INDICE
CAPÍTULO I: Teoría de Exponentes y Ecuación Exponencial ………………………………….. CAPÍTULO II: Expresiones Algebraicas ……………………………………………………………….. CAPÍTULO III: Productos y Cocientes Notables …………………………………………………. 17 CAPÍTULO IV: Binomio de Newton ………………………………………………………………………………. CAPÍTULO V: Teoría de Ecuaciones ………………………………………………………………………………. CAPÍTULO VI: Desigualdades e Inecuaciones ……………………………………………………………….. CAPÍTULO VII: Funciones …………………………………………………………………………………………….. CAPÍTULO VIII: Teoría de Conjuntos ……………………………………………………………………………….. CAPÍTULO IX: Teoría de Numeración ……………………………………………………………………………….. CAPÍTULO X: Teoría de Divisibilidad ……………………………………………………………………………….. CAPÍTULO XI: Números Primos, Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo……. CAPÍTULO XII: Razones y Proporciones ……………………………………………………………………………….
01 09
25 33 41 50 58 66 74 81 91
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Álgebra
UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN - HUANUCO
CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS
CEPRE - UNHEVAL ÁLGEBRA CAPÍTULO I TEORÍA DE EXPONENTES Y ECUACIONES EXPONENCIALES LEY DE LOS EXPONENTES: Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los exponentes a través de las operaciones de potenciación y radicación. POTENCIACIÓN: Es una operación matemática que consiste en hallar una expresión llamada potencia, partiendo de otros dos llamadas base y exponente. b = Base bn = P n = Exponente, n Є Z P = Potencia; P Є R LEYES DE LA POTENCIACIÓN: a) PRODUCTO DE BASES IGUALES: an . am = an+m
b) COCIENTES DE BASES IGUALES: an am
= a n−m
;
a≠0
c) EXPONENTE CERO: ;
a0 = 1
a≠0
d) EXPONENTE NEGATIVO: n
1 1 a -n = = n a a
CEPRE – UNHEVAL
;
a≠0 CICLO C - 2003
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e) POTENCIA DE UN PRODUCTO: (a.b)
n
;
= a n .b n
a,b ≠ 0
f) POTENCIA DE UN COCIENTE: n
an a = n b b
;
a,b ≠ 0
g) POTENCIA DE POTENCIA: p m n m.n.p a = a
;
a≠0
h) EXPONENTE DE EXPONENTE: am
n
p
=am
n
p
;
a≠0
RADICACIÓN: Dados: a Є R; n Є Z+; n > 1; b = raíz enésima de “a” y se denota por: n
a =b ⇔ b n =a
LEYES DE RADICACIÓN: a) EXPONENTE FRACCIONARIO: m
;a, n ≠ 0
a n = m an
b) RAÍZ DE UN PRODUCTO: n
a.b =n a .n b
n
a na = b nb
;
a, b ≠ 0
c) RAÍZ DE UN COCIENTE:
CEPRE – UNHEVAL
;
a, b ≠ 0
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d) RAÍZ DE RAÍZ: p m n
a. =
p.m.n
a
;
a≠0
CASOS ESPECIALES DE RADICACIÓN: n
a
qm
b
rp
s
c . =
n.m.p
a
qmp
.b
rp
.c
n
n
n
n
a a a.... a =
s
nm
a
n m −1 n −1
"m"radical es
n
n
a m n a m n a m .... ∞ = n -1 a m
a m ÷ n a m ÷ n a m .... ∞ = n +1 a m
ECUACIONES EXPONENCIALES Son aquellas ecuaciones donde la incógnita se encuentra en el exponente BASES IGUALES: Si N x = N y → x = y N>0 y N ≠ 1 ANALOGÍA DE TÉRMINOS: Si x x = y y → x = y x ≠ 1/2; ٨ y ≠ ¼ NOTA: Si af(x) = b f(x) → f(x) = 0
PROBLEMAS PROPUESTOS 15 2.25.49 A= 35 2.45 2
1. Simplificar: A) 1/3
2. Reducir: B = 5
B) 1/2
C) 1/9
D) 1/5
E) 2
C) 32
D) 35
E) 1
4 4 + 45 + 43 2 8 + 210 + 2 6
A) 2
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B) 24
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310 + 3 24 − 312
3. Efectuar: C =
- 9 6 + 912 + 9 5
A) 1/3
B) 1
4. Simplificar: D =
18 5.1210 1 54 6.8 5 0,5
A) 7
5. Reducir: E =
D) 5
E) 3
C) 9
D) 10
E) 11
C) 5
D) 4
E) 0
C) 4
D) 7
E) 12
D) 1/9
E) 1/27
D) 4/3
E) 3/4
C) 2
D) 1
E) 0
C) 42
D) 84
E) 75
−4
B) 8
(49)7 6 − 7 31 + (14)7 6 (49)7 5 − 7 30 + ( 2)7 6
A) 7
6. Efectuar: F =
C) 6
B) 6
(26)9 2 + 2(3 4 − 7 9 ) 3 4 − 7 9 + (13)81
A) 2
B) 3
7. Calcular el valor de: A) 27
1 1 − 1 9 3
B) 1/3
10. Simplificar: J = A) 12
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−3
C) 9
5 2 2 x + 2 x +1 − 3 2 2 x
B) 1/3
9. Si 3x = 7y. Simplificar: I = A) 4
1 1 9 3
G= 3
8. Si 2x = 3y. Simplificar: H = A) 2/9
−
B) 3
3 y +3 − 2 2.3 y +1 C) 6/5
3 x +1 − 7 y +1 − 3 x 7 y − 7.3 x + 3.7 y
10 4.30 3.42 3 54.250.60 2.70 2 B) 21
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1 −3 − 1 − 1 − −3 −16 2 1 1 1 1 2 11. Calcular: K = + + 2 4 125 81
A) 4
B) 3
12. Simplificar: M = A)
2 −1
C) 2
D) 1
E) 0
C) 2,5
D) 3,5
E) 4,5
4 -2n +1.2 n +1 + 8 -n + 2 (2 n ) -3 .16 3
B)
2
13. Calcular “A + B” si: 1 −3 2 − 2 4 −1 A = + + 5 7 2 A) 10
0 ,5
B) 12
C) 8
14. El valor más simple de: E = A) 4
C) 12
.25
A) 5
17. Simplificar: P = A) 0
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m 2 + 2n 3
59049 10
B) 25
16. Simplificar: M = (3 n
2 +n+4
B) 9
3 −1 3 8 9
−3
− 9
D) 6
E) 4
D) 16
E) 20
D) 225
E) 625
D) 24
E) 25
D) 3
E) 4
911.10 20.36 24
125 m 2 -2.625 n 3 + 2 m 2 +3
2 − 3
−3
18 22.2416.7510
B) 8
15. Simplificar: E = 5
A) 3
4 B = 8 5
−2
−1
C) 125
− 3n
2 +n+2
[
) ÷ 3.(3 n C) 16
2
+n
)
]
1516.3311.7717 .8413.10 44 5 20.14 30.30 40.1128 B) 1
C) 2
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18. Simplificar: K =
18 6.54 -3.8 -6.36 2 24 -2.3 -6.(0,5) 4 .27 5
A) 3/4
B) 5/2
C) 6/5
D) 2
E) 1/2
C) 2
D) 1
E) 0
C) 10
D) 25
E) 30
D) 525
E) 0
C) 1/15
D) 1/25
E) 0
C) 1
D) 9
E) 27
D) 8
E) 10
19. Hallar “N” cuando x = 32 en: N = 6 x 6 x 6 x.... A) 23
B) 22
20. Simplificar: A = x A) 0
2 x + 3x − 5 x 6 - x + 10 - x + 15 - x B) 5
x x ; si x = 125 x
P=
21. Hallar “P” si : A) 5
B) 25
22. Simplificar: Q = m - 2n A) 1
15 2n .3 m .4 3 mn + 2 3 2m +1.5 m .4 3 mn −2
B) 1/7
3 23. Calcular el valor de: 3 3 A) 3
24. El equivalente de: A) 4
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C) 125
3
B)
3
-6 3
3 + 3 4 + 3 4 + 3 4.... M= 1 + 3 4 + 3 4 + 3 4....
B) 2
C) 6
2
−1
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n − m 2− m 4m − n 2 9 2 E = ( 3 ) 3 25. Calcular el producto de: A) 81
B) 9
26. Simplificar: R = x 3 A) x36
x x 4 x
C) 1
2 6
D) 27
E) 3
D) x4
E) 1
D) 1
E) 0
D) 45
E) 225
4
B) x46
C) x26
27. Simplificar: Q = 5 x 2 x 3 4 x A)
29 x 40
B)
29 10 x
28. El valor más simple de: R = 2x + 3 A) 5
B) 15
C)
29 30 x
225 -2x + 4 5 2x +5.4 + 25 x +3 C) 25
29. Reducir: N = 3 x 2 3 x 2 3 x 2 ....." n" radicales A)
x
3n 3n -1
B)
3n − 2 x 3
C)
x
1 - 3-n
D)
x
1 + 3n - 1
E)
x
3n −1 3n.2
30. Hallar “x” en: 9 x −1 = 27 x −2 A) 0
B) 2
C) 3
D) 4
C) 6
D)
C) 2
D) 3
E) 9
31. Resolver: x 5x 5 = 36 3 A)
5
B) 5
6
E) 5
6
32. Resolver: 2 x + 2 x + 2 = 40 A) 0
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B) 1
E) 4
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33. Siendo que x>0. Calcular “x” en: 251-3x 2 = 125 4x 2 -2 A) 1/4
B) 2/3
C) 1/3
D) 3/2
E) 4
C) 1
D) 2
E) 3
C) 1/2
D) 2
E) 3
34. Hallar “x” en: 343 2x −3 = 7 -x −2 A) 0
B) -1
3- x 35. Hallar “x” en: x =
A) 0
1 25 B) -1
36. Si x x x = 2
Calcular: Q = x
A) 2
B) 4
x
y
37. Si 2 = 3 = 6
Calcular:
A) 1/5
40. Si x x x = x 3 . A) 3
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(n +1)x
+x
(n +1)x + x x
D) 16
E) 32
x
D) 6
E) 1
C) xy
D) 2x/y
E) 2y/x
C) 128
D) 256
E) 512
C) 27
D) 81
E) 243
y
5y . 5x C) 25
x x +1 y 2y + x 2x y y +1 x x + y y x +1 + x y +1 y x + y
A) x/y
A) 16
x
x
5x+y
B) 5
38. Reducir: R = x - y
39. Calcular “x” en :
C) 8
nx
B) y/x
32
− 25− x
−3−2
= 2 −1
B) 64
Calcular x4x B) 9
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CAPÍTULO II EXPRESIONES ALGEBRAICAS Es una combinación de letras y números en cantidades finitas enlazadas entre sí, por las operaciones matemáticas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación; sin letras o variables en los exponentes. Ejemplos: 5x Son expresiones algebraicas 3x + 4x3y5 – x2/y
3x + 7
2
Son expresiones no algebraicas o trascendentes
Log (2x3 – 5y2) 12x - x3 + ……..
TÉRMINO ALGEBRAICO: Es la mínima expresión algebraica en la que sus elementos se encuentran enlazados por las operaciones matemáticas: excepto la adición y sustracción. Todo término algebraico consta de las siguientes partes: signo, coeficiente, parte literal y exponente. Exponentes Signo Coeficiente
- 7x2y5 Parte literal
TÉRMINOS SEMEJANTES: Son aquellos términos que tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes
− 5x 2 y 4 ; 2 4
− 5x y ;
7x 2 y 4 ; 4 2
7x y
3x 2 y 4
Son términos semejantes No son términos semejantes
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS: I. SEGÚN LA NATURALEZA DEL EXPONENTE: a) Expresiones Algebraicas Racionales: Es cuando las variables nos están afectadas de radicales o exponentes fraccionarios y se sub-clasifican en: Racionales Enteras: Es cuando ninguna letra o variable se encuentra como denominador y en el numerador no están afectadas por el exponente negativo. Ejemplo:
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x+y ; 3
5x 2 y 7 ;
5 xy
Racionales Fraccionarias: Son expresiones en donde por lo menos una de sus variables aparece en el denominador, o si están en el numerador alguna de ellas aparece con exponente negativo Ejemplo:
x-y ; z
6x 2 y -7 ;
5x -1 y
b) Expresiones Algebraicas Irracionales: Es cuando las variables están afectados de radicales o exponentes fraccionarios Ejemplo:
8x 1/2 y -7 ; II.
3
xy ; 4
5xy
SEGÚN EL NÚMERO DE TÉRMINOS: i) Monomios: Es las expresión algebraica que consta de un solo término Ejemplo:
− 5x 4 y 5 ;
7x 2 y 4 ;
3x 3 y 9
j) Polinomios: Es la expresión racional entera que consta de dos o más términos. Ejemplo:
4x 4 y 6 + 7xy 2 -
3x 3 y 7 − 3x 10
Si un polinomio tiene una sola variable “x” su notación es:
P(x) = a 0 x n + a 1 x n −1 + a 2 x n − 2 + .... + a n −1 x + a n Donde: n Є Z+, n grado del polinomio a0 = Coeficiente principal no nulo an = Término independiente GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se denomina grado de una expresión algebraica racional entera, a una de sus características relacionada con los exponentes de las variables. Existen dos tipos de grados: Grado relativo y grado absoluto GRADO DE UN MONOMIO: a. Grado Relativo (G.R.): Es el exponente que tiene la variable de un monomio CEPRE – UNHEVAL
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M(x,y,z) = 5x3y4z8 + G.R.(x) = 3° grado G.R.(y) = 4° grado G.R.(z) = 8° grado Grado Absoluto (G.A.): Es la suma de todos los exponentes que afectan a todas las variables del monomio. G.A. = G.R.(x) + G.R.(y) + G.R.(z) Ejemplo:
b.
M(x,y,z) = 5x3y4z8 G.A. = 3 + 4 + 8 = 15° grado
Ejemplo:
GRADO DE UN POLINOMIO: a) Grado Relativo (G.R.): Está dado por el mayor exponente que tiene dicha variable en el polinomio dado. Ejemplo: P(x,y,z) = 5x3y2z7 + x6y4z3 + 4x5y9z3 + 3xy5z8 G.R.(x) = 6° grado G.R.(y) = 9° grado G.R.(z) = 8° grado
b) Grado Absoluto (G.A.): Está dado por el grado del término de mayor grado absoluto. Ejemplo:
P(x,y,z) = 5x3y2z7 - x6y4z3 - 4x5y9z3 + 3xy5z8 12°
13° 17° G. A. = 17° grado
14°
GRADO EN LAS OPERACIONES CON POLINOMIOS: Sean los polinomios P(x) de grado “m” y Q(x) de grado “n”, siendo m>n se tiene lo siguiente: I. P(x) + Q(x) es de grado “m” II. P(x) - Q(x) es de grado “m” III. P(x) . Q(x) es de grado “m + n” IV. P(x) : Q(x) es de grado “m - n” V. [P(x)]k es de grado “m.k”
VI.
k
P(x)
es de grado “m:k” POLINOMIOS ESPECIALES
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a) POLINOMIO HOMOGÉNEO: Es aquel polinomio que tiene todos sus términos de igual grado absoluto. Ejemplo: P(x,y,z) = 5x3y2z7 - x6y4z2 - 4x5yz6 + 3x2y5z5 12°
13°
17°
14°
b) POLINOMIO HETEROGÉNEO: Es aquel polinomio que no tiene todo sus términos de igual grado absoluto. Ejemplo: P(x,y,z) = 5x3y2z7 - x6y4z3 - 4x5y9z3 + 3xy5z8 12°
13°
17°
14°
c) POLINOMIO ORDENADO: Es aquel polinomio cuando los exponentes de una determinada variable están ordenados en forma ascendente y/o descendente. Ejemplos: P(x) = 5x7 - x5 - 4x2 + 3x - 7 P(x,y) = 6x5y - 8x3y3 - 4x2y4 + 11xy7
d) POLINOMIO ORDENADO Y COMPLETO: Es aquel polinomio que tiene todos los exponentes sucesivos de la variable que se considera, desde el mayor exponente hasta el exponente cero o término independiente. Ejemplo: P(x) = 5x7 - 3x6 + x5 - 2x4 - 10x3 - 4x2 + 15x - 7
e) POLINOMIO ENTERO EN X: Es aquel polinomio cuyos exponentes de “x” son números enteros positivos. Ejemplo: P(x) = 3x3 – x2 + 9x - 2
f) POLINOMIO MÓNICO: Es aquel polinomio entero en “x” cuyo coeficiente principal es igual a la unidad. Ejemplo: P(x) = x3 – 5x2 + 4x - 18
g) POLINOMIOS IDÉNTICOS: Son polinomios cuyos términos semejantes poseen el mismo coeficiente. Ejemplo: P(x) = ax3 + bx2 + cx + dQ(x) = mx3 + nx2 + px + q P(x) = Q(x) ⇒ a = m, b = n, c = p y d = q
h) POLINOMIOS EQUIVALENTES: Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes aceptan igual valor numérico para un mismo sistema de valores asignados a sus variables Ejemplos: P(x,y) = (x + y)2 – (x – y)2 Q(x,y) = 4xy CEPRE – UNHEVAL
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P(x,y) < > Q(x,y) si y sólo si admiten el mismo valor numérico Se tiene x = 1; y = 3 P(1,3) = (1 + 3)2 – (1 – 3)2 = 12 Q(x,y) = 4(1)(3) = 12 ∴ P(x,y) < > Q(x,y)
i) POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO: Es aquel polinomio cuyos coeficientes son nulos. Ejemplo:
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d es idénticamente nulo si y sólo si:
a=b=c=d=0 VALOR NUMÉRICO Es el resultado que se obtiene al especializar o reemplazar las variables por valores determinados Ejemplo: P(x,y) = x3y - 4xy2 + 10 P(1,2) = (1)3(2) - 4(1)(2)2 + 10 = -4 PROPIEDADES: a) SUMA DE LOS COEFICIENTES DE P(x): ∑ coeficientes de P(x) = P(1)
b) TÉRMINO INDEPENDIENTE DE P(x) : Término independiente de P(x) = P(0)
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si el polinomio P(x,y) = 7xm+3y2n+1 - 4xm-1y3n+1, es homogéneo y la relación de los exponentes de x en sus dos términos, es como 3 a 1. El valor de “m + n” es: A) 8
B) 9
C) 7
D) 11
E) 1
2. Si el polinomio P(x,y) = xmyn(4x4y2 + 5x3y3) es completo. El valor de “2m – 3n” es: A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
3. Dado el polinomio P(x) = (n–1)xm-1 + (m–2)xn-2 + (2p+1)xq-3 - (q+1)xp+1 – 1, ordenado y completo. La suma de sus coeficientes es: A) 23 CEPRE – UNHEVAL
B) 18
C) 12
D) 15
E) 13
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4. Si la expresión
3
E= a
x −5 y + 3 12 b 3
es de 4° grado con respecto a “a” y de 6° gardo
absoluto. El valor de “x + y” es: A) 28
B) 29
5. Dado P(x, y) = 2x
a b −4
+ 3y a
C) 31 2(b − 4)
− (x.y)
D) 32
a b−4
+ 4y
4+ a b − 4
E) 35
, donde “a” y “b” son
números naturales. Si la suma de los grados absolutos de los términos del polinomio es : (a2 + 2) 2, el valor de “b” es A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
x y' y z' + = + = 1 , el valor numérico de 1 + xyz 6. Si 2 x' y' z' x' y y' z A) 1/2
7. Si P(x) = A) -2
B) 1
C) -1
E) 10
x' y'z' xyz
es:
D) 2
E) -2
2x + 1 2 y además P[P(x)] = 2. El valor de E = x +1 (x − 4) x +5 es: x−2 B) -4
C) 8
D) -16
E) -8
8. Si P(x) = 2x3 + 5x2 + 3x + 15 y F(x) = 4x3 - 5x2 + 6, además E =
F( −3) + F(2) F( −1) − F( −2)
.
