An´ alise alise Vetorial Jens Mund Notas de Aula “F “F´ ´ısica Matem´atica atica I”, DF-UFJF, 2006–2009
Conte´ udo udo 1 O Espac ¸o F´ısico, Coordenadas, Escalares e Vetores. ´ 1.1 Algebra Linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 1.2 O Espa Espa¸c¸o Afim Euclideano. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Sistemas de Coo oorrdenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Coo oorrdenadas Cartesianas. . . . . . . . . . . . . . 1.3 1.3.2 Coo oorrdenadas Curvil´ıneas. . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 1.3 .3 Sist Sistem emas as Espec Especia iais is de Coord Coorden enad adas as Curv Curvil il´´ıneas ıneas.. .
. . . . . .
2 2 9 10 10 11 14
2 An´ alise Vetorial. 2.1 Curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Campos pos Escalares e Vetoriais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Integrais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Integrais de Curva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 2.3.2 Integrai graiss de Super perf´ıcie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Integrais de Volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Operadores Diferenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 A Derivada Direcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 O Gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. 2.4.33 A Div Diverg ergˆencia ncia e o Teor eorem emaa de Ga Gaus uss. s. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 2.4 .4 Cara Caract cter eriz iza¸ a¸c˜ c˜ao a o do Ro Rota taci ciona onall na na Geo Geome metr tria ia Difer Diferen enci cial. al. . . . . . . . 2.4.5 2.4 .5 Cara Caract cter eriz iza¸ a¸c˜ c˜ao ao da Div Diverg ergˆˆencia encia na Geom Geometr etria ia Difer Diferenc encial ial.. . . . . . . . 2.5 2.5 Apli Aplica ca¸c˜ c¸˜oes Sucess´ıveis de Nabla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Oper perador de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 2.5.2 O “Ca´lculo-Nabla”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 15 16 17 17 18 19 19 19 20 20 23 26 29 29 29
3 Tensores. ´ lgebra Linear de Tensores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 A 3.1.1 Produ oduto Tensorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Exemplos: Tensor Kronecker, Kronecker, Tensor m´ m´etrico, etrico, n-F n -Form orma a de de Volum Volume. e. . 3.1. 3.1.33 Muda Mudan¸ n¸ ca de Base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. 3.1.44 Oper Opera¸ a¸c˜ c˜oes com Tensores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ana´lise Tensorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 3.3 Apli Aplica ca¸c˜ c¸ao: a˜o: Tensores de Deforma¸c˜ cao a˜o e Tens˜ao, Lei de Hook ooke. . . . . . . . . .
30 30 30 34 36 37 40 44
4 Exerc´ıcios.
47
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
co Rodrigo Ferreira Falci e Adriano de Oliveira Zangirolami Agradecimentos. Agrade¸co para as muitas corre¸c˜ c˜oes! oes! 1
2
1 1.1
Fis. Mat. I, 15/10/2009 15/10/2009
O Espaco c ¸o F´ısico, Coordenadas Coo rdenadas,, Escalares Escalar es e Vetores. ´ Algebra Linear.
c˜ao a o + : V V V um conjunto (“os vetores”) com uma opera¸c˜ V (a Defini¸ c˜ ao 1 Seja V “adi¸c˜ cao ˜ao de vetores”) e : R V V V (“multiplica¸c˜ c˜ao ao de vetores por escalares”). V ´e chamado chamado de espa¸ de espa¸co co vetorial (ou (ou espa¸co co linear) se para todos u, v , w V e s, t R vale:
·
× →
∈
× → ∈
u + v = v + u
(comutatividade);
(1)
u + (v + w) = ( u + v ) + w
(asso ciatividade);
(2)
(s + t) u = s = s u + t u t (u + v ) = t u + t v
(distributividade);
(3)
( — ” — );
(4)
(asso ciatividade);
(5)
·
·
· ·
s (t u) = (st ( st)) u
· ·
1 u = u .
·
·
· ·
(6)
Ademais, existe um vetor distinguido, 0 (“o vetor nulo”), t.q. u + 0 = u para todos u
∈ V . V .
´ costume deprezar o “ ” e escrever t E escrever t u em vez de t u. Os n´umeros umeros reais, neste contexto, s˜ao ao frequentemente chamados de “escalares”. Uma soma de vetores da forma
·
·
n
ti ui := t := t 1 u1 +
i=1
· · · + tn un
´e chama cha mado do combina¸c˜ cao ˜ linear dos vetores u1 , . . . , un . O conjunto conjunto de todas combin combina¸ a¸c˜ c˜oes oes lineares dos vetores u 1 , . . . , un ´e chama cha mado do o gerador (ou (ou a varredura linear) deles, denotado por
n
span u1 , . . . , un :=
{
}
ti ui , ti
i=1
∈ R
.
(7)
chama do de linearmente linearmente independente se Defini¸ c˜ ao 2 i) Um conjunto u1, . . . , un ´e chamado n = tn = 0. No outro caso, ele ´e chamado chamado de linearmen linearmente te i=1 ti ui = 0 implica t1 = dependente. ii) ii) Um conjunto a1 , . . . , an de vetores vetor es ´e uma base de V se ele ´e linearmente linearm ente independente e a sua varredura coincide com V . V .
{ · · · }
{
}
co vetorial vetorial possui possui uma base. ase. Todas bases bases de um Teorema e Defini¸c˜ ao 1.1 Cada espa¸co dado espa¸ espa¸co co vetoria vetorial l V V tˆem em a mesma cardinalidade. cardinalidade. Esta cardinalidade cardinalidade ´e chamada a dimens˜ ao de V . V . Dado uma base a1 , . . . , an , cada vetor u em V possui V possui uma ´unica unica decomposi¸ decomposi¸c˜ c˜aaoo
{
}
n
u =
ui ai .
i=1
Os coefficientes ui s˜ ao ao chamados as componentes as componentes (contravariantes) do (contravariantes) do vetor u com rese¯ 1 , . . . , ¯ peito `a base a1 , . . . , an . Supomos agora que a , ¯ e uma um a outra o utra base. Ent˜ao ao cada an ´ cao ˜ao com respeito da nova nova base. As componentes componentes a j da velha base possui uma decomposi¸c˜ i vamos agora notar por A por A j :
{
}
{
}
n
a j =
i=1
A ji ¯ ai .
(8)
3
Fis. Mat. I, 15/10/2009
V e sejam ui e u ¯i as componentes de u com Lema 1.2 (Mudanca de Base) Seja u V ¯ 1 , . . . , ¯ respeito a ` base a1 , . . . , an e a , ¯ an , respetivamente, i.e.,
{ {
∈ }
} { {
n
u =
n
i
u ai =
i=1
¯ i. u ¯i a
i=1
Se as duas bases s˜ ao relacionadas por (8), (8), ent˜ ao vale n
i
u¯ =
A ji u j .
(9)
j=1 j =1
Demonstra¸c˜ cao. ˜ n
u =
n
j
u a j =
j=1 j =1
Isso mostra que u ¯i =
Uma aplica¸c˜ caao φ ˜o φ : : V V
j
u
j=1 j =1
j j n j=1 j =1 Ai u ,
n
n
A ji
¯ i = a
i=1
n
¯ i. A ji u j a
i=1
j=1 j =1
como afirmado.
→ V ´e chama cha mada da linear se se ela satisfaz φ(su + tv ) = sφ( sφ (u) + tφ( tφ(v).
(10)
Produto Escalar. caao ˜o : V Defini¸ c˜ ao 3 Uma aplica¸c˜
cha mada da de produto de produto escalar se se ela el a ´e · × × V → R ´e chama sim´ si m´etri et rica ca:: u · v = v · u bilinear: (su + tv ) · w = s = s((u · w) + t(v · w); positiva definida: u · u ≥ 0, u · u = 0 se e somente se u = 0.
(11) (12) (13) (14)
(Por causa da simetria (11), a linearidade (12) tamb´ em em vale no segundo argumento.) Um espa¸co co vetorial com produto escalar ´e chamado de espa¸co co euclideano. euclideano. Ele possu possuii uma norma, definida por (15) u := u u 0,
√ · ≥
satisfazendo tu = t u . O unico u ´ nico vetor com norma zero ´e o vetor 0 . Se u v = 0, n´os os chamamos os vetores u e v de ortogonais de ortogonais , em s´ımbol ımb olos os
| |
·
u
⊥ v.
Para um subconjunto U V , V , o conjunto de vetores que s˜ao ao ortogonais a todos vetores em U em U ´ ´e um subespa sub espa¸¸co co linear, chamado do complemento ortogonal a U , U , em s´ımbol ımb olos os U ⊥ :
⊂
U ⊥ := v
{ ∈ V : v · u = 0 ∀u ∈ U }. Um conjunto de vetores {u1 , . . . , ur } ´e chama cha mado do de sistema de sistema ortogonal se se eles s˜ao ao mutualmutual´ mente ortogonais, i.e. ui · u j = 0 se i = j . E simples verificar que um sistema ortogonal sempre ´e linearmente independente. indep endente. O conjunto ´e chamado de sistema ortonormal (ou
4
Fis. Mat. I, 15/10/2009 15/10/2009
SON ) se em adi¸c˜ c˜ao ao todos ui s˜ao ao normalizados normalizados,, i.e. tˆem em norma 1. Isto pode p ode ser caraterizado em s´ımbolos ımbolo s por ui u j = δ ij ij ,
·
onde δ onde δ ij e o chamado cham ado s´ımbolo ımb olo de Kronecker: Kron ecker: ij ´ δ ij ij :=
1, 0,
se i se i = j, = j, se i se i = j.
(16)
Um conjunto de vetores e1 , . . . , en ´e chamado cham ado de uma base uma base ortonormal (ou (ou BON ) se ele ´e uma base e tamb´em em um sistema ortonormal. ortono rmal. Em outras palavras, palavras , se ele ´e um SON ´e o gerador dele coincide com o espa¸co co inteiro, V . V . Sendo Sendo uma base, base, cada vetor vetor u V tem uma unica u ´ nica decomposi¸c˜ c˜aaoo
{
}
∈
n
u =
ui ei .
(17)
i=1
coeficientes tes ui na decomposi¸c˜ cao ˜ acima s˜ ao Lema 1.3 i) Se e1, . . . , en ´e uma BON, os coeficien dados por ui = e i u. (18)
{ {
}
·
ii) Se os vetores e1 , . . . , en s˜ ao somente um sistema ortogonal, ortogonal, ent˜ ao os coeficientes s˜ ao dados por ei u ui = . (19) 2
· ei
Demonstra¸c˜ cao. ˜ Supomos que os vetores vetores e 1 , . . . , en s˜ ao um sistema ortogonal, i.e., e k ei = ao 2 a ek δ ki ki . Multiplicando os dois lados da eq. (17) por ek d´
·
n
ek u =
·
n
i
u ek ei =
·
i=1
ui ei
i=1
2 δ kiki = uk ek 2.
O exemplo principal de um espa¸co co euclideano euclide ano ´e o Rn , cujos elementos denotamos por n-uplas ordenadas, ordenadas, e.g. x = (x1 , . . . , xn ). O produto pro duto escalar ´e dado por n
1
n
1
n
(x , . . . , x ) (y , . . . , y ) :=
·
xi yi .
i=1
A cham chamad adaa BON canˆ anˆ onica do Rn s˜ao a o os vetor etores es (1, (1, 0, . . . , 0), 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . ., (0, (0, . . . , 0, 1). Qualqu Qualquer er espa¸ espa¸co co vetorial euclideano V V de dimens˜ao ao n ´e iso is om´orfico orfico ao Rn (i.e., pode ser identificado com o Rn ). A saber, saber, dado uma BON BON e1 , . . . , en de V , V , cada i V V tem uma unica ´unica decomposi¸c˜ c˜ao ao (17), u = u ei , e pode ser identificado com o u 1 n n n-´esimo esimo de suas componentes (u , . . . , u ) R com com respe respeit itoo a esta esta base. base. Adem Ademai ais, s, o n produto escalar em V em V coincide coincide com o produto escalar em R sob esta identifica¸ identificac˜ c¸˜ao: ao:
∈
{
∈
}
n
u v =
·
ui v i ,
i=1
onde u onde u i e v i s˜ ao ao as componentes de u e v com respeito `a BON (de fato, a qualquer BON). ao ortogonais, ie. u v = 0, ent˜ ao vale Lema 1.4 (Pit´ (Pit ´ agoras) agora s) Se u e v s˜
·
u + v2 = u2 + v2.
(20)
5
Fis. Mat. I, 15/10/2009
V um subespa¸co co linear. linear. Ent˜ Entao, ˜ cada v V V tem uma Lema 1.5 (Proje¸c˜ cao) a ˜o) Seja U V ⊥ unica ´ decomposi¸c˜ c˜ ao v = v 1 + v 2 t.q. v 1 U e v ch amad ado o de proje¸ de proje¸c˜ caao ˜o v 2 U . O vetor v v 1 ´e cham 1 de v U , respectiva res pectivament mente, e, em s´ımbolos ımbol os v =: P U c˜ coes ˜ de v U e U U ⊥ , v sobre U , v 1 =: P v sobre U U v . As proje¸ respectivamente, s˜ ao determinadas pela seguinte f´ ormula. Seja e1 , . . . , en uma BON de ⊥ V V t.q. e1 , . . . , er U e er+1 , . . . , en U . Ent˜ ao,
⊂ ⊂
∈
∈
∈
∈
{ {
∈
}
r
P U U v
≡ v1 =
P U v ⊥
≡ v2 =
(ei v ) e i
∈ U,
·
i=1 n
(21)
∈ U ⊥.
(ei v ) ei
i=r+1
·
(22)
A aplica¸c˜ c˜aao P o P U P U e uma um a apli ap lica ca¸c˜ c¸ao ˜ao linear, a chamada proje¸ chamada proje¸c˜ cao ˜ ortogonal sobre U sobre U .. U : v U v ´ No caso U caso U ´ ´e unidimensional, gerado por um vetor u , escrevemos P escrevemos P u em vez de P U U . Neste caso, o vetor vetor normalizado normalizado u / u constitui uma BON de U de U ,, e ent˜ao ao a eq. (21) implica que a proje¸c˜ c˜aao P o P u ´e dado da do por po r u v P uv = (23) u . 2
→
· u
O Lema tem uma consequˆ consequˆ encia encia importante, importante, a chamada chamada desigualdade desigualdade de Cauchy Cauchy e Schwarz:
Lema 1.6 (Cauchy-Schwarz) Para todos vetores u, v vale
|u · v| ≤ u v.
(24)
Demonstra¸c˜ cao. ˜ Dado u , v
∈ V , V , decompomos v como = P uv + v 2 , v = P
onde v 2 P uv confor conforme me o Lem Lemaa 1.5. A eq. (20) implica implica que v 2 ´e a soma da norma quadrada de P de P uv mais a norma quadrada do vetor chamado v 2 no Lema 1.4. Como esta norma nor ma ´e posi p ositiva, tiva, vale v P uv . Mas P uv = u v / u pela eq. (23). Isto mostra eq. (20).
⊥
≥
| · |
Como
u + v2 = u2 + v2 + 2 u · v ≤ u2 + v2 + 2|u · v| ≤ u2 + v2 + 2uv = u + v 2,
nos temos a a desigualdade triangular :
u + v ≤ u + v.
(25)
¯1 , . . . , e ¯n . que nos temos temos duas BONs e1 , . . . , en e e Orienta¸c˜ cao a ˜o de BONs. Supomos que ¯1 , . . . , e ¯ n , temos Fazendo a decomposi¸c˜ cao a˜o dos e j com respeito `a base e
{
{
} {
}
}
n
e j =
R ji ¯ei ,
(26)
i=1
(compare com Eq. (8)). O fato que as duas bases s˜ao ortonormais implica que δ ij ij = e i e j =
·
1
k,l
¯ l = Rki R jl ¯ek e
·
Rki R jk = (R ( RT R) ji ,
k
Correspondentemente, v 2 ´e a pro je¸c˜ cao a ˜o de v sobre U sobre U ⊥ : v 2 = P U v . ⊥
(27)
6
Fis. Mat. I, 15/10/2009
onde nos consideramos R jk os coefficientes de uma matriz R como na Eq. (29), e R T denota a matriz transposta. A Eq. (27) implica que RT R ´e a martiz-unidade (que significa que R ´e uma matriz ortigonal, R O(n)), e implica que a determinante de RT R e´ um. Por outro lado, det(RT R) = det(RT )det(R) = det(R)2 , ent˜ao a matriz R que relaciona as duas bases segundo Eq. (26) deve ter determinate +1 ou 1. Isto implica (exerc´ıcio!) que existem duas classes de BONs, onde cada par de BONs dentro de uma classe ´e relacionado por uma matriz R com determinante +1. Por conven¸c˜ao, chamamos uma classe de BONs com orienta¸cao ˜ positiva (ou BONs orientadas), e a outra classe de BONs com orienta¸c˜ ao negativa.
∈
−
Determinante. Seja e1 , . . . , en uma BON com orienta¸ca˜o positiva de V , e sejam oes u1 , . . . , un n vetores in V com decomposi¸c˜
{
}
n
u j =
u ji ei ,
j = 1, . . . , n .
(28)
i=1
Seja A a matriz com coefficientes u ji , i.e.,
A :=
·
u11 u21
un1
··· u1n ··· u2n · ··· unn
.
(29)
Ent˜ao definimos a determinante dos vetores u 1 , . . . , un por det(u1 , . . . , un ) := det(A).
(30)
¯i , i = Isto realmente ´e independente da BON (orientada!), pela seguinte raz˜ a o. Seja e 1, . . . , n uma outra BON orientada. Ent˜ao ela ´e relacionada com e1 , . . . , en via Eq. (26), onde R ´e uma matriz com determinate 1. Pelo Lema 1.2, as componentes u ji e u ¯ ji do vetor ¯i , respectivamente, s˜ao relacionadas por u ¯ ji = k Rki u jk . u j com respeito `a BON ei e e ¯ Isto implica (exerc´ıcio!) que a matriz A com coefficientes u ¯ ji e a matriz A da Eq. (29) s˜ao ¯ = det(R) det(A). Mas relacionadas por A¯ = R A, que por sua vez implica que det( A) ¯ = det(A), mostrando que a defini¸ca˜o (30) ´e independente da det(R) = 1, ent˜ao det(A) BON orientada. Observa¸c˜oes sobre a determinante: A determinante ´e uma aplica¸ca˜o n-linear e totalmente anti-sim´etrica (i.e., trocar dois argumentos resulta num fator 1). Este fato, e a “normaliza¸ca˜o” det(e1 , . . . , en ) = 1 para uma BON orientada, fixa a aplica¸ca˜o completamente. Pois estas propriedades implicam
}
{
{
}
{ } { }
−
det(u1 , . . . , un ) =
ui11
i1 ,...,in
=
i1 ,...,in
ui11
··· uin det(ei , . . . , ei n
1
n) =
i1 ,...,in
··· uin εi ···i ,
ui11
··· uin εi ···i det(e1, . . . , en) n
1
n
n
1
n
(31)
onde uν ao os componentes de ui no sentido da Eq. (28) com respeito a qualquer BON i s˜ positiva, e ε i1 ···in ´e o chamado s´ımbolo de Levi-Civit`a: 2 εi1 ···in := 2
−
0, 1, 1,
se i1 , . . . , in = 1, . . . , n , se (1, . . . , n) (i1 , . . . , in ) ´e uma permuta¸ca˜o par, se (1, . . . , n) (i1 , . . . , in ) ´e uma permuta¸ca˜o impar.
{
} { → →
}
(32)
Observe que a anti-simetria implica que a determinante ´e zero se os argumentos s˜ ao linearmente dependentes.
7
Fis. Mat. I, 15/10/2009
Observe que para qualquer outra aplica¸c˜ao D : V ×n sim´etrica vale o mesmo raciocino, levando a conclus˜ao D(u1 , . . . , un ) =
ui11
i1 ,...,in
··· uin D(ei , . . . , ei ) = n
n
1
→
ui11
i1 ,...,in
= D(e1 , . . . , en ) det(u1 , . . . , un ).
R
n-liner e totalmente anti-
··· uin εi ···i D(e1, . . . , en) n
n
1
Temos ent˜ao o R uma aplica¸ cao ˜ n-linear, totalmente anti-sim´etrica (onde n Lema 1.7 Seja D : V ×n ´e a dimens˜ ao de V ). Ent˜ ao existe uma constante c R tal que para todos v 1 , . . . , v n vale
→
∈
D(v 1 , . . . , v n ) = c det(v1 , . . . , v n ). (Esse fator c ´e o valor de D numa BON com orienta¸cao ˜ positiva.)
Produto Vetorial. Lema 1.8 Seja V um espa¸co euclideano, e λ : V um unico ´ vetor w em V t.q. λ(u) = w u u
˜ linear. Ent˜ ao existe → R uma aplica¸cao ∀ ∈ V. (33)
·
Demonstra¸cao. ˜ Seja e1 , . . . , en uma base ortogonal em V . Define
{
}
n
w :=
λ(ei ) e i .
(34)
i=1
´ f´acil ver que vale eq. (33). Para comprovar a unicidade, seja w′ um outro vetor que E satisfaz eq. (33). Ent˜ ao w u = w′ u (= λ(u)) para todos u V . Isto implica que ′ w w ´e ortogonal a todos vetores em V , inclusive a si mesmo: ( w w′ ) (w w′ ) = 0. Conforme a defini¸c˜ao de um produto escalar, ver eq. (14), isso implica w w′ = 0, ou seja, w = w ′ .
·
−
·
∈
−
· − −
Vamos agora definir o produto vetorial, valente somente em trˆes dimens˜o es. Dado dois vetores u , v V , a aplica¸ca˜o w det(u, v , w) claramente ´e linear.
∈
→
Defini¸ c˜ ao 4 O produto vetorial u v de dois vetores u , v Lema 1.8, t.q. para qualquer w V vale
∈
(u
∈ V ´e o u´nico vetor, conforme
×
× v) · w = det(u, v, w).
(35)
Em termos de uma BON e1 , e2 , e3 em V , u
{
}
× v e dado, pela Eq. 34, por
3
u
× v =
det(u, v , ei ) ei .
