Analisa Simpul Simpul Rangkaian
4
Sepertii telah disinggung pada Modul-3 bahwa, setiap Sepert setiap loop loop pada rangkaian akan mempuny mem punyai ai per persam samaan aan yan yang g diny dinyata atakan kan dal dalam am rep repres resent entasi asi teg teganga angan. n. Ses Sesuai uai Hukum Hukum Kirchhoff Te Tegangan gangan bahwa, jumlah seluruh tegangan dalam loop bersangkutan sama deng de ngan an nol . Bi Bila la ra rangk ngkai aian an te ters rseb ebut ut te terd rdir irii da dari ri du duaa loop loop,, mak makaa aka akan n ter terdapa dapatt tit titik ik sambung yang membentuk rangkaian loop loop kedua. kedua. 4.1. Pengertian Simpul
Yang
dim di mak aksu sud d
dengan deng an sim simpul pul pada sat satu u ran rangkai gkaian an adal adalah ah tit titik ik sam sambun bung g yan yang g akan membentu membentuk k loop rangkaian rangkai an di sebel sebelah ah loop loop pertama. pertama. Titik sambung atau simpul yang juga disebut sebagai node,, adalah tempat terdistribusikannya arus ke jaringan yang tersambung pada node node node itu, itu, atau tempat bertemunya beberapa arus yang datang ke node node bersangkutan. Untuk lebih menjelaskan keadaan ini diilustrasikan satu rangkaian dua loop pada loop pada br. !-".
Gbr. 4-1 #angkaian dua loop
$arii br $ar br.. !-", yang dinamakan dinamakan node rangkai rangkaian an ditunj ditunjukkan ukkan sebagai titik pada pertemuan beberapa %abang pada rangkaian tersebut. &ada br. !-" itu terdapat duanode dua node,, yaitu, Node-1 yaitu, Node-1 dan dan Node-2 Node-2.. 'ode-" menunjukkan satu titik tempat pendistribusian arus i1 ke kedua %abang yang lain seperti ditunjukkan pada gambar. Sedang 'ode-( merupakan titik titi k tempat menyatunya menyatunya beberapa arus menjadi i1 kembali dari dua %abang lain dalam rangkai ran gkaian. an. Hukum Kirchhoff mengatakan bahwa, jumlah aljabar arus dalam satu node sama dengan nol, atau, ))))))))))))))))).
*!-"+
ukum ini merupakan representasi pernyataan matematika dari akta bahwa, muatan listrik tidak dapat terakumulasi pada sebuah node. Satu node bukanlah merupakan elemen rangkaian yang dapat menyimpan muatan, memusnahkan ataupun membangkitkan muatan. leh karena itu, penjumlahan arus pada satu node haruslah sama dengan nol . &ersamaan *!-"+ disebut sebagai ukum /ir%hho untuk 0rus atau /12 * Kirchhoff’s Current Law+ atau Hukum Kirchhoff-I . $alam menentukan persamaan node tersebut, tanda positif diberikan untuk arus yang arahnya menuju node, sementara tanda negatif diberikan untuk arus yang mengalir ke luar node bersangkutan. Tetapi bukan
berarti bahwa kaidah sebaliknya dari ketentuan di atas tidak boleh digunakan, namun konsistensi pengambilan reerensi arah arah arus itu tetap harus dipegang sela-ma melakukan analisa rangkaian. Sehingga sesuai kaidah yang pertama pada br. !-", pada 'ode-" berlaku
i1 i2 i! 4 5
pada 'ode-( berlaku
i1 " i2 " i! 4 5
Contoh soal
!-". Tentukan nilai arus i # bila6 *a+ i $ 4 "5 m0, i % 4 !,7 m0, dan iC 4 ( m08 *b+ i $ 4 ( m0, i % 4 "7 m0, dan iC 4 9,: m0, dengan menggunakan hukum /12 ;
Gbr. 4-2 'ode dengan empat %abang
Jawaban :
$engan menggunakan kaidah /12 &ersamaan *!-"+, maka nilai i # 6 *a+ i # 4 i % < iC < i $ 4 !,7 < ( < "5 4 + 7,5 mA *b+ i # 4 i % < iC < i $ 4 "7 < 9,: < ( 4 – 6,3 mA Tanda positi pada hasil hitungan di atas menunjukkan bahwa, arah arus i # bersangkutan memang masuk ke node. Sementara tanda negati menunjukkan bahwa, arus i # berarah keluar dari node seperti soal *b+.