El valor de P(P(P…P(P(P(E)))…) es: A) -1
B) -2
C) -3
D) -4
E) -5
9. Determinar la suma de los coeficientes de P(x), sabiendo que su término independiente es 17, además se cumple que: P(x + 1) = (x + 1)(ax + 2) + (a -1)(x + 2) + a A) 34
B) 27
10. Respecto a “x”, la expresión: A) 1° grado
B) 2° grado
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C) 8
x
25 30
+x
2 17
C) 3° grado
D) 9
−x
0 23
+x
89 03
D) 4° grado
E) 17
es de: E) 5° grado
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11. El polinomio P(x, y) = ax 3 − a 2 x 2 y + a 3 xy 2 - a 4 y 3 A) Es heterogéneo, ordenado y completo B) Es homogéneo, ordenado y completo C) Es heterogéneo, ordenado e incompleto D) No es homogéneo, no es ordenado y ni completo E) Es mónico
12. Si el siguiente polinomio es homogéneo: P(x, y) = x 5 − x n y 2 + x m y 4 - y r -1 Hallar “m + n + r”. A) 5
B) 7
C) 9
D) 10
E) 12
13. Si el polinomio P(x) = xn+1 + 3xn+2 + xn+3 + 5 es completo. Hallar “n”: A) -1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
14. Si (a + 2)x2a+3 y3b-1; (b - 3)xa+5 y2a+b-3 son semejantes. Su suma es: A) 2x5y2
B) -x5y3
C) 3x3y7
15. Los polinomios P(x) = 2(mx+n)2 + mx2 – 2n;
D) -2x7y3
E) 5x4y3
Q(x) = 4(9x2 + 8x + p) son
idénticos. Hallar P(-1), si además se sabe que: m > 0 A) 8
B) 12
C) -4
D) 0
E) -6
16. Si P(x) = 100x100 + …. + 4x4 + 3x3 + 2x2 + x. Hallar P(-1) A) 100
17. Si P(x) = A) x + 2
B) 99
[
C) 50
D) 25
E) 199
D) x - 1
E) 2x + 1
]
x +1 x y P G (x) = . Calcular G(x) x −1 x−2 B) 2x - 1
C) x2 + 2
1 18. Si P(x 2 + x) = x y P(x) = a 1 + bx − . Calcular “a.b” 2
A) 2
CEPRE – UNHEVAL
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
CICLO C - 2003
Pag. -17-
Álgebra
19. Siendo P(x) = 2 −
m +1 y x -1
Q (x) = 2 +
m -1 . Calcular el valor de P[Q(x)]; x -1
Sabiendo que no depende de “x” A) 1
B) -1
C) 2
D) -2
E) 3
D) 37
E) 39
20. Si P(x) = ax + b y P[ P(x) ] = 4x + 81 . Calcular P(b-12a) A) 33
B) 32
C) 36
21. Hallar el número de términos del polinomio ordenado y completo: P(x) = (m - 2)xm-7 + (m -3)xm-6 + …… A) 4
B) 5
C) 6
D) m - 7
22. Señalar el valor de “n” para el cual la expresión: P(x) = 3
E) m - 3
x n − 2 − 27 x 3n 4
x n +1
es de
segundo grado. A) 7
B) 14
C) 21
D) 28
E) 35
23. En el polinomio P(x,y) = x2myn-2 + 7x2m-1yn+5 + 9x2m+2yn + 8 x2m-3yn+1. El grado relativo a “x” es 18, además su grado absoluto 24. Hallar el grado relativo a “y” A) 8
B) 7
C) 12
D) 6
E) 9
24. Dado los polinomios P(x) = (a + x)(b + cx) + ax + 4 y Q (x) = (x + b)(x + 2) + x . La suma de P(x) y Q(x) origina un polinomio de grado cero. Bajo esta condición determinar el valor de: c2 + 4b2 A) 4
B) 2
C) 6
D) 8
E) 10
25. Si P(x) = (ab - ac - n 2 )x n + (bc - ab - 2n)x 2 + (ac - bc - 1) es idénticamente nulo. Hallar:
1 1 2 + − a c b
A) 4
CEPRE – UNHEVAL
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
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Pag. -18-
Álgebra
26. Sabiendo que el grado absoluto de P(x, y) = grado absoluto de: M (x, y) = b −1 A) 3
c −1
xa yb
a -1
x b yc
es de 6° grado. Hallar el
xc ya
B) 6
C) 9
D) 18
E) 27
CAPÍTULO III PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES PRODUCTOS NOTABLES: a) BINOMIO AL CUADRADO: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 b) PRODUCTO DE LA SUMA POR SU DIFERENCIA: (a + b)(a – b) = a2 - b2 (an + bn) (an - bn) = a2n - b2n c) BINOMIO AL CUBO: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 d) SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS: (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 (a - b)( a2 + ab + b2) = a3 - b3 e) TRINOMIO AL CUADRADO: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac f)
TRINOMIO AL CUBO: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2(b+c) + 3b2(a+c) + 3c2(a + b) + 6abc
g) IDENTIDADES DE LEGENDRE: (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
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Álgebra
DIVISION ALGEBRAICA a)
METODO DE HORNER: El procedimiento se detalla a continuación: 1. Se colocan los coeficientes del dividendo en la parte superior horizontal. 2. 3.
b)
Se colocan los coeficientes del divisor en la parte izquierda en forma vertical con los signos cambiados a excepción del primero. El primer término del cociente (Q) se obtiene dividiendo el primer coeficiente del dividendo (D) entre el primer coeficiente del divisor (d).
4.
Este primer coeficiente de (Q), multiplica a los demás coeficientes de (d) que cambiaron de signo y los resultados se escriben en forma horizontal a partir de la siguiente columna hacia la derecha.
5.
Las cantidades que se encuentran en la segunda columna se suman y el resultado se divide entre el primer coeficiente de (d), repitiéndose el procedimiento hasta coincidir con la última columna del dividendo.
6.
Para finalizar, se suman directamente las columnas correspondientes al residuo, lo que conformará los coeficientes del polinomio residuo.
METODO DE RUFFINI: Este método es aplicable cuando el divisor es de la forma“x ± a”. El procedimiento es el siguiente: 1. Se colocan los coeficientes del dividendo en forma horizontal.
2.
Se anota el valor de “x” que es el resultado de resolver la ecuación del divisor igualado a cero: x + b = 0 ⇒ x = - b
3.
Se baja el primer coeficiente del dividendo y se multiplica el valor de “x”, el resultado se anota en la siguiente columna, debajo del segundo coeficiente del dividendo.
4.
Se suman las cantidades de la segunda columna y se sigue el mismo procedimiento hasta obtener un término debajo del coeficiente del dividendo.
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Álgebra
5.
El residuo es la suma de cantidades de la última columna.
TEOREMA DEL RESTO Este teorema se emplea para hallar directamente el resto en la división, sin necesidad de efectuar toda la operación. El divisor debe ser de la forma “ax ± b” o transformable a ella: 1. Se iguala el divisor a cero, encontrándose un valor para la variable.
ax + b = 0 ⇒ x = − 2.
b a
El valor hallado se reemplaza en el dividendo, obteniéndose así el residuo.
b R = D − a COCIENTES NOTABLES Son resultados de divisiones que se obtienen en directamente y tienen la siguiente forma: n n
x ±y x± y
Lo principales cocientes notables son: a)
xn − yn x−y xn + yn x+ y xn − yn x+ y
: donde “n” es par o impar
: donde “n” es impar
: donde “n” es par
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Álgebra
d)
xn + yn : no es C.N. x−y
: donde “n” es par o impar
TERMINO GENERAL (TK): Cualquier término del desarrollo de un cociente notable se puede encontrar empleando la siguiente fórmula:
xn − yn x−y
* Si el cociente notable es de la forma:
** Si el cociente notable es de la forma:
Donde:
Tk k n y
: : :
xn ± yn x+y
⇒
Tk = x n −k y k −1
⇒
Tk = (−1) k −1 x n−k y k −1
Es el término que ocupa el lugar “k” Es el lugar del término Es el exponente común de los términos del denominador que aparecen en el numerador.
NUMERO DE TERMINOS (n): El número de términos de un cociente notable está indicado por el exponente común del numerador “n”:
Si
xn ± yn x+y
NOTA: Para que:
xm ± yn x p + yq
⇒
el cociente notable tiene “n” términos
sea un cociente notable, debe cumplirse que:
m n = p q
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.
Hallar el valor de “m” si se sabe que la siguiente expresión: es un trinomio cuadrado perfecto.
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mx 2 + 8 m + 9 x + 25 CICLO C - 2003
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Álgebra
A) 15
2.
B) 18
C)
Calcular el valor de “S” con la condición que:
S=3 A) 2a
3.
E) -15
C) y
D) a
E)
D) 353
E) 400
3
x
Si: a + b = 7 y ab = 2; calcular E = a + a2 + a3 + b + b2 + b3 B) 350
Determine el resto en la división: A) 0
5.
D) 16
x 3 y3 + + 3a y3 x 3
B) x
A) 300
4.
8 x y + =a y x
En la división:
C) 352
[ x(x + 1)(x + 2)(x + 3) − 12] 4 x 2 + 3x + 5
B) 1
C) 16
9x 5 + 6x 4 − 3x 3 + mx 2 + nx + p 3x 3 − x 2 + x + 3
idénticamente nulo. Hallar: m + n +p A) 0 B) 2
C) 3
x 20m +35 − y 20m −57 6. si la siguiente división: x m +1 − y m −3
D) 81
E) 625
el residuo es un polinomio D) 4
E) 18
da lugar a un cociente notable, determinar el
número de términos: A) m
7.
C) 10
Uno de los términos del cociente notable: A) 13
8.
B) 28
B) 12
Calcular “a + b” si la división es exacta: A) 16
CEPRE – UNHEVAL
B) 17
xm − yn x2 − y C) 30
D) 23
es x8y8. Hallar m + n. D) 39
5x 4 − 11x 3 + 15x 2 + ax + b 5x 2 − x - 2 C) 18
E) 32
D) 19
E) 40
E) 20
CICLO C - 2003
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Álgebra
9.
El residuo de:
8x 5 + 4x 3 + Ux 2 + Nx + I 2x 3 + x 2 + 3
A) 25
B) 26
es: 5x2 – 3x+7. Luego U + N + I es:
C) 27
D) 28
E) 29
10. Calcular el valor de “a” para que la suma de los coeficientes del cociente sea 161, tal que el resto es 16.
ax 51 + 2bx + 2b − a x −1 A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
D) 8x + 1
E) 8x
11. Calcular el resto de la siguiente división:
7 x 31 + 5 x12 − 2 x 8 + x 5 − 1 x 2 −1 A) 8x - 2
B) 7x + 2
C) 8x + 2
3x 4 − x 3 + 2x 2 + ax + a
12. Si en la siguiente división:
x 2 + x −1
el residuo no es de primer grado.
Calcular dicho residuo. A) 20
B) 21
13. Si la siguiente división:
x k +1 − y 3k -6 x − y2
términos del cociente. A) 8 B) 7
C) 22
D) 23
es un cociente notable. Calcular el número de C) 9
D) 10
14. Hallar el número de términos fraccionarios del cociente notable: A) 13
CEPRE – UNHEVAL
B) 14
E) 24
C) 15
D) 16
E) 11
x 75 − y -125 x 3 − y -5 E) 17
CICLO C - 2003
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Álgebra
x mn − y n 15. Al desarrollar: xm − y
el término 4to es de grado 39 y los grados absolutos de los
términos disminuyen de 2 en 2. Calcular el término ocho. A) x23y6 B) x24y6 C) x24y7
16. Si n +
D) x23y7
E) x20y7
D) -2
E) 2
1 = 1 , calcular el valor de (n3 – n-3)3 n
A) -1
B) 3
C) 0
17. Siendo: ab = 3 100 − 3 10 + 1, y
a + b − 1 = 3 10
Hallar: 3ab(a + b) A) 4
B) 16
C) 33
D)
3
32
E) 2
18. Sabiendo que: D(x) = 2x4 + mx3 + nx2 + 52, al dividirlo entre d(x) = x + p, se obtiene un cociente de la forma: 2x3 + 7x2 - 13x + 26. Hallar “m + n + p” A) 6
B) 8
C) 12
D) 14
E) 16
19. Sea el polinomio P(x) = 2x4 + x3 - 18x2 + 6 – 29x. ¿Cuánto hay que aumentarle al coeficiente de x3 para que (x – 3) sea un factor? A) 11
B) 12
C) 22
20. En el siguiente cociente notable: A) x30y18
x n − y 5n -18 x 2 − y9
B) x18y30
D) 2
Hallar el tercer término.
C) x28y16
D) x30y16
21. Hallar el valor numérico del término de lugar 29 del cociente: para x =-1 A) 28
22. El cociente:
B) 256
x 4n +12 − y 4n -3 x n -8 − y n -9
A) 10
C) 128
D) 64
E) x18y16
(x + 3) 36 − x 36 2x + 3
,
E) 25
es notable. Hallar el número de términos
B) 12
23. Si a + b + c = 0, hallar el valor de: CEPRE – UNHEVAL
E) -5
C) 25
D) 15
E) 17
a2 b2 c2 + + bc ac ab CICLO C - 2003
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Álgebra
A) 3
B) –3
C) 1
D) 0
E)6
C) 1525
D) 1265
E) 1552
D) 4
E) 5
D) 27
E) 216
24. Si: (x + x-1)2 = 45; hallar (x2 - x-2)2 A) 1845
B) 1625
(
25. Efectuar: 1 +
)(
6 + 3 + 2 1+ 6 − 3 − 2
A) 1
26. La sexta potencia de A) 4
B) 2
C) 3
)
2 + 3 + 2 − 3 es: B) 64
C) 81
27. Si a + b + c = 0, hallar el equivalente de:
(a 2 + b 2 + c 2 )(a 3 + b 3 + c 3 ) a 5 + b5 + c5
A) 1/12 B) 5/3 C) 3/2 D) 6/5 E) 1/3 28. si la diferencia de las cuartas potencias de dos números es 369 y el cuadrado de la suma de los cuadrados es 1681. ¿Cuál es la suma de los números? A) 21 B) 5 C) 9 D) 10 E) 2
29. Simplificar: a -3x + (a x + a -x )(a 2x - 1 + a -2x )(a 3x + a -3x ) - 4 A) ax
30. Si: x + x-1 = 3. A) 729
B) a-x
D) a-2x
E) a3x
C) 216
D) 322
E) 308
Calcular: x6 + x-6 B) 18
31. Si xy + xz + yz = 7. Calcular: A) 3
C) a2x
B) 14
( x 2 + y 2 + z 2 + xy + xz + yz) 2 − ( x + y + z ) 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) C) 7
D) 1
E) 2
32. En (k + 1)x2 + (5k – 3)x + 2k +3. Calcular el valor de “k” para que el trinomio sea cuadrado perfecto. A) 1/17
CEPRE – UNHEVAL
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
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Álgebra
33. Al dividir 6x5 + 5x4 – 26x3 + 33x2 – 24x + 6 entre 2x2 –3x + 1, la suma de los coeficientes del cociente es: A) 11
B) 15
C) 13
D) 17
E) 19
n + 19 34. Que valor adquiere: , si la división : x19 – nx + k entre x2 – 2x +1 es exacta k +1 A) 1
B) 2
C) 19
D) 38
E) 4
35. Si x5 + x4 + x3 + mx2 + nx + p entre x3 + 2x2 – x + 3 es exacta. Hallar: m + n + p A) 12
B) 20
C) 19
D) 17
E) 14
36. Calcular m + n + p, sabiendo que el resto de dividir 10x 6 + 19x5 - 8x4 + 12x3 + mx2 + nx + p entre 5x3 + 2x2 + 3x + 5 es 3x2 + 4 A) 1 B) 2 C) -1
D) -2
E) 0
x 2 3 x −y 4 y 3 37. Calcular el número de términos del desarrollo de: 3 x −4 y A) 7
B) 8
C) 12
D) 9
E) 10
CAPÍTULO IV BINOMIO DE NEWTON Al efectuar el desarrollo de un Binomio de Newton elevado a: 1, 2, 3, 4, 5, ……, n. se obtiene: Si:
n = 1 ⇒ (x + y)1 = x + y
Si:
n = 2 ⇒ (x + y)2 = x 2 + 2xy + y 2
Si
n = 3 ⇒ (x + y )3 = x 3 + 3 x2 y + 3x y2 + y 2
Si
n = 4 ⇒ (x + y )4 = x 4 + 4 x3 y + 6 x2 y + 4 x y3 + y 4
∑ Coef.= 2 = 2 ∑ Coef.= 4 = 2 ∑ C o ef.= 8 = 2 ∑ C o ef.= 1 6 = 2
1
2 3
4
En forma general:
(x + y)n = x n + nxn -1 y + LEYES
DEL
BINOMIO
CEPRE – UNHEVAL
n(n − 1) n -2 2 n(n − 1)(n− 2) n -3 3 x y + x y + ......+ nxyn -1 + y n 2 (2)(3) DE
∑ Coef. = 2 n
NEWTON: CICLO C - 2003
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Álgebra
1ra Ley:
El desarrollo de un binomio de la forma (x + y)n; es un polinomio homogéneo respecto a “x” e “y”, cuyo grado de homogeneidad es igual al exponente del binomio (n).
