algebra_i

Álgebra

GESTIÓN DITORIAL

Clemente Mora González Jefe del Departamento de Fomento Editorial Leticia Mejia García Coordinadora de Fomento Editorial Miguel Antonio González Vidales Gestión Administrativa Ulises Ramírez Hernández Coordinador de Diseño Gráfico

DIRECCIÓN GENERAL Av. Panamá #199 Esquina con Buenos Aires. Col. Cuauhtémoc Sur Tels. 01 (686) 9 05 56 00 al 08 Correo Electrónico: [email protected] Página Web: www.cecytebc.edu.mx CICLO ESCOLAR 2011-2 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra incluido el diseño tipográfico y de portada por cualquier medio, electrónico o mecánico, sin el consentimiento por escrito del editor.

Nota: Al personal Docente interesado en enriquecer el contenido del presente documento, le agradecemos hacernos llegar sus comentarios o aportaciones a los siguientes correos:

[email protected] [email protected]

TORIO DIREC José Guadalupe Osuna Millán Gobernador del Estado de Baja California Javier Santillán Pérez Secretario de Educación y Bienestar Social del Estado CECYTE BC Héctor Montenegro Espinoza Director General Olga Patricia Romero Cázares Directora de Planeación Argentina López Bueno Directora de Vinculación Jesús Gómez Espinoza Director Académico Ricardo Vargas Ramírez Director de Administración y Finanzas Alberto Caro Espino Jefe del Departamento de Docencia MUNICIPIO DE MEXICALI Cristina de los Ángeles Cardona Ramírez Directora del Plantel Los Pinos Carlos Zamora Serrano Director del Plantel Bella Vista Jesús Ramón Salazar Trillas Director del Plantel Xochimilco Rodolfo Rodríguez Guillén Director del Plantel Compuertas Humberto Ignacio Ibarra Velazco Director del Plantel Misiones Francisco Javier Cabanillas García Director del Plantel Vicente Guerrero Cristopher Diaz Rivera Director del Plantel San Felipe MUNICIPIO DE TIJUANA Martha Xóchitl López Félix Directora del Plantel El Florido María de los Ángeles Martínez Villegas Directora del Plantel Las Águilas Jorge Ernesto Torres Moreno Director del Plantel Zona Río Rigoberto Gerónimo González Ramos Director del Plantel Villa del Sol Joel Chacón Rodríguez Director del Plantel El Pacífico Efraín Castillo Sarabia Director del Plantel El Niño Benito Andrés Chagoya Mortera Director del Plantel Cachanilla Gabriel Valdéz Manjarrez Director del Plantel Altiplano Juan Martín Alcibia Martínez Director del Plantel la Presa MUNICIPIO DE ENSENADA Alejandro Mungarro Jacinto Director del Plantel Ensenada Emilio Rios Macias Director del Plantel San Quintín MUNICIPIO DE ROSARITO Manuel Ignacio Cota Meza Director del Plantel Primo Tapia Héctor Rafael Castillo Barba Director del Plantel Rosarito Bicentenario MUNICIPIO DE TECATE Oscar Ambríz Salinas Director del Plantel Tecate

MENSAJE DEL GOBERNADOR DEL ESTADO Jóvenes Estudiantes de CECYTE BC: La educación es un valuarte que deben apreciar durante su estancia en el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, dado la formación y calidad educativa que les ofrece la Institución y sus maestros. Por ello, asuman el compromiso que el Gobierno del Estado hace para brindarles educación media superior, a fin de que en lo futuro tengan mejores satisfacciones de vida, y se conviertan en impulsores y promotores del crecimiento exitoso, con la visión que tiene nuestra entidad en el plano nacional. Esta administración tiene como objetivo crear espacios y condiciones apropiadas para que en un futuro inmediato, el campo laboral tenga profesionistas técnicos de acuerdo al perfil de la industria que cada día arriba a nuestra entidad; por lo que los invito a ser mejores en sus estudios, en su familia y en su comunidad. En ustedes se deposita la semilla del esfuerzo y dedicación que caracteriza a los bajacalifonianos. Son el estandarte generacional que habrá de marcar la pauta de nuestro desarrollo.Como Gobierno del Estado, compartimos el reto de ser formadores de los futuros profesionistas técnicos que saldrán de CECYTE BC. Unamos esfuerzos, Gobierno, Sociedad, Maestros y Alumnos, para brindar y recibir una mejor educación en Baja California, ser punta de desarrollo humano, crecimiento industrial y económico, y factor importante del progreso de México.

MENSAJE DEL SECRETARIO DE EDUCACIÓN Alumno de CECYTE BC: La educación es una herramienta que aumenta tus oportunidades de desarrollo personal, y permite ampliar tu horizonte de posibilidades de progreso económico y social. Bajo esa perspectiva, el Gobierno del Estado de Baja California asume con responsabilidad su compromiso con los jóvenes en la tarea de crear espacios educativos en el nivel medio superior y ofrecerles programas de estudios tecnológicos, que les permitan integrarse con competencia a fuentes de trabajo y/o continuar estudios superiores. El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, es un ejemplo de lo anterior. En las escuelas de esta Institución, los estudiantes pueden encontrar el camino de la superación y el apoyo para alcanzar las metas que visualizan para forjar su futuro. Entre esos apoyos se encuentran la publicación y entrega de este material educativo, que el CECYTE BC distribuye, con el objetivo de que lo utilices en beneficio de tus estudios. La tarea que han desarrollado maestros, alumnos y autoridades aducativas en torno a CECYTE BC, han convertido a esta Institución en un modelo para la formación de generaciones de profesionistas técnicos que demanda la indusdustria especializada que se asienta en la región. Además de eso, el Colegio se ha destacado por alentar el acercamiento de los padres de familia con la escuela, como una acción tendiente a fortalecer los vínculos que deben existir entre ellos, los docentes y administrativos en el proceso educativo, que es una responsabilidad compartida. Por todo esto, te felicito por realizar tus estudios en un plantel de CECYTE BC, y te exhorto a valorar este esfuerzo que hace la sociedad a través de la Administración Estatal y utilices con pertinencia los materiales que se te otorgan para apoyar tu formación profesional.

PRESENTACIÓN El libro que tienes en tus manos representa un importante esfuerzo del Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, que a través de sus academias de profesores te proporciona material de calidad para el estudio de las distintas asignaturas que cursarás en tu preparación como Bachiller Técnico. Los contenidos corresponden a los programas establecidos para cada una de las asignaturas de acuerdo a la reforma integral de la educación media superior, y enriquecidos por las competencias comunes del Sistema Nacional de Bachillerato. Este ejemplar, encierra conocimientos, aprendizaje, análisis y habilidades que deberás de poner en práctica en tu vida diaria, convertida en una acción educativa más, que el Colegio te ofrece para obtener una mejor formación académica. Te invitamos a que valores y obtengas el mayor provecho a esta obra, que fue diseñada especialmente para lo más preciado del Colegio: sus Alumnos.

Atentamente

Héctor Montenegro Espinoza DIRECTOR GENERAL DEL CECYTE BC

gradecimiento Un especial agradecimiento a los Docentes y Administrativos de CECYTE BC, que colaboraron e hicieron posible la edición de estas Guías de Aprendizaje Básicas y Material Didáctico. El Colegio • MANUAL DE QUÍMICA I

• CÁLCULO INTEGRAL

Mario Báez Vázquez

Manuel Norberto Quiroz Ortega

APOYO INSTITUCIONAL DIRECCIÓN DE VINCULACIÓN

• ÁLGEBRA Andrés Sarabia Ley

COORDINADOR DEL COMPONENTE PROPEUDÉUTICO

DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

Silvia Elisa Inzunza Ornelas DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

Eloisa Morales Collin

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

Ismael Castillo Ortíz


Karla Grisel Duarte Sarabia COLABORADORA

• INGLÉS I y V

• GEOMETRÍA ANALÍTICA Emma Ayala Rodríguez

Verónica Murillo Esquivias

DOCENTE DEL PLANTEL MISIONES

Blanca Belén Torres Medina

DOCENTE GRUPO PORTALES

Adriana Ceras Morales

DOCENTE DEL PLANTEL LOS PINOS


Antonio Caro Espino


Mario Alberto Curiel Ponce


Arturo Sánchez Mariscal

• INGLÉS III

Joaquín Alberto Pineda Martínez

Verónica Murillo Esquivias

Manuel Arvizu Ruíz

Adriana Cera Morales

DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA





• BIOLOGÍA

• QUÍMICA I

Aidé Pedraza Mendoza

Aidé Araceli Pedraza Mendoza

Clara Angélica Rodríguez Sánchez

Juana Ramírez Rodríguez

Evelia Escalante Gámez

César Quintero Hernández




DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO



• CTSyV II

• TIC’s

Blanca Azucena Casillas Cortéz

Alma Delia Valenzuela Márquez

Blanca Delia Román Palomares

Melchizedec Romero González

Martha Celia Román Palomares

Saúl Torres Acuña



DOCENTE DEL PLANTEL MISIONES




• FÍSICA II


Javier Iribe Mendoza

• CTSyV I

María Del Carmen Equihua Quiñónez

Oscar David Bustos Torres Roberto Rosales Zepeda

DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

Diana Fernández Serrano

Gilberto Méndez Fierros

Omar Romero Robles

Alvaro Soto Escalante

Susana Pérez Correa

Israel Cruz Muñoz

DOCENTE DEL PLANTEL ENSENADA







• CTSyV III

• LEOyE I

Clara Angélica Rodríguez Sánchez

Cecilia Armida Ante Navarro

Martha Moreno Ramírez

Gabriela Órnelas Bravo

David A. Rodríguez Carrasco

Jessica Melig Núñez

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

• COORDINACIÓN Y REVISIÓN ACADÉMICA Maria Elena Padilla Godoy

COORDINADORA DE FORMACIÓN VALORAL

Alberto Caro Espino

JEFE DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIA

ÍNDICE COMPETENCIA 1 Operaciones Fundamentales del Álgebra…………………………………… 15

COMPETENCIA 2 Operaciones con Fracciones Algebraicas ………………………………….. 71

COMPETENCIA 3 E xponentes y Radicales ……………………………………………………… 99

COMPETENCIA 4 Ecuaciones Lineales o de Primer Grado …………………………………… 121

COMPETENCIA 5 Ecuaciones Lineales en Dos y Tres Variables………………………………. 188

COMPETENCIA 6 Ecuaciones Cuadráticas……………………………………………………….. 220

ANEXO Aprendiendo a Despejar ……………………………………………………… 247

13

14

Competencia   

1

OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ÁLGEBRA Explicar las Operaciones Fundamentales del Álgebra Desarrollo de Productos Notables Factorización de polinomios

Saberes

1

   

Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico Notación algebraica Valor numérico de una expresión algebraica Suma y resta de monomios y polinomios

2

   

Leyes de los exponentes enteros positivos Multiplicación entre monomios Multiplicación de un monomio y un polinomio Multiplicación entre polinomios

3

   4

División entre monomios División entre un polinomio y un monomio División entre polinomios

PRODUCTOS NOTABLES Binomios conjugados Producto de dos binomios cualesquiera Binomio al cuadrado Binomio al cubo

   

15

5

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS       

Por factor común Diferencia de cuadrados Trinomio de la forma Trinomio de la forma Trinomio cuadrado perfecto Suma y diferencia de cubos Por agrupación

Ejercicios

1. 2. 3. 4. 5.

A desarrollar suma de polinomios A practicar la multiplicación de monomios y polinomios A practicar la división entre monomios y polinomios Todo mundo a desarrollar Productos Notables Volviéndonos hábiles en la Factorización

16

Nombre

Instrucciones para el alumno Saberes a adquirir

Saberes 

No. 1 Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico  Notación algebraica  Valor numérico de una expresión algebraica  Suma y resta de monomios y polinomios Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno Mediante adquirirá la Manera didáctica exposición y habilidad para de lograrlos tareas encontrar el volor númerico de una expresión algebraica, además de desarrollar sumas y restas con expresiones algebraicas

Definición de álgebra: Siendo el álgebra una rama de las matemáticas, sus operaciones son las mismas que las de la aritmética, es decir: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. El álgebra es una generalización de la aritmética. La aritmética emplea números para su estudio, pero el álgebra emplea letras y números. NOTACIÓN Y TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA LITERALES E INCOGNITAS.- Sabiendo que las letras son los símbolos más conocidos el ser humano, estas fueron tomados para representar valores numéricos, siendo su empleo convencional a determinadas condiciones o principios de los problemas razón que las divide en: LITERALES.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores que son conocidos o que pueden obtenerse directamente, es decir, los datos dados en un problema se representan par medio de literales. INCOGNITAS.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores numéricos que se desconocen y que, para ser conocidos, deberán efectuarse operaciones matemáticas. 17

VARlABLES Y CONSTANTES.- Todas las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del abecedario: a, b, c, d, e..., etc., se denominan también LITERALES ". Todas las cantidades desconocidas se expresan por las ultimas letras del abecedario: s, t, u, v, w, x, y, z...se denominan '"INCOGNITAS". De lo anterior hacemos la siguiente observación: VARIABLE.- Es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto de números, es decir, puede cambiar de valor. EJEMPLO:

Si tenemos la función y= 2x, Y si Ie asignamos valores a "x", resulta que el valor de "y" cambiara conforme "Varia" el valor de X", por ejemplo: Sí x = 1

sí x = 2

sí x = 3

Y =2(1)

Y = 2(2)

Y = 2(3)

y=4

y=6

Y=2

CONSTANTE.- Es cualquier letra o símbolo con un valor numérico fijo, es decir, no pueden cambiar de valor. EJEMPLO: Cualquier numero, por ejemplo "9" siempre será nueve; π = 3.1416 es una constante que representa la razón de la circunferencia de un circulo al diámetro. Traducción de expresiones del lenguaje común al lenguaje algebraico u viceversa. Comenzaremos por traducir el lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas. Estas expresiones algebraicas muestran situaciones concretas del mundo real de una manera abstracta. Tal vez te parezca muy simple lo que vamos a traducir, pero esta sencillez te dará confianza para iniciar nuestro estudio algebraico. En el lenguaje común o "verbal, se emplean palabras, mientras que en el lenguaje algebraico se emplean letras y símbolos, que permiten reducir las proposiciones verbales en proposiciones algebraicas muy simples y fáciles de comprender.

18

EJEMPLOS: LENGUAJE COMUN:

LENGUAJE ALGEBRAICO:

I.- Tres objetos cualesquiera.

x .y, z. ab 2

2.- La semisuma de dos números 3.- La suma de dos veces un numero mas tres veces el mismo

2n + 3n = 5n

número es igual a cinco veces dicho número. 4.- El cubo de un numero menos el doble del mismo número

w³ - 2w

LENGUAJE COMUN:

LENGUAJE ALGEBRAICO:

Suma de los cuadrados de dos números 2

El doble producto de

2(u–v)

El doble de la diferencia de dos números

por el radio

El área de un rectángulo es igual al producto de su largo por su ancho

Identificación de los elementos de una expresión algebraica. En la notación algebraica es el medio que nos permite conocer los elementos que conforman una representaci6n matemática; por ejemplo: EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Es una representación que se aplica a un conjunto de literales y números que conforman una o más operaciones algebraicas.

,7

; 2

5 ;

2

3 ;

;

.

En las expresiones algebraicas, las partes que aparecen separadas por el signo (+) o (-) reciben el nombre de Términos algebraicos. 19

El término esta formado por coeficiente (parte numérica), variables (literales o letras), multiplicados entre sí, llamados factores. Coeficiente Exponentes 7

Literales Nombre

Definición

Ejemplo

Monomio (mono = uno)

Expresión algebraica que consta de un solo término

Expresión algebraica que consta de dos términos Trinomio ( tri = tres) Expresión algebraica que consta de tres términos Polinomio (poli = muchos, Expresión algebraica que en este caso más de dos) consta de dos o más términos. En este caso binomio y trinomio son polinomios

5

;

4 ;

3

Binomio (bi = dos)

6 2

7 3

2

Clases de polinomios Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal, por ejemplo:

2x³ + 7x – 8 ,

5x 3

2



x 3  5 8

Un polinomio es fraccionario, cuando algunos de sus términos tienen literales como denominadores, por ejemplo: 2a c  7 b d

20

Un polinomio es racional cuando ninguno de sus términos contienen radicales, par ejemplo: 2x² + 2xy + y² Un polinomio es irracional cuando alguno de sus términos contiene algún radical, por Ejemplo: 3x  2 y  8

Los polinomios se ordenan alfabéticamente y se agrupan de exponente mayor a exponente menor, los números constantes se escriben hasta lo último. Ordenar el siguiente polinomio:

3 y  2x  7 x y  18  5xy  2 x  7 x y  5 xy  3 y  18 2

3

3

2

2

2

Grado de los polinomios E1 grado de un término en una sola variable es la potencia de la variable. Si dos o mas variables se hallan en un termino, el grado de término es la suma de las potencias de las variables. Ejemplo: Grado de un término en una sola variable: 6x³

3er grado.

2x

1er grado.

3³x

1er grado.

-3

grado cero porque

3

3

Grado de un término en varias variables: 72 x³ y³

6to grado 21

4 x² y³

5to grado

√3

3er grado

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es una identidad sabemos que la incógnita puede adoptar cualquier valor y la igualdad siempre se cumplirá. Mientras que en una ecuación es necesario encontrar las solución, ya que la incógnita tiene un valor específico. La cantidad de soluciones para la incógnita en una ecuación está dada por el grado absoluto de la expresión algebraica.  

Si es de primer grado sólo tiene una solución. Si es de segundo grado tendrá a lo más, dos soluciones reales; es decir, la incógnita puede adoptar dos valores diferentes y la igualdad se cumple.

 Si es de tercer grado, tendrá a lo más tres soluciones... y así sucesivamente. Dentro de este tema todavía no estudiaremos el procedimiento para encontrar el valor de la incógnita; ese tema es abordado en los capítulos posteriores. Lo que por el momento haremos es practicar un sencillo procedimiento: si conocemos el valor de las incógnitas para una expresión algebraica, lo sustituimos en ésta y encontramos el valor numérico.

Ejemplo 1: ¿Cuánto vale la siguiente expresión? 2

3

2

cuando 3

Solución: 2 2

4

4

y 2 4

12

12

2

Ejemplo 2: El valor numérico de 1,

8

20

2 3

2

si

2,

3,

2

Solución:

2

2 3

2

2

2 1 2

23 2 2

2 12

2

26

3

6

24

: Puede observarse el uso de corchetes para llevar un mejor orden en el cálculo. 22

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS: En la aritmética, los números positivos se suman, pero en el álgebra la adición puede realizarse entre números tanto positivos como negativos. La adición en este sistema más amplio de números es llamada a veces adición algebraica. Para efectuar adiciones con polinomios, se realizan sumandos solo términos semejantes. Los que se parecen (términos semejantes) 3

y

Cada pareja de términos son semejantes ya que tanto las

4

8

18

letras como los exponentes son los mismos. y 5

y

3 2

y 5

Cada pareja de términos NO son semejantes, ya que aunque las letras

y 5

son iguales, estas NO tienen el mismo exponente.

y 4

y 3

Cada pareja de términos NO son semejantes, ya que aunque los exponentes son iguales, las letras NO son las mismas.

Ejemplo 3: Combine los elementos semejantes 2 2 2 SUMANDO <‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 3a  5a  7 a = 15a ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ SUMA

2

23

2 2 Ejemplo 4: Sumar la expresión: 3a  5b  2a  3ab  4b  7ab  b.

Solución: Puede agrupar los términos semejantes de la expresión, si usted desea de la siguiente manera: 3

3

5

2

7

4

5

4

8

Nota: También pude realizar la suma directamente, combinando elementos semejantes.

Ejemplo 5: Restar 7x  4 y  2z

de 11x  9 y  5z.

MINUENDO ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 11 X  9Y  5 Z SUSTRAENDO ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  (7 X

 4Y  2Z )

11

9

5

7

4

2

4 X  13Y  7 Z ‐‐‐‐‐ RESULTADO

Ejemplo 6: Suma y resta con Bolitas Polinomio Se representa con Círculos

3

3

2

1

1

2

1

1

24

Si queremos sumar los dos polinomios anteriores tenemos: Suma de polinomios Se representa con Círculos 3

1

3

1

1

2 5

2

2

3

1

5

2 3

Símbolos de agrupación de agrupación Los símbolos de agrupación los cuales son los paréntesis ( ), los corchetes [ ], y las llaves{ }, son usados para hacer que el significado de ciertas expresiones, sea claro y para indicar el orden en el que las operaciones son realizadas. Con frecuencia es conveniente quitar los símbolos de agrupación de una expresión, y para este propósito se usan los axiomas y propiedades del sistema de los números reales. Se explica el procedimiento con un ejemplo.

Ejemplo 6: Elimine los símbolos de agrupación y combine los términos semejantes

3x 2  {3x2  xy  [5( x2  xy)  3( x 2  y 2 )]  4 xy}  3 y 2 Se aplica primero el axioma distributivo a la expresión en los paréntesis para obtener

3x2  {3x2  xy  [5x2  5xy  3x2  3 y 2 ]  4 xy}  3 y 2 Combinando términos semejantes dentro de los corchetes

3x2  {3x2  xy  [2 x2  5xy  3 y 2 ]  4 xy}  3 y 2

25

Eliminando los corchetes

3x 2  {3x 2  xy  2 x2  5xy  3 y 2  4 xy}  3 y 2 Combinando términos semejantes dentro de las llaves

3x2  {x2  8xy  3 y 2}  3 y 2 Quitando las llaves

3x 2  x 2  8xy  3 y 2  3 y 2 Combinando términos semejantes nos da el resultado final 2 x2  8xy

26

Ejercicios A desarrollar sumas de polinomios No. 1 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Manera Orden Responsabilidad didáctica de Ejercicios y tareas sobre el tema lograrlas  Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.  Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas

Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas

I.

Relaciona la columna de la izquierda con la columna de la derecha, escribiendo en el paréntesis el número que corresponda ( )3 1. 3 4 2. √3 3. 20

18 7

4. 6 5. √5 6. 0.3

√5

√2 3 6 0.5 0.5

4 7

0.7 0.7

0.1

7. 8.

3

6

9

15

8

27

(

)

(

) √5

(

)

(

) √2

(

)

(

) √3

(

)

(

) 0.2

(

)

(

)

3

(

)

11

0.2

√5

√3 12

11 2

5

0.2

12

II.

Completa las siguientes operaciones. Utiliza los espacios disponibles:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

III.

Escribe un polinomio que represente el perímetro de las siguientes figuras. Simplifica los polinomios reduciendo términos semejantes. a)

b)

28

IV.

Escribe un polinomio para cada arreglo de círculos, además encuentra la suma de polinomios.

a) y

b) y

c)

y

V. Encuentre la suma indicada en los problemas siguientes: a) (3b  c  d )  (2b  3c  4d )  (4b  4c  d ) Resp: b  8c  6 d b) (3x  x  1)  (2 x  3x  4)  (4 x  4 x  1) 2

2

2

c) (2 p  q  2r)  (3 p  2q  r)  (2 p  3q  r) Resp:  3 p  2q  4r d) (2w  3x  y)  (2w  3x  y)  (w  6x  3y)

29

VI. Sume las tres expresiones en cada uno de los siguientes ejercicios. Sustraiga luego la tercera expresión de la suma de las dos primeras. a) 7a  3b 11c; 14a 10b 10c;8a  8b 13c Resp: a 15b  34c; 15a  b  8c b) 3xy  4 yz  x;2x  4xy  7 yz;3yz  x  5xy c) 2r  3rs  7s; 4s  3r  5rs;2rs  3s  8r Resp: 9r  4rs  6s;7r

VII. Quite los símbolos de agrupación y simplifique combinando términos semejantes a) 4x  ( y  3)  (3x 1)

Resp: x  y  4

b) x  y  2( x  2 y)  3(2x  y) c) 2x  y  ( x  3y)  2(2x  3y) Resp: 5x  2 y d) a  2b  4(a  3b)  2(2a  5b) e) ( x  y)  (2x  3y)  (x  y) Resp: y f) 1   a  2b  (3  a )  3 g)   x  (3  x )  (4  3 x )  Resp: 3 x  1





h) x  3 2 y  3x  4(x  2 y)





i) 2x  3y  6  x  3(2x  5 y)  x Resp: 38x  93y





j) a  1  2 2a  4  3(1  5a)

y  4x  (z  2 y)  z  2 y Resp:  6x  4 y  4z

k) 2x  2 l) 3a 

b  2c  3b  2(a  c)  b  2a  3a  5b

30



e)  a  2ab  b  3a  5ab  6b  (a  b)  5



f) 10  x   y  ( x  3)  ( y  6)

  Resp: a  7 ab  6b  5

 

VIII. Evalúe las expresiones siguientes, dado que a  2, b  3, c  1 y d   2 a) a  2b  c b) a  b  2 d c) 6 a  5b  d d) a  b  2 c  3d e) b  (c  2d ) f) 2c  2(3a  2b)

g)

ad ab  3cd 3b  2 ad h) i) ad c 4a

Respuestas a algunos ejercicios: a) 9; c) 29; d) 1; f) ‐22; h) 0;

31

Saberes

Nombre


No. 2  Leyes de los exponentes enteros positivos  Multiplicación entre monomios  Multiplicación de un monomio y un polinomio  Multiplicación entre polinomios Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno adquirirá la Mediante habilidad para Manera didáctica exposición y desarrollar de lograrlos tareas multiplicaciones entre monomios y polinomios

LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS Exponente.- Indica el número de veces que un término deberá aparecer como factor de si mismo; por ejemplo: a5 = (a) (a) (a) (a) (a) La expresión a5 se llama potencia y se lee “a quinta”. La representación general es: n- ésima potencia de a n Exponente (Entero positivo)

a Base

Leyes de los exponentes.- Se establecen cinco leyes fundamentales de los exponentes enteros y positivos, dichas leyes son: Ley I.- “Cuando dos potencias de la misma base, se multiplican, su resultado es un término de la misma base y con un exponente igual a la suma de los exponentes de las potencias multiplicadas; Es decir:

32

Ley II.- “Cuando dos potencias de la misma base, se dividen, su cociente es un término de la misma base y con un exponente igual a su diferencia de los exponentes de las potencias divididas”; Es decir:

am mn 1 am  a  n (Si m > n) n a anm (Si n>m) a

am mn 0  a  a  1 (Si m = n) n a

Ley III.- “Cuando una potencia base se eleva a un expo9nente, su resultado es un termino de la misma base y con una exponente al que se elevo la potencia”; Es decir:

(a )  a m n

mn

Ley IV.- “cuando un producto de uno o mas factores se elevan todos ala vez un exponente, su resultado es un producto donde cada factor se eleva al exponente de dicho producto”;Es decir:

(ab) m  a mb m

Ley V.- “cuando un cociente se eleva aun exponente su resultado es la potencia del dividendo (numerador) y la potencia del divisor (denominador), realizándose finalmente la división”; Es decir: m

am a    m b b 33

Ejemplo 1: a) (u 2 )(u 3 )  u 2  3  u 5

m4  m4  2  m2 b) 2 m c) (c 2 )3  c( 2)(3)  c 6 3

23.a 3 8a 3  2a  d)  2   ( 2 )( 3)  6 b b b 

MULTIPLICACIONES DE MONOMIOS Regla Se multiplica el coeficiente y a continuación de ese producto se escribe letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente que tenga en los factores. El signo del producto vendrá dado por la ley de los signos. Ejemplos 2: a) Multiplicar 2a 2 por3a3. (2a )(3a )  (2)(3)a 2

b) Multiplicar 3

3

4

23

 6a5

3a b(4ab x)  (3)(4)a 2

2

2 1 1 2

b x  12a3b3 x

c) Multiplicar  xy2 por  5mx4 y3 1 4

( xy )(5mx y )  5mx 2

4

3

y 23  5mx5 y5

d) Multiplicar  ab2 por4a mbnc3 1 m n  2 3

(ab )(4a b c )  (1)(4)a 2

m n 3

b

c  4a m 1bn  2c3

34

e) Efectuar la siguiente multiplicación (2ab2 )2 (3a 2b)3 (bc2 )4 (2ab ) (3a b) (bc )  (2) a b  (3) a b  (1) b c 2 2

2

3

2 4

2

2 4

2

6 3

4

4 8

 (2) (3) (1) (a  a )(b  b  b )(c ) 2

3

4

2

6

4

3

4

8

 (4)(27)(1)a b c 8 11 8

 108a

8 11 8

b c

f) Efectuar las operaciones indicadas y simplificarlas

(2ab)4 (a3b)2  (3a 2 )3 (a 2b3 )2 (2ab) (a b)  (3a ) (a b )  (16a b )(a b )  (27a )(a b ) 4

3

2

2 3

2 3 2

4 4

 16a

6 2

6

4 6

b  27a10b6

10 6

 43a

10 6

b

Multiplicación de Polinomios por Monomios Reglas para Multiplicar un Monomio por un Polinomio Se multiplican el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso las reglas del signo, y se separan los productos parciales con sus propios signos. En otras palabras, se aplica la Ley Distributiva de la multiplicación.

Ejemplo 3: Multiplicar 3

6

7

4

(3x  6 x  7)(4ax )  3x (4ax )  6 x(4ax )  7(4ax ) 2

2

2

2

 12ax

4

2

2

 24ax3  28ax2

35

3x 2  6 x  7 4ax 2

4 3 2 La operación puede disponerse así 12ax  24ax  28ax

MULTIPLICACIONES DE POLINOMIOS POR POLINOMIOS Regla para Multiplicar dos Polinomios Se multiplican todos los términos del multiplicador por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos semejantes. 4

Ejemplo 4: Multiplicar

3

Tendremos:

4

4

3

3

4

o sea

3

4

3 4 3

12 12

En el ejemplo siguiente se muestra otra forma de multiplicar.

Ejemplo 5: Multiplicar 4 4

3

5

2

3

2

5

4 2

4 5

20

8

20

23

3 5

15 6

6

3 2

36

Ejemplo 6: El siguiente rectángulo está seccionado y cada sección es el resultado de multiplicar los lados de los rectángulos pequeños. Halla la multiplicación de los polinomios que equivale al área total del rectángulo.

