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AÑOS

DE GRANDES ÉXITOS

Álgebra 4º Grado De Primaria

P R E - U N IV E R S IT A R IO

2

Álgebra 4º Grado De Primaria IEPr Pre Universitario

ÁLGEBRA

SANTA ROSA

LOS NÚMEROS ENTEROS EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z) El conjunto de los Números Enteros, que en adelante lo representaremos por Z, está conformado por los números negativos, el cero y los números positivos.

REPRESENTACIÓN: Sobre una línea recta, ubiquemos un punto de referencia (origen) al que le hacemos corresponder el número cero. A partir del cero, ubicamos puntos hacia la derecha y hacia la izquierda haciendo corresponder a cada uno los números positivos y negativos respectivamente.

NEGATIVOS

CERO

POSITIVOS

“Los números en Z aumentan de izquierda a derecha”. Representa los siguientes números enteros en la recta numérica: -5 , +4 , -2 , +2 , 0 , 1 , +3 , +5 , -6

Negativo

Cero

Positivo


3

Álgebra 4º Grado De Primaria EJERCICIOS 1. ¿Cuál es el número que separa los números positivos de los negativos? …………………………………………………………………………………..

2. Menciona tres ejemplos de la vida cotidiana, en donde se haga uso de los números negativos. ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

3. Representa los siguientes números enteros en la recta numérica: -8 , -6 , -2, +2 , +5

NEGATIVOS

CERO

POSITIVOS

4. Representa los siguientes números enteros en la recta numérica: -1 , -4 , -2 , +2 , +1 , -6

NEGATIVOS

CERO

POSITIVOS

5. Representa los siguientes números enteros en la recta numérica: -8 , -10 , -7 , +2 , +8 , +9

NEGATIVOS

CERO

POSITIVOS


4

Álgebra 4º Grado De Primaria OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO El opuesto de un número entero es el número que tiene el mismo valor absoluto, pero diferente signo; por ejemplo:

El opuesto de -6 es +6 El opuesto de +3 es -3 El opuesto de -24 es ………. El opuesto de +50 es ………... El opuesto de -12 es ………. El opuesto de +40 es ………... El opuesto de -127 es ………..

RELACIÓN DE ORDEN EN Z

Z

es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay números enteros mayores o menores que otros. Un número entero es menor que otro, si está colocado a la izquierda de él en la recta numérica; y es mayor, cuando está a su derecha. Ejemplos:  Ordenaremos de menor a mayor -3, +4, -5 y +5.

Los números ordenados son: ………………………………………….  Ordenaremos de mayor a menor -4, +3, -6, 0 y +5.

Los números ordenados son: ………………………………………….

RECUERDA: Todo número entero positivo es mayor que 0. Todo número entero positivo es mayor que cualquier número ………..………… Todo número entero negativo es menor que 0. Todo número entero negativo es menor que cualquier número ………..…………


5

Álgebra 4º Grado De Primaria EJERCICIOS 1. ¿Cuál es el número opuesto a -32?

………………………………………………………………………………………….

2. ¿Cuál es el número opuesto a +71?

…………………………………………………………………………………………….

3. Escribe el opuesto de los siguientes números:

El opuesto de -124 es

……………

El opuesto de +307 es

……………

El opuesto de -510 es

……...…….

El opuesto de +64 es

…………....

4. Utilizando la recta numérica, ordena de mayor a menor, los siguientes grupos de números:

a) +2, -8, 0, -3, +5, -5 y +6

b) +10, -9, +7, -5, +1, -4 y +8

c) +4, -6, -1, 0, -9 y +3


6

Álgebra 4º Grado De Primaria d) +9, -8, +7, -6, +5, -4, +3, -2, +1

e) +9, +7, -13, -15, -5, +4, 0, +3

f) -12, -9, +10, -6, -1, +6, -15, +2

5. Responde a las siguientes preguntas:

a) Si 23 grados sobre cero son representados por +23ºC. ¿Cómo se representa 12º bajo cero?

……………………………………………………………………………

b) Si 12 pasos al frente se representa por +12. ¿Cómo se representa 24 pasos para atrás?

………………………………………………………………………………..


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Álgebra 4º Grado De Primaria IEPr Pre Universitario SANTA ROSA

ÁLGEBRA

ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Regla: Para sumar dos números enteros que tengan el mismo signo, se suman los valores de los números (los números sin su signo), y al resultado se le antepone el signo común.

Ejemplos: (+4) + (+9) = (+12) + (+7) = (-8) + (-10) = (-2) + (-5) = (+3) + (+7) = (+10) + (+18) = (-12) + (-5) = (-8) + (-6) = Para sumar dos números enteros que tengan diferente signo, se restan el mayor valor menos el menor valor (los números sin su signo), y al resultado se le antepone el signo del número que tenía mayor valor.

Ejemplos: (+4) + (-10) = (-6) + (+5) = (+6) + (-8) = (-7) + (+3) = (+8) + (-11) = (-8) + (+10) = La suma de un número y su opuesto es cero. (Cero no tiene signo).

Ejemplos: (-4) + (+4) = (+5) + (-5) = (-9) + (+9) = (+50) + (-50) =


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Álgebra 4º Grado De Primaria EJERCICIOS 1. Calcula: a) b) c) d) e) f) g)

(+5) + (+7) = (-6) + (-2) = (+10) + (+7) = (-8) + (-5) = (-11) + (-12) = (-4) + (-2) = (+8) + (+7) =

2. Calcular: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

(-5) + (+3) = (-6) + (+2) = (-4) + (+7) = (+10) + (-5) = (-8) + (+12) = (-4) + (-15) = (+8) + (-6) = (-17) + (+17) = (+57) + (-57) = (-124) + (+124) =

3. Representa en la recta numérica y halla el resultado de: a) (-6) + (+3) =

0 b) (+4) + (-9) =

0 c) (-5) + (-6) =


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SANTA ROSA

ÁLGEBRA

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS Regla: Para calcular la diferencia de dos números enteros, se debe sumar el minuendo con el opuesto del sustraendo.

a – b = a +( -b)

Ejemplos: (+4) – (-3) = (+4) + (+3) = …………… (-2) – (+5) = (-2) + (-5) = …………… (-7) – (-6) = (-7) + (+6) = …………… (+10) – (+6) = (+10) + (-6) = …………… (-12) – (-10) = (-12) + (+10) = ……………

ESCRITURA SIMPLIFICADA: Otra manera de trabajar los números enteros es reduciendo los signos, para lo cual tendremos en cuenta lo siguiente: -

Un número entero sin signo que lo preceda, se considerará un entero POSITIVO.