2da Ley:
El número de términos del desarrollo es igual al exponente del binomio mas 1 (n + 1)
3ra Ley:
El primer término del desarrollo contiene a la primera base (x), elevada al exponente del polinomio, disminuyendo los exponentes de esta base en cada término posterior de uno en uno hasta cero.
4ta Ley:
El segundo término del desarrollo contiene a la segunda base (y), elevada a la unidad, aumentando su exponentes en cada término posterior, de uno en uno hasta ser igual al exponente del binomio.
5ta Ley:
Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales, siendo el primero y el último iguales a la unidad, el segundo y el penúltimo iguales al exponente del binomio y así sucesivamente.
(x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5
6ta Ley:
Equidistantes El coeficiente de un término cualquiera se obtiene a partir del término inmediato anterior, multiplicando el coeficiente de éste por el exponente de la primera base y dividiendo este producto por el exponente de la segunda base aumentado en uno.
(5)( 4) 3 2 (10)(3) 2 3 (10)(2) 4 (5)(1) 5 x y + x y + xy + y 1+1 2 +1 3 +1 4 +1 COEFICIENTES BINOMIALES: Los coeficientes en el desarrollo de un Binomio de Newton es igual al número combinatorio. Cuando “n” es un número entero y positivo el coeficiente binomial coincide con el número combinatorio C nk y se podrá aplicar: (x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y +
n n! = C nk = k! (n − k)! k
CEPRE – UNHEVAL
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Álgebra
REPRESENTACIÓN DEL DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON, MEDIANTE LOS COEFICIENTES BINÓMICOS:
n n n n n n -1 n n xy + y (x + y)n = x n + x n -1 y + x n -2 y 2 + x n -3 y 3 + ......+ 0 1 2 3 n − 1 n También: n n (x + y) n = ∑ x n − k y k k =0 k
x, y ∈ R ; n ∈ N
Propiedades:
*
n = 1; n
n = 1; 0
n = n 1
Cuando el segundo término del binomio es negativo el desarrollo tiene signos alternados, siendo positivos aquellos de lugar impar y negativos aquellos de lugar par.
FORMULA PARA HALLAR LUGAR “k+1” (Tk+1): Cuando (x + y)n
n T(k +1) = x n − k y k k
n T(k +1) = (−1) k x n −k y k k
Cuando (x - y)n Donde: T(k+1) n x y
EL TERMINO GENERAL DE
: : : :
Término de lugar k+1 que se desea encontrar Exponente del binomio 1ra base 2da base
FÓRMULA PARA HALLAR EL TÉRMINO CENTRAL: a) Cuando el exponente es par: (x + y)2n
CEPRE – UNHEVAL
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Álgebra
Tcentral
único
2n n n = n x y
b) Cuando el exponente es impar: (x + y)2n+1 2n +1 n +1 n x T1°central = y n
2n +1 n n +1 T2°central = n x y
FACTORIZACIÓN Se llama factorización a la operación de transformar una expresión algebraica racional a producto; los factores hallados se denominan factores primos: A = (B) (C). Se dice que B y C son factores de A MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN: a) FACTOR COMÚN MONOMIO: Se emplea cuando todos los términos del polinomio tienen como factor común a un monomio. Ejm. Factorizar: 10x2y5z7 – 25x5y4z6 + 15x6y9z8 + 30x4y7z5 Solución: Factor común monomio: 5x2y4z5 5x2y4z5 (2yz2 - 5x3z + 3x4y5z3 + 6x2y3)
b) FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS: Se emplea cuando en todos los términos de la expresión no se detectan factores comunes a simple vista, para lo cual se agrupan los términos convenientemente hasta conseguir un factor común. Ejm. Factorizar: ax + by + cz + ay + bz + cx + az + bx + cy CEPRE – UNHEVAL
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Álgebra
Solución: Agrupando convenientemente (ax + ay + az) + (bx + by + bz) + (cx + cy + cz) a(x + y + z) + b(x + y + z) + c(x + y + z) Factor común: (x + y + z) (x + y + z) (a + b + c)
c) MÉTODO DE LAS IDENTIDADES: En este método se hacen uso de los productos notables, entre los más principales tenemos: Diferencia de Cuadrados:
a 2n − b 2m = (a n + b m )(a n − b m )
Trinomio Cuadrado Perfecto:
a 2n + 2a n b m + b 2m = (a n + b m ) 2 a 2n − 2a n b m + b 2m = (a n − b m ) 2
Diferencia de cubos:
a 3n + b 3m = (a n + b m )(a 2n − a n b m + b 2m ) a 3n − b 3m = (a n − b m )(a 2n + a n b m + b 2m ) d) MÉTODO DEL ASPA SIMPLE: Este método se utiliza para factorizar trinomios de la forma:
Ax 2n + Bx n + C Ax 2n − Bx n y m + Cy 2m Ax 2n + Bx n + C A1xn
C1 = A2xn.C1
A2xn
C2 = A1xn.C2 Bxn
e) MÉTODO DEL ASPA DOBLE: Este método sirve para factorizar expresiones de la forma:
Ax 2n + Bx n y m + Cy 2m + Dx n + Ey m + F CEPRE – UNHEVAL
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Álgebra
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F A1x (I) A2x A1C2xy A2C1xy Bxy
C1y (III) C2y
F1 (II) F2
A1F2x A2F1x Dx
C1F2y C2F1y Ey
*****
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si el 4to término del desarrollo de (x2-y)n contiene la octava potencia de “x”. Hallar “n”. A) 5
B) 7
C) 8
D) 3
E) 10
2. Hallar el coeficiente del término independiente de “x” en el desarrollo de: (x8 - x-4)12 A) 495
B) 420
C) 480
D) 1
E) -1
3. Un término en el desarrollo de (x2 – 5y7)n, donde n∈Z tiene como parte literal x6y35. Hallar el coeficiente del segundo término. A) 20
B) -40
C) -10
D) 30
E) 12
4. Factorizar: P(x) = x4 + x2 +1 2
2
A) (x + x + 1)( x - x + 1) 2
2
2 2
D) (x + 2x)( x + 1)
2
2
B) (x + x)( x - x + 1)
2
C) (x - x + 1)( x + x - 1)
2
E) (x - x - 1)( x - x + 1)
5. Factorizar: P(x) = x5 + x - 1 2
3
2
A) (x + x + 1)( x – x + 1) 2
3
D) (x + x)( x – x + 1)
2
3
2
4
B) (x – x + 1) ( x + x - 1) C) (x + 1)( x - 1) 2
3
E) (x - x - 1)( x - x + 1)
6. Factorizar: P(x) = x4 + 2x3 + 5x + 2 2
2
A) (x + 3x + 1)( x – x + 2) 2
2
D) (x - 3x - 1)( x – x - 2)
CEPRE – UNHEVAL
2
2
2
2
B) (x – x - 2) ( x + 3x - 1) C) (x + x) (x + x + 2) 2
2
E) (x + x - 2)( x + x + 1)
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Álgebra
7. En la expansión de (3x3 + x-1)n, existe un término en la cual su grado es numéricamente igual a la posición que ocupa. Indicar dicha posición si la suma de los coeficientes de todos los términos del desarrollo es igual a 234. A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
n
1 8. Calcular “n” sabiendo que en el desarrollo de x 2 + ; el coeficiente del tercer x término es la semisuma de los coeficientes del 2° y 4° término. A) 5
B) 4
C) 7
D) 9
E) 13
9. Indicar el número de factores irreductibles de: P(x;y;z) = x4y2z7 + xy2z7 + 3x2y2z7 + x3y2z7 A) 4
B) 3
C) 2
D) 5
E) 1
10.Señalar un factor primo, luego de factorizar: P(x) = x2 + (b + c + 2d)x + d2 + (b + c)d + bc A) x + b + d
B) x + 2d
C) x + d + b + c
D) x + c
E) x – 2c
11.Señalar un factor primo de: P(x) = (2x2 +x – 1) 2 – (x2 -3x – 5) 2 2 2 A) 3x + 2x – 6 B) (x – 2) C) x – 2 D) 3x - 2x – 6
E) (x + 2)
2
Al factorizar: F(x) = x4 - 5x3 + 16x + 8; el coeficiente del
12.
término no lineal de uno de sus factores primos es: A) 0
B) -1
C) -3
D) 3
E) 2
Al factorizar: F(x) = x3 (X – 4) + (2x + 7)(2x – 7); la suma de los términos lineales de sus factores primos es:
13.
A) 4x
B) -2x
C) 2x
D) 0
E) -4x
14.
Calcular el coeficiente de término del desarrollo del binomio (1 + x)20 que es el doble del coeficiente del término anterior. A) 3875
B) 38760
15.
C) 38770
D) 38700
E) 36760
El quinto término del desarrollo de (x + 2)n es 240xa.
Calcular el valor de “a”. CEPRE – UNHEVAL
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Álgebra
A) 1
B) 2
16.
C) 3
D) 4
E) 5
¿Cuántos términos fraccionarios tiene el desarrollo
de:
3 1 x + x
100
?
A) 23
B) 24
17.
C) 25
D) 26
E) 27
Calcular el coeficiente entre los términos centrales de:
(a
2
b +b
A) a b
2
a)
2 3
18. n= A)
3 8 , x= 2 9 1110 729
2001 3
3
2 2 B) b C) a D) a b calcular el término máximo
B)
1120 720
C)
1130 720
19.Factorizar: (x + 1)(x + 2)(x +3) + 1. 2 2 2 2 A) (x - 5x – 5) B) (x + 5x – 5) 2 2 D) x + 5x + 5 E) x + 5x – 5
D)
1
a a 3 E) b b -n de: (1 - x) ; cuando:
1140 729
E)
2
C) (x + 5x + 5)
1135 729
2
20.Hallar el número de factores primos y el número de divisores de: (a2 + b2 + a2b2) – (a2 + b2 - a2b2) 2 A) 6; 17
B) 5; 17
C) 5; 16
D) 5; 18
E) 6; 18
Uno de los factores de: a + b + ab2 + a2b+ a3 + b3
21. A) 1 + a + b
B) a – b - 1
22.
C) 1 + a - b
2
D) a – b - b
E) 1 – a - b
Después de factorizar: 6a2 - 10b2 – 2ac - ab + 4bc;
uno de los factores es: CEPRE – UNHEVAL
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Álgebra
A) a + 2b
B) a – 2b
23.
C) 3a - 5b + 2c
D) 3a – 5b
E) 3a – 2c
Indique un factor de: (x–1)2 – 2(x-1) – 24 A) x + 1
B) x + 2
24.
C) x + 3
D) x + 4
E) x + 5
Indique el factor numérico de: (x – y)4 – x4 – y4- 2xy3 A) 1
B) 2
25.
C) 3
D) 4
E) 5
La suma de coeficientes en el desarrollo de (a + b)7
es: A) 128
26.
C) 160
D) 240
E) 192
En el desarrollo de (x2 – x1/2y)5 el término de menor grado es: A) 1°
27.
B) 256
B) 2°
C) 3°
D) 4°
E) 5°
El mayor coeficiente en el desarrollo de (a + 2b)6 es igual a: A) 304
B) 256
28.
C) 160
D) 240
E) 192
Hallar el coeficiente del término medio del desarrollo
de (a + b)12 A) 792
B) 770
C) 132
D) 154
E) 924
CAPÍTULO V TEORÍA DE ECUACIONES Es aquel conjunto de ecuaciones que se verifican mediante el conjunto de solución único y común. Ej. x5 + 49 – 1 = 0 •
CONJUNTO SOLUCIÓN. Es el conjunto que contienen los grupos ordenados que verifican el sistema.
•
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS. Atendiendo:
CEPRE – UNHEVAL
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1. 2. 3. 4.
AL GRADO: Puede ser de primer grado, segundo, tercer, etc. A LOS COEFICIENTES: Pueden ser numéricas o literales. A LAS INCÓGNITAS:Pueden ser de una, dos, tres incógnitas, etc. A LAS SOLUCIONES: Pueden ser compatibles e incompatibles.
COMPATIBLES:Son aquellas que admiten solución pueden ser:
DETERMINADAS: En la que se puede enumerar los elementos del C.S. INDETERMINADOS: No se puede enumerar los elementos. INCOMPATIBLES Ó ABSURDAS: Son aquellas que no admiten solución.
ECUACIONES EQUIVALENTES: Son ecuaciones que tienen las mismas soluciones. Ej. 4x – 5 = 2x + 13 x + 3 = 12 1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO: Forma General ax + b = 0 Resolución ax = -b Siendo a ≠ 0 x = -b/a ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN: ax + b = 0 a) Si : a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ax + b = 0 La ecuación es compatible determinada b) Si : a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ax + 0 = 0 La ecuación es compatible c) Si : a = 0 ∧ b = 0 0x + 0 = 0 La ecuación es indeterminada d) Si : a = 0 ∧ b ≠ 0 0x ± 0 = 0 La ecuación es incompatible o absurda. PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Determinar al conjunto solución de:
x+4 x−2 1 − = x + 5 x + 3 24
a) 11
2. Sobre la ecuación: CEPRE – UNHEVAL
b) {-11, 3}
c) {13, 2}
d) {1, 2}
e) {3, 1}
3 5x 3 x − 2 = + 2 x+2 x -4 x-2 x -4 CICLO C - 2003
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Se puede afirmar que: a) Admite solución x = 2 b) Admite solución x = - 2 c) Es Indeterminado d) Es Incompatible e) Tiene una solución: diferente
1 1 1 15 + 20 1 + 4 + x − 1 ÷ + 1 − x = 4 3. Resolver: 1+ 1 5 + 1 20 4 a) {8}
b) {8/3}
1
4. Resolver : 1 +
=
1 1+
5. Resolver :
2 x3
a) {0, 1}
6. Resolver:
2 1 3 x .49 3
+
1 1 x 3 .7 3
+
1 2401 3
+
1 49 3
b) {0, -1}
c) {0, -13/2} {0,12/5}
=
d) {0,13}
e)
1 49 3
c) {1, 7}
d) {1,
7}
e) {1, -1}
121(5 x 4 + 10 x 2 + 1) = 2x 61( x 4 + 10 x 2 + 5)
a) 1
7. Resolver :
e) {8/5}
1 x b) {1,13/2}
+
d) {7}
x +1 12
a) {0,13/2} 4 x3
c) {8/7}
b) 1/2 n
c) 1/3
d) 1/4
e) -1/2
c) 4
d) 0
e) 5
n 2+x n 2+x = 2x − 2 x
a) 2
CEPRE – UNHEVAL
b) 3
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8. Resolver:
(x − a) x − a + (x − b) x − b =a−b x −a + x −b
a) 2
b) 3
9. Resolver la ecuación: a) 59/90
10.
b) 57/90c) 59/90 d) –59/60
b) 4a – 3
e) 7
c)
e) 60
4ax + 1 3x −3= +2 b b 5b - 1 4a + 3
d)
5a + 1 4a + 3
e)
5b - 1 4a - 3
x +1 − y + 3 = 0 Hallar : x/y si: 1 1 x − 8y = 0
a) 6
12.
d) 6
5x + 1 3x − 2 2x − 3 + − =0 5 3 2
Despejar x en la ecuación:
a) 5b -1
11.
c) 5
b) 7 Resolver:
a) 2
CEPRE – UNHEVAL
5+a + a = b) 3
c) 8
d) 9
e) 10
c) 4
d) 5
e) 6
11 5+a
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2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO: Una ecuación de segundo grado o cuadrática con una incógnita es de la forma:
ax2 + bx + c = 0 x = Incógnita ax2 = Término Principal bx = Término Lineal a = Coeficiente principal: si a = 1 la ecuación se denomina. Monica b = Es el coeficiente del término de primer grado C = T. Independiente ∆ = b2 – 4ac = es el discriminante x1, x2 = Son las raíces de la ecuación {x1, x2} = Es el conjunto solución TEOREMA DE LA FÓRMULA GENERAL: El conjunto de toda ecuación : ax2 + bx + c = a x=
− b ± b 2 − 4ac 2a
a ≠ 0 a≠ 0
DISCRIMINANTE (∆): En la ecuación ax2 + bx + c = 0, A ≠ 0; se llama discriminante a la expresión.
∆ = b2 – 4ac Naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática análisis del discriminante con a, b, c ∈ Q a≠ 0 FORMULA CASO DISCRIMINANTE RAICES CUADRÁTICA 1º
∆>0
2º
∆=0
3º
∆<=
−b± ∆>0 2a
2 raíces reales distintas entre si.
