algjebra lineare.pdf

Leksione të algjebrës lineare Tanush Shaska

ii T. Shaska Shask a Department of Mathematics Oakland University Rochester Hills, MI, 48309. USA Mathematics Subject Subject Classification (2000): 15-01, 15-00, 15A03, 15A21

Library of Congress Cataloging-in-Publication Cataloging-in-Publication Data Shaska, Tanush. Algjebra Lineare/Shaska Lineare/Shaska Tanush. Tanush. Includes bibliographical references references and index. ISBN-13: 978-0-97545-414-5 ISBN-10: 0-9754541-4-5

©2010 AulonnaPress: All rights reserved. This book can not be translated or copied in whole or in part without the written consent sent of the publis publisher her (Aulo (Aulonna nnaPr Press ess,, 8902 8902 El Dorado Dorado,, White White Lake, Lake, MI, 48386) 48386).. Use Use in connec connectio tion n with with any form form of inform informati ation on stora storage ge and retri retrieva eval, l, electr electroni onicc adapta adaptatio tion, n, comput computer er softwa software re,, or simila similarr known known or unknown technology is forbidden. Any use of this book without written permission of the publisher will be prosecuted to the full extent of the law. law.

©2010 AulonnaPress: Të gjitha të drejtat e rezervuara. Ky libër nuk mund të përkthehet ose kopjohet pjesërisht ose i gjithë pa lejen e shkruar të botuesit (AulonnaPress, 8902 El Dorado, White Lake, MI, 48386). Përdorimi i materialit të këtij libri në çdo lloj forme, adoptim elektronic, software, or forma të ngjashme të njohura ose të panjohura është plotësisht i ndaluar. Çdo lloj përdorimi i këtij libri pa lejen e shkruar të botuesit do të dënohet me forcën e plotë te ligjit sipas standarteve ndërkombëtare. Second Edition: 2010 ISBN-13: 978-0-97545-414-5 ISBN-10: 0-9754541-4-5

Përmbajta 1 Vekto ektorët rët,, mat matric ricat at dhe sis sistem temet et line linear are e

Hapësira Eukl Hapësira Euklidia idiane ne Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Norma e një vektori dhe dhe produkti produkti skalar skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matricat dhe algjebra e tyre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemet lineare të ekuacioneve, ekuacioneve, metoda metoda e Gaussit . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Vepri Veprimet met elementare me rradhët rradhët . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 For Forma ma row row-eçe -eçelon lon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Forma e reduktuar reduktuar row-eçelon, row-eçelon, metoda metoda Gauss-Xhorda Gauss-Xhordan n . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Disa njohuri për sistemet homogjene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Të përshkruajmë bashkësinë e zgjidhjeve zgjidhjeve . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Matr Matricat icat e anas anasjellta jellta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Llogaritja e matricave të anasjellta anasjellta duke përdorur formën row-eçelon row-eçelon . 1.1 1.2 1.3 1.4

15

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

2 Ha Hapës pësira iratt vek vektor torial iale e

15 18 21 26 28 28 32 34 36 43 44 51

2.1 Përkufizimi i hapësirave vektoriale vektoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.1.1 Vek Vektorët torët linearisht të pavarur pavarur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2 Baza Bazatt dhe dime dimension nsionet et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.1 Një bazë për Ma t n 59 n ×n (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 2.2.2 Gjetja e bazës bazës e një nënhapësire në në k k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3 Hapësira nul dhe rangu i një matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.3.1 2.3 .1 Gje Gjetja tja e një baz bazee për hap hapësi ësira rat-r t-rre resht sht,, hap hapësi ësira rat-k t-kolo olonë në dhe hap hapësi ësira ra nul e një mat matric rice. e. 65 2.4 Shuma, shuma direkte direkte dhe prodhimi prodhimi direkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.4.1 Shum Shumat at dir direkte ekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.4.2 Pro Prodhimi dhimi dir direkt ekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.5 Funksionet lineare ndërmjet hapësirave vektoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.5.1 Kompozim Kompozimii i funksionëve funksionëve linear, linear, funksionëve të anasjelltë, izomorfizmave izomorfizmave . . . . . . 75 2.6 Matricat e shoqëruara shoqëruara me funksionet funksionet lineare lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.7 Ndrys Ndryshimi himi i baza bazave ve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.8 Us Ushtrim htrimee përsë përsëritje ritje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3 Përc Përcaktor aktorët, ët, eigenvl eigenvlerat, erat, eigenv eigenvektorë ektorëtt

3.1 Përcakto Përcaktorët rët . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Lloga Llogaritja ritja e përc përcaktor aktorëve ëve . . . . . . 3.2 Rregulli i Kramerit Kramerit dhe matricat axhoint 3.2.1 Axhoi Axhoint-ët nt-ët e matr matricav icavee . . . . . . .

89

. . . .

. . . . iii

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

89 94 96 98

iv

3.3 Eigenvlerat, eigenvektorët dhe eigenhapësirat . . 3.4 Metodat iterative për gjetjen e eigenvlerave . . . . 3.4.1 Metoda fuqi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Matrica të ngjashme, diagonalizimi i matricave. . 3.5.1 Diagonalizimi i matricave . . . . . . . . . . 3.6 Ushtrime përsëritje . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PËRMBAJTA . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

4 Format kanonike

117

4.1 Vetitë elementare të polinomëve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Polinomët e pathjeshtueshëm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Matrica shoqeruese, polinomi minimal, forma normale e Smithit. . 4.3 Forma racionale kanonike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Teorema e Caylay-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Llogaritja e formës racionale kanonike . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Llogaritja e matricës transformuese . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Forma kanonike e Xhordanit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Ushtrime Përsëritje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Prodhimi i brendshëm dhe Ortogonaliteti

5.1 Prodhimi i brendshëm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Prodhimi i brendshëm mbi numrat realë . . . . . . . . . 5.1.2 Prodhimet Hermitiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Bazat ortogonale, proçesi i ortogonalizimit të Gram-Schmidt . 5.2.1 Algortimi i Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Teorema e Sylvesterit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Hapësira duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Ushtrime përsëritje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102 107 107 107 110 113 117 118 121 127 129 130 130 132 138 141

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

6 Operatorët në hapësirat e brendshme

141 143 143 146 147 150 151 153 155

6.1 Operatorët në hapësirat e brendshme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.2 Operatorët Hermitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.3 Operatorët unitary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7 Aplikime të Algjebrës Lineare

7.1 Aplikime në ekuacionet diferenciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Sisteme homogjene të ekuacioneve lineare të rendit të parë . . . . . . . 7.1.2 Ekuacionet diferenciale të rendit të n-të . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Metoda e variation të parametrave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Metoda e katrorëve më të vegjël . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Metoda e katrorëve më të vegjël për polinomë me grada më të larta . . A Numrat kompleksë

159

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

159 159 162 163 166 170 177

A.1 Numrat kompleksë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 A.1.1 Interpretimi gjeometrik i numrit kompleks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Figurat 1.1 1.2 1.3 1.4

Hapësira Euklidiane R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mbledhja dhe shumëzimi skalar i vektorëve. . . . . . . . . . . . . . . . . Projeksioni i v në u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prerja e dy drejtëzave x − y = −1 dhe 3x + y = 9 është një pikë e vetme.

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . .. ..

.. . . . . ..

. . . .

15 16 20 30

4.1 Matrica në formën e Xhordanit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.1 7.2 7.3 7.4

Duke i përputhur të dhënat e mësipërme me metodën e katrorëve më të vegjël. . Përputhim të dhënat e mësipërme me anë të metodës katrorëve më të vegjël. . . Përputhim të dhënat me një polinom të gradës 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Përputhim të dhënat me një polinom të gradës 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

169 171 172 173

vi

FIGURAT

Parathënie Me përshtatjen e programeve të reja në Universitetin e Vlorës në degët e shkencave ekzakte dhe inxhinierike u bë e nevojshme botimi i një libri të algjebrës lineare në Shqip. Ky libër është një kordinim i metodave llogaritëse dhe atyre teorike për të dhënë tek lexuesi një ide mbi aspektet teorike të algjbrës lineare dhe zbatimeve të saj në fushat e tjera. Rëndësi i është kushtuar pjesës algoritmike për t’u dhënë studentëve një shije të implementimit të disa prej këtyre metodave. Ne kemi qënë mjaft të kursyer në zgjedhjen e temave që u përfshin në këtë tekst për vet faktin se ky libër do të përdoret vetëm gjatë një semestri. Në fund të librit është një listë e gjatë e disa prej teksteve bashkëkohore dhe disa më historike për lexuesin, i cili do që të thellohet në fushën e algjbrës lineare. Unë nuk pretendoj origjinalitetin e asnjë prej rezultateve të këtij libri, po është e pamundur të përmendësh pas çdo rezultati autorin origjinal. Megjithatë, unë nxitoj të marr mbi vete çdo gabim që ky libër mund të ketë, pasi këto janë gabime të miat dhe në asnjë mënyrë të autorëve origjinalë. Të gjitha vërejtjet e korrigjimet janë të mirëpritura e ndoshta do të më ndihmojnë në përgatitjen e një botimi të dytë në të ardhmen. Këto leksione janë shkruar kryesisht për studentët e vitit të parë e të dytë të universitetit për degët e matematikës, informatikës dhe inxhinierisë. Fillimet e tyre i kanë në vitin 2001-2003 kur unë dhashë disa herë rresht lëndën e algjebrës lineare në University of California-Irvine . Në vitin 2004 u botua i pari version i këtij libri në anglisht, i cili është përdorur si tekst në University of Idaho dhe Oakland University . Megjithëse ky libër është një përpjekje modeste e nivelit elementar, unë shpresoj se do të përmbush nevojat fillestare të studentëve të Univeritetit të Vlorës dhe mbarë Shqipërisë në degët e lartëpërmendura. Dua të falenderoj departamentin e matematikës së University of California-Irvine, University of Idaho dhe Oakland University që më krijuan mundësinë për të dhënë kursin e algjebrës lineare disa herë me radhë si edhe ish-studenten time Blerina Zykaj, e cila me durim dhe përkushtim ndihmoi për përkthimin e këtyre leksioneve nga versioni i anglishtes. Tanush Shaska Vlorë, 2008.

vii

viii

FIGURAT

Kapitulli 1

Vektorët, matricat dhe sistemet lineare E nisim këtë kapitull me konceptin e njohur të hapësirave Euklidiane (p.sh. Rn ). Normën dhe produktin skalar të vektorëve do ti studiojmë në kreun e dytë. Më vonë do të prezantojmë matricat dhe algjebrën e tyre. Përdorimi i matricave për zgjidhjen e sistemeve lineare të ekuacioneve përfshin gjetjen e formës row-eçelon dhe formën e reduktuar row-eçelon të matricës. Këto proçese quhen algoritmi i Gaussit dhe algoritmi Gauss-Xhordan, të cilat do ti studio jmë në kreun 4 dhe 5. Në kreun 6 do të studiojmë matricat e anasjellta dhe algoritmet për të gjetur këto matrica.

Figura 1.1: Hapësira Euklidiane R3 .

1.1 Hapësira Euklidiane Rn

Ne njohim konceptin e një vektori në planin e numrave realë R2 . Fillimisht ne do të përsërisim disa nga vetitë e vektorëve në R 2 dhe pastaj do ti zgjerojmë këto koncepte në Rn . Një vektor në R2 është një çift i renditur v : (v 1 , v 2 ),

=

ku v 1 , v 2 ∈ R.

Për çdo dy vektorë u = (u 1 , u 2 ), v = (v 1 , v 2 ) përkufizojmë mbledhjen dhe shumëzimin skalar në të njëjtën 15

16

T. Shaska

mënyrë

+ = + v 1 ,u 2 + v 2 ), r · u := (r u 1 ,r u 2 ),

u v : (u 1

(1.1)

ku r ∈ R. Gjeometrikisht mbledhja e u dhe v dhe shumëzimi skalar r u përshkruhen si më poshtë:

 v  u

ru  u  v

+

 u

Figura 1.2: Mbledhja dhe shumëzimi skalar i vektorëve. ku r u është një vektor i ri me të njëjtin drejtim si u dhe me gjatësi r shumëzuar me gjatësinë e u-së. Një hapësirë Euklidiane është bashkësia n

R : {(x 1 ,..., x n ) x i

=

| ∈ R}

ku mbledhja dhe shumëzimi skalar janë të përkufizuar si më poshtë. Për çdo u, v ∈ Rn të tillë që u

= (u 1 ,...,u n ),

v (v 1 ,..., v n )

=

(1.2)

përkufizojmë

+ = + v 1,..., u n + v n ) r v := (r v 1 ,..., r v n ). Elementët e Rn quhen vektorë dhe elementët r ∈ R quhen skalarë. Vektori 0 = (0,...,0) u v : (u 1

(1.3)

quhet vektori zero. Kemi vetitë e mëposhtme. Teorema 1.1. Le të jenë u , v , w vektorë në Rn dhe r , s skalar në R. Pohimet e mëposhtme janë të vërteta:

1) 2) 3) 4)

(u + v ) + w = u + (v + w ), u + v = v + u , 0 + u = u + 0 = u , u + (−u ) = 0,

1.1. HAPËSIRA EUKLIDIANE RN 5) 6) 7) 8)

17

r (u + v ) = r u + r v , (r + s ) u = r u + s u , (r s ) u = r (s u ), 1 u = u .

Vërtetim: Vërtetimet i lihen lexuesit si ushtrime. Dy vektorë v (v 1 ,..., v n ) dhe u (u 1 ,..., u n ) quhen vektorë paralelë në qoftë se ekziston një r R e tillë që v r u.

=

=

=

∈

Përkufizim 1.1. Janë dhënë vektorët v 1 ,..., v n Rn dhe r 1 ,..., r n R, vektori

∈

∈

r 1 v 1 +···+ r n v n quhet kombinim linear i vektorëve v 1 ,..., v n . Përkufizim 1.2. Le të jenë v 1 ,..., v n vektorë në Rn . Hapësira e gjeneruar nga këta vektorë e shënuar me Span ( v 1 ,..., v n ), është bashkësia në Rn e të gjitha kombinimeve lineare të v 1 ,..., v n .

Span ( v 1 ,..., v n ) = {r 1 v 1 +···+ r n v n | r i ∈ R} Përkufizim 1.3. Vektorët u1 ,..., un quhen linearisht të pavarur në qoftë se

r 1 u1 +···+ r n un = 0 si rrjedhim r 1 =···= r n = 0,

në të kundërt, themi se u1 ,..., un janë linearisht të varur. Ushtrime:

1. Vërteto se përkufizimi formal i mbledhjes dhe shumëzimit skalar në R2 pajtohet me interpretimin

gjeometrik të mbledhjes dhe shumëzimit të vektorëve. 2. Le të jenë v (3,5, 1), u (1,1,7) dhe w (0,3,4). Gjej 2u 3v w .

=

− = = + − 3. Le të jenë dhënë v = (1,2, −1), u = (3,6, −6). Gjej 2u + 3v . 4. Le të jenë dhënë v = (3,5) dhe u = (5,6). Gjej skalarët r , s të tillë që r v + s u = (5,11). 5. Çfarë domethënë për vektorët u , v ∈ R2 të jenë linearisht të varur? 6. Çfarë është span i (0,1) dhe (1,0) në R2 ?

7. Le të jenë dhënë u (1,2,0) dhe v (3,4,0). A mund të jetë w (1,1,1) një kombinim linear i u dhe v ? Çfarë është gjeometrikisht spani i u dhe v ?

=

=

=

8. Gjej sipërfaqen e trekëndëshit të përcaktuar nga vektorët u (1,2,2) dhe v (2,2, 3).

=

9.

= − A është trekëndëshi me kulme A = (1, −3, −2), B = (2,0, −4), dhe C = (6, −2, −5) këndrejtë?

10. Le të jetë c një numër realë pozitiv dhe O 1 , O 2 pika në planin xy me koordinata (c , 0) dhe ( c , 0)

respektivisht. Gjej një ekuacion i cili përshkruan të gjitha pikat P të planit xy të tilla që

→

→

||PO1 ||+||PO2 || = 2a , për a > c.

−

18

T. Shaska

1.2 Norma e një vektori dhe produkti skalar Tani do të studiojmë dy koncepte shumë të rëndësishme të hapësirave Euklidiane; atë të produktit skalar dhe normës. Konceptin e produktit skalar do ta përgjithësojmë në Kap 4 për çdo hapësirë vektoriale. Përkufizim 1.4. Le të jetë dhënë u : (u 1 ,...,u n )

=

më poshtë

∈ Rn . Norma e u-së, e shënuar me u, përkufizohet si

   = +···+ u

Norma ka vetitë e mëposhtme:

u 12

2 u n

Teorema 1.2. Për çdo dy vektorë u , v Rn dhe çdo skalar r R pohimet e mëposhtme janë të vërteta: i) u 0 dhe u 0 atëherë dhe vetëm atëherë kur u 0 ii) r u r u u u iii) u v

∈

  ≥  =   = | |   +  ≤   + 

∈ =

Vërtetim: Vërtetimet e pikave i) dhe ii) janë të thjeshta dhe janë lënë si ushtrime. Vërtetimi i pikës iii)

bëhet në Lemën 1.1. Një vektor njësi ështe një vektor me normë 1. Kini parasysh se për çdo vektor jo-zero u vektori uu është vektor njësi. Përkufizim 1.5. Le të jenë u : (u 1 ,...,u n ),

=

v : (v 1 ,..., v n )

=

vektorë në Rn . Produkti skalar i u dhe v (ndonjëherë quhet produkt i brendshëm) përkufizohet si më poshtë: u · v := u 1 v 1 +···+ u n v n , dhe ndonjëherë shënohet me 〈u, v 〉. Identiteti i mëposhtëm

 v 2 = v · v

është shumë i rëndesishëm në ushtrime. Lema 1.1. Produkti skalar ka vetitë e mëposhtme: i) u v v u ii) u (v w ) u v u w iii) r (u v ) (r u ) v u (r v ) iv) u u 0, dhe u u 0 atëherë dhe vetëm atëherë kur u 0

· = · · + = · + · · = · = · · ≥ · =

=

Vërtetim: Përdor përkufizimin e produktit skalar për të kontrolluar i) deri iv). Dy vektorë u, v Rn quhen pingulë në qoftë se

∈

u v 0.

· =

Lema 1.2. ( Inekuacioni Koshi-Schwarc ) Le të jenë u dhe v dy vektorë në Rn . Atëherë

|u · v | ≤||u | |||v ||

1.2. NORMA E NJË VEKTORI DHE PRODUKTI SKALAR

19

Vërtetim: Në qoftë se një nga vektorët është vektori zero, atëherë inekuacioni është i qartë. Pra, supozo jmë se u, v janë vektorë jozero. Për çdo r , s Rn kemi r v s u 0. Atëherë,

∈

 + ≥ r v + s u2 = (r v + s u) · (r v + s u) = r 2 ( v · v ) + 2r s ( v · u) + s 2 (u · u) ≥ 0 Marrim r = u · u dhe s = − v · u. Duke zëvendësuar në shprehjen e mësipërme, kemi: r v + s u2 = (u · u)2 ( v · v ) − 2(u · u)( v · u)2 + ( v · u)2 (u · u) = (u · u) (u · u)( v · v ) − ( v · u)2 ≥ 0 Meqënëse (u · u) = u2 > 0 atëherë (u · u)( v · v ) − ( v · u)2 ≥ 0. Kështu që, ( v · u)2 ≤ (u · u)( v · v ) = u2 · v 2









dhe

|u · v | ≤||u||·|| v ||.

Lema 1.3. ( Inekuacioni i trekëndëshit ) Për çdo dy vektorë v , u në R n kemi

v + u  ≤ v  +u  Vërtetim: Kemi

 v + u2 = ( v + u) · ( v + u) = ( v · v ) + 2( v · u) + (u · u) ≤ ( v · v ) + 2 v u+ (u · u) =  v 2 + 2 v  ·u+u2 = ( v  +u)2 Kështu që,  v + u ≤  v  +u. Përkufizim 1.6. Këndi ndërmjet dy vektorëve u dhe v është

θ := co s −1



u v u v

·  · 



Vini re se, meqënëse uu ,  v v  janë vektorë njësi, atëherë

· v ≤ 1. −1 ≤ u u · v  Kështu që, këndi ndërmjet dy vektorëve është i mirëpërcaktuar. Shembull 1.1. Gjej këndin ndërmjet u (2, 1,2),

= −

dhe v = (−1, −1,1)

Zgjidhje: Duke përdorur formulën e mësipërme, kemi

θ

 −

= cos

1

(2, −1,2) · (−1, −1,1)   9· 3

Atëherë θ ≈ 1.377 radianë ose θ ≈ 78.90◦ .

 = −    cos

1

3 . 9

20

T. Shaska

B  v

A

 x

 u  v

−

p r o ju  v

 u

C

Figura 1.3: Projeksioni i v në u Marrim vektorët u dhe v në R 2 si në Fig 1.3. Projeksioni i v -së në u , i cili shënohet me pr u v , është vektori i përfituar duke hequr një pingule nga kulmi i v -së në drejtëzën e përcaktuar nga u. Kështu që,

→ ˆ = || v ||· 〈u, v 〉 = 〈 v , u〉 ·||u||.  pru v  :=  AO=|| v ||· cos(C AB) ||u||·|| v || 〈u, u〉 Mund të shumëzojmë me vektorin njësi uu për të marrë

= 〈〈 v u,,uu〉〉 · u.

pru v

Në qoftë se do të donim një vektor pingul me u, atëherë kemi:

= − 〈〈 v u,,uu〉〉 · u.

x v pru v v

= −

Do të shohim në vazhdim se si kjo ide është e përgjithësuar në Rn përdoret në metodën katrorëve më të vegjël. Ushtrime:

11. Le të jetë ABC një trekëndësh i dhënë dhe θ këndi ndërmjet AB dhe AC. Vërteto ligjin e kosinusit në



një trekëndësh

BC2 = AB2 + AC2 − 2 AB · AC · cos θ

12. Vërteto se për çdo dy vektorë u dhe v pohimi i mëposhtëm është i vërtetë

(v − w ) · (v + w ) = 0 ⇐⇒ || v | |=||w || 13. Le të jenë a dhe b brinjët anësore të një paralelogrami dhe diagonalet e tij d 1 ,d 2 . Vërteto se,

d 12 + d 22 = 2(a 2 + b 2 ). 14. Vërteto se dy diagonalet e një paralelogrami janë pingule atëherë dhe vetëm atëherë kur të gjitha brin jët e tij janë të barabarta.

1.3. MATRICAT DHE ALGJEBRA E TYRE 15. Gjej këndin ndërmjet vektorëve u

tuar prej tyre.

21

= (1,2,2) dhe v = (2,2, −3) dhe sipërfaqen e trekëndëshit të përcak-

16. Le të jetë u vektori njësi, tangent me grafikun e y

= x 2 + 1 në pikën (2,5). Gjej një vektor v pingul me u .

17. Për cilat vlera të t-së vektorët u (1,0,t ) dhe v (t , t , t 2 ) janë pingulë?

=

18. Vërteto se distanca d e një pike P

= −

= (x 0 , y 0 ) nga drejtëza ax + by + c = 0

jepet prej d =

|ax  0 + by 0 + c | . a 2 + b 2

19. Le të jenë vektorët u , v , w me të njëjtën origjinë në R 3 dhe koordinata u w ( 1, 1, 1). Gjej vëllimin e paralelopipedit të përcaktuar nga u , v , w .

=− − −

= (1,2,2), v = (2,2, −3) dhe

20. Le të jenë u (1,2,2) dhe v (1,2, 3) vektorë të dhënë. Gjej projeksionin e u -së në v .

=

=

−

21. Le të jenë u (1,2,2), v (2,2, 3) dhe w ( 1, 1, 1) të dhënë në R3 . Gjej projeksionin e u në planin vw .

=

=

−

=− − −

1.3 Matricat dhe algjebra e tyre Fillojmë me një problem klasik, zgjidhjen e sistemeve lineare. Le të jetë dhënë sistemi i mëposhtëm linear i ekuacioneve



3x + 12 y = 5 (1.4) 2x − 2 y = 3 Zgjidhja e këtij sistemi varet ngakoeficientët e çdoekuacioni. Krijojmë një tabelëme të gjithëkoeficientët e këtij sistemi, si më poshtë 3 12 A = (1.5) 2 -2 dhe e quajmë një matricë 2 × 2. Në përgjithësi, një matricë A m ×n është njëbashkësinumrashtë vendosur në m rreshta dhe n kolona dhe paraqitet si më poshtë:



A = [a i , j ]

   = 

a 1,1 a 2,1 a 3,1

a m ,1



a 1,2 a 2,2 a 3,2

a m ,2

a 1,3 a 2,3 a 3,3

· · ·

a m ,3

. .. . .. . ..

. ..

a 1,n a 2,n a 3,n

a m ,n

   

(1.6)

22

T. Shaska

Rreshti i i -të i A-së është vektori

Ri : = (a i ,1 ,..., a i ,n ) dhe kolona e j -të është vektori a 1, j

C j :

    =  ··· ··· a n , j

Le të jetë A = [a i , j ] një matricë m × n dhe B = [b i , j ] një matricë n × s . Matrica prodhim AB është matrica C = [c i , j ] me përmasa m × s e tillë që c i , j është prodhimi skalar i vektorit të rreshtit të i-të të A-së dhe vektorit të kolonës së j-të të B-së.

B : p rradhë q kollona

2

b 1

× 1 2

a

+

b

× 2 2

a

2 2

+ . . .

+

2

b p

×

     

b 11

b 12

...

b 1q

b 21

b 22

...

b 2q

.. .

.. .

..

.. .

b p 1

b p 2

...

.

b pq

     

p

a 2

     

a 11

a 12

...

a 1p

a 21

a 22

...

a 2p

.. .

.. .

..

.. .

a n 1

a n 2

...

.

a np

     

     

A : n rreshta p kollona

c 11

c 12

...

c 1q

c 21

c 22

...

c 2q

.. .

.. .

..

.. .

c n 1

c n 2

...

.

c nq

     

C = A × B : n rreshta q kollona

Matrica shumë përkufizohet si





A + B = a i , j + b i , j .

1.3. MATRICAT DHE ALGJEBRA E TYRE

23

dhe shumëzimi me një skalar r ∈ R përkufizohet si matrica r A := [r a i , j ]. Matrica zero m × n , shënohet me 0, është matrica m × n , e cila ka zero në të gjithë elementët e tij. Një matricë A m × n quhet matricë katrore në qoftë se m = n . Në qoftë se A = [a i , j ] është një matricë, atëherë të gjitha elementët a i ,i formojnë diagonalen kryesore të A-së. Matrica identike, e shënuar me In , është matrica n × n , e cila ka 1-sha në diagonalen kryesore dhe zero në vendet e tjera. Një matricë e cila mund të shkruhet si r I quhet një matricë skalare. Dy matrica quhen të barabarta në qoftë se elementët koresponduese të tyre janë të njëjta. Kini parasysh se aritmetika e matricave nuk është e njëjte me aritmetikën e numrave. Për shembull, në = BA, ose AB = 0 nuk sjell si rrjedhim se A = 0 ose B = 0. Ne do ti studiojmë disa nga këto përgjithësi AB  veti me hollësi në seksionet në vazhdim. Më poshtë paraqesim vetitë kryesore të algjebrës së matricave. Teorema 1.3. Le tëjenë A,B,C matrica të përmasave të tilla që veprimet e mëposhtme janë të përcaktuara.

Le të jenë r , s skalarë. Atëherë pohimet e mëposhtme janë të vërteta: i) A + B = B + A ii) (A + B) + C = A + (B + C) iii) A + 0 = 0 + A = A iv) r (A + B) = r A + r B v) (r + s )A = r A + s A vi) (r s )A = r (s A) vii) (r A)B = A(r B) = r (AB) viii) A(BC) = (AB)C ix) IA = A = AI x) A(B + C) = AB + AC xi) (A + B)C = AC + BC Vërtetim: Shumë prej vërtetimeve janë elementare dhe ne do ti lëmë si ushtrime për lexuesin. Trace e një matrice katrore A [a i , j ] është shuma e elementëve të diagonales së saj:

=

tr (A):= a 11 +···+ a nn . Lema 1.4. Pohimet e mëposhtme janë të vërteta:

i) tr (A + B) = tr (A) + t r (B) ii) tr (AB) = t r (BA). Vërtetim: Pika e parë është e qartë. Ne do vërtetojmë vetëm pikën ii). Le të jenë A

matrica n × n . Shënojmë AB = C = [c i , j ] dhe BA = D = [d i , j ]. Atëherë

= [a i , j ] dhe B = [b i , j ]

c i ,i = Ri (A) · Ci (B) = Ci (B) · Ri (A) = d i ,i , ku Ri (A) është rreshti i i -të i A-së dhe C i (B) është kolona e i -të e B-së. Kjo plotëson vërtetimin.

24

T. Shaska

Shembull 1.2. Për matricat A dhe B të dhëna më poshtë, gjej tr (A), t r (B), t r (A B), t r (AB) dhe tr (BA).

+

 =

A

Zgjidhje: Eshtë e qartë se t r (A)

4 0 21

2 3 10

2 1 , -2

 

B

 =

1 3 31

2 -3 2

61 1 1

 

= 5, t r (B) = −1. Atëherë, tr (A + B) = 4. Kemi AB

Kështu që, tr (AB) = t r (BA) = 1356.

 =

74 41 -13

6 -7 8

248 4 . 1289

 

Në qoftë se kemi matricën A = [a i , j ], e transpozuara e saj është matrica A t := [a j ,i ].

A quhet matricë simetrike në qoftë se A = A t . Kini parasysh se për një matricë katrore A e transpozuara e saj përfitohet duke e rrotulluar matricën rrotull diagonales së saj. Lema 1.5. Për çdo matricë A pohimet e mëposhtme janë të vërteta

i) (A t )t = A, ii) (A + B)t = A t + Bt , iii) (AB)t = Bt A t .

Vërtetim: Pikat i) dhe ii) janë të lehta. Ne do vërtetojmë vetëm pikën iii). Le të jenë A

[b i , j ]. Shënojmë AB = [c i , j ]. Atëherë, (AB)t = [c j ,i ] ku

= [a i , j ] dhe B =

c j ,i = R j (A) · Ci (B) = C j (A t ) · Ri (Bt ) = Ri (Bt ) · C j (A t ).

Kjo plotëson vërtetimin. Shembull 1.3. Për matricat A dhe B të dhëna më poshtë

 =

4 0 21

 =

4 2 2

A

2 3 10

gjej A t , Bt , (A + B)t , (AB)t , dhe (BA)t .

2 1 , -2

 

 =

1 3 31

2 -3 2

61 1 1

 =

1 2 61

3 -3 1

31 2 . 1

B

 

Zgjidhje: Kemi

A t

0 3 1

21 10 , -2

 

Bt

Llogaritja e (A + B)t , (AB)t , dhe (BA)t e kemi lënë si ushtrim për lexuesin.

 

Le të jetë A një matricë katrore. Në qoftë se ekziston një numër i plotë n i tillë që A n = I, atëherë themi se A ka rend të fundëm, në të kundërt A ka rend të pafundëm. Numri më i vogël i plotë n i tillë që A n = I quhet rend i A-së. Ushtrime:

1.3. MATRICAT DHE ALGJEBRA E TYRE

25

22. Gjej trace-në e matricave A , B, A B, dhe A B, ku A dhe B janë

+

 =

A

4 0 21

−

2 3 10

2 1 -1

 

,

B

1 3 31

 =

2 -3 0

6 1 13

 

23. Një matricë A quhet idempotent në qoftë se A 2 A . Gjej një matricë idempotent A , 2

= × 2, të ndryshme nga matrica identike I2 . Duke përdorur matricën A , gjej dy matrica B, C të tilla që BC = 0, ku B  = 0 dhe = 0. C 24. Le të jetë

=

A

cos θ sin θ

− sin θ cos θ



Gjej A 2 . Ç’mund të thoni për A n ?

≥ 1 i tillë që A r = 0. Le

25. Një matricë katrore A është nilpotent në qoftë se ekziston një numër i plotë r

të jenë A, B dy matrica të tilla që AB = BA , A 2 = 0 dhe B2 = 0. Vërteto se AB dhe A + B janë nilpotente. 26. Le të jetë

 =

A

4 0 2

2 3 0

2 1 1

Nëse është e mundur, gjej një matricë B të tillë që AB = 2A .

 

27. Vërteto se: i) Për çdo matricë A , matrica AA t është simetrike ii) Në qoftë se A është një matricë katrore

atëherë A + A t është simetrike.

28. Le të jetë A një matricë katrore. Vërteto se (A n )t

= (A t )n .

29. A është i vërtetë identiteti

(A + B)2 = A 2 + 2AB + B2 , për çdo dy m × n matrica A dhe B. 30. Le të jenë A dhe B dy matrica të tilla që AB

= BA . Vërteto se (A − B)(A + B) = A 2 − B2 . 31. Le të jenë A dhe B dy matrica të tilla që AB = BA . Vërteto se (A − B)(A 2 + AB + B2 ) = A 3 − B3 .

26

T. Shaska

32. Le të jetë Q bashkësia e mëposhtme e matricave

±

1 0

0 , ± 1

i 0

0 , ± -i

0 -1

1 , ± 0

i 0

0 , j = -i

0 -1

1 , k = 0

 

 

 

0 i

i 0



e tillë që i 2 = −1. Për më tepër, le të jenë I

=

1 0

0 , i = 1

 

Vërteto pohimet e mëposhtme

 

 

0 i

i . 0



i2 j2

= = k 2 = −I

dhe

= −i, ik = − j. Këto matrica ndonjë herë quhen kuaternione . Vërteto se ±i, ± j, ±k kanë rend 4. ij

= k ,

jk i,

ji

=

= −k ,

kj

1.4 Sistemet lineare të ekuacioneve, metoda e Gaussit Përkufizim 1.7. Një ekuacion linear me ndryshore (x 1 , x 2 ,..., x n ) ka formën

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 +···+ a n x n = d , ku numrat a 1 ,..., a n ∈ ℜ janë koeficientët e ekuacionit dhe d ∈ ℜ është një konstante. n -elementët e rradhitur (s 1 , s 2 ,..., s n ) ∈ ℜn janë zgjidhje e ekuacionit në qoftë se duke zvendësuar numrat s 1 , ... , s n në vend të ndryshorëve, atëherë ai kthehet në një barazim numerik të vërtetë: a 1 s 1 + a 2 s 2 + ... + a n s n = d . Një sistem linear ekuacionesh

  

a 1,1 x 1 +···+ a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 +···+ a 2,n x n = b 2 ........................ a m ,1 x 1 +···+ a m ,n x n = b m

ka zgjidhje (s 1 , s 2 ,..., s n ) në qoftë se n -elementët e radhitur janë zgjidhje e të gjithë ekuacioneve të sistemit. Le të jetë dhënë një sistem linear m ekuacionesh me n të panjohura si më sipër. E shkruajmë këtë sistem në formën e matricës së më poshtme A · x = b ku

A = [a i , j ]

   = 

a 1,1 a 2,1 a 3,1

a m ,1

a 1,2 a 2,2 a 3,2

a m ,2

a 1,3 a 2,3 a 3,3

· · ·

a m ,3

. .. . .. . ..

. ..

a 1,n a 2,n a 3,n

   

a m ,n

   = 

, x

x 1 x 2 x 3

   

x m

, b

   = 

b 1 b 2 b 3

   

b m

.

1.4. SISTEMET LINEARE TË EKUACIONEVE, METODA E GAUSSIT

27

Ne do përdorim matricat dhe do ndërtojmë një algoritëm, i cili mund të përcaktojë nëse një sistem i tillë ka zgjidhje dhe të gjejmë këtë zgjidhje. Matrica [A | b] shënohet si më poshtë:

[A | b] :

  =  

a 1,1 a 2,1 a 3,1

a 1,2 a 2,2 a 3,2

a m ,1

a m ,2

a 1,3 a 2,3 a 3,3

· · ·

a m ,3

... ... ...

...

a 1,n a 2,n a 3,n

· · ·

a m ,n

b 1 b 2 b 3 . . . b m

dhe quhet matrica e augmentuar e sistemit korespondues.

   

Shembull 1.4. Për të zgjidhur sistemin

 

3x 3 = 9 x 1 + 5x 2 − 2x 3 = 2 1 =3 3 x 1 + 2x 2

ne e transformojmë atë derisa të arrijë në një formë që është më e lehtë për t’u zgjidhur. këmbejmë rreshtin 1 me rreshtin 3

−→

shumëzojmë rreshtin e parë me 3

−→

shtojmë në rreshtin e 2-të rreshtin e parë të shumëzuar me −1

−→

     

1 3 x 1 x 1

+ 2x 2 =3 + 5x 2 − 2x 3 = 2 3x 3 = 9 =9 x 1 + 6x 2 x 1 + 5x 2 − 2x 3 = 2 3x 3 = 9 x 1 + 6x 2 = 9 −x 2 − 2x 3 = −7 3x 3 = 9

Ky është transformimi i fundit që mund t’i kryejmë mbi këtë sistem, pasi në rreshtin e fundit ne mund të marrim një zgjidhje të ndryshme nga trivialja. Tani mund të gjejmë vlerën e secilit prej ndryshorëve. Ekuacioni i fundit na jep x 3 = 3. Duke zvendësuar x 3 = 3 në ekuacionin e dytë, gjejmë x 2 = 1. Duke zvendësuar këto dy vlera në ekuacionin e parë gjejmë x 1 = 3. Pra, sistemi ka një zgjidhje të vetme, e cila është: { (3,1,3)}. Shumica e këtij seksioni si dhe shumë prej atyre vijues përmbajnë shembuj mbizgjidhjen e sistemeve linear me metodën e Gaus-it, e cila është një metodë e shpejt dhe e thjeshtë. Para se të japim këta shembuj, ne do të tregojmë se kjo metodë është e sigurt, dmth ajo asnjëherë nuk humbet ndonjë zgjidhje të sistemit apo të na jap ndonjë zgjidhje të huaj. Teorema 1.4 (Metoda e Gausit). Në qoftë se një sistem ekuacionesh linear shndërrohet në një sistem tjetër

sipas veprimeve të mëposhtme: 1) një ekuacion ndërron vendin me një tjetër 2) të dy anët e një ekuacioni shumëzohen me një konstante jo-zero 3) një ekuacione zvendësohet me shumën e tij me shumëfishin e një ekuacioni tjetër, atëherë këta dy sisteme linear ekuacionesh kanë të njëjtën bashkësi zgjidhjeje.

28

T. Shaska

Secili prej këtyre verpimeve ka një kufi. Nuk lejohet shumëzimi i një rreshti me 0 sepse ky veprim mund të ndryshoi bashkësinë e zgjidhjeve të sistemit. Gjithashtu, ndalohet edhe shuma e një rreshti me një shumëfish të vet sepse duke i shtuar një rreshti veten e vet të shumëzuar me −1 është njëlloj sikur këtë rresht ta shumëzosh me 0.

1.4.1 Veprimet elementare me rradhët Do të përpunojmë matricën e augmentuar [A | b] në mënyrë të tillë që bashkësia e zgjidhjeve të sistemit linear të mos ndryshojë. Shënojmë me veprime elementare me rradhët (rreshtat) që kryhen në një matricë, veprimet e mëposhtme: 1) Këmbe rradhën e i-të me rradhën e j-të (shënohet me R i ↔ R j ) 2) Shumëzo rradhën e i-të me një skalar jozero r (shënohet me R i → r R i ) 3) Mblidh rradhën e i-të me rradhën e j-të shumëzuar me r (shënohet me Ri → Ri + r R j ) Eshtë e qartë se këto veprime matricën e augmentuar nuk e ndryshojnë bashkësinë e zgjidhjeve të këtij sistemi. Në qoftë se matrica B përfitohet duke kryer veprimet me rradhët në A atëherë matrica A dhe B quhen equivalente sipas rradhëve .

1.4.2 Forma row-eçelon Përkufizim 1.8. Një matricë është në formën row-eçelon në qoftë se :

1) Të gjitha rreshtat që kanë vetëm zero janë poshtë rreshtave me elementë jozero. 2) Elementi i parë jozero në një rresht i korespondon kolonës në të djathtë të elementit të parë jo-zero në të gjithë rreshtat në vazhdim. Për një matricë në formën row-eçelon, elementi i parë jozero në një rresht quhet pivoti për atë rresht. Shembull 1.5. Duke përdorur veprimet me radhët, gjej formën row-eçelon të matricës

 =

A

1 2 3

2 0 2

3 1 2

 

Zgjidhje: Kryejmë veprimet e mëposhtme me rreshtat:

1 2 3 2 0 1 3 2 2

 =

A

 

R3 →

1 3 R3

−→

1 2 1 0 3 2

 →  −→  →−   −→ 1 0 1

R2

2 2 2 3

1R 2 2

3 5 2 2 3

3 1 2

   

R2 R1 R2

2

R3 R1 R3

1 0 0

1 2 0 2 3 2

3

R 3 R2

3 2 R3

 → −  −→ →−  −→ 2 2 4 3

3 5 2 7 3

5 2

2

   

1 2 0 2 0 0

3 5 2

 

−1

Veprimet me rreshtat janë veprime të shpejta dhe të lehta. Më poshtë japim algoritmin sesi të transformojmë një matricë në formën row-eçelon.

