ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN I DESARROLLO DEL TEMA I.
DE FINICIÓN
B. Método Método de agrupación agrupación de términos términos
La factorización es un proceso que consiste en transformar un polinomio en el producto indicado de sus factores primos.
Generalmente agrupamos los términos de 2 en 2 o de 3 en 3 convenientemente buscando factores comunes en cada grupo. Ejemplos:
II. FACTO CTORES RES PRI PRIMO MOS S
P = ax + bx + ay + by
Son aquellos factores que se les conoce por:
P = x(a + b) + y(a + b)
1. Presen Presenta tarr coeficient coeficientes es raciona racionales les..
P = (a + b)(x + y)
2. Ser divisi divisibles bles solo por sí mismos mismos y por la unidad unidad.. 3. Contener Contener por lo menos una variable variable..
Nota:
III. CON CONTEO TEO DE DE FACTO FACTORES RES PRIMO PRIMOS S 1. Se factoriza factoriza al máximo máximo el polinomi polinomio o dado. dado.
x2 – y2 = x + y x – y
•
x 3 + y 3 = x + y x 2 – xy + y 2
•
2. Se cuenta cuenta el el número número de "factores "factores basal basales", es", es decir, los factores que se encuentran como base de una potencia y que contengan a la variable.
3
x – y
3
2 2 = x – y x + xy + y
C. Método Método de las identid identidades ades
Ejemplos: •
•
1. Diferencia Diferencia de cuadrado cuadrados s
P(x) = 3x2y (x + y) 7 Factores primos = { x, y, x + y}. # de factores primos = 3.
•
a2 – b2 = (a + b)(a – b) Ejemplo: A = x 4 – y6 = (x2 + y3)(x2 – y3 )
P(x) = (x – 1) 1)4(x + 3)5 Factores primos = { x – 1, x + 3}. # de factores primos = 2.
x2 y3
IV. MÉTODOS MÉTODOS DE FACTO FACTORIZA RIZACIÓ CIÓN N
2. Trinomi Trinomio o cuadrado cuadrado perfect perfecto o
A. Método Método del factor común
a2 2ab + b2 = (a b)2
Se utiliza cuando cuando todos los términos del polinomio tienen un factor común.
Ejemplos:
Ejemplos: 1 . A = x2 + 2x + 1 = (x + 1) 2
A = 36x 3y2 – 12x4y + 24x5y3 A = 12x 3y (3y – x + 2x2y2 ) UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
x 1
. 2
. 1 = 2x
ÁLGEBRA
TEMA 1
ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN I DESARROLLO DEL TEMA I.
DE FINICIÓN
B. Método Método de agrupación agrupación de términos términos
La factorización es un proceso que consiste en transformar un polinomio en el producto indicado de sus factores primos.
Generalmente agrupamos los términos de 2 en 2 o de 3 en 3 convenientemente buscando factores comunes en cada grupo. Ejemplos:
II. FACTO CTORES RES PRI PRIMO MOS S
P = ax + bx + ay + by
Son aquellos factores que se les conoce por:
P = x(a + b) + y(a + b)
1. Presen Presenta tarr coeficient coeficientes es raciona racionales les..
P = (a + b)(x + y)
2. Ser divisi divisibles bles solo por sí mismos mismos y por la unidad unidad.. 3. Contener Contener por lo menos una variable variable..
Nota:
III. CON CONTEO TEO DE DE FACTO FACTORES RES PRIMO PRIMOS S 1. Se factoriza factoriza al máximo máximo el polinomi polinomio o dado. dado.
x2 – y2 = x + y x – y
•
x 3 + y 3 = x + y x 2 – xy + y 2
•
2. Se cuenta cuenta el el número número de "factores "factores basal basales", es", es decir, los factores que se encuentran como base de una potencia y que contengan a la variable.
3
x – y
3
2 2 = x – y x + xy + y
C. Método Método de las identid identidades ades
Ejemplos: •
•
1. Diferencia Diferencia de cuadrado cuadrados s
P(x) = 3x2y (x + y) 7 Factores primos = { x, y, x + y}. # de factores primos = 3.
•
a2 – b2 = (a + b)(a – b) Ejemplo: A = x 4 – y6 = (x2 + y3)(x2 – y3 )
P(x) = (x – 1) 1)4(x + 3)5 Factores primos = { x – 1, x + 3}. # de factores primos = 2.
x2 y3
IV. MÉTODOS MÉTODOS DE FACTO FACTORIZA RIZACIÓ CIÓN N
2. Trinomi Trinomio o cuadrado cuadrado perfect perfecto o
A. Método Método del factor común
a2 2ab + b2 = (a b)2
Se utiliza cuando cuando todos los términos del polinomio tienen un factor común.
Ejemplos:
Ejemplos: 1 . A = x2 + 2x + 1 = (x + 1) 2
A = 36x 3y2 – 12x4y + 24x5y3 A = 12x 3y (3y – x + 2x2y2 ) UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
x 1
. 2
. 1 = 2x
ÁLGEBRA
TEMA 1
FACTORIZACIÓN I
Exigimos más! 2 . B = 4x2 + 12xy + 9y 2 = (2x – 3y)2 Observación: 2x . 2 .
3y = 12xy
* Todo polinom polinomio io de prim primer er grado grado es es primo. primo.
3. Suma Suma y dife diferen rencia cia de de cubos cubos
VI. CRITERIOS CRITERIOS DE FACTORIZACIÓ FACTORIZACIÓN N
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab – ab + b 2 ) a3 – b – b3 = (a – (a – b)(a2 + ab + b 2 )
A. Factor común
Ejemplos:
Se denomina así al f actor repetido repetido en varios té rminos, para lo cual se eligen las bases comunes afectadas del menor exponente.
1 . P = 1 25x6 – y9 = (5x2 –y3)(25x4+5x2 y3+y6) 3
3
5x2
Ejemplo:
y3
Factorizar: 3
2
2 . A = x + 8 = (x + 2)(x – 2x + 4) 3
f(x;y) 4x3 y4 + 5x2y5 + 7x 4y7 Se observa: x 2 y4 como factor común.
3
x
Luego factorizando tenemos:
2
f(x; y) x2 y4 (4x – 5y + 7x 2 y3)
Nota: • En P(x) si la suma de coeficientes es 1 entonces (x – 1) es factor de dicho polinomio.
B. Identid Identidad ades es
Es la aplicación inmediata de algunos productos notables como:
• Si el trinomio no es cuadrado cuadrado perfecto perfecto entonces se suma y restan los terminos necesarios. Finalmente se llega a una diferencia de cuadrados.
– Diferencia de cuadrados: cuadrados: A2 – B 2 = (A + B) (A – B)
Es un proceso mediante el cual, un Polinomio se expresa como la multiplicación de otros Polinomios llamados factores.
Ejemplo: Factori zar
V. FAC ACTO TOR R PRIM PRIMO O
: P( x) 9x2 –16
Recon Reconoce ocem mos : P(x P(x)) (3x)2 – (4)2
Son aquellos polinomios literales que no se pueden
: P( x) (3x + 4) (3x – 4)
L ueg o
expresar como una multiplicación de otros polinomios literales.
– Diferen cia de cu bos
Ejemplo:
A 3 – B3 = (A – B) (A 2 + AB + B2)
* f(x ) x2 – 4 no es primo, por que se puede expresar como (x – 2)(x + 2).
Ejemplo:
* f ( x) x – 2 es primo, por que no se puede
Factori zar
factorizar.
: P( x) 27x 3 – 8
Recon Reconoce ocem mos : P(x P(x)) (3x)3 – (2)3
* f(x) 3x – 6 si es primo porque al obtener 3(x – 2)
L ueg o
: P( x) (3x – 2)(9x2 + 6x + 4)
percatese que 3 es de grado cero. – Suma de cu bos Se dice que la factorización se realiza en
cuando
A3 + B 3 = (A + B) (A 2 – AB + B 2 )
los
factores primos obtenidos presentan únicamente coeficientes enteros; mientras no se indique alguna acla-
Ejemplo:
ración ración la factorización solo se realiza en
Factori zar
UNI SEMESTRAL 2013 - III
.
2
: f( x) 8x6 + 1 ÁLGEBRA
TEMA 1
FACTORIZACIÓN I
Exigimos más! Factor Repetido: (x8 – y8)
Reconocemos : f(x) (2x 2)3 + (1)3 : f(x) (2x2 + 1) (4x4 –2x2 + 1)
Luego
Luego: f(x;y) (x8 – y8) (x 2 + y2 ) – Trinomio cuadrado perfecto Continuamos:
A2 + 2AB + B 2 = (A + B)2 2
2
A – 2AB + B = (A – B)
f(x;y) (x4 + y4) (x2 + y2 ) (x + y) (x – y) (x 2 + y2 )
2
Se uso repetidas veces diferencia de cuadrados:
Ejemplo
f(x;y) (x4 + y4) (x2 + y2)2 (x + y) (x – y)
Factorizar : f(x ) 9x4 + 6x2 + 1 N otes e
: f( x) (3x 2)2 + 2(3x2)(1) + (1)2
Luego
: f(x) (3x2 + 1)2
D. Aspa simple
Se utiliza para factorizar particularmente Polinomios de la forma: P(x) ax2n + bxn + c ó que se amolden a dicha forma.
C. Agrupación de términos
Consiste en seleccionar convenientemente los términos de tal manera que se genere algún factor común o alguna identidad.
Proceso * Descomponer los extremos. * Verificar que la suma de productos en aspa sea igual al término central.
Ejemplo: Factorizar:
Ejemplo: f(x;y)
x10 – x2y8 + x8 y2 – y10
Nos percatamos que no existe factor común en todos los términos, pero si agrupamos de dos en dos obtenemos:
Luego los factores se forman:
f(x;y) x2 (x8 – y 8) + y2 (x8 – y8)
Horizontalmente: (x – 3) (x – 4)
problemas resueltos
Problema 2
Resolución:
Problema 1 Factorizar:
Factorizar: 10x2+21y2 +29xy
5r(p4+q)–p2 (r2 +25q)
A) (rp2 –5q) (5p 2 –r)
Agrupando los términos indicados y factorizando parcialmente 2
2
= 5p (rp –5q)–r(rp –5q)
B) (5x+7y)(2x+4y)
4
B) (r p– 5q) (5 p –r) 4
2
2
= (rp –5q)(5p –r) C) (5x+7y)(2x+3y)
3
C) (rp –5q) (5p –r)
D) (5x+7y)(3x+3y)
D) (rp3 –5q) (5p 2 –r) 2
E) (rp2 –5q) (5p 4 –r) UNI SEMESTRAL 2013 - III
A) (6x+7y)(2x +3y)
2
2
Respuesta: A) (rp –5q)(5p –r)
3
E) (4x+7y)(2x+3y) ÁLGEBRA
TEMA 1
FACTORIZACIÓN I
Exigimos más! Resolución:
Problema 3
Resolución:
10x2 +29xy+21y2
Factorizar e indicar la suma de sus
factores primos.
Ordenando y aplicando el criterio de aspa doble 2
2
12a -7ab - 10b - 15a - 59b - 63 5x 2x
7y 3y
14xy + 15xy 29xy
A) 7a–3b+4 Finalmente: (5x+7y)(2x+3y)
4a 3a
12a2 –59b–6 3–7ab–10 b2+15a
B) 7a–3b +3
–5b 2b
–7 9
Finalmente (4a–5b–7)(3a+2b+9) luego factores primos: 7a– 3b+2
C) 7a–4b +2 D) 7a–5b +2
Respuesta: C) (5x+7y)(2x+3y)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Respuesta: E) 7a–3b+2
E ) 7a–3b +2
4
ÁLGEBRA
TEMA 1
ÁLGEBRA
FACTORIZACIÓN II DESARROLLO DEL TEMA
CRITERIO DE EVALUAR (DIVISORES BINÓMICOS)
Proceso: * Traza dos aspas simples
Se usa básicamente para factorizar polinomios de grado mayores o iguales a 3.
* Verificación final con los extremos, veamos en un ejemplo:
Proceso:
Factorizar:
Consiste en evaluar usando la regla de Ruff ini.
P(x;y) 15x 2 – xy – 6y2 + 34x + 28y – 16 como se encuentra ordenado.
1.er Aspa
Luego: f(x) = (x – a) q (x)
2.O Aspa
Al v alor de "a” se denomina cero del polinomio. Por ejemplo: P(x) = x3 – x2 – 4; si evaluamos en x = 2, tenemos: Verificación final (Los términos estan descompuestos)
Luego: x3 – x2 – 4 se puede expresar como: P(x)= (x – 2) (x2 + x + 2) Luego, en un esquema se tiene: (Nótese que esta factorizada) A.
Aspa doble
Se usa en f orma particular para polino mios de la forma: P(x;y) ax2m + bxmyn + cy2n + dxm + eyn + f UNI SEMESTRAL 2013 - III
P(x;y) = (5x + 3y –2) (3x – 2y + 8) 5
ÁLGEBRA
TEMA 2
FACTORIZACIÓN II
Exigimos más! B.
Aspa doble especial
Ejemplo:
Se emplea para factorizar polinomios de 5 términos con la forma: P(x) Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + F
Factorizar:
Proceso: * Se descomponen los términos extremos en 2 factores cada uno. P(x) (x2 5x 1)(x2 x 1)
* Se hace el balanceo
problemas resueltos
Problema 1
Problema 2
Problema 3
¿Cuántos factores primos tiene el polinomio:
Determine la suma de los factores primos del polinomio:
Reconocer un factor de:
P(x; y) x 7y 2x 6y 2 x 5y 3 ?
P(x) x3 x 2 x 1
B) 2
C) 3
D) 4
A) 2x + 1 C) 3x – 1 E) 2x
E) 5
UNI 2
UNI
A) 1
P(x) x5 x 1
B) 3x + 2 D) 3x + 1
UNI A) x – x – 1 B) x2 – x + 1
C) x3 – x – 1 D) x3 – x2 + 1 E) x3 + x2 + 1
Resolución:
Resolución:
De acuerdo con el criterio del factor común tenemos:
2 P(x; y) x 5 y (x 2xy y 2 )
Dando uso de los productos notables tenemos: P(x; y) x 5 y (x y)2
Por agrupación de términos tenemos: P(x) x3 x 2 ( x 1)
Con la finalidad de formar una diferencia
P(x) x2 (x 1) (x 1)
de cubos sumamos y restamos x 2.
Por el criterio del factor común:
5 P(x) x x 2 x2 x 1
P(x) (x 1) (x21)
P(x) x 2(x 3 1) x 2 x 1
Por diferencia de cuadrados tenemos:
2 x 1) (x2 x 1) P(x) x2(x 1) (x
P(x) (x 1) (x 1) (x 1)
Por el criterio del factor común:
P(x) (x 1)2 (x 1)
Finalmente los factores primos son: Aquí recon ocemos que lo s fact ores primos son: (x + 1) y (x – 1)
x, y (x y) N de factore s pr imos 3
Respuesta C)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Resolución:
P(x) (x 2 x 1) x 2(x 1) 1 P(x) (x 2 x 1)(x 3 x 2 1)
de f .p 2x 3
Respuesta E)
6
2x
Respuesta D) x 3 –
ÁLGEBRA
TEMA 2
2
x + 1
ÁLGEBRA
ECUACIONES I DESARROLLO DEL TEMA I.
ECUACIÓN
Por ejemplo la igualdad x – y = z, podemos sumar “y” a ambos miembros, con lo que resulta x = y + z.
Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en la que al menos esté presente una variable que ahora recibirá el nombre de incógnita.
•
Si se resta restan n miem miembro bro a miem miembr bro o vari varias as igual igual-dades, se obtiene otra igualdad. Por ejemplo, en la igualdad x + 5 = 7, podemos restar 5 a ambos miembros miembros con lo que se obtiene x = 2.
•
Si se se multip multiplic lican an miem miembr bro o a miem miembro bro varias varias igualdades se obtiene otra igualdad.
Notación: A(x; y;...z) y;...z ) Primer Primer miembr miembro o
B(x; y;... y; ...z) z) Segund Segundo o miembro miembro
Donde: x; y; ...; z: incógnita Una ecuación que sólo se verifique para ciertos valores de las incógnitas recibe el nombre de ecuación condicional o, simplemente, ecuación.
Por ejemplo, si se multiplican por 3 los dos miembros de la igualdad: 1 y 5x2 . 3 Se obtiene: y = 15x 2
Por ejemplo eje mplo:: • x – 1= 3 se verifica verifica solo solo para x = 2; es es una ecuaci ecuación ón condicional. • x2 – 1 = (x + 1) (x – 1) se verifica para todos los valores de x; es una identidad.
Análogamente, Análogamente, si los dos miembros de: 9 C k – 492 5 5 se multiplican por: 9
Para representar una identidad se emplea el símbolo en lugar del símbolo =.
Se obtiene: C 5 (k – 492) 9
A. Soluciones de una ecuación ecuación Las soluciones de una ecuación son los valores de las incógnitas que transforman la ecuación en una identidad, es decir, se igualan ambos miembros. Las soluciones satisfacen a la ecuación. Resolver una ecuación es hallar todas sus soluciones. Por ejemplo: x = 2 es una raíz, o solución de la ecuación x + 3 = 5, ya que sustituyendo x = 2 en esta se obtiene 2 + 3 = 5, es decir, los dos miembros se hacen iguales y la ecuación se convierte en una identidad.
•
Si se dividen dividen miembr miembro o a miem miembr bro o vari varias as igua igualldades se obtiene otra igualdad siempre que no se divida por cero. Por ejemplo, si se dividen los dos miembros de la igualdad 3x = 6 por 3, se obtiene x = 2. Análogamente, Análogamente, en en la igualdad igualdad F = ma se puede puede dividir dividir los dos dos mie miembr mbros os por m(m m(m 0) obteniéndose: a F m
B. Operacio Operaciones nes aplicadas aplicadas en la transfo transformación rmación
Fórmula:
de ecuaciones • Si se suman suman miemb miembro ro a miem miembr bro o varia variass igualigualdades, se obtiene otra igualdad. UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
La fórmula es una ecuación que expresa un hecho general, una regla o un principio. 7
ÁLGEBRA
TEMA 3
ECUACIONES I
Exigimos más!
II. ECUACI ECUACIÓN ÓN LINEAL LINEAL O DE PRIMER PRIMER GRA GRA-DO CON UNA INCÓGNITA Forma General:
Aplicando el teorema: teorema: a2 = b 2 a = b a = –b (x – 1)2 2 x – 1 2 x – 1 – 2
ax + b = 0 ; a 0 ; en donde a y b
x 1 2 x 1 –
son constantes arbitrarias. Como primer primer paso para la resolución de esta ecuación ecuación transponemos “b” al segundo miembro obteniéndose así la ecuación equivalente.
2
C.S. {1 {1 2; 1 – 2 } Observación:
ax = b
La aplicación de este teorema nos conduce a la demostración de la fórmula de las soluciones o raíces de una ecuación de se-gundo grado.
Después dividimos ambos miembros entre “a”, obteniéndose otra ecuación equivalente que es la solución de la ecuación dada:
B. Fórmula órmula gene general ral 2 Sea: Sea: ax + bx + c = 0 Donde: a 0
x–b a Si este valor de “x” se sustituye en ax + b = 0 obtendremos la identidad:
Para encontrar las soluciones necesitamos seguir los siguientes pasos:
a – b b 0 a
Factorizamos el coeficiente de x 2:
–b + b = 0
ax 2 bx b x c 0 x 2 b x c 0 a a
Teorema: La ecuación lineal con una incógnita ax + b = 0, a 0
x2 b x c 0
Tiene solución única:
Sumar y Restar la mitad del coeficiente de x:
a
2 1 b b b elevado al cuadrado: 2a 2 a 2a
x–b a
III. III . ECUACIÓ ECUACIÓN N DE SEGUNDO SEGUNDO GRADO GRADO CON UNA INCOGNITA
2
2
2
b b b2 c b b c x2 x – 0 x – 0 a 2a 2a 2a a 4a2 a
A. Método Método de completar cuadrados Consiste en completar el cuadrado de un binomio y está basado en la aplicación del siguiente teorema.
Raíces x
b 2a
2
2 2 x b b 2 – c b – 42 ac 2a a 4a 4a
a2 b2 a b a –b –b Ejemplo: Hallar la solución de: x 2 – 2x – 1 = 0 Dar como respuesta la menor raíz.
Si: b2 – 4ac 0, las soluciones son: x b 2a
Solución: Como es difícil de factorizar, usamos el método de completar cuadrados, los pasos a seguir son: x2 – 2x – 1 = 0
b2 – 4ac o x+ b – b2 – 4ac 2a 2a 2a
2 2 x – b b – 4ac o x=– b – b – 4ac
2a
2a
2a
2a
2 2 x –b b – 4ac o x –b – b – 4ac
Sumar y restar la mitad del coeficiente de x:
2a
1 –2 –1 2
2a
Finalmente; las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0, están dadas por:
Elevado al cuadrado: (–1) 2 = 1, nos queda en 1. x2 – 2x 12 – 12 – 1 0
2 x –b b – 4ac 2a
(x –1 –1)2 2
UNI SEMESTRAL 2013 - III
a
8
ÁLGEBRA
TEMA 3
ECUACIONES I
Exigimos más! –12 0
Ejemplo: Resolver aplicando la fórmula general:
8
a) x2 – 3x + 2 = 0 En este caso: a = 1, b = – 3 , c = 2
t1,2
8
8 3
2
c) 9x2 + 18x –17 = 0
2
–(–3) –(–3) (–3) – 4(1 4(1)(2) 2(1) 31 2
Tenemos: a = 9, b = 18, c = –17 Luego:
2
x1,2
–(18) –(18) (18)2 – 4(9)(–17) 4(9)(–17) 2(9)
31
x1,2 –18 936 18
2 3–1 2
1
–3 26 3
C.S.{1, C.S.{1,2} 2} x1,2
b ) 4t2 + 12t + 9 = 0
–18 6 26 18 –3 – 26 3
En este caso: a = 4, b = 12, c = 9 Luego: t1,2
–
C.S. –3 es una raíz doble.
2 x1,2 –b b – 4ac 2a
2
8
Sabiendo que:
x1,2
3
–12 0
–12 – 0
Luego: x1,2
–
–(12) –(12) (12)2 – 4(4)(9) 4(4)(9) 2(4)
C.S. –3 26 ; –3 – 26 3 3
problemas resueltos Problema 1 Si {x1; x2} es el conjunto solución de: x 1
x
Resolución: x 1
Reduciendo: Reduciendo: 3 –x–1 = 3
3x = 1
x 0
x
3 3 1 3 2 entonces la suma de x 1 y x2 es: UNI 2008-I Nivel fác il A) –4 B) –2 C) 2 D) 4 E) 0
Si: 3
Tenemos:
x –2 C.S. {–2;0}
De donde:
Si: – 1 x 0 Eliminando los valores absolutos: 3x+1 + 3x – 1 = 3x + 2
Eliminando los valores absolutos: 3x+1 – (3 ( 3x – 1) = 3x + 2 Reduciendo: 3x . 3 –2 . 3x – 1 = 0 UNI SEMESTRAL 2013 - III
Piden: –2 + 0 = –2 B) –2 Respuesta: B)
Reduciendo: 3x+1 = 3 Tenemos: x + 1 = 1
– 3x – 1 3x 2
Si: x 0
Tenemos: –x – 1 = 1
De donde: x = 0 0 1 x 0 Si: x < –1 Eliminando los valores absolutos: x
3 –x –1 3 x – 1 3 2 9
Problema 2 Las raíces de la ecuación x x 2 4 son: UNI 2008-I Nivel interme dio A) Solo x = 6 B) Solo x = 3 C) x = 3, 3, x = 6 D) x 6 , x = 3 E) No exist existen en sol soluc ucion iones es ÁLGEBRA
TEMA 3
ECUACIONES I
Exigimos más! Resolución:
x x 2 4
x 2 4 x
A)
Elevando al cuadrado y teniendo en cuenta que:
B)
x 2 0 4 x 0
C)
Tenemos: x2 – 9x + 18 = 0 (x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que verifica solo será x = 3.