−b± ∆=0 2a −b± ∆<0 2a
2 raíces reales e iguales. 2 raíces complejas conjugadas entre si
PROPIEDAD DE LAS RAICES CEPRE – UNHEVAL
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TEOREMA (DE CARDANO - VIETE) En la ecuación ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 de raíces x1; x2 se cumple:
a) Suma de raíces:
x1 + x 2 = −
b a
b) Producto de Raíces:
x1 + x 2 = −
b a
c) De la identidad de Legendre. (x, + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4x1 x2 FORMAR LA ECUACIÓN CUADRÁTICA A PARTIR DE LAS RAICES X 1 X2 Sean las raíces: x = x1 y x = x2 x – x1 = 0 ; x – x2 = 0 (x – x1)(x – x2) = 0 De donde la ecuación es: x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 PROBLEMAS PROPUESTOS
13.
Si la ecuación cuadrática: (m + n - 4)x2 + (m – n + 6)x + 2 = 0 2 Es compatible, calcular el valor de m + 2n a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
14. Determinar el valor de “m” de tal manera que la ecuación: ax2 + (m+1)x +1 – m = 0; de raíces x1 ∧x2 Verifique:
1 1 3m − 17 + = x1 x 2 m−4
a) -7 b) 3,5 c) 3 d) 1,5 Para que valor de “n” las raíces de a ecuación son simétricas.
15.
x 2 + 3x n − 1 = 5x + 2 n + 1
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 4
e) 1
16. Hallar la ecuación cuadrática de raíces p y q Si: I. En 2x2 - (p-1)x + p – 3 = 0 sus raíces positivas difieren en 1. II. x2 + (9-1)x + q - 2 = 0 tiene solución única 2 2 a) x +10x – 21 b) x -16x+21 c)x2-10x-21 d) x2-5x-21 e)x2-5x+21 CEPRE – UNHEVAL
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17.
Indicar la suma y el producto de las raíces de: x2 + 8x – 12
a) –8, -12
b) –8, 12
c) 1/2, 2
d) 3, -40e) 6, 7
18.
Si los cuadrados de las dos raíces reales de la ecuación. x 2 + x + c = 0 suman 9, entonces el valor de “c” es: a) -3 b) –4 c) -3 d) 4 e) 5
19.
Determinar el valor de “m” en la ecuación: x2 + mx + x – 4 = 0 si α y β son sus raíces y se cumple que: α-2 + β-2 = 2-1 a) -2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2
20. Al resolver la ecuación polinomial mónica en “x” de primer grado y de término independiente 13.
9a + 13 2 13b + 5 14c − 19 2a − 15 − 5 x + 2b − 11 − 5 x + 1 + c = 0 Calcular : a + b + c + x a) 11 b) 24
c) 36
d) 39
e) 95
21. Si p y q son números reales para los cuales las ecuaciones cuadráticas: 8x2 - (4p+2)x +2 = 0 y (7q-2)x2 - (5q-3)x + 1 = 0 Tienen las mismas raíces. Encuentra el valor de p y q. a) 15/98
b) -15/98
c) 15/48
d) 3/98
e) -3/14
SISTEMAS DE ECUACIONES Es un conjunto formado por 2 o más ecuaciones para 2 o más incógnitas, los cuales se verifican simultáneamente para los mismos valores de las incógnitas. Ej. x2 y2 + xy = 6 ..............(I) x + y = 3 .............(II) I y II forman un sistema de ecuaciones. CONJUNTO SOLUCIÓN: Es el conjunto formado por todas las soluciones del sistema. CLASES DE SISTEMAS: DETERMINADA Ej. 3x – y = 20 COMPATIBLES : Nº Finito de soluciones x + 5y = 12 ∃ solución INDEPERMINADA 3x + y = 4 CEPRE – UNHEVAL
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Infinita soluciones
INCOMPATIBLES: Inconsistente o absurdo ∃ soluciones
3/2x + y/2 = 2
4x + 2y = 5 8x + 4y = 3
METODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA LINEAL. Método de Karl Gauss Método de Arthur Cayley (Matriz inversa) Método de Gabriel Cramer Método de Gauss (Matriz Aumentada) Teorema de Rouche – Frobenios PROBLEMAS PROPUESTOS
22.
x+y a = .........( I ) x−y b−c Resolver el Sistema: x+c b+a = .........( II ) b+y c+a
a) (a + c - b); (a + b - c) c) (a + b - c);(a + c - b) e) (a – b + c); (a + b + c)
b) (a + b - c); (a + b - c) d) (a - b - c); (a - b + c)
23. Resolver y dar valor de “Y”
x y 1 − = .......( I ) 4a 9b 6 x y 14 − = .......( II ) 6a 5b 15 a) 2a
b) 3a
c) 3b
d) 26
e) 6a
24. Resolver y dar el valor de “y”:
5 a .......( I) 2 3 x−a − y+a = a .......( II) 2 x+a − y−a =
CEPRE – UNHEVAL
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a)
8a 17
25. Resolver:
b)
17a 8
c)
8a 15
x + y + z =15 x + y + z = 16 x + z + t = 18 y + z + t = 20
a) 35
b) 21
d)
15a 8
e)
6a 7
Hallar: “z.t”
c) 24
d) 56
e) 40
d) 25,15
e) 25,30
26. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y − xy = 19.......( I) x 2 + y 2 + xy = 931.....( II) a) 25,9
b) 9,7
c) 9,20
27. Resolver el sistema: x + y + z = 19 x2 + y2 + z2 = 133 y2 = xz a) 4,6,4
CEPRE – UNHEVAL
b) -4,6,4c) 4,-6,4
d) 4,6,-4e)-4,-6,-4
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CAPÍTULO VI DESIGUALDADES E INECUACIONES DESIGUALDAD. Es una relación que establece que dos cantidades tienen diferente valor. SIGNOS. >, <, ≥ , ≤ . - Toda cantidad positiva “a”, se considera mayor que cero (a > 0) y toda cantidad negativa “b” es menor que cero (b < 0). FUNCIONES IMPORTANTES
•
a>b
si a – b > 0
•
a
si a – b < 0
INTERVALOS
-
INTERVALO ABIERTO. Conjunto de Números comprendidos entre dos que tienen la propiedad de tomar los valores, extremos.
b A
a
A -
INTERVALO CERRADO. Conjunto de Números comprendidos entre otros dos que tienen la propiedad de tomar sus valores extremos. a
b A
A -
a
a≤ x≤ b ó x ∈ [a, b]
INTERVALOS MIXTO. Son aquellos que se caracterizan por ser abierto en uno de sus extremos.
a CEPRE – UNHEVAL
A
b A
a
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PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
1. Sea a > b y “m” : un Número ó expresión algebraica a± m
> b± m
2. Sea a < b si m > 0 am
<
v
bm
a b = m m
3. Sea a < b y R ∈ N (impar): an
> bn ;
n
a
n > b
> bnv n
a
n > b
4. Sólo si a, b R+, a ∈ b ⇒ Si R ∈ N an
5.
Sean:
a>b c>d a +c>b+d
6. Sólo si a y b tienen el mismo signo:
a >b cb−d 1 1 < ⇒a >b a b
7. Si 0 < a 1 ; y am < an → m > n ó am > an → m < n a ≥ 0 ⇒ a.b ≥ 0; b ≠ 0 b
8. Si: 9. Si:
a ≤ 0 ⇒ a.b ≤ 0; b ≠ 0 b
INECUACIONES DE PRIMER GRADO Son aquellas de la forma: CEPRE – UNHEVAL
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ax + b ≥ 0 ; ax + b ≤ 0 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Resolver :
2x − 3 ≥3 x−2
a). [2,3]
c). <2, 3>
b). [2; 3>
d). <2; 3]
e). <-∞; 1]
2. Hallar el conjunto solución de enteros que satisfacen la inecuación:
2x − 15 5 2 < ( 2 − x ) > ( 8 − 5x ) 2 3 3 a). {2,3}
3. Resolver:
b). {1,2,3} 5
3
5x + 13 2
a). <-∞, 3> b). <-∞, 3.34>
c). {-2,3} 7
> 27
d). {3, 4, 5} 8x + 1 4
c). <3.34, +∞> d). <-∞, 2>
4. ¿Para que valores de “a” la ecuación:
e). {2,3, 4}
e). <-∞, 4>
2a + 5 20x + 7 +1 = tiene solución negativa 13 26
? a). <-∞, 4> b). <-∞, 29>
5. Resolver: 333
d). <-∞,∞ >
e). <-∞, 3>
d). <-∞, 1/2>
e). <-∞, 2/3>
d). <-7, 7>
e). <-∞, 8>
3x 5x + 1 ( x + 1) 222 5 2 19 < 361
a). <-∞, 4> b). <-∞, 1>
6. Resolver:
c). <-∞, 29/4>
c). <-∞, 1/4>
( )
2 x 2 x 2 x +1 > 2 2 x
a). <-∞, -7> b). <∞, -7>
CEPRE – UNHEVAL
c). <-7, ∞>
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Álgebra
7. Resolver: 164x – 3 ≤ 8 2x + 1 Evitando la suma de los valores negativos que lo satisfacen. a). 0
8. Resolver:
b). 1
c). 2
d). 3
e). 4
2x + 1 x −1 8 (0,3) ≤ (0,027) 2
a). <-∞;13>
b). <-∞; 13/10]
c). <-∞; 13/10> d). <-∞; 10>
e). 13/10
9. Si el intervalo <5, 15> es solución de la desigualdad: 15 –a < 3x – b < 15 + a Hallar a + b a). 29
b). 30
c). 31
d). 32
e). 33
INECUACIÓN CUADRÁTICA La inecuación cuadrática es una variable presenta la siguiente forma general: P(x) = ax 2 + bx + c < 0 P(x) = ax
2
a ≠0
+ bx + c > 0
a ≠0
RESOLUCIÓN GENERAL 1er CASO DISCRIMINANTE
RAÍCES
INTERVALOS
SOLUCIÓN
REALES 1° Y1 ∆ ≠r2 0
2° ∆=0 Y =r 1
2
r1
r2
r1
Si ax2 + bx + c >0 Si ax2 + bx + c < 0 Si ax2 + bx + c >0 Si ax2 + bx + c < 0 Si ax2 + bx + c >0
3°r1 , r∆ 0 2∈ C CEPRE – UNHEVAL
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Álgebra
Si ax2 + bx + c < 0
vacío
-
Para el caso de la inecuaciones ax2 + bx + c >0 ó ax2 + bx + c < 0 se tendría como situaciones abiertas como referencia.
-
Para el caso de las inecuaciones ax2 + bx + c ≤ o ≥ se tendría como soluciones INTERVALOS CERRADOS. PROBLEMAS PROPUESTOS
10. Resolver: x (3x + 2) < (x +2)2 a) <1, 2>
b) <-1, 1>
c) <-1, 2>
d) <1, 3>
e) <1, 4>
d) <2, ∞>
e) <-∞, 2>
11. Resolver la inecuación: x2 -8 x + 8 > 4 – 4x a) R - {2}
12. Resolver: a)
b) 0
c) R
x2 − x − 2 − 2 ≥x−4 2− x+4
0
b) [-4,-2] U [2,3] d) <-∞, -2] U [2, ∞>
e). R
13. Si X Є <-5; -2> además se cumple: a). –2
c) [2, 3] U [4, 6]
b). –1
14. Al resolver la inecuación:
m < x + 2 < M. Hallar: m + M c). 0
d). 1
e). 2
( x + 2) 3 ( x − 1) 9 ( x − 7) 6 ≥0 ( x + 5) 5 ( x − 2) 2
El conjunto solución se de la forma: >a, b]
U [c; d> U
Hallar: a + b + c + d + e a). –2 CEPRE – UNHEVAL
b). –1
c). 0
d). 1
e). 2 CICLO C - 2003
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Álgebra
15. Resolver 2x (x-4) + 3 < x (x - 2) – 6 a). {∅}
b). {1}
c). {3}
e). ∅
d). {-3}
16. Resolver: 3x2 – 5x + 3 ≤ 2x 2 – x + 2 e indique el complemento del conjunto a)
solución < -∞, 2 - √3]4
c) <-∞, 2 -√3 > U < 2 + √3; 2 - √3
b)
[2 -√3; 2 + √3]
d) <-∞, ∞> - {2 + √3; 2 -√3}
e)
< 2- -√3; 2 + √3 >
17. Resolver: 2x (x - 3) ≥ x (x - 4) –1. Indique el conjunto solución: a) x Є R – {1}
b) x Є R – <0, ∞>
d) x Є R
e) x Є R - <-∞, 0>
18. Resolver:
9 x2
c) x Є R – {1, -1}
≥1
a) x Є [-3, 3]
b) x Є [-2, 2] – {0}
d) x Є [-∞,-3 ] U [3, ∞>
e) x Є [-2, 2]
c) x Є [-3, 3] – {0}
19. Resolver: la siguiente inecuación exponencial 5 x −6 < 5 x 2 a) < -∞, -2 > U < 2, ∞ > d) < -∞, 3 > U < 6, ∞ >
b) < 2, 3 > e) < -3, -2 >
c) < -∞, -3 > U < 2, ∞ >
20. Resolver: (0,1)2x-1 ≤ (0,01)5x+1 a) < -∞, -3/8 >
b) < 3/8, 2 ]
c) [ 3/8, ∞ >
d) < -∞, 3/8 ]
e. ∅
21. El menor número natural por “x” que verifica la inecuación:
(x − 4)(x + 2)(x − 5) ≤ 0 es : (x + 6)(3 − x)
a). 1
22. Resolver: a).]0, ∞ >
b). 2
c).3
d). 4
x2 +1 1 ≤ x − , e indicar el conjunto solución −x x
CEPRE – UNHEVAL
b). [0, ∞ >
c). < -∞, 0 ]
d). < -∞, 0>
e). 5
e). <2,∞> CICLO C - 2003
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Álgebra 8
23. Resolver:
4x + 2 (x 2 + 25) 3 5 2x − 8 (x + 1) 2 (2x + 5) 9 b) <4,5]
a) [4,5>
24. Resolver:
x +1 2
x +2
a) <-∞, 50>
>
<0 c) <4,5>
d) [-4,5]
e) <-4,5>
c) <-∞, 20>
d) <-∞, 3>
e) R
x −1 x2 +1 b) <-∞, 9>
SISTEMA DE INECUACIONES SISTEMA DE INECUACIÓN CON UNA INCÓGNITA. Para resolver un sistema de este tipo. 1.
Se halla las soluciones de cada inecuación en forma separada.
2.
Se grafica las soluciones en la recta numérica para facilitar la solución.
SISTEMA DE INECUACIONES CON 2 O MÁS INCÓGNITAS Para resolver este tipo de sistema se trata de eliminar una incógnita restando inecuaciones de sentido contrario, produciendo de esta manera hasta obtener una inecuación con una sola incógnita. PROBLEMAS PROPUESTOS 25. Calcular Los valores enteros de x, y, z que satisfaga el Además deben ser positivos. 2x + 3y + 5z > 23 ...................... (1) 2x - y + 5z < 13 ....................... (2) y - z > 1 ....................... (3) y < 4 ....................... (4) a). 5, 3, 1 b) 5, 2, 1, c). 2, 3, 1 d). 5, 1, 3 CEPRE – UNHEVAL
siguiente sistema.
e). 5, 3, 2 CICLO C - 2003
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Álgebra
1 2 < x −1 x +1 26. Si x es mayor que 3. Resolver: 1 2 > x −3 x +2 a). [3, 5[
b). < 3; 5 >
c). [3, 5 ]
d). [3, 4 >
e). < -3, 4 >
27. Resolver en enteros el sistema: 3x + 2y < 20 ...................... (1) 2x - y >2 ....................... (2) 3x - y > 3 ...................... (3) proporciona el valor de (5x – 3y) a). 0 b) 1 c). 2
d). 3
e). 4
28. Resolver el sistema con x e y enteros: 3x + y > -4 .................. (1) x - 2y < -7................... (2) 2x + 3y < 6 ................. (3) Hallar: “xy” a). -5 b) 6 c). -6
d). 4
e). 5
29. Resolver el sistema
x + 1 2x 2 + 3 x − + 3...........(I) 2 10 2 0,5(x − 3) 2x + 3,5 1− x − ................(II) 2 3 x2 −1 +
a). <3, + ∞>
b) <-∞, 5>
c). <-3, + ∞>
30. Hallar el valor de “a” para el cuál el sistema x2 – 4x + 3 < 0 ...................... (1) x2 – 2x + 4 ≤ 6- x................. (2) 2 ≥ a ................. (3) a). 2 b) 3 c). 4
d). 5
d). <5, ∞>
e).<-3, 5>
e). 6
31. Resolver el sistema en Z y hallar “x” 3y – 2 > 2x + 3 ...................... (1) x + y > 5................................. (2) x - 2y < 11 ........................... (3) CEPRE – UNHEVAL
