Alfred Tarski - Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas

INTRODUCCIÓN ~ ALA LÓGICA y a la metodología de las Ciencias deductivas alfred tarski

TERCEQA EDICION

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA

ALFRED TARSKI

INTRODUCCIÓN A LA LÚGICA Y A LA METODOLOGfA DE LAS CIENCIAS DEDUCTIVAS

T. R. BACHiu.ER 1 J . R. FUENTES

TEaCEu.

UT!HD.L COlDODO .L U

~1c16N

TDCDA IMGLM

O. CHATEAUBIUAND 1 M. A. DIClülANN

ESPASA-CALPE, S. A. MADRID 19 7 1

ES

PROPIEDAD

C LpoH·Calp•, S. A ., 1951, 1968 lmpnH •n Lp•lla Prw.d in Spoin D•p~ilo

l•sal:- M. BJ.9-1977

ISBN d4-U9-64.90- 9

Tall•m gr1Jfieo1 .U la Editorial Eipao-Colpe, S. A. c.,.,.mro J. lrdn. ... JZ,200. Madrid-34

íNDICE GENERAL

,..,._

PUH.010 DS LA. BDIOJÓlf IMOL:HA, •• • • •••••••• , , , • , • DsL Pall:J'ACIO PS U

S DlOIÓN OaJOlltAL••

11 10

PBIJIC&B.A. PARTE

ELEMENTOS DE l.ÓGICA. MkrODO DEDUCTIVO I.

Soau

BL

uso

Dlt VAJLliltLES

l. Conet&ntee y variables•.... ,., .... . ..............• , ..• !. E~f=~:e; ~:i;:i~~!~~. ~-,.~~~!~~ .!~.~~~~ . ~~~¡: 3. Formación de propoeicionee por medio de variables. Propo1ioionee: univerul• y e•iet.enciale... , .•... , .•..... f. Cu:aotificadore9 univerul y e::1iltenolaJ; variablell libree y ""...... .............. . ..... . ............. . 6. La importancia de lu variables eo matem•tioa. . Ejeroioic..,. ....... .............. ..

II.

Boau

•• "•• 32 38 37

J:L cü.cULO PROP08IOJOlUL

;: ~i:~ul~~~~~l:n~~~~¿~r:;:i:i~~~~~;;.

41

D. El uao de la im.plicaoión en matemátio.a.•... , . , .• , •. , . . . .

52

8. 1n!~~!ó~a.~~~-~~~~~~~~: ~~~~~~~~: ~~ :: :t :¿:i~~ió!:'te·1.r=:~~&Si~d~·d;d¡~~ió~·.::::::: g;

fNDICE GEHDAL

~

~i: r~:!i~~°e~1~c~FoOll~;~=i~~; (~~¡¿~~ d~· .;_~

y tablM de verdad...................•.• , . , .•••. , . . • 14. Aplica.ción de lu Ieyee del OIUculo propotiicional a la infe. renci&.. .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. .. .. .. . . .. .. . 15. Reglu de inferenci&. Demoe\C'&cii:>Del!I oomplet.1!111.... .. .. .................. EjeroiciOlil. Ill.

16.

GO 82 88 71 74

SOBRE L.&. T:mOaf.t. DJt L.6. IDaNTID.A.D

Co¡;,ct;~e~f¡~;d.~~~~~ ~.e~ .~l~~I.~ ~~~~º.¡~~·. ~~~~~:

17. Leyes Cundarnent.aleie de la. teoria de l• ident.idad........ . 18. IdentidMi de objet.oe e identidad do 1u.1 de11ignaoione1¡ uao de ooinillu........... , . . • . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . .

19· 1 20. Los cuantifio-.doree num&iooe . . .. ......... . , . , ... . . , . .

L&cfrn·~:~.ºid!~tid~t~::.. ~~ . ~. ~~~~.·: .~ ~~. ~~:

Ejercioioe...

. . .. . . . . . . . . . . . . . . . .•. IV.

Soa••

'º

81

84 a1 89 91

LA TSOa.f.a. DB OL.&.BU

21. Clasea y sus element.oa....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

ii: &1::8~¡1::~~°yeecC~~~~.~~ -~~. ~-~~¡~~1~ -~~~·: U. Relaoionee fwuia.ment.alea enue claaea............ . . . . . .

.~

:~: g¡::c!~~:~~1::Ná~-~r'.di~-d~~~i~.·c¡~ tinit:aa e infinitas. L& &rit~t.iea. como pMte de la lógiee.. Ejeroieioe

V.

So•as u. n:oaú

101 106

107 110

l>'S B&LAOlo~•

27. R'.olacionee, 1u.1 dominios 1 contndominioe, rel-.cionee y funciones prol>09ioiooalee ooo doe Tariablee libree. , . . . 28. m1culo de relao1ooee.... '............. . .. . . . .. ..... . .

~~: ~~i~n:~~~~~:~=~~~; ~~éiri' ···y ·t~:

s1t.1vae....................... . .......... ~ ...... SI. Relaciones de orden. Ot.roe ojomploe de relaoionee... 32. Rela.oionea unJvoou o funeiones.. . ..................... 33. Rela.oionea uno-uno o funoiooea biunivoeae, y oorreepon· denciu biwúvoo.aa......... ..... ................... 3•. Relacionea mó.ltiplee. Funciooee d6 variu variablee y ope· raciones ........•.•.• , , , . .

l HI 119 123 12t 127 129 13t 136

ae:.

Jmpori&Doia de Ja Ejoroioi011...... VI.

lógica~

ok'M oienOiM.. .... . . . ........••.••....

·139 140

Boau BL K:iToDO D•DUOTIVO

se. Conatituyont.es fundament.alee de t.eorfu deduotivu; t6rm.inoa primitivOB y dednidoe, e:idomu y teoremas. . 37. Modelo e interpretación de una teoria deductiva •• ; . . . . . . Si. Ley de deduooión: oaricter fonnal de las oienoiae deduo-

149 Ui!

tivaa..........•.•.•.• ... • .. . . .................... 39. Selección de Hiom&11 y Wnninoe primit.ivoe; .su indepen-

Hi8

fO. Form&liz.ación de definioionee y demoetracionea¡ teoriaa deductiva.a formalizad.u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . U. Conaiatencia y completida.d de una teoría deductiva; pro·

HUI

dencia................ ... .... . ....................

Hl3

blema de decillión.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '2. Cone&poióo &mpliad& de la meiodologh~ do lu oieneiu

Hl8

deduot.ivu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios. .. . . . . . . . . . . . . . . . .

171 17'

SEGUNDA. PA.BTB

APLICACIONES DE LA LÓGICA Y DE LA METODOLOGtA A LA CONSTRUCCIÓN DE TEORiAB MATEMÁTICAS

VII.

CoMBTBUCCIÓN

UYU SOB- u

'3.

o• m u.

TE01tf.&. IU.TKllÁTIO.&.:

oanatU.CIÓN DJI: NÚlll:BOS

prirnit.ivOJi de la t.eoria en conatni.cción¡ a•iomu eobre Ju relacionee fundament.alee entre nómeroe.

T~rminoa

Lef:m~t=~~v~dt:.~ .~~~i~~~.~~~~~~~9'.':

"· U . Otro. teoremu eobn!I IM nileeion ee fWldament.alee. . '8. Ot.ru relaoioDee entre nW:neroe.. Ejeroicioe.. . .

191

lH 1116 Hl8 203

VIII.

CoNsnuco1óN 01: UNA n o• fA. 11.&.Tll:llÁTIO.&.: UIY"a 809. . LA .A.DlCIÓN Y 8U8TJU.COIÓN

f7. Axiomas sobtt1 la adición; propiedades generalee de operaoionee; loe ooncsptoa de gnipo y de grupo abelia.no.. f8. Leyes conmutativa y &800iativa para un número cualquiera de eumandoa. . . ... O. Leyes de monotonía para la adioi6n y •WI recfproou..

201 209 211

'º

f'll-

:r: ~i;E::J:-~~~!rí~:E~i:~~~~-:.:_::.... .. ~ti

53. Definicionea cuyo de6niendum contiene el &igno de igualdad....................... 222 64. Teoremu aobre la eustraccióo.,. . . . . . . . . . . . . . . 2%6 Ejeroicioe... . . 22tl

IX.

ÜON8IDBB..A.CION1l8 IBTODOLÓOICil SOBRE LA noa.J.a. CONSTRmDA

66. Eliminación de axiom&11 •uperftuoa en el 1U.tema original. 6G. lndeJ;>&ndenoi& de loa u:iomu del aiatema aimplifl.cado., . .

6 08d:~:iu: ion~~~ IS?. Eli¡:= re gruposim~j¡J!:tndl=~ abeliano ordeniado.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68. Bimpíl6ca.ción ultorior del &iatema de hiomu; f108ibles

trenaforma.ciones del eiatema d e ~nninOI primitivoa.. 69. El problema de conaiatencia de la teoria construida. .. tlO. El problema. de completidad de la teorla coJl8truida. . Ejercicios...

233 237

239 242 248 249 251

X. EXTENSIÓN D• U. TBOIÚ.6. CONSTl\UIDA. FuNo.uo:NT08 DB LA ~CA DE LOS N'Ó'llEROS

61. Primer sistema de axiomas para la aritmética. de loe n11m er08 reales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. Caracterización :méa detenida d el primer eistema de all.iomu; 11u11 ventaj&11 metodológica.e y deeventaja.e did&.cticaa ......... ..... ..... . . . ..... .... ........ .. . ... 63. Segundo 4iatema de axioma.a pua la aritnuStiea de loe riú· me-roa reales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6f. Caracterización mú detenid6 del aegundo aiat.ema de axlo. mu¡ concepto. de cuerpo y de ouerpo ordenado. . . . . . . 66. Equivalencia de 101 d04I 11atemu de a x iomu; dmventaju metodológicaa y ventaju didicticae del 11egundo sistema. Ejercicios .. .. .. .. ...... .. .. .. ...... .......

257 259

!61 263 28'1 266 271

GufA BIBLIOGRÁFICA••••

\

PREFACIO DE LA EDICIÓll lllGLESA

Eate libro ee una edición pa.rcialmente modificada y extendida de mi libro Sobrt. la Lógica M~ '!/el M ttodo Deduaivo, que apareció primeramente en polaco, en 1936, y luego, en 1937, en una exa.ct& traducción e.leme.na (bajo el título: Einfii.hrung in dit ma.Uiematiaclu Logilc und dit M ethodologie rkr MatMmatilc). En su forma original fue concebido como un libro científico popular; eu propóeito fue presentar al lego educado -de modo en el que pudieran combinarse la exactitud cientlfica con la mayor inteligibilidad po· aible--- una ide& cla.ra. de la_ podel'08& tendencia. del pens&miento oontemporáneo que se halla concentrada alrededor de la lógica moderna. Eet.& tendencia parle originalme11te de la tare& algo limitada de 80lidifica.r loe fundament.oe de la matem&tica. En eu presente fa.se, sin embargo, tiene objetivos mucho mé.a amplioe. Porque trata de crear un a.pauto conceptual unificado que proveería de un~ bue comó.n a. todo et conocimiento humano. Adem'8, tiende a perfec<:ionar y aguzar el método deductivo, que en algunas cienciaa ee considerado oomo el ímíco medio permitido para eetableoer verdades, y re&Jmente en todo dominio de la actividad intelectual es por lo menos un ine:trumento auxiliar india. pensable para derivar conclusiones de suposiciones aceptadas. La acogida que tuvieron la.a ediciones polaca y alemana., y es· pecialmente algunas sugestiones hechas por críticos, dieron ori· gen & l& idea. de hacer de la nueva edici6n no meramente un libro científico popular, sino también un testo en el que pudiera ha· aarae algún cureo univM11itario elemental sobre 16gica y metodolo·

12 gfa de laa ciencia.e deductivM. El e:rperinumto pe.reef& a.tr&ctivo, en vi.et& de la ca.renda. de libroa de te:rto elementalea a.propi&dOI en eetr. materia.. Pan llevar & cabo el e:.:perimento, fue neceea.rio b.cer vari011 cambios en el libro. Algunas cuestiones y nociones muy funda.menta.lee fueron enteramente pa.aadaa por alto o superficialmente tocadas en lu edicionea previa.s, sea a causa de au cará.cter más técnico, se& para

llOBlayar puntos que se preetan a controversia.. Como ejemploa pueden citarse ciertos tópicoa, como la. diferencia entre el uao de a.lgunaa nociones lógica.e en el desarrollo aistemá.tico de le. lógica, por una parte, y en el lengua.je cotidiano, por otra; el método g&neral usado para la verifie&ción de la.e leyes del cálculo propoaicional, la neoeaidad de una dietinción clara entre lu palabras y aue nombree. loa conce'.ptoe de claee universal y de clase nul&, 1u oocionea fwidament&lee del c6Jculo de relaciones, y, finalmente, la concepción de la metodología. como una. ciencia general de la.e oienciu. En la presente edición eon trata.dos todoe e6toe tópiooe {aunque no todoe en forma. igu&lmente detallad&), pues me pa.rece que su fa.Ita oonetituye una laguna. esencial en cualquier libro de lógica moderna. Consecuentemente, loe capftuloe de la primera parte del libro, o parte general, han_ sido má.a o menoa ampliadoe; en particul&r el capitulo BegUD_do, que está. dedicado al cálculo propoeioiona.J., oontiepe mucho material nuevo. He agregado también muchos nuevos ejercicios a estos capítulos, y he aumentad.o el número de indicaciones históricas. Mientraa en Ju ediciones prHiaa el uso de elmbolos especiales fue reducido al mini.me, oonaidero necesario en la presente edición familiariz&r al lector con loe elementos del simbolismo lógico. Sin embargo, en la. prictica. eete limboliamo 9e ha. u8&do en forma muy reetringida y ha. sido limitado en su mayor parte a ejercicio&. En laa ediciones previa& lot ejemploe relativo• e. laa con.eider•· cionee generaJ.ee y a.batr&etaa fueron tomadoB principalmente de la. matemática de la escuela. Becundaria¡ porque era. mi opinión, y oontin6a Biéndol&, que la matecni.tica eleme~l y especialmente el álgebra, a ca.usa de la simplicidad de BUl!I conceptos y de la uniformidad de sue métodoa de inferencia, es particularmente apropiad& para ejemplificar varioa feraómenoa fund&ment&lee de na.turaleza lógica. y metodológica.. Sin embargo, en la presente

PREFACIO DE LA EDICIÓN INGLESA

13

edición, y en ospocial en loe pMAjea agregadoa, tomo ejemploe mú frecuentemente de otroe dominioe, oon preferencia de la vida diaria. Independientemente de e&cl8 agregadoe, be vuelto a escribir ciertas secciones cuyo dominio resulta!>.. algo dificultoeo par• loe eetudiantee. Laa cara.cterleticu eeencialee del libro permanecen in<ert.du. El prefacio de la. edición origin&I, la mayor parte del oua.J. ee b&lla reimpreso en p&gin88 siguientes, dad. &l lector un& idea sobre el e&rácter general del libro. Quid. oonTenga., sin emba.rgo, aefi&l&r explloitamente lo que no debe eeperane de Mte. En primer lugar, el libro no contiene una presentación lliste. m!.t.ica. y eatrictamentA!I deductiva de la lógica.; es obvio que una preeentación tal no eet4 dentro del alcance de un libro de teno elemental. Mi intA!lnción fue originariamente incluir, en esta ed.lolóa, un capftuJo a.dicion&l titulado Lo l6gka como ctmcia dt.ducfüia, el cual, como iluetn.ción de tu obeerTacionee metodológiou genera. lea que figuran en el Capitulo VI, hubiera eebozado un deearrollo ei.etem•tioo de algunaa partea elementales de la lógica.. Por vt.ria.B razones esta intención no pudo realiz.&rse; espero que en cierlo modo ee vea. oompens&da. eeta omiaión por el buen mi.mero de ejercicios nuevos sobre eate· tema que ee han incluido en el Capitulo citado. En segundo lugar, aparte de doe puajee m'9 bien cortos, el libro no da información a.oerea de la lógica ariatotélica tradicional, y no oontieoe materi&lee tom&doa de ella. Pero creo que el espacio dedicado aquí a la lógi0& tr&d.icional oorreeponde bastante bien al eacaso papel a que esa lógica ha sido reducida en la ciencia moderna; creo también que esta opinión ee compartida por la mayorla de loe Iógícot1 contemporáneo&. Y, finalmente, el libro no traM. de problemu relativoe • lae llamada lógica y metodología. de la.e ciencia.e empirie&S. Debo decir que me inclino a dudar que haya una. «lógica de lM ciencias emplricaat especial, como opueeta a la lógica en general o a. la «lógica de lae ciencias deductivABl (por lo meriol!I en lo que concierne a la palabr& dógica. tal como ee uaa en eete libro ~ decir, como el nombre de una disciplina. que M&liz.a el aignifioado de loe concept.ol!I oomunea a toda.l!I laa cienci.aa y que eetablece laa leyes general.ea

"

por la.e que &e gobiernan loe eonceptoe)-. Pero éete • un probl&ma m'8 bien de palabra que de hecboe. De cualquier modo, la llHI• todologia de la ciencia emptrica conat ituye un importante dominio de la investigación cientifi.ca. El conocimiento de la. lógica M, por impuesto, valio&O para el eetud.io de esa metodologfa., como lo ee también en el caso de cualquier otra di&ciplin&. Debe admitirse, ain embargo, que los conceptos y 108 métodos lógicos no han hallado, haat& el presente, a.plica.ciones especlficae o fértiles en aquel do. minio. Y ee al menos posible que eeta eitu&ción no sea. con.eecueoci& mera.mente del eatado en que ae hallan en la actuaJid&d 1611 inveetiga.ciones metodológie&&. Ella proviene, quizá., de la circunstancia. de que, pa.ra loa finee de un tratamient.o metodológico adecuado, una ciencia empírica puede oonaiderarse, no aola.ment.8 como una teorla cientt6ca. --esto es, como un sistema. de afirma.

cionee diepuestu de acuerdo eon ciertae reglae- 11ino máa bien como uu eattuctura compleja oompueeta en J*1'te por &firm&cio.

nea del tipo mencionado, y en pan.e por actividad.ea hwn&nu. Agrigueae que, en sorprendente oposición al de&&rrollo de lae ci&nciaa emplriC88 en si mismu, la metodologla de esta.a cienci&e & duras penM puetie· jactarse de algunoe resultados precisos comparables con los de aquéllaa a pesar de los grandee esfuerzoe que han sido realizados. Incluso l& tarea preliminar de ol&rificación de ooncept.os que intervienen en este dominio, no ha sido a4.n llevada a cabo sa.tisfa.ctorie.mente. Por tanto, un curso de metodología de las cienci&B empírie&S d ebe tener un carácter muy diferente del de un curso de 16gica., y debe est.ar dedicad.o en gran parte a la valoración y !& crit ica de t.ent&tivaa indeeiM.& y de esfuerroe infructuoaoe. Por eeta.e y ot ra.a razones, veo eee&e& juati.&caci6n r.~cional p&r& combinar la diecueión de la lógica. con la met.odologfa de las ciencia.e empíricae en un mismo curso.

Algunas obser vacionee toda.vi& en lo que se refiere al orden del libro y & su uso como texto univereitário. El libro está. dividido en dos partes. La primera presenta una introducción general a la lógie& y a Ja metodologl& de lu ciencias deductivas; la segunda mueetra por medio de un ejemplQ_ concreto el tipo de aplicación que la lógica y la. metodologla encuentran en la. conatrucci6n de las toori&s matemátiC88, y a.si da. una opor· tunidad pa.ra asimilar y profundizar el conoci.mient.o adquirido

PRD'ACJO DE LA EDICIÓN lNGU&l

en: la primera pariA!I. Cada ea.pftuJo eet& completado por ejercioioe OOnTenient.ee. Eo la.e ootae 61 pie ee han co11.11ignado brevee indi· cacionee hiatdricaa. Loa pasajes, e incluso lee eeccionee enteras, que ee hallan comprendidos por asteriacos •••, tanto al comenzar como al finalizar, cóntienen material má8 difioultoeo o presuponen familiaridad con otros pasa.jea que contienen material de tal lndole; éstos pueden omitirse ein comprometer la integridad de las partes subsiguientes. F.eto mismo ee aplica & los ejercicioe cuyOB númeroa están precedidos por Mteriecos. Me parece que el libro contiene material suficiente para. un curao de un afto completo. Sin embargo, su ordena.miento permite que ee lo use con el mismo provecho en cul'808 de medio afto. Si &e lo usa como texto ps.r& un curso de lógica en un dcpnrtamento d e ñloaofJa durante medio &i\o, sugiero el eatudio completo de la primera parte, inclusive loe p88aje$ de mayor dificultad, omitiendo entera.mente la eegund& p&rte. Si el libro se usa en un curso de medio año en un departe.mento de matemática -por ejemplo. sobre fundamentoe de Ja rna.tem!tica.- sugiero el estudio de amba..'l partee del libro, con omisión de loe po.aa.jea dificultoS08. En todo ca.so, deseo recalcar la importancia de resolver lM ejercicios en forma completa y cuidad.can; porque ellos no sólo facilitan la asimilación de loe ~nceptos y de los principios discut.idos, sino que tocan muchoe problemas, para cuya discusión no Re ha presenta.do oportunidad en el texto. Me sentirla. muy aa.tisfecho si eate libro contribuyera. a la ampli& difusión del conocimiento lógico. El curso de los acontecimientoa históricos ha reunido en este pals a loa má.a eminente8 representantes de la. lógica conte.mporánea, y ha creado de etite modo condicioneti eapecialmente favorablea para. el desarrollo del pensamiento lógico. Estu condiciones favorables pueden , por aupueato, ser fácilmente desequilibrada& por efecto de otros factores más poderosos. Es obvio que el futuro de In. lógica, o.si como el de toda ciencia teórie&, depende esencialmente de la normaliza. ción de laa rel&ciones politicaa y eociales de Ja humanidad, y, por tanto, depende de f&ctoree que eee&pan ILI control de los cstu. diosoa. profe&onales. No tengo iluai.onea acerca. de que el pensamiento lógico, en particular, tenga. un efecto verdaderamente eaen-

•• cial en el proceeo de normaliución do la.e relaciones hume.na..; pero creo que la amplia difuei6n del conocimiento de la lógica.

puede contribuir poaitiV&mente a la aceleración de ese proceeo. Pues, por una parte, al dar a loa conceptoa un eignificado prt!Cieo y uniforme en eu propio campo y al inaietir en la necesidad de precisión y uniformidad seiilejantee en todo otro terreno, la lógica oonduoe a la posibilidad de un mejor entendimiento entre aquelloe que tienen el deseo de lograrlo. Y, por otra parte, al perfeccionar y agudiza.r IOl!I instrument,()I! del pensamiento, ella dee&rrolla el aen.tido critico de loe hombres, y en consecuencia hace menoe pro· ha.ble que éat.os se vean e:drariadoa por todoa loe pseudora.zonamientoe a los cualee se hallan inceea.ntemente expueetoa en la. &e· tualidad en vari&11 partea del mundo. Dejo ezpreeión de mi má.a agradecido reconocimiento al doctor O. H:sur:u, quien llevó a. ca.bola. traducción al ingUe de la edición alemana. Deseo también expresar mi mú cálida gratitud al doctor A. HonT.t.DTi:i, al seflor L. K. Kiu.nltR, al profesor E. N.t.oKL, al profesor W. V. QUIN1t, al eeik>r M. G. WHITJ:, y eepecialmente al doctor J. C. C. McKINsu y al dodor P. P. WutNER, quienee fueron insustituibles en sua coneejoe y en su asistencia, mientraa yo preparaba la edición ingleaa. También a.gra.dezco mucho al aeiior K. L. ABRow au ayuda en la lectur& de las pruebas.

Al/red Ta.ralci. UniTenidad de Harv&rd, septiembre de 1940.

Tanto Ja segunda edición (1946) como la presente tercera edición de este libro son, esencialmente, reproclucciones fotcigráficaa de la primera edición norteamericana, y no ha sido poa.ible

:t~u=~~~1e:rr:!ú~e ~m~~~~_:n y~nh:ca~~jo~~:':i1;~~ detallea. En pa.rticular, en la presente edición ae ha.n agregado muchos ejercicios nuevoa que dan al lector mayor oportunidad de tBbajar con el simbolismo lógico. Además, la Gula Bibliográ/W

PREl'ACIO DE U. BDICJÓN INGLESA

17

inoluida al 6.oeJ del libro ha aido completamente reriae.da y pueeta al di&. Deeeo a.gradecer a lectol'e8 y crlticoe por sua lltilea observacionee; estoy eepeeie.lmente agradecido a I& proíeaora. l..oUISB H. LDI (CKIN) por su aaiatencia en la. preparación de la segunda edición, y & la. ee&orit& JUDrm Na y al profesor W. B. Prrr por eu aaistencia en coneiión con la preeente edición. El profesor L. HBNIIN ha. hecho muchas eugerenci&s valioeas que han eido incorpor&d&e al nuevo texto de la Gv.'4 Bibliográfica. A. T. Universidad de California, Berkeley, agoato de 1964.

l..,RODUOCl6N A U. L6G!CA.-:1

DBL PRBPACIO DB LA EDICIÓ!I ORIGl!IAL En la opinión de muchOl!I legos, la matemá.tica M ya hoy una ciencia muerta: después de haber a.lea.a.za.do un alto grado de

deaa.rrollo, se ha petri6e&do en una rigid& peñección. F.a éeta. una forma completa.mente errdnea de ver Ja eituación; hay muy pocoe dominioa de la investigación cíentffica que estén p&MDdO en la actualidad por un periodo d e deearrollo tan intenso oomo la matemá tie&. Además, eate desarrollo ea extraordinariamente variado: la. matemática está. e.xtendiendo su dominio en todas laa direcciones poeiblea, ee halla creciendo en alto, en a.ncho y en profundidad.. Se halla creciendo en alto, pues sobre el terreno de eue vieju teorías, que llevan cientos cuando no miles de a.fioe de desarrollo, aparecen nuevoe y nllevoa problema.e, y siempre ee logran reaultadoe má.s perfectoa. Ella crece en ancho, porque eue métodoe penetran en otrM rama.a de laa ciencias, mientras su dominio de inveatig&eión abarca. en modo creciente clasee máa genera.lea de fenómenos, y siempre ee incluyen nueve.e teoria.e en el amplio clrculo de la& disciplinas matem!ticu. Y, finalmente, ella crece en profundidad puesto que 8\18 fundamentos ae a.rr&iga.n cada vez más firmemente, sue m6todoe "" perfeccionan y 1!11'1 principioe ee estabiliza n. H a eido mi intención, en etite libro, dar a aquellos lectores que ae interesan por la matemá tie& oontempor&nea., sin t.ener una re.. lación activa con ella, una idea muy general eobre aquella tercera dirección del desarrollo matemitioo, esto es, eu creci.m.iento en profundidad. Mi objetivo es familia riz.ar al lector con los concepto& máa import&ntes de una disciplina. que se conoce oomo lógica.

20

matemática y que ha aido creada para eetablecer con mayor 6rmez& y profundidad loa fundamentoe de la matemática: esta dia· ciplina , a. peaar de au bren exieUccia de un siglo eeouo, ha alcanzado ya un alto grado de peñección y deeempel\a actualmente un papel tal en la totalidad de nuestro conocimiento, que traaciende con amplitud los limites que originariamente se le asign&ron. Ha sido mi intención moeira.r que los conceptos de la. lógica penetran el cuerpo integro de la matemática, que ellos comprenden como C&SO& especia.lee a todos loe conceptos específicamente matemáticos, y que las leyes lógica.a se e.plica.o constantemente ---en forma consciente o inoon&cient&- en los razon&mientos matemáticos. Para fina.liz&r, he tnt.a4o de presentar loe principios máa impottantee que intervienen en la conatruceión de la.a teoría.a matemá.ticaa -principios que conatituyen el material de otra die· ciplina., la matodotogfa de Ja ma.temá.tica- y moat r&r cómo comienzan a uaarae aquelloa principios en la. práctica. No ha. aido fé.cil llev&r a cabo la totalidad de este pla.n a tr&Téa de un libro relativa.mente pequeAo, y ain preeuponer de parte del lector algún conocimiento matemático especializado o algún en· t rena.miento en razonamientos de caricter abstracto. A lo largo de todo el libro se ha. intentado combinar le. mayor inteligibilidad poaible con la concisión necesaria, mediant.e un cuidado continuo en evit&r errores o inexactitudes cientlfi.cae. Se ha usa.do un len· guaje que se desvía. lo menos posible del lengua.je de la vida diaria.. Se ha. hecho muy poco uso del eimboliamo lógico eapecía.lizado, aunque este a:imboliamo es un inap~ia.ble instrumento que noe permite combinar la concieión con la praci.9ión, alejando en alto grado la. poe.ibilidad de ambigiiedMie. y ma.lentendidoa, y es por ta.nto de esencia.! utilidad en todalJ tae coMideracionee má.e autilea. La idea de un tratamiento aiatemá.tico ha eido abandonada. deede el principio. Entre la abundancia de cuestiones que ee presentan, aólo una.a pocaa han podido discutirse en detalle, otras sólo pudieron ser tratadas superficialmente, mientraa que hay otr88 aún que han debido pa8&1'8e enteramente por alto, con la. conciencia de que la selección de loa tópiooe discutidoo preeent.arla inevitablemente un e&ré.cter má.e o menoa arbitrario. En a.quelloa casoe en loa coa.les la ciencia contemponlnea no ha. tomado a.ún una. posición definida y ofrece variaa &alucionee posibles e igualment.6

8EL PBEP.tCIO DE U DICIÓN ORIGINAL

21

oorrectu, no era posible preeente.r objetivamente todo.a loe puntot de 'rieta oonocidol. 116 aido neceet.rio deoidine en fa.vor de alguno de elloa. Al tomar tale. decisiones be teoid.o cuid&do primeramente no de que reault&ra.n oonformee a. mía inclinacionea peraonalee, sino m'8 bien de elegir UD método de solución que fuera lo m'8 Wnple poeible y que ee preetara a af mismo & UD modo popult.r de presentación. No tengo la. ilusión de haber obviado completamente estas y otnta difi.cult&dee.

PRIMERA PARTE

ELEMENTOS DE LÓGICA MÉTODO DEDUCTIVO

SOBRE BL OSO DB VARIABLES 1.

80

Constantes 1 Yarlablel

Toda toorfa ciontUio. ee un ei.etema de propoeicionee1 que aceptan como verdaderae y que pueden llama.ne LEYES o

JC?ftrnCUDOS ~os

o eimp!emente

.A.SEBCIONES.

En la ma-

t.emi.tica. estas aeeroionee ee 8iguen una& de otra.e en un orden definido de acuerdo con ciertoe principiOl!I que serán diacutJ.d06 en detalle en el Capítulo VI, y por lo gener&l van acompai\ad&B por consideraciones destinadas a eetableoer au validez. Cons.ideracionea de eet.e tipo 8EI llaman PBO'ltaAS (o DBMQSTRACIONES), y lae aserciones est&blecid&8 por ellM reciben el nombre de TEOBEMA.e. Entre l&B expresiones y stmboloe que intervienen en los teoremas y demostraciones matem&ticoa, distinguimos CONST.iliTES y V.tRIABLES.

En )Q aritmética., por ejemplo, intervienen con&tantes t.alee como tnúmtro••, •cero• (.0.), cunot (•h), uuma• (•+•), y muehae

T •1>ropo

~" lambl~n lo• utane •enunciado• IDUnci.ttvu. (0. c. 'I M. D.) • Por •arltm~tlcu entendemoe aqul la parte de la matemf.tlea q111 H ocupe de le lavt1tl1aeldndeluproptedMieaif11Mraleidenll~delMnlaelo11qentrenll-

26

otra.e. Ca.da uno de eetoa términos tiene un eignificado lijo que permanece in<erado en el cureo de laa consideraciones. C.Omo va.ria.bles utilizamoe ordinaria.mente letras &iel&du, en la. aritmétie& por ejemplo, laa letru minúeculaa del a.lfa.beto latino: MJt, tbt, cct, ... , ut, 'Y'· m. En oposición a las constante&, las va.riablea no poseen significado propio. Así, la pregunta: ¿Tiene uro tal o cual propit.dadl por ejemplo:

ae puede contestar siemp~ afirma.tiva. o nega.tiva.mente; la respueet& puede ser verdadera o falea, pero en todo ca.ao tendrá sentido. En cambio, una pregunta que afecta a .1:, como por ejemplo:

no puede contestarse Bignificatinmente. En algunos textoa de matem6.tie& elemental, especialmente loa

menoe recientes, ocasionalmente ee encuentran formula.cionee que sugieren que es posible a.tribuir significado independiente a. las Y ariables. Se dice, en efecto, que los símbolos en, tyt, ... designan ciertos números o magnitudes, aunque no múmeros const&ntem (como loa designados por l&S consta.ntea .O., •h, ... ), eino loe Uamadoa múmeros variabl~ o también, tm.agnitudee variableat. Afirmaciones de este tipo tienen au origen en un gra.ve malentendido. El múmero va.ria.ble. z no podría poseer ninguna. propiedad determinada; no podría ser, por ejemplo, ni poeitivo, ni negativo, ni igual a. cero; la.e propiedades de tal número varia.dan de caeo en caso: dicho número seria positivo unas veces, negativo otras, y otras igua.I a. cero". Pero tale.a objetos no los enoontr&mos en el

ros'/ de luoperaclonuconello•. Con frtt11eada.., 11Kel Unnlno •ilgebn.o eu h.i1N 41 •lr'ltm6Uca•. particularmente en l& tllllft.aD&& eec11nd&rl&. J!emo. preferido le p&i&br& oerttmUlcu porque, en matemiUca "perlo<, el i.tr.ioo •il.pbra• M reMn'& par& I& U.orla •ucho ni'- e.peclal de Ju &eu&eloua &lpbr1.icu. (Bn los dltlmo• allot el Wrmloo ~b- h• tomado 11u ..,ntldo mu ••Piio, que Mn ea. 1ln erobar¡o, dlreren.te del de -.rtt•ttc...) BI tolrmlno •nlimeroo te u..n. e n e.ta te:1to con el Mntldo que en meteU· u.,. M ulrn• h&bltU&lmtnte al 1'rml110 •nd-ro mi•: u d&elr, comprende e la. nd-ro.11 11Koero.1yalotíracdona:rlot,&iolr&elaDdlor•lnll,,....lo11&!M,&la.poallha.11io. Q&tttl\'a.,peron.oelo1ndmtro1lm~1eompl1J01.

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA

mundo en modo s.lguno; eu u:iet.encia contradice a laa leyes fundamenta.lee de nuestro ~neamieoto. A la claaüicaci6n de loe eim· bolos en const.aD.tea y variablea, no correaponde, puee, una claai.6.ca.ción análoga de los m1meroe.

z. Expresiones que oonUtHD vulablel: hmoion• proposloionalel y d•lpath'u En vista. de que la.a variablea no poaeen significad.o por sí mi.amas, &1.888 como:

no constituyen propoeició~ alguna, no obst.anto adoptar la forma gramatical de éata.a; no expreean una afirmación determinad& y no pueden ser confirmad.as ni nifutadaa. De la expresión:

se obtiene una propoeición 801amente cuando se reemplaza. en el!&

u• por una constante que designe un número determinado. Si en vez de ~ ponemos en ella, por ejemplo, el símbolo ch, resultará una proposición verdad.era; ai, por el contrario, ponemos clj,t, tendremos una proposición falsa. Un& expresión como éet&, que contiene varia.bles y que al reemplazar éatae por constantes determinadas se convierte en una. propoeición, recibe el nombre de FUNCIÓN PltOPOSIOION.il.. L:is matemá.tiooa no utilizan eat& eqir&Bión a guato, porque eatán acoetumbradoe a uaar el término •función• con otro aignifie&do. Con máa fr&euencia ae aplica. en eate sentido la ei::preaión COONDICIÓN•; regularmente, el matemático designa por J'ÓRld:OL.&.S a laa funciones proposicionalee y proposiciones compuestas exclusivamente por iúmbolo11 matemá.ticoa (sin palabras del lenguaje corriente). como, por ejemplo:

:e+y=5. En lugar de d'unción proposicionalt, a veces diremoa simplern.ente cpropoaicióm, aunque eólo en iLquellos casos en que no pueda deslizarse ningón malent.&ndido. El papel de lu variables

28

AÚ'l:Ell 'til81ll

se ha comparado acertadamente mucha.a veces con el de loa ea¡w.oioa va.cloa de loa Cueetfonarioe: Mf como un cueetionuio no tiene un contenido determinado huta no llenar sua hueco., te.mpooo una función proposicional se oonvíerte "en una propoeición haet& no insertar constantes en loe lugares de las varia.bles. Si como re. sultMio de reemplazar const&ntea en lugar de variables (y naturalmente, de oonst.antea iguales en lugar de variables igualea) ae obtiene una. proposición verdader•, diremos que los objetos designados por esa.a oonstantea S.\TISl"A.CEN la función proposicional dada. Por ejemplo, los nóme!'08 1, 2 y 21/1 sa.tisfacen la. función propoi!icional: :r<3, y en ca.mbio los nómeroa S, 4 y:t1/1 no la aatief&.cen. Junto a la.a funciones propoaicion&lee, merecen tam.bi4n at.en· ción otraa erprea.ionea en laa que 6guran uimiemo v&rie.blea, laa llamada.a rtrlfCIONES DE810N&TIVU O DJ:8C1Ul'TIV.ü: Mtu llOD 9J:· preeionee que ee tr&mforman en deeignacionea de objetos al aue\i. tuir Jaa variablea por constantes. Por ejemplo:

ee una función designe.tiv&, pues ae obtiene la designación de un determina.do número (por ejemplo, el námero 6), si en ella. reempla.za.moe fZ' por una consta.nte e.rbitrari& que designe un nómero (por ejemplo,t2t). Entre laa funcionea deaigna.tivaa que apueoen en la aritm~tica, tenemos en particular laa Uame.daa upree.ionea al¡ebraicaa que eet.án compuesta.e por varia.blee, conetantee num6ricaa y loe IÚD· bolot de laa cuatro operacionee aritmética.a fund&m.entalee, oomo, por ejemplo: z-y,

2 · (z+y-z).

Por el contrario, la.e ecu&eionea algebra.icaa, es decir, las fórmula.a compuesta.e por dos expreeionea algebraicas ligadM por el rdJn. bolo son funciones propoeioiooalea. Como ee sabido, reapeoto de lu ecuaciones ee ha creado an la. matem6.tica una terminología

•=•,

INTRODUOCIÓN A LA LÓGICA

29

particular: a las variables que apar-toen en una ecuación ee Jae lla.ma. incógnitas y a loa nó.meroe que eat.iefa.cen a. la ecua.ción, ro.ices de ésta. Por ejemplo, en la ecuación:

r+ 6 - s.:z: Ja variable ~ es una incógnit.a y loa números 2 y 3 las rafees de I& ecuación.

De lM variables u., cy., ... empleadas en aritmética, se dice que ESTÁN EN LUOAR D.1: DESIONACJONES DE NÚMEROS, o bien que los números son v "'LORES de esas vari&bles. Con ello se quiere decir aproximadamente lo que eigue: un& función proposicional que contiene loa símbolos u., .y., ... , ee tranaforma en una proposición si dichoo símbolos se reemplu.a.n por conet.ant.ee que deeignan números (y no por e:ipreeiones que d esignan operacionee con nóm&ros , relaciones entre mlmeros, o bien objeto11 que eatá.n fuera del campo de la aritmética, como oon6guraciones geométrica.e, ani· males, plantas, etc.). Análogamente, las variables que aparecen en geometria están en lu8ar de designaciones de puntos y de figur88 geométricas. También puede d~inc que las funciones designativas que se presentan en aritmética están en lugar de designaciones de números. A veces se dice simplemente que los símbolos u., tyt, ... y las funciones designativu construida.a con ellos, denot&n númeroe o son designaciones de números, pero esto es sola.mente una terminologla abrevia.da.

3. Formacl6a de propo11&1one1 por medio de variables. Proposiciones uah'tnales y ulsieoclales Aparte del reemplazo de varia.ble! por const.antea hay aún otro ca.mino por el cual pueden obtenerse proposiciones a partir de funciones proposicionales. Conaideremoa Ja fórmula:

z+y=y + z. Se trata. de una. función propoeicional que contiene dos va.ria. blea, t.n e •!P y que es sa.tiafecha por cu&lquier par arbitrario de

30

ALJ'REO TARSKI

números; ei colocamoe oooatultee num6ricae our.Jeequ.ier& en luga.r de tZt y de tyt, obtenemoa eiempre una fórmula verdadera.. Expre. Amos brevemente eate hecho del aiguiente modo: para kJdo número :z: y kJdo númt:ro y,

:i:

+y-

y

+ :z:.

r.. expresión as{ obtenida ea ya un& propoeición genuina y,

m'8 aún, proposición verdadera; reconocemos en ella. a. una. de las leyee fundamento.les de la &ritmética, la lla.mada ley conmutativa de la adición. Los más importantea teorema.a de la matem&tica. se formulan análogamente, en eapooial, tod&& las llamada.a PROPOSICIOM&S UNIV!:lt8A.LES O PROPOSICIONES DE OARÁCTER UNIVERSAL, las cua.lee afirman que objetos arbitrarios de cierta categoría. (por ejemplo: en el caao de la aritmética., números arbitrarios) tienen t&I y tal propiedad. Debe notarse que en Ja formulación de propoaicionee univerealee se omite a menudo la.frue «para objtlof (o númtroa} cvak,,quÑ=ra z, y, ...t y ~lla. debe ínaerta.rse mentalmente; ul, por ejemplo, la ley conmutativa. de la suma puede da.ne simplemente en la siguiente forma:

a:+y - y+:t.

t.&ta es un& costumbre bastante difundid&, a. la que también noe atendremos nosotros en el cureo de la.e oonsidera.cíones posteriores. C.Onaideremoe ahora la función proposícíon&l:

z > y+l. Eeta fórmula no ee eatísfecba por cualquier par de n'1meroe: en el cuo de coloca.r, por ejemplo, t.3• en lug&r de ezt y t4• en lugar de tyt, ae obtiene una faleede.d:

3 > 4 + l. Por conaiguiente, ai decimoe:

para número.t cualuquMra z t y, z > y

+ 1,

obt.enemoe una proposición indudablemente Bigní.fie&tiva, pero, evidentemente, falsa. Por otra. parte, &s:isten paree de n'1meroe que

31

INT!lODUCCIÓN A LA LÓGICA.

satisfacen la función propoaicional oonaiderada: por ejemplo, el result&do de reemplazar por ... e ,,. por e.s la fórmula ver. da.dera:

•2•

u•

'>2 +l.

Esto se puede expresar brevemente como sigue:

para algunos númuoa z e y, z >y+ l, o utilizando una forma de uso frecuente:

uiaUn númeroa z e g talu qm :r

>y+

l.

Laa expreaiones índicadaa &0n propo.sicíone.s verdader&l!; son ejemplos de PBOPOSICIONIS EXISTENCIA.LES o PROPOSICIONES DE c¿úCTER &XIBTENCUL, que afirman la existencia de objetoa (números, por ejemplo), con una detennínada propiedad. Con ayuda de los métodos descritoa ee pueden formar propoaicionee p&rtiendo de cualquier función proposicional do.da; sin emb1Lrgo, el obtener una. proposición verdadera o fa!&& depende del contenido de !& función propoeiciona.l. El ejemplo siguiente puede servir de ilustración. La. fórmula: no ea satisfecha. por ningán námero; por lo ta.oto, si le antepone· moa la.a palabras tpara t:ual.quier 1uinuro :n o 'SU:iste un núnu:ro z tal qiu•, llegaremos siempre & un& proposición falsa..

En opoeición, tant:o a Ju propoaicionee univenalee como a las exiatencialee, laa propoeicionee que no contienen variablea, oomo por ejemplo: 3 + 2 ~ 2 + 3,

!lerán llamadas PBOPOSICIONU 81lf0l]U.RES. F.at.a. claaifica.ción no ea exh&U8tiva, puee existen mucbaa proposiciones que no se pueden encuadrar en ninguna de las tl'e8 cat.egorll!l.B indicadas. Como ejem· plo tenemos la siguiente proposición: para númuor cuaú,,quUra % e 71, tzi&te un númt1°o z tal que Z=

y+z.

32

AinED 1'.tJtSKI

lM propoeicioooe de eete tipo eon a vecee Uamadae PROPOSICIO?JES UJSTltNCIALU CONDIOJONADAS (para diferenciarlas de la.a propo· eiciones existencialee conaider&du huta ahora, a. laa que podemoe Ua.ma.r BXISTJ:NCULES •BSOLUTAB): ellas afirman la existencia. de n6meros poseedores de una cierta propiedad, pero bajo la condición que ciertos otro!!!! nómeroe exilltan. 4.

Cuantificadores unlveraal J existencial; variables Ubne 7 ltgaüs

Frll8e8 tAlee como:

para todo~ y todo y, .. tria~n

z , y, ..• tak8 que

86 llaman CUANTIFICADORES; la primera. frase es un CUANTIFICADOR UNIVEBU.L y la. última es un CUANTIFICADOR EXISTENCIAL. Los cuantificadores se conocen también como Ol'ERADORES; hay,

ein embargo, expresiones que se cuentan entre los operadores y que son diferentes de los cuanti6.cadore11. En la. sección precedente hemos tra.t.ado de explicar el significado de ambos cua.ntifica.dorea. Para. hacer resa.lt&r su importancia puede decirse que sólo mediante el empleo explicito o implícito de operadores una ell:preaión que contiene variables puede apareoer como propoaición, esto ea, como el e11unciado de une. ~ción bien determinad&. Sin la ayuda de operad.oree, quedaría. ell:cluido el uao de varia.blea en la. formu· la.ción de loa teoremaa matemé.ticoe. En el lengua.je corriente no ee b~ uso, por lo general, de vari&bles, y por eete motivo W.mbién los cuanti.fica.dores eoo innecesarios. En cambio, son de U80 frecuente cierta.e palabraa que están estrechamente relacionadaa con los cua.ntificadorea; eaaa pal&bra.a son, entre otraa: tcadm, dodot, tun cMrlot, talgúnt. Par& aclarar en qué con.siete la relación entre dich&e paJabr&a y los cuantificadores, obaervemoa que ezpresionee como lu siguientee:

UITJlODUCCIÓH A LA. l.OOICA

tienen aproximada.mente el mismo aeotido que eata.s ot.ru expresiones, formadas con ayuda. de cuantifie&dorea:

y erirle :r; taJ qiu :e u hombre y :z: u sabio,

respectivamente. Por brevedad, loa cuant.ificadoree son reempla.zadoe

&

veoe.

por erpreeionea eimbólieu. Por ejemplo, podemoa convenir que en lugar de:

y do

e:ri..JtenolYjdoa (011úmeroa) 86

%,

1J, •••

talu~

escriban las siguientes expresiones aimbólicaa:

A

s.r....

E

......

~

reepectiva.meote. (Entendi~od09e que la.a funciooee propoalciona.lee que .siguen & loa cua.ntiflcadoree deben colocane entre ~ rénteais.) De a.cuerdo con eeta conTencíón, el enuneiado que ae dio al fina.l.i.zar la. aección pre<:edente oomo ejemplo de propoeición e:tlstencial condiciona.da, toma la aíguiente forma: (1)

Una. función propoeiciona.l en la que a.parecen las v&riablea u., cyt, w, ... , ae transforma. automáticamente en una proposi· ción cuando .e le antepone uno o varioa operad.ores que contengan IHTBODVCCIÓH .. 14 LÓGICA.-1

a. todu aquella.e vari&blee. Si, en c..mblo, a1guna de laa •ari&blea Do aparece entre loe operad.oMe, la referida ezpreeióo cootintl• aiendo una. fw:ición proposicional ain llegar a eer una proposición. Por ejemplo, la. fórmula: :r:=v+z 98

convierte en una. proposición si ae le antepone una de lu fruee: para n1úmwoa cualuquitra :r:, y, z;

uiaeen númm:M :r:, 11. z talu qiu,; pira

'11

númuoa cualt.aquiem :r: ~ y, ui.tte un número z tal qut;

otra.a aim.ila.ree. Pero si .timplemente pre6jamoe el cuantificador:

ezUU un número z lal que o

~

&'60 no obtenemoa una proposición; la expreeíón lograda:

(II) ea, aio embargo, una. función proposicional, pues ee convertiri en una. proposición si reempl&z&moe c. e tyt por con.et.ante. y dejamoe u:. inalterada, o bien anteponiendo a dicha expresión un cuantificador adecuado, como, por ejemplo:

para 7'ÚmttO.t ~ierc z "-y o

t'.·

Con ett.o ee ve que entre lu v&riablee que intervienen en un. fwloióo propoeicional pued.eo distinguirte doe grupoe: lu de primera o1ue - llamad.u V~LSB Ll>B.U o PBOPU&- Ntá.n ca.raotem.adaa por el hecho de que eu pre98D.ci& e& el factor decisivo pan que Wl& expresión dada &ea función proposicional y no pro· posición. Para obtener una proposición partiendo de una función proposicional, deberán 8118tituiree eat.aa variables por constante. o uiteponer a la función operadoree que contengan a dicha.a varia.bles; laa J'el!!Jtantea varia.bles, por el oontn.rio -las llamadu v .... &LU!ILU LIQ.i.Dil o·.il'ilRNTD-- no varia.o en una tra.neformación d6 etri& lndole. Por ejemplo, en la función propoeicionaJ (II) conai-

INTaODUCC:tÓH A LA LÓOlCA

derad.& ante. en e «yt eon variablet li~ y • •pareo& doe VCOlll oomo variable ligada. Por otra pan.e, la upl'Mión (1) • una pro. posición y por to tanto oontiene eolamente variablee lipdu. •Depende por oompteto de la eetruotm& de la fu.nción propoaioional, y mti.a preoie&mente de la preeenci& y de la posición fe loe oper&dol'&l!I, que una v&riable de dicha función proposicioñal 181. libre o ligad&. Eeto puede veree mejor eli un ejemplo oonoreto. Conaideremoe la siguiente función proposicional:


ps1'G todo n.únwo :z:, n z eriak U7'

ft.Úmtro

Z

= o o y .,. o, etlloftcu fal pe

:Z:

= y•z.

F.et.a función comienza oon un oa&Dtüieador univeruJ qne oontime & la variable en, y por lo tanto ~ variable, que a.parece trel veoee n la f'lmción, 6gar& en todoe eeoa lug&re1 oomo variable ligada; en el primer luga.r ell& forme. parte del cuut ifloador,

mientru que en loe otro11 doa lug&l"M, 11e dice qne ella e1tá. LIO•D• roa J:L 017.ilfTil'IO.ADOB. La aituación de la variable e:• ee pareoida. Porque, aunque el cuantificador inicial de (111) no contiene a. est.a va.ria.ble, pod.emoe enoontr&r, ein embargo, una. función propoaioio-nal que forma. pa.rte de (III) y que comienza. con un cuanti.fioador en el cual se hall& la va.ria.ble m; eea función parcial es la aiguiente: (IV)

ui8U un nt1mtro z lal ~ :z: = y· z.

Loe doe lugan11 de la función (111) en loa oualea 6gon la. va.riable en pertenecen a 1& función pa.rciaJ (IV). Por eet.a razón deoim.09 que toda.e lae preeenta.cionea de ta en la funoió1:1. (111) eon lig&dae; en el primer lugar forma parte del cuantificador existencial y en el l!legllndo lugar eetá. ligada por eee cuantificador. En cuanto & l& varia.ble~' que también a.parece en (Ill), vemoe que no hay ni.ngón cuantificador en (ill) que oontenga a. esa. variable, y por lo tanto ella 6gur& en (111) dos veces como va.ri&ble libre. El hecho de que 101 cue.ntifi.c&doree lig&n v&ri&blee ---ee decir, que elloe convierten las variablea libree en ligadas dentro de la función proposicional que lOB aigue-- constituye una propiedad eeencial de loe cuantificadores. & conocen varias otra.e expreaionea QWI tienen una propiedad a.nl.lop; con algunas de eU.. noe enoon-

36

tr&remoiJ más adelante (en le.a Seccionea 20 y 22), mientrM que

&lgunae otru -talee eomo, por ejemplo, el aigno de iotegraldeeempe&.n un papel importante en la. matemif.tica auperior. La palabra •opera.don ea el término general que ae u&& para deeignar a toda& Ju expresionee que tienen eet.& propiedad.•

5. La Importancia de _lu nrtables en maiemáUoa Como hemOl!I visto en la Sección 3, IM va.ria.bles deeempefian un papel fundamental en l& formulación de loa teorema& matem6,. tiooe. De lo dicho no se sigue, e.in embargo, que en principio eea impoeible formular teonmas ein usar varia.blee. Pero en la. práctica, talee formulacionee suelen preeent&r enormee dificult&dee, puee

propoaicionee relativa.mente eencillae uumirlan un. forma

COIXI·

plioada y oecura. C.Omo ilustra.ción oonaideremoe el siguiente teo. rema de la. aritmética: paranúmeroacualuquierazey,z'-'11 =

(z-y)·(~

+ :z:y + yl).

Sin ayuda de ve.ria.bles podemoa enunci&rlo diciendo:

ta di/ertncia cU las Urum.r poknciaa de dos númeroa cu.aluquW!ro u igvnl al producto clt la dJftrtneia de eatoa 1i.timuo.t por una auma tk tru .aumandoa, d primuo de loa cualu u el cuadrado dd primer fttimtrO, el a~gundo d producto tk amboa y el tercero el cuadrad.o tkl Np.ndo

AÚmtro.

.

Las variables poseen todavía otra significación, eeeoci.&l desde el punto de viet& de la economfa del penaamieoto, para la.e demOBtr&cionee matemáticae. El lector lo comprender' f~ente, eí ínteota prescindir de las variablee en cualquier demoetración de 1aa que encuentre en el cureo de laa ooneideraciooee poeteriorea. Debe obeervane que eetu demostraciones eoo mucho máe aenci. 1lu que lOB razonamiento& habituales que aparecen en dietintoe dominioe de la matemé.tica. euperior; ei 119 intenta deeeovoh·er eetce r&zona.mieotos sin l& ayuda de variables 119 presentarán difi. cult&dea ooneidera.blee. Toda.vía. debemos advertir que a la introducción de laa vari&blee. debemoe el deu.rrollo de un m6todo tan

IN'fAObUCCIÓN A LA LÓQICA

81

fructífero p•.r& la. aolución de problemu matemáticos, como N el método de lu ecua.cionee. Se puede a&rma.r, ein má.e. que la inv&nción de lae variables conetituye un punto culmine.nte en la historia de la m&temá.tica: con estoe eimbolos el hombre ha adquirido un arma que he. allanado el camino para el inmenso deea.rrollo de la. ciencia ma.temá.tica y para la aolidificación de slllJ funda· mentos lógicosi, BJerelelos l. ¡Cuáles de las siguientes e:rpreeiones eon funcionee propoaicionalee y cuáles funeionee deeignat iTu! (a.) :e u divilibk por 3, (b) lo wma tk k>f fUÍmtf'OI z y 2, (o) y'-,0, (d)

,,. ~

(e)

:e + 2 <

...

y+ 3,

if)

I•+ 3)-ly + 6),

(g) (h)

la madre iU :i: y z, :i: ea la madre tk z.

2. Indice.r ejempl08 de funciones propoaicionales y designa.tivu del campo de la geomet:rf&. 3. Laa funcione& propoaieiona.lee que aparecen en la. a.ritmj. tica. y que eólo contienen tul& variable (&unque 6eta puede intervenir, como ee na.tural, en varioa lugares de la función dada) ee

pueden dividir en tres categorfaa: (i) funoionee que se satisfacen para todo número; (ü ) fun. eionea que no se 11&tisfac.eo p&r& ningún número; (iii) funcioDftl ' 1- nrlablllll .., aUU.U.rou y a 111. LA uu.oed&d por lot 111atem•t1cw J lds!COI frie10.. a11uque ldlo IR clrc11mtanclu •PMl.alie9 p _ , . alillado-. Al comlenso del dalo :u·u. prtlldp&l.meut.e b&Jo la 1111111ucla del -&am6Uoo tr.uc6a F. v11u (lHCl-1801), • co.. a tnbajar idlt.emf.t.leament. COll YU'IM>lfll y a 111&!'1&1 CODlllt.lnt.meRt.I •R coa· aJO..radouumat.em'tlcu.Sllloallu.aldclaJ1lo1n:,debldoalah1trod.uccldRd1laaodóll d1eU.11.U4e&dor, ft111lpapel d11&1nl1IMM en 11 lencuJeellntllco J ..~aWIM la formu.l&d6n de teo...,m.u mat.emtttoi loU.l•H "" -011ocldo. Bito 1'11• en ¡n.11 pt.ria el .U.to da! brtll.ate 16-¡leo J 1161oto aoltM-rtcuo C•. 8. Pmaft (181~111').

••D&d

qu,e ee eatisf'aoen para &lgunoe námeroe y no ee eatWa.oea pat6

º-·

iA odl de e.tu cate¡oriae pertenecen laa funcionea propoci. oionalee aiguientea:

(a) z+2=5+z, (b) .-~49, (o) (y+2)·(y-2)36, (e) z=06.:i:<06z>0, (f) •+24>•+361 4. Indicar ejemploe de teoremaa univmu.J.ea, erirteacialee abeolutoa y es:ist«acialee oondicionadoe, del campo de la aritm6t.ie& y de la. geometría. 6.

Si a la función proposicional:

ae le &nteponen cu&ntificad.ores, ae podrán forma.r oon ella dia· t.i.nt&I proposiciones; por ejemplo: p:aro n.úmuoa cualuquiua. :re y, .:i: >y; para un •timero eualquiera %, eriaU UA número y tal giu :r > y,

t.riree "" JlÚf!Uf"O y tal giu poro todo

JlÚJIW'O

:z:, :z: >y.

Formular toda.e estM proposiciooee (eei.e en total) y ertudiar

ou6lee de ellM aon verdaderu. 6. Repftue el Ejercicio fi oon 1.. funciones propoaicionale11 aiguientee: y

:iudf'IJd.recüy (suponiendo que en Mt& ó.lti.ma laa nriablee et y tyt eetán en lugar de nombres de pereona.t1}.

IN'T&ODUCCIÓH A LA. LÓGICA

89

7. Indica.r una proposición dol lenguaje oorrient(I que t.enp al milmo ligni&c.a.do que:

y no contenga ni cu&nti6cador'88 ni variablee. 8.

Sustitúy886 la propoeiCtón: algu1UJ8 Hrpit:ftlu Ion.

tie:MnOSal

por otra con el mismo eignifie&do formulada. oon oue.ntiñca.d.orm y va.ria.bles. 9. . DietlngaNA lae v&ri&blea libTM y ligad.u en lu eigaJentee expres1onm: (&) :t M divi.nbtt por y; (b) paratodo:t, :t-y = z +(-y) ; (e) ai :tO, entona.a t:ri.u u11 n.úmero.; tal rpu :t - y•z,· (e) 1i :t""" yt e y> O, ~ntonu.t para todo número%, z>-zl: (f) ai eziitt un núnuro y tal qm :t >y', entonu.i ptira cualquier núnuro %, z > - %1 .

Formula.r lM anteriores u.p~onee reemplua.ndo loa OU&D.tifioa. dol'M por loa almboloa introducidoe ian la Sección 4.

•10. Si en la. función proposicional (e) del ejercicio precedente reemplazamoa &mb&a preaenta.cionee de la. v&ri&ble et por tyt, oh· tenem08 un& expresión en la. cual tyt tiene algun&a preeentaaionee libree y otra.a ligadae; ¡en qué lugares y por qu61 (En viat& de &lgunaa dificuU.adea al manejar expresiones en lae cu&lee la. m.iem& varia.ble se preeenta libre y ligad&, a.Igunoe lógiooa preS.eren evitar oomplet&mente el uao de t&lea expre111iouea y no tratarlas como funcionea propoeioion&lee.)

•• •11. Determlneso de u.ne. manera general, bajo qué oondicionee una variable se presenta libre o ligada. en un cierto lug&r de una. función propoeicional. 12. iQué ndmeroe &&tiefaoen la función propoeicion&l:

ui.tte un número y tal que z - y', y qué númeroe a&tisfacen:

ezi.rteunAúmeroytalqiu z.y=l 1 •13, Además de l
•-+•

(a)

~

(b)

~[(O


(e)

~. [:z:

+y -

[-(:t
4-+ ~ [z

< z 1\ z
Recfprooamente, expréaen.ae lu aiguientee funciones propoeicionaJ.ee en afmbol011 lógico11: (d)

para todo número z erilte" númtf'Ora y, z tal.u que y


z
11 SOBRE EL CALCULO PROPOSICIONAL

8. Constantes. lógicas; la 16glca anttgua y la nueva ló¡lea Las const.nntea considerada.s en toda. teoría cient.ffie& pueden el&· JJifica.rse en dos grandCl!I grupos. El primero consta de loe términos eapecificos de esa teoría.. Si se trato, por ejemplo, de la aritmética, ésta.a serán términos que de8ign~ nómeros &isla.dos o claaes de números, o relaciones entre númeroe, operaciones con nómeroa, etcétera; entre otrM, perteneced.o a éstas las constantes que hemoe indicado en la Sección l a modo de ejemplos. Ahora bien, en loa enunciados aritméticos aparecen, ademá.a, términos de un ca.ráct.er mucho más general, a. saber, términos que encontramos 00118· ta.ntemente, tanto en la vida. cottdiana. como en t.odos los dominios posiblea de la ciencia. y que constituyen un medio imprescindible para. la. comunica.ei6n del pensamiento humano y para lleva.r a cabo ra.zon&mientos en cue.Jquier campo; ~ ~st.aa pertenecen ex· presiones ta.tes como tM•, .y., .ot, tt.at, teadat, talgúm y otraa varia.a. He.y una. diaciplina particular, la. LÓGIC..,, oomiderada como ha.se de toda.a las demáii ciencias, que 11e ocupa de preoiar el Bigníficado de t&lea términoe y de establecer lu leyee máe generales en que ellos intervienen. Desde ha.ce ya. mucho tiempo la. lógica. ee ha. constituido como una. ciencia autónoma., antes incluso que I& aritmética. y la geometrfa. Sin embe.rgo, s6lo en loe óltimos tiempos --después de un largo periodo de eat.anca.miento caei absoluto- he. empezado eeta disciplina a deearrolla.J'86 intemivamente, experimentando una

42

traneformación oomplet& y adoptando un carácter semejante 61. de una diBciplina matemática; en eete nuevo aepecto ee U&ma t.ÓOIO& Jü.TBIÚ.TJC¿ o DBDUOTIV¿ o SDIBÓLJCA, y a vecee también LO· ofmci.&.. LA nueva. lógica sobrepasa en muchoe aepectos & la &ntigua -no sólo a e&u&& de la eolidez de eua fundamentoe y de la peñección de loe métodoo empleados en su construcción, Bino ant.e todo debido a la. riquM.& en oonceptoe inveetiga.d.oe y teoremas b&Ua.doa. La lógica. tradicional oonat.ituye sólo una parte de la nueva, parte que desde el punto de viat& de IM necesidades de otraa ciencias, en pe.rticular de la matem&.tica., ea totalmente insignificante. Aaf, en el cuno de estAl libro tendremos pocas oportunidad.ea de extraer material de la lógica tradicional1 •

7. Bl oiloalo pr0Po11olonal. lfepol6D de propotJ.olon•; oonJuol6n J CÜIJ1Ulcl6D de proposlclon•

Entre loe tirminoe de caráoter lógico, se e&racteriu un pequelio grupo compuesto por expresiones como mot, tyt, «ot,

tn ... ,

atoncu...t. Toda.a ella& eon biM conocida.e para noeotroa del lengua.je corriente; con su ayuda ae forma.n proposiciones com. puestas p&rtiendo de propoeicionea &imples. En la. gram!.tioa 88 encuentran entre lu ll&madaa conjunciones. Por este motivo, la preeencia de l&a citadas ezpreeíonee no constituye propied&d eap&cl6c.a de ninguna. ciencia. p&rticul&r. Establecer el sentido y ueo de mtoe términoe ea la ta.rea de la pa.rte más elemental y fund&ment&l de la lógica., Ua.ma.da oil.o01.0 PBOP08IOIONAL, OÜ.Ot7LO IElfTDou..t. o (menoe felizmente) noW. DE u DBDtJOOIÓN1. rae cr'M4a por AIJITÓftLH,

~ 11111

l"f .at. •J>&nice•pellMdor sr'lelllO del 111\o o.....-.

{8844U). , ... .crtW. ~ nouD.ldo. . . IU DbrD 4e le 1611.ce mWIMUcl. dltt.mot1 cOMldeiw 111 sra• G.IÓ«lfo 1 m..WmiUoo D

:n n , o. w. LSIUUI (1$(0- 171"). 81D •mb•flO. lu o bru lóCICU d4 . . el dMarrollo ulterior 4e IN IDTMil1M!lb oL'fk!.o.