=
Terdapat
rangkaian
tiga
loop
seperti br. !-3. itung arus yang melewati # 3 bila diketahui sumber tegangan pada loop pertama memasok arus sebesar 30 ; Bila nilai reistor # 3 sebesar ",7 k>, hitung tegangan pada %abang # 3 tersebut ;
Gbr. 4-3 #angkaian tiga loop
Jawaban :
$igunakan kaidah /12 melalui bantuan br. !-!*a+ dan *b+.
(a)
(b) Gbr. 4-4 #angkaian analisa
$ari br. !-3*b+ menunjukkan bahwa nilai arus yang masuk node kedua dari kiri sebesar *30 (0+ sehingga nilainya "0. Sesuai &ersamaan *!-"+, maka nilai arus yang mengalir pada resistor # 3 sebesar,
i 4 " < 7 4 6 amper dan tegangan pada %abang tersebut adalah, *9 ?olt @ ",7 ohm+ 4 9 volt 4.2. Jumlah Simpul dan Cabang
Menentukan
jumlah
simpul
dan
%abang
memerlukan
juga
kehati-hatian
penganalisa, sebab dua simpul pada %abang paralel dapat disatukan pada penganalisaan seperti diperlihatkan pada br. !-7*a+ dari br. !-7*b+. al ini disebabkan karena pada %abang yang membentuk paralel tidak mempunyai tegangan, atau kedua node itu
mempunyai tegangan yang sama *node-"+.
Gbr. 4-5 #angkaian analisa node dan %abang
br. !-7 memperlihatkan sebuah rangkaian yang mengandung tiga buah node. /adangkala suatu jaringan digambarkan sedemikian rupa untuk menge%oh para mahasiswa yang kurang %ermat agar dapat membuat yakin mahasiswa bahwa terdapat lebih banyak lagi node di dalam suatu rangkaian dibandingkan dengan yang sesungguhnya ada. /eadaan seperti ini sering terjadi ketika sebuah node, misalnya node" pada br.!-7*a+, diperlihatkan sebagai dua buah persimpangan terpisah yang dihubungkan oleh sebuah konduktor ideal *dengan resistansi nol +, seperti tampak pada br. !-7*b+. Yang dilakukan di sini sesungguhnya adalah menyebarkan titik bersama menjadi garis bersama yang resistansinya nol . Maka, kita harus menganggap semua konduktor penghantar sempurna ini adalah sebagai kawat yang menempel atau melekat pada satu node sebagai bagian dari node. Berkaitan dengan ini, perhatikan juga &ahwa setiap elemen memiliki se&uah node pada masing-masing u'ungn(a. Sehingga pada %ontoh br. !-7 tersebut terhitung jumlah node sebanyak tiga. Sekarang kita %oba menghitung jumlah %abang yang ada dalam %ontoh br. !-7 tersebut. 0nggaplah bahwa kita mulai dari satu node jaringan dan kemudian bergerak melalui sebuah elemen sederhana menuju node pada ujung yang lain. Berikutnya kita melanjutkan pergerakan kita dari node ini melalui sebuah elemen yang lain menuju node berikutnya, dan seterusnya melanjutkan pergerakan ini sampai melewati elemen sebanyak yang kita harapkan. Aika tidak ada satu node pun yang dijumpai lebih dari satu kali, maka kumpulan node dan elemen yang kita lalui dideinisikan sebagai satu lintasan. Bila node dari mana kita memulai pergerakan sama dengan node di mana kita mengakhiri pergerakan, maka lintasan ini dideinisikan sebagai lintasan tertutup atau loop. Sebagai %ontoh, dalam br. !-7 di atas, jika kita bergerak dari node-( melewati sumber arus menuju ke node-", dan kemudian melalui resistor atas sebelah kanan menuju
node-3, berarti kita telah membentuk sebuah lintasan8 dan karena kita tidak melanjutkannya hingga ke node-( kembali maka kita tidak membuat sebuah loop. Aika kita bergerak dari node-( ke node-" dengan melalui sumber arus, kemudian turun menuju node-( melalui elemen resistor sebelah kiri dan bergerak ke atas melalui resistor tengah kembali menuju node-", kita tidak membentuk lintasan karena sebuah node *sebenarnya dua node+ dijumpai sebanyak lebih dari satu kali. /ita juga tidak membentuk sebuah loop karena sebuah loop haruslah merupakan sebuah lintasan. stilah lain yang penggunaannya sangat sering dijumpai adalah Cca&ang D. /ita mendeinisikan sebuah %abang sebagai sebuah lintasan tunggal di dalam sebuah jaringan yang terbentuk dari sebuah elemen sederhana dan node pada masing-masing ujung elemen tersebut. Aadi, sebuah lintasan merupakan kumpulan %abang. #angkaian yang diperlihatkan pada br. !-7 memiliki lima buah %abang. Contoh soal
!-3.