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Álgebra
a). 2
b) 4
c). 6
d). 3
e). 5
32. Calcular el valor de (a-b) si se cumple.
11 4+ x 3 ≤ ≤ ; ∀x ∈ [ − 1,7] a 8 x − 18 b a) 54
b) 64
c) 74
d) 84
e) 94
33. Resolver:
1 1 + >2 x −1 x − 2 a)
< −2,
c)
< 2,
5 5 > ∪ <1, > 2 2
b)
< −2,
5 − 5 > ∪ < −1, > 2 2
d)
< − 2,
− 5 5 > ∪ <1, > 2 2
− 5 > 2
< 1,
e)
5 > 2
34. Hallar el menor número “m” con la propiedad: 7 + 12 x − 2 x 2 ≤ m∀x ∈ R a) 20
b) 15
35. Resolver:
1 x
2
− 20 − 4
c) 25
d) 10
e) 30
+ x 2 − 2 x − 4 > 2 e indicar el complemento del conjunto
solución a) b) c) d) e)
[1 − [1 + [1 + 1,
[1 −
] { 5 ] ∪{1, 5]
5;1 + 5 ∪1,
6,1;1 − 6
5;1 +
6,1;1 + 6
5;1 +
5;1 + 5
] {
5;1 + 5 ∪1,
CEPRE – UNHEVAL
6,1;
} }
}
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CAPITULO VII FUNCIONES PARES ORDENADOS.- Llamamos par ordenado a la expresión (x,y), donde “x” es llamada primera componente e “y” es llamada la segunda componente. son pares ordenados: (1,2); (-3,6); etc. Teorema: Los pares ordenados (x,y) y (m,n) diremos que son iguales si su correspondientes componentes son iguales. Es decir (x,y) = (m,n) <==> x = m ∧y = n PRODUCTO CARTESIANO.- Se define producto cartesiano AxB de dos conjuntos no vacíos A,B; como el conjunto de pares ordenados (x,y) donde x∈A é y∈B. Es decir: AxB = {(x,y)/x∈A ∧y∈B OBSERVACIÓN:
El producto cartesiano no es conmutativo es decir AxB≠ BxA a menos que A = B Cuando los conjuntos A y B son finitos n(AxB) = n(A).n(B). PLANO CARTESIANO: Es un sistema de coordenadas rectangulares que son rectas perpendiculares y dividen al plano en 4 cuadrantes: I, II, III, IV, que se denominan ejes. Al eje horizontal o eje de las “x” se llama eje de las abscisas y al eje vertical o eje de las “y” se llama eje de las ordenadas. En el sistema de las coordenadas rectangulares, cada par ordenado de la forma (a,b) se puede asociar en forma única con un punto P del plano. y I II b P = (a,b) a III
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x
IV
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FUNCION: Una función es un conjunto de pares ordenados, tal que dos pares distintos nunca tienen el mismo primer elemento. Si f es una relación entre dos conjuntos A y B, diremos que f es una función, si verifica lo siguiente:
f⊂ AxB (x,y) f ∧(x,z) ∈f y = z La función se denota: f = {(x,y) ∈AxB/y = f(x)} Donde la ecuación y = f(x) es la regla de la correspondencia. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN: a) DOMINIO: De la función f, es el conjunto de todos sus primeros componentes al cual se denota como Df. Es decir: Df = {x∈A/∃ y ∈B ∧y = f(x)} ⊆ A
b) RANGO: De la función f, es el conjunto de las imágenes de todos los elementos A, al cual denotaremos por Rf. Es decir: Rf = {y∈B/∃ x∈A} ⊆ B F A Df
B 1 3 5 7
2 4 6 8
Conjunto de partida
Conjunto de llegada
Rf
Sea f ={1,2); (3,4); (5,6); (7,8)} su dominio y rango es Df ={1,3,5,7}; Rf = {2,4,6,8} FUNCIONES ESPECIALES: a) FUNCIÓN CONSTANTE: Definido por: f = {(x,y) ∈ RxR/y = f(x) =c,c constante}
b) FUNCIÓN IDENTIDAD: Se define: f = {(x,y) ∈ R x R/y = f(x) = x} CEPRE – UNHEVAL
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c) FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO: Se define por: f ={(x, y) ∈R x R / y = x } Donde
x = x, si x > 0 x = −x, si x < 0
d) FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA: Se define: f = {(x,y) ∈ R x R/y =
x}
e) FUNCIÓN LINEAL Se define: f = {(x,y) ∈ R x R/y = m x+b} Donde “m” y “b” son constantes y m≠ o. Su Gráfica es una recta, cuya pendiente es m, y su coordenada en origen es b.
f) FUNCIÓN CUADRÁTICA: Definido por: f = {(x,y) ∈ R x R/y =ax2+bx+c; a,b,c∈R; a ≠ 0} La Gráfica de una función cuadrática es una parábola con eje perpendicular al eje x. Si a > 0 la Gráfica se abre hacia arriba Si a < 0 la Gráfica se abre hacia abajo.
y 4ac-b2 4a
v x -b/2a
g) FUNCIÓN POLINOMIAL: Su regla de correspondencia es de la forma: f (x)= an xn + a n-1 xn-1+... + a1 x + a0; x ∈ R CEPRE – UNHEVAL
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Donde: a0; a1; a2;.....; an-1; an son números reales: an≠ o así: f(x)=5x5+7x4+2x+3.
1.
PROBLEMAS PROPUESTOS Hallar m.n, si:(m+n,-1) =(8,m-2n) A) 13 B) 15 C)-1 D) -2
2. Dados: A = {x∈Z/-19
E) 14
B = {x∈Z/10
B) 300
C) 400
D) 800
3. Hallar a y b para que el conjunto de pares ordenados: A = {(2; 5), (-1;-3), (2; 2a-b), (-1; b-a), (a + b2; a)} sea una función A) 2,3 B) 2,-1 C) -1,2 D) 3,2
E) 1000
E) 1,2
4. Sea la relación: R = { (3; y+5), (6; x-3), (x; 1+3y), (6; 6-2y)} Determinar el valor de: S = x2 + y2. Si R es una función: A) 4 B) 12 C) 9 D) 13
5. Si la relación: R = 2 ;
2n + 1 n − 2 , 2 ; , 3 4
(
Es una función. Determinar su rango. A) {4; 4} B) {-4} C) {-4;-1}
E) 16
)
6 ;2n D) {4;0}
E) {-4;2}
6. Se da la relación: F = { (5 + n; n2 -12), (9, 6 + m), (5 + n; n(n-3)) } Hallar el valor de R = (1-m.n)1/2 Si “F” es una función. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5
7. Hallar el rango de la función f si: f ( x ) = A) <0,1>
B) <0,∝>
x
E) 9
2
2
x +1
C) <-∝,0]
8. La pendiente de la forma explícita de la función: 9x2 - 30xy+ 25y2 + 30x - 50y + 25 = 0, es: A) -1 B) 2 C) 1/4
D) [2,∝>
E) <-∝,2]
D) 1/5
E) 3/5
9. Si f es una función lineal de pendiente “a” e intercepto “b”, tal que: f(a2 - 2 b) = f (b + 12 - 2a2) CEPRE – UNHEVAL
y
f(2a + b - 2) =f(a + b + 1). Hallar la función g; CICLO C - 2003
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si:
g (x +12) − x = f a + b + f a − b 8
6
A) x B) x+5 C) 2x+4 D) -x-1 E) x2 10. Al efectuar f(x)=(x + 1)3 - (x - 1)3; f(x) es: A) x3+1 B) 2(3x2-1) C) x3-1 D) 3x2+1 E) 2(3x2+1)
x 2 − x − 12; si x ∈ [ − 4;6] 11. Hallar el rango de la función g; donde: g = x − 2 ; si x ∈ 6, ∞ x +1 A) [-49/4,18]
B) [7,∝>
C) [-4,∝>
D) [0,18]
E) [-3/4,20]
12. Dadas las funciones de variable real: f(x) = -x2 + 3x + 1 g(x) = 3x2 + 2x + 1 Hallar el Rf ∩ Rg A) [-1,1]
B) <2/3 ,1]
C) <2/3, 13/4]
D) [2/3,13/4]
E) [2/3, 13/4]
13. Dada la relación: R ={(x,y) ∈ Z2 /y = x2 - 2x +1; si y ∈[-1,3> el numero de elementos de : P [D(R)] es: A) 8 B) 16
C) 32
D) 4
E) 2
14. De la siguiente relación: R ={(x,y) ∈R2 /xy2- 2y – x = 0}. El D (R) ∩ [R (R)]’ es: A) <-1,1>
B) [-1,1]
C) {-1,1}D) {-1}
E) {1}
1− x2 f(x) = 15. Sea f una función definida en los reales por: Entonces el Df es: x 2 − 2
{
A) R − 〈− 2 ,−1〉 ∪ 〈1, 2〉 D) R − { [ − 2, −1] ∪ [1,2 ]}
}
{[
] [
B) R − − 2 ,−1 ∪ 1, 2
]}
C) R − { 〈−2, −1〉 ∪ 〈1,2〉}
E) R − { [ − 2,1] ∪ [ − 1,2]}
16. Sea f: R ==>R; F(x)=3x2-5x-2. Determinar el menor valor entero del rango de f(x) A) -3
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
17. Sea la función de variable real, definido por la ecuación 3f(x) + 4x = 12 Dom(f) ∩ Ran (f) = ? CEPRE – UNHEVAL
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A) 3
C) Z-
B) R
D) Z+
E) R-Z-
18. Calcular “a + b + c” para que el conjunto de pares ordenados sea una función: g = {(2;4), (5;a + b), (3;6), (2;c + b), (5;3); (3;2a - c} A) 11 B) 10 C) 9
D) 8
E) 5
19. Dado los siguientes pares ordenados de la función: F = {(2,2);(4,3); (2, |a + 1|);(4, |b -1| ); (5,√a);(6,√2-b)}. Calcular Df U Rf A) {2} B) {2,3} C) {2,4,6} D) {2,3,4} E) ∅
20. Sea f(x)=x2-1, una función cuyo dominio es: Dom f(x)=[-4;-2] U [-1;1] Determinar su rango: A) [-1;0] U [3;15]
B) [1,2] U [2,14] C) [1,2]
D) <2,4> U [5,6] E) <-∞,1>
21. Calcular el rango de: f(x) = x − 9 + 3 A) [3, ∞> E) [1,5]
B) [2;∞ 〉
C) [1;∞ 〉
1
−1 1/2 22. Hallar el dominio de: g ( x ) = ( x − 2) + x +
A) [0; 2> U <2,5>
B) [0,2]
D) [0;∞ 〉
5−x
C) [1,5]
D) [2,4]
E) <-∞;1]
C) <0,2]
D) <-∞,1>
E) <0,1/2]
23. Hallar el rango de: f (x) = 1 − 1 − x A) [0,1]
B) <0,1>
24. Determinar el dominio de la función: f (x) = 3 A) R-{-,1-2,-3}
B) R-{-1,2,3}
25. Si el dominio de: f (x) = A) 12
26. Sea la función: f (x) CEPRE – UNHEVAL
6 + x 2 − 5x 7x − 12 − x 2
B) 15
x +1 3
x − 5x 2 − 4x + 20
C) R-{-1,-2,5}
D) R-{-2,2,5}
E) R
es [ a, b〉 − { c} ] Calcular a + b + c. C) 5
D) 9
E) 8
2x + 7 = Six ∈ 〈−∞ ;−3〉 ∪ 〈−3,1〉 . Hallar su rango: −x −3 CICLO C - 2003
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A) <-∞;-9/4>U<-2;+∞> D) <-∞:-2>U<7;+∞>
B) <-2.9/4>U<2;+∞> E) <9/4,+∞>
27. Hallar el dominio de la función: f (x) = A) [1;3> U <3;4] D) [1,4]
C) <-∞;-2>U<9/4;+∞>
x −1 + 4 − x 2x − 6
B) <1,3> U <3,5>] E) [4,6]
C) <-∞,3>
28. Dada la función: f (x) = x + 3 − x + 6 . Hallar f(5) - f(-5) A) -4
B) 4
C) -6
D) 6
E) 0
29. Sea ƒ la función tal que: f(x+1) = 3x + f(x). Además: f(5) = 6. Hallar f(3). A) 12
B) -10
C) 6
D) -12
E) -15
30. Determinar el rango de la siguiente función: f(x) = x +x C) [0, ∞>
B) Z+
A) R
D) <-∞,0>
E) <-∝,0]
31. Indicar el valor mínimo de la función: ƒ(x) = 2(2x2 - 6x + 7) A) 3/2
B) 0
C) -6
D) 5
E) 25
32. Si una función cuadrática es tal que: ƒ(0) = 2; ƒ(1) = 6; ƒ(2) = 16 Determine; ƒ(3) + ƒ(4) A) 60 B) 86
C) 28
D) 68
E) 52
33. Cuál es el máximo valor que puede tomar la función: ƒ(x) = 24x-7-9x2 A) 9
B) 3
C) 12
34. Sea la función ƒ definida por: f (x)
CEPRE – UNHEVAL
D) 10
E) 18
x 2 − 9 − 2; Si − 5 < x ≤ 3 = x + 2 − 3; Si 0 < x ≤ 5 3x − 16 ; Si x > 6 x − 5 CICLO C - 2003
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Hallar el Rango de ƒ(x) A) R B) <-∞,4]
C) <2, ∞>
D) [8, ∞>
E) [0, ∞>
D) [-2; ∞>
E) [1; ∞>
35. Si ƒ(x) = x+2 - x-1. Hallar su Dominio. A) <3; ∞>
C) [0; ∞>
B) [-3;3]
8 − x + 8x + 7 ; Si x ≤ −9 2
36. Dada la función: f (x) =
x 2 + 2x − 6; Si x > 2
A) [0, ∞>
B) [-2, ∞]
C) [-2,4]
. Hallar su Rango. D) [4, ∞>
E) [2, ∞>
37. Si g(x) = ax2 + b. Además g = {(1,5), (-2,11), ... ∞ pares ordenados} Determinar: g(7) + g(3) + g(g(0)) A) 141
B) 140
38. Si ƒ(x) = 2x + 1, g(ƒ (x)). A) 2x
B) 2x-1
A) 3ƒ(x)
A) 2
D) 144
E) 143
ƒ(6(x)) = 2x-1. Hallar la regla de correspondencia de:
39. Hallar ƒ(2x+1). Si: f (x) =
40. Si f (x)
C) 139
C) x+2
D) x-1
E) 2x+1
D) ƒ2(x)
E) 2+(x)
3(6 x +1 ) + 8(2 3x ) 9(3 x ) + 4(2 2x )
B) 2ƒ(x)
C) ƒ3(x)
3 x 2 − 1; Si x ≤ −3 x − 1; Si x ∈ − 2,0 = 2x − 1 . Calcular: ƒ(-3)+ƒ(-1)+ƒ(2)+ƒ(4) ; Si x ∈ 0,2 x −1 x 2 + 9 ; Si x ∈ 2, ∞ B) 0
CEPRE – UNHEVAL
C) 10
D) -3
E) 8
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CAPITULO VIII
ARITMÉTICA TEORÍA DE CONJUNTOS IDEA DE CONJUNTO: El término conjunto constituye al igual que el punto, la recta y el plano en la geometría plana, uno de los términos no definidos exactamente en las matemáticas, sin embargo podemos aceptar. Que conjunto es la reunión, colección o agrupación de entes materiales e inmateriales, los integrantes que forman parte de un conjunto reciben el nombre de elementos del conjunto. CARACTERÍSTICAS DE UN CONJUNTO: Un conjunto esta bien definido cuando no se presenta ambigüedad en relación a los elementos que la componen. Cada elemento debe ser perfectamente identificable de los demás para no tenerlos en cuenta mas de una vez. El orden en que se presenten los elementos del conjunto carece de importancia. NOTACIÓN: Usualmente para simbolizar los conjuntos se emplean letras mayúsculas: A,B,C,.....Z, y para los elemento del conjunto se simboliza con letras minúsculas: a,b,c,....z, entre signos de colección. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTOa) POR COMPRENSIÓN: Diremos que un conjunto "A" esta determinado por comprensión si se da una propiedad "r" que caracterice a sus elementos, en el sentido siguiente: Todo elemento de "A" cumple la propiedad "r", y todo elemento que cumple la propiedad "r" es elemento de "A". Ejemplo: R = {x/x es un número real} El conjunto de todo los números reales esta aquí definido por comprensión, pues se ha dado una propiedad que caracteriza a sus elementos a saber. "la propiedad de ser número Real". Se lee "R es el conjunto de los x tal que x es un número Real". CEPRE – UNHEVAL
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b) POR EXTENSIÓN: Diremos que un conjunto "A" esta definido por extensión , si se nombran explícitamente todos ( y cada uno) los elementos de A. Ejemplo: Conjunto de divisores de 20. A = {1, 2, 4, 5, 10, 20} PERTENENCIA:(Elemento de un conjunto) Diremos que x pertenece a "A" si, y solo si x cumple la propiedad "r", en todo los casos, la locución "x pertenece a “A". Es sinónimo de "x es elemento de A". Para indicar que x es elemento de A, ó que “x pertenece a A” se escribe: x∈A, se lee "x pertenece a A" Para indicar que x no pertenece a A se escribe x ∉ A ACLARACIÓN: La relación de pertenencia se simboliza con la letra Griega E (épsilon) y vincula cada elemento con el conjunto, mas no entre elementos, ni entre conjuntos. RELACIÓN ENTRE CONJUNTO. a) INCLUSIÓN Y SUBCONJUNTOS.- Se dice que el conjunto A es subconjunto del conjunto B, o que A es parte de B, o que A esta incluido en B, si todo elemento de A es también elemento de B se denota por: A ⊂ B <==> (x ∈ A ==> x ∈ B). b) IGUALDAD DE CONJUNTO.- Se dice que el conjunto A es igual al conjunto B si se verifica: A ⊂ B y B ⊂ A ==> A = B c) CONJUNTOS EQUIVALENTES.- Los conjuntos no vacíos A y B, se dice que son equivalentes o coordinables. Si existe una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre todos sus elementos, es decir que pueden formarse parejas de tal manera que cada pareja esta formada por un elemento de cada conjunto empleado todo los elementos de ambos conjuntos una sola vez. Si A y B son equivalentes => se denota por A ≡ B d) CONJUNTO POTENCIA.- Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia o conjunto de partes de A, al conjunto de todos los conjuntos del conjunto A. Se denota por : P(A) , P(A) = {x/x ⊂ A} El número de elementos de P(A) es igual a 2n, donde n es el número de elementos del conjunto A. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS. CEPRE – UNHEVAL
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a) UNIÓN (U): Unión o reunión de A y B es el conjunto de elementos x que b)
pertenecen a A ó a B ó a ambos, se simboliza por (A u B) y se lee "A Unión B" A U B = { x/x ∈ A x ∨x ∈ B} INTERSECCIÓN (∩ ).- Intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos "x" que pertenece a A y a B. Esta formado por elementos comunes a los conjuntos que forman la intersección se simboliza por (A ∩ B) y se lee "A intersección B". A ∩ B = {x/x∈A ∧x ∈ B}
c) DIFERENCIA.- La diferencia entre los conjuntos A y B es el conjunto de elementos x que pertenece a A pero no a B, se simboliza por A - B; A - B = {x/x ∈A ∧x ∉ B}
d) COMPLEMENTO.- El complemento de un conjunto cualquiera B respecto a U (Universal), es el conjunto de elementos x ∈"U" que no pertenece a B , se simboliza por: CB ó B' = {x/x ∈U ∧ x ∉ B}
e) DIFERENCIA SIMÉTRICA.- De los conjuntos AyB es el conjunto de elementos de A y B, excepto los que pertenecen a la intersección, esto es, que pertenece a A ó a B, pero no a ambos. A ∆ B = {x/(x∈A∧x ∉B) ∨(x ∈ B ∧x ∉A)} A ∆ B = (AUB)-(A∩B)=(A-B)U(B-A) NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO. Sea A un conjunto cualquiera, el número de elemento de un conjunto se denota por n(A): Si A y B son conjuntos cualesquiera: n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
Si A, B, C ≠∅ => n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C) PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario: C = {m + n; m + 2n - 2; 10}. Calcular: m2- n2 CEPRE – UNHEVAL
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a) 56
b) 60
c) 64
d) 68
e) 72
2. Por comprensión el conjunto B = {2, 3, 6, 11, 18,...} es: a) {n∈N/n2 +2n+3} d) {n∈N/n2-2n+4}
b) {n∈N/n2-2n+3} e) {n∈N/n2-2n-4}
c) {n∈NN/n2+2n+4}
3. ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son vacíos? A = {x∈U/x≠ U} B = {x∈Z/12x3 + 14x2-3x-1= 0} 2 D = {x∈Q/x -x =2} a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? a) (A ∩ B' ) U A = A b) [(A')']' =U - A
C = {n∈Z/x3=3} e) 5
c) ( A' UB' )∩ A = B
d) (A - B) – C = A-(BUC) e) (A' U B)- C =(AUC)'U(B-C) 5. Dado los conjuntos A; B; C, donde: A = {polígono regular} B = {cuadrilátero} C = {triangulo equilátero} ¿Cuál de las regiones enumeradas en el diagrama son vacíos? B A 2
1 4
5
3 6
7
a) 1,2,3
b) 3,4,5
C c) 4,5,6
d) 5,6,7
e) 2,4,6
6. Si A es un conjunto de 8n elementos, B tiene 5n elementos y se sabe que los dos tienen 2n-1 elementos en común. Hallar: [(A∩B)∩(A-B)]+[(AUB)∩(A-B)] a) 5n-1 b) 5n+1 c) 6n-1 d) 6n+1 e) 7n+1
7. De 150 alumnos,104 no les gusta matemática,109 no le gusta lenguaje y 70 no le gusta ninguna de estos cursos ¿A cuantos les gusta ambos cursos? a) 9 b) 10 c) 8 d) 6 e) 7 CEPRE – UNHEVAL
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8. Un grupo de 68 personas de los cuales 25 hablan castellano,48 hablan inglés y 30 hablan francés y solo 6 de ellos hablan los tres idiomas ¿Cuántos hablan exactamente dos idiomas? a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 9. Dados los conjuntos: A = {x∈N/x<4∧x es número par} B = {x∈Z/x<3 ∨x>7} C = {x∈N/x≥ 2∧4x≤ 8} Determine por extensión: (AUC)∩B a) {6} b) {0;2;4}
c) {0;2;6}
d) {4}
e) {2;8}
10. De las siguientes notaciones I {2, 5, 3} = {3,5,2} II {x∈R/x2+1=0} III {x∈N/2
c) I y II
d) IV
e)II y IV
11. El conjunto solución del conjunto: A = {x / 64x3+ 24x2 - 6x – 1 = 0} es: a) {-1/8,1/2,-1/4}
b) {-1/2,1, 1/4}
12. De las siguientes proposiones: I) Si A⊂B y B⊂A A=B II) AU∅=A III) Si A⊂B ==>A∩B=A IV) A⊂B A-B≠∅ Son falsas: a) I b)II
c) {-4,-2,1/2}
d) {2,1,-2} e){-1/8,1/2,-1/4}
c)II y IV
d) II y III
e) IV
13. Si A =<-7;-1> U <0,6] a) [8,∞>
B =<-∞,1] U [4,8>. Hallar (AUB)' b) <-∞, 0] c) <-2,8> d) [2;4]
e) <0,∞>
14. Sean A y B dos conjuntos, tales que n (AUB)= 24 y n (A- B)=10, n(B-A) = 6. Hallar 5 [n(A)] - 4[n(B)] a) 18 CEPRE – UNHEVAL
b) 30
c)34
d)10
e)26 CICLO C - 2003
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15. Sean los conjuntos A y B tal que: n(AUB) =11, n(A∩B') = 3, ¿Cuántos elementos tiene? [(A ∆ B) ∩ (A ∩ B')'] a)6 b)7 c)3
n(A∩B) = 2.
