Análise de Soluções para o Problema dos Postos de Combustível através de Programação Dinâmica e Algoritmos Gulosos Marcos Roberto Ribeiro, Stéfano Schwenck Borges Vale Vita Programa de Pós-Graduação em Ciência da Computação – Universidade Federal de Uberlândia (UFU) Uberlândia – MG - Brasil {mribeiro,stefano}@pos.facom.ufu.br
Abstract.
This paper present solutions across dynamic programing and greedy algorithms to the problem of gas station. Such problem is made up of get the low number of stops for supply in a course, where are known the vehicle autonomy and the distance distance between between each gas station. station. The solve solutions solutions are analyzed and compared.
Resumo.
Este artigo apresenta soluções através de programação dinâmica e algoritmos algoritmos gulosos para o problema dos postos de combustível. combustível. Tal problema consiste em obter o menor número de paradas para abastecimento em um trajeto, onde se conhece a autonomia do veículo e as distâncias entre cada posto de combustível. As soluções obtidas são analisadas e comparadas.
1. Introdução O problema dos postos de combustível consiste em obter o menor número de paradas para abastecimento em um trajeto, onde se conhece a autonomia do veículo e as distâncias distâncias entre os postos de combustível existentes no trajeto. A autonomia autonomia do veículo refere-se a distância percorrida pelo mesmo após ser abastecido por completo. Deve ser considerado que as distâncias entre os postos devem ser menores ou iguais a autonomia do veículo, além disso, no ponto inicial o veículo encontra-se totalmente abastecido [Cormen 2002]. O problema dos postos de combustível tem diversas aplicações reais, como em programas que traçam rotas entre cidades e consideram as paradas para abastecimento. Neste artigo são apresentadas possíveis soluções para o problema descrito, bem como as análises de desempenho das mesmas. Os algoritmos presentes neste artigo fazem uso de um pseudo-código semelhante a linguagem Pascal. A seção 2 apresenta uma solução com o uso de programação dinâmica sendo constituída de três subseções. A primeira subseção mostra a subestrutura ótima para o problema, a segunda obtém a expressão de cálculo e a terceira exibe o algoritmo e a análise do mesmo. A seção 3 descreve uma solução através do uso de algoritmos gulosos. Esta seção possui duas subseções. Uma subseção contendo o algoritmo com sua análise. Outra contendo a prova de que o algoritmo é correto e a subestrutura ótima.
2. Soluçã Soluçãoo atra através vés da Progra Programaç mação ão Dinâmi Dinâmica ca A programação programação dinâmica é uma técnica utilizada na solução de problemas que possuem subproblemas relacionados, ou seja, os subproblemas compartilham subproblemas. Uma solução solução convenc convenciona ionall trabalha trabalharia ria mais que o necessá necessário, rio, pois resolver resolveria ia o mesmo mesmo problema problema mais de uma vez. No caso da programação programação dinâmica utiliza-se como artifício o armazenamento das soluções dos subproblemas, assim se o mesmo subproblema for encontrado, não será necessário resolvê-lo novamente [Knuth, 1998].
2.1. 2.1. Sube Subest stru rutu tura ra Óti Ótima ma Uma característica marcante em um problema solucionável através da programação dinâmica é a subestrutura ótima. Esta subestrutura representa as soluções ótimas para os subpr subprobl oblem emas as e que são são nece necess ssári árias as para para se cheg chegar ar a soluç solução ão ótima ótima do probl problem emaa principal. principal. No caso do problema dos postos de combustível pode-se considerar considerar que, para qualquer parada parada presente na solução ótima, há uma subestrutura subestrutura ótima antes da parada. Isto é, se tomarmos uma parada qualquer em uma solução ótima, deve existir um número mínimo de paradas para o subpercurso anterior [Brassard and Bratley 1998].