•1

~~~~ ,.u, Loa·

tDl&obra

au ..SLL:

INfaoDuoc16N A LA LÓGICA

I>lacutiremoe ahora el aigniñcedo de loe t6rm.inoa m'8 impor. tantee del cá.lculo propoeicional. Con ayuda de la palabra. tnot ee forma la"NBO.a..OIÓN de cualquier proposición; doa proposiciones, la primera de la.e cuales ee la nega. oión de la segunda., se llaman OOl'fTB.il>l(7J'()BUl!!I. En el cilculo pro· poeioion&l la p&labra mot se antepone & laa propo8icionea, mientras que en el lenguaje ordin&ri.o es corriente colocarla con el verbo; pero si se deseara coloe&rla. a.1 principio de la. proposición, deben aer reemplazada por la. frase mo u tl mao qMU. As.i, por ejemplo, la negación de la. proposición: l u

Uft. ftÚnw"O

politfoo

dirá lo siguiente:

l no u un número politivo, o también:

no u tl CtUO qut l

HtJ

un número pori#oo.

Cuando enunci&moe l& negación de una propoeición, e%pnsa.moe oon ello la idea de que d.ioha proposición es fa.Isa.. Si la. propoeicióo • efectivamente falsa., su negación es verdadera, mientras que en C&80 contrario su negación ea falsa.. L& unión de doe (o m&e) propoe.icionee por la palabra tyt reen la llamada OONJUNCIÓN o PRODUCTO LÓGICO de propoai· cionea. Laa propoBicionm unidas de eeta manera eon llam.adae

11ulta

JO.EllllBOQ (O OOMPONENTES) D• U. OONJtnfOIÓN O l'.1.(7J'()BK.13 DEL

no:Dtr(71'() 1.óo100. Si, por ejemplo, la.e propoeiciones:

2U

Uft. ft.úmero

2 llOD

unidas de esta. manera.,

11&

<

poftli'llO

3,

obtiene la conjunción:

2u un11o1Í1Mt"O pontioo y 2

< 3.

Afirmar la conjunción de doe proposi.cionea equivale a &firmar que amba.e aon verdadera.e. Si 6sUi ea en realidad el oaao, entonoea

la conjunción ea verdadera; pero ei al meno11 una de tu componen· tea ea falaa, entonoee toda. 1a conjunción ee f&laa. Con la unión de propoticionee por la palabra co- ee obtiene Ja DIBTVNOIÓN de proposicionee, llamad& también SUlli LÓOmi.; Ju propoeicionee que forman la disyunción eon lla.madae llDl!ilBBOS (o COllPONBNTBS) DB LA DlSYUNOIÓN o 8U1U.ND08 DlC U S'OlllA. LÓGICA., En el lenguaje corriente, la. palabra. posee al menos doa aigni.fica.oi.onee diatintaa. En el Ue.mado SBNTIDO NO Jt:Z:OLUSIVO, la disyunción de doe propoaicionee expresa. simple-'

to•

mente que al menos un& de eUae ee verdadera., sin decir nada 10bre si a.mbaa son verdaderaa eimultá.nea.mente. En el segundo aentido, llamado EXCLUSIVO, una. disyunción afirma., en cambio, que una de las proposiciones ea verdadera. y la otra., por el contr&· rio, fa.la&. SupongNnoe encontru en una. librería el a.nuncio:

Loa parroquianoa qiu uan 'P'ofuoru o utudim en 141 uGUda8 auperioru «mín /~ con un ducuenta,

to•

la pala.br& ee U8&, ain duda., en eu primera. acepción, pueeto que la rebaja. no se le niega & ·toe profesorea que al miemo tiempo e&t.ud.ien en lu eeouelae superionB. En ca.mbio, ei al ruego de un niAo de llevarlo de pa.eeo por 1a ma.da.na. y al teatro por la. ta.rde, respondemos: no, 1&oy inmoa tU ptJMO, o al Wltro, nos eervimoe de la. pa.la.bra. co- &n 1u segunda. acepción, y& que aolament.e penaa.moa a.tender a uno de los ruegoa. En la. lógie& y en la. ma.temAtie& la. palabra _,, 89 usa. eiempre en el sentido DO e:z:cluaivo; la. disyunción de doe propoaiciont.a ee oomiderad.a verdadera si ambos o por lo menOll uno de 11ns m.iembroa e1 vfll'd.adero, y en Ca80 oonk&rio es oonsiderada fa.lea. Aei, por ejemplo, puede afirma.ne:

aun 11&biendo que existen n6meros que son al mismo tiempo poeitivoe y menorea que 3. Para evitar posibles ma.lentend.idoa 11erf. conveniente, tanto en el lengua.je corriente como en el cien· tUioo, uar la pa.la.bra co• solamente en el primer sentido, y reem-

..

lNTl«IDUCCIÓN A LA LÓGICA.

plau.rla por la.

ei::p~ón

comput1116 t0 tMA... , • deeee emplearla. en el segundo aentido.

oM

.••• cuando

•Inclueo ai noa concretamos e JOB caao11 en que la. palabra '°' aparece en su primer significado, encontramos muy not&blea diferenciaa entre eua U808 en el lenguaje diario y en lógica.. En el ltmguaje copiún dos proposicionee ae unen mediante la palabra a cuando ellaa tienen algó.n parenteeoo en forma y contenido. (Lo mismo ee a.plica, aunque quid. en menor grado, al uao de la pala-· br& tyt.) La. naturaleza de esta. conexión no es bien clara., y la. deecripción y el a.ná.lieis detallado de la. mi.ama. ttopeza.rfa con oonsiderablee dificultades. De cualquier modo, nadie que no estA familiarizado con el lengua.je de la lógica oontem.porb.ea ae inolinaria a. conaiderar como expresión significativa, y menos a.ón, a aceptar como verdacl.era, un. &... oomo la siguiente:

2·2 = lió Nuna Yorlcu una ciudad grandt:. Además, el uso de la palabra «l" en el lengua.je cotidiano ae halla in8uido por ciertos fe.ctoree de carioter paioológico. Por lo general, afirmamos la disyunción de dos propoei.cionee sólo ei creem.oa que una de ellas ea verdadera. pero ignoramos cuá.l. Si, por ejemplo, mira.moa un prado a la. luz normaJ, no deoim.Ol!I que el prado ea verde o azul, porque estamos en oondicionea de afirma:r una ooea más simple y, a.J. miamo tiempo, m'8 fuerte, & ea.her, que.el prado ee verde. A veces también tomMnoe el enunci&do de una disyunción como un reconocimiento por parte del que habla., en el eentido de que no ea.be cuál de loe doe miembroe de la dieyunoión ea verdadero. Y ai más tarde noa convencemos de que nueetro interlocutor sabfa. que uno de lo. doe m.íembroa era fa.lao (y •bía inclueo cul.1 era. el fa.hio), noe eentimoe inclina.doe a considerar & la tot.aJ.ida.d de la disyunción oomo proposición fa.la, a.unqoe el otro miembro fuera indudablemente verdadero. Im.aginemoe, por ejemplo, que un a.migo nueetro, deepués de ha.Mnele pre.gunt&do cuándo dejari la ciudad, oonteeta. que lo hará. hoy, ma.fiana o pasado. Si máa tarde comprob&moe que en aquel momento nuestro a.migo ya. habia. decid.ido partir eee mismo di.a, t.andremoa prob&blemente la impresión de haber sido oonfundidoe u profeeo y que nuestro amigo noe dijo un& mentira.

•• Cuando introdujeron la palabra .ot en 1ua oooaidera.cionee,

los creadoree de la lógica C(Jntemporá.Det. deeea.ron, quizá UlCODI· cientemente, eimplifi.e&r eu 1igni&cado y ha.cerio máa claro e m. dependiente de todoe loe factores peioológiooa, en eapeci&I de la.

preaenci& o ausencia. de conocimiento. En consecuencia, ellos extendieron el U90 de la palabra ..,., y decidieron coDBiderar la diayunción de dos proposiciones cualesquiera., como un todo eig·

oi6cativo, aun cuando no hubien. entre ell&s ningún pa.renteeoo de oont.enido o de forma; y dedd.ieron t&m.bién que l& verdad de nnt. diayunción --aai como 1aa de una negación o mi& oonjunoióndependa exclusivamente de la. •erd&d de 1ue miembrOI. De eate modo, una perBOn& que uae la palabra en el sentido de la lógica oontempori.nea, considerar& que la. expreaión anta meacionada:

to•

2 · 2 = 5 ó N'l,UMJ, York u una eiudo.d grande es un& propoe.ición que tiene eenlido y que, ademM, ee verdadera, pues eu segunda parte lo es eeguramente. De igual modo, ai supo. nem.oa que el amigo al cual interrogamos sobre la fecha de m p&rt.ida ua6 la palabra. tot en eu significado estrictamente lógico, debemoe coll8idera.r verdadera su reepueeta, independientemente de nuestra opinión sobre sue intencionee.• 8.

Implicación o propoekll6n cond.lotoD&L La 1.mplleutón ID IHlYO materl&J.

Si &e combin&n doe proposicionee por medio de Ju pala.bru ui ... , tntoncu ...•, ae obtiene un& proposición compueet.a que recibe el nombre de IJl[PLIC .&.CIÓN o PBOP081CIÓN OONDIOIONJ.L. L& clAu11ula 11ubordin&d.a, a la cual ee ha prefijado la palabra uit, se llama .&JrfTEOll:DBNTE, y la clAmula principal, introducid& por la palabn. ~•• se llama CONSEOtTnTK. Al afirmar una implicación ee úirm.a que no puede ocurrir que el ant.eoedente sea. verdadero y el oonaecuente falso. Por lo ta.nto, una implicación 68 verdadera en cualquiera de los siguientes tres casos: (i) el antecedente y el oonaecuente son ambos verdaderos, (ü) el antecedente 68 fa.leo y el oonaecuente es verdadero, (ili) el antecedente y el coneecuente IOD ambos f'alao!; y sola.mente en el cu&rto caao posible, cua.ndo

INTmOl>UOCIÓN A LA LÓGICA

•1

el antecedente ee verdadero y el ooneecuente fallo, ee la implic.ación fat.a.. Se aigue qae ai &lguien acepta una propoaicidn oomo verdadera y al :mi.em.o tiempo acep16 eu antecedente como verdadero, no puede dejar de aceptar el oonMCuente; y ei alguien acepta una implicación como verdadera. y rechaza su consecuente como falllo, debe rechazar también eu antecedente.

•Como en el caso de la disyunción, pueden obeerve.nie oonsi. derables diferencias entre loe WI08 de la. implicaeión en lógica y en el lenguaje cotidiano. Así también en el lenguaje ordinario, tendemoa a unir doe propoeicionee mediante lu pala.bru vi... , eftlOnCU.•• t, sólo cuando eziste una cierta conexión entre sus formae y aua. contenidos. Ea dificil caracterizar eat& conezión en sentido genera.l y aólo algunu veoee resulta. relativ&mente clara eu naturaleza. A menudo aeociamoa en esta conexión la convicción de que el ooJU1eCuente ee sigue neooa&riamente del antecedente, ee decir, que si suponemot verdadero el antee«lente, nos vemos obligadoe a tuponer verd&dero el con&eeuente (y que posiblemente podemoe inclU&O deducir el consecuente a partir del antecedente sobre l& ba&e de ciertae leyes generalee que no eiempre se pueden formular ezpUcitamente). Aquí se manifiesta también un factor peioológioo adicional; wrualmente formulamos y aoept&mos una. implicación tólo si no tenemos un conocimiento eze.cto sobre si son verdad.eroe o no el antee«lente y el consecuente. De otro modo el uso de una implicación parece antinatural y su sentido y 11u verdad pueden provocar algun& duda.. El siguiente ejemplo puede servir como ilustración. Consideremos l& ley filie&: y

d~moele

Ja forma de una implicación que contenga va.ria.bles:

nzu

un md
Si creemos en la verdad
'

.il.P&ED TAUKI

obtienen de eete modo aatieía.oen IN oond.icionea dada.a mM &ni.bao para que una implicación eea verdadera; nunca oourre que el e,n. teoedente eea verdadero y el oonaecuente falao al miamo tiempo. Notamo. ademú, que en cualquier& de •taa implicacio11e11 exWte una •trecha. conexión entre el anteoedente y el consecuente, la cual halla su expresión formal eo la ooinoidencia de loe sujetoa de ambas proposiciones. F.atamoe convencidos de que, al tom&r como verdadero el ant.eoed.ente de cualquiera de eet.aa i.mplic:&cio. nea, por ejemplo, ·.U hierro u u" metalt, podemos deducir de Q au oonaecuente, tel hierro u makablu, porque podemoe ha.cm referencia a la ley general de que todo met.&l ee malea.ble. No obetante, algunu de laa propoeicionee discutidas hasta ahora. parecen a.rtificiales y dudoeaa desde el punto de vi.ata del lenguaje común. No se suscita ninguna. duda en la proposición universal dada arriba, o en loa caaoe pe.rticula.ree que ae obtienea reempla.zando c. por el nombre de UD m&t.erial del cual no M· hemos ai ee Wl m etal o lli ee maleable. Pero ai reemplazamoe en por thiurot, noe enoontramos ante _el caao de que el antecedente y el ooneecuente son indud&blemeote verdaderoa¡ y entonoee pr&feriremoe US&r en vez de una implicación un& expreeión oomo é&ta:

An.ilogam.ente, si BW1titui.moe u:t por taf'cillat, obt:.enemos una. im. plicaci.ón cuyo a.ntecedente ee mi.o y cuyo coneecuente e1 verda.dero, y tenderla.moa a. reemplazMla por la expresión:

Finalmente, li reemplaz&moe «A por ~. obtenemoe \LO& implicación en la cual el antecedente y el oonaecuente eon amboe

f'aleoe; ai, en eet.e caeo, deeeamoe retener la forma de una impli· mción, debermnoe alterar la forma gramaticsJ. de loe verboe:

Los lógi008, que deben a.tender_ a laa neoeaidadee de loe lengua.. j • científiooe, adoptaron con reapecto a la frue vL., ~...• el mismo procedimiento que en el euo de la palabra. tot. Decidieron

INTaOOUCC?ÓN A LA LÓCICA

••

siroplificar y aclo.ra.r el aigni6cado do eeta fra.se, a.al como liberar!& de fa.ctoret paioológicoa. Con este propósit<> extendieron el uao do dicha fraae, considerando que una implic&ción tiene aentido aun cuando no exilt& ninguna. conexión entre llJU8 dot m.iombroa o hicieron depender la verdad o la falsedad de l& implicación eólo de la verdad o la. fa.l&ed&d del antecedente y del ooD.11eCUente. Para. caracteriza.r eate. situación brevemente, decimos que la lógica contemporánea usa lu DO'LIOAOIONltS EN SENTIDO ll!U.T:DlA.L, o simplemente usa. Dll'LI
n 2 · 2 = 4, mtoncu Ntu:00 York u una ciudad grande; n 2. 2 = 5, entoncu Nut.ua YorJ: Muna ciudad grande; n 2 • 2 - 4, e1ltcncu Nueoo Y orJ: u una ciudad pequeila.; n 2 · 2 = 5, entoncu Nuaa Y orJ: M una ciudad pequda. En el lenguaje cotidiano, dif1cilmonte ee a.tribuirla. aigniñcado a eetal propoaicionea, y meooa aáo ee la.e conaiderarfa vord.doru. De.ade el punto de vista de i.. lógica matemá.tica, por otra. pa.rt.e, todaa ellu tienen significado, la t.eroora. ea fa.Isa. y la.e trea reatan.te. aon verda.dera.s. Con ello no ae a.firma., por eupueeto, que tales proposiciones eea.n particularmente relova.ntee doede cualquier punto do vi.eta., ni que lu a.pliquemos oomo premisas en nueetraa argumenta.cianea. Serla. un error pensa.r que la. diferencia entre el lenguaje común y el lengua.je de la lógico., diferencia. que hemos ea.cado a luz en

50

eete tu.to, tieoe carácter abeoluto, Mi como seria equivoeado

penaa.r que la.a regle.a eabozadaa arriba. acere& del uso de la.e pala.bru uL., entoncu...t en el lenguaje comdn no admiten excepoionee. En realidad, el uso de dichaa p&labraa fluctúa mAs o menoe, y ei miramo• a nuestro alrededor, podemos encontrar C&808 en loa cualee eee uso no concuerda con nuestras reglas. Imaginem08 que un amigo nuestro se b&lla ante un problema muy dificult.oeo y que nosotros no creemos qoo lo resuelva. Podemos expreear nuestro descreimient.o en un&. forma burleec& diciendo: ai ruuelvea ute probkma, yo

tM

comeré mi sombrero.

La int.enci6n de estas pe.labras ea absolutamente cla.ra.. Afum&m.Ol!I con ellaa una implie&eión cuyo consecuente ea induda.blemente fMeo; por lo tanto, pueeto que a&mamoe la verda.d de la implica-

ción en eu totalidad, con ello &firmamos al miamo tiempo la fal. sedad del ant&oedente; es decir que expresa.moa la. convicción de que nuestro a.migo no reeolvtd. el problema en que se halla empeii&d.o. Pero también es ab&olutamente claro que el antecedente y el consecuente de nuestra implicación no eetán conectados en ningón &entido, y por lo tanto tenemos un CMO típico de implicación ma.terial y no formal. La divergencia en el uso de la &ase cai... , imtonce.a ...• en el lengu&je ordin&rio y en lógica. ma.t.emátie& ha. estado en I& raiz de la.rgufeima.a e inclu.eo &paaionad.aa discusiones, en las
1NT80DUOCIÓM A LA LÓGICA

"

lógica y el lengu&je ordin&rio en lo concerniente al uao de l.& implicación. Es dificil conceder que eetaa criticas estén bien fundad.u. No h&y fraae en el lenguaje ordinario que tenga un sentido p~iaa­ mente determinado. Serf& diffcil encontrar dos personas que UB&ran todas las pa.la.bras con el mi.emo sentido exactamente, e inclueo en el lenguaje de una misma person& el aignificado de una miama palabra varia de un periodo a otro de su vida. Además, el aignifica.do de lae palabra.s del lenguaje común ea por lo general ipuy complicado; depende no solamente de la. forma exterior de la pa.labr&, Bino también de l&e circunata.ncias en que ae la expreu y & veces depende de factores paicológicos subjetivos. Si un hombre de ciencia. desea introducir en au disciplina científica un concepto de la vid& diaria y eeta.bleoer leyes generalee relativ&11 a eee COD· copto, debe aiempre aclarar au contenido, hacerlo máa preciso y máe &imple, y liber&rlo de atributos no eeencl&lea; no importa a.qui que ese hombre de ciencia eea un lógico que eetudia ta. fraae ui... , ~--·'o, por ejemplo, un ffaico que trata de eetableoer el significado encto de la p&labra tmdalt. De cualquier manera que el hombre de ciencia realice eu tarea, el uso del término tal como él lo ha establecido ee deavfa mucho o poco de su uso en la TI.da. corriente. Pero si él declara explícitamente en qué sentido ha decidido usar ese término y act1ia de hecho en conformidad con su decisión, nadie podr! objetar que su procedimiento lo conduce a resulta.dos sin eentido. Sin embargo, a raf:z de laa discusiones que han tenido lugar, a.lgunos lógicos han intenta.do reform.M' la. t.aoria de la i.m.plica.ción. Por lo general ellos no niegan a 1& implicación materi&I un lugar dentro de la. lógica. pero an.efao encontrar también otro concepto de implica.ción , por ejemplo, de tal naturaleza que la poaibilidad de deducir el consecuente del antecedente constituya una condición neceearia para la. verdad de la implicación; incluso deeean, segón parece, colocar el nuevo concepto en primer plano. Eetu tentativas son de fecha relativamente reciente, y es aún demasiado tempr&no para juzgar en modo definitivo su valor1. Sin emb&rgo, hoy parece ca.ai cierto que la teori&. de la implicación material eo1

La primen. tentativa de uta ladole f'IHI ru.!Juda por el 11.lóaoío y 16t;lco 11ortoa--

rlca1tO co11t.emp0r&n.0C. l. LUr.11.

"

AI..p:ED TAll8KI

bre~

en eimplieida.d a tod&& laa otra.a teorlas, y, en todo c.aao, no debe oh•idaree que la lógiuedi&cada sobre este aimple concepto, 1& ha. convertido en un& bue eati9fa.ctoria. para loe máe oompli· cadoe y 1utilee razonamientoe matemáticos.• 9. El

uso de Ja lmplloael6D en matemittoa

A las expreeiones lógicas uaada.s en otras ciencia.a y especia.1mente en la matemática. con máa frecuencia, pertenece la frase e.ti ... , entone.u...•. Loe teoremaa matemáticos, y en es~cia.I, loe de cará.cter universa.!, tienden a. U!ner forma de implicaciones. En matemática el a.ntecMente es lla.mado Hil'ÓTl:SIS y el C01186ouente ea Ua.mado CONCLUSIÓN. C.Omo ejemplo sencillo de un teorema. aritmético que tiene la forma de una implicación, podem08 mencionar el aiguiente:

ft

:t

u un número poftlivo, mlon.cu 2x u un

nú~ro

pGrieioo;

en el cual u u un número pruitivo• es la hipót.eeie y t2z u un Mmuo poaitiva. ee la conclusión. Además de eetaa formas cláaicaa, por decirlo as!, de teoremaa matemt.tiooa, se encuentran oe&aionalment.e también otru for. mulacionee en la8 que la. hipóteBle y la concluaión no están conectr.daa por la fraae Mi ... , tnton.a.t...•, sino de otra manera. distinta.. El teorema aca.b&d.o de indicar, por ejemplo, podemos reformular)o en cu.J.quier& de lu eiguientes formas:

tk: z u'"' núm.eJ"O pofttivo, M hgw: 2z u un. •Úmtro pofllioo; la hipótuia: z u un número poaitivo, implica (o eiene como con«c1Uncia) la concluaión.: 2z u un número poaitivo;

2z

la condición: z u un. número poMiioo, u 11Uficitnh para q..e un número poafüvo;

Ha

paro que 2z aea un númao poaitWo, u auficie'Tlh que ftÚmero poritiro;

:i:

ata un

l4 condición: 2z u un número poaitivo, ea 11«Uaria paro que z Ha "" •úmero pofttivo;

lN'l'RODtlCCIÓN A LA LÓGICA

fJOrtl qiu z sea.· un

12:ti~ro

poaitivo, u Muaario que 2:.t

_.ta un

número positivo. En lugar de afirmar \l11& prop<)eición condicional puede a6rmarae, puee, que la bipóteBiti de la propo1ición Dn'LI
&ecuentemeoto en la formulación de loe Uoremu matem4tiooa. F.ate tipo de formulación ha llegado a aer de uso muy general, y quiú no vale la pen& rechazarlo, porque no presenta. ningún peligro particular¡ pero s1 va.ldrfa la pena 1"9CODOoer que, para cada t«lrema formulado ooo la. ayuda de ta.lee términoe, eiiato otra. formulación, lógicamente más correcta, en la cual esoa ~rminoa no apu:ecen. Por ejemplo, el teorema.: l.a tcUación.: zl

+ a + b = O ritM a lo más dol raku

puede expresa.ne de manera m4a conecta como sigue: ~

a lo má.r doa

11:&1~roa z

taha qm

~

+ a:z: + b = O.

Volviendo a la.a formul&cloaee objeta.blee de la implicación, b&remoe rel<&r un punto mú importante todavia.· En eeu formula.oionee afi.rmamoe que una propoeición, a 11&ber el anteco. dente de la implica.ción, tiene otnr. -el oonaecuente de la impli· c&ción- como conaecuencia, o bien que la segunda se sigue de la primera. Pero, por lo general, cuando noe expresamos en esta. forma, pre8Uponem.os mentalmente que la acept.ación de la. primera proposición oomo verdadera noe conduce necesaria.mente, por uf deoir, a un& aceptación semejante relativa & la. eegunda propoeición (y que posiblemente eetamoe incluso en condiciones de derivar la. segunda proposición de l& primera). Sin embargo, como ya hemos viato en l& Sección 8, el aigni1icad.o de una implicaci6n tal como se entiende en lógica oontomporá.nea, no d6pende de que el ooneecuento tenga conexión alguna oon Sil a.ntocedente. Cualquier& que ee aient& eorprendido por el hecho de que la ldgioa. considera con aentido e incluao como verdader. a la siguiente expreeión:

n 2·2=

4, enloncu N~ Y orl: u una ciudad grande,

enoontrar6. aún más diñcultoeo reconcilia.rae con wia transformación de eea. frase tal como: l.a hipóteria M- qiu 2 • 2 = 4 tieM como con.tuuencia qiu Nwva Yorl: u Wlt1 ciudad gran&.

INTllODUOCtÓN .\ L.\ LÓGICA

Vemoa aal que eet&a maneras de formular o de traneforma.r una propoaici6n condicional, conducen a erpresionea parad6jicu y hacen mi& profunda& laa diecrepancias entre lengua.je común y lógica ma.temá.t.ica. Ea éata Ja razón por la cual aquella.s propoR· cionee han dad.o lug&r con frecuencia. a. varios malentendidos, y han sido una. de la.a cau868 de lu apasionada& y a. menudo estériles discuaiones que a.ntes hemoa mencionad.o. Deade el punto de vista puramente lógico podemos eludir todas las objeciones que hemos referido, estableciendo e:rplicitamente de un& vez por tod&S, que al ha.cer uso de laa expresiones en cuestión, noe desliga.moa de su significado usual y lea a.tri. huimos directamente el mismo contenido que a la proposición condicional ordinaria. Pero e.to podría. reaultar inoonveniente en otro aspeekl; porque be.y eitua.cionee -aunque no en la lógie& mi.9ma, eino en un campo estrechamente relacionad.o con ella como ee la metodología de las ciencia.a deductivas (cf. Capítulo Viten laa cualea ha.ble.mas de propoeicionee y de la relación de OODll&cuencia.e entre ell&l!I, y en las cuales uaamoa términos como rimpli. eat y cae .Jig'U€• con un significado diferente al expuesto y que ea mucbo más semejante al significa.do ordinario. Por lo tanto, aeri& mejor evitar aquellas fonnulacionee en su totalidad, tanto más cuanto tenemos a nuestra diapoeici6n varias expresiones que no admiten ninguna objeción de las que hemos mencionad.o.•

to.· Equlv&leaola de proposiciones V.amos a estudiar todavía otra e:rpresi6n del dominio del c&lcu· lo proposicional. que en el lenguaje corriente aparece con menor frecuencia, a saber, la frase ui, y 3Óto si•. Al unir d08 propoeicionee cualesquiera. por medio de esta frase, ae obtiene una propoeición oompuest& que se llama EQUIVA.LKNCl.a. Las proposiciones conectadas de esta manera reciben loa nombres de MIEMBRO lZQVIEB.DO y MIEldl!RO DERECHO DE LA. EQUIVA.LKNCIA.. Al afirmar la. equivalencia. de dos proposiciones, ee ezcluye la posibilidad. de que una sea verdadera y la otra falsa; por lo tanto, una equivalencia es verdadera si sue miembros izquierdo y derecho son o bien ambos verdade. roe o bien ambos falsos; en ca&0 contrario, la equiV&lencia es fa.Isa.

56

El eentido de una equivalencia puede cara.eteriza.rae también


(I) ai z es un número -poaitioo, l!nloncu 2z

eJJ

un número poBitivo;

.n 2z ea un n:Úmel'O po.Utiw, ~ z u

un númao poaiiioo.

la reciproca. de esta propoaición será.: (II)

Como mueetra. este ejemplo, & •eoee 1uoede que la. reciproca de una. propotición verdadera ea aaimismo vetda.dera.. Para. ver, por otra parte, que esto no es una regla general. bute. reemplazar •2:n por czlt en (I) y en (11); la proposición (l) seguirá 1iendo verdadera. mientras que (11) se vuelve falsa. Pero si se da el caao que dos proposiciones oond.icionaleit, una de las cua.lee ee la. reciproca. de la otra,_ BOn a.mbu verda
ui

un númtro porinvo, ae ftgu: 2z ui un n úrmro pofttivo,

yr~mtt!U;

ltu condicionu que z u.a un núnMro poafüvo y qtu 2z aw un númtr0 poaitivo aon tqu.ivaknlu eftlre 8'; la condición. tk aer :z: un 11.úmero poritioo t.1 nuuana y au/iciath para gut 2z ata un 7HÍmaro poaili.a;

57

INT&ODUOCIÓN A U. LÓCICA

pGrG

que z um un número pollftw u nuuorio y 1t1./icHnU

qut 2:r lt.ll un número poaitiw. En general, en luga.r de unir dOB propoaicionee por l& frue

.ai, y '6lo .rit, se puede decir también que la ULACIÓN

DJ: CONSJ:·

vale en .t..lllBA.S DIBJ:OCIONBS entre esta.e doe propoeicionea, o que IM dos proposiciones eon EQUIV.t..LENTJ:S, o finalmente que cada una de diche.e propoeicionee representa un& OONDIOIÓN lfEOQA..U.A. y 8U"J'IOI&NTB pe.n. la otra.

cuz:Hoa

U. Formalaol6n de deft.DlcJones. Reglaa de definición

La. frase ui, g '6lo .ri•, ae utiliu muy a menudo para la. formula.· ci6n de DBFINIOIONIS, ee decir, de oonvencionea que ettipula.n le aentido que debe atribuiree a una eqireeión que haete. entonoee no hubieee aparecido en la dieciplina oonaiderada y cuyo eentido no pareze& oompnmaible inmediatamente de por Bf. Imagineee, por ejemplo, que b&Bta ahora no ee hubiese uea.do en la aritmética. el eimbolo e::;;• y que quiaiéeemoe introducirlo en loe ra.zonamien. toe (oonaiderándolo, como de coatumbre, como a.brevi&tur& de la expresión «menor o igual qut.t). En eete caao, deberíamos ante todo definir el citad.o s.lm.bolo, es decir, aclarar su significación con ayuda., precies.mente, de e:r:prea.ionee oonocid&B ya por noeotroa y cuyo sentido no deja.ee lug&r a ninguna. d uda.; con eet.e fin, eet&bleoeremoa la. definición siguiente, en la. que supondremos que a. loe efmboloa ya oonocidoa pertenece, entr& otros, el Bfmbolo «>•: @mol pez

:lí y li, y-61.o tri,"° u tl CCl80 pt: z >y.

La definición recién formulada •típula. la equivalencia de lu dOB funciones propoeicionales;

• ;:¡. noud('tJIOquz>y; ae puede decir, pues, que haoe poeible la tranefonnaaión de l1o fórmula u: ~ yt en una upttiaión equivlolente • eU.. que ya no

•• contiene el elmbolo •$•y que eet& formulada. en términos conoci. da.e por noeotros. Lo miamo vr.le para. cu•lquier fórmul• obtenida a partir de u :;a yt reemplazando Ut e tyt por almboloa o expresiones arbitraria& que deeignen n6meroe. Por ejemplo, la fórmula:

88 equivalente a la proposición: 1W U

tl CtUOqut 3

+ 2 > 5;

como ésta es una proposición verdadera, también lo seré. la. fórmula considerada. Del mismo modo, la. fórmula:

ea equivalente a la proposición: noUÚcaat)qtuf.>2+ l y a.hora. la.e dos serán f&lBM. Eat.a observación ee puede aplie&r también a proposiciones más complejaa y a funciones propoaicionalee; transformando, por ejemplo, la proposición:

obtenemos:

ai nou elca.sogiu z >y, y nou tleuogue y > z, ~ M esel(oCM() quz > z. Brevemente, la definición indicada noe permite t ranaformar cualquier proposición a.imple o oompueeta que contenga el símbolo «S • en otra. equivalente a ella que no contenga. dicho símbolo -esto es, de traducirla & un lenguaje, po.- decirlo a.si, en que no figure el símbolo • ~ •. En eato consiate precisamente el papel que desempei'ian las definiciooea en lu disciplinas matemáticas. Par& que una definición cumpla au propóaito, debemos tomar algunas precaucionee en eu formulación. Con ~te fin se introdu-

INTRODUCCIÓN . A LA LÓGICA

59

cen regla.e eepeciaJee, lae ll&madae HOLAS DE DJ:nNtctóN, que especifican cómo deben conatruirao correctamente Ju definiciones. Sin entrar a una form.uladón precisa. de est..s reglas, solamente advertiremos, que en virtud de eUM, toda definición puede adop· tar le. forma de una equivalencia; el miembro izquierdo de ésta, llamado DEl'INJBNDUK, debe ser una función proposicional breve y gramaticalmente sencilla. que contenga la constante a definir; el miembro derecho, llam&do DEl'llfI ENS, puede ser una función proposicional de estructura arbitraria, que contenga solamente consta.ntes cuyo sentido sea inmediatamente comprensible o ha.ya sido ya definido anteriormente. En particular, no deberá aparecer en el definiens, ni la constanU a definir, ni ninguna expresión definida con au ayuda; en tales ca.soa, la. definición no serla. correcta, contendrla un error conocido como ciRct7LO VICIOSO J:N LA DUI· N ICJÓN (de Ja misma manera M babia de un ciB.cULO v1crnso EN u Di:MOSTJUCJÓlf ei el argumento usado para. establecer un cierto teorema se ha.ea en eae mismo teorema o en algún ot ro teorema que ha aido demostrado con su ayuda). Para h&00r resaltar el carácter convencional de una definición y distinguirla de otras expresionea que tienen la forma de una equiv&lencia y, sin embargo, no 110n definiciones, es conveniente anteponer a aquélla pala· braa como tdeci1M8 que•. Se comprueba con facilidad, que la defi. nición dada m&s arriba. del símbolo e::;;•. BB.tisfs.ce toda.e eet.aa oondicionee; ella tiene como definiendum: % ~ y,

y como definiene:

Hay que advertir, que en la formulación de definiciones, en lugar de la f:raee vi, y .Wlo li•, el matemático usa con preferenci~ la.s pA.labraa vit, o t.!in caso quu; al formular, por ejemplo, la de· fi:nición del símbolo c;:i •, es presumible que le hubiese dado la. siguiente forma.: decimrugut :z:

~

y, ai no u el ca&o que x >y.

Aparentemente, esta. definición sólo establece que el definiendum ee conaecusncia del definien.s, pero no hace resaltar que la. rela.ción

de coneocuencia rige también en sentido inverao y no dice, por coneiguiente. que el deftniendum y el definiena eon equivalentee entre af. En realidad, tenemos a.qui una convención implicita, en virtud de la cual, Isa fraset1 vi• o vn. ca.t0 qru•, cuando ua&du para unir definiendum y definiens, eignifican exactamente lo mismo que la frue en, y aól.o ai•. Puede agrega.ne que la forma de equivalencia no es la única. en que pueden formula.ne definiciones.

12. Leres del o61calo proposicional Ha.hiendo fina.liza.do nuestra diacueión de laa expresionea más importa.ntea del cá.J.culo proposicional, trat&remoa de clarificar ahora el carácter de las leyet de eete cálculo. C.Onaideremos la proposición siguiente: ai l e.a un número posUioo y l

<

2, mtoncu l u un núnuro ptMitivo.

Esta propoaición ee indudablemente verdadera; en ell& figuran IOlament.e constantes pertenecientes a loa dominios de la lógica y la &ritmética. y, ein emb&rgo, a nadie ae le ocurrida incluir esta propoeición como un teorema particular en ningún tratado de matemática.e. Si refiexionamGll a qué circunstancias debemos atri· huir eato llegamos a la conclusión de que desde el punto de vi.eta de la aritmética. eete enunciado ca.rece por completo de interés: no amplia en modo alguno nuestro conocimiento de loa n11meroa; 1u Terdad no depende en absoluto del contenido de los conceptee &ritméticoe que figuran en él, aino aimplemente del aentido de l&a palabraa e¡n, uit, ~. P&ra convenc.erse de ello eu.etituyamOI en la proposición considerada loe componentes:

y

1<2, por otras propoaicionee cualeequi61'& de un dominio arbitrario; obt.enemoe entonces una eerie de proposiciones, verda.d.eru como l• proposición original, por ejemplo:

l!'!TllODUCCIÓN A LA LÓCICA

61

1i una figura u un rombo y la mi.tma figura u un rután gulo, uta figura u un rombo;

Bi koy u domingo y ha.u 1101, 4!nlonuB hoy tJJ domingo. Par& expresar estos resultados en una forma má.e gener&I, introduzcamos las varia.blea *P" y "1' estipulando que estos sfm. bol08 no aon reemplazables por d esignaciones de números o de otros objetos, sino por proposiciones; variables de este tipo se rlenominan V.&.RIABLES PROPOSICIONALES. Además, en la propoei. ción considera.da sustituiremos la expreaión: l

eA

u n 1uímero poBi!ioo

por •pt, y la. fórmula: 1< 2 por "P; de eate modo obtcndremoe la. función proposicion&I:

.n p yq, 41n/.ona.J p. Eat.a. función proposicional tiene la. propiedad de que, si en loe Inga.rea de •pt y tqt se insertan proposiciones cualeaquiera, la.a propo&iciones obtenida.& son siempre verdaderM. A est& afirmación se le puede da.r la forma. universal !!liguiente: 'J'O'Ta p y q c:ualuquit!ra:, 1i p y q, en/.on.eu p.

Ett.a proposición ea una. ley del cálculo propoaicion&l y recibe el nombre de L BY DE Sllll"LI FICACIÓN de la. multiplica.ción lógica.. La proposición que hemos considerado anlieB es sólo un caso particular de 88t& ley. Aal como, por ejemplo, la fórmula.:

68

un ca.so particular del siguiente teorem11. general de la. arit-

mética.:

para númuo.. ~ra z e y, z·y = y·z.

62

En modo análogo pueden obtenerse otru leyoe del cálculo proposicional. Da.moa a continuación algunoa ejemploa de talee leyes;· en 1u formulación omitimoa el cuantificador universal {tpartJ todo p, q, ... •)de acuerdo al ul:IO menciona.do en la Sección 3, que, pa.ra el cálculo proposicional, ee ha convertido cui en una regl&..

Bi p, entona.a p. Si p, entonct8 q o p. Si p implica q y q implit.a p, enton.cu p ai, y aólo ai, q.

Si p implica q y q implicar, entonce.a p implicar. La. primera. de eetaa leyee recibe el nombre de L&Y DE IDENTI· DAD; la segunda. el de LEY DB SDaLJ1'10.A.ClÓK do la adición lógica., y la cuarta., el de LEY DEL Srt.OOISM:O BI?OT:tnco. Aei como loa teoremas aritméticos de carácter unive™'l afirm&n algo acere& de las propiedadea de n6meros arbitrarios, puede deciree que las leyes del cálculo propoeicional afirman algo acere& de le.s propiedade! de propoaicionea arbitra.ria.s. El hecho de que en estoa leyes sólo aparecen Tariables que ocupan el luga.r de pro· posiciones arbitr&rias, ea un& caracterfetica. del cálculo proposicional y ea I& que determiná. eu gran gener&lid&d y el alcance de eue poeibilid&des de &plic&ción.

ta. Slmbollsmo del di.culo propoalelon.al; runelon• de verdad J tablu de nrdad

Hay un método eimple y genera.!, llamado JdTODO DZ L.&8 TA.BL.&S Dll: V EBDA.D o llUTRICD, que noe ·permite, en cualquier caao p&rticular, reconocer cu&ndo una. proposición dada del dominio del cálculo propOBicional ea verdadera, y cué.ndo, por lo tanto, ella puede contarse entre la.e leyee de dicho cálculol. Para describir este método conviene aplicar un eimboliamo eepecial. Reemplaza.remo& las e:1preeiones siguientes: 'ltot&m6t.odotJ• n ••qor\poeoP&t&c & (a 0 qQ ..Df&h•ma.cltadoant.lrlon11<1nt.e; cf.notal.nlap!e:.87).

INTll:OllUCCIÓN A U. LÓGICA

no; y; o:

63

li,y'6loli

.ti • .,~ ..•

por los slmbolos: -;

J\;

V;

-+;

re&pectiv&mente. El primero de eetos símbolos debe eer colocado a.l frente de la.s expresionea cuya negación se deeea obtener; loe simboloa reeta.ntes se colocan enlre doa expresiones(•-• se escribe, por lo tanto, en el lugar de la. pala bra c.entonce.n, mientras que la. palabra t.tit es simplemente omitida ). De una o dos expresiones má.s simples nos vemos conducidoe, de eeta manera, a expre111iones más complicadas; y ei deeeamoe emplear eat&e última. para constntlr es.presiones aún más complicadaa, oolocamoea aquél.lasentr& pa~ntesie.

Con la ayuda do variablee, parénteais y loe e.imboloe oonat.Antee eonmgoadoe máe arriba (y a vecee también conetantea adicionales de cará.cter similar y que no investigaremos aqui) eata.mos en condiciones de escribir todas las propoeicionea y funciones propoeici0nalea pertenecientes al dominio del cálculo proposicional. Aparte de las va.riables propoaicionales, laa funcionee propoeicioneJe& mi.e simples son la.s expreeiones: -p,

pJ\q,

pVq,

p-+q,

(y otra.e expresiones similares que difieren de éstas solamente

en la forma de las variablea usada.e). C.Omo ejemplo de una función proposicional compuesta consideramos la expresión: (pVq)~(pAr) ,

lo cuo.l se lee, t raduciendo loo eimboloa al lenguaje oomón:

n poq, tmlonua p y r. Una. expreeión más complicada todavla es la ley del silogismo hipotético dada m'8 arriba, que ahora toma la forma: [(p-+q) /\ (q....,. r )} -+ (p-+ r).

Podemoa asegurarnos fá.cilmente de que toda función proposicional que e.parece en nuestro cálculo es una de la.e llamadas

..

ALP&ED TAUlil

Esto quiere decir que la verdad o falaecl&d de cualquier propoaición obtenida. de aquella función al auatituir las varia.blee por proposiciones, de~de excluaivamente de la verdad o fa.l&edad de lae proposicionee que han reemplazado a lu varia.bles. A.81 como para laa funciones proposicionales eimplee, •-pt, tp /\ qt, etc., esto se deduce inmediatamente de laa indice.clones formuladas en las Secciones 7, 8 y 10 con respecto al significad.o que se atribuye en lógica a laa pa.Iabru mm, t:yt, etc. Pero lo mismo puede decirse de la& funciones compueet&e. C.Onaideremoa, por ejemplo, la función c(p V q) -+ (p /\ f')t. Una propoeición que ae obtenga. de ella por sustitución, será. una implice.ción y, por lo tanto, au verdad depender6. sólo de: la. verdad de au antecedente y de au oonaecuente; pero la verdad del a.ntecedente, que ea una d.iayuneión obtenida de cp V qt, depende sólo de la verdad de laa propoaicionee colocadu en luga.r de t? y de tqt, y &nilogamente, la verdad del oonaecuente depende de la verdad de laa propoai.cio· nee que 1natituyan a tpt y a en. A.al, finalmente, se ve que la verdad de toda. la propoeición obtenida. de la. función propoeiciooal que &e oomidera, depende excluaiv&mente de la. verdad de laa propoafoionee que 8U8tituy&n & cpt, & tqt y a m. Con el objeto de ver con toda enctítud cómo la. verdad o la. f&laedad de una. proposición obtenida. por llUBtitución de un& fun. ción propoeicional dada, depende de la. verdad o de l& falsedad. de lu propoaicionea que euetituyen a. lu variables, conatrui.m.01 la TilU. DJ: VEBDil> o IU.TRIZ de eea. función. Comem.a.remoe por dar la. tabla. de verdad para la función •-pt: :rulfotOlfM DE V:UDA.O.

_,l_::::t_ V

F

F

V

Y aquf teo.emoe I& tabla de •erdMl conjunta p&ra laa otru funcionee element&lee cp A qt, cp V qt, etc.:

__!!__J_I V F V F.

V V F F

pAq V F F F

pVr¡ V V V F

V V F V

V F F V

INTRODUCCIÓN A L\ LÓGICA

El eignitieado de e.te.e ~blN ee haoe inmediatamente compmllible si tomarnos Ju Jetru •V• y cFt como abreviaturu de cpropo8ición verda.deru y de tproposición falsu, reapectivamente. En la. segunda tabla, por ejemplo, hallamoe en Ja eegunda linu y deba.jo de 108 encabeza.mientoe ep, tqt y •P -+ qt, la.a letra.e d't, 1Vt y tVt respectivamente. O~moe de ello que una propo9ción obtenida de la implica.ción cp -+ tp ee verdadera si euetituimoe rr por cualquier proposición falaa. y tqt por cu&lquier propoeioión verdadera¡ esto eeU de acuerdo, por supuesto, con las obeervacionee hecha.e en la Sección 8. LM va.ria.blee •? y tqt que aparecen en estas tabl.u pueden, natura.lmente, aer reempla.zadM por otra& v&riables cu&.lesquiera. Con la ayuda de la.a dOfl t&blaa antmiorea, llamad.u T.ULU DI: YEB.Dill rtnfD.üll:NTil.ES, podemoe construir Till.ü DJC VDD.lt> DUIVill•S para cualquier función propoeiciooal compuesta. La. tabla. para. la función •(P V e¡) -+ (p A r)•, por ejemplo, ee la siguiente: V F V F V

F V

F

q

r

pVq

p/\r

(pVq)-+(p/\1')

V V

V V V V F

V

V F V

V F V V

F F V V

F F

F

V V F V V V

F

F

F

F F F F

F

F F F V

Para ezplicar la. construcción de est.a tabla &j,moD01, por ejemplo, en IN quinta. linea. botUontal (sin contar loe encabet.am.ientoe). Sutituimoe c¡n y tqt por propoeicionee verdaderas y en por una propolición falaa.. De acuerdo con la segunda tabla funda.mental, obtenemoe entonoee de cp V qt una proposición verdadera. y de cp A n una proposición falsa. De la. función total c(p V q) -+ (p /\. 1')t obtenemos entonces una implicación con antecedente verdadero y oomecuente falao; por lo tanto, y de nuevo con la ayuda. de la. eegunda tabla fundamental (en la. cua.l 1111ponemoa a tpt y tqt reemplazadas moment&nea.mente por •P V qt y tp A n), concluimoe que esa. implicación ea una. propoaición fa.IJa.. lMTllODUa:l6N A U

t.6GIC&.-6

66

A.CFRD> TAllSK..I

La.a lineas borit.ontalee que conaiait.n de aimboloe .v. y d'» te lla.man FIU.8 de l& ta.bla, y lae Uneaa verticalee ee Uama.n 00· LVMNd. Cada fil&, o más bien la pan.e de cada fila. que está. a la. izquierda. de la barra vertical, representa una cierta. eustitución de las variables por proposiciones Terdadera.a o falsM. Cuando ee construye la matriz de una. función da.da., debe tenerse cuidado de agot.&r todas 1aa poeiblee maneraa en las cuales las combina.oionea de elmbolos tVt y tF• puedan correlacionarse con lu v&riablea; y, por supueet.o, nunca. 96 escriben en la tabla doa filaa que no difiers.n ni en el nómero ni en el orden de los eimboloe tVt y tFt. Puede comprobar&& fácilmente que el número de filas de una t&bla depende de manera simple del número de variables diferente& que a.pe.recen en la función; si la función contiene l, 2, 3 ... variables de dife~nt.e forma., au ma.tri.z tiene 21 = 2, 2* - t, 2* = 8, ... 6.lu. En cu&nto al número de Columnas. ea igual al número de fu.ncionee propoeicionalee parcia.lee de diferente forma que haya en la función dad& (donde la función total se cuenta también entre sus funciones paroiales). Esta.moa ahor& en condicionea de decir c6mo puede decidirse si una proposición del cálculo proposicional ea verdadera. o no. Como sabemos, en el cAiculo proposicional no hay diferencia exterior entre proposiciones y funciones proposicionales; la ónie& diferencia consiste en el hecho de que la.e expreeiones considerada.a como proposicionee son siempre completadas mentalmente por el euanti6cador univel'68.L Para reconocer ai la. proposición dada es verdadera., l& trat&mos como si fuera una función propoeicion.J. y OOtlltruimoe la ta.bla de verdad pa.ra ella. Si, en la 11ltim& coIWDD& de esta tabla no &pe.rece ningún eimbolo cFt, entonoea toda propoeición que ee obtenga de la. función dada por suatitución 19rá. verdader&; y por lo tanto nusetra proposición universal original (que se obtiene de la función proposicional prefijando mentalmente el cuantificador univeral). ea también verdadera. Si, eo e&mbio, la última columna conttene por lo menoe un símbolo «F•. nuestra proposición ea falsa.. Así, por ejemplo, hemoa visto que en la matriz construida para la función t(p V q) ~ (p Ar)• el efmbolo tF. &p&reee cuatro veces en la última. columna. Si, por lo tanto, consideramos a esta expresión como proposición (t1Bto ea, ai le prefijamos las palabr&a

JNTRODUCCIÓ.'l A LA LÓGICA

67

•pera. p, q y ,. cualuqu~nJt). tenemos entonces una proposición fa.le&. P or otra parte, puede verifica.ne fácilmente con la. ayuda del método de las tablas de verdad, que todaa las leyes del cá.lculo proposicional esto.blecidM en la Sección I!!, o eea las leyes de eimplificación, de identidad, etc., aon propoaicionea verdadera.a. La. tabla para la ley de simplificación: (p Aq)-+ p,

por ejemplo, es como sigue: p Aq -p-q-1- - (p -A-q)-+ - p-

V V

V

V

F V V F F F

F F F

V V V

Damos aquí otras leyes importantes del cálculo propoeicional cuy& verdad puede obtenerse de ·manera análoga: - (pi\ - p), (p /\ p) +-+p, (p 1\ q) - (q 1\ p), _[p 1\ (ql\ ,)]_ [(p l\q) 1\ ,],

pV,.., p, (p Vp)4-+p, (p V q) -

(q V p),

[pV (qV 'lJ-[(pVq) V'].

Las dos leyes de la primera Une& se lla.man, reftpectivamente, LEY Dlt CONTRADICCIÓN y L'IY DEL TERCERO BXCLtrIDO; luego t&n emos la.a dos LEYES DE TA.UTOLOOf.1. (para Ja multiplica.ción y Ja. adición lógica.e); Uinemoe luego las do1 L&YES COl'IM:trTATIVAS, y, finalmente, las doe LBYSS ~socu:rrv.u. Ee ficil ver que el eignifi. cado de eetae dos 6.ltimu leyee ee ha.ce muy oscuro ei tratamos de expresa.ria.e en lenguaje ordinario. Esto muestra muy clara. mente el valor del simbolismo lógico como instrumento preciso para expresar peneamientoa complicados.

•Ocurre que el método de 1aa matrices noe lleva a a.ceptar oomo verdadera.a algunas propoeicionee cuya verdad distaba mucho de ser obvia. antes de la. ~plic.ación de eee método. Damoe a continua.ción aJgunoe ejemploe de proposiciones de es& cla.ee:

..

..u.nnt

Til8Hl

'P-(f-p), - p-(p-q), (p ~ q) V (q ~ p).

El heoho de que eetae propoeiciooee no eea.n inmediatt.mente ob'riu, se debe principalmente a que ellaa aon una. m&nifeetación del uao eapeclfi.co de la implicación C&J'&eterfstica de la. lógica. moderna., esto es, el ueo de la implicación en sentido material; Eat&a propoaiciones aaumen un cará.cter paradójico especial li., cuando se las lee en tASrminos de lengua.je común, se reemplaza la implicación por fre.eee que contengan timplicat o ue Mgua, o 11e& ai lee damoa, por ejemplo, la siguiente forma:

n 'P u vtf'd.ad.era, entone.u p fe ligue de cualquier q (en otraa palabra.a: una ~ wrdockro l t ligue. tk cvalquiu fWO'PO· ~);

ri pu falaa, t:nloRa6 p implim cvalquier q (en otru pal&bl'&I: faJ..a implU,, .,..iq,,;u !"~); para p y q eualuquiua, o tMn p implk.a q, o bien q implica p {en otra.e palabras: enh'e dol ~ arbitraria.a, por lo fMftOjll una de dlaa implica la otra).

una~

Formuladas de est.e modo, flltae erpreeionee he.n. sido frecuentemente e&U!U de malentendidoe y de diacuaionea 11uper:8uu. Elrt.o confirma entera.mente 1&11 obeerv&cionM h&ebu al fina.Iiz&r la Seoción 9.•

1'9 Aplloacl6D 4' lu ltJ• 4'1 Mloulo proposlcloul a la IDfeream. Caai tocl.<>11 loa razonamient.oe en cualquier dilciplina oientifica •tán buadoe, explicita o impllcit.amente, en leyes del cálculo propoa:icion&l; vamos a motrt.rv en un ejemplo cómo ocurre eeto. Dada. una proposición que tenga. la forma. de una implicación, puede formar -aparte de la reo1proca (de la cua.J. ya hemoe ha.blado en la Sección 10)--- doe proposiciones más: la. PBOPOSICIÓN 0011TB.llll4 (o la OONT&Alll..A. D• L.&. nDP08ICIÓN Dil>.&.) y la. P.80· M

INTltOOUCCIÓN A LA LÓCICA

La propoiaioión oont.raria 98 obtiene al reemplu.a.r antecedente y eorwecuente de Ja. propoeición dada por su.e negacionee. La contrarreclproca ee el reeuJ.tad.o de intercambi&r anteoedente y consecuente en la. proposición contraria; la contrarreciprooa. ea, por lo tanto, la reciproca. de la propoeición contraria y también la contnt.ria de la proposición reciproca. Laa propoe:iciones reciproca., contraria. y contrarrecfproca, junto POSICIÓN OOlf'l'B.6.B.UOÓ'ROOJ..

oon la proposición original, 98 llama.o l'BOPOSICIONES OOKIV(U.DA.S. C.Omo ilustración con&ider&moe la. siguiente propoeición condicional:

y formemoe sua tree propoaicionee conjuga.daa:

ft

~

u un. n.úmero pofiCivo, enetmcu z u un n.úmero p<>Ntfl'O;

n z no u un núnw:ro pofttloo, mlmlcu 2z no u n 2z no u un n11.mero powitivo, mloncu z no u

un nútMrO poftnvo; un n.11.mtf'O poatlivo.

En este ejemplo, todas lu proposiciones conjugadas obtenidu de una. proposición verdadera BOn aaimismo verda.dera.s. Pero esto no oclll'M en general; p&ra ver que ee posible que no aólo la proposición recfproc& es fa.lBa (como ya. ae ha. mencionado en la Sección 10), pero que t&mbién la proposición contraria. &e& fa.lae., a.unque l& proposición original aer. verdadera, ea suficiente reempla~ar &t por ct't en. laa proposiciones mencionadas má.a arriba. A.si vemos que de la va.lid-. de una implicación no 98 puede inferir nada a.cerca de la validez de la propoaición reclproca o de 16 contraria. La situación es difereote en el caeo de la cuarte. propoeíción conjugad&: siempre que una implicación ea verdadera, t.&mbién lo m BU correepondient.e coutn.rreofproca. F.at.e hecho ee puede veri.6C8!' en numero80ll ejemploe y encuentra su expreeión en la llamad& L'.IY D'.I TUNSP08JCIÓN o DE OONTB.il'OSJCIÓM del cálculo proposiciona.l. Para. form.ul&r l& citada ley de un modo preciBo obeerv&remoe que a t.od& implicación se le puede d&r la fonn& mquemática:

n 'P· tAlmlcu q;

?O

AU"IU:D 1'.utaKI

la propo.sición reciproca, adoptará entoncee la forma:

ai q, tnton.cu p; la contraria. dirá: .Ji no p,

mtom;u

no q;

y la contrarrecíproca: lfi no q, enlonu6 no p.

La ley de contra.posición, según la. cual una proposición condicional implica la correspondiente propoaición contrarrecíproca., ae puede formular de la siguiente manera:

ai: al p, en.toncu q, 4!n.tonu.8: ti no q, entone.u 110 p; po.ra evitar l& acumulación de la palabra Mi», ee conveniente hacer un pequel1.o cambio en la formulación: · (11)

de: .ti p,

~,u

q, ,,_ .tigue que: 8i no q, entoncu no p.

Queremos mostrar ahora, que con ayuda. de esta ley podemoa derivar lo. proposición contrarredproca de una proposición condicional dn.da, por ejemplo, de la aserción (I). La ley (Il) sigue siendo válida. si en ella sustituimos tpt y tqt por proposiciones o funciones propoaicionales arbitrarias. En particular. podemos sustituir •1" y tqt por las expreaionee:

:e u un nWnero poaitivo 2z u un número poaitivo.

Si, por razones eetiliBticae, cambia.moa la posición de la p&labra tnat, obtenemos: tk: si z u un númtro pofiliw, entoncea 2z u un número positivo, ae aigue que: ai 2z no u un número p!Mitivo, en.toncu z 110 u U'l'l 13.Únuro poaitivo. (III)

71

INTllODUOCIÓN A LA LÓCIC4.

C.ompanmoa a.hora (I) y (lll): (111) tiene la forma de una implic&eión y (1) ee BU bipóteaia. Como tanto la implicación completa como au hipóteei.a'i1a.n sido admitidas como verda.deru, también deberá. admitirse como tal la. conclusión de la. implicación; ahora bien, eat& ooncluai.ón ea precillamente l& oontra.rrecíproca de la propoaición de que ae trataba; (IV)

n

2:e no u un número poailioo, entonce.a x poaü;oo.

7Kl

u un número

De e.ata. forma, todo el que conozca la ley de contraposición puede considerar como verdadera la propoafoión contra.rreciproca, siempre que ha.y& demostrado antea la propoaición original. Ademáa, como se verifica fácilmente, la proposición contr&ri& ea la oontrarrecfproca de la Niclproca de la proposición original (ee decir, la propoaición contraria pu~e obtenerse de la reciproca reempl&za.ndo a.nteoedente y comecuente por 11ua negacionea e interc.ambiá.ndoloe). Por esta razón, ai ee ha demoetra.do la reciproca de una propoeición dada, entonoea también la contraria puede consideraree válida. Si, por lo tanto, ee han conseguido demoatra.r dos propoaicionee -la origin&I. y BU reclproe&- es euperfluo dar una demoetncióo eapeoial par& la.a dos propoeicionee conjug&d&s restantes. Puede mencion&l'86 aquJ que ae conocen a.lgunas variante& de la. ley de contrapoaici6n. Una de ella.a ea la reciproca de (11): dt.: si no q, tntoncu no p, ae aigtU fl'l.U: ai p, entmtcu q.

Eet.e. ·ley hace potible la deducción de la propoeición original partiendo de la cootrarreclpl'OQa, y de la contraria partiendo de la reciproca. 15. Reglaa de lnfenneta. Demoetr&olonts eompletu Ahora conaidera.remoe a.lgo máa dota.lladamente el mecanismo de la demoetra.ción con ouya ayuda hemos demostrado la proposición (IV) en la Sección anterior. Ademá.a de 188 reglas de definición, de las que ya hemoe hablado, exiaUm t&mbién regla.e de un carácter máa o menos parecido, a B&bet, lae BBGL48 DI: INn&BNCU.

72

o ••n.u Dlt 01u1osTUetóN. Eat.u regla.a, que no deben oonfun. dine oon lae leyes lógica.e, &On iMtruccionea que eetipul&n cómo t.nnllformar propoeicionee reconocida.e como verdaderae en n~vu propo11ioionee verdader&11. En lu demoetracionee que hemos realizado antes, ae h&n usado dos de eetu reglas: la REGU. DE svsnTUmóN y l& de SEP.UU.CIÓN (también U..mada REOU. DE llODU8 POK•NS).

La regla. de sustitución dioe lo siguiente: ei ya ha sido reconocida como verdadera un& proposición de ca.rá.cter universal que contiene variables propoaicion&lea, y ae sustituyen éstas por otras variables propoaicionalee, o por funciones propoaicionalca o por proposiciones -aobrentendi~ndoee que en los lugares de v11.riablee iguales deber&n i.nsertaree expreeionee igu&lee-, la propoeición

obtenida. de eeta manera debe eer rtt0nocida oomo verdadera. Aplicando esta regla, obtuvimoa la proposición (m) a partir de (11). Debemos &fta.dir, que la regla. de euetítución !MI puede a.plico.r tam. b~n a otros tipos de variable&.. como, por ejemplo, a lo..s variablee designan ndmeroe: en lugar de dichaa variables de· beremoa insertar entonces expreaionea que designen ndmeroa.

Ut, tyt, ••• ,que

•La formula.ción de la regla de 8U8titución que hemoe indicado aqu1, no ee muy precie&. Dicha regla ae refiere a aquellas propoeioionea que conste.n de un operador univers&l y de una función propoaicion&l que contenga. vari&blea ligada.a por el cua.ntific&dor universal. Si queremoa aplicar la regla. de sustitución, deberemoa preacindir del cu&ntificador y coloc.a.r en lugar de la.e variables ligad&e por aqu61, otra.a va.rie.blee o e%pf'Mionea completa.a (por ejemplo, en luga.r de lae variableetpt, cqt, '"• .. ., funciones proposi. cionalee o propoaicionee, en lugar de lu variables u-, .y., tzt, .. . , en cambio, expreaionea que designen ndz:oeroa)¡ si en la función propoeiciona1 intervienen toda...ta otra& variables liga.das, ee dejarin inalteradas y ae ouidará. de que ellaa no figuren en lu expreaionea que se inserten; en cuo oeoesario, se le antepondrá. el cuantificador universal a la expresión obtenida de eet& manera, para lograr de ella. una proposición. Si a.plicamoe la regla de aue· tituoión, por ejemplo, a la proposición:

para todo nú1M1'0 z uiltt ua 11úmtn> 11 lid gua z

+ 11 = ó,

73

INTaODtlCCIÓH A LA l.OOICA.

podcmoe obtener la. propoei.ci6o:

ezNkl "" 11.ÚmtrO y tal, que 3 + y

= 6,

o ta.mbí6n: p¡.m todo número z uYk '"' ntfm.ero y lal qtU zl + y

= 6;

en eete caao se sustituye solamente u., sin modificar cyt. No debemos, sin embargo, suetituír m por una expresión que contenga. tyt, ya que, &un siendo verdader& la propoaíción original, ee puede lleg&r de est.& manera. a una proposición falM. Por ejemplo, si auatituim.oa t3 - yt obtenem
tziM un. número y lal que (3 - y)

+y =

6.•

La. regla de separación, o modua pone1111, a.firm&, que ai ee ha.u aceptado como verdadera.a doe propoeicionee, teniendo una de ellaa la. forma de una implioac:ión y lliendo la otra. el antecedeote de éat.&, también puede aceptarae como verdadero al consecuente de la. implic:ac:ión (aparando•, por decirlo aai, el ooll86Cllente de la implic:&ci.ón). Valiéndonoe de eet.& regla ha. sido deducida la pro· poeición (IV) de las propoaicionee (III) y (I). Ahora ae ve, que ca.da paao de la demoatreción de la proposición (IV) de.da máe arriba, b& conaiatido en la aplicación de una regla de inferencia. a proposiciones previa.mente aoept&d.as como verdadera.e. Talee demoetra.cíOMe eon Uam&daa OOMl't&'U.8. Po. dri&mos cara.eterizar Jea dem.oetncionea completaa de una manera algo más precia&. Cada u.na de ellae conaiete en una auoesi.ón de propoeicionee t.&lee q ue: Lu proposiciones inioial.• fueron previamente aceptada.e como verdaderaa; cada proposición 8UbeiguientAI ae obti"ne de a.Igunaa de lae que lea preceden aplica.ndo 1lI1& regla de inferencia; y, finalmente, la 6ltim& proposición es la. que se quiere demoetrat. Debe obaerv&me en este p11nto, qué fono& tan extremadamente elemental --desde el punto de Yi8ta paicológioo--- adoptan loe razonam.ient.os me.temátiCOf:I, graoiaa al conocimiento y aplicación de las leyee de le. lógic& y de las ft81aa de inferenoi&: prooeeot com-

plie&d.01 de petul&miento pueden reducirse completamente a actividades tan eimplee como aon la obeervación atenta de propoaicionee aceptadas como verdaderaa, la percepcíón de oonexionet eeitructuralee, puramente externaa, entre dichas proposiciones y la "'6lización de transformaciones mdnicu preecritas por lu reglu de inferencia. Eet& claro, además, que procediendo de esta manera la poeibilidad de comet.er errore111 en la demostr&cíón dísminuye coneiderablemente. Bjeretolol 1. lndie&r ejemplos de expreaionee eepecfficamente mat.em'ticaa de loa dominioa de la &ritm6tic.a. y de la geometrla.

2. Distinguir en laa doa propoeiclonee eign.ientee laa ezpreeionee eepecf6camente matem,ticu de aquellae expreeionea que perten&een al dominio de la lógica: (a)

para número.t cualuquimi z e y,

nz

>O e y< O, mt
°"' uiate un número z talque z
(b) para puntoa arbWrarioa A y B, uiate un punto C que uld ·6ihuzdo t:mre A y B y a la nWma di.rtaftcia tk A que de B.

3. Formar la conjunción de le.a negaciones de le.a funcionea propoeicionales eiguientea:

z>3. ¡Qu6 número satisface esta oonjunciónt 4-. lnveetiga.r con cu#J. de laa dos si.gniñcacionea conocidas figura la palabra tot en las eiguieotee proposiciones: (a)

do.t camin.oa le utabmi a1Mrto8: traicionar a la -pat.Na o

morir; (b) ri ganase mucho dinero o me 'P"emia.ae la loterla, empren.: derla un IA.rgo

m;t.

JNTRODU()C(ÓN A LA LÓGICA

75

Indicar algunoa otros ejemploa en loa que la palabra co• ae uae en au primera o en eu segunda signi6ca.ción. •5.

Considérense la.e eiguientea proposicionee condicionales:

(a)

n hoy u n 1wy u

(b) (c) (d) (e)

luma, mtoncu mailana u marle.t; lunu, enloncu maAana e.a aábado; M 1wy u lunu, entoncu d 25 de diciembre u Na'llidM;

ai l-08 dueoa fuuan. eabaUoa, l-08 mendigoa cabalgarlan.; n un número u diuiaible -por 2 y por 6, entonua es divihbll por 12; (f) 6i 18 udivi!ible por 3 y por f, entonus 18 e.adi!Mi.ble por 6.

¡Cu1Uea de eat.&8 implicacionee ton verdadera.a y cuáles son fa.18&8 deede el punto de vista de la lógica matem6.ticat ¡En qué C&e06 la cueetión del significado y de la verdad o falsed.a.d ofrecen alguna. duda desde el punto de vista del lengua.je ordinario? Dirija.se especial atención a la proposición (b) y ex&mÍneee la cuestión de eu verdad haciéndola. depender del di& de la semana en el cual ella 88 formulada.

6. Poner los teoremas siguientes en forma de proposiciones condicionales. (a)

para fJ1U un. triángulo M4 equilátero, u au/iciente tpu. todoa

aua án.gu.lo.t aeGn. oon.grutntu; la condición: tta diMbk por 6. (b)

:i:

u diviftbk 'P"" 3, u JtUUaria para qiu

:i:

Indicar atrae formulaciones para Ja.a dos propoaicionee expuaBt.&8.

7. ¡Es la condición: au6.ciente, o neceaa.ri.a para que &e& vlllido:

76

8. Indicar formuls.cionea &Jtern&tivaa para laa propoaicionea 1iguientes: (a.) (b)

z u divi&ibk 'PO" 10 .n, y .slo ai, u divtribk por 2 y por t'i; para qut un cuadr~látero .tta un paraklogramo u nuuorio

y mfícienU qm el punto dt. inter«ecién. dt. na diagonalu .rea lam· biin el punto me.dio dt. éBku. Indicar otros ejempl06 de teoremaa del campo de la aritmética y de la geometrf& que tengan la forma de equivalencia.e. 9.

tCuálea de lae proposiciones aiguientea son verdadera.e?

(a.)

un eriángulo u Uóau1u ai, y aólo si, t.oda8

8'U8

aUu1'tU .!on.

COl'tgMUnlu;

o

14 condici.sn que z " u n.ecuaria y w.f~ potG que un número -poaitivo; dt. qut un cua4rilákro ata un cuadrado 3'4!! deduce que todoi au.a ánguloa .ron ángulo.a recto., y redprocamnU:; (d) para que z .tea ditrilible por 8, u necuario y au/ictenk 91U z .rea diviaibk 'por4ypM 2. (b)

zS

1w

(e)

10. Suponiendo oonocidoa loe términos mú~ro natural•, tprodudo• (o «eocientu, respectivamente), construir la definición de la expreeión tdiviaibla dándole la. forma de una. equivalencia: duimo8 qut z u divitribk por y, li, y sólo 8', ...

Formúlese del miamo modo la definición de la upreeión •par
<- p-+ p)-+ p, (-

pVq)-(p~q),

-(pVq)-(p~q),

-pV[q-(p~q)).

INftOOUCCIÓH A. LA LÓCIC.l

77

Nótete con cepocial atención la diíicultad de diltingu.ir en el lenguaje ordinario laa tMe dltimae upreeionee. 12. Formúlense las eiguientee e:1:preeionee en simbolismo lógico: (a) .ti no p o no q, entonus no u el caso que p o q; (b) .ti pimplicaqueqimplica r , tntoncupyqju""46implk.aAr; (e) .ti r at aigiu tk p y ai r u, ftgiu tk q, mtoncu r at ftguc dt p o q.

13. C.Onstrúyanse t&blu de verdad par& tod&11 lu funeionee proposioionalee da.das en loa Ejercicios 11 y 12. Sup6ngue que interprotanios e.tas funciotlfl6 como proposiciones (¿quá quiere decir eatot), y determfneee cu&lee de eeae proposiciones eon verd&deraa y cuí.lee eon faleae. 14. Verifíquese por el método de laa te.blaa de verdad que las siguientes proposiciones eon verdadera.e: (a.)

,..,, ,.., p+-+p,

(b)

- (pl\q)-1- pV - q). -(pVq)-(-pl\-q),

00

~l\~VrjJ-[~l\~V~l\rjL ~V~l\rjJ-[~V~l\~Vrji

La. proposición (a) ee !& LllY DE LA. DOBL'.S N:sGAOIÓll', lM propoei· cionee (b) eon lae UamadM t.na I>B DB Mo:ao.ur1, y lae propo«i· eionee (e) eon la.a LEY&S DtsTIUBU'ITVd (de la multiplicación lógica con respecto e. la sume. y de la. wma lógic& con respecto a la multiplic&ción). Jó. Indiquen.se las tree conjugada.a (recíproca, contraria y contrarrecJproe&) de cada una de 1aa propoaiciones siguientes: (a) nú~ro

el huAo que z u un 111imuo ptnitivo implica que -:t: u un negativo;

1 ltltu le¡n 1878).

tu~ro.a

fonn.CLl-.du por el eml.KD.te Jóslco lqMa A. DI lCOIGJ.11' (1806-

78

(b) ai un euadrildttro u redchlgtdo, tftton.cu didto cuadril4U1'0 aení in.1cript,ib~ en un elrculo.