d)9
e)5
16. Sea A y B Conjuntos tales que B≠∅ , AUB es un conjunto unitario AUB={a+4b; b+1-3a} y A={a2+2b; b2+1}. Hallar A∩B a) {10} b) {2} c) {3}
d) {8}
e) {12}
d) {∅}
e) U
17. Si A = {∅}, B = P(A), C = B-A, D = P(C). Hallar B∩D. b) ∅
a){{∅}}
c) {∅,{∅}}
18. Dados los conjuntos A, B y C Tales que: (AUB)={1,2,3,4,5,7} (AUC)={3,4,5,6,7} y B ∩ C = ∅ Determinar: n(A) a) 3 e) 8
b) 4
c) 5
d) 7
19. A un grupo de Alumnos de un C.E se les tomó exámenes de matemáticas, química obteniéndose al siguiente resultado:20 aprobaron matemáticas, 28 aprobaron química, 8 aprobaron los 2 cursos, 10 no aprobó ninguno. ¿Cuántos solo aprobaron matemáticas? a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
20. En un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso de álgebra, 53 no llevan el curso de Psicología. Si 27 alumnos no siguen álgebra ni Psicología. ¿Cuántos exactamente los dos cursos? a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28
21. Si U = {x/x ∈ Z∧0 ≤ x < 10}, (AUB)' = {0,6,9}, A∩B = {1,2,7} A - B ={3,5}. ¿Cuál es la suma de los elementos de B-A ? a) 13 b) 4
c)12
d)10
e)5
22. Indica cuántos elementos tiene el conjunto potencia de: A = {x,{x,y}} a) 4
b) 8
c) 16
d) 32
e) 64
23. Si "n" Significa el # de elementos siendo AyB dos conjuntos, tales que: n(AUB) = 30 n(A-B)=12 y n(B-A)=8.Hallar 5[n(A)]- 4[n(B)] CEPRE – UNHEVAL
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a)38
b)60
c)48
d)70
e)100
24. Marque la afirmación falsa: a. A ∩ A' = 0 b. A U A' = U c. A - B = A ∩ B' d. (A ∩ B) - C = (A - C) ∩ (B - C) e. A - B ≠ B - A 25. De un grupo de 100 soldados que intervienen en una batalla, 30 quedaron ilesos, 40 heridos en los brazos y 40 heridos en las piernas. Hallar el número de personas heridas en los brazos y piernas. a) 30 b) 20 c) 10 d) 15 e) 18 26. Del total de damas de una oficina, los 2/3 son morenas, 1/3 tienen los ojos azules y 1/6 son morenas con ojos azules. ¿Qué fracción no son morenas ni tienen los ojos azules?. a) 3/10 b) 1/10 c) 1/30 d) 7/10 e) 1/5
27. De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso de Aritmética, 53 no llevan Algebra y 27 no llevan Algebra ni Aritmética. ¿Cuántos alumnos llevan uno de los cursos? a) 25 b) 27 c) 43 d) 48 e) 52
28. De 80 personas se conoce que: 25 mujeres tienen 18 años, 36 mujeres no tienen 19 años, 30 mujeres no tienen 18 años, 15 hombres no tienen ni 18 ni 19 años. ¿Cuántos hombres tienen 18 o 19 años? a) 15 b) 10 c) 11 d) 19 e) 55
29. Se han dado tres conjuntos A,B y C; que tienen respectivamente n, 3n y (n-1) elementos. A y B tienen (n/2) elementos comunes, A y C tienen (n/4), B y C tienen 2. Sabiendo además que hay un único elemento común a los tres conjuntos. Averiguar cuántos elementos tiene [(AUB) - (A ∩ B)] - C. a) 3/4 b) n/4 c) 11n/4 d) 5n/2 e) 11/4 30. Marque la afirmación falsa: CEPRE – UNHEVAL
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a) Si A ∩ B = ∅ A y B son disjuntos c) (A ∩ B)' = A' U B'
b) A ⊂ B A - B = ∅ d) ∅ - A ≠ ∅
e) A ⊂ B B' ⊂ A' 31. Dado el conjunto: A = {x/(x + 8)2 = 9} B = {x/(x2+16)2 = 172} C = {x/x3 - 2x2 - x = -2} D = {x/x4 - 2x3 - 3x2 + 4x = -4} Hallar (A ∩ B) ∩ (C ∩ D) a) {2;4} b) {-1;2}
c) {-1; 1;2}
d) {1}
e) {2;1}
32. Rocío del Pilar estudió Inglés o Francés durante el mes de Noviembre. Si estudia Inglés durante 25 días, Francés durante 18 días ¿Cuántos días estudió ambos cursos en el mes de Noviembre?. a) 15 b) 13 c) 12 d) 5 e) 30
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CAPITULO IX TEORÍA DE NUMERACIÓN NUMERACIÓN: Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números. 1.1 NOCIONES PRELIMINARES A) Número. Es un ente matemático carente de definición que nos da la idea de cantidad, el cuál nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza. B) Numeral. Es la representación simbólica o figurativa del número. C) Cifra (Digito). Son los símbolos que convencionalmente se utilizan para representar a los numerales. D) Orden. Toda cifra que forma parte de un numeral ocupa un orden determinado el cuál se considera de derecha a izquierda. El lugar que ocupa una cifra se indica de izquierda a derecha. Lugar 123456 Numeral: 485173 654321
Orden
1.2. SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN. Es un conjunto de principios, normas, convenios y leyes que nos permiten la correcta formación, lectura y escritura de los números. 1.3. BASE DE UN SISTEMA. Es un numeral referencial que indica como deben agruparse las cantidades para formar las órdenes de un numeral en cierto sistema de numeración. Ejemplo: Representar el número 17 en las bases: 10; 5 y 3 * * * * * * * * *
* * * * * *
122 (3)
**
* * * * * * * * * * * * * * *
* *
* * * * * * * * * * * * * * *
* *
32 (5)
17
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De las representaciones observamos: 17 = 32 (5) = 122 (3)
1.4. CONCLUSIONES. A) A mayor numeral aparente le corresponde menor base y a menor numerale aparente le corresponde mayor base. -
+
UNHEVAL n = CEPRE k
-
como:
+ UNHEVAL > CEPRE
n 1; Además a; b; c; d < n PRINCIPALES SISTEMA DE NUMERACIÓN BASE 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
NOMBRE DEL SISTEMA BINARIO TERCIARIO CUATERNARIO QUINARIO SENARIO HEPTANARIO OCTANARIO NONARIO DECIMAL UNDECIMAL DUODECIMAL
CIFRAS DISPONIBLES 0;1 0;1;2 0;1;2;3 0;1;2;3;4 0;1;2;3;4;5 0;1;2;3;4;5;6 0;1;2;3;4;5;6;7 0;1;2;3;4;5;6;7;8 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 0;1;2;3;4;5;6;7;8;α 0;1;2;3;4;5;6;7;8;α;β
C) En base “n” se puede utilizar “n” cifras diferentes, las cuales son: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; … ; (n - 1) Cifra no Cifras Significativas Significativa Máxima cifra Mínima cifra CEPRE – UNHEVAL
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d) Por convención, cuando la cifra es mayor que “9” se utiliza letra para su representación. α < > (10) Alfa β < > (11) Beta Gamma γ < > (12) δ < > (13) Delta Epsilon ε < > (14)
Así: 5(12)4(11)(10)7(15) =
5γ 4βα 7 (15)
Del Valor de las Cifras Toda cifra que forma parte de un numeral tiene 2 valores.
1. Valor absoluto (V.A). Es el valor que tiene una cifra por su apariencia o figura.
2. Valor Relativo (V.R). Es el valor que tiene una cifra de acuerdo al orden que ocupa dentro de un numeral. V.A (4) = 4 V.A (7) = 7 V.A (6) = 6 V.A (8) = 8 4 7 6 8 V.R (8) = 8 .100 = 8 V.R (6) = 6 .101 = 60 V.R (7) = 7 .10 2 = 700 V.R (4) = 4 .103 =4000
REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NUMERAL Cuando no se conocen las cifras de un numeral, estas se representan mediante letras teniendo en cuenta que: • Toda expresión entre paréntesis representa una cifra • La primera cifra de un numeral debe ser diferente de cero. • Letras diferentes no necesariamente indican cifras diferentes, salvo que lo señalen. CEPRE – UNHEVAL
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•
Para diferenciar de ser una multiplicación de factores, se coloca un raya horizontal arriba de las letras. abc = abc
Multiplicación De 3 factores
Numeral de 3 cifras
NUMERAL CAPICÚA. Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes son iguales, es decir tiene representación simétrica de sus cifras. *
aa ; aba ; abcba ; abcdedcba
, etc.
PALABRAS POLINDROMAS. Son aquellas palabras que representan al numeral capicúa. *
OSO
;
SOM OS
ANA ;
;
S A LA S
;
R EC O N O C E R
S ER ES
;
RA DA R ; AMOLAPALOMA ; ANITALAVALATINA
; etc
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NUMERAL * 8534 = 8.103 + 5.10 2 + 3.10 + 4 * 5008 = 5.103 + 8 * abc = a.10 2 + b.10 + c * abcdef (n ) = a.n 5 + b.n 4 + c.n 3 + d.n 2 + e.n + f DESCOMPOSICIÓN EN BLOQUES * * *
abab = ab.10 2 + ab = 101ab
*
xyaxy 6 = xy 6.6 3 + a 6.6 2 + xy6
ab cab c = ab c.10 3 + ab.10 + c
abab n = ab n .n 2 + ab n
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. Existen infinitos sistemas de numeración II.En base “k” la mayor cifra es (k - 1) CEPRE – UNHEVAL
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III.
Si N = abc4 m entonces la solución de la ecuación 2m + 2 = 10, puede ser base del número dado. IV. Si mcdu k tiene todas sus cifras diferentes, el valor de k puede ser 4. A) VFFV B) VVFV C) VFVV D) FFFF E) VVVV 2. Un número capicúa de tres cifras de base 10 es un número de 4 cifras iguales en base 6. Hallar la suma de las cifras del 1er número. A) 20 B) 15 C) 21 D) 18 E) 12 3. Si los siguientes numerales están correctamente escritos: 1a 0 b ; 2c3d ; (2a − 3)0b (c) y (2d )04 (12) Calcule la suma de las cifras al expresar abcd en el sistema nonario. A) 10 B) 14 C) 12 D) 16
4. Si:
E) 17
136 m + 33n p + 13m n = 44p
Calcule m + n + p A) 15
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
C) 25
D) 27
E) 19
C) 20
D) 21
E) 19
C) 6
D) 7
E) 8
B) 4
C) 6
D) 5
E) 3
B) 5
C) 4
D) 6
E) 10
5. Calcular “a + b + c + n” si: aa8b n = ccn m = (c − 1)3n (11)
A) 17
6. Si
B) 22 1a1a (b ) = 208
A) 23
7. Si
. Halar b 2 − b + a . B) 22
(n − 2)( n 2 )(n + 5) = abc8 = mppqq a
Calcule: n + m + p + q A) 14 B) 15
8. Si :
aba (c) = m1c (9)
, calcular “b”.
Si m > 5 A) 2
9. Si
aba 5 = (b / 2)(b / 2)a
Calcule a + b A) 8
10. Hallar a + b + c Si: CEPRE – UNHEVAL
abcd 7 = 37(d + 1)
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A) 3
11.
B) 4 a 2a n = a 00 4
E = an an 30 veces
an
an
+ an
20 veces
A) 110
an
an
O
3157 ( x ) = 6832
A) 12
B) 13
2aa (3a ) = 36a 7
A) 1
E) 9
C) 150
D) 170
E) 180
D) 15
E) 16
C) 3
D) 4
E) 5
C) 12
D) 15
E) 11
C) 28
D) 29
E) 23
. Hallar x + 2 C) 14
; Hallar “a” B) 2
14. aba 8 = 1106 n Calcule: a + b + n A) 13
15. Si .
D) 7
an
B) 120
12. Se cumple: 13.
C) 5
Hallar:
B) 14
aaa = 2160 (a ) Hallar
el valor de :
a 2 − 4a + 7
A) 20
B) 27
16. Sea: N = 3 × 175 + 21 × 17 4 + 6 × 17 3 + 18 × 17 2 + 59
¿Cómo se escribe dicho número en base 17?. De cómo respuesta la suma de sus cifras. A) 27 B) 26 C) 25 D) 24 E) 20
17. Si:
ac b = cb (a + 2)
Además se sabe que: a + b + c = 24, calcule: (a x b x c) A) 24 B) 354 C) 504 D) 453
E) 405
18. Calcule: “a” si: 1313
a veces
13 O
13 aa
= 98
A) 3
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B) 5
C) 7
D) 8
E) 9
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19. Si:
(c − 1)a (a + 3) b5 = a (c − 1)(b − 1)(5 / c)7
Calcule: a + b + c A) 4
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10
20. Dos calculadoras A y B procesan sus datos numéricos en los sistemas duodecimal y octanario. Se les da N datos a cada uno, registrando como cantidad de datos, la máquina A ha un número capicúa de 3 cifras cuya cifra central es la unidad, la máquina B un número de 3 cifras consecutivas. Calcule el valor de N. A) 123 B) 203 C) 402 D) 234 E) 302 21. Determine un número de 2 cifras del sistema duodecimal, que sea igual a la suma de todas las cifras de dicho sistema, excepto las dos cifras del número. De cómo respuesta la suma de sus cifras. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 13 22. Si se cumple: k k k = ab9c( k − 2) m m + 2 m + 4 (15)
Calcule: (a + b + c + m + k) A) 11 B) 19
23. Si:
C) 24
D) 25
E) 27
C) 2
D) 3
E) 4
C) 5
D) 6
E) 7
C) 108
D) 110
E) 160
a 3c6 n = 2nn 48
Calcule: “b” en: (a − 3) b1a
1c n
= 13
A) 0
B) 1
24. Existen 2 valores de a: que cumplen: a (a + 1)(a + 2)(a + 3) = 105( 4a )
Dar su diferencia. A) 3
B) 4
25. Si se cumple: (n − 1)( n − 1) ... (n − 1) n = abc5
k cifra s
Calcule: (a + b + c + n) máx. A) 104 B) 106 CEPRE – UNHEVAL
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26. Si:
19ab × 2 = ...( 2n )6
Hallar. A) 8
ab
y
ab91 × 3 = 10...