20 30

32

48

Solución: Primeramente, tenemos que buscar el valor de los lados de cada rectángulo pequeño para que coincida con el área de cada rectángulo pequeño. Por lo tanto: 4 20 30 6

32 48

5

6

8

Por lo tanto, los lados del rectángulo grande son El área total será:

4

4

6

5

8

4 20

6

y 32

5

8 30

48

37

Ejercicios


A practicar las multiplicación de monomios y polinomios No. 2 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Manera Orden Ejercicios y tareas sobre el Responsabilidad didáctica de lograrlas tema  Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.  Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas

I. Efectúe las operaciones indicadas y simplifique: 2

2

3

4

3

2

2 2

2

3

1) (a b)(a ) 2) (ab )(a ) 3) (2x y)( y ) 3

2

2

4) (a b)(b ) 5) (a b )(a ) 6) (2 x )(3xy ) 7) 3x y (2 x y) 8) 3x(4 x y)( x y ) 9)  x y(3x y )( x ) 2

3

4

2

4

2

3

2

3

2

10) (7 x y )(4 xy)(2 y) 11) x z ( y z )(2 x y) 12)  6 x y ( yz )(3xz ) 3 2

3 2

3

4

2 3

3

2

13) ( x )(4 xy )(5x y) 14) 2a b(3a )(25b ) 15)  3xy(4 y)(5x ) 2

2

3

3

2

3

2

16) 3a b (4ab )(9a b) 17) a b(ab ) 18) 6a b(2ab ) 2 2

3

3

2

3 2

2

2 2

19) (a b) (2ab ) 20) (4ab) (ab ) 21) ( x y) (8x y) 2

2

2 3

2

2 3

2

3

3

2

22) ( xy ) (2 x yz ) (5xz ) 23) (a b ) (8abc ) (3b c ) 2 3

2

2 2

3

2 2 3

2 2

4 5 4

38

24) (2ab ) (3a b )(a c ) 25) (2ab ) (9a c) (a bc ) 2 2

2 3

2 3 4

3 2

2

3

4

2 5

26) 2a (b )  a (b) 27) (2ax)  (a) ( x ) 28) 2a (b )  (4a )(b) 2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

Respuesta para algunos de los ejercicios anteriores:

b ; 5) a5b2 ; 6) 6x3 y2 ; 7) 6x6 y 4 ; 8) 12x7 y 3 ; 9) 3x7 y4 ;

3 3

4) a

b ; 17) a 4b7 ; 18) 24a4b5 ; 19) 8a7b8 ; 21) 64x12 y5 ;

6 6

16) 108a

22) 20 x y z 23) 5184a b 8

c ; 26) 2a2b2  a2b3 ; 27) 5a2 x2 ; 28) 2a2b2

8 24 24

8 7

II. Efectué la siguiente multiplicación entre un polinomio y un monomio. (1) 3x  x por  2 x Resp: 6x 3

4

2

 2x3

(2) 8x y  3 y por  2ax 2

2

3

(3) x  4 x  3 por  2 x Resp: 2x

3

2

3

(4) a

 8x 2  6 x

 4a2  6a por 3ab

III. Efectúe las multiplicaciones indicadas. Simplifique cuando sea necesario. 1) 6( x  7) 2) 7( x  4) 3) x( y  3) 4) 5x(2 y  3) 5) 4x( y  3) 6) 2 x(3x  2 x) 2

7) 6 x( x  4 x) 8) 3x(3  5x  x ) 9) 2 x (3x  x  5) 2

2

3

2

10) 2ab(a  3ab  b ) 11) 2a b(a  5a b  3b ) 2

2

2

3

2 2

4

12) 5a b (ab  b  4a) 13) 2ab (2a  3b  2) 3 2

2

3

2

2

14) 2x(5x  6)  3x( x  4) 15) 4x(x4)2x(2x3)

39

16) 2 x(3x  4 x  6)  x ( x  8) 17) x (2 x  3x  4)  x( x  3x  4 x) 2

2

2

2

3

2

Respuestas a los impares: 1) 6 x  42 ; 3) xy  3x ; 5) 4xy 12x ; 7) 6x

3

5

9) 6x

 24x2 ;

 2x4 10x3 ; 11) 2a5b 10a4b3  6a2b5 ; 13) 4a3b3  6ab5  4ab3 ; 15)  10 x ;

4

17) x

IV. Efectué la siguiente multiplicación entre polinomios. 1. a  3. por.a  1

2 Resp: a  2a  3

2. 8x  2 y. por. y  2x 3.  4 y  5x. por.  3x  2 y

Resp: 15x2  22 xy  8 y 2

4.  a  b. por.  4b  8a

V. Efectué las operaciones con polinomios y simplifique: 1) ( x  7)( x  4)

9) ( x  1)((2 x2  2 x  3)

2) ( x  6)( x  6)

10) ( x  2)( x2  2 x  4)

3) ( x 1)(x  6)

11) (2 x 1)(4 x2  2 x  1)

4) (3x 1)(4x  3)

12) ( x  2 y)( x2  2 xy  4 y 2 )

5) (3  2x)(3  4x)

13) ( x2  2 x  1)( x2  2 x  1)

6) (7  3x)(8  5x)

14) ( x 1)( x  3)  x( x  4)

7) ( x  4 y)(3x  4 y)

15) (2x+1)(x-2)+ x(x+3)

8) ( xy  3)( xy  4)

16) ( x  2)( x  4)  x( x  2)

2 2 Respuestas a los impares: 1) x  3x  28 ; 3) x  7 x  6 ;

2 5) 9  6x  8x ;

3 3 4 2 2 7) 3x2  16 xy  16 y 2 ; 9) 2x  x  3 ; 11) 8x 1; 13) x  4x  4x 1 ;15) 3x  2

40

Los siguientes rectángulos están seccionados y cada sección es el resultado de multiplicar los lados de los rectángulos pequeños. Halla la multiplicación de los polinomios que equivale al área total de cada rectángulo. (Ver ejemplo 6 resuelto de esta sección).

VI.

1.

5 5

2.

5 3

3.

24 40

15

25

41

Saberes Nombre


No. 3  División entre monomios  División entre un polinomio y un monomio  División entre polinomios Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno Mediante adquirirá la Manera didáctica de lograrlos exposición y habilidad para tareas desarrollar divisiones entre monomios y polinomios

DIVISIÓN DE MONOMIOS Ejemplos:

(1) Dividir

4

2

2

(2) Dividir

5

=5

(3) Dividir

20

4

=

42

5

Ejemplo (4) Al aplicar las leyes de los exponentes, simplificar la expresión:

 2 x 4 yz   2   6 xy 

3

Solución: Podemos simplificar la fracción primeramente antes de aplicar el exponente exterior. 3

3

 2 x 4 yz   x3 z  x9 z 3 x9 z 3     3 3 2  27 y 3  6 xy   3 y  3 y

DIVISIÓN DE POLINOMIOS ENTRE MONOMIOS. Regla para dividir un polinomio por un monomio. Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos. 3 2 2 Ejemplo 1) Dividir 3a  6a b  9ab entre 3a.

(3a 3  6 a 2 b  9 ab 2 )  3a 

3a 3  6 a 2b  9 ab 2 3a 3 6 a 2 b 9 ab 2    3a 3a 3a 3a

2 2 Resultado: a  2ab  3b

Ejemplo 2) Dividir

Solución:

3a 3  2a 2b  ab 2  ab

3a 3  2 a 2 b  ab 2 3a 3 2 ab 2  ab 2 3a 2      2a  b  ab  ab  ab  ab b

Ejemplo 3) Dividir

(3x  a)2  a(3x  a) (3x  a)

y simplificar

(3x  a)2  a(3x  a) (3x  a)2 a(3x  a)   (3x  a)  a  3x  a  a  3x = (3x  a) (3x  a) (3x  a)

43

DIVISIÓN DE POLINOMIOS La división de polinomios respeta la siguiente serie de pasos: 1. Ordenamos los términos de ambos polinomios según las potencias de mayor a menor, o viceversa, de una de las letras comunes a los dos polinomios. 2. Dividimos el primer término del dividendo entre el primero del divisor, con esto obtenemos el primer término del cociente. 3. Multiplicamos el término del cociente del paso anterior por el divisor y se resta del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo. 4. Con lo obtenido en el paso anterior se repiten las operaciones de los pasos 2 y 3 hasta que obtenemos un residuo igual a cero o una expresión algebraica de grado menor que el del dividendo. 5. El resultado se expresa de la siguiente manera:

Ejemplo 1: Dividir 2

31

35 entre 2

7

3

Divisor 2

5 cociente 31

7 2 7

2

35 Dividendo

6

31

6

21

35

10

35

10

35

0 Residuo El resultado es:

3

5

44

Ejemplo 2: Dividir

2

3

2 entre

3

2

2

6

2 2

3

2

6

4

3

3

3

9

3

3

2 2 6

6

5

6

18

12

13

14

2

El resultado lo expresamos de la siguiente manera:

2

3

6

45

Ejercicios

Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar

A practicar las división entre monomios y polinomios No. 3 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Manera Orden Responsabilidad didáctica de Ejercicios y tareas sobre el lograrlas tema  Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.  Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas


I. Ejercicios: Efectuar la siguiente división entre monomios 3 4 2 (1) 14a b entre 2ab

2 2 Resp: 7a b

3 4 3 4 (2)  a b c entre a b 2 2 (3)  5m n entre m n

Resp:  5

2 3 2 3 (4)  8a x entre  8a x

II. Simplifique aplicando las leyes de los exponentes. 1)

a5 a2

( x  1)8 9) ( x  1)4 15)

a6  ( a ) 3

2)

x3 x

3)

( x  y )6 10) ( x  y )9 16)

a6 a12

4)

x2 x8

x10 x10

5) 6

17)

x3 y xy

b10 b 6

13)

9 a 2b 5 36 a 6 b10

x3 y 3 x2 y

19)

4

x y 3bx 11) 12) 3 2 xy 3b

( x  y)2 ( x  y )6

6)

18)

7)

(  a )8 ( a 7 ) 8)  a10 a 7

14)

a 2b 6 a 2b 8

6 a 8b 7 18a 4b 9

20)

42 a 5b 2 70 a 9 c

46

 44 a 3b 2 21) 66 a 5b 8

 2a 2  26)  5   a 

6

 2 x2 y5  27)  6   4 xy 

 3a 3  24)  6  a 

 25 a 6b 9 23)  5a12 b 3

32a 5b 2 22)  8a 3b 6 3

 x4 y 2 z 7  28)  3 4 7   2x y z 

3

4

 a 2b  25)  2   ab 

 12 x3 y 2 z 4  29)  2 3   18 xy z 

2

4

Respuestas para algunos ejercicios: 3 2 1) a ; 2) x ; 3)

1 1 1 4 ; 4) 6 ; 5) 1 ; 6) b ; 7)  2 ; 6 a a x

1 ; ( x  y )3

11) x ; 12) x3 y2 ; 13)

x3 ; 27) 8 y3

x3 28) ; 8 y6

29)

a4 1 ; 14) ;  4a 4b 5 3b 2

9) ( x  1)4 ; 10)

8) 1 ; 26)

64 a18

16 x 8 z 4 81

III. Efectué las operaciones entre un polinomio y un monomio y simplifique.

1)

2x  2 2

7 x 3  14 x 2 6) 7 x2

2)

10 x  5 5

3)

10 x 2 y  15 x 3 7) 5 x 2

4 x3  6 x 2  8 x 10) 2x2

6 x 2  3x 3x

x3  3x 2  x x

12 x 5  18 x 4  6 x 3 8) 6 x 3

x 6  2 x 4 y 2  3x 2 y 4 11) 3x3 y3

(2 x  a)2  x(2 x  a) 13) (2 x  a)

4)

5)

6 ax  3a 3a

36 x3 y 2  24 x2 y3 9) 12 x2 y 2

6( x  a)2  3( x  a) 12) 3( x  a)

(2 x  a)3  (2 x  a)2 14) (2 x  a)

47

Respuestas a los impares: 1) x  1 ; 3) 2 x  1 ; 5) 2 x  1 ; 7) 2 y  3x ; 9) 3x  2 y ;

x3 2 x y  ; 13) x  a 11)  3  3y 3y x IV.

Efectúe las divisiones entre polinomios siguientes:

1)

x 2  3x  2 x2  x  6 x 2  14 x  48 8 x 2  16 x  6 2) 3) 4) x 1 x2 x 8 2x 1

5)

9x2  6x  1 3x  1

9)

x3  4 x  2 x 2  8 x2  4

6)

12 x 2  25 x  12 4x  3

10)

16 x 2  8 x  1 4x 1

7)

3x 4  2 x3  6 x 2  3x  2 x2  x  2

12)

4 x 3  7 x 2  21 x  9 4x  3

15)

2 x4  3x3 y  3x2 y 2  5xy3  3 y 4 2 x2  xy  y 2

18)

x 3  12 x 2  48 x  64 x 2  8 x  16

13)

19)

14)

9 x 2  4  12 x 3x  2

6 x 4  x3  8 x 2  x  2 2x2  x  1

20)

22 x  8 x 2  21 4x  3

3x3  x  4 x 2  6 2  3x

11)

6 x 3  11x 2  14 x  2 2x  5

16)

8)

2 x 4  11x 2  39 x  15 x2  3x  5

17)

15 x 2  12  28 x 5x  6

2 x 4  51 x  3 x 2  8 2x2  6x  1

21) (2 x 4  2 y 4  5x3 y  3x 2 y 2  7 xy3 )  ( x2  3xy  y 2 )

Respuestas para algunos ejercicios:

1) x  2 ; 2) x  3 ; 3) x  6 ; 4) 4 x  6 ; 5)

3x  1 ;

2 8) 2 x  7 ; 9) x  2 ; 10) 3x  x  1 ; 11) x 2  2 x  1 

13) 3 x 2  2 x  2 

6) 3 x  4 ; 7) 4 x  1

4 9 ; 12) x 2  x  6  3x  2 4x  3

12 2 ; 14) 2x  6x  3 ; 15) x2  2 xy  3 y 2 2x  5 48

Nombre


Saberes PRODUCTOS NOTABLES No. 4  Binomios conjugados  Producto de dos binomios cualesquiera  Binomio al cuadrado  Binomio al cubo Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno adquirirá la Manera didáctica Mediante habilidad para de lograrlos exposición y desarrollar tareas productos notables por inspección



BINOMIOS CONJUGADOS Si tenemos la multiplicación

¿cómo la resolverías?

Una forma de hacerlo es multiplicando Todos vs. Todos:

Aunque este método nos gusta mucho no es el más rápido, para esto estamos aprendiendo la multiplicación de binomios conjugados.

El producto de la suma de dos números (a + b) por su diferencia (a – b) es un producto notable que recibe el nombre de binomios conjugados, y su producto recibe el nombre de diferencia de cuadrados.

49

Binomios conjugados = Diferencia de cuadrados

 a  b  a  b   a 2  b 2 Los binomios conjugados son iguales a:

El cuadrado del primer término del binomio Menos El cuadrado del segundo término del binomio. Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios conjugados:

1.

8

3

2.

5

6

8 5

3

8

6

3

8 6

5 2

3 25

64

9

36

2

3  5 3  5  3  25 2 9 2 5 3.  9 m  4 n   9 m  4 n    9 m    4 n   81 m  16 n

Producto de trinomios que se pueden resolver como un binomio conjugado 5

4.



5

5

5

25

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CUALESQUIERA

Los términos correspondientes de los binomios ax by

y

cx dy son

semejantes. Su producto se obtiene por el procedimiento que se describe aquí en donde se aplica la propiedad distributiva.

(ax  by)(cx  dy)  ax(cx  dy)  by(cx  dy)  acx2  adxy  bcxy  bdy2  acx2  (ad  bc) xy  bdy2

por distributividad y conmutividad ya que adxy+bcaxy = (ad+bc)xy

Por tanto, se tiene Producto de dos binomios (ax  by)(cx  dy)  acx2  (ad  bc) xy  bdy2 Al observar el producto de la derecha, se ve que se tiene el producto de dos binomios con términos semejantes correspondientes al ejecutar los pasos siguientes: 50

1) Multiplíquense los primeros términos de los binomios para obtener el primer término del producto. 2) Súmense los productos obtenidos al multiplicar el primer término en cada binomio por el segundo en el otro. Esto da el segundo término en el producto. 3) Multiplíquense los segundos términos en los binomios para obtener el tercer término del producto. Por lo general, el procedimiento requerido para efectuar esos tres pasos es mental, y el resultado puede escribirse sin necesidad de indicar los pasos intermedios. Esto se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1 Obtenga el producto de 2x  5 y y 4x  3y

(2 x  5 y)(4 x  3 y)  8x2  14xy  15 y 2 Obténgase los productos mentalmente

1. 2 x  4 x  2. (2x  3y)  (5x  4x)  6xy  20xy  3.  5 y  3 y 

El ejemplo anterior está dada en dos variables, pero se aplica también si se considera que y  1 . De hecho, viene siendo (ax  b)(cx  d )  acx2  (ad  bc) x  bd

Ejemplo 2 Encuentre ( x  2)(3x  5).

( x  2)(3x  5)  (1)(3)( x2 )  [(1)(5)  (2)(3)]x  (2)(5)  3x2  x  10

51



BINOMIO AL CUADRADO

Un binomio al cuadrado es un producto notable, ya que podemos generalizar el proceso para obtener su resultado. El cuadrado de la suma de dos términos es igual: (a  b)2  a 2  2ab  b2

Cuadrado del primer término más Doble producto del primero por el segundo, más El cuadrado del segundo término. La solución de un binomio al cuadrado es un trinomio que recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto. Cuando se trata de una diferencia lo único que cambia es el signo del segundo término del trinomio.

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual: (a  b)2  a 2  2ab  b2

Cuadrado del primer término, menos Doble producto del primero por el segundo, más El cuadrado del segundo término. Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios al cuadrado

1.

3

2.

3

8

3

2 3

5

8

8

3

2 3

9

3.

3 2

5 3

3 2

9

48

5

64 5

25

2

3 2

5 3

5 3

9 4

5

25 9

52

4. 4

2

3

4

2

16



3 16

4 4

2 24

2 4 12

2

3

3

9

BINOMIO AL CUBO

Un binomio al cubo es un producto notable ya que podemos generalizar el proceso para su solución. Esto significa que el binomio esta multiplicándose por si mismo tres veces:

 a  b   a  b a  b a  b 3

Primero multiplicaremos dos binomios ya que como son tres términos, la multiplicación debemos realizarla por partes:

 a  b a  b   a  b

2

 a2  2ab  b2 .

Este resultado lo multiplicamos otra vez por el binomio:

a

2

 2ab  b2   a  b   a3  3a2b  3ab2  b3 Binomio al cubo = Cubo perfecto

 a  b

3

=

a3  3a2b  3ab2  b3

El cubo de un binomio es igual a: Cubo del primer termino más El triple producto del cuadrado del primer termino por el segundo mas El triple producto del Primer termino por el cuadrado del segundo mas Cubo del segundo termino.

53

Si el cubo es la diferencia de dos números el resultado quedaría:

 a  b

3

a3  3a2b  3ab2  b3

=

Ejemplos:

1.

2

5

2 8

2.

3

2

3 27

3 2 60

5

3 2

150

3 3

2

54

36

5

5

125 3 3

2

2

8

54

Ejercicios


Todo mundo a desarrollar Productos Notables No. 4 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Manera Orden Responsabilidad didáctica de Ejercicios y tareas sobre el lograrlas tema  Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.  Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Competencias genéricas a desarrollar

Manera didácticas de lograrlas I.

1. 5. 2

8. 4


Realice los siguientes binomios conjugados: 4

4 3

7

3

2

4

11. 6

10

13. 7

5

7

2.

7

7

3. 3

2

6.

7

4. 6 4

6

8

6 4

6

10.

10

5

12. 5

14. 4

55

2

7.

9.

6

3

5

3

4

3

8

II.

Completa la siguiente tabla: Binomios conjugados

a)

Diferencia de cuadrados

1

c) 4

d)

10

4

1

10

e)

4

f)

9 16

g)

2

h)

5

i)

0.2 2 6

0.2

5

6

1 25 25 4

2

3

j) k)

25

9

b)

√2

3

√3 √2

3

√3

III.

Realice los siguientes ejercicios usando el modelo para el producto de dos binomios cualesquiera.

1. ( x 1)(x  3)

2. ( x  2)(x  4)

5. (3x  4)(x  5)

6. (4x 1)(2x  3) 7. (2x  y)(3x  y) 8. (3x  5 y)(2x  3y)

9. (6c  11d )(2c  5d )

IV.

3. ( x  3)(x  2)

10. (8k  3m)(9k  5m)

4. (2x  3)(3x  2)

11. (3a  10b)(4a  7b)

Completa la siguiente tabla:

Multiplicación de dos binomios cualesquiera con un termino común

Resultados

a)

5

4

b)

15

c)

5

3

17

30

d)

√5

6 √5

2

e)

√2

1 √2

2

2

3√2

56

Obtenga el binomio al cuadrado de las siguientes expresiones:

V.

1. ( x  2) 2

2. ( x  3) 2

3. ( x  9) 2

4. ( x  y)2

5. ( x  8 y)2

6. (a  2b)2

7. (2 x  3)2

8. (4 x  5)2

9. (10x  5)2

10. (5m  2n)2

11. (m  4)2

12. (2 x  3 y) 2

16. (4a3b2  5ab3 )2

13. (6a  7b) 2 14. (a3  b3 )2

17. (2 x  3 y  2 z ) 2

15. (3x2 y  2 xy2 )2

18. (3a  4b  3c)2 19. ( x5  y5 )2

Completa la siguiente tabla:

VI.

Binomio elevado al cuadrado 3

a) b)

Polinomio

2

4

7

c) d)

4

16

Desarrollo los siguientes binomios al cubo:

VII.

1. (a  2b)3 6. (1  3 y)

2. (3x  2)2 7. (2  y )

3

2 3

3. (5x  1)3 8. (2 p  3q ) 2

3 3

4. (2 x  7 y)3 9. (5m  4n ) 3

2 3

5. (4a  6b)3 4  2 10.  a  b  3  3

3

Completa el desarrollo de los siguientes binomios al cubo

VIII. a)

5

2

3

3

___________________________________________________________ b)

3

2

3

3

___________________________________________________________ c)

3

3

___________________________________________________________ 57

Saberes Nombre


FACTORIZACIÓN DE

No. 5

POLINOMIOS  Por factor común  Diferencia de cuadrados  Trinomio de la forma  Trinomio de la forma  Trinomio cuadrado perfecto  Suma y diferencia de cubos  Por agrupación Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno conocerá los Manera didáctica Mediante distintos tipos de de lograrlos exposición y factorización de tareas polinomios.

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Cada uno de los números que se multiplican entre sí para obtener un producto, se llama factor. Algunas veces es deseable escribir un polinomio como el producto de varios de sus factores. Este proceso se llama factorización. En particular, nos ocuparemos de factorizar polinomios con coeficientes enteros. Se dice que un polinomio está factorizado completamente si se expresa como el producto de polinomios con coeficientes enteros y ninguno de los factores de la expresión se puede ya escribir como el producto de dos polinomios con coeficientes enteros. A continuación, consideramos la factorización de algunos polinomios especiales. I. Factor común. En este proceso se transforma una suma algebraica en un producto de factores, aplicando la propiedad distributiva. Para llevar a cabo este proceso es necesario identificar el factor común en el polinomio. El factor común puede ser un numero o un monomio, o bien un polinomio.

58

Ejemplos: 1)

5x  5 y  5( x  y)

El numero 5 es el que se repite en ambos términos, es decir, es el factor común. Y los factores son 5 y (x + y).

2)

ax  bx  cx  x(a  b  c)

Pude ver que la

es la que se repite en todos los términos, es decir, es el factor

común, y los factores son x y (a – b + c).

3)

4x2 y  8xy  2 y = 2 y(2 x2  4 x  1)

El numero 2 y la letra y son los términos que se repiten en todos los términos, por lo tanto, son comunes, es decir, 2y. Para encontrar el otro factor dividimos el termino común y la expresión original

4x2 y  8xy  2 y entre 2y, dando como

2 resultado, 2x  4x 1 que representa al segundo factor.

4) Factorizar el polinomio

6 x3 y 2  12 x2 y 2  24 xy 2

Solución: El máximo factor común es 6xy2 .

 6 x 3 y 2 12 x 2 y 2 24 xy 2  = 6 xy 2 ( x2  2 x  4)   6 x3 y 2  12 x 2 y 2  24 xy 2  6 xy 2  2 2 2  6 xy 6 xy   6 xy

II. Diferencia de cuadrados 2 2 El producto de los factores (a  b) y (a  b) es a  b , es decir, la diferencia de

dos términos cuadrados perfectos. Los factores de una diferencia de cuadrados son la suma y diferencia de raíces cuadradas respectivas de dichos cuadrados.

Ejemplo 1) Factorizar

9a2  4 .

2 Solución: La raíz cuadrada de 9a es 3a y la de 4 es 2.

59

Por consiguiente,

9a2  4  (3a  2)(3a  2)

Ejemplo 2) Factorizar completamente x 4  81y 4 .

x4  81y 4  ( x 2  9 y 2 )( x 2  9 y 2 )

Solución:

 ( x2  9 y 2 )( x  3 y)( x  3 y) 4 Ejemplo 3) Factorizar completamente 6x  6 .

6 x4  6  6( x4  1)

Solución:

 6( x2  1)( x2 1)  6( x 2  1)( x  1)( x  1) Ejemplo 4) Factorizar completamente x2  4( y  3)2

x2  4( y  3)2  [ x  2( y  3)][ x  2( y  3)]

Solución:

 (x  2 y  6)(x  2 y  6) III. Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c. Cuando desarrollamos el producto de binomios con término común obtenemos como resultado un trinomio de la forma x2 + bx + c. Para factorizar el trinomio, tenemos que encontrar el par de binomios que lo originaron, siguiendo el siguiente procedimiento: 1. El primer término de ambos factores será la raíz cuadrada del primer término. 2. Los otros dos términos deberán cumplir las siguientes condiciones: 

Dos números que multiplicados den el valor del tercer termino del trinomio (c).



Y sumados deben ser igual al coeficiente del segundo término del trinomio (b).

60

Ejemplo: x2 + 5x + 6. Dos números que multiplicados nos den x2, es decir,

x 2 ;. (x

) (x

).

Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (6) y sumados nos den el coeficiente del segundo termino (5). (x + 3) (x + 2). Entonces la factorización del trinomio x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2). Ejemplo: a2 + 9a + 20. Dos números que multiplicados nos den a2, es decir,

a2 ;. (a

) (a

).

Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (20) y sumados nos den el coeficiente del segundo termino (9). (a + 5) (a + 4). Entonces la factorización del trinomio a2 + 9a + 20 = (a + 5) (a + 4). IV. Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c. Para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, aplicamos la siguiente regla: El trinomio se factoriza en dos factores binomios cuyos primeros términos son aquellos que multiplicados den como producto el primer termino del trinomio dado; los segundos términos de los binomios son aquellos que multiplicados den lugar al tercer termino del trinomio, pero que el producto de los términos extremos e interiores de los binomios factores, al sumarse algebraicamente den como resultado el termino central del trinomio. Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomios de la forma ax2 + bx + c. a) 3x2 + 14x + 8 =

Se determinan los primeros términos de los factores

binomios, siendo aquellos que multiplicados resulte (3x2) el primer termino del trinomio, dichos términos son (3x)(x); los segundos términos de los binomios son aquellos que multiplicados den (8) el tercer termino del trinomio, dichos términos pueden ser (1)(8) y (2)(4), siendo la ultima proposición la que cumple la condición de que la suma algebraica del producto de los términos extremos e interiores de los binomios factores resulte (14x) el termino central del trinomio dado. Por lo que su factorización es: 3x2 + 14x + 8 = (3x + 2) (x + 4)

61

b) 5x2 - 11x - 36 =

Se determinan los primeros términos de los factores

binomios, siendo aquellos que multiplicados resulte (5x2) el primer termino del trinomio, dichos términos son (5x)(x); los segundos términos de los binomios son aquellos que multiplicados den (-36) el tercer termino del trinomio, dichos términos pueden ser (-36)(1), (-18)(2), (-12)(3), (-9)(4), (6,6), (36)(-1), (18)(-2), (12)(-3), (6)(-6) y (9)(-4), siendo la ultima proposición la que cumple la condición de que la suma algebraica del producto de los términos extremos e interiores de los binomios factores resulte (-11x) el termino central del trinomio dado. Por lo que su factorización es: 5x2 - 11x - 36 = (5x + 9) (x - 4)

V.

El Tri perfecto (trinomio cuadrado perfecto) Para que un trinomio sea cuadrado perfecto, se deben cumplir tres condiciones: 1. Debe tener tres términos. 2. Debe tener raíz cuadrada exacta el primer y tercer término. 3. La doble multiplicación de la raíz del primer por el tercer término es el segundo término del trinomio original. Ejemplo: Factoriza:

25

70

49

Primer paso: Verifica que éste sea un trinomio cuadrado perfecto (checando las condiciones). 70 49  Sí es un trinomio: 25 

Sí tienen raíz cuadrada exacta el primer y el tercer términos: 5



Sí es el mismo resultado del segundo término del trinomio original

7

70x y la doble multiplicación de la primera raíz y la tercera raíz 2(5x)(7) = 70x Segundo paso: Coloca el resultado 25

70

49

5

7

Se toma el signo que contiene el segundo término del trinomio original.

62

VI.

Suma y diferencia de cubos La suma o diferencia de cubos es el resultado de la multiplicación de un binomio por un trinomio. Suma y diferencia de cubos

factores

Identificamos como suma de cubos a un binomio cuyos términos son cubos perfectos y tienen signos positivos; cuando poseen signos diferentes se trata de una diferencia de cubos. Los binomios y son suma y diferencia de cubos, respectivamente, debido a que ambos términos son cubos perfectos por tener raíz cúbica: √

Ejemplo 1

y

Factorizar

Solución: El binomio es una suma de cubos porque ambos términos tienen raíz cúbica y signo positivo. Las raíces son:

2

√8

y

27

3

Estas raíces son los términos del binomio factor y, de acuerdo con el modelo escrito arriba, el binomio es: 2

3 .

El trinomio se forma a partir del binomio factor de la siguiente manera: dos de sus términos son el resultado de elevar al cuadrado los términos del binomio y El término restante es resultado de la multiplicación de los términos del binomio considerando el signo contrario al que se obtenga

Con signo contrario resulta El trinomio factor es: Finalmente, la factorización es:

63

Ejemplo 2

Factorizar

Solución: El binomio es una diferencia de cubos porque ambos términos tienen raíz cúbica y signos diferentes. 3 y Las raíces son: √27 √1 1 Estas raíces son los términos del binomio factor y, de acuerdo con el modelo escrito arriba, el binomio es: 3

1 .

El trinomio se forma a partir del binomio factor de la siguiente manera: dos de sus términos son el resultado de elevar al cuadrado los términos del binomio y El término restante es resultado de la multiplicación de los términos del binomio considerando el signo contrario al que se obtenga

Con signo contrario resulta

3

El trinomio factor es: Finalmente, la factorización es:

VII.

Factorización por agrupación.

Con frecuencia, es posible agrupar los términos de un polinomio de tal manera que cada grupo tenga un factor común, entonces el método de factores comunes es aplicable. Se utiliza este método en los ejemplos siguientes. Ejemplo 1

Factorice ax  bx  ay  by

Solución: Obsérvese que los dos primeros términos tienen el factor común x , y el tercero y el cuarto tienen el factor común y . Por tanto, los términos se agrupan como a continuación se indica

(ax  bx)  (ay  by) y se procede como sigue:

ax  bx  ay  by  (ax  bx)  (ay  by)

con x como factor común del primer

 x(a  b)  y(a  b)

grupo con y como factor común del

 (a  b)(x  y)

segundo grupo y con a  b como factor Común de x(a  b) y

y(a  b) .

