Cap´ Ca p´ıtu tullo 1 Topo opologi logia a do espa espac c¸o Euclid Euclidiano iano 1
O espac¸ o veto vetorial rial Rn Seja n
iguais a R:
∈ N.
euclidi idiano ano n− dimensional e´ o produto cartesiano de n fatores O espac¸ o eucl Rn = R
× ×· · · × R
R
´ n copias
˜ as n−listas x = (x1, . . . , xn), cuja ˜ Os pontos de Rn sao cujas s coordenadas x1, . . . , xn sao numeros ´ reais. Dados x = (x1, . . . , xn) , y = ( y1, . . . , yn)
∈ R
e o produto λx λx pondo:
n
x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
e um n´umero umero real λ, definimos a soma a soma x x + y λx = (λx1, . . . , λ xn) .
˜ n sobre R, no qual ˜ ´ um espac¸o ve Rn e vetorial torial de dime dimens ns ˜ ao Com estas operac¸ oes, ˜ e −x = (−x1, . . . , −xn) e´ o simetrico ´ elemento neut neutro ro para a adic¸ ao de 0 = (0 , . . . , 0) e´ o elemento x = (x1, . . . , xn).
ˆ { e1, . . . , en} formada pelos vetores No espac espa c¸ o vetori vet orial al Rn, destaca-se a base can onica e1 = (1 , 0 , . . . , 0) , e2 = (0 , 1 , . . . , 0) , . . . , en = (0 , 0 , . . . , 1),
que tem uma coordenada igual a 1 e as outras nulas. Para todo x = (x1, . . . , xn) temos: x = x 1e1 + x2e2 + . . . + xnen . m
• Sejam L(R
˜ lineares T : Rm , Rn) o conjunto das transformac¸ oes
conjunto das matrizes reais A = (aij) com n linhas e m colunas. colunas. m
˜ natural entre L(R • Existe Ex iste uma bijec bij ec¸ ao
, Rn) e
M(n × m ). -1
−
→
Rn e
M(n × m ) o
´ Analise
De fato, dada T
∈ ∈ L(R
m
´ , Rn), seja AT = (aij) a matriz cuja j−esima coluna e´ o vetor coluna
ˆ (Tej)t, onde { e1, . . . , em} e´ a base can onica de Rm, ou seja, a matriz A T = (aij) e´ definida pelas igualdades
n
Tej =
aijei ,
j = 1, 1, . . . , m ,
i=1
ˆ onde { e1, . . . , en} e´ a base can onica de Rn. Reciprocamente, Reciprocamente, dada A
m
∈ M(n × m ), seja T ∈ L(R A
m
T A(x) =
, Rn) definida por
m
a1jxj, . . . ,
j=1
anjxj
.
j=1
˜ Como T A(ej) = (a1j, . . . , anj), temos t emos que a aplic a plicac ac¸ ao (n Φ : (Rm, Rn)
L
T
− M × m ) − A
→ →
e´ sobrejetora.
T
´ disso, Φ e´ injetora, pois se Φ(T ) = Φ(L), entao ˜ T (ej) = L(ej), j = 1, Alem 1, . . . , m, e, portanto, T (x) = x 1T (e1) + . . . + xmT (em) = x 1L(e1) + . . . + xmL(em) = L (x) ,
Escrevendo as colunas de uma matriz A
∀ x = (x , . . . , x ) ∈ R 1
m
m
.
´ a outra numa linha, ∈ M(n × m ) uma apos
podemos identificar A com um u m ponto pont o do espac¸ o euclidiano eucl idiano Rnm.
˜ nm , no qual as matrizes M(n × m ) torna-se torna-s e um espac e spac¸ o vetorial vetori al real rea l de dimens ao 1 se ( i, j) = (k, ) , 1 ≤ k ≤ n , 1 ≤ ≤ m , on onde de a = A = a (k, ) , 0 se ( i, j) =
Assim,
k
k ij
k ij
formam uma base natural.
´ disso, ˜ , podemos Alem disso, como Φ e´ uma bijec bij ec¸ ao ao, podemos induzir em espac¸ o vetorial, para a qual T k, 1 j = , e´ uma base natural.
≤ k ≤ n
e 1
≤ ≤ m ,
m
, Rn) uma estrutura de
onde on de T k(e) = e k e T k(ej) = 0 se
Podemos, assim, sempre que for conveniente, substituir por Rnm.
L(R
L(R
m
, Rn) ora por
M(n × m ), ora
m
• No caso particular em que n = 1, L(R
˜ n formado , R) e´ o espac¸ o vetorial real de dimensao
pelos funcionais pelos funcionais lineares de de Rm em R, para o qual { π 1, . . . , πm } e´ uma base, onde π i(ej) =
ou seja,
0
1
se i = j
0
se i = j ,
´ Instituto de Matem Matem´atica UFF
Produto interno e norma
n
π i(x1, . . . , xi, . . . , xm) =
xjπ i(ej) = x i ,
j=1
˜ de Rm sobre seu i −esimo ´ e´ a projec¸ao fator. O espac¸o (Rm, R) = (Rm) e´ chamado o espac¸o dual do espac¸o euclidiano Rm, e a base
L
ˆ {π 1, . . . , πm de Rm. } e´ chamada base dual da base can onica Observe que se f
e ( a1
m)
· · · a
m
∈ L(R
e´ a matriz 1
˜ , R) e f (ei) = a i, i = 1, . . . , m, entao
f(x1, . . . , xm) = a 1x1 + . . . + amxm ,
× m associada ao funcional f.