Ejemplos: 253 = +253 17 = ………. 287 = ……….


10

Álgebra 4º Grado De Primaria -

Si se tiene un entero entre paréntesis y un signo positivo lo precede, el paréntesis se puede eliminar y el entero seguirá con su mismo signo. Ejemplos: + (-32) = -32 + (+18) = ………. + (-208) = ……….

-

Si se tiene un entero entre paréntesis y un signo negativo lo precede, el paréntesis se puede eliminar, pero, se invertirá el signo del entero, si es negativo se le pondrá signo positivo, y si es positivo, se le pondrá signo negativo. Ejemplos: - (-25) = +25 - (+23) = ………. - (-142) = ……….

EJERCICIOS Desarrollar las siguientes operaciones con números enteros, utilizando la escritura simplificada: (+4) + (-6) = 4 – 6 = ______ (-10) + (-5) = -10 – 5 = ______ (+5) - (-8) = ________________ (-10) - (+9) = ________________ (+7) - (+3) = ________________ (-8) - (+10) = ________________ (+2) - (-7) = ________________ (+6) - (-7) = ________________ (-20) + (-8) = ________________ (+7) + (-14) = ________________


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Álgebra 4º Grado De Primaria EJERCICIOS DE REFUERZO 1. Calcular:

a) -5 + 2 = b) -10 + 5 = c) -9 + 10 = d) -4 – 12 = e) +15 - 7 = f) +30 - 40 = g) -6 + 25 = h) -14 + 15 = i) -42 – 8 = j) +7 - 30 =

2. Restar:

a) (-12) de (-10) =

(-10) - (-12) =

-10 + 12

=

…………

b) (+15) de (-6) = c) (+25) de (-30) = d) (-14) de (-10) = e) (+8) de (-7)

=


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MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Regla: Para multiplicar dos números enteros tendremos en cuenta dos casos: 1º Caso.- Cuando los dos factores tengan igual signo, es decir, los dos son positivos o los dos son negativos, entonces, el producto tendrá signo positivo. Ejemplos: (+3) . (+5) = (+2) . (+7) = (+9) . (+5) = (-5) . (-7) = (-6) . (-8) = (-3) . (-12) = (-10) . (+7) =

Regla de Signos

(+) . (+) = (+) (-) . (-) = (+)

2º Caso.- Cuando un factor es positivo y el otro negativo, el producto tiene signo negativo. Ejemplos: (-3) . (+4) = (+7) . (-2) = (- 5) . (+6) = (-8) . (+1) = (+4) . (-6) = (-8) . (+4) = (+6) . (-7) =

Recuerda:

Regla de Signos

(-) . (+) = (-) (+) . (-) = (-)

Si los dos factores tienen

Igual signo

Diferente signo

El producto es positivo

El producto es negativo

(+) . (+) = + (- ) . (- ) = +

(+) . (- ) = (- ) . (+) = -


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Álgebra 4º Grado De Primaria EJERCICIOS 1. Calcula: a) (+2) . (+9) =

b) (-5) . (-2) =

c) (-7) . (+3) =

d) (+8) . (-4) =

b) (-2) . (+12) =

f) (+5) . (-8) =

c) (+7) . (-10) =

h) (-4) . (-6) =

d) (+3) . (-9) =

j) (-9) . (+6) =

e) (-6) . (-3) =

l) (-12) . (+10) =

f) (-6) . (-20) =

n) (-12) . (-3) =


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ÁLGEBRA

SANTA ROSA

POTENCIACIÓN MULTIPLICACIÓN

4 x 4 x 4 = 64 5 x 5 x 5 = 125 3x3=9

POTENCIACIÓN

4 x 4 x 4 = 43 = 64 5 x 5 x 5 = 53 = 125 3 x 3 = 32 = 9

¡Sabias que ........ Una potencia está formada por el producto de factores iguales, donde el factor que se repite se llama base, elevado a un exponente que indica el número de veces que se repite el factor.

Términos de una Potencia:

Exponente

23 = 2x2x2 = 8

Potencia

Base

En:

xn = b Ejemplos:

32 = 9

43 = 64

Se lee: 3 elevado al cuadrado.

Se lee: 4 elevado al cubo.


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Álgebra 4º Grado De Primaria Ejemplos: a) 34 = ………………………………… = ……………

Se lee: …………………….

b) 25 = ………………………………… = ……………

Se lee: ……………………..

c) 62 = ………………………………… = ……………

Se lee: …………………….

EJERCICIOS 1.- Convierte las siguientes multiplicaciones a potencia: 3 x 3 x 3 = _33____ = ___27_ 5x5

= ______ = _______

6 x 6 x 6 = ______ = _______ 4x4

= ______ = _______

2 x 2 x 2 = ______ = _______ 8x8

= ______ = _______

2.- Observa y completa el cuadro: Multiplicación Potencia Base

4x4

42

4

Exponente

2

Se lee

Cuatro elevado al cuadrado

3x3x3

Valor

16 27

23 5x5

Dos elevado al cubo 5

2

Cinco elevado al cuadrado

82

64


16

Álgebra 4º Grado De Primaria 3.- Escribe “V” o “F” según convenga: a) 3 x 3 x 3 = 33 (

)

e) 36 = 62

(

)

b) 42 = 4 + 4 = 8 (

)

f) 125 = 53

(

)

c) 5 x 5 x 5 = 53

(

)

g) 102 = 100

(

)

d) 8 x 8 = 26

(

)

h) 82 = 16

(

)

Elevado al

2

4.- Completa las siguientes tablas: 3

Elevado al

1

13

1

1

12

1

2

23

8

2

22

4

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

CASOS ESPECIALES DE LA POTENCIACIÓN a) Exponente 0 (cero): Un número elevado al exponente cero (0) es igual a uno (1).

b0 = 1

;

b

0

Ejemplos: a) 80 = ……… b) 270 = ……. c) 9270 = …….