D) E)
2 5 17 2 2 2 5 17 2
Reemplazando: x2 x 1 2 x2 x 1 5
3 5 17
x 2 x 1 0 x2 x 4 0
2 Utilizando la fórmula general:
3 5 17 2
x 1 5 x 1 17 2 2
Resolución:
10 6 x x2 2 1 x x
m2 7m 10 0 (m 2)(m 5) 0 m 2 m 5
2 5 17
Respuesta: B) x = 3, x = 6
Problema 3 La suma de todas las soluciones positivas de la ecuación:
Reemplazando : 10 7 m m
como x > 0:
Piden: x > 0 Llamemos a: x2 + x + 1 = m; m > 0
x1 1 5 x2 1 17 2 2
x1 x 2 2 5 17 2
Del dato:
es: UNI 2009-II Nivel difícil
UNI SEMESTRAL 2013 - III
10 1 x x2
7 (1 x x 2)
10
Respuesta: B)
ÁLGEBRA
2 5 17 2
TEMA 3
ÁLGEBRA
ECUACIONES II DESARROLLO DEL TEMA
I. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO (CUADRÁTICA)
Se cumple: b • Suma: s x1 x 2 – a
A. Forma general
• Producto: p x1 . x 2 c a
ax 2 bx c 0
b2 4ac ;a 0 a Para determinar la diferencia de raíces se recomienda utilizar la equivalencia de Legendre, veamos: (x1 + x2 )2 – (x1 – x2 )2 = 4(x1 x2)
donde: x incógnita, asume dos valores a; b ; c /a 0
• Diferencia: | x1 x 2 |
B. Fórmula de Carnot Si: x1; x2 son las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0; a 0 Estas se obtienen a partir de la relación:
x1;2
A. Casos particulares
Dada la ecuación cuadrática en "x": ax 2 + bx + c = 0 De raíces x1 ; x2 , si estas son:
2 –b b – 4ac 2a
1. Simétricas, se cumple: x 1 + x 2 = 0. 2. Recíprocas, se cumple: x 1 . x 2 = 1.
1. Discriminante dada la ecuación cuadrática en "x": ax2 + bx + c = 0; a 0
se define como:
B. Reconstrucción de la ecuación cuadrática en "x" Siendo "s" y "p", suma y producto de raíces, respectivamente, toda ecuación cuadrática en "x" se determina según la relación:
b2 – 4ac
2. Propiedad del discriminante
El discriminante de una ecuación cuadrática permite decidir qué clase de raíces presenta, es decir: 1. Si: 0 , la ecuación tiene raíces reales y diferentes. 2. Si: 0, la ecuación tiene raíces reales e iguales (raíces dobles). 3. Si: 0, la ecuación tiene raíces imaginarias y conjugadas.
x 2 – sx p 0 C. Ecuaciones cuadráticas equivalentes
Se cumple:
II. RELACIÓN ENTRE LAS RAÍCES YLOS CO EFICIENTES (PROPIEDADES DE LAS RAÍCES) DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
a b c a1 b1 c1
D. Ecuaciones cuadráticas con una raíz común
ax2 + bx + c = 0 a1 x2 + b1 + c1 = 0
Sean:
Se cumple:
Si x 1 ; x2 son las raíces de la ecuación cuadrática en "x"
(ab1 – a1b)(bc1 – b1c) (ac1 – a1c)2
ax 2 + bx + c = 0 UNI SEMESTRAL 2013 - III
ax2 + bx + c = 0 a1x2 + b1 x + c1 = 0
Siendo:
11
ÁLGEBRA
TEMA 4
ECUACIONES II
Exigimos más!
problemas resueltos Problema 1 2
Respuesta: C) y 2 + y + 3 = 0
Problema 3
Sea la ecuación 4x – 2x + 3 = 0, cuyas Una ecuación cuadrática tienen como raíces son a y b. Halle otra ecuación raíces a 4 y 2. Halle la suma de Problema 2 cuadrática que tenga por raíces (2a – 1) las cifras del producto de estas raíces, Las raíces de la ecuación x x 2 4 y (2b – 1) siendo el discriminante de la ecuaUNI 2008 - I son: ción. Nivel fácil UNI 2007 - II UNI 2006 - II A) y2 – y + 1 = 0 Nivel intermedio Nivel difícil B) y2 – y – 2 = 0 A) solo x = 6 A) 10 B) 11 C) y2 + y + 3 = 0 B) solo x = 3 C) 12 D) 13 2 1 D) y y 2 0 E) 14 C) x = 3, x = 6 2 D) x 6 , x = 3 E) y 2 1 y 3 0 Resolución: 4 E) No existen soluciones Suma de Raíces S 2 2 Resolución: Producto Raíces P 2 2 8 Dada la ecuación: Resolución: 4x2 – 2x + 3 = 0 de raíces {a;b} Luego la ecuación será: y x x 2 4 x 2 4 x 1. Si cambiamos: "x" por " " x 2 (2 2)x 2 2 8 0 2 Elevando al cuadrado y teniendo en 2 Luego calculando el discriminante: entonces: 4 y 2 y + 3 = 0 cuenta que 2 2 2 (2 2) 4( 2 2 8) x – 2 0 4 – x 0 tenemos: y2 – y + 3 = 0 36 tenemos x2 – 9x + 18 = 0 de raíces {2a; 2b} Luego: (x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que Producto de Raíces = (40)(34) = 1360 verifica solo será x = 3 2. Si cambiamos: "y" por "y+1" cifras 10 Entonces: (y + 1)2 – (y + 1) + 3 = 0 Tenemos: y2 + y + 3 = 0 de raíces {2a – 1, 2b – 1}
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Respuesta: B) Solo x = 3
12
Respuesta: A) 10
ÁLGEBRA
TEMA 4
ÁLGEBRA
ECUACIONES III DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN
en general, tiene exactamente n raíces y P(x) puede
Dado un número entero n 3, un polinomio en variable x con coeficientes en k de grado n, es una función de la forma:P(x) anxn + an–1 xn–1 + ........ + a1x + a0 , con an 0. A la cual llamaremos polinomio de grado superior, donde: • x = es la variable independiente. • ai K, son los coeficientes de las x y son constantes que pueden ser cualesquiera números. • K es un conjunto. • an= coeficiente principal • ao = término constante • n = [P]° es el grado del polinomio P(x) Observación:
III. POLINOMIOS CON COEFICIENTES REALES A. Teorema (paridad de las raíces imaginarias) Si un polinomio P(x) con coeficientes reales tiene
como raíz el número imaginario Z, entonces Z también es raíz de P(x). Observaciones
•
El estudio de todo polinomio: P(x) anxn + an–1 xn–1 + ... + a1 x + a0 con an 0, a 0 0 radica en el tratamiento de sus coeficientes a i K y en particular de a n y a0 .
•
II. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA Todo polinomio P(x) de grado n > 0 con coeficientes complejos en general, tiene al menos una raíz generalmente compleja. Colorario: Todo polinomio P(x) de grado n > 0, tiene exactamente "n" raíces. Por ejemplo P(x) = x 5 + x – 1 tiene en total 5 raíces entre reales e imaginarias, asimismo podemos decir que F(x) x 4 tiene en total 4 raíces (cada una es igual a cero). Propiedad
Todo polinomio: P(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0 de grado n > 0, n Z , an 0; con coeficientes complejos UNI SEMESTRAL 2013 - III
ser expresado en la forma P(x)=a n(x – r1) (x – r2 )... (x – rn) y r i es raíz de P(x).
13
La paridad de raíces imaginarias, refiere lo siguiente, si Z = a + bi, con b 0 es raíz de un polinomio P(x) entonces Z = a – bi también es raíz de P(x). Si Z = a + bi es raíz del polinomio P(x), entonces (x – Z) (x – Z ) será un factor de P(x).
Propiedad Un polinomio con coeficientes reales puede escribirse como el producto de un número real, multiplicado por factores cuadráticos irreductibles con coeficientes reales y factores lineales con coeficientes reales. B. Teorema (paridad de raíces irracionales) Si un polinomio P(x) con coeficientes racionales tiene como raíz a b, donde b es irracional, a y b son racionales; entonces a b también es raíz de P(x). Sea P(x) un polinomio con coeficientes racionales. Si ( a b) es raíz del polinomio P(x), donde a, b , ab son irracionales, entonces a b,; a b , a b también son raíces de P(x). Si la raíz ( a b) es de multiplicidad K, las otras raíces también son de multiplicidad K.
ÁLGEBRA
TEMA 5
ECUACIONES III
Exigimos más!
IV. RELACIONES ENTRE LAS RAÍCES Y LOS COEFICIENTES Dado el polinomio de grado n > 0: P(x) = anxn + an–1 xn–1 + ....... + a0
•
an 0 (con coeficientes reales o complejos) y cuyos n raíces son r1 , r2, r3, ..., rn (reales o complejas, incluidas tantas veces como se repiten las raíces múltiples), entonces existen relaciones entre los co eficientes de P(x) y las raíces ri. Dichas relaciones se obtienen del siguiete modo: • an xn an 1x n1 ... a0 0 xn
•
Como P(x) = 0 an(x – r1 )(x – r2)....(x – rn)=0, an 0 (x – r1)(x – r2 )....(x – rn) = 0 (2*) Pero son idénticos (1*) y (2*): a a a xn n 1 x x 1 n2 x n2 ... 0 an an an (x r1)(x r2)...(x rn) xn r1 r2 ... rn x n 1 n
r1r2 r1r3 ... x n1 ... 1 r1r2r3...rn a r1 r2 r3 ... rn n 1 an a r1r2 r1r3 ... rn1rn n 2 an a r1r2r3 r1r2 r4 ... rn 2 rn 1rn n 3 an n a r1r2r3r4 ...........rn 1 0 an
a an1 n1 an2 n2 x x ... 0 0 an 0 an an an
(1*) Como r1 , r2, ..., rn son las n raíces de P(x), entonces el polinomio P(x) se puede escribir como: P(x) = an(x – r1) (x – r2 ) .... (x – rn)
problemas resueltos Problema 1 La función polinomial:
Problema 3 Dados los siguientes polinomios: P(x) 3 de grado 2 y término independiente 2 F(x, y, z) (x y)(y z 3) uno; y Q(x) = (x – 1) P(x) + 3x + 1. 4 2 y z 3 0 [(Z y)(y x 3)] (x y z 3) Si Q(2) = 7 y P(1) = 2, halle la suma y x 3 0 C.S. (2; 1, 2) 4 de raíces de Q(x). tiene N raíces (x, y, z). Entonces N es x y z 3 0 UNI 2004 - II igual a: Nivel intermedio UNI 2008 - I Nesiguala2 A) 0 B) 8/3 Nivel fácil Respuesta: C) 2 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 C) 10/3 D) 4 E) 5 Problema 2 Resolución: Determine el polinomio mónico de me2 4 Resolución: (x y)(y z 3) (z y)(y x 3) nor grado de coeficientes enteros que De los datos: P(x) = ax 2 + bx + 1 0 0 tenga como raíces a los números reales 2 Q(x) = (x – 1) (ax2 + bx + 1) + 3x + 1 (x z y 3) 0 2 3 y 3 2. Dar como respuesta 0 la suma de sus coeficientes. Pero: Se genera un sistema de ecuaciones: UNI 2007 - II Nivel intermedio Q(2) 7; (1)(4a 2b 1) 7 7 x y 0 y z 3 0 4a 2b 1......(1) A) 28 B) 42 C) 56 D) 70 E) 84 z y 0 y x 3 0 x y z 3 0 P(1) 2 ; a b 1 2 Resolución: a b 1...(2) Por el teorema de la paridad de raíces De donde: de (1) y (2) = a 3 / 2;b 5 / 2 irracionales: Si una raíz es 3 2 la otra x y 0 será (3 2) la cual origina el polinomio De donde: 1 z y 0 cuadrático x2 + 6x + 7. x y z 3 0 Análogamente: Si la otra raíz es 2 3 Q(x) 3 x 3 4x 2 3 x la otra será que origina el 2 2 2 3 C.S. (1,1,1) 2 polinomio: (x + 4x + 1). se pide: Por lo tanto el polinomio mónico será: x y 0 P(x) = (x2 + 6x + 7)(x2 + 4x + 1) x1 x 2 x 3 4 8 y x 3 0 2 3 / 2 3 Nos piden: P(x) (14)(6) 84 x y z 3 0 Respuesta: E) 84 Respuesta: B) 8/3 C.S. UNI SEMESTRAL 2013 - III
y z 3 0 C.S. z y 0 x y z 3 0
14
ÁLGEBRA
TEMA 5
ÁLGEBRA
NÚMEROS REALES DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LOS NÚMEROS REALES
(M4) a : !1 / a 1 1 a a (Existencia y unicidad del elemento neutro)
El sistema de los números reales, es un conjunto provisto de dos operaciones internas (adición y multiplicación) y una relación de orden y otra de igualdad.
(M5) a – {0} : !a1 / a a –1 a –1 a 1 (Existencia y unidad del elemento inverso)
Notación
C. Axioma distributiva
Denotamos por al conjunto de los números reales.
Distributividad de la multiplicación respecto de la adición.
A. Axiomas de adición
(D1) a, b, c : a(b c) ab ac
(A1) a, b : a b
(D2) a, b, c : (b c)a ba ca
(Clausura o cerradura)
D. Relación de orden
(A2) a, b : a b b a
Es una comparación que se establece entre 2 elementos de un conjunto que pertenece al campo de los números reales, el campo real es un campo ordenado.
(Conmutatividad) (A3) a, b, c : a (b c) (a b) c (Asociatividad)
Símbolos de la relación de orden: > : "mayor que"
(A4) a : !0 / a 0 0 a a
< : "menor que"
: "menor o igual que" : "mayor o igual que"
(Existencia y unidad del elemento neutro)
II. DESIGUALDAD (A5) a : !(–a) / a (–a) (–a) a 0
Es una relación de orden que se establece entre dos números reales de diferente valor.
(Existencia y unidad del elemento inverso)
Existen tipos de desigualdades. B. Axiomas de multiplicación
(M1) a, b : ab
6>1
(Desigualdad verdadera)
5 < –2
(Desigualdad falsa)
(Clausura) A. Axioma de tricotomia
(M2) a, b : ab ba
Si a b , entonces una y solamente una
(Conmutatividad)
de las siguientes relaciones se cumple:
(M3) a, b, c : a(bc) (ab)c (Asociatividad) UNI SEMESTRAL 2013 - III
15
ÁLGEBRA
TEMA 6
NÚMEROS REALES
Exigimos más! •
B. Axioma de transitividad
Si: a x b ab 0 entonces:
Si: (a b) (b c) (a c); a,b, c
0 x 2 Max(a2, b 2)
C. Otros axiomas y teoremas de la desigualdad
a,b,c,d , se cumple: • •
•
Si: 0 a b entonces a a b b 2
•
Si: 0 a b entonces a ab b
a b a c b c a b c d a c b d D. Propiedades de desigualdades entre medias
•
Si: x1 ; x2 ; ... xn son números positivos, se define:
Si: a b c 0 ac bc
• •
Si: a b c 0 a b c c
•
Si: a b –a –b
Media aritmética de x 1; x 2 ; ... ; xn n MA (x1; x2; ...; xn) = 1 x i n i 1
•
Media geométrica de x1 ; x 2; ...; xn n
•
MG (x1 ; x2 ; ...; xn) = n xi
Si: 0 a b 0 c d 0 ac bd
i 1
• •
2
Media armónica de x 1; x2 ; ...; xn
a ;a 0 MH (x1 ; x2 ; ... xn) =
•
ab 0 {(a 0 b 0) (a 0 b 0)}
•
ab 0 {(a 0 b 0) (a 0 b 0)}
•
n x1 i1 i n
Media potencial de x 1; x2 ; ...; xn n
MP (x1; x2; ...; xn) = •
a y 1 tienen el mismo signo a – {0} a
k
x k i
i 1
n
Entonces: •
Si a y b tienen el mismo signo y a b 1 1 a b
•
Si: ab 0 a x b 1 1 1 a x b
MP MA MG MH Para dos números: a b, K k k a
bk a b ab 2
•
a b a2n–1 b 2n–1 , n
•
0 a b a2n b2n, n
•
a b 0 a2n b2n; n
UNI SEMESTRAL 2013 - III
2
2 11 a b
E. Recta numérica real
Es la recta geométrica donde se puede ubicar los números reales, es decir, existe una correspondencia biunivoca entre el conjunto de los números reales y esta recta. 16
ÁLGEBRA
TEMA 6
NÚMEROS REALES
Exigimos más!
, – son símbolos ideales, no son números rea-les, son simples representaciones.
problemas resueltos Problema 1
Luego:
Sean a, b, c y d cuatro números reales positivos tal que a – b = c – d y a < c. Decir la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
1 (c d) 1 (a b) c a
I. II.
UNI 2008 - II
n
ai
1 d 1 b c a
a c , si a b b d
A)
bd, ac a c b d
c a , si c d d b
Nivel fácil
(V )
UNI 2004 - I Nivel fácil
A) FFV B) FVV C) FVF
III.
ca d b
(F)
ann
n
ai
B)
a1 i 1 an n
C)
a1 ai an
II. Si c < d a < b
c a III. b d
a1n i1 n
n
i1
a c bd
D)
ab cd ca b d
(F)
E)
na 1
n
ai n an i1
n a1 a ai n n i1 n
D) VFV Respuesta: E) VFF
E) VFF
Resolución:
Para un grupo de datos no todos iguales: Resolución:
Problema 2
I.
Sean los números racionales a 1, a2, ...,
Si a < c 1 1 ; si a b a b 0 c a UNI SEMESTRAL 2013 - III
an tales que a1< a2 < ... < an–1 < an. Entonces se cumple que: 17
a1
a1 a2 a3 ... an an n
ÁLGEBRA
TEMA 6
NÚMEROS REALES
Exigimos más! n
•
ai
a1 i1 n
an
a,b números enteros, a b 1 a2 es un número racional.
• n
ai
Respuesta: B) a1 i1 n
Si k y k 2 es par, entonces k es par. Nivel difícil
A) FVV
B) FFV
Problema 3
C) VFV
D) VFF
Clasifique como verdadero (V) o falso
E) FFF
•
a,b números enteros, a/b es un número racional.
UNI SEMESTRAL 2013 - III
b) Solución del problema •
Es falso, cuando b = 0.
•
Es verdadero, porque en:
UNI 2009 - I
an
(F) cada una de las siguientes afirmaciones:
Número A / A Z B Z 0 racional B
ab 2 ; (1 a 0) 2 1a
•
Es verdadero: o
2 2. K Z K o
Resolución:
K 2
a) Aplicación de teorema Recordar:
18
Respuesta: A) FVV
ÁLGEBRA
TEMA 6
ÁLGEBRA
INECUACIONES I DESARROLLO DEL TEMA I.
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Son aquellas inecuaciones de la forma: I. ax2 + bx + c > 0 II. ax2 + bx + c > 0 III. ax2 + bx + c < 0 IV. ax2 + bx + c 0
Donde: a
0 ;b, c
P(x)
Consideraciones previas • En la resolución de una inecuación cuadrática se transpone, si es necesario, todos l os términos a un sólo m iembro de la desigualdad. 1. Factorizar la expresión cuadrática si es posible; si no se puede factorizar aplicar la fórmula cuadrática. 2. Hallar los puntos de corte (valor de x) igualando a cero el factor o los factores. 3. Ubica los puntos de corte en la recta numérica real. 4. Denotar las zonas o regiones determinadas por los puntos de corte colocando los signos intercalados empezando por la derecha con signo positivo. 5. I. Si: P(x) > 0, el conjunto solución es la unión de intervalos positivos (abiertos). II. Si: P(x) 0 , el conjunto solución es la unión de intervalos positivos (cerrados). II. Si: P(x) < 0, el conjunto solución es el intervalo negativo (abierto). IV. Si: P(x) 0 , el conjunto solución es el intervalo negativo (cerrado).
B. Método de completar cuadrados Sea: ax2 + bx + c 0 1. El coeficiente de x2 debe ser 1, si no lo fuese entonces se divide a ambos miembros entre a. 0 x 2 bx c a a 2. El término independiente se pasa al segundo miembro. c x2 b x a a 3. Se busca obtener un trinomio cuadrado perfecto, sumando a ambos miembros la mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado. 2
x 2 2(x) b b c b a 2a 2a 2a
4. Escribiendo el primer miembro como un binomio al cuadrado y reduciendo el segundo miembro. 2 x b b2 4ac 2a 4a2 5. Finalmente:
Teorema Sea: ax2 + bx + c > 0; a > 0 Si: b2 4ac 0 b Se verifica para todo x diferente de 2a C.S. : x b 2a Teorema Sea: ax2 + bx + c < 0; a > 0 Si: b2 4ac 0 No se verifica para ningún valor real "x". C.S. : x
Teorema
x 2 m x m x m;m 0
x 2 m x m x m;m 0 C. Método de la regla de signos de multiplicación Sea: ax2 + bx + c 0 1. Se factoriza el trinomio (factor común, diferencia de cuadrados, aspa simple) UNI SEMESTRAL 2013 - III
D. Método de los puntos de corte 2 Sea: ax 0 + bx +c
A. Método de resolución de inecuaciones de segundo grado con una incógnita I. Método de completar cuadrados. II. Método de la ley de signos de la multiplicación. III. Método de los puntos de corte.
2
2. Aplicar uno de las teoremas siguientes: I. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) II. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) III. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) IV. ab 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0)
19
ÁLGEBRA
TEMA 7
INECUACIONES I
Exigimos más! donde todos los ai son diferentes entre sí, para luego aplicar: el método de los puntos de corte.
Teorema Sea: ax2 + bx + c > 0; a > 0 Si: b2 – 4ac < 0 Se verifica para todo valor real “x”. C.S. : x
III. INECUACIONES FRACCIONARIAS Son aquellas inecuaciones que reducida a su mas simple expresión asume la siguiente forma general: P(x) 0 Q(x) Donde: P(x) Q(x) son polinomios no nulos con coeficientes reales.
Teorema Sea: ax2 + bx + c < 0; a > 0 Si: b2 – 4ac < 0 La inecuación no se verifica para ningún valor real “x”. C.S. : x II. INECUACIONES POLINOMIALES Son aquellas que presentan la siguiente forma general: P(x) a0 xn a1xn-1 a2 xn-2 ... an-1x a n 0
Resolución:
Se tiene: P(x) 0 Q(x) Multiplicamos a ambos miembros por:
x Variable a0 ; a1 ; a2; ... an Coeficientes n Z n 2 • Reducir el polinomio mediante factorizaciones obteniendo la forma equivalente siguiente:
Q2 (x)
P(x) Q2(x) 0 Q(x)
Expresión reducida: P(x) Q(x) > 0; no olvidando: Q(x) 0 Para luego utilizar el método de los puntos de cor te.
x a1 x a2 ... x an 0
problemas resueltos Problema 1 Halle el valor de a , para que la inecuación (a2 14) x 2 4x 4a 0 , tenga como solución el conjunto [–2; 4]. UNI 2010-II A) –6 B) –4 C) –2 D) –1 E) –1/2 Resolución: (a2 – 14)x2 – 4x + 4a 0 Se debe cumplir que: 4 2 2 4a –8 2 a – 14 a –14 a 4 a –4
a 7 a –4 2
Por tanto: a = –4
De donde: 2 x x 2x x 0; x 0
Resolución: Analizando: x 2 2bx c 0
De donde: 3x log3 x 3x log3 x 0; x 0 Resolviendo: (2x –x)(3x –log3 x)(x+3)(x–3)(3 x –9) > 0 C.V.A. = Si: log3x R x > 0
2x-x 3x-log3x x 3 (x 3)(3x 9) 0
Respuesta: B) –4 Problema 2 Si el conjunto solución de la inecuación: (2x – x) (3x – Log3x)(x2 – 9)(3x – 9) > 0 es de la forma: S a;b c; . Halle a + b + c. UNI 2009-I A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 Resolución: (2x – x)(3 x – log 3 x)(x2 – 9)(3x – 9) > 0 Resolviendo:
x 3;5
Operando: a) Aplicación de fórmula o teorema • •
Suma de raíces: x 1 + x2 = b a c Producto de raíces: x1x2 a
Reduciendo: (x – 3)(3x – 9) > 0 (x 3 0 3x 9) (x 3 0 3x 9) (x 3 x 2) (x 3 0 3 x 9) x > 3 x < 2..... S1 Luego: C. S.: C. V. A S 1 3 ; + S = 0; 2 a b c a + b + c = 5 Respuesta: E) 5 Problema 3 La inecuación x2 – 2bx – c < 0 tiene como conjunto solución 3;5 . Halle b + c.
UNI SEMESTRAL 2013 - III
UNI 2008 - II A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
20
b) Solución del problema –3 5 serán raíces de la ecuación: x2 – 2bx – c = 0 Entonces: x1 x 2 2 b 1
2b
x1 x 2 15 c 15
c
Conclusión b + c = 16 Respuesta: A) 16 ÁLGEBRA
TEMA 7
ÁLGEBRA
INECUACIONES II DESARROLLO DEL TEMA I.
3°
INECUACIONES IRRACIONALES Se denomina así a aquellas inecuaciones donde la incógnita se encuentra bajo signo radical, los casos más usuales son:
Luego: C.S. = S1 S2 S3 C.S.: [–2; 2>
A. Caso I
2n1 P(x)
Q(x)
C. Caso III
Donde P(x), Q(x) son polinomios; n N se resuelve: 2n+1 P(x) Q(x) Ejemplo: (1) Resolver:
3
x + 2 < 6 –x 2x < 4 x<2 ... (3)
P(x) Q(x) Se resuelve el sistema construido a partir de: P(x) 0 ... (1) Q(x) > 0 ... (2) 2 P(x) < Q (x) ... (3) finalmente: C.S. S1 S2 S3
x 2 1
Resolución: Se obtiene: x – 2 > 1 x>3
Ejemplo: Resolver: x 2 3
B. Caso II
Resolución: 1° x – 2 0 x 2 ... (1) 2° 3 > 0 x R ... (2) 3° x – 2< 32 x < 11 ... (3)
2n P(x) 2n Q(x) Es equivalente a resolver un sistema constituido a partir de: 0 2n P(x) 2n Q(x) Así: P(x) 0 Q(x) 0 P(x) Q(x)
... (1) ... (2) ... (3)
Luego: C.S. S1 S2 S3 C.S. = [2; 11>
finalmente: C.S. S1 S 2 S 3
D. Caso IV
P(x) Q(x)
Ejemplo: (1) Resolver: x 2 6 x Resolución: 1° x + 2 0 x –2 ... (1) 2° 6–x 0 –x –6 x 6 ... (2) UNI SEMESTRAL 2013 - III
Se resuelve:
P(x) 0
S1 P(x) 0 Q(x) 0 P(x) Q(x) S2 P(x) 0 Q(x) 0 Finalmente: C.S. S1 S 2 23
ÁLGEBRA
TEMA 8
INECUACIONES II
Exigimos más!
problemas resueltos Problema 1 Sea la igualdad:
i) x 0 : 0 1
x a b x a b .....(*) entonces la proposición verdadera es: UNI 2009 - I Nivel fácil A) (*) si y solo si x 0 a2 b2 B) (*) si y solo si x = a = b C) (*) si y solo si x 0 a b D) (*) si y solo si x 0 a b E) (*) si y solo si x = a = –b Resolución: a) Aplicación de fórmula o teorema x y x y x y
b) Solución del problema
C.S.i 0; ii) x 0 : x - (-x)
1 x 1 pero x 0 2
D)
2
II. Calculando el conjunto B (de la inecuación)
Como x A 1 ; 2 i) 1 x 0 : 2x 1 1 2
1 2x 1 0 x 1 , pe
1 x 0 2 C.S.