(36)
i=1
Proposi¸ ca ˜o 1.9 i) O produto vetorial satisfaz Anti-simetria: Bilinearidade: Se e1 , e2 , e3 ´e BON orientada :
{
}
Identidade de Grassmann:
× v = −v × u; (su + tv ) × w = s(u × w) + t(v × w); e1 × e2 = e 3 , e2 × e3 = e 1 , e3 × e1 = e 2 ; u × (v × w) = ( u · w) v − (u · v ) w. u
(37) (38) (39) (40)
8
Fis. Mat. I, 15/10/2009
× v ´e caracterizado por: 1. Norma: Ela satisfaz 3 u × v2 = u2v2 − (u · v)2 ≡ (uv sen γ )2, (41) onde γ ´e o ˆ angulo entre u e v . 2. Dire¸cao: ˜ u × v ´e ortogonal a u e v , com sentido t.q. ˜ positiva. {u, v, u × v} tem orienta¸cao ii) O vetor u
Observe que as equa¸co˜es (37) e (38) implicam a linearidade do produto vetorial no segundo argumento. Ademais, as equa¸c˜oes (37) at´e (39) fixam o produto vetorial. Na introdu¸c˜ao do rotacional `a la geometria diferencial, Se¸ca˜o 2.4.4 vamos usar o seguinte fato. ao trˆes, e η : V V Lema 1.10 Seja V um espa¸co euclideano de dimens˜ aplica¸cao ˜ bilinear e anti-sim´etrica. Ent˜ ao existe um unico ´ vetor w em V t.q.
× → R uma
η(u, v ) = w (u
· × v) ≡ det(w, u, v) ∀u, v ∈ V.
(42)
Demonstra¸cao. ˜ Seja e1 , e2 , e3 uma BON orientada em V . Define
{
}
w := η(e2 , e3 ) e1 + η(e3 , e1 ) e2 + η(e1 , e2 ) e3 .
(43)
Este vetor satisfaz Eq. (42), como se calcula direitamente. Para comprovar a unicidade, seja w ′ um outro vetor que satisfaz Eq. (42). Ent˜ao w ′′ := w w′ deve satisfazer w ′′ (u v ) = 0 para todos u , v V . Mas cada vetor em V ´e da forma u v para u , v apropriadas, ent˜ao w′′ ´e ortogonal a todos vetores em V , inclusive sim mesmo. Isso implica w′′ = 0, ou seja, w = w ′ .
−
∈
· ×
×
Volume de Paralelep´ıpedos. (Bibliografia: [2].) Dado vetores u 1 , . . . , ur junto
∈ V , o con-
r
Π(u1 , . . . , ur ) :=
ti ui , ti
∈ [0, 1]
i=1
(44)
´e chamado o paralelep´ıpedo gerado pelos vetores u1 , . . . , ur . (No caso r = 1: segmento de reta, no caso r = 2: paralelogramo.) O volume pode ser definido iterativamente como seguinte. O volume do paralelep´ıpedo gerado por u 1 , . . . , ur+1 ´e o volume do paralelep´ıpedo gerado por u1 , . . . , ur (a “base”) vezes a norma da proje¸c˜a o de ur+1 ao complemento ortogonal dos vetores u 1 , . . . , ur (a “altura”), conforme Lema 1.4. (Observe que n´os casos r = 1 e 2, o “paralelep´ıpedo” tambem ´e chamado segmento de reta ou paralelogramo, respectivamente, e o seu “volume” ´e o comprimento ou ´area, respectivamente.) ao, o volume de u1 , . . . , ur ´e Teorema 1.11 Sejam A e G como no Lema acima. Ent˜ dado por 1 Vol Π(u1 , . . . , ur ) = det(G) 2 . (45) Aqu´ı, G ´e a matriz G :=
· ··· · ··· · ur · u1 ···
u1 u1 u2 u1
· · · ur · ur
u1 ur u2 ur
No caso r = n, vale det(G) = det(u1 , . . . , un )2 , ent˜ ao
.
Vol Π(u1 , . . . , ur ) = det(u1 , . . . , un ) .
|
3
|
(46)
(47)
Vamos ver depois (ver Eq. (48)) que a norma de u × v , dada pela Eq. (41), coincede com a ´area do paralelogramo gerado por u e v .
9
Fis. Mat. I, 15/10/2009
Demonstra¸cao. ˜ Vamos mostrar a Eq. (45) via indu¸c˜ao atrav´es r. Para r = 1, claramente det(G) = u1 2 =Vol Π(u1 )2 . Supomos agora que a afirma¸c˜ao vale para um certo r 1, e ˆ matrizes para r e r + 1 mostramos que isto implica que ela vale para r +1. Sejam G e G as vetores, respetivamente. O vetor u r+1 possui uma u ´ nica decomposi¸c˜ao u r+1 = v + a, onde v ´e na varredura dos vetores u1 , . . . , ur e a ´e ortogonal a estes vetores, conforme Lema 1.5. (Ent˜ ao a ´e a proje¸c˜ao de u r+1 ao complemento ortogonal dos vetores u1 , . . . , ur .) Agora ˆ = det(G) a 2 . Mas u 1 , . . . , ur ´e a base e a ´e a um pequeno c´alculo mostra que det(G) altura do paralelep´ıpedo. Por hip´ otese da indu¸ca˜o, det(G)1/2 ´e o volume da base. Ent˜ ao 1/2 ˆ det(G) ´e igual ao volume da base vezes altura, ou seja, ao volume do paralelep´ıpedo. Isto mostra a Eq. (45). Para mostrar Eq. (47), verificamos por um pequeno c´alculo que a matriz G coincede com A T A, onde A ´e a matriz da Eq. (29). No caso r = n, isto implica que det(G) = det(AT A) = (det A)2 det(u1 , . . . , un )2 , e mostra Eq. (47).4
≥
≡
No caso r = 2, onde Π(u1 , u2 ) ´e um paralelogramo, a determinante de G ´e dada por u1 2 u2 2 (u2 u2 )2 . Mas pela Eq. (41), isto ´e a norma quadrada do vetor u1 u2 . Ent˜a o a ´area do paralelogramo ´e, pela Eq. (45), dada por
−
·
×
Vol Π(u1 , u2 ) = u1
× u2.
1.2
(48)
O Espa¸ co Afim Euclideano.
Notamos o espa¸co f´ısico por E , e pontos em E por o,p,q,r,... . Dado dois pontos o e p em E , consideramos o segmento de reta orientado entre o e p (come¸cando em o e com ponta em p). Aquela “flecha” chamamos o vetor deslocamento entre o e p, notado por op. Na geometria elementar aprendemos que as seguintes constru¸c˜oes s˜ao poss´ıveis com r´egua e compasso. (1) Transla¸c˜ao paralela. Uma flecha op come¸ cando em o pode ser transportada de o para qualquer outro ponto o1 por transla¸cao ˜ paralela . A ponta desta flecha marca um certo ponto p 1 , ent˜ao a flecha transladada ´e da forma o1 p1 . (Figura!) Nos identificamos a flecha op e a flecha transladada o1 p1 . A classe de todas flechas que provˆem de op por transla¸c˜ao paralela ser´a ent˜ao considerada um vector deslocamento. Vetores deslocamento notamos generalmente por u, v , w, . . ., e o conjunto de todos vetores deslocamento notamos por V .5 Com isso, um ponto p E e um vetor deslocamento v V determinam um u ´ nico ponto q t.q. pq = v (A saber, q ´e marcado pela ponta da flecha v , transladada tal que ela come¸ca em p). Nesta situa¸ca˜o, escrevemos q = p + v . Experimentalmente, verifique-se que a transla¸c˜ao paralela ´e comutativa:6
−−→
−−→
∈
∈
(o + u) + v = (o + v ) + u.
(49)
(2) Medir a distˆancia entre quaisquer dois pontos p, q , notado por dist( p, q ) . Com isso, tamb´em podemos medir o ˆangulo ∠(u, v ) entre dois vetores u e v . (3) Construir a proje¸c˜ao ortogonal de um vetor v sobre um outro vetor u, notado por P uv . (Figura!) Estes fatos implicam que o conjunto V de vetores deslocamento ´e um espa¸co vetorial, com norma e produto escalar. A adi¸c˜ao de vetores ´e definida como seguinte: u+v ´e definido 4
Observa que isto implica de novo que | det(u1 , . . . , un )| ´e independente da BON. Alternativamente, podemos discriminar um ponto o ∈ E (a origem) e definir V como o conjunto de todos vetores deslocamento que come¸cam em o. 6 Realmente, tudo isso vale s´ o se o campo gravitacional e a acelera¸ca ˜o do laborat´orio s˜ ao desprez´ıveis. Em geral, o espa¸co (–tempo) ´e curvo. Neste caso, para cada p onto p ainda pode ser definido o conjunto de “vetores” come¸cando em p (o chamado espa¸co tangente em p), mas a transla¸ca ˜o paralela n˜ e independente ao ´ do caminho, ent˜ao os vetores come¸cando em p e aqueles come¸cando num outro ponto n˜a o podem ser identificados. Tamb´ em, a comutatividade (49) vale s´o aproximadamente. 5
10
Fis. Mat. I, 15/10/2009
como a u ´ nica seta t.q. o + ( u + v ) = (o + u) + v . (A Eq. (49) implica a comutatividade e o vetor deslocamento “com comprimento 0”, u + v = v + u .) O elemento neutral 0 ´ caraterizado pelo fato que vale p + 0 = p para todos p E . u ´e o u ´ nico vetor tal que c˜ao u + u = 0. Para t 0, t u ´e o vetor u , esticado pelo fator t. Isto, junto com a defini¸ do inverso u, fixa operacionalmente a multiplica¸c˜ao de vetores por escalares. (Exerc´ıcio: Verificar que V realmente ´e um espa¸co vetorial com estas defini¸c˜aoes.) A norma de vetores ´e dada por pq := dist( p, q ). (50)
−
−
∈
≥
−
Esta norma realmente provem de um produto escalar, conforme Eq. (15), a saber: u v :=
·
±uP v ≡ u v cos γ,
u
(51)
onde γ = ∠(u, v ) ´e o ˆangulo entre u e v. (O sinal na primeira equa¸c˜ao ´e positivo se u e P uv tˆem o mesmo sentido, e negativo no outro caso.) Na linguagem dos matem´aticos, tudo isso implica que o espa¸co f´ısico E (se gravita¸ca˜o e acelera¸ca˜o s˜ao desprez´ıveis) tem a estrutura de um espa¸co afim euclideano (da dimens˜ao trˆes).7 Observamos finalmente que E pode ser identificado com V , depois de escolher um ponto o E (a origem ou referencial ). A saber, dado o cada ponto p E tem o seu vetor posi¸cao ˜ V. (52) r ( p) := op
∈
∈
∈
Como a correspondˆencia p r( p) ´e un´ıvoca, E pode ser identificado com V dessa maneira. Observe que o vetor deslocamento entre p e q ´e dado por pq = r (q ) r( p), ent˜ao temos
↔
−
dist( p, q ) = r (q )
1.3
− r( p).
Sistemas de Coordenadas.
No seguinte, E e V denotam o espa¸co f´ısico e o espa¸co de vetores deslocamento, respetivamente. Nos deixamos a dimens˜ao, n, aberta (na pr´atica, claramente n = 2 ou 3).
1.3.1
Coordenadas Cartesianas.
Depois de escolher uma origem o E e uma BON e1 , . . . , en em V , para cada p vetor-posi¸c˜ao r( p) = op possui uma u ´ nica decomposi¸c˜ao
∈
{
}
∈ E o
n
r ( p) =
xi ( p) ei .
(53)
i=1
(Pela eq. (18), xi ( p) = ei r ( p).) Os n n´umeros xi ( p) definidos de tal maneira s˜a o as coordenadas Cartesianas do ponto p. No espa¸co tridimensional, vamos as vezes escrever
·
e1 =: e x ,
e2 =: e y ,
e3 =: e z .
(54)
ˆ. ˆ , ˆ ˆ ou ˆi, jˆ, k Na literatura encontra-se tamb´em a nota¸c˜ao x y, z 7
Um conjunto E ´e um espa¸co afim se existe um espa¸co vetorial V e uma aplica¸ca ˜o E × V → E ,
( p, v ) → p + v , t.q. vale: i) Para cada p, q ∈ E existe um v ∈ V t.q. q = p + v . (Nota¸ca ˜o: v =: pq .) ii) Para p ∈ E , u , v ∈ V vale p + ( u + v ) = ( p + u) + v . iii) Para p ∈ E , a equa¸ca ˜o p + v = p vale se e somente se v = 0 . Um espa¸co afim E ´e chamado de espa¸co afim euclideano se V possui um produto escalar. A dimens˜ ao de E ´e definido pela dimens˜ao de V . Observe que o vetor v = pq do item i) ´e u ´ nico pelo item iii).
11
Fis. Mat. I, 15/10/2009
1.3.2
Coordenadas Curvil´ıneas.
Acima, cada aplica¸c˜ao p x i ( p) pode ser encarada como uma fun¸c˜a o de E para a reta real. Vamos generalizar esta id´eia. Seja D E um dom´ınio aberto. Um sistema de coordenadas ´e um n-´esimo de fun¸co˜es
→
⊂
ui : E
→ R,
i = 1, . . . , n
t.q. a aplica¸c˜ao D Rn , p u1 ( p), . . . , un ( p) ´e localmente invert´ıvel e diferenciavel (mais precisamente, um difeomorfismo local). Dessa maneira, p pode ser identificado com a n-upla de suas coordenadas (u1 ( p), . . . , un ( p)). Por outro lado, depois de escolher uma origem o, um ponto p em E pode ser identificado com seu vetor-posi¸c˜ao r( p) = op V . Por isso, o vetor-posi¸c˜ao r ( p) de um ponto p pode ser identificado com o n-´ esimo das coordenadas do ponto, e n´ os podemos (e vamos) escrever
→
→
∈
r(u1 , . . . , un ) := r ( p)
(55)
se p tem as coordenadas u 1 , . . . , un .
Vetores Tangentes. Uma curva parametrizada ´e uma aplica¸ca˜o de um intervalo [a, b] R para E , t r (t). O vetor tangente , em s´ımbolos r˙ (t), no ponto r (t) da curva ´e definido por d 1 (56) r˙ (t) := r(t) := lim r(t + ε) r(t) . ε→0 ε dt
⊂
→
−
(Observe que isso ´e um vetor em V , e a defini¸c˜a o n˜ ao depende da origem o E .) Se o par´ametro t tem a significˆancia do tempo, o vetor tangente r˙ (t) tem a interpreta¸c˜a o da velocidade instantˆanea, frequentemente denotado por v (t). Neste caso, a segunda derivada d2 d (t) = dt ˜o, denotado por a(t). (Ver se¸c˜ao 2.1.) r˙ (t) = v˙ (t) ´e a acelera¸ca dt2 r
∈
Base de vetores correspondente a um sistema de coordenadas. Dado um sistema de coordenadas u1 , . . . , un , a curva da coordenada u i atrav´es p ´e a curva
{
}
t
→ r(u1, . . . , ui + t , . . . , un),
(57)
onde u 1 , . . . , un s˜ ao as coordenadas de p, e r (u1 , . . . , un ) ´e o vetor-posi¸ca˜o correspondente, ∂ r conforme equ. (55). O vetor tangente a esta curva ´e denotado por ∂u i: ∂ r d ( p) := r (u1 , . . . , ui + t , . . . , un ) i ∂u dt
t=0
(58)
∂ r se u 1 , . . . un s˜ ao as coordenadas do ponto p. O vetor ∂u ca˜o de u i crescente. i ( p) tem a dire¸ ´ importante observar que ∂ ri ( p) realmente depende do ponto p! (Esta dependˆencia quanE ∂u tificamos abaixo, ver eqs. (63) e (67).) A u ´ nica exce¸c˜a o s˜ao coordenadas lineares, como por exemplo Cartesianas:
Exemplo 1.12 Se x1 , . . . , xn s˜ao coordenadas Cartesianas, correspondente a uma BON ao o vetor-posi¸ca˜o de um ponto p com coordenadas e1 , . . . , en como na equ. (53), ent˜ 1 n n (x , . . . , x ) R ´e dado, conforme equ. (55), por
{
}
∈
n
1
n
r(x , . . . , x ) =
i=1
xi ei .
12
Fis. Mat. I, 15/10/2009
Consequentemente, o vetor equ. (58) implica ∂ r ( p) ∂x i
∂ r ( p) ∂x i
´e simplesmente ei (em particular, constante!), pois a
≡ dtd {x1e1 + ··· (xi + t)ei + ··· xnen} t=0 = ei.
O fato que a aplica¸c˜ao p conjunto dos n vetores
→ (u1, . . . , un) ´e invert´ıvel implica que,
(59)
para cada p fixo, o
∂ r ∂ r ( p), . . . , ( p) (60) ∂u 1 ∂u n ´e linearmente independente, ent˜ao uma base do espa¸co vetorial V . Ent˜ ao, cada vetor em V pode ser decomposto com respeito a esta base:
v =
v i ( p)
i
∂ r ( p). ∂u i
(61)
Os n´ umeros v i ( p) s˜ ao chamados as componentes (contravariantes) de v com respeito `a ∂ r ∂ r base ∂u 1 ( p), . . . , ∂un ( p) , ou com respeito as coordenadas u1 , . . . , un . Como exemplo da decomposi¸c˜ao (61), calculamos os componentes de um vetor tangente. Uma curva parametrizada t r (t) ´e, na pr´atica, dada pelas coordenadas ui (t) := u i (r(t)). A regra de cadeia implica que seu vetor tangente tem a decomposi¸c˜ ao
{
}
{
}
→
n
r˙ (t) =
u˙ i (t)
i=1
∂ r (t), ∂u i
(62)
ent˜ao os componentes contravariantes de r˙ (t) s˜ a o dados por u˙ i (t). Aqui, n´os escrevemos ∂ r ∂ r (t) em vez de ∂u e dada em termos de coordenadas Cartesianas i (r (t)). Se a curva ´ ∂u i (x(t), y(t), z(t)), ent˜ao a eq. (59) implica ˙ ex + y(t) ˙ ey + z(t) ˙ ez . r˙ (t) = x(t) Em v´arias aplica¸c˜oes, por exemplo calculando a acelera¸ca˜o (95), ´e u ´ til conhecer as ∂ r derivadas parcias dos vetores ∂u i ( p) com respeito `as coordenadas u j . (Elas quantificam a dependˆencia destes vetores de p.) Como estas segundas derivadas tamb´ em s˜ao vetores ∂ r em V , podemos decompor eles em termos da base ∂uk ( p), k = 1, . . . , n . Os coeficientes respectivos s˜ao chamados de s´ımbolos de Christoffel , Γkij :
{
∂ 2 r ( p) =: ∂u j ui
n
k=1
k Γ ji ( p)
}
∂ r ( p). ∂u k
(63)
k .) Vamos calcular os Γ k para (Como as derivadas parciais permutam, ´e claro que Γkij = Γ ji ij um sistema de coordenadas ortogonais.
Defini¸ c˜ ao 5 Um sistema de coordenadas u1 , . . . , un chama-se sistema de coordenadas ∂ r ortogonais se, para cada p, os vetores ∂u ao mutuamente ortogonais. i ( p), i = 1, . . . , n, s˜
{
}
∂ r Dado um tal sistema, n´os podemos dividir cada ∂u i ( p) sobre a sua norma para obter um vetor unit´ario e i ( p): 1 ∂ r ∂ r ( p), hi := ( p) . (64) ei ( p) := i hi ∂u ∂u i
13
Fis. Mat. I, 15/10/2009
(ei ( p) ´e o vetor unit´ario na dire¸ca˜o ui crescente.) Os n vetores e1 ( p), . . . , en ( p) s˜ ao uma i BON. No caso de coordenadas ortogonais, os coeficientes v ( p) de um vetor v V com respeito `a decomposi¸ca˜o (61) podem ser calculados pela eq. (19):
∈
n
v =
v i ( p)
i=1
∂ r ( p) ∂u i
∂ r ( p) v . ∂u i
2 v i ( p) = h − i
⇔
·
(65)
O c´alculo dos s´ımbolos de Christoffel usar´a a chamada f´ormula de Koszul:
Lema 1.13 (F´ ormula de Koszul.) Para qualquer sistema de coordenadas u1 , . . . , un vale: ∂ r ∂ 2 r ∂ ∂ r 2 k = i j ∂u ∂u ∂u ∂u i ∂u j para i, j, k i,...,n .
·
∈{
}
∂ r · ∂u k
∂ ∂ r ∂ r ∂u j ∂u i ∂u k
+
·
∂ ∂ r ∂ r ∂u k ∂u i ∂u j
−
·
(66)
Demonstra¸cao. ˜ Aplicando a regra do produto ∂ ∂ r ∂ r ∂ 2 r ∂ r ∂ r ∂ 2 r = + ∂u i ∂u j ∂u k ∂u i ∂u j ∂u k ∂u j ∂u i ∂u k aos trˆes termos do lado direito da eq. (66), todos termos se cancelam menos os termos do lado esquerdo.
·
·
·
Proposi¸ ca ˜o 1.14 (S´ımbolos de Christoffel.) Se o sistema de coordenadas u1 , . . . , un ´e ortogonal, vale para todos i, j e k = i: i Γiij = Γ ji =
1 ∂h i , hi ∂u j
Γkii =
∂h i − hh2i ∂u k
se k = i.
k
(67)
Todos os outros s˜ ao zero, i.e., Γkij = 0 se i, j, k s˜ ao mutuamente diferentes. Demonstra¸cao. ˜ A defini¸c˜ao (63) dos Γkij e a eq. (65) implicam que Γkij
1 ∂ r ∂ 2 r( p) = 2 ( p) . ∂u i ∂u j hk ∂u k
·
Usando a f´ormula de Koszul (66) e o fato que ortogonais, fornece Γkij =
∂ r ∂u i
· ∂u∂
∂h j 1 ∂h i δ h + δ h j i jk i k ∂u i ∂u j h2k
Isso implica as equa¸c˜oes (67).
r j
= δ ij h2i no caso de coordenadas
∂h i − δ ij hi ∂u k
.
Muitas vezes temos afirma¸co˜es sobre vetores em termos de coordenadas. Para transferir tais afirma¸c˜oes de um sistema para um outro sistema, precisamos o seguinte Lema. ¯1 , . . . , ¯ un , as respectivas Lema 1.15 Dado dois sistemas de coordenadas u1 , . . . , un e u bases em V s˜ ao relacionadas como seguinte:
{
∂ r ( p) = ∂u i
n
j=1
} {
}
∂ ¯ u j ∂ r ( p) ( p). ∂u i ∂ ¯ u j
(68)
Em particular em coordenadas Cartesianas, u ¯ j = x j , vale ∂ r ( p) = ∂u i
n
j=1
∂x j ( p) e j . ∂u i
(69)
14
Fis. Mat. I, 15/10/2009
(A Eq. (69) na literatura frequentemente serve como defini¸cao dos ˜ vetores
∂ r ( p).) ∂u i
Demonstra¸cao. ˜ Regra de cadeia. A segunda equa¸c˜ao segue a partir da primeira com a eq. (59).
