Índice Capítulo 1 Productos notables..................................................................................................... 4 Capítulo 2 División algebraica..................................................................................................... 8 Capítulo 3 Factorización - M.C.D. - M.C.M. - Fracciones algebraicas......................................... 12 Capítulo 4 Factorial - Coeficiente binomial - Binomio de Newton............................................... 16 Capítulo 5 Repaso........................................................................................................................ 21 Capítulo 6 Radicación.................................................................................................................. 24 Capítulo 7 Resolución de ecuaciones........................................................................................... 28 Capítulo 8 Ecuaciones de segundo grado..................................................................................... 32 Capítulo 9 Desigualdades - Números reales................................................................................. 36 Capítulo 10 Inecuaciones de primer y segundo grado - Valor absoluto.......................................... 40 Capítulo 11 Inecuaciones polinomiales - Fraccionarias e irracionales............................................ 44 Capítulo 12 Relaciones de lR en lR (I)........................................................................................... 49 Capítulo 13 Relaciones de lR en lR (II)........................................................................................... 54 Capítulo 14 Funciones I................................................................................................................ 62 Capítulo 15 Funciones II................................................................................................................ 67 Capítulo 16 Repaso........................................................................................................................ 75 Capítulo 17 Funciones III............................................................................................................... 80 Capítulo 18 Funciones IV............................................................................................................... 85
Álgebra Capítulo 19 Logaritmos en lR......................................................................................................... 90 Capítulo 20 Función exponencial y logarítmica............................................................................. 93 Capítulo 21 Cálculo de Límites...................................................................................................... 99 Capítulo 22 Derivadas - Aplicaciones............................................................................................. 103 Capítulo 23 Repaso........................................................................................................................ 107 Capítulo 24 Funciones polinomiales I............................................................................................ 111 Capítulo 25 Funciones polinomiales II........................................................................................... 115 Capítulo 26 Números complejos I.................................................................................................. 119 Capítulo 27 Números complejos II................................................................................................. 123 Capítulo 28 Sucesiones reales........................................................................................................ 128 Capítulo 29 Series y sumatorias..................................................................................................... 133 Capítulo 30 Repaso........................................................................................................................ 138 Capítulo 31 Matrices...................................................................................................................... 142 Capítulo 32 Determinantes ........................................................................................................... 147 Capítulo 33 Sistema de ecuaciones I.............................................................................................. 152 Capítulo 34 Sistema de ecuaciones II............................................................................................. 156 Capítulo 35 Programación lineal.................................................................................................... 161
Problemas resueltos 3. Si: x–y=2n ∧
Resolución
E=
Se tiene:
Resolución
x2= 3 x–1
x2+1= 3 x
x+ 1 = 3 ; dado que: x ≠ 0 x
Ahora bien:
x2+
1 = ^ 3 h2 –2 ∧ x3+ 1 = ^ 3 h3 –3^ 3 h x3 x2 x2+ 12 =1 x
∧ x3+ 13 = 3 3 –3 3 x
(I)
(II)
Multiplicando (I) y (II): 1 1 2 3 cx + 2 mcx + 3 m =0 x x x5+ 1 +x+ 15 =0 ⇒ x5+ 15 + 3 =0 x x x
2. Si: x+y+2z=4; determine el valor de: E=
(x–1) 3 + (y–1) 3 + (z–1) 3 . (8) (x–1) (y–1) (z–1)
Resolución Tenemos: x+y+2z=4 (x – 1)+(y – 1)+2(z – 1)=0 ⇒ (x–1)3+(y–1)3+[2(z–1)]3=3(x–1)(y–1)(2(z–1))
E=
3mx–nx–3my + ny ny2 –nx2 –3my2 + 3mx2
3m (x–y) –n (x–y) (3m–n) 1 ...(I) = = 2 2 2 2 + + (x y) (3m–n) x y 3m (x –y ) –n (x –y )
De la condición:
m(x+y) – n(x – y)=2(m2 – n2) ↓ m(x+y) – n(2n)=2m2 – 2n2
⇒ x+y=2m ... (II)
(II) en (I): ` E = 1 2m
4. Si: x, y, z ∈
`E=6
Quinto UNI
(x–1) 3 + (y–1) 3 + 8 (z–1) 3 =6 (x–1) (y–1) (z–1)
– {0}; tal que:
x2 –yz y2 –xz z2 –xy + + =0 x y z Calcular el valor de la expresión:
⇒ x5+ 15 =– 3 x
4
x + y =2; entonces m + n m–n determine el valor de:
1. Si: x2= 3 x–1; indicar el valor que adopta: x5+ 15 x
M=
(x + y) (y + z) (x + z) x3 + y3 + z3
Resolución De la condición: yz xy + y – xz + z – =0 x y z xyz xyz xyz ⇒ x+y+z= 2 + 2 + 2 x y z ⇒ 1 + 1 + 1 = 12 + 12 + 12 xy yz xz x y z 1 1 1 ⇒ = = ⇒ x=y=z x y z
x–
`M=
(2x) (2x) (2x) 8 = x3 + x3 + x3 3
Colegios
TRILCE
Álgebra 5. Si "a", "b", "c" son números que satisfacen las condiciones: Z a b c 3 + + = ] 3 3 3 [ a + b + c = 30 ] abc = 4 \ Determinar el valor de: E = 1 + 1 + 1 a b c
Resolución
Se sabe que:
(a+b+c)3=a3+b3+c3+
+3(a+b+c)(ab+bc+ac)–3abc
(3)3=30+3(3)(ab+bc+ac) – 3(4)
⇒ ab+bc+ac=1
Ahora bien: E = ab + bc + ac = 1 abc 4
Problemas para la clase 1. Reducir: (x+y – z)(x – y – z) – (x – z)2 a) y2 d) –z2
b) – y2 e) 0
c) z2
a) 0 d) 4a2
2. Simplificar la expresión:
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
b) 3 e) 7
c) 6
(1 + x) (1 + y) (1 + z) (1–x) (1–y) (1–z) + (1–x) (1–y) (1–z) (1 + x) (1 + y) (1 + z)
6. Si: x=
3
a 1-a -a -
3
a 1-a +a
Central: 619-8100
b) 2 e) 6
c) 1 n
n
11. Si: a>1; b>1 ∧ c a m + 4 c b m =725 b a
Calcular: T= 3
Determinar el valor de la expresión: 9 3 3 3 K= x - 27a x 4+ 8a - 18ax
c) – 2
an + 5bn + 3cn bn
a) 3 d) 4
a+b+c=5 ∧ a2+b2+c2=7 c) 9
b) – 1 e) abc
10. Si: a2+b2+c2=ab+ac+bc ∀a, b ∧ c ∈ Calcular:
b) 18 e) 12
c) 3
9. Si: x = a–b ; y = b–c ∧ z = c–a b+c c+a a+b Calcular:
5. Calcular: ab + ac + bc, si:
a) 10 d) 11
b) 2 e) 6
a) 0 d) 2
7 5 3 Calcular: x –x 5+ x x
c) – 2
(x–1) 3 + (y–2) 3 + (z–3) 3 (x–1) (y–2) (z–3)
c) 16
b) 4 e) 10
b) 2 e) 1
8. Si: x+y+z=6; calcular:
4. Si se cumple: x2 – 3x+1=0
a) 2 d) 8
x3 + y3 + z3 –3xyz
a) 1 d) 4
7a + 2b + a + 3 b + 3 a b a) 9 d) 4
3
a) 3 d) – 1
c) 3
3. Si: 1 + 1 = 4 a b a+b Calcular la raíz cuadrada de:
c) 2a
7. Si: x+y+z=3 ; xy+yz+xz=0 Calcular:
2 y 22 y 2 y 22 ;c x + m + c x - m E - 4 ;c x m - ` j E y x y x y x E= 2 2 3 3 y 3 y 3 ;c x m + ` j E - ;c x m - ` j E y x y x
b) a e) 6a2
a) 1 d) 4
an + 2bn an bn b) 2 e) 16
c) 3
www.trilce.edu.pe 5
12. Si: m3+n3+p3=5 , además: (m+n)(m+p)(n+p)(m2–mn+n2)(m2–mp+p2)(n2–np+p2)=40 Hallar el valor de: m9+n9+p9 a) 15 d) 20
b) 10 e) 25
c) 5
13. Si: a3+b3+c3=0 (a – b)2+(a – c)2+(b – c)2=12 Calcular: (ab)–1+(ac)–1+(bc)–1 a) – 1 2 d) 3
b) – 1
c) 2
e) –2 6
6
Calcular:
9 3 xyz – (x + y + z) xy + yz + xz
a) 1 d) 4
b) – 2 e) 3
z =0
a) c6 d) b2
(b6 –a6) 2 c6 –4 (ab) 3 b) c2 e) b3
c) c3
x+y y+z + + x + z –xy–xz–yz z x y
x2+y2+z2=xy+xz+yz+1
c) 3
a) 0 d) 3 20. Si:
b) 1 e) –3
c) –1
x+y=–z
xy+yz+xz=1
donde: m,n∈<0;+∞> 2mn +n) (
Reducir: R =
x3+y3+z3=4xyz
(am + an + bm - bn) 2 + (am - an - bm - bn) 2 (a 4/3 - a2/3 b2/3 + b 4/3) R(m; n)
R(m;n)=(m
b2+c2 – bc+c=b
Donde:
16. Al simplificar: Q=
a2+b2 – ab+b=a
a + b + c = 2 (a + b) (a + c) (b + c) a+b+c = 1 b) 2 e) 5
c) 125
18. Si se cumple:
R=
3
a) 1 d) 4
b) 123 e) 129
19. Calcular el V.N. de:
Sabiendo que:
)
a) 121 d) 127
c) 2
1 + 5abc ab + ac + bc 3
17. Si: x2 - 3x+1=0 Halle: x5 + 15 x
15. Calcular el valor de:
3
b) 2a2/3+2b2/3 c) a2/3+b2/3 e) 2a2/3 - 2b2/3
a2+c2 – ac+a=c
14. Si: 6 x +
y+
a) 2(a+b) d) 2(a - b)
4 4 y4 Calcular: K = x + +z yz xz xy
a) – 3 d) – 2
b) – 6 e) – 1
c) – 5
2mn +m+n)
Entonces obtenemos:
Tarea domiciliaria 1. Sabiendo que:
2. Calcular "m" entero positivo de tal forma que: [16x6+(m–2)x3y4+49y8] sea un trinomio cuadrado perfecto.
x+y= 4 3 + 2
xy=2 3 –3
Calcular:
2
x +y
2 a) 4 3 +2 b) 3 d) 3 3 e) Quinto UNI 6
a) 56 d) 52
2
b) 54 e) 60
c) 58
c) 2 2 Colegios
TRILCE
Álgebra 3. Calcular:
10. Hallar la raíz cuadrada de:
(x2 + x–7) 2 – (x–1) (x + 2) (x–3) (x + 4) Si: x= 3 + 2 a) 1 d) 3
b) 3 + 2 c) 2 3 e) 5
2 x e 2– y o – y c 2 –x 2 m y x–y x y–x
y 5. Si: x + = 3 y x Calcular: E= e
b) a2 e) a2b2
a) a – b d) ab
12. Si en c) 2 3
3
3
3 2 x 2 –2 + y + 1 e o o y2 x2
b) 6 2 e) 2 +1
x–2+x–3=b
3 a) 3 b 3 c) 1 d) e) 2 3 13. Si "x" e "y" son reales que verifican la relación: x2+y2+10=6x – 2y calcular el valor numérico de:
b) 2 e) 6
c) 2 3
calcular el valor numérico de: (a + c) 2 –4ac (a–b) 2 + (b–c) 2
E=
x2 + x–2 + 2 =2
Calcular: x3+x–3 b) 10 e) 3 2
c) 10 2
–1
c) 4
ab=3 ... (1)
(a+b)3+a3+b3=23(a+b) ... (2)
Hallar: (x2)–1+(y2)–1 b) – 1 3
b) 5 e) 1
Se verifica:
x2 +y2 =3 a) 1 3 d) – 1 9
a) 2 d) 3
15. Sabiendo que para: a+b ≠ 0
xy=9 –1
c) 3
14. Sabiendo que "a", "b" y "c" verifican la relación: a – b=b – c= 3
a+b
5 a) 4 3 b) d) 9 e) 5
8. Si:
c) 4 2
x2 + y2 –xy + x + y–x2 y2 = 0 Entonces "xy" es:
a) 1 d) 5
x2+x3=a
a) 3 d) 9 2
1+2 2
4 4 E = x + y + 100 91
x+x–1=3
3
3
se cumple:
6. Dado:
7. Si:
8 + 16 2 –
3
a) 0 b) 1 c) 3 d) 3 e) – 1
Calcular:
c) b2
11. Calcular el valor numérico de: E=x6–9
a) 2 2 d) 0
Si: x = 5 + 3 ; y = 5 – 3 b) 2 e) 4
(a – b)4+b3(a – b)+3ab(a – b)2+a3b
Para: x=
4. Calcular el valor numérico de:
a) 0 d) 2 5
Calcular: a2+b2 c) 3 a) 12 d) 16
e) –9
b) 10 e) 14
c) 15
9. Efectuar:
(x – 12)3 – (x – 11)(x – 12)(x – 13)+5
a) x d) x + 17 Central: 619-8100
b) x + 8 e) x – 6
c) x – 7 www.trilce.edu.pe 7
Problemas resueltos 1. Calcular "a+b+c", a partir de la división exacta: x5 –2x 4 –6x3 + ax2 + bx + c x3 –3x2 –x + 3 Resolución
3. Indicar el resto al dividir:
Tenemos:
6(2x + 1) 2 + 3@ + (4x2 + 4x + 3)10 + 4x2 + 1 4x 2 + 4x + 3 17
÷
1
1
–2
1 1 –2
–6
3
+
3 +
1
1
a +
–3 +
c +
–3
–3
–6
–2
6
0
0
0
1
3
b
1
1
\ Residuo = 16 – 2 m = 16 – 2 ( – 2) = 20
–2
+
Resolución
Aplicando el teorema del resto: 4x2+4x+3=0 ⇒ )
\R(x) ≡ (–2+3)17+(–4x–3+4x+3)10+(–4x–3)+1 R(x) ≡ 1+1 – 4x – 3 → R(x) ≡ –4x – 1
\ a – 3 + 1 – 6 = 0 ⇒ a = 8 b – 3 – 2 = 0 ⇒ b = 5
c+6=0
\a+b+c=7
⇒ c = – 6
2. Calcular el residuo al dividir:
4x2 + 4x + 1 = –2 " (2x + 1) 2 = –2 4x2 = –4x–3
4. Si al dividir "P(x)" entre (x2+1) el residuo es (x+3), 2 indicar el residuo de dividir "P " entre (x2+1) (x)
Resolución
→ Resto ≡ R(x) ≡ x+3 x2 + 1 Aplicando el algoritmo de la división: Se tiene:
P(x)
27x3 + 18x2 –6mx + 13 3x–1 P(x) ≡ (x2+1)Q(x)+x+3 sabiendo que la suma de coeficientes del co2 ciente es 25. → P ≡ [(x2+1)Q(x)+x+3]2 (x) Ahora bien: Resolución 2 2 8(x2 + 1) Q(x) + x + 3)B P(x) Tenemos: 2 = x +1 x2 + 1 Aplicando el teorema del resto: 27 18 –6m 13 x2+1=0 → x2=–1 ... (a) 1 9 9 3–2m x= ↓ → R(x) ≡ (0.Q(x) + x+3)2 3 27 27 9–6m 16–2m R(x) ≡ x2+6x+9 1 44444 2 44444 3 ÷ 3 Degradando el resto por (a) 9 9 3–2m ⇒ 9+9+3–2m=25 R ≡ –1+6x+9 (x) 1 44444 2 44444 3 coeficientes del cociente m=–2 \R(x) ≡ 6x+8 Quinto UNI 8
Colegios
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Álgebra 5. Al dividir "P(x)" entre (x – 1) y (x+2) se obtiene como restos: – 1 y – 4 respectivamente. Hallar el resto que se obtiene al dividir dicho polinomio entre el producto (x – 1)(x+2).
Resolución
Se tiene:
•
•
Ahora bien:
P(x) → Resto ≡ ax+b ≡ R(x) (x–1) (x + 2)
Usando el algoritmo:
P(x) ≡ (x–1)(x+2)Q(x)+ax+b
P(x) → Resto = R1(x) ≡ –1 ⇒ P(1) ≡ –1 x–1 (Teorema del resto) .... (a) P(x) → Resto ≡ R2(x) ≡ –4 ⇒ P(–2) ≡ –4 x+2 (Teorema del resto) ... (b)
Si: x=1 → – 1 = a+b ... por (a)
Si: x=–2 → – 4= – 2a+b ... por (b)
Resolviendo el sistema: a=1 ∧ b = – 2
\ Resto= R(x) ≡ x – 2
Problemas para la clase 1. Hallar "m.n", si el residuo de dividir: 4
20 a) 17 b) 3 3 d) 9 e) 2
3
4x + 3x + mx + n ; es: 2x–5 x2 + 4 a) – 966 d) 12
b) 366 e) 36
c) 27
2. Hallar "a" para que el residuo de la división:
6. Calcular el resto de la siguiente división:
x3 –ax2 –ax–a2 x–a–2
Sea: 3a+2 a) – 2 d) 2
b) – 1 e) – 3
2 x5 + 2x 4 + 2 3 x3 –3 6 x2 + 6 3 x + 12 x– 3 + 2 a) – 12 d) 3 3
c) 1
c) 6 2
x 4 + a 4 ; a; b >0 x2 + bx + a Dar la suma de coeficientes.
mx 4 + nx3 + px2 + 6x + 6 2x2 –5x + 2
a) 1 – d) b
2 b) 2 +1 e) 2 – 2
c) a
Es (–5x+8), y además la suma de los coeficientes del cociente entero es igual a 4, calcular el valor de: n(p+m)
8. Calcular el valor de "a", si al dividir:
a) 24 d) 36
b) 30 e) 45
c) 32
4. Encuentre "a" y "b" para que el residuo de la división: (12x4 – 17x3+17x2+ax+b) ÷ (4x2 – 3x+1)
b) 12 e) 6 6
7. Proporcionar el cociente exacto de:
3. Si el residuo de la división:
c) 8
Sea: (4x+1); indicar el valor de "a.b" a) – 12 d) – 24
5. Al dividir:
b) – 16 e) 1
c) 12
ax5 + 2x 4 –bx + 2 3x3 –x + 1
Se obtuvo por resto: bx2+cx. Hallar "c" Central: 619-8100
xa + 17 + xa + 16 + ... + x 4 + x3 + x2 + x + 1 x–1 Se observa que la suma de coeficientes del cociente entero es igual a 90 veces su residuo. a) 160 d) 163
b) 161 e) 164
c) 162
9. Calcular el residuo de dividir: 2 (x2 + 3x–1)1003 –5 (x2 + 3x–3) 511–3x2 –9x + 7 x2 + 3x–2 a) 6 d) 12
b) 8 e) 14
c) 10
www.trilce.edu.pe 9
10. Hallar el resto en la división:
igual a 30. a) 24 d) 25
4x21 + 7x7 + 8 x2 + x + 1 a) 7x – 12 d) 7x
b) x – 12 e) 7x+12
c) x+12
11. Calcular el resto en la siguiente división:
"n∈
(x2 –6x + 9) n (4x–9) 2n–1(3x–8) 2 (x–2) (x–3)
a) 4(x – 3) d) 3(x – 2)
b) 3(x – 4) e) 4(x – 1)
c) 2(x – 3)
12. Hallar el término independiente del cociente:
b) 1 e) 6
c) 2 (x4
13. Al dividir un polinomio "p(x)" entre - 1) se obtuvo como residuo (3x3+nx2+mx–2); si además se sabe que, el resto de dividir "p(x)" entre (x2 – 1) es (5x – 4), entonces el valor de "mn" es: a) – 4 d) 1 4
b) – 2 e) 4
c) 1 2
14. Determinar un polinomio "P(x)" de quinto grado que sea divisible entre (2x4–3) y que al dividirlo separadamente entre (x+1) y (x–2) los restos obtenidos sean respectivamente 7 y 232. Indicar como respuesta el término lineal de "P(x)". a) 12x d) – 15x
b) – 12x e) 9x
b) 20 e) 16
c) 10
17. Un polinomio "P(x)" al ser dividido entre (x2+1) otorga un residuo (–x+1). Hallar el resto de la siguiente división: 6P(x)@5 x2 + 1
(x + 2) 20 + 1 x+4 a) 0 d) 4
c) 72
16. Se sabe que el polinomio entero en "x" de tercer grado y mónico se anula para: x=2 y para: x=3. Si la suma de coeficientes es igual a 10, hallar el resto de dividir el polinomio "P(x)" entre (x+2). a) 40 d) 80
+
b) 15 e) –12
c) 15x
15. Hallar el término independiente de un polinomio "P(x)" de cuarto grado y de coeficiente principal igual a 2, que es divisible en forma separada por (x – 2); por (x+3) y por (x – 4) y que al dividirlo entre (x+1); proporciona un residuo
a) x – 1 d) –2x
b) 4x – 4 e) 3x
c) 2x
18. Un polinomio mónico de cuarto grado es divisible por (x2 – 1) y (x – 4); al dividirlo entre (x+3) se obtiene como residuo 56. Calcular el resto de dividir "P(x)" entre (x – 2). a) – 12 d) 4
b) – 24 e) – 20
c) – 16
19. El residuo de dividir "P(x)" entre (x5+x+1) es (x4+2x2 – 5). Indicar el residuo de dividir: P(x) x +x+1 2
a) x+3 d) x – 7
b) – x+3 e) x+7
c) – x – 7
20. ¿Cuál es la suma de coeficientes de un polinomio "F(x)", si se sabe que es de tercer grado, su primer coeficiente es la unidad, es divisible entre (x – 2)(x+1) y carece de término cuadrático? a) 4 d) – 4
b) 3 e) 8
c) – 3
Tarea domiciliaria 1. Calcular: ab+ba, si al dividir: (bx4+(a+2b)x3 – (ab - a)x2 – a2x+a+2b)
entre: (–x2–2x+a) el residuo es: R(x)=6x+a–1 a) 3 d) 32
Quinto UNI 10
b) 17 e) 145
c) 4
2. Sea: P(x)=x5 – ax+b; un polinomio con coeficientes enteros. Si "P(x)" es divisible por (x – c)2 calcular: ac b a) 1,2 d) 2,1
b) 1,4 e) 2,4
c) 1,25
Colegios
TRILCE
Álgebra 3. Indicar el término independiente del cociente de dividir: [x5+( 2+ 3)x4–( 3 – 6)x3–2x2+( 3+4)x+ 3]
9. Calcular el residuo de dividir: (4x+5)2 – (x2 +x –1)9+3
a) 10 d) 13
entre (x+ 3 ) a) 3 d) 4
b) – 3 3 e) 2 3
c) 1
4. Si al dividir: (12x4+Ax3+Bx2+Cx+D) entre (2x2 – x+3) se obtiene un cociente cuyos coeficientes disminuyen en 1 y un residuo R(x)=7x+9
b) 62 e) 82
(5x2 – x+1)4+(5x2 – x+2)2 – 5x(5x – 1)+7
c) 8
6. Calcular "m" si la división de: [mx5+2(3+m)x4+(12–m)x3+(m–6)x2+2mx–m] entre (x2+2x-1) resulta un cociente que evaluado para: x = 2, equivale a 69. b) 5 e) 8
(6x5 – x4 – ax3 – 3x2+4) entre (3x3 – 2x2+x – 2), se obtiene como residuo: bx + c a) 5 d) 1
b) 4 e) 0
c) 6
8. Hallar la relación que debe cumplirse entre "n" y "p" para que: x5 – (n2+2a)x3+n3x+p – 2a3 sea divisible por: x2 + nx – a a) n2 = 4p c) 9n6 = p3 e) 2n8 = p3
Central: 619-8100
c) 94
b) n2 = 3np3 d) 4n9 = p2
entre: x2 + 4x + 1 a) 27 d) 25
b) 29 e) 32
c) 28
12. Calcular "k" si el residuo de dividir: (x4 – x3+kx+2), entre: (x – 1) es el doble de dividirlo entre (x – 2). a) 2 d) – 7
b) – 8 e) 10
c) -6
13. Calcular "m.n" si el residuo de la división:
x25 –nx19 + mx12 + 2x–9 x6 + 2 a) – 12 d) 18
c) 6
7. Calcular "a + b + c", si al dividir:
b) 92 e) 81
(x+2)6+(x+4)30x30+1
8x 4 –8x3 + ax2 –13x + 5b 2 x 2 –3 x + b es exacta.
a) 4 d) 7
entre (5x2 – x – 2) es: a) 78 d) 75
c) 64
b) 7 e) 10
c) 12
10. El resto de dividir:
5. Calcular "a + b" , si la división:
a) 9 d) 6
b) 11 e) 14
11. Halle el residuo de:
Calcular: A + B + C + D a) 70 d) 68
entre: x + 2
b) – 10 e) – 15
es: 2x + 11 c) 12
14. Halle el resto en:
(x–2) 3 (x + 3) 2 (x–2) (x–1) a) 16x+32 d) 16
b) 16x–32 e) x+4
c) 16x–3
15. Hallar el término independiente de un polinomio de tercer grado si al dividirlo por separado entre (x – 5) y (x – 4) deja el mismo resto 4; pero si se divide entre (x + 1) y (x – 1) deja como resto 34 y 40 respectivamente. a) 42 d) 41
b) 44 e) 43
c) 34
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Problemas resueltos 1. Factorizar: F(x) = (x2 – 1)(x2 – 4)(x2 – 9)+32(x2+1)2
Resolución
F(x)=(x+1)(x–1)(x+2)(x–2)(x+3)(x–3)+32(x2+1)2 F(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x–1)(x–2)(x–3)+32(x2+1)2 1 4444 2 4444 3 1 444 2 444 3 F(x)=(x3+6x2+11x+6)(x3–6x2+11x–6)+32(x2+1)2 F(x)=[(x3+11x)+6(x2+1)][(x3+11x)–6(x2+1)]+32(x2+1)2 F(x)=(x3+11x)2 – 36(x2+1)2+32(x2+1)2 F(x)=(x3+11x)2 – 22(x2+1)2
(1 + a) (1–a) (1 + a + x + ax) (1–a–x + ax)
=
=
(1
+a) (1
–a)
(1
+x) (1
–x)
(1 + a)(1–a) = 1 (1 + a)(1 + x)(1–a)(1–x) 1–x2
4. Indicar el M.C.D. de: P(x)=2x4 – x3 – 3x2+3x – 9 Q(x) = 10x2 – 9x2+17x – 6
F(x)=(x3+11x)2 – (2x2+2)2
Resolución
F(x)=(x3+2x2+11x+2)(x3–2x2+11x–2)
•
Factorizamos P(x): P(x)=2x4 – x3 – 3x2+3x – 9 usando el aspa especial: (2x2 (x2
2. Factorizar: P(x) = x7+2x4+1
Resolución
P(x) =
x7+2x4+1
P(x)=x7+2x4+x3 – (x3 – 1) P(x)=x7+2x4+x3 – (x – 1)(x2+x+1) [x3
–(x–1)]
[x4
+(x2+x+1)]
\P(x)=(x3 –x+1)(x4+x2+x+1)
3. Simplificar: 1 –a 2 (1 + ax) 2 – (a + x) 2
Resolución
+
–x
+3)
0x
–3)
⇒ P(x) =(2x2 – x+3) (x2 – 3) ... (1)
•
Factorizamos Q(x): Q(x) = 10x3–9x2+17x–6
Usando divisores binómicos:
10 –9 17 –6
x= 2 ↓ 4 –2 6 5 10 –5 15 0 Q(x)=(x– 2 )(10x2–5x+15)→Q(x)=(5x–2)(2x2–x+3)... (2) 5
De (1) y (2): M.C.D.[P,Q]=2x2 – x+3
2
(1 + a) (1–a) 1–a = 2 2 + + ( 1 ax a + x)(1 + ax–a–x) (1 + ax) – (a + x)
Quinto UNI 12
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Álgebra
Problemas para la clase 1. Dadas las proposiciones, indicar (V) o (F): I. G(x)=x2–7, es primo en los II. P(x)=x2–x+1, es primo en
.................( ) y
8. Factorizar e indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores. M(x,y)=x3+9y3+3xy(x+y)
............( )
III. F(x)=35(x+5)(x4+1)3, tiene dos factores primos ........................................................( )
a) 4 d) 1
IV. (xy2) tiene dos factores algebraicos .........( ) a) V V V F d) F V F F
b) F F V F e) F V V V
c) F V V F
P(x,y)=10x2+11xy – 6y2 – x – 11y – 3 a) (5x+2y+3)(2x – 3y – 1) b) (10x+y+3)(x – y – 1) c) (x+2y+3)(10x – 3y – 1) d) (5x – 2y – 3)(2x+3y+1) e) (5x – 2y+1)(2x+5y – 3)
e indicar un factor primo. a) xb+ya+1 b) xa+yb d) xb – ya – 1 e) y+x+1
c) xb+ya
3. Factorizar: P(x)=(x2+2x)2 – (2x+4)2 , e indicar el número de factores primos. a) 4 d) 2
b) 3 e) 6
c) 1
10. Factorizar: P(x,y,z)=x4 – x2y+5yz2 – x2z2 – 2y2 – 2z4
b) a+b e) a – 2b
c) a2+b2
b) 4 e) 5
c) 3
b) 3 e) 4
Central: 619-8100
b) 4 e) – 2
b) p e) x2+p
c) 2p
12. Indique el número de factores primos binomios que posee: P(x)=x5+x4 – 6x3+x2+x – 6 a) 1 d) 4
c) 2
b) 2 e) 5
c) 3
13. Luego de factorizar: P(x,y)=(2x – y)4+64
7. Si "P(x)" es un polinomio factorizable definido por: P(x)=x5+3x3+x–2, entonces la suma de coeficientes de un factor primo es: a) 5 d) 2
Hallar la suma de sus factores primos. a) x2 – p d) 2x2 – p
6. Indicar el número de factores primos: M(a,b,c)=(b – c)3+(c – a)3+(a – b)3 a) 6 d) 1
c) 0
11. Luego de factorizar:
Indique el número de factores primos. a) 2 d) 1
b) 10 e) 18
P(x)=x4 – (p+1)x2+(p – 2p2)x+p3 – p4
5. Factorizar al polinomio: P(x)=(x – y)(x – 3y)(x+4y)(x+6y)+48y4
Indicando la suma de coeficientes de un factor primo. a) 1 d) 12
4. Factorizar e indicar un factor: H(a,b,c)=36a11b2–109a9b4+25a7b6 a) 2a – b d) 5a – 3b
c) 2
9. Factorizar:
2. Factorizar: Q(x,y)=xa+b – (yx)b+xa – yb+(xy)a – ya+b
b) 8 e) 3
c) 3
Podemos afirmar: a) Tiene dos factores lineales. b) Un factor primo es cuadrático. c) Tiene dos factores primos. d) Un factor es de multiplicidad 3. e) La suma de coeficientes de un factor primo es 0.
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14. Hallar el MCD de "P(x)", "F(x)" y "R(x)" P(x) =(x+1)4(x – 2)3(x – 3)5(x – 1)2 F(x) =(x+8)4(x – 2)(x – 3)5(x+2)2 R(x) =(x – 2)2(x+2)2(x – 3)(x+7)6
18. Indicar una de las fracciones parciales en la que se descompone: 1 x 4 + x2 + 1 1 x+1 b) x2 + x + 1 2^x2 + x + 1h 1 c) 2x–1 d) 2 x –x–1 x +1 e) 21 x –1
b) x2+5x+6 d) x – 3
a) x – 2 c) x2 – 5x+6 e) x+8
a)
15. Hallar el MCM de: "P(x)","Q(x)" y "R(x)" P(x)= (x+3)4(x – 2)2(x2+1)6(x+7)6 Q(x)=(x+5)4(x2+1)2(x – 2)3(x+3)3 R(x)=(x+7)2(x2+1)3(x – 2)4(x+5)6
a) (x2+1)2(x – 2)2 b) (x2+1)6(x – 2)4(x+3)4(x+7)6(x+5)6 c) (x2+1)6(x – 2)2 d) (x+7)6(x+5)6(x2+1)6 e) (x+3)4(x+7)2(x+5)4
16. Si el producto de dos polinomios es: (x2 – 9)2 y el cociente de su MCM y su MCD es (x – 3)2, calcular su MCD. a) x2 – 6x+9 c) x – 3 e) x+3
b) x2+6x+9 d) x2 – 9
17. Si el MCD de los siguientes polinomios: P(x)=x2+ax+6 Q(x)
=x2+bx+3
es de la forma (2x+c), halle: (a – b)c a) 4 d) – 6
b) 6 e) – 4
c) 8
19. Conociendo:
x+y+z=3
x3+y3+z3=9
Determine:
E=
1 1 1 + + 3z + xy 3x + yz 3y + zx
a) 1 d) 6
b) 2 e) 5
c) 3
20. Si:
x+y y+z ;b = ; c= z + x x–y y–z z–x xy yz + + xz 2 = 3 además: 2 2 (x–y) (y–z) (x–z) a=
Hallar: M = a2+b2+c2 a) 5 d) 7
b) 10 e) 1
c) 15
Tarea domiciliaria 1. Factorizar: F(x; y)=x3y+2x2y2+xy3+x2+2xy+y2 El factor primo que más se repite es: a) xy + 1 d) x + y
b) xy – 1 e) x – y
c) (x + y)2
2. Indique un término de un factor primo de: R(x; y)=x6+x2y2+y4+xy3 – x3y3 a) xy2 d) – x2y
Quinto UNI 14
b) – x3y e) – y3
c) y4
3. Factorizar: F(x; y) = (x2 – y2)2 – (y2 – 1)2 Un factor primo es: a) x + y d) x2 + y
b) x – y e) y – 1
c) x + 1
4. Indique la diferencia entre los dos factores primos de: H(a; b; c; d)=(a+b+c+d)2 – a2 – b2 – a(c+d) a) a – c + d c) a – 2b e) a – 2b - c - d
b) a – 2b + c – d d) a – c – d + 2b
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Álgebra 5. Factorizar: F(x)=x2(x2+3)2 – (3x2+1)2 La suma de factores primos lineales es: a) 4x + 1 c) 2x e) 2x – 1
b) 4x + 3 d) 2x + 3
=(2x2
6. Factorizar: F(x) – Un factor primo es:
3x)2
a) 2x – 1 c) 2x+ 5 e) 2x + 3
–
14(2x2
– 3x)+45
11. El grado del MCM de los polinomios:
A = x4+x2y2+y4
B = x4 – x3y – xy3+y4
es: a) 5 d) 7
4 2 P(x) = x 2– 10x + 169 x + 6x + 13
b) 2x – 3 d) 2x+ 1
H(x)=(2x – 1)4+3(x2 – x – 2)+5 a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
A = 3x3+x2 – 8x+4
B = 3x3+7x2 – 4
a) 9 d) 21
F(x)=
B = x2 – 15x + 36
C = x4 – 5x3 + 5x2 + 5x – 6
x2+4x+3
+
2
1 x2+5x+6
(x–3)2+12x 2
b) 2 d) (x + 3)2
a)
(a + b + c) 2 (a–b + c) 2 b) 2bc 2bc
c)
(a + b + c) 2 (a–b + c) 2 d) bc bc
e)
(a + b + c) 2bc
c) x – 3
10. Si el producto de dos polinomios es: (x – 1) (x+1)(x+2)2(x+5) y su MCD es (x + 2); hallar la suma de los coeficientes del MCM de dichos polinomios.
Central: 619-8100
2x
1+ 1 a b + c . c1 + b2 + c2 –a2 m E= 2bc 1– 1 a b+c
b) 10 e) 0
x2+3x+2
+
14. Simplificar:
A = x2 – 9
a) – 10 d) – 36
c) 20
c) 3
b) x + 3 e) 1
1
a) 1 c) 2x + 3 e) x2 + 3x + 2
9. Hallar el MCD de:
a) x2 – 9 d) x – 4
b) 8 e) 22
13. Simplificar la expresión:
Dar como respuesta la suma de sus coeficientes. b) 11 e) 1
Dar como respuesta la suma de coeficientes del numerador y del denominador.
c) 4
8. Hallar el MCD de:
a) 7 d) 5
c) 6
12. Simplificar la expresión:
7. Indique el número de factores primos de:
b) 4 e) 8
c) 36
15. Simplificar la expresión: a2 b2 c2 E= + + (a–b) (a–c) (b–c) (b–a) (c–a) (c–b) a) 1 d) a + c
b) 2 e) b + c
c) a + b + c
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Problemas resueltos 1. Determinar "x+y", si:
así sucesivamente
y x+5 +5 Cxx+ = C x +3 1 + Cx
⇒ E+1=
Resolución
+5 x+5 = Cxy+3 Cxx+ 1 + Cx 1 444 2 444 3 y +6 Cxx+ 1 = C x+ 3
0 1998
=0
\ E = –1
3. Determinar el penúltimo término en el desarrollo de: (3x2 – y3)12
Resolución
2 12–11(–y3)11 Tpenúltimo=T12=T11+1=C12 11 (3x )
⇒ x+6=y ∧ x+1+x+3=x+6 x=2 → y=8
\ x+y=10
= 12(3x2) . (–y33)
Término penúltimo = – 36x2y33
2. Calcular: –1998
1
–1997
+
+
2
–1996 3
4. Proporcionar el coeficiente del término de grado 7 en el desarrollo de: (x7+x–7)7
–1
+...+
1998
Resolución
Tk+1=C7k (x7)7–k.(x–7)k=C7k x49–14k...(1)
Sea: E=
E+
–1998 0
–1998 1
=
–1998 0
–1997
+
+
2
+
–1998 1
+
–1996 3
–1997 2
–1
+...+
+
–1996 3
1998
+...+
E+1=
E+1=
–1997 1
–1996 2
–1995 3
Quinto UNI 16
+
+
+
–1997 2
–1996 3
–1995 4
+
–1996 3
+...+
+...+
+...+
–1 1998
Ahora bien:
G.A.[T –1
1998
E+1=
Resolución
=49 – 14k=7
k+1]
42=14k k=3
\ En (1): t4=C73 x7 ⇒ Coef(T4)=C73 = 7! 4 !3 ! (7) (6) (5) (4!) = (4!) (3) (2) → Coef.(T4)=35
–1 1998
–1 1998
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Álgebra 5. Calcular: S=
Cn0 Cn Cn Cn Cnn + 1 + 2 + 3 + ... + 2 3 4 5 n+2
Resolución
Cn0 C1n Cn2 Cn3 Cnn + + + + ... + S= 2 3 4 5 n+2 (n+2)(n+1)S=
(n + 2) (n + 1) n (n + 2) (n + 1) n (n + 2)(n + 1) n (n 2)(n + 1) n C2 + ... + (n + 1) C C0 + 2 + C1 + 3 4 .3 2 .1 3.2 (n + 2) (n + 1) n n+2
n+2
n+2
2
1
2
(n+2)(n+1)S = C
Ahora bien:
(n+2)(n+1)S=0.C
+2 C
+ 3.C
n+2
n+2
n+2
n+2
0
1
2
+0. C
+1.C
n+2
n+2
3
4
+2. C
+3. C
n+2
+...+(n+1) C
n+2
n+2
n+2
n+2
n+2
n+2
n+2
n+2
n+2
0
1
2
3
4
n
n+1
n+2
+n. C
(n+2)(n+1)S=(n+1) C
+(n–1) C
n+2
n+2
n+2
0
1
2
2(n+2)(n+1)S=(n+1) C
+n C
+ nC
n+2
n+2
n+2
0
0
1
2(n+2)(n+2)S = C
n+2
+...+(n+1) C
+n C
+C
+(n–2) C
+(n–3) C
n+2
n+2
n
n+1
+...+n+C
n+2
n+2
2
n+1
+C
+...+ C
+n C
n+2
+C
n+2
+C
+...+C
+0. C
+
+0. C
n+2
+(n+1) C
n+2
n+2 n+2
2(n+2)(n+1)S=1+n.2n+2+1 n+1 +1 2(n+2)(n+1)S=2(n.2n+1+1) ⇒ S = n.2 (n + 2) (n + 1)
Central: 619-8100
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Problemas para la clase 1. Calcular el valor de "n":
8. Calcula r el equivalente de:
(n + 2) ! (n + 4) ! = 720 (n + 2) ! + (n + 3) ! a) 3 d) 2
b) 5 e) 4
n! (n!–3) =18 n! + 4 b) 25 e) 2
c) 3
c) 3
(24! + 1) !– ((4!) !) ! (24!–1) ! b) 24!2 e) 232!
C1n
Cn0
+
2Cn2 C1n
+
3Cn3 Cn2
+
4Cn4
b) n2 n (n + 1) d) (n+1)2 e) 2 a) n
4. Simplifique:
a) 4! d) 242!
L=
Cn3
+ ... +
nCnn
Cnn–1
c) n+1
10. Calcular el valor de "n", que verifica la igualdad:
25 19 C525 C19 9 + C6 C10
E=
c) 2n Cnp
9. Hallar el equivalente reducido de:
20 26 26 C10 C20 – C19 9 C6
b) 1 e) 6
b) 2p Cnp
n d) Cn2+ Cp2n p e)
3. Reducir:
a) 2 d) 10
–1 –2 + Cn2 Cnp–2 + ... + Cnp Cn0–p E = Cn0 Cnp + C1n Cnp–1
a) 22p Cnp
c) 1
2. En la ecuación, calcular el valor de "n":
a) 24 d) 4
c) 42!
nCn0 + C1n + nCn2 + Cn3 + nCn4 + ... + Cnn = 268 a) 36 d) 39
b) 62 e) 93
c) 63
11. Indicar el término central en el desarrollo del binomio: (x2 – 1)8 a) 35x2 d) 70x8
b) 35x4 e) 120x6
c) 70x2
12. Indicar el término independiente en la expansión de: (x5+ 1 )6 x a) 12 b) 6 c) 18 d) 8 e) 10
5. Halle el mayor valor de "x": 48 Cx48 2 = C 2x
a) 6 d) 12
b) 8 e) 4
c) 2
a) 11 d) 14
b) 12 e) 15
c) 13
13. Sabiendo que en la expansión de: P(x)=(3x+1)n los términos de lugar sexto y séptimo tienen el mismo coeficiente, calcular la suma de todos 6. Calcular el menor valor de: (n+k) que satisfaga los coeficientes de dicha expansión. la condición: a) 1 b) 246 c) 420 n–4 Cn + Cn = 10 C9 d) 223 e) 421 6 10–k k 5 4
7. Simplificar: 5 5 6 7 8 9 10 11 e o+e o+e o+e o+e o+e o+e o+e o 2 3 4 5 2 2 2 2 11 11 10 a) e o b) e o c) e o 1 13 2 11 12 d) e o e) e o 12 9
Quinto UNI 18
14. Calcular "k" en el desarrollo de (x+1)36, si los términos de lugar (k – 4) y k2 tienen coeficientes iguales. a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
15. Indicar el quinto término en la expansión de (x+y)–2 2 5y 4 6x2 a) 10x b) c) y x6 y4
5x 2 d) 10x4y4 e) y2 Colegios
TRILCE
Álgebra 16. ¿Para qué valor de "n" en el desarrollo de: cx
80
n
1
n + 1m
+
x el penúltimo término es independiente? a) 5 d) 11
b) 7 e) 13
a) 1710 d) 1017
c) 9
17. ¿Cuántos términos racionales enteros existen en 5 1 50 el desarrollo de: c x + m ? x a) 5 d) 7
19. Indicar el término central en el desarrollo de: (x2n+x–2n+2)2n, si se sabe que es equivalente a: (4n) ! (12–n) ! (5n–12) !
b) 4 e) 2
c) 6
b) 1170 e) 12 870
c) 1071
20. Si: ma2b3cn, pertenece a la expansión de: P(a,b,c)=(a+b+c)7
Calcular: m+n a) 112 d) 95
b) 235 e) 212
c) 53
18. ¿Cuántos términos fraccionarios hay en el desa100 rrollo de: c2x3 + 3 m ? x a) 18 d) 25
b) 21 e) 27
c) 24
Tarea domiciliaria 1. Proporcionar el valor de "a" en:
5. Simplificar:
(a + 2) ! – (a + 1) ! 16 = 5 (a + 1) ! + a! a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4 a) 1 d) 4
2. Calcular el valor de "n"; si: n! (n! – 20) = 96 n! + 5 a) 24 d) 4
b) 5 e) 3
c) 6
b 3
a) 5 d) 8
b) 6 e) F. D.
=8
Central: 619-8100
b) 7 e) 35
c) 17
7. Indicar el equivalente de: c) 7
1 1 + 2 2 + 3 3 + ... + n n = 719 b) 5 e) 8
c) 3
Hallar: cn + 18m 2n a) 1 d) 34
4. Determinar "n" si se cumple que:
a) 4 d) 7
b) 2 e) 5
6. Siendo: c2n + 3m = c2n + 3m 13 24
3. Determinar (a + b) a partir de: a
10 11 2e o + 3e o 3 4 3 10 14 e o – 5 e o 1 2
c) 6
e
–7 –7 –7 –7 o + 3e o + 3e o + e o 3 4 5 6
a) e
–3 –4 –4 o b) e o c) e o 5 5 6
d) e
–5 –6 o e) e o 6 5
www.trilce.edu.pe 19
8. Hallar el valor de "n" a partir de: 8 8 9 10 11 e o + e o + e o + e o = e o; n > 5 2 3 4 5 n a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
n n n n e o + e o + e o + ... + e o = 45 0 1 2 n b) 6 e) 10
c) 7
10. Determinar el lugar que ocupa el término independiente en la expansión de: 3
c
a) 112 d) 115
154 x2 + 4 1 m x
b) 113 e) 117
c) 114
c) 1201
8
2 y2 e 2x + o , entonces el valor de "m+n" es: y 2x
a) 204 d) 672
b) 256 e) 704
c) 412
14. Hallar el coeficiente de "x8" en la expansión de:
(1+x2+x4)8 b) 232 e) 418
c) 266
15. Hallar el coeficiente del término que tiene la forma "x5" en el desarrollo del polinomio: (1 - x+2x2)9 a) -2138 d) -2141
b) -2139 e) -2142
c) -2140
Determinar el valor de "nq". a) 18 d) 28
Quinto UNI 20
b) 1200 e) 1350
13. Si: mxay; nx10y-b; son términos de la expansión de:
a) 182 d) 320
11. Si (x13yzq) es un término en el desarrollo del binomio: 1 n 3 2 cx yz + 2 3 m xy z
término. a) 1001 d) 1280
9. Calcular "n" si:
a) 5 d) 8
12. Si se sabe que "n" es par y es el menor valor n posible tal que la expansión de: c5 x + 1 m x posee un término independiente, calcular dicho
b) 21 e) 35
c) 24
Colegios
TRILCE
Problemas para la clase 8. Factorizar: (x3+1+y3 – 3xy) , indicando uno de sus factores primos.