tCué.lea de las propos.icionea conjugadas eon verdaderaa1 Indicar un ejemplo de cuatro proposiciones conjugadas que aean todas falsas. 16. Explica.r el siguiente hecho por medio de la ta.bla de verdad correspondiente a la. función «p +-+ q»: si en una. proposición cualquiera alguna de sus part.ee que aea.n a. su ve-z. proposiciones (o funcionee propoeicionales) se reemplaz&n por propo· aicionea (o funcione&) equivalente&, entoncm la nueva propoaición tot&l que ee obtiene de e.ate modo ea equiva.lente a la. propoai. ción ori~nal. Alguna.e de nuestru a.6rma.cionee y advertenoiaa de la. Sección 10 dependen de este hecho; indie&r dónde se p«I· eenta el caeo. 17.

Considérense las dos proposiciones siguiente&:

de: Bi p, tn.toncu q, ae livue-qiu: ai q, entoncu p; (b) tk: ai p, entonce.a q, ae Mgw t¡&U1: ai no p, entoncu no q.

(a)

Supongamos que estas propo&icionee fueran leyes lógicas, tserl& posible aplie&rlae en las demostraeionee matem!tica.a en modo análogo & l& ley de oontr&poaición (cf. Sección 14)1 iQu'é propoei. cianea conjugadas sed& poaible obtener de un& implicación dada.1 En consecuencia, i,puede mantenerae nuestra suposición de que lea propo8iciones (a) y (b) eon verdaderu1 18. Confirmar la. conclusión que ae obtuvo en el Ejercicio 17 aplica.ndo el método de lae tablae de verdad a. las propoeicionee (•)y (b).

19.

Consideremos las dos expresiones siguientes:

el httJw tk qm ayer fue lunu implica qiu hoy ea marlu; el httJw tk qm hoy ea mmUa implica que mañana .rerd miir· oolu.

lNftOOUCCIÓH A LA l.OOICA

"

! Quá proposición puede deducirae de ella.a de acuerdo con la ley d&l ailogismo hipotético (cf. Sección 12)1

*20. Deearrólleee l& prueba completa de la proposición obtenida en el ejercicio precedente; óeenae laa propoaicionee y la. ley del silogismo hipotético menciona.doe en el mismo, y apliquell&e -ademáa de l&& regl&a de aUBtitución y separación- la. siguiente regla de inferencia: ai doe proposiciones cualesquiera eon acepta.das como verda.deru, entonces su cqnjunción también ee verdadera.

111 SOBRE LA TEORfA DE LA IDBllTIDAD 18.

Concepto. 16glcos fuera del cálculo proposicional. Coneepto dfl ldenUdad

El cálculo propoeicional, al que hemoe dedicado el capitulo anterior, constituye sólo una parte de la. lógica. Ea induda.blemente Ja parte má.a fundamental, al menos en el sentido de que para Ja. definición de conceptos y para la formulación y demoetración de leyes lógicas no pertenecientes al cálculo proposicional, hay que uaar los oonceptoa y leyes de dicho cálculo. Pero Mte no conatituye de por ei una. base suficiente para la fundamentación de otru ciencia8, ni, en particular, de la matemática; en las definicionee, teoremu y demostra.cionea ma.temátiooa aparecen continuamente distintos conceptos de otru partes de la lógica. En él!lte y en loe dos capitulo& siguientes nos ocuparemos oon algunos de éstos. Entre loe conceptos lógieoe no pert&necientes al cálculo propoeicional, el de más importancia ce, probablemente, el copcepto de tDENTID.i.D. Aparece en frasea como: z u UUnlico a y, :i:

u lo mi.mio que y, ;z: e8 igualci y.

A esta.a tres expreeionee ee lea adjudica el mismo sentido. Para abreviar, pueden reemplazaree por la. expresión simbólica.:

x=y.

INT&ODUCCIÓH A LA LÓGICA

81

EQ lugar de e1eribir:

z no u idhtlíc.o a y

empleamos l& fórmula.: :t

oF y.

Las leyea generales que gobiema.n Wi expre5ionM anteriores oonetituyen una parte de la lógica. que puede ser llamada TEOR1A DB LA JDENTID.4.D.

17. Le111 fundamentales de la

"ºria de la ldenUda4

Entre las leyee lógicae referentes a.I oonoepto de identidad la

más fund&m.ent&l es: l. z -= y si, y aólo si, z ne.u toda propiedad qru. tUm y, e y tiem toda pro¡Mdad qut tÑ!JM! :z, Podríamos decir, más simplemente:

:e = y si, y aólo si, z e y tienen toda prO']'Udad en común.

Se conocen otraa form.ulacionee qui!.& más evidentes, aunque menoe oorTOCtM, de eat.6 mi.ema ley; por ejemplo: Z - 'fl 8i, y 6Ólo ai, IQdo lo qtU: ¡nude rlecirae de UM tk loa objel<» z o y, pw& lambiin tkcirK dd otro.

L& ley 1 fue enunciada por primera vez por LE1BNIZ1 (aunque en términos algo diferente8) y puede, por lo tanto, ser llamada LEY DE LEIBNIZ. Ella tiene l& forma de una equivalencia., y nos permite reempl&zar la fórmula:

z - y, 'Cf.nota1.nl&pisln&'2. INUOl>UC:C16H.t lJ. 1.ÓOU:)l.,-t

82

que es el miembro iiquierdo de la equivalencia, por eu miembro derecho, esto es, por una. e:r.preeión en la cual el aimbolo de identidad ya no a.p&reoe. Con reapecto a su forma, por lo tanto, eet& ley puede coneiderane como la definición del .símbolo'"""'• y ..t fue considerada por LEillNIZ. (Por 1upueeto, ónicamente tendrla aentido considerar aquí la ley de L!:JBNIZ como una. definición, si

•=•

el significado del afmbolo noe pareciera. menos evidente que el de las expresiones que a.parecen en el miembro de la ley, t&l como u: ti~nt. toda propiedad qm tiene yt; cf. Sección ll.) Como consecuencia de l& ley de l.m.BNIZ tenemos la siguiente regla de gran importancia prictiu: s.i en un cierto contexto ae ha aaumido o demostrado una identidad, por ejemplo:

:r- y.

entonces en cualquier fórmula. o proposición que ape.reica en dicho conkxto puede reemplazarse el miembro izquierdo de la identidad por su miembro derecho, por ejemplo trt por .yt, y recfprocamente.

Se entiende que si U:• tiene variaa presentaciones en una fórmul&, algunaa de ellas pueden reemplaz&t&e por cyt y otraa dejarse inalteradas. Ha.y así, por lo tanto, un& diferencia. esencial entre la. regla que a.hora. estamos considerando y la. regla de sustitución diacutida en la. Sección 15, en la. cua.l no se permitían tales reempla· zoa parciales de un sfmbolo por otro.

De la ley de

LEIBNIZ &e

puede deducir una. serie de otra.a

leyea pertenecientel!I e. la. teori& de la. identidad que son aplica. da.a muy .a. menudo en consideraciones divera.a.a y Mpe:Ci.a.lmente en demoetra.cionee ma.t..emá.ticas. Mencionaremoe aquí )e.e máa importa.otee de éataa y al mismo tiempo iDdica:remoa esquemática.mente sus demoetracioneti, para. poner de m&Difieeto oon ejemplos concretos que no ei:iate ninguna diferencia. eeencial eotre loe razona.mientoe del dominio de la lógica y los del dominio de la matemática.

II. Todo objeto u iyual. a ft mWmo: z = x. DEllOSTRA.CJÓN. Sustituyendo en la. ley de LEIBNIZ, en en lugs.r de .y., obtenemos:

INTROOUCCIÓ!f A LA. LÓGICA

83

Evidentemente eat& propotición puede aimplíficarBe omitiendo 11u úl't.ima parte ty :r: tiem ...• (esto &e sigue directamente de l& ley de t&utologi& enunciad& en la Sección 12). La. proposición toma en. t.oDcea la siguiente form&: :i:

= :r: .ti, y a&lo .ti, :r: túne toda propiedad que tiem :i:.

Obviament.e el miembro derecho de esta equivalencia ee satisía.ce siempre (ya que, de acuerd.o a la ley de identidad de la Sección 12, flli :e tiene una cierta propiedad, entoncee :i: tiene esa. propiedad). Por lo tanto, el miembro izquierdo de la equinlencia. debe t.a.m. bién a&tiafaceree; en otra.e pe.l&braa, tenemos siemp~: z - :r:,

como ee trataba de demostra.r.

III. Si

:i:

= y, entoncee y =

z.

D:n10STRA.OIÓN. Sustituyendo Ut ley de LJl:IBNIZ, obtenemos:

y-

:i:

por cy. e 'lP por en en la

.ti, y sólo .n, y tiem toda propidad que tiem :e, y :r: tiem

toda propi.e.dad IJ'I" tit.111. y.

Campa.remos esta proposición con la. formulación original de la ley de LBIBNIZ. Tenemos entoncee doa equi,•alencia.a cuyoa miembros derechos BOn conjuncione& que difieren únicamente en el orden de sus miembros. Por lo t&nt.o, loa mi~mbroa derechos son equiva. lentes (cf. la ley conmutativa de la. multiplicación lógica en I& Sección 13), y loe miembroe izquierdos, esto ea, las fórmulas:

z=y e y=:e deben eer también equivalentes. A fortiori, podemos afirmar que la segunda. de eat&e fórmulM &e sigue de la primera., tal como dice nuestra ley.

.. IV. Sia:=.y e

y=i.~a:=z:.

DEMOSTRACIÓN. Por hipót.e&a, lu doa fórmula&: (1)

a:=y

(2)

y= z

ae asumen como válidas. De acuerdo a la ley de LEIBNIZ ee sigue de la fórmula. (2) que todo lo que puede decirse de y puede también decina de z. Por lo tanto, podemos reemplazar la vari&ble y por m en la fórmula. (1), y obtener la f6rmula deseada:

V. Si a: = z e y = z, enlorticu a: = y; en otru of:ljdoa igualu a un teruro eon igvalu mke d.

p&labrae, d
Eeta. ley puede demoetra.ne d., manera análoga a la precedente (y puede también ser deducida de laa leyes 111 y IV sin ley de LEIBNIZ).

U&al'

la

Laa leyes II, 111 y IV eon llamad.u LEYES Dlt Ul'LEIIVID.ü>, DB 8DIBTRÍA. y DE TBAll'SITIVID&D para la rel&ción de identidad. 18. ldenttdad de objeto. e Identidad de 1U1 deelgnacloae&: UIO dt

eolldllu

•Aunque el significado de erpreeionee talee como:

a:=- !I o a:'# y parece Bel' evidente, esta.a erpreeionea aon a veoes objeto de mal· entendidos. Parece obvio, por ejemplo, que la fórmula.:

una proposición verdadera, y ain embargo, algunoe dudt.n eu verdad. En 110 opinión, eet& fórmula. parece indicar que loe 8ÍID.·

M

INTl.ODUCCIÓH A LA LÓGICA

..

bolos 13• y t2 + h son idént.icoe, lo cual ea evidentemente faleo, puee e806 afmboloe tienen íormae completamente diatinta.e, y por lo tanto no es cierto que todo lo que puede afirmarse de uno de eeoe 11imbolos pueda tambi~n afirmarse del otro (por ejemplo, el primer almbolo &itá. constituido por un BOio signo y el segundo no). Con el objeto de suprimir dificultades de eete tipo, es conveniente ver con claridad un principio muy importante y general, del cual depende la. utilidad del empleo de cualquier lenguaje. De acuerdo con eate principio, cuando en una proposición deseamos decir algo de cierto objeto, debemos usar el nombre o designación de dicho objeto y no el objeto mismo. La aplicación de eate principio no ofrece ninguna. duda mien. tra.s el objeto del cual se babia. no &e& una. pa.la.br&, un aímbolo o, en general, una e%presi6n de un lenguaje. Imaginemos, por ejem· plo, que tenemos ante noeotros una pequel\a piedra. azul, y que enunciamos la siguiente propoeición:

uta piedro ea azul. En este ca.so, es de presumir que a nadie se le ocurriría. reempl&:1.&r lae palabras «esta pWlrat, que oonBtituyen en conjunto la designación del objeto, por el objeto mlamo; ea decir, t&cbar o recortar eataa palabras y colocar en su lugar la piedra. Porque si hiciéramos eeo obtendrlamos una t.otalidad constituida en parte por un& piedra. y en parte por palabr&&, y esto no ea una expresión lingüíatica, y mucho menos una propoaici6n verdadera. Sin embargo, eete principio ea frecuentemente violado cuando sucede que el objeto del cual ae habla. ee una palabra o un efmbolo. Y, no obst.a.nte, la. aplicación del principio ea indieponaa.ble tambi~n en eete cuo; porque, de otro modo, obtendria.mos una totalidad que, a pe8&l' de ser una expre6ión lingületic&, no e:zprea&rl& nueetro pensamiento, muy a menudo reeultarta ser un agregado de pal&braa carente de significación. Conaideremoa, por ejemplo, las dos pala.bru eiguient.es:

,Eat.6 claro que la primera oonsiate de cuatro letre.a y que la

&e·

gund& es un nombre propio. Pero aupongamos que
86

AllRl:D TAJlSKI

presar eatoe pensamientos, que eon a.blolutamente oonectol!I, de

la. eiguiente manera: (1) (11)

bien~ de cualro lelnu; Maria e,, un ~bre -propio.

Entonces, al hablar BObre palabr&e, habríamos usa.do las palabrae miam&a y no sus nombres. Y ei ez:aminamos más de cere& lae expresiones (I) y (II), debemos admitir que la primera. no es en abeoluto una proposición, puesto que el eujeto sólo puede ser un BWI· t.antivo y no un adverbio, mientras que la. segunda. podría. conaidere.rse como proposición significativa; pero, en todo c&SO, serla. una proposición f&lsa, puesto que ninguna. mujer ee un nombre propio. Pa.r11. evita.r eatas di6culta.dea podría.moa suponer que laa pal&bre.s •bien• y tMa'l'itM so emplean en contei:toe tales como (l) y (II)

con un significado distinto que eu

aigni6~o

ueu.a.1, y que ell&a

desempeñan a.qui la función de &er su propio nombre. Como general~ción de eete punto de vista deberiamoe admitir que cualquier

palabra. puede, a veces, funcionar oomo su propio nombre; para usar la terminolog(a. de la lógica medieval, podri&mos decir que en casos como éste, la pa.la.bra ea usa.da en SUPPOsmo JUTU.U.U.S. por oposición a su uso en SUPPOSITIO PORJULis; esto es, en iru significado ordinario. En oonaecuencia, toda palabra. del lenguaje oomún o cient(fico poseeri& por lo menos dos significados diferentes, y no es necesario buscar ejempl08 muy leja.nos de Bitua.cionee en las que podrían surgir serias dudas acerca de cuál de ambos aignificados es el que debe entenderse. No deseamos aoept&r eat.& consecuencia, y por lo tanto introduciremos la regla de que toda expresión debe ser diferente (por lo menos en eecritura) de su nombre. Aparece entoncee el problema de formar nombre. para pala.bras y expresiones. Existen varios artificioa para lograrlo. El m'8 aimple de ellos ee basa. en la convención de que para formar el nombre de una. expresión debe colocane esa expreeión entre comillas. Sobre la base de eata convención los pensamientos que intentamos formular en (l) y (11) pueden ahora enuncia.rae CO!TflOtamente y sin a.mbigüedad de eet.e modo: (I' )

cbien• ~ tk cuatro ldnu:

{ll')

tMarl.at u un nombre propio.

IHT:RODllOCIÓN A LA LÓGICA

87

A la luz de eetae obaerv&cionee deaaparecen toda.a Jae poeiblet duda.a acerca del 1igni6.oado y de la verdad de ciert.&8 í6rmulae a~2+1.

Eat& fórmula contiene sfmboloe que designan ciertos números, pero no contiene el nombre de ninguno de esos símbolos. Por lo tanto, esta. fórmula a.firma algo acerca de números y. no acerca de sfm bolos que designan númeroa; los númeroe 3 y 2 + l eon evidentemente iguales, por lo cual la. fórmula. es una proposición verdadera. Es claro que podemos reemplazar esta. fórmula. por una. proposición equivalente que se refiera. a símbolos; a sa.ber, podemos decir que 108 slm.bolos 4.- y t2 + h designan el mismo número. Pero e11to no implica de ningún modo que los sfmboloa

mismos sea.n id6ntiooa; porque ee bien sabido que el mismo objeto -y en pa.rticular, el mismo mimero- puede tener diferente& deeígnaciones. Los slmbolos '3• y t:2 + h son, sin duda., diferentea, y este hecho puede exp~ mediante una nueva fórmula.: t:3• ::¡,a+ h, lo cual no contra.dice en ab6oluto la fórmula. enuncia.da previ&mente1.•

19. La lgualdad en la arHm6tlea J en la geometrfa, y su relacl6a con la id.enttdad 16glea

C.Otteidera.remoe a.qui la igualdad aritmética entre nóroeroe como un CMO especial del conoepto general de identidad lógica.. Sin em· bargo, debemoa advertir que hay matemé.ticos -contra el punto de Tistfl. sustente.do e.qui- que no identifican el eigno •- •. u.suu.l 1 B11 •to! Ubro n.pekJDOll ~IMIWD
.... :."'·

dldaem111udopor

<-rUcalu pequ11!.u o bu .., lllaD. tamb"n en que 110 r eJ-pla. de

co.pn~ldot

por la menclo

uw tl.po pllloden 11K:1C111tlvM &&.blH 111. ut.I libro.

.. en ta. &ritmética, con o1 efmbolo de id.&0.tid&d lógica, no consideran como necesariamente idéntiooa a loe nómeroe igualee y, por con. eiguiente, consideran I& igualdad entre nómeroe, como un concepto especifico de la aritmética. En relación oon ello, eetoa matemático. se apartan de la ley de L1:l8N1Z en su forma general, aun retlono. ciendo v&ria.s consecuenci&B de cará.cter men08 amplio resultantes de aquélla e incluyéndolas entre IDB teoremas especificamente matemáticos. Entre tales conaecuenci&a se hallan, por ejemplo, las leyes II a V de la Sección 17, uf como otros teorema.a que esta. blecen que si x =y, y :z: satisface a una fórmula construid& 6.XcluaiTamente con ayuda. de slmboloe a ritméticos, entonces también y a&tisface dicha. fórmula, como por ejemplo, el teorema:

aix=y

y

z
Seg6n nueetra opinión, eete punto de vitta no se caracteriu por ninguna ventaja. teórica en eepeeial, y en la práctica origina grandee complicaciones en la eip09ici6n de la aritmética, ya que " rechaza la regla general que permite -bajo la. hipótesis de que una cierta. ecua.ción ea válida..- reemplazar en cualquier expree.ión el miembro izquierdo de la ecuación por el miembro derecho; pero como estos réemplazos son impreecindiblea en muchos razonamientos, se vuelve neceeario dar demoatracionea eepecialea de que el reemplazo es legítimo par& cad& caao particular en que éste ea aplica.do. Pa.r& ilustrar C!'.St& a.ituación, conaideremos un eistema cualquiera de ecua.ciones con dos Yari&blea; por ejemplo:

• - y',

.. + !1' = 2<-3y + 18. Si quieíéramos resolver ee\e eistem& de ecuaciones con ayuda del llamado método de ewititucióo, formarla.moa un nuevo &ÍBte· ma. de ecuaciones dejando l& primera sin cambiar, y reemplazando todas las preeenta.ciones de Ut en la segunda por cy&.. Cabe pre. guntarse ahora si esta transformación es legitima, es decir, si el aegundo sistema es equivalente al primero. La respuesta ee Wmativa, sin duda alguna., independientemente del concepto de igualdad entre nó.m.eJ"Oe que ee adopte. PeJ"O, ei el simbolo

•=•

•• denota. la identidad lógica, y a.ceptamoe la ley de LEiatni, Is. MJpueeta aerá. entom~ee eYidente; eiendo: •~y'.

eetari. permitido sustituir txt por ty't dondequiera que intervenga, y reciproca.mente; en caao contrario, deberla fundamentarse eata reapueata, y aunque en realidad- la. fundamentación no ofrecerla ninguna dificultad, serla, ein emb&rg<>, larga y tedios&.

La situación ea completa.mente diatinta en relación con el concepto de identidad en la geomet.rie.. Cuando llamamos -igualea o congruentes a dos fi.guraa geométricas, oomo, por ejemplo, doe segmentos, doa ángulos o doa poUgonoe, no queremol!I afirmar, en genera.), que dicha.e figura.a eee.n idéntica.e; con ello decimos aol&· mente que eetu figura.a tienen el mi1mo tamal\o y la miama forma, o oon otras pala.bru, si queremoa aerrirnoa de Ull modo de hablar figurati.vo, aunque no oomplet&ment.e correcto, que se Ju puede superponer de manera que coincidan entre si. As!, un triángulo, por ejemplo, podrá tener doe o inclU80 loe trea lados iguales, pero cierta.mente estos lados no aon Idénticos. He.y también casoe, por otra parte, en los que ya no ee trata. de la igualdad geométrica de dos figur&11, sino de su identidad lógica; por ejemplo, en un tri'-ngulo isósceles la altura relativ. a la base y la mediatriz de ésta no son e.ole.mente iguales en aentido geométrico, eon simplemente un mismo segmento. Por lo tanto, para evitar confuaión, en aquelloa C&BOl!I en que no ee tcate de identidad lógica, seria. recomendable evit.ar el Mrmino «igualdad•; en luga.r de 6gur&11 igu&.lee en eentido geométrico, hablar eiempre de &gura.a congruentee y reempla.zar el eimbolo •-• por otro aimbolo cualquiera., como pot ejemplo, t;• (lo que, por lo de~, euele haoene a menudo). 20.

Los cuantmcad.01111 numéricos

Con ayuda del concepto de Klentidad se puede preciear el sentido de ciertas frases relacionadaa, por eu contenido y por au función, con los cuantificadoree univenal y exiet.encia.l, pero que poaeen un carácter má.s especial. Se trata de expresionee como la.a aiguientee:

90

ezi.dt ol mtftOf u11., o a lo tumo un, o u.adomenlt UA, objdo z ralqu<••.• uilrm al menoi tloa, o a lo nmo doa, o e.zactamenU do., obfe· loa%f.ellelqut ••. ,

y aa1 euceeiva.m.ente; ee puede denomina.ria.e OBBB NUJÓBIOOB. Aparentemente, en eetaa fraaes se preeent&n términoe especifica.mente m&temá.ticoe, & -.her, loa numera.lea ni.no•, tdon, etcétera.. Pero un análisis mi.e detenido muestre. que el contenido de estas fr&Se8 (conaider&du en au tot.alidad) es de n&turaJerz.a

purammte lógica.. En la. expreai6n, por ejemplo,

lae palabrae tal

meft.Of

um pueden auetituine eimplemente pot

el articulo "''" liD &Iterar el eentido. La. Hpreeión: ui.lk a lo IUmo un objdo pe aaliafaiu la condición dada

aigniJie& lo mismo que: para blo :z: e y, .ri z e y tltdW/aen lci coMición dada, eAlmu:u :z:=y. La. proposición:

t.:tMk uadamnle un. objdo qu.e atJtia/ace la cmidición dada

ea equiva.lente a la oonjunoi6n de laa doa expreaionee ~n mencionada.e:

ui8te al meMrd un objdo que talW/ace la cond~ dada, y Gl miamo Cit:mpo, a lo .rumo un objdo que «Jli.8fau dicha condición. A la expresión: ~

al meno.t do.t obfdol que MJliafacen la condición dada,

le &tribuimos el sentido aigniente: tziaCm ob;dol

ti :z: '#y,

z e y tal.u qut z e y Mlti8/acen la condición. dada

INTRODUCCIÓN A LA Li>cICA

91

1 ee, por Jo tanto, equivalente e. l& negación de:

u:Mte a lo a-umo un obfdo que MllW/au lo ~ ciada. De manera análoga se e::a:plica el llignificado de otru upreeion• de esta categori&. . Para &clarar esto liltimo, preeentaremoe alguna.a propoaicionea verdaderas de la aritmética. en que intervienen cuanti.ficadoree numéricos:

triste ezadamtnte u•

•Úrlltf'O

z tal qut

:i:

+ 2 = 6;

tri.aten emdamtRlt dE LJ.S v.a.1u..nua il'ARENTICS o
l. Demuéstrese la ley V de la Sección 17 usando uclu.eiva.mente lu leyes llI y IV (y, por lo tt.nto, tin UMr l& ley de LBmmz). lnd.ica.ción: En la ley V, laa fórmulaa:

lle aeumen v6.lidas por hipótee.Ui. En virtud de l& ley III, inte~m­ biellll8 la.a va.ria.bles en la aegund& de est&a fórmulas, y luego apllquese l& ley IV.

2.

Pruébeee la siguiente ley: .ti :i:

=y, y= 21 y 21 =e, en1m1cu z =

uaa.ndo exclusivamente l& ley IV de la Sección 17,

t

3.

tSon verdadero.a laa propoeicionee que ee obtienen reempla.-

r.ando en las leyes III y IV delaSee
2+2 .. 5, '2 + 2• ~ ~•.

*5. P&l'a formar el nombre de una palabra se coloca esa palabra entre comillas; par& formar el nombre de ese nombre ee coloca, a su vez, el nombre de la palabra entre comillas, y uC queda. la palabra misma comprendida entre comillas dobles. .Asl, de Jaa tres expresiones siguientes: Juan,

c.lt11J.m,

•"Juan"•

la 8"gunda. el!!I el nombre de la. primer& y la tercen. ee el nombre de la aegunda. Sustitúyanae por turno las tres e:ipreeionea mencio· nada.a en lugar de u. en las siguiente& funcionee proposicionales, y determlnoee cuálea de laa doce propoeicionee obtenida.a eon verdaderu: (a) (b) (c) (d)

:e u un hombre, x ea t.l nombre de un hombre, x es una ezprerión, :e u una erpruión que: contiene comilla.a.

*6. En la. Sección 9 hemoa dado varias formulaciones de proposiciones condicionales que &e encuentran en loe libros de matemáticas. También hemos lla.mM!o la atención sobre el hecho

INTl\ODUCCIÓN A LA. LÓGICA

93

de que, en alguna.a de eet&a expreeionee, ee habla, no ~ de números o de propiedo.dee de n~metoe, etc., eino acerca de eJ:· preaiones {por ejemplo, proposiciones y funciones propoaicion&lea). Se sigue de lae observ&eionea hecbaa en la Sección 18 que eetaa últimaa formulaciones requieren el uao de comillas. lndJquell8e !u formulaciones que requieren el uso de comillas, y el lugar ei:a.cto en que éat&s deben colocane. •7. Sobre la base del principio gener&l relativo al uao de nombres de objetos en propoaicionea que afirm&n algo a.cerca. de e.908 objetos, podem08 someter la penúltima proposición de l& Sección 12 (11Asf como loa teorema.a a.ritméticoa de Cará.cter universal. ..•) a. cierta critica. Sa.bemoe que laa variablee que aparecen en la. a.ritmética. eetán en lugar de nombres de númeroa. ¡Eetán la.a variable& que apa.rec:en en el CÁiculo propoeicional en lugar de nombres de proposiciones o de propoeicionea! En conaecueucia, ¡.podemoa decir, ai deseamoa eer exa.ctoe, que lu leyes de eee cálculo s.firma.n algo sobre la.a propoeicionee y sus propiedadeei 8. Consideremos un triil.ngulo cuyoa lados aea.n a, b y c. Sean h", hb y he 188 tres altur&8 relativas a loe l&dos a, b, e; análogamente, sean m11, mb y me las media.trices, yª•• a,, y &e la.e biaectricee de loe ángulos del triángulo. Supongammi que el triángulo conai.dera.do sea i.sóscelee y que sea a au base y by e loe lados iguales. tCuálee de loa doce segmento& indicados son entonces congruentes (es decir, igua.J.ea en &en· tido geométrico) y cuáles idénticoaf E:iprésese la respuesta. oon ayuda de fórmulat y utilfoeee para ello el símbolo e;:• pa.ra la congruencia. y el efmbolo para Ja identidad. Reeuélvaae el mismo ejercicio bajo la hipóteaie de que el triingulo considerado eea. equilátero.

•=•

9. AcU.reee la significación de las expresiones: (a.) (b)

ezi8ten a. lo aumo do& ob;doa qw aatiafaun la condici6n dado; eziaten do.t objeto.! que Mllia/aoen la condición dada.

10. Determineee cu'1ee de laa proposiciones siguientes son verdaderu:

.. +

(&) e.:ride emaam.ente u" •'1ntt'o z tal que .z 3 - '7-z; (b) tÑCen emaa~ doa nlimtro.t .z taka qtu z:I + 4 - 42:; (e) tziatenalo sumodO!lnúmerol y f.ok.fque y+ ó < l l -2y; (d) ezúten por lo menoei tru ntímerw z talu que zS < 2::; (e) para tocio número z, ~un nú.mero y tal que x y= 2; (f) para taro núnuro z, erUtte emctammte un número y tal que z·y = 3.

+

11. tCómo puede expreet.r88, con ayuda de los cuantificad.oree num.érioos, que la. ecue.ción:

tiene doe ra1cea1 12.

¡Qu~

numeroe z satúd'a.cen l& función proposicional:

uíatm ezactamnte doa núnuroa y talu ~ z

=

y" 1

Diatinganse en e&ta. función lu varia.bles librea y lig&d&B. •¡Hay va.ria.bles liga.das por cuantificadores numérioos?• 13.

ConsidérMEJ I& aigu.iente función propoaicfonal: ~"

x, y, z, talu que x z 7'- z e y:;. z. (a)


Erpréae&e (a) usando cuantificadores

num~rioo1.

z

< a,

z -:;, y,

Form.11leae (a)

tJMndo loe sfmboloa introducidoa en loa e&pítuloe l y I l •Tra.dúzcaee la eiguiente fórmula (b) al lengu11-je ordinario e in~nte&e demostrar que ea equivalente a {a): (b)

t;C(z
< a/\z.;.

z/\y "f: z]].

IV

SOBU LA TBORlA DB CLASBS 21.

Clalel 1

eua elemenkll

Ademáa de loe objetos individuales &ialadoa, que llamaremoe INDIVIDUOS, en la lógica se eetudian CL.l.SB:8 de objetos; en la vida ootidia.n& a.si como en matemática, las cl&Se8 aon más & menudo llam&d.as ClONJ'UNTOS. Por ejemplo, la. aritmética trata frecuentemente con conjuntos de námeroe y, en geometría, nuestro interéa no se dirige ta.o.to a loa puntoll aislados como a loa conjuntos de puntos (& ea.her, a laa configura.cionea geométricas). Claaea de

individuoe son Uemadaa OL.il&S I>B PBDl:&R OBDltN, Aunque con menoa frecuencia, en nueatru investiga.cianea también enoontraremoe OL.&HS DB SEOtrNDO OBJ)Blf, ee decir, claeea que conaieten, no de individuoa, aiao de cluea de primer orden. A vecee be.y que oonsiderar también CU8P PS TKBO:S&, COilTO, ••• , ÓILDBN&S. En este libro noa ocuparemoa cui exclueivamente de clasee de primer o.rden, y sólo excepcionalmente ----oomo en la Sección 26Uindremoa que ocup&rnoe de daeee de segundo orden; sin embargo, nueetraa oonsidere.ciones pueden aplica.rae casi 11in modificacionee a clases de cualquier orden. Para diatinguir entre indiriduoe y clases (y t&mbién entze claaes de distintos órdenee), usamoe como variables letras de tipoe diferentes y pertenecientes a diferentes alfabetos. Ee usual de. aignM" loa objetos aisle.do&, como por ejemplo los números, por letra.a minóaculae, y loa conjuntos de éatos por mayúscula.e, del alfabeto latino; en la geometrla. elemental, en cambio, está mú

"

At.FRED TAllSKl

extendida la ooatumbre contraria: con lu letr&l!I m•ydaculaa ae deaign&n punto., y COQ lae minú.eculae (latine.e o griegaa), COD· juntoe de elloe. La. parte de la lógica. en que ae analiz.a. el concepto de clase y se eatudian aua propiedadee generales, se denomina TllORÍ4 CLASES; a veeea, eet.a. teoría ae trat. como una disciplina ma.tem'· tic& autónoma., y como tal, se la ll&m& entoncee TllORÍA ODKB.il.

»•

DI: CONJUNT091.

En la teoria de clases, desempefian un papel fundamental expresiones como laa aiguient.ee:

el objtto z u un. demento tk la daae K, elobjdozperlen.euala~K.

la cla.te K rontif:M como demento d obfdo z; <:oneideraremoe eataa erpreeionee como t.eniendo el mismo eigni·

&ca.do y laa auatituiremoe, por ra.r.onea de brevedad, por la f6rmula: zeK. Si, por ejemplo, J ea el conjunto de todoa loe nd.meroa enteros, loe números J, 2, 3, ••• eerán eue elemento&, y loe números 2/3, 21¡1 , •••, no pertenecerán, en cambio, a este conjunto; lu fórmulas:

lel,2el,3el, son verdaderas, mientras que:

2/3el, 2 1/ 1 el, 80D

falau.

' 1.M prlG~lplot 6e l• ~ria. de d•.et• -mtJor dlel10, d• •<1.11di. p&rt. de ott& U.Orla qu• 111H &
:'~:t~!1 &!Uno1::a ':'1~~ :/ ~~~~:m1:t~'!te!'.:08~ 11~!!'1'l':(ie:~~:~~~ f:i

l wia l&OUOD· c1.. ntLmub.ate y fl'llCU!era.

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA

2Z.

97

a..... J ruoloDM proposlolooalee coa u.u vartable Ubre

Coneide~moa

una función propoaicionrJ oon una varia.ble li-

bre, por ejemplo:

1:>0. Si le prefijamos las palabras: (I)

el conjunto de todoa l08 númeroa z ta/u que

obtenemos la e:r.:preaión:

Esta expresión designa. un conjunto bien determinado, a saber, el conjunto de todoa los números positivos; éste es el oonjunto que tiene por elementos a loa número& que satisfacen la. función propoei<:iona.1 dada., y sólo a. ellos. Si designa.moa eate conjunto con el sfmbolo tP11 nuestra función se hace equivalente a:

zeP. Podemos aplic&r un procedimiento aná.logo a cualquier ot.ra función proposicional. En aritmética. se pueden obtener de esta. manera varioe conjuntos de números, por ejemplo, el conjunto de todoe loa números negativos o el conjunto de todoe loe números que son mayores que 2 y menores que 5 (o sea que aatiafaoen la función u: > 2 y z < 5•). Este procedimiento desempeña también un papel importante en geometría, especialmente en la definición de nueva.a cll\868 de configuraciones geométricaa; la superficie de una eafer& se define, por ejemplo, como el conjunto de todos loa puntos del eepacio que están a una determina.da. distancia de un punto da.do. Es costumbre, en geometría., reemplaz.a.r las palabraa tel c.onjunto J.e todoa f.oa puntes• por tel lugar gwmttrico de loa pu?ÚOll•.

Ahora. daremos a las anteriores observaciones una forma general. Se admite en lógica que, a toda función proposicional que

•• contiene esa.eta.mente una variable libre, por ejemplo, en, oorrespoode eu.ct&mente un& cluo que tiene por elementos a loe objetol que 1&tiafacen la función proposicional dada, y eolamente a elloe. Obtenemoe una designación de dicha claee colocando antes de la función proposicional la. 11iguiente frase, que pertenece a las expresiones funda.ment&lea de la. teorl11. de clasee:

Si denotamos la claae en cuestión por medio de un solo símbolo, por ejemplo cC., la fórmula: xeC

eeri. -para todo z- equivalente a la función propoeicional orig!Dal. Se ve, por lo tanto, que cu&lquier función proposicional que oooteng& a en como únic& variable libre puede traneforma.ne en una función equivalente de la forma:

xeK donde en luga.r de ur. debe colocane un& constante que deeigne un& ola&e; en consecuencia, puede oonaiderarse la última fórmula oomo la. forma máa general de función propoaicional con un& varia-ble libre. Laa :&aaee (I) y (11) son reemplaza.da.a a veces por expresiones aimbólicaa; podcmoe, po:r ejem.ple, oonTenir en uaar el eiguient.e atmbolo con eae propósit.o:

~· ~nsideremos

a.hora la eiguient.e expftlllión:

la ou&l puede escrib:ine WllUldo aolamente símbolos: 1 e~(%

>

0).

99

INTllODUCCIÓN A LA LÓGICA

Eata exproeión ee

evidentemen~

una propoeición e inolueo una propoeición verdadera; ella upreea, en forroa mú complicada., el mÍ8DlO penaamiento que eeta eimple fórmula:

l >0. En coneecuencia, esta. expresión no puede contener ninguna. va.riable libre, y la. variable «n que aparece en ella. debe ser ligada. Puesto que, por otra parte, no halla.moa en la anterior expresión ningún cuantificador, llegamoe a la. conclullión de que frl!l.8e8 ta.lee como (I) y (II) se comportan como cuantificadores, o ee& que ligan variables y, por lo tanto, deben ser contadas entre los operad.oree (cf. Sección 4)• .Apga.mos que con frecuenci• ao prefija un operador como (l) y (11) a laa funcionea propoeicionalee que ademú de en contienen otraa v&ria.blea librea (eeto OCWTe en caa1 todoa los C&808 en que t.alee open.cionM se aplican en geometria.). Las expreeionee a.a( obtenidaa, como por ejemplo: d eonjunto tk todoa lof númeroo z talu qiu z

> y,

no designan, sin embargo, ningun• clase definida.; ella.e son fun. cionee deeigna.tiva.s en el sentido que ae estableció en la. Sección 2, ee decir, se tra.nsforma.n en deeignacionee de clues lli reempla.. r.am.oa la.a varia.bles libres (pero no .:n) por consta.ntea &propiadaa. Asf, en el 'dltimo ejemplo, podrla.moa reempla.zar ~ por tOt. • De laa funcionoe propo&cioMlee oon una vwiable libro se a.fir. ma a. menudo, que e%Jlrea&D una. determinada propiedad de objetot, propiedad que afecta a. loa objeto. que la, aa.tiafacen y eólo a. éstos (por ejemplo, la. función propoeicional -x u divinble por 2t expresa. del número z la propiedad de ser divisible por 2, o de aer pa.r). La. clue que corresponde a. esta. función oontendri., puea, como elemGnto8, todoe loe objetoa poaeedorea de la. citada. propiedad, ~ a ni.ngón otro. De eeta forma, a toda propiedad de objetoe ae le podr& ha.oer ool'l"e8ponder una clase univocamen~ determina.da.. Ahora. bien, también es verdader& la. reciproca: a toda clase ae le puede e.signar una propiedad poaefda. exclueiva.mente por loa element.oe de dicha. clase; a u.her, la propiedad. de

100

.UlllED TAUKI

perUnecer a. ella. Por esto no ee neoeeuio, en la opinión de muehoe lógicos, distinguir entre loa oonceptos de claae y propiedad.; en ot.ru palabras, una tteorfa. de propiedadeet especial eerla inneo&saria, aiendo euficiente la teorla. de oluee. Como aplicación de eetaa obeervaciones daremo• un& nueva formulación de la. ley de Liwnm., La. formulación original (en la Sección 17) oontenfa. el ténniDo ~; en la que aigue, que le es equivalente, usamOB en e&mbio el Unnino tclaaet: :t: - y ai, y sólo M, toda el<.ue qtU contit1u como demento a uno tk loa objdoa z o y, tambiba eontUiu al otro como dmwtlo.

En esta. formulación de la ley de LEmMIZ se pone de m~ que el oonupto de identidad puede detinine en ~rm.inoa de la

teorladeclaeee. 28. Clue u1.....i ' olMo nula Como ya sabemos, a cualquier función proposicional con una varia.ble libre corresponde la claae de todos loe objetoe que ea.ti8fa.oen esta. función. E.ato ee puede aplicar ahora. a la.s dos aiguientea funcionee particula.rell: (l) [A primera. de Mtu funciones es evidentemente aatíafecha por todo i.Ddiriduo (véue Seooión 1'1). Por lo t&nto, la claee OOmMI· pondiente

" e; (z ""' z)

contiene & todos los individuoe como elemento&; llama.moa a e11ta claae la CLA.SB UNIVEBSAL y la denotamos por el efmbolo tV• (o •h). La. segunda función propoaicional no es satisfecha por ningún objeto. En ooneecuencia, la olue que le oor;responde ~(z

#:- z),

IH'l'IODUCCIÓH A LA LÓGICA

101

es denominada la. ou.n NtrLA o CLA.H VACfA y denota.da por cAt (o .O.); no contiene ning6n ekm.ento. Podemoa reempla.za.r a.ho· ra. a laa funciones propoaicionalee (1) por funciones equiv&lentee de la. forma.:

zeK, a a.her, por: (II)

zeV,

ze A,

aiendo satisfecha. la. primera. pcrr cualquier individuo, y no ei6ndolo por ninguno la segunda.. En lugar de emplear el concepto lógico general de individuo dentro de una. detennin&d& teorl& ma.tem6.tica., es a. veoe11 má.1!1 conveniente especificar qu6 ee lo que NI conaidera como objeto: individual dentro del marco de eea teorfa; ae denot&ri. entoncea nuevamente por t Vt a la Claae de todoe eeoe objetoe y ee la. llamad el UlfIVlm80 D• DUIOUILSO de la t.eorfa. En Ja aritm~tica., por ejem. plo, el urúverso de diacuno eet.6. constituido por la clue de todoe loe nó.meros.

•Se ha de not&r que V ea I& cl&ee de todos loe individuos, pero no l& cleae que contiene como elementos a todos loe objetos poei. bles, a sa.ber, también claae8 de primer orden, segundo orden y aaí en &delante. Se preeent& el interrogante de B&ber si una. claae tal de todos loa objetos poaiblee e.Date, y, de una manera. m!e general, ei podemos oonsidera.r claaee m.o·homogéneaat que no pertenezcan a un orden p&rtieular y que contengan como elemen. toe tanto individuoa como cle.eee de divenoe órdooee. Est& ouee· tión está. eatrecbamente relacionada con loe máa intrinoadoe problemaa de la lógica contem.pcrinea., a. aaber, la aaf denominada .ilfTilfOKU. DB Rt18SSLL y la TBOBÚ Dll LOS TIPOIJ LÓGIOOIJ1• Una diacmión de est& oue1tión irla m'8 allá de loe propóeitoe de este libro. Solamente diremos aquí que rara. vez ea neoeea.ri.o oonaiderar claaee mo.bomogéneast en matemá.tica. (excepto en la. teoría general de oonjuntos), y mucho menoe aó.n. en otras oienciaa.• ' BI concepto d• Upoe IOslco. lnVochtdcSo por 1trUSLL • pancldo al da ord. . 49 1111& claee, 7 pued9 - coneobldo but& como mu. 1111tn.clc!11 di • t i 'll!Umo; pnusllla· clc!u QUI 110 aol&m1nto 111 rtlere • !u dMot. 111• t&mb\611 otrN ~ ~ 1Jeinpl(I, •

a

:e~:t:~'!:1i.e".=~:::::,:.'!.·~ l}P.!:.'!i,!-(~~i:•1t.trn'a1~.i:).

102

14. RelMlon• fundamental• eatrt oiu. Entre d08 cl&BM arbitrariu K y L, pueden existir diverr.u relaciones. Puede ocurrir, por ejemplo, que todo elemento de la claae K se& aJ. mismo tiempo un elemento de la clase L; decimoe entonoee que LJ. CLü:I K ES UN... SUJWL.t.SB DB LJ. C:U.SB L o eatl. IlfOLUIDA. BN LA.
Lo que TIBN B L.l RELA.OIÓN DE INCLU8IÓK

L; y decimoe que u. CIL&SB L INCLUYI: A LA OLA.· K OOJIO SlJllOLAfJB. Expreaaremoe eato, brevemente, mediante una de las fórmulas:

OON LA. CLASE

111:

KC:L

o

L::>K.

Al decir que K ea una eubclue de L no queremos e:icluir i. poaibilidad de que t&mbién L aea. una eubclaae de K . En otras palabru, K y L p ueden eer eubcla.aee una de ot ra; en tal caso, 11e aigue de una ley (dada m'8 ir.ha.jo) de Is. teoría de cl&IM!e que K y L son idénticas. Si, por otra. parle, todo elemento de la clase K es un elemento de Ja clase L, pero no todo elemento de la olaae L es un elemento de la claae K, entoncee decimoa que la. clase K es un& SOJICLUB PROPU o UD& PAJI.TE DB LJ. OLüB L, y decimos que L INOLUY B A. K 00110 snOLA.SJ: PBOPU. o 0011:0 l'.lll.TB. Por ejemplo, el conjunto de todos los númeroa ent.eros ea un subconjwit.o propio del conjunto de todos loe mi· mero& raeionalea; una. recta. incluye como parte & cada uno de sua aegmentoa. Deoimoe que dos cl&eee K y L ee INTH8B
108

INTaoouocróN A LA. LÓGICA

Demoe a.lgcmoa ejemploe de leyee que oonc.iemen a nee entre cla.eee arrib& meooioaad.u.

~

ret.cio-

Para toda claat K, K C: K. Bi K e L y Le K, entonua K =L. Si K e L y L

e

M, entonua K

e: M.

Si KM una aubclase M vacla de L, y 8i laa clase.a L y M..,.. di.a;untaa, mtoncu lat claau K y M ama. diajuntaa. El primero de eetoa enunciados ae lis.me. Ll:Y DE Rl:l'LEUVID.!D para la inclmrión o LEY DE IDEN'nD.!D de la teorfa. de IM c)Mflll!I. El tercero &e llama LBY DB TIU.N91'JTVID.!D para. la. inclusión; junto con ·el cuarto enanciado y con otroa de estructura análoga, forma un grupo de enunciadoe que reiciben el nombre de LUIS D:st. 91LOOIBMO C.!TEOÓBIOO.

Una. propiedad caracterúitica de la clase universal y de la claee nula que est.á. relacionada con el concepto de inclusión, ee la que 8" expresa oon la Biguiente ley:

Pamtodaclaac K , V::> Ky/\ C: K. Bate enunciado parece a mucha gente bast!mte paradójico, &Obre todo en su segunda parte, que ae refiere a la clase nula. Con el objeto de demostrar eeta. eegunda parte, ootU1ideremoe la implica.eión:

aize/\,eftlon.cUzeK. Cual~uiera

eea. el nombre que ooloquemOl!ll en el lugar de ca (y

tKt), el anteoed.ente de la. implicación aeri. una proposición falaa, y, por lo tanto, toda.la. implicación~ una proposición verda.dera. (como dicen a veces loe matem~ooe. la implie&ción ae satisface tva.cuamentet). Entonoes podemoa decir que, ai un objeto cua.J. quiera es elemento de la clsae /\, ea también elemento de la. ola.. ae K, y, por lo ta.nt.o, en virtud de la definición de inclusión, tenemoe: /\ C: K. La primen. parte de la ley ae demuestra a.o&. logamente.

,,. Et f'-oil ver que, entre doe cluee oualeequ.iera, debe veri6· alguna de laa relacíoEMe oomidend.M. Eeto ea e~reeado par Ja Wguiente ley:

dl'N

Para cllue4 K y L cualuqui.era, o trim K - L, o bim K u inclu~ a L como .nibcla.u H interHCOa, o mm finalmente K y L ,Jidiuntaa; ningún par de utaa re1ac&onu ttakn simultá~.

•M aubclaat 'P"O'J)ia tk L, o titen K

ª°"

propia, o bien K y L

Par& entender ch~ra. e intuitivamente esta ley ee mejor imagi!llU'SO a las cla.ses K y L como fignna geométricas y considerar todaa las posibles poaicionea en que pued& eeta.r una de e8t&8 6gun8 reepecto de la otr&.

Lea relacionea oonaider&das en eet& eeoclón puede MU' Uamadu asLAOIONB8 tlTNDAlll'ElfT.6.1.1:8 ENTJU: 01.ABl:81•

Cui toda la lógica tradfoional (cf. Sección 6) puede reducine a Ir. teori& de las relaciones fundamenta.lea entre claaes, ea decir, a una pequeti& pe.rte de la teoria de clues. Aparentemente ambas diaoiplinas ee diferencian por el hecho de que en la antigua. lógica no interviene explicita.mente el oonoepto de clue. En lugar de decir, por ejemplo, que la cl886 de loe caballos está. oontenid& en la de loe mamíferos, en la. lógica antigua solla decirse que la pro· piedad de ser mamífero ea poaelda por todo& loe caballos, o, simplemente, que todo caballo es mamífero. Laa leyes má.e importan.ta de la lógica tradicional son laa del silogismo cat.egórico, que oorreeponden na.et.amente • la.e leyes de la teoría. de claeea que hemoe citado mú arribe. a lu que bemoe dado eee nombre. Por ejemplo, en la lógica antigua, la primera de laa leyes del silo. gismo mencionadas anteriormente toma la lliguiente forma:

Si tod-0 .M u P y todo 8 u JI, mkmcu lodo 8 • P.

1Ata ea la ley mis f&mosa de IA lógica. tradicional, y oomo la ley del silogismo

ee la oonoce

BÁBB.&JU..

• . . _ l'tl&do- 1'111ron ln,..Upd.M por prlmel'I n1 de por 111 1D&t.e!Utloo fl'lncM J. D. OUOIO•B• (U1M8IO).

un&

manen. •U•IMU••

UITRODUCCIÓN 4 LA LÓCICA

106

36. Operaolon. ooa oiu. Considerarem.oe &bon cien.u operaciones mediante 1&1 out.kie, partiendo de cl&eer1 dadas, ee forman nuevas clMel!ll. Dadas dos olaees cualeaquiera K y L, puede form&r&e una nueva clase M que contiene como elementos aquellos, y .eolamea. te aquelloe, objek>e que perteneoen al menos a una de lu cl&&eB K y L; podría decirse qne la clue M se obtiene de la clase K agregándole loa elementos de la. cJue L . Eet.a opere.ción es llamad& ADICIÓN DI: CU.SES, y la cl6&e M recibe el nombre de BUKA. o UlfIÓN DB Lil OU.SBS K y L, y lile la designa con el almbOlo:

KUL (oK + L).

Otn opera.eión oon dos claeee K y L, llam.ada. IlllV1.TD't.I040IÓN n:s OL4.BA, consiste en formv una. nueva claee M cuyoe elementoe son &quellOl!I, y 80lamente a.quelloe, objetos que pertenecen a a mbas claaes K y L; esta clase.Mea ll&m&da el PltODUcro o llfTBBHOOIÓN DE L.&..S OL4.SES K y L , '1 ee deeignada. por el aimbOlo:

KnL(oK·L). Esta.a dos operaciones se aplican freouentement.e en geometría; a veces es especialmente cómodo aplica.rliui a la definición de nuevas especies de figura.a geom&t.ricas. Admitido, por ejemplo, qUfl ya aupiésemoa lo que &00 'nguloa ad.ya.cent.ea, entoneea el eemiplano o ángulo llano podrla defi.nine como l& claeo unión de doe ánguloe adya.oentea (oooaider&Ddo el ángulo como domi· nio angular, ee decir, oomo una parte del pl&no limitada por dOI eemirreotu l.l&m.adaa ladoe del 6.ngulo). Considerando a oontinn&oíón un clrwlo arbitrario y un i.ogu.lo cuyo vértice esté eituado en el centro del ofroulo, la intenecoi6n de ambu figuru 11erá una nueT& figura. llamada sector circul&r. Vamoe a indicar doa ejemploe m"8 del e&m.JIO de la &ritmétioa: la. aum.a del oonjunto de todoe loe números positivoe y de todoa loe números nega.tivos, aer'- el conjunto de t.od.oa loe nómeroa diatintos de O; la inter&e
106

junto que te11dt& un eolo elemento, el número 2 (estAt nómero ee

el 6.n.ico nómero p&r y primo).

·

Para. la adición y multipliea.ción de oluea, valen divenu leyee. Alguna.a llOD oomplet.Mneot.e aná.log&a a 1011 teoremu de la aritmética. rel&tivoe a la adición y multiplicación de n'dmeroe (preciament.e por esta razón ee han elegido IOl!I términoe cadi.ción• y a:nultiplicaciów para. dtllligna.rlaa); oomo ejemplos mencionare. moa las LEYES CONJl'tl'TATIVA.8

y

A.80CIA.TIVA.S de Ja adición

y

multiplicación de clases:

Pamda.aea cuakaquimiK yL,KUL = LUK yKnl= Ln K.

Paro.,¡,,,., K,L yM eualuquiua, K U (L U M) - (K U L) U M yKn(LnM) = (KnL) nM. La analogía con lOI teoremaa aritméticos oorreapondientee ., vuelve evidente oue.ndo reempl&z.am08 loe símboloe •U• y cnt por loe stmbolOl!I usuales y e· t de adición y multiplicación. Pero en cambio, otraa leyes difieren ooDBidere.blemente de lu leyee: de la aritmétie&; un ejemplo C&J'acterletioo es la. llamada Ln'

•+•

DI: TA.UTOLOOÚ.:

Para toda c/.a.ae K, K U K

=K y

K

n

K = K.

F.ata ley ae vuelve obvia cuando refterionamos sobre el aignifioe.do de lot aímboloa tK U Kt y cK. n Kt; ai, por ejemplo, a loa elementoe de l& ola.se K ae le a¡repn loe elemento& de esta m.iema olue, en realidad no ee agrega aada y como resultado ae obtiene naev&. mente la. claae K .

Queremoe mencionar •ú.n otra operación, que difiere de l&ll operaciones de adición y multiplicación en que no ee realiz& oon dos clsaes, sino con un& sola. bt.a ea l& operación que consiste en formar, & partir de una claae dad& K, el llamad.o OOJll'LEllDTO DB LA. OLA.SE K, eeto ee, la olaee de todos loa objetos que no per· t.enecen a la clue K. El complementA> de la ola.se K se denota. por: K'.

IN'T&ODUCCIÓN A LA LÓCICA

107

Si K ee, por ejemplo, el c.on.junt.o de todoa loa n6meros ent.erot, eotoocee todM lae fra.ocionee y todos loa o6meroe m.ciooalee perten~•K'.

Como ejemploe de leyes que MI refieren al concepto de oompl.&plemento y que establecen eus conezionee oon otros oonceptoe oonaiderados ant.eriormente, damDft loa do11 enunciados Biguienka:

Para roda claae K,

K U K' - V.

Pamtadacl.aae K,

K nK' =A.

El primero de ellos llle llam• UY DBL TltBClltBO BXOLUIDO de la teori. de claaell, y el eegundo LEY ni: OONmil>IOOIÓN de la teorla

de claeee.

Lu relaciones entNI cl8M18 y Ju operacionee con éet&a que aoabamoe de tratar, y también loe oonceptoe de clase univeraal y olue vacla, pertenecen a un& parte especial de la. teoría. de cluea; oomo loa teoremas referentee a eBtaa relacionee y operacionee tienen en au mayor parte un car6.ct.er de fórmulas llllnplea, y reouerd.&n teoreinae de la. aritmé&ioa, a esta. pliLl'te ee da el nombre de CJlLcuLo DB OLilBS. 28. C1ues coordlnables. H•mero cardlDal 4• una clase. C.lasel llDl&aa • ln1ln1&u. La arl&m6Uea GOmo parte de la 16gl.ca

•Entre loa reetantee ooooeptoe eetud.i&doa en J& teorú. de cl&NI, b&y un grupo que mereoe especial atención y que incluye oonoeptoe talee· como loe de cluee ooordina.bl•, ndm.ero cardinal de una olue, cl88el finita& e infi.n.itu. Deegraciada.mente, Mtoa son oonoeptoa diffcilee que aquf .dio podrán aer tn.tadoa de manera oupemoi&I. Como ejemplo de doa OLüES OOOB.I>INA.BLJ:S o BQUIVALBKTBS, pueden servir loe oonjuntoe de loe dedos de 1aa manoe derecha e izquierd&; ambos aon coordina.bles, puea con loe dedos de 1aa doe m&noa 18 pueden forma.r paree en los que: (i) t.od.o dedo figura enotamente en un par, y (ii) todo par contiene un dedo de la

11lA mano derecha y un dedo de I• i.eq'llierda. Eo el mismo M1Dtido, eon ooordinablee, por ejemplo, loe tree ooojunt.oe aiguieotee: el oonj1111to de todoe loa vértices, el oonjUDto de todoa lo• ánguloe y el oonjunto de todos loe ladoe de un poUgono arbitrario. M'8 adelante, en la Sección 33, d&remoe una ~efu:ü.ción general y precisa del oonoepto de clases ooordinablee. Con.eideremoe ahora una claee oualquiera K; exist.e, ein duda, una propiedad poseída por todaa laa claaea ooordinablee oon K y por ninguna otra clase (a e&be.r, la. propiedad de ser coordina.ble oon K); esta. propiedad. ee llamad& NÚllDo OilDllU.L, o NÚlilBO DB ELEMENTOS o l'OTENCli DE u CLilE K. Esto puede ser expreeado de una. manera mM breve y- precisa, aunque quizá. mú abatra.cta: el ndmero e&rdin&l de una ola.se K ee l& clMe de toda.8 laa claaee coordinables con K. So sigue de eeto que dos cl&ee11 K y L tienen el mismo ndmero c&rdinal, si, y aólo ai, son ooordinablee. En relación con el nó:mero de eua elementoe, la.e cluee ee clasifican en finitaa e infinitas; t1ntre Ju primeru ae distinguen lu que oonst&n de ningdn, o exactamente uno, dos, tres, etc., elementos. Sobre la base de la. aritmétioa es como se definen eetoe conceptos con la ma.yor sencillez. Se& en efecto, n un número natural cu&lquiera. (esto ee, eo\ero no negativo); diremos qoe u. CIL.lSB K OONllTA (o OONllI8TS) D:I n ELJ:llINTOll si K ee ooordi· m~ble oon la clase de todos loa núm8l'08 naturales menores que n. Según ello, una clase constari. en particular de 2 elementos, ouando sea coordin&ble con la olue de tiodos loe númeroe na.turales menores qne 2, es decir, oon la. claae compuesta. por loe númeroa O y l; del miemo modo, una. elue constará. de 3 elementoe oue.ndo. eoa ooordin&ble oon la. el.a.ee que ti.ene como ele.

mento& loe n11metoe O, 1 y 2. En gener&l, llamaremos J'CNITA a UD& olue K, ai emte un o
K conaiate de n eleme:ntoe; en caao oootrario direm.oe que K

98 INnNITA.

Se ha demoetrado, 11in embargo, que aún es posible otra manera de proceder: todos los ~rmínos últimam.ent.e oonsideradoa pueden defi.nirse con ayuda de eK'preai.onee de carácter puramente lógico sin recurrir a ning6.n concepto de la. aritmética. Podrlamoa decir, por ejemplo, que la. clue K con.aist.e de en.otamente un elemento, ei ella. u.tieú.ce lae condiciones siguientes: (i) eiiBte un :r tal quezeK; (ü) para. todo y y i:, ai yeK y z,eK, entonOM

lNftODUCCIÓN 4. LA LÓOICA

109

y - i (•te.a doe oondicioM1 paedeo aer reemplar.adu por una eola: cezirte esactamente un z tal que zeK•; cf. Sección 20). Análogamente podemoe definir 1u fruee: tia claee K oomilte de doe elementoet, da clue K consiste de tres elemento.. y aai suce.aivamente. El problem& se b&ee mucho m'8 dificil al tratar de definir loa términos t:cl&ee finitat y telue infinita.; pero tambiéo e.n estoa C&808 los esfuerzos para. resolver el problem& posi.tiv... mente han tenido éxito (cf. Secdón 33), y, por consiguiente, todoe loe conceptos conaideradoe queda.a incluidos en el dominio de la lógica. Esta cirounstancia lleva ooneigo una consecuencia de gran interés y de importancia tre.eoendent&l; ee ha demostrado, en efeoto, que tamb~n el concepto mismo de número y todoe los demáa del dominio de la aritm,tica, pueden deñnine dentro de la lógie&. E.a realmente f&oil eet.ablecer el eentido de loe efmboloe que denotan a loe dietintoe niimeroe natunlee, ee decir, de loe aimboloe .O., dt, dt, etc. Se puede decir, por ejemplo, que el mimero 1 ee el n6mero de elementos de una clase que consiste de eie.ctament.e un elemento (definición a.pa.rent.emente incorrecta, puee parece como l!li en la. formulación de ella. ee cometiera. un círculo vicioeo, al figurar en el definiem la. palabra tunt que precisamente ee trata de definir; en ~dad, no se comete, sin emba.rgo, ningó.n error, puee la frase da cla.ae coDBiste d e exactamente un elementot ea oonsiderada. como un todo, y au sentido ha sido definido anteriormente). Tampoco ofuee dilicultadea el definir el conc.epto general de nó.mero na.tW'al: un nó.mero nat ural ea el número ca.rd..inaJ. de una. claae finita. A.demás, eatamos en situa.ción de definir toda.a la.e opera.cionee con nómeroa natura.Jea, y e.mplia.r el conoepto de od.mero oon la introducción de tu fracciones, nótneroe negativoa e in-acíonalee:, ein neceaida.d de ir más allá. de loe Umitee de la l6gie&. Más a6n, podrf!toID.oe fundamentar t.od08 loe teoremu de l& aritmética. a.poyándonoa exclu.einmente en teoremas de la lógica (para. eat.e fin sólo tendría.moa que amplia.r el eU:tema de leyes 16gicu con un enunciado intuitivamente menol!I evidente que loe reet&ntee, llama.do AXIOJU. DB llffllfITUD, que a.firma. la. existencia de una infinidad de objetos distint.oe). E.eta. construcción completa aeria muy abetraot& y no dívulgt.ble oon facilidad, no aoomO
uo esta ooncepción y con.eideraremoe • loa númeroe como individuoe y no como propiedades ni como claaee de claaee. Pero el mero hecho de ba.ber eido poe.ible deearrollar toda l• aritm~tica, incluyendo lu dieoiplinu erigida.s eobni ella -álgebra, análisis, etc.-, como partee de l& lógica pura., constituye una. de laa más grande. reaJ.i. za.cionee de la.a inveetigacionee lógioae recientes1 ••

1. Se& K el conjunto de todo& loa nó.meroa menores que 3/4; iou'1ee de Ju siguientes fórmulaa IOD verdaderaa:

OeK,

IeK,

2/3eX,

3/'eK

4/6eK 1

2. Cooa:ideremoa loa cua.tro coojuntos liguientee:

(•) d conjunto dt k>doa loe n úmero.!J -pofttit1oa, (b) tl wnjunto dt k>doa loa ftÚcmerOr-' menoru pe 3, (e) el conjunto de k>doa loa número.r z talu que :z: + 6 < 8, (d) tl conjunto dt todo.t loi númuw :z: que aatitfaan la fu~ ~u<2">.

¡Cu'1es de estos conjunto& aon idéntiooa y cuáles no lo son1 3. ¡Cómo ae llama en la. geometría. el oonjunt.o de todo.a loe puntos del espacio cuya. distancia. a. un punto da.do o a una. recta. dada. respectiva.mento no ee mayor que la. longitud de un ae~n· to dado1

4-. Se&n K y L doe circuloe conoMtriooe, y sea el radio del primero menor que el del segundo, J.t u&lea de l&a rehwionee diecu. tidaa en }& Sección 24 rigen entte eetoe dol!I círculoel tRige la misma relación entre las circunferenaiaa de loe círcul0111

I&"'*'"

' Lu I d - f'lmd&menU.111 &11 ..U e&mpo M oll1M11 • :ir..it1 (cf. 110t& 1111 U); IN d.arrolld por prlm1n. l11te.-11te o)n. Die ~· (BrMla.11, 1184). LN ldeN . . FtaOI hl.11 111eo11tr&d.o ... raa1J.u.cd6D ......... ~"'o::,~t. eD ~J'Í'I JI~.. di W a!Hlllil> y B.tl&HLL (d. DOt& 1 -

p

~

••.u.

111

6. Dilnijenee dOI cuadradOI

K y L do manora que eeWo en

una de IM relaoionee s:iguMnt.ea: K - L, ú cuaModo K u """ parl< P'OtM dú cuadrado L, el cuadrado K incluye al L como una 'Jlllf'k propia, loa C'lliJdradoa K y L • intaauan, loa twadtutloa K y L «>"' tf.M;uflloa.

(a)

(b) (e) (d) (e)

¡Cu&lea de eetoa caaoa 86 eliminan, (i) si loa cuadrad.os eon oongruenUie, y (ü) si en vez de loa cu&dradoa ee conaideran sus oontornoe1

6. 8e&D z e y doa oómeroe &rbitr&rioe, y z < y. El conjunto de todos loa nWneroe no menoree que z y no mayore1 que y, ee llama, oomo • aabido, intecv&lo de e:1:tremos z e y; ee designa mte oonjunto con el afmbolo t[z, y]•. tCuálea de laa fórmulaa ind.icadu

&

continuación

llOD

dJidaa:

[3, 6) e [3, 6), [4, 71 e [6, 101. (o) [-2, 4) ::> [-3, 6), (d) [-7,I]::> [-6,-2] I

(•) (b)

¡Cuálee de lu rela.cionee fundamentalee rigen entre loe in-

te"alo.: (•) (f) (g)

[2, •l y [5, 8], [3, 6) y [3 '/,. 6 '/,],

[!'/,. 7) y [- 2, 3 '/,) l

7. ¡F.a la. siguiente proposición (que tiene la. misma eetructura que las leyes del silogismo dadaa en la Sección 24) verdad.en:

ft K e.a diajufllo tk L y L Jia;uftlo de M, mlonul K u_ di.ajuato de JI t

112

8. Traducir laa siguiente& fórmula.e en Urminoa del lenguaje

ordinario: (a)

:i: - y-~[:a:eK.-.yeKJ,

(b)

K - L-~[:a:eK,......:a:eL].

tCuáles de las leyes mencionadas en laa Secciones 22 y 24 son expresa.das por estas fórmulas! ¡Qué modifica..cionee es necesario efectuar en ambos miembroe de la. equive.11omcia (b) para obtener una definición del símbolo cC• o•~•! 9. Sea ABO un triángulo arbitrario y D un punto cualquiera situado aobrc el segmento BC, iQU6 figuras 11on formadas por la. euma de loa dos triánguloe ABD y ACD y cuáles por su productol E&preee.r la. re1pueeta oon fórmul&a.

10. Representar un cuadrado cualquiera: (a.) (b)

como euma de doa trapezoides, como intereección de doe triángulos.

ll. ¡Cuálee de l~ fórmule.s dadas a. continuación son venladeraa (compa.rar con el Ejercicio 6): (>)

(b) (e)

tdl

[2, 3'/,] u [3, 6] = [2, 5], [-1, 2] U [O, 3] - [O, 2], n [3. 7] - (- 2, 8), ¡2, 4'/,J n 13. 6J = 12. 3! !

[ - 2, 8]

En aquellaa fórmulu que eon fa.18&8, corregir la exprel!lión que aparece a la derecha del slmbolo •- •. 12. Sean K y L doo clases cualesquier&. ¡Qué cla.sea son K U L y K n L en caso que K C: LT En particular, ¡qué cl&Se8 son KUV, xnv. AULy AnLT

Indicación: Al contestar la eegund& pregunta t6ngase preeente una ley de la Sección 24 relativa a lu c1asee V y A.

lNTIODUCCIÓN A LA LÓGICA

13. DomoMtreae que para cluea K, L y M eu&l.ee,quier& ee a&tiaf'a.oen laa aigu.ientes fórmulu:

(•) KCKUL y K'::IKnL, (b) KO(LUM)-(KOL)U(KOM) y KU(LOM)-(KUL) n (K UM), (e) (K')'-K, (d) (KUL)' - K'nL' y (K nL)'- K' UL' . .LU fónnolu (a) se llaman LBTKS DI: 8IllPLD10AOIÓN (para la adición y multiplicación de cluea); la.e fórmulas (b) son 168 uus Dl8'DD!IUTIV.ü (para. la multiplicación de ol81Je8 oon respecto a la adición y para la adición con rMp&Cto a la multiplica.oión); la fórmula (e) ce la. LBY DKL OOKJ"L:IKmf!O DOBLE; 6.n&lmente, la.a fórmulaa(d)10n laa L:ITU DE D• MoBO.u para l&teoriade otuw.

¡Ouálee de eatu Jeyee oorreeponden • teoremaa de la 1Vitm6tioa1 Indicación: Pan probar la primera de las fórmulaa (d), px ejemplo, baat& probar que las clue& (K U L)' y K' n L' oonatan de loe mismos elementos (el. Sección 24}. Par& eeto, aoU.reee, U8&1ldo las de1inicionee de la Seooión 25, cuándo un objeto z pert.eo:eoo a la clue (K U L)' y co&ndo pertenece a la claae K' n L'.

•If. Eriate una import.ant.& semejanza estructural (indicad.a por la analogía. de eua nombres) eDt.re la.e leyee del cálculo propoaioional enunciadaa en !u Secciones 12 y 13 y en el Ejeroicio 14. del Capitulo II, por un la.do, y lu leyes del cálculo de claaee da.d&a en l&e Seoclonee 2' y 25 y en el ejercicio preoedent:e, por el otro. Deeorfbaee en detelle 64 qu6 ee b6I& eeta. aemejanza., y tr¿teee de enoontrv una explicación general de eete fenómeno. En la. Beooión H hemoe tratado la ley de oontrapoeición del oiloW.o proposicional; formular la ley análoga para el o6loulo de o1..... 15.

Con ayuda del llimbolo:

~ •or.uoa.Inlapf.tiu11.

ALJ'llED TAUIC.l

introducido en l& Sección 22, podomoe eecribi.r la dofi.ni.ción de auma de doe clues del siguiente modo:

KUL=<;[zeKVzeL}; pero también es posible dar a esta definición equivalencia (sin usar aquel simbolo):

1111

forma usual de

[ze(K U L)]+-t [zeK V :teL]. Form.ó.lenae an&logamente de a.m baa maneras, las definiciones de: claae universal, cla.ae nula., producto de dos clase.e y complement.o de una cla&e.

16. t.. diferencia. de dos cleaee dada.a, K y L, en eimboloa, K-L, u la claae M de6nida. por: M

= <; [zeK /\....,

(x eL)].

Si K ea la clase de todoe los númeroB enteroe y L la claae de todoe loe enteroe nega.tivoe, ¡qué cluee eon K-LyL-K1 ¡eu¿tee de laa siguientes igua.ldadea ean a&tiafec:haa por toda.e las cluea: ~-~UL-KU~

y

K-~-~-L

L-(K-L)-L 1

•17. í.Exiate a1gún polígono en el que el conjunto de todoa aua la.doa aea. coord.i.nable con el de toda.a .SUI diagona.J.eel

•18. Juan trabaja 1.oa lunee, mi6coolee y riemee, mientru que Pedro tra.baja loe lunea, martes, miércoles y juevee. Sea K el conjunt.o de loa días de la sema.na en que JU&D trabaja, y L el conjunt.o de loe día.e en que Pedro trabaja. iQué porcentaje del níimero de elementoa de K U L ea el número de elemento& de K n L1 Contéet.ese la misma pregunta reemplazando K n L por K - L (cf. Ejercicio 16). •19. Para ca.d& una de l&a doa expresiones siguientes eacrl· bue una fórmula equivalenl:.6 ua&ndo ú.nie&ment.e símbolos lógi006:

INTRODUCCIÓN A LA. LÓGICA

(&) (b)

'°"'"'

la d
•20.

¿Cuálee de loe aiguientee conjuntos son finitos y cuálet

infinitoa: (t.) el conjunto de todos loe números natura.lea z ta.les que O < z y z<4, (b) el conjunto de todoe loe números raciona.lea z ta.les que O
21. Est&blkeaae, pa.ra cada una. de la.e expre&ionee aiguientee, si ee tr&t.a. de un. propoeieión, una función propoeicional, una deeigna.ción o una función d
(a)

~

(b)

x'\[KCL'-';'[•eKA -(ze L)Jl,

(e)

K n

(d)

9e ~ [;(•~y')).

~[ye

LA - (yeK)],

V SOBllB LA TBORL\ DE llBLACIOllES

27. Relaelon-. 1u domln.IOI 1 eontnd.omln.tM; relaclon• J llllloloDll p,.podoto..... dot n.rtableo Ubnl

'°"

En loa capituloe &nterioree hemoe ya encontrad.o algunu U ·

entre objétoe. Como ejemploe de rela.cionee entre d08 objetoa podemos tom&r identidad (igualdad) y diversidad (de&i.gualdad). A ve~ leemoa la fórmula: UOIONES

oomo sigue:

o ta.mbién: la~

44.

~ad

rige entre

i:

e y,

•=•deeigna la relación de identidad. De

y decimOB que el eúobolo manera análoga, la fórmul&: ee lee a. veces:

IHTMODUOC'IÓN A. LA LÓCll!A.

y

117

dice que el almbolo e"' dee1gna la relación de divenidad. Hemoe enoontrado también ciertu relacionee que rigen entre et.. 1!188, • sa.ber, laa relaciones de inclusión, de i.nteneca.rae, de eer diejuntu, etc. Discutirem.OI a.ho,.. algunoa conceptoe pert.enecWltee a la TBORú. general DB aBL.A.CION:IB, que constituye una parte eepecial y muy importante de la lógica, en la cual 18 oonai.dena relaciones de e&ri.cter enteramente arbitrario y ee establecen leyee genera.lee sobre ellas!. Para facilitar nueetraa conaideracionee, introduciremos varia.blee eepecialee tRt, t81, ... , que ae uaan par& denotar relacione&. En lugar de expresiones como: 11&