1.3.3
Sistemas Especiais de Coordenadas Curvil´ıneas.
As coordenadas Cartesianas s˜ao u ´teis em situa¸co˜es homogˆeneas (com simetria translacional em todos dire¸c˜oes). Em situa¸co˜es com outras simetrias ´e recomendavel usar outras coordenadas, adaptadas as simetrias.
Coordenadas Cil´ındricas. Em situa¸co˜es com simetria rotacional em torno de uma reta R (o eixo), e translacional na dire¸c˜ao do mesmo eixo, usamos coordenadas cil´ındricas: (u1 , u2 , u3 ) = (̺,ϕ,z ) (0, ) [0, 2π] R. Elas s˜ ao definidas (operacionalmente) em E R como segue. Escolhemos eixos x, y e z tal que R coincide com o eixo-z. Seja P x,y r( p) a proje¸ca˜o do vetor r ( p) ao plano x-y conforme Lema 1.5. Ent˜ao para p E R definimos
\
∈
∞×
×
∈ \
̺( p) := distˆancia entre p e R
(70)
ϕ( p) := ˆangulo de P x,y r( p) com o eixo dos x positivos
(71)
z( p) := ez r( p),
(72)
·
onde ez ´e o vetor unit´ario na dire¸c˜a o dos z positivos. A rela¸c˜ao com as coordenadas Cartesianas ´e a seguinte. Se o ponto p tem coordenadas Cartesianas x, y, z, ent˜ao ̺( p) =
x2 + y 2 ,
ϕ( p) = arctan(y/x),
z( p) = z.
(73)
Inversamente, se p tem coordenadas cil´ındricas , ϕ, z , ent˜ao ̺ x( p) = cos ϕ, ̺
y( p) = sen ϕ, ̺
z( p) = z.
(74)
Os vetores tangentes `as curvas de coordenadas s˜ao, em termos da BON ex , ey , ez ,
{
∂ r = cos ϕ ex + sen ϕ ey , ∂ ̺
∂ r = ∂ϕ
−̺ sen ϕ ex + ̺ cos ϕ ey ,
}
∂ r = e z . ∂z
(75)
Eles s˜ao claramente mutuamente ortogonais. As respectivas normas s˜ao h̺ :=
∂ r = 1, ∂ ̺
hϕ :=
∂ r = , ̺ ∂ϕ
h
A Proposi¸c˜ao 1.14 fornece os s´ımbolos de Christoffel: Γ̺ϕϕ =
−,̺
z
:=
∂ r = 1. ∂z
ϕ Γϕ ϕ = Γϕ ̺ = ̺
1 , ̺
(76)
(77)
e todos outros Γkij s˜ao nulos.
Exemplo 1.16 Usamos coordenadas cil´ındricas para parametrizar a curva correspondente a um movimento circular uniforme, com raio R e velocidade angular ω: Escolhendo os eixos x e y no plano do movimento, com a origem no centro dele, temos ̺(t) = R = ∂ r ∂ r cte., ϕ(t) = ωt e z(t) = 0. A velocidade ´e r˙ (t) = ϕ(t) ˙ ∂ϕ (t) = ω ∂ϕ (t), com norma ao. r˙ (t) = ωh ϕ (t) = ω (t) = ωR. No Exemplo 2.3 calcularemos a acelera¸c˜ ̺
15
Fis. Mat. I, 15/10/2009
Coordenadas Esf´ ericas. Em situa¸c˜oes com simetria rotacional SO(3) em torno de um ponto discriminado o, usamos coordenadas esf´ ericas: (u1 , u2 , u3 ) = (r,θ,ϕ) (0, ) (0, π) [0, 2π]. Elas s˜ao definidas (operacionalmente) como segue. Escolhemos eixos x, y e z tal que o coincide com a origem. Ent˜ao para p em E menos o eixo-z definimos
∈
×
r( p) := dist(o, p) = r ( p) ,
∞×
(78)
θ( p) := ˆangulo de r( p) com o eixo dos z positivos, ϕ( p) := ˆangulo de P x,y r( p) com o eixo dos x positivos,
(79)
(80)
onde P x,y r( p) ´e a proje¸ca˜o do vetor r( p) ao plano x-y conforme Lema 1.5. A rela¸ca˜o com as coordenadas Cartesianas ´e a seguinte. Se o ponto p tem coordenadas Cartesianas x,y,z, ent˜ao
x2 + y 2 + z 2 , z θ( p) = arccos , x2 + y 2 + z 2 ϕ( p) = arctan(y/x). r( p) =
(81)
(82)
(83)
Inversamente, se p tem as coordenadas esf´ericas r,ϑ,ϕ, ent˜ao x( p) = r sen θ cos ϕ,
y( p) = r sen θ sen ϕ,
z( p) = r cos θ.
(84)
Os vetores tangentes `as curvas de coordenadas s˜ao, em termos da BON ex , ey , ez ,
{
}
∂ r r ( p) ( p) = sen θ cos ϕ ex + sen θ sen ϕ ey + cos θ ez = , ∂r r( p) ∂ r ( p) = r cos θ cos ϕ ex + r cos θ sen ϕ ey r sen θ ez , ∂θ ∂ r ( p) = r sen θ sen ϕ ex + r sen θ cos ϕ ey . ∂ϕ
−
(85) (86) (87)
−
Eles s˜ao claramente mutuamente ortogonais. As normas respectivas s˜ ao hr = 1,
hθ = r,
hϕ = r sen θ.
(88)
A Proposi¸c˜ao 1.14 fornece os s´ımbolos de Christoffel: 1 Γθθr = Γ θrθ = , r 1 ϕ Γϕ ϕr = Γ rϕ = , r ϕ ϕ Γϕθ = Γ θϕ = cot θ,
Γrθθ =
−r, Γrϕϕ = −r sen 2 θ, Γθϕϕ = − sen θ cos θ,
(89)
(90)
(91)
e todos outros Γkij s˜ao nulos.
2 2.1
An´ alise Vetorial. Curvas.
˜ Ent˜ ao vale Lema 2.1 Sejam u (t) e v (t) curvas no espa¸co vetorial V , e f (t) uma fun¸cao. d ˙ v (t) + f (t) ˙v (t), f (t) v (t) = f (t) dt d ˙ (t) v (t) + u(t) v˙ (t), u(t) v (t) = u dt d ˙ (t) v (t) + u(t) v˙ (t). u(t) v (t) = u dt
· ×
· ×
·
×
(92)
(93)
(94)
16
Fis. Mat. I, 15/10/2009
ametro t de Acelera¸c˜ ao em Coordinadas Curvil´ıneas. Como mencionado, se o par´ uma curva r(t) em E tem a significancia do tempo, ent˜ ao o vetor tangente r˙ (t) ´e a ¨ (t) ´e a acelera¸c˜ao. velocidade instantˆanea, e a segunda derivada r ao, em coordenadas curvil´ıneas u1 , . . . , un , ´e dada por Lema 2.2 A acelera¸c˜ n
¨ (t) = r
k
i
j
u¨ (t) + u˙ (t) u˙
(t) Γkij (t)
i,j,k=1
∂ r (t). ∂u k
(95)
Demonstra¸cao. ˜ Usando a express˜ao (62) para a velocidade em coordenadas curvil´ıneas, temos pelas regras de produto e da cadeia n
d ¨(t) = r dt
i=1
n
=
∂ r u˙ (t) i (t) = ∂u i
∂ r u ¨ (t) k (t) + ∂u
n
k
k=1
n
∂ r u ¨ (t) i (t) + ∂u
i
i=1
u˙ i (t)
i=1
d ∂ r (t) dt ∂u i
∂ 2 r u˙ (t) u˙ (t) j i (t). ∂u u i
i,j=1
n
j
Usando a defini¸c˜ao (63) dos Γkij d´a eq. (95).
(96) (97)
˙ 0, ϕ = ω ˙ Exemplo 2.3 O movimento circular uniforme do exemplo 1.16 tem ¨uk = 0, ̺ = e z = ˙ 0. Ent˜ao a eq. (95) d´a ¨ (t) = r
ϕ˙ 2 (t) Γkϕϕ (t)
k=̺ ,ϕ,z
∂ r (t) = ∂u k
Na segunda equa¸c˜ao usamos o fato que Γ̺ϕϕ = 2.2
−ω2 ̺(t) ∂ ∂r (t) = −ω2 R ∂ ∂r (t). ̺
̺
−̺ e Γkϕϕ = 0 se k =̺
.
Campos Escalares e Vetoriais.
Como motiva¸c˜ao das no¸c˜oes escalar e vetor, consideramos um vetor deslocamento A( p) no ponto p. Dado um sistema de coordenadas u1 , . . . , un , podemos decompor o vetor a base correspondente, ver Eq. (61): A( p) com respeito `
{
n
A( p) =:
Ai ( p)
i=1
}
∂ r ( p). ∂u i
(98)
Os numeros Ai ( p) tal definidos s˜ao as componentes (contravariantes) do vetor A( p) com respeito `as coordenadas u1 , . . . , un . O Lema 1.15 implica que eles se transformam sobre uma transforma¸ca˜o de coordenadas como seguinte.
{
}
¯1 , . . . , ¯ un um outro sistema de coordenadas, e A¯i ( p) as componentes Lema 2.4 Seja u correspondentes de A( p). Ent˜ ao vale
{
}
n
A¯ j ( p) =
i=1
∂ ¯ u j A ( p) i ( p). ∂u i
(99)
Um aspeito importante ´e o seguinte: O objeto A( p), o vetor deslocamento, obviamente n˜ ao depende do sistema de coordenadas, mas os componentes dependem sim. Cada componente ent˜ao ´e uma grandeza que depende do sistema de coordenadas.
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Fis. Mat. I, 15/10/2009
Em constraste, uma grandeza f´ısica unidimensional8 ´e chamada de escalar se ela n˜ao depende da escolha de uma sistema de coordenadas no espa¸co E . (Como acabamos de entender, um exemplo de uma grandeza unidimensional que n˜ ao ´e um escalar seria a i componente-i, A ( p), de um vetor deslocamento A ( p) com respeito a um sistema de coordenandas. Pois com respeito a um outro sistema de coordenadas, a componente-i tem um ¯i ( p).) Depois da escolha de uma unidade, os valores de uma grandeza escalar outro valor A podem ser naturalmente identificados com os n´umeros reais R. Exemplos para escalares s˜ao: intervalo de tempo (na f´ısica n˜ao-relativistica); massa; densidade de um fl´uido num ponto p; temperatura num ponto p; potencial el´ectrico num ponto p. Um campo escalar ´e uma fun¸c˜ao f que vive no espa¸co E e tem como valores uma grandeza escalar. Ent˜ ao, depois da escolha de uma unidade do escalar respetivo, um campo escalar pode ser identificado com uma fun¸c˜ao f : E R. Exemplos: Densidade de um fl´uido; distribui¸c˜ao da temperatura na sala; potencial el´ectrico. Uma grandeza f´ısica ´e chamada de um vetor , se ela pode ser naturalmente identificada com um vetor deslocamento v V ; mais precisamente: Se ela resulta da multiplica¸ca˜o de um vetor deslocamento por um escalar. Depois da escolha de uma unidade, uma grandeza vetorial pode ser identificado com os vetores deslocamento, V . Uma defini¸ca˜o equivalente, que frequentemente ´e usada na literatura, ´e a seguinte. Vetores s˜ao grandezas f´ısicas trˆı-dimensionais, cujos trˆes componentes se transformam sob uma mudan¸c a de coordenadas como os componentes contravariantes de um vetor deslocamento, ver Eq. (99). Exemplos para vetores s˜ao: velocidade ou acelera¸ca˜o instantˆ anea de um corpo puntiforme quando ele passa um ponto p E ; for¸ c a exercida a um corpo num ponto p; campo el´ectrico num ponto p. Um campo vetorial ´e uma aplica¸ca˜o que vive em E e tem como valores uma grandeza vetorial. Depois da escolha de uma unidade o campo vetorial pode ser identificado com uma aplica¸c˜ao A : E V .9 Exemplos: Campo de velocidades instantˆ aneas dos constituentes moleculares de um fl´uido em movimento; campo el´ectrico. Na discuss˜ao do divergente vamos usar o conceito da curva integral de um campo A atrav´es um ponto p, em s´ımbolos t ψt ( p). Isto ´e a curva caracterizada pela seguinte EDO e condi¸c˜ao inicial:
→ ∈
∈
→
→
d ψt ( p) = A (ψt ( p)), dt
ψ0 ( p) = p.
(100)
A familia de transforma¸c˜oes p ψt ( p) de E definida dessa maneira ´e chamada o fluxo gerado pelo campo A (inglˆes: flow of A ). Para t 0 vale
→
→
ψt ( p) = p + tA( p) + O(t2 ). 2.3
2.3.1
(101)
Integrais.
Integrais de Curva.
Defini¸ c˜ ao 6 Seja C uma curva com parametriza¸ca˜o t i) O comprimento da curva, l(C ), ´e definido por
→ r(t), t ∈ [a, b].
b
l(C ) :=
r˙ (t) dt.
a
ii) Dado um campo vetorial A , o integral de A sobre a curva C , em s´ımbolos 8 9
(102)
C A
· dr, ´e
Unidimensional significa que um n´ umero (real) ´e suficiente para esp ecificar o valor da grandeza. Em geral, os campos f e A precisam ser definidos somente num certo dom´ınio D ⊂ E .
18
Fis. Mat. I, 15/10/2009
definido por
b
A dr :=
·
C
A(r(t)) r˙ (t) dt.
·
a
(103)
Estas defini¸c˜oes s˜ao independentes da parametriza¸ ca˜o. Se a curva C ´e fechada, ´e costume escrever C A r.
2.3.2
·
Integrais de Superf´ıcie.
Defini¸ c˜ ao 7 i) Uma superf´ıcie parametrizada ´e uma aplica¸c˜ao suave de um certo subr ∂ r conjunto fechado K R2 para E , (s, t) r (s, t) E , t.q. os vetores ∂ ∂s (s, t) e ∂t (s, t) s˜ao linearmente independentes. A imagem S desta aplica¸c˜ao,
⊂
→
∈
S := p
{ ∈ E | ∃ (s, t) : p = r (s, t)}, Para p = r(s, t) ∈ S , escrevemos
´e chamada uma superf´ıcie. ∂ r ∂ r ario ∂s (s, t) e ∂t (s, t). Ademais, o vetor unit´ n( p) :=
∂ r ∂s ( p) ∂ r ∂s ( p)
∂ r ∂s ( p)
e
(104)
∂ r ∂t ( p)
em vez de
× ∂ ∂t ( p) × ∂ ∂t ( p) r r
(105)
´e chamado do vetor normal `a superf´ıcie. Ele ´e perpendicular (...) `a superf´ıcie, discriminando um dos dois lados da superf´ıcie. Uma superf´ıcie junto com um campo vetorial normal (ou com um dos lados discriminados) chama-se superf´ıcie orientada . ii) A ´ area da superf´ıcie S , em s´ımbolos A(S ), ´e definido por A(S ) :=
K
∂ r (s, t) ∂s
×
∂ r (s, t) dsdt. ∂t
(106)
iii) Seja A um campo vetorial. O fluxo de A atrav´es da superf´ıcie S , em s´ımbolos ´e definido por
S
A dσ :=
·
A(r (s, t))
K
Se a superf´ıcie ´e fechada, escrevemos
S A
·
∂ r (s, t) ∂s
×
∂ r (s, t) dsdt. ∂t
· dσ.
· S A
dσ ,
(107)
O fluxo de A atrav´es S pode ser equivalentemente definido pela seguinte caracteriza¸c˜ao, bem perto da intui¸c˜ao geom´etrica. Seja S + a parte de S que consiste dos pontos p onde o campo A ( p) aponta para o mesmo lado de S como o vetor normal n( p) da superf´ıcie, em f´ormulas A ( p) n( p) > 0 para p S + . Seja ψ t o fluxo gerado pelo campo A como definido na Eq. (100). Para t > 0 consideramos o conjunto G+ t de pontos p cuja curva integral + s ψs ( p) atravessa a parte S da superf´ıcie (na dire¸c˜ao n por hip´otese) no intervalo de “tempo” [0, t], em f´ormulas
·
∈
→
G+ t :=
ψs (S + )
s [0,t]
∈
≡ {ψs( p)| s ∈ [0, t], p ∈ S +}.
(108)
Da mesma maneira definimos o conjunto G− ψs ( p) t de pontos p cuja curva integral s atravessa a superf´ıcie no sentido oposto ao vetor normal n . Ent˜ ao, o fluxo de A atrav´es S ´e d Vol(G+ Vol(G− (109) A dσ = t ) t ) t=0 . dt S
→
·
−
19
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2.3.3
Integrais de Volume.
Seja u1 , u2 , u3 um sistema de coordenadas numa regi˜ao G E e valores num dom´ınio G0 R3 . (I.e., p G implica (u1 ( p), u2 ( p), u3 ( p)) G0 . Alternativamente, a aplica¸c˜ao (u1 , u2 , u3 ) r (u1 , u2 , u3 ) conforme equ. (55) pode ser encarada como uma parametriza¸c˜ao da regi˜ao G, em analogia com parametriza¸c˜oes de curvas e superf´ıcies.) Ademais, ∂ r ∂ r ∂ r seja a orienta¸c˜ao do sistema positiva, i.e. os vetores ∂u 1 , ∂u 2 e ∂u 3 obedecem a regra da m˜ao direita. Ent˜ ao a integral orientada de volume de uma fun¸c˜ao f sobre G ´e definida por
{ ⊂
}
→
∈
∈
f dV :=
G
⊂
G0
f (r(u1 , u2 , u3 )) det ∂ 1 r, ∂ 2 r, ∂ 3 r du 1 du2 du3 .
dV (u1 , u2 , u3 )
(110) (111)
Em termos de coordenadas esf´ ericas, temos dV (r,θ,ϕ) = r 2 sen θdrdθdϕ. 2.4
(112)
Operadores Diferenciais.
2.4.1
A Derivada Direcional.
Seja f : D R uma fun¸ ca˜o e A : D V um campo vetorial, com derivadas parciais cont´ınuas. A derivada direcional de f em p na dire¸c˜ao v V , em s´ımbolos Dvf ( p), ´e definida por d Dv f ( p) := f ( p + tv ) t=0 . (113) dt
→
→
∈
(Signific´ ancia f´ısica: Taxa de varia¸c˜ao de f na dire¸ca˜o v ; por unidade de comprimento se ario.) Similarmente, a derivada direcional (ou derivada covariante ) de A em p na v ´e unit´ dire¸c˜ao v V , em s´ımbolos Dv A ( p), ´e definida por
∈
DvA ( p) :=
d A ( p + tv) dt
t=0
.
(114)
ao lineares em v . ConProposi¸ ca ˜o 2.5 As derivadas direcionais Dvf ( p) e DvA ( p) s˜ sequentemente, vale n
} Dv f ( p) =
i=1
∂f v ( p) ∂u i i
n
e
Nas equa¸c˜oes acima,
∂ ∂u i
vi
i=1
onde v i s˜ ao as componentes (covariantes) de v ∂ r 1 nadas u , . . . , un , i.e. v = ni=1 v i ∂u i.
{
Dv A ( p) =
∂ A ( p) ∂u i
(115)
∈ V com respeito a um sistema de coorde-
´e a derivada parcial com respeito `a coordenada ui , e.g.
∂ A d ( p) = A r (u1 , . . . , ui + t , . . . , un ) i ∂u dt
t=0
,
onde u1 , . . . , un s˜ ao as coordenadas do ponto p. A Proposi¸c˜ao afirma em particular que vale
D ∂ r f ( p) = ∂u i
∂f ( p), ∂u i
e
D ∂ r A ( p) = ∂u i
∂ A ( p). ∂u i
(116)
20
Fis. Mat. I, 15/10/2009
2.4.2
O Gradiente.
Lembramos que a derivada direcional Dv f ( p) ´e linear em v . Ent˜ ao o Lema 1.8 afirma que ela tem a forma de um produto escalar com v :
Defini¸ c˜ ao 8 Seja f uma fun¸c˜a o. O gradiente de f no ponto p, em s´ımbolos ( grad f )( p), ´e o u ´ nico vetor t.q. para todos v V vale
∈ v · (grad f )( p) =
Dvf ( p).
(117)
Os componenetes do gradiente podem ser calculados pela Eq. (34): ao o gradiente Lema 2.6 Seja u1 , . . . , un um sistema de coordenadas ortogonais. Ent˜ 10 de uma fun¸cao ˜ f ´e dado por
{
}
n
grad f =
i=1
1 ∂f ∂ r = h2i ∂u i ∂u i
n
i=1
1 ∂f e i . hi ∂u i
(118)
Defini¸ c˜ ao 9 Um campo vetorial A chama-se conservativo se a integral de linha de A sobre uma curva depende somente dos pontos iniciais e finais da curva. ´ facil mostrar que um campo vetorial ´e conservativo se e s´o se a integral de linha sobre E qualquer curva fechada ´e nula. o se ele possui um potencial, Proposi¸ ca ˜o 2.7 Um campo vetorial A ´e conservativo se e s´ i.e. existe um campo escalar φ t.q. A = grad φ.
2.4.3
A Divergˆ encia e o Teorema de Gauss.
A divergˆencia de um campo vetorial A ´e a densidade de fontes de A, i.e., o fluxo de A atrav´ es uma superf´ıcie fechada, pela unidade de volume. Vamos fazer isso preciso. Para cada regi˜ao G, consideramos a integral de superf´ıcie ∂G A dσ , onde ∂ G ´e orientado com vetor normal para fora. Geometricamente, isto ´e o fluxo neto de A saindo de G, e descreve fontes de A na regi˜ao G. Se n´os dividimos G em subregi˜oes disjuntas, G = G 1 G2 . . ., ent˜ao o fluxo atrav´es da superf´ıcie de G decomp˜oe como
∂G
A dσ =
·
∂G 1
A dσ +
·
·
∪ ∪
A dσ + . . . .