1.4. SISTEMET LINEARE TË EKUACIONEVE, METODA E GAUSSIT

29

Algorithm 1. Input: Një matricë A. Output: Forma row-eçelon e A-së 1) Fillojmë me kolonën e parë e cila ka elementë jozero . 2) Duke këmbyer vendet e rreshtave marrim një pivot p në rreshtin e parë të kësaj kolone. I bëjmë zero të gjithë elementët poshtë pivotit të kësaj kolone . 3) Vazhdojmë në këtë mënyrë me kolonën tjetër . Forma row-eçelon e matricave përdoret për të zgjidhur sistemet lineare të ekuacioneve. Le të jetë A x = b, një sistem linear ekuacionesh. Krijojmë matricën e augmentuar [A | b ] dhe gjejmë formën e saj roweçelon, themi [H | v .] Duke përdorur metodën e zëvendësimit nga fundi (fillojmë zëvendësimin nga rreshti i fundit) zgjidhim sistemin H x = v . Shohim një shembull.

Shembull 1.6. Zgjidh sistemin linear

 

Zgjidhje: Atëherë

[A | b]

 =

0 2 4

1 3 5

x 2 − 3x 3 = −5 2x 1 + 3x 2 − x 3 = 7 4x 1 + 5x 2 − 2x 3 = 10

-3 -1 -2

-5 7 10

 



[H | v ]

 =

2 0 0

3 1 0

-1 -3 -3

7 -5 -9

 

duke bërë veprimet R 1 ↔ R2 , R 3 → R3 − 2R1 , R 3 → R3 + R2 . Kështu që sistemi linear është ekuivalent me sistemin e mëposhtëm 2x 1 + 3x 2 − x 3 = 7 x 2 − 3x 3 =− 5 −3x 3 =− 9

 

duke përdorur metodën e zëvendësimit nga fundi, kemi: x

Kjo metodë njihet si metoda e Gaussit.

-1 4 3

  = 

Teorema 1.5. Le të jetë

A x = b

një sistem linear dhe [A | b] [H | v ], ku [H | v ] është në formën row-eçelon. Atëherë një nga pohimet e mëposhtën është i vërtetë: 1) A x = b nuk ka zgjidhje atëherë dhe vetëm atëherë kur H ka një rradhë me të gjithë elementët zero dhe në të njëjtën rradhë c ka një element jozero. 2) Në qoftë se A x = b ka zgjidhje atëherë një nga pohimet e mëposhtme qëndron: i) ka një zgjidhje të vetme në qoftë se çdo kolonë e H-së përmban një pivot ii) ka një numër të pafundëm zgjidhjesh në qoftë se një nga kolonat e H-së nuk ka pivot 

30

T. Shaska

Figura 1.4: Prerja e dy drejtëzave x − y = −1 dhe 3x + y = 9 është një pikë e vetme. Vërtetim: Kujtojmë nga algjebra elementare se një equacion

ax = b

= 0. Ka një zgjidhje të vetme atëherë dhe nuk ka zgjidhje atëherë dhe vetëm atëherë kur a = 0 dhe b  = 0 dhe b = 0 dhe ka një numër të pafundëm zgjidhjesh atëherë dhe vetëm atëherë vetëm atëherë kur a  kur a = b = 0. = 0 atëherë Në qoftë se H ka një rresht zerosh dhe në të njëjtin rresht c ka një element jozero c n  ekuacioni 0 · x n = c n nuk ka zgjidhje dhe si rrjedhim sistemi linear A x = b nuk ka zgjidhje. Edhe e anasjellta është e vërtete si rrjedhim i përkufizimit të formës row-eçelon. Si rrjedhim, pikat 2, i) dhe 2, ii) janë të vërteta Shembull 1.7. Gjej sa zgjidhje ka sistemi i mëposhtëm:



2x + 5 y = 3 6x + 15 y = 9

Zgjidhje: Matrica e augmentuar është

[A | b]

=

2 6

5 15

3 9





[H | v ]

=

2 0

5 0

2 0



Nga teorema e mësipërme, sistemi ka një numër të pafundëm zgjidhjesh. Kjo është e thjeshtë për tu vërtetuar meqënëse ekuacioni i dytë i sistemit është prodhimi i ekuacionit të parë me numrin 3. Teorema e mësipërme mund të interpretohet gjeometrikisht për rastet e matricave me koeficientë 2 nga 2 ose 3 nga 3. Për shembull, në rastin e një sistemi linear me 2 ekuacione dhe 2 ndryshore, kemi rastin e dy drejtëzave në plan. Eshtë e njohur nga gjeometria se dy drejtëza mund të priten në një pikë, asnjë pikë ose në një numër të pafundëm pikash.

1.4. SISTEMET LINEARE TË EKUACIONEVE, METODA E GAUSSIT Ushtrime:

Zgjidhni sistemet lineare duke përdorur metodën e zëvendësimit të Gausit. 33. 34.

+

x 5 y = 2 3x + 2 y = 9

2x y 3z 0 6x y 8z 0 2x y 5z 4

 + − =  +− −+ == −  − =  +− −+ == −

y 2z 3 x 2 y 3z 2 5x 3 y z 1

Gjeni formën row-eçelon të matricave të mëposhtme 35.

36.

   

0 0 4

1 3 5

-3 0 -2

-5 1 10

0 1 1 2

0 1 3 5

0 -3 0 -2

0 -3 0 1

   

37. Përcakto të gjitha vlerat e b 1 ,b 2 të tilla që sistemi i mëposhtëm të ketë zgjidhje



x 1 + 11x 2 = b 1 3x 1 + 33x 2 = b 2

38. Përcakto të gjitha vlerat e b 1 ,b 2 të tilla që sistemi i mëposhtëm të mos ketë asnjë zgjidhje

 39. Gjej a, b, dhe c të tilla që parabola

të kalojë në pikat (1,-4), (-1,0), dhe (2,3).

x 1 + 2x 2 = b 1 − 2x 1 − 4x 2 = b 2

y = ax 2 + bx + c

40. Gjej a, b, c dhe d të tilla që polinomi i gradës së katërt

y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + d të kalojë në pikat (3, 2), (-1, 6), (-2, 38), dhe (2, 6).

31

32

T. Shaska

41. Gjej polinomin që kalon nga pikat (3, 1, -2), (1, 4, 5) dhe (2, 1, -4). Ushtrime programimi: 1. Shkruaj një program kompjuteri, i cili llogarit formën row-eçelon të një matrice të dhënë.

1.5 Forma e reduktuar row-eçelon, metoda Gauss-Xhordan Le të jetë [A | b] një matricë në formë row-eçelon. A mund ti bëjmë transformime të tjera matricës [A | b] në mënyrë të tillë që zgjidhja e sistemit korespondues të lexohet në ekuacionin e matricës? Kjo na çon në përkufizimin e mëposhtëm: Përkufizim 1.9. Një matricë është në formën e reduktuar row-eçelon në qoftë se është në formë row-

eçelon, të gjithë pivotët janë 1 dhe të gjithë elementët mbi pivotët janë 0. Sikurse do të shikojmë, kur matrica e koefiçientëve është në formën e reduktuar row-eçelon, atëherë zgjidhja e sistemit lineargjendet menjëherënë kolonën e fundittë matricës së augmentuar. Le të shikjomë një shembull. Shembull 1.8. Le të jetë [H v ] një matricë në formën row-eçelon sikurse në shembullin 1.7 :

|

[H | v ] Gjej formën e tij të reduktuar row-eçelon.

2 0 0

 =

3 1 0

-1 -3 -3

7 -5 . -9

 

Zgjidhje: Për të gjetur formën e reduktuar row-eçelon kryejmë veprimet e mëposhtme me rreshtat

[H | v ]

 =    

2 3 -1 7 0 1 -3 -5 0 0 -3 -9

1 0 0

3 2

1 0

- 21 -3 1

7 2

 → →−  −→ →−   −→  →−   −→ 

-5 3

1 0 4 11 0 1 0 4 0 0 1 3

R1

1R , R 2 1 3

R1 R1

1 0 4 11 0 1 -3 -5 0 0 1 3

3R 2 2

R1 R1 4R3

1R 3 3

1 0 0 -1 0 1 0 4 0 0 1 3

Kështu që, mund të arrijmë në përfundimin se zgjidhja e këtij sistemi është x

sikurse gjetëm dhe më parë.

-1 4 3

  = 

,

 

 

R2 →3R3 +R2

−→

1.5. FORMA E REDUKTUAR ROW-EÇELON, METODA GAUSS-XHORDAN

33

Vërejtje. Kini parasysh se forma e reduktuar row-eçelon e matricës A, ndryshe nga forma row-eçelon, është e vetme. Metoda e cila transformon matricën e augmentuar në formën e reduktuar row-eçelon quhet metoda e Gauss-Xhordan.

Vërejtje. Edhe pse metoda e Gauss-Xhordan na e jep zgjidhjen në një formë "më të përshtatshme", nuk mund të themi se kjo metodë është më e mirë se metoda e Gausit. Për sisteme të mëdha lineare është i rëndësishëm numri i llogaritjeve që na duhet te kryejmë. Në qoftë se përdorim metodën e Gauss Xhordan, na duhet të kryejmë 50% më shumë veprime sesa po të përdorim metodën e Gausit. Shembull 1.9. Gjej formën e reduktuar row-eçelon të matricës.

[A | b]

 =

2 -2 -2

1 1 -1

-2 1 2

1 2 2

 

Trego të gjitha veprimet e kryera me rreshtat. Cilat janë zgjidhjet e sistemit korespondues A x = b? Zgjidhje: Forma e reduktuar row-eçelon është

[H | v ] Kështu që sistemi nuk ka zgjidhje.

 =

1 0 0

0 1 0

− 34 − 12 0

0 0 1

 

Shembull 1.10. Gjej vlerat e b-së të tilla që sistemi i mëposhtën të ketë një zgjidhje, një numër të pafundëm

zgjidhjesh ose asnjë zgjidhje

Zgjidhje: Matrica e augmentuar është

 

[A | b ] dhe forma e reduktuar row-eçelon është:

[H | v ]

x 1 + 2x 2 − x 3 = b x 1 + x 2 + 2x 3 = 1 2x 1 − x 2 + x 3 = 2

 =

1 1 2

2 1 -1

-1 2 1

b 1 2

 

1

0

0

b +3 4

0

1

0

b 1 4

0

0

1

b −1 4

  =  

Sistemi ka vetëm një zgjidhje për çdo vlerë të b-së.

   −  

Të gjithësistemetlinear të ekuacioneve që kemi paëderi tani kanë po aq ekuacione sa edhe ndryshorë. Të gjithë këta sisteme kanë zgjidhje dhe kjo zgjidhje është e vetme. Në përfundim të këtij leksioni, le të shohim disa raste të tjera që mund të ndodhin.

34

T. Shaska

Shembull 1.11. Për sistemet lineare nuk është e thënë se numri i ekuacioneve duhet të jetë i njëjtë me

numrin e ndryshorëve. Sistemi x + 3 y = 1 2x + y =−3 2x + 2 y =−2

 

ka më shumë ekuacione se sa ndryshorë. Metoda e Gausit na ndihmon edhe në këtë rast, meqë x

3 y = 1 5 y =−5 4 y =−4

 +  −−

−2ρ1 +ρ2 −→ −2ρ1 +ρ3

kjo tregon se një nga ekuacionet është i tepërt. Forma row-eçelon

−(4/5)ρ2 +ρ3

−→

x

3 y = 1 5 y = −5 0= 0

 +  −

na jep y = 1 dhe x = −2. Rezultati ‘ 0 = 0’ rrjedh nga prania e një ekuacioni të tepërt.

1.5.1 Disa njohuri për sistemet homogjene Një sistem linear quhet homogjen në qoftë se është në formën A x = 0. Eshtëe qartë sezgjidhjee një sistemi tëtillë është x = 0 dhe quhet zgjidhja triviale. Matrica e augmentuar për sisteme të tilla është [A | 0] dhe forma row-eçelon do të jetë [H | 0]. Sistemi ka zgjidhje jotriviale në qoftë se një nga rreshtat e H-së nuk ka pivot. Do të shikojmë në Kapitullin 3 se kjo është ekuivalente me faktin që determinanti i matricës A të jetë jozero. Një arsye tjetër që sistemet linear mund të ndryshojnë nga shembujt e përmendur më parë është se disa sisteme linear nuk kanë një zgjidhje të vetme. Kjo mund të ndodh në dy mënyra. E para është se sistemi mund të mos ketë asnjë zgjidhje. Shembull 1.12. Krahasoni sistemin e shembullit të fundit me këtë sistem:

 

x + 3 y = 1 2x + y =−3 2x + 2 y = 0

−2ρ1 +ρ2 −→ −2ρ1 +ρ3

x

3 y = 1 5 y =−5 4 y =−2

 +  −−

Ky sistem nuk ka zgjidhje pasi asnjë çift numrash nuk i kënaq të gjithë ekuacionet njëkohësisht. Forma eçelon e tregon qartë këtë mungesë zgjidhjeje.

−(4/5)ρ2 +ρ3

−→

Bashkësia e zgjidhjes është bosh.

x

3 y = 1 5 y = −5 0= 2

 +  −


35

Shembull 1.13. Sistemi i mësipërm ka më shumë ekuacione se ndryshor (të panjohura), por nuk është kjo

arsyeja që sistemi nuk ka zgjidhje.— 1.11 ka më shumë ekuacione se ndryshor, por përsëri nuk ka zgjidhje. Nuk është e thënë se një sistem nuk ka zgjidhje atëherë kur numri i ekuacioneve të tij është më i madh se numri i ndryshorëve. Në shembulln e mëposhtëm shqyrtohet një sistem linear që ka po aq ekuacione sa edhe ndryshorë, por gjithësesi nuk ka asnjë zgjidhje.



x + 2 y = 8 2x + 4 y = 8

−2ρ1 +ρ2

−→

x 2 y = 8 0 = −8

+

Rasti tjetër është kur sistemi ka një numër të pafundëm zgjidhjesh. Shembull 1.14. Në këtë sistem

x + y = 4 2x + 2 y = 8 çdo çift numrash që kënaq ekuacionin e parë, automatikisht kënaq edhe të dytin. Bashkësia e zgjidhjeve {(x , y ) e tillë që x + y = 4} është e pafundme. Disa elementë të saj janë (0,4), (−1,5) dhe (2.5,1.5). Rezultati që përftohet nga zbatimi i metodës së Gausit në këtë rast është ndryshe nga ai i shembullit të mëparshëm sepse ne kemi një pafundësi zgjidhjesh.



−2ρ1 +ρ2

−→

Mos u ngatërroni nga prezenca e ekuacionit 0 numër të pafundëm zgjidhjesh. Shembull 1.15. Mungesa e ‘ 0

x y 4 0=0

 + = = 0.

Ai nuk është treguesi që një sistem të ketë një

= 0 nuk e ndalon sistemin të ketë disa zgjidhje të ndryshme.

dhënë në formën row- eçelon

Ky sistem, i

x y z = 0 y + z = 0 nuk përmabn identitetin ‘ 0 = 0, megjithatë ka një numër të pafundëm zgjidhjesh. (Për ilustrim, secila prej këtyre tresheve është një zgjidhje: (0,1, −1), (0,1/2, −1/2), (0,0,0), dhe (0, −π, π).) Prania e identitetit ‘ 0 = 0 nuk do të thotë se sistemi duhet të ketë disa zgjidhje (një num ¨ r të pafundëm zgjidhjesh). Ky fakt tregohet në 1.11. Pra ky sistem, i cili nuk ka shumë zgjidhje — , faktikisht ai nuk ka asnjë zgjidhje — pavarësisht se kur ndodhet në formën row-çelon form ka një rresht ’ 0 = 0’.

 + +

2x

− 2z = 6 y + z = 1 2x + y − z = 7 3 y + 3z = 0

 

2x

−ρ1 +ρ3

−→

−ρ2 +ρ3 −→ −3ρ2 +ρ4

− 2z = 6 y + z = 1 y + z = 1 3 y + 3z = 0 2x − 2z = 6 y + z = 1 0= 0 0 = −3

   

E mbyllim këtë seksion duke përmbledhur se çfarë kemi për metodën e Gausit. Metoda e Gausit përdortre veprimet me radhët përtë zgjidhur njësistem linearme anëtë zvendësimit nga fundi. Nëse në ndonjë kalim shfaqet ndonjë kontradiksion, atëherë ndërpresim zgjidhjen duke pohuar se sistemi nuk ka asnjë zgjidhje. Nëse në formën row-eçelon çdo rresht ka pivot, atëherë sistemi ka një zgjidhje të vetme, të cilën e gjejmë duke zvendësuar nga fundi. Në fund, nëse në formën row-eçelon nuk kemi ndonjë kontradiksion, por edhe aman nuk kemi edhe një zgjidhje të vetme (të paktën një nga rreshtat nuk ka asnjë pivot), atëherë sistemi ka një numër të pafundëm zgjidhjesh.

36

T. Shaska

1.5.2 Të përshkruajmë bashkësinë e zgjidhjeve Për një sistem linear që ka një zgjidhje të vetme, bashkësia e zgjidhjes së tij ka vetëm një element. Bashkësia e zgjidhjes së një sistemi linear që nuk ka zgjidhje është boshe. Në këto raste bashkësia e zgjidhjes përshkruhet lehtë. Bashkësitë e zgjidhjes janë të vështira për tu shpjehuar kur ato përbëhen nga shumë elementë. Shembull 1.16. Ky sistem ka disa zgjidhje sepse në formën row-eçelon

 

+ z = 3 2x x − y − z = 1 =4 3x − y

−(1/2)ρ1 +ρ2 −→ −(3/2)ρ1 +ρ3 −ρ2 +ρ3

−→

+ z = 3 − y − (3/2)z = −1/2 − y − (3/2)z = −1/2 + z = 3 2x − y − (3/2)z = −1/2 0= 0 2x

   

jo çdo rresht ka pivot. Metoda e Gausit tregon se një treshe kënaq sistemin e parë në qoftë se ajo kënaq sistemin e tretë. Kështu që bashkësia e zgjidhjes {(x , y , z ) e tillë që 2x + z = 3 dhe x − y − z = 1 dhe 3x − y = 4} mund të shkruhet gjithashtu edhe si {(x , y , z ) e tillë që 2x + z = 3 dhe − y − 3z /2 = −1/2}. Por edhe përshkrimi i dytë nuk është shumë i leverdisshëm. Ai përmban dy ekuacione që ende pëfshin disa lidhje jo të thjesha ndërmjet ndryshorëve. Për të përftuar një bashkësi zgjidhjeje, e cila nuk përmban më këto lidhje të ndrërlikuara ndërmjet ndryshorëve, ne shprehim një variabël në varësi të të tjeëve në njërin prej ekuacioneve të bashkësisë dhe e zvendësojmë tek ekuacioni tjetër, duke marrë këtu një ekuacion për ndryshorët x, y, z. Kështu, ekuacioni i dytë na jep y = (1/2) − (3/2)z dhe duke zvenësuar y-in në ekuacionin e parë marrim: x = (3/2) − (1/2)z. Kështu që bashkësia e zgjdhjes mund të shkruhet si {(x , y , z ) = ((3/2) − (1/2)z ,(1/2) − (3/2)z , z ) e tillë që z ∈ ℜ} . barabartë me 1/2 dhe të dytin −5/2. Avantazhi i këtij përshkrimi është se nuk ka kufizim për z,ndryshorin e vetëm që ndodhet në bashkësinë e zgjidhjes, ai mund të çdo numër real. Përkufizim 1.10. Termat jo-udhëheqës në të një sistemi linear ekuacionesh në forën row-eçelon janë termat e lirë.

Në formën row-eçelon të sistemit të mësipërm, x dhe y janë termat udhëheqës (termat kryesor), ndërsa z është e lirë.


37

Shembull 1.17. Një sistem linear mund të ketë në fund më shumë se një ndryshorë (termë) të lirë. Ky

sistem në formën reduktuar ka si terma kryesor x-in dhe y-in, ndërsa si terma të lirë z-in dhe w. x + y + z − w = 1 y − z + w = −1 + 6z − 6w = 6 3x − y + z − w = 1

  

x

−3ρ1 +ρ3

−→

3ρ2 +ρ3

−→ +

ρ2 ρ4

y z − w = 1 y z + w = −1 3 y 3z − 3w = 3 y z − w = 1

 + +  −  −− ++  + + −  − +

x y z w = 1 y z w = −1 0= 0 0= 0

Për të marrë një bashkësi zgjidhjeje, ne nisemi nga fundi. Fillimisht, shprehim y në varësi të termave të lirë z dhe w, pra y = −1 + z − w. Pastaj në ekuacioni e parë zvendësojmë y-in e gjetur x + (−1 + z − w ) + z − w = 1 dhe e zgjidhim atë në varësi të x-it, prej nga x = 2 − 2z + 2w. Kështu që, bashkësia e zgjidhjeve është {2 − 2z + 2w , −1 + z − w , z , w ) e tillë që z , w ∈ R} Nepreferojmë më shumë këtë përshkrim (këtë mënyrëtë dhëni)për bashkësinëe zgjidhjes sepse ndryshorët e vetëm që ndodhen aty z dhe w janë të pakufizuar. Kjo e bën më të thjeshtë zgjedhjen e katërsheve si zgjidhje të sistemit. Për më tepër, po të marrim z = 1 dhe w = 2, atëherë zgjidhja e sistemit do të jetë (4, −2,1,2). Ndërsa (3, −2,1,2) nuk është një zgjidhje e sistemit sepse komponenti i parë i një zgjidhjeje duhet të jetë 2 minus dyfishin e të tretit plus dyfishin e të katërtit. Shembull 1.18. After this reduction

2x − 2 y

=0 z + 3w = 2 =0 3x − 3 y x − y + 2z + 6w = 4

 

−(3/2)ρ1 +ρ3 −→ −(1/2)ρ1 +ρ4 −2ρ2 +ρ4

−→

2x − 2 y

=0 z + 3w = 2 0=0 2z + 6w = 4 =0 2x − 2 y z + 3w = 2 0=0 0=0

   

x dhe z janë termat kryesor, ndërsa y dhe w janë terma të lirë. Bashkësia e zgjidhjeve të sistemit është {( y , y , 2 − 3w , w ) e tillë që y , w ∈ R}. Kështu, (1,1,2,0) është një zgjidhje e sistemit, e cila përftohet duke marrë y = 1 dhe w = 0. Katërshja e radhitur (1,0,5,4) nuk është një zgjidhje e sistemit sepse koordinata e parë nuk është e barabartë me të dytën. Termat e lirë që përdoren për të përshkruar një familje zgjidhjesh të një sistemi linear do ti quajmë parametër dhe themi se bashkësia e mësipërme parametrizohet nga y dhe w . (Fjalët ‘parametër’ dhe

’term i lirë’ nuk kanë të njëjtin kuptim. Në shembullin e mësipërm, y dhe w janë terma të lirë sepse në formën row-eçelon të sistemit, ato nuk udhëheqin në ndonjë rresht. Ata janë parametra sepse përdoren në përshkrimin e bashkësisë së zgjidhjes. Ne mund të parametrizonim me y dhe z duke e rishkruar ekuacionin e dytë si w = 2/3 − (1/3)z . Në këtë rast, termat e lirë janë përsëri y dhe w , por parametrat janë y dhe z . Vini re se ne nuk mund të paramentrizojmë me x dhe y , fakt ky që tregon se ndonjëherë ka kufizim në zgjedhjen e parametrave. Termat ’parametër’ dhe ’term i lirë’ kanë lidhje me njëri-tjetrin sepse bashk sïa e zgjidhjeve të një sistemi parametrizohet gjithmon nga termat e lirë.

38

T. Shaska

Shembull 1.19. Ky është shembulli i një tjetër sistemi që ka një pafundësi zgjidhjesh.

=1 x + 2 y + z = 2 2x 3x + 2 y + z − w = 4

 

−2ρ1 +ρ2 −→ −3ρ1 +ρ3 −ρ2 +ρ3

−→

x

=1 2 y =0 4 y + z 4 y + z − w = 1

 +  −−  +  − x

2 y 4 y + z

=1 =0 −w = 1

Ndryshorët udhëheqës (kryesor) janë x, y dhe w. Ndërsa ndryshori z është i lirë. (Vini re se edhe pse sistemi ka një pafundësi zgjidhjesh, vlera e një ndryshori është e fiksuar— w = −1.) Shkruajmë w në varësu të z-it si w = −1 + 0z. Prej nga y = (1/4)z. Për të shprehur x në varësi të z, zvendësojmë y-in në ekuacionin e parë dhe marrim x = 1 − (1/2)z. Kështu që bashkësia e zgjidhjeve është {(1 − (1/2)z ,(1/4)z , z , −1) e tillë që z ∈ R}. Përkufizim 1.11. Një m n matricë është një koleksion numrash, të vendosur në m rreshta dhe n kollona . Çdo numër i matricës quhet element i saj

×

Zakonisht matricatshënohen me shkronja të mëdha, përshembull. A. Çdoelementë shënohet me shkronja të vogla, për shembull, a i , j është numri që ndodhet në rreshtin i dhe në kolonën j . Për më tepër, matrica 1 2.2 5 A = 3 4 −7





ka dy rreshta dhe tre kolona, pra është një matricë 2 × 3. (Lexohet “dy me tre”, pra numri i rreshtave thuhet gjithmon i pari.) Elementi i parë në rreshtin e dytë dhe në kolonën e parë është a 2,1 = 3. Vini re se = a 2,1 pasi a 1,2 = 2.2. ka rëndësi vendosja e treguesëve: a 1,2  Matricat do të na shoqërojnë kudo në këtë libër. Bashkësinë e matricaven ×m do ta shënojmë M n× m . Shembull 1.20. Sistemit linear të mëposhtëm

 

i shoqërojmë matricën.

x 1 + 2x 2 =4 x 2 − x 3 = 0 x 1 + 2x 3 = 4 1 2 0 1 1 0

 

0 4 −1 0 2 4

 

Vija vertikale duhet t’i kujtojë lexuesit ndarjen e koeficient ¨ ve të sistemit nga e majta me konstantet nga e djathta. Kur një vijë e tillë përdoret për ta ndarë matricën në dy pjesë, ne e quajmë matricën që përftohet matricë të augmentuar . Me këtë shënim, metoda e Gausit mund të shkruhet si: 1 2 0 1 1 0

 

0 4 −ρ1 +ρ3 1 −1 0 −→ 0 2 4 0

 

 

2 1 −2

0 4 −1 0 2 0

1 2 0 1 0 0

 +  −→  2ρ2 ρ3

0 4 −1 0 0 0

 

Rreshti i dytë na jep y − z = 0, ndërsa në rrestin e parë kemi x + 2 y = 4, prej nga bashkësia e zgjidhjeve është {(4 − 2z , z , z ) e tillë që z ∈ R}.


39

Ne do ta përdorim gjithashtu këtë mënyrë të shkruari me rreshta për të qartësuar përshkrimin e bashkësisë së zgjidhjevetë sistemit linear. Përshkrimi i tipit{(2 − 2z + 2w , −1 + z − w , z , w ) e tillë që z , w ∈ R} në 1.17 lexohet me vështirësi. Rishkruajmë bashkësinë duke grupuar gjithë konstantet bashkë, të gjithë koeficientët para z -it bashkë dhe gjithë koeficientët para w bashkë, duke i shkruar si shumë e maticave kolonë, si mëposhtë: −2 2 2 −1 + 1 · z + −1 · w e tillë që z , w ∈ R} { 0 1 0 0 0 1

 

 

 

 

 

 

Për më tepër rreshti i parë tregon se x = 2 − 2z + 2w . Në seksionin e ardhshëm jepet një interpretim gjeometrik, i cili do të na ndihmoj ne përtë ndërtuar figurat e bashkësive të zgjidhjeve të sistemeve linear. Përkufizim 1.12. Një vektor (ose një vektor shtyllë) është një matricë që ka një shtyllë të vetme. Një matricë që ka një rresht të vetëm quhet vektor rresht. Elementët e vektorëve quhen komponentë të tij

ose koordinata. ¨ Vektorët bëjnë një përjashtim nga mënyra e të shktuarit të matricave me shkronja të mdha. Njëvektor do e shkruajmë me gërma të vogla latine ose greke, të shoqëruar me një shigjetë sipër:  a , b , ... ose α, β, ... (gjithashtu përdoren edhe gërmat e vogla, të theksuara me ngjyrë të zezë: a ose α). Më poshtë jepet shembulli i një vektori shtyllë që e ka komponentin (koordinatën) e tretë 7 .

 v

Përkufizim 1.13. Ekuacioni linear a 1 x 1 a 2 x 2

+

hje) nga

1 3 7

 = 

+···+ a n x n = d me ndryshorë x 1 ,.. . , x n kënaqet (ka zgjid s

s 1 .. .

 =   s n

në qoftë se a 1 s 1 + a 2 s 2 +···+ a n s n = d . Një vektor kënaq një sistem linear nëse ai kënaq çdo ekuacion të sistemit. Mënyra e re e përshkrimit të bashkësive të zgidhjeve konsiston në mbledhje vektorësh dhe shumëzimin e tyre me numra realë. Kështu që duhet ti përkufizojmë këto veprime. Përkufizim 1.14. Shuma e dy vetorëve  u dhe  v jepet:

 u  v

+

u 1 .. .

v 1 .. .

u 1 + v 1 .. .

u n

v n

u n + v n

  =   +   = 

 

Në përgjithësi,dy matrica që kanë numër të njëjtë rreshtash dhekollonash mblidhen në të njëjtën mënyrë. Pra mblidhen elementet në pozicionet respektive të tyre.

40

T. Shaska

Përkufizim 1.15. Shumëzimi me një skalar realë r i një vektori  v jepet:

v 1 .. .

r v 1 .. .

v n

r v n

  = ·   =  

r ·  v r

Kështu, shumëzimi i një matrice me një skalar realë bëhet duke shumëzuar çdo element të saj me po të njëjtin skalar. Shumëzimi me skalar mund të shkruhet si: r ·  v ose  v · r ose thjeshtë: r  v . (Shumëzimi me skalar nuk duhet ngat¨ruar me ’produktin skalar’ sepse këto emra iu përkasin dy veprimeve të ndryshme.) Shembull 1.21.

2 3 1

3 1 4

2 3 3 1 1+4

5 2 5

   +    + −  =  −  =  

7

1 4 1 −3

7 28 7 −21

      · −  =  − 

Sipas shënimeve të mësipëme, ne do të zgjidhim sisteme ekuacionesh linear gjatë gjithë pjesës tjetër të këtij libri. Shembull 1.22. Sistemi

− w = 4 2x + y + w + u = 4 y − z + 2w = 0 x

   

reduktohet në këtë mënyrë: 2 1 0 1 1 0

 

0 0 −1

−1 1 2

0 4 1 4 0 0

−(1/2)ρ1 +ρ3

−→

(1/2)ρ2 +ρ3

−→

2 0 0

   

1 1 −1/2

2 1 0 1 0 0

0 0 −1

0 −1 0 0 1 1 −1 5/2 0

−1 1 3

0 4 1 4 1/2 0

4 4 −2

 

 

Bashkësia e zgjidhjeve është {(w + (1/2)u , 4 − w − u , 3w + (1/2)u , w , u ) e tillë që w , u ∈ ℜ}, të cilën e shkruajmë sipas vektorëve në trajtën: x y { z w u

  

0 4 0 0 0

1 1/2 −1 1 3 w + 1/2 u e tillë që w , u ∈ ℜ} 1 0 0 1

     =   + −      

  

  

Vini re se si komponetët e vektorëve përcaktojnë koeficientët e secilit parametër. Për më tepër, rreshti i tretë i bashkësisë së zgjidhjeve, i shkruar sipas vektorëve tregon se nëse u mbahet e fiksuar, atëherë z rritet me trefishin e vlerës së w. Kjo formë tregon hapur se sistemi ka një numër të pafundëm zgjidhjesh. Për shembull, fiksojmë u të barabartë me 0, ndërsa w le të marrë vlera reale dhe shqyrtojmë komponentin e parë x. Ne marrim një pafundësi vlerash për të, fakt ky që do të thotë se sistemi ka një pafundësi zgjidhjesh.


41

Një tjetër gjë që duket qartë është se nëse i bëjmë njëkohësisht w dhe u zero, atëherë kemi x y z w u

  

0 4 0 0 0

   =     

e cila është një zgjidhje e veçantë e sistemit linear. Shembull 1.23. Në të njëjtën mënyrë, sistemi

x − y + z = 1 + z = 3 3x 5x − 2 y + 3z = 5

 

reduktohet si: 1 3 5

 

−1

1 1 −3ρ1 +ρ2 1 0 1 3 −→ 0 −2 3 5 −5ρ1 +ρ3 0

 

 

−1 3 3

i cili ka si bashkësi zgjidhjeje një parametër. 1 { 0 0

1 1 −ρ2 +ρ3 1 −2 0 −→ 0 −2 0 0

 

 

−1 3 0

1 1 −2 0 0 0

 

1/3 2/3 z e tillë që z ∈ ℜ} 1

  −   + 

Para se të kalojmë tekushtrimet, le të përmendimedhe një herë se çfarëna ka ngelurende pa shyrtuar në këtë seksion. Dy seksionet e para dhanë mekanizmin e metodës së Gausit. Përveç rezultatit të teormës 1.4 — pa të cilën nuk ka kuptim shpjegimi i kësaj metode, ne nuk kemi marrë në konsideratë disa pyetje interesante që mund të lindin. Përshembull, a mund ta përshkruajmë bashkësitë e zgjidhjeve si mësipër? Në bashkësitë e zgjidhjeve që ne kemi pëshkruar me anë të parametrave të pakufizuar dukej lehtë prania e një numri të pafundëm zgjidhjesh, kështu që përgjigja e kësaj pyetjeje duhet të na thotë diçka mbi përmasat e tyre. Një përgjigje e kësaj pyetjeje gjithashtu mund të na ndihmoj për të vizatuar bashkësitë zgjidhjeve në ℜ2 ose në ℜ3 , etj. Shumë pyetje lindin nga mënyra e përdorimit të metodës së Gausit në zgjidhjen e sistemeve linear. Teorema 1.4 thotë se marrim të njëjtën bashkësi zgjidhjeje edhe nëse zbatojmë metodën e Gausit në dy mënyra të ndryshme. Por në këtë rast a marrim të njëjtin numër variablash në të dy veprimet? Pra, secili prej bashkësive të zgjidhjes a ka të njëjtin numër parametrash? A duhet të jenë ata të njëjtët ndryshor (për shembull, a është e mundur të zgjidhësh një problem, në cilën një herë ke y dhe w te lirë dhe një herë të kesh y dhe z të tillë?) Përgjigjen e të gjitha këtyre pyetjeve do ta japim në vazhdim të këtij kapitulli dhe përgjigja për secilën është ’po’. Ushtrime:

42

T. Shaska

42. Gjej formën e reduktuar row-eçelon të A -së

 =

A

1 2 3

2 0 2

3 1 2

 

dhe zgjidh sistemin linear A x = 0. 43. Gjej formën e reduktuar row-eçelon të A -së

 =

A

0 0 4

1 3 5

-3 0 -2

-5 1 10

 

0 1 1 2

0 1 3 5

0 -3 0 -2

0 -3 0 1

 

dhe zgjidh sistemin linear A x = 0. 44. Gjej formën e reduktuar row-eçelon të A

  =

A

dhe zgjidh sistemin linear A x = 0. 45. Zgjidh sistemin e mëposhtëm me metodën e Gauss-Xhordan

 

x 1 + 2x 2 − x 3 = 1 x 1 + x 2 + 2x 3 = 3 2x 1 − x 2 + x 3 = −2

46. Zgjidh sistemin e mëposhtëm me metodën e Gausit

5x 1 3x 2 − x 3 = −2 2x 1 2x 2 + 2x 3 = 3 x 1 x 2 + x 3 = 6

 +  − +−

47. Zgjidh sistemin e mëposhtëm me metodën e Gauss-Xhordan

11x 1 12x 2 − 3x 3 = 2 x 1 3x 2 + 2x 3 = 3 2x 1 3x 2 + x 3 = −2

 +  − ++

48. Vërteto se forma e reduktuar row-eçelon e një matrice është e vetme.

1.6. MATRICAT E ANASJELLTA 49. Le të jetë A x

43

= 0 një sistem homogjen i cili nuk ka zgjidhje jotriviale. Cila është forma e reduktuar

row-eçelon e A -së ?

50. Gjej a , b, dhe c të tilla që parabola

y = ax 2 + bx + c

të kalojë nga pikat (1,2),(-1,1), dhe (2,3). 51. Gjej a , b , c dhe d të tilla që polinomi i gradës së katërt

y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + d të kalojë nga pikat (3,2), (-1,6), (-2,1), dhe (0,0). Ushtrime programimi: 2. Shkruaj një program kompjuteri, i cili të zgjidh një sistem linear ekuacionesh me anë të metodës së

Gausit dhe metodës Gauss-Xhordan. Testo programin për sisteme shumë të mëdha dhe krahaso kohën për të dy metodat.

1.6 Matricat e anasjellta Në këtë seksion do të studiojmë konceptin e rëndësishëm të matricave të anasjellta. Përkufizim 1.16. Le të jetë A [a i , j ] një matricë katrore n n . A quhet e invertueshme në qoftë se është

=

një matricë n × n A −1 e tillë që

×

AA −1 = A −1 A = In .

A −1 quhet e anasjellta e A-së dhe A quhet e invertueshme. Në qoftë se A nuk është e invertueshme atëherë quhet singulare. Teorema 1.6 (Uniciteti i të anasjelltës). Le tëjetë A një matricë e invertueshme . Atëherë e anasjellta e A -së

është e vetme. Vërtetim: Supozojmë se A ka dy matrica të anasjellta C dhe D. Atëherë,

AC = I = AD dhe CA = I = DA Si rrjedhim kemi D(AC) = DI = D D(AC) = (DA)C = IC = C

Kështu që C = D. Gjithashtu kemi edhe përfundimin e mëposhtëm: Lema 1.6. Le të jenë A , B matrica të invertueshme . Atëherë AB është e invertueshme dhe

(AB)−1 = B−1 A −1 .

(1.7)

44

T. Shaska

Vërtetim: Ushtrim për lexuesin. Përkufizim 1.17. Çdo matricë e cila përfitohet nga matrica identitet In duke bërë një veprim me rreshtat quhet matricë elementare . Teorema 1.7. Le të jetë A një matricë m n dhe E një matricë elementare m m. Atëherë E A vepron me të

×

×

njëjtat veprime me rreshtat në A si dhe veprimet e kryera në In për të përfituar E. Vërtetim: Le të jetë E një matricë elementare e përfituar si

Im

Ri ←→R j

−→

E.

Atëherë matrica e re është R i (E) = (0,...,0,1,0,...0), ku 1 është në pozicionin e j-të. Kështu që elementët e Ri (EA) janë Ri (E) · Cr (A), for r = 1,... n dhe Ri (EA) = R j (A). Në të njëjtën mënyrë, R j (EA) = Ri (A). Rasti kur E përfitohet nga veprimet e tjera me rradhët bëhet në të njëjtën mënyrë dhe është lënë si ushtrim për lexuesin.

1.6.1 Llogaritja e matricave të anasjellta duke përdorur formën row-eçelon Le të jetë A një matricë e dhënë. Duam të gjejmë të anasjelltën e saj A −1 në qoftë se ekziston. Konsiderojmë në fillim matricat elementare. Le të jetë E një matricë elementare e përfituar nga ndërrimi i vendeve të dy rreshtave të matricës I. Në qoftë se u ndërojmë vendet të njëjtave rreshta në E, do të marrim përsëri I. Kështu që EE = I dhe i anasjellti i E-së është vet matrica E. Në qoftë se E përfitohet nga shumëzimi i një prej rreshtave me një skalar, atëherë pjestojmë të njëjtin rresht me të njëjtin skalar për të marrë përsëri I. Në qoftë se E përfitohet nga Ri → Ri + r R j atëherë duke bërë veprimet R i → Ri − r R j do të marrim përsëri I-në. Si rrjedhim, kemi pohimin e mëposhtëm: Lema 1.7. Matricat elementare janë të invertueshme Vërtetim: Le të jetë E1 një matricë elemetare. Atëherë E 1 përfitohet duke kryer disa veprime me rresh-

tat në matricën identike I. Kryejmë të njëjtat veprime në E 1 për të përfituar I. Kështu që E 1 ka një të anasjelltë. Shembull 1.24. Le të jetë E e dhënë si më poshtë

E

  = 

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

 

Gjej të anasjelltën e saj. Zgjidhje: E përfitohet duke i ndëruar vendet rreshtave R2

←→ R4 të matricës identitet. Atëherë E është një matricë elementare dhe si rrjedhim e invertueshme. E anasjellta e saj është E meqënëse E2 = I. Lema 1.8. Le tëjenë A dhe B matrica katrore n × n. Atëherë, AB = In atëherë dhe vetëm atëherë kur BA = In .