y:

nOI

aerriremos de Iu abreviaturas Bimbólicaa:

zRg y (ua&ndo el simbolo de negación del cá.lculo proposicional, cf. Sección 13) 1"MpE!Ctivament.e. Todo objeto que tenga la. rttlación R con a1gón objeto y podemoe llamarlo un ft.l:D&OESOIL OOM -..P:aoro • LA. JUCL.A.OIÓlf R;

todo objeto y pa.ra el oual ezift6

wi

objeto z tal que

zBy, llam&do un SUOBSOB. OON B.BSPBOTO .l. LA. :uL.lCIÓN R. X.. clue de todoe loe predeoeeoree con niepecto a la. rel&ción R ee ll&made.

88

118

el DOllllflO y la. claae de todoe loe suceeoree el OONTIUllOIQlfJO

(o DOllDIIO uotrsoco) DE u. HU.OIÓN R. Alf. por ejemplo, todo individuo e8 un predeceeor y un euceaor con reapecto a la relación de identidad, de modo que ta.nto el dominio como el contrad.ominio de est& ftllación ee la clase universa.l.

En 1& teoría de relacionee -lo mismo que en la t.eorla de cla.podemoa distinguir relaciones de diversos órdeneti. Laa BB· aquellaa que rigen entre indiTi-

IM!&-

W.CIONES DB PRil(EB. OBDBN 800

duoa; la.e BBL.6.0IONES DB 8BOUNDO ORDEN 800 aquellas que rigen

entre cl88e8, o relacionea, de primer orden; y así euce&ivamente. La eituación ea a.qui m!e complicada, ya que debemos considerar relaciones cmUl'.a$ cuyos predeceeoree eon, diga.m.oa, individuos, y ewi euoeaores, claaee; o cuyoa predecaorea IOD, por ejemplo, cla.see de primer orden, y eue ,euceaorea, clasea de eegu.ndo orden. El ejemplo m'8 importante de una relación de eate tipo ea la relación que rige entre un elemento y una clase a la. cual éste pertenece; como ee l'900rd&rá de la. Sección 21, eet& nllación es denotada por el efmbolo e. Como en el caao de clasea, nuestras ooDBidera.cionea se referirtn principalmente a relaciones de primer orden, aunque loe oonceptAla diacutidoa a.qui pueden, y, en algunCNI C&IOB, seri.n, aplioadoe & relaciones d-e órdenes 11uperiores. ~uentemente

Asumiremos que & cada. función proposicional con dos varia· bles libree tzt e tyt, oorreeponde un& relación que rige entre loa objetos z e y si, y sólo 11.i, ellos &&t:iafa.oen la función proposicio116l dada; de acuerdo con esto, ae dice que una función proposicional O()n laa vari&blea librea t:n e tyt e~ una rel&ción entre los ob· jetoe :e e y. Por ejemplo, l& función propoaiciont.1:

:e+y = O upreea la relación de tener el signo opueeto o, brevemente, de aer opuestos; l011 ndmel'Ol!I z e y están eo la. rela.ción de ser opueatol si, y 9610 si, :e + y = O. Si denotamoe eeta relación por el etmbolo dh, entonoea laa fórmulas: zOy

y:

INTRODUCCIÓN A U

LÓGICA

119

son equiveJeotea. Del milmo modo, toda función propo«icion&t que contenga loe &mboloe et e ~ como 11nicaa variablee libree, 9C podrá trauaforma.r en otra. fórmula equivalente de la forma.:

zBy,

•R• &pareoerá. una conBt&nte que de&i.gne

en donde en el lugar de una relación. La fórmula.:

zRy puede considerarse, pues, como la forma. general de Wl& funcí6n proposicional con dos va.ria.bles libree, de la misma. manera que oonaiderá.bamoa la fórmula: zeK como expreeión general de una función proposicional con una varia.ble libre (cf. Sección 22).

28. Ctloalo de nlaoloaes La teoría de relaciones ee tlD& d e l&8 rama.a más deaa.rrolladu de la lógica matemá.tica. Una parte de ella, el IJlLcroLo DE JU[L.j.· 1.."IONES, es a.nálcga al c!lculo de claaea, siendo su fin principal el eata.blecimiento de leyes form&lee que rigen las operaciones por medio de la.a cualee ee oon.11tmymi relacionee a. partir de otraa d&daa.

En el cálculo de relacionee conaideramoe en primer lugar un grupo de conceptoa que aoo aoalogiu exact&e de loe empleadoa en el cilculo de claaea; se loe denota generalmente por loe miemoe llÍmbolos y ee rigen por leyee bastante eimilaree. (Naturalmente podrla.mos emplear un conjunto de llÚDboloe distinto en el cáJ.oulo de relaciones, a fin de evitar ambigüedades, tomando por ejemplo loa aimboloe del cálculo de cl&llftl y poniándole un punto & O&da. uno.) Tenemos a.sí en el cálculo de rela.cionee dos relaciones especia.lea, la --..&.OIÓN 1JNlVEB8AL V y la BJCLA.OIÓN NOLA. A, rigiendo la primera. entre todo par de ind.ividuoe, y }& segunda. entre ninguno.

120

Tenemoe ademú divereM relaciones entre rela.oionoe, por ojem. plo, la ~CIIÓ!f DB INOLUSlóX; declmot que la relación R ~ en 1a relación 8, en ámboloe:

DfOWID.A.

RCB, si, eiempre que R rige entre dos objetos, 8 también rige entre elloe; o, expree&do en otros ténninoe, ai para :z: e y cualesquiera, la fórmula:

zRy implica:

zSy. &bemoe, por ejemplo, en bue a la. aritm,tic., que aiempre que z < y. ent.onoes

por lo tanto, 1& rela.oión de eer menor está incluida. en la relación de diversidad.

s;

RC.ByBCR,

llimult.A.neamente, ee decir, ei Ita r11l&cionee R y 8 miamoe objotoe, entonoee eon id6otiou:

~n

entre loe

R ~ B.

ademM la SUK.&. o eimbólioamente: Tenemoe

Ql(lÓN DI: D08 BKL.A.CIIONU

B

RUB, y el J'JlODV
ROB.

T

8,

C. primera relación, R U 8, rige entre do. objeto&, ai, y eólo li, al menoe una de lM ~le.ciooee R y 8 rige entre elloe: ea otroe t«minot, la fónnul&: z(RU8)y ee equiv&lente

&

la condición:

zRy

o

:t8y.

De manera. similar se define el producto de dos rela.ciooea, empleándoae eola.m.ente 1.. palabra tgt en luga.r de to•. Aeí, por ejemplo, si R M l& rel.&ción de paternidad (es decir, un& rela.ción que rige entre doa personas :re y si, y e6lo ai, :tea el padre de y), y 8 ea la relación de matenüd&d, entonoee R U S ee )& rela.ción de progenitW'&, mientra.a que R n 8 ee en este caao la rel&Ción nula.

Tenemoe finalmente la.

NE(U.OIÓJ{

o el

COllCPLJDIENTO D& OlU.

:am..móN R denotado por:

R'. Ea un& ~ladón que rige entre doe objetoo ei, y eólo si, la. relación R no rige entre elloe:; en otroe términos, para. z e y ou&leequiera, laa fórmulM:

:tR'y

y

,.., (zRy)

aon eqoiveJentee. Se ha. de notar que 1i una rel&eión Mt.Á repreaent.ada por una conatante, entonooa su complemento es frecuentement.e denotado por el 6Ímbolo que se obtiene tachando a la oon.stante oon un& b&rT& vertio&I u oblicua. Por ejemplo, 11. negacióo de la relaoión < es geoer&lment.e denotada. por e i: 1, y DO

por e<'•. Hay tambibl en el cáfoulo de relacionea oonoeptos enterameot.e nuevos, sin an!logoa en el c6.lculo de claaee. En primer lugar tenemoe doe relaciones especi&lee, la ID:PTI· y la DIVmLSID.&D entre individuoe (oon l.a8 que ya esta.moe

Dil

ffUDiliarizados por consideracionea anteriores). En el oáloulo de

relaciones se laa denota. por medio de súnboloa eepecialee, a •· her, ... y cD•, y no por 108 súnboloe t=• y e~• empleados en otru partea de la lógie&. Eecribim.oe Mf:

122

.unED TAltllll

:zly

y

:zDy

z - y

y

s"' y.

en lugar de:

Loe slmboloe e- • y ~=ente par&

•7'• ee emplean en el oAlculo de relaciones

denot&r la identidad. y diversidad entre rela-

Tenemos a.qui además una operación nuev& muy interesante e import&nte, con cuyo empleo formamos en base a dos rel&cionea R y 8 una tercera. relación llamada. el PKOnucro ltELATITO o OOKPOSICIÓN DB R y 8 (en oontn.poeición al mllimo, el producto ordin&rio 89 a Veoel!!J llamado PBODUCJrO ilBOLUTO). El producto relativo de R y 8 ee denote.do por el eimbolo:

R/8; rige entnl doa objetoe z e y si, y eólo 11i, e:riate un objeto z tal que tenemos al mismo tiempo:

:z;R:z

y

:By.

.Aaf, por ejemplo, si R es la relaci6n de ser eepo.!O, y 8 la rela.ci6n de ser hija, ent.oncea R/8 rige entre doa personu :i: e y si ha.y una. persona. z tal que :e ee eapoeo de z y z es hija. de y; por lo tanto, l& relación R/8 coincide con la. relación de ser y«· no. Tenemoe a.quí ademú otn operación de un O&l'áct..er ai.mil&r,

ouyo reellltado

ee: llama ta. 1!101'.A. s.zu.nv... :os D08 B.BUOIO?fa.

Eet& operación no deeempell& un papel muy importa.nte y no eeri definid& a.qui. Tenemos finalmente una operación similar a la. de formación de R', a saber, un& operación que permite formar n. partir de una relación R una. nueva relación denominada. OONVEBBA DE R, que es denotada. por:

B.

R rige entre z

e IJ si, y aólo si, R rige entni y y z. Cuando una relaoión .U. repnermt.ada por wia consta.nte, em,.

La. rel&ción

tNTBODUOCIÓN A LA LÓGICA

128

plea.moe a menudo para denot&l' a au oonveraa. el milmo aimbolo impreeo eo aentido opueeto. Por ejemplo. la oonvena de i. re[a.ci6o < ee la relación >, puesto que pua z e y cualesquiera, IK>D equiv&leotel laa fórmulu:

En vist& del cará.cter m'8 bien eapeci&lizado del c!lculo de relaciones, no noe internaremoe m'8 a.qui en loa detalles del mismo. 29. Algunas propiedad• de relaolon• Tntaremoa ahora a.quella. pan.e de la teoria de rela.cionee ca.ya tarea conaiate en poner de m&nitieeto e investigar tipoa especialee de relacionee que apare~n frecuentemente en otraa cienciaa y, en particular, en la matemática.. Llamaremos a un& rela.ción R RBBLB:IIV.i. EN LA. CLüB K, ai t.odo elemento :t de la clase K tiene I& relación R consigo mismo:

zRz: por el contrario, si ningún elemento de esta cl&ae tiene la ret... ci6n R oonaigo mismo: .... (zR:z:).

entoncea la relación Rae dioe DllP'LSDV.i. EN u. OUS• K. la relación R ea llamad.a. SIK:tr:aIO.i. •N u. cuas E ei, p&n todo par de ele.m entoa z e y de la claae K, la f6rmu1a:

implic& aiempre la fórmula:

yRz. En cambio, si la fórmula:

implica aiempre: ~(yRz),

entonoee la. relación B ee di~ ~CJ.j. :u u CL.UJ: K. Le. relación R ee Uam.da. TB.ilfl!IITIVA BN u. OLüB K si, para trell elementos cuaJ.eaqoiera.a:, y, z de la clase K, lu condiciones: :r;Ry

e

yBz

eiempre implican: :r;Rz.

Finalmente, ai para dos elementos diferentes cualesquiera a: e y de l& eta.se E, nJ.e por lo meDOfl una de laa i6rm.ulaa:

a:Ry

e

yB:t,

es decir, ei. la relación R rige entre do& elementoa dist.intoe arbitrarios de K en al. menoe un& dirección, entoncee la. rel&ei6n ee llama OOKBXA EN LA CLA.8B K. En caso que K se& la. clue universal (o, en todo C&BO, el univeno de diecurao de la ciencia. en que estamos interesados, ci. Sección 23) ee ueual decir brevemente: rela.ci6n reflexiva., si.métrica, etcétera., en lugar de: relación refteziva, simétrica, etc., en la clueK.

,_...

30. RtlaelODll llm.al&Utlmtllte nOtJIVU, llm'trlou EBtaa propiedades de lu relacionm ae pmíentan & menudo agrupadas. Son muy comunes, por ejemplo, aquellaa relacioIMlll que aJ. m.illmo tiempo eon reflezivaa, ei.DÍétricaa y tra.naitiYaa. Un ejemplo típico de ésta.a es la relación de identidad; la ley 11 de la Sección 17 expresa que esta relación es reflexiva, por la ley m l& identidad es una. relación aimétrica, y, eegún la ley IV, ea tranaitiva (eeto justifica loe nombrea dadoe a eataa leyes en la Seoción 17). Muohoe otl'Ol!!I ejemploe de relacione1 de eete tipo pueden encontrarse en el dominio de la geoui.etrla. La relación de con-

INTaODUOC'IÓN A LA LÓGICA

126

gru.encia en el conjunto de tod<* loe 118g1Dento. (o de ooaBgure.ciooee geomtlitrfou &rbitn.riu) ee n4uiva, puesto que todo segmento • ooogru:ente consigo mimno; simétrica, pues de ter' un tegmento congruente oon otro, ee ligue que t.ambitlin el aegundo lo ee oon el primero; y transitiva, puee, si el 119gD1ento A. m congruente oon el B, y el B congruente con el aegmento C,entonoee el aegmento.A m también congruente oon el eegmento O. Laa m.isma8 tree propiedadee eon poeeídas, por ejemplo, por la relación de eemejam.a entre poHgonoe, la de paralelismo entre rectas (uumiendo que toda recta ee paralela. a sí mi.ama) y -fuera. del dominio de la geometrfa- por l&B relacioDfl8 de eer de la misma edad entre peraonaa, o de sinonimia entre p&Ja.bre.a. Toda relación que se& aJ. mismo tiempo ndle:riva, irim.l!itrioa y tr.neitiva puede tomarse como un& especie de igna.ldad; en lagU" de decir que uo& ta.1 relación rige entre doe objetoe, podemoe decir, en eete eentido, que eetoe doe objetoe eon igualee en eete o ea aquel upeoto, o -de una forma m'8 preoiaa- que ciertM propiedadee de dichoe objetoe eon idénticu. En vez de decir, por ejemplo, que doe eegmentos eon oongroentea, doa pereonaa de la. miam& edad o doe pala.brae einónimu, podemoe e.fi.rmar que doe aegmentoe eon igua.J.ee respecto _de su longitud, que la. edad de am.baa pereonu ee la. miJuna. o que loa a:ignificadoe de laa doe palabru eon idéntiooa.

•A modo de ejemplo ind.icaremoe cómo ee puede eetablecer UD6 bue lógica para. talee fonnaa de expresión. Para tal fin, Ell!l'tU· diemo. la. rela.ción. de aemeja.m.a. eDtre polfgonoe: lla.ma.remoa forma del polfgono P al oonju.nto de todoe loe poligoooe aemejaotee • P (o, ueaodo una terminologt& m'8 corriente: la propiedad oomó.D poeeida por todoe loe poligollOI eemejaotee • P y por ningó.D otro). Aaí, form.u eon ciertos ooojuntoe de poligonoe (o propiedad• de poligonoe; ver lu obeerncionee al final de la Sección 22). Haoíendo ll80 del hecho menoionado anteriormente que la. relaoión de semejanza. ee refiuíva, simétrica y tramritiva., podemoa &hora mostrar fá.oilmente que todo polfgono perteneoe a uno y 11610 un oonjunto t&l; que doe poligonoa eemejaotee pertenecen siempre al miml.o conjunto; y que doe pollgoooe que no son semejantes pertenecen a conjuntos diferenta. Do esto ee sigue de inmediato que lu OO. ueroionea:

126

ALftlED TAUK..I

loa poUgonoa P y Q titMR lo múma forma (ee deoir, laa/°""""PyQ.,.~)

aon equivalentes. El lector advertirá inmediatamente que, en el ourso de oonai.der&eiones p~entee, ya. hemoe empleado una manera de pro· ceder análoga, a. saber, en la. Sección 26, al pa.ear de la. e::r:pree.í.6n:

a. la. exptee..ión equinlente: f.tu rJaau K y L MMft tl mi.tmo nú.mero cardinal.

No ee dificil demoetrar que eete procedimiento es aplicable a toda relación re8exiva., eimétrioa. y tn.naitiva, Exiete inolueo una ley lógica, llamada PRil'l'Cil"IO DB ilSTRA.OOIÓN, que proporciona el funda.mento teórico general pan el prooedi.miento de que hemos tratado; ein embargo, renunoiam.os a.qui a la. formulr.oión e:r.:aot. de este principio.• No b&y ningdn tér:m.i.no univel'Mlmente aoept.ado para. deaignar Ia. totalidad de 1aa rela.oiOnee aimultá.neam.ente refluina, aimétricae y tranaitivas. A Yeoe&e& lu.ll&maen general1ou.u..o.ui:r.a o •QtrIVü.BNOU.S. Pero el ~rmino tigualdadt ae reeena. a veo. pal'• relacionea particularee de la oategoria en ooneidera<:ión, y

dos objetoe eon llamados igualee ai UD& ta.l relación rige entnl elloe. A.si, por ejemplo, como dijimoe eo la Sección 19, ea frecuente b&bl&r en la. geometría. de eegmentoe igualee, en lugar de ees· mentoe congruentes. Debemoe inaiatir un& vez más en que eerla preferible evitar esta. claee de eq>reeionea. Su uso lleva. a. ambigüedad.81!11 e infringe la oon•enoión eegdn la. cua.1 lu expreeionee

Ggoaldadt e tidentidadJ aon sinónim.u,

127

81. Retaoloaes de orden. Otrot eJemplot de nlaoloDel Otro tipo muy oomún de nilacionee lo oonatitnyen aquellu que son aaimétricu, t.raoaitivu y oonuu en una. clase dada K (puede moatra.ree que tal.ea relacione& deben ser también irre8exivaa en la. clase K). Decimoe que un& relación con estas propied&dea OBDICN.á. IJ. CLASE K; o también, que la. claae K es OBDERillA. ro.a 14 BEI..A.CIÓN R. Consideremoe, por ejemplo, la relación de ser menor (o, como diremoe ocaaionalmente, la rele.ción menor qru); ell& ea asimétrica. en cualquier conjunt.o de números, ya que ai z e y aon dos números cu&l.esquier& y ai ::r:
entoncee

y< z,

eedecir

,.., (y
ea transitiva., puea las fórmulas:

'z
e

r
siempre implican:

::r:< z: finalmente, es ooneza, pues de doe números diatintoa, uno de el1o6 debe aer menor que el otro (también ee irrefiexiva, ya que ningó.n número ee menor que af m.iamo). Todo conjunto de nómeroa ea, por lo tanto, ordenado por la relación de ser menor. Aeimiamo, la relación de aer mayor repretenta otra. relación de orden para cualquier conjunto de námerot11. Estudiemos ahora la relación d e llM' de máa edad. C.On facilidad. oomprobamoe que éet.& es itre&e:riva, aaimétrica y transitiva eo oualquier conjunto de peraonae. Sin embargo, no es neoee&riameote conexa: puede oourrir muy bien que a un mismo conjunto dado pertenezcan doe personae que aean precisa.mente de l& misma edad; eeto es, que ha.yan nacido en el mismo instante, no rigiendo entre ella.a, por consiguientA!I, la relación de aer de má.8 edad en ningún sentido. Si, por otra pvte, en el conjunto considerado no

128

bnbieeo ta.lee peno0&e, entonoee dicho oonjunto ce ordena.do por la rela.cióa eer de m"8 edad.

Se conocen numeroeoa C&ll08 de relacionea no pertenocientel!I a ninguna de 1u do• categorlu eetudiadaa haat& ahora. Conaiderem<>1 algunoa ejemplOB. La relación de deeigualdad ea irrefle:dva en cualquier OOD· junto de objetos, puesto qne ning6.n objeto.es distint.o de ef miemo; ee simétrica, pues, si t&mbián será. 11 t' z; ain emba.rgo, no ee tr&nsiti•a, y• que laa fórmula.a: "%

,,P. y

e

'!l f'- z:

no implican la: fórmula:

pero, como f!.cilmente se oomprueba., ella es conexa.. La relación de inclusión entre cl.uee es, en virtud de la ley de identidad y una de la.e leyes del ailogiamo (cf. Sección 24), r&fteI:in y tnmsitiva.; ella no m eimtStric.a ni t&mpoco aaim.étrica, ya que l& fórmula.:

KCL no implica ni. excluye la fórmula:

LCK (mt&a doe fórm.ulu se utiefacen simultáneamente, si, y eólo si, lu olattee K y L son idénticas); por 6ltimo, puede verse flcilmente que ella no ee conexa. De este modo, la relación de inoluaión se distingue por 8118 propiedadee de otras rel&oiones oonaideradu huta ahora..

tNTIODUCClÓH A LA. LÓGtCA

82. Rel&elones UDJtoou o runclonet Trataremos ahora con alg{ln detalle Wl& oa.tegorla aumameate importa.nte de rela.cionee. Diremoe que una relación R ea una BltUCIÓN UNÍVOCA. o J'UlfOIONA.L o aimplemente una J'tJlfOIÓN cuando a todo objeto y le corresponde, a lo sumo, un objeto z tal que :t R y; en otras pala.brae, 8.i lea fórmula.e:

:tRy

y

zRy

implie&.n siempre la. fórmula:

Loe tuQ6!'0ree con rewpecto a t. ret.eión R. e.to " · aquelloa objeto11 y para. loa cuales ~ten objetoe z talea que zBy, VALOB:BS DBL ABOUllll:NTO, y loe predeoeeoree 800 loa V.U.O· RBS Dll: u J'UNOIÓN R. Sea R una funoión arbitraria., e y uno

son loa

cualquiera. de sus valoreii del .rgumento; indicaremOl!I el linico valor :z: de la función correspondiente al valor y del a.rgumento con el aimbolo tR(y)•; consiguientemente, reemplaz&m.Oll l& fórmula:

por: • - R(y).

Para denotar rela.cionea funcionalee, 11e a.ooetumbra. a WIAI', especialmente en matemática., letra.a como •ft, tp, ... ,en vez de laa variables tRt; tB•, ... A.si, encontramoa fórmulas como laa siguientes: • - f(y),

• - g(y), ... ;

la fórmula.: •~f(y).

"º por ejemplo, ae lee de la siguiente manera:

_,,,,.,...,.¡ d

la /...,,;/m f angna (o i..u ddarpmmto

..io. •al ..io. y

o bien zu"'l"'1wd
ED. muchos teztos elemeo.talee de álgebra ee encuentra. una. de. linición del concepto de función que es bastante diferente de l& delinición que bemoe adoptado. La relación funcional ea ca.ra.cte. rizada. en ello11 como una relación entre doa magnitudes o númeroe rva.riablem: la cvariable independieotet y la rva.ri&ble dependiente., que dependen una de la otra. de manera t&1 que un& v&riación de la. primera. da. luga.r a una v&riación de la 118gUD.d&. En la. e.ctualidad ya no deberia.n emplea.rae definiciones de este tipo, pues ellaa no pueden reaistir ningun& critica lógica; eon restos de un periodo eli. que ae trat.ó de distinguir entre magnitudes toomtanlieD y tv&riableet (cf. Sección 1). Aquellaa peraonaa que quien.o. da.r a&tisfac. ción a. la.a exigencia.a de l& cHlnci& aetua.l, sin romper por completo con 1& tradición, pueden coneernr la. terminología antigu& y cmplea.r, junto con loe t6n:a.inoe tv&lor del argumento• y tT&k>r de la fwlci60t, la.e e%pl'Mionee tTalor de la variable independiente. y rvalor de la. variable dependieatet. El ejemplo más simple de una 1'$l&ción funoional está dado por la relación de identidad. ()cuno ejemplo de una función tomad& de la rid& cotidiana, coll8ideremoe la relaoión expresad& por l& fun. ción propoeicion&l:

z u padre de y.

&ta ea una relación funcional, ya que pan. tod.& persona. y, existe únicamente una. persona. :: que es padre de y. Pa.ra indicar e.1

INTRODUCCIÓN A LA LÓCICA

urácter funcional de oeta relación, insertamos la palabra telt en la formulación anterior: z:u el padre rk y,

en lugar de la cual podemoe eecribir tambi6n:

Una t&l alteración de la. expreeión original, insertando el articula definido, tiene, en lenguaje ordinario, eJC&ct&mente el mismo propóaito que la transición de la. fórmula:

•By a la fórmula: •-R(y)

en nuestro 11im.boliamo. El concepto de función deaempelia. un papel muy importante en laa ciencias ma.temá.ticu. Hay ni.mu enteras de la. matemática superior dedicada.e exclU8ivamente al eetudio de cierto& tipoe d~ rel&Cionea funcionales. Pero también en m&tem&tie& elemental, eapeciaJ.m.ente en álgebra. y trigonometri&, encontra.m.011 gran ná· mero de relaciones funcionalee. Por ejemplo, las relaciones expreeadaa por fórmula.a ta.lee como:

:1:+y-6, 2:

- ti.

z - togll y, z - een y. Vamos a estudiar con máa ateoción la 11egunda. de eetu fórmulu. A t.odo nómero '!/ corresponde un 110lo nó.mero z t&I que z = y', de modo que la fórmula expftl&& efectivamente una. relación fun. cional. Loa vaJ.orel!I del argumento de esta función son nómerol arbitr&rios y los valoree de la función, en cambio, solamente nómeros no negativos. Si deeignamos esta. función con el simbolo •/t. la fórmula:

toma la forma:

Evidentemente, e t e tyt podr6o reempluarae en ella por efmboloe: que deeigna.n nó.meroa determinados, Ya que, por ejemplo, 4 - (-2)'.

podremos afirmar que 4-/(-2);

Jque corresponde al nJ.or del argumento - 2. Por otra. parte, también en el dominio de la matemática ele· mental encontra.moe numeroeae relacionee que no son funcionee. Por ejemplo, la relación de eer menor ee ciertamente no fun. cioDal, puesto que pn todo n6.mero y uieten una infinidad de n6m9l'08 z talee que 4, ee, por consiguiente, el valor de la función

3:


T&mpoco ee funcional la relación entre nómeroe :z: e y e:s:preeada por la fórmula.:

ya que, a un mismo nómero y pueden corresponder doe n'Ó.meros z dietintoa para loe que la fórmula. ee válida; por ejemplo, al nóm&ro 4, le oorreeponden loe nómeroe 3 y - 3. Puede ha.oerse notar que lu relacionee entre nWneroe, como la recién considerad&, que Km expresadaa por ecuacionee y que hacen correeponder a cada n6mero y dos o mM núm.eroe z, eon a vecea llamad.u en matem!tioa funciones mult.fvoou o mult.iformee (en oposición a funcionea tmfvooaa, eeto ee, a fonoionea en el sentido ordinario). Parece inoonveniente, sin embargo-por lo menos en un nivel elemental-, llamar funciones & tah• relaoionee, ya que esto tiende 'Ó.llicamente a oeoureoer la. distinción tl86DaiaJ. entre la noción de función y la. noaión más general. de relación. En la. aplioaci6n de la. ma.temWca a laa ciencias empírioaa, sobre todo, laa funoionea deeempe6&D un papel eepeci&lmente importante.

INTRODUCCIÓN A U

L6o1c.+..

1as

Al eetudiar la dependencia entre doe tipoa de me.gnitudee tom.a.c!&t del mundo ezterior, pmcun.moe de ordinario da.rle a dicha depea· dencía la forma de una fórmula matem&tica que nos permita deter· minar exactamente una de lu magnitudes por medio de la otr&; tal fórmula representa siempre una relación funcional entre ambol tipos de magnitudes. RecordeJDOB como ejemplo l& oonocid& fórmu· l& de Ia.ffsica.:

•=490,51' que establece la dependencia de la distancia a, recorrida por un cuerpo ca.yendo libremente, del tiempo t empleado en r&OO· rrerla (siendo la distancia. media en oentfmetroe y el tiempo en aegundos). •Pa.ra concluir nueetr&e obeorvacionee 110bre relacione1 fun. cionalee, queremoa recalcv que el ooncepto de función Q'1e ert&moe considerando abor& di.B.ere eeencialmente de loa oonoeptoa de función proposicional y de función designa.tiva tra.t&dps en la Sección 2. Eetricta.mente hablando, loe términos tfunción propoei· cional» y «función de&igoativae oo pertenecen a.l dominio de l& lógica o de la ma.tem&tica.; elloe denotan ciertas categorlu de expresiones que sirven para formar enunciad.ca lógioos y ma~ m&.tiooa, pero no denotan objetoe tra.tadoe en ellos (cf. Sección 9), Por otra parle, el término cfunciónt en su nuevo sentido ee una expreeión de C&l'á.cter puramente lógioo que deeigna un cierto tipo de objeto ti atado en la. lógica y l& matemática. Sin duda, hay una conexión entre eatoa oonoepkle que, apro:rimada.m.ente, puede deecribirae como. aigue. Si l& variable ta 88 unida por el al.mbolo a u.na función deeigna.tiva que oontiene a 'Y" como única. variable, por ejemplo, a V 2y 31, entoncea la fórmula reaul· tante (que ea una función proposicional):

•=•

+ +

expreea una rel&ción funcional;- o, en otrae pal&bru, la relación que rige entre aquelloe, y solamente aquellos, números z e 11 que aa.tiafacen eet& fórmula, ee una función en el nuevo sentido. Eata 88 un& de las razones por l&a cualee eetoe conceptos son tan a menudo oonfundidoa."'

83.

RelaoJODU UD~DO O [UDClODe5 blunfvoe&S, 1 oorrapondenclu blunlvoeu

Entre lu relacionea funcionaJee merecen atención ttipecial l• esto es, relacionee funcionales en que no eolamente a todo valor del argu· mento y corresponde un solo valor de la función x, sino también, recipk'oca.mente, a todo valor z ~ la función corret5p0nde un eolo valor y del e.rgumento; ellaa pueden ser definidas también como aquellas rel&cionee con la. propiedad de que tanto ellas como aus rec(procaa (cf. Sección 28) &an univocas. Si / ea una función biunívoca., K una clue arbitraria. de awi valores del argumento, y L l.r. claee de los valoret de la función correspoodientei a loe elemea.toa de K, decimos que la función I .uuo• :1roirivoc....ar&NTE u CLUE K so:a:as u. OL.lSlt L, o que

llamadas BBL&OIONES UNO·UNO o PUNCIONES BIUNÍVOCil,

Jl:aTilLJWB

tJlf•

KKN7'08 DB

K

Y

COBBJCSPONDJU'tCU. BIONÍVOC• BNTBB LOS ELB·

L.

Aftadiremos a continuación algunos ejemplos. Consideremos una. semirrecta. cualquiera; designemos por BU punto de origeo y elijamos un cierto segmento como segmento unidad.. Sea además Y un punto a.rbitrario situado aobre la semirrecta.. Como ea sabido, el eegm.ento OY puede ser medido, es decir, podemos aaignade un número no negativo z al que lla.mo.mos BU longitud. Como este número depended. exclusi.v&mente de la posición del punto Y, podremoa designarlo por el e.ímbolo •/( Y)'t y tendremoa, por con.aiguiente, que:

•O•

• - /(Y). Ahora bien, también reclprocameote para ca.da m1mero no negat.iTo .:a:: podemos construir un t\.n.ico segmento OY situado aobre la semirrecta oonsider&da., cuya longitud sea igual a :r; en otraa pal&braa, a. todo .:a:: corresponde euot&mente un punto Y tal que •~/(Y) .

La función f es, putti, biun!voca.; establece una correspondencia. biunívoca entre loe puntos de la. semirrecta y 1011 n"dmeroa no

INTRODUCCIÓN A LA l'.DGICA

136

nega.tivoa (eerla. igualmente simple eet&bleoer una corresponden. cla bhmfvooa entre loe punto& de tod& la. rect& y tod03 los nómeroe realee). Otro ejemplo lo oooatituye la relaoión expresada por la fórmula: Z=-y.

tata

ea un& función biuofvoca., porque a todo número z le co. neaponde un único mimero y que eatisf&ce la fórmula. dada; oon f&eilida.d ee ve que dicha función a.plica biunívoca.mente, por ejemplo, el oonjunt.o de todoe loa números positivos sobre el de todos loa núm61'08 nega.tivoa. Por último, conaideraremoa la relación expresada. por la. fórmula.:

z - 271, e.aumiendo que en ella., el IBÚDbolo 'Y't denota 11nicame nte nómeroe naturales. Se trata de nuevo de Wl& función biunívoca.; ella &!ig· na a. cada. nómero natural y un nómero par 2y, y recfprcicamen~. a todo n1imero par :t exactamente un número y tal que 2y = :t, a -.ber, el n1imero y= 1/ 1 z. Con ello la. función ooDBiderada eeta. bleoe un& correepondencia. biunlvoca entre nó.meroe naturales cua. h11tquiera y números naturr.J.ee paree. Aun podíamos t.oma.r de la geometrla numeroefsi.m.os ejemploe de funciones y corresponden· ciae biunívocas (ai.metrfu, coline&eionee, etc.). •Gracias a l& circWll:lta.nci& de disponer del concept.o de co. rreepondencia biunívoca, eetamoe ahora. en ai.tua.ci6n de este.bleoer con esa.ctitud la definición de un concepto que ant.ea eólo pudito.os ca.ra.oteriz.&r de un modo intuitivo y poco preciso. Se tr&ta. del concepto de ooordinabilida.d de claaea (cf. Sección 26). Ahora d,ire.. moe que dos clasee K y L eon coordinablee, o que t ienen el mismo número cardin&l, ei e:riete una. función que eetablece una. correg.. pondencia biuofvoca entre loe elementos de ambas cle.aea. En virtud de eeta definición, de loe ejemplos recién estudiad.ce &e desprende que el oonjunt.o de loe puntos de una semirrecta. cual. quiera es coordina.ble con el de todOfl los niim.eros no negativoa; el de todoe loe nómeroe poei~ivoe oon el de todos los nómeroa negativos y el de todOB loe nó.meroe naturales oon el de loe nóme. roe na.tura.lee paree. El 1iltim.o ejemplo es particulannente instntc·

••• tiYo: mue.tr& que un.a ele.te puede aer coordin•ble oon un. de sue

aubcluee propia.e. A primera vista, este renltado puede pe.reoer pandójioo • algunoe lectoree, ya que UJu.Jmente se compan.n eólo clues finitas oon reapeot.o al número de sus elementos y, en efecto, un& cleae finita tiene un número ca.rdinal mayor que cada una de eus partea, L& paradoja deaapareoe al recordar que el conjunto de todos loe nó.meroa naturales ea infinito y que nada noe autoriza. a a.
34. Belaolonu ml\lUpltt. hlloloDtl de varlu nrlabl• 1 operaelo. . Hasta. a.hora hemoe estudiado 6nioamente RBL.A.OIO~ BIIU· esto es, relaciones que rigen entre doa objeto!. Sin embargo,

lllil,

en v&rias ciencl88 encontramos a menudo B.EL..i.OIONBS TBB.NAlllil y, en genera.1, BELA.CJONll:l!I KÓl.TU'LU. En geometri&, por ejemplo,

l& 1'flt.ción de estar entre constituye un ejemplo tfpico de rel&ción terna.ria; ella rigci entre tree pw:itoe de un& recta y ea e:z:preaad& limbólicamente por la fórmula:

A/B/C que ae lee:

IHTaODUCCIÓN A LA LÓCICA

137

· T ambi'n l& &ritm,tie& provee numef'OIOI ejemploe de relacionee temariu; ha.eta menciooa.r l& relación que rige entte tree nóme· roa :i-, 1f, &, cuando el primero ee l& auma de loe otrot1 doe:

z- y+z, uf como otra.s relaciones similares como las expree&das por laa siguientes fórmulas:

z=y- z, :z:=y · z, :r=y: z.

La relación que rige entre cuatro punt.oa, A, B, O y D. ei, y sólo ei, l& distancia entre loa doa primeroe ee igual a la. dietancia entre loe doe 1\ltimoe, o oon otru palabrae, cuando loa eegmentoa A B y OD BOn congruentes, puede eerrir de ejemplo de relación cu&terne.ria. Otro ejemplo ea ,la relación que rige entre cuatro nl\meroa, :r:, y, z y t, cua.ndo forman una proporción: :r::y - z : t

De lo. totalidad de 1u relaciones múltiples, conviene destacar la.e relaciones funcionales oorrespondient.ee a lae relaciones fun. d ona.les bina.ria.a. Por razonea de sencillez noe limita.remos a la discusión de relaciones temariae de este tipo. R es lla.m.ada una :u.u.016N JVlfOION.A.L TDN.illi si a. todo par de objetos y, z le oorresponde a lo sumo un objeto z que tiene con &qu, lloa la rela.ción dada. Deeigna.t'emoe este objeto unfvocamente determinado, siempre que exiat&, o bien por el aimbolo: R(y,z)

o bien por el idmbolo:

(que toma &hora un lignificado diferente del que tem.. en la teorfa de relaoiones binarias).

138

Para e:z:preaar, por lo tanto, que Jt ae enouentra 00J1 y y z en la relacl6n funoion&l R. disponemoe de doe fórmulu:

z= R(y,2)

z c:o; yRz.

A eet& doble notación simbólica oorresponde t&mbién una. dobll'J manera de expreearae. Al a.pliear la not.ación:

z=R(y,z), la relación R m ll&m.ad& un& 1"UNOIÓN; par& distinguir entre relacionea funcionales binariaa y temariaa, b&bla.remos en el primer ca.so de 117NOIONU DIC UN& VilUBLJ: o DB UN .&BOUlllENTO, y en el segundo, de rtl'lfOIONBS DE DOS V.illliBLE8 o DB DOS ....a.u. 1n::nos. Análogamente, Ja.a re~ionee funcion.alce cuaternaria.e ee llamarán TaNOIONlt8 DB TU8 V.t..&U..BJ.U O DI: rBU ~Ulll:NTOS, etcétera.. Par& la deeignación de funciones de un número a.rbitra.rio de argumentos, ee emplea.o de ordinario laa variables •/•, •v-, ...; l& fórmula: ee lee:

z u el va1.or dt la función / que cotTUfJOfUU a loa valorea yy

Z

dd llf'17Umenlo.

En el caso de utilizt.r la. not6ción ai.mbólie&:

z - yRz, ea ooniente llamar a la. relación B OPZJU.OIÓN o, especifi.camente, OJ>KJU.OIÓN Bnt.lB.1..6.; lti. fórmula. que se acaba. de indicar 11e1 lee:

z u el ruultado dt lkoor a cabo la operación. R eon y y z; en eate ceso, en lugar de la. l&tr& 1Rt, suelen empl6&1'8e otra&, en particular la letra. tO.. Como ejemplos, pueden eervir la.a cuatro opera.ciones fundamentales de la aritmética: adición, eu&tn.cción, multiplicación y división, ui oomo l&ll opera.cionea lógi-

INTaODUCCIÓN A LA LÓGICA

189

CM de adición y multiplice.ción de cluee o relaciones (véan.ee laa Seccionee 2li y 28). El contenido do loa oonoeptoa de función de doe vari&blee y de operación binaria, ee evidentemente el mismo, Q~ deberfamoe advertir que lambién a. lu funciones de una •aria.ble se laa llam& a veces operaciones y, en particular, opu..,. cioxBS uiu.BI..A.8¡ en el cá.J.culo de claaee, por ejemplo, la formación del complemento se comiden oomo operación y no oomo función.

A peaa.r de que la.s relacione& múltiplee desempeñan un pa.pel importante en vari&e ciencí&s, la teori& genera.I de éstas est! todavía. en su etapa inicial; aJ hablar de rel&ciones o de la teoría de relaciones se piensa por lo regular &n rela.cionee bin&riM. Sólo una ciertA categoría. de relacíonee ternari&e ee b eetudia.d.o h&at& ahora oon mayor det&lle, a. u.b«: una ca~rls. de operacionce bina.ri&e de laa que, como prototipo, puede eerrir la adición aritmética. CO· rriente. Esta.e iDveet.iga.cionee ee completan en el ámbito de una diacipliD& m&temática eepecial, la teori& de grupos; en la aegunda. parte de eate libro veremOl!I algunoll conceptos de eat& teorla., y, por lo tanto, ciertas propiedades generales de operaciones binaria&.

86. Importan.ola de la l60oa para otras olenolu Hemos hablado de loe oonoeptoe más import&nt.ee de la lógica oontemporá.nea.. Y al hacerlo, hemoa conocido algunas leyes (muy poca.a, por lo demú) relativu a eetoa conct1ptos. No tenia.moa, sin embargo, la intención de establecer la liet& completa de l01 ooncoptoe y teoremaa lógicoe de que noa aerrimoe, o aobre 1011 cuales noe apoya.moe, en argi.lmeo.toe oientfficos. Por lo demás, eeto no ee necesario para el estudio o ejercicio de otraa ciencia.a, inclusive la matem&tica, cuya relación con la lógica es eapeoi&lmente cercana. La lógica se considera jUBt.i.ficada.mente como la base de t.odaa laa otras cienciae, por el h&eho de que en todo razonamiento emplea.moa concoptoa del dominio de la lógica., y porque toda inferencia. conecta procede de aouerd.o con las leyes de esta disciplina. Pero esto no implioa. que un conocimiento profundo de lógica sea condición necesari& para el pensar correcto; incluso loe matemáticos profesioneJee, que por lo genei-a.l no cometen errores aJ razonar, no conocen de ordinario l& lógica huta. el grado de

140

saber toda.e Iae leyes de 6eta en lM que 11!1 apoyan inoonec~nte­ mente. No obata.nte, no cabe ninguna duda de que el conocimiento de la lógica poeee una gran importancia práctica. para todo aquel que desee pena&r e inferir oorreetamente, pues perfecciona lu facultad.ea inn&tu o adquirid&& pva ello y permite evitar errores en caeoe especi&lmente críticos. También desde el punto de vitlt.9 teórico deeempeiia la. lógica un papel tl'&ll8oendent&l en la oonst.rucción de teorlaa matem#.ticaa; este problema se trat&rl. en el e&pftulo próximo.

l.

Molltra.r ejemploe de nil&ciones de loa dominioe de la arit.-

métie&, la geometría., la. fíaica. y la vida. ootidia.na.

2. Conaideremoe t. relaciión de patenüdad, ee decir, la. reta.. ción expreead.a por la función propoeicional:

z ea padre de y. ¡Pertenecen todos loe seres humanoe al dominio de esta. rel&eión1 tPertenecen todos elloa a1 contndomínio1 S. C.Onsidérense las eiet.e re.lacionee eiguientee entre per&On&e, a. saber:. ser padre, madre, hijo (en eentido genérico, 11in discrimina.ción de sexo), hermano, hermana, marido, esposa. Denota.remos eataa relaciones con los lllmboloa: IPt, IMt, db, t:B•, IS•, tPt y tBt, tetpeetivamente. Aplica.oda v&riaa operacionee de6.nid&a en le. Seooión 28, podemoe balla.r a.uev&a f61.acionee que en alguooe cuoe tienen nombres eimplee en el lenguaje ordinario, por ejemplo tP/8' designa la relación de 1191' yerno, como puede oomprobuwe fi.cilmente. Enoontr&r, ai ee posible, nombrm ei.m.plee ~ lu siguientes tt11&cionee:

B, f, FUE, PUB, P/M, M/B, B/ii:, P/(FUB), ¡s¡ii:¡ u 11'/(l/i)J Expreea.r oon Ja. ayuda de loe afmboloe «Pt, dh, etc., junto oon loe afmboloa del cáJ.culo de relaciones, lu tt1l&oione1 de aer prop-

141

n.itor (O ee& padre on eentido gen6rioo, lin d.iacriminación del sexo), hermano (lin diacrimiucl6n de sez:o), Dieto (sin diaerimi-

D.&ción de eezo). nuera., suegra. Erplicar el significado de l68 eigoientee fórmulas y determinM' cuá.lea de ellaa aon verdaderu:

PC:ll', i~s, PUll~ií, r111~P, B/SC:B, SC:H/B. 4. ConsidéreD&e laa doe fórmulu aignientes del cá.Iculo de rela.oionea:

R/S ~ S/R

y

(R/S) -

S¡I!.

Mué8treee medi&11te un ejemplo qne la primera no iñempre se aa.ti.sfa.ce, y demu6streee que la ~da se u.tis:fa.ce para relacionee B y S cu.leequiera. lDdicación: Consid&Ne qu6 iDgnifioado tiene decir que la :mlaci6n (o sea la reciproca de la relación R{B) o que la relación

(1fís>

S¡ft rigen entre dos objetos z e y.

6. Form:6Iense simbólicamente Ju definiciones de t.odoe loe t..Srminoe del o&J.culo de relr.ciooee diecutidoe en la Seoción 28. lndic&ción: La definición de euma de dos rela.cionee, por ejemplo, tiene la siguiente fonru.: [<(R U S)y] ... [(• By) V (•By)].

6. t Qu6 propiedad~ de lu tratade.t en la Sección 29 eon poaeidae: por lu relaciones lliguienloell: (a) la. relación de divisibilidad en el oonjunto de loe nómeroe

natura.lee; (b) l& relación de eer relativamente primo en el conjunto de loe n\\meroe n&turalea (doe 06.meroe na.tura.lee ae llaman rel&tiv&menfie primos oue.ndo m mhi.mo oomún divisor es l); (o) la. relación de oongruenoia en el conjunto de todos loe poligono1;

1<2

(d) la relación de ser de mayor longitud en el conjunto de todoe loe segmentos; (e)

la relación de aer perpendicul&r en el conjunto de todaa lu

rectu de un plano; (f) la rela.ción de simultaneidad en la. ele.se de tod.Oll los fe. nómenoa fieiooa; (g) la rel&eión de preceder temporalmente en la. clase de todos los aoontecimientoe ffaiooa; (h) la. relación de parenteeco en la clase de las peraonaa; (i) la rela.ción de patemid&d en la clase de tod&e las personaa; (j) la relación de intel'&6Cción en el conjunto de toda& 1&e oonñguracionea geométric.as1

7.

tEe toda relación (en una clue da.da) o bien redeliva. o

irrefiexiva, o bien si.métrica. o aaimétrie&1 Indicar ejemplos. 8. Llamaremos INTB.üi'SITIV" EN u. CLüE K & Ja. relación R, ei para tres elementos cualesquiera .z, 11 y z de K, la.a fórmulaa:

.zRy

e

yR z

implican la fórmula: -(zR z).

¡Cuálee de las rela.cíonee citadas en lOR Ejercicios 3 y 6 eon intranaitivaa! Indie&r otros ejemplos de relaciones intr&naitivaa. 1Ea toda rol.ación, o bien transitiva, o bien intr&Mitiva1

•9. Mostr&r cómo ee puede pual' de la upreeión: las redaa a y b

6'0n

paraklaa

a la expresión equivalente:

y cómo definir, en conexión oon eato, la expresión tia direr.d&ft 4' una rectat.

DlftOMJCCIÓH A LA LÓOICA

ua

:8'ga.ee el m.iamo ejercicio ooa laa es:preeionee eigu.ientee:

1
w. .......,.. A By en ... ;.,..i...

i Qué ley lógica ae &plica p&ra: elJo1 lndie&eión: Vée.nae laa obeerva.eionee de la Sección 30 rela.tiva.a al oonoepto de semej&DZ&.

10. Diremoa que doe idgnoe, o doa expreaionee compuesta.a por v&rioa aign.08, eon J:QUUOIDfltS, si no ee diferencian en na.da

reepeeto de la forma, lino a lo eumo respecto de su poaición en el espacio, oomo, por ejemplo, reepeoto del lugar en donde han aido impniaaa; en cuo oont.rario, loe Uamaremoa NO J:QlJD'OBKBS, Por ejemplo, en la. fórmula.; apa.recen va.ria.bles equiformm a amboa lados del signo de igualdad, y en la. fórmula.:

z

=r

v&ri&bles no equiformea. ¡De cuint..oa signos consta. l& fórmula

z+y=y+z1 ¡En ouMltoe grupoe pueden claai.6.oarae dichos aígnoe de manera que sigo.os equiformee pertene&ean al m.íemo grupo y eigooe no equiformes pertenezcan & grupoe dietintoe! tCu'1es de laa propiedackm Hprmadu en la. Sección 29 110n poaefdaa por Isa relaoionee de equiformidad. y no equiformidadl

•n. Sobre la. bue del nmult.ado del ejercicio anterior, expliqueee por qué ae puede decir de Bignos equiformea que son iguales respecto de su l'OBlilli, o que tienen la. misma. forma, y c6mo puede definiree el término tla f0f"fll4 dd aigno dadot (véaee Ejercicio 9).

... Ea una COltumbre extendid& llamar igualee & loe aignoe equiiormee e inclueo tra.tarloe como ei fueran un mismo eigno. Suele deciree, por" ejemplo, que en i.. expresión:

interviene una misma variable a ambos lad.011 del símbolo tC6mo puede expresarse eato con mayor exactitud1

•+•.

•12. La ma.nera. inexacta de h&blar eobre la. que hemos lla.mado la. atención en el Ejercicio 11, ha sido UBad& v&riaa veces en eet:e libro (ya hemos dicho que no conbatiremos laa costumbres profundamente a?Ta.igad&11). Indic.ar laa inexactitudes de este tipo que apa.recen en la.e .P'sina.a 36 y 82, y explicar cómo podri&n eer evitada.s. Daremoe otro ejemplo de eete tipo: cuando se babia de fun. cianea propoaicionalea con una variable libre, ae pieilA eu funciones en las que todas lu vari&blee librea aon equiformea. tCómo puede formula.rea con eX&Ctitud I& etj>reaión:

13. Consideremos el conjunl.o de todos loe círculos eituadoe en un mismo plano y con- un miarno centro común, Mostrar que este conjunto queda ordenado por medio de la relación de aor parte. tSeria. esto verdad, 1:1i loe clrculos no estuviesen en un mismo plano o no fuesen oon00ntriooe1

14. Conaidera.remos una relación entre palabra& del idioma cutellano que aerá. llamada la ~lación de PBJ:OBDBNOLI. (l:N Eiplican1111os a.qui el sigIJfi.ca.do de eete término por medio de ejemploe. La p&l&br& canimab precede a la pal&br& tperrot, p ueeto que la primera. empieza oon ta• y I& 11&gunda oon y tat ocupa un lugar anterior a •pt en el alfabeto cutellano. La. palabra cairu precede a la palabra talimañat, ya que amba.a oomienzan con la misma letra (o mejor dicho con letraa equiformes; cf. Ejercicio 10), en tant.o que la segunda letra de la primera palabra, esto ee tit, ocupa. un lugar anterior en el alfa.beta castellano a la segunda. letra de I& segunda. pala.OBl>EN LEXlCOOBÁnCO) .

•?.

146

INftODtJOC!6N A l.l LÓGICA.

bra, eeto • tl.t. AnAlogara.ente, ecobrtt precede a te000t y m.al.dirol precede a nnal6nt. Finalmente, td.ol.ort precede a. tdolorOIOI, y& que la.e cinco primerae letra& de eetaa pa.la.braa son laa mismas, y la primera. pal&bra conet& eolamente de ellu, mientra.e que la aegunda. posee además otra.e; análogamente, cpan precede a.

~·· Eacribir las siguientes pala.braa en line&, de modo que entre dos cualesquiera la de la. izquierda preceda. a la. de la derecha.: carroña, arma,

aalir, am, c.or?'o, aakn, probkma, armazón, 08la.

Trá.teee de definir 11. rela.ción de precedencia entre palabra.a de la. manera mú genera.l potrible. Mostrar que esta. relaci6n ord.ena el conjunto de todaa le.e palabra.e del idioma. CMtellano. Se6álen&e algunaa aplie&eionee prictlcu de esta relación y eJ:pli· queee por qué ee dioe que ettableoe un orden lellioogr'6co. 15. Considérense una relación arbitraria. R y eu neg&eión R'. Moetra.r que les siguientes propoeicíonee de la. teorla. de rela.oionea son verdaderas: (a.) n la n.laci6n R u rql1.zfoa m la clue K, entonu.8 la rtlaei6n R' u im/kziM tn. uia cltut; (b¡ ai la rdaci6n R u ftmilriaJ en la daae K, entonua la rtlaeión R' u tam.bibt. aimM~ a la cla.Je K; •(o) .ti la relacKm R u aaimierita m la ~ K, entonus la. relacaOtl R' u re/lu:iva. y COflUd d uia ela.ae; •(d) aila~RutranntiVGv~mlaclcue K, ~ la relaci6n R' u konaNiva m uci cla.le.

tSon también verdaderu lu reclproc&8 de 68t88 propoeicioneal 16. Muéstrese que, ei la relación

R tiene una de lu propie-

dades estudi&daa en la Seoción 29, t.. relación conversa.

B

Jl<>llM

la miam& propiedad. •17. Lu propiedades de relacionee que fueron introducidas en la. Sección 29 pueden upreer.r f6.cilmente en términOll del c!lcu-

146

lo de relacioooe, admitiendo que la claee K a la cual eau propi&dadee ae tefieren ea la cla.ae unin-1. La.e fórmula.e:

R/R e: R

y

o

e: R U R,

por ejemplo, expresan que la relación R es transitiva y ooneu., reepectiV&mente. Explica.r por qué; recordar el eignificado del aímbolo •D• de la. Sección 28. Eq>re6&1' a.ná.logamente que la relación R ee simétrica., asimét.rie& o intransitiva (véase Ejercicio 8). iQué propiedad de relaciones eetudiada en el presente capitulo se exprea por la. fórmula:

R/R C:I l 18. Eetudiar cuálee de la.a rela.clonea expreeadae por W f.Srmu. laa indicadu a continU6Ción aon funciones: (•) (b)

2z+3y - 12, z'~y'.

z+2>y-3, (d) •+y - y', (•) :z: es madre dt y, (f) z es hija dt y. (o)

¡Cuáles de la.a rela.ciones ooneiderada.a en el Ejercicio 3 son fun-

cioneet 19. ConaideremOll la función expresada. mediante la fórmul&:

¡Cuál ee el conjunto de los valorea del a.rgumento y cuál el de loe • aloree de la. función 1 •20. tCu6.les de las funcioDfllt indicadas en el Ejercicio 18 son biunivocas1 Dar otros ejem.ploe de funciones biunivocu.

•21. Con.aidórele la función. erpreeada por la. fórmula:

'"

•=3y+l. Moetrar que ae trata de un• funoióo biunivoe& que aplica biunf. voca.mente el intervalo [0,1] eobre el [1,4-] (cf. Ejercicio 6, Capitulo IV). t Qué conaecuenoi& puede extraerse de aquí respecto a loa números cardinales de dichoe intervaloat •22. C.Onaidéreee la función expreaada. por la fórmula:

z=2y; tomando como ejemplo el ejercicio anterior, moatrar con ayuda. de est.a. funoióo que el conjunto de todos loe nlimeroe es coordinable ooo el conjunto de loa oámeroa poaitivoa. 88

•23. Moetrar que el oonjunto de todos loe númeroa natura.lee ooordin&ble con el de todoe loe nómeros ímp&m1.

2'. Indicar ejemplos de relaciones mliltiplee de los dominioe de la aritmética y de la geometrá.

26. tCoálee de las rel.a.oiooee ternarias expresad.u por lM fórmulu Biguientee eon funciones: (a) (b)

(o) (d)

:i:+y+iz=O, z•y > 2z,

"11'+y'+,. ". ' z+ 2-

26. Enumerar aJgunae leyee de la. flmoa que esta.blezcan la eziatenoia. de relaciones funcionales entre doa, tres y cuatro magnitudes. ?:1. ConeideremOB l& relación de estar entre expresad& Kimb6lfoamente por la fórmula A/B/O, donde .A., B y O son tree puntoa diferentes del pla.no (af. pág. 136). Escribir simbólicamente laa aiguientes proposiaionea:

... (a) Para pu1ltiol cualuquimi A, B, C y D, ai B utá entre A y C y también tnl1't A y D. en.tonw O ut6 entre A y D.

(b)

Paru. 'JNnl
rntoncu ezíak

entre By A ni A e.alá

ent1't

By C.

Tradúzcanse t&mbién las siguientes fórmula.e &J. lenguaje ordinario: (o)

(d)

~!¿!

[(B,.O/\ A/B/D/\A/O/D)~(A/B/OVO/B/D)J,

E [A " O/\ A - (A/ B/ O)].

A,C

A

¡Cuá.lea de laa propoaicionea (a)- (d) aon verda.deraaf (no 11uponet que loa puntos en cuestión eet.úl neoesariamente alineados).

•28. Coneidérenee la.e trell aiguient.ee fórmulae oon la operación binaria O:

f.', (zOy =y O.i:),

.!~ ((z:

Oy)Oz - zO(y Oz)],

~11.~(:r=yOz).

Sustituir sucesivamente en estas fórmulas la.8 aim.boloe de lM cuatro operaciones aritmétJ.cas: +. -, ·, y :, en lugar de O. lCuáles de las propoeicione11 N!!Sult.a.ntea ROn verdA.deras1

VI

SOBRE BL !idTODO DEDUCTIVO 86.

CoDIUtuJtntM tund&men&alea de teorfaa deductivas; prtmlUvoa 1 cleftnid.~ u1om.u 1 &eoremu

~rm.lnOI

A continui.ción intent&remoe exponer loe principios fundamentales que se aplican en la ooDBtrucción de Ja lógica y la matemática1. El a.náliais det&llado y la evaluación critica de etl08 principioa constituyen la tarea de una disciplina. especial il&mad& HETODOLOOÚ. DE LAS OIBMCJli.8 DltDUOTIV.&S O ~DOLOGf..a. DE

u XATEIÚ.TIOA. Para el que ae ocupa de una. ciencia o intenta eatudiarla, es indudablemente importante t.ener conocimient.o del mét.odo que se emplea en la construcción de esa ciencia.; en el caso de la. matemática veremos que el oonoci.mitmto de este método ee de importancia. fundamental, ya que sin tal conocimiento es imposible aprehender l& natur&leza de la. matemática.

Los principioe que vamoa

&

eetud.iar tienen por objeto &aegu·

rar al conocimiento adquirido en lógica y matemática el ID&yor grado posible de claridad y cert.eu.. Desde este pwito de viata aeria ide&l un procedimiento que permitiese aclar&r el significado de cada expreeión que a.parece en la ciencia. considerada, y jwitificar cada una de BU8 aaercionee. Ea fM:il ver que este ideal no ea

160

realiza.ble. En efecto, cuando eo tn.ta de explicar el lignifica.do de un& expresión ha.y que emplear, oeoee&rWneate, otraa upreaioaee; y para explicar el aigni6ca.do de eeu erpnejonee, ein ~r ea u.n circulo vicioso, MI debe ~ a su vez & otrM expreeionee, y aaf 1JUoeaivamente. Tenemos uf el oomiem:o de un proceeo que nunca podría. termin&rse, y que puede ca.racteriza.ree, hablando figurativa.mente, como un ILEOBBBO INnlfITO -un regru.ma in infinitum. La. .situación ea anAioga en lo que se refiere a. la. jwiti.fi.cación de laa aserciones de la ciencia considerada., ya que para eeta.blecer la v&lidez de una aeerción ea neceeario usar otra.e, y (ai queremos evit&r un circulo vicioao) esto conduce nuevamente a. un regreso in.finit.o. A manera de comprom.iao entre ce& ideal inaaf!lquible y la.a poaibilidadet realiza.bles, han surgido ciertos principios aobre la oonstrucción de disciplina.a m&&emátiCM, que pueden ser deecritoe de la. manera. siguiente. Al emprender la construcción de una determinad& di&ciplina, diatinguimos ante todo un pequeii.o grupo de expreaiones de ell& que nOfll pe.rezca.n inmedia.tamente oomprenaiblee; lu expreaionee

este grupo serán Ua.madae TiBllINOS l'BDIITIVOB o NO DDil'fI· DOS y las emplea.remos sin explica.r 1JU a:igniñcadt\. Al mi.mi.o tiempo adoptamos el principio: DO utiliz.a.r ninguna de Ja.e demM expreeioDes de la. di.eciplin& ooneidenda., en ta.o.to au significado DO se haya determinado previameote ooD ayuda de loa téim.inO!I primitivO!I y de expresiones de la diaciplina cuyo aigníficad.o ya b&ya sido explicado. La proposición que de eeta manera determina el significado de un t6rm.it1o • ll&mad& una PDllf'IOIÓN, y lM eqreeionea cuyoa aigniñca.doe eon aai determinadoe reciben el oombre de Ttlulnfoe DuunDOe. Prooedemoa análogamente con reepeoto a lu uercionee de la disciplina. ooDSiderad&. ElegimO!I algunu de ástaa ......:.i a. que noe pa.rezoa.n más evidente&- como .ümwtONJtS l"BJKlTIVU o .u:IOKAB (t.ambiéo referidos a menudo oomo POSTm.il)()S, aunque en e&t.e libro no se usari. dicho t«mioo en este sentido t'Aonioo); loe aceptaremos como verdadero& .l!i.n en modo alguno establecer ra. n.lidez. Por otra. parte, toda otra aaerción aerá aoeptad& eomo verd&dera sólo ei hemoa podido estableoer 11U. validez W1&Ddo 1ini· ce.mente uiomae, definiciones y a.quellae aserciones cuy& validez de

IMTRODUOC'JÓN A LA. LÓCICA

151

by& aido establecida previamente. C.omo ea bien sabido, aeercionee eet.ablecidu de 6lta. manera son lla.mada..a dJ:BOION ES DBXOSTJU.D-'.S o TJ:OUJUS, y el prooeeo por el cual ee lu eetablecfl ee llamado una DBlllOSTILAOIÓN. Mú generalmente, si dentro de la lógica o la ma:temá.tica eet&blecemoe un enuncia.do en base & otros, nos referimOl!!I a eete proceeo como un& DKRIV-'.CJÓK o DEDUOOIÓK, y decimos que el enunciado establecido ha sido DERI· T-'.DO o DEDtrOIDO o ee OONSMJO ENOIA. de esos otros enunciadoa. L& lógica matemática actual es una disciplina oonetruida de acuerdo con los pri.."lcipios que &e&bamos de exponer; deegraciada.mente no ha. sido posible, dentro d el estrecho marco de eete libro, da.r debida atención a eete importante hecho. Cualquier otra dieciplina construida de a.cuerdo con eetoa principios debe b&a&r&e en la lógica.; por aa( decir, presupone b~ lógica.. Esto quiere decir que todas las expreaionee y leyes d e la ·lógica. ae t ratan ea pie de igua.ldad oon loa términoe primitivoe y a:riomaa de la disciplina en oon.atrucción; los ténniD08 lógicoa ee UMD, por ejemplo, en la formulación de loa u.ioma.a, teoremas y definiciones ain neoeeidad de explica.rae su significado, y las leyes lógicas MI aplican en demoatracionee ain establecer previamente su validez. En la conatrucción de algunQ8 disciplina.a ee conveniente a veces presuponer, en eee mismo sentido, no sólo la lógica., sino además ciertas disciplinas me.temáticas construidas pre'ri&Qlente¡ por razones de breveda.d podemos denominar ta.lee teorías, junto con la 16gica., laa DJSCIP'LllUS Pllll:OBDEKTES J. Id. DlSCIPLilU D-'.DJ.. Aai, la. lógica no preeupone ninguna disciplina. precedente; en la oonstrucción de la. aritmética como disciplina. matemática etpeeial se presupon.e la lógica e.amo única dietiplina precedenUi; por otra parte, en el caao de la. geometría es ventajoeo -aunque no inevitable- pr$suponer no sólo la lógica, sino también la arit mética. En relación con laa ólt.im88 obeervaciones ea n eoeeario hae« algunas rectificaeionee en la. formulación de loe principioe expueatoa anteriorrilente. Antes de emprender la construcción de una. disciplina deben enumerane lu disciplinas precedentes; todos loa requiaitoe referente& & la. definición de expreeionee: y demoatra.cíón de a.aercionee se aplio&rán, puee, BOia.mente & lu expresiones y aaercionee especffie&l!!I de la. disciplina. en oon.atrucción, es deoir, a lu que no pertenecen a lae diaciplinae precedentes.

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El método de construcción de 'Ol'l.a diaciplin& baudo en Wl& obaerY&eión estricta de loe principioe Hpuestoe mú &rrib&, te de· nomina JÓTODO DBDt1arIVO, y !u dieoiplinaa OODBtruidM de eeia manera ee llaman TBOBÚB DBDUOTIV.si. Está oada vez mú Htendida la. opinión de que el m6todo deductivo ea el l1nioo rugo eeencial que distingue • la.a dieciplinaa ma.tem!ticaa de toda otra. oiencia; no aólo es toda disciplina matemática. una. teoría. deduo. tiva, sino que, recíprocamente, t.oda teoría. deductiva ee una. dieoi. plina matemática (de acuerdo a este punto de vista la lógica de· ductiva eetá incluida entre las di9ciplinaa matemáticas). No entr&· remoe aquí en la discusión de laa razones en favor de este punto do viata; solamente obaerva.remoe quo pueden da.ne argumento& do peso on eu favor.

87. Modelo e lDMrpre&aol6D •e una Morla cle4uoUva Como resulta.do do una aplicación aiatemátíca de los prinoipioe preeentadoe en la 88Coióu precedente, laa teorías doductivu ad· quieren ciertas cara.ct.eríetiou inte«ieantee o importa.ntee que describiremoa &qui. Como la& cueetiones que vamos a discutir &0n de un carácter &lgo complicado y abetra.cto, tra.t&remoe do elnoid&rlu por medio de un ejemplo concreto. Suponga.m08 que noe interea&n hechos generales sobre la. oon· gruencia de aegmentoe, y que deeea.moe construir este fragmento da goometrfa. como una teorla deductiva oepecial. Para ello estipula.moa qua las variables a t, l)'t, et, .•• , dellignan .eegm.ent-06. Como t6rm.in.oe primitiYoe elegimoe loa sfmboloe cSt y e:-•. El primero de ellol ea u.n& &~reriatura del Urmino cd etm~mo dt

INTRODUCCIÓN A U. LÓGICA

153

todoa los .e~; ol eegundo deeigna la relación de oongruenda, de modo que la. fótm.ula.: debe leer.e como sigue:

loa segmenlOf z

e y

ami

congruentes.

Adoptaremos adem"8 dos axioma.a:

Anolli l. Para todo elemento z dd wn;unto S, z ~ z (en otras p&l&bras: todo aegmento u congnunk consigo mismo). A.noM.A.

n.

p4ra, elemtnto..t cualuquiero z, y, z del con;uw s. z, e~ z y (en otras palabras:®' ugm.entod con un Ururo aon congruentu entre 8').

si z ::: z e y con~

=

=

De eetoe axiomas ae pueden deducir vll.rioa teoremll.l!I eobre la congruencia. de segmentoe, como por ejemplo: T11:0B11:11A

I. Para elemenlos cvaluquitro y, z dd con;unto

S,

ai y ~z. enlon.ceaz ~y. TEORltMA. 11. t.oS,aiz~y

e

Para elemen.k>a cualuquiera z, y, z del con;un. y~z,enlonce.tz ::: z.

LQS demoetraciones de eetoe dos teoremas aon muy fá.cilea. Como ejemplo, eaboza.remos la. demoatf'&()ión del primero. Sustituyendo ~ por ttt en et Axioma 11, obtenemoe:

para ekmenloa ~y, z del conjunto S, si z ~ z e y~ z, mtoncu z::: y . En la hipótesis de este enunciado, aparece la fórmula: 'Z ;::'

z,

que indude.blemente es v6.lida, en rirtud del Axioma. 1, y, por lo ta.ntio, podremos omitirla.. De esta manera se obtiene el teorema en oueetión.

C.On reepocto a. eeta.e aencillu consideraciones deeeamoe be.oer las siguienwa obaerva.cion~ . ) Nneetra. teorla. deductiva. en minia.tura se basa. en un eiatema. de a.:iiom&11 y términos primitivoa adecuBdamente eeleccionado. Nueatro conocimiento de loa objetos denotados por loa términoe primitivoa, ea decir, de los segmentoa y de su congruencia, es muy amplio y no ee a.gota.do de ninguna. maner& por los axiomaa adoptadoa. Pero este conocimiento es, por decir &11f, asunto privado nuestro y no ejerce la más mínima in8uencia sobre la construcción de nueetra. teoría.. En pa.rt.ícular, al deducir teoremas de IOB a:riom&s no hacemos ningún empleo de este conocimiento, y noe comportamoa como ei no comprendiéramos el contenido de los oonc.eptoa involucra.do en nuestras consideracionea, y como si no eupién.moa nada de ellos que ya no hubiera eido éxpreaa.men~ afirmado en loa uioma.e. Deepncia.moe, como se dice general· mente, el eigni&cado de loe términos primitivos que bemoe adoptado, y enfocamoa nueetl'a atención exclUBivamente sobre la forma de los axioma.a en que se dan est.08 términos. Eato implie& una coneecuencia muy eigni.ficativa e interee&nte. Reemplacemos loe términos primitivos en todos loa axiomas y teoremas de nuestra teoría por Yaria.blee adecuadas, por ejemplo, el aim.bolo tSt por la varia.ble cKt que denota. cl&l!eS, y el eúnbolo por la varia.ble tRt que denota rel&eionee (a fin de simplificar nueatra discusión, no conaider&remoe aquf teoremas que contengan términoa definidoa). Laa a6rmaciones de nuestra t.eorla. ya. no aerán má.e Prl?poaicionea, sino ae transformarán en funcionea proposicionales que contienen doe varia.bles libres, tKt y tRt, y que e~n. en general el hecho de que la. relación. R tiene eata. o aquella. propiedad e.n la. cl&ae K (o, con ma.yor precisión, QU:8 eat& o a.quella. relación rige en~ K y R, v6aae Sección 27). Por ejemplo, como se puede ver fácil.mente, el A..:Doma. 1 y loe Teoremaa I y II expresará.n e.hora que la rela.ci6n R es re8exiva, simé· trica y transitiva., respectivamente, en la cla.ae K . El Axioma 11 expreea.rá. una propiedad pa.re. la. que no tenemos ningún nombre especial. y a la que nos referiremoe oomo propiedad P; ea la propiedad siguiente:

•=::•

pani dtmenki.t z, y, z cuak.tquitf-11 dt. la cltut K, ,; zRz t yR:, tnlolua zRy.

1NTRODUCCIÓN A LA lÍIGICA

Pueeto que en las demoet.racionoe de nueetra teorl& no he.ce· moa uso de ninguna. propied&d de la. clue de segmentos y de la. relación de congruencia, salvo aquellu que fueron expUcitamente enunciadas en loe axiom&11, · todW .demoetración puede eer oonai. derablemente generalizada, pues puede &er &plicada a cualquier clase K y a cua.lquier relación R que tenga esas propiedad.ea. Como resultado de una generaliz&ción de es& naturaleza. de lu demOl!1tre.ciones, podemos oorrelaciona.r oon cua.lquier teorema. de nuestra. teorfa una ley general correepondiente al dominio de la. lógica., a. ea.her, a. la teoría de relaciones, y que afirme que toda. relación R que ee reflexiva y tiene la. propiedad P en la. clue K poaoo también la propiedad expreea.d& en el teorema. considerado. Aaí, por ejemplo, la.e dos leyes Biguientee de la teorfa. de relacione111 COITMponden a lOll Teorflm&e l y [[:

I'. Toda rtlaci6n R pr~

([lle u re//,tzi,t>tJ. m la cla.st K y lient la P en ua elaat u bmbitn aimétriofl .en K .