∂G 2
·
(119)
(Pois todas superf´ıcies interiores , constituindo divisas entre as regi˜oes G i e G j , s˜ ao percorridas duas vezes, com sentidos opostos, ent˜ao os termos correspondentes se cancelam. So os termos das superf´ıcies exteriores , que s˜ao parte do contorno de G, ficam.) Em outras palavras, o fluxo define uma grandezza µ(G) := ∂G A dσ que ´e aditiva . Como qualquer grandezza aditiva, ela possui uma densidade, definida por µ(G)/ Vol(G) no limite de pequeno volume. Aquela densidade ´e uma fun¸ca˜o que depende claramente de A. Ela ´e chamada de divergˆencia de A, em s´ımbolos div A. Mais precisamente, definimos
1 div A( p) := lim ε→0 Vol(Gε ) 10
·
N˜ ao escrevemos explicitamente a dependˆencia do ponto p.
∂G ε
A dσ .
·
(120)
21
Fis. Mat. I, 15/10/2009
Aqu´ı, Gε , ε > 0, ´e uma fam´ılia de regi˜o es tal que cada Gε cont´em o ponto p e tem diˆametro11 ε, em particular Gε contrai para o ponto p se ε 0. (O fato que isto n˜ ao 12 depende da fam´ılia G ε segue do Teorema de Gauss abaixo.) Vamos agora calcular a divergˆencia em termos de um sistema de coordenadas u1 , . . . , un . (Como div A depende linearmente e apenas localmente de A , a divergˆencia deveria ser um operador diferencial. Isto realmente ´e o caso:)
→
{
}
Proposi¸ ca ˜o 2.8 A divergˆencia de um campo vetorial A ´e dada por 1 div A = v
n
∂ i (vA i ), onde v := det(∂ 1 r, . . . , ∂n r ).
(121)
i=1
Aqui, Ai s˜ ao as componentes contravariantes de A com respeito as coordenadas ui como definidas na equ. (98), e ∂ i ( ) significa ∂u∂ i ( ).
·
·
(Exerc´ıcio: Verifique que o lado direito ´e independente do sistema de coordenadas, ou seja, que a divergˆencia ´e um escalar.) Explicitamente, temos em coordenadas cil´ındricas e esf´ericas, respectivamente: 1 ∂ ̺ (̺ A ̺ ) + ∂ ϕ Aϕ + ∂ z Az , ̺ 1 1 = 2 ∂ r (r 2 Ar ) + ∂ θ (sen(θ)Aθ ) + ∂ ϕ Aϕ , r sen θ
div A =
coord. cil´ındricas coord. esf´ericas.
Demonstra¸cao. ˜ (Em dimens˜ao trˆes.) Dado um ponto p, seja Gε o paralelep´ıpedo gerado pelos vetores ε∂ i r e com apex p: Gε := p + Π(v 1 , v2 , v 3 ), onde v i := ε∂ i r. O contorno de Gε consiste de 6 faces S i± , i = 1, 2, 3: Por exemplo S 1− ´e o paralelogramo p +Π(v 2 , v 3 ) com parametriza¸c˜ao r (s, t) := p + sv 2 + tv 3 , s, t [0, 1], e S 1+ ´e a face oposta, p + v 1 + Π( v 2 , v 3 ) com parametriza¸c˜ao r(s, t) + v 1 . O fluxo de A atrav´es de S 1− S 1+ ´e
∈
1
S 1− S 1+
∪
A dσ =
·
0
1
A(r(s, t) + v 1 )
0
∪
− A(r(s, t)) · v2 × v3 dsdt.
11
O diˆ ametro de um conjunto G ´e a maior distˆancia entre dois pontos em G. ´ interessante que as considera¸co E ˜es acima, em termos matem´aticos rigorosos, implicam o Teorema de Gauss junto com a propria defini¸ca ˜o da divergˆ encia ao mesmo tempo. O argumete funciona como segue. A aditividade (119) implica que µ(G) = ∂G A · dσ define um medida. (Ela ´e definida primeiro s´o para regi˜ oes G com contorno suave, mas pode ser extendida unicamente para todos conjuntos Borel, pois aqueles s˜ ao gerados, por exemplo, pelos cubos.) Observe-se que Vol(G) = 0 implica µ(G) = 0. O matem´ atico fala que dµ e´ absolutamente cont´ınua com respeito `a nossa medida dV . Nesta situa¸ c˜ao, o teorema de Radon-Nikodym [8] affirma que existe uma densidade, a saber uma fun¸ca ˜o ρ tal que para cada regi˜ao G vale µ(G) = G ρ dV , ou seja, 12
H
R
I
∂G
A · dσ =
Z
ρdV.
G
Tal densidade ρ ´e u ´ nica. Agora a divergˆencia de A e definida justamente por div A := ρ, ou seja, div A ´e au ´ nica fun¸ca ˜o caracterizada pela equa¸ca ˜o acima. Ent˜ ao aquela equa¸c˜ ao ´e o famoso teorema de Gauss, e pode ser considerada como defini¸ca ˜o da divergˆencia ao mesmo tempo. Deve ser mencionado que um jeito de construir a densidade ρ, alias div A, ´e justamente atravez da nossa defini¸ca ˜o (120), ver [9].
22
Fis. Mat. I, 15/10/2009
(O sinal prov´ em da orienta¸ca˜o de ∂G ε .) Usando A(r(s, t) + v 1 ) Dv1 A(r(s, t)) + O( v 1 2 ) = ε∂ 1 A( p) + O(ε2 ), temos
∂G ε
A dσ = ε
·
3
− A(r(s, t))
∂ 1 A (∂ 2 r
× ∂ 3r) + ∂ 2A · (∂ 3r × ∂ 1r) + ∂ 3A · (∂ 1r × ∂ 2r)
·
=
+ O(ε4 )
= ε 3 det(∂ 1 A, ∂ 2 r, ∂ 3 r) + det(∂ 1 r , ∂ 2 A, ∂ 3 r ) + det(∂ 1 r, ∂ 2 r, ∂ 3 A) + O(ε4 ) = ε 3 ∂ 1 det(A, ∂ 2 r, ∂ 3 r) + ∂ 2 det(∂ 1 r, A, ∂ 3 r ) + ∂ 3 det(∂ 1 r , ∂ 2 r, A) + O(ε4 ).
(A u ´ ltima linha tem mais termos do que a pen´ultima pela regra de produto, mas todos termos demais se cancelam pela anti-simetria da determinante.) Agora observamos que 3
det(A, ∂ 2 r , ∂ 3 r ) =
Ai det(∂ i r , ∂ 2 r , ∂ 3 r) = A 1 det(∂ 1 r , ∂ 2 r, ∂ 3 r)
i=1
≡ A1 v,
pois os termos com A 2 e A 3 se anulam pela anti-simetria da determinante. Similarmente, temos det(∂ 1 r , A, ∂ 3 r) = A 2 v e det(∂ 1 r , ∂ 2 r, A) = A 3 v. Temos ent˜ao
∂G ε
A dσ = ε 3 ∂ 1 (A1 v) + ∂ 2 (A2 v) + ∂ 3 (A3 v) + O(ε4 )
·
= Vol(Gε )
1 ∂ 1 (A1 v) + ∂ 2 (A2 v) + ∂ 3 (A3 v) + O(ε4 ), v
pois o volume de G ε ´e igual ε 3 v. Isto mostra a Proposi¸ca˜o.
(122)
ao cujo contorno ∂G ´ e uma superf´ıcie fechada, Teorema 2.9 (Gauss) Seja G uma regi˜ e seja A um campo vetorial com derivadas parciais cont´ınuas. Ent˜ ao vale
A dσ =
∂G
·
div A dV,
(123)
G
onde ∂G ´ e orientada t.q. o seu vetor normal aponta para fora de G. (Vamos mostrar este teorema num sistema de coordenadas. Mas note que uma fun¸ca˜o div A que satisfaz Eq. (123) ´e u ´ nica. Ent˜ ao, a fortiori , este teorema implica que div A ´e independente do sistema de coordenadas, ou seja, ´e um campo escalar.) Demonstra¸cao. ˜ Primeiro passo: Consideramos G um paralelep´ıpedo gerado por multiplos ∂ r das vetores de base ∂u u1 , . . . , un . (I.e., G ´e i com respeito a um sistema de coordenadas gerado pelos vetores v 1 ∂ 1 r, v 2 ∂ 2 r e v 3 ∂ 3 r, onde v 1 , v 2 , v 3 s˜ao arbitr´ arios.) Dividindo cada aresta em N partes do mesmo comprimento, o paralelep´ıpedo decomp˜oe em N 3 partes Gi,ε , i = 1, . . . , N 3 , cujo diˆametro, ε, ´e um N -´esimo do diˆametro de G. Pela aditividade (119), o fluxo atrav´es ∂G ´e a soma dos fluxos atrav´es ∂ Gi,ε , i = 1, . . . , N 3 . Cada tal fluxo ´e, pela Eq. (122), igual Vol(Gi,ε )div A( pi ) m´ odulo termos da ordem ε4 . (Aqu´ı, pi ´e um ponto arbitr´ario em G i,ε .) Ent˜ ao, temos
{
∂G
N 3
A dσ =
·
}
N 3
div A( pi ) Vol(Gi,ε ) +
i=1
O(ε4 ).
i=1
3
N 4 Isto vale tamb´ em no limite ε 0. Como N ´e da ordem ε−1 , o termo i=1 O(ε ) ´e da ordem ε e converge para zero se ε 0. Ent˜ a o, o fluxo ´e dado por
→
→
23
Fis. Mat. I, 15/10/2009
3
limε→0 N e justamente a integral de div A atrav´es da i=1 div A( pi ) Vol(Gi,ε ). Mas isto ´ regi˜ao G, ent˜ao temos provado a Eq. (123) para este caso. Segundo passo: Uma regi˜ ao arbitr´aria G pode ser decomposto como uni˜ao disjunta (infinita mas cont´ avel) de paralelep´ıpedos da forma acima. Pela aditividade (119), a Eq. (123) vale tamb´em para a uni˜ao G.
Corol´ ario 2.10 Seja B um campo vetorial definido num dom´ınio D
⊂ E . Se
B dσ = 0
S
(124)
·
para todas superf´ıcies fechadas S D, ent˜ ao div B = 0. O inverso vale se cada superf´ıcie fechada S D ´e o contorno de uma regi˜ ao G D.13
⊂
⊂
⊂
Vale mencionar que a condi¸ca˜o (124) ´e equivalente com: O fluxo de B sobre uma superf´ıcie (n˜ ao-fechada) S em D depende s´o da restri¸c˜a o de B ao contorno ∂S de S . Ou seja: ∂S 1 = ∂S 2 implica S 1 B dσ ca de integrais coincide S 2 B dσ = 0. (Pois aquela diferen¸ com S B dσ , onde S ´e a superf´ıcie fechada composto por S 1 e S 2 .)
·
· −
·
Demonstra¸cao. ˜ A Eq. (124) implica pelo Teorema de Gauss que para qualquer regi˜ao G D, a integral de volume de div B sobre G ´e zero. Isto implica que div B = 0. Inversamente, dada uma superf´ıcie S D, pegamos uma regi˜ao G D t.q. S = ∂G (tal G existe pela hip´otese H 2 (D) = 0.) Pelo teorema de Gauss, a integral de B sobre S coincide com a integral de volume de div B sobre G e ´e zero se div B ´e zero.
⊂
⊂
2.4.4
⊂
Caracteriza¸ca ˜o do Rotacional na Geometria Diferencial.
O rotacional de um campo vetorial ´e, na forma presente, s´o definido no espa¸c o afim de dimens˜ ao n = 3.
Defini¸ c˜ ao 10 O rotacional de um campo vetorial A no ponto p, em s´ımbolos ( rot A)( p), ´e o u ´ nico vetor tal que para qualquer u , v V vale (rot A)( p)
· u×v
∈
= D uA( p) v
· − D A( p) · u.
v
(125)
(Observe que o lado direito da eq. (125) ´e bilinear e anti-sim´ etrico em u e v, ent˜ao linear em u v . O Lema 1.10 ent˜ ao afirma a existˆencia e unicidade de um vetor ( rot A)( p) satisfazendo a eq. (125).)
×
Vamos interpretar o rotacional de A no ponto p, ver Fig. 1. Dado um vetor unit´ ario n ⊥ (n˜ ao colinear com A ( p)), consideramos o plano n e a proje¸c˜ao do campo A neste plano, ′ unico) vetor A (q ) := P n (A(q )) para q numa vizinhan¸ca de p no plano p + n⊥ . Seja u o (´ ′ ′ ⊥ unit´ ario no plano n ortogonal a A ( p) tal que u, A ( p), n s˜ ao positivamente orientados. 14 Nesta situa¸ca˜o a Defini¸c˜ao 10 implica ⊥
rot A( p) n = D u A′ ( p) ,
·
(126)
ou seja: A componente de rot A( p) na dire¸c˜ao n ´e a taxa de varia¸c˜ao da norma de A ′ ( p) em dire¸c˜ao u ortogonal a A ′ ( p), ver Fig. 1. Vamos calcular o rotacional em coordenadas. Seja u1 , . . . , un um sistema de coordenadas ortogonais.
{
13
}
Esta condi¸ca ˜o significa que H 2 (D) = 0 em termos da topologia alg´ ebrica. Um contra-exemplo ´e 3 3 D = R − {origem}, e B (r ) = r /r . A divergˆencia de B ´e zero em D, mas o fluxo atrav´es a esf´era centrada na origem de raio arbitr´ario ´e 4π. 14 Definindo v := A ′ ( p)/A′ ( p), temos n = u × v e A ( p) · v ≡ A ′ ( p) · v = A′ ( p), pois A = A ′ + cn. Usando D v A( p) · u = D v (A( p) · u) = 0, a defini¸ca ˜o (125) implica Eq. (126).
24
Fis. Mat. I, 15/10/2009
u
p
A′
Figura 1: Interpreta¸ca˜ o de rot A n. A figura mostra o plano n⊥ e a proje¸c˜ao A′ do campo A a este plano. rot A n ´e a taxa de varia¸ca˜o da norma de A ′ em dire¸ca˜o u A′ , neste exemplo positivo.
·
·
⊥
Proposi¸ ca ˜o 2.11 O rotacional de um campo vetorial A ´e dado por 1 rot A = h1 h2 h3
(∂ 2 A3
−
∂ r ∂ 3 A2 ) 1 + (∂ 3 A1 ∂u
−
∂ r ∂ 1 A3 ) 2 + (∂ 1 A2 ∂u
−
∂ r ∂ 2 A1 ) 3 . (127) ∂u
Aqui, Ai s˜ ao as componentes covariantes de A definidas por Ai ( p) := A ( p) e ∂ i A j significa
∂ r ( p), · ∂u i
(128)
∂A j . ∂u i
Demonstra¸cao. ˜ Seja ei = ∂ i r /hi . Substituindo η(u, v ) por DuA v DvA u no Lema 1.10, a Eq. (43) implica
·−
rot A =(De2 A e3 (De3
· −D A · e1 − D
Tomando em conta que D ∂ i r isso d´a Eq. (127).
·
A e2 ) e1 +
· A · e3 ) e2 + (D A · e2 − D A · e1 ) e3 . A = ∂ i A, e ∂ i A · ∂ j r − ∂ j A · ∂ i r = ∂ i (A · ∂ j r) − ∂ j (A · ∂ i r), e3 e1
e1
e2
Teorema 2.12 (Stokes) Seja S uma superf´ıcie orientada cujo contorno ∂S ´e uma curva fechada, C = ∂S , e seja A um campo vetorial com derivadas parciais contınuas. Ent˜ ao vale rot A dσ, (129) A dr =
C
·
S
·
onde a integra¸cao ˜ ao longo de C ´e tomada no sentido que obedece a “regra da m˜ ao direita” com respeito ao vetor normal da superf´ıcie. Demonstra¸cao. ˜ Seja, no primeiro passo, a superf´ıcie S : (s, t) r (s, t) a imagem de um retˆangulo K , i.e., (s, t) K = [0, s0 ] [0, t0 ]. O contorno ∂S de S ent˜ao consiste de 4 curvas suaves C k : τ ˜o: rk (τ ), k = 1, . . . , 4, com a seguinte parametriza¸ca
→
∈
r 1 (τ ) := r (τ, 0), r 2 (τ ) := r (s0 , τ ), r 3 (τ ) := r (τ, t0 ), r 4 (τ ) := r (0, τ ),
→
×
τ
∈ [0, s0], τ ∈ [0, t0 ], τ ∈ [0, s0 ], τ ∈ [0, t0 ],
r˙ 1 (τ ) = ∂ s r(τ, 0) r˙ 2 (τ ) = ∂ s r(s0 , τ ) r˙ 3 (τ ) = ∂ s r(τ, t0 ) r˙ 4 (τ ) = ∂ s r(0, τ ).
As curvas C 1 , C 2 tem a orienta¸c˜a o de ∂S , e as curvas C 3 , C 4 tem a orienta¸c˜a o oposta a ∂S . Nos escrevemos A (s, t) := A (r(s, t)), e tomamos em considera¸c˜ao que D∂ s A(r(s, t)) = ∂ s A(s, t),
D∂ t A(r(s, t)) = ∂ t A(s, t).
25
Fis. Mat. I, 15/10/2009
Temos ent˜ao
t0
rot A dσ =
·
S
=
0
t0
s0
0
t0
0
dsdt
∂ s (A ∂ t r)(s, t)
∂ t (A ∂ s r)(s, t)
dsdt
0
=
(A ∂ t r)(0, t) dt
A dr
(A ∂ s r)(s, t0 )
0
(A ∂ s r )(s, 0) ds
s0
A(r 2 (t)) r˙2 (t)
C 2
dsdt
s0
t0
=
× ∂ tr(s, t)
− · − · − · − · − · − · − · − · − · · ·
(A ∂ t r)(s0 , t)
0
∂ s r(s, t)
(∂ t A ∂ s r)(s, t)
t0
=
·
(∂ s A ∂ t r)(s, t)
s0
0
rot A(r(s, t))
0
· · · · · − 0
=
s0
A(r4 (t)) r˙4 (t) dt
A dr
C 4
A dr +
C 3
A(r 3 (s)) r˙ 3 (s)
0
A dr
=
A(r1 (s)) r˙ 1 (s) ds
·
A dr.
C 1
∂S
Na terceiraa equa¸ca˜o usamos a regra do produto ∂ s (A ∂ t r) = ∂ s A ∂ t r + (A ∂ s ∂ t r), e o Teorema de Schwartz, ∂ s ∂ t r = ∂ t ∂ s r . Na quarta equa¸ca˜o usamos o Teorema Fundamental do C´alculo. Num segundo passo consideramos uma superf´ıcie S arbitr´aria. Se n´os dividirmos ela em duas superf´ıcies parciais S 1 e S 2 , com contornos C 1 e C 2 , vale por um lado rot A dσ = rot A dσ + rot A dσ
·
·
S
·
S 1
·
·
·
S 2
porque a integral ´e aditiva. Por outro lado vale tamb´ em
∂S
A dr =
·
C 1
A dr +
·
A dr ,
·
C 2
porque a divisa entre S 1 e S 2 ´e sendo percorrida duas vezes, com sentidos opostos, tal que os termos correspondentes se cancelam. Por isso, se a Eq. (129) vale para S 1 e S 2 ela tamb´em vale para S . Iterando a subdivis˜ao, podemos escrever S como uni˜ao (poss´ıvelmente infinita) de “retˆangulos” S i da forma considerada no primeiro passo. Isto mostra a Eq. (129) para S arbitr´aria. Este teorema vale para interpretar o rotacional, como seguinte. ario n e um ponto p E , seja S ε , ε > 0, uma fam´ılia Corol´ ario 2.13 Dado um vetor unit´ de superf´ıcies tal que cada S ε cont´em o ponto p, tem vetor normal em p igual n, e tem diˆ ametro11 ε. Ent˜ ao vale para qualquer campo vetorial A:
∈
1 (rot A)( p) n = lim ε→0 A(S ε )
·
A dr .
∂S ε
·
(130)
Corol´ ario 2.14 Seja A um campo vetorial definido num dom´ınio D E . Se A ´e conservativo (ver Defini¸cao ˜ 9 e Proposi¸cao ˜ 2.7), ent˜ ao vale rot A = 0. O inverso vale se cada curva fechada C D ´e o contorno de uma superf´ıcie S D.15
⊂
⊂
⊂
Como grad φ ´e conservativo para qualquer campo escalar φ, o Corol´ario implica que vale rot grad φ = 0. 15
(131)
Esta condi¸ca ˜o significa que H 1 (D) = 0 em termos da topologia alg´ ebrica. Um contra-exemplo ´e 3 D = R − {eixo-z }, e A = grad ϕ (em coordenadas cil´ındricas). O rotacional de A ´e zero em D, mas a integral de linha atrav´ es qualquer curva que envolve o eixo-z ´e 2π.
26
Fis. Mat. I, 15/10/2009
Lembramos que pelo Teorema de Stokes, a integral de superf´ıcie S do rotacional de um campo A coincide com a integral de linha de A ao longo do contorno ∂ S . Se S ´e fechada, esta borda ´e vazia, e a integral deve ser zero. (Em mais detalhes: Cortando a superf´ıcie fechada S em duas partes S 1 e S 2 ao longo de uma curva C , a integral S rot A dσ ´e a soma das duas integrais atrav´ es de S 1 e S 2 . Conforme o Teorema de Stokes, os dois coincidem com a integral de linha de A ao longo de C = ∂S 1 = ∂S 2 , mas com sinais opostos, ent˜ ao a soma ´e zero.) Pelo Corol´ario 2.10, isto implica que
div rot A = 0.
·
(132)
Proposi¸ ca ˜o 2.15 Seja div B = 0 num dom´ınio D que contem um ponto q tal que todos segmentos de retas qp, p D, s˜ ao contidos completamente em D.16 Ent˜ ao, B possui um vetor potencial, i.e. um campo vetorial A t.q.
∈
B = rot A.
Demonstra¸cao. ˜ Escolhemos como origem o ponto q definimos
∈ D mencionado na proposi¸c˜ao, e
1
A(r) :=
sB (sr )
0
× r ds.
Dado uma curva fechada C em D, com parametriza¸c˜ao r0 (t), t [0, 1], construimos uma superf´ıcie S 0 pela parametriza¸c˜ao r(s, t) := s r0 (t), (s, t) [0, 1] [0, 1]. S 0 cont´em a origem q e tem a curva C como contorno. Usando os fatos ∂ s r (s, t) = r 0 (t) e ∂ t r(s, t) = s r˙ 0 (t), calcula-se
∈
S 0
· · ≡ 1
B dσ =
·
0
=
1
0
B (sr0 (t))
A dr
C
≡
1
r0 (t)
× s · r˙ 0(t) dsdt
rot A dσ.