2.2. 2.2. Expr Expres essã sãoo de Cál Cálcu culo lo Inicialmente pode-se imaginar uma matriz para armazenar todas as possíveis paradas de um ponto a outro. No entanto, no problema em questão, o trajeto é feito em um único sentido, assim é necessário armazenar somente as paradas do início até cada posto de combustível. Para resolver o problema dos postos de combustível considera-se a autonomia do veículo; um vetor D, que contem as distâncias entre os postos; um vetor P, para armaz armazena enarr os número númeross de parada paradass e um vetor vetor DPUP DPUP,, para para arma armaze zenar nar a distâ distânci nciaa percorrida desde a última parada até cada posto de combustível. Considera-se também que um ponto no percurso pode ser qualquer posto ou o ponto de chegada. Desta maneira, para determinar o número de paradas até o ponto i tem-se a expressão de cálculo exibida na Figura 1.
0, se i ≤ 1 Pi
Pi
- 1
Pi
- 1
+ 1, se DPUP i
- 1
+ Di
- 1
> autonomia
0, se i ≤ 1 DPUPi
Di
, se DPUPi
- 1
DPUPi
– 1
+ Di
- 1
+ Di
- 1
> autonomia
- 1
Figura 1: Expressão de cálculo para obter algoritmo de programação dinâmica
2.3. 2.3. Algo Algori ritm tmoo e Aná Análi lise se Através da expressão de cálculo da Figura 1 é possível obter o algoritmo listado na Figura 2. Pode-se verificar que, para o vetor P a primeira posição é preenchida com
zero, pois não há paradas do ponto inicial até ele mesmo, no vetor DPUP acontece o mesmo, pois não há distância restante até o primeiro ponto. As demais posições destes vetores são preenchidas de acordo com os valores já calculados e armazenados nas posições anteriores. algorithm paradas_dinamico(D, paradas_dinamico(D, n, autonomia)
1. P1 ← 0 2. DPUP1 ← 0 3. for i ← 1 to n + 1 4. 5.
do if ( DPUPi
+ Di
then th en Pi ← Pi
6. 7.
- 1
– 1
DPU PUP P i ← Di else el se Pi ← Pi
8.
+ 1 – 1
– 1
DPU PUP P i ← Di
9. re retu turn rn Pn
) > autonomia
- 1
- 1
+ Di
– 1
+ 1
Figura 2: Algoritmo para solucionar o problema dos postos de combustível através de programação dinâmica
Os parâmetros de entrada do algoritmo paradas_dinamico descrito na Figura 2 são o vetor “D”, contendo as distâncias entre os postos de combustível; “n” que é o número de postos existentes e “autonomia”, que é a distância máxima percorrida pelo veículo após um abastecimento[Cormem, 2002]. Na análise do algoritmo da paradas_dinamico, constata-se a existência de um laço que é executado n vezes. Logo, Logo, o tempo do algoritmo algoritmo é O(n). Também Também deve-se considerar o espaço ocupado para armazenar as respostas dos subproblemas, como são utilizados dois vetores de tamanho n + 1 , o espaço ocupado será da ordem de O(n). A solução retornada pelo algoritmo será o valor armazenado na posição n + 1 do vetor P, que será a última posição a ser calculada pelo algoritmo.
3. Soluçã Soluçãoo atra através vés de Algorit Algoritmos mos Gulosos Gulosos Os algoritmos gulosos resolvem problemas através de uma escolha gulosa, ou seja, é realizada uma escolha interessante para o momento atual, na expectativa de que tal escolha leve a uma solução ótima. A solução ótima pode não acontecer e o algoritmo não não func funcio iona nar, r, ma mass para para muit muitos os prob proble lema mass há uma uma solu soluçã ção o ótim ótimaa por por me meio io de algoritmos gulosos trazendo uma enorme vantagem em relação a um algoritmo que utiliza a força bruta [Cormem, 2002].
