ALGEBRITA

Capítulo 1

Lógica matemática 1.1. 1.1.

Forma ormass propos proposic icio iona nale less

La lógica matemática se ocupa del análisis de las proposiciones y demostraciones del razonamiento lógico, proporciona ideas claras y precisas sobre la naturaleza de la conclusión deductiva, desarrolla el pensamiento funcional y hace una contribución esencial al desarrollo del pensamiento científico y creador. Esto se manifiesta, por ejemplo, en la correcta comprensión de las estructuras lógicas y las tareas formales, en el reconocimiento de las semejanzas de los diferentes fenómenos lógicos, en la aplicación de las leyes y reglas lógicas y en la pretensión de claridad, sencillez y economía en la expresión lingüística. Una de las propiedades de la forma de expresión matemática, es la de representar los objetos, las imágenes mentales, los vínculos y las relaciones mediante símbolos (signos), y combinarlos entre sí. Defi Definici nición ón 1.1 1.1

Cons Co nsta tan nte

Una constante es un signo que tiene una determinada significación fija. Es decir; una constante tiene, en todo el desarrollo de una investigación o en la solución de una

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CAPÍTULO CAPÍTULO 1. LÓGICA LÓGICA MATEMÁ MATEMÁTICA TICA

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después de la interpretación de las variables, se conoce como valor del término. Las proposiciones son estructuras lingüísticas cuyo valor de verdad es, o verdadero o falso. La lógica clásica, a través de sus axiomas y principios, ha hecho algunas consideraciones sobre el contenido de verdad de una proposición. El principio de la bivalencia expresa: Toda proposición o es falsa o es verdadera. De este principio se pueden deducir dos teoremas. 1. El teorema de la tercera posibilidad excluida, expresa: Toda proposición es falsa o verdadera. 2. El teorema de la contradicción excluida, expresa: Ninguna proposición es falsa y verdadera al mismo tiempo. En las observaciones posteriores veremos que los dos teoremas, considerados en conjunto, expresan exactamente lo mismo que el principio de la bivalencia. Por consiguiente, se puede proceder a la inversa; es decir deducir el teorema de la bivalencia a partir del principio de la tercera posibil-














































































































































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pueden transformar en una proposición verdadera, se denominan interpretables. Todas las demás se denominan no interpretables. Entre las interpretables se destacan las formas proposicionales de validez general, que son aquellas que al hacer cualquier sustitución por los elementos del dominio básico se convierten en una proposición verdadera. Ejem Ejempl plo o

1.3 1.3

(x + y )2 = x2 + 2xy + y 2

∀ x, y ∈ R. En toda sustitución de x e y por elementos

del dominio básico se obtiene una proposición verdadera. Este ejemplo es, por tanto, una forma proposicional de validez general en el conjunto de los números reales. El conjunto solución es el conjunto de todos los pares (x, y) donde x e y son elementos de un dominio básico; luego, en este caso coincide con el conjunto base de solución. Este ejemplo trata entonces de una identidad. Ejem Ejempl plo o

1.4 1.4

Sea Sea (x + y )2 = x2 + y 2 (x + y )2 0 9 36

∀ x, y ∈ R. x2 + y 2 0 9 36

Valor de verdad V V V














































































































































-

2n = n2 para alguna n

∈ N.

289301 2893 01 + 1 es es un núm númer eroo prim primo. o. Si un árbol árbol tiene tiene n vértices, vértices, entonc entonces es tiene tiene exactament exactamentee n - 1 aristas. 2n + n es un númer númeroo primo primo par paraa una infini infinidad dad de de n. Todo enter enteroo par par mayor que que 4 es la suma de dos númer números primos. primos. Las matemátic matemáticas as son divertida divertidas. s. Los árboles árboles son son más inter interesant esantes es que las las matric matrices. Las siguientes frases no son proposiciones: ¿Porqué ¿Porqué es importante la lógica lógica proposicional? proposicional? 323789 323 789 ext 205 ¿Porqué ¿Porqué es importan importante te la inducción? inducción? x - y = y - x. x.

Ejem Ejempl plo o

-

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1.7 1.7

Es importante hacer notar que el valor de verdad de una proposición no es trabajo ni parte de la lógica aquí tratada, por tal razón dichos valores los supondremos ya asignados. Todas las proposiciones constituyen una clase que, a su vez, se descompone en dos subclases, en la clase de














































































































































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Continuamos el proceso de abstracción sobre la base de las afirmaciones ya hechas. Si también realizamos el paso de transición de las proposiciones a los valores de verdad, entonces obtenemos las funciones veritativas correspondientes a las funciones proposicionales. Defin Definic ición ión 1.7

Funci unción ón verit eritat ativ iva a de n-lu n-luga gare ress

Cuando a cada n-uplo de valores de verdad se le hace corresponder unívocamente un valor de verdad, entonces esta correspondencia recibe el nombre de función veritativa de n lugares. Las funciones proposicionales y las funciones veritativas pertenecen a diferentes niveles de abstracción. Por este motivo es conveniente introducir otros símbolos para las funciones veritativas. Con la negación de una proposición queremos expresar la idea de que esto no se refiere a la circunstancia que a ella corresponde. Cuando negamos una proposición P, entonces obtenemos otra proposición P, es decir, la negación de P. A través de esta operación obtenemos una proposición cuyo valor de verdad es contrario al valor de verdad de P.