S 0
∈ ×
·
0
A(r0 (t)) r˙ 0 (t) dt
·
Mas como div B = 0, o Corol´ario 2.10 e a observa¸c˜ao depois afirmam que a integral de B atrav´es de qualquer outra superf´ıcie S com o mesmo contorno C como S 0 coincide com a integral acima. Ent˜ ao, as integrais de superf´ıcie de B e rot A coincidem para qualquer superf´ıcie S D. Isto mostra que rot A = B .
⊂
2.4.5
Caracteriza¸ca ˜o da Divergˆ encia na Geometria Diferencial.
Na geometria diferencial, ´e costume caracterizar a divergˆ encia de um campo vetorial A de uma outra maneira, a saber: Heuristicamente, div A ´e a taxa de varia¸ca˜o relativa do volume Vol(G) de uma regi˜ao G sob o fluxo gerado por A, no limite Vol(G) 0. Como veremos abaixo, ver Eq.s (136) e (138), para um (pequeno) paralelep´ıpedo Π(v 1 , . . . , v n ) a taxa de varia¸ca˜o do volume sob o fluxo ´e aproximadamente dada por
→
n
i=1
det v 1 , . . . , v i−1 , Dvi A( p), v i+1, . . . , v n .
(133)
Ent˜ao, a divergˆencia de A no ponto p deveria ser esta express˜ao dividida pelo volume do paralelep´ıpedo, det(v 1 , . . . , v n ). Realmente, a express˜ ao (133) ´e n-linear e totalmente antissim´etrica em v 1 , . . . , v n , e o Lema 1.7 afirma que ela ´e proporcional `a determinante det(v 1 , . . . , v n ). Ent˜ ao, o quociente ´e independente do paralelep´ıpedo e depende s´o do campo A , e a seguinte defini¸c˜ao faz sentido: 16
Tal dom´ınio se chama de “star-shaped”.
27
Fis. Mat. I, 15/10/2009
Defini¸ c˜ ao 11 (Alternativa) A divergˆencia de um campo vetorial A ´e o campo escalar caracterizado pelo fato que vale n
(div A)( p) det(v 1 , . . . , v n ) =
i=1
det v 1 , . . . , v i−1 , Dvi A( p), v i+1 , . . . , v n
para quaisquer n vetores v 1 , . . . , v n
∈ V .
(134)
Mostramos primeiro que isto coincide com a Defini¸c˜ao (120) da divergˆencia. Substituindo v i := ∂ i r na Eq. (134), e considerando D ∂ i r A = ∂ i A e det(∂ 1 r, . . . , ∂n r) = v, a Eq. (134) implica v div A = det(∂ 1 A, ∂ 2 r, ∂ 3 r , . . .) + det(∂ 1 r, ∂ 2 A, ∂ 3 r , . . .) + . . . = ∂ 1 det(A, ∂ 2 r , ∂ 3 r , . . .) + ∂ 2 det(∂ 1 r , A, ∂ 3 r, . . .) + . . . = ∂ 1 (A1 v) + ∂ 2 (A2 v) + ∂ 3 (A3 v), com os mesmos argumentos como na prova da Proposi¸c˜a o 2.8. Isso mostra que a divergˆencia, como definida aqu´ı, tamb´em satisfaz a Eq. (121) e ent˜ ao coincide com a divergˆencia como definida antes. Vamos fazer a mencionada interpreta¸ca˜o da Defini¸c˜a o 11 em termos do fluxo de A precisa. Seja ψt o fluxo de A, e seja Gt := ψt (G) a imagem da regi˜ao G sob o fluxo ψt . Sejam u1 , . . . , un coordenadas na regi˜ao G, com orienta¸c˜ao positiva, e com valores num certo cubo Q0 . Na regi˜ ao Gt definimos coordenadas uit por uit ψt ( p) := ui ( p). Se ent˜ao um ponto p G tem valores de coordenadas (u1 , . . . , un ) Q 0 , o ponto ψt ( p) tem os mesmos valores em termos das coordenadas uit . Nesta situa¸c˜ao, denotamos o vetor posi¸c˜ao do ponto p por r (u1 , . . . , un ) e o vetor posi¸ca˜o do ponto ψ t ( p) por rt (u1 , . . . , un ). Conforme eq. (101), temos r t (u1 , . . . , un ) = r (u1 , . . . , un ) + tA(u1 , . . . , un ) + O(t2 ), ent˜ao
{
}
∈
∈
∂ i rt (u1 , . . . , un ) = ∂ i r(u1 , . . . , un ) + t∂ i A(r(u1 , . . . , un )) + O(t2 ).
(135)
Consideramos agora o paralelep´ıpedo gerado por ∂ 1 rt , . . . , ∂n r t , com v´ertice em ψt ( p). Pela Eq. (135), a taxa da varia¸c˜ao do volume (orientado) deste paralelep´ıpedo ´e dada por d det(∂ 1 r t , . . . , ∂n rt ) dt
n
t=0
=
det(∂ 1 r , . . . , ∂i A, . . . , ∂n rt ).
(136)
i=1
Mas ∂ i A coincide com a derivada covariante de A na dire¸c˜ao ∂ i r , ent˜ao pela defini¸c˜ao da divergˆencia, temos d det(∂ 1 rt , . . . , ∂n rt ) t=0 . (137) dt Para interpretar esta equa¸c˜ao geometricamente, consideramos o pequeno “cubo” G ε com v´ertice r (u1 , . . . , un ), ver Fig. 2:
div A( p) det(∂ 1 r, . . . , ∂n r) =
·
Gε := r(u1 + s1 , . . . , un + sn ) si
| ∈ [0, ε]}.
{
Como r(u1 , . . . , ui + ε, . . . , un ) = r (u1 , . . . , un ) + ε∂ i r + O(ε2 ), o paralelep´ıpedo gerado por ε∂ 1 r, . . . , ε ∂n r ´e uma vers˜ao linearizada de Gε , e o volume dele coincide com o volume de Gε m´ odulo termos da ordem εn+1 . Similarmente, o paralelep´ıpedo gerado por ε∂ 1 rt , . . . , ε ∂ n rt ´e uma vers˜ao linearizada da imagem, ψt (Gε ). A Eq. (137) ent˜ ao afirma que div A( p) ´e a taxa de varia¸cao ˜ relativa do volume da imagem de um pequeno cubo Gε sob o fluxo gerado por A, no limite ε 0.17 A Eq. (137) tamb´ em implica a seguinte variante n˜ao-infinitesimal desta afirma¸ca˜o:
→
17
A Eq. (137) pode ser escrito numa maneira sem coordenadas, usando a no¸c˜ao da derivada de Lie da geometria diferencial. Em detalhes: Seja Π ≡ Π(v 1 , . . . , v n ) o paralelep´ıpedo gerado por n vetores
28
Fis. Mat. I, 15/10/2009
r (u1 , u2 + ε)
rt (u1 , u2 + ε)
ψt (Gε ) Gε
ε∂ 2 r
ε∂ 2 r t
ε∂ 1 rt
ψt
r t (u1 + ε, u2 ) rt (u1 , u2 )
r (u1 + ε, u2 )
r (u1 , u2 )
ε∂ 1 r Figura 2: Interpreta¸c˜ao da divergˆencia.
ao em E , e Gt := Proposi¸ ca ˜o 2.16 Seja A um campo vetorial com fluxo ψt , G uma regi˜ ψt (G) a imagem de G sob o fluxo ψt , com volume orientado Vol (Gt ). Ent˜ ao vale
div A dV =
G
d Vol (Gt ) dt
t=0
.
(139)
Demonstra¸cao. ˜ N´o s usamos coordenadas u1 , . . . , un com vetores posi¸ca˜o r (u1 , . . . , , un ) G e r t (u1 , . . . , , un ) Gt como acima. Conforme eq. (137), temos
∈
d VolGt dt
{
∈
= t=0
Q0
=
Q0
=
d det(∂ 1 rt , . . . , ∂n rt ) dt
}
t=0
du 1
··· dun
div A(u1 , . . . , un ) det(∂ 1 r , . . . , ∂n r) du 1
··· dun
div A dV.
G
v 1 , . . . , v n ∈ V come¸cando no ponto p. Para t fixo, define-se o chamado diferencial do difeomorfismo ψt
pela aplica¸ca ˜o linear V → V dado por T p ψt (v ) :=
d ψt ( p + sv ) ds
˛˛
s=0
.
(Esta aplica¸ca ˜o joga nosso vetor ∂ i r em ∂ i r t .) T p ψt (v ) ´e o vetor deslocamento entre as imagens dos pontos vizinhos p e p + v , m´odulo termos da ordem v 2 . Por isso,
`
´
Πt := Π T p ψt (v 1 ), . . . , Tp ψt (v n )
´e uma vers˜ ao linearizada ou infinitesimal (para pequenas v i ) da imagem de Π sob o fluxo, ψ t (Π). Agora d calcula-se dt T p ψt (v ) t=0 = D v A( p) (generalizando a Eq. (135)), e a regra de produto d´a
˛˛
d Vol Πt dt
n
˛˛
t=0
X det `v , . . . , v = 1
i−1
´
, Dv A( p), v i+1 , . . . , v n . i
i=1
(138)
A Defini¸ca ˜o (134) ent˜ao ´e equivalente com a equa¸ca ˜o div A · Vol Π =
d Vol Πt dt
˛˛
t=0
.
d Vale mencionar que na geometria diferencial, dt Vol Πt t=0 ´e chamada a derivada de Lie com respeito a A da determinante (ou seja, do elemento de volume), ( LA det)(v 1 , . . . , v n ).
˛˛
29
Fis. Mat. I, 15/10/2009
A Proposi¸c˜ao 2.16 implica diretamente o Teorema de Gauss, porque a taxa de varia¸c˜ao d es do contorno de G. Para ver isto, lemdt Vol(Gt ) t=0 coincide com o fluxo de A atrav´ ± bramos dos conjuntos G t de pontos p cuja curva integral t ψt ( p) atravessa a superf´ıcie − + na dire¸c˜ao do vetor normal n (Gt ) ou oposto (Gt ), respectivamente, ver Eq. (108). A diferen¸ca dos volumes deles ´e o volume dos pontos que entram menos o volume dos pontos que saem durante o intervalo [0, t], e coincide com a diferen¸ca dos volumes de G t e G:
→
Vol(G+ t )
− Vol(G−t ) = Vol(Gt) − Vol(G).
Mas a derivada com respeito a t, em t = 0, do lado esquerdo ´e pela Eq. (109) justamente o fluxo de A atrav´es ∂ G. Ent˜ ao temos
A dσ =
S
·
d Vol(Gt ) dt
t=0
.
(140)
Por outro lado, gra¸c as `a Proposi¸ca˜o 2.16 o lado direito coincide com G div A dV . Isto mostra o teorema de Gauss se n´os definimos a divergˆ encia como na Defini¸c˜ao 11. Aquele teorema, por sua vez, implica que a divergˆencia satisfaz a Eq. (120). (Isto mostra de novo que nossas duas defini¸c˜oes da divergˆencia, atrav´es Eq. (120) e (134), respectivamente, s˜ao equivalentes.) 2.5
Aplica¸ co ˜es Sucess´ıveis de Nabla.
2.5.1
Operador de Laplace.
O Laplace de uma fun¸ca˜o f , ∆f , ´e definido por ∆f := div grad f.
(141)
Explicitamente, com respeito a coordenadas u1 , . . . , un vale
{
1 ∆f = v
}
h2 h3 h3 h1 h1 h2 ∂ 1 ∂ 1 f + ∂ 2 ∂ 2 f + ∂ 3 ∂ 3 f h1 h2 h3
,
v := h 1 h2 h3 .
(142)
Em coordenadas Cartesianas, cil´ındricas, e esf´ericas, respectivamente: ∆f = ∂ x2 f + ∂ y2 f + ∂ z2 f, 1 1 = ∂ ̺ (̺ ∂ ̺ f ) + 2 ∂ ϕ2 f + ∂ z2 f, ̺ ̺ 1 1 1 = 2 ∂ r (r 2 ∂ r f ) + 2 ∂ θ (sen θ∂ θ f ) + 2 ∂ ϕ2 f, 2 r r sen θ r sen(θ)
2.5.2
coord. Cartesianas coord. cil´ındricas coord. esf´ericas.
O “C´ alculo-Nabla”.
O operador nabla , em s´ımbolos
∇, ´e formalmente definido por n
∇ :=
i=1
1 ei ∂ i . hi
(143)
Ele ´e um vetor e, ao mesmo tempo, um operador diferencial. Aviso: Na aplica¸ca˜o de nabla num campo vetorial j A j e j deve ser tomado em considera¸c˜ao que os vetores e j ( p) n˜ a o s˜ao constantes, i.e. ∂ i e j = 0! (Ver [1, Exerc´ıcio 2.2.3] para a formula explicita de ∂ i e j = 0.) n´os vamos usar o nabla somente em coordenadas Cartesianas.
30
Fis. Mat. I, 15/10/2009
Usando esse operador, os operadores diferenciais grad , rot , div e ∆ podem ser escritos como grad φ =
∇φ, ∆φ = ∇ · ∇φ,
div A =
∇ · A, rot A = ∇ × A.
(144)
(145)
C´ alculo-nabla: ...
Proposi¸ ca ˜o 2.17
∇(fg) = ( ∇f ) g + f ∇g, ∇ · (f A) = ( ∇f ) · A + f ∇ · A, ∇ · (A × B) = ( ∇ × A) · B − A · (∇ × B), ∇ × (f A) = ( ∇f ) × A + f (∇ × A).
(146)
(147)
(148)
(149)
(Todas estas formulas podem ser mostradas facilmente usando o “c´alculo -nabla”. Alternativa: Mostrar as formulas em coordenadas Cartesianas. Como elas s˜ao equa¸co˜es entre campos vetoriais, devem valer em quaisquer coordenadas.) Para um campo vetorial A definimos o Laplace por ∆A := grad div A
− rot rot A.
(150)
oes f, g vale Lema 2.18 (Identidades de Green.) Para qualquer regiao G e fun¸c˜
(f ∆g
G
3
f ∆g dV =
G
f g dσ
∇ ·
∂G
− g∆f ) dV =
− ∇ · ∇ f
g dV,
(f g
∇ − g∇f ) · dσ.
∂G
(151)
G
(152)
Tensores.
3.1
3.1.1
´ Algebra Linear de Tensores.
Produto Tensorial.
Seja V um espa¸cos vetorial de dimens˜ao finita, sobre o corpo K = R ou de V , em s´ımbolos V ∗ , ´e o espa¸co das aplica¸c˜oes lineares de V em K,
V ∗ := η : V
→ K, linear
.
C.
O espa¸co dual
(153)
Tais aplica¸c˜oes lineares s˜ao frequentemente chamados de formas (lineares) de grau 1, ou covetores . Este espa¸co ´e um espa¸co vetorial por sua vez (como cada espa¸co de fun¸co˜es), a saber pelas defini¸c˜oes (η1 + η2 )(v ) := η 1 (v) + η2 (v ),
(sη)(v ) := s η(v ).
(154)
O zero ´e a aplica¸c˜ao 0 (v ) := 0 para todos v V . Existe um certo isomorfismo entre V e V ∗ que, porem, n˜ao ´e canˆonico pois depende de uma escolha de base em V : Seja no seguinte a1 , . . . , an uma base em V (n˜ao necessariamente ortonormal). Como sabemos, cada vetor v V possui uma u ´ nica decomposi¸ca˜o
∈ {
∈
}
n
v =
i=1
v i ai ,
(155)
31
Fis. Mat. I, 15/10/2009
definindo suas componentes (“contravariantes”) v i . Para i forma (um covetor) a i V ∗ por ai (v ) := v i ,
∈
∈ {1, . . . , n}, definimos uma
(156)
onde v i ´e a componente de v com respeito `a base a1 , . . . , an como na eq. (155). Equivalentemente, ai ´e caracterizado por
{
ai (a j ) = δ ji
≡
1, 0,
}
se i = j, se i = j.
(157)
ao uma base do espa¸co dual V ∗ , a chamada Proposi¸ ca ˜o 3.1 Os n covetores a1 , . . . , an s˜ base dual. Em mais detalhes, cada η V ∗ ´e da forma
∈
n
η =
ηi ai , onde ηi = η(ai ).
(158)
i=1
Demonstra¸cao. ˜ (Independˆencia linear dos a i : exerc´ıcio.) Para mostrar que eles geram V ∗ , seja η V ∗ um covetor. Pela linearidade, temos para qualquer v V com decomposi¸ca˜o como na eq. (155):
∈
∈
n
η(v ) = η
n
i
v ai =
i=1
n
i
v η(ai ) =
i=1
n
i
η(ai )a (v ) =
i=1
i
η(ai ) a (v ),
i=1
(159)
ent˜ao η realmente ´e uma combina¸ca˜o linear como afirmado na eq. (158).
Esta proposi¸ca˜o mostra que V e V ∗ s˜ao isom´ orficos (porem n˜ao numa maneira canˆonica). Agora vamos conhecer um isomorfismo canˆonico (indenpendente de base) entre V e (V ∗ )∗ . Dado v V e η V ∗ , o n´ umero η(v ) (“η aplicado em v ”) pode ser tamb´ em encarado como “v aplicado em η ”. Em outras palavras, um vetor v V pode ser identificado com uma forma linear em V ∗ pela defini¸c˜ao
∈
∈
∈
v (η) := η(v ).
(V ∗ )∗ existe um vetor v V tal que para todas η V ∗ vale i ∗∗ i φ(a )ai . Desta maneira podemos identificar V com (V ) :
Por outro lado, para cada φ φ(η) = η(v ), a saber v :=
∼
∈
∈
∈
V = (V ∗ )∗ = aplica¸c˜oes V ∗
→ K, lineares
.
(160)
Agora estamos preparados para a defini¸c˜ao do produto tensorial. Seja U um outro espa¸co vetorial sobre K de dimens˜ao finita. O produto tensorial de U e V , em s´ımbolos U V , ´e por defini¸c˜ao o espa¸co das aplica¸c˜oes bilineares de U ∗ V ∗ em K, U
⊗ V :=
U ∗
×
× V ∗ → K, bilinear
⊗
.
(161)
Isto ´e um espa¸co vetorial numa maneira an´a logo com eq. (154). Dado u U , v define-se o “produto tensorial” u v U V pela aplica¸c˜ao U ∗ V ∗ dado por
⊗ u
⊗ ∈ ⊗
v (η, µ) := η(u) µ(v ),
×
η
∈
∈ V ,
(162)
∈ U ∗, µ ∈ V ∗.
(Checkar que ela ´e bilinear!) Este produto satisfaz as seguintes rela¸c˜oes:18 (cu)
⊗ v = u ⊗ (cv) = c (u ⊗ v), (u1 + u2 ) ⊗ v = u 1 ⊗ v + u2 ⊗ v , u ⊗ (v 1 + v 2 ) = u ⊗ v 1 + u ⊗ v 2 . 18
c
∈ K,
(163)
(164)
Realmente, o espa¸co U ⊗ V pode ser caracterizado pelo seguinte fato: Ele consiste de combina¸c˜ oes lineares finitos de produtos (abstratos) u ⊗ v , sujeito a `s rela¸co ˜es (162), (163) e (164).
32
Fis. Mat. I, 15/10/2009
Teorema 3.2 (Propriedade de Universalidade) Seja W um terceiro espa¸co vetorial. Para cada aplica¸cao ˜ bilinear ω : U V W existe uma unica ´ aplica¸cao ˜ linear η : U V W tal que ω(u, v) = η(u v ). Desta maneira, temos um isomorfismo canˆ onico
× →
⊗
⊗ →
{U × V → W, bilinear } ∼= {U ⊗ V → W, linear }.
(165)
(Esta propriedade do produto tensorial realmente caracteriza o produto tensorial unicamente.) No caso W = K, o Teorema afirma que
{U × V → K, bilinear} ∼= U ⊗ V ∗.
(166)
Observe que, pela identifica¸c˜ao (160), as aplica¸c˜oes bilineares U tamb´em identificados com o espa¸co U ∗ V ∗ , ent˜ao temos
× V → K podem ser
⊗
(167) ⊗ V ∗ ∼= U ⊗ V ∗. Proposi¸ ca ˜o 3.3 Seja {ai , i = 1, . . . , n} uma base em U , e {b j , j = 1, . . . , m} uma base em V . Ent˜ ao, {ai ⊗ b j , i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m} ´e uma base em U ⊗ V . Demonstra¸cao. ˜ Seja T : U ∗ × V ∗ → K ∈ U ⊗ V , e sejam η ∈ U ∗ , µ ∈ V ∗ . Conforma a j U ∗
Proposi¸c˜ao 3.1, eles s˜ao da forma η = T (η, µ) =
i i η(ai ) a e µ = i
j
η(ai )µ(b j ) T (a , b ) =
i,j
j µ(b j ) b
T (ai , b j )(ai
i,j
. Consequentemente,
⊗ b j )(η, µ).
Ent˜ao, T tem a forma T = i,j T ij ai b j , com T ij = T (ai , b j ), mostrando que os a i b j geram U V . Agora seja i,j cij ai b j = 0. Agindo nesta equa¸c˜ao com a k bl , mostra que os coeficientes ckl s˜ ao todos nulos. Ent˜ ao, os ai b j s˜ao linearmente independentes.
⊗
⊗ ⊗
⊗
⊗
⊗
Como consequˆencia, cada tensor T em U termos da forma u v :
⊗ V pode ser escrito como uma soma finita de
⊗
finito
T =
ν
⊗ vν .
uν
Supomos agora que V possui um produto escalar 19 u v ou u, v , i.e. ele ´e um espa¸co euclideano (no caso K = R) ou unit´a rio (no caso K = C). Neste caso, V pode ser identificado canˆ onicamente com V ∗ pelo Lema 1.8: Com η V ∗ ´e associado unicamente um v V tal que vale η(w) = v w (168)
·
∈
∈
·
∼
para todos w V . A associa¸ca˜o v η estabelece um isomorfismo 20 V = V ∗ . Seja agora U um outro espa¸co vetorial com produto escalar. Por esta identifica¸c˜ao, a defini¸c˜ao (161) se torna
∈
↔
⊗ V =∼ U × V → K, bilinear
U eu
19
⊗ v ∈ U ⊗ V ´e identificado com a aplica¸c˜ao dado por u ⊗ v (u′ , v ′ ) := u, u′ v , v ′ .