11'. Toda rtlación R qru u n/lu:iva m la clase K y lielu 14 Fopitdad P tn e&a clase u tamhi-én. INJnsiliva en K, Si una. relación R ea retl.eziva y tiene la. propiedad P en una c1aae K, decimos que K y R forman juntas un MODELO o una &B.il.IZ4.CIÓN del eist.ema de axioma.a de nuestra teorfa., o eimplemente que ea.tisfacen a. loa a.Doma.a. Por ejemplo, un modelo del sistema de Womaa esté. oonetituido por la. clase de loe segmen. tos y la relación de congruencia., ea decir, loa objetos denotad.01 por loa tórminoe primitivoe; Mturalmente eete modelo aatisfa.oe también todoe loa teoremas deducidoa de loa aziomaa. (P&r& hablar con exactitud, deberlamoe decir que un modelo no e&· tisfa.ce las afirmaciones miamae de la teoría, ei.no 1&8 funciooel!I proposicionales obtenidu de dicb.u afirma.cianea reemplazando loe términOl!I primitivoa por variablee.) Empero, este modelo particular no desempeña ning(m pa.pel privilegiado en la construcción de la teoria.. Por el oontrario, sobre la base de leye111 lógica.e universa.lee como I' y 11' llegamos a. la conclusión general de que cualquier modelo del aiatema de axiomas e&til!lfa.ce todoa lo& teoremas deducidoe de eet08 axioma.a. En consideración de eat.e hecho también se ha.ce NJÍtlr'eDcia. al modelo del aíat.flma.

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de ax.iom11o11 de nueetra teorla oorno a un 3ú. misma.

.MOD:SLO DI'!

LA TEO·

Eetamot en condicionea de exhibir mucboa modeloa difere·n. tes pa.ra nuestro eittema de iuiomu, aun en el dominio de la lógica y de le. matemática. Para obtenm un modelo de ea& naturaleza., elegimos en cualquier otra. teori& deductiva doe constantes, aean d(t y «lb (denotando la. primera una clase y la última una rel&c::ión), luego reempla.za.moe a .St por dú y a e~• por •R• en todo el Biatem&, y finalmente demostramos que laa proposiciones aal obtenidas son teoremas, o posiblemente axiomas, de la nuen teoría. Si logra.moa realiur eeto oon éxit.a, decimos que hemos halla.do un& INTKlt.PB.E'UCIÓN del sistema. de axioma.a -y, al miamo tiempo, de toda nuestra teoría deductiva...- dentro de la. otra. teoría deductiva. Si reemplaza.moa ahora loa términoe primitivos .S• y • ;;¡ • por •X. y •ltt, no aol&mente en loa axioma.e, sino también en todoa loa teorema.e de nueetra. teoria, pode. moe estar aeguroa por adelantado de que todu laa proposiciones asi obtenidaa aerán proposiciones verdaderas de la nueva teoría deductiva. Daremos aquí dos ejemploe ooncret.oe de interpret&cionea de nueatra. teoría. en minia.tura.. Reemplazamos en los Axioma.e I y JI el símbolo tS• por el símbolo de la clase universa.l cV1, y el eímbolo ·~· por el signo de identidad Como se puede observar inmediatamente, loa arioma.e 11e tranaforman entonoe. en leyea lógicas (en efecto, le.a Leyea 11 y V de la Sección 17 de m&nera ligetamente modificad.a.). L& clue universal y la relación de identidad oonetituyen, por lo tanto, un modelo del sietema. de a.riomaa, y nuestra t.eorla ba. hallado una iot.erpretación dentro de la lógica.. Aal, si en loe Teorema.e 1 y 11 reempla.z&.moe loe eim.boloa tlt y •':::• por loe efmboloa cV• y podemos eat.ar aeguroe de que Uega.remoB a. proposiciones lógiC&S •erdaderaa. (En efecto, eet.mOB nuevamente familiarizadoe oon ellas; vé&ee Leyee III y IV de la. Sección 17.) • A oontinua.ción coneideramoe el conjunto de todos loe número11, o cualquier otro conjunto de números, denotándolo por .X•. Llamamos equiva.lentes a doa n\\.meroe :z: e y, en sfmboloe:

•=•·

•=•,

:z: : y,

INftODUCCIÓH A LA LÓGICA

ai au diferencia z - y es

Wl

entero; a.el tenemoe, por ejemplo:

11¡, . 51¡,, mientras no ea el caso que 3

:;;;¡

21¡,.

Si ahoro. loa términos prim.itivoa son reempl&ze.dos en &mboe &xiomas por dh y f:!!!:I, se puede demostrar fácilmente que 168 proposicionee result.a.ntee son teorema.a verda.deros de la a.ritm&tica. Asf nuestra. teoría. poaee un& interpretación en la a.ritmétioe., puea el conjunto de ndmero1 ]( y la relación de equivalencia ~ oonstituyen Wl modelo del Ñtem& de u:iomu. Y nuevamente Mtamoe aeguroa, e.in nin¡6n ru.onamiento especial, de que los Teoremu 1 y 11 ae tranaf'on:oari.a en propoei:oionee aritmétioae verda.dene li son 10metidoe a la miam• tramformación que loa. u:iomu.

Loa hechos genereJee deeoritos mM arriba. tienen muchu aplioacionea interesantes en la& investigaciones metodológicu. Iluatraremos esto aquí por medio de un solo ejemplo; mO!Jtraremoe cómo ee puede probar -en baae a eat.oa hechos- que no se pueden deducir ciert&a propoeicionee de nueetro eiatema de a.x:iomu. Consideramos la siguiente propoa:ición A (formulada. sol&ment:.e en términos lógicos y en los térmlnoe primitivos de nuestra teorla): ~ z t y dtl CO?ljunlo 8 ptlM lolqu.e 11.0 qru z ::; y (en otru paJabru: ui8kn do6 ugmmeoa qut

A. ErimA dol

u d

talO

ftOIOtlctm~).

Est& proposición parece eer indudablemente verdadera. No obet&nte, ningdn intento par• eu demoetnción en bue a. loe Aiiomu 1 y n puede dar un remlt&do positivo. As( surge la conjetura de que la Propoeición A no puede ser deducida. de ninguna manera de nuestros u::iomae. A 6n de confirmar esta conjetura &rgumentamos de la manera Biguiente. Si la Propoeición A pndiera. ser probada. en base a noeatro sistema. de axiomas, entonce&, aegón sabemos, todo modelo de eet.e sistema satisfarla & la propoaición; por lo tanto, eí podemoe indicar un modelo de sistema. de uiomu tal que no aatiafap l• Proposición A, proba.moe con

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ello que eeta proposición no puede ser deducida de loe A..xiomM 1 y II. Ahora bien, la obtención de un modelo tal no preeent& ninguna. dificultad. Consideremoa, por ejemplo. el conjunto de todoe los enteros 1 (o cualquier otro conjunto de entero1, por ejemplo, el conjunto oonaistente en loe númeroa O y l eolamente) y la relación de equivalencia. ;;;¡ entre números que fue discutida. anteriormente. Sabemos ya en bue & las observ&ciones precedentes que el oonjunto 1 y la relación oonatituyen un modelo de nueatro sistema de axiomas; empero, la Propoeici6n A no es N.tisfecha por este modelo, puea no hay doe enteroa :i:: e y que no sean equivalentes, ee decir, cuya diferencia no sea un entero. Otro modelo conveniente para este fin eet.A. constituido por una clue a.rbitraria. de individuos y por la relación u.nivere:a.I. V que rige entre doe individuos cualeequiera. El tipo de razona.miento recién aplicado eo oonooe como el

=

x.BToDO DB DBMOS'l'B.A.OIÓN POa B:lllIBIOIÓll DB t1N llOD&I.0 O FO:& IllTERPBKTAOIÓN.

Los hechos y conceptoa discutM!oa aquí pueden ser relacion&doe con otras teorías deductivas s in efectuar un cambio eeenci&I. En la sección próxima tra.t&remoe de deeoribirlos en un modo ha.et.ante general. 81.

LeJ de dedueel6D; eará.cier formal de las Ol8DOfaa ded.UCltlTM

•C,Onaideramoa una. t&orí& deductiva cualquiera baMda. eobre llD sistema de términos primitivos y axiomas. A in de aim.pli.6o&r nueetru conaideracionee, 8Uponemoe que eet& teorla preeupone 1<>lament6 la lógica, ee decir, l& lógica ee la única teoría que preoede a la teoría dada (véue Seoción 36). Ima.gin.emoa que en todu lu afirmaeionee de nueetra. teorfa loa términos primitivoe eoo reempla.zad.os en su totalidad por variables adecuadas (oomo en la Sección 37, y nuevamente por razones de simplicidad no cooaider&m.08 los teoremas que contienen términos definidoa). Lae &firm.acionee de la teoría. considerada ee tr&DBforman en funcione& proposicionales que contienen como variablee libree los BÚXlboloa que han reemplazado & loa t:.érminoe primitivos, y que no contienen otraa oonatantes que lM pertenecieotm a la lógica. De.dos ciertoe

INT~OUOCIÓH A U

LÓGfc.l

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objetoe, ae puedo detm:n.in.ar si eati.afa.oen todoa loe axiomu de nueetra. t.eoria, o dicho euoiamente, todaa laa funciones propo&ioiooalet obtenidu de en.oe uiom.aa del modo reci~n deecrito (es decir, si loe nombrea o designacionee de eeoe objetos produoen propoaioionee verdaderas al &el' oolooadoe en el lugar de las v&ri&blm librea de lae funcione& propoeioionalea; vMae Sección 2). Si eeto suoede, diremos que loe objetos que se oomidera.n constituyen un llOD:sLO o una JU.A.LD.a.OIÓ!f DJ:L 81STUU. D:& .t.XXOll.48 de nueetra teoría deductiva.; a veoea también decimos que oonnituyen un llOD:sLO DB LA TEOai.a. DBDtrarrv..t. misma. De manera bastante análoga podemoe determinar ai los objetos dados no 110lam.ente sa.tisfa.oen al sistema de ariomaa, sino tambi~n a cualquier otro aiatema. de afirm&eionea de nue&tra teoría, y si, por lo tanto, oomtituy en un modelo de eete .e.iltema (no se excluye la posibilidad de que el aistema cooeilt& de una aola afirmación). Un modelo del sietema de uiomae 991'. oonetituido , por ejemplo, por loe objetoe que son denot.dos por los Unninoe primitivoe de la teoria dada, puesto q~ npooemoe que todos loa uiomu BOD proposioionea verdaderas; este modelo aa.tiaface, ns.turalmente, todoa loa teoremas de nueetn teorla. Pero en lo que ae refiere a la oonstruoción de nuestra teoria., eirt.e modelo no ooupa. ningó.n lug&r de preferencia. entre todos loe d emáe modelos. Cua.ndo decimos eate o aquel teorema de loe axiom.aa, n o pensamos en las propiedades eapeoifiou de ese modelo, y solamente empleam.oa a.quellae propiedades que están explicit&mente enunciada.a en loa a.xiomae y que por lo t&nto son poeeJdaa por todo modelo del sistema. de &.riomae. En oonaecuenci&, toda demostración de un teorema p&r· ticul&r de nuestra. teoría. puede aer &%teodida a todo modelo del eiatema de uiomu y puede eer e.el tra.Daformad.a en un argumento mucho mfwi general, no ya pert.enecieote a nuestra. teoría, Bino a la lógica; y como resultado de eet& generalizaci.ón obt.enemoe un enunciado de lógica general (como Ju leyee I' y 11' de la. eeccióo preoedente) que establece el hecho de que el teorema. en oueetión ee satisfecho por todo modelo de nuestro sistema de ariomae. LA ooncluaión final a que a.rribamoe de eet& ma.nera puede ser expr&aada bajo la. forma siguiente:

Todo twrema tk una ktMa. ddvdivo dada u MJJi.8/Wio f>I"' cuolquiu modtJo del ai.IUma tk aziomaa de uta koria; y ademáa, a

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todo ttort?M eorrupon& u11. enun.etado gtnef'Ol gw puede aer formu,. lado y ,u...,,,..,, Bnt.t. DI: DEDUOOIÓN)l.

La. tremenda importancia práctica de esta. ley reeult& del heoho de que generalmente eet&m.oe en oondicionee de exhibir numeroaoa modeloe del matema de a.riomaa de una teoria partieu. lar, ann ain abandona.r el campo de la.a ciencia.e deductivas. A fin de llegar & un modelo t.i hMta. eeleociona.r detenninada.e conat&n· tea de otra teoria. deductiva. cualquiera (que puede ser lógica o una teori& que presuponga a la lógica). oolocarl.a.t en loa as..ioma.e en Juga.r de 101 t&minoa primitivoe y demoetrar que· la.e proposicioD88 obtenidas de esta ma.nera eon ueroionm de Mt& otra teoría. Deoimoe en eet.e caeo que bemoe hallado una interpretación del aiatema. de &xiomu de la teorla original dentro de la otra teorl&. (En p&rticula.r, puede ocurrir que laa oonstantea elegidas pert.enee. oa.n a. la. teorla originalmente considerada, en ouyo C&80 eJgunoa de loe términos primitivOB h6IRa pueden haber perm&necido innria.blea; se dice entonces que el aistema de uiomaa dado ha ha.ll&do un& nueva interpretación dentro de l& teorla que ee oon.eidera..) También someteremoa loa teonimaa de la teoría original a una transform.ACión &n&log&, reempl&Z&Ddo loa términoe pri.m.itivoe en su totalidad por Ja.e eonet&ntee que h&rl eido empleadaa en la interpretación de loe uiomae. En baee a la ley de deducción podemot estar entonoea seguro• por adela.nt&do de que de esta manera ee llega & propoaicionee que son aeercionee de la nueva teoría. Pod&mOB formular eeto de la mMM1r& siguiente:

Tocloa loa ettmmu dt:molttradof tobrt la fHut de un .riBtema de mMma8 dado aigum aindo vcWdo.t poni cualquW interpre.taci6n del aiatema .

. •ta l•J ca. dMCUblerta ladepeudkns.m.ate por d

(lD0S-10S1)7al· autor.

lotlloo l'raDcM J. BUllLUD

JNTltODlJCCl6N A LA. LÓCICA

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Dar una dem.01traclón especi&J para cu&Jquier& de estos teoreme..e tramformadoa ea redundante; en todo cuo aeri& una labor de ind.ole puramente meoáaica, pue11 9eria wficiente truladac el OOITt!lpOndiente argumento del campo de la teorla origin•l y someterlo & la.a mimnaa tramd'ormacionea que han sido ejecutada& con respeoto a loa ariomu y teoremaa. Toda. demoatración dentro de una teoría deductiva contiene, potenoi&lmente, por decir aef, una e&ntidad ilimitad& de otn.e dem.oatracionea análoga.e. Loe hechoa descritos más arriba demuestran el gran valor del método deductivo dee
forma algo mM complicada,

La fuente oomó.n de lOl!I fenómenos metodológicoe diflcutido. aquf ee el hecho puntualizado en la 98CCÍÓD precedente, a a.her, que en la construcción de una teoría deductiva. deepreciamoa el lignificado de loa a.::.:iomae y t.omamoe en cuenta 90l&mente eu forma. Ee por esta razón que al referirse a eatos fenómenoe ee ha.bl& del o.AB!rou. puramente ..OBIUL lu ciencia& deductina y de tod.08 108 razonamientoa efectuados dentro de eataa cienoiaa. De tiempo en tiempo ee h..Uan propoaioionee que reca.J.can el e&rá.oter formal de la mate~tiea. de modo paradójioo y en.gen.-

de

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do; si bien eon fundameot&l.meote ooneot&e, esta.a propoeioion• pueden llegar & ser un& fuente de oeouridad y oonfuaión. Ea u.1 como ae oye y huta oca.eion&lmute M lee que no ae puede •tribuir ningún contenido definido a loe conceptoe matemá.tiooe; que en lu matemáticas no sabemOll realmente de qué Ntamoe hablando, y que no eatamoe intereeadoe en saber ai nuestr&l!!I uercionee eon verdadera.e. Ta.lea juicios deberla.n &el' encarados más bien orf.ticamente. Si al construir una teorf& uno ee comporta. como llli no comprendiera. el significado de los términos de es& disciplina, eato no ea lo mismo que neg&r & eeoe términos todo eignüicado. Se admite que aJgunu veces ae de.rrolla una. teoría deductiva sin atribuir un aigni.fi.cado deifinido a 8114 términoe primitivoe, tr&t&ndo aaí a eatoa 6.ltim.oa como si fuera.n variables; en este caao decim.011 que tratamoe a la teori& como un 818T:tMA. J'OBll'...il. Pero Mt.a ee una situación oomparative.mente rara (ni ha aido tomada en enea. t& eD nueetr& caracterización general de la.e teorfae ded.uctivu dada. e~ la Sección 36), y sol&mente oourre cundo ee posible dar Tariu interpretacionee al eietema de Womu de dicha. teoría, e1 decir, si se dispone de v&rias maneras de atribuir significadoe ooncretos a los té1minoe que se preeente.n en l& teorla., pero cuando no deseamos d&r preferencia por adela.nta.do & ninguna. de eeas m&neraa:. Por otra parte, ee de auponer que un sistema formal pua el que no pudiéramos dar ningu:o& interpretación no int:.erea&ria a nadie.

Para. concluir dirigiremos la atención & ciertos ejemplos intereeantee de interpreta.cione11 de d.i.scipl.inaa m&temáticas que eon mucho máe importante.e que loe dadoe en la. Sección 37. El aiatem& de aziom48 de la uitmética se puede interpretar en la geometrla.. Dad& un& recta &rbiiraria es poeible definir rel&cioneB entre sus puntóe y operacion• oon elloe que eat.Wagan t.odos lOB axiomas de la. aritmétictt., y por lo tanto, todoe loe teoremaa: referentes & las correspoodientm rela.cionee entre nómeroe ~ operaciones sobre ellos. (Eato eat& intima.mente rel&cionado oon una oirounst.a.ncia que cita.moa en la. Sección 33; a saber, la poai.bilidad de eeta.blecer una. correepondencia. biunívoca entre loe pun· toa de una recta. y todoa los nó:meroe.) Reclpro.::amente, el sistema de axiomas de la geometrla admite una interpretación en la aritmética. F.atoa l'ftlulta.dos tielKIJI. múltiples aplicaciones. Por ejem-

INT&ODUCX:IÓN A. LA. LÓGICA.

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plo, pueden emplea.ne con.6guncion&e geométricas para obt.ellel' una imagen vilual de ve.rioe beehoa en el ca.nipo de la aritmética, procedimiento conocido con el nombre de m6t.odo gráfico; por ot.ro la.do, ee posible investigar hechos goomét.ricoe con la &yuda de m6todoa a.ritméticoe o algebr&icoe ----eiiste incluso una rama eapecial de la geometría, conocida oomo geometría &n&litica, que tiene como objeto la.e inveatigacionee de eete tipo. La aritmética, como ya hemoe viato, puede construirse como pacte de la lógica (cf. Sección 26). Pero si tratamos la aritm1Uica como teoría. deductiva independiente, basad.a en un aiatema. propio de términoa primitivos y a:riomu, eu relación oon la lógica puede describirse como sigue: la aritmética posee una. interptt1t&ci6n dentro de la. lógica (eobnmtendiendo que la. 16gica incluye el u:ioma. de inti.nitud; e(. &ceión 26); en otru pa.labru, ee poei· bltl definir dentro de la lógica ooocept.oe ta.lee que a.a.t.iaf'age.o todoe lOI a:liomu, y, por conaiguient.e, todoe loa teoremu, de la aritmética. Si recordamos que La geomet.ria tiene una interpretación dentro de la aritmética, Uepmoe a la ooncluaión que la geometría puede interpretane tambi6o dentro de la lógica.. TodOll eetoe ~ aultad.os aon eumamente eignifica.tivoe desde el punto de vista metodológico.•

&9. Seleeelón de utomu J Urm!Dos prlmtUvos; 111 lnd.ependtnoll Diaoutiremoe ahora. &lgunoe problemae de natur&leza. un pooo máa espeoia.l que, ein embargo, ee refieren a component.ee funda.. menta.lee del método deductivo, • eaber, la elección de thminoci primitivos y a:liomaa, a.ai eomo la oonatrucción de deñnioione1 y demostracionee. F. importante danie cueo'6 que tenemOll gran libertad m la lelecoión de términoe primitivoe y uiomu; eeri& oomplet&mmte erróoeo creer que determinaclaa e xpreefonee no pueden de&nine de. ninguna. ma.nera, o oreeJ" en la. imposibilidad fundamental de d91D08tr&r ciertos teore!D&8. .Llema.remoe J:QUJV.il.BNTBB • doe e:istemaa de propoeicionee de una teorla dada., cu&il.do toda propoai.ción del primer sistema pueda eer derivada. de la.e propoaicionee del aegundo y de 10& teoremas de lae teoría.a preoed.entee, y reciproca.mente, toda proposición del aegundo pueda deriv&ree de

,.. Ju propoaicione1 del primero (ti Wl& m.iama propOli.oi6a figura ea ambot liatemu no ee neoeea.rio deducirla.). Imaginemoe &hora que hubi6eemoa baaa.do una teoría deductiva sobre un 1iatema deter· minado de u:iomaa y que en eil tranacureo de eu ootlltruccióo noe enoontriaemoe con un ~ma de propoalcionee que fueee equiva.}BDte &J. de a.xiolll&e en el eeniido que ae aca.ba de indie&r. (Un ejemplo oonoreto de ello noe lo ofreoe el fragmento de teori& de oongruenoia. de segmentos que hemos tratado en la Sección 37; ee f&cil ver que el sistema de Womaa de dicha teorf. ee equiva.J.ente al aiatem& de propoaioionee form&do por el Axioma I y loe Teoremaa 1 y II.) Si ae preeent&ra eat& aitu&ci6n, entonces, deede el punt.o de vista. teórico, seria posible rooonatruir la t.eorfa de tal manera que laa proposiciones del nuevo sist&na ee t.oman como az:iomu, mientn.t que loe Womaa inieieJm ae demuestnn como tooMm&e. locluso no ee eeenci&l la circumtanoia que 101 nuevoa u::iomaa

teogan, en un principio, menor grado de eridenci&, ya que toda propoeioión ee vuelve evidente haata cierto punto cuando ha aido derivada de une. manera convincente a partir de otraa propoaioioDeB evidentes. Todo eeto 86 aplica igualmente ----mutatia trH'· tafldia- a los términos primitivoa de una teoría. deductiva; el llÍB· tema de estos términos puede reempl&.7.&rse por cualquier otro sistema de términoa de l& teoria en cuestión, siempre que los doa sistemas· sean EQUIVALENTES en el aentido de que cada término del primer sistema pueda definine mediante términos del aegundo juntamente con términos pertenecientes a Isa teorfaa precedentes, y rooJprocamente. No 611!1 por razones teóriou (o, al menoe, no es tola.m.ente por eatu razonm) que decidimoa aeleoclona.r un. cierto ai.stema de términos primitivoe y u:iomae en logar de ot:ro. poaibles ei.etemu equivalentee; otroe faotoree -pri.ctiooe, di~ ticos, inclusive eetétiooe- int«vieneo en eeta. deciaión. Algwiae veces se tn.ta. de elegir loa túminoe primitívoil y u:iomM mú limplee, en cuyo caso podría aer deee&ble 118&1' el menor nó.mero posible; o podemos preferir ténninoe primitivos y uiomaa talee qua n08 permitieran, en la manera m'8 simple, definir aquelloa términos y demostr&r aquellaa propoaioiones de una teoría dada en que estamos especie.lment.e interea&doe. En estrecha. conexión con· eatu observaoionm surge otro pro.. blema. Funda.ment.aJ.mente, tzat&moe de obtener siatem.M de uio.

INTROtlUCClóN A LA ÚIOICA.

...

ma.s que no oontengan uercionee super6uaa, eato ee, aaercione. que pueda.n derivane de loe "'t&ntee axioma.a y que, por lo tanto, podri&D incluirse entni loa teoreu111.11 de la t.eorla en construcción. Un listema de &xiomu ~este Upo es llamado INDEl'BNDIENH (o un SI8TD.A. DB .ADOIUS llUTU.üUNTll: INDEPBNDll:NTltS). También procuramos que el ai.etem& de thminos primitivos ee& INDB· PDDIBNTJ:, eeto ee, que no oont.enga términos superfluos que pue-d-.n definine a partir de loe rmtaotea. A menudo, sin embargo, no ae insiste en estos postulados metodol6giooa por razones pric. tioaa (didicticu), pa.rticularment.e en aquelloe casoa en que la omisión de un a.xiom& o t.érm.ino primitivo superfluo ca.uaa.ria. grandes oomplicacioneH en la. conatrucoi6n de la teorfe..

to. rormalll&ct6D dt de!lnlcloDM r 41m.oetraolont1; &eorlu d"uoetne rormalladal Se oonaidera oon razón el mM:odo deductivo como el máe ptt· feeto de todos loe que pued&n emple&ree en la. coDBt.rucción de una ciencia.. Elimina en gr&do sumo la posibilidad de im.precisionee y enoree, sin caer por ello en un regreeo infinito; gracias a su apli· ca.oíón, toda duda. niforente al contenido de loe conceptos y a la verdad de las asercionea de una teori& da.da se reducen consid&rablemente, y a lo m&e pueden afectar a loa pocos términos primitivos y uiomu. F.sta afirmaoi6n, 11in emb&rgo, debe tomane con cierta reserva.. La aplicación del mj\todo deductiyo aólo proporcionad. el resultado deeeado cuando toda.a lM definicionea y demoetre.cione. oumpl&n IN cometido, ee decir. si Ju de6nfoionee acl&ran por completo el sentido de lot conoepto. de6nidoe.. y 1&1 demoetracioD89 ll08 oonvenoen totalmeote de la validez de loe t.eoremu a 11181' probadoe. No ee fMril comprobar ai ambas satisfacen efectivamente eetu exigenci&s; por ejemplo, ea muy posible que un ra.zonami8Jlto plenamente oonvincente pM& una penona, pa..ra otra no 118& ni aiquíera comprensible. Para elimin&r toda duda de esta cla&e, la metodología actual tiende a reempla.zar la valoraci6n subjetiva. en la comprobación de definicionee y dem.Olltraciones por criterioe de natunJeza. objetiva. y a ha.cer depender la. decisión 110bre OO• rrección de lu mismae exclusiva.mente de eu estructUJ'a. es decir,

..

,

de su forma externa. Con eete prop69ito, ee .enuncian aBOLU o• DBPTlflCJÓN y BJ:OU.9 DB DEMOSTJUOIÓN (o DS DUltUNOU). Lu primeraa nos dicen qué forma deben tener lu proposiciones que BOn usadas como definicionee en la t.eorfa en oonaideraclón, y laa segundas describen el tipo de transformaciones a que pueden 1tOmeterae los enunciadoe de eeta teoría, para derivar otru propoeicionee & partir de elloe; toda. definición debe formularse de acuerdo con 1aa regla.a de definición, y cada. demostración debe Ml' OOKPLBT.l, esto ee, debe consistir en una aplicación suoeeiva de lu reglas de demostración a. propoaicion"8 previamente reoonocidaa como verdad.eras (cf. Secciones 11 y 15). Elltos nuevoa poatuladoa metodológicoe pueden deaign&rae como poatnlados de YOBIU.LIZACróN D:a: DBJ"INIOIONQ y DEllOSTIUOIONB8; una disciplina

conatroida de acuerdo con esto. nuevos poatuladoe ee ll&ma.da. un& TEOJLÚ. :Dl:DtrarIV¿ YO&lülJUD.&.I,

•Mediante los poetuladot1 de form&lizacíón, el carácter formal de la. matemá.tica ee acentúa coneiderablemente. Y a en una et&pa anterior del desarrollo del método deductivo, vimos cómo en la construcción de un& disciplina matemá.tica debíamos pre1cindir del eigni.&cad.o de todas las expreaiones eapecffie&a de ella, y comporta.moa, por consiguiente, como ei en luga.r de diohaa expresi.o· nea apareciesen varia.bles desprovista& de todo sentido propio. Ea. cambio, a loa oonoepkNI 16giooa podfamoa atribuir 11u signi.6.cado uaual; en relación oon ello podrl&moa tratar l011 axiom&B y teorema.a de una teoría matemática., 11i no como propo&cionee, por Lo menos como funciones proposicionales, o sea como expreeionea que preecntan la forma gramatical de propoe.icionee y ez:preee.n cierta& propieda.dea de objetos o relacione& entre '8toe. Deducir un teorema de a.xiomaa aoept.ada& (o de teoremas demoatrad-OI previamente) en. lo millmo que m03trar de un modo oonvinoent.e que todoa los objekNI que se.til!facen loa axiom&11 también eatisf&... ceo el teorema en cuestión; las demostraciones matem6.ticu no diferían demasiado de consideracionee de la vida ootidi&na. Ahor&, ain embargo, debemoa prescindir ain excepción de los signiftcad.oe ' Loe prlmero1 lnWnto. de ezponer lu t - * dadnctln.. de

lll&Dlr&

rormallsed& ee

debH e Fa101, &l que y& hemoa clt&do doa vec.1 (cf. nol.& 2 en l.&"'•· 42). En laa obru dool lógtco !)lll&co B. LJlitrllWBU (\886-IHlt)nt.oproceeodefonu.llsacló11 &lca11aó tll
INTBODuca:ÓN A LA lhJICA

de todae lae ezpresiones que enoontremoa en la d.ieeipli.na dada, y debemoe proceder en la tarea de construir un& teorfa deductiva como ai sua enunciadoe fueran configuraciones de 1ignoa desprovisto. de todo contenido; cada demostración ooneiatirá. eh.ora en 90meter loa az::i.omaa o los teoremas previamente demoetradOI & una aerie de tra.nsformaeionee puramente ext.ernaa.• A la luz de la.a exigencias aetualee, 1& lógica ee vuelve l& bue de las ciencias matemáticas en un sentido mucho m'8 completo que antes. Y a no podemoa eetar aatiafechoe con l& oonriooi6n que -dada nueetra capacidad innata o adquirida para pensar correo. tamente--- nuestros a.rgumentoe eet.án de a.cuerdo con las regle.e de la lógica. Para d&r una demoetr&ción completa de un teorem& es ne.oeaario realizar lu tra.núormaoionee preecritM por IM reglu de demoetraeión, no a6lo en la.e a.eerciones de la t«>rfa que noa oouJ>6, lino tambi6o en lae de la. l6gica (y de Ju ot1&1 teoriu prece. dentee); y para ello debemoe t6a.ea- una lista completa. de todaa lae leyee lógicaa a nueetra. dispolición que 1e aplie&n en las demCJB.. tr&Cionee. Solamente en virtud del demvrollo de la lógie& deduotiTe eeta.moe hoy, al menos teórie&meote, en poeición de presentar fornaalizadamente eu&lquier di8ciplin& matemática. Sin embargo, en l& práctica esto todavía preaenta grandes complicaciones; lo que ae gana en exa.ctitud y corrección metodológica. ee pierde en claridad e inteligibilidad.. Este problema es, deepuée de todo, b&at.ante nuevo; laa investigacionea relevantes no han sido ad.n definitivamente concluida.e, y hay r&21('1nee par& espera.r que su ulterior dea&JTOllo traiga, eventnalmente, ai.m.pli.&e&cionea eeen. cia.lee. Seria, por lo tanto, prematoro actualmente, en una pre&ea· t&oi6n popular de cualquier puto d& l.& matemática, aat.i.á&oer plenamente loe pottuladoe de formalización. En partfonlar, eeri& pooo 111mB&to demand&r que eo un texto oorriente de alguna W... ciplina matemática 1aa demostracione1J de los teorema.e ae den en forma oomplet&; ee de esperar, sin embargo, que el autor de un libro de texto ee~ intuitivamente aeguro que todas l!JllS demostnoiones puedan lleva.ne a e. forn1&, y aun que desarrolle aoe oonaideraciones a tal punto que un leotor oon alguna priotie& en el pena&miento deductivo y con aufi.oiente oonocimiento de la lógioa oont.emporánea., se& capaz de llenar laa l.agunaa iwta.ntee sin mucba difioult&d.

..

,

41.

CODlllteocla 1 complel:NM de ana Morla dedaoUta;

problema de dtolll6n Consideraremofl ahora doe oonooptoa metodológicos que tienen gran importancia. desde el punto de vista teórico, aunque en la práotica eean de poca si.gnifica.oióo. Son éatoa loa conceptoft de OON9I8TBNOli y OOlll'LETIDAD. Una. teoría. deductiva ae dice OOH8ISTENTB o NO OONTB.ADIOTOBIA si ningún par de a.eercionee de ella se contradice, o, en otra.e palabras, si de todo pa.r de enunciadoa oontradict:.orioa (cf, Secnión 7) al menoe uno no puede aer demoetrado. Por otra parta, una teoría. ee dice OOKPLru. 11i de todo par de enunciados oontra.diotorios formulados ezclwsivamente en thminoa de la. teoría. considerada (y de teorlaa que la preceden), al menos uno puede ser

demoatrado en ella.. Decimoa que un enunciado puede aer llll'V'TA· DO en una teoría dada si su negación puede demottr&n1e en ee& teoría. U8&lldo Mt& terminolog(a podemos decir que un& teoría deductiva. ee consistente lli ninguna propoeición puede ser demoe. trad& y refutada en ella; una teorla ee complet&, por otra. parte, ai toda. proposición formulada BD tárminoa de esta. teoría puede BEJr demostrada o refutada en ella, Loe términos cconaistentet y coomple1.ot se &plioan no sólo a la teorla. misma., sino también al eistema. de Womaa sobre el cual ella. eat& baaa.da.. Procuremo11 obtener ahora una. id.e& olara de la lligni.fica.ci6n de eat.aa dos nociones. Toda. disciplina., a.un aquellae construida.a con plena. corrección en todos loe upectoa metodol6gicoa, pierde 11u

nlor ute nueatroe ojoa si teoemoe mot.ivoa pa.ra aoapeeh&r que no toda.11 11wi e.eercionee eon YerdadNM. Por otra. p&rte, el valor de una. dilciplina. eerá tanto mayor, ouauto mayor eea el n úmero de proposiciones verdaderu que puedan establel!el'M en ella. Deede este punto de vista, una diacíplina. puede conaiderane ideal ai contiene entre 1us aserciones todas laa proposiciones verdad.e..... y ninguna. fal&, que eean relevantes pa.ra. .ella. Una propoei· cí6n ea oomiderada relevante si eet.& formulada. completa.mente en t.érm.inoa de la disciplina oonaiduada (y aus disciplinaa preoedentee); después de todo, no puede espera.rae que, por ejemplo, eo la arit.métioa. puedan demoetn.ree todaa laa proposioionee verdaderaa, inclUlive aqnellaa que conti.eoeo oonoeptoe de química. o bio-

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA

..

,

Jogla. Imaginem.oe &bon. que o.na teoría deduotin ee inoouiit~te. ee deoir, que entre eu.a u:iomaa y teoremu a.preoeo. dot propoüoionee oontradictoriu; uaando una ley lógioa bien oonocida., & ea.her, Ja ley de contradiooión (cf. Seooión 13), ee sigue que uno de eetoe enuncia.doe debe IMl fa.l!Jo. Si, por otra parte, uumi· moe que la teori& ea incompleta., entonoee exiaten doe propoeioionee. oontradictoria.a re1eva.nt.ee, ninguna de laa cuaJ.ee puede Bel' demoatrad& en eea. disciplina.; Bin embargo, por otra.· ley lógica, Ja ley del teroero excluido, un& de lu doe propoa:icionea debe ser verdadera. Vemoe aaí que una teoría. no realiza nuestro ideal & menos que 866 oonailtente y completa. (con esto no queremoe implicar que toda diaciplin& coilllllitente y oomplet& debe, ipao fado, ser un& reeJiu.. ción de nuestro ideal, esto ea, que debe oontener entre iru.11 &Mrciones & todaa laa propoeicior:tee Terda.d.era.e y Wlic.amente a ellaa). El problema que bemoe estado oon.eideraodo tiene a.do otro aapeoto. El deearrollo de toda ciencia. deduotin oonaiete en formular en JOB Wrminos de eet.& cienoía problemas del tipo •tu tal y lal d CG1101• e intentar decidirloe eobr" la bue de loe axioma& que ae han aeumido. Está. claro que todo problem& de eete tipo puede ser decidido en Una de doe posibles maneras: afirmativa. o negativamente. En la primer& alternativa, la reepueeta es: dal y tal u d caaot; y en la segunda: dal y tal no u d ca.aot. La conaietencia y la oompletidad. del sistema de axiomas de una teo:ria deductiva noe garantizan que todo problema del tipo mencionado puede decidirse en la teoría, y ademM, decidine de manera ónice.; la conail· tenci& excluye la posibilidad que un problema pueda decidirle de doe maneraa, esto es, a6rmativ& o negativamente, y la completidad nos aaegu.ra que puede eer decidido en aJ menot ua& manera. Hay un problema eatrecham&Dte relacionado con el probkma de oompletidad, aunque mú general, que ooncierne a teorlaa tanto incompletu como completa.a. Eelie problema conaiste en hall&r, par• una teoría deduotiva dada, un método general que noe permi· t& decidir para todo enunciad.o partlcuJa.r formulado en términoe de esta teoría., si éste puede o no demoetra.ree en ella. :Eete i.mpor. t.&nte problema es conocido como eJ PBOBLBIU. DB DJWI8IóN1•

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Sólo conocemoe un número ftducido de teorfy deduotiva.s de Ju cuaJee ha eido posible demoetnr que aon oonaiatentee y oompletae. teta& eon, por lo geoera.1, teoriae elementalee con una eetructur& lógica simple y una. variedad limitada de oonceptoe. Como ejemplo podemoa mencionar el cAlculo proposicional, qae ha sido discutido en el CapJtulo 11, siempre que Mte sea conaide. ndo como un& teoría independiente y no como parte de la lógica (sin embargo, al aplicar el término •complete.t & esta. teorfa., éste ea usado en un sentido ligeramente diferente). Quizá. el ejemplo más interesante de una teoría oonaistente y completa está dado por la geometría elemental; tenemos en mente a la geometría limitada. a aquellos confinee dentro de loa cuales fue enseil.&da por eigloe en la.a escuelas como parte de la matemá.tie& eilement&l, es decir, una. disciplina en la que te inv~tigan laa propiedades

de vario• tipoe eepeci&les de 6guraa geométricu

~mo

ser rec-

tui, planoe, triánguloe, circul~. pero en la. que no aparece el

oonoepto general de oonfigura.ción geométrica (un conjunto de puntoe)1 • La situación cambi• radicalmente en cu.nto pa.ea.moe & oonsiderar cienci&ll tales como l& aritmética. o I& geometrl• superior. Probablemente, na.die que tr&baje en eet&e ciencias duda. de su oonaistencia.; pero a pe8Al' de ello, como se deeprende de las inveetigaeionee metodológicaa m'8 rooientea, un• demostración eetricta de au conaistencia preeenta grandes dificultades de naturaleza funda.mental. La. aitua.ción reepecto a.l problema de completida.d ee aún peor; en efecto, la &ritmétlca. y la geometría. superior aon inoomplet.u, ya que h& sido posible form.ul&r problemu de carácter puramente aritm6tieo '() geométrico que no pueden &el' poeitiva ni negativamente decididoe en e8a8 dieciplinae. Podri& suponene que eate hecho ea simplemente un reeultado de la. im,. perfección de IOI sistemas de ariomaa y métodos de demoatr&ción de que disponemos actualmente, y que una. modifioe.ción adecuada. de éatoa (por ejemplo, una. e.aterullón del ai.Btema de &xi.omu) do- lmport&Dte. aobn IOI l'tl.D.dt.me11tos de I& mat.m•ua. Onclu t. H tmlm1llo 9dcM CODOeptoa J lltttb!Ml'IU han aldo dlUm.meot. al objeto de lot
d•

171

puede, en el futuro, lleYar • eiliemae completo... Sin embargo, inestigacion.ee mú profundu han moetrado que eata conjetura • MT6nea: nunoa ee logr&ri. oooatruir UD& teori& deductiva ooallistente y completa. que conteng• oomo teoremu & todoe loe eounciadoe verd&d.eroe de la. uit!Mtica o de la geometría superior. Ademú, tampoco el problem& de deciaión tiene r¡¡olución positiva oon respecto a. eetaa diaciplinu; es imposible dar un método general que not permita. diferenci&r entre aquellos enunciados qa& pueden ser demostrados en eataa disciplina.a y aquelloa que no pueden ser demostrados, Todoa eetoa reeultadoa se extienden & muchas otras teoriu deductív&e, y , en particule.r, & tod&e aquella& que o bien presuponen la &ri.tm6tica de loa números enterca (m decir, la teori& de laa cuatro opencionee &ritméticu báaicaa aobM enteroa) o que contienen reeureoa au6cient.ee pa.ra. deearrollar eeta. t«irla. •Aaf, por ejemplo, eetot r1MRJ.ltadoe pueden aer aplicado. a. la teorla. general de claaee (oomo te sigue de laa obeervacionee ll linl de la. Sección 26)1.• Eli vista de eetas ó.ltimu obeervaciones, se entiende por qué loe oonoeptos de ooneiltencia. y oompletidad -a. pe8&l' de eu importancia. teórica.- ejercen, eo la pri.ctioa., poca inB.ueneia. aobre la. comtrucción de teorlaa dedootívaa. 42.

Concepcl6n ampll&da . . la me&od.ologfa de laa clenolal cleduUns

Laa inveirt..igaciones rel.&tivaa a. la. ooneistenoia y t. la. completi· dad ee cuentan entre loe fa.ct.oree m'8 importantes que contribu. yeron a la eztena:ión co,nsiderable del dominio de loe estudioe metodológiooe, y que e&U8&l'On incluao u.a e&mbio fund&mental eo el ~ de la metodologfa de tu oienciaa deductiva&. Aquella oonoepoión de la metod.ologia que fue indic&dt. aJ. comiemo del pre. 11811.te ca.pitnlo ee ha. hecho, durante el dee&1T01lo histórico del tema, ya demaai&do eetrecha.. El anüiais y t.. valoración critica. de loa métodoe que ee t.pllca.n en la. pdctica. para. la. construcción de las ciencia.a deductivas, he.n dejado de 961" el ezcluaivo (o aun el prin.

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cip&l) objeto de la metodología. La metodologi& de lu cienciaa deductiva.a ee ha. tra.neformado en una teoría. general de t.. cien. ciaa deductivaa, aai como la aritmétie& ee la teorfa. de loa u'timcoe y la. geometria ee la teori& de las oonfiguraciOnea geométricu. En Ja metodología. cont.emporánea investigamos la8 teorlu deductivu oomo totalidad.ea, 881 como laa propoaicionm que lM con.etituyen; ooDBideramos loa elmboloa y lu expresiones de que eatán compuee. taa esaa propoeicionee, lae propted&dea y los conjuntos de expreaionee y propoeiciones, lu relacionee que rigen entre eU.. (como la relación de consecuencia, por ejemplo), e incluao relacione& entre expresiones y loe objeto8 a que 86 refieren dichas expreaionea (te.lee como la. relación de design&ción); eet.&blecemoe también leyes ge neralea relativa.a & eetot conceptos. •Por lo tanto, ae mgue que loe térmiDoe que deeign.an upte· lionee que a.parecen en lu teorfaa deductivas, propiedades de eeaa expresiones y relaciones entre ella.e, no pertenecen al dominio de la lógica, sino &l de la metodología de laa ciencias deductivae. Esto ee aplica. en parlicul&r a va.rioe de loa términos introducidoe y empleadoa en los &nteriOl'ftl capftulos de eete libro, talee como tmn'.abla, •función propoMcionalt, tcmnlificadon, ~. y muchos otros. Para que nos ap&rer.c& m'8 clara la diferencia entre Wrminoe lógicos y t.érminoe metodológicos, consideremoa un pa.r de paJabraa talee como «Jt y tdiayunci6m. La palabra t0• pertenece, por aupueeto, a la lógica - a saber, al cálculo propoaicional-, a peaar de que se uaa. t.n.mbián en toda otra. ciencia, y por lo t&nto, en particular, en la metodología. La pala.bra tdiayunci.6n.., por otra. parte, que deaigna. propoaiciooee eoutruidaa con la a.yud& de la palabra t0•, • un ejempto tipioo de ~rmino metodológico. El lector quizá se sorprenda de que en capftu1oa relat.ivoe a la lógica empleemOB tantoe t6nninos metodológiooe. La ell:pliot.oión de esto, sin embargo, ea relativamente simple. Por una pwte, una cierta circunsta.ncia desempena aquí un papel sobre el cn&l ya hemos llamado la atención en la Sección 9: existe, entre loe JógiOOB y loe me.temáticos, la coetumbre de US&l' frases que contienen términos metodológicoe en luga.r de expreeionee de carácter puramente lógico o matemé.tioo, y ello obedece a veces sólo a razones de eetilo; en el preeente trabajo hemos heoho cierta oonceeión a esta ooatumbrti. Pero, por otra parte, un factor mí.a

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA

importa.nte debeflloa considerar aquí: no bemoa intentado en este libro oonatruir la. lógica en forma tiat.emó.tica, eino que aolameute hemos bblado acerca de la lógica y hemos diacutido y ooment.do eue oonceptoe y 8\18 leyes. &bemoe, e~ embargo (Sección 18), que cuando se babi& de e:.:prehones Jógjcas deben usarse loe nombree de eeu expresiones; o eea t6rminoe que ya pertenecen a la metodología. Si desarrolü.ramos la lógica en forma de una teorla deductiva, ein h&eel' en &beoluto ningó.n comentario eobre ella, entonces loe términos metodológicoe apa.reoerla.n eolamente en la formulación de las regl&& de definición y de inferencia..• Debido a la evolución por la que ha pasado la metodología., la. investigación en eete ca.mpo ee ha visto necesitada de a.plie&r mi6todoa nuevoe, má.e sutiles y mM precieoe. L& metodología &e ba trane!ormado en u.na ciencia como la.a que ella miama estudia: ha a.sumido la forma de una. diaciptm. deductiva. Debido a lo erlell80 del dominio de inveetig&eionee, la expresión da metodología de la.e ciencia.e deducti.-aat no pareoe ya but&nte apropiad&; en verdad UD.etodología- significa eolamente el& ciencia del m&. toda.. En consecuencia, esta expreaión ea reempla.zada a menudo por otras; por ejemplo, por el nombre (no del todo feliz) de n.oRÍA DK u DEllOSTJU.OIÓN•, o bien por el término (mucho mejor) de m:KT.il.ÓGIC"- Y JO:Tilf.A.TDIÁTIO&t, que aigni.fioa aproximadamente lo mismo que tia ciencia de la lógioa. y de la matem.átiou. Aún otro término se ha puesto en uao recientemente, t8IN'U.XIB Y !lltM..!NTICA. DB u..s 0IBNCIA1J DBOIJCTIV.!Bt, el cual pone de ma.n.ifieeto l& a.n&logía que existe enLre la. metodología de lM cienciu dcductivae y la gramá.tica. del lenguaje cotid.iano1 . ' La mdodolo¡ia d.1 IM cleoc.Ju ~... . ea •11 •11Udo am UMlo plln. jo'l't n. Su deurrollo l11Ce11a11'0 eomNUÓ .olsm11a\e DMllMDl.a(y,p.orloqUI P'1"91'•. llldeptDdl. .t.tlDllDl.a) aD tl111;e11bajo lal11llu1ocl1 d e![IL!lll.TJ1'.B1111u·11,7 l.dlllll.,U:I y Ltlll.L811"1~ (cr. aotu 1 H .. "'-· lH, 1 111 la y . .. La l>bra fuodameuC&l. de B'.ILHAT 1 Bu11.i.H 111 .t.a domlato .. Mr • (Bedl11, leH-leH). El •pan.io -111411 1 loe Mpect.ol lllO.Olco. C!• la 11•w.

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dl~pl111af'11.611dllcut.lda.eala.11er\t.oldelllllaofoyl6&1«>11orteam1rla&DO(dlOll&iia

•le1Úll) R. CllB'u; 1u primen obre 111-. dlnoeid.11 ee


~ ~

dw fbr8M

EJtrclclot l. El cálculo de cluea que íue coneider&do en el Capitulo IV puede constl'llirse como teoria. deductiva. separada, presuponiendo aola.mente el cálculo proposicional. En eeta oonetrucción consideraremos & los eúnbolOlil: 1Vt, •/\•, •C• y a. todoe 108 eignoa de operacionet1 introducidos en la Seeción 25 como términos primitivos. Adoptamos, a.demii.s, loe nueve axiomss aiguientes1 :

A.no...._ I. Á:r.JQM,j.

II.

Axlo...... III. .A.XIo...... IV. .WoJU V.

K e K. Si K e L y Le M, entoncu K e .M. K u L e M .ti, y aólo .ti, K e .M y L e M . M e K n L .ti, y 1ólo ,;, M e K 11 M e: L . K n (LU JI) e: (K nL)U 1KnM). K C V.

Axl:O!ü VI. Axxo!ü VII. /\ e K. Ano14A VIII. V C K U K'. A.no...... IX. K nK' e/\.

De estos a.xiome.s pueden deduciree varios t.eoremaa. Demué&tnmae, en particular, los teoremaa aiguientee (ha.ciendo ueo de 1u indicaciones de que van aegu.idoa): TBOBRIU.

I. K U K C K.

•JI•

Indica.ción: En el Axioma m , reemplazar .L. y por tK1. Nóteee que el miembro derecho de la equivalencia a.ef obtenida 11e aatiaface para cualquier claee K (Axioma. I); por lo tanto, el miembro izquierdo tambit§n debe eatiafa.oerse. Tll:O:U!U. II.

K

e

K

n K.

• ll:l .dltem& u:lom,tlco que M u:-poo~ .. &abe -ndalment. a 8olllllD•• (cf. nota 1 ID ,. p'c. 117). Vartoo al.lt'!IDM u:lo-"ko& ll• J>IM para el c'lcnlo de ola.- f'IMll'M ,..bJk:ail.oa por el m&tlD!AtJco norte&11wuiuno JI:. V. HUltrlll'Ol'Oll (1874-lOU), H.tor

!:. ~·i::i:~=~~i°:1'"ek':~rt;,"tr'..:.':.=1!:m~1:l:'t!~r::mt:i'.'!:'~6t: 111 DDM&trtbn7eD.ID.-O.D llpl!.e&do.....,..coaauaUrml111M1prtmltJV01, Mlt 11.1.m& -.u&1ae11.t1íL&ouD•Boou,.nhoo.or••.:!'NdorG.BooLS(o1'.notal111.ll.p4&.d).

INTRODtJCaÓN A

1..4.

175

LÓGICA

Ind.iee.eión: La demoetra<:ión ee an'loga a Ja del Teorema l, pero ee bua en 101 A.Jiomu IV y l.

KCKULyLCKUL.

Tzmum..t..Ill.

Indicación: En el A.Dom& lll, oolóqueee tK U Lt en luga.r de 1Mt; nótese que el miembro izquierdo de l& equivalencia ee 6&o t.iafa.ce siempre en virtud del Axioma. l.

K n L e K y K n L e L.

TEORDIA. IV.

Indicación: Demostración análoga a l& del Teorema IIl.

T•oa:uu. v.

xuL e

L

u x.

Indicación: En el Al:ioma 111 eUJtitúya.ee «L U K• en lugar de Jl•, y oomp&reae el miembro derecho de la equivalencia &Bi obtenida con el Teorema 111 (donde t.Kt debe ser reemplazado por cLt y cLt por c.Kt),

TEOBEM.A. VI. K

n Le L n K .

Indicación: Demostración aniloga a la. del Teorema V, pero ee baaa. en el Axioma IV y en el Teorema IV. Tlr:oREM..A. VII.

Si Le .M, enton.ct.t K U Le K U JI.

Indicación: Suponiendo que la hipóteaia del teorema se u.tiafaoe, derfven&e la.e fórmulu: KCKUM (La. primera

y

LCKUM

de eetu fórmulu se obtiene directa.mente del

Teorema III, y la. segunda puede deducirse de la hipóteeis y del Teorema. III mediante el Axioma ll.) ApUquese el Axioma 111 & aquellas fórmulas.

TEOREMA. VIII. Si Le M, entonaa K

n Le K n M.

Indicación: Demostración similar a la. del teorema. precedente.

116

Tito•- IX. K n L e K n (L u M) y K n M e K n (LUM). Indicación: En el Teorema. 111, reempláceae «.Kt por tLt y lL. por cMt; & las fórmulas aat.obten.ida.e apllquese el Teorema Vlll.

T•O•DU.X. (K nL) u (K nM) e Kn (LUM). Indicación: Este teorema puede deducirse del Axiom& IIl y del Teorema IX.

Loa Axioma.a 111 y IV, que deeempel'l.an el papel m'8 importante en la demostración de los teoremas precedentes, se denominan (para. I& adición y para la multiplicación de claaes). LltY'.18 Dlt COlll'OSICIÓN

2. En el oá.lculo de <:laee1 cuya oonstruoción fue eabou.d& en el ejercicio precedente, podemos introducir el signo de identidad •- •, definiéndolo como eigue: DUINIOlÓN

I. K

= L,

Bi, y .slo Bi, K

e: L

y L e K.

A p&rtir de los axiomas y de loa teoremas del Ejercií'io l, uf como de la. definición precedente, derlvense los Biguientea teoremas: Tlto&:uu XI. K

= K.

lndie&ción: Póngaae tK• en el lug&r de ú.t en la Definición l y a.pUqueee el Asioma l.

T:so&BJU. XII. Bl K - L; enlcncu L - K. Indicación: En la Definición 1 reemplácese tlü por tLt y cLt por c.Kt; oomp&reee la proposición a.si obtenida con la Defini. ción 1 en au formulación original.

fioBUU.XIll.

Si K - L g L - M,

~

K - M.

Indicación: Este teorema puede derivarse de la Definición J

y del Axioma 11.

INTaODUCCIÓN A LA. LÓCICA.

m

boUJU.X!V. KUK=K. lndioaoión: En la Definición 1 reempl&oeee «lít por cK U Kt, y tLt por tKt; aplíquense loe Teoremas I y III (colocando tK• en el luga.r de tú).

TsoB.Dli XV. K

nK

= K.

Indicación: La. demOBtrac:ión ea &MJ.og& & la del teorema. preoedente. 'hoanu XVI. KU L = LU K.

lndica.ción: Por el

Teo~m&

KUL<:LUK

V se tiene:

ylamb~n

LUK<:KUL.

Aplique.e a OllltM fórmulu la Definición l. hoUK.6.XVII. KnL=LOK. Indicación: Demoatra.ción similar a la. del teorema. anterior.

boBBJU XVIII. K

n (L u JI) = (K n L) u (K n M).

Indica.oión: Este teorema ea un. consecuencia. de l& Definioión I, del A.xiom& V y del Teorema X. 'hoBll:K.A. XIX.

KU K' =V.

Indicación: Ee~ teorema puede deducine, con ayuda de la Definición I, del Axioma VI (en el cual debe reempl&zarM tKt por tK U Kt) y del Axioma VIII. 'ho:&Dl.l. XX. K

n K' =

A.

Indicación: Apliquenee la De6nici6n I y loa .Axioma.a VII y IX. Obaervar mtá.J.ee de loe u:i.omu o teorema.a de este ejercicio y del preoedente eon ya oonooidoe del Capítulo IV (o del ill). Reoordar 1111& nombftll!!I.

178

3. Supongamoe que en el sistema de cf.J.culo de el.Mee diicu· tido en loe Ejercicioe 1 y 2 introducimos un nuevo efmbolo •Jt que denota. una cierta relación entre claaee y se define como 1igue: KJLlli, ya6loai, 11-i K C Lni Le: K ni K nL= A. ¡F.a este. relación idénticr. a alguna de la.e rela.cionee definidas en la Beoción 241

Denotaremos la. relación de eer disjunto entre clasee por el aímbolo •)(•. ¡,Cómo puede eer definido eete eúnbolo en nuestro eiatema de MJ.culo de cluea1

4. Indicar a.lgunas interpretacionca en la aritm6tica y en la. geometría. del sistema de aDomu considerado en la Scooión 37. iPuede toma.ne como modelo de eete mt.ema de uiomae al conjunto de todos loa númeroe junto con l.& relación atr menor pe entre nlllneroa? iEe un modelo el conjunto de toda.e lu rect&8 y la. relación de paralelismo entre ellaa1 5. En el fragmento de la geometMa. que hemos examinado en la Sección 37, la relación de eer m'8 corto entre segmentoe puede definirse de la. manera siguiente: Dtcimoa q1U z u m4a e.orto~ y (en almboloe: z < y) ri .% 11! y c.on~ con un aegmn.to que u pa1'U de'!/; en otru palabr&11, ai ze9, yes, y .tí tziste un. z Cal gut z: e 8, z: C: y, z 1' 11 11 z z.

'°" all!gmen.loa, y ti :r: u

=

DiBting&DM en eat.& propollicíóo el definien.dum y el definiemi; ínveatigueae a qué disciplinu (o qué partee de la lógica, como se& el caao) pertenecen loe Urminoe con que lf6 ha. formula.do el definien.8. ¡Satisface eet.& definición loa prinoipioe- met.odológiooe ge.. DK&les de la. Sección 36 y laa regLaa de definición de la Sección 11 l 8. ¡Es completa. la demostración del Teorema. I indicad& en la Seooión 37 ai aólo se tiene en cuenta las regla.a de demostraoión expuMtaa en la. Sección 161

INT&ODUCCIÓN A U

lASGICA

179

7. Ademé.e de loe Teoremae I y 11, pued&Jl derivane loe si· guientee teoremu de loe u::i.omae de la Becclóra 37:

TBOUJU ID. Para e4men'°'9 cuakaquiera :r:, y, z da con:r:~y y :r::;:z, enlonGu y :;:z.

junto s. n

Tll:oBJDU IV. Para ekmcnlo.!I cuale.aquiero :r:, y, z del conjun.. eos,n:r::;:y e y:;:z,enton.cuz~:r:.

TBOB.Dli V.

Para~

eualuquiua :r:, y, z, t rhl amjva-

to s. n :r:::: y, y::: z y z ::: '·

~ :r:::: ~.

Dem.ostr&r con precisi6n que el llistema que comist.e de loe Axiomas I y Il es equivalente, en el aentido eetableeido en la Sección 39, a cada uno de loe 8iat.emu eiguieo.tee (pudiendo admitine cada uno de ~. por con1iguient.e, oomd nuevo listema de u:íomu): (e.) (b) (o) (d)

el eillt.ema formado por el Axiom& I y loe Teoremas 1 y II; el sistema formado por el Arioma 1 y el Teorema. 111; el sistema formado por el Arioma 1 y el Teorema IV; el aistema formado por el Arioma 1 y los Teoremas IyV.

8. Sobre el ejemplo de las obaernoionee hechas en la Secoión 37, formular leyee genere.lee de la teoría de relaciones que representen una generalizaoión de }09 result&doe obtenidoe en el ejercicio precedente. lndioación: F.et.M leyee pueden dane, por ejemplo, en forma de equiv&l.eo.oias empeza.ndo oon las p&la.braa:

Jl"rO- que una rtlaci6n B M.a. re/lafoa y ltnga "la ~ P en. u.na clan K u nueaario y aujicit:nk ~-·.

9. C.ODBideremos el sistema de propoeicionee (a) del Ejer. cioio 7.

lndicv modeloe que 11.t.isfapn

180

.'1l&ED TAUlll

(a} laa doe primera.e propoeiclonee del ailtema y no la teroera; (b) la primera y teroen. propoeición y no la eeguoda; (e) Jae doe óltimu y no la primen..

En viat& de la e:ristenci& de tales modelos, ¿qué puede oonoluiree sobre l& posibilidad de derivar una. cualquiera de las tree proposiciones a partir de lu otraa!; eetaa propoaicionee mutua.mente independientee1 (cf. Secciones 37 y 39).

'"°º

IO. Se deplora oca.sionalmente la. falta de coincidencia de loe distintos tratadoe de geometría.: proposiciones tratada.a en muchoe de Mtoe como lieoremu son a.d.m.itid&a en otros como a.Dom&11, y por lo tanto, lin demortr&eión, ¡eat.á.n juatificad&a eeta.a objeeionee1

•11. En la. Sección 13 hemoe tratado el método de laa tablu de verdad, el cual nos permite decidir, en cualquier caeo parti.cular, Bi una propoeición dada perteneciente al cálculo proposicional ee verdadera. y, por lo tanto, si ella puede ser aceptada como una. ley de dicho cálculo. Cuando MI aplica eete método, puede olvidarBe oompletamente el significado atribuido a los BÚD.boloe t:V• y tF• que aparecen en la.a tablae de verdad; puede decirse que eet.e método ee reduce a. e.plica.r, en la. construcción del cé.lculo proposicional, dos reglas, la primera de la.a cua.les ee análoga a las regla.a de definición, y la. eegunda. es &niloga a. las reglas de demostración. De -.cuerdo oon la primera regla, 8i deseamos introducir en el ml.onlo proposicional un tármino oonat&nte, debemo1 em.peza.r por ooDStruir la tabla de verdad fwldament&l para la función proposicional máe eimple (y al miemo tiempo la más general) que oontenga a eee t&mino. De acuerdo con la aeganda. regla, ei deeet.mOI aceptar una propoeición (que oonteng& 190lamente aquellas oonet&ntee para lu oua.lee ya ee han construido lu t&blaa de verdad fundamentalee) oomo ley del oilculo proposicional, debem.oa OOD8· truír la tabla. de verdad derivada para. esta. proposición y verifioa.r que el efmbolo cFt no apareoe ninguna vez en la. última columna. de dicha ta.bla. Si ae oomtruye el cAlculo proposicional vali4§nd011e excluaiT&· mente de est&a dos reglas, dicho oilculo asume un ca.ráoter similar al de Lu teoriae deduoti'f'M forma.lizad.a,a. Ju.tiflqueee flllta

111

afirma.ción toma.ndo como b&ee lu oonaideracione1 de la Sección 40. Nótenae, sin emb&:r10, algunas diferencie.e entre eete rn6todo de oonatruccióo. del c.Llculo propoeicional y loe priacipioe genera.lee diecutid011 en la Sección 36 relativos a la conetrucción de laa teoría.a deductivu. Con el método que eet&moa oomidera.ndo, ¿es posible distinguir loa términos primitivos de loa defini. dOB en el °'1.culo propoeicionalT &Qué otra distinción se pierde &quil

•12. Con le. aplicación del método de la.a ta.bias de verdad taJ. oomo se lo expuso en el ejercicio preoedente, podemOl!I introducir en el oálculo propoeicional nunoe términoa que no fueron disc::utidos en el Capítulo II. PodemOl!I, por ejemplo, introducir el lim.bolo .at, conaidera.ndo la. función propoeiai.onal:

oomo "breviatura de la expresión:

ni p niq. Comtrúyue la tabla de verdad fundamental p&ra. esta función. la. cua.l debe concordar con el aigni&cado intuitivo e.dscrito al afmbolo .&, y luego verifiqueee, con ayuda de lu tabla.a de verdad derin.das, que lu aiguient.ee propoeicionee son verdaderas y pue. den ser aceptada.B como leyes del olJculo proposicional:

-p-(pAp), (p V g)- [(p Ag) A (pAg)], (p~~-l~A·A~A~A~A~~

•is. E:rilte un m~todo para oomtruir el~culopropollicioneJ. oomo teorfa deduct.in formalizada., diferente del que 1e expu.eo en el· Ejercicio l l y que concuerda enteramente con todoe loe prinoipioe preeentiwloe en laa Secciooes 36 y 401. Podemoe, por ejemplo, adoptar loe Rmboloe y •-• (of. Seooión 13) oomo ~OI primitivoe, y l.ae ei.ete propoeicionee aiguienteB como uiomu del ~culo propoeioion.al:

•-+•, ..,_..

• -.ea m6\odo U - ta

orl11111 •

ra.o• (ol. mo~ 2 •n la Ñ. '2).

182 AxI0111.1.

l.

p-+(q-+p)

AD01U.1I.

[p ~ (p

Ano.u. III. Axzolllli IV.

(p-+ q)-+ ((q -+"r)-.. (p-+ r)}

~q)) ~

ÁIIOIU. V.

(p-t--toq)-+ (q-+ p)

(p

~2>

(p+-tq)-+ (p-+ q)

AxioKA. VI.

(p-+q)-+ [(q-+ p) -+ (p+-+q)]

AxioKA. VII.

(-q-+ ..... p)-+(p -+q)

Ademú, oonvenimoa en aplicar en las demostraciones doe re.. glaa de inferencia. con 1ae cU&Je. ya eet&moe familie.rizadoe, a 11aber, la.a regla.e de suetitución y de aeparaoión. (Para poder formular con ezactitud eetu reglae, y en eapeoi&l la de 8tl8titu.

ci6n, deberíamos establecer oómo ba.n de tll&l'll8 loe p~ntesie y eepeoi6ca.r qué expnllionee deben oooeiderane en nueetro cálculo como funoionm proposiaionalm y pueden, en oonaecueocia., 9'1r sustituidaa por variablt18; esto no pl'811enta gran dificultad.) Con a.yuda. de eetaa regLae de inferencia, eetamoe ahora. e.o condicionee de deducir varioe teoremaa a partir de nuestroa uiomaa. Dense, en particular," laa dem.Ol!tr&cionea oompletaa de loe siguientes teoremas (haciendo uso de las indicacionee que loe siguen). TBOBBMA.

l. p -+ p

Indica.ci6n: Suat.itó.yaae tpt por .q. en loa Axiomaa I y II; nót.eee que la primera propoe:ición Mf obten.ida coincide oon el antecedente de la 1egunda, y de a.cuerdo oon ello apUqoeae la regla.de aepa.ra.cióo. TBOHlll.A. 11.

p -+ f(p -+ q) -+ ((p -+ q) -+ q]I

Indioa.oión: En el Aziom& 1 niemp1'oeee Cf* por c(p -+ q)t; en el Axioma. 111 reemplé.oenBe *P't· tqt y en por c(p ~ q)•, cpt y tqt, reepectiva.mente. Nótese que el oooaecuente de la primera. implicación aai obtenida. coincide con el a.ntecedente. de la. eegunda.. Ahora. reemplá.oeee, en el A.noma. III, tqt por el a.nteoedente de la. segunda implicaeión y trt por au con.eeouente (dejando

INTRODUCCIÓH A LA LÓGICA

183

invariable tpt, que 88 el a11t.ecedente, de la primera implica.ci6n). Luego &pUquete doa vecee la regla de eepan.ci6n. Eata. de· moatraci6n ee un ejemplo típico de r&Zonamiento buado en el .Axíoma. III, el cual ee otra fonna de la ley del ailogillmo hipotético (cf. Secoión 12).

T1:0B.E111.A Ill. p-+ [(p-+q)-+q] Indicación: Le. demostración ea aná.loga & la del Teorema 11. Del Axioma. II derívese, por sustitución, la proposición: 1 (p-+q)-+ [(p-+ q) ... q) }-+ [(p-+q)-+qJ.

C.Ompáreae el antecedente de eata. proposición con el oon.aeouente del Teorema. II; de &euerdo con esto, bágaae una austituci6n conveniente en el Axioma IH y apUqueee doe vecee la regla de 9epa.ración. Tl:ORll:l!lA IV.

[p-+ (q-+ r)J-+ [q-+ (p-+ r)]

Indicación: Del Axioma 111 derfveee, por 8U8titución, la proposición: (1)

(p-+ (q-+r)]-+ { [(q-+ r)-+r]-+ (p-+r) I·

Además reemplá.oense, en el Ai:iorna III, f?, tqt y m por tqt, •[(9-+r)-+r]• y c(p-+ r)•, reepectinmente. Nóteee que el antocedente de la implicación a8' obtenida puede t&mbiAn obtonerae por. euatituoión a partir del Teorema III. Rea.Jioeee eat6 euatitución y, por medio de la regla de eeparación, obténgaae: (2)

1 [(q-+r)-+rJ-+(p-+rll-[q-+(p-+r)].

Nóteee ahora que el consecuente de (l) es igual al antecedente de (2); y, de acuerdo con eeto, proolida.ee oomo en la demoetra.ción del Teorema II (aplicando nuevamente el A..rioma fil). El Teorema IV 1118 lla.ma LBY DB 00Mll1JT40IÓN.

TsoJWU V.

-p-+(p-+q)

••• ID.clicaa:i.ón: Del Alioma. 1 de.ri'vllll!le por aust.itución: -p-(-q-+-p).

Nótese que el consecuente de esta. proposición coincide con el antecedente de uno de loa axiomu; y luego procédMe como en la demoatración del Teorema. 11.

TEO:uau. VI. p- (- 'P -+q) Indicación: Hágase en el Teorema IV una eustitución ta.J. que el antecedente de la implicación que resulte se& el Teorema V, y luego aplíquese la regla. de separación. Tenemos aquf un ejemplo tlpico de ruonam.iemto b&&ado en la ley de conmutación.

Tsou11U..VII.

--p-+(q-+p)

Indicación: La demostración ee anA.loga a la del Teorema II. Del Teorema. V y del Axioma. VII derlvense laa propoaicionea: --p-(-p--ql

y

(-p-+-q)-(q-p).

Compl.renBe los &ntecedentee y los consecuentes de esta.a propoaicionea, °h:OUJU.

VIII.

,.., - p -+ p.

Indicación: Razón<l como en la. demostración del Teorema VI; der:lveee primero, de loe Teoremu IV y VII, Ja propoeieión: q-<-

'V

p-p).

En eet& proposición oolóqueee cualquiera. de nueetroe axioma& en el lugar de tqt, y apliqueee la regla de aeparación. TEoBBJU. IX.

p~...,

..., p

Indicación: Rea.Ucenae 11ruati.tuoionea oonvenient.ea en el .ADGma VII y en el Teorema. VDI de modo tal que pueda a.plioane la regla. de aeparación.

INTllODUCCIÓN lt U. LÓGICA

T.so~

..

,

X..... -P-P

Indicación: Eete teonim• puede obteoeree del A.zi0Dl6 VI y de loe Teoremu VIII y IX ha.ciendo una suatitución en el AJioma VI y aplicando dos VecN la regl~ de eepa.ración. *lf. Para introducir WrminoedefinidOl!I en elsi8temadeoá.Jou. lo proposicional expuesto en el ejercicio precedente, debemoa aceptar una regla de definición. De acuerdo con eet& regl• (vÑM Sección 11 ), toda definición tiene la form.& de une. equiv&lencia. El definiendum ea une. ezpreeión que contiene, además de v&ria.blee propoeicione.les, e61o una constante, a saber, el término que ee deeea. definir; ningdn afmbolo debe a.parecer doe veces en esta ez:presión. El defu:Uen.e ee una función propoeicione.l a.rbitraria que contiene exa.ct&mente lae misma.e variables que el de&nieodum, 7 que no contiene m'8 conat&ntee que loe Un:ninoe primitivOl!I o loa previa.mente de6nidoe. A.á, por ejemplo, podemos ·a.oept.ar la.s liguieotel definicionee para. loe eimboloe tVt y tl\t: D&fitfIOIÓN

I.

(pVq)t-+(-p-+q)

DBl'IlfIOIÓN

II.

(pAq)-+..., (- 'PV -q)

De laa &nterioree de6nicionee y de loe uiomu y loe teoremaa del Ejercicio 13, deducir loa eignientea teoremas oon •yuda de la& f'l!l8l&e de 1118titución y de sepua.oión:

TsoulU. XI.

(- p -+q)-+ (pVq)

Indioación: En el Axioma V fll8titliyue tp por c(p V f}t y lllP por e( - p -+ q)t, compáreee la propoeición aaI ob~da oon la Definición 1 y •pllqueae la regla de •pvaoión.

T.oUJU.XIl. pV- p Indicación: Fate teorelll6 poed.a deducine de loe Teoremu XI y 1 mediante dos •plicaoionea de la regla de suatituoión y una de la regla de sepa.ración.

boUJU XJJI. p

~

(p V f)

186

Indicación: La demoetn.cióo de baa en el Axioma 111 y en loe Teoremas VI y XI, y ee muy similar a la del Teort!lm& II (1& regla de sultitución ee aplica al A.moma. III ónioameote). (p/\q)-+ - (- pV -q)

T11:0RDU. XIV.