˜ 1.1. Sejam E, F e G espac¸os vetoriais reais. Uma aplicac¸ ao ˜ ϕ : E × F Definic¸ao ˜ a cada uma de suas vari aveis, ´ chama-se bilinear quando e´ linear em relac¸ao ou seja: ϕ(λx + x , y) = λϕ(x, y) + ϕ(x , y)
−
→
G
ϕ(x, λy + y ) = λϕ(x, y) + ϕ(x, y ) ,
quaisquer que sejam x, x
∈ E, y, y ∈ F e λ ∈ R.
˜ 1.1. ϕ(x, 0) = ϕ (0, y) = 0 quaisquer que sejam x ∈ E e y ∈ F . Observac¸ao ˜ 1.2. Se E = Rm, F = Rn, temos que Observac¸ao
m
ϕ(x, y) = ϕ
n
xiei ,
i=1
yjej
=
j=1
xi yjϕ(ei, ej) ,
ij
de modo que ϕ fica inteiramente determinada pelos mn valores ϕ(ei, ej) que assume nos pares ´ ( ei, ej), 1 ordenados de vetores b asicos
≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
˜ 1.2. Uma aplicac¸ao ˜ bilinear ϕ : E × E − G e sim ´ ´ Definic¸ao etrica quando
→
ϕ(x, y) = ϕ ( y, x) ,
quaisquer que sejam x, y
2
∈ E.
Produto interno e norma
˜ ˜ 2.1. Seja E um espac¸o vetorial real. Um produto interno em E e´ uma aplicac¸ ao Definic¸ao
,
: E × E − R que satisfaz as seguintes propriedades: (1) x, y = y, x ; (2) x + x , y = x, y + x , y ;
→
J. Delgado - K. Frensel
1
´ Analise
(3) λx,y = λ x, y ;
x, x > 0 , = 0 (4) x para quaisquer x, x , y ∈ E e λ ∈ R.
⇒
=
˜ real bilinear, sim ´ etrica e positiva defi- Ou seja, um produto interno sobre E e´ uma func¸ao nida .
˜ 2.1. x, x = 0 Observac¸ao
⇐⇒
x = 0 .
onico do espac¸o euclidiano Exemplo 2.1. O produto interno can ˆ
´ dado por Rn e
x, y = x y + . . . x y
n n,
1 1
onde x = (x1, . . . , xn) e y = ( y1, . . . , yn).
˜ 2.2. Se ϕ : Observac¸ao
Rn
n
´ um produto interno em Rn, entao ˜ a matriz R e
×R −
→
´ e positiva definida, ou seja, aij = aji e A = (aij)1≤i,j≤n, onde ϕ(ei, ej) = aij, e´ simetrica xAxt > 0 para todo x
∈R
n
− {0}, ja´ que
n
ϕ(x, y) =
aijxi yj = xAyt .
i,j=1
Reciprocamente, se A
´ ˜ ∈ M(n × n) e´ uma matriz simetrica e positiva definida, ent ao n
ϕ(x, y) =
aijxi yj
i,j=1
define um produto interno em Rn. ˆ O produto interno can onico corresponde a tomar a matriz identidade I = (δij), onde δij =
e´ a delta de Kronecker .
1
se i = j
0
se i = j
˜ 2.2. Dizemos que dois vetores x, y sao ortogonais ˜ ao produto interno ˜ Definic¸ao em relac¸ ao
,
se x, y = 0.
˜ 2.3. Observac¸ao
• O vetor nulo 0 e´ ortogonal a todos os vetores do espac¸o. ˆ ˆ ˜ • Se , e´ o produto interno canonico de R e { e , . . . , e } e´ a base can onica, entao e , e = δ , i, j = 1, . . . , n. n
i
2
j
1
n
ij
Instituto de Matem´atica UFF
Produto interno e norma
˜ 2.1. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Proposic¸ao Seja E um espac¸o vetorial com produto interno
. Ent ˜ ao | x, y | ≤ x y , ∀ x, y ∈ E , e a igualdade e´ v ´ alida se, e somente se, x e y s ˜ ao LD, onde x = x, x e y = y, y.
,
Prova.
Suponhamos que y = 0 e seja λ
∈ R. Como x + λy,x + λy = x + 2λx, y + λ y ≥ 0 , ∀ λ ∈ R ,
2
2
2
temos que o discriminante ∆ = 4 x, y
2
− 4 x
2
2
y ≤ 0 ,
ou seja, | x, y |
≤ x y. ´ disso, | x, y| = x y se, e s o´ se, ∆ = 0, ou seja, se, e s o´ se, existe λ ∈ R tal que Alem 0
x + λ0 y = 0 .
˜ LD. y se, e so´ se, x e y sao
Logo | x, y | = x
˜ 2.3. Uma norma num espac¸o vetorial real E e´ uma func¸ao ˜ real Definic¸ao ˜ satisfaz as seguintes condic¸ oes:
: E −
→
R que
(1) λx = | λ| x ;
(2) x + y ≤ x + y ; (3) x = 0 x > 0 , para quaisquer x, y ∈ E e λ ∈ R.
⇒
=
˜ 2.4. 0 = 0 . Observac¸ao ˜ 2.5. x = 0 Observac¸ao
⇐⇒
x = 0 .
˜ 2.6. Observac¸ao
− x = x .
˜ 2.7. Observac¸ao
| x − y |
≤ x − y .
