIO.
CDB e RDB = certificados ou recibos depósitos bancários, emitidos por bancos comerciais, de
desenvolvimento e de investimentos, e são também chamados de depósitos a prazo fixo. A diferença entre os dois está no fato de que o CDB é transferível por endosso, podendo ser renegociado no mercado, o que não ocorre o RDB.
CDC = crédito direto ao consumidor: operação destinada a financiar os consumidores finais, quando da compra de bens e serviços, a prazo, normalmente em parcelas mensais constantes, gerando uma letra de câmbio, negociada no mercado.
CDI = certificado de depósito interfinanceiro: títulos de emissão de instituições financeiras, para lastro das operações do mercado interbancário, normalmente diárias, cuja média - taxa de consenso - define um padrão de taxa diária de mercado, quando recebe a denominação de CDI OVER.
CONTA GARANTIDA GARANTIDA = conta conta emprés empréstim timoo idênti idêntica ca ao cheque cheque espec especial ial,, com um lim limite ite disponível para utilização, de forma rotativa, movimentada a débito, através da emissão de cheques ou títulos em cobrança caucionada e cheques pré-datados de terceiros, vencidos e não pagos, e a crédito, através de depósitos ou da cobrança de títulos e cheques de 3ºs, vinculados ou caucionados, em garantia. Usa-se, também, a terminologia conta devedora ou empréstimo em conta corrente.
CPMF = contribuição provisória sobre movimentações financeiras: alíquota cobrada sobre o valor de qualquer débito em conta corrente, exceto, quando para crédito em contas de depósitos judiciais ou de contas de mesmo titular, através do Doc D.
DEBÊNTURES = títítul tulos os emitid emitidos os por empre empresas sas de capita capitall aberto aberto,, não-fin não-financ ancei eiras ras,, para para obtenção de recursos de longo prazo, destinados a financiar seus investimentos, capital de giro ou alongamento do perfil da dívida, com garantia do seu ativo e são, normalmente, subordinadas, dando preferência aos investidores sobre os acionistas.
FLOATING = flutuar: permanência, negociada ou forçada, do dinheiro em conta corrente, através da retenção de créditos originados, por exemplo, da cobrança de títulos ou empréstimos e financiamentos, ou repasses de tributos.
FUNDOS = forma de investimento, sob o regime de condomínio aberto, visando reunir recursos para aplicação em uma carteira diversificada de títulos; são divididos em renda fixa e variável, conforme a volatilidade da composição da carteira. Possuem liquidez imediata, obedecendo, porém, a uma tabela regressiva para pagamento de IOF sobre a renda e, sobre o saldo, 38
pagamento de IR. Caso não haja resgate total, o IR é exigido e repassado à Receita todo último dia útil do semestre ( come come cotas ).
HEDGE = proteção. Ver swap. HOT MONEY = operação de curtíssimo prazo, normalmente de até 10 dias, para suprir necessidades momentâneas e eventuais de caixa das empresas.
IGPM = índice geral de preços de mercado: calculado pela FGV, pela média ponderada entre o IPA (índice de preços por atacado = 60%), IPC (índice de preço ao consumidor = 30%) e INCC (índice nacional da construção civil = 10%), medido com base no custo da cesta básica, entre os dias 21 e o 20 dia do mês seguinte, razão de sua divulgação já no final de cada mês.
IOF = imposto sobre operações financeiras, com alíquota incidindo sobre investimentos de curto prazo e financiamentos e empréstimos em geral, cobrada de forma linear, pelos dias corridos.
LEASING = arrendamento mercantil: espécie de financiamento de médio e longo prazo, com cláusulas especificas de renovação, devolução ou aquisição do bem, pelo valor residual. As prestações, contabilizadas como despesa operacional, e a não imobilização, acarretam uma dupla economia de IR.
LETRA DE CÂMBIO = títulos emitidos por financeiras, geradas numa transação comercial, envolvendo bens ou serviços, para financiamento do crédito direto ao consumidor.