Indicación: La. demoetncióo, que ee b&a& en el Arioma IV y en la Definición II, es análoga a la del_ Teorema XI. TEOBJ:HAXV.

-

-(p/\q} -1> - (-pV-q)

Indic.a.eión: La. demoatr&ción ee basa. en el Axioma III y en loe Teorema.a VIII y XIV, y ee similar & la del Teorema II. En el Teorema VIII reempUooese tpt por t(p A q)• y compárese el con.

eecuente de la implicación aaf obtenida con el ant.eoedente del Teorema XIV.

T1mBJUU. XVI. ( - p V ,.., q) -+ ,.., (p /\ q) Indicación: Hága.ise en el Axioma VII una sustitución tal que el a.nteoedente de la implicación que reeulte sea el Teorema XV.

Ti:OUllli XVII.

,.... p -+ - (p /\ q)

Indicación: E.ta demoetr&eión ee también an!loga a la del Teorema 11. En el Teorema XIII 8U8titóyaae tpt por e- pt y tip por •- qt; compilreae la. proposición resultante con el Teorem&

XVl.

TBoasau XVIII. (p /\ q) -+ p Indicación: Ded.4zcue e1te t;eon,ma del Axioma VII y del Teorema XVII.

Nótese cuále. de loe axiomas y loe teoremas de eet.e ejercicio y del preoed.ent.e noe son familir.rea deade que estudia.mee el Capitulo II, y :recuérdense 11ua nombres. •15. Formular un.e. deiinición del afmbolo t.6.t (vÑ.811 Ej&r<1ioio 12) de a.ouerdo con la regla de definfoión est&bleoida. en el

IHTIOOUCCIÓH A LA LÓCICA

187

ejercicio precedente; en el delin.iens deben aparecer doa constantes: ..... ,y •A•. •16. Verificar, por el Dtodo de lu t&blaa de verdad, que todoe los axiomas y laa defi.nicionee dados en loe Ejercicioe 13 y 14 (y también ,la definición propueat.a en el Ejercicio 16) eon proposi-

cionee verdaderu. 'fié.tese de deducir de esto que todos los teore· me.a deriva.bles de loa a.xiomu y laa definicionee menciona.dos por aplicación de las reglas de 8Ultitución y de sepa.re.ción, deben resultar también proposiciones verdadera.a s.i se los investiga con el método de las ta.bias de verdad. (Es posible mostrar t.ambién que, reclprocamente, toda propoeición del cálculo proposicional cuya verda.d pueda. ver:ifi.ca.ree por el método de lu ta.blu dl!I verdad ee, o bien uno di!! loa uiom&a

o de las definiciones, o ee deriva.ble de elloa por medio de nueetra.s ttglaa de inferencia. -con lo cual ee demoetrarf&, coneecuentemente, que loe doa métodoa de comtrucción del cálculo propoeiciona.I discutidos en el Ejercicio 11 por un& parte y en loa Ejercicioe 13-14 por la otra, son completamenteequivalent.ee. Pero aeta. tarea. es mucho más dificultosa.) •17, Uno de los métodoa de construir el cálculo proposicional diacutido en loe Ejercicios 11 y 13-1( da una. eolución inmediata. del problema. de decisión (cf. Sección 41) de este cé.lculo, y nos permite demostrar muy flcilmente que el cé.lculo proposicional ea una. teorfa deductiva. consistente. iCuál ee eete método y cómo pul!lde ser proba.da nuestra &firmaci.ónt

•1s.

Una de laa leyes del cAJ.culo propoeicioll&l diee: para p y q arbUrarim,

M

p y no p, entorn:u q.

Sobre la. ba.&e de eet& ley lógiea, eeta.blézOa..90 la siguiente ley metodológica:

Bi el riatema
188

•19. Se eabe que la siguiente ley metodológica. e1 vl.Jid&: Si tl riarnna tk ~ tk una law4a ddudim u compldo, y- ft u. at¡r~ga al ~ urta ~ cualpkra formulada et1 UnniM1 ck uta et.orla 'Ptf'O ~blt m ella, enlcmcel d a.. teftla de azioma6 tzlendido tk uta fPIGMrO u ·~·

"°

1Por quéf •20. Seftá.lenae t.odos aqneUoe tMminoe que se preeent.an en al Capitulo II y que, de a.cuerdo a 1aa obeerva.oionea hech&e en la Sección 42, pertenecen al dominio de la metodología de lM cifln. ciM deductiv&IJ.

SEGUNDA PARTE

APLICACIONES DE LA LÓGICA Y DE LA METODOLOG(A A LA CONSTRUCCIÓN DE TEORlAs MATEMÁTICAS

VII CONSTBllCCION DB UNA TBOB1A IL\TBIÚTICA:

LIYEI SOBRE LA ORDINACIÓN DB ll'OMEROS

ta. T6rm1Dos prlmlUvos .. la Noria .a oomtruccl6n; n:lomu 1obn las relaolone1 fuDUmental• entre ntamero1 Como ya. disponemos de ciertoe oonooimientos de lógioa y de metodología, int.enta.remoe ahora la fundamentación de un& teorfa me.temática. particular, muy elemental. por lo demáa; eeto eerá. p&ra. nosotros una buena OO&lión para. coneolid&r, profun. dizar, e incluso ampliar, los oonooimientoe que &ea.bamoe de adquirir. La. teorla con que noe T&m<>lt a ocupar, conatituye un fragmento de la &ritmética de loe nómeroa real.ea y contiene propoei-

oionce referente& a lu rele.cionee fund&mcnt.alee entre elloa: la.a de a.at oomo lu operaoionee mia tencillaa con ntameros: la. adición y la. euetra«lión. E.ta teoría preeupone o:clu-

mayor que y menor que,

aivamente la lógica. Tomuemos como térm.inoe primitivoe loa cuatro siguieo.ter.

número rd, aer menor pe, ur mayor que,

192

En lugu de tnúmtro rfalt, di.r&moe aimplement.o tRúmerot como hut.& aquf. En lugar de la •xpreeión mú~Ot. ea mM conveniente emplear la expreeióu w:on;vnW tk IOdol lo8 númtron, que por abreria.r 1uetituinmloe por el 1linbolo dft; para expnu.r, pU88, que .z es un número, eeoribitemoa: .zelf.

Podrlamoe estipular, por otra parte, que el univm"SO de discW'80 de nuestra teoría oonBillta. ó.nicamente de números rea.lee y que va.ria.bles ta.les como en, tyt, . .. , eetén exclusiva.mente en lug&r de nombres de números; en t&t caso, el Mrmino múmtro rtalt jteiria. inneoes&rio en la formula.ción de loa enuncia.dos de nuMtr& t.eoria., y cua.ndo fuera neoee&rio, el efmbolo tlf• podri& ser reem. plaza.do por .V• (cf. Sección 23). Lu expresiones tea mayor ~ y tu menor que. .eerán trat&daa como entidades que consisten de una 110I& palabra; se reemplaza.

•>• •<•·

rán, reepectiva.mente, por loe eimboloe y En vez de mo u mayor qtu• y mo u menor quet ue&remoe loe elmboloe oonientea e :::i- • y e 1: •· Ademú, en TK de cla .ruma tk lo8 númerwi (.vmand<>a) z e yt o de~ ruu.lfad¡) tk la adición tk loa núnw:-

roa

:e "- ,,., eecribiremoe como de ooetumbre:

z+y. Con lo cu.t, el símbolo .Xt deaign&ri. un cierto conjunto, loe ,Jmbolot •< •y•>•, determiJ1a,de,enla.ciooea binaria.a, y finalmente, o& limbolo «+•. um. opera.oión binari&.

Entre lot a.:domae de la disciplina 001111iderada podemoe det· t:a.o&r doe grupoe: loe uiomu del primero expreean propiedadee fundamenta.lea de la.a relacione& meMr qru y mayor qru y loa del 119gUDdo ee refieren principalmente a. la adición. Vea.moa por ahora Joe uiomas del primer grupo; eon en t<>teJ cinco: A..noiu. l. Para n.úmaoa cualuquUra

pat"4 tltmtntoa cualuqukta del ~ :¡;.

>

'11·

um;vmo

2:

e y (ea decir, :;z;. - y o :;z;.
X), vak:

1..

1Hft0bt10CIÓH A LA LÓOICA.

ÁDOlf.t.2. Sizy.~y :Jo :r-. Anolf.t.,, Sizy e r>z,~z>z. Loa u::i.oIItM expneetol, oomo igualmente todos loe teorema& de car!.cter universal de la aritmát.ioa que afirman que -nó.mero11 a.rbitrarioe z, y, •.• satisfacen esta o aquella. propiedad, deberiao oomeDZ&l' en realidad. oon las palabraa tpam númeroa cualuquiero z, y, ...to cpara-elem.efttoe~z, y, ... ddc.onjuflloll•o, aimplemente, cpam z, y, , .. cuolurqvien:u (si Mtipulam
%

e y lid

El Aiiom& 1 recibe el nombre de LEY DÚJL DJ: TlLIOOTOlld.A (la ley fuerte de trioot.omia ~ introducid& mú adelante). M&dia.nte los Aiiomu 2...5 MI expreea que las relacione.· '"4ym' ~ y mtnor tJtU son a.aim'trieaa y tra.naitina en el oonjunto X (of. Sección 29); de acuerdo oon ello lM Uam.arema. ur:u D:& .u:on:TIW. y DB TJt¿MSITIVID¿J) para lu relaciones map pe y menor' que. Los u:iomaa del primer grupo y loe t.eoremu deducidoe de ellos te denom.in&n, en au tot&lidad, uru SOBB.11 LA 01mmu.OIÓN DJ: NÚll:D.CIS.

La.a relaciones < y >, junto a la relación lógioa de identidad -=, serán referidalJ aquJ como altLA.OIOlOB WND.ilDNT.á.LU IUfTU: NÚllDOS.

44. Leyes de lrr•OnlTldad. J&ra 111 nlaoloo11 flmdamtntalee. Dem01traokln11 IDdlreeW De 1011 a.xiomlWI admitid011, deduciremos ahor& una eerie de teorem&11; como ni en éste ni en el capítulo siguiente ee persigue un& exposición sistemática, eo!&mente expondremos aquelloe que puedan servirnos para. acla.rar ciertoe conceptos y resultados de lógica y metodología.

D21i1osTB.A.CIÓN: Admit&moe que nuestro teorema fuese fal-

so; babrla entonoea un mtmero :r que aatiaf'aría a la fómula eiguiente: (1)

El Axioma 2 ee refiere a. nlimeros arbitra.rica z e y (que no tienen por qué ser distintoH) y MgUi.ri. aiendo válido, por lo ~to, aun cuando en el lugar de fY) se iMerte la variable t:n; obtendrla.moe con ello: (2)

ftz<:r,enton.u.t:r..t:;:z.

De (l) y (2) resulta. in.medi&t.amente:

esta. conaeouencia est6 en contradicción evidente con la fórmula (1J. Debemos, pues, rechazar la eupoeición inicial y reconocer el teorema como demostrado. Moetr&remos &hora. cómo trt.mformar este argumento en 1lDA demostra-0ión completa, uaando, por razones de ol&ridad, el e:imboliamo lógico (cf. Seccione& 13 y 16). Noa apoyaremos~& ello en la ley del cáJ.culo proposicional llamada. LJ:Y DB :unuano m ~UJU>UK:

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA

195

(p-+..., p)- - ,,,

(1)

u.moa ademé.a el Axiom& 2 en la. lligaient.e form& eimbólie&: (z
(II)

La demoatración se basari ezclwrinmente en las dos propoeicionea (I) y (II). En primer lug•, aplicaremos & (I) l& regla. de auetitución, reemplaza.ndo «pt por t(:z < z)t: (III)

[(z < z)-+..., (a::< z)]-+ .... (a::< z)

A continuación aplica.remo.e l&

nigl& de auatitución a la. proposición (Il) reempla.za.ndo en ella tyt por en:

(z < z)-+..., (z
Fína.lmente, oomprobamoe que la propoeición (IV) es I• hipóteeUi de la. proposición condicional (ill); podemOB &plic&r a ambae I• regla. de sepa.ración,· por oonaiguiente, y llegar de est.& maner& a la fórmula.: (V)

...., (:r
que ea precisa.mente la. forma. si..m.b6lica del teorema que querl&mos demostra.r.

La demostr&eión del Teorema.: l npnamt& un caeo de lae U... ma.daa DEMOSTB.¿CIOlflt8 DfDillBCl'U, o también l>DI08T&&CIONU roa :itED110'nO ~ ilSDBllVK. Pueden ~. en ~ner&l, de la m&nera siguiente: para demostrar un teorema admitimoe primera.mente q ue el teorema. fueee fallo, y 88 deducen de ello ciertas comecuenciaa que nos obligan a reohazar l& aupoe.ioión

iníoial. La.a demostraciones indi.rectu eetA.n muy erlendidaa en Ir. matemática; pero no hay por qaé suponer que caigan toda.e bajo • • • 1..,, Jllllkl a otra~ cm ...n..11

(- •-+•>-+•.

.-o aombn:

ha 111.llo uada 1n much,. arsame11toe l:nCrtneados a lm&drbmenta lmporta.ntM •• ló&lca y mat.emiU- JU 1óPoO y llUtam.itloo IN.llMo G. T.U:W.'l'I (1181--111011) dedl.oó a H Mlklrt.1111A mo~ espealal..

... lo eequema de la demoetraci6n del Teorema l; máe bien noa bemot enfrentado aquí oon una forma de demostra.ción indirecta relatí· nmente rara. MI.e e.delante encontraremos ejemploa mu.cho mú tfpioos de demostraciones de esta índole.

EJ eietema. de axiomaa que beDlOIJ adoptado es completamente aimátrioo reepeoto de loe aimboloe •<•y Por taJ. motivo, de todo teorem& referente a la relación mmor ~ inferimoa automi.ti.oamente otro referente a l& relaoi6n mayor ~" laa demoatr&oionea de ambos Mrán oompletameot.e análogas, JBf que podremos prescindir en absoluto de la del aegundo. En particul&r, al Teorema 1 correeponder& el siguiente:

•>•.

Tlr:oB.ltlU. 2.

Nin.g1¿11. ntimero u mayor que n minno: z ).

:t:.

Mientru que la. relación de identidad - , como Mt.bemoa por lógica, • reBeDva., loa Teoremu 1 y 2 mueetran que lu otra.a doe r@}a.cionee fundament.alea entre n6meros, < y > ,son irrefl.e.rivaa; eeto. teoremu son llamadoe, por lo tanto, LBYBS DB IBBD'LBD· TID.ü> (pa.ra. laa rela.oionee menor qau y mayor qw).

Eat.a.bleoeremOB a continuación el teorema. siguiente: 'hoBBM.A.3.

z>ya-i,y16'4ai,y
DnloaTB.1..CIÓR.

Debemoe mostrar que la.a fórmula.a:

z> y

e

y
aon equivalentes, o ee.a que ee puede deducir la primera de la. eegunda y recíproca.mente (Téue Sección 10). Supondremos primero que

y< z.

(1)

Según el Axioma l, siempre debe oourrir al menoe uno de loe tna (2)

z - y, z

< y,

o z >y.

INnotltkX:IÓN A LA LÓOICA

Si fuese z - y, en virtud del& ley fund&ment&l de !& teori& de la identidad, o aea. de la. ley de Lsnnnz (cf. Sección 17). en la fórmula (l) podrfa.moe auatituir la. varia.ble ci:t por tyt; obte!indrlamo. ent-Onoee:

y
%

:#y.

Ahora bien, también ea v&lido: (4)

pues, eegón el Aziom& 2, las fórmulu:

no pueden aer v1Uida.e llimultAne&mente. De &CUerdo con (2), (3) y (4-), debemos admitir que sed& el tercer caso:

z > r.

(6)

Con lo cual hemoa demostrado que la fórmula. (5) se deduce de la fórmul& (l); a.n&log&mente 911 puede establecer la implicación en eentido opueat.o. Ambas IJOD, puee, efectiva.mente equivalentel, c.q.d.1 El Teorema 3 eetableCEJ que 1u relacione.

< y > son recfpro-

ca.e (cf. Sección 28). °hoUJU. 4. Si z :# y, meonca z

<

y o y

< z.

Dm.toeTUOIÓN. Como

' J.u Jetni.
IÜ J& HpJ111.16D OCOIDO q111JiamDI ...

96g6n el Axioma 1 ten.ema.: z
o

;1;>y;

de la segunda de eetaa fórmulu 11e deduce, de acuerdo con el Teorema 3: yy o y

> z.

Loe Teoremaa 4 y 6 ee denominan t.:EYJS I>B OOlfBJJÓN para Ju relacion• mmor qu y mayor que, y expresan que ambu relacioD88 son oonexaa. Loe Axiomas 2-6, junto a los Teoremas 4 y 6, ponen de maoifielto que el conjunto lf de númeroe queda ordenado por la relaci6n < a.si como por ->.

'hoBDIA 6. Doa fl.Úmtf'Of ctUJluquitra :e e y aalit/actn uno, y sólo una, de la.a lr'U fórmulaa: z - y, z y. Dltllo8TlimÓlf. Del .A%:i.oma 1 ee desprende que un& al menoe de las fórmolaa ind.ioad&e d ebe eat.isfacene. Pa.ra demoatzar que lu fórmulu:

ett ucluyen, prooederemoe como en la demoetraoión del Teorema 3:

1W1tituiremOlll en Ja eegunda de ella.e «n ·por tyt· y así Uegaremoe a una oontradioción ·oon el Teorema l. De una man8l'a. a.ná.Ioga mostrari&m.oa I& inoompatibilidad de laa fórmulas:

:i- - y

y

z >y.

Finalmente, ta.m.poco pueden lu fórmulas:

INTaODucaÓN A LA. LÓGICA

nler sirDuJtáneamente, puee en virtud del Teorema 3, tendrfamoe entonce&:

z
e

y
lo que contradice al Axioma 2. Do este modo, dot1 númeroa cualesquiera. 11&tisfa.ri.n a. una, y sólo a una, de las fórmuJas coo.rri. deradae, c.q.d. Llamamos al Teorem& 6,

LBY FUBRTJ: DJ: TBICOTOJIÍA,

o sim·

plemente LBY DB TBIOOTOldÍA. Con ayuda. de la frase to bien:•.. , o bien...t, en el sentido propuesto en la Sección 7, éste puede formularse abreviada.mente como sigue: Para númtr08 cualuqu~m z e y valdrá, o bien. z =y, o bien z y.

48. otru nlaolo. . entre nQmNOt Además de la8 relaciones fundament&lee, tod&via hay otras relaciones en la. aritmética. que deaempef'ian un pa.pel muy importante: la relación, que ya conodt.moe, de deeigualdad .¡, y las relaciones :i:;; y ;;i., de que habl&remoe ahora. El lrignificado del Bfmbolo 4 :i:;; • 110 explica por la definición si. guiente: DznNICIÓN

l. DUJimoaqzuz :i:;; yai,yaóloai,z - yo:r;
deberi. leerae: u u menor o igual que yt o tz u a lo Wmo igual a y., Aunque el contenido de 1u definiciones indicada.a parece eetar claro, la experiencia mueatra., sin embargo, que su aplioaci6n pr&ctíca. es el origen de algnnu confusiones. Algunas penonaa creen haber entendido peñect&m.ente el sentido del sfm.bolo 4 :i:;; •, y a pesar de ello ee reeisten a aplicarlo a nt\meroe deteimina.doa. No solamente rechazan como falsa la f6rm.nla:

1

"º·

200 por ejemplo -en Cito caao oon n.zón-, lino que consideran tam.biéD oarentee de eeo.tido, incluso !aleas, fórmulaa como:

o" o

o

o"

l;

manteniendo que no tiene eentido decir que O " O o que O E; I, ya que ee Mbe que O - O y O < 1. En otras pa.la.br8l!I, no es poeible m08trar ningún pa.r de námeroe que, en su opinión, satisfaga la fórmula:

MI

Esta opinión ee obviamente falsa.. Precisamente por ser O < l, aigue que la proposición: 0=1

o

0<1

• verdadera, puee la dillyu.acióo de dOl!I propoeicionee: • verdad.e. ra aiempre que lo sea una de ellae (cf. Sección 7); pero, de acuerdo oon I& Definición l, dich& disyunción ea equivalente a la fórmula:

o" l. Por el mismo motivo ee también ·yerdadera. la fórmula.:

o" o. El origen de Mtol malentendidos hay que bWIO&l'lo, presumiblemente, en ciertos hábitoe de .. 'ti.da cotidiana c•eobre loe que ya bemoe ll&mado la atención &l 6nal de la Sección 7•). En el leoguaje corriente ea uaual a.firmar la. die:yu~ción de doe propomciones 11610 llÍ sabemos que una de ellu • verdadera lliD saber oual. No ee noe ocurre decir que O = l o O < 1, &lHlque esto ee indudablemente verdadero, ya que podemot decir algo DlÁ8 aim· ple que ea al mismo tiempo lógicamente más fuerte, a saber, que O < l. Sin embargo, en conaidera.oi.onea matem&ticas no 111 aiem.pre ventajOkl enunciar todo lo que oonooem°' en su íorma. máa fuerte. Por ejemplo, &firma.moa muoh&s veces que un cuadrilit.ero dado es un pa.ralelogramo, aun cuando nbemOll que dicho cuadrfi¿tero Oll u.o euadtado, y baoemoe eet<> siempre que qllel'&-

IHTaODUCCl6!-t A LA L0GICA

201

mo& ha.oer ueo de un teo~ genoral refereato a pa.ralelogramoe arbitrarioa. Por la miama razón puede ocurrir que sepamoa que un número z lle& menor que 1 (por ejemplo, el m1mero O), y & peMr de ello eola.mente afirmem<:ifl que z l, es decir, que z - l o

°'

z< l. lndicaremoe aquí do& TBOREKA. 7.

X

~remas

referent-es a la rela.ción l!i; •

,s;; y ai, y a6lo ai,

Z )-

y.

Eete Uorem& se deduce inmediatamente del Teorema 6, o ee& de la ley de tricotoml&. En efecto, ei es Dz•OsTRA.OIÓN.

z" y,

(1)

y, por OOnsiguiente, aegdn la Defi.nición l, (2)

z -Y

o

z
entonces, la. fórmula: no podrá. ser válida. Recfprocamente, si (3)

deberá aer v'1ida la Córmul& (2) y nueva.mente, aeg6n la Defini. ción l, valdrá te.mbi6n la fórmW. (1). Con eUo, las Córmulae (1) y (3) MriD equivalente, c.q.d. En la terminología de la Sección 28, el Teorema 7 afirma que la relación =so; ea la negación M 1t. relación >. Por stt estructura., el Teorema. 7 podrla toma.ne oomo de6nioión del afmbolo •=so;•, ddnici.ón diCerente de la origina.l, aunque equivalente a ella. El enunciado de este teorema puede también oontribuir a ditdpa.r definitivamente toda dud& eobre el mo del llimbolo t=s;;t, ya que nadie dudui. de la verdad de fórm.ulae oomo:

o" o y o" 1,

202

puee la. primer& de ella.a es equivalente a l& fórmula:

º~º y la. segunda, a la fórmula.:

Si desea.moa podemoe evitar el pre en 1JU lugar

•:1>•.

'fi:OBBlU.8.

W10

del 11lmbolo

t" •,

usando siem-

z
DJ:MOSTB.t.OIÓN.

Si

z < y,

(1)

entonoea, segdn la De&nición 1, (2)

y &demás, teniendo en cuenta el teorema de tricotomía., no podd, ser válida. la, fórmula.:

z=y. Recíprocamente, e.i es válida la fórmula (2), en virtud de la. Defi. nición l valdrá: (3)

z< y

o

z=y;

pero 1i, al mismo tiempo, tenemos: z~

y,

deberemos reoonooer como vi.lid.a la primel'a> pal'te de la diayun· ción (3), ea deoir, la fórmula (l). La implicación vale, por lo tanto, en ambos !eD.tidoe, c.q.d. Pu&remoa por alto &lgunoe otroe teoremu que afeotan t&m· bián a la relación :E;;, m ~ll1llar, teoremu eeg6n loe caalel

208

INTaODtk'.lCtÓH 11. LA LÓGICA

dicha. rela.ción ea refleaiva. y traneitiva; por Jo demM, la demoetra.. ción de 6et.oe no ofrece Ja menor di&cultad. La delinición del eimbolo • ~ • ee oompletam.ente anl.loga a. la Delinición l; de loe teoremas relativos a. Ja relación :E; , ee obtienen automáticamente teoremaa relativos a. la. rela.ción ;i. ai ee autituyen loe efmboloe c:i;;t, y •>•por·~•. •>•y•<•, respectiva.mente.

•<•

La.a fórmulas del tipo: :r - y , en la.a que en luga.:r de tn e tyt aparezca.ri. oonatantee, variablee, o expreeionee compueetM que deeignen númeroe, ee denominarán ECtJACIONzs, oomo de ordinario~ análogamente, llama.remos DESI· Otrü.D.u>ES (u nwrmo U'T:al'.OTO) a fórmulas como:

:t
o

%

>y,

re&pectiva.mente; en la.e DUIOtr.t.LDil>JtS u cluimos fórmulu de Ja forma.:

:t ,¡:. y,

% "

y,

o

% ~

BltNTIDO A.lll"LIO

in·

11·

Laa Hpreaionee que &pa.ttlSC&D en estaa fórmulu a la izquierda. .o a la dereaha. de loa afmboloa

•-•,•<•.etc., recibiri.n loe nombre.

de XJDOBOS JZQ1'ID.D08 0 DDaOBOI I>B LA BO'C'ACllÓN O DJ: U DUIOU.il.Dü>, relp&Otiv~te.

l. Considerem08 laa doe relacionee entre peraon&8: l& de eer de mayor estatnra. que y Ja de eer de menor esta.tura. que. ¡Qué condición debe cumplir un conjunto de personas para constituir nn modelo para el· primer grupo de u:iomaa, junto a. laa citadu ~....t (of. Boooión 37).

AU'BID TAUJU

2.

C.Ooveogamos en que l&. fórmula:

upreee que loe o\llneroe :a: e y e&tiafaoen & una de lu doe condicionee aiguientee: (i) el valor abeoluto de :a: ee menor que el valor abeoluto de y, o (ü) loa nlorea a.baolutoe de ambos oómeroa aoo iguales, pero siendo el nó.mero :a: negativo e y positivo; atribuy&mos, análoga.mente, & I& fórmul&.: :a: · >y el mismo significado que e. la fórmula:

BMl.ndoee en la &ritmética, m01trar que· el conjunto de todoe JOB n\llneros y lae relaoionee < ·.Y ·> aaf definidaa, constituyen un modelo para el primer grupo de a.xiomaa. Indicar ejemploa de otras interpretaci.onee de eetoe u..iomu en l& aritmética y en la geometri&. 3. Del Teorema l, deddzcaee la proposición: .ri z
Recíprocamente, dedó.zce.ee el Teo~ma 1 del teorem• eipUeeto, ain Taleree de otroa teonimu del& aritm~tica. tSon indirect&a Ml· bae demoet.raciooee1 tCaen bajo el eequcm& de la demoetraeión del Teorema 1 de la Sección '4. T

4-. Gener&liz&r la demostración del Teorema 1 de la Seeción 4-4 y eet&blecer aeí la eiguiente ley general de la t.eorf& de relacionee (cf. obeerv&oionee en la Sección 37):

k>da f'elación R a.rimilric.a m la elat K u lambiin irnflu:iva mMllcla..

O. Mostrar lo ligu.iente: si e& admit.e el Teorem& 1 oomo un nuevo axioma, de éste y del Axioma f 88 puede deducir el Mltigao

206

INTBODUOCIÓH A LA LÓCIC.l

Axioma 2 como teorema. Gener&liu.ndo eat.e razonamiento, demoetra.r la. siguiente ley general de la teorfa de rela.oionee:

!oda

Yel.a.ci6n

R i"t/kziva y trouitiw e:n. la elaat K u también aaimttri<.o m t.111 clan.

•6. Al fina.J. de la Sección '4 hemos tr&tado de explica.r por qué puede omitirse la. demostración del Teorema 2. Est.&8 obeerva.cionee constituyen une. aplicación de ciertas considera.cionea generales formule.daa en el Capitulo VI. Expliquese esto en detalle, y, en particular, eepeciffquense laa consideraciones referidas. 7. TradúzcaMe loa 11iguientee teorema.a al lenguaje ordine.rio y demuéatreselo11 a partir del primer grupo do a.xiomas:

(•)

f,[•=y-(-(•
(b)

~[a:< y-+~

[a:< zVz
8. Del Axioma 4 y de la. Definición l ded:ó.zcanse loe teoremu 11iguientee: ai x
(a) (h)


E:zpreear eetot toore01a.e en lengu.je eimbólioo.

9. Demoetra.r que las relacione111 is;; y ;it; aon reflexivas, transitivu y oonoxu. ¡Son ai.m~tricu o uim6trie&l!ll .

10. Demostrar que entre doe nómeroe cualeequier& rigen exacta.monte trel!!I de lu seis relaciones aiguientee: - , <, >, #, "y;,. U. Tanto la rocfproca oomo la negMñón de cada un& de laa relaoionee indicada.e en el ejercicio antaior eatán tambWn entre la.e aeia relt.cionea. Demoatn.rlo con preoi.sión.

21)6

•12. iEntro cuálee de Lae nlacionee dada.e en el Ejeroioio 10 rige la relación de incluaiónl 4Cu'1 eeri. la IWD&, el produoto y el producto relativo de cu&lquier par de esaa relacionee1

Indicación: Recu6rdenae loe términos explie&doa en la Sección 28. No se omitan p&reS formadoa por doe rel&cionea igualea, y recuérdese que el producto relativo puede depender del orden de los factorea (cf, Ejercicio 6 del Ca.pítulo V). En total deben examina.me 36 p&re8 de relaciooee.

vm COllSTRUCCIÓll DE UllA TEORfA JU.TBIIATICA: LEYES SOBRE LA ADICIÓM Y 8USTRAC:CI0K

47. Axlomu sobre la ad.lel6n; Jl'Opltdad• generales de openolon•; loe ooaHptos de Pllpo J d.• ¡rupo abellano Paaa.m.01 ahora. a estudiar el segundo grupo de a.:riomu que conata. de las seil propoeicionee e.iguientee: A.DOMA. 6. Para n.úmmira tualea¡uiera y, z, en.te un número :r tal que z - y + z; en otr&e palabraa: ai y e lf y z e M, entoncu rambim y+ zelf.

A.noau.7. z+y=y+:r:. A.XlOllA. 8. :z: +(y +2) = (z +y) +z. Al:Io>U. 9. Para Aúmt1'oa cuolupiera z e y ui8te

Ufl

núnu.

roitalquez - y+z.

< %, entonul :t' + y < :t' + %. Si y > z, mtmw:::u z + y > z + z.

A.DOIU 10. Si y Ail:OIU. ll.

Por ahora. 0011 ocuparemoe ooo laa cuatro primeras propoei. oionee del eegundo grupo, ee decir, oon loe A.x.io:m&8 6-9; éstos atribuyen a. la adición una. eerie de propiedades sencillas que enoontramos también a menudo en el estudio de otra.a pa.rteB de la lógica y la. matem1i.tie&.

208

Para la designación de eetaa propiedades introduciremos al· gunoe t,¿rmino1 especia.lea. Por ejemplo, diremoa que una operación O es B.B.t.LlZilLB u :u. CLUB K o que la. claee K ee CJURA.· B.i.JO u. OPER&OIÓN O, si el reaultado de efectuar la' opera· ci6n O con dos elemento& cualesquiera. de la clase K es de nuevo un elemento de K; en otra& palabras, si para cualquier par de elementos y, z de l& claae K, eriete un elemento z de esta. clue tal que :z:= yOz.

I>•

La operación O es llamada CONlfUTA.TIVA EN u. C:U.SE K, ai el reault.&do de la operación no depende de la ordenación de loe el&mentos de K con loe cu&lee s& Jleva. & ca.bo, o dicho con máa exac-

titud, ei para. doe elementoe cualesquier& tenemos:

;r;

e y de dicha cla.ee,

zOy = yOz. La operación O se llama .üOOU.TIV.A. BN u. OUSB K, si el reeult&do ea independiente del modo como ee agrupen loa elementoa, o mis precisa.mente, ei para tres elementoe cualesquiera ::i:, y y z de la clue K, se cumple la condición: x0(y0z}=(z0y)Oz.

Decimos que la operación O es tNVltBTIBLB .&. DDKOIU o INVD'l'l· BLE A IZQUIERDA EN LA CLASE K , ei, pe.r& dos elementoa cua.leequiera. x, y de la claae K, exiate siempre un elemento z de esa claee t.al que: respectiva.mente. Una operación que sea simultáneam~nte invertible a. derecha. y a. izquierda., ee Ua.ma. eimplemente INYUTIBLI: EN LA OLüB K; como ee: fá.eil ver, toda. operación conmutativa que se& invertible a. derecha o a. izquierda. es invertible. Ahora diremos que una clase K 68 un OBUPO OOM BBSPIWI'O A l i OP:l.&A· OIÓM O, si eeta operación ee: realizable, a.aoci&tiva e invertible en K; si, ad.emáa, la operación O ee conmutativa., la. olaae K ea llama.da un Gii.UPO il:n.lilfO OOlf BltSPl:CTO Ali OPEB..lCIÓN o. El concepto de grupo, y en pa.rt.i.cular el de grupo a.bella.no, se trata

lNTKODUOCIÓN A LA. L6o1CA

,.,.

en unt. diaciplina matemátic. eepecial, la llamada noaú. DB oatJ?Os, de que bemoe bblt.doe n el Capitulo Vl. En caso de que la clue K ee& la. clase Wliveraa.l (o el univentG de discurso de la teoría oonaiderada, cf. Sección 23), omitinimoe UBua.lmente la referencia • e.ta clase al emplear términos tale1 como trealizablet, tconmut&ti't"u, etc. De acuerdo con la. terminología introducida. más a.rrib•, loa A:J'.iom&a 6-9 reciben loe nombree de LEY DB REALIZA.Bn.IDAD, LJ;Y OONKUTATIV.l, LJ:Y A.BOOli.TIVA y LltY DB INVEBSIÓN A DBdOJl.l para la opere.ción de adición, 1'88p8Ctivamente. Eetoe cuatro a.riom&11 reunidos, eeta.blecen que el conjunto de todoa loe números oonetituye un grupo abeliano oon respecto & la a.d.ición.

48. Leftl ooamu&&Uwa 1 uoolattva para an aQmtro oulqQJen. dt SWm&Ddot

El Az:íom& 7, M decir, la ley oonmut&tiv&, tal como la hemoe expuesto, se refiere a doa nWneroe, y el A:l'.ioma 8 o ley aaociativ& a trae. Sin embargo, se puec:Mn ecrt.&bleoer muchas otra.a leyes conmutativa.e y a.eociativa.s relativ&a a un nWnero a.rbitrario de dmeroe; por ejemplo, la fónnW.:

•+¡y-¡' .¡-y+(•+.¡ ea un ejemplo de ley fórmula:

oon~:at&tiva

p&r&

tree 1JWD&ndoa, y la

• + [y+ (• + •)) - [(• +y) + •) + • repreeent& una de l&I leyes uociativu pt.n. ouatro ewna.ndoe. Aó.n hay otros teore1DUJ de car6cler mino, oada uno de loa oU&hlll afirta.a que -ha.bla.ndo en gtinenl- en el result.&do de la adición ao ejercen ninguna. influencia oiertaa alteraciones, tanto en el

210

orden, como en la. distribución de loe fWlla.odoa en grupoe. Como ejemplo, espoodremoe el siguiente teorema.: TEOUllU. 9.

z+ (y+z) = (z+ z)

DBKOSTB.&CIÓN.

+y.

De loa Aiiomu 7 y 8

11e

obtienen por me-

dio de sustituciones conveniente&: (l) (2)

z

+ (z+ y)=(% +z) +y.

En virtud del& ley de LEIBNIZ y teniendo en cuent.a (l). IWltitoiremoe en (2) u + r por f'J + n y llega.remoa aaf & la. fórmula

deaeada.: z

+ (y + z) =

(:r

+ z) + y.

De ma.nera. &n&loga podemoe deducir todu la8 leym conmatativaa y aaociativaa relativas a núm8l'Oll arbitrarios de suma.odoe, de loa Axioma.e 7 y 8, con la ayuda eventua.I del Axioma 6. Di.oboe teoremas se a.plica.o 1. menudo e_n )& práctica par& la transformación de expresiones a.J.gebr&icaa. Por tra.naformación de una. expresión que designe un nómero, entendemos una va.ri&ción tal que nos lleve a otra expresión que deeigne el mismo nó.mero y que, por lo tanto, podrá aer rele.eionad& con la expresión origin&l me. d.iante el signo de iguaid&d; las expreaionea máa frecuentemente

aometidaa a tales traneform&cionee eon a.quellu que contienen variablee, eiendo, por COllBiguiente, funcionea deeignativaa. En rirtud de lu leyes con.mutativu y uociativu, podemoe tratlllt'on:aar expresionea a.rbitraria8 de tipoe t&lee como:

eef.o es, expresiones compueet&a de conet&ntée y va.riablee numéri.caa aeparadae por eimboloa de Mlioión y por p&rénteeis: en cualquiera de ell&a podemOB permutar a voluntad tantos aimboloa nwnérioos como pa.rénte&ia (con tal que la expresión rermlt&nte no pierda sentido con la tra.nspoeici6n de lOB parént.esis).

IHT&OllUCClóN A LA. LÓGICA

211

48. Lete1 de monotolúa trara la ad1ol6a 1 1u rMiproou Nos ooupanmot ahor& de loe Ammae 10 y 11; éato8 son lu Jlamadsa LBY• DB llONOTONÚ para Ja adición con reepecto a la.e relacionee menor qw y mayor que. Se dice, más gener&lmente, que la operación binaria ee llONÓTONA. BN LA. OLA.SB K OON BUHO'J'O .&. u BJCL.A.OIÓN BDU.lLli R, si, para elementos cualesquiera. z, v. z de la olase K, la fórmula:

o

gRz (:z:Oy) R (zOz),

ee decir, cu&ndo el Neultado de la operación O realizada sobre 10& elementos z e y ee encuentra en I& relación .B con el reeultado de dicha operación re&lizada sobre loa elementos z y z. (En el cuo de operacionee no conmutativu, deberemos distinguir, estrictamente hablando, entre monotonia & derecha y monotonía a U:quíerda; la propiedad que acaba.moa de definir se Ua.maré. monotonía a derecha..) La operación de adición ee monótona, no solamente respecto de lu rel&cionee mtn0r qw y mayor p.e -como se deduce de loa Axioma.a 10 y 11-, sino ta.mbián respecto de lu restantes relaoionee entre n6.meros discutida.a en la Sección '6. Moatraremoa eato solamente para la rel.aoión de identidad:

TBOUJU 10. Si y = i , tnloftcu z

+ y = z + i.

+

D;u:osnu.m ÓN. La 1U1Da :z: y, ouy& existencia garantiza. el Axioma 6, es igual. a sf miema (eeg6n la Ley II de la Sección 17):

z+y=z + y. Teniendo en ouenta 1a hipóteeil del teorema, en el aegundo miembro de la igualdad indicada ee pod1' imstituir la. va.ria.ble t¡¡t por et, obteoiéndoee la fórmula deee&od6:

212

L& recíproca del Teorema 10 ea T:soB.Bll.t. 11. Si

tambi~n

a:+ y =a: + :r,

verdadera:

t1llonal y

=- :.

Esbozaremos dos dem011tracionee del mismo. La primera, b&.. Moda en la ley de tricotomi& y en loe Axiomas 6, 10 y 11, ea ret.tivamente eencill&. Pa.ra nueet.ra ñoal.idad ulterior necesitamos, sin emb&rgo, otra demostración que, aunque oouidera.blemente mi.e complica.da, se basa exclusivamente en los .Axiomas 7-9.

PBnnm..6. DEMOSTJU.OIÓN. Sapongamoe que el teorema. en cuestión fueae falso; e:riatirlan entonoee números a:, y y z para loa cua.lea va.ldrla: (1)

a:+y=z.+z,

y (2)

Como a: + y y z + z son nd.meroe (Aiioma. 6), t.eniendo en cuen· t& Ja. ley de tricotomi&, ésto& BAtiafaoen sólo una. de lu fórmulu:

por oonaiguiente, como por (1) ea vMid& la primera de dichaa fórmulaa, laa otras aer'-n a.utom&ticamente eliminad.u. Tendr&

moe, puea, (3)

Por otra. parte, ei a.plicamoe de nuevo la. ley de tricotomía, de la deaigu&ldad (2) concluiremoe que

Lo.ego, por los Axiomae 10 y 11:

INTllOOUOCIÓH A LA 1.00JCA

218

LM coadicione11 (3) y (4) ee oontndicen.. t. 1upoaición Lnioíal queda aal refutada, y el teorema debe collliderene d emoetra.do. •SxoUND.6. Dl:lllO&Tl!L.t..OIÓN.

Aplica.remos el Axioma 9 en el

que sustituiremOl!I en por fY' y u. por tut. Se pnede concluir entonces, que exiate un número u que satisface la fórmula:

y= y+u; oomo, según el Axioma 7,

y+u=u+y, y la relación deigu&ldadeatr&D&itiva (cf. Ley IV dela Sección 17), obtenemoe: (1)

y=•+y.

A continuación aplioaremoe el AKioma 9 por segunda vm, sustituyendo en él tzt por m y m por tw; obtenemoa as! un nómero tt que ea.ti.ef'ace la igualdad: (2)

z=y+ti.

Teniendo en onent& (1), ae puede sustituir en (2) la va.ria.ble tyt por la expreai.6n cu + y., y obtenemoa entonoee:

.Z-==(-w+y)+"· Como ademú, en' virtud del& ley aeooi&-t.in (Axioma 8) la fórmula:

v + IN+ •) - (v+ y)+• ee v6.lid&, apliC&1ld o la Ley V de la Sección 17 llegamoe a la

fórmula: a::""' u

+ (y + tt).

Ea virtud de (2), podem~ reemplaza.r a.qui ty + vt por cn (ua&n· do la ley de LmBlfIZ), de modo que finalmente obtenemos: (3)

.Z=M+z.

"'

Apliquemoe el A:riom.. 9 por tercera vez, pero IUStituyeodo ahora tn, tyt y o por ew, ~ y nDt, reepectivameo.te. De este modo concluimos la eiiatenci& de un nillnero w tal que

U=z+

tJJ¡

es v&lida, valdrá. ta.mbién: (<)

u-to+z.

En virtud de (4), de (l) ae obtiene: y= (w +.:r) +y; como, debido a la. ley uociativ&, también resulta que:

"'+ (z + y) = (w + z) + y, esta f6rm.ul& se convierte en: (6)

Teniendo en cuenta la hipótesi.a del teorem& t. dem08trt.r, 11uatituyamoa en la igualdad (6) u+ yt por v +u, con lo cual llega.-

mee a: (8)

y= w

+ (z + z).

Nueva.ment.e en virtud de la ley uociativa, se obtiene:

w + (:i:+z) =(to +z) +z, que en combinación con (6) noe proporciona.ni la. fórmula: y=(w+z)+z.

216

IHTaODUCCl'ÓN A LA LÓGICA

Ea virtud de (4), podemoe reempla.zu- aqo1 no + eet& manera obtenemoe:

%1

por

tu.t.

De

r - •+z.

(7)

De lu íguaJdades (7) y (3) ee sigue que:

r - z,

c.q.d.•

Haremos aquí algunas obee.rvacíones rel&ciona.da.s con la primer& demoetr&ción del Teorema 11. Lo mierno que en la. demostración del Teorema l, ella. ee un ejemplo de demoatración indi. recta. El esquema de e11t& demoetrM:ión se puede repreaenta.r de la. aiguiente manera.. Para demostrar W)& propoaicióu, por ejemplo tpt, suponemos que dieba propoeicióa ee fa.lea, ee decir, uumimoa Ja. propoeición en.o pt. De eet& hip6teeis deriva.moe uoa. conJeeuencia tqt, ee decir, demoetramoe la. implicación:

ri no p, mton.cu q (en el c.&80 presente esta oonsecuenoia tq:t es la conjunción de las condiciones (3) y (.f) que aparecen en la. demostración). Por otr& parte, empero, podemoe prob&r (o bien en virtud de leyes generalee de l& lógica, como en la demoetr&ción considerada, o bien en virtud de teoremas demostrados pn1viamente dentro de la dieciplina ma.temá.tiea en que ee llev&.n a. cabo todos estos argumentos) que la. con9eeuencia. obtenida ee falaa, e11to es, que tn.a qt es vá.lida; esta.moa obligadoa entonces a ttteb.azar l& hipóteeia de p&rti.d& y a reoonocer como nrdadera. la propoeición •pt. Si di6eemoe a eete, r&iona.miento Ja forma de una. demostración oomplet&, en ell& deeempefiarfa un papel eaenoial una. ley lógica que oonatituye Uil6 variante de la ley de oontra.poeición que ya. conocemos de 1~ Sección 14 y que dioe lo siguiente:

De: ri no p, entoncu q,

as ftgw qw: ri no q, mtoncu p.

La. demoetraoión en consideración ee diferencia ligeramente de la. del Teorema 1. En la de Mte partíam0& de la hipót.eeis de qne el teorema era. falso p&r& llegar a l& conclusión de que el mismo era nrdadero, ea decir, derivamoe una. conaecuenoi& en contradicción

216

directa con la bipóteeis aau.m.id&; M¡uf en cambio, de un.a. bipót:.elia

•náloga hemoe deducido una coneecuoncia cuy.. falledad. ooooo(a. mo!!I por otro lado. F..ta diferencia. no ee, sin emba.rgo, esencial; 110bre 1.. bue de leyes lógicu no ofrecerla ninguna dificultad Uenr la demostración del Teorema l (como igualmente, cut.lquier otra forma de inferencia indirecto.) • la forma del esquema expuesto. Lo mismo que el Teorema 10, pueden invertine también Ju otra.a dos leyes de monot.onfa, ee decir, loe A.xiom&a 10 y 11:

Si z+ y z+z,m.lonce.ry>z. TBOUJU.12.

Am.boa se demuestran con facilidad tomando como modelo la dercu>atra.ción del Teorema. l. 50. SlsCemu cerradot de proposlolon• Hay una ley lógie& general cuyo conocimiento simplifica conaiderablemente la. demostración de loe tres últimos teorem.1111 (ll, 12 y 13). E8 hrt&, J& llamada LEY DB LOS SISTDlAS
Diremos que estas tree proposiciones form&n un SISTJDU. OE:Jl.B¿DQ, cuando eus a.ntecedent.es agoten todoe los ca.eos poaiblee, esto ee, cuando aea verdadera. • B11 bonor del m&tem.iUoo u-&& I •. W• .B.l.u• • (11'75-1811).

217

y IU8 00099cuet1tee eo m::cluy61l mutuamente: " q¡, entonua no q,;

n q,. tmámce.a "° q,.

n q,, ~ no q,;

La ley de loa eiatemaa oerradoa a.firma que, si son vetdaden.s oiertu prop>llieiones oondicionalee que constituyen un sistema cerrado, entoDOM t&m.bién son nrdaderae Lu correspondientes proposiciones reofprocaa. El ejemplo más sencillo de aiatema. cerrado ee un sistema. oompuesto por dos propoeicionee, une. propoeición oondicion&l:

n p, ntmacu q, y la. propoaioión oontr&ria.:

n no p, tMonou "° q. En este caeo, para demodrv lu dOll propoaicionee reoiprocu, no ee necesario siquiera apoy&r88 eo la ley de I011 sistemaa cerra.. doe; bMt&ria. a.plioar lu ley• de oontn.poaioión. El Teorema 10 y loe Axiomae 10 y 11 constituyen un aiatema. cerrado de tres propoaioionea, como ee ded.uoe de la ley de triootomia.: oomo entre dos nd.meroa lll'bitrarioa rige exe.crtamente una de laa tres relacionea =, < y >. laa hip6telliadedichaa tres proposiciones, e1 deoir, laa fórmul.ae:

v=z,

y
w>z,

agotan todoe loe oaeoa potiblee, miectraa que na oonclueionee, esto "'· laa fórm.ulu: z + y - z +~

z + y < z + z:,

z + y>z+~

ee excluyen mutua.mente. (La ley de tri.ootomia in:aplie& todavía más: no sólo las tres primeru fónnulaa agotan todos los C&&Oe posibles, Bino que ee e:s:oluym entre id, y laa tres últimas no eola~ mente se excluyen, sino que agotan &demás todos loe caeoe poei· bl•; sin embargo, Mt.a. oiromurt&Doia ea·irreleva.nte para. noeotroe.) Por el mero heoho de oouti.tuir Qll listema oorn.do laa tree pro-

218

poeicionee indicadu, deben

eet

Ttlr'daderoe los Teorem..aa

ree(.

pt0008 11 -13.

En la gi"Ometrla elemental encontramos numeroeoe ejemploi de siatemaa oerradoe; por ejemplo, al eDDlinar la poaición rela.. tin. de doa circul011 noa enoootl'&mOll oon un aist:.ema oerrado, compuesto por cinco propoeioionea. Par& terminar, advertiremoe todavía. que quien no conozca Ja ley de loe eistema.s cerrad.oe, pero intent& probar las reclprocaa de la.a proposiciones que forman un siatema de esta. clase, podrá a.plicar a.utomé.ticamente la forma de inferencia que hemoe empleado en la. primera demo&traoión del Teorema. 11. 51.

CoDMCUIDCIM d• las

1.,..

de mono&onf&

Loe Teoremu 10 y 11 ee puedeo reeumir en u.no sólo: y - .i

.ti,y«Woti,

z+y - z +z.

Del miamo modo se pueden oombin&r loa Axiomaa 10 y 11 con loe Teoremas 12 y 13. Loe teoremu aa:f obtenidos se designan oomo LBT:SS DE nu!TSF'OBJU(l'(ÓN •QUTY.&LDTJ: Dll :sotrA.OIONES T DB· 1!1101'.il.Dil>M por medio de la. adfoi6n . El cont.enido de estoll teoremaa se describe a. veces de la siguiente mll.Jlera.: si a amboe miembros de una igualdad o deeigu&ld&d se euma un mí8mo número, sin cambill.I' el signo de igu&ldad o deaigu&ldad, se obtendrá. una igualdad o desigualdad e,quivalente a la primera.(eviden tomente, eeta. formulación no ee completamente coJTecta., ya que loe miembroe de talee iguald&dee o deaigualdadea no son númeroe, aino expreeionea, a le.e qv.e no ee posible sumar nt\mero alguno). Loe teoremas conaiderados tienen un papel importante en I• ~ lucióp de ecuaciones e inecuaciooee.

Deduciremoa una coDBecuenoia mi.a de las leyee de monotonia.

T:soBEJU.14. Si :z: + z: < y+ t, mtoncu :z:
toorema fuese fa.Isa.; no eerla ent.onoee .i: menor que y ni z menor

JMftODUCC'IÓH A LA ÚIGICA

que e. De acuerdo con la ley de t.riootomi&, te concluida de a.qa.f que una de la.s doa f6rm.ul.M: :Z:=

y

~mbién

y

o

z >y,

una de lu doe fómudaa: Z=f

O

z>t,

deben ser válida.e. Tendtemoe que diacutir, pues, la.a cuatro poli· bilidadea siguientes:

z=t,

(l)

z=y

y

(2)

:z:=y

y

z>t,

(3)

:z:>y

y

z - 1,

(<)

:z:>y

y

z>J.

CoDBideremoa ant.e todo el prim« cuo; a.sumimos, por oomi.· guiente, la. validez de laa doa igualdades (1). En virtud del Teorema. 10, de la. primera. deducimos:

z+:z:= z +y; como, por el Axioma 7, también eon Tálidu la.e fórm.ulaa:

:z:+z=z+z

y

z+r - Y+. ~

aplicando doa veOIJI la ley de tn.Daitividad pan. la. relación de identidad, inferimoa: (5)

z+z = r+z.

De la segunda de lu igualdad.ea admitida&, ee decir, de la fórmul&: Z=f,

obtenemoe nueva.mente en vinud del Teorema 10: (8)

220

que, junto oon (6), da: (7)

R&zonando exactamente del miamo modo {&plicando loe Axiomas 4, ó, 10 y 11), en cada uno de los reet&ntes casos (2), (3) y (4),

obtenemos la desigualdad: (8)

En cualquier caso debe 861' v.&lida una de la.a fórmulaa (7) u (8), Como z + z e y+ t eon nó.meroa (A.rioma 6), se aigue de la ley de tricotomía que la fórmula:

.z+a:
&

El razonamiento que se acaba de exponer se incluye entre 1ae demostraciones indirecta.e; con aólo una modificación de detalle ae lo podría. llevar a la forma eaquemática. descrita en la Sección 49 en relación con la primen demostración del Teorema 11. Sin embargo, formalmente el CW'80 del razonamiento ea aquí algo distinto del de la demoatra.ción de loe Teoremaa 1 y ll. L& ilúe. reri.ci& pnaenta. el eiguiente eequema. A 6n de demostrar UD6

proposición que preeente la forma de una implicación, por ejem· plo, la. proposición: aip.~q.

uumiremoe que el con&eouente d e la. propoBición, es decir, tqt, es falso (pero no l& proposición completa); de esta snpoaición, eeto ea, de mo tp, ee infiere que l& hipóteaia ee f&ls&, ee decir, que CM pt ee válida. En otras pal&braa, en lugar de demostra.r la. proposición en cuestión, se da una. prueba de su oontr&rrecíprooa.: ftMq,~nop,

INTBODUCCIÓN A LA LiMllCA.

221

y de 6eta ee puede inferir le. nlider. de la propoeición origi.ul. L& bue para una inferencia de este tipo ee encuentra en una ley del cálculo propoeiciou&l q~ &6rma que la verdad de la propoeición contra.rrecíproca implica siempre la de la proposición original (cf. Sección 14). Jnferencias de eet.a forma son muy oomunee en tods8 las diaciplinM ma.tem&tiaaa; éeta ee la variedad máa corriente de demos. tra.cionea indirectas.

52.

Deftnlcl6n d1 1utraeel6n; operaclon• lnvemu

Moetremoe cómo puede introdaeine el concepto de .tJU8tn.eeión &n nuestraa conaideracioMl!!I. Pua ello en.&bleooremoe ante todo el siguiente teorema:

T1:o:e.mu. 16. Para doi 11úmero.!i cualuqv.tml y, z e.:riak uadaun_nVmero :e tal qoue y - z +:e.

~

DDIOSTliOIÓN. Por el Axioma 9 aa.bemos que existe al m&noe un número :e que eatid'MJe la fórmula.:

y=z+:e. Debemos moetra.r que no eriete mY de un tal nó.mero; en otraa palabra.a, que doa nómeroe caaleequiera u y v que aatiñacen dicha fórmW. aon idénticos. Sea., poee,

y=z+u

e

y - z+v.

Ueando laa leyea de tranaitiridad y IJimetri& para la rel&aión - , • deduce inmediatamente de lu ó.ltimaa igualdadea que:

z+u=z+t1, de donde, por el Teorema 11, obtenemos:

222

En.te, aaí, exactamente un nó.mero z {cf. Sección 20) tal que: c.q.d. E11te inico número z de que trata el teorema. expueeto, M designa. con el símbolo: y-z¡ ae leerá. como de costumbre tia diferencia tntn l06 númeroa y y a o tel ruultado de awtraer el número z dd número yt. La. definición precis& del concept.o de difenincia, ea: DBl"IlfICIÓN 2.

DuifMd que z - y - z Bi, y 1161.o si, y ""' z

+ 2:,

Un.a opera.ción 1 es llame.da JlfVJtRSJ. ... DDECJU DE u OH· :UOIÓN O BN u OUSB K, si lae opera.cionee O. e 1 eatisfa.oen l& siguiente condición:

p¡m daMntoa cualuquiuo z, y, z tk la claae K, tenemoa: z = yJz si, y a6lo ai, y=- zOz. De manera aimila.r ee define el concepto de INVEBBA A IZQUUBD.& D:ILA.OPBJU.CIÓN O. Si la.opera.ctón Oeaoonmut.ativaen la.cla.eeK, entonoos ambas inversaa ---:-ª derecha y a izquierda- coinciden, y podemos habl&r simplemente de la DIVEBSA. DE LA Ol'ltll.ACIÓN O (o también, de la OPBB.A.OIÓN lNVSBBA DI: O). De a.ouerdoa.eet.at«irm.inología, la Definición 2 8IJ>Nl6& MID.cillam.ente que la. sustracción ee l& inveraa. a derecha. (o, eimplemente, la inversa) de l.& &dición.

53. DeDDlolon• 01110 dennleDdara contiene el llp.o de Igualdad

•:r...

De6nición 2 es un ejemplo de un tipo de definición empl&&da muy a. menudo en matemática.. &taa definicionee estipulan el eignificado de un sfm.bolo que designa. un 110lo objeto o una open.ción sobre un número dado de objetos (en otras pala.bra&, una función con un número e.rbitrario de argumentos). En toda defini. ción de esta. claae, el definiendum adopt& la forma de una. ecuación:

:z =

···~

223

IN'nODUCCIÓN A LA ÚICICA

en el miembro derecho de ella aparece el m.tamo aúQholo que intent&moe d96nit, o bien un& función d-.igna.tiva conetruida oon dicho simbolo y determinadu variablee .,., m, ... , eeg11D que el eúnbolo en cueiltión deeigne un objeto 6nioo, o una . operación sobre objetos. El definiena "puede MI' una función propoeici.onal de cua.lquier forma., que contenga la.a miema.s v&riablee librea que aparecen en el definiendum, y que enuncie que el objeto % --eventualmente junto con loe objeto& y, z, .••- .ea.tisf'a.ce tal y tal condición. La Definición 2 eet:6bleoe el significado de un Bimbolo que designa una operación BObre dos números. Toda.vía. a.ti.a.diremos otro ejemplo de definiciones de eete tipo, la definición del símbolo tOt que designa. un nó.mero: duimo.1

gUe

%-

O, 8', 11 4ÓÚl #i, para lodo número y " aalidfaa 14 f6m>ul<" y = y.

+•

De8nicionee de eete tipo llevan consigo wi peligro: ai al 011tablecerlu no ae observan lu precaucionea necesariaa, pueden conducir fácilmente a oo'ntradiccionee. Un ejemplo concreto e.ciaran\ eeto. Dejemoe por el momento nuestras inveetiga.ciones, y supongamos que en la. aritmética dispusiáemoe ya del eimbolo de multiplicación y quieiéaemoa definir con eu ayuda el símbolo de división. Par& eet.e objeto, eetableceriamos la definición siguiente, inspirándonos. en la Definición 2:

duimoaqu

z = 11: :z

6i, y86loft,

y= z·z.

Si -.hora. reemplaza.moa en esta definición tyt y CD por cOt, y ut primero por d• y luego por d•, y si obeervamoe que la.e fórmula.a:

0 - 0·1

y

0 - 0·2

eon verdaderM, obte.nemoa inmediata.mente:

1=0:0 Como doe

0088.8

y

2 - 0:0.

iguales a una tercera BOD iguales entre sí, 0eg.. l = 2,

lo que ee evidentemente abellf'do.

... No ea dificil moatrar la e&uaa de esta· a.nomaUa.. Tanto en 1.6 Definición 2, como en la definición de oOcient.e oonaiderad&, el de6niens tiene la forma. de UD& función .proposicion&l con tree va. riablee librea en, tyt y m. A cada. una de ta.lee funcionee propoeicíonaJee corresponde una. relación ternaria. que rige entre loa ndmeroe :z:, y y z si, y sólo si, estos n
:z:=y- 2

o

z=y:z

respectivamente, se eupone de a:.ntemano que dicha rel&ción es unív0e& (ea decir, una operación, o una función; cf. Seoción 34) y que en consecuencia, a. doa nómeroe cu&leequiera y, z oo~nde &

lo sumo un número z que M encuentra con ellos en la rela.ción

en cuestión. Pero la univocidad de la relación no ea evidente de antemano, y debe ser establecid& primero. En la Definición 2 lo hemos hecho, pero no en el caeo d el cociente, y tampoco seria. poe.ible hacerlo, pues la relación en eueetión no ee unívoca en un caso: en efecto, ei y=O y z =O, esiete una. infinidad de nó.meros :r, para loe cua.J.ee

Si, por lo tanto, ae quiere formular la definición de cociente en la forma expueeta ain introducir contradiccionee, deber• e:icluirse de alguna manera (por ejemplo, agregando oondicionee adicionalee en el definíena) el cuo en que loe doe números y, z eon iguales• O. La.e conaideraciontiB anterioree llevan a. l& siguiente conclusión: • tod& definición del tipo de la Definición 2 debe preceder un teorema que corresponda eu.ct&mente al Teorema 15, 0800 ee, un teorema. que establezca. la. existeacia de un solo nó.mero :i: que aa.tiafa.ga al definiens. (Aquí ee plallte& la. cuestión de si es neceeario prob&r la existencia. de enotamente un número, o de si bastada con demostrar la. esietenci& de a lo aumo un número con esta propiedad; no discutiremos &qui Olf.6 problema. algo más dificil.)•

IHTaODUOCIÓtl A LA LÓGICA

2211

64. Teonmu aok'I Ja natraoe16D Sobre la bue de la De6nioión 2 y de lu leym de adición, pueden d emoetl"&I11e e.in difioo.ltad alguna loe teoremaa fundameo. ta.lee de l& teoría de la IJWltnocióo, oomo, por ejemplo, l& ley de realizabilid&d, laa leym de monot.onia. y lae leyes de transform.oión equivalente de eoua.oionee y deaiguald&dee por medio de la auirtn.cción. Perteneoen tambi&I. a eat& oategoria &quellOB teoremaa que ha.ceo posible la transform&ción de las lla.madaa mm.u e.Jgebra.iC&S, e11 decir, de e:r:prmionea compueata.e por oonet&ntee y varia.blea numéricas &epa.rad.a.e. por loe aignoe «+•, 1--t asf como por ~teeia (en te.lee expreeionea l!IB preaoinde a menudo de loa últimos en virtud de reglaa eepecialea). Ezpon.dremoa oomo ejemplo, un teorema perteneciente a la categoría citada:

Ta:ou11.A. l6. z

+ (y -

z) - (z + y)- z.

DZKOSTIU.CIÓN. Segó.n el Aiioma 9, a loa n-6meroa f1 y z oorreeponde un nó.mero u tal que (l)

Y=•+ti;

por la Definición 2 esto implica: (2)

•=•-··

En. Ti.rtud de la ley oon.mut.ati.va, ten.emoe:

Debido a (l), en el miembro derecho de eet& iguald&d ee podrá auatituír tyt por u + •, con lo oual ae obtiene: (3)

.:r::+y=(•+•l+.:r::.

Por otra parte, del Teorema 9 ee aigue qne: (<)

•+ (.:r::+ •)= (•+•) +~.

226

Como d08 nómeroe igu&IN • un tercero, aon igueJee entNJ .á, de (3) y (4) ae lnliero' (6)

%

+y

=i

z

+ (:¡: + u).

Ahora, como :i: + y y z + u eon números (Al:iom& 6). er;i. la Definición 2 podemos sUBtituir u: + w y u + yt en lugar de u. e tyt. Entonces, en virtud de (5) ee -.tisfaoe el de6niene, y, por oone.iguiente, también ee Mtisfará el definiendum:

z +u= (z

+ y)-z.

Teniendo en cuenta (2), en e.ta 6ltim.a igualdad ee podri. euetituir tut por •y - :n, lleg&ndoeo finMmenU a.: z

+ (y-%) -

(z

+ y)-z,

.

c.q.d.

-

Con esto damoe por terminada la ooDBtrucción de nuestro fragmento de aritmética.

l. C'.onsideremos 101 tres e.i.ttemas siguientes, cada. uno de loa cuales consiste de un conjunto, doe relacionee y una. operaci6n: (a) el conjunto de todos loe números, las relacione@ ~ y ~, y la. operación de adición; (b) el conjunto de todoe loe númeroe, lM rola.cionee < y > y la operación de mu.ltiplica.ción; (e) el conjunto de todoe Ioe número& positivos, 1u relaciones y la. operación de multiplicación. Eatudi&r cuáles de dichos eistemaa oonatituyen modeloe para el aiatem& de A.riomaa 1-11 (cf. Sección 37). 2. Comideremos una recta cua.lquier&, & l& que llamaremoe recta numérica: designemoe loe puntoe de ésta por laa letras tXt, ... Elij&mos sobre I& recta un punto origen O yun punto unidad U distint.o de O. Sean &hora X e Y doa puntos distinto&

• Y•, .Z•,

221

INTRODUCCIÓN A LA LÓGIC4

de nuestra lloea. Coo.aideremoa doa aem.irTecta.e, un. oon origen en O y que paea por U, la otra ooo origen en X y que paaa por Y. J)iremoe que el punto Z precede al punto Y, en eimboloe:

x<: Y, ei, y &6lo si, laa doe eemirreotaa eon idéntiou o UD& de ellas -no import& cuál- ea pa.rte de l• otra. En este mismo ca.so diremoe también que el punto Y aigue al punto X, en aímbolos:

Y::>z. El punto Z ee llamado la. •um. de loe punto. X e Y ai iu.tisfa.oe lu liguientea condiciones: (i), fil eegmento OX ee congruente oon el eogmento YZ; (ü), lli O<: X, entonoee Y<: Z, y ai O:> Z, entoncee Y Z . LA euma de loe puntoe X e Y 1e denota por:

:>

X-i- Y. Haciendo uso dfl loe tflOremaa de l& geometría, mostrar que fil conjunto dfl los puntos de la recta. numérie& (o más sencillo, la propia recta nu.m.érie&), con 1.ai relaciones<:: y:> y la operación+. oonstituye un modelo del sistema de axiomas adoptad.o, y por lo tanto, dicho sistema tiene una interpretación en la geometría..

3. Analieemoe cuatro optiracionee A, B, G y K, qufl uignfln un tercer nó.mero a otroe doa s.rbit.ra.rioe, lo mismo que la suma.. Como reau.lta.do de la operación A eobre loa númeroe z e '11 ooDlideraremoe eiempre el número z, y oomo reeultado de la opera.ción B eobre ell<>1, el nó.me.ro y, ee decir: zAy = z,

zBy = y.

Con IOI eim.bolOI c:eGyt, uKyt deaign&rem.08 a aqufll de loa n6m.6l'Oll z o v que 11e& no menor o no mayor que el otro, reepec· t.ivamente; por oonsiguiente, t.eoemoe: zGy - z zGy =y

y y

zK!i=Y zK.y = i

eocaaoqufl en caao qufl

z;;i.y; z


228

iCu'1ee de laa propied&dea referidas en la Sección •7 eon po· eeidu por eat.u cua.tro oper&cioneet i Conatituye el conjunto de tOOos los número& un gru.po n.pecto de alguna de dichu operacionel!J y en particular, un grupo abelianot 4. Se& F la claae de todos loe conjuntos de puntos, esto es, de todaa lea oonfi.gura.cionea geométricu. ¡Son realiza.bles, oonm.utativsa, 880Ciativas e invertibles en la clase F lae oper&eionea de adición y multiplie&eión de conjuntos definidoe en la. Sección 261 ,Constituye la clase F un grupo, y en particular, un gntpo abeliano, respecto de alguna de dich&s operaciones?

5. Moetrar que el conjunto d e todoa loe nómeroe no es un grupo abelia.no respecto de la. multiplicación y af lo ea, en e&mbio, cada uno de loe conjuntoa aigui&ntee, reepeeto de ta. m.iam.a operación: (a) el conjunto de todos loe nó:meroe di.etintoe de cero; (b) el conjunto de todoe loe númeroe positivos; (e) el conjunto que coll8iste de los dos números l y - l.

6. Consideremos el conjunto M que coneiate de loe doe n\\. meros O y 1, y definamos en ~!l la operación mediante 1u fórmu-

+

la.e eiguientea: 0+0~1+1~0.

0+1 - 1-i-O=l. Det.ermina.r ei el conjunto K ee un grupo abeliano reepecto de la operación

+.

7. C.0Mideremoe el conjunto • que ooneiete de loe tres n-ó,. meroe O, 1 y 2. Definir una operación con loe elementoe de díoho conjunto de ma.nera que Mt.e 11& oonviert& en un grupo abeliano con respecto a dicha opera.oión.

+

8. Demoetrar que ningá.n oonjunto que oo~ de doe o tftll ndmeros distintos puede aer un grupo abeliano nwpeoto de la

lNTllODUCCIÓN A LA LÓGICA

229

adición. ¡E:sistiri. algdn conjunto que oonsilte de un solo nómero que sea un grupo &belia.no reepecto de I& mi.ama operación1 9.

Deducir de I011 Axiomu 6.8 loe lliguientee teoremu:

(a) z+(y+z)=(z+z)+'t/: (b) •

+ [y + (> + I)] -

(1

+ y) + (< + •).

10. iCuintu expresionee pueden obtenerae a partir de e&d.a una de laa siguientes:

ai .se laa transforma exclusiva.ment.6 en baae a los Axioma.a 6-81 ll. Formula.r la definición geoeral de monoton1a a izquierda de una oper&eióa O reapecto de una relación R. 12. En bue a l011 axiomu aaumidoe por nosotros y a loe teorema& deducidos de ellos, demoetral' que la &dición ea una oper&ción monótona. en el conjunto de todoe los nó.meroa, respecto de laa relaciones ..¡. , :i:;; y ;l!: •

13. ¡Es la. multiplicación una operación monótona reepecto de 1&a relaciones < y > en el conjunto de todoe loe nó.meroe, en el conjunto de ~08 loa nú.meroe poaitivoa, (e) en el conjunto de todoe loe númeroe negativoe1

(&)

(b)

14. tCuAlee de 1ae opera<:ionee definidaa en el Ejercicio 3 eoo monótonaa respecto delaarel&eiooee - , < , >, .,,- ,:E; y ~ 1

115. ¡Son mon6tonu la adición y multiplicación de ol1111e11 reapecto de la relación de inclusiónt ¡Y reepecto de las reetantee relaciones entre clues que expuaim08 en la Sección 241 16. De loe axiomas admitidos ded'lizcase el eiguient.6 teorema:

n z
y z<•. nlonct.t

z+z
2"0

Su.etitóya.eo en eeta. propoeici.óo el sh:nbolo

•<• por loe •>•,

•=•, ·~•. ·~·y , ,u, e i.Dveetigueee cu•lea de laa propoaicionee obtenidu de eeta ma.ner& &on verdaderu. 17. Indica.r ejemplos de eistemaa en la aritmética y en la geometria..

oerrad.011

de propoeicionee

is.

De los &xiom&8 MUDlidoe dedózca.n.ee los eiguientee teo-

(a) (b)

n

%

+ z = y+ y,

efttoncu

z =y;

.n % + % < y + y, entonu.a % Y + y, ntont.u :z: >y.

Indicación: Demu6strenee primero loe t.eoremae reclproeoa (uae.ndo loe reeult&doa del Ejercicio 16), y obtérveee que ooMti-

tuyen un sistema cerrado. •19. Si de los Axiomas 6-9 sol&mente, pu~e deducirle un cierto teorema., éste podr4. erlenderee a grupos a.bella.nos arbitr.. rioa, puesto que toda clase K, que aea un grupo abeliano rmpecto de una operación O, constituid, junto oon dich& operación, un modelo para. loe A.Jiomaa 6-9 (cf. Secciones 37 y 38). Esto a.feota, en particul&r, &J. Teorema 11 (en virtud de su segunda demoatra.ción); valdrá, por lo tanto, el siguiente tooMm& general de la teoría de grupoe:

ai

zeK, y eK, ze K y zOy - zO:, mtoncu y = z.

Dar una demostración riguroea de eete teorema. Mostrar, por otra. parte, que el Teorema (a) del Ejercicio 18 no puede ser extendido a. grupos abelianos cua.J.ee(¡uiera, exhibiendo un ~jemplo de un& clase K y una. operación O con lae siguientes propiede.dee: (i). la clase K ea un grupo a.beliano con respecto a la. operación O, y (ii), e:rieten doe elementoe distint.oa: z, y en la. olaee K ta.les que zOz - 110y (of. Ejeroioio 6). i& posible, por

INTllODUCCiótf A LA LÓGICA

231

oon.eiguiente, derivar el Teorema. (a) de 108 Axioma.e 6-9 eole.mente! 20. Tnnsformar la. demoetración del Teorema 14 de manera que tome la forma del esquema que indie&mOl!I en la Sección 49 en relación con la primera. demoatración del Teorema 11. 21. ¡,Puede a.firmarse que la división es la. opere.ción inverea. de la multiplicación en el conjunto de todos loa números?

22. iExisten operaciones inveraaa (en el conjunto de todoa lc>a números o en el de toda.!!. I&& configuraciones geométrica.a) para las operaciones que e:rpueimoa en loe Ejercicios 3 y 41

23. ~Qué operación es 1& inven& a derecha, o a izquierda, respectivamente, de la sustracción (en el conjunto de todoe loe números)? •24. En la Sección ó3 indicamos, a modo de ejemplo, la defi. nición del efmbolo .O.. Para tener la seguridad de que ésta no puede lleva.rnoe a ninguna oont.radiceión debe estar precedida por el teorema siguiente: e.:eiaU ez.adatMnte un númeTo z tal que, pam cualquiu núml!ro 11 11 + Z =y.

kMmos;

Demostrar eate teorema apoyándoee solamente en loe ADo. ma.e 6-9.

25. Formular 1&8 propoaicionee que e:rpreaan que la 1ua· trM:ción es realizable, conmutativa, aaociativa, invertible a. derecha y a izquierda, y monótona. a derecha. y a izquierda, reepecto de la relación menor que. Investigar cuáles de dichas propoeiciones son verdadenwi, y demoatra.rla.s, cuando sea el ca.ao, eobre la. base de nuestrol a.Doma.a y de la Definición 2 de la Sección ó2. 26.

De nuestros aziomae y de la De6nición 2, dedúzcanee loe

tooremaa aiguient,eo;

2!2

(a) :t-(y+ z) - (:z-y)-z, (b) • - ( y - • )=(•-yl+ .. (e)

z+y"""z-[(z-y)-z].

•21. U8&11do la ley de n!&lizabílidad de la l!lustracción y del Teorema (e) del ejercicio &nterior , d emoatrar el teorema 11iguiente:

para ~ un conjunto K tk númm1.1 ua un grupo abeliaao ru'f'Ulo lh la adición., u 1ltCUOrio '!/ 611.fic~:nk qm la diferencio entre doa nú~roa cuakaquUJra ck didw amjunto, putemzca lambth al umjunto K (ee decir, qiu. laa f6rmvüu :reK e yeK impliqutn

.Mm.prez-yeK). Utiliur eet.e teorema pa.ra encontrar ejemploe de conjun~ que 80&.ll grupoe a belianos respecto de la adición.

nu.a:u~riooe

28. F..acribir en aimboloe lógicoe todos loe a.xiomu:, definioionee y teorema.s dadoe en loe doa últimOl!I cap(tul08.

Indicación: Antes de formular simbólicamente el Teorema 16, póngaeelo en una forma equivúente de la que b&yan sido eliminadoa los oU&Dti.ficadoree numériooe en virtud de lu explica.clones da.das en la Sección 20. •29. Escribir en ai.mboliamo lógico la.111 fórmulal!I que expreaan el hecho de que una claae K es un grupo abeliano respecto de la opera.ción O (de acuerdo a. la. definición dada en la Sécción 47). Comid.6tcme ademé.e IM tres (órm.ul&e siguionte.:

(a)

..~r[(z e K/\y eK)~zO ve K),

(b)

.,~ ,[(a: e K

(e}

Ay e K A z: e K ) -+ (z O y) Oz ""' z O(y Oz:)],

~.,[(zeK AyeK)-+ ~[z:eK

/\z =y O z: Az= z: Oy]].

Tri.teee de demostrar que esta.a tres fórmula.a d&n ona definición equivalente de )& expresión:

IX CONSIDERACIONES •ETODOLÓGICAS SOBRE LA TEORfA COllSTRUIDA

56. Bllm1Dacl6n d• ulo111&1 aaperDaoa en el 11s&ema orlglnal En los doa ce.pitulo11 a.nteriol'ftl vimoa a grandea rugoa loa fundamentos de una. teorla ma.temé.tie& elemental que constituye un fragmento \;le l& aritmética. En éete, &fi&diremoe algunM obeerYacionee de carácter metodológico relativas aJ. aietema. de axiomaa y términoa primitivos que eirve de base a dicha toorl&. Ante todo, intent.aremoe ha.oer intuitivas con ejemploa concreto8 las observaciones que bici.moa en la. Sección 39 sobre pro· blemu como el de la a.rbitrariedad en la elección de a.xiomaa y términos prim.itivoa, la posibilidad de prescindir de axiomu aup&r:8uoa, y otros. Comencemos pregunt&ndonoe ai el siMt.em& de Axiomu 1-U que hemos a.doptado -que llamaremoa, por brevedad, &lS'H·