64

Ejemplo 2 Factorice 2 x 2  10 x  xy  5 y

Solución:

2 x 2  10x  2 x( x  5)

 xy  5 y   y( x  5)

y

así que

2 x2  10x  xy  5 y  2 x( x  5)  y( x  5)

 ( x  5)(2x  y) 2 2 Factorice a  ab  2b  2a  2b

Ejemplo 3

Solución: Ya que a 2  ab  2b2  (a  2b)a  b)

y

2a  2b  2(a  b)

Se procede como está indicado a continuación:

a 2  ab  2b2  2a  2b  (a 2  ab  2b2 )  (2a  2b)

 (a  2b)(a  b)  2(a  b)  (a  b)(a  2b  2) 2 2 2 Factorice 4c  a  2ab  b

Ejemplo 4

Solución:

4c2  a 2  2ab  b2  4c2  (a 2  2ab  b2 )  (2c)2  (a  b)2

 [2c  (a  b)][2c  (a  b)]  (2c  a  b)(2c  a  b)

Factoriza

Ejemplo 5 Asociando

5a2  3ax 10a  6x .

5a2  3ax 10a  6x   5a2 10a    3ax  6x  .

Para facilitar las operaciones algebraicas, el primer término de un polinomio debe ser positivo, si es posible. En este caso, el segundo binomio es positivo; entonces aplicamos la propiedad conmutativa.

   5a2  10a    3ax  6x 

  3ax  6x    5a2 10a  Factorizando: Y de nuevo factorizando:

 3 x  a  2   5a  a  2    a  2  3 x  5 a 

65

Factorizar

Ejemplo 6

12ax  20bx  9ay 15by

12ax  20bx  9ay 15by  (12ax  20bx)  (9ay 15by) 12ax  20bx  9ay 15by  4x(3a  5b)  3y(3a  5b)  (3a  5b)(4x  3y)

Ejercicios


I.

Volviéndonos hábiles en la Factorización No. 5 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden Manera Responsabilidad didáctica de Ejercicios y tareas sobre el lograrlas tema  Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.  Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas

Factorizar por factor común

1) 4 x  4

2) 12 x  6

6) 6xy  2xz  8 yz 10) xy  x 2 y 2

3) 18 x  27

7) 5x 2  5xy  15 y 2

11) 4 xy  8x2 y 2

3 2 4) 9x  6x

3 8) a  2a

5) 3bx  3b

2 2 9) 3a b 12ab  9ab

12) 4 x2 y 2  12 x2 y

13) 6 x2 y  4 xy 2  10 xy

16) x(a  b)  y(a  b)

14) x3  x 2 y  2 xy 3

15) 4 x3 y 2  2 x2 y3  6 x2 y 2

17) 3(a  3)  x(a  3)

18) 4(2x  1)  x(2x  1) 19) 3(a  b)  x(a  b)

66

II.

Factorice completamente por diferencia de cuadrados: 2) x2  36

3) 9x2  25

4) 81  x

2 2 7) 9 x  16 y

2 4 8) 9 x  4 y

9) 4a  9b c

1) x2 16 6) 4x  81 2

12) 81c  49d

4 2 11) 9 x  64 y

6

4

2 2 4 15) 9x y  y 16) 36a b  9c

8 12

2 19) (a  3b)  4

III.

10

12

6

2

10) a  b

2 2

6

100

14) 100x

4 4 17) 16 x  81y

4

 64 y 64

2 2 18) ( x  1)  y

2 2 20) x  ( y  z)

Completa la siguiente tabla: Diferencia de cuadrados 9 81 121 144 25 16 625 529 3 2

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

4

13) 121h  4t

5) 36x 1

2

Binomios conjugados 3

9

5

4

√ √2

√3

√

IV.

Factorizar los trinomios de la forma

siguientes:

1) x  3x  2

2) x  7x 12

3) x  8x 15

5) x  9x  18

6) x  7x  10

7) x  12x  32 8) x  13x  30

9) x  4x  21

10) x 12x  45 11) x  3x 18

2

2

2

2

2

2 2 13) x  12xy  32 y 2 2 16) x  9 xy  14 y

20) x  18x  81 4

2

2

4) x  9x  20 2

2

2

2

12) x  8x 12

2

2 2 14) x  6 xy  9 y

2

2 2 15) x  12xy  27 y

2 2 17) x  11xy  28 y 18) x  3x 10 19) x  7x  8

4

2

4

2

2 2 21) ( x  y)  3( x  y)  2 22) ( x  3 y)  9( x  3 y)  18

67

V.

Si el área de cada rectángulo está representada por el trinomio correspondiente, determina los lados de cada uno de los rectángulos siguientes. Encuentra también el perímetro de cada rectángulo:

1. 2. 3 2

7

10

VI.

Factorizar los trinomios de la forma

siguientes

b) 3x  7 x  2

c) 2x  7x  6

d) 2x 11x  5

f) 4x  9x  2

g) 2x  5x  2

h) 3x 11x  6

i) 4x  8x  6

j) 2x 15x  8

k) 3x  7 x  6

l) 4x  5x  6

m) 2x  7x  4

n) 4x 15x  4

ñ) 4x 19x 12

o) 6x  5x  4

p) 6x  23x 18

q) 6x  7 x  2

r) 6x 11x  4

s) 6x  31x 18

2

a) 2 x 2  3 x  1 e)

3x2  4x 1

2

2

2

2

2

2

2

2 2 2 2 t) 3x  16 xy  12 y u) 3x  7 xy  6 y

x) 5x  8x  4 4

y) 2x  5x 12

2

VII.

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2 2 2 v) 4 x  8 xy  5 y w) 6 x  5 xy  6 y

z) 8x  29x 12 4

2

Si el área de cada rectángulo está representada por el trinomio correspondiente, determina los lados de cada uno de los rectángulos siguientes. Halla también el perímetro de cada rectángulo:

1.

2.

3

8

12

3

17

6

68

VIII.

Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos: 14 16 2 4 6 8 14

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

49 8. 64 64 9. 1 10. 4 11. 16 9 12. 9 16 13. 49 14.

112 16 26 8 12 18 24

49

64 169 1 4 81 (primero factorice por factor común) 144

IX.

Si el área de cada cuadrado está representada por el trinomio cuadrado perfecto correspondiente, determina el lado y el perímetro de los cuadrados siguientes.

1. 2. 3.

2

1

6

9

10

25

X.

Completa los espacios en blanco que llevan a la factorización de las expresiones indicadas: 64

1.

Ya que √

________________ y √64

_____________

La expresión es una ________________________________ ya que se factoriza como: 64 2. 8

216

Ya que √8

(______________) (____________________________)

________________ y 216

_____________

La expresión es una ________________________________ ya que se factoriza como:

69

8 3. 27

216

(______________) (____________________________)

125

Ya que 27

________________ y √125

_____________

La expresión es una ________________________________ ya que se factoriza como: 27 4. 343

125

8

(______________) (____________________________)

________________ y √8

Ya que √343

_____________

La expresión es una ________________________________ ya que se factoriza como: 343 5.

8

2

(______________) (____________________________)

27

________________ y 27

2

Ya que

_____________

La expresión es una ________________________________ ya que se factoriza como: 2

27

(______________) (____________________________)

XI.

Factorizar por agrupación los siguientes polinomios:

1) 3x  3y  ax  ay

2) ax  ay  2cx  2cy

5) ax  bx  ay  by

3) ax  ay  bx  by 4) x2  y 2  2 x  2 y

6) 2ax  2ay  bx  by

7) 2ax  ay  6bx  3by

8) ax  ay  az  x  y  z

9) 3ax  3ay  3a  6bx  6by  6b

10) 2ax  4ay  x  2 y  3z  6az

11) 2 x 2  5x  2 xy  5 y 12) 3x 2  12 x  xy  4 y

2 13) 2a  2b  ab  a 3 2 16) x  x  x  1

2 14) x  x  3x  3 3 2 17) x  2x  3x  6

2 15) 2x  x  4x  2 4 3 2 18) x  x  2x  2x

70

Competencia    

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Simplificación de fracciones algebraicas Suma y resta de fracciones algebraicas Multiplicación y división de fracciones algebraicas Fracciones complejas algebraicas

2

Saberes

1. Simplificación de fracciones algebraicas 2. Suma y resta de fracciones algebraicas 3. Multiplicación y división de fracciones algebraicas

Ejercicios

1. A simplificar fracciones algebraicas 2. A sumar y restar fracciones algebraicas 3. Operaciones con multiplicación y división de fracciones. 71

Saberes

Nombre Instrucciones para el alumno Saberes a adquirir

Simplificación de fracciones algebraicas No. 1 Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno Mediante exposición y adquirirá la tareas Manera didáctica habilidad para de lograrlos simplificar una fracción algebraica

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Se dice que una fracción está en términos mínimos o en su forma más simple si el numerador y el denominador no tienen factor común. Así podemos determinar si una fracción está en sus términos mínimos expresando el numerador y el denominador como productos de sus factores primos. Cualquier factor que aparezca tanto en el numerador como en el denominador, puede entonces ser removido por división. Esto es, Nota: Los números a y c en la expresión términos como en a + c. denominador, no términos. La fracción igual a

ac son factores del numerador, no bc

También los números

b

y

c

son factores del

ac no se puede reducir a ninguna forma más simple; no es bc

a 1 a ni a . Análogamente, b 1 b

5a  b 5  b 5a  b 5a b 5 b Pero      6a 6 6a 6a 6a 6 6a

72

Para encontrar el máximo factor común, M.F.C., de un conjunto de polinomios, se factorizan los polinomios completamente y se toman todos los factores comunes, cada uno con el mínimo exponente con que aparece en los polinomios dados. Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador y denominador son monomios, se dividen tanto el denominador entre su máximo factor común.

Ejemplo 1: Reducir

36 a 3 b 2 c a sus términos mínimos. 54 abc 3

Solución. El máximo factor común de los monomios

36a3b2c y 54abc3 es 18 abc .

Dividiendo numerador y denominador entre 18abc, se obtiene.

Ejemplo 2:

Reducir a su mínima expresión.

36 a 3 b 2 c 2 a 2 b .  54 abc 3 3c 2

36 x 3 y 6  x  2  20 xy 2  x  2 

4

.

Solución. El máximo factor común es 4 xy  x  2 . 2

Al dividir el numerador y denominador entre 4 xy  x  2 , obtenemos 2

36 x 3 y 6  x  2  20 xy 2  x  2 

4



9x 2 y 4

5 x  2 

3

Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador o denominador o ambos son polinomios, se factorizan completamente, se determina su máximo factor común y luego se dividen por este.

30 x 2 y 3  18 xy 2 Ejemplo 3: Reducir a sus términos mínimos. 12 x 2 y 2

73

30 x 2 y 3  18 xy 2 6 xy 2 5 xy  3  Solución. 12 x 2 y 2 12 x 2 y 2 Dividiendo el numerador y denominador por 6xy 2 , se obtiene

30 x 2 y 3  18 xy 2 6 xy 2 5 xy  3 5 xy  3  .  12 x 2 y 2 12 x 2 y 2 2x

Ejemplo 4:

24 x 3 y Reducir a su mínima expresión. 36 x 3 y 2  48x 4 y

Solución.

24 x 3 y 24 x 3 y  36 x 3 y 2  48x 4 y 12 x 3 y 3 y  4 x 

Se dividen numerador y denominador entre 12x3 y para obtener

Ejemplo 5:

24 x 3 y 24 x 3 y 2  .  3 2 4 3 36 x y  48x y 12 x y 3 y  4 x  3 y  4 x

Reducir

2x 2  x  3 a su mínima expresión. x2 1

Solución. Al factorizar el numerador y denominador, obtenemos

2 x 2  x  3 2 x  3 x  1  x  1x  1 x2 1

Dividiendo el numerador y el denominador, entre su máximo factor común,  x 1 , 1

resulta

2 x  3x  1  2 x  3 2x 2  x  3  2 x  1x  1 x 1 x 1

1

74

Nota

La fracción

2x  3 esta reducida; el numerador y el denominador no x 1

poseen ningún factor común. Notas:





1. a  b  b  a   b  a 2. a  b    b  a   b  a  2

2

2

3. a  b    b  a   b  a  3

3

3

Ejemplo 6: a  b  b  a    1 b  a  ba Hay que observar también que

a a a    . b b b

Ejemplo 8:

Solución.

Reducir

8 x 2  14 x  3 . 2  7x  4x 2

8 x 2  14 x  3 4 x  12 x  3  1  4 x 2 x  3 2x  3    2 2  x 1  4 x  2  x 1  4 x  x2 2  7x  4x

4x 1  1  4x

75

Ejercicios


A simplificar fracciones algebraicas No. 1 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden Manera Responsabilidad didáctica de Ejercicios y tareas sobre el lograrlas tema  Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.  Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas

I.

Reducir las siguientes fracciones a sus términos mínimos:

x6 x3

1.

2.

x2 x7

3.

8x 5 12 x 2

4.

9x3 24 x 6 4

54 a 4 b 3 c 5. 63a 2 b 5 c 2

64 x 8 y 4 z 5 6. 80 x 6 y 8 z 3

  a 4 b5  20 abc 3 7. 8.  7   15a 2 b  3ab 

2a b  9. 6a b 

 3a b 10. 6ab 

11.

3

2

3

2 2

2

3 2

3

3 x 3 a  b 

3

6 xa  b 

2

12.

12 x 2  x  2 

2

16 x  x  2 

3

13.

2 a 2  9b 2 14 x 3 y 2 x  y  8 x  16 x 2 2 a 2 b  2 ab 2 14. 15. 16. 4 (a  3b) 2 16 x 2  32 x 3 4a 3  4a 2 b 21xy 2  x  y 

17.

x2  1 x 2  11x  24 x 2  10 x  24 2 x 2  11x  12 18. 19. 20. x2  4x  3 x2  6x  9 x 2  3x  4 4x2  9

21.

2x2  x  1 4x2  7 x  2 22. 3x 2  4 x  1 4 x 2  11x  3

76

Respuestas a los ejercicios anteriores

2x 2 x3 6a 2 4c3 2a 5 x 2 (a  b) b 11. ; 5. 2 ; 7.  ; 9. ; 13. ; 15. ; 1. x ; 3. 2 3( x  y) 3 7b c 3a 9b 2 2a 2

3

17.

x 1 x6 2x  1 ; 19. ; 21. x3 x 1 3x  1

II. Señalar la respuesta correcta de las siguientes preguntas: 1. Al simplificar la fracción

la respuesta correcta es:

a)

b)

c)

d)

2. Al simplificar la fracción

el resultado es:

a)

b)

c)

d)

3. La simplificación de la fracción algebraica

es:

a)

b)

c)

d)

77

Saberes


No. 2 Suma y resta de fracciones algebraicas Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno adquirirá la Mediante Manera didáctica habilidad para exposición y desarrollar una de lograrlos tareas suma y resta de fracciones algebraicas y simplificarlas

ADICCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. La adicción de fracciones algebraicas es semejante a la de fracciones aritméticas. Empezaremos tratando la suma de fracciones algebraicas con denominadores iguales, y luego, extenderemos el análisis a la suma de fracciones algebraicas con denominadores distintos.

FRACCIONES CON DENOMINADORES IGUALES. Se define la suma de fracciones con denominadores iguales mediante la relación. a b ab   c c c

Esto muestra que la suma de dos fracciones con el mismo denominador es una fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores, y cuyo denominador es el denominador común. Ejemplo 1:

Efectuar

3 2  x x

78

Solución.

3 2 3 2 5    x x x x

Observación. Para evitar errores al sumar los numeradores, es necesario encerrarlos entre paréntesis, aplicar la ley distributiva y luego efectuar operaciones. Después de combinar las dos fracciones en una sola, se reducen términos semejantes y la nueva fracción a su mínima expresión.

Efectuar

Ejemplo 2:



Solución.

 x  3   x  3  2x

2

x3 x3 2x 1   2 2 x 2x 2x

Efectuar

Ejemplo

Solución.

4 2x  x2 x2

4  2 x 2 2  x  4 2x    2 .  x2 x2 x2 x2

Ejemplo 3:

Efectuar

x2  2 x 2  2x  x2  x  2 x2  x  2

Solución.

x2  2 x 2  2x x 2  2   x 2  2 x   x 2  2  x 2  2 x  2 x  2   x2  x  2 x2  x  2 x2  x  2 x2  x  2 x2  x  2 

2 x  1 2 .  x  2 x  1 x  2

Ejemplo 4:

Efectuar

x 2  9x 5 x 2  3x  4 x 2  11x  3 4 x 2  11x  3 79

Solución.

5 x 2  3x x 2  9x x 2  9 x   5 x 2  3 x   x 2  9 x  5 x 2  3 x   4 x 2  11x  3 4 x 2  11x  3 4 x 2  11x  3 4 x 2  11x  3



12x  4 x 2 4 x3  x   4 xx  3 4x    . 2 4x  1 4 x  11x  3 4 x  1x  3 4 x  1x  3

Observación. La regla para sumar fracciones se puede extender a cualquier número de ellas.

a a  a 2  a3    a n a1 a 2 a 3 a  a 2 a3 a      n  1    1 c c c c c c c c

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS. Para obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de números, se descomponen éstos en sus factores primos y se escriben con sus exponentes respectivos. Luego se toman todas las bases, cada una a su potencia mayor. Definición. Un polinomio conjunto de polinomios, si:

p es el mínimo común múltiplo (m.c.m.), de un

1. Cada polinomio del conjunto divide a p y 2. Cualquier polinomio divisible por todos los polinomios del conjunto, es también divisible por p. Para encontrar el m.c.m. de un conjunto de polinomios, se factorizan los polinomios completamente y se toman todos los factores distintos, cada uno a la máxima potencia que aparezca en los polinomios dados.

Ejemplo 1 Solución.

Determinar el m.c.m. de x2y, xy3 y y2z. Los factores literales son x, y y z.

de y es 3, y la de z es 1.

La potencia máxima de x es 2, la

Por consiguiente, m.c.m. = x2y3z.


Hallar el m.c.m. de 60x3, 72y2 y 80xy.

60  22  3  5 80

72  23  32 80  24  5 4 2 Por lo tanto, el m.c.m. de los coeficientes = 2  3  5  720.

El m.c.m. de los monomios  720x 3 y 2 .


Determinar el m.c.m. de x(-2), (x-3)(x-2) y (x-2)2. Los factores distintos son x, (x-2) y (x-3).

La mayor potencia de x es 1, la de (x-2) es 2, y la de (x-3) es 1. Por consiguiente, m.c.m. = x(x-2)2 (x-3). Obsérvese que el m.c.m. de (x-3) y (x-5) es (x-3)(x-5).


Encontrar el m.c.m. de x2-x

y

x2-1.

Primeramente se factoriza cada polinomio completamente.

x 2  x  xx  1 x 2  1  x  1 x  1 Por lo tanto, m.c.m. =

Ejemplo 5

x x  1x  1 .

Hallar el m.c.m. de 2x2 + 3x-2 y 2x2-7x+3.

81

Solución.

2 x 2  3x  2  2 x  1 x  2 2 x 2  7 x  3  2 x  1 x  3 Entonces, m.c.m. = 2x  1 x  2 x  3 . Ejemplo 6

2 2 Obtener el m.c.m. 2x  3x  1, 1  x y

2x 2  x  1 .

Solución.

2 x 2  3x  1  2 x  1x  1 1  x 2  1  x 1  x  2 x 2  x  1  2 x  1 x  1

Puesto que 1  x   x 1 , podemos escribir 1  x como  x 1 o bien,  x 1 como  1  x . Reacuérdese que 1  x  x  1. Por lo tanto, 2 x 2  3x  1  2 x  1x  1

1  x 2  x  1x  1 2 x 2  x  1  2 x  1 x  1

A si que, m.c.m.  2x 1 x 1 x  1 .

82

FRACCIONES CON DENOMINADORES DISTINTOS. Las fracciones se pueden sumar solamente cuando sus denominadores son iguales. Si los denominadores no lo son, se obtienen su mínimo común múltiplo, llamado mínimo común denominador, m.c.d. (no confundir con M.C.D. que significa máximo común divisor). Se cambia cada fracción a una equivalente que a ac tenga el m.c.d. Como denominador mediante la regla, y luego se  b bc efectúan operaciones. La suma de fracciones algebraicas con denominadores distintos es, por lo tanto, una fracción cuyo numerador es la suma de los denominadores de las fracciones equivalentes, y cuyo denominador es el mínimo común denominador (m.c.d.). La fracción final debe conducirse a sus términos mínimos. Efectuar

Ejemplo 1

7 6 2  2  2x x 3x

Solución. El m.c.d. =6x2. Escribimos fracciones equivalentes con denominador 6x2 y luego se realizan operaciones.

73 x  66 22 x  7 3 x  66  22 x  7 6 2   2   2     2x x 3 x 2 x3 x  x 6  3 x2 x  6x 2 6x 2 6x 2 

Ejemplo 2

7 3 x   66   22  21 x  36  4 x 17 x  36 .   6x 2 6x2 6x 2

Efectuar la operación y simplificar

x 2  x3 x2

Solución. El m.c.d. =  x  3x  2 . Al escribir fracciones equivalentes con denominador  x  3x  2 y efectuar luego la suma, obtenemos.

xx  2  2 x  3 x 2  2 x  2 x  6 2 x  3  x x  2  x 2      x  3x  2 x  3x  2 x  3 x  2 x  3 x  2   x  2  x  3 

x6 . x  3x  2  83

En vez de escribir fracciones equivalentes con denominador igual al m.c.d. y luego combinar los numeradores de las fracciones, escribimos una sola fracción con el m.c.d. como denominador. Se divide el m.c.d. por el denominador de la primera fracción y luego se multiplica el cociente resultante por el numerador de esa fracción para obtener la primera expresión del numerador. Se repite el procedimiento con cada fracción y se relaciona con los resultados mediante los signos de las fracciones correspondientes. Ejemplo 3



9 x  20   6 x  13  x  2 9 x  20   x  4 6 x  13 x  4 x  3 x  3x  2  x  4 x  3x  2 

El numerador no se encuentra factorizado; así no es posible efectuar reducción. Hay que asegurarse de poner el producto entre paréntesis procedió por el signo adecuado.





9x

2

 



 2 x  40  6 x 2  11x  52 x  4x  3x  2

9 x 2  2 x  40  6 x 2  11x  52 x  4x  3x  2

3x  4x  3 3x 2  13x  12   x  4x  3x  2 x  4x  3x  2 

3x  4 . x  4 x  2 

84

Efectuar la operación y simplificar.

Ejemplo 4

x2 3x  2 5  2  2 x  x  1 2 x  9 x  4 4  3x  x 2 2

Solución.

x2 3x  2 5 x2 3x  2 5     2  2 2 x  1x  1 2 x  1x  4  4  x 1  x  2 x  x  1 2 x  9 x  4 4  3x  x 2

Tomamos el m.c.d. 

2x  1x 1x  4



3x  2 5 x2   2 x  1x  1 2 x  1x  4   4  x 1  x 



x2 3x  2 5   2 x  1x  1 2 x  1x  4  4  x 1  x 



x  4 x  2   x  13 x  2   52 x  1 2 x  1x  1x  4 



x

2

 



 6 x  8  3x 2  5x  2  10x  5 2x  1x  1x  4

x 2  6 x  8  3x 2  5x  2  10x  5  2 x  1x  1x  4 

1  2x1  x 1  x  2x 2  2 x  1x  1x  4 2x  1x  1x  4



 1  2 x  x  1 1 .  2 x  1x  1x  4  x  4

85

Ejercicios


A sumar y restar fracciones algebraicas No. 2 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Manera Orden Responsabilidad didáctica de Ejercicios y tareas sobre el tema lograrlas  Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.  Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas

I.

Subraya la respuesta correcta de cada una de las siguientes preguntas:

el resultado es:

1. Al sumar las fracciones algebraicas a)

b)

c)

d)

el resultado es:

2. Al restar las fracciones b)

a)

c)

d) 0

3. Al sumar y simplificar las fracciones

el resultado es:

a)

b)

c)

86

2 d) 50

4. Al efectuar la simplificación de las fracciones

resulta:

b)

a)

c)

d)

5. Al sumar y simplificar las fracciones

resulta:

b)

a)

c)

d)

II. Realizar las siguientes sumas con fracciones con igual denominador: 1.

6 2 5   x x x

2.

7 3 1   2x 2x 2x

3.

20 15 5   x2 x2 x2

4.

2x 5  3x  5 3x  5

5.

x 1 x  x2 x2

6.

3x  2 x2  2x  3 2x  3

7.

14 x 7x  2  7x  2 7x  2

8.

2x 2  x 1 x 1

9.

4 x 2  3x x 2  x  5x  2 5x  2

10.

3x  1 x 1  4x  2 4x  2

11.

x6 x4 x4 3x  4 12. 2   2 4 x  8x 4 x  8x 2x  5 2x  5

13.

2x  1 3  2 2 x  3x  4 x  3x  4

14.

x 2x 2  2 2 2x  5x  3 2x  5x  3

15.

x 2  3x 2 x 2  3x  2 x 2  11x  6 2 x 2  11x  6

16.

x 2  3x x2  x  x 2  3x  2 x 2  3x  2

87

Respuesta a los ejercicios impares anteriores 1.

3 x 1 2 ; 3. 0 ; 5. ; 7. 1; 9. x ; 11. 2 ; 13. ; 15. ; x x2 x4 2x  1

III. Reducir a una sola fracción y simplificar: 1.

x 3x 2 x 3 7 6 2 4 6 3 13 1  2.  3. 4. 2   2   2   y 2y 5y x 2x 5x 3x x 5x x 3x 2 x

5.

3x  1 x  2 x2 x5 7x  6 x  3 x  3 5x  1 6. 7. 8.     5x 2x 4x 10 x 14 x 7x 3x 5x2

9. x  4 

x x 5 3 5 3 1 10. 11. 12.    x2 x3 x4 x  2 2x  3 2x  3 x  2

13.

x x 2 1 2x 1 6x 3x 14. 15. 2 16. 2     2x  3 x  1 2x  1 x  1 x 9 x3 x x2 x2

17.

x2 3x  8 2 7x 18 3x  2 18. 2 19. 2  2   2 2x  7x  4 2x  1 x  x  12 x  9 x  3x  4 x  5 x  4

20.

x  11 4x  4 3 4 2x  7 1 21. 2  2    2 x 4 x2 x2 x  7 x  12 x  2 x  15 x  4

2

Respuesta a los ejercicios impares anteriores

2x  6 11x  8 7 28 x  60 5 ( x  3)( x  1) ; 3. ; 5. ; 7. ; 9. ; 11. ; ( x  2)(2 x  3) 10 x 10 x 15 x 2 14 x2 2

1.

13.

5 x x ; 15. ; 17. (2 x  3)( x  1) (2 x  1)( x  4) x3

88

Saberes


Multiplicación y división de fracciones algebraicas No. 3 Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno adquirirá la Mediante Manera didáctica habilidad para exposición y desarrollar una de lograrlos tareas multiplicación o división con fracciones algebraicas

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES. El producto de las fracciones

a b

y

c ac a c ac se define como ; o sea   . d bd b d bd

Así que el producto de dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y cuyo denominador es de los denominadores. En general,

a1 a2 a3 an a1a2 a3 a4 an        b1 b2 b3 bn b1b2 b3 b4 bn



a1a2 a3 a4 an   b1b2 b3 b4 bn



a1a2 a3 an b1b2 b3 bn

Nota: Redúzcase siempre la fracción resultante a sus mínimos términos.

89

27a 3b 2 16 x 2 y Encontrar el producto y . 8x 2 y 81a 2 b 2

Ejemplo 1

Solución.

27a 3b 2 16 x 3 y 27  16a 3b 2 x 3 y 2ax    3b 8 x 2 y 81a 2 b 3 8  81x 2 ya 2 b 3

Nota: Es más fácil reducir

27  16 432 que , que es el resultado de los productos 8  81 648

de los coeficientes. Es decir, no se puede multiplicar los números hasta que la fracción haya sido simplificada.

 3 x y   4 x y  Simplificar 2 x y  9 x y  2

Ejemplo 2

3

 3 x y   4 x y  Solución. 2 x y  9 x y  2

3

2

2

4 3

3 2

3

2 2

3

3 3



4 3

2

2

3 2

3

2 2

3

3 3

 3 x y   2  2 x y  3 2

3

4 3

2

2

3 2

.

2

x3 y 2

2

x3 y3

 

2

3

.

 36 x 6 y 12 2 4 x 6 y 4  2 6 x 4 y 6 36 x 9 y 9 ·

·

Para multiplicar fracciones cuyos numeradores o denominadores son polinomios, primeramente se factorizan estos completamente. Se consideran las fracciones como una sola, y se dividen los numeradores y denominadores por su máximo factor común para obtener una fracción equivalente ya reducida.

90

Simplificar

Ejemplo 3

6x 2  x  1 x 2  3x .  2 x 2  11x  5 3 x 2  10 x  3

1 1 1

Solución.

x 2  3x 3 x  12 x  1  x . 6x 2  x  1 x  x  3    2 2 2 x  11x  5 3 x  10 x  3 2 x  1 x  5   x  33 x  1 x  5

1 1 1

DIVISIÓN DE FRACCIONES De la definición de división de fracciones, tenemos que: a c a d    . b d b c

El resultado anterior muestra como transformar la división de fracciones en una multiplicación de fracciones. Las fracciones

Nota:

1 1  a b

d se llaman inversas multiplicativas o reciprocas. c

La reciproca de la expresión a + b es

La reciproca de

1

c y d



1

1 1 es  a b

1 1 1  a b

1 1 1 , no  . ab a b

o en forma simplificada,

ab . ba

ab ab ab ab    1 1 ab ab ab 1 1 ab b a         a b a b 1 a b

Ejemplo 1

Solución.



Simplificar

3a 3 9a 2 .  5b 2 20b

3a 3 9a 2 3a 3 20b 4a     5b 2 20b 5b 2 9a 2 3b

91

Nota:

Obsérvese la diferencia entre

a  c e  a ce a df adf a c e a d e ade    y       .       b  d f  b df b ce bce b d f b c f bcf Simplificar

Ejemplo 2

Solución.

8 x 2  2 x  3 12 x 2  20 x  7 .  4 x 2  17 x  15 6 x 2  37 x  35

8 x 2  2 x  3 12 x 2  20 x  7 2 x  14 x  3 2 x  16 x  7     4 x  3x  5 x  56 x  7  4 x 2  17 x  15 6 x 2  37 x  35

Poniéndolo como un producto: 1 1 1 1



 2 x  1 4 x  3  ( x  5)  6 x  7   1  4 x  3 x  5  (2 x  1)  6 x  7 

1 1 1 1

Ejemplo 3

24 x 2  49 x  40 36 x 2  63 x  88 72 x 2  18 x  77   54 x 2  51x  14 27 x 2  30 x  8 8 x 2  37 x  20

Solución:

24 x 2  49 x  40 36 x 2  63 x  88 72 x 2  18 x  77   54 x 2  51x  14 27 x 2  30 x  8 8 x 2  37 x  20 Es mejor ponerla toda como un producto 

(8x  5)(3x  8) (3x  4)(9 x  2) (6 x  7)(12 x  11)   (6 x  7)(9 x  2) (12 x  11)(3x  8) (8x  5)( x  4)



3x  4 x4

92

OPERACIONES COMBINADAS Y FRACCIONES COMPLEJAS. En las secciones anteriores tratamos la adición y sustracción de fracciones, así como su multiplicación y división. En todos los casos la respuesta final fue una fracción en forma reducida. En esta sección se usaran las cuatro operaciones en un solo problema y también se requerirá que la respuesta final sea una fracción reducida. Cuando no hay símbolos de agrupación en el problema, primero se efectuaran las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen. Solamente después de que todas las multiplicaciones y divisiones se han realizado, se efectúan las adiciones y sustracciones. Ejemplo 1 Efectuar las operaciones indicadas y simplificar: 5 2x  6 2x 2  5x  3  2  2 x  1 x  4 x  3 2 x 2  3x  1 Solución.