E) Resolución: Ubicación de incógnita Encontrar la gráfica de la relación.
Análisis de los datos o gráficos y y x x yx y x
Operación del problema Si: x 0 y 0 y x y x
1 1
(2x) (2b – 2a) = 0
C.S.ii 0;
x = 0 a = b Recuerda: x y (x y)(x y) 0
C.S. C.S.i C.S.ii 0;
Problema 2 Sean los conjuntos: A x / x x 1 y
1 1 B) , 2 2
1 , 0 2
1 D) 2 ;0
Si: x 0 y 0 y x y x 2y 0 y 0 y
B 0; Calculando A–B
x
Si: x 0 y 0 y x y x 2x 0
B x A / x x 1 1 Entonces podemos decir que A\B es: UNI 2009-II Nivel intermedio
E)
C)
ii) x 0 : 1 1
x a b x a b
C)
B)
1 2x 1
Conclusiones ab x 0
A)
A)
2x 1
(x a b) x a b x a b (x a b) 2b 2a 2x 0
Otra solución Tenemos:
1
y x
A B 1 ; 0 2
Si: x 0 y 0 y x y x xy y
Respuesta: D) 1 ;0 2
x
0;
Resolución A x / x – x 1 B x A / x – x – 1 1
Operando: I. Calculando el conjunto A (de la inecuación). UNI SEMESTRAL 2013 - III
Problema 3 Dada la siguiente relación: y y x x
diga cuál de las siguientes gráficas es la que le corresponde: UNI 2010 - I Nivel difícil 24
y
Luego:
x y
Respuesta: D)
ÁLGEBRA
TEMA 8
x
ÁLGEBRA
INECUACIONES III DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN
–
Sea a , el valor absoluto se denota por |a|, el cual se define por: –
a;a 0 a = – a;a 0
Ejemplos: 1. |4 – 2| 2. |3 – 5|
=|2| = 2
II. PROPIEDADES 1. El valor absoluto de todo número real siempre es un número no negativo. a 0 2. El valor absoluto de todo número real siempre es igual al valor absoluto de su opuesto. a = – a 3. El valor absoluto de la multiplicación de dos números reales es igual a la multiplicación de los valores absolutos de los n úmeros en mención.|ab| = |a||b| 4. El valor absoluto de la división de dos números reales (divisor es diferente de cero) es igual a la división de los valores absolutos. a ;b0 b
=
5. Todo número al cuadrado, siempre es igual al valor absoluto de la base elevado al cuadrado. a2 = |a|2 6. La raíz cuadrada de todo número elevado al cuadrado, siempre es igual al valor absoluto del número. 2
a
=
a
–2|x + 2| = –|2x +
–
x +1 3
–
x + 2 = – x + 2 3 –3
=
= | –a –b|
; |a – b|
UNI SEMESTRAL 2013 - III
4|
x +1 3
absoluto.
7. Desigualdad triangular: |a + b| |a| + |b| I. Si|a II. Si|a
b|<|a| + |b|, entonces ab < 0. + b| = |a| + |b|, entonces ab > 0. +
Nota:
– Generalizando si n o: a2n = |a|2n a2n+1 = |a|2n .a – ¡Tenga cuidado! Teoría de exponentes x2 x
=
x
0
Números Reales x2 = x x
– Generalizando: |a + b|
|a||b||c|...|n|
Comentario Esta propiedad va a ser de gran utilidad en el trabajo de una ecuación e inecuación con un valor
Nota:
– Hagamos la siguiente generalización: x – a; x – a 0 x – a = – x + a; x – a<0
=
Estas dos propiedades antes mencionadas nos permiten hacer lo siguiente: – |3(x – 4)| = 3|x – 4| – 2|x + 2| = |2x + 4| –
=| –2| = –( –2) = 2
a b
Generalizando: |abc... n|
= |b – a|
321
ÁLGEBRA
TEMA 9
INECUACIONES III
Exigimos más!
III. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO A.
Caso 1
A.
|x| = 0 x Ejemplo: • |x – 3|=0 x – 3 B.
IV. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
= 0
|x| a: a 0 ( –a x a)
= 0
Ejemplo: |x – 3| 5: 5 0 ( –5 x – 3 5) –2 x 8
x = 3
Caso 2
B.
|x| = a (a 0) (x = a a = –a) Ejemplo: • |x – 3| = 5 Si 5 0 x – 3 = 5 x – 3 = –5 x = 8 x = –2 |x – 3| = –4 Si –4 0 (Falso) C.S. = C.
Caso 1
|x| a: x a x –a Ejemplo: |x – 2| 3: x – 2 3 x – 2 –3 x 5 x –1 C.
= |a|
x
= a
x
Caso 3
|x| |y| (x – y)(x
+
y) 0
Ejemplo: |x – 2| |2x – 3| ( –x + 1)(3x – 5) 0 (x – 1)(3x – 5) 0 Aplicando P.C.
Caso 3
|x|
Caso 2
= –a
Ejemplo: |x – 3| = |2x + 2| x – 3 = 2x + 2 x – 3 = –2x –2 3x = 1 –5 = x x
=
1 3
x
– ;1
5 ;+ 3
problemas resueltos
Aplicando el teorema:
Resolver: |2x + 6|
= |x + 8|
Nivel fácil
Resolución:
|a|=|b| a
= b
+ 6 = x + 8
x = 2
|x|
a
2x
=
a a 0 (x
a x
=
= –a)
Entonces: 2x –3 0 (3x+5=2x –3 3x+5= –2x+3) x
Aplicando el teorema: 2x
Resolución:
Resolución:
Problema 1
3 (x 2
= –8
5x
x
= –b
Aplicando el teorema: |x| a (a 0) ( –a x a) Entonces: x+10 0 ( –x –10 3x + 4 x + 10) x –10 ( –x –10 3x+4 3x+4 x+10)
= –2) = –
–14 4x
2 5
7 x –10 – x 2
+ 6 = –x –8
3x
= –14
14 x = – 3
2x 6 x 3
Como: –8
3 (F) 2
–
7 x –10 – x 3 2
2 3 (F) 5 2
Intersectando: 14 Respuesta: C.S.= – ;2 3
Respuesta: C.S. = Problema 3
Problema 2
Resolver: |3x
–
Resolver: |3x + 4| x
–7 2
–10
+ 10
3
+
+ 5| = 2x – 3
Nivel intermedio
Nivel intermedio
UNI SEMESTRAL 2013 - III
322
7 Respuesta: x – ; 3 2
ÁLGEBRA
TEMA 9
ÁLGEBRA
FUNCIONES I DESARROLLO DEL TEMA Por el diagrama del árbol A B AxB
La palabra función se escuchará muy a menudo en la misma vida diaria por ejemplo en las siguientes frases: 1. Los precios están en función a la oferta y la demanda. 2. El volumen de una esfera está en función del radio de la misma.
m
Y así podría escucharse otras frases que nos dan una idea intuitiva del concepto de una función, el concepto intuitivo de función. "Es la relación de 2 ó más conjuntos bajo una regla o ley". El objetivo es esquematizar el concepto intuitivo en una definición formal, pero antes daremos algunos conceptos previos.
I.
n
p
(m,p)
q
(m,q)
r
(m,r)
p
(n,p)
q
(n,q)
r
(n,r)
Por el diagrama sagital o de Ven
PAR ORDENADO
A
B
m
p q
Es un conjunto de 2 elementos denotado así: (a;b) Donde: a: se llama 1.a componente. b: se llama 2.a componente. Que formalmente se define así: (a,b) = {{a}, {a, b}}
n
r
A B m,p , m,q , m,r , n,p , n, q , n,r Por el diagrama cartesiano
Teorema: (a,b) = (m,n) a = m b = n
II. PRODUCTO CARTESIANO Dados 2 conjuntos A y B no vacíos el producto cartesiano de A y B denotado por A x B se define: A B
A x B a,b / a A b B
m,p , m,q , m,r , n,p , n,q , n,r
III. RELACIONES
Ejemplo: Sean A = m, n , B p, q,r A x B = {(m,p), (m,q), (m,r), (n,p), (n,q), (n,r)} B x A = {(p,m), (p,n), (q,m), (q,n), (r,m), (r,n)}
Dados 2 conjuntos no vacíos, A y B se llama relación R de A en B a todo subconjunto de A x B. Ejemplo: Sea A = {m, n}, B = {p, q,r}
Vemos que: A x B B x A A B UNI SEMESTRAL 2013 - III
A x B m,p , m,q , m,r , n,p , n,q , n,r 25
ÁLGEBRA
TEMA 10
FUNCIONES I
Exigimos más! Ejemplo:
Se citan las relaciones: R1 m,p , n,p , n,r
A
B
R 2 m,q , n,p , n,q
m
1
R 3 m, q
n
2
p
3
q
7
IV. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función f es una correspondencia entre 2 con juntos A y B tales que a cada elemento a A le co-
Df = A m,n, p,q , Rf 1,3
rresponde un único elemento de B.
Observación:
Se llama función f al conjunto de pares ordenados (a,b) que: Para cada a A, ! b B / a, b f asimismo: a,b f (a,c) f b = c
Si: x, y f función de A en B se denota, y = f(x), se dice: y: es imagen de x bajo f.
Ejemplo
x: es la preimagen de x bajo f. x: variable independiente. y: variable dependiente. C. Cálculo del dominio y el rango
El dominio se halla ubicando los posibles valores que puede asumir la variable independiente. El rango,
f 3,a , 4, a , 5,b Cumple la definición, por tanto f es una función.
dependiendo del dominio considera los valores de la variable dependiente.
Ejemplo:
Ejemplo: A
B
3
m
7
n
9
p
Halle el dominio y el rango en: f x
f 3, m , 3,n , 7,p , 9,n
I)
x2 7
Df = x R / 25 x 2 0 x 2 7 0
2 = x R / x 5 x 5 0 x 7 0
– No s e cumple la condición de unicidad. – No es función.
x 5,5 x , 7
"No deben existir 2 o más pares ordenados con el
x 5 , 7
mismo primer elemento".
Se llama así al conjunto de todas las primeras componentes que coinciden con los elementos del conjunto de partida denotado por Df (dominio de f). Df = { x A / !b B a,b f}}
II)
7 ,
7;
Df = x 5 , 7
A. Dominio de una función
7 ,5
Rf = R+ 0
D. Gráfica de una función
Se define como el conjunto de los pares (x,y) x, y R x R / x Df Rf
B. Rango de una función
Es el conjunto de todas las segundas componentes de todos los pares ordenados de f, denotado por
Así:
R f (Rango de f). Rf b B / a A a,b f UNI SEMESTRAL 2013 - III
25 x 2
A
B
C
D
E
Sea: f 3,5 , 2, 2 , 1,2 , 4,3 , 5, 4 26
ÁLGEBRA
TEMA 10
FUNCIONES I
Exigimos más! •
Si los pares son continuos la gráfica obtenida es una línea.
E. Propiedad de las funciones reales f es una función real de variable real si y solo si cada recta vertical corta a lo más en un punto a su gráfica.
Ejemplo: Observación:
•
Si tanto la variable independiente "x" y la variable dependiente "y" son reales se llama función real en variable real.
problemas resueltos
Problema 1 El rango de la función f :
0
definida por: f(x) x 1 es: x
UNI 2008 - I
A)
UNI 2007 - II
A)
2, 2
B)
2, 2
C)
1, 1
D)
1, 1
E)
0
Restando 2:
Halle el rango de f .
5
13 ; 7 5 5
B)
13 7 5 ; 5
13 x 2 7
C)
7 ; 13 5 5
x 2 7 13 5
5
5
f(x)
D) [7;13
Luego:
E)
7 f(x) 13
7;13]
Rg f 7;13
Sabemos:
Resolución:
x1 2; x 0 x
Piden: Rango de f . Respuesta: D) 7;13
Siendo:
x 1 2 ; x 0 x
2 f(x) 5x 7x 6 x 3 5
f(x) 2 f(x) 2
Ranf = ; 2 2 ; 2;2
2, 2
Tenemos: f(x)
5(5x 3)(x 2) 5x 3
Dada la función: 2 f(x) 5x 7x 8 x 3/5
definida sobre 3 , 3 . 5 5
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Problema 3 En la figura adjunta se muestra las gráficas de las funciones f y g definidas por: f(x) = ax2 + bx + c g(x) = mx2 + nx + p
Reduciendo: Problema 2
5
Por 5:
Resolución:
Respuesta: A)
3 2 x 2 3 2
f(x) 5(x 2)
3 3 Si: x ; , entonces: 5 5
3 x 3 5
5
27
ÁLGEBRA
TEMA 10
FUNCIONES I
Exigimos más! De las siguientes relaciones: I. II.
n2 4mp a b m n
III. abc mnp ¿Cuáles son verdaderas? A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E ) II y III
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Resolución:
xb b3 4abc b2 4ac
Del gráfico: f y g tienen raíces reales e iguales. I.
0 para g n 2 – 4mp = 0
n2 4mp
xn n2 4mp n3 4mnp
De la segunda proposición se deduce: amb n
II. Como tienen vértices iguales entonces: – b – n a b 2a 2m m n
b3 n3 es decir abc mnp
Solo I y II son verdaderas.
III. a > m, ya que f es más cerrada Respuesta: D) I y II
que g. Siendo:
28
ÁLGEBRA
TEMA 10
ÁLGEBRA
FUNCIONES II DESARROLLO DEL TEMA I.
FUNCIONES ESPECIALES A. Función identidad
E. Función signo (sig.x)
1 x 0 y Sig x 0 x 0 1 x < 0 B. Función constante
F. Función máximo entero f x x n n x n 1,n Z
C. Función valor absoluto
x x 0 f x x 0 x 0 x x < 0
2 2 x 1 1 1 x 0 f x x 0 0 x 1 1 1 x 2 2 2 x 3 y 2 1 -2
D. Función escalón unitario
-1 O -1
0, x a U x 1, x a UNI SEMESTRAL 2013 - III
1 -2
29
ÁLGEBRA
2
3
Df=R Rf=z TEMA 11
FUNCIONES II
Exigimos más! G. Función inverso multiplicativo
f x 1 x
/ x 0 ; f x 1/ x;
I. Función potencial f x x
x0
n
/n N
II. TRAZADO DE GRÁFICAS ESPECIALES
H. Función polinomial
En esta sección veremos una forma rápida de construir las gráficas de algunas funciones definidas a partir de otras cuyas gráficas se asumen conocidas. En este sentido, dada la gráfica de una función de base y = f(x) veremos primero la forma de construir rápidamente las gráficas de las funciones siguientes: 1. g(x) = f(x) + k; g(x) = f(x - h); g(x) = f(x-h)+k 2. g(x) = -f(x); g(x) = f(- x); g(x) = -f(-x) 3. g(x) = af(x); g(x) = f(ax); ( a 0)
1. Función lineal f x ax b; a 0
4. g(x) = |f(x)|; y 5. g(x) = f(x) [Todas en base a la gráfica y = f(x)] 2. Función cuadrática a 0 f x ax 2 bx c; de raíces x 1 , x 2
(1a) La gráfica de g x f x k se obtiene despla-
2
Discriminante:
= b – 4ac
zando verticalmente la gráfica de y = f(x) en |k| unidades: i) Hacia arriba, si k > 0 ii) Hacia abajo, si k < 0 y
g(x) = f(x)+2 y = f(x)
2
h(x) = f(x)-2 O
x
-2
3. Función cúbica f x ax 3 bx 2 cx d Reemplazando x por x b se transforma en: 3a 3 k x px q
(1b) La gráfica de g x f x h se obtiene desplazando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en h uni-
dades: i) Hacia la derecha, si h > 0 ii) Hacia la izquierda, si h < 0
f1 x x 3 px q , de raíces x1, x 2, x 3 llamamos discriminante: 2
3
q p 2 3
pues si f(x) = x 2, entonces: f(x – 4) = (x – 4) 2 = g(x) f(x + 3) = (x + 3) 2 = j(x) Donde en el caso de: j(x) = (x + 3) 2 [x – (–3)]2 se tiene que: h = –3 ( <0). Tenemos la gráfica correspondiente a continuación:
UNI SEMESTRAL 2013 - III
30
ÁLGEBRA
TEMA 11
FUNCIONES II
Exigimos más! Ejemplo: Como ilustración de los resultados anteriores. Hallaremos la gráfica de: y = g(x) = –(x – 2) 2 + 1 Resolución:
Sean f(x) = (x + 2) 2 – 1, entonces: f(–x) = [(–x) + 2] 2 – 1 = (x – 2) 2 – 1 –f(–x) = –x(x – 2)2 + 1
Luego y = g(x) = –f(–x):
(1c) La gráfica de g x f x h k se obtiene com-
y
binando (1a) y (1b) en cualquier orden.
3
y
2
y=f(-x+2)-1
2
f(x)=(x+2)-1 -2 -4 -3
y=(x-7)2 y=f(x)=x2
2
1 -1
0 1
=(x-2)-1 1
2 3
4
7 O
x 2
x
-3
g(x)=-(x-2)+1=-f(-x)
2
g(x) = (x-7)-3
y=x2-3 -3
Note que pudimos haber graficado esta parábola directamente, claro.
(7;-3)
(2a) La gráfica g x f x se obtiene por reflexión
(3a) La gráfica de y a f x . a 0 , se obtiene:
de la gráfica de y = f(x) sobre el eje x. Considerando a
i) Estirando la gráfica de y = f(x) verticalmente en un factor a, si a > 1, con base en el eje X.
este eje como doble espejo. Todo lo que está encima del eje X pasa abajo, y viceversa.
ii) Si: 0 < a < 1, escogiendo la gráfica de: y = f(x) verticalmente en un factor a.
y
(3b) La gráfica de y f ax , a > 0, se obtiene:
-f
y=-f(x)
O
i) Encogiendo horizontalmente la gráfica de y = f(x) en un factor a, si a > 1, con base en el eje Y.
x
f
ii) Estirando horizontalmente la gráfica de y = f(x) en
y=f(x)
un factor a, si 0 < a < 1. (2b) La gráfica
y f x se obtiene por reflexión
Gráfica de: y = |f(x)|
de la gráfica de y = f(x) sobre el eje y considerando a
Desde que:
este eje como doble espejo. Todo lo que está encima del eje y, pasa abajo y viceversa.
f x , si f x 0 y f x f x 0 f(x), si f x 0
y
y=f(x)
f(x)=f(-x)
y=-f(x)
Entonces la gráfica de: y f(x) se encontrará completamente en el semiplano superior y 0 y se obtiene a
-x
O
x
partir de la gráfica de la función y = f(x); reflejando
x
hacia arriba del eje x todo lo que este debajo de este eje, quedando intacta la parte de la gráfica de: y = f(x) (2c) La gráfica de
y f x se obtiene combinado
que originalmente ya se encontraba arriba o en el mismo eje x (es decir, en la zona y 0).
(2a) y (2b). UNI SEMESTRAL 2013 - III
31
ÁLGEBRA
TEMA 11
FUNCIONES II
Exigimos más!
problemas resueltos Problema 1 Problema 2 3 2 2 3 Sea P(x) = x – 3ax – a x + 3a , donde Sea f una función tal que: a > 0 y Q(x) = –P(x – a). Diga cuál de f x 2 x 2 x 4 x ; x 4 las siguientes afirmaciones es correcta: UNI 2009 - II entonces Do m(f ) Ran (F) es igual a: Nivel 2009 - II Nivel fácil Nivel intermedio A) Q(x) P(x); x 0 A) [0; B) Q(x) P(x); x 0; a C) P(x) Q(x); x a;2a B) [1; D) Q(x) P(x); x 2a;3a C) 0; E) P(x) Q(x); x 3a
D) [4;
Resolución: Graficando la función P(x):
E)
B)
C)
D)
1;
Resolución:
Esbozando la gráfica de: x 2 x (por álgebra de funciones)
E)
P(x) (x 2 a2 )(x 3a) P(x) (x a)(x a)(x 3a)
Resolución:
Tenemos: La expresión:
x 2 Graficando la función: Q(x) = –P(x – a)
x es inyectiva.
Dom(f) = 0;
Analógicamente la expresión: 2 x 4 x
De donde:
es inyectiva: 2 x 4 x 4;
Esbozando ambas gráficas:
Ran(f ) = 4;
Dom(f)nRan(f) = 0; Respuesta: A) 0;
Luego:
Problema 3 Indique la gráfica que mejor representa a: g(x)
Para x 2a; 3a la gráfica de la función Q(x) está en la parte superior del P(x). Q(x) P(x); x 2a; 3a
x2 4 3 , x UNI 2008 - II Nivel difícil
Respuesta: D) Q(x) P(x); x 2a; 3a
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Respuesta: D)
A)
32
ÁLGEBRA
TEMA 11
ÁLGEBRA
FUNCIONES III DESARROLLO DEL TEMA I. FUNCIONES PARES, IMPARES Y PERIÓDICAS A. Función par
Una función f se llama función par si: i) x Domf x Dom f
Son funciones impares: a) f(x) = x3 b) f(x) = sen x c) (x) = 1/x Una función que es a la vez par e impar es, por ejemplo: f(x) = 0, x 5 , 2 2 ,5 .
ii) f (–x) = f(x) En este caso la regla de correspondencia y = f(x) no varía si se reemplaza x por –x. Geométricamente, la gráfica es simétrica respecto al eje y.
y -5
-2
0
2
5
x
C. Funciones periódicas
Una función f, en R, se denomina función periódica si existe un número real T 0, tal que: i)
x Domf x T Dom f
ii) f (x + T) = f(x) . x Dom f Así tenemos que las funciones f(x) = x 2 , f(x) = Cosx, f(x) = x4, son funciones pares.
Tal número T es llamado un periodo de T. y
B. Función impar Una función f se llama función impar, si:
i) x Domf x Dom f ii) f (–x) = –f(x)
f(x)
0
Aquí la regla de correspondencia y = f(x) no varía si se reemplaza simultáneamente tanto x por – x como y por – y. Por lo tanto, su gráfica es simétrica respecto al origen.
f
-x x
f(-x)=-f(x)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
x+2T x+3T
x
Toda función periódica con periodo T ti ene su gráfica de modo tal que la misma forma que tiene en un intervalo de longitud T se repite horizontal y periódicamente en el siguiente intervalo consecutivo de longitud T. Note que si T es un periodo de f, entonces 2T, 3T... también son periodos de f. Las funciones seno y coseno tienen periodo T = 2 : Sen(x + 2 ) = Senx . Cos(x + 2 ) = Cosx; x R
f(x)
x
x+T T
Note que f(x+T) = f(x)
y
0
x
33
ÁLGEBRA
TEMA 12
FUNCIONES III
Exigimos más! También vemos que: 2 . 4 .6 ...2k
2. Multiplicación "f . g"
con k
entero 0 , son periodos de seno y coseno, siendo 2 el menor periodo positivo.
i) Dom (fg) = Dom f Dom g
Definición
ii) (f . g)(x) = f(x) g(x)
Se llama periodo mínimo de una función periódica
f g x f x g x / x Dom f Dom g
al menor de sus periodos positivos.
II. ÁLGEBRA DE FUNCIONES
f g x, f x g x / x Dom f Dom g
A. Igualdad de funciones
Notación
Dos funciones f y g son iguales si:
La multiplicación de una función por sí mi sma:
i) Dom f = Dom g
f 2 f : f : f n f.f...f (n veces), n
ii) f(x) = g (x), x Dom f Donde: En tal caso se denota f = g.
Dom(f n) Dom f Dom f ... Domf Dom f
Así tenemos que las funciones:
Por lo tanto: el dominio de cualquier potencia 2
f(x) = x –x, x 0, 4 ; g(x) x x, x 0,5 2
entera positiva de f tiene el mismo dominio de la función f.