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Álgebra 4º Grado De Primaria b) Exponente 1 (uno): Un número natural elevado al exponente uno (1) es el mismo número natural.

b1 = b Ejemplos: a) 61

=

6

b) 31

=

3

c) 201

=

20

d) 8001

=

800

e) 10001 =

1000

EXPONENTE NEGATIVO Siguiendo con el ejemplo anterior (3°), si en un caso resulta que m = 0. Tendríamos:

1 an

a0 an

a0

n

a

n

Por lo tanto:

1 an

a

n

a≠ 0

EJERCICIOS 1) Expresa como potencia: a) 2.2.2.2 = ………. b) 7.7.7 = ……….. c) 9. 9. 9. 9 = ………. d) x . x . x . x = ………. e) 10.10.10.10.10.10.10 = ……….


18

Álgebra 4º Grado De Primaria 2) Hallar: =

………….

b. 693° =

………….

a. 59°

………….

c. (97 x 63)° = d. 91

=

………….

e. 171

=

………….

f. 2051 =

………….

3) Hallar el resultado: a) 32 x 23

= ………….

b) 53 x 21

= ………….

c) 53 x 9°

………….

=

d) 71 x 24

= ………….

e) 450 x 231

= ………….

4) Completa el cuadro según convenga:

Exponentes 2

2

3

4

9

729

7 5

5

10


19

Álgebra 4º Grado De Primaria 5) Resuelve las potencias, luego compara de acuerdo a la condición. Coloca un aspa donde corresponda: Mayor que

13 =

23 = 8

x

62 =

91 =

102 =

43 = 53 = 73 =

¡Sabias que ... El exponente indica las veces que se repite la base como factor: =6

82 = 8 x 8

EJERCICIOS DE REFUERZO 1) Efectúa: a) 72 =

b) 25 =

c) 34 =

d) 245° =

e) (9 x 8)° =

f) 451 x 28° =

g) 23 x 31 x 7° =

h) x . x . x . y . y =

i) 8. 8. 8. 8 =

j) 10. 10. 10. 10. 10 =

k) 23 . 51 =

l) 130 . 181 =

2) Completa el cuadro: 3°

25

19

Base Exponente Potencia


20

Álgebra 4º Grado De Primaria 3) Completa: N

n°

1

1

n1

n2

n3

9

27

n4

2

256

4) Relaciona las potencias con sus resultados: 49

a. 23 x 6

48

b. 4 x 32 c. 52 x 22

100

36

2

e. 7 x 29°

5) Une con una flecha según convenga: 252

2 500

102

625

83

512

502

100


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ÁLGEBRA

SANTA ROSA

RAÍZ CUADRADA La raíz cuadrada de un número es otro número que, elevado al cuadrado, es igual al primero.

Ejemplo:

16 = 4 porque 42 = 16 25 = 5 porque 52 = 25

Radicando Índice

2

x

a

;

Signo radical

Porque x = a2

Raíz

EJERCICIOS 1) 52 = _____________ porque

= ________________

2) 32 = _____________ porque

= ________________

3) 72 = _____________ porque

= ________________

4) 92 = _____________ porque

= ________________

Calcula y completa: 5) 5 al cuadrado es igual a _____ la raíz cuadrada de ______ es _______ 52 = _________

= ___________


22

Álgebra 4º Grado De Primaria 6) 7 al cuadrado es igual a ____ la raíz cuadrada de _______ es _______

72 = ___________

= ____________

7) 10 al cuadrado es igual a ______ la raíz cuadrada de _______ es _____ 102 = ___________

= ____________

* Halla la raíz cuadrada de: 8)

25 =

9)

49 =

10)

36 =

* Halla el resultado de las siguientes operaciones 11)

16 -

9 + 1=

12)

25 .

9 – 10 =

13)

36 . ( 4 + 1) =

14) 36

9 9 - 120 =

15) 100 100 x 22 – 80 =

EJERCICIOS DE REFUERZO  Halla la raíz cuadrada de: 1)

36 =

5)

64 =

2)

16 =

6)

4 =

3)

1 =

7)

49 =

4)

25 =

8)

81 =


23

Álgebra 4º Grado De Primaria  Efectúa y halla el resultado:

1)

25 +

a) b) c) d) e)

36 =

a) 3 b) 8 c) 7 d) 9 e) 11

6)

9 x 10 - 18 = a) 12 b) 18 c) 10 d) 30 e) N.A.

7)

25 – 16 = a) 3 b) 4 c) 6 d) 1 e) 5

8)

36 . 4 . a) 12 b) 24 c) 36 d) 72 e) 144

2) 5( 64 ) – 6 = a) 34 b) 36 c) 40 d) 4 e) 6

3)

144 a) b) c) d) e)

- 100 = 4 3 2 5 N.A.