2 2 1. Si se cumple: a – b =3(a–b) b a (a 4 + b 4) (a3 + b3) Calcular: a7 + b7
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
a) x+1 d) x2 – x+y c) 3
M =
(a–2b) 2 (2b–3c) 2 (3c–a) 2 + + ab bc ac
a) 6 d) 18 3. Si se cumple: a) 2 d) 3
b) – 36 e) 24 x2+x+1=0; b) 1 e) – 10
c) – 40 hallar:
4. Si: (x24+ax+b), es divisible por (x – 1)2; calcular "b – a" a) 47 d) 44
b) 46 e) 43
a) a+b+c b) 1 c) 0 d) 2(a+b+c) e) – (a+b+c) 10. Dada la relación: c
c) 45
10
cx
b) – x e) 0
c) 2x
a) 6x5 d) 6x2
a) 160 d) 82 13. Reducir:
a) 3a+2b – c+5 c) a+b – c – 2 e) 3b+2a – c+5
b) a+b – c d) 3a – 2b+c+7
7. Factorizar: M(x,y,z)=(x+y+1)(y+x – 1)+(x+1)(1 – x)
Central: 619-8100
b) y(x – y) e) x+y
c) 60
6 + 1m x
b) 5x6 e) 10x
c) 5x
12. Indicar el coeficiente de x7y2 en la expansión de: (2x2+xy – y2)4(x+y)
e indicar un factor primo.
a) 2y(x+y) d) y(2x+y)
b) 40 e) 80
11. Indicar el penúltimo término en la expansión de:
6. Factorizar: N(a,b,c)=(3a+2b–c)2–6a–4b+2c–35
13–y 10 x–4 Cx + 3 m C y–3 = c m 7 y–2 8
Hallar "x.y" a) 7 d) 70
5. Al dividir "P(x)" entre (x3+3x2+3x+1), se obtiene como residuo: (x2+x+1); calcular el residuo de dividir "P(x)" entre (x+1)2. a) x d) – 2x
1 1 1 + + (a–b) (a–c) (b–a) (b–c) (c–a) (c–b)
x31+x–10
c) – 1
c) x2 – xy+y2
9. Efectuar: A=
2. Si: a+4b+9c=0, reducir:
b) y2 – 3x e) x+y+1
b) – 36 e) 102
c) 24
(2n + 1) ! - 3 (2n) ! + (2n - 1) ! (2n - 1) 3 (n - 1) (2n - 3) ! a) 1
b) 2
d) 1 2
e) 4
c) 3
c) y(x+2y)
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14. Calcular el valor de "n", en: n-1
n+1
C3 + C3 a) 10 d) 13 15. Si:
n
+ 4C3 = 1331
b) 11 e) 14 x+2 Cy + 1
-
a) 62 d) 48
c) 12
b) 70 e) 90
c) 54
19. En el desarrollo de:
x+1 Cy =
80 C15
1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+... + (1+x)n
Indicar el coeficiente de: xp
x-8
Calcular: C5y
n+1
n
a) 35
b) 69
d) 31
e) 71
n+1
d) Cp
50 50 50 50 C 49 + 2C 48 + 3C 47 + ... + 50C0
a) 250(5) d) 251.(50)
b) 250(50) e) 250(25)
n+2
a) Cp b) Cp + 1 c) Cp + 2
c) 28
16. Calcular:
18. Si el término central del desarrollo de (xa+xb)c es: 924x120y180; calcular: a+b+c
n
e) Cp - 1
20. Calcular el término independiente en el desarrollo de: (x+1+x-1)8 a) 1218 d) 1208
c) 249 49
b) 1118 e) 1120
c) 1107
17. En la expansión del binomio: 3
c
56
x + 31 m x
¿qué lugar ocupa el término independiente? a) 31 b) 30 c) 29 d) 28 e) 27
Tarea domiciliaria 1. Indicar un término de un factor primo de:
4. Indique un factor primo de:
H(a,b,c)=(a+b)(a2+b2+c2)+2c(a2+ab+b2)
H(x)=x4 – 4x5 – (x6 – 1)2
a) c2 d) ac
c) a2b2
b) ab e) abc
a) 4a
b) 4(a+b)
c) 2(a+b+c+d)
d) 2(a+d)
e) 4(a+d) 3. Factorizar: F(x; y)=x2(x+y)2 – 8xy2(x+y)+12y4
c) x6 – x3+x2+1
d) x6+x3+2x2+1
5. Al factorizar: P(a,b,c)=2 [(a+b)2+c2]+4c(a+b)–5(a+b+c)+2
e indicar un factor primo. a) a+b+c
b) a+b+c – 1
c) a+b+c – 2
d) a+b+c+2
e) a+b+c+1
La suma de sus factores primos es: a) 2x+y d) 4x+2y
Quinto UNI 22
b) x3 – x – 1
e) 2x6+x3+x2+1
2. Indique la suma de factores primos de: B(a, b, c, d)=(a+b)2 [(a+b)2 – c2 – d2]+(cd)2
a) x3+x+1
b) 3x+y e) 2x+3y
c) 3x+3y
Colegios
TRILCE
Álgebra 6. Si: x – y=2;entonces calcular el valor de "E": 1 y–x 3x+xy – y – – E= 2 2 2 2 x – xy+y x –y x3+y3 a) 0 d) x
b) 1 e) x – y
c) – 1
b) x4 – 1
c) x6+x4+x2+1
d) x4+x2+1
a) 3 d) 8
x+1 x – 1 – x – 1 x+1 A= x – 1 x+1 + x+1 x – 1 B=
x x2+1 2x : 2 2 2a – 2b a – b
x–1 1 a) x – b) 2 2
c) x+
1 2
Central: 619-8100
c) 5
b) – 4 e) – 6
x!+2(x – 1)! =x! – 23 x!+(x+1)!
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
c) 0
b) 7 e) 6
c) 8
14. Si el desarrollo de (x2+y+z3)n tiene un término de la forma: x10y8z6, hallar "n". a) 15 d) 16
e) x – 1
Hallar "A+B" a) 4 d) 6
b) 4 e) 9
a) 5 d) 9
9. Si: 3x3+12x2+15x – 2 Ax – 1 x+B = + 2 3 2 x +5x +9x+5 x+1 x +4x+5
c) x – 3
13. Resolver: (x!)2 2x+1 17 = C 9 (2x)! x+1
x–1 2 x+2 – x +2 x– x–2 x+1
d) x+1
b) x – 2 e) x2+1
12. Resolver:
8. Calcular "A+B"
C(x)=x4+x3 – x2 – x
(30a!.24a!)a+1 = ((b!)!)720
e) x6+1
B(x)=2x3+2x2 – 2x – 2
11. Calcular "a+b", si:
es igual a: a) x6 – 1
A(x)=5x3 – 5x2+2x – 2
a) x2 – 1 d) x – 1
7. La expresión: x10+x8+x6+x4+x2+1 x4+x2+1
10. Hallar el MCD de:
b) 4 e) 12
c) 8
15. Proporcione el término central del desarrollo de (x–2+yn)2n, sabiendo que es de grado "n". a) 10x–6y9 d) 30x–6y5
b) 20x–6y9 e) 10x–6y4
c) 11x–9y6
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Problemas resueltos 1. Indicar el radical doble equivalente a: 4 + 15 + 5, 5 + 30 – 1, 5
3. Sea: T=
Transformar a radicales simples.
Sea:
Resolución
E= 4 + 15 + 5, 5 + 30 – 1, 5
T= ( 2 –1) (112 + 80 2 ) – ( 2 –1) (68 + 52 2 )
Resolución
2E =
2E = 5 + 3 + 6 + 5– 3
T= 48 + 2 162 .2 –
2E = 6 + 2 5
T= 48 + 12 32 (16) –
2E = 3 2 + 2 2 5
T= 32 + 16 – ^ 32 + 4 h
8 + 2 15 + 11 + 2 30 – 3 1 44 4 2 44 4 3 1 444 2 444 3
E = 3 + 10 ⇒ E =
13 + 2 30
2. Si: xk – xk–1 = 5; "k = 1; 2; ..., n; xk > 0 y:
xm –
E=
1 x1 + x0
+
Resolución
E=
x1 – x0 + x1 – x 0
E=
T= 48 + 32 2 – 36 + 16 2
xm – x0 = 5
xm – xm–1 x3 – x2 +...+ xm – xm–1 x3 – x 2
500 = 10 5 5 5
x +2
Sea:
4
x +2
x–
4
x –6
(4 x
– 3)
(4 x ↓
+2)
E=
E=2 5
Quinto UNI
4
Resolución
E= x2 – x1 + x2 – x 1
36 + 2 32 (4)
; indicar luego el térmix – 4 x –6 no independiente de "x" en el denominador.
4. Racionalizar:
1 1 1 + +...+ xm + xm–1 x2 + x1 x3 + x2
36 + 2 82 .2
T=4 – 2 T=2
x0 = 500
Calcular:
24
2 –1 " 112 + 80 2 – 68 + 52 2 ,
=
( 4 x + 2) 4
4
( x + 2) ( x –3)
=
1 4
x –3
1. ( 4 x +3) = ( 4 x +3) ( x +9) = ( 4 x +3) ( x +9) x – 81 ( 4 x –3) ( 4 x +3) ( x –9) ( x +9)
\ Término independiente del denominador = – 81
Colegios
TRILCE
Álgebra 5. Si: x ∈ 〈3; 5〉; simplificar: 1
E= >
x + 3 + 2 x–1 2
Resolución
•
x+3 + 2 x–1 = 2
+
(1) y (2) en "E": 1 . (5–x) x + 3 –2 x–1 H 2
x + 3 + 2 4 (x–1) = 2
4+
•
x–1 2
.... (1)
x + 3–2 4 (x–1) 2– x–1 = 2 2
x + 3 –2 x–1 = 2
2 2 + o . (5 – x) 2 + x–1 2 – x – 1
E=e
E=
2 (2– x–1 + 2 + x–1) (5–x) 22 – (x–1)
E=
2 (4) (5–x) (5–x)
\ E=4 2
.... (2)
Problemas para la clase 1. Efectuar:
P=
6. Calcular: 3
a) 1 d) 4
16 + 252 + 32– 700 b) 2 e) 0
c) 3
2. Sabiendo que: 3
E= a)
1 x–2 + 2 x–3
1
+
x–2–2 x–3
2 b) 4 c) 3 4–x x–4 4–x
2 x–3 d) 2 e) x–4 x–4 3. Llevar a radicales simples: car el mayor.
4
49–20 6 e indi-
a) 2 b) 5 c) 3 d) 6 e) 10 4. Simplificar: D= 2– 3 + a) 1 d) 3
3 ( 3 + 2) +
4+2 3
b) 2 c) 3 e) 2
5. Simplificar: R= 1 + 4
a) 2 d) 4–1
4
5–2 1 + 2 17 + 12 2 b) 2 e) 1
P=
c) 4
( 3 – 2) ( 5 + 2 6 )
a) 2 b) 3 d) 2 e) 1
c) 3
7. Simplificar: M=
2+ 3 2+ 2+ 3
a) 2 d) 3
+
b) 2 e) 1
2– 3 2 – 2– 3 c) 3
8. Indicar el denominador racionalizado de: 1 P= 8 + 8 + 60 a) 15 d) 60
b) 30 e) 8
c) 45
9. Racionalizar: R=
2 8 + 18 + 50 – 32
2 b) 6 2 c) 2 6 d) 2 e) 3+ 2 3
a)
10. Racionalizar: A=
16 3
2 18 +
3
16 –2 3 6
3 a) 3 4 + 3 3 b) 12 + 3 4 3 c) 16 3 4 d) 12 – 3 4
e) Central: 619-8100
(2 + 2 ) ( 6–2 8 )
3
4– 3 3 www.trilce.edu.pe 25
11. Simplificar: 5x2 + 9x2 –1– 4x2 –1
L=
+
c) x
d) ( 15 - 18 + 30 )/18 e) ( 12 + 15 - 30 )/12 17. Considere a los número reales "x" e "y", los cua-
E= x + y + z– z (2x + 2y + z) – –
x - y + 4 = 2 - 3y - 3x - 9 x + 4y Luego el valor de: ; es x+3 les verifican:
x + y + z + z (2x + 2y + z)
a) 1 d) 4
Si: (2x+2y+z)>z; z>0 a) x + y + z b) 2x c) 2y e) – 2z d) 2z
1 12 – 143
–
2
–
9 + 77
b) 0 e) 3
3
a) 1 d) 4008
10 – 91
c) 2
P= 6 + 24 + 12 + 8 3 + 2 b) 3 + 2 + +1 d) 3 2 3 + 2 –1 3 – 2 –1
c) 3
18. Indicar el denominador racionalizado de: 236 2005 – 236 2003
b) 2 e) 8016
c) 236
19. Indicar el denominador racionalizado de: 2004 C= 2004 2004 236 + 230
14. Transformar a radicales simples:
a) c) e)
b) 2 e) 5
T=236
13. Calcular:
a) 1 d) 4
entonces la expresión racionalizada es: b) ( 15 + 18 - 30 )/18 c) ( 12 - 18 + 30 )/12
12. Reducir:
S= 2
1 2+ 3+ 5
a) ( 12 + 18 - 30 )/12
4x2 –1
b) 0 e) 3x
2x + 1– 2x–1 2 2x +
a) 1 d) 5x
3x + 1– 3x–1 + 2 3x + 9x2 –1
16. Sea: E=
a) 236 d) 3
b) 2004 e) 1
c) 6
20. Transformar a radicales simples: (1+ 236)+(2+ 236)+(3+ 236)+...+(236+ 236)
e indicar uno de sus términos. a) 236 b) c) 1 118 d) 2 e) 59
15. Transformar a radicales simples: M= 13 + 40 – 120 – 48 a)
2 + 5 – 6 b)
2 + 5 + 6
c)
2 – 5 – 6 d) 5 – 2 – 6
e)
6– 5– 2
Tarea domiciliaria 1. Efectuar: M = 11 - 2 24 + 5 + 2 6 7 - 2 10 + 13 - 2 40
a) 1 b) 2 d) 2 e) 3 Quinto UNI 26
2. Reducir:
c) 3
E=
13 + 4 4 - 2 6 - 2 5 - 5
a) 1 b) 2 d) 2 e) 5
c) 3
Colegios
TRILCE
Álgebra 10. Efectuar:
3. Transformar a radicales simples. L=
4
89 + 28 10
a) 5 + 3 b) 5 +1 c) 5 - 3 d) 5 + 2 e) 3 + 2
x + 14 + 8 x - 2 + x + 2 - 4 x - 2
G=
Siendo: 2
x+7-6 x-2 - x-1-2 x-2
a) 1 d) – 1
4. Calcular:
b) 2 e) – 2
c) 3
4
B=^ 2 + 3 + 2 - 3 + 6 h
a) 125 d) 80
b) 100 e) 576
11. Si el radical:
c) 96
ax + by + xy (ab - c)
5. Al transformar: 24 + 8 5 + 12 3 + 4 15
se obtiene:
Calcular: x.y.z.x
a) 1 d) 1 2
x+ y+ z+ w
a) 200 d) 225
b) 25 e) 240
c) 80
6. Indicar el denominador racionalizado de: a) 1 d) 14
b) 2 e) 15
b) – 1 e) – 3
1 + x + 2x + 1 + 1 + x - 2x + 1
para: - 0,5
c) 5
a)
2+ 3
E = a) d)
9-4 5
8 + 28 b) 11 + 28 c)
d) 11 + 4 7 e)
11 - 56
11 - 2 28
a) 2 d) – 1
4
1+ 4
2-
2- 3
2 + 3 b) 2 +1 c) 2 – 1 3 e) 2
14. Indicar el denominador racional de la expresión:
b) – 2 e) 0
1+ 2+
3
c) 1
1
1 4
1+ 3+ 4
6
32
15. El denominador racional de la expresión: 4
+
2+
a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 8
9. Efectuar: 1
2- 3
N
1 1 - 1 + 1 + R= 8+ 6 6 -2 2+ 2 2
T=4
+
2+ 2+ 3
8. Efectuar:
c) 2x
13. Efectuar:
7. Transformar en un solo radical doble: 12 + 2 35 -
c) 2
12. El equivalente de la expresión:
1 10 + 14 + 15 + 21
E=
se desdobla en simples; determinar el valor de: ab –1 c m c
4
1– 4
+
1 1+ 3 – 4 4
a) 13+5 3
b) 5+13 3
c) 5 – 13 3
d) 13 – 5 3
3
3+
3
2+2
6
6 .` 9 3
3
3 + 1j
es: a) 5 d) 8
b) 2 e) 9
c) 3
e) 5 3 – 13
Central: 619-8100
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Problemas resueltos 1. Resolver en los racionales: x4 – 2x3 – x2 – 2x+1=0
Resolución
x4 – 2x3 – x2 – 2x + 1 =0 (x2
– 3x
+1) • +x2
(x2
+x –3x2
+1)
• +x2 2x2–3x2=–x2
3. Resolver la ecuación en "x": mx–a + mx–b + mx–c = 3 / m = 1 + 1 + 1 b+c c+a a+b ab bc ca
Siendo: a > 0; b > 0
Resolución
mx–a + mx–b + mx–c =1+1+1 bc c+a a+b
mx–a –1 + mx–b –1 + mx–c –1=0 b+c c+a a+b
mx–a–b–c + mx–a–b–c + mx–a–b–c =0 b+c c+a a+b
\ (x2 – 3x+1) (x2+x+1)=0 ↓ D<0
⇒ x2 – 3x+1=0
\
x = 3! 5 2
(mx–a–b–c)
2. Resolver: 1 + x + 1 + x =4 x + 1– x
Resolución
Se observa que: x ≥ 0 ..... (a)
Racionalizando: x + 1 + x + x + 1 + x = 4 x + 1– x
x + x+1= 2
+
1
+
1
=0
>0
⇒ mx–a–b–c=0 ⇒ mx=a+b+c ..... (1)
Usando la condición alterna en (1):
c 1 + 1 + 1 m x = a+b+c ab bc ac (a + b + c) x = (a+b+c) → x=abc abc 4. Resolver:
2 2 2x2 + 5x–17 + 2x 2+ 17x–15 =2 2x + 17x–15 2x + 5x–17
Elevando al cuadrado:
x+2 x
x + 1+ x + 1 = 4
Resolución
2 x ^ x + 1h = 3 – 2x ..... (1)
Sea: m = 2x2+5x – 17 ∧ n = 2x2+17x – 15
⇒ m + n =2 n m
3 – 2x ≥ 0 x ≤ 3 ..... (b) 2
m2+n2=2mn → (m – n)2 = 0 → m = n
Elevando (1) al cuadrado:
Retornando:
4(x)(x+1) = 9 – 12x+4x2
2x2+5x – 17 = 2x2+17x – 15
4x2+4x = 9 – 12x+4x2
16x = 9 ⇒ x = 9 ; verifica (a) y (b) 16
Quinto UNI 28
1
+a a+b f1b4+4 c4 4 44c 2 4 4 4 4 44 3 p
– 2 = 12x x = – 1 6 Colegios
TRILCE
Álgebra 5. Resolver: 3
3
3 3x=3 (x–1) (x–2) (x + 3) 3
x–1 +
x–2 +
3
x + 3 =0
x3 = (x – 1)(x – 2)(x+3)
Resolución
x3=x3 – 7x+6
Recordar, si: a+b+c=0 ⇒ a3+b3+c3=3abc
7x=6
⇒ Si: 3 x–1 +
x= 6 7
3
x–1 +
3
3
x–2 +
3 3
x–2 +
3
x + 3 =0
3
x + 3 = 3 3 x–1 3 x–2 3 x + 3
Problemas para la clase 1. Si: m = 1 + 1 + 1 , resolver la ecuación en ab bc ca "x": 4x+ mx–a + mx–b + mx–c =3+(x+1)2–(x–1)2 b+c c+a a+b a) a+b+c d) abc 3
b) abc c) 3abc e) ab+bc+ac
5. Resolver para "x", si: a<0 ∧ b>0 x– (b–1) a = x+a b–a a) a2+b2 d) b2 – a
6. Indicar como respuesta la suma de las raíces irracionales de la ecuación racional:
2. Indicar el valor de "x" en:
8(x – 3)4+9=38(x – 3)2
px qx q qx px p + = + – – qb pa p pb qa q a)
ab b) a a + b c) ab b a+b
a–b d) b e) a+b a 3. Indicar el conjunto solución de la ecuación en "x": 2 2 x + a2 – 1= b + c –x (c–a–b) (b–a–c) (a + b–c) (a–b + c)
a) {ab}
b) {ac}
d) {abc}
e) { ab } c
c) {bc}
2
a –1 = a (x–1) + a –x a3 + 1 a (x–1) –a2 + x a) (a+1)2 d) a2 – 1
Central: 619-8100
b) a2 e) a2+1
a) 0 d) 8
b) 3 e) 10
c) 6
7. Resolver: x 2 6 –x + a) {– 7; 7} d) {6}
1 = 49 6–x + 1 x+7 x+7 b) {– 7} e) f
c) {7}
8. Resolver: 2x–1+ 3–x = 2x – 7 a) { 1 } b) {3} 2 d) + e) f
c) { 1 ; 3} 2
9. Indicar un valor de "x", en:
4. Resolver para "x": 3
b) b2+a c) a2 – a e) Hay dos correctas
c) (a – 1)2
(a–x) 2 + (a–x) (x–b) + (x–b) 2 49 = (a–x) 2 – (a–x) (x–b) + (x–b) 2 19 3b–5a c) 3a–5b a) 3a + 5b b) 8 8 8 5b–3a d) 5a–3b e) 8 8
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10. Indicar el producto de soluciones de: 3
72–x – 3 16–x = 2
a) 640 d) 320
b) 560 e) 0
c) – 640
11. Indicar una solución de "x" en: 1 +1= 1 – 1 c a+b x+a+b+c x a) a+b d) 1
b) a – b e) – a – b
x =1 + –2 + x ; y calcu le x –2 la suma de cifras de la solución:
16. Resolver:
a) 2 d) 9
c) c
c) 10 9
e) 16
a) 5 d) 2
b) 4 e) 1
c) 3
a) 1 d) 9
x 2 + 8x + x + 7 = 7 x+1 x+1 b) 3 c) 8 e) 10
x2 + 48 =10 x – 4 E ; 3 3 x x2 b) – 4 e) 2
19. Al resolver: 2x(x2+3)=3(3x2+1), obtenemos como solución:
n
c) – 6
m + 1 ; donde: m, n ∈ +
n
m –1
(valores mínimos). Calcular: m + 1 n a) 4 b) 3 c) 1 d) 2 e) 5
20. Si "x0" es la solución de:
15. Indicar una solución de:
a) 6 d) 6–1
a) a+ c b) a – b c) a– b d) c – b e) a – c
14. Si: x > –1; calcule la suma de las soluciones reales de la ecuación:
a+x = n x , e x b
2 x (x–2a) a–x a–x + =1 – a – bc c b bc
x0 `x30 + 2j + 6 x0 + 1
n
18. Indicar una solución de la siguiente ecuación en "x"
13. Si "x0" es una solución de: 2x + 3 = 2 + x x–1 x indicar el equivalente de: E=
c) 7
n a n+1 a `bj a) b b) a n a n+1 – 1 n m cn+1 ` j m – 1 d) c) c ` b j b b e) a
1 1 + =3 5 + x – 5– x 5 + x + 5–x 4 b) 4
n
a+x + a indicar como respuesta a: a x
17. Resolver en "x":
12. Indicar el valor que cumple:
a) – 20 9 8 d) 9
b) 4 e) 13
17 + 8x–2x2 +
4 + 12x–3x2 =x2 – 4x+13
Indicar el valor que adopta: x2 – 4x0 0
a) – 4 d) 3 –
b) 3
2 +1
c) 2 –
2
e) 2
Tarea domiciliaria 1. Colocar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. La ecuación: 12(x – 5)=3(x – 5), es incompatible. II. La ecuación: determinada. Quinto UNI 30
4
5 – x +1=0, es compatible
III. La ecuación: x2+ 3 – x = 25+ 3 – x x+5 x+5 es determinada. a) V V F d) V V V
b) V F V e) F F F
c) F F V Colegios
TRILCE
Álgebra 2. Resolver: x2(2x – 3) ≡ 16(2x – 3)
Señale el producto de soluciones. a) 24 d) 18
b) – 24 e) – 18
c) 1
3. La ecuación: x+1 x+5 2x2 – x – 11 + = 2 x–3 x–2 x – 5x+6 a) Admite como solución: x=3 b) Admite como solución: x=1 c) Admite como solución: x=2 d) Admite múltiples soluciones e) No admite solución. 4. Resolver: x+a – b x – a – b =2 + x+a+b x – a+b
9. Resolver: 1 1 1 1 + + = x+6 x+3 x+4 x+5 a) –
1 2 b) c) 3 9
9 2
d) f
e) Tiene dos soluciones
10. Resolver: 6 x – 2 = – 2
a) 64 b) – 62 d) Indeterminado
c) 64; –64 e) Incompatible
11. Resolver:
(2x – 1) 1 – x = 3 1 – x
a) 2 b) 1; 2 d) Indeterminado
a2 – b 2 b) a2+b2 c) b 2 2 a +b a–b d) e) a a a) ab
c) 1 e) Incompatible
12. Resolver:
4 – 2x+ x – 2 =2+ x – 2
a) 0 b) 1 d) Indeterminado
c) 2 e) Incompatible
5. Resolver: x2 – x+ 2x+3 = x
13. Resolver:
e indicar una solución. a) 3 d) 43
b) – 1 e) – 2
c) 2
6. Resolver: 3 x – 1 + 3 x – 3 + 3 x+4 =0 12 5 13 13 c) a) b) 6 12 17 23 d) e) 19 25 7. Dar la suma de cifras de la solución de: 5 x + 2 = x+4 4 x+4 a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
8. Resolver: 3x2+1 b3+3b = 3b2+1 x3+3x 1 a) b b) b 2 e) 1 d) b Central: 619-8100
c) 4
4x2 – 15 +1=2x a) 1 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
14. Resolver: x+4 + x – 1 = 5 x2–x Señalar: x–4 a) 20 b) 30 d) 4 e) 7
c) 5
15. Resolver:
x+4 – x – 1 =
Indique: a) 13 d) 17
2 x–1
x2+x x–3 b) 26 e) 15
c) 18
c) 2b
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Problemas resueltos 1. Si "x1" , "x2" son las raíces de: x2=10x – 1, entonces el valor de: E = 4 x1 + 4 x2
Resolución
De: x1 + x2 = 10 x2 – 10x+1=0 ) x1x2 = 1
Ahora bien: 4
E2= x1 + x2 + 2 x1x2 S 1 E2= x1 + x2 +2 E2 – 2= x1 + x2 (E2
–
2)2
=x1 + x2 + 2 x1x2 S S 10
2
(E2 – 2)2 = 12 E2=2+
12 ⇒ E= 2 + 12
2. Si "x1" y "x2" son las raíces positivas de la ecuación: x2 – (5m – 1)x+10m=0 y además su diferencia es igual a 5, entonces el valor de la suma de estas raíces será:
Resolución
De: x2 – (5m – 1)x+10m=0 ..... (I)
Sus raíces son: x1>0 ∧ x2>0
Usando: (x1+x2)2 – (x1 – x2)2 = 4(x1x2) (5m – 1)2 – (5)2 = 4(10m)
De aquí: 25m2 – 50m – 24 = 0
(5m – 12= (5m+2)=0
⇒ 5m = 12 ∨ 5m = – 2
↓
3. Halle las raíces irracionales de la ecuación: 8(x – 3)4 – 38(x – 3)2+9=0 y dar como respuesta la suma de ellas.
Resolución
8 (x – 3)4 – 38(x – 3)2 + 9 = 0 [4(x – 3)2
– 1]
[2(x – 3)2
– 9]
[4(x – 3)2 – 1] [ 2 (x – 3) 2 – 9 ] = 0 144 4244 3 (a)
De(α):
2x2 – 12x+9=0 → Discriminante: D = 72>0
→ {x1; x2} ∈ '
\ x1+x2=6
4. Determinar el valor del parámetro a ∈ que las ecuaciones: x2+x+a=0 y x2+ax+1=0 tenga exactamente una raíz común.
Resolución
Si la raíz común es: a
⇒ )
, para
a2 + a + a = 0...... (1) a2 + aa + 1 = 0.... (2)
(1) – (2): a(1 – a) + (a –1) =0 (1 – a) (a – 1)=0 De aquí: a ≠ 1 ∧ a – 1 = 0 → a = 1 En (1): 1 + 1 + a = 0 a=–2 Observación: Si: a=1 → Las ecuaciones serían las mismas.
¡Se obtiene: x1+x2<0?
En (1):
x2 – 11x+24=0 ⇒ x1+x2=11 Quinto UNI 32
Colegios
TRILCE
Álgebra 5. Si las raíces de la ecuación: x2+px+q=0, son: "x1"; "x2", determine la ecuación de segundo grado cuyas raíces son: 1 1 cx1 + x m y cx2 + x m 2 1
Resolución
De: x2+px+q=0 ⇒ )
x1 + x2 = –p x1x2 = q
La ecuación de raíces: x1+ 1 = a ∧ x2+ 1 = b x2 x1 ⇒ x2 – (a+b)x+ab=0 ..... (1) Pero: x + x2 – p – p (q + 1 ) =–p+ = a+b=x1+x2+ 1 x1x2 q q (q + 1) 2 1 1 ab=x1x2+2+ =q+2+ = q x1x2 q (q + 1) 2 p (q + 1) x+ =0 q q
En (1): x2+
→ qx2+p(q+1)x+(q+1)2=0
Problemas para la clase 1. Si una raíz de la ecuación cuadrática en "x" x2 – (n+2)x+6=0 es: x0=2; ¿cuál es la otra? a) – 2 d) 6
b) 3 e) 1 3
5. Determinar "m" para que en la ecuación cuadrática en "x": x2 – 8x+m=0, la suma de los cuadrados de sus raíces sea 34. a) 8 d) 17
c) – 3
2x2+(m+1)x+54=0
abx2+(3a+2b)x+6=0, es: c) – a 2
3. ¿Para qué valor de "m" la ecuación cuadrática en "x": (m+1)x2 –
2mx+m – 3=0
tendrá raíces iguales? 2 c) 5 a) – 3 b) 2 3 2 2 1 d) e) 5 5 4. Formar la ecuación cuadrática en "x" cuyas raíces sean los cuadrados de las raíces de: x2 – ax+b=0 a) x2 – (a2 – 2b)x+b2=0 b) x2+(a2+2b)x+b2=0 c) x2 – (a2+2b)x – b2=0 d) x2 – (a2 – 2b)x – b2=0
c) 15
6. Calcular la suma de todos los valores de "m", para que en la ecuación cuadrática en "x":
2. Un valor de "x" en: b a) 2 b) a 3 d) 3 e) – 2 b a
b) 13 e) 9
una raíz sea el triple de la otra. a) – 1 d) – 3
b) – 2 e) 4
c) 2
7. Calcular "m", si las ecuaciones cuadráticas en "x": 2 )(5m–2) x – (m–1) x + 2 = 0 (2n + 1) x2 –5x + 3 = 0
son equivalentes. 9 c) 4 a) 3 b) 13 5 3 1 d) 13 e) 3 4
8. En la ecuación cuadrática en "x": mx2 – (m – 5)x+1=0, si el producto de las raíces es igual a la diferencia de las mismas, determinar la mayor raíz. 1 c) 1 a) 1 b) 3 2 4 1 d) 1 e) 6 5
e) x2 – (a2 – bx)x – a2b2=0
Central: 619-8100
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9. Si "x1" y "x2" son las raíces de la ecuación:
15. Si: 3x2+5x+9=0; C.S.={x1; x2}
x2+4x+7=0
Calcular:
donde: gn= x1n + xn2 ; " n ∈
Hallar:
M=
a) 1 d) – 8
4 4 x1 - x2
x1 - x2
b) 4 e) – 10
c) – 4
10. Determinar una ecuación cuadrática en "x" de coeficientes reales de raíces: 2 2 + 2 –m
/
2 ;m≠0 2 – 2– m
a) mx2 – 4x+2=0 c) mx2 – 2x+4=0 e) mx2 – 2m+3=0
b) mx2+2x – 2=0 d) mx2 – mx+1=0
11. ¿Para qué valor de "m" las ecuaciones cuadráticas en "x": 4x2=(m – 2)(1 – 2x) 4x2=2x – m admite una raíz común? a) – 1 d) – 4
b) – 2 e) – 5
c) – 3
12. Sean: "a", "b" y "c" números reales positivos, con respecto a la ecuación cuadrática en "x": x2+(a+b+c)x+ac=0 Determinar el valor de verdad. I. Tiene raíces reales. II. Sus raíces son positivas. III. Sus raíces pueden ser iguales. a) F F F d) V F V
b) V V F e) F F V
c) V F F
13. Si "x1" ∧ "x2" son raíces de: 2x2+x+1=0, formar una ecuación cuadrática con variable "z", cuyas raíces sean: z1=x1+ 1 ; z2=x2+ 1 x1 x2 Indicar dicha ecuación. a) 2z2+3z – 2=0 b) 2z2 – 3z – 2=0 c) 2z2 – 3z+2=0 d) 2z2+3z+2=0 e) 2z2+2z – 3=0
a) 5 d) – 3 Quinto UNI 34
g5 + 8 g+1 b) – 5 e) 1
a) 0 d) 9
b) 1 e) 2001
+
c) – 1
16. Si "D" es el discriminante de: bx2+ax+c=0; b≠0 ∧ {a, b, c} ⊂ , entonces la mayor diferencia entre las raíces de esta ecuación será: a)
∅ b) ∅ c) ∅ a c b
∅ d) ∅ e) b c 17. Si "x1" ∧ "x2" son las raíces de la ecuación: x2 – 3x+1=0, hallar el valor de: x
x
P = x 1+x 2 1 2 a) 16 d) 24
x
x
x1 2 + x2 1
b) 22 e) 20
c) 18
18. Determinar el conjunto de valores de "m" para que las dos raíces de la ecuación: x2+4mx+4m2 – 9=0 estén comprendidas entre: –5 y 11 a) 〈–4; 1〉 b) [–1; 7] d) 〈– 3 ; 3 〉 e) 〈–1; 4〉
c) [–2;
3 ]
19. Sabiendo que las ecuaciones en "x": a2x2+a1x+a0=0 a1x2+a0x+a2=0 Admiten una raíz común, determinar el valor 2 2 2 a a a 0 1 2 que adopta: a a + a a + a a 1 2 0 2 0 1 a) 3 d) – 3
b) 1 e) 3 2
c) 2
20. La ecuación de segundo grado: ax2+bx+c=0, tiene por conjunto solución: n+1; n+2 ' 1 n+2 n+3
14. Si "g" es una raíz de la ecuación: x2+x–1=0 Calcular:
3g2004 + 5g2003 9g2002
c) 3
Indicar el valor de:
b2 –4ac (a + b + c) 2
1 a) – 1 b) 2 2 d) 2 e) 1
c) – 1
Colegios
TRILCE
Álgebra
Tarea domiciliaria 1. Resolver para "x": x+(a – b) x + a =ab – a ("a" y "b" son positivos). a) a2 – a d) b2+a
b) a2 – b c) b2 – a e) Dos anteriores son correctas
2. Determine los valores de "k" para los cuales la ecuación cuadrática: (4 – k)x2+2kx+2=0 tendrá raíces iguales. Dar como respuesta el producto de dichos valores. a) – 8 d) – 6
b) 8 e) 2
c) 6
3. Calcular "m" si la diferencia de cuadrados de las raíces de: x2 – 8x+m=0, es 48. a) 16 d) 7
b) 12 e) 28
c) 4
4. Si los cuadrados de las dos raíces reales de la ecuación: x2+x+c=0 suman 9, entonces el valor de "c" es: a) – 3 d) 5
b) – 4 e) – 5
c) 4
5. Si "a" y "b" son raíces de la ecuación: x2 – 5x+3=0; hallar la ecuación cuadrática en "z" que tenga por raíces: a2 y b2. a) z2+19z – 9=0 c) z2 – 9z+9=0 e) z2 – 29z+19=0
b) z2 – 19z+9=0 d) z2 – 9z+19=0
6. Si "x1" ∧ "x2" son raíces de: x2+x – 1=0; formar otra ecuación en "z"; cuyas raíces sean: 1 1 cx1 + x m y cx2 + z m 2 1 a) z2 – 2z – 3=0 c) z2+3z+4=0 e) z2+z – 3=0
b) z2 – 5=0 d) z2 – 2z=0
7. Siendo: {x1; x1+2} el conjunto solución de la ecuación en "x": 2x2 – 6x+a+1=0, halle el valor de "a". 1 a) 1 b) 2 c) 2 5 d) 3 e) 2 2 8. Para que una de las raíces de la ecuación: ax2+bx+c=0, sea el triple de la otra, luego la relación entre los coeficientes es: a) 16b2=4ac b) 3b2=16ac c) 16b2=3a d) 9b2=16ac e) 3b2=16a Central: 619-8100
9. ¿Qué valores debe tener "p" en la ecuación: x2 – px+48=0, para que una raíz sea el triple de la otra? a) ±2 d) ±16
b) ±4 e) ±3
c) ± 3
10. Siendo: {a; b} ⊂ , determinar la naturaleza de las raíces de la ecuación: 2x2+(2a+2b)x+a2+b2=0; a ≠ b a) Reales e iguales c) Imaginarias e) Reales
b) Reales y diferentes d) Recíprocas
11. Encontrar el máximo valor entero de "k" para que la ecuación: 3x2+2x+2=kx+k; tenga raíces no reales. a) – 10 d) 1
b) – 9 e) 0
c) 2
12. Calcular "m" en la ecuación de segundo grado: x2 – 8x+m=0, con raíces "x1" y "x2", si se cumple la siguiente relación: 3x1 – 4x2=3 a) 5 d) 25
b) 10 e) 35
c) 15
13. ¿Qué condición se debe cumplir para que la ecuación posea un conjunto solución unitario? (x – a)2 + (x – b)2 + 2c2 = (x – c)2 a) a + b + c = 0 b) abc = 0 c) ab + ac + bc = 0 d) Ninguna e) ab – ac = bc 14. Hallar la ecuación de segundo grado mónico cuyas raíces son "n" veces las raíces de la ecuación: ax2+bx+c=0. Indicar su término independiente. 2 a) 1 b) c c) n c a d) nc e) n2c 15. Si "r" y "s" son las raíces de la ecuación: ax2+bx+c=0; c ≠ 0, entonces, el valor de 1 + 1 es: r2 s2 2 b2 - ac c) b2 - 2ac a) b + ac b) c c2 c2 2 b2 - 2ac d) b + 2ac e) c c
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Problemas resueltos 1. Si: a, b, c ∈
+,
además:
(a + b + c) (a2 + b2 + c2) abc indicar el mínimo valor de "k"
Resolución
Se sabe que para
K=
+:
M.A. ≥ M.G.
a + b + c H 3 abc ⇒ → (a+b+c) H 3 3 abc ... (1) 3 2 2 2 3 ⇒ a + b + c H 3 (abc) 2 →(a2+b2+c2)≥3 (abc) 2 ... (2) 3
Multiplicando (1) × (2)
(a+b+c)(a2+b2+c2) ≥ 9
3
(abc) 3
(a + b + c) (a2 + b2 + c2) ≥ 9 abc K ≥ 9 → Kmín=9
3. Si: a, b,∈ de:
/ ab > 1; indicar el menor valor 2 2 E = a + ab + b ab – 1
Resolución
Sabemos que:
(a – b)2 ≥ 0 ; "a , b ∈
a2+b2 ≥ 2ab a2+ab+b2 ≥ 3ab y como: ab – 1 > 0 2 2 E= a + ab + b H ab–1
3ab ab–1
⇒E≥
Ahora bien: sea:
E = 2x + 33 ... (1) x Particionando primer sumando: 2x + 2x + 2x + 3 3 3 3 x3 H 4
E H 4 E H 4
4
4
c
2x 2x 2x 3 mc mc mc 3 m 3 3 3 x
8 9 4
8 = 4 8 ( 9) 9 3
E H 4 72 3
Quinto UNI 36
4
4
4 4 72 → Emín= 3
ab–1=m > 0 ab = m2+1
2. Si: x>0, indicar el mínimo valor que puede adoptar "E", si: E = 2x+ 33 x Resolución
3ab ab–1
3 (m2 + 1) m
⇒E≥
⇒ E ≥m+ 1 ≥2 3 m
\ Por transitividad: E ≥ 2 3 →E≥6
\Emín=6
∧ M = c 1 + 1 m (a + b) a b Indicar el menor valor entero de "M", si: a ≠ b
Resolución
4. Si: {a; b} ∈
+
M.A. ≥ M.G. ≥ M.H.
La igualdad se cumplirá si los valores son iguales: M.A. > M.G. > M.H.
⇒ a+b > 2
a+b > 2 2 1+ 1 a b
ab >
2 ; a ≠ b 1+ 1 a b
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Álgebra (a+b) c 1 + 1 m > 4 ⇒ M > 4 a b \ Mmín∈
=5
⇒ (3x+4y)2 ≤ (32+42) (x2+y2) (3x+4y)2
3
⇒
≤ 25 3
5. Si: x2+y2= 3 ; indicar la variación de:
⇒|3x+4y| ≤ 5 4 3
E(x;y) = 3x+4y
⇒ – 5 4 3 ≤ 3x+4y ≤ 5 4 3
Resolución
\ E(x;y) ∈ [– 5 4 3 ; 5 4 3 ]
Aplicamos la desigualdad de Cauchy:
(ax+by)2 ≤ (a2+b2)(x2+y2); siendo: a=3 ∧ b=4
Problemas para la clase 1. ¿Cuál o cuáles de las proposiciones no es un axioma de los números reales? I. " a, b∈ : a.b=b.a II. " a ∈ : a.0=0.a=0 III. " a ∈ : $!1∈ / a.1=a a) Solo I d) Solo III
b) I ∧ II e) II ∧ III
c) 2 2
3. Si: (x+1)∈[5; 9〉; ¿cuál es el intervalo al cual pertenece: x + 2 ? x–2 a) [ 2 ; 3〉 3 d) 〈 4 ; 3] 3
b) 〈 2 ; 3] 3 5 e) 〈 ; 3] 3
4. Si: g=x2 – 10x+26; x ∈
c) 〈 2 ; 3〉 3
; lo correcto es:
a) 0 ≤ g ≤ 1 b) g ≥ 0 d) g ≥ 1 e) g ≥ –1
c) 2 ≤ g ≤ 4
5. Si: x, y ∧ z ∈ + / x ≠ y ≠ z, determinar el menor valor entero que puede asumir la expresión: x2 + y2 + z2 xy + xz + yz a) 1 3 d) 1
b) 3
c) 2
y2 + z2 x2 + y2 x2 + z2 + + xy xz yz
es posible afirmar que: a) g ≥ 6 b) g ≥ 1 c) g ≥ 12 3 g≥3 d) g ≥ 4 e) 3
8. Marcar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. x2 =x; " x ∈
................................. ( )
, $x–2∈
.................................... ( )
II. "x∈
III. "a ∧ b∈Q', $(a.b)∈Q' ......................... ( ) a) V V V d) F F V
b) V F F e) F V V
c) 6
e) 2
c) F F F
9. Hallar la suma de todos los valores enteros que puede asumir: 3x–5 , si: x∈〈–1; 1] x–2 a) 1 d) 4
b) 0 e) 6
c) 2
10. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si: x, y, z ∈
6. Sean "m" y "n" números reales positivos, tal que: m.n=1; ¿qué valor no puede asumir: m+n?
Central: 619-8100
g=
c) Solo II
b) 4 2 e) 2
b) 5 e) 1
7. Siendo "x", "y" ∧ "z" reales positivos, tal que:
2. Si: x ∈ +, ¿qué valor puede adoptar la expre2 sión: x + 2x + 9 ? x+1 a) 2 d) 4
a) 3 d) 4
, entonces:
x2+y2+z2 ≥ xy+xz+yz II. Si: a, b∈
+∧
a ≠ b, entonces: a+b>2 ab
III. Si: y>x>0, entonces: x< xy a) F V F d) V V V
b) V F F e) F F V
c) F F F
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11. Determinar el mínimo valor de "F(x)", siendo: F(x) =
x (x + 5 5 ) + 5 (x + 5 ) ; x∈ x
a) 2 d) 2 2
b) 5 e) 3 5
c) 8 5
x + 10x + 61 3x + 15 b) [1; +∞〉 e) [2; +∞〉
entonces "MN" resulta:
II. a3>b3
III. b–1>a–1
Son verdaderas: a) I ∧ III d) Solo II
x ≠ y ≠ z, la expresión:
(x + y) (x + z) (y + z) , siempre es: xyz a) No mayor que 7 c) Menor que 7 e) No mayor que 8
b) I ∧ II e) Todas
c) II ∧ III
18. Si "S" es la suma de "n" cantidades positivas a,b,c, ..., entonces: resulta:
2 c) 1 a) 1 b) 2 3 3 1 d) 1 e) 6 4 +/
c) 5
17. Si: 0>a>b, de las proposiciones:
c) [4; +∞〉
13. Sean: a, b ∈ +, tal que: a+b=1 Si: 2 2 M ≤ a + b
14. Si: x, y ∧ z ∈
b) 4 e) 8
I. a2>b2
2
a) 3 d) 6
+
12. Si: x ∈ +; determinar el intervalo de la siguiente expresión:
a) [5; +∞〉 d) [3; +∞〉
¿Cuál es el máximo valor que asume "g"?
E= S + S + S + ... S-a S-b S-c
a) E ≥ n2
2 b) E ≥ n_ n 1
2 d) E ≥ n n+1
e) E ≥ n2–1
c) E ≥
n n +1
19. Si: "x", "y", "z" ∧ w∈ +, determinar el máximo valor de "g" a partir de: x4 + y4 + z4 + w4 Hg xyzw
b) Igual que 8 d) Mayor que 8
a) 1 d) 2
b) 2 e) 8
c) 4
15. Si: x, y ∧ z ∈ +/ x ≠ y ≠ z, ¿cuál es el menor valor entero que puede asumir:
20. Si: a
(x+y+z)(x–1+y–1+z–1)?