No son iguales, pues aunque tienen la misma regla
Así:
de correspondencia, sus dominios no coinciden.
f 2 x, f x .f x / x Dom f
B. Adición de funciones
Asimismo:
x,c f x / x Dom f
c .f
Recordemos que una función está completamente definida cuando se especifica su dominio y su regla
para cualquier constante real c.
de correspondencia. C. División de funciones
Definición: si f y g tienen dominios Dom f y Dom g,
Si f y g son funciones con dominios Dom f y Dom g,
se define una nueva función llamada.
se define la nueva función "cociente" denotada por "f/g", tal que:
Función Suma
i) Dom (f/g) = Dom f x Dom g / g(x) 0
"f + g", tal que: = Dom f Domg x Domg / g(x) 0
i) Dom f g Domf Domg ii) (f + g)(x) = f(x) + g(x) ii)
f / g x
C. Sustracción y multiplicación de funciones
Si f y g tiene dominios Dom f y Dom g, se definen
f x g x
, x Dom (f / g)
La condición (i) exige que el dominio de f/g no debe contener los valores de x que hagan que
las funciones:
g(x) = 0. 1. Diferencia "f – g"
Es así, que:
i) Dom f g Domf Domg
f / g x,
ii) (f – g)(x) = f(x) – g(x)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
34
/ x Dom f / g g x f x
ÁLGEBRA
TEMA 12
FUNCIONES III
Exigimos más!
problemas resueltos
Problema 1
III. F par: F(–x) = F(x)
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I.
G par: G(–x) = –G(x) (F G)(x) F(x) G(x)
La composición de una función par
(F G)( x) F( x) G( x)
con una función impar es una fun-
(F G)( x) F(x) G(x)
ción par.
(F G)( x) (F G)(x)
II. El producto de dos funciones impares es una función impar.
Respuesta: A) VFV UNI 2011 - I
Problema 2 Dadas las funciones f, g: , de-
D) FFV
finidas por: f(x) x 2 2 y g(x) = –(x2 + 2) Determine f + g.
Resolución:
Ubicación de incógnita Valor de ve rdad Operación del problema I.
F par : F( x) F(x) G impar : G( x) – G (x) (FoG)(x) F(G(x))
Ahora: (FoG)( x) F(G( x)) (FoG)( x) F( G(x)) (Fo G)( x ) (Fo G) (x )
F o G es par _ _ _ _ _ _ _ _ _ (V)
(F.G) (x ) F(x ) G(x ) (F.G)( x) F( x) G( x) (F.G)( x) – F(x) – G(x) (F.G)( x) F(x) G(x) (F.G)( x) (F.G)(x)
F . G es par _ _ _ _ _ _ _ _ _ (F)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
y f(x) xx; x4 ; x 22
Operación del problema
1 2 x 2 y f(x) g(x) 1 2 x 2
7 ; x 2 4 9 ; x 2 4
UNI 2010 - II 2 x 1 7 , x 2 2 4 A) 2 1 9 x 2 4 , x 2 2 x 1 1 , x 2 2 4 B) 2 1 5 ,x 2 x 2 4
2 x 1 2 2 C) 1 x 2
9 ,x 2 4 7 ,x 2 4
II. F impar: F(–x) = –F(x) G impar: G(–x) = –G(x)
f : y f(x) x 2 2
2 y f(x) g(x) x2 x 2 ; x 2 x x 2 : x 2
C) FVV E) VFF
Análisis de los datos o gráficos
g y g(x) x2 2
es una función par.
B) VV V
Ubicación de incógnita Determinar f + g
F G es par _ _ _ _ _ _ _ (V)
III. La suma de dos funciones pares
A) VFV
Resolución:
x 1 2 7 , x 2 4 D) 2 x 1 1 , x 2 4 2 x 1 1 , x 2 2 4 E) 2 1 7 ,x 2 x 2 4
35
x 1 2 Respuesta: A) 1 x 2
2
7 ;x 2 4
2
9 ;x 2 4
Problema 3 Sea f una función tal que: f(x 2 x ) 2(x 4 x ), x 4 entonces Do m( f) Ran(f ) es igual a: UNI 2009 - II
0; B) 1;
A)
C)
0;
D)
4;
E)
1;
Resolución: Ubicación de incógnita
Dom(f); Ran(f) Análisis de los datos o gráficos
x f 2 x 2 4 ; x 4 x Dominio
ÁLGEBRA
Rango
TEMA 12
FUNCIONES III
Exigimos más! Operación del problema
La expresión:
Esbozando la gráfica de: x 2 x (por álgebra de funciones)
x 2 x es inyectiva. Dom(f) = 0;
Analógicamente la expresión:
2 x 4 x 4; Ran(f) = 4;
Dom(f)nRan(f) = 0;
2 x 4 x
Respuesta: A) 0;
es inyectiva:
UNI SEMESTRAL 2013 - III
36
ÁLGEBRA
TEMA 12
ÁLGEBRA
FUNCIONES IV DESARROLLO DEL TEMA I.
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo:
Dadas 2 funciones f y g la función composición deno-
f(x) 4x 3 , x 15, 22
tado por fog se define así: • fog = {(x;y)|y = f(g(x))}
g(x) 3x 1, x 7,14
•
Dfog = x Dg g(x) Df
Esquematizando con el diagrama sagital:
•
(fog)(x) = f(g(x)) = 4(3x – 1) + 3 = 12x – 1
•
Dfog x 7,14 3x 1 5,22 x 16 , 23 3 3 x 7, 23 3
fog(x) 12x 1 / x 7, 23 3
Propiedades de la composición de funciones
Dadas las funciones f, g, h, I (identidad) Ejemplo:
f = {(3;5), (4;3), (5;2)}
I.
(fog)oh = fo(goh) [asociativa]
II.
Si I es la función identidad:
g = {(5;3), (3;5), (7;2)}
foI = f
función f:
Iof = f
III. (f + g)oh = (foh) + (goh) IV. (fg)oh = (foh) . (goh) V.
fog goh, en general
VI. InoIm = I nm; n,m, Z+ VII. Ino(f + g) = (f + g) n, n Z+ VIII.
1 I n oIn 1
IX.
fog = {(5;5), (3;2)} UNI SEMESTRAL 2013 - III
37
| I |, para n par Z+ 1
I n o In In o I n I , n Z+, impar
ÁLGEBRA
TEMA 13
FUNCIONES IV
Exigimos más!
II. FUNCIÓN INVERSA
B. Función suryectiva (epiyectiva)
Definiciones previas.
Sobreyectiva o sobre. Se dice suryectiva si el conjunto de llegada queda cubierto por el rango de ese modo coincidiendo el rango y el conjunto de llegada.
A. Función inyectiva Llamada también univalente o uno a uno, se dice inyectiva si a cada elemento del rango le corresponde un único valor del dominio. Formalmente: f es inyectiva si para:
x1; x 2 Df x1 x 2 f(x1) f(x 2 ) Equivalentemente: f(x1 ) f(x 2 ) x1 x 2 Ejemplo:
Ver f(x) x 1 es inyectiva. x 1
C. Función biyectiva
Una función se dice que es biyectiva si es inyectiva y suryectiva a la vez.
Resolución:
Sean x1 ; x 2 Df
III. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INVERSA
Si: f(x1) = f(x2 ) x1 1 x2 1 x1 1 x2 1
Dada una función f x, y / y f x inyectiva se
x1 x 2
define la función inversa denotado por f* como lo que: f* y; x / y f(x) x Df
f es inyectiva. De donde:
Teorema
Df* = Rf, Rf* = Df
f es inyectiva si todo vector horizontal corta su gráfica a lo más en 1 punto. Ejemplo: Ejemplo:
Halle la inversa de f(x) x 1 si existe. x 1 Resolución:
Se ha visto que es inyectiva, es a su vez suryectiva. su inversa
Para hallar la inversa se despeja "x". x
f x 1 f x 1
f x x
f x x 1 x 1
Df* = R – {1} ; Rf* = R – {1}
IV. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA Conociendo la gráfica de la función f(x) la gráfica de f*(x) se obtiene reflejando en el eje de la función identidad, así: UNI SEMESTRAL 2013 - III
38
ÁLGEBRA
TEMA 13
FUNCIONES IV
Exigimos más!
Propiedades:
f
x, y / y f x , x Df y f x
f* y, x / y f x , x Df x f * y
y f x
f * y x
x DF
I. f * f x x; x Df
II.
III. (fog)* = g* o f*
IV. (f*)* = f
f f * y y; x Df* Rf
problemas resueltos
Problema 1
Resolución:
Problema 2
Sean A y B conjuntos no vacíos, señale
I.
Verd adero
Dadas las funciones:
De acuerdo a la condición de unici-
f = {(3, 1); (2, –3); (5, 0); (4, –4);
la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I.
(1, 1)}
dad esta proposición es perfectamente válida.
g = {(–4, 3); (–2, 7); (0, 0); (1, 5);
Si:
(2, 1)}
(x, y);(x, z) f {(x, y) /x A, yB} A xB
implica que y = z, entonces podemos decir que f es una función
h = {(1, –4); (3, –2); (5, 0); (7, 2)}
II. Falso No necesariamente, por ejemplo: F : 1;2 0; 4
de A en B. II. Toda función sobreyectiva f:A B es inyectiva.
y F(x) x 2
Es una función sobreyectiva, pero
Determine la función compuesta f o g o h. UNI 2010-I
no es inyectiva.
Nivel intermedio
III. Toda función inyectiva f: A B es A) {(1, 0); (5, 1)}
sobreyectiva.
III. Falso
A) VV V
B) {(3, –3); (5, –4)}
No necesariamente, por ejemplo:
B) VFV
F : 1; 3 2;4
C) VFF D) FFV
C) {(1, 1); (7, 1)}
y F(x) 2x 1
D) {(1, 1); (2, –3)}
Es una función inyectiva, pero no
E) {(3, –1); (7, 1)}
es sobreyectiva.
E) FFF
Resolución:
UNI 2010-I Nivel fácil
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Respuesta: C) VFF
39
f={(3;1), (2;–3), (5;0), (4;–4), (1;1)}
ÁLGEBRA
TEMA 13
FUNCIONES IV
Exigimos más! g={(–4;3), (–2;7), (0;0), (1;5), (2;1)}
Halle todos los valores que puede
h={(1;–4), (3;–2), (5;0), (7;2)}
tomar K para que la gráfica de la función f y de su inversa sea la misma.
Calculando Calculando goh:
UNI 2010-I
goh = {(1;3), (3;7), (5;0), (7;1)}
Nivel difícil
f = {(3;1), (2;–3), (5;0), (4;–4), (1;1)} fo(goh) = {(1;1), (7;1)} Respuesta: C) {(1;1), (7;1)} Problema 3
1; 2
B)
0 ;1
C)
1 ;1
1 ; x K x K
UNI SEMESTRAL 2013 - III
E)
y K
1 ; x K x K
x K
1 x K 1 ; y K y K y K
f * (x) K
1 ; x K x K
( x) f (x ) f * (x
Lo cual se cumple para cualquier valor real de K, es decir: K ; .
D) 0 ;
Dada la función: f(x) K
A)
Resolución : :
;
Respuesta: E) ;
40
ÁLGEBRA
TEMA 13
ÁLGEBRA
LOGARITMOS LOGARITMOS EN DESARROLLO DEL TEMA I.
TEOR TEOREMA EMA DE EXI EXIS STENCI TENCIA A DEL DEL LOGA LOGA-RITMO
Log
•
Para todo par de números reales "a" y "b" tales que a 0; a 1 y b 0, existe un único número real x, que cumple ax = b.
3 2
3
2 2
1 2
IV. TEOREMAS SOBRE LOGARITMOS LOGARITMOS Sea la base real a, tal q ue ue a 0 a 1 1. Sea A y B reales reales,, tal que: AB > 0:
II. DEFI DEFINI NICI CIÓN ÓN DE DE LOGARI LOGARITMO TMO
LogaAB AB Log a A Logb B
Sean los números reales "a" y "b", si a 0, a 1 y b 0, el número real x se denomina logaritmo del número b en base a y se denota por Log ab si y solo si ax b . De la definición se tiene:
2. Sea Sea A y B reale reales, s, tal tal que: que: A 0 B
x Logab a x b
Loga A Loga A Logb B B
Donde: a: base del logaritmo b: número del logaritmo c: logaritmo de b en la base a
3. Sea Sea A real real,, tal tal que n N An 0 . LogaA n nLoga A 4. Sea Sea A real real,, tal tal que que n N, n 2. Si A 0
Ejemplos:
Logan A 1 LogaA n
1. Log264 x 64 2x 26 2x x 6 Luego: Log264 6
5. Sea Sea A rea real, l, tal tal que: que: A 0, m n
x
2. Log 1 729 x 729 1 36 3x x 6 3 3
Log nAm m LogaA ; n 0 a n
Luego: Log 1 729 6
Colorario Si se eleva a un exponente "m" y se extrae raíz n-ésima a la base y número del logaritmo el valor de logaritmo no se altera.
3
3. Calcular Calcular el valor valor de "x" si cumple cumple la igualda igualdad: d: Log1 /2 1024 3 x
2
1024 1
3 x
210 2x 3 10 x 3
L o g a A Lo g
x 13
(m 4) 4 )Logm 410 10, m 4 m 5
UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
A ; A 0
7. Cambi Cambio o de de base base:: Sea la base "c" donde c 0 c 1.
Ejemplos:
•
n a
LogaA LogaB A B
Si a 0; a 1 b 0 se cumple: aLogab b 2LOg23 3
A n Lo gn
6 . Si: A 0 B 0
III. IDENTIDAD IDENTIDAD FUNDAMENTAL FUNDAMENTAL DEL LOGARITMO
•
an
Logab
41
ÁLGEBRA
Lo gcb Lo gc a TEMA 14
LOGARITMO EN R
Exigimos más! Demostración: Por identidad: c logc b b (1) Por identidad: aloga b b (2)
1. Sistema Sistema decimal o de de Briggs Briggs Es aquel sistema si stema de logaritmos logari tmos en la cual la base es 10.
Además: c logc a a (3) Reemplazando (3) en (2) se obtiene:
clog a c
log a b
loga b
Notación: Log10N LogN Se lee: lee: Logaritmo de "N". En general:
c log c b logc a loga b logc b
LogN
logc b ; Logb a Logab 1 logc a
Pa rte entera
;
Parte de cimal
(cara caraccter teríst ística ica)
(manti antisa sa))
A. Propiedad
Logba ( Logba) 1
2. Sistema Sistema hiperbóli hiperbólico co o Neperiano Neperiano Es aquel sistema cuya base es el número trascendental:
1 loga b
e 1 1 1 1 ... 0! 1! 2! 3 ! e 2, 71 7182....
B. Regla Regla de de la la caden cadena a Si: a 0; a 1; b 0; b 1; c 0; c 1 d 0 se cumple:
Notación: LogeN LnN
loga b logb c logc d loga d
Teorema Sea todo N > 1 el número de cifras es igual a la característica más uno. Es decir:
C. Sistem Sistemas as de logari logaritmos tmos Cada base de logaritmos determina un sistema de logaritmos, en consecuencia existen infinitos sistemas de logaritmos para una base positiva y diferentes de 1; los sistemas más importantes son:
# de N cifras
c ar acterística 1
problemas resueltos Problema 1 Calcular el logaritmo de 8 en base 4. A) 1/2
B) 2
C) 3/ 3 /4
D) 3/ 2
A) {1}
B)
34
E)
52
D)
C)
12
E ) 5/ 2 Resolución: Según teorema tenemos:
Resolución:
x 1 1 x 2x 2 x 1
Sea " " el logaritmo pedido, luego:
Log4 8 = Según la definición: 4 8 22 23
2 3 3 2
A)
B) 1 0
10
C ) 10 0 E)
D)
1000
10 2
Resolución: Según propiedad tenemos:
LogxLog(x) Log(x) 2 2
[Log(x)] Log(x) 2 0
Con el auxilio del aspa simple conse-
Pero según definición de base x > 0; x 1.
guimos:
CS
[Log(x) – 2] [Log(x) + 1] = 0 Log(x) = 2 log(x) = –1 Respuesta: C)
Respuesta: D) 3/2
Problema 2 Resolver: xLogx (x 1) 1 x UNI SEMESTRAL 2013 - III
Problema 3 Determine el mayor valor de x en: LogxLog(x) = Log(x) + 2 UNI 2007 - I Nivel difícil 42
x = 102 x = 10 –1 1 x = 100 x = 10
Mayor valor de x = 100 Respuesta: C) 100
ÁLGEBRA
TEMA 14
ÁLGEBRA
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARITMOS DESARROLLO DEL TEMA I.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA x y=Log 2 x
A. Definición Dado un número real b (b 0; b 1) llamamos función logarítmica de base b a la función de f de R + en R que asocia a cada x el número de Log bx. En símbolos:
+1/4 1/2 1 2 4 8
F : | y f(x) logb (x)
y
4 3 2 1
-2 +1 0 1 2 3
-1 -2 -3 -4
(5,Log25)
(8,Log28)
Log25 Log28 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ejemplos:
B) g(x) Log 1 x
A) f(x) = Log2x
Nótese que: 5 < 8 y Log 25 < Log2 8 En general si b > 1 la gráfica tiene la forma siguiente:
2
C) h(x) = Logx
D) p(x) = Ln x
Observaciones
a) y Logbx x by De donde concluimos que las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas una de la otra.
y=Logbx Log r Logbs m 1 Log b m
b) Para la función y f x Logbx Dominio Df 0, x 0
b
r
es una función creciente
s
Rango Rf R y Logbx R Propiedades
B. Gráfico de la función logaritmo
1. f(1) = Logb1 = 0, es decir el par ordenado (1,0) pertenece a la función. 2. Si: r < s entonces Log br < Logbs. 3. Si: r > 1 entonces Logbr > 0. 4. Si: 0 < m < 1 entonces Log bm < 0.
1. Caso I
Si b > 1. Ejemplos:
A) B) C) D)
f(x) = Log 2 x g(x) = Logx h(x) = Log4 x p(x) Log x
2. Caso II
Si 0 < b < 1. Ejemplos:
2
A) f(x) Log1 x
Graficaremos:
B) g(x) Log
1
2
C) h(x) Log 3 x
y f x Log2 x UNI SEMESTRAL 2013 - III
4
43
ÁLGEBRA
x
3
D) p(x) Log1 (2x) 5
TEMA 15
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARITMOS
Exigimos más! Graficaremos:
• y f x Log1 x
•
2
El dominio de esta función es todos los reales, es decir: Df , R . Por propiedad: si x R y a 0 . entonces: a x > 0, por tanto el rango es: Rf 0,
B. Gráfico de la función exponencial
x y=Log 2 x 8 4 2 1 1/2 1/4
1. Caso I
-3 -2 -1 0 1 2
Si a > 1. Ejemplos:
A) f(x) 2 x
B) g(x) 3 x
C) h(x) ( 3) x
D) p(x) 10 x
x
F) r(x) 5 4
E) q(x) 3 2
En general: si 0 < b < 1, la gráfica tiene la forma siguiente:
x
Graficaremos: y = f (x) = 2 x
y
x
y
x -3 -2 -1 0 1 2 3
Log bm r m 1
s Logbr
x
Log s b
y=Log x
y=2
x
1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
-4 -3 -2 -1 01 2 3 4
b
es una función decreciente
y=2
8 7 6 5 4 3 2 1
x
En general
Propiedades
Si a > 1 la gráfica tiene la forma siguiente:
1. f(1) = Logb1 = 0, es decir el par ordenado (1,0) pertenece a la función.
y=a (a1) x
y
2. Si: r < s entonces Log br > Log bs.
Es una función creciente
3. Si: r > 1 entonces Logbr < 0. 4. Si: 0 < m < 1 entonces Logbm < 0.
II. FUNCIÓN EXPONENCIAL A. Definición
Dado un número real a, tal que 0 a 1 ; se llama función exponencial de base a la función que asocia a cada x real el número a x . y = f(x) = ax.
r
as
1
a
0
r s
m
am
x
Propiedades
1. f(0) = a° = 1, es decir el par ordenado (0, 1) pertenece a la función. 2. Si r < s entonces ar < a s, ó si s > r entonces as > ar. 3. Si r < 0 entonces ar < 1. 4. Si m < 0 entonces am < 1.
Ejemplos: x
A) f(x) 2 x
B) g(x) 1 2
C) h(x) 3x
D) p(x) 10 x x
E) q(x) ( 2)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
1 F) r(x) 3
x
2. Caso II
Si 0 < a < 1. 44
ÁLGEBRA
TEMA 15
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARITMOS
Exigimos más! Ejemplos:
Propiedades
A) f(x) 1 2
1. f(0) = a0 = 1, es decir el par ordenado (0, 1) pertenece a la función. 2. Si r < s entonces ar > a s, ó si s > r entonces as < ar. 3. Si r < s entonces ar > 1. 4. Si m > s entonces am < 1.
x
x
B) g(x) 1 10
C) h(x) 1 3
x
D) p(x) (0, 8) x x
Graficaremos: y f (x) 1 2 x 2 1 x y 2
x
1 y 2
-3 8 4 -2 -1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 3 1/8
x
C. La función exponenciaL de Base "e" • La función y = ex donde "e" es número irracional trascendente juega un rol muy importante en las matemáticas. • Las aproximaciones del número "e" se pueden determinar con la expresión:
x
y
y=2
8
4
• 1 -4 -3 -2 -1 01 2 3 4
e 1 1 1 1 1 1 1! 2! 3! 4 ! n! El valor de "e" con siete decimales de aproximación es: e = 2,7182818...
x
La gráfica de y = e x es:
En general
Si 0 < a < 1 la gráfica tiene la forma siguiente: y
y
r y=a ; 0 a 1
a
-3 0,05 -2 0,14 -1 0,37 0 1 1 2,72 2 7,39 3 20,09
r
as
1
r s
0 m
8
x
x y=e
Es una función creciente
x
y=e
4
-3 -2 -1 0 1 2 3
problemas resueltos
Operando:
Problema 1
Sea S el conjunto solución de la ecuación, en R: x 3 7x 2 15x 9
1 logx 3 5
Halle la cantidad de elementos de S. UNI 2010 - I Nivel fácil A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
También: g(x) = Log 3 x
3 x 7x2 15x 9 Log 3 x
f(x)
5
5
Cuya gráfica:
g(x)
Tenemos: f(x) = x3 – 7x2 + 15x – 9 Factorizando: f(x) = (x – 1)(x – 3) 2 Cuya gráfica: Luego:
Resolución: Analizando: x3 7x2 15x 9
1 ;x 0 x 1 logx 3 5
UNI SEMESTRAL 2013 - III
45
x
ÁLGEBRA
TEMA 15
x
FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARITMOS
Exigimos más! Número de soluciones de la ecuación se encuentra a partir del número de intersecciones de las gráficas de f(x) y g(x) no encontrándose intersecciones entre estas dos gráficas. Respuesta: A) 0 Problema 2
Efectuando: m2 m 1 0; m 0 m Reduciendo:
0;Log4 1 5 2
B)
; 0
C)
1 5 ;Log4 2
D)
; 1 5 2
E)
;Log4 5 1 2
Resolución: Piden: 4x = m; m > 0
Tenemos: 4 x 4 x 1 1 4x 1 4x Reemplazando el cambio de variable:
m 1 1 m
UNI SEMESTRAL 2013 - III
A) –4 D) 2 Resolución:
m2 m 1 0
3
V.C. 1 5 ; 1 5 2 2
x 1
– 3x – 1 3x 2
Si: x 0 Eliminando los valores absolutos: 3x+1 – (3x – 1)= 3x + 2
Determine el conjunto solución de la inecuación: 4x – 4 –x < 1. UNI 2008 - II Nivel intermedio A)
UNI 2008 - I Nivel difícil B) –2 C) 0 E) 4
Reduciendo: 3x 3 2 3x 1 0 Tenemos: 3x = 1 x 0
Entonces: m 1 5 ; 1 5 m 0 2 2 0 m 1 5 2
4x
Eliminando los valores absolutos: 3x+1 + 3x – 1 = 3x + 2 Reduciendo: 3 x+1=3
Luego: 1 5 log4 2 4
Si: –1 x 0
x log4 1 5 2
Tenemos: x + 1 = 1 de donde: x = 0 0 1 x 0 Si: x < –1 Eliminando los valores absolutos: x 3 –x –1 3 x – 1 3 2
1 5 Respuesta: C) -; log4 2
Reduciendo: 3 –x–1 = 3 Tenemos: –x – 1 = 1 De donde:
x –2 \ C.S. {–2;0}
Problema 3
Si {x1; x2} es el conjunto solución de: x 1
x
Piden: –2 + 0 = –2
x
3 1 3 2 3 entonces la suma de x 1 y x2 es:
46
Respuesta: B) –2
ÁLGEBRA
TEMA 15
ÁLGEBRA
LÍMITES I DESARROLLO DEL TEMA I.
II. DEFINICIÓN
NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITES
El número L se llama límite de la función real de una variable real f en el punto x 0 (x 0 no pertenece necesa-
Consideremos una función real de variable real: 3 f(x) x x ; x 0 x
riamente al Dom(f); si para cada
0;
0 / x Domf
f(x) x2 1; x 0
0 x x0
f(x) L
Se dice que L es el límite de f (x), cuando x tiende a x 0 y se escribe como:
¿Qué sucede si x asume valores muy cercanos a cero? f(x) asumirá valores muy cercanos a 1, dándole un enfoque geométrico: Y
, tal que:
llar un que depende de
Se observa que el equivalente será:
0 , es posible ha-
lim f(x) L
x x 0
f
III. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y f L
f(x) 1 0
(valores por la izquierda)
x
L f(x) L
X
(valores por la derecha)
Se observa que, a medida que x se acerca a 0, ya sea por la derecha o por la izquierda, entonces f(x) se acerca a 1. Es decir: Si x tiende a 0, entonces f(x) tiende a 1. Simbolizando:
X 0 X X 0
X
X0
IV. TEOREMA DE UNICIDAD DEL LÍMITE Sea A una función real de una variable real y x 0 no pertenece necesariamente al Dom A.
lim f(x) 1
x 0
o en forma equivalente: lim A(x) L1 lim A(x) L 2 L L 1 2 xx x x
lim (x 2 1) 1
0
x 0
Para obtener el valor de 1 se ha reemplazado en f(x) = x2 + 1 el valor x = 0, así:
A. Teoremas
Sean: f g dos funciones reales de variable real y además "a" un punto que no pertenece necesariamente a: Domf Domg =
lim f(x) f(0) 0 2 1 1
x 0
UNI SEMESTRAL 2013 - III
0
47
ÁLGEBRA
TEMA 16
LÍMITES I
Exigimos más! Si:
lim g(x) K
lim f(x) A
4.