4) ( 49 + 270) 22 = a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5) 52 -

14 25 17 20 11

9 =

121 =


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ÁLGEBRA

SANTA ROSA

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE BASES IGUALES MULTIPLICACIÓN DE BASES IGUALES Observa los ejemplos: a) 22 x 23 = (2 . 2) . (2 . 2 . 2) = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = b) 33 x 34 = (3 . 3 . 3) . (3 . 3 . 3 . 3) = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = c) 45 x 4 = (4 . 4 . 4 . 4 . 4) . (4) = 4 . 4 . 4 . 4 . 4. 4 = d) 82 x 83 x 84 = (8 . 8) . (8 . 8 . 8) . (8 . 8 . 8 . 8) = 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 =

De los ejemplos anteriores podemos ver que cuando tengamos una multiplicación de dos o más potencias que tengan bases iguales, podemos simplificar a una sola potencia con la base común, y como exponente se colocará la suma de los exponentes dados.

am. an = a m+n Ejemplos: 22. 23 = 22+3 = 25 67. 62 = 67+2 = 69 DIVISIÓN DE BASES IGUALES Observa los ejemplos: a) 24

23 = (2 . 2 . 2 . 2) (2 . 2 . 2)

= 24-3 = 21

De los ejemplos anteriores podemos ver que cuando tengamos una división de dos potencias que tengan bases iguales, la potencia resultante tendrá la base común, y el exponente se obtendrá restando los exponentes dados.

am an

a≠ 0


25

Álgebra 4º Grado De Primaria Ejemplos:

28

23 = _________________

34

3 = _________________

67

62 = _________________

59

54 = _________________

46

45 = _________________

1210

125 = _________________

EXPONENTE NEGATIVO Siguiendo con el ejemplo anterior (3°), si en un caso resulta que m = 0. Tendríamos:

1 an

a0 an

a0

n

a

n

Por lo tanto:

1 an

a

n

a≠ 0

EJERCICIOS 1) Expresa como potencia: a) b) c) d) e)

2.2.2.2.2= 3.3.3= x.x.x.x.x.x = m.m.m.p.p.p = q . q . q . q . ....... q . q = 15 factores

2) Halla la potencia de : a) 43 = b) 34 = c) 26 =


26

Álgebra 4º Grado De Primaria 3) Halla la potencia usando la primera ley: a. 23 . 22 . 2 = b. 33 . 32 . 30 = a) 4 . 42 . 40 = b) m2 . p5 . m3 . p3 = c) x2 . x3 . x = d) xa . xb = e) p10

p7 =

f) n4

n3 =

g) z13

z7 =

h) q8

q6 =

4) Efectúa a) 140 . 3 = b) (17 . 23)0 = c) (5m)0= d) (a . b . c)0 = e) x3 . x-2 = 5) Escriba V si es verdadero y F si es falso: a) 210 . 2 = 211

(

)

b) 53 . 54 = 512

(

)

c) 2 = 8

(

)

d) x4 . x5 = x45

(

)

e) x3 . y2 = (x . y)6

(

)

f) m3 . m = m4

(

)

4


27

Álgebra 4º Grado De Primaria EJERCICIOS DE REFUERZO 1) Efectúa a)

a5 . a3 =

b) m4 . m3 . m2 = c) x . x3 . x2 = d) p . p . p = e) z13

z6 =

f) c10

c12 =

g) q9 : q7 = h) (4m + 5)0 = i) (720

716)0 =

j) q2

q3=

k) m8

m° =

2) Expresa como potencia: a) 2 . 2 . 2 . 2 . ...... . 2 .2 = “b” factores

b)

b.b.b.c.c.c.b.b.c.b=

c) (x . x . x . x) : (x . x . x) = d) 55

(5 . 5 . 5) =

e) (3 . 3 . 3)

(4 . 4) =

3) Escribe V o F según corresponda: (Recuerda, para aplicar la regla estudiada las bases deben ser iguales) a) 23 . 32 = 65

(

)

b) m3 . m5 = m8

(

)

c) q9 : q3 = q3

(

)

d) x10

x5 = x2

(

)

e) x12 : x7 = x5

(

)


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ÁLGEBRA

SANTA ROSA

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIÓN ALGEBRAICA:

Se denomina expresión algebraica al conjunto o unión de números y letras, unidos entre sí por cualquiera de las operaciones matemáticas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación o una combinación de estas en un número limitado de veces. Ejemplos: 5x

;

3x2

;

2x – y

;

4x3y + z

ELEMENTOS DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

Signo

Exponente

- 12x3 Coeficiente

Parte literal

1° Signo: Puede ser positivo (+) o negativo (-). 2° Coeficiente. Es un número que va junto a la parte literal. Ejemplos: 3y5 16m9 7x2 x14

Coeficiente: 3 Coeficiente: 16 Coeficiente: 7 Coeficiente: 1


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Álgebra 4º Grado De Primaria 3° Parte literal. Es aquella parte formada por todas las letras o variables del término. Ejemplos: 6m6 8a2b3 23x2y3

parte literal: “m” parte literal: “a” y “b” parte literal: “x” y ‘‘y”

4° Exponente: Son los números escritos en la parte superior derecha de cada letra. Ejemplos: 20a3 25b12 5x

exponente de a : 3 exponente de b : 12 exponente de x : 1

EJERCICIOS 1) En las siguientes expresiones algebraicas, indica cuántos términos algebraicos hay y cuáles son. a) -3yz + x + zm

……………………….. (

)

b) 11ab + 3ax – by2

……………………….. (

)

c) 52xyz - m2 + 5y3 – zmx

……………………….. (

)

d) 3y + xy + 2x2 - mxy – 8m

……………………….. (

)

e) 15x + 6bx + c - 2my – 8xz – 9a

……………………….. (

)

f) 8xy + 3yz – 5xz - z3 + 4yz2 + z

……………………….. (

)

g) 5x2

……………………….. (

)

……………………….. (

)

i) 5x3 + 2y – zm

……………………….. (

)

j) x2 + 3x3 + 5x4

……………………….. (

)

k) 9 – y

……………………….. (

)

2

h) 12

2

y3 – 2x + (2y).(2x) - 8x2y ab2 + 5b2 – 8a3b + 2a2b

2) Completa el cuadro: Término algebraico

Signo

Coeficiente

Parte literal

Exponente

-x16 7y5


30

Álgebra 4º Grado De Primaria -12m2 12m-2 -125x5 -87s8

EJERCICIOS DE REFUERZO l) Completa el cuadro Término Algebraico

Signo

Coeficiente

Parte literal

Exponente

3x2 - 8m5 -15z -a7 3a9

2) En las siguientes expresiones algebraicas, indica cuántos términos algebraicos hay y cuáles son. a) 10y + x + z

