algebra.pdf

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

Fundamentos

Matemáticos

Guía didáctica 5 CRÉDITOS

1. Datos informativos

2

CICLO UTPL-ECTS Informática

AUTORES: Ricardo Blacio Germania Rodríguez

Reciba asesoría virtual en: www.utpl.edu.ec

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FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Guía didáctica

Ricardo Blacio Germania Rodríguez UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA CC Ecuador 3.0 By NC ND Diagramación, diseño e impresión: EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA Call Center: 593 - 7 - 2588730, Fax: 593 - 7 - 2611418 C. P.: 11- 01- 608 www.utpl.edu.ec San Cayetano Alto s/n Loja-Ecuador Derecho de Autor.: 000468 Primera edición Tercera reimpresión ISBN-978-9942-00-708-7

Esta versión impresa, ha sido licenciada bajo las licencias Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas; la cual permite copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra, mientras se reconozca la autoría original, no se utilice con fines comerciales ni se realicen obras derivadas. http://www.creativecommons.org/licences/by-nc-nd/3.0/ec/ Abril, 2012

2. Índice 3. Introducción ................................................................................................................................. 4. Lineamientos generales del modelo educativo basado en competencias y créditos académicos UTPL-ECTS............................................

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4.1 Competencias genéricas ......................................................................................................... 9 4.2 Competencias específicas ....................................................................................................... 9

5. bibliografía .................................................................................................................................. 10 5.1 básica ......................................................................................................................................... 10 5.2 Complementaria ...................................................................................................................... 10

6. Orientaciones generales para el estudio............................................................ 12 7. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias .............................................................................................................................. 11 PRIMER bIMESTRE 7.1 Planificación para el trabajo del alumno ........................................................................... 13 7.2 Sistema de evaluación ............................................................................................................ 16 7.3 Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias .................................. 17 UNIDAD 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEbRA .............................................................................. 17

1.1

Sistema de números reales ................................................................................................................. 17

1.2

Exponentes y radicales ....................................................................................................................... 19

1.3

Expresiones algebraicas...................................................................................................................... 22

1.4

Expresiones fraccionarias ................................................................................................................... 24

Autoevaluación 1 ......................................................................................................................................... 25 UNIDAD 2: ECUACIONES Y DESIGUALDADES .............................................................................................. 27

2.1 Ecuaciones ......................................................................................................................................... 27

2.2

Problemas aplicados........................................................................................................................... 28

2.3

Ecuaciones cuadráticas ....................................................................................................................... 30

2.4

Números complejos ............................................................................................................................ 32

2.5

Otros tipos de ecuaciones.................................................................................................................... 33

2.6

Desigualdades.................................................................................................................................... 34

Autoevaluación 2 ......................................................................................................................................... 36

UNIDAD 3: FUNCIONES Y GRÁFICAS .......................................................................................................... 37

3.1 Sistema de coordenadas rectangulares................................................................................................. 37 3.2 Gráficas de ecuaciones........................................................................................................................ 38 3.3 Rectas................................................................................................................................................ 42 3.4 Definición de función.......................................................................................................................... 42 3.5 Gráficas de funciones.......................................................................................................................... 44 3.6 Tipos de funciones............................................................................................................................... 46 3.7 Funciones cuadráticas.......................................................................................................................... 47 3.8 Operaciones sobre funciones................................................................................................................ 47 3.9 Funciones inversas.............................................................................................................................. 49 Autoevaluación 3.......................................................................................................................................... 51 UNIDAD 4: FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES ............................................................................... 53

4.1 Funciones polinomiales de grado mayor que 2..................................................................................... 53 4.2 Funciones racionales........................................................................................................................... 55 Autoevaluación 4.......................................................................................................................................... 57 Segundo bimestre 7.1 Planificación para el trabajo del alumno ........................................................................... 59 7.2 Sistema de evaluación ............................................................................................................. 62 7.3 Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias ................................... 63 UNIDAD 5: FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS ........................................................................ 63

5.1 Funciones exponenciales..................................................................................................................... 63 5.2 Función exponencial natural................................................................................................................ 65 5.3 Funciones logarítmicas........................................................................................................................ 65 5.4 Propiedades de los logaritmos............................................................................................................. 68 5.5 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.............................................................................................. 70 Autoevaluación 6......................................................................................................................................... 72 UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES ...................................................................................................... 73