1.6. MATRICAT E ANASJELLTA

45

Vërtetim: Eshtë e mjaftueshme të tregojmë se në qoftë se AB

= In , atëherë BA = In , e anasjellta vërtetohet nga simetria e A-së dhe B-së. Kështu që, supozojmë se AB = In . Le të jetë b një vektor çfarëdo në Rn . Atëherë ABb = b. Pra, sistemi A x = b ka gjithmonë një zgjidhje ( x = Bb). Nga Teorema 1.5 forma e reduktuar row-eçelon e A-së është I n . Kështu që, ekzistojnë E1 ,...,Ek të tilla që Ek ··· E1 A = In

(1.8)

Duke shumëzuar të dyja anët nga e djathta me B, kemi Ek ··· E1 (AB) = B. Por AB = In , kështu që E k ··· E1 = B. Si rrjedhim, nga ekuacioni (1.8) kemi BA = In . Tani, kthehemi përsëri tek çështja kryesore e këtij kreu, llogaritja e të anasjelltës së një matrice. Në përgjithësi hapat e kryera janë si më poshtë. Le të jetë A = [a i , j ] një matricë e dhënë. Për të gjetur A −1 kemi algoritmin e mëposhtëm: Algorithm 2. Input: Një matricë katrore A. Output: Përcakton nëse A −1 ekziston, në qoftë se po gjen A −1 . 1) Formo matricën e augmentuar [A | I] 2) Përdor metodën e Gauss-Xhordan për të reduktuar [A | I] në [I | C]. Në qoftë se kjo është e mundur atëherë C = A −1 , në të kundërt A −1 nuk ekziston. Shembull 1.25. Gjej të anasjelltën e matricës së mëposhtme

  = 

A

-1 0 0 0

1 2 1 -1

0 1 -2 -1

2 0 1 0

 

Zgjidhje: Formo matricën [A I]. Atëherë forma e saj e reduktuar row-eçelon është:

|

[I | C] Kështu që,

  = 

1 0 0 0

0 1 0 0

A −1 = C

0 0 1 0

  =

0 0 0 1 -1 0 0 0

-1 0 0 0 -5 1 -1 -3

-5 1 -1 -3 2 0 0 1

2 0 0 1 -9 1 -2 -5

Shembull 1.26. Le të jetë A një matricë e dhënë

  = 

A

1 1 -1 0

0 1 1 0

0 1 1 -1

-1 0 0 -1

 

 

-9 1 -2 -5

 

46

T. Shaska

Gjej të anasjelltën e saj. Zgjidhje: Krijo [A I] si më poshtë

|

[A | I]

  =

1 1 -1 0

0 1 1 0

0 1 1 -1

-1 0 0 -1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

 

Forma e saj e reduktuar row-eçelon është

[I | A −1 ]

  = 

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 21 -1 1 1 - 21 1 -1 2

- 21 0 1 2 - 21

0 1 -1 0

 

Vërejtje. Më sipër treguam se si të gjejmë të anasjelltën e një matrice. Gjithësesi e anasjellta e një matrice në disa raste mund të mos ekzistojë. Në kapitullin në vazhdim do studiojmë disa kushte të mjaftueshme dhe të nevojshme që e anasjellta i një matrice të ekzistojë. Ushtrime:

52. a) Le të jetë A një matricë katrore e tillë që A 2

= 0. Gjej të anasjelltin e I − A . + 2A + I = 0. Gjej të anasjelltën e A . c) Le të jetë A një matricë katrore e tillë që A 3 − A + I = 0. Gjej të anasjelltën e A . d) Le të jetë A një matricë katrore e tillë që A n = 0. Gjej të anasjelltën e I − A . b) Le të jetë A një matricë katrore e tillë që A 2

53. Gjej të anasjelltën e

=

1 0

a 1



=

a c

b d



A A ka A të anasjelltë për çdo vlerë të a-së? 54. Për cilat vlera të a , b , c , d e anasjellta e

A

ekziston? Gjej të anasjelltën për këto vlera të a ,b , c , d. 55. Zgjidh sistemin linear

A x = b në qoftë se A është e invertueshme .


47

= tr (BAB−1 ).

56. Vërteto se në qoftë se B është e invertueshme, atëherë tr (A) 57. Le të jetë

 =

A

1 0 2

2 3 0

-1 1 1

 

Nëse është e mundur, gjej një maticë B të tillë që AB = 2I. 58. Gjej të anasjelltën e matricës së mëposhtme

5 3 3 2

  = 

A

2 2 1 4

0 1 -2 -1

2 0 4 2

.

 

59. Le të jenë

 =

A

1 -2 3

2 1 2

3 2 , 1

 

B

 =

3 2 0

dy matrica të dhëna. Gjej: tr (A), t r (B), A t , AB, Bt A t , t r (BAB−1 ).

0 0 2

1 2 1

 

,

60. Vërteto se në qoftë se A është e invertueshme atëhere edhe A t është e invertueshme. 61. Le të jetë r një numër i plotë pozitiv dhe A një matricë e invertueshme. A është A r domozdoshmërisht

e invertueshme ? Justifiko përgjigjen e dhënë.

Ushtrime përsëritje 62. Gjej formën e reduktuar row-eçelon të matricës. Trego të gjitha veprimet me rradhët.

 

4 -2 3

2 1 -1

3 1 2

3 2 1

 

63. Gjej këndin ndërmjet vektorëve u (1,2,3) dhe v (5,1,8).

=

=

64. Përcakto të gjitha vlerat e b 1 ,b 2 të tilla që sistemi i mëposhtëm të mos ketë asnjë zgjidhje

x 1 2x 2 x 3 b 1 2x 1 4x 2 2x 3 = b 2 x 1 x 2 x 3 2

 + − =  − − −+ +=

48

T. Shaska

65. Gjej sipërfaqen e trekëndëshit ndërmjet tre pikave (1,2),(3,4),(5,6).

66. Le të jenë dhënë matricat

3 -2 0

 =

A

2 1 1

3 2 , 1

 

B

 =

2 2 0

-2 0 2

1 2 2

 

,

Gjej: t r (A), t r (B), A t , AB, Bt A t , t r (BAB−1 ). 67. Vërteto se në qoftë se AB është e invertueshme, atëherë po kështu janë edhe A dhe B.

68. Një matricë katrore quhet matricë trekëndëshe e sipërme në qoftë se të gjithë elementët nën diago-

nalen kryesore janë zero. Sa është shuma dhe produkti i matricave matricë trekëndëshe të sipërme? Justi fiko përgjigjen e dhënë. 69. Një matricë katrore quhet matricë trekëndëshe e poshtme në qoftë se të gjitha elementët mbi diag-

onalen kryesore janë zero. Sa është shuma dhe produkti i matricave trekëndëshe të poshtme? Le të jetë V := Mat n ×n (R) bashkësia e të gjitha matricave n × n në R, W 1 bashkësia e matricave matricë trekëndëshe e sipërme të V -së, dhe W 2 bashkësia e të gjitha matricave trekëndëshe të poshtme të V -së. Çfarë është prerja e W 1 ∩ W 2 ? 70. Le të jetë A një matricë 3 me 2. Vërteto se ekziston një vektor b i tillë që sistemi linear

A x = b është i pazgjidhshëm. 71. Le të jetë A një matricë m n me m n. Vërteto se ekziston një b, e tillë që sistemi linear A x b është i

×

pazgjidhshëm.

>

=

72. Le të jetë A një matricë m n dhe B një matricë n m, ku m n. Përdor rezultatin e mësipërm për të

×

×

>

vërtetuar se forma row-eçelon e matricës AB ka të paktën një rresht me të gjitha elementët zero. 73. Gjej të gjitha matricat B të tilla që

i)

 

ii)

0 0

1 2

0 0

1 2

B

0 0

0 0

B

0 0

0 0

 =  =

 1 2




49

74. Gjej të gjitha matricat të cilat janë ndërrimtare me

 75. Vërteto se në qoftë se AB

0 0

1 2



= BA atëherë A t Bt = Bt A t .

76. Le të jetë V bashkësia e të gjitha matricave m n me elementë në R. Vërteto se matricat skalare janë

×

ndërrimtare me të gjitha matricat nga V . A ka matrica të tjera, të cilat janë ndërrimtare me të gjitha matricat e V -së? 77. Le të jenë a, b, c , d numra realë jo të gjithë zero. Vërteto se sistemi i mëposhtëm ka vetëm një zgjidhje

  

ax 1 + bx 2 + cx 3 + d x 4 = 0 bx 1 − ax 2 + d x 3 − cx 4 = 0 cx 1 − d x 2 − ax 3 + bx 4 = 0 d x 1 + cx 2 − bx 3 − ax 4 = 0

78. Për çfarë vlere λ ka zgjidhje sistemi i mëposhtëm:

 

2x 1 − x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 + 2x 2 − x 3 + 4x 4 = 2 x 1 + 7x 2 − 4x 3 + 11x 4 = λ

79. Sistemi i mëposhtëm ka një zgjidhje të vetme:

 

= 0. Gjej zgjidhjen e sistemit. Vërteto se abc  80. Gjej:

 81. Le të jetë

1 0

1 1

n

a y + bx = c cx + az = b bz + c y = a .

  ,

1 1

0 1

n

  = 

A

a c

,

1 1

1 1



n

b , a

e tillë që A 2 = I. Vërteto se relacioni i mëposhtëm është i vërtetë kur zëvendësojmë x me A : x 2 − (a + d )x + (ad − bc ) = 0.

50

T. Shaska

82. Le të jetë A një matricë 3 me 3. A mund të përgjithësoni problemin e mësipërm për këtë rast? Po në

rastin kur A është një matricë n × n? 83. Gjej rendin e matricave të mëposhtme



1 1

-1 , 0



1 0

-1 1

 ,

-1 0

1 1

 ,

1 -1

-1 0



Ushtrime programimi: 3. Shkruaj një program kompjuteri i cili llogarit fuqinë A m të një matrice A (n n). Ekzekutoni programin

për disa matrica dhe kontrollo nëse programi është eficient.

×

Kapitulli 2

Hapësirat vektoriale Në këtë kapitull do përkufizojmë formalisht hapësirat vektoriale. Pasi diskutuam në kapitullin e mëparshëm hapësirat Euklidiane, koncepti i hapësirësvektoriale në këtë kapitull do të jetë më intuitiv. Gjatë këtij kapitulli me k do të shënojmë një fushë. Për qëllimin tonë k është një nga bashkësitë që vijojnë Q, R, C. Për më tepër detaje mbi fushat shih në Apendiks.

2.1 Përkufizimi i hapësirave vektoriale Le të jetë S një bashkësi dhe f : S × S → S (a , b ) → f (a , b )

(2.1)

një funksion. Një funksion të tillë do ta quajmë veprim binar të përkufizuar në S. Shembull 2.1. Le të jetë Z një bashkësi numrash të plotë dhe "+"i përkufizuar si

"+" : Z×Z → Z (a , b ) → a + b

(2.2)

Atëherë, "+"është një veprim binar i përkufizuar në Z. Le të jetë V një bashkësi e dhënë dhe  + veprim binar i përkufizuar si më poshtë " + " : V × V → V (u, v ) → u + v

(2.3)

" ∗ " : k × V → V (r , u) → r ∗ u

(2.4)

Le të jetë ∗ një tjetër veprim binar

51

52

T. Shaska

Përkufizim 2.1. (V, , ) është një hapësirë vektoriale mbi k në qoftë se plotëson vetitë e mëposhtme:

+∗

1) (u + v ) + w = u + (v + w ),

∀ u , v , w ∈ V

2) u + v = v + u , ∀ u , v ∈ V 3) ∃ 0 ∈ V, s .t . 0 + u = u + 0 = u ,

∀ u ∈ V

4) ∀ u ∈ V, ekziston − u ∈ V e tillë që u − u = 0 5) ∀ r ∈ k , u , v ∈ V, r ∗ (u + v ) = r ∗ u + r ∗ v 6) ∀ r , s ∈ k , u ∈ V, (r + s ) ∗ u = r ∗ u + s ∗ u 7) ∀ r , s ∈ k , u ∈ V, (r s ) ∗ u = r ∗ (s ∗ u ) 8) ∃ 1 ∈ k , s .t . ∀ u ∈ V, 1 ∗ u = u Vetitë 1) dhe 2) tregojnë se mbledhja ka vetinë e shoqërimit dhe të ndërrimit. Nga vetia 3) kemi vetinë e identitetit të mbledhjes dhe nga vetia 8) vetinë e identitetit të shumëzimit. Vetia 4) tregon vetinë e të anasjelltit të shumës që zakonisht e quajmë i kundërti. Elementët r , s k quhen skalarë. Që këtej e

∈

tutje ne nuk do të përdorim më  ∗ .

Elementët e hapësirës vektoriale quhen vektorë. Që këtej e tutje V/k do quajmë një hapësirë vektoriale mbi një fushë k . Shpesh mund të përdorim thjesht simbolin V. Në vazhdim do të japim disa shembuj klasikë hapësirash vektoriale. Shembull 2.2. (Hapësirat Euklideane R n ) Vërteto se R n është një hapësirë vektoriale me mbledhjen e

zakontë të vektorëve dhe shumëzimin skalar. Cili është identiteti i mbledhjes dhe shumëzimit? Shembull 2.3. (Hapësira e polinomeve me koeficientë në k ) Shënojmë me k [x ] bashkësinë e polinomeve

f (x ) = a n x n + a n −1 x n −1 +···+ a 1 x + a 0 ku a 0 ,..., a n ∈ k. Pëcaktojmë shumën dhe prodhimin skalar të dy polinomeve me ( f + g )(x ) := f (x ) + g (x ) (r f )(x ) := r f (x )

(2.5)

për çdo r ∈ k. Atëherë, k [x ] është një hapësirë vektoriale mbi k. k [x ] e quajmë gjithashtu edhe unaza polinomiale të polinomeve me një ndryshor. Shiko Kapitullin 4 për më shumë detaje. Shembull 2.4. (Hapësira e matricave n n ) Bashkësia e matricave n n me elementë nga fusha k, së

×

×

bashku me matricën shumë dhe shumëzimin skalar formojnë një hapësirë vektoriale. E shënojmë këtë hapësirë me Mat n ×n (k ). Shembull 2.5. (Hapësira e funksioneve nga R në R) Le të jetë L (R) bashkësia e të gjithë funksioneve

f : R −→ R

2.1. PËRKUFIZIMI I HAPËSIRAVE VEKTORIALE

53

Shënojmë shumën dhe prodhimin skalar të dy funksioneve me ( f + g )(x ) := f (x ) + g (x ) (r f )(x ) := r f (x )

(2.6)

për çdo dy r ∈ R. Vërteto se L (R) është një hapësirë vektoriale mbi R. Përgjithësojmë shembullin e mësipërm si më poshtë: Shembull 2.6. (Hapësirat e funksioneve) Le të jetë S një bashkësi dhe k një fushë. Një funksion quhet k -vlerë në qoftë se

f : S −→ k

Le të jetë V bashkësia e të gjithë funksioneve k -valued. Shënojmë shumën dhe prodhimin skalar të dy funksioneve në V si më poshtë ( f + g )(x ) := f (x ) + g (x ) (r f )(x ) := r f (x )

(2.7)

për çdo r ∈ k. Atëherë V është një hapësirë vektoriale mbi k. Përkufizim 2.2. Një nënbashkësi W V quhet nënhapësirë e V-së në qoftë se vetë nënbashkësia W

⊂

është një hapësirë vektoriale.

Shembull 2.7. Le të jetë V R3 . Atëherë çdo v V është një treshe e renditur

=

∈

v = (x , y , z ). Le të jetë W bashkësia e vektorëve v ∈ V të tillë që, kordinata e fundit e çdo vektori është 0 W = {v = (x , y , 0) | v ∈ V}. Si rrjedhim W do të jetë bashkësia R2 e cila është gjithashtu një hapësirë vektoriale. Kështu që, W është një nënhapësirë e V -së. Një bashkësi S e V-së quhet e mbyllur nën mbledhjen në qoftë se për çdo u , v ∈ S kemi (u + v ) ∈ S. Quhet e mbyllur nën prodhimin skalar në qoftë se për çdo u ∈ S dhe r ∈ k kemi r u ∈ S. Lema 2.1. Cdo nënbashkësi W V është një hapësirë vektoriale atëherë dhe vetëm atëherë kur është e

⊂

mbyllur nën mbledhjen, prodhimin skalar dhe përmban 0. Vërtetim: Ushtrim për lexuesin. Shembull 2.8. Le të jetë V R3 dhe P plani i përcaktuar nga vektorët u dhe v të cilët kalojnë nga origjina.

=

Ky plan është hapësirë vektoriale sepse: përmban vektorin zero, shuma e çdo dy vektorëve në P ështëpërsëri në P, dhe çdo vektor në P i shumëzuar me një skalar është përsëri në P. Shembull 2.9. (Hapësira nul e një matrice:) Le të jetë A një matricë e dhënë. Shohim bashkësinë e të

gjithë vektorëve në Rn të cilët kënaqin ekuacionin

A x = 0. Këtë bashkësi e quajmë hapësira nul të A -së dhe është një nënhapësirë e Rn -së. Vërtetimi është i lehtë dhe është lënë si ushtrim.

54

T. Shaska

Përkufizim 2.3. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi k dhe v 1 ,... v n V. Atëherë, v është një kombinim linear i v 1 ,... v n në qoftë se mund të shkruhet si

∈

v = r 1 v 1 +···+ r n v n ku r 1 ,..., r n ∈ k . Kemi lemën e mëposhtme: Lema 2.2. Le të jetë V një hapësirë vektoriale dhe v 1 ,..., v n V . Bashkësia W e të gjitha kombinimeve

∈

lineare të v 1 ,..., v n është një nënhapësirë e V -së. Vërtetim: Ushtrime.

2.1.1 Vektorët linearisht të pavarur Le të jetë V një hapësirë vektoriale dhe u1 ,..., un vektorë në V. Përkufizim 2.4. Vektorët u1 ,..., un quhen linearisht të pavarur në qoftë se

r 1 u1 +···+ r n un = 0 sjell si rrjedhim r 1 =···= r n = 0, në të kundërt, themi se u1 ,..., un janë linearisht të varur. Kështu që, bashkësia e vektorëve u 1 ,..., un janë linearisht të varur në qoftë se njëri prej tyre është i shprehur si kombinim linear i vektorëve të tjerë. Shembull 2.10. Vërteto se u 1

= (2,3,1), u 2 = (1,2,1), dhe u 3 = (1,1,1) janë linearisht të pavarur në R3 .

Zgjidhje: Duhet të gjejmë nëse ekzistojnë r 1 ,r 2 ,r 3 , jo të gjithë zero, të tillë që

r 1 u 1 + r 2 u 2 + r 3 u 3 = 0. Kemi (2r 1 + r 2 + r 3 ,3r 1 + 2r 2 + r 3 ,r 1 + r 2 + r 3 ) = (0,0,0) Matrica e augmentuar dhe forma e saj e reduktuar row-eçelon është [A | 0]

 =

2 3 1

1 2 1

1 1 1

0 0 0

 



 | =

[H ¸]

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

 

Meqënëse çdo rresht ka një pivot, atëherë sistemi ka një zgjidhje të vetme (r 1 ,r 2 , r 3 ) = (0,0,0). Si rrjedhim, u 1 , u 2 , u 3 janë linearisht të pavarur. Shembulli në vazhdim duhet të jetë i njohur për studentët të cilët kanë njohuri mbi ekuacionet diferenciale:

2.1. PËRKUFIZIMI I HAPËSIRAVE VEKTORIALE

55

Shembull 2.11. Le të jetë L (R) hapësira vektoriale e të gjithë funksioneve me vlera reale në t. Vërteto se

çiftet e funksioneve sin t ,cos t janë linearisht të pavarur. Zgjidhje: Le të jetë r 1 ,r 2

∈ R të tillë që

r 1 sint + r 2 cos t = 0,

për çdo t ∈ R. Marrim t = 0, atëherë r 2 = 0. Në qoftë se marrim t = π2 , atëherë r 1 = 0. Kështu që, sin t dhe cost janë linearisht të pavarur. Ushtrime:

1. Le të jenë U,W nënhapësira të V-së. Përcaktojmë shumën e nënhapësirave të U dhe W me U + W := {u + w | u ∈ U, w ∈ W}. Vërteto se U ∩ W dhe U + W janë nënhapësira të V-së. 2. Le të jetë u ∈ V = Rn dhe

W u : = {v ∈ V | u · v = 0}.

Vërteto se W u është një nënhapësirë e V-së. 3. Le të jetë S një bashkësi dhe V një hapësirë vektoriale mbi fushën k . Vërteto se bashkësia e funksioneve f : S → k , nën funksionin e mbledhjes dhe shumëzimit me një konstante është një hapësirë vektoriale. 4. Le të jetë L (R) një hapësirë vektoriale e të gjithë funksioneve me vlera reale në t . Vërteto se ciftet e mëposhtme janë linearisht të pavarur. i) t ,e t ii) sin t , cos2t iii) t e t ,e 2t iv) t ,sin t . 5. Një matricë trekëndëshe e sipërme është një matricë A = [a i , j ] e tillë që a i , j = 0 për të gjitha i < j . Vërteto se hapësira e matricave të sipërme trekëndëshe është një nënhapësirë e Mat n ×n (R). 6. Vërteto se k [x ] është një hapësirë vektoriale mbi fushën k .

56

T. Shaska

7. Le të jetë k një fushë dhe A : = k [x ] një unazë polinomiale. Shënojmë me A n bashkësinë e polinomeve në A të gradës n . A është A n një nënhapësirë e A-së? Justifiko përgjigjen. 8. Le të jetë k një fushë dhe A := k [x ] unaza polinomiale. Shënojmë me Pn bashkësinë e polinomeve në A të gradës ≤ n . A është Pn një nënhapësirë e A-së? Justifiko përgjigjen. 9. Le të jetë Q bashkësia e numrave racional dhe





Q( 2) : {a b 2 a , b Q}.



= +

|

∈

Vërteto se Q( 2) është një hapësirë vektoriale mbi Q me veprimin e zakonshëm të mbledhjes dhe shumëzimit skalar. 10. Dimë se bashkësia e numrave kompleks C është dhënë nga C : {a bi a , b R}



= + |

∈

ku i = −1. A është C një hapësirë vektoriale mbi R me veprimin e zakonshëm të mbledhjes dhe shumëzimit skalar? 11. Le të jetë V bashkësia e matricave 2 × 2 të formës



0 y

x 0



ku x , y janë skalar cfarëdo në R. A është V një hapësirë vektoriale mbi R? 12. A është R një hapësirë vektoriale mbi Q?

2.2 Bazat dhe dimensionet Në këtë seksion do të studiojmë dy koncepte shumë të rëndësishme të teorisë së hapësirave vektoriale, atë të bazave dhe dimensioneve. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi k dhe B := {v 1 ,..., v n } ⊂ V. Shënojmë me W bashkësinë e të gjitha kombinimeve lineare të v 1 ,..., v n në V. Themi se W është e gjeneruar nga v 1 ,..., v n . Përkufizim 2.5. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbik dhe B : {v 1 ,..., v n } V. Atëherë B është bazë

e V-së në qoftë se plotësohen kushtet e mëposhtme: i) V = 〈v 1 ,..., v n 〉 të tillë që v 1 ,..., v n gjeneron V ii) v 1 ,..., v n janë linearisht të pavarur.

=

⊂

2.2. BAZAT DHE DIMENSIONET

57

Shembull 2.12. Le të jetë V R2 . Një bazë e kësaj hapësire vektoriale është

=

B

= {i , j }

ku i = (0,1) dhe j = (1,0). Zgjidhje: Në të vërtetë, ne dimë prej kalkulusit se çdo vektor v

linear i i -së dhe j -së si më poshtë:

∈ R2 mund të shkruhet si një kombinim

v r 1 i r 2 j

= +

për ndonjë numër realë r 1 , r 2 . Kjo quhet baza standard e R2 . Teorema 2.1. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi k dhe B : {v 1 ,..., v n } baza e V -së. Në qoftë se

= x 1 v 1 +···+ x n v n = y 1 v 1 +···+ y n v n ,

atëherë x i = y i , për

i = 1,...,n .

Vërtetim: Nga

x 1 v 1 +···+ x n v n = y 1 v 1 +···+ y n v n marrim (x 1 − y 1 )v 1 +···+ (x n − y n )v n = 0. Meqënëse B := {v 1 ,..., v n } është një bazë e V-së, atëherë v 1 ,..., v n janë linearisht të pavarur. Kështu që x i = y i , for i = 1,...,n . Teorema sjell si rrjedhim përkufizimin e mëposhtëm: Përkufizim 2.6. Le të jetë V një hapësirë vektoriale, B : {v 1 ,..., v n } një bazë e V-së, dhe u V e dhënë

=

nga

∈

u := x 1 v 1 +···+ x n v n . atëherë (x 1 ,..., x n ) quhen kordinatat e u -së në lidhje me B-në. Teorema 2.2. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi fushën k dhe B1 dhe B2 bazat e V -së të tilla që

|B1 | = m dhe |B2 | = n. Atëherë, m = n. Vërtetim: Le të jenë bazat B1 dhe B2 të tilla që B1

= {v 1 ,..., v m }

dhe

B2

= {w 1,..., w n }

dhe supozojmë se m < n . Meqënëse {v 1 ,..., v n } është një bazë, atëherë ekziston x 1 ,..., x n ∈ k të tilla që w 1 = x 1 v 1 +···+ x m v m .

= 0, meqënëse B2 është një bazë, atëherë të paktën një prej x 1 ,..., x m është e ndryshme nga Dimë se w 1  = 0. Atëherë kemi zero. Pa humbur gjeneralitetin, mund të supozojmë se x 1  x 1 v 1 = w 1 − x 2 v 2 −···− x m v m

58

T. Shaska

Kështu që,

x 2 x m 1 w 1 − v 2 −···− v m . x 1 x 1 x 1 Nënhapësira W e gjeneruar nga {w 1 , v 2 ,..., v m } përmban v 1 . Kështu që, W = V. Vazhdojmë këtë procedurë derisa zëvendësojmë të gjitha v 2 ,..., v m me w 2 ,... w m . Kështu që kemi se bashkësia v 1 =

{w 1 ,..., w m } gjeneron V-në. Atëherë për çdo i > m kemi w i -të si një kombinim linear të w 1 ,..., w m . Kjo bie në kontradiktë sepse w 1 ,..., w n janë linearisht të pavarur meqënëse B2 është një bazë. Kështu që, m ≥ n . Duke ndërruar vendet e B1 dhe B2 marrim m = n . Prej nga kemi përkufizimin e mëposhtëm. Përkufizim 2.7. Le të jetë V një hapësirë vektoriale dhe B një bazë e V-së. Atëherë,

dim(V) := |B| quhet dimensioni i V -së. Hapësirat vektoriale me dimension të fundëm quhen hapësirë vektoriale me dimension të fundëm. Në këtë libër do të studiojmë kryesisht hapësirat vektoriale me dimension të fundëm. Le të jetë V një hapësirë vektoriale. Nënhapësira W e V-së me dimension dim(W) = 1 quhet drejtëz dhe nënhapësira me dimension 2 quhet plan. Teorema e mëposhtme është shumë e rëndësishme për të gjetur një bazë. Vërtetimin e saj nuk do ta trajtojmë. Teorema 2.3. Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dim (V)

Atëherë, {v 1 ,..., v n } është bazë për V -në.

= n dhe {v 1 ,..., v n } linearisht të pavarur.

Vërtetim: Ushtrime. Rrjedhim 2.1. Le të jetë V një hapësirë vektoriale dhe W një nënhapësirë e V -së. Në qoftë se dim(W)

dim(V), atëherë W = V . Vërtetim: Marrim një bazë B

=

= {w 1 ,... w n } të W. Kështuqë, w 1,..., w n janë linearisht të pavarur. Atëherë

nga teorema e mësipërme ata gjenerojnë V-në.

Rrjedhim 2.2. Le të jetë V një hapësirë vektoriale dhe W një nënhapësirë e V -së. Atëherë

dim(W) ≤ dim(V). Vërtetim: Ushtrim. Shembull 2.13. Le të jenë u (1,3) dhe v (2,7) vektorë në V R2 . Cfarë është hapësira W

=

=

=

= 〈u , v 〉?

Zgjidhje: Nga shembujt e mësipërm dimë se dim(V)

= 2. Atëherë nga rrjedhimi i mësipërm dim(W) ≤ 2.

Meqënëse u dhe v nuk janë shumëfisha të njëri tjetrit, atëherë ata janë të pavarur. Kështu që, dim(W) = 2. Nga Rrjedhimi 2.1 kemi se W = R2 .


59

2.2.1 Një bazë për Mat n ×n (R)

Shembujt e bazave që kemi parë deri janë nga hapësirat Rn . Gjithsesi, rezultatet e mësipërme janë të vërteta për çdo hapësirë vektoriale. Pra cfarë është një bazë dhe dimensioni i Mat n ×n (R)? Shembull 2.14. Le të jetë V Mat 2×2 (R). Gjej një bazë për V -në dhe dimensionin e tij.

=

Zgjidhje: Së pari vëmë re se çdo matricë

a c

=

A

b d

∈

V

mund të shkruhet si

=

A

a c

b d

=  a

1 0

0 0

+  b

0 0

1 0

c

0 1

0 1

0 , M4 = 0

+ 

0 0

+  d

0 0

0 1

0 0

0 , 1



Kështu që bashkësia B = {M1 ,M2 ,M3 ,M4 } ,ku M1

=

1 0

0 , M2 = 0





0 0

1 , M3 = 0











gjeneron të gjitha elementet e V -së. A janë M1 ,M2 ,M3 ,M4 linearisht të pavarur? Në qoftë se r 1 M1 + r 2 M2 + r 3 M3 + r 4 M4 = 0, tëherë



r 1 r 3

r 2 r 4

=

0 0

0 0



e cila na jep r 1 = r 2 = r 3 = r 4 = 0.

Kështu që, B është një bazë e V -së dhe dim(V) = 4.

Vërejtje. Në përgjithësi, mund të gjejmë një bazë të Mat n ×n (k ) si më sipër dhe të vërtetojmë se dimensioni është n 2 .

2.2.2 Gjetja e bazës e një nënhapësire në k n Le të jenë w 1 ,..., w m vektor në Rn dheW = Span ( w 1 ,..., w m ). Nga Lema 2.2, W është një nënhapësirë e R n -së. Ne duam të gjejmë një bazë për W. Së pari duhet të shohim nëse w 1 ,..., w m janë të pavarur. Kështu që, duhet të gjejmë skalar r 1 ,..., r m ∈ R të tillë që r 1 w 1 +···+ r m w m = 0. Le të jetë w 1 ,..., w m si më poshtë:

= (w 1,1 ,..., w 1,n ) w 2 = (w 2,1 ,..., w 2,n ) w 1

... ... w m = (w m ,1 ,..., w m ,n )

(2.8)

60

T. Shaska

Atëherë r 1 w 1 +···+ r m w m = 0 sjell se

  

Kështu që kemi sistemin

  

w 1,1 r 1 + w 2,1 r 2 +···+ w m ,1 r m = 0 w 1,2 r 1 + w 2,2 r 2 +···+ w m ,2 r m = 0 ........................ w 1,n r 1 + w 2,n r 2 +···+ w m ,n r m = 0

w 1,1 w 2,1 ... w 1,2 w 2,2 ... .. . ...... w 1,n w 2,n ...

     ·   =                 =   ·    

w m ,1 w m ,2 ... w m ,n

i cili mund të shkruhet si

r 1 r 2 r 3

0 0 0

r m

0

r 1 r 2 r 3

[ w 1 | w 2 |···| w m ]

r m

   

.

0 0 0

.

0

Për të zgjidhur këtë sistem gjejmë formën row-eçelon të matricës A = [ w 1 | w 2 | . .. | w m ].

Në qoftë se forma row-eçelon ka nga një pivot në secilën kolonë, atëherë w 1 ,..., w m janë linearisht të pavarur, në të kundërt janë linearisht të varur. Vektorët të cilët formojnë bazë në këtë rast janë të njëjtët vektorë korespondues me kolonat me pivot. Pra kemi algoritmin e mëposhtëm: Algorithm 3. Input: Një nënhapësirë W e gjeneruar nga w 1 ,..., w m në k n . Output: Një bazë e W-së i) Nga matrica A = [w 1 | w 2 | . .. | w m ] ii) Gjej formën row-eçelon të A -së iii) Kolonat me pivot vijnë prej w i -ve, të cilat formon një bazë për W . Shembull 2.15. Le të jetë W Span (w 1 , w 2 , w 3 , w 4 )

=

⊂ R4 të tilla që

= (1,2,3,1) w 2 = (−1,3,1,5) w 3 = (2,4,2,6) w 4 = (3,3,1,5) w 1

(2.9)


61

Gjej një bazë për W . Zgjidhje: Formojmë matricën A [w 1 ,..., w n ].

=

  =

A

1 2 3 1

-1 3 1 5

2 4 2 6

3 3 1 5

 

Forma e reduktuar row-eçelon e A -së është

 

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

− 25 − 35

7 5

0

Kështu që, baza e W -së është B = {w 1 , w 2 , w 3 }. Teorema 2.4. dim(Rn )

 

= n

Vërtetim: Marrim bashkësinë B

= {(1,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,...,1)}

e vektorëve elementar. Eshtë e qartë se kjo bashkësi gjeneron R n meqënëse çdo vektor në R n mund të shkruhet si një kombinim linear elementësh në B. Krijojmë matricën A = [ w 1 ,..., w n ]. Atëherë A = I, pra është në formën e reduktuar row-eçelon. Meqënëse çdo kolonë ka një pivot, atëherë elementët e B-së janë linearisht të pavarur. Baza B quhet baza standarte e Rn . Shembull 2.16. Le të jetë P4 hapësira vektoriale e polinomeve me koeficientë realë dhe gradë 4. Përcakto

≤

nëse { f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 } të dhëna si më poshtë f 1 = 2x 4 − x 3 + 2x 2 − 1 f 2 = x 4 − x

f 3 = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 f 4 = x 2 − 1 f 5 = x − 1 formojnë një bazë për P4 . Zgjidhje: Marrim bazën B

= {x 4 , x 3, x 2, x , 1} për P4 . Lexuesi duhet të verifikojë se kjo është një bazë për P4 .

Atëherë kordinatat e f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 në lidhje me bazën B janë

f 1 = (2, −1,2,0, −1) f 2 = (1,0,0, −1,0) f 3 = (1,1,1,1,1) f 4 = (0,0,1,0, −1) f 5 = (0,0,0,1, −1)

62

T. Shaska

Ne mund të përcaktojmë nëse polinomët janë të pavarur duke përcaktuar së pari nëse kordinatat e vektorëve korespondues në R5 janë të pavarur. Matrica koresponduese është

  

2 -1 2 0 -1

1 0 0 -1 0

1 1 1 1 1

0 0 1 0 -1

0 0 0 1 -1

  

dhe forma e saj e reduktuar row-eçelon është matrica identike I5 . Meqënëse çdo kolonë ka një pivot atëherë vektorët janë të pavarur në R5 dhesi rrjedhim f 1 ,... f 5 janëtë pavarur në P4 . Dimensionii P4 është dimP4 = 5. Kështu që { f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 } formon një bazë për P4 . Ushtrime:

1. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi k . Në qoftë se një bashkësi vektorësh është linearisht e pavarur në V, provo se bashkësia nuk e përmban vektorin zero. 2. Le të jetë W = Span ( w 1 , w 2 , w 3 ) ⊂ R4 e tillë që

= (1,2,3,1) w 2 = (−1,3,1,5) w 3 = (1,4,0,6) w 1

(2.10)

Gjej një bazë për W. 3. Le të jetë W = Span ( w 1 , w 2 ) ⊂ R6 të tillë që

= (1,2,3,1,9,5) w 2 = (2,4,6,2,18,10) w 1

(2.11)

Gjej një bazë për W. 4. Vërteto se çdo bashkësi B ⊂ Rn , n vektorësh jo-zero të cilët janë dy nga dy pingulë formojnë një bazë për Rn . 5. Le të jetë V = Mat 3×3 (R). Gjej një bazë për V dhe dimensionin e V-së. 6. Le të jetë V = k [x ]. Vërteto se f 1 = x 6 + x 4 dhe janë linearisht të pavarur.

f 2 = x 6 + 3x 4 − x ,

2.3. HAPËSIRA NUL DHE RANGU I NJË MATRICE

63

7. Le të jetë k një fushë dhe V : = k [x ] hapësira vektoriale e polinomeve në x . Shëno me Pn hapësirën e polinomeve në V të gradës ≤ n . Gjej një bazë për Pn . 8. Le të jetë V hapësira vektoriale e funksioneve f : R → R. Le të jetë W nënhapësira e V-së e tillë që W := Span (sin2 x ,cos2 x ). Vërteto se W përmban të gjithë funksionët konstant. 9. Le të jetë V hapësira vektoriale e funksioneve f : R → R. Vërteto se bashkësia {1,sin x , sin2x , ...,sinnx } është një bashkësi e pavarur vektorësh në V. 10. Le të jetë V hapësira vektoriale e funksioneve f : R → R. Gjej një bazë të nënhapësirës W = Span (3 − sinx , 2sin2x − sin3x , 3sin2x − sin4x , sin5x − sin2x }. Udhëzim: Përdor ushtrimin e mëparshëm.

Ushtrime programimi:

1) Shkruaj një program kompjuteri, i cili llogarit një bazë për W = Span ( w 1 ,..., w n ) ⊂ Rn .

2.3 Hapësira nul dhe rangu i një matrice Le të jetë A një matricë m × n mbi k . Marrim në konsideratë të gjitha rreshtat R i të A-së. Këta janë vektorë në k n . Hapësira e gjeneruar nga vektorët-rradhë të A-së quhet hapësira e rradhëve e A -së. Në të njëjtën mënyrë vektorët-kolonë të A-së janë vektorë në k m dhe hapësira e gjeneruar e vektorëve-kolonë quhet hapësira e kolonave e A -së. Si më parë hapësira nul e A-së do të jetë bashkësia e zgjidhjeve të A-së. Teorema 2.5. Le të jetë A një matricë m n. Dimensioni i hapësirës rresht është i njëjtë me dimensionin e

×

hapësirës kolonë. Ky dimension i përbashkët është i barabartë me numrin e pivotëve të formës row-eçelon të A -së. Vërtetim: Përdorim metodën e mësipërme për të gjetur dimensionin për të dy rastet. Ky dimension është

numri i pivotëve. Ky dimension i përbashkët quhet rangu i A -së dhe shënohet me rank (A). Dimension i hapësirës nul quhet nulitet i A-së dhe shënohet me null (A).

64

T. Shaska

Teorema 2.6. Le të jetë A një matricë m n dhe H forma e saj row-eçelon

×

i) rank (A) = numri i pivotëve të H-së ii) null (A)= numri i kolonave pa asnjë pivot Për më tepër, rank (A) + null (A) = n

Vërtetim: Na ka mbetur për të treguar se null (A) është i barabartë me numrin e kolonave pa pivot në

formën row-eçelon. Kjo është e qartë, meqënëse numri i ndryshore të lira për sistemin korespondues linear është i barabartë me numrin e kolonave pa p ivot të A-së në formën row-eçelon . Shembull 2.17. Gjej rangun, nulitetin , një bazë për hapësirën rresht, një bazë për hapësirën kolonë, dhe

një bazë për hapësirën nul të matricës 2 1 1 3 2 2 A 1 1 1 Zgjidhje: Së pari gjejmë formë e reduktuar row-eçelon të A -së.

 =

 =

A Atëherë

Një bazë për hapësirën kolonë është

2 3 1

1 2 1

1 2 1

 

 



H

1 0 0

 =

0 1 0

1 1 0

 

rank (A) = 2 dhe null (A) = 1.

B1

2 3 1

1 2 1

    =     ,

.

Për të gjetur një bazë të hapësirës rresht përdorim rreshtat e H-së të cilët përmbajnë pivot. Pra kemi B2

= {(1,0,1),(0,1,1)}.

Për të gjetur një bazë për hapësirën nul na duhet të zgjidhim sistemin H x = 0 Matrica e augmentuar është: 0 1 0 1 1 0 [H | 0] 0 0 0 Kështu që, x 3 është një ndryshore e lirë dhe x 2 + x 3 = 0 dhe x 1 + x 3 = 0. Zgjidhja është

 =

      =   =   =  

x

Pra, një bazë për hapësirën nul është

1 0 0

-x 3 -x 3 x 3

B3

x 3

-1 -1 1

-1 -1 1

.


65

2.3.1 Gjetja e një baze për hapësirat-rresht, hapësirat-kolonë dhe hapësira nul e një matrice. Na është dhënë një matricë A m × n , duam të gjejmë bazat e hapësirave të shoqëruara të. Kemi algoritmin e mëposhtëm:

Algorithm 4. Input: Një matricë A m × n Output: Një bazë për hapësirën rresht, hapësirën kolonë dhe hapësira nul e A-së i) Gjej formën e reduktuar row-eçelon H të A -së ii) Kolonat e A -së të cilat i korespondojnë kolonave me pivot të H-së, formojnë një bazë për hapësirën kolonë. iii) Rreshtat jozero të H-së formojnë një bazë për hapësirën rresht. iv) Përdor zëvendësimin nga fundi për të zgjidhur H x = 0. Shembull 2.18. Gjej bazat e hapësirave të shoqëruar me A

 =

A

1 1 2

2 1 -1

-1 2 1

3 1 2

1

0

0

3/2

0

1

0

1/2

0

0

1

-1/2

 

Zgjidhje: Forma e reduktuar row-eçelon është

H

   = 

  

Një bazë për hapësirën kolonë është 1 1 2

2 1 -1

-1 2 1

            ,

,

Rangu i A -së është rank (A) = 3 dhe null (A) = 1. Kështu që, ekziston një ndryshore e lirë të cilën e shënojmë me x 4 . Duke zgjidhur H x = 0 kemi

  =  

x

- 23 x 4 - 21 x 4 1 2 x 4

x 4

   = 

x 4

   

-

3 2

-

1 2 1 2

1

   

66

T. Shaska

Një bazë për hapësirën nul është

B

    =   

-

3 2

-

1 2 1 2

1

    

.

Për një bazë të hapësirës rresht marrim tre rreshtat e H-së.

Shembull 2.19. Gjej rangun, nulitetin dhe një baze për hapësirën kolonë, hapësirën rresht dhe hapësirën

nul të një matrice. 4 -2 3

 =

A

2 1 -1

3 1 2

3 2 1

 

Zgjidhje: Forma e reduktuar row-eçelon e A -së është

H

  = 

-

6 23

1

0

0

0

1

0

9 23

0

0

1

25 23

  

Atëherë, rank (A) = 3, null (A) = 1 Për bazën e hapësirës kolonë kemi 4 -2 3

2 1 -1

3 1 2

            ,

,

Për bazën e hapësirës rresht marrim tre rreshtat e A -së, meqënëse secila prej tyre përmban nga një pivot. Pastaj gjejme një bazë për hapësirën nul. Kështu që, duhet të zgjidhim sistemin H x = 0. Zgjidhja është

  =  

x

-

6 23 9 23 25 23

1

   · 

x 4

  =  

- 6 9 25 23

   · 

t ,


67

për disa ndryshore të lira t. Kështu që, një bazë është

B

  =  

- 6 9 25 23

  

Teorema në vazhdim lidh disa nga çështjet e mëparshme të këtij seksioni. Teorema 2.7. Le të jetë A një matricë n n. Pikat e mëposhtme janë ekuivalente: i) A x b ka një zgjidhje të vetme për çdo b Rn .