……………………….. (

)

b) 11abx – by2

……………………….. (

)

c) 52xyz + 5y3 – 3mx

……………………….. (

)

d) (3y).(xz) + 2x2 – 8m

……………………….. (

)

e) 15x2 + 6bx – 8xz – 9a

……………………….. (

)

……………………….. (

)

f) 8xy + 3yz – 5xz

z3

g) 5x2

y3 – 2x + (2y).(2x)

……………………….. (

)

h) 12

ab2 + 58a3b + 2a2b

……………………….. (

)


31


SANTA ROSA

ÁLGEBRA

TÉRMINOS SEMEJANTES TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos términos que tienen iguales letras afectados de iguales exponentes. Por ejemplo: a) -5x8 ; 0,2x8 ; ½ x 8

son términos semejantes

b) 5x2y3 ; 4x3y2

no son términos semejantes

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Si descubrimos que dos o más términos son semejantes, estos pueden ser reducidos a uno solo, sumando o restando los coeficientes y escribiendo la misma parte literal. Ejemplos: a) Reducir:

10ab + 7ab = (10 + 7)ab = ______

b) Reducir:

2abc + 5abc = (2 + 5)abc = ______

c) Reducir:

-2m2 + 3m2 = (-2 + 3)m2 = ______

d) Reducir:

8x2 + 4x2 = (8 + 4)x2 = ______

e) Reducir:

5y4 –3y4 = (5 - 3)y4 =

f) Reducir:

-6a4 + 3b2 + 4a2 = (- 6 + 4)a2 + 3b2 = ___________________

g) Reducir:

-4m + 6p – 3r – m + p -3r = (-4 - 1)m + (6 + 1)p + (-3 - 3)r =

______

___________

Cuidado: Al sumar o restar los coeficientes de los términos semejantes, recurrimos a la regla de signos para la suma y resta de números enteros.


32

Álgebra 4º Grado De Primaria REDUCCIÓN DE TÈRMINOS SEMEJANTES QUE TIENEN SIGNOS DE COLECCIÓN

Recuerda Los principales signos de colección son:

Paréntesis (

)

Corchetes Llaves

Si estos signos de colección se encuentran unos dentro de otros. Se van eliminando “desde adentro hacia afuera”

Para suprimir signos de colección se procede del siguiente modo: a) Si delante de un signo de colección aparece el signo +, eliminamos tal signo de colección y los signos + o – de los términos interiores no cambian. Ejemplos: a) + (2x – 5x2) = 2x3 – 5x2 b) + (-6x + 2) = -6x + 2 b) Si delante de un signo de colección aparece el signo menos (-), eliminamos tal signo de colección, y los signos + o – de los términos interiores cambian. Ejemplo: a) – (-x + 3y – z ) = x – 3y + z b) - (-2x4 + b2 + 7c) = 2x4 - b2 - 7c c) - (-2x4 + b2 + 7c) = 2x4 - b2 - 7c


33

Álgebra 4º Grado De Primaria EJERCICIOS 1) Se tienen los números: (-3) ; (+2) ; (-5) y las variables “x” Escribe 3 diferentes términos algebraicos con los números y variables dadas.

e

“y”

2

Ejemplo: -3x

2) Escribir 3 términos semejantes para cada uno de los 5 términos escritos en el caso (1).

3) Reducir las expresiones mostradas a continuación. a. (-5a) + (-9a) = b. 12bc – 7bc -3bc + 9bc = c. (-3m + 4m + 7m – 9m) = d. (2a - 3b) + (6a + 7b) = e. 10ab – (4ab – 3ab) = f. (-4m + 6p – 3r) – (5m + 2p -3r) = g. (2d – 3e + 4f) + (3f + 4d – 2e) = h.

3x2 + (4y – x2) +2y) +5x2


34


ÁLGEBRA

SANTA ROSA

CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ALGEBRAICOS De acuerdo al número de sus términos, las Expresiones Algebraicas se clasifican en: a) Monomios

y

b) Polinomios. MONOMIOS: Es la expresión algebraica. que consta de un sólo término. Ejemplo: -7y2 ;

3x ;

xy3 ;

x2yz3

7ab ;

POLINOMIO: Es la expresión algebraica que consta . de dos o más términos. Ejemplo: 4x – 3y 2 T. A.

;

5x2 - 3y + xy ;

3xy + 5y – 3x + 6

3 T. A.

4 T. A.

De acuerdo al número de términos, se utilizan denominaciones especiales para nombrar a los polinomios. Así: a) Binomio: Es la expresión algebraica que consta de dos términos. Ejemplo: 3x2 – y 8x2y + y 2x + 3 b) Trinomio: Es la expresión algebraica que consta de tres términos. Ejemplo: 3x2 – 7xz + z3 2a2 - 3ab + b2 3a2 + 5b3 – c2


35

Álgebra 4º Grado De Primaria EJERCICIOS

1)

Identifica el coeficiente y parte literal de cada uno de los monomios siguientes: COEFICIENTE

PARTE LITERAL

a) 2x3

__________ ; __________

b) 6zy

__________ ; __________

c) 4z7y2

__________ ; __________

d)

2 3 2 zy 5

__________ ; __________

e) –2ab4c5

__________ ; ___________

f) -16mn3

__________ ; ___________

2) Encierra con una línea curva a aquellos términos que sean semejantes en cada uno de los polinomios siguientes: a) 2a – 3ab2 + 5ab + 6ab2 b) 7x4y + 2 xy4 – 3x4y – x4y c) ab2 –2ab + 3ab2 + 4a2b – 7ab2 d) 11xy3 – 5y3x – 15xy3 + 5x2y e) 5x2a – 2xa2 + 3x2a – 3x2a + 7x2a2 – 3ax


36


ÁLGEBRA

SANTA ROSA

VALOR NUMÉRICO REGLA Para hallar el valor númérico de una expresión algebraica se reemplaza cada letra por un número y se efectua las operaciones indicadas.