6.1 Nociones básicas de los sistemas de ecuaciones..................................................................................... 73 6.2 Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables................................................................................. 74 6.3 Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones................................................................................. 75 6.4 Sistemas de ecuaciones lineales con más de 2 variables....................................................................... 78 Autoevaluación 6.......................................................................................................................................... 79

UNIDAD 7: MATRICES Y DETERMINANTES ................................................................................................... 80

7.1 Álgebra de matrices............................................................................................................................ 81 7.2 Inversa de una matriz......................................................................................................................... 83 7.3 Determinantes.................................................................................................................................... 85 7.4 Propiedades de los determinantes........................................................................................................ 86 Autoevaluación 7.......................................................................................................................................... 88 UNIDAD 8: SUCESIONES Y SERIES ............................................................................................................. 89

8.1 Sucesiones infinitas y notación de sumatoria........................................................................................ 89 8.2 Sucesiones aritméticas......................................................................................................................... 91 8.3 Sucesiones geométricas....................................................................................................................... 92 8.4 Teorema del binomio........................................................................................................................... 93 Autoevaluación 8.......................................................................................................................................... 95

8. Solucionario.................................................................................................................................. 96

Guía didáctica: Fundamentos Matemáticos

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UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

PRELIMINARES

La Universidad Católica de Loja


PRELIMINARES

3. Introducción Fundamentos Matemáticos es una materia que se imparte en el segundo ciclo de la carrera de Ingeniería en Informática, de la Universidad Técnica Particular de Loja, forma parte del bloque de asignaturas genéricas y tiene una valoración de 5 créditos. La matemática como ciencia formal, que utiliza un lenguaje simbólico para representar y relacionar la realidad, entrega un valioso aporte, porque permite a los estudiantes desarrollar su agilidad mental, capacidad de comprensión, análisis, razonamiento y resolución de problemas; competencias fundamentales en la formación y desarrollo del profesional de la informática. En la era de la información y la comunicación, la matemática es una herramienta fundamental que ha influido notablemente en todas las áreas del conocimiento por su contribución para optimizar procesos, brindar soluciones y mejorar la calidad de vida de las personas a través de la innovación. Entonces el estudio de esta asignatura proporcionará los conocimientos y los fundamentos necesarios para la asimilación, desarrollo de destrezas y posterior aplicación en materias relacionadas como: Cálculo, Fundamentos de Programación, Base de Datos entre otras. Los contenidos a desarrollar en Fundamentos Matemáticos han sido cuidadosamente seleccionados para cumplir el objetivo de la asignatura y están distribuidos equitativamente en los dos bimestres. El primer bimestre abarca 4 unidades en las que se estudiará: los Conceptos Fundamentales del Álgebra, Ecuaciones y Desigualdades, continuando con Funciones y Gráficas para finalizar con Funciones Polinomiales y Racionales. El segundo bimestre contiene también 4 Unidades con temas como: Funciones Exponenciales y Logarítmicas, Sistemas de Ecuaciones, Matrices y Determinantes para concluir con Sucesiones y Series.

Para empezar un gran proyecto, hace falta valentía. Pero para terminarlo se requiere perseverancia, con esta frase queremos invitarlos a iniciar el estudio de esta interesante y necesaria asignatura. Recuerden estimados estudiantes que nosotros los profesores estaremos junto a ustedes para acompañarles y orientarles en el proceso de aprendizaje. ASÍ QUE ÁNIMO Y EMPECEMOS . . .


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PRELIMINARES

4. Lineamientos generales del Modelo Educativo basado en competencias y créditos académicos UTPL- ECTS

Sr. Estudiante recuerde que usted ha iniciado su formación de tercer nivel con un sistema educativo basado en el desarrollo de competencias a través de créditos académicos. Este modelo le convierte en protagonista de su propia formación y al profesor en mediador de las experiencias de aprendizaje. Surge entonces la necesidad de que tenga claro dos conceptos fundamentales: competencia y crédito académico. •

¿Qué es una competencia? Entendemos por competencia el conjunto de actitudes, habilidades y conocimientos que el alumno adquiere e incorpora según sus características personales y experiencias laborales y, que se ponen de manifiesto en el desempeño de la actividad profesional. Las competencias se adquieren a lo largo del proceso formativo de la carrera y se desagregan en objetivos de aprendizaje propuestos en cada asignatura. Elementos de una competencia. Tres son los elementos que podemos distinguir en toda competencia:

•



Actitudes: son predisposiciones y comportamientos ante situaciones concretas.