Entonces:
x a
Si c R lim cf (x) c A x a
lim (f g)(x) A + K
1.
lim (f g)(x) A K
3.
x a
x a
x a
5.
0:
lim f (x) A K x a g
lim (f g)(x) A K
2.
Si K
x a
problemas resueltos Problema 2
Problema 1
UNI
Calcular:
Calcular:
Lim
3 x 3 x x 0 Lim
A)
B)
2 3
1 3
C)
1 3
D)
3
A) -2
B) –1
C) 2
D) 1
2 3
Lim
Resolución:
2 1 x 1
2(x 2 x 1) Lim 36 x 1 x 1 (x 1)(x 2 x 1)
Luego:
D)
3 2
E)
2 7
x
Evaluamos:
Lim ax2 bx c
x
x5 2x4 5 0 x3 1
x 2 x 5 x x 2 x 5 x
Efectuando:
Efectuando:
( 3 x 3) ( 3 x 3) Lim x x x 0 ( 3 x 3)
5 2
Luego:
Luego: 3x 3 0 0 0
C)
2 x 5
6 2 0 1 1
Lim
Evaluamos:
2 4
6
Evaluamos:
3 x 3 x x 0
B)
Lim x 2 x 5 x
x 1 x3
Tenemos:
7 2
Resolución: Tenemos:
Resolución: Tenemos:
2
E)
Nivel intermedio
E) x
2
A) UNI
UNI Nivel fácil 1
Nivel intermedio
2 x 1 x 1 x3 1 6
2(x 2)(x 1) 1)(x2 x 1)
Lim
Lim
(x 2)(x 5) x 2
x
x 1 (x
(x 2)(x 5) x
Reduciendo: Efectuando:
Simplificando: x
Lim
x 0 x( 3 x
2(x 2) 2(1 2) 2 12 1 1 x 1 x 2 x 1 Lim
3)
x(7 10) x Lim x 2 x 7x 10 x x 1 7 10 x x x2 7x 10
Simplificando: Lim
x 0
1 3 x 3
1 3 3
1
Respuesta: A) -2
2 3 Problema 3
Evaluar: Respuesta: A)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
1 2 3
(7 10 ) x Lim 7 2 x 1 7 10 1 x x2
Lim x 2 x 5 x
x
Respuesta: A) 7/2 48
ÁLGEBRA
TEMA 16
ÁLGEBRA
LÍMITES II DESARROLLO DEL TEMA
I.
LÍMITES LATERALES
Teorema:
limf(x) lim f(x) L lim f(x) M x a+ x a xa
A. Definición 1
Se dice que L es el límite lateral de f(x) cuando x tiende hacia "a" por la derecha y se denota por:
Es decir existe el límite de una función, sí y solo si existen los límites laterales y son iguales.
lim f (x) L x a+
II. TEOREMA SOBRE LÍMITES INFINITOS
Geométricamente:
1.
lim 1 x 0 x
2.
lim 1 x 0 x
3. Si "n" es un entero positivo, entonces: a) lim 1n x 0 x ; sin es impar b) l im 1 n x 0 x ; si n es par
B. Definición 2
Se dice que "m" es el límite lateral de f(x) cuando x tiende hacia "x" por la izquierda y se denota por
4. Sean f y g dos funciones tales que:
lim f(x) M lim f (x)
xa
lim g (x)
x
x
Geométricamente: entonces: lim f (x) g(x) x
;
A lim f(x) g(x) x
Generalmente, al calcular el Lim f(x) es necesario x a
calcular los límites laterales de f(x) cuando la función tiene diferentes reglas de correspondencia para x < a y x > a. UNI SEMESTRAL 2013 - III
49
ÁLGEBRA
TEMA 17
LÍMITES II
Exigimos más! Es decir, usando los siguientes símbolos, podríamos resumir así: I. () () II. () () III. () ()
B. Forma indeterminada
Sea: L lim
Nota:
; si n m a L 0 ; si n m b0 0 ; si a n m
V. () () ; n 0 (par) VI. ()n ; n 0 (impar)
IV.TEOREMA SOBRE LÍMITES AL INFINITO Si n es un e ntero positivo cualquiera, entonces: lim 1 0 lim 1 0 n n x x x x
; K 0 VII. K() ; K 0 ; K 0 VIII. K() ; K 0
Se a : f : R R definida por f(x) = 1+ 1 x x
III.CÁLCULOS DE LOS LÍMITES
entonces : lim 1+ 1 e 2, 71828... x x
0
Para las formas indeterminadas ; 0 se trata de transformarlas a una de las dos formas:
0
Si se reeemplaza x por el valor del x 0 correspondiente se obtiene la expresión 0/0, efectuaremos ciertas operaciones algebraicas para levantar la indeterminación.
UNI SEMESTRAL 2013 - III
a0 xn a1 xn1 a2 xn 2 ... an b0 x m b1 xm1 b2 x m 2 ... bm
Entonces de acuerdo al valor de los grados n y m de los polinomios se tiene:
Cuando se tienen funciones racionales, el análisis del comportamiento e n . Se realiza dividiendo el numerador y el denominador por la mayor potencia de la función racional. IV. () ()
A. Forma indeterminada
0 0
50
ó
.
ÁLGEBRA
TEMA 17
ÁLGEBRA
DERIVADAS I DESARROLLO DEL TEMA Dada la ecuación y = f(x), generalmente, si cambiamos el valor de x es lógico pensar que cambie el valor de y. Trataremos de hallar una relación que nos permita, de alguna manera, medir estos cambios. Esta idea será sumamente fructífera ya que muchos problemas reales (físico y/o geométricos) requieren analizar la relación entre las variaciones de dos magnitudes. Veamos algunas consideraciones elementales que nos van a permitir tener una visión más clara de esta idea. Consideremos una función "f " real de variable real continua en el intervalo a; b tal que y = f(x). Sea x 0 a;b , es decir a < x 0 < b. Si al punto x 0 le sumamos una cantidad pequeña x llamada incremento, encontramos el punto x x 0 x, supondremos que el punto x a;b . El incremento que experimenta la función al pasar del punto x0 a x x 0 x, lo representaremos por y , siendo por tanto y f(x) f(x0 ) , tal como se observa en la figura ad junta:
De donde: Tan()
y f(x) f(x0 ) x x x0
y f(x) mx b
y 0 f(x 0) mx 0 b Entonces: Tan()
(mx b) (mx 0 b) m x x0
Luego: tg m m Tan () se le llama "pendiente" de la recta
.
Se observa además que la pendiente de la recta
:
y = mx + b Luego el cociente de los dos incrementos se llama "cociente incremental", entonces:
es el coeficiente principal.
I.
y f(x) f(x 0) x x x0
Se denomina derivada de la función f a la función denotada por f' cuya regla de correspondencia es: f '(x) Lim f(x h) f(x) h0 h
Si trazamos una recta que pase por los puntos (x 0, f(x0 )) y (x, f(x)) cuya ecuación es: y = mx + b, se tiene: UNI SEMESTRAL 2013 - III
DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN
51
ÁLGEBRA
TEMA 18
DERIVADAS I
Exigimos más! Donde su dominio está formado por los valores de x del dominio de f, para los cuales el límite dado existe. En este caso decimos que f es derivable o diferenciable.
Y ahora haciendo que h 0, la pendiente de la recta (que ahora es tangente) es: f(x h) f(x) ms Lim h h0
Otras notaciones Además de la notación f(x) para la derivada de y = f(x) se utilizan:
y' ;
Y es lo que hemos definido como la derivada de f. En conclusión:
dy df(x) ; ; D ,y dx dx
Se lee: “Derivada de f con respecto a x”.
II. REGLA GENERAL PARA HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN f(x h) f(x) f(x x) f(x) f(x) Lim Lim h x x 0 h0
• •
•
f'(x) representa geométricamente (en caso de existir) a la pendiente de la recta tangente (de la gráfica de f) en el punto (x, f(x)), con x Domf y donde Domf ' Domf.
Se suma a la variable x un incremento x 0 y se calcula f(x x). Se forma el incremento y de la función correspondiente al incremento x de la variable x, es decir, se calcula y f(x x) f(x) . Se divide ambos miembros por el incremento x es decir:
IV. DERIVADAS LATERALES Dada la función f real de variable real definidos y denotamos:
y f(x x) f(x) x x
•
A. Derivada por la derecha de f en el punto x 0 f ' (x0 ) Lim
Se calcula f(x) lim y x 0 x
h 0
f(x 0 h) f(x 0 ) h
Si tal límite existe.
III. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
B. Derivada por la izquierda de f en el punto x 0 f(x 0 h) f(x0) h
f ' (x 0 ) Lim
Consideremos al gráfico de la función f, representada por la curva y = f(x), tomemos los puntos A y B, el punto B muy próximo al punto A cuyas coordenadas son (x, f(x)) como se muestran en la figura:
h 0
Si tal límite existe. Observación
Es consecuencia inmediata de la definición de límite que f(x) existe sí y solo sí las derivadas laterales existen y son iguales. f '(x )=f ' (x ) f ' (x ) 0
+
0
0
Por lo tanto f es diferenciable en x 0 . •
•
Teorema Si la función f es diferenciable en x 0 entonces f es continua en x 0.
En este caso hemos supuesto un h > 0. Observamos que B es un punto de la gráfica de F que se desliza a través de ella a medida que variamos h. Si hacemos que h se aproxime a cero, la recta AB inicialmente secante se convierte en tangente. Observamos que antes de hacer esta aproximación de h a cero, la pendiente de la recta AB era: ms
Observaciones
•
f(x h) f(h) h
UNI SEMESTRAL 2013 - III
•
52
Si la función no es continua en x0, entonces f no es diferenciable en x 0. Si f es continua en x 0, no se puede afirmar que f sea diferenciable en x 0 . ÁLGEBRA
TEMA 18
DERIVADAS I
Exigimos más! Corolario Si la función f es diferenciable sobre el intervalo I, entonces f es continua sobre I.
2. c f es diferenciable en I y
Observación
3. f g es diferenciable en I y
(cf) '(x) c f '(x); x I
(f g) '(x) f '(x) g(x) f(x) g '(x); x I
Sea f una función definida en [a; b]; a < b diremos que f es diferenciable en todo el intervalo [a; b] si lo es en a;b y además existen f ' (a) y f ' (b).
4. f/g es diferenciable en I, si g(x ) 0 , x I y
f '(x) g(x) f(x) g '(x) f ' g (x) 2 g(x)
V. DERIVADA DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES
VII.DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
A. Teoremas
1. Sea "c" una constante. Si f(x) = c, entonces
1. Si f(x) = Senx, entonces f'(x) = Cosx; x
f '(x) 0; x .
2. Si f(x) = Cosx, entonces f'(x) = –Senx; x
2. Si f(x) = x, entonces f '(x) 1; x .
3. Si f(x) = Tanx, entonces f'(x) = Sec2x:
3. Sea "n" . Si f(x) = x n, entonces f '(x) nxn 1,
x (2k 1) ,k 2
x .
4. Si f(x) = Cotx, entonces f'(x) = Csc2 x; x k , k 5. Si f(x) = Secx, entonces:
VI. ÁLGEBRA DE LAS DERIVADAS A. Teorema
Sean f y g diferenciables en un intervalo I y c es
f '(x) Secx Tanx; x (2k 1) ,k 2
una constante, luego.
6. Si f(x) = Cscx, entonces:
1. f g es diferenciable en I y
f '(x) Cscx Cotx ; x k, k
(f g) '(x) f '(x) g '(x); x I
problemas resueltos Largo: 50 m
Problema 1
Dato:
Si deseas cercar un jardín rectangular y si tienes 200 metros de cerca, ¿cuá-
2x + 2y = 200 x + y= 100
les son las dimensiones del jardín más grande que puedes cercar? A) 50
B) 60
C) 70
D) 80
E) 200 Resolución:
Tenemos:
Ancho: 50 m
y = 100 – x
Maximizando el área: f(x) = xy
Respuesta: A) 50 Problema 2
Hallar los valores extremos de: f(x) = 3x2 – x 3
Entonces: f(x) = x(100 – x)
Resolución:
f(x) = 100x – x 2 f'(x) = 100 – 2x = 0
Tenemos: f(x) = 3x2 – x 3 f'(x) = 6x – 3x 2 = 3x(2 – x)
Luego: x = 50; y = 50
Puntos críticos: x=0
f''(x) = 6 – 6x
Dimensiones: UNI SEMESTRAL 2013 - III
x=2
53
ÁLGEBRA
TEMA 18
DERIVADAS I
Exigimos más! Luego:
64 A) 4 , 9
B) 5 , 80 9
es un mínimo relativo.
16 C) 6 , 3
32 D) 7 , 9
f''(2) = –6 < 0 entonces f(2) = 4
E) 8 , 16 9
f''(0) = 6 > 0 entonces f(0) = 0
es un máximo relativo.
•
Resolución:
Vcilindro r 2(16 16r) Derivando 9 2 32r 48r 0 r 6 9
En un cono de altura 16 cm y radio 9 cm se inscribe un cilindro de radio r. Determine el radio y la altura del cilindro de mayor volumen si sabemos que tiene radio entero.
H 16 3
UNI
Respuesta: C) 6 , 16 3
Nivel difícil
UNI SEMESTRAL 2013 - III
VOA
9 r 16r H 16 16 16 H 9
• Problema 3
VO’B
54
ÁLGEBRA
TEMA 18
ÁLGEBRA
DERIVADAS II DESARROLLO DEL TEMA C.
APLICACIONES DE LA DERIVADA A.
Valores extremos Se llaman valores extremos de una función a todos sus máximos y mínimos relativos. Si f'(x) existe y si f'(x 0) es un valor extremo entonces la recta tangente en este punto debe ser horizontal, esto equivale a que: f'(x 0 ) = 0.
Criterio dela primera derivada Si C un punto crítico de f si existe un intervalo [a; b] donde f es continua y C a;b , ento nces: f '(x) 0; x a;c f(c)es un máximo 1. y relativo de f f '(x) 0; x c;b f '(x) 0; x a; c 2. y f '(x) 0; x c;b
f(c) es unmínimo relativo de f
Teorema
Si una función f satisface las siguientes 3 características: • f tiene un valor extremo en el punto x = a. • f esta definida en un entorno N(a) de a. • Exi ste f'(a ). B.
D.
f ''(x) 0; x a; x 0 1. f ''(x) 0; x x ;b (x 0 ; f(x 0 )) 0
Teorema de L' Hospital
Es un punto de inflexión
f(x) L Si: Lim x a g(x) sea de la forma:
Concavidad y puntos de inflexión Sea f una función continua sobre un intervalo a;b al cual pertenece x 0 tal que f''(x 0 ) = 0.
2. f ''(x) 0; x a; x 0 x0 ; f(x 0 ) f ''(x) 0; x x0 ;b
0 ó 0
Es un punto de inflexión
Se puede considerar el límite pero con las correspondientes derivadas:
E.
f(x) f '(x) f ''(x) ..... L Lim Lim x 0 g(x) x 0 g '(x) x 0 g ''(x)
L Lim
UNI SEMESTRAL 2013 - III
55
Raíz de multiplicidad Dado un polinomio P(x) de grado no menor que dos. Si X0 es una raíz de P(x) cuya multiplicidad es k, se cumple:
ÁLGEBRA
TEMA 19
DERIVADAS II
Exigimos más!
problemas resueltos
Problema 1
De este modo:
Calcular:
1 2 2 f '(x) cos x lim cos x lim 4 1 lim lim g'(x) senx cos2 x senx senx x x x x 2 2 2 2 2 cos x
lim
x 2
tgx 8 sec x 10
Al ser f y g son derivables en un en torno de podemos aplicar la regla 2 de L'Hôpital y se tiene que:
Resolución:
tgx 8 lim sec x 10 x 2
Da lugar a una indeterminación del tipo . Llamemos: f(x) = tgx – 8 y g(x) sec x 10
1 10 cos x
Entonces f y g son derivables en su domino de definición (en particular en y en un entorno suyo): 2 f '(x) sec 2 x
g '(x)
1 y cos2 x
1 (senx) senx 2 cos x cos2 x
UNI SEMESTRAL 2013 - III
f(x) f '(x) tgx 8 lim lim lim 1 g(x) g'(x) sec x 10 x x x 2
2
2
x 1 x lim x 0 (1 x)Ln(1 x) x 1 x x lim x 0 (1 x)Ln(1 x) x 0 (L'Hôpital) 0
1
lim
x 0 Ln(1 x) (1 x)
1 1 1 x
1 1 Ln(1 x) 2 2 x 0 lim
Problema 2
Resolver aplicando el teorema de L'Hôpital: 1 1 lim x 0 Ln(1 x) x
Problema 3
Resolver aplicando el teorema de L'Hôpital: x senx x 0 1 cos x lim
Resolución:
1 lim 1 Ln(1 x) x x 0
Resolución:
x Ln(1 x) 0 1 lim lim 1 x0 Ln(1 x) x x0 x Ln(1 x) 0
1
(L'Hôpital) lim
56
x senx 0 (L'Hôpital)= 0 x 0 1 cos x lim
senx x cos x 0 (L'Hôpital)= 0 senx x 0 lim
1 1x
x 0 Ln(1 x) x
1 1 x
cos x cos x ( senx) x 2 2 cos x 1 x 0 lim
ÁLGEBRA
TEMA 19
ÁLGEBRA
FUNCIÓN POLINOMIAL DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN
Propiedades
Una función polinomial es una expresión algebraica racional entera, cuya forma general es:
Sea y = F(x) una función po linomial de grado no menor que tres ([F]° 3) cuya gráfica aproximadamente es:
F(x) a0x n a1x n1 a2x n2 ... an1x an ;n Donde: x = variable o indeterminada a0 , a1, a2, ... y an son los coeficientes, todos ellos son números reales a0 xn es el término dominante siempre que a n 0 a0 = Coeficiente principal an = Término independiente de x, es un número real, también se le llama término constante.
1. Cada punto que corresponde a la gráfica de la función de modo que la gráfica de y = F(x) cruza al eje x indica la presencia de una raíz simple o de multiplicidad impar. De la gráfica: x 1 y x2 pueden ser raíces simple o raíces de multiplicidad impar de la función. 2. Cada punto que corresponde a la gráfica de la función de modo que la gráfica de y = F(x) es tangente al eje x indica la presencia de una raíz de multiplicidad par. De la gráfica: x 3 es una raíz de multiplicidad par de la función y = F(x).
Observación: Las funciones constante, lineal y cuadrática que se obtienen cuando n = 0; n = 1 y n = 2 respectivamente son casos particulares de una función polinomial.
II. CERO DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL También llamado raíz, sea y = F(x) una función polinomial no constante, es decir [F]° 1, un cero de la función es el valor que asume su variable de modo que la función se anule. Matemáticamente: F(x0 ) 0 x x 0 es un cero de F(x)
III. TEOREMAS DE TRANSFORMACIÓN DE RAÍCES
Teorema: Si x = x 0 es un cero de F(x), entonces un factor de F(x) será el binomio (x – x 0). Ejemplo: Dado el polinomio F(x) x5 – 2x + 1 fácilmente podemos notar que F(1) = 0, luego afirmamos que x = 1 es un cero de F(x) y por tanto (x – 1) es un factor de F(x).
Sea y = F(x) una función po linomial de grado no menor que dos, luego para la ecuación F(x) = 0, tenemos: 1. F 1 = 0, es la ecuación que tiene por raíces a x los recíprocos de las raíces de F(x) = 0. 2. F(x + h) = 0, con h , es la ecuación que t iene como raíces a las raíces de F(x) = 0 disminuidas en "h". 3. F(x – h) = 0, con h , es la ecuación que tienen como raíces a las raíces de F(x) = 0 aumentadas en "h". 4. F(k . x) = 0, con k , es la ecuación que tiene como raíces de F(x) = 0 divididas por "k".
Observación El cero o raíz de una función polinomial F(x) de grado mayor o igual que dos, puede ser simple o múltiple. 1. Es simple si x = x 0 solo determina al factor (x – x 0 ) no se repite en F(x). 2. Es múltiple si x = x0 determina el factor (x – x 0)m, con m N/m 2, es decir (x – x 0) es un cero de multiplicidad "m". UNI SEMESTRAL 2013 - III
57
ÁLGEBRA
TEMA 20
FUNCIÓN POLINOMIAL
Exigimos más! B. Teorema de Gauss
5. F x = 0, con k , es la ecuación que tiene k como raíces de F(x) = 0 multiplicadas por "k".
Permite analizar la existencia de alguna raíz racional de la función F(x), cuyo grado es n 2 y término independiente distinto de cero. Sea la función polinomial: F(x) a0xn + a1 xn–1 + a2xn–2 + ... + a n–1 x + an Donde: a0, a1, a2, ... an Si x 0 es una raíz racional de F(x) = 0 ésta será de la
IV. TEOREMAS ADICIONALES A. Teorema de Descartes
Frecuentemente llamado Regla de los signos de Descartes, esta referido a la cantidad de raíces positivas o negativas que puede tener una función polinomial F(x) de grado n 2 con coeficientes reales. 1. El número de raíces positivas de la ecuación F(x) = 0, será igual al número de variaciones de signos que presente los coeficientes de F(x), o, es menor que esta cantidad en un número par. 2. El número de raíces negativas de la ecuación F(x) = 0 será igual al número de variaciones de signos que presenten los coeficientes de F(–x), o, es menor que esta cantidad en un número par.
p , donde p y q son primos entre si, de q modo que p es un d ivisor del término independiente de x en F(x) y q es divisor del coeficiente principal en F(x). forma x0 =
C. Teorema de Bolzano
Consideremos una función polinomial F(x) cuyo grado es n 2 y de coeficient es reales. Si a < b y F(a) • F(b) < 0, entonces existe al menos una raíz real de F(x) que pertenece al intervalo a;b (o en general un número impar de raíces reales). Ejemplo: Para: F(x) x3 + 2x – 4 Se observa que: F(1) = –1 y F(2) = 8 Por lo que: F(1) • F(2) < 0 Luego por el teorema de Bolzano existe una raíz real x0 que pertenece al intervalo 1; 2 , es decir: 1 < x 0 < 2
Observación: Llamaremos variación de signos de los coeficientes de un polinomio ordenado en forma decreciente al paso de un coeficiente positivo, a un coeficiente negativo o viceversa.
problemas resueltos Problema 1 La función polinomial: 2 F(x, y, z) (x y)(y z 3) [(Z y)(y x 3)]4 (x y z 3)2 tiene N raíces (x, y, z). Entonces N es igual a: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Resolución: 2 4 (x y)(y z 3) (z y)(y x 3) 0
2
0
(x z y 3) 0 0
Se genera un sistema de ecuaciones: x y 0 y z 3 0 z y 0 y x 3 0 x y z 3 0 De donde: x y 0 x y 0 1. z y 0 2. y x 3 0 x y z 3 0 x y z 3 0 C.S. (1,1,1) C.S. y z 3 0 C.S. 3. z y 0 x y z 3 0 UNI SEMESTRAL 2013 - III
y z 3 0 4. y x 3 0 C.S. (2; 1, 2) x y z 3 0
Nos piden: P(x) (14)(6) 84 Respuesta: E) 84
Problema 3 Dados los siguientes polinomios: P(x) de grado 2 y término independiente Respuesta: C) 2 uno; y Q(x) = (x – 1) P(x) + 3x + 1. Si Q(2) = 7 y P(1) = 2, halle la suma Problema 2 de raíces de Q(x). Determine el polinomio mónico de me- A) 0 B) 8/3 C) 10/3 D) 4 E) 5 nor grado de coeficientes enteros que tenga como raíces a los números reales Resolución: 2 3 y 3 2. Dar como respuesta De los datos: P(x) = ax 2 + bx + 1 la suma de sus coeficientes. Q(x) = (x – 1) (ax2 + bx + 1) + 3x + 1 A) 28 B) 42 C) 56 D) 70 E) 84 Pero: Q(2) 7;(1)(4a 2b 1) 7 7 Resolución: 4a 2b 1......(1) Por el teorema de la paridad de raíces P(1) 2 ; a b 1 2 irracionales: Si una raíz es 3 2 la otra a b 1...(2) será (3 2) la cual origina el polinode (1) y (2) = a 3 / 2;b 5 / 2 mio cuadrático (x2 + 6x + 7). Nesiguala2
Análo gamente: Si l a otra raíz es 2 3 la otra será 2 3 que origina el polinomio: (x2 + 4x + 1) Por lo tanto el polinomio mónico será: P(x) = (x2 + 6x + 7)(x2 + 4x + 1) 58
de donde: Q(x) 3 x 3 4x 2 3 x 2 2 se pide: x1 x 2 x 3 4 8 3 / 2 3 Respuesta: B) 8/3 ÁLGEBRA
TEMA 20
ÁLGEBRA
SUCESIONES DESARROLLO DEL TEMA
I. DEFINICIÓN
Lim Xn L 0, un entero n0 0, tal n que
Una sucesión es una función cuyo dominio es y rango un subconjunto de
entero n no : xn L .