Ejemplo 1: ¿Cuál es el valor numérico de 3m? Si m = 7 Solución: Reemplazando: 3m = 3 ( 3 ) = 9 Ejemplo 2: ¿Cuál es el valor numérico de 2ab? Si a = 4 y b = 5 Solución: Reemplazando: 2ab = 2( 4 ) . ( 5 ) = 40 Ejemplo 5: Hallar el valor numérico de:

x3 – 6 , x2 - 2

si x = 3

Solución: Reemplazando: x3 – 6 = ( 3 )3 – 6 = 3 x2 - 2 ( 3 )2 – 2

EJERCICIOS DE REFUERZO 1) Para el polinomio: 5x2 – 3x + 2. Halla su valor numérico para cada uno de los valores de “x” siguientes: a) x = -1

5(-1)2 – 3(-1) + 2 = 5 + 3 + 2 = _______ = _____

b) x = 2 c) x = 3 d) x = 1 e) x = 0


37

Álgebra 4º Grado De Primaria 2) Sabiendo que:

x = 3;

y = 2; a = 1; halla el valor numérico de cada polinomio.

f) 2x2y + 3x – 7

= 2(3)2(2) + 3(3) – 7 = _______________

g) 3a2 – xy

=

h) x2y3 – 7y + a

=

i) 5a3 – 3xy + y

=

j) 5a – 3a2 + xy

=

k) 3x2y + 8a – 7

=

l) 3ay2 – y

=

m) x2a3 – 7y + x

=

n) 5a3 – 3xy + y2

=

o) 5ay – 3a2 + x2

=


38


ÁLGEBRA

OPERACIONES CON MONOMIOS ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Para sumar o restar dos o más monomios semejantes se suman o restan sus coeficientes y al resultado se le pone la misma parte literal de los monomios semejantes dados. Ejemplos:

a) 11mx + 9mx = (11 + 9)mx = 20mx Términos semejantes

b) 2a + 5a = (2 + 5) a = 7a c) 5y2 + 8y2 + 7y2 = (5 + 8 + 7) y2 = 20y2

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Para multiplicar dos monomios, primero, se multiplican sus coeficientes; luego, se escriben en orden alfabético todas las letras de los monomios dados, poniendo a cada una un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores.

Ejemplos:

a) (3x2).(5x3) = (3.5)x2.x3 = 15x2+3 = 15x5 b) (-2a).(7b) = [(-2).(7)] a.b = - 14 ab c) (-2y).(-3x).(z) = [(-2).(-3).(1)] x.y.z = +6xyz


39

Álgebra 4º Grado De Primaria EJERCICIOS 1) Efectuar: a) 6x3 – 10x3 = b) –6abc + 8abc – abc = c) –10xy + 8xy = d) 15mb – 23mb = e) mnp – 4mnp + 7mnp = f) 2x2y + 6x2y + 12x2y – 7x2y = g) 18xz – 16xz + 9xz = h) 2m + 3n – 6m + 2n = i) 6abc + 8bca – 5cab = j) 9mx – 7xm + 12mx = 2) Halla el resultado de: Recuerda:

am.an = am+n a) (12s).(6s3) = b) (5a2b3).(4ab5) = c) (-7x).(-5x) = d) (ab).(2bc).(3ac) = e) (3mn).(4n3).(5m2) = f) (3a).(5b).(-4a) = g) (12ab).(-10ba).(-2ac) = h) (-2a).(3a).(-4a).(5a) = i)

(a2 b) (-b2c) (-c2a) =

j)

(-x).(3y)(2x2)(-5xy) =

k) (12x).(5xy) =


40

Álgebra 4º Grado De Primaria POTENCIAS DE MONOMIOS La potencia de monomios es una multiplicación de factores monomios iguales. Para desarrollar una potencia, también podemos elevar independientemente el coeficiente y las variables al exponente dado. Ejemplos:

a)

(2x)2 = (2x).(2x) = (2.2) x.x = 4x1+1 = 4x2

b) (3a)3 = (3a).(3a).(3a) = (3.3.3) a.a.a = c) (-2m3)2 = (-2)2.(m3)2 = d) (5a2b)3 = (5)3.(a2)3.b3 = e) (-3xy2)2 = (-3)2.x2.(y2)2 = f) (-3mn2p3)3 = g) (-2ab5c8)4 =

DIVISIÓN DE MONOMIOS Para hallar el cociente de dos monomios se divide el coeficiente del dividendo entre el del divisor y a continuación se escriben las letras en orden alfabético, poniéndole a cada una un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor. Ejemplos:

12 x 7 a) 4x 5

28a 6 b 7 b) 7a 5 b 3

8y3 x c) 12 yx

12 x 7 4 x5

3x 7

28 a 6 b 7 7 a 5b3

8 y3x 12 yx

5

4a 6 5 b 7

3

2 31 11 y x 3


41

Álgebra 4º Grado De Primaria EJERCICIOS DE REFUERZO 1) Efectuar las siguientes potencias de monomios: a) (5xy2)3 =

b) (3ab2c3)3 =

c) (10p2q8)4 =

d) (2b2 c3)5 =

e) (-2x2)3 =

f)(-5x6)2 =

g) (x2y3z)4 =

2) Halla el cociente a) (28x5)

(4x3) =

b) (-28x2y)

(7x) =

c) (49ab3)

(7ab) =

d) (96p5q3r2)

(3pq2r)=

e) (450mn5)

(50mn3) =

f) (36mx2)

(4mx) =

g) (63a2b3)

(7ab2) =

h) (187x11b13 )

(11x5b9 ) =

i) (390m17n14 )

(13m16 ) =


42


ÁLGEBRA

SANTA ROSA

ECUACIONES  Igualdad Son dos expresiones aritméticas o algebraicas, que tienen el mismo valor.

