ÁLGEBRA VECTORIAL El álgebra vectorial es una de las ramas de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc. La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector ) creó los cuaterniones; y de 1844 cuandoHermann cuandoHermann Grassmann publicó Grassmann publicó su libro Die libro Die lineare lineare Ausdehnungslehre Ausdehnungslehre ( La La teoría lineal de extensión). extensión).
Conceptos básicos
Representación gráfica de la suma de dos vectores en
.
Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial (conocido también comoespacio como espacio vectorial real de dimensión n , es decir, un espacio formado por vectores por vectores de n componentes) por ser el más simple y a la vez el más usado en aplicaciones de uso. Los objetos básicos de estudio son las n-tuplas ordenadas de números reales denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con n elementos forma un espacio vectorial Así, por ejemplo, el vector (4.5, 7/11, -8) es un vector del espacio En particular, corresponde a unplano cartesiano XY cartesiano XY y y coordenadas XYZ coordenadas XYZ .
que se .
y (6, -1, 0, 2, 4) es un elemento de
.
es el espacio euclidiano provisto euclidiano provisto de un sistema de
Las operaciones básicas entre los vectores (en lo que concierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar. El producto por un escalar escalar en
sigue la regla:
La interpretación gráfica del producto por escalar es una contracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del del escalar, escalar, es decir, decir, si es mayor o menor de 1), junto con una posible posible inversión de su sentido sentido (si el el signo es negativo, es decir, si es mayor o menor de 0). Las funciones de interés para el álgebra lineal, entre los espacios vectoriales descritos, son aquellas que satisfacen las dos condiciones siguientes con la operaciones básicas para todo par de vectores y todo escalar :
Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que estamos usando corresponden a vectores de números reales, pero puede extenderse a matrices del espacio que son las matrices de números reales de tamaño . El álgebra lineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v(donde u,v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema que es equivalente a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no.
Contexto general De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades (por ejemplo, que la suma es conmutativa).(métodos cuantitativos). Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales que satisfacen las condiciones de linealidad:
A diferencia del ejemplo desarrollado en la sección anterior, los vectores no necesariamente son n-adas de escalares, sino que pueden ser elementos de un conjunto cualquiera (de hecho, a partir de todo conjunto puede construirse un espacio vectorial sobre un campo fijo). Finalmente, el álgebra lineal estudia también las propiedades que aparecen cuando se impone estructura adicional sobre los espacios vectoriales, siendo una de las más frecuentes la existencia de un producto interno (una especie de producto entre dos vectores) que permite introducir nociones como longitud de vectores y ángulo entre un par de los mismos...
Espacios vectoriales de uso común Dentro de los espacios vectoriales de dimensión finita, son de amplio uso los tres tipos siguientes de espacios vectoriales:
Vectores en R n Este espacio vectorial está formado por el conjunto de vectores de n dimensión (es decir con n número de componentes). Podemos encontrar un ejemplo de ellos en los vectores R 2 , que son famosos por representar las coordenadas cartesianas: (2,3), (3,4),...
Matrices Es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, cuyas dimensiones son descritas en las cantidades de filas (usualmente m) por las de columnas (n) que poseen. Los arreglos matriciales son particularmente estudiados por el álgebra lineal y son bastantes usados en las ciencias e ingeniería.
Espacio vectorial de polinomios en una misma variable Un ejemplo espacio vectorial está dado por todos los polinomios cuyo grado es menor o igual a 2 con coeficientes reales sobre una variable x. Ejemplos de tales polinomios son:
La suma de dos polinomios cuyo grado no excede a 2 es otro polinomio cuyo grado no excede a 2:
El campo de escalares es naturalmente el de los números reales, y es posible multiplicar un número por un polinomio:
Donde el resultado nuevamente es un polinomio (es decir, un vector). Un ejemplo de transformación lineal es el operador derivada D, que asigna a cada polinomio el resultado de derivarlo:
El operador derivada satisface las condiciones de linealidad, y aunque es posible demostrarlo con rigor, simplemente lo ilustramos con un ejemplo la primera condición de linealidad:
y por otro lado:
Cualquier espacio vectorial tiene una representación en coordenadas similar a , lo cual se obtiene mediante la elección de una base (álgebra) (es decir, un conjunto especial de vectores), y uno de los temas recurrentes en el álgebra lineal es la elección de bases apropiadas para que los vectores de coordenadas y las matrices que representan las transformaciones lineales tengan formas sencillas o propiedades específicas.