.
Observación:
Notación: x : n X(n)
También:
•
El entero n0 depende de 0.
•
Lim x n L ó Lim x n L.
n
x n x n xn Ejemplo:
x n : x1; x 2 ,..., xn ,... x n es el elemento n-ésimo de
Si x n 2n 1 , calcular Lim xn. 3n 2
x n
Ejemplos: 1.
Resolución:
x n : 2, 4, 6,...,2n,...ó xn 2n
2.
x n : 1, 3, 5,...,2n – 1,... ó x n 2n –1
3.
1 1 1 1 x n : 1, , ,..., ,... ó xn 2 3 n n
xn 2n 1 3n 2
21 2n 1 n2 Lim x n Lim Lim 3n 2 n 3 2 3 n
1
22 , 23 ,..., 2n ,... ó x 2n n n! 2! 3! n!
4.
x n : 21! ,
5.
x n : 11 2 , 21 3 , 3 1 4 ,..., 1 ,... n n 1
A. Teorema
Si r 1 Lim r n 0 n
n
Por ejemplo: Lim 0 4
II. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
B. Definiciones
Sea {xn} una sucesión y sea L , decimos que L es el límite de {xn} si los términos xn n n0 de la sucesión se aproximan a L. Es decir:
Sea {xn} una sucesión: 1. {xn} es acotada superiormente, si existe k1 , tal que n : x n k 1. 2. {xn} es acotada inferiormente, si existe k 2 , tal que n : x n k 2. 3. {xn} es acotada si existe k > 0, tal que n : xn k.
UNI SEMESTRAL 2013 - III
59
ÁLGEBRA
TEMA 21
SUCESIONES
Exigimos más! Ejemplo:
sión {{xxn} = {(–1)n} no es convergente, en 3. La La suce sucesión n 1 ; n es par efecto: Lim 1 1 ; n es impar
1. La sucesión {xn}, tal que x n 1 es acotada supen riormente e inferiormente: 0 x n 1, luego es
el límite no es único, entonces Limx n no existe.
acotada.
Teoremas
III. SUCESIONES MONÓTONAS Sea {xn} una sucesión, diremos que {x n} es monótona
1. Toda sucesión monótona y acotada es convergente.
si es uno de los 4 tipos de sucesiones siguientes:
2. Toda sucesión convergente es acotada. Lo contrario no necesariamente se cumple.
1. Sucesión creciente
3. Toda sucesión monótona no acotada es divergente a ( o ).
Si: x n xn 1; n 2. Sucesión decreciente Si: xn xn1; n
V. CRITERIOS DE CONVERGENCIA
3. Sucesión no decreciente Si: xn xn 1 ; n
A. Criterio de la razón
4. Sucesión no creciente Si: xn xn1; n
Sea {xn} una sucesión en
1. La sucesión x n 1 es decreciente. n
, tal que si:
xn 1 1 lim xn 0 xn n
Lim
Ejemplo:
i.e. la sucesión converge a cero.
En efecto, n : 1 1 n n 1
Observación:
2. La sucesión xn = n2 es creciente.
xn 1 1, no se puede decidir nada acerca n x n
Si lim
En efecto, n : n2 (n 1)2
de la convergencia.
IV. CONVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN
x n1 1, entonces la suceción diverge. n xn
Si lim
La sucesión {xn} es convergente si existe un único L / Limx n L .
Ejemplos:
Observación:
n 1. Calcular: lim x n , siendo x n a y a 0 n! n
Si Limxn no existe ó es ó , entonces decimos que {x n} es divergente.
Resolución: n n1 a 0; x n a ; x n 1 a n! n 1 !
Ejemplos: 1. La sucesión
xn
Apliquemos el criterio de la razón:
1 es convergente. n
a x n1 a n1 n!n xn n 1! a n 1
En efecto: Lim 1 0. n n1 2. La sucesión x n 2 1 es convergente, en 3
n1
1 efecto: Lim2 n
lim
n
n 1
0 1 lim xn 0
1 lim 1 x x n
n
Lim 2 1 2 0 0 33 3
UNI SEMESTRAL 2013 - III
a
60
e
e
ÁLGEBRA
2,7182818...
TEMA 21
SUCESIONES
Exigimos más!
VI. TEOREMA DEL ENCAJE
1
lim 1 x x
e
Sean las sucesiones {a n}, {bn} y {cn},
n
tales que an bn cn para todo n
n
lim 1 1 e n n
Lim an Lim Cn L , entonces Lim bn L
n
Sea la sucesión convergente {an}n1,
n 1 ! x n n!n x n1 n 1 n n 1
si:
1 1 n
a1 a2 ... an a; a n n
Lim {an} a Lim
n 1 ! nn x nn n 1 n 1 n ! xn n 1 n n 1 n
n
VII.TEOREMA DE LA MEDIA ARITMÉTICA
Resolución:
1
n
2. Analizar la convergencia de: xn n! nn
.
n
1 1
VIII.TEOREMA DE LA MEDIA GEOMÉTRICA
e
Sea la sucesión convergente {an}n1;
lim x n lim n ! 0
si:
n
n
Lim{an} a Lim
xn es convergente.
n
n
n a1.a 2.a3...an a; a
problemas resueltos
Problema 1 Sea la sucesión:
De la sucesión recurrente: 2an+2 – an+1 – an = 0
a1 0, a2 1, a3 1 , a4 3 , a5 5 , 2 4 8
Tenemos:
a6 11 , a7 21 , a8 43 ,... 16 32 64 entonces la sucesión {a n} converge a: UNI 2010 - I
2
2x x 1 0
2x 1 x 1 0
Respuesta: C) 2/3
x1 1 x 2 1 2
Problema 2
A)
E)
UNI 2009 - I
n 1 a1 0 2 n 2 a2 1 4
Resolución:
a7
n
1
Dada la sucesión 2, 6, 12, 20, 30, 42, ... determine la suma de los 100 primeros términos de la sucesión anterior.
Para
a1 0; a2 1; a3
n
an 1 2
D) 1
1 3 5 11 ;a ;a ;a ; 2 4 4 5 8 6 16
21 43 ;a 32 8 64
De donde: an 2
an1 an ; n IN 2
UNI SEMESTRAL 2013 - III
n
23
La sucesión converge a 3
2
Llevamos a la sucesión correspondiente:
7 12 5 B) 8 2 C) 3
Lim an Lim 2 4 1 3 2 n n 3
Entonces: 4 2 3 3
Luego: an 2 4 1 3 3 2
n
Nos piden: convergencia {a n} Calculamos: 61
A) 1010 0 B) 294880 C) 323400 D) 33 33 00 E) 343400 Resolución:
La sucesión: 1 x 2; 2 x 3; 3 x 4; ... ; 100 x 101 t100 ÁLGEBRA
TEMA 21
SUCESIONES
Exigimos más! Recordar: n(n 1)(n 2) 3
1 2 2 3 3 4 ... n (n 1)
y 9 respectivamente, obtenemos una progresión geométrica. Hallar el producto de esos números. UNI 2008 - III
S100 1 2 2 3 3 4 ...
n (n 1) n(n 1)(n 2) 3 = 343400 Respuesta: E) 343400
A) 231
UNI SEMESTRAL 2013 - III
a = 7 Dato: (7 – r + 2); (7 + 3); (7 + r + 9) 9 – r; 10; 16 + r
B) 264
P.G.
(9 r)(16 r) 102
C) 273 D) 308
Conclusiones
E) 420
r=4
los 3 términos son: 3; 7 y 11
Problema 3 Tres números positivos forman una progresión aritmética y además su suma es 21. Si a esos números añadimos 2, 3
Dato: (a – r) + (a) + (a + r) = 21
el producto 3 7 11 231
Resolución:
Sean los 3 términos de la P.A.: a – r, a, a + r. Piden: (a – r) a(a + r)
62
Respuesta: A) 231
ÁLGEBRA
TEMA 21
ÁLGEBRA
SERIES Y PROGRESIONES DESARROLLO DEL TEMA Sea {an} una sucesión en
Teoremas
.
a1 a2 a3.......an........ Entonces a la expresión: a1 a2 a2 .... an ...., se llama serie infinita de números reales. La sucesión: Sn s1, s 2,....., s n,.... tal que: s1 a1 s2 a1 a2 s3 a1 a2 a3 Son sumas parciales de la serie n
ak
k 1
n
an es
Si:
n 1
Si: lim an 0 , entonces: la serie infinita n
an
es
n 1
divergente. n
ak ,
Si:
k 1 n
cak
I.
k 1
sn a1 a2 .... a n
ak siendo Sn la n-ésima suma
k 1
bk y
C . Entonces:
k 1
n c ak k 1
n
n
k 1 n
k 1 n
k 1 n
k 1
k 1
k 1
ak bk
III.
n
n
II.
A la sucesión Sn n1, se denomina sucesión de sumas parciales de la serie infinita
convergente, entonces: lim an 0 n
ak bk
ak bk ak bk
II. CRITERIOS DE CONVERGENCIA
parcial de la serie.
A. Criterio de la razón
I.
DEFINICIÓN Consideremos una serie infinita
Sea la serie
ak y una sucesión
Si: L > 1, entonces
La serie infinita an es convergente y converge a S. n1
Ejemplo:
Sean las series
n 1
k 1
an , bn de términos no negati-
vos, tal que an bn; n mayor que un "k" entero positivo suficientemente grande, entonces:
ak es divergente, carece de suma.
k 1
UNI SEMESTRAL 2013 - III
3
k k! converge.
B. Criterio de la comparación
Sn = S an nlim
Al cual llamaremos suma de la serie infinita. Si la serie infinita
an convergente. an divergente.
Averiguar si la serie
an es convergente, se puede es-
cribir de la siguiente forma:
an 1 L an
Si: L = 1, entonces no podemos afirmar si la serie converge o no.
n 1
an y nLim
Si: L < 1, entonces
S existe, entonces diremos que:
Si la serie infinita
n 1
k 1
de sumas parciales Sn n1. Si el Lim Sn n
63
ÁLGEBRA
TEMA 22 - 23
SERIES Y PROGRESIONES
Exigimos más!
I. Si II. Si
bn converge an converge. an diverge bn diverge.
an y
n=1
an y
n 2
Si: L < 1, entonces
bn
n=1
de términos positivos, entonces:
C. Criterio de la raíz
Sea la serie
Lim n an L
a I. Si: L i m n = k > 0 ambas series convergen n bn o divergen.
an converge.
II. Si: Lim
n
an = 0 y bn converge an es bn n n=1 n=1 convergente.
Si: L > 1, entonces an diverge. Si: L = 1, entonces no podemos afirmar si la serie converge o no.
a III. Si: Lim n =+ y bn es divergente La n bn n=1
D. Criterio de comparación por límite
serie
Sean las series:
an es
divergente.
n=1
problemas resueltos Problema 1
La suma de la siguiente serie: 27 + 9 + 3 + 1 + ... es: UNI 2009 - II
A) 38,5 D) 41,5
B) 39,5 E) 42,5
C) 40,5
a) Aplicación de fórmula o teorema Teorema: Lim b n1 Lim bn L n
Determine el valor de: n
2k 1 1 2k 1 k 1
n
Suma límite: t1
S
n A) 2n 1 n 1 C) 2n 1
; q 1
1q b) Solución del problema Del dato:
Resolución:
Problema 3
n B) 2n 2 2n D) 2n 1
n E) 2n 1n
Aplicando suma límite: S 27 81 40,5 2 1 1 3
Resolución:
Tenemos: S
n
1
2k 1 2k 1
k 1
Respuesta: C) 40,5
Luego:
Problema 2
Sea la sucesión definida por: n bn1 bn 1 ,n 3 Donde: b1 1 2 Entonces la sucesión converge al valor: A) –1/ 2 B) 0 C) 1/3 D) 1/2 E) 1
2
n
Luego : bn1 b1 1 1 ... 1 3 3 3 2 Tenemos : Lim bn1 1 1 1 ... 2 3 n 3 SUMALÍMITE
Resolución:
Lim b n n1
Lim bn 1
n
Tenemos: b1 1 2
1 1 3 2 1 1 3
Lim bn1 1 1 0 2 2 n
1 n 2 S 2 k 1 2k 12k 1 Donde: 1 n 1 1 S 2 k 1 2k 1 2k 1
Propiedad telescópica: b
f(k) f(k 1) f(a) f(b 1)
k a
Entonces: S 1 1 1 n 2 1 2n 1 2n 1
n
bn 1 bn 1 ;n 3 UNI SEMESTRAL 2013 - III
Respuesta: A)
Respuesta: B) 0 64
ÁLGEBRA
n 2n + 1
TEMA 22 - 23
ÁLGEBRA
MATRICES I DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN
Ejemplo: La igualdad:
Una matriz es el arreglo u ordenamiento rectangular de elementos que podrán ser números reales, números complejos, etc., en filas (horizontal) y columnas (vertical) encerrados entre corchetes o paréntesis.
x y 2z w 3 5 x y z w 1 4 es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones:
Representación:
x y 3 x y 1 2z w 5 z w 4 La solución del sistema es: x = 2, y = 1, z = 3, w = –1
III. CLASES DE MATRICES Donde aij representa el elemento de la fila "i" y la columna "j".
A. Matriz cuadrada Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas. En este caso una matriz n n es de orden n y se le asigna el nombre de matriz n-cuadrada.
Notación:
Ejemplo: i = 1, ..., m ; j = 1 , ... , n Además: m n representa el tamaño, orden o dimensión de la matriz A. Ejemplo: Traz(A) = 9 + 8 + 0 = 17
Nota: Se debe destacar que una matriz es un arreglo y como tal no tiene un valor numérico.
1. Tipos de matrices cuadradas Las matrices cuadradas pueden ser:
II. IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices A y B son iguales, escrito A = B, si tiene la misma forma y sus elementos correspondientes coinciden. Así la igualdad de dos matrices m x n equivale a un sistema de m x n igualdades, una por cada par de componentes. UNI SEMESTRAL 2013 - III
a. Matriz diagonal Es aquella matriz cuadrada en la cual al menos un elemento de la diagonal principal es no nulo, y los demás, si lo son. 65
ÁLGEBRA
TEMA 24
MATRICES I
Exigimos más! Ejemplos:
1 0 0 A 0 7 0 ; 0 0 7
Ejemplo: A = [ 1 0 –3 2]
23 0 B 0 0
b. Matriz columna o vector columna Si la matriz presenta una sola columna. Ejemplo: 2 A 5 1
b. Matriz escalar Es una matriz diagonal que presenta elementos no nulos e iguales en la diagonal principal. Ejemplos:
5 0 0 A 0 5 0 0 0 5
C. Matriz nula Es aquella matriz en la cual todos sus elementos son nulos. Ejemplos:
B 6 0 0 6
;
A 0 0 0 0
c. Matriz identidad Es una matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son no nulos e iguales a uno.
1 0 0 I3 0 1 0 0 0 1
;
;
0 0 0 B 0 0 0 0 0 0
IV. OPERACIONES CON MATRICES
I2 1 0 0 1
A. Adición de matrices Sea A = (aij) y B = (b ij) dos matrices mn, entonces la suma de A y B es la matriz m n, A + B dada por:
d. Matriz triangular Existen dos clases:
A B aij bij
a11 b11 a12 b12 a1n b1n a b 21 21 a22 b22 a2n b2n am1 bm1 am2 bm2 amn bmn
• Superior: Es una matriz cuadrada en donde todos los elementos bajo la diagonal principal son iguales a cero, y del lado opuesto al menos un elemento no lo es.
Es decir, A + B es la matriz que se obtiene al sumar las componentes correspondientes de A y B.
• Inferior: Análogamente, es cuando los elementos sobre la diagonal principal son todos nulos y del lado opuesto al menos uno no lo es.
Advertencia: La suma de dos matrices está definida sólo cuando las matrices son del mismo tamaño. Ejemplo:
Ejemplos:
A 1 2 4 ; B 3 5 8 0 2 8 1 7 2 A B 1 3 2 5 4 8 0 1 2 7 8 2
B. Multiplicación de matrices 1. Multiplicación de un escalar por una matriz Si A = (aij) es una matriz de m n y si es un escalar, entonces la matriz m n, A está dada por:
B. Matriz rectangular Son aquellas matrices en donde el número de filas es distinto al número de columnas. Ejemplos:
3 2 A 1 0 5 9 32
;
a11 a12 a1n a a22 a2n A (aij ) 21 am1 am2 amn
B 17 9 5 0 4 2 23
1. Tipos de matrices rectangulares a. Matriz fila o vector fila Cuando una matriz está formada por una sola fila. UNI SEMESTRAL 2013 - III
4 7 12 1 5 6
en otras palabras A = ( aij) es la matriz obtenida al multiplicar cada componente de A por . 66
ÁLGEBRA
TEMA 24
MATRICES I
Exigimos más! Ejemplo: Sean las matrices:
Ejemplo: Multiplicar a la matriz:
3 5 7 4 2 1 por el escalar 2.
A 2 4 y B 3 1 22
2 3 5 7 4 2 1 3(2) 4(2)
4 0 5 1 3 2 23
La matriz C producto de A y B será de orden 2 3 de la siguiente manera. 7(2) 6 10 14 (1)2 8 4 2
5(2) 2(2)
C11 C12 C13 C21 C22 C23 23
C
Hallando cada uno de los elementos:
2. Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna Al tomar este producto es necesario que las matrices tengan el mismo número de componentes. En este caso se tiene:
C11 2 4 4 2 4 4 1 C11 12 1
C12 2 4 0 2 0 4 3 C12 12 3
C13 2 4 5 2 5 4 2 C13 18 2
C 21 3 1 4 3 4 1 1 C21 13 1
C 22 3 1 0 3 0 1 3 C 22 3 3
C 23 3 1 5 3 5 1 2 C23 17 2
Es decir: A B
n
Teoremas : Sean A, B y C matrices para las cuales están definidas las operaciones de adición y multiplicación i k y son escalares. a. K(A + B) = KA + KB b. (K + )A = KA + A c . K( A) = (K )A • A (BC) = (AB) C • A (B + C) = AB + BC • AB = 0 no implica que A = 0 ó B = 0 • AB = AC no implica que B = C
akbk k 1
Ejemplo:
8 A [1 9 7] ; B 3 1 A .B (1 8 9 3 7 1) 42 3. Multiplicación de dos matrices Dados dos matrices A (aij)m n y B (bij)n p. Entonces el producto de A y B es una matriz: C (Cij)mp , en donde: Cij = (fila i de A) . (columna j de B) es decir: C ij = a i1 b1j + a i2 . b2j + ... + b in . bnj Para ilustrar esto, se consideran las siguientes matrices: A, B y C.
Definiciones: • Si AB = BA, se dice que las matrices A y B son conmutables. • Si AB = –BA, se dice que las matrices A y B son matrices anticonmutables. 4. Potenciación de matrices Sea A una matriz cuadrada y n | n 2, se define: An A A A .... A "n"veces
V. TRAZA DE UNA MATRIZ Es la suma de elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada. UNI SEMESTRAL 2013 - III
67
ÁLGEBRA
TEMA 24
MATRICES I
Exigimos más! Teorema sobre traza
D. Matriz idempotente
•
Traz (A ± B) = Traz(A) ± Traz(B)
•
Traz (KA) = KTraz(A)
•
Traz (A B) Traz(B A)
Una matriz cuadrada A es idempotente si y sólo si es igual a su cuadrado (A 2 = A). Ejemplo:
1 ¿La matriz A 2 1 2
Donde A y B son matrices del mismo orden y K un escalar.
VI. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ Sea A = (aij) una matriz de m n. Entonces la transpuesta de A, que se escribe A T , es la matriz de n m obtenida al intercambiar las filas por columnas de A, AT = (a ji). Ejemplo:
5 6 8 A 3 2 1
1 A A A 2 1 2 2
5 3 A 6 2 8 1
1 2 es idempotente? 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 A 1 2
como A2 = A, entonces la matriz A es i dempotente.
T
E. Matriz nilpotente
Se dice que una matriz A diferente de cero es nilpotente si existe un número entero K tal que A K = 0. El índice de nilpotencia se define como el entero más pequeño para el que A K = 0.
Teorema •
(A ± B)T = AT ± BT
•
(AB)T = B T AT
•
(AT )T = A
•
( A)T = AT ; es un escalar
•
I = I; n Z n
Ejemplo:
+
1 3 4 ¿La matriz A 1 3 4 es nilpotente? 1 3 4
VII.OTROS TIPOS DE MATRICES A. Matriz simétrica
1 3 4 1 3 4 0 0 0 A A A 1 3 4 1 3 4 0 0 0 1 3 4 1 3 4 0 0 0
Se dice que una matriz cuadrada es simétrica si cumple la siguiente condición: A T = A. Ejemplos:
2
4 0 7 3 4 A ; B 0 3 1 4 5 7 1 9
entonces, A es nilpotente. F. Matriz hermitania
B. Matriz antisimétrica Una matriz cuadrada será antisimétrica si y sólo si es igual al negativo de su transpuesta (A = –A T ). Ejemplos:
Dada una matriz cuadrada de componentes complejos será hermitania si y sólo si cumple lo siguiente:
A T A. Ejemplo:
0 4 1 0 2 A ; B 4 0 9 2 0 1 9 0
3 2 i 4 1 3 2 i 4 1 T A 2 i 5 7 A 2 i 5 7 4 1 7 4 1 7 4 4
C. Matriz involutiva Una matriz es involutiva si y sólo si su cuadrado es igual a la matriz identidad (A 2 = I). Ejemplo:
G. Matriz ortogonal Una matriz A se llama ortogonal, si verifica:
A . A T = AT . A = I
¿La matriz A 1 0 es involutiva? 0 1
Ejemplo:
A2 A A 1 0 1 0 1 0 I 0 1 0 1 0 1
Cos Sen 0 A Sen Cos 0 0 0 1
como A2 = I entonces A es involutiva. UNI SEMESTRAL 2013 - III
68
ÁLGEBRA
TEMA 24
MATRICES I
Exigimos más!
problemas resueltos
Problema 1 Calcule Q(A), si: Q(x) = (1 + x)(1 – x)
1 2 2 1
siendo: A
UNI 2008 - I Nivel fácil
Problema 2 Sea la matriz:
a b donde a 0, b ,
Sabiendo que:
a 0 x1 x 2 1 0 b a x x 0 1 3 4
8 8 Q 3 3 5 5
son (en ese orden).
B)
1 1 1 1
C)
1 1 2 1 1
UNI 2007 - II Nivel fácil
1 1 D) 4 1 1 1 1 14 1 1
A)
1 , b , 0, 1 a a a2
B)
1 b 1 , ,0, a a2 a
C)
1 , b ,0, 1 2 a a
Piden:
Q(A)
Dato:
Q(x) = (1 + x) (1 – x)
Evaluando:
Q(A) = (1 + A)(1 – A)
Efectuando: Q(A) = I – A + A – A2 Q(A) = I – A2 ...
E)
8 A) 3 , 0 5
a
1 B) 1 , 1 1
1 b 1 , 0, , a a2 a
A
1 2 2 1
Nos dan: A
0 C) 0 ,1 1
Resolución:
a 0 b a
donde es un cierto número real. Entonces, el vector u y el número a tales que Pu u son:
D) 1 , 0, b , 1 a a2 a
Resolución:
Tenemo s:
2 7 1 Q 1 1 1 , P = Q 101 1 4 4
0 a
entonces los valores x1, x2, x 3, x4 tales que:
1 0 A) 0 1
E)
Problema 3 Sean las matrices:
x1 x2 1 0 x x 0 1 3 4
8 D) 3 , 1 5
I
B
Tenemos:
1 2 Si: A A A2 2 1
AB = I; donde: B = A –1
Entonces: A
1 2 5 4 4 5 2 1 A2
Reemplazamos: A 2 en
1 0
Q(A)
4 4 1 1 Q(A) 4 4 4 1 1
Por condición:
igualando:
0 5 4 1 4 5
x1 x 3
1 x2 a x4 b a2
UNI SEMESTRAL 2013 - III
2 7 1 1 1 1 1 4 4
0 1 a
x1 1 ; x2 = 0; x b , x 4 1 a 2 3 a
1 1 Respuesta: D) 4 1 1
E)
x1 x2 1 a 0 x x 2 3 4 a b a
8 3 ,0 5
a
Respuesta: D) 1 , 0 , b , 1 a a2 a 69
8 3 5
8 3 5
0 8 0 3 0 0 5 También: P = Q 101 y además: pu u ÁLGEBRA
TEMA 24
MATRICES I
Exigimos más! Si 0 la igualdad sería absurda. Luego: 0 Pu 100
Q
Q u
como Q100
m Qu ; u n p
UNI SEMESTRAL 2013 - III
2 7 1 1 1 1 1 4 4
8 u 3 ; 0 5
m 0 n 0 p 0
2m 7n p 0 m n p 0 m 4n 4p 0 Resolviendo: m = – 8 n = 3
70
8 Respuesta: E) 3 , 0 5
p=5
ÁLGEBRA
TEMA 24
ÁLGEBRA
MATRICES II Y III DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINICIÓN DE DETERMINANTE
a11 a21 a31 a11 a21
Sea A = (aij)n una matriz cuadrada, el determinante de A es un op erador (función) que aplicado a la matriz A, le hace corresponder un único valor numérico. Notación: |A| o det(A) o detA Pero el criterio de asignación de ese valor (número real o complejo) a cada matriz cuadrada no es sencillo en el caso general. Vamos a definir el determinante para una matriz de orden 1; 2 y luego de orden 3.
a13 a23 a11 a12 a13 a11 a12 a33 o a 21 a22 a23 a21 a22 a13 a 31 a32 a33 a31 a32 a23
Ejemplo: 2 2 2 2 3 1 1 A 1 1 0 A 1 2 1 2 1 2 2 1 1
A. Cálculo de determinantes
De orden 1 A (a11) A a11 a11
3 0 1 3 0
|A|= –2 + 6 + 0 – 3 – 0 – 2 = –1
El determinante coincide con el valor del único elemento de la matriz. De orden 2 a a a a A 11 12 | A | 11 12 a21 a22 a21 a22
a12 a22 a32 a12 a22
a11a22 a21a12
B. Matrices singulares y no singulares Sea A = (aij) una matriz cuadrada. Si |A| = 0 decimos que A es una matriz singular, en caso contrario (|A| 0) decimos que A es una matriz no singular..
