Álgebra lineal Unidad 3. Determinantes Actividad 2. Regla de Cramer Ing. Juan José Serrano Barrientos
ÁLGEBRA LINEAL PRIMER SEMESTRE Unidad 3. Actividad 2: Regla de Cramer Alumno: Saul Munguia Castillo Matricula: AL13506119 Facilitador : Juan José Serrano Barrientos
Problema: Sustancias que funcionan como súper proteínas a través de matrices Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que funcionara como una súper proteína en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de una zona petrolera. El objetivo era crear microorganismos más resistentes y en el caso
Álgebra lineal Unidad 3. Determinantes Actividad 2. Regla de Cramer Ing. Juan José Serrano de que existiera algún derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para laBarrientos limpieza. Durante la investigación se presentaron muchas dificultades, pues se tenían previstos tres proyectos diferentes, mismos que resultó un rotundo fracaso. En cada uno de éstos se desarrolló una sustancia diferente y cuando se realizaron las pruebas con las sustancias, éstas no mejoraron a los microorganismos como se esperaba, por esto los frascos que contenían las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio. Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que se vaciaron al contenedor y luego de ponerla en el microscopio observaron los resultados. La muestra era producto de un accidente científico. Después cada grupo hizo colocó una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto con el fin de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo. Así, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que se encontraba en el contenedor. Por consiguiente, se dieron cuenta que nadie sabía exactamente la cantidad que depositaron de la sustancia, sin embargo tenían el recipiente en el que señalaron la medida. Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones y así encontrarían los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, entonces realizaron las siguientes pruebas:
1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera y obtuvieron4.5 litros de la sustancia final.
2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera, y obtuvieron12 litros.
Nota: Para encontrar lo que se te pide supón que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la repetición del mismo) se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la tercera.
Realiza lo siguiente:
1) Indica cuales fueron las operaciones que realizaste sobre la matriz asociada al sistema de cada uno de los pasos para resolver el problema de la evidencia de la unidad 2 por el método de Gauss-Jordán.
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Multiplicamos el renglón 1 por 1/2
A “m” le daremos valor de 20 al final 20 a
Sumamos 4 veces el renglón 1al renglón 2
Sumamos -6 veces el renglón 1 al renglón 3
Multiplicamos el renglón 2 por 1/2
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Sumamos -1 vez el renglón 2 al renglón 1
Sumamos -3 veces el renglón 2 al renglón 3
Multiplicam os el renglón 3 por el
Sumamos -1/2 veces el renglón 3 al renglón 2
Hemos reducido la matriz a su forma escalonada por renglones, encontrando así la solución
Álgebra lineal Unidad 3. Determinantes Actividad 2. Regla de Cramer Ing. Juan José Serrano Barrientos Nos queda así, respuestas en función del valor de “m”...si le damos el valor de 20 litros, esto se reduce a resultado numérico
Sustituyendo los resultados para un valor de 20 litros nos queda:
3 3 +0 x 2+0 x 3 = 4 4 0 x 1+
11 11 + 0 x3 = 10 10 4 4 0 x 1+0 x 2 + = 5 5
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2) Realiza las determinantes D1, D2, D3 y D asociadas a las incógnitas X1, X2, X3 y a la matriz del sistema.
De esta matriz sacaremos el
2 2
2
4 3
6
6
9
X1
9/2
X2
12
X3
Ax=b Para trabajar con la regla de Cramer, a partir de una matriz, se deben construir otras matrices, las cuales denotaremos como Aj. Cada Aj es idéntica a A, excepto por la columna i. en cada columna i será reemplazada por vector b. de esta manera, al obtener las determinantes de cada una de las matrices formadas, podremos aplicar la regla de Cramer.
Siguiendo el procedimiento de la regla de Cramer, iremos sustituyendo las columnas por la columna formada por el vector b.
9/2 2
2
12 3
6
=
20
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A1=
A2=
A3=
2 9/2
2
4 12
6
6
9
2 2
9/2
4 3
12
6
9
Ing. Juan José Serrano Barrientos
Ahora debemos encontrar el determinante de la Matriz principal A
A=
IAI =
2 2
2
4 3
6
6
9
2 1
2
4 3
6
Usaremos los menores y cofactores
Procederemos a sacar los menores
Vamos a desarrollar el determinante de A utilizando los menores y cofactores de A, para esto, primero obtenemos los menores de la siguiente manera.
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IAI =
M13 =
2 1
2
4 3
6
M11 =
6 3 9
M12=
4 3 6 7
4 6 6 9
Una vez que tenemos los menores, vamos a obtener el determinante de cada uno de ellos como sigue.
M11 = (6*7) – (3*9) =42-27=15 M12 = (4*7) – (6*3) =28-18 =10 M13 = (4*9)- (6*6)
= 36-36 = 0
Ahora que hemos encontrado el determinante de cada uno de los menores, vamos a obtener los cofactores correspondientes a dichos menores tal y como se muestra a continuación. Aij = (-1)ij IMij I A11 = (-1)2 (15) = 15 A12= (-1)3 (10) = -10 A13 = (-1)4 (0) = 0
Álgebra lineal Unidad 3. Determinantes Actividad 2. Regla de Cramer Ing. Juan José Serrano Una vez que obtenemos los cofactores aplicamos el método Barrientos de expansión por cofactores para encontrar el determinante de A. Primero colocamos la ecuación para calcular el determinante de A, a partir de sus cofactores, la cual es la siguiente: IAI = a11A11 +a12A12+a13A13
Únicamente se toman cuatro elementos debido a que A es una matriz de 3 x 3, la forma de expansión por cofactores se refiere a una matriz de n x n y en este caso n = 3, de ahí que suceda esto. Entonces los elementos que hacen falta para aplicar la fórmula anterior son: IAI =2*(15) +2*(-10)+1*(0) =30-20+0=10
A1=D1=
A3=D3=
9/2 2
2
12 3
6
20
9 2 9/2
2
4 12
6
6
9
A2=D2=
2 2
9/2
4 3
12
6
9
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Seguimos aplicando la regla de menores y cofactores a estos determinantes y solo hare uno como ejemplo en forma desarrollado. Resultados iguales al resultado al método de Gauss Jordán
A3=D=
2 9/2
2
4 12
6
6
9
6 12
+ 2(-1) 9 20
ID3I= (2) (12) + (-2) (8) + (4.5) (0) = 8 ID1I= 7.5 ID2I=11
Entonces:
X1= D1/D =7.5/10=3/4
2(+1)
4.5 (+1)
4 6 6 9
=24-16+0 =8
4 12 6 20
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Ing. Juan José Serrano Barrientos
X3=D3=8/10=4/5
3) Contesta ¿qué relación existe entre las determinantes que obtuviste en esta ocasión y las operaciones que realizaste en la evidencia de la unidad 2?
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordán. Se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea la estructura algebraica del que provengan los coeficientes.
De tal modo que el sistema de gauss es más generalizado y más potente para encontrar los valores que el método de Cramer, aunque este sea más sencillo en su realización solo lo es con matrices de poco tamaño, si es de 5x5 por decirlo como ejemplo este método se complica muchísimo no así en de gauss o el de Gauss Jordán.
Álgebra lineal Unidad 3. Determinantes Actividad 2. Regla de Cramer Entreguen su reporte con el nombre de ALI_U3_A2_XXYZ
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Sustituye las XX por las iniciales de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu segundo apellido.