Habilidades: son destrezas para ejecutar con éxito tareas, utilizar procedimientos y realizar trabajos. Se desarrollan a través de la práctica y la experiencia.



Conocimientos: constituyen los contenidos científicos, conceptuales, teóricos, conocidos también como el aprendizaje académico.

¿Qué es un crédito académico UTPL / ECTS en la Modalidad a Distancia? Un crédito es la unidad de medida de la actividad académica del estudiante, implica 32 horas de trabajo del alumno (29 horas de estudio autónomo y 3 horas de interacción) 1. Los créditos académicos que el estudiante irá acumulando en el transcurso de la carrera involucran: aprendizaje autónomo (estudio personal), tareas de investigación, interacción en el Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA), participación en tutorías, videoconferencias y otros eventos académicos (Jornadas, seminarios, cursos, congresos avalados por la UTPL), prácticas académicas, pasantías preprofesionales y de vinculación con la colectividad; actividades de evaluación; así como la realización del trabajo de titulación. El modelo adoptado por la UTPL contempla dos tipos de competencias: genéricas y específicas.



Competencias Genéricas: Son aquellas capacidades (actitudes, habilidades y conocimientos) comunes a todas las profesiones que se ofrecen en la UTPL. Constituyen una parte fundamental del perfil que el estudiante debe desarrollar durante su formación.



Competencias Específicas: son propias de la titulación, aportan a la cualificación específica para la profesión, dándole consistencia social y profesional al perfil formativo.

1

Cfr. CONESUP (2008): Reglamento del Régimen Académico del Sistema Nacional de Educación Superior, art. 18.

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PRELIMINARES

•

Estructura general del programa formativo Las Unidades Académicas o Escuelas de la UTPL han estructurado el programa formativo contemplando cinco ámbitos o bloques de asignaturas: Formación Básica (10%); Genéricas de carrera (15%); Troncales (35%) Complementarias (10%); Libre configuración (10%) y además, el Practicum que comprende las Pasantías preprofesionales y de vinculación con la colectividad y Practicum Académico (20%).

4.1 Competencias genéricas 

Habilidad para trabajar en forma autónoma.



Capacidad para organizar y planificar el tiempo.



Capacidad de investigación.



Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedentes de fuentes diversas.



Capacidad de abstracción, análisis y síntesis.



Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas.



Habilidades en el uso de las tecnologías TICs.

4.2 Competencias específicas 

Disponer de fundamentos matemáticos, económicos, estadísticos y financieros necesarios para interpretar, seleccionar, valorar el uso y desarrollo tecnológico y sus aplicaciones.



Capacidad para resolver problemas relacionados con la informática.


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PRELIMINARES

5. Bibliografía 5.1 Básica Swokowski, E. y Cole, J. (2009): Álgebra y trigonometría con geometría analítica, México, Editorial Cengage Learning.



Este es un texto muy interesante y completo; ha sido seleccionado por la calidad didáctica, la claridad y fácil comprensión de los contenidos; así como la gran cantidad de ejercicios que incluye. Rodríguez, G. y Blacio, R. (2009): Guía Didáctica de Fundamentos Matemáticos, Loja-Ecuador, Editorial UTPL.



Como profesores de esta asignatura y con el afán de llegar a cada uno de los estudiantes para orientarles y conducirles en el estudio del texto, en el desarrollo de las actividades propuestas, y en definitiva lograr un verdadero aprendizaje, hemos elaborado la presente Guía Didáctica, que esperamos constituya una ayuda efectiva para vuestro trabajo autónomo. En este material encontrarán breves explicaciones, comentarios de cada uno de los temas, ejercicios propuestos y desarrollados. Además, al final de cada unidad se les ofrece un cuestionario de autoevaluación que permitirá controlar sus progresos en el aprendizaje.