LETRA LETRA HIPOTECÁRIA HIPOTECÁRIA = títítul tulos os emitid emitidos os por instit instituiç uições ões financ financei eiras ras crede credenci nciadas adas a conceder créditos hipotecários, com garantia de caução de créditos hipotecários, com prazo mínimo de 180 dias e vencimento em igual dia do mês da compra.
SANDRINI = Ex-Gerente e Ex-Diretor de Banco Comercial, na área de operações comerciais e crédito direto ao consumidor, Ex-Diretor de Empresa de Leasing, na área de operações, e Ex Diretor Técnico de Seguradora, na área de riscos pessoais. Ex-Professor da FAE – Faculdade Católica de Administração e Economia, e Professor da UFPR – Universidade Federal do Paraná, desde 1986.
SWAP = troca: operações realizadas com o objetivo de transformar operações com taxas prefi prefixad xadas as em taxas taxas fl flutu utuante antes, s, e vicevice-ve versa rsa,, buscan buscando do prote proteção ção (hedge (hedge)) em momento momentoss de expectativas de queda ou elevação acentuada nas na s taxas de juros.
TAXA PREFIXADA = quando a remuneração é previamente conhecida, ou seja, os juros reais são incorporados na expectativa inflacionária para – juntos – incidirem sobre o capital.
TAXA PÓS-FIXADA = quando a remuneração depende de um indexador, normalmente um índice de variação de preços, que corrigirá monetariamente o capital, para que os juros reais incida incidam m sobre sobre o capita capitall corrig corrigido ido.. A remune remuneraç ração ão só é conhec conhecida ida,, portan portanto, to, na época época dos regates, parciais ou finais.
TAC = taxa de abertura de crédito: taxa fixa, não periódica, cobrada pelas instituições financeiras, objetivando cobrir despesas administrativas, ou iludir o tomador de recursos, uma vez que essa taxa, normalmente, não é evidenciada. 39
TAXA SELIC = taxa que regula as operações com títulos federais, sendo sua média diária utilizada para atualizar os preços desses títulos. É utilizada como taxa básica de juros, parâmetro de várias operações do sistema financeiro. Significa: sistema e special de l iquidação iquidação e custódia.
TR = taxa referencial: calculada calculada com base na média ponderada das taxas pagas pelos 30 maiores bancos na captação de recursos, através dos títulos de sua emissão, que dá origem à TBF = taxa básica financeira que, após a aplicação de um redutor, gera a TR. ANEXO 2 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS: dependem de fatores incertos, sujeitos ao acaso. Discreta: Discreta: Quando os valores se referem a contagens: lançamento de dados, moedas... Contínua: Contínua: Quando os valores podem assumir qualquer valor pertencente ao conjunto dos números reais: salários, preços de carros... Interessa-nos a contínua. Como existe um número muito grande de possíveis valores de uma variável aleatória contínua - VAC, não é possível registrá-los numa lista, tabela ou desenho. A distribuição de uma VAC é dada por uma curva contínua e não por pontos discretos de uma uma tabe tabela la.. Essa Essa curv curva, a, ou funç função ão mate matemá máti tica ca,, é chama chamada da de funçã funçãoo densid densidade ade de probabilidade (fdp). A área sob a curva entre dois pontos do eixo x, a e b com b > a , dá o valor da probabilidade da VA ter um valor entre esses dois pontos. Portanto, a probabilidade de uma VA deve ser calculada dentro de um intervalo de valores.