3.1. 3.1. Algo Algori ritm tmoo e aná análi lise se No problema dos postos de combustível a escolha gulosa de uma parada faz com que no percurso restante haja o mínimo possível de paradas. Desta forma, tem-se o algoritmo paradas_guloso, listado na Figura 3, para solucionar este problema.
algorithm paradas_guloso(D, n, autonomia) 1. p ← 0 2. ul ulti tima ma ← 0 3. fo for r i ← 1 to n 4.
do if (Di + ultima) > autonomia
5.
then th en p ← p + 1
6.
ulti ul tima ma ← Di
7.
else ulti ultima ma ← ultima ultima + D i
8. re retu turn rn p Figura 3: Algoritmo para solucionar o problema dos postos de combustível através de algoritmos gulosos
Os parâmetros de entrada fornecidos para o algoritmo paradas_guloso são os mesmos do algoritmo paradas_dinamico. E o seu tempo é O(n), pois há um laço na linha 3 que é executado n vezes.
3.2. 3.2. Prov Provaa e sube subestr strut utur uraa óti ótima ma Como os algoritmos gulosos podem não funcionar, deve-se provar que o algoritmo paradas_guloso funciona. Teorema: O algoritmo paradas_guloso sempre encontra soluções de tamanho mínimo para o problema dos postos de combustível. Prova: Seja S={s1,s2,...s j} uma solução ótima qualquer e seja S' uma solução encontr encontrada ada pelo algori algoritmo tmo paradas paradas_gul _guloso, oso, cuja primeir primeiraa parada parada de acordo acordo com a escolha gulosa é g1. Deve-se provar que S' é uma solução ótima de tamanho igual a S. Se s1 = g 1 então a solução solução S' é uma uma solução ótima. ótima. Se s1 ≠ g1, de acordo com a escolha gulosa, tem-se que g1 está após s1. Assim, se S'={g1,s2,...sk }, }, chega-se a uma solução de mesmo tamanho de S. A distância entre g1 e s2 não é maior que a distância entre s1 e s 2 e portanto o combustível será suficiente. Como o restante de S' é igual a S, conclui-se que S' é uma solução ótima. No problema dos postos de combustível é possível identificarmos identificarmos a subestrutura ótima, visto que a cada escolha gulosa resta um subproblema equivalente ao original, mas com um número menor de paradas. Ou seja, em um problema P com solução S, após uma parada em “g”, resta um subproblema P' com origem em “g”, cuja solução é S'. Logo o a solução S do problema P é igual a solução S' do subproblema P' mais um.
4. Conclusão Na análise dos algoritmos paradas_dinamico e paradas_guloso pode-se constatar que possuem o mesmo tempo. O algoritmo paradas_guloso pode ser considerado melhor, visto que no algoritmo paradas_dinamico é ocupado um espaço O(n). No entanto, se modificarmos o algoritmo paradas_dinamico para retornar o vetor P como resposta, consegue-se consegue-se um resultado mais completo, já que o vetor P contém o número de paradas para todos os percursos a partir do ponto inicial. Os algoritmos apresentados através de programação dinâmica e da técnica gulosa
têm um tempo muito, isto é, polinomial. Um algoritmo que tente resolver o problema dos postos de combustível através de força bruta, testando todas as possibilidades, levaria um tempo muito maior, exponencial. PodePode-se se const constata atarr també também m que, que, no proble problema ma dos postos postos de combus combustí tível vel os algorit algoritmos mos construí construídos dos através através de program programaçã ação o dinâmic dinâmicaa e os algoritm algoritmos os gulosos gulosos possu possuem em o me mesm smo o tempo tempo.. Entr Entreta etanto nto para para a maior maioria ia dos proble problema mass que possu possuem em soluç solução ão atra através vés de algor algoritm itmos os guloso gulosos, s, tem-s tem-see um tempo tempo me meno norr do que em um algoritmo que utiliza a programação dinâmica.
Referências Cormen, T. H.; et al. (2002). “Algoritmos: Teoria e prática”, 2a ed. Rio de Janeiro: Editora Campus. Brassard, G. and Bratley, P. (1998). “Fundamentals of Algorithmics”. Prentice Hall of India Knuth, D. E. (1998). “The Art of Computer Programming”. Vol. 3 - Sorting and Searching. Addison-Wesley.