De fato, como
x = (x − y) + y ≤ x − y + y , e
y = (x − y) − x ≤ x − y + x , J. Delgado - K. Frensel
3
´ Analise
temos que − x − y
≤ x − y ≤ x − y ,
ou seja, | x − y |
≤ x − y . ˜ 2.2. Se , : E × E − Proposic¸ao x = x, x e´ uma norma em E.
→
´ um produto interno em E , ent ˜ Re ao
: E −
→
R,
Prova.
˜ ∈ E e λ ∈ R. Entao: (1) λx = λx, λx = λ x, x = | λ| x, x = | λ| x . (2) x + y = x + y, x + y = x + 2x, y + y ≤ x
Sejam x, y
2
2
2
2
2
+ 2 x
gualdade de Cauchy-Schwarz. Logo x + y
2
y + y
, pela desi-
2
2
≤ ( x + y ) , ou seja, x + y ≤ x + y. (3) x x, x > 0 x = x, x > 0 . = 0 ˜ 2.8. x + y = x + y Observac¸ao ∃ λ > 0 tal que x = λy ou y = λx . = 0 , temos que x + y = x + y De fato, se y x, y = x y ∃λ > 0 ; x = λy. ˆ Exemplo 2.2. Se , e´ o produto interno can onico de R , x = x, x = x + . . . + x , e´ chamada de norma euclidiana do vetor x ∈ R .
⇒
⇐⇒
⇒
=
=
⇐⇒
⇐⇒
n
2 1
2 n
n
˜ 2.9. Ha´ uma infinidade de normas que podem ser definidas no espac¸o euclidiObservac¸ao ano Rn. Dentre elas, temos:
• a norma do m ´ aximo : x
M = max {|x1|, . . . , |xn|} ,
e
• a norma da soma : x = |x | + . . . + |x | . ´ facil ´ verificar que e realmente definem normas em R (exerc´ıcio). E ´ disso, para todo x ∈ R , Alem x ≤ x ≤ x ≤ nx , onde e´ a norma euclidiana. De fato, como x = x + . . . + x ≥ | x | para todo i = 1, . . . , n, temos que x ≥ x S
M
1
n
n
S
n
M
2 1
4
2 n
S
i
M
(1)
M.
Instituto de Matem´atica UFF
Produto interno e norma
E se x
M = | xi|,
˜ entao
x = |x | + . . . + |x | ≤ n|x | = nx S
1
n
Finalmente, 2 S =
x
M.
i
n
2
2
2
( |x1| + . . . + |xn| ) = | x1| + . . . + |xn| + 2
|xi| |xj|
i,j = 1 i
ou seja, x
2
≥ |x | 1
+ . . . + |xn|2 = x
2
,
≥ x. S
˜ para mostrar que as tr es ˆ normas acima s ao ˜ equivalentes. Estas desigualdades servirao
˜ 2.4. Uma m ´ ˜ real d : M × M − etrica num conjunto M e´ uma func¸ ao Definic¸ao
→
˜ as seguintes condic¸ oes:
R que satisfaz
(1) d(x, y) = d ( y, x) ; (2) d(x, z )
≤ d(x, y) + d( y, z ) (desigualdade triangular) ;
(3) x = y
⇒
=
d(x, y) > 0 ,
etrico . para quaisquer x, y, z M . O par ( M, d) e´ dito um espac¸o m ´
∈
˜ 2.10. Se (E, Observac¸ao por
˜ d : E × E − ) e´ um espac¸o vetorial normado, entao
→
d(x, y) = x − y , x, y
R definida
∈ E
´ e´ uma metrica em E . ˜ De fato, se x, y, z E , entao:
∈ (1) d(x, y) = x − y = y − x = d (x, y) ; (2) d(x, z ) = x − z = (x − y) + ( y − z ) ≤ x − y + y − z = d (x, y) + d( y, z ) ; (3) x = y x − y = 0 x − y > 0 d(x, y) > 0.
⇒
⇒
=
⇒
=
Exemplo 2.3. Em Rn,
=
2
2
´ ´ da norma euclidiana. que provem • d(x, y) = (x − y ) + . . . + (x − y ) e´ a metrica ´ ´ da norma do m aximo. ´ • d (x, y) = max { |x − y | } e´ a metrica que provem M
1
1
1≤i≤n
n
i
n
i
e
• d (x, y) = |x − y | + . . . + |x S
1
1
n − yn|
´ ´ da norma da soma. e´ a metrica que provem
˜ 2.11. Uma norma num espac¸o vetorial E pode nao ˜ provir de um produto interno, Observac¸ao J. Delgado - K. Frensel
5
´ Analise
ou seja, nem sempre existe um produto interno
paralelogramo :
em E tal que
x, x .
x = Com efeito, se a norma
,
´ de um produto interno provem 2
2
x + y + x − y
= 2
x
2
˜ vale a identidade do , entao
,
+ y
2
,
que diz que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo e´ igual a` soma dos quadrados de seus quatro lados. De fato, 2
x + y x − y x + y + x − y
=
2
2
2
2
x + y, x + y = x + y + 2x, y = x − y, x − y = x + y − 2x, y = 2 x + y . ˜ provem ˆ de um Com isso, podemos provar que as normas e em R , n ≥ 2, nao 2
⇒
=
2
2
2
2
M
S
n
produto interno, pois: 2 2 M +
• e + e 1
2 2 M = 1
e − e
+ 1 = 2 = 4 = 2
2 2 S
1
e 2 2 S
e1
2 1 S
2 M +
2 2 M
e 2 2 S
• e + e + e − e = 4 + 4 = 8 = 4 = 2 e + e 1
3
1
,
.