5.2 Complementaria Sobel, M. y Lerner, N. (1996): Álgebra Elemental, México, Editorial Pearson.



En este texto encontrará ejercicios desarrollados y propuestos de la mayoría de los temas que estudiaremos en el presente curso, así como una autoevaluación de cada unidad con su respectivo solucionario. Peterson, J. (2006): Matemáticas Básicas, Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica, México, Editorial Cecsa.



Es una obra que puede ayudarle a profundizar los temas relacionados a los sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes. Direcciones Electrónicas: Profesor en línea. Álgebra básica, [En línea]. Disponible en: http://www.profesorenlinea.cl/swf/ links/frame_top.php?dest=http%3A//www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraBasica.htm [Consulta 2009-07-20].



En esta página web usted encontrará una visión general de los fundamentos del Álgebra.

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PRELIMINARES


6. Orientaciones generales para el estudio Teniendo en cuenta que es una asignatura de carácter aplicativo, se le ofrecen algunas estrategias para favorecer la comprensión y contribuir al logro de aprendizajes significativos. Para el estudio de la materia usted dispone de un texto básico y una guía didáctica, materiales que ya se detalló en la bibliografía. Además, usted necesitará acudir a algunos recursos y técnicas de estudio como: 

Organizar el tiempo de manera que pueda avanzar secuencialmente en cada una de las unidades y temas para no dejar acumular todo el contenido para el final del bimestre.



Leer comprensivamente y de manera paralela la guía y el texto básico las veces que se requiera.



Es muy importante resolver los ejercicios y las actividades recomendadas en la guía didáctica y en el texto básico.



Aplicar estrategias de aprendizaje como: elaborar resúmenes, esquemas, organizar formularios, cuadros, etc. que le permitan a usted extraer lo esencial, sintetizar y asimilar la temática abordada.



Desarrollar las autoevaluaciones que se incluyen en la guía didáctica.



Participar activamente en el Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA), en donde podrá interactuar con sus profesores – tutores y compañeros; dar criterios y opiniones en los foros de discusión que en cada bimestre se le propondrán.



Asistir a las Videoconferencias, en las que se explicará los temas de mayor dificultad y podrá participar con preguntas sobre las inquietudes que hayan surgido en el desarrollo de los contenidos.



Utilizar los recursos web disponibles: videos, presentaciones, podcast que se encuentran en la página principal de la UTPL y a la que se puede ingresar digitando www.utpl.edu.ec



Resolver las evaluaciones a distancia (una por cada bimestre) que sirven como estrategia de aprendizaje y preparación para las evaluaciones presenciales. Recuerde: La evaluación a distancia es de carácter obligatorio y no recuperable; consta de dos partes: prueba objetiva que tiene un valor de dos puntos (2), la prueba de ensayo de dos puntos (2) y la participación activa en el EVA dos puntos (2), lo que da un total de seis puntos (6).



Si en el desarrollo de los contenidos surge alguna dificultad, usted puede comunicarse con nosotros sus profesores – tutores a través de los diferentes medios: telefónicamente de acuerdo al horario establecido, el mismo que consta en la portada de las evaluaciones a distancia, y por el correo electrónico o a través del EVA.


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PRIMER BIMESTRE


Identificar y aplicar los fundamentos del Álgebra.

• Disponer de fundamentos matemáticos, económicos, estadísticos y financieros necesarios para interpretar, seleccionar, valorar el uso y desarrollo tecnológico y sus aplicaciones.

• Capacidad para resolver problemas relacionados con la informática.

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

1.1 Sistema de números reales 1.2 Exponentes y radicales 1.3 Expresiones algebraicas 1.4 Expresiones fraccionarias

Unidad 1: Conceptos Fundamentales de Álgebra

CONTENIDOS Unidades /Temas

7.1 Planificación para el trabajo del alumno

Semana 1 6 horas de autoestudio 4 horas de interacción

CRONOGRAMA ORIENTATIVO Tiempo estimado • Familiarización con el material. • Reflexión y apropiación de los objetivos de la unidad. • Estudio global de la unidad. • Lectura comprensiva. • Desarrollo de actividades recomendadas en la guía didáctica y ejercicios propuestos en el texto básico. • Interacción en el EVA. • Inicio del desarrollo de la evaluación a distancia del primer bimestre.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

PRIMER BIMESTRE

• Medios de Comunicación: teléfono, correo electrónico, Chat

• Recursos en línea: videos, presentaciones, podcast en línea www.utpl.edu.ec

• Videoconferencia (primer bimestre)

• Entorno Virtual de Aprendizaje: foros, actividades, documentos.