Por ejemplo: a) Una decena = 10 unidades b) 5 + 2 = 17 – 10 c) 5x = 20

 Partes de una ecuación

En una ecuación encontramos dos partes llamadas miembros de la ecuación, que se encuentran de uno y otro lado del signo de la igualdad (=).

2 x = 10 1º Miembro

2º Miembro

PLANTEO DE UNA ECUACIÓN Plantear una ecuación significa traducir adecuadamente el enunciado de un problema a una expresión matemática mediante una ecuación.

Todo enunciado de un problema, siempre nos pide hallar el valor de “algo”. A ese valor, por el momento desconocido, se le denomina INCÓGNITA y se le representa por


43

Álgebra 4º Grado De Primaria una letra (x; y; z; etc). Toda frase en lenguaje común puede ser traducida a lenguaje matemático. Por ejemplo: Enunciado abierto: FORMA VERBAL

FORMA SIMBÓLICA

Un número aumentado en 4

X + 4

Un número disminuido en 9

X - 9

El doble de un número

2x

La mitad de un número

X : 2

La cuarta parte de un número

x/4

El doble de un número aumentado en 3

2x + 3

La edad de Iván hace 6 años

Y - 6

La edad de Lourdes dentro de 4 años

Y + 4

La suma de tres números consecutivos es 18

a + b + c = 18

EJERCICIOS

1) Traducir los siguientes enunciados a la forma simbólica: FORMA VERBAL

FORMA SIMBÓLICA

Un número aumentado en 15 Un número disminuido en 8 El doble de un número, aumentado en 5 El doble de un número aumentado en 5 El quíntuplo de un número, disminuido en 7 Cinco veces un número disminuido en 7 El dinero de Vanesa aumentado en S/.15 La edad de Lourdes hace 4 años


44

Álgebra 4º Grado De Primaria El doble del dinero de Manuel La suma de dos números es 18 La tercera parte de un número disminuido en 13 El cuadrado de un número aumentado en 16 La mitad de un número disminuida en 14 2) Da un enunciado verbal que se adapte a cada una de las siguientes expresiones: FORMA SIMBÓLICA

FORMA VERBAL

x + 11 x – 13 2x – 13 2(x – 13) x+y 3x – 6 4x = 20 x2 - 1 (x - 1)2  Raíz de una ecuación Es el número que al reemplazar a la variable de la ecuación, la transforma en una proposición verdadera. Ejemplos: * Halla la raíz de las siguientes ecuaciones: a) x – 9 = 16

b) x + 3 = 41

c) x + 17 = 41

d) x – 32 = 30

e) 5x + 32 = 92

f) 4x – 15 = 33


45

Álgebra 4º Grado De Primaria g) 3x – 30 = x + 8

h) 40 + x = 3(10 + x)

i) 10x – 24 = 2x + 8

Soluciona los problemas, traduciendo los enunciados a la forma simbólica.

a) La suma de dos números es 32, si b) El doble de un numero aumentado uno de ellos excede al otro en 2 en 21 es 51, cual es el numero? unidades. Hallar dichos números.

c) La edad de Iván hace 9 años era 17 d) La suma de tres números años; que edad tiene Iván ahora? consecutivos es 33, cuales son los números?

EJERCICIOS 1) Halla la raíz de cada ecuación: a) x + 12 = 26 b) 3x + 21 = 45 c) 7x – 17 = 32 d) 56 + x = 5 (8+ x)


46

Álgebra 4º Grado De Primaria e) (3x – 4) = 2x + 12 f) 7(x-3) = 21 g) 6(x - 8) = 2x + 12

2) Resuelve los problemas traduciendo los enunciados a la forma simbólica. a) La suma de dos números pares consecutivos es 30, ¿Cuáles son los números?

b) El triple de un número aumentado en 6 es igual al doble del mismo número aumentado en 14. ¿Cuáles son los números?

c) La mitad de un número aumentado en 7 es 16. ¿Cuál es el número?

d) La tercera parte de un número disminuido en 12 es 33. ¿Cuál es el número?

e) Los 2/3 de un número más 5 es igual a dicho número aumentado en una unidad. ¿Cuál es el número?

¡ SI SE PUEDE ¡ I.

Representa en forma simbólica los siguientes enunciados. 01.

El doble de un número:

02.

El triple de la edad de Ana:

03.

La mitad del dinero que tengo:

04.

La edad de Pepe aumentada en 7:

05.

La suma de dos números consecutivos:

06.

16 sumado a un número:

07.

La edad de Lucy hace 3 años:


47

Álgebra 4º Grado De Primaria

II.

08.

126 menos que un número:

09.

9 aumentado en un número:

10.

El dinero de César aumentado en 20:

RESUELVE los problemas, planteando las ecuaciones.

01.

Un número aumentado en 5 es 22. Hallar el número.

02.

El triple de un número, disminuido en 2 es 19. Hallar número.

03.

El dinero de Juan disminuido en 8 soles es 31 soles. ¿Cuánto tiene?

04.

¿Cuál es el número, cuyo triple aumentado en 2 es 48?


48

Álgebra 4º Grado De Primaria 05

06.

Hace 7 años la edad de Elva era 13 años. ¿Cuál será su edad dentro de 5 años?

¿Cuál es el número a cuyo doble hay que disminuirle 7 para obtener 27?

07.

El doble de un número aumentado en 7 es 30. ¿Cuál es el número?

08.

El triple de un número disminuido en 7 es 11. Hallar el número.


49

Álgebra 4º Grado De Primaria EJERCICIOS DE REFUERZO 1) Resolver: a) x + 17 = 29

b) x + 7 = 22

c) x + 5 = 18

d) x + 9 = 14

2) Halla la raíz de las siguientes ecuaciones: a) 3x – 8 = 38

b) 2x + 2 = 24

c) 4x + 6 = 26

d) 3x – 5 = 19

e) 7x – 6 = 43

f) 5x – 2 = 43

3) Resuelve los siguientes problemas utilizando ecuaciones. a) Si al doble de la edad de mi padre le aumentara 6 años tendría 62 años. ¿Qué edad tiene mi padre?

b) ¿Cuál es el número que disminuido en 52 es igual a 30?

c) ¿Cuál es el número que multiplicado por 11 y disminuido en 15 es igual a 73?

d) ¿Cuál es el número que aumentado en 35 es igual a 50?

e) El doble de la edad de Pedro aumentada en 13 años seria 29 años. ¿Qué edad tiene Pedro?

f) La diferencia entre las edades de un padre y su hijo es 35 años y la edad del hijo es 22 años. ¿Qué edad tiene el padre?