itunglah
banyaknya
ca&ang dan node pada rangkaian br. !-9. Bila i ) 4 30 dan sumber tegangan "E ?olt mengeluarkan arus E 0, tentukan berapa-kah nilai * #.
Gbr. 4-6 'ode dan %abang pada rangkaian
Jawaban :
Aumlah ca&ang dan node, masing-masing sebanyak 7 %abang dan 3 node. $engan memperhatikan br. !-9, kita lihat pada node resistor * # yang sebelah atas. &ada node ini bertemu dua arus, yang satu berasal dari sumber "E ?olt sebesar E 0, dan yang kedua dari arah sebelah kanannya sebesar *"3 0 F i )+. /arena nilai i ) 4 30, maka nilai arus yang mengalir pada resistor * # sebesar *E0 < "5 0+ 4 "E 0. leh karena, dengan tegangan "E ?olt pada ujung-ujungnya dan arus yang mengalir "E 0, maka sesuai ukum hm, nilai resistansi * # 4 "E ?oltG"E amper 4 !.
!-!. $alam rangkaian br. !-:6 *a+ Berapakah banyaknya node ; *b+ Berapakah jumlah %abang yang ada ; *%+ Bila kita bergerak dari 0 B H $ 1 B, akankah kita
mendapatkan lintasan; 0pakah juga
membentuk loop;
Gbr. 4-7 2intasan dan loop pada rangkaian
Jawaban :
Aumlah ca&ang dan node, masing-masing sebanyak 7 %abang dan ! node. *%+ lintasan ya, loop tidak !-7.
1arilah nilai * dan + dalam
rangkaian br. !-E, bila sumber 7 0 mem-berikan daya sebesar "55 watt dan sumber !5 I memberikan daya sebesar
755 watt ;
Gbr. 4- 'ilai resistansi pada rangkaian
Jawaban :
&ara mahasiswa diminta menyelesaikan soal ini dengan k un%i jawaban6 4.3. Per!amaan "#de
una melakukan analisa rangkaian, sesuai /12 dapat disusun beberapa persamaan arus sesuai dengan jumlah node yang ada. Satu node diantaranya diposisikan sebagai node reerensi. Masing-masing ?ariable dalam persamaan itu adalah beberapa tegangan yang mempengaruhi nilai arus pada node bersangkutan. 0nalisis dengan menggunakan ?ariabel pada node ini disebut sebagai analisis nodal .
$engan satu node diposisikan sebagai node reerensi, maka bila terdapat tiga node pada satu rangkaian, maka akan terbentuk dua persamaan node. Sehingga se%ara umum, bila terdapat node sejumlah ' dalam satu rangkaian, maka jumlah persamaan node yang terbentuk adalah *'-"+ persamaan. Sebagai %ontoh pembahasan disajikan Soal !-9 berikut ini. Aumlah node dalam soal tersebut sebanyak tiga. Contoh soal
!-9. 1arilah nilai-nilai tegangan yang tidak diketahui dari beberapa elemen rangkaian dalam br. !-J berikut ini.