:.u. V - contiene acaso axiomas euperfluoa, esto ea, axi.omae que pueden deducirse de loe reet&ntee del sistema.. No ee dificil oonteetar a dicha pregunta, y preciaament.e, en sentido afirmativo. En efecto, tenemos:

Tna tk loa arioma8 rW Sialema. V, a saber, uno tk loa .Azio11, ~ ltr

"'°" 4 o 5, el AzWma 6 y uno ck loa .Aziomoa 10 u 4m...io.c1eio....ia.... - .

... DbOSTa.4.CJÓN.

En primer Jugar moetra.moa que

cualquiera tk loa Arioma.t 4 o 5 pwde at.r derivado cid otro con ayuda de loa~ 1-3.

(I)

Pa.ra ello observemos que l• demoetración del Teorema. 3 ., b6M exclusiva.mente -directa. o indirecta.mente--- en los Ariom&1 1-3. Por otra. parte, disponiendo de antemano del Teorema 3, el Axioma. 5 se puede deducir del Axioma 4. (o viceversa) por el siguiente razon&mient.o: Si t. y>z, entonces, por el Teorema 3,

y< %

y

z < y;

a.plicando el Axioma 4 (oon u. reempla.zado por m y m por u.) obknemoe: z<.z, que, por el Teoren,ta 3 nuevamente, implica:

:e >z, es decir, la oonclwñón del A.rioma. 6. Do manera aoálog& puede probaree que:

(II)

....iqu""'¡¡,'°'A"'°'""' IOu ll 1"'«1<..,.¡¡,,.;""4o tkl otro con ayuda de /Qf Arioma.t 1-3.

Fina.Jmente, tenemoe: (ID)

el Axioma 6

~

dtnmrsit ~loa A:ciomaa 7-9.

*La demoetJ'&ción de esta última aserción no ee tan sencilla, y recuerda. 1& segunda demoeiraci6n del Teorema 11. Supoog.. moe dad°' doe númerol!ll arbitn.rioa z e 71; por aplicacióu culidruple

JNTtlOOUOCl:6N A LA LÓGICA

del Axioro& 9 podemoe auceeivameote introducir cuatro nuov08 oúmeroa u, w, • y v quo Mtiafa.cm lu eigujentoe fórmulas: (1)

y - y+ V,

(2)

u- :i+ ID,

(3)

y=to+z:,

!')

Z=tJ+t1.

Teniendo en cuenta. la ley conmutativa, de (l) se deduce que Y=

u+ y;

1i ae combina. esta igualdad e;ou (4) y ee razona dol miam.o modo que en la demostración del Teorema 11, haciendo UIO de la ley aeociativa ee llega a la fórmula: (6)

z - u+ z.

Partiendo de (5) y (2) Uegamoe a: Z=(:z:+to)+z:, de donde, nueva.mente en virtud de la ley aaociativa, z=:z:+(w+z). que, en virtud de (3), impli(l4l.: (8)

z: - :e + y.

Aá hemos mostrado que pan. doe nWneros cua.lmquiera. :e e y eDte un número z:, para el cual vate (6), que ea, precillameo.te, lo que ae tr&t&b& de demoet.r&r.

Debemoa &greg&r que el rAZOOaDliento que se acaba de mbour no aólo es aplica.ble a la. adición, .lino t&m.bMn -de &cuerdo e.

288 l&e obeena.cionee genen.lee de tu Secclonea 37 y 38- a oualquier otra. operación: toda operaci6o. O que 1ea coDIDutativa, aaooiatin e ínnrtlble a derecha en una clue K, ~también realizabki e.o ""' olaae, y la clue K oomtituiri. entonoee un grupo abeliaoo n!8pOOto de dicha operaoión (cf'. Sección 47).• De la.e consideraoionea espueetu se desprende que el Siatema V contiene &1 meno& tres az:i.omu superduoe; por oonaiguient-e, ee podrá reempl&z&r éste por otro lliatem& equiv&lente integrado

por loe ocho uiom~ eiguientaa: A.DOMA l ', Pam n1'mtnlr' cualuquiml z e y u vdlido: :z: = o zy.

A.nolU.2'. Si :z: y, eNonet.a y :1- z. A.DOllU. .4'. Si z < y e y < z, mtoncu z Axlo•~6'. z+y =y+ z. A.noiu. 6'. z +~y+ z) - (z +y)+ z. Anolli 7'.

mero z kJlqv.e z

Para nÚflltt'oa

=y+ z.

A:lloJU. 8'. Si. y

Llama.rema1

< z,

8I8T'DU

~

nContt1 z

"

< z.

z e y u:i8k •• ,..¿_

+ y < :t: + z.

V' a este Utema de uiomM; tenemo.

.hora el lliguiente resultado:

Compara.do OOD el original, el DlHIYO siBtema. aimpliicado pre. aenta cíertM lagunas de&de el punto de vista est.6tico y di<Üotioo: ya no es llim.4Strico respecto de loa dos s1m.boloe primitivoe y•>•, ya que en este sistema ae admiten sin demoetración oiert.M propiedad.ea de la relación < , mientt&a que otna propiedad.ce oomplet&m.ente a.nálogu de la relación > tienen que ser demoetradu; falta tambi9 en el miamo el A.Doma 6, de carácter elemental e int.oiti.vo, pero cuya deducción, a partir de loa &:riom&8 oonteDidoe en el Siatem& V', ofrece a1funaa dificultades.

•<•

INT1lODUCCIÓN A LA. l.OOICA

237

56. lo4epend.enola dt loe ulomu dtl 111Cema llmpl1Dcado Ahor& 1urge la cueetión de Ñ el Sistema V' contiene aún a.xiomaa 1uperfluoe. Podemos mostrar que no es éate el caao:

P&ra. est&blecer l& propoeición metodológica que ac&b&m.oe de formula.r emplea.remoe el mátodo de demoatración por int«pretación, que ya h& sido U&ado en un oa.ao pa.rlicula.r en la Sección 37. Debemos mostrar que ningón axioma del Sistema V' ea deducible de loe reet&ntel. Limi~monoe, por ejemplo, al Axioma 2'. Si en los Womu del Sistema V' auatituimoe el eimbolo e<• por •=e;•. sin Jllnguna otr& altttación, veremoe con facilidad. que a co~uencia de dicha traneformación ninguno de loe axiomu, ea.lvo el 2', pierde su v&lidez. Loe Aiiomu 3', 6' , 6' y 7' , que oo oontenian el símbolo•<•. quedar!.n ina.lterad.oe, y de loe Axiomu l', 4' y 8' ee obtienen, en virtud de la. austi.tución citada, ciertoe teoremaa aritméticos, cuya demostración, sobre la. base de loe Sistemaa V o V' y de la. Definición 1 del símbolo c:!O;t (e{. Seo· ción 46), no presentan difi.cult.ad.ee. Puede, pues, &firma.rae que el conjunto N de todoe loe nó:meroe, la.a relaciones E; y > y l& operación de adición oon11tituyeo un modelo para loa Axiomu l' y 3'-8'; el aiatema. de est:oa siete a.riomaa encuentra con ello una nueva interpret:&cíón arit~tie&. Por otra parte, no Mri& dificil Yet que la propoeición lograda al trane:íonna.r el A.s.iom& 2' ee falaa., ya que en la aritm,tica ee demueetra. í&cilmente 10 negación; la. fórmulr.: no siempre excluye:

y Ei: z,

pueeto que e:i:iaten númeroe z e y que 1&tisf&0en &l. miamo tiempo lu doa deeigualdadee:

238

(caeo que eólo ee presenta. evidentemente cu&ndo lo.e nómerot z e y son iguales). Si, por lo tanto, uno cree en h~ coneietencia de la aritmética (cf. Sección 41), uno debe aceptar el hecho de que l& propoeici6n obtenida del Axioma 2' no es un teorema de eeta di.aciplina.. Y de esto se sigue que el A.Doma. 2' no es deducible de los restantes axiomae del Siatema V'; de lo contrario, eate axioma no podría deja.r de ver Válido en una interpret&ción que hace d.J.i.doe a loa otroa axiomu (cf. oonaideracionea análogas en la Sección 37). U9&1ldo el mismo m6todo de razonamiento, pero aplica.ndo ot.raa interpretacionee, podemos obtener .,¡ mismo resultado para cualqui"ra de los otros axioma&.

•En general, el m6todo de d emoetra.ción por int.erpret&eión puede deecribine como sigue. Se tra.t& de moatrar que cierta proposición .A n o es CONeCuenci& de cierto sietema 6 de a:liomu u ok'oe enunciadoe de una teorla deductiva dada. Con este pro· pó!ito, oonaideramoa una teorfa deductiva arbitraria X. cuya ooomtencia aaumiremoa (puede tratarse, en pa.rticular, de l& miam& teorfa a l& que pertenecen los enunciados del siatema 6 ). Tratamos entonceB de enoontr&r, dentro de esta. teoría, um. interpret&ción del sütem& 6 tal que no la propoaición A, Bino 1n1 negación se tra.naf'orm.e en un teorema. (o, poeiblement.e, un a.xioma) de la teoría X. Si logramoe hacerlo, pOOemos aplicar ]& ley de deducción enunciada en la Sección 38. Como 11&bem011, ee signe de eat.& ley que, si la sentencia A puede derivarse de loa enunciados del si.atema. ella oontlnuari siendo vüida en cuaJquier interpretación de eete eietem&. En oon.eecuenoi&, el mero he<:bo de ezistir una. interpretación de 6 en la a.cual A no ee v4.lida., ee una. prueba de que eet& propoeición no puede eer deriv.da. del llistem& 6 . Hablando mú Nt.rictament.e, ee una prueba de la proposición condicional:

e.

:Ea fí.cil ver por qué debemoe incluir la hipótesis de que la teori& X ee coneiatente. De lo contrario, la teoria X podría. contener enter 8UI uiolD&l!ll y teoremae doa propoeicionea oontn.dictoriM, 1 ea,.

INTRODUCCIÓH A U

LÓGICA

...

tonoee no podriamoa concluir que X no contiene la propoeieión .A (m'8 precisa.mente, la interpretación de .A), del hecho que X con. tiene 1.. negación de A; de eet& manera uueetro argumento no 89g1lirl& lliendo válido. Pa.ra. llegar por el camino expueeto & una prueba exhauati.va de la independencia de un sistema dado de u:i.omas, deberá. apli· ca1'88 el método descrito tantas •eoee como &Domas haya en el sistema considerado; cada a::cioma ee tomará sucesiva.mente como la proposición A, mientras que 6 oonaistirá de loe restantea a.Do. mas del Bi.eteme..• 57. Bllmlnacl6n de térmlnos prlmltl'fOS anperDuos y 1nbllgu1en&1 slmpllttcacl6n del sls&em.a de u.lomas; concepto de grupo •bella.no ordtDdo

Volvamoa de nuevo al Siat.ema V'. Siendo bite independiente, será imposible simplificarlo desechando a::ciomM super:8uoa; pero podrá lograrse una simplificación por otro camino distinto. Comprobamoe, en efecto, que loa Uirminos primitivos del Sistema V' no son independientes entre si. En la lieta de Uirm.inoe primitiv011 puede eliminarse uno cualquiera de loe símbolos «<• o c>t, y definirlo a partir del otro. Esto puede verse fácilmente del Teorema. 3; teniendo en cuenta eu forma, este teorema puede ser considerado como una definición del elmbolo «>• mediant.e el sfmbo. lo•<•, y si permutamos en él loe dos miembro11 de la. equivalencí.&, podremo11 considerarlo también como definición del aimbolo medi&nte el efmbolo (en amboa oaaos oonvendri anteponer a1 teorema las pala.brae C• tienen significados igualmente claroe y la.a relaciones denotadas por ellos ~ propiedades completamente análoga.e; por consiguiente, pudiera. parecer artificial considerar uno de estoe térmín08 inmediatamente comprensible, mientras que el otro debe aer primero definido con au ayuda; estas objecionee,,ain embargo, no son convincente&.

•>•

•<•

Si, preacindiendo de razonea did.M:ticu, decidimos eliminar uno de loa eimboloa en cuestión de la liata de términoa primitivaa, ee

240

preeent&rá el problema de dar a nuestro lirt.ema de a.z.iom.MI Wl6 forma en que no aparezClill términoa de&nidoe (direm.oe de puo que éate • un poatul&do metodológico del que a meaudo ee pmscinde en la. prictica; en geometrla eepecialmente, loe a.z.iomu ae formul&n de ordinario con l& ayúda de términoa definidoe, para &OeDtuar au sencillez y claridad). Eete problema no preeent.a ninguna. dificult.ad; tod.& fórmula del tipo: 2:

>y.

ae reemplazará. en el Sietema V' simplemente por la fórmula:

que, en virtud del Teorema. 3, ee equ.iva.lente a l& primera. Ee fácil ver que el Axioma. 1 puede reemplaza.ne por la ley de cone:Dón, ea decir, por el Teonima. f, ya que cad& UD& de eatu doe propoaicionea ea deducible de la otra en virtud de las leyes gen• ralee de la lógica. (del cálculo propoeicional, exactamente); el Axioma 3 se transformará ahora. en una &imple euatitución del Axioma. 2, y puede ser omitido por eete motivo. Ae1 llegamos al sistema compuesto por loa siete a.xiomaa sigui&ntee: y;~ z
Axlolli l". Si z -:F

ADolli 2". ADoJU. 3". A.Dollif". .llloau 6". Axlolli 6". muo z tal qw z AD.oiu.7".

Para númuoa" cuoluquiera z e y, e:riak '"' nú.= y + z. Si y < z, e~ z+y < z+z.

Este Bistem& de uiomae, llamado SISTlllU. V", reeulta entoocea equinlente & cada und de loe dos Biltemaa a.nterioree, V y V', Al decir esto cometem.OB, ain embargo, nn& inexactitud, y& qne ee impoeible deducir de loa &Iiomae del Sistema. V" laa propoeicioDM de loa Sil!ltemu V o V' en que intervenga el aimbolo •> t,

INTIODUCCJ:ÓH A LA LÓGICA

mientru oo ee agregue al Siltema V" la. definición de dicho almbolo. Como ea e&bido, a eeta definición puede darle la forma aiguiente: DDllflCIÓM l". Decimot qw z >y, .ri, y a6lo "· 11

<:t.

También sabemos que esta ó..ltima. propoeición puede demoetrane basá.odoee en los Sistema.e V o V' , si se la trat& no como definición, si.no como un teorema. corriente (suprimiendo entonces lu palabra.a tdecimoa que.). La equivalencia de loa tres sistema.e en cueatión puede ahora formul&l'98 como sigue:

El Sintma V" jumo con la Definición I" u ~·~ a cada uno d.t. lol SWmM V y V'. Siempre que .e eompa.ren doe eiatemu de nioma.e que, a.unque equivalentes, eo parte al me:noe contengan términos primitivoe diferentes, será. necesaria. un& formulación como la. que a.cabamoe de ver. El Siltema. V" ~ ca.racteriza vent&josa.mente por la. simplicidad de su estructura. Su.e tres primeros axioma.e .ee refieren a la relación mnor que y juotoe establecen que el conjunto B eeU. ordenado por eeta. rel.&ción; loa tres siguientes se refieren a la adioión y expresan que W oonatituye un grupo abeliano reepecto de dicha operación; el último axioma -1& ley de monot.onfa...- eat&blece final.mente cierta dependencia entre la. rel.&oióo menor que y la operación de adición. Decimoe que una.

claae K

el t1D. ORC'l"O ilZ~O OJll>J:lfillO Jl.S8J'ICCTO DJ: L6. U•

U.OJÓN R y u. OPBB.&CIÓN O, si, (i) la claae K eet4 ord~ por la relaaión R, (ü) la clue K ee un grupo abeliano reepeoto de la. oper&oión O, y (ili) la operación O e1 ti>.onóton& en la cla.se K reepeoto de la rel&eión R. De acuerdo a eata. terminología, puede decine qne medi.&nte el aist.ema. de axiomaa V" el conjunto de todoe lOI 111imeros queda caracteriza.do .como un grupo abe. llano ordenado respecto de le. rele.ción menor f'U y de la operaaióu de adición. Pueden mta.bleoerae loa aiguientea hechOI oonoemientee &1 Bi&-

t.emr. V": llft~IÓMAU.LÓGICl.L.-11

242

Bl SWma V" u un~ lMtpendieftl.etk~. y ademcú todoa IW tbmino1 primitiVOI, a aaber, tlh, y •+•, aon mutuo. ment.e intú.pen4ie1Uu.

•<•

Omitimoe la demoetr&eión de este enunciado. Obeerva.remoe it0lamente que par& eeta.blecer la. independencia. mutua de loe términos primitivos, debe &plicane nueva.mente el método de demoetr&ción por interpret.acidn que, en este Ca&O, presenta. una forma algo más complicad&; por falta de espacio no describiremoe lu modificaciones a que deberfamoa someter dicho método pua lograr eete propósit.o. 68. Slmpllftcac16n alterlor del alltema de u10111&1; P01lble1

traurorma.eloaes del

~ma

dt &6rm1Doa pr1ml.t1••

Como es obvio, el Sistema V" puede 1ustítuine por cualquim' otro eiBtema de proposiciones equinJentea. Aquí expondremoe un ejemplo p articularmente sencillo de un sistema. de est& cl&&e; él!Jt(I, que puede ser llamado SISHIU. V "' y que contiene loe m.i.Bmoe t.érm.inoe primitivos que V", oonata solamente de cinco pro· poaiciones: Si :r:-:# y, entonu.t z
AnoM..A. 2"'.

+

Mostn.remos que:

DDrOSTJU.OIÓN. Ohllervemoe en primer lugar que todos lOI u:iomaa del Sistema V"', o bien eatÁn contenidos en el Sistema V (el Axioma 2'" coincide, en efecto, oon el Axioma. 2, y el Axioma 4"'

INTltODUCCIÓN A. LA LÓGICA

con el Axioma Y), o pueden demoetrUM en baee a dicho sistema (loe Axiomas l "', 3"' y~,,, ~cidea con loa Teoremas 4. 9 y 14, mpectinmente). Ahora bien, como loe Sietemae V y V" eon equív&lentes, segó.u aa.bf&moe por la. Sección 57 (siempre ae podr4. &greg&r al Sistema V" la befinicióa l"), también podremos afirmar que todas las propo&icione& del Sistema V'" serán demostr&blea en base al Sistema V". Sófo falta.rá., pues, deducir de lol axiomas del Sistema V"' lae propoaicionee de V" que faltan ea aquél, ea decit, los Axiomas 3", 4", 5" y 7". Eet& tarea ee algo máa difícil. •Comenzaremos coa loe A.riomaa 4" y 5". (1)

El arioma , .. puado dd 8'81<"'4 V'".

Aplica.re.moa el As.ioma 4-"' & doe ndmeros arbit.r&rioe z e y (iDlel'tando tzt en el lugar de cyt, y reclprocamente); habrá &Id un número z ta.l que: (1)

Si en el Axioma 3"' e118Utuim.oe ademáa cy. por en, ee obtendré. eat.onoes: (2)

%

+ (z + z) -

(z

+ z) + z.

Teniendo en cuenta (l), en el primero y eegundo miembro de la. tegund& igualdad (2) podremoe reempla.zar u + n por ty1; oon ello obtenemoe el ADom& 4!':

z+ y = y +z. (11)

El Axioma 5"

~ aer deriwdo del

Siatema V"'.

En efect.o, por el Axioma 3"' (oon tyt SWJtit.uido en lugar de m y recfprocamente), obt.enemoe:

en Yirtud de la ley conmut&tin, ya deducida en (1), en eeta. fórmu· la ae podñ reemplazar e+ Y' por 'Y+ n, obteniéndoee el Ano· ma6": z + (y+z) = (z +y)+ z. P&r& fa.cilita.r l& deducción de loe A.xíom8a 3" y 7", moetra.. remoa primero de qué m&nera. pueden deducirse algunoe de loe teorema.e y a.Domas indicadOB en loe capftulOB anteriorea & p&rtir del Sistema V"'. (ill)

El Teorema l pue.d.e au dnivado del SWma V'".

Basta obaervar que la demostración del Teorema l ezpueet& ea la Sección 44 ae apoya exclueivam.ente en el A.sio111a 2, que, por eu parte, ·coincide con el ADoma 2'" del Siltema V"'. (IV)

El Arioma 6 pue.d.e ttr derivad.o dd Siafttna V "'.

Hemos visto en la. Sección 66 que el Axioma. 6 ee podfa. deducir de los Axiomas 7, 8 y 9. Loe Axiomas 7 y 8 coinciden reepectiv... mente con lOB Axiomaa 4" y 6", y podrán demoatn.rae, por lo tanto· en virtud de (I) y (II), de los axiomas del Sistema V"'. El Axiom& 9 aparece en el Sistema V'" como Axioma 4"'. Por consiguiente, el A.xíom& 6 &erif. deducible del Sistema V"'. (V)

El Ttm!fM 11 puedt. au derivado dd Simma V"'.

En la eegunda demostración del Teorema. 11, como fue indi· cada en t. Sección 49, 'Wl&moe eolamente loa Axioma.e 7, 8 y 9. El t.eorem& ooneiden.do ee podrif., puee, deducir del ·Sietema V'" por lae mismu razonee que el Axioma 6; véue (IV). (VI)

El Teonma 12 puede 11er derivado del Bimma V"'.

Supongamos que l& hipóte&ie del Teorema 12 aea v&lida:

z+y
...

INTllODUCCIÓH A U. LOOiCÁ

y apliquemoe el Axioma 6"', reemplazando fJJ1 él m, tJI' y di por _,., en y en, respectivamente. Se sigue que una de lu fórmulu: z<:i:

o

y
debe ser vá.lida; 1& primer& posibilidad debe aer recha.zada pu61to que oontradice el Teorema l que, oomo ya. se ha mostrado, ee derivable en el Sistema V"'; cf. (111). Por lo tanto, la ooncluai6o del Teorema 12 debe ser vé.lid&:

y
El A:rioma 3" f'W'Ú aer dmvado dá Si.atema V"'.

A.ruma.moa laa hipótesis del A.Dom& 3", eeto ee, lu fórmul&ll: (1)

(2)

y


Si fueee:

y+:z:=y+z, de a.cuerdo con el Teorem& 11, que ya ha eido demoetrado en (V), tendría.moa:

Podriamoe, pnee, suetituir an por

CD

en (l) y llegar

C0.11

ello a:

:
Como y + z e y + z son ndmeroe (Axioma 6), en virtud del Axioma l"' ee deduce de (3) qn"e un& de laa liguientm fórmulu debe valer:

... En Ja segunda de Iaa fórmulaa C'). podemoe, en virtud del Axioma 4'', ya deducido antee, euatituir cy + :i:t por c:z + yt; aal llegamos&:

y

+z < ::t +y.

Ahora aplicamoe a la última fórmula. el Axioma 6"', donde reempla.z&mos cyt, en e ttp en loe lugU'88 de ut, tyt y tt», ttl8pC!Ctivamente, Llegamos de eet& manera a la. siguiente con.secuencia: y< z

o

z
pero eat& consecuencia debe rechazarse, pues en virtud del A.z.io. ma. 2'", ella contradice la.e fórmulas (1) y (2) que constituyen'. Ju bipóteaia del Axioma 3" . Volvemoe, por lo tanto, a la primera de laa fórmulas (4), y aplicamos el Teorema 12, que. según bemoa visto en (VI), ea derivable, con e t reempla.za.do por .y., y recf. procamente; aa.I obtenemoe:

z

< z,

ee decir, la conclusión del Axioma 3"'. (VIll) El Arioma 7" pwde ur tUrivado da Siatema V"'. L& manera de razonar es anAJ.oga a la. precedente, si bien

bastan~

m'8 .eencilla.. Supondremoe la hipótesis del Axioma 7": (I)

y
Si fu_eee: ee aeguírla. del Teorema 11 que:

y =z; entonces en (1) podri&moa :reemplaz.&r ~por m y as1 llega.ri&moa a una contradicción con el teorem& 1 que ya h& lido derivado en (III). Valdri, por lo t&nto:

INTRODUCCIÓN A LA. LÓGICA

247

de dondo eo doduoe por ol Ai.ioma l"': (~

%+y
%+z
o

En virtud del Teorem& 12, la. segund& de eeta.a deBi.guld&dea DOB da:

z
z+y<:t+z, que ea prooiaamonte la ooncluai.ón del Arioma 7".• Bemot visto de eet& manera que tod.u lae propoeicionee del Sistema. V" se pueden inferir del Siatema V "' y reciprooament.e; oon ello LOS SISTBKü V" T V'" SON, BRarIV.ill:sMTB, BQUI·

El Sistema V"' ee indudablemente m'8 sencillo que el V" y, por lo tant.o, m'8 sencillo aó.n qoe loa Sistemas V y V'. EB pa.rticularmente interesante la. oomparaci.6n entre los Sistemas V y V'"; a causa. de las euoeeiva.s reducciones que hemos llevado a. ca.bo, el número original de u..iomaa se ha reducido en má.s de la mitad. Por otra. parte, debe advertirae que alguna.a propoaicionee del Siatrlmi. V"' (a a.her, loa A.z..iomaa 3'" y 6'") tienen UD cari.cteT menos natura.1 que loa axior:oae de los reeta.ntes eietemaa y laa demoetracionee de algw:ioe teorema.a a'l1n muy elementalee reaul. tan aquJ relativamente mú diffciJN y oomplica.daa que aobre la bue de 108 otroe lliatem&I. Lo miml.o que un sistema de axiomaa, un sistema. de ~rminoe primitivos puede reem.pla.zarae tambh\n por otro sistema eqniva.leute. Eato afecta. en particul.a.r al eist.ema de los tree t.érmino8 ti'•, y e+• que intervienen oomo 6.niooa ténninoe primitivoe en los az:ioID.88 ~Illliderad.oa lilt.im&mente. Si, por ejemplo, -en este aiatema. se IUStituye el efmbolo por «:lit•. obtendnimoa un litt.e1Da eqninleute, ya que el aegnndo de diohOll sfmboloe eo

•<•

•<•

... podJ&- de&.nir en Mrminoa del primero y el Teorema 8 noa diee que el primero es definible en términos del tegundo. Ta.I tr&Nfor· mación del aiatema de t6rminoe primitivos no ofrece ninguna vent.aja; en especial. no a.porta nada a la. simplifi.cacid'n de loe axiomaa, pudiendo parecer al lector, máa aooatumbrado quid. al uao del slmbolo que al del elmbolo •"•· algo a.rtificial. Se puede obtener otro sistema equivalente reempla.zando el símbolo •+•por•-•; pero tampoco esta transformación serla ventajosa. Para concluir debemos eeí\a.la.r que ae conocen otros eistemu de términoe primitivos, equiv&lentea a loa que hemos tratado, compueatoe solamente por dos t.érminoe.

•<•

69. El problema de consistencia de la teorta oomtndd& Trataremoa ahora. brevemente otroa problemas metodológieoa ooncerníentes &l fragmento de aritmética considerado máa &rriba; 6lltoe son loe problemu de conaiet.encia. y de oompletidad (cf. $ec. cióo 41). Como es irrelevante referirnoe & uno u otro de 108 eistemu equivalentes considerados, nos referiremos siempre al Sistema. V. Si creemos en l& consistencia de toda. la aritmética (bipóte&ia que hemos asumido previamente y que asumiremos nuevamente en nuestras consideraciones poat.ariorea), ent.onoe11 con más razón debemos aceptar que:

Pero mientra.e que los intentoe de demoltrar riguroeament.e la conaistencia de toda la &ritmética han tropezado con didcultadee "8enciales (cf. Sección 41), una demostración de eate tipo para el Sistema V no eólo ee poeible, pero inclu11ive relativamente aimple. Un& ra.zón para est.o es el hecho de que la. variedad de teoremaa que pueden derivarse del aistema de axioma.e V es· realmente muy pequeii&; por ejemplo, ea imposible contestar en base a este aiatema una pregunta. tan elemental como la de lli existen nlimeroe. Ellta circunstancia. facilita. oonsi.derablemente la dem08tración de que el fragmento de aritmética considerado no contiene n.ingó.n par de ~mu oontradiotorioe. Sin embargo, aeria oompletlt-

INnoDUCCIÓN A U. l.ÓCICA

...

mente impoei.ble con loe med.ioe a nuostn disposición esbozar l.& demoetraoión de ooDSisteDcia o a un tratar de dar al leotor l.& idea fundamental de la miem&; oeto requerirla. un oonocimiento mucho máa profundo de lógica y, como trabajo prelimin&r, eeri& nece. aario reooDBtruir l& parte en cufllltión de la aritmética como teoría deductiva formalizad.a (cf. Sección 40). Puede agrogane que ai enriquecemos el Sistema V con una. sol& proposición que afirme Ja. existencia de &J. menoe doe nómeros distintos, entonces ei intento de probar la consistencia del Biatem& &xi.omá.tico así ampli&do encontrarla. las mismas dificnltadee que en el caso del sist.ema p&ra la t.ot&l.idad de la. aritmética. 60. '.11 problema de oompleadad. de la &eorfa construida

E n comparación con el problema de coneistencia, el problema de completidad del Sistema V puede aer tratado mucho mú fácilmente. Existen numero808 problemas formula.doe exclusivamente en términoe lógicos y términoa primitivoe del Sistema V que no pueden decidirse sobre la bue de este sistema. En el párre.fo a.o.te. rior hemos trata.do precisamente uno de ta.les problemas. Otro ejemplo lo constituye el enunciado según el cual para todo m1mero :r existe un mlmero y tal que

z =- y+y.

Sobre la. base de loa axi.omas del Sistema V, no ea posible n.i demostrar ni refutar eet.6 proposición; resulta eato de la siguiente consideración. Con el eimbolo df• deeignamoe el .cónjunto de todoe loa nllmeroe rea.lea; el conjunto JI comprende, puea, tanto I011 nómeros enteros como loa fraccionarios, tanto loe racionalee como loe irrMlionaJee. Pero ee fi\cil ver que ninguno de los axi.omu del Sietema V, y por lo tanto ninguno de los teoremas ded.uciblee del mismo, pierden su validez si designa.moa con el eimbolo tX'• el conjunto de todos los n6meroe enteros (positivos y negativoe incluyendo el O) o el conjunto de todoe los nlimeroe racionaltie; todas 6IJt&8 propoeioionea comervarian su validez si la pa.Labr• mftmtrm lñgniñca.ee tnú1'Mf'O ~ o tl'lúmero racicmcUt. En el

primer ca.so la propoeición indicada, según la cual para todo námero e:Wtiría otro igual a au mitad, aeria falaa., y en el segundo, en. cambio, seria. verda.der&. Si logrúamoe demostrar eeta. propotñ. ción en bue al Sistema V, lleg&rfamos con ello a una contradio· oióo en la. &ri.tm6tica de loe números enteros; en cambio, ai pu~ aemoe refutarla, llegaríamos a una contradicción en la aritmética de loe námeroa r&cionalee. El argumento que acab&moe de esbozar pertenece a la catego. ria de las demostr&cionee por interpretación (cf. Secciones 37 y 66); para a.cla.ra.rlo lo reformularemoa ligeramente. Des.ignemoa por dt el conjunto de todoa loa números enteros y con tR• el de loa racionales. Da.remos e.hora. doe interpretaciones aritméticas del Sistema. V en la.e que loe símbolos•<•, y con· terven la miem& interprota.<::ión conocida, y el afm.bolo tN"t, en cambio, que e%plicita. o implicit&monte inteniene en todos loa aJiomaa, eerá reempl&zado en la. primera interpretación por tlt, y por dlt en la segunda.. (Dejaremoa de lado aqui las obeerva.cionee hechu en la Sección 43 sobre la poe.ible eliminación del eimbolo dft, ya. que esto complie&l'Í& ligeramente nueatro razona.miento.) Todos loa axiomas del Sistema V conservan au validez en ambae int«'· preiacionee; en cambio, la proposición:

•>• •+•

para todo número z eziate uti •úmuo y tal qm z =y+ y, aólo ee satisface en la segunda interpretación, mientras que en la primera, por el contrario, ea •'fida eu negación:

"° pam lodo númUo z eziM un número y tal qtU z - y+ y. Bajo la hipótesis de la conaiatencia de la &ri.tmética, de l& primera. interpretación ae concluye que la proposición coneiderad& no ea demostrable en base al Siatema V, y de la aegu.nda, que dicha proposición tampoco ee refutable. Hemos demostrad.o Mi que e:riat.eo. dos propoeicionee oontn.. dictoriaa, formuladae e~chusivament.e on t6rminos lógiOOB 7 tk·

INT'llODU
261

JUinoe primitivoa de la teori& mat.em,tica oontiderad&, n.i.ttgu.a.a. de laa cu&Jee puede deducitae del aiatema de uiom.. de tal teoria. En coneecuoncia, tenemoa:

l. Convengamoe que la f6rmula.:

z<·y eignific.a. lo mismo que: ~+

1
Sustituya.moe en loa a.xiomu del Si.tema. V" de la. Sección 67 el 11lmbolo •< •por•< ·•. Determineee cuále& axiomas CODIMll'Van 8U validez y cuálee no y conclúyue aeJ que el Az:iom& l" no ee deducible de loa reata.ntem,. tCómo se llama. el método de inferencia ua&do aquft 2. Siguiendo las lineas de la demoetra.ción de independencia esbozada. en la Sección 66 pAnoel Axioma 2', mostrar que el Axioma 2" no ee deducible de loa reat&nt:ee aiiomu del Sistema V".

3. De8ignemoe por el eímbolo •Ñ• el conjunto compuesto por loe nómeroa O, l y 2. Delinamoa la relación entre loa element.ol de dicho conjunto, estipulando que ta.1 relación rige eolameate en loe tree caaoa aiguientea:

<:

o< l,

l

<2,

+

2


Defina.moe ademú la operación con los elementos del con· junto li mediante la.e fórmulas eíguientea:

o.+o-1-i-2-2-i-1-o, o .¡_ 1 - 1 -i- o - 2 -i- 2 - l, o.+2-1.+1-2-i-o-2.

262

En loa ax.ioJDM del Si.etem& V", roem.pláoen.e loa términ.oa ¡:iri-

•+•.

miLivoe por Jt•.• .(,y reepectin.mente (y la palabra. mú.merot por la expresión tUM ck W. tru número.r O, l y 2'); moatn.r de este modo que el Axioma 3" no se puede deducir de loe

.............

4-. Par& demoatrM" mediante una interpretación que el Axioma 4.'' no es deducible de loa reet&ntee axiomas del Sistema V" baat& sustituir en todoe ell08 el efmbolo de e.dición por el eimbolo de una de las cuatro operaciones mencionadas en el Ejercicio 3 del Capitulo VIII. Averiguar cuál de dichas operaciones ee la que debe aer uaada.

6. C:Onaideremoa la opera.ción •e• que eatiefa.ce a la. fórmu.li.: y= Z · (• +y). Moetr&r con ayuda. de ella., que el Axioma 6" no puede deducin& de los reets:ntes u..iom~ del Siatem& V".

6. Comtruir un conjunto de números tal que junto a. la relación < y a la operación +, no e&tiaf'aga el Axioma 6", pero eea. un modelo para loe restantes axiomas del Sistema V". 1Quá oon.aecuenci& se puede extraer de aquf relativa a la. deducibilidad del Axioma. 6"1 7. P&ra mostr&r que el Aiioma 7" no puede demoatra.ne sobre la. baao de loa reeta.ntea uiomaa del Sietema. 'V", pueden euatituirae en todoa elloe .doa de loe términoe primitivoe de ett.e Bistema, por loe correepondientee elmboloa introducidoe en el Ejercicio 3, dejando invariable el tercer t6rmino primitivo. Det«mi· nar qui§ t.érmino debe perma.neoer in<era.do. 8. Loe resulta.dos obtenidoe en loa Ejercicios 1-7, muestra.o que ninguno de loa axioma.a del Sistema V" puede deducirae de loe reetantes. Lleva.r a. cabo demoatra.cionee de independencia an!logu pa.ra. loe axioma.a del Sistema V' de la Sección 66 y el Siat.em& V"' de le. Sticción 58 (usando, en parte, l&e interpreta.oionee aplicadaa en }09 ejercicioe anteriol'M}.

...

INTROllUCCIÓS A LA LÓGICA

9 Moetrar en bue al eietema de ar.iomae V" que, todo conjunto de m1meroe que oonstituya UD grupo a.beliano respecto de la adición, ee al mi.amo tiempo UD grupo abeliano ordena.do reepecto de la relación menor que y de la operación de adición. [Ddie&r ejemploe de ta.lee conjuntos de nó.meros.

10. En el Ejeroicio 5 del Capitulo VITI, expusimos ejemplos de oonjuntoa numéricos que cooatitufan grupos abelia.noe respecto de la multiplicación. tCoAle& de dichoa oonjuntoe son grupoe · a.beli&noa ordena.dos reepoot.o de la rela.ción menor que y de la operación de multiplicación, y cuAlea not 11. Ua&r el resultado obtarido en el Ejercicio 10 p&ra. d&r una. nuov& domo.tración de la independencia del Anoma 7" de loa reetantee uiomae del Siatema V" (cf. Ejercicio 7). •12. Demostrar el siguiente teorema. eobre la. bue del ma de axioma.a V":

a1

~

.ut..

por lo mmoa doa 1nímeroa di.di"'°6, ~ para todo nú~ro :z: t:ri.nt u~ mímuo y tal que :z: < y.

Generalizando este reeult&do, demostrar el aiguiente teorema genera.1 de la teoría de grupoa: .ri 7.a ela8e K u "" grufJO abdimw tWdmado ru'J)tC«J dt l.a ffia. ci6n R y de l.a operaci.6n. 0, y a1 K titM al tunoa doa ~. ~ poni t.odo demtftfo :z: dt K ~ "" tkmenlo y tk K , tal gue:z:By.

Demostrar haciendo 11110 de este teorema, que ninguna clMe que eea un grupo abeliAno ordenado puede oomt&r de doa, tree, ... elementos; ¡puede cowrt&r de uno 110lot (Véue el Ejercicio 8 do! C&pftulo VIII.) •13, Mostr&r que el ai&tema de Anomae l"-3" (de la Seoción 67) ea equivalente al sistema oompueeto por el A.rloma l' y la. proposición siguiente:

n

:z:
y< z, z < '· i < • y

u<"• mtotM:u " -t: :z:.

,.. Generalizando eete rwulta.do, demostrar el aiguiente toorem• de la teorfa de relaeionee: para que una claae K ata ord.enaJa por fa rdaci6n R, u nuuario y nficienk que dicha rdacma, GdotmiW ck Hf' eontm- en. K, cumpla f.a condici6n siguienk:

ft z, y, z, t, u y v aon. demenlo.J cualt..tquUra de K, yzRy, yRz, z.Rt,tRuyuRt1,~noudea.t0quevRz.

•14. Usando los cooaidera.oionea de la.e Secciones '8, 66 y 58, moetrar que los tres si..etemaa de propoaicionea Biguientea eon &quivalentee:

(a) el sistema de loe A.J:::iomu 6·9 de la Sección. 47; (b) el &iatema de loe.Axiomu f".6" de la Sección 67; (e) el sistema de loe Axiomu 3"' y 4"' de la Sección 68. Como genera.lización de este rmult.ad.o, formular nuevu definiciones de la. expreeión:

que reaulten equiV&lentee pero máa eimplee que la formulada en la Sección 47; eacrlbanae 1611 definicionm en símboloe (cf. Ejercicio •29, en pág. 232).

•16. Conaideremoe el siguiente loe a:liomu:

~ma

V"" compueeto por

Al:IolU. l "". Si z ,,¡. y, ~ z < y o y < z . A.DoJU. 2'"'. Si z < y, y< z:, z < t, t < u y u < 11, ~ CU V

1::

Z.

Á.DOJU.3'"'.

:i:+ (y+ z) =(a: +z) +y.

A.::iIOl'llA 4"".

Para nti.meroa tualuquitsa z e y e:eiak u• nV.-

mero z tal que

=y+ z. AuOIU. 5"". Si y< :z, :i:

nblul

z + 11 <

~

+ :z.

tNT•ODUCCIÓtf A LA LÓCICA.

"'

Uaando loe ·r eaultados de loe Ejercicioe 13 y 14, moetra.r que el Sistema V"" ea equivaleo.te • ca.da uno de loe SU.tema.e V" y V'".

16. En la.Sección 68 afinu"amoe que el aistema de loa términos primitivos dft, «<• y «+• es equiv&Jente al de los términos •Nt, «"•y«+•; en realidad a esta. atirm&ción deberíamos 1.d&dir que eetoa eist.emae son eqa.ivtJentes oon respecto 1. un de. termina.do sistema de proposiciones, por ejemplo, oon respecto a.! Sistema V"' de la. Sección 68 y la. Definición 1 de la See. ción 46. Explicar por qué es neceeari& tal aclaración. Dicho en general: ipor qué es necesario referirae siempre & un deter. minado aiatema de propoEcionee, cnando queremoa eeta.blecer )& equivalencia de doe si&temu de términOI (en el eentido de la Sección 39)! • ¡ 7. Consideremoe el Silrt.ema V"'" oompueeto por 108 siete ariomaa siguientes:

Axiolli l ""'. Pam númtl'OI ~iera :a: e y, tenemoa: o y"z. Axlolli 2""'. Si z ~ y e y " z, entoncu z = y. A.nolU. 3"'". Si :a: " y e y E; z, entone.u :a: E; z. ÁXlOJU 4-""', 2J +y - '!J + z . . A.Do!rU.6""'. z+ (y+ z)-(z +y)+ z. A.DOM.A 6"'". PBNJ ndfl'W'Of cualuqtlitra z e y, ezUU un. nú. mero:: talque z= y+::. ADOIU. 7""'. Si y 'i ::, mlo7N:u z + !1 <.z + a:.

•"Y

M:óstr&r que los eistemu de axiomas V" (de la Sección 67) y V"'" ae convierten en sistemaa de proposiciones equivaJ.entea agregando al primero de éstos la Definición 1 de la Sección 46 y al segundo el Teorema 8 de la Sección 46, considerando dicho teorema oomo definición del stmbolo «<•· ¡,Por qué no puede decine eimplemente,. que los Sistema.e V'"" y V" son equ.iva. lentes?

A.U'UD TAUIU

18. Tom.ndo como ejemplo loe u-gumentoa de la Seeción GO, moeitrar que con el 1iatema de uiomu V, la propoeición liguieat.e no puede dem0ttrane ni refutane: ri z

<

z, entoncu e:eille un número '!/ tal que z


!/ < i.

•J9. Moatl'&l' que eobre la bue del eiatema de a.Domas V, la eiguiente propolición no puede demoatra.me ni refutanie: ~ ~~ [(y

<

z) A (z < z)}.

•20. En el presente e&pftulo hemoa empleado el método de dmnostraci6n por interpreta.ción para. eet.ableoer la independencia o la. iDoompletidad de un ai.etecn& de axiomae. E1te m.iamo mét-Odo ee usa también eo. lae investigaeionee eobre coo.aiateo.cia.. En efecto, tenemoe • nuee:t:a w.po.ición la eiguiNite ley metodológica que ee ooneecuencia de la ley de deducción:

Si la koria tkducfüia 6 tkM •na inkrprdacKSn. m la twrlo lialudiva X y la teona X u ~. entoncu la tema 6 u también.~.

Moetn.r que eete enuncia.do ea correcto. En la. Secci6n 38 ee han hecho varia.a obeerva.cionee eobre posibles interpretacionea de l& aritmética y la. geometrla.; aplicando la ley que acab&moe de enunciar, deducir de eetu obeerv&cionea coD8eCU.enciu aobre i.~ conai.ltencia de la a.ritmética y la. geometría y su relaci6n oon la ooneiat.enoi& de la lógica.

X

B1TllllSIÓll DB LA TBOBIA COllSTRUIDA FUKDAlllllTOS DI LA ARITlllTICA DE. LOS lfllMIROS

BBAUI 81. Primer 1llMma clt ulomaa para la arltméUtla de lol •0.merot real• El sistema. de u:io:maa V ea inauficiente par& fundament&r tod.& la. aritmétioa. de loa ndmeroe 1"8&1ea, ya que -aegá.n hemoe visto en la Sección 60--- numeroeoa t.eoremas de eeta. disciplina no pueden ser ded.uoidoe de loe u:iomaa de eate Bistema, y ademú, por otro motivo no menos importante e, incident&l.mente, bastan. te &nálogo: puede moatrarae una serie de conoeptoe del campo de la. aritmética no definibles con •:ruda d11 loa términoa primitiToe del Sistema V. A.al, el Sistema V no noa permite definir loa eimbolot de moltipliOM!ión y de división, ni aiquiera. eímboloe talee cc.mo •lt, c2•, eto. Surge inmediatamenWI la. cue.tiÓD de oómo podemoe tl'&ll8formar o oomplementar nuestro eistema de uiomu y t.érminoe primitivoe de modo c;le logr&r una bue suficiente p&r& coDl!mllr toda la aritmética de loa n6meroe rea.lee. Eete problema p~e eer &olucionad.o de va.ria& maneru. F.eboz&rem.Ol!I aquí dos IMtodoa diferentes de aoluoión1 , 1 :l:l prt- .i.t.ema de Nlom&t pua ~ a. Nlt-4tlo. 4' ¡,,. 11.limerm _._ tMI PDblloadot11.eldollMIOporBn.lla.r,..w--... ..t6Nlacr:lonado-el.i.a.ma. utt, QIHI nNm,,. ~M. btM d• 1900 , . .. eoaoelaa oQoil . . . . _ d• .wo-

258

~da ~l =!1~~~~~;!~:1:~°ik~top~~

mitivoa de e111te sistema., agregaremos la palabra tuno•, que como de costumbre, euatituirtlmoa por el aimbolo dt y complementa. redl08 loe axioma.e con cuatro nUeva.e proposiciones; ae( obteodremoe un nuevo SIST:SIU. 'Zft que contendrá. los cuatro términoe primitivos «lf•, y th y constar6. de loe nueve &Iiomae que tranecribimoe expUcitamente:

•<•, •+•

A.nolrU. 1t. 8 z .¡.y, mt.oncu z
~

a K y lodo y ?!rkmciente a L, ttne-

si z u un elemento cualquiml tk K t y un tkmnat.o cualqutera tk L, y .ri :z: ..¡, z t y .¡, i:, tntontu :z: < z y z
A.Do-..@.

.i:+ (y+ z)- (z+ z) +y.

6'. Paro númeroi ~iu'a z t y, e:ei4t.t "'" Mmero z tal qw z :::1 y+ z. Ax:IOJU.7f. Si :z: + z < 11+i, mtoncu z < y o z < t. ADOIU

Ax!OIU.

St.

A:DOllA 9'.

1 E

1

lf.

<1+

l.

INT&ODUCCIÓN A LA LÓCICA

,..

82. cane&erllaol6n mú detta.lda del primer llnema d• ulomu; 11111 ven&aJu metodol6glcu r denen&aJu. dldMIUcu Loa axiomaa expuesto. en l& eección &n.terior ae dividen en tres grupos. En. el primero, compuesto por los -Axiomaa lf-4t, apareoen eólo dos términos primitivos, df• y •<•; en el segundo, al que pertenecen loe Axiomas 6t-7', además de loe ant.eriorea aparece t.ambién el símbolo •+•, y finalmente en el tercer grupo, compueeto por loe A.xiomaa et y 9t, figora además el eimbolo tb. Entre loe axiolD.&8 del pPimer grupo, encontramos doe que hasta a.hora no conocl&moe: loe Aiiomaa 3t y 4t. El A.xi.cm& 3t recibe el nombre de LEY D• DBXSID.il> pa.ra l& rela.ción meMr que; expresa que dicha rela.ción ee den.ea en el oonjunto de todOI loe númeroe. En general, deoimoe que una rela.ción B ee D11:1uu. u u. OUB• K , li pan doe elementos oualeequiera z e " de dicha claee, la fórmula:

zRy implica siempre l& existencia de un elemento z de l& clue K tal que

zRz

y

zRy.

DE OONTINUID.il> para. l& relación o -'.DOll.j. DE OONTDnJID.il>, o tambien -'.:rJOll.j. Dll:

El Axioma 4t se denomina LBT menor

que

D11:mnoND 1; ei queremos eetableoer de un modo general laa con.dicionee bajo lu ouitJ.ee la. relación B ae denomina OON'l'INl:r-'. mr u.. CUBii: K, baatará reempluar en. el Axioma. 4'. df• por t.K• (y como es natura.!, la. palabra m.úmer0t por la upreeión telemento ik la dcue K •), como t&mbi~n •<•por tBt. Si, en. particular, la olue K está ordmiada por l& nilaoión R y Mt& es densa .o continu. en K, diremos que K ecrt.á 09.DD-'.D.A. DDBill:KMT:B u OBDB.A.D&. 001'TllfUillDTB, respeotivame:nt.e. El Axioma. 4t es menoe e'ridente y máa complicado que loa reetantee¡ ee diferencia de elloa en que no sólo intervienen en 'I

260

AllU:D TAlt8ll:1

número.. individuales, sino conju.nt.oe de ellos. Pa.ra da.rle a eete &i:ioma una fonD6 m"8 aimple y oompreD&ible, seri 001:1.•eniente formul&r laa siguientes definiciODftl;

lhcimoa que el conjunto de núme'oa K

PREOBDB

al ocmjunlo L

at, y a6lo ft, lodo 111d.mero de K u mmor que todo número de L.

Dt.eimoa que el número z BBPAR.á. loa wnjunlo.t 11.umiricoa K y L ri, N aólo ai, para doa elemen.lof cualeaquiera z de K e y de L, amboa cU.nit&I<» de z, tenemtM: z < z y z < y. En base & eetu definiciones el axioma de continuidad 11t1 puede form.'lllar de una manera. muy aencilla.:

Si '"' conjun.ID de AÚmtf'Of preude a otro, entoru:u ui8U ol u,. ntÍmero que at.paf't di.cAol r,onju.M».

me'IOI

Tod08 los u:i.omaa del segundo grupo son conocidoe para noeotroe por oon&deracionea anteriores. Loe del tercer grupo, r.unque nuevoe, son de un contenido t.an simple y obvio que &petl68 neoeeitan explie&eión. Basta observar que si a.ntepusiéramoa al A.Dom& Qt la.a defi.picionee del almbolo t:Ot y de la expresión múmtro poailivm, éste podrla. reempla2.&rae por la fórmula:

0<1 o por la proposición:

luunnúmt1'0polilivo.

Lol .\Domas 11, 21', 6t, 6f y 7t oomtituyen eza.otameo.te lo que hemos llamado Sistema V"', que lo 1XlÍIJmo que su equivalente V " , oaraoteriz.a. el conjunto de todoe los n1imercN1 como un grupo abeliano ordenado (váase Sección 67). Si tenemOfl en cuenta el oontenido de loe Axi.omaa 3'. 4', st y 91, agregados en dltimo Wrmino, e] lristem& completo podr& oara.cteriu.ne de la siguiente

111 Swma Vt "'P'UO tWmtlot U

Un

""""°

.z .w.Ao de .,... .z con.;..""' de """- io.

GbtliaAO oÑtNldo

fk

nMMlml

lkMIS y COfMift11G

INTIOllUCCIÓH .\ LA LÓCIC.4.

2d1

ruptt:lo ~ la relaei6n < 11 U. lo opuaci6n 4t odickm, y dUM.gtU 8 dkho conjunto un Mto dtfMfltO poftti'flO l.

Desde el punto de vi.et. met.odológioo el Sistem& Vt poeee nriall ventaju. Ee en ap&rieocia el mú aencillo de todoe loe eiatemaa oonocidoe que proporcionan una. baae suficiente pua la. fundamentación de toda la uitm6tioa.. Exceptuado el .Axioma. }t, que puede deducirse de loe restantes (aunque no de un modo sencillo), todoe loe otros uiomu del sistema., oomo lfMli. miBmo loa tér:minoa primitivoe que intervienen en ellos, son independientes entre 1L El Ta!or didáctioo del aistema oonaidendo es, en cambio, inoomparablemen~ menor porque la. eenoillez de loe fundamentos origi.na import.antes oomplicacionea en la construoción ulterior. JA defurición de multiplicación, lin ir mM lejoe, y la deducción de laa 1eyee fundamentales para erta oparadón no ae puede Ueva.r a cabo oon facilidad. Cui deede el principio hay que utilize.r eee:noialmen~ en 10. &rgUIDentoe el Hioma. de continuidad (lin su ayuda, por ejemplo, no ee podria demostrar en el Sistema Vt la eDstenci& del nómero 1/ 1 , ee decir, un número y t&1 que 11 1J -= l) y lae inferenciae baeadu en eete uioma ofrecen de ordinario al principiante diicultadea oomid.erablea,

+

8B. Stcundo •ll&ema .. u1omu para la añim6Uca dt lOI atlmtHI l'Mltl Por laa razones e:qmest.M, vele la pena bUIOU' otro listema de u:iomaa tobre el que te pueda. construir la aritmética. Un tal U. tema puede obtenene de la me.nera. liguiente. TomareDlOll oomo punto de partida el lliaJtema V". Se adopt&ri.n tree nuevoe Wrminos primitiv<>1, a uber: tcerot, y tproduclot; como de ooetumbre, reemplazaremoe loe doe primeros términoe por loa a1mboloe 4()t 1 ch, y en el lugll' de la eqireeión W producto !U loa """"· roa (o /adoru) :i: e '!P (o W ruulblo dt la mu.Uiplicación. ck loa JJVmeroi z e '!/t), eacribiremoe tz ·r. .A.d.emáB de e111to, a6adi.remoe al liatema treoe DU6T08 uiomae; de elloe oonooem.oe ya. doe, el as:ioma de oontinuid&d y la ley de ree.J.iubilidad de l& adición. En definitiva lleg&m.m de mte modo al liat.em.& Vtt, oompuest.o por

"'"°'

•••

•<•. •+•, tOt, • • • y dt, y por lu

l6i.e Urminoe primitivos: d'•, veinte propoaicioDee eigW.entee:

Bi z 'J* y,~ z< y o y
A:nolU. ltt. AD:oJU. 2ft. A:nolli 3tt, A:noau. 4tt.

7Jtlra todo z ~a K y lodoy~ aL, kMmoa: z
A.:rtolU. r;tt. Para númeroa cualup.iem y, a:, uNle un ntímtro z tal qut z-y+z (en otru pala.bru: ai ye X y zell', enloncu y + z e N). A:noJU. 611. z +y= y + z. AD:ol!lli 711'. z + (y+z) = (z+ y) +z. Auoau. Stt. PtJra n1Í1Mr0rl cuale.tquiera z e y, uMtt un "'· mero a: talqruz - y+z. .A.Dolll..A 9tt. Siy
Anou l()tf. O e N. A.noiu. un. z +o= z. A:nolU. 12". Para número11 eualuquiera y, 1, ~ un •V. mero z tal pe z = y · z (en otru palabru: li y e K y ze K, ~ tonca'

y· z e X).

A:noJU.13". z·y - y·z. AnoJU 14tt. z· (y· z) - (z· y)· z. A.nolU. lij11', Para nÚnurOI cuakaquittu z e y, n 11:;, o, a'°"""~un número z talque z = r·z. A.:lloJiU.16". Si O
263

IN'TSODUCCIÓH A LA LÓCICA

AD:oJU. 17't. %·(y+%)'=(%· y)+ (z·z).

Axro-...18". 1 e S. AxloJU. 19". z · 1 = z.

A:nolli 20tt. o ,¡,. l. M.

C&raeterlael6n mú detenida del 11gundo 11stema de a:domu; eonoepios de oaerpo 1 de eaerpo ordenado 1 En el Sistema. V", lo mismo qna en el Sietema Vt, podemoe

di..sti.ngnir tres grupos de axiomaa. En loe .A.xiom&8 ¡tt_4tt, int&-

grantee del primero, a6lo intervienen 10& doa términos primitivoe tllt y •<•; en el segundo, compueeto por loe Axiom.&e 6tt.ntt, apareoen adem'8 otroe doe é.tnboloe: el e:igno de adición y el aimbolo .O.; finalmente, en el tereer grupo, formado por los Axiomu 12't-20tt, dmempeflan el papel mú importante el eimbolo de multiplioación el aimbolo ih. Todoe loe uiomaa de loa doe primeroe grupos, oon excepción de lOtt y Utt IKID ya conooidoe. Loe Axiomas Iott y lltt junto. eetab!ecen que O ee un elemento unidad (& derecha.) de adición. En general, ae dice que "' ea un SLDOlfTO UNIDill A DBRK
•+•

•·•y

zO•=z,

o

•Üz=z,

respeótivamente. Si u ee al mil!:no tiempo un elemento UJ1i. dad a derecha y a izquierda, eatoooee ea llamado eimplemeate ~ tnnDAD DB LA OPI&AOIÓN

0 -

LA CLüJI

K ; rmuJ.t&

olaro que en el OMO de una operación conmutativa O, todo elemento unidad a dereaba o • izquierda es simplemente un elemento unidad.

En loa tree primeroe uiomae del teToor grupo, esto ee, en IOI Az.iomae 12" • 14", reconocemoe lae uns DB ~~. OONXUT.6.TIVID.A.D y A800UTrVIDil> de la muJtlpllCAción; ~ oorreeponden exa<:tamente • loe Axiomu 5tt.7'f. Loe Axiomu 16tt y 16tt 8e ll&m~ LBT DB JNVD.l'IBILIDil> .A. DBBll~ ... DBBBOB..6.) de la multiplicación reepecto de la adición. En general, la opera.. oión p es llamada. DISTBIBtrnT.A. ... D;sJU.CJJU o ... IZQUDJLD.A. BSS· PBOTO ... l i OPBB..A.OIÓN :IN u: OLABB K si tr"8 elemento. cutJee. quier• z, y, z de la claae K satisfacen la. fórmula.:

o

zP(y O•) - (zPy) O (•Pz),

(• Oy) p, - (
01.ü•

i . t:.otalidad de tu propied&dee uignadaa a la adición y • la mult.iplicación por loe Aiiomu 5tt-8'f, 12"'-16" y 17"1 ltlelea

INTRODUCX:IÓN A LA LÓGICA

265

reeumirae en la. afirmación de que oetoe aliomaa establecen que

el ooojunto W es uo

O'O'EBPO

(o, m'8 precisamente, un

001:&PO

OOMlftl'l'.A.TIVO) USPDJTO D• Lü OPD.6.0IOns DE .illIOlÓl'f T llULTl!'LIO.A.OIÓN. Si, ademú, ee tienen en cuenta loe axiomaa de

orden ¡tt.stf y los u:iom&a de monotonía. 9tt y J6tt, se dioe que el conjunto lf es un OUKBrO OILDSN.illO BKl!IPEOTO DE LA. 'BJa..&.OIÓN

<

Y

i.ü

OPD&OIONBS DB ADICIÓN Y llULTD'LIO.A.CIÓN,

El leotor 89 de.r4. ouenta fácilm.ent.e del modo de extender el con· oepto de cuerpo, o el de cuerpo ordenado, a cla.se8, operaciones y relaoionee arbitraria.a. Si alin tenemoa en cuenta el axioma de oonti.nuidad 4tt, &11Í como loa Axiomas lott, IItt ·y t8tt.2()tt, refl!lftlDtes a los námeroa O y 1, el contenido del sistema de axiomaa Vtt podrá caraot:«is&nM! como aigue:

Bl Ñterna de a.tiomtM Vtt tzprUa que el eonjunlo de tod.ol lo. 1''1Ímerol U U1l cutrpO eor.ci1'111Gmeftk onknoáo ruptdO tÜ les rtlcsci6n < y laa ~ t:k adici6ft y muleiplM:ación, y ditein~ "' uk t:Amjunlo dos ekmentoa tl\/erenlu O y 1, d primero de b ~

u ""' demtnto wddad tk la ad~ y d .ttpndo "" ekmmto untdad

d< la mu/j;plka.:ió..

86. Bt¡alftlenela de IOI •• ddtmaa de ul.omu; denentlju me&odol6gleu 1 nntaju dW6otltu del Hg1llldo slltema

Loa Sist;emaa Vt y Vtt aon equinlent.M (mejor dioho, lo eon li al primero 118 agrega la ddniaión del lhnbolo tOt, y la. del simbolo de moltiplia.oión, íol"mlli6clM ambu oon. ayuda. de los térmi· noe primiti:roe de dfoho sistema). Sin embargo, la demostn.ción de la equivalenoi& no ea fMDI. En realidad, la deducoióu de loe uiomaa del primer eiltem6 a pwtir de loe del eegundo, no ofreoe mayor dificultad.; pero en lo qoe a la tarea. opuesta. 89 refiere, ya 19 sígu.e de nueetna obeervaoionee anteriores que, eobre la bue del primer Biatem&, tanto la deflnioión de multiplicación como 16 demoatración de laa leym 1Mou ref91"8D.tes a mta. opera.ción (qae 8¡an.n. oomo uioIDM en el_eepndo mtema) preaent&n. difi.oolta.dee oonlider&bles. En el upeot.o metod.ológioo, el Biatema Vt aventaja OOD· liderablemen.te al Siatema. El n1llnero de.los a.x:iomaa en

vn.

266

eete último ee mM de doa veces mayor. Loa aJ:iomaa no son independientee entre si; por ejemplo, loe Axiomu 5" y 12", ee decir, lu leyes de zulizabilidad de la adición y la multiplicación, pbeden derivane de loe J'88ta.ntea uiomaa, o, ei se conserva.n. Mtoe, Mgunoe otroe, como loe Axioma.e 6tt, Utt y 14.tt podr&n ser eliminsdoe. Tampoco son independientes entre 1111 loe términos primitivoa; tres de elloe, a saber: •<•, tOt y ch, 80D deliniblee nliéndoee de loe reet&ntee (~r ejemplo, en la $ec. ción 53 ae indicó una. de las poaiblea definiciones del sfmbolo t0t•), con lo que el nlimero de a.riomaa puede ser nuevamente reducido. De eat& manera. el Sistema Vtt admite importa.otee ai.mpliñe&cionea de varioe tipos; a conaecueocia. de eet.aa aim.pliñca.cionee W. ventaja.e did&ctioe.e del m.i.!lmo e& red.noon, y Mt.&8 ere.n ~bnente grandes. Sobre la· bue del liatema Vtt ee posible desa.rrollar eill di.6cult&dea laa p&rtee mú im.portt.ntee de la aritmética de Loe númel'Ol!I reales: la. teorfa de lu relaoionee ftmdamentalee entre n6meros, la teori& de lu ouatro operaciones a.rí.tm.éticu elemeotalea: adición, SU8tr&ooión, mu.lt.iplic.aoi.ón y división, la teorla de ecuacionea, desigualdad.ea y funciones linea.lee. Loe métodoe de inferencia que son aplicados aqnf tienen un ca.rl.cter muy natural y oomplete.mente elemental; eo. particular, el axioma de oontinuidad no interviene p&I'& nada. ea esta etapa.; no entra. en juego haat& llegar & la teorfa. de laa trm opera.oionee arit!Mt:icaa t1n1perioreet: potenciMd6n, ra.die&Oión y logaritma.oi6n, siendo incliapenaable para la. demoatra.cióo de la. exiStencia de ndmeroe irracionalee. No parece oonooene otro lliatema. de uiomu y tAnninoll prim.itivoa que o&ezoa una bue mé.a "Hntajoa& pan ana ooutrucción elemental y, al ·mismo tiempo, estriot.a.m&Ate dedactiv&, de l& a.ritmática de loe númeroe realel. ·

-

l. Mostrar que el conjunto de todoa loa núm.eroa poaitivoa, la rel&ción <, U. operación de mnltiplioac.i6n y el número 2 oonatituyen un modelo para el sistema. de &xiomae Vt y que, por lo tant.o, eete sistema posee aJ menoe doe interpretaoionee diatintae on la aritmética..

lNTm:ODUCC'IÓN A LA LÓGICA

2. iCu!lee de lae rela.cionee citadas en el Ejercicio G
•s. tCómo podem.oe upreeu ~el simbolismo del c!lculo de reJaclone&- el hecho de que l& relaoión R m deDA (en I& cl&ee univenal)l ¡Cómo podemos expreeu por un& ecuaoión del cálculo de rel&cionee el hecho de que l& relación R ee transitiva y densat (cf. Ejercicio 17 del ~pltulo V). 4, ¡Cuf.lee de loe oonjuntoe numériooe siguientee quedan ordenados deDMID.ente mediante la relación <: (a) el conjunto de todos loe n6.m.eroa naturalm, (b) el oonjUDto de todoe loe n6meroa enteroe, (o) el conjunto de todoe loa n6meroe raoion&lf9, (d) el oonjunto de todoe loa o~ positiTI>B, (e) el conjunto de todoe loe oómeroe diltintoa de 01

•ó. Pan. demostrar aobre la bue del aiatema do u::i.omaa 'Vt que el número 1/ 1 existe, ee decir, la. exiatenoia. de un números: tal que:

•+ • = 1, ruon&remOB como lligne. Se& K fil oonjunt.o de todoe loe número. z talee que:

:c+z
9N

L el oonjuot.o de todos loa n11merocl y t&kie 1 < Y +: Y·

Demostraremoe primeramente qoe el conjunto K precede al conjunto L. Aplice.ndo ahora el u::i.oma de continuidad obtenemoe un número r; que &ep&r& ambos ºconjuntos. Mostraremoe a ·oontinnaaión que el. número z no puede pertenecer al conjunto K (puee, en ouo contrario habría en Mte un n6.m.ero z que Miria mayor

..

,

qt1.e z) ni tampoco a L, de donde ae concluir& que z es el ndmero bueoa.do, esto ea, que z+z - 1. Desa.rrólleae en detalle la demoeir&ción eebozad&. •&. Generalizando el razonamiento del ejercicio anterior, demoetrar sobre la base del Si.etema Vt el teorema siguiente:

T. Para todo número .z uWu un •tímtro y tal que :z: = y

+ y.

Compirea& el reaultado obtenido con laa ol>Mrvacionee de la. Seeción 60.

•7. En el Si.ttema VT, reempli.oeee el Axioma 3t por el Teo· rema· T del ejercicio anterior. Moetrar que el siltema de proposioionee ob~Dido de esta. form. ee equiv&lente &J. Sistema Vt. Indicación: Pa.ra deducir el Axioma 3t del sistema modificado, llWJti.t1iyaae en el Teorema T, a+ .n por cet; en virtud de la hipóteeis del Axioma 3t, podrá moatraree oon facilidad que el n6mero y satisface la oonclueión. de este axioma.

•s. Usar el método de demoetra.ción por int.erpret&ción pan. mOlltrw que deepuY de suprimir el Arioma )t en el Sietema Vt, ae obtiene un lliatema de &Domu independientea entre af.

•e.

Indicar una

iDte~t.aci6n

geométrica, de loe Siatemu

Vt y 'lJt'I medi&nte una utenaióD. del Ejercicio 2 del Capitulo VID. •10.

Eecrlbe.nse en simbolismo 16gioo todos loa u::i.omu de·

loa Sistema.e 'VI' y

Vtt.

11. iTienen elemento unidad a derecba, a izquierda. o lim· plemente elemento unidad en el. oonjunto de todot loe nó.m.eroa, l& 8U8tracoión, la. diviai.ón y lu operaoionea menoiolllldu en el Ejeroicio 3 del Capitulo VIII1

INTllODUOCtÓN A LA LÓGICA

•••

,Poeeen laa oper&aion• de adioión y muJtipliC60i6n de conjuntot de puntot elementoe unidad en la claae de todoe loe conjuntol de puntoel

•12. Demostn.r que toda opefaoión conmutativa en UD& clue a. lo sumo un elemento wlldad en éat&. Generalizando el resultado obtenido en el Ejercicio U del C...pitulo Vlll, demoetnr el siguiente teorema de la. teoria. de grupos:

portee

.ri la daae K u un. grupo abdiano ruptt:to de la opuaci6n. O, eJUon.cu dicha <>?!ración. polllt'á tmdammte un. denunto unidad

en.laclaal'.K.

•

C.Onaideremoe laa einoo oper&cion• e.ritauSticaa de adición, eU8Uacoión, multiplie&ción, división y potenciación. Formulu- laa propoeioionea que afirman que ceda una de eataa operaoionee ee diatributiva a. dereoba. y a izquierda reepecto de la.a demú (en tot.&l, habrá ouarenta de dicha.e proposioionee). ¡Cuáles de ellaa tt0n verd&derae1 13.

1'. Resolver el mismo problBma que en el ejercicio a.nt.erior oon Iaa cuatro operl!Mlionee A, B, G y K que introduji.m.oe en el Ejercicio 3 del Capitulo VIll. Hoatrv adem.'8 que toda opera.oión que sea rea.liza.ble en un conjunto de números será. dietributiv.i. a izquierda. y a dereoha. en este oonjunto, reapecto de 1&11 opera.cioD.M Ay B. 16. ¡Es distributiva la Wción de claeee r-.pect:.o de Ja intenección, y viceverut (af. Ejercicio 16 del Ca.pitulo IV).

16. ¡Cuá.Ie1 de loe conjuntoe numéricos citadoe en el Ejercioio 4 eon ouerpoe ordenadoe reepecto de la telación < y de la adición y multiplioa.ción1

17. DemOIJlirar que el conjunto oompueeto por los núm.exoe O y l ea un cuerpo reepecto de i. operación .f. definida en el Ejercicio 6 del Capitulo vm y de la multiplM:iaoión.

270

18. Determinar dos oper&cionea con loe Dómeroe O, 1 y 2, de manera que el conjunto de "8toe comtituya un cuerpo respecto de eea.a operacionea. 19.

iCómo se puede definir el simbolo th con ayuda de la

multiplica.ción1

20. En base al Sistema VH pnede demoatl'&l'96 el siguiente teorema: ~[O< z~~(z - 11· y)]. Admitiendo que dicho teorema estuviese y& demoetrado, deducir con eu ayud&, de loa a.riomu del Sistema Vtt, la siguiente pro· posición:

¡~uede ha.ea.ne en eete teorema l& obtervación que hicimoe en la Sección 65 respecto a una posible reducción en el nfunero de términos primitivoa del Sistema Vtt!

•21. Demostrar el Teorema T del Ejercicio 6 sobre la baae del Sistema Vtt. Compárese esta demoa~mción con la que propusimos en el Ejercicio 6, con referencia. al Sistema Vt; ¡cuál de eataa dos demostra.cionea ea mt\8 dificil y exige mayor conocimiento de conceptos lógieoa? Indicación: Para. demoatr&r el Teorema T a partir del Si.et&ma Vtt, a.pliqueee el Axioma. J5tt, reemplazando tyJ por d + h y ..u por tyt (a.ntee habrá. que mottav que 1+1 ea distinto de O); aaJ obtenemoe un número y del que, oon ayuda de loa Ari>IDU I 3tt, 171' y I9tt, puede moatrarae fkilmente que aa.tiaface la fórmula dada en el Teorem& T. •22. Deducir del Sistem&Vtt todoa loa uiomaa del Sistema Vt.

lndie&eión: Pan la deduoción del Axioma 31" UÚlnu& que el Teorema. T del Ejeroioio 6 estavieee ya demostrado en bue al Siatema Vtt (véase el ejercicio anterior), y prooédase a. contínua.ci6n de la misma ma.uera qae eci ol Ejercicio 7.

GUIA BIBLIOGRAFICA En esta. última sección recomendaremos &l lector e.Igunoe Ji.

broe que pueden ayudarlo a. profundizar y ampliar loa conoci· mientoe a.dquiridos· aqu1. En nueetro campo la. literatura se b& ellriquecido conaidera.blemente y, en particular, eaU. bien proviat6 de terlof pan cunoe: uniV"eraitario. de diversoa nivele&. El autor no pretende eetar familiarizado oon toda. la. literatura relevante y reconoce plenamente que au a.precia.ción de la literatura existente ---aobre la cual ha basado la. selección que se preeent& m!s al:iajo--ee a. menudo &Ita.mente subjetiva y a veces accidental. Al prep&r&r esta. guia bibliogri.6.ca bemoe tratado de seleccionar trabajos que nos han parecK:lo calificados para estudioa independientes, omitiendo a.lgunoe libroa que pueden ser usad.08 con 6rito como texto bajo la. gula de un profesor. Una gra.n pa.rt& de nuestra. ti.et& cona~ en libros de nivel introductorio o inter-

medio, cada uno de loa
T..e-,8. A.,M&drtd.1092,21JJl4,&liw(cf.p6c.21t). -(0. C. y M.D.)

A.thED TAll9Kl

mente en ing16e y poeteriormente traducidoe a. eeo id.iom&, noe referiremos (con UD& ucepción) a. la. traducción iDgleu.. En el caso de UD libro con dos o m'8 ediciones, referimoa e1:olu.iva.. mente a. I& últim& edición a.parecida.. Hemos intentado dividir loa libros de eet.& guía en v&rioe gro· pos, de acuerdo con eu tema.. El lector notar!., sin embargo, de nuestras breves deacripcionee de eet.oe libl"08, que la. clasilie&ción no ee excluyente: varios tr&bajoe pueden ser ubicadoe en m'8 de UD grupo. A.

Desarrollo ab&emillco lle la 16glca

C.Omo ae seftaló en el prefa.cio, 89t& obra no contiene una. pnieea· t.&ci6n de la lógica como dieciplina. deductiva formalizad&. La primer& ta.rea. para el lector que proyect& oontínU&r llUS estudioe ea

eek dominio e.a, naturalmente, fa.miliarízane con un . deearrollo sistemático y eetrict.&mente deductivo de, por lo m.enoe, lae partea máa elementales y báeica.a de la lógio&. &taa 11an loe llamadoe c!lculo proposicional, teoría de loe oua.ntifi.oadol"'8 (también conocida oomo cálculo funcional de primer orden o restringido, o t&mbi6n como cálculo restringido de predicadoe), y la. teoría de la. ident.i.dad. Para eet.a ta.rea podemoa reoomendar loa aiguientee libroe:

D. llD.Bu.T y W. ACKD.IU.?fll, Principlu of JlcdMmatitxll Logit, Chelae& PublWllng Company, Nueva York, 1960, I I I + 1'12 págin...

A. CmraoB, lmrotltu:Wm to JltJIAema&.al Logle, vol. l, PrínI + 376 páginas.

oeton Univers:ity Presa, Prinoet.on, 1968,

IN'l'SODtJCC1ÓH A L4 LÓOICA

En •t.& libro .. dieouten. 1• tn.ilmae partee de la 16gioa que

eD

el prec.dente. Sin embargo,, la diaouei6n ee mucho mM det.allMia.

: a:=. :1:::u~~tii:.o;;~~~~Je·::o:O':!!d:,;!~ ~~~b;a &l=u:i~~n=n=:i:r:ci:º:'m~~t;cr:°;e'd. oui6n de t.eorfu formalir.adaa, 4&1ee como nombre, denotación, ftg. ni/icado, connante, tiariabk. et.e. El libro está provisto de numero· 908 ejercicioe int.ereaantee y contiene muchas y valiol588 referenciu hiat.óricaa. Un eetudio aietemé.tico de esta. obr& no ea tarea ft.cil,

J:ic:! ~°:~r 1~~8Jdeh&~alib!~U::!~ ~d~dÜ~~~.~c=a= encontr&ri. en Inwoduction to Lo(fic. de CllUBC•, un medio eJ:celent.e

:!.!idc!:r&r -~=: ~~~~4: f~té d:"!ic~~o=C:PJ:1c~~!ci~ mientoa en aquellu pa.rtM de la lógfoa cubiertu por 41.

D. K..u.iu y R. Mon...ovs, Logic. Teehniquu o/ FOf'mal &.oacming, Barcourt, Br&ee & World, Inc., Nueva York, 1964,

X+ 350pá.ginaa.

De acuerdo a lo que loe autoree decl&l'&D. en el prefacio, reco· mendamos eete libro en primer lugar a aquello. leotoree iDteresadoa, no t.&nto en la lógica como cien(lia. (y en lo. resultadol!I metodol6gfooe conce.rnientee a ella), eino principalmente en la lógica como

=~c!i~=dr=..c~ ~t:-"t:C.~~;;e~i:~tr::i:~t~

::i::. ~r:1o ~f ü':o':f~!:1:rt.á1~u°!~e~6~ t:a:=f:¡:~~ 1