I. m2–(a+b)m+ab<0
a) 6 d) 10
b) 8 e) 11
16. " x, y ∧ z ∈
+,
c) 9
se cumple:
II. a2 –m2 ∉
III. a–1>b–1 a) I d) Todas
yz xy + xz2 + 2 H g 2 x y z
c) II ∧ III
b) II e) Ninguna
Tarea domiciliaria 1. Sea: -10
∪ <6;+∞> b) <–∞;–20> ∪ <4;+∞> c) <–∞;–6> ∪ <4;+∞> d) <–∞;–6> ∪ <6;+∞> e) <–∞;–20> ∪ <6;18> Quinto UNI 38
2. Si: x+6>0; indique la variación de: F(x)=
x (x + 12) + 37 x+6
a) <0;+∞> b) [2;+∞> d) <–2;+∞> e) [1;+∞>
c) <5;9>
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Álgebra 3. Si: x ∈
+,
hallar el mínimo valor de:
S= x + 175 7 x a) 10 d) 10
b) 5 e) 5 2
a) 8 d) 4 5. Sean: a;b;c ∈
b) 12 e) 10
a) K ≥ 120 d) K ≤ 12 11. Si: a;b;c ∈
el mínimo de:
E= (a+2b+3c) ( 6bc + 3ac + 2ab ) 6abc a) 4 b) 5 c) 11 d) 7 e) 9
I. 1 < 1 ⇔ a < b b a II. a
a) K ≤ 1 d) K ≥ 9
I.
c) F F V F
7. Si: a < b < 0; indicar lo correcto: a) abx > ab ⇒ x < 1 b) (a – b)x > b – a ⇒ x > – 1 c) (b – a)x > a – b ⇒ x > – 1 d) (a+b)x > (a+b) ⇒ x > 1 e) (– a – b)x > (a+b) ⇒ x< – 1 8. Sea: a<0 y b>0. Determinar el menor valor de "k", tal que: (a + b) 3 # k; k ∈ a3 + b3 b) 3 e) 6
c) 4
9. De los siguientes enunciados: a > b > 0 I. (a+b)x > a2 – b2 → x > a – b II. (a+b)x > (a+b)2 → x < a+b III. (a – b)x < b – a → x >1 IV. (b – a)x > a – b → x < – 1 V.
b) K ≥ 36 e) K ≥ 48 +
c) K ≥ 24
, además:
(a + b + c) (a2 + b2 + c2) abc b) K ≤ 2 e) K ≤ 20
c) K ≥ 1
x–y y–x x–y <0 II. <0 III. >0 y y y
a) F V V d) F F V
2 a+b IV. a2>b2 ⇔ a>b
a) 2 d) 5
K=
+; a + b > 2ab
b) F F F F e) F V V F
c) 3
12. Si "x" e "y" son números enteros positivos, tal que: x > y, entonces el valor de verdad de las proposiciones siguientes es:
6. Indicar el valor de verdad:
a) V F V V d) V V V V
b) 2 e) 5
10. Si: a;b;c ∈ + además: a+b+c=6 K=a3+b3+c3 entonces:
c) 16
+, señale
III. Si: a ≠ b ∧ {a; b} ⊂
a) 1 d) 4
c) 2 5
2 4. Si: x + 20 ≥ M; hallar el máximo valor de "M". x2 + 4
¿Cuántos son verdaderos?
b) F V F e) F F F
c) V V F
13. Si: x∈ , hallar el valor máximo de: E= 2 x + 2 2x + 3x + 6 1 c) 2 a) 1 b) 2 3 5 3 d) 3 e) 4 2 14. Si: F(x)=ax2+bx+c, x∈ ; F(x) ≥ 0
hallar el mínimo valor positivo de:
A= a + b + c b - a 5 c) a) 2 b) 3 2 d) 7 e) 4 2 15. Sean "a", "b" y "c" números no negativos, tales que: a+b+c=1. Hallar el máximo valor del producto: P=a5b3c2, indicando la suma de cifras de 108p. a) 12 d) 18
b) 13 e) 20
c) 14
x < a2+ab+b2 → x
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Problemas resueltos
)
1. Resolver el sistema: Z 3x + 5 ]] c 3 m > (1, 5) x–1 2 [ 2–x ]] c 2 m G (0, 6) x–6 3 \
3. Resolver: |ax+b| < |bx+a|, si: a>b>0
Resolución
|ax+b| < |bx+a|
(ax+b)2 < (bx+a)2 (ax+b)2 – (bx+a)2 < 0
Resolución
(ax+b+bx+a)(ax+b–bx–a) < 0
El sistema es equivalente a:
[(a+b)x+(a+b)] [(a – b)x – (a – b)] < 0
(a+b)(a – b) (x+1)(x – 1) < 0 SS (+) (+) ⇒ (x+1)(x – 1) < 0
'3x + 5> x – 1 2– x H x –6 'x > – 3 – 2x H – 8
'x > – 3 x G 4
4. Resolver: x2+x+|2x+1|≤ 1
⇒ – 3 < x ≤ 4
\x ∈ 〈 –3; 4 ]
⇒ C.S. = 〈– 1; 1〉
Resolución
Analizamos dos casos:
i) Si: 2x+1 ≥ 0 ⇒ x ≥ – 1 ... (a) 2 En la inecuación:
2. Resolver el sistema: Z 5 1 ] 2 c 2x – 2 m – 3 c x + 3 m G 3 – x [ ] – x + 7x–6 <1+ x 6 3 \ 3
Resolución
De la primera inecuación:
4x – 5 – 3x – 1 ≤ 3 – x 2x ≤ 9
x2+x+2x+1 ≤ 1
x(x+3) ≤ 0
– 3 ≤ x ≤ 0 ... (b)
Intersectando (a) y (b): – 1 ≤ x ≤ 0 ... (S1) 2 ii) Si: 2x+1<0 → x < – 1 ... (I) 2 En la inecuación:
x2+x – 2x – 1 ≤ 1
x ≤ 9 ... (1) 2 De la segunda:
– 2x + 7x – 6 < 6 + 2x
3x < 12 x < 4 ... (2)
Luego (1) y (2) intersectando:
(x+1)(x – 2) ≤ 0 – 1 ≤ x ≤ 2 ... (II)
Intersectando (I) y (II): – 1 ≤ x< – 1 ... (S2) 2 → Luego de S1 y S2:
C.S. [–1; 0]
C.S. = 〈– ∞; 4〉 Quinto UNI 40
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Álgebra 5. Resolver: 2 < |x – 1|+|x+1|<4
ii) Si: – 1 ≤ x < 1
Resolución
⇒ 2 < 1 – x + x + 1 < 4
Por el método de las zonas:
⇒ 2 < 2 < 4 ... ¡Absurdo!
i) Si: x < – 1
⇒ 2 < 1 – x – x – 1 < 4 ⇒ 2 < – 2x < 4
→x∈f
\ S2=f
⇒ – 2 < x < – 1 Intersectando: S1= 〈– 2; – 1〉
iii) Si: x ≥ 1
⇒ 2 < x – 1 + x + 1 < 4
2 < 2x < 4
1
Intersectando: S3 = 〈1; 2〉
Luego: C.S. = S1 ∪ S2 ∪ S3 → C.S = 〈–2; –1〉 ∪ 〈1; 2〉
Problemas para la clase 1. Resolver el sistema: Z 1 1 ] 4x – 2 < 3 [ ] 2x + 5 > 1 – x 2 \ 3 Indicando cuántos valores enteros lo verifican. a) 0 d) 3 2. Resolver:
b) 1 e) 4 3
c) 2
(0, 5) 2x–14 > (0,25)3–x
a) 〈5; +∞〉 b) 〈–∞; 2〉 c) 〈–∞; 4〉 d) 〈4; +∞〉 e) 〈–∞; 5〉 3. Resolver en "x": ax–b + bx–a ≤2; si:a>0∧b<0 a b a) 〈–∞; ab] c) [b; a] (a b) 2 e) ; + ;+ 3 2ab
A = {x ∈ a) 2 d) 11
/ 132(x2+1) < 265x} b) 10 e) 12
c) 1
6. Si: (m+2)x2+2mx+1>0; se verifica: "x∈ indique la variación de "m".
,
a) 〈2; 3〉 b) 〈–3; 1〉 c) 〈–1; 2〉 d) 〈–2; 3〉 e) 〈 1; 6〉 7. La inecuación cuadrática: x2+ax+b>0; {a; b} ⊂ , tiene como conjunto solución: – [1 – 5 ; 1+ 5 ]. Hallar: a2–b3 a) 65 d) 68
b) 4 e) 60
c) 64
b) [ab; +∞〉 8. Resolver: (a b) 2 E d) –3; + 2ab
4. Resolver: (x+4)(x – 2)+x > – 8 a) x ∈ 〈–3; 0〉 b) x ∈ 〈–3; +∞〉 c) x ∈ 〈–∞; –3〉∪{0} d) x ∈ 〈 0; +∞〉 e) x ∈ – [–3; 0]
Central: 619-8100
5. Indicar el cardinal del conjunto:
x–1 = 6 4 x Si: x1
c) – 11 25
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9. Calcular el producto de las soluciones al resolver: |x2 – 5x|=6 a) – 24 d) – 36
b) 24 e) 42
15. ¿Cuántos valores enteros verifican: x2 –5 <4? x
c) 30 a) 8 d) 5
10. Sean los conjuntos: A={x ∈
/ |x – 5|+3=0}
B={x ∈
/ |x – 5| – 3=0}
a) – 6 d) – 8
a) 7 d) 5
c) – 1 ≤ x ≤ 2 3
13. Resolver: |3x – 1|=2x+5 b) f e) {– 1 ; 4} 5
c) {– 2 ; 3} 3
14. Resolver: |3 – 2x|≤ 3x – 8; indicando cuántos enteros positivos no verifican. a) 2 d) 1
Quinto UNI 42
b) 3 e) 6
b) 9 e) 3
c) 4
x2 + 1 + x - x2 ≤ 1 Indicando el menor valor que la verifica. a) – 1 d) 2
12. Resolver: |3x–5|≤7
a) {– 4 ; 6} 5 d) {– 5 ; 1} 2
c) – 10
18. Resolver la inecuación:
a) 〈–1; 1〉 b) 〈–3; 3〉 c) 〈1; ∞〉 d) 〈–∞; –1〉 e) – [–1; 1]
a) – 2 ≤ x ≤ 4 b) x ≤ –2 3 d) x ≤ 1 e) x ≥ 2
b) – 2 e) – 9
17. ¿Cuántos enteros verifican: x2 – |x| ≤ 12?
11. Resolver: 3 <3 x
c) 6
16. Hallar el mayor valor de: a ∈ –; tal que: |x|<3. Entonces: |x+4|+|5 – x|≤|a|
Calcular: A ∪ B a) {– 1; 2; 3} b) {– 1; 3; 0} c) {2; 8} d) {0; 3} e) {1; –1}
b) 7 e) 4
c) 4
b) 0 e) – 2
c) 1
19. Resolver: |1 –|x|– x| < |1 – x| a) x ∈ 〈– ∞; 2 〉 – {0} 3 2 b) x ∈ 〈 ; +∞〉 3 c) x ∈ 〈– ∞; – 3 〉 2 3 d) x ∈ 〈– ∞; 〉 2 e) x ∈ 〈 – 3 ; 3 〉 2 2 20. Resolver: |x+3|+|x+4|≥|2x+7| +
a) + b) c) 0 d) f e) [– 4; 3]
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Álgebra
Tarea domiciliaria 1. Calcular:
(2– 5 ) 2 + (3–2 5 ) 2 + (9– 5 ) 2 a) 14 – 4 5 b) 2 5 – 10 c) 8 d) 4+2 5 e) 12
2. Hallar la suma de valores que adopta la siguiente expresión: R=
a) – 2 d) – 1
x2 + x
x x2
b) 2 e) 0
c) 1
Calcular: M =
9x + 8 – 2x – 8 x
a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
II. |x2 +1| = x2+1 III. |x|= – 1 ⇒ x = ±1 IV. |3x – 3| – 2 |x – 1| = |x – 1| b) V V F V e) F F V F
c) V V F F
5. Sabiendo que: – 1 < x < 2; y ∈ Reducir: H=
x x+1 +
-
y2 + y
x–3 –3 (1 + x2) + 2x (x + 1) 2 –2x
a) 1 d) – 2
b) – 1 e) 0
c) 2
6. Resolver: (|x – 3|+5)|x – 6|=2(|x – 3|+5) Hallar la suma de soluciones. a) 1 d) 12
b) 8 e) 14
c) 4
Central: 619-8100
c) 0
9. Indique la suma de soluciones de: |2x – 6|+18 | x – 3 | =|8x – 24| x–2 b) 7 e) 15
c) 9
10. Resolver: |x2 – 4|≤ x2+4x+4 Dar como respuesta el menor valor entero que verifica. b) 1 e) 2
c) – 2
11. Resolver: |7x2+5x| < |3x2 – 4x – 2| Indique un intervalo solución. 〈 1 ;+∞〉 c) 〈–∞; – 1 〉 a) 〈– 1 ; 2 〉 b) 2 2 4 5 1 e) <– ∞; – 〉 d) x∈ 2 12. Resolver:|x2 – 6x+8| ≤ 4 – x Dar como respuesta la suma de los valores enteros positivos que verifica. a) 1 d) 10
b) 3 e) 15
c) 6
13. Resolver: 3|x – 3|2 – 2|x – 3|<8 Dar como respuesta la suma de los valores enteros que verifica. a) 15 d) 4
b) 9 e) 3
c) 6
14. Sabiendo que: 0 < b < a Resolver: |ax+b| > |bx+a| a) x ∈ 〈b; +∞〉 b) x ∈ 〈– ∞; – a – b〉 c) x ∈
– [–1; 1]
d) x ∈ 〈–2; 2〉 e) x ∈ 〈–1; 1〉
7. Al resolver: ||x – 5| – 2| = 0 se obtiene: x ∈ {a; b} (a
b) – 2 e) 3
a) 0 d) – 1
4. Analizar las siguientes proposiciones: I. |x| ≤ 0 ⇒ x =0
a) V F V F d) V F F V
a) 1 d) 6
a) 4 d) 6
3. Si: x ∈ 〈1; 2〉
8. Resolver: |x2+2| = 2x+1 Hallar la suma de las soluciones.
15. Resolver: |x| + |x – 2| ≤ 3x c) 32
a) x ≥ 2 5
b) x ≥ 2 3
d) x ≤ 0
e) x ≥ – 3 2
c) x ≥ 0
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Problemas resueltos 3. Resolver:
1. Resolver: (x2 – 4)(x2+x+1)27(1 – x)(x2 – 5x – 6)>0
Resolución "x∈
es positivo; dado que: (x2
x)(x2
\Nos quedará:
Factorizando y agrupando:
(x+2)(x – 2) (x – 1) (x – 6) (x+1) < 0
–∞
+
–2
1
+
2
–
6
+
+∞
4 – x + 3x + 5 H ≠ + 4 – x
4 – x + 3 x + 5 H ≠ + 4– x
⇒ 4 - x ≥ 0 ∧ 3x+5 ≥ 0 ↓
x≤4 ∧ x≥– 5 3 – 5 ≤ x ≤ 4 ... (1) 3
Resolución
Si: x ∈
3x + 5 ≥ p 2 x ≥ π – 5 ... (2) 3
Intersectando (1) y (2):
; si: x∈
x+1 H 3x – 2 + 1
⇒
⇒
3x – 2 + 1 G 2
+
→x≥1→x+1≥2
x+1
≤ (x+1)
3x – 2 G
2 >1
x+3 +1 2
x+3+2 2
x+3+1
Elevando al cuadrado: x – 3 ≤
i) Si: x – 3< 0 ⇒ x < 3 \ x={1; 2} ... (1)
ii) Si: x – 3 ≥ 0 x ≥ 3 ⇒ x2 – 6x+9 ≤ x+3
x+3
⇒ (x – 6)(x – 1) ≤ 0 \ x={3; 4; 5; 6}...(2) De (1) y (2): C.S.={1; 2; 3; 4; 5; 6} 4. Resolver:
Luego:
+
Resolución
Si:
–
– 5x – 6) > 0
\ C.S. = 〈– ∞; – 2〉 ∪ 〈– 1; 1〉 ∪ 〈 2; 6〉
2. Resolver:
–1
– 4)(1 –
x+3 + 1 4
x2+x+1>0
–
≤ (x+1)
x+1
(x2+x+1)27
3x – 2 + 1
3
x3 – 7 < x – 1
Resolución 3
3
x3 – 7 < (x – 1)3
x3 – 7 < x3 – 3x2+3x – 1 3x2 – 3x – 6 < 0 x2 – x – 2 < 0
(x – 2) (x+1) < 0 ⇒ x ∈ 〈–1; 2〉
2 x ∈ ; π –5 ; 4E 4
Quinto UNI 44
Colegios
TRILCE
Álgebra
2 <
4x + 5y – 1 <3 x+y+2
2x+4y<14
Si además: x+7>0 → y>5
Resolución
De la condición alterna: x+7>0 y>5
(+)
\La inecuación es equivalente a:
2x+2y+4<4x+5y – 1<3x+3y+6 ∧
5<2x+3y
y<9
\5
⇒ Si: y=6 ⇒ 5<2x+18 ∧ x+12<7
x+y+2> 0
5<2x+3y
⇒
5. Resolver el sistema en :
x+2y<7
x > – 13 ∧ x < – 5 \ x=-6 2 ⇒ Si: y=7 ⇒ 5<2x+21 ∧ x+14<0
x >– 8 ∧ x<– 7 \ x∈f
⇒ Si: y=8 ⇒ 5<2x+24 ∧ x+16<7 x > – 19 ∧ x < – 9 \ x∈f 2 Luego: x= – 6; y = 6
Problemas para la clase 1. Resolver: (x2 –
3x+2)2
. (x – 3) . (x – 5) ≤ 0
a) x ∈ [3;5] c) x ∈ {1;2} e) x ∈ [3;5] ∪ {1;2}
b) x ∈ [1;2] d) x ∈ [1;2] ∪ [3;5]
5. Hallar una inecuación entera de coeficientes racionales, de grado mínimo, cuya solución es: <–∞;–2 > ∪ <–2;2> ∪ <3;+∞ > a) (x – 3)(x – 2) (x+2) > 0 b) (x – 3)(x – 2) (x+2)3 > 0 c) (x – 3)(x – 2) (x+2)2 > 0 d) (x – 3)(x – 2) (x+2)2 < 0 e) (x – 3)(x+2) (x – 2)2 > 0
2. Resolver e indicar un intervalo solución de: x4 – 4x3 – 3x2+14x – 8 ≥ 0 a) x ∈ <–∞;1] c) x ∈ <–∞;–2] e) x ∈ {3} 3. Resolver:
x3+x2
6. Resolver: b) x ∈ [3;+∞> d) x ∈ {2} (x+2)(x – 1)3(x – 3)(x – 6) < 0
≥ 4x+4
a) [2;+∞〉 b) 〈–∞; –1〉 ∪ 〈2;+∞〉
Indicando la suma de los valores enteros de "x" que satisfacen la inecuación. a) 8 b) 7 c) 6 d) 0 e) 9
c) [– 2; 1〉 ∪ [2;+∞〉
7. Resolver:
d) [– 2; –1] ∪ [2;+∞〉
e) 〈– ∞; –2] ∪ [– 1; 2] 4. La inecuación: x4+96x–144<6x3+7x2; es equivalente a:
a) b) c) d) e)
–4≤x<3∨3
Central: 619-8100
(x - 2) 4 (x - 1) 5 (x + 1) 2 ≤0 (x2 + 4) (x - 3) 7
a) x ∈ [1;1] c) x ∈ [1;3> ∪ {-1} e) x ∈ [–1;2] ∪ {3}
b) x ∈ [1;3> d) x ∈ [–1;2]
8. Al resolver: (3x+1)3(x – 2)2(x+3)5(x+2)4(4 – x) ≤ 0; se observa que el menor natural impar de "x" es: a) 1 d) 7
b) 3 e) 9
c) 5
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9. El conjunto solución de la inecuación: (x6+10)(x – 5)3(x – 4)2(x+1)5(x+6)4>0; es de la forma: 〈– ∞; a〉 ∪ 〈a; –1〉 ∪ 〈5;+∞〉, luego el valor de "a" es: a) 6 d) – 1
b) – 6 e) – 4
c) 1
10. Resolver: x5 + 3x3 + x G 1 x 4 + 3x 2 + 1
a) 〈3; 6〉 b) 〈– ∞; 1] d) 〈0; 1〉 e) 〈0; 3〉
c) 〈– 1; 2〉
15. Resolver: 6– 15–x – 1–x >0 a) 〈–1; 1〉 d) 〈–1; 1]
x+3> x+1 x+4 x+2
c) – 3
x 2 –1 > x c) [– 3; – 2〉
12. Si la expresión:
a) 〈– ∞; 1〉 b) 〈– ∞; –1〉 c) 〈– ∞; 0〉 d) 〈– ∞; –1] e) 〈– ∞; –2〉 18.¿Cuántos valores enteros de "x" verifican la siguiente inecuación: 2x + 23 > x + 4 ?
F(x) ≡ x – 2 – 28 x–1 x + 1 x –1
b) – 4 e) – 1
17. Resolver:
Indicar un intervalo solución. a) [– 4; – 2] b) 〈– 4; – 2〉 d) 〈– ∞; – 4〉 e) 〈– 3; 5〉
c) [0; 1]
16. Al resolver el sistema: Z 2 4 6 ](x–1) (x + 5) (x–3) > 0..... (1) [(x–2) 3 (x + 3) 5 (x + 1) 7 < 0... (2) ] 2 \ x –4 + 2 > 0 ................... (3) se obtiene: 〈– ∞; – 5〉 ∪ 〈– 5; a〉. ¿Cuál es el valor de "a". a) – 5 d) – 2
11. Resolver:
b) [0; 1] e) 〈–1; 2〉
es no negativa, determinar el intervalo al cual pertenece "x".
a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
a) 〈– ∞; –2〉 ∪ 〈–1; 1〉 ∪ 〈3;+∞〉 19. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto solución b) 〈–∞; –2] ∪ 〈–1; 1〉 ∪ [3;+∞〉 –3 de la siguiente inecuación: e o ≤ 45? c) 〈–∞; –1〉 ∪ 〈1;+∞〉 2x d) 〈–∞; –2] ∪ 〈–1; 3 〉 – {1} a) Infinitos b) 4 c) 5 e) 〈–2; –1 〉 ∪ 〈1; 3〉 d) 6 e) 7 13. El número entero "x" que verifica el sistema: 20. ¿Cuántos enteros "x" verifican la inecuación? x < 12 < x + 1 x–3 – 4–x x + 1 19 x + 2 < x–1– x–2 ? es: x–4 + 3–x x–2 + x–1 a) 1 b) 2 c) 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 d) 4 e) Ninguno 14. Proporcionar la suma del mayor con el menor entero "x" que verifica la inecuación: x2 –1 +3 > 0 9–x 2 a) – 1 d) 7
Quinto UNI 46
b) 0 e) 12
c) 1
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Tarea domiciliaria a) F F V F d) F V V F
1. Resolver: (x + 1) (x – 2) (x – 1) G0 (x + 4) (x – 7)
6. Resolver:
b) V V F F e) V F F F
c) V F V F
x –6< 4
a) x ∈ 〈– ∞; – 4〉 ∪ [–1; 1] ∪ [2; 7〉
a) x ∈ [0; 1〉
b) x ∈ [6; 22〉
b) x ∈ 〈– ∞; –1〉 ∪ [7;+∞〉
c) x ∈ [– 6; 6〉
d) x ∈ 〈– 2; 2]
c) x ∈
e) x ∈ f
d) x ∈ f e) Ninguna
7. Resolver:
2. Resolver: (–x + 8) (x2 –2x–8) G0 (x2 + 16) (–x + 4)
e indicar la suma de valores enteros que la verifican. a) 29 d) 31
b) 33 e) 42
a) x∈[–5; –3] ∪ [3; 5] b) x∈[–5; 5]
b) 3 < x < 5 c) x > -3 e) x ∈
c) – 1 3
b) – 3 e) – 2 3
4
6 5
x–5 G0 x–9
b) 31 e) 28
c) 26
10. Resolver: (x – 4) 6 (x + 4) 5 (x – 2)
3 4
3
x–5
H 0
x + 2 (x – 8) 4
a) [– 4; 2〉 ∪ [5;+ ∞〉 ∪ {4} – {8} b) [– 4; 2〉 ∪ [5;+ ∞〉 ∪ {8; 4} c) 〈– 2; 2〉 ∪ [5;+ ∞〉 ∪ {8} – {4} d) 〈– 2; 2〉 ∪ [5;+ ∞〉 – {8} ∪ {4}
– {5}
III. x – 5 < – 3 → x ∈ f IV. x – 5 > – 3 → x ∈
x+7
(x – 7)
a) 17 d) 19
x – 5 < 0 → x ∈ 〈– ∞; 5〉
Central: 619-8100
3
II. x – 5 > 0 → x ∈
d) x ∈
9. Dar la suma de soluciones enteras de:
5. Indicar (V) o (F): I.
25 – x2 ≤ 4
e) x∈f
es de la forma: x ∈ 〈– ∞; a〉 ∪ 〈b;+∞〉
calcular: a b a) – 4 3 d) – 6
b) 0,784 c) 8,357 e) Dos valores correctos
c) x∈[–3; 3]
4. Si la solución de: 3x + 2 > x – 3 3x – 2 x+2
e indicar un valor solución.
8. Resolver:
c) 35
x 2 – 3x + 2 < 3 x 2 + 2x + 6 a) x > 2 d) x > 3
x3 –3x2 + 5x–6 > x – 2
a) 2 d) 1,372
3. Resolver la inecuación:
3
e) 〈– 2; 2〉 ∪ [5;+ ∞〉 – {8; 4} 11. Indicar el intervalo solución de: x – 3 G a) [3; 7] d) 〈– ∞; 5]
7–x b) [3; 5] e) [5;+∞〉
c) [5; 7]
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12. Resolver: x+3+ 7–x> x – 9
e indicar la suma de valores enteros que la verifican. a) 25 d) 18
b) 15 e) 34
c) 22
13. Hallar el intervalo formado por los valores de "x" que satisfacen la siguiente desigualdad: 2x x – 2 – 4 x – 2 >1 x – 2 (x – 4)
a) 〈4;+∞〉 b) 〈2;+∞〉 c) 〈– 2;+4〉 d) 〈2; 4〉 e) 〈0; +∞〉
Quinto UNI 48
14. Hallar los valores de "a" para los cuales el sistema: x2 + y2 + 2x ≤ 1 x–y+a=0 tiene solución única. a) {0; 4}
b) {– 4; 0}
d) {0; 3}
e) {– 1; 0}
c) {– 1; 3}
15. Resolver:
x 2 – 3x – 4 > x – 5 4 – x2 – 9 e indicar el número de valores enteros que la verifican. a) 2 d) Más de 4
b) 3 c) 4 e) Ningún valor
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Problemas resueltos 1. Graficar la región definida por: 2
A={(x; y) ∈
3. Graficar la región definida por:
/ y ≤ 3x+1; 1 ≤ x < 2}
C={(x; y) ∈
2
/ |x|+|y|≤ 2; xy ≠ 0}
Resolución
Resolución
La recta frontera será: y=3x+1 (una recta)
i) x>0 ∧ y>0 → x+y ≤ 2
Si: x=1 → y=4
ii) x<0 ∧ y>0 → – x+y ≤ 2
x → 2 ; y → 7
iii) x<0 ∧ y<0 → – x – y ≤ 2
Graficando:
iv) x>0 ∧ y<0 → x – y ≤ 2
Graficando: 7
y y
y=–x+2
2
y=x+2
2
1
+ 3x
2
1
y=
x –2
2
x
y=x–2
y=–x–2 –2
2. Graficar la región definida por:
B = {(x; y) ∈
2
/ 2x ≤ y < 3x; y > 0}
Resolución
Dado que: y>0 ⇒ x>0; la región estará en el primer cuadrante y las rectas fronteras serán: y=2x ∧ y=3x
4. Indicar el área de la región triangular encerrada por las siguientes relaciones: y ≥|x| ∧ y ≤ 5
Resolución
Graficando las líneas fronteras: y =|x| ∧ y=5 y y=|x| 10 5 y=5 5 x –5 5
\ Área =
Graficando: y y= 3x
S
x =2
y
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x (10) (5) =25 u2 2
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⇒ x∈〈–5; –1〉; pero no hay restricciones para "y"
5. Graficar la región: M={(x; y) ∈
2
/|x+3|< 2}
• Graficando: y
Resolución
Resolvemos la inecuación en "x"
|x+3|<2 |x+3|2 < (2) 2
–1
–5
(x+3)2 – (2)2 < 0
x
(x+5)(x+1)<0
Problemas para la clase 1. Dados los conjuntos: A={x ∈ / – 12 < x + 6 < 20} B={x ∈ / 10 < x2 ≤ 400} ¿Cuántos elementos tiene el conjunto: A×B? a) 1054 d) 510
b) 1020 e) 527
c) 992
2. Dados los conjuntos: A = {1; 3; 5; 7} B = {3; 5; 8; 9} Determinar la relación "R" de "A" en "B" definida así: R = {(x; y) / x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ x ≥ y} a) R = {(3; 3), (5; 3), (5; 5), (7; 3), (7; 5)} b) R = {(1; 3), (1; 5), (1; 8), (1; 9), (1; 7)} c) R = {(3; 1), (3; 3), (5; 1), (5; 3), (5; 5)} d) R = {(1; 1), (3; 3), (5; 5), (7; 7), (5; 3)} e) Ninguna 3. De la relación: R = {(1; 2), (3; 3), (5; 5), (2; 1)}, se afirma que: a) Es reflexiva c) Es transitiva e) "a" y "b"
b) Es simétrica d) Es de equivalencia
4. Determinar los pares ordenados (x;y) que verifican la igualdad: (x2; x+y)=(y;2) a) {(–2;1), (4;1)} c) {(1;–2), (1;4)} e) {(–3;1), (4;2)}
b) {(-2;4), (1;1)} d) {(4;–2), (1;1)}
5. Sea: A={1;2;3} y sean "R" , "S" y "T" relaciones en "A", reflexiva, simétrica y transitiva, respectivamente. Si: R= {(1; 1), (2;3), (a;2), (3;b)} S= {(1;3), (c;d)} T= {(3;e), (2;3)} Hallar "b - a+c - d+e" a) 2 d) 5 Quinto UNI 50
b) 3 e) 6
c) 4
6. De las proposiciones: I. R y R–1 resultan simétricos con respecto a la recta: x = y II. Una relación "R" es simétrica si y solo si: R=R–1 III. Una relación "R" es transitiva si verifica lo siguiente: (a; b)∈ ∧ (b; c)∈ →(a; c)∈ Son verdaderas: a) Solo I d) Todas
b) I y III c) II y III e) Ninguna
7. Dados: A={3;4;5;6;7;8;9;10} y la relación: R={(x;y) / "y" es múltiplo de "x"∧x ≠ y} ⊂ A×A Hallar la suma de los elementos del dominio de "R". a) 7 b) 8 c) 10 d) 11 e) 12 8. Si: A = {1; 2; 3} ∧ B = {2; 4; 6} Expresar por extensión la relación "R" de "A" en "B", definida así: R = {(x; y) ∈ A × B / y = 2x} a) R = {(1; 2), (2; 4)} b) R = {(0; 1), (2; 4), (3; 5)} c) R = {(1; 2), (2; 4), (3; 6)} d) R = {(1; 2), (2; 4), (4; 8)} e) Ninguna 9. Dado el conjunto: A = {1; 2; 3} y la relación "R", definida en "A". Dar el valor de verdad de las proposiciones: I. R = {(1; 2), (1; 2), (3; 3)} es reflexiva. II. R = {(1; 2), (2; 1)} es simétrica. III. R = {(1; 1), (2; 2), (3; 3)} es antisimétrica. a) V F V d) V V V
b) V V F e) Ninguna
c) F V F
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Álgebra 10. Sea: S={(x;y) ∈ 2 / x – y ≥ –2; y – x ≥ –1} Indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones
I. II. III. IV.
"S" es reflexiva. "S" es simétrica. "S" es transitiva. "S" es de equivalencia.
a) VFFF d) FVFF
R1={(5;2), (5;4)}; R2={(5;2), (2;1)} R3={(5;4), (1;-4), (2;1)}
b) VVFV e) FFVF
b) –1,5 e) 5
12. Si: S1={(x;y) ∈ S2={(x;y) ∈ S3={(x;y) ∈
/ xy=6} / x+y=5} 2 / 2x+y=3} 2
a) 5 d) –2,5
c) 8
13. Hallar el dominio y rango de la siguiente relación: R1={(x;y) ∈ 2 / (x – 3)2 + (y+1)2=4} a) DR : x ∈ [–2;2] 1
b) DR : x ∈ [1;5]
RR y ∈ [–2;2] 1:
c) DR : x ∈ [0;2] 1
1:
1
RR y ∈ [–3;1] 1:
d) DR : x ∈ [–1;–5]
RR y ∈ [–2;2]
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
17. Si los pares ordenados: (2m;0), (0; –m), (m;–1) pertenecen a la relación: R={(x;y) ∈ 2 / y=ax+b} Hallar el valor de: a+b
2
b) 6 e) 14
b) "R2" ∧ "R3" d) "R1", "R2" ∧ "R3
16. Si: A= {x ∈ / x3=x} ∧ B={(x;y) ∈ A2 / x2=y2}; calcular: n(B)
c) 1,5
Hallar la suma de los elementos del dominio de: (S1 ∩ S2) ∪ S3 a) 5 d) 12
a) "R1" ∧ "R2" c) "R2" ∧ "R3" e) Ninguna
c) VVFF
11. Si los pares ordenados: (2n; 0), (0; -n) y (n;1), pertenecen a la relación: R={(x;y) ∈ × / y=ax+b} Hallar el valor de: a+b a) –2,5 d) 2,5
15. Sean los conjuntos: A={x ∈ / |x - 3|=2} ∧ B={x ∈ / x2+2x-8=0} ¿Cuál o cuáles de los siguientes conjuntos es una relación de "A" en "B"?
b) 2,5 e) –1,5
c) 1,5
18. Dados los conjuntos: A= {x ∈ / –12
1:
c) 1056
/ x2 –5x+6=0 ∨ x=16} / 10 ≤ x ≤ 15 ∧ "x" es par}
hallar: 2n(A×B) + 2n(B×A) a) 128 d) 1024
1
RR y ∈ [–1;3]
b) 496 e) 876
b) 256 e) 2048
c) 512
e) DR : x ∈ [2;4] 1
20. Dados los conjuntos:
RR y ∈ [1;3] 1:
P={a ∈
/ (a – 2) (a2 - 3)= (a – 2) (2a)}
Q={b ∈
/ b2 ≤ |b|+2}
14. Dado el conjunto: A={x ∈ / |x| ≤ 2} Hallar la suma de elementos del rango de la relación: M={(x;y) ∈ A2 / x+y ≤ 0} a) 1 d) 4
Central: 619-8100
b) 2 e) 0
c) 3
Indicar lo incorrecto: a) ( 5 ;0) ∈ P×Q 2 c) (3;–2)) ∈ P×Q
b) (0;3) ∈ Q×P d) (3;1) ∈ P×Q
e) (2;0) ∈ P×Q
www.trilce.edu.pe 51
Tarea domiciliaria 1. Sea: (a – 1; 7) = (13; b+5)
Indique: a.b a) 2 d) 35
b) 14 e) 4
c) 28
2. Sea: A = {5; 4; 4; 0; 0}; n(A×B)=30. Hallar: n(B) a) 6 d) 7
b) 10 e) 15
c) 4
3. Un conjunto "P" tiene "n" elementos y un conjunto "Q" que tiene "2n" elementos origina 992 subconjuntos más que "P". Si: P ∩ Q tiene tres elementos, hallar: n(P ∪ Q) a) 12 d) 11
b) 13 e) 14
S = {(x; y) ∈ A2 / (x+y) es múltiplo de 3}
R2 = {(x; y) ∈ A2 / (x+y) es impar} o
R3 = {(x; y) ∈ A2 / xy=10 }
¿Cuáles son simétricas? a) R1 d) R1 y R3
b) R2 e) Todas
c) R1 y R2
9. Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} sobre el cual se definen las relaciones: R1 = {(x; y) ∈ A2 / |x| = y}
c) 21
Indique el número de elementos de "R". b) 18 e) 14
c) 24
S = {(x; y) ∈
×
/ x + y = 12}
= {0; 1; 2; 3; ...} ¿Cuántas son verdaderas? II. "S" es simétrica IV. "S" es de equivalencia
Quinto UNI
c) R1 y R3
b) 2 e) 8
c) 5
11. Se define la relación: R = {(x; y) ∈ 2 / (2a – b)x – 3y+b – 5 = 0} Si: (1; 3) ∈ R, calcular el valor de "a". b) 5 e) 11
c) 7
12. Dada la relación "R", definida por: R = {(x; y) ∈ × / |x – y|≤ 4} es cierto que:
III. "S" es transitiva
b) 1 e) Todas
b) R1 y R2 e) R2 y R3
10. Sea: A={1;3;5} y "R" la relación: R={(x;y)∈A2 / si: y>x → y>2x} El número de elementos de "R" es:
a) 3 d) 9
I. "S" es reflexiva.
a) Ninguna d) 3
Luego, serán reflexivas:
a) 1 d) 6
6. Sea "S" la relación definida:
R3 = {(x; y) ∈ A2 / 12y+24=12x+24} a) R1 d) R2
R = {(x; y) ∈ M2 / "x" es divisor de "y"} a) 30 d) 21
52
R1 = {(x; y) ∈ A2 / x ≠ y}
a) 14 d) 41
b) 15 e) 36
- {1}
8. A partir del conjunto: A = {2; 5; 6} se construyen las relaciones:
R2 = {(x; y) ∈ A2 / y=x+2}
c)
Hallar la suma de todos los elementos del rango.
5. Dado: M = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
- {0} a) b) d) φ e) ×
c) 10
4. En: A = {1; 2; 4; 6; 8} se define la relación:
7. Dada la relación: R={(x;y) × /xy=1}, hallar: Dom(R) ∩ Ran(R) Entonces "A×B", tiene la forma:
c) 2
a) "R" es reflexiva b) "R" es simétrica c) "R" es transitiva d) "R" es de equivalencia e) "a" y "b" Colegios
TRILCE
Álgebra 13. Sean: A= {(x; y) ∉ 2 / 4x2+y2=43} B= {(x; y) ∉ 2 / x2+y2 – 16=0} Hallar "n(C)", donde: C= {(x; y)∈ 2 / (x,y)∈ A∩B} a) 4 d) 2
b) 3 e) 6
c) 5
14. Dada la relación: S = {(x; y)∈ × / x2+y2 ≤ 25 ∧ y ≥ x}
Hallar: n(S) a) 40 d) 56
Central: 619-8100
b) 44 e) 57
c) 50
15. Dada la relación: R = {(x; y)∈ 2/ (y – x) es múltiplo de 5}
¿Cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
I. II. III. IV.
"R" es reflexiva "R" es simétrica "R" es transitiva "R" es de equivalencia
a) I y II
c) Solo II e) Ninguna
b) II y III
d) Todas
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Problemas resueltos 1. Graficar el conjunto solución del sistema: Z y H x2 ] ] [ x + y G 2 xH0 ] ] \ yGx+2
Resolución
Graficamos las curvas fronteras: y
y=x+2
3. Graficar: 2
2 y / x + ≤ 1; xy>0} 4 9
Resolución
2 y La línea frontera: x 2 + 2 =1, es una elipse: 2 3
Por la restricción:
xy > 0 ⇒
2
y=x2...(parábola)
2
2
M = {(x; y) ∈
x>0 ∧ y>0 ... (I ) ∨ x<0 ∧ y<0 ... (III )
x
0
y=–x+2
Graficando:
x≥0
Solución del sistema
y 3
2. Graficar:
A={(x; y)∈
Resolución
2/
¡gráfica pedida!
(x – 2)2+(y – 2)2 ≤ 4 ∧ y ≤ x} 2
–2
x
–3
y 2
(x–2)2+(y–2)2=(2)2 2
x ¡Región pedida!
y=x
Quinto UNI 54
Colegios
TRILCE
Álgebra 2
4. Graficar: B = {(x; y) ∈
/ y ≥ (x – 2)2+1}
5. Graficar: / x2+y2 ≤ 25 ∧ xy<3}
Resolución
M = {(x; y) ∈
La curva frontera es: y=(x – 2)2+1; una parábola.
Resolución
La curva frontera: x2+y2=(5)2; es una circunferencia de radio 5 y la región es su parte interna: La curva frontera: xy=3; es una hipérbola equilátera y su región es su parte interna sin incluir la curva. y x2+y2=52
Graficando la región: y
y=(x – 2)2+1 ¡Región pedida!
3
×
xy=3
3 3 3
1
¡Región pedida!
x
2
x
Problemas para la clase 1. Dadas las relaciones: R1 = {(x; y) ∈ 2 / y – x=0} R2 = {(x; y) ∈ 2 / y = x – 1} ¿Cuál de las siguientes gráficas representa mejor la región comprendida entre "R1" y "R2"? a)
b) y
y x
c)
3 x –3 b) R1 ∩ R2 e) Ninguna
a) R1 – R2 d) R1 – R2
c) R1 ∪ R2
4. Graficar la región: A={(x; y) ∈ 2 / |x – 2| ≤ 1} a) b) y y
x
–3
x d) y
y
3. Dadas las relaciones: R1 = {(x; y) ∈ 2 / |x| ≥ |y|} R2 = {(x; y) ∈ 2 / |x| ≤ 3} La región sombreada está representada por: y 3
x
x
e) y c)
x
d) y
y
x
x
2. Calcular el área de la región limitada por: x2+y2 ≤ 6 a) 6p u2 d) 36p
b) 12p e) 9p
c) 35p
e) y
x Central: 619-8100
www.trilce.edu.pe 55
5. Hallar el área de la región que genera la siguiente relación: R = {(x; y) ∈ 2 / |x| + |y| ≤ 3} a) 48 u2 d) 9
b) 16 e) 24
b) 2,5 e) 2
c) 3
7. Hallar la gráfica de la relación: R = {(x; y) ∈ 2 / y ≥ 2|x|; y ≤ 4} e indique el área determinada. a) 5 u2 d) 8
b) 7 e) 12
x 10. Graficar la siguiente relación: R = {(x; y) ∈ 2 / x2 < y} b) y
y x
x d) y
y
x
x
x
e) Ninguna
11. Indica cuál de los dibujos corresponde a la gráfica de la relación: S = {(x; y) ∈ × / xy – 3y – x2 + 3x = 0} a) y
b) y S
3
e) y
S 3
a)
2
3
/ |3x – y| + |x+y| ≤ |4x|} b) y
y
x
3
x
d) y 3
S
9. Grafique la siguiente relación: G = {(x; y) ∈
3
c) y
x
x
x
c) d) y y
b) y
y
x
e) y
c) 10
x c)
x
a)
8. Grafique la relación: R = {(x; y) ∈ 2 / x + |x| ≤ y ≤ 3x} a)
d) y
y
c) 18
6. Hallar el área limitada por las siguientes relaciones en . R1 = {(x; y) ∈ 2 / |x| – |y|= 1} R2 = {(x; y) ∈ 2 / |x|= 2 } a) 1,5 u2 d) 3,5
c)
S
x x 3 3 e) y 3
x Quinto UNI 56
x
3
x Colegios
TRILCE
Álgebra 12. En se definen las relaciones: S1 = {(x; y) ∈ × / x = y2 – 2} S2 = {(x; y) ∈ × / x = – y2 + 4y} ¿Cuál de las siguientes gráficas representa mejor la región comprendida entre "S1" y "S2"? a)
2 2 ) y + x –2x = 3 y + 1 = x –1
y
d) y x
x
y
4x
–4
4x
–4
–2 2
22
–2 2
22
–2 2 –2 2
–4
Central: 619-8100
22
4x
4x
x
–4
e) y 4
x
e) y
22
–4
–4
4
22
d) y
y x
d) y
4
–2 2
c)
4x
–4
22
–4
22
–2 2 –2 2
–2 2
x
22 22
–2 2
–4
c)
x
4
–2 2
b) y
b) y
22
–4
2 / y ≤ x – 2 ∨ y > – |x|+2} 2 B = {(x; y) ∈ 2 / |y2| ≤ 4 – |x|2} Determine la región que se obtiene al intersectar "A" con "B". 2
A = {(x; y) ∈
a) y
13. Graficar la relación definida por: R = {(x; y) / 8 ≤ x2 + y2 ≤ 16 ∧ |x|+|y|≤ 4}
4
c) 4+ 2
16. Sea:
e) y
y
Se obtiene una región cerrada, entonces la mayor distancia que existe entre un punto de la región y el origen de coordenadas es: b) 3+ 2 a) 8 d) 17 e) 20
a)
c) 2
2 2 )x + y –6x G –7 y–x–3 G 0
x
b) 1 e) 4
15. Al representar gráficamente el siguiente sistema:
x
y
Entonces: n(T) a) 0 d) 3
b) y x
c)
14. Si "T" es el conjunto solución del sistema:
17. En " " se definen las relaciones: R1={(x; y) ∈ × / |x| – |y| ≤ 6} R2 = {(x; y) ∈ × / |y| – x2 < 0}
¿Cuál de las siguientes gráficas representa mejor la región comprendida entre "R1" y "R2"? www.trilce.edu.pe 57
a)
b) y
y
x
19. Si "A" es un conjunto definido por: y A = {(x; y) ∈ × / x + > x ∧ x ≥ y} x y Entonces la figura que mejor representa al conjunto "A" es:
x
a) c)
d) y
y –6
6
x
c)
x
2
2
x
x
e) y –2
18. Si "M" es un conjunto definido por: M={(x;y)∈ × /2y+x2+4x ≤ 2∧x2+6x+3<3y} Entonces el número de elementos del conjunto "M" es: a) 8 d) 12
2 x
d) y
y –2
x
6
–2
x
e) y
–6
b) y
y
b) 9 e) 15
2
x
c) 11
Tarea domiciliaria 1. Graficar la relación: R = {(x; y) ∈ 2 / y ≥ x}
a)
2. Graficar: R = {(x; y) ∈
b)
y
y
c)
y
d)
x
e) y
Quinto UNI
58
y d)
x
e) y x
x
x
x
x
y
x
c) y
y
/ |x| < y} b)
y
x
x
a)
2
Colegios
TRILCE
Álgebra 3. Graficar la siguiente relación: R = {(x; y) ∈ 2 / |x – 1| ≤ 2}
5. Graficar la relación: R = {(x; y) ∈ 2 / 2x – 3y > 18}
a)
b) y
–1
b)
y
x
2
–1
y
c) y
y
x
3
–1
c)
–6 9
e)
x
a)
b) y
x
6. Obtener la intersección gráfica de las siguientes relaciones: R1 = {(x; y) ∈ 2 / 4x+5y ≤ 40} R2 = {(x; y) ∈ 2 / x ≥ 0} R3 = {(x; y) ∈ 2 / y ≥ 0}
y
x
x
a)
b) y
d)
y
10
y
Central: 619-8100
10
x
c)
d)
y
8
x
y
8 10
x
10
x
e)
y
8
x
8
x
y
y
8
x
e)
x
4. Graficar la siguiente relación: S = {(x; y) ∈ 2 / x2 ≤ y2}
c)
–6 9
y
–6 9
x
y
y
d)
y
e)
x
x
3
y
–6 9
x
–9
d)
–1
6
x
2
a)
–10
x
www.trilce.edu.pe 59
7. Obtener la intersección gráfica de las siguientes 9. Graficar la siguiente relación: relaciones: R = {(x; y) ∈ 2 / |x| + |y| ≥ 4} R1 = {(x; y) ∈ 2 / 3x+2y ≤ 18} a) b) R2 = {(x; y) ∈ 2 / x+y ≤ 8} y y R3 = {(x; y) ∈ 2 / x ≥ 0} 4 4 R4 = {(x; y) ∈ 2 / y ≥ 0} 4
a)
b)
y
c)
d)
y
y
4 4
–4 y
x
–4 d)
y
x
–4
e)
4
–4
4
x
x
–4
c)
y
x
4
4
–4
x
–4
y
2 x
2
–2
e)
x –2
10. Graficar la intersección de las relaciones mostradas: R1 = {(x; y) ∈ 2 / y ≥ 4x+16} R2 = {(x; y) ∈ 2 / y ≥ 16}
y
x
a)
a)
b) y
x
d)
y
y
x
y
16
x
16
x
b)
y
8. Obtener la intersección gráfica de las siguientes relaciones: R1 = {(x; y) ∈ 2 / 8x – 3y+15 ≥ 0} R2 = {(x; y) ∈ 2 / x+4y – 20 ≤ 0} c) 2 R3 = {(x; y) ∈ / x – y ≤ 0}
x
y
x
x
–16
e)
y
16
x
c)
d)
y
x
x
e)
y
11. Obtener la intersección gráfica de las siguientes relaciones: R1 = {(x; y) ∈ 2 / x2 + y2 ≤ 16} R2 = {(x; y) ∈ 2 / y < x2}
y
a)
x
x
Quinto UNI 60
b)
y
y
x
Colegios
TRILCE
Álgebra
c)
d)
y
14. Graficar el conjunto: A = {(x; y) ∈ 2 / x – y ≤ 1}
y
x
x
a)
e)
b)
y
y
1
x
–1
y
c)
a) 3y+5x – 6 = 0 c) 3x+5y – 28=0 e) 3y – 5x – 36=0
b) 5x+3y+6=0 d) 3x+5y – 12=0
a)
y
4 5
c)
x
x
e)
y
x
x
15. Graficar la relación definida por: R={(x; y) ∈ 2 /8 ≤ x2+y2 ≤ 16 ∧|x|+|y|≤ 4}
a)
y
x
5
–4
b)
y
4
x
c)
x
d)
y
y
x
5
–4
5
y
4 –5
x
x
y
–1
4
–5
1 –1
–5
d)
y
–1
1
–4
–4
y
1
x
–1
e)
b)
–5
y
1
13. Graficar la siguiente relación: R = {(x;y) ∈ 2 / 25x2+16y2<400}
d)
y
12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos: A(–3; 7) y B(–6; 12)
x
x
1
–1
e)
x
y
x
Central: 619-8100
www.trilce.edu.pe 61
Problemas resueltos 1. Si: F={(4; 8), (b; 3), (5; a2), (4; a+b), (5; 9)}
es una función, obtener: F(b)+F(5)+b
Resolución
1º→ a+b=8 ∧ a2=9 ⇒ Si: a=3→b=5; b función Si: a=–3 → b=11
\F = {(4; 8), (11; 3), (5; 9)}
⇒ F(b)+F(5)+b=F(11)+9+11=3+20=23
2. Si:
Z 2 ] x + 5 ; x ∈ 〈– ∞; – 10〉 G(x)= ["x + 3, ; x ∈ [ – 10; 18〉 ] \3x + 1 ; x ∈ [18; +∞〉 G(15, 7) + G(–14) + 29 G f61p
Evaluar: R =
Resolución
•
•
•
→ R= 18 + 201 + 29 = 248 = 4 62 62
3
G(15,7)= "15, 7 + 3, = "18, 3, =18 G(–14) = (–14)2+5=201 Gc 61m = 3 c 61m +1=62 3 3
3. Siendo: F(x)=ax+b, obtener: F(a).F(b), sabiendo que: (1; 5) y (–1; 1) pertenecen a "F"
Resolución
•
(1; 5) ∈ F → 5 =a+b
•
(–1; 1) ∈ F→ 1= – a+b __________
62
⇒ F(x) = 2x+3
⇒ F(a).F(b) = F(2) . F(3)
= (7) (9)
= 63
Quinto UNI
F(x)=
1 x–2
x – 2x – 3 x –4
Resolución
F(x) = 1 x–2
x – 2x – 3 x –4 x – 2x – 3 ≥ 0 ... (I) x –4
Existirá: F(x) ⇔ x ≠ 2 ∧
Aplicamos el método de zonas:
i) Si: x < 0
x – (3 – 2x) ≥0 –x–4 → x – 1 ≤ 0 x+4 \ (– 4 < x ≤ 1) ∧ (x<0)
En (I):
⇒ S1: 〈– 4; 0〉
ii) Si: 0 ≤ x < 3 2 x – (3 – 2x) En (I): ≥0 x–4 → x –1 ≥ 0 x– 4 \ (x ≤ 1 ∨ x ≥ 4) ∧ (0 ≤ x < 3 ) 2 ⇒ S2 = [0; 1]
iii) Si: x ≥ 3 2 x – (2x – 3) En (I): ≥0 x–4 x–3 ≤0 x– 4 \ (3 ≤ x<4) ∧ (x ≥ 3 ) 2 ⇒ S3 = [3; 4〉
6=2b ⇒ b=3 ∧ a=2
4. Indicar el dominio de:
\ DomF = S1 ∪ S2 ∪ S3 DomF = 〈– 4; 1] ∪ [3; 4〉 Colegios
TRILCE
Álgebra → 0 ≤ 16 – (x – 1)2 ≤ 16
5. Hallar el rango de:
G = {(x; y) ∈
Resolución
2
/y=
5–x+ 3+x}
16 – (x – 1) 2 ≤ 4
0 ≤ 0 ≤ 2
y=
5–x+ 3+x
y=
8 + 2 (5 – x) (3 + x)
y=
8 + 2 –x2 + 2x + 15
Ahora bien del dominio:
–3≤x≤5
–4≤ x–1≤4
16 – (x – 1) 2 ≤ 16
8 ≤ 8+2
8 + 2 16 – (x – 1) 2 ≤ 4, usando (a)
2 2 ≤
2 2 ≤ y ≤ 4
y= 8 + 2 16 – (x – 1) 2 ... (a)
16 – (x – 1) 2 ≤ 8
\ Ran(G) = [2 2 ; 4]
0 ≤ (x – 1)2 ≤ 16
Problemas para la clase 1. ¿Cuál o cuáles de los conjuntos representa a una función?