,
(169)
No caso K = C ou dim V = ∞ , ´e costume escrever o produto escalar como u, v . No caso ´e anti-linear no primeiro argumento. 20 Anti-isomorfismo, no caso K = C.
(170) K
= C, ele
33
Fis. Mat. I, 15/10/2009
Um produto escalar em U
⊗ V ´e definido por (171) u ⊗ v, u′ ⊗ v′ := u, u′ v, v′ . Como na Proposi¸c˜ao 3.3 mostra-se: Se {ai , i = 1, . . . , n} ´e uma BON (base ortonormal ) em U , e {b j , j = 1, . . . , m} uma BON em V , ent˜ao {ai ⊗ b j , i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m} ´e uma BON em U ⊗ V . Se U e/ou V tem dimens˜ao infinita e os dois s˜ao completos (i.e., eles s˜ao espa¸cos de Hilbert), o produto tensorial deles ´e definido como seguinte. Definem-se primeiro os produtos u v como aplica¸c˜oes bilineares U V K pela equa¸ c˜ao (170). Depois define-se U 0 V como o espa¸co das combina¸c˜oes lineares (finitas) de elementos da forma u v , e ´ facil verificar que, se a1 , a2 , . . . ´e uma base U V como a completa¸ca˜o de U 0 V . E de V , ent˜ao cada tensor T U V ´e da forma
⊗ ⊗
⊗
× →
∈ ⊗
⊗
T =
{
ui
i
⊗ ai,
⊗
}
∈ U.
ui
No caso de espa¸cos do tipo L 2 (M ), vale o seguinte Teorema. Rn . Para f 1 L2 (M 1 ), f 2 Teorema 3.4 Sejam M 1 e M 2 tensorial f 1 f 2 pode ser identificado com um elemento de L2 (M 1
⊂
⊗
(f 1
∈
⊗ f 2)(x, y) := f 1(x) f 2(y),
x
∈ L2(M 2), × M 2) por
o produto
∈ M 1, y ∈ M 2.
Esta identifica¸cao ˜ estabelece um isomorfismo de espa¸cos de Hilbert
⊗ L2(M 2) ∼= L2(M 1 × M 2).
L2 (M 1 )
(Comprovante: [7, p. 52].) O produto tensorial de mais do que dois espa¸cos vetoriais V 1 , V 2 , V 3 , . . . constroi-se como seguinte. Por defini¸c˜ao, (V 1 V 2 ) V 3 ´e o espa¸co das aplica¸c˜oes bilineares de (V 1 V 2 )∗ V 3∗ em K. Mas as aplica¸c˜oes lineares de (V 1 V 2 )∗ K s˜ ao o espa¸co ((V 1 V 2 )∗ )∗ = V 1 V 2 , ent˜ao isom´ orficas com as aplica¸c˜oes bilineares de V 1∗ V 2∗ K. Temos ent˜ ao
⊗ ⊗
⊗
→
⊗ × ∼ ⊗
⊗
× → (V 1 ⊗ V 2 ) ⊗ V 3 ∼ = {V 1∗ × V 2∗ × V 3∗ → K, trilinear}. O mesmo vale para V 1 ⊗ (V 2 ⊗ V 3 ). Isso mostra que o produto vetorial de espa¸cos vetoriais ´e associativo, ent˜ ao podemos escrever V 1 ⊗ (V 2 ⊗ V 3 ) =: V 1 ⊗ V 2 ⊗ V 3 . Iterando este raciocino, temos V 1 ⊗ · · · ⊗ V n = {V 1∗ × · · · × V n∗ → K, n-linear}. No seguinte, vamos fixar um espa¸co vetorial V sobre K = R de dimens˜ao finita, n (o papel de V sendo o espa¸co de vetores deslocamento associado com o espa¸co afim E f´ısico). Neste caso, chamamos os vetores v V de vetores contravariantes , e as formas lineares (ou covetores) η V ∗ de vetores covariantes .
∈
∈
Defini¸ c˜ ao 12 Para r, s N0 , r + s = 0, definimos o espa¸co de tensores do tipo (r, s) sobre V , em s´ımbolos T sr (V ), por
∈
T sr (V ) := V
V
V ∗
V ∗
⊗ ·· · ⊗ ⊗ ⊗ ·· · ⊗ × · · · × × × · · · × → r vezes
= V ∗
(172)
s vezes
V ∗
V
V
(173) R,
multilinear .
(174)
(Na u ´ ltima linha usamos a identifica¸ c˜ao (160).) Para r = 0 = s definimos T 00 (V ) := R.
34
Fis. Mat. I, 15/10/2009
Os elementos em T s0 (V ) (ou seja, as aplica¸c˜oes s-lineares de V ×s anti-lineares s˜ao chamadas de s-formas. As equa¸c˜oes (155), (156) e (158) implicam o seguinte
→ R) que s˜ao totalmente
Corol´ ario 3.5 Uma base em T sr (V ) ´e dada por
j1
}
js
⊗ · · · ⊗ ai ⊗ a ⊗ · · · ⊗ a , i1, . . . , ir , j1, . . . , js ∈ {1, . . . , n Em mais detalhes, cada T ∈ T sr (V ) ´e da forma ai1
r
.
(175)
n
T =
i1 ,...,ir ,j1 ,...js =1
···ir a i T ji11··· 1 js
⊗ · · · ⊗ ai ⊗ a j ⊗ · · · ⊗ a j , onde
s
1
r
···ir = T ai1 , . . . , air , a j , . . . , a j . T ji11··· s 1 js
(176)
(177)
Estes n´ umeros s˜ ao as chamadas componentes do tensor com respeito `a base a1 , . . . , an . Dois tensores s˜ ao iguais se, e somente se, as suas componentes com respeito a uma dada base coincidem (se, e somente se, as suas componentes com respeito a qualquer outra base coincidem).
{
}
Em particular, um tensor ´e zero se, e somente se, todas suas componentes com respeito a uma base (arbit´aria) s˜ao zero. Como consequˆ encia do Corol´ario, um tensor T T sr (V ) age em η 1 , . . . , ηr V ∗ e v 1 , . . . v s V como
∈
∈
∈
n
T (η1 , . . . , ηr , v 1 , . . . v s ) =
i1 ,...,js =1
3.1.2
···ir (η1 )i T ji11··· 1 js
··· (ηr )i (v1) j ··· (vs) j . s
1
r
(178)
Exemplos: Tensor Kronecker, Tensor m´ etrico, n-Forma de Volume.
Tensor Kronecker. A aplica¸c˜ao ˆ : V ∗ δ
ˆ(η, v ) := η(v ) δ
× V → R,
(179)
´e bilinear e por isso um tensor do tipo (1, 1), o chamado tensor Kronecker . Suas componenˆi ˆδ (ai , a j ) = a i (a j ) = δ i . tes com respeito a qualquer base a1 , . . . , an s˜ao dadas por δ j j Ent˜ao, suas componentes (com respeito a qualquer base) s˜ao exatamente os s´ımbolos de Kronecker: 1, se i = j, ˆ j = δ j δ (180) i i 0, se i = j.
{
}
≡
≡
Tensor M´ etrico. Lembramos que nosso V ´e um espa¸co euclideano, com um produto escalar V V R , (u, v ) ao ´e um tensor do tipo (0, 2): u v . Esta aplica¸c˜
× →
→ ·
Defini¸ c˜ ao 13 O tensor m´etrico g
∈ T 20(V ) ´e o tensor g(u, v ) := u · v .
(181)
Pelo Corol´ ario 3.5, temos g(u, v ) = i,j gij ui v j , onde g ij = g(ai , a j ). A base a1 , . . . , an ´e ortonormal (uma BON) se, e somente se, g ij = δ ij . Lembramos que o espa¸co euclideano V pode ser identificado com seu espa¸co dual V ∗ por meio do produto escalar via v ηv , ver eq. (168). Usando a f´ormula (158), temos
{
→
ηv =
i
i
ηv (ai ) a =
i
(v ai ) ai .
·
}
(182)
35
Fis. Mat. I, 15/10/2009
A aplica¸c˜ao inversa ´e η
→ vη := o ´unico vetor tal que η(w) = v η · w ∀w ∈ V.
Com esta identifica¸c˜ao, o produto escalar pode ser extendido para o espa¸co dual V ∗ , a saber pela defini¸ca˜o η µ := v η v µ η(v µ ) = µ(v η ) (183)
·
·
≡
para η, µ V ∗ . Isto define uma aplica¸ca˜o bilinear de V ∗ V ∗ do tipo (2, 0) que n´os vamos denotar com o s´ımbolo gˆ T 02 (V ).
∈
× → R, ou seja, um tensor
∈
Proposi¸ ca ˜o 3.6 A matriz de componentes (contravariantes) de gˆ coincide com o inverso da matriz de componentes (covariantes) de g: n
−1 , gˆ = gij ij
ou seja,
gˆij g jk = δ i k .
(184)
j=1
Demonstra¸cao. ˜ Temos n
gˆij g jk =
j=1
(ai a j ) (a j ak ) = a i
j
·
·
·
(ak a j ) a j = a i ηak = a i(ak ) = δ i k . (185)
·
j
·
Na terceira equa¸ca˜o n´ os usamos a eq. (182), e na quarta equa¸c˜ao usamos que µ ηv = µ(v ), ver eq. (183). ´ costume identificar o vetor v e o covetor correspondente, ηv, e escrever E
·
vi := (ηv )i , considerando v i e v i como componentes contra- ou covariantes, respectivamente, de um s´o objeto. Consequentemente, para um covetor η V ∗ as componentes
∈
η i := ( v η )i s˜ao consideradas como componentes contravariantes de η. Tamb´em, as componentes gˆij s˜ao consideradas como componentes covariantes do tensor g: g ij := gˆij
Lema 3.7 Temos v η =
≡ ˆg(ai, a j ).
ji i,j η j g ai e ηv =
vi =
j
v g ji ,
j i,j v g ji
i
η =
j
ai , ou seja,
η j g ji .
(186)
j
Demonstra¸cao. ˜ vi ≡ (η )i = η v
ηi
v
(ai ) = v · ai =
≡ (vη )i = v η (ai) = η · ai =
j
j
v a j · ai = η j a j ai =
j
·
v j g ji .
j
η j g ji .
j
Vale observar que o Corol´ario implica que o produto escalar pode ser escrito como u v =
·
i
ui vi =
i
ui v i .
36
Fis. Mat. I, 15/10/2009
Determinante como tensor: A n-forma de volume. Como a determinante ´e uma aplica¸ca˜o n-linear de V V n´o s n´ umeros reais, ela ´e um tensor do tipo (0, n), que 0 n´ os vamos denotar por Ω T n (V ) (o “elemento de volume”, ou a “n-forma de volume”):
× · · · × ∈
Ω(v 1 ,
··· , vn) := det(v1, ··· , vn).
(187)
Para determinar as componentes deste tensor com respeito a uma base a1 , . . . , an , precisamos os s´ımbolos de Levi-Civit`a:
{
εi1 ···in :=
−
0, 1, 1,
}
se i1 , . . . , in = 1, . . . , n , se (1, . . . , n) (i1 , . . . , in ) ´e uma permuta¸c˜ao par, se (1, . . . , n) (i1 , . . . , in ) ´e uma permuta¸c˜ao impar.
{
} { → →
}
(188)
ao Aviso! Em contraste com os s´ımbolos de Kronecker δ ji , os s´ımbolos de Levi-Civit`a n˜ s˜ao as componentes de um tensor! Definimos tamb´em g pela determinante (positiva!) da matriz gij , onde g ij = a i a j , g := det(gij ). (189)
||
·
||
Pelo Teorema 1.11, g 1/2 ´e o volume do paralelep´ıpedo gerado por a1 , . . . , an . Observe que a determinante g n˜ ao ´e um escalar (ela depende da base)! Temos o
| | | |
˜ Lema 3.8 As componentes de Ω com respeito a uma base a1 , . . . , an com orienta¸cao positiva s˜ ao dadas por Ωi1 ···in = g 1/2 εi1 ···in . (190)
{
}
||
(Observe que nem a determinante g ´e um escalar, nem os s´ımbolos de Levi-Civit`a s˜ao as componentes de um tensor — s´o produto define um tensor, Ω.)
| |
Demonstra¸cao. ˜ Sabemos pela eq. (177) que Ω i1 ···in = det(ai1 , . . . , ain ). Se alguns indices coincidem, ou seja se o conjunto i1 , . . . , in = 1, . . . , n , a determinante se anula pela antissimetria. Se todos ´ındices s˜ao diferentes, ou seja se i1 , . . . , in = 1, . . . , n , ent˜ao o m´odulo det(ai1 , . . . , ain ) coincide com g 1/2 pelo Teorema 1.11. O sinal afirmado segue da antissimetria da determinante.
{
|
} {
|
| |
} {
Em trˆes dimens˜oes, o produto vetorial de dois vetores u, v forma Ω, a saber, suas componentes covariantes s˜ao dados por
× u
v i =
} {
}
∈ V ´e relacionado com a
Ωijk u j v k .
(191)
j,k
Demonstra¸cao. ˜
× × · u
3.1.3
v
i
wi = u
v
w = det( u, v , w) = Ωijk u j v k wi .
Mudan¸ ca de Base.
Obviamente, as componentes dos tensores dependem da base. Vamos ver agora como eles se transformam sob uma mudan¸c a da base ai , i = 1, . . . , n para uma nova base ¯ i , i = 1, . . . , n . Cada a ¯ i ´e uma certa combin¸ca˜o linear dos a j , a
{
{
}
}
n
¯ i = a
j=1
A ji a j ,
(192)
37
Fis. Mat. I, 15/10/2009
¯ i . Como primeiro passo, vamos e a matriz A ji charateriza a mudan¸ca de base ai a determinar o comportamento da base dual sob esta mudan¸ca. Temos
{ } → { }
n
δ ji
i
i
¯( = ¯a (¯ a j ) = a
n
A jk a k )
=
k=1
¯ i (ak ). A jk a
k=1
Lendo esta equa¸c˜ao como δ ji = k A jk Bki , invers˜ao da matriz A d´a B ji = k (A−1 ) jk δ ki ¯ i (a j ) = (A−1 ) ji . Substituindo isto na expans˜ao (158) do covetor a ¯ i com (A−1 ) ji , ou seja, a ¯ i = j ¯ respeito `a base dual a j , a saber a a ai (a j ) a j , isto d`
{ }
≡
n
i
¯ = a
(A−1 ) ji a j .
(193)
j=1
Pela eq. (156), as componentes v i de um vetor v = i v i ai com respeito `a base ai s˜ao dadas por v i = ai (v ). A eq. (193) implica ent˜ ao que as suas componentes ¯v i com ¯ i s˜ao dadas por v¯i = a ¯ i (v ) = k (A−1 )ik ak (v ) = k (A−1 )ik v k , ou respeito `a nova base a seja, v¯i = (A−1 )ik v k . (194)
{ }
{ }
k
Da mesma maneira, para um covetor η vale, pela eq. (158), η¯ j = η (¯ a j ) = l k A j ηl :
η¯ j =
A jl ηl .
l k A j η(al )
=
(195)
k
Mais geralmente, o Corol´ ario 3.5 sobre as componentes de tensores implica, com o mesmo racioc´ınio:
···ir e T ¯ i1···ir com resProposi¸ ca ˜o 3.9 Seja T um tensor in T sr (V ) com componentes T ji11··· js j1 ··· js ¯ i , respetivamente (conforme eq.s (176), (177)). Ent˜ peito a´ base ai e a ao vale
{ } { }
¯i1 ···ir = T j1 ··· js
3.1.4
(A−1 )ik11
k1 ,...,kr l1 ,...,ls
··· (A−1)ik
r r
A jl11
··· A jl
s s
T lk11······lskr .
(196)
Opera¸ co ˜es com Tensores.
Vamos finalmente introduzir alguns opera¸c˜oes com tensores.
Produto tensorial ou “externo”. A defini¸c˜ao do espa¸co T sr (V ) implica que este espa¸co pode ser identificado com T sr (V ) = T sr11 (V )
⊗ T sr (V ),
se r = r 1 + r2 , s = s 1 + s2 ,
2 2
∈ T sr (V ) e T 2 ∈ T sr (V ), definimos T 1 ⊗ T 2 ∈
a saber com a seguinte identifica¸c˜ao: Para T 1 +r2 T sr11+s (V ) por 2
⊗ T 1
1 1
2 2
T 2 (η1 , . . . , ηr1 +r2 , v 1 , . . . , v s1 +s2 ) := T 1 (η1 , . . . , ηr1 , v 1 , . . . , v s1 ) T 2 (ηr1 +1 , . . . , ηr1 +r2 , v s1 +1 , . . . , v s1 +s2 ). (197)
Equivalentemente:
v1
⊗ · · · ⊗ vr ⊗ η1 ⊗ · · · ⊗ ηs ⊗ v′1 ⊗ · · · ⊗ v′r ⊗ η1′ ⊗ · · · ⊗ ηs′ := v 1 ⊗ · · · ⊗ vr ⊗ v ′1 ⊗ · · · ⊗ v ′r ⊗ η1 ⊗ · · · ⊗ ηs ⊗ η1′ ⊗ · · · ⊗ ηs′ . (198) 1
1
1
2
2
2
1
2
38
Fis. Mat. I, 15/10/2009
Produto escalar ou “interno”. Da mesma maneira como o produto escalar foi extendido de V para V ∗ , pode ser extendido para todos espa¸cos tensoriais T sr (V ) pela seguinte defini¸c˜a o. Para v 1 ηs e v ′1 ηs′ em T sr (V ), v r η1 v ′r η1′ definimos
⊗ · · · ⊗ ⊗ ⊗ · · · ⊗
g(v 1
⊗ · · · ⊗ ⊗ ⊗ · · · ⊗
⊗ · · · ⊗ vr ⊗ η1 ⊗ · · · ⊗ ηs , v′1 ⊗ · · · ⊗ v′r ⊗ η1′ ⊗ · · · ⊗ ηs′ ) := g(v 1 , v ′1 ) ··· g(v r , v ′r )ˆ g (η1 , η1′ ) ··· gˆ(ηs , ηs′ ). (199)
Esta defini¸ca˜o extende por bilinearidade para o espa¸co T sr (V ) inteiro. Em componentes, temos para T , S T sr (V ):
∈
g(T, S ) =
i1 ,...ir ,k1 ,...kr ,j1 ,...js ,l1 ,...,js
···ir g T ji11··· js i1 k1
··· gi k g j l ··· g j l
s s
1 1
r r
S lk11······lks r .
Contra¸ ca ˜o. A aplica¸c˜ao
⊗ · · · ⊗ vr ⊗ η1 ⊗ · · · ⊗ ηs → η1(v1) v2 ⊗ · · · ⊗ vr ⊗ η2 ⊗ · · · ⊗ ηs define uma aplica¸c˜ao T sr (V ) → T sr−−11 (V ). Ela joga um tensor T ∈ T sr (V ) com componentes ···i para o tensor T ˆ ∈ T r−1 (V ) com componentes T ji ··· s−1 j v1
1
1
r s
ˆ i2 ···ir = T j2 ··· js
k
ki2 ···ir T kj , 2 ··· js
e ´e chamda, por isso, de contra¸cao ˜ dos primeiros ´ındices. O mesmo pode ser feito com qualquer outro par de ´ındices.
Mudan¸ c a do tipo. A aplica¸c˜ao V r−1 aplica¸ca˜o T sr (V ) T s+1 (V ), a saber
≡ T 01(V ) → T 10(V ) ≡ V ∗, v → η
v
, induz uma
→ v 1 ⊗ · · · ⊗ v r ⊗ η1 ⊗ · · · ⊗ ηs → v 1 ⊗ · · · ⊗ v r−1 ⊗ η1 ⊗ · · · ⊗ ηs ⊗ η . ···i para o tensor T ˆ ∈ T r−1 (V ) cujas Ela joga um tensor T ∈ T sr (V ) com componentes T ji ··· s+1 j vr
1
1
componentes s˜ao
ˆ i1 ···ir 1 = T j1 ··· js+1 −
k
i
···i
T j11··· jsr
−1
k
r s
gkjs+1 .
O mesmo pode ser feito com qualquer outro par de ´ındices. Esta opera¸ca˜o chama-se abaixar um index. Similarmente, a aplica¸c˜ao inversa V ∗ V , η v η , induz uma r+1 r aplica¸ca˜o T s (V ) T s−1 (V ) (chamado de levantar um index), resultando numa f´ormula do tipo ···ir g kjr+1 . ˆi1 ···ir+1 = T T ji11··· j1 ··· js 1 js 1 k
→
→
−
→
−
k
Como exemplos, temos
etrico, g Lema 3.10 i) A mudan¸ca do tipo do tensor m´ no tensor Kronecker:
∈ T 20(V ) para gˆ ∈ T 11(V ) resulta
g ji = δ ji .
(200)
ii) A n-forma do volume, Ω, satisfaz: Ωi1 ···in = g
Em 3 dimens˜ oes:
k
k
| |−1/2 εi ···i , Ωijk Ωklm = δ il δ jm − δ im δ jl , Ωijk Ωk lm = g il g jm
1
n
− gim g jl .
(201)
(202)
(203)
39
Fis. Mat. I, 15/10/2009
Demonstra¸cao. ˜ Eq. (200) segue da eq. (184). Para mostrar (201), calculamos 1 n
Ω ··· =
i1 ,...,in
Ωi1 ···in g
1i1
··· g
nin
= g
1/2
||
i1 ,...,in
εi1 ···in g 1i1
··· gni
n
| |−1/2,
= g
pois a soma εi1 ···in g 1i1 gnin ´e nada mais do que a determinante da matriz (g ij ), ou seja, g −1 . Junto com a anti-simetria de Ω i1 ···in , isto implica a eq. (201). A eq. (202) vamos mostrar numa base ortonormal. (Como os dois lados s˜ao componentes de tensores, isto `e suficiente pelo Corol´ario 3.5.) Neste caso, g = 1 e n´os temos que mostrar
| |
···
k
| | εijk εklm = δ il δ jm − δ im δ jl .
Isso ´e mostrado por exemplo em [3, p. 683]. Baixando os indices l e m na eq. (202) resulta na eq. (203).