1. Propiedades Ejemplo: 3 2 3 2 A 3 4 1 2 10 | A | 1 4 1 4
(Sólo para matrices cuadradas) a. |AB| = |A| |B| b. I: matriz identidad |I| = 1 : matriz nula | | = 0
De orden 3
c. |A| = |AT | d. Si se intercambian 2 filas (o 2 columnas) de una matriz, el determinante cambia de signo. e. Si una matriz tiene 2 filas (o 2 columnas) iguales su determinante es cero. 3 7 • A | A | 0 3 7
a11 a12 a13 a11 a12 a13 A a21 a22 a23 A a21 a22 a23 a a31 a32 a33 31 a32 a33 = a11a22a33+a12a23a31+a13 a32a21 –a31a22a13 –a21 a33 a12 – a32a11a23 Para recordar fácilmente éste resultado vamos a recurrir a una regla práctica, llamada la regla de Sarrus que consiste en repetir las dos primeras filas (o columnas) debajo (o a la derecha) de todos los elementos de la matriz, así: UNI SEMESTRAL 2013 - III
1 1 1 • B 3 5 7 | B | 0 (verifique) 1 1 1 71
ÁLGEBRA
TEMA 25 - 26
MATRICES II - III
Exigimos más! f. Si una matriz tiene una fila nula (o columna nula) su determinante es cero.
fila f1 1 f 2 . 3
1 2 1 • A 0 0 0 | A | 0 4 5 3
5 10 B | B | 15 3 9
k. El determinante de una matriz diagonal o triangular (inferior o superior), es igual al producto de multiplicar los elementos de su diagonal principal.
g. Si en una matriz, todos los elementos de una fila (o columna) son multiplicados por una escalar , su determinante queda multiplicado por .
1 0 • A 0 0
a b a b • A ; B c d c d |B| = ad – bc = (ad–bc) |B| = |A|
2. Menor complementario y con factor de un elemento de una matriz Sea A = (aij)n una matriz cuadrada:
h. Si una matriz A de orden n es multiplicada por una escalar (es decir, todos los elementos de A son multiplicados por ), el determinante de A queda multiplicado por n. Es decir:
a11 a12 a21 a22 A a11 a12 an1 an2
A
i. Si dos filas (o dos columnas) de una matriz tienen elementos respectivamente proporcionales, su determinante vale cero. A
...
a1j
...
a2j
... a1n ... a2n ... ain ... ann
...
aij
...
anj Columna j
Fila i
y sea Mij la matriz cuadrada de orden (n–1) que resulta de eliminar la fila i y a columna j de A, entonces:
x y 2y z u 2u 1 0 0
a. El determinante |Mij| se llama menor (menor complementario) del elemento aij de la matriz A.
x y 2y x y y | A | z u 2u 2 z u u 2 0 0 1 0 0 1 0 0
b. El cofactor del elemento aij, que se denota por Aij, se define por A ij=(–1)i+j|Mij|. Ejemplo: Los menores complementarios y cofactores de los elementos de la matriz.
j. Si una fila (o columna) de una matriz se le suma (o resta) un múltiplo o submúltiplo de otra fila (o columna, su determinante no se altera.
1 2 3 A 1 3 4 1 4 3
4 7 A | A | 15 3 9 UNI SEMESTRAL 2013 - III
0 0 | A | 4 ! 24 0 4
• El determinante de una matriz antisimétrica de orden impar es cero.
1 1 2 B 9 3 12 | B | 3 | A | 48 0 2 5
0 0 3 0
| B | 4 5 1 10 2
Multiplicamos la segunda fila de A por 3, queda:
A
0 2 0 0
6 4 0 • B 0 5 3 0 0 1 / 2
1 1 2 • A 9 3 12 | A | 16 0 2 5
n
1 de la segunda 3
A la primera fila le sumamos
72
ÁLGEBRA
TEMA 25 - 26
MATRICES II - II I
Exigimos más! Son los siguientes:
Ejemplo: Calcule el determinante de la 3 6 A 0 2 3 1
• Menores complementarios: M11
3 4 7 4 3
M12
1 4 1 1 3
M13
1 3 1 1 4
M21
2 3 6 4 3
M22
1 3 0 1 3
M23
1 2 2 1 4
M31
2 3 1 3 4
M32
1 3 1 1 4
M33
1 2 1 1 4
Resolución: Calculemos el determinante, realizando el desarrollo por la segunda fila (a 21 = 0; a22 = 2; a23 = 1) luego: |A| = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 como:
• Cofactores: A11 = (–1)1+1 M11 = 1(–7) = –7 A12 = (–1)1+2 M12 = (–1)(–1) = 1 A13 = (–1)1+3 M13 = 1(1) = 1 A21 = (–1)2+1 M21 = (–1)(–6) = 6 2+2
A22 = (–1)
matriz: 9 1 2
A21 = (–1)2+1|M21 |=
6 9 3 1 2
A22 = (–1)2+2|M22 |=
3 9 33 3 2
A23 = (–1)2+3|M23 |=
3 6 21 3 1
Entonces: |A| = 0(–3) + 2(33) + 1(21) = 87
M22 = 1(0) = 0
A23 = (–1)2+3 M23 = (–1)(2) = –2
Ahora, calculemos el determinante realizand o el desarrollo por la primera columna (a 11 = 3; a21 = 0; a31 = 3). Luego: |A| = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31
A31 = (–1)3+1 M31 = 1(–1) = –1 A32 = (–1)3+2 M32 = (–1)(1) = –1 A33 = (–1)3+3 M33 = 1(1) = 1
Como:
Observación: El menor complementario |M ij| y el cofactor A ij de un elemento aij de la matriz A, sólo se diferencian en el signo. Como Aij=(–1)i+j |Mij| A ij = |Mij|
II. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR COFACTORES
A11 =(–1)1+1 |M11 | =
2 1 5 1 2
A21 =(–1)2+1 |M21 | =
6 9 3 1 2
A31 =(–1)3+1 |M31 | =
6 9 24 2 1
B. Determinante de Van Der Monde A. Teorema
El determinante de una matriz cuadrada A = (a ij)n es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) por sus respectivos cofactores. Para aplicar este teorema es necesario elegir una fila (o una columna) y proceder a efectuar el desarrollo por dicha fila (o columna).
•
•
1. Si elegimos la fila i, el desarrollo de determinante (por filas) está dado por:
1 x
1 y
1 z z x z y y x
x2
y2
z2
1 x
1 y
1 z
1 w
x 2 y 2 z 2 w2 x 3 y 3 z 3 w3
w x w y w z
z x z y y x
|A| = ai1 Ai1ai2 Ai2 +... + ain Ain Ejemplos: 2. Si elegimos la columna j, el desarrollo del determinante (por columnas) está dado por:
•
|A| = a1j A1j + a2j A2j +... + ain Anj UNI SEMESTRAL 2013 - III
73
1 1 1 3 4 5 5 3 5 4 4 3 2 9 16 25 ÁLGEBRA
TEMA 25 - 26
MATRICES II - III
Exigimos más! Resolviendo el sistema: 1 2
•
1 3
1 5
1 7
22 32 52 72 23 33 53 73
x 5; y 6; z 4; w 3 9 9 9 9
7 2 7 3 7 5 5 2
5 3 3 2 2
Por tanto:
A 1
5 4 2 3 2 1 240
C. Matriz inversa
5 9 4 9
6 9 1 5 6 9 4 3 3 9
es la matriz inversa de A.
Sea A = (aij)n una matriz no singular, diremos que A tiene inversa (o que es inversible) si existe otra matriz B = (bij)n del mismo orden, tal que AB = BA = I n (In matriz identidad). B es llamada la matriz inversa de A, y se denota por A –1 .
1. Teorema Si A = (aij)n es una matriz no singular, su inversa es única. 2. Cálculo de la matriz inversa
Prueba A es inversible A –1 , luego A A1 1 (tomamos determinantes): A A
1
I A
A
1
De orden 1 A a11 A 1 1 a11
1
De orden 2
De aquí ninguno de los determinantes es cero. Por tanto A 0. Así A es no singular..
a b 1 d b 1 A A |A| c d c a
Ejemplos: Ejemplo:
2 3 • A es inversible, pues |A| = 1 0. 3 5
4 2 A ; | A | 4 10 6
2 3 • B no es inversible, pues |B| = 0. 4 6 A
1
Ejercicio: 3 6 Halle la inversa de A 4 5
3 1 6 2 2 4 10 4 5 2
1 2 1
De orden n 3 Aquí aplicamos un procedimiento conocido como el método de Gauss-Jordan, donde a partir de la matriz ampliada (A I) por medio de operaciones elementales fila, se puede obtener una nueva matriz ampliada (I B) y se concluye que B = A.
Resolución: x y 1 Sea A 1 inversa de A, luego A A I 2 z w
es decir:
Es decir: 3 6 x y 4 5 z w
O.E. fila I A 1 A I
1 0 0 1
Ejemplo:
Entonces:
Halle la inversa de:
3x 6z 1 3y 6w 0 4x 5z 0 4y 5w 1 UNI SEMESTRAL 2013 - III
1 1 1 A 1 2 1 1 1 2 74
ÁLGEBRA
TEMA 25 - 26
MATRICES II - II I
Exigimos más! Resolución: Aplicamos el método de Gauss-Jordan: 1 1 1 A I 1 2 1 1 1 2 f2 f 1 f3 f 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 1 0 1 0 0 0 1
1 0 1 f1 f 2 0 1 0 0 0 1 f1 f 3 f3 f 1
A 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
3 1 1 1 1 0 1 0 1
Propiedades: Sean A y B matrices cuadradas no singulares.
1 0 0 1 1 0 1 0 1
1. (A 1 )
1
A
2. (AB) –1 = B –1 A –1
2 1 0 1 1 0 1 0 1
3 . (AT ) –1 = (A –1 )T
3 1 1 1 1 0 I A 1 1 0 1
1 4. |A –1 | = | A |
5. A
1
1 A 1 ( escalar)
problemas resueltos
Problema 1
Operación del problema
Resolución:
Si A y B son matrices 3 x 3 y r 0 un número real, indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (f).
I.
Con los cambios:
I.
(V)
II. det(A + B) det(A) + det(B)
(F)
III. det(rA) = r3 det(A)
(F)
C1 C2 ; C2 C3 ; C1 C2 en ese orden; tenemos: 1 a a2
det(aB) = det(A) det(B) Respuesta: D) VFF
II. det(A + B) = det(A) + det(B)
F 1 b b2 1 c c2
III. det(rA) = rdet(A) UNI 2008 - II Nivel fácil
Problema 2 El valor del determinante de:
A) VV V
a
1
2
b
1
c2
c
1
a
B) VVF
F b
C) FVV D) VFF
2
UNI 2004 - II Nivel intermedio
A) (a – b)(b – c)(c – a) B) (a – b)(c – b)(a + c)
Aplicac ión de fórmulas o teoremas Tenemos: •
det (AB) = det (A) det (B)
•
det (rA) = rn det (A)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
F = – (b – a) (c – a) (c – b) ó F = (a – b) (a – c) (b – c)
Respuesta: E) (a – b)(b – c)(a – c)
es:
E) FFF
Resolución:
por ser un determinante de Vandermonde:
C) (b – a)(b + c)(a – c)
Problema 3 Considere la ecuación matricial: X 1 3 4 0 2 7 1 2
donde X es una matriz, calcule det(X) UNI 2010 - I
D) (a + b)(b – c)(a – c)
Nivel intermedio
E) (a – b)(b – c)(a – c)
75
ÁLGEBRA
TEMA 25 - 26
MATRICES II - III
Exigimos más! A) 6 B) 7
Resolución:
Ubicación de incógnita Det(x) = |x|
C) 8 D) 11 E) 19
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Análisis de los datos o gráficos x. 1 3 4 0 2 7 1 2
76
Operación del problema Tomando determinante | x | 1 3 4 0 2 7 1 2 | x |1 8 | x | 8
Respuesta: C) 8
ÁLGEBRA
TEMA 25 - 26
ÁLGEBRA
SISTEMA DE ECUACIONES I Y II DESARROLLO DEL TEMA
I. CONCEPTO
IV. CLASES DE SISTEMAS A. De acuerdo a su solución 1. Compatible Es aquel sistema que tiene solución que a su vez puede ser: • Compatible determinado: Cuando su con junto solución tiene un número finito de soluciones.
3x y 7 Ejemplo: 5x 2y 8 Vemos que se verifica simultáneamente para = 2, y = 1.
x 2 y 2 13 xy 6
Ejemplo:
Estas ecuaciones se verifican cuando: (x = 3, y = 2) ó (x = –3, y = –2) ó (x = 2, y = 3) ó (x = –2, y = –3) es decir se verifican para 4 pares de valores de sus incógnitas.
x y z 5 x y z 3 x 2y z 0 Dicho sistema sólo se verifica si: x = 1, y = 1, z = 3. En tal caso: C.S. (1,1,3), por tener
x 2 y 2 2 x y 5
Ejemplo en :
No existe "x" e "y" alguno en que verifique simultáneamente.
II. CONJUNTO SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
una solución se dirá compatible determinada. • Compatible indeterminada: Cuando su conjunto solución tiene un número infinito de soluciones, así:
x 3y 6 (1) 2x 6y 12 (2)
Es el conjunto de todas las soluciones de un sistema.
III. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
Estas 2 ecuaciones se simplifican a una sola ecuación de donde resulta: y
Consiste en hallar el conjunto solución. Ejemplo:
x 3y 9 x y 3
Resolver
x 6 3
C.S. (0.2),(3,1),(6.0),.... Vemos que tendrá infinitas soluciones.
Vemos que sólo se verifica para x = 0, y = 3. C.S.: (0,3) Ejemplo: x 2 y 2 13 Resolver xy 6
2. Incompatible Son aquellos sistemas que no presentan solución, su conjunto solución es el vacío. Así:
3x 2y 7 6x 4y 1
Su conjunto solución está integrado por 4 pares ordenados, debido a que se tiene 4 soluciones, así: UNI SEMESTRAL 2013 - III
C.S. (3, 2) (3, 2) (2, 3) ( 2, 3)
Es un conjunto de dos o más ecuaciones que se verifican simultáneamente para un mismo conjunto de valores atribuidos a sus letras o incógnitas.
77
ÁLGEBRA
TEMA 27 - 28
SISTEMA DE ECUACIONES I - II
Exigimos más! •
No existe x, y alguno que verifique simultáneamente a las ecuaciones. En tal caso se dirá que el sistema no tiene so-
Usando matrices El sistema: a11x1 a12x 2 a13 x3 ........a1n xn b1
a21x1 a22x 2 a23x 3 ........a2n xn b2 am1x1 am2 x2 am3 x3 ......amnxn bn
lución. Entonces: C.S. ó C.S. B. De acuerdo al grado de las ecuaciones
1. Sistemas lineales Son aquellos sistemas donde cada una de las ecuaciones son de primer grado, así:
es equivalente al sistema matricial:
a11 a12 .... a1n x1 b1 a21 a22 .... a2n x2 b2 am1 am2 ... amn xn bn
2x 3y 16.......(1) 8x 2y 36.......(2) Cuyo conjunto solución es: ((5,2))
X
A
2. Sistemas no lineales Son aquellos sistemas donde al menos una de las ecuaciones no es lineal.
AX B Si m n A no es una matriz singular.. Se puede definir A –1 (matriz inversa de A), luego:
x 2 y 2 25 .....(1) x y 7 .......(2)
X A 1 B
cuyo conjunto solución es {(3; 4), (4; 3)} Ejemplo:
V. ESTUDIO DEL SISTEMA LINEAL
2x 5y 4 3x 2y 13
En forma general: Consideramos un sistema lineal de "m" ecuaciones con "n" incógnitas.
Resolver
Solución: Es equivalente al sistema matricial:
a11x1 a12 x 2 a13x3 .......amx n b1 a21x1 a22 x2 a23x3 .......a 2nxn b2 am1x1 am2 x 2 am3x3 .......amnxn bm
2 5 x 4 3 2 y 13 Donde:
Donde los a1 son coeficientes y x1 x 2 x3..... x n son las incógnitas. En tal caso el conjunto solución es:
2 5 1 2 5 1 A 19 3 2 3 2 2 5 1 19 3 2
A
C.S. (x1 x 2 x 3.......x n)
A 1
Para la resolución del sistema utilizaremos los si-guientes métodos: •
B
4 como: X A1 13
Método de Gauss Conocido como los métodos de eliminación, sustitución, igualación consiste en ir eliminando incógnitas hasta llegar a una ecuación de una sola incógnita. Así, resolver:
2 5 4 1 57 X 1 19 3 2 13 19 38 3 X 2 Luego: x = 3, y = –2
2x y 2z 10.....(1) 3x 2y 2z 1.....(2) 5x 4y 3z 4.....(3)
•
C.S.(3, 2)
(3) – 4(1): –3x + 11z = –36........ (2')
Método de los determinantes Se utiliza cuando el sistema es determinado. Sea el sistema: a11x1 a12x2 a1nx n b1
2' – 3(1'): –7z = 21 z = 3 z 3
a21x1 a22x 2 a2nx n b 2
(2) – 2(1): –x + 6z = –19......... (1')
....(*) am1x1 am2x 2 amnx n b n
C.S. (1, 2 3) UNI SEMESTRAL 2013 - III
78
ÁLGEBRA
TEMA 27 - 28
SISTEMA DE ECUACIONES I - II
Exigimos más! Llamaremos: – Determinantes del sistema
a11 a12 a a 21 22 a a n1 n2
Dicho sistema siempre es compatible donde una de sus soluciones es la trivial {(0, 0, 0 … 0)}.
... ... a1n ... ... a2n
Así mismo puede tener otras soluciones las llamadas no triviales.
TEOREMA
... ... amn
Un sistema homogéneo (**) tiene soluciones aparte a la trivial, si y sólo sí:
– Determinante con respecto a alguna incógnita Se conseguirá a partir del determinante anterior reemplazando los elementos de la columna de coeficientes de la incógnita en referencia por los términos independientes.
a11 a12 a a 21 22 a a n1 n2
a11 a12 ... b1 ... a1n a a 21 22 ... b2 ... a2n 0 a a ... b ... a n1 12 n mn
... b1 ... a1n ... b2 ... a2n
Ejemplo 1: Resolver 3x + 2y = 0 5x – y = 0
Solución:
... bn ... amn
3 2 5 1 3 10 13
TEOREMA DE CRAMER
implica que la solución seria única, la solución trivial (0,0).
La solución del sistema (*) puede determinarse hallando cada incógnita como sigue: x1
2x 5y 0 Ejemplo 2: Resolver 6x 15y 0
i , i 1...n
Ejemplo: Resolver: 2x 5y 4 3x 2y 13
Solución:
2 5 30 30 0 6 15
Como
Solución: Calculando los determinantes:
2 5 4 15 19 3 2 4 5 x 8 65 57 13 2
y 2x 5 Asi: Si x = 5t, y = 2t
2 4 y 26 12 38 3 13 De donde:
(x, y) (5, 2)t / t
x x 57 x 3 19 y 38 y 2 y 19
VI. ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES Sea el sistema:
C.S. (3, 2) •
a11x1 a12 x1 ... a1n x1 b1 a21 x1 a22 x2 ... a2n xn b2 an1x1 an2 x2 ... amn xn bn
Sistema homogéneo Es un sistema de ecuaciones lineales se llamará homogéneo si todos los términos independientes son nulos, así: a11x1 a12 x2 ... a11 x1 0 a21x1 a22 x2 ... a12 x1 0 ...( ) an1x1 an2 x2 ... amn xn 0
UNI SEMESTRAL 2013 - III
La solución del sistema no sólo es la trivial (0,0); si no que tendrá infinitas soluciones. Veamos que ambas ecuaciones se reducen a una sola 2x – 5y = 0.
Sabemos que la solución viene dado por: xi
79
i
determinante del sistema i determinante respecto a x ÁLGEBRA
TEMA 27 - 28
SISTEMA DE ECUACIONES I - II
Exigimos más! Ejemplo 2:
Diremos que el sistema tendrá:
3x 4y 5 6x 6y 10
A. Solución única
Esto sucede si y sólo si 0 . Como: 3 4 5 6 8 10
B. Infinitas soluciones
Si y sólo si 0
i 0,
i 1, 2, ...n
Entonces el sistema tiene infinitas soluciones.
C. No tiene solución
Si y sólo si 0 Ejemplo 1:
Ejemplo 3:
1 0 para algún i.
2x 5y 7 6x 15y 30
3x y 2 3 1 9 2 11 0 2x 3y 3 2 3 Como: El sistema tiene solución única.
2 5 7 el sistema no tiene solución. 6 15 30
problemas resueltos Problema 2 Problema 3 Determinar k de manera que el sisteDado el sistema de ecuaciones: ma tenga solución no trivial, dar como 4 5 3 x y 2 2x 3y 7 3 5 respuesta la suma de los valores de K. x y 1 2x y 3 2 3 (1 k)x y z 0 2 x y 2 3 2x 3y 7 14 3 1 7 2x ky 2z 0 x y 1 2x y 3 5 se obtiene que el valor de (x + y) es: El valor de x + y es igual a: UNI 2008 - II x y (1 k)z 0 C) 1 D) 2 E) 3 Nivel fácil UNI A) –1 B) 0 A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2 Nivel intermedio UNI 2007 - II A) 4 B) 5 C) 0 D) 6 E) 1 Nivel difícil Resolución: Ubicación de incógnita Resolución: Resolución: Piden: x + y Tenemos: Haciendo un cambio de variable: (1 k)x y z 0 1 1 2x ky 2z 0 a b Análisis de los datos o gráficos x y1 2x y 3 x y (1 k)z 0 Llamemos: Reemplazando en cada ecuación: Problema 1 Al resolver el siguiente sistema:
3x
Dato: Sistema homogéneo con solución trivial se cumple:
y2m
2x 3y 7 q Operación del problema
3 x y 2 2x 3y 7 3 23 x y 2 3 2x 3y 7 14
1 1k 1 k 2 0 2 (1 k) 1
m q 3 ... I 2m 3q 14 . .. II
3x
(1 – k)(– k)(– k –1) –2 + 2 – k + 2 (k + 1) + 2(k – 1) = 0 Luego: k 3 – 4k = 0 De donde: k1 0 k 2 2 k 3 2
y 2 1
x + y = –1
k1 k 2 k 3 0 Respuesta: B) –1
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Sumando + 5 19 Tenemos 19a 2 de donde: a 1 b 1 2 10 x y 1 2 ...(I) Luego 2x y 3 10 ...(II)
Reemplazando el cambio de variable:
De: 3 + Tenemos: 5m = 5 De donde: m = 1 Reemplazando:
4a 5b 5 ... ( ) 2 7 3a b ... () 5
Sumando: I II 3x + 2 = 8 x = 2 y = –3 Piden x + y = –1
Respuesta: C) 0 80
Respuesta: A) –1 ÁLGEBRA
TEMA 27 - 28
ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS I DESARROLLO DEL TEMA
I. DEFINICIÓN
B. Adición entre números complejos
El sistema de los números complejos es el conjunto C de todos los pares ordenados, de componentes reales, z = (x,y) y dos op eraciones llamadas adición y multiplicación tales que para cualesquiera dos elementos que pertenezcan a C, como por ejemplo: z 1 = (x 1;y1) y z2 = (x2;y2) se definen: – z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) … (adición) – z1 z2 = (x1x2 – y1y2; x1y2 + x2 y1 ) … (multiplicación)
Para hallar la suma entres dos números complejos, se sumarán las partes reales y también las partes imaginarias. Así: (x1 y1i) (x 2 y 2i) (x1 x2 ) (y1 y 2)i C. Multiplicación entre números complejos
II. FORMA CARTESIANA O BINÓMICA DE UN COMPLEJO
Para hallar el producto de multiplicar 2 números complejos, para la parte real se multiplicaran las partes reales menos el producto de las partes ima-
Teorema Todo número complejo z de la forma z = (x;y) será
ginarias. Y para la parte imaginaria se multiplicará la parte real con la segunda parte imaginaria aumentando en el producto de multiplicar la primera parte imaginaria con la segunda parte real.
posible expresarlo como z = x + yi tal que i 1 se denominará unidad imaginaria. Es decir z (x; y) x yi ; i 1
Así: (x1 y1i) (x2 y2i) (x1x 2 y1y2 ) (x1y2 x2 y1)i
Ejemplo: z (2; 3) 2 3i w (0; 3) 0 3i 3i Si: Re(z)....(Parte Real de z) z x yi Im(z)....(Parte Imaginaria de z)
III. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA (PLANO DE GAUSS) En el plano cartesiano denominaremos al eje Y como eje imaginario y al eje x como eje real. Sea: z a bi / a 0 b 0
A continuación vamos a definir para los números complejos "x + yi" la relación de igualdad y las operaciones de adición y multiplicación del siguiente modo:
Entonces su representación en el plano de "Gauss" será como sigue:
A. Igualdad de números complejos
Dos complejos son iguales, si y sólo si sus partes reales y sus partes imaginarias son iguales respectivamente. Así: x1 y1i x2 y 2i x1 x 2 y1 y 2 UNI SEMESTRAL 2013 - III
81
ÁLGEBRA
TEMA 29
NÚMEROS COMPLEJOS I
Exigimos más!