×

=

∈

ii) A është ekuivalente sipas radhëve me In iii) A ka të anasjelltë iv) Vektorët sipas kolonave të A -së formojnë një bazë për Rn Vërtetim: Ushtrime

Rezultati i mëposhtëm është shumë i përdorshëm në rastet kur duam të gjejmë

të anasjelltin. Rrjedhim 2.3. Le të jetë A një matricë n n. Atëherë A ka të anasjelltë atëherë dhe vëtëm atëherë kur

×

rank (A) = n . Ushtrime:

1. Gjej rangun, njëbazë përhapësirën rresht, njëbazë përhapësirën kolonëdhe njëbazë përhapësiën nul për matricat e mëposhtme.

 

2 1 2

3 1 3

2 0 1

1 1 -1

    ,

2. Le të jetë A një matricë katrore. Vërteto se

1 1 3

1 2 4

1 3 5

    ,

1 4 7

2 5 8

3 6 9

null (A) = null (A t ). 3. Le të jenë A, B matrica të tilla që produkti AB është i përcaktuar. Vërteto se rank (AB) ≤ rank (A). 4. Jep një shembull dy matricash A,B të tilla që rank (AB) < rank (A). 5. Le të jetë A një matricë m × n . Provo se rank (AA t ) = rank (A).

 

68

T. Shaska

6. Le të jenë u dhe v vektorë sipas kolonave linearisht të pavarur në R3 dhe A një matricë 3 × 3 e cila ka të anasjelltë. Provo se vektorët A u dhe A v janë linearisht të pavarur. 7. Përgjithëso problemin e mësipërm në Rn . Le të jenë u1 ,..., un vektorë sipas kolonave linearisht të pavarur në R n dhe A një matricë n × n e cila ka të anasjelltë. Provo se vektorët A u1 ,...,A un janë linearisht të pavarur. 8. Letëjenë u dhe v vektorë sipas kolonave në R3 dhe A një matricë 3×3 e cila ka të anasjelltë. Provo se në qoftë se vektorët A u dhe A v janë linearisht të pavarur atëherë u dhe v janë linearisht të pavarur. 9. Përgjithëso problemin e mësipërm në Rn . Le të jenë u1 ,..., un vektorë sipas kolonave në Rn dhe A një matricë n × n e cila ka të anasjelltë. Provo se në qoftë se vektorët A u1 ,...,A un janë linearisht të pavarur atëherë u1 ,..., un janë linearisht të pavarur. 10. Le të jetë

=

A

cos θ sin θ

− sin θ cos θ



për një kënd θ. Merr çdo vektor u ∈ R2 dhe krahasoje me vektorin A u. Çfarë ndodh gjeometrikisht? 11. Le të jetë A si në ushtrimin e mësipërm dhe {u, v } një bazë në R2 . Vërteto se {A u, A v } është një bazë për R2 . Ndoshta duhet parë hapësira nul e A. Ushrime Programimi:

1) Shkruaj një program kompjuteri i cili llogarit rangun dhe nulitetin e një matrice të dhënë. 2) Shkruaj një program kompiuteri i cili gjen një bazë për hapësirën nul, hapësirën kolonë dhe hapësirën rresht të një matrice të dhënë.

2.4 Shuma, shuma direkte dhe prodhimi direkt Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm dhe U,W nënhapësira të saj. Shënojmë shumën U + W të nënhapësirave U dhe W si më poshtë U + W := {u + w | u ∈ U, w ∈ W} Kjo bashkësi U + W është një nënhapësirë e V-së. Shiko ushtrimin 1 në fund të këtij seksioni. Lema 2.3. Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm dhe U, W nënhapësira e saj. Atëherë

dim(U + W) = dimU + dimW − dim(U ∩ W). Vërtetim: Ushtrim.

2.4. SHUMA, SHUMA DIREKTE DHE PRODHIMI DIREKT

69

2.4.1 Shumat direkte Themi se V është shumë direkte e U-së dhe W-së, e shënuar me V = U ⊕ W, në qoftë se çdo element v në V shprehet në mënyrë të vetme si shumë e v = u + w për ndonjë u ∈ U dhe w ∈ W. Teorema 2.8. Le tëjenë U, W nënhapësira të hapësirës vektoriale V . Në qoftë se V U W dhe U W {0},

= +

atëherë

∩ =

V = U ⊕ W. Vërtetim: Le të jetë v në V dhe v

= u + w për ndonjë u ∈ U dhe w ∈ W.

Për të provuar se V është një shumë direkte na duhet të tregojmë se u dhe w janë të përcaktuar në mënyrë të vetme. Supozojmë se ekzistojnë u  dhe w  të tillë që v = u  + w  . Atëherë, v − v = (u − u  ) + (w − w  ) = 0 Kështu që, u − u  = w  − w . Meqënëse u − u  =∈ U dhe w − w  ∈ W, atëherë (u − u  ) = (w  − w ) ∈ U ∩ W = {0} Pra, u = u  dhe

Kjo plotëson vërtetimin.

w = w  .

Teorema 2.9. Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbi k dhe W një nënhapësirë e

V -së. Atëherë, ekziston një nënhapësirë U ⊂ V e tillë që V = U ⊕ W Vërtetim: Le të jenë dimV n dhe dimU

=

= r , ku r < n . Le të jetë B = {b1 ,..., bn }

një bazë për V. Atëherë mund të zgjedhimr elementë të B-së, të cilët cilët formojnë një bazë për U, psh. b1 ,..., br . Le të jetë W := {br +1 ,..., bn } Eshtë e qartë se V = U + W. Gjithashtu U ∩ W = {0}, në të kundërt b1 ,..., bn nuk janë linearisht të pavarur. Nënhapësira U quhet komplement i W-së në V. Shembull 2.20. Le të jetë V R3 dhe

=

B

baza standarte e saj. Le të jetë

U := 〈i , j 〉

atëherë, nga teorema e mësipërme ku W = 〈k 〉. Kështu që

= {i , j , k }

V := U ⊕ W R3

= 〈i , j 〉⊕〈k 〉

70

T. Shaska

Teorema 2.10. Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbi k, e tillë që V

= U ⊕ W .

Atëherë, di m (V) = di m (U) + di m (W) Vërtetim: Le të jenë B1 dhe B2 baza për U dhe W respektivisht. Themi

= {u1 ,..., ur } B2 = { w 1 ,..., w s } B1

Atëherë çdo element i U-së mund të shkruhet si një kombinim i vetëm linear i u

= x 1 u1 +···+ x r ur

dhe çdo element i W-së mund të shkruhet si një kombinim linear i vetëm i w y 1 w 1

=

+···+ y s w r

Pra, çdo element i V-së mund të shkruhet si një kombinim linear i vetëm i v x 1 u1

=

+···+ x r ur + y 1 w 1 +···+ y s w r

Kjo tregon se bashkësia {u1 ,..., ur , w 1 ,..., w s } formon një bazë për V-në. Themi se

Përkufizimi i shumës direkte mund të përgjithësohet për disa shuma. n

V =



V i = V 1 ⊕···⊕ V n

i =1

në qoftë se çdo element në V mund të shkruhet në mënyrë të vetme si shumë v = v 1 +···+ v n , w ith v i ∈ V i .

2.4.2 Prodhimi direkt Përkufizimi i prodhimit direkt është i bazuar në prodhimin kartezian. Përsëritim disa nga përkufizimet më të rëndësishme të prodhimit kartezian. Le të jenë U dhe W hapësira vektoriale mbi një fushë k . Le të jetë U × W bashkësia e të gjithë çifteve të (u, w ) të tillë që u ∈ U dhe w ∈ W, dmth dhe w ∈ W. Pra, U × W := {(u, w ) | u ∈ U, w ∈ W} Shumën e çdo dy çifteve të renditura (u1 , w 1 ) dhe (u2 , w 2 ) e shënojmë si më poshtë (u1 , w 1 ) + (u2 , w 2 ) = (u1 + u2 , w 1 + w 2 ) Shumëzimin skalar e shënojmë si më poshtë: për çdo r ∈ k , r (u, w ) = (r u,r w ) Ushtrim: Vërteto se U W me këtë shumë dhe prodhim skalar është një hapësirë vektoriale mbi k .

×

2.4. SHUMA, SHUMA DIREKTE DHE PRODHIMI DIREKT

71

Përkufizim 2.8. Hapësira vektoriale U W quhet prodhim direkt i U-së dhe W-së.

×

Lema 2.4. Le të jenë U, W hapësira vektoriale. Atëherë,

dim(U × W) = dimU + dimW Vërtetim: Vërtetimi është lënë për lexuesin.

Përkufizimi i prodhimit skalar mund të përgjithësohet për disa faktorë. Për shembull n

V :=



V i = V 1 ×···× V n

i =1

është bashkësia e n -elementëve të radhitur, ku mbledhja dhe shumëzimi skalar janë të përcaktuar koordinatë për koordinatë.

Ushtrime:

1. Le të jenë V = R2 dhe W nënhapësira të gjeneruara nga w = (2,3). Le të jetë U një nënhapësirë e gjeneruar nga u = (1,1). Vërteto se V është shuma direkte e W-së dhe U-së. A mund ta përgjithësoni këtë për çdo dy vektorë u dhe w ? 2. Le të jetë V = R3 . Le të jetë W hapësira e gjeneruar nga w = (1,0, 0) dhe le të jetë U nënhapësira e gjeneruar nga u1 = (1,1,0) dhe u2 = (0,1,1). Vërteto se V është shuma direkte e W-së dhe U-së. 3. Le të jenë u dhe v dy vektorë jozero në R 2 . Nëse nuk ekziston një c ∈ R e tillë që u = c v , vërteto se { u,B v } është një bazë e R 2 dhe se R 2 është një shumë direkte e nënhapësirës së gjeneruar nga U = 〈u〉 dhe V = 〈 v 〉 respektivisht. 4. Le të jenë U dhe W nënhapësira të V-së. Cfarë janë U + U, U + V? A është U + W = W + U? 5. Le të jenë U, W nënhapësira të hapësirës vektoriale V. Vërteto se dimU + dimW = dim(U + W) + dim(U ∩ W) 6. Le të jetë V = Mat 2×2 (k ),

U:

a -b

b a

W :

a b

b -a

dhe

 =  =

 |  |

 ∈  ∈

a , b k

a , b k .

72

T. Shaska

Vërteto se: i) U dhe W janë nënhapësira të V-së. ii) V = U ⊕ W 7. Le të jenë U dhe W nënhapësira të hapësirës vektoriale V. i) Vërteto se U ∩ W ⊂ U ∪ W ⊂ U + W. ii) Kur është U ∪ W një nënhapësirë e V-së? ii Cila është nënhapësira më e vogël e V-së e cila përmban U ∪ W? 8. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi k dhe S bashkësia e të gjithave nënhapësirave të V-së. Konsiderojmë veprimin e mbledhjes së nënhapësirës në S . Vërteto se ekziton një zero në S për këtë veprim dhe ky veprim ka vetinë e shoqërimit. 9. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi k dhe S bashkësia e të gjithave nënhapësirave të V-së. Konsiderojmë veprimin e prerjes në S . Vërteto se ky veprim ka vetinë e shoqërimit. A ekziston një identitet për këtë veprim (dmth, ekziston një E ∈ S i tillë që A ∩ E = A, për çdo E in S )?

2.5 Funksionet lineare ndërmjet hapësirave vektoriale Në këtë seksion do të studiojmë funksionet ndërmjet hapësirave vektoriale. Ne jemi të interesuar në funksione të cilët ruajnë veprimet në hapësirën vektoriale. Para se të përkufizojmë këta funksione, duhet të përsëritni përkufizimet e funksioneve injektive, syrjektive dhe bijektive nga kalkulusi. Le të jenë V dhe V  hapësira vektoriale mbi të njëjtën fushë k . Përkufizim 2.9. Një funksion

T : V → V  do të quhet funksion linear në qoftë se kushti i mëposhtëm është i vërtetë për çdo u, v ∈ V dhe r ∈ R: i) T(u + v ) = T(u) + T( v ), ii) T(r · u) = r · T(u) Shembull 2.21. Le të jetë V Rn dhe A një matricë n n. Përcaktojmë funksionin e mëposhtëm:

=

T A :

× V −→ V x −→ A · x

Mund ta vërtetojmë shumë lehtë se ky është një funksion linear.

(2.12)

2.5. FUNKSIONET LINEARE NDËRMJET HAPËSIRAVE VEKTORIALE

73

Shembull 2.22. Le të jenë U dhe V hapësira vektoriale mbi k. Përcaktojmë Përcaktojmë bashkësinë e të

gjithë funksioneve linear f : U → V me

= { f : U → V | f ështëlinear }

L (U,V):

Përcaktojmë mbledhjen në L (U,V) si mbledhjen e zakonshme të funksioneve dhe shumëzimi skalar do të jetë shumëzimi me një konstante nga k. Me një fjalë, ( f + g )(u ) = f (u ) + g (u ) r ∗ f (u ) = r · f (u ) E lëmë si ushtrim për lexuesin vërtetimin se L (U,V) është një hapësirë vektoriale mbi k. Kjo është një hapësirë e rëndësishme të cilën do ta përdorim përsëri më vonë. Lema 2.5. Le të jetë T : V

→ W një funksion linear ndërmjet hapësirave vektoriale V dhe W . Atëherë po-

himi i mëposhtëm është i vërtetë:

i) T(0 V ) = 0 W . ii) Për çdo v ∈ V , T(−v ) = −T(v ). Vërtetim: Vërtetimi është i thjeshtë.

T(0 V ) = T( v − v ) = T( v ) + T(− v ) = T( v ) − T(v ) = 0 W Pjesa ii) është e qartë. Përkufizim 2.10. Le tëjetëT :U

→ V një funksion linear ndërmjet hapësirave vektoriale U dhe V. Kerneli

i T-së, i shënuar me k er (T) është i përcaktuar si më poshtë

k er (T) := {u ∈ U | T(u) = 0 W } Imazhi i T-së është i përcaktuar si:

Img (T) := { v ∈ V | ∃u ∈ U,T(u) = v } Lema 2.6. Le të jetë

T : V → W një funksion linear. Atëherë, i) ker (T) është një nënhapësirë e V -së ii) Img (T) është një nënhapësirë e W -së. Vërtetim: Ushtrim

Lema e mëposhtme është ndihmëse për të gjetur nëse një funksion linear është

injektiv ose jo. Lema 2.7. Le të jetë

T : V → W një funksion linear. Atëherë ke r (T) = {0 V } atëherë dhe vetëm atëherë kur T është injektiv.

74

T. Shaska T. Shaska

Vërtetim: Supozojmë Supozojmë se k er er (T) (T)

= {0 V }. Atëherë, për çdo v 1 , v 2 ∈ V të tillë që T( v 1 ) = T( v 2) kemi: er (T) T( v 1 ) − T( v 2 ) = 0 =⇒ T( v 1 − v 2 ) = 0 =⇒ ( v 1 − v 2 ) ∈ k er (T)

e cila do të thotë se

− = 0 =⇒ v 1 = v 2 er (T). Supozojmë se T është injektiv dhe le të jetë v ∈ k er (T). Atëherë T(v T(v ) = T(0 V ) = 0 W sjell sjell se v = 0 V . v 1 v 2

Shembull 2.23. Le të jetë C( C( R) hapësira vektoriale e të gjithë funksioneve të diferencueshëm f : R

Marrim në konsideratë funksionin

→ R.

D : C (R) → C(R) f (x ( x ) → D( f D( f (x (x )) )) = f  (x ) ku f  (x ) është derivati i f (x (x ). Vërteto se D është D është një funksion linear. Teorema Teorema 2.11. Le të jetë jetë T funksion n linear linear injekt injektiv iv.. Në qoftë qoftë se v 1 ,... v n janë elementë elementë linearlinear T : V → W, një funksio n janë isht të pavarur në V janë elementë linearisht të pavarur në . V , atëherë T(v T( v 1 ),...,T(v ),...,T( v n ) W W n Vërtetim: Le Le të jetë

y 1 T( v 1 ) +···+ y n n T( v n n ) = 0 W

për skalarët y skalarët y 1 ,..., y ,..., y n n . Atëherë

T( y T( y 1 v 1 ) +···+ T( y T( y n n v n n ) = 0 W

e cila sjell se

v n T( y T( y 1 v 1 +···+ y n n v n ) = 0 W

er (T) Meqënëse T është injektiv atëherë k er (T) = {0} dhe

y 1 v 1 +···+ y n n v n n = 0 V Kjo sjell se y 1 =···= y n n = 0

meqënëse v 1 ,..., v n linearishtt të pavarur. pavarur. Kështu Kështu që T(v T( v 1 ),...,T(v ),...,T( v n n janë linearish n ) janë elementë linearisht të pavarur në W. Teoremat e mëposhtme do ti pranojmë pa vërtetim. Teorema eorema 2.12. Le të jetë T T : V W një një funksion linear. Atëherë,

→

dimV = dim ker dim ker (T) (T) + dim Img dim Img (T) (T) Teorema Teorema 2.13. Le të jetë T T : V

një funksion linear dhe dimV qoftë se ker (T) → → W një = dimW . Në qoftë dimV = (T) = {0} ose {0} ose

Img (T) (T) = W , atëherë T është T është bijektiv. Vërtetim: Në Në qoftë se k er er (T) (T)

= {0}, atëherë T është injektiv dhe dimImg dimImg (T) (T) ≥ dimV = dimW

Kështu që Img Img T T = W dhe T janë surjektiv. Në qoftë se Img Img (T) (T) = W, atëherë T është syrjektiv dhe dimk er er (T) (T) = 0 Kështu që k er er (T) (T) = {0 V } dhe T janë gjithashtu injektiv. injektiv.

2.5. FUNKSIONET FUNKSIONET LINEARE LINEARE NDËRMJET NDËRMJET HAPËSIRA HAPËSIRAVE VE VEKTORIA VEKTORIALE LE

75

Shembull Shembull 2.24. Le të jetë A A matrica matrica

 

dhe L funksioni linear L A funksioni

-1 4 7

2 5 8

3 6 9

 

L A : : R3 −→ R3 x −→ A · x

(2.13)

Përcakto nëse funksioni L është bijektiv. bijektiv. L A është Zgjidhje: Në x R3 , të tillë që Në fillim përcaktojmë ker (L gjit hë x (L A ). Ne duam të gjejmë të gjithë

∈

T( x ) = A x = 0 Kështu që ker (L (L A ) është i njëjtë si me hapësirën nul të A A . Për të gjetur hapësirën hapësirën nul procedoj procedojmë më si më poshtë: Forma e reduktuar row-eçelon është H

1 0 0

 =

0 1 0

0 0 1

 

Kështu që rank (A) -së është { që, ker (L janë (A) = 3, null (A) (A) = 0 dhe hapësira nul e A A -së {0}. Kështu që, (L A ) = {0} dhe L L A janë injektiv. injektiv. Nga teorema e mëparshme arrijmë në përfundimin se L është bijektiv bi jektiv.. L A është

2.5.1 2.5.1 Kompoz ompozimi imi i funksi funksionë onëve ve linear linear,, funks funksion ionëv ëve e të anasje anasjellt lltë, ë, izomo izomorfiz rfizma mave ve Eshtë e natyrshme pyetja nëse kompozimi i dy funksionëve linear është gjithashtu linear ose nëse i anasjellti i një funksioni linear është linear. Teorema eorema 2.14. Le të jenë U,V,W U,V,W hapësira hapësira vektoriale mbi një fushë k dhe f dhe g funksione lineare: f

g

U −→ V −→ W Atëherë funksioni g ◦ f : f :

U −→ W

është gjithashtu linear. linear. Vërtetim: Le Le të jetë u1 , u2

∈ U. Atëherë (g ◦ f )(u1 + u2 ) = g f (u1 + u2 ) = g f (u1 ) + f (u2 ) = (g ◦ f )(u1 ) + (g ◦ f )(u2 )

Gjithashtu,



   · =

(g ◦ f )(r )(r · u) = g f (r (r u



g ( g (r · f (u)) = r · (g ◦ f )(u)

76

T. Shaska T. Shaska

Shembull 2.25. Le të jenë A A dhe dhe B matrica B matrica me dimensione m n dhe n s respektivisht dhe L L A , LB funk-

sione linear

×

×

−L→ Rn −L→ Rs të tillë që L dhe L L A ( x ) = A x dhe LB ( x ) = B x . Funksioni L LB ◦ L A është i dhënë nga LB ◦ L A : : Rm −→ Rs x −→ (BA) x Rm

A

B

dhe mund të vërtetohet shumë lehtë që është linear. linear. hapësira vektoriale mbi një fushë k dhe f : f : U Teorema eorema 2.15. Le të jenë U, U, V hapësira

ka të anasjelltë f −1 : V −→ U. Atëherë, f −1 është linear. Vërtetim: Ushtrim

një funksion linear i cili −→ V një

Le të jenë U, V hapësira vektoriale dhe L : U −→ V

një funksion funksion linear i cili ka të anasjelltë. anasjelltë. Atëherë, Atëherë, L quhet izomorfizëm dhe U dhe V quhen hapësira izomorfike. Ushtrime:

1. Le të të jetë jetë T : R → R, i tillë që T(x T( x ) = sinx sin x . A është T një izomorfizëm? Shpjego. 2. Le të jetë jetë A = [a i j ] një matricë n matricë n × n dhe dhe me t me t r (A) r (A) shënojmë trace e saj. Vërteto se funksioni t r : : Mat n n ×n (k ) −→ k A −→ t r (A) r (A) është një funksion linear. 3. Le të të jetë jetë L ([0,1], R) bashkësia e funksionëve të integrueshëm në intervalin [0,1]. Kontrollo nëse funksioni φ : L ([0,1], R) 1

f (x ( x )

 −→ 0

−→ L (R)

f (x (x ) d x

është një funksion linear. n × n e 4. Le të jetë T : Rn → Rn një funksion linear i dhënë nga T( x ) = A x , për ndonjë matricëA n e cila ka të anasjelltë. Vërteto se T është një bijeksion.

2.6. MATRICAT E SHOQËRUARA ME FUNKSIONET LINEARE 5. Le të jetë P4 një hapësirë vektoriale e polinomëve me koeficienta realë dhe me gradë se P4 është izomorfike me R5 .

77

≤ 4. Vërteto

6. Përgjithëso rezultatin e mësipërm. Pra, provo se Pn është izomorfike me Rn +1 . 7. A mund të gjeni dy hapësira vektoriale me të njëjtin dimension, të cilat nuk janë izomorfike? Shp jegojeni. 8. Dimë se C është një hapësirë vektoriale mbi R. Përcaktojmë funksionin T : C → C, të tillë që T(z ) = z , ku z është i konjuguari kompleks i z -së. A është T një funksion linear? 9. Le të jetë T : C → C, e tillë që T(z ) = z + z 0 , ku z 0 është një numër kompleks i dhënë. A është T një izomorfizëm? 10. Le të jetë T : C → C, e tillë që T(z ) A është T një izomorfizëm? Shpjego.

 =

1 z 0

=0 for z  for z = 0

2.6 Matricat e shoqëruara me funksionet lineare Një nga gjërat më të mira të algjebrës lineare është se çdo funksioni linear mund ti shoqërojmë një matricë dhe anasjelltas. Kështu që, ne mund të përdorim vetitë e matricave për të kuptuar funksionët linear. Në këtë seksion ne do të gjejmë se si mund të gjejmë matricën kur na është dhënë funksioni. Le të jenë V dhe U hapësira vektoriale me dimension të fundëm mbi një fushë k dhe L : U −→ V një funksion linear. Për më tepër, le të jenë B1 :

= {u1 ,..., un } B2 := { v 1 ,......, v m } baza për U dhe V respektivisht. Atëherë vlerat e L(u1 ),...,L(un ) janë si më poshtë: L(u1 ) = a 1,1 v 1 +··· a 1,m v m L(u2 ) = a 2,1 v 1 +··· a 2,m v m

········· L(un ) = a n ,1 v 1 +··· a n ,m v m

78

T. Shaska T. Shaska

= [a për ndonjë skalar a skalar a i ,i , j ∈ k . Marrim Marrim matricë matricën n n × m dhënë dhënë me A = [ a i ,i , j ], ku a ku a i ,i , j janë si më poshtë. poshtë. E t transpozuara transpozuara e saj A është matrica m matrica m × n A t

a 1,1 1,1 a 1,2 1,2

  = 

a 2,1 2,1 a 2,2 2,2

a 1,m 1,m

···

a 2,m 2,m

··· ··· ··· ···

a n n ,1 ,1 a n n ,2 ,2 a n n ,m

 

matrica a e shoqër shoqëruar uar me funksio funksionin nin linear linear L në varësi të bazave B1 dhe B2 dhe e shënojmë e cila quhet matric B2 MB1 (L). Në të vërtetë, çdo vektor x ∈ U shkruhet si x x 1 u1

=

+···+ x n n un

ku x ku x 1 ,..., x n janë skalar në k në k . Prej nga, n janë L( x ) = x 1 L(u1 ) +···+ x n n L(un )

=

  ·········  +···

  

v m x 1 a 1,1 1,1 v 1 +··· a 1,m 1,m v m + x 2 a 2,1 v m 2,1 v 1 +··· a 2,m 2,m v m

+ x n n a n n ,1,1 v 1

v m a n n ,m v m

=(a 1,1 1,1 x 1 + a 2,1 2,1 x 2 +··· a n n ,1 ,1 x n n ) v 1 (a 1,2 1,2 x 1 + a 2,2 2,2 x 2 +··· a n n ,2 ,2 x n n ) v 2 ········· (a 1,m 1,m x 1 + a 2,m 2,m x 2 +··· a n n ,m x n n ) v m m Kështu që, kordinatat e vektorëve L( x ) në varësi të bazës B2 të V-së janë

L( x )

a 1,1 n ,1 n 1,1 x 1 + a 2,1 2,1 x 2 +···+ a n ,1 x n + +···+ a 1,2 a n 1,2 x 1 a 2,2 2,2 x 2 n ,2 ,2 x n n

  = 

········· ········· a 1,m x a + 1,m 1 2,m 2,m x 2 +···+ a n n ,m x n n

  = 

   ·  

a 1,1 1,1 a 1,2 1,2

a 2,1 2,1 a 2,2 2,2

···

a 1,m 1,m

a 2,m 2,m

= A t x = M

B2 B1

(L) x

··· ··· ··· ···

a n n ,1 ,1 a n n ,2 ,2 a n n ,m

   x 1 x 2

· ·

x n n

  

2.6. MATRIC MATRICA AT E SHOQËRU SHOQËRUARA ARA ME FUNKSIONE FUNKSIONET T LINEARE LINEARE

79

2 Kështu, për çdo funksion linear L : U → V ekziston një matricë M B (L) në varësi të bazave B1 B2 , e tillë që 2 L( x ) = MB (L) x B1

B1 dhe

2 Zakonisht MB (L) e shënojmë si më poshtë B1 2 MB (L) = L(u1 )B2 | B1



··· | L(un )

B2



ku çdo L(ui )B2 është vektori kolonë L(ui ) në varësi të bazës B2 të V-së. Shembull Shembull 2.26. Le të jetë L L : R2

→ R3 funksion linear i dhënë nga L(x L(x , y ) = (x − y , 2x − 3 y , x − 3 y )

Gjej matricën e shoqëruar me L në L në varësi të bazës standarte. Zgjidhje: Baza Baza standarte për R2 është B1

j } = {(1,0),(0,1)} = {i ,i , j }

Atëherë L(i L(i )) = (1,2,1) L( j L( j )) = (−1, −3, −3) në varësi të bazës standarte të R3 . Kështu që, matrica e shoqëruar e L L : R2 → R3 është

në varësi të bazës standarte të R2 dhe R3 .

 

1 2 1

-1 -3 -3

 

Shembull Shembull 2.27. Le të jetë

T : R2 → R2 (x , y ) → (x cos cos θ − y sin sin θ, x sin sin θ + y cos cos θ) Lexuesi duhet të vërtetojë se T është T është një funksion linear. Eshtë një ushtrim në trigonometri të vërtetosh se ky funksion rrotullon çdo pikë të R2 me një kënd θ. Kush është matrica e shoqëruar me T në T në varësi të bazës 2 standarte të R ? Zgjidhje: Kemi Kemi

T(1,0) = (cos θ,sin θ), T(0,1) = ( − sin θ,cos θ) Atëherë, matrica e shoqëruar është: A := M( f M( f )

=

cos θ sin θ

− sin θ cos θ



80

T. Shaska T. Shaska

Kemi parë në ushtrimet e Chapter 1 se n

A

cosn cos n θ sinn sin n θ

=

− sinn sin n θ cosn cos n θ



Dhe në të vërtetë ky rezultat mund të pritet meqënëse duke u rrotulluar n-herë nga θ është njëlloj si të të rrotullohen me këndin n θ. Tani do shikojmë një shembull ku asnjë nga bazat B1 , B2 nuk është bazë standarte. Shembull Shembull 2.28. Le të jetë

T : R3 −→ R4 (x , y , z ) −→ (x + y , y + z , x − y , y − z ) një funksion linear. Fiksojmë bazat

= {(1,1,1),(2,1,0),(3,1,1)} = {u 1 , u 2 , u 3 }, B2 = {(1,0,0,1),(1 {(1,0,0,1),(1,2,0, ,2,0, 0),(2,3,2,1),(0,0,0,2) 0),(2,3,2,1),(0,0,0,2)}} = {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } B1

e R3 dhe R4 respektivisht. Gjejmë matricën e shoqëruar të L-së L-së në varësi të B1 dhe B2 . Zgjidhje: Në Në fillim e gjejmë si më poshtë

T(u 1 ) = (2,2,0,0) =: w 1 T(u 2 ) = (3,1,1,1) =: w 2 T(u 3 ) = (4,2,2,0) =: w 3 w 1 , w 2 , w 3 në varësi të bazës B2 . Secila prej tyre duhet të shprehen si Tani na duhet të shprehim vektorët w

r 1 v 1 + r 2 v 2 + r 3 v 3 + r 4 v 4 = (r 1 + r 2 + 2r 3 , 2r 2 + 3r 3 , 2r 3 , 2r 4 ) Kështu që kemi (në varësi të B2 )

= (1,1,0,0) 9 1 1 1 w 2 = ( , − , , ) 4 4 2 2 w 1

w 3

Matrica është

2 MB B1

= ( 32 , − 12 ,1,0)

   = 

1

9 4

3 2

1

− 14 − 12

0

− 12

1

0

1 2

0

   

2.6. MATRICAT E SHOQËRUARA ME FUNKSIONET LINEARE

81

Teorema në vazhdim e bën më të qartë lidhjen midis matricave dhe funksionëve linear. Le të jenë U dhe V hapësira vektoriale mbi k dhe B1 , B2 bazat e tyre respektive. Që këtej e tutje për një funksion linear 2 f : U → V do të përdorim M( f ) në vend të M B ( f ). B1 Teorema 2.16. Le të jenë U dhe V hapësira vektoriale mbi k dhe B1 , B2 bazat e tyre respektive. Për çdo

f , g ∈ L (U,V) pikat e mëposhtme janë të vërteta: i) M( f + g ) = M( f ) + M(g ) ii) M(r f ) = r M( f ), për çdo skalar r ∈ k. iii) M( f ◦ g ) = M( f ) · M(g ) Vërtetim: Vërtetimi është lënë si ushtrim.

Teorema e mëposhtme vërteton jo vetëm se çdo funksioni linear mund ti shoqërojmë një matricë, por edhe e anasjellta është e vërtetë. Teorema 2.17. Le të jenë U dhe V hapësira vektoriale mbi k me dimensione n dhe m respectivisht. Fikso

bazat B1 , B2 të U-së dhe V -së. Për më tepër, le të jetë L (U,V) hapësira e funksionëve linear f : U → V . Atëherë Φ : L (U,V)

−→ Mat m ×n (k ) f −→ M( f )

(2.14)

është një izomorfizëm. Vërtetim: Teorema e mëparshme vërteton se Φ është një funksion linear. Së pari, vërtetojmë se φ është injektiv. Le të jenë f , g L (U,V), të tillë që Φ( f ) Φ(g ). Kështu që, M( f ) M(g ). Pra, për çdo x U kemi

∈

=

=

∈

M( f ) x = M(g ) x e cila ndomethënë se f (x ) = g (x ). Pra, f = g dhe Φ është injektiv. Le të jetë A ∈ Mat m ×n (K). Përcaktojmë funskionin L A : U −→ V x −→ A x Atëherë, L A ∈ L (U,V ). Kështu që, Φ është surjektiv. Ushtrime:

1. Kontrollo nëse funksioni T : R3 −→ R4 , i tillë që T(x , y , z ) = (x + 2, y − x , x + y ) është linear. Në qoftë se është linear atëherë gjej matricën e tij shoqëruese.

(2.15)

82

T. Shaska

2. Gjej matricën shoqëruese në varësi të bazave standarte të funksionit T : R3 −→ R3 , i tillë që T(x , y , z ) = (x , y , x + y + z ) 3. Gjej matricën shoqëruese në varësi të bazave standarte të funksionit T : R3 −→ R3 i tillë që T(x , y , z ) = (x + y , 3 y , 7x + 2 y + 4z ) 4. Gjej matricën shoqëruese në varësi të bazave standarte të funksionit T : R5 −→ R5 i tillë që T(x 1 ,..., x 5 ) = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) 5. Le të jetë L 1 (R) hapësira vektoriale e funksioneve të diferencueshëm nga R në R. Le të jetë V := Span (sin x ,cos x ) dhe D : L 1 (R) → L 1 (R) funksioni i diferencueshëm. Ngushtimi i këtij funksioni në V na jep një funksion linear D V : V → V. Gjej matricën shoqëruese të D V për B1 = B2 = {sin x ,cos x }. 6. Le të jetë Pn hapësira vektoriale mbi R e polinomëve me koefiçientë në R dhe gradë ≤ n . Derivimi i polinomeve është një funksion linear në këtë hapësirë. Gjej maricën shoqëruese për B1

= B2 = {1, x , ..., x n }.

7. Le të jenë u = (1,2) ∈ R2 dhe T : R2 → R2 të tillë që T( x ) = u + x . Gjej matricën shoqëruese të T-së në varësi të bazave standarte të R2 . 8. Le të jetë T : R2 → R2 transformimi i cili rrotullon çdo pikë me kënd Θ kundër lëvizjes sé akrepave të orës. Gjej matricën shoqëruese në varësi të bazave standarte të funksionit. 9. Le të jetë T : R2 → R2 transformimi i planit i cili çon çdo pikë në pikën e tij simetrike në lidhje me boshtin e x -ve(dmth, T(x , y ) = T(x , − y )). Gjej matricën shoqëruese të T-së në varësi të bazave standarte të funksionit. 10. Gjej matricën standarte të refleksionit të planitt x y në lidhje me drejtëzën y = x + 2.

2.7 Ndryshimi i bazave Ndonjëherë na duhet të punojmë me dy baza të ndryshme për të njëjtën hapësirë vektoriale. Diskutimi i mësipërm na jep një rrugë për të gjetur kordinatat e vektorit në varësi të një bazë të dhënë. Le të jetë V një hapësirë vektoriale dhe B, B dy baza të V-së të dhëna nga B

= {b1 ,..., bn },

B

 = {b ,..., b } 1

n

2.7. NDRYSHIMI I BAZAVE

83

dhe T : V → V funksion linear, i tillë që T : V −→ V

(2.16)

−→ bi

bi



Matricën shoqéruese të T e shënojmë me MB dhe e quajmë matrica e transformimit e B B Atëherë MB është e dhënë nga

B-së

në B .



= [T(b1 ) |······| T(bn )] = [ b1 |······| bn ] MB B ku bi -të janë dhënë në varësi të bazës B . Marrim algoritmin për të llogaritur matricën e transformimit. Algorithm 5. Input: Një hapësirë vektoriale V dhe dy baza B1 = {u1 , ··· un } dhe B2 = { v 1 , ··· v n } të V-së 2 Output: Matrica e transformimit MB , e tillë që B1 2 · v B1 = v B2 MB B1

i) Krijojmë matricën A = [ v 1 |

···| v n | u1 | . .. | un ]

ii) Transformojmë A me anë të veprimeve me radhët të matricës

|  2 I MB B1

Shembull 2.29. Le të jetë V R2 dhe

=

B1

= {(1,1), (1,0)},

B2

= {(1,2), (−1,1)}

2 dy baza të V -së. Gjej matricë e transformimit MB . Janë dhënë vektorët u , v me kordinata B1

u (3,4), dhe v ( 2,3)

=

=−

në varësi të bazës B1 , gjej kordinatat e tyre në varësi të B2 . Zgjidhje: Së pari krijojmë matricën

=

A

1 2

-1 1

1 1

1 0



Duke kryer veprime me rreshtat e transformojmë në

 

Atëherë,

1

0

0

1

2 3

-

1 MB1 = · 3 B2

ku u B2

B2

= M

B1

3 4

1 3

10 -11

·  =  



1 3

2 -1

1 3

-

2 3

1 -2

   B2

dhe v B2 = MB1

-2 3

1 3

1 . 4

·  = −  

84

T. Shaska

Shembull 2.30. Le të jetë u R3 me kordinata në bazën standarte u

∈

varësi të bazës B = {(1,1,1),(2,0,1),(3,1,1)}.

= (1,2,3). Gjej kordinatat e u -së në

Zgjidhje: Së pari krijojmë matricën

 =

1 1 1

1 0 0

0 1 0

A

2 0 1

3 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

 

Duke kryer veprime me rreshtat e transformojmë në

 

Atëherë

0 0 1

2 M := MB B1

dhe

−  =    · = 

M u

-

1 2

1 2

0

1 1 -1

-1

1 2

1 2

1 2

1 2

1

0

−1

1

1 2

1 2

−1

7 2

1

− 32

    

  

Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm dhe B e B baza të V-së. Le të jetë L : V → V një transformim linear dhe MB dhe MB matrica shoqëruese për L në varësi të bazave B dhe  B respektivisht. Kemi teoremën e mëposhtme:  Teorema 2.18. Le të jetë M : MB matrica e transformimit nga B në B . Atëherë, B

=

MB (L) = M−1 · MB(L) · M Vërtetim: Ushtrim. Shembull 2.31. Gjej matricën shoqëruese për funksionin linear

T : R3 −→ R4 të tillë që dhe gjej një bazë për ker (T).

T(x , y , z ) = (x − y + 2z , y + z , 3x − 2 y − z , 7 y + z )

Zgjidhje: Kemi

T(1,0,0) = (1,0,3,0) T(0,1,0) = (−1,1, −2,7) T(0,0,1) = (2,1, −1,1)

(2.17)

2.7. NDRYSHIMI I BAZAVE

85

Matrica shoqëruese është:

  = 

1 0 3 0

-1 1 -2 7

  = 

1 0 0 0

0 1 0 0

M(T):

2 1 -1 1

 

dhe forma e reduktuar row-eçelon e tij është:

H(T) :

0 0 1 0

 

Sistemi H(T) x = 0 ka si zgjidhje vetëm x = 0. Pra, ker (T) = {0}. Ushtrime:

1. Le të jetë B1 = {1, x , x 2 , x 3 } një bazë për P 3 . Vërteto se B2

= {2x − 1, x 2 − x + 1, x 3 − x , x 3 − x , −2}

është gjithashtu një bazë. Gjej matricën shoqëruese nga B1 në B2 . 2. Le të jetë V := Span (e x ,e −x ). Gjej kordinatat e f (x ) = sinh x , g (x ) = coshx në lidhje me B = {e x ,e −x }. 3. Le të jetë V := Span (e x , xe x ). Gjej matricën transformuese nga B1 në B2 , ku B1 :

= {e x , xe x }

dhe

B2

= {2xe x ,4e x }.

4. Le të jetë B1 : = {i , j } baza standarte e R2 dhe u, v vektorët e përftuar duke rrotulluar në drejtim të kundërt të akrepave të sahatit, me kënd θ, vektorët i , j respektivisht. Eshtë e qartë B2 := {u, v } është 2 një bazë për R2 . Gjej MB . B1

86

T. Shaska

2.8 Ushtrime përsëritje 1. Përkufizo hapësirën vektoriale mbi një fushë k , nënhapësirën, hapësirën nul, shumën direkte, prodhimin direkt, funksionin linear, kernel dhe image e një funksioni linear. 2. Një matricë katrore quhet trekëndore e sipërme në qoftë se të gjithë elementët nën diagonalen kryesore janë zero. Le të jetë V = Mat n ×n (R) dhe W bashkësia e të gjitha matricave trekëndore të sipërme të V-së. A është W nënhapësirë e V-së? Justifiko përgjigjen. 3. Një matricë katrore quhet trekëndore e poshtme në qoftë se të gjithë elementët mbi diagonalen kryesore janë zero. Le të jetë V = Mat n ×n (R), W 1 bashkësia e të gjitha matricave trekëndore të sipërme të V-së dhe W 2 bashkësia e të gjitha matricave trekëndore të poshtme të V -së. Çfarë është prerja e W 1 ∩ W 2 ? 4. Le të jetë A një matricë e anasjelltë n × n . Sa është rank (A), null (A)? Çfarë është forma e reduktuar row-eçelon e A-së. 5. Gjej matricën shoqëruese për funksionin linear T : R3 −→ R4 i tillë që T(x , y , z ) = (x − y + 2z , y + z , 3x − 2 y − z , 7 y + z ) dhe gjej një bazë për k er (T). 6. Gjej matricën standarte të rrotullimit të planit x y ne drejtim të kundërt me akrepat e sahatit rreth origjinës me kënd: i) 45◦ ii) 60◦ iii) 15◦ 7. Le të jetë B := {u, v , w } një bazë për R 3 dhe A një matricë 3 × 3, e cila ka të anasjelltë. Vërteto se {A u, A v , A w } është një bazë për R3 . 8. Le të jetë A x = b një sistem linearme n ekuacione dhe n të panjohura. Sazgjidhje ka ky sistem në qoftë se rank (A) = n ? Po në qoftë se rank (A) < n ? Shpjego.