I. F={(2; 1), (0; 1), (– 2; 2), (0; 0}
II. G={(– 1; 0), (–1; 0), (–1; 0)}
III. H={2; 1), (1; 2), (1; 1), (2; 2)} a) Solo I d) II y III
b) Solo II e) I y III
c) Solo III
2. Calcular "a.b", si el conjunto:
F={(2;5), (–1;3), (2;2a–b), (–1;b–a), (a+b2;a)}
representa una función. a) 12 d) 24
b) 104 e) 36
c) 88
3. Determinar el dominio de la función real de variable real cuya regla de correspondencia viene dada por: y=F(x)=
1 + 4 12–x +x6 x–8
a) 〈8; +∞〉 b) 〈8; 12] c) 〈8; 12〉 d) 〈–∞; 12] e) 〈–∞; 8〉 4. Determinar el rango de la función "F", donde: F:
→
/ y = F(x) = x2+4x+7; x ∈ 〈–5;4]
a) [12; 39] d) 〈12; 39]
Central: 619-8100
b) [2; 11] e) 〈12; 39〉
5. Determinar el rango de la función "F", donde:
F: [5; 8〉 → [15; 30〉 > / y = F(x) = 2x+5 a) [10; 13〉 d) [15; 30〉
b) [15; 21〉 c) 〈 10; 13] e) [35; 65〉
6. Determinar el dominio de la función "F", donde: F:
→
a) 〈0; +∞〉 d) [0; 4〉
/ y = F(x) =
3 + 2– x
b) [0; +∞〉 e) [–4; 4]
c) [0; 4]
7. Determinar el rango de la función real de variable real cuya regla de correspondencia es: y = F(x) = 22x x +1 a) [–1; 1] d) [0; 1]
b) 〈–1; 1〉 e) 〈–∞; 0]
c) [–1; +∞〉
8. Determinar el rango de la función "F", donde: F:
→
/ y = F(x) = x + 3 ; x ∈ 〈–2; 5〉 x+2
〈– ∞; 8 〉 c) 〈 8 ; +∞〉 a) 〈 1 ; +∞〉 b) 7 7 7 8 7 d) [ ; +∞〉 e) [ ; 1〉 7 8
c) [3; 39]
www.trilce.edu.pe 63
9. Sea "F" una función afín tal que: F: → , donde: F(3) = 1 ∧ F(–3)=5. Calcular: F(0) 2 a) 4 b) 6 c) 3 e) 3 d) – 2 3 10. Determinar el menor valor que asume la función "F", donde: F:
→
a) –7 d) 15
/ y = F(x) = x2 – 8x + 15 b) 1 e) –1
15. Determinar el rango de la función real de variable real cuya regla de correspondencia viene dada por:
F={(4; m), (2; 5m), (7; 2m2+1), (4; 2m–1)}
Entonces la suma de los elementos de su rango es: b) 8 e) 13
a) [7; 10] b) 〈7; 10〉 d) [7; 10〉 e)
Si: F: A → B, tal que:
F={(–2; 4), (–3; 1), (0; 3a+2b), (–2; 2a+b), (2a+b; 4), (6; 7), (0; 5), (3a–b; a+b)}
Entonces para que "F" sea una función el valor de "a–b", es: c) 1
a) 〈– 3: 0] b) c) 〈– 3; 0] ∪ 〈 3; +∞ 〉 d) 〈– ∞; 3〉 e) Ninguna
F:
2 / x ∈ 〈0; 10])
entonces la relación correcta entre los valores de "a" y "b" es: a) a+3b=25 c) 6a+23b=25 e) 5a+6b=36
b) 3a+6b=10 d) 6a+46b=44
14. Determinar el menor valor que asume la función real de variable real cuya regla de correspondencia es:
Quinto UNI 64
y = F(x) =
x2 + 1 2x 2 + x + 2
→
x2 x2 + x + 1 b) 〈– ∞; 1 ] c) [ 1 ; +∞〉 3 3 e) [0; 4 ] 3
/ y = F(x) =
a) [0; 4] d) [0; 1 ] 3
18. Determinar el dominio de la función "F", donde:
3 2 F: R → R / y = F(x) = x + 27x + 14x + 8 x + 6x + 8
a) – {– 4; – 2} b) c) d) 〈–∞; –4]∪[–2; +∞〉 e) Ninguna
13. Si: 〈a; b] es el dominio de la función "F" definida por: F={( 2x + 1 ; x) ∈ 2x + 3
2x x 2 –9
/ y = F(x) =
17. Determinar el rango de la función "F", donde:
B= (Conjunto numérico de los enteros)
b) – 1 e) 5
→
F:
c) 9
A={–3; –2; 0; 6; 4; 11}
a) – 5 d) 4
c) [– 9; 7]
16. Determinar el dominio de la función "F", donde:
12. Sean los conjuntos:
2 y = F(x) = )x –9 ; x H 4 3x – 2 ; x < 4
c) 7
11. Si "F" es una función definida por:
a) 6 d) 11
2 c) 5 a) 2 b) 5 3 2 5 d) e) 1 3
19. Determine la suma de elementos del rango de la siguiente función real de variable real cuya regla de correspondencia viene dada por:
3 y = F(x) = x + 3x + 1 + 8 5–x ; x ∈ x–4
a) 141 d) 163
b) 140 e) 0
c) 41
20. Determinar el rango de la función "F", donde: F:
→
/ y = F(x)=
"x , – x
a) b) 〈– 1; 0] d) {0} e) [0; 1〉
c) 〈– ∞; 0]
Colegios
TRILCE
Álgebra
Tarea domiciliaria 1. A partir de la función: F={(a+1;3),(2a–1;a),(a+1;2a–7),(9;b–3),(b;a–1)}
Hallar: F(a+4)+F(b - 2) a) 3 d) 6
c) 8
F={(7;3a – 1),(a; a – 1),(3;a – 2),(4; a+2),(5;2a)}
si: F[2+F
– 1, hallar el valor de "n". b) 4 c) 7 e) No se puede determinar
(0)]
a) 4 d) 11
+ F[F
(2)]
a) 〈–∞; 0]
b) 〈0;+∞] c) 〈–5; 5〉
d) 〈–25; 0]
e) 〈–5; 0〉
(x)
Z 3x + 1 ; x >2 ] ] x–2 F(x) = [ x2 – 1; – 1 G x G 2 ]] x – 3 ; x<– 1 \ Calcular: F[F
d) {–9; 5; 3; 7}
7. Hallar el dominio y el rango de la función: 8 4 F = x – 3+ 3 – x
3. Considerando la función:
c) {–11; 3; 5; 7}
6. Hallar el dominio de la función: 1 F(x) = – x – x + 25
2. Sea "f" función definida por:
a) 3 d) 5
b) {–4; 1; 2; 3}
e) {–9; –3; 5; 7}
b) 9 e) 13
=a (n)]
a) {–4; –1; 2; 3}
a)
F(x) = a) 4 d) 7
y x
y
d) 3; 0
8. Indique el número de valores enteros del dominio de:
c) – 12
y
x
b) [3; +∞〉;
e) [–3; 3];
4. ¿Cuántas no son funciones?
y
c) 〈–∞; 3]; [–3; 3]
+ F(–3)
b) – 7 e) 21
;
x
4–x x2 – 9
b) 5 e) 8
c) 6
9. Sea: F(x) = 7 ; Dom (F)= [2;5] 2x – 3 Halle el rango de “F(x)” a) [1; 5] d) [3; 7]
y
2x + 11 –
b) [1; 7] e) [2; 8〉
c) [2; 5]
10. Halle el rango de:
x
a) 1 d) 4
b) 2 c) 3 e) Ninguna es función
5. Sea la función definida por:
F = {(x; y) / y = 2x – 1} y además:
Dom(F) = {–5; 2; 3; 4}
Hallar el Ran (F)
Central: 619-8100
x
2 F(x) = )– x + 4 ; x <3 – 2x + 5; x > 3
a) 〈– ∞; 4> b) 〈– ∞; 4] d) 〈– 3; ∞〉 e) 〈– 5; 4]
c) <– 4; 4]
11. Hallar el rango de la función: 2 F(x) = 2x x +1 a) [0; 1〉 d) 〈–1; 1]
b) [0; 2] e) 〈0; 2]
c) 〈– ∞; 0]
www.trilce.edu.pe 65
12. Sea "f(x)" una función afín tal que: f(x+1) = 3x+8
halle la ordenada del punto de abscisa 8. a) 13 d) 15
b) 1 e) 18
b) (7; 16)
d) (9; 15)
e) (6; 13)
f = {(a; b), (3; c), (1; 3), (2b; 4)}, además:
f (x)=x – 2a, hallar: abc
c) 29
13. Si “F” es una función afín que pasa por los puntos (4;7) y (5; G(4)) donde: G(x)=2x+2, hallar el punto de intersección de "F(x)" y "G(x)". a) (3; 5)
14. Sea "f(x)" una función afín definida por:
c) (8; 10)
a) 6 d) 4
b) – 5 e) – 12
15. Halle el área limitada por las rectas: g(x)= 3x – 5 f(x) = – x + 3
x= 0 (Eje "y") a) 8 m2 d) 6
Quinto UNI 66
c) – 8
b) 12 e) 20
c) 16
Colegios
TRILCE
Problemas resueltos 1. Esbozar la gráfica de: F(x)=(x – 2)2 –3
Resolución
Sea: F1(x)=x2
y
16 y
x
4
x
F2(x)=(x – 4)2 – 16 y
→ F2(x)=(x – 2)2
4
0
8
x
–16
y 4 x
2
F(x) = |(x – 4)2 – 16| y
16
→ F3(x)=(x – 2)2 – 3
0
4
8
x
y ¡Gráfica pedida! 1
2
x
-3
2. Esbozar la gráfica de: F(x) = |x2 – 8x|
Resolución
F(x) = |x2 – 8x| = |(x – 4)2 – 16|
Sea: F1(x) = (x – 4)2
3. Esbozar la gráfica de: H(x) = 2x – 3 3x – 1 Resolución H(x)= 2x – 3 3x – 1 ↓ función homográfica:
Central: 619-8100
⇒Dom(H)= –{ 1 }→Asíntota vertical en: x= 1 3 3 2 2 ⇒Ran(H)= –{ }→Asíntota horizontal en: y= 3 3 ⇒ Si: x=0; y=3 → Punto de paso www.trilce.edu.pe 67
y
y 3
3
2/3 0 1/3
x
3/2
x -2 5. Graficar:1 y= ||x+2| - 3|
4. Esbozar la gráfica de: →
Resolución
F(x)= F(x) =
x2 + x - 2 x -1
/ y = F(x)=
F:
x2 + x - 2 = x -1
Resolución
i) Si: x < - 2 ⇒ y =| - 2 - x - 3| y = |x + 5| ⇒ Si: x < - 5 → y = - 5 - x ⇒ Si: - 3 ≤ x < - 2 → y = x + 5
⇒ La gráfica pedida es una hipérbola.
ii) Si: x ≥ 2 ⇒ y = |x - 1| ⇒ Si: - 2 ≤ x < 1 → y = 1 - x ⇒ Si: x ≥ 1 → y = x - 1
(x + 2) (x - 1) (x - 1)
\ La gráfica será: y=||x+2|- 3|
x+2 ; x ≠1
y y=- x - 5 y
⇒ Sea: F1(x) =
⇒
F ( x )
3
y=x+5
y=x - 1
x → x+2 ;
=
x
≠ x1
-2
-5
→
x
1 y=- x+1
Problemas para la clase 1. Identificar la gráfica de la función: F:
2. Esbozar la gráfica de la función real de variable real cuya regla de correspondencia es:
→
a)
b) y
y
y = F(x) = 16 – 5x x–3
a)
b) y
x
x
c)
-3
x
3
x
d) y
d)
c)
y
x
5
5
y
y
x
-5
e) Más de una es correcta
y
3
-3
x
x -5
e) Ninguna Quinto UNI 68
Colegios
TRILCE
Álgebra 3. Esbozar la gráfica de la función "F", donde: F:
→
5. A continuación se muestra la gráfica de la función "F", donde:
/ y = F(x) = |x - 1| + x
a)
F:
b)
y
y
– {a}→
x x–a
/ y = F(x) =
Calcular: a+b y
x
x
b
c)
x
3
d) y
y a) 1 d) 4 x
b) 2 e) 5
c) 3
x 6. Esbozar la gráfica de la función "F", donde:
F:
e) y
/ {-1} →
/ y = F(x) =
a)
x2 – x – 2 x +1
b) y
y
x –2
4. Esbozar la gráfica de la función real de variable real cuya regla de correspondencia viene dada por:
b)
y
1
–2
2
y
d)
–2 x
x
y
–2 –1
x
c)
3 y = F(x) = x – 3x + 2 x+2
a)
x
y
1
–2 –1
x
x
e) y
c)
d)
2 3
y
x
y
–2
Central: 619-8100
–2
x
x
www.trilce.edu.pe 69
7. Esbozar la gráfica de la función real de variable real cuya regla de correspondencia es:
c)
d) y
y
y = F(x) = 2 – ||x – 3| – 2| a)
b) y
y
3
x
3
c)
11. A continuación se muestra la gráfica de la función "F". y
y
1 3
x
3
–1
x
8. Dada la función cuadrática "F", tal que: (– 10; 0) ∈ F ∧ (2; 0) ∈ F Determinar "x0" para que se verifique: F(x ) ≥ F(x) , "x ∈ 0
a) – 4 d) – 6
b) 6 e) 2
c) 4
9. En la región determinada por el eje "x" y la gráfica de la función "F", tal que: y = F(x) = 3 – |x – 4|; se inscribe un rectángulo una de cuyas bases está sobre el eje "x" y los otros dos vértices están en la gráfica de "F". Determinar la medida del área máxima de dicho rectángulo. a) 3 u2 2
b) 4
Esbozar las gráficas de:
a) G: y = G(x) = 2 – F(x)
b) G: y = G(x) = – F(x – 2)
c) G: y = G(x) = F(2 – x)
d) G: y = G(x) = |F(x+1)|
e) G: y = G(x) = F (|x|)
F:
→
/ y = F(x) =|x + 2| – |x – 2|
G:
→
/ y = G(x) = x
a) 4 u2 d) 8
9 d) 9 e) 2 4
y = F(x) =
–
x 2;
x<–2
a) y
Quinto UNI 70
H: y = H(x) = |– 1 + F(2 – x)|
donde la gráfica de F: y = F(x) es:
2
y
–2
x
c) 32
y
b)
–2
b) 3 e) 16
13. Esbozar la gráfica de:
|x|; x ≥ 0
x
12. Determinar el área de la región limitada por las gráficas de las funciones "F" y "G", donde:
c) 2
10. Esbozar la gráfica de la función real de variable real cuya regla de correspondencia viene dada por:
F(x)
1 2 –1
e) Ninguna
x
e) Ninguna
x
d) y
–2
–2
x
1
x
Colegios
TRILCE
Álgebra a)
16. Determinar el rango de la siguiente función real de variable real cuya regla de correspondencia es: F: y = F(x) = |x – 2| + |x+2| – |x| – 1
b) y
y
2
1 –3 –2 –1
x
c)
–3 –2 –1 x
y 1
1 –3
–2 –1 x
1
a) 0 d) 2
2 x
y
–1
→
x – |x|; – 2 < x < 2
y = F(x) =
x – 2; x ≥ 2
x
14. Esbozar la gráfica de la función "F", donde: F:
/ y = F(x) = x2.Sgn [(x – 1) x + 2 ]
a)
b) y
y
x
x
c)
d) y
y
x
x
e) Ninguno
Podemos afirmar que "F" es:
a) Creciente en: 〈– ∞; – 2〉 b) Decreciente en: 〈– 2; 2〉 c) No creciente en: 〈– ∞; 0〉 d) No decreciente en: 〈0; +∞〉 e) Constante
19. Dada la función "F", donde: F: → / y = F(x) = a(x – h)2+p; a ≠ 0 Indicar el valor de verdad de las proposiciones: I. Si: ap>0, su gráfica no intersecta al eje "x". II. Si: p=0, su gráfica es tangente al eje "x". III. Si: ap<0, su gráfica intersecta al eje "x" en dos puntos. a) V V V c) V F F e) Ninguna
b) F V F d) F V V
20. Esboce la gráfica de la función "F", donde: F: – {0} → / y=F(x) = Sgn c 2x - 1m x a) y
15. La gráfica de la función: F: y = F(x) = 2 x2 + bx + c 3 Interseca al eje "x" en los puntos (– 2; 0) y (5; 0), al eje "y" en el punto (0; k)
Calcular: b+c+k a) 23 5
b) – 23 5
d) 47 3
e) Ninguno
Central: 619-8100
b)
y
x
c) 1
x2 – 4; x ≤ – 2
1 –2
b) – 1 e) – 2
18. Siendo "F" una función real de variable real cuya regla de correspondencia es:
e)
b) [0; +∞〉 c) 〈0; +∞〉 e) [1; +∞〉
17. Indicar el mayor elemento del rango de la función "F", donde: F: → / y = F(x) = Sgn(x+1) – Sgn(x – 1)
d) y
a) d) 〈1; +∞〉
y c)
c) – 46 3
d) x
1 2 y
x
x
y e)
x
www.trilce.edu.pe 71
Tarea domiciliaria 1. Graficar la función:
4. Hallar la gráfica de la siguiente función:
F(x) = ||x – 2|–2| y a)
b)
y 2
y
x
c)
F(x) = (x+2)2 – 4
2
x
a)
–4
y x
d)
y
y
x
b)
x
y
y
4 x
2
c)
x
d)
x
y e) Ninguno e)
x
5. Graficar: y = |x|– 4
2. Si la gráfica: F(x) = |||x – 3| – 2| – 1| es aproximadamente:
y
y
a)
a
y
n m p
Hallar: E = (a+m+n+p) a) 2 d) 14
c)
b) 4 e) 18
3. Hallar la gráfica: F(x) =
x
–2
d)
2
x
x–3 – 2 6. Graficar: y =| x – 2 – 3| y
y
b) x
a)
c)
e) Ninguno
x
–2
2
x
c)
x
y
y
d) 3
b) x
y
y
Quinto UNI
3
x
–2
72
4
e) Ninguno
y
a)
–4
y
c) 12
y
–2 2 x b)
3
2 x
d)
–2
x
e) Ninguno Colegios
TRILCE
Álgebra 7. Graficar: y =| 2 – x – 1| y
10. Hallar la gráfica: 2 F(x) = )x + 3; x < 4 x – 3; x H 4
y 2 2
a)
x
y
x
b)
y
a)
b) 4
y
y
c)
2
–2 x d)
y
x
x–2
a)
2
x b)
2
c)
x
x
4
x
2
d)
y
a)
2
y
1 –2 –1
x
1
c) 9. Graficar: y = F(x) = Sgn(x + 3) y
–2 –1
1 x
–1
b) 1
x
y
x 3
e) Ninguno
d)
–1
x
– 21 –1
1
d)
–1
x
b c
1 –1
d
x
3
Hallar: (a+b+c+d) 12 c) 13 a) – 4 b) 3 8 3 d) 11 5
Central: 619-8100
x
12. Si la gráfica de: F(x) = x + 4 , es: x–a
y
1 –1
1
e) Ninguno
y
y
c)
1
b)
1
e) Ninguno
–3
x
F(x) = Sgn c x – 1 m x+2
y
a)
4
d)
11. Graficar la función:
y
y
x
e) Ninguno y
y
4
y
c)
e) Ninguno 8. Graficar: F(x) =
x
e) Ninguno
www.trilce.edu.pe 73
13. Graficar: y = x|x| y
15. En la figura se grafica la función: F(x) = ax2 + bx + c
y
a)
x b)
y
x
5 y
y
c)
x
3
d)
1
x –1
e) Ninguno
14. Graficar: y = F(x) = 9 – x2 y
a)
–3
3
c)
–3
3
se afirma:
I. x1 < x2 → F(x1) > F(x2); " x < 1; x ∈ Dom(F) III. F(x) > 0; " x ∈ Dom(F)
3
x b)
y
2
I. Dom(F) - Ran(F) = 〈– 1; 1 ] y
3
1
3
x
Son falsas: a) I d) Toda
y
b) III e) Ninguna
c) II
3
3 x
d) –3
x
y
e)
–3
Quinto UNI 74
3
x
Colegios
TRILCE
Problemas para la clase 1. Si: – c < n < m < 0 < a; entonces al resolver la ecuación en "x": ax + b – cx + d < ax – b – cx – d m–n m–n m+n m+n a) x <
(a + c) n (b – d) m
b) x >
(b – d) n (a + c) m
c) x <
(b – d) n (a + c) m
d) x >
(b – d) n (a + c) m
e) x <
(b – d) m (a + c) n
x2+y2 ≥ 9 ... (2) 2 7 (4 – p) a) 9 (4 – p) u2 b) 2 2 5 25 (4 – p) c) (4 – p) d) 2 2 e) 9 (2 – p) 2 8. La longitud del intervalo al cual pertenece "x" para verificar: |x – 3| + |x+2| ≤ |x+4| , es:
2. Resolver: x4 < 2x2 + 8 a) x ∈ c) x ∈ 〈– 4; 4〉 e) x ∈ 〈– 3; 3〉
b) x ∈ 〈– 1; 1〉 d) x ∈ 〈– 2; 2〉
3. Si: A ≥ 8x – 4x2+3; se verifica: " x ∈ el menor valor de "A". a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
5. Resolver: |x – 1|= x2 – x – 1 b) {– 2 ; 2} c) {–2; 2} a) { 2 ; 2} d) { 2 ; – 2 } e) {2; –2; 2 ; – 2 } 6. Resolver: |2x – 6| – |x – 2| ≤ |2x – 4| – |x – 3| c) [ 5 ; +∞〉 2
c) 5
x 2 + 4x – 5 ≤ 0 x 2 – 4x – 5 a) 〈–1; +∞〉 b) 〈–1; 5〉
,
c)
d) 〈–∞; –1〉 ∪ 〈1; +∞〉
e) [–5; –1〉 ∪ [1; 5〉 10. Luego de resolver la inecuación: x2 + 5x – 10 > 1 x 2 + 2x – 8 indicar el menor valor entero de "x". a) – 4 d) 1
b) – 3 e) 2
c) – 2
11. Resolver la inecuación: x + 1< 3 – x
Para luego indicar la cantidad de valores enteros que asume "x". a) Ninguno d) 3
Central: 619-8100
b) 4 e) 7
9. Resolver:
c) 5
a) 〈2; 5〉 b) 〈– 2; 2〉 c) 〈– 2; 0〉 d) 〈– 1; 1〉 e) 〈– 1; 2〉
b) [2; +∞〉 e) 〈– ∞; 6]
a) 3 u d) 6
, indicar
2 4. Si: – 3 < x 2+ ax–2 < 2; se verifica: " x ∈ x –x + 1 ¿entre qué valores está "a"?
a) [3; +∞〉 d) 〈– ∞; 5]
7. Calcular el área de la región limitada por las inecuaciones: |x|+|y|≤ 3 ... (1)
b) 1 e) 4
c) 2
www.trilce.edu.pe 75
12. Resolver: 3
e) y
x3 – 7 < x – 1
a) 〈– 1; 1〉 b) 〈0; 2〉 c) 〈– 1; 2〉 d) 〈– 2; 3〉 e) 〈0; 1〉 13. Halle la figura que mejor representa al conjunx–y to: A = {(x; y) ∈ 2 / > 0} y a)
15. Graficar la región definida por el conjunto: A={(x; y) ∈
b) y
y
a)
/ x2+y2 ≤ 4y+16 ∧ x2+2 ≤ y} b) y
y
x
c)
×
x
x
x
c)
x d) y
y
d) y
y
x
x
x
e) y
x
e) y
x
16. Sean "A" y "B" dos conjuntos determinados por:
14. Se definen los conjuntos:
/ y ≤ 2x2+3} 2 / y ≥ – 4 x+4} 5 Halle la gráfica de: (A – B) ∪ (B – A) A = {(x; y) ∈ B = {(x; y) ∈
a)
x
2
A = {(x; y) ∈
2
/ x2 + y2 – 2y < 4}
B = {(x; y) ∈
2
/ xy < x + 1}
Halle gráficamente el conjunto: A ∩ B a)
b) y
y
b) y
y
x
(0; 1)
x
c)
x y
x d) y
c)
d) y
y
x
(0; 1)
x Quinto UNI 76
x
x Colegios
TRILCE
Álgebra c)
e) y
d) y
y
2
1
x
–1
17. Determinar el valor de "m", si las gráficas de las funciones "F" y "H", se muestran a continuación: y 2 y=F(x)= x 8
–1
e) y 1
c) 3
20. En la figura adjunta se muestra la gráfica de la función: y = f(x) y f 1
y –1
2 1
m 3 n
x
a)
Determine el valor de "n – m" 2 b) 3 c) 2 3 5 d) 3 e) 4 4
19. Si la gráfica de "f" es: y
b) y
y
2
x
1
1
–1
Central: 619-8100
–1
1
x
d) y
1
x
–1
1 1
x
e) y 1 –2 –1
1 2
x
–1
x
x
y
–1 0
b) y
1
c)
1 1
1
y –1
–1
1
Determine la gráfica de: g(x) = – f(1 – x) + 1 a)
1
2
1
x
1
Entonces la figura que mejor representa la gráfica de: g(x) = f(1 - |x|), es:
a) 1
x
1
18. En la figura adjunta se muestra la gráfica de la función: F(x) = a |x+b|+c 5
x
x y=H(x)=–x–m b) 2 e) F.D.
1
–1
a) 1 d) 4
–1
x
1
–1
1
x
www.trilce.edu.pe 77
Tarea domiciliaria 1. Encontrar la función lineal "f" tal que:
y
f(2)=3 ∧ f(3)=2f(4) a) f(x)= – 2x+1
b) f(x)=–x+4
c) f(x)=–x+5
d) f(x)=–3x–4
F(x)
(a;b) G(x)
e) f(x)=–x 2. Sea "f(x)" una función lineal, tal que: f(x+2)=3x+11. Halle la abscisa del punto de ordenada 50 de "f(x)". a) 13 d) 15
b) 1 e) 6
c) 8
a) 8 d) – 24
b) – 9 e) 10
b) 2 e) 18
c) 15
8. El área de la figura sombreada es de "a" m2. Calcular el valor de "a". y
3. Hallar el área que limita los ejes coordenados y 2 la recta: y = – x+2 3 a) 3 m2 d) 12
x
2 F(x)=5 – x 2
–a
c) 6
a
x
4. Hallar el área de la región formada por: f(x)=7; g(x)=3x – 2, y el eje "y". a) 9 m2
b) 3
c)
27 2
9 27 d) e) 2 4
a) 3 b) 5 3 5 d) e) 2 2
9. Si “F(x)” es una función lineal que pasa por los puntos (4; 7) y (5; G(2)) donde: G(x)=4x+2, hallar el punto de intersección de "F(x)" y "G(x)".
5. Dada la función: F(x)=ax2+bx+c, si se sabe que: F(1)=F(3)=0; F(0)=–6. Calcular "a–b+c" a) – 4 d) – 16
b) – 8 e) – 20
c) – 12
a) (3; 5) d) (9; 15)
6. Calcular el valor o los valores reales de "m" de modo que – 4 sea el mínimo valor de la función: f(x)=x2+mx – (m+1) b) 4 c) – 6 e) – 6 ≤ m ≤ 2
Donde: F(x)=x2+2x – 3 G(x)=x2 – 10x+21
Calcular "ab"
a) 39 d) – 9
c) 8
b) 48 e) 52
c) 23
12. Sea la función: F:
∈
/ F(x) = x2 + bx + c
F = {(0; 3), (1; 5), (3; a)}
Halle: a+b+c a) 12 d) 18
78
b) 16 e) 20
11. Sea "f(x)" una función lineal tal que: f(5)=3; f(3)=15. Calcular: f(7)
Quinto UNI
c) (–7; –26)
y = – 2x+3; y = –5; x=0 (eje "y")
a) 32 m2 d) 4
7. Del gráfico:
b) (7; 16) e) (6; 13)
10. Halle el área de la región formada por:
a) 6 d) – 6 ó 2
c) 4
b) 15 e) 20
c) 19
Colegios
TRILCE
Álgebra 13. ¿Para qué valores de "n" la función: F(x)=x2+6x – n; no tiene interceptos con el eje "x"?
15. Hallar el valor de "m" si la gráfica de: F(x)=(4 – m)x2+2mx+2; m<0
a) n<– 9 b) n > – 9 c) n < 2 d) 1 < n < 3 e) – 9 < n < 0 14. Sean: F:
→
y G:
y F(x)
→
, funciones definidas por: F(x)=mx+12; m ≠ 0 y G(x)= 2 . ¿Para x qué valores de "m" las gráficas cartesianas de "F" y "G" admiten dos puntos de intersección? 1 a) 〈– ; +∞〉 – {0} b) 〈–18; 0〉 ∪ 〈0; +∞〉 2 1 〈– ∞; + ∞〉 c) 〈– ∞; + 〉 d) 18 e) 〈– 18; 18〉 – {0}
Central: 619-8100
x a) – 2 d) – 6
b) – 4 e) 1
c) 6
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Problemas resueltos 1. Si:
F(x)=2x+3; x ∈ 〈–2; 5〉
3. Calcular "F+G", si:
F(x) = )x + 1; x < 2 ∧ G(x)= )x 1 ; x < 1 x -1 ; x > 3 x + 1; x > 4 Indicar la suma de los elementos del rango de (F+G) Resolución Resolución (F+G)(x)=F(x)+G(x)= )x + 1 + x 1 ; x < 1 x - 1 + x + 1; x > 4 Dom(F+G)=DomF∩DomG=〈-2; 5〉∩{1; 2; 3; 0}
G(x)={(1; 3),(2; 7),(3; 9),(7; 12),(0; 10)}
Dom(F+G)={0; 1; 2; 3} •
(F+G)(x)=F(x)+G(x)
• (F+G)(0)=F(0)+G(0)=3+10=13
4. Dada las funciones:
• (F+G)(1)=F(1)+G(1)=5+3=8
F={(2; 4), (3; 2), (1; –2), (–1; 5), (–2; 3)}
• (F+G)(2)=F(2)+G(2)=7+7=14
G={(–1; 2), (0; 3), (2; –3), (3; 1), (6; –1)}
• (F+G)(3)=F(3)+G(3)=9+9=18
Determinar: GoF
Resolución
\Suma de elementos del rango=13+8+14+18=53 2. Si "F" y "G" son dos funciones definidas por:
(GoF)(x)=G[F
F(x)= – x; x ∈ ;0 ; 5 E 4 G(x) = – 1 ; x ∈ ; 1 ; 3 E x 8 2 Indicar la longitud de la gráfica de la función: (F.G)(x)
(x)]
⇒ Graficamos sagitalmente: F
G
2
4
3
2
(F.G)(x)=F(x).G(x) ∧ Dom(F.G)=DomF∩DomG
1
-2
(F.G)(x)=(– x)(– 1 ) ∧ Dom(F.G)= ;0 ; 5 E + ; 1 ; 3 E x 8 2 4 1 5 (F.G)(x)=1 ∧ Dom(F.G)= ; ; E 8 4
-1
5
-2
3
Resolución
\ La gráfica es un segmento de recta horizontal de longitud: 5 - 1 = 9 u 4 8 8
Quinto UNI 80
\ (F+G)(x)=2x; x<1 ∨ x>4
-3
1
Solo hay concatenación en dos valores: \ (GoF)(x)={(3; –3), (–2; 1)}
Colegios
TRILCE
Álgebra ⇒(FoG)(x)=9x2 – 24x+18;
5. Sean las funciones: G(x)=5 – 3x ; x ∈ [1; 4]
⇒(FoG)(x)=(3x – 4)2+2; 1 ≤ x < 8 ... (1) 3 Ahora bien:
Hallar el rango de "FoG".
3 ≤ 3x<8
Resolución
F(x)=x2 – 2x+3; x ∈ 〈– 3; 2]
(FoG)(x)=F(G(x)); x∈DomG ∧ G(x)∈DomF ⇒(FoG)(x)=(G(x))2–2(G(x))+3;1≤ x ⇒(FoG)(x)=(5 - 3x)2 –
≤ 4 ∧–3<5–3x ≤ 2
8 2(5 – 3x)+3; 1 ≤ x ≤ 4 ∧ 1≤ x<3 1 4444 2 4 4 44 3 1 ≤ x<8 3
– 1 ≤ 3x – 4<4
0 ≤ (3x – 4)2< 16 2 ≤ (3x – 4)2+2<18 2 ≤ (FoG)(x)<18
\ Ran(FoG)=[2; 18〉
Problemas para la clase 1. Dadas las funciones:
F={(1; 4), (2; 5), (3; 6), (5; 5)} G={(0; – 3), (1; 0), (2; 0), (3; – 8), (4; 1)}
Indicar un elemento del rango de "H", donde: H = F.G. a) – 16 d) – 48
b) 2 e) – 24
c) 3
2. Si:
F = {(0; 2 ), (1; 2 ), (3; 3 2 )} G = {(0; 2 ), ( 12 ; 1), (4; 3)}
Calcular: [F+G](0) a) 1 d) – 4 2
b) 2 e) 2 2
c) 3 2
3. Dadas las funciones:
F={(–3; –4), (–2; 0), (2; 0), (3; 2), (4; 6), (7; 5)} G={(x; y) ∈ 2 / y=G(x)=3x+5, x ∈ 〈–8; 4〉}
Determinar: F.G
a) {(– 3; – 4), (– 2; – 1), (2; 11), (3; 16)} b) {(– 3; 8), (– 2; 1), (2; – 11), (3; – 12)} c) {(– 3; 16), (– 2; 0), (2; 0), (3; 28)} d) {(– 3; 4), (– 4; 3), (8; 4), (2; 5)} e) Ninguna
4. Dadas las funciones: 2
/ y=F(x)=x2 – 6 – x; –3 ≤ x ≤ 7} 2 / G =–2x–1; –5
F={(x; y)∈ G={(x; y)∈
Determinar el rango de: F+G
Central: 619-8100
a) 〈0; 3〉
b) [– 5; 1]
d) [– 11 ; 1] 4
e) [0; 1]
c) [– 37 ; 11] 4
5. Dadas las funciones: F={(4;2), (2;3), (3;4), (6;5)} G= {(0;4), (1;2), (2;6), (3;9)} Determinar: FoG
a) b) c) d) e)
{(1;3), (0;2), (2;5)} {(1;2), (0;4), (2;6)} {(1;2), (0;4), (4;0)} {(1;2), (3;9)} {(1;4), (2;8)}
6. Proporcionar la regla de correspondencia de la función "FoG", donde: F : → / y = F(x) = 2x+6; x ∈ [0;8] G: → / y = G (x) = x 2 – 1; x ∈ [–2;2〉 a) 2x2 – 4 b) 2x+4 c) 2x2 – 2 d) 2x2+4 e) 2x – 4 7. Dadas las funciones: F:
→
/ y = F(x) = (x - 1 - 1) - 1
G:
→
/ y= G(x) = |x|
Determinar el dominio de "FoG" a) - {0} b) - {0; 1} c) 〈-1; 1〉 d) 〈-1; 0〉 ∪ 〈0; 1〉 e) - {1}
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8. Determinar el máximo valor que asume la función "F", donde: F:
→
/ y = F(x) =
a) 2 5 d) 10
c) 2 10
14 c) 28 a) 7 b) 5 3 3 5 d) 7 e) 3 3 11. Dadas las funciones "F" y "G", tales que: F(x) = 4x – x2; x ∈ [0; 7]
F(x) = G(x) =
Determinar: G o F a) {(3;3), (1;–2)} c) {(2;3), (1;–2)} e) {(2;4), (5;6)}
F:
→
/ y=F(x) = 3x – 1; x ∈ 〈–8;7〉
G:
→
/ y=G(x) = x2+6x; x ∈ [–1;3〉
Determinar la función "F o G", si existe:
a) b) c) d) e)
(F o G)(x)=3x2+18x; x ∈ [–1; 1] (F o G)(x)=2x2+18x – 1; x ∈ 〈–1; 1〉 (F o G)(x)=3x2+18x – 1; x ∈ [–1; 1〉 (F o G)(x)=18x – 1; x ∈ [–1; 1] (F o G)(x)=3x2 – 1; x ∈ [–1; 1]
[F o F] a) 3x+2 d) 2x – 3
c) – 27
2x+3; x<2
9x + 4 x
b) –3x – 2 e) Ninguna
c) 2x+3
Si: [FoG](x)=x2 – 4x+5; halle la menor suma de coeficientes de "G(x)" a) –2 d) 1
2x–3; x<1 2x+4; x>4
( 1) = x
17. Dada la función: F(x)=x2+2x+2
2x – 4; x>3
b) –1 e) 2
c) 0
18. Si:
Determinar: F+G a) 4x; x>1 b) 4x; x>4 d) 4x; x<1 ∨ x>4
b) {(3;–3), (–2;1)} d) {(3;3), (–2;1)}
15. Dadas las funciones:
Si el rango de "F+G" es: [a; b] ∪ {c}, calcular el valor que asume: a+4b+c
12. Dadas las funciones "F" y "G", tales que:
c) 4x; x<1 e) 4x; x<4
13. Dadas las funciones:
F= {(2;4), (3;2), (1;–2), (–1;5), (–2;3)} G={(–1;2), (0;3), (2;–3), (3;1), (6;–1)}
x+2; x>2
b) – 24 e) – 35
c) 9
16. Determinar una de las funciones afines a "F" que verifican:
x2 – 48; x ≤ 0
a) – 21 d) – 31
c) x – 1
10. Dadas las funciones: G: → / y = F(x) = 4x+7 G: → / y = G(x) = 2x+m Calcular "m", para que se verifique: F o G=G o F; ∀x ∈
G(x) =
b) 7 e) 8
14. Dadas las funciones:
9. Sean las funciones G: → / y = G(x) = x3 G o F: → / y = (G o F )(x) = x3 – 3x2+3x – 1 Determinar: F(x) b) x+2 e) x2+2
Determinar la suma de los elementos del conjunto solución de: H(x)>6; donde: H=F+G a) 5 d) 14
x + 10 – x
b) 3 e) Ninguna
a) x+1 d) x – 3
F={(–1; 2), (2; 2), (3; 7), (4; 3), (5; –3)}
2
4
3 – |x|}
F={(x; y) ∈
G={(– 4; 1), (– 3; 0), (– 1; 5), (2; – 1), (7; 4)}
Indicar el número de elementos de: G F a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
/ y=F(x)=
/ y=G(x)=|x|+2Sgn( x – 1 ) x+2 ; x ∈ 〈–1; 9〉}
G={(x; y) ∈
Quinto UNI 82
2
Colegios
TRILCE
Álgebra 19. Si: g(x)=1+ax; x ≤ –4 y a<0; halle la función (gog)(x)
a) (gog)(x)=ax+a2+1 b) (gog)(x)=a2x+a+1 c) (gog)(x)=ax+a2+a d) (gog)(x)=ax+2a2+1 e) (gog)(x)=a2x+2a+1 a) 1 d) Ninguna
b) 2 e) Todas
20. Sean las funciones x ; con "A" el mayor domif: A → B; f(x)= 6 2 x -9 nio posible. g: C → D; g(x)= nio posible.
3x ; con "C" el mayor domi-
Hallar: Dom(fog) a) 〈0; 2〉 ∪ 〈2; +∞〉 b) [–2; 3] c) [0; 3〉 ∪ 〈3; +∞〉 d) [–1; 3〉 ∪ 〈3; +∞〉 e) [–1; 3]
c) 3
Tarea domiciliaria 1. Indicar en cuál de los casos las funciones "F" y "G" son iguales. I. F(x) =
x –1 x + 3
G(x) =
x 2 + 2x – 3
II. F(x) =
x–3 6–x
III. F(x) = x – x – x3
G(x) = a) I y II d) Solo III
H = {(a; 2), (b; 1), (c; 0), (d; -1), (e; -2), (f; 1)} Obtener el producto de los elementos del rango de: F – H H F
– x2 + 9x – 18
G(x) =
4. Dadas las funciones: F = {(a; 1), (b; 2), (c; 3), (d; 4), (e; 5), (f; 0)}
b) II y III c) Solo II e) Ningún caso
a) – 168 35
b) – 231 52
d) – 672 25
e) Ninguno
5. Obtener el rango de "F + G", si:
F(x) = )x – 2; x ! < – 7; 5 > – 3 ; x ! < 6; 12 >
G(x) = )3 – x; x ! < – 4; 7 > 2 ; x ! < 8; 15@
2. ¿Cuántas funciones son impares? I. F(x) = 2x3 – 3x II. F(x) =
3
x (2 + x ) ; x ∈ [–2; 2]
b) 〈6; 7〉 ∪ {– 1; 1}
IV. F(x) = x6+1 a) 1 d) 4
a) 〈– 7; – 6〉 ∪ {– 1; 1}
II. F(x) = x5
b) 2 e) Ninguna
c) 3
c) 〈– 1; 1〉 ∪ {6; 7} d) 〈– 1; 1〉 ∪ {– 6; – 7} e) Ninguno
3. Dadas las funciones:
H={(–3; 1), (–1; 4), (0; 2), (3; 2), (4; –1), (2; 5)}
6. Dadas las funciones:
G={(–5; 3), (–3; 2), (0; 1), (–1; 3), (2; –1), (5; 0)}
Obtener la suma de los elementos del rango de: 3H – G2
G = {(t;
a) 13 d) 25
Central: 619-8100
c) – 567 32
b) 21 e) 36
c) 43
F ={(t; t2) /
t (t – 1) ≥ 0}
3 – t ) / – 1 < t ≤ 3}
Hallar el rango de la función: H=F – G2 a) [0; 3 ] d) [– 1; 9]
b) [0; 2 ] e) [– 3 ; 0]
c) [–
2 ; 0]
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7. Dadas las funciones: F={(–2; 0), (0; 2), (1; 2), (4; 3), (5; 2), (6; 0)} G={(0; 3), (2; 3), (5; 2), (4; 2), (3; 6), (1; –2), (–1; 0)}
Hallar la suma del mayor y menor valor de: F o G a) 1 d) 3
b) 0 e) 5
c) 2
8. Si: F = {(1; 2), (2; 3), (3; 4), (4; 5)}
G = {(0; 1), (1; 1), (2; 4), (3; 9)}
x2 – 4 ; DG = [2; 3]
Hallar el dominio de: F o G a) [2; 3〉
b) [2; 3]
d) 〈2; 3〉
e) [2; 4]
c) 〈2; 3]
13. Dadas las funciones: 1 ; x ∈ [– 3; 6] 2x + 7
F(x) =
a) {(0; 2), (1; 2), (2; 5)}
G(x) = x2 – 4x – 8; x ∈ 〈6; 12]
c) {(0; 1), (2; 4), (1; 2)}
Indicar el dominio de: F o G
d) {(1; 2), (2; 9)}
〈6; 2–3 2 ] a) 〈6; 2+5 2 ] b)
e) {(1; 4), (2; 8)}
c) 〈6; 2+3 2 ]
9. Si: F(x) = x2+2x+2; hallar "G(x)", tal que: F[G ] = x2 – 4x+5 (x) Indicar una solución.
a) x+1 d) x+3
b) x – 3 e) x2+3
c) 1+x2
d) 〈6; 2–5 2 ]
e) 〈–2–3 2 ; 2+3 2 ] 14. Si: F(x – 2)=x2 – x+1; G(x – a)=x
Calcular "a", en: (F o G)(2) = (G o F)(a – 2)
7 a) – 12 b) 12 7
10. Dadas las funciones reales: F(2x+3)=4x+1; G(x)=x2+3
G(x) =
Hallar: F o G
b) {(0; 1), (1; 2), (4; 0)}
12. Si: F(x) = 1 ; DF = [0; 4] x+2
c) – 7 12
8 d) 12 e) 7 7
Hallar: (F o G)(x) a) 2x + 1 d) 2x2 – 1
b) 2x2+1 e) Ninguna
c) 2x – 3
11. Si: P(x) = ax2+b ∧ P[P ] = 8x4+24x2+c (x) Calcular: a + b + c a) 20 d) 28
Quinto UNI 84
b) 26 e) 30
c) 24
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TRILCE
Problemas resueltos 1. Siendo "A" un conjunto simétrico, en el cual se define F: A → ; analizar si: G(x)=
F(x) + F(-x) ; es par o impar. 2
Resolución F + F(-x) Dado: G(x) = (x) 2 F(-x) + F(-(-x)) F(-x) + F(x) ⇒ G(–x)= =G(x) = 2 2 \ G(–x)=G(x) ⇒ G(x) ⇒ es par
Dado: H(x) =
3. Probar si: G(x)= inyectiva.
x2 - 16 – 1; x ∈ 〈– 5; – 4〉 es
4. Indicar el valor de "a+b", para que la función:
F: [a; 2] → [2; b]
con: |x – 1| + 2 , sea biyectiva.
Sea: x1 , x2 ∈ 〈– 5; – 4〉
Si: G(x )=G(x ) ⇒
Resolución F: [a; 2] → [2; b] / F(x) =|x – 1| + 2 Si "F" es biyectiva ⇒ "F" es inyectiva y suryectiva. \ Dom(F)=[a; 2] ∧ Ran(F) = [2; b]
Luego: 2 ≤ F(x) ≤ b
→ 2 ≤ |x – 1| + 2 ≤ b
0 ≤ |x – 1| ≤ b – 2
– b + 2 ≤ |x – 1| ≤ b – 2
3 – b ≤ x ≤ b - 1⇒Dom(F)=[3–b; b–1]=[a; 2]
x2 - 16 – 1; x ∈ 〈- 5; – 4〉
x 1 = x2
Resolución
G(x)=
x1 – x2 = 0
\ "G(x)" es inyectiva.