Bolas e conjuntos limitados ´ ( M, d), definimos os seguintes conjuntos: Num espac¸o m etrico
• Bola aberta de centro a ∈ M e raio r > 0: B(a, r) = {x ∈ M | d(x, a) < r}. • Bola fechada de centro a ∈ M e raio r > 0: B[a, r ] = {x ∈ M | d(x, a) ≤ r}. • Esfera de centro a ∈ M e raio r > 0: S[a, r ] = {x ∈ M | d(x, a) = r}. Segue-se que B[a, r ] = B (a, r) ∪ S[a, r ] . ´ ´ de uma norma do espac¸o vetorial E , temos: Se a metrica d provem B(a, r) = {x ∈ E | x − a < r} ; B[a, r ] = {x ∈ E | x − a ≤ r } ; S[a, r ] = {x ∈ E | x − a = r } . Exemplo 3.1. No espac¸o euclidiano
˜ 1, as tres ˆ normas, definidas anteriorR de dimensao
mente, coincidem, e: B(a, r) = (a − r, a + r) , 6
B[a, r ] = [a − r, a + r ] e S[a, r ] = { a − r, a + r} . Instituto de Matem´atica UFF
Bolas e conjuntos limitados
˜ 3.1. A forma geometrica ´ das bolas e esferas dependem, em geral, da norma Observac¸ao que se usa. etrica euclidiana , teremos: Por exemplo, se consideramos o plano R2 com a m ´ 2
2
2
• B((a, b), r) = {(x, y) ∈ R | (x − a) + ( y − b) < r} (disco aberto de centro (a, b) e raio r > 0). • B[(a, b), r ] = {(x, y) ∈ R | (x − a) +( y − b) ≤ r} (disco fechado de centro (a, b) e raio r > 0). • S[(a, b), r ] = {(x, y) ∈ R | (x − a) + ( y − b) = r} (c´ırculo de centro (a, b) e raio r > 0). 2
2
2
2
2
2
˜ a m etrica ´ Fig. 1: Bola aberta, bola fechada e esfera no plano em relac¸ao ` euclidiana
etrica do m ´ aximo , teremos: E se consideramos R2 com a m ´
• B • B •S
2
∈ R | |x − a| < r e | y − b| < r} = (a − r, a + r) × (b − r, b + r). [(a, b), r ] = { (x, y) ∈ R | |x − a| ≤ r e | y − b| ≤ r } = [a − r, a + r ] × [b − r, b + r ]. [(a, b), r ] = { (x, y) ∈ R | |x − a| ≤ r e | y − b| = r } ∪ {(x, y) ∈ R | |x − a| = r e | y − b| ≤ r }.
M((a, b), r)
= { (x, y)
2
M
2
M
2
˜ a m etrica ´ ´ Fig. 2: Bola aberta, bola fechada e esfera no plano em relac¸ ao ` do maximo
etrica da soma , teremos: Finalmente, se tomarmos R2 com a m ´ 2
• B ((a, b), r) = {(x, y) ∈ R S
| |x − a| + | y − b| < r} ,
˜ interior ao quadrado de vertices ´ e´ a regiao nos pontos ( a, b + r), ( a, b − r), ( a − r, b), ( a + r, b). 2
• B [(a, b), r ] = {(x, y) ∈ R S
| |x − a| + | y − b|
≤ r} ,
˜ da regiao ˜ limitada pelo quadrado de v ertices ´ e´ a uniao nos pontos ( a, b + r), ( a, b − r), ( a − r, b), ´ quadrado. (a + r, b) com o proprio J. Delgado - K. Frensel
7
´ Analise
2
• S [(a, b), r ] = {(x, y) ∈ R S
| |x − a| + | y − b| = r }
´ e´ o quadrado de v ertices nos pontos ( a, b + r), ( a, b − r), ( a − r, b), ( a + r, b).
˜ a m etrica ´ Fig. 3: Bola aberta, bola fechada e esfera no plano em relac¸ ao ` da soma
Ent˜ao, temos que: BS((a, b), r)
⊂ B((a, b), r) ⊂ B
M((a, b), r) .
˜ entre as bolas aber tas de mesmo centro e raio em relac¸ao ˜ as ` m etricas ´ ´ Fig. 4: Relac¸ao euclidiana, da soma e do m aximo
˜ 3.2. De um modo geral, a bola aberta BM(a, r) Observac¸ao M =
x
max { |x1|, . . . , |xn
a = (a1, . . . , an).
De fato, x = (x1, . . . , xn)
n
⊂ R , definida pela norma |}, e´ o produto cartesiano ( a − r, a + r) × . . . × (a − r, a + r), onde
∈ B
M(a, r)
1
⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒
1
n
n
|x1 − a1| < r , . . . , |xn − a| < r
∈ (a − r, a + r) , . . . , x ∈ (a − r, a + r) (x , . . . , x ) ∈ ( a − r, a + r) × . . . × (a − r, a x1
1
1
1
n
n
1
n
n
1
n
n +
r) .
O fato das bolas de Rn serem produto cartesiano de intervalos da reta, torna esta m ´ etrica, em muitas ocasi ˜ oes, mais conveniente do que a m ´ etrica euclidiana.