• Guía Didáctica

• Texto básico

RECURSOS DIDÁCTICOS

7. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias

• Participación en el Eva

• Evaluación presencial

• Evaluación a distancia: parte objetiva y de ensayo del primer bimestre.

• Desarrollo de las Autoevaluaciones 1 a la 4.

EVALUACIÓN

PRIMER BIMESTRE



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• Identificar, graficar, e interpretar funciones polinomiales y racionales.

• Aplicar operaciones entre funciones.

• Caracterizar, y graficar funciones en un sistema de coordenadas rectangulares.

• Plantear, analizar y resolver problemas de aplicación de ecuaciones y desigualdades.

• Identificar y caracterizar los tipos de ecuaciones y desigualdades.

4.1 Funciones polinomiales de grado mayor que 2 4.3 Funciones racionales

Unidad 4: Funciones Polinomiales y Racionales

3.1 Sistema de coordenadas rectangulares 3.2 Gráficas de ecuaciones 3.3 Rectas 3.4 Definición de función 3.5 Gráficas de funciones 3.6 Tipos de funciones 3.7 Funciones cuadráticas 3.8 Operaciones sobre funciones 3.9 Funciones inversas

Unidad 3: Funciones y Gráficas

Ecuaciones Problemas aplicados Ecuaciones cuadráticas Números complejos Otros tipos de ecuaciones 2.6 Desigualdades 2.7 Problemas de aplicación

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Unidad 2: Ecuaciones y Desigualdades

Semana 6 6 horas de autoestudio 4 horas de interacción

Semanas 4 y 5 12 horas de autoestudio 8 horas de interacción


• Reflexión y apropiación de los objetivos de la unidad. • Lectura comprensiva. • Desarrollo de actividades recomendadas en la guía didáctica y ejercicios propuestos en el texto básico. • Interacción en el EVA. • Finalizar el desarrollo de la evaluación a distancia.

• Reflexión y asimilación de los objetivos de la unidad. • Lectura comprensiva. • Desarrollo de actividades recomendadas en la guía didáctica y ejercicios propuestos en el texto básico. • Participación del foro propuesto en el EVA. • Proseguir con el desarrollo de la evaluación a distancia.

• Reflexión e interiorización de los objetivos de la unidad. • Lectura comprensiva. • Desarrollo de actividades recomendadas en la guía didáctica y ejercicios propuestos en el texto básico. • Interacción en el EVA. • Continuar con el desarrollo de la evaluación a distancia.

Guía didáctica: Fundamentos Matemáticos PRIMER BIMESTRE

Unidades 1 a la 4


Nueva revisión de contenidos del bimestre, de las autoevaluaciones y evaluación a distancia como preparación para la evaluación presencial correspondiente al primer bimestre.

PRIMER BIMESTRE



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Criterios


x x

x

x

x

x x

x

x

x

Esfuerzo e interés en los trabajos Respeto a las personas y a las normas de comunicación x

x

x

Creatividad e iniciativa x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Emite juicios de valor argumentadamente x

x

x

x

Dominio del contenido x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

TOTAL

Conocimientos Análisis y profundidad en el desarrollo de los temas

Son estrategias de aprendizaje, no tienen calificación; pero debe responderlas con el fin de autocomprobar sus progresos en el aprendizaje

Para aprobar la asignatura se requiere obtener un puntaje mínimo de 28/40 puntos, que equivale al 70%.

Pruebas mixtas: objetivas y ensayo

Interacción en el EVA

Ensayo

x

x x

x

Comportamiento ético x

Cumplimiento, puntualidad y responsabilidad

x

Contribución en el trabajo colaborativo y de equipo

Habilidades

Presentación, orden y ortografía

Actitudes

PORCENTAJE

14

6

2

2

2

20 puntos en cada bimestre

En actividades especifícas tanto presenciales como en el EVA.