50

Álgebra 4º Grado De Primaria Ayudemos a este hombre a llegar a su caverna. Para ello pinta de un mismo color cada ecuación con su resultado


51


ÁLGEBRA

SANTA ROSA

INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad de números naturales que contiene una o más variables, es decir, cantidades no conocidas. EJEMPLO: 1.

Hallar el valor de la variable en la inecuación:

x +3 < 5

Solución: x+3<5 x+3<3+2 x < 2

Inecuación dada definición de adición propiedad de cancelación

Respuesta: El conjunto solución es cualquier número menor de 2:

2.

C. S. = {0,1}

Hallar el valor de la variable en la inecuación: x – 4 > 6

Solución: x–4>6 x – 4 > 10 – 4 x > 10

Inecuación dada definición de sustracción Propiedad de cancelación

Respuesta: El conjunto solución es cualquier número mayor de 10: C.S. = {11, 12, .....}


52

Álgebra 4º Grado De Primaria RESOLUCIÓN DE INECUACIONES EN FORMA: X ± A < B

EJERCICIOS Resuelve

1) x + 4 < 7

6) x + 7 < 9

2) x + 5 < 8

7) x + 2 < 4

3) n + 10 < 24

8) y – 27 < 32

4) y – 78 < 100

9) z – 7 < 14

5) n – 21 < 378

10) x – 33 < 66

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES EN FORMA: X ± A > B

EJERCICIOS Resuelve 1) z + 73 > 9

6) y + 105 > 202

2) a + 96 > 126

7) x + 5 > 368

3) n + 33 > 128

8) z + 73 > 99


53

Álgebra 4º Grado De Primaria 4) x – 38 > 128

9) y – 110 > 428

5) n – 78 > 327

10) z – 56 > 243

 Resuelve las siguientes inecuaciones indicando los pasos y justificando las razones

a) Las edades de Felipe y Daniel juntas sobrepasan los 19 años. Si Daniel tiene 8 años, ¿Qué edades podría tener Felipe?

b) Dos canastas juntas contienen más de 386 panes. Si en una de ellas se guardan 221 panes, ¿Cuántos panes podrían estar guardados en la otra canasta?

c) Dividir el número 884 en dos partes tales que una parte, como mínimo, exceda a la otra en 98 unidades.


54

Álgebra 4º Grado De Primaria EJERCICIOS DE REFUERZO Resolver: 1)

2x + 3 > x + 8

2)

3x + 5 < x + 9

3)

5x – 3 < 18 – 2x

4)

4x – 1 > 15 – 4x

5)

6x + 8 < 5x +9

6)

7x + 9 > 6x + 13

7)

9x – 20 < 5x + 4

8)

2x + 10 >14

9)

5x + 8 > 23

10) 4x – 5 < 7 11) 3x – 6 < 9 12) 2x + 6 > 8 13) 6x + 1 < 13 14) x + 8 < 12 15) x + 10 > 16

EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Resuelve aplicando propiedades.

a) 5x > 30 b) 4x < 20 c) 7x < 42 d) 13x > 130


55

Álgebra 4º Grado De Primaria 2) Halla el conjunto solución de los siguientes problemas. a) El triple de mi edad es menos de 36 años. ¿Cuál puede ser mi edad?

b) El doble de un número es mayor que 19 y menor que 21. ¿Cuál es el número?

c) Cuatro veces un número está entre 48 y 53. ¿Cuál es el número?

3) Transponiendo términos. a) 16 < 3x – 14 b) 3x

555

c) 3x –5

x+5

4) Resuelve aplicando el método que desees. a) 16x

64

b) 9x

108

c) 7x + 5

26

d) 3x – 10

8


56


ÁLGEBRA

PRODUCTOS NOTABLES CUADRADO DE UN BINOMIO Son los resultados de ciertas multiplicaciones, que se obtienen en forma directa.

Ejemplo:


57

Álgebra 4º Grado De Primaria EJERCICIOS 1. Efectúa

a.

(x+2y)2

=

b.

(3m-2)2

=

c.

(4x-5)2

=

d.

(a3-b2)2

=

e.

(4x+5y)2

=

f.

(7xy4-1)2

=

g.

(m10-2n)2

=

h.

(9a3-2x4)2 =

i.

(y-9)2

=

j.

(x10y5-2m6)2

=


58


ÁLGEBRA

SANTA ROSA

ÍNDICE DE TEMAS Tema Nº 1 Números enteros

Pág. 1

Tema Nº 2 Adición de números enteros

Pág. 6

Tema Nº 3 Sustracción de números enteros

Pág. 8

Tema Nº 4 Multiplicación de números enteros

Pág. 11

Tema Nº 5 Potenciación

Pág.

Tema Nº 6 Raíz cuadrada

Pág. 20

Tema Nº 7 Multiplicación y división de bases iguales

HOLA SOY ROSITA, ¡Esfuérzate y lograrás tus objetivos!

Pág. 23

Tema Nº 8 Expresiones algebraicas

Pág. 27

Tema Nº 9 Términos semejantes

Pág. 30

Tema Nº 10 Clasificación de los términos algebraicos

Pág. 33

Tema Nº 11 Valor numérico

Pág. 35

Tema Nº 12 Operaciones con monomios

Pág. 37

Tema Nº 13 Ecuaciones

Pág.


59

Álgebra 4º Grado De Primaria Tema Nº 14 Inecuaciones

Pág. 51

Tema Nº 15 Productos notables

Pág. 56


60

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