B) 9
C) 27
D) 64
E) 25
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
27. Calcule “a”, si: aa 1a “a” veces
1a 1a
1a
= 828
A) 5
28. Halle en el sistema de numeración de base cinco, un número de 3 cifras tal que al invertir el orden de sus cifras quede duplicado. A) 4315 B) 1435 C) 3145 D) 2435 E) 2345 CLAVES: 01. B 02.C 03.E 04.E 05.C 06.A 07.C 08.C 09.D 10.C
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11.D 12.D 13.C 14.B 15.C 16.A 17.C 18.C 19.C 20.E
21.D 22.D 23.B 24.C 25.C 26.C 27.E 28.B
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Álgebra
CAPÍTULO X TEORÍA DE DIVISIBILIDAD DIVISIBILIDAD: Un número entero “A” es divisible entre otro número entero positivo “B”, si al dividir “A” entre “B” la división es entera y exacta. En General: Sean A ∈ Z ; B ∈ Z + ; K ∈ Z A O
B K
“A es divisible entre B” “B es divisor de A”
Por el algoritmo de la División A = BK “A es múltiplo de B” “B es factor de A” A=
o
= BK
“A es múltiplo del módulo B”
B
Conclusiones: 1.Todo número entero positivo será múltiplo de sí mismo. o + B = B ; B∈Z 2.El cero es múltiplo de todo número entero positivo o + O = K ; K∈Z CANTIDADES NO DIVISIBLES Si “A” no es divisible entre “B” DEFECTO A rd
EXCESO
B
A B re K+1
K
A = B(K) + rd ∴
A=
A = B(K+1) + re
o
o
B + R d = B − re
NOTA:
o
B = rd + re
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Álgebra
PRINCIPIOS BÁSICOS DE DIVISIBILIDAD. Las operaciones aritméticas elementales respecto a los múltiplos de un mismo módulo son: o o o o A) ADICIÓN: n + n + ... + n = n o o
B)
SUSTRACCIÓN:
C)
MULTIPLICACIÓN:
D)
POTENCIACIÓN:
E)
Si N = a.b.c
o
n− n = n o
o
n (k ) = n ; k ∈ Z
o
o
(n ) k = n
;
k ∈ Z+
N o
o
a
o
b
c
o
o
a.b
a.c
o
o
b.c a.b.c
o
F)
a
o
o
N=
N = MCM (a; b; c)
b o
c
o
G)
a± r o
o
N=
b± r
N = MCM (a; b; c) ± r
o
c± r
PRINCIPIO DE ARQUIMEDES A x B = no
H)
Si :
Donde “A” y “n” no tienen divisores en común, aparte de la unidad, entonces: o
B=n
Si:
I) o
o
o
o
(n+ a )(n + b)(n +c) ... (n x +)
o
n = abc+ ... x
o o n + abc ... x ⇔ k = 2
o
o
o
o
(n− a )(n −b )(n c )...(n − x) − o
=
n − abc ... x
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⇔k
o
2= 1 +
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DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON o
A)
o
(n+ a)k = n+ ak
;
k ∈ Z+ o
B)
o
n+ ak ; k = 2 o
(n − a ) k = • o
o
n − a k ; k = 2+ 1
RESTOS POTENCIALES: Determinar los restos potenciales de 4 respecto al módulo 7 o
4 0 = 7+ 1 o
41 = 7 + 4
g=3
o
42 = 7+ 2 o
4 3 = 7+ 1
o
o
o
o
o
o
7+ 1 ⇔ E = 3
o
4 4 = 7+ 4
g=3
4E=
7+ 4 ⇔ E = 3+ 1
o
45 = 7+ 2
7+ 2 ⇔ E = 3+ 2
o 4 n = 7+ r
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.
Halle el residuo de dividir “R” entre 7. R = 22 + 4 2 + 62 + 82 + ... + 100 2
A) 0 Si: A) 7 2.
o
513 n 8 × 12 n5 8 = 8 .
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Hallar “n” B) 6
C) 8
D) 5
E) 0
Determine la suma de los valores posibles de “n”. Si 842 n3n3 al ser dividido entre 7 deja como residuo 2 A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 17 3.
4.
¿Cuántos múltiplos de 6 terminados en 2 existen entre 120 y 1236?
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A) 18
B) 19
C) 36
o
D) 37
E) 38
o
Un numeral 19+ 16 , otro numeral 19+ 5 . Si el primero se divide entre el segundo el residuo es cero. ¿Cuál puede ser el mínimo valor positivo del cociente? A) 18 B) 15 C) 7 D) 12 E) 4 5.
o
¿Cuántos números son 17 en los 3000 primeros enteros positivos? A) 175 B) 176 C) 177 D) 178 E) 180 6.
El número 3215 se convierte al sistema octal. ¿Cuál es la última cifra de dicha representación? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7.
Cuál es el menor número N de 3 cifras, tal que 2. Dé como respuesta la suma de sus cifras. A) 5 B) 7 C) 9 8.
N × 7111
sea múltiplo de 5 más
D) 10
E) 11
A una fiesta de promoción asistieron 400 personas entre varones y mujeres. Del total de las mujeres asistentes se observó que la sexta parte de ellas tienen cabello largo, que los 3/8 de ellas usan aretes y que los 5/11 son rubias. ¿Cuántos varones asistieron a la reunión? A) 128 B) 132 C) 136 D) 264 E) 252 9.
Si 2a + b es divisible por 7, entonces cuál es el residuo de dividir 100a + b entre 7. A) 5 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 10.
En un salón de 50 alumnos se observa que la séptima parte de las mujeres son rubias y la onceava parte de los hombres usan lentes ¿Cuántos hombres no usan lentes? A) 22 B) 28 C) 2 D) 20 E) 4 11.
Calcule la cifra de menor orden cuando se expresa 54029 en base 8. A) 2 B) 5 C) 1 D) 7 E) 3 12.
A una convención de profesionales asistieron 400 personas entre americanos y europeos, entre los europeos los 2/7 son médicos, los 5/6 son ingenieros y los 3/5 son abogados.¿Cuántos americanos asistieron a dicha convención? A) 190 B) 110 C) 150 D) 180 E) 120 13.
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14.
Si:
o
30 m79 = 11
y
o
pp 26 p = 7
Halle m x p A) 25
B) 24 o
C) 30
E) 18
o
Si abc = 5 , cab = 4 Calcule la suma de los valores de “a” para que A) 21 B) 27 C) 30 15.
D) 36
Si: a + b + c = 6 Entonces abc + cab + bca siempre será múltiplo de: A) 11 B) 7 C) 13
cba
sea múltiplo de 3. D) 33
E) 23
16.
D) 27
E) 74
Halle el mayor número de 4 cifras, tal que al ser dividido entre 18; 15; 12 y 11 deje como residuos: 11; 8; 5 y 4 respectivamente. De cómo respuesta la suma de sus cifras. A) 29 B) 30 C) 32 D) 34 E) 35 17.
Si el siguiente numeral A) 4 B) 5 18.
6a 74b14
es divisible entre 9 y 11, halle el valor de a + b. C) 13 D) 18 E) 23
A un evento deportivo asisten una cantidad de personas menor que 300; si 2/11 de los asistentes son mayores de edad; los 5/17 de los mismos son limeños. ¿Cuántos no son limeños? A) 22 B) 55 C) 77 D) 132 E) 158 19.
o
Si abab = 15+ 5 , calcular la suma de los posibles valores de ab A) 257 B) 258 C) 285 D) 256
E) 275
Si 23228 × an111 2 × 3336 Calcule el residuo al dividir N entre 8. A) 0 B) 2 C) 4
E) 7
20.
21.
D) 6
Si a un numeral de 4 cifras consecutivas crecientes se le suma 988, el resultado es divisible por 44, halle la cifra del cuarto orden de dicho numeral. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 22.
Cuántos numerales de 3 cifras son múltiplos de 2, pero no de 3 ni de 5. A) 241 B) 240 C) 239 D) 238 E) 242 23.
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Calcular el residuo al dividir A) 6 B) 5 24.
(6549 )667
entre 7. C) 2
D) 3
E) 4
Si el complemento aritmético de un número de 4 cifras iguales es múltiplo de 7, halle la suma de las cifras del número. A) 12 B) 16 C) 20 D) 24 E) 28 25.
Determine un numeral mayor que 4000, pero menor que 4500, tal que sea divisible por 8; pero si se le suma “1” se convierte en múltiplo de 9 y si se le suma “1” más se convierte en múltiplo de 10. De cómo respuesta su cifra de tercer orden. A) 8 B) 6 C) 2 D) 3 E) 4 26.
27.
Si
o
CA (cba ) = CA (abc) + 8
A) 9 28.
B) 11
C) 142
D) 143
¿Cuántos números de 3 cifras son tales que siendo
sus cifras resultan A) 3 29.
, a > c. Calcule la suma de los valores de (a + b + c)
o
5
? B) 4
C) 5
o
21
D) 6
E) 145
al invertir el orden de E) 7
Calcule el residuo por exceso al dividir “a” entre 31, si: o
12a = 31+ 16
A) 22
B) 9
C) 4
D) 27
E) 8
Dos calculadoras A y B procesan sus datos numéricos en los sistemas duodecimal y octanario , se les da N datos a cada uno , registrando como cantidad de datos, la máquina A a un número capicúa de tres cifras cuya cifra central es la unidad, la máquina B un número de tres cifras consecutivas. Calcule el valor de N A) 123 B) 203 C) 402 D) 234 E) 302 30.
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CLAVES 01.A 02.E 03.D 04.C 05.C 06.B 07.C 08.A 09.C 10.E
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11.D 12.B 13.A 14.C 15.D 16.E 17.A 18.B 19.D 20.C
21.D 22.B 23.B 24.E 25.C 26.D 27.E 28.C 29.B 30.E
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CAPÍTULO XI NÚMEROS PRIMOS, MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR 1. NÚMEROS PRIMOS
•
NÚMERO PRIMO ABSOLUTO SIMPLE. Es aquel número que tiene sólo dos divisores que son el mismo número y la unidad Ej.: 2
Divisores
1
3 2
1
5 3
1
23....etc. 5
1
23
•
NÚMEROS COMPUESTOS. Son aquellos números que tienen más de dos divisores. Ej. 6 divisores: 1, 2, 3, 6 30 divisores: 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30. NOTA: El número 1 no es primo ni compuesto por tener sólo un divisor. - La serie natural de los números primos absolutos es ilimitado.
•
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI) llamados también primos relativos; se denominan así al conjunto de números que tienen como único divisor común, la unidad. Ej.:
a)
3 y 7 (divisor común 1)
b)
27, 45, 36, 3 (divisor común 1)
2. REGLA PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO ABSOLUTO Ejemplo: ¿El número 157 es primo? Paso 1. Estudiemos la raíz cuadrada del número dado tomando sólo la parte entera. Así:
157
= 12, 52996409 sólo tomamos la parte entera LA PARTE DECIMAL
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PARTE ENTERA Paso 2. Dividimos el número dado entre todos los números primos menores o iguales a 12 (en este caso no tenemos 12 porque es primo). Paso 3. Si todos los divisores afectados son inexactos, el número dado es primo. 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA
4.
Todo entero positivo mayor que la unidad, se puede descomponer como el producto de dos factores primos diferentes, entre si, elevados a ciertos exponentes, esta descomposición es única y se le denomina “Descomposición Canónica”. Ejemplo: Expresar 540 en su descomposición canónica 540 2 270 2 135 3 45 3 540 = 22 x 33 x 5 15 3 5 5 Números Primos Absolutos 1 1 CÁLCULO DEL TOTAL DE DIVISORES DE UN NÚMERO: Sea el número compuesto N expresado en función de sus factores primos. α N =a x bβ x c θ x...
Números Primos Absolutos La cantidad de N estará dado por: C d
(N )
= (α + 1 )( β + 1 )( θ + 1 )...
5. SUMA DE DIVISORES DE UN NÚMERO COMPUESTO Del ejemplo anterior.
N = a α x bβ x c θ x... CEPRE – UNHEVAL
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Álgebra
Sd (N) =
a α +1 −1 b β +1 −1 c θ +1 −1 . . a −1 b −1 c −1
6. PRODUCTO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO COMPUESTO Pd
(N)
=
N Cd(N)
7. SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO S ID
(N )
S um a =
de divisores N
de N
PROBLEMAS PROPUESTOS Hallar un número de la forma: 9 x 10n que tenga 27 divisores : a)90 000 b)9000 c)90000 d)90
e)900
1. Si: N=32x.5x tiene 15 divisores ¿Cuánto vale x? a) 2020
b)2025
c)2030
d) 2080
e) 2040
d)1448
e) 2040
d)13
e) 14
2. Cuántos divisores tiene N? Si N=1410-148 a) 99 3.
b) 2025
c)648
¿Cuántos divisores de 1052 son múltiplos de 25? a) 9 b)10 c)12
4. Si el número N=12m.36p tiene 30 divisores compuestos. ¿Cuántos divisores tiene en total? a) 29
b)30
c)31
d)32
e)33
c)5
d) 6
e)7
Q = 108 x108 108 108 x ... x , tiene 114 divisores compuestos, hallar el valor de 5. Si: "n"Factores
“n”. a) 3
b)4
7. Si el numeral: E = 6ª+2 - 6a, tiene 324 divisores ¿Cuántos divisores pares tiene a3? a) 7
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b)9
c)11
d) 8
e)10
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8. Si F = 4ª+1+4ª+4ª-1, tiene 68 divisores hallar el valor de “a” a) 10
9.
b)9
c)13
d) 14
e)15
C.D
Dado los números: N= 36 x 63n y M= 63 x 36. Además:
(N)
C.D(M)
=
5 6
hallar el Valor de “n”. a) 6
b)7
c)8
d) 4
e)5
10. Hallar el menor número que tengo 15 divisores. Dar como respuesta la cifra de las decenas del número. a) 4
b)3
c)2
d) 1
e) 0
d) 4
e)5
11.¿Cuántos números son primos absolutos?
35(8) 70(9) 7 α11 a) 1
α1(11) y 263( 7)
b)2
c)3
12. Hallar un número N = 12n.15n sabiendo que tiene 75 divisores dar como respuesta la suma de las cifras de N. a) 18
b)15
c)9
d) 27
e)21
MÁXIMO COMÚN DIVISOR El M.C.D. de varios números naturales es otro natural que cumple dos condiciones: 1.
Es divisor común de los números dados.
2.
Es lo mayor posible. Ejemplo: Sean los números 24 y 40 Número 24 10
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Divisores 1,2,3,4,6,8,12,24 1,2,5,8,10,20,40 CICLO C - 2003
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Álgebra
1° Sus divisores comunes 1,2,4,8 2° El mayor es 8
M.C.D=8
DETERMINACIÓN DEL M.C.D. 1. POR FACTORIZACIÓN INDIVIDUAL. Luego de descomponer a los números en sus factores primos, se toman únicamente los factores comunes afectados de sus menores exponentes. Ej. Sean los números A, B, y C descompuestos en sus factores primos: A = 23.32.53.7
M.C.D (A, B, C)=23X52.7
B = 24.52.7 C = 25.53.72
2. POR FACTORIZACIÓN SIMULTÁNEA Los números propuestos se dividen simultáneamente por un factor primo común, los cocientes se dividen nuevamente por un factor común y así sucesivamente hasta que los concientes sean primos entre sí. Ej.: Hallar el M.C.D : 120-180:320 120
180
320
2
60
90
160
2
30
45
80
5
6
9
16
M.C.D.(120; 180; 320)=22X5 = 20
3. ALGORITMO DE EUCLIDES O DIVISIONES SUCESIVAS Para hallar el M.C.D. de varios números se toman los dos menores y se divide el mayor entre el menor y si la división es exacta, el menor es el M.C.D. Ejemplo Hallar el M.C.D de 1534 y 403. 403 78
325 1
3 1 1843
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403
4
6
325
78
13 CICLO C - 2003
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Álgebra
325 ° °° EL M.C.M = 13
78
13
0
PROPIEDADES DEL M.C.D 1° Si A y B son P.E.S.I
: M.C.D. (A,B) = 1
2° Si A es múltiplo de B,
el M.C.D de A Y B es B
3° Si se dividen varios números entre su M.C.D. los cocientes obtenidos son números P.E.S.I. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El M.C.M. de varios números naturales es aquel número natural que cumple que cumple las condiciones: 1. Es un múltiplo común de todos 2. Es el menor posible Sean los números 4 y 6 Múltiplos común
N°
MULTIPLOS
4
4,8.12.16.20.24.28.36...
6
6.12.18.24.30.36.42...
12,24,36…. Luego el M.C.M es 12
DETERMINACIÓN a. POR FACTORIZACIÓN INDIVIDUAL b. POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTANEA PROPIEDADES DEL M.C.M 1° Sean 2 números A y B P.E.S.I 5 son P.E.S.I
el M.C.M de ellos es su producto Ej. 7 y
M.C.M = 35
2° Si A es múltiple de B
el M.C.M de ellos es el mayor.