P (a < x < b)
DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
Uma distribuição da VAC é a distribuição uniforme da probabilidade, que apresenta uma função densidade de probabilidade constante. F (x)
1 b-a
Base x h = 1
a
b
x
Portanto, a probabilidade de que certo valor da VA seja igual ou maior que a e, ao mesmo tempo, igual ou menor que b , é 100%. A probabilidade de que a variável x seja igual ou maior que c e, ao mesmo tempo, igual ou menor que d , dentro do intervalo (a,b), será: F (x) 40
a
c
d
b
x
P (c < x < d) =
d–c b – a
* O Excel não tem função Estatística para a distribuição uniforme.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL Uma das mais, mais, senão, senão, a mais mais import important antee distri distribui buição ção de freqüê freqüênci ncia. a. Para Para melhor melhor compreensão, consideremos:
Observemos que a curva é simétrica ao redor da média. A área total sob a curva é definida como 100 % e cada metade, obviamente, 50 %. A grande vantagem da distribuição normal é que, conhecendo a Média a Média e o Desvio o Desvio Padrão Padrão , podemos determinar qualquer valor de probabilidade. A probabilidade de que a variável aleatória x aleatória x esteja dentro do intervalo ( a , b ), P ), P ( a ( a < x < b ), é dada pela área sob a curva entre esses dois valores. valores. Por exemplo: a probabilidade de que a variável aleatória x se encontre entre a=20 e b= 60 é definida como P(a < x < b ) = P(20 < x < 60 ), e corresponde à área definida entre os valores 20 e 60. Como existe uma curva de distribuição normal diferente para cada par de valores, com o objetivo de simplificar a complexidade dos cálculos, foi desenvolvido um padrão de procedimento considerando uma única curva de distribuição: distribuição normal padronizada, sendo aplicado o desvio padrão normalizado Z, como mecanismo de transformação. A vari variáv ável el alea aleató tóri riaa desv desvio io padrã padrãoo norm normal aliz izad adoo Z, de uma dist distri ribui buiçã çãoo norm normal al padronizada, é dada pela seguinte equação:
41
Z=
x-µ σ
Após essa transformação, a curva de distribuição normal passa a ter uma forma única, padronizada, igual à distribuição normal com µ = 0 e σ = 1. Para calcularmos, por exemplo, a probabilidade de que a variável x se encontre entre 20 e 60, deve-se obter o valor de P (a < x < b) = P (20 < x < 60).
Z 1 =
= -2 Z 2 =
= +2
20 – 40 10
60 – 40 10
O valo valorr da proba probabi bili lida dade de será será dada dada por P (20 (20 < x < 60) 60) = P (-2 (-2 < x < 2), 2), que que corresponde à área sob a curva de distribuição padronizada, definida entre valores Z 1 = -2,0 e Z 2 = +2,0, que tem a mesma configuração do desenho anterior, ou seja, a mesma curva de distribuição com os dois eixos.
-4 –3
–2 -1
0
1
2
3
4
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA – DISTRIBUIÇÃO Z U TILIZAÇÃO TILIZAÇÃO DA TABELA 6)
P ( -1 < Z < 1 ) P ( Z < 1) = 0,8413
P ( Z ≥ -1 ) = 1 – 0,8413
P ( -1 < Z < 1) = 0,8413 - 0,1587 7)
P ( -
⇒
⇒ 0,6826 ⇒
P ( Z ≥ -1 ) = 0,1587
68,26 %
< Z < 1,23 )
P ( Z < Z < 1,23 ) = 0,8907 ⇒ 89.07 %
8)
P ( - 1,5 < Z < 2 ) P P ( Z ≥ - 1,5 ) = 0,9332
⇒
1 - 0,9332 = 0,0668 42
P ( Z < Z < 2 ) = 0,9772
⇒ P ( - 1,5 < Z < 2 )