2.8. USHTRIME PËRSËRITJE

87

9. Gjej një bazë për nënhapësirën W = Span ( w 1 , w 2 , w 3 , w 4 ) në R3 , ku w 1 ,..., w 4 janë dhënë si më poshtë:

= (1,0,3,1) w 2 = (−1,3,1,5) w 3 = (1,4,2,1) w 4 = (3,0,1,5) w 1

(2.18)

10. Le të jenë V = R 2 dhe W nënhapësira të gjeneruara nga w = (2,3). Le të jetë U nënhapësira e gjeneruar nga u = (−1,1). Vërteto se V është shuma direkte e W-së dhe U-së. 11. Kontrollo nëse funksioni T : R3 −→ R3 i tillë që T(x , y , z ) = (x − 2, y − x , x + y ) është linear. Në qoftë se është linear atëherë gjej matricën e tij shoqëruese. 12. Le të jetë T : R2 → R2 rrotullimi kundër akrepave të sahatit me kënd θ = π3 . Gjej T(1,0), T(1,1), T(−1,1). 13. Gjej rangun, nulitetin dhe bazat për hapësirën kolonë, hapësirën rresht dhe hapësirën nul të matricës: 1 2 3 1 -2 1 1 2 -1 3 4 3 -1 3 4 3

 

 

14. Le të jetë B := {u, v , w } e tillë që u

= (1,2,3),

v (1, 1,1),

= −

w (1,3,1)

=

A është B një bazë për R3 ? Justifiko përgjigjen. 15. Gjej matricën shoqëruese për funksionin linear T : R4 −→ R4 i tillë që T(x , y , z , w ) = (x − y + z , 2x − 2 y + 2z , x + y − z − b , 2x − w ) dhe gjej një bazë për k er (T).

88

T. Shaska

16. Le të jetë V = Mat n (R). Gjej matricat që janë ndërrimtare me çdo element të V-së. 17. Le të jetë GL2 (k ) bashkësia e matricave në Mat 2 (k ) të cilat kanë të anasjelltë. A është GL2 (k ) një nënhapësirë e Mat 2 (k )? Justifiko përgjigjen.

Kapitulli 3

Përcaktorët, eigenvlerat, eigenvektorët Teoria e përcaktorëve u zhvillua në shekullin e 17-të dhe 18-të. Fillimisht ishte Cramer i cili hodhi bazat e para në teorinë e përcaktorëve dhe më vonë e vazhduan Bezout, Vandermonde, Laplace, Cauchy, etj. Me zhvillimin e algjebrës moderne dhe koncepteve të reja, si psh format multilineare, grupet e përkëmbimeve, etj, koncepti i përcaktorit u bë më i plotë. Dhe ne vazhdojmë me këtë koncept në algjebrën e lartë edhe në ditët tona. Kjo çështje është trajtuar në Apendiks B.

3.1 Përcaktorët Në këtë seksion do të përkufizojmë përcaktorin e matricës. Rruga më e mirë për këtë është me format e alternuara dhe përkëmbimet, por kjo mund të jetë disi e vështirë në këtë nivel. Në vend të saj ne përdorim një këndvështrim më kompjutacional. Përkufizim 3.1. Le të jetë A [a i j ] një matricë n n . Përçdo(i , j ) letë jetë A i j një matricë (n 1) (n 1) e përfituar duke hequr rreshtin e i -të dhe kolonën e j -të. Atëherë, A i j quhet një minor i A-së dhe

=

×

− × −

a ¯i j = (−1)i + j det (A i j )

(3.1)

quhet (i, j)–kofaktor i A-së.

Përkufizim 3.2. Le të jetë A [a i j ] një matricë n n . Atëherë për një i

=

A-së është i përcaktuar si më poshtë: n

det (A) :=

= 1,... n të fiksuar përcaktori i

×

( 1)i + j · a i , j · det (A i j ) =

−

j =1

dhe është i pavarur nga zgjedhja e i -së. Përcaktori i matricës A 89

n



j =1

a i , j · ¯a i , j

90

  =  

a 1,1 a 2,1 a 3,1

T. Shaska

a 1,2 a 2,2 a 3,2

a 1,3 a 2,3 a 3,3

A :

jepet si më poshtë

a m ,1

· · ·

a m ,2

a 1,1 a 2,1 a 3,1

a m ,3

a 1,2 a 2,2 a 3,2

a m ,1 Shembull 3.1. Le të jetë A një matricë 2

...

a 1,3 a 2,3 a 3,3

det (A) =

· · ·

a m ,2

a 1,n a 2,n a 3,n

... ... ...

a m ,3

· · ·

a m ,n

... ... ...

...

   

a 1,n a 2,n a 3,n

· · ·

a m ,n

×2

=

A

a c

b d



Atëherë përcaktori i saj është det (A) =

Shembull 3.2. Le të jetë A një matricë 3

a c

b d

= ad − bc .

×3

 =

A

a 1,1 a 2,1 a 3,1

a 1,2 a 2,2 a 3,2

a 1,3 a 2,3 a 3,3

 

Atëherë përcaktori i saj është det (A) =a 1,1

a 2,2 a 3,2

a 2,3 a 3,3

− a 1,2

a 2,1 a 3,1

a 2,3 a 3,3

+ a 1,3

a 2,1 a 3,1

a 2,2 a 3,2

= a 1,1 a 2,2 a 3,3 + a 1,2 a 2,3 a 3,1 + a 2,1 a 3,2 a 1,3 − a 3,1 a 2,2 a 1,3 − a 3,2 a 2,3 a 1,1 − a 2,1 a 1,2 a 3,3 Në shumë libra të algjebrës lineare elementare teknika e mëposhtme jepet për të kujtuar se si të gje jmë përcaktorin e një matrice 3 me 3. Përkufizim 3.3. Përkufizimi i përcaktorit si më sipër quhet shtjellim me minorë përgjatë rreshtave të

i -të.

3.1. PËRCAKTORËT

91

Një interpretim vizual i përcaktorit jepet si më poshtë. Shigjetat e drejtuara për poshtë përfaqësojnë prodhime me koefiçientë 1 dhe shigjetat e drejtuara lartë përfaqësojnë prodhime me koefiçientë -1.

det (M)

a 11 a 21 a 31

 =  =

a 12 a 22 a 32

a 13 a 23 a 33

 

a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 33

+ + +

−

a 13 a 22 a 31 + a 23 a 32 a 11 + a 33 a 12 a 31



a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

− − −

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 13

Së pari, na duhet të tregojmë që zgjedhja e rreshtave nuk e ndryshon përcaktorin. Ne nuk do ta bëjmë vërtetimin e teoremës, pasi për një vërtetim të plotë duhet një përkufizim shumë i saktë i përcaktorit, sikurse është dhënë në Apendiks B. Teorema 3.1. Shtjellimi përgjatë çdo rreshti apo kolone nuk e ndyshon përcaktorin.

Teorema e mësipërme na lejon të zgjedhim rreshtin apo kolonën me sa më shumë zero gjatë llogarit jes së përcaktorit të matricës. Shembull 3.3. Llogarit përcaktorin e matricës

  = 

A

1 0 2 1 0

2 2 1 1 2

0 0 2 2 1

4 0 1 4 2

0 1 2 5 0

  

Zgjidhje: Meqënëse rreshti i dytë ka tre zero, ne bëjmë llogaritjen përgjatë këtij rreshti. Pra kemi

det (A) = 2 ·

1 2 1 0

0 2 2 1

4 1 4 2

0 2 5 0

−1·

1 2 1 0

2 1 1 2

0 2 2 1

4 1 4 2

Le të jetë A 1 :

  = 

1 2 1 0

0 2 2 1

4 1 4 2

0 2 5 0

,

 

A 2

  = 

1 2 1 0

2 1 1 2

0 2 2 1

4 1 4 2

 

92

T. Shaska

Atëherë 2 2 1

det (A 1 ) = 1 ·

1 4 2

2 5 0

+4·

2 1 0

2 2 1

2 5 0

(3.2)

= (5 + 8 − 8 − 20) + 4(2 − 2 · 5) = −15 − 32 = −47 det (A 2 ) =

Kështu që,

1 1 2

2 2 1

1 4 2

2 1 0

−2·

2 2 1

1 4 2

−4·

2 1 0

1 1 2

2 2 1

= (4 + 16 + 1 − 4 − 4 − 4) − 2(8 + 1 − 4 − 8) − 4(2 + 4 − 8 − 1) = 9 − 2 · (−3) − 4 · (−3) = 27 det (A) = 2 · (−47) − 27 = −121

= det (A T ) Vërtetim: Le të jetë A = [a i j ] një matricë e dhënë. E vërtetojmë Lemën me anë të induksionit. Për n = 1 vërtetimi është trivial. Supozojmë se lema është e vërtetë për n < r . Ne duam të tregojmë se është e vërtetë për n = r . Përcaktori i A-së është det (A) = a 11 | A 11 |− a 12 | A 12 |+···+ (−1)r +1 a 1r | A 1r | Përkufizojmë me B := A t . Atëherë det (B) = b 11 |B11 |− b 21 |B21 |+···+ (−1)r +1 b r 1 |B1r |. Gjithsesi, a 1 j = b j 1 dhe B j 1 = A t 1 j . Nga hipoteza e induksionit kemi | A 1 j | = |B j 1 |. Kështu që, det (A) = det (B) = det (A t ). Lema 3.1. det (A)

Vërejtje. Përcaktori i një matrice trekëndore është prodhimi i elementëve të diagonales së tij. Tregojmë se kjo është e vërtetë me anë të një matrice trekëndore të sipërme. Shembull 3.4. Le të jetë A një matricë trekëndore

   = 

a 1,1 0 0

a 1,2 a 2,2 0

a 1,3 .. . a 2,3 .. . a 3,3 .. .

A :

0

0

· · ·

0

...

a 1,n a 2,n a 3,n

· · ·

a m ,n

   

Zgjidhje: Gjejmë përcaktorin duke shtjelluar përgjatë kolonës së parë. Eshtë e qartë se n

det (A) =



i =1

a i ,i .

3.1. PËRCAKTORËT

93

Shohim disa veti të përcaktorëve. Lema 3.2. Le të jetë A një matricë n n. Veprimet me rreshtat kanë efektet e mëposhtme në përcaktorë:

×

i) Në qoftë se kemi kryer veprimin R i ←→ R j në një matricë A , atëherë përcaktori i matricës së përfituar A  është det (A  ) = −det (A) ii) Në qoftë se dy rreshta të A -së janë të njëjtë, atëherë det (A) = 0 iii) Në qoftë se kryejmë veprimin Ri → r Ri , atëherë përcaktori i matricës së përfituar A  është det (A  ) = r · det (A) iv) Veprimi R j → r Ri + R j nuk e ndryshon përcaktorin. Vërtetim: i) Procedojmë me anë të induksionit. Vërtetimi për n

= 2 është trivial. Supozojmë se vetia është e vërtetë për të gjitha matricat me dimension më të vogël se n . Le të jetë B një matricë e përfituar pasi kemi bërë veprimin R i ←→ R j në A. Llogarit përcaktorin duke zhvilluar përgjatë rreshtit të s -të, ku s  = i dhe s = j . Atëherë det (A) = a s 1 | A s 1 |− a s 2 | A s 2 |+···+ (−1)s +n a sn | A sn |. Për çdo 1 ≤ r ≤ n kemi

(−1)s +r | A sr | = −(−1)s +r |Br s |.

Nga hipoteza e induksionit, |Br s |=−| A sr |. Pra, det (B) = −det (A). ii) Ky është rrjedhim i menjëherëshëm i pikës i). iii) Rrjedhim i menjëherëshëm i përkufizimit. iv) Le të jetë B matrica e përfituar pasi kemi kryer veprimin R j → r Ri + R j në A. Atëherë, det (B) = b j 1 |B j 1 |+···+ (−1) j +n b j n |B j n |

= (r a i 1 + a j 1 )|B j 1 |+···+ (−1) j +n (r a i n + a j n )|B j n | = r a i 1 |B j 1 |+···+ (−1) j +n r a i n |B j n | + a j 1 |B j 1 |+···+ (−1) j +n a j n |B j n | = r det (C) + det (A) ku C është përfituar duke i ndëruar vendet rreshtave të A-së. Pra, det (C) = 0 dhe det (B) = det (A).





Teorema 3.2. Një matricë A ka të anasjelltë atëherë dhe vetëm atëherë kur det (A)



= 0.

Vërtetim: Le të jetë A një matricë e dhënë. Llogarisim formën row eçelon të A-së. Atëherë

det (A) = r · det (H)

= 0. Matrica A ka të anasjelltë atëherë dhe vetëm atëherë kur H ka pivotë në çdo për disa konstante r  rresht. Meqënëse H është trekëndore, atëherë përcaktori i saj është prodhimi i këtyre pivotëve. Pra, A ka

94

T. Shaska

= 0. Si rrjedhim, A ka të anasjelltë atëherë dhe vetëm të anasjelltë atëherë dhe vetëm atëherë kur det (H)  = 0. atëherë kur det (A)  Lema 3.3. Le të jetë A,B Mat n ×n (k ). Në qoftë se det (A)

∈

= 0 atëherë det (AB) = 0.

Vërtetim: Ushtrim për lexuesin. Teorema 3.3. Le të jetë A,B Mat n ×n (k ). Atëherë

∈

det ( AB) = det (A) det (B). Vërtetim: Së pari supozojmë se A është diagonal. Atëherë, për të përfituar matricën AB, çdo rresht i B-së

shumëzohet me A i ,i . Pra, det (AB) = (a 11 ··· a nn ) · det (B) = det (A) · det (B). Supozojmë se A ka të anasjelltë (në rast të kundërt teorema është e vërtetë si rrjedhim i Lemës së më sipërme). Atëherë, A mund të kthehet në formën diagonale D duke kryer veprime me rreshtat (shumëzimi me konstante nuk është i lejuar). Kështu që, D = EA për një matricë elementare E ku E korespondin me kembim radhësh ose mbledhje radhësh. Pra, det (A) = (−1)r · det (D), për disa r . Atëherë, E(AB) = (EA)B = DB. Pra, kemi det (AB) = (−1)r · det (DB) = (−1)r · det (D) · det (B) = det (A) · det (B). Kjo plotëson vërtetimin. Shembull 3.5. Gjej përcaktorin e matricës AB kur

  = 

A :

1 2 9 12

0 2 2 10

0 0 4 2

0 0 , 0 5

 

B

  = 

3 2 21 13

0 1 -7 2

0 0 2 31

0 0 0 2

 

Zgjidhje: Meqënëse të dyja janë matrica trekëndore dhe det (AB)

= det (A) · det (B) kemi det (AB) = (1 · 2 · 4 · 5) · (3 · 1 · 2 · 2) = 480

3.1.1 Llogaritja e përcaktorëve Të llogaritësh një përcaktor sikurse e kemi përshkruar më sipër është një proçes i gjatë. Gjithësesi ne mund të bëjmë veprime me rreshtat për ta llogaritur përcaktorin më shpejt.

3.1. PËRCAKTORËT

95

Algorithm 6. Input: Një matricë katrore A Output: Përcaktori i A-së 1) Redukto A -në në formënrow-eçelon duke përdorur vetëm mbledhje dhendërrim të rreshtave. 2) Në qoftë se gjatë kësaj proçedure të gjithë elementët e një prej rreshtave bëhen zero atëherë det (A) = 0, në të kundërt det (A) = (−1)r ·

n



p i

i =1

ku p i -të janë pivotët dhe r është i barabartë me sa herë i kemi ndëruar vendet rreshtave.

Ushtrime:

1. Le të jetë A një matricë (n × n ) e cila ka të anasjelltë. Vërteto se det (A −1 ) =

1 det (A)

2. Gjej përcaktorin e



A

1 1 2

1 1 0

1 1 1

A

1 0 2

0 1 0

1 0 1

 =  =   = 

A

5 1 3 0

-1 2 1 4

0 1 -2 -1

,

B

2 2 4

,

B

2 2 -1

1 -1 0

5 3 3 2

2 2 1 4

    2 0 4 2

 

, B

 =  =   = 

dhe përdor rezultatin për të gjetur det (A −1 ) dhe det (B−1 ).

1 -1 0

3 0 3 3 0 5 0 1 -2 -1

    2 0 4 2

 

= 0. A ka ndonjë zgjidhje sistemi A x = b ? 5. Le të jetë A një matricë e tillë që det (A)  6. Le të jetë A e dhënë si më poshtë

=

A

a c

b d



Cili është kushti për a , b , c , d e tilla që A të ketë të anasjelltë? Gjej të anasjelltin.

96

T. Shaska

7. Le të jetë C një matricë e cila ka të anasjelltë. Vërteto se det (A) = det (C−1 AC). 8. Përcaktori i një matrice A n × n është det (A) = 3. Gjej det (2A), det ( − A), dhe det (A 3 ). 9. Le të jetë A një matricë n × n . Në qoftë se çdo rresht i A-së shumëzoeht me 0 vërteto se det (A) = 0. 10. Le të jetë A një matricë n ×n . Nëqoftë se çdo rresht i A-së shumëzohet me1 vërteto se det (A −I) = 0. A sjell kjo si rrjedhim se det (A) = 0 ?

3.2 Rregulli i Kramerit dhe matricat axhoint Deri tani kemi zgjidhur sisteme lineare duke përdorur metodën e Gausit. Në këtë seksion do të shohim një metodë tjetër, e cila do të na japë një formulë për zgjidhjen e sistemeve lineare. Le të jetë një sistem linear A · x = b i dhënë ku

A = [a i , j ]

   = 

a 1,1 a 2,1 a 3,1

a 1,2 a 2,2 a 3,2

a 1,3 a 2,3 a 3,3

a 1,n a 2,n a 3,n

. .. . .. . ..

· · ·

   

   = 

x 1 x 2 x 3

, x

   

, b

   = 

b 1 b 2 b 3

   

.

a m ,1 a m ,2 a m ,3 . .. a m ,n x m b m Për çdo k = 1,...,n , përkufizojmë matricën B k të jetë matrica e përfituar nga zëvendësimi i kolonës së k -të të A-së me vektorin b si më poshtë:

   =   

a 1,1 a 2,1 a 3,1

a 1,2 a 2,2 a 3,2

Bk

a m ,1

a m ,2

a 1,3 a 2,3 a 3,3

· · · · ·

a m ,3

... ... ... ... ... ... ... ... ...

b 1 b 2 b 3 . . b i . . b n

... ... ... ... ... ... ... ... ...

a 1,n a 2,n a 3,n

a m ,n

     

Teorema 3.4. ( Kramer ) Në qoftë se A është matricë e cila ka të anasjelltë, atëherë sistemi linear

A x = b ka një zgjidhje të vetme të dhënë nga x k =

det (Bk ) , det (A)

p ër

k = 1,...,n .

3.2. RREGULLI I KRAMERIT DHE MATRICAT AXHOINT

97

Vërtetim: Zgjidhja është x A −1 b. Shtjellojmë det Bk në kofaktorët e kolonës së k-të. Kemi

=

det Bk = b 1 A 1k +···+ b n A nk . Duke shumëzuar me

1 , ky është komponenti i k-të i vektorit x . det A

Shembull 3.6. Zgjidh sistemin e mëposhtëm me anë të rregullit të Kramerit



2x + 3 y = 5 5x − y = 7

Zgjidhje: Atëherë

=

A

2 5

3 , -1



B1

=

5 7

3 , -1



B2

=

2 5

5 7



dhe det (A) = −17,

det (B1 ) = −26,

Pra, x 1 =

26 , 17

x 2 =

det (B2 ) = −11 11 17

Tani mund të ilustrojmë sistemin linear me pesë ekuacione dhe pesë të panjohura. Shembull 3.7. Zgjidh sistemin linear A x b, ku A është si në Shembullin 3.3 dhe

=

b

   = 

1 0 0 -1 0

  

Zgjidhje: Sikurse në Shembullin (3.3) përcaktori i A -së është det (A)

= −121. Llogarisim det (B1 ) = −61, det (B2 ) = −14, det (B3 ) = 44, det (B4 ) = −8, det (B5 ) = 28

Atëherë, zgjidhja e sistemit është

61 121

   =  −  

14 121

x

4 11

8 121

28 − 121

     

98

T. Shaska

Një sistem linear A x = b i tillë që b = 0 quhet sistem homogjen. Teorema 3.5. Një sistem homogjen ka një zgjidhje jozero atëherë dhe vetëm atëherë kur det (A)

= 0.

Vërtetim: Ushtrim.

3.2.1 Axhoint-ët e matricave Ekzistenca e të anasjelltit të një matrice varet nga fakti nëse përcaktori i matricës është 0. Natyrisht ne duam të gjejmë një formulë për gjetjen e të anasjelltin të një matrice në lidhje me përcaktorin. Përkufizim 3.4. LetëjetëA [a i , j ] një matricë n n , me elementë nga C. Për çdo element a i , j , kofaktori korespondues është i përkufizuar si

=

×

c i , j = (−1)i + j det (A i j )

shih (3.1). Krijojmë matricën C = [c i , j ]. Le të jetë C¯ := [ ¯c i , j ], ku ¯c i , j është i konjuguari kompleks i c i , j . Matrica adj (A) := C¯



quhet axhoint e A-së.

t

Shembull 3.8. Gjej axhointin e matricës:

 =

i+1 0 i

 =  =

-2i -1-i 4

0 0 0

2 1-i -2+2i

2i -1+i 4

0 0 0

2 1+i -2-2i

A

2 2i 1

i-1 0 -1

 

Zgjidhje: Atëherë

C Pra, C¯ dhe

adj (A)

 =

-2i 0 2

-1-i 0 1-i

   

4 0 -2+2i

 

3.2. RREGULLI I KRAMERIT DHE MATRICAT AXHOINT

99

Vërejtje. Kini parasysh se në qoftë se matrica ka elementë në R, atëherë nuk është e nevojshme të marrim të konjuguarit e c i , j meqënëse i konjuguari i një numri realë është po ai numër. Kjo është arsyeja pse në shumë libra të cilët trajtojnë vetëm matrica me elementë nga R përkufizimi i axhoint nuk përmend marrjen e të konjuguarëve. Shembull 3.9. Le të jetë A matrica e mëposhtme.

  =

A :

1 0 2 1

2 2 1 1

0 0 -1 2

-1 0 1 -1

 

Zgjidhje: Atëherë, axhointi saj është

adj (A)

  =

-2 0 6 10

5 -6 -3 -7

-4 0 0 -4

-2 0 -6 -2

 

Teorema 3.6. Le të jetë A një matricë e cila ka të anasjelltë dhe adj (A) axhoint i saj. Atëherë

A · adj (A) = adj (A) · A = det (A) · In Vërtetim: Ushtrim.

=0 Nga teorema e mësipërme arrijmë në përfundimin se për një matricë të dhënë A e tillë që det (A)  kemi 1 A −1 = adj (A) det (A) Atëherë e anasjellta e matricës A jepet si më poshtë

A −1 =

1 adj (A) det (A)

c 11 A c 12 A

c 21 | A | c 22 | A |

 ||  | | =  .. .

.. .

c 1n | A |

Shembull 3.10. Gjej axhointin e A -së

 =  =

A Zgjidhje: Axhointi është

adj (A)

1 4 7

2 5 8 -3 6 -3

c 2n | A |

3 6 9 6 -12 6

Vini re se det (A) = 0, pra kjo matricë nuk ka të anasjelltë.

 

··· ··· ..

···

.

-3 6 -3

.

 

c n 1 | A | c n 2 | A |

.. .

c nn | A |

   

100

T. Shaska

Ushtrime:

1. Le të jetë kurba A + B y + Cx + D y 2 + Ex y + x 2 = 0 e dhënë e cila kalon nga pikat ( x 1 , y 1 ),...,(x 5 , y 5 ). Përcakto A,B,C,D dhe E. Ky ishte problem i parë për të cilin Kramer ishte i interesuar kur zbuloi këtë formula. 2. Duke përdorur rregullin e Kramerit zgjidh sistemin A x = b,ku 5 1 3 0

  =

A

-1 2 1 4

0 1 -2 -1

2 0 4 2

 

, b

  =

5 3 3 2

 

3. Gjej axhointin e

 =

A

1 0 2

0 1 0

1 0 1

 

,

B

dhe përdore rezultatin për të gjetur A −1 dhe B−1 .

 =

2 2 -1

1 -1 0

  = 

5 3 3 2

2 2 1 4

3 0 5

 

0 1 -2 -1

2 0 4 2

4. Gjej axhointin e

  = 

A

5 1 3 0

-1 2 1 4

0 1 -2 -1

2 0 4 2

 

, B

dhe përdore rezultatin për të gjetur A −1 dhe B−1 .

 

5. Përcakto në qoftë se matrica

  =

A :

ka të anasjelltë.

1 0 2 1

0 1 1 0

0 0 -1 2

-1 0 1 -1

 

6. Le të jenë f , g si më poshtë: f (x ) = a l x l +···+ a 0 g (x ) = b m x m +···+ b 0

(3.3)

3.2. RREGULLI I KRAMERIT DHE MATRICAT AXHOINT Matrica

S yl ( f , g , x )

    =   

a l a l −1 a l −2 . . a 1 a 0

a l a l −1 a l −2 . . a 1 a 0

. . . . . . .

. . . . . .

101

a l a l −1 a l −2 . . . a 0

b m b m −1 b m −2 . . b 0

b m b m −1 . . . b 0

. . . . . .

    −   

. . b m . b m 1 . . . . . . . b 0

(3.4)

quhet matrica Silvester e f (x ) dhe g (x ). Rezultanti i f (x ) dhe g (x ), e shënuar me Res ( f , g , x ), është Res ( f , g , x ) := det (S yl ( f , g , x )). Pohimi i mëposhtëm është një fakt elementar në algjerën e polinomeve: Polinomët f (x ) dheg (x ) kanë njëfaktortë përbashkët në k [x ] atëherë dhevetëmatëherë kur Res ( f , g , x ) = 0. Le të jetë F(t ) = u (1 + t 2 ) − t 2

G(t ) = v (1 + t 2 ) − t 3

(3.5)

Gjej Res (F,G,t ). 7. Le të jetë f (x ) = x 5 − 3x 4 − 2x 3 + 3x 2 + 7x + 6 g (x ) = x 4 + x 2 + 1

Gjej Res ( f , g , x ). 8. Le të jetë

f (x ) = a n x n + ... a 1 x + a 0

dhe f  (x ) derivati i tij. Përkufizojmë dallorin ∆ f e f (x ) në lidhje me x si më poshtë: n (n −1)

(−1) 2 ∆ f := a n

Res ( f , f  , x ).

Pohimi i mëposhtëm është një fakt elementar në algjerën e polinomeve:

(3.6)

102

T. Shaska

Polinomi f (x ) ka rrënjë të dyfishta atëherë dhe vetëm atëherë kur ∆ f = 0. A ka

f (x ) = 6x 4 − 23x 3 − 19x + 4

ndonjë rrënjë të dyfishtë në C? 9. Gjej b -në e tillë që

f (x ) = x 4 − bx + 1

ka një rrënjë të dyfishtë në C. 10. Gjej p -në e tillë që

f (x ) = x 3 − px + 1

ka një rrënjë të dyfishtë në C.

3.3 Eigenvlerat, eigenvektorët dhe eigenhapësirat Lexuesi, besoj se e ka vënë re se është shumë më e lehtë të punosh me matrica diagonale. Për shem x = b është bull, në qoftë se A është diagonale atëherë det (A) është i lehtë për tu gjetur, një sistem linear A i lehtë për tu zgjidhur dhe A n është e lehtë për tu llogaritur. Si mund të "transformohet"një matricë në një matricë diagonale? Në këtë seksion do të studiojmë një nga konceptet më të rëndësishme të algjebrës lineare sikurse eigenvlerat, eigenvektorët dhe eigenhapësirat. Rëndësia e tyre do të jetë e qartë në seksionin tjetër. Përkufizim 3.5. Letë jetë A një matricë n n . Njëskalar jozero λ quhet një eigenvlerë në qoftë se ekziston një vektor jozero v i tillë që A v λ v

×

=

Vektori v quhet eigenvektori, i cili i korenspondon λ-së. Pohim 3.1. Pikat e mëposhtme janë ekuivalente: 1) λ është një eigenvlerë i A -së 2) det (λI A) 0

− =

Vërtetim: Për të llogaritur eigenvlerat dhe eigenvektorët e vëmë re se

A v = λ v =⇒ (A − λI) v = 0 Pra, një eigenvlerë është një skalar λ për të cilin sistemi (A − λI) x = 0 ka një zgjidhje jotriviale. Dimë se ky sistem ka një zgjidhje jotriviale atëherë dhe vetëm atëherë kur përcaktori i matricës koefiçient është zero. Kështu që, ne duam të gjejmë λ të tillë që det (A − λI) = 0.

3.3. EIGENVLERAT, EIGENVEKTORËT DHE EIGENHAPËSIRAT

103

Le të jetë A = [a i , j ] një matricë e dhënë. Atëherë ekuacioni i mësipërm mund të shkruhet si a 1,1 − λ a 2,1 a 3,1

a 1,2 a 2,2 − λ a 3,2

det (A − λI) = a n ,1

a 1,3 a 2,3 a 3,3 − λ

· · ·

a n ,2

a n ,3

a 1,n a 2,n a 3,n

... ... ...

...

· · ·

a n ,n − λ

Kjo plotëson vërtetimin. Duke llogaritur këtë përcaktor marrim një polinom në varësi të λ-së, të gradës të paktën n . Ky quhet polinomi karakteristik i A-së, të cilin e shënojmë me char (A, λ). Të gjesh eigenvlwrat e A-së është njëlloj si të gjesh rrënjët e polinomit char (A, λ). Rrjedhim 3.1. λ është një eigenvlerë atëherë dhe vetëm atëherë kur është një rrënjë e polinomit karakter-

istik. Vërejtje. Kujtoni nga algjebra se një polinom i gradës n mund të ketë të paktën n rrënjë. Kështu që një matricë n ×n mundtë ketëtë paktënn eigenvlera. Shiko ApendiksB për më shumëdetaje mbi polinomët. Shumëfishmëria e një eigenvlere, si një rrënjë e polinomit karakteristik quhet shumëfishmëri algjebrike e një eigenvlere. Për një eigenvlerë të fiksuar λ , eigenvektorët korespondues janë dhënë nga zgjidhjet e sistemit (A − λI) x = 0 Në të njëjtën mënyrë një hapësirë të tillë e kemi quajtur hapësirën nul të matricës koefiçient (A − λI). Përkufizim 3.6. Në qoftë se λ është një eigenvlerë e A-së, bashkësia

EL : = {v ∈ V | A v = λ v } quhet eigenhapësirë e A-së që i korenspondon λ-së. Dimensioni i eigenhapësirës quhet shumëfishmëri gjeometrike e eigenvlerës λ. Vërejtje. Mund të tregohet se shumëfishmëria gjeometrike është gjithmonë ≤ se shumëfishmëria algjebrike. Të gjesh eigenvlerat kërkon të zgjidhësh ekuacionin e një polinomi, gjë e cila mund të jetë e vështirë për polinome të gradave të larta. Pasi kemi gjetur eigenvlerat atëherë përdorim sistemin linear (A − λI) x = 0 për të gjetur eigenvektorët. E paraqesim këtë në shembullin e mëposhtëm. Shembull 3.11. Gjej polinomin karakteristik dhe eigenvlerat e matricës:

=

A

1 5

2 . 4



Zgjidhje: Polinomi karakteristik është

char (A, λ) = det (A − λI) =

1−λ 5

2 4−λ

2

= (1 − λ)(4 − λ) − 5 · 2 = λ − 5λ − 6 = (λ + 1)(λ − 6)

104

T. Shaska

Eigenvlerat janë λ1 = −1 dhe λ2 = 6. Të dyja kanë shumëfishmëri algjebrike 1. Në qoftë se λ1 = −1 sistemi ndryshon: 2 x = 0 2

1 5

−  dhe zgjidhja e tij është v 1

Eigenhapësira e tij është

-1 1

= 

Eλ1 =〈v 1 〉. Ka dimension 1 dhe si rrjedhim shumëfishmëri gjeometrike e λ1 = −1 është gjithashtu 1. Për λ2 = 6 sistemi bëhet:



-5 5

2 x = 0 -2



dhe zgjidhja e tij është v 2

Eigenhapësira e tij është

1

=  5 2

Eλ2 =〈v 2 〉.

Kjo eigenhapësirë gjithashtu ka dimension 1 dhe si rrjedhim shumëfishmëri gjeometrike i λ 2 = 6 është gjithashtu 1. Shembull 3.12. Gjej eigenvlerat dhe shumëfishmëritë e tyre për matricën

  =

A :

1 2 0 0

0 1 0 0

2 0 2 1

1 -1 0 -2

 

Zgjidhje: Polinomi karakteristik është

char (A, x ) = (x − 1)2 (x − 2)(x + 2) Kështu që janë tre eigenvlera, λ 1 = 1, λ 2 = −2, λ3 = 2. Eigenvlera λ 1 = 1 ka shumëfishmëri algjebrike 2, ndërsa të tjerët kanë shumëfishmëri algjebrike 1. Për të gjetur shumëfishmëritë gjeometrike për λ 1 , λ2 , λ3 duhet të gjejmë eigenvektorët korespondues. Duke zgjidhur sistemin korespondues kemi

v 1

  =

0 1 0 0

 

, v 2

  =

1 - 35 0 -3

 

, v 3

  =

9 17 4 1

 

Kështu që shumëfishmëritë gjeometrike për λ1 , λ2 , λ3 janë respektivisht 1, 1, 1.

3.3. EIGENVLERAT, EIGENVEKTORËT DHE EIGENHAPËSIRAT

105

Më poshtë do të shohim një shembull kur shumëfishmëritë algjebrike dhe gjeometrike janë të njëjtë për çdo eigenvlerë. Shembull 3.13. Gjej eigenvlerat dhe shumëfishmëritë e tyre për matricën

  = 

A :

1 0 1 0

0 1 -1 0

0 0 2 0

1 2 3 -2

 

Zgjidhje: Polynomi karakteristik është

char (A, x ) = (x − 1)2 (x − 2)(x + 2) Kështu që janë tre eigenvlera, λ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = 2. Eigenvlera λ1 = 1 ka shumëfishmëri algjebrike 2 dhe të tjerët kanë shumëfishmëri algjebrike 1. Për të gjetur shumëfishmëritë gjeometrike për λ1 , λ2 , λ3 duhet të gjejmë eigenvektorët e tyre korespondues. Duke zgjidhur sistemin korespondues kemi: Për λ = 1 eigenvektorët janë 1 -1 1 0 u = , u = 0 1 0 0

 

 

 

 

 

  = 

Kështu që shumëfishmëria gjeometrike e λ1 = 1 është 2. Për λ2 dhe λ3 eigenvektorët janë respektivisht v 2 dhe v 3 , si më poshtë:

v 2

  = 

1 2 5 2

-3

, v 3

0 0 1 0

 

Pra, shumëfishmëria geometrike për λ2 dhe λ3 është 1. Vërejtje. Do shikojmë në kapitullin tjetër se dy shembujt e mësipërm paraqesin dy klasa të matricave. Ne do të mësojmë se si të veprojmë me secilën nga këto klasa. Ushtrime:

1. Gjej eigenvlerat dhe shumëfishmëritë algjebrike dhe gjeometrike të tyre, për secilën nga matricat

  = 

A

5 1 3 0

-1 2 1 4

0 1 -2 -1

2 0 4 2

 

, B

  = 

5 3 3 2

2 2 1 4

0 1 -2 -1

2 0 4 2

 

106

T. Shaska

2. Le të jetë A një matricë diagonale n × n e dhënë si më poshtë

  =

A

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 0

0 0 0 4

 

Cilat janë eigenvlerat dhe t shumëfishmëritë e tyre? 3. Llogarit eigenvlerat dhe shumëfishmëritë e tyre për matricën A 3 , ku A është e njëjtë si në shembullin e mësipërm.

= 0. Supozojmë se të gjithë elementët në 4. Le të jetë A një matricë diagonale n × n e tillë që det (A)  diagonale janë të ndryshëm. Sa eigenvlera të ndryshme ka A dhe cilat janë shumëfishmëritë e tyre? 5. Le të jetë A një matricë 2 me 2 me trace T dhe përcaktorD. Gjej një formulë e cila të jap eigenvlerat e A-së në termat e T-së dhe D-së.

6. Le të jetë A dhe B e dhënë si më poshtë:

  =

A

5 1 3 0

-1 2 1 4

0 1 -2 -1

2 0 4 2

 

, B

  =

5 3 3 2

2 2 1 4

0 1 -2 -1

2 0 4 2

 

Gjej eigenvlerat e tyre. Në secilin rast llogarit shumën dhe prodhimin e eigenvlerave dhe krahasoi me tracenë dhe përcaktorin e matricës.

7. Vërteto se një matricë katrore ka të anasjelltë atëherë dhe vetëm atëherë kur të gjithë eigenvlerat janë jozero.

8. Le të jetë A një matricë 3 me 3. A mund të gjeni një formulë e cila të përcaktojë eigenvlerat e A-së në qoftë se njohim trace dhe përcaktorin e A-së?

9. Gjej polinomin karakteristik, eigenvlerat dhe eigenvektorët e matricës

 =

A

-1 1 3

-1 1 1

0 1 -2

 

3.4. METODAT ITERATIVE PËR GJETJEN E EIGENVLERAVE

107

3.4 Metodat iterative për gjetjen e eigenvlerave Deri tani metoda e vetme për gjetjen e eigenvlerave të një matrice është zgjidhja e polinomeve karakteristik. Në këtë seksion do të japim një metodë të re e cila shmang polinomin karakteristik dhe merr një polinom të përafërt me të, duke përafruar një eigenvektor fillimisht dhe më pas do të përdorim pikërisht këtë eigenvektor për të gjetur eigenvlerat përkatëse.

3.4.1 Metoda fuqi Metoda fuqi aplikohet mbi një matricë n × n e cila ka një eigenvlerë dominuese λ 1 , ku eigenvlera dominuese është ajo që në vlerë absolute është më e madhja. Për shembull, në qoftë se një matricë ka eigenvlerat −4, −3,1 dhe −4 atëherë eigenvlera e tij dominuese është −4. Teorema 3.7. Le të jetë A një matricë e diagonalizueshme me eigenvlerë dominuese λ1 . Aëherë gjendet një vektor x 0 , jo-zero i tillë që vargu i vektorëve x k , i përkufizuar si: x 1 A x 0 , x 2 A x 1 ,..., x k A x k −1 ,...

=

=

=

i afrohet eigenvlerës dominante.

3.5 Matrica të ngjashme, diagonalizimi i matricave. Në këtë seksion do të studiojmë konceptin e ngjashmërisë së matricave. Do të përcaktojmë kushte të nevojshme dhe të mjaftueshme që një matricë të jetë e ngjashme me një matricë diagonale. Kur kjo të jetë e mundur do të gjejmë algoritmin për të përcaktuar këtë matricë diagonale. Përkufizim 3.7. Dy matrica A dhe B quhen të ngjashme Në qoftë se existon një matricë C e tillë që

A = C−1 BC. Dy matrica të ngjashme A dhe B i shënojmë me A ∼ B. Lema 3.4. Vetia e ngjashmërisë është një veti ekuivalence. Vërtetim: Relacioni i mësipërm është refleksiv sepse A I−1 AI.

=

Në qoftë se A ∼ B, atëherë ekziston një matricë C e tillë që A = C−1 BC. Duke shumëzuar nga e majta −1 me C dhe nga e djathta me C −1 kemi që B = CAC−1 . Pra, B = C−1 AC−1 . Kështu që B ∼ A. Në qoftë se A ∼ B dhe B ∼ C, atëherë ekzistojnë matricat M dhe N të tilla që

 

A = M−1 BM dhe B = N−1 CN Pra kemi A = M−1 BM = (M−1 N−1 ) · C · (NM) = (NM)−1 C(NM). Kështu që A ∼ C dhe relacioni është kalimtar. Teorema e mëposhtme është përfundimi më i rëndësishëm i këtij seksioni. Nuk do ta kryejmë vërtetimin e saj.

108

T. Shaska

Teorema 3.8. Le të jetë A një matricë n n dhe

×

λ1 ,..., λi ,..., λs

të gjitha eigenvlerat e ndryshme të A -së. Në qoftë se për çdo λ i shumëfishmëria gjeometrike është e njëjtë me shumëfishmërinë algjebrike, themi alg. mult.(λi ) = geom. mult. ( λi ) = e i Atëherë

A = CDC−1

ku D është matrica diagonale e dhënë më poshtë

D

   =  

λ1

... λ1 λ2

... λ2

... λn

.. . λn

dhe



C = v 1,1 ,... v 1,e i , v 2,1 ,..., v 2,e 2 ,... v s ,e s si dhe v i ,1 ,..., v i ,e i është një bazë për eigenhapësirën Eλi .