• Mostraremos, agora, que as bolas relativas a diferentes normas em R
n
ˆ em comum o fato tem
de serem convexas.
˜ 3.1. Sejam x, y ∈ Rn. O segmento de reta de extremos x e y e´ o conjunto Definic¸ao [x, y ] = { (1 − t) x + t y | t
8
∈ [0, 1 ] } .
Instituto de Matem´atica UFF
Bolas e conjuntos limitados
˜ 3.2. Um subconjunto X ⊂ Rn e convexo ´ ´ qualquer segmento de reta quando contem Definic¸ao cujos extremos pertencem a X , ou seja,
∈ X [x, y ] ⊂ X . Exemplo 3.2. Todo subespac¸o vetorial E ⊂ R e´ convexo. Exemplo 3.3. Todo subespac¸o afim a + E = {a + x | x ∈ E}, onde E ⊂ R x, y
⇒
=
n
n
e´ um subespac¸o, e´
um conjunto convexo.
˜ conjuntos convexos, ent ao ˜ X × Y ⊂ Rm+n e´ convexo. Exemplo 3.4. Se X ⊂ Rm e Y ⊂ Rn sao
Exemplo 3.5. O conjunto X = [e1, −e1 ]
⊂ X, pois
Rn − { 0}
⊂ R
1 1 e1 + (−e1) = 0 / X . 2 2
∈
n
˜ e´ convexo, pois e1 nao
∈ X,
−e1
∈ X, mas
Teorema 3.1. Toda bola aberta ou fechada de Rn, com respeito a qualquer norma, e´ um conjunto convexo. Prova. ˜ x − a < r e y − a < r. Logo, ∈ B(a, r). Entao (1 − t)x + ty − a = (1 − t)x + ty − (1 − t)a − ta ≤ (1 − t)(x − a) + t( y − a) < (1 − t)r + tr = r , para todo t ∈ [ 0, 1 ], pois 1 − t ≥ 0 e t > 0 ou 1 − t > 0 e t ≥ 0 . Sejam x, y
´ De modo analogo, podemos provar que a bola fechada e´ convexa.
˜ 3.3. Um subconjunto X ⊂ Definic¸ao
´ Rn e limitado com respeito a uma norma
quando existe c > 0 tal que x X
⊂ B[0, c ] .
n
em R
≤ c para todo x ∈ X, ou seja, quando existe c > 0 tal que
˜ 3.3. Um subconjunto X ⊂ Observac¸ao
´ limitado se, e so´ se, existe a Rn e
que X
⊂ B[a, r ]. ˜ x − a ≤ r para todo x ∈ X . Logo, De fato, se X ⊂ B [a, r ], entao x = x − a + a ≤ x − a + a ≤ r + a , para todo x ∈ X , ou seja, X ⊂ B [0, r + a ].
∈ R
n
e r > 0 tal
ˆ normas usuais de Rn satisfazem as desigualdades ˜ 3.4. Como as tres Observac¸ao
x ≤ x ≤ x ≤ nx M
temos que um subconjunto X
n
⊂ R
S
M,
˜ a uma dessas normas se, e s o´ se, e´ e´ limitado em relac¸ao
˜ a qualquer das outras duas. limitado em relac¸ao
J. Delgado - K. Frensel
9
´ Analise
˜ a` norma euclidiana se, e s ´ o se, Teorema 3.2. Um subconjunto X ⊂ Rn e´ limitado em relac¸ao ˜ π 1(X), . . . , πn (X) s ˜ suas projec¸ oes ao conjuntos limitados em R. Prova. X e´ limitado com respeito a` norma euclidiana
´ do maximo π 1(X)
M
⇐⇒ ∃
r > 0 tal que X
⊂ B
⊂ [−r, r ], . . . , π (X) ⊂ [−r, r ]
⇐⇒
n
n
⊂ R e´ limitado com respeito a` norma ∃ r > 0 tal que [0, r ] = [−r, r ] × . . . × [−r, r ]
M
⇐⇒
X
⇐⇒
˜ limitados em R. π 1(X), . . . , πn (X) s ao
˜ 3.5. Mostraremos depois que duas normas quaisquer Observac¸ao equivalentes, ou seja, existem d, c > 0 tais que
≤ x ≤ d x
c x
para todo x
n
n
∈ R . Assim, se X ⊂ R
2
1
e em R 1
2
n
˜ sao
2,
´ e´ limitado com respeito a uma norma em Rn, sera´ tambem
˜ a qualquer outra norma em Rn. limitado em relac¸ao
4
ˆ Sequencias no espac¸o euclidiano ˜ expl´ıcita em contrario,estaremos ´ Salvo menc¸ ao assumindo que a norma considerada em
Rn e´ a norma euclidiana .
˜ 4.1. Uma sequ ˆ ˜ x : N − Definic¸ao encia em Rn e´ uma aplicac¸ao ´ ˆ com x k, e chama-se o k −esimo termo da sequ encia.
→
´ indicado Rn. O valor x (k ) e
˜ ( xk), ( xk)k∈N ou ( x1, x2, . . . , xn, . . .) para indicar a sequ encia ˆ ´ Usaremos a notac¸ao cujo k −esimo termo e´ x k.
˜ 4.2. Uma subsequ ˆ ˜ da sequencia ˆ Definic¸ao encia de ( xk) e´ a restric¸ao a um subconjunto infinito N = { k 1 < k 2 < .. . < k i < . . .}
⊂ N.