2 x  1x  3 5 2x  6 2x 2  5x  3 5 2 x  3   2     2 2 x  1 x  4 x  3 2 x  3 x  1 2 x  1  x  3 x  1 2 x  1 x  1 1 1 1

·

1 1 1



x  17 5 2 5 x  3  22 x  1 5 x  15  4 x  2 .     2 x  1x  3 2 x  1x  3 2 x  1x  3 2x  1 x  3

Cuando hay símbolos de agrupación, como en el problema

4 x  12   x  3   x  2  x 2 

93

se tiene la opción de efectuar primero la multiplicación o bien las operaciones de los términos, dentro de los paréntesis. Este último es mas sencillo como se ilustra en los ejemplos siguientes: Ejemplo 2 Realizar las operaciones indicadas y simplificar:

12  4 x   x  3   x  2  x 2  Solución. 2 12  x x  2  4 x 3 x  2  12 x  2 x  4 x 3x  6  12 4 x         3 x     x  2  x  2  x  2 ( x  2) x  2  x 2 

 Ejemplo 3

x 2  2 x 3x  6 x x  2 3 x  2  3x .     x  2   x  2  x  2 x  2

Realizar las operaciones indicadas y simplificar:

9   9   x x   2x  3   2x  9   Solución.

9   9  x 2 x  3  9 x 2 x  9   9    x x  2x  3   2x  9  2 x  3 2 x  9  

2x  9  x  32x  9 2 x 2  3x  9 2 x 2  9 x  9 2 x  3 x  3     2x  3 2x  3x  3 2x  3x  3 2x  3 2x  9 Nota: Puesto que a  b  c  d  se puede escribir como

ab , podemos expresar cd

11 6  2 4 4   11 6   x x la cual se llama fracción compleja.  3   2    3   2  en la forma 4 4 x x x x     3  2 x x 3

94

Dada una fracción compleja, es posible simplificar el problema como está, en forma de fracción, o escribirlo en forma de división, y simplificar. A veces puede simplificarse fácilmente una fracción compleja multiplicando numerador y denominador por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores que intervienen.

Ejemplo 4

4 3  9 8 . Simplificar 7 11  12 18

Solución.

72  4 3  4 3     9 8  1  9 8   32  27  5   5 7 11 72  7 11  42  44  2 2     12 18 1  12 18 

13 3 x  1 Simplificar 12 3x  2  3x  5 x5

Ejemplo 5

Solución.

3x  13 x  5 x  5  13  13  3x  53 x  1x  5  13 1 3 x  1 3x  1  12 3 x  13 x  5  3x  2  3 x  2  12  3x  13x  53x  2  12  3x  5 1 3x  5   x5

3x  53x 2  14 x  5  13  3x  53x 2  14 x  8  3x  53x  2x  4  3x  5x  4 3x  19 x 2  9 x  10  12 3x  19 x 2  9 x  2 3x  13x  23x  1 3x  13x  1

95

Ejercicios


Operaciones con multiplicación y división con fracciones No. 3 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden Manera Responsabilidad didáctica de Ejercicios y tareas sobre el lograrlas tema  Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.  Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas


I. Efectué las siguientes multiplicaciones y simplifique:

9x 2 2 y 2  3. 4y3 x

36 39 20 1.   65 32 27

64 58 15 2.   87 125 128

4a 2 b 3 7 x 2 y 8  4. 21x 2 y 4 a 3b 6

  x2    y  35x3 y 26a 5b3 16 xy8   5. 6.  2   3  39a3b 60 x8 y 6 28a 7b 2  y   x 

4 x y   3x y  9 xy  2 x y  2

7.

3

2

2 3

2

3

3 3 3

6 x y    5 xy  8. 10 xy  3x y  3

2 2

2 3

4 2

2

3 4

9.

2

6 x 3  30 x 3 x 2  x  6 x 2  2 x 4 x 2  20

10.

x 2  2x  1 x2 y4  x4 y3 x 2  2x  3

11.

x 2  6 x  9 x 2  9 x  20  x 2  7 x  12 x 2  8 x  15

12.

x 2  10 x  21 x 2  10 x  16  x 2  9 x  14 x 2  2 x  15

13.

x 2  20  9 x x 2  42  13 x  x 2  40  13 x x 2  28  11x

96

7 x 2  36 xy  5 y 2 3x 2  7 xy  6 y 2  14. 2 7 x  20 xy  3 y 2 3x 2  19 xy  20 y 2 Respuesta a los ejercicios impares anteriores

1.

9x 2 y3 4 xy 3 x6 1 3x 9. ; 3. ; 5. 5 4 ; 7. ; 11. 1 ; 13. ; 2y 2 9a x 27 4 x8

II. Efectuar las siguientes divisiones con fracciones: 2

1.

3

10 x 4x 17 a 2 b 3 51a 3b 15 45 56 63 27  2. 3. 4.     9 y 27 y 2 26 x 2 13 x 4 26 39 38 57 16

6a 2b3 15a 4b 4a 2b4 8a 4b9 x 3 y a 4 b3 b 2   5. 2 6 6. 4 2 7. 2  2 2  2 8x y 12 xy3 9 x y 27 x3 y 6 ab x y y 4x x x x x x 14 a 2 4b 2 b 6  2 2 10. 2  2 8.   3 9. 2 3 3x  3xy x  y x  x x  2x 1 25b 10 a a 3

11.

2

3

3

2

x2  9 x2  6x  27 x2  2 x  8 x2  4 x  4   12. x2  2x  3 x2 10x  9 x 2  3x  4 x 2  6 x  8

x2  4x 12 x2  10 x  6 x2  3x  2 x2  6x  16   13. 2 14. 2 x  7 x  6 x2  7 x  8 x  5x  4 x2  x  20

12x2  35x  18 6x2  23x 18 4x2 19x  12   15. 2 x2 17 x  36 6x2 19 x  36 12 x2 11x  36 Respuesta e los ejercicios impares anteriores

15 y

3b 2

; 5. ; 7. a xy ; 9. 1. 1 ; 3. 5 a 2 xy 3 2x 2

15.

2

x2  9 4( x  y) ; 11. ; 13. 1; ( x  3)2 3

(3x  2)(4x  3) (2x  9)(3x  2)

97

III. Efectuar las siguientes fracciones complejas: x2  x  2 x x  8 x  16 2 3x  3 3 x  12 2.  2  2  2  2 x  3 x  2x  8 2 x  3 x  4 x  12 x  6 x  8 x 1

1.

 

1 x  2 x  x 1

4.  6 

 

4  2  1   x  x 2

7.  3 x 

3. 1 

6.  x 

 

9.  x  1 

 

11.  2 

 

 

2 x  2 x  9x  1 4  2x   x   3 x  3x  2 

 

1  1   1  x  3 x  1 

 

1  1   x   2 x  1  2x  1 

5.  3 

8.  x 

3  9  1   x 4  1   2 x  5   10.     x  1  x 2  4 x  x  4 x  4 

9  33  3   11      7   12.  3 x  4     3 x  10   2x  1  2x  3  2x  1   2x  3   

3 1  4 2 13. 2 1 3

7 3  14. 8 4 1 1  36 18

12 1  1 2 x x 15. 11 3 4  2 x x

Respuesta a los ejercicios impares anteriores: 1.

5x  1 1 ; 3. ; 5. 3 ; 7. x(3x  2) ; 9. ( x  2)(2x 1) x 1 ( x  3)( x  4)

11.

4x 1 3 x4 ; 13. ; 15.  14 x  2 4 4x 1

98

Competencia     

EXPONENTES Y RADICALES Exponentes positivos, cero y negativos Exponentes fraccionarios Simplificación de radicales Adición y sustracción de radicales Multiplicación y división de radicales

3

Saberes

1. Exponentes enteros, negativos y cero 2. Exponentes fraccionarios 3. Operaciones con radicales

Ejercicios

1. A practicar los exponentes positivos, cero y negativos 2. A practicar los exponentes fraccionarios 3. A practicar los radicales

99

Saberes


Exponentes enteros, negativos y cero No. 1 Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno Mediante adquirirá la Manera didáctica exposición y habilidad para de lograrlos tareas simplificar una expresión que contenga exponentes enteros, negativos y cero

EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS, CERO Y NEGATIVOS LEYES DE LOS EXPONENTES

Sea an = a . a . a … a ( n factores) La cantidad an es llamada la n-ésima potencia de la base a, y n es llamado el exponente. En este capitulo extenderemos la definición de exponentes para incluir a todos los números racionales. Antes de pasar a nuevos exponentes, sin embargo recordaremos cinco leyes de los exponentes que son validas para los exponentes enteros positivos. La base a y b en el enunciado de las leyes pueden ser cualquier números reales para los cuales no se anule ninguno de los denominadores en consideración.

LEY I

LEY II

si

si

Ley III

Ley IV

100

si

Ley V

0

Ahora determinaremos qué significado hay que darle al símbolo a0. Si la Ley II ha de ser válida cuando m = n, tenemos

an nn 0 a a an

a  0 

Esta división nos dará, de acuerdo con la Ley II, un exponente nulo. Pero cualquier número distinto de cero dividido por sí mismo tiene como cociente a 1. Esto nos conduce a definir el exponente cero de la siguiente manera: Ley VI

Dividiendo ambos miembros de esta ecuación por an, tenemos Ley VII

Miscelánea de problemas resueltos Ejemplo 1: 3 · 3

3 20

Ejemplo 3: 4 · 5 Ejemplo 5:

3

3

3

243 Ejempo 2: 3 1 Ejemplo 4: 3

3

3

3

3

729

1

Ejemplo 6:

Ejemplo 7: 4

3

2

16

8

128

Ejemplo 8:

101

Ejemplo 9:

Ejemplo 10:

Ejemplo 11:

102

Ejercicios


A practicar los exponentes positivos, cero y negativos No. 1 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden Manera Responsabilidad didáctica de Ejercicios y tareas sobre el lograrlas tema  Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.  Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas

Encuentre el valor de cada una de las expresiones, usando las leyes de

I.

los exponentes. 1. 22 . 23

2. (23)2

3. 4‐1

4. (‐ 4)0

5. (2a)0

6. 3‐3

7. 52 . 5‐3

8. (52)‐2

9. (2 . 3)‐2

10. (4‐2)‐2

11. (‐3)‐2

12. (3 . 8)0

1 7

1

13.  

2 3

1

14.  

15. (2 . 70)‐4

103

II. Simplifique cada expresión realizando las operaciones indicadas y dejando el resultado sin exponentes negativos o nulos. 16. (2xy)‐2(3xy3)

19.

17. (x2y‐2)‐1(x3y0)2

a 2 b 1 a 2 b 2

20.

2

 7x3   z    2  22.   3 yz   7 x  2

2

 p 3 q 2  25.  0 1   2 r  28.

2  1  3 1 2 1

3 1 a 2 b 2 2 1 a  4 b

8 x y  23. 4 x y  4

5 3

3

6 3

 p2q4 26.  1  pq 29.

18. (a b‐3)(a‐1b‐1)‐1

21.

5 2 a 2 b 3 10 1 a 0 b  2

10 xy  24. 5 x y 

3 2

2

3

3

1

  

 p 3q 0  27.  2   r 

2  1  1 1 2 1  11

30.

3 1  5  1 3 1

x2 y 2 y 2 x 2  y 2 31. 1 32. 2 33. x  y 1 x  y 2 ( xy )2 Solución a los ejercicios impares anteriores: 1. 32 ; 3.

1 1 1 1 1 4 2 ; 5. 1 ; 7. ; 9. ; 11. ; 13. 7 ; 15. ; 17. x y 4 5 36 9 16 3

2

8x r 2a 2b 5 p6q4 1 ; 23. 3 ; 25. 2 ; 27. 3 ; 29.  3 ; 31. 2 19. b ; 21. y p 5 r xy  x 2 y 33. x  y 2

2

104

Saberes


Exponentes fraccionarios No. 2 Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno adquirirá la Mediante Manera didáctica habilidad para exposición y simplificar una de lograrlos tareas expresión que contenga exponentes fracciopnarios

EXPONENTES FRACCIONARIOS En esta sección vamos a extender la idea de exponentes para incluir todos los números racionales. Sin embargo, antes de introducir los exponentes fraccionarios, necesitamos considerar la siguiente definición. Definición. Si a y b son dos números tales que la n-ésima potencia de a (siendo n un entero positivo) es igual a b, entonces a es llamada la nésima raíz de b. De acuerdo con esta definición, las ecuaciones 22 = 4,

(-2)2 = 4,

33 = 27,

(-3)3 = -27

muestran que +2 y - 2 son raíces cuadradas de 4, que 3 es una raíz cúbica de 27. Puesto que cuatro tiene dos raíces cuadradas, podría uno preguntarse cuántas raíces n-ésimas tiene un número. Aunque la demostración aparece posteriormente, enunciamos ahora que todo número no nulo tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas, a y así sucesivamente. Pero algunas de estas raíces se refieren a un nuevo sistema numérico. Este nuevo sistema numérico, que introduciremos después, no es naturalmente el sistema de los números reales. Vemos de inmediato que un numero negativo no tiene raíz real de orden par (cuadrada, cuarta, sexta y así sucesivamente). Esto es cierto porque cualquier potencia par de un nuecero positivo o negativo es número positivo. ahora deseamos concentrar nuestra atención solamente en los

105

números reales. Diferiremos para después, por tanto, la consideración de números y raíces de números que son reales. En lo que se refiere a las raíces de los números, escribimos los siguientes enunciados, pero sin demostración:

1. Un numero positivo tiene exactamente dos raíces pares reales, siendo una de ellas positiva y la otra negativa. 2. Un número positivo o negativo tiene exactamente una raíz de orden impar, siendo el signo de la raíz igual al signo del número. 3.Un número negativo no tiene raíces reales de orden par.

Si n es un número entero positivo, par, la raíz positiva n-ésima principal de a. Cuando n es impar, la raíz n-ésima real de un numero positivo o negativo a es llamada la raíz n-ésima principal. La raíz n-ésima principal de un numero se denota por n a . El símbolo n a es llamado un radical, a es llamado el radicando y n es llamado el índice, u orden del radical. Estamos excluyendo de nuestra consideración el caso en que el radicando es negativo y el índice es un número par. Tenemos a continuación algunos ejemplos de raíces principales 36  6, 3 8  2, 4 81  3, 5  32  2

Observamos que -6 es raíz cuadrada de 36 y de -3 es una raíz cuarta de 81, pero ninguna es raíz principal. El negativo de la n-ésima raíz principal de un numero a se denota por  n a . Por tanto,  4 81  3 . Estamos ahora en posición de de considerar exponentes de la forma m/n, donde m es un entero positivo o negativo y n es un entero positivo. Tomamos en primer lugar m = 1 y buscamos una interpretación de a1 n . Si la Ley III ha de ser valida, tenemos

106

1n En esta ecuación muestra la n-ésima potencia de de a es igual a a, o bien, 1n que a es una n-ésima raíz de a. Especificando esta raíz como la

/

raíz principal de a, tenemos por definición

n-ésima

√

En esta definición a puede ser cualquier numero real cuando n es impar, pero excluimos los valores negativos de cuando n es par. Aplicando la Ley III nuevamente, con el entero m  1, tenemos

√

y, además,

√ Resumiendo, tenemos la siguiente definición: Si m/n es un número racional con n positivo, entonces

√

√

 

m

La forma n a m significa la n-ésima raíz principal de am, y la forma n a significa la m-ésima potencia de la raíz n-ésima principal de a. En cada forma el denominador n del exponente indica una raíz y el numerador m indica una potencia. Sin embargo, nuevamente notamos, que n representa aquí a cualquier entero positivo y m representa a cualquier entero positivo o negativo.

Iniciamos nuestro estudio de exponentes definiendo exponentes enteros positivos y estableciendo las cinco leyes de operación. Extendemos entonces las definiciones para incluir a todos los números racionales. Aunque demostraciones completas de las leyes de los exponentes se hicieron tan solo para los exponentes enteros de positivos, es puede demostrar que las leyes son validas para todos los exponentes racionales. Suponiendo que la Ley III es valida para los exponentes racionales, podemos demostrar que un exponente fraccionario puede reducirse a términos mínimos. Así si m, n y c son enteros, n y c son no nulos, tenemos

107

Ejemplo 1.

 

2

82 3  3 8  2 2  4

o también

8

√8

√64

4

Ejemplo 2. 813 4 

1



 81  4

3

1 1 .  3 27 3

Ejemplo 3.

 323 5  5  32    23  8 . 3

Ejemplo 4.

x

53





y 3 4 x1 3 y 5 4  x 5 31 3 y 3 45 4  x 2 y 2 .

Ejemplo 5.

 4a 4 3  2 3  2 b c

  

1 2



4 1 2 a 2 3 a 2 3b1 3  . 2c b 1 3 c

108

Ejercicios Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas

A practicar los exponentes fraccionarios No. 2 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden Manera Responsabilidad didáctica de Ejercicios y tareas sobre el lograrlas tema  Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.  Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas

I. Encuentre el valor de cada expresión. 1 2

1. 16

4. 

7.  32 

 8    27 

1 3

2. 4 5 2

23

45

4 9

3. 64 3 2

5.  

14

 16    81 

6. 

 

14 8. 5

4



1 4 9. 5



4

II.

Simplifique cada expresión, dejando los resultados sin exponentes negativos o nulos.

10. x

13. 5

23 43

32

4 5 3 5

x

11. x

x

 52 3

14. x

14

12. x



 x1 6

2 3 4 3

x

2 1 15. x y



1

109





4



5 8 16. 2 y

1 3 4 17. x y

27 1 3 a 3 4 b 2 3 19. 1 2 1 4 1 2 16 a b



4

18.

93/ 2 a 1b 3 / 2 45 / 2 a 5 / 2b1/ 2

5

 x1 2 y 3 5  4 3 2 x1 2 y 2 3 20.  0 2 5  21. 1 3 1 3 5 3 8 x y  x y 

Respuesta a los ejercicios impares anteriores 1.

1 1 27 y 1/5 5/6 ; 3. ; 5. ; 7. 16 ; 9. 5 ; 11. x ; 13. 5 ; 15. 2 ; 4 4 8 x 5/ 6

4x 3ab1/ 6 17. x y ; 19. ; 21. y 4 4 3

Saberes


Operaciones con radicales No. 3 Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno adquirirá la Mediante habilidad para Manera didáctica exposición y simplificar una de lograrlos tareas expresión que contenga radicales, además de realizar operaciones con radicales.

LEYES DE LOS RADICALES De los reyes de los exponentes pueden obtenerse ciertas leyes útiles de radicales. Damos aquí una lista de 6 leyes para radicales que son consecuencia inmediata de las leyes correspondientes para exponentes, que aparecen en la columna de la derecha. en estas formulas imponemos la restricción de que c, m y n sean enteros positivos, e imponemos la restricción d que a y b, sean tales que

110

no se anule dominador alguno y tales que ningún radical de orden par tenga radicándoos positivos.

 

n

   a  1n

1n n

 a

n

an  n a  a an

n

1n ab n an b ab  a1 nb1 n

I.

II.

III.

n

a  b

n n

a

a   b b

1n



a1 n b1 n

a  n am acmcn  am n

cn cm

IV.

n m

V.

a  nm a a1 m   a1 mn 1n

VI.

n

am

q

ap 

nq

a mq  np a

mn

a p q  amqnp / nq

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES Estas leyes pueden emplearse para hacer cambios necesarios en los radicales, de los cuales los más comunes son: 1.Remover factores del radicando. 2. Remover el denominador de un radicando. 3.Expresar un radical dentro de un signo radical. 4.Incluir a un factor dentro de un signo radical. Un radical se dice que esta en su forma más simple cuando se han llevado a cabo, y hasta donde es posible, las operaciones 1,2 y 3. La operación 2 es llamada racionalizando el denominador.

111

En los ejemplos ilustrativos y ejercicios siguientes, supondremos que todos los números literales son positivos. Ejemplo 1.

Simplifiquemos los radicales 75 a 3 b 2 y 3 8 x  y  . 7

Solución,

75a 3b 2  25a 2 b 2 3a   3

Ejemplo 2.

5ab2 3a   5ab

8 x  y   3 2 3  x  y   x  y   2x  y  7

6

23

3a

x  y .

Racionalicemos los denominadores de

b 2 y 3 5 2x 2 2 10 10 10 1     10 5 25 5 5 25

3

Ejemplo 3.

b 4bx 3 4bx 3 4bx 1 3 3     4bx . 2 3 3 2x 2x 2x 8x 8x 3

Reduzcamos el orden de los radicales 3

9

4

25 a 2 y 6 8x y

4

25a 2  4 5a   5a

Solución,

6

2



8x 3 y 9  6 2xy3



3

 2xy3  y 2xy .

112

Ejemplo

4.

Incluyamos el coeficiente de

2x 1 

1 , 4x 2

con la potencia apropiada, dentro del signo radical. Solución.

2x 1 

1 1    4 x 2 1  2   4 x 2  1 . 2 4x  4x 

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES Radicales del mismo orden y mismo radicando son llamados radicales semejantes. Una suma algebraica de radicales semejantes puede ser expresada como un radical sencillo usando la ley distributiva. Radicales no semejantes se transforman en radicales equivalentes que son semejantes mediante las simplificaciones pertinentes. Radicales que no se pueden expresar como radicales semejantes pueden sumarse interponiendo entre ellos un signo de ( + ), pero su suma no puede escribirse como un radical único. Ejemplo 1. √20

√45

4 5

√80

2√5

9 5

3√5

4√5

16 5 √5

Ejemplo 2. 2√18

6

 6

2

√4

9 2

6

√2

2 3 2  2

 4

2 .

113

Ejemplo 3. √2

3 √16

√2 – 6 √2

√2

6 √2

Los radicales no semejantes

3

y

2a

√2 √2

2a no pueden combinarse en un

radical único.

Ejemplo 4.

a b 1 1 1 1   ab  ab     ab . b a b a b a

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES. Para multiplicar radicales de órdenes distintos, es necesario explicarlos como radicales equivalentes del mismo orden. El orden de los nuevos radicales deberá ser el M.C.M. de los órdenes de los radicales originales. El orden de un radical puede elevarse (formula IV. Sec. 7-4) multiplicando el orden del radical y el exponente del radicando por el mismo entero positivo mayor que 1. Ejemplo 1.

Multipliquemos 2 √2 por 5 √3

Solución.

2 3 2 a  53 3a 2 b  10 3 6 a 3 b  10 a 3 6b . Ejemplo 2. Solución.







Encontremos el producto 2 3  3 5 4 3  5 .

Los binomios tienen cantidades semejantes, y multiplicamos de la

manera usual. 2√3

3√5 4√3

√5

8√9

2√15

12√15

3√25

114

8 3

10√15

3 5

 9  10 15 . Ejemplo 3.

Encontramos el producto de 5 3 y 63 2 .

Solución. Expresamos primero cada radical como un radical de orden 6, que es el mínimo común múltiplo de los órdenes de los radicales dados. Así,

5 3  6 3 2  30 6 3 3  6 2 2  30 6 3 3  2 2  30 6 108

En la multiplicación, los radicales de dos órdenes distintos deben ser primero convertidos en radicales del mismo orden. Consideramos la división de dos radicales como completa cuando el cociente no tenga radicales en el denominador y el radical del numerador, si lo hay, esta expresado en su forma más simple. El proceso de quitar radicales de un denominador es llamado racionalización del denominador. Ejemplo

Encontremos el cociente de √6 entre √5 .

4.

Solución.

6 5



6 65 1   30 , 5 55 5

o, alternativamente,

6 5



5 5



30 1  30 . 5 5

Ejemplo 5.

Encontramos el cociente de 6 √5

dividido por 2 2 .

Solución.

66 5 2  6 2 3 3 6 .     200 4 2 2 2 2 2 2 63 5

63 5

2

115

De otro modo, convirtiendo a exponentes fraccionarios, tenemos 6  51 3 6  51 3  2 1 2 6  5 2 6  2 3 6 3 6 2 3 3 6    5 2  200 . 4 2 2 2  21 2 2  21 2  21 2

Cuando el divisor es un binomio que contiene un radical de segundo orden en uno o ambos términos, racionalizamos el denominador multiplicando el dividendo y divisor por expresión adecuadamente elegida. Para este propósito, observamos a  b es una expresión radical a – b. Por que el producto de a  b y tanto, un factor de racionalización del tipo en consideración se obtiene cambiando el signo de uno de los términos del divisor. Ejemplo 6.









Dividamos 3 2  2 3 por 4 2  3 3 .

Solución.

3 2 2 3 4 2  3 3



3 2  2 3 4 2  3 3 24  6  18 6  6    32  27 5 4 2 3 3 4 2 3 3

116


I.

A practicar con los radicales No. 3 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden Manera Responsabilidad didáctica de Ejercicios y tareas sobre el lograrlas tema  Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.  Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas

Exprese cada uno de los siguientes radicales en su forma más

simple. 2. 3  16

12

1.

4. 3 48x y

7.

10. 3 

13. 3

2

4

2 3 3 4

2x 3y

4

5

4 5 6. 4 32 x y

5. 3 64x y

3 5a

9. 3

11. 4

2 27

12.

14. 3

b  2x 4 15. 4 3 4 4c 9y

8.

3. 20 a 4 b 2

8 9 2 3x 3

117

16. 4

3 17. 4 9 18. 4 81 x 4 8a3

6 9

8

4

19. 6 8x y 20. 6 81x y 21. 4

9 x2

II. Dando el coeficiente el exponente apropiado, inclúyalo dentro del signo radical.

23. 2

26.

3a x2

3

25. 2x

24. 2 x y

4 x 4 x2

1 1 2 x5 a 3b3  ; 27. 28. 2a 4 a2 9a b a

III. Emplee las leyes de radicales adecuadas para expresar cada uno de los radicales repetidos como un radical único.

29.

3

3

30.

3

3 31. 2 16

a3

Respuesta a los ejercicios impares anteriores: 2

2 1. 2 3 ; 3. 2a b 5 ; 5. 4xy 3 xy ; 7.

13.

23.

1 2 1 6 ; 9. 3 3 ; 11. 4 6 ; 3 3 3

1 3 1 4 1 18 xy 2 ; 15. 4bc ; 17. 3 ; 19. xy 2 y ; 21. 3x 2c x 3y

12 ; 25. 4  x ; 27. 3ab ; 29. 6 3 ; 31. 26 2

IV. Simplifique los radicales en cada uno de los siguientes problemas y combine entonces todos los radicales semejantes. 1. 50  32  18

2. 75  27  12

3. 28  3 63  112

4. 20  2 75  4 12

5. 50  63 28

6.

1 1 2 2 8 2

118

1 1 3  12 27 3

7.

8. 3

3 5  5  60 5 3

9. 2 3 16  3 54  3 50

10. 3 16  3 81  3 54

11. 8 x 3  3 18 x 

12. 4xy  16x y  xy

13. 3x y  12x y  3 75x y

14. 3 2 ab  3 54 ab 4  3 16 a 4 b 4

15. 3 3a 2  3 24 a 5 b 3  3 81a 2 b 6

3

3

2

2x

4

6

3

16. 3 16 a  3 54 a 4  3 24 a 17. 3 2 ab 2  3 2 a 4 b 2  3 16 ab 5

18.

4

25a2  20a3  5a 19.

20. 3 2 a  4 4 4 a 6  6 6 8 a 3 21.

3a 2  4 9 a 2  6 27 a 3

x 1 2   2 2x x

Respuesta a los ejercicios impares anteriores: 1. 4

2 ; 3. 7 7 ; 5. 5 2  5 7 ; 7. 2 3 ; 9. 7 3 2  3 50 ; 11. (2 x  8) 2 x

3 13. (2 x 2  x  15 x 3 y ) 3 y ; 15. (1  2ab  3b 2 ) 3a 2 ; 17.

19. a 3 ; 21.

(1  a  2b ) 3 2 ab 2

x 3 2x 2x

V. Multiplique como se indica y simplifique el resultado.

1. 2  7

2. 2  7  28

3. 3  5  30

4. 18x y  2 xy

5. 3 6  3 9

6. 3 3a  3 4 a 2

7. 3 16 a 2  3 4 ab

8. 3  3 2

9. 2  3 3

10. 2  4 8

11. x  3 x  4 x

12. 2  3 2  3 3

2

3

119



13. 2  3 3  4 4

16. Encuentre el valor de x

17. Encuentre el valor de 2x

18. Encuentre el valor de x





15. 3  a  3  a

14. 2 3  4 2 3  3 2

2

 6x  7 si x  3 2 2

 x  1 si x  2 1

 x  5 si 3  2

VI.. Efectué las divisiones y exprese cada resultado en su forma más simple.

19. 63  7

20. 11  33

21. 7 x 2  28 x

22. 15 a 4  3a

23. 20 x  2 5 x 3

24. 3 108  3 4

25. 2 3 7 a  3 2 a 2

26. 3 15 x 4  3 4 x

27. 3  3 3

28. 3 9  3

30.

34.

15  35 5 7 5 7 5

29. ab 2  3 a 2 b

31.

1 3 5

35.

4 5 3 2 3 5

32.

1 3 2

36.

33.

3 7 2 2 2 7 3 2

2 5 2

Respuesta a los ejercicios impares anteriores: 1.

14 ; 3. 15 2 ; 5. 3 3 2 ; 7. 4a 3 b ; 9. 6 72 ; 11. x12 x 13. 2 3 3 ;

15. 9  a ; 17. 6  3

27. 6 3 ; 29.

1 a

6

2 ; 19. 3 ; 21. 1 x ; 23. 1 25. 1 3 28a 2

a 5 b 4 ; 31.

2

x

a

3 5 5 2 2 9 15  26 35. ; 33. 4 23 7

120

Competencia  

ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO Explicar los algoritmos necesarios para resolver una ecuación lineal Problemas en palabras que se resuelven por medio de una ecuación lineal o de primer grado

4

Saberes

1. Resolución de ecuaciones lineales en una variable 2. Problemas en palabras que dan lugar a una ecuación lineal

Ejercicios

1. A practicar las ecuaciones lineales 2. A resolver problemas en palabras por medio de una ecuación lineal

121

Saberes


Resolución de ecuaciones lineales en una variable No. 1 Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno Mediante comprenderá los Manera didáctica exposición y algoritmos de lograrlos tareas necesarios para resolver una ecuación de primer grado o lineal.

ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE ECUACIÓN. El enunciado en que dos cantidades son iguales es llamado una ecuación. La manera acostumbrada de escribir una ecuación es la de colocar el símbolo (que se lee “es igual a”) entre las dos cantidades iguales. Una ecuación tiene, entonces dos miembros, el izquierdo y el derecho. Las ecuaciones comprenden usualmente una o más letras que son vistas como variables o incógnitas. Los números que al sustituir a las variables hacen iguales a los dos miembros de la ecuación se dice que satisfacen a, o que son una solución de, la ecuación. La totalidad de las soluciones es llamada el conjunto de soluciones. Esto es una ecuación: 2x – 5

Primer miembro

=

x+3 Segundo miembro

Ejemplo de raíz o solución de una ecuación Es el valor o valores de la incógnita que hacen cierta la ecuación. Así la raíz de Porque:

3x – 9 = 5x – 23

es x = 7

3(7) – 9 = 5(7) – 23 12 = 12 122

7

De igual manera las raíces de porque: 2

7 2

10

0

10

5

0

7 5

4 – 14 + 10 = 0

2 y

son 10

5

0

25 – 35 + 10 = 0

- 14 + 14 = 0

- 35 + 35 = 0

0=0

0=0

Ecuación Identidad Es una igualdad que es cierta para cualquier valor numérico que se le asigne a la literal (o literales); es una igualdad absoluta. Por ejemplo:

4

6

10

(para cualquier valor de

se cumple la

igualdad). Ecuación Literal Es aquella en la que algunas o todas las cantidades conocidas están representadas por letras. Por ejemplo:

0.

OPERACIONES CON ECUACIONES 1.- Si a cada miembro de una ecuación se le suma o resta una misma cantidad, la ecuación sigue siendo cierta. 2.- Si cada miembro de una ecuación se multiplica por un mismo numero, la ecuación sigue siendo cierta. 3.- Si cada miembro de una ecuación se divide entre un mismo numero (excepto cero) la ecuación sigue siendo cierta. En esta sección resolveremos ecuaciones de la forma, o que son reducibles a la forma 0 donde representa a cualquier número y a cualquier número distinto de cero. Esta ecuación es de primer grado en y es llamada una ecuación lineal. 123

Ejemplo 1. Resolvamos la ecuación 4 4 10

4

2

2 .

1

2 Ecuación dada

10

1

2

2

1.5

6

10 sumando 2

10

9 reuniendo términos

1.5 dividiendo por 6

ó

Verificación: Sustituimos encontramos, 4

1

10

6

10

1.5 por

en cada miembro de la ecuación dada y

10

1

2

10

1

3

1.5

4

4

Ejemplo 2.

4

Resolver:

13

Multiplicamos por 2 ambos lados 2

4 8

5 Sumando

2

8 a ambos lados 5

8

2

3

Dividiendo entre 3

2 2

13 26

8

2

26

2

8

18 6

Verificación: 15

4

6

13

4

6

13

19

19

124

Transposición de términos Por los ejemplos anteriores se ve que puede suprimir un término cualquiera en un miembro, siempre que se agregue al otro su simétrico. Esto equivale a afirmar que puede pasarse un término de un miembro a otro respetando la siguiente regla:

Si el término esta sumando pasa restando

+

‐

Si el término esta restando pasa sumando

‐

+

Si el término multiplicando pasa dividiendo

X

÷

÷

X

Si el término esta dividiendo pasa multiplicando

A esto se le llama transposición de términos.

Intercambio de miembros Es recomendable que los términos que contengan la incógnita se pongan siempre en el primer miembro de la ecuación:

Así, las ecuaciones 25 = 3x ‐ 4 y 12 = 2x + 3 Conviene escríbirlas 3x – 4 = 35 y 12x + 3 = 12

125

Cambio de signo En una ocasión cualquiera se puede cambiar los signos de todos sus términos, lo que equivale a multiplicarlos por (- 1), con lo cual la igualdad no se altera. Esto es de gran utilidad según se ve continuación: Forma original

Forma preferible

‐2x + 5 = ‐ 25

2x – 5 = 25

‐ 8x ‐ 3 = x – 6

8x + 3 = ‐x + 6

Ejemplo 3. Comprobación: 7x – 5 = 3x – 25

7(‐5) ‐5 = 3(‐5) ‐25

7x – 3x = ‐25 + 5

‐35 ‐5 = ‐15 ‐ 25

4x = ‐20 ‐40 = ‐40 x  

20 4

x = ‐5

Ejemplo 4. Resuelve:

Comprobación:

16x – 192 = 0

16 (12) – 192 = 0

16x = 192

192 ‐ 192 = 0

x 

192 16

0 = 0

x = 12 126

Ejemplo 5.

Resuelve:

Comprobación:

X = 300+11x (‐30) = 300 + 11 (‐30) X ‐ 11x =300 ‐30 = 300 ‐ 330 ‐10x = 300 ‐30 = ‐30 10x = ‐300 x  

300 10

X= ‐30


comprobación:

2z + 96 = 15z – 8 ‐ 5z 2(13) + 96 = 15 (13) – 8 – 5 (13) 2z + 96 = 10z – 8 26 + 96 = 195 – 8 ‐ 65 2z ‐ 10z= ‐8 – 96 122 = 122 ‐8z = ‐104 8z = 104 z 

104 8

Z = 13

127


comprobación:

5c – 9 + c = 2c – 73 5(‐16) – 9 + (‐16) = 2(‐16) ‐73 6c – 9 = 2c – 73 ‐80 – 9 – 16 = ‐32 ‐ 73 6c ‐ 2c = ‐ 73 + 9 105 = 105 4c = ‐64 c  

64 4

C = ‐16


Comprobación:

y – 2 = ‐5(39 ‐ y)‐ 3 49 ‐ 2 = ‐5 (39‐49) ‐3 y – 2 = ‐195 + 5y ‐ 3 47 = ‐5 (‐10) ‐3 y – 2 = ‐ 198 + 5y 47 = 50 ‐ 3 y‐ 5y = ‐ 198 + 2 47 = 47 ‐4y = ‐196 4y = 196 y 

196 4

y=49

128


Comprobación:

84 ‐ 19y = ‐ 7 (60 + y)

84 – 19 (42) = ‐7 (60+42)

84 ‐ 19y = ‐ 420 ‐ 7y

84 – 798 = ‐7 (102)

‐19y + 7y = ‐ 420 – 84

‐714 = ‐714

‐12y = 504

y

504 12

y = 42


comprobación:

5(4x ‐ 7) ‐ (3x ‐ 1) 2 = ‐5 5 (4 (2) – 7) ‐ (3 (2 ) – 1) 2 = ‐5 20x – 35 ‐ 6x + 2 = ‐5 5 (8 – 7) – (6 – 1) 2 = ‐5 14x – 33 = ‐5 5(1) – 2(5) = ‐5 14x = 28 5 ‐ 10 = ‐5

‐5 = ‐5

2

129

ECUACIONES QUE CONTIENEN QUEBRADOS

Cuando una ecuación contiene quebrados, se transforman en otra equivalencia que tenga forma entera, multiplicando ambos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores. Ejemplo 11. Resuelve la siguiente ecuación: 3x 3x m.c.m. de 4 y 5 = 20  35  100  4 5

3x   3x   20   35  20 100   Comprobación: 5 4   15x – 700 = 2000 – 12x

3*100 3*100  35  100  4 5

15x + 12x = 2000 + 700 75 – 35 = 100 ‐60 27x = 2700 40  40

X = 100

Ejemplo 12. Resolver la siguiente ecuación: x 5x 3x m.c.m. de 2,7 y 4 = 28   54  2 7 4

3x   x 5x    28  54   Comprobación:  4 2 7  

28  

14x – 20x = ‐1512 + 21x

56 5 *56 3*56   54  2 7 4

15x ‐ 20x ‐ 21x = ‐1512 28 – 40 = ‐54 + 42 ‐27x = ‐1512 ‐12  ‐12 X= ‐1512/‐27 X = 56

130

Resolver la ecuación

Ejemplo 13.

El m.c.m. de 5, 4 y 2 es

20

20

20 4 3

2

5 2

12

8

10 7

2

que resulta, 10

1 5

10 7/2

Ejemplo 14.

Resolvamos la ecuación para

3

2

3

2

para

.

4 reuniendo términos

5

4 factorizando

5

Ejemplo 15. Resolver la ecuación: 3 Solución: 9

12

9

6

8 6

9 8

2 3 12

9

4

2

6

6 Desarrollando productos

4

12

3

4

6 Quitando paréntesis

18

18 Simplificando términos

1

131

Ejercicios Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar

A practicar con las ecuaciones lineales No. 1 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden Manera Responsabilidad didáctica de Ejercicios y tareas sobre el lograrlas tema  Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.  Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Competencias genéricas a desarrollar

Manera didácticas de lograrlas


I. Resuelve las siguientes ecuaciones y compruébala cada una. 1. 8

8

3. 3

4

5. 3

7

7. 23 9. 8

4

5

15. 3 7 17. 5 8

3

9 6. 3

15

8

7 8. 7

11

3

2

13. 2 7

2157

4. 4

3

11. 7

5 2. 720

1 2

2

9 8

2

6

4

7 2 11

3

5 10. 10

3

4 2 2 4

2

5

2

4

3 12. 12

22

3

26 14. 5 2

1

25

3 16. 9

1

7 3

3 18. 6

17

13

132

4 2 3

3 13 3 38

1

4

0

19. (5  x)(2  x)  x( x  3)  0 20. 4(4x  3)  3(7  6x)  16x

21.

3x 1 2 x 2 x 1 1 x    22.    2 6 3 3 3 4 3 4

23.

3x 4 x 1 5x 1 2x 1       24. 4 3 2 3 4 12 3 2

25.

3x  1 2 x x x5  1   6 26.  6 3 4 8

27.

3x  1 2 x  3 x  4 2x  3 1   1 28.   2 3 3 4 12

30.

29.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

3 38.

2

39.

1 40.

41.

42.

43. 0.08 (x + 20) – 0.03x = 2.4 44. 0.08x – 0.03(21,000 –x) = 800 45. 0.07 12,000 47. 0.25 49. 2 51.

0.08

600 46. 0.06 60,000

0.1 12,000 3 2 2 4

5 1

375 48. 0.05 2 2

1 3

0 50. 3 8 52. 2

0.08

0.06 4 4 3

520

20,000 3 2

1080

3 2 3

5

19

6

133

Respuesta a los ejercicios impares: 1 9

; 11

21

43)

; 13

1; 23 6;

33

3; 3

4; 25

35

2;

16; 45)

2; 5

1; 7

4; 15

1; 17

5; 27

37

;

1600; 47

3; 29 39

7;

4500; 49)

; 19

;

5; 31

2

41

5

2; 51

1

II.

Subraya la respuesta de cada una de las siguientes preguntas: 1.

A)

El valor de 5 B)

al resolver la ecuación 5 4 C)

6

5 D)

31 es: 6

6 6 20 8 el valor de 2. Al resolver la ecuación 11 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 3 8 es: 3. El valor de en la ecuación 13 3 4 A) 1 B) 3 C) 2 D) 1

es:

4. La solución de la ecuación 2 3 A) 1 B) 5 C)

1

11

8

2 D)

es: 3

134

5. La solución de la ecuación 10 2 B)

A)

5

18

7

3 es:

5

3 D)

C)

6. El valor de

en la ecuación 4

1 B)

A)

C)

3 3

2

6

7 2

1 D)

5

2

7. El valor de

en la ecuación

3 B)

A)

1 C)

9

13 es:

1

6 D)

4

8. El valor de

en la ecuación

1/2 B)

A)

3/4 C)

8/5 D)

5/3

9. Resuélvase la siguiente ecuación para " " : A)

1/8 B)

2/3 C)

1/4 D)

2/3

10. A)

Resuélvase para " " la siguiente ecuación: 3/2 B)

2/3 C)

1/2 D)

3/2

135

rucigrama algebraico

III.

Aquí encontrarás un crucigrama muy divertido. Para llenarlo tendrás que resolver 17 ecuaciones de primer grado. ¡Anímate!

Verticales 1) 3x + 2 = 32 2) x/5 = 16 3) 2x + 8 = 440 5) 2x - 9 = x + 18 8) 9x + 9 = 900 9) ¼ x - 2 = 250 13) x/3 - 11 = x - 233 15) x + 5 = 2x - 80

Horizontales 3) 7x – 4 = 171 4) 8x – 920 = 7,080 6) ½ x + 8 = 88 7) 5x = 35,745 10) 4x – 4 = 3x + 6 11) 5/2 x + 40 = 500 12) x/9 – 43 = 1,000 14) x/7 – 5 = 0 16) 5x – 4x + 3x + 8 = 8

¿Qué tal, resultó divertido?

136

IV.

Con el perímetro dado, encontrar el valor de la incógnita.

i. Hallar el valor de cm

si el perímetro del rectángulo es 38

1

3

ii. Si el perímetro del cuadrado es 68 cm, hallar el valor de .

4

1

iii. Si el perímetro del triángulo isósceles es de 29 cm, hallar el valor de .

3

2

2

1

137

Saberes Nombre


Problemas en palabras que dan lugar a una No. 2 ecuación lineal Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno adquirirá la Mediante Manera didáctica habilidad para exposición y plantear una de lograrlos tareas ecuación lineal que resuelva un problema práctico en un contexto determinado.

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN PALABRAS CON EL USO DE ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE Los problemas planteados con palabras son enunciados que exprersan relaciones entre cantidades numéricas. Nuestro objetivo es traducir la expresión del problema a una ecuación algebraica que pueda resolverse por medios conocidos. Para resolver un problema planteado con palabras, se procede como sigue: 1. Se determina la cantidad incógnita y se le representa con una variable. 2. Todas las demás cantidades incógnitas se deben expresar en términos de la misma variable. 3. Se traducen los enunciados del problema relativos a la variable a una ecuación algebraica. 4. Se resuelve la ecuación para la incógnita y luego se encuentran las otras cantidades requeridas. 5. Se comprueba la respuesta en el problema original planteado con palabras, no en la ecuación. Las siguientes son ilustraciones de ciertas frases y problemas verbales y sus equivalentes algebraicos: 1. Un número aumentado en 5.

138

2. Un número disminuido en 7 7 3. Un número supera en 4 a otro Primer número

segundo número

4 4. Un número es 2 unidades menor que otro Primer número

segundo número

2 5. La suma de dos números es 30 Primer número

segundo número 30

6. Tres enteros consecutivos Primer número

segundo número 1

tercer número 2

7. Tres enteros impares consecutivos Primer número

segundo número 2

tercer número 4

8. Tres enteros pares consecutivos Primer número

segundo número 2

tercer número 4

9. Un número es la mitad de un segundo número Primer número

segundo número

139

10. Un número es el triple del otro Primer número

Segundo número

3 11. Un número es cuatro unidades menos que el doble de un segundo número Primer número 2

Segundo número

4

12. Un número supera en 6 al triple de un segundo número Primer número 3

Segundo número

6

13. El número 6 14. El número 10

supera en 6 al número b. 6

o bien

es 10 unidades menor que el número b 10

o bien

15. Un 6% de impuesto sobre Impuesto = 6%

6

o

16. Un descuento se 15% sobre 15% 17. El valor en dólares de Valor = 5

dolares.

dolares

15

o bien

billetes de cinco dólares:

$5

18. La cantidad de plata contenida en

libras de una aleación de plata al 6%.

Cantidad de plata = 6% libras 19. La cantidad de alcohol en

5 galones de una solución de alcohol al

80%.

140

Cantidad de alcohol = 80% 20. Si Roberto puede caminar

5 galones

millas por hora, ¿qué distancia recorrerá en 3

horas? En problemas de velocidad usaremos la fórmula la distancia nos dá

que al despejar

, por lo tanto el problema queda: millas

21. Si Lorena conduce a 55 millas por hora, ¿Qué distancia puede recorrer en horas? Distancia = 22. Rafael puede viajar en su bicicleta a una velocidad promedio de 15 millas por hora ¿Cuánto demorará en recorrer

millas?

Tiempo = 23. La anchura de un rectángulo es de

pies. ¿Cuál es el perímetro si la

longitud es el doble de su anchura? Anchura

Longitud

Perímetro = 2 veces el ancho + 2 veces el largo Perímetro =2

2 2

2

4

141

24. La anchura de un rectángulo es de

pies. ¿Cuál es el área del rectángulo

si su longitud mide 4 pies más que su anchura? Anchura

Longitud 4 pies

pies Área =

4 pies cuadrados

EJEMPLO 1

Pedro tiene un trabajo en donde gana $150,000 anuales, que incluye un bono de $12,000 al final del año. Si recibe un pago quincenal, ¿Cuál es el ingreso bruto en cada cheque?

Con palabras

¿Qué conoces?

Ingreso por año= 24 pagos + bono

Ingreso por año= $150,000 Bono = $12,000

¿Qué quieres?

Cantidad en cada cheque = x

Ecuación

Solución

150,000 = 24x + 12,000

Despejamos el valor de x de la ecuación anterior,

150,000 12,000 24

$5,750.

El ingreso por cada cheque es de $5,750

142

EJEMPLO 2

Enrique invitó al Cinépolis a su esposa y durante la función compraron dos refrescos del mismo precio y dos bolsas de palomitas de $25 cada una. Si Roberto gastó $90 en total, ¿cuánto costó cada refresco?

Con palabras

¿Qué conoces?

Gasto total = 2 bolsas de palomitas de $25 cada una + 2 refrescos

Gasto total = $90 Costo de las palomitas = (2)($25) = $50

¿Qué quieres?

Precio de cada refresco = x

Ecuación

$90 = $50 + 2x

Solución Despejando x, tenemos: 90

50 2

$20.00

Cada refresco costo $20.00

143

EJEMPLO 3

Karla invierte $120,000 en dos cuentas diferentes, de forma que en una de ellas le pagan el 6% y en la otra 5% anual de interés simple. Si el interés total es de $6,800 al año, ¿cuánto dinero esta invertido en cada una de las cuentas?

Con palabras

Interés total generado por $120,000 dividido en dos cuentas.

¿Qué conoces? Dinero invertido = $120,000 Tasa de interés de una cuenta = 6% Tasa de interés de la otra cuenta = 5% Interés total recibido = $6,800

¿Qué quieres?

Cantidad invertida al 6% = x Cantidad invertida al 5% = $120,000 ‐‐ x

Ecuación

0.06x + 0.05 (120,000 – x) = 6,800

Solución

0.06

6000

0.05

0.01

6000

6800

0.01

6800

6000

800 0.01

120,000

6800

800

80,000 120,000

80,000

40,000

Silvia ha invertido $80,000 al 6% y $40,000 al 5%.

144

EJEMPLO 4

Un albañil puede hacer una obra en 4 días y otro en 5 días, ¿en cuánto tiempo terminaran la obra juntos?

Con palabras

¿Qué conoces?

Tiempo total de la obra = Tiempo empleado por los albañiles trabajando juntos.

Tiempo del albañil 1 = 4 días

Tiempo del albañil 2 = 5 días

¿Qué quieres?

Tiempo total de la obra = x

Ecuación

El ritmo de trabajo de un albañil es de del otro

Solución y el

, por lo tanto, entre ambos

5

terminan el 100% de la obra en

4

5

4

5 4

1 20

2.222 días

1

El tiempo total para terminar la obra entre ambos albañiles es de 2.222 días.

145

EJEMPLO 5

Un automóvil recorre una distancia del D.F. a Acapulco a una velocidad promedio de 120 Km/hr y de regreso viaja a una velocidad promedio de 90 Km/hr. Si todo el recorrido tomo 7horas. ¿cuál es la distancia del D.F. a Acapulco?

Con palabras

Tiempo total del viaje = Tiempo de ida + tiempo de regreso

¿Qué conoces?

Velocidad promedio de ida = 120 Km/hr Velocidad promedio de regreso = 90 Km/hr Tiempo total del viaje = 7 hrs

¿Qué quieres?

Distancia del D.F. a Acapulco = x

Ecuación

La relación de velocidad es tiempo t es

Solución , entonces el

, luego, el tiempo de ida es

y el de regreso

. Por lo tanto,

120

90

120 75,600 210

7

90

120

90

7

75,600 360

.

La distancia del D.F. a Acapulco es de 360 Kms.

146

MÁS PROBLEMAS RESUELTOS Problemas que se refieren a números

1. Cuales son los tres números consecutivos cuya suma es igual a 48? Primer número: x Segundo numero: x + 1 Tercer número: x + 2

Condición: (x) + (x+1) + (x+2) = 48 x + x + 1 + x + 2 = 48 3x + 3 = 48

Los tres números

3x = 48 – 3

son 15, 16 y 17.

3x = 45 x = 45 / 3 x = 15 2. Cuál es el número que aumentando en 20 se triplica? Número pedido a condición: X + 20 = 3x X – 3x = -20 -2x = -20 2x = 20

por lo tanto x = 10

147

3. La tercera parte de un número es 7 unidades menor que la mitad de él. Encontrar el número. Solución

Sea el número =

7

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por 6, obtenemos 2

42

3 42

El número es 42.

4. Un número es el quíntuplo de otro. La suma de ambos es 90. Determinar los dos números. primer némero

Solución

segundo número

5 5

90 6

90

Primer número = 5

15

15

Segundo número = 15

75

5. Hallar dos números cuya suma sea 27 y que el séxtuplo del menor supere en 9 unidades al triple del mayor. Número menor

Solución:

Número mayor 27

6

3 27 3

9

6

81

9

9

90

Número menor = 10

10

Número mayor = 27-10 = 17

148

6. Encontrar dos enteros pares consecutivos tales que el cuádruplo del mayor sea 8 unidades menos que el quíntuplo del menor. primer entero par

Solución

segundo entero par 2

4

2

4

8

8 8

5 5

Primer entero par = 16

16

Segundo entero par = 16 + 2 = 18

7. La suma de tres números es 63. El segundo número es el doble del primero y el tercero supera en tres al segundo. Encontrar los números. Solución

Primer número

Segundo número

Tercer número

2 2

2

3 5

2

3

63 3

5

63

Primer número = 12

60

Segundo número = 2

12

Tercer número = 24 + 3 = 27

12

24

149

Problemas de porcentaje

A veces la relación entre dos números se expresa como un porcentaje. Tanto por ciento significa “por cada cien” y se representa por el símbolo %. De esta manera 45%

45

2 %

2

300%

300

100

45

100 100

300

Para determinar qué tanto por ciento es un número de otro, se divide el primer número entre el segundo, se multiplica el cociente por 100% y se simplifica. Obsérvese que 100 % = 100

100

1.

1. ¿Qué tanto por ciento es 24 de 40? Solución

100%

%

60%

2. ¿Qué tanto por ciento es 238 de 350? Solución

100%

%

68%

Para expresar un número como tanto por ciento, se multiplica el número por 100% y se simplifica.

150

3. Escribir 4 como un tanto por ciento 4 4. Expresar Solución

4 100%

400%

como un tanto por ciento. 100%

%

64

%

64.04%

Para obtener un porcentaje de cualquier número, se cambia el símbolo de tanto por ciento a

, luego se multiplica pór el número y se simplifica.

5. ¿Cuál es el 70% de 48 ? Solución

70%

6. ¿A qué es igual el 9 % Solución

9 % 360

48

70

48

33.6

360 ? 9

360

360

33.3

La mayoría de los problemas de negocios y mezclas se relacionan con porcentajes. En esta sección tratamos problemas de negocios. Cuando se realizan depósitos de dinero en un banco, la cantidad que se deposita se llama capital o principal y se denota por P. La tasa de interés anual se denota por . El interés que se recibe está representado por . El interés recibido al cabo de un año es el producto del capital y la tasa de interés.

La fórmula anterior es útil en la solución de problemas de tanto por ciento.

151

7. El precio de venta al menudeo de una máquina de coser es de $360 dólares. Si se ofrece en venta de $297, ¿cuál es el porcentaje de reducción? Solución

Reducción de precio = 360 – 297 = 63. 100%

Porcentaje de reducción =

%

17.5%

8. ¿A qué es igual el impuesto sobre un artículo que costó $540 si la tasa de impuesto es de 6 % ? Impuesto = 6 % 540

Solución

540

$35.10

9. ¿En cuánto se venderá un refrigerador si el precio marcado es de $760 y la tienda ofrece un 12% de descuento? Descuento = 12% 760

Solución

$91.20

Precio de venta = 760 – 91.20 = $668.80

10. Al Sr. Noble le costó $17,466 comprar un coche, incluido un 6.5% de impuesto de venta. ¿Cuál era el precio de venta del coche antes de agregar el impuesto? Solución

Sea el precio de venta del coche sin impuesto = Impuesto = 6.5%

Precio de venta sin impuesto más impuesto igual a precio de venta total 6.5%

17,466 17,466

1000

65 1065

17,466,000

(Se multiplica por 1000)

17,466,000 16,400

Precio de venta sin impuesto $16,400

152

11. El precio de venta de una caja fuerte es de $350 luego de aplicar un 30% de descuento. ¿Cuál es el precio regular de la caja fuerte? Sea el precio regular =

Solución

Descuento = 30% El precio de venta es igual al precio regular menos el descuento 30%

350 350

100

30


35,000

70

35,000 500

Precio regular de la caja fuerte = $500

Definición

Margen de utilidad es la cantidad que se agrega al costo de un

artículo para determinar el precio de venta de tal artículo. El margen de utilidad se expresa normalmente como un tanto por ciento del costo o del precio de venta. 12. Un radio costó $80. ¿Cuál es el precio de venta si el margen de utilidad es del 20% de dicho precio? Solución Sea

el costo cuando el margen de utilidad se calculo sobre el

costo, pero si dicho margen se calcula sobre el precio de venta, éste se denota por . Sea el precio de venta = Margen de utilidad = 20% El precio de venta menos el margen de utilidad es igual al costo. 20%

80 80

100

20 80


8000 8000 100

Precio de venta $100

153

13. El precio de venta de un equipo de tiro es de $584. ¿Cuál es el costo si la utilidad es del 25% del mismo? Sea el costo =

Solución

Utilidad = 25% Costo más utilidad sobre el costo es igual al precio de venta. 25%

584 584

100

25

58,400

125

58,400

(Se multiplicac por 100)

467.20 Costo = $467.20 14. Dos sumas de dinero que totalizan $20,000 ganan, respectivamentye, 5% y 6% de interés anual. Encontrar las cantidades si juntas ganan $1080. Primera cantidad

Solución

Segunda cantidad 20,000

Capital Tasa

5%

Interés

5% 5%

6% 6%

6% 20,000 20,000 5

6 20,000

5

120,000

1080 1080


108,000 6

108,000 12,000

Cantidad invertida al 5% = $12,000 Cantidad invertida al 6% = $8,000

154

15. Una persona realizó dos inversiones de un total de $10,000. En una de las inversiones obtuvo un 10% de utilidad, pero en la otra tuvo una pérdida de 12%. Si la pérdida neta fue de $540, ¿Qué cantidad tenía en cada inversión? Primera inversión

Solución

Segunda inversión 10,000

Ganancia de 10%

Pérdida de 12%

Cantidad ganada = 10% Cantidad perdida = 12% 10,000 Cantidad perdida menos cantidad ganada igual a perdida neta. 12% 10,000

10%

540

10,000

540 (Se multiplica por 100)

12 10,000 120,000

10

12

10

54,000 54,000 3000

Primera inversión = $3000 Segunda inversión = $7000 16. El interés anual producido por $24,000 supera en $156 al producido por $17,000 con una tasa anual de interés 1.8% mayor. ¿Cuál es la tasa anual de interés aplicada a cada cantidad? Solución

Capital Tasa

24,000 %

17,000

$24,000

$17,000

% 1.8 %

1.8% 156


155

24,000

17,000

24,000

1.8

17,000

15,600 30,600

15,600

7000

46,200 6.6

Las tasas de interés son 6.6% y 8.4%

Prolemas de mezclas

1. ¿Cuántos litros de agua deben agregarse a 6 litros de una solución de sal al 8% y agua, para producir otra solución al 5% de sal? Solución

Una solución de sal al 8% significa que el 8% es ésta es

sal y el 92% agua. Dicha cantidad en la solución original más la cantidad en el agua agregada debe ser igual a la cantidad de sal en la solución final.

Cantidad original

Cantidad agregada

Cantidad final 6

6 litros 8%

0% 8% 6

0%

5%

6

6 8 6

6 0 48

0 5

5

6

5

30


18 3.6

Deben agregarse 3.6 litros

156

5%

2. ¿Cuantos litros de un líquido que contiene 74% de alcohol se debe mezclar con 5 litros de otro liquido que contiene 90% de alcohol, se desea una mezcla de 84% de alcohol? Numero de litros de la solución de 74% de alcohol que debe emplearse = x Numero de litros de alcohol aportados por la solución al 74% = 0.74x Numero de litros de alcohol aportados por la solución al 90% = 0.90 (5)=4.5 Numero de litros en la mezcla = x + 5 Numero de litros de alcohol en la mezcla = 0.84(x+5) 0.74x + 4.5 = 0.84( x+5) 0.74x + 4.5 = 0.84x + 4.2 0.74x – 0.84 = 4.2 – 4.5 - 0.10x = -0.3 x

0.3 0.10

x = 3 litros.

3. Un hombre mezcló 48 onzas de una solución de yodo al 4% con 40 onzas de una solución al 15% de la misma sustancia. ¿Cuál es el porcentaje de yodo en la mezcla. Solución

Consideremos la cantidad de yodo en la solución

Primera solución

Segunda solución

48 onzas

40 onzas

4% de yodo 4% 48

15% de yodo 15% 40

Mezcla 88 onzas % de yodo

% 88

157

48

40

4 48

15 40 192

(88)


88

600

88

792

88 9

La mezcla es una solución al 9% de yodo

4. Carlos mezcló una aleación de aluminio al 48% contra otra al 72% para producir una aleación de aluminio al 57%. Si hay 20 libras más de la aleación al 48% que de la aleación al 72%, ¿Cuántas libras hay en la aleación total?

20

Solución

2

48%

48%

20 48 48

72%

72%

57% 2

20

20

72

57 2

20

960

72

114

1140

6

180

20 57%


30 El peso de la mezcla total = 2(30) + 20 = 80 libras

158

Problemas de valor monetario

1. Elena tiene $4.45 en monedas de 10¢ y 25¢. Si dispone en total de 28 monedas, ¿Cuántas tiene de cada clase? Solución

Monedas de 10¢

Monedas de 25¢

monedas La suma de los valores de las monedas es igual a la cantidad total de dinero (Nota: 445, no 4.45)

Número de monedas de

= 17

Número de monedas de

2. Ramona compró $10.60 dólares de estampillas de total de 52 estampillas. Si la cantidad de estampillas de el cuádruplo de la de

con un que compró es

, ¿Cuántas estampillas de cada clase compró?