70%

30%

10%

10%

10%

Estrategia de aprendizaje*

PUNTAJE

Tenga presente que la finalidad de la valoración cualitativa es principalmente formativa.

Sr. estudiante:

(período octubre- febrero) o 15 de mayo (período abril-agosto).

** Recuerde: que la evaluación a distancia del primer bimestre consta de dos partes: una objetiva y otra de ensayo, debe desarrollarla y entregarla en su respectivo Centro Universitario hasta el 15 de noviembre

*

3. Coevaluación

Prueba Presencial

Evaluación a Distancia**

Objetiva

1. Autoevaluación y actividades recomendadas.

Formas de evaluación

2. Heteroevaluación

Investigación (cita fuentes de consulta)

16 Aporta con criterios y soluciones

7.2 Sistema de evaluación Guía didáctica: Fundamentos Matemáticos PRIMER BIMESTRE


PRIMER BIMESTRE

7.3 Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias UNIDAD 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA Estimado alumno, iniciamos el estudio de la asignatura abordando temas fundamentales que se requiere conocer dentro del maravilloso mundo de las matemáticas; aunque la matemática va más allá del estudio de los números, comenzaremos revisando el sistema de números reales porque las dificultades que suelen presentarse en temas más avanzados surgen de la falta de comprensión de los principios básicos de la materia. 1.1

Sistema de números reales

Para iniciar el estudio del tema vaya al texto básico y revise el capítulo 1: Conceptos fundamentales de álgebra, la sección 1.1, Números Reales, o si tiene la posibilidad visite el siguiente enlace web disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

¿Qué le pareció la lectura? Le resulto fácil entender la explicación del sistema de números reales, ¿verdad? … Ahora que ya tiene una idea sobre el tema, es necesario aclararle algunas nociones básicas en relación a este contenido. En el siguiente esquema le ofrecemos los tipos de números usados en matemáticas: Números complejos Números reales

3/4, 7/2

Q

Números racionales Números enteros

...,-3,-2,-1

Z-

Negarivos

0

R=QUQ’

Números irracionales

Z+

Positivos

Q’

π, e

....-3,-2,-1,0,1,2,3,...

Z+

1,2,3,.......

Además recuerde, los números reales cumplen con ciertas propiedades, las mismas que con seguridad ya las identificó y revisó la explicación que sobre cada una de ellas se incluye en el texto básico. Dentro de este primer tema revisemos rápidamente tres conceptos matemáticos que son:


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

PRIMER BIMESTRE

Recta numérica

Pues bien, otro de los temas que se encuentra en este apartado es representar el conjunto de números reales y a estos asociarlos con los puntos de una línea recta; teniendo claro que: 

A la izquierda del origen (0) se encuentran los reales negativos y a la derecha los reales positivos.



Recuerde, existe una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta, es decir a cada número real le corresponde un punto en la recta y viceversa.



Los números reales sobre la recta se encuentran ordenados de izquierda a derecha de menor a mayor.

- ∞ .................-30/3,.....-√25......-π -3/2 -1 0 1 

3/2 π

√25......30/3 ........∞

Valor absoluto

Revise en el texto básico capítulo 1, lo concerniente a valor absoluto, en este tema usted encontrará la definición, propiedades y ejemplos del valor absoluto. 

Notación científica

Algo muy importante también es poder expresar en notación científica cantidades sumamente grandes o pequeñas en la forma c x 10n y que deben cumplir con la condición que usted ya revisó en el texto básico; sin embargo, con la finalidad de reforzar lo estudiado de cómo representar un número en notación científica, veamos los siguientes ejemplos:

Convertir el número 4210254 a notación científica.

4.210254 x 106

1.

Aplicar la definición de notación científica, que dice que c debe ser mayor o igual a 1 y menor que 10, en este caso vemos que 4 es menor que 10, por lo tanto, cumple con la condición.

2.

El exponente n debe ser un número entero, en este caso 6 es un entero positivo e indica que el punto decimal debe moverse 6 lugares a la derecha.

Convertir el número 0.00000000054897 a notación científica.

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PRIMER BIMESTRE

5.4897 x 10-10

1.