     

   

e 1

e n



Matricën C në teoremën e mësipërme e quajmë matricë tranzicioni të A-së të shoqëruar me D. Shohim dy shembuj në lidhje me teoremën e mësipërme. Shembull 3.14. Le të jetë

  = 

A

2 -1 2 1

1 0 1 0

0 -1 0 -1

2 0 1 1

 

Zgjidhje: Polinomi i saj karakteristik është

char (A, λ) = (λ2 − 2λ + 2)(λ2 − λ − 1) Eigenvlerat janë



1 5 1 ± i, ± 2 2 dhe shumëfishmëria algjebrike e tyre është 1. Tani gjejmë shumëfishmërinë gjeometrike për çdo eigenvlerë. λ = 1 + i: atëherë zgjidhim sistemin A − (1 + i)In = 0

3.5. MATRICA TË NGJASHME, DIAGONALIZIMI I MATRICAVE.

109

Zgjidhja është 1

  = − +

1 i 1 0

v 1

 

dhe eigenhapësira koresponduese ka dimension 1. Në të njëjtën mënyrë, në qoftë se λ = 1 − i atëherë eigenvektori është: 1

  =  − −

1 i 1 0

v 2

Në qoftë se λ3 = 12 +



5 2 , λ4

= 21 +



5 2 , atëherë eigenvektorët korespondues janë

− +      =     −   13 2

5 2

− 72

5 2

5

1

,

v 4

6 3 5

15 2

− −      =     −   13 2

5

1

v 3

 

6 3 5

15 2

− 72

5

5

Pra, meqënëse shumëfishmëria algjebrike e çdo eigenvlere është e njëjtë me shumëfishmërinë gjeometrike, atëherë A është e ngjashme 1+i 0 0 0 0 1−i 0  0 D= 5 1 0 0 0 2+ 2 5 1 0 0 0 2− 2

  

  

Matrica e tranzicionit në këtë rast është C = [v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ]. Lema 3.5. Matricat e ngjashme kanë eigenvlera të njëjtë. Vërtetim: Le të jetë A B, themi se

∼

A = C−1 BC

për ndonjë matricë C e cila ka të anasjelltë. Atëherë, char (A, λ) = det (A − λ I) = det (A − λ I) · det (C−1 ) · det (C)

= det = det

C 1 (A − λI)C

− −

C 1 AC − λI

det C 1 AC − λC−1 IC

=  −

=



det (B − λI) = char (B, λ).

Kështu që, polinomi karakteristik është i njëjtë. Pra, A dhe B kanë eigenvlera të njëjtë. Lema 3.6. Le të jetë A një matricë n n dhe

×

λ1 , λ2 ,..., λn

110

T. Shaska

eigenvlerat e tyre (jo domozdoshmërishttë ndryshëm) të tilla që shumëfishmëriaalgjebrike dhegjeometrike janë të njëjtë. Atëherë, tr (A) = λ1 + λ2 +···+ λn . Vërtetim: Ushtrim

3.5.1 Diagonalizimi i matricave Duam të shohim rastin e mëposhtëm: Na është dhënë një matricë A, gjej një matricë diagonale D të tillë që A është e ngjashme me D. Gjithashtu, gjej matricën C e cila lidh A dhe D. Teorema e mësipërme jep një algoritëm se si mund ta zgjidhim këtë shembull. Algorithm 7. Input: Një matricë A, me dimensione n × n Output: Matricat C dhe D të tilla që A = CDC−1

Në qoftë se A është e diagonalizueshme, në të kundërt shkruaj ’A nuk është e diagonalizueshme’ . i) Llogarit eigenvlerat e A -së dhe shumëfishmëritë algjebrike të tyre . ii) Për çdo eigenvlerë λ 1 , llogarit shumëfishmërinë gjeometrike të λ i dhe eigenvektorët korespondues v i ,1 ,..., v i ,s iii) Krijo matricat D dhe C si në teoremën e mësipërme. Shembull 3.15. Le të jetë A një matricë 4 4 e dhënë si më poshtë

×

  = 

A :

9 -2 -6 4

0 1 0 4

0 -3 6 3

0 -4 0 11

 

Gjej në qoftë se kjo matricë është e diagonalizueshme dhe nëse po, gjej një matricë diagonale D të ngjashme me A dhe matricën transitive C të shoqëruar me D. Zgjidhje: Polinomi karakteristik i A -së është

char (A, x ) = (x − 3)(x − 6)(x − 9)2 . Kështu që, eigenvlerat janë λ1

= 3,

λ2

= 6,

λ3

=9

me shumëfishmëri algjebrike1, 1, dhe 2 respektivisht. Eigenvektorët korespondues të λ1 , λ2 , λ3 janë respektivisht v 1 , v 2 , dhe w 1 , w 2 si më poshtë

v 1 :

  = 

0 -2 0 1

 

, v 2 :

  = 

0 1 -3 1

 

, w 1 :

  = 

2 1 -4 0

 

, w 2 :

  = 

1 0 -2 1

 

3.5. MATRICA TË NGJASHME, DIAGONALIZIMI I MATRICAVE.

111

Pra, shumëfishmëritë gjeometrike janë respektivisht 1,1, dhe 2. Si rrjedhim matrica A është e diagonalizueshme dhe C dhe D janë

D

  = 

3 0 0 0

0 6 0 0

0 0 9 0

0 0 0 9

, C :=

 

0 -2 0 1

 

0 1 -3 1

2 1 -4 0

1 0 -2 1

 

Shembull 3.16. Le të jetë A një matricë 3 me 3 si më poshtë

 =

A

2 0 0

1 2 0

0 0 3

 

.

Kontrollon nëse A është e ngjashme me një matricë diagonale. Zgjidhje: Atëherë char (A, λ)

eigenhapësira jepet nga

= (λ − 2)2 (λ − 3). Për eigenvlerën λ = 2, shumëfishmëria algjebrike është 2 dhe 0 E2 = {t 1 0

   | ∈

t Q}

Shumëfishmëria gjeometrike është 1, kështuqë A nuk është e ngajshme me matricën diagonaletë eigenvlerave. Lema 3.7. Le të jetë A e ngjashme me një matricë diagonale D e tillë që A C−1 DC. Atëherë

=

A n = (C−1 )Dn C Vërtetim: Ushtrim për lexuesin. Ushtrime:

1. Le të jetë A një matricë n × n me polinom karakteristik char (A, λ) = a n λn + αn −1 λn −1 +···+ a 1 λ + a 0 . Vërteto se

tr (A) = (−1)n −1 · a n −1 .

2. Diagonalizo (Në qoftë se është e mundur) matricën:

  = 

A

3 -1 2 1

1 0 1 0

4 -1 0 -1

2 0 1 1

 

112

T. Shaska

3. Le të jetë

  =

A

2 -1 5 1

1 0 1 0

3 -1 0 -1

2 0 1 3

 

, dhe B

Përcakto në qoftë se A dhe B janë të ngjashme.

  =

3 -1 2 1

1 0 1 0

4 -1 0 -1

2 0 1 1

 

.

4. Le të jetë

  =

A

2 -1 5 1

1 0 1 0

3 -1 0 -1

2 0 1 3

 

  =

, dhe B

Përcakto në qoftë se A dhe B janë të ngjashme.

-10 + 11 -15 -15

-2 7 -2 -4

2 -5 5 5

3 1 4 3

 

.

5. Le të jetë 8 2

=

A

2 5



Gjej eigenvkerat dhe eigenvektorët e saj. Gjej shumëfishmërinë gjeometrike dhe algjebrike. Gjej matricat C,D të tilla që A = C−1 DC 6. Le të jetë

 =

A Gjej eigenvlerat e A-së. Llogarit A 11 .

1 3 2

2 5 6

4 2 9

 

7. Le të jetë A një matricë 4 me 4

A :

Vërteto se A = C−1 DC ku C:

Llogarit A 6 .

  = 

-2

-5

-2

-1

3 2

7 2

3 2

0

1 2

−1 2

−3 2

-1

5 2

−7

−1

1

  =   −

1 1 -1 1

2 1 1 1

1 -1 1 0

1 0 2 -1

2

 

,

2

  = 

D:

-1 0 0 0

    0 -1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 2

 


113

8. Llogarit A r për

=

A

-3 -2

5 4



ku r është një numër pozitiv.

Ushtrime programimi:

1) Shkruaj njëprogram kompjuteri i cili të përcaktojë nëse njëmatricë A është e diagonalizueshme dhe nëse po të llogarisë matricat C dhe D të tilla që A = C−1 DC. Programi nuk duhet të ekzekutohet, por të shkruhet në pseudo-code. Mund të supozoni ekzistencën e një funksioni i cili zgjidh ekuacione polinomiale të gradës n.

3.6 Ushtrime përsëritje 1. Le të jenë A dhe B dy matrica me eigenvlera të njëjta. A janë A dhe B domosdoshmërisht të ng jashme? Shpjego përgjigjen. 2. Gjej eigenvlerat dhe shumëfishmëritë algjebrike dhe gjeometrike për matricën

  = 

A

1 1 1 0

1 2 1 1

0 1 2 -1

2 0 4 2

 

3. Gjej eigenvlerat dhe shumëfishmëritë algjebrike dhe gjeometrike për matricën

B

  =

2 1 1 1

2 1 1 4

0 1 -2 -1

1 0 1 2

 

4. Një formë kuadratike është një ekuacion polinomial i gradës së dytë me tre ndryshore x , y , z , i cili ka formën F(x , y , z ) = ax 2 + by 2 + cz 2 + 2d x y + 2ex z + 2 f yz ku koefiçientët a deri në i janë numra realë. Marrim në konsideratë kurbën F(x , y , z ) = j . Atëherë ky ekuacion mund të shkruhet në formën x t A x j

=

114

ku

x y z

  = 

x

T. Shaska

 =

dhe A

a d e

d b f

e f c

 

Matrica A quhet matrica e shoqëruar me formën kuadratike F(x , y , z ). Ndonjë herë është ndihmëse nëse rrotullojmë boshtet xy në mënyrë të tillë që ekuacioni i kurbës së më sipërme të mos i ketë termat x y , yz , xz . Këto forma kuadratike quhen forma kuadratike diagonale. Le të jetë forma kuadratike F(x , y , z ) e dhënë si më poshtë F(x , y , z ) = 2x 2 + 3 y 2 + 5z 2 − x y − xz − y z . Gjej matricën tranzitive e cila transformon këtë formë në një formë diagonale. 5. Le të jetë F(x , y , z ) një formë kuadratike dhe A matrica e saj shoqëruese. Inertia e A-së, e shënuar me i n (A), është e përkufizuar si treshja i n ( A):= (n 1 ,n 2 ,n 3 ) ku n i për i = 1,2,3 përcakton numrat pozitivë, negative dhe zero të eigenvlerave të A-së respektivisht. Vërteto pikat e mëposhtme: i) Në qoftë se i n (A) = (3,0,0) atëherë forma kuadratike është një elipsoid. ii) Në qoftë se i n (A) = (2,0,1) atëherë forma kuadratike është një parabolë eliptike. iii) Në qoftë se i n (A) = (2,1,0) atëherë forma kuadratike është një hiperbolë of one sheet. iv) Në qoftë se i n (A) = (1,2,0) atëherë forma kuadratike është një hiperbolë of two sheets. v) Në qoftë se i n (A) = (1,1,1) atëherë forma kuadratike është një parabolë hiperbolike. vi) Në qoftë se i n (A) = (1,0,2) atëherë forma kuadratike është një cilindër parabolik. 6. Le të jetë sfera njësi në R3 me ekuacion x 2 + y 2 + z 2 = 1 të dhënë. Duke përdorur metodën e ushtrimit të mëparshëm, klasifikoje sipas listës së më sipërme. 7. Klasifiko sipërfaqen kuadratike 2x 2 + 4 y 2 − 5z 2 + 3x y − 2xz + 4 yz = 2.


115

8. Klasifiko sipërfaqen kuadratike x 2 + y 2 − z 2 + 3x y − 5xz + 4 yz = 1. 9. Klasifiko sipërfaqen kuadratike

x 2 + y 2 + z 2 = 1.

10. Vërteto se në qoftë se A është matricë diagonale, atëherë A është e ngjashme me A t . Ushtrime programimi:

1) Shkruaj një program kompjuteri, i cili përcakton nëse çdo dy matrica A dhe B janë të ng jashme. Përdor gjithçka që kemi përdor në Chapter 3, për ta bërë këtë program sa më efiçient që të jetë e mundur. 2) Dizenjo algoritmin më të mirë që të jetë e mundur për llogaritjen e përcaktorit të një matrice. Shpjego zgjedhjen tuaj.

116

T. Shaska

Kapitulli 4

Format kanonike Qëllimi kryesor i këtij kapitulli është të klasifikojmë transformimet e ndryshme lineare të një hapësire vektoriale apo klasat e ngjashmërisë së matricave. Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension n mbi fushën k dhe B një bazë e V-së. Gjithashtu, T : V → V është një funksion linear dhe A = MB (T) është matrica e tij shoqëruese. Duke zgjedhur një B  bazë tjetër B për V na jep një matricë të re B = MB (T) të shoqëruar me T, të quajtur B B = P−1 AP ku P = MB (i d ), shiko Kapitullin 2. A mund të gjejmë B të tillë që matrica shoqëruese e T-së të jetë sa B më e thjeshtë? Strategjia është të zgjedhim B të tillë që B të jetë sa më afër me matricën diagonale. Kemi dy raste: i) k nuk i përmban të gjithë eigenvlerat e A-së ii) k i përmban të gjithë eigenvlerat. Këto dy raste na sjellin respektivisht tek forma racionale kanonike dhe forma kanonike e Xhordanit të cilat do ti studiojmë ne seksionet 2 dhe 3.

4.1 Vetitë elementare të polinomëve Në këtë seksion do të përsërisim disa nga vetitë elementare të polinomëve. Për më shumë detaje lexuesit e interesuar mund të lexojnë [?SB], [?Sh-gal] ose [?DF]. Si më sipër, me fushë k do të kuptojmë një nga bashkësitë e mëposhtme: Q , R, or C. Një polinom f (x ) me koefiçientë në k jepet si më poshtë f (x ) = a n x n + a n −1 x n −1 +···+ a 1 x + a 0 ku a 0 ,..., a n ∈ k . a n quhet koefiçienti i parë i f (x ). Polinomi f (x ) quhet monik në qoftë se a n = 1. Përcaktojmë si k [x ] bashkësinë e të gjithë polinomëve nëx me koefiçientënga k . Letë jenë f , g ∈ k [x ]. Me f + g , f ·g përcaktojmë mbledhjendhe shumëzimin e zakonshëm të polinomëve. Bashkësia e të gjithë p (x ) funksioneve racional q (x ) përcaktohet nga k (x ), k (x ) :

p (x ) p (x ), q (x ) ∈ k [x ] q (x )

  =

117



118

T. Shaska

dhe është një fushë. Teorema në vazhdim vërteton se algoritmi i mirënjohur i Euklidit aplikohet edhe për polinomet. Teorema 4.1. ( Algoritmi i Euklidit ) Le të jenë f , g k [x ] dhe supozojmë se g 0. Atëherë ekzistojnë

∈

numrat e vetëm r, q ∈ k [x ], të tillë që

=

f = q · g + r

ku deg r < deg g . Polinomi r (x ) quhet mbetje e pjes¨timit të f (x ) me g (x ). Në qoftë se r (x ) është polinomi zero (dmth, r (x ) ≡ 0) atëherë themi se g (x ) pjesëton f (x ) dhe shkruhet si g (x ) | f (x ). Në qoftë se α ∈ k e tillë që f (α) = 0 themi se α është një rrënjë për f (x ). Si rrjedhim kemi: Rrjedhim 4.1. Le të jetë f k [x ] dhe α k të tillë që f (α)

∈

∈

= 0. Atëherë f (x ) = (x − α) · g (x ).

Le të jetë f (x ) një polinom dhe α një rrënjë e f (x )-it, e tillë që f (x ) = (x − α)e · g (x ) dhe (x − α)  g (x ). Numri e quhet shumëfishmëri e rrënjës α. Rrjedhim 4.2. Le të jetë k një fushë e tillë që çdo polinom jo-konstant në k [x ] ka një rrënjë në k. Atëherë, për çdo f k [x ] ekzistojnë α1 ,..., αn k dhe c k të tilla që

∈

∈

∈

f (x ) = c (x − α1 ) ··· (x − αn ). Rrjedhim 4.3. Le të jetë f k [x ] e tillë që deg( f )

∈

= n. Ekzistojnë jo më shumë se n rrënjë të f -së në k.

Teorema 4.2. (Teorema Themelore e Algjebrës) Çdo polinom f (x ) me gradë n dhe koefiçientë në C ka n

rrënjë, duke numëruar edhe shumëfishmëritë. Shembull 4.1. Le të jetë f (x ) C[x ] i dhënë si më poshtë

∈

f (x ) = (x 2 + 1)2 · (x − 1)3 · (x − 2) Atëherë, rrënjët e f (x ) janë i , −i ,1, dhe 2 me shumëfishmëri 2, 2, 3 dhe 1, respektivisht. Kështu që, rrënjët e f (x ) janë i ,i , −i , −i ,1,1,1,2. Pra, ekzistojnë 8 rrënjë sikurse e prisnim meqënëse deg f = 8.

4.1.1 Polinomët e pathjeshtueshëm Sikurse do të shohim në seksionet në vazhdim, është e rëndësishme të dimë nëse një polinom i dhënë mund të faktorizohet ose jo mbi një fushë k (psh, k = Q). Një polinom f (x ) ∈ k [x ] është i path jeshtueshëm në qoftë se nuk mund të shkruhet si prodhim f (x ) = g (x ) · h (x ) ku g (x ) dhe h (x ) janë polinomë jo-konstant. Do japim disa teknika se si të kontrollojmë nëse njëpolinom është i pathjeshtueshëm mbi fushën e numrave racionalë Q.

4.1. VETITË ELEMENTARE TË POLINOMËVE

119

Teorema 4.3. (Test i rrënjës integrale) Le të jetë f (x ) një polinom me koefiçientë të dhënë si më poshtë

f (x ) = a n x n + a n −1 x n −1 +···+ a 1 x + a 0 b dhe α një rrënjë e f (x ) e tillë që α = d , (b , d ) = 1. Atëherë b | a 0 dhe d | a n .

Shembull 4.2. Vërteto se polinomi f (x )

= x 3 + 2x + 2 është i pathjeshtueshëm mbi Q.

Zgjidhje: Supozojmë se faktorët e f (x ) janë në Q[x ] dhe se një nga faktorët është linear. Kështu që, f (x ) ka b një rrënjë racionale α d . Nga teorema e mëparshme kemi

=

b | 2, d he d | 1 Kështu që, b = ±1, ±2 dhe d = ±1. Atëherë kemi α = ±1, ±2. Eshtë e thjeshtë për të parë se këto vlera nuk janë rrënjë të f (x ). Kështu që f (x ) është i pathjeshtueshëm. Teorema 4.4. (Kriteri Eisenstein) Le të jetë f (x ) një polinom me koefiçientë të dhënë si më poshtë

f (x ) = a n x n + a n −1 x n −1 +···+ a 1 x + a 0 dhe p një numër i thjeshtë në A i tillë që: i) p | a i për çdo i ≤ n − 1 ii) p 2  a 0 iii) p  a n . Atëherë, f (x ) është i pathjeshtueshëm mbi Q. Shembull 4.3. Vërteto se

f (x ) = x 7 + 12x 6 − 9x 5 + 30x 4 − 6x 3 + 15x 2 + 12x − 3 është i pathjeshtueshëm mbi Q. Zgjidhje: Kini parasysh se p

= 3 i pjeston të gjithë koefiçientËt, përveç koefiçientit të parë. Për më tepër

p 2

= 9 nuk pjeston a 0 = −3. Duke aplikuar teoremën e mëparshme arrijmë në përfundimin se f (x ) është i pathjeshtueshëm mbi Q.

Teorema 4.5. (Kriterii plotë i Eisensteinit) Letëjetë f (x ) njëpolinom me koefiçientë të dhënë si më poshtë

f (x ) = a n x n + a n −1 x n −1 +···+ a 1 x + a 0 dhe p një numër i thjeshtë në A i tillë që: 1. Ekziston një r ( 0 ≤ r ≤ n) e tillë që p  a r 2. p | a i për çdo 0 ≤ i ≤ r − 1 3. p 2  a 0 4. f (x ) = h (x ) · g (x ), e tillë që h , g ∈ A[x ]. Atëherë, deg(h ) ≥ r ose deg(g ) ≥ r .

120

T. Shaska

Shembull 4.4. Le të jetë p një numër i thjeshtë. Vërteto se

f (x ) = x 5 + 2x 4 + 3x 3 + 3 është i pathjeshtueshëm në Q[x ]. Zgjidhje: Përdorim teoremën e mëparshme. Meqënëse 3 pjeston a 0 ,..., a 3 por jo a 4 atëherë r

= 4. Kështu që, në qoftë se f (x ) është i thjeshtueshëm atëherë është prodhim i polinomëve të gradëse 4 dhe 1. Pra f (x ) ka një rrënjë recionale. Vërteto se kjo nuk mund të ndodh me anë të testit të rrënjës integrale. Ushtrime:

n

1. Përdor algoritmin e i Euklidit për të shkruar x x −−11 si një polinom. 2. Vërteto se f (x ) = x 3 − 3x − 1 është i pathjeshtueshëm në Q. 3. Për çdo numër të thjeshtë p , vërteto se x 2 − p dhe x 3 − p janë të pathjeshtueshëm në Q. 4. Le të jetë α ∈ Z e tillë që α pjestohet nga një numër i thjeshtë p , por p 2  α. Vërteto se x n − α është i pashjeshtueshëm. 5. Vërteto se f (x ) = x 4 + 1 është i pathjeshtueshëm mbi Q. 6. Vërteto se polinomët e mëposhtëm janë të pathjeshtueshëm mbi Q. 1) x 4 + 10x + 5 3) x 4 − 4x 3 + 6

4) x 6 + 30x 5 − 15x 3 + 6x − 120 7. Faktorizo mbi Q polinomin f (x ) = x 3 − 7x 2 + 16x − 12. 8. Faktorizo mbi Q polinomin f (x ) = x 3 + x 2 + x − 14. 9. Një ekuacion të gradës së dytë e zgjidhim me anë të formulave kuadratike. A dini ndonjë formulë për të zgjidhur një polinom të gradës së tretë? Po për një polinom të gradës së 4, 5?

4.2. MATRICA SHOQERUESE, POLINOMI MINIMAL, FORMA NORMALE E SMITHIT.

121

4.2 Matrica shoqeruese, polinomi minimal, forma normale e Smithit. Sikurse më sipër me k shënojmë një nga fushat Q, R, ose C dhe Mat n ×n (k ) shënojmë hapësirën vektoriale e të gjitha matricave n × n me elementë në k . Le të jetë A ∈ Mat n ×n (k ) dhe f ∈ k [x ] e dhënë nga f (x ) = a n x n +···+ a 0 . Përkufizojmë me f (A) := a n A n +···+ a 1 A + a 0 I. Atëherë f (A) është një matricë n × n me elementë në k . Teorema 4.6. Le të jetë A Mat n ×n (k ). Atëherë ekziston një f k [x ] jo-zero e tillë që

∈

∈

f (A) = 0. Vërtetim: Hapësira vektoriale Mat n ×n (k ) ka dimension n 2 . Kështu që,

I,A,A 2 ,...,A s janë linearisht të varur për s > n 2 . Pra, ekzistojnë a 0 ,..., a s të tillë që s a s A + ... a A + a 0 I = 0.

Marrim f (x ) = a s x s + ... a 1 x + a 0 . Përkufizim 4.1. Quajmë polinom minimal të A-së polinomin e vetëm monik m k [x ] me gradë mini-

male të tillë që m (A) = 0. Polinomin minimal të A-së e shënojmë me m A (x ).

∈

Përkufizim 4.2. Le të jetë f (x ) një polinom monik në k [x ] e dhënë me

f (x ) = x n + a n −1 x n −1 +···+ a 0 . Matrica shoqëruese e f (x ) është matrica n n

×

C f :

  = 

0 1 0

0

0 0 1

0

... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... 1

−a 0 −a 1 −a 2 ... ...

−a n −1

   

dhe e shënojmë me C f . Lema 4.1. Le të jetë f (x ) k [x ] dhe C f matrica shoqëruese. Polinomi karakteristik i C f është

∈

char (C f , x ) = f (x ). Vërtetim: Ushtrim.

122

T. Shaska

Për një matricë të dhënë A polinomi karakteristik char (A, x ) = det (x I − A). Matrica (x I − A) mund të konsiderohet si një matricë mbi fushën k (x ). Për më tepër, A është gjithashtu në Mat n ×n (k (x ) ). Në teoremën në vazhdim do tregojmë se si çdo matricë në Mat n ×n (k (x ) ) mund të transformohet në një matricë diagonale me anë të veprimeve elementare. Këto veprime elementare janë i) Këmbimi i vendeve të dy rreshtave apo kolonave ( Ri ←→ R j ) ii) Duke shtuar një shumëfish (në k [x ]) të një rreshti apo kolone ( Ri −→ q (x ) · Ri + R j ). iii) Duke shumëzuar çdo rresht apo kolonë me një element jo-zero në k ( Ri −→ u · Ri , për u ∈ k ) Dy matrica A dhe B, njëra prej të cilave mund të përfitohet duke kryer veprimet elementare në matricën tjetër, quhen ekuivalent sipas Gausit. Për matricat, elementët e të cilave janë polinomë kemi si më poshtë: Teorema 4.7. Le tëjetë M Mat n ×n (k [x ] ). Atëherë, duke përdorur veprimet elementare, matrica M mund

∈

të kthehet në formën diagonale

    

1

·

·

1 e 1 (x )

·

·

·

e s (x )

    

ku e 1 (x ) ,...,e n (x ) janë polinomë monik të tillë që e i (x ) | e i +1 (x ), për i = 1,...,s − 1. Vërtetim: Do përdorim veprimet elementare për të transformuar M në një matricë diagonale. Nga të

gjitha matricat të cilat janë ekuvalente sipas Gausit me M, zgjidh matricën me elementë me gradë më të ulët. Një matricë e tillë le të jetë A = [a i j (x )] dhe elementi me gradë më të ulët është a i j =: m (x ). Duke shkëmbyer vendet e rreshtave me kolonat e sjellim këtë element në pozicionin (1,1). Të gjithë elementët e kolonës së parë mund të shkruhen si (algoritëm i Euklidit ) a 1 j = m (x ) q j (x ) + r j (x ) ku degr j (x ) < degm (x ). Duke kryer veprimin R j − m (x ) q j (x ) → R j për j = 2,... n kolona e parë e matricës është m (x ) r 2 (x ) ... . ... r n (x )

  

  

4.2. MATRICA SHOQERUESE, POLINOMI MINIMAL, FORMA NORMALE E SMITHIT.

123

Zgjidh elementin m  (x ) me gradën më të vogël në kolonën e parë dhe duke këmbyer rreshtat vendose këtë element në pozicionin (1,1). Kryej të njëjtin proçes si më sipër. Atëherë gradat e r j  (x ) do të zvogëlohen të paktën me një njësi. Meqënëse k [x ] është një bashkësi përcaktimi e Euklidit ky proçes do të përfundoj pasi kemi kryer një numër të fundëm veprimesh dhe kolona e parë do të marrë këtë formë m 1 (x ) 0 . .. . . .. 0

  

  

Në të vërtetë, numri maksimal i veprimeve nuk mund të jetë më i madh se deg m (x ). Më pas kryejmë të njëjtën proçedurë për rreshtin e parë dhe marrim

   

m 2 (x ) 0  a 2,1 (x ) a 2,2 (x )  (x ) a 3,1 (x ) a 3,2 ...   (x ) a n ,1 (x ) a n ,2

... ... ...

0  a 2,n (x )  (x ) a 3,n

...

 (x ) a n ,n

  

Duke vazhduar përsëri me kolonë e parë dhe kështu në vazhdim, marrim një varg veprimesh A → A (1) → A (2) → ... Shënojmë me m i (x ) elementin në pozicionin (1,1) pas veprimit të i -të. Atëherë degm (x ) > degm 1 (x ) > ... Pra, proçedura duhet të ndalojë dhe matrica do të jetë si më poshtë

  

e 1 (x ) 0  a 2,2 (x ) 0  (x ) 0 a 3,2 ...  (x ) a n 0 ,2

  

... ... ...

0  a 2,n (x )  (x ) a 3,n

...

 (x ) a n ,n

 (x ). ku e 1 (x ) ka gradën më të vogël dhe pjeston të gjithë elementët a i , j Tani kryejmë të njëjtën proçedurë me kolonën dhe rreshtin tjetër. Si përfundim do marrim

  = 

D:

e 1 (x ) 0 0 e 2 (x ) 0 0 ... 0 0

.. . .. . ...

0 0 0

. ..

e n (x )

  

të tillë që e i (x ) | e i +1 (x ), për i = 1,...,n − 1. Vërejtje. Në qoftë se të gjitha e i (x ) = 0 atëherë do të ndodh në pozicionin e fundit meqënëse të gjitha  i e tjera duhet të pjestojnë e i (x ). e j (x ), j =

124

T. Shaska

Përkufizim 4.3. Le të jetë A Mat n ×n (k ). Atëherë nga teorema e mësipërme, matrica x I A mund të

∈

−

vendoset në formën diagonale

    

1

·

·

1 e 1 (x )

·

·

·

e s (x )

    

e tillë që e i (x )-të janë monik dhe e i (x ) | e i +1 (x ), për i = 1,...,s − 1. Kjo quhet forma normale e Smithit për A-në dhe elementët e i (x ) me gradë jozero quhen faktorë invariant të A-së. Lema 4.2. Polinomi karakteristik i A -së është prodhimi i faktorëve invariant të tij deri në shumëzimin me

një konstante. Vërtetim: Kemi

char (A, x ) = det (x I − A). Meqënëse (x I − A) ∼ Smith (A) atëherë det (x I − A) = c · det (Sm (A)), për ndonjë c ∈ k . Lema 4.3. Le të jenë e 1 (x ) ,... e s (x ) faktorët invariant të A -së të tillë që

e i (x ) | e i +1 (x ), për i = 1,...,s . Polinomi minimal m a (x ) është faktori invariant më i madh i A -së. Pra e s (x ) = m A (x ). Vërtetim: Ushtrim Shembull 4.5. Gje formën normale të Smithit për matricën A të dhënë si më poshtë:

 =

A :

2 0 0

-2 3 0

14 -7 2

 

Zgjidhje: Kemi

 =

x I − A

x-2 0 0

2 x-3 0

- 14 7 x-2

 

4.2. MATRICA SHOQERUESE, POLINOMI MINIMAL, FORMA NORMALE E SMITHIT. Kryejmë veprimet e mëposhtme elementare

 =                

x I − A

x − 2 0 0

2 x − 3 0

- 14 7 x − 2

2 x − 3 0

x − 2 0 0

- 14 7 x − 2

2 x − 2 0 (x − 2)(x − 3) 0 0 2 0 0

0 −2(x − 2)(x − 3) 0

   

C1 ←→C2

−→

R2 →(x −3)R1 −2R2

−→

- 14 −14(x − 2) x − 2

 

- 14 −14(x − 2) x − 2

1 0 0 (x − 2)(x − 3) 0 0

-7 7(x − 2) x − 2

1 0 0 (x − 2)(x − 3) 0 0

0 7(x − 2) x − 2

       

1 0 0 7(x − 2) 0 (x − 2)

0 (x − 2)(x − 3) 0

1 0 0 7(x − 2) 0 0

0 (x − 2)(x − 3) (x − 2)(x − 3)

1 0 0 7(x − 2) 0 0

0 0 −7(x − 2)(x − 3)

C2 →(x −2)C1 −2C2

−→

 

R1 → 12 R1 , R2 →− 12 R2

−→

C3 →7C1 +C3

−→

C2 ←→C3

−→

R3 →R2 −7R3

−→

C3 →(x −3)C2 −7C3

−→

 

R 2 → 17 R2 , R3 →− 17 R3

−→

125

126

 

1 0 0 (x − 2) 0 0

T. Shaska

0 0 (x − 2)(x − 3)

 

e cila është forma normalee Smithit Sm (A). Lexuesi mund të kontrolloj se polinomi karakteristiki Smith (A) dhe A -së janë të njëjtë. Ushtrime:

1. Gjej matricën shoqëruese të 2. Gjej matricën shoqëruese të

f (x ) = x 3 − x − 1. f (x ) = (x − 2)2 (x − 3).

3. Le të jetë A një matricë 2× 2 me elementë në Q e tillë që char (A, x ) = x 2 + 1. Gjej polinomin minimal të A-së. 4. Le të jetë f (x ) një polinom i pathjeshtueshëm i gradës së tretë në Q. P.sh. f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d . Le të jetë A një matricë 3 × 3 me elementë në Q, të tillë që char (A, x ) = f (x ). Gjej polinomin minimal m A (x ) of A. A mund ta përgjithësoni në një polinom të gradës n ? 5. Gjej formën normale të Smithit të matricave në dy shembujt e mësipërm. 6. Përcakto të gjithë polinomët minimal të mundshëm të matricës A me polinom karakteristik char (A, x ) = (x − 2)2 (x − 3) 7. Përcakto të gjitha format normale të Smithit, të mundshme së matricës A me polinom karakteristik char (A, x ) = (x − 2)2 (x − 3) 8. Gjej të gjitha format normale të Smithit, të mundshme të matricës A me polinom karakteristik char (A, x ) = x 3 − 1. Ushtrim programimi:

1) Shkruaj një program kompiuteri i cili gjen formën normale të Smithit për një matricë të dhënë A.

4.3. FORMA RACIONALE KANONIKE

127

4.3 Forma racionale kanonike Le të jetë f (x ) një polinom me koefiçient në një fushë k . Sikurse treguam në seksionin e mëparshëm, jo të gjitha rrënjët e një polinomi janë domosdoshmërisht në k . Për shembull, jo të gjithë polinomët me koefiçientë racional faktorizohen në faktorë linear mbi bashkësinë e numrave racional. Le të jetë A një matricë e dhënë me elementë në k . Në këtë seksion do të shohim se si gjejmë matricën "më të mirë"D të ngjashme me A dhe me elementë përsëri në k . Lexuesi mund të supozojë se k = Q. Le të jetë A ∈ Mat n ×n (k ) dhe D = Smith (A), forma e tij normale e Smithit sikurse në seksionin e mëparshëm. Le të jenë e 1 (x ) ,...,e s (x ) faktorët invariant të A-së dhe C1 ,...,Cs matrica shoqëruese koresponduese. Matrica-bllok C1 C2

   

·

·

·

Cs

   

quhet forma kanonike racionale e A-së dhe e shënojmë me Rat (A). Fjala rationale përdoret për të treguar se kjo formë është llogaritur e gjitha brenda fushës k . Kini parasysh se, e 1 (x ) ··· e s (x ) = c · char (A, x ) e cila sjell si rrjedhim se dege 1 +···+ dege s = deg char (A, x ). Kështu që, A dhe Rat (A) kanë dimension të njëjtë. Shembull 4.6. Gjej formën kanonike racionale të matricës

 =

A :

2 0 0

-2 3 0

14 -7 2

 

Zgjidhje: Faktorët invariant të kësaj matrice i gjetëm në Shembullin 4.5 në seksionin e fundit. Ato janë

e 1 (x ) = x − 2 dhe e 2 (x ) = (x − 2)(x − 3). Atëherë forma racionale e A -së është Rat (A)

 =

2 0 1

-6 5

 

Teorema 4.8. Le të jetë k një fushë dhe A Mat n ×n (k ). Atëherë pohimi i mëposhtëm është i vërtetë:

∈

i) Dy matrica në Mat n ×n (k ) janë të ngjashme atëherë dhe vetëm atëherë kur kanë të njëjtën formë racionale. ii) Forma racionale e A -së është e vetme.

128

T. Shaska

Vërtetim: Le të jetë A e ngajshme me B. Atëherë char A (x )

= char B (x ) meqënëse janë polinome mbi k .

Kështu që, forma normale e Smithit është e njëjtë për A-në dhe B-në. Pra, A dhe B kanë të njëjtën formë racionale. Në qoftë se A dhe B kanë të njëjtën formë racionale, atëherë ata kanë të njëjtët faktorë invariant.

ii) Faktorët invariant mund të zgjidhen në mënyrë të vetme. Si rrjedhim edhe forma racionale është e vetme. Shembull 4.7. Le të jetë A një matricë 10 me 10, e tillë që faktorët invariant të saj janë

e 1 (x ) = x − 2

e 2 (x ) = (x − 2)(x 3 + x + 1)

(4.1)

e 3 (x ) = (x − 2)(x − 3)(x 3 + x + 1) Gjej formën racionale kanonike të A -së. Zgjidhje: Duke shumëzuar kemi

e 2 (x ) = x 4 − 2x 3 + x 2 − x − 2

(4.2)

e 3 (x ) = x 5 − 5x 4 + 7x 3 − 4x 2 + x + 6 Kështu që, forma racionale kanonike e A -së është

Rat (A)

   =  

2 0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

2 1 -1 2 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

-6 -1 4 -7 5

     

Shembull 4.8. Le të jetë A një matricë 8 me 8 e tillë që faktorët invariant të saj janë

e 1 (x ) = x 3 + x + 1

e 2 (x ) = (x 2 + 2)(x 3 + x + 1) = x 5 + 3x 3 + x 2 + 2x + 2 Zgjidhje: Kështu që forma racionale kanonike është

Rat (A)

   = 

0 1 0

0 0 1

-1 -1 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

-2 -2 -1 -3 0

    

(4.3)

4.4. TEOREMA E CAYLAY-HAMILTON

129

Ushtrime:

1. Gjej formën racionale kanonike të kësaj matrice mbi Q



1 3

2 4



2. Le të jetë A matrica 8 me 8 e dhënë si:

   = 

A

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0

    

Gjej eigenvlerat e saj. Cilat janë eigenvlerat e A T ?

4.4 Teorema e Caylay-Hamilton Teorema e Caylay-Hamilton është një nga teoremat më të njohura të algjebrës lineare. Mund të përdoret për llogaritjen e formave racionale kanonike të matricave. Teorema 4.9. ( Cayley - Hamilton ) Le të jetë A Mat n ×n (k ), m A ( x ) polinomi i saj minimal dhe char A (x )

polinomi karakteristik i A -së. Atëherë,

∈

m A (x ) | char A (x ). Vërtetim: Letëjenë e 1 (x ) ,...,e s (x ) faktorët invariantë të A-së të tillë që e i (x ) e i +1 (x ) , për i

|

se

= 1,... s . Dimë

char A (x ) = e 1 (x ) ··· e s (x ) Meqënëse e s (A) = m A (A) = 0 dhe e s (x ) | char A (x ), atëherë char A (A) = 0. Meqënëse m (x ) është polinomi minimal, atëherë degm A (x ) ≤ degchar A (x ). Nga algoritmi i Euklidit, char A (x ) = q (x ) m A (x ) + r (x ) i tillë që deg r (x ) < degm A (x ). Meqënëse char A (A) = 0, atëherë r (A) = 0. Pra r (x ) është polinomi zero, në të kundërt r (x ) do të jetë polinomi minimal.

130

T. Shaska

4.4.1 Llogaritja e formës racionale kanonike Seksioni i mësipërm përcakton një algoritëm për formën normale të Smithit të një matrice A. Kjo na jep të gjithë faktorët invariant të A-së. Në qoftë se dimë faktorët invariant atëherë është e lehtë të shkruajmë formën racionale kanonike Rat (A) of A. Gjithsesi, ekzistojnë teknika për të llogaritur direkt formën racionale kanonike të një matrice duke kryer veprime elementare ose të gjesh faktorët invariant pa qenë nevoja të llogarisim formën normale të Smithit. Në këtë seksion do të paraqesim disa nga këto teknika me anë të shembujve. Shembull 4.9. Le të jetë A një matricë 3 me 3 e dhënë si më poshtë:

  = 

A

Gjej formën e saj racionale kanonike.

23 3

-

4 3

70 3

-

-2

20 3

11 3

4 3

-

-7

-1

  

Zgjidhje: Polinomi karakteristik i A -së është

char (A, x ) = (x − 1)3 . Atëherë, nga teorema e Cayley-Hamilton polinomi minimal i A -së është një nga polinomët e mëposhtëm: m A (x ) = (x − 1), (x − 1)2 , (x − 1)3 Për më tepër, m A (A) = 0. Kontrollojmë se A − I  = 0 dhe (A − I)2 = 0. Kështu që polinomi minimal është m A (x ) = (x − 1)2 Kështu që forma normale e Smithit është Smith (A) dhe forma racionale

 =

Rat (A)

1

 =

x − 1

(x − 1)2

1 0 1

-1 2

 

 

4.4.2 Llogaritja e matricës transformuese Ne dimë se si të llogarisim formën racionale të një matrice A. Atëherë, A është e ngjashme me formën e saj racionale Rat (A). Kështu që ekziston një matricë C e cila ka të anasjelltë, e tillë që A = C−1 Rat (A)C Ne duam të llogarisim C. Strategjia është të mbajmë shënim të gjitha veprimet elementare të kryera në x I − A dhe ti kryejmë këto veprime në I për të marrë C-në si prodhim i matricave elementare.

4.4. TEOREMA E CAYLAY-HAMILTON

131

Algorithm 8. Input: Një matricë A n × n Output: Matrica C e tillë që

A = C−1 Rat (A)C

1) Krijo matricën x I − A. 2) Transformoje në formën normale të Smithit dhe mbaj shënim të gjitha veprimet elementare të kryera. 3) Për çdo veprimet në hapin 2, kryej veprimet e mëposhtme në matricën identike I sipas rregullave të listuara mëposhtë: a) Ri ←→ R j =⇒ Ci ←→ C j b) Ri −→ q (x ) · Ri + R j =⇒ Ci −→ q (x ) · Ci + C j c) Ri −→ u · Ri , për u ∈ k =⇒ Ci −→ u · C j 4) Matrica e përfituar pasi kemi kryer këto veprime në I është matrica e kërkuar C.