Endomorfismos. O espa¸co de tensores do tipo (1, 1) pode ser identificado com o espa¸co dos endomorfismos lineares de V , denotado por End(V ),
∼
T 11 (V ) = End(V ), como seguinte. Se A
∈ End(V ), define um tensor T ∈ T 11(V ) por T (η, v ) = η(Av )
para η V ∗ , v V . Inversamente: Dado T T 11 (V ), define Av := o u ´ nico vetor tal que ∗ vale a equa¸ca˜o acima para todos η V . Isto define uma aplica¸c˜ao linear A End(V ). Verifique-se que a aplica¸c˜ao A correspondente a T := u η ´e Av = η (v ) u. Na nota¸ca˜o de Dirac, isto corresponde literamente `a equa¸c˜ao
∈
∈
∈
∈
∈
⊗
| | | | | u η
v := η v u .
Dado uma base a1 , . . . , an de V , define-se uma matriz A ji correspondente a A por
{
}
A ji a j .
Aai =:
j
Verifique-se facilmente que os A ji coincidem com os componentes T ji do tensor T T 11 (V ) correspondenete a A End(V ). Seguindo o costume, vamos identificar A e T , e A ji e T ji . Por exemplo, o endomorfismo que corresponde ao tensor Kronecker δ , ver eq. (180), ´e a identidade 1 em V , pois δ (η, v ) η(v ) = η(1 v ). Os seus componentes δ ji coincidem com a matriz correspondente a 1 (para qualquer base).
∈
∈
≡
Defini¸ c˜ ao 14 i) O adjunto de um endomorphismo A, em s´ımbolos A ∗ , ´e o endomorfismo unicamente caracterizado pelo fato que para todos u , v V vale
∈
u Av = (A∗ u) v .
·
·
(204)
O endomorfismo ´e chamado de sim´etrico (ou auto-adjunto) se A = A∗ , ou seja, se para todos u, v V vale u Av = (Au) v . ii) O tra¸co de um endomorfismo A, em s´ımbolos Tr A, ´e definido por
∈
·
·
n
Tr A :=
i=1
onde a1 , . . . , an ´e uma base ortonormal .
{
}
ai Aai
·
(205)
40
Fis. Mat. I, 15/10/2009
(Exerc´ıcio: Verifique que a defini¸c˜ao (205) n˜ ao dependente da base!) etrico se, e somente se, a matriz de seus Lema 3.11 i) Um endomorfismo A ´e sim´ componentes covariantes, i.e. os componentes de Aˆ T 20 (V ) correspondente a A T 11 (V ) =End (V ), ´e sim´etrica:21 Aij = A ji .
∈
∼
∈
ii) O tra¸co de um endomorfismo A coincide com o escalar que surge do tensor em T 11 (V ) pela contra¸cao ˜ de ´ındices, Tr A = i Aii . 3.2
An´ alise Tensorial.
No seguinte, seja E o espa¸co afim f´ısico, e V o espa¸co de vetores deslocamento correspondente.
→ T sr (V ). O espa¸co
Defini¸ c˜ ao 15 Um campo tensorial do tipo (r, s) ´e uma aplica¸c˜ao E de tais campos ´e denotado por sr (E ).
T
r Ent˜ao T T sr (V ), que por sua vez ´e s (E ) aplica um ponto p para um elemento T p ´ costume escrever o argumento p como index, para uma aplica¸c˜ao de V V ∗ R. E deixar espa¸co para os argumentos em V V ∗ :
∈ T
∈
×···× →
× · · · × T p : (v , . . . , η) → T p (v , . . . , η) ∈ R. Em particular, T 01 (E ) s˜ao os campos vetoriais, e T 00 (E ) s˜ao os campos escalares, ou seja, as fun¸c˜oes. Os elementos de T 10 (E ), ou seja as aplica¸co˜es E → V ∗ , s˜ao chamados de formas diferenciais de grau 1. Um exemplo t´ıpico ´e construido como seguinte. Lembramos que a derivada parcial Dv f ( p) de uma fun¸c˜ao ´e linear em v . Em outras palavras, a aplica¸c˜ao Dv f ( p) ´e em T 10 (V ). v
→
Defini¸ c˜ ao 16 Seja f : E R uma fun¸c˜ao diferenci´avel. O diferencial de f , em s´ımbolos df , ´e a forma diferencial de grau 1 definido por
→
∈ T 10 (E ),
df p (v ) := Dv f ( p).
df
Verifique-se facilmente que vale a regra de produto d(fg) = (df ) g + f (dg). Os diferenciais du i das coordenadas ui ( p) s˜ao de interesse particular: ∂ r Lema 3.12 Seja u1 , . . . , un um sistema de coordenadas, e ∂u i ( p), i = 1, . . . , n a base i de V correspondente. Ent˜ ao o conjunto dos covetores du p , i = 1, . . . , n ´e a base dual, i.e.
{
}
dui p (v ) = v i ,
ou seja,
{ { dui
p
∂ r ( p) = δ ji . j ∂u
Consequentemente, cada forma diferencial de grau 1 ´e da forma A p =
Ai ( p) dui p ,
com Ai ( p) = A p (∂ i r( p)),
i
21
Isto ´e equivalente com A ji = A ij s´o se a base for ortonormal!
}
}
(206)
41
Fis. Mat. I, 15/10/2009
ver eq. (158) da Proposi¸ca˜o 3.1. As coeficientes Ai ( p) s˜ao chamadas de componentes (covariantes) de A com respeito ao sistema de coordenadas u1 , . . . , un . Em particular, temos pela eq. (116):
{
}
∂f ( p) dui p . i ∂u
(df ) p =
i
(207)
Pelo Corol´ ario 3.5, temos:
∈ T sr (E ) ´e da forma
Corol´ ario 3.13 Cada T n
T p =
i1 ,...,ir ,j1 ,...js =1
···ir ( p) ∂ i r( p) T ji11··· 1 js
⊗ · · · ⊗ ∂ i r( p) ⊗ (du j ) p ⊗ · · · ⊗ (du j ) p, s
1
r
(208)
onde
···ir ( p) = T p dui1 , . . . , d uir , ∂ j r, . . . , ∂ j r . T ji11··· s 1 js
(209)
r 1 n e u ¯1 , . . . , ¯ un Proposi¸ ca ˜o 3.14 Seja T s (E ) um campo tensorial, sejam u , . . . , u ···ir ( p) e T ¯i1 ···ir ( p) as componentes correspondois sistemas de coordenadas, e sejam T ji11··· js j1 ··· js dentes de T p T sr (V ). Ent˜ ao vale
∈ T
{
} {
}
∈
¯ i1 ···ir ( p) = T j1 ··· js
k1 ,...,kr l1 ,...,ls
T lk11······lskr ( p)
∂ ¯ ui1 ( p) ∂u k1
ir
u ··· ∂ ¯ ∂u k
( p) r
∂u l1 ( p) ∂ ¯ u j1
ls
··· ∂∂ ¯uu j ( p). s
∂ r i ∂ r , com Ai = ∂u i ( p). Lembrando = A j j j i ∂ ¯ u ∂u i ∂ ¯ uj ui 1 )i = ∂ ¯ ( p), a afirma¸c˜ao segue agora da Prop. 3.9. j ∂u j
Demonstra¸cao. ˜ Pela eq. (68),
(210)
que a
matriz inversa ´e dada por (A− (Mais direitamente: Usar a mencionada eq. (68) e o fato que vale n
∂ ¯ ui duk k ∂u
d¯ u
i
p
=
k=1
p
pela regra de cad´eia, e imitar a prova da Prop. 3.9.)
Tensor M´ etrico. O tensor m´etrico g (nos usamos o mesmo s´ımbolo):
∈ T 20(V ) define um campo tensorial g ∈ T 20 (E )
g p (u, v ) := g(u, v )
≡ u · v.
Observe que este tensor ´e constante no sentido que em cada ponto p E o valor g p T 20 (V ) ´e a mesma aplica¸c˜ao V V R. Em contraste, as suas componentes com respeito a um sistema de coordenadas n˜ ao s˜ ao constantes em geral:
∈
× →
gij ( p) =
∈
∂ r ∂ r ( p) ( p), ∂u i ∂u j
·
qual express˜ao ´e independente de p para todos ´ındices i, j somente se o sistema de coordenadas ´e linear (e.g., Cartesiano). Se o sistema de coordenadas ´e ortogonal , temos gij ( p) = h i ( p)2 δ ij .
42
Fis. Mat. I, 15/10/2009
A n-Forma de Volume. A determinante define um campo tensorial constante Ω 0 n (E ): Ω p (v 1 , . . . , v n ) := det(v 1 , . . . , v n ). (211)
∈
T
(Usamos o mesmo s´ımbolo como na eq. (187).) O Lema 3.8 implica:
Lema 3.15 As componentes de Ω p com respeito a uma sistema de coordenadas u1 , . . . , un com orienta¸cao ˜ positiva s˜ ao dadas por
{
}
| |1/2( p) εi ···i .
Ωi1 ···in ( p) = g
n
1
(212)
Aqu´ı, g ( p) ´e o m´odulo da determinante da matriz ∂ i r( p) ∂ j r( p) .
| |
·
Derivada Covariante. A derivada covariante (ou direcional) de campos vetoriais definido em eq. (114) pode ser generalizada para campos tensoriais de qualquer tipo: Para r T V , definimos s (E ) e v
∈ T
∈
d T p+tv dt
| Dv T p :=
Observe que a derivada com respeito ao vetor D ∂ r
∂u i
∂ r ( p) ∂u i
( p) T p =
t=0 .
(213)
coincide com a derivada parcial
∂ , ∂u i
∂ T . ∂u i p
As componentes de Dv T s˜ ao determinadas pelas derivadas parciais das componentes de T e os s´ımbolos de Christoffel Γ kij , definidos em eq. (63),
∂ ∂ r ( p) =: ∂u i ∂u j
n
A defini¸c˜ao implica o seguinte
Γkij ( p)
k=1
∂ r ( p). ∂u k
(214)
asicas du j s˜ aos dadas por Lema 3.16 As derivadas das formas diferenciais b´ ∂ j du p = ∂u i
− Γ jik ( p) duk
p
.
(215)
k
Demonstra¸cao. ˜ Como du j (∂ k r ) = δ j k = cte., temos pela regra de produto (aplic´avel!)
j
n
j
j
j
0 = ∂ i du (∂ k r ) = (∂ i du )(∂ k r ) + du (∂ i ∂ k r) = (∂ i du )(∂ k r) +
≡
Γlik du j (∂ l r)
l=1
= (∂ i du j )(∂ k r) + Γ jik . Ent˜ao, ∂ i du j
j k k (∂ i du )(∂ k r ) du =
−
k
Γ jik duk , como afirmado.
Com a defini¸ca˜o (214) e o Lema 3.16 podemos calcular a derivada covariante de qualquer tensor. Por exemplo, para campos vetoriais e formas diferenciais temos
∈ T ∈ T −
i ∂ r Lema 3.17 Seja A = i A ∂u i covariantes respectivas s˜ ao dadas por
∂ A ( p) = ∂u i ∂ A = ∂u i p
k
k
1 0 (E )
e A =
∂A k ( p) + ∂u i ∂A k ( p) ∂u i
i Ai du
i
A j ( p)Γkij ( p)
j
A j ( p)Γ jik ( p)
j
0 1 (E ).
∂ r ( p), ∂u k duk
p
.
As derivadas
(216)
(217)
43
Fis. Mat. I, 15/10/2009
Na Proposi¸c˜ao 1.14 temos calculado os s´ımbolos de Christoffel para um sistema ortogonal de coordenadas. Vamos calcular eles agora para um sistema arbitr´ario de coordenadas:
Proposi¸ ca ˜o 3.18 Sejam gij as componentes do tensor m´etrico g com respeito a um sistema de coordenadas u1 , . . . , un (n˜ ao necessariamente ortogonal), e ∂ i := ∂u∂ i . Vale
{
}
Γkij =
1 2
glk
∂ i g jl + ∂ j gil
l
− ∂ l gij
.
(218)
Demonstra¸cao. ˜ Pela f´ormula de Koszul (66) temos 2
Γlij gkl = ∂ i g jk + ∂ j g ik
l
− ∂ k gij .
Multiplicando com g kr , somando sobre k, e substituindo k
→ l e r → k, d´a eq. (218).
encia de um campo vetorial A e o gradiente e Proposi¸ ca ˜o 3.19 O rotacional e a divergˆ o Laplace de uma fun¸cao ˜ f s˜ ao dados, em componentes, por rot A =
Ωijk (∂ i A j )∂ k r
(219)
i,j,k
| |−1/2
= g
| |−1/2
div A = g grad f =
| |
εijk (∂ i A j )∂ k r ,
(220)
i,j,k
∂ i g
1/2
Ai ,
(221)
i
(∂ j f )g ji ∂ i r,
(222)
i,j
| |−1/2
∆f = g
| | ∂ i g
1/2
(∂ j f )g ji .
i,j
(223)
Demonstra¸cao. ˜ Por defini¸c˜ao do rotacional, temos
∂ i r
× ∂ j r · rot A = ∂ iA · ∂ j r − ∂ j A · ∂ ir = ∂ iA j − ∂ j Ai = =
Ωijk
k
Ωklm ∂ l Am .
(δ il δ jm
l,m
− δ imδ jl )∂ l Am
l,m
Na u ´ ltima linha temos usado a Eq. (202). Por outro lado, pela Eq. (191), temos
∂ i r
× ∂ j r · rot A = Ωijk ( rot A)k .
Compara¸c˜a o d´ a l,m Ωklm ∂ l Am = (rot A)k , que mostra a Eq. (219) da Proposi¸ca˜ o. Na eq. (220), usamos a eq. (201). A eq. (221) ´e comprovado da mesma maneira como na Proposi¸c˜ao 2.8, lembrando que o volume v do paralelep´ıpedo gerado pelos ∂ i r agora ´e dado por g 1/2 . Pela defini¸c˜a o, (grad f )( p) ´e o vetor equivalente (pela m´etrica) com o covetor (df ) p . Ent˜ ao, pelo Lema 3.7, temos
| |
(grad f )i =
(df ) j g ji =
j
(∂ j f ) g ji .
j
(Usamos a eq. (207) na u ´ ltima equa¸c˜a o.) Isto d´ a eq. (222). As equa¸c˜oes (221) e (222) implicam a eq. (223).
44 3.3
Fis. Mat. I, 15/10/2009
Aplica¸ c˜ ao: Tensores de Deforma¸c˜ ao e Tens˜ ao, Lei de Hooke.
o lido que sofre uma deforma¸ca˜o Tensor de Deforma¸ c˜ ao. Imaginamos um corpo s´ cont´ınua. Antes da deforma¸c˜ao ele ocupa uma certa regi˜ao, G, no espa¸co, e depois uma regi˜ao G′ . A deforma¸c˜ao pode ser matematicamente descrita por uma aplica¸c˜ao bijetiva cont´ınua, φ, de G sobre G′ . A aplica¸c˜ao φ consiste de uma parte que descreve um movimento isom´etrico (transla¸c˜ao + rota¸c˜ao) e uma parte que descreve a propria deforma¸c˜ ao. A descri¸c˜ao somente da u ´ ltima parte, para pequenos deforma¸c˜oes, ´e efetuada pelo tensor de deforma¸c˜ao. Consideramos dois pontos vizinhos p e q em G (antes da deforma¸c˜ao), e as imagens ′ q ′ os vetores deles em G′ sob da deforma¸ca˜o, p′ := φ( p) e q ′ := φ(q ). Sejam v := pq e v ′ := p relativos (deslocamento) entre os vizinhos antes e depois da deforma¸c˜ao, respectivamente. O que n´os interesse ´e a mudan¸ca do vetor relativo d := v ′
− v.
(Este vetor descreve a mudan¸c a da posi¸c˜a o do ponto q relativo a seu vizinho p sob a deforma¸c˜ao, e j´a ´e independente de qualquer parte translat´oria contido em φ. Vamos ver logo como jogar fora a parte rotacional tamb´em.) Dado p, este vetor depende obviamente s´o de v , e ´e zero se v = 0. Ent˜ ao deve existir uma aplica¸ca˜o linear L p : V V tal que vale (224) d = L p v + O( v 2 ).
→
Vamos determinar esta aplica¸c˜ao L p . Para estes fins, chamamos o vetor deslocamento entre um ponto o e sua imagem φ(o) (para qualquer o E ) de ρ(o). (Para a nossa lineariza¸ca˜o estes vetores nem precisam ser pequeno.) Isto define um campo vetorial ρ :
∈
o + ρ(o) := φ(o),
o
∈ G. Claramente temos (ver Figura 3) v ′ − v = ρ( p + v ) − ρ( p), ent˜ao temos q ′
ρ(q ) d
q
v′
v v
p
p′
ρ( p)
Figura 3: Deforma¸c˜ao.
d = ρ ( p + v )
− ρ( p) = (D ρ)( p) + O(v2). v
Ent˜ao, como a derivada covariante ´e linear em v , a Eq. (224) realmente vale, com L p = (Dv ρ)( p). Igual qualquer aplica¸c˜ao linear em V , L p possui uma u ´ nica decomposi¸ca˜o L p = S p + R p ∗ numa parte sim´ etrica (ver Defini¸ca˜o 14), S p = (S p ) , e uma parte anti-sim´ etrica, R p = (R p )∗ : A saber, 1 S p := L p + (L p )∗ , 2
−
45
Fis. Mat. I, 15/10/2009
e R p := 21 L p (L p )∗ . Como veremos logo, a parte sim´ etrica S p descreve a deforma¸ca˜o, e a parte anti-sim´etrica R p descreve a rota¸c˜a o de L p . Por isso, a parte sim´etrica S p ´e chamado de tensor de deforma¸cao. ˜ A saber, S p possui, como aplica¸ ca˜o linear sim´etrica, uma BON de auto-vetores ao S p descreve uma expans˜ao (λi > 0) ou compress˜ao e1 , . . . , e3 : S p ei = λi ei . Ent˜ (λi < 0) nas dire¸c˜oes correspondentes, e por conseguinte n˜ao exhibe rota¸c˜ao. Para interpretar melhor o tensor S p , observamos que para pequenas deforma¸c˜oes espera-se d v , ′ ′ o que implica v v v v . Usando isto, temos
{
−
}
≪
· ≈ v · S p v v · L p v v · d v ′ − v (225) v2 ≡ v2 = v2 ≈ v , ou seja, v · S p v v −2 descreve a deforma¸cao ˜ relativa na dire¸c˜ao v . Por outro lado, a matriz dos componentes de R p com respeito a uma BON apropriada {e1, . . . , e3} tem a forma 0 λ 0 −λ 0 0 .
0
0 0
Mas isto ´e o gerador infinitesimal de uma rota¸c˜ao em torno do eixo e 3 , ent˜ao R p descreve uma rota¸ca˜o infinitesimal. Um outro ponto de vista chega `a mesma conclus˜ao: A saber, para u, v V vale
∈
1 1 1 (u L p v L p u v ) = (u Dvρ( p) Duρ( p) v ) = rot ρ( p) (v u). 2 2 2 Ent˜ao, u R p v ´e proporcional ´a componente do rotacional do campo ρ na dire¸c˜ao v u. Obviamente, o tensor S corresponde a uma dilata¸cao ˜ homogˆenea se ele ´e um multiplo da unidade, S p = c( p) 1 . Pouco menos ´obvio ´e que ele corresponde a um cisalhamento puro se ele tem tra¸co zero, Tr S p = 0 (ver Defini¸c˜ao 14). O tra¸co do tensor de deforma¸c˜ao S p descreve a varia¸c˜ao relativa (infinitesimal) de volume feito pela deforma¸c˜ao. Para ver isto, consideramos um paralelep´ıpedo, gerado por 3 vetores v 1 , v 2 , v 3 com v´ertice em p. A imagem sob a deforma¸c˜ao φ ´e aproximadamente22 o paralelep´ıpedo gerado por v ′1 , v ′2 e ao p ′ , v ′i = (1 + L p )v i como antes). Seja V e V ′ v ′3 com v´ertice em p ′ (com a mesma nota¸c˜ o volume do paralelep´ıpedo antes e depois da deforma¸ca˜o, respectivamente. Temos u R p v =
·
·
−
·
·
−
·
· ×
·
×
V ′ = det((1 +L p )v 1 , (1 +L p )v 2 , (1 +L p )v 3 = det(1 +L p )det(v 1 , v 2 , v 3 ) = det(1 +L p ) V. Usando o fato que para pequenos deforma¸c˜oes vale det(1 + L p ) temos ent˜ao
≈ 1 + Tr L p ≡ 1 + Tr S p,
V ′
− V ≈ Tr S p,
(226) V onde a aproxima¸c˜ao ´e bom para pequenos lados v i do paralelep´ıpedo e para pequenos auto-valores de S p . Em particular, Tr S p = 0 significa que a deforma¸ca˜o S p deixa invariante o volume (proximo de p), ent˜ao ´e um cisalhamento puro. Em geral, S p possui (igual qualquer aplica¸c˜ao linear) uma ´unica decomposi¸ca˜o S p = D p + C p onde D p ´e um m´ ultiplo da unidade e C p tem tra¸co zero. A saber,
S p = = 22
1 (Tr S p ) 1 3
+ S p
− 13 (Tr S p) 1
D p
+
(227)
C p .
Realmente, os vertices da imagem s˜ao sim os pontos p ′ + v i , mas o paralelep´ıpedo ´ e deformado.
46
Fis. Mat. I, 15/10/2009
Isto significa que cada deforma¸c˜ao pode ser decomposto (´ unicamente) em uma dilata¸ca˜o homogˆenea e um cisalhamento puro. astico. Para Tensor de Tens˜ ao. Consideramos a deforma¸ca˜ o de um corpo s´olido el´ deform´ a-lo s˜ao precisos for¸cos que agem na superf´ıcie do corpo (supondo ausˆencia de a¸ca˜o a` distˆancia). Considerando agora uma regi˜ ao arbitr´aria G no interior do corpo, perguntamos o seguinte: Quais seriam as for¸c˜as necess´arias no contorno de G para manter a dada deforma¸ca˜o dentro de G se cortassemos o complemento de G fora? A for¸ca ∆F ( p) necess´aria num elemento ∆σ ( p) = n ∆σ da superf´ıcie depende certamente da ´area ∆σ, mas tamb´em da orienta¸c˜ao n( p) do elemento da superf´ıcie. No limite de pequenas ´areas ∆σ dσ, esta dependˆencia da for¸ca deve ser linear. Ent˜ao temos
dF ( p) = τ p dσ ( p),
(228)
onde τ p ´e uma aplica¸c˜ao linear de V em V , o chamado tensor de tens˜ ao. Mostra-se que, se o corpo est´a no equil´ıbrio com torque externo zero, este tensor ´e sim´etrico, τ p = (τ p )∗ [3, p. 670]. Como mencionado acima, τ p possui uma u ´ nica decomposi¸c˜ao τ p = p( p)1 + τˆ p , onde τˆ p tem tra¸co zero, a saber: p( p) 31 Tr τ p , e τˆ p τ p p( p)1 . F´ısicamente, p( p) ´e a press˜ ao no ponto p, e τˆ p descreve uma tens˜ ao de cisalhamento.