Aplicar la definición de notación científica, que dice que c debe ser mayor o igual a 1 y menor que 10, en este caso vemos que 5 es menor que de 10, por lo tanto cumple con la condición.

2.

El exponente n debe ser un número entero, en este caso -10 es un entero negativo e indica que el punto decimal debe moverse 10 lugares a la izquierda.

Espero que estos ejercicios le hayan ayudado a entender mejor lo que es una notación científica, ahora le invito a desarrollar los ejercicios que a continuación se plantean y los que se proponen en el texto básico.

Actividad recomendada

Convierta los siguientes números a notación científica:  5875445639887756  0.000000000023654 Continuemos con el siguiente tema. 1.2 Exponentes y radicales

Empecemos este tema revisando en el texto básico el capítulo 1: Conceptos fundamentales de álgebra, el apartado 1.2, Exponentes y Radicales.

Exponentes Con la lectura que acaba de realizar seguramente ya logró comprender que la potenciación resulta del producto de factores repetidos, por ejemplo: 7.7.7.7.7, se escribe 75 en donde 7 es la base y 5 el exponente. Una vez que ya asimiló esto, conviene aprender las leyes de exponentes, para simplificar las diferentes expresiones algebraicas que encuentre. Cuando revisó las explicaciones que en el texto básico se incluyen, se habrá dado cuenta que también hay ejercicios desarrollados, los que le ayudarán a comprender de mejor forma la utilización de estas leyes. Una vez que usted ya tiene claro este tema desarrollemos el siguiente ejercicio, aplicando las leyes de exponentes para los números reales.


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PRIMER BIMESTRE

Ejemplo Simplifique la siguiente expresión:

Simplificación

Procedimiento Como el exponente afecta a toda la fracción, lo que se hace es elevar al exponente tanto el numerador como el denominador.

Como el exponente es negativo, aplicar el siguiente teorema a-1 = 1/a, tanto al numerador como al denominador.

Y por último cuando se tiene un exponente elevado a otro exponente, colocamos la base y multiplicamos los exponentes.

Como se habrá dado cuenta, para poder simplificar se requiere conocer las leyes de exponentes, además, los ejercicios se pueden presentar de diferente forma, pero si sabe el procedimiento y las leyes va a poder aplicarlo en cualquier caso. Siga desarrollando los ejercicios que se proponen a continuación para que vaya practicando.


Utilizando las leyes de los exponentes simplifique las siguientes expresiones:





Además, puede desarrollar más ejercicios remitiéndose en el texto básico al apartado 1.2 del tema que estamos desarrollando.

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PRIMER BIMESTRE

Radicales Los radicales se consideran la operación contraria de la potenciación en la que nos dan la potencia y el exponente y debemos encontrar la base, esta operación se llama radicación. Observe el siguiente gráfico: Radicando Indice Raíz

Radical

Por lo tanto, si M y a son números reales y n es un número entero positivo mayor que 1, entonces a es la raíz n-esima de M si y solo si: an = M. Al igual que en la potenciación las leyes de los radicales son muy importantes, usted debe familiarizarse con ellas; recuerde que los radicales obedecen a las mismas leyes de los exponentes pero con distinta simbología. Algo muy importante que usted debe tener en cuenta es que las raíces de índice par y radicando negativo no están definidas dentro del conjunto de los números reales. Una aplicación que se realiza con los radicales es la racionalización que tiene por objeto eliminar los radicales del numerador o del denominador.

Veamos el siguiente ejemplo:

Simplifique la siguiente expresión:

Simplificación

Procedimiento Dividir el radical tanto en el numerador como en el denominador

Sacar las raíces de cada uno de los términos de la expresión.

Para reforzar el aprendizaje de esta parte realice lo siguiente.


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PRIMER BIMESTRE


Es el momento de acudir al texto básico para ubicar los ejercicios, que se encuentran al final del apartado 1.2 y desarrolle los que considere necesarios para entender mejor este tema. Si al realizar cualquiera de los ejercicios surgiera alguna dificultad, puede comunicarse con sus profesores para despejar las inquietudes que hubieren. 1.3 Expresiones algebraicas Regrese de nuevo al texto básico y revise el capítulo 1: Conceptos fundamentales de álgebra, el tema 1.3, Expresiones Algebraicas, o si tiene la posibilidad visite el siguiente enlace web disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_elemental#Expresiones_algebraicas Después de la lectura comprensiva que acaba de realizar, usted ya sabe que: Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural.2 Por ejemplo 3x2 es un monomio que posee los siguientes elementos: 

2 que es el grado de la expresión.