Resolución
F(x) - F(-x) 2 F(-x) –F(-(-x)) F(-x) –F(x) – (F(x) –F(-x)) ⇒H(–x)= =–H(x) = = 2 2 2 ⇒H(–x)= – H(x) ⇒ H(x) es impar
2. Siendo "A" un conjunto simétrico, en el cual se , analizar si: define F: A → F(x) - F(-x) H(x) = ; es par o impar. 2
→ (x1 + x2) (x1 - x2)=0 1 44 2 44 3 ↓ (-)
1
2
x12 - 16 =
x12 - 16 - 1 =
* 3-b = a a = 0 3 * b -1 = 2 b = 3 \ a+b=3
x22 - 16 - 1
x22 - 16
x12 = x22
Central: 619-8100
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5. Hallar la función inversa de: F(x)= x +x; x ≥ 4
→
Resolución
F(x)= x +x; x ≥ 4
•
x≥4→
→
•
Sea: y= x +x
→
x ≥2
→
x +x ≥ 6 → F(x) ≥ 6
→ RanF=Dom(F*)= [6; +∞〉
2
x + x -y=0 - 1+ 1 + 4y 2 2 y + 1 - 1 + 4y x = 2 x =
Intercambiando "x" por "y":
F * = 2x + 1 - 4x + 1 ; x ≥ 6 (x) 2
Problemas para la clase 1. Si: F: → B, es una función suryectiva, tal que: F(x)=|x – 2| – x, determine "B". a) [2; +∞〉 d) [–2; 0〉
b) [–2;2] e) [–2; +∞〉
5. Determinar el valor de verdad para cada función en las siguientes proposiciones: I. F: y=F(x) = (x|x| – 1 )senx2; es par. x II. F: [–1;1〉 → 〈–∞;0] / F (x) = x + 1 , es x−1 suryectiva.
c) [–2; 0〉
2. Determinar "a+b", para que la función: F: [a; b] → [1; 5] / y = F(x) = 3 x − 1 es biyectiva. a) 124 d) 127
b) 125 e) 128
III. F: y=F(x) =5 –
x ∈ 〈–1; 0〉 es inyectiva
c) 126
a) V F F d) F V F
b) F F F e) V V V
3. Dada la función: F: A → B / y = F(x) =
6. Dadas las funciones:
1 ; a>0 ∧ b>0 ax + b Si cuando: A=[1; 4] ∧ B=[2; 6] "F" es biyectiva, ¿cuál es el valor de: a+2b? 3 b) 2 c) 9 7 8 d) 1 e) 18 9
a) 1
4. Dada la función: F:
→
/ y = F(x) ≡ x+ x + 1; x ≥1
Determinar el valor de verdad de cada proposición siguiente:
I. "F" es univalente en todo su dominio.
II. "F" es suryectiva.
III. "F" es creciente en:[ b) F V F e) V V F
F = {(2; 4), (3; 6), (5; 10), (7; 14), (m; 1)}
p F–1={(4; a), (10; b), (6; m – 7), ( ; c), (14; d)} 2 Calcular: a+b+c+d+m+p a) 22 d) 36
3 ; 15 〉 7 c) V F V
F:
→
b) 24 e) 12
c) 26
/ y = F(x) = 4 x – x; x ∈ [0; 1]
Calcular: F(-01) a) – 1 d) 2
b) 1 e) – 2
c) 0
8. Dada la función "F", donde: F:
→
/ y=F(x)=3|–x| –2x+2 x2 –2x + 1
x ∈ 〈–5; –1] Calcular: F(-41) a) – 1 d) – 2
Quinto UNI
c) F V V
7. Dada la función "F", tal que:
2
a) V F F d) V V V
86
5 − x 2 + 2x ;
b) – 4 e) $
c) 2 Colegios
TRILCE
Álgebra 9. Si "F" es una función real de variable real cuya regla de correspondencia viene dada por: 6 – x; x ∈ [–2; 0〉 F(x) = 2+x; x ∈ [0; 4〉 proporcionar el valor de verdad de las proposiciones:
13. Dada la función "F", donde: F:
→
1 + x ; x ∈ 〈0; 1] x 1 – x ; x ∈ 〈0; 1] x 1 + x ; x ∈ 〈0; 1〉 x 1 – x ; x ∈ 〈0; 1〉 x x – 1 ; x ∈ 〈0; 1] x
a) F(-x1) =
I. "F" es univalente.
b) F(-x1) =
II. "F" es decreciente en 〈– 2; 1〉
c) F(-x1) = d) F(-x1) =
a) F F V d) V V F
b) V F V e) V V V
c) V F F
10. Siendo "F", la función real de variable real que verifica: F = F–1, cuya regla de correspondencia viene dada por: F(x)= ax – 1 ; a ≠ 0 2x + b Dom(F–1)=
Donde:
¿Cuál es el valor de: a+b? a) – 4 d) 4
e) F(-x1) =
14. Sea "F" una función real de variable real, tal que: F(–x)= – x2+10x – 4; – b G x – a ∧ b < – 11 2
– {2}
b) – 2 e) 8
a) B ⊂ [–2;2] b) B=[1;3] d) B=[1;4] e) B=[–1;4]
Si: Dom(FoF–1)=[12; 20], entonces el valor de "a" es: a) 8 d) – 8
c) 0
11. La función: F=[–1; 3] → B / y = F(x)=|2x|+1 – x es sobreyectiva, luego sobre el conjunto "B" se puede afirmar que:
b) 7 e) 6,5
I. Si "F" es impar, entonces "F–1" también es impar. II. Si "F" es par, entonces "F–1" también es par.
c) B=〈1; 4]
III. No existen inversas de funciones periódicas. a) V V F d) V F V
b) F F F c) V F F e) F F V
F:
→
/ y = F(x) = |x – 2004|
G:
→
/ y = G(x) = x2 – 36
16. Dadas las funciones:
H:
→
/ y = H(x) = 4(x+2005)
F = {(x; y) ∈
G = {(x; y) ∈
Determinar el valor de verdad de las proposiciones: I. "F" es suryectiva II. "G" es inyectiva III. "H" es biyectiva a) F F V d) V F F
b) F F F e) V F V
c) V V V
2
/ y=x2;
2/
x (x – 1) ≥ 0}
y= 3 – x ; –1
Determine el dominio de: F o G–1
a) [ 2 ; +∞〉 b) 〈– ∞; c) [0; d) 〈– 4;
Central: 619-8100
c) 6
15. Marcar verdadero (V) o falso (F), según corresponda en cada proposición siguiente:
12. Dadas las funciones:
1 ;x≥0 x +1 2
Determine: F-1
III. F(-71) =3
/ y = F(x) =
2] 2 ] ∪ [ 3 ; 2〉 2 〉 ∪ 〈7; +∞〉
e) Ninguno
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17. Si la gráfica de la función "F" es: y
18. Con respecto a la función "F", donde: F: → / y = F(x) = x – 3 + 1 2 ; x∈〈1; 2〉 x – 1 (x – 1) Se puede afirmar que:
1
3
4
x
luego la gráfica que corresponde a "F o F–1" es: a)
a) I y II d) I, II y III
b)
y
x
a) 0 d) 3
x
1
c) y
b) 1 e) 4
y
x
1
c) Solo III
c) 2
20. Si "F" es una función real de variable real cuya regla de correspondencia viene dada por:
d)
x2; x ∈ 〈– ∞; 0] F(x) =
b) II y III e) Solo I
19. Sea: F: [0; 1] → [2; 4], una función creciente y sobreyectiva, tal que: F(x)=ax+b. Calcular el valor de: a – b
y
1
I. Es inyectiva II. Es creciente III. Tiene inversa
3
x
1 ; x ∈ 〈0; +∞〉 x
Calcular: F(-41) 1 c) 1 a) 1 b) 2 4 16
e) Ninguno
d) 2
e) 16
a) Solo I d) I y II
b) Solo II e) Ninguna
Tarea domiciliaria 1. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? x ; es par 5+x - 5-x II. G(x)=x3sen(px); es impar
I. F(x)=
III. H(x)= x2 + 6x + 9 a) Solo I d) I y II
b) Solo II e) I y III
2. Sea: F(x)= 1 - x . Sgn e 2
x2 - 6x + 9 ; es par.
x x2 - 1
c) Solo III
o
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
I. DF= 〈– 1; 1〉 y "F" es impar II. DF= 〈– 1; 1〉 y "F" es par
III. DF = 〈– 1; 1〉 - {0} y "F" es impar
Quinto UNI 88
c) Solo III
3. Dada la función: F: [5; b] → [a; 62] definida por: F(x)=x2 – 8x+7. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
I. "F" es creciente en [5; b]
II. "F" es decreciente en [5; b]
III. "F" es creciente en [6; 9]
IV. "F" es decreciente en [6; 9] a) Solo I d) I y III
b) Solo II e) II y IV
c) Solo III
4. Dada la función: F: [a; 2] → [b; 46], tal que: F(x)=x2 – 4x+1. Hallar el valor de "a" y "b", si existen tal que "F" sea biyectiva. Dar como respuesta: a+b a) – 8 d) 7
b) 5 e) – 4
c) 6
Colegios
TRILCE
Álgebra 10. Sean las funciones:
5. Dada la función biyectiva: 1 ax + b Hallar la suma de valores que puede tomar "b".
F: [1; 4] → [2; 6] / F(x) =
a) 1 b) 2 2 2 d) 1 e) 6 3 6. Calcular:
c) 3
es biyectiva. b) 36 e) 4
x + 3 ; x ∈ 〈– 3; 3〉
G(x) =
b - a , si la función:
a) 6 d) 25
F = {(1; 0), (0; 0), (3; 2), (2; 1), (4; 3)} *
Determinar: (G2+F)(6) a) 1 d) 4
F: [2; 8〉 → [a; b〉 / F(x) = x2 – 4x+7
c) 5
b) 2 e) 10
c) 0
11. Dada la función: 6 – x; x ∈ [–2; 0〉 F(x)= 2+x; x ∈ [0; 4〉
Indicar el valor de verdad de las proposiciones:
7. Dada la función: F(x)= x +3
I. "F" es univalente. II. "F" es decreciente en 〈– 2; 1〉
III. F(3)* = 5
Hallar: F* , si existe. (x)
a) F F V d) V V F
a) F*(y) = y2 – 3; y ∈ [0; +∞〉 b) F*(y) = x2 + 3; x ∈ [0; +∞〉 d) F*(x) = (x – 3)2; x ∈ [3; +∞〉
e) F*(x) = (x+4)2; x ∈ [3; 4] 8. Dado la función "F(x)" con regla de correspondencia: F(x)= ax + 8 ; encontrar los valores de 4x + b "a" y "b", de tal manera que se cumplan las con-
II. F* = F
Dar como respuesta "a+b" a) 1 d) – 2
b) 4 e) 0
c) 2
F(3+x)=F(3 – x)
Hallar el periodo de "F" a) 1 d) 4
tiene inversa. b) 0 e) 2
c) – 2
b) 2 e) 5
c) 3
15. Sea: F: +→ *, una función cuadrática, tal que: F[yF ]=x2F(xy); x; y ∈ + (x)
2
Obtener: (F o F)(x) – F(x) a) 0 d) x+2
Central: 619-8100
b) (F – G) es impar d) (F.G) es impar
14. Si "F" satisface: F(1+x)=F(1 – x)
F: [a; +∞〉 → [b; +∞〉 / F(x)=x - 2 x - 1 a) – 1 d) 1
c) 4
a) (F+G) es par c) (F.G) es par e) (F+G) es impar
9. Hallar (a+b), si la función:
b) 3 e) 6
13. Si "F" es par y "G" es impar, ¿cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?
– ' 11 2
Hallar el periodo de "F" a) 2 d) 5
diciones: I. Dom(F*) =
c) V F F
12. Si "F" es una función impar que satisface la igualdad: F(x – 2) = – F(x+1)
c) F*(y) = (y+3)2; y ∈ [3; +∞〉
b) V F V e) V V V
b) 1 e) x+1
c) 2
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Problemas para la clase 1. Reducir: 7Log43 + 3Log47
(Log57) (Log411) (Log115) 3 a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
2
a) 16
2 b) 1 c) 16
d) 1
e) 4
7. Resolver:
2. Indicar el equivalente reducido de: 1 1 1 + + Log8 15 + 1 Log3 40 + 1 Log5 24 + 1 a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
2
4 xLogx = c 10 m x y dar el producto de sus soluciones.
b) 10 e) 1
b) 3+Log2 e) 2
c) 4+Log2
5. Calcular "x", en: 40,5+Logx(Log9x)=0 9
9
3 c) 9 a) 9 b) d)
27
27
3 e) 9
6. Resolver: x+Log(1+2x)=xLog5+Log6
x – y=Log(
p+q ) p−q
Hallar: 10x – 10y a) (
b) p – q d) 2q
3Logx=2Log x +Log32 2 Indique: Log2x
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
10. Si: Log2=0,3010 Log3=0,4771 y sea "P" la cantidad de cifras que posee "a"; si: a=18300. Indicar la suma de cifras de "P" a) 15 d) 18
b) 17 e) 14
c) 16
y dar el valor de: xx
Quinto UNI 90
e) 1 2
9. Resolver:
(y – x)=4
2 Señalar el valor de: Log(5xy+5x+5y)
3
d) 1 ∨ – 5 2
c) – 1 ∨ 5 2
e) q
3x.2y=576
a) 2+Log2 d) 3Log5
b) 1 ∨ 5 2
p+q ) p−q c) Log p – Log q
c) 0,1
4. Al resolver: log
a) 2 ∨ – 5
8. Si: 10x + 10y=p
3. Resolver la ecuación logarítmica:
a) 100 d) 0,01
Log (2x2 + 3x + 14) =2 Log (2x + 3)
Colegios
TRILCE
Álgebra 11. Si: Antilog2x; Antilog4y; Antilog8z, están en P.G., calcular "x – z", si se conoce: y – z = 8 a) 16 d) 40
b) 24 e) 48
c) 32
14. Resolver: Logx( 12 ) – Lne=Log(e+5)3 (e + 5) − 2 + Coln3 e x a) {1} b) {12} c) {19} + d) {7} e)
x
12. Calcular el valor de " 6", si "x" es la solución de la ecuación: 9x+36(16x)=12x+1 1 c) 5 a) 3 b) 4 4 4
15. Del sistema: Logx − Log23 = Logy + 1 ... (1) ) (0, 005134) 2, 29 .Anti log (x - y) 2 = 1 ... (2)
9 d) 7 e) 4 4
Determinar "x", si: Log51,34=1,710
13. Encontrar el valor de "x", en:
2
Log y x + Logx y p +q x ; =Antilog = Logx y + Co log y x p2 – q2 y a) d)
p
a) 2,01 d) 2,30
2
p q
2
b) 2,19 e) 2,41
c) 2,29
p p q–p q q p b) c) p q q
q+1
q q–p p p e) q
q
Tarea domiciliaria 1. Si: A = Log5.Log
B = Log
Hallar: B – A 11
8 . Log
5
a) 0 d) 3
10
5
2
25
b) 1 e) 4
c) 2
5. Resolver: Log2x – 7Logx=12
2. Efectuar:
1+Logba
Antilog2 b
a) 8 d) 2
1+Logab
se obtiene: a) bb–1 d) bab
Central: 619-8100
a
a
c) 16
b
a jcLog
b) 102 e) 103
c) 107
6. Hallar "x", en:
b) 32 e) 1 2 R=`Log
Indicar el producto de soluciones. a) 105 d) 108
. Loga5
3. Luego de reducir:
4. Si se cumple que: Logm=b – Logn, el valor de "m" podrá expresarse como: b a) b) bn c) 10b.n n 10b d) b – 10n e) n
b b
b
a a a
m
1 1 =Log15 + Logx+3 10 Logx+110
a) 2 d) – 2
b) 4 c) – 6 e) Hay dos correctas
7. La solución de la ecuación: Logx A A + LogAxA = 2; es:
b) bb–a –1 e) aa
c) b1–a
a) 1 b) A A A A d) A e)
c) A–1
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x
8. Si: x x = 10; calcular:
E= a) x–x d) 1
Logx
Logx
Log
Logx
Log
b) 10–x –x e) 10x
Logx –x
c) xx
13. Resolver: 4x=2(14x)+3(49x) proporcionando su solución. Log3 Log7 a) b) Log7 Log2
Log3 Log7 d) 9. Si: Logba+Logcb=Logca; indicar la expresión c) Log3 + Log2 Log2 - Log7 equivalente de: e) Log3 M = logbc+logab a) 1 ac d) b
b) 2
c) ab
e) Ninguna
10. Si: Log1428=a; hallar en función de "a" el valor de: log4916 a)
2 (a – 1) 2 (1 – a) 1– a b) c) 2–a 2–a 2–a
2–a d) a – 2 e) 1– a a 11. Resolver el sistema de ecuaciones: ... (α) Log2x + Log4y+Log4z=2 Log3y + Log9z+Log9x=2
... (β)
Log4z + Log16x+Log16y=2
1 + Logx = Log2 x − 1 5 +1
3 a) 10 10 b) 10 c) 10
d) 10
Hallar un valor para "x".
1 d) 5 e) 4 3 12. Reconocer la menor solución de: 1 5 + =2 5 − 4Log (x + 1) 1 + 4Log (x + 1)
5 −1
e) 100 10
15. Indicar el producto de todas las soluciones de: Ln (x2 − 8) Log(x2 – 8). Log(2 – x)= Ln (2 − x) a) – 76 5 d) 24
... (γ)
2 c) 4 a) 3 b) 2 3 5
14. Hallar la mayor solución:
b) –9
c) 72
e) – 171 10
16. Si se define una función cuya regla de correspondencia es: F(x)=Log( 1 − x ) 1+x Hallar el equivalente de: E=F(a)+F(b) a) F ( 1 - x )
b) F ( a + b )
c) F ( a + b )
d) F ( 2ab )
1+x
1 + a2
1 + ab a-b
e) F ( a + b ) a) 8 b) 9 d) 10 + 1 e) 10 − 1
Quinto UNI 92
c) 10
1 - ab
Colegios
TRILCE
Problemas resueltos 1. Sea la "F" definida por: F(x)=Log6(x+3 – 3 x+1 ); " x ∈ 〈3; 15〉
Determinar el rango de "F".
Resolución
F(x)=Log6(x+3 – 3 x+1 ) 2
F(x)=Log6( x+1 – 3 x+1 + 2) 32 1 = Log6[( x+1 – ) – ] ... (a) 2 4
4
2 < x+1 <4 1 3 5 1 32 25 < x+1 – < ⇒ <( x+1 – ) < 2 2 2 4 2 4 3 1 ⇒ 0<( x+1 – )2 – < 6 2 4
1 Log6[( x+1 – )]
(a) en (b) ⇒ F(x)<1 2. Si: F: [3; +∞〉 → F(x) = 5
Log3x
\ RanF= 〈– ∞; 1〉
, es definida por: ;"x≥3
•
Si: y=5
x=y
Log3x
Log53
3. Si: G(x)=Log3(
Central: 619-8100
4 1 +1) ∧ F(x)=log2(x3+ 3 ) x x
De: G(x) → x>0 ; para: F: x>0
Aplicando: M.A. ≥ M.G. → x3+ ⇒ log2(x3+
4 ≥2 x3
x3 . 4 = 4 x3
4 ) ≥ log24=2 x3
⇒ F(x) ≥ 2
\ RanF= [2; +∞〉
4. Graficar aproximadamente la función: F(x)=ex - |ex - 1|; x ∈
Resolución
;"x≥3
Log3x
;x≥5
4 G(x)=Log3( 1 +1) ∧ F(x)=Log2(x3+ 3 ) x x
F(x) =
→5
Log5x
Resolución
Resolución
=3
• Si: x ≥ 3→Log3x ≥ 1
Log53
Siendo: Dom(G)=Dom(F); determinar el rango de "F".
Redefinimos:
Log5x
Log35
Determinar: F* (inversa de "F")
Log3x
*
(x)
F(x) = 5
→ y=x
→ F(x) = x
\ F* = 3
Ahora bien:
3
⇒ F(x)=
ex - (ex - 1); ex - 1 ≥ 0 ex - (1 - e-x); ex - 1<0 1; x≥0 2ex - 1; x<0
≥ 51
F(x)≥5→RanF=[5;+∞〉= DomF* www.trilce.edu.pe 93
⇒ Graficando:
Graficando "F" y "G"
y
y 3 F(x)
1
1
Ln(2)
x
x1 –1
G(x)
–1 5. ¿Cuántas soluciones reales admite la siguiente ecuación trascendental: 2-x+x2+2x - 2=0?
Resolución
Se tiene:
x
x2
Hay dos puntos de intersección entre las gráficas, por lo tanto la ecuación admite dos soluciones reales.
2-x+x2+2x - 2=0 1 ( )x = - x2 - 2x+2 2 1 ( )x = 3 - (x+1)2 2
F(x)
G(x)
Problemas para la clase 1. A partir de la gráfica de cierta función exponencial: y 3 ( ; 27) 2
3. Hallar el dominio, rango y la gráfica de cada función: y=F(x)=Log(x+3) y=F(x)=Log(x - 1) y=F(x)=Log0,5(x+2) y=F(x)=Log(5 - x) x • y=F(x)=Log(3 - ) 2
• • • •
x
encontrar su regla de correspondencia: a) F(x)=3x c) F(x)= 3 e) F(x)
d) F(x)
x =3 4
=9x
F(x)=exp16(x - 2) G(x)=exp4(x+2) a) (6; d) (6; 216)
Quinto UNI 94
para verificar: F(x)<0; es necesario que: a) x>0
b) x<0
c) x>
d) x
e) No existe tal "x"
2 2
5. Marcar (V) o (F):
2. En qué punto se cortan las gráficas de las funciones "F" y "G", donde:
26)
F(x)=pcos(x)
b) F(x)=34x
x
4. Con respecto a la función:
210)
b) (6; e) Ninguno
c) (6;
212)
I. Si: 0Logbx2 II. Si: 0ba; son equivalentes. III. Si: 0a y 0
b) V V V c) F F F e) F V V Colegios
TRILCE
Álgebra 6. Encontrar el dominio maximal de la función "F" cuya regla de correspondencia viene dada por: |x - 2| - 4 y=F(x)=Log2( 2 ) x +1 a) 〈– ∞; – 2〉 ∪ 〈6; +∞〉 b) 〈– ∞; – 2] ∪ [6; +∞〉 c) 〈– 6; 6〉 d) 〈– 2; 6〉 e) Ninguna
10. Sea la expresión: F(x)=y= Ln Lnx
para qué valores de "x", "F(x)" está definido. a) x ≥ ee d) x≥ e2
b) x ≥ e2e e) x ≥ e
11. Esbozar la gráfica de la siguiente función: F:
→
/ y=F(x)=–|Logx|+Log |x|
a)
7. Del siguiente gráfico: y I II III
b) y
I II III x
y
x
d) y
I. y=|Logax| II. y=|Logbx| III. y=|Logcx|
y
x
Marque la alternativa correcta:
x
e) Ninguna
a) a>b>c>1 b) b>c>a>1 c) c>a>b>1 d) c>b>a>1 e) c>a>b>1 8. Se contrata un obrero para cavar en busca de fósiles, al que se le promete pagar "m" soles por el primer fósil encontrado y por cada nuevo fósil que encuentre; se le pagará el doble de lo que se le pagó por el anterior. ¿Cuántos fósiles encontró sabiendo que en total recibió "T" soles? T-m T-m a) Logm( m ) b) Log2( m ) m+T m+T d) Logm( m ) c) Log2( m ) T e) Log2( ) m
12. Si "M" es un conjunto definido por: M= {x ∈
y
/ |senx| - |Log |x|| =0}
entonces, el cardinal del conjunto "M" es: a) 4 d) 10
b) 6 e) 12
c) 8
13. Hallar la gráfica de la función: F(x)=|Ln|x|| - 1 a)
b) y
y x
1
x
9. A partir del gráfico:
c)
-1
d) y
(a; b) (x; Log(-x-3) (c; d)
x
c)
c) x≥2e
1 e
x
-1
y
x
x
-1
e) Ninguna
Calcular: a – b+c+d+e a) 22 d) - 22
Central: 619-8100
b) 21 e) Ninguna
c) - 21 www.trilce.edu.pe 95
14. Hallar el rango de la siguiente función: F(x)=
1 ; 2], tal que: 2 F(x)=21-|x|; es sobreyectiva, obtener el dominio
16. La función: F: A → [
Log( x - 2 - 4 - x) Log 2
de "A".
b) 0 < y <
Log4 2
a) [0; 2] d) [-1; 1]
c) 0 < y ≤
Log 2
a) 0 < y <
4
d) 0 < y ≤
4
4 Log 2
e) Ninguna 15. Determine la gráfica de "F", siendo: F(x) = |1 - e1-|1-x|| a)
b) y
y
x
c)
d) y
x
t
2 a) y=Mo( )5 3
1 b) y=Mo( )5 3
45 c) y=Mo( ) 3
45 d) y=Mo( ) 3
t t
t
35 e) y=Mo( ) 4
y
17. La velocidad de desintegración de un material radioactivo es proporcional a la cantidad presente de dicho material. Sea "y" la cantidad de material radioactivo presente en el instante "t". Experimentalmente se ha encontrado que: y=c.ekt, donde: {c,k} ⊂ . Encontrar una forma equivalente para "y" si se sabe que la cantidad inicial es "Mo" kilos y que los 2/3 del material se desintegra en cinco años. t
x
b) [-2; 0] c) [-2; 2] e) [-1; 2]
x
e) y
Quinto UNI 96
x
Colegios
TRILCE
Álgebra Tarea domiciliaria 1. Resolver: Logx(x2 – x) ≥ 1
a) V V V d) F V F
a) <1; +∞> b) [1; +∞> d) [2; +∞> e) <0; 2]
c) <1; 2]
f(x)=Log( x - 1+ 3 - x); x ∈ [1; 3] Determinar el rango de "f". Log2 ; 3] 2 Log2 ; 1] c) [ 4 Log2 ; log2] e) [ 2 a) [
7. Si "f" y "g" son dos funciones definidas por: g(x)=32 - x
Log2 ; 1] 3 Log2 d) [ ; 1] 5 b) [
A={x ∈
/ f*(x)>0} es igual a:
a) 〈0;+∞〉 b) 〈0; 1〉 c) 〈-1; 0〉 d) 〈1;+∞〉 e) 8. Si "f" es una función definida por: f(x)=|Log5(5 - x)|+1, entonces la figura que mejor representa la gráfica de "f", es: a)
b) y
3. Si: f(x) = log0,5|x - 1|
c) V F V
f(x)=[g(3)]x, entonces el conjunto:
2. Considere la función:
b) F V V e) V V F
y
Determinar el rango de "f" – a) + b) d) 〈 - ∞; 0] e)
c) [0; +∞〉
4. Si "M" es el conjunto solución de la inecuación: x+3 Logx x - 1 >1, entonces el conjunto solución "M" es: a) 〈1; 3] b) [1; 3〉 c) 〈-1; 3〉 d) 〈-3; -1〉 e) 〈1; 3〉
x
-4
x
c)
d) y
y 1 4
x
4
x
e)
5. Considere la función: f(x)
x+1 =4 1-x
, x ∈ 〈1; 3]
Si "Rf" es el rango de "f", entonces: 1 a) Rf ⊂ 〈0; 〉 b) 〈0; 4] ⊂ Rf 4 1 1 d) Rf ⊃ 〈0; 〉 c) Rf=〈- ∞; ] 2 9 1 e) Rf ⊃ 〈- ∞; ] 4
1
4
x
9. En la figura adjunta, se muestra la gráfica de una función "f" definida por: f(x)=Log2(- x - 3); entonces el valor de: T=a+b+c+d, es: y (a; b) 4 f
6. Si "f" es una función definida por: f(x)=Log2(x+1)+Log2(x - 1)
entonces, indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I. El dom(f)=〈- ∞; -1〉 ∪ 〈1; +∞〉 II. "f" es una función inyectiva en todo su dominio.
c a) - 24 d) 21
b) - 22 e) 22
d
x c) - 21
III. f * = 1+2x (x)
Central: 619-8100
www.trilce.edu.pe 97
10. Si "A" es un conjunto definido por: 1 A={x∈Dom(f) / f(x)= +Log(x - 4)(9 - x)} 2 - x-3 entonces, el número de elementos enteros del conjunto "A" es: a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
entonces, el Dom(f) es: a) 〈1; +∞〉 - {2} c) 〈1; +∞〉 e) 〈0; 2〉
4
Log(2x - 9)(x - 4) - 1
entonces el dominio de "f" es: 3 a) [2; 5〉 b) 〈1; 〉 c) 〈0; +∞〉 2 2 f d) 〈 ; 4〉 e) 3
a) 〈0; 1〉 b) 〈-1; 1〉 c) 〈0; +∞〉 - {1} d) {1} e) 〈 1; 2〉
98
b) y
y (0; 8)
(0; 3) x
x
c)
d) y
y (0; 3)
(0; 1) x
x
e) y 1
entonces, el rango de "f" es:
Quinto UNI
c) 〈0; 2]
15. Si "f" es una función definida por: f(x)=23-|x|, entonces la figura que mejor representa a la gráfica de "f" es:
b) 〈0; +∞〉 -{1} 1 d) 〈 ; 1〉 2
13. Si "f" es una función definida por: 1 Log1 (x - )+Log2 4x2+1 - 4x 2 2
entonces el rango de "f" es: 1 a) 〈0; ] b) 〈0; 1] 2
a)
12. Si "f" es una función definida por: f(x)=
d) 〈0; +∞〉 e) 〈0; 1〉
11. Si "f" es una función definida por: Log13(x+1)+Log0,5(x)+7 f(x)= 1 - |x - 1| - x
14. Si "f" es una función definida por: p-|x-2| f(x) = 1+p-|x-2|
-3
3
x
Colegios
TRILCE
Problemas resueltos 1. Hallar el valor de: Lim ( 1 + m – 1 – m ) m→0 m Resolución
( 1 + m – 1– m ) m m→0
Sea: L = Lim
Racionalizando el numerador:
L = Lim ^ 1 + m – 1 – m h .^ 1 + m + 1 – m h m→0 m^ 1 + m + 1 – m h 2m =Lim ^ m 1 m + + 1– m h m→0 m→0
L=Lim
L = Lim
m→0
2 =2 1 + 0 + 1– 0 2
2 1 + m + 1– m
⇒L=1
Sea: L = Lim
x→4
L = Lim ; x→4
;
Se sabe: Lim bn=0⇔0
+ L= 3 (0) 5 =5 0+1
\L=5 4. Hallar: Lim
x→∞+
Resolución
L = Lim
x→∞
x+6 – x+1 E (x + 4) (x – 4) (x) (x – 4)
1 . x+6 – x+1 c mE (x – 4) x + 4 x
n→∞
2 x `1 + x j
2 x `1 + x j x 2
x 2
2 = Lim )`1 + 2 j2 3 = ) 1 + 2j 3 ` Lim x x→∞ x x→∞
2. Calcular: Lim ; x2+ 6 – x + 1 E x –16 x (x – 4) x→4 Resolución
L = e2
5. Calcular:
Lim
x→2
; x2– 4x + 4 E ^5 + x2 – 4xh x+2
Resolución 2+ 2 ( x x – x – x – 4 ) 6 5 1 Si se evalúa el límite tiende a la forma: 1∞ E = Lim ; . ( x – 4 ) + ( 4 ) ( ) x x Sea: x→4 x+2 (x – 4) 1 L = Lim = 1 . G= = 1 ; 2 – 4x + 4 E 2 x (4 + 4) (4) 32 ^5 + x –4xh L = Lim x→4 (x – 4) (x + 4) (x)
3. Calcular: Lim x→∞+
Resolución Sea:
c
3
x+1
+5 3 5
x+1
x+ x
m
R V x S 5x ;3. c 3 m + 5E W x+1 x+1 5 S W L=Lim c 3 x + 5x m = Lim S x 3 x W 3 +5 x→∞ x→∞ S 5 ;c m + 1E W 5 T X
Central: 619-8100
x→2
\L= 1 32
L = Lim
x→2
1
L = ; Lim "1 + (x2 –4x + 4), x→2
(x+2)
x2 – 4x + 4 1 ;' 61 + (x2 –4x + 4)@
E
Lim (x+2)
1 x→2 x – 4x + 4 E 2
(Si los límites existen)
⇒ L = e2+2
⇒ L = e4
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Problemas para la clase 1. Calcular: Lim x→5
x+4 –3 c m x –1– 2 b) 3 2
a) 0
e) ∞
x – a + x–a x2 – a2
1 b) 2 a) c) 1 3 3 4 d) 3
c
)
3. Calcular:
8. Calcular:
Lim c x – 1m 4 x –1 x→1
e) 1 12
4. Calcular: Lim c 2 + x – 3 + 2x m x→–1 1 – 5 + 4x
a) 1
b) 1 4
d) –1
e) 0
b) 0
d) – 1 2
e) – 2
c) – 1 4
se puede afirmar que:
a) b=2a d) 4a+b=4
b) a=1 e) 4a – 2
6. Calcular: 3+
2x 1 Lim c 4x m 4+ x→∞ 2x 5x – 2
100
a) e
b) e–1
d) 1
e) 3 e
c) 0
2m m –2 m+4 F(x) ≡ (3x + 7) 2(12xm+ 7)2 (4mx +1 7) (8x –7) (9x + 7) +
2 Lim c x – 2 – x m = L; (L∈ *) 2 x→2 ax – 2x + b
1
2x – 1 x Lim ;c 5x + 2 m E x→∞
10. Calcular:
5. Si:
Quinto UNI
c) 1 2
a) 2
9. Calcular:
3 b) 4 a) c) 1 4 3
4+
1 – 1m x E x
3
d) 0
e) 2
Lim ;c 1 + x→∞
1 d) 1 e) 2a 2a
d) 4
c) 2
Lim c 3 – 2 1 m 2 x→2 x – x – 2 x – 3x + 2
2. Determinar el límite de "F(x)", cuando "x" tiende al valor de "a", donde:
1 b) 1 a) a a 1 2 a
b) 1
7. Calcular:
c) 1
2 e) 1 d) 3 3
F(x) =
1 a) 2
c) 2a+b=1
Calcular "m" para que:
Lim F(x) = 256 x→∞
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
11. Calcular: Lim x→∞
a) 1
1 d) 4
5
x 32x5 − 5x + 1 1 b) – 1 c) 3 2 e) –1 Colegios
TRILCE
Álgebra 12. Calcular: Lim x→–∞
3
x2 + x + 2 − x4 + x2 + 2 x4 + x + 1 + 3 x2 + x + 1
a) 1
b) –2
c) – 1
1 e) 1 d) 2 3
16. Halle: Lim (xn), si "xn" es igual a: n→∞ 1 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 n3 1 a) 1 b) 1 c) 2 3 1 e) 1 d) 4 5 17. Proporcionar el equivalente de:
13. Calcular: Lim ^ x2 + 3x–1 – x2 –7x + 1h x→∞
a) 5 d) –1
b) 3 e) –3
c) 1
a) 0 d) – 1 5
b) 1 e) – 2
c) – 1
18. Calcular:
e
Lim x→∞
14. Calcular: Lim c 1 + 2 + x – 3 m x–2 x→2
4 3 2 Lim c x 4+ 11x 3+ 42x 2+ 68x + 40 m x→–2 2x + 13x + 30x + 28x + 8
1 3 c) a) 8 3 b) 8 8 3
2x + 1 + 4x + 1 o 2x + 4x
a) 0 d) 6
b) 8 e) 2
c) 4
19. Calcular: x–2
8 e) 1 d) 3 3
x2+4x+4
Lim (5+x2+4x) a) e–1 b) e–2 –5 d) e e) e–4 x→–2
15. Calcular: x2 – 3x – 10 x2 – 2x – 3
Lim >c 2x – 1m x→3 x+2
H
c) e–3
e b) e c) e 3 2 e e) e d) e e
a) e
Tarea domiciliaria 3. Calcular:
1. Calcular: x2 – 1 Lim c m 3 x→–1 x + x2 + x + 1
a) 0 d) – 2
b) – 1 e) 3
Lim x→0 c) 1
f
4 d) 5
4 3 2 Lim e x –4 11x 3+ 42x –2 68x + 40 o x→+2 2x –13x + 30x –28x + 8
4. Calcular:
Central: 619-8100
b) –1 e) +2
c) +1
1 + 2x – (1 – x) 1
1 5
(1 – 3x)4 – 3 1 + x
p
1 a) – 1 b) 5 5
2. Calcular:
a) 0 1 d) 5
3
c) – 4 5
e) 1
2 2 2 2 Lim e a + ax + x – a – ax + x o a+x – a–x x→0
www.trilce.edu.pe 101
a) a
b) a
3 a d)
e) 1
c) a2
5. Calcular:
Lim e 3 2 + x + 1 – 2 o x→3 x – 2 – 2x – 5
a) 0
b) – 1 32
d) 3
e) 32
K = Lim ^ 4x2 + 3x + 6 – 4x2 + x + 3h x→∞
a) 1
c) – 3 32
1 d) 4
2 2 Lim e x + x + 1 + x –x + 1 o x→∞ x + x2 + 1
a) 0
d) 2
b) – 1
c) 1
e) Ninguna
8. Si: 0
a) a
a d) b
b) b
c) ab
e) ab
Calcular "m", de modo que:
Lim M(x) = 1024 x→∞ a) 3 d) 6
Quinto UNI
b) 4 e) 7
c) – 1 2
e) 0
12. Proporcionar el valor límite de la expresión: c
2 + 1m . x2 – 2 ; cuando: x→ 2 x– 2 b) 1 e) 2 2
c) 2
13. Calcular: Lim c 1 + x→∞
1 – 1m x x
1 a) 4
b) 1
1 d) 8
e) 2
c) 1 2
x+100 Lim ` x + 100 j x –1 x→∞
2m m–2 (4x + 7) m + 4 M(x) = (3x + 7) 2(12xm+ 72) (8x –7) (9x + 7) m + 2
b) 1 2
a) 1
14. Calcular:
9. Siendo:
2 – 3 m x→1 1 – x2 1 – x3
a) 0 d) 2
7. Calcular:
e) 3
K = Lim c
J x+1 N K 4+ x–4 O Lim K O x→4 Kx+2+ x O x–4 P L 5 b) 1 a) c) 5 4 4 e) 4
c) 1 3
11. Calcular:
d) 1
b) 2
1 d) 2
6. Calcular:
102
10. Calcular:
c) 5
a) e d) e2
b) e101 e) e–1
c) e100
c) e–1
15. Calcular: –x Lim `1 – 1 j x x→∞
a) e
b) e2
d) e3
e) 1
Colegios
TRILCE
Problemas resueltos 1. Si: F(x) = 2x5 – 3x4+x2+7x+4 Calcular F'(x); cuando: x = –1
x x 4. Si: a>1; calcular: Lim c a – 4 m x x→0
Resolución F(x) = 2x5 – 3x4+x2+7x+4 F'(x) = 10x4 – 12x3+2x+7 F'(–1)=10+12 – 2+7
x x Sea: L = Lim c a – 4 m ; es de la forma: 0 x 0 x→0 Aplicaremos la regla de L'Hospital: Recordar también que si:
\ F'(–1)=27
F(x) = ax → F'(x)=ax.Lna
2. Si: G(x) = 2x2 – 3 ; encontrar: G'(x)
Resolución
Si: G(x) = 2x2 – 3
G(x)=(2x2 –
1 3) 2
– ⇒ G'(x)= 1 (2x2 –3)
2
2x G'(x) = 1/2 → G'(x) = 2 (2x – 3)
1 2
. (4x)
2x 2x2 – 3
3. Calcular: 3 5 Lim e 1 + x + 1 + x – 2 o 4 1+x+ 1+x –2 x→0
Resolución
Recordar que: (1+ax)n ≈ 1+anx; si: ax → 0 (aproximación binomial)
Sea: 1+ x + 1+ x – 2 3 5 3 5 L=Lim e 1 + x + 1 + x – 2 o = 4 x→0
L=
1+x+ 1+x –2
1+ 1 8 3 5 = 15 1+ 1 3 4 2 4
1+ x + 1+ x – 2 4 2
→ L = 32
45
Observación: También se puede aplicar la regla de L'Hospital, que veremos su aplicación a continuación:
x x x x L = Lim c a – 4 m = Lim c a .Lna – 4 Ln4 m x 1 x→0 x→0
Aplicando el límite:
L = a0 . Lna – 40 . Ln4 → L = Lna – Ln4 \ L = Ln` a j 4
5. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola: y=4x2 – 7x+3; en el punto "P", donde la pendiente de la normal es 3 . 5
Resolución
Sea la pendiente de la recta normal: mN y sea la pendiente de la recta tangente: mt
En el punto (x0; y0) ∈ parábola. mN.mt=– 1; dado que son ortogonales entre sí: 3 .m =–1 → m =– 5 t t 5 3 Pero la pendiente de una tangente cualquiera a la parábola, está dado por:
2 + F'(x) = d (4x –7x 3) = 8x – 7 dx
si la evaluamos en el punto: P = (x0; y0)
F'(x ) = 8x0 – 7 = – 5 0 3 2 8x0 = 7 – 5 → 8x0 = 16 → x0 = 3 3 3
Central: 619-8100
Resolución
2 1 y0 = 4 c 2 m – 7 c 2 m +3 → y0 = 9 3 3
www.trilce.edu.pe 103
Lt:
y – y0 = mt x – x0
y– 1 9 = – 5 → y – 1 = – 5 x + 10 3 9 3 9 x– 2 3
→ Lt: y = – 5 x + 11 3 9
Problemas para la clase 1. Si: f'(x) = 2x+3 ∧ f(1)=8 Encontrar: f(0)
a) 2 d) 4
b) 1 e) 5
7. Según el gráfico: c) 3 y=x2+4x+2
2. Calcular "A" y "B" para que la derivada de: f(x) = Ax + B ; sea: f'(x) = 9 – 2x3/2 2– x 2 (2 – x)
a) 3; 1 d) 2; 1
b) 2; 0 e) 2; 2
y
c) 1; 3
x
a
Calcular el valor de "a"
a) 2 2
b) 2 2
c) 4 2
1 3. Determinar "k", con la condición de que la de- d) 2 e) 2 rivada de la función: 8. Determinar "ab – c", sabiendo que: f(x) = kx – 1 , sea: –1, para: x=5 x–2 f(x) = x2+ax+b ∧ g(x)=x3 – c, se intersectan en (1; 2) y tienen la misma tangente en dicho punto. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) – 6 b) 4 c) 0 d) 1 e) 2 4. Dadas las funciones definidas por: 2 4 f(x)=ax2+2x ∧ g(x)= x + 2 9. Determine la gráfica de la función:f(x)= 6x – x x –1 9 y determine su máximo valor con respecto a su Hallar el valor de "a" para que se cumpla: dominio. (f o g)'(2) = 30
2 c) 4 a) – 3 b) 2 3 3
5 d) 2
e) 1
5. Si:
Lim
x→0
Calcular:
a) 1 d) 2
e
10. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola: y=4x2–7x+8; en el punto "P" donde la pendiente de la normal es – 1.
eax – cos αx = 2 o ebx – cos βx
a) y = x – 6 d) y = x+4
α + 7β α+β b) a c) b e) 3
6. Calcular: xa Lim c xm ; a > 0 ; a ∉ e x →+∞ 1 a) e d) +∞ Quinto UNI 104
b) 0
a) 3 b) 2 c) 7 d) 5 e) 13
c) 1
e) Imposible calcular
b) y = x – 4 e) y = x+1
c) y = x+6
11. Hallar un punto, donde la recta tangente al gráfico de: f(x)=2x3 – 3x2 – 12x+7; es paralelo al eje de abscisas.
a) (–1; 14) d) (–2, 2)
b) (2; 15) e) (–3; 1)
c) (–1; 4)
12. Hallar "ab+cd" para que la función: f(x)=ax3+bx2+cx+d; tenga un máximo en el punto M(0; 4) y un mínimo en el punto N(2; 0).
a) – 1 d) 4
b) – 3 e) 7
c) 0 Colegios
TRILCE
Álgebra 13. La función definida por la regla: f(x) = x3+px2+q; tiene un valor mínimo relativo igual a 3 en: x=2; hallar "pq".
a) 18 d) – 21
b) – 24 e) – 18
14. Una hoja de papel debe contener 18 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcular las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. a) 6 y 4 cm d) 5 y 10
b) 7 y 3 e) 5 y 8
c) 8 y 4
10 b) 5 c) 7 a) 9 3 5 7 e) 11 d) 9 9 16. Dada la ecuación: x3 + cx + d = 0; cuyo C.S.={m;n}. Determinar el valor de: M=4c3+27d2 a) 0 d) 3
b) – 1 e) m+n
x
c)
e)
x
x
e)
x
19. ¿Cuál de las siguientes gráficas puede ser de la función polinomial: P(x)=x3+mx+n; si "m" y "n" son positivos? a)
b) y
x
d) y
y
x
x
x
e)
y
x
y
y
c)
d)
d)
y
c)
x
x
y
y
y
b) y
x
c) 1
17. Graficar: P(x)=x3+2x2+x+1 a)
b)
y
15. Un rectángulo tiene dos de sus vértices sobre el eje "x"; los otros dos sobre las rectas: y=x; 4y+5x=20. Hallar el valor de la altura, para que el área del rectángulo sea máxima.
a)
c) 32 cm2
18. Graficar la función polinomial: F(x)=1 - x3 - x5
y
x
x
y
Central: 619-8100
x
www.trilce.edu.pe 105
Tarea domiciliaria 1. Calcular:
3 3 2 8. Calcular: Lim e x + 8 –2 x + 4 o x x→0
m
L = Lim c n x – 1m x –1 x → 1
m; n ∈
a) 1
1 a) 12
; m ≥ 2; n ≥ 2 c) m n
b) 0
n d) m
e) mn
1 b) – 1 c) 2 8 e) – 1
n
Lim c n x1 –nx + n–1 m ; n ∈ x + – (n + 1) x + n x→1
+
3 4. Calcular: Lim e 4 1 + x – 5 1 + x o 1+x – 1+x x→0
3 b) 2 c) 10 a) 4 5 3 5 d) e) 1 2 5. Calcular: Lim c x – x + 2 m 4x + 1 – 3 x→2
–
n 2
c) 2(n2
–
m 2)
7. Calcular "m.n", si el polinomio: P(x)=mx4+nx3+1; tiene a 1 como raíz doble. a) 6 d) – 12
Quinto UNI 106
b) – 6 e) – 18
c) 1/2
b) y+4x–4=0 d) y+x–4=0
d) 1
e) 1 2
a) 6 d) 7
b) 5 e) 8
c) 4
ax bx 14. Calcular: Lim c e – e m x x→0
1 (n2 – m2) e) 1 (m2 – n2) d) 2 2
b) 0 e) 2
12. Hallar el valor de la derivada de la función: F(x) = 1 ; en el punto: x = 2 x 1 a) – b) – 1 c) – 1 2 3 4
6. Calcular: Lim c cos mx –2 cos nx m x x→0 –
a) –1 d) 1
13. Si el polinomio: P(x)=x3+ax2+12x+b, admite un cero real doble, ¿cuál es el menor valor entero positivo que puede tomar "a"?
9 b) 7 a) c) – 3 8 2 8 2 d) e) 1 3
c) 10
e) 4 5
a) y–4x+1=0 c) y–4x+4=0 e) y+2x=0
n – 1 e) n+1 d) n–1 n
b) m2
b) 1
11. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva: y=x2, en el punto donde: x=2
n – 1 b) n c) n+1 a) n n–1 n+1
m 2
a) – 2 5 d) 4
10. Dada la función: f(x)=xx; halle: f'(1)
3. Calcular:
a) n2
1 d) – 1 e) 2 4
5 9. Calcular: Lim c 3 x + 1 – 2 x + 1 – 1m x x→0
4 2. Calcular: Lim c 1 – 1 – x m 2x x→0
1 a) 2 d) – 2
1 b) – 1 c) 4 2
c) 12
a) ab d) b – a
b) a – b e) a b
c) ab – 1
senπx – cos πx 15. Calcular: Lim ` 1 – tan πx j x→0,25 a) 2
b) –
d) 2 +1
e) 1
2 2
c) 2 2
Colegios
TRILCE
Problemas para la clase 1. Hallar el dominio de la siguiente función: f(x) = Log(2x–1)(7 – 3x)
7. Si "a", "b", "c" y "d" son números reales positivos, cuyo producto es uno, determine:
1 ; 7 b) 7 ;4 a) 1 ; 7 c) 2 3 3 3
3 3 3 3 (Lna) + (Lnb) + (Lnc) + (Lnd) Ln (ab)6Lnc.Lnd – Lna.Lnb@
1 7 – {1} e) 〈0; 3〉 d) ; 2 3 2. Sea la función: y=bx; b>1; calcular "b2" si la gráfica es: y 16 4
a) 1 d) 4
x
b) 2 e) 5
c) 3
3. Hallar el dominio de la función: 6 F(x)=Log(x–4)(10–x) + x–3 e indicar el número de valores enteros que posee.
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
4. Resolver: Log3(x – 3)>1 a) x ∈ b) 〈6; 21] d) 〈6; 12〉 e) 〈6; +∞〉
c) [3; 7〉
5. Hallar el C.S. para "x" en: Log3(x – 2)<–2
a) 3
b) – 3
d) 9
e) 1 9
8. Dada la función: F:
→
e) x ∈ f
6. Resolver: Log2(4x – 1) ≤ Log5125
a) x ∈ 1 ; 9 B 4 4 c) x ∈ 〈–∞; 9 B 4 e) x ∈ f
Central: 619-8100
b) x ∈ 1 ; +∞〉 4 d) x ∈ 1 ; 1] 4
/ y = F(x) =
4 – x2 5x – 7x
Determinar su dominio maximal.
a) [–2; 0〉 b) 〈 0; 2] c) 〈–1; 1〉 d) [–2; 0] e) [–2; 0〉 ∪ 〈0; 2]
9. Dada la función: F: → / y = F(x) = p–x ¿Cuál(es) de los siguientes enunciados son correctos?
I. Su rango es: 〈– ∞; 0〉 II. "F" es decreciente III. La ecuación. F(x)=x; tiene solución.
a) Solo I d) II y III
b) I, II y III e) Solo III
c) Solo II
10. Graficar aproximadamente: F(x)=ex–|ex–1|;x∈
a)
b)
y
a) 〈1; 17 〉 b) 〈3; 5〉 c) 〈2; 19 〉 8 9 d) 〈0; 17 〉 8
c) 1 6
y 1
1
x
x c)
d)
y 1
1
x
y
x www.trilce.edu.pe 107
e)
15. Calcular: x Lim c 4 m x→0 1 + 2x – 1
y 1
x
Lim x→1
12. Calcular el dominio de la función real de variable real: x –1 – x + 2 F(x) = Logp = G x–3 – x+5 a) 〈1; +∞〉 b) – [–1; – 1 ] 2 1 c) 〈– 1; – 〉 d) 〈– ∞; – 1〉 2 e) [ – 1 ; +∞〉 2 13. Con respecto a la ecuación: 4x=(3x2 – x3)2 podemos afirmar que:
a) Solo posee cinco soluciones reales. b) Tiene cuatro soluciones reales y dos imaginarias. c) Posee una solución real menor que: – 1 2 d) Posee tres soluciones enteras positivas. e) Posee una solución irracional mayor que 10. 14. Sabiendo que: x→1
;
F(x)
3E
1– x
= 2 ∧ Lim ; x→1
G(x) 1 – x2
E =–3
F Calcular: Lim = (x) G G(x) x→1
a) 1
d) – 3 e) ∞ 2
Quinto UNI 108
b) – 1
d) – 3 2
p
3 b) – 1 c) 3 2 e) – 1
x x Lim c a + b m ; a ∧ b ∈ x x→0
Calcular: c d
Lim
c) – 2
17. Calcular:
x
1 b) 1 a) c) 1 3 2 d) 2 e) 3
1 – 2 – 4 – 3x 1 2– 3 – 2x
f1–
1 a) 3
d 16
b) 4 e) 6
16. Calcular:
11. Si se grafican "F" y "G" tales que: F: → / y = F(x) = Log4x G: → / y = G(x) = Log16x Obtenemos: y c
1
a) 2 d) – 4
c) 2 3
a) Ln(ab)
b) ab
d) Ln( a ) b
e) a+b
+
c) Ln(a–b)
18. Calcular:
(x – a) 4 – b4 Lim G = x→(a+b) (x – b) 3 – a3 2b3 c) 4b3 b2 b) a) 2 a a 3a2 4a3 4b2 e) d) 3a 3b2 19. Hallar el polinomio "F(x)" de grado 3 cuyo término independiente es 2 que dividido entre (x+1) y (x – 3) da como resto – 6 y 14 respectivamente y tal que: F Lim ; (x) E es finito x –1 x→1
Dé como respuesta, el residuo al dividirlo entre: (x – 4).
a) 24 d) 54
b) – 17 e) 64
c) 44
20. Calcular: 7 5 Lim = 8 x – 1 + 4 x – 1G x→1 x –1 x –1
67 a) 28
b) 0
c) 67 40
17 e) 68 d) 8 35 Colegios
TRILCE
Álgebra Tarea domiciliaria 1. Indique el producto de soluciones de: log x Logx Log2x 2 – 5 = 24 Log2
a) 64 d) 256
b) 32 e) 128
c) 16
Log2x
=40
a) 2–3 d) 2–6
∧
Log23=B; indique el
B b) 1 + B c) B 1+B
a) 1+B
B d) 1 e) 2 1+B
2. Indique la menor solución de: Log2(8x)
8. Si: Log3x=KLog6x equivalente de "K"
9. Hallar "x", si: 10x+10–x=3
b) 2–4 e) 2–8
c) 2–5
a) Log c 3 ! 5 m 2
3. Efectuar:
1 +Logxy+1 1 – 1–Logxy x 1–Logxy y
c) Log c 3 ! 5 m –log10 d) Log(3± 5 )2 2
e) 10(3
10. Calcular la suma de los productos de las raíces de la ecuación: 2x7 – 4x2+1=0; tomadas de cinco en cinco.
a) Logx(xy) d) Logy(xy)
4. Reducir:
E=
b) 1 e) Logxyy
Logxy
c) Logyx
Logyx
x .y x Logxy .Logyxy
a) 1 d) xy
b) x e) Logxy
c) y
Lna
n aa
n
= an–a ... (1)
e=
n aa
... (2)
e = 2,718281 ... es el número de Neper –1
n n a) n–n b) c) nn n –1 d) n e) n
6. Si: Log25=a, entonces el logaritmo de 250 en base 20 se puede escribir en función de "a" como:
± 5)
a) – 4 d) 4
12. En la figura adjunta, se muestra la gráfica de la función "F" definida por: F(x)=Log2(–x–3), entonces el valor de: T=J+O+T+A, es:
a) 1 d) 16
Central: 619-8100
b) 4 e) 1 2
y
(J;O)
T
7. Indicar una solución de: Log x + Logx 2 1 2 = Log2 x + 3 2
c) 1
a) Dos raíces reales positivas, dos raíces reales negativas. b) Una raíz real positiva, tres raíces imaginarias. c) Cuatro raíces reales positivas. d) Dos raíces reales negativas, dos raíces imaginarias. e) Dos raíces reales (positiva y negativa), dos raíces imaginarias.