Gbr. 4-$ #angkain analisa nodal 6
=
#angkain tiga node sederhana, *b+ rangkaian *a+ utk memperjelas node8 *%+ rangkaian dengan node reerensi8 *d+ rangkaian dengan notasi tegangan.
Jawaban :
Sebagai langkah pertama, kita harus menggambar ulang rangkaian yang diberikan menjadi sebuah rangkaian skematik seperti ditunjukkan oleh br. !-J*b+. Maksud langkah pertama ini adalah untuk memperjelas gambaran bahwa rangkaian ini memang benar hanya memiliki tiga buah node saja. $ari gambar ulang rangkaian ini, kita selanjutnya dapat memberikan suatu label tegangan terhadap masing-masing nodenya. 0kan tetapi harus selalu diingat
bahwa tegangan-tegangan ini harus dideinisikan di antara dua buah node rangkaian. Aadi, kita harus memilih satu node sebagai node referensi, dan selanjutnya mendeinisikan tegangan di antara masing-masing node yang tersisa dengan node reerensi. &enyederhanaan pada persamaan-persamaan rangkaian yang dihasilkan akan dapat diperoleh bila node yang terhubung pada %abang rangkaian yang paling banyak tersambung dengan %abang sebagai node referensi. Bila terdapat sebuah node pentanahan, akan lebih mudah jika node ini dipilih sebagai node reerensi. $alam praktiknya, node pentanahan seringkali mun%ul sebagai titik-titik hubung bersama yang
berada pada bagian bawah dari
diagram rangkaian. Untuk %ontoh ini, kita memilih
node-3 sebagai node
reerensi. Tegangan node " relati terhadap node reerensi dideinisikan sebagai ,1 sedang ,2 dideinisikan sebagai tegangan node ( relati terhadap node reerensi. &endeinisian kedua tegangan ini telah dianggap men%ukupi mengingat tegangan di antara pasangan node yang lain dapat diperoleh dari keduanya. Sebagai %ontoh, tegangan node " terhadap node ( adalah,1 - ,2. Tegangan ,1 dan ,2 serta tanda reerensinya ditunjukkan oleh br. !-J*%+. Aika node reerensinya telah ditetapkan, maka tanda-tanda reerensinya pun dapat dihilangkan untuk menghindari kerumitan gambar rangkaian. 'ode-node dengan label tegangan dianggap sebagai terminal positinya
Kbr. !-
J*d+L. Berikutnya kita dapat mengaplikasikan /12 pada node " dan (. /ita melakukan ini dengan menyamakan arus total yang meninggalkan node melalui beberapa resistor terhadap arus sumber total yang memasuki node. Aadi persamaan yang dihasilkan adalah, atau
5,: ,1 F 5,( ,2 4 3,"
K"L
Untuk node-( akan diperoleh, atau
-5,(,1 < ",( ,2 4 ",!
K(L
&ersamaan K"L dan K(L merupakan dua buah persamaan yang diinginkan dengan dua buah besaran yang tidak diketahui nilainya. &ersamaan persamaan ini dapat dengan mudah diselesaikan. asil yang diperoleh adalah ,1 4 7 I dan ,2 4 ( I.
$ari kedua nilai tersebut dapat langsung menentukan besarnya tegangan pada resistor 7 > sebagai ,. 4 ,1 - ,2 4 3 I. 0rus dan daya yang diserap juga dapat dengan mudah ditentukan dengan rumus yang dikenal. !-:. Untuk rangkaian br. !-"5, *a+ unakanlah analisis nodal untuk menen-tukan ,1 dan ,2. *b+ itung daya yang diserap oleh resistor 9 >.
Gbr. 4- 'ilai resistansi pada rangkaian
Jawaban :
&ara mahasiswa diminta menyelesaikan soal ini dengan k un%i jawaban6 *a+ ,1 4 7E,7 ?olt,8 *b+ ,2 4 9!,! ?olt8 *%+ 7!3 watt.
Daftar Kepustakaan 1. ayt Ar, illiam ., et al (5578 *angkaian Listrik I , Terjemahan, &enerbit Hrlangga, Aakarta.