ˆ ˜ ( xk)k∈N , ( xki )i∈N ou ( xk1 , xk2 , . . . , xki , . . .). A subsequencia e´ indicada pelas notac¸ oes
ˆ ´ ˜ 4.3. Dizemos que uma sequ encia (xk)k∈N e limitada quando o conjunto formado Definic¸ao pelos seus termos e´ limitado, ou seja, quando existe c > 0 tal que xk
≤ c para todo k ∈ N.
ˆ ˆ ˜ 4.1. Uma sequencia ( xk) em Rn equivale a n sequencias ( xki)k∈N , i = 1, . . . , n, Observac¸ao ´ de numeros reais, onde x ki = π i(xk) = i −esima coordenada de x k, i = 1, . . . , n. ´ ˆ ˜ chamadas as sequ ˆ encias das coordenadas da (xki)k∈N , i = 1, . . . , n s ao As n sequencias sequ ˆ encia ( xk). 10
Instituto de Matem´atica UFF
ˆ Sequˆencias Sequ no espac¸ o euclidiano euclid iano
˜ que uma sequ encia ˆ Pelo teorema 3.2, temos, entao, ( xk) e´ limitada se, e so´ se, cada uma ˆ de suas sequencias de coordenadas ( xki)k∈N , i = 1, 1, . . . , n, e´ limitada em R.
˜ 4.4. Dizemos que o ponto a ∈ Definic¸ ao
ε > 0 dado, existe k 0
∈ N tal que k > k
0
ˆ ´ o limite da sequ ˆ Rn e sequ encia (xk) quando, para todo xk − a < ε
⇒
=
tende para Neste caso, dizemos que ( xk) converge para para a ou ou tende para a .
Notac¸ ˜ ao: ˜ equivalentes. • lim x = a , lim x = a , lim x = a ou x − a sao ˆ ´ • Quan (x ) ´e convergente . Caso Quando do exist xiste e o limi limite te a = lim x , dize dizemo mos s qu que e a sequ sequˆencia Caso contr contrario, k→∞
k
k
k∈N
k
→
k
k
k
ˆ dizemos que a sequ encia ( xk) e´ divergente .
ˆ ˜ 4.2. O limite de ´ ( xk) convergente e´ unico de uma sequ encia . Obse Ob serr va vac c¸ao ˜ a = b . Ou seja, se a = lim xk e b = lim xk, entao De fato, se ε =
a − b > 0, existe k 0 ∈ N tal que xk 2
0
a − b ≤ x
k0
− a < ε e xk0 − b < ε. Logo,
− a + xk0 − b < 2ε = a − b ,
˜ uma contra con tradic dic¸ ao.
˜ 4.3. lim xk = a Obse Ob serr va vac c¸ao
lim xk − a = 0 .
k→∞
k→∞
˜ 4.4. lim xk = a Obse Ob serr va vac c¸ao k→∞
⇐⇒ ⇐⇒ ∀
∃ k ∈ N ; x ∈ B(a, ε) ∀ k > k , ou seja, qualquer
ε>0
0
k
0
´ todos os termos xk salvo, possivelmente, um n´umero bola aberta de centro a contem umero finito de ´ındi ın dice ces s k . ˆ ˆ ´ • Com isto, podemos definir o limite e convergencia de uma sequencia num espac¸ o metrico
(M, d) qualquer.
˜ 4.5. Toda sequencia ˆ Obse Ob serr va vac c¸ao convergente e´ limitada. ˆ De fato, seja ( xk)k∈N uma sequencia convergente. Dado ε = 1 > 0, existe k 0
∈ N tal que x − a < 1 para todo k > k . ˜ x − a ≤ r para todo k ∈ N, ou seja, Se r = max { 1, x − a , . . . , x − a } > 0, entao, {x | k ∈ N} ⊂ B [a, r ]. ˜ e´ verdadeira. rec´ıproca ıproca nao verdadeira. • Mas a rec´ ˆ ˜ e´ convergente. { a , b , a , b , a , . . .} e´ limitada, mas nao b, a sequencia Por exemplo, se a = 1
k
k0
0
k
k
J. Delgado - K. Frensel
11
´ Analise
˜ 4.6. Toda subsequencia ˆ ˆ de uma sequ encia convergente e´ convergente e tem o Obse Ob serr va vac c¸ao mesmo limite.
˜ 4.7. Como as tres ˆ normas usuais de Obse Ob serr va vac c¸ao
˜ relacionadas pelas desigualdaRn estao
des
x ≤ x ≤ x ≤ nx M
S
M,
temos que: lim xk − a
k→∞
M = 0
⇐⇒
lim xk − a = 0
k→∞
⇐⇒
lim xk − a
k→∞
= 0 . S
˜ lim ˆ normas usuais estamos consideou seja, seja , a afirmac afir mac¸ ao lim xk = a independe de qual das tr es k→∞
rando. ˜ equivalent ˜ de Como provaremos depois que duas normas quaisquer de Rn sao equi valentes, es, a noc¸ ao ˆ limite de uma sequencia em Rn permanece a mesma seja qual for a norma que considerarmos. ˆ sequ encia s o´ se, ( ( xk) em Rn converge para o ponto a Teorema 4.1. Uma sequ ˆ a = (a1, . . . , an) se, e s ´ i = 1, 1, . . . , n. lim xki = a i para todo i
k→∞
Prova. Como |xki − ai|
M,
≤ x − a k
temo temos s que que se lim lim xk = a, ou seja seja,, se lim lim xk − a k→∞
k→∞
˜ lim entao lim |xki − ai| = 0 , para todo i = 1, portanto, lim xki = a i, i = 1, 1, . . . , n, e, portanto, 1, . . . , n. k→∞
M
= 0,
k→∞
Suponham Suponhamos, os, agora, agora, que lim xki = a i, i = 1, 1, . . . , n. k→∞
Dado ε > 0, existe, para cada i = 1, ´ natural k i tal que | xki − ai| < ε para todo 1, . . . , n, um numero k > k i.