Ushtrime:

1. Gjej formën racionale të matricës 3 me 3 me faktorë invariant e 1 (x ) = (x − 1), e 2 (x ) = (x − 1), e 3 (x ) = x − 1. 2. Gjej formën racionale kanonike të matricave mbi Q

 =

A

0 1 0

-4 4 0

85 -30 3

dhe përcakto nëse A dhe B janë të ngjashme.

 

, B

 =

2 0 0

2 2 0

1 -1 3

 

3. Gjej faktorët invariant factors të

 

2 3 1

2 4 5

1 1 1

 

4. Vërteto se dy matrica jo-skalare 2 × 2 mbi k janë të ngajshme atëherë dhe vetëm atëherë kur kanë të polinom karakteristik të njëjtë. 5. Gjej formën racionale kanonike të

 

0 0 -1

-1 0 0

-1 0 0

 

132

T. Shaska

6. Përcakto të gjitha format racionale kanonike të mundshme për një matricë me polinom karakteristik f (x ) = x 2 (x 2 + 1)2 7. Përcakto të gjitha format racionale kanonike të mundshme për një matricë me polinom karakteristik f (x ) = x p − 1 për një numër tek të thjeshtë p . 8. Polinom karakteristiki i një matrice të dhënë A është char (A, x ) = (x − 1)2 · (x + 1) · (x 2 + x + 1). Cilë janë polinomët minimal të mundshëm të A-së? 9. Gjej të gjitha klasat e ngjashme të matricave 2 × 2 me elementë në Q dhe rend 4 (dmth, A 4 = I). Ushtrim programimi:

1) Shkruaj një program kompjuteri i cili gjen formë racionale kanonike të një matrice të dhënë A.

4.5 Forma kanonike e Xhordanit Le të jetë α ∈ k . Atëherë një matricë e formës

Jα

quhet blloku i Xhordanit.

  =  

α

1 α

1

· · · ·

α

1 α

   

Lema 4.4. Le të jetë A një matricë s s me polinom karakteristik

×

char A (x ) = (x − α)s . Atëherë, A është e ngjashme me matricën bllok s × s të Xhordanit Jα . Vërtetim: Le të jetë f (x ) : (x α)s . Atëherë, teorema e Cayley-Hamilton sjell që

= −

f (A) = (A − αI)s = 0.

4.5. FORMA KANONIKE E XHORDANIT

133

Kështu që, m A (x ) = (x − α)r ose m A −αI (x ) = x r . Pra, (A − αI) është e ngjashme me matricën shoqëruese D të g (x ) := x r , ku 0 1 0 1 0 · · · D=

   

· · ·

1 0

Pra, ekziston një matricë e cila ka të anasjelltë P e tillë që

   

P−1 (A − αI)P = D e cila sjell se P −1 AP = D + αI. Pra, A është e ngjashme me

D + αI

  =  

α

1 1

α

1

α

· · · ·

α

1 α

   

Një matricë është në formën kanonike të Xhordanit në qoftë se është një matricë diagonale bllok

J

  = 

J1 J2 . . Jn

  

me blloqe të Xhordanit përgjatë diagonales. Teorema 4.10. Le të jetë A një matricën n me elementë në k dhe supozojmë se k përmban të gjithë eigen-

vlerat e A -së. Atëherë,

×

i) A është e ngjashme me një matricë në formën kanonike të Xhordanit. ii) Forma kanonike e Xhordanit të A -së, të cilën e shënojmë me J(A) është e vetme sipas permutacioneve të blloqeve. Pra, për të gjetur formën kanonike të Xhordanit të një matrice A n me n , në fillim gjejmë faktorët invariant të saj e 1 (x ) ,...,e s (x ). Meqënëse fusha k përmban të gjithë eigenvlerat e A-së dhe çdo e i (x ) | char (A, x ), atëherë faktorizojmë faktorët invariant si e i (x ) = (x − α1 )e 1 ··· (x − αr )e r Për çdo α i , i = 1,...,e r kemi një bllok të Xhordanit. Meqënëse prodhimi i të gjithë faktorëve invariant barazon polinomin karakteristik të A-së, kombinimi i të gjithë blloqeve të Xhordanit përgjatë diagonalet do të krijojnë një matricë n me n (me të njëjtin dimension si A).

134

T. Shaska T. Shaska

Figura 4.1: Matrica në formën e Xhordanit. Vërejtje. Forma kanonike kanonike e Xhordanit të një matrice A është diagonale atëherë dhe vetëm atëherë kur A është e diagonalizueshme. diagonalizueshme. Shembull Shembull 4.10. Të dyja matricat

  = 

A

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 , 1 0

 

B

  = 

5 -6 -3 3

2 -3 -3 -1 -1 1

-8 8 3 -4

-8 -8 8 , 4 -5 -5

 

kanë të njëjtin polinom karakteristik f (x ( x ) = (x − 3)(x 3)(x + 1)3 . Përcakto nëse këto matrica janë të ngjashme dhe gjej formën e tyre kanonike të Xhordanit. Zgjidhje: Polinomi Polinomi minimal për A dhe B është A dhe B është një nga polinomët e mëposhtëm:

m 1 (x ) =(x − 3)( 3) (x + 1),

m 2 (x ) =(x − 3)( 3) (x + 1)2 ,

(4.4)

3

m 3 (x ) =(x − 3)( 3) (x + 1) . Kontrollojmë se (A (A − 3I)(A + I) = 0. Në të njëjtën mënyrë kontrollojmë se (B se (B − 3I)(B + I) = 0. Kështu që, polinomi minimal i A A -së -së dhe B-së B-së është m (x ) = (x − 3)( 3) (x + 1). Format normale të tyre të Smithit janë

Smith (A) (A) = Smith (B) (B)

  = 

1 x + 1

x + 1

(x − 3)(x 3)(x + 1)

 

4.5. 4.5. FORMA FORMA KANONI KANONIKE KE E XHORDA XHORDANIT NIT

135

Atëherë format kanonike të Xhordanit janë

J(A) = J(B)

-1

  = 

-1 -1 -3

 

Pra, A Pra, A dhe dhe B janë dhe B janë B janë të ngajshme. Për më tepër, A dhe B janë matrica të diagonalizueshme dhe ne mund ti diagonalizojmë ato duke përdorur teknikat e kapitullit të mëparshëm. një matricë e tillë që faktorët invariant të saj janë Shembull Shembull 4.11. Le të jetë A A një e 1 (x ) =(x − 2)2 (x 2 + 1)

e 2 (x ) =(x − 2)3 (x 2 + 1)2

(4.5)

Gjej formën racionale dhe kanonike të Xhordanit të A -së. A -së. Zgjidhje: Duke Duke kryer shumëzimet marrim

e 1 (x ) =x 4 − 4x 3 + 5x 2 − 4x + 4

(4.6)

e 2 (x ) =x 7 + 6x 6 + 14x 14x 5 − 20x 20x 4 + 25x 25x 3 − 22x 22x 2 + 12x 12x − 8 Forma racionale kanonike është

    =   

0 1 0 0

    =   

2 0

Rat (A) (A)

0 0 1 0

0 0 0 1

-4 4 -5 4

      

0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1

8 -12 , 22 -25 20 -14 -6

dhe forma kanonike e Xhordanit

J(A)

1 2 -i +i 2 0 0

1 2 0

0 1 2 -i 0

1 -i i 0

1 i

      

136

T. Shaska T. Shaska

Shembull Shembull 4.12. Le të jetë A A një një matricë 3 me 3 si më poshtë

2 0 0

 =

A Gjej formën e saj kanonike të Xhordanit. Zgjidhje: Atëherë Atëherë char (A, (A, λ)

eigenhapësira jepet si:

1 2 0

0 0 3

 

= (λ − 2)2 (λ − 3). 3). Për eigenvlerat λ = 2, shumëfishmëria algjebrike është 2 dhe E2 = {t

1 0 0

    | ∈ ∈

t Q}

Shumëfishmë Shumëfishmëria ria gjeometrike gjeometrikeështë është1, 1, kështu kështu që A nukështë ngjashme me me matric matricën ën diagon diagonaletë aletë eigeneigen A nukështë e ngjash vlerave. Kemi x I − A =

     

x − 2 0 0

1 x − 2 0

1 x − 2 0 ( x − 2)2 0 0 1 0 0

0 x − 3 0

0 0

1

 ←→   −→  − −  =− −   −→  −    −→  C1

C2

x 2 0

x 3 0 0

C2 (x 2)C1 C2

x 3 0 0 (x − 2)2

1 0 0

x − 2 0 0

1 0 0

J(A)

2 0

x − 3

0 - (x ( x − 2)2 0

0 0 1 0 0 (x − 2)2 (x − 3)

Atëherë forma e saj kanonike e Xhordanit është

 =

0 0

1 2 3

 

 

R2 =(x −2)R1 −R2

0 0 x − 3

−→

 

R2 ←→R3

C2 ←→C3

−→

 

.

Nemundtëkishimdalluarse A ësh të në formënkanon formënkanonike ike të Xhord Xhordani anit. t. Vini Vini re se shumëfi shumëfishm shmëri ëria a gjeome gjeometrik trike e A është për çdo eigenvlerë është 1 dhe ekziston një bllok i Xhordanit për secilën prej tyre. Gjithashtu shumëfishmëritë algjebrike të eigenvlerave janë 2 dhe 1 dhe blloqet korespondues të Xhordanit janë me përmasa 2 dhe 1 respektivisht. Do të shohim se këto fakte nuk janë thjesht rastësi. Ushtrime:

1. Le të jetë A një matricë matricë me polinom karakteristik char (A, x ) = x 3 + x 2 + x + 1

4.5. FORMA KANONIKE E XHORDANIT

137

Gjej formën racionale të A-së mbi Q dhe formën kanonike të Xhordanit të A-së mbi C. 2. Gjej formën racionale dhe formën kanonike të Xhordanit të

 

2 1 1

1 2 1

1 0 3

 

.

3. Llogarit formën kanonike të Xhordanit të një matrice me polinom karakteristik f (x ) = x n − 1, for n ≥ 2. 4. Vërteto se në qoftë se A 2 = A, atëherë A është e ngjashme me matricën diagonale e cila ka vetëm 0 dhe 1-sha përgjatë diagonales. 5. Gjej formëm kanonike të Xhordanit

   

6. Gjej formën kanonike të Xhordanit

3 1 1

2 2 -2

0 7 3

1 0 0

0 0 1

0 -2 3

7. Gjej formën kanonike të Xhordanit të matricave

 =

A

0 1 0

-4 4 0

85 -30 3

dhe përcakto nëse A dhe B janë të ngjashme.

 

, B

   

.

.

 =

2 0 0

2 2 0

1 -1 3

 

8. Përcakto formën kanonike të Xhordanit për matricën n × n mbi Q e cila i ka të gjithë elementët 1. 9. Le të jetë A matricë 2 × 2 e cila i korespondon rrotullimit të planit kompleks me kanonike të Xhordanit të A-së. Shpjego në termat e numrave kompleks.

2π 5 .

Gjej formën

10. Le të jetë A matricë 2 × 2 e cila i korespondon rrotullimit të planit kompleks me T(z ) = z 1 . Gjej formën kanonike ë Xhordanit të A-së. Shpjego në termat e numrave kompleks. Ushtrime Programimi:

1) Shkruaj një program kompjuteri i cili gjen format kanonike të Xhordanit të një matrice të dhënë A.

138

T. Shaska

4.6 Ushtrime Përsëritje 1. Gjej formën racionale kanonike të një matrice A 5 me 5, me polinom karakteristik char (A, x ) = x 5 + 2x 4 − 12x 3 + 4x 2 − 6x + 10 2. Le të jetë A një matricë n me n , e cila ka n eigenvlera të ndryshëm λ1 ,..., λn . Gjej formën kanonike të Xhordanit të A-së. 3. Polinomi karakteristik i një matrice A 3 me 3 është char (A, x ) = (x − 1)2 (x − 2). Gjej të gjitha format racionale dhe kanonike të Xhordanit të mundshme të A-së. 4. Përcakto nëse matricat A dhe B janë të ngjashme

  = 

A

-1 0 0 0

1 -1 0 0

0 0 -2 0

0 0 0 -2

 

, B

  = 

-1 0 0 0

1 -1 0 0

0 0 -2 0

0 0 1 -2

 

5. Diagonalizo matricën ose shpjego përse nuk mund të diagonalizohet.

  = 

A

3 4 -4 2

1 0 2 -4

0 0 2 0

-1 3 -3 7

 

6. Diagonalizo matricën ose shpjego përse nuk mund të diagonalizohet.

  = 

A

7 -10 5 -15

-1 4 -1 3

0 0 2 0

2 -4 2 -4

 

7. Le të jetë A një matricë nilpotente n × n . Vërteto se A n = 0. 8. Le të jetë A një matricë trekëndore e sipërme (të gjithë elementët në diagonalen kryesore dhe poshtë saj janë 0). Vërteto se A është nilpotent. 9. Le të jetë A një matricë 2 × 2, e cila i korespondon rrotullimit të planit kompleks me 2n π . Gjej formën kanonike të Xhordanit të A-së. Shpjego në termat e numrave kompleks.


139

10. Përcakto bashkësinë e klasave të ngjashme të matricave A 3 × 3 mbi C, të cilat kënaqin kushtin A 3 = 1. 11. Përcakto bashkësinë e kalsave të ngjashme të matricave A 3 × 3, mbi C , të cilat kënaqin kushtin A 6 = 1. 12. Përcakto bashkësinë e klasave të ngjashme të matricave A 6 × 6 mbi C, me polinom karakteristik: char (A, x ) = (x 4 − 1)(x 2 − 1).

140

T. Shaska

Kapitulli 5

Prodhimi i brendshëm dhe Ortogonaliteti Në këtë kapitull do të studiojmë konceptin e rëndësishëm të prodhim të brendshëm në një hapësirë vektoriale. Pasi kemi paraqitur bazat ortogonale dhe ortonormale do të studiojmë proçesin e ortogonalizimit të Gram-Schmidt. Në seksionin e fundit do të japim një prezantim të thjeshtë të hapësirave duale.

5.1 Prodhimi i brendshëm Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbifushën k . Kini parasysh se në këtë libër me k shënojmë njënga fushat Q, R ose C. Për α ∈ k i konjuguari kompleks i α-së shënohet me ¯α. Le të jetë f (u , v ) një funksion i dhënë si më poshtë f : V × V −→ k (u , v ) = f (u , v )

(5.1)

Funksioni f quhet prodhim i brendshëm (prodhim skalar) në qoftë se vetitë e mëposhtme janë të vërteta, për çdo u , v , w ∈ V dhe r ∈ k : i) f (u , v ) = f (v , u ), ii) f (u , v + w ) = f (u , v ) + f (u , w ) iii) f (r u , v ) = r f (u , v ). Prodhim e brendshëm do ta shënojmë me 〈u , v 〉 në vend të f (u , v ). Prodhim i brendshëm quhet jodegenerate në qoftë se 〈u , v 〉 = 0,për çdo v ∈ V =⇒ u = 0

Hapësira vektoriale V me një prodhim të brendshëm quhet një hapësirë e brendshme. Japim disa shembuj hapësirash të brendshme.

〉 = ¯α〈u , v 〉. Zgjidhje: Në të vërtetë, 〈u , αv 〉 = 〈αv , u 〉 = α〈u , v 〉 = ¯α〈u , v 〉. Shembull 5.1. Vërteto se u , αv

〈

141

142

T. Shaska

Shembull 5.2. Le të jetë V Rn dhe konsiderojmë produktin skalar

=

u = (u 1 ,..., u n ), v = (v 1 ,..., v n ) u · v = u 1 v 1 +···+ u n v n

E lëmë si ushtrim për lexuesin të vërtetojë se ky është prodhim i brendshëm në V . Shembull 5.3. Le të jetë V hapësira e funksioneve realë të vazhdueshëm në [0, 1]

f :[0,1] −→ R Për f , g ∈ V përkufizojmë

 〉=

〈 f , g

0

1

f (t ) · g (t ) d t

Duke përdorur vetitë e integraleve është e lehtë të vërtetojmë se ky është një prodhim i brendshëm. Shembull 5.4. Le të jetë V hapësira vektoriale si më sipër dhe

f (x ) = sin x ,

g (x ) = cosx

Llogarit 〈 f , g 〉. Zgjidhje: Kemi

 〉=

〈 f , g

1

0

1 sinx cos x d x = 2

1

 0

1 1 − cos2 sin(2x ) d x = (− cos2 + cos0) = 4 4

Përkufizim 5.1. Le të jetë V hapësirë vektoriale dhe , një prodhim i brendshëm në V. Le të jetë u V. E quajmë v -në ortogonale me u -në në qoftë se u , v 0, ndonjëherë shënohet dhe si: u v . Për një bashkësi S V bashkësia ortogonale e saj S ⊥ është e përkufizuar si më poshtë

〈· ·〉 〈 〉 =

⊂

⊥

∈

S ⊥ := {v ∈ V | ∃ s ∈ S, s ⊥ v } Në qoftë se S është një nënhapësirë e V-së atëherë S ⊥ quhet komplementi ortogonal i S-së. Kini parasysh se për çdo prodhim të brendshëm

〈u , u 〉 = 〈u , u 〉. Pra 〈u , u 〉 ∈ R dhe përkufizimi i mëposhtëm ka kuptim. Përkufizim 5.2. Një prodhim i brendshëm është përkufizuar pozitivisht në qoftë se pikat e mëposhtme

janë të vërteta: i) 〈u , u 〉 ≥ 0 për çdo u ∈ V. = 0. ii) 〈u , u 〉 > 0 atëherë dhe vetëm atëherë kur u  Norma e një elementi v V është e përkufizuar si

∈



||v || := 〈v , v 〉. Më poshtë do të studiojmë hapësirat vektoriale mbi R dhe ato mbi C.

5.1. PRODHIMI I BRENDSHËM

143

5.1.1 Prodhimi i brendshëm mbi numrat realë Kini parasysh se në k ¨të rast përkufizimi i prodhimt të brendshëm është një funksion

〈u , v 〉 : V × V −→ R i tillë që vetitë e mëposhtme janë të vërteta për çdo u , v , w ∈ V dhe r ∈ R: i) 〈u , v 〉 = 〈v , u 〉, ii) 〈u , v + w 〉 = 〈u , v 〉 +〈u , w 〉 iii) 〈α u , v 〉 = α〈u , v 〉 = 〈u , α v 〉. Shembull 5.5. Le të jetë V Rn . Për çdo u , v V , të tillë që

=

∈

u = (u 1 ,...,u n ), v = (v 1 ,..., v n ) përkufizojmë

〈u , v 〉 = u 1 v 1 +···+ u n v n

Ky është produkti skalar që njohim nga hapësirat Euklideane, të cilat i studjuam në Kapitullin 1. Vërteto se ky është një prodhim i brendshëm.

5.1.2 Prodhimet Hermitiane Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi C. Prodhim i brendshëm në këtë rast quhet prodhim hermitian. Ekziston një funksion në V 〈u , v 〉 : V × V −→ C i tillë që vetitë e mëposhtme janë të vërteta për çdo u , v , w ∈ V dhe r ∈ C: i) 〈u , v 〉 = 〈v , u 〉, ii) 〈u , v + w 〉 = 〈u , v 〉 +〈u , w 〉 iii) 〈α u , v 〉 = α〈u , v 〉 dhe 〈u , α v 〉 = ¯α 〈u , v 〉. Shembull 5.6. Le të jetë k

⊂ C dhe V = k n . Për çdo u = (u 1 ,...,u n ),

v = (v 1 ,..., v n )

përkufizojmë

〈u , v 〉 = u 1 ¯v 1 +···+ u n v ¯n

Vërteto se ky është një prodhim hermitian. Këtë prodhim në veçanti do ta quajmë prodhim i brendshëm Euklidian . Kini parasysh se për prodhimin e brendshëm Euklidian 〈·, ·〉

〈u , u 〉 = u 1 ¯u 1 +···+ u n ¯u n = ||u 1 ||2 +···+||u n ||2 Norma e u ∈ V është përkufizuar si

  || || = 〈 〉 = || u

u , u

u 1 ||2 +···+||u n ||2

144

T. Shaska

Shembull 5.7. Le të jetë V hapësira e funksioneve kompleks të vazhdueshëm

f :[0,1] −→ C Për f , g ∈ V përkufizojmë

1

〈 f , g 〉 =

 0

f (t ) · g (t ) dt

Duke përdorur vetitë e integraleve kompleks vërteto se ky është një prodhim i brendshëm. Shembull 5.8. (Seritë e Fourier) Le të jetë V hapësira e funksioneve të vazhdueshëm me vlera nga numrat

kompleks f : [−π, π] −→ C Për f , g ∈ V përkufizojmë Për çdo numër të plotë n, përkufizojmë

π

 〉=

〈 f , g

−π

f (t ) · g (t ) dt

f n (t ) = e n ·i t .

Vërteto se:

= n atëherë 〈 f n , f m 〉 = 0 i) në qoftë se m  ii) 〈 f n , f n 〉 = 2π 〈 f , f 〉 iii) 〈 f n , f n n 〉 = 21π −ππ f (t ) e −i nt d t. 〈 f , f 〉



Vlera 〈 f n , f n n 〉 quhet koefiçienti i Fourierit në varësi të f -së. Teorema 5.1. Le të jetë V hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbi C me prodhim hermitian të

përkufizuar pozitivisht. Në qoftë se W është një nënhapësirë e V -së, atëherë V = W ⊕ W ⊥ . Për më tepër, dimV = dimW + dimW ⊥ . Vërtetim: Ushtrim. Ushtrime:

1. Le të jetë V = R2 dhe prodhimi i brendshëm është prodhimi Euklidian. Si përs¨ritje e Kapitullit të parë vërteto pikat e mëposhtme për çdo u , v ∈ V i) ||u + v ||2 = ||u ||2 +||v ||2 ii) ||u + v | |≤||u | |+|| v ||

iii) ||u || = 0 atëherë dhe vetëm atëherë u = 0. iv) |〈u , v 〉 |≤||u | |·|| v ||

5.1. PRODHIMI I BRENDSHËM

145

2. Le të jetë V hapësira e finksioneve realë të vazhdueshëm f :[0,1] −→ R Për f , g ∈ V përcaktojmë

1

 〉=

〈 f , g

0

f (t ) · g (t ) d t

Për f (x ) = x 3 të dhënë, gjej g (x ) ∈ V të tillë që g është ortogonal me f . 3. Le të jetë V hapësira vektoriale si në ushtrimin e mësipërm dhe W bashkësia e të gjithë polinomëve në V. A është W nënhapësirë e V-së? Për një polinom të dhënë f (x ) = a n x n + a n −1 x n −1 +···+ a 1 x + a 0 , A mund të gjeni g (x ) ∈ V i tillë që 〈 f , g 〉 = 0 ? 4. Le të jetë V := Mat n (R). Përcakto prodhimin e brendshëm të matricave M dhe N si

〈M,N〉 = tr (MN) Vërteto se ky është një prodhim i brendshëm dhe është jo-degenerate. 5. Vërteto inekualitetin e Schwartzit

|〈u , v 〉 |≤||u | |·||v || për prodhimin hermitian. 6. Vërtato pikat e mëposhtme për prodhimin hermitian: i) ||u || ≥ 0

ii) ||u || = 0 atëherë dhe vetëm atëherë u = 0. iii) ||αu | |=|α|||u ||

iv) ||u + v | |≤||u | |+|| v || 7. Le të jetë V := Mat n (R). Le të jenë A,B dy matrica në V të tilla që

=

A :

a 1 a 3

a 2 a 4



, dhe B :

=

b 1 b 3

A është prodhimi i mëposhtëm

〈 A,B〉 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + a 4 b 4 një prodhim i brendshëm në V?

b 2 b 4



146

T. Shaska

8. Shënojmë me P2 hapësirën e polinomëve në k [x ] dhe gradë ≤ 2. Le të jenë f , g ∈ P2 të tillë që f (x ) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 , d he g ( x ) = b 2 x 2 + b 1 x + b 0 . Përkufizojmë

〈 f , g 〉 = a 0 b 0 + a 1 b 1 a 2 b 2 . Vërteto se ky është një prodhim i brendshëm në P2 . 9. LetëjetëP2 i pajisur me prodhimine brendshëm si në shembullin e mësipërm. Përshkruaj të gjithë polinomët me normë 1.

10. Le të jetë V : = L ([0,1], R) hapësira e funksioneve realë të vazhdueshëm në [0,1] me prodhim të brendshëm 1

 〉=

〈 f , g

0

f (t ) · g (t )d t

Përshkruaj normën e shoqëruar me këtë prodhim të brendshëm dhe me të gjithë funksionet me norm 1.

5.2 Bazat ortogonale, proçesi i ortogonalizimit të Gram-Schmidt Le të jetë V një hapësira vektorialebe me dimension të fundëm mbi k , me prodhim të brendshëm 〈·, ·〉. Norma e një elementi v ∈ V është i përkufizuar si



||v || := 〈v , v 〉. Le të jetë B

= {v 1 ,..., v n }

 j kemi një bazë për V-në. Atëherë B quhet bazë ortogonale në qoftë se për çdo i = 〈v i , v j 〉 = 0. Në qoftë se për çdo i = 1,... n , ||v i || = 1 atëherë B quhet bazë ortonormale. Teorema 5.2. Në qoftë se v 1 ,..., v n janë linearisht të pavarur atëherë ekziston një bashkësi ortogonale

u 1 ,...,u n e tillë që Span (v 1 ,..., v n ) = Span (u 1 ,...u n ) Vërtetim: Ushtrim.

Atëherë kemi rrjesdhimin e mëposhtëm.

Rrjedhim 5.1. Çdo hapësirë me prodhim të brendshëm dhe dimension të fundëm ka një bazë ortogonale.

5.2. BAZAT ORTOGONALE, PROÇESI I ORTOGONALIZIMIT TË GRAM-SCHMIDT

147

5.2.1 Algortimi i Gram-Schmidt Algorithm 9. Input: Bashkësia S = {v 1 ,..., v n } e vektorëve. Output: Një bashkësi ortogonale e vektorëve W = {w 1 ,..., w n } e tillë që Span (v 1 ,..., v n ) = Span (w 1 ,... w n )

i) Fiksojmë një bashkësi të renditur S, psh v 1 , v 2 ,..., v n ii) Le të jetë w 1 := v 1 iii) Llogarit të gjitha w i -të duke përdorur formulën rekursive w i +1 = v i +1 −

〈v i +1 , w i 〉 w −···− 〈v i +1 , w 1 〉 w 〈w i , w i 〉 i 〈w 1, w 1 〉 1

për çdo i = 1,..., n − 1. iii) Bashkësia {w 1 ,..., w n } është bashkësia W e kërkuar Shembull 5.9. Le të jetë V R3 dhe prodhimi i brendshëm në V është prodhimi skalar. Le të jetë

=

v 1 = (1,2,3),

v 2 = (2,2,1)

dhënë. Gjej një bazë ortogonale të Span (v 1 , v 2 ). Zgjidhje: Le të jetë w 1

= v 1 . Atëherë 〈v 2 , w 1 〉 w = (2,2,1) − 9 (2,2,1) = ( 19 , 5 , − 13 ) w 2 = v 2 − 〈w 1 , w 1 〉 1 14 14 7 14

Eshtë e qartë se w 1 ⊥ w 2 . Shembull 5.10. Le të jetë V hapësira e funksioneve realë të vazhdueshëm

f :[0,1] −→ R Për f , g ∈ V përkufizojmë

1

 〉=

〈 f , g

0

f (x ) · g (x ) d x

Si në shmebullin 1, ky është një prodhim i brendshëm. Le të jetë f (x ) = x ,

g (x ) = x 2

(5.2)

148

T. Shaska

Meqënëse të dy janë të vazhdueshëm atëherë f , g ∈ V . Gjej një bazë ortogonale të Span (u , v ). Zgjidhje: Le të jetë w 1 f . Atëherë

=

〈g , f 〉 f = x 2 − w 2 = g − 〈 f , f 〉 Lexuesi duhet të kontrollojë nëse w 1 ⊥ w 2 .

1 3 0 x d x 1 2 0 x d x

 



3 x = x 2 − x 4

Konsiderojmë ushtrimin e seksionit 1. Duek përdorur proçedurën e Gram-Schmidt zgjidhja e këtyre ushtrimeve është shumë e lehtë. Shembull 5.11. Le të jetë V hapësira e funksioneve realë të vazhdueshëm. Në qoftë se f (x )

dhënë, gjej g (x ) ∈ V i tillë që g të jetë ortogonal me f .

= x 3 është i

Zgjidhje: Marrim

S = { f ,1} Duam të gjejmë një bashkësi ortogonale W të tillë që f ∈ W . Le të jetë w 1 = f . Atëherë

〈1, f 〉 f = 1 − w 2 = 1 − 〈 f , f 〉 Lexuesi mund ta kontrollojë këtë 〈 f , w 2 〉 = 0.

1 3 0 x d x 3 x 1 6 0 x d x

 

= 1 − 74 x 3

Ushtrime:

1. Gjeni një bazë ortogonale për hapësirën nul të matricës

 =

A :

2 0 0

-2 3 0

14 -7 2

 


 

2 1 1

1 2 1

1 0 3

 

.


  =

A

3 4 -4 2

1 0 2 -4

0 0 2 0

-1 3 -3 7

 

4. Le të jetë V hapësira e funksioneve realë të vazhdueshëm. Në qoftë se f (x ) = x 2 dhe g (x ) = e x janë të dhënë, gjej një bashkësi ortogonale W = {w 1 , w 2 } të tillë që Span ( f , g ) = Span (w 1 , w 2 ).

5.2. BAZAT ORTOGONALE, PROÇESI I ORTOGONALIZIMIT TË GRAM-SCHMIDT

149

5. Në hapësirë e funksioneve realë të vazhdueshëm gjej një funksion g (x ) i cili është ortogonal me f (x ) = sin x . 6. Vërteto se identiteti i mëposhtëm është i vërtetë për çdo prodhim të brendshëm

||u + v | |+||u − v || = 2||u||+ 2|| v || 7. Le të jetë V = R4 dhe prodhimi i brendshëm në V është prodhimi skalar. Le të jetë v 1 = (1,2,3,4), v 2 = (2,0,2,1), v 3 = (1,1,1,1), v 4 = (1,2,3,4) v 5 = (0,0,1,2)

(5.3)

e dhënë. Gjej një bazë ortogonale të Span (v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 ). 8. Shënojmë me P2 hapësirën e polinomëve në k [x ] dhe gradë ≤ 2. Le të jenë f , g ∈ P2 të tillë që f (x ) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 , d he g ( x ) = b 2 x 2 + b 1 x + b 0 . Përkufizojmë

〈 f , g 〉 = a 0 b 0 + a 1b 1 a 2 b 2 . Le të jenë f 1 , f 2 , f 3 , f 4 të dhënë si më poshtë f 1 = x 2 + 3 f 2 = 1 − x

f 3 = 2x 2 + x + 1 f 4 = x + 1.

(5.4)

Gjej një bazë ortogonale të Span ( f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ).



9. Gjej bazë ortogonale për nënhapësirën Span (1, x , x ) e hapësirës vektoriale C0,1 të funksioneve të vazhdueshëm në [0,1], ku 〈 f , g 〉 = 01 f (x )g (x )d x .



10. Gjej një bazë ortonormale për planin x + 7 y − z = 0. Ushtrime programimi:

1) Shkruaj një program kompjuteri i cili implementon proçedurën e Gram-Schmidt.

150

T. Shaska

5.3 Teorema e Sylvesterit Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbi R dhe 〈·, ·〉 një prodhim i brendshëm në V. Nga seksioni i mëparshëm ne mund të gjejmë një bazë ortogonale B = {v 1 ,..., v n } të V. Meqënëse prodhimi i brendshëm nuk është domosdoshmërisht i përkufizuar pozitivishtë, atëherë 〈v i , v i 〉 mund të jetë ≤ 0. Shënojmë c i : = 〈v i , v i 〉 për i = 1,... n . Ne mund ta riorganizojmë bazën B të tillë që c 1 ,..., c p > 0,

c p +1 ,...,c p +s < 0,

c p +s +1 ,...,c p +s +r = 0,

ku p + s + r = n . Teorema e Sylvesterit thotë se numrat p , s , r nuk varen nga zgjedhja e bazës ortogonale B. E normalizojmë bazën si më poshtë. Le të jetë

   =   

v i , në qoftë se c i = 0 v i , në qoftë se c i > 0 c i v i 0 −c i , në qoftë se c i <

v i :

(5.5)

Atëherë bashkësia B është një bazë e V-së e tillë që

〈v i , v i 〉 = ±1,

or 0.

Një bazë e tillë quhet bazë ortonormale e V-së. Le të jetë B

= {v 1 ,..., v n }

një bazë ortogonale e V-së e tillë që c 1 ,...,c p = 1,

c p +1 ,..., c p +s = −1,

c p +s +1 ,...,c p +s +r = 0

ku p + s + r = n dhe c i : = 〈v i , v i 〉. Teorema 5.3. Numrat p , r , s janë të përkufizuar në mënyrë të vetme nga prodhimi i brendshëm dhe nuk

varen nga zgjedhja e bazës ortogonale B. Numrin e plotë p (resp., s ) ndonjëherë e quajmë tregues i pozitivitetit (resp., negativitetit) dhe çifti (p , s ) quhet shenjë e prodhimit të brendshëm. Ushtrime:

1. Cila është shenja e Rn me prodhimin e brendshëm të zakonshëm Euklidian?

5.4. HAPËSIRA DUALE

151

2. Le të jetë W hapësira e gjeneruar nga v 1 = (1,2,3,4), v 2 = (2,0,2,1), v 3 = (1,1,1,1), v 4 = (1,2,3,4) v 5 = (0,0,1,2)

(5.6)

Gjej shenjën e prodhimit Euklidian për W. 3. Shënojmë me P2 hapësirën e polinomëve në k [x ] dhe gradë ≤ 2. Le të jenë f , g ∈ P2 të tillë që f (x ) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 , d he g ( x ) = b 2 x 2 + b 1 x + b 0 . Përkufizojmë

〈 f , g 〉 = a 0 b 0 + a 1b 1 a 2 b 2 .

Gjej shenjën e këtij prodhimi të brendshëm për P2 .

5.4 Hapësira duale Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi fushën k . Përkufizim 5.3. Hapësira duale e V-së është hapësira vektoriale (mbi k )

V ∗ := L (V,k ) e të gjithë funksioneve lineare L : V −→ k . Elementët e hapësirës dual quhen funksionalë.

Shembull 5.12. Le të jetë V k n . Shembuj të thjeshtë funksionalë janë funksionet kordinativë

=

φi (x 1 ,..., x n )

= x i

E lëmë si ushtrim për lexuesin të verifikoj nëse këto janë functionalë. Teorema 5.4. Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm. Atëherë,

dimV = dimV ∗ Lema në vazhdim ndërton një bazë për V ∗ .

Vërtetim: Ushtrimi 1.

Lema 5.1. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi fushën k dhe V ∗ hapësirë duale e saj. Le të jetë B

= {v 1 ,..., v n }

një bazë për V -në. Për çdo i = 1,... n , përkufizojmë φi :

=



φ(v i )

=1  i φ(v j ) = 0,përj =

Funksionalet {φ1 ,..., φn } formojnë një bazë për V ∗ .

(5.7)

152

T. Shaska

Vërtetim: Ushtrim. Përkufizim 5.4. Baza { φ1 ,..., φn } e V ∗ quhet baza duale.

Koncepti i hapësirës dual është një koncept shumë i rëndësishëm në algjebrën lineare. Më poshtë japim disa shembuj functionals të cilët janë të rëndësishme në fusha të ndryshme të matematikës. Shembull 5.13. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi k me prodhim skalar , . Fiksojmë një element

〈· ·〉

u ∈ V . Funksioni V −→ k v −→ 〈v , u 〉 është a functional.

Shembull 5.14. Letëjetë V hapësira vektorialee funksioneve të vazhdueshëm me vlera realëe në intervalin

[0,1]. Përkufizojmë δ : V

−→ R

e tillë që δ( f ) = f (0). Atëherë δ është një functional i quajtur funksionali Dirak . Teorema 5.5. Le të jetë V hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbi k me një prodhim skalar jo-

degenerate. Funksioni

−→ V ∗ v → L v

Φ : V

është një izomorfizëm. Vërtetim: Shiko për shembuj [?La] (faqe. 128).

Ushtrime:

1. Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm. Vërteto se dimV = dimV ∗ . 2. Le të jetë V = Mat n ×n (R). Përshkruaj V ∗ . 3. Le të jetë V = R2 n . Përshkruaj V ∗ .

(5.8)


153

5.5 Ushtrime përsëritje 1. Le të jetë V hapësira e funksioneve realë të vazhdueshëm f :[0,1] −→ R Për f , g ∈ V përkufizojmë

1

 〉=

〈 f , g

f (x ) · g (x ) dx

0

i) Le të jetë n një numër i plotë i fiksuar dhe f (x ) = sinnx , g (x ) = cosnx gjej 〈 f , g 〉. ii) Gjej një funksion pingul me f (x ) = e x . 2. Le të jetë V = C2 dhe 〈·, ·〉 prodhimi Euklidian në V. Le të jenë u, v ∈ V të tillë që u

= (2 + i ,i − 1),

v (i ,i 3)

=

+

Gjej 〈u, v 〉, ||u||, || v ||. 3. Le të jetë V := Mat n (C). Le të jenë M,N dy matrica në V. Vërteto se

〈M,N〉 = tr (MN) është një prodhim i brendshëm. 4. Le të jetë V = R4 dhe prodhim i brendshëm në V është prodhimi skalar. Le të jetë v 1 = (1,2,3,1),

v 2 = (2,2,1,2),

v 3 = (1,1,1,1)

e dhënë. Gjej një bazë ortogonale të Span (v 1 , v 2 , v 3 ). 5. Gjej një bazë ortogonale për hapësirën nul të matricës

 =

A :

-1 0 5

-3 3 2

1 1 2

 

6. Gjej një bazë ortogonale për hapësirën nul të matricës

 

2 1 4

1 2 1

4 -1 3

 

.

154

T. Shaska

7. Gjej një bazë ortogonale për hapësirën nul të matricës

  = 

A

3 4 -4 2

1 1 2 -4

7 2 2 3

-1 3 -3 7



 

8. Gjej një bazë ortogonale për nëhapësirën Span (1, x , x 2 ) të hapësirës vektoriale C0,1 të funksioneve të vazhdueshëm në [0,1], ku 〈 f , g 〉 = 01 f (x )g (x )d x .



9. Gjej një bazë ortonormale për planin 4x + 3 y + 2z = 0.

Kapitulli 6

Operatorët në hapësirat e brendshme 6.1 Operatorët në hapësirat e brendshme T. Shaska Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbi mbi k me prodhim skalar nondegenerate <, >. Përkufizim 6.1. Një funksion linear A : V V quhet f operator.

→

Lema 6.1. Le të jetë A : V V një operator. Atëherë ekziston një operator i vetëm B : V V i tillë që për çdo

v , w ∈ V kemi

→

→

< A v , w >=< v , Bw > .

Vërtetim: Ushtrim.

E quajmë B-në transpose të A-së dhe e shënojmë me A t . Kështu që,

< A v , w >=< v , A t w > . Teorema 6.1. Le të jetë V hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbi k dhe me prodhim skalar

non-degenerate <, >. Le të jenë A,B operatorë të V -së, dhe c ∈ k. Atëherë pikat e mëposhtme janë të vërteta: 1. (A + B)T = A T + BT 2. (AB)T = BT A T 3. (c A)T = c A T 4. (A T )T = A Vërtetim: Ushtrim

155

156

KAPITULLI 6. OPERATORËT NË HAPËSIRAT E BRENDSHME

6.2 Operatorët Hermitian Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbi C dhe prodhim skalar pozitiv të përcaktuar <, >. Teorema 6.2. Për një funksion të dhënë L : V

çdo v.

→ C, ekziston një w  ∈ V e vetme e tillë që L(v ) =< v , W  > për

Vërtetim: Skip it. Lema 6.2. Për një operator të dhënë A : V

kemi

→ V ekziston një operator i vetëm A ∗ : V → V i tillë që ∀v , w ∈ V

< A v , w >=< v , A ∗ w > . Vërtetim: Si në Lemën 6.1.

Operatorin A ∗ e quajmë f axhoint të A-së. f Ushtrim: Vërteto se A ∗ është linear. f Exercise: Vërteto se

A ∗ = A T . Një operator A quhet f hermitian (ose f self-axhoint) në qoftë se A ∗ = A. Teorema 6.3. Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbi C dhe me prodhim skalar

positive të përcaktuar <, >. Le të jenë A, B operatorë të V -së, dhe c ∈ k. Atëherë pikat e mëposhtme janë të vërteta: 1. (A + B)∗ = A ∗ + B∗ 2. (AB)∗ = B∗ A ∗ 3. (c A)∗ = c A ∗ 4. (A ∗ )∗ = A Lema 6.3. Pikat e mëposhtme janë të vërteta:

< A(v + w ), v + w > − < A(v − w ), v − w >= 2[< A w , v > + < A v , w >] < A(v + w ), v + w > − < A v , v > − < A w , w >=< A v , w > + < A w , v > Vërtetim: Ushtrim Teorema 6.4. Le të jetë A një operator dhe

< A v , v >= 0 për të gjitha v ∈ V. Atëherë, A = 0. Vërtetim: Ushtrim Teorema 6.5. Le të jetë V i dhënë si më sipër dhe A një operator. Atëherë A është hermitian atëherë dhe

vetëm atëherë kur

< A v , v >∈ R për të gjitha v ∈ V. Vërtetim:

6.3. OPERATORËT UNITARY

157

6.3 Operatorët unitary Përkufizim 6.2. A quhet f realë unitary në qoftë se

< A v , A w >=< v , w > për çdo v , w ∈ V Teorema 6.6. Le të jetë V e dhënë si më sipër dhe A : V → V një funksion linear. Pikat e mëposhtme janë të vërteta: 1) A është unitary 2) A ruan normën e vektorëve (i.e., || A v | |=||v || për çdo v ∈ V ). 3) Për çdo vektor njësi u ∈ V , A u është gjithashtu njësi. Vërtetim: Teorema 6.7. Le të jetë V e dhënë si më sipër dhe A : V

atëherë dhe vetëm atëherë kur

→ V një funksion linear. Atëherë A është unitary

A T A = I.