¬

Frecuentemente en el lenguaje común, una negación se expresa mediante prefijos que indican negación o mediante adverbios de negación. Por ejemplo, se dice en lugar de no regular, irregular,














































































































































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D: Sólo tiene (F, F) tiene la la espe especialidad cialidad de Química Química (F,

Como podemos darnos cuenta, puesto que A cumplió con los requisitos, entonces A es el ganador del empleo. Definic finició ión n

1.9 1.9

Conju onjunc nció ión n

Se denomina conjunción o producto lógico de las proposiciones P y Q, dadas en este orden, a la función veritativa de dos lugares lugares que se obtiene enunciando Q luego luego de enunciar P, unidas ambas ambas por la palabra ÿ¨, cuyos valores de verdad se fijan de la siguiente manera: P V V F F

Q V F V F

P

∧Q V F F F

El enlace de proposiciones P Q es verdadera cuando ambas proposiciones P, Q son verdaderas. Una conjunción cuyo valor de verdad es V, expresa que las circunstancias que se reflejan a través

∧
















































































































































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La disyunción corresponde a la función proposicional bivalente P o Q. Según la definición anterior P o Q es verdadera cuando, como mínimo, una de las proposiciones enlazadas es verdadera. En discusiones posteriores, el enlace de varias proposiciones con ö¨ recibe el nombre de disyunción. Entonces, un enlace de proposiciones de este tipo representa una proposición verdadera cuando todas las proposiciones enlazadas son verdaderas. Ejem Ejempl plo o 1.12 1.12 - 2 3 = 6 ó 3 + 2 = 5 - 75 % de 45 m es 135/4 m, ó 33,75 m.

·
















































































































































Teorema 1.1

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Toda proposición es verdadera o falsa.

Este teorema se denomina, teorema del tercero excluido. Esto podemos representarlo mediante la funció función n proposi proposicio cional nal ¨P o P¨. Esta Esta funció función n proposi proposicio cional nal es una iden identidad, tidad, porque porque para para cualquier argumento P, siempre obtenemos una proposición verdadera.

¬

Teorema 1.2

Toda proposición es o verdadera o falsa.

Este teorema se denomina, principio de la bivalencia. Este principio expresa que entre una
















































































































































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proposición implicación se refieran al mismo tema. Tienen interés particular las proposiciones implicación verdaderas. Los teoremas de matemáticas con frecuencia se expresan como proposiciones implicación. Una demostración de un teorema de esta forma lo constituye la verificación de que la proposición implicación es verdadera.

∼

∼

Sean P = P(P1 , P2 , ..., Pn ) y Q = Q(P1 , P2 , ..., Pn ) proposiciones compuestas y supóngase que P Q es verdadera. Se sabe que si P es falsa, P Q es verdadera, no importando si Q es

→

→
















































































































































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Otra forma de enunciar ¨P si y sólo si Q¨ es ¨P es una condición necesaria y suficiente para Q¨. Así mismo, ¨P si y sólo si Q¨ en ocasiones se escribe ¨P ssi Q¨. La proposición compuesta (Si P, entonces Q) y (si Q, entonces P), también podemos expresarla en símbología lógica de la siguiente manera P Ejem Ejempl plo o

1.17 1.17

Sean

↔ Q =∼ (P → Q) ∧ (Q → P)















































































































































CAPÍTULO CAPÍTULO 1. LÓGICA MATEMÁ MATEMÁTICA TICA

3.

Sean Sean P, P, Q, R com como o en el ejercici ejercicioo anter anterior ior.. Trad Traduzc uzca a lo siguien siguiente te a oracion oraciones es en españo español: l: a) (P Q) R; b) (P R) Q; c) P (Q R); R); d) (P (Q R)); R)); e) (P Q) R. Resp Resp:: a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

∧ → ¬ ∨ ∧

4.

19

→ →

¬ ↔ ∨

¬ ↔ ∨

Sean p : tengo un loro y q : tengo un gato, escribir en lenguaje corriente y luego simplificar

¬(¬ p ∨ ¬(¬q )))) ∧ ¬(¬ p) p)


















































































































































12.

a) Muestre que

3 es un contraejemplo de la afirmación

20 3

3 para toda

N
















































































































































21.

Determine Determine los alores alores de

dad de l

21 iguientes iguientes proposicione proposicione

stas:
















































































































































1.2. 1.2.

Cons Constr truc ucci ción ón de de tabl tablas as de de ver verda dad d

22
















































































































































Ej

pl

1.25 1.25

Se G ∼ (P

Q)

[(P

23 Q)

∧ (Q

P)], construir la correspondiente tabla
















































































































































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de la tabla de valores de verdad es una relación entre dos fórmulas; y la propiedad de ser una

























































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































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