2a + 1 b) 3a + 1 c) 3a + 1 a) a+2 a+1 a+2 2a + 1 e) 2a + 2 d) a+1 a+2
b) 0 e) 2
11. Luego de analizar a: P(x) = 2x4+x2–2x–3=0; por el teorema de Descartes se concluye que "P(x)" tiene:
5. Hallar "a", si:
b) Log c 5 m 2
a) – 24 d) 22
4
A
b) – 22 e) 24
x c) – 21
c) 8
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13. Si: 〈a; c] – {b} es el dominio de la función "f", tal que: f(x) =
4 – x .Logr (x + 3) e x –1
Indicar: (a+b+c)
a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
15. Resolver: Log(10Logx2) ≥ 1 Indique el menor valor de |x|
a) 10
d) 5
b) 10 c) 20 e) 5
c) 2
14. El conjunto solución de la inecuación: (x – 2)(5x – 6x) (Log3x – Log2x)<0, es: a) 〈0; 1〉 ∪ 〈2; +∞〉 b) 〈0; 1〉 ∪ 〈1; 2〉 c) 〈1; 2〉 ∪ 〈2; +∞〉 d) 〈1; 2〉 e) 〈0; +∞〉 ∪ {1; 2}
Quinto UNI 110
Colegios
TRILCE
Problemas resueltos 1. Dada la ecuación: x3+ax2+bx–6=0
De: (a) ∧ (b) cd=6 ab=3
Dos de sus raíces son: 1 y 2. Hallar la tercera \ abcd=18 raíz y dar su suma con "a". 3. Calcular el término cuadrático de un polinomio Resolución mónico de coeficientes racionales y de grado mínimo; si admite por raíces a: 5+2i y 2 – 3 De: x3+ax2+bx – 6=0 Resolución x1=1 ∧ x2=2; por Cardano: x1x2x3=6 Sea: P(x) el polinomio: (1)(2)x3=6→ x3=3 (1): x = 5+2i → x – 5=2i
Además: x1+x2+x3 = – a
6=–a ⇒ a=–6
\ x3 + a = 3+(–6) = – 3
(x – 5)2 = (2i)2
x2 – 10x+25=–4 (x2–10x+29) es un factor de "P(x)"
(2): x = 2 – 3 2. Sabiendo que la ecuación: x4 – 9x+n=0; admi- te dos raíces que suman 3, calcule el producto x–2=– 3 de todas sus raíces. x2 – 4x+4=3 Resolución x2 – 4x+1=0 De: x4 – 9x+n=0 (x2 – 4x+1) es un factor de "P(x)"
Su: C.S. = {a; b; c; d}
Dato: a+b=3 ... (1)
Por Cardano:
* a+b+c+d=0 → c+d=–3 ... (2)
P(x)=x4 – 14x3+70x2 – 126x+29
* ab+ac+ad+bc+bd+cd=0 ... (3)
* abc+abd+acd+bcd=9
P(x) = k(x2 – 10x+29)(x2 – 4x+1); k ∈
ab(c+d) + cd(a+b)=9
–3ab+3cd=9 → cd – ab=3 ... (a)
De: (3):
P(x) = (x2 – 10x+29)(x2 – 4x+1)
ab+(3)(–3)+cd=0
Central: 619-8100
cd+ab=9...(b)
\ Término cuadrático: 70x2
4. Sabiendo que las raíces de la ecuación: x3+mx2+nx+m=0 , son proporcionales a: 2; 3 y 4, hallar "n"
Resolución
De: x3+mx2+nx+m=0
Zx = 2k ] 1 x1 x2 x3 " = = = k " [ x 2 = 3k 2 3 4 ] x = 4k \ 3
ab+a(c+d)+b(c+d)+cd=0 ab+(a+b)(c+d)+cd=0
Como "P(x)" es mónico: k=1
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Por Cardano:
* x1+x2+x3 = – m → – m = 9k ... (1)
Resolución
De: x7 + ax – b2 = 0 y
y=x7
* x1x2+x1x3+x2x3 = n → n=26k2 ... (2)
b2
* x1x2x3 = – m → – m = 24k3 ... (3)
(1) = (3) ⇒ 9k=24k3 → k2= 3 8 En (2): n = 26 c 3 m → n = 39 8 4
5. Si "l" es una raíz real de la ecuación: x7 + ax – b2 = 0; a > 0
Hallar el producto de raíces (no reales), de esta ecuación.
l
→ a>0 –a<0
x y=–ax+b2
Existe una única raíz real: x0=l ⇒ Por Cardano: (l) (x2.x3 ... x6.x7) = b2 2 x2 .x3 .x4 .x5 .x6 .x7 = b l 1 4 4 44 2 4 4 44 3
2 \ Producto de raíces no reales: b
l
Problemas para la clase 1. Indicar el valor verdadero de las siguientes pro- 5. Si una de las raíces de la ecuación: posiciones en base a la ecuación: 3x3 – 18x2 + ax – 60 = 0 (a ∈ ) 2 3 (x – 2) (x+3) (x – 2 )=0 es la media aritmética de las otras dos, calcular la suma de las inversas de estas dos raíces. I. Presenta 6 raíces y dos soluciones II. Posee 3 soluciones ó 5 raíces 1 b) 2 c) 3 III. Tiene a: x=2; como raíz doble y a: x= 2 a) 5 5 5 como raíz simple. 4 d) e) 1 5 a) F V F b) V V V c) F V F d) F V V e) F F V 6. Si una de las raíces de la ecuación polinomial:
P(x) = x4+4x3+ax2+bx+c=0; es el número: 2. Una ecuación polinomial de coeficientes ente(–1+ 4 2 ), calcular "abc", si: {a; b; c} ⊂ . ros de grado 7 posee una raíz compleja no múltiple. Si la suma de sus tres soluciones es 8 y la a) 12 b) – 12 c) 5 suma de sus raíces es 16, hallar la parte real de d) 24 e) – 24 la raíz compleja mencionada.
a) 1 3 d) 2
b) 2
c) 4
e) 3
3. Resolver: c4x4 – c2(a2 – b2)x2 – a2b2 = 0 e indique una solución compleja. i a) – bi b) c c d) – c i e) – bci 5
7. Si una de las raíces de la ecuación en "x": x3 + x2 + ax + b =0/a, b ∈ , es: (2+ 3 ), calcular: b – a 2
a) 9 d) – 12
b) 12 e) – 8
c) – 15
c) – i c
8. Hallar la suma de los valores que puede tomar "a", de tal manera que la bicuadrada: x4–(a+2)x2+4=0; tenga dos raíces: "x1"; "x2" (x1+x2 ≠ 0) que sean a la vez raíces de: 4. Hallar los valores reales "a" y "b" de modo que (1 – i) sea una raíz de la ecuación: x2+ax+b, para algún: b<0 5 3 x + ax + b = 0 Indicar la suma a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) 8 b) 6 c) 9 d) 10 e) 7
Quinto UNI 112
Colegios
TRILCE
Álgebra 9. Si una solución de la ecuación: x7+p2x – q2=0 (p ∧ q reales) es "r"∈ – {0} Calcular el producto de las raíces complejas.
15. Si las raíces positivas de la ecuación bicuadrada: x4 – (p+2)x2+4=0, suman "p", calcular el valor de "p".
p2 – q2 a) r
b) 2r(p+q)
q2 d) r
e) No se puede determinar
c)
r p–q
10. Sea "P" una función polinomial definida por: P(x)=x3+ax2+bx+4; con a y b ∈ . Si: (1+ 7 ) es una raíz de la ecuación: P(x)=0, entonces indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. a.b>0 II. a2+b2=13 III. 2a=b
a) V F F d) F V F
b) F F F e) V V V
c) V V F
11. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si: x=1; es una raíz de: x3+(m–1)x2+(3m – 1)x – 19=0, entonces: m=4 II. Si "x0" es una raíz de: x3=x+3, entonces el 2x30 – 5 es 1 valor de: T = 2x 0 + 1 III. Si "P" es un polinomio de quinto grado con coeficientes reales que tiene como raíces a "2i" y a "i", entonces la gráfica de "P" corta al eje "x" en un punto.
a) V V V d) F V F
b) F V V e) V F V
c) V V F
12. Formar una ecuación bicuadrada que tenga por dos de sus raíces a: – 2 3 y 5.
a) x4+42x2+280=0 b) x4 – 40x2+390=0 c) x4 – 37x2+300=0 d) x4 – 42x2+280=0 e) x4+37x2+280=0
b) 2 e) "a" y "c"
c) 3
16. Si: x=c, es raíz de la ecuación: 4x3+(3b – 12 – 4c)x2+(13c – 3bc)x – c2=0 Calcular el valor de "b", si las otras raíces son simétricas.
a) 1 d) – 2
b) 2 e) 4
c) 3
17. Si "x1"; "x2" y "x3" son raíces de: x3+Ax+B=0, además: x1.x2.x3=x1+x2; indicar la relación entre "A" y "B".
a) A2+B+1=0 c) A2+B+1=0 e) A3+B+1=0
b) A+B3+1=0 d) A+B2+1=0
18. En un polinomio mónico "P(x)" de coeficientes racionales, se sabe que una de sus raíces es 3 4 2 3 2 + 2 2 . Determine el producto de las raíces de dicho polinomio, si es de grado mínimo.
a) 3 d) –5
b) –2 e) –6
c) –4
19. Dada la ecuación: ax5+bx4+gx3+gx2+bx+a=0 Calcular la suma de sus raíces, si dos de ellas son: "m" y "n", m ≠ n. Siendo además: m+n=–m.n=10
13. De la ecuación: x4 – (3m – 5)x2+m2=0; la suma de raíces positivas es 5. Calcular el valor de "m". a) 0 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8
a) – 2 d) – 4
a) 0 d) 1
b) 3 e) 2
c) 8
20. Si el polinomio: P(x)=x3+ax2+x+2, es divisible por (x+2), entonces el producto de las raíces racionales de la ecuación: P(2x3+2 – P )=0, (x) es:
a) 0 d) – 3
b) 5 e) 2
c) – 2
14. Calcular el valor de "m", sabiendo que las raíces de: 4x3 – 24x2+mx+18=0, son: x1=a+b; x2=a; x3=a – b
a) 18 d) 25
Central: 619-8100
b) 21 e) 27
c) 23
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Tarea domiciliaria 1. En la ecuación de incógnita "x": x5 – 5x4+mx3 – x2+nx+18=0; m ∧ n∈ Se conoce una raíz, la cual es: – 2 Calcular la suma de tres raíces.
a) 5 d) 7
b) 6 e) a ∨ c
c) – 1
2. Sabiendo que: 1 y – 2 son ceros del polinomio: P(x) ≡ x3+mx2+nx – 10 Proporcionar la quinta parte del otro cero.
a) – 5 d) – 2
b) 1 e) 4
c) – 1
– 2=0 c) x4+10x2 – 4=0 e) x4 – 5x2+6=0
b) x4
4. Calcular "m" con la condición de que las raíces de la ecuación: x4 – m2x2+324=0, se diferencien en 8; siendo estas raíces positivas. a) ±10 b) ±11 c) ±12 d) ±13 e) ±14 5. La ecuación de incógnita "x": (a – b)(a+b – c)x4+(b – c)(b+c – a)x2+(c – a)(c+a – b)=0; a ≠ b+c; admite por raíces a 1 e "i". Calcular: + + + (a 2b) (b 2c) (c 2a) (a + b + c) (ab + ac + bc)
a) 2 d) 1
b) 3 e) – 2
c) – 1
6. Proporcionar la suma de las raíces no imaginarias de la ecuación: x6 – 18 2 x3 + 64 = 0 a) 2 d) 4 2
b) 2 2 e) 5 2
c) 3 2
7. ¿Cuántas raíces imaginarias tienen la ecuación: x3 – 9x2+36x – 80 = 0?
a) 1 d) 4
b) 2 e) Ninguna
Quinto UNI 114
a) – 4 d) 4
Q(x)=P(x) – P
b) 0 e) Ninguna
c) 1
1 1 1 cx + x + x m 1 2 3
, donde "x1", "x2" ∧ "x3"
son las raíces de "P(x)", hallar: Q(–1) a) –12 d) –19
b) –11 e) –15
c) –14
11. Hallar el producto de las raíces del polinomio, P(x)=x3+x2+nx+2m, si la suma de dos de sus raíces es –7, además: n – 2m=28. a) –30 d) 60
b) –60 e) 72
c) 30
12. Si (5+ 5 ) es una raíz del polinomio: P(x)=x3+(1 – m)x2+2(n+1)x – 100, de coeficientes enteros, hallar: n – m a) 13 d) 23
b) 15 e) 8
c) 18
13. Si (–3+ 5 ) es una raíz del polinomio: 2 P(x)=4x3+(3m+1)x2 – 17x+8n+2; m,n ∈
,
hallar: 7n+5m
a) –62 d) 34
b) –31 e) 62
c) 31
14. Hallar la suma de los cuadrados de las raíces del polinomio: P(x)=x2 – (a – 1)x+6; si "2i" es una raíz de "P(x)"
c) 3
8. Si "α" y "β" son raíces del polinomio: Q(x)=x2+mx+n; siendo "m" y "n" la suma y el producto respectivamente de las raíces del polinomio: P(x)=x3–x2–4x+4; hallar el valor de: α4+β4
c) 81
10. Sean los polinomios: P(x)=x3+2x–1 ∧
3x2+5=0
– d) x4 – 3x2+5=0
b) 49 e) 40
9. Calcular la suma de las inversas de los productos de las raíces de la ecuación: 2x7 – 4x2+1=0; tomadas de cinco en cinco.
3. Formar la ecuación bicuadrada, dos de cuyas raíces son: 2 ∧ 3 a) x4+4x2
a) 39 d) 32
a) 8 d) –13
b) 13 e) –10
c) –8
15. Si (–1– 3 ) es una raíz del polinomio P(x)=3x3+4x2+(3m+2)x+n+3; m,n ∈ , hallar el valor de: 13m+2n
a) 6 d) 2
b) 4 e) 1
c) 3
Colegios
TRILCE
Problemas resueltos 1. Dada la ecuación: x2=15 – 2x; hallar otra ecuación, cuyas raíces sean el triple de las raíces de la ecuación anterior, disminuidas en 1.
4. Esbozar la gráfica de: F(x)=x3 – 5x2+2x+1 Resolución Si: F(x) = x3 – 5x2+2x+1
Resolución Se tiene: x2+2x – 15=0 ... (1) Se desea: z = 3x – 1 → x = z + 1 3 Se reemplaza en la ecuación (1) a "x" por:
x + 1 : → x + 1 2+2 x + 1 –15=0 c m c m 3 3 3
x = 10 ! 100 – 4 (6) 6
⇒ La
x = 10 ! 2 19 = 5 ! 19 6 3
nueva
ecuación
será:
x2+8x
–
128=0 2. Hallar una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean los recíprocos de las raíces de: x2 – 4x+3=0
Resolución Se tiene: x2 – 4x+3=0 ... (1) Se desea: z = 1 → x = 1 x z \ Se reemplaza en la ecuación (1) a "x" por 2 " 1 " → ` 1 j – 4 ` 1 j +3 = 0 x x x ⇒ La nueva ecuación será: 3x2 – 4x+1=0 3. Esbozar la gráfica de la función: F(x) = – 5(x+1)x2(x – 2)4(x – 4)5
Resolución En: x = – 1 ∧ x = 4 → Puntos de corte con el eje "x" En: x=0 ∧ x=2 → Puntos de tangencia con el eje "x" Además: Si: x=0 → y=0
4 5 Lim F(x)= –5x12(1+ 1 )(1)(1– 2 ) (1– 4 ) =–∞ x x x x→±∞ \ Esbozamos la gráfica: y
Central: 619-8100
0
2
4
x
7
⇒ F'(x) = 3x2 – 10x+2=0
⇒ ⇒
x1 = 5 – 19 > – 1 3 x2 = 5 + 19 <5 3
⇒ Esbozamos: 1 –1
x1
x2
5
5. ¿Es posible que la ecuación: x5+x3+2x – 3=0 tenga al menos una raíz positiva pero menor que: 3 2 ?
Resolución
Es evidente que si denotamos como: P(x) = x5+x3+2x – 3 ⇒ P(0) = –3 ∧ P(1) = 1
⇒ Por el teorema de Bolzano: Al menos existe una raíz "x0", tal que: 0 < x0 < 1 <
F(x) –1
→ F(0) = 1 ∧ F(1) = – 1 ∧ F(5) = 11 ∧ F(–1) = –
3
2
\ Si es posible que al menos halla una raíz positiva menor que:
3
2 www.trilce.edu.pe 115
Problemas para la clase 1. Sea el polinomio: P(x)=x4 – 4x3+5x2 – 2x – 2; entonces una de las posibilidades de las raíces según la regla de Descartes es: 2.
a) 3 raíces positivas; 1 negativa b) 2 raíces positivas; 1 negativa; 1 imaginaria c) 2 imaginarias; 2 reales positivas d) 2 raíces negativas y 2 positivas e) Ninguna
a) x3+6x2 – 11x – 4 b) x3 – 6x2 + 11x + 4 c) 2x3 + 2x – 1 d) x3 – 6x2 – 11x – 4 e) x3 – 6x2 + 11x – 4
Encontrar un polinomio "P(x)" cuyas raíces sean las de: P(x)=x3 – x + 10; aumentadas en 2.
I. Admite un cero real positivo. II. Admite un cero real negativo. III. Admite dos ceros imaginarios.
a) F F V d) F V F
b) V F F e) F F F
c) V V V
8. Si: l>0; decir cuántas raíces reales tiene el polinomio: R(x) = x4 – lx – (l + 9) a) 0 d) 4
b) 2 c) 3 e) No se puede determinar
9. Sean "F(x)" un polinomio cuya gráfica es: y
a) cx2 – (3b+4c)x – (a+2b – 3c)=0; c ≠ 0 b) cx2+(4c – 3b)x+(9a – 6b+4c)=0; c ≠ 0 c) cx2 – (b+5c)x – (3a+2b+5c)=0; c ≠ 0 d) cx2+(5b – 3c)x+(a+4b – 3c)=0; c ≠ 0 e) cx2 – (5b+c)x+(a – b+c)=0; c ≠ 0
F(x) 0
1
2
x
Señalar "V" o "F"
I. Como mínimo "F(x)" es una función de grado 3. II. Puede existir una raíz de multiplicidad par. III. Admite solo tres raíces reales.
a) V V F d) F F V
b) F V F c) V V V e) V F V
4. Para transformar la ecuación: 2x3 + 6x2 + 5x – 7 = 0 En otra que no posea término cuadrático, "x" debe reemplazarse por:
10. En la función: P(x) = x7 – 8 + x Indique el intervalo que contiene el valor "x0" que anula a "P(x)"
a) 〈0; 1〉 b) 〈1; 2〉 c) 〈– 1; 0〉 d) 〈– 2; – 1〉 e) 〈2; 3〉
a) x – 1 d) x – 4
b) x – 2 c) x – 3 e) No es posible
5. ¿Cuántas raíces reales tiene la ecuación: x3 – 27x – 50=0?
11. Dado el polinomio: F(x) = – x3 + 2x2 + 1 Indicar la proposición correcta:
a) 0 d) 3
b) 1 e) F.D.
c) 2
6. El polinomio: F(x) = Mx4+Nx3+Px2+Qx+S
se anula cuando: x=a y x= 1 a ¿Qué condición deben cumplir sus coeficientes?
a) N=0; Q=0 c) S=0 e) M+N=Q+S=0
Quinto UNI 116
3. Si "m" y 4/5; son las raíces de la ecuación: ax2 – bx+c=0; a ≠ 0; formar otra ecuación de segundo grado cuyas raíces sean: ` 3 – 2m j y 7 m 4
7. Si: F(x) = 4x4+3x2 – 6x – 7 Señalar (V) o (F) respecto a:
b) M=S; N=Q d) M+N=P+Q
a) Es univalente en el intervalo: 〈– ∞; 2 ] 3 b) Es decreciente en: 〈– ∞; 0] ∪ 〈 2 ; +∞〉 3 c) Es inversible en [1; 2] d) Su mínimo relativo es: 59 27 e) Una de sus raíces está en 〈2; 3〉
12. Dada la función polinomial: F(x) = 4x8 – x3 + x2 + 8x – 8 Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
Colegios
TRILCE
Álgebra I. F(x)=0; presenta cuatro soluciones reales. II. F(x)=0; tiene una solución negativa. III. $! x0 ∈ 〈0; 1〉 / F(x ) = 0 0
a) F F F d) V V V
b) F V V e) V V F
c) F V F
13. Sea: F(x) = 10 x5+7x4+ 16 x2+ 2 x – 4 3 3 3 3 Podemos afirmar:
a) Admite dos ceros racionales. b) Admite dos ceros imaginarios. c) Admite un cero en 〈– 3; – 2〉 d) Admite un factor primo irreductible de grado 3∈ e) Más de una es correcta.
14. El intervalo que debe variar "k", de modo que una raíz de: 9x2 – 36x+k2=0, se encuentre en: 〈 4 ; 2〉; es el subconjunto solución de la forma 3 〈a; b〉 ∪ 〈c; d〉. Hallar el valor de: ad–bc
a) 5 d) – 1
15. Transformar: en: P(x – 4)
b) 2 e) – 4
2 b) 1 a) c) – 1 3 7 7 5 d) e) 1 3 18. Si el polinomio: P(x)=x3+2x–1; tiene por raíces a: "m", "n" y "p", calcular: 1 + 1 + 1 1 + m2 1 + n2 1 + p2
E=
1 a) – 3 b) 4 2 3 d) – 1 e) 2 4
c) 6
19. Hallar el producto de los polinomios "F(x)" y "G(x)" cuyas gráficas se muestran: F(x)
4 2
G(x)
P(x)=x4+10x3+39x2+76x+65;
b) 8 e) Imposible
1 + 1 + 1 2a – 1 2b – 1 2c – 1
–8
a) x4+15x3 – 6x2 – 12x+1 b) x4 – 3x2+1 c) x4 – 6x3+15x2 – 12x+1 d) x4 – 5x2+2 e) 65x4+76x3+39x2+10x+1
a) – 3 d) 3
Calcular:
c) 0
16. Si el polinomio: P(x)=x4+2x3 – 3x2 – 5x+m tiene como raíz a 1; indique la suma de las otras raíces aumentadas en "m".
17. Sabiendo que {a; b; c} es el conjunto solución de la ecuación: 3x3 – 2x2+1=0
4
8
(2; –240)
a) – x5 – 4x4+64x3+256x2 b) x5+4x4 – 64x3 – 256x2 c) – 2x5+8x4+128x3 – 512x2 d) x5 – 4x4+64x3+256x2 e) – x5+4x4+65x3 – 256x2
20. Hallar la ecuación cuyas raíces sean los cuadrados de las raíces de: x4+x3+2x2+x+1=0. Dar como respuesta la suma de sus coeficientes. a) 13 d) 10
c) 2
b) 12 e) 9
c) 11
Tarea domiciliaria d) x3–6x2–13x–20 e) x3+6x2+13x–20
1. ¿Cuántas raíces reales positivas tiene la ecuación: x4+x3+2x2+x+1=0?
3. Encontrar un polinomio "P(x)" cuyas raíces sean las de: Q(x)=x3+x – 18, aumentadas en 1.
a) 4 d) 1
b) 3 e) 0
c) 2
2. Proporcionar el polinomio "P(x)" cuyas raíces son de: P(x)=x3+x–10; aumentadas en 2.
a) x3+6x2–13x–20 b) x3–6x2+13x–20 c) 2x3+2x–1
Central: 619-8100
a) x3 +4x – 16 b) x3 – 3x2+4x – 16 c) x3 + 3x2 +4x – 16 d) x3 + 3x2 + 4x – 20 e) x3 – 3x2+4x – 20 www.trilce.edu.pe 117
4. Encontrar la ecuación cuyas raíces sean las de la ecuación: x5–3x3+2x2+7=0, disminuidas en 1.
a) x5 – 5x4+7x2+x – 7=0 b) x5 – x4+7x3 – x2+7=0 c) x5+5x4+7x3+3x2 – 7=0 d) x5+5x4+7x3+3x2+7=0 e) x5 – x4+6x3 – x2+7=0
a) x – 5 d) x – 4
b) x – 6 c) x – 8 e) No se puede
6. Hallar la ecuación polinomial de coeficiente principal 1 y coeficientes enteros cuyas raíces sean los cuadrados de las raíces de: x4+2x3+2x2+2x+1=0 Dar como respuesta la suma de sus coeficientes.
a) 13 d) 8
b) 12 e) 9
c) 11
7. Encontrar una ecuación cúbica cuyas raíces sean el triple de las recíprocas de cada una de las raíces de la ecuación polinomial: Ax3 – Bx2+C=0
a) Cx3 – 9Bx+27A=0 b) Cx3 – 2Bx2+8A=0 c) Cx3 +9Bx+27A=0 d) Cx3 – 3Bx2+27A=0 e) Cx3 – 3Bx+27A=0
F(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3; a0a3 ≠ 0
de coeficientes racionales, indique lo incorrecto:
a) "F(–x)" se obtiene raíces de: –x1; –x2; –x3
b) "F( 1 )" se obtienen las raíces recíprocas.
c) "F( x )" se obtienen las raíces duplicadas.
d) "F(x – h)" se obtienen raíces aumentadas en "h"
x
e) "F(
a) 4 d) 9
Quinto UNI 118
c) 2
a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
12. Si "a" es raíz de la ecuación: x4+3x – 15=0; ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a) a ∈ 〈0; 1 〉 2
b) a ∈ 〈 1 ; 1〉 2
c) a ∈ 〈1; 3 〉 2
d) a ∈ 〈 3 ; 2〉 2
e) a ∈ 〈2; 5 〉 2
13. Si "a" es raíz de la ecuación: x3+18x – 29=0; ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a) a ∈ 〈0; 1 〉 2
b) a ∈ 〈 1 ; 1〉 2
c) a ∈ 〈1; 3 〉 2
d) a ∈ 〈 3 ; 2〉 2
e) a ∈ 〈2; 5 〉 2
a) Existen dos soluciones reales b) No existen soluciones c) Existen cinco soluciones reales d) Existen tres soluciones reales e) Existe una solución real
15. Sea el polinomio: P(x)=x4 – 2x2+4x + 16 Entonces una de las posibilidades de las raíces según la regla de Descartes es:
2
x)
" se obtienen raíces:
2 x 1; x 2
;
3 x3
9. Formar una ecuación cúbica de coeficiente principal 1 y coeficientes enteros cuyas raíces sean el doble de las negativas de cada una de las raíces de la ecuación: x3 – x2+2x+1=0; luego la suma de coeficientes de dicha ecuación es:
b) 1 e) F.D.
14. De la ecuación: x5+x – 10=0; podemos afirmar que en el intervalo 〈1; 2〉:
8. Si: x1; x2; x3; son las raíces de:
a) 0 d) 3
11. ¿Cuántas raíces complejas tiene la ecuación: 2x3 – 5x2+6x – 6=0?
5. Para transformar la ecuación: 2x3+48x2+7x – 16=0 en otra que no posea término cuadrático, "x" debe reemplazarse por:
10. ¿Cuántas raíces reales tiene la ecuación: x3 – 30x – 60=0?
b) 6 e) 3
a) Tres raíces positivas; una negativa b) Dos raíces positivas; una negativa; una compleja. c) Dos complejas; dos reales positivas d) Dos raíces negativas y dos positivas e) Ninguna
c) 8 Colegios
TRILCE
Problemas resueltos E=i–1+i–2+i–3+...+i–64+i–65+i–66+i–67+i–68–i–68 0
1. Determinar "P(1+i)", donde: P(z) = z5+(1+i)z4+(2i)z3+(3i)z2+z+2
Resolución
Aplicamos: División polinómica 1
1+i
2i
3i
1+i ↓
1+i
4i
6i–6
2(1+i)
6i
1
1
–15+3i –17–11i
–6+9i –14+3i
R
Resolución
Sea: z = a+bi → z = a – bi
→
4. Si una de las raíces cúbicas de un número complejo "z" es 1+i, determinar "z".
Resolución
Sea: z 3 = 1+ i , (un valor)
z = (1 + i)3
z = (2i) (1 + i)
z = –2 + 2i → z = – 2 – 2i
5. Si: {x; y} ⊂
z + z = 10 S 2|z|=10 → |z| = 5
\E=–1
\ z + z = 2a = 8 → a = 4
1
2. La suma de dos números complejos conjugados es 8 y la suma de sus módulos es 10. Hallar el complejo que está en el primer cuadrante.
*
E = –(i68)–1 = –(1)–1 = – ` 1j 1
2
\ R = P(1+i) = – 15 – 11i
en: (1+i)(2+i)(x+i)=(1–i)(2–i)(y–i)
Resolución
Se tiene:
a2 + b2 =5
∧ i = –1, determinar: x – y
(1+i)(2+i)(x+i)=(1–i)(2–i)(y–i)
16+b2=25
(1 + i) (2+i)(x+i)=(2–i)(y–i) (1 – i)
b2 = 9 → b = ±3
i(2+i)(x+i)=(2–i)(y–i)
(–1+2i)(x+i)=(2–i)(y–i)
Como: z ∈ C ⇒ b = 3
→ z=4+3i
3. Determinar el valor de: 2
1
3
E= c 2 + 3i m + c 4 + 5i m + c 6 + 7i m +...+c 134 + 135i m 2i – 3
4i – 5
6i – 7
Resolución
Se observa que: a + bi = – i ai – b "E" se transforma en:
67
134i – 135
(–x–2)+(–1+2x)i=(2y–1)+(–2–y)i
* Igualando partes reales:
–x–2=2y–1 → x+2y=–1...(a)
* Igualando partes imaginarias:
–1+2x=–2–y → 2x+y=–1...(b)
* De (b) – (a): x – y = 0
E=(–i)1+(–i)2+(–i)3+..+(–i)67; pero:–i= 1 =i–1 i Central: 619-8100
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Problemas para la clase 1. Siendo el complejo: Z =
20
8. Si: z= c 1 + i m ∧ w=i401+(1 – i)4, hallar: 1- i Re(z+w)+Im(z – w) a) –4 b) 4 c) 2 d) 1 e) –1
1+i +1 1– 1 + i 1– 1 + i 1– i
Hallar el módulo de "Z"
a) 3 e) 2
b) 1 e) 2
c) 2 2
2. Efectuar: (p+i)–2 – i(p+i)–1+i(p–i)–1+(p–i)–2 Siendo: i = –1
a) 2(p2+1)–1
b) –2(p2
–
1)2
d) –4(p2+1)–2
c) 0 e) –1
a) 15 d) 18
b) 17 e) –13
c) –15
10. Si: Re(Z) = 4; determinar: M = |1+Z|2 – |1 – Z|2
a) 4 d) 16
b) 8 e) 20
c) 12
3. Sea: Z ∈ C – {(0; 0)}. Hallar el módulo de "Z", Z tal que la expresión: sea un complejo 2 + 36 Z real.
11. Si "α" y "β" son números reales tal que: a - 6i =β – 7; hallar el valor de: α – β - 2 + 3i
a) 36 d) 8
b) 6 e) 3
c) 6
a) 3 d) 4
b) 2 e) 1
c) – 2
5. Calcular: –4i N = c1 + im 2 –
a) e
p – d) e 4
c) e2p
e) ep
a) 198(1+i) d) 397(1+i)
b) 199(1+i) c) 396(1+i) e) 243(1+i)
7. Simplificar:
2
2
-bi -bi bi bi (1 + i) n , donM=; a + a E − ; a − a E + 2 2 (1 - i) n - 2 de "n" es un entero positivo y a >0.
a) 2 d) 2in-1
Quinto UNI
a) 5+8i d) 5 – 8i
x+1 xx =
6. Hallar el valor de: S= 2 + 32 + 43 + 54 + ... + 397 . i i i i i396
b) 1 e) –1
b) 8 – 5i e) 4+5i
13. Resolver:
p 4 b) e
p 4
a) 0 d) 4
b) 1+in-1 e) 1+2in
c) –2
12. Hallar el número complejo "z" que satisface: z+Re(zi+3)=lm(z+i5)+5i.
4. Si: Z.Z+ Z.Z – 2=0; hallar: |Z|
120
9. Si: z ∈ C tal que: Re(z)>0 ∧ z2+18 – |z|2+i=0; hallar el valor de: 12Re(z) – 5lm(z).
c) 1+2in-1
1 c pm e
c) 8+5i
1 ep
a) 2 i b) – 2 i 2 3 1 d) – i e) i 2
c) i
14. Calcular uno de los valores de: 2 i– i + 5 i
a) 1 – i
b) 2i
d) i
e) 2
c) 1+i
15. Encontrar el valor de "x – y"; si se cumple: xy =1+i x + yi
a) 4 d) – 2
b) 2 e) – 4
c) 0
Colegios
TRILCE
Álgebra 16. Si: i = –1 ∧ n ∈ +, entonces el número de resultados diferentes de la expresión: i2n+i3n+2001, es:
3 b) 2 c) 3 a) 2 3 d) 1 e) 6
19. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
17. ¿Qué característica presenta la expresión: Z + Zi + Z – Zi ; Z ∈ C ? Z – Zi Z + Zi e(z) ≠ IIm(z)
a) Imaginario puro b) Complejo real c) Complejo nulo d) F.D. e) Ninguno
$ Z ∈ C, tal que: Z–1 = – Z I. II. $ Z ∈ C, tal que: Z2=Z , (Z ≠ 0) III. $ Z ∈ C, tal que: Z2=– Z , (Z ≠ 0)
a) V V V d) V F V
b) V V F e) F V V
c) F F F
20. Si: i = –1 , calcular: 4 4 c (2 + i) + (2 – i) m 14i
18. Si el complejo "W" definido como:
a) 1 d) – i
2001
b) – 1 e) (–2i)2001
c) i
W = m + 3i / m, n ∈ 2 + ni es un real puro, calcular "mn"
Tarea domiciliaria 1. Dar el valor de verdad de las proposiciones siguientes:
I. "Z" es un complejo real ⇔ Z = Z i+i2+...+i10001+1 II. Si: Z1 = → Z1 = i 13 28 010 i2 +i2 – i6+i2 III. "Z" y "Z*" son simétricos con respecto al polo. a) V V F d) F V V
b) V V V e) F F V
c) V F V
2. Hallar el módulo del complejo "Z": Z= c1 –
2 2 2 ... 1– 2 mc1 – mc1 – m c m i+1 i+3 i+5 i + 21
donde: i = –1
a) 2
3. Calcular "Z90", al resolver la ecuación, siendo "Z" un complejo:
(4 – 2i)Z – 1 + i = 2 3 + 1 + i(1 – 3 ) 1– i
a) – 1 d) 1
c) i
4. Se dan los complejos: Z1 = 1 + ai ; a ∈ 1 – ai Z2 = –1 – bi ;b∈ 1 + b2 i
Ubicados en el plano Gaussiano: y Z2 x
4 2 b) 2 c)
d) 1 e) 3 221
Central: 619-8100
b) – i e) 0
Z1
Determinar el mínimo valor de "ab"
a) 0
1 d) – 1 e) 2 2
b) 1
c) – 1
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5. ¿Cuántos valores puede tomar "p" para que el 9. Determinar "x – y", en: complejo sea un complejo real? (1+i)(3+i)(x+i)=(1 – i)(3 – i)(y – i); x, y ∈ (p2 –4) + (p2 + 2p – 15) i 2 (p – p – 2) + (p2 – 9) i a) 0 b) 1 d) 3 e) 4 6. Si: m+ni=(1+ 3 i)6; Hallar el valor de:
c) 2
a) 1
–1 = i
1 d) 4
e) 0
a) 2 d) 2
Hallar: m+n+p+q+ 3 – 2 b) 2 e) 5
π
a) 4e 2
c) 3
d) 3e
15π 2
Quinto UNI 122
9π
b) 3e 2
b) – 1 – 3i e) 1+6i
c) – 19 – 11i
b) 1 e) 3 2
c) 1 2
13. Dada la igualdad: 1+|z|=|i+z|; con z ∈ C, entonces:
8. Dado el complejo: Z = 1 +bi a Donde: Z – 3i = i2+i Calcular un valor de: |ab|
a) – 1 – 2i d) 1+5i
12. Hallar el máximo valor de "a+b", siendo z=a+bi; con: a,b ∈ + ∧ |z|=1
8 + 6i = n + qi; n>0 1– i
a) 1 d) 4
c) 1 – 2
P(z) = z5+(1+i)z4+2iz3+3iz2+z+16+9i
(m+pi)2 = 1 – 2 6 i / i = –1 ∧
c) 0
11. Determinar "P(1+i)"; donde:
7. Si: m
b) – 1 e) 4
a) 2 +1 b) 2 – 1 d) – 1 – 2 e) 2 – 2 c) 1 2
b) 2
a) – 2 d) 1
10. Si el complejo: Z = x + i ; x ∈ 1 + xi determinar "x", si el afijo de "Z" está en la bisectriz del tercer cuadrante.
(m + n) 2 + (n – m) 2 2
12
π
a) e(z) = 0 ∧ II m(z) ≥ 0 b) e(z) 0 ≥ ∧ II m(z) = 0 c) |z|=1 d) II m(z) ≥ 1 e) |z|<1
c) 2e 2
π
e) e 2
Colegios
TRILCE
Álgebra
Problemas resueltos 1. Expresar: z=–2+2 3 i; en forma exponencial:
3. Indicar el módulo de "z", siendo: ^ 3 + ih
5
Resolución
Si: z=–2+2 3 i
z =
(4 + 3i) 2 (–1 + i) 4
Graficando: Im z
Resolución
2 3
|z|=
|z|
^ 3 + ih
5
5
(4 + 3i) 2 (–1 + i) 4
3+i = 4 + 3 i –1 + i 4
q Re
–2
|z|=
25
4. Sean los complejos:
|z| = 4
z1 = – 1 + 3 i ∧ z2 = 1 – 3 i 2 2 2 2
q = Arg(z) = 2π 3 qi z = |z|e ⇒ \ z=
2π i 4e 3
2. Efectuar: c 1 + i m 2
–4i
Resolución
–2i 1 + i 2 –2i E= c 1 + i m –4i = 'c 2 m 1 = c 2i m =(i)–2i...(a) 2 2
Ahora bien, grafiquemos "i": Im 1
pi e2
⇒i=
Luego (b) en (a): E = `e 2 j
⇒ z1 = Cis c 2π m
3
* z2=– 1 – 3 i → |z2|=1 ∧ Arg(z2)= 4π 2 2 3
⇒ z2=Cis c– 2π m 3
n
n
z1+z2=cosc 2nπ m +isen c 2nπ m +cosc 2nπ m –isen c 2nπ m
... (b) p
Central: 619-8100
Resolución
* Aplicando Moivre:
Re
2
\ E = ep
+
|i|=1 Arg(i)= π
=
n
Determinar el complejo: w=z 1 + z 2 ; n ∈
q pi (1)e2
n
* z1= – 1 + 3 i → |z1|=1 ∧ Arg(z1)= 2π 2 2 3
Sea:
→ |z| = 8
2 2 ⇒ |z| = (–2) + (2 3 )
25 = 23 4 5 . 2 52 2
3
i –2i
2
= e–pi = ep
n
3
3
3
n
→ z 1 + z 2 = 2cos c 2nπ m 3
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5. Graficar: A = {z ∈ C / I m(z) + 3 Re(z) ≤ 3}
⇒ La gráfica de "A"; sean los z:
Resolución
Sea: z = x + yi ⇒ I m(z)+3Re(z) ≤ 3 ⇒ y + 3x ≤ 3
Im
La gráfica de los "z", sería:
Re
1 –3
Im 3 Re
1
y+3x=3
Problemas para la clase 1. Reducir: E={cos15º+isen15º}40+{cos5º–isen5º)}120
a) 0 d) 2
b) – 1 e) 1
c)
3 2
a) Cis10º d) Cis55º
b) Cis5º e) Cis45º
3p d) e 2
a)
w
p – b) e 2
c) ep
c)
a) 2epi
b) 2e2pi c) 2 e2pi
d) –1+ 3 i
2p i e) e 3
b) 2 2
124
Re
e)
Im Re
p i e4
c) 2
p i 23
e) 2 epi
6. Si: f0; f1; f2; f3; f4 y f5; son las raíces de orden 6 de la unidad real, ¿qué clase de número es: f1+f2+f3+f4+f5? Quinto UNI
Im
w
5. Llevar a su forma exponencial: Z=(cos π – isen π )(1+i)(1+ 3 i) 3 3 p i 3 d) 2e
w Re
a) e
d)
Im w
calcular: Z–3+Z3
Re w
e) Hay dos correctas
p i 2
Im
Re
4. Si: Z = – 1 + 3 i 2 2
b)
Im
c) Cis2º
3. Dar el equivalente de: ii p – a) e 4
a) Nulo b) Real c) Imaginario puro d) Su módulo es 1 e) Más de una es correcta
7. Del problema anterior, grafique el complejo:
2. Calcular: Cis25º.Cis13º.Cis12º M= Cis (–26º) .Cis (–22º) .Cis43º
8. Hallar el módulo de: w = 2
i–3
(1 + i)
3–i
p
a) 1
b) e 4 c) 2
5π e) 3π d) 4 4 Colegios
TRILCE
Álgebra 14. Después de reducir: Z = (3+4i)3 – i.5i – 3 calcular el argumento de "Z"
9. Hallar el módulo de:
Z=
2+i
e2–i
a) e 3 e
53π b) 67π c) 173π a) 60 60 60
c) 3 e
b) 1
5 3 5 d) e e) e
201π e) π d) 60 60
10. Obtener el gráfico del complejo:
15. Determinar el valor del área de la región poligonal que determina los afijos de las raíces cuartas
–2 – i Z = [sen( π – 1 ) + icos ( π – 1 )] 2 5 2 5
a)
b)
Im
de: Z = 2 + 2 + 2 – 2 i
Im
a) 2 u 2 d) 2 u2
Z Re Z
c)
Re
Cis(2kp+q)=
d)
Im
Z Re
Z
e)
Re
Im
3p
Entonces la gráfica que mejor representa al conjunto "A" es:
a)
a) 2e 4 ; π 2
b) 2; π 2
p d) 2e 4
p e) e 4
; π 4
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
13. ¿Cuántas raíces complejas de la ecuación xn–1=0, tienen argumentos en el intervalo 4π ; 16π ; n ∈ ? n n
a) 3 d) 8
Central: 619-8100
b) 4 e) 12
b)
Im
p
c) 2e 4 ; 3π 2
Im
Re c)
12. Hallar los números complejos "Z" que cumplan con: Z=(Z)2 e indique cuántos complejos cumplen con tal condición.
b) 2(na – kp) c) 2nkπ α
A = {Z ∈ C / π ≤ Arg(Z+2 – i) ≤ 3π } 6 4
i i Z = – 2c 1– i m . e 2 2
; π 4
n
Hallar "q" en función de "n", "a"y "k"
2kπ–nα a) 2
11. Calcular el módulo y argumento principal de:
p
n
1–iC 1 .tana–C 2 tan2a+iC 3 tan3a+...