˜ k > k 0 Seja k 0 = max { k 1, . . . , kn }. Entao, Logo Lo go lim xk = a . k→∞
xk − a
⇒
=
M =
max { |xki − ai| } < ε.
1≤i≤n
˜ sequ ˆ ˆ ˆ ´ s ao sequ encia convergentes em Rn e (λk) e´ uma sequ ˆ sequ encia Corol´ario Corol 4.1. Se (xk), ( yk) s ˜ ˜ convergente convergente em R, com a ent ao: a = lim xk, b = lim yk e λ λ = lim λk, ent ˜
(a) lim (xk + yk) = a + b , k→∞
(b) lim λkxk = λa , k→∞
(c) lim xk, yk = a, b .
lim x = a.
k→∞
(d)
12
k→∞
k
´ Instituto de Matem Matem´atica UFF
ˆ Sequˆencias Sequ no espac¸ o euclidiano euclid iano
Prova. Pelo teorema teorema 4.1, 4.1, temos que lim xki = a i e lim yki = b i, i = 1, 1, . . . , n. k→∞
k→∞
Utilizando novamente o teorema 4.1 e os fatos conhecidos sobre limites de somas e de produtos ˆ de sequencias de n´umeros umeros reais, temos que:
(a) lim (xki + yki) = a i + bi ,
i = 1, 1, . . . , n
k→∞
(b) lim λkxki = λa i ,
i = 1, 1, . . . , n
k→∞
⇒
=
⇒
=
lim (xk + yk) = a + b .
k→∞
lim λkxk = λa .
k→∞
(c) lim xk, yk = lim ( xk1 yk1 + . . . + xkn ykn ) = a 1b1 + . . . + anbn = a, b .
(d) lim x = lim x , x = a, a = a . ´ podemos provar (d) observando que | x − a | ≤ x − a, que tem a vantagem de Tamb´ Tambem k→∞
k→∞
k→∞
k
k→∞
valer para qualquer norma.
k
k
k
k
Teorema 4.2. (Bolzano-Weierstrass) ˆ ˆ Toda sequ ˆ sequ encia limitada em Rn possui uma subsequ ˆ subsequ encia convergente. Prova. ˆ limitada de numeros ´ reais, e sejam a < b tais que Caso n = 1: Seja (xk) uma sequencia xk
∈ [a, b ] para todo k ∈ N.
Consideremos o conjunto: A = { t
Temos que a
∈ R | x ≥ t para uma infinidade de ´ de ´ındices ındices k } . k
∈ A e todo elemento de A e´ menor ou igual a b.
Logo A = ∅ e e´ limitado
superiormente por b . Seja c = sup A.
˜ dado ε > 0 existe t ε A tal que c − ε < tε. Assim, existe Ent˜ Entao, exist e uma infinidade infini dade de ´ındices ındices k tais tais que x k > c − ε. Por outro lado, como c + ε
∈
´ para um n umero finito de ´ de ´ındices. ındices. ∈ A, x ≥ c + ε no maximo ´ k
Assim, c − ε < xk < c + ε para uma infinidade de ´ındices ındices k , e, portanto, c e´ o limite de uma ˆ subsequencia de ( xk). ˆ limitada em Rn. Caso geral: Seja ( xk) uma sequencia ˆ ˜ sequencias ˆ Pelo teorema 3.2, as sequencias 1, . . . , n, de coordenadas de ( xk) s ao ( xki)k∈N , i = 1, limitadas de n´umeros reais. Como (xk1)k∈N e´ limitada, existe N1
tal que que ⊂ N infinito e a ∈ R tal 1
ˆ como a sequencia reais e´ limitada, existe N2 (xk2)k∈N1 de numeros ´ J. Delgado - K. Frensel
lim lim xk1 = a1. Por sua sua vez, vez,
k∈N1
⊂ N infinito e a ∈ R tais 1
2
13
´ Analise
que qu e lim xk2 = a 2. k∈N2
Prosseguindo dessa maneira, obtemos n conjuntos infinitos N reais a 1, . . . , an tais que lim xki = a i, i = 1, 1, . . . , n.
n e
´ n numeros
⊃ N ⊃ . . . ⊃ N 1
k∈Ni
˜ Sendo a = (a1, . . . , an), temos temos que lim xk = a , o que conclui a demonstrac¸ ao. k∈Nn
˜ 4.5. Dizemos que um ponto a ∈ Definic¸ ao
ˆ ´ valor de ader ˆ ˆ Rn e ader encia (xk) de de uma sequ encia
ˆ de pontos de Rn quando a e´ limite de alguma subsequ encia de ( xk).
˜ 4.8. Uma sequencia ˆ ˜ possui valor de ader encia ˆ Obse Ob serr va vac c¸ao (xk) nao ˆ subsequencia limitada
x > A. k
⇐⇒
para para todo numero ´ real A > 0 dado, existe k 0
ˆ ˜ 4.9. a ∈ Rn e´ valor de ader encia de (xk)k∈N Obse Ob serr va vac c¸ao
k > k 0 tal que xk − a < ε.