3 que es el coeficiente.

 x2 que es la parte literal de la expresión. Y el polinomio es una expresión algebraica que se forma de la suma o resta de dos o más monomios. Por ejemplo 3x2+2x-7. Todo esto usted ya lo revisó en su texto básico; así como la definición, clasificación y el algebra de polinomios. Además, con los polinomios podemos realizar las operaciones fundamentales como son la suma, resta, multiplicación y división, para esto se aplica las propiedades de los números reales. Veamos el siguiente ejemplo: Expresemos como polinomio lo siguiente (3x+2) (x-5) (5x+4)

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Santos Cuervo, L.(2001): Expresiones Algebraicas, Ministerio de Educación, [en línea] Disponible en: http://descartes.cnice.mec. es/materiales_ didacticos /Polinomios/monomios.htm [consulta 2009-10-15]

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PRIMER BIMESTRE

Simplificación

Procedimiento

3x2 – 15x + 2x -10 (5x+4)

Aplicar la multiplicación de polinomios entre los dos primeros factores.

3x2 -13x -10 (5x+4)

Simplificar términos semejantes.

15x3 + 12x2 – 65x2 – 52x – 50x -40 15x3– 53x2 – 102x -40

Aplicar la multiplicación de polinomios. Simplificar términos semejantes.

Otro de los temas que usted debe tener claro es el siguiente: Productos notables: Nos permiten obtener el resultado directamente sin necesidad de hacer las operaciones respectivas, mediante algunas reglas que ya las revisó en el texto básico.

Veamos entonces el siguiente ejemplo:

(x2 + 2y)( x2 - 2y) = x4- 4y2

Factorización: es transformar en un producto de dos o más polinomios de grado inferior al polinomio dado. Dentro de esta parte hay varios métodos de factorización que usted los debe saber y utilizar en las diferentes operaciones que realice. Ejemplo Factorar el siguiente polinomio x5 - 4x3 + 8x2 – 32 Simplificación

Procedimiento

(x5 - 4x3) + (8x2 - 32)

Agrupar términos.

x3 (x2 - 4) + 8 (x2 - 4)

Sacar el factor común de las dos expresiones.

(x3+ 8) (x2 - 4)

Igualmente sacar el factor común polinomico.

(x+2) (x2-2x+4) (x+2) (x-2)

Resolver la suma de cubos en el primer factor y también en el segundo factor aplicar la diferencia de cuadrados.

(x+2)2(x-2) (x2-2x+4)

Simplificar términos semejantes.


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PRIMER BIMESTRE


Acuda nuevamente al texto básico y desarrolle los ejercicios que se encuentran al final del tema 1.3, realice los que usted considere necesarios para reforzar lo aprendido. 1.4 Expresiones fraccionarias Una vez que haya estudiado las expresiones algebraicas puede profundizar en las expresiones fraccionarias, en donde debe saber que el numerador y el denominador de la fracción son polinomios o en otras palabras es un cociente de polinomios. Ahora es el momento para realizar lo siguiente:

Revise en el texto básico el capítulo 1: Conceptos fundamentales de álgebra, el acápite 1.4, Expresiones Fraccionarias.

Espero que la lectura le haya resultado de fácil comprensión; sin embargo, para que usted asimile mejor realicemos el siguiente ejercicio.

Simplifique la expresión

Simplificación

Procedimiento Aplicar los casos de factorización para poder simplificar la expresión dada: En el numerador una diferencia de cuadrados y en el denominador una diferencia de cubos. Y por último simplificar el factor (y – 5) que se encuentra en el numerador y en el denominador respectivamente.


Es conveniente ir al final de cada sección y desarrollar la mayor cantidad de ejercicios que usted considere necesario. Si tuvo alguna dificultad no dude en contar con nosotros, que gustosos despejaremos sus inquietudes.

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