159

Solución

10¢

25¢

15¢ 52

5

4

estampillas

La suma de los valores de las clases individuales de estampillas es igual a la cantidad total. 10

15 52

5

780

75

25 4

1060

(Nota: 1060, no

10.60) 10

100

1060 35

280 8

Número de estampillas de 10¢ = 8 Número de estampillas de 15¢ = 52 – 5(8) = 12 Número de estampillsa de 25¢ = 4(8) = 32 3. Un carnicero mezcla 2 clases de carne molida, una de 189¢ la libra y otra de 129¢. Si la combinación pesa 450 libras y se vende a 145¢ cada una, ¿Cuántas libras de cada clase forman la mezcla? Solución

189¢ por libra

129¢ por libra

libras

145¢ por libra

libras

La suma de los precios de las clases individuales es igual al precio de la mezcla 189 189

129 450 58,050

450 145

129

62,250 60

7200 120

Número de libras a 189¢

120

Número de libras a 129¢

330

160

Problemas de Movimiento

La distancia recorrida, en kilómetros, es igual al producto de la velocidad, en kilómetros por hora, por el tiempo, en horas. En símbolos,

1. Dos automóviles que se encuentran a una distancia de 375 km entre sí y cuyas velocidades difieren en 5 km por hora, se dirigen el uno hacia el otro. Se encontrarán dentro de 3 horas. ¿Cuál es la velocidad de cada automóvil?

Solución

Primer auto

Segundo auto

/

Velocidad

5

3

Tiempo

3

3

Distancia

/

3

5

Las sumas de las distancias recorridas es igual a 375 kilómetros 3

3

5

375

3

3

15

375

6

360 60

Velocidad del primer auto

60

/ ; velocidad segundo auto

161

65

/

2. Dos automóviles

parten de un mismo lugar y viajan en direcciones

opuestas. El primer automóvil hace un promedio de 55 km por hora, mientras el segundo tiene uno de 65 km por hora. ¿En cuántas horas se encontrarán a 720 kilómetros entre sí? Primer auto

Solución

Segundo auto

Velocidad

55 km/h

65 km/h

Tiempo

x hr

x hr

Distancia

55

65

La suma de las distancias recorridas es igual a 720 kilómetros. 55

65

720

120

720 6 6

Tiempo en el que los autos estarán a una distancia de 720 kms entre sí

3. Un avión de reacción que vuela a una velocidad de 650 kms por hora va a alcanzar a otro que lleva una delantera de 4 horas y está volando a una velocidad de 400 kms por hora. ¿Cuánto tardará el primer avión en alcanzar el segundo? Primer avión

Solución

400

650

Velocidad

Segundo avión

4

Tiempo 650

Distancia

400

4

El primer avión alcamzará al segundo cuando ambos hayan recorrido la misma distancia 650

400

4

650

400

1600

162

250

1600

6

, o 6

El tiempo requerido es 6

, 24

Problemas de Geometría El perímetro de un cuadrado es igual a cuatro veces la longitud de su lado. El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitus de su lado. El perímetro de un rectángulo es igual al doble de su base más el doble de su altura. El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. El área de un triángulo es igual a un medio del producto de la base por la altura. Se dice que dos ángulos son complementarios si su suma es 90°. Dos ángulos son suplementarios si su suma es 180°. 1. La base de un rectángulo es 3 pies menor que el doble de la altura, y el perímetro es de 42 pies. Obtener las dimensiones del rectángulo.

Solución

Véase la figura de este problema Altura 2 2 2

2 2 4

2

Base

6 6

3

3 3

42

42 48 8

Altura del rectángulo = 8 pies; Base del rectángulo

2 8

3

13 pies

163

2.

La base de una pintura rectangular es 8 pulgadas menor que el doble se su altura. Si el marco tiene 4 pulgadas de ancho y un área de 816 pulgadas cuadradas, hallar las dimensiones de la pintura sin el marco. Solución

Véase la figura de este problema. Altura

Base .

Sin marco 8

Con marco

2 .

8

Área .

2

2

2

x

8 8

x+8

2x-8 2x El área de la pintura incluyendo el marco, menos el área de la pintura sin este último, es igual al área del marco. 2

8

2

16

2 2

8 8

816 816

24

816 34

Altura de la pintura = 34 pulgada Base de la pintura = 2(34) – 8 = 60 pulgadas

164

3. La suma de la base y la altura de un triángulo es 28 pies. Encontrar el área del triángulo si su base es 8 pies menos que el doble de su altura. Base

Solución

Altura

2

8

2

8 2

28 8

28 3

36 12

2 12

8

16

12 16 12

Á

96

Problemas en donde se realiza un trabajo

1. La persona A puede hacer cierto trabajo en 8 hr, la persona B en 10 hr, y la persona C en 12 hr. ¿Cuánto tiempo tomará efectuar el trabajo si A y B se ponen a trabajar durante 1 hr y A y C terminan después? Solución: Las partes del trabajo que realizan en una hora A, B y C son 1

8,

1

10 ,

1

12, respectivamente. La contribución de cada trabajador

es la parte que hace en una hora multiplicada por el número de horas que trabaja. Si designamos con

el número total de horas requeridas

165

para hacer el trabajo, entonces A trabaja trabaja

horas, B trabaja 1 hora y C

1 hr. Por tanto,

= parte del trabajo hecho por A = Parte del trabajo hecho por B = Parte del trabajo hecha por C El trabajo total se completa sumando estas partes y, por tanto; 1 15

12

10

10

120 25

118 4

Por lo tanto, requerido es 4

hr.

hr.

2. Un recipiente, alimentado por 3 llaves, puede ser llenado en 30 minutos por la primera, en 20 minutos por la segunda y en 40 minutos por la tercera, ¿en cuánto tiempo llenarán el recipiente las 3 llaves juntas?

Tiempo que tardan las 3 llaves juntas: x La primera llena en x minutos:

1 x * (x) = 30 30

La segunda llena en x minutos

1 x *(x) = 20 20

La tercera llena en x minutos:

1 x *(x) = 40 40

166

Condición:

x 30

+

x 20

+

x 40

=1

(Se iguala a 1 porque se realiza un

trabajo) 4x + 6x + 3x = 120 13x = 120 9.23

167

RALACIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON LA FUNCIÓN LINEAL Hay ecuaciones lineales que únicamente depende de una incógnita; se les conoce como ecuaciones lineales con una incógnita 2 5 2 y con tres 3 5 11 .

Las ecuaciones de primer grado tienen incógnitas elevadas a la potencia 1 y no se multiplican por factor; si sucediera esto se convertirían en ecuaciones de segundo grado. EJEMPLO Una compañía de telefonía móvil define un costo de $4 por minuto de llamada. Establezcamos una expresión matemática para esta situación. SOLUCIÓN a. Datos  Costo de la llamada: $4 por minuto. El siguiente cuadro presenta pares ordenados y puedes reconocer que los minutos están relacionados con el incremento del costo.

PRECIO DE LAS LLAMADAS Referencia Al minuto 0 el costo es $0. Al minuto 1 el costo es $4. Al minuto 2 es costo es $8. Al minuto 3 el costo es $12. … Al minuto x el costo se representa con la ecuación: y=4x.

Minutos (x) 0 1 2 3 … x

Costo (y) 4(0)= 0 4(1)= 4 4(2)= 8 4(3)= 12 … 4x

b. Análisis La ecuación 4 muestra dos variables: y es el costo total y x es el número de minutos. La combinación de ambas describe la relación existente entre el costo y el tiempo en minutos cuando se habla por el teléfono móvil. Su representación gráfica se muestra a continuación. 168

Como puedes ver en la grafica de la página anterior se define una recta creciente, y esto quiere decir que cuanto más hable el usuario, mayor será el costo. En la gráfica se nota que existe el conjunto de números en y el conjunto de números en . A la variable , denominada dependiente, la podemos representar con , es decir . A cada elemento del conjunto de números en le corresponde uno y sólo uno del conjunto de números en . Cuando una relación de pares ordenados se rige por estas condiciones se conoce como función. Comprueba qué efecto tendría la gráfica si un elemento estuviera relacionado al mismo tiempo con dos o más números. Al primer conjunto (minutos) lo denominamos dominio de la función. Cada uno de los elementos del dominio de la función tiene una imagen en el segundo conjunto (costo). Al conjunto de todas las imágenes se le llama rango o contradominio de la función. c. Síntesis Interpretativa En este caso se formaron las parejas: (0, 0), (1, 4), (2, 8), (3, 12),…, , . La variable es cualquier número natural que represente el número de minutos, y es cualquier número natural que represente el costo. Veamos una representación gráfica de esta correspondencia. 169

0

0

1

1

2

2

3

3

Dominio

Imagen o contradominio

Una función es una correspondencia entre dos conjuntos de números, de manera que a cada valor del primer conjunto o dominio le corresponde un único valor del segundo conjunto (o ninguno), que llamamos imagen o contradominio.

Una forma de interpretar una función es como si fuera una fábrica: la materia prima es el dominio que pasa a través de la fábrica y entrega un producto (rango).

0

3

2

1 2

√2 1 2

√2

5

25

Si consideramos la correspondencia de los pares ordenados (5, 25), (‐3, 2), (5, 0), (1/2, 2 , (√2, ½), podemos reconocer que un valor del dominio se relaciona más de una vez con elementos del contradominio (5, 25) y (5, 0). En estas condiciones no se habla de función, sino de relación.

170

Ejercicios

Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas Resolver

A resolver problemas en palabras por medio de una No. 2 ecuación lineal Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Manera Orden Ejercicios y tareas sobre el Responsabilidad didáctica de lograrlas tema  Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.  Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas

los siguientes problemas en palabras:

A) Problemas que se refieren a números 1. Si a un número se le suma 15, el resultado es 21. Determine el número 2. Cuando se resta 11 de cierto número, el resultado es 52. Obtenga el número. 3. Si al doble de un número se le aumenta 7, resulta 35. Halle el número. 4. El triple de un número disminuido en 19 es 53. Determine el número. 5. Ocho veces un número es 30 unidades más que 6 veces el mismo. Encuentre el número. 6. Si a siete tantos de un número se le suma 6, resulta el número aumentado en 24. Obtenga el número. 7. El tercio de un número, sumado con su cuarta parte da 35, ¿Cuál será el número? 171

8. Dos terceras partes de un número exceden a la mitad de él en tres unidades. Encuentre el número. 9. La suma de dos números es 24. Uno de ellos es el triple del otro. Obtenga ambos. 10. Un número supera en 7 a otro número. Determine los dos si su suma es 29. 11. Un número es 40 unidades menor que otro. Obtenga ambos si su suma es 280. 12. Un número es

de otro número y la suma de ambos es 126. Encuentre

los números. 13. Un número es

de otro y la suma de ambos es 230. Hállelos.

14. La suma de dos números es 48. El cuádruplo del menor es igual al doble del mayor. Encuentre los números. 15. Un número es 3 unidades menor que otro. Determine ambos si el cuádruplo del menor es una unidad menos que el triple del mayor. 16. La mitad de un entero es igual a dos quintos de otro. Obtenga los dos si su suma es 27. 17. Un entero supera en 4 a otro. Encuentre ambos si un cuarto del menor es igual a un quinto del mayor. 18. La suma de tres números es 44. El segundo es el doble del primero, y el tercero es 4 menos que el primero. Hállelos. 19. La suma de tres números es 78. El segundo es el doble del primero, y el tercero es el triple del primero. Obtenga los números. 20. Halle tres enteros consecutivos tales que la suma del primero y el segundo supere en 20 al tercero. 21. Encuentre tres enteros consecutivos tales que la suma del segundo y el tercero sea 9 unidades menor que el triple del primero. Respuesta de los impares: 1) 6 ; 3) 14; 5) 15; 7) 60; 9) 18,6; 11) 120,160 13)92,138 15) 8,11; 17) 20,16; 19) 13,26,39; 21) 12,13,14 172

B) Problemas de porcentaje 1. Cierto automóvil se vendió en $16,000 dólares hace dos años. El mismo modelo se vende este año en $18,000. ¿Cuál es el porcentaje de aumento en el precio de compra? 2. Margarita obtiene en sus exámenes un total de 240 puntos de 320 posibles. ¿Cuál es su calificación porcentual? 3. El precio por libra de cierto corte de carne es $2.52 dólares en el año presente. Si el precio correspondiente fue de $2.40 el año pasado, ¿cuál es el porcentaje de aumento del precio por libra? 4. Si se asignan 8.4 millones de barriles de petróleo diarios para el consumo de cierto país y solamente se utilizan 6.3 millones, ¿qué porcentaje de la asignación no se consume? 5. Mirna gasta $75 dólares a la semana en alimentos. ¿Cuánto deberá gastar a la semana si su precio aumenta 8%? 6. Mauricio gana $2100 dólares al mes. ¿Cuánto ganará mensualmente si su salario se incrementa 6%? 7. El ingreso bruto de una empresa es de $450,000. ¿Cuál es el nuevo ingreso si las ventas aumentan 12%? 8. Una casa se vendió en $168,500 dólares. ¿Cuánto recibe el propietario si el corredor de bienes raíces tiene una comisión del 6% sobre el precio de venta? 9. Este año, la depreciación de un automóvil es de $2260.8 dólares en base a una tasa de depreciación del 12%. ¿Cual era el precio del auto? 10. Un corredor de bienes raíces recibió una comisión de $31,440 por la venta de una casa en Los Ángeles. ¿En cuanto se vendió la casa si el corredor cobró un 6% del precio de la venta? 11. El descuento aplicado a un equipo estereofónico fue de $1164.6 en base a una tasa del 18%. ¿Cuál era el precio normal del equipo? 12. Paty compró un abrigo de pieles con un impuesto del 6.5% incluido, en $8903. ¿Cuál fue el precio del abrigo sin impuesto?

173

13. El señor Eduardo compró un televisor a color con un impuesto del 6.5% incluido, en $788.1. ¿Cuál es el precio de venta del televisor antes de aplicar el impuesto? 14. ¿En cuanto se venderá un sofá si su precio normal es de $840 y la tienda ofrece un 15% de descuento? 15. Un equipo de aire acondicionado fue vendido en $345 luego de aplicar un 25% de descuento. ¿Cuál era el precio normal del equipo? 16. ¿Cuál es el precio normal de un traje si se ha vendido en $245 luego de aplicar un 12.5% de descuento? 17. El costo de un alimentador para aves es de $45 y su precio de venta es de $63. ¿Cuál es el margen de utilidad sobre el costo? 18. El costo de una botella de licor es $19.25 y su precio de venta es de $25. ¿Cuál es el margen de utilidad sobre el precio de venta? 19. El precio de venta de un reloj es de $126. ¿Cuál es el costo si el margen de utilidad es de 40% del costo? 20. El precio de venta de una estufa eléctrica es de $756. ¿Cuál es el costo si la ganancia es el 35% del costo? 21. El costo de una alfombra es de $581. ¿Cuál es el precio de venta si el margen de utilidad es es 30% del precio de venta? 22. El costo de un automóvil es de $7320. ¿Cuál es el precio de venta si el margen de utilidad es el 25% del precio de venta? 23. Dos sumas de dinero que totalizan $30,000 ganan, respectivamente, 6% y 9% de interés anual. Encuentre ambas cantidades si, en conjunto, producen una ganancia de $2,340. 24. Dos sumas de dinero que totalizan $45,000 ganan, respectivamente, 6.8% y 8.4% de interés anual. Halle ambas cantidades si juntas dan una ganancia de $3,524. 25. Ines tiene $10,000 invertidos al 6%. ¿Cuánto debe invertir al 7.5% para que el interés de ambas inversiones le den un ingreso de $2,400? 26. Juan tiene $9,000 invertidos al 7%. ¿Cuánto debe invertir al 9.2% para que el interés de ambas inversiones le den un ingreso de $4,862?

174

27. La Sra. López invirtió dos sumas iguales de dinero, una de 5.25% y la otra de 7.75%. ¿Cuánto invirtió en total si su ingreso por interés fue de $1040? 28. El Sr.Rico realizó dos inversiones cuiya diferencia es de $18,000. La inversión menor es al 7.8% y la mayor al 8.6%. determine las cantidades invertidas si el ingreso anual total por intereses es de $2,860. 29. El Sr. Braulio invirtió una parte de $40,000 al 6.2% y el resto al 7.4%. Si su ingreso por la inversión al 7.4% fue de $1,328 más que el de la inversión al 6.2%, ¿qué tanto estaba invertido en cada tasa? Respuesta a los problemas impares: 1) 12.5%; 3) 5%; 5) $81; 7) $504,000; 9) $18,840; 11) $6,470; 13) $740; 15) $460; 17) 40%; 19) $90; 21) $830 23) $12,000 a 6%; $18,000 a 9%; 25) $24,000; 27) $16,000; 29) $12,000 a 6.2%; $28,000 a 7.4%

C) Problemas de mezclas 1. ¿Cuántos galones de agua deben agregarse a 2 galones de una solución de sal al 10% y agua, para producir una solución al 4%? 2. ¿Cuántas onzas de alcohol deben añadirse a 100 onzas de una solución al 12% de yodo en alcohol para obtener una solución al 8% de yodo? 3. ¿Cuántos litros de una solución de sal al 30% deben agregarse a 10 litros de igual solución al 16% para producir una al 20%? 4. ¿Cuántas onzas de una solución de yodo al 16% deben añadirse a 60 onzas del mismo tipo de solución al 3% para obtener una al 8%? 5. ¿Cuántas pintas de una solución con desinfectante al 4% deben agregarse a 20 pintas de otra igual al 30% para obtener una al 12%? 6. ¿Cuántos litros de una solución de ácido al 80% deben añadirse a 15 litros de igual solución al 6% para hacer una al 20%?

175

7. Un hombre mezcló 100 libras de una aleación de cobre al 90% con 150 libras del mismo tipo de aleación al 60%. ¿Cuál es el porcentaje de cobre en la mezcla? 8. Un platero mezcló 20 kilogramos de una aleación de plata al 70% con 55 kilogramos de la misma aleación al 40%. ¿Cuál es el porcentaje de plata en la mezcla? 9. Susana mezcló 800 gramos de una solución de yodo al 6% con 700 gramos de una solución del yodo al 9%. ¿Cuál es el porcentaje de yodo en la mezcla? 10. Jaime mezcló 45 litros del mismo tipo de solución al 18% con 60 litros de una al 32%. ¿Cuál es el porcentaje de ácido en la mezcla? 11. Rodrigo mezcló 60 libras de una aleación de aluminio al 30% con 140 libras de la misma aleación. ¿Cuál es el porcentaje de aluminio en la segunda aleación si la mezcla es de 65% de aluminio? 12. Un químico mezcló 200 gramos de una solución de yodo al 30% con 500 gramos de otra solución de yodo. ¿Cuál es el porcentaje de yodo en la segunda solución si la mezcla es de 20% de yodo? 13. Margarita mezcló 30 litros de una solución desinfectante al 46% con 55 litros de otra. ¿Cuál es el porcentaje de desinfectante en la segunda si la mezcla contiene 24% de desinfectante? 14. René mezcló 42 kilogramos de una aleación de cobre al 80% con 78 kilogramos de otra aleación. ¿Cuál es el porcentaje de cobre en la segunda aleación si la mezcla es de 57.25% de cobre? 15. Julia mezcló una aleación de plata al 40% con otra, al 90%, para hacer una al 75%. Si hay 20 onzas más de la aleación al 90% que la de 40%, ¿Cuántas onzas hay en la mezcla total? 16. Un agricultor mezcló un fertilizante que contiene 20% de nitrógeno con otro de 60% para hacer un fertilizante con 34% de nitrógeno. Si hay 36 kg menos del fertilizante de 60% que del de 20%, ¿Cuántos kilogramos hay en la mezcla total?

176

17. Una planta procesadora de alimentos desea producir 1020 litros de salsa de tomate con 30% de azúcar. Si tienen una salsa con 16% de azúcar y otra con 50%, ¿Qué cantidad de cada clase de salsa deben de emplear?

Respuesta a los problemas impares: 1) 3 galones; 3) 4 litros; 5) 45 pintas; 7) 72%; 9) 7.4%; 11) 80%; 13) 12%; 15) 50 onzas; 17) 600 litros al 16%; 420 litros al 50%

D) Problemas de valor monetario 1. Pedro tiene $3.40 en monedas de 5¢ y 10¢. Si dispone en total de 47 monedas, ¿cuántas de cada clase posee? 2. Rosa tiene $4 en monedas de 5¢ y 25¢. Si posee un total de 32 monedas, ¿cuántas tiene de cada clase? 3. Raymundo tiene $7.60 en monedas de 10¢ y 25¢. Si en total dispone de 40 monedas, ¿cuántas de cada clase posee? 4. Leonor tiene 6 monedas más de 25¢ que de 10¢. Si el valor total es de $9.20, ¿cuántas tiene de cada clase? 5. Raquel posee 8 monedas más de 5¢ que de 10¢. Si el valor total es de $3.10, ¿cuántas monedas de cada clase posee? 6. Gerardo compró $8.7 dólares de estampillas de 15¢ y 25¢. Si adquirió 42 de éstas en total, ¿cuántas de cada clase compró? 7. Ramiro tiene 99 dólares en billetes de $1, $5 y $10. Hay 26 de ellos en total y la cantidad de billetes de $1 es el doble de la de $5. ¿cuántas tiene de cada clase? 8. Alma tiene $13 dólares en monedas en monedas de 5¢, 10¢ y 25¢. Si en total posee 92 monedas y el número de éstas de 10¢ es el doble del de 5¢, ¿cuántas posee de cada clase?

177

9. Nora tiene el doble de monedas de 25¢ que de 5¢ y tiene 3 más de 5¢ que de 10¢. Si el valor total de las monedas es $8.15, ¿cuántas tiene de cada clase? 10. Naty compró $9.20 dólares de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total de 50. Si la cantidad de las de 25¢ que compró es el doble de la correspondiente a las de 15¢, cuántas estampillas adquiró de cada clase? 11. Eduardo compró $5.75 dólares de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total de 39. Si la cantidad de estampillas de 15¢ es el triple de las de 10¢, ¿cuántas consiguió de cada clase? 12. Doroteo compró 11 dólares de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total de 58. Si la cantidad de 25¢ es el cuádruplo de las de 15¢, ¿cuántas obtuvo de cada clase? 13. Un abarrotero mezclal 2 clases de nuez, una vale $2.59 la libra y, la otra, $3.99. Si la mezcla pesa 84 libras y vale $3.09 la libra, ¿cuántas libras de cada clase utiliza? 14. Un tendero mezcla 2 clases de grano de café, uno vale $2.79 la libra y el otro $3.09. Si la mezcla pesa 400 libras y se vende $3.09 la libra, ¿cuántas libras de cada clase de grano emplea? 15. Un confitero mezcla caramelo que vale 139¢ la libra con otro a 84¢ la libra. Si la mezcla pesa 240 libras y se vende a 177¢ la libra, ¿cuántas libras de cada clase de caramelo usa? 16. ¿Cuántas libras de té de $4.59 la libra deben mezclarse con 27 libras de un té de $3.79 la libra para producir una mezcla con un precio de $3.99 la libra? 17. Micaela compró $13.55 de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total de 62. Si hay 2 estampillas más de 15¢ que el doble de las de 10¢, ¿cuántas adquirió de cada clase? 18. Roque compró $10.70 de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total de 53. Si el número de las de 25¢ es 4 menos que el quíntuplo de las de 10¢, ¿cuántas consiguió de cada clase?

178

19. Soila Jhonson tien $7 dólares en monedas de 5¢, 10¢ y 25¢. Si posee 39 en total y hay 5 más de 25¢ que el doble de las de 10¢, ¿cuántas monedas de cada clase hay? 20. Bruno dispone de $20 dólares en monedas de 10¢, 25¢ y 50¢. Si en total tiene 110 y hay 2 menos de 10¢ que el séxtuplo de las de 50¢, ¿cuántas posee de cada clase? 21. La recaudación por la venta de 35,000 boletos para un partido de futbol americano fue de $305,500.00. Si se vendieron a $8 y $11, ¿cuántas de cada clase fueron vendidos? Respuesta a los problemas impares: 1) 26 monedas de 5¢; 21 de 10¢ 13) 54 libras a $2.59 y 30 libras a $3.99 3) 16 monedsa de 10¢; 24 de 5¢ 5) 26 monedas de 5¢; 18 de 10¢

15) 144 libras a 139¢; 96 libras a 84¢ 17) 5 de 10¢; 12 de 15¢; 45 de 25¢

7) 14 de $1; 7 de $5; 5 de $10 19) 7 de 5¢; 9 de 10¢, 23 de 25¢ 9) 13 monedas de 5¢; 10 de 10¢; 26 de 25¢

21) 26,500 a $8; $8,500 a $11

11) 8 de 5¢; 24 de 15¢; 7 de 25¢ E) Problemas de Movimiento 1. Dos grupos de boy scouts que se hallan a 25 millas entre sí, decidieron acampar juntos en cierto punto intermedio. Si uno de los grupos camina 1/3 de milla por hora más aprisa que el otro y se encuentran en 3 horas, ¿cuál es la velocidad de cada grupo? 2. Dos automóviles que están a una distancia de 464 millas entre sí y cuyas velocidades difieren en 8 mph, se dirigen el uno hacia el otro. Se encontrarán dentro de 4 horas. ¿Cuál es la velocidad de cada automóvil?

179

3. Dos automóviles parten del mismo lugar y viajan en direcciones opuestas. El primer auto hace un promedio de 45 mph y el segundo, tiene uno de 50 mph. ¿En cuántas horas se encontrarán a 570 millas entre sí? 4. Dos coches parten de un mismo punto en direcciones opuestas. Uno de ellos hace un promedio de 6 mph más que el otro. Determine las velocidades de ambos sí al cabo de 5 horas se encuentran a 528 millas entre sí. 5. Un avión a reacción que vuela a una velocidad de 750 mph va a alcanzar a otro que partió dos horas antes y que vuela a una velocidad de 500 mph. ¿A qué distancia del punto de partida encontrará el primer avión al segundo? 6. Un automóvil parte a una velocidad de 50 mph. Un segundo sale 3 horas más tarde a una velocidad de 65 mph para alcanzar al primero. ¿En cuántas horas alcanzará el segundo auto al primero? 7. Un hombre cabalgó de ida a una velocidad de 30 mph y de regreso a una velocidad de 35 mph. Su viaje redondo duró 6

horas. ¿Qué

distancia recorrió? 8. Bertha condujo su automóvil 48 minutos a cierta velocidad. Una descompostura la obligó a reducirla en 30 mph por el resto del viaje. Si la distancia total recorrida fue de 65 millas y le tomó 2 horas y 3 minutos, ¿qué distancia manejó a la velocidad baja? 9. Enrique manejó 40 millas. En las primeras 20 hizo un promedio de 60 mph y condujo las restantes 20 a una velocidad promedio de 40 mph. ¿Cuál fue la velocidad promedio del recorrido total? 10. Un hombre manejó 20 millas a una velocidad media de 30 mph y las siguientes 80 a la de 60 mph. ¿Cuál fue la velocidad promedio del recorrido total? 11. Samuel viajó en autobús a una ciudad a 60 millas de distancia y regresó a casa en su bicicleta. El autobús viajó al doble de la velocidad de la

180

bicicleta y el viaje redondo duró 4

horas. ¿A qué velocidad viajó

Samuel en su bicicleta? Respuesta a los problemas impares: 1) 4

;4

; 3) 6 h; 5) 3,000 millas;

7) 105 millas; 9) 48 mph; 11) 20 mph

F) Problemas de Geometría 1. La base de un rectángulo mide 6 pies más que su altura y el perímetro es de 96 pies. Encuentre las dimensiones del rectángulo. 2. La altura de un rectángulo mide 8 pies menos que la base. Si el perímetro del rectángulo es de 60 pies, halle las dimensiones de éste. 3. La base de un rectángulo es el triple de la altura, y el perímetro es de 256 pies. Obtenga las dimensiones del rectángulo. 4. La base de un rectángulo mide 4 pies más que el doble de la altura, y el perímetro es de 146 pies. Determine las dimensiones del rectángulo. 5. La base de un rectángulo mide 7 pies menos que el doble de la longitud, y el perímetro es de 58 pies. Encuentre el área del rectángulo. 6. La base de un rectángulo mide 10 pies más que el doble de su altura y el perímetro es de 170 pies. Halle el área del rectángulo. 7. Si dos lados opuestos de un cuadrado se incrementan en 3 pulgadas cada uno y los otro dos disminuyen 2 cada uno, el área aumenta en 8 pulgadas cuadradas. Encuentre el lado del cuadrado. 8. Si dos lados opuestos de un cuadrado aumentan 5 pulgadas cada uno y los otros dos disminuyen 3 cada uno, el área se incrementa en 33 pulgadas cuadradas. Obtenga el lado del cuadrado.

181

9. Si dos lados opuestos de un cuadrado se incrementan en 6 pulgadas cada uno y los otros dos lados disminuyen 4 cada uno, el área permanece constante. Determine el lado del cuadrado. 10. Si dos lados opuestos de un cuadrado aumentan 10 pulgadas cada uno y los otros dos disminuyen 8 cada uno, el área decrece 20 pulgadas cuadradas. Hallar el lado del cuadrado. 11. La base de un cuadrado sin marco mide el doble de su altura. Si el marco tiene 2 pulgadas de ancho y su área es de 208 pulgadas cuadradas, encuentre las dimensiones del cuadrado sin marco. 12. La base de una pintura sin marco es 3 pulgadas menos que el doble de su altura. Si el marco tiene 1 pulgada de ancho y su área es de 34 pulgadas cuadradas, ¿cuáles son las dimensiones de la pintura sin marco? 13. Un edificio ocupa un terreno rectangular que mide de largo 30 pies menos que el doble de su ancho. La banqueta que rodea el edificio tien 10 pies de anchura y un área de 4,600 pies cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que ocupa el edificio? 14. Una construcción se asienta en un terreno rectangular que mide de largo 10 pies menos que el doble de su ancho. La banqueta que rodea la construcción tiene 8 pies de anchura y su área es de 2,496 pies cuadrados. Determine las dimensiones del terreno de la construcción. 15. La longitud de un edificio es de 20 pies menos que el doble de su anchura. El alero de la azotea es de 2 pies de ancho en todos los lados del edificio y su área es de 536 pies cuadrados. Si el costo del techo por pie cuadrado es de $3.60, determine el costo total del techo. 16. La longitud de un cuarto es de 9 pies menos que el doble de su anchura. La alfombra del cuarto está a 1.5 pies de las paredes. El área de la parte descubierta del piso es de 99 pies cuadrados. Si el costo de una yarda cuadrada de la alfombra es de $162, obtenga el costo total de la alfombra. (1 yarda = 3 pies)

182

17. Un lado de un triángulo mide el doble de otro. El tercer lado ed de 6 pulgadas y el perímetro es de 18. Encuentre la longitud de cada uno de los lados. 18. La suma de la base y la altura de un triángulo es 35 pies. Encuentre el área del triángulo si su base mide 10 píes menos que el doble de su altura. 19. La suma de la base y la altura de un triángulo es 62 pies. Encuentre el área del triángulo si su altura mide 22 pies menos que el doble de su base. Respuesta a los problemas impares: 1) 21 pies, 27 pies; 3) 32 pies, 96 pies; 5) 204 pies cuadrados; 7) 14 pulgadas; 9) 12 pulgadas; 11) 32 pulgadas, 16 pulgadas; 13) 130 pies, 80 pies; 15) $16,329.60; 17) 4 pulg, 6 pulg, 8 pulg; 19) 476 pies cuadrados.

G) Problemas donde se realiza un trabajo 1. Una llave llenaría un tanque en 10 horas, y otra llave lo llenaría en 15 horas. Estando el tanque vació, ¿en cuanto tiempo se llenara, si se abren las

dos

llaves

a

la

vez?