IV. CANTIDADES IMAGINARIAS
i8 i4 i4 1
Son aquellos números que resultan de extraer una raíz de índice par a un número real negativo. Así por ejemplo: 1;
2;
4
5;
2n
i9 i4 i i i10 i8 i2 1 i11 i8 i3 i
16
i12 i8 i4 1
Donde: n
Se observa que las potencias enteras de "i" se repiten cada cuatro veces y sólo toman uno de los cuatro valores i; –1; –i; 1; esto merece una espe-
De todos estos el más importante es 1 ; al cual denominaremos unidad imaginaria, cuya notación universal es i 1 .
cial atención.
Aplicación:
Propiedades Se observa principalmente que:
16 16(1) 16 1 4i
i4 1 ; i8 1 ; i12 1 ; etc.
5 5( 1) 5 1 5i
Esto implica que la unidad imaginaria elevado a un múltiplo de cuatro es igual a la unidad. Por lo tanto i4 = 1
A. Unidad imaginaria
El número complejo (0; 1) es la unidad imaginaria; tiene la particular notación i = (0;1). Teorema
o
En general
i2 1; i (0;1)
i4 1
Luego deducimos que:
Prueba i2 (0;1)(0;1) (0 1; 0 0) (1; 0) 1
o
o
o
i4 1 i ; i 4 2 1; i43 i
i2 1
Generalizando: Teorema
o
i4 k ik ; k
y ; (0; y) yi
Luego se deduce:
Prueba y i (y; 0)(0; 1) (0 0; y 0) (0; y) (0; y) yi
o k
– 4 –k
i
i ; k
Teorema ik ( 1)k ik ; k
B. Potencias enteras de la unidad imaginaria
Estudiaremos el comportamiento del número in ; Propiedades
n ; teniendo en cuenta la siguiente definición:
Sea i 1 la unidad imaginaria:
i0 1 ; i1 i
1. i i2 i 3 i4 0
i1 i
2. i4k i4k 1 i4k 2 i4k 3 0 ; k
i2 1
3. in in 1 in 2 in3 0 ; n
3
2
i i i i
V. TIPOS DE NÚMEROS COMPLEJOS
i4 i2 i 2 (1)(1) 1 i5 i4 i i
A. Complejo real o puramente real Es aquel número complejo que carece de la parte imaginaria; es decir su parte imaginaria es cero.
i6 i 4 i2 1 i7 i4 i3 i UNI SEMESTRAL 2013 - III
82
ÁLGEBRA
TEMA 29
NÚMEROS COMPLEJOS I
Exigimos más! Notación:
5. z z 2i Im(z) z x 0i x ; z
6. z1 z2 z1 z2 7. z1z2 z1 z2
B. Complejo imaginario puro
Es aquel número complejo que carece de la parte real; es decir su parte real es cero; además su parte
z 8. 1 z1 ; z2 (0;0) z2 z2
imaginaria es diferente de cero.
n
9. zn z ; n
Notación:
z 0 yi yi ; y 0
10.
n z n z ; n
VI. DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
C. Complejo nulo
Es aquel número complejo que presenta la parte real e imaginaria igual al número cero; es decir las
Sean los números z1 , z2 z2 (0,0) para efectuar la z1 habrá que multiplicar a z1 y z2 por z2 con lo z2 cual se obtiene:
dos componentes son nulas. Notación:
z1 a bi;z2 c di z 0 0i 0
z1 a bi (a bi)(c di) z2 c di (c di)(c di)
1. Definición
• Dado el complejo z = x + y; se define el complejo conjugado de z, denotado por z, como:
(ac bd) (bc ad)i c 2 d2
a bi ac bd bc ad c di c2 d2 c2 d2
z x yi
VII.MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN COMPLEJO
Representación geométrica de z = x + yi; ( x 0 y 0 ) de su conjugado y su opuesto.
Dado z = a + bi ; el módulo o valor absoluto de z es un número real no negativo denotado por
z ; tal que
z a2 b2 .
Propiedades z; z1 ; z2 1. z z z es complejo real . Observación
2. z z 3. z z z* z es complejo imaginario .
a;b z a | z | | a |
4. z z 2 Re(z) UNI SEMESTRAL 2013 - III
z bi | z | | b | 83
ÁLGEBRA
TEMA 29
NÚMEROS COMPLEJOS I
Exigimos más! Propiedades
9.
De la definición de módulo se desprende las siguientes propiedades; sean Z; Z1; Z 2 entonces:
10 . z1 z2 z1 z2
1.
z 0 ; z 0 z (0;0)
2.
z z z*
3.
z
4.
(z) z ; Im(z) z
5.
z1z2 z1 z2
6.
z z1 1 ; z2 (0;0) z2 z2
7.
zn z
8.
n
2
VIII.POTENCIACIÓN La potenciación en forma binómica tiene muchas limitaciones; por ello se utiliza cuando las potencias son pequeñas.
z z
z
n
n
z1 z2 z1 z 2
Resultados importantes (1 i)2 2i
; (1 i)2 2i
(1 i)3 2i(1 i) ; (1 i)3 2i(1 i) (1 i)4 4
; n
; (1 i)4 4
1i i 1i
z ; n n 2
;
1i i 1i
problemas resueltos
Problema 1
10 K 3
Calcular: x y y x
Reducir: i2 + i4 + i6 + .... + i 102
A)
A) i B) –i
B)
C) 1 D) –1
C)
E) 0
D)
Resolución:
Recordemos que: i4K 2 i4K 0; K
E)
10 3
Respuesta: A)
10 3
Problema 3
5 3
Calcular z siendo:
5 3
10 3
z (2 i)(3 i)(1 i)
A) 2 10
15 2
B)
10
C) 10 En el problema:
Resolución:
2 4 102 E i ... i98 i100 i i6 i
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad tenemos:
se anulan cada dos E 0 i102 i4K 2 i2
2
5 – 3i = x – y + 2xyi Resolución:
Por igualdad de complejos:
Se pide calcular el valor de:
Si 5 3i x yi; x, y .
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Por propiedad se plantea: z 2 i 3 i 1i
z 5 10 2 100
Respuesta: D) –1
Problema 2
E) 2 5
2
x 2 y2 5 xy 3 2
E 1
D) 10 2
z 10
y x 2 y2 K x y x xy
84
Respuesta: C) 10
ÁLGEBRA
TEMA 29
ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS II Y III DESARROLLO DEL TEMA
I. FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
Teorema
Dados los números complejos no nulos: z z (Cos iSen) w w (Cos iSen )
Sea z = a + bi un número complejo diferente del nulo. Es decir z 0
Se verifican: 1. zw z w (Cos( ) Sen( ) 2.
z z (Cos( ) iSen( )) w w
Observaciones: Para multiplicar complejos en la forma polar se multiplica los módulos y se suma los argumentos.
De la figura x z Cos, y z Sen y Donde: Tan x Entonces: z x yi z Cos z Seni
arg(z w) arg(z) arg(w) Para dividir complejo en la forma polar se dividen los módulos y se resta los argumentos.
z z (Cos iSen )
arg z arg(z) arg(w) w
Es la representación trigonométrica o polar de un complejo; donde el ángulo se le denomina el argumento de
Teorema (de De Moivre)
z denotado por Arg(z); es decir: Arg(z)
Dados z z (Cos iSen); z (0;0) n n Se tiene zn z (Cos iSen )
Se observa que puede tomar infinitos valores como:
1 ; 2 2 ; 3 4
Corolario
arg(zn) n arg(z) ; n
III. ARGUMENTO PRINCIPAL DE UN NÚMERO COMPLEJO
III. RAÍCES "n-ésimas" DE LA UNIDAD Se pide hallar: x k n 1
De todos los valores de ; elegimos aquel que se encuentra en el intervalo 0;2 ; es decir 0 2; a dicho se le denomina argumento principal, cuya notación es:
z 1 0
Donde: z 1 oi
Arg(z) Conociendo el argumento principal de z denotado por Arg(z) podemos generar otros cuya notación es: arg(z) Arg(z) 2k UNI SEMESTRAL 2013 - III
Luego : xk Cis 2k n k 0, 1, 2, .........., n 1
K 0; 1; 2; 3; ... 85
ÁLGEBRA
TEMA 30 - 31
NÚMEROS COMPLEJOS II Y III
Exigimos más! Donde: x 0 w0 1
Donde:
e es el número de Euler e = 2,718281 argumento en radianes; i = (0; 1) Entonces tenemos una nueva representación para el complejo. z z (Cos iSen) z e
x1 w x 2 w2
z z ei ...(*)
xn 1 wn1
Entonces: Las "n" raíces de la unidad serán:
V. RAÍZ DE UN NÚMERO COMPLEJO
1, w , w2 , w 3 , ... .., wn 1
Una raíz n - ésima del número complejo z = x + yi es número complejo W, tal que w n = z. Es decir: n z w w n z
Teorema:
Si w es una raíz enesima de la unidad y w 1 , Entonces: 1 + w + w 2 + ......+ wn-1 = 0
wk
IV. FORMA EXPONENCIAL DE UN COMPLEJO
n
Teorema de Euler
2k 2k iSen n 3
z Cos
Donde: k = 0, 1, 2, ......., n – 1 Son las raíces de z = x + yi
ei Cos iSen
problemas resueltos Problema 1
Dadas las siguientes proposiciones: I. Las raíces de ein – 1 = 0, pertenecen a un polígono regular de n lados, n . ; 3 II. Si e i a bi y , enton4 4
Asi mismo b
Pues b sen(). III. Verdadero cos( ) cos() 2k
UNI 2010 - I
Indique cuáles son correctas: A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E ) II y III Resolución: I. Falso Las raíces n-ésimas de la unidad al ser llevadas al diagrama de Argan'd están generan un polígono regu-
lar si: n n 3. II. Falso
UNI SEMESTRAL 2013 - III
2 Cis 5 18 a bi 3 18
3 2 Cis 5 3
18 a bi
) a bi 26 Cis(30 1
Respuesta: C) 1 Problema 2
Luego: 36 + oi = a + bi a 26 b 0
La raíz cúbica del número complejo z = –2 Respuesta: B) a + b = 2 6 de mayor argumento principal, es también raíz 18-ésima de otro complejo Problema 3 u = a + bi con a y b números reales. Sabiendo que 1, W y W2 son las tres Determine a + b. UNI 2009 - II raíces cúbicas de la unidad real. Calcular: 5 A) 2 ( 3 1) B) 26 W W2 W 3 W50 R (.....((W ) ) .....) 7 8 C) 2 ( 3 1) D) 2 9 A) W2 B) 1 C) –W E) 2 D) W E) –W2 Resolución: Determine: a + b, a partir de: V = a + bi Resolución: Analizando: La expresión dada es: 2 3 50 Z 2 Z 2Cis R (W) W W W .... W Calculando: 3
2; 2 De donde: a ; pues 2 2 a cos().
3
Elevamos a la 18 a ambos miembros:
e i( ) 1
2 ; 2 y b 2 ;1 ces a . 2 2 2 III. Dados , 0; 2 , tales que ,
si cos() cos(), entonces ei() 1.
2 ;1 2
Entonces:
2k Z 2 Cis 3 3
donde: k = 0, 1, 2 Siendo el de mayor argumento, si: K 2 Z2 3 2 Cis 5 3 La cual también es una de las raíces de: 18
U 18 a bi 86
1 2 3 ... 50
R (W)W
R (W)W
3K
W1
R W Respuesta: D) W ÁLGEBRA
TEMA 30 - 31
ÁLGEBRA
PROGRAMACIÓN LINEAL DESARROLLO DEL TEMA I.
RESOLUCIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
II. PROGRAMACIÓN LINEAL A. Concepto Es un modelo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado por ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. La programación lineal consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una fun ción lineal, que llamaremos función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
Dado un sistema de inecuaciones lineales conformado por dos o más inecuaciones, la solución gráfica de dicho sistema es la región que se determina al intersectar todos los semiplanos originados por las inecuaciones que conforma el sistema. Ejemplo: Resolver: 2x y 4 ... (1) 3x y 6 ... (2) Resolución: Inicialmente graficamos los semiplanos que correspondan a cada inecuación del sistema: (1) 2x y 4 y 4 2x ; semiplano ubicado por encima de la recta y = 4 – 2x, incluyendo a ésta.
B. Función objetivo Es una función lineal en dos variables que debemos maximizar o minimizar. La función objetivo presenta la siguiente forma:
y
F(x; y) ax by c donde a, b y c son constantes y x, y se llaman variables de decisión.
4 x
C. Conjunto de restricciones Es el sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas que expresan un conjunto de limitaciones que presenta el problema propuesto. Aquí también se consideran a las variables de decisión como valores no negativos, es decir x 0 y 0 .
2
(2) 3x y 6 3x y 6 y 3x 6 semiplano ubicado por debajo de la recta y = 3x – 6, incluyendo a ésta. y
D. Soluciones factibles Son cada una de las soluciones que verifican al con junto de restricciones, cada solució n factible se representa por un punto del plano cartesiano.
x
2 –6
E. Región factible Se llama así al conjunto convexo formado por t odos los puntos que representan a las soluciones factibles, en una región poligonal. La región factible puede, o no, ser acotada, la primera incluye los puntos de su frontera y la otra no.
Finalmente el conjunto solución del sistema viene dado por la intersección de los semiplanos hallados, veamos: y
(1)
CS
4
x
Observación: Sólo las regiones factibles acotadas presentan siempre solución, en las otras puede o no existir solución.
2 –6 (2)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
87
ÁLGEBRA
TEMA 32
PROGRAMACIÓN LINEAL
Exigimos más!
III. MÉTODO ANALÍTICO O MÉTODO DE LOS VÉRTICES
F. Solución óptima Es el punto cuyas coordenadas hacen de la función objetivo un valor máximo o mínimo. La solución óptima, en caso de existir, se alcanza en un vértice de la región factible.
A. Descripción Se determina la región factible calculando las coordenadas de todos sus vértices, luego cada punto que corresponde a un vértice se reemplaza en la función objetivo esperando obtener con alguno de ellos un valor máximo o mínimo según corresponda a la optimización. B. Teorema Si la función objetivo asume el mismo valor óptimo en dos vértices de la región factible, también asume el mismo valor en los puntos del segmento limitado por dichos vértices.
y
B
C S
A
x
D
S = región factible A, B , C y D son posibles puntos de organización.
problemas resueltos Problema 1 Determine el valor mínimo que toma la función objetivo, P(x, y) = 10x + 20y sujeta a las restricciones: x y 2 x 2y 2 y x Resolución: Ubicación de incógnita Valor mínimo de la función objetivo P
Análisis de los datos o gráficos P(x;y)
10x
x 20y x
y 2y y
2 2 x
Operación del problema x=y
2 1
A(1;1)
x - 2y = 2
-1 2 B(2;0) x + y = 2
Para A (1;1) P = 10(1) + 20(1) = 30 Para B (2;0) P = 10(2) + 20(0) = 20 Respuesta:
20
Problema 2 En relación a un programa lineal, indique la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I. Las condiciones de no negatividad significan que todas las variables de decisión deben ser positivas. II. El número de puntos extremos de la región admisible es finito. III. En un programa lineal pueden variarse los coeficientes de la funUNI SEMESTRAL 2013 - III
ción objetiva y aún mantenerse la solución óptima. UNI 2010 - I Resolución: Ubicación de incógnita Valor de verdad
Resolución:
Ubicación de incógnita * n° de peces de la especie S 1 : x; peso promedio (S 1 ) = 4 kg. * n° de peces de la especie S 2 : y; peso promedio (S 2 ) = 2 kg.
Operación del problema Análisis de los datos o gráficos I. FALSO Función objetivo: F(x; y) = 4x + 2y Tal condición establece que las variables de recisión deberan ser S1 (x) S2(y) mayores o iguales que cero, es F1 decir: x 0 y 0 . 2y 1x II. FAL SO F2 1y 3x En el caso de que el polígono sea no acotado los puntos extremos no se podrían determinar. Operación del problema III. VERDADERO De acuerdo con la Regla de Permux 2y 500 tación esta proposición es perfec 3x y 900 tamente válida. x, y 0 Respuesta: FFV Graficando: Problema 3 y Un lago se llena de dos especies de peces S1 y S2. La especie S 1 proporcio900 na un peso promedio de 4 kg de carne y la especie S 2 un peso promedio de 2 kg. (0;250) (260;120) Dos tipos de comida F 1 y F2 están dis500 ponibles en el lago. El requerimiento promedio de la especie S 1 es 1 unidad x 0 (300;0) de F1 y 3 unidades de F 2, mientras que I. F(0,250) = 500 el requerimiento de S 2 en 2 unidades II. F(260;120) = 1280 (máximo) de F1 y 1 unidad de F 2 cada día. Si se III. F(300,0) = 1200 dispone diariamente de 500 unidades de F1 y 900 unidades de F 2 , determine El número de peces que maximiza el número total de peces en el lago es: 260 + 120 = 380 que maximice el peso total de carne de pescado. UNI 2011 - I Respuesta: 380 88
ÁLGEBRA
TEMA 32
ÁLGEBRA
INTRODUCCIÓN A LA POTENCIACIÓN - POTENCIACIÓN DE UN POLINOMIO DESARROLLO DEL TEMA I.
FACTORIAL DE UN NÚMERO Z+
Luego: x – 4 0 x – 1 1
Llamamos así al producto que resulta de multiplicar todos los números enteros y positivos de manera consecutiva desde la unidad hasta el número indicado.
x 4
x 5
3. Si: a! = b! a = b * a; b 0; 1 Ej empl o: (x – 5)! = 6 (x – 5)! = 3! x–5=3 x=8
n! ó n Se lee: Factorial de "n". Notación:
Así: 2 ! 1 2 2 3! 1 2 3 6
4. Todo factorial contiene en su desarrollo a otro factorial menor.
4 ! 1 2 3 4 24 5! 1 2 3 4 5 120
(n 2) ! 2 1 n! n (n 1) (n 2)...3
6 ! 1 2 3 4 5 6 720
(n1) !
En general:
n! = n(n – 1)! n! = n(n – 1) (n – 2)!
n! 1 2 3... (n – 2)(n – 1)n
II. NÚMERO COMBINATORIO
o t ambién : n ! n(n – 1)(n – 2). .. 3 2 1
Representa el número de combinaciones de "n" elementos tomados de "k" en "k".
Observaciones:
1. (a b) ! a! b!
Notación:
2. (ab) ! (a !) (b !)
Cnk n Ck n Ck
3. a ! a! b! b
n! Definición: Cnk ; nk k !(n k) !
Propiedades
Donde: n k o
1. n! existe n zo
Ejemplo:
Luego: • (–5)! No existe • –5! Si existe • (2/3)! No existe • 7! Si exi ste
C52
5! 120 10 2!(5 2) ! 2 6
Regla práctica: "k " factores
2. Por definición 1! = 1. Por acuerdo 0! = 1. Ejemplo: Hallar "x" en: (x – 4)! = 1 UNI SEMESTRAL 2013 - III
Cnk
n(n – 1)(n – 2). ..(n – k 1) (n – k) ! n! k ! (n – k) ! 1 2 3... k (n – k) !
"k " factores
89
ÁLGEBRA
TEMA 33 - 34
INTRODUCCIÓN A LA POTENCIACIÓN - POTENCIACIÓN DE UN POLINOMIO
Exigimos más! 5. Reglas de degradación
Propiedades
1. Cnk Existe n z k zo
Cnk n Ckn 11 k
•
kn
10 C 9 Ejemplo: C10 3 3 2
2. Propiedad complementaria
Cnk n – k 1 Ckn –1 k
•
n Cnk Cn–k
Ejemplo: C58 8 5 1 C84 C85 4 C84 5 5 Ejemplo: C50 48
C50 2
Cnk
•
50 49 1 225 2 1
n Cn–1 n – k k
Ejemplo: C 94 9 C 84 9–4 C 94 9 C84 5
3. Propiedad de igualdad Cnp Cnq 1.a Posibilidad: p = q 2.a Posiblidad: p + q = n
III. BINOMIO DE NEWTON (Para exponente entero y positivo)
Ejemplo: Hallar la suma de valores de "n" en: C10 n
n
n n–k k Definición: (x a)n Ck x a k 0
C10 6 .
Donde: x; a 0 n
1.a Posibilidad: n 1 = 6.
Así: (x + a)2 = x2 + 2 x a + a 2
2.a Posibilidad: n + 6 = 10 n2 = 4.
(x + a) 3 = x3 + 3x2 a + 3xa2 + a3 Luego n1 + n 2 = 10.
(x + a) 4 = x4 + 4x3 a + 6x2a2 + 4xa3 + a4 (x + a)5 = x5 + 5x4a + 10x3 a2 + 10x2 a3 + 5xa4 + a5
4. Suma de combinatorios Cnk Cnk 1 Ckn11
Nos damos cuenta: (x a)5 c50 x 5 c15 x 4a c 52x3a2 c53x 2a3 c 54xa4 c 55a5
Ejemplo: Hallar: S C40 C15 C62 C73
Luego:
(x a)n c 0n xn c1n xn1a c2n x n 2a2 c3n xn 3a 3 ... C nnan
Luego: S C50 C51 C62 C73
Desarrolloo expansión delbinomio
S C16 C62 C73
Propiedades
S C72 C73
1.
N. de términos Exponente " n " 1 de (x a)n
S C83 S
Hallar el nº de términos en el desarrollo de: (x + 3y) 7 .
8 7 6 56 3 2 1
UNI SEMESTRAL 2013 - III
N.º de términos = 7 + 1 = 8. 90
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TEMA 33 - 34
INTRODUCCIÓN A LA POTENCIACIÓN - POTENCIACIÓN DE UN POLINOMIO
Exigimos más! 2. Si: x = a = 1; se obtiene la sumatoria de coeficientes:
4. Término central ("n" exponente del binomio) Si "n" par existe un sólo T central:
c n0 c1n c 2n cn3 ... cnn 2n c 50
c15
c 25
c 53 c54
c 55
Tc Tn
5
2
2 32
Si "n" impar existen 2 términos centrales:
n–2 c n–2 c1n–2 c 2n–2 ... c n–2 2n–2 0
1.er Tc Tn 1
Hallar la suma de coeficientes en el desarrollo de: (5x2 + y4 )40
2
2.do Tc Tn 1 1
Luego: x = y = 1 (5(1)2 + (1)4 )60 6 60
2
3. Término de lugar general: Siendo: (x + a) n. En su desarrollo:
5. Suma de exponentes Siendo B(x,a) = (xp + aq)n
n n–k k Tk 1 c k x a
Exponentes Donde: "k + 1" es el lugar. Ejemplo: Hallar el T 61 en el desarrollo de: 2
1
(p q)n(n 1) 2
Ejemplo: Hallar la suma de exponentes en el desarrollo de: 3 90
B(x; y) = (3x + 2y )
90 T61 c60 (3x2 )30 (2y3 )60
3
x 4
39
Luego: p = 1/3; q = 1/2; n = 39.
90 30 60 60 180 T61 c60 3 x 2 y
1 1 39(39 1) 3 2 exponentes Exp 650 2
90 30 60 60 180 T61 c60 3 2 x y
problemas resueltos
Problema 1
Resolución:
Problema 2
Si "x" es un número real tal que el término central en el desarrollo de:
Sabemos que:
Hallar el valor de "n" de modo que:
2 – 3x 3 2
12
n n–k k TK 1 Ck x a
n n (2r 1) 2n 4 r 0 r
TC T12 T7 1
Nivel d ifícil
2
12–6 T7 C12 (–3x 2)6 924 6 (2 3)
Es 924, hallar el valor de: 1 + x2 + x4 + x6
12.11.10.9.8.7 26 36 x6 924 6.5.4.3.2.1 36 26 x=1
Nivel intermedio
A) 18 B) 16 C) 17 D) 15 E) 20
A) 4 B) 8 C) 6
Resolución:
Entonces: 1 + 1 2 + 14 + 16 = 4
D) 16 Respuesta: A) 4
E) 2 UNI SEMESTRAL 2013 - III
91
Sabemos: n n 2n r 0 r
ÁLGEBRA
n n r n 2n–1 r 0 r
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