= 0,9772 - 0,0668 = 0,9104
91,04 %
ou P (Z < 2 ) =
0,9772
⇒
1 – 0,9772 = 0,0228
P ( Z ≥ - 1,5 ) = 0,9332 ⇒ P ( - 1,5 < Z < 2 ) = 0,9332 - 0,0228 = 0,9104
91,04 %
Distribuição Normal Padronizada – Distribuição Z Z
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,00
0,5000
0,5040
0,5080
0,5120
0,5160
0,5199
0,5239
0,5279
0,5319
0,5359
0,10
0,5398
0,5438
0,5478
0,5517
0,5557
0,5596
0,5636
0,5675
0,7514
0,5753
0,20
0,5793
0,5832
0,5871
0,5910
0,5948
0,5987
0,6026
0,6064
0,6103
0,6141
0,30
0,6179
0,6217
0,6255
0,6293
0,6331
0,6368
0,64,06
0,6443
0,6480
0,6517
0,40
0,6554
0,6591
0,6628
0,6664
0,6700
0,6736
0,6772
0,6808
0,6844
0,6879
0,50
0,6915
0,6950
0,6985
0,7019
0,7054
0,7088
0,7123
0,7157
0,7190
0,7224
0,60
0,7257
0,7291
0,7324
0,7357
0,7389
0,7422
0,7454
0,7486
0,7517
0,7549
0,70
0,7580
0,7611
0,7642
0,7673
0,7704
0,7734
0,7764
0,7794
0,7823
0,7852
0,80
0,7881
0,7910
0,7939
0,7967
0,7995
0,8023
0,8051
0,8078
0,8106
0,8133
0,90
0,8159
0,8186
0,8212
0,8238
0,8264
0,8289
0,8315
0,8340
0,8365
0,8389
1,00
0,8413
0,8438
0,8461
0,8485
0,8508
0,8531
0,8554
0,8577
0,8599
0,8621
1,10
0,8643
0,8665
0,8686
0,8708
0,8729
0,8749
0,8770
0,8790
0,8810
0,8830
1,20
0,8849
0,8869
0,8888
0,8907
0,8925
0,8944
0,8962
0,8980
0,8997
0,9015
1,30
0,9032
0,9049
0,9066
0,9082
0,9099
0,9115
0,9131
0,9147
0,9162
0,9177
1,40
0,9192
0,9207
0,9222
0,9236
0,9251
0,9265
0,9279
0,9292
0,9306
0,9319
1,50
0,9332
0,9345
0,9357
0,9370
0,9382
0,9394
0,9406
0,9418
0,9429
0,9441
1,60
0,9452
0,9463
0,9474
0,9484
0,9495
0,9505
0,9515
0,9525
0,9535
0,9545
1,70
0,9554
0,9564
0,9573
0,9582
0,9591
0,9599
0,9508
0,9616
0,9625
0,9633
1,80
0,9641
0,9649
0,9656
0,9664
0,9671
0,9678
0,9686
0,9693
0,9699
0,9706
1,90
0,9713
0,9719
0,9726
0,9732
0,9738
0,9744
0,9750
0,9756
0,9761
0,9767
2,00
0,9772
0,9778
0,9783
0,9788
0,9793
0,9798
0,9803
0,9808
0,9812
0,9817
2,10
0,9821
0,9826
0,9830
0,9834
0,9838
0,9842
0,9846
0,9850
0,9854
0,9857
2,20
0,9861
0,9864
0,9868
0,9871
0,9875
0,9878
0,6881
0,9884
0,9887
0,9890
2,30
0,9893
0,9896
0,9898
0,9901
0,9904
0,9906
0,9909
0,9911
0,9913
0,9916
2,40
0,9918
0,9920
0,9922
0,9925
0,9927
0,9929
0,9931
0,9932
0,9934
0,9936
2,50
0,9938
0,9940
0,9941
0,9943
0,9945
0,9946
0,9948
0,9949
0,9951
0,9952
2,60
0,9953
0,9955
0,9956
0,9957
0,9959
0,9960
0,9961
0,9962
0,9963
0,9964
2,70
0,9965
0,9966
0,9967
0,9968
0,9969
0,9970
0,9971
0,9972
0,9973
0,9974
2,80
0,9974
0,9975
0,9976
0,9977
0,9977
0,9978
0,9979
0,9979
0,9980
0,9981
2,90
0,9981
0,9982
0,9982
0,9983
0,9984
0,9984
0,9985
0,9985
0,9986
0,9986
3,00
0,9987
0,9987
0,9987
0,9988
0,9988
0,9989
0,9989
0,9989
0,9990
0,9990
3,10
0,9990
0,9991
0,9991
0,9991
0,9992
0,9992
0,9992
0,9992
0,9993
0,9993
43
3,20
0,9993
0,9993
0,9994
0,9994
0,9994
0,9994
0,9994
0,9995
0,9995
0,9995
3,30
0,9995
0,9995
0,9995
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9997
3,40
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9998
3,50
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
3,60
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
3,70
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
3,80
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
3,90
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
44