17. Si "A" es un conjunto definido por:
Z
{i[tana–i]}n
n
(α – k) π (k + α) π e) d) 2n 2n
Re
c) 4 u2
16. Si se cumple que:
Im
b) 2 2 u2 e) 8 u2
d)
Im 1
e)
Re
Im 1
2
–2
Re
Re
Im
–2
–1
Re
c) 5
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18. La gráfica mostrada corresponde al conjunto: Im
3 ( 3 ;1)
–3
Re –3
a) A = {Z ∈ b) A = {Z ∈ c) A = {Z ∈ d) A = {Z ∈ e) A = {Z ∈
C C C C C
/ |Z| ≤ 3 ∧ |Z+ / |Z| ≤ 3 ∧ |Z – / |Z| ≤ 3 ∧ |Z+ / |Z| ≤ 3 ∧ |Z+ / |Z| ≤ 3 ∧ |Z –
3 – i| ≥ 1} 3 – i| ≥ 1} 3 +1| ≥ 1} 3 +i| ≥ 1} 3 + i| ≥ 1}
19. Al calcular: 4 –8–8i 3 , se obtiene cuatro raíces, entonces la raíz que se encuentra en el segundo cuadrante es:
a) – 1+ 3 i
c) –
3 + 13 i 2 2
e) –
5 + 11 i 2 2
b) – 2 + i d) – 3 + i
20. Indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I. |epi + e–pi| = 2 II. |Zi + 1| = |Z – i| III. El lugar geométrico de: Arg(Z)= π , es una 4 recta.
a) V V V d) F F V
b) V V F e) F F F
c) F V V
Tarea domiciliaria 1. Una de las raíces cuadradas de "i" es: 3 +3i a) 41+2i b) 4
c) 2 + 2 i d) 3 +i 2 2 2
e) Ninguna
a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
3. Si: w3=1, siendo "w" un imaginario; calcular el valor de: (3+5w+3w2)3
a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
4. Si: x = a+b y=aw+bw2 z=aw2+bw Calcular:
w=– 1+ 3 i 2 2
a) 3 d) 6
Quinto UNI 126
x3 + y3 + z3 , donde: xyz
b) 210º e) 200º
c) 240º
Z= senq + i cos q – i senq–i cos q senq + i cos q + i senq–i cos q
a) 0
b) 1
c) 5
5 – 29 d) 5 – 29 e) 3 3 7. ¿Qué valor asume: 1
1 (Z) (Z) 1 ( ) Z
–4
si se sustituye "Z" por: 2 e π i ? 4
a) – 2 d) 5
b) 4 e) – 4
c) – 3
8. Si "Z" es un complejo de argumento "x", tal que:
b) 4 e) 7
a) 270º d) 225º
6. Determinar la parte real de "Z", donde:
2. Determinar la raíz cúbica de (1 – i), expresándolo en la forma (x+yi), para luego calcular el valor de: (x – y)(x2+4xy+y2)
5. Siendo: Z=(x; y) ≠ (0; 0), tal que: Z2=Z, donde "Z" pertenece al tercer cuadrante. Calcular: Arg(Z)
c) 5
Zi + Z = m 1+Z es real positivo, determinar: tanx
Colegios
TRILCE
Álgebra 1 a) m
b) m
e)
d) m+1
c) 1 +1 m
1 m+1
9. Si "w" es una raíz cúbica imaginaria de la unidad, calcular: 4 27 – 6(2w + 1) 6 + (2w2 + 1) 6@
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
10. Calcular el área que genera el complejo "Z", si se cumple lo siguiente: 2 ≤ |Z| ≤ 5
a) 22p u2 d) 18p
b) 21p e) 3p
c) 19p
11. Luego de calcular las raíces de orden 4 del complejo: Z=648 (– 1 + 3 i); indicar el producto de todos sus módulos.
a) 1296 d) 432
12. Determinar:
b) 1196 e) 336
c) 216
13. Marcar (V) verdadero o (F) falso, en cada proposición siguiente:
I. El argumento de: Z=3i+4; es 37π 180 II. Si: Z=i2–2i; entonces: |Z|=e III. eiq=cosq+isenq; q ∈ IV. Siendo: Z1 ∧ Z2 complejos conjugados, la exZ 2 Z 2 presión: c 1 m – c 2 m es un imaginario puro. Z2 Z1
a) V F V F d) F V V F
b) V F F V e) F V F V
c) V V V F
14. Graficar el conjunto "A", donde:
A = {Z ∈ C /
Z – 1 ≤ 2; |– 5 – 3Z| ≤ 9; Z+1
– π < Arg(Z+ 5 )≤ π } 4 3 4
a)
b)
Im
Im Re
Re c)
d)
Im
Z1 , donde: Z2
Im
Re
Re
Z1 = 4(cos25º – isen25º) Z2 = 2(–cos70º+isen70º)
e) Ninguna
15. ¿Cuál es el argumento de "Z", donde: Z = (4+3i)3–i.5i–3?
a) 4(1+i) d) – 2(3 – i)
b) – 2 (1+i) c) – 3(1 – i) e) 7 (2 – i)
53π b) 67π c) 201π a) 60 60 60 37π d) 60
Central: 619-8100
e) Más de una es correcta
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Problemas resueltos n 1. ¿La sucesión: ' (–21) 1 ; es acotada o no 2n + 1 n ≥ 1 es acotada?
Resolución
* n ≥ 1 → n2 ≥ 1 1 1 ≤ 1 →0< ≤ 1 3 2n2 + 1 3 2n2 + 1
→ 0<
n \ ' (–21) 1
2n + 1
2. ¿La sucesión: ' creciente?
n≥1
Resolución
Sea: an = 2 n n +1
an+1 – an=
(– 1) n ≤ 1 3 2n2 + 1
; es acotada
n ; es creciente o de2+ 1 n 1 n≥1
2
n 2+
n
; es decreciente 1 1 n≥1
3. ¿La sucesión {1 – (–1)n}n ≥ 1 , es constante?
* {1 – (–1)n}n ≥ 1: 2; 0; 2; 0; ... La sucesión no es constante.
Quinto UNI 128
3 2 2 6 an= 5n + 2 2–3n –27n = 5n –3n + 2
5+
2 – 3 – 27 n6 n4 5 – 3 + 22 n n
3
3 an = 5 + 0–0–27 = 2 5 5–0 + 0 n→∞
Lim
\ La sucesión converge a 2 5
5. Encontrar el punto de convergencia de la siguiente sucesión:
1
n≥1
Resolución
Sea: an = ` n + a j n+1
3n+a
3n a = c1 + a – 1 m . c1 + a – 1 m n+1 n+1
R n+1 V3 S c1 + a – 1) m W a n+1 S W. 1+ a – 1 an = S c m W a –1 n+1 S c1 + n + 1m W T X
Resolución
* Reemplazando:
Sea:
3n+a
– (n + n – 1) <0; " n ≥ 1 6(n + 1) 2 + 1@ (n2 + 1)
an+1 < an → '
Resolución
n+a m 'c n+1
3 2 3 2 n+1 – n = n + n + n 2+ 1–n 2–2n –2n 6(n + 1) + 1@6n + 1@ (n + 1) 2 + 1 n2 + 1
an+1–an=
3 2 2 6 ) 5n + 22 – 3n – 27n 3 5n – 3n + 2 n≥1
2n2 + 1 ≥ 3 0<
4. ¿A qué valor converge la sucesión?
Lim an = ( e 1 n→∞
a–1 3 )
. (1)a = e3a – 3
\ El punto de convergencia es: e3(a – 1)
Colegios
TRILCE
Álgebra Problemas para la clase 1. Si el vigésimo término de la sucesión: {an} = ' nx + 411 4n + 1 n∈IN
6. Indicar la sucesión o sucesiones que verifican la relación: an ≥ an+1; " n ≥ 1
es la unidad, entonces el valor de convergencia de la sucesión {an}, es:
a) 0
d) 1
1 b) 1 c) 4 2 e) 2
2. Sea: {bn}n∈IN una sucesión definida por: {bn}n∈IN = ' 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; ...1 3 6 9 12
entonces el valor de convergencia es:
a) 0
d) 1
2 b) 1 c) 3 3 e) 3 2
{an}n∈IN = ' 1 ; 1 ; 3 ; 3 ; 15 ; ...1 2 2 4 2 4
a) Solo I d) I y II
b) Solo II e) II y III
c) Solo III
7. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
b n II. Si: 0
III. Toda sucesión acotada es convergente.
a) V V V d) F F F
b) F V F e) V F F
c) V F V
8. Si: {an}n∈IN es una sucesión tal que:
entonces el enésimo término es: 2+
n! 1 + n! c) n 1 b) a) n n 2n nn e) n3 + n d) n+1 n+1 4. Si: {an}n∈IN es una sucesión, tal que: 8n an = `1 + 3 j n
a1= 3 60 ∧ an+1= 3 60 + a n ; "n ≥ 1
entonces el valor de convergencia de la sucesión {an}n∈IN, es:
a) 2
d) 8
b) 5 2 e) 16
c) 4
9. Se definen las siguientes proposiciones lógicas:
entonces el valor de convergencia de la suce- sión {an}, es:
a) e 8
b) e 3
d) e2
e) e24
1
5n–1 II. ' nn 1 III. ' 1 3n + 1 3
2 –2n I. es una sucesión convergente 'c m 1 3 n∈IN
3. Sea: {an}n∈IN una sucesión definida por:
I. {3n–1}
4
8
c) e 3
5. Si: {an}n∈IN , es una sucesión, tal que: n+1 n an = 2 n 1+ 3n 3 + –2
entonces el valor de convergencia de la sucesión {an}, es:
1 c) 2 a) – 1 b) 3 3 3
p: Si {an} es acotada, entonces la sucesión es convergente q: Si {an} es creciente, entonces la sucesión no es convergente r: Si {an} es no decreciente, entonces la sucesión puede converger t: Si {an} y {bn} son convergentes, entonces: {an+bn} es también convergente.
Si "M" es el número de proposiciones lógicas verdaderas y "N" es el número de proposiciones falsas, entonces la relación entre los valores de "M" y "N" es:
a) M>N b) M
c) M=N
4 e) 5 d) 3 3 Central: 619-8100
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10. Si {an} es una sucesión definida por: {an}n∈IN = '1 ; 2 ; 13 ; 5 ; 242 ; ...1 4 32 entonces el octavo término es:
a1 = 1; a2 = 2 ∧ an = 1 (an–2 + an – 1); " n > 2 2
155 b) 120 c) 205 a) 7 5 8
435 e) 128 d) 12 3
1 b) 1 c) 1 a) 97 98 100 2 2 2 1 e) 1 d) 299 2101
11. Si {an}n∈IN es una sucesión definida por: n n {an} = ' 9 n(2–1) + 4 (3n)–1 1 9 (2 ) + 4 (3 ) n≥1 entonces el valor de convergencia de la sucesión {an} es:
a) 1
b) 3 2
d) 3
e) Es divergente
c) 2
entonces el valor de: |a101 – a100|, es:
16. Sean {an}n∈IN, una sucesión definida por: {an} = '1 ; 9 ; 19 ; 33 ; ...1 6 11 18
entonces el valor de convergencia es:
1 b) 1 a) c) 1 4 2
12. Si {an}n∈IN es una sucesión definida por:
17. Si {an} es una sucesión definida por:
{an} = {2; 5; 9; 14; 20; ...}
entonces el valor de convergencia de la sucean sión: ' 1 es: 1 + 5n2
a) 0
d) 2
b) 1 10 e) 10
c) 1
13. Sea la sucesión: {an}n∈IN , tal que: 2 an = c n + 1 – pn – qm n+1
es convergente al valor de cero, entonces la relación de orden entre los valores "p" y "q" es:
a) p=q d) 2p=q
b) p.q>0 e) q
c) q>p
d) 2
{an}n∈IN=)
e) 4
n c 9n4 + 1
5+ 2
9 + 3
13 + ... + 4
entonces el valor de convergencia es:
a) 0
3 d) 4
e) 1
18. Si {an}n∈IN es una sucesión tal que: a0=2; a1=3 ∧ an+2=3an+1 – 2an,"n∈IN∪ {0}, entonces el valor de convergencia de la sucea sión: 'b n = nn 1 es: 2 1 b) 1 a) c) 1 3 2 e) 5 2
an = n2 – n + 1 – An – B
19. Sea la sucesión: {an} = ' 2 ; 8 ; 18 ; 32 ; ...1 2 6 12 20
es convergente al valor de cero, entonces indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I. A.B>0
II. A = – 1 ∧ B = 1 2 III. A.B. = – 1 2
a) V F V d) F F V
Quinto UNI
b) F V F e) F F F
c) V F F
4n + 1 m n+1 3
2 b) 1 c) 3 3
14. Si la sucesión {an} n∈IN , tal que:
130
15. Si {an}n∈IN , es una sucesión, tal que:
d) 2
Si los valores de esta sucesión se encuentran en el intervalo: [a; b〉, siendo "a" el mayor valor posible y "b" el menor valor posible, entonces el valor de: T=b – a, es:
a) 1
5 b) 3 c) 2 2
d) 3
e) 4 Colegios
TRILCE
Álgebra 20. Si {an}n∈IN, es una sucesión, tal que: a1 = 1; a2 = 2 ∧ an+2 =
entonces la sucesión {an}n∈IN converge a:
1 b) 1 c) 3 a) 4 2 4
d)
an + 2an + 1 ; "n≥1 3
7 4
e)
5 2
Tarea domiciliaria 1. Si: {an}n ≥ 1 es una sucesión, tal que:
4. Marcar verdadero (V) o falso (F):
2 2 2 {an} = ' n –1 ; n ; n + 1 ; n + 2 ; ...1 n n n
1n 1 3n – 2 1 + 1 7n I. '`1 + j + c1 + m c m 1 n 3n 7n
Entonces el enésimo término es:
a) n2 – 1
2 b) n –n–2 n
d) n
2 e) n + n–2 n
2. Si: {an}
n≥1
c) 1 – n2
{an} = '1 ; 3 ; 2 ; 5 ; 3 ; ...1 5 5 17 13 Marcar verdadero (V) o falso (F):
I. {an} es decreciente II. {an} converge a cero III. El término vigésimo es: 20 401
a) V V V d) V V F
b) F F F e) V F V
c) F F V
n
n2 –1 , entonces: n2 + n + 1
an ∈ 〈 8 ; 1〉 , si y solo si: n ≥10 9
–1 ; 1 ; – 1 ; 1 ; –1 ; ... , es divergente. III. '1 ; 1 2 3 4 5 6
a) V V V d) V F F
Central: 619-8100
b) F V V e) V V F
II. '` n + a j + c n + b m 1 n n n
n
n≥1
converge a: ea+eb
2 4 III. * 5n + 5n + 16n + 7 4 n ≥1 7n + 10n2 + 36n4 + 11
converge a 8 11
a) F V F d) V F F
b) V V V e) V V F
c) F F F
5. Indicar el valor de verdad de las proposiciones:
(–1) I. , es acotado. ' 2 1 2n + 1 n ≥ 1 II. Si: {an} / an =
converge a cero.
3. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
es una sucesión definida por:
n≥1
c) V F V
n ' n1 I. 2 n≥1 es decreciente
II. '
2n 1 es decreciente 1 + 2n n≥1
n+1 III. $Log` n j. n≥1 es creciente
a) V V V d) F F F
b) V F F e) F V F
c) F F V
6. Si: {an}n≥1, tal que: {an} = '1 ; 9 ; 19 ; 33 ; ...1 6 11 18
Entonces el valor de convergencia es:
1 a) 4
b) 1 2
e) 4
d) 2
c) 1
www.trilce.edu.pe 131
12. Mostrar el valor de verdad: 7. Si: {an}n ≥1 es una sucesión tal que: a1 = 2; a2 = 3 an+2=3an+1 – 2an; "n∈ + 4n + 5 $ 2n – 1 . n≥1 converge a 2. Entonces el valor de convergencia de la suce- I. a sión: ' nn 1 es: n 2 II. ' n 1 n≥1 es monótona creciente. 2 1 b) 1 a) c) 1 3 2 n2 + 2n + 5 ' 2 1 es acotada. III. n + 2n + 1 n≥1 5 d) 2 e) 2 8. El valor de convergencia de la sucesión: 1/n
1/n
1/n n
8 + 125 + 216 o 3 )e n≥1; es: 3
a) e60 d) 30
b) e30 e) Ln(60)
c) 60
b) V F F e) V F V
c) F V V
13. Sea: {an} la sucesión cuyo término enésimo está dada por la fórmula de recurrencia: a1=2 ∧ an= 1 an–1 ; " n ∈ / n ≥ 2 2 Calcular: a1+a2+a3+...
9. Si: {an}n≥1 / an = n2 –n + 1 – An – B Es convergente al valor de cero, entonces indi- car el valor de verdad de las siguientes afirma- ciones:
a) 4 d) 16
b) 6 e) 10
c) 8
n 14. ¿A qué valor converge: ' 2 1 n≥1? n!
I. A.B<0
II. A = + 1 ; B = –1 2 III. A.B = – 1 2
a) V V V d) F V F
a) 0 d) – 2
b) 1 e) – 1
c) 2
15. Dada la sucesión {an}, donde: Z 1 ] – ; "n" es impar an = [ n ]1 + 1 ; "n" es par 2 + n 1 2n \ – pn + q; es convergen10. Si: {an}n≥1 / an= n+1 Se puede afirmar que: te al valor cero, entonces "p" y "q" se relacionan de la manera siguiente: a) La sucesión converge a 0. a) p = q b) p.q<0 c) q>p b) La sucesión converge a 1. d) 2p=q e) q
a) V F V d) F F V
Marcar verdadero (V) o falso (F)
I. La sucesión es creciente. II. El término de lugar 81 es: 203 121 III. La sucesión es acotada. IV. La sucesión es convergente.
a) V V V V d) F V F V
Quinto UNI 132
b) F V F e) F F F
b) V F V F e) F V V V
c) V F F
c) V F F V
Colegios
TRILCE
Problemas resueltos 1. Hallar el valor de "n" si: n
/
k=1
1 = 43 k (k + 1) 44
Resolución
Sea: E =
n
/
k=1
E=
1 = 43 k (k + 1) 44
1 + 1 + 1 + ... + 1 = 43 44 (1) (2) (2) (3) (3) (4) (n) (n + 1)
E=1– 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ... + 1 – 1 = 43 2 2 3 3 4 n n + 1 44 1–
1 = 43 n + 1 44
3. Calcular: k E=1+ 3 + 7 + 5 + ... + 22 –k–11 +... 4 16 64 (2 )
Resolución
1 2 1 + 23 –1 + 24 –1 +... E= 2 –0 1 + 2 – 2 2 2 24 26 E=(2–1)+ c1 – 12 m + c 1 – 14 m + c 12 – 16 m +... 2 2 2 2 2 E c2 + 1 + 1 + 12 + ...m – c1 + 12 + 14 + 16 + ...m 2 2 2 2 2
E=
2
1– 1 2
–
1
1– 1 4
= 4– 4 3
\ E = 8 3
n = 43 → n=43 n + 1 44
4. Calcular: M =
2. Calcular:
Resolución
M=2
S=
3
/
n=1
1 n (n + 3)
Resolución
S=
3S=
1 + 1 + 1 + 1 +... (1) (4) (2) (5) (3) (6) (7) (7) 3 + 3 + 3 + 3 +... (1) (4) (2) (5) (3) (6) (4) (7)
3S=1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +... 4 2 5 3 6 4 7 3S=1+ 1 + 1 = 11 → \ S = 11 2 3 6 18
k=2
Central: 619-8100
3
/
k=2
c
2 5k
1 = 2 1 + 1 + 1 + ... m c 2 m 5k 5 53 53
M = 2 . 12 c1+ 1 + 12 + 13 + ...m 5 5 5 5
\ M= 2 .
→M= 1
25
1
1 c1 – m 5
= 2 .5 25 4
10
5. Si: e = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... 0! 1 ! 2! 3! 4!
3
/
Calcular: P = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +... 1 ! 2 ! 3! 4! 5 !
www.trilce.edu.pe 133
Resolución 3
3
3
3
P= / c n + 2 m = / c n + 2 m = / 1 + 2 / 1 n! n! n=1 n = 1 n! n = 1 (n–1) ! n = 1 n! P= 1 + 1 + 2 + 1 + ... + 2 c 1 + 1 + 1 + ...m 1 ! 2 ! 3! 0 ! 1 ! 2 ! 3! 1 444444 2 444444 3
P=e + 2 ce – 1 m 0!
⇒ P=e + 2(e – 1)
\ P = 3e – 2
sabiendo que:
a) 12e d) 15e – 6
Problemas para la clase 1. Determinar si la serie:
3
0,3+0,03+0,003+...+ 3 n + ... 10 converge o diverge.
a) Converge a 3 c) Converge a 1/9 e) Diverge
b) Converge a 1/3 d) Converge a 1/27
2. Si: |x|<1; calcular la suma límite:
S = 1+2x+3x2+4x3+...
a) 1 – x d) (1 – x)–3
b) (1 – x)–1 e) (1 – x)–4
c) (1 – x)–2
b) 56 e) 59
c) 57
4. Hallar: +3
/
n=1
1 (n + 1) (n + 4)
1 b) 1 c) 2 a) 6 36 13 11 e) 13 d) 13 36
c) 14
S = 3 + 7 + 15 + 31 +... 4 16 64 256
1 a) 3
b) 1
e) 2 5
d) 2
E=
3
/
c
c) 5 3
1 – 1 k+2 m 2 3
1 c) 1 a) 1 4 b) 4.6 5.65 64 1 e) 1 d) 65 3.63 + 1001 8. Dada la serie: 11 + 101 +...; donde: 2 a a a3 a>10. Hallar "a", sabiendo que la serie converge a: 20 19
a) 11 d) 13
9. Calcule: S =
b) 16 e) 20 3
/
n=1
1 b) 1 c) 2 10
3 2 / c 4n + n + 6 m n! n=1
1 e) 2 d) 5 5
a) 1
c) 100
2 5n
5. Calcular:
Quinto UNI 134
k=4
N = 1+2 c 5 m + 3 c 25 m + 4 c 125 m +...∞ 36 216 6
a) 55 d) 58
b) 13 e) 16e – 5
6. Calcular:
1 3 9 27 49 I = 1–2 ` 4 j + 3 c 16 m –4 c 64 m +...∞
n=0
1 =e n!
7. Calcular:
3. Calcular: U+N+I Siendo: U = 1+ 2 + 4 + 8 +...∞ 3 9 27
/
Colegios
TRILCE
Álgebra
10. Hallar:
S=
16. Analizar la convergencia de la serie: 3
/
n=1
(–1)n Log`
a) 1 d) Log4
3
n n + 2j
b) Log2 e) Log5
k=1
c) Log3
11. Determinar:
S=
3
/
1 b) 1 c) 2 3
a) 1
2 e) 4 d) 3 3 12. Determinar: 3
2+2n+n4
/ (–1)n
a>0 y a ≠ 1
a) Diverge
.p–2n
17. Dada la siguiente suma: 1 S= 1 + 1 + 1 + ... + 2 3x1! 4x2! (n + 1) (n–1) !
a) 1+
1 (n + 1) !
b) 1 –
c) 1 –
n! (n + 1) !
d) 1+ 1 n!
e) 1 – 1 n!
n=1
1 c) 1 1 b) a) π π+1 π2 + 1 1 e) 1 d) 2 π –1 π –1
13. Si para cada: n ∈ , an=2+4+6+...+2n
Hallar:
/
S=
n
/
a) 9910 d) 9980
b) 9930 e) 9920
c) 9940
14. Si "S" es una serie definida por:
1 b) 23 c) π π –3
a) 1
1 e) π2 d) π–3 3π
I. Si: S=a+ bn + cn , entonces: a+b+c=4 2 2n + 1
II. La serie "S" converge al valor de: a=0
III. La serie "S" se puede escribir como:
(211)
3
S=1+
/
k=1
1 k (k + 1)
entonces el valor de convergencia es: a) 2
1 b) 3 c) 2 2
1 e) 1 d) 3 6 Central: 619-8100
n + 11
/
k = 12
c
2k – 23 m 2k
a) V V F d) F V F
b) F F F e) F F V
c) V F V
19. Calcular la suma: n
15. Si "S" es una serie definida por:
2k–1 m 2k
Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
3
/
(3p–2)k; entonces el valor de conver genk=1 cia es:
S=
c
an
n=1
1 (n + 1) !
18. Se da la siguiente serie: k=1
30
b) 1 Log2a c) 3 3 4 4 (Loga 2)
1 1 d) e) (Loga2)2 4 (Loga 2) 3
2
(–1)n .2–n
n=0
1 Log2 (22k) Loga (22k + 2)
/
/
k=1
k –1 2k + 1
2n –n + 1 b) 2 n + n–1 a) n+1 2 2n + 1 2n –n–1 d) 2n + n + 1 c) n+1 2 2n 2 n – n –1 e) 2n www.trilce.edu.pe 135
20. Encuentre el intervalo de convergencia de la serie: 3 n / c x + 3 m . 14 n n=1 x+2
a) 〈– ∞; 2 〉 b) [ 2 ; +∞〉 5 5 2 c) [– ; +∞〉 d) 〈– ∞; – 5 〉 5 2 5 e) [– ; ∞〉 2
Tarea domiciliaria 1. Calcular el valor de la siguiente serie: 3
/ ^ n + 2 – 2 n + 1 + n h
6. Si:
n=1
a) 2 d) 2 – 1
b) 1 – 2 e) 3
c) 2 2 – 1
2. Calcular:
S=
3
/
n=1
1 ^ n + 1 + n h n2 + n
1 b) 2 a) c) 1 2 2 1 e) d) 2 +1 4 3. Calcular el valor de:
3
1 2 n = 2 n –1 si es convergente.
S=
/
1 a) 2
b) 1
c) 3 2
2 1 – 12 + 12 – 12 + 12 – ...= π 12 2 3 4 5
Calcular:
A = 1 + 12 + 12 + 12 + 12 +... 2 3 4 5
π2 b) π2 c) π2 a) 4 3 8 π2 e) π2 d) 6 9 2 3 4 7. Si: ex = 1+ x + x + x + x +... 1! 2! 3! 4!
Calcular: R = 2+ 3 + 5 + 9 + 17 +... 1! 2! 3! 4!
e (e + 1) a) 2
b) e(e – 1)
e) e(e+1)
d) e(2e+1)
8. En la estructura: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7 e) 3 d) 2 4 4. Calcular la suma de la serie: 3 / 4n n– 1 n=1 2
a) 7
7 d) 2
b) 6
c) 14
e) 8
5. Determinar la suma de la serie: 3
/
n=1
desde "Sn" representa la suma de los elementos de la enésima fila, hallar la suma de las cifras de S2000
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
9. Calcular: 3
/
n=1
7n + 3 n (n + 2) (n + 3)
3 b) 1 c) 1 a) 4 4 2
7 b) 3 c) 3 a) 4 2 4
3 e) 1 d) 2 6
11 e) 7 d) 4 2
Quinto UNI 136
1 2+ 9n 3n – 2
c) e(e+2)
Colegios
TRILCE
Álgebra 10. Calcular: 3
5 a) 2
/
1 n (n + 1) (n + 2)
1 a) 2
b) 1
n=1
4 e) 5 d) 3 6 c) 4 5
1 e) 1 d) 4 8 11. ¿Hasta qué término la siguiente suma: Sn = 1 + 1 + 1 + 1 +...+an 2 6 12 20
es menor e igual que 6 ? 7
a) Hasta el quinto c) Hasta el noveno e) Hasta el octavo
b) Hasta el séptimo d) Hasta el sexto
S = 1+ 15 + 35 + 63 +... 9 27 81
a) 7 d) 4,5
b) 8,2 e) 6
13. Calcular "S1 + S2", si: S1 =
S2 =
3
/
21–n
3
2n + 3n 6n
14. Dada la igualdad:
3 + 8 + 15 + 24 + ... + a n =an3+bn2+cn+d 1 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 44 3 "n" sumandos
Calcular "a+c"
1 b) 7 c) 2 a) 2 6 3 3 e) 5 d) 2 6 15. Calcular:
12. Calcular la suma límite:
c) 3 4
b) 2
c) 5,5
S = 2.12+3.22+...+(n+1)n2
Dar como respuesta:
a) n(n+1)(n+3) b) (n+1)(n+ 2)(n+3) c) n(n+1)(n+2) d) (n – 1)n(n+2) e) (n – 1)n(n+1)
12S 3n + 1
n=3
/
n=1
Central: 619-8100
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Problemas para la clase 6. Dada la sucesión: a ; a a ; a a a ; ...; a ∈ entonces:
2 1. La sucesión: ' nn 1 , es: 2 n≥1
a) Convergente c) Monótona e) Hay dos correctas
b) Acotada d) Divergente
2. Sea: N = {0; 1; 2; 3; ...} A = {0; 1; 2; 3; 4} Denotamos por r: N→A, la función que satisface. I. r(m) = m; si: m ∈ A II. r(m) = r(m+5K); " K ∈ N
a) Es divergente c) Converge a uno e) Converge a " a a "
+
b) Converge a cero d) Converge a "a"
7. ¿Cuál es el cuarto término de la sucesión defini2 da por: a1=2; an+1=a n +1; " n ∈ +
a) 5 d) 36 450
b) 26 c) 677 e) 40 087 461
entonces las soluciones enteras de las ecuacio8. Dadas las sucesiones; n ∈ + nes: r(5) = l; r(4h) = 1; son: an=1+2+3+...+n a) l = 0; h = 0 b) l = 1; h = 3 bn=1+4+9+...+n2 c) l = 0; h = 4 d) l = 4; h = 4 cn=1+8+27+...+n3 e) No hay soluciones (a ) (c ) Si: rn = n 2n ; luego "rn" converge a: 3. Si la sucesión: (b n) 3 2 3 4 a) 1 b) 3 c) {an}n≥1 / an = an + 2n2 + 3n + 5–4n 2 3 bn + 4n + 5 6 e) 9 converge a 2; hallar: a+b d) 5 8
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
4. La sucesión de Fibonacci está dada por: a1 = a2 = 1 ∧ an+2 = an+1+an; " n ∈ Hallar: a9
a) 21 d) 89
b) 34 e) 13
5. La sucesión: ' 2n 1 ; n ∈ n+1
+
bn+1 = bn+4 con: b1=5 cn+1 = –3cn con: c1=5; n ∈
c) 55
+;
es:
+
bn ; para "n" suficientecn mente grande, se aproxima a: Entonces el valor de:
4 a) 3
3 b) – 4 c) 3 4
e) 1
d) 0
a) Creciente b) Decreciente c) Estrictamente creciente d) Estrictamente decreciente e) Hay dos correctas
Quinto UNI 138
9. Sean las sucesiones:
Colegios
TRILCE
Álgebra 10. De: (2+ 3 )n=an+bn 3 , se obtienen las suce- 15. Si: an=1+2+3+...+n Hallar: S=a1+a2+a3+...+a100 siones {an}n≥1 y {bn}n≥1, luego la sucesión for a) 5050 b) 171 700 c) 515 100 an d) 343 400 e) 808 000 ' 1 mada por b n≥1 converge a: n 1 16. Calcular la suma de la siguiente serie: a) b) 2 3 c) 3 3 S=1+3x+5x2+7x3+9x4+... 3 2 d) e) 2 3 1 b) 1 + x2 c) 1+x a) 1–x 1–x (1–x) 2 1 11. Calcular: d) 1–x 2 e) x (1 + x) 3 n S = / n c 1 m 3 k=0 30 17. Hallar: / 3n–1 n=1 9 b) 9 c) 3 a) 2 4 4 329 –1 b) 330 –1 c) 328 + 1 a) 3 2 3 d) 2 e) Ninguna 330 + 1 e) 330 –1 d) 12. Hallar: 3 3 3 n / K e o ; 1 ≤ K < n K K=1
a) (n)2n d) (n+1)2n+1
b) (n)2n–1 c) (n+1)2n n+2 e) (n+1)2
13. Determinar la suma:
18. ¿Cuántas series son convergentes? 3 3 –k I. / c 3k2+k 4 m II. / c kk m k=1 k=1 k 3 3 k k k III. / 2 +k 3 IV. / 2k 5 k=1 k=1
S= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +...+"2n" términos 3 8 15 24 35 48
a) n (6n + 5) b) n (5n + 6) (n + 1) (2n + 3) 2 (n + 1) (2n + 1)
19. Sabiendo que:
+ c) n (6n + 5) d) n (6n 5) 2 (n + 1) (2n + 1) 2 (n–1) (2n + 3)
e= 1 + 1 + 1 + 1 +... 0! 1 ! 2! 3 !
+ e) n (6n 5) 2 (n + 1) (2n–1)
14. Calcular la suma infinita:
S=2+
x+y x2 + y2 x3 + y3 + 2 2 + 3 3 +... xy x y x y
Siendo: x>y>1
2xy – x – y 2x – y b) a) (x – 1) (y – 1) x–y
c) xy
x e) y
Central: 619-8100
a) Ninguna d) 3
b) 1 e) Todas
c) 2
donde "e" es base de los logaritmos neperianos, calcular: S = 1 + 2 + 5 + 10 + ... 1! 2! 3! 4!
a) 2e d) 2e – 2
b) e2 e) e+1
c) 2e+2
20. Determinar la suma de la serie: 3
/
n=1
d) x+y
a) 1
1 9n2 + 3n – 2 c) 1 2
b) 2
1 e) 3 d) 6 2
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Tarea domiciliaria 1. Calcular:
L = Lim
x→ 32
5 ; 3x – 2 –
2x + 7 E 3x2 + x – 2
5 b) – 3 c) 2 4
4 e) 2 d) 5 3
1 b) 2 c) 5 a) 3 3 3
7. Sean las sucesiones:
3 e) 3 d) 5 2
bn+1 = bn+4; con: b1 = 5 cn+1 = – 4cn; con: c1 = 5; n ∈
2. Calcular "n", si:
Lim x→+∞
=
(25x2 + 7) n (100x3 –1) n–2 (2x5 –1) 125 G= 512 (80x4 + 1) n (5x–2) n–1
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
Lim
a) 2
x→0
Lim n→+∞
;
d) 2
e) 1
d) 0
I. {an}n≥1 es creciente
1 b) e2 c) 2
II. {an}n≥1 es acotada
e) – 2
III. |an – 2| < 4 → n > 9 16
a) F V V d) V V V
1 + 4 + 7 + ... + (3n – 2) E 2 + 7 + 12 + ... + (5n – 3)
–2 o;"n∈ n
1
Lim
definida
Lim
x→2
x→2
Luego el término de lugar 10 de dicha sucesión Lim es: x→2
a) 11 d) – 11
c) 10
=
;
F(x) x3 –8
H(x) x2 –4
G=3 ... (1)
E =–4 ... (2)
=
H(x) G F(x)
3 b) 2 a) c) – 4 2 3 3
6. La diferencia entre el quinto y tercer término de una progresión geométrica decreciente es –1/4 y su cociente es 1/4. Calcular el segundo término. Quinto UNI
c) V F V
Calcular:
+
b) 12 e) – 12
b) F F V e) F F F
9. Sabiendo que:
e) 1 2
5. Consideremos la sucesión: {an}n ≥ por: an = e
3 b) – 4 c) 3 4
3 b) 7 c) 3 a) 7 3 5
4 a) 3
Proporcionar el valor de verdad:
4. Calcular:
bn para "n" suficientecn mente grande se aproxima a: Entonces el valor de:
7x = xe –x G 1 – cos ^ 7x h
1 d) e
+
8. Dada la sucesión: {an}n≥1 / an = 2 + 3 n
3. Calcular:
140
a) – 2 3
d) – 3 4
e) – 4 9
Colegios
TRILCE
Álgebra 13. Sabiendo que:
10. Calcular: Lim x→0
F(x) – F(0) E ; x
n=0
Donde: F(x) = )x ; x > 0 x3 ; x G 0
a) 1 d) – 2
2
b) 0 e) $
c) – 1
¿Para qué valor de "n" se verifica que: F'(1) = 7 ? 3 b) 6 e) 10 3
c) 8
12. Carlos recibe 200 m de alambre para cercar un terreno de forma rectangular de área máxima. ¿Cuáles son las dimensiones de dicho terreno? a) 20 y 80 d) 40 y 60
Central: 619-8100
1 m n
3
c
/ c n + 3 m n n=1
n 11. Dada la función: y = F(x) = x ; n ∈ 3
a) 7 d) 5
/
Calcular:
3
e=
b) 25 y 75 e) 50 y 50
c) 30 y 70
a) 4e d) 4e – 3
b) – 4e e) 4e+4
c) 4e+3
14. Encontrar el octavo término de una progresión geométrica de nueve términos, tales que el producto de los términos extremos sea 2304 y la suma de los términos cuarto y sexto sea 120.
a) 192 d) 384
b) 96 e) 100
c) 48
15. Calcular: Lim x→4
=
a) 3+2 2 d) –1
3 + x x – 2 –1 G 3– x x – 2 +1
b) –3–2 2 e) 2
c) 2 2 –3
www.trilce.edu.pe 141
Problemas resueltos 1. Si "A" es una matriz que cumple: 6 2 2 –1 (A+I)2= = G ∧ (A – I)2 = = G 1 3 1 –1
Hallar la traza de "A"
Resolución
Se sabe que: (A+I)2 – (A – I)2 = 4AI
6 2 2 –1 = G–= G = 4AI 1 3 1 –1 4 3 1 3 A= 1 = G= > 4 H 4 0 4 0 1
1 1 1 1 A = >0 1 1H 0 0 1
→ Traza(A)=1+1=2
2. Dada la matriz: A= =
Resolución
* A= e
0 –1 – 1 –1 o → A2 = A.A= e o 1 1 1 0
1
1 2 3 → A2=A.A= >0 1 2H 0 0 1
1 3 6 →A3=A2.A=>0 1 3H 0 0 1
0 –1 G; hallar la suma de los 1 1 elementos de: E = I+A20+A30
Resolución
1+2+3+4
1 4 10 →A4=A3.A=>0 1 4 H 0 0 1
De acuerdo a la ley de formación:
1 15 120 ⇒ A15= >0 1 15 H 0 0 1
4. Si: A = =
1+2+3
1+2
1+2+3+...+15= 15 (16) 2
5 1 G ; determinar la traza de: A–1 4 1
Resolución
Recordar:
→ A3 = A2.A = e
A30 = I
\ E = I + A18.A2+A30 2 0 –1 –1 1 –1 o+e o=e o 0 2 1 0 1 2
=
d –b G – c a a b Si: A = e ; ad – bc ≠ 0 o ⇒ A–1 = ad–bc c d 1 –1 G = – 4 5 1 –1 5 1 Si: A = = G ⇒ A–1 = G == 5– 4 4 1 –4 5
\ Traz(A–1)=1+5=6
\∑ Elementos = 1+(–1)+1+2=3
3. Si: 1 1 1 A = >0 1 1H; determinar: A15 0 0 1 Quinto UNI 142
18 → A3 = – I ) A = I
E=I+A2+I=2I+A2= e
–1 0 o =–I 0 –1
1 8 –2 4 1 –6 5. Si: A= e o ; B= e o ; C= e o 7 3 5 3 –2 –4
y la ecuación matricial:
5x=3[A–4(B+C)–X]+A; hallar: X–1 Colegios
TRILCE
Álgebra
Resolución
De: 5X=3[A–4(B+C)–X]+A
5X=3A–12(B+C)–3X+A
X =e
2 7 o –1 3
3 –7 X–1= 1 e o 13 1 2
X= 1 [A–3(B+C)] 2 Reemplazando las matrices: 1 8 –2 + 1 4–6 X= 1 )e o3 o – 3e 2 7 3 5–2 3–4
J 3 –7 N K 13 13 O O \ X–1= K KK 1 2 OO L 13 13 P
Problemas para la clase 1. Dada la matriz: A = e
5. Si: "X" ∧ "Y" son dos matrices que verifican: X – 2Y=A ∧ 2X+3Y=B; X, Y K2×2
6 –3 12 8 Donde: A = e o ∧ B=e o 7 4 –7 8
Hallar: E = Traz(X) + Traz(Y)
a) 0 d) 10
2 1 o 0 1 Además: P(x) = x2 – 4x+2 Dar la suma de elementos de: P(A)
a) 8 b) – 6 d) 6 e) – 8 2. Sean las matrices: 2 –1 m 1 A = e o;B=e o 3 1 n 5
c) – 4
6. Si: A = e
Si "A" y "B" son permutables respecto a la multiplicación, hallar: (m+n)
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
3. Si "P", "Q" y "X" son matrices cuadradas, tal que:
1 y+z 0 P = f–2 5 z p es simétrica y z 3 Q = {(qij)3×3 / qij = 2j – i , si: i < j}
Además "Q" es antisimétrica, donde ambos satisfacen la siguiente ecuación matricial: 2P – PT+Q+QT=X+3P, entonces la "Traz(X)" es: a) – 18 d) 14
b) – 14 e) 18
c) 0
a) 2+ 3 d) 16
Central: 619-8100
b) 36 3 e) 4
c) 2+2 3
3 5 –2 7 11 1 o; B = e oyC=e o –2 1 4 –1 10 5
29 –4 15 17 29 15 a) e o b) e o c) e o –6 28 –6 28 –6 18 29 –4 –49 36 d) e o e) e o –46 –24 –15 26 0 1 0 7. Dada la matriz: A = f0 0 2p 3 0 0 Calcular la suma de los elementos de: A40
a) 611 d) 1212
b) 614 e) 6
c) 613
8. Señale si son verdaderas (V) o falsas (F), las siguientes afirmaciones:
y sea "B" una matriz triangular inferior, tal que: A=B.Bt, hallar la traza de "B". Siendo "B", matriz de componentes reales positivas.
c) 4
Resolver la ecuación: 3(x – 2A) = 5(B – C)+2(X – A – B)
4 2 1 4. Dada la matriz: A = f2 4 2p 1 2 4
b) 6 e) 11
I. Si "A" es una matriz cuadrada → (A – AT)T es antisimétrica II. Toda matriz cuadrada "A", se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica III. Si "A" es una matriz involutiva 1 (I – A) es 2 idempotente a) V V F d) V V V
b) F F V e) F V V
c) V F V
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9. Hallar los valores de "a", "b", "c" y "d", tal que: At – A2 =
A=e
a–2 b+4 3d – 1 p 2
f2c – 4
a) A b) I+A d) I+A2 e) I–A
2 –1 o 1 3
c) A2
15. Si "A" y "B" son dos matrices definidos por:
Dar como respuesta: a+b+c+d
a) 0 d) – 2
b) – 1 e) 3
A=(aij)2×3 = )i ; i G j j;i > j c) 2
B=(bij)3×2= ) j ; i # j , i;i > j
–3 –6 2 10. Sea la matriz: A = f 2 4 –1p 2 3 0
entonces la Traz((AB)–1) es:
a) – 18 5
Dar el valor de verdad:
9 e) 12 d) 5 5
I. A2 es involutiva II. A2 es nilpotente III. A3 es idempotente
a) V F V d) V V V
16. Si "A" es una matriz definida por: A= –1 1 e o; 0 –2 que satisface la ecuación matricial: x2+3x+2I=0 (donde "I" es la matriz identidad). Si "B" y "C" son matrices de elementos enteros que satisfacen: A=B3+C3, entonces la matriz (B – C) es:
b) F V V e) F F F
11. Sea la matriz: B = e
c) V F F
0 –1 o y el polinomio: 1 1
x34
2x9+1
P(x) = – Hallar la sumatoria de los elementos de la matriz: P(B)
a) 4 d) 6
b) 5 e) 9 a
fc
c) 7 b
bc + x p a Los valores de todos los "x" para los cuales existe 1 0 una matriz "B", tal que: AB=BA= e o , son: 0 1
a) 0 b) 1 c) Todo número real d) Todo real no nulo e) Todo real positivo
12. Sea la matriz: A =
a) – 3
1 d) 3 Quinto UNI
b) – 1 3 e) 1
a) A – 2I d) A+I
3 b) – 7 c) 5 5
b) A – I e) A+2I
c) A
17. Para toda matriz: A=(aij)n×n se define: 2 3 4 eA = I+A+ A + A + A +... 2! 3! 4!
0 1 1 Si: A = f0 0 1p , entonces la suma de los ele0 0 0 mentos de la matriz "eA" es:
15 b) 13 c) 11 a) 2 2 2 9 e) 7 d) 2 2 18. Si: A = (aij)2×2, tal que:
13. Si "x" es una matriz que satisface la ecuación 12 1 1 1 2 matricial: e o xT e o = e o , entonces la 13 0 1 2 1 Traz(x–1)es:
144
14. Si "A" es una matriz nilpotente de índice 2, calcular: A(I+A)5
c) 0
aij = )1; si : i ! j 2 ; si: i = j
entonces la suma de los elementos de la matriz An(n ∈ ), es:
a) 5(2n) d) 4(3n)
b) 2n+1 e) 5n
c) 2(3n)
Colegios
TRILCE
Álgebra 19. Si "A" es una matriz cuadrada de orden "n", tal que: AP=0, entonces una expresión equivalente a: E=I+2A+3A2+...+(P–1)AP–2+PAP–1 es: a) I–AP–2 d) A – I
b) (I–A)–2 c) I–A2 e) (I – A3)2
20. Si "A" y "B" son matrices cuadradas definidas 1 0 –1 2 por: A = e o; B = e o , tal que satisfacen 2 1 3 –1 la siguiente ecuación matricial: AX=BX; entonces de la matriz "X" se puede afirmar que:
a) Tiene inversa b) Traz(X)=1 c) Traz(X)=2 d) X = 0 (matriz nula) e) El elemento "X12" es 1
Tarea domiciliaria 1. Hallar los valores de "a", "b", "c" y "d", tal que: a + 2 b + 14 At – A2 = >2c – 5 3d – 6 H 2
2 –3 A== G 2 3
Dar como respuesta: a+b+c+d
a) 0 d) – 2
2. Dados:
A==
b) – 1 e) 3
c) 2
1 2 1 0 G ;B== G –1 0 –1 2
Si: P(x; y) = 2x – y+3; determinar: P(A, B)
3 3 4 4 4 4 a) G b) G c) G = = = –3 –1 4 1 –1 1 2 –2 – 1 –1 d) G e) G = = 4 4 3 3 3. Luego de resolver:
Hallar la suma de elementos de An (n ∈
a) 2 d) –n
b) 2n e) n
+)
c) 1
1 a+b 0 5. Si la matriz: A = f2 5 a p b 1 3 es simétrica, calcular: Traza (A2)
a) 47 d) 51
b) 45 e) 53
c) 50
6. Dadas las matrices:
A=e
–3 5 2 –3 –7 3 o; B = e o; C = e o –2 2 4 5 2 –1
Señalar la suma de los elementos de la matriz "X", que se obtiene al resolver la ecuación matricial: 3(X – 2A)=5(B – C)+2(X – A – B)
a) 27 d) 37
b) 31 e) 47
c) 33
7. Si "A" es una matriz nilpotente de índice 2, calcular: A(I+A)6
5 11 o –5 4
a) A b) I+A d) I+A2 e) I–A
A+2B = e
2A – B = e
Donde: "A" y "B" son matrices. Calcular "A+B"
4 0 1 0 4 1 a) e o b) e o c) e o 2 1 –4 1 – 1 –1 4 –1 2 1 d) e o e) e o 1 –1 4 0
Central: 619-8100
0 0 o 1 1
5 –2 o 0 –3
4. Si: A = e
c) A2
8. En la matriz: X = (xij)2×2; de la ecuación: 2 1 –3 2 –1 1 e o .X. e o=e o 3 2 5 –3 1 1
la suma de todos los "xij", es:
a) 0 d) 3
b) 13 e) 10
c) –4
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9. Si:
13. Si: A = e
3 –2 –3 2 A2 = e o ; B2 = e o 1 3 1 –3
0 1 1 0 AB = e o ; BA = e o 1 0 1 –1
Calcular: (A –
a) – 2 b) – 3 c) 1
–1 – 1 – 1 –1 d) e o e) e o –1 0 0 1 0 –1 10. Dada la matriz: M = e o 1 0 Calcular el periodo de la matriz. a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
11. Sabiendo que: A = e
c) 3
3 1 o – 2 –1
Calcular: Traza (A–1)2 Donde A–1; inversa de la matriz "A"
a) 4 d) 8
b) 5 e) 7
c) 6
12. Sea "A" una matriz cuadrada, tal que: A2=2I Determinar: (A+I)–1
a) 2I – A d) A+2I
Quinto UNI 146
Determine: Traz(cos(A))
B)2
– 1 –1 –1 0 –1 1 a) e o b) e o c) e o 1 0 1 –1 1 0
–1 –1 o ; F(x) = cosx 1 1
b) I – A e) A – I
e) 1 2
d) 2
14. Si "A" es una matriz que cumple:
(A + I)2 = e
(A – I)2 = e
1 2 o; 0 1
–1 0 o 0 –1
Determine la traza de "A". a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
15. Sea: D = A–1BA; "A" inversible. Hallar: Dn
a) A–nBA d) A–nBnAn
b) A–1BnA e) –AB
c) A–1BAn
c) A – 2I
Colegios
TRILCE
Determinantes Problemas resueltos senx – cos x 1. Si: E = = G; determinar: |E|5 cos x senx
Resolución |E|5=
senx – cos x cos x senx
5
= (sen2x+cos2x)5=15=1
a b =2; hallar el valor de: 2. Si: c d A = *
1 1 1 E = x y z yz xz xy
Resolución
C1.x; C2.y; C3.z
E=
Resolución 2+a b =2d+ad – 2b – bc 2+c d = 2(d – b)+(ad – bc)=2(d – b)+2
* 2
2+a b 1d +2 2+c d 1b
4. Calcular:
1d = 2(b – d) 1b
→ A = 2(d – b) + 2 + 2 (b – d) = 2
3. Determinar para que valor de "a" la matriz:
a 1 2 E = >2 a 2H sea invertible. 1 a 1
Resolución
"E" será invertible si: |E| ≠ 0
Aplicamos la regla de Sarrus:
a 2 |E|= 1 a 2
1 a a 1 a
2 2 1 = a2+4a+2 – (2a+2a2+2) ≠ 0 2 2
⇒ – a2 + 2a ≠ 0 a(a – 2) ≠ 0 ⇒ a ≠ 0 ∧ a ≠ 2 \ a ∈ – {0; 2} Central: 619-8100
x y z 1 2 2 E= x y z2 xyz xyz xyz xyz
x y z 1 1 1 xyz . x2 y2 z2 = x y z xyz 1 1 1 x2 y2 z2
Determinante de Vandermonde.