Resp: 6 horas 2. Un hombre puede hacer cierto trabajo en 21 hr, otro hombre puede hacer el trabajo en 28 hr, y un muchaco puede hacer el trabajo en 48 hr. Encuentre cunto tiempo necesitaría para hacer el trabajo si los tres trabajaran juntos. 3. LA persona A puede pintar una casa en 10 días y la persona B puede pintar una casa en 12 días. ¿Cuánto tiempo tomaría pintar la casa trabajando los dos hombres conjuntamente? 4. Un trabajador voluntario requirió 2 horas para escribir la dirección de un grupo de sobres para un fondo de cariadad, mientras que el segundo trabajador requirió tres horas para el mismo grupo de sobres, ¿cuánto

183

tiempo tomaron los 2 trabajadores para escribir la dirección a un grupo similar de sobres? 5. Un trabajador de mantenimiento necesitó 8 horas para lavar las ventanas de cierto edificio. El mes siguiente su ayudante tomó 10 horas para lavar las ventanas. Si los dos trabajadores lo hicieran juntos, ¿cuánto tiempo tomaría en lavar las ventanas? 6. Un tanque puede llenarse con u tubo en 9 hr y con otro tubo en 12 hr. Si el tanque está vacío al empezar, ¿en cuánto tiempo se llenará el tanque de agua sí está saliendo el agua por un tercer tubo a una razón de 1 6 de la capacidad del tanque por hora? 7. Una persona A puede hacer cierto trabajo en 4 hr, B puede hacer la tarea en 6 hr, y C puede hacer la tarea en 8 hr. ¿Cuánto tiempo llevaría hacer la tarea si A y B trabajan una hora y después B y C terminan el trabajo? Respuesta a los problemas impares: 1) 6 hr; 3) 5

días; 5) 4 horas; 7) 3 hrs

184

H) En cada una de las siguientes situaciones completa los datos que faltan en la tabla para encontrar la solución. 1. Las medidas de un cartel. Un anuncio tiene impresa su parte central con forma rectangular, que mide 100 por 140 centímetros y está enmarcada con una banda de ancho constante. El perímetro del cartel es 1.5 veces el del área impresa. ¿Cuál es el ancho de la banda, y cuáles son las dimensiones del cartel?

Imagen del problema

Datos Perímetro del área impresa = (2)(100) + (2)(140) = 480 Perímetro del cartel = 1.5 veces el perímetro del área impresa = 720

Lo que se pide

Ancho de la banda = x

Dimensiones del cartel = (100 + 2x)(140 + 2x)

Perímetro = 2(100 + 2x) + 2(140 + 2x)

Ecuación

Solución Ancho de la banda =

Dimensiones del cartel =

185

2. Que tan alto es el edificio. Se desea calcular la altura de un edificio y, para tal fin, una persona de 1.80 m mide la sombra que proyecta el edificio y ésta resulta ser de 10 m, mientras que su propia sombra es de 1 m. ¿Cuál es la altura h del edificio?

Imagen del problema

Datos Sombra del edificio =

Sombra de la persona =

3.

Altura de la persona =

Lo que se pide Altura del edificio =

Ecuación

Solución

Considerando las razones entre triángulos 10

1.80 1

Altura del edificio =

186

I) ACTIVIDAD GRUPAL Formen grupos de trabajo de cuatro a cinco estudiantes y desarrollen los siguientes cálculos. Respondan en una hoja aparte y presente su información al grupo. 1. En un café internet el costo por utilización del servicio es $0.20 por minuto. a. Expresen mediante una función entre el costo y el tiempo, y grafiquen la función. b. ¿Cuál es el costo por hora de servicio? c. Si el dueño del establecimiento tiene 5 computadoras para el servicio y abre 9 horas al día, ¿Cuánto es el máximo que obtendría de ganancia por día? 2. En un billar el costo por jugar en una mesa es de $35 por hora. a. ¿Cuál es el costo por jugar t horas? b. ¿Cuál es la utilidad máxima que obtendría el dueño, del establecimiento por esa mesa, si abre 12 horas diarias. c. ¿Cuál es la utilidad que obtendría el dueño, si tiene 10 mesas? d. Si 2 jugadores ocupan la mesa y pagaron $180, ¿Cuánto tiempo jugaron?

187

Competencia  

ECUACIONES LINEALES EN DOS Y TRES VARIABLES Explicar los distintos métodos que existen para resolver una ecuación lineal en dos o tres variables. Resolución de problemas en palabras que dan lugar a una ecuación lineal en dos o tres variables.

5

Saberes

1.     

Ecuaciones lineales en dos y tres variables Método Gráfico Método por Suma y Resta Método por Igualación Método por Sustitución Método por Determinantes

2. Problemas en palabras que dan lugar a un sistema de ecuaciones lineales.

Ejercicios

1. A resolver ecuaciones lineales en dos y tres variables 2. A resolver problemas cotidianos que dan lugar a un sistema de ecuaciones lineales. 188

Saberes


Ecuaciones lineales en dos y tres variavles No. 1 Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno Mediante adquirirá la Manera didáctica exposición y habilidad para de lograrlos tareas simplificar una expresión que contenga exponentes fraccionarios

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables Los elementos del conjunto solución de una ecuación lineal constituyen una cantidad infinita de parejas ordenadas que pueden representarse gráficamente con una línea recta. Cuando de dibujan las gráficas de dos ecuaciones lineales en dos variables en un sistema de coordenadas cartesianas surge una de las siguientes posibilidades: 1. Las dos rectas coinciden 2. Las rectas no se intersecan; en tal caso se llaman rectas paralelas 3. Las rectas se intersecan precisamente en un punto. Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables Muchas veces se requiere encontrar la solución común, o conjunto solución común de dos o más ecuaciones que forman un sistema de ecuaciones. DEFINICIÓN: El conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones en dos variables que tienen la forma y es el conjunto de todas las parejas ordenadas de números que constituyen soluciones comunes a las dos ecuaciones. Es la intersección del conjunto solución de una de las ecuaciones con el de la otra.

189

1. Cuando las dos rectas se intersecan exactamente en un punto, el conjunto solución del sistema es la pareja ordenada formada por las coordenadas del punto de intersección. 2. Cuando las dos rectas coinciden, lo cual significa que al dibujarlas una recta queda sobre la otra, el conjunto solución del sistema es el de cualquiera de las ecuaciones. 3. Cuando las dos rectas no se intersecan, el conjunto solución del sistema es el conjunto vacio . Algunos de los métodos de solución son los siguientes: 1. Solución Gráfica 2. Solución por Suma y Resta 3. Solución por igualación 4. Solución por Sustitución 5. Solución por Determinantes

I.

Solución grafica

Ejemplo 1 Resolver el siguiente sistema: 2x + y = 16………………..1 x + y = 10………………..2 Se procede como sigue: En la ecuación (1) despejamos el valor de (y), colocando esta incógnita es función de (x) como a continuación se indica: y = 16 – 2x Ahora efectuamos una tabulación (damos valores a x y vemos que valores adopta y).

190

En la ecuación (2) también despejamos a (y) y tabulamos: Tabulaciones

A continuación, graficamos ambas ecuaciones (ambos lugares geométricos) en un sistema de ejes coordenados:

La solución grafica del sistema de ecuaciones simultaneas esta dada por el punto de intersección entre ambas rectas. Solución:

x=6

Comprobación:

y=4

2(6) + (4) = 16

191

II.

Solución por suma o resta

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de eliminación por suma o resta, se aplica el siguiente procedimiento: 1. Multiplicamos los dos miembros de una ecuación, o de ambas, por factores tales que igualen los coeficientes de una misma incógnita. 2. Sumamos las ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y las restamos si son del mismo signo. 3. Resolvemos la ecuación resultante del paso anterior, con lo cual obtenemos el valor de una incógnita. 4. Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales y resolvemos para la otra incógnita. Ejemplo 2 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x + y = 4 ecuación 1 + x – y = 2 ecuación 2 Sumamos ambas ecuaciones 2x = 6

3

Sustituimos en 1: Podemos hacer la comprobación (3) + y = 4 x + y = 4 3 + 1 = 4 y = 4 – 3 x – y = 2 3 – 1 = 2 y = 1 Solución: x = 3, y = 1

192

Ejemplo 3 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultaneas: X + 2y = 5………………….1 X + y = 4………………….2

Multiplicamos la ecuación 2 por (- 1) y la sumamos a la ecuación 1. Nota: Usted tiene la libertad de eliminar cualquiera de las variables, según sea su preferencia. X + 2y = 5 Sustituyendo y = 1 en ec. (2) Comprobación: ‐x –y = ‐4

1

y = 1

4

Solución:

4 Ecuación (1): 3 1 ,

2 1

5

3 5

5

1

4

Ecuación (2): 3

4

4

Ejemplo 4 Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas: 15

20

10 ………………….1

25

30

80 …………………..2

Multiplicamos la ecuación 1 por 3 y la ecuación 2 por 2 y luego las sumamos: 45

60

30

50

60

160

95

190

2

Sustituimos en ecuación 1 (porque es mi elección, pudiera ser la ecuación 2) 15 2

20

20 20

10 10

30

1

20 por lo tanto

193

III.

Solución por igualación

Para resolver un sistema de dos ecuaciones simultaneas, eliminando por el método de igualación, aplicamos el siguiente procedimiento: 1. Despejamos en cada ecuación la incógnita que se quiere eliminar. 2. Igualamos las dos expresiones del paso anterior. 3. Resolvemos la ecuación resultante de la igualación, con lo cual obtenemos el valor de una de las incógnitas. 4. Sustituimos el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita y resolvemos para ella.

Ejemplo 5. Resuelve: X + y = 12 (1 X – y = 8 (2 Despejamos a x en ambas ecuaciones e igualamos: De 1: x = 12 – y de 2: x = 8 +y Por lo tanto: Como:

12

Comprobación

12 –y = 8 + y

12

2 (10) + (2) = 12

‐y –y = 8 – 12

10 12 = 12

‐2y = ‐ 4 (10) – ( 2) = 8 2y = 4 8 = 8 y = 2

194

Resolver el sistema: 3

2

12 ecuación 1

5

3

1 ecuación 2

Ejemplo 6

Aunque pudiera despejar la x , elijo despejar la “ y “ por ilustración al alumno: De ecuación (1):

2

12

3

De ecuación (2):

3

(Se multiplicó por -1) 3

1 5

5 1

Igualamos:

6

Multiplicamos por el m.c.m. = 6

Lo cual nos da:

3 12 36

3

2 5

9

10

38

19 2

6

1

Al sustituir x = 2 en la

2

ecuación (1) despejada:

3 Solución:

,

195

IV.

Solución por sustitución:

El procedimiento es el siguiente: 1. Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones. 2. Sustituimos la ecuación que representa su valor en la otra ecuación. 3. Resolvemos la nueva ecuación con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada. 4. Sustituimos el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resolvemos la ecuación resultante.

Ejemplo 7

Resuelve: x + y = 23………………… (1

x – y = 7………………… (2 Despejamos el valor de y en la ecuación 1: y = 23 – x …………………… (3 El valor de y obtenido en la ecuación 3 se sustituye en la ecuación 2: x – (23 – x) = 7 x – 23 + x = 7 Sustituimos x = 15 en ecuación (3) 2x = 7 + 23

23

2x = 30 x = 15 Solución:

15

8 ,

196

Ejemplo 8

Resolver por sustitución el sistema:

4

9

12 ……………….. 1

2

6

1 ……………….. 2

y la sustituimos en la segunda ecuación:

De la primera ecuación, 2

6

1

6

1

Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por 2, obtenemos 9

12

12

21

2 14

Sustituyendo

resulta:

en

Solución :

y

197

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON MÁS DE DOS INCÓGNITAS Para resolver estos sistemas se pueden escoger cualquiera de los métodos vistos anteriormente. Ejemplo 9 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas: 2x – 6y – 5z = ‐11…………………. (1 10x + 9y – 3z = 50………………… (2 4x – 8y + z = 15…………………. (3

Elijo eliminar a (y) de las ecuaciones 1 y 2, multiplicamos la ecuación 1 por 9 y la ecuación 2 por 6 y sumamos ambas expresiones: + 18x – 54y – 45z = ‐ 99 60x + 54y – 18z = 300 78x ‐ 63z = 201…………….. (4 Ahora multiplicamos la ecuación 2 por 8 y la ecuación 3 por 9 y las sumamos: 80x + 72y – 24z = 400 + 36x – 72y + 9z = 135 116x ‐ 15z = 535 ………. (5

Ahora hagamos simultáneas las ecuaciones 4 y 5. Eliminemos a z multiplicando la ecuación 4 por (- 15) y la ecuación 5 por 63 y luego sumemos: ‐1170x + 945z = ‐ 3015 7308x – 945z = 33705 6138x = 30690

198

x 

30690 por lo tanto 6138

5

Sustituimos en 5: Sustituimos en 1: 116(5) –15z = 535 2(5) – 6y – 5(3) = ‐11 580 – 15z = 535 10 – 6y – 15 = ‐ 11 ‐15z = 535 – 580 ‐6y ‐5 = ‐11 ‐15z = ‐ 45 ‐6y = ‐11+5 15z = 45 ‐6y = ‐6 z = 3 y = 1 ,

Solución:

,

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS POR DETERMINANTES (Regla de Cramer) Antes de entrar a la resolución de ecuaciones simultaneas por determinantes, veamos que es un determinante y como se resuelve. Determinante de segundo orden. Es la ordenación cuadricular de 4 números y se desarrolla de la manera siguiente.

Calcula el valor del siguiente determinante:

3 2

5 7

3 7

5

2

21

10

31

199

Determinante del tercer orden. Es una ordenación cuadricular de números, que consta de 3 columnas y 3 renglones .

El desarrollo de un determinante de tercer orden es el siguiente: (Se repiten las

dos primeras columnas)

-

-

-

+

+

+

Calcula el valor del siguiente determinante: 2 10 4

2 10 4

6 9 8

2 9 1 18

72

2 10 4

5 3 1

6 400

6 9 8

6 9 8

3 1 180

48

5 3 1

2 9 1 5 9 4

5 10 60

8

6

3 4

2

3

5 9 4

5 10 8

8

6 10 1

2

3

8

6 10 1

682

El determinante vale

200

Veamos ahora la aplicación de los determinantes a la resolución de sistemas de ecuaciones simultáneas. El procedimiento es el siguiente: 1. Se ordenan las ecuaciones de tal modo que las constantes aparezcan en el miembro de la derecha y las variables en el de la izquierda. 2. Calculamos el valor del determinante formado por la ordenación cuadricular de los coeficientes de las incógnitas; a dicho determinante le llamaremos ∆ (delta). 3. En el determinante ∆ sustituimos la primer columna (correspondiente a los coeficientes de la primer incógnita por la columna de las constantes de las ecuaciones y calculamos el valor de este nuevo determinante al cual le llamaremos ∆x (delta equis). Si sustituimos la segunda columna en delta por la columna de las constantes, entonces tendremos a ∆y (delta ye) y así sucesivamente Aplicando la siguiente formula (regla de Cramer) ∆ ∆

,

∆ ∆

,

∆ ∆

Nota: Si en lugar de x, y, z las incógnitas tuvieran otras literales, únicamente haremos las modificaciones pertinentes.

Ejemplo 10 Resuelve por determinantes el sistema siguiente: 2X + 3Y = 8 3X ‐ Y = 1 ∆

2 3

3 1

2

1

3 3

2

9

11

∆

8 1

3 1

8

1

3 1

11

201

2 3

∆

8 1

2 1

3 8

22

 x 11  y  22 x    1 y   2  11   11

X = 1 Y = 2

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas por

Ejemplo 11 determinantes:

2x – 6y – 5z = ‐11…………………. (1 10x + 9y – 3z = 50………………… (2 4x – 8y + z = 15…………………. (3

∆

2 10 4

6 9 8

5 3 1

682 Nota: El alumno debe verificar el valor de los determinantes

Por lo tanto, la solución es:

∆

11 50 15

6 9 8

5 3 1

3410

5 3 1

682

∆

2 10 4

11 50 15

∆

2 10 4

6 9 8

11 50 15

2046

∆

∆

∆

5

1

3

202

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES QUE CONTIENEN SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN Y FRACCIONES Cuando alguna o ambas ecuaciones contienen símbolos de agrupación, se aplica la ley distributiva para eliminarlos. Se escriben ecuaciones equivalentes de la forma y, luego, se resuelve.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

Ejemplo 12

2

3

4

13 y 5 2

3

19

Solución: Se simplifican ambas ecuaciones separadamente: 2

3 3

3

11

4

2

13 5 2

8

13 10

13 ……………. Ec. (1) 7

3 5

5

3

19 19

19 ………………Ec. (2)

Resolvemos ahora el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2) 7

77

7

5

91 Ec. (1) multiplicada por 7 19

72 Sustituyendo

72 1 1 en la ecuación (1) tenemos, 11 1 2

El resultado es

,

13

203

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

Ejemplo 13

7 ;

13

Solución: Multiplicamos la primera ecuación por 4, y la segunda por 12, lo cuál da: 2

3

28 10 20

30

9

10

156 3 27

30

47 Sustituyendo

280 468 188

4

4 en cualquier ecuación da:

2 4

3

28

12

204


A resolver ecuaciones lineales en dos y trtes variables No. 1 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden Manera Responsabilidad didáctica de Ejercicios y tareas sobre el lograrlas tema  Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.  Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas

EJERCICIOS I. Resuelve por método grafico los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas: 1.

x y 5 x y 4 x y 3 3x  2 y  7 3x  y  4 2. 3. 4. 5. x  y 1 x y 2 x  y 1 3x  y  5 x  3 y  2

II. Resuelve por el método de eliminación por suma o resta los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas: 6.

x y 2 4x  y  6 x  2y  6 6 x  7 y  10 2x  y  3 7. 8. 9. 10. 2x  y  1 3x  y  1 x  3y  8 8 x  13 y  6 3x  2 y  8

11.

x  3 y  2 2 x  7 y  26 5x  2 y  3 4x  3y  6 12. 13. 14. 3x  5 y  6 5x  y  9 7 x  3 y  10 3 x  5 y  19

205

III. Resuelve por método de eliminación por igualación los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas: 15.

x  y  5 5x  y  1 x  2y  2 4x  5 y  2 16. 17. 18. x  4 y  10 3x  y  7 x  3y  7 5 x  3 y  21

19.

2 y  11x  67 3x  7 y  2 4x  3 y  5 2x  3 y  5 20. 21. 22. 2 x  5 y  20 7 x  8 y  2 3x  2 y  3 3 x  4 y  18

IV. Resuelve por el método de eliminación por sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas: 23.

5y  x  7 3x  y  0 x  4y  5 x  3 y  2 24. 25. 26. 5x  3 y  3  2 x 2x  y  5 3 x  4 y  17 3 x  5 y  6

27.

7 x  6 y  17 x  y  37 2x  y  y  6 28. 29. x  2y  4y  3 3x  y  18 2 x  3 y  31x  13 y

V. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquiera de los métodos de eliminación:

x  y  z  12

2x  4 y  2z  0

3x  y  2 z  9

30. 2 x  2 y  2 z  3 31. 3 x  5 y  3 z  4 32. 4 x  3 y  z  19

x  7 y  2 z  7

x  3y  z  7

 x  2 y  z  8

x yz 7

x  y  z  14

x y  z

33. x  y  z  1 34. 2 x  z  y  9 35. x  y  6  z

yzx3

5x  2 y  z  6

y  x  (4  z )

VI. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas por el método de determinantes.

3x  2 y  4 z  1 2x  y  4 3x  y  5 4 x  3 y  2 36. 37. 38. 39. 4 x  y  5 z  2 3x  4 y  1 2x  3 y  7 x y40 2 x  3 y  Z  6 206

VII. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquiera de los métodos que usted quiera. 40 2

3

3 2

4

1

4

42. 4

1

4

0 41. 3

2

19 43. 3

5

4

3

9 4

44. 3

2 2

3

4 45. 2 3

2

46. 3 2

48. 3 2 6

4 2

2

3

7

6

2

7 4

26 3 2

3

7

2

2 3

11 49. 5

35

7

22 4

4

4

2

26 47. 3

4 3

2

2

17 2

3 2

2

3

3 2

3

7

2

3 2

3

2 2

2 5

21 2 2

50.

51.

4

21

9

52.

53.

VIII. Aquí tienes más ecuaciones para que practiques por el método que gustes: 54. 3

0 55.

2

5 3

4 4

5 56. 17

4

3 57. 3 2 3

1 2

7

207

3 59.

58. 2 3

3

9 6

62. 2

3

12 63. 7

4

5

2

12 60. 2 19 3

6

20 3 2 67.

66. 2

4 9

6

7 69. 15

5 3

5

6 8

8

83 71. –

7

5

7

126 5

4

4

3

17 8

6

8

3

2

2

4

16 7 2

10 9

5

67 75. – 3

1 5 7

1 72. 2

4

61 74. – 5

7

1

1 68. 4

3

4

3

6 11

70. 8

5

2

18 7

8 2

9

27 1 65. 5

7

5

2

1

17 64. 3

6

73. – 3

4 61. 3

5 5

18 5

5

83

7 3

99 7

33

64 2

9

9

21 4

9

9

128

15 8

9

8

96 3

5

5

45

Solución a los ejercicios impares anteriores: 1. x  3, y  1; 3. x  3, y

 2 ; 5. x 1, y 1; 7. x  1, y  2 ; 9. x  4, y  2

11. x  2, y  0 ; 13. x  1, y  1 ; 15. x  1, y  4 ; 17. x  2, y  3 ; 19. x  5, y  6 ; 21. x  1, y  3 ; 23. x  1, y  3 ; 25. x  2, y  1 ; 27. x  5, y  3 ; 29. x  3, y  0 ; 31. x  1, y  2, z  3 ; 33. x  4, y  2, z  5 35. x  10, y  5, z  1; 37. x  2, y  1 ; 39. x  1, y  3, z  1 41.

2,

4; 43.

4,

2; 45.

49.

1,

4; 51.

8,

3; 53.

57.

1,

2 59.

2,

7; 61.

67.

,

69.

,

65. 73.

6,

5,

2; 75.

5,

1,

2; 47.

15,

2;

3,

2

15 55. ,

, 9,

2,

63. ; 71.

5, 1,

3 2,

3;

3

208

Saberes Nombre


Problemas en palabras que dan lugar a un sistema No. 2 de ecuaciones lineales Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno adquirirá la Mediante Manera didáctica habilidad para exposición y resolver un de lograrlos tareas problemas cotidiano empleando una ecuación lineal en dos o tres variables.

PROBLEMAS QUE DAN LUGAR A UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS O MÁS INCÓGNITAS Muchos problemas con enunciado contienen más de una cantidad desconocida; con frecuencia la ecuación que se plantea en la resolución del problema resulta ser más sencilla si se introduce más de una incógnita. Sin embargo, antes de que el problema esté completamente resuelto, el número de ecuaciones originadas tiene que se igual al número de incógnitas empleadas.

1. Un arrendatario recibió $ 1,200 de alquiler de dos residencias en 1 año; el precio del alquiler de una de ellas era de $10 por mes más que la otra. ¿Cuánto recibió el arrendatario por mes por cada una si la casa más cara estuvo desocupada 2 meses? Solución: Sea, el alquiler mensual de la casa más cara, el alquiler mensual de la otra, entonces

209

10 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (1)

ya que una tenía un costo de $10 por mes más que la otra. Además, ya que la primera casa fue alquilada durante 10 meses y la otra por 12 meses, se sabe que 10 12 es la cantidad total recibida. De aquí que, 10

12

1200 ‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (2)

Ahora, se tienen las ecuaciones

(1) y (2) con las incógnitas

y

; se

resolverán simultáneamente por eliminación de y. El resultado es como sigue: 12

12

120 ecuación (1) por 12

10

12

1200 1320 Sustituyendo 60 por x en ecuación (1) da:

22 De este modo

60 60

10

50

50

Por tanto, la renta mensual fue de $60 y $50, respectivamente.

2. Un comerciante de tabaco mezcló un grado de tabaco que vale $1.40 por libra con otro que vale $1.80 por libra a fin de obtener 50 libras de una mezcla que vendió a $1.56 por libra. ¿Qué peso de cada calidad fue empleado? Solución: Sea,

el número de libras del de $1.40 empleado el número de libras del de $1.80 empleado

Entonces

50 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (1)

Ya que había 50 libras en la mezcla. Asimismo, 1.40

es el valor en dólares con la

primera calidad, 1.80

es el valor en dólares con la segunda calidad y también

tenemos que 1.56 50

78 es el valor en dólares de la mezcla. Por tanto,

1.40

1.80

78 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (2)

210

Ya que (1) y (2) son las ecuaciones requeridas, podemos resolverlas como sigue: 1.40

1.40

1.40

1.80

70 78 8

0.40 Sustituyendo 20 por

ecuación (1) por 1.40

20

.

en la ecuación (1), se obtiene

20

50

30

Por lo tanto, el comerciante utilizó 30 libras de $1.40 y 20 libras de $1.80 en la mezcla.

3. El doble de un número supera en 9 al triple de otro, mientras que 12 veces el segundo excede en 12 unidades al séptuplo del primero. Hallar ambos. Solución: Primer número Segundo número 2

3

9 2

3

7

12 7

12

9 ecuación (1)

12

12 ecuación (2)

Resolviendo el sistema tenemos que, 8

12

36 ecuación (1) por 4

7

12

12

48 48 Al sustituir x por 48 en cualquier ecuación resulta

29

Los números son 48 y 29

211

4. Catalina invirtió parte de su dinero al 8% y el resto al 12%. El ingreso obtenido por ambas inversiones totalizó $2,240. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso hubiera totalizado $2,760. ¿Qué cantidad de dinero había en cada inversión? Solución: Inversiones originales Inversiones intercambiadas x al 8% ; y al 12% x al 12% ; y al 8% 0.08

0.12

8

12

2

3

2240 0.12

0.08

244,000 12 61,000 …….. (1) 3

8 2

2760

276,000 69,000 ………..(2)

Al resolver las ecuaciones (1) y (2) tenemos, 4

6

9

6

122,000 ecuación (1) por 2 207,000 ecuación (2) por 3

5x = 85,000 x = 17,000 Sustituyendo x por 17,000, se obtiene

9,000

Las inversiones son $17,000 y $9,000

212

5. Si la base de un rectángulo disminuye 2 pulgadas y la altura aumenta 2, su área se incrementa en 16 pulgadas cuadradas. Si la base aumenta 5 pulgadas y la altura disminuye 3, el área aumenta 15 pulgadas cuadradas. Encontrar el área del rectángulo original. Solución: Sea la altura del rectángulo en pulgadas = x Sea la base del rectángulo en pulgadas = y Primero: Segundo: 2

2

2

2 2

16

4 2

5

16

3

15

5

3

15

15

20 5

3

30 ……… ec. (2)

10 …… ec. (1) Resolviendo las ecuaciones obtenidas, 3

3

30 ec. (1) por 3

5

3

30

2

60 30

Sustituyendo x por 30 obtenemos y = 40 Por consiguiente, el área del rectángulo original

30

40

1200

6. Si una solución de glicerina al 40% se agrega a otra al 60%, la mezcla resulta al 54%. Si hubiera 10 partes más de la solución al 60%, la mezcla sería al 55% de glicerina. ¿Cuántas partes de cada solución se tienen? Solución: Primero : Sean

40% 60% 54% 40%

60%

54%

213

60

40

54

14

6

7

0 que al dividirla entre 2 3

0 Ecuación 1

Segundo: Sean

10

10

40% 60% 55% 60%

40% 40 40

60 60

10 10

600

15

55% 55

10

55

55

5

50

3

10

550

10 Ecuación 2

Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 tenemos: 7 3

3

0 7

3

0

10 x (‐3) 9

3

30

2

Sumando resulta

30 15

Al sustituir

por 15, obtenemos

35

Las partes correspondientes a las soluciones de glicerina son 15 y 35

7. Una caja registradora contiene $50 en monedas de 5 centavos, de diez

centavos y 25 centavos. En total son 802 monedas, siendo 10 veces mayor el número de las de 5 centavos que el de las de 10 centavos. Encontrar cuantas monedas hay de cada valor. Numero de monedas de 5¢ = x Numero de monedas de 10¢ = y Numero de monedas de 25¢ = z

214

Condiciones: .05x + .1y + .25z = 50 ………………. Ecuación (1) x + y + z = 802 ……………… Ecuación (2) x = 10y ……………… ecuación (3) En esta ocasión decidimos resolver el sistemas por determinantes:

.05

.1

.25 .05

.1

1

1 1

1

 10

0 1

 10

50

.1

.25 50

.1

x  802

1

1 802

1

 1 1

 0  .1  2.5  .25  .5  0  2.15

0

 10

0

0

 0  0  2005  0  500  0  1505

 10

Por lo tanto, x 

x  1505   700   2 .15 700 monedas de 5¢

Sustituimos en 3: 10y = 700  y = 70

70 monedas de 10¢

Sustituimos en 2: (700) + (70) + z = 802 z = 32

32 monedas de 25¢

215


A resolver problemas cotidianos que dan lugar a un No. 2 sistema de ecuaciones lineales. Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden Manera Ejercicios y tareas sobre el Responsabilidad didáctica de lograrlas tema  Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.  Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas

I.

RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS USANDO UN SISTEMA LINEAL EN DOS VARIABLES 1. El doble de un número supera en 9 al triple de otro, mientras que 12 veces el segundo excede En 12 unidades al séptuplo del primero. Hallar ambos. 2. El doble de un número es 4 unidades menor que otro, mientras que el quíntuplo del primero es 3 unidades menor que el doble del segundo. Halle los dos números. 3. El triple de un número supera en 1 a otro, mientras que el quíntuplo del primero es 4 unidades menor que el doble del segundo.. Encuentre ambos números. 4. Marcos invirtió parte de su dinero al 12% y el resto al 15%. El ingreso por ambas inversiones totalizó $3000. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso habría totalizado $2940. ¿Qué cantidad tenía en cada inversión? 5. El precio del boleto de avión México-Guadalajara es de $850 para adulto y de $500 para niño. Si se vendieron un total de 50 boletos y se obruvieron ingresos por $36,900, ¿cuántos adultos y cuántos niños viajaron en el avión? 216

6. El restaurante Los Comales paga a sus camateros $500 a la semana más las propinas que promedian $100 por mesa. El restaurante Las Cacerolas paga $1,000 a la semana pero las propinas promedian sólo $50 por mesa. ¿Cuántas mesas " " tendría que atender un mesero de modo que su salario semanal " " fuera el mismo en ambos restaurantes?