158

KAPITULLI 6. OPERATORËT NË HAPËSIRAT E BRENDSHME

Kapitulli 7

Aplikime të Algjebrës Lineare 7.1 Aplikime në ekuacionet diferenciale Në këtë seksion do të japim disa aplikime të algjebrës lineare në ekuacionet diferenciale. Pjesa më e madhe e këtij materiali mund të gjendet në çdo libër ekuacionesh diferenciale. Ne duam thjesht të tregojmë përdorimin e algjebrës lineare në këtë çështje pa e diskutuar në detaje.

7.1.1 Sisteme homogjene të ekuacioneve lineare të rendit të parë Le të jetë dhënë si më poshtë një sistem linear me m ekuacione diferenciale dhe me n të panjohura:

  

p 1,1 y 1 (t ) +···+ p 1,n y n (t ) = y 1 (t ) p 2,1 y 1 (t ) +···+ p 2,n y n (t ) = y 2 (t ) ........................  (t ) p m ,1 y 1 (t ) +···+ p m ,n y n (t ) = y n

(7.1)

ku p i , j janë konstante dhe y 1 ,..., y n janë funksione në varësi të t -së. Gjithashtu, shënojmë me y i  (t ) derivatin e parë të y i (t ) për çdo i . E shkruajmë këtë sistem në formë matrice si A · y (t ) = y  (t ) ku

A = [p i , j ]

   = 

p 1,1 p 2,1 p 3,1

p m ,1

p 1,2 p 2,2 p 3,2

p m ,2

p 1,3 p 2,3 p 3,3

· · ·

p m ,3

.. . .. . .. .

.. .

p 1,n p 2,n p 3,n

   

p m ,n

(7.2)

   = 

y 1 y 2 y 3

, y (t )

   

y m

, y  (t )

       =     y 1 y 2 y 3

.

y m

Prej Kapitullit 2 dimë se çdo sistem linear ekuacionesh nuk ka zgjidhje, ka një zgjidhje ose një numër të pafundëm zgjidhjesh. Në rastin kur ka një numër të pafundëm zgjidhjesh, atëherë hapësira e zgjidhjeve është një hapësirë vektoriale dhe ne duam të kemi një bazë për këtë hapësirë vektoriale. Le të jenë 159

160

T. Shaska

Y 1 ,...,Y n zgjidhje të sistemit (7.2) për çdo pikë në intervalin t ∈ (α, β). Këto zgjidhje i quajmë linearisht të pavarur në qoftë se përcaktori i matricës Y 1 Y 1 Y 1(2)

  =  

M:

Y 2 Y 2 Y 2(2)

Y 1(m )

është jozero. E shënojmë këtë me

Y 2(m )

Y 3 ... Y 3 ... Y 3(2) ...

· · ·

Y 3(m )

...

Yn  Yn (2) Yn

(m ) Y n

   

W(Y 1 ,...,Y n ) := det (M)

dhe e quajmë Wronskian e Y 1 ,...,Y n . Teorema e mësipërme nga ekuacionet diferenciale përcaktojmë një hapësirë të tillë. Teorema 7.1. Le tëjenë Y 1 ,...,Y n zgjidhje linearisht të pavarura të sistemit (7.2) për çdo pikë në intervalin t (α, β). Atëherë çdo zgjidhje Y(t ) mund të shprehet si një kombinim linear i Y 1 ,...,Y n ,

∈

Y(t ) = c 1 Y 1 (t ) +···+ c n Y n (t ). Bashkësia e zgjidhjeve Y 1 ,...,Y n quhet bashkësia themelore e zgjidhjeve. Shembull 7.1. Zgjidh ekuacionin diferencial të mëposhtëm

y  (t ) = a · y (t ) me vlerë fillestare y (0) = y 0 .

Zgjidhje: Ekuacioni ka zgjidhje të përgjithshme

y (t ) = ce at .

Duke përdorur kushtin e vlerës fillestare marrim y (t ) = y 0 e at . Le të jetë dhënë sistemi homogjen. A · y (t ) = y  (t )

(7.3)

Në qoftë se matrica e koeficientëve A është në formën diagonale, atëherë sistemi është:

      = 

a 11 · y 1 (t ) = y 1 (t ) a 22 · y 2 (t ) = y 2 (t )

· · ·

(7.4)

 (t ). a nn · y n (t ) = y n

Zgjidhja e përgjithshme është dhënë nga

y

   · = ·  · 

y 1 y 2

y n

k 1 e a 11 t k 2 e a 22 t

· · ·

k n e a nn t

   

7.1. APLIKIME NË EKUACIONET DIFERENCIALE

161

Në përgjithësi, diagonalizojmë A-në dhe reduktojmë sistemin (7.1) në (7.4). Në qoftë se A mund të diagonalizohet atëherë shkruhet si A = C−1 DC ku D është matrica diagonale si në kapitujt 3 ose 4. Atëherë C−1 DC y = y  dhe DC y = C y  . Le të jetë v = C y , atëherë v  = C y  . kështu që

D v = v  .

Tani proçedojmë si në ekuacionin (7.4). Shembull 7.2. Zgjidh sistemin linear diferencial

 

y 1 = y 1 − y 2 − y 3 y 3 = y 3 − y 2 − y 1 y 2 = y 2 − y 1 − y 3

Zgjidhje: Matrica e koeficientëve është

 =

A

1 -1 -1

-1 1 -1

-1 -1 1

 

.

Forma normale e saj e Xhordanit është J(A) = C−1 AC

 =

-1 0 0

0 2 0

0 0 , ku C = 2

 

 

1 1 1

-1 1 0

-1 0 1

 

.

Përcaktojmë v = C−1 y dhe zgjidhja është

 =

v

k 1 e −t k 2 22t k 3 e 2t

 

.

Atëherë,

 =

y Cv

=

1 1 1

-1 1 0

-1 0 1

v 1 v 2 v 3

    =

k 1 e −t − k 2 e 2t − k 3 e 2t k 1 e −t + k 2 e 2t k 1 e −t + k 3 e 2t

 

162

T. Shaska T. Shaska

7.1.2 7.1.2 Ekuac Ekuacion ionet et difer diferenc encial iale e të rendi renditt të n-të n-të Tani do shohim sesi metoda e mësipërme mund të përdoret për të zgjidhur ekuacione diferenciale të rendeve më të larta. Fillojmë me ekuacione diferenciale diferenciale homogjene. Le të jetë (n −1) y (n ) + a n (t ) + . . . a 1 y 1 (t ) t ) + a 0 y = 0 n −1 y

një ekuacion diferencial diferencial homogjen. Bëjmë zëvendësimet zëvendësimet e mëposhtme y mëposhtme y (i −1) y (0) = y . Atëherë sistemi merr formën A · y = y  ku

  =  −

0 0

1 0

0 1

· · ·

A

0 a 0

... ...

0 −a 1

. .. a − 2 ... . .

... ...

.. .. . . .. ..

0 0 0 1 a n n −1

   

  =  

y 1 y 2 y 3

, y

   

= y i i , për i = 1,... n dhe për i = dhe (7.5)

      =     y 1 y 2 y 3

, y

y m m

.

y m

Tani vazhdojmë duke zgjidhur këtë sistem si në seksionin e mësipërm. Shembull Shembull 7.3. Gjej zgjidhje e përgjithshme të ekuacionit diferencial   

y

− 7 y + 14 y 14 y − 8 y = 0.

  Zgjidhje: Le Le të jetë y 1 y, y , y 2 y , y 3 y . Atëherë kemi sistemin

=

=

= 

0 0 8

1 0 -14

0 1 7

      ·   =    y 1 y 2 y 3

y 1 y 2 . y 3

Lexuesi mund të kontrollojë se zgjidhja e përgjithshme është

y (t ) = c 1 e t + c 2 e 2t + c 3 e 4t . Mund të përdorim një mënyrë më të shpejtë për të zgjidhur A y = y  .

= 1,...,r Shënojmë eigenvlerat e A-së me λi , i = 1,..., r dhe dhe le të jenë m jenë m i i shumëfishmëritë e tyre respektive respektive algjebrike. Atëherë, zgjidhje e përgjithshme do t ë ketë formën





j λ1 t m 1 −1 λ1 t λ1 t λ1 t y (t ) = c 1,0 e 1,0 e + c 1,1 1,1 t e +···+ c 1, j 1, j t e + c 1,m 1,m 1 −1 t

+ . . . ···+ + . . . ···+ m −1 λ t λ t + c r r ,1,1 t e λ t +···+ c r r , j t j e λ t + c 1,m c r r ,0 e ,0 e 1,m −1 t



r

r

r

r r

Eshtë e qartë se polinomi karakteristik i A-së është i dhënë nga n −1 +···+ a 1 λ + a 0 . char (A, λ) = λn + a n n −1 λ

r r

r



(7.6)

7.1. APLIKIME APLIKIME NË EKUACI EKUACIONET ONET DIFERENC DIFERENCIALE IALE

163

Shembull Shembull 7.4. Gjej zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit diferencial diferencial

y (6) − 14 y 14 y (5) + 79 y 79 y (4) − 228 y 228 y (3) + 351 y 351 y (2) − 270 y 270 y + 81 = 0. Zgjidhje: Atëherë Atëherë kemi polinomin karakteristik

λ6

− 14λ5 + 79λ4 − 228λ3 + 351λ2 − 270λ + 81 = 0

i cili faktorizohet si (λ − 1)2 (λ − 3)4 = 0. Kështu Kështu që, eigenvler eigenvlerat at janë λ1 = 1 dhe λ2 = 3 me shumëfishite shumëfishitett 2 dhe 4 respektivi respektivisht. sht. Zgjidhja Zgjidhja e përgj përgjithshm ithshme e është y (t ) = c 1 e t + c 2 t e t + c 3 e 3t + c 4 t e 3t + c 5 t 2 e 3t . Vërejtje. Metoda e mësipërme përfshin rrënjët e një ekuacioni polinomial të gradës së n së n -të -të i cili është joefektive nëse nuk përdorim përdorim disa teknika të tjera.

7.1.3 7.1.3 Metod Metoda a e varia variatio tion n të param parametr etrav ave e Tani ne mund ta përgjithësojmë teknikën e mësipërme për çdo ekuacion diferencial të gradës n gradës n . Le të jetë (n −1) y (n ) + p n g (t ) + . . . p 1 (t )t ) y 1 + p 0 (t ) y = g ( n −1 (t ) y

∈ [a , b ].]. Do të përshkruajmë shkurtimisht se si të zgjidhim një ekuacion të një ekuacion diferencial, për t për t ∈ ¨ metoda e variat variation ion të parame parametra trave ve. tillë. Nliteraturë kjo metodë njihet si metoda Nga ekuacioni homogjen (n −1) y (n ) + p n + . . . p 1 (t )t ) y  + p 0 (t ) y = 0 n −1 (t ) y

në fillim gjejmë një bashkësi themelore zgjidhjesh Y 1 ,...,Y n n Përdoren teknika të ndryshme, në qoftë se p i i -të janë funksione konstante apo jo. jo. Në seksionin e mëparshëm diskutuam rastin kur të gjitha p gjitha p i i -të janë funksione konstante. Pasi kemi gjetur një bashkësi zgjidhjesh themelore, atëherë zgjidhje e përgjithshme ka formën y (t ) = c 1 Y 1 +···+ c n Y( t ) n Y n n + Y(t zgjidhje e veçant veçantë ë. Atëherë, Y(t ku Y(t Y(t ) quhet zgjidhje Y(t ) është dhënë nga

Y(t Y( t ) = u 1 Y 1 +···+ u n n Y n n i tillë që u që u 1 ,...,u ,..., u n diferencial në t në t .. n janë funksione diferencial

164

T. Shaska T. Shaska

Për të përcaktuar u përcaktuar u 1 ,...,u ,..., u n vazhdojmë si më poshtë: Ne mund të llogarisim Y  ,...Y (n −1) dhe marrim n vazhdojmë kushte fillestare të mjaftueshme të tilla që sistemi linear i mëposhtëm të jetë i vërtetë: v ërtetë:

   

Y 1 Y 1 . . . (n −1) Y 1

Y 2 Y 2 . . . (n −1) Y 2

.. ... .. ... ... ... ... ...

Yn  Yn . . . (n −1) Yn

           =     u 1 u 2 . . . u n

   

0 0 . . 0 g ( g (t ) t )

Ne mund ta zgjidhim zgjidhim këtë sistem linear duke përdorur përdorur rregullin rregullin e Kramerit. Kramerit. Kështu Kështu që kemi gjetur   u 1 ,...,u ,..., u n , të cilat janë funksione të integrueshëm në [a [a , b ]. ]. Për më tepër, ne gjejmë u gjejmë u 1 ,...u ,... u n duke duke integruar n

 = = 

u i i

u i d t .

Zgjidhja e veçantë është Y(t Y( t ) = u 1 Y 1 +···+ u n n Y n n dhe zgjidhja përfundimtare është y (t ) = c 1 Y 1 +···+ c n Y( t ). ). n Y n n + Y(t Metoda e variacionit të parametrave është e përshkruar në detaje në çdo libër elementarë ekuacionesh diferenciale. diferenciale. Ne dhamë vetëm një përshkrim të shkurtër tË metodës. Për më shumë detaje lexuesi duhet të kontrollojë librat e ekuacioneve diferenciale. diferenciale. Shembull Shembull 7.5. Zgjidh ekuacionin diferencial



y

− 6 y  + 8 y = e t .

Zgjidhje: Së Së pari gjejmë bashkësinë themelore të zgjidhjeve të ekuacionit homogjen



y Ekuacioni karakteristik është

− 6 y  + 8 y = 0.

λ2

− 6λ + 8 = 0

dhe eigenvlerat janë λ1 = 2 dhe λ2 = 4. Pra zgjidhja e përgjithshme është y (t ) = c 1 e 2t + c 2 e 4t + Y(t Y( t ) ku Kështu që kemi

Y(t Y( t )) = u 1 (t ) · e 2t + u 2 (t )e 4t . e 2t e 4t 2e 2t 4e 4t

 dhe

    =   u 1 u 2

0 e t

1 1 u 1 = e −3t , u 2 = − e t . 2 2

7.1. APLIKIME NË EKUACIONET DIFERENCIALE

165

Duke integruar në varësi të t-së marrim 1 1 u 1 = − e −3t + c , u 2 = − e t + c . 6 2 Kështu që,

1 1 y (t ) = c 1 e 2t + c 2 e 4t − e −3t − e t + c . 6 2

Mund të përdorim teknika të ndryshme për të përcaktuar Y( t ). Pjesa më e madhe e tyre do të varen nga funksioni g (t ). Në ushtrimet e mëposhtme lexuesi do të gjej ekuacione me zgjedhje të tjera të g (t ). Ushtrime:

1. Zgjidh sistemin e mëposhtëm linear të ekuacioneve diferenciale. y 1 3 y 1 y 2 y 1

= − 5 y 2 = − 2 y 2



2. Zgjidh sistemin e mëposhtëm linear të ekuacioneve diferenciale.

  

y 1 y 1 2 y 2 y 2 2 y 1 y 2 y 3 3 y 1 2 y 2 y 4 4 y 1 4 y 2 y 5 6 y 1 3 y 2

= + = + = − = + = −

− 3 y 3 − y 4 + 11 y 5 − 3 y 3 − 5 y 4 + 3 y 5 + y 3 + 3 y 4 + 4 y 5 + 2 y 3 − 7 y 4 + 6 y 5 − 5 y 3 + 2 y 4 + 9 y 5

3. Zgjidh sistemin e mëposhtëm linear të ekuacioneve diferenciale.

4. Zgjidh ekuacionin diferencial

  

y 1 = y 1 + y 5  y 2 = y 2 − 3 y 3 − 5 y 4 y 3 = y 3 + 3 y 4 + 4 y 5 y 4 = 4 y 2 + 2 y 3 − 7 y 4 y  = 6 y 1 − 2 y 4 + 9 y 5 5



y (5) − 15 y (3) + 10 y

+ 60 y  − 72 y = 0

5. Zgjidh ekuacionin diferencial y



− 3 y  + 17 y = 0



− 3 y  + 17 y = e t

6. Zgjidh ekuacionin diferencial y

166

T. Shaska

7. Zgjidh ekuacionin diferencial 

y

− 7 y  + 12 = e 2t

me kushte fillestare y  (0) = 1 dhe y (0) = 2. 8. Gjej zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit 

y

− 7 y  + 12 = e −2t .

7.2 Metoda e katrorëve më të vegjël Metoda e katrorëve më të vegjël u zbulua për herë të parë nga Gausi në fillim të viteve 1800 dhe është përdorur gjatë gjithë kohës që atëherë në shumë fusha të matematikës dhe inxhinierisë. Marrim në konsideratë problemin e mëposhtëm: Problem: Kemi bashkësinë e dhënë

x

x 1

x 2

x 3

x 4

...

x n

y

y 1

y 2

y 3

y 4

...

y n

Tabela 7.1: Pershtatja e funksionit Gjej një funksion linear y = f (x ) që u përshtatet më mirë këtyre të dhënave. Geometrikisht dy nga këto pika (x i , y i ) përcaktojnë një drejtëz. GJithsesi, ne po kërkojmë drejtëzën e cila është "më afër"me të gjitha këto pika. Le të supozojmë se ekuacioni i f (x ) është i dhënë nga f (x ) = ax + b . Atëherë kemi y i = ax i + b , për i = 1,... n . Në përkufizimin e matricës kemi

   ·· ·

x 1 x 2

      · =  · · 

1 1

a b

x n 1

ose e shkruajmë këtë si

A v ∼ = y ,

  ·  ·  ·  +

ax 1 + b ax 2 + b

ax n b

7.2. METODA E KATRORËVE MË TË VEGJËL ku

    =  ·· ··   · ·   = x 1 x 2

167

 =  =  

1 1

A

a , y b

, v

x n 1

  ·  ·  ·  +

ax 1 + b ax 2 + b

.

ax n b

a të tillë që vektori i gabimit A v − y është minimal. KOncepti i b minimalit varet nga lloji i aplikimit. Metoda e katror v¨ e më të vegjël është bazuar në idenë se na duhet që magnituda || A v − y || të jetë minimale. Shënojmë me d := A v − y . Atëherë, d i = ax +b − y i . Dukeminimizuar || A v − y || ndomethënë që minimizojmë || A v − y ||2 , e cila domethënë që minimizojmë Tani na duhet të përcaktojmë v

2 d 12 + d 22 +···+ d n .

Letëjenë v 1 dhe v 2 vektorë kolona të A-së. Vektori A v = av 1 +bv 2 shtrihet në hapësirënW = Span (v 1 , v 2 ). Ne duam të gjejmë një vektor v 0 ∈ W të tillë që prodhimi skalar A v · (A v 0 − y ) = 0 për çdo v ∈ W. Atëherë kemi A v · (A v 0 − y ) = (A v )T (A v 0 − y ) = (A v )T A v 0 − (A v )T y

= v T A T A v 0 − v T A T y = v T A T A v 0 − A T y = 0





për çdo v ∈ W. Sepse prodhimi skalar është një prodhimi i brendshëm jo-degenerate atëherë A T A v 0 − A T y = 0 dhe v 0

Matricën

= (A T A)−1 A T y .

P := (A T A)−1 A T

ndonjëherë e quajmë matrica projeksion e A-së. Shembull 7.6. Le të jenë dhënë të dhënat e mëposhtme

x 1 y 2

2 3

2 5

5 7

Gjej një funksion linear i cili përputhet sa më mirë me të dhënat. Zgjidhje: Atëherë

  = 

A : Kemi

1 2 2 5

1 1 1 1

  =

A T A

,

  =  

dhe b

34 10

10 4

2 3 5 7

 

(7.7)

168

T. Shaska

Zgjidhja e katrorëve më të vegjël është 1 v 0 = (A A)−1 A T y = T

6

7 8

 

Kështu që, drejtëza që përputhet më mirë me të dhënat e mësipërme është 7 4 y = x + 6 3

Sikurse do të shikojmë në kapitullin e mëposhtëm metoda katrorëve më të vegjël ka kufizimet e saj pasi jo çdo gjë në aplikime është lineare. Në qoftë se për disa të dhëna përafrojmë një model linear atëherë ky model mund të ndodh që të mos i përputhet këtyre të dhënave shumë mirë. Në shembullin tjetër shohim se ndonjëherë një përafrim i tillë nuk i përputhet fare të dhënave. Shembull 7.7. Jepen të dhënat e mëposhtme

x 1 2 y 2 5

3 4

4 7

5 2

Gjej një funksion linear i cili i përshtatet sa më mirë të dhënave. Zgjidhje: Atëherë

  =  

A :

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

Zgjidhja e katrorëve më të vegjël është

  

,

  =  

dhe y

1 v 0 = (A A)−1 A T y = T

5

2 5 4 7 2

  

1 17

 

Kështu që, drejtëza që i përputhet më mirë të dhënave të mësipërme është y =

x 17 + 5 5

Grafiku në Fig. 7.1 është grafiku i të dhënave të funksionit. Në shembullin e mësipërm gjetëmnjë funksion lineari cili i përputhet të dhënave sa më mirë. Gjithësesi, metoda e katrorëve më të vegjël mund të përdoret vetëm për të gjetur funksione lineare. Më poshtë do ta përgjithësojmë këtë metodë. Le të jetë A një matricë m × n , v një vekor n × 1dhe y një vektor m × 1. Le të kemi të dhënë ekuacionin e matricës. A v ∼ = y

∼= || y − A v 0 ||≤|| y − A v ||

Zgjidhja e katrorëve më të vegjël e ekuacionit të matricës A v y është një vektor v 0 i tillë që

7.2. METODA E KATRORËVE MË TË VEGJËL

169

Figura 7.1: Duke i përputhur të dhënat e mësipërme me metodën e katrorëve më të vegjël. për çdo v . a të tillë që vektori gabim A v − y është minimal. Koncepti b i minimal varet nga lloji i aplikimit. Metoda e katrorëve më të vegjël është e bazuar në faktin që ne kërkojmë që magnituda || A v − y || të jetë minimale. Shënojmë me d := A v − y . Atëherë, d i = ax + b − y i . Duke minimizuar || A v − y || minimizojmë || A v − y ||2 , e cila minimizon Tani na duhet të përcaktojmë v

  =

2 d 12 + d 22 +···+ d n .

Letëjenë v 1 dhe v 2 vektora kolonëtë Asë. Vektori A v = av 1 +bv 2 shtrihet në hapësirënW = Span (v 1 , v 2 ). Ne duam të gjejmë vektorin v 0 ∈ W të tillë që prodhimi skalar A v · (A v 0 − y ) = 0 për çdo v ∈ W. Atëherë kemi A v · (A v 0 − y ) = (A v )T (A v 0 − y ) = (A v )T A v 0 − (A v )T y

= v T A T A v 0 − v T A T y = v T A T A v 0 − A T y = 0





për çdo v ∈ W. Sepse prodhimi skalar është një prodhim i brendshëm jo-degenerate atëherë A T A v 0 − A T y = 0

(7.8)

170

dhe v 0

Matrica

T. Shaska

= (A T A)−1 A T y

P := (A T A)−1 A T

quhet matrica projeksion e A-së. Vektori A v 0 quhet projeksioni ortogonal i y -së në hapësirën kolonë të A-së.

7.2.1 Metoda e katrorëve më të vegjël për polinomë me grada më të larta Marrim në konsideratë të njëjtin problem si në seksionin e mësipërm. Gjithsesi, përafrimi që duam të përdorim nuk është domosdoshmërisht linear, por një polinom i gradës n . Dihet se në qoftë se janë dhënë n pika në plan atëherë ekziston një polinom i gradës n i cili kalon nga këto pika, nëse pikat janë linearisht të varura. Kështu që, për shumë aplikime kemi r pika dhe duam të gjejmë një polinom të gradës n i cili përputhet sa më mirë me këto të dhëna për n < r . Shohim problemin: Problem: Na është dhënë një bashkësi të dhënash

x

x 1

x 2

x 3

x 4

...

x r

y

y 1

y 2

y 3

y 4

...

y r

Tabela 7.2: Metoda e katroreve me te vegjel Gjej një polinom të gradës n y = f (x ) = a n x n + a n −1 x n −1 +···+ a 1 x + a 0 i cili përputhet sa më mirë me këto të dhëna . Këtë polinom mund ta shkruajmë në formën e një matrice si më poshtë: x 1n ... x 2n ...

   ·· ·

· · ·

n ... x n

x 1 x 2

· · ·

x n

   ·  ·  · 

1 1

1

a n a n −1

· · ·

a 0

    =  

a n x 1n + a n −1 x 1n − 1 +···+ a 1 x 1 + a 0 a n x 2n + a n −1 x 2n − 1 +···+ a 1 x 2 + a 0

· · ·

n + a n −1 a n x n n −1 x n +···+ a 1 x n + a 0

Si më sipër e shënojmë këtë si A v = y . Zgjidhja e katrorëve më të vegjël është v 0

= (A T A)−1 A T y

Shembull 7.8. Jepen të dhënat e mëposhtme si në shmebullin e mësipërm.

x 1 2 y 2 5

3 4

4 7

5 2

Gjej një polinom të gradës 2 që u përshatet të dhënave sa më mirë.

   


171

Zgjidhje: Atëherë

   = 

A :

1 4 9 16 25

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

  

   = 

dhe y

,

2 5 4 7 2

  

Figura 7.2: Përputhim të dhënat e mësipërme me anë të metodës katrorëve më të vegjël. Zgjidhja katrorëve më të vegjël është

v 0

−  = 

= (A T A)−1 A T y

6 7

187 35

− 135

  

Kështu që, polinomi i gradës së dytë që përputhet më mirë me këto të dhëna është 6 187 13 y = − x 2 + x − 7 35 5 Grafiku i mësipërm është grafiku i të dhënave të funksionit. Kini parasysh se marrim një përafrim më të mirë se në rastin kur funksioni është linear.

172

T. Shaska

Shembull 7.9. Gjej polinomët e gradave të 3 dhe 4 që i përafrohen të dhënave në shembullin e mësipërm. Zgjidhje: Për një polinom të gradës 3 kemi

1 15 53 y = − x 3 + x 2 − x + 3 3 7 21 Grafiku është i paraqitur në Figurën (7.3). Krahaso këtë me polinomët e gradave 1 dhe 2 për të parë nëse

Figura 7.3: Përputhim të dhënat me një polinom të gradës 4 përputhet më mirë. Meqënëse kemi katër pika në plan, atëherë duke përdorur polinomë të gradës 4 jemi në gjendje të gjejmë një polinom i cili kalon nga pikat. Nëse kjo zgjidhje e vetme ekziston do ta gjejmë me anë të metodës së katroëve më të vegjë. Në këtë rast, polinomi i gradës së 4 i cilu përshtatet me të dhënat është 5 29 235 2 196 y = − x 4 + x 3 − x + x − 33 6 3 6 3 dhe grafiku është paraqitur në Figurën (7.4). Metoda katrorëve më të vegjël mund të përdoret për shumë aplikime të tjera. (A t A)−1 ekziston në qoftë se A ka vektorë kolona të pavarur. Kështu që, kemi një zgjidhje të vetme me anë të katrorëve më të vegjël në qoftë se null (A) = 0.


173

Figura 7.4: Përputhim të dhënat me një polinom të gradës 4

Shembull 7.10. Gjej zgjidhjen katrorëve më të vegjël për sistemin

  

x 1 − x 2 = 4 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 3 3x 1 + 2x 2 − 5x 3 = 1 2x 1 + x 2 − x 3 = 3

Zgjidhje: Kemi

A x = y ku

  = 

A

1 3 3 2

-1 2 2 1

0 1 , y = -5 -1

 

 

4 3 1 3

 

.

174

T. Shaska

Zgjidhja e katrorëve më të vegjël është 617 275

v 0

  − = 

= (A t A)−1 A t y

21 11

29 275

  

.

Atëherë projeksioni ortogonal i y në hapësirën kolonë të A -së është vektori A v0 i dhënë nga

A v0

  =  

1142 275

    =   

179 55 331 275 123 55

4.152727273 3.254545455 1.203636364 2.236363636

   

.

Ushtrime:

1. Jepen të dhënat e mëposhtme x y

1 8

2 13

3 18

4 23

5 28

Gjej funksionin linear i cili u përshtatet më mirë të dhënave. 2. Jepen të dhënat e mëposhtme x y

0 2

1 1

3 -1

2 -5

-2 4

Gjej një funksion linear i cili u përshtatet më mirë të dhënave. 3. Gjej një polinom të gradës 2 i cili u përshtatet më mirë të dhënave të mëposhtme.: x y

0 -2

1 -1

3 2

2 4

5 2

4. Gjej një polinom të gradës 3 i cili u përshtatet më mirë të dhënave të mëposhtme. x y

0 2

1 3

3 5

5 0

-2 -4


175

5. Gjej zgjidhjen e katrorëve më të vegjël të sistemit x 1 − x 2 = 4 3x 1 + 2x 2 = 3 3x 1 + 2x 2 = 1

 

6. Gjej zgjidhjen e katrorëve më të vegjël të sistemit

 

x 1 − 11x 2 = 1 3x 1 + x 3 = 2 x 1 + 2x 2 = 1 2x 1 + x 2 − x 3 = 31

dhe projeksionin ortogonal korespondues. 7. Gjej zgjidhjen katrorëve më të vegjël të sistemit

 

5x 1 − 12x 2 = 4 x 1 + 3x 2 = −2 6x 1 + 2x 2 = −1

dhe projeksionin ortogonal korespondues. 8. Gjej zgjidhjen katrorëve më të vegjël të sistemit

  

3x 1 − x 2 + 3x 3 = 4 3x 1 + 7x 2 + x 3 = 3 3x 1 + 2x 2 − x 3 = 21 2x 1 + x 2 − x 3 = 4

dhe projeksionin ortogonal korespondues.

176

T. Shaska

Shtesa A

Numrat kompleksë A.1 Numrat kompleksë Në këtë seksion do të flitet për numrat kompleksë, algjebrën e numrave kompleksë dhe interpretimin gjeometrik të tyre. Përkufizime bazë dhe veti të numrave kompleksë mund të gjenden në literatura të ndryshme, shih për shembull [?alg]. Simbolet z , u , w , v shërbejnë për të treguar numrat kompleksë dhe me C është shënuar bashkësia e të gjithë numrave kompleksë. Shënojmë mei simbolin numrin që gëzon cilësinë i 2 = −1. Përkufizim A.1. Bashkësia e numrave kompleksë, C quhet bashkësia C : {a bi

= + | a , b ∈ R} Dy numra kompleksë z 1 = a + bi dhe z 2 = c + di janë të barabartë atëherë dhe vetëm atëherë kur a = b dhe c = d . Do të përkufizojmë shumën dhe prodhimin e dy numrave kompleks si: (a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d )i (a + bi ) · (c + di ) = (ac − bd ) + (ad + bc )i Vërejmë se prodhimi nuk është tjetër veçse prodhimi i zakonshëm i shprehjeve algjebrike, me shtesën se i 2 = −1. Numrin real a e quajmë pjesa reale e numrit kompleks z = a + bi ndërsa numrin real b e quajmë pjesa imagjinare. I përcaktojmë ato si më poshtë:

ℜ(z ) = a , ℑ(z ) = b Për çdo z ∈ R kemi z = ℜ(z ) + 0 · i . Në qoftë se z = a + bi dhe a = 0 atëherë z quhet thjesht imagjinar. Për një numër kompleks të dhënë x = a + bi përcaktojmë të konjuguarin e numrit kompleks si: ¯ := a − bi z Pasqyrimi C

→C z → ¯z

(A.1)

është syrjektiv, dhe quhet pasqyrimi i konjugimit kompleks. Në qoftë se z ∈ C , kemi se z është real atëherë dhe vetëm atëherë kur z = ¯z . 177

178

T. Shaska

A.1.1 Interpretimi gjeometrik i numrit kompleks Ne mund ta paraqesim numrin kompleks z = a + bi si në sistemin koordinativ x y , me koor një2 pikë 2 dinata (a , b ). Largesa e kësaj pike nga origjina është ρ = a + b , pra ρ = |z |. Këndi − π2 ≤ θ ≤ π2 i tillë që tan θ = b a , quhet argument i z Vëmë re se a = ρ cos θ dhe b = ρ sin θ. Prej nga: z = ρ (cos θ + i sin θ). Kjo quhet paraqitja polare e z . Paraqitjen polare të numrit kompleks e përdorim për të interpretuar prodhimin dhe pjestimin e numrave kompleks. Le të jenë z , w dy numra kompleks të çfarëdoshëm të tillë që: z = r 1 (cos α + i sin α) dhe w = r 2 (cos β + i sin β) Atëherë,



z · w = r 1 r 2 cos(α + β) + i sin(α + β) z r 1 = cos(α − β) + i sin(α − β) w r 2 Për më tepër ka vend lema e mëposhtme:







(A.2)

Lema A.1. (Formula e Muavrit) Për çdo numër të plotë n

≥1 (cos θ + i sin θ)n = cos(n θ) + i sin(n θ). Është e qartë se z = r (cos θ + i sin θ) dhe n një numër i plotë ≥ 1 atëherë z n = r n (cosn θ + i sinn θ).

Do të përdorim gjithashtu Formulën e Eulerit e i θ = cos θ + i sin θ. Shënojmë me n = cos 2n π + i sin 2n π . Duke përdorur formulën e Muavrit marrim n n = 1. Ky numër  n quhet rrënja e n -të primitive e njëshit. Të gjitha fuqitë e n janë në rrethin njësi dhe kanë vetinë se kur ngrihen në fuqi n japin 1. Kur nuk ka keqkuptime në lidhje me n ne thjesht shënojmë  n me  . Duke shumëzuar  me veten e vet, thjesht rrotullojmë  me një kënd prej θ = 2n π , prej nga pas n -rrotullimesh do të arrijmë tek pika z = (1,0). = 1 për të gjithë 0 < m < n . Një numër kompleks z thuhet se ka rend n ≥ 1 në qoftë se z n = 1 dhe z m  Të gjithë numrat kompleks z të rendit n quhen rrënjë primitive të njëshit. Ushtrime: 1. Vërtetoni:

i) z + w = z + w ii) zw = z · w

A.1. NUMRAT KOMPLEKSË

179

2. Vërtetoni se për çdo u , v C,

∈

|u · v | = |u | ·|v |. 3. Le të jenë z = r 1 (cos α + i sin α) dhe w = r 2 (cos β + i sin β). Vërtetoni se z · w = r 1 r 2 cos(α + β) + i sin(α + β) 4. Vërtetoni formulën e Muavrit. Për çdo numër të plotë n ≥ 1 (cos θ + i sin θ)n = cos(n θ) + i sin(n θ) 5. Vërtetoni se për çdo numër racional r ∈ Q (cos θ + i sin θ)r = cos(r θ) + i sin(r θ)



6. Zgjidhni ekuacionin



z n − 1 = 0



= 21 + i 23 . Njehsoni z 2 , z 3, z 4 , z 5 , z 7 , z 8 , z 9. 8. Shprehni numrat 3e − , −3e në formën standarte. 7. Le të jetë z

4πi 6

2πi n

9. Zgjidhni ekuacionin

(z +

3 )(3z 2 − 2z + 5) = 0. z 2

= z 7 − 1. 11. Faktorizoni në Q polinomin p (z ) = z 5 − 1. 10. Faktorizoni plotësisht polinomin p (z )

12. A ka ekuacioni

z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0

zgjidhje racionale? 13. A mund të shprehet f (x )

n

= x x −−11 si një polinom? Cila është shprehja?

14. Llogarisni modulin e numrave kompleks:



1 3 (i + 1) ,( + i )12 . 2 2 10

15. Jepet funksioni f (z ):

ku ad − bc = 1. Jepet që

f : C → C a z + b z → , c z + d f (1) = −1, f (i ) = i , f (2) = −

1 2

a) Gjeni f (z ) dhe më pas f (2), f (2i ), f ( 12 ). b) Le të jetë C = {z ∈ C ||z | = 1, R e (z ) ≥ 0}.

Gjeni f (C).

180

T. Shaska

16. Jepet funksioni f (z ):

f : C → C z → ku ad − bc = 1. Jepet

a z + b c z + d

1 f (i ) = −i , f (3) = , f (−1) = −1 3

a) Gjeni f (z ) dhe më pas f (2), f (2i ), f ( 12 ). b) Le të jetë C = {z ∈ C || z | = 2,} rrethi me qendër në origjinë dhe me rreze 2. Gjeni f (C). 17. Shënojmë me 5 rrënjën e pestë primitive të njëshit. Gjeni transformimin e Mobiusit f (x ) të tillë që

f (0) = 0,

f (1) = 5 ,

f (5 ) = 25

Vërtetoni përgjigjen tuaj. Gjeni f (25 ), f (35 ), f (45 ). 18. Shprehni numrat 3e −

4πi 6

2πi

, −3e n në formën standarte.

19. Zgjidhni ekuacionin: z n 1

− = 0.

20. Llogarisni modulin e numrave kompleks:



1 3 (i + 1) ,( + i )12 . 2 2 10

21. Shënojmë me 5 rrënjën e pestë primitive të njëshit. Gjeni transformimin e Mobiusit f (x ) të tillë që

f (0) = 0,

f (1) = 5 ,

Vërtetoni përgjigjen tuaj. Gjeni f (25 ), f (35 ), f (45 ).

f (5 ) = 25

Bibliografia [1] Lubjana Beshaj, Valmira Hoxha, and Tony Shaska, On superelliptic curves of level n and their quotients, I , Albanian J. Math. 5 (2011), no. 3, 115–137. MR2846162 (2012i:14036) [2] A. Bialostockiand T. Shaska, Galois groups of prime degreepolynomials withnonreal roots , Computational aspects of algebraic curves, 2005, pp. 243–255. MR2182043 (2006h:12009) [3] A. Elezi and T. Shaska, Special issue on algebra and computational algebraic geometry , Albanian J. Math. 1 (2007), no. 4, 175– 177. MR2367211 [4]

, Quantum codes from superelliptic curves , Albanian J. Math. 5 (2011), no. 4, 175–191. MR2945762

[5] J. Gutierrez and T. Shaska, Hyperelliptic curves with extra involutions , LMS J. Comput. Math. 8 (2005), 102–115. MR2135032 (2006b:14049) [6] Jaime Gutierrez, D. Sevilla, and T. Shaska, Hyperelliptic curves of genus 3 with prescribed automorphism group , Computational aspects of algebraic curves, 2005, pp. 109–123. MR2182037 (2006j:14038) [7] VishwanathKrishnamoorthy, TanushShaska, and Helmut Völklein,Invariantsof binary forms , Progressin Galoistheory, 2005, pp. 101–122. MR2148462 (2006b:13015) [8] K. Magaard, T. Shaska, S. Shpectorov, and H. Völklein, The locus of curves with prescribed automorphism group , ¯ 1267 (2002), 112–141. Communications in arithmetic fundamental groups (Kyoto, S¯urikaisekikenky u¯ sho K o¯ ky uroku 1999/2001). MR1954371 [9] Kay Magaard, TanushShaska, and Helmut Völklein,Genus2 curves that admita degree 5 map toan elliptic curve , ForumMath. 21 (2009), no. 3, 547–566. MR2526800 (2010h:14050) [10] N. Pjero, M. Ramasaço, and T. Shaska, Degree even coverings of elliptic curves by genus 2 curves , Albanian J. Math. 2 (2008), no. 3, 241–248. MR2492097 (2010b:14058) [11] E. Previato, T. Shaska, and G. S. Wijesiri, Thetanulls of cyclic curves of small genus , Albanian J. Math. 1 (2007), no. 4, 253–270. MR2367218 (2008k:14066) [12] R. Sanjeewa and T. Shaska, Determining equations of families of cyclic curves , Albanian J. Math. 2 (2008), no. 3, 199–213. MR2492096 (2010d:14043) [13] David Sevilla and Tanush Shaska, Hyperelliptic curves with reduced automorphism group A 5 , Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput. 18 (2007), no. 1-2, 3–20. MR2280308 (2008c:14042) [14] T. Shaska, Curves of genus 2 with (N,N) decomposable Jacobians , J. Symbolic Comput. 31 (2001), no. 5, 603–617. MR1828706 (2002m:14023) [15]

, Computational aspects of hyperelliptic curves , Computer mathematics, 2003, pp. 248–257. MR2061839 (2005h:14073)

[16]

, Genus 2 fields with degree 3 elliptic subfields , Forum Math. 16 (2004), no. 2, 263–280. MR2039100 (2004m:11097)

[17]

, Genus two curvescoveringelliptic curves: a computational approach , Computational aspects of algebraic curves, 2005, pp. 206–231. MR2182041 (2006g:14051)

[18]

, Subvarieties of the hyperelliptic moduli determined by group actions , Serdica Math. J. 32 (2006), no. 4, 355–374. MR2287373 (2007k:14055)

[19]

, Computational algebraic geometry and its applications [Foreword] , Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput. 24 (2013), no. 5, 309–311. MR3183721

[20]

, Computational algebraic geometry [Foreword] , J. Symbolic Comput. 57 (2013), 1–2. MR3066447

181

algjebra lineare.pdf

Recommend Documents