→ E = (z – y)(z – x)(y – x)
5. Sea: A=[aij]n×n ; aij=máx{i; j}
Hallar: |A|
Resolución
Si: A = [aij]n×n ; aij=Máx{1; 5}
Luego se tiene:
1 2 |A|= 3 4 h n
2 2 3 4
4 g n 4 n C1–C2;C2–C3;C3–C4;...;Cn–1–Cn 4 n = 4 n h n n n g n
–1 0 0 |A|= 0 h 0
3 3 3 4
–1 –1 0 0
–1 –1 –1 0
–1 g –1 –1 –1
n n n = (–1)(–1)...(–1) . n n (n–1)veces h 0 0 0 g n
\ |A| = (–1)n–1.n
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Problemas para la clase 1. Si "a", "b" y "c" son números reales distintos de cero, ¿cuál es la naturaleza de las raíces de la ecuación? a–x b =0 b c –x
6. Calcular el determinante de la siguiente matriz:
a) Son reales e iguales b) Son positivos c) Son negativos d) Son reales y distintos e) Son complejas
x y z I. 0 y z = xyz 0 0 z
e
7 8 9 II. 10 11 12 = 0 13 14 15 4 4 4 III. 4 4 4 =4 4 4 4 a) V V F d) V F V
b) F F V e) V V V
c) V F F
1 w w2 w w2 1 w2 1 w a) w d) w2
b) 4 e) 0
c) 3
b) 3 e) 2
c) 4
5. Resolver: 3 x –x 2 –1 3 =0 x + 10 1 1 ±4 a) – 2 ± 22 b) d) – 2 c) – 4 ± 22 ± 11 e)
Quinto UNI 148
c) 14p
5 o x+5
es no singular.
a) x ≥ 4 d) –4 ≤ x ≤ 5
b) x ≥ –4 c) x ≥ 5 e) x ≥ 5 ∧ x ≠ 5 2
3 2 5 7 3 x = 9 4 2 3 a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 9. Si: F(x)=x2 – 5x+3, encuentre usted el determinante de "F(B–I)", donde: 3 –1 B = e o –3 4 a) 4 d) 5
b) 2 e) 0
c) 1
1 1 1 10. Dada la matriz: A = f2 3 4 p 3 5 8
15–2x 11 10 11–3x 17 16 =0 7–x 14 13 a) 5 d) 6
x–5 1
4. Resolver:
b) 12p e) 18p
8. Hallar "x", a partir de:
3. Si "w" es raíz cúbica imaginaria de la unidad, hallar el valor de:
a) 10p d) 16p
7. Indicar los valores reales de "x", para los cuales la matriz:
2. Marcar (V) o (F):
π π π A = 8 10 12 64 100 144
Encontrar otra matriz "B", tal que: A.B=I (I: matriz identidad) 4 –3 1 4 3 –1 b) a) – 4 5 2 – f p f4 –5 2 p 1 –2 1 1 2 –1 4 –1 3 4 3 1 c) d) 2 5 1 f p f4 –5 2p 1 2 1 – 1 3 –1
$B e) Colegios
TRILCE
Álgebra 11. Sea "A" una matriz de orden 7, tal que: Det(A–3) = 64. Luego: Det(A2), es:
a) 16
c) 1 16
b) 4
1 e) 1 d) 4 2
4
3 2 0 0
0 3 2 0
4
0 0 43 0
= x – 12
b) 4 3 e) 0
a) 1 d) 9
c) 13
13. Decir cuántas son verdaderas:
•
|A–1|=|A|–1;
A–1
donde: es la matriz inversa de "A" y existe. • |Adj(A)|=|A|n–1, donde: Adj(A) es la matriz adjunta de "A". a b d –b • Si: A= e o , entonces: Adj(A)= e o c d –c a
• Si: A=kB, donde "k" es un escalar (k ≠ 0), entonces: |A|=k|B|
a) Todas d) 1
b) 3 e) Ninguna
c) 2
14. Sea "A" una matriz definida por: a– b– c 2a 2a A= f 2b b–c–a 2b p 2c 2c c – a – b
Si: a+b+c=3; hallar el valor del Det(A).
a) 27 b) 9 c) 0 d) – 9 e) – 27 15. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Si "x1", "x2" y "x3" son las raíces de la ecuación: x3+x+3=0, entonces el determinante x1 x2 x3 de la matriz: A = fx2 x3 x1 p es 1 x3 x1 x2
II. Si "A" es una matriz definida por:
A=e
1 0 o , entonces: |A+I|=|A|+1 –1 1
III. Si: A=(aij)n×n, es no singular, entonces: ||A–1|An|=1
Central: 619-8100
a) F V F d) V F F
b) V F V e) F F F
c) F F V
16. Si "A" es una matriz definida por:
12. Resolver la ecuación en "x" 2 0 0 43
J2 K K1 A = K1 K1 K L1
1 3 1 1 1
1 1 4 1 1
1 1 1 5 1
1N O 1O 1O 1OO 6P
entonces el valor de Det(A), es:
a) 180 d) 394
b) 197 e) 360
c) 201
17. Si "A" es una matriz cuadrada de orden "n", tal que: Det(A)=2, entonces el valor de: T=|4||A2T||A3| |A2T|+|AT| – |A|, es:
2
2
a) 22n +5n+2 2 c) 2n +6n+2 2 e) 2n +8n+2
b) 2n +3n+2 2 e) 2n +4n+2
18. Hallar el determinante de la matriz: J N 2 3 K x–1 x –1 x –1 O D = K 2x–4 x2 –4 x3 –8 O K 3x–9 x2 –9 x3 –27O L P a) 4x(x – 1)(x – 2)(x – 3) b) (x – 1)(x – 2)(x – 3) c) 2(x – 1)(x – 2)(x – 3) d) x(x – 1)(x – 2)(x – 3) e) –2x(x – 1)(x – 2)(x – 3) 19. Si "A" es una matriz definida por:
J 12 K 2 9 A = KK 2 17 K 2 L25
32 112 192 272
52 132 212 292
entonces el Det(A), es:
a) 0 d) 1
72 N O 152 O 232O O 312P
b) 1.3.5.7 e) –1
c) (1.3.5.7)2
20. Si "M" es una matriz definida por: J1 2 3 4 5 N K 3 3 3 3O K1 2 3 4 5 O M = K1 25 35 45 55O K1 27 37 47 57O K 9 9 9 9O L1 2 3 4 5 P
entonces el Det(M) es:
a) 1472 c) (1!)(3!)(5!)(7!)(9!) e) 0
b) (5!)(3!) d) (120!)(5!) www.trilce.edu.pe 149
Tarea domiciliaria de: b21=0 y a21 ≠ 0; proporcionar el valor de "M" donde: M=Traz(B)+2Det(A)
1. Marcar verdadero (V) o falso (F): 1 0 0 II. 2 3 0 = 18 4 5 6
2001 1 I. =1 2002 1
1 –1 =2 III. –1 1
a) V V V d) F V F
b) F V V e) V V F
c) F F F
α γ θ γ θ α θ α γ a) –m d) 0
b) n e) 1
c) m2–n
A==
11 2 G; B== G 2 1 1
a) 0 d) 3
4. Sea: A = =
b) 1 e) 1 2
c) 2
0 –1 G –1 0
¿Cuál de las siguientes proposiciones son falsas?
a) An = I, para todo "n" par (n ∈ ) b) An = A, para todo "n" impar (n ∈ ) c) Det(An) ≠ 0, para todo n ∈ d) Det(I+An) ≠ 0, para todo n ∈ e) Det (I – An)=0, para todo n ∈
5. Si "A" es una matriz de orden 3, y se intercambian la primera y la tercera fila y se obtiene la matriz "A0". En "A0" a la primera fila se le multiplica por 3 y a la tercera por 2 obteniéndose la matriz "A1" de manera que: Det(A1)=66 Hallar: Det(A–1)
a) – 11
b) 11
b) 0 e) 3
c) 1
a+x x x =0 x b+x x x x c+x
a) abc ab + ac + bc
b) –
abc ab + ac + bc
c) abc a+b+c
d) –
abc a+b+c
e) abc
8. Dadas las matrices:
3. Si: x ∈ 2 es solución del sistema: Ax=B Calcular: Traz(xTB); donde:
a) – 1 d) 2
7. Si "a", "b" y "c" son números reales positivos, mostrar el valor de "x" para el cual se verifica:
2. Si "a", "g" y "q" son las raíces de la ecuación: x3+mx+n=0 Proporcionar el equivalente de:
R1 –1 1 V u v w S W A= S0 1 –1W ; B = >0 x y H S W 2 0 0 z S W 1 S0 0 W 4 T X Calcular la suma de todos los elementos de la matriz "B", de tal manera que se cumpla: A.B=I; ("I" es la matriz identidad)
a) 21 d) 18
b) 15 e) 7
9. Sea la matriz: H = =
c) 20
x2 –3 G x 1
si se verifica que: Det(H)=4, luego "H2", es:
1 –3 – 2 –6 16 –3 a) G b) G c) G = = = 1 1 2 –2 –4 1 –4 –1 –2 3 d) G e) G = = 4 –2 –4 4
c) – 1 11
1 e) 1 d) 6 11 6. Sea "A" una matriz de orden 2 con: A2=B; donQuinto UNI 150
Colegios
TRILCE
Álgebra 10. Se tiene las seis matrices:
1 2 2 3 7 1 A== G; B == G; C = = G 3 –6 3 2 x 2
D = ABC; M=A2B3C4 Q=AB–1 El valor de "x" para que tres de las seis matrices no sean inversibles es:
a) 0 d) –14
b) 3 e) 14
c) 4
11. Determinar los valores del numeral real "x" para que la matriz:
A==
a) x ≤ 5 d) x ≥ 5
x+3 3
1 G , sea inversible. x–5 b) x ≥ –3 c) x ≥ 0 e) x ≥ 5 ∧ x ≠ 6
0 1 1 B=> 1 b cH a + b b2 c2
Entonces, podemos afirmar que:
a) |A|=|B|
b) |A|=ab|B|
c) |A|= a |B| b
d) |A|=(a+b)|B|
e) |A|=(a – b)|B|
Central: 619-8100
Hallar el valor de "M", donde:
x y = 2 z w
M=
2+x y 1w +2 2+z w 1 y
a) – 2 d) 1
b) – 1 e) 2
c) 0
14. Dada la matriz: 10 0 A = >1 1 0 H 1 1 1
Calcular: Det(A)+Det(AT)+Det(A–1)
a) – 1 d) 3
b) 0 e) – 3
c) 1
15. Encuentre la traza de la matriz "A" sabiendo que se cumple:
12. Dadas las matrices: 1 1 1 A= > a b c H a2 b2 c2
13. Si:
3 2 0 –2 = G . A == G 5 4 4 10
a) 14 d) 13
b) 15 e) 12
c) 16
www.trilce.edu.pe 151
Problemas resueltos Zx + y + 2z = 3 ] 1. Si el siguiente sistema: [ x + 2y – z = 1 ] by + z = a \
En (1): 2x+3(–2z)+4z=0 → x=z
En (3): z2+4z2+z2=24→x2=4→|z|=2=|x|
\ y2=4z2 → y2=16 → |y|=4
tiene infinitas soluciones; entonces el valor de: E=a+b
→|x|+|y|+|z|=2+4+2=8
Resolución
Zx y z 15 ... (1) ] + + = ] 3. Si: [ x + y + w = 16 ... (2) ] x + z + w = 18 ... (3) ] y z w 20 ... (4) + + = \
* x+y+2z = 3 ... (1) * x+2y – z=1 ... (2) * by+z=a ... (3) (2) – (1): y – 3z=–2
De (3):
by+z=a
⇒
Tendrá infinitas soluciones
Si: 1 = –3 = –2 b 1 a
b = – 1 ; a = 2 → a+b= 1 3 3 3
Z ] 2x + 3y + 4z = 0 2. Resolver: [5x + 6y + 7z = 0 ] x2 + y2 + z2 = 24 \ hallar el valor de: |x|+|y|+|x|
Determinar: A= x – y+z – w
Resolución
* [(1)+(3)]–[(2)+(4)]:(2x+y+2z+w)
– (x+2y+z+2w) = (15+18)–(16+20)
→ x – y+z – w= 33 – 36 = – 3
Resolución
* 2x+3y+4z=0 ... (1) * 5x+6y+7z=0 ... (2) * x2+y2+z2=24 ... (3)
De (2) – (1): x+y+z=0
De (1): 2(x+y+z)+y+2z=0 → y=–2z
Quinto UNI 152
0
Colegios
TRILCE
Álgebra
Problemas para la clase 1. Si el siguiente sistema: Z x+y = 3 ] [ 5x – 3y = 7 ] ax + by = 5b \ tiene solución única, entonces la relación correcta entre los valores de "a" y "b" es:
a) a=b d) a=–2b
b) a=–b e) a=3b
c) a=2b
2. Si el siguiente sistema: (a–1) x + (b–1) y = c–1 ) (b + 1) x + (c + 1) y = a + 1 posee infinitas soluciones, calcular el valor de: + + 2 E = (a b c) bc + a (b + c)
a) 2 d) 6
b) 3 e) 8
c) 4
123
3. ¿Qué relación debe existir entre "a", "b" y "c" para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones? 3x+4y+5z=a ... (I) 4x+5y+6z=b ... (II) 5x+6y+7z=c ... (III)
a) 2a=b+c d) 2a=b+2c
b) 2c=a+b e) 2c=a – b
c) 2b=a+c
5. Dado el sistema: x+y = m * ax + by = m2 a2 x + b2 y = m3
Se cumple: I. Es compatible, si: m=0 ∧ x=y=0 II. Es incompatible, si: m=a ∧ x=a y=0 III. Es compatible, si: m=b ∧ x=0 ∧ y=b
a) V F F d) F F F
b) V V V e) F F V
c) V F V
6. Sea el sistema: Zax + y + bz = 1 ] [ x + ay + z = 0 ] x + y + bz = 1 \
se tiene:
I. Si: a ≠ 1 y ab ≠ 1, el sistema tiene solución única. II. Si: a ≠ 1 y ab ≠ 1, el sistema es compatible indeterminado. III. Si: a≠1 y ab=1, el sistema es inconsistente.
Son correctas:
a) I y III d) Todas
b) I y II e) Ninguna
c) II y III
4. Si un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas tiene solución única, ¿cuál de las siguientes gráficas podría representar el sistema?
7. Sea: Z ax + y + z = 1 ] [ x – y + z = 2 ] x + y + az = –1 \
Calcular el valor de "a" para que el sistema lineal no tenga solución única.
a) –3 y 1 d) 3 y 1
I. y
II. L1
y
L2
L1 L2=L3
III. y
L3
x
x
b) – 3 y 3 e) 1 y – 1
8. Del gráfico, hallar "ab" y
(a - 1)x+(b+9)y= -1
L1 L2
9 L3
L3
a) Solo I d) I, II y III
Central: 619-8100
c) – 3 y – 1
5
x
x
2ax - by=62
b) Solo II e) I y III
c) II y III
a) 8 d) –18
b) –8 e) 38
c) 18 www.trilce.edu.pe 153
9. Determine el valor de "a" para que el sistema:
ax + 9y = 3 x + ay = 4 Tenga solución única.
)
a) {3} d) – {3; –3}
b) {-3; 3} c) e) – {9; –9}
– {3}
15. Resolver: Z 2x - y z 3 + = ] [ x + 2y + z = 1 ] 4x 2y - 3z 11 = \ + Indicar el valor de x3+y3+z3
10. Si el sistema:
(2a + 5) x + 5y = 7a ) 3x + (a + 2b) y = 7 admite infinitas soluciones, calcular el valor de: ab – aba a) –150 d) 90
b) –90 e) 150
c) 40
11. Determine el valor de "k" si el sistema:
b) 6 e) 3
16. Calcular "x - y+z - w", si: Zx + y z 15 + = ] ] x + y + w = 16 [ ] x + z + w = 18 ] y + z + w = 20 \ a) 3 b) 6 d) –3 e) 12
(1 + 2k) x + 5y = 7 ) 4x + (2 + k) y = 8 es inconsistente. (No tiene solución)
17. De las relaciones mostradas:
* 3
a) {– 9 ;2} 2
b) {– 9 } 2
Indicar el valor de "z"
d) { 3 } 2
e) { 9 } 2
a) 6 d) 24
c) {2}
b) 12 e) 10
Calcular "x"
a) m(m+n) d) n(m+n)
b) –4 e) 6
c) –3
a) –11 d) –14
a) 10 d) 13
Quinto UNI
c) 18
b) n(m - n) e) mn
c) m(m - n)
b) a - 1 (a + 1) 2 e) a+2
c) a
19. Resolver: Zax + y z 1 + = ] [ x + ay + z = a ] x y + az a2 = \ + Hallar "z" b) –12 e) –15
c) –13
b) 11 e) 14
a) a+1 d) a+2
20. Para que valor de "a" el sistema:
14. Resolver: Z2x - y 2z 6 + = ] [ 3x + 2y - z = 4 ] 4 x + 3 y - 3z = 1 \ Indicar el valor de "x2+y2+z2"
c) –6
=
18. Resolver el sistema: Z x y ]m+n + m-n = m+n [ x + y = 2m ] m n \
a) –2 d) 4
c) 5
y+z = z+x 5 4 7x + 5y + 11z = 300 x+y
12. Calcular el valor de "a" para que el sistema: Z(a 1) x 5y = 7 + ] + x+y = 5 [ ] 5x - 3y = 9 \ tenga solución única.
13. Resolver: Z(x 2y 1 = ] + [ 2x - z = 1 ] 5y + z = 0 \ Indicar "xyz"
154
a) 7 d) 4
c) 12
ax + y = 0 *ax + z = 1 az + x = a
es indeterminado.
a) -1 d) -4
b) -2 e) -5
c) -3 Colegios
TRILCE
Álgebra
Tarea domiciliaria 123
1. El sistema: 2x – y = 5m 3y – 6x = – 15 Presenta infinitas soluciones, indique el "par ordenado" que lo verifica:
a) (3; 1) d) (–4; –13)
b) (4; 3) e) Todos
c) (2; –1)
123
2. El valor de "l" para que no exista solución en el sistema: 2x – 3y = 51 lx + y = 0 es: 3 a) 2
b) – 3 2
c) 0
2 d) – 2 e) 3 3
123
3. Indique la relación entre "a" y "b", del tal manera que el sistema: ax + by = 1 bx + ay = 1 Sea compatible.
a) a ≠ b d) a+b ≠ b
b) a ≠ 2b e) a ≠ 3b
c) a ≠ –3b
123
4. Si el sistema: (a+1)x+y+z=a+8 x+(a+1)y+z=a+9 x+y+(a+1)z= – a – 3 es incompatible, hallar el valor de "a" (a ≠ 0)
a) 3 d) 2
c) – 1
5. Determinar el valor de "a" para que el sistema tenga solución única.
ax + 4y = 2 ) x + ay = 4
6. Determine el valor de "ap - apa" de modo que el sistema de ecuaciones: (a - 1) x + 4y = 10 ) 2x + (p + 1) y = 5 sea indeterminado 7. Determinar el valor de "n" si el sistema: ax + 4y = 2 x + ay = 4
)
es inconsistente (No tiene solución)
Central: 619-8100
9. Resolver: Z 2x y - z 5 + = ] [ x + 2y + z = 4 ] x-y = 1 \ Indicar "xyz" 10. Resolver: Z 5x - 3y - z = 1 ] [ x + 4y - 6y =- 1 ] 2x + 3y + 4z = 9 \ Indicar "x2+y2+z2" 11. Resolver: Z x y+z = 1 + ] x - y + z =- 1 [ ] 2 x + 3 y - 4z = 9 \ Indicar el valor de "x3+y3+z3" 12 Resolver el sistema:
b) 1 e) – 3
8. Calcular la relación entre "a" y "b" para que el sistema: Z x y=3 + ] [ ax + by = 5b ] 5x - 3y = 7 \ Tenga solución única.
x+y = 7 *y + z = 13 z + x = 10 Calcular: z + x y 13. Calcular "
y
x + z " en el sistema:
3x + 5y + z = 34
*x = y = z 6
3
18
14. Resolver el sistema: ax - by = a + b *x + y = a + b ab hallar "xy" 15. Al resolver el sistema: 5x - 4y = - 14 ) 2x + 3y = k
Se cumple que "y" es el triple de "x". Hallar el valor de "k". www.trilce.edu.pe 155
Problemas resueltos 1. Determinar el mayor valor de "x" en el sistema: 2. Indicar el número de soluciones reales al resolZ ver: 3 ] xy – 6 = y ] 3 3 3 3 x )x + x y + y = 17 [ 3 x + xy + y = 5 ]] xy + 24 = x ; x; y ∈ y \ Resolución Resolución Z 3 ] xy – 6 = y ... (1) ] x [ 3 x ]] xy + 24 = ... (2) y \
⇒ (1) × (2): (xy – 6)(xy+24)=x2y2
(xy)2+18(xy) – 144=(xy)2 3 xy=8 ... (a) en (2): x = 32 ... (b) y 4 Luego (a) × (b): x =256 → x=4 ∧ x=–4
\ xmáx=4
Quinto UNI 156
3 3 3 3 )x + x y + y = 17... (1) x + xy + y = 5... (2)
De (2): x+y=5 – xy
→ (x+y)3=55 – (xy)3 – 3(5)(xy)(5 – xy)
x3+y3+3xy(x+y)=125–x3y3 – 75xy+15(xy)2
x3+y3+3xy(5–xy)=125–x3y3–75xy+15(xy)2
x3+y3+x3y3 = 18(xy)2 – 90(xy)+125
17=18(xy)2 – 90(xy)+125 0=(xy – 2)(xy – 3)
⇒ xy=2 ∨ xy=3
Si: xy=2 en (2) ⇒ x+y=3 )x = 1 )x = 2 y=2 y=1
Si: xy=3 en (2)⇒x+y=2⇒No hay solución real
\ El número de soluciones reales es 2
Colegios
TRILCE
Álgebra Problemas para la clase 6. Al resolver el sistema:
indicar el valor de: (x – y)
a) 0 d) 6
123
1. Dado el sistema: x3+y3=35 xy(x+y)=30 Determinar la suma de todas las soluciones reales para "x" e "y". a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
2. Indicar un valor de "xy" al resolver: x+y + x–y = 4 ) x2 – y2 = 9
a) 20 d) 10
b) 16 e) –16
c) 15
entonces se puede afirmar que:
a) "S" tiene un elemento b) "S" tiene dos elementos c) "S" tiene tres elementos d) "S" tiene cuatro elementos e) S = f
c) 4
2 2 )x + y + 4 (x – y) = 122 3 (x – y) + xy = 57
x2 – xy + y2 = 7 ) 2 2x + xy – y2 = 20
b) 2 e) 8
7. Determinar la suma de los valores absolutos de los elementos de los pares que son soluciones del sistema:
3. Si "S" es el conjunto solución del sistema:
(x + y) 3 + (x – y) 3 = 64 * y x2 + 3y2 = – 16 y
a) 60 d) 54
b) 58 e) 52
c) 56
8. Si el siguiente sistema: 'x + y + z = a x2 + y2 = z
tiene solución única, entonces el valor de "a", es:
a) – 2 3
2 b) – 1 c) 2 3
4. Determinar el valor negativo de "x+y+z", del sistema:
d) 1
e) 4 3
Z 2x y z xy yz + + = + ] ] 2y + x + z = xz + xy [ ] 2z + x + y = xz + yz ] x2 y2 z2 2 \ + + =
9. Si "S" es el conjunto solución del sistema:
a) 2 – 6 d) – 2 – 6
b) 1 – 6 e) – 3 – 6
2 2 )x + y = 10x – 24 x+1 = 2– y
c) – 1 – 6
5. El siguiente sistema:
a) "S" tiene un elemento b) "S" tiene dos elementos c) "S" tiene tres elementos d) "S" tiene cuatro elementos e) S=f
10. Si el sistema:
x+y+z = 2 2xy – z2 = 4
)
tiene una solución real de la forma: {(x0; y0; z0)}, entonces el valor de: (x0 – y0 – z0), es:
tiene solución única, entonces el valor de "a" es:
a) – 3 d) 2
a) 2 d) – 1
Central: 619-8100
)
b) – 2 e) 3
c) 0
x = y2 – 1 x2 – 2ax + a2 + y2 – 4 = 0
b) 1 e) – 3
c) 0
www.trilce.edu.pe 157
11. Si: x0
entonces el valor de:
a) 2 d) 5
2x0 – y0 , es:
b) 7 e) 8
c) 3
12. Determinar el número de soluciones de: x2 – 16 – 6 – y = 0 * 2 x2 + y =1 49 4
a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
c) 6
16. Al resolver el sistema:
)
Se obtiene como conjunto solución: C.S={(a; b), (c; d)}, siendo: x+y>0 Indicar "a+b+c+d"
a) 0 d) 3
c) 2
Indicar como respuesta "a2+b2+c2"
a) 10 d) 7
b) 9 e) 6
c) 8
123
18. Sea el sistema de incógnitas "x" e "y":
Acerca de su conjunto solución "S", podemos afirmar:
a) n(S)=0 d) n(S)=3
b) n(S)=1 c) n(S)=2 e) n(S)>n; "n ∈ +
ax + y = 1 ... (1) 2+ 2 x by = 1 ... (2)
)
con solución única. Determinar el valor de: b - 1 b
a) 1 d) ab
14. Resolver:
b) a e) ab2
c) a2
19. El mínimo valor de "z" que satisface el sistema de ecuaciones:
3x2 + 2y2 =7 4 4 * 2 2 x +y = 3
a) {(1;
2 ), (1; - 2 ), (-1;
2 ), (-1; - 2 )}
b) {(2;
2 ), (2; - 2 ), (-2;
2 ), (-2; - 2 )}
c) {(3;
2 ), (3; - 2 ), (-3;
2 ), (-3; - 2 )}
d) {(4;
2 ), (3; - 2 ), (-3;
2 ), (-3; - 2 )}
20. ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?
e) {(5;
2 ), (5; - 2 ), (-5;
2 ), (-5; - 2 )}
15. Resolver: Zxy + x + y = 23 ] [ xz + x + z = 41 ] yz + y + z = 27 \ Calcular: xz , siendo: x; y; z ∈ y
a) 8 d) 14
Quinto UNI 158
b) 1 e) 4
17. Resolver en +: Za (a + b + c) 5 = ] [b (a + b + c) = 10 ] c (a + b + c) 10 = \
13. Dado el sistema: 2x+3y+4z= 290 x2+y2+z2=10 x, y, z ∈
x2 + xy + y2 = 4 x + xy + y = 2
b) 10 e) 15
)
x + y = 12 x2 + y2 = z
a) 9 d) 72
b) 18 e) 144
c) 36
x = y = -7 x3 + y3 y -3 x2 - 3 2
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
+
c) 12
Colegios
TRILCE
Álgebra Tarea domiciliaria 6. Del sistema: x2+y2+6x+2y=0 x+y+8=0 Indique el mayor valor entero obtenido para "x". 123
1. Dado el sistema: 123
7 x + 2 y = 22 2 x + 3 y = 16 Hallar: x y b) 4–1
a) 4
3 d) 2–1 e) 2
c) 2
2. Al resolver el sistema: 123
3 y – 1= 4x – 10 y = x3 – 3x(x – 1) se tiene que x es: y
a) 2
1 d) x
b) 5 e) Todos
123
a) 6 d) – 6
b) 3 c) – 3 e) Hay dos correctas
)
es de la forma: C-S.={(a: b), (c; d)}, donde: a, b, c∈ Calcular "a+b+c+d"
x2 - y2 = 8 xy = - 3
a) -2 d) 1
)
)
2x + 2 = y - 2 y - 2 = (x + 1) 2
3
⇒ C.S. {(a; b), (c; d)}
x - 1+ y = 4 y3 = x - 1
1442443
a) 2 d) 5
x+y = 1 xz 15
)
siendo: 2x ≠ y
Indique "x"
a) 20 d) 15
a) ±1 d) ±4
b) 10 e) 40
c) 30
⇒ C.S. {(m; n)}
b) 3 e) 6
c) 4
14243
b) 3 – 6 e) – 1 + 6
x2 + y2 + 6xy = 153 2x2 + 2y2 - 3xy = 36
b) ±2 e) ±5
c) ±3
10. Resolver
5. El valor positivo de "x+y+z", obtenido del sistema: 2y+x+z=xz+xy 2x+y+z=xy+yz 2z+x+y=xz+yz x2+y2+z2=2 es:
Central: 619-8100
c) 0
9. Resolver el sistema:
y+z = 1 yz 20
a) 1+ 6 d) – 2 + 6
b) -1 e) 2
2 2 2 2 Calcular: a + b + c + d n-m
4. Del sistema: x+y = 1 xy 12
c) 2
8. Si tenemos el sistema y su respectivo conjunto solución:
3. A partir del sistema: x2+xy+xz=24 y2+yz+yx=8 z2+zx+zy=32 Hallar: x – y+z
b) – 4 e) 0
7. El conjunto solución del sistema:
c) 1 3
a) 3 d) – 2
c) 2+ 6
3x - 2y = 6 2x2 - 2y2 = 14
)
Indicar su conjunto solución.
16 9 9 16 a) '(4; 3), c ; m1 b) '(4; 3), c ; m1 5 5 5 5 9 16 c) '(3; 4), c ; m1 5 5
d) {(4; 3)}
16 9 e) ' c ; m1 5 5 www.trilce.edu.pe 159
13. Resolver el sistema:
11. Calcular "x" en el sistema:
x+y+z = a *(x + y) 2 - z2 = b2 (x + z) 2 - y2 = c2 Siendo: abc ≠ 0
b2 + c2 b) b2 - c2 a) 2a 2a
c) b2+c2
a2 + b2 + c2 d) a2+b2 e) 2
)
y a partir de las soluciones formar la ecuación cuadrática cuyas raíces sean los cuadrados de las componentes de una solución del sistema.
a) t2+4t - 2=0 c) t2 - 4t - 2=0 e) t2 - 4t=0
x2 + y2 - xy 2 = 2 x4 + y4 = 12
b) t2 - 4t+2=0 d) t2+4t+2=0
12. Resolver el sistema:
x = y = z =8 *2 3 6 x2 + y2 + z2 = 1
Calcular el valor de "xyz"
a) ± 63 7
d) ± 63 7
Quinto UNI 160
2
b) ± 63 7
3
5
e) ± 63 7
4
c) ± 63 7
6
Colegios
TRILCE
Problemas resueltos 1. Calcular el área de la región: Zy G x 1 + ] ] y G –x + 1 [ ] –1 G x G 1 ]0 G y G 1 \
3. Hallar el mínimo valor de la función:
Resolución
Graficamos: y
⇒ Área= 2 (1) =1u2 2
1 x
Resolución
Graficando:
y=–x+1
y=x+1
y>240 – 4x
y>140 – 2 x 3 1 y>100 – 3 x x ≥ 0
2. Calcular el valor del área de la región definida por: Zy G x 3 + ] [ x + y G 4 ]x H 0 ; y H 0 \
z=4x+6y sujeto a: Z4x y > 240 ] + ] [ 2x + 3y > 420 ] x + 3y > 300 ]x H 0 ; y H 0 \
1
–1
7` 7 j 2 – 3 (3) = 31 u2 Área = 2 2 4
y=4 – x
4 3 –3
Q
x R=(300;0)
y = 240 – 4x = 140 – 2 x 3 x = 30 ∧ y = 120 ; ⇒ P = (30; 120)
* Cálculo de "Q":
y y=x+3
P
* Calculo de "P":
Graficamos:
M=(0; 240)
y ≥ 0
Resolución
y
(x0; y0) 4
x
y = 100 – 1 x = 140 – 2 x 3 3 ⇒ x = 120 ∧ y = 60; ⇒ Q = (120; 60)
Luego evaluando: z=4x+6y se obtiene:
x0 = 1
2 y0 = 7 2
M → z=4(300)+6(0)=1200
P → z=4(30)+6(120)=840
Q → z=4(120)+6(60)=840
Por diferencia de áreas:
Central: 619-8100
R → z=4(0)+6(240)=1440 \ zmín=840
www.trilce.edu.pe 161
4. Encontrar el valor mínimo de: z=2x – 3y, sujeto a las restricciones: Zx 2y G 10 ] + ] [ 2x + y G 11 xH0 ] ] yH0 \
6 dólares por cada mesa. ¿Cuántas mesas debe fabricar para maximizar su ganancia? y ¿cuántas sillas?
Resolución
# de sillas a fabricar: x
# de mesas a fabricar: y
Resolución
por c/silla por c/mesa
Graficamos: Z 1 ] y G 5– 2 x ]] [ y G 11–2x ]x H 0 ] \y H 0
y (0; 5)
B
A (0; 0)
P ( 11 ; 0) C 2
x
y = 5 – 1 x = 11 – 2x 2 \ x = 4 ∧ y = 3 → P(4; 3)
Luego evaluando: z=2x – 3y, se obtiene:
A → z = 2(0) – 3(0) = 0
B → z = 2(0) – 3(5) = – 15
C → z = 2 c 11m – 3(0) = 11 2 D → z = 2(4) – 3(3) = – 1 \ zmín=–15
5. Una compañía fabrica mesas y sillas. Por cada silla se necesitan 20 pies de madera y 4 horas de mano de obra. Por cada mesa se necesitan 50 pies de madera y 3 horas de mano de obra. El fabricante dispone de 3300 pies de madera y de 380 horas de mano de obra. El fabricante obtiene una utilidad de 3 dólares por cada silla y
Mano de obra hr 4 3
Z20x 50y G 3300 + ] ] [ 4x + 3y G 380 xH0 ] ] yH0 \
Cálculo de "P"
Madera pies 20 50
y la ganancia: G(x; y) = 3x+6y
Graficando: y
y= 380 – 4 x 3
(0; 66) P A (95; 0)
3
y=66 – 2 x 5
x
Cálculo de P: y= 330–2x = 380–4x 5 3
⇒ x=65 ∧ y=40 \ P=(65; 40)
Evaluando en "G"; se obtiene:
Gmáx = 435 = G(65; 40)
\ Se deben fabricar 40 mesas y 65 sillas.
Problemas para la clase 1. Determinar el máximo valor que asume: 2x+y, sujeto a: y ≤ x+2 ; y ≤ –x+3 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0
a) 6 d) 20
b) 14 c) 15 e) 30
14243
2. Determinar: Máx (2x1+3x2) Sujeto a: x1+2x2 ≤ 6 5x1+3x2 ≤ 15 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 Quinto UNI 162
a) 8 b) 9 c) 69 7 d) 10 e) 11 3. Hallar el máximo valor de: z=3x+6y, tal que: Z x + y G 80 ] ]] 2x + y G 80 2 [ xH0 ] ] yH0 \ a) 200 b) 300 c) 400 d) 480 e) 600 Colegios
TRILCE
Álgebra 4. Maximizar la función objetivo: F(x; y)=4x+3y+2, si se tienen las siguientes restricciones: x ≥ 0; y ≥ 0; x+y ≤ 4; 2x – y ≤ – 1 e indique ese máximo.
a) 13 d) 18
b) 15 e) 14
c) 17
5. Elabore la gráfica del sistema: Z x 3y H 12 ] + [ –2x + y G 4 ] 8x 3y G 54 + \
a)
c)
b)
y
y
y
x d)
x y
8. En relación al siguiente problema; maximizar: Z=x1+1,5x2; sujeto a: Z2x + 2x G 160 2 ] 1 ] x1 + x2 G 120 [ ] 4x1 + 2x2 G 280 ] x H 0; x H 0 2 \ 1 Indique el valor de verdad de cada uno de las siguientes proposiciones:
I. No existe región admisible. II. El óptimo es en el punto (60; 20) III. Una solución admisible es el punto (40; 40)
a) V V V d) V V F
b) F F V e) V F F
c) V F V
9. Dadas las restricciones: Z x y H 12 + ] [3x + 2y G 30 ]x H 0 ; y H 0 \
e)
x
x
y
x
6. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Toda región factible siempre es acotada. II. Un problema de programación lineal siempre posee solución óptima. III. Existen siempre infinitas soluciones factibles. IV. En un problema de programación lineal puede haber infinitos soluciones óptimas.
a) V V V V d) F F F V
b) V F V F e) F V F F
c) F V V F
7. Maximizar la función: C(x; y)=3x+2y; sujeto a las restricciones: Z4x 3y G 230 ] + ] x – 2y G 30 ] [ 2y – 3x G 40 ] xG0 ] ] yH0 \ e indique ese valor máximo.
a) 160 d) 170
Central: 619-8100
Determinar la suma de las coordenadas del punto que minimiza a la función: F(x; y)=5x+2y (x ≠ 0 ∨ y ≠ 0)
b) 180 e) 90
c) 230
a) 6 d) 9
b) 12 e) 10
c) 8
10. Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana; y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios, si un traje y un vestido se venden al mismo precio.
a) 10 trajes y 20 vestidos b) 20 trajes y 10 vestidos c) 30 trajes y 20 vestidos d) 20 trajes y 30 vestidos e) 30 vestidos y 40 trajes
11. Un granjero tiene 480 Ha en la que puede sembrar cebada o maíz. Él calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. Dados los márgenes de utilidad y requerimientos siguientes: Maíz: Utilidad $40 por Ha Trabajo: 2h por Ha Cebada: Utilidad $30 por Ha Trabajo: 1h por Ha
Hallar la utilidad máxima.
a) 15 600 d) 17 600
b) 16 000 e) 18 200
c) 16 400
www.trilce.edu.pe 163
12. Las compañías Stock S.A. requiere producir dos clases de recuerdos de viaje: del tipo "A" y del "B". Cada unidad tipo "A" producirá una ganancia de $1, mientras que una del tipo "B" generara una ganancia de $1,20. Para fabricar un recuerdo tipo "A" se necesitan 2 minutos en la máquina I y 1 minuto en la máquina II. Un recuerdo tipo "B" requiere 1 minuto en la máquina I y 3 minutos en la máquina II. Hay 3 horas disponibles en la máquina I y 5 horas disponibles en la máquina II para procesar el pedido. ¿Cuántas piezas de cada tipo debe producir Stock S.A. para maximizar la ganancia?
a) A=48; B=84 c) A=65; B=42 e) A=40; B=68
b) A=60; B=32 d) A=72; B=50
13. La función: Z=5x+6y; representa el beneficio que se obtiene al vender "x" artículos de clase "A" e "y" artículos de clase "B", determinar cuáles son las cantidades que se deben vender de cada artículo para obtener el máximo beneficio, sabiendo que: x ≥ 0; y ≥ 0; x+y ≤ 5; 2x+y ≤ 9
a) 4 y 0 d) 3 y 4
b) 4 y 1 e) 1 y 3
c) 0 y 5
14. Una empresa fabrica dos clases de cuadernos; los rayados a S/.2 la unidad y los cuadriculados a S/.1,5, la unidad. En la producción diaria se sabe que el número de cuadernos cuadriculados no supera en 1000 unidades al número de cuadernos rayados, entre las dos clases no superan a 3000 unidades y los cuadernos cuadriculados no bajan de 1000 unidades. Hallar el costo máximo y mínimo de la producción diaria.
a) 5000; 2000 c) 2000; 1200 e) 5500; 2000
b) 5500; 1500 d) 3000; 2000
15. Para recorrer toda la ciudad de Machu Picchu, una compañía de transporte desea ofertar, como máximo, 5000 plazas de dos tipos: T (turista) y P (primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo "T" es de 30 dólares, mientras que la ganancia del tipo "P" es de 40 dólares. El número de plazas del tipo "T" no excede de 4500 y el de tipo "P" debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo "T" que oferten. ¿Cuántas tienen que ofertarse de cada tipo para que la ganancia sea máxima?
a) 3800 de "T" y 1200 de "P" b) 4000 de "T" y 1000 de "P" c) 3750 de "T" y 1250 de "P" d) 3780 de "T" y 1220 de "P" e) 3900 de "T" y 1100 de "P"
Quinto UNI 164
16. Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes y al menos el doble de pequeños que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 soles y la pequeña de 1 sol. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?
a) 6 grandes y 12 pequeñas b) 8 y 4 c) 12 y 8 d) 6 y 4 e) 10 y 10
17. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa "A" le paga 0,5 soles por cada impreso repartido y la empresa "B", con folletos más grandes, le paga 0,7 soles por impreso. El estudiante lleva 2 bolsas: una para los impresos A, en la que cabe 120 y otra para los ingresos "B", en la que cabe 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 ingresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos ingresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?
a) 50 A y 100 B c) 80 A y 70 B e) 0 A y 150 B
b) 150 A y 0 B d) 100 A y 50 B
18. Un constructor va a edificar dos tipos de edificios "A" y "B". Dispone de 600 millones de soles y el costo de cada edificio de tipo "A" es de 13 millones y 8 millones una de tipo "B". El número de edificios de tipo "A" ha de ser, al menos, del 40% del total y el tipo "B", el 20% por lo menos. Si cada edificio tipo "A" se vende en 16 millones y cada una de tipo "B" en 9, ¿cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo?
a) 40 tipo "A" y 10 tipo "B" b) 30 A y 20 B c) 25 A y 25 B d) 10 A y 40 B e) 20 A y 30 B
19. A una persona le tocan 10 millones de soles en una lotería y le aconsejan que las inviertan en dos tipos de acciones: "A" y "B". Las de tipo "A" tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10%. La de tipo "B" son más seguras, pero producen solo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones "A" y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones "B". Además, decide que lo invertido en "A" sea, por lo menos, igual a lo invertido en "B". ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que el beneficio anual sea máximo? Colegios
TRILCE
Álgebra
a) 6 en "A" y 8 en "B" b) 6 y 3 c) 6 y 4 d) 5 y 6 e) 4 y 7
20. Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G; 0,4 barriles de "C"
y 0,2 barriles de "T". La refinería ha contratado el suministro de 900 000 barriles de "G", 80 000 barriles de "C" y 50 000 barriles de "T". Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.
a) 3 000 000 de crudo ligero y ninguno pesado. b) 3 000 000 de crudo pesado y ninguno ligero. c) 1 500 000 de ambos d) 200 000 de ambos e) 1 750 000 de ambos
Tarea domiciliaria 1. Maximizar la función: F(x; y)=2000x+5000y el gráfico de las restricciones es el siguiente: y (5;1) (0;–1)
a) 1500 d) 16 000
x (3;–3) b) 15 000 e) 1700
c) 1600
2. Minimizar la función: F(x;y)=6x+10y+3000 sujeto a las restricciones: Z0 # x # 1000 ] [ 0 # y # 700 ] 0 # x + y # 800 \
Indicar como respuesta el valor mínimo.
a) 7800 d) 10 000
b) 500 e) 5000
c) 4200
3. Al maximizar la función: F(x;y)=3x+8y, sujeta a las restricciones: Z4x + 5y # 40 ] [ 2x + 5y # 30 ] x $ 0; y $ 0 \
El máximo se obtiene en el vértice:
a) (0;6) d) (1;3)
Central: 619-8100
b) (0;3) e) (2;9)
4. Minimizar la función F(x;y)=2x+y, sujeto a: Z3x + y $ 3 ] ]] 4x + 3y $ 6 [ x + 2y $ 0 ]y $ 0 ]] \x $ 0 a) 2 d) 1
b) 2,4 e) 2,5
c) 3
5. ¿En qué punto de la región limitada por el polígono de vértices: (0;0), (0;800), (600; 400), (800; 200), (900; 0), la función: y F(x;y)= x + ; alcanza su máximo valor? 5 4
a) (800; 200) c) (0; 800) e) (1000; 800)
b) (600; 400) d) (800; 200)
6. Minimizar la función: Fx;y)=2x+3y, sujeto a las restricciones: Zx 2y $ 8 ] + ] 2x + y $ 7 [ ] 4x + 5y # 29 ] x $ 0; y $ 0 \
a) 9 d) 12
b) 10 e) 13
c) 11
c) (2;1)
www.trilce.edu.pe 165
7. De las siguientes proposiciones respecto a la programación lineal.
I. Las restricciones de la desigualdad son polinomios de primer y segundo grado. II. El punto óptimo se encuentra en la región admisible III. La región admisible contiene puntos los cuales tiene alguna de sus coordenadas valor negativo. Son correctas: a) Solo I d) I y II
b) Solo III e) II y III
c) Solo II
8. Determinar el máximo valor de la función: F(x;y)=x+y, tal que:
Z3 y # 150 ] + ]] y# x 2 [ x $ 20 ] ] y $ 40; x; y ∈ + \ a) 100 b) 150 d) 250 e) 300
c) 200
a) F(x;y)=30x+40y b) F(x;y)=30x+40y Zx + y # 4500 Zx + y $ 4500 ] ] ]] x $ 5000 ]] x # 5000 [ [ y y ]x # 3 ]x # 3 ] ] x $ 0; y $ 0 x $ 0; y $ 0 \ \ c) F(x;y)=30x+40y
Zx + y # 5000 ] ]] x # 4500 [ y ]x # 3 ] x $ 0; y $ 0 \ Quinto UNI 166
d) F(x;y)=30x+40y Zx + y # 5000 ] ]] x $ 4500 [ y x # ] 3 ] x $ 0; y $ 0 \
e) F(x;y)=30x+40y
Zx + y $ 5000 ] ]] x # 4500 [ y x # ] 3 ] x $ 0; y $ 0 \ 10. Es una granja se preparan dos clases de alimentos tipo "P" y "Q", mezclando dos productos "A" y "B". Un saco de "P" contiene 8 kg de "A" y 2 de "B" y un saco de "Q" contiene 10 kg de "A" y 5 de "B". Cada saco de "P" se vende a 300 soles y cada saco de "Q" a 800 soles. Si en la granja hay almacenados 80 kg de "A" y 25 kg de "B", obtener la función objetivo y sus respectivas restricciones suponiendo que: x: Número de sacos de clase "P". y: Número de sacos de clase "Q".
9. Para recorrer un determinado trayecto una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: "T" (turista) y "P" (primera). La ganacia correspondiente a cada plaza de tipo "T" es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo "P" es de 40 euros, mientras que la ganancia del tipo "P" es de 40 euros. El número de plazas tipo "T" no puede exceder de 4500 y el del tipo "P", debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo "T" que se ofertan. Calcular la función objetivo y sus respectivas restricciones suponiendo que: x: Es el número que se ofertan del tipo "T". y: Es el número que se ofertan del tipo "p".
a) F(x;y)=300x+800y b) F(x;y)=300x+800y
Z8x 10y $ 80 Z8x 10y # 80 ] + ] + [ 2x + 5y $ 25 [ 2x + 5y # 25 ] x $ 0; y $ 0 ] x $ 0; y $ 0 \ \
c) F(x;y)=300x+800y d) F(x;y)=300x+800y
Z8x 10y $ 80 Z8x 10y $ 25 ] + ] + [ 2x + 5y # 25 [ 2x + 5y # 80 ] x $ 0; y $ 0 ] x $ 0; y $ 0 \ \
e) F(x;y)=300x+800y
Z8x 10y # 25 ] + [ 2x + 5y # 80 ] x $ 0; y $ 0 \ 11. Una fábrica de motos y bicicletas debe producir al menos 10 motos al mes; por limitaciones en el almacén debe producir a lo más 60 motos y 120 bicicletas por mes, o de lo contrario debe producir 160 unidades de ambos tipos. Si la ganancia por moto es S/.134 y por bicicleta S/.20, ¿cuántas motos y cuántas bicicletas debe fabricar al mes para maximizar su utilidad?
a) 40 motos; 120 bicicletas b) 80; 80 c) 60; 100 d) 50; 90 e) 10; 120
Colegios
TRILCE
Álgebra 12. Una microempresa se especializa en vender dos tipos de artículos "A" y "B". Si "x" representa la cantidad de artículos producidos del tipo "A", "y" representa la cantidad de artículos producidos del tipo "B"; sujeta a:
14. Una compañía extrae materiales de un yacimiento. El número de libras de materiales "A" y "B" que puede ser extraído por cada tonelada de los filones I y II está dado en la siguiente tabla junto con los costos por tonelada.
123
2x+y ≤ 8 2x+3y ≤ 12 x ≥ 0; y ≥ 0
Mineral "A" Mineral "B" Costo por tonelada
Determinar la utilidad máxima determina por: U(x;y)=200(3x+y)
a) 3600 d) 3000
b) 2400 e) 2000
c) 1800
13. Juan tiene 24 hectáreas en los que puede sembrar trigo o maíz. Él calcula que tiene 40 horas de trabajo disponible durante la estación crucial de verano. Dados los márgenes de utilidad y requerimientos siguientes: Maíz: Utilidad: $ 40 por hectárea Trabajo: 2 horas por hectárea Trigo: Utilidad: $ 30 por hectárea Trabajo: 2 horas por hectárea
Hallare la máxima utilidad.
a) 600 d) 760
Central: 619-8100
b) 880 e) 800
Filón II 200 libras 50 $60
Si la compañía debe extraer al menos 3000 libras de "A" y 2500 de "B", ¿cuántas toneladas del filón I y del filón II deben ser procesadas con el fin de minimizar el costo?
a) 10 y 10 d) 11 y 9
b) 8 y 12 e) 14 y 6
c) 5 y 15
15. Un club social encarga a una empresa de transporte de viaje llevar a 1200 socios a ver la final de su equipo; la empresa dispone de autobuses de 50 plazas y de microbuses de 30 plazas. El precio de cada viaje en el autobús es de $ 252 y el del viaje en microbús es $ 180. Sabiendo que la empresa dispone de 28 conductores, ¿cuál es el costo máximo del viaje?
c) 400
Filón I 100 libras 200 $50
a) $ 6125 d) 7000
b) 6000 e) 6336
c) 6002
www.trilce.edu.pe 167