7. Una notaria cobra $3500 por elaborar un título de propiedad y $2000 por el acta constitutiva de una empresa. En un mes realizó un total de 22 operaciones que representaron un ingreso de $53,000 por estos conceptos, pero en sus registros no se anotó cuántos títulos de propiedad y cuántas actas constitutivas se elaboraron y ahora se requiere conocer esos datos; Obténlos a partir de la información requerida. 8. Si 6 libras de naranjas y 5 libras de manzanas cuestan $4.19 dólares, mientras que 5 libras de naranjas y 7 de manzanas cuestan $4.88 dólares, determina el presio por libra de cada fruta. 9. Si 5 libras de almendras y 4 de nueces cuestan $30.30 dólares, mientras que 8 libras de almendras y 6 de nueces cuestan $47.20 dólares, determinar el precio por libra de cada producto. 10. Si 12 libras de papas y 6 de arroz cuestan $7.32 dólares, mientras que 9 libras de papas y 13 de arroz cuestan $9.23 dólares, ¿cuál es el precio por libra de cada producto? 11. Si 10 paquetes de maíz y 7 de chícharos cuestan $12.53, mientras que 7 de maíz y 9 de chícharos cuestan $12.52 dólares, halle el precio por paquete de cada producto. 12. Si la longitud de un lote rectangular disminuye 10 pies y la ancura aumenta 10, el área del lote se incrementa en 400 pies cusdrados. Si la longitud aumenta 10 pies y la anchura disminuye 5, el área del lote permanece constante. Halle el área del lote original. 13. Si la base de un rectángulo aumenta 2 pulgadas y la altura disminuye 2, el área disminuye 16 pulgadas cuadradas. Si la base disminuye 1 pulgada y la altura aumenta 2, el área se incrementa en 20 pulgadas cuadradas. Determine el área original del rectángulo.

217

14. Un ganadero ha vendido 60 terneras y 240 ovejas a un comprador por $17,160 dólares, y con los mismos precios ha vendido 40 terneras y 180 ovejas por $12,240. Encuentre los precios por cabeza de cada una de las especies de animales vendidos. 15. Un hombre tiene dos inversiones, una que le deja anualmente un interés de 3% y otra de 4%. El ingreso anual total causado por las inversiones es $170. Si se intercambiaran las razones de interés, el interés total anual sería de $180. Encuentre el monto de cada inversión. 16. Si una aleación de plata al 8% se combinara con otra al 20%, la mezcla contendría 10.4% de plata. Si hubiera 10 libras menos de la aleación al 8% y 10 más de la aleación al 20%, la mezcla resultaría al 12.8% de plata. ¿Cuántas libras de cada aleación se tienen.

17. Si una solución de ácido al 20% se agrega a otra al 50%, resulta una mezcla al 38%. Si hubiera 10 galones más de la solución al 50%, la nueva mezcla resultaría al 40% de ácido. ¿Cuántos galones se tiene de cada solución? 18. Una empresa constructora cobra $350 por elaborar un plano y $600 por un diseño. En un año registró haber efectuado 420 operaciones que representaron un ingreso de $207,000, ¿cuántos planos elaboró? 19. El precio de entrada a un espectáculo es $40 por adulto y $10 por niño. Si se vendieron en total 450 boletos y se obtienen ganancias por $9000, ¿cuántos niños entraron al espectáculo?

II.

RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS USANDO UN SISTEMA LINEAL EN TRES VARIABLES

20. Encuentre tres números tales que la suma del primero y segundo es 67, la suma del primero y tercero es 80, y la suma del segundo y el tercero es 91. 21. La suma de tres ángulos de un triángulo es 180°. La suma de dos de los ángulos es igual al tercer ángulo y la diferencia de los dos ángulos es igual a 2/3 del tercer ángulo. Encuentre los ángulos.

218

22. Un hombre realiza tres inversiones de un total de $24,000 con razones de interés de 6%, 7% y 8% anual. El ingreso tatal anual es de $720 y el ingreso de la inversión al 7% es $40 menos que el ingreso combinado de las otras dos inversiones. Encuentre el monto total de cada inversión. 23. La biblioteca de una escuela gastó $895 en la compra de 40 libros en total, correspopndientes al las asignaturas de matemáticas, geografía e inglés. En la “Librería Cristal” los precios son: $28 cada libro de matemáticas, $25 de geografía y $15 el de inglés. Si los hubiera comprado en la “Librería Quijote” habría gastado $915 en la adquisición del mismo número de libros, pero a un precio de $31 cada libro de matemáticas, $24 de geografía y $14 el de inglés. ¿Cuántos libros de matemáticas, geografía e inglés se adquirieron? 24. Armando ha pagado en el supermercado un total de 1560 pesos por 240 litros de leche, 60 kg de azúcar y 120 litros de aceite. Calcula el precio de cada artículo, sabiendo que 10 litros de aceite cuestan el triple de 10 litros de leche y que 10 kg de azúcar cuestan igual que 40 litros de aceite más 40 litros de leche. 25. En la caja fuerte del abuelo hay 50,000 pesos en billetes de $50, $100 y $200. En total son 802 billetes, siendo 10 veces mayor el número de los de cincuenta que los de cien pesos. Ayuda a mi abuelo a descifrar cuántos billetes hay en cada denominación. Respuesta a los problemas impares anteriores: 1) Los números son 48 y 29; 3) 6 y 17; 5) 34 adultos, 16 niños; 7) 6 titulos de propiedad, 16 actas contitutivas; 9) Almendras a $3.50, nueces a $3.20; 11) Maiz a 63¢, chícharos a 89¢; 13) 160 pulgadas cuadradas; 15) $3000 al 3%, $2000 al 4%; 17) 20 galones, 30 galones, 19) 300 niños; 21) 15°, 75°, 90°; 23) 15 de matemáticas, 10 de geografía y 15 de inglés; 25) 690 de $50, 69 de $100, 43 de $200 pesos.

219

Competencia   

ECUACIONES CUADRÁTICAS Métodos de solución de una ecuación cuadrática Ecuaciones que se reducen a una ecuación cuadrática Problemas en palabras que se resuelven con una ecuación cuadrática

6

Saberes 1. Métodos de solución de una ecuación cuadrática o de segundo grado  Métodos de solución:  Gráfico  Factorización  Completando el trinomio cuadrado perfecto  Fórmula General  Ecuaciones con radicales  Ecuaciones reducibles a una de segundo grado  Ecuaciones que dan lugar a ecuaciones cuadráticas 2. Problemas en palabras que dan lugar a una ecuación cuadrática.

Ejercicios

1. A resolver ecuaciones en forma cuadráticas 2. A resolver problemas en palabras por medio de ecuaciones de segundo grado

220

Saberes Nombre Instrucciones para el alumno Saberes a adquirir

Métodos de solución de una Ecuación Cuadrática o No. 1 de Segundo Grado Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno adquirirá la Mediante Manera didáctica habilidad para exposición y resolver una de lograrlos tareas ecuación cuadrática por cualquier método.

ECUACIONES CUADRÁTICAS. Definición Una ecuación con una sola incógnita es de segundo grado o cuadrática cuando después de reducida a su más simple expresión, el más alto grado de la incógnita es 2. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Toda ecuación de segundo grado con una incógnita puede reducirse en forma general: ax2 + bx + c = 0

En donde a es el coeficiente de la incógnita al cuadrado, b es el coeficiente de la incógnita a la primera potencia y c es el termino independiente. Ecuación cuadrática completa Una ecuación de segundo grado es completa cuando consta de 3 términos: uno en que aparece la incógnita al cuadrado, en otro en que aparece la incógnita a la primera potencia y en un término independiente.

221

Ecuación cuadrática incompleta: Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando carece del independiente o del término con la incógnita a la primera potencia.

término

Cuadráticas puras y cuadráticas mixtas ax2 + c = 0

Es cuadrática pura

ax2 + bx = 0 Son cuadráticas mixtas ax2 + bx + c = 0 RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS PURAS En todas las cuadráticas puras, la incógnita es igual a más menos la raíz cuadrada del cociente del término independiente cambiado de signo entre el coeficiente de x2 .

Ejemplo 1: Resuelve la siguiente ecuación: 2x2 + 7 =

5x 2  19 4

8x2+ 28 = 5x2 + 76 (se multiplicó la ecuación anterior por 4) 8x2‐ 5x2 + 28 – 76 = 0 3x2‐48 = 0 

√16

La solución es

4 ;

4

4

222

RESOLUCIÓN DE LAS CUADRÁTICAS MIXTAS INCOMPLETA

La ecuación de segundo grado en que falta el término independiente tiene una raíz nula (igual a cero), y la otra es igual al cociente formado por el coeficiente del termino en x con signo contrario entre el coeficiente de x2. 0 

ax2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 

Esta es otra solución

0 Esta es una solución

Ejemplo 2: Resuelve la siguiente ecuación: x2 – 9x = 0 Igualamos cada factor a cero x(x – 9) = 0

0

9

0 9

RESOLUCIÓN DE LAS CUADRÁTICAS MIXTAS COMPLETAS.

Métodos para resolver cuadráticas mixtas incompletas

Método Gráfico Factorización Completando el cuadrado Por Fórmula General

223

Resolución de cuadráticas mixtas completas por el método grafico Procedimiento: 1. Igualamos la cuadrática a una nueva variable (y) 2. Tabulamos: dando valores a x calculamos los valores que adopta y. 3. Graficamos. 4. Los valores de x para los cuales y vale cero, serán las raíces solución de la ecuación.

Ejemplo 3: Resolver por el método gráfico 1. Sea

2

2

8

0

8

2. Se hace hace una tabla de valores de que corresponden a los valores asignados de conforme se muestra en la siguiente tabla: 3. Usar los pares de valores que aparecen en la tabla como coordenadas de los puntos en el sistema de coordenadas rectangulares. 4. Dibujar la curva a través de estos puntos. La gráfica resultante es una parábola. Ver la figura. Las soluciones o raíces de la ecuación son los puntos en donde 0, ya que esto conduce a la ecuación original 2 8 0 . En la tabla podemos ver que las raíces son:

y

224

Resolución de cuadráticas mixtas completas por factorización Procedimiento: 1. Factorizamos la ecuación. 2. Igualamos cada sector a cero y resolviendo para la incógnita en cada caso obtenemos las raíces de la ecuación.

Ejemplo 4: Podemos comprobar el resultado de la ecuación anterior, resolviéndola por factorización. 2

4

4

8

0

2

0

4

4

0 2

0

2 2

Ejemplo 5: Resuelve la siguiente ecuación: 2x

2

 5x  3  0

(x – 3) (2x + 1) = 0 

x1  3

x – 3 = 0  x 2  

1 2

2x + 1 = 0

225

Resolución de cuadráticas mixtas completando el cuadro Ejemplo 6: Resuelve la siguiente ecuación: x2 + 6x – 16 = 0 1. Cambiar el término independiente al segundo miembro: x2 + 6x = 16 2. Agregar a cada miembro de la ecuación la mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado (la mitad de 6 es 3, que el cuadrado de 9, por lo tanto,

x2 + 6x + 9 = 16 + 9 x2 + 6x + 9 = 25 3. Como el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto, lo sustituimos por un binomio al cuadrado:

( x  3)2  25 4. Sacamos raíz cuadrado a ambos lados de la ecuación, y obtenemos: 3

5 3

5

Por lo tanto las raíces son: 3 3

5 5

226

Ejemplo 7: Resuelve la siguiente ecuación: 2x2 + 9x – 5 = 0 En este caso, primero dividimos la ecuación entre 2 para que el coeficiente de x2 sea la unidad. 0 1. Cambiar el término independiente al segundo miembro:

2. Agregar a cada miembro de la ecuación la mitad del coeficiente de x elevado al / cudrado: (la mitad de es que al elevarlo al cuadrado da . /

3. Como el lado izquierdo de la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto, lo sustituimos por un binomio al cuadrado:

4. Sacamos raíz cuadrado a ambos lados de la ecuación, y obtenemos

Por lo tanto las raíces son: 5 227

Resolución de cuadráticas mixtas completas por formula general Deducción de la formula general. La formula general se deduce al resolver la ecuación literal.

ax2  bx  c  0 Por el método de completar cuadrado:

b c x 0 a a b c x2  x   a a 2 b b c b2    x2  x  a a 4a 2 4a 2 x2 

b   4 ac  b 2    x 2a  4a 2  2

x

b b 2  4 ac  2a 4a 2

x

b  2a

b 2  4 ac 2a

b  2a

b 2  4 ac 2a

x

Formula general

 b  b 2  4ac x 2a

228

La naturaleza de las raíces puede deducirse a partir del valor numérico del radicando (b2- 4ac), también llamado discriminante, de acuerdo con las siguientes reglas: 1.

Si (b2 -4ac) > 0. y además cuadrado perfecto,

b 2  4ac

Es racional: las raíces son reales, desiguales y racionales. 2.

Si b2 -4ac)> 0, ser cuadrado perfecto,

b 2  4ac

Es irracional; las raíces son reales, desiguales e irracionales 3.

Si (b2 -4ac) = 0, las raíces son reales e iguales y cada raíz vale – b/2a.

4.

Si (b2

–

4ac) < 0, entonces

b 2  4ac es imaginario: las raíces son

complejas.

Ejemplo 8: x2 – 8x + 15 = 0

X =

;

 b  b 2  4ac 2a h ;

 (8)  ( 8) 2  4(1)(15) X = 2(1)

8  64  60 2 8 4 x  2 82 x 2 x

10 5 2  6 x2   3 2 x1 

229

Ejemplo 9: Resolver la ecuación cuadrática siguiente: 5x2 – 24x -5 = 0 x

x

 ( 24 )  ( 24 ) 2  4(5)( 5) 2 ( 5) 24  576  100 10

24  676 10 24  26 x 10 x

5

ECUACIONES QUE COMPRENDEN RADICALES DE SEGUNDO ORDEN Ejemplo 10: Resuelve la siguiente ecuación 2x 2  2x  1  2x  3  0

Cambiamos el segundo miembro de la ecuación a los términos que no tienen radical. 2 x 2  2 x  1 = 2x -3

Elevamos ambos miembros al cuadrado: 2x2- 2x +1 = (2x -3)2 2x2 -2x +1 = 4x2 -12x +9 2x2- 2x +1 - 4x2 +12x -9 = 0 - 2x2 +10x -8 = 0

multiplicando por -1 y dividiendo entre 2

x2-5x +4 = 0 230

(x-4)(x-1) = 0 x -4 = 0

x=4

x-1=0

x=1

¡Muy importante! Los valores obtenidos no significan que sean las soluciones pedidas. Tenemos que comprobar estos valores sustituyéndolos en la ecuación original, debido a que se pudieron ver introducido raíces extrañas. Comprobación: Al sustituir el valor de x = 4 en la ecuación original nos da: 2(4) 2  2(4)  1  2(4)  3  0 32  8  1  8  3  0 25  5  0 00

Podemos ver que si se cumple la igualdad, por lo tanto x = 4 si es solución. Al sustituir el valor de x = 1 en la ecuación original nos da: 2(1) 2  2(1)  1  2(1)  3  0 2  2 1  2  3  0 1 1  0 20

Podemos ver que obtenemos un absurdo, por lo tanto x = 1 no es solución.

231

ECUACIONES REDUCIBLES A UNA DE SEGUNDO GRADO Ejemplo 11: Resuelve 3x4 = 2x2 + 1 Hacemos la sustitución z = x2 quedando: 3z2 = 2z + 1 3z2 - 2z – 1 = 0 z=

 ( 2)  (2) 2  4(3)(1) 2  4  12  2(3) 6

1 Pero, x2 = z, por lo tanto:

z2 =

1 3

1 1

Son cuatro soluciones.

Ejemplo 12: Resuelve 8x6 = 19x3 +27 Sustitución: x3 = z 8z2 = 19z +27 8z2 -19z – 27 = 0 19

19

35 16

19

35 16

4 8

19 2 8 54 15 16 16

27

19

√361 16

864

19

35 16

27 8 1 232

Pero como

tenemos:

; sacando raíz cúbica a ambos lados da: 1; solución

primera solución √ 1

sacando raíz cúbica a ambos lados da:

1

segunda

ECUACIONES QUE DAN LUGAR A ECUACIONES CUADRATICAS Cuando una ecuación contiene fracciones puede escribirse en una forma más simple si ambos miembros de la ecuación se multiplican por el mínimo común denominador (m.c.d.) de las fracciones presentes en la ecuación. Si una ecuación se multiplica por un polinomio en la variable, la ecuación resultante podría no ser equivalente a la original. Esto significa que la ecuación resultante puede poseer raíces que no satisfacen la ecuación original. Los valores obtenidos para la variable que satisfagan la ecuación original, son las raíces de esta. En otras palabras tenemos que comprobar los resultados obtenidos sustituyendo en la ecuación original.

EJEMPLO 13. Resolver la ecuación Solución:

4.

6

Se multiplican ambos miembros de la ecuación por 6

3 6

15

18

15

6 3 3

4

0,

esto es,

4

4 2

3 4

12

3 .

12

0 3

0

y también 2

3

0, esto es,

233

Al comprobar en la ecuación original, 6

Para

4 8

12

4

4

4

4 9

5

4

4

4

,

Por lo tanto el conjunto solución es:

EJEMPLO 14.

6

Para

Resolver

Solución: Primeramente factorizamos los denominadores

2

3

12

2

Se multiplican ambos miembros por 10

4

3

3

Que al hacer las operaciones y simplificar 2

5

3 2

2

3

0 3

0, es decir

El conjunto solución es:

4

25

10

y nos queda,

15

0

Se dividió la ecuación anterior 1

o bien

5

0 1

0, es decir

1

, 1

La comprobación se deja como ejercicio.

234

Ejercicios

Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar

Manera didácticas de lograrlas

A resolver ecuaciones en forma cuadrática No. 1 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden Manera Responsabilidad didáctica de Ejercicios y tareas sobre el lograrlas tema  Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.  Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas

I. 1.

Resuelve para x las siguientes ecuaciones por el método de factorización: 0 2. 3 0 3. 2 0 4. 7 0 0 6. 5

5. 4

0 7. 2

9. 3

6

0 10. 2

4

13.

1

0 14.

4

17.

2

0 18.

12

3

0 11. 10 0 15.

0 22.

21. 24.

2

27.

6

30.

10

33.

6

36.

2

9 8

0 25.

7

0 28.

2

24 31.

9

9

0 34.

8

1

0 37. 2

12

0 16.

3

0

2

0

0 20. 9 4

0 4

0 29.

5

36

18 32.

4

8

235

0 35. 0 38. 4

0

36

5

16

0 4

0 26.

15

6

2

0 12. 6

0 23.

15 9

0 19. 4

0 8. 3

4

0

0

10

25

4

8

0 0

39. 3

12

42. 4

3

9

0 40. 2

3

1 43. 4

48. 6

12

51. 9

6

4

0 52.

2

6

54. 2

5

3 44. 3

8

3

6 47. 3

12

5

12 50. 4

12

9

35

49. 9 1

0 41. 3

4

1 46. 6

45. 6

2

0 55. 2

3 7

0 53. 4

2

9

0 56. 6

0

18 11

0 3

0

Resuelva para

II.

las siguientes ecuaciones completando el cuadrado:

2

1. 4.

3

0 2.

7

6

12

0 5.

7

30

15 8.

4

21 9.

14

7.

72 11.

10. 13.

6

8

16.

8

0 14.

0 3.

4

0 6.

15

4 17.

2 24. 4

25. 3

32

20 26. 3

8

14 27. 5

1

5

36

1

5

0 32.

9

3

23. 2

12

24

7 21. 2

1

9

0

0

22. 2

31. 4

18

3

0 20. 2

35 29. 4

3

0 18. 2

5

24

0

6

0 15.

19. 3

28. 4

10

14

4 12.

2

3

3

8 30. 9

2

0 33.

1

5

13 2 3

0

6

0

3 2

0

Respuesta a los ejercicios impares anteriores: 1)

3,1 3)

2,5 5)

3,10 7) 1,14 9)

13) 4,2 15) 9, 4 17) 25)

, 8 27)

2,

1,0 19)

29)

,

12,2 11)

, 0 21) 31)

1, ,

2, 2

23) 33)

2, √

236

III.

Resuelve las siguientes ecuaciones mediante la fórmula cuadrática:

1.

2

0 2. 0 6. 4

5. 6 9.

3

2

0 10.

0 3. 3 3

8

0 7.

5 4

0 4. 8

3

0

0 8.

36

0

12

0 12.

18

0

0 15. 2

3

0 16. 3

1

0

0 19. 2

9

0 20. 25

0 11.

13. 4

1

0 14. 9

25

17. 5

6

0 18. 3

7

21. 4

9

0 22.

8

7

0 23.

4

3

4

0

24.

5

24

0 25.

7

12

0 26.

27.

9

20

0 28.

6

16

0 29.

2

8

30.

4

32 31.

3

18 32.

2

2

33.

2

4 34.

4

4 35.

36.

4

4 37.

6

9

0 38.

42. 8

14

15 43. 9

45. 12

9

31 46. 10

9

9

0 47. 24

48. 8

30

27 49. 3

10

6

0 50. 2

4

51. 3

6

0 53. 9

1

3

9

3

54.

√2

5 55.

√3

4 56.

57.

√7

5 58.

2√3

1 59.

0

3 12

0 41. 6

20 44. 2

0

36

19 40. 18

0 52. 5

4

2

10

2

27

6

39. 6

0

2 17

0 36

21

√5 3√2

65 3

0

6

0

2 8

237

Respuestas a los problemas impares anteriores: 2,0 3) 0,

1)

11) 2√3, 2√3 13) 17)

√

√

,

4,1 25)

33)

1

√

√

,

√

√

√5 35)

√

,

,

45)

53) √

√

15) √

,

√

√

,

Se racionalizó el denominador

,

√

, ,

,

Se racionalizó 21)

4, 3 27) 4,5 29)

43)

√

51) 57)

√5, 1 ,

,

Se racionalizó 19)

23)

41)

, 0 7) 2, 2 9) √2, √2

5)

2,4 31)

37)

47)

55)

, √

√

3,6 ,

3, 3 39)

49) ,

√

√

,

√

4√2, √2

59)

IV.

Contesta cada una de las siguientes preguntas:

1. Si el área del triangulo siguiente es 48

, ¿Cuál valor de " " ?

4

238

2. Si se sabe que el perímetro del triángulo mostrado es de 74 unidades, ¿cuál de las opciones es un valor de que satisface la condición del problema? 5

2 13

2

7 2

1

A)

B)

2 D)

C)

3. Si la resta de las áreas de los rectángulos es de 816

, ¿cuánto vale ?

60

20

V.

Resuelva las siguientes ecuaciones. Verifique el resultado.

1. √

5

3 2. √ 4 6. √3

5 . √4 8. √2

13

√

10

7

2 3. √6

2

5 7. √

1 9. √

2

√

8 3 5

4. √5 √

1

1 10. √2

6

2

3 11

√

2

2

239

5

10 . 4 13 .

7

1

0 11.

12

0 14. 4

10

9

10

0 12. 3 2

0 15. 2

5 7

12

0

4

0

Solución a los problemas de número impar: 1) 2; 3) 2,4; 5) 4; 7) No hay solución; 9) 6 11 . 1, 3 ; 13. √3 , 2 ; 15. 2, tiene solo dos soluciones reales.

VI. Resuelva las siguientes ecuaciones que dan lugar a una ecuación cuadrática:

1.

2 2. 3

4. 12

8

7. 4

5 8. 2

10. 13.

16.

18.

2

0 5.

4 3. 6 1

6. 1 9. 5

1 11.

1 12.

5 14.

5 15.

1

3

5 6 6 3

17.

19.

20.

21.

22.

23.

240

24.

25. Respuesta a los ejercicios con número impar: 1.

2,4 3.

,

5.

1

√3, 1

11.

1

√2, 1

√2 13.

21.

2

√6, 2

√6 23. 2,3 25.

√3 7.

, 1 15.

, 3 9.

2,5 17.

2,4

1,2 19.

3, 2

1,2

241

Saberes Nombre


Problemas en palabras que dan lugar a una No. 2 ecuación cuadrática Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor El alumno adquirirá la Mediante Manera didáctica habilidad para exposición y plantear un de lograrlos tareas problema cotidiano que lleve a su solución por medio de una ecuación cuadrática.

Ejemplo 1. La suma de dos números naturales es 48 y la diferencia de sus cuadrados supera en 36 al producto de los números. Encontrar ambos números. Solución: Primer número Segundo número 48 Planteamiento:

2304

48

36

96

36

48 48

48

2340

0

78

30

0

78

0, esto es,

O bien

30

0, es decir,


30

78 30 18.

Se elimina ‐78 porque no es un número natural.

242

Ejemplo 2. La diferencia de dos números naturales es 8 y la diferencia de sus recíprocos es

. Hallar los números.

Solución Primer número Segundo número

Nota:

Planteamiento:

77

8

77

2

8

77

616

77

2

16

2

16

616

0

8

308

0

14

0

22 14

22

8

0, esto es,

22

0, o sea,

14 8


22

Se elimina 22, puesto que no es número natural

Ejemplo 3. Una persona realizó un trabajo por $192 dólares. El trabajoEl trabajo le llevó 4 horas más de lo que suponía y entonces ganó $2.40 menos por hora de lo previsto. ¿En cuánto tiempo se suponía que llevaría a cabo ese trabajo? Solución: Sea horas el tiempo esperado para efectuar el trabajo. Razonamiento: La tarifa horaria que esperaba recibir, menos $2.40 es igual a la tarifa horaria real que ganó la persona.

2.40

Planteamiento: 4

192 192

768

2.4

2.4 2.4

4

192

9.6

192

9.6

768

0

4

320

0

243

20

16

20

0, es decir,

O bien

16

0, o sea,

0 20

16

El tiempo esperado para realizar el trabajo es 16 horas. Se elimina 20 porque carece de sentido.

Ejemplo 4. La base de un rectángulo mide 4 pies más que el doble de su altura. El área del rectángulo es de 448 pies cuadrados. Encontrar las dimensiones del rectángulo. Solución: Altura Base 2 Planteamiento: 2

4 4

2 2

448 448

224 16

4

0 0 14

16

0, esto es,

O bien

14

0, es decir,

0 16 14

La altura del rectángulo es 14 pies y su base es 2 14

4

32 pies.

244

Ejercicios


A resolver problemas con palabras por medio de No. 2 ecuaciones de segundo grado Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Manera Orden Ejercicios y tareas sobre el Responsabilidad didáctica de lograrlas tema  Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.  Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas

Resuelve los siguientes problemas en palabras que llevan al planteamiento de una ecuación de segundo grado para su solución.

1. El producto de dos números naturales consecutivos supera en 2 al séxtuplo del siguiente número consecutivo. Encuentre los dos primeros números. 2. El producto de dos números pares consecutivos es 10 unidades menor que 13 veces el siguiente número par. Halle los dos números. 3. La suma de dos números es 21 y de sus cuadrados es 225. Obtenga los dos números. 4. La suma de dos números es 25 y la de sus cuadrados es 317. Encuentre los números. 5. La diferencia de dos números naturales es 8 y la suma de sus cuadrados es 194. Halle los números. 6. La diferencia de dos números naturales es 9 y la suma de sus cuadrados es 305. Obtenga los números. 7. La suma de dos números naturales es 17. La diferencia de sus cuadrados supera en 19 al producto de los números. Determine dichos números 245

8. La suma de dos números es 28 y la de sus cuadrados es 16 menos que el triple del producto de los números. Halle los números. 9. La suma de dos números es 14 y la de sus recíprocos es

. Obtenga los

números. 10. La diferencia de dos números naturales es 4 y la suma de sus recíprocos es . Obtenga los números.

11. La diferencia de dos números naturales es 6 y la de sus recíprocos es

.

Halle los números. 12. Una excursión geológica costó $120 dólares. Si hubieran ido 3 estudiantes más, el costo por estudiante habría sido $2 dólares menos. ¿Cuántos estudiantes fueron a la excursión? 13. Una excursión a esquiar costó $300 dólares. Si hubieran sido 3 miembros menos en el club, el costó por persona habría sido $5 dólares más. ¿Cuántos miembros hay en el club? 14. Un hombre pintó su casa por $800 dólares. El trabajo le llevó 20 horas menos de lo que se suponía y entonces ganó $2 dólares más por hora de lo previsto. ¿En cuánto tiempo se suponía que pintaría la casa? 15. Una persona realizó un trabajo por $90 dólares. Empleó 3 horas más de lo que se suponía y entonces gano $5 dólares menos por hora de lo que esperaba. ¿En cuánto tiempo se suponía que llevaría a cabo el trabajo? 16. La base de un rectángulo mide 4 pies más que su altura y el área es de 192 pies cuadrados. Encuentre las dimensiones del rectángulo. 17. La base de un rectángulo mide 3 pies más que el doble de su altura y el área es de 189 pies cuadrados. Halle las dimensiones del ractángulo. 18. Un hombre desea construir una caja metálica abierta. Las caja debe tener una base cuadrada, los lados de 9 pulgadas de altura y una capacidad de 5,184 pulgadas cúbicas. Determine el tamaño de la pieza cuadrada de metal que debe comprar para construir la caja. 19. Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se duplica y cada uno de los otros lados opuestos se disminuye 2 pies, el área del rectángulo resultante supera en 32 pies cuadrados al área del rectángulo original. Encuentre la longitus del área del cuadrado. 20. Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se incrementa 5 pulgadas más que el doble del lado del cuadrado, y cada uno de los otros lados opuestos se disminuye en 7 pulgadas, el área del rectángulo resultante supera en 55 pulgadas cuadradas al área del cuadrado inicial. Halle la longitus del lado del cuadrado. 246

Respuesta a los problemas de número impar: 1) 7;8 3) 9;12 5) 5;13 7) 6;11 9) 6;8 11) 12;18 13) 15 miembros 15) 6 hrs. 17) a = 9 pies, b = 21 pies 19) 8 pies

247

ANEXO APRENDIENDO A DESPEJAR I.

Resuélvase las ecuaciones siguientes para la variable indicada.

1)

Despéjese a 3 3 3 3 3

2)

Despéjese r 1

1 1

248

3)

Despéjese b 2 2 2 2

4)

5)

Despéjese s

Despéjese r 3

4 3 4 3 4

249

6)

Despéjese r

4 4 4 4

4 4

4

4

4

4

4

4 2

7) De la ecuación de la constante universal de los gases (R); despejar la presión (P):

8) De la formula de fuerza gravitacional (F), despejar masa m ′ ′

′

250

′

9) De la formula de distancia (d), despejar aceleración (a): 1 2 1 2 2 2

10) De la formula de fuerza recuperadora de un Movimiento Armónico Simple (MAR), despejar T: 4 4 4

4

Simplificando: 2

251

EJERCICIOS a) De la formula de aceleración (a) , despejar v

b) De la ecuación de dilatación lineal; Longitud final L es igual a longitud inicial L mas el coeficiente de dilatación térmica (α) por el diferencial de temperatura t t ; despejar la temperatura final t :

c) De la ley de Coulomb, despejar la distancia r: ′

d) De la relación de resistencia en paralelo, despejar la resistencia 1 1 1

e) El área de un cilindro está dada por f) El nivel de energía de un objeto es variable m.

2

. Resuelva para h y r. . Resuelva para la

g) La fórmula que mida la velocidad de oscilación de una masa en un resorte es:

Donde k, es la constante del resorte. A es la amplitud o desplazamiento máximo de la masa, x es la distancia a la masa que se mueve. Despejar A. h) La formula , aparece en el estudio de la mecánica de fluidos. Despeje para la variable r y . 252

algebra_i

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