3° Los cocientes de dividir el M.C.M de conjunto de 2 o mas enteros positivos entre cada uno de ellos, son siempre PESI sean los números: 10, 12 y 15 Luego 60 = 6 10 CEPRE – UNHEVAL
60= 5
60 = 4 M.C.M = 60
12
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Álgebra
P.E.S.I 4° “El producto de 2 números es igual al producto de M.C.D en el M.C.M de ellos” ejemplo: sean los números 12 y 15 M.C.D = 3 y M.C.M = 12X 15 = 3 x 60 AXB = M.C.D X M.C.M
5. El recordamos la propiedad del M.C.D A = M.C.D α . Donde α
y B = M.C.D = β
y β : P.E.S.I
Luego el M.C.M es el producto de los factores común y no comunes M.C.M = M.C.D.
α. β
87
PROBLEMAS PROPUESTOS
13. Si M.C.D (A,B)= 72N y a) 7
M.C.D (B.C) = 60 N. Hallar“N”; si el M.C.D (A,B,C)=84
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
14. La suma de 2 números es 224 y su M.C.D es 28. hallar el número mayor: a. 196
b. 140
c. 178
d. 168
e. 156
d. 16
e. 25
d. 9
e. 10
15. Hallar el valor de a² si M.C.D ab y (a+1)(b+1)= 132 a. 1
b. 4
c. 9
16. El M.C.D (A, 80) = 4 ¿Cuántas valores toma “A” si es menor que 80? a. 7 CEPRE – UNHEVAL
b. 6
c. 8
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Álgebra
17. Si M.C.D (A.B) = 54 M.C.D (B, C) = 36. Calcular: M.C.D (A, B, C) a. 9
b. 36
c. 18
d. 54
e. 72
18. En un colegio hay menos de 700 alumnos. Si se cuenta de 6 en 6, de 8 en 8, de 10 en 10 y de 12 en 12 siempre sobran 5, pero si se cuentan de 11 en 11 no sobro ninguno. ¿Cuántos alumnos hay? a. 125
b. 245
c. 605
d. 365
e.485
19. La edad en años que tiene un individuo es múltiple de 10 menos 1 ¿Qué edad es esa? a. 99
b. 96
c. 69
d. 79
e. 119
20. El M.C.M de ab y 42 es (a+b) hallar b-a si dicha cifras son significativas a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 1
21. ¿Cuántos números de 3 cifras son divisibles a la vez por 4, 5, 6 y 8? a. 5
b. 7
c. 6
d. 8
e. 9
22. Una fiesta se celebra cada 12 años en un pueblo, cada 15 años en otro y cada 22 años en otro. Determínese al cabo de cuantos años se celebra simultanea la fiesta en los 3 pueblos, suponiendo que se toma el mismo punto de partida. a. 660
b.540
c.440
d.420
e.220
23. El máximo en un divisor de dos números es de 12 y los cocientes sucesivos son 8, 1 y 3 hallar los números. a.420 y 36
b.420 y 48
CEPRE – UNHEVAL
c.240 y 48
d. 420 y 84
e.120y 360
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Álgebra
24. El número de paginas de un libro es mayor que 400 y menor que 500. si se cuenta de 2 en 2 sobra 1, de 3 en 3 sobra 2, de 5 en 5 sobra 4y de 7 en 7 sobra 6 ¿cuántas paginas tiene el libro? a. 483
b.436
c. 419
d.497
e.457
25. ¿Cuál es el menor número que divide sucesivamente entre 9, 12 y 15 deje siempre 8 por residuo? a.177
b. 166
c. 153
d. 188
e. 192
26. Sabiendo que: M.C.M (n; n+1 = 90) ; Hallar el M.C.M (n+3; 2n+2) a. 240
b. 120
c. 60
d. 48
e. 180
27. Hallar dos números sabiendo que su producto es igual a 8 veces su M.C.M y que su suma es igual a 6 veces su M.C.M a. 6 y 36
b. 8 y 64
c. 8 y 40
d.12 y 48
e. 16 y 8
28. Si N = 14.10n+1 .15n y se sabe que N tiene 18 divisores múltiplos de 21 pero no de 5. Hallar “n” a. 2
b. 4
c. 3
d. 1
e.5
29. Se trata de depositar el aceite de 3 barriles que tienen 210, 300 y 420 litros de capacidad en un vaso que sean iguales entre si. ¿Cuál es la menor cantidad de envases que se emplearía para que todos estén llenos y no desperdiciar aceite?.
30. Si N = 440000...000 ¿Cuántos divisores son múltiplos de 55 pero no de 2? 12 cifras a. 10
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b. 12
c. 96
d. 130
e. 64
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31. Hallar un número F = 2p . 7q sabiendo que si se divide entre 4 su número de divisores se reduce a su tercera parte y se multiplica por 14 se duplica su número de divisores. a. 14
b. 28
c. 98
d. 196
e. 1372
32. Hallar c + t, si en el cálculo del M.C.D de coco y toto se hallaron los siguientes cocientes sucesivos: 1, 1 y 4 (c y t son P.E.SI). a. 12
b. 14
33. Si: M.C.D (A,B) = 14 m “m” a. 7
b. 6
c. 15
d. 9
e. 13
M.C.D (C,D) = 21 m. M.C.D (A,B,C,D) = 42 Hallar c. 14
d. 21
e. 12
34. El cociente de 2 números es 13 y además el M.C.D de ellos es 559. Hallar el M.C.D de dichos números. a. 43 b. 86
c. 443
d.71
e. 53
35. Hallar la diferencia de 2 números enteros sabiendo que es un producto es 3456 y que el cuadro del M.C.D es la mitad del M.C.D. a. 80 b. 76 c. 60 d. 96 e. 72
36. Si F = 4a+1 + 4ª + 4a-1 tiene 68 divisores. Hallar el valor de “a”. a. 10
b.9
c. 13
d. 14
e. 15
37. ¿Cuántos ceros tiene el m.c.m de 120100. 150200. y 140300? a. 300
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b. 400
c. 401
d. 399
e. 402
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CAPÍTULO XII RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN: Es el resultado de la comparación de dos cantidades. Para compararlos se pueden seguir dos caminos: a) Razón Aritmética.- La comparación se hace mediante una diferencia, para saber en cuanto es mayor la 1ra que la 2da. a = Antecedente b = Consecuente r = Razón a - b =r
b)
Razón Geométrica.- La comparación se hace mediante una división, para saber cuantas veces la 1ra contiene a la 2da. a = Antecedente a =k b = Consecuente b k = Razón Geométrica
Serie de Razones Geométricas Continuas a b c d = = = =k b c d e
Serie de Razones Geométricas Equivalentes a1 a a a = 2 = 3 = ... n = k b1 b2 b3 bn
PROPIEDADES: a1 + ... + a n a a = 1 =... = n b1 + ... + b n b1 bn
a)
K=
b)
K =n
a1.a 2 ... a n a a = 1 = ... = n b1.b 2 ... b n b1 bn
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m
c)
m
m
a + a 2 + ... + a n a a K =m 1 = 1 = ... = n m m m b1 bn b1 + b 2 + ... + b n
PROPORCIÓN: Es la igualdad de dos razones aritméticas o geométricas y se tiene dos clases: a) Proporción Aritmética (Equidiferencia).- Es la igualdad de dos razones aritméticas dadas: a - b = c - d
b) Proporción Geométrica (Equicociente).- Es la igualdad de dos razones geométricas a c = b d
Se lee: “a es a b como c es a d” a , c = Antecedentes b , d = Consecuentes a , d = Términos extremos b , c = Términos medios CLASES DE PROPORCIÓN:
1.
Proporción Aritmética Discreta: Cuando todos los términos son diferentes entre sí, o sea: a - b = c - d
d = Cuarta diferencial
2.
Proporción Aritmética Continua.-Cuando los dos términos medios son iguales, o sea: a - b = b - d
De donde se obtiene: b =
a+d 2
b = Media Aritmética o media diferencial d = Tercera Diferencial
3.
Proporción Geométrica Discreta.- Cuando todos los términos son diferentes entre sí, o sea:
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a c = b d
d = Es la Cuarta Proporcional
4.
Proporción Geométrica Continua.- Cuando los términos medios son iguales, o sea: a b = b d
De donde se obtiene b =
a.d
b = Media proporcional d = Tercera proporcional PROPIEDADES DE UNA PROPORCION GEOMETRICA: En:
a c = b d
a)
a .d = b .c
Se verifica que:
b)
a +b c +d a −b c −d = ó = b d b d
c)
a+b = a−b a−b = a+b
d)
c+ d c−d c− d c+ d a+c = b+d a−c = b−d
a = b a = b
c d c d
MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO PROPORCIONAL
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MAGNITUD: Es aquella propiedad, mediante la cual un objeto, puede ser medido o expresado en forma cuantitativa. Por ejm: El tiempo puede ser medido en horas, minutos o segundos. CLASES DE MAGNITUDES PROPORCIONALES a) Magnitud Directamente Proporcional.- Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales cuando el cociente de cada par de sus valores, son iguales. Valores de A: a1, a 2 ,......., a n Valores de B: b1 , b 2 ,......., b n Entonces para que A y B sean directamente proporcionales, se debe cumplir que: a a1 a a = 2 = 3 =... = n = k (Cte) b1 b2 b3 bn
c)
Magnitud Inversamente Proporcional.- Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales, cuando los productos de cada par de sus valores, son iguales Valores de A: a1 , a 2 ,......., a n Valores de B: b1 , b 2 ,......., b n Entonces para que A y B sean inversamente proporcionales, se debe cumplir que: a1.b1 = a 2 .b 2 = ... = a n .b n
= K
( C te )
PROPIEDADES a) A D.P. B = B D.P. A b) A I.P. B = B I.P. A c) A I.P. B ⇒ A D.P. (1/B) d) A D.P. B A D.P. C ⇒ A D.P. BCD ∴
A =K BCD
A D.P. C
e) A D.P. B ⇒ A n A I.P. B
A
n
DP
B
IP
B
n n
REPARTO PROPORCIONAL Es aquel procedimiento de cálculo, que nos permite dividir una cierta cantidad, en partes proporcionales a otras cantidades. CEPRE – UNHEVAL
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CLASES DE REPARTO PROPORCIONAL: a) Reparto Simple Directo: Repartir N directamente proporcional a los índices: a,b,c DP CANTIDADES a 1º a x k N k= N b 2º b x k a +b +c c 3º c x k ( a + b + c)
b)
Reparto Simple Inverso: Repartir N inversamente proporcional a los índices a, b, c IP DP CANTIDADES 1 xM = r a 1º r x k a 1 xM = p N b 2º p x k b 1 xM = q c 3º q x k c m.c.m.: M (r + p + q) k=
c)
N r+p+q
Reparto Compuesto: Es la combinación de dos o mas repartos a la vez. Así: DP N IP
a; b; c m; p; r
⇒
N D.P.
a b c ; ; m p r
Observación: Si los índices de todo reparto se les multiplica o divide por una misma cantidad, el reparto no se altera.
REGLA DE COMPAÑÍA Objetivo.- Repartir proporcionalmente las ganancias o pérdidas habidas en un negocio entre los participantes en él, aportando sus capitales. CEPRE – UNHEVAL
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Caso I II III IV
Datos Cuando los capitales invertidos y los tiempos de imposición son iguales Cuando los capitales son distintos y los tiempos iguales
Solución Las ganancias o pérdidas se reparten por partes iguales entre los socios Las pérdidas o ganancias son proporcionales a los capitales, independientemente del tiempo de inversión Los beneficios son proporcionales a los tiempos Las pérdidas o ganancias son proporcionales a los productos de los tiempos por los capitales
Cuando los capitales son iguales y los tiempos distintos Cuando los capitales y los tiempos, son desiguales entre sí.
SIMPLE Cuando las partes repartidas proporcionales a números simples
son
COMPUESTO Cuando las partes repartidas, son proporcionales a los productos de varios números.
PROBLEMA GENERAL Repartir “S” en partes p1 , p 2 ,......., p n que sean directamente proporcionales a b1, b 2 ,......., b n . Calcular: p1 , p 2 ,......., p n Solución: 1° Sabemos que: S= p1 + p 2 + p 3 ......., p n 2°
b1 , b 2 ,......., b n Como: p1 , p 2 ,......., p n son directamente proporcionales a Indicadores
se debe cumplir que: p p1 p p = 2 = 3 = ... = n = k b1 b2 b3 bn
k = Constante de proporcionalidad 3°
Y por propiedad: p + p 2 + ... + p n S k= 1 = b1 + b 2 + ... + b n Si Si = Suma de Indicadores
4°
De donde se obtiene: p1 = b1.k p 2 = b 2 .k ... p n = b n .k
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PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Un piloto observa que el número de aviones es al número de barcos como 7 es a 6 pero ala vez el timonel nota que el número de aviones es al número de barcos como 8 es a 5. Hallar la diferencia entre el número de aviones y barcos a) 7
b) 4
c) 1
d) 6
e) 2
2. En una progresión geométrica de razón 3, la suma de los términos de la segunda razón es menor que la suma de los términos de la primera razón en 56. Determinar la diferencia de antecedentes} a) 38
b) 46
c) 62
d) 42
e) 54
3. En un corral hay “n” aves entre canarios y gorriones. Si el número de canarios es a “n” como 5 es a 12 y la diferencia entre el número de canarios y el número de gorriones es 18. ¿Cuál será la relación entre canarios y gorriones? a) 1/2
b) 5/7
c) 4/5
d) 3/5
e) 9/10
4. En una proporción geométrica continua la razón de la proporción es igual a la media proporcional y la suma de los cuatro términos de la proporción es 169. Determinar la diferencia entre los extremos. a) 147
5. Dada E=
b) 143 la
serie:
d) 141
e) 142
A B C = = =k, a b c
calcular:
A.B(a 5 + b 5 + c 5 )(A + C) a.b(A 5 + B 5 + C 5 )(a + c)
a) k
6.
siguiente
c) 145
b) k/5
c) k/9
d) 1/k
e) 3k/4
En una serie de 4 razones geométricas continuas equivalentes la suma de sus términos diferentes excede a la suma de los extremos en 310. ¿Calcular la diferencia de los extremos? a) 127
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b) 1252
c) 2052
d) 527
e) 1248 CICLO C - 2003
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7.
La edad de un padre y la de sus dos hijos forman una proporción geométrica continua cuya razón es un número entero si la suma de dichas edades es 93. Dar como respuesta la diferencia de las edades de sus hijos. a) 8
b) 15
c) 24
d) 12
e) 21
8.
En una proporción geométrica la suma de los dos primeros términos es 20 y la suma de los dos últimos términos es 25. Calcular el menor de los términos medios si la suma de los consecuentes es 27 a) 18 b) 14 c) 10 d) 16 e) 12
9.
En un salón de clases, antes del receso el número de hombres es al número de mujeres como 9 es a 5. Si después del recreo, hay 8 hombres y 4 mujeres menos, con lo cual la razón de hombres a mujeres es de 7 a 4. Hallar cuantas mujeres había antes del receso. a) 15 b) 20 c) 25 d) 28 e) 30
10. Se tiene tres magnitudes A, B y C tales que: A es D.P. a Cuando A = 8, B = 16, C = 6; Calcular B si A = 9 y C = 4 a) 6 b) 5 c) 4 d) 3
B ; A es I.P. a C2. e) 2
11. A determinada hora de un día soleado, la longitud de la sombra de una varilla vertical es DP a su longitud. Un basquetbolista que mide 2,2 mts proyecta una sombra de 1,21 mts ¿Cuántos centímetros medirá un enano de un circo que proyecta una sombra de de 65 cms de longitud, a la misma hora y en el mismo lugar? a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
12. Un grupo de estudiantes acuerdan hacer un viaje pagando cada uno el transporte en partes iguales, cuyo costo total es S/.150. A último momento deciden viajar otros 5 reduciendo el pago en S/. 1,50 ¿Cuántos alumnos viajan realmente y cuánto paga cada uno? a) 20; 7,50 b) 30; 5 c) 25; 6 d) 10;15 e)25; 15 13. Dos mendigos piden limosna en forma IP al cuadrado de su edad y en forma directa a su apetito. Hoy poseen un apetito de 16 a 20; además sus edades son 8 y 10 años respectivamente y si luego de dos años su relación de apetitos se invierte; hallar la relación de sus razones geométricas de sus limosnas ahora y dentro de dos años. CEPRE – UNHEVAL
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a) 5/4
b) 9/5
c) 25/36
d) 9/4
e) 9/20
14. El producto de de la suma de la mayor y menor de las partes por la parte intermedia que resulta de repartir un número directamente proporcional a 3, 5 y 7 es 45000. Hallar dicho número. a) 300 b) 350 c) 400 d) 450 e) 500 15. Un padre reparte S/.8,91 entre sus hijos en forma DP a los promedios de notas que obtuvieron y que fueron 15,3; 14,4 y 12,6 e IP a las faltas que tuvieron durante el año que fueron 3; 2 y 3 respectivamente ¿Cuál es la diferencia de lo que recibieron el segundo y el tercero? a) 1,62 b) 17 c) 16,98 d) 15 e) 18 16. Un señor inicia una empresa con un capital de 60000, para conseguir más capital se asocia con 3 personas en distintas fechas que aportaron 48000; 75000 y 50000. Después de 1 año y 8 meses se separan y cada uno recibe la misma parte de las utilidades ¿Cuántos meses estuvo en la empresa el socio que aportó mayor capital? a) 20m
b) 16m
c) 15m
d) 14m
e) 4m
17. Un joven que vive en el último piso de una casa, en una de sus salidas baja los escalones de 2 en 2 y lo sube de 3 en 3. Si en total dio 100 pasos. ¿Cuántos peldaños tiene la escalera? a) 210 b) 180 c) 150 d) 120 e) 90
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