≡
≡ −
olido el´astico, a rela¸c˜ao entre tens˜a o e deLei de Hooke generalizada. Num corpo s´ forma¸c˜ao pode ser aproximada, para pequenas deforma¸c˜oes, por uma rela¸c˜ao linear. Por isso, existe para cada ponto p no corpo uma aplica¸ca˜o linear Λ p : T 11 (V ) T 11 (V ) tal que vale τ p = Λ p S p . (229)
→
A aplica¸c˜ao inversa Λ p−1 descreve a deforma¸c˜ao do corpo provocada por uma dada tens˜ao. Λ p depende somente do material do corpo. Em analogia com o isomorfismo End(V ) = T 11 (V ), tal aplica¸c˜ao Λ p pode ser identificado com um tensor em T 22 (V ): o chamdo tensor de elasticidade . Tal tensor em 3 dimens˜ o es tem, em geral, 3 4 = 81 componentes. O fato que τ p e S p s˜ao sim´etricos, e o produto escalar tamb´ em ´e, implicam as simetrias dos componentes covariantes deste tensor Λklij = Λijkl = Λ jikl = Λijlk ,
∼
que reduzem o n´umero de componentes independentes a 21. 3 graus de liberdade podem ser fixos pela escolha de um sistema de coordenadas. Os outros 18 n´umeros correspondem a 18 constantes do material. No caso de um s´olido policristalino ou isotr´opico, o n´ umero se reduz a 2, os chamados m´odulos de compress˜ ao e de rigidez. Vamos discutir em mais detalhe este caso de um s´olido isotr´ opico, i.e., que n˜ao possui nenhuma dire¸c˜ao discriminada (em constraste a um cristal). Neste caso, se n´os submetemos todos instrumentos em nosso laborat´ orio a uma rota¸c˜ao R (deixando o s´olido fixo), as propriedades do s´olido, e ent˜ao o tensor de elasticidade, n˜ao mudam. Matematicamente, isto significa que Λ p commuta com a representa¸c˜ao T T R do grupo das rota¸c˜oes em 1 − 1 t T T 1 (V ) dada por (v η)R := R v (R ) η, onde R ´e a aplica¸ca˜o “transposta”, definida por (RT η)(v ) := η(Rv ). Em coordenadas:
⊗
⊗
(T R ) ji = R ik (R−1 ) jl T kl .
→
47
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O espa¸co T 11 (V ) contem 3 subespa¸cos invariantes sob esta representa¸c˜ao, a saber os escalares (os m´ ultiplos da unidade), os tensores anti-sim´ etricos e os tensores sim´etricos com tra¸co zero, correspondente as representa¸co˜es irredut´ıveis do grupo de rota¸c˜oes com spin 0, 1 e 2, respectivamente. (No caso presente, tratamos s´o com tensores sim´etricos, ent˜ao o subespa¸co dos tensores anti-sim´etricos ´e ausente.) Como o nosso tensor de elasticidade Λ p comuta com a representa¸c˜ao, o Lema de Schur implica que ele age em cada uma destes dois subespa¸cos (escalares e tensores sim´etricas com tra¸co zero) como um certo m´ultiplo da unidade. Por isso, existem duas constantes, K e µ, tal que Λ p (S p ) = 3K S p se S p = c1 , e Λ p (S p ) = 2µ S p se S p tem tra¸co zero. Usando a decomposi¸c˜ao (227), a Eq. τ p = Λ p S p ent˜ao se reduz `a equa¸c˜ao τ p = 3K D p = K (Tr S p ) 1
+ 2µ C p + 2µ S p 31 (Tr S p )1 .
−
(230)
Isto ´e o Lei de Hooke generalizado, e as constantes K e µ s˜ao chamadas de m´ odulo de compress˜ ao e de rigidez , respectivamente. Esta equa¸c˜ao pode facilmente ser invertido, − 1 S p = Λ p τ p , a saber S p =
1 1 (Tr τ p ) 1 + τ p 9K 2µ
Isto d´a a deforma¸c˜ao causada por uma tens˜ao.
− 13 (Tr τ p)1
.
(231)
∆ϕ
l α
2R Figura 4: ∆ϕ
≈ αl/R = kl.
Exemplo: Tor¸ ca ˜o de um Bast˜ ao. Um bast˜ao (cil´ındro do raio R e comprimento l >> R) ´e torto por um ˆangulo α como na Figura 4. O homeomorfismo φ correspondente ´e dado (em coordenadas cil´ındricas r, ϕ, z) por φ : r (r,ϕ,z) (Aqui, k
4
→ r(r, ϕ + kz,z).
≈ α/R, ver Figura 4.)
Exerc´ıcios.
Ex. 1. (Espa¸co Vetorial.) Seja C ([0, 1]) o conjunto de fun¸co˜es cont´ınuas definidas no intervalo [0, 1], com valores reais. (a) Dado f , g C ([0, 1]) e s R, define uma fun¸ca˜o f + g e uma fun¸c˜ao s f . (b) Mostre que, com sua defini¸ca˜o da soma e da multiplica¸c˜ao por os escalares, o conjunto C ([0, 1]) constitui um espa¸co vetorial.
∈
∈
·
48
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Ex. 2. (Espa¸co vetorial.) Lembra que o seguinte ´axiomo foi parte da nossa defini¸c˜ao de um espa¸co vetorial V : “Para cada vetor u V existe um vetor u tal que u + ( u) = 0.” Mostre que esta condi¸c˜ao ´e redundante, ie., uma consequˆencia dos outros ´axiomos.
∈
−
−
Ex. 3. (Dependˆ encia linear.) Mostre que, no R2 , os dois vetores (1, 0), (1, 1) s˜ao linearmente independentes, mas os trˆes vetores (1, 0), (1, 1), (1, 2) s˜ao linearmente dependentes.
{
}
{
}
Ex. 4. (Proje¸c˜ ao ortogonal.) Seja V um espa¸co euclideano de dimens˜ao n, e e 1 , . . . ,er (onde r n) um sistema ortonormal. Seja U a varredura deles (as combina¸co˜es lineares), e seja P U o projetor sobre U . Ent˜ ao, para qualquer dado v V , P U v ´e o vetor definido por
≤
∈
r
P U v =
(ei v ) ei .
i=1
·
Mostre que o vetor v P U v ´e ortogonal ao subespa¸co U . (Dica: Mostre primeiro que este vetor ´e ortogonal a e1 , . . . , er .)
−
Ex. 5. (Produto vetorial no Mostre que o produto vetorial x
R3 .)
Seja x = (x1 , x2 , x3 ) e y = (y1 , y2 , y3 ) em y ´e dado por
R3 .
× x × y = (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 ).
Ex. 6. (Coordenadas polares no plano.) Para r > 0 e 0 definido por r(r, ϕ) := (r cos ϕ, r sen ϕ).
≤ ϕ < 2π seja r (r, ϕ) ∈ R2
r ∂ r (a) Determine os vetores ∂ ∂r e ∂ϕ (derivadas parciais), e a norma deles. ∂ r r ao uma base de (b) Mostre que, para qualquer dado (r, ϕ), os vetores ∂ ∂r e ∂ϕ s˜
R2 .
Ex. 7. (Area e volume.) (a) Os v´ertices de um triˆangulo no R3 tˆem coordenadas (2, 1, 5), (5, 2, 8) e (4, 8, 2). Calcular a ´area do triˆangulo, usando o produto vetorial. (Dica: Esta ´area ´e a metade da ´area do paralelogramo gerado por dois vetores convenientes.) (b) Um paralelep´ıpedo em R3 tem vertices (0, 0, 0), (3, 0, 0), (0, 0, 2) e (0, 3, 1). (Os 3 outros v´ertices s˜ao fixados pela defini¸c˜ao de um paralep´ıpedo.) Calcular o volume, usando a determinante de trˆes vetores comvenientes. Ex. 8. (Coordenadas polares no plano.) bem como a norma, dos vetores ∂ r ( p), ∂r
∂ r ( p) e ∂ϕ
Determinar as componentes Cartesianas, ∂ r ( p) ∂r
∂ r ( p) − ∂ϕ
para os seguinte pontos (em coordenadas Cartesianas, p = (x, y)):
(a) p = (1, 0) e p = (2, 0), (b) p = (0, 1) e p = (0, 2), 1 2 (1, 1) e p = √ (1, 1). (c) p = √ 2 2
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Ex. 9. (Transforma¸ca ˜o de coordenadas no plano.) Seja A um campo no plano dado (em coordenadas polares) por A(r, ϕ) :=
1 ∂ r (r, ϕ). r2 ∂ϕ
Determine as componentes A x (x, y) e A y (x, y) de A ( p) com respeito `as coordenadas Cartesianas, usando a formula de transforma¸ca˜o de componentes de vetores no Lema 2.4.
Ex. 10. (Coordenadas esf´ ericas.) ∂ r r (a) Para um ponto p arbitr´ario, calcule o vetor ∂ ∂θ ( p) ∂ϕ ( p). Para este fim, use a r ∂ r BON er ( p), eθ ( p), eϕ ( p) . (I.e., faz a decomposi¸c˜ao dos vetores ∂ ∂θ ( p), ∂ϕ ( p) com ∂ r r respeito a esta base, e calcule o vetor ∂ ∂θ ( p) ∂ϕ ( p) em termos da mesma base.) Calcule tamb´em a norma deste vetor. ∂ r r ı, ´e suficiente considerar s´o pontos p com (b) Dito com o vetor ∂ ∂r ( p) ∂ϕ ( p). Aqu´ π θ( p) = 2 (i.e., pontos no equador).
{
×
}
×
×
Ex. 11. (Coordenadas cil´ındricas.) O movimento de um el´etron num campo magn´etico seja a superposi¸c˜ao de um movimento retil´ıneo uniforme na dire¸ca˜o z com velocidade v z , e um movimento circular uniforme no plano x-y com velocidade angular ω e raio R. (a) Achar a parametriza¸c˜ao ̺ (t), ϕ(t), z (t) da curva em coordenadas cil´ındricas. r ∂ r ∂ r (b) Determinar a velocidade r˙ (t) em termos da base ∂ ∂ , ∂ϕ , ∂z . ̺ ¨ (t) da velocidade. (c) Determinar as normas r˙ (t) , r
Ex. 12. (Comprimento de curvas.) O movimento de um el´etron num campo magn´etico uniforme ´e composto por um movimento uniforme linear na dire¸ca˜o do campo com velocidade constante v 0 , e um movimento uniforme circular no plano perpendicular a v 0 , com frequˆencia angular ω e raio R. (a) Qual ´e o sistema de coordenadas melhor adaptado ao problema? (b) Calcule o comprimento da curva percorrida pelo el´etron depois uma per´ıode T (“periode” refere ao movimento uniforme circular no plano). Ex. 13. (Integral de curva no plano.) Seja A o campo vetorial no plano dado por A(r, ϕ) :=
1 ∂ r r2 ∂ϕ
(em coordenadas polares), e γ : t r(t) uma curva fechada que faz uma volta em torno da origem (um la¸c o). Calcular a integral de A sobre a curva γ ! Commente sobre o resultado. (Obs.: Primeiro tem que achar uma parametriza¸ca˜o de tal curva. Qual sistema de coordenadas?)
→
´ Ex. 14. (Area do hemisf´ erio.) Calcular a a´rea do hemisf´erio com raio R, escolhendo uma parametriza¸c˜ao e usando a formula da aula para ´areas.
Ex. 15. (Derivada direcional.) Calcular Dv f ( p), (u1 , u2 , u3 ) de p s˜ao dados por (a) f (x,y,z) = 2x2 + 3y3 + z, v = e x 2ey , (b) f (r,θ,ϕ) = sen (θ) r −2 , v = 5∂ r r + 2∂ θ r ∂ ϕ r, (c) f (x, y) = exp(x)cos(y), v = e x ,
−
−
onde f, v e as coordenadas (x,y,z) = (3, 1, 4); (r,θ,ϕ) = (1, π/2, π/4); (x, y) = (0, 0).
50
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Ex. 16. (Integral de volume.) Seja G a regi˜ao dos pontos com coordenada-z entre 0 e 1, G = R2 R2 [0, 1], e seja f : G R a fun¸ c˜ao dado por
× ×
→
f (x,y,z) := z exp( x2
− − y2).
Calcular a integral de f sobre G, usando a formula da aula. Como primeiro passo, escolha coordenadas bem-adaptadas!
Ex. 17. (Integral de volume.) Um corpo tem a forma de um paralelep´ıpedo com vertices (x,y,z) = (1, 1, 1), (3, 1, 1), (1, 4, 2) e (1, 1, 2) (os outros 3 vertices s˜ao fixados pela defini¸c˜ao de um paralep´ıpedo). Ele tem a densidade ̺(x,y,z) = x + 2y + z. Calcular a massa do corpo. – Dica: Um poss´ıvel jeito ´e o seguinte: Escolhendo um v´ertice p0 do paralelep´ıpedo como origem, os trˆes lados incidentes em p 0 definem uma base a1 , a2 , a3 do R3 . Isto d´a coordenadas u i no paralelep´ıpedo pela defini¸ca˜o
{
}
3
p 0 p =:
ui ( p) ai .
i=1
(Quais valores tˆem estes coordenadas para pontos no interior do paralelep´ıpedo – ou seja, com a nota¸c˜ao da aula: qual ´e o dom´ınio G 0 das coordenadas u i ?) Escreva as coordenadas Cartesianas (x,y,z) usadas inicialmente, bem como a densidade ̺, em termos das novas coordenadas (u1 , u2 , u3 ). (Cuidado! O origem escolhido inicialmente = p0 !) Determine ∂ r ( p) e use a formula da aula sobre integrais de volume. Nicht eindeutig!! ∂u i
Ex. 18. (Fluxo do campo el´ etrico.) (a) Seja S a esf´era do raio R, com orienta¸c˜ao tal que o vetor normal aponta para fora, e seja kq op E ( p) := op 3 o campo el´etrico no ponto p gerado por uma carga puntiforme na origem o. Calcular o fluxo de E sobre a superf´ıcie S . Comente sobre o resultado! (b) Seja agora S uma deforma¸c˜ao cont´ınua da esf´era, mais precisamente: uma superf´ıcie fechada que contem a origem o, e que tem a propriedade que cada raio come¸cando em o passa por S exatamente uma vez. Determine uma parametriza¸c˜ao para S , e calcule o fluxo de E sobre S . Comente! Dica: Escolha a parametriza¸c˜ao analogamente com a esf´era em termos de coordenadas esf´ericas, mas sem fixar r(s, t) = R!
∗
Ex. 19. (Campos conservativos no R2 .) No R2 , seja C uma curva fechada que segue somente as linhas de r e de ϕ, e n˜ao contem o origem no interior. Ent˜ao, ela consiste de 4 segmentos, a saber entre 4 pontos com coordenades respectivas ( r1 , ϕ1 ), (r2 , ϕ1 ), (r2 , ϕ2 ) e (r1 , ϕ2 ), onde 0 < r1 < r2 e 0 ϕ1 < ϕ2 < 2π. (a) Achar uma parametriza¸ca˜o da curva C . ∂ r (em coordenadas polares). (b) Seja A um campo vetorial da forma A(r) = f (r) ∂ϕ Calcule a integral de A sobre a curva C do item (a). Mostre: Os integrais sobre todas curvas fechadas da mesma forma23 como C s˜a o zero se e somente se f (r) = c r−2 para uma constante c. r ∗ (c) Seja E um campo vetorial da forma E (r) = f (r) ∂ ∂r . Mostre: Os integrais de E sobre todas curvas fechadas da mesma forma como C s˜ ao zero se e somente se f ´e ˆ da forma f (r) = f (r).
≤
23
mais precisamente, com winding number 0
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Ex. 20. (Campo conservativo e gradiente no R2 .) ∂ r . No (a) Seja A o campo vetorial dado (em coordenadas polares) por A(r, ϕ) := r12 ∂ϕ dom´ınio D := R2 (x, 0), x 0 o campo A ´e conservativo [isso segue do exerc´ıcio 5.1.(b)]. Ent˜ ao deve existir uma fun¸c˜ao φ t.q.
\{
≤ }
A = grad φ
em D.
(232)
Calcule este “potencial” φ, e faz o check que realmente vale eq. (232), usando a formula explicita do gradiente em coordenadas polares. r em ´e conservativo. (b) Fazer o mesmo com o campo E (r) = f (r) ∂ ∂r , que tamb´ (c) Visualizar os campos A e E dos items (a) e (b), respectivamente, e as “superf´ıcies” (neste caso bidimensional, as linhas) de n´ıvel dos potenciais φ correspondentes. Faz 2 comment´ arios sobre a dire¸c˜ao dos gradentes em rela¸c˜ao a estes linhas de n´ıvel.
Ex. 21. (Gradientes.) Calcule os gradientes das seguintes fun¸co˜es, em termos de coordenadas indicadas24 em parenteses: (Coordenadas Cartesianans), (a) f (x,y,z) = 2x2 + 3y3 + z − 2 (Coordenadas esf´ericas), (b) f (r,θ,ϕ) = sen (θ) r 2 (c) f (̺,ϕ,z ) = exp( ̺)sen(ϕ)z (Coordenadas cil´ındricas).
−
Ex. 22. (Superf´ıcie de n´ıvel.) Seja f (̺,ϕ,z ) := ̺ 2 z (em coordenadas cil´ındricas), e seja S a superf´ıcie de n´ıvel f = 0 desta fun¸c˜ao, i.e. o parabol´oido
−
S := p : f ( p) = 0 .
{
}
(a) Calcule o gradiente de f , em termos de coordenadas cil´ındricas2 . (b) Achar uma parametriza¸ca˜o de S , e calcule o vetor normal (unit´ario) n ( p), p S . oide S aponta n( p)? Achar outra para(c) Para qual lado (fora ou dentro) do parabol´ metriza¸c˜ao com a orienta¸c˜ao inversa (i.e., com n apontando para o outro lado)! (d) Qual rela¸c˜ao temos entre os vetores n( p) e grad f ( p), para p S ? Por que isto deve ser assim?
∈
∈
Ex. 23. (Corpo r´ıgido em rota¸c˜ ao.) O campo de velocidade de um corpo r´ıgido em rota¸c˜ao em torno de um eixo fixo n , com velocidade angular ω, ´e dado por v (r ) = ω r, onde ω := ω n, e r ´e o vetor posi¸c˜ao com respeito a um origem no eixo. (a) Calcule v e rot v em coordenadas cil´ındricas. Dica: Usar o fato que as coordenadas cil´ındricas satisfazem ∂ r ∂ r ( p) + z( p) ( p). (233) r( p) = ( p) ̺ ∂ ∂z ̺ (b) Integrar C v dr ao longo de um c´ırculo C no plano ortogonal a n que faz uma volta em torno do eixo n no sentido contra-hor´ario. Verifique que
×
·
·
dr = rot v ez . ´area
C v
Ex. (a) (b) (c) (d) 24
·
ule o rota¸cional dos seguintes campos. 24. (Rotacional.) Calc´ ∂ r A(̺,ϕ,z ) = f (̺) ∂ϕ (em coordenadas cil´ındricas). ∂ r (em coordenadas cil´ındricas). A(̺,ϕ,z ) = −2 ∂ϕ ̺ ∂ r E (r,θ,ϕ) = f (r ) ∂r (em coordenadas esf´ericas). r ericas). E (r,θ,ϕ) = r 5 ∂ ∂r (em coordenadas esf´
∂ r } se as coordenadas { ui } foram indicadas. I.e., em termos da base { ∂u i
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Ex. 25. (Divergˆ encia.) Calcular a divergˆencia do campo el´etrostatico E gerado por uma esf´era uniformemente carregada, com carga total Q e raio R. (a) No interior, onde E ´e dado por E (r ) = k
Q r er . R3
(b) No exterior, onde E ´e dado por Q e r . r2 (c) Pelos resultados dos itens anteriores: div E ´e proporcional a qual grandeza f´ısica? E (r) = k
∗
Ex. 26. (Acelera¸c˜ ao em coordenadas cil´ındricas sem s´ımbolos de Christoffel.) Seja t r(t) a curva de uma part´ıcula. Achar as componentes da velocidade v := r˙ e da acelera¸ca˜o a = v˙ em coordenadas cil´ındricas. (Ou com respeito `a base ∂ ̺ r, ∂ ϕ r , ∂ z r , i.e., as componentes v i definido por v = v i ∂ i r ; ou com respeito `a base e̺ , eϕ , ez , i.e., as componentes v (i) definido por v = v (i) ei .) Tome em considera¸c˜ao que e̺ ( p) e eϕ ( p) (em contaste a ez ) dependem do ponto p (e por conseguinte, de t)! — Dica: Use d a eq. (233), e dt (ei e j ) = 0 (Por que?) para determinar esta dependencia de t.
→
{
·
} }
{
Ex. 27. (Potencial-vetor do fio reto infinito.) O campo magn´etico de um fio condutor infinitamente extendido no eixo-z e com corrente I na dire¸ca˜o das z positivas ´e dado, em coordenadas cil´ındricas, por µ0 I (234) B (r) = e ϕ . 2π ̺ Mostre que um potencial-vetor do campo magn´etico ´e dado por A(r ) :=
µ0 I 1 ln( ) ez . 2π ̺
Ex. 28. (Grad e rot do vetor posi¸ca ˜o.) (a) Calcule div r. Use o resultado para calcular
∂G
r dσ ,
·
onde a superf´ıcie ∂ G ´e o contorno de uma regi˜ao G. (b) Calcule rot r . Use o resultado para calcular
∂S
r dr,
·
onde a curva ∂ S ´e o contorno de uma superf´ıcie S . (c) Mostre que grad (1/r) = ( 1/r2 ) er . (d) Mostre que grad (1/r) = ( 1/r2 ) er . Use esta equa¸c˜ao para mostrar ∆ 1r = 0 se r = 0, enquanto 1 ∆ dV = 4π (235) r G
− −
−
para qualquer regi˜ao G que cont´em a origem. (Em outras palavras, ∆ 1r ´e 4π vezes a distribui¸c˜ao-delta.) Dica: Mostre eq. (235) primeiro para uma bola do raio R centrada na origem, e depois para regi˜oes arbitr´arias.
−