⇐⇒
⇐⇒
˜ possui (xk) nao
∈ N tal que k > k
0
⇒
=
dados ε > 0 e k 0
∈ N, existe
ˆ ˆ ˜ 4.10. Uma sequencia convergente possui um unico ´ valor de aderencia, mas a Obse Ob serr va vac c¸ao ˜ vale, pois, por exemplo, a sequ encia ˆ rec´ rec´ıproca ıproca nao (1,2,1,3,1,4,... ) possui o 1 como unico ´ ˆ ˜ converge, j a´ que e´ ilimitada. valor de aderencia, mas nao ˆ sequ encia limitada em Rn e´ convergente se, e somente se, possui um Teorema 4.3. Uma sequ ˆ ˆ unico ´ valor de ader ˆ ader encia. Prova. ´ imediato. ( )E
⇒ ⇐ =
(
ˆ limitada e seja a ) Seja ( xk) uma sequencia
=
n
∈R
ˆ o seu unico u´ nico valor de aderencia.
ˆ ˜ converge para a . Entao, ˜ existe ε 0 > 0 tal Suponhamos, por absurdo, que a sequ encia ( xk) n ao
que para todo k
∈ ∈ N, existe k > k tal tal que x
k
B(a, ε0) } e´ ilimitado e, portanto, infinito.
− a
≥ ε , ou seja, o conjunto N 0
ˆ (xk)k∈N e´ limitada, existe, pelo teorema 4.2, N Como a sequencia
que qu e lim lim xk = b .
⊂N
= { k
∈ ∈ N | x ∈/ k
n
infinito e b
∈ R
tais
k∈N
≥ ε > 0 para todo k ∈ N , temos que b − a ≥ ε > 0. Logo b = a e b e´ valor
Sendo xk − a
0
0
ˆ ˜ ja´ que ( xk) possui um unico ˆ de aderencia de ( xk), uma contr con tradi adic c¸ ao, u´ nico valor de aderencia.
˜ 4.6. Dizemos que uma sequ encia ˆ quando para todo ε > 0 existe Definic¸ ao ( xk) e´ de Cauchy quando k 0
14
∈ N tal que k, k, > k
0
xk − x < ε.
⇒
=
´ Instituto de Matem Matem´atica UFF
ˆ Sequˆencias Sequ no espac¸ o euclidiano euclid iano
˜ 4.11. (xk)k∈N e´ de Cauchy Obse Ob serr va vac c¸ao
⇐⇒
ˆ para cada i = 1, 1, . . . , n, a sequencia ( xki)k∈N das
´ ˆ suas i −esimas coordenadas e´ uma sequencia de Cauchy de n´umeros umeros reais. ˆ sequ encia s o´ se, e´ convergente. ( ( xk)k∈N em Rn e´ de Cauchy se, e s ´ Teorema 4.4. Uma sequ ˆ Prova. ´ imediato. ( )E
⇐ ⇒ =
(
=
ˆ de Cauchy em Rn. ) Seja ( xk) uma sequencia
˜ para cada i = 1, ˆ ´ (xki)k∈N de suas i−esimas Ent˜ Entao, coordenadas e´ de Cau 1, . . . , n, a sequencia chy chy e, portanto, converge convergente nte.. Sendo Sendo ai = lim xki, i = 1, 1, . . . , n, temos, pelo teorema 4.2, que k∈N
li m xk, ou seja, ( xk) e´ convergente e tem limite a . a = (a1, . . . , an) = lim k∈N
˜ 4.7. Dizemos que duas normas Definic¸ ao
existem a > 0 e b > 0 tais que
x ≤ ax 1
para todo x
e 1
e
2
˜ equivalentes equivalentes quando em Rn sao
2
x ≤ bx 2
1,
n
∈R
.
˜ 4.12. Se, para todo x0 ∈ Obse Ob serr va vac c¸ao
Rn e todo r > 0, B1(x0, r) e B2(x0, r) indicarem, res-
pectivamente, a bola aberta de centro x 0 e raio r segundo as normas dades acima significam que: B2(x0, r)
e
⊂ B (x , ar) 1
0
e , as desigual1
2
⊂ B (x , br) .
B1(x0, r)
2
0
˜ 4.13. As tres ˆ normas usuais em Rn sao ˜ equivalentes, pois Obse Ob serr va vac c¸ao
x ≤ x ≤ x ≤ nx M
S
M.
˜ 4.14. A equivalencia ˆ ˜ reflexiva, simetrica ´ entre normas e´ uma relac re lac¸ ao e transiObse Ob serr va vac c¸ao tiva.
˜ 4.15. Se duas normas Obse Ob serr va vac c¸ao
• lim x − a = 0 k
1
⇐⇒
˜ de limite em Rn. noc¸ ao n
• X ⊂ R norma .
˜ equivalentes, ent ao: ˜ e sao 1
2
˜ origem a` mesma lim xk − a 2 = 0 , ou seja, normas equivalentes d ao
˜ a` norma e´ limitado limi tado em relac rel ac¸ ao
n
se, e so´ se, X ⊂ R 1
˜ a` e´ limit l imitado ado em relac rel ac¸ ao
2
˜ equivalentes. nor mas quaisquer quai squer no espac¸ o Rn s ˜ s ao equivalentes. Teorema 4.5. Duas normas J. Delgado - K. Frensel
15