~~~:ll::~ó~6fó00·C: =j!io;,.~~J.j::v:n":·v!i~~~ iC:

uf lla.roadoe mftodo1 de deducción natural¡ la adopción de eate

m4todo ha 1ido motivad.a., 11.parenkmlent.e, por el deseo de hacer

d.~~~'::~Del~ ::Z~lo n~~ :i:¡J:abl:::!~~id~i 8:-é:d~

•clMico• aplicado en loe libroe ao\ee mencionlMioa; aunque igualmeote riguroao, el m étodo de loe a.utore11 puede no igualar al m4todo •olúioo• en l!limp licidad iaUio8eca y valor pa:r& la lógice. como ciedtlia. En lol!I óltimOIJ ce.p(tuloe loa autoreB ee ocupan de !u apli· oaoiomM de Ja lógica a la formafu.aoión de algunoa fregmentoe de Ja ma.t.emitic& y discuten ciertoe "6picoa (te.lea como definicionee y operad.oree que ligan variablee) relevan\ee p&ra eet&s aplicaciones que eon frecuentemente deeouidadoa en teJ:tol!I de lógica.

El lector que desee eirtudi.r.r putee avanzadas de l& lógica (de &lguna& de laa cualee loe C&pltuloe IV y V de nueetro libro dan una. id&& euperfici&l e inadecuada) puede obtener &lguna lln'~IÓMALl.t6alCA.-11

274 informa.ción inttoduotoria. on loe libros de BILBDT·AOKDlUJOf y ClltrBOB. En 1&1 eiguientee obru puede encontr&ree u.na p~­ eentación mucho mú extenaa:

•R. C.niuP, Introductlon lo Simbol~ Logic and ita A.ypl\cotiona, Dover PublicationB, Inc., Nueva York, 1958, nv + 241 págll>ae. El espectro de tópicos diecutidoe en este libro ea muy amplio. Loe aistemaa de lógica esbozadoa en él incluyen laa teorlu de ol88B11

..

fi:Oace!i°d~t1ll!º:n e:f~~~~aj~º: ~~~~ c;w~=i:s:.C-:id~

m'8 abr.jo. Ademáa, es ext.eneamente i\J\&lizada la importante dil!tinci~n entre nocionea 1intl.cticaa y S&m.ánticu que a.p&reeen en la deecr1pción de un eilltema lógi'?º• aon dl8Cutidoa lo• problem&e ge-

ne.ralee que aurgen en la.a aphceclonoe de la lógie& a otraa cien· ciu, y ae conat.ruyen eietemu &lliom,ticoe para. ve.ria.e teoriM

m&temiticu y fragmentos de cienciu ~pfricaa. El énfaaia eat4 pueeto funda mentalmente en un anáJis111 de loa conceptoe y no t.ant.o en un desanollo deductivo de teorlu o en Wl& e:ii:po1ici6n de loa resultadoe obtenid06. EJ eetudio de este libro puede ofrecer dificult.adee debido a la preeen~i6n concisa y frecuentement.e eequemática..

•A. N. WHITEBEAD y B. RUSSEIL, Principia Malli.emalk.a, Cambridge University Presa, C&mbridge, vol. l, 1925, n.VJ + 674 páginas; vol. 2, 1927, XXXI+ 742 págs.; vol. 3, 1927, VIII+ 491 páginas. (Algunas partes del volumen l h&n a.parecido t&mbi.Sn en una. edición no encua.dems.da. bajo el titulo Principia MatJtana,. !k,a to •$6, 1966, XLVI + 410 P'ginae.) Eetr. obra., que ya. ha •ido cita.da varia.a vecee &n &I tr&neCUtfKI del presente libro, a.ón ea, induda.blement.e, el traba.jo mú repreeent.ativo de la lógica moderna. Contiene una preHnta.ci6n •iltemática eah&ustiva. de un extenso •iatema de lógica que constituye una aae adecuada para. 101 fundamentos de la ma.temtitica; 1in embargo, el de&&rrollo no eetá a. la altura de loe eetriotoa requisitos de la met.odologfa. actual. El trabajo MU prepondere.ntemente escrito m.

¡;

~rgu:l:s8;:1:1!:ºtL!~~~::'J:.:!bdem;t~~:1;;}~~~6:~=

tar un eetudio completo de esta obra (a menoe 9,Ue esté eapecialmente

~~~i:i~~=~!!: !1~~6~6f;6nm~e=)~r!'b..!: inetnictiva. e inspira.dora.

INTRODUCCIÓN A LA LÓCICA

216

Pua concluir, mencion&moa doe monogra.fiaa, ca.d& una con un contenido eapeci&liu.do:

•J. B. Ross:u y A. R. TvllQUETI'B, Many-valtud Logk4, Nortb-Holland PubliBhing Company, Amsterdam, 1952, 124 páginaa. (Studiee in Logic r.nd the Foundatioll8 of Mathematica.) J. H. WooDGEB, The Te.eAniqut o/ Tlwny OonatrudUm, The Univereity of Chicago Prese, Cbicago, 1939, vn + 81 págs. (International Encyclopeclia of Unified Science, voL 2, núm. ó.) B. Teor1a general de ooD)untol La teorl& gener&l de conjuntos -eea trata.da como una parte de l& lógic& (ha.jo el nomb«i de teoría de olaaee y relacionea) o preeent&d& como una disciplilla matemática independiente- ocupa una poaición excepcional en el dominio de la ciencia deductin, ya que junto oon la. lógica elemenWLI, forma la. base para un deearrollo riguroeo de caai toda otra teorla deductiva.. Por lo tanto, será importante para el lector familiarizarse con las nociones y reeult&.dos de la teoría. de con:juntoe, y aprender cómo puede aeta teoría aer desarrolle.da riguroaamente como un& disciplina s.istemá.tica.

P. R. Ril.Koe, NaitJt. Sd Tltemy, D. van Nostra.nd Company, Ino., Prinoeton, 1960, VD+ 104 páge. (The University Seri.ee in Undergraduate Mathema.tiea.) A pesar de la impreei6n 9_Ue pueda provocar la palabra •in¡onua. en 1u título, este peque6o hbro contiene un deMrrollo asiom6tioo -inteligible y precilo- da elemento• de de coojuntoe, aunque ptwtajN meoo1 ;-;iuemé.tico del tero.a.. no rico contenido ma.te-

loe la teorl& hubiera eido deeeable un tratamiento El libro ee en :'J;r:;._e p::b\:::n~,~: ~:a:d:e!ªd;8°.;{:c:! c~:mi:ic': en muchoa

oontem~rá.ziec>8

que ee han :x;:ialir.ado en alguna otra rama de la

:':ill !~°.:oc'::~o~:~~':ir;: la :.arl: ~;:e~afd~~~nj:i~~º· puede 8

P. Sorn.s, .A.:riomatie Set 'l'httwy, D. van Nostra.nd Compaoy, Inc., Prinoeton~ 1960, xn + ~ p&ga. (The Univeraity Seriee in Undergradnate Mathem&tiCfl.)

278 Reoomui.~mot eete libro como ten.o muy ..t.iafactorio d9 nivel intermedio. CubN m.M material que el libro de &!.Moa. Si .. am.

pli&ra el 11ltimo e&pftulo, que trata del llamado a:idoma de eleoeióa.

d" modo que abarcara lM implicaciones de eate axioma en la wi&.mftio& de ndmeroe cardinale11 como tambi4§n en ot.ru plllrtm de la teoría de conjuntOll, el libro llenarla empliu necaida.d•. En efeo\o, llltisfaria plenamente la neceui
W. V. Qtrm:E, Set Th,wry aad it.t Logk, The Belknap ~ ol Harva.rd Univen.ity .Preee. Cambridge, 1963, xv + 359 P'gin&a. Eat.e libro aer' ó.til princip&hn6nto para a9uellom lectoree que hayan mtudiado los elemeo.to. de t.eorfa de oon1unto. en otrofl t.e:ii:.

toe '1 mt4hl intereud.OI en la formalización y 1011 fundamenta.. llllio. mAtioo. de eata teoria. En priooipio el libro 1610 presupone oono· oimieat.oe de 1M part.418 elemeu.c.lee de Jógie& (pero no de teoría de conjunt.ot); .. diioui.o. upUoie. au.nque hr9ve~t.e alguaoe problemu l6¡ic01 y metodoló¡poo. relaüv011 al d.arrollo de la toOria de oonjunto.. Como eDteo muobo9 métod011 inoompatiblm de for. malizar y axiomatizar l& teoria de oonjunt.o., el autor intenta d rrollar los primeros ea.pitulM de ella sobre una ba&e neutra o tcaai. neutnM oon respecto a todoe eeoe métodos. (Podría ponerse en üouei6n el éxito completo de eete intento.) Mú adelante ee da cuenta de variu axiomatizacionea diverpnt.es que se oonooen.

•w.

SIEBPIÑina, Cardinal and Ordinal Numbua, P&Illltwowe Wyd&wniot.wo Naukowe, V&re0Ti&, 1968, 487 págs. (Po!U:a Aka.dem.ia. Nauk. Monograñe Matematiozne, vol. 34.) Fata obra presenta

1:

un&

e1:J>Ollici6n ei:hauativa y completa huta

~~~ ddee ::'ri1..W::Sco011~~n;!°:' 1!~~dd~ ~::,=.tili~ de conjunt.ot y la de lae rela.cionee de orden y buen orden. X.. pre-

i:;i:"~u~~oª:1: ~~:~=~~~

=.

q::: rmult.&ri. dificil recoutruir todo el deearrollo eobn uua bue &XiQ. müioa. Un raego c&racteristico de la obra ee una eepanr.ei6n tajan· te entre loe reeultadoe obtenidoe mediante el axioma de elección 1 aquellos ee:tablecidOll ein. hacer ueo de ee:te axioma; para mucho8 88'tudioeoe de la teorla de oonjuntoe, el a.Doma de elección reeulta el menoe obvio de todos loa alUomaa uaualmente adoptados en dioha t.eorla. El lector interesado en teorla de conjuntoa como-rama independiente de la matemAtioa· y que uf desee eetudi&rla, hall..,. ftlio9a esta obra¡ Jaa nUllWll"ClllMI relarenoiaa bibliogrMou faoilitari.n ..tudios posterior..

IHTllODUCCIÓN A LA ÚICICA.

m

Jndicamoe otroe tNI tre.b&joe: loe doe primero. aoo libroe de nivel avant.ado cuyo c.;:intenido ee"'- r&la.cionado oon loe libroe de SU'PJ':SS y Qunnc, y el ~ ee una monografla. oorta que oont;iene profundoe reeultadoe en la metamatemiLtica de la teoria de conjuntos y ha ejercido gran i.ofluencia en investigaciones poste. rioree en eate dominio: •P. BDN.t..Yl!I, Ariomatic 8d Tltttwy. Con una introducción

bistórie& por A. A. FB.Ar:n:sx.. Nortb.Holle.nd Publi.Bhing Com· pa.ny, Amsterd&m, 1958, vm + 226 págs. (Stud.iea in Logio and the Foundatiom of Mathematice.) •A. A. FBilNXBL y Y. Bü-Hn.LZL, Foundation.a of 80 TM,o,y, North-Holland Publishing Company•.Amat.«d.a.m, 1968, % + "4.lfi página.a (Studiee in Logic a.nd t.he Foundationa of Mathematioa.)

•K. GoDBL, TM C~ of lk A:iom of Choiu anti of CM
278

Elt.o ee, toda.a su.a nociones pueden eer deti.n.idu en t«minot de nocionee conjuntietaa, y todoa swi teorem.ae pueden ser derivadoe de eetu definicionee jUDto con lae leyee de la teori& de oonjuntoe. Recomendamo1 a los lectores interesados en este importante upecto de la. teoría. de oonjuntoe (y ~e la lógica), loe eiguientee libroe: S. FE!'ERMilf, TM Number 8~. Fcni:nJationA o/ Algebra and Analyris, Addiaon·Wel!lley Publiahing Company, lno., Ref.d. ing, 1964:, 111 + 418 págs. (Addiaon-Wesley Series in Matb.ematics.)

L. HENim, W. N. SJOTH, V. J. V.ilUN:&&u, M. J. W.A.LSll, &lraciAg El.t~ MatAtmatic.8, Tbe Ma.cmillan Comp1.11y, Nueva York, 1962, XVIII + 418 pá.ga. (Allmd.oerfer Mathematie11 Serim.)

me::!.°:w~:~.:0d:r~~:.~~C-d!nt&c~: id!ª~V:J. ~~lo;

doe métodos para desarrollar la aritm6t-ica , con un& -.lved&d: en el aegundo libro la aritmética de loe n ómeroa natur&lee ee deeMTOlla exclusivamente como una teoria axiom6.tica y lu construcoionem poa· t.eriores se llevan a cabo d entro de la t.eorfa de oonj1Ulto. enri~ue­ cida con esta aritmética. En general, el primer libro N de un mTel m'8 a vanzado, 1u presentación, aunque muy cle.r&, ee mM coociM. y formal, y eu discuaión incluye la arit.mética. de loe números com-

C~08e!o~~av::°!r~f~~o~f!°t!r;Ja ~!!!~~:e:¡~~

mente BCCeflible a lectoree ein e ntrenamiento avanzado (aun al precio de cometer algunas inexactit udes formatee menorea), la pre961!.t.&ción está hecha en un eatilo rela.cionado con el de la me.tem'·

~c.::;ti=u;~p¡:c::~Ínyixel~Si•I ~~~:~~e~~ :i

t..xto incluye un e&pltulo 80bre toorf& general de conju.ot.oa que. &

~~~tf!:!:-U~~ip'i:~ :::.. r:ie:e~larZTei';~ h:~:;,

que llevó a la axiomat.iu.cióo de la Morfa..

Como lectura adicional ngerim011 un libro mucho mí.a antiguo oon la. misma. orientación, origina.Jm.enttl morito en alemAn, aotuaJ.mente diaponible en traducción inglea&: G. Fua11:, The Foumlaliofu o/ Antlametic• .A Logko-.MatAmtolical Enquiry into ""- OonupC o/ N umbU'. (Texto inglés y alemú. a doble página..) PhilOBOphical Librwy, Inc., Nueva York, 1960, + 119 págmu.

=

JNTllODUccJON A LA. LÓCICA

Eete libro (al 9ue

~e~ \ºsf.:ry '!

)'&

noe hHnoe referido en la nota 1 de le.

219

P'·

:'J:=: =:~~u~:~i::ºl.: !;!~~~~

dinariamente bien merito y con.tiene una eetimula11te preMnt.ación de lu ideu búicu que 11Ubyaoeo en el d""8.1Tollo de fa aritméti
D. Metodologfa de las elenetu deductlns (mttal6gloa 1 metamatemtiloa) El Mrmino mietodologfa. de las ciencia.a deductiviw se U&& aquí en el sentido gener&liz.ado expueeto en la Sección 42, pá.. ginaa 171 y eubaigu.ient.es. P&r& aer recomendable como texto aatillfaatorio de metodología a. nivel introductorio o intermedio, un libro deberla eontea.er un dtllan'Ollo eietemá.tioo y fá.cilmente inteligible de loe elementoe de eet.a ciencia, a. ea.ber, definiciones precieae de le.e nocionee metodológicaa mú importantes, formulaoionM y deriva.clones de teoremas que esta.blezcan propiedt.dea bá.s:icu de ellM, y a.plicacionee de eet.118 nocionee y reeultadoe metodológicoe generales a teorlae deductivae eapeci&lee. Ademl.e el deea.rrollo tendría. que satiña.cer los requisitos de rigor aplicados hoy dia. a. tocl.a. ciencia. deductiva.. No conocemOB ningún libro que a.tiafag& plenamente eetaa condiciones. Loe traba.jos que discutiremos o indica.remos a.qui, o bien ofrecen una. concepción re&· tringida de la. metodología., o &00 trata.doe de nivel avanzado; o finalmente, tienen el O&ráoter de monogr&fia.e que ee ocupan de DOcionN metodológicu pa.rt.icul&ftl8.

•P. Louna?f, MM~, Bibliographieches Institut, Mannheim, 1962, 173 págs. (B. l . Hochachultaachenbücher, vol. 26.) El autor prel!l&Dta el material deede un punto de vista flloeóflco definido, que podda llame.ne oonñructiVlfllllo metamat.erú.tico1• Eat.e punto de viet.a elimina de la metama~mátie& muohu formas de inferen.oi& normalmente uaadaa en lópca y materú.tica, a pesar de que lae temiu t.ratada8 en laa di901Jaionea metamatem6tiou no eetÑl sujetM a. tal limitación. Por ooDBiguiente, algunM

280 partee de la. rnet.&rn&t.emitio& CODl.empori.nea DO ICI d.ilouten para

~~d:~~b=u~h;ºd!":!;~~uJ-:3!d;:::c~~¡1!¡:i~

del •I llamado teorema de compl~icidad del ~culo do predioed.011.) Para el lector 1in conocimiento previo d1l punto de vimta cowrt.ruo· tivi.sta, alguno• de loe argumentoe do mto libro podriab parecw indebidamente complicados, y algunu de Ju dilltinoionee inint.eli-

f!'.;; ~::~: :~~~~~;':ib0::,~ i:\::~:c!6:9!~i!::i_e~ e informativa a importante& &ectoree del& metaipat.em!tica. Con ayud& de este libro puede (amilierizane con el método de &ritmeti-

=~:i~:, lau':;a:;~~n':;!;i~:~oooS:~ªu:J:i:.~ 1:tC:ió:e!:.!i~~::

para e111tabrecer Jos profundos resultados de G6Dl!:L y CeuBc11 &abre incompletidM e indecidibilidad de la aritmética (que hemos mencionado en lae piga. 168 y aigutentee); y también puede obtener información sobre inveatig&cionee. relativa.e a la eompletid&d .y docidibilidad de algunu otrs.s ioorlM deductivu, en pan.ioular del '1gebra element.al. !A preeentación ee clara en ¡enera.l¡ loa &r-gu• 1Dento1 ion a vece& demuiado eoncieoa como para 1er coavineentee para un principiante.

S. C. Kr.un, lntroductiim to Mdamathanatica, D. van Noe. tr&nd Company Inc., Nueva York, 1952, x + 550 págs. (Uni-.er&ity Series in Higher Mathematice.) ~te ea un extenso trat&do do nivel avanza.do, cuyo estudio requiere un serio mifuen:o por puta del lector. Sin embargo, esta obra no con11tituye una deecripción exhauativa de la metalógica y la metilm&temática contempor'-nea.a: au e.lcance eo restringe a. problem88 metodológicos de la a.ritm~tica de números natural~ y del cileulo do prodic&doa. La Parlie I contiene entre otroa t.6p1coa una discusión de alguna.e poeicionee filoe~cu importa?~ refe· rentee a la lógica 1.. matem6tica. en pa.rttcular del intu1c1oniamo¡ en otra.a pal"te8 de libro, en ~rticula.r ª!' el óltimo capitulo, puede encontrane mucha información eobre a11temaa lógicos que co~­ ponden al punto de viata intuicioniat.a y aobro raaultadoe met.alógieoe relavantea. La mayor parte del material contenido en Ja. Parte 11

r

~!'~fr: fu:!°i:~t¿:a-~:~~=n~iJeilib~~~ i:;:~ee1~l; :o~t~:U': una. exposición del mét.odo de arihnetización de la meta.matemática,

d:rivea:t¡:~d:x¡:ai~~!~ªr~~:U:t!~ei~onb':e in~i!;'r:tiáadun: indecidibilidad de Ja aritmética. En la Parte IV, la última del lihf'o, pueden eneontrarae reeulta.doa m et.a.lógfooa básicos sobre el cüculo de prodieadoa y wta diaouai6n del problema de la conai9t.encia de I• aritmética.

INTaOOUOCIÓH A LA LÓGICA

•A.

281

Com-pltk TM.oriu, Nortb-Holland Publishing Company, Amaterdam, 1966, 129 págs. (Studiee in Logic and the Found&tíona of Mathematica.) RoaCM&ON,

•A. MosTOWSKI, Senkncu Uftd.e.cidable in. Formaliud ArithmeAn Erpoaition o/ tM Thmry o/ Kurt G&Ul, North-Holland Publiahing Company, Amet.erd&Úi, 1952, vm + 117 págs. (Studiee in Logic and the Found&tiona oí Mathema.tice.) ~ic.

•A. T.lBSII, A. MosrowsB.I y R. M. RoBINSON, Unduidabl.e

Theoriea, North-Holland Publiahing Company, Amsterdam, 1953, + 98 pá.gs. (Studies ín Logic and the Founda.tiqne of M&·

:u

them&tiea.)

B. Fudamen&os allomitklos de &eoriu ma&emittou partloalans El lector que haya estudiado la segunda parte de nuestro Libro puede desear &prender má.e ~ de los tema.e alli diecutidoe. Puede deeear, por ejemplo, familiariza.rae con otros ejemploe de teoriaa axiomáticas, estudiar m'8 profunda.mente loe problemae mek>dológiooa: relacionadoe con el prooeeo de axiomatización, o ver una presentación m'8 detallad& de loe tópicos di.scutidoe en el 6.ltimo e&pftulo. Enoontra.rá. mucho material relevante en varioe libros mencionados en A, B y C. Como lectW'&e adicionales 1ugerimoe dos monografiu mM antigua.a que la m&yorla. de loe otf'O!I libros de nuestra lista., pero que de ninguna manera. están paaa.da.a de moda y pueden aer tod&vf& intef'C&antea y estimulantes: E. V. Hll'lmlfOTON, TM Fundamtntal ~o/ Alg~bra. Monograph IV (páge. l l!'i l -207) ea MQ1Wg-ra.plw on Topic.9 o/ Jfo. dtm MatMmmK.a Rekvam Co tM Ef.emenCa.ry FUld, editado por J. W. A. You1m, con una introducción de M. Kl.ntB, Dover Publications, Inc., Nueva York, 1955, XVI+ 416 páginas.

Recomenda.moe eete trabajo (publicadO por primera v1n en 1914) a aquello1 lectores íntereeadoe en lae conaidera.ciones contenid&.11 en loe doe di.timos capftuloe de m1eet.ro libro. Encontrarián en 61

:i:.;io~6~-=ro\6JC:C: ioec1~~:n::o.~~~ti= 1:! la. &ritm6tic&. de númeroe real.a y oomplejoe.

282

J. W. Yotnfo, IM:tuf'U °" Fundameftl.al COflU1'Ú o/ A~hra an.4
Un trab&jo de carácter completamente distinto es:

•D. HJLBJCBT, Grundlogtn der Oeomdrit. Con revisiones y a.péndices de P. BBlt.NAYS_- B. G. Teubner VeÍ-lagageeellechaft, Stuttg&rt, 1956, vn + 251 p&ge. Hay también una traducción inglesa. de una antigua edición alemana: Tlu FaundalioM o/ Gtomtlry, The Open Court Publiah.ing Company, Chiea.go, 1902, YlI + 143 pl.ginaa. Hemoe hecho referenci1111 & ee4e libro en la. m1t.& l de ta página 162. Fue publicado por primera vez en 1899, y variu de lu edfoionem eublliguient.ee fueron complementadas con referencias a algunoe des&1Tolloa poateriorea. El libro ha t.enido una influencia decisiva en inveatigacionea aobre 108 fundamento& axiomiticoe de la geometri& y aún hoy loe eepeciaJiai- en este campo lo Ntudian con eep&-

cial atención. Al leerse eete libro debe t.enerse en cuente. que no

~~~e =~~ol~c~e':;o;:'oe!:=:i!t:t~~menw J'.

IUJtoria •

en loe

la 16gtca

Puede encontr&ne materi&l biatórioo valioao en varios de loe libros ante& discutidos o meo.cionadoa, que no eat6n ~ífic&. mente dedicadoa a la hiatoria de la lógica. Esto tam.bi~n MI aplioa al siguiente libro: · C. l. LBWIB, .A Burw,y o/ BymbolW; Logic, University of Cali. fornia Presa, Berkeley, 1918, Y1 + (()6 páginaa. Sugerimoa muy eapecialment.e la _parte hiatórioa de e&te libro, ya que ofreoe abundante información mtereMnte e iruitructiva aobre

el deaarrollo de la lógica moderna, El reato de Mte libro .W. fuera

de dpooa.

INTllODUCCIÓH A L.l LÓGICA

283

Loe doe traba.joe siguientes tratan exoluaivamento de b.ietoria de la lógica.: H. Soe:ox.z., Conciae Himry o/ Lo~. Philoaophical Library, Inc., Nueva York, 1961, 140 p&ginu.

•r. M. BoOK:tNSKI, A Hlatory o/ Formal Logic, Univereity oí Notre Da.me Presa, Notre Dame, 1961, XXII + 1567 págin&e. tato& ee un t rat.&do comprensivo de historia de la lógica, t&llM> t.radiciona.I como moderna, que incluye temu raramente upuee~ como, por ejemplo, la hietoria de la 16$ica h indd. Puede eer eepeeialmenW ú til para loe eetudi09C.Nt de historia de la lógica. ya que contiene una extensa eoleeeión de traducciones ingleeM de puie.jee de tezt.os origine.lee.

Puede ser impo~nte para loa lectores interesados en l& hietoria. de la. lógiea ea.her que n rioe de loe trabajoe oitadoe en este libro por eu signifie&eión histórica, son ahora fácilmente accesiblee en nuevaa ediciones y, en algunos CB808, en tr&ducclonea ingleeaa. :ltete es el caso, en particula.r, de loe trabajos de FREOE y lln.BuT mencionados en C y B. Menciona.moa &demás: .

G. BooLB, An Jn~igali
En eete libro hemos tenido escasa. oportunidad. de dieontir problema.a concernientes a. la lógica y a. los funda.mento. de la ma.tem!tica usualmente collllidendoe como 610866cos (por ejem. plo, el problema. de la. verdad de loe a.z:iom&11 de la. lógica y la. ma. temática, o el de la. ez:istencil. de claaee y relaoionea). Ta.lee pro-

... blemae, ai.n embargo, ha.o preocu¡»do a muchoe .tudioeoe y no son, de manera alguna, irrelevan\el para el deearrollo de la. lógica. Un punto de vista filosó6.oo adoptado por un lógico puede influir decidid&mente 11u elección de temu de Ntudio, NI ml§todoe de inveetiga.ción y au apreciación de lol!I rmult&d.oe obtenidoe por 'l y otroe. Recomendamos al lector que deeee una orientación general sobre deearrolloe en la filoeoff& de la lógica. y la matem¿... tica, los siguientes dos libroa -el primero de elloe una antología, y el segundo un extenso traba.jo que cubre un amplio espectro

de t.ema.s: P. BBN.i.CEBRil'

y

H.

PuTNüt, editoree,

Ph~y

o/

M~­

matiu. Sekded Rtadinga. (Con un& introducción de loe editores.) Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffa, 1964, VII + 538 págs. (Prent.ioe-He.Jl Pbiloeophy Series.) •E. W. BBTK, TM. FovmlatWm6 o/ .MatM.maliu. A Sludy '" llae Philowphy of ScMna, Nortb-Holl&nd Publiehing ~mpa.ny, Ameterdam, 1969, XXVI + 741 pá.ga. (Stud.iea in Logio a.nd the Foundation.a of Mathemat.i.ca.)1 Hemos clasificado eete libro corno filoeófico, ya q_ue. como el a11tor afirma en el pref&cio, uno de 1ua motivoe princ1pale111 al ... oribirlo fue •el detJeO de eetrechai- !azoe enire inveetiga.oión ea fund8.mentoe y filosofía general, y proporcion&r t.e.nto • filóeofoe como a matem!ticos una amplia preaontación de problema y reeult.a.dos con comentariow talee que ayuden a moetrar au import:.&ncia

:~=i:::~N;e·~~~:c:n:~::,~ o:~: ~~Ce~=:~ darlo para un estudio 1ietemÁtieo. Contiene, 1in embargo, vuta información 1obre todo el dominio de que no• heinoe int.ef'eMdo

~~:i:;~n!°:e!d~i::-unb~~tr'rn:~:!J~ &~i::!·rJ:i
o bra con la •peranza. de encontrar en ella, a falta de una esplioación adecuada, por lo meno• algunu reíerenciu bibliogr6.fi.cu, algunu obeervacionee hilltóricu pertinentes, o alguna diacuaión aobre lu implicaciones filoeóficaa.

Mencionamos, finalmente, Wl& monografia especializada que puede eer incluida. en A o en G:

... A. Bs:Y'mfo, lntu'"°'""". .4• iftlroduetion, North-Rou..nd PubliahiDg Compony, Amsterd&m, 19M, vm + 132 páp. (Studi.. in Logic and the Foundatiom of Mathemati09.)

Para concluir, deeeamoe mencionar que exiet.e una eociedad internacional, The Asaooiation far Bymbolic Logic, que reúne la m&yori& de los investigad.orea cientL6ooe en los campos de la. lógica y la metodología. de la. m&Umitica. Eet& inltitución tiene au public.a.ción trimestral, TM Jountal of Spbolic Logk,, que oonti&ne contribuciones origina.lea, como también resetiaa crltica.a de toda la. liter&tura a.ctual en el e&mpo de la lógie&. El volumen 1, 1936, contiene una bibliografla ellauativa (comple1I1ent&da eueta.ncialmente en el volumen 3, 1938, con agregadoe menoree en volúmenea poaterioree), compila.da por CsuBce:, de todaa lu publicaciones en el dominio de la. lógica matemá.tica haat&el afto 1936; un indioe de la. litera.tura publicada posteriormente aparece cada dos afioa. Una contribución ulterior a la bibliograffa de la. lógica ee el volumen 26, 1961, que ~otiene lndioea que ab&rca.n todo el ma.terial de loe veinticinco voló.menee preoedentes. Existen también otros periódicoe, oomo también ooleccionee de libroe dedicada.a excluaivamente a la8 publicaciones aobre lógica y met.odologfa. Mencionaremos espeicffica.mente la aerie Studiu in. Lo~ and IM Foundati.on.a of MaJM.matia (Nortb-Holland Publishing Compe.y, Amaterdam), en la que, antee de 1964, ya habían aido publicadoe unoe cu&11111t& libroe, on eu mayoría t11onografíaa eapecialiudaa, pero también unaa pocaa obraa de eará.cter mú genec&l. La Aseociation for Symbolic Logic realiza dos o tnie reunionee anua.lea en loa Eatadoe Unidos y otros palaee. Cada pocoe aftoa ee realiza un Congreso I nternacional de Lógica, Metodología y Filoaoffa de la Ciencia; el prito.ero de ellos tuvo luga.r en 1960. Frecuentemente ae realizan simpoaioe dedicadoa: a problemaB o ramu eepecia.lee de la investigación lógica. LM acta8 de est.oe congreeoe y aimpoeios, a menudo publicadaa oomo libros aeparados, son ·fuentee vaJiOM8 de información aobre loa desarrollos má.s recientee